Etude des effets non-linéaires et des pertes dans les …theses.insa-lyon.fr/publication/2001ISAL0052/these.pdfN d’ordre : 01 ISAL 0052 Année 2001 Thèse Etude des effets non-linéaires

N° d’ordre : 01 ISAL 0052 Année 2001

Thèse

Etude des effets non-linéaires et despertes dans les moteurs ultrasonores

Introduction au problème de couplage

mécanique entre les voies

Présentée devantL’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Pour obtenirLe grade de Docteur

Formation doctorale : AcoustiqueÉcole doctorale : Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique de Lyon

ParHervé Frayssignes

Soutenue le 9 novembre 2001 devant la Commission d’examen

Jury MM.

Rapporteur : A. ALBAREDA Professeur (Université de Calalogne-Barcelone)Rapporteur : B. NOGAREDE Professeur (ENSEEIHT de Toulouse)

R. BRIOT Maître de Conférences (INSA de Lyon)F. CLAEYSSEN Ingénieur Société CEDRAT-TECHNOLOGIESP. GONNARD Professeur (INSA de Lyon)L. PETIT Maître de Conférences (INSA de Lyon)

Juillet 2001 1/2

INSTIT UT NATI ONAL DES SCIENCES APPL IQUEES DE LYON

Directeur : A. STORCK

AUDISIO S PHYSICOCHIM IE INDUSTRIELLEBABOUX JC GEMPPM*BALLA ND B PHYSIQUE DE LA MATIEREBARBIER D PHYSIQUE DE LA MATIEREBASTIDE JP THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEBAYADA G MAPLY - MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES DE LYONBERGER C (Mlle) PHYSIQUE DE LA MATIEREBETEMPS M AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEBLANCHARD JM LAEPSI ***BOISSON C VIBRATIONS ACOUSTIQUESBOIVIN M MECANIQUE DES SOLIDESBOTTA H Equipe DEVELOPPEMENT URBAINBOTTA-ZIMMERMAN M (Mme) Equipe DEVELOPPEMENT URBAINBOULAYE G (Prof. émérite) INFORMATIQUEBRAU J CENTRE DE THERMIQUE DE LYON –Thermique du bâtimentBRISSAU M GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRIQUEBRUNET M MECANIQUE DES SOLIDESBRUNIE L INGENIERIE DES SYSTEMES D’ INFORMATIONBUREAU JC THERMODYNAMIQUE APPLIQUEECAVAILLE JY GEMPPM*CHANTE JP CEGELY**** - Composants de puissance et applicationsCHOCAT B UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL – Hydrologie urbaineCOUSIN M UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL – StructuresDOUTHEAU A CHIMIE ORGANIQUEDUFOUR R MECANIQUE DES STRUCTURESDUPUY JC PHYSIQUE DE LA MATIEREEMPTOZ H RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONESNOUF C GEMPPM*EYRAUD L (Prof. émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRIQUEFANTOZZI G GEMPPM*FAVREL J PRISMa – PRoductique et Informatique des Systèmes ManufacturiersFAYARD JM BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONSFAYET M MECANIQUE DES SOLIDESFERRARIS-BESSO G MECANIQUE DES STRUCTURESFLAMAND L MECANIQUE DES CONTACTSFLEISCHMANN P GEMPPM*FLORY A INGENIERIE DES SYSTEMES D’ INFORMATIONFOUGERES R GEMPPM*FOUQUET R GEMPPM*FRECON L INFORMATIQUEGERARD JF MATERIAUX MACROMOLECULAIRESGIMENEZ G CREATIS**GONNARD P GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRIQUEGONTRAND M GEGELY**** - Composants de puissance et applicationsGOUTTE R (Prof. émérite) CREATIS **GRANGE G GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRIQUEGUENIN G GEMPPM*GUICHARDANT M BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEGUILLOT G PHYSIQUE DE LA MATIEREGUINET A PRISMa – PRoductique et Informatique des Systèmes ManufacturiersGUYADER JL VIBRATIONS ACOUSTIQUESGUYOMAR D GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRIQUEJACQUET-RICHARDET G MECANIQUE DES STRUCTURESJOLION JM RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONJULL IEN JF UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL – StructuresJUTARD A(Prof. Emérite) AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEKASTNER R UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL – GéotechniqueKOULOUMDJIAN J INGENIERIE DES SYSTEMES D’ INFORMATIONLAGARDE M BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIELALANNE M (Prof. émérite) MECANIQUE DES STRUCTURESLALLEMAND A CENTRE DE THERMIQUE DE LYON – Energétique et thermiqueLALLEMAND M (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON – Energétique et thermiqueLAREAL P UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL – GéotechniqueLAUGIER A PHYSIQUE DE LA MATIERELAUGIER C BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE

LEJEUNE P GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESLUBRECHT A MECANIQUE DES CONTACTSMARTINEZ Y INGENIERIE INFORMATIQUE ET INDUSTRIELLEMAZILLE H PHYSICOCHIM IE INDUSTRIELLEMERLE P GEMPPM*MERLIN J GEMPPM*MILLET JP PHYSICOCHIM IE INDUSTRIELLE

2/2

MIRAMOND M UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL – Hydrologie urbaineMOREL R MECANIQUE DES FLUIDESMOSZKOWICZ P LAEPSI***NARDON P (Prof. émérite) BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONSNAVARRO A LAEPSI***NOURI A (Mme) MAPLY - MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES DE LYONODET C CREATIS**OTTERBEIN M (Prof. émérite) LEAPSI***PASCAULT JP MATERIAUX MACROMOLECULAIRESPAVIC G VIBRATIONS ACOUSTIQUESPELLETIER JM GEMPPM*PERA J UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL – MatériauxPERACHON G THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEPERRIAT P GEMPPM*PERRIN J ESCHIL – Equipe SCiences Humaines de l’ Insa de LyonPINARD P (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIEREPINON JM INGENIERIE DES SYSTEMES D’ INFORMATIONPLAY D CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUESPOUSIN J MAPLY - MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES DE LYONPREVOT P GRACIMP – Groupe de Recherche en Apprentissage, Coopération et

Interfaces Multimodales pour la ProductiquePROST R CREATIS**RAYNAUD M CENTRE DE THERMIQUE DE LYON –Transferts Interfaces et

MatériauxREDARCE H AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEREYNOUARD JM UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL – StructuresRIGAL JF CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUESRIEUTORD E (Prof. émérite) MECANIQUE DES FLUIDESROBERT-BAUDOUY J (Mme) (Prof. émérite) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESROUBY D GEMPPM*ROUX JJ CENTRE DE THERMIQUE DE LYONRUBEL P INGENIERIE DES SYSTEMES D’ INFORMATIONRUMELHART C MECANIQUE DES SOLIDESSACADURA JF CENTRE DE THERMIQUE DE LYON – Transferts Interfaces et

MatériauxSAUTERAU H MATERIAUX MACROMOLECULAIRESSCAVARDA S AUTOMATIQUE INDUSTRIELLETHOMASSET D AUTOMATIQUE INDUSTRIELLETROCCAZ M GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRIQUEUNTERREINER R CREATIS**VELEX P MECANIQUE DES CONTACTSVIGIER G GEMPPM*VINCENT A GEMPPM*VUILLERMOZ PL (Prof. émérite) MATIEREZIMMERMANN M.(Mme) Equipe Développement Urbain

Directeurs de recherche C.N.R.S. :BERTHIER Y MECANIQUE DES CONTACTSCOTTE-PATAT N (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUEFRANCIOSI P GEMPPM*MANDRAND MA (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE GENETIQUEQUINSON JL GEMPPM*ROCHE A MATERIAUX M ACROMOLECULAIRESSEGUELA R GEMPPM*

Directeurs de recherche I.N.R.A. :FEBVAY G BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONSGRENIER S BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS

Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. :PRINGENT AF (Mme) BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIEMAGNIN I (Mme) CREATIS**

*GEMPPM GROUPE D’ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUEDES MATERIAUX

** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS ENTRAITEMENT DE L’ IMAGE ET DU SIGNAL*** LAEPSI LABORATOIRE d’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES

PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS****C EGELY CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON

INSA DE LYON

DEPARTEMENT DES ETUDES DOCTORALESDécembre 1999

ECOLES DOCTORALES ET DEA HABILITES

ECOLES DOCTORALES

n° code national

RESPONSABLE

PRINCIPAL

CORRESPONDANT

INSA

DEA INSA

n° code national

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DEA INSA

CHIMIE DE LYON

(Chimie, Procédés, Environnement)

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Sec 84.30

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Chimie Inorganique

910643

Sciences et Stratégies Analytiques

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Sciences et Techniques du Déchet

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M. P. MOSZKOWICZ

Tél 83.45 Fax 87.17

ECONOMIE, ESPACE ET

MODELISATION DES

COMPORTEMENTS

(E2MC)

EDA417

M.A. BONNAFOUS

LYON 2

04.72.72.64.38

Sec 04.72.72.64.03

Fax 04.72.72.64.48

Mme M. ZIMMERMANN

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Fax 87.96

Villes et Sociétés

911218

Dimensions Cognitives et Modélisation

992678

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Tél 84.71 Fax 87.96

M. L. FRECON

Tél 82.39 Fax 85.18

ELECTRONIQUE,

ELECTROTECHNIQUE,

AUTOMATIQUE

(E.E.A.)

EDA160

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INSA DE LYON

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Fax 85.26

Automatique Industrielle

910676

Dispositifs de l’Electronique Intégrée

910696

Génie Electrique de Lyon

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Images et Systèmes

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M. M. BETEMPS

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EVOLUTION, ECOSYSTEME,

MICROBIOLOGIE , MODELISATION

(E2M2)

EDA403

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Sec 04.78.86.31.52

Fax 04.78.86.31.49

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Fax 85.34

Analyse et Modélisation des Systèmes Biologiques

910509

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INFORMATIQUE ET INFORMATION

POUR LA SOCIETE

EDA 407

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Documents Multimédia, Images et Systèmes

d’Information Communicants

992774

Extraction des Connaissances à partir des Données

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Informatique et Systèmes Coopératifs pour l’Entreprise

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INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-

SANTE

(EDISS)

EDA205

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Sec 04.72.72.26.75

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MATERIAUX DE LYON

UNIVERSITE LYON 1

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Génie des Matériaux : Microstructure, Comportement

Mécanique, Durabilité

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Matériaux Polymères et Composites

910607

Matière Condensée, Surfaces et Interfaces

910577

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MATHEMATIQUES ET

INFORMATIQUE FONDAMENTALE

(Math IF)

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Fax 04.72.43.00.35

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Analyse Numérique, Equation Dérivée partielle et

Calcul Scientifique

910281

M. G. BAYADA

Tél 83.12 Fax 85.29

MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE

CIVIL, ACOUSTIQUE

(MEGA)

EDA162

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Acoustique

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Génie Mécanique

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M. G. DALMAZ

Tél 83.03

Fax 04.78.89.09.80

Mme. M. LALLEMAND

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En grisé : Les formations doctorales et DEA dont l’INSA est établissement principal

A mes parents,

A Anne,

Remerciements

Cette étude a été réalisée au Laboratoire de Génie Electrique et Ferroélectricité de l’InstitutNational des Sciences Appliquées de Lyon. Je tiens à remercier Monsieur le Professeur P.Gonnard, Directeur du laboratoire à mon arrivée, pour m’avoir permis d’effectuer cette thèseet pour sa contribution dans ce travail. Je le remercie d’avoir présidé la soutenance de cettethèse. Je remercie également Monsieur le Professeur D. Guyomar, Directeur du laboratoire,pour ses suggestions et son soutien pour la représentation de ce travail à l’extérieur.

Je remercie également Monsieur R. Briot pour avoir dirigé cette thèse durant ces troisannées avec le même enthousiasme.

Je remercie les membres du jury :

Monsieur le Professeur A. Albareda d’avoir accepté de rapporter cette thèse. Sonintérêt sur les effets non-linéaires a pu ainsi apporter un regard critique sur ce travail.

Monsieur le Professeur B. Nogarede d’avoir accepté de rapporter cette thèse. Sacollaboration avec le LGEF a permis notamment de progresser sur les différentes stratégiesd’alimentation des piézomoteurs.

F. Claeyssen pour sa participation au jury en tant qu’examinateur.

L. Petit pour sa participation au jury. Durant ces 3 années, ses suggestionsscientifiques et techniques sur les piézomoteurs ont apporté une meilleure compréhension deleurs fonctionnements. J’exprime ma sympathie pour les bons moments passés (au moment ducafé).

J’adresse mes remerciements à l’ensemble du personnel du LGEF pour les servicesrendus, les encouragements portés et le quotidien rendu agréable tout au long de ces troisannées. Plus particulièrement, l’équipe J.C. Aime et Monsieur le Professeur M. Brissaud pourla mise à disposition d’appareils de caractérisation et de modélisation.

Je remercie J. Salanson, collègue de l’Aveyron ayant fait une thèse sur lespiézomoteurs (LEEI-ENSEEIHT), pour nos échanges scientifiques et amicaux par email.

Ces travaux n’ont pas bénéficié de financement particulier. Devant certainesdifficultés rencontrées, l’aboutissement final de cette thèse est dû au soutien de Alain etCécile, mes parents et de Anne, mon amie.

Hervé Frayssignes / Thèse en acoustique / 2001 / Institut National des Sciences Appliquées de Lyon 8

SOMMAIRE

INTRODUCTION GENERALE ....................................................................... 12

CHAPITRE I : LA CONVERSION ELECTROMECANIQUE .................... 14

I.1 CONVERSION THERMO -MÉCANO -ÉLECTRIQUE .............................................. 15I.2 L’ EFFET PIÉZOÉLECTRIQUE ........................................................................... 15I.3 EQUATIONS DE LA PIÉZOÉLECTRICITÉ ........................................................... 16I.4 CÉRAMIQUES MASSIVES ET APPLICATIONS .................................................... 18I.5 AUTRES MATÉRIAUX PIÉZOÉLECTRIQUES ...................................................... 19I.5.1 LES MONOCRISTAUX...................................................................................... 19I.5.2 LE POLYMÈRE (PVDF)................................................................................... 20I.5.3 LES COUCHES ÉPAISSES.................................................................................. 20I.5.4 LES PIÉZOCOMPOSITES................................................................................... 20I.6 COMPORTEMENT DYNAMIQUE DES CÉRAMIQUES .......................................... 21I.6.1 RÉSONANCE VIBRATOIRE............................................................................... 21I.6.2 SCHÉMA ÉLECTROMÉCANIQUE ÉQUIVALENT.................................................. 21I.6.3 MODÈLE ONDE PLANE.................................................................................... 25I.6.3.1 MONOÉLÉMENT.......................................................................................... 25I.6.3.2 TRANSDUCTEUR COMPOSÉ.......................................................................... 26

CHAPITRE II : MOTEURS PIEZOELECTRIQUES .................................... 28

II.1 I NTRODUCTION .............................................................................................. 29II.1.1 HISTORIQUE.................................................................................................. 29II.1.2 PRINCIPE DU MOTEUR À ONDE PROGRESSIVE................................................ 30II.1.2.1 Facteur d’ellipse ....................................................................................... 30II.1.2.2 Génération d’une onde progressive .......................................................... 32a) Principe ............................................................................................................. 32b) Cas du stator disque (b << a) ............................................................................ 33II.2 EXEMPLES DE PIÉZOMOTEURS ...................................................................... 34II.2.1 DIFFÉRENTS TYPES DE CONFIGURATIONS...................................................... 34II.2.1.1 Brevet Shinseï........................................................................................... 34II.2.1.2 Brevet Daimler-Research ......................................................................... 35II.2.1.3 Brevet Techsonic ...................................................................................... 35II.2.1.4 Popel ......................................................................................................... 36II.2.1.5 Micromoteur LPMO................................................................................. 36II.2.1.6 Mode non axisymétrique .......................................................................... 37II.2.1.7 Moteur piézocomposite ............................................................................ 37II.2.1.8 Structure linéaire ...................................................................................... 38II.2.2 PERFORMANCES............................................................................................ 38


II.2.3 INTÉGRATION INDUSTRIELLE........................................................................ 39II.3 L A CONVERSION MÉCANO -MÉCANIQUE ........................................................ 41II.3.1 DESCRIPTION GÉOMÉTRIQUE........................................................................ 41II.3.2 MODÉLISATION ÉLECTROMÉCANIQUE DU CONTACT..................................... 43II.3.3 APPROCHE TRIBOLOGIQUE............................................................................ 44II.4 M ODÉLISATION DES PERTES ......................................................................... 45II.4.1 BILAN SUR LES PUISSANCES.......................................................................... 45II.4.2 MODÉLISATIONS PAR DES SCHÉMAS ÉQUIVALENTS...................................... 46II.5 CONCLUSION.................................................................................................. 48

CHAPITRE III : NOUVELLES ARCHITECTURES DE STATORS .......... 49

III.1 C AHIER DES CHARGES ................................................................................. 50III.2 D ISPOSITIFS EXPÉRIMENTAUX ..................................................................... 50III.2.1 ALIMENTATION ÉLECTRIQUE....................................................................... 50III.2.2 CARACTÉRISATION DE L’ADMITTANCE ÉLECTRIQUE................................... 50III.2.3 ETUDE VIBRATOIRE..................................................................................... 51III.2.4 CARACTÉRISATION MÉCANIQUE.................................................................. 51III.3 P OPEL100 ..................................................................................................... 51III.3.1 DESCRIPTION DE LA STRUCTURE................................................................. 52III.3.2 CARACTÉRISATION DE LA STRUCTURE........................................................ 53III.3.2.1 Impédance électrique .............................................................................. 53III.3.2.2 Caractérisation vibratoire ........................................................................ 54III.3.2.3 Caractérisation moteur ............................................................................ 55III.3.3 REDIMENSIONNEMENT DES LANGEVINS....................................................... 56III.3.3.1 Principe ................................................................................................... 56III.3.3.2 APPLICATION ........................................................................................... 56III.3.4 EXPÉRIMENTATIONS ET COMPARAISONS AVEC LES ÉLÉMENTS FINIS........... 58III.3.4.1 Structure avec rondelles pour le mode 15 ............................................... 58III.3.4.2 Structure avec cônes laiton pour le mode 9 ............................................ 59III.3.5 RÉCAPITULATIF........................................................................................... 60III.4 N OUVELLES STRUCTURES............................................................................ 61III.4.1 CHOIX DES MATÉRIAUX............................................................................... 61III.4.2 POPEL95.................................................................................................... 62III.4.2.1 Etude paramétrée..................................................................................... 62III.4.2.2 Comparaison modélisation/expérimentation........................................... 63III.4.2.3 Caractérisation mécanique ...................................................................... 63III.4.3 TRANSFORMATION EN MONOROTOR : MONOPOPEL95 ................................. 64III.4.3.1 Contremasse massive .............................................................................. 64III.4.3.2 Optimisation d’une contremasse ............................................................. 65III.4.3.3 Influence du nombre de langevins (twum95).......................................... 67III.5 C ONCLUSION ................................................................................................ 70


CHAPITRE IV : PERTES ET NONLINEARITES ........................................ 71

IV.1 SYNTHÈSE BIBLIOGRAPHIQUE ..................................................................... 72IV.1.1 PERTES DIÉLECTRIQUES.............................................................................. 72IV.1.2 PERTES MÉCANIQUES.................................................................................. 73IV.1.3 EFFETS THERMIQUES................................................................................... 74IV.1.4 EFFETS NON LINÉAIRES............................................................................... 75IV.1.4.1 Hystérésis................................................................................................ 75IV.1.4.2 Phénomène de saut.................................................................................. 75IV.2 ETUDE ISOTHERME DU COMPORTEMENT NON LINÉAIRE ............................ 77IV.2.1 INTRODUCTION........................................................................................... 77IV.2.2 DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL......................................................................... 77IV.2.3 EXPÉRIMENTATION..................................................................................... 77IV.2.3.1 Préambule ............................................................................................... 78IV.2.3.2 Grandeurs mesurées et accessibles ......................................................... 78IV.2.3.3 Résultats et discussions........................................................................... 79a) Facteur de force................................................................................................. 79b) Fréquence de résonance .................................................................................... 80c) Pertes mécaniques ............................................................................................. 82IV.2.4 CIRCUIT ÉQUIVALENT ................................................................................. 83IV.2.4.1 Formulation............................................................................................. 83IV.2.4.2 Dimensionnement de la réactance .......................................................... 85IV.2.4.3 Dimensionnement de la résistance.......................................................... 86a) Cas du popel45.................................................................................................. 86b) Cas du twum95 ................................................................................................. 88IV.2.4.4 Limites de validité................................................................................... 88IV.3 ETUDE EN RÉGIME IMPULSIONNEL .............................................................. 89IV.3.1 RAPPELS..................................................................................................... 89IV.3.2 MÉTHODE................................................................................................... 90IV.3.2.1 Signal d’excitation .................................................................................. 90IV.3.2.2 Traitements des données ......................................................................... 91IV.3.3 DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL......................................................................... 91IV.3.4 RÉSULTATS ET DISCUSSIONS....................................................................... 92IV.3.4.1 Vérification préliminaire......................................................................... 92IV.3.4.2 Monopopel95 .......................................................................................... 93IV.3.4.3 Twum95 .................................................................................................. 95IV.3.4.4 Popel45 ................................................................................................... 95IV.3.5 CONCLUSION............................................................................................... 97

CHAPITRE V : COUPLAGE ENTRE VOIES................................................ 98

V.1 PROBLÉMATIQUE ........................................................................................... 99V.1.1 MODÈLE DE LYON ET SCHARTON................................................................. 99V.1.2 ANALOGIE CIRCUIT ÉQUIVALENT ............................................................... 100


V.2 VALIDATION DU MODÈLE ............................................................................ 101V.2.1 MÉTHODE................................................................................................... 101V.2.1.1 Première configuration........................................................................... 102V.2.1.2 Deuxième configuration......................................................................... 103V.2.1.3 Troisième configuration ......................................................................... 103V.2.1.4 Résolution............................................................................................... 104V.2.1.5 Nécessité d’un moyennage..................................................................... 105V.2.2 VALIDATION EXPÉRIMENTALE.................................................................... 106V.2.2.1 Résultats ................................................................................................. 106V.2.2.2 Ajustement du modèle............................................................................ 107V.2.2.3 Influence sur l’admittance...................................................................... 108a) Voie2 en circuit ouvert.................................................................................... 108b) Voie2 en court-circuit ..................................................................................... 110c) Conclusion sur l’admittance............................................................................ 111V.2.3 CONDITIONS D’ALIMENTATION .................................................................. 111V.2.3.1 Tensions en quadratures ......................................................................... 113V.2.3.2 Courants motionnels en quadratures ...................................................... 114V.3 AUTRES STATORS......................................................................................... 117V.3.1 Shinsei USR60 .......................................................................................... 117V.3.2 Popel45...................................................................................................... 117V.3.3 Twum95 .................................................................................................... 118V.4 CONCLUSION ................................................................................................ 119

CONCLUSION ET PERSPECTIVES ............................................................ 120

ANNEXES .......................................................................................................... 123

BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................ 133



INTRODUCTION GENERALE

Introduction générale


Datant des années 60, le moteur piézoactif appartient aux récentes innovations du domainedes actionneurs piézoélectriques. Issu d’une jeune technologie, il ne constitue pas unconcurrent à son homologue et centenaire, le moteur électromagnétique. Des caractéristiquesdifférentes et complémentaires le prédisposent à des cahiers de charge plus spécifiques. Eneffet, nous citerons : un fonctionnement silencieux, un couple de maintien hors alimentation,une forte densité de couple, une faible vitesse de rotation ne nécessitent pas l’emploi deréducteur etc. Ses qualités proviennent directement des propriétés des matériaux actifs utilisésen effet piézoélectrique direct capable de restituer de fortes pressions mécaniques (10 à 50MPa) en régime statique ou harmonique à des fréquences ultrasonores.

Une conversion mécano-mécanique s’ajoute à la conversion électromécanique carl’entraînement de la partie mobile (rotor) s’effectue par le biais des forces de friction. Lerendement global du moteur dépend de celui des deux transductions. Son optimisation faitappel à des compétences pluridisciplinaires (mécanique vibratoire, tribologie, électronique…).Il n’existe pas à ce jour une unique et rigoureuse méthode de conception et dedimensionnement de piézomoteurs. Aussi, différentes méthodes comme la modélisation paréléments finis, la simulation numérique de circuits équivalents ou de modèles analytiques ontété successivement validés expérimentalement mais ont leurs propres limites. Parmi lesdifférentes architectures de piézomoteurs, nous retiendrons celle de Sashida (1982) quirévolutionne le monde des moteurs piézoactifs grâce à ses performances. Depuis 1987, elle estcommercialisée par la firme japonaise Shinsei Inc. Il s’agit d’un piézomoteur de type ondeprogressive fonctionnant en régime quasi-résonant.

D’après les récents travaux réalisés sur des actionneurs piézoélectriques longitudinaux(LGEF-INSA de Lyon), les non-linéarités constituent une limite de leurs performances et unedifficulté pour leur asservissement en vitesse de rotation. Au cours de ce mémoire, les cinqchapitres vont permettre d’approfondir la connaissance des piézomoteurs à onde progressiveainsi que leurs comportements non linéaires dus au matériau actif.

Le premier chapitre rappelle la piézoélectricité linéaire au travers des définitions, propriétés etéquations. Une synthèse sur les diverses formes sous lesquelles nous trouvons les élémentspiézoélectriques pour des applications spécifiques y est élaborée.Le second chapitre décrit le fonctionnement du moteur ultrasonore de type onde progressive.Un récapitulatif de modèles de contact permet de prédire les performances en sortie. Unesynthèse bibliographique montre les moteurs publiés ou brevetés les plus performants ouinnovants.Le troisième chapitre aborde la conception d’un moteur de fort diamètre par deux approches :l’une par la méthode des éléments finis et l’autre analytique.Le quatrième chapitre porte sur les effets non linéaires des matériaux actifs. Leurs impacts surles performances de la transduction électromécanique sont évalués sur deux structurespiézomoteurs.Le cinquième chapitre rend compte de l’effet de couplage entre les deux voies d’alimentation.Cette interaction qui a pu être dimensionnée, pourrait être néfaste au bon fonctionnement dumoteur.

En définitive, quels que soient les stators considérés, les limites en terme de performances etles limites techniques sont explorées tout au long de ces trois derniers chapitres.

Introduction

Hervé Frayssignes / Thèse en acoustique / 2001 / Institut National des Siences Apliquées de Lyon

CHAPITRE I : LA CONVERSIONELECTROMECANIQUE

Chapitre I : LA CONVERSION ELECTROMECANIQUE


I.1 Conversion thermo-mécano-électriqueCertains matériaux de part leur structure cristalline subissent une variation de leurs

propriétés sous l’influence de la température, de la contrainte et du champ électrique. Ceci setraduit par des effets mécaniques, électriques ou thermiques. Les trois variables (mécanique,électrique et thermique) thermodynamiquement couplées et leurs interactions sur lespropriétés sont représentées par le diagramme symbolique [1] de la figure I-1.

Figure I-1. Diagramme d’interactions [1].

I.2 L’effet piézoélectriqueLa piézoélectricité est le phénomène de polarisation électrique induite par une

déformation mécanique dans un réseau cristallin. D’un point de vue microscopique et àl’échelle d’une maille du réseau, la déformation du cristal induit un déplacement des centresde gravité des charges positives et des charges négatives. Il en résulte l’apparition d’unmoment dipolaire. Cette polarisation proportionnelle à la déformation et changeant de signeavec, s’appelle l’effet piézoélectrique direct (Pierre et Jacques Curie 1880). L’effet inverse(Lippmann 1881) consiste à la déformation du cristal lors de l’application d’un champélectrique.

L’élaboration de céramiques piézoélectriques peut s’effectuer selon deux voies desynthèse pour la poudre. Le secteur industriel emploie la voie solide pour sa simplicité demise en œuvre. La voie liquide plus coûteuse et complexe reste à l’échelle des laboratoiresbien qu’elle permette une meilleure homogénéité du composé final. La poudre obtenue, une



procédure commune consiste à effectuer un pressage dans un moule pour la mise en forme etun frittage à haute température pour lier les grains entre eux. Le dépôt d’électrodes estnécessaire pour l’étape finale de polarisation. En effet, les microcristaux assemblés parfrittage conduisent à des domaines de polarisations aléatoires. Le matériau n’amacroscopiquement aucun moment dipolaire. L’application d’un champ électrique intense(quelques kiloVolts par millimètre pendant quelques minutes à température élevée) permetd’aligner les polarisations des domaines élémentaires et de créer ainsi une direction depolarisation privilégiée. La figure I-2 illustre cette réorientation des domaines.

Avant polarisation Après polarisation

Figure I-2. Orientation des domaines avant et après polarisation.

I.3 Equations de la piézoélectricitéLorsque le phénomène pyroélectrique est négligeable, l’effet piézoélectrique reliant les

grandeurs mécaniques (déformation S et contrainte T) aux grandeurs électriques (induction Det champ électrique E) peut se traduire suivant les 8 équations symboliques [2] commeindiqué dans le tableau I-1:

Grandeurs électriques Grandeurs mécaniquesTD=0 ( G7 E tS=s .T +d .ETE = 'J7 D tS=s .T +g .DSD=0 ( H6 E tT =c .S-e .ESE = 'K6 D tT =c .S-h .D

Tableau I-1. Equations de la piézoélectricité.

Ces équations relient les trois composantes du champ électrique E ou de l’induction D aux sixcomposantes du tenseur des contraintes T ou de déformations S.

T (N/m²) contrainte mécaniqueS (m/m) déformation relativeE (V/m) champ électriqueD (C/m²) déplacement électrique ou induction

s (m²/N) compliance ou susceptibilité élastique ou souplessec (N/m²) raideur ou constante élastiqueε (F/m) permittivité diélectriqueβ (m/F) constante d’imperméabilité diélectrique

d (C/N ou m/V) coefficient piézoélectrique traduisant la proportionnalité entre la chargeet la contrainte



e (C/m² ou N/V.m) coefficient piézoélectrique traduisant la proportionnalité entre la chargeet la déformation

g (V.m/N ou m²/C) coefficient piézoélectrique traduisant la proportionnalité entre lacontrainte et le champ résultant

h (V./m ou N/C) coefficient piézoélectrique traduisant la proportionnalité entre ladéformation et le champ résultant

Les lettres en indice supérieur accompagnant un coefficient signifient :

( )Evaleur du coefficient à champ électrique constant

( )Dvaleur du coefficient à induction constante

( )Tvaleur du coefficient à contrainte constante

( )Svaleur du coefficient à déformation constante

Par des considérations de symétrie, la connaissance de 6 coefficients de la matrice s, de 3 dela matrice d et de 2 de de la matrice ε suffisent pour décrire les propriétés tensorielles dumatériau piézoélectrique de type hexagonal 6mm.

I.4 Céramiques massives et applicationsLa classification de céramiques massives peut s’opérer en deux familles bien

distinctes. Elles se différentient par l’ampleur de pertes générées lors de fortes sollicitationsélectriques ou mécaniques et de la facilité à se dépolariser.Dans les applications de puissance exigeant de faibles pertes énergétiques, l’utilisation decéramiques dites « dures » comme la P189 (Quartz & Silice-Groupe St Gobain) garantit unbon rendement de conversion électromécanique. Les céramiques dites « douces » s’intègrentplus dans des dispositifs de moyennes ou faibles puissances compte tenu de pertes plusélevées dans la transduction. Ces dernières sont intéressantes pour leurs larges bandes deréponse en fréquence.

Quelques exemples des principaux domaines d’applications peuvent être ainsi répertoriés :

Céramiques dures :- Lavage US- Piézomoteur- Soudage- Sonars

Céramiques douces :- Sonde médicale- Acoustique sous-marine- Hautes fréquences

Le tableau I-2 [3] répertorie quelques céramiques industrielles massives.



Norme USFuture norme européenne

NAVY I

100

NAVY II

200

NAVY III

300

NAVY IV

400 500

NAVY VI

600 700 800

Quartz & SiliceFerroperm P762 P188 P189 T57 PZ26 P194 T88 PZ35εr

1300 1850 1150 700 1300 4800 190 220tan δ (%) 0.5 2 0.2 1 0.3 2 0.7 0.6d33 (pC/N) 300 425 240 105 330 640 65 100k33 0.68 0.74 0.65 0.4 0.68 0.72 0.53 0.34g33 (10-3 J.m/N) 26 26 23.4 17 28 15.1 38.7 43kp 0.58 0.65 0.51 0.28 0.57 0.63 0.02 <0.1Tc (°C) 300 340 320 120 330 185 250 500Q ≥600 80 >1000 ≥500 >1000 60 900 15

Tableau I-2. Principales céramiques industrielles massives.PZT dure : P762, P189, PZ26

PZT douce : P188, P194PbTiO3 modifié : T88 ; BaTiO3 : T57 ; PbNb2O6 : PZ35

Technologiquement, les céramiques massives peuvent être obtenues à partir d’épaisseurs del’ordre de 100µm. Leur intégration dans des microactionneurs [4] particulièrement lesmicromoteurs devient une alternative aux technologies actuelles (électromagnétique,électrostatique).

I.5 Autres matériaux piézoélectriquesIssues d’une ancienne technologie, les céramiques massives apparaissent donc comme

les matériaux piézoélectriques les plus intégrés dans les applications. D’autres configurationsde ces matériaux actifs font l’objet de recherche et de développement visant des applicationsplus spécifiques compte tenu de leurs remarquables propriétés.

I.5.1 Les monocristaux

Le plus populaire existant à l’état naturel est le quartz. Ses qualités de stabilité entempérature (Tc=573°C), de grande linéarité et de grande acuité mécanique l’implique dansdes fonctions de capteurs de pression et de résonateurs (oscillateurs HF).Il existe d’autres monocristaux synthétisés en laboratoire comme le niobate de lithium(LiNbO3) ou le tantalate de lithium (LiTaO3) qui présente aussi une température de Curieélevée (>500°C), de faibles permittivités diélectriques (εr<45) mais un très faible coefficientd33 (2,3-8 pC/N).Les monocristaux PMN-NT [5] présentent de forts coefficients d33 (2500pC/N) et k33 (>0.9)pour la composition 0,67PMN-0,33PT. Compte tenu de ces caractéristiques et de la largebande passante, ils peuvent s’intégrer dans des applications de capteurs pour sondesd’échographie. De cette dernière décennie, PMN-NT et PZN-PT bénéficient d’importantsefforts de recherche dans leurs procédés d’élaborations et de caractérisations car ils pourraientremplacer dans des applications d’actionneurs et de capteurs, les céramiques PZT. Lesmonocristaux de type PINT et PSMNT [6] ont une température de Curie plus importante(Tc>200°C) que les précédents (Tc<180°C). Ils sont donc prédisposés à des applications dansdes domaines de hautes températures.



I.5.2 Le polymère (PVDF)

En 1969, Kawai a été le premier à découvrir les remarquables propriétéspiézoélectriques du polyvinylidène difluoré (PVDF). Ce polymère piézoélectrique est le plusétudié et utilisé. Son élaboration nécessite une phase d’étirement mécanique avant l’étape depolarisation afin de disposer les chaînes macromoléculaires dans une seule et même direction.Le film PVDF présente quelques propriétés remarquables :• Flexibilité (possibilité d’adaptation à des surfaces non planes).• Haute résistance mécanique.• Epaisseur possible de quelques micromètres à une centaine de micromètres.• Activité piézoélectrique équilibrée dans le plan du film.Sa fidélité de transduction énergétique le prédispose à des fonctions de capteurs. Le faiblefacteur de couplage électromécanique (0.2 à 0.3) et le risque de claquage du diélectrique dû auchamp électrique (très faible épaisseur) pénalisent ses possibilités d’actionneur.Ses applications dans le domaine de l’acoustique s’étendent du capteur de mesure de vitessesvibratoires, de déformations [7], aux microphones pour la mesure des pressions acoustiques.

I.5.3 Les couches épaisses

Des épaisseurs d’une centaine de micromètres peuvent être atteintes à partir d’usinagesde céramiques massives. Pour obtenir de plus faibles épaisseurs (plusieurs dizaines demicromètres), une solution consiste à venir déposer le matériau actif sur un substrat commel’alumine. Viennent ensuite les étapes de dépose de l’électrode d’alimentation et depolarisation. Le coefficient d33 est inférieur à celui du même matériau en configurationmassique. La diffusion de l’électrode d’alimentation et la porosité du matériau actif limitentles performances du système couche + substrat [8]. Pour des raisons similaires au cas dupolymère, l’intégration pratique de la couche reste dans le domaine de l’actionneur de faiblepuissance. Les applications peuvent être des transformateurs ou des filtres à ondes de surface.

I.5.4 Les piézocomposites

Il s’agit de bâtonnets piézoélectriques noyés dans une matrice polymère (figure I-3).Celle-ci de plus faible impédance acoustique [9] que les éléments piézoélectriques permet àces derniers de se mouvoir plus facilement par rapport à une configuration dite massive. Lescaractéristiques diélectriques, piézoélectriques et mécaniques de l’ensemble dépendent de laproportion et de la nature des constituants neutre (polymère) et actif (bâtonnets). Latransduction s’effectue avec un bon coefficient de couplage (0.5 à 0.7) et sur une large bandede fréquence (quelques mégahertz).



Figure I-3. Piézocomposite type 1-3.

Leurs applications visent principalement les dispositifs de contrôle non destructif (parexemple les sondes d’échographie). Une électronique pilotant chaque bâtonnetindépendamment permet de focaliser un faisceau ultrasonore dans une région prédéfinie del’espace.

I.6 Comportement dynamique descéramiques

I.6.1 Résonance vibratoire

Soumis à une excitation électrique, le matériau piézoélectrique se déforme. En régimeharmonique, il présente une vitesse vibratoire avec une seule composante fréquentielleidentique à celle de l’excitation si les phénomènes non linéaires demeurent négligeables. Acertaines fréquences dites de résonance, des maximums de vitesses vibratoires sont atteintsdépendant de la direction de polarisation, de la direction du champ électrique appliqué et desdimensions géométriques de la céramique. A chacune de ses fréquences de résonance estassociée un mode de vibration caractérisé par une déformation propre de l’échantillon.

Il est ainsi possible à partir de 4 échantillons de forme bien déterminée de privilégiercertains modes de vibration et d’effectuer une caractérisation des grandeurs tensorielles dumatériau actif. Le tableau I-4 [10] récapitule les modes fondamentaux et les constantesaccessibles.



Tableau I-4. Modes fondamentaux et grandeurs déductibles [10].

I.6.2 Schéma électromécanique équivalent

A bas niveau et aux alentours d’une fréquence de résonance d’une céramique, il devientpossible de faire une analogie [2] du comportement macroscopique par un circuitélectromécanique équivalent. Les valeurs des composants dépendent de la nature du matériaupiézoélectrique utilisé et de la forme géométrique de la céramique. D’une manière générale,au voisinage d’une de ses fréquences de résonance, le comportement d’un transducteurpiézoélectrique de faible charge acoustique se décrit par le circuit équivalent schématisé sur lafigure I-4.

La première branche décrit le comportement électrique du transducteur et la seconde lecomportement mécanique (branche motionnelle). Le transformateur de rapport N appeléfacteur de force traduit la conversion des grandeurs électriques en grandeurs mécaniques.



•U

CL

R F

1/N

CRV oo

I

Figure I-4. Schéma électromécanique équivalent.

Le tableau I-5 donne les correspondances entre les deux familles de grandeurs de cetteanalogie électromécanique.

Grandeurs mécaniques Grandeurs électriquesDéplacement: U (m) Charge électrique: q (C)

Vitesse: •

U (m/s) Courant: I (A)

Force: F (N) Tension : V (V)Masse: m (kg) Inductance: L (H)Elasticité: e (m/N) Capacité: C (F)Amortissement: ρm (kg/s) Résistance: R (Ω )

Tableau I-5. Analogie entre les grandeurs électrique et mécanique.

Un système « masse-ressort-amortisseur » peut se représenter par une branche motionnellecomme le montre la figure I-5.

•

I U

Fm

k=1/e

V=F

C=1/k L=m

R=ρm

ρm

U.

.I=U

Figure I-5. Analogie entre la branche motionnelle et le système mécanique [2].

La figure I-6 représente cette analogie électromécanique de manière purement électrique enramenant les éléments de la branche motionnelle de la figure I-5 au primaire dutransformateur.



II =N.U.

V R Coo

C =C.N L =L/N

R =R/N

m

m

m

m2

2

2

Figure I-6. Schéma électrique équivalent.

L’admittance électrique du circuit ci-dessus s’écrit alors :I 1 1

Y= = + j C & 1oV Ro R + j(L & m m C &m

(I.1)

Une mesure de l’admittance autour de la fréquence de résonance permet de dimensionner lesdifférents composants du circuit.La résonance vibratoire (mécanique) a lieu à la fréquence fs appelée fréquence série. Lecoefficient Q représente la surtension ou l’acuité mécanique de cette résonance.

S

m m

1f =

2 / &(I.2)

m

m m

1 LQ=

R C(I.3)

Le module du courant d’excitation ou de l’admittance atteint une valeur maximale pour unefréquence fm et une valeur minimale pour fn. Pour une forte acuité mécanique (Q>100), nousavons fm≈fs et fn≈fp [10].fp s’appelle la fréquence de résonance parallèle ou d’antirésonance et s’écrit :

p

m om

m o

1f =

C C2 /

C +C

(I.4)

La figure I-7 représente le module et la phase de l’admittance obtenus expérimentalement etconformes à l’équation (I.1).



0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

x 105

-10

-5

0

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

x 105

-100-100

0

100100

frequence (Hz)

Y (dB) Phase[Y] (°)

f fm n

Figure I-7. Module et phase de l’admittance, mesure du mode longitudinal.

L’allure en fréquence du courant motionnel (Im) qui est l’image de la vitesse vibratoire estreprésentée par la figure I-8.

fréquence

Courant motionnel

f m f n

Figure I-8. Module du courant motionnel.

Deux coefficients soulignent l’efficacité de la conversion énergétique électromécanique. Ils’agit du :

♦ Coefficient de couplage dynamique k :L’énergie emmagasinée par Cm représente en fait l’énergie électrique transformée sous formeélastique. L’aptitude du transducteur à effectuer cette conversion est traduite par le coefficientk et nous montrons que [2] : 2

m BFC =k .C avec BF O mC =C +C (capacité en basse fréquence).Nous pouvons donc écrire :

2S

2p

fk= 1-

f(I.5)

♦ Rapport de transformation N :Le rapport de transformation N (figure I-5) relie les grandeurs électriques aux grandeursmécaniques. Cette grandeur également appelée facteur de force s’exprime en N/V ou A.s/m.



( )( )

mCourant motionnel IForce mécanique

N= =Tension électrique Vitesse vibration U

• (I.6)

Des modèles plus complets de circuits équivalents ont conduit certains auteurs [11] à définirun coefficient de transformation complexe traduisant les pertes piézoélectriques.

Cette analogie électromécanique s’applique fidèlement pour de faibles niveaux d’excitationset des matériaux à faibles pertes. Des pertes, des effets non linéaires et thermiques introduitssous fortes sollicitations mécaniques rendent le modèle invalide. Ces effets feront l’objetd’études plus approfondies au cours du chapitre IV.

Dans l’hypothèse du domaine linéaire (faible niveau d’excitation donc validité du modèle), lesprécédentes équations conduisent à une relation linéaire [12] entre la vitesse vibratoire dutransducteur et la tension d’excitation (équation I.7).

•BF

m

m

CU =k Q V

L(I.7)

Les actionneurs piézoélectriques de puissance sont majoritairement exploités au maximumdes vitesses vibratoires. Ils doivent donc être fortement couplés électromécaniquement etsurtendus autour de leur fréquence de résonance. L’emploi de céramiques piézoélectriqueselles-mêmes fortement couplées et à forte acuité mécanique permet d’obtenir bonnesperformances.

I.6.3 Modèle onde plane

I.6.3.1 Monoélément

Le mode longitudinal d’un barreau se caractérise par son élongation avec des vitesses devibration optimales de ses faces à une certaine fréquence notée fl (fréquence longitudinale). Sile barreau possède une faible charge acoustique à ses extrémités c’est à dire si ses faces sontlibres alors l sf =f .

La figure I-9 représente le profil spatial de la vitesse vibratoire longitudinale notée •

xU . Ladéformation correspondante est une demi-longueur d’onde (λ/2).



EP

0

Ux Ux. .

Ux.

x

Face 2Face 1x

y

z

l=λ/2

Figure I-9. Mode longitudinal.

L’approche [13] acoustique montre que le phénomène peut se décrire comme une onde planese propageant à la vitesse v.

E33

1v =

!V(I.8)

D’où : l E33

1f =

2l !V(I.9)

La fréquence du mode longitudinal dépend de la compliance, de la densité et de la longueurdu matériau actif.

I.6.3.2 Transducteur composé

Le modèle de la propagation d’une onde plane s’extrapole à des structuresaxisymétriques plus complexes (transducteurs Tonpilz ou langevin) issues d’associations dematériaux actifs (piézoélectriques) et élastiques (métaux). A l’interface des matériaux denature différente, il suffit d’écrire la continuité des impédances acoustiques [13] ce quiconduit à la formulation finale :

0 o ii

i o i

Z & O & Oq = = tan ×tan

Z v v

(I.10)

Z0 : impédance acoustique spécifique du matériau piézoélectriqueZi : impédance acoustique spécifique du matériau élastique (i=1 ou 2)

La définition de l’impédance acoustique spécifique est :

i i i iZ =! $ Y (I.11)ρi, Ai et vi désignent respectivement la densité du matériau i, la section commune avec l’autrematériau et la vitesse du son dans le milieu i.

La figure I-10 illustre un transducteur composé de type Tonpilz identique à ceux employés endétection sous-marine.



0

Ux.

x

lolo l2l1

Matériau 1 : duralumin, platine (amplificateur)

Matériau 0 : céramiques piézoélectriques (éléments actifs)

Matériau 2: bronze, laiton (atténuateur)

Figure I-10. Transducteur composé Tonpilz. Les céramiques sont montées tête-bêches.

L’expression de la fréquence de résonance longitudinale n’est plus triviale mais vérifienumériquement la précédente équation (I.10). Cette dernière décrit une déformation en demi-longueur d’onde telle que l’électrode centrale corresponde au nœud de vibration et lesextrémités (face 1 ou 2) aux vitesses vibratoires maximales.Pour la face 1 (ou 2), le gain à l’émission correspond au carré du rapport de la vitessemaximale à la position l1 (ou l2) par la vitesse maximale de l’élément actif en l0. Ceci conduit àl’équation :

( )2 2 2 oi i i

o

& OG =q - q -1 .Sin

v

(I.12)

L’impédance acoustique du matériau i (i=1, 2) et le rapport des sections auxdifférentes interfaces conditionnent la valeur du coefficient qi. Par conséquent, les vitessesvibratoires peuvent être amplifiées ou diminuées. Des matériaux d’impédances acoustiquesplus faibles que ceux de l’élément piézoélectrique permettent l’amplification des vitessesvibratoires. Inversement, l’emploi de métal de très forte impédance garantit des vitessesatténuées et convient donc pour l’élaboration de contremasse. La figure I-11 illustre cerésultat avec le profil spatial de la vitesse longitudinale.



2 JAFFE B., COOK W., JAFFE H. Piezoelectric ceramics. London : Academic Press,1971. 317p.

3 GONNARD P. Mise en œuvre et performances des matériaux piézoélectriques. 1ercolloque sur les Matériaux Electroactifs et leurs Applications en Génie Electrique. Toulouse :ENSEEIHT, 1998. p 15-28.

4 BIWERSI S., BASTIEN F. and MANCEAU J.F. Small size travelling wave ultrasonicmotors in square structures. Actuator98. 6th International Conference on New Actuators withAccompanying Exhibition. Conference Proceedings. Messe Bremen GmbH.Breme (Allemagne) : 1998, p 256-259.

5 CHENG K.C., CHAN H.L.W., CHOY C.L., YIN Q.R., LUO H.S., YIN Z.W.Piezoelectric coefficients of PMN-0.33PT single crystals. 12th IEEE International Symposiumon Applications of Ferroelectrics, Hawai, 21 Ju -02 Aug 2000. p 533-536.

6 YAMASHITA Y. Piezoelectric materials in the 21st century. 12th IEEE InternationalSymposium on Applications of Ferroelectrics, Hawai, 21 Ju -02 Aug 2000. p 139-144.

7 GAO P. et SWEI S.M. Active actuation and control of a miniaturized suspension structurein hard-disk drives using a polyvinylidene-fluoride actuator and sensor. Meas. Sci. Technol.,2000, Vol. 11, p 89-94.

8 LE DREN Sarah. Elaboration de couches épaisses piézoélectriques déposées sur substratspour des applications microtechniques. [On-line] Thèse : INSTITUT NATIONAL DESSCIENCES APPLIQUEES DE LYON, 2000 [14/12/2000], 198 p. Available from internet :<URL:http://csidoc.insa-lyon.fr/these/2000/le_dren/index.html>

9 ROYER D. et DIEULESAINT E. Ondes élastiques dans les solides. Tome 2, Génération,intéraction acousto-optique, applications. Paris : Masson, 1999. 410p.

10 ANSI/IEEE . IEEE Standard on Piezoelectricity, ANSI/IEEE, Std 176, 1987, 54p.

11 UMEDA M., NAKAMURA K., UEHA S. The Measurement of High-PowerCharacteristics for a Piezoelectric Transducer Based on the Electrical Transient Response.Jpn. J. Appl. Phys., 1998, Vol. 37, Part 1, n°9B, p 5322-5325.

12 LEBRUN Laurent . Etude de moteurs piézoélectriques ultrasonores. Thèse Sci. : InstitutNational des Sciences Appliquées de Lyon, 1995. 201 p.

13 GONNARD P. Transducteurs ultrasonores. 1ère partie, cours DEA Acoustique. Lyon :Institut National des Sciences Appliquées, Département de Génie Electrique, 1991. 137p.

CHAPITRE II : MOTEURS PIEZOELECTRIQUES

Chapitre II : MOTEURS PIEZOELECTRIQUES

Hervé Frayssignes / Thèse en acoustique / 2001 / Institut National des Sciences Appliquées de Lyon - 29 -

II.1 Introduction

II.1.1 Historique

Les matériaux électrostrictifs, magnétostrictifs, et piézoélectriques permettent laréalisation d’actionneurs et plus particulièrement de moteurs électroactifs. Par la suite, nousne considérerons que ceux employant des matériaux piézoélectriques.

Certains de ces actionneurs dits quasi statiques [14] exploitent la force développée parle matériau pour l’entraînement du corps mobile (par ex. rotor). D’autres utilisent la vitessevibratoire optimale obtenue à la résonance du stator solidaire du matériau électroactif. Lerecensement réalisé dans l’ouvrage de Ueha S. et Tomikawa Y. [15] aboutit à uneclassification des différentes configurations de piézomoteurs comme l’illustre la figure II-1.

De part ses remarquables propriétés, le matériau piézoélectrique a permis la réalisationd’une multitude de configurations de moteurs piézoélectriques (moteur ultrasonore oupiézomoteur). Historiquement, S.W. Tehon [16] fut le pionner en proposant un de cesmoteurs. Dans les années 80, Sashida [17] proposa un moteur de type onde progressive. Lepotentiel prometteur de celui-çi conduisit à de nombreuses innovations protégées ainsi qu’à sacommercialisation [18] par la firme Japonaise Shinsei Corporation Inc.

Figure II-1. Classification des moteurs électroactifs.

Depuis 1992, le Laboratoire de Génie Electrique et Ferroélectricité (L.G.E.F.) s’investitdans la recherche et le développement de moteurs piézoélectriques à onde progressive.Plusieurs de ces actionneurs seront présentés ultérieurement. Le partenariat entretenu avec desindustriels (Somfy, Moulinex, Cedrat-Technologies), le Ministère de la Recherche et d’autreslaboratoires (LEEI de l’ENSEEIHT-Toulouse, L.P.M.O.-Besançon, LTDS de l’E.C.L.-Lyon )pour la réalisation de telles structures a conduit à de nombreuses innovations et desperformances remarquables.

Moteurs électroactifs

Quasi statique Résonant( l )

Linéaire Rotatif

Couplage de modes Onde progressive

Linéaire Rotatif

Linéaire Rotatif



II.1.2 Principe du moteur à onde progressive

L’emploi de matériaux piézoélectriques permet à partir d’une tension électriqued’obtenir la déformation mécanique d’une structure élastique dont ils sont solidaires. Sur cettedernière, une onde de Lamb progressive peut être alors générée grâce aux matériaux actifs.Une telle pièce remplit alors la fonction de stator. Le principe du moteur piézoélectrique(piézomoteur ou moteur ultrasonore) repose sur l’entraînement d’une partie mobile (parexemple le rotor) par le biais des forces de friction. En effet, les points du stator en contactavec le rotor décrivent une ellipse lors du passage de l’onde et assurent ainsi l’entraînement dece dernier grâce aux forces tangentielles. La figure II-2 illustre ce résultat. Il est impératifd’assurer une précontrainte rotor contre stator.

Précontrainte

Figure II-2. Entraînement du rotor par le biais des forces de friction.

En définitive, le processus fait intervenir une double conversion d’énergie (figure II-3).Chacune de ces transductions conduit irrémédiablement à des pertes. La pondération de cespertes sera abordée au § II.4.1 au travers d’un exemple.

Force dynamiqueVitesse vibratoire

Couple

Vitesse de rotation

Tension

Courant

Conversion

électromécanique

Conversion

mécano-mécanique

Pertes diélectriques

Pertes piézoélectriques

Pertes mécaniques

Pertes de frottement

Pertes par glissement

Figure II-3. La double conversion d’énergie.

II.1.2.1 Facteur d’ellipse

Une pièce circulaire (anneau ou disque) ou linéaire réalise la fonction de stator.Parcourue par une onde de flexion progressive, un point de sa surface décrira une trajectoireelliptique (figure II-4) par rotation de la section droite.



PoP

O A

h

x

y ϕ

Figure II-4. Trajectoire elliptique à l’interface rotor/stator.

Le facteur d’ellipse relie la vitesse vibratoire selon l’axe (Oy) à la vitesse vibratoire selonl’axe (Ox). Si sa valeur est inférieure à l’unité alors la vitesse tangentielle est plus faible quela normale d’où la désignation de « réducteur elliptique de vitesses ».

Calcul du facteur d’ellipse :

( ) ( )p o

hY =P P.y=Asin &WN[ FRV

2ϕ

)))& &

(II.1)

p o

hX =P P.x=- sin

2ϕ

)))& &

(II.2)

En considérant que ϕ est faible : cos =1

sin =tan

ϕϕ ϕ

Les précédentes équations (II.1 et II.2) conduisent à :

( )pY = Asin &WN[ (II.3)

( )p

hX = -kA cos &WN[

2(II.4)

L’équation de l’ellipse décrit par le point P s’écrit alors :2 2

p pX Y+ =1

$ $

(II.5)

h h N

2 (II.6)

Λ est le facteur ellipse. Cette quantité adimensionnelle dépend de la longueur d’onde (λ) et del’épaisseur de la plaque (h). Plus ce facteur devient important, plus les vitesses tangentielles ledeviennent.

II.1.2.2 Génération d’une onde progressive

a) Principe

Tout milieu continu et fini présente des modes propres de vibration i-e desdéplacements (les vecteurs propres) associés à des fréquences de résonances (les valeurspropres). Pour une forme géométrique donnée et certaines fréquences de résonance, ce milieuadmet des déformations modales associées à des ondes stationnaires.



L’utilisation en effet piézoélectrique de céramiques solidaires du stator implique ladéformation de celui-ci. Il est possible en adoptant un certain arrangement des céramiques degénérer des ondes stationnaires à certaines fréquences de résonance. La combinaison de deuxondes stationnaires en quadrature temporelle et spatiale conduit à une onde de flexion quasi-progressive. Le calcul suivant illustre ce résultat.

( ) ( )1U = Asin &W FRV N[ (II.7)

( ) ( )2

U = Asin &W P FRV N[ P

2 2

(II.8)

avec m= 0, 1, 2, …( )1 2U=U +U = Asin &WN[ DYHF P SDLUV (II.9)

( )1 2U=U +U = Asin &WN[ DYHF P LPSDLUV (II.10)

b) Cas du stator disque (b << a)

Nous supposons toute structure annulaire dont le rayon intérieur (b) soit très inférieur aurayon extérieur (a) comme équivalente à un disque.Les modes de flexion de rang n d’un disque n’admettant pas de cercles nodaux (m=0)s’écrivent en terme de déplacement normal comme une des deux équations suivantes.

( ) ( ) ( ) ( ) 1

AU = Asin n VLQ & W FRV & WQ FRV & WQ

2(II.11)

( ) ( ) ( ) 2

$U = Asin n FRV & W FRV & WQ FRV & WQ

2 2

(II.12)

La combinaison des déplacements des deux ondes stationnaires U1 et U2 en quadrature spatialeet temporelle conduit à un déplacement total traduisant une onde progressive.

( )T 1 2U =U +U = -Acos & WQ (II.13)Cette onde progressive conserve la déformation associée au mode (m,n) avec m=0. Elle secaractérise avec un mouvement de précession de sens opposé à celui du rotor et une vitesse

angulaire de • &

n

La fréquence de résonance du mode (0,n) admet pour relation :

( )2

(0,n) 2 2

hn Ef = ×

4U ! (II.14)

avec :

h : épaisseur du disquer : rayon moyen du disqueE : module d’Young : coefficient de Poissonρ : masse volumiquen : rang du mode de flexion

L’exemple suivant (figure II-5) illustre la déformation selon le mode (0,9) pour le statorShinsei USR60. Ce résultat provient d’une simulation par éléments finis (ANSYS).



Figure II-5. Simulation par éléments finis du mode (0,9) pour USR60.

Remarque :Avec une excitation transitoire, une unique onde progressive parcourt l’anneau avec unevitesse de phase :

n n nn

n

& &V = =

k 2(II.15)

kn est le vecteur d’onde et ωn la pulsation.

II.2 Exemples de piézomoteursIl existe un éventail de moteurs ultrasonores de type onde progressive. Ces actionneurs

se différentient principalement par les procédés de génération de l’onde progressive. Lesexemples suivants ne constituent pas une liste exhaustive mais exposent les structures les plusinnovantes et prometteuses.

II.2.1 Différents types de configurations

II.2.1.1 Brevet Shinseï

La firme Japonaise Shinsei Corporation Inc. commercialise une gamme de moteursultrasonores de différents diamètres : 30mm pour USR30, 45mm pour USR45 et 60mm pourUSR60.

Sashida décrit largement dans son ouvrage [19] cette structure de configuration simple maiscomplexe dans son procédé de réalisation. Un anneau de céramique (figure II-6) dont lespolarisations sont sectorisées, est collé sous le disque statorique. Chaque secteur ayant uneouverture angulaire d’une demi-longueur d’onde de flexion permet d’exciter un mode (0,m)avec un couplage électromécanique optimum.



Figure II-6. Vue éclatée d’un moteur Shinsei type USR.

II.2.1.2 Brevet Daimler-Research

Daimler-Benz propose [20] une structure voisine de celle de Sashida en y intégrant desactionneurs piézoélectriques longitudinaux comme l’illustre la figure II-7.

Figure II-7. Brevet Daimler-Benz.

II.2.1.3 Brevet Techsonic

Développé et protégé par la société Techsonic [21], ce stator de type Butterfly (figureII-8-a) utilise des empilements de céramiques piézoélectriques. Ces dernières fonctionnent enmode 33 ce qui permet d’obtenir de large amplitude de déformation. L’effet « papillon » dustator assure l’amplification des déformées donc des vitesses normales et tangentielles. Lafigure II-8-b illustre une déformation de rang 3 du stator réalisé à partir d’une simulation paréléments finis.



empilement

céramiques

stator 1

stator 2

rotor

axe

a) b)

Figure II-8. Structure Butterfly, société Techsonic.

II.2.1.4 Popel

Développé au L.G.E.F. (INSA de Lyon), cette structure [22] intègre des bâtonnets decéramiques type P189 (∅ 6.35mm et L=15mm). La forme exotique de l’anneau statorique(figure II-9) en pièce « viaduc » facilite sa déformation en flexion et atténue la déformation enflexion des bâtonnets. Cette dernière déformation peut générer une contrainte mécaniquelocale importante entraînant la rupture de l’élément piézoélectrique.

stator libre

moteur "double-rotor"

Figure II-9. Moteur type Popel45 développé par L. Petit [22].

Cette première structure qui sera abordé à nouveau au cours du mémoire a ouvert la voie à desinnovations protégées par des brevets et qui ont permis d’améliorer les performances.En effet, l’introduction de cônes en métal entre les bâtonnets et le stator permet un découplage[23] du mode longitudinal des bâtonnets et du mode de flexion du stator par effet d’uneliaison rotule. L’effet du cône permet en outre d’amplifier les vitesses vibratoires du modelongitudinal conformément à ce qui a été présenté au paragraphe I.6.3.2. Un tel prototype dediamètre 23mm est à ce jour, en phase de préindustrialisation.Compte tenu des conditions d’alimentation de 12 bâtonnets équitablement répartis sur 360°, ildevient possible [23] d’exciter les modes de rang 3 (figure II-10-a) et 9 (figure II-10-b). Lalongueur d’onde devenant plus petite lorsque le rang du mode augmente, cela implique



qu’entre deux langevins, elle passe de λ/4 à 3λ/4. Il est théoriquement possible parextrapolation d’accéder au mode 15, 21 etc.…Ces modes seront plus ou moins bien couplésélectromécaniquement.

3λ /4

sin(ω t)

cos(ω t)

b)

λ /4

sin(ω t)

cos(ω t)

a)

mode 3

mode 9

Figure II-10. Dégénérescence possible des modes de flexion.Représentation sur 240°.

II.2.1.5 Micromoteur LPMO

Le L.P.M.O. (Besançon) développe des micromoteurs de type onde progressive [24]basés sur la flexion d’une plaque de substrat recouverte de matériau actif. L’ensemble formeune couche épaisse. La génération reste identique puisque deux ondes stationnaires (modespropres) en quadrature spatiale et temporelle conduisent à une onde quasi-progressive. Dansl’exemple illustré figure II-11, la combinaison de deux ondes stationnaires correspondant auxmodes (3,2) et (2,3) et conduit à une onde quasi-progressive caractérisée par 3 points d’appuispour le rotor.

++ =

Figure II-11. Combinaison des modes propres d’une plaque.



L’obtention des déformations nécessite une disposition particulière des secteurs polarisésainsi que des électrodes d’alimentation.

II.2.1.6 Mode non axisymétrique

Un anneau massif de céramique alimenté et polarisé par secteur conduit à unedéformation de type (1,3) mode non axisymétrique progressif. La figure II-12 illustre ladéformée associée à ce mode.

Figure II-12. Déformation relative au mode non axisymétrique (1,3).

L’onde progressive permet aux points appartenant aux contours extérieur et intérieur d’avoirun mouvement elliptique. Le rotor peut venir se positionner à l’intérieur du stator [25]. Unestructure similaire utilisant le mode (1,1) a été finalisée [26] au L.G.E.F avec un rotor externe.

II.2.1.7 Moteur piézocomposite

La partie active se compose d’un anneau piézocomposite collé sous un stator de formeannulaire ou axisymétrique. Les électrodes d’alimentation sont sectorisées permettant decombiner deux ondes stationnaires. La figure II-13 représente le piézomoteur composite. Leséléments piézoélectriques qui sont noyés dans un polymère de plus faible module d’Youngfonctionnent en mode 33 et peuvent être précontraints. Cette structure brevetée par la sociétéIMRA Europe S.A. [27] présente les avantages d’être facilement miniaturisable et d’avoir uncourt temps de réponse (1ms).



ressort

rotor

stator

(partie 1)

stator

(partie 2)

piézocéramique

électrode

polymère

axe

écrou

Figure II-13. Piézomoteur composite [27].

II.2.1.8 Structure linéaire

Ce cas particulier utilise une onde progressive qui n’est pas issue de l’association dedeux termes stationnaires. Un transducteur piézoélectrique type langevin fonctionne enémission et un autre en absorption [19] par adaptation de son impédance mécanique à cellecaractéristique du guide d’onde (stator = poutre). L’objectif de l’adaptation est de rendrel’onde progressive la moins évanescente possible afin de favoriser sa propagation. Ceci estréalisé par variation d’une admittance électrique YL connectée au 2ème transducteur.La figure II-14 illustre le principe de fonctionnement d’un tel moteur linéaire. Le sens dedéplacement de la masse reste opposé à celui de l’onde de flexion progressive.

Figure II-14. Moteur linéaire.



II.2.2 Performances

Les caractéristiques vitesse de rotation, puissance mécanique délivrée et rendement enfonction du couple fourni présentent toute la même allure (figure II-15) quel que soit lepiézomoteur.

N

0

N0

Pm

Γmax Γn Γ

η

Figure II-15. Caractéristiques de sortie d’un piézomoteur.

N0 : vitesse de rotation à vide.Γn : couple nominal obtenu au rendement maximum.Γmax : couple bloqué ou maximum.η : rendement.Pm : puissance mécanique en sortie.

Le tableau II-1 synthétise les performances de quelques moteurs à onde progressive.

Dénomination ∅ (mm) No (tr/min) η (%) Γn (mN.m) Pm (W) Γmax (mN.m) rotorsPopel23 [28] 23 250 15 75 1.3 110 2USR30 [15] 30 250 ? 40 1 90 1USR45 [15] 45 150 ? 150 2.3 280 1Popel45 [22] 45 120 22 520 5 800 2USR60 [15] 60 100 ? 380 4 600 1IMRA [29] 65 100 ? 2200 15 5000 1Butterfly [21] 90 15 ? 3500 6 7000 2

Tableau II-1. Performances de quelques moteurs ultrasonores.

Certains stators bénéficient grâce à leur symétrie d’un montage double stator-rotor. Le couplede sortie devient alors deux fois plus important que celui d’un montage monorotor, sanschangement de vitesse de rotation.Ce recensement non exhaustif permet de vérifier que plus le diamètre de l’anneau ou dudisque statorique devient grand, plus la vitesse de rotation à vide diminue. Cela provient del’augmentation de la longueur d’onde de flexion. Les couples nominaux et bloquésaugmentent aussi avec le diamètre car la surface de friction devient plus importante.



II.2.3 Intégration industrielle

Compte tenu de ses caractéristiques et performances, le piézomoteur peut dans certainessituations se substituer à son prédécesseur : le moteur électromagnétique. Il n’en devient paspour autant un concurrent direct. Tenant compte de ses récents développements, il appartienttoujours à la phase de prototypage et il demeure très peu répandu [30] dans les applicationsindustrielles, domotiques et domestiques.

Les propriétés remarquables sont :• Fort couple à faible vitesse de rotation sans emploi de réducteur• Couple de maintien important hors alimentation électrique• Densité de puissance mécanique élevée• Large plage de vitesse de rotation• Fonctionnement silencieux• Faible inertie ⇒ court temps de réponse (quelques millisecondes)• Pas de perturbation électromagnétique

Certains inconvénients limitent son spectre d’application :• Durée de vie limitée par celle de la couche de friction (quelques milliers d’heures)• Intégration d’une alimentation électrique suffisante et asservissant la vitesse de rotation.• Coût de fabrication élevé.

A ce jour, quelques industriels l’ont intégré dans diverses applications.- La firme Shinsei Inc. a commercialisé 1500 moteurs (1990) pour la commande des stores duNew Tokyo Municipal Building.- En 1991, le constructeur automobile Toyota intégra ces nouveaux actionneurs sur desvéhicules haut de gamme pour motoriser le réglage des appuis têtes.- Seiko Inc. introduisit (1991) dans une gamme de montres (figure II-16), un moteur de 10mmde diamètre et 5mm d’épaisseur destiné à réaliser un vibreur par rotation d’une masselotte surun excentrique (alarme silencieuse). Le challenge se poursuivit sur la collection automne 1998où un moteur de 4.5mm de diamètre et 2.5mm d’épaisseur permet de changer l’affichage de ladate (Perpetual Calendar®).



Figure II-16. Montre Seiko et moteur réalisant l’alarme silencieuse.

- Canon introduisit (1987) dans ses objectifs haut de gamme (figure II-17) d’appareilsphotographiques un moteur à onde progressive destiné à motoriser le réglage du focus. Larapidité de réponse et l’absence de système mécanique de réduction de vitesse séduisent lafirme qui étend ce type de motorisation dans des applications grand public.

Figure II-17. Objectif Canon avec piézomoteur.

- L’agence spatiale NASA [31] intègre ces moteurs (figure II-18) dans des robots destinés àexplorer d’autres planètes. Ils sont munis de bras manipulateurs actionnés par des moteurs detype onde progressive capables de conserver leurs performances dans des atmosphèreshostiles (–150°C et 16mTorr).



Figure II-18. Moteur développé par la NASA [31].

- La motorisation du positionnement angulaire d’un clapet pour contrôler le débit d’un gazdans une canalisation peut s’effectuer par un moteur ultrasonore et à fait l’objet d’un brevet[32].- Le secteur médical effectue des études d’intégration de ce type d’actionneurs. Lamotorisation d’une prothèse de main [33] pourrait être envisageable compte tenu de lapuissance disponible sur une structure miniaturisée. Les possibles applications du domainemédical pourraient converger plus particulièrement vers le secteur de la RMN (RésonanceMagnétique Nucléaire) dues aux propriétés amagnétiques de ces nouveaux moteurs.

II.3 La conversion mécano-mécaniqueDans les moteurs ultrasonores, les performances de sortie (puissance mécanique,

vitesse, couple) dépendent majoritairement des paramètres régissant le contact rotor-stator. Lechoix de la couche de friction demeure primordial pour garantir une transduction mécano-mécanique optimale. Compte tenu d’un entraînement par friction, l’usure ne doit pas êtrerapide afin de ne pas être préjudiciable à la durée de vie du moteur. Dans la majorité des cas,il s’agit d’un polymère déposé sur la piste de contact du rotor. Dans les moteurs à ondeprogressive, l’onde de flexion de rang n « roule » dans le matériau de friction. Les n points decontact assurent une transmission continue des forces tangentielles au cours du temps.Par la suite, les approches décrites permettent de relier les grandeurs géométriques ettribologiques décrivant la mécanique du contact.

II.3.1 Description géométrique

Un matériau de friction qui présente une certaine rigidité subit l’indentation partielle outotale de l’onde de flexion. Dans le modèle présenté [34], le rotor est supposé suffisammentrigide pour ne pas subir lui-même les déformations du stator. La zone particulaire (figure II-19) commune au contact stator-couche de friction participe au transfert des forcestangentielles et permet donc l’entraînement du rotor.



stator

rotor βo

Uz

Uθ

Figure II-19. Géométrie du contact.

La vitesse moyenne du rotor

V calculée conduit à la formulation suivante :

( ) R

o

2U &FRV V =

(II.16)

U correspond au déplacement tangentiel maximum d’un point de contact rotor-stator. Trois

situations sont possibles suivant les valeurs du paramètre géométrique o qui dépend de larigidité de la couche de friction (module d’Young) et de la force de précontrainte appliquéeentre le stator et le rotor.

y o

2Le contact linéique permet une vitesse tangentielle maximale au détriment du couple transmiscar la surface de friction est faible. Cette situation intervient à faible précontrainte et/ou avecune couche trop rigide.

y o

0<

2Cette situation correspond au domaine d’utilisation recommandé. La zone particulaireparticipant au contact présente un champ de vitesse dirigé dans un seul et même sens. Un boncompromis couple et vitesse peut être obtenu.

y o

- < 2

La zone particulaire participant au contact présente un champ de vitesse dirigé dans un desdeux sens. La résultante conduit à de faibles vitesses de rotation. Des efforts de scissionimportant interviennent alors dans la couche pouvant conduire à son usure prématurée.Cette situation intervient pour une couche trop souple ou une précontrainte trop importante. Si

l’indentation de l’onde est totale (o

2

), la vitesse s’annule.

Remarque :Compte tenu de la définition du facteur d’ellipse (§ II.1.2.1) et de la relation de la vitessemoyenne du rotor (II.16), nous pouvons écrire :



( )o

o

2cos 2KV = × A &

(II.17)

A est l’amplitude normale du déplacement.

En reprenant l’expression de la vitesse de phase définit en équation (II.15), le rapport vitessedu rotor sur vitesse de propagation donne :

( )o 2

2

n o

2cos V 4h× A.n

V '

θ = (II.18)

Ce rapport équivaut au facteur de réduction de vitesse par transfert elliptique du mouvement.

II.3.2 Modélisation électromécanique du contact

La modélisation par schéma électromécanique [35] permet de découpler le problème ducontact en deux représentations. Une première considère l’aspect normal et la secondel’aspect tangentiel. Pour cela, les deux corps en contact (A et B) sont supposés être élastiques.Les tensions (% i) représentent des forces de compression si elles sont positives et de traction

si négatives. Notons µ le coefficient de frottement entre les deux corps.

force tangentielle

force normale

Problème normalLe corps A (stator) ne peut transmettre qu’une force de compression et non de traction aucorps B (rotor). Cela conduit à l’introduction d’une diode (figure II-20) pour la description dece phénomène. Le corps B présente une certaine rigidité et se déforme alors sous l’effet ducorps A. Les deux corps sont partiellement couplés par l’intermédiaire d’une capacitétraduisant cette élasticité de contact. La charge électrique liée à cette élasticité est homogène àune distance. Elle représente l’indentation des corps A et B.

D CN

A B ψψ

corps A corps B

Figure II-20. Schéma électromécanique du contact normal.

Problème tangentielLe problème tangentiel résulte de la loi de Coulomb. Si la force tangentielle ne dépasse par leseuil de glissement (figure II-21-a), il y a adhérence entre les deux corps donc pas deglissement. Ceci étant vrai quel que soit le sens de déplacement, les deux diodes Zener deseuils identiques montées tête-bêche décrivent parfaitement la loi de Coulomb. Au-delà du



seuil d’une diode, un courant circule rendant alors compte de la vitesse relative entre les deuxcorps. Une élasticité tangentielle intervient symbolisée par une capacité. La figure II-21-breprésente le circuit électromécanique équivalent dans le cas tangentiel.

Cette approche macroscopique reste simpliste car elle ne tient pas compte :- De l’élasticité de contact (non-linéaire) avec la précontrainte appliquée entre les deux

corps.- De la variation du coefficient de frottement (µ) avec la vitesse vibratoire, la pression à

l’interface des deux corps et l’élévation de la température.

CT

VA-VB

- µ.FN

µ.FN Forcetangentielle

b)

a)

corps A corps B

ψ ψA B

D1

D2

Figure II-21. Schéma électromécanique du contact tangentiel.

II.3.3 Approche tribologique

Une approche analytique [36] permet d’évaluer la répartition spatiale de la pression decontact rotor-stator, l’évolution de la vitesse en fonction du couple et le rendement de laconversion mécano-mécanique. Cela implique la connaissance des caractéristiques de lacouche de friction et de la déformée spatiale du stator par l’onde de flexion. Le modèleanalytique est reporté en annexe B. La figure II-22 illustre les résultats en prenant lescaractéristiques suivantes :

- Rang du mode : 9- Amplitude de l’onde statorique : 2µm- Rayon stator : 30mm- Epaisseur stator : 4mm- Largeur de contact : 0.8mm- Epaisseur couche de friction : 0.2mm- Rigidité couche de friction : 0.2GPa



- Coefficient de Poisson de la couche : 0.35- Coefficient de frottement : 0.3- Vitesse de phase de l’onde : 840m/s- Vecteur d’onde : 300 m-1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

100

couple (N.m)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

5vitesse rotor puissance mécanique

Figure II-22. Simulation avec un matériau de friction élastique compressible.

La validité du modèle présenté repose sur certaines hypothèses : Matériau de friction de type élastique compressible. Dimensions de contact grandes devant l’épaisseur de la couche de friction ce qui implique :

- Soit une couche de faible module d’Young.- Soit une grande valeur de force de serrage.

Rotor rigide ne se déformant pas sous l’action de la précontrainte et des ondes de flexion dustator.Si nous tenons compte de l’évolution du coefficient de frottement (µ) en fonction de la vitesseet de la pression de contact, ce modèle devient fidèle à la réalité.

II.4 Modélisation des pertesLe fonctionnement fait intervenir des conversions d’énergies engendrant différentes

pertes. Dans un premier temps, ces pertes seront répertoriées au travers d’un bilan depuissance. Ensuite, des modélisations par schémas électromécaniques équivalents permettrontde décrire les performances globales du moteur.



II.4.1 Bilan sur les puissances

La double conversion d’énergie (Cf. § II.1.2) conduit à de nombreuses pertes. Un bilansur USR60 [37] en fonctionnement nominal a permis de lister et de pondérer ces pertescomme le montre la figure II-23 :

Pu (27%)

Pd (7%)Pm (21%)

Pr (33%) Pp (12%)

Figure II-23. Bilan des puissances USR60.

Pd : pertes diélectriques dues au matériau piézoélectrique (milieu diélectrique).Pm : pertes mécaniques par déformations.Pr : pertes par roulement de l’onde statorique dans le matériau de friction.Pp : pertes par patinage rotor-stator par la présence d’un couple de charge.Pu : puissance utile.

Les pertes mécaniques par déformations englobent celles issues du matériau actif et celles desmatériaux « neutres » composant le stator. La conversion électromécanique, siège des pertesdiélectriques et mécaniques représente 28% des pertes totales.

II.4.2 Modélisations par des schémas équivalents

Dans le chapitre I, une représentation par schéma électromécanique équivalent a étéintroduite pour décrire le comportement modal d’une céramique piézoélectrique. Auvoisinage d’une de ses fréquences de résonance, un actionneur piézoélectrique peut aussi sereprésenter par un tel schéma.Dans l’hypothèse de deux voies d’alimentations totalement découplées, un stator sans rotor depiézomoteur à onde progressive se représente comme le circuit de la figure II-24.



Phase 1

Phase 2

Figure II-24. Représentation électrique du stator à vide.

La prise en compte du rotor en régime dynamique complique et alourdit le schémaélectromécanique équivalent. Des termes non linéaires décrivant la conversion mécano-mécanique conduisent alors à des simulations numériques laborieuses à réaliser. Aprèsjustification de certaines hypothèses [19], le modèle se simplifie, allégeant ainsi lessimulations. Finalement, la représentation d’une voie d’alimentation en régime d’ondeprogressive conduit à la figure II-25.

stator rotor

Co Ro

Rm Rr

Rf Rc

C LR

m m

Figure II-25. Représentation électromécanique d’une voie d’un piézomoteur complet.

Avec :Rf : pertes par glissement entre rotor et stator.Rr : pertes mécaniques (friction + viscosité) dues au mouvement du rotor.Rc : représente le couple en charge.Rm : pertes mécaniques statoriques.

La non linéarité de certains de ces composants comme Rm et Cm fera l’objet d’études plusapprofondies par la suite.



II.5 ConclusionCe chapitre rappelle le fonctionnement d’un moteur piézoélectrique de type onde

progressive. Il existe diverses façons de générer une telle onde en combinant la forme descéramiques et leurs agencements par rapport au stator. Ainsi, divers piézomoteurs ont étérecensés pour leurs performances et configurations adoptées.

La conception d’un piézomoteur fait intervenir l’électronique, la mécanique vibratoire,et la tribologie. Pour traiter cette pluridisciplinarité, les principaux outils de modélisationutilisés sont soit des formulations analytiques soit des simulations numériques de circuitséquivalents. La méthode par éléments finis permet une modélisation plus complète de telsactionneurs piézoélectriques. Elle paraît être plus adaptée et connaît alors un véritable essordans le domaine de la simulation de transducteurs piézoélectriques.

Destiné à des applications industrielles, médicales, domotiques et domestiques, lepiézomoteur bénéficie d’un marché prometteur. Son intégration demeure faible pour desraisons essentielles de coûts, de fiabilité et de difficulté dans sa réalisation

Dans l’objectif d’obtenir un piézomoteur aux performances supérieures à cellesactuelles, nous allons étudier la faisabilité d’une structure de dimension plus importante.Compte tenu du potentiel prometteur des structures de type popel, nous engagerons destravaux basés sur la même architecture de ce stator.

Chapitre II : Moteurs piézoélectriques


14 SALANSON Jérôme. Motorisations piézoélectriques à fonctionnement quasirésonnantou quasistatique : analyse des contraintes d’alimentation et expérimentation de structuresinnovantes. Thèse Sci. : Institut National Polytechnique de Toulouse (ENSEEIHT-INP),2000. 153 p.

15 UHEA S., TOMIKAWA Y . Ultrasonic Motors–Theory and applications. Oxford :Clarendon Press, 1993. 297p.

16 BARTH H.V. Ultrasonic driven motor. IBM Technical Disclosure Bulletin, 1973, Vol. 7,n° 16, p 2263.

17 UCHINO K. Piezoelectric ultrasonic motors : overview. Smart Mater. Struct., 1998, Vol.7, p 273-285.

18 SHINSEI CORPORATION INC. Welcome to the Homepage of Shinsei Corporation Inc.[On-line]. Available from internet: <URL : http://www.tky.3web.ne.jp/~usrmotor/>[16.07.01].

19 SASHIDA T., KENJO T. An introduction to ultrasonic motors. Oxford : ClarendonPress, 1993. 242p.

20 DAIMLER-BENZ AG. Ultra-sound travelling wave motor has ultrasonic excitationelements held onto oscillating body by clamping forces. Brevet EP 569673. 1993

21 GUYOMAR D., et al. High torque/high power rotating piezomotor-Influence of the rotorvibration. Actuator96. 5th International Conference on New Actuators. ConferenceProceedings. Axon Technologie Consult GmbH. Bremen (Allemagne) : 1996, p 160-164.

22 PETIT L., BRIOT R., LEBRUN L., GONNARD P. A piezomotor using longitudinalactuators. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control, 1998,Vol. 45, n°.2; p.277-284.

23 FIGEST B. V. Moteur piézo-électrique à onde progressive. Brevet EP 0930660. 1999-07-21.

24 MANCEAU J.F., BIWERSI S., BASTIEN F. On the generation and identification oftravelling waves in non-circular structures-application to innovative piezoelectric motors.Smart Mater. Struct., 1998, Vol. 7, p 337-344.

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26 LEBRUN L., PETIT L., GONNARD P. Piezoelectric motor using a (1,1) non-axisymmetric mode. Ultrasonics, 1996, Vol. 34, p 251-255.

27 IMRA EUROPE SA. Piezomotor with a piezoelectric composite transducer, and methodfor manufacturing such a transducer. Brevet EP 0884832A1. 1998-12-16.

Chapitre II : Moteurs piézoélectriques


28 PETIT L., GONNARD P., GREHANT B. A piezomotor for the small actuator market.12th IEEE International Symposium on Applications of Ferroelectrics, Hawai, 21 Ju -02 Aug2000. p 33-36.

29 IMRA EUROPE SA. Developed Technologies. [On-line]. Available from internet :<URL: http://www.imra-europe.com/index3.html> [16.07.01].

30 GREHANT B. L’interets des industriels pour les moteurs piézo-actifs. 1er colloque surles Matériaux Electroactifs et leurs Applications en Génie Electrique. Toulouse : ENSEEIHT,1998. p 163-166.

31 DAS H. et al. Robot manipulator technologies for planetary exploration. Proceedings ofthe 6th Annual International Symposium on Smart Structures and Materials, Newport Beach,1-5 march 1999. [On-line]. CA. paper n° 3668-17. Available from internet :<URL: http://robotics.jpl.nasa.gov/tasks/pdm/ > [16.07.01].

32 SIEMENS BUILDING TECHNOLOGIES, Inc. Fume Hood exhaust terminal having anultrasonic motor drive actuator. Brevet CA 2 256 985. 1999-10-24.

33 NOGAREDE B. et al. Matériaux électroactifs et génie biomédical : étude d’une prothèsede la main actionnée par une motorisation piézoélectrique. Colloque sur les Matériaux duGénie Electrique (MGE2000), Lille, 13-14 décembre 2000. 2000. p 27-31.

34 MINOTTI P., BOUCHAILLOT L., FERREIRA A. Modelization of travelling waveultrasonic motor. 2nd Japan-France congress on mechatronics, Takamatsu. 1994. p 39-42.

35 LETTY Ronan . Conception de moteurs piézoactifs à l’aide de la modélisation. ThèseSci. : Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, 1994. 216 p.

36 VANEL Luc. Le contact stator-rotor dans un moteur piézoélectrique : modélisationmécanique et étude du frottement métal-polymère en vue de l’optimisation du choix de lacouche de frottement. Thèse Sci. Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris, 1996. 264 p.

37 NOGAREDE B. Moteurs piézoélectriques. Techniques de l’Ingénieur, 1996, Vol. D7, n°D3 765, 20p.

CHAPITRE III : NOUVELLES ARCHITECTURESDE STATORS

Chapitre III : NOUVELLES ARCHITECTURES DE PIEZOMOTEURS


III.1 Cahier des chargesL’obtention de matériaux piézoélectriques de faible épaisseur par usinage ou dépôts

sur substrat présente un certain intérêt pour les technologies des microactionneurs. A ce jour,les efforts menés dans le domaine des microtechnologies permettent de substituer auxsolutions classiques, des micromoteurs piézoélectriques visant des applications grand public(horlogerie, photographie). A une autre échelle, l’intégration de tels moteurs en moyenne etforte puissance (quelques watts à quelques dizaines de watts) demeure faible. Bien que leremplacement d’actionneurs hydrauliques par des moteurs ultrasonores [38], [39] de fortepuissance devienne possible pour la commande des gouvernes d’un avion type moyencourrier. Afin de ne pas atteindre les limites technologiques, certains travaux [40] ont conduità utiliser l’association en série de plusieurs piézomoteurs pour l’obtention d’un fort couplemassique.Le L.G.E.F. étudie la faisabilité d’un démonstrateur à fort couple sur la base d’un popel (Cf. §II.2.1.4). Une homothétie des dimensions devrait conduire à un couple de sortie supérieur auNewton-mètre si certaines contraintes de faisabilité technique restent négligeables.

III.2 Dispositifs expérimentauxLes dispositifs expérimentaux comprennent la chaîne d’alimentation électrique et les

divers appareils de mesure. La caractérisation des mécanismes des deux conversionsd’énergie nécessite l’utilisation d’appareils spécifiques. Ils sont présentés au cours de cettepartie.

III.2.1 Alimentation électrique

La chaîne d’alimentation regroupe un générateur de fonction ayant deux sortiesindépendantes permettant de générer deux signaux harmoniques en quadrature temporelle.Deux amplificateurs de puissance de type large bande et deux adaptateurs d’impédancespermettent de fournir la puissance électrique nécessaire au transducteur piézoélectrique. Lafigure III-1 représente l’ensemble du dispositif.

générateur sinusoïdal

(2 sorties déphasées)

charge piézoélectrique

60

800

150

300450

60

800

150

300450

entrée

entrée entrée

sortie

sortie

entrée

sortie

37600 Hz

voie1 voie2

amplificateurs

de puissance

à gain variable

adaptateurs d'impédance

(transformateurs variables)sortie

Vrms Vrms

Figure III-1. Chaîne d’alimentation.



III.2.2 Caractérisation de l’admittance électrique

La caractérisation de l’admittance se fait par un analyseur d’impédance Helwett Packard4194A. Il permet principalement de connaître l’évolution de l’admittance d’un transducteurpiézoélectrique en fonction de la fréquence et de déduire les valeurs des composants duschéma équivalent autour d’une résonance.

III.2.3 Etude vibratoire

L’étude vibratoire nécessite un interféromètre laser [41] pour la mesure des vitessesvibratoires et des déplacements. Couplé à une unité de balayage (scanner), l’ensemble permetde cartographier l’état vibratoire d’une trajectoire ou d’une surface. L’outil informatiquepermet :1- De définir une région de l’espace à étudier par pilotage du scanner avec le logiciel deprogrammation graphique Labview.2- De recueillir les tensions numérisées par l’oscilloscope qui représentent les vitessesvibratoires et de les générer sous forme de tableaux de points.

La figure III-2 illustre le dispositif de caractérisation vibratoire.

vibromètre

laser

unité de

balayage

démodulateur

+

contrôleur

oscilloscope

liaison

GPIB

liaison

GPIB

125 mm/s/V

100kHz

U.

moteur

piézoélectrique

alimentation

moteur

Figure III-2. Dispositif de caractérisation vibratoire.

III.2.4 Caractérisation mécanique

Un frein à poudre applique un couple de charge bien déterminé sur l’arbre de sortie dumoteur. La mesure simultanée de la vitesse de rotation et du couple permet d’évaluer lapuissance mécanique délivrée par le piézomoteur. Le banc moteur se raccorde à un ordinateur(figure III-3) qui contrôle le couple de charge, traite les mesures acquises et fournit lesrésultats sous forme de graphiques.



moteur

piézoélectrique

frein à poudretachymètre

coupleur

Module de commande

et de mesure

N,Pm,Γ

liaisons analogiques

0-10V

alimentation

moteur

Figure III-3. Dispositif de caractérisation mécanique.

III.3 Popel100Dans ce qui suit, la désignation « popelx » concernera les piézomoteurs de type onde

progressive de x millimètres de diamètre. Leur architecture comprend des actionneurspiézoélectriques longitudinaux (langevins ou bâtonnets) et des stators de formes annulaires.Les montages étant symétriques (double stator), ils intègrent alors deux rotors.

III.3.1 Description de la structure

Chacun des douze langevins se compose de deux cônes en dural de 11mm de long etdeux rondelles de céramiques type P189 (hauteur 3.3mm, diamètre 11mm) fonctionnant enmode33. Les céramiques sont montées tête-bêche de sorte que l’électrode d’alimentationcentrale soit située sur le plan nodal. Le stator est un anneau en dural de diamètre intérieur90mm et extérieur 120mm et d’épaisseur 4mm. Les 60 dents de hauteur 6mm sont situées surla circonférence extérieure du stator. Elles permettent d’augmenter indirectement le facteurd’ellipse donc la vitesse tangentielle. Les langevins sont montées sur une circonférence de95mm. La figure III-4 illustre le prototype réalisé.Une telle configuration est capable de fonctionner sur le mode 3 ou le mode 9 (Cf. § II.2.1.4).



Figure III-4. Popel100.

Chaque langevin est précontraint indépendamment au moyen d’une tige en acier. Les intérêtsde cette contrainte statique sont :y D’avoir toujours une composante compressive dans la céramique lors du régime dynamiquecar il y a risque de rupture de celle-ci en traction.y De minimiser les pertes mécaniques en favorisant l’adhésion entre le sommet du cône et lestator.y D’obtenir un facteur de force (N) optimum. Celui-ci est proportionnel à la racine carrée dufacteur de mérite. D’après la figure III-5 [42] une précontrainte aux alentours de 400barsdonne le facteur de Mérite maximum pour la P189.

P762

P188

Mo

(C

²/m

)

P189

CONTRAINTE UNIAXIALE (MPa)

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

0 20 40 60 80 100 120 140

4

Figure III-5. Facteur de Mérite Mo [42] pour différents matériaux.



III.3.2 Caractérisation de la structure

III.3.2.1 Impédance électrique

La première étape de caractérisation concerne la mesure de l’admittance des voiesd’alimentation électrique. Ceci permet de recenser les modes fortement couplés et/ousurtendus. La figure III-6 illustre le module de l’admittance en fonction de la fréquence.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 1 04

0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3x 1 0

- 3 S t a t o r D u r a l C o n i q u e e t a l i m e n t a t i o n u n e v o i e

f r é q u e n c e H z

mo

du

le a

dm

itta

nc

e S

Figure III-6. Diagramme fréquentiel de l’admittance du popel100.

Une résonance particulière retient notre attention et les grandeurs de l’analogieélectromécanique associées sont répertoriées dans le tableau III-1 :

fs (kHz) Co (nF) Cm (pF) Lm (H) Rm (kΩ) Q k (%)

Voie 1 69400 3.80 1.08 4.85 4.84 4382

Voie 2 69404 3.82 1.11 4.72 5.44 379 2Tableau III-1. Dimensionnement des éléments du circuit équivalent (69kHz).

Si les voies apparaissent bien équilibrées l’une par rapport à l’autre et très surtendues (fortcoefficient Q), leur coefficient de couplage électromécanique reste relativement faible. Cecipeut dégrader le rendement global du moteur par détérioration de la conversionélectromécanique.

III.3.2.2 Caractérisation vibratoire

Une cartographie par vibrométrie laser renvoie aux valeurs absolues des déplacementsvibratoires sur la piste du stator et confirme une déformation en flexion de rang 9 près de 69kHz. L’alimentation de l’autre voie permet d’obtenir l’onde stationnaire de même rang maisen quadrature spatiale. La figure III-7 illustre la déformation du stator au niveau des dents.



cartographie sur 360° à la résonance Ualim=100Vrms

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56

dents

dé

pla

cem

en

ts (m

)

Figure III-7. Déformée vibratoire en mode9 (69 kHz), alimentation d’une voie.

Sous 100Vrms, la résonance vibratoire (figure III-8) est obtenue à une fréquence inférieure à69.4kHz dus aux phénomènes non linéaires [43] qui font dériver la fréquence de résonanceavec le niveau d’excitation. Le rapport amplitude de l’onde de flexion sur tensiond’alimentation vaut 0.006µm/Vrms.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

69250 69300 69350 69400 69450

fréquence (Hz)

dé

pla

cem

en

t (m

)

Figure III-8. Profil du déplacement normal d’un point du stator à 100Vrms.

III.3.2.3 Caractérisation moteur

Alimenté sous 100Vrms, le montage double rotor donne le profil de vitesse de rotationillustré sur la figure III-9. Ce résultat montre que la vitesse de rotation des rotors dépenddirectement de l’amplitude de déformation de stator.



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

69,15 69,2 69,25 69,3 69,35 69,4

fréquence (kHz)

vite

sse

(tr/

min

)

Figure III-9. Vitesse de rotation à vide en fonction de la fréquence (100Vrms).

Malgré l’entraînement possible des rotors, des problèmes émergent :- Difficulté à transmettre un couple sous peine de bloquer la rotation.- Bruit localisé au niveau de la couche de friction.- Montage inadapté des rotors conduisant à la désolidarisation de leur mouvement.

Une simulation par la méthode des éléments finis (MEF) en analyse modale avec lelogiciel Atila

1 conduit à la déformation représentée figure III-10. La fréquence du mode 71.6

kHz et le couplage 2.2% obtenus sont proches du cas expérimental.

f = 71.6 kHz et k=2.2%

Figure III-10. Déformation obtenue avec le logiciel Atila.

1 ATILA, logiciel de CAO 3D basé sur la MEF pour la conception de structures piézoélectriques et magnétostrictives. Editeur

CEDRAT Meylan (http://www.cedrat.com/) & ISEN Lille.



Cette modélisation amène plusieurs remarques sur le fonctionnement réel du moteur.D’après la figure II-10, la déformation de rang 9 implique pour une structure à 12 langevinsd’avoir ôλ de flexion entre deux actionneurs longitudinaux. Cette déformation s’obtientaussi bien sur la circonférence extérieure du stator qu’au niveau des dents en accord avec lesrésultats de vibrométrie de la figure III-7. Sur le rayon intérieur, la déformation paraitdifférente puisque n’admet pas ôλ entre les deux langevins. Il ne s’agit pas comme prévuedu mode (0,9). De plus, le mouvement désordonné des dents entraîne une répartition nonuniforme des vitesses tangentielles à l’interface rotor-stator d’où une possibilité d’usureprématurée de la couche de friction et une génération de bruit.

III.3.3 Redimensionnement des langevins

III.3.3.1 Principe

Afin d’améliorer le comportement vibratoire, nous nous sommes résolus àredimensionner et tester de nouveaux langevins. La démarche adoptée consiste à fairecoïncider la bande de fréquence de la réponse vibratoire du mode longitudinal du langevinavec celle du mode de flexion (0,m) du stator annulaire. L’hypothèse de validité suppose undécouplage total de la flexion du stator et des déplacements longitudinaux des langevins.

La figure III-11 représente les résultats théoriques de la démarche adoptée. L’anneau(stator) possède une série de modes à certaines fréquences représentées par des flèches. Labande passante du mode longitudinal du langevin doit être centrée sur la fréquence du mode(0,m) de l’anneau pour espérer obtenir sa réponse vibratoire optimale. L’allure du diagrammed’admittance d’une voie d’alimentation du moteur dépend donc de ces critères decoïncidences fréquentielles.

fréquence

fréquence

module

adm

ittance

théorique

mode fondamental du langevin

f fmodes parasites(0,m)

réponse

vibra

toire

du stator du stator

Figure III-11. Réponse en fréquence des composants du piézomoteur.



III.3.3.2 Application

Une étude préalable par vibrométrie laser sur le POPEL100 muni de cônes en dural de11mm de hauteur a permis d’identifier le mode 3 (figure III-12).

f = 3580 Hz et Ualim=80Vrms

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0 10 20 30 40 50 60

numéro dents

dé

pla

cem

en

ts (

mic

rom

ètr

es)

Figure III-12. Vibrométrie laser sur 360° au niveau des dents (mode 3).

Celui-ci étant peu couplé et/ou peu surtendu n’apparaît pas lors de la mesure de l’admittanceavec l’analyseur. Par ailleurs, les déplacements restent faibles compte tenu du niveaud’alimentation.

De l’équation (II.14) des fréquences propres d’un anneau associées aux modes (0,n), nousdéduisons :

m n

2 2

f f= = Cte

m n(III.1)

Théoriquement, les modes de rang 9 et 15 doivent être respectivement aux alentours de 32.22kHz et 89.5 kHz. Il s’agit dès lors de réaliser de nouveaux langevins en changeant la longueurde leurs cônes afin de les accorder à la fréquence du rang du mode.D’après l’équation (I.10), nous pouvons réécrire :

01 1

0

1

2I Ov ×arctan q tan

vl =

2I

(III.2)

avec : 01

1C

Zq =

ZZ1C est l’impédance acoustique corrigée du cône qui tient compte des changements de sectionentre ses 2 faces. Z0 correspond à l’impédance acoustique du matériau piézoélectrique. Pourun cône percé longitudinalement selon un diamètre di (passage de la vis de précontrainte), degrande base de diamètre D et de petite base de diamètre d, nous établissons :

2 22

i

1C 1 2 2

i

D +d +dD-d

3Z =Z ×D -d

(III.3)



L’application du calcul permet ainsi de dimensionner nos actionneurs longitudinaux.Expérimentalement et sur un langevin seul, une légère différence sur la valeur de la fréquenceapparaît probablement due à l’influence de l’élasticité de la tige de la vis.Des équations (III.2) et (III.3), nous pouvons supposer que la relation entre la longueur decône et la fréquence de résonance longitudinale du langevin suit une loi hyperbolique. Unrecalage du modèle est effectué par extrapolation de cette loi hyperbolique et des résultatsexpérimentaux. Les résultats de cette démarche et les solutions envisageables sont consignésdans le tableau III-2.

Rang lo (mm) l1 (mm) Solutions par langevin

9 6.6 15.75 en laiton 4 céramiques d’épaisseur 3.3mm2 cônes usinés en laiton

15 3 0.96 en dural 2 céramiques d’épaisseur 3mm2 rondelles articulées ( norme DIN 6319)

Tableau III-2. Synthèse des résultats et solutions envisagées.

La faisabilité de cônes de 0.96mm de hauteur avec un alésage de 4.5mm de diamètre pour lepassage de la tige paraît absurde. Nous retiendrons donc l’utilisation de rondelles articulées àportée hémisphérique.

La figure III-13 représente les montages utilisés par la suite. Les clinquants au centreconstituent l’électrode nodale d’alimentation. Ceux situés entre les rondelles et les céramiquespermettent une meilleure répartition de la contrainte en augmentant la surface de contact. Lamasse électrique commune aux deux voies correspond au stator, aux cônes et aux rondelles.

stator

cône

laiton

céramiques

clinquants

Pour rang 9

Pour rang 15

rondelle

l1

l0l0l1

Figure III-13.Schémas de principe des solutions adoptées.

Les vis de précontrainte ne sont pas représentées ; les flèches indiquent les sens depolarisation dans les céramiques. L’utilisation d’un tournevis dynamométrique permet decontrôler le couple de serrage des vis. Sur un langevin seul, une expérience préliminaire surl’évolution de la permittivité diélectrique des céramiques a permis de montrer la linéaritéentre la précontrainte appliquée et le couple de serrage.



III.3.4 Expérimentations et comparaisons avec les éléments finis

Dans un premier temps, nous allons vérifier si les deux montages permettentd’améliorer les caractéristiques de la transduction électromécanique. Cela confirmera ouinfirmera une adaptation acoustique correcte entre les actionneurs longitudinaux et les stators.L’utilisation de la méthode des éléments finis (MEF) constitue un outil supplémentaire decompréhension du comportement vibratoire.

III.3.4.1 Structure avec rondelles pour le mode 15

Près de la fréquence calculée (89.5 kHz), une étude préliminaire par vibrométrieconfirme l’obtention du rang 15 à 87.2 kHz. La faible longueur d’onde de flexion (2 cm)implique de prendre 3 mesures par dents afin d’augmenter la résolution spatiale de la mesure.Le tableau III-3 récapitule les éléments de l’analogie électrique associés à cette déformationpour la voie d’alimentation présentant les meilleures caractéristiques.

fs (kHz) Co (nF) Cm (pF) Lm (H) Rm (Ω) Q k (%)Voie 1 87.2 4.267 34.3 0.097 162 329 9.2

Tableau III-3. Caractéristiques électriques de la résonance.

La fréquence de résonance expérimentale est donc proche de celle déduite (89.5kHz)précédemment. Malgré de bons coefficients de surtension et de couplage électromécanique,les amplitudes maximales de l’onde stationnaire restent relativement faibles et sont de l’ordrede 0.0026µm/Vrms. Il y a bien entraînement du rotor et inversement de son sens de rotationavec la phase d’alimentation mais le manque d’amplitude normale rend impossible toutetransmission de couple. L’obtention des déplacements doit être de l’ordre du micromètre.Cela exige des tensions d’alimentations d’environ 400Vrms soit un champ électrique de 130Vrms/mm à l’intérieur du matériau piézoélectrique. Pour de telles sollicitations, lescaractéristiques de la transduction se dégradent dues aux effets non linéaires et del’échauffement des céramiques.

Le montage ne restitue pas les déplacements souhaités mais il confirme une correcteadaptation des langevins (céramiques + cônes) avec le stator compte tenu des valeurs ducoefficient de couplage et de l’acuité mécanique.

III.3.4.2 Structure avec cônes laiton pour le mode 9

D’après les précédents calculs, le mode de rang 9 devrait se trouver aux alentours de32.2kHz.

L’analyse des différentes résonances issues des mesures de l’admittance conduit à :- f= 40.45 kHz, Q=50, k=16.9%- f= 36.95 kHz, Q=96, k=18.6%- f= 32.45 kHz, Q=180, k=13.7%

D’après les résultats de vibrométrie au niveau des dents, ces modes ne correspondent pas àcelui de rang 9.



Toujours au niveau des dents et autour de 21.4 kHz, la caractérisation vibratoire révèle ladéformation recherchée (figure III-14).

Ualim= 23 Vrms et fr=21377 Hz

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31

points de mesure (3/dents)

dé

pla

cem

en

ts (m

)P1 P2

P3

Figure III-14.Cartographie sur 60° au niveau des dents (mode 9).

Entre les langevins, il est intéressant de constater la bonne dynamique de déformation enflexion environ 0.035µm/Vrms. Aux positions des langevins alimentés (notées P1 et P2), lesdéplacements étant plus importants conduisent à 0.052µm/Vrms. La position P2 correspond àl’emplacement du langevin non alimenté de l’autre voie.Le tableau III-4 récapitule les grandeurs du schéma équivalent. Il apparaît un net déséquilibreentre les deux voies tant sur la capacité bloquée Co que sur les pertes mécaniques Rm.

fs (kHz) Co (nF) Cm (pF) Lm (H) Rm (Ω) Q k (%)Voie 1 21.41 2.06 41.62 1.328 415 430 14Voie 2 21.37 1.56 35.72 1.553 1344 155 15

Tableau III-4. Caractéristiques électriques des deux voies.

La différence de capacité bloquée (Co) peut être attribuée à une ou plusieurs céramiquesdéfectueuses d’une même voie d’alimentation.

Une autre étude en vibrométrie laser allant du rayon intérieur du stator au rayonextérieur montre que quelque soit la position angulaire où elle est effectuée, un déplacementnormal plus important est atteint sur la circonférence intérieure du stator (figure III-15).



Ualim=23 Vrms et Fr= 21377Hz

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 2 3 4 5 6 7 8 9

points de mesure

dé

pla

cem

en

t (m

icro

mè

tre

s)

intérieur

dentstator en duralumin

extérieur

positionlangevin

Figure III-15.Cartographie radiale.

Le lieu des faibles déplacements est défini sur un cercle localisé entre les dents et leslangevins. Dans cette configuration, deux principaux effets apparaissent néfastes :• Amplification du déplacement normal plus importante à l’intérieur qu’à l’extérieur del’anneau.• La structure « papillonne » de part et d’autre de la position des langevins ce qui necorrespond pas à la déformation modale de type (0,9).

La modélisation avec le logiciel Atila permet de confirmer ces comportements commel’illustre la figure III-16.

f=22.6kHz et k=5.3%

Figure III-16.Simulation par éléments finis (MEF).



Dans cette configuration, le redimensionnement des langevins aboutit à améliorer lescaractéristiques de la conversion électromécanique et le rapport du déplacement sur la tensiond’alimentation devient acceptable. Cependant, l’excitation en onde stationnaire révèle unedisparité spatiale des amplitudes maximales des déplacements. Au niveau des dents, leslangevins alimentés imposent leur déformation et paradoxalement ils semblent immobiles auxpoints de fixation du stator. Quoi qu’il en soit, la réponse modale du stator est shuntée par laréponse des actionneurs longitudinaux. L’onde progressive ne peut être que détérioréeconduisant à un mauvais entraînement du rotor.

III.3.5 Récapitulatif

L’influence de la bande passante des langevins par rapport à la fréquence du moderecherché du stator a été démontrée. Si nous considérons la déformation de rang 9 obtenue auniveau des dents (près de 21 kHz), nous observons effectivement que ce mode devient mieuxcouplé et surtendu si la réponse fréquentielle des actionneurs longitudinaux s’en rapproche(Cf. figure III-11). Le tableau III-5 récapitule ce constat.

Configurations Fs (kHz) k (%) QCônes dural 11mm 21.8 11 37Cônes laiton 15.75mm 21.4 14 430

Tableau III-5. Influence des cônes.

Le redimensionnement des langevins reste insuffisant pour optimiser les performancesdu moteur. Le principal critère limitatif rencontré reste le comportement vibratoire du statorqui ne réagit pas de façon modale selon (0,m). Il semble que le clampage des langevins sur lacirconférence moyenne de l’anneau soit néfaste.

III.4 Nouvelles structuresDans l’objectif d’obtenir un stator plus performant avec un meilleur comportement

vibratoire, nous avons étudié la faisabilité d’une structure de grand diamètre de type poutreannulaire. La diminution de la largeur de l’anneau pourrait ainsi éliminer les déformationsnon souhaitées obtenues sur les rayons extérieur et intérieur. La méthode des éléments finistrès adaptée à l’étude des actionneurs piézoélectriques est utilisée pour optimiser une tellestructure.

III.4.1 Choix des matériaux

Le choix des matériaux est primordial pour l’obtention de bonnes performances. Letableau III-6 synthétise la sélection retenue et liste les principales propriétés. Compte tenu del’important diamètre de la structure, une précontrainte centrale des langevins par un seulsystème vis-écrou ne paraît pas envisageable. Chaque langevin monté sur le stator seraprécontraint indépendamment et de façon identique au popel100.



Eléments Matériau Propriétés

Stator Duralumin- Souplesse en flexion- Propriétés tribologiques- facilité d’usinage

Cône laiton/ impédance acoustique élevée/ Dureté importante- facilité d’usinage

Matériau actif P189

- Céramiques commercialisées- Faibles pertes à haut niveau- Coefficient de couplage élevé- Effets non-linéaires faibles

Tige de précontrainte Acier- Résistance du filetage- Tiges commercialisées

Tableau III-6. Configuration retenue.

Un complément de commentaires s’impose concernant certaines de ces propriétés.• Duralumin :L’anodisation est le procédé industriel permettant de créer une couche d’alumine de 15µmd’épaisseur. Cette couche plus dure que l’aluminium confère alors des propriétéstribologiques intéressantes.• Laiton :Malgré, son impédance acoustique élevée qui limite la vitesse vibratoire longitudinale,l’important module d’Young évite des compressions parasites (effet de pompage) lors desdéformations longitudinales. Cette observation est déduite de simulations par éléments finismenées sur plusieurs matériaux possibles (bronze, dural, acier …).• P189 :Ces céramiques de type PZT appartenant à la famille des « dures » présentent de faibles pertes[44]. Leurs utilisations selon le mode longitudinal conduisent à de meilleurs coefficients decouplage électromécanique et de facteur de mérite. Pour rappel, ce dernier influe sur le facteurde force N. Toutefois, le comportement non linéaire limite les performances vibratoires [43]du stator et est à l’origine de la dérive des caractéristiques de sortie du moteur [45]. Pour lap189, ces effets non linéaires restent faibles en comparaison avec d’autres céramiques dures.Les caractéristiques de ce matériau figurent en annexe A.

III.4.2 POPEL95

III.4.2.1 Etude paramétrée

L’étude paramétrée s’effectue à l’aide du code d’éléments finis Atila. Le critère deconvergence est le facteur de couplage électromécanique optimum qui est calculé à partir desfréquences de résonance et d’antirésonance. Les variables ajustées successivement sont lahauteur des cônes et l’épaisseur du stator. Une étude préalable sur la hauteur des dents amontré une faible influence sur le coefficient de couplage électromécanique. Dans lemontage, les têtes de vis imposent cependant une hauteur minimale de dents.La structure étant symétrique (double stator), la base des céramiques constitue donc un plannodal et de symétrie pour la modélisation. Dans cette configuration le mode 9 s’obtient avecôλ de flexion entre deux des douze langevins comme le montre la figure III-17.



Pour la suite, la configuration retenue et réalisée correspond à :

- Hauteur cône laiton : 16 mm- Epaisseur stator : 5 mm- Largeur stator : 8 mm- Diamètre moyen du stator : 95 mm- Hauteur dents : 5.5 mm- Nombre de céramiques/langevin : 4 de hauteur 3.3 mm

Fr = 34.14 kHz et k=23.4%

Figure III-17. Simulation par MEF du POPEL95.Hauteur dents : 5.5mmEpaisseur stator : 5mm

III.4.2.2 Comparaison modélisation/expérimentation

L’analyse de l’admittance (bas niveau) conduit à une série de résonances comme lemontre la figure III-18.



1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 104

10-5

10-4

10-3

10-2

fré quence (Hz)

ad

mit

tan

ce

(S)

Figure III-18. Module de l’admittance du Popel95.

La vibrométrie laser confirme les ondes stationnaires de flexion à 35.2 kHz pour lerang 9 et 47.5 kHz pour le rang 15. Le tableau suivant (III-7) récapitule et compare lesrésultats simulés et expérimentaux.

Rang Grandeurs MEF Expérimental Erreur (%)Fr (kHz) 34.14 35.19 3.0

9k (%) 23.38 22.46 3.9Fr (kHz) 44.83 47.5 5.6

15k (%) 18.28 14.70 19.6

Tableau III-7. Comparaison des résultats expérimentaux et MEF.

La différence peut provenir des valeurs utilisées des coefficients par le coded’éléments finis dans le cas d’un matériau piézoélectrique (Cf. Annexe A) non précontraint.L’analogie par schéma électrique équivalent conduit au tableau III-8.

Rang fs (kHz) Co (nF) Cm (pF) Lm (H) Rm (Ω) Q k (%)

9 35.2 1.285 68.3 0.3 155 427 22.515 47.5 1.712 37.6 0.3 253 352 14.7

Tableau III-8. Dimensionnement des composants aux résonances.

Le rapport du déplacement sur la tension d’alimentation vaut 0.01 µm/Vrms pour lemode 9. Ceci est prometteur pour l’obtention des déplacements nécessaires avec notre chaîned’alimentation. Nous intégrerons les deux rotors pour une caractérisation en fonctionnementmoteur.

Remarque :Les langevins précontraints avec un couple de 2.5N.m impliquent une variation de lapermittivité diélectrique de 23%. Ceci correspond alors à une précontrainte statique de433bars [42] et correspond à l’optimum du facteur de mérite de la céramique P189.



III.4.2.3 Caractérisation mécanique

Alimenté sous 120Vrms, la caractéristique vitesse-couple (figure III-19) du popel95 aété établie.

0

20

40

60

80

100

120

0,13 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 0,27 0,29 0,31 0,33

Couple (N.m)

Vite

sse

de r

otat

ion

(tr/

min

)

Figure III-19. POPEl95 : caractéristique de sortie.

Identiquement au cas du popel100, les performances se trouvent limitées par lesmouvements dissociés des deux rotors. Ces derniers tendent soit à venir se bloquer sur lestator soit à se desserrer. Au-delà d’un couple de charge de 0.3 N.m, les rotors se bloquentd’où la nécessité de pouvoir utiliser de plus fortes tensions d’alimentation pour espérer demeilleurs résultats. La faible puissance mécanique au banc moteur ne dépassant pas 2 Wattspour un rendement global inférieur à 2.5% confirme la difficulté à transmettre du couplemalgré le potentiel de cette structure.

III.4.3 Transformation en monorotor : monopopel95

Afin d’éliminer le problème de transmission dû aux mouvements des rotors, nousorientons l’étude vers une structure monorotor (∅=95mm) que nous désignons parmonopopel95. Dans cette partie, nous conservons les cônes laiton et le stator dural issus dupopel95. La configuration a été conçue pour avoir un plan nodal au niveau de l’électrodecentrale du langevin et un coefficient de couplage électromécanique optimal. Le passage enmonostructure va bouleverser la localisation de ce plan nodal et les caractéristiquesélectromécaniques.

III.4.3.1 Contremasse massive

Une première contremasse massive en laiton de forme cylindrique (∅ 12cm, hauteur =4cm) est testée. Les mêmes démarches de caractérisation que précédemment sont entrepriseset permettent de constater une onde stationnaire dégradée (figure III-20) avec une faibledynamique (0.009 µm/Vrms).



Ualim=31Vrms F=27.4kHz

0

0,05

0,1

0 ,15

0,2

0 ,25

0,3

0 ,35

0 10 20 30 40 50 60

posit ion angulaire (°)

dé

pla

cem

en

t (m

icro

m)

Figure III-20. Cartographie monopopel95.

Pour le mode 9, la fréquence de résonance a baissé (27.4 kHz), de même que le coefficientd’acuité mécanique (Q=190) ainsi que le coefficient de couplage électromécanique (k=12.8%)par rapport à la configuration double stator. La diminution de ce dernier s’explique par laréduction du nombre de céramiques par langevins par rapport aux précédentes configurations.Cette réduction est nécessaire pour ramener le plan nodal à l’interfacecéramiques/contremasse. La figure III-21 illustre la nouvelle connectique utilisée.

électrode centrale

contremasse

céramiques

stator

dents

cônes

tête de vis

alimentation

Figure III-21. Nouvelle configuration pour l’alimentation des céramiques.

L’électrode centrale devient le point chaud, la masse électrique se trouve sur la contremasse,et sur le cône via la tige de précontrainte et le stator.

Une comparaison entre les résultats expérimentaux et simulés confirme la baisseobservée de la fréquence et du facteur de couplage.



Grandeur MEF (Atila) ExpérimentalFr (kHz) 29.01 27.4k (%) 8.8 12.8

Tableau III-9. Comparaison des résultats de la MEF et expérimentaux.

Afin de simplifier la modélisation, le maillage du stator complet a été rendu linéaire. Il neprend pas en compte la forme circulaire du stator. Le calcul de la fréquence de résonance etd’antirésonance peut alors diverger et impliquer une différence entre coefficient de couplagemesuré et calculé.

Il est évident qu’une onde stationnaire mal établie ne peut fournir une onde progressivesans taux d’onde stationnaire ce qui est préjudiciable à un bon entraînement du rotor. Nouspensons que la forme de la contremasse est inadaptée et contribue à la mauvaise flexion dustator. Une étude paramétrée doit permettre de redéfinir uniquement la contremasse pourl’adapter au stator existant.

III.4.3.2 Optimisation d’une contremasse

Le principal critère de convergence de la MEF reste un coefficient de couplageoptimum. Dans la contremasse, la réalisation d’encoche entre les langevins permetd’augmenter ce coefficient. La figure III-22 illustre la simulation du coefficient de couplageen fonction de la profondeur de l’encoche pour une contremasse de hauteur 4cm.

02468

10

1214161820

0 1 2 3 4

Profondeur encoche (cm)

Co

up

lag

e (

%)

Figure III-22. Coefficient de couplage en fonction de la profondeur d’encoche (MEF).

D’autres modélisations ont permis de vérifier la faible influence de la hauteur de lacontremasse sur les valeurs du coefficient de couplage. La solution retenue consiste à unecontremasse de hauteur 30mm (λ/4) ayant des encoches de 20mm de profondeur. Les douzelangevins se composent à une extrémité d’un cône pour l’amplification, le découplage (liaisonrotule) et à l’autre extrémité d’une contremasse. La figure III-23 réalisée avec le logicielANSYS représente la structure obtenue que nous désignons par monopopel95.



Figure III-23. Représentation du monopopel95 finalisé (ANSYS).

Ce stator se rapproche de celui issu d’un brevet [46] où les contremasses de chaque langevinsont totalement désolidarisées. La structure sur son bâti avec l’électrode d’alimentation estreprésentée sur la figure III-24.

Figure III-24. Prototype monopopel95.

D’après la modélisation sur le mode 9 :- fr = 31.88 kHz- k = 18.2%- G=2.53 : coefficient d’amplification des vitesses normales entre la base et le sommet

du cône.

Cependant le plan nodal ne se situe pas exactement à l’interface contremasse etcéramiques. D’après la MEF (figure III-25), il se situe à une profondeur de 5 mm dans lacontremasse.



MONOPOPEL95 contremasse avec encoche

-6,0E-05

-5,0E-05

-4,0E-05

-3,0E-05

-2,0E-05

-1,0E-05

0,0E+00

1,0E-05

2,0E-05

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30

P osit ion se lon (Oz) (cm)contremasse cône

Figure III-25. Profil simulé des vitesses normales (MEF).

La figure III-25 montre que la surface du stator bénéficie de vitesses normales 5 fois plusimportantes que la contremasse. Identiquement à un langevin type Tonpilz, cet actionneurcomprend une face pour l’amplification nécessaire à une transduction mécano-mécanique etune face d’atténuation.

Par rapport à la structure avec contremasse massive (Cf. § III.4.3.1), l’expérimentation et lasimulation (tableau III-10) rendent compte d’une augmentation de la fréquence de résonance,du facteur de couplage. La difficulté du montage de la structure est de parvenir à l’obtentionde deux voies aux caractéristiques proches. Les différents coefficients d’acuité mécaniqueobtenus révèlent ainsi un déséquilibre des voies.

Fr (kHz) k (%) QMEF 31.88 18.2 #Voie 1 30.86 19.3 282Voie 2 30.75 14.7 137

Tableau III-10. Comparaison des résultats expérimentaux et MEF.

Le diagramme d’admittance ( )Y f révèle la proximité de nombreuses résonances. La

recherche de la résonance vibratoire (mécanique) sur une voie permet d’établir deuxrésonances proches : 29.6 kHz et 30.4 kHz. Leur proximité est donc préjudiciable pourl’établissement d’une onde stationnaire non perturbée par leur réponse vibratoire. Lacartographie autour de 29.6 kHz montre une amplitude de flexion perturbée (figure III-26)pour celle qui semble bien être le rang 9.



0 20 40 60 80 100 120 140 1600

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

position de mesure

ampl

itude

(m

icro

mètr

es)

Figure III-26. Cartographie sur 120° du monopopel95 (mode 9).

III.4.3.3 Influence du nombre de langevins (twum95)

De cette structure peu prometteuse, nous nous sommes résolus à étudier l’influence dunombre d’actionneurs longitudinaux. Il est possible théoriquement d’avoir 9 longueursd’ondes de flexion à partir de 4 langevins montés à 90° l’un de l’autre (figure III-27). Pourcela, nous avons évalué les performances des douze langevins précédents. Par action sur leurprécontrainte, nous avons fini par chercher la combinaison la plus prometteuse des quatreactionneurs longitudinaux à 90° l’un de l’autre.

voie1voie2

9 longueurs d'onde sur 360°

Figure III-27. Nouvelle configuration.

L’observation du diagramme d’admittance ( )Y f montre un déséquilibre des deux

voies rattrapé partiellement par une nouvelle action sur les quatre langevins. Il apparaîtnettement à l’analyseur l’influence d’un actionneur longitudinal sur ses voisins via l’anneaustatorique qui semble beaucoup trop souple. Les caractéristiques électriques équivalentes sontrécapitulées dans le tableau III-11.



fs (kHz) Co (nF) Cm (pF) Lm (H) Rm (Ω) Q k (%)Voie 1 28.70 1.397 16.51 1.863 955 352 7.5Voie 2 28.40 1.450 20.82 1.507 1270 212 9.0

Tableau III-11 Caractéristiques électriques des deux voies

Sur la voie 2 subsiste un dédoublement de la résonance. Celle-ci dégrade l’onde stationnaireobtenue par l’alimentation de la voie 2. Une dynamique de 0.013µm/Vrms paraîtremarquable.La diminution de nombre d’actionneurs longitudinaux permet au stator de « vibrer » de façonbeaucoup plus libre donc de mieux répondre à ses propres déformées modales. La vibrométrielaser confirme cette observation.

Cependant, les cônes remplissent mal la fonction de liaison rotule comme le montre ladéformée par élément finis sur la figure III-28. Les langevins non alimentés fléchissent d’oùune dégradation des performances.

Basculement des dents

Flexiondu cône

Figure III-28. Déformée de rang 9 du twum95 (MEF-ANSYS).

Pour appliquer une précontrainte sur la céramique, la tige passe à l’intérieur du cône etimplique donc une section finale de celui-ci beaucoup trop importante (∅ 7mm). Ceci nefavorise pas une liaison rotule correcte. La conception d’un stator de grand diamètre doit êtreenvisagée autrement pour que coexiste une composante de compression statique sur lescéramiques et un découplage des mouvements longitudinaux des langevins par rapport à laflexion du stator.Il en est de même pour les dents où leurs basculements contribuent à la création d’unecomposante radiale et à la dégradation de la forme de l’onde stationnaire. Une simple analysemodale suffit pour constater une onde stationnaire dégradée (figure III-29), sur les points de lapartie inférieure de l’anneau statorique.



Figure III-29. Déplacement normal (mode9) obtenu par MEF (ANSYS).



III.5 ConclusionLa méthode des éléments finis (MEF) s’avère un puissant outil de modélisation

d’actionneurs piézoélectriques complexes. Ainsi, les résultats des essais ont été plus ou moinsrapprochés avec ceux de la simulation par MEF. De même, de nouvelles structures ont pu êtreoptimisées par cette méthode numérique. L’objectif étant de concevoir une structure moteur àfort couple (grand diamètre), les études menées ont permis d’élaborer les commentaires quisuivent.

L’obtention d’un fort coefficient de surtension et de couplage paraît nécessaire pourl’optimisation d’un piézomoteur mais cela reste insuffisant. Le comportement vibratoire parl’étude des déformées permet de prévoir le potentiel en fonctionnement moteur. L’utilisationde grand diamètre nous oblige à utiliser des précontraintes pour chacun des langevins etconduit à deux familles de structures distinctes par leur forme de stator.La première possède des points de fixation des actionneurs longitudinaux en dehors de la zoned’appui du rotor (popel100), ce qui conduit à des effets de papillonnement de l’anneau et àl’impossibilité d’obtenir un mode propre de type (0,m). A cela s’ajoute la déformation forcéeissue des réponses vibratoires des langevins. L’onde progressive ne peut être qu’altérée et unmauvais entraînement du rotor paraît inévitable.Pour la seconde famille (popel95, monopopel95, twum95), les actionneurs longitudinaux sontpositionnés sur la même circonférence que les dents. En plus des déséquilibres sur lescaractéristiques électromécaniques des langevins, la simulation et l’expérimentation montrentune déformation du stator avec une répartition de l’amplitude crête non constante. Ceciconduit à une onde progressive mal établie.

En définitive, la solution consiste à concevoir une structure de grand diamètreintégrant un dispositif de précontrainte des céramiques tout en assurant un bon découplage desmouvements vibratoires des différents éléments et un stator imposant ses déformationsmodales. Pour répondre à ces exigences, une autre architecture doit être alors considérée.Suite aux études bibliographiques un stator type Butterfly pourrait être combiné avec deslangevins comprenant des bâtonnets piézoélectriques collés à des cônes.

Les effets non linéaires et les différentes pertes dus au matériau actif constituentd’autres limites sur les performances des piézomoteurs. Dans la partie suivante, nous allonsles évaluer pour connaître leurs impacts sur la transduction électromécanique.

Chapitre III : Nouvelles architectures de piézomoteurs


38 EUREKA. Piezoactive motors for electric components in aircraft. [On-line]. Eureka,1998. Eureka project E!1467 Pamela-1. [16.07.01]. Available from internet :<URL:http://www3.eureka.be/Home/>.

39 BUCHAILLOT L., BONNAMY A., LEPAGE F. Integration d’un moteur piézo-électrique à onde progressive dans un équipement aéronautique. 1er colloque sur lesMatériaux Electroactifs et leurs Applications en Génie Electrique. Toulouse : ENSEEIHT,1998. p 131-137.

40 RAJKUMAR R., NOGAI T. A New Method of Improving the Torque of a TravellingWave Ultrasonic Motor. International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics,Atlanta, September 19-23 1999. IEEE/ASME, 1999. p 109-113.

41 FERREIRA A. Conception d'un système de mesure automatisé pour la caractérisationexpérimentale des moteurs piézo-électriques. Meas. Sci. Technol., 1996, Vol. 7, p 666-679.

42 AUDIGIER D. Caractérisation de nouvelles céramiques de puissance du type PZT,fluorées. Thèse Sci. : Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, 1996. 93 p.

43 AURELLE N. Non-linéarités dans les céramiques piézoélectriques. Application auxtransduceurs acoustiques de puissance. Thèse Sci. : Institut National des Sciences Appliquéesde Lyon, 1996. 160 p.

44 ZUG Benoît. Etudes des pertes d’origine piézoélectrique dans les matériauxpiézoélectriques et les transduceurs ultrasonores. Thèse Doct. Ing. : Institut National desSciences Appliquées de Lyon, 1994. 160 p.

45 PETIT L., RIZET N., BRIOT R., GONNARD P. Frequency behaviour and speedcontrol of piezomotors. Sensors and Actuators A, 2000, Vol.80, n°1, p 45-52.

46 IMRA EUROPE SA. Stator de moteur piézoélectrique et moteur piézoélectrique munid’un tel stator. Brevet FR2773421. 1999-07-09.

CHAPITRE IV : PERTES ET NON LINEARITES

Chapitre IV : PERTES ET NONLINEARITES


IV.1 Synthèse bibliographiqueDans le chapitre II, nous avons établi que la conversion électromécanique est responsable

d’un certain nombre de pertes [47]. A celles-ci s’ajoutent des effets non linéaires néfastes à cettetransduction d’énergie provenant du mouvement des murs de domaines [48] dans lescéramiques ferroélectriques. Dans ce qui suit, nous présentons les pertes et les différents effetsliés au matériau piézoélectrique.

IV.1.1 Pertes diélectriques

Le comportement d’un actionneur piézoélectrique se représente par un schéma électriqueéquivalent aux alentours de sa résonance. La branche du primaire se compose d’une capacitébloquée Co en parallèle avec une résistance Ro. Cette dernière représente les pertes diélectriques.Elles sont souvent représentées au travers de l’angle de pertes diélectriques e/ .

e

o o

1tan/

R C &(IV.1)

La puissance dissipée par unité de volume de matériau actif s’écrit :2 T

d 33 eP =&( 0 WDQ/ (IV.2)E : représente le champ électrique dans le matériau actif.

La puissance admet une expression simple mais les coefficients intrinsèques du matériaupiézoélectrique dépendent implicitement d’autres grandeurs physiques. Par exemple, lapermittivité augmente avec la température, l’angle de pertes diélectriques évolue avec lapulsation d’excitation (ou fréquence) ainsi qu’avec la température et le champ électrique [47]comme le montre respectivement les figures IV-1 et IV-2.

Figure IV-1. Angle de pertes en fonction de la température (1V,1kHz) [47].

WSM, NFM : céramiques LGEF.

X5105 : céramiques PONS.



Figure IV-2. Angle de pertes en fonction de du champ appliqué (1kHz) [47].

BSM, WSM, NFM : céramiques LGEF.


Le comportement diélectrique non linéaire des céramiques se décrit fidèlement enconsidérant un modèle [49] basé sur la combinaison de deux autres : le développement en sériede puissance et la loi de Rayleigh. Pour des céramiques douces ou dures, il devient possible deconnaître l’évolution de la permittivité (ε33) en fonction du champ électrique en dehors de larésonance.

Ainsi, la puissance diélectrique augmente avec le champ électrique et la température. Lesprécédentes figures démontrent bien que la céramique de type P189 (Quartz et Silice) présentede faibles pertes. Elle convient parfaitement pour des applications de puissances comme lesmoteurs ultrasonores.

IV.1.2 Pertes mécaniques

Les pertes mécaniques sont représentées au travers de la résistance Rm du schémaélectrique équivalent (Cf. § I.6.2). Dans le cas d’une céramique, cette résistance représente lesfrottements internes dans le matériau actif dus aux déformations. Pour un actionneurpiézoélectrique comme les piézomoteurs, cette résistance englobe en plus les pertes pardéformation des autres éléments du stator. En considérant l’analogie électrique, la puissancedissipée vaut :

2

m m mP = R I (IV.3)En se ramenant à des grandeurs mécaniques, nous pouvons écrire :

2•

m mP = ! 8 (IV.4)La figure IV-3 montre que la céramique P189 présente de faibles pertes mécaniques [50].



Figure IV-3. Amortissement ou résistivité mécanique [50].

BSM, WSM, NFM : céramiques LGEF.


Comme pour un diélectrique, nous définissons l’angle de pertes mécaniques m/ qui est :

m

1tan/

Q(IV.5)

L’étude portera principalement sur ces pertes responsables majoritairement du mauvaisrendement dans la conversion électromécanique dans les piézomoteurs.

IV.1.3 Effets thermiques

L’excitation à la résonance d’une céramique piézoélectrique implique une élévation detempérature [51] dans les régions de fortes contraintes locales. Le comportement thermiqued’une céramique alimentée en régime permanent à sa résonance ayant fait l’objet d’étude [52],nous citerons seulement les effets néfastes liés à cette élévation thermique pour un piézomoteur.L’échauffement au sein du matériau provoque une élévation des capacités bloquée etmotionnelle ce qui conduit à une baisse des fréquences de résonance et d’antirésonance. Lafigure IV-4 montre l’influence de la température sur un stator Shinsei USR60 [45].

20 40 60 8080

100

120

140

160

8

10

12

14

16

C (pF) C (nF)

20 40 60 8038

38.5

39

39.5

kHz

f s

fp

Température (°C)

o m

Figure IV-4. Effets thermiques sur les capacités et les fréquences [45].



Cette baisse de la fréquence de résonance se faisant progressivement avec l’élévation detempérature, une dérive des performances de sortie (vitesse vibratoire, vitesse de rotation…)paraît inévitable au cours du temps de fonctionnement. La figure IV-5 illustre cette dérivethermique sur la vitesse vibratoire.

fréquencef

dérivethermique

U(t)

U(t+ t)

t+ t∆ t

∆

Figure IV-5. Evolution de la vitesse vibratoire.

La variation de la capacité bloquée (Co) avec la température peut être employée dans undispositif diviseur capacitif [53] pour connaître la température du stator. Une commandeélectrique d’asservissement permet ainsi de prévenir les phénomènes de surcharge et de défautsde la céramique.

IV.1.4 Effets non linéaires

Les effets non linéaires se décrivent par l’évolution non linéaire de certains coefficientspiézoélectriques avec le niveau de sollicitation (mécanique ou électrique). Concernant lecomportement macroscopique, nous retiendrons les principales conséquences décrites ci-après.

IV.1.4.1 Hystérésis

La fréquence de résonance série en balayage décroissant est plus basse que celle obtenueen balayage croissant comme l’illustre la figure IV-6. L’allure de la courbe de l’admittance et dela vitesse vibratoire présente alors un effet d’hystérésis.

Les actionneurs piézoélectriques sont majoritairement pilotés près de leur fréquence derésonance. Le phénomène d’hystérésis entraîne un changement des caractéristiques dutransducteur ce qui implique une difficulté pour l’asservissement par exemple en vitessevibratoire maximale.



38 39 40 41 42 430

1

2

3

4

5

6

f ( kHz )

Y ( mS )

fs1 fs2

Figure IV-6. Effet d’hystérésis sur l’admittance USR60.

IV.1.4.2 Phénomène de saut

Pour des actionneurs piézoélectriques à faibles pertes (fort coefficient Q), la courbe de lavitesse vibratoire ne devient plus symétrique par rapport à la fréquence de résonance série si leniveau d’excitation augmente. En effet, pour un balayage fréquence croissante ou décroissante,un phénomène de saut est obtenu sur la vitesse vibratoire ainsi que sur l’admittance. La figureIV-7 montre les comportements en fréquence décroissante du déplacement d’un point du statoret de l’admittance pour le twum95 (monopopel95 avec 4 langevins).

2.8 2.85 2.9 2.95

x 104

0

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

fréquence (Hz)

module

admitta

nce

(mS

)

2.8 2.85 2.9 2.95

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

fréquence (Hz)

vit

esse

(m/s

)

V1

V2

V2

V3 = 45V

V2 = 15V

V1 = 1V

V3 = 45V

V2 = 15V

V1 = 1V

Figure IV-7. Comportement suivant le niveau d’excitation pour twum95.

La céramique se comporte comme un ressort à rigidité mollissante. En effet, les travaux de N.Aurelle [43 ont montré qu’un actionneur longitudinal comme le langevin se décrit comme unoscillateur mécanique à rigidité non linéaire. Le principe fondamental de la dynamique appliquéà cet oscillateur conduit à l’équation de Duffing. Un tel actionneur piézoélectrique possède alorsdes régions d’instabilité impliquant le phénomène de saut. L’élévation du niveau vibratoirecontribue à amplifier ce phénomène non linéaire.



IV.2 Etude isotherme du comportementnon linéaireAfin de dissocier les effets de la température et du niveau d’excitation sur les coefficients

du matériau piézoélectriques, sur la puissance dissipée et sur le facteur de force, des travaux[54], [55] ont conduit à utiliser des excitations harmoniques avec un nombre de cycle limités(burst). Dans cette même optique afin de s’affranchir de la dérive thermique, une excitationélectrique n’est appliquée que sur une durée limitée.

IV.2.1 Introduction

La dérive thermique implique une baisse des performances du moteur ultrasonorealimenté en régime permanent. Un dispositif de commande sur les moteurs Shinsei permet deconserver les performances en sortie. Par contre, l’élévation de la tension d’alimentationimplique aussi une dérive de la fréquence de résonance vers de plus faibles valeurs et unedégradation de l’acuité mécanique. Il est nécessaire de clarifier ce comportement sur despiézomoteurs afin d’évaluer les limites de leurs performances et leurs pertes.La méthode consiste à mesurer la variation de l’impédance en fonction du niveau de sollicitationélectrique. Cette variation se caractérise par l’ajout d’un terme non linéaire et complexe [56] àl’impédance mesurée à faible niveau.

IV.2.2 Dispositif expérimental

Pour accéder à la partie réelle et imaginaire de l’impédance, nous pouvons utiliser soit latechnique de mesure par intermodulation [57] soit mesurer en fréquence décroissante lemaximum du module de l’admittance. Un temps de balayage suffisamment court évitel’échauffement du matériau actif et donc la dérive de ses propriétés intrinsèques. C’est par cettedernière méthode que nous allons opérer par la suite. Le dispositif expérimental mis en œuvreest représenté sur la figure IV-8.



générateurV I U

.

analyseur d'impédance

amplificateur sondes

moteur

piézoélectrique

démodulateur

vibromètre

laser

calibre:125mm/S/V

tension

courant

vitesse

Figure IV-8. Dispositif de mesure.

IV.2.3 Expérimentation

IV.2.3.1 Préambule

Les mesures [58] sont effectuées sur différentes structures de moteurs :- Popel45 : présenté au § II.2.1.4, ce piézomoteur est une structure optimisée aux

performances supérieures aux structures commerciales de même diamètre.- Twum95 : il s’agit de la structure monopopel95 (Cf.§ III.4.3.3), dont la configuration se

compose de 4 langevins pour l’obtention du mode9 de flexion. Le fonctionnement de cemoteur n’est pas satisfaisant (difficulté à transmettre un couple).

La comparaison des deux stators peut apporter des explications sur le dysfonctionnement de ladeuxième structure. L’expérimentation se faisant en onde stationnaire, des études à vide et sousplusieurs précontraintes rotor/stator sont menées.

IV.2.3.2 Grandeurs mesurées et accessibles

Il est nécessaire de mesurer les grandeurs suivantes :- s0f : fréquence de résonance série à bas niveau (1Volt).

- m0L : inductance motionnelle à bas niveau (1Volt).

- fm (on vérifie s mf f≅ )- U et I : tension et courant d’alimentation à la fréquence de résonance.- ϕ : phase de l’impédance.



-•

U : vitesse vibratoire.Les grandeurs accessibles sont alors le courant motionnel, la résistance motionnelle et l’angle depertes mécaniques, la dérive en fréquence et le facteur de force dont les expressions respectivessont :

mI = Icosϕ (IV.6)

m

m

UR =

I(IV.7)

mm

s m0

Rtan/

2I /(IV.8)

s s s0

s0 s0

ûI I I=

f f(IV.9)

m•

IN=

U(IV.10)

Certains actionneurs piézoélectriques ou céramiques présentent de forts coefficients d’acuité etde couplage électromécanique. Nous pouvons alors considérer que leur courant d’excitationcomme étant égal à leur courant motionnel. En effet, mI I≅ i-e l’angle ϕ est proche de zéro à larésonance série. La capacité bloquée Co est alors parcourue par un courant négligeable.

IV.2.3.3 Résultats et discussions

a) Facteur de force

La figure IV-9 montre l’évolution du facteur de force (N) à vide en fonction du niveauvibratoire pour le popel45 et twum95.

0 0.1 0.2 0.3 0.4vitesse (m/s)

voie2 twum, Im (mA)

voie1 twum, Im (mA)

popel, Im (mA)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

fact

eur de forc

e (N

/V)

twum95 (voie 1)

twum95 (voie 2)

popel45

0 30 60 85 115

0

0 16 20.5

19 37 57 75

Figure IV-9. Facteur de force pour twum95 et popel45.



Il apparaît nettement un facteur de force plus faible avec une rapide dégradation sur unevoie dans le cas du twum95. La transmission de force va être plus limitée par rapport aupopel45. De plus, le domaine des vitesses vibratoires étant limité pour une voie (voie2), lesperformances en moteur de la structure twum95 sont donc compromises. La mesure sur la voie2 du twum95 s’effectue jusqu’à un champ électrique de 40V/mm alors que sur la voie 1 jusqu’à52V/mm. Une autre mesure en un autre point du stator confirme cette dégradation du facteur deforce. Elle n’est pas liée au champ électrique vis à vis du matériau piézoélectrique. L’origineprovient de la structure elle-même et de la difficulté à obtenir deux voies équilibrées lors dumontage. En effet, il a été constaté à l’analyseur d’admittance, la forte influence de laprécontrainte des langevins d’une voie sur les performances de l’autre voie. Paradoxalement, lavoie 2 du twum présente à bas niveau (1 volt) des caractéristiques meilleures (k= 13.7% etQ=490) que la voie 1 (k= 12.9% et Q= 325). L’étude sur la voie 2 va être poursuivie en parallèleavec celle du popel45 pour clarifier l’évolution de certains paramètres en fonction du niveau desollicitation.

Cette disparité entre les deux voies du twum95 est à l’origine de performances médiocresdu moteur, en particulier de la difficulté d’entraînement du rotor lors de vitesses vibratoiresmodérées à élevées.

b) Fréquence de résonance

Les figures IV-10 et IV-11 représentent la dérive de la fréquence de résonance enfonction du carré du courant motionnel pour le popel45 et le twum95 respectivement. Pour lesdeux stators chargés ou non du rotor, nous distinguons deux zones suivant les valeurs del’intensité motionnelle.

La 1ère zone, celle des faibles intensités motionnelles subit l’influence de la charge(précontrainte rotor/stator). La 2ème zone se caractérise par une quasi-linéarité de la fréquence derésonance en fonction du carré du courant motionnel.

0 0.005 0.01 0.015 0.02

Im 2

42000

42250

42500

42750

43000

43250

43500

fs (

Hz)

rotor charge2

rotor charge1

sans rotor

(A²)

Figure IV-10. Dérive en fréquence popel45.



0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005

Im2

28700

28800

28900

29000

29100

29200

rotor charge2

rotor charge1

sans rotor

fs (Hz)

(A²)

Figure IV-11. Dérive en fréquence twum95.

Ainsi, pour une intensité faible et constante, la fréquence de résonance augmente avec lacontrainte rotor-stator. Plusieurs faits se produisent :

1- L’ajout du rotor se traduit par une masse ajoutée. En terme de circuit équivalent,l’inductance motionnelle équivalente de la voie augmente, diminuant ainsi la fréquencede résonance. Ce phénomène est opposé à celui que l’on observe.2- Le contact du rotor peut avoir un effet de rigidification de la structure auquel cas lafréquence du mode de flexion du stator augmente. Cela revient à diminuer la capacitémotionnelle équivalente de la voie.

A fortiori l’effet n°1 n’est pas prépondérant, la dérive de la fréquence est attribuée à lacontrainte qui se répercute sur la rigidité de l’ensemble rotor+stator.

Sashida T. et Kenjo T. [19] décrivent l’effet du rotor sur le stator en onde stationnaire par lecircuit équivalent présenté sur la figure IV-12. On note que :

CK : représente l’élasticité ramenée par le rotor.LK : représente la masse dynamique ajoutée.Ep : représente la précontrainte rotor-stator sous la forme d’une force électromotrice.

stator rotor

Co CKRo

Rm C Lm m LK

Ep

Figure IV-12. Circuit équivalent stator avec rotor en onde 19].

Pour des intensités plus importantes (2ème zone), les courbes sont quasi-linéaires. Dans lecas du popel45, les fréquences de résonance ne dépendent plus de la charge mais du courantmotionnel ce qui n’est pas le cas pour le twum95. D’une manière générale, la baisse de la



fréquence provient de l’augmentation de la compliance (E

33s ) du matériau actif [59] avec leniveau de sollicitation.

Pour le twum95, la condition de charge intermédiaire (charge 1) conduit à uncomportement particulier qui a été vérifié et confirmé par plusieurs mesures. Le domainevibratoire étant limité, le courant motionnel maximum atteint reste faible. Nous notons que lachute du facteur de force commence pour des vitesses vibratoires de 0.1m/s (Cf. figure IV-9) cequi correspond à un courant motionnel carré de l’ordre de 0.0003 A². Or c’est à partir de cettevaleur que la fréquence de résonance n’est plus linéaire avec le carré du courant. Au-delà d’uncertain niveau de sollicitation, un effet autre que celui non linéaire du matériau actif intervient.

Remarque :Dans le cas du popel45, des champs électriques à la fréquence de résonance de 21 à 25 V/mmsont atteints contre 6 à 16V/mm pour le twum95.

c) Pertes mécaniques

Les figures IV-13 et IV-14 représentent la résistance motionnelle en fonction du carré ducourant motionnel pour le popel45 et le twum95 respectivement.

0 0.005 0.01 0.015 0.02

Im2

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

Rm

rotor charge2

rotor charge1

sans rotor

(A²)

(Ω)

Figure IV-13. Résistance motionnelle popel45.

Im2 (A²)

R

rotor charge2

rotor charge1

sans rotor

m(Ω)

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.00050

1000

2000

3000

4000

5000

Figure IV-14. Résistance motionnelle twum95.



A partir de la figure IV-14, il semble difficile de prévoir l’évolution de Rm avec Im et lacharge. Ceci peut être attribué à un mauvais contact rotor/stator dû à la mauvaise coplanarité dela piste du stator. Une précontrainte plus importante compense ce défaut et assure une zone decontact correspondant à toute l’interface rotor/stator. A vide ou à forte contrainte, Rm évolue defaçon identique avec une résistance d’offset ramenée par cette force de pression rotor/stator.

A bas niveau, le circuit équivalent déterminé par l’analyseur d’impédance confirme cetteélévation de résistance motionnelle avec l’augmentation de la contrainte rotor-stator.

L’accroissement brutal des pertes motionnelles commencerait aux valeurs des intensitéscorrespondant à la chute du facteur de force. Deux modèles expliqueraient cette élévation depertes motionnelles :

1- D’après la figure I-7, il a été établi que 2

mR = R N . Ainsi la diminution du facteur deforce favorise l’augmentation des pertes Rm.

2-Umeda M. et al introduisent un modèle montrant que le circuit équivalent électriqued’un actionneur piézoélectrique admet une résistance de facteur de force [60] notée RN. Lafigure IV-15 illustre ce circuit.

V R Coo

RN

C =C.N

L =L/N

R =R/N

m

m

m

2

2

2

Figure IV-15. Circuit équivalent selon Umeda et al [60].

Umeda et al présentent [61] des résistances diélectrique et motionnelle constantes et uneimportante augmentation de la résistance du facteur de force avec le niveau vibratoire. Nosmesures sont effectuées à la résonance série et la résistance motionnelle Rm regroupe lesrésistances Rm+RN du précédent modèle.Ce même modèle est approfondi [62] en substituant à la résistance RN, une résistance r en sérieavec une réactance X. La validation à la résonance série d’un mode de céramique et horsrésonance décrit simultanément les comportements non linéaires dus au champ électrique et auxcontraintes mécaniques.

Pour le popel45, quelle que soit la charge, les courbes présentent la même allure etdeviennent asymptotiques pour de forts courants motionnels. Contrairement au twum95, larésistance à bas niveau (<1volt) ne subit que très faiblement l’influence de la contrainte rotor-stator. C’est pourquoi les différentes courbes correspondant aux différents cas de charge partentpratiquement de la même ordonnée sur la figure IV-13. Lors de fortes vitesses vibratoires, larésistance motionnelle de la structure complète (stator + rotor) tend vers celle de la structure àvide. Comme pour la précédente structure, l'accroissement des pertes intervient dans undomaine de fortes vitesses vibratoires.

Quel que soit le moteur piézoélectrique considéré, l’inévitable augmentation de larésistance motionnelle avec le niveau vibratoire (ou le courant Im) conduit à la dégradation dufacteur de qualité mécanique donc à celle de la conversion électromécanique.



IV.2.4 Circuit équivalent

IV.2.4.1 Formulation

R. Perez et A. Albareda ont établi pour une céramique, un modèle théorique dont lareprésentation est donnée figure IV-16. La dérive de la fréquence série et la chute du facteurd’acuité mécanique avec le niveau de sollicitation se décrit respectivement par l’évolution de lapartie imaginaire et réelle d’une impédance motionnelle évoluant en 2

mI et/ou 4

mI .

I I

V R Co

co

o

C L

R

m0

m0

m0

m

IXNL

Xm

Xm0

Rm

RNL

Figure IV-16. Modèle de circuit équivalent tenant compte des non linéarités.

L’impédance motionnelle totale est donnée par :( ) ( )m m m0 NL mZ I = Z + Z I (IV.11)

avec : m0 m0 m0

m0

1Z = R + j L -

C

(IV.12)

( ) ( ) ( )NL m NL m NL mZ I = R I +X I (IV.13)Zm0 correspond à l’impédance motionnelle à bas niveau. Rm0, Cm0 et Lm0 représententrespectivement les pertes mécaniques, la souplesse et la masse dynamique.La pulsation de la résonance série à bas niveau s’écrit :

( )-1

s0 s0 m0 m0& I / & (IV.14)Zm0 peut alors se mettre sous la forme :

s0m0

m0 s0

&Z &Z = + jZ -

Q & &

(IV.15)

où :

m0 s0m0 s0 m0

m0

L &Z= L & HW 4

R(IV.16)



Pour une céramique piézoélectrique, la branche motionnelle proche de sa résonance série peutêtre décrite par :

( ) ( ) ( )2 4

NL m 2 2 m 4 4 mZ I = r + jx I + r + jx I +... (IV.17)et :

( ) 2 4

m m m0 2 m 4 mR I = R + r I + r I (IV.18)

( ) 2 4sm m 2 m 4 m

s0

2û&X I = Z + x I + x I

&(IV.19)

Au maximum du module de l’admittance, nous pouvons déduire Rm, Im et comme Xm est pochede zéro, il vient alors :

2 4s s 2 4m m

s0 s0

û& ûI x x= = - I - I

& I = =(IV.20)

Il devient possible de déterminer les paramètres r2, x2, r4 et x4. Il n’est pas toujours nécessaire derecourir à l’ordre 4.

IV.2.4.2 Dimensionnement de la réactance

A partir d’un certain courant motionnel, une quasi-linéarité (Cf. figures IV-10 et IV-11)entre la fréquence de résonance et le carré du courant motionnel est observable. Ceci peut êtredécrit par l’équation (IV.20) en négligeant les termes de degré 4 :

2s 2m

s0

ûI x= - I

f 2Z(IV.21)

Le tableau IV-1 récapitule les résultats obtenus. Pour nos actionneurs piézoélectriquescomplexes, le modèle affiche une remarquable fidélité à travers un bon coefficient decorrélation.

2x 2Z Z (ΩΩ) 2x (ΩΩ.A-2) corrélation

Twum95 (vide) 6.7627 2.44 105 3.30 106 0.993Twum95 (charge1) 5.9910 3.31 105 3.97 106 0.946Twum95 (charge2) 22.4113 2.84 105 12.7 106 0.977Popel45 (vide) 0.7846 2.02 105 3.18 105 0.992Popel45 (charge1) 0.6975 1.78 105 2.49 105 0.998Popel45 (charge2) 0.7785 2.02 105 3.15 105 0.994

Tableau IV-1. Récapitulatif des résultats de x2 pour popel45 et twum95.



Les valeurs du coefficient x2 restent quasiment identiques pour le popel45. La dérive enfréquence de ce piézomoteur ne dépend pas de la charge ramenée par le rotor mais seulement duniveau vibratoire. Pour le twum95, des variations de x2 nous supposons qu’un autre phénomènenon linéaire (dépendance de la charge ramenée par le rotor) intervient.

Remarque :Le tableau IV-2 récapitule le résultat obtenu pour un bâtonnet de P189 (∅= 6.35mm et l=15mm) caractérisé en mode longitudinal.

2x 2Z Z (ΩΩ) 2x (ΩΩ.A-2)

P189 longitudinal 1.147 2.59 105 5.94 105

Tableau IV-2. Récapitulatif des résultats pour P189 [59].

IV.2.4.3 Dimensionnement de la résistance

a) Cas du popel45

Le modèle de la résistance motionnelle représentée figure IV-17 décrit avec une bonnecorrélation le comportement des pertes mécaniques du popel45. L’équation de la résistance Rm

correspond à :

2 4

m m m 2 2

m m

d.eR =a +b.I +c.I +

d.I +e I(IV.22)

a b.I c.I

R

d.I

e/I

m

m

m

m

m2

2

2 4

Figure IV-17. Modèle de la résistance motionnelle pour popel45.

Les paramètres a,b,c,d et e sont déterminés par un algorithme de calcul qui ajuste au mieuxl’équation théorique (IV.22) aux points expérimentaux. Les résultats sont consignés dans letableau IV-3. Cette régression a été menée pour des valeurs du courant motionnel en ampère.



a b (104) c (106) d (104) e (10-4)Popel45 (vide) 1669.5 -9.45 5.69 104.86 33.27Popel45 (charge1) 2058.6 -10.65 5.14 472.34 1265.15Popel45 (charge2) 1870 -6.16 3.59 685.96 5996.57

Tableau IV-3. Récapitulatif des résultats (popel45).

Quelle que soit la force de contact rotor-stator, ce modèle apparaît fidèle avec des facteurs decorrélation supérieurs à 0.96.

Afin de comprendre l’influence des différents paramètres, il faut se reporter à la figureIV-18. Le coefficient a correspond à la valeur de Rm0 (figure IV-16) et reste peu sensible à lacharge ramenée par le rotor. De simples mesures à l’analyseur d’impédance et à bas niveau(0.1V) confirment le maintien de la résistance motionnelle Rm0 quel que soit le cas de charge.

Il apparaît clairement que les coefficients e,d décrivent l’extremum obtenu aux faiblescourants motionnels ; plus la précontrainte rotor-stator devient importante, plus la valeur del’extremum s’accroît ce qui implique une augmentation des coefficients e et d. Ces dernierspourraient traduire la charge acoustique ramenée par le stator ou stator+rotor sur les bâtonnetsde céramiques.

Pour revenir à la figure IV-18, trois domaines de variations de Rm sont mis en évidence.Dans la première zone, Rm augmente avec Im et le terme en Im² admet pour coefficient équivalent(b+d)>0. Dans la deuxième zone, Rm diminue lorsque Im croît. Un résultat similaire a été obtenusur un langevin mais des essais sur des matériaux non précontraints ne montrent pas cettediminution de Rm avec le niveau vibratoire. Cette décroissance pourrait être attribuée à unblocage des mouvements de domaines. Cependant, des essais [63] effectués sur un transducteurTonpilz montrent un phénomène identique attribué soit à l’interface d’émission soit au joint decolle. Bien que Rm varie, les pertes mécaniques demeurent strictement croissantes avec le niveauvibratoire. Pour la troisième zone de forts courants, Rm croît indépendamment de la charge, lescourbes deviennent asymptotiques. Dans cette région les trois coefficients a, b et c sont alorssensiblement du même ordre de grandeur quelle que soit la charge ramenée par le rotor.

0 0.05 0.1 0.150

500

1000

1500

2000

2500

points expérimentaux

modèle complet (a,b,c,d,e)

modèle partiel (a,b,c)

modèle partiel (a,b,e,d)

Rm

(Ω)

Im (A)

Figure IV-18. Influence des paramètres (cas faiblement chargé, popel45).



A haut niveau de sollicitation, l’équation des pertes mécaniques peut être alors rapprochée del’équation :

( ) 2 4

m m m mR I =a+ bI +cI (IV.23)La similitude avec l’équation (IV.18) qui s’applique à une céramique seule suggère qu’à fortniveau de vibrations d’un tel actionneur piézoélectrique, les pertes mécaniques sontprincipalement dues à celles du matériau actif lui-même.

b) Cas du twum95

Contrairement au popel45, les mesures ne permettent pas de faire apparaître de façonévidente un extremum de pertes aux faibles intensités motionnelles. Toutefois, le modèle despertes mécaniques garantissant la meilleure approximation reste identique à celui du popel45.Les résultats consignés dans le tableau IV-4 ont pu être obtenus en considérant les valeurs ducourant en milliampère. Ils montrent la forte dépendance de tous les coefficients avec la chargedu rotor.

a b c d eTwum95 (vide) 713.59 -4.831 0.0237 1274.4 146.03Twum95 (charge1) 1320.67 -2.129 0.0035 1839.4 3632.5Twum95 (charge2) 2933.9 -15.816 0.0479 # #

Tableau IV-4. Récapitulatif des résultats (twum95).

La convergence numérique des calculs aboutit à des valeurs physiquement absurdes (<0) quenous remplaçons par # dans le cas d’une forte précontrainte (charge 2).L’interprétation des résultats étant moins évidente, nous soulignons l’augmentation des pertesmécaniques à bas niveau (Cf. valeurs de a) avec la force rotor-stator. Les valeurs de Rm étant trèsélevées et les tensions d’alimentation modérées impliquent de faibles courants motionnels doncde faibles vitesses vibratoires. Les performances en fonctionnement moteur ne peuvent qu’êtrealtérées.

Pour les deux actionneurs testés, la charge ramenée par le rotor augmente les pertesmotionnelles. Cette élévation ne doit pas être importante (<20%) sous peine de venir bloquerl’amplitude de l’onde stationnaire.

IV.2.4.4 Limites de validité

Si le modèle permet de décrire la variation de la fréquence de résonance et des pertesmécaniques en fonction du niveau de sollicitation, il reste toutefois assez limité. Il ne décrit pasla forme dissymétrique du module de l’admittance en fonction de la fréquence et le phénomènede saut. La figure IV-19 compare la mesure et la simulation du précédent modèle dans le casd’un langevin identique à celui utilisé dans le popel95 (Cf. § III.2.4). Une non-linéaritéimportante conduit à une divergence entre les résultats expérimentaux et simulés.



3.9 3.95 4 4.05 4.1 4.15 4.2 4.25 4.3 4.35 4.4

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

3

fréquence (Hz)

module

admitta

nce

(S

)

langevin alimenté à 60 Vrms

modélisationexpérimentation

Figure IV-19. Comparaison pour un langevin.

Le modèle s’applique donc pour des phénomènes non linéaires faibles. De plus, la mesure ducourant motionnel suppose être celle du fondamental uniquement i-e que la somme des courantsdes harmoniques de la fréquence de résonance reste négligeable devant le courant fondamental.

En ce qui concerne les deux piézomoteurs, nous avons noté deux comportementsdifférents. Le popel45 est peu sensible à la charge du rotor, le modèle du circuit équivalents’applique correctement. Par contre pour le twum95, l’effet du rotor est prépondérant ce quientraîne de fortes variations de certains paramètres de la transduction électromécanique. Leseffets non linéaires étant mineurs, leur description par le modèle proposé n’est plus adaptée.

IV.3 Etude en régime impulsionnel

IV.3.1 Rappels

Le matériau piézoélectrique génère des composantes harmoniques sur le courant et la vitessevibratoire lorsque le transducteur dont il fait parti est piloté à sa fréquence de résonance. Pour lemoteur piézoélectrique, ceci peut être néfaste :

- Les composantes harmoniques contribuent à une densité spectrale d’énergie qui neparticipe pas à la déformation souhaitée du stator à la fréquence fondamentale (= fs). Lasomme des énergies des composantes harmoniques constitue alors une perte.

- Les composantes harmoniques situées à des multiples entiers de la fréquencefondamentale peuvent coupler des modes parasites. L’onde progressive du stator peutprésenter alors un taux d’onde stationnaire non nul dû à la superposition des réponses deces modes parasites.

La prédiction des niveaux des harmoniques paraît difficile voire impossible à établir. Lecomportement vibratoire du stator ne peut être décrit totalement de façon analytique. Certainseffets comme la flexion parasite des bâtonnets ne sont pas pris en compte. Ainsi, les expressionsdes équations non-linéaires de la piézoélectricité reliées à celles d’un modèle incomplet ducomportement vibratoire de la structure ne permettent pas de prévoir le niveau des composantesharmoniques dans un piézomoteur.

Dans la partie suivante, nous allons approfondir l’étude sur les composantes spectrales ducourant et de la vitesse vibratoire.



IV.3.2 Méthode

IV.3.2.1 Signal d’excitation

Nous avions souligné que le pilotage à la fréquence de résonance d’un actionneurpiézoélectrique permettait d’obtenir des vitesses vibratoires optimales. Dans de tellesconditions, de fortes contraintes mécaniques sont atteintes au sein du matériau actif etcontribuent à son échauffement. La dérive des propriétés intrinsèques du matériau actif etmacroscopique de l’actionneur devient alors inévitable.Il s’agit donc dans cette partie d’utiliser une fonction d’excitation de durée limitée pour prévenirtoute génération de chaleur mais de forme particulière afin que son spectre soit aussi limité. Eneffet, le contrôle du spectre paraît nécessaire pour éviter le couplage en fréquence des modesparasites voisins de celui étudié.La fonction du signal d’excitation est une fonction harmonique de fréquence fo modulée par unegaussienne. Le spectre obtenu reste une fonction gaussienne centrée à la fréquence fo dont lalargeur à mi-hauteur est inversement proportionnelle à celle du signal temporel. Le signald’excitation admet pour expression :

( ) ( )2-at

oe t = Ae ×cos 2I W (IV.24)La transformée de Fourier d’une fonction non périodique admet pour expression :

( ) ( ) ( )+-i2I W

-e f =T.F. e t e t ×e dt

∞

∞= ∫ (IV.25)

Ainsi, l’expression analytique de la transformée de Fourier du signal d’excitation e(t) s’écrit :

( )

( ) ( )2 2

o o

- f-f - f+fa aA e +e

e f =2 2a

(IV.26)

La figure IV-20 représente la fonction d’excitation et son spectre.

0 0.2 0.4 0.6

temps (ms)

- 1

0

1

ampli

tude nora

mli

sée

ampli

tude nora

mli

sée

0 20 40 60

fréquence (kHz)

0

0.5

1

T.F.

fo

Figure IV-20. Signal temporel et spectre associé du signal d’excitation.



IV.3.2.2 Traitements des données

L’oscilloscope numérise le signal du courant et de la vitesse vibratoire d’un point du statorsur 2500 points correspondant à sa fenêtre temporelle de visualisation. La fréquenced’échantillonnage (fe) dépend donc de la base de temps de l’oscilloscope.Si nous appelons TB la base de temps, compte tenu des 10 carreaux de mesure, la fréquenced’échantillonnage admet pour expression :

e

2500f =

10×TB(IV.27)

Pour éviter de mesurer les composantes issues du repliement (condition de Shanon), nous nousintéressons aux domaines fréquentiels compris entre 0 et fe/2.

En complément du spectre du signal calculé à partir de l’équation IV-25 sur les 2500 points,nous pouvons faire une étude temporelle des composantes harmoniques. En effet, la transforméede Fourier à fenêtre glissante [64] de largeur T permet d’évaluer les composantes harmoniquesaux différents instants notés τ. Son expression analytique s’écrit :

( ) ( )T

2 -i2I W2

T2

2

s 2 I V W2 × e dt∫ (IV.28)

Cela donne lieu a des représentations tridimensionnelles comme nous le verrons par la suite.Cette méthode impose un compromis entre résolution fréquentielle et temporelle [65] dû auprincipe d’incertitude sur la pulsation angulaire et sur le temps :

1û&×ûW

2(IV.29)

Pour effectuer les mesures, nous explorons un domaine fréquentiel limité (maximum 2ème

harmonique situé à 3 fo). La technique proposée et la démarche qualitative entreprise suffisentpour ne pas avoir recours aux ondelettes analysantes.

IV.3.3 Dispositif expérimental

La figure IV-21 décrit le dispositif expérimental.

L’ordinateur remplit cinq fonctions :

- Il génère le tableau de points décrivant la forme temporelle du signal d’excitation.- Il programme le générateur de fonction (Hameg 8131-2) grâce à l’interface logicielle

Labview (National Instrument).- Il acquiert le signal numérisé par l’oscilloscope TDS210 de Tektronik via le logiciel

Labview.- Il pilote l’unité de balayage du vibromètre laser grâce à un programme développé sous

Labview.- Il traite les données numérisées avec le logiciel Mathematica.



Contrôleur

de balayage

générateur de

fonction programmable

amplificateur

adaptateur

d'impédance

générateur d'impulsions

oscilloscope

unité de balayage

laser

+

démodulateur

actionneur

liaison

GPIB

liaison

GPIB

liaison

GPIB

triggertrigger

sonde

signal courant

signal vi

tesse

Figure IV-21. Dispositif expérimental.

IV.3.4 Résultats et discussions

IV.3.4.1 Vérification préliminaire

Afin de vérifier que la génération d’harmoniques ne provient pas de la distorsion del’amplificateur de puissance, nous réalisons une analyse spectrale du courant parcourant unerésistance de 100Ω. La figure IV-22 illustre le résultat obtenu. Pour cette partie, nous calculons

l’amplitude normalisée d’un signal avec la relation : ( )

( )s f

20LogˆMax s f

Le courant maximum atteint 3.8A sans qu’il apparaisse une composante harmonique.

0

fréquence normalisée

-175

-150

-125

-100

- 75

- 50

- 25

0

amplitude

norm

alis

ée e

n (dB)

fo 2f o 3f o

Figure IV-22. Courant sur résistance de charge.



Les figures IV-23 a), b) et c) illustrent les résultats obtenus sur un bâtonnet de P189 (∅6.35mm, l=15mm) pour différentes valeurs du champ électrique. La céramique résonne en modelongitudinal à 110 kHz avec un coefficient de couplage électromécanique de 60%.

0

0

160 320 480fréquence (kHz)

-160

-120

- 80

- 40amplitude

normalis

ée (dB

) E=27V/mm

a)

0

fréquence (kHz)

amplitud

e no

rmalis

ée (dB

)

0 160 320 480

-160

-120

-80

- 40

E=53V/mm

b)

0

fréquence (kHz)

amplitude

normalis

ée (dB

)

0 160 320 480

-160

-120

- 80

- 40

E=100V/mm

c)

Figure IV-23. Courant pour un bâtonnet de P189.

a) 27V/mm, b) 53V/mm, c) 100V/mm.



L’origine des harmoniques provient bien du matériau actif et leurs composantes augmententavec le champ électrique. Le courant motionnel est quasiment égal au courant d’excitation et lefacteur de force reste constant compte tenu de la relation [13] :

•m

m

o o

I lU = = I

N 2A M(IV.30)

avec : l longueur de l’échantillonAo surface des électrodes sur les facesMo facteur de mérite (constante) du matériau actifIm courant motionnel

Donc, la vitesse vibratoire demeure proportionnelle au courant d’excitation. Les composantesharmoniques se retrouvent donc sur le spectre de la vitesse vibratoire.

IV.3.4.2 Monopopel95

Appliquée au stator monopopel95 (Cf. § III.4.3.2), la mesure de la vitesse vibratoirepermet de constater (figure IV-24) la génération d’harmoniques d’ordre 2 et 3 et de multiples0.5, 1.5 et 2.5 de la fréquence de résonance. L’impulsion électrique d’excitation atteint la valeurde 900Vcrête.

0 20 40 60 80 100 120

fréquence HkHz L

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

amp

litu

de

no

rmal

isée

HdBL f

0.5f1.5f

2f

2.5f3fo

o

o

o

o

o

Figure IV-24. Spectre de la vitesse vibratoire du stator monopopel95.

La présence d’harmoniques 0.5fo, 1.5f et 2.5fo se perçoit indépendamment du nombre delangevins alimentés d’une seule et même voie. Elles n’apparaissent pas sur la mesure du courantd’excitation. L’équation de Duffing traduit le comportement non linéaire d’actionneurspiézoélectriques aux alentours de leur fréquence de résonance. La résolution par la méthode desperturbations [66] montre que cette équation admet des solutions de type sous-harmoniquesdans des régions d’instabilités de l’espace de phase.

Une représentation temps-fréquence (IV.28) du signal de vitesse conduit à la figure IV-25. Ellepermet de faire une étude temporelle des composantes harmoniques.



0 40 80 120

fréquence (kHz)

0

2

4

6

8

10

temps de m

esure

(ms)

0.5f f 2f 3foo oo 1.5fo

Figure IV-25. Représentation temps-fréquence de la vitesse vibratoire.

La durée du signal d’excitation étant inférieure à la milliseconde, il apparaît nettement que lescomposantes harmoniques générées avec un certain retard restent présentes sur la vitessevibratoire en dehors du temps d’excitation. La sous harmonique fo/2 et l’harmonique couplée1.5fo ne sont visibles qu’au bout de 4ms. La mesure temporelle du courant montre qu’après letemps d’excitation le courant diminue beaucoup plus rapidement que le signal de vitesse (figureIV-26).

0 1 2 3 4

temps (ms)

-1

-0.5

0

0.5

1

ampli

tude normalisée

0 1 2 3 4

temps (ms)

-1

-0.5

0

0.5

1

ampli

tude normalisée

vitesse

courant

Figure IV-26. Signaux temporels du courant et de la vitesse.



Au voisinage d’un temps de 4 ms après le début de l’excitation, l’amplitude de l’intensitédevient pratiquement nulle. Ceci explique le fait que les composantes fo/2 et 1.5fo ne puissentêtre détectables sur le courant.

Remarques :1- La figure IV-27 montre l’augmentation des composantes harmoniques sur le courant avec lechamp maximum au sein des céramiques du monopopel95.

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 50 100 150 200 250 300 350 400

E (V/m m )

I (f) I (2f) I (3f)

Figure IV-27. Evolutions des composantes du courant d’excitation en fonction du champélectrique dans le matériau actif.

2- Une cartographie par vibrométrie révèle la présence d’une déformation selon le mode 9malgré la courte période d’excitation. Par ailleurs, elle a mis en évidence la présence de toutesles composantes harmoniques de vitesse sur toute la surface du stator.

IV.3.4.3 Twum95

Cette structure n’ayant plus que quatre langevins (Cf. § III.4.3.3), la réponse vibratoiredu stator est modifiée. L’application de la technique de mesure sur le courant et la vitesse pourune impulsion à 1200Vcrête conduit aux résultats figure IV-28.Il n’existe plus les composantes 0.5fo, 1.5fo 2.5fo. La présence de multiples entiers de lafréquence de résonance provient du matériau actif lui-même.



0 20 40 60 80 100 120

fréquence (kHz)

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

amplitude

normalis

ée (dB

)

0 20 40 60 80 100 120

fréquence (kHz)

-175

-150

-125

-100

-75

-50

-25

amplitude

normalis

ée (dB

) vitesse

E=360V/mm

courant

E=360V/mm

Figure IV-28. Spectres du courant (a) et de vitesse (b) pour twum95.

Le stator se comporte plus librement par rapport à celui du monopopel95. Il vibreprincipalement sur son mode de rang 9 (fs=fo=28 Khz). Tenant compte de la valeur du champélectrique maximum, les harmoniques restent faibles. Le comportement vibratoire en régimeharmonique est amélioré.

IV.3.4.4 Popel45

La figure IV-29 illustre le résultat sur une structure optimisée, le popel45. Lacomposante d’ordre 2 (3fo) ne peut être détectée car elle se situe environ à la moitié de lafréquence d’échantillonnage (fe/2) soit 125 kHz. De plus, pour améliorer le rapport signal surbruit, nous avons utilisé le filtre passe bas de fréquence de coupure 100 kHz du démodulateur duvibromètre.

0 20 40 60 80 100 120fréquence (kHz)

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

amplitude

normalis

ée (dB

)

0 20 40 60 80 100 120

fréquence (kHz)

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

amplitude

normalis

ée (dB

)courant

E=80V/mm

vitesse

E=80V/mm

Figure IV-29. Spectres du courant (a) et de vitesse (b) pour popel45.



IV.3.5 Conclusion

Dans cette dernière partie, une étude de type pulse-écho a été introduite. L’excitation parune impulsion a permis de s’affranchir des effets thermiques et de mener une étude temporelleet fréquentielle. Cette méthode ne constitue en aucun cas une méthode quantitative de prédictiondes performances des moteurs piézoélectriques. Qualitativement, elle a permis d’éclaircir lecomportement vibratoire au travers d’analyses spectrales. La transformation d’une structure amodifié les paramètres de l’équation du Duffing (par ex. la rigidité) impliquant la suppressiondes termes sous-harmoniques et harmoniques couplés. Le comportement vibratoire de lastructure a donc été rendu moins instable.



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CHAPITRE V : COUPLAGE EN TRE VOIES

Chapitre V : COUPLAGE ENTRE VOIES


V.1 Problématique

V.1.1 Modèle de Lyon et Scharton

La méthode S.E.A. (Statistical Energy Analysis) [67] constitue un moyen d’étude desystèmes linéaires vibrant basé sur l’étude de leurs énergies propres et échangées qu’ils soientou non de même nature. Dans le domaine de l’acoustique et de la mécanique, l’étude del’énergie échangée entre deux modes couplés se ramène à celle de deux systèmes à un degréde liberté reliés par un bloc de couplage. Lyon et Scharton [68] proposèrent un modèle detype masses-ressorts-dissipateurs qui constitua l’origine de la méthode SEA. Leur propositions’appuie sur un couplage par déplacement, vitesse et accélération. La figure V-1 représente lesystème mécanique à l’origine de la méthode SEA.

G

m

k

mm

c

c

k 1 m1

1

x1

x2

2

k 2ρ m2ρ

Figure V-1. Modèle de Lyon et Scharton [68].

Les masses mi peuvent être des masses réelles ou des masses généralisées. Nous notons Fi lesforces qui interviennent sur les systèmes i en régimes stationnaires. La grandeur G correspondau module de Coulomb, elle est appelée aussi coefficient de cisaillement. Cette grandeur esthomogène à un amortissement (ρm).

Avec x1 et x2 désignant les déplacements, les équations du mouvement sont :

( ) ( )

( ) ( )

1 c 1 m1 1 1 c 1 c 2 2 c 2 1

2 c 2 m2 2 2 c 2 c 1 1 c 1 2

1 1m + m x +! [ N N [ P [ *[ N [ ) W

4 4

1 1m + m x +! [ N N [ P [ *[ N [ ) W

4 4

(V.1)

La puissance moyenne transmise du système 1 au système 2 en régime stationnaire vaut :

12 c 1 2 1 2 c 1 2T T T T

1W =-k x .x -G x .x + m x .x

4 (V.2)

Dans l’hypothèse d’un système mécanique faiblement couplé et non dissipatif, le bilan del’énergie cinétique, potentielle et totale pour un oscillateur i équivaut respectivement à :

2Ci i c iT T

1 1E = m + m x

2 4

(V.3)



( ) 2

Pi i c iT T

1E = k +k x

2 (V.4)

Ti Ci PiT T TE = E + E (V.5)

Ces énergies correspondent aux énergies réelles lors du mouvement et elles tiennent comptentdes termes de couplage. Le calcul à partir des relations (V.2), (V.3), (V.4) et (V.5) conduit à :

Ci Pi TiT T T

1E = E = E

2(V.6)

( )12 12 C1 C2T T TW =+ ( ( (V.7)

La relation (V.7) montre que la puissance moyenne transférée au cours du temps provient dela différence des énergies cinétiques moyennes de chaque système. Par conséquent, 12+

représente le coefficient de perte par couplage entre les deux systèmes (ou entre les modes).

Dans le cadre de notre étude, nous ne nous étendrons pas sur les caractéristiques de cecoefficient de couplage. Nous retiendrons que deux oscillateurs piézoélectriques reliés entreeux par une pièce métallique, peuvent se transférer de l’énergie. La réponse vibratoire d’ununique oscillateur l’autre étant bloqué dépendra donc aussi du terme de couplage.

V.1.2 Analogie circuit équivalent

Un moteur piézoélectrique de type onde progressive équivaut à deux oscillateursgénérant leur propre onde stationnaire. Ces deux oscillateurs constitués d’élémentspiézoélectriques (anneau de céramique sectorisé, bâtonnets ou langevins) sont couplés par lestator qui est une pièce élastique. La démarche consiste à venir dimensionner ce couplageentre les deux voies d’alimentation par une approche schéma électrique équivalent.

D’après le paragraphe I.6.2, un système masse-ressort-amortisseur se ramène comme uncircuit électrique de type RLC. Le théorème de Kennely relie les impédances d’uneconfiguration en triangle comme le modèle mécanique de Lyon-Scharton à une configurationétoile. Au bilan, le modèle de Lyon-Scharton se représente par un schéma électrique commele montre la figure V-2 en tenant compte de certaines approximations décrites en annexe C.

Ro1 Co1

Cm1

C c

Lm1

L c

I1 I2

ICo2ICo1

Im1 Im2

Ic

R c

Lm2 Cm2

Co2 Ro2

Rm1 Rm2

Figure V-2. Schéma électrique équivalent de Lyon et Scharton.

La capacité Cc correspond à l’élasticité équivalente de la structure (stator) reliant lesactionneurs (piézocéramiques ou langevins) de chacune des deux voies d’alimentation.L’inductance Lc correspond à la masse vibrante de la même structure élastique. Quant à larésistance Rc, elle représente les pertes entre les deux voies. Le stator étant une structureélastique, nous supposons la valeur de Rc faible. Cette dernière remarque suppose aussi que



les pertes liées au joint de colle entre l’anneau de céramique et le disque en laiton soientfaibles.Les voies sont supposées n’être que légèrement déséquilibrées. La difficulté va être dedéterminer ainsi les onze paramètres qui composent ce modèle. Nous ferons abstraction desrésistances de pertes diélectriques Ro1 et Ro2 compte tenu de leurs fortes valeurs (quelquesMégohms).

V.2 Validation du modèlePour vérifier l’analogie électrique du modèle de couplage, des mesures sont réalisées

sur un moteur ultrasonore Shinsei USR60 sans rotor. Ce stator admet des fréquences derésonance de modes de flexion suffisamment éloignées de celle employée en fonctionnementmoteur. Ainsi, les mesures ne sont pas perturbées par l’éventuelle proximité d’autres modes.Une méthode de mesure à bas niveau (1 volt) a pu être validée et ne nécessite que l’analyseurd’impédance.

V.2.1 Méthode

Le principe repose sur le dimensionnement des composants du schéma équivalentautour d’une résonance et antirésonance pour trois configurations données :- Voie 1 au point chaud avec voie 2 + masse du piézomoteur au point froid- Voie 2 au point chaud avec voie 1 + masse du piézomoteur au point froid- Voie 1 au point chaud avec voie 2 au point froidLes désignations point chaud et point froid concernent les deux entrées de l’analyseurd’impédance.L’hypothèse posée et vérifiée par la suite est celle d’une impédance de branche motionnelle(Zmi) beaucoup plus élevée que l’impédance de couplage (Zc). Cela se traduit par :

m i cZ >> Z (V.8)avec :

c c c

c

1Z = R + j L &

C &

(V.9)

m i m i m i

m i

1Z = R + j L & DYHF L

C &

(V.10)

V.2.1.1 Première configuration

Si la voie 1 est au point chaud avec voie 2 + masse du piézomoteur au point froid, cela revientà court-circuiter la capacité bloquée de voie 2 (Co2) et à ramener la branche motionnelle de lavoie 2 en parallèle avec la branche de couplage. Le courant motionnel tendra à parcourirl’impédance de couplage compte tenu de l’hypothèse énoncée ci-dessus. Le schémaéquivalent se ramène alors à celui de la figure V-3.



Co1

R12

L 12

C12

voie 1

masse

point chaud

point froid

Figure V-3. Schéma électrique équivalent pour 1 voie en court-circuit.

Les composants ayant pour indices 12 sont reliés aux équations suivantes :

12 m1 c

1 1 1= +

C C C(V.11)

12 m1 cR = R +R (V.12)

12 m1 cL = L +L (V.13)

V.2.1.2 Deuxième configuration

Si la voie 2 est au point chaud avec voie 1 + masse du piézomoteur au point froid, uneconfiguration identique à la précédente est obtenue. Pour les équations, il suffit de permuterles indices :

21 m2 c

1 1 1= +

C C C(V.14)

21 m2 cR = R +R (V.15)

21 m2 cL = L +L (V.16)

Remarque :Pour les configurations 1 et 2, la capacité bloquée est directement celle de la voied’alimentation connectée au point chaud.

V.2.1.3 Troisième configuration

Ce dernier cas conduit directement au pont de Wheastone comme l’illustre la figure V-4.



Co1

Cm1 Cm2

Co2

Lm1 Lm2

R Rm2m1

L c

C c

R c

Voie 2Voie 1

masse flottante

point chaud point froid

Figure V-4. Pont de Wheastone.

Les impédances dues aux capacités bloquées et les impédances motionnelles sontsensiblement identiques d’une voie à l’autre. Ainsi, aucun courant ne traverse l’impédance decouplage (Zc).La caractérisation au voisinage de la résonance et antirésonance conduit à un schémaélectrique équivalent identique à celui des précédents cas mais dont les composants admettentpour relations :

W m1 m2L = L +L (V.17)

W m1 m2R = R + R (V.18)

W m1 m2

1 1 1= +

C C C(V.19)

o1,2

oW

CC

2≅ (V.20)

La relation (V.20) confirme l’hypothèse qu’aucun courant ne circule dans la branche decouplage et valide donc les relations (V.17) à (V.19).

V.2.1.4 Résolution

Des précédentes équations, nous pouvons déduire les valeurs des composants du couplage.

12 21 Wc

R +R -RR =

2(V.21)

12 21 Wc

L +L -LL =

2(V.22)

c 21 12 W

1 1 1 1 1= + -

C 2 C C C

(V.23)

Les valeurs des six composants des branches motionnelles peuvent ensuite se déduire.



V.2.1.5 Nécessité d’un moyennage

Sur l’aspect pratique de la mesure, l’analyseur d’impédance HP4194 permet directement dedimensionner les valeurs des différents composants. Un dispositif de simulation intégrévérifie l’exactitude des valeurs par superpositions des courbes. En cas de résultats erronés,nous devons alors effectuer plusieurs mesures du module de l’admittance (Yi) et de lapulsation (ωi) en région capacitive pour des fréquences suffisamment éloignées de larésonance série. Pour une telle condition, la résistance motionnelle devient négligeable devantles impédances de l’inductance et de la capacité motionnelle. Le schéma électrique simplifiése ramène alors à celui de la figure V-5.

Co i

L i

C i

Figure V-5. Circuit équivalent simplifié.

L’indice i correspond au point de mesure. Nous aboutissons alors à :

i o i i

i i

i i

1Y = jC &

1j L &

C&

(V.24)

D’après l’équation suivante (Cf. chapitre I) :2

oi i2

1-kC = C

k× (V.25)

Nous écrivons :

2

i i i 2 2

i

s

1-k 1Y = jC &

k &1-

&

×

(V.26)

d’où :-1

2i

i 22

i i

s

Y 1-k 1C = × +

& N &1-

&

(V.27)

i

i s

1L =

C&(V.28)



Pour ajuster au mieux les valeurs, nous retiendrons pour les configurations posant unproblème de détermination, les valeurs moyennes des capacités Ci, Coi et des inductances Li.

V.2.2 Validation expérimentale

V.2.2.1 Résultats

Les mesures effectuées à bas niveau sont conditionnées dans les tableaux V-1, V-2 et V-3.Les termes D.A. et D.M. signifient respectivement :

- Déterminé par une lecture directe à l’Analyseur. Ainsi, le carré du coefficient decouplage électromécanique (k²) se détermine à partir de la fréquence de résonance etd’antirésonance d’après l’équation (I.5). La résistance motionnelle R12 ou R21 s’obtienten prenant l’inverse du module du maximum de l’admittance. Nous nous assurons quela phase de l’admittance devient presque nulle.

- Déterminé par Moyennage de plusieurs mesures et l’utilisation des précédentesformules.

Configuration 1

k²R12

(Ω)L12

(H)C12

(pF)Co1

(nF)0.01163 77.8 0.16706 100.6 8.544D.A. D.M.

Tableau V-1. Résultats pour configuration 1 (USR60).

Configuration 2

k²R21

(Ω)L21

(H)C21

(pF)Co2

(nF)0.01062 56.9 0.18606 90.2108 8.405D.A. D.M.


Configuration 3RW

(Ω)LW

(H)CW

(pF)CoW

(nF)98.23 0.34622 48.567 4.245D.A.


Le tableau V-4 regroupe les résultats déduits par calculs des précédentes formules.

Rc

(Ω)Lc

(mH)Cc

(nF)Rm1

(Ω)Lm1

(H)Cm1 (pF)

Rm2

(Ω)Lm2

(H)Cm2 (pF)

18.2 3.4535 4.592 59.6 0.1636 102.854 38.6 0.1826 92.018Tableau V-4. Résultats (USR60).



La valeur de la résistance de couplage est erronée. En effet, la pièce de couplage mécanique(stator) est une pièce élastique, les pertes mécaniques dues à la déformation sont supposéesêtre quasi-nulles (pas de pertes au niveau du joint de colle). L’erreur sur la valeur de Rc

provient de l’imprécision sur la détermination des résistances R12 et R21 mesurées directementà l’analyseur d’impédance.

V.2.2.2 Ajustement du modèle

Pour corriger le modèle considérons le moteur ultrasonore USR60 en fonctionnementtransformateur comme l’illustre la figure V-6.

Zo1 Zo2

Zm1 Zm2

Zc

V1

(1volt)

V2

entrée sortie

Figure V-6. Fonctionnement en transformateur.

Nous désignons par Zoi l’impédance associée à la capacité bloquée pour la voie i (i=1, 2).

o i

o i

1Z =

jC &(V.29)

Nous montrons alors que la fonction de transfert ou le rapport tension de sortie sur tensiond’entrée est donné par la relation :

( )

( )

o2 m2 c

o2 o2 m2 c2

o2 m2 c1 o2 m2m1

o2 m2 c

Z +Z ×Z

Z Z +Z +ZV= ×

Z +Z ×ZV Z +Z+Z

Z +Z +Z

(V.30)

La figure V-7 présente les résultats obtenus avant et après corrections des valeurs desrésistances. Le critère de convergence pour l’ajustement est une valeur identique desmaximums de la simulation numérique (Mathematica) et de la mesure. Pour cela, nousimposons arbitrairement la résistance de couplage à 1 Ohm (pas de pertes donc quasi-nulle) etnous ajustons les valeurs des deux autres résistances motionnelles.



38700 38800 38900 39000 39100 39200 39300

fréquence (Hz)

0

0.5

1

1.5

2

mod

ule

(V2/V

1)

modèle non corrigé

modèle corrigé

mesure expérimentale

Figure V-7. Ajustement du modèle (USR60).

La courbe expérimentale obtenue figure V-7 est typique de celle de deux circuits couplés. Endéfinitive, nous obtenons : Rc = 1Ω, Rm1 = 29Ω et Rm2 = 17Ω.

La détermination des composants pour décrire le modèle du circuit équivalent aveccouplage n’est pas simple. La validité n’est vérifiée qu’à faible niveau où les céramiquesn’ont pas de comportements non linéaires. A haut niveau de sollicitation, nous pouvonsprévoir une augmentation des résistances motionnelles et des capacités motionnelles (Cf.chapitre IV) compte tenu de la baisse de la fréquence de résonance et de son facteur d’acuitémécanique. Une augmentation du niveau vibratoire du stator devrait aussi entraîner une massedynamique de couplage plus importante i-e une élévation de l’inductance de couplage.L’intégration du rotor rigidifierait le stator et ajouterait une masse dynamique ce quientraînerait une diminution de la capacité et une élévation de l’inductance pour la branche decouplage.Le problème de couplage du système stator + rotor avec le niveau de sollicitation deviendraittrès vite complexe à cause du décollement progressif du rotor.

La figure V-8 montre que l’hypothèse traduite par la relation (V.8) est bien observée au-delàdes deux fréquences de résonance séries de chacune des voies d’alimentation. La fréquence derésonance de la branche de couplage est 39966 Hz.

38500 38600 38700 38800 38900 39000 39100 39200

fréquence (Hz)

0

200

400

600

800

module

impédan

ce (

Ω) Zc

Zm2

Zm1

Figure V-8. Modules des impédances motionnelles et de couplage.



V.2.2.3 Influence sur l’admittance

L’impédance d’entrée de la voie 1 admet deux expressions qui dépendent des conditions surl’autre voie d’alimentation.

a) Voie2 en circuit ouvert

L’impédance de la voie 1 admet alors pour relation :

( )

( )

o2 m2 c

m1 o1

o2 m2 c

1CO

o2 m2 c

m1 o1

o2 m2 c

Z + Z ×Z+ Z ×Z

Z + Z + ZZ =

Z + Z ×Z+ Z + Z

Z + Z + Z

(V.31)

La simulation à partir de la relation (V.31) et la mesure confirment le dédoublementd’admittance obtenu sur l’antirésonance lorsque la voie 2 est en circuit ouvert (figure V-9).

38700 38800 38900 39000 39100 39200-75

-50

-25

0

25

50

75

Voie 2 en circuit ouvert

fréquence (Hz)

phas

e adm

itta

nce

(°)

38700 38800 38900 39000 39100 39200

-70

-60

-50

-40

-30

modèle

mesure

module

adm

itta

nce

(dB/1S)

fréquence (Hz)

Voie 2 en circuit ouvert

modèle

mesure

Figure V-9. Admittance USR60 avec voie 2 en circuit ouvert.

Pour expliquer l’apparition d’un extremum sur l’antirésonance, nous nous appuyons sur leschéma électrique de la figure V-6. Par ailleurs, nous rappelons suite aux mesures que :

m1,2 c m1,2 cL >> L , C << C et d’après l’hypothèse m1,2 CZ >>Z .

La fréquence de résonance du circuit comprenant Zm2 en série avec Zo2 correspond à lafréquence d’antirésonance de la voie 2, soit :

( )( )-1

p2 m2 m2 o2f = 2 / × C //C (V.32)

A cette fréquence, l’impédance Zm2 + Zo2 passe par un minimum donc l’admittance de labranche Zc//( Zm2 + Zo2) passe par un maximum. Or les composants de la branche motionnellede la voie 1 sont presque identiques à ceux de la voie 2 d’où : fp1 ≅ fp2 . Ainsi, à la fréquenced’antirésonance de voie 1, nous retrouvons un extremum d’admittance.

Si nous nous plaçons à la fréquence de résonance de Zm2 , soit :

( )-1

s2 m2 m2f = 2 / ×C (V.33)



Alors, nous obtenons Zc // Zo2 soit Zc compte tenu des hypothèses précédentes.Le maximum d’admittance de Zm1 en série avec Zc du circuit simplifié sera atteint soit à fs2 ousoit à :

( )-1

m1 cs1 m1 C

m1 c

C Cf = 2 / /

C +C

(V.34)

Après simplification :

( )-1

s1 m1 m1f 2 / &≅ (V.35)

Or les fréquences de résonance de chacune des voies sont proches (fs1 ≅ fs2), ce qui entraîne laprésence d’un seul extremum sur l’admittance à la résonance.

b) Voie2 en court-circuit

L’impédance de la voie 1 admet alors pour relation :

m2 cm1 o1

m2 c

1CC

m2 cm1 o1

m2 c

Z ×Z+ Z ×Z

Z + ZZ =

Z ×Z+ Z + Z

Z + Z

(V.36)

La simulation à partir la relation (V.36) et la mesure montrent le dédoublement d’admittanceobtenu sur la résonance lorsque la voie 2 est en court-circuit (figure V-10).

38700 38800 38900 39000 39100 39200-75

-50

-25

0

25

50

75

phas

e ad

mit

tance

(°)

modèle

mesure

Voie 2 en court-circuit

fréquence (Hz)38700 38800 38900 39000 39100 39200

fréquence (Hz)

-70

-60

-50

-40

-30

module

adm

itta

nce

(dB/1S

)

Voie 2 en court-circuit

modèle

mesure

Figure V-10. Admittance USR60 avec voie 2 en court-circuit.

Au niveau de dédoublement de la résonance, simulation et expérimentation concordent moinsnotamment au niveau de la phase. Ceci se produit dans une zone fréquentielle où lesimpédances motionnelles ne sont pas supérieures à celle de couplage. L’hypothèse non valideexplique alors le léger décalage.

Pour expliquer l’extremum sur la résonance, nous nous appuyons sur le schéma électrique dela figureV-6 sachant que : m1,2 c m1,2 cL >> L , C << C et d’après l’hypothèse m1,2 CZ >>Z .

La voie 2 étant court-circuitée, nous nous retrouvons avec l’impédance Zm2 en parallèle avecZc. A la résonance de la branche motionnelle de la voie (fs2), l’admittance de Zc//Zm2 passe par



un extremum. Or, nous avons Zm2>>Zc, l’admittance de Zm1 en série avec Zc qui en résulte,passe par un maximum à la fréquence :

( )-1

c m1s1 m1 c

c m1

C Cf = 2 / /

C +C

(V.37)

Soit, après simplification :

( )-1

s1 m1 m1f = 2 / & (V.38)

Ainsi, près des fréquences séries des deux voies (fs1 ≅ fs2), nous trouvons deux maximumsd’admittance.

Loin de la fréquence série de Zm2, nous avons Zm2>>Zc. Le circuit se ramène à Zo1 en parallèleavec Zm1 et Zc séries. Le seul minimum d’admittance a lieu a :

( )-1

c m1p1 m1 c o1

c m1

C Cf = 2 / / &

C +C

(V.39)

Soit près de la fréquence d’antirésonance de la voie 1.

c) Conclusion sur l’admittance

Pour des valeurs de composants d’une voie quasiment identiques à ceux de l’autre voie alorsles dédoublements sont localisés soit sur la résonance soit sur l’antirésonance. Dans les casd’un déséquilibre d’une branche motionnelle par rapport à l’autre ou d’un faible couplage,l’extremum n’apparaît pas sur la fréquence série ou sur la fréquence parallèle comme nous leverrons ultérieurement sur d’autres stators.

V.2.3 Conditions d’alimentation

Dans ce qui suit, les alimentations sont considérées comme des générateurs de tensionidéaux c’est à dire avec une impédance interne nulle. Considérons les notations adoptées surla figure V-2. Nous pouvons écrire :

( )1 m1 m1 c m1 m2V = Z I + Z I + I (V.40)

( )2 m2 m2 c m1 m2V = Z I + Z I + I (V.41)Ceci nous conduit aux expressions suivantes :

( )( )( )

m2 c 1 c 2

m1 2

m1 c m2 c c

Z + Z V -Z ×VI =

Z + Z Z + Z -Z(V.42)

( )( )( )

c 1 m1 c 2

m2 2

m1 c m2 c c

- Z ×V Z + Z VI =

Z + Z Z + Z -Z

+(V.43)

De plus, nous pouvons écrire :



1 o1 Co1

2 o2 Co2

V = Z ×I

V = Z ×I

(V.44)

1 m1 Co1

2 m2 Co2

I = I + I

I = I + I

(V.45)

La combinaison des précédentes équations (V.42) à (V.45) conduit à écrire les courantsd’excitation directement en fonction des tensions d’alimentation :

( )( )( )

m2 c 1 c 211 2

o1 m1 c m2 c c

Z + Z V -Z ×VVI = +

Z Z + Z Z + Z -Z(V.46)

( )( )( )

c 1 m1 c 222 2

o2 m1 c m2 c c

- Z ×V + Z + Z VVI = +

Z Z + Z Z + Z -Z(V.47)

V.2.3.1 Tensions en quadratures

L’obtention d’une onde progressive résulte de la combinaison de deux ondesstationnaires en quadrature temporelle et spatiale. L’alimentation électrique de piézomoteurs àonde progressive emploie alors deux sources de tension notées V1 et V2 en quadrature dephase. Nous allons étudier l’influence du terme de couplage avec les paramètres déterminés àbas niveau (1volt). Nous supposons les générateurs de tension parfaits c’est à dire sansimpédance interne.

Si nous prenons les deux cas V2=jV1 où V1=jV2, l’admittance de la voies 1 diffèreracompte tenu de l’équation (V.46). Dans le premier cas, nous obtenons :

( )( )( )

m2 c c

1 2

o1 m1 c m2 c c

Z + Z - jZ1Y = +

Z Z + Z Z + Z -Z(V.48)

Dans le second cas, il vient :( )

( )( )m2 c c

1 2

o1 m1 c m2 c c

Z + Z jZ1Y = +

Z Z + Z Z + Z -Z

+(V.49)

De même pour la voie 2, l’équation (V.47) conduit dans le premier cas à :( )

( )( )c m1 c

2 2

o2 m1 c m2 c c

jZ + Z + Z1Y = +

Z Z + Z Z + Z -Z(V.50)

et pour le second cas à :( )

( )( )c m1 c

2 2

o2 m1 c m2 c c

-jZ + Z + Z1Y = +

Z Z + Z Z + Z -Z(V.51)

En désignant par l’exposant * le terme conjugué, la puissance absorbée sur une voie i s’écrit :

*

i i i

1P = Re V×I

2(V.52)

Nous posons V1=1 volt alors 2V =1volt ce qui ramène l’équation (V.52) à :

*

i i

1P = Re Y

2(V.53)



Suivant les conditions d’alimentation, V2 en avance sur V1 où V1 en avance sur V2 , lapuissance sur chacune des voies change (figures V-11-a, V-11-b). Il apparaît des domainesfréquentiels où les valeurs deviennent négatives, ce qui pourrait correspondre à une puissanceréfléchie et qui est réinjectée dans la chaîne d’alimentation.

38.7 38.8 38.9 39.0 39.1 39.2 39.3

fréquence (kHz)

0

0.005

0.01

0.015

puissa

nce

abso

rbée

(W

)

38.7 38.8 38.9 39.0 39.1 39.2 39.3

fréquence (kHz)

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

puissa

nce

abso

rbée

(w

)

USR60 avec V2=jV1 USR60 avec V1=jV2

voie 1

voie 2

voie 1

voie 2

a) b)

Figure V-11. Puissances absorbées théoriques suivants les conditions d’excitations.

Cette puissance amène à définir une nouvelle famille de pertes que l’on peut nommer pertespar couplage ou pertes dans la commande électrique. Salomon et al [69] les évaluèrentcomme 15% des pertes totales.

La puissance totale qui est la somme des puissances de chacune des voies reste identique pourles tensions d’alimentations en quadrature temporelle (V2=jV1 ou V1=jV2). Ce résultat estreporté sur la figure V-12.

38.7 38.8 38.9 39.0 39.1 39.2 39.3

fréquence (kHz)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

puissa

nce

totale

(w

)

USR60

Figure V-12. Puissance totale simulée.



V.2.3.2 Courants motionnels en quadratures

La condition d’alimentation idéale permet d’obtenir deux vibrations d’ondesstationnaires en quadratures spatiale et temporelle. La condition de quadrature appliquée surles tensions d’alimentation V1 et V2 ne conduit pas forcément à la quadrature des courantsmotionnels qui sont les images des vitesses vibratoires à cause de la présence de l’impédancede couplage. Nous allons effectuer une étude similaire mais dans les conditions Im2=j.Im1 etIm1=j.Im2 qui conduiront à définir respectivement deux coefficients Ka et Kb tel que :

2 i 1V = K ×V avec i = a,b (V.54)Ceci revient à prendre le problème en sens inverse. Dans les deux situations, l’établissementdes coefficients Ki fait intervenir les équations (V.42) et (V.43).

Pour avoir Im2=j.Im1, il faut :( )

( )c m2 c

a

m1 c c

Z + j Z + ZK =

Z + Z + jZ(V.55)

Pour avoir Im1=j.Im2, il faut :( )

( )m2 c c

b

c m1 c

Z + Z + jZK =

Z + j Z + Z(V.56)

Les admittances des voies 1 et 2 admettent alors pour expression générale :( ) ( )

( )( )m2 c i c

1 2

o1 m1 c m2 c c

Z + Z - K ×Z1Y = +

Z Z + Z Z + Z -Z(V.57)

( ) ( )( )( )

c i m1 c

2 2

o2 m1 c m2 c c

-Z K + Z + Z1Y = +

Z Z + Z Z + Z -Z(V.58)

Avec i= a où b, suivant la condition établie.

Si V1=1 volt alors le calcul de la puissance sur la voie 1 reste inchangé d’après l’équation(V.53). Pour la voie 2, compte tenu de la relation (V.54), il vient alors :

2 *

2 i 2

1P = Re K ×Y

2(V.59)

L’obtention de courants motionnels déphasés de ± 90° impose alors des conditions demodule et de phase sur le rapport complexe des tensions d’alimentations (c’est à dire Ki). Lafigure suivante (V-13-a et V-13-b) montre qu’éloigné de la fréquence de résonance, le rapportdes modules de tensions doit être sensiblement égal à 1 et la phase doit être de ± 90°. Cerésultat ne semble pas aberrant car c’est cette stratégie de commande qui est employée à cejour.



38700 38800 38900 39000 39100 39200

-150

-100

-50

0

50

100

150

phas

e de

(°

)

38700 38800 38900 39000 39100 39200

fréquence (Hz) fréquence (Hz)

1

2

3

4

module

de

Ka

Kb

Ka

Kb

a) b)V2

V1

V2

V1

Figure V-13. Module et phase indispensables entre tensions d’alimentations.

Prés de la résonance, les conditions diffèrent. Le dispositif d’alimentation ne compense pas cechangement ce qui entraîne une dégradation des performances et des pertes par couplage.

Nous allons alors étudier la puissance totale pour des courants motionnels déphasés de ± 90°.La puissance totale n’est pas identique d’une configuration à une autre (figure V-14-a etV-14-b). Il apparaît surprenant que dans la situation I2=jI 1 une puissance quasiment nulle estdissipée ce qui signifierait de faibles pertes introduites par cette nouvelle stratégied’alimentation. Par ailleurs, nous remarquons la disparition du dédoublement du pic sur lapuissance totale. Nous éviterons à ce niveau toute interprétation tant la validité du modèlereste fragile (Cf. § V.2.2.2) autour de la fréquence de résonance.

38700 38800 38900 39000 39100 392000

0.02

0.04

0.06

0.08

38700 38800 38900 39000 39100 39200

fréquence (Hz) fréquence (Hz)

0

0.001

0.002

0.003

0.004

puissa

nce totale

(W

)

puissa

nce totale

(W

)

USR60 avec I1=jI2USR60 avec I2=jI1

a) b)

Figure V-14. Puissances simulées mises en jeu suivant les conditions d’alimentation.



V.3 Autres statorsDans ce paragraphe, le modèle d’impédance de couplage précédemment décrit est

appliqué à d’autres structures. Dans un premier temps, nous effectuons des mesures dumodule du rapport de transformation V2 sur V1 (V1=1 volt) suivi de mesures d’admittance.Une inversion des voies d’alimentations doit permettre de vérifier la juxtaposition desmodules de fonctions de transfert (ou modules des rapports de transformation) auquel cas lesvoies sont bien équilibrées.

V.3.1 Shinsei USR60

La figure V-15 rappelle les résultats expérimentaux obtenus pour la structure Shinsei. Ilapparaît des caractéristiques identiques suivant la voie qui est alimentée. Cela révèle un bonéquilibre des impédances de chacune des voies.

38600 38700 38800 38900 39000 39100 39200 39300

fréquence (Hz)

0

0.5

1

1.5

2

module

(V2/V1)

alimentation sur voie 2


Figure V-15. USR60 en fonctionnement transformateur.Alimentation sur la voie1 puis la voie 2.

Comme nous l’avons vu, la présence de deux maximums sur la fonction de transfert dutransformateur se décrit parfaitement avec un circuit oscillant série.

V.3.2 Popel45

Les résultats expérimentaux obtenus sur la structure popel45 (décrite au § II.2.1.4) nesont plus identiques d’une voie à l’autre (figure V-16).



42.0 42.5 43.0 43.5 44.0 44.5 45.0 45.5 46.00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

module

(V2/V

1)

fréquence (kHz)



Figure V-16. Popel45 en fonctionnement transformateur.Alimentation sur la voie1 puis la voie 2.

Nous notons la présence de quatre pics que le modèle de circuit équivalent établiprécédemment ne suffit pas à décrire. Le pic aux environ de 45 kHz pourrait être celui d’unmode parasite visible sur le module de l’admittance comme le montre la figure V-17.

4.1 4.15 4.2 4.25 4.3 4.35 4.4 4.45 4.5 4.55 4.6

x 104

-110

-105

-100

-95

-90

-85

-80

-75

-70

-65

-60

fréquence (Hz)

module

admittance

(dB/S)

voie 2 en court-circuit

voie 2 en circuit ouvert

mode parasite

Figure V-17. Modules d’admittance Popel45.

Les deux configurations appliquées sur la voie 2 montrent une influence mineure duphénomène de couplage. Le module de Zc reste donc faible par rapport à celui de Zm. Cela esten accord avec le rôle que doit jouer le stator en forme de pièce viaduc [22]. Il découple lesmouvements longitudinaux de chaque bâtonnet de céramiques ainsi le stator est équivalent àdouze langevins fonctionnant en parallèle et indépendamment les uns des autres.Le mode parasite se représente comme une impédance motionnelle en parallèle avec celle dumode de fonctionnement en moteur. La figure V-18 illustre le nouveau circuit équivalent.



R m1aC Lm1a m1a

R m1bC Lm1b m1b

Co1 Co2

R m2a CL m2am2a

R m2b CL m2bm2b

Cc

Lc

Rc

Figure V-17. Schéma électrique équivalent pour le popel45.

Il s‘agit de déterminer 17 valeurs de composants pour décrire le comportement obtenu sur lafigure V-16. La proximité en fréquence des deux modes rend difficile la détermination de tousces paramètres.

V.3.3 Twum95

La figure IV-18 correspond aux mesures effectuées sur le twum95 (§ II.1.3.3). Uneforte dissymétrie avec trois pics dans une configuration et un dans l’autre confirme le totaldéséquilibre entre les deux voies d’alimentation. Il rend inapplicable la méthode dedimensionnement des composants de couplage.

28.2 28.4 28.6 28.8 29.0 29.2 29.4 29.6 29.8 30.00

0.5

1

1.5

2

2.5

3

module

(V2/V

1)

fréquence (kHz)



Figure V-18. Twum95 en fonctionnement transformateur.Alimentation sur la voie1 puis la voie 2.

Sur la figure V-19, l’admittance d’une voie montre la présence d’une résonance parasite. Encircuit ouvert, le dédoublement n’apparaît pas localisé au niveau de la fréquenced’antirésonance. Ainsi, l’effet de couplage dans cette structure intervient et permet deconfirmer un net déséquilibre au niveau des branches motionnelles des deux voies.



2.82 2.84 2.86 2.88 2.9 2.92 2.94 2.96 2.98

x 104

-90

-85

-80

-75

-70

-65

-60

-55

-50

fréquence (Hz)

module

admittance

(dB/S)

voie 2 en court-circuit

voie2 en circuit ouvert

résonance parasite

Figure V-19. Module admittance du Twum95.

La représentation selon un schéma électrique équivalent est similaire à celle du popel45 (Cf.figure V-17) mais avec une impédance de couplage non négligeable.

V.4 ConclusionAutour de la fréquence de résonance d’un moteur ultrasonore à onde progressive, un modèled’impédance de couplage a pu être établi. Le dimensionnement des différents composantsimpose une certaine démarche expérimentale. Le modèle reste valable à températureconstante, faible niveau, sans rotor et pour des impédances de voies approximativementidentiques. Il rend compte des dédoublements sur l’admittance et démontre que ladétermination des paramètres d’une voie par une simple mesure de son admittance ne suffitpas.L’interaction existante entre les deux voies change donc les conditions d’alimentation pourobtenir une onde progressive. Cette impédance de couplage peut être à l’origine d’unepuissance réinjectée dans les amplificateurs d’alimentations. En plus d’une perte derendement, c’est le fonctionnement de la chaîne d’alimentation qui est mise à l’épreuve.Il serait judicieux de connaître l’évolution de tous les paramètres en fonction du niveau desollicitation électrique afin d’établir une stratégie de commande permettant de piloter lepiézomoteur avec le moins de pertes possibles.

Chapitre V : Couplage entre voies


67 LESUEUR C. Rayonnement acoustique des structures : vibro-acoustique, intéractionsfluide-structure. Paris : Eyrolles, 1988. 593p.

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CONCLUSION ET PERSPECTIVES

Conclusion et perspectives


La démarche entreprise au cours des travaux de recherche a visé à élargir le

domaine de connaissance des piézomoteurs.

Des rappels sur la piézoélectricité ont permis de définir les grandeurs physiques liées à

la conversion électromécanique. Les diverses formes sous les quelles nous trouvons les

matériaux piézoélectriques ouvrent un large éventail de domaine d’applications. L’intégration

du matériau piézoélectrique dans les actionneurs est intéressante en utilisation moteur compte

tenu des caractéristiques engendrées : faible vitesse de rotation, densité de couple,

fonctionnement silencieux etc.

Le recensement établit de piézomoteurs utilisant une onde progressive englobe de

nombreuses configurations possibles discernables par la forme du stator, des céramiques et de

leurs dispositions. Parmi ces solutions, peu ont franchi le stade de prototype. Pour décrire la

deuxième conversion énergétique (mécano-mécanique) d’un piézomoteur, nous avons utilisé

un modèle analytique de tribologie. Le contact rotor-stator peut être aussi décrit au travers de

schémas électriques équivalents. Ces derniers associés avec ceux de la conversion

électromécanique permettent de simuler les performances de sortie d’un piézomoteur.

La phase d’étude concerne la faisabilité d’un stator de grand diamètre.

L’architecture adoptée se base sur celles développées au LGEF et qui présentent des

performances supérieures aux modèles commercialisés pour des dimensions identiques. Une

démarche analytique permet d’améliorer les performances des paramètres de la conversion

électromécanique mais ne tient pas compte des effets de flexion parasite des langevins. La

méthode des éléments finis plus complète rend compte des performances de la transduction

électromécanique et de la déformation spatiale de tous les éléments du stator. Elle évalue les

différentes grandeurs liées au problème de découplage entre les mouvements des langevins et

ceux du stator. Les déplacements normaux le long de la circonférence montrent une onde

stationnaire mal établie. Technologiquement, une homothétie des dimensions à partir d’une

structure existante n’aboutit pas aux résultats souhaités. La nécessité d’une application d’une

précontrainte individuelle sur chaque langevin semble préjudiciable en raison de la présence

de la tige qui vient rompre l’effet de liaison rotule jouée par les cônes.

L’étude des non-linéarités est abordée selon le modèle d’une impédance ajoutée à

la représentation du schéma électrique équivalent de la conversion électromécanique. Quel que

soit le piézomoteur à onde progressive testé, la réactance avec le niveau de sollicitation évolue

identiquement à celle d’une céramique seule. La dérive de la fréquence de résonance série

paraît donc inévitable quelque soit la précontrainte normale rotor-stator. Contrairement à une



céramique seule, l’évolution de la résistance motionnelle n’est pas strictement croissante avec

le niveau de sollicitation. De manière complémentaire, une étude spectrale est réalisée sur les

signaux images du courant d’excitation et de la vitesse vibratoire d’un point du stator. La

surpression de langevins change les paramètres mécaniques du stator entraînant la disparition

des sous harmoniques et harmoniques couplées.

Les deux voies d’alimentation sont mécaniquement liées par le stator qui constitue

un élément de couplage mécanique. Son effet s’apparente à un oscillateur mécanique dont le

dimensionnement de ses composants peut être réalisé grâce à une analogie électromécanique.

L’interaction entre les deux voies modifie les conditions d’alimentations près de la résonance

série. De plus, elle pourrait être à l’origine d’une puissance réinjectée dans la chaîne

d’alimentation.

Concernant les perspectives, des solutions émergent pour obtenir un stator de grand

diamètre. Suite aux études bibliographiques et expérimentales, l’emploi de tige traversant les

cônes est à proscrire. Ainsi, le développement d’un stator grand diamètre doit utiliser une

unique précontrainte centrale. L’orientation vers une structure composée de langevins et d’un

stator type Butterfly serait envisageable. La modélisation par éléments finis paraît être la

méthode la plus complète en matière de conception compte tenu de la forme complexe du

stator et des différents paramètres à optimiser. La céramique P189 est bien adaptée aux

applications piézomoteurs. D’autres matériaux actifs pourraient permettre d’améliorer les

performances de la transduction électromécanique. Il serait donc nécessaire de mener des

études de pertes et de non linéarités sur plusieurs matériaux intégrés dans une structure

optimisée. Dans le cas de l’exploitation d’une vibration modale du stator (vibration non

forcée), l’impédance de couplage peut être dimensionnée. De simples mesures d’admittance à

l’analyseur peuvent permettre de rendre compte de l’équilibre des voies d’alimentation. Ce

critère s’avère nécessaire au bon fonctionnement moteur. Un modèle plus complet de circuit

équivalent tenant compte des effets non linéaires et du couplage doit être validé sous haut

niveau de sollicitation ce qui permettra ainsi la prédiction des performances de certains types

de piézomoteurs.




ANNEXES


Annexe A : matériau P189(d’après documentation Quartz & Silice – Saint Gobain)


Annexe B : Conversion mécano-mécaniqueavec un matériau élastique compressible

B.1. Géométrie de contact et distribution des pressions

a

e

z

x

st a tor

rotor

δ x

A

Couche de friction

Il s’agit dans un premier temps [36] de résoudre la géométrie de contact rotor-stator et ladistribution des pressions aux seins de ces zones de contact suite à l’application d’uneforce de serrage F.

Nous utilisons le modèle de fondation élastique. La pression en un point ne dépend quede la déformation verticale zz0 pour calculer la répartition des pressions au niveau d’unecrête de contact, le raisonnement se base sur des tranches verticales du polymère en uti-lisant les hypothèses suivantes :- La déformation est plane dans le plan (xOz) : la composante de déplacement selon(Oy) est nulle ce qui implique yy0

- Le polymère est compressible, il n’y a pas de déformation selon Ox ainsi xx=00

- On considère que l’adhésion du polymère au stator est négligeable et qu’en consé-quence la contrainte ressentie par le polymère est toujours de nature compressive( zz1 ).

Par application de la loi de Hooke (reliant les déformations et les contraintes de manièrelinéaire dans le matériau) et de l’équation d’équilibre mécanique, nous aboutissons pourun profil de stator à déformation sinusoïdale à la distribution de pression suivante :


( )

( ) ( ) ( )( )

a x : p x =0

2

Ax a : p x =( FRV N[ FRV ND

e

≤ ≤

≤(1)

avec : ( )

( )( )1-#

1+# #

et n

k=R

remarque :On considère l’hypothèse du modèle de tranche et de couche mince i-e le rapport e/a trèsfaible.

B.2. Force de serrage du moteur

Rotor et stator sont en contact par une force F qui est l’intégrale de la pression sur toutel’aire de contact (n zones identiques). La zone d’appui est un anneau de rayon moyen Ret de largeur l.

En coordonnées cylindriques, on a ( )x 5 et ( )a . .5 d’où

( )F=n p r, U U ∂ ∂∫∫Après simplifications et changement de variables, F s’écrit :

( ) ( ) ( )( )AF= 2( O5 VLQ ND ND FRV ND

e(2)

Dans le cas où la longueur de contact tendrait vers 0 (faible force de serrage), le déve-loppement à l’ordre 3 de l’expression (2) donne :

( )3kaA

F= 2( O5e 3

Ceci est valable bien entendu pour e/a très faible, ce qui est le cas dans la réalité. Ilexiste une force critique (Fcrit) telle que la demi-longueur notée acrit corresponde à la de-mi-longueur d’onde de flexion.

crit

AF = 2( O5

e

Si la force de serrage est supérieure à cette force critique pour rendre compte de cet ex-cédent sur la surface de l’anneau de contact S=25 O , l’expression de la pression de-vient donc:

( ) ( ) ( )( ) ( )critF-FAp x =( FRV N[ FRV ND

e 25 O(3)


B.3. Performances

B.3.1. Vitesse à la surface du stator

Il s’agit de connaître la distribution des vitesses sur le stator pour accéder aux caracté-ristiques du moteur. Nous introduisons c, la vitesse de phase de l’onde progressive deflexion du stator.

&c= =×f

k ainsi x xxv = -c.0 (4)

Le contact rotor stator s’effectuant sur des crêtes, la déformation xx0 y est positive. Lesigne – indique que le mouvement du rotor est contraire à celui de l’onde progressive.

La déformation du stator est celle décrite par la théorie de la flexion plane d’une plaquemince (avec petits déplacements). Etant de forme sinusoïdale alors

( )2

xx

h0 $N FRV N[

2d’où :

( )2

x

hv = -c A k cos kx

2(5)

L’expression (5) traduit la distribution des vitesses des points à l’interface stator/couchede friction localement sur une des crêtes de contact à un instant donné.

zone de conta ct

vitesse

x

- a a

vitesse rotor

vitesse points du sta tor

xn -xn -xc xc

Par zone de contact, il existe deux points neutres du stator d’abscisses –nx , nx (contactsymétrique) tel que les vitesses en ces points soient égales à celle linéaire du rotor. Lazone de contact où les vitesses des points du stator sont supérieures à celle du rotor réa-lise donc l’entraînement de ce dernier tandis que la partie où elles sont inférieures lefreine.

B.3.2. Couple délivré

L’hypothèse de la loi de Coulomb décrit le frottement rotor-stator :


frottement

serrage

F

F : coefficient de frottement.

En utilisant l’expression de la pression (1) et en posant :2

+

AK = O5 (

eet ( ) ( ) ( ) ( )f x = sin kx - kx ×cos ka

On obtient alors pour [ ]nx 0,a∈ :

( ) ( )+ Q

+ . I [ I D (6)

Pour nx =a , nous obtenons le couple maximum et ( )FF= K ×f a .

Ce qui nous amène à : max +

F

F+ . 5 )

K

(7)

B.3.3. Caractéristique couple-vitesse

On distingue 2 régimes de fonctionnement selon la position de xn. Pour [ ]n cx x ,a∈ , les

équations (5) et (6) donnent la caractéristique vitesse-couple sous forme d’une courbeparamétrée en xn :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2n n

n + Q

h [ F $N FRV N[

2

+ [ . I [ I D

(8)

B.4. Rendement

Le rendement du mécanisme de contact correspond à celui de la conversion mécano-mécanique. C’est le rapport de la puissance mécanique disponible sur la puissance four-nie par le stator pour un point de fonctionnement donné :

n

c

x

m=

s

P

P

(9)

Il existe deux expressions pour le rendement de la conversion mécano-mécanique. Unecorrespondante au premier régime (indice 1) et une autre correspondant au deuxième ré-gime (indice 2).La puissance mécanique du moteur en régime 2 vaut :

( ) ( ) ( )n n

m2 n

[ ×+ D [P a ,x =

R (10)


Annexe C : Théorème de KennelyCe théorème permet de relier les éléments des schémas équivalents« triangle » et « étoile ».

triangleétoile

Z1 Z2

Z3 ZA ZB

ZC

Les impédances Z ou admittances Y peuvent être des nombres complexes.

C.1. Relations entre les deux configurations :

Nous montrons que la configuration triangle est reliée à celle étoile selon lesformules :

B C C A A B1 2 3

A B C A B C A B C

Z Z Z Z Z ZZ = Z = Z =

Z + Z + Z Z + Z + Z Z + Z + Z

Inversement, nous montrons :

2 3 3 1 1 2A 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

Y Y Y Y YYY = Y = Y =

Y +Y + Y Y + Y +Y Y +Y + Y

C.2. Conditions d’applications sur les circuits équivalents:

Dans un piézomoteur, l’impédance électrique de couplage entre les deuxvoies équivaut à Z3 et les impédances motionnelles des deux voies à Z1 et Z2.Le modèle électrique équivalent de Lyon-Scharton (en étoile) se base surune impédance de couplage faible devant celles des branches motionnelles.

Ainsi : 1 2

3 3

Z Z>>1 et >>1

Z Z et d’après les précédentes relations, cela conduit à :


C C

A B

Z Z>>1 et >>1

Z Z.

ZA, ZB et ZC correspondent aux impédances appliquées au modèle mécaniquede Lyon-Sharton (structure en triangle).

Ces inégalités permettent de simplifier les relations établies § C.1.

B C C A A B1 2 3

C C C

Z Z Z Z Z ZZ Z Z

Z Z Z≅ ≅ ≅

Nous pouvons réécrire :

1 21 B 2 A C

3

Z ZZ Z Z Z et Z

Z≅ ≅ ≅

Connaissant Z1, Z2 et Z3, nous pouvons déduire ZA, ZB et ZC et vérifier si

l’hypothèse établie précédemment : C C

A B

Z Z>>1 et >>1

Z Z est respectée.


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FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Nom : FRAYSSIGNES Date de SOUTENANCE :

09 novembre 2001

Prénom : Hervé

TITRE : Etude des effets non-linéaires et des pertes dans les moteurs ultrasonores.

Introduction au problème de couplage mécanique entre les voies.

NATURE : Doctorat Numéro d’ordre : 01 ISAL 0052

Formation doctorale : Acoustique

Résumé :

Le principe de fonctionnement des moteurs ultrasonores ou piézomoteurs à onde progressiverepose sur l’exploitation des mouvements vibratoires d’une structure élastique (stator) susceptibled’entraîner par friction une partie mobile (rotor). Les vibrations du stator sont obtenues par desactionneurs piézoélectriques judicieusement alimentés générant ainsi deux ondes stationnaires. Lacombinaison de celles-ci permet de générer une onde de flexion parcourant le stator.

Il n’existe pas actuellement de méthode vraiment pertinente permettant la conception et ledimensionnement de piézomoteurs. Les pertes dans les matériaux et aux interfaces ainsi que les non-linéarités qui apparaissent sous haut niveau de sollicitation dans les transducteurs piézoélectriquesconstituent des limites à la réalisation de piézomoteurs performants. Les principaux élémentsnécessaires à la compréhension des phénomènes puis une description du principe de fonctionnementde quelques structures de moteurs ultrasonores à onde progressive sont rassemblés au début de cemémoire.

L’étude suivante aborde la conception de nouvelles structures de piézomoteurs de granddiamètre mettant en œuvre deux approches complémentaires : l’étude analytique et la simulation paréléments finis validées par la réalisation de plusieurs maquettes d’étude. La limitation desperformances obtenues sur les structures précédentes amène à étudier les pertes et les effets nonlinéaires dans les matériaux actifs.

Les phénomènes de couplage mécanique entre les deux voies d’alimentation et en liaisonavec la structure statorique sont ensuite abordés et décrits sous la forme de schémasélectromécaniques équivalents.

Les descriptions des comportements sont basées sur des analogies électromécaniques.Plusieurs structures de piézomoteurs sont ainsi comparées en terme de non-linéarités et de couplage.

MOTS-CLES : modélisation, non-linéarité, moteur piézoélectrique, transducteur, couplage,

élément fini, vibration, schéma équivalent.

Laboratoire de recherche : Laboratoire de Génie Electrique et Ferroélectricité

Directeur de thèse : R. BRIOT

Président du jury : P. Gonnard

Composition du jury : A. Albareda, B. Nogarede, R. Briot, P. Gonnard, F. Claeyssen, L. Petit