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A.Meghebbar
Asservissements linéaires.
Chapitre 1 : Concepts et mise en équation des asservissements linéaires.
Signaux et systèmes
Système : un système peut être défini comme un ensemble d’éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Il est soumis aux lois de la physique.
Le système communique avec l’extérieur par l’intermédiaire de grandeurs, fonctions du temps, appelées signaux, entrées/sorties et soumis à des perturbations.
Système : « boîte » qui possède des entrées (actions gérées et subies) et des sorties (réactions induites).
Une sollicitation ou réponse d’un système est considéré comme un signal…
(Signaux usuels : Impulsion de Dirac )(t – Echelon unitaire )(tu et échelon de vitesse).
(Graphe et équation à formuler pour ces signaux usuels).
On s’intéresse donc à la relation entre la grandeur d’entrée correspondant à une action extérieure s’exerçant sur le système, appelée commande (c’est une cause) ; et la grandeur de sortie caractérisant son état (effet) tout en tenant compte des perturbations.
L’action e (t) correspond à l’application au système d’une énergie qui peut être un signal électrique (tension, courant), un signal mécanique (vitesse, force), un signal pneumatique (pression, débit) …
E(t) et s(t) sont des signaux temporels.
Système Multi variable
Système Mono variable
e(t) s(t) ei(t) sj(t)
p(t)
p(t)
Automatique Continue : Les signaux et les systèmes mis en jeu sont continus (à temps continu. Exemple : régulation de vitesse). Automatique Discrète : Des signaux discrets (et éventuellement des signaux continus) interviennent pour commander des systèmes discrets (et éventuellement des systèmes discrets).Exemple : séquenceur programmable.
2
Automatique : Qui fonctionne tout seul ou sans intervention humaine. Il existe deux domaines d'intervention de l'automatique :
- Dans les systèmes à évènements discrets. On parle d'automatisme (séquence d'actions dans le temps).
Exemples d'applications : les distributeurs automatiques, les ascenseurs, le montage automatique dans le milieu industriel, les feux de croisement, les passages à niveaux.
- Dans les systèmes continus pour asservir et/ou commander des grandeurs physiques de façon précise et sans aide extérieure.
Exemples d'applications : l'angle d'une fusée, la vitesse de rotation d'un lecteur CD, la position du bras d’un robot, le pilotage automatique d'un avion.
Système d’orientation des pales d’une éolienne : dispositif qui oriente automatiquement la nacelle face au vent grâce à une mesure de la direction du vent effectuée par une girouette située à l’arrière de la nacelle.
Vitesse du vent
Puissance électrique
Système d’orientation
Eolienne Génératrice
Puissance mécanique
3
Notion et exemples de systèmes : figure 1.1
Exemple 1 : Système physique, mono variable, perturbé, continu (car le temps varie continue ment).
Cet exemple mène à un problème d’automatique dit de régulation, car on cherche le réglage de la chaudière qui régule la température intérieure quelque soit la perturbation.
Exemple 2 : Système économique, multi variable, perturbé, discret (car même si les variables de sortie évoluent continue ment, leurs mesures sont à temps discret).
4
Exemple 4 : Système d’organisation séquentiel. Il est classé dans les problèmes d’automatique séquentielle.
Système dynamique : est un système dont la réponse dépend du temps. Un système dynamique peut être en régime dynamique ou en régime statique.
Système statique : est un système dont la réponse à une excitation est instantanée, le temps n’intervient pas. Exemple : loi d’Ohm U = RI. Relation indépendante du temps.
Les différents types de systèmes :
- Systèmes continus (linéaires ou non linéaires), - Systèmes discrets, - Systèmes hybrides : continu + discret, mélangé.
(Un système dynamique hybride est un système contenant des variables d’état continues/discrètes et des variables d’état événementielles en interaction)
Les systèmes abordés sont donc multiples : continus, discrets, hybrides, systèmes avec bruit, avec retard, etc.
Leurs origines sont très diverses :
Mécaniques et électromécaniques,
Hydrauliques et pneumatiques,
électriques,
électroniques,
biologiques,
chimiques,
économiques, etc. …
Fonction de transfert d’un système. Cas des systèmes linéaires à temps continu.
Ces systèmes sont régis par des équations différentielles à coefficients constants de la forme :
)(...)(... 01011
1
1 tebdtdeb
dtedbtsa
dtdsa
dtsda
dtsda m
m
mn
n
nn
n
n
Si on applique la transformée de Laplace aux deux membres de l’équation et en supposant les conditions initiales nulles il vient :
nn
mm
papapbpb
pEpSpG
...1...1
)()()(
1
1
Appelée fonction de transfert du système ; n est appelé ordre du système.
mn (Système causal).
Ou :
5
))...()(())...()((
)()()(
21
21
n
m
ppppppzpzpzpK
pEpSpG
L’ensemble des iz forme les zéros et l’ensemble ip forme les pôles de la transmittance )( pG .
Le gain statique d’une fonction de transfert )( pG n’est autre que )0( pG .
Système du premier ordre :
Forme canonique :
pKpT
.1)(
K Gain statique
Constante de temps
Exemples électrique et mécanique :
Système du second ordre :
Forme canonique :
22
121)(
pp
KpT
nn
K Gain statique
6
Coefficient d’amortissement
n Pulsation propre
Exemples électrique et mécanique
L’étude de ces systèmes est composée de deux parties, l’étude temporelle et l’étude fréquentielle.
Exemple 1, d’obtention de fonction de transfert : circuit RLC
L’équation différentielle du système s’écrit :
t
dttiCdt
tdiLtRite0
)(1)()()(
L’équation différentielle du système s’écrit :
)()( tute
)()( tyts
7
t
dttiCdt
tdiLtRite0
)(1)()()(
Avec,
tdtti
Cts
dttdsC
dtdqti
0)(1)(
)()(
L’équation différentielle du 2ème ordre, continu, linéaire invariant devient :
)(1)(1)()(2
2
teLC
tsLCdt
tdsLR
dttds
La fonction de transfert est alors :
211)(
LCpRCppG
(Système du 2ème ordre).
Exemple2. Réponse d’un système.
Le système est régi par l’équation différentielle :
)(2)(342
2
tetsdtds
dtsd
Passage aux transformées de Laplace :
)(2)(3)(4)(2 pEpSppSpSp
La fonction de transfert s’écrit :
342
)()()( 2
pppEpSpG
ppEtute 1)()()(
Résolution :
11
)3(31
32
13)1)(3(2)(
342)( 2
pppp
Cp
BPA
ppppE
pppS
8
Passage aux transformées de Laplace inverse :
)(31
32)( 3 tueets tt
Dite réponse indicielle du système.
Analyse temporelle des systèmes continus.
Une fois le modèle mathématique d’un système (fonction de transfert ou représentation d’état) obtenu, l’étape suivante consiste à analyser les performances du système.
La réponse d’un système à une impulsion est dite réponse impulsionnelle ; la réponse à un échelon est dite réponse indicielle.
- Système du 1er ordre :
Fonction de transfert :
TpKpT
1
)( .
- Sa Réponse impulsionnelle :
TteTKty /)( Pour 0t
Réponse impulsionnelle d’un système du 1er ordre.
9
En calculant la dérivée, on obtient la pente de la tangente pour 0t
2/
2 0)(TKpourte
TK
dttdy Tt
- Sa réponse indicielle à un échelon unitaire s’écrit :
TteKty /1)( Pour 0t
TKpourte
TK
dttdy Tt 0)( /
Réponse indicielle d’un système du 1er ordre.
Le temps de réponse d’un système du premier ordre est égal à trois fois sa constante de temps.
3rt .Plus la constante de temps du système T est faible plus le système est rapide.
- Sa réponse à une rampe unitaire (k=1).
Le signal rampe est de la forme kttu )(
)()(1)1(
)( /2
22TtTL TeTtKty
TpKT
pKT
pK
pTpKpY
Pour 0t
10
Réponse d’un système du 1erordre à une rampe unitaire.
TpourteTttytu Tt )1()()()( /
- Système du 2ème ordre :
Fonction de transfert :
22
121)(
pp
KpG
nn
K est le gain statique,
n est la pulsation naturelle (en rd/s),
est le coefficient d’amortissement.
Si on cherche les pôles de la fonction de transfert (racines du dénominateur), on distingue 3 cas possibles :
* 1 dans ce cas, les pôles sont réels :
122,1 nnp
,
11
Réponse indicielle du système.
Sa réponse indicielle s’écrit :
)(1)( 21
21
2
21
10 tueeKEts
tt
Somme de deux exponentielles, correspondant à la mise en cascade de deux systèmes du 1er ordre
de constantes de temps 21 et .
* 1 les deux pôles sont égaux et réels : np 2,1
Sa réponse indicielle s’écrit :
tn
netKEts )1(1)( 0
Le comportement est donc non oscillant et non amorti (comme le cas précédent).
* 1 les deux pôles sont complexes conjugués (système du 2ème ordre).Il sont à partie réelle
négative :
122,1 nn jp
Sa réponse indicielle s’écrit :
t
)(ts
12
).1sin(1
1)( 2
20
teKEts n
tn
21tan
g
Réponse indicielle du système du 2ème ordre.
Rég.oscillatoire amorti :
- Pulsation amortie 21 np
- Pseudo-périoden
pT
2
- Temps de picn
picT
- Dépassement
21exp
D 5% pour 7.0 Ou
sss
D max
Retard pur.
Un retard pur (delay time) de durée T est modélisé en multipliant une fonction de transfert par
l’expression : Tpe .L’influence de sa réponse harmonique est un simple déphasage Trad )( .
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Intégrateur.
Une intégration est modélisée par l’introduction d’un terme en )/1( p .Le gain statique
correspondant est infini. La réponse harmonique est caractérisée par un déphasage uniforme de -90 degré.
Mode dominant.
La réponse indicielle d’un système est souvent dictée par son pôle le plus lent, situé prés de l’axe imaginaire du plan complexe de p.
Exemple :
Pour)4)(18.0(
4)( 2
ppppG dont les pôles sont :
41 p (Constante de temps stsp r 75.0:25.0/1 1 )
916.04.03,2 jp ( sradn /122 )
Plan en p.
Le mode 2ème ordre est nettement plus lent ; c’est le mode dominant
Remarques :
- Un système d’ordre élevé a , la plupart du temps , un ou deux pooles dominants et se comporte donc comme un système du 1èr ou du 2ème ordre.
- On peut simplifier la transmittance d’un système d’ordre élevé en ne conservant que le ou les poles dominant en veillant à concerver le gain statique du système.
- Négiger les poles éloignés de l’origine revient , sur le diagramme de Bode , à négliger les fréquences de coupures élevées.
41 p
pIm
pRé
916.04.02 jp
916.04.03 jp
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Représentation ou analyse fréquentielle.
Riche en informations, elle fournit un lien entre la fonction de transfert du système considéré, et sa réponse à une sinusoïde. Cette réponse sera caractérisée par deux paramètres, le gain et le déphasage.
La fonction de transfert sinusoïdale est obtenue en identifiant jp dans la fonction de transfert
)( pG ; elle est constituée par l’ensemble des fonctions de transfert sinusoïdales quand la pulsation
varie de 0 à l’infini.
Pour fixée, )( jG est un nombre complexe caractérisé par son amplitude(le gain du système) et
son argument (la phase du système) qui seront donc des fonctions de la pulsation de la sinusoïde d’entrée.Quand varie l’ensemble des gains et des arguments constitue la réponse fréquentielle qui peut être alors représenté graphiquement dans différents types de plans.
Ordre 1
o Amplitude :
o Phase :
o Points remarquables :
(Pulsation de brisure)
o Réponse harmonique avec :
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Ordre 2
juuKjuT
pp
KpT
oo
21)(
21)( 2
2
2
avec :(pulsation réduite)
0
u
Amplitude : 2222
22224)1(log10log20)(
4)1()( uuKuA
uuKuA dB
o Maximum en amplitude (surtension) :
Si 2/2 , il existe un maximum pour 20 21 rruu appelée pulsation de
résonnance.
)1log(10)2log(20log20)(12
)( 2max2max
KuAKuA dB
o Phase : si alors :
21
2)(uuarctgu
si alors :
21
2uuarctgu
o Point remarquable :
90)1()2log(20log20
0
KAdB
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o Réponse harmonique avec 15.1;46.0;2.0;10) K :
o Evolution de la surtension en fonction du coefficient d'amortissement pour :
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Lieux ou représentations graphiques.
Il existe trois types de représentation graphiques : Nyquist, Bode et Black ; en voici des exemples de
représentations de systèmes quelconques et les premiers concepts de marges de phase M et de
gain GM .
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Les concepts : commande / asservissement. Deux types de commande :
- Le principe de la Commande Passive consiste à modifier structurellement le système à commander afin qu’il réalise au mieux les fonctions souhaitées.
Exemples : contrôle des vibrations (acoustiques, mécaniques). - Commande Active suppose l’emploi d’un dispositif de commande appelé système de
commande (correcteurs/régulateurs) afin de modifier le comportement dynamique du système étudié.
Dans tout système de commande, on s’efforce de contrôler une grandeur de sortie variable s(t) à l’aide d’une grandeur d’entrée e(t).L’opérateur doit mesurer à chaque instant s(t), la comparer à la valeur de consigne (l’entrée) et corriger de façon à rapprocher s(t) de la consigne. Il existe deux solutions pour commander un système. Commande en boucle ouverte :
Figure 1.2 Commande en boucle ouverte
La commande en boucle ouverte d’un système consiste à introduire, à l’entrée de ce système, le signal e(t) permettant d’obtenir à sa sortie, le signal s(t) correspondant à la réponse voulue. Cela nécessite, bien sûr, la connaissance d’un modèle de fonctionnement du système, par exemple la fonction de transfert G(p).
Fonction de transfert G(p)
Signal d’entrée (Commande)
Réponse imposée (Comportement voulu)
e(t) s(t)
Fonction de transfert G(p)
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Malheureusement, en pratique il est impossible, de déterminer à coup sûr le signal de commande qui assurera au système le fonctionnement voulu et ce, pour deux raisons essentielles : les modèles de fonctionnement sont souvent très imparfaits (par rapport au modèle dit nominal) et les systèmes réels sont en général soumis à des perturbations, la plupart du temps imprévisibles et difficilement modélisables. Commande en boucle fermée : Les systèmes à commander ne sont pas parfaitement connus (modélisés) et des perturbations affectent généralement ses systèmes. L’introduction d’un retour d’information sur les sorties s’avère alors nécessaires, c’est le principe de commande en boucle fermée. On parle alors de système bouclé.
Adaptation de la démarche de raisonnement en trois phases : observation, réflexion et action.
De la boucle ouverte à la boucle fermée
Fig.1.3 Commande en boucle fermée
Système G(p)
Correcteur C(p)
C(p)
Actionneur A(p)
Capteur B(p)
+ -
Comparateur
Sortie, s(t)
Consigne d’entrée, e(t)
Perturbations Signal de commande : u(t) Ecart : ε(t)
20
Ce cheminement inverse, du résultat vers la commande, est appelé rétroaction, contre réaction en anglais feedback.
Pour améliorer les performances d’une commande, il est indispensable d’observer la sortie du système pour la comparer à ce que l’on désire obtenir ; la sortie est ainsi contrôlée. Il s’agit d’une commande avec rebouclage de l’information ou boucle de rétroaction. En conséquence, les performances de ce type de commande sont meilleures. L’ensemble du dispositif constitue un asservissement ou système asservi. Si l’entrée est constante ou varie par paliers, on parle de régulation. La régulation est liée à l’aptitude de la commande à atténuer ou à compenser l’influence de phénomènes indésirables (rejet de perturbations).
Si l’entrée est variable, on parle d’asservissement. L’asservissement est lié à l’aptitude des grandeurs commandées à rejoindre leur valeur de consigne (suivi de trajectoire).
21
L’ensemble constitué du système G(p), de l’actionneur A(p) et éventuellement du dispositif de correction C(p) est appelé chaîne directe. L’ensemble constitué de la mesure et du dispositif B(p) (capteur + transmetteur) est appelé chaîne de retour ou boucle de retour. Dans certain cas, le dispositif B(p) peut-être inexistant : on parle de boucle à retour unitaire. Le but d’une boucle d’asservissement est de faire en sorte que la sortie du système suive la consigne d’entrée. Pour cela, au travers du capteur, la sortie est réinjectée à l’entrée dans un comparateur (soustracteur idéal) .La différence entre l’entrée et la sortie (appelée erreur ou écart) est calculée et forme le signal de commande u(t). Un système asservi a donc deux fonctions essentielles :
- façonner la réponse du système asservi pour lui imprimer le comportement désiré, - maintenir ce comportement face aux aléas et fluctuations qui affectent le système pendant
son fonctionnement. Exemples d’asservissements :
1. Régulation de température d’une salle. But : maintenir constante la température θ(t) à l’intérieure de la salle.
Radiateur
)(t
)(tQext
Thermostat
Vanne
)(ti
Salle
)(te Eau chaude
22
Figure 1.4 Régulation d’une salle.
Θ(t) : température à l’intérieur de la salle.
Θe(t) : température à l’extérieur de la salle. Qi(t) : débit de chaleur fournit par le radiateur.
Qe(t) : perturbations.
Exemple 2 : Asservissement de position d’une antenne parabolique. But : asservir la position angulaire de l’antenne par rapport à la consigne.
Figure 1.5 Asservissement de position d’une antenne parabolique
Thermostat Vanne Salle Qi(t)
Qe(t)
Θc(t) Consigne
0K
Amplificateur Différentiel
Amplificateur De puissance
M
Antenne
Réducteur Moteur
Antenne parabolique Système à commander
Transformateur Différentiel (Capteur)
Sortie :
Consigne : c
Vis de réglage agit sur un potentiomètre électrique
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Figure 1.6 Schéma fonctionnel de l’asservissement. Transfert (approche fréquentielle) . La linéarité de l’asservissement exige que son évolution soit régie par un système d’équations différentielles et/ou récurrentes à coefficient constants (linéarité stationnaire). Pour la structure suivante :
Figure 1.7 Structure d’un asservissement (schéma fonctionnel).
B(p) = 1 : retour unitaire B(p) = constante : retour réel B(p) = f (p) : retour complexe On appelle fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) :
)()()()( pBpD
ppR
On appelle fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) :
)().(1)(
)()(
pBpDpD
pEpS
- On appelle fonction de transfert entrée/sortie ou rapport d’erreur :
)().(11
)()(
pBpDpEp
Bande passante : On appelle bande passante, l’intervalle de pulsations ou le module de la FTBO est supérieur à un ; ce qui donne une expression approximative de la fonction de transfert en boucle
Chaîne directe D(p)
Chaîne de Retour B(p)
+ -
R(p)
ε(p) S(p) E(p)
Amplificateur
Transformateur. Différentiel. (Capteur)
0K
Moteur + Charge +
-
c 1e
2e
e
Perturbations
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fermée : │FTBF│= 1, dans le cas d’un retour unitaire.
- Aux basses fréquences : 1FTBF
- Aux hautes fréquences : 0FTBF
Cela veut dire qu’un système asservi (processus physiques) est, en général, un filtre passe-bas dont la sortie suit l’entrée. Fixer une bande passante impose un temps de réponse (plus elle est grande, plus le temps de réponse est court). Gain en boucle ouverte (en boucle fermée) :
Figure 1.8 Gains statiques FTBO = KG(p), K est appelé gain en boucle ouverte.
nn
mn
papapbpbKpKG
...1
...1)(1
1
- Si la FTBO ne présente pas d’intégration :
Alors FG(0) = K est appelé gain statique du système asservi en boucle ouverte.
- Si la FTBO présente une d’intégration (système astatique), alors :
pKKG )0(
Dans le cas des systèmes asservis de position (ε, s et e sont des variables de position linéaires ou angulaires), on dit souvent que K est le gain en vitesse en boucle ouverte. Enfin, si
2)0(pKKG
Dans le cas d’asservissement de position, c’est le gain en accélération. Effet des perturbations: Très souvent des signaux perturbateurs s’insèrent dans la boucle d’asservissement et introduisent donc des modifications dans le comportement du système. Pour la structure suivante : G1(p)
R(p)
G2(p) + +
- -
e(t) s(t)
KG(p) +
- e(t) s(t)
P(p) : perturbations P(p) : perturbations
25
Figure 1.9 Effet des perturbations. La propriété de linéarité permet d’utiliser le théorème de superposition, qui donne :
)(1
)(1
)(21
2
21
21 pPRGG
GpERGG
GGpS
)(1
)(1
1)(21
2
21pP
RGGRGpE
RGGp
Le point d’application de la perturbation peut –être déplacé soit vers l’amont soit vers l’aval. ε(p) se compose de deux termes : un lié à la commande e(t), le système fonctionne alors comme un système suiveur ; et l’autre dû à la présence de la perturbation p(t), le système fonctionne comme un système régulateur. Cette expression quantitative de ε(p) montre bien qu’un système asservi est à la fois un système suiveur et un système régulé. Réduction des schémas fonctionnels : - Association des éléments en cascades
- Association des éléments en parallèle
- Elimination d’une bande de retour
- Boucle à retour unitaire
G GH
H
H1
+ - -
+
G GHG1
H
+
- +
G1 21 GG
G2
+ +
G1 G2 21GG
26
Simplification des systèmes bouclées.
- Règle de Masson, - Simplification directe :
On cherche la fonction de transfert équivalente à l’ensemble : iG et iR sont des fonctions de
transfert.
Schéma- bloc d’un système complexe
On cherche les variables intermédiaires A , B et C. Les équations reliant ces variables sont :
SREA 2
BGGGGS 4132 )(
CRAB 1
AGGRB )1( 411
BGGC 41
CGGS )( 42
)1()(
411
4132
GGRAGGGGS
2.4132411
4132
)(1))(
RGGGGGGREGGGGS
27
Schéma bloc après simplification.
Intérêts de la boucle fermée :
- Système du premier ordre : Lorsqu’on boucle le système en retour unitaire, la FTBF s’écrit :
Ket
KKK
pK
KpK
pTpTpF
11
11)(1)()(
''
'
'
On constate alors que : - Le gain statique est inférieur et d’autant plus proche de 1 quand K est grand. On réduit l’écart entre l’entrée et la sortie en régime permanent.
- ' donc cc '
, on élargie la bande passante, le système est plus rapide. - Système intégrateur :
pKTpF
pTKpT
ii
1
1)()(
On observe alors que :
- Le gain statique est égal à 1, l’entrée suit la sortie. On améliore la précision statique. - L’effet déstabilisateur de l’intégrateur est supprimé quand l’entrée est une impulsion.
- Système du second ordre :
KetK
KKK
pp
KpFpp
KpT
nn
nnnn
11;
1
121)(121
)(
'''
22''
'
'
22
On observe que :
- Le gain statique est inférieur à 1 mais plus proche de 1 si K est grand.
- nn ' ; on élargit la bande passante, le système est plus rapide.
- On diminue l’amortissement puisque ' ; intéressant dans le cas des systèmes à fortes
constantes de temps. On conclue, que la boucle fermée, améliore la précision statique et élargit la bande passante donc augmente la rapidité
28
Propriétés d’un asservissement : - La stabilité. A consigne constante, la sortie doit tendre vers une valeur constante. L’effet de toute perturbation de durée limitée doit disparaitre aux cours du temps. C’est la condition nécessaire de fonctionnement du système. - La précision. L’écart entre la sortie et sa valeur de consigne doit être suffisamment petit en régime permanent. - La rapidité. Elle exprime le temps mis par le processus pour suivre un changement brusque de consigne. Classification des systèmes asservis : ► Classification selon le type de l’entrée de référence ou consigne : Asservissement ou régulation. ► Classification selon le type de régulateur (correcteur) : - Régulateur analogique - Système asservi linéaire continu. - Régulateur numérique-Réalisé à l’aide d’un système programmable (calculateur numérique) ; son signal de sortie est alors le résultat d’un algorithme de calcul -Système asservi échantillonné. - Régulateur en tout ou rien - Système non linéaire. Aspects statique et dynamique. Dans l’analyse des systèmes asservis on distingue l’aspect statique de l’aspect dynamique.
1. L’aspect statique concerne l’étude des systèmes asservis en mode régulation (entrée fixe).On définit l’erreur statique comme la différence entre la tâche demandée et celle à réaliser.
2. L’aspect dynamique, essentiel en automatique s’étudie par les notions de stabilité, de précision et de rapidité.
Figure 1.10 Régimes transitoire et permanent Analyse fonctionnelle : Une démarche générale de l’analyse fonctionnelle d’un automatisme peut suivre les étapes suivantes : - Décrire le processus à réguler : dessiner le schéma fonctionnel du processus physique, bien isoler et définir ses grandeurs d’entrée (commandes et perturbations) et de sorties. - Donner le schéma fonctionnel de chaque élément du système : transducteur d’entrée, capteur, actionneur, comparateur et correcteur.
29
- Dessiner le schéma bloc représentant l’ensemble de la boucle d’asservissement.
Chapitre 2 : Performances des systèmes asservis linéaires continus. Les performances d’un système asservi se jugent selon trois critères : La stabilité. La précision statique ou précision obtenu en régime permanent. La rapidité ou précision dynamique pour le régime transitoire ; notamment pour la présence éventuelle d’un dépassement qu’il faut limiter. On peut ajouter à ces trois critères, un quatrième élément qui est, la plus part du temps, est considéré comme une performance : la marge de stabilité.
Figure 2.1 : Réponse d’un système à une consigne en échelon.
2.1 Stabilité des systèmes bouclés : Un système bouclé mérite le qualificatif asservi que s’il est stable, sinon c’est un oscillateur ou relaxateur, incapable d’assurer une fonction de poursuite ou de régulation. Il est stable si est seulement si sa sortie reste bornée lorsqu’on injecte un signal borné à son entrée. La condition mathématique de stabilité s’énonce ainsi : Un système asservi est stable si tous les pôles de sa transmit tance sont à partie réelle négative. Ce critère mathématique inconditionnel possède quelques inconvénients d’ordre pratique : il nécessite la connaissance des pôles de la fonction de transfert, tâche peu aisée pour les systèmes d’ordre élevés la fonction de transfert n’est qu’un modèle, les systèmes physiques évoluent dans le temps.
30
2.1.1 Critères de stabilité : (Condition nécessaire et suffisante) Critère de Routh : (stabilité absolue) Le critère algébrique de Routh ne permet pas de définir une marge de sécurité, mais il autorise le diagnostic de stabilité pour les systèmes d’ordre élevés et possédant de surcroit, un ou plusieurs paramètres. On utilise l’équation caractéristique ou le dénominateur de la fonction de transfert en boucle
fermée : ....)()(1 011
1 apapapapDpT nn
nn
On applique le critère de Routh en plaçant la suie de coefficients ia dans un tableau sur deux lignes,
dans l’ordre décroissant, alternativement une ligne sur deux. On effectue ensuite un calcul pour créer une ligne supplémentaire, selon l’algorithme présenté sur le tableau ci-dessous :
n
nnnnn
n
nnnnn
n
n
ccaacd
aaaaac
aa
113
1
321
1
.
..
n
nnnnn
n
nnnnn
n
n
ccaac
d
aaaaa
c
aa
2151
1
5411
3
2
.
..
...
2
5
4
n
n
n
caa
....
....
00
1
aa
On itère le processus jusqu’à ce qu’il n’y ai que des 0 sur la ligne. En conséquence, le système est stable en boucle fermée si tous les coefficients de la première colonne sont de même signe. Cas particulier : Si tous les termes d’une ligne sont nuls, l’équation possède des racines imaginaires pures (conjuguées) et se trouve déjà en limite de stabilité. Pour poursuivre l’étude (tableau) on écrit à la place de la ligne concernée les coefficients obtenus en dérivant le polynôme auxiliaire dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non nulle. Exemple :
0445)(1 234 pppppT
1 5 4
1 4 0
1 4 0 42 p
0 0 0 limite
2 0 0 p2
4 0 0 0
Pas de pôles instables mais le système est en limite de stabilité. Critère de Nyquist : Le critère de Nyquist est un critère graphique de stabilité en boucle fermée obtenu à partir du lieu de Nyquist du système en boucle ouverte. Il est une conséquence du théorème de Cauchy appliqué à la fonction de transfert d’un système a asservi. Comme la structure des fonctions de transfert des systèmes mono variables est simple, ceci à permit de simplifier ce critère, en un critère du revers de Nyquist et une extension de ce critère aux lieux de Bode et de Black. Critère du Revers de Nyquist :
31
Enoncé : Si la fonction de transfert en boucle ouverte G(p) d’un système asservi ne possède aucun pôle à partie réelle positive ,alors ce système est stable en boucle fermée si, en parcourant le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte dans le sens des ω croissant ,on laisse toujours le point critique (-1) à gauche de la courbe.
Figure 2.2 : Exemple d’application du critère du revers de Nyquist.
La stabilité d’un système peut également être observée grâce aux tracés de Bode et de Black.
Critère du revers de Bode :
Figure 2.3 Exemple d’application du critère du revers de Bode
Un système sera stable si, lorsque la courbe de phase passe par -180°, la courbe de gain passe en dessous de 0dB.
Critère du revers de Black :
32
Figure 2.4 : Exemple d’application du critère du revers de Black.
Parcourant le lieu de transfert dans le sens des croissant, si le point critique (0Db ,-180°) est laissé à droite, le système set stable.
Lieux des racines.
En utilisant l’outil informatique, il est facile de représenter le lieu des pôles d’un système ou des racines de son équation caractéristique, soit en le programmant (Mathcad), soit en utilisant la macro-commande disponible dans le progiciel (Scilab ou Matlab).
Exemple d’un système du 3ème ordre :
Fonction de transfert de boucle ouverte :
Les pôles sont les racines du polynôme caractéristique 0223 23 kppp , quand le gain k
varie de 0 à l’infini, les trois racines décrivent chacune trois branches comme visualisées sur la figure suivante. Nous indiquons quelques valeurs caractéristiques de k et le vecteur des pôles
correspondant noté )(kr .
- Trois racines réelles stables :
- Une racine réelle stable et deux racines complexes conjuguées stable :
La limite de stabilité absolue est donc 3lim k .
33
Pour avoir une image de la stabilité relative, le coefficient d’amortissement des oscillations amorties
est 4.00 soit 240 , la valeur de gain correspondante notée pk vaut 0.67.
Lieu des pôles et concept stabilité absolue et relative
Comparaison des réponses indicielles unitaires de la boucle pour limk et pk
34
Abaque de Black-Nichols
Cet abaque est un plan de Black ( )arg(YetYdB
) sur lequel ont été représentées les courbes iso-gain
et iso-phase caractéristiques de la fonctionY
Y1
.
L’utilité de ce plan est que pour un point du plan représenté par son module en dB et son argument en degré, en ce point se « coupent » une courbe iso-gain et une courbe iso-phase qui correspondent
au module en dB et à l’argument en degré du nombre complexeY
Y1
.
L’utilisation de cet abaque permet le passage du tracé de la boucle ouverte à celui de la boucle fermée d’une boucle à retour unitaire.
exemple, avec le réglage pratique du système du 3ème ordre, l’iso-gain de dB3.2 qui signifie qu’en 2ème ordre équivalent, le système se comporte en réponse indicielle avec un 1er dépassement voisin de 22 % (recoupement avec les résultats du lieu des pôles en stabilité relative).
2.1.2 Stabilité, robustesse, marges de gain et de phase : En pratique, un système strictement stable n’est pas satisfaisant, en effet, par exemple si le lieu de Nyquist de la boucle ouverte d’un système stable en boucle fermée est trop voisin du point critique ; sa réponse sera mal amortie. On parle alors de degré de stabilité, il mesure l’éloignement de la juste instabilité .Dune manière générale il suffit d’affaiblir le gain du système pour améliorer le degré de stabilité. D’autres considérations ont conduit les automaticiens à définir une réserve de stabilité appelée robustesse. .Cette notion de robustesse tient compte des intérêts directement liés aux problèmes suivants : - Le lieu de transfert ne doit pas être trop voisin du point critique, dans ce cas, il y a alors la présence d’une résonance élevée ; le système est faiblement amorti et le temps de réponse est important.
- Variation des caractéristiques des actionneurs, le gain peut augmenter. - Influence des retards parasites d’où un effet déstabilisateur en boucle fermée. - Défaut de modélisation des systèmes. - Enfin les processus sont très souvent non linéaires et variant dans le temps.
35
Toutes ces considérations nous ramène à définir des critères de qualité ou de sécurité assurant à la stabilité une propriété robuste.
Marge de gain, notée GM : c’est l’accroissement maximum autorisé à la pulsation d’inversion de
phase où Arg {FTBO}=ArgG(iω) = -180°.
Marge de phase, notée M : c’est la phase qu’il faut ajouter à Arg. {FTBO} à la pulsation de
coupure ou de croisement notée cBO lorsque | FTBO | = 0.
Figure 2.5 :Marges de gain et de phase (lieux deNyquist, Bode et Black)
36
Marge de retard :les phénomènes de retard produisent un déphasage, et donc sont sources d’instabilité. Le déphasage étant important, la marge de phase n’est pas suffisante à caractériser
le retard maximal admissible .On définit alors la marge de retard, notée RM .
Pour cBO et correspondant, on a BOcBOR MM . , soit : cBO
BORM
On constate que plus cBO est élevée, plus la marge de retard diminue. On veillera donc à éviter
d’avoir une valeur de cBO trop grande lors de la réalisation d’un correcteur.
2.2 Précision d’un système asservi :
Soit la structure suivante d’u système asservi :
Figure 2.6 : Structure d’un asservi ment avec présence de perturbations
Le rôle du système asservi est de faire suivre à la sortie s (t), une loi fixée par l’entrée e(t). La qualité du système se juge par sa stabilité et par la précision avec laquelle la loi est suivie. L’idéal est d’avoir un écart ε(t) proche de 0 ; la précision conduit donc à imposer des conditions sur cette erreur ε(t). En vertu du principe de superposition :
)()()( ttt pe .Respectivement, signal d’erreur dû aux variations de l’entrée et signal
d’erreur dû à la perturbation. Ces erreurs comportent une partie transitoire et une partie permanente. L’erreur transitoire est l’erreur en réponse à des variations de e (t) ou p(t).Cette erreur caractérise ce que l’on appelle la précision dynamique ; elle caractérise la rapidité du système L’erreur permanente est l’erreur subsistante lorsque le temps tend vers l’infini, en réponse à des signaux e(t) ou p(t) canoniques. L’erreur en réponse à des échelons caractérise l’erreur statique. On cherche donc à limiter ces erreurs à des erreurs maximales fixées par avance. Exemple de calcul, système sans perturbations : Soit un système bouclé à retour unitaire, de fonction de transfert en boucle ouverte T(p) et de fonction de transfert en boucle fermée F(p). On appelle erreur statique (ou erreur de position) du système en boucle fermée, le paramètre
p défini par : )(lim pptp lorsque e(t) = u(t) échelon unitaire.
En invoquant le théorème de la valeur finale, on a :
)()()(lim)()(lim)(lim 000 pEpFpEppSpEppp pppp
Puisque l’entrée est un échelon unitaire, on a :
G1(p)
R(p)
G2(p) + +
- -
e(t) s(t)
P(p) : perturbations P(p) : perturbations
37
)(1lim)(1lim)(lim)(lim 0000 pFppF
ppppp ppppp
Cette erreur de position est un des paramètres qui permet d’évaluer la précision d’un système en
boucle fermée. Plus p est faible, meilleure est la précision du système.
Erreur de position d’un système comportant un ou plusieurs pôles nuls :
)...1()( 2
21n
n papapapKpG
; le paramètre α est un entier appelé classe du
système. Dans ces conditions :
01)...1(
1lim)(1lim 221
00
K
KpapapapK
KpF pn
ppp
L’erreur de position en boucle fermée d’un système comportant un ou plusieurs intégrateurs est nulle. Tableau récapitulatif :
Précision Classe 0 Classe 1 Classe 2
Erreur de position p
K11
0
0
Erreur de vitesse ou de trainage
V
∞ K
1
0
Erreur d’accélération A ∞
∞ K
1
L’erreur de vitesse ou erreur de trainage (entrée en rampe) se différencie de l’erreur de position par le fait qu’elle permet de chiffrer l’aptitude d’un système à fournir une réponse qui suit le plus précisément possible une consigne qui varie dans le temps(cas général des asservissements),tandis que l’erreur de position évalue son aptitude à se conformer à une consigne constante(cas des régulations). Remarque : La précision est d’autant meilleure que le gain statique K est important, mais ce résultat parait contradictoire, du fait qu’une bonne stabilité est souvent associée à un gain en boucle ouverte relativement faible.
2.3 Rapidité d’un système asservi : La précision dynamique (appelée qualité du système) caractérise la rapidité d’un système. Pour améliorer cette précision, on cherche :
- A réduire l’amplitude des écarts lorsque le système passe d’un régime permanent à un autre (réglage de l’amortissement/dépassement).
- A rendre aussi court que possible la période transitoire pendant laquelle les écarts sont importants : c’est une question de rapidité en réponse du système (réglage du temps de réponse/temps de montée).
38
Paramètres de rapidité en boucle fermée : Temps de réponse : On estime cette durée pratique grâce à la notion de temps de réponse, défini comme le temps mis pour atteindre la valeur finale de la sortie. Soumis à une consigne en échelon, le système supposé stable, répond par un signal qui tend vers une
valeur finie s .On définit alors le temps de réponse à x%prés par :
sxtssxtt xr )100
1()()100
1(,%, .On choisit généralement le temps de réponse à 5.%.
Figure 2.7Paramètres de rapidité en boucle fermée. Temps de montée : Le temps de réponse est aussi un paramètre pour chiffrer la rapidité des systèmes (ordre supérieure ou égal à deux). Pour tout système linéaire d’ordre quelconque, présentant un fonctionnement analogue à un deuxième ordre, c’est-à-dire pour lequel on peut mettre en évidence deux pôles dominants, on
estime l’ordre de grandeur du temps de montée en boucle fermée par :cBO
mt
3 . ; (Abaque des
systèmes du second ordre).
cBO est la pulsation de coupure en boucle ouverte, qui doit être proche de la pulsation propre du
système en boucle fermée. Ce résultat montre qu’il est possible d’estimer la valeur du temps de montée en boucle fermée à partir d’une des caractéristiques fréquentielles du système en boucle ouverte. Limitation du dépassement : On exprime le dépassement d’un système bouclé du second ordre par :
La relation, 100
M
BF représente une estimation qui permet de prédire la valeur du dépassement
en boucle fermée à partir de la marge de phase du système en boucle ouverte qui, rappelons-le est un paramètre significatif de la stabilité en boucle fermée pour tout système linéaire d’ordre quelconque présentant un fonctionnement analogue à un deuxième ordre (notion de pôles dominants).
39
En conclusion, la marge de stabilité et la limitation du dépassement, en boucle fermée, sont améliorées par une diminution du gain statique en boucle ouverte, tandis que la rapidité et la précision s’en trouvent dégradées. Inversement, une augmentation du gain statique en boucle ouverte améliore la rapidité et la précision en boucle fermée, mais rend le système moins stable et augmente le dépassement. Amélioration des performances à l’aide de critères :
Les critères de performance d’un système asservi sont le plus souvent des critères de précision, en réponse à une entrée choisie. Ces critères mettent en jeu la précision dynamique et la précision statique, sur un l’intervalle
temps. ,0 .
Exemple de critères : critère de Hall-Sartorius
0
2 )( dttI .
Application : pour un système du second ordre de fonction de transfert en boucle fermée :
2
221
1)(
nn
pppG
.Pour une entrée en échelon unitaire :
)arccos(1
)(sin)2exp(1
1)(
))arccos(1sin()exp(1
11)(
2
22
2
2
2
np
pn
nn
ttt
ttts
Le calcul de
0
2 )( dttI donne n
I
441 2
.Le minimum est obtenu pour I = 0 ce qui équivaut à :
04
41 2
n
d’où la meilleure performance est obtenue pour ζ = 0.5.
40
Chapitre 3 : Correction des systèmes linéaires asservis. Cahier des charges d’un asservissement/régulation : En règle générale, le cahier des charges d’une boucle de régulation impose, en boucle fermée, quatre performances :
- la précision, matérialisée par la valeur de l’erreur de position p ( 0p ou la plus
faible possible) ; ainsi que celle de l’erreur de vitesse, - La rapidité, matérialisée par une valeur maximale du temps de réponse ou du temps de
montée, - la marge de stabilité, matérialisée par la valeur de la marge de phase, - la limitation du dépassement, ce qui se traduit par une valeur optimale du coefficient
d’amortissement. 3.1 Rôle du correcteur : Pour assurer une compatibilité entre les critères contradictoires de stabilité et de précision et améliorer les performances du système asservi ,on introduit des dispositifs de correction constitués par des réseaux de transmissions passifs ou actifs(structure câblée).Ces correcteurs ont pour but de délivrer un signal de commande ,noté u(t) au système de manière à préserver les exigences de précision et de stabilité à priori incompatibles ;li sera l’élément intelligent du système. Principe général de la correction d’un système :
Figure 3.1 : Principe général de la correction
))()(),(),(()( tetetptxtftu : Selon la nature de cette fonction, on distingue différents types de
correction. : série, parallèle et par anticipation.
Correcteur
Capteur
Système
x(t) ; grandeur intermédiaire
u(t) : commande ε(t) : écart
+
-
e(t)
p(t)
s(t)
41
Correction série : Le correcteur C(p) est introduit dans la chaîne directe en amont du système, son rôle essentiel consiste à modifier les performances du système initial, suivant le cahier de charges.
Figure 3.2 : Correction série. Dans ce cas la commande u(t) = f(ε), on distingue alors trois fonctions :
- La loi de commande proportionnelle ou action proportionnelle notée P : )()( tKtu Fonction de transfert du correcteur C(p) = K.
- Action intégrale, notée I :
dttT
tut
i
)(1)(0
Fonction de transfert du correcteurpT
pCi
1)( .
- Action dérivée, notée D :
dt
tdTtu d)()(
Fonction de transfert du correcteur pTpC d)( .
Un correcteur série réalise plus ou moins parfaitement des combinaisons de ces trois actions En première approximation on peut dire que l’action P augmente la précision dynamique ;l’action I annule l’erreur statique et l’action D tend à stabiliser le système.
Correcteur C(p)
Retour B(p)
Processus G(p)
+
-
e(t)
s(t)
42
Cette figure montre les effets sur le lieu de Black du système considéré que l’on attendrait d’un bon correcteur (actions possibles). Correction parallèle : La correction parallèle ne permet pas l’introduction d’une intégration ; le correcteur C(p) se greffe en parallèle sur un élément fixe de la chaîne et agit essentiellement sur la stabilité et la rapidité. Correction par anticipation : Le correcteur C(p) appelé aussi compensateur élimine théoriquement l’influence des perturbations p(t). Exemple :
Les effets de la perturbation p(t) sont compensées par )( pCcomp
Figure 3. 3 Compensateur :)(
1)(1
. pGpCcomp
3.3 Principe de correction et structure des correcteurs : 3.3.1 Correcteur proportionnel : Le correcteur proportionnel est un simple amplificateur de gain réglable, C(p) = K. Si K > 1, on améliore la rapidité et la précision du système en boucle fermée mais on diminue la stabilité et on accroit son dépassement.
Action du correcteur :
)( pCcomp
)( pC )(1 pG )(2 pG
+ -
+ + +
+
p(t)
s(t) e(t)
43
Figure 3.4 Action du correcteur, lieu de Black.
Ce correcteur équivaut à une translation de la courbe dans le plan de Black et de la courbe du module dans le plan de Bode.
Circuit électrique :
Figure 3.5 Circuit électrique du correcteur proportionnel.
3.3.2 Correcteur proportionnel et intégral :
Fonction de transfert du correcteur proportionnel et intégral :
)11(p
KCdB
Lieu de transfert du correcteur proportionnel et intégral :
dBpC )(
44
Figure 3.6 Lieu de transfert du correcteur proportionnel et intégral. PI
Action du correcteur : Ce correcteur introduit un pôle à l’origine. L’action de ce correcteur se fait sur les basses fréquences. La présence d’un intégrateur annule l’erreur statique, mais il ralentit le système et le déstabilise s’il
est mal placé. Il n’influe pratiquement plus la phase pour les hautes fréquences )10(
.
Mise en place : (Méthode du pôle dominant).
1. Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte,
2. Supprimer le pôle dominantmin
1p
=constante de temps la plus grande(le pôle dominant
correspond à la plus grande constante de temps du système, donc au pôle dominant car c’est lui qui limite la rapidité du système), 3. Déterminer K pour avoir une marge de phase suffisante (ou celle imposée par le cahier de charge).
Circuit électrique :
1
2
.
RRK
CR
Figure 3.7 Circuit électrique du correcteur proportionnel et intégral.
aTpTpKpC
11)( avec a > 1.
dBpC )(
45
3.3.3 Correcteur à retard de phase ;
On utilise généralement le correcteur à retard de phase de fonction de transfert :
pbpKpC.1
.1)(
avec b>1
Lieu de transfert du correcteur à retard de phase :
Figure 3.8 Lieu de transfert du correcteur à retard de phase. Avec les relations :
bm
1
etbb
m
11sin
Action du correcteur : Agit en basses fréquences, il permet de réduire l’erreur statique, il ralentit le système (diminue la bande passante), et le déstabilise s’il est mal placé (τ petit).
Si co
1(la pulsation de coupure en boucle ouverte), on augmente la marge de phase en
conservant un bon gain en basses fréquences, mais on a une diminution de la bande passante, dans ce cas, l’effet du correcteur a la forme suivante (lieu de Black):
dBpC )(
dBpC )(
46
Figure 3.9 Effet du correcteur à retard de phase (lieu de Black).
Circuit électrique :
pCRpCRpC
22
11
11)(
avec 1122 CRCR
Figure 3.10 Circuit électrique du correcteur à retard de phase.
3.3.4 Correcteur proportionnel et dérivée / Correcteur à avance de phase.
Fonction de transfert du correcteur proportionnel et dérivée :
)1()( pKpC .Le gain de ce correcteur est infini pour les hautes fréquences. Ceci est
donc physiquement irréalisable, on l’approxime par : ppKpC d
11)( avec τ très petit
devant d .
Lieu de transfert du correcteur proportionnel et dérivée :
Figure 3.11 Lieu de transfert du correcteur proportionnel et dérivée (Bode).
dBpC )(
47
Action du correcteur:
L’action de ce correcteur se fait sur les hautes fréquences. Son effet est stabilisant et à tendance à augmenter la rapidité. On remarque aussi, sur son lieu de
Bode, que ce correcteur induit un gain infini en hautes fréquences et qu’à.
10, le gain apporté est de
20dB et la phase apportée est quasiment de 90°.
Pour être efficace, ce correcteur doit vérifier : R
1c'est-à-dire l’effet doit se produire
suffisamment tôt. Il y a donc augmentation de la marge de phase, de la marge de gain, de la pulsation de résonnance et de la bande passante. De plus, en augmentant K, on augmente la stabilité et la précision du système.
Figure 3.12 Effet du correcteur proportionnel et dérivée (lieu de Black).
Circuit électrique :
)1()( pKpC p
RRCRR
RCppC
1
11
1)(
Figure 3.13 Circuit électrique du correcteur proportionnel et dérivée. PD
dBpC )(
48
D’une manière générale, on utilise le correcteur à avance de phase qui a un effet semblable au correcteur proportionnel et dérivée dans une importante bande de fréquences.
Fonction de transfert du correcteur à avance de phase.
TppaKpC
11)(
avec a > 1.
Lieu de transfert du correcteur à avance de phase.
Figure 3.14 Lieu de transfert du correcteur à avance de phase (Bode).
Ce correcteur permet d’augmenter la rapidité du système et apporte une avance de phase qui est
maximum à la pulsation m :
am
1
et11sin
aa
m
Ou : a
aarctgarctgarctgam 21)(
(lieu de Bode)
On constate, pour un réglage avec R voisin de m et tel que
1.1
Ra ; on aune action
stabilisante autour de la pulsation de résonnance qui permet d’accroitre alors le gain K du système.
dBpC )(
m
49
Figure 3.15 Effet du correcteur à avance de phase (lieu de Black).
Circuit électrique :
PCRpCRpC.1.1)(
22
11
avec 1122 CRCR
Figure 3.16 Circuit électrique du correcteur à avance de phase.
3.3.5 Correcteur Proportionnel-Intégral et Dérivée :
Fonction de transfert du correcteur (Mixte):
PTpTTpTKpT
pTKpC
I
diid
i
21)11()(
Ce correcteur est essentiellement théorique ; en pratique, on traite la partie action dérivée par un avance de phase. Le filtrage n’intervient alors que sur les hautes fréquences. Les racines du numérateur de C(p) sont réelles si :
0)41(.4 22
i
didii T
TTTTT
dBpC )(
50
D’où la condition : 4i
dTT
C(p) s’écrit alors : ppppC
)1)(1()( 21
i
d
TTréelset 411
2; 2,121
Avec 12 iT
Lieu de transfert du correcteur : PID mixte dérivée pure PID mixte dérivée filtrée
Figure 3.17 Lieu de transfert du correcteur PID (Bode)
Pour 02
)(: 21
pppp arctgarctgjCArg
Soit encore : 21 221
21
p
pparctg
Condition réalisée si : 01 221 p d’où KjCet
TT Pdi
p )(1 .
1
1
2
1
20logK
p
dBpC )(
51
Ce point particulier du lieu de transfert est appelé point de pivot, les actions intégrales et dérivées non aucune influence.
Action du correcteur: L’action de ce correcteur se fait sur toutes les fréquences. Son effet est stabilisant, il annule l’erreur statique, il contribue à augmenter la rapidité.
Synthèse du PID dans le plan de Black :
Conditions de réglage satisfaisant : Rd
Ri T
etT
11
On constate, dans le lieu de Black, l’augmentation de la précision statique due à l’intégration ; de plus, l’avance de phase permet d’accroitre le gain K et par conséquent, la pulsation de résonance et la pulsation de coupure.
Figure 3.18 Effet du correcteur PID (lieu de Black).
Circuit électrique :
Figure 3.19 Circuit électrique du PID.
dBpC )(
52
3.3.6 Correcteur avance et retard de phase :
Ce réseau est plus proche des réalisations physiques des PID. Sa fonction de transfert s’écrit :
1;.1.11)( appa
pTKpC
i
En basses fréquences, ce correcteur à action de type proportionnelle et intégrale permettant ainsi d’avoir une bonne précision statique. En hautes fréquences, le comportement se rapproche de celui du système à avance de phase combinant ainsi les intérêts des deux autres types de régulation.
3.3.7 Correcteur PID Série Approche Graphique : méthode de réglage (cours de régulation industrielle)
Sa fonction de transfert s’écrit :
pTpT
KpC dsis
ps
111)(
C’est la mise série de trois correcteurs élémentaire : Proportionnel, Proportionnel et
Intégrale et Proportionnelle et Dérivée.
53
Diagramme de Bode :
Figure 3.20 Diagramme de Bode du PID Série.
Détermination du correcteur PID : Méthode algébrique-pôle dominant.
Un PID comporte deux constantes de temps, si di TT 4 ; il permet d’annuler
algébriquement deux constantes de temps du système à corriger ( iT compensant la plus
grande et dT la suivante).
Exemple d’application :
pppppG
515.0.101.012.0140)( 2
Le cahier de charges :
- Erreur de position nulle - Marge de phase supérieure à 50 °, - Temps de réponse à 5% inférieur à 1 s.
- Une intégration à basses fréquences pour
iT1
- Déphasage = -90°
Action dérivée pour hautes fréquences
dT1
di TT
11
Gain = 20logK
54
Détermination du correcteur : on choisit un PID Série.
pTpT
KpC di
pss
111)(
pppp
ppC
KsTT
sTT
S
ps
ds
is
55.01515.01
511)(
15.0
5
2
1
On trace les diagrammes de Bode :
- Marge de phase insuffisante. Il faut ajuster le gain psK
- Pour cela, on recherche sur la courbe de phase la pulsation correspondant à un déphasage de -180+50 = -130° que l’on reporte sur la courbe de gain. Ici on constate que l’on doit descendre la courbe de gain de -4dB soit :
))20/4(log(63.010 204
InvK ps
55
Le correcteur obtenu s’écrit :
p
pppCs 55.015163.0)(
Résultat :
Figure 3.21 Détermination du correcteur PID Corrigé Méthode graphique.
Il existe plusieurs méthodes graphiques permettent de configurer un correcteur PID. Par exemple ; si on dispose de la représentation fréquentielle de la FTBO :
45M
0p
str 1
56
Figure 3.22 FTBO système non corrigé.
On constate :
- Que le système est instable 10M,
- Et n’est pas précis ; il ne possède pas d’intégration (l’argument tend vers 0° lorsque tend 0).
On souhaite :
- Assurer la stabilité 50M
- Assurer la précision statique, 0p
- Assurer la rapidité en imposant une bande passante srdo /5
On choisit le correcteur série :
pTpT
KpC di
pss
111)(
On a trois paramètres à régler :
- On choisit di TT .10
- Sur le lieu de Bode , pour la pulsation srdodB /5 souhaitée : 190)5( jFTBOArg
dBjFTBO 8)5(
57
La partie dérivée du correcteur doit compenser 10odB du déphasage et assurer la marge de
phase souhaitée 50M , le correcteur doit donc avancer la phase de :
60)5( jFTBOArgM Et le gain pour cette pulsation doit diminuer de 8 dB.
Le correcteur peut être modélisé pour les hautes fréquencesiT
1
par le correcteur :
pTKpC dp 1)(
A partir de ce modèle simplifié on peut calculer pour srdodB /5 :
2.0345.0
81log20)(
60).()(22
p
d
obDdPD
odBdPD
KsT
dBTpC
TarctgpCArg
Comme on a choisit, di TT .10 alors :
p
ppC 345.01
45.3112.0)(
Figure 3.23 Résultats du réglage.
58
3.4. Correction parallèle :
Figure 3.24 Principe général
C(p) se greffe en parallèle sur un élément fixe de la chaîne et agit essentiellement sur la stabilité et la rapidité. Il est calculé de manière à obtenir les performances exigées.
- Exemples de corrections parallèles :
Correction tachymétrique simple : ppC .)(
Correction tachymétrique filtrée : TpTppC
1
)(
3.5. Autres méthodes de synthèse 3.5.1. Méthode de placement de poles. Juste un exemple d’application:
On considère le système à régler
𝐺𝑎(𝑠) =1
𝑠2 + 4
1. Quel type de régulateur est approprié pour ce système à régler (P, PI, PD, PID) ? Justifier votre réponse.
2. Déterminer les paramètres d’un régulateur PD pour atteindre en boucle fermée les pôles suivants : 𝑠1 = −2, 𝑠2 = −20. Méthode de placement de pôles.
3. Est-ce que le comportement de la boucle fermée sera oscillatoire ou apériodique pour ce choix des paramètres ? Justifier votre réponse.
4. Les paramètres sont maintenant fixés à Kp = 2 et Td = 3 [s]. La consigne vaut w(t) = 0, et le système est soumis à une perturbation v(t) = 5. Calculer l’erreur statique.
3G 2G 2G + -
+ -
C(p)
B(p)
e(t) u(t) s(t)
59
Réponse à la 2ème question :
pTKpC dp 1)(
4)1(
)()( 2
ppTK
pGpCFTBO dpC
L’équation ou le polynôme caractéristique s’écrit :
041 2 pdpC KpTKpFTBO
Le polynôme souhaité (système corrigé):
04022)20)(2( 2 pppp
L’identification des polynômes donne :
)61.01(36)(61.0
3622404
ppCsT
KTK
K
d
p
dP
p
3.5.2. Synthèse d’une régulation utilisant le gabarit fréquentiel : Les performances demandées par un cahier de charges peuvent se traduire par un gabarit fréquentiel dans lequel doit entrer la fonction de transfert en boucle ouverte. Pour satisfaire les performances attendues d’une régulation : stabilité, rejet des perturbations, bonnes performances dynamiques, on doit avoir :
- )( jFTBO grand aux basses fréquences (rejet des perturbations constantes, précision) ;
- )( jFTBO petit aux hautes fréquences (rejet des bruits de mesure) ;
- co grand pour une bonne vitesse de réponse ;
- assez grand pour une bonne stabilité et un dépassement faible. On montre que est
faible si la pente du diagramme asymptotique de Bode est inférieur à -2 pour co .
60
Figure 3.25 Gabarit fréquentiel type pour une régulation.
Il faut donc trouver le correcteur C(p), qui, mis en cascade avec la fonction de transfert en boucle ouverte initiale (celle du système à piloter) permettra de rentrer dans le gabarit. Les principales fonctions à réaliser sont :
- augmentation du gain statique pour augmenter la précision et assurer le rejet de perturbations,
- augmentation de la marge de phase pour assurer la stabilité et diminuer les dépassements,
- maintenir (ou éventuellement augmenter un peu) co pour améliorer les performances
dynamiques.
Chapitre 4. Les modèles d’état. La notion de systèmes dynamiques montre que la modélisation la plus riche est celle qui utilise la notion d’état puisqu’elle représente un ensemble de variables a priori plus grand que celui constitué par les entrées et sorties. Cette représentation d’état est un outil puissant permettant de modéliser le fonctionnement de systèmes linéaires ou non, en temps continu ou en temps discret et qui possède en outre l’avantage de conserver la représentation temporelle des phénomènes et se prête bien au développement des programmes de calculateurs qui permettent l’analyse ou la synthèse des systèmes dynamiques. Les variables d’état représentent à chaque instant, l’ensemble minimal d’informations nécessaires pour déterminer l’évolution ultérieure d’un système ; de ce fait, elle se fait essentiellement dans le domaine temporel.
61
4.1 Etat d’un système et variable d’état.
Considérons le système représenté sur la figure 4.1.Ce système est composé d’une cascade d’éléments différents et la commande automatique d’un tel système peut très bien aller beaucoup plus loin que la seule ambition de réguler le signal de sortie. Un certain nombre de signaux, que l’on peut qualifier d’internes au système apparaissent
nettement sur le schéma notés ,, 21 xx et 3x .
Figure 4.1 Exemple de représentation d’état d’un système continu.
Ces variables internes choisies sont appelées variables d’état du système. La commande du système ne se réduit donc pas au simple asservissement du signal de sortie mais peut donc
être considéré comme la maîtrise simultanée de l’évolution des trois signaux ,, 21 xx et 3x.On dit que l’ensemble de ces trois signaux forme le vecteur d’état et la modélisation va permettre d’envisager la commande de cet état grâce au signal d’entrée. A partir de la figure 7.1, on calcule la dérivée de chaque variable d’état :
23
212
31
xxKxxx
xuyux
Qui s’écrit : )(tBuAxx
Comme 3)( xty , on écrit :
3
2
1
.100)(xxx
ty
On exprime donc l’évolution du système, modélisée par un vecteur constitué de dérivées premières des composantes du vecteur d’état, en fonction du vecteur d’état x du système. Dans le cas général le système peut avoir plusieurs entrées et plusieurs sorties. Soit n le nombre de variables d’état, m le nombre d’entrées et p le nombre de sorties. Dans ces conditions, l’équation d’état d’un système LTI sous forme canonique s’écrit :
)()()()()()(tDutCxtytButAxtx
mpn RuRyRx ,, .
+ - + -
K
1x 2x 3x
u(t) y(t)
62
La première équation s’appelle l’équation de commande ; la seconde, équation d’observation. A (nx n) est la matrice d’état, B (n x m) est la matrice d’entrée, C (p x n) est la matrice de sortie, D (p x m) est le transfert direct (ou couplage) entrée/sortie. Le vecteur d’état x représente en pratique, la mémoire du système, et la connaissance des conditions initiales est nécessaire pour prévoir son évolution future.
Figure 4.2 Schéma fonctionnel pour la forme canonique
Il est rare que la sortie soit directement liée à son entrée. On a donc très souvent D = 0. ►Gain statique :
Le point d’équilibre pour une entrée utu )( est donnée par 0x ; soit :
BuxA0 .
Si la matrice A est inversible, c’est-à-dire s’in n’y a pas de valeurs propres nulles ou pas de pôles nuls dans la fonction de transfert, alors :
01
1
)(
ppGBCAK
KuBuCAy
K est le gain statique. ► Gain dynamique : Lorsque le système contient une ou plusieurs actions intégrales, ce n’est plus la sortie qui tend vers
une constante pour une entrée nulle mais sa dérivée ou sa dérivéeièmen .Le rapport entre la valeur
finale de cette dérivée et l’entrée est appelé le gain dynamique. 4.2 Représentations équivalentes. Les systèmes dont le fonctionnement est décrit par des équations différentielles ou des équations de récurrences linéaires à coefficients constants sont appelés systèmes LTI pour les systèmes Linéaires à Temps Invariant. Les matrices A, B, C et D sont donc des matrices à coefficients constants.
- Représentation classique :
+ + -
B
C
A
+
D
+
u y x x
63
Ce mode de représentation est déduit directement de l’équation différentielle (cas continu) ou de l’équation de récurrence (cas discret). Exemple : système masse-ressort-amortisseur.
L’équation différentielle du second ordre s’écrit : )()()()(2
2
tftkldt
tdlbdt
tldm
m, b, k et l sont respectivement la masse, le coefficient d’amortissement, la constante de raideur du ressort et l’élongation.
Conditions initiales : 0)(0)0( v
dttdletl
On écrit l’équation précédente sous forme différentielle du premier ordre :
021
212
2
22
211
)0(0)0(
)(1)()()()()()(
)()()()()()(
vetxx
tfm
txmbtx
mk
dttldtx
dttdltx
txdt
tdltxtytltx
Un tel système se met alors sous la forme d’équation d’état dite classique :
)(01)(
)(10
)(10
)(
txty
tum
txmb
mktx
0)()(
Dtftu
- Représentation modale :
Ce mode de représentation permet d’avoir la matrice d’état ou matrice d’évolution A sous forme de matrice de Jordan (cas des pôles multiples) ou diagonale (cas des pôles simples). Exemple : Cas des pôles simples : Pour la transmittance :
21
11
231
)()()( 2
pppppU
pYpG
2)(
1)()(
ppU
ppUpY ;
On pose :
)()()(
)()(2)(2)()(
)()()(1)()(
21
222
111
txtxtety
tutxtxp
pUpX
tutxtxp
pUpX
D’où l’écriture modale :
64
)(11)(
)(11
)(20
01)(
txty
tutxtx
Les variables x sont des variables canoniques puisque A est diagonale. Les pôles i simples
déterminent les modes tie du système.
Figure 4.3 Représentation d’état du système continu sous forme modale.
+ -
1p
1
+ -
2
2p
.
.
.
+ - n
+ +
+
np
u(t) y(t)
65
Figure 4.4 Représentation d’état du système discret sous forme modale.
Dans le cas d’un système du second ordre : 2
2121
)(pp
KpG
nn
Les pôles complexes conjugués sont non décomposables ; on utilise alors la représentation d’état suivante :
Figure 4.5 Représentation d’état d’un bloc du second ordre non décomposable.
- Représentation compagne commandable.
+ -
n2
2n
y(t) u(t)
+ -
1z
1p
1
+ -
1z 2
2p
.
.
.
+ - n
+ +
+
1z
np
u(kT) y(kT)
66
La fonction de transfert n’est factorisée, et s’écrit :
011
1
011
1
......)(
apapapabpbpbpbpG n
nn
n
mm
mm
, avec n ≥ m.
Pour 1na (on divise le numérateur et le dénominateur par na ), divisons le numérateur et le
dénominateur par n, on obtient :
)()(
...1...)(
01
11
1
01
11
1
pDpN
papapapbpbpbpbpG nn
n
nnnmm
nmm
On peut alors écrire :
)()()(.)()()( pNpRpN
pDpUpY
nnn papapa
pUpR
01
11
1 ...1)()(
Soit :
)(...1)( 01
11
1 pUpapapapR nnn
)(11...1)()( 0
1
11 pRp
ap
ap
apEpRnn
n
Si on pose :
,)()(,...,)()(,)()( 121 nnn ppRpX
ppRpX
ppRpX
On obtient : )()(...)()()( 10211 pXapXapXapEpR nn
On peut alors choisir les ix comme composantes du vecteur d’état, d’où la représentation
d’état :
67
Figure 4.6 Représentation d’état compagne commandable.
Le signal de sortie s’écrit alors :
)(...)( 01
11
1 pRpbpbpbpbpY nnnmm
nmm
D’où :
)()(...)()()( 102111 pXbpXbpXbpXbpY mmmm .
Les équations d’état se déduisent naturellement de cette représentation :
12110
2110
1
32
21
...)()(...
mm
nnn
nn
xaxbxbtytuxaxaxax
xx
xxxx
D’où :
+ -
+ +
nx
nx
1na
2na
0a
0b
1b
mb
2x
1nx
u(t) s(t)
68
)(0...0...)(
)(
10
00
)(
......10...0000100...010
)(
0
110
txbbty
tutx
aaa
tx
m
n
Cette forme de représentation est appelée forme compagne commandable car la matrice de commande du système contient, en une seule ligne, l’ensemble des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert. Elle est dite commandable, bien que seule la
variable nx soit directement affectée par le signal d’entrée, toutes les variables d’état s’en
trouvent influencées par intégrations successives. Si un système est commandable, alors on peut le mettre sous forme compagne commandable.
- Représentation compagne observable.
La forme de G(p) déjà transformée s’écrit :
)()(
...1...)(
01
11
1
01
11
1
pDpN
papapapbpbpbpbpG nn
n
nnnmm
nmm
On peut ensuite écrire :
)(...)(...)( 01
11
101
1 pUpbpbpbpbpYpapapY nnnmm
nmm
nn
D’où :
)(1...1)(11...1)( 00
1
11 pUp
bp
bpSp
ap
ap
apSnmn
m
nn
n
Et la représentation d’état suivante :
69
Figure 4.7 Représentation d’état compagne observable.
Les équations se déduisent directement de cette représentation :
n
nnnn
mnmmm
n
n
xtyxaxx
tubxaxxtubxaxx
tubxax
)(
)()(
)(
11
1
1112
001
D’où :
)(10...0)(
)(
0
0)(
100...0010...0
0...0100......010.........0
)(
0
1
0
txty
tub
b
tx
a
aa
tx m
n
0b 1b mb
0a
1a
ma 1na
+ +
u(t)
y(t)
......... .........…
nxnx
1x 1x
+ - - - -
+
2x 2x 1mx 1nx
70
Cette représentation est appelée forme compagne observable car, outre le fait que la matrice de commande du système contient ,en une seule colonne, l’ensemble des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert, on remarque que la sortie de ce
système est égale à nx qui ,par intégrations successives ,est bien influencée par toutes les
variables d’état. Si un système est complètement observable, alors on peut le mettre sous forme compagne observable. 4.3 Résolution des équations d’état. Matrice de transition d’état. Résoudre les équations d’état consiste à déterminer l’expression du vecteur d’état x(t) en fonction du temps.
La solution générale de l’équation : BuAxx est donnée par la théorie des équations
différentielles :
dBuetxetx tAttA )()()( )(0
)( 0.
Cette expression est la somme de la solution de l’équation correspondant au régime libre(ou
autonome), soit )( 0)( 0 txe ttA
et de la solution correspondant au régime forcé(ou commandé).
L’opérateur )(tAe est appelé matrice de transition d’état, notée )(t , elle décrit la transition en
régime libre de )( 0tx à )(tx .
...!
...!2
)(22
ntAtAAtIet
nnAt ; I représente la matrice carrée identité de
dimension n. La sortie est donnée par : y(t) = Cx(t) + Du(t). Calcul de la matrice de transition :
- Utilisation de la transformée de Laplace. Passage aux transformée de Laplace de )()()0()( pBUpAXXppXBuAxx
Soit : )()0()()( pBUxpXApI
D’où : )()()0()()( 11 pBUApIxApIpX
Il en résulte 1)()( ApIp ; la transformée de Laplace inverse donne )(t .
- Méthode de diagonalisation. Diagonalisation de la matrice d’état A :
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
...............
...
...
21
22221
11211
Les vecteurs propres et les valeurs propres de cette matrice sont définis par : )()( iii vvA
Les vecteurs non nuls )( iv sont les vecteurs propres de A ; les i sont ses valeurs propres qui sont les
racines de l’équation caractéristique de la matrice A définie par : 0)det( AI .
Si on appelle la matrice diagonale formée des valeurs propres de la matrice A et M la matrice modale formée des vecteurs propres, on a :
71
n
0...00...00...000...0
2
1
et )(...)()( 21 nvvvM
Dans ces conditions : 1 MMA
Par conséquent :1.
0...00......0...000...0
.2
1
M
e
ee
Me
t
t
t
At
n
4.4 Equation d’état et fonction de transfert.
Le système étant décrit par :
CxyBuAxx
0D Passage aux transformée de Laplace :
)()()()()(
pCXpYpBupAxppX
)()( 1 pBUApIpX .Conditions initiales nulles.
D’où la fonction de transfert : BApICpUpYpG 1
)()()(
Si )()()( tDutCxty ; alors : DBApICpUpYpG
1
)()()(
4.5 Commandabilité d’un système. Le concept de commandabilité a été introduit par Kalman ; et son critère est le plus utilisé.
Un système est commandable s’il est possible, quel que soit l’intervalle 21,tt et quelque soit l’état
2x , de déterminer un signal de commande u(t) sur 21,tt qui amène le système de n’importe quel
état 11)( xtx vers l’état voulu 22 )( xtx .
Critère de Kalman : Un système est commandable si et seulement si la matrice de commandabilité, défini par :
BABAABBC nAB
12 ... est de rang n.
La paire A, B est complètement commandable si et seulement si, cette matrice de commandabilité est régulière, autrement dit si son déterminant n’est pas nul.
72
On parle aussi d’accessibilité ; un système est dit accessible, s’il est possible de déterminer un signal
d’entrée u(t) sur l’intervalle 21,tt de manière à amener le système d’un état 11)( xtx vers l’état
22 )( xtx .
4.6 Observabilité d’un système.
Un système est dit observable à un instant 1t , si la connaissance du signal d’entrée et du signal de
sortie sur un intervalle de temps 21,tt permet de calculer l’état du système à l’instant 1t .
Critère d’observabilité : Le système :
)()()()()()(tDutCxtytButAxtx
est observable si et seulement si la matrice d’observabilité définie par :
1
2
...nCA
CACAC
C
est de rang n. La paire A, C est complètement observable si et seulement si, cette matrice d’observabilité est régulière, autrement dit si son déterminant n’est pas nul.
73
Chapitre 5 : Analyse et synthèse des systèmes dans l’espace d’état. 5.1Stabilité :
En représentation d’état, pour analyser la stabilité d’un système linéaire invariant, deux solutions sont possibles. - La première consiste à déterminer l’équation caractéristique dont l’expression est donnée par :
0det ApI
etpuis, conclure sur la stabilité (Routh-Hurwitz, Jury).
- La seconde repose sur la méthode de Lyaponov et résulte du théorème suivant : Si deux matrices symétriques définies positives P et Q vérifient l’équation de Lyaponov
stationnaire : QPAPAT , alors le système )()( tAxtx est asymptotiquement stable
au sens de Lyaponov. Inversement, si le système )()( tAxtx est asymptotiquement stable
au sens de Lyaponov, alors pour toute matrice Q symétrique et définie-positive, l’équation
de Lyaponov a une solution unique P symétrique-positive. Méthode de test de la stabilité :
1. Prendre une matrice Q quelconque symétrique et définie-positive.(on prend IQ
pour simplifier les calculs). 2. Résoudre l’équation de Lyaponov :
QPAPAT , puis déduire P .
3. Tester si la matrice P obtenue est symétrique définie-positive et conclure sur la stabilité.
5.2 Commande par retour d’état : Le retour d’état est actuellement l’outil de base de l’automatique ; il fournit une procédure systématique et garantie permettant d’assurer au moins la stabilisation de n’importe quel système linéaire invariant. En pratique, la commande par retour d’état suppose que toutes les variables d’état sont accessibles (mesurables).
74
Figure 5.1 Structure de commande par retour d’état.
On utilise l’état x(t) du système pour construire le signal de commande u(t) par un bouclage de la forme :
n
n
x
xx
kkktetKxtetu2
1
21 ...)(.)()(.)(
α est un gain de pré bouclage. Le but de la conception cette commande par retour d’état consiste à déterminer le vecteur ligne K (vecteur de gain) de façon à satisfaire des spécifications qui reposent sur un placement des valeurs propres en boucle fermée (performances dynamiques) ou sur un placement de structure (fonction de transfert en boucle fermée ou équation d’état).On peut aussi obtenir ces gains matriciels de bouclage en utilisant les principes de commande optimale. Cette commande par retour d’état impose que le système (A, B) estcommandable. 5.2.1 Fonction de transfert en boucle fermée (placement de structure) : Le système en boucle ouverte est régi par :
)()()()()(
tCxtytButAxtx
On a alors :
)()(.)()( tKxteBtAxtx ,
Soit :
)(.)()( teBtxBKAtx ,
α + -
)()()( tButAxtx )()( tCxty
K
u(t) y(t)
x(t)
x(0)
e(t)
Système
Retour d’état
75
Passage aux transformées de Laplace :
)()( 1 pEBBKApIpX
,
D’où la fonction de transfert en boucle fermée :
BBKApICpEpYpF 1
)()()(
.
Dans le cas d’un placement de pôles pour un système commandable, on identifie le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée tenant compte du retour d’état avec le dénominateur de la fonction de transfert obtenue à partir du cahier de charges. Exemple :
Considérons le système défini par :
3122
A et
21
B .
Le système est commandable ; on souhaite placer ce système dans une boucle à retour
d’état avec un vecteur de gain 21 kkK ,de manière à obtenir une marge de phase
égale à 60° et un temps de montée de 3s. Ces performances correspondent à une fonction de transfert du second ordre caractérisée
par un facteur d’amortissement ζ = 0.6 et une pulsation propre srdn /1 , autrement dit
possédant un dénominateur D(p) tel que :
12.112)( 22
2
pppppDnn
On identifie le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée tenant compte du retour d’état à D(p) :
12.1det 2 ppBKApI
Soit :
12.1)4()25(12.1)2)(21()23)(2(
12.12321
22
2121
2
21221
2
22
11
ppkpkkpppkkkpkp
ppkpk
kkp
D’où :
4.03
2.12514
2
1
21
1
kk
kkk
Le vecteur de gain qui assure au système les performances voulues en boucle fermée est donc :
4.03K .
5.2.2 Calcul de la matrice de pré-filtre Les équations d’état et de sortie en régime statique s’écrivent :
76
)()(
)()(0tCxty
teBtxBKA
)()(
)()(1
1
teBBKACty
teBBKAtx
11 )( BBKAC
5.2.3 Points sur la commande par retour d’état :
La commande par retour d’état nécessite la connaissance du vecteur d’état (accessibilité à la mesure),
Dans le cas contraire, on fait appel à un observateur d’état, c’est un système dédié dont la fonction consiste à reconstruire le vecteur d’état à partir des mesures accessibles sur les entrées et les sorties du système (deux cas sont a considérés : système non bruité et système présentant des bruits sur les mesures ou sur les commandes),
Le retour d’état peut avoir également comme objectif de découpler l’effet des entrées sur les sorties (cas des systèmes multivariables).Les méthodes de découplage conduisent souvent à des retours d’état dynamiques, par opposition à ceux envisagés ici, dits retour d’état statique.
α + -
)()()( tButAxtx )()( tCxty
K
u(t) y(t)
x(t)
x(0)
e(t)
Système
Retour d’état
α
Optimise le régime dynamique
11 )( BBKAC
Optimise le régime permanent
77
5.3 Observateurs et estimateurs d’état : Lorsque toutes les variables d’état ne sont pas mesurables mais le système est complètement observable ; il est alors possible de reconstruire le vecteur d’état à un instant donné à partir de la connaissance du signal de sortie et du signal d’entrée du système sur un intervalle de temps précédent ; on utilise pour ce faire un observateur d’état. Si le système n’est pas complètement observable, il est nécessaire d’estimer le vecteur d’état au moyen d’un estimateur d’état. L’idée est de fabriquer une simulation du système et d’y ajouter une entrée supplémentaire fonction de l’écart entre la sortie (mesurée) du système et la sortie (calculée) de la simulation de manière à assurer la convergence de l’état estimé vers l’état réel du système. On considère le système dont le modèle d’état est donné par :
)()()()()(
tCxtytButAxtx
,
On note par )(ˆ tx l’estimé de )(tx à l’instant t ;
Figure 5.3 Schéma de l’observateur asymptotique
)()()( tButAxtx )()( tCxty
L + -
)()(ˆ)(ˆ tButxAtx )(ˆ)(ˆ txCty
Système
u(t)
y(t)
Observateur
Simulateur
)(ˆ tx
)(ˆ ty
)(ˆ tx
yy ˆ
78
Observateur de Lumberger
Mise en équations :
On définit l’erreur d’estimation ε(t) par :
)(ˆ)()( txtxt
Lorsque )(ˆ)( txtx ,on peut admettre que les états sont les mêmes et l’état )(ˆ tx reconstruit,
représente le vecteur d’état x(t) inconnu. L’objectif consiste donc à faire converger ce vecteur vers un vecteur constant le plus faible possible (idéalement vers 0) et, ce le plus rapidement possible. La structure de l’observateur est de la forme :
)(ˆ)(ˆ
)(ˆ)()()(ˆ)(ˆ
txCtytytyLtButxAtx
,
où apparait le terme correctif en fonction de l’erreur de reconstruction de la sortie,
)(ˆ)( tyty ,et le gain de correction L, appelé gain de l’observateur est à déterminer. Cette
structure peut être écrite sous la forme :
)()()(ˆ)(ˆ tLytButxLCAtx .
Si on considère l’erreur d’estimation :
)(ˆ)()( txtxt ,
On obtient :
)(ˆ)(ˆ tLCAt ,
ce qui conduit à l’évolution de l’erreur d’estimation à partir de la condition initiale
)0(ˆ)0()0( xx , qui est non nulle de façon générale parce que l’état est à priori
inaccessible : ).0()(ˆ .)( tLCAet
79
Pour que l’observateur soit utilisable il est nécessaire que cette erreur tende vers 0 lorsque t augmente. Lorsque cette propriété est satisfaite l’observateur est dit asymptotique, mais il est évident que c’est une propriété nécessaire au fonctionnement correct de l’observateur .En conséquences il faudra choisir L telle que les valeurs propres de la matrice (A - LC) soient toutes à parties réelles strictement négatives. En pratique on choisit une dynamique d’erreur plus rapide que celle du processus. Les pôles de la fonction de transfert qui détermine la dynamique de l’estimation se calcule en fonction des composantes du vecteur L.
Fin du programme du premier semestre. 5.3.1 Utilisation de l’observateur en boucle fermée pour la commande par retour d’état (régulateur-observateur): La loi de commande s’écrit alors :
)()()( tKxtetu , et 0D .
Comme l’état n’est pas accessible, la commande réellement mis en œuvre devient :
)(ˆ)()( txKtetu ,
Equations d’état en boucle fermée (Figure 6.4) :
)(0)(ˆ
)(0)(ˆ
)(te
Btxtx
LCABKBKA
txtx
)()(ˆ)(
)( teDtxtx
DKDKCty
80
Figure 5.4 Commande par régulateur-observateur (formulation continue).
Les dynamiques du système commandé par un régulateur-observateur en boucle fermée c'est-à-dire les valeurs propres de la matrice :
LCABKBKA
0
Sont construites de la réunion de celles désirées en boucle fermée et celles de l’observateur. Ainsi on peut régler de façon indépendante le problème de la régulation et le problème de régulation c’est le principe de séparation.
Fonction de transfert en boucle fermée :
00.)(
1
B
LCApIBKBKApI
DKDKCDpF.
Détermination du gain de l’observateur : Il s’agit de déterminer L soit directement, soit par la formule de Bass et Gura qui permet la construction d’un algorithme. Le gain de l’observateur est fixé d’après le choix des valeurs propres de la matrice A-LC :
)det()det( TTT LCApILCApI ,
On note :
1
0)det()(
n
i
ii
n papApIpa et )(ˆ pa le polynôme représentant les dynamiques
désirées pour l’observateur :
Processus (A, B, C,D)
L
+ -
+
+
A-LC
K
B-LD +
Α.e(t) u(t) y(t)
)(ˆ tx
81
,ˆ)()(ˆ1
01
n
i
ii
nn
ii papppa
où les i sont les valeurs propres désirées pour A-LC.
Cas mono sortie (L = 1).
5.3.2 Remarques sur les observateurs : Quel que soit le type d’observateur choisi, le principe de séparation énoncé dans le cas continu, reste valable : commande par retour d’état et observateur peuvent être déterminés séparément. Comme dans le cas continu, deux approches existent pour le choix du gain du reconstructeur d’état, l’une basée sur la notion de placement de pôles, l’autre basée sur la minimisation d’un critère quadratique associé. Dans le cas des systèmes discrets, il existe un choix particulièrement intéressant, qui consiste à déterminer L tel que la matrice LCA soit nilpotente, c’est-à-dire que toutes ses valeurs propres soient nulles. En effet, dans ce cas on obtient un observateur à réponse pile où
l’erreur est exactement nulle au bout de imax pas où les i sont les indices
d’observabilité. Notons la différence avec un observateur asymptotique où l’erreur tend vers 0.
Références bibliographiques : 1. M.Ksouri et P. Borne, La commande par calculateur. Applications aux procédés industriels.
Ed.Technip 1999. 2. R.Husson, C.Iung, J.P.Aubry, J.Daafouz et D.Wolf, Automatique, du cahier de charges à la
réalisation de systèmes. EdDunod2007. 3. Y.Granjon, Automatique, systèmeslinéaires, nonlinéaires, à temps continu, à temps discret,
représentation d’état. EdDunod 2001. 4. F.Rotella, Cours observation, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes. 5. J.C.Chauveau, Systèmes asservis linéaires et non linéaires. EdCasteilla 1995. 6. D.Lequesne, RégulationPID.Analogique-numérique-flou.EdHermès-Lavoisier 2006. 7. R.Longchamp, Commande numérique de systèmes dynamiques, cours d’automatique. Ed
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes 2006. 8. E. Laroche, Commande optimale, cours. Université Louis Pasteur de Strasbourg 2005. 9. M.Rivoire, J.L.Ferrier, Commande par calculateur-Identification.Ed Eyrolles 1994. 10. Représentation et analyse des systèmes linéaires .Notes de cours.Version 5.2.D. Arzelier
LAAS-CNRS 11. Cours de Systèmes Asservis. J.Baillou, J.P.Chemla, B. Gasnier, M.Lethiecq. Polytech'Tours
