A.Meghebbar Asservissements linéaires. · PDF file 2018. 1. 30. · 1 A.Meghebbar Asservissements linéaires. Chapitre 1 : Concepts et mise en équation des asservissements linéaires

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A.Meghebbar

Asservissements linéaires.

Chapitre 1 : Concepts et mise en équation des asservissements linéaires.

 Signaux et systèmes

Système : un système peut être défini comme un ensemble d’éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Il est soumis aux lois de la physique.

Le système communique avec l’extérieur par l’intermédiaire de grandeurs, fonctions du temps, appelées signaux, entrées/sorties et soumis à des perturbations.

Système : « boîte » qui possède des entrées (actions gérées et subies) et des sorties (réactions induites).

Une sollicitation ou réponse d’un système est considéré comme un signal…

(Signaux usuels : Impulsion de Dirac )(t – Echelon unitaire )(tu et échelon de vitesse).

(Graphe et équation à formuler pour ces signaux usuels).

On s’intéresse donc à la relation entre la grandeur d’entrée correspondant à une action extérieure s’exerçant sur le système, appelée commande (c’est une cause) ; et la grandeur de sortie caractérisant son état (effet) tout en tenant compte des perturbations.

L’action e (t) correspond à l’application au système d’une énergie qui peut être un signal électrique (tension, courant), un signal mécanique (vitesse, force), un signal pneumatique (pression, débit) …

E(t) et s(t) sont des signaux temporels.

Système Multi variable

Système Mono variable

e(t) s(t) ei(t) sj(t)

p(t)

p(t)

Automatique Continue : Les signaux et les systèmes mis en jeu sont continus (à temps continu. Exemple : régulation de vitesse). Automatique Discrète : Des signaux discrets (et éventuellement des signaux continus) interviennent pour commander des systèmes discrets (et éventuellement des systèmes discrets).Exemple : séquenceur programmable.

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Automatique : Qui fonctionne tout seul ou sans intervention humaine. Il existe deux domaines d'intervention de l'automatique :

- Dans les systèmes à évènements discrets. On parle d'automatisme (séquence d'actions dans le temps).

Exemples d'applications : les distributeurs automatiques, les ascenseurs, le montage automatique dans le milieu industriel, les feux de croisement, les passages à niveaux.

- Dans les systèmes continus pour asservir et/ou commander des grandeurs physiques de façon précise et sans aide extérieure.

Exemples d'applications : l'angle d'une fusée, la vitesse de rotation d'un lecteur CD, la position du bras d’un robot, le pilotage automatique d'un avion.

Système d’orientation des pales d’une éolienne : dispositif qui oriente automatiquement la nacelle face au vent grâce à une mesure de la direction du vent effectuée par une girouette située à l’arrière de la nacelle.

Vitesse du vent

Puissance électrique

Système d’orientation

Eolienne Génératrice

Puissance mécanique

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Notion et exemples de systèmes : figure 1.1

Exemple 1 : Système physique, mono variable, perturbé, continu (car le temps varie continue ment).

Cet exemple mène à un problème d’automatique dit de régulation, car on cherche le réglage de la chaudière qui régule la température intérieure quelque soit la perturbation.

Exemple 2 : Système économique, multi variable, perturbé, discret (car même si les variables de sortie évoluent continue ment, leurs mesures sont à temps discret).

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Exemple 4 : Système d’organisation séquentiel. Il est classé dans les problèmes d’automatique séquentielle.

Système dynamique : est un système dont la réponse dépend du temps. Un système dynamique peut être en régime dynamique ou en régime statique.

Système statique : est un système dont la réponse à une excitation est instantanée, le temps n’intervient pas. Exemple : loi d’Ohm U = RI. Relation indépendante du temps.

Les différents types de systèmes :

- Systèmes continus (linéaires ou non linéaires), - Systèmes discrets, - Systèmes hybrides : continu + discret, mélangé.

(Un système dynamique hybride est un système contenant des variables d’état continues/discrètes et des variables d’état événementielles en interaction)

Les systèmes abordés sont donc multiples : continus, discrets, hybrides, systèmes avec bruit, avec retard, etc.

Leurs origines sont très diverses :

 Mécaniques et électromécaniques,  Hydrauliques et pneumatiques,  électriques,  électroniques,  biologiques,  chimiques,  économiques, etc. …

Fonction de transfert d’un système. Cas des systèmes linéaires à temps continu.

Ces systèmes sont régis par des équations différentielles à coefficients constants de la forme :

)(...)(... 01011 1

1 tebdt deb

dt edbtsa

dt dsa

dt sda

dt sda m

m

mn

n

nn

n

n  





Si on applique la transformée de Laplace aux deux membres de l’équation et en supposant les conditions initiales nulles il vient :

n n

m m

papa pbpb

pE pSpG



 

...1 ...1

)( )()(

1

1

Appelée fonction de transfert du système ; n est appelé ordre du système.

mn  (Système causal).

Ou :

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))...()(( ))...()((

)( )()(

21

21

n

m

pppppp zpzpzpK

pE pSpG



 

L’ensemble des iz forme les zéros et l’ensemble ip forme les pôles de la transmittance )( pG .

Le gain statique d’une fonction de transfert )( pG n’est autre que )0( pG .

Système du premier ordre :

Forme canonique :

p KpT

.1 )(

 

K Gain statique

 Constante de temps

Exemples électrique et mécanique :

Système du second ordre :

Forme canonique :

2 2

121 )(

pp

KpT

nn 

 



K Gain statique

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 Coefficient d’amortissement

n Pulsation propre

Exemples électrique et mécanique

L’étude de ces systèmes est composée de deux parties, l’étude temporelle et l’étude fréquentielle.

Exemple 1, d’obtention de fonction de transfert : circuit RLC

L’équation différentielle du système s’écrit :

 t

dtti Cdt

tdiLtRite 0

)(1)()()(

L’équation différentielle du système s’écrit :

)()( tute 

)()( tyts 

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 t

dtti Cdt

tdiLtRite 0

)(1)()()(

Avec,





t dtti

C ts

dt tdsC

dt dqti

0 )(1)(

)()(

L’équation différentielle du 2ème ordre, continu, linéaire invariant devient :

)(1)(1)()(2 2

te LC

ts LCdt

tds L R

dt tds



La fonction de transfert est alors :

21 1)(

LCpRCp pG

 

(Système du 2ème ordre).

Exemple2. Réponse d’un système.

Le système est régi par l’équation différentielle :

)(2)(342 2

tets dt ds

dt sd



Passage aux transformées de Laplace :

)(2)(3)(4)(2 pEpSppSpSp 

La fonction de transfert s’écrit :

34 2

)( )()( 2  

pppE pSpG

p pEtute 1)()()( 

Résolution :

1 1

)3(3 1

3 2

13)1)(3( 2)(

34 2)( 2 

 

 

 

 

 

 pppp

C p

B P A

ppp pE

pp pS

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Passage aux transformées de Laplace inverse :

)( 3 1

3 2)( 3 tueets tt 



  

  

Dite réponse indicielle du système.

 Analyse temporelle des systèmes continus.

Une fois le modèle mathématique d’un système (fonction de transfert ou représentation d’état) obtenu, l’étape suivante consiste à analyser les performances du système.

La réponse d’un système à une impulsion est dite réponse impulsionnelle ; la réponse à un échelon est dite réponse indicielle.

- Système du 1er ordre :

Fonction de transfert :

Tp KpT 

 1

)( .

- Sa Réponse impulsionnelle :

Tte T Kty /)(  Pour 0t

Réponse impulsionnelle d’un système du 1er ordre.

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En calculant la dérivée, on obtient la pente de la tangente pour 0t

2 /

2 0 )(

T Kpourte

T K

dt tdy Tt  

- Sa réponse indicielle à un échelon unitaire s’écrit :

 TteKty /1)(  Pour 0t

T Kpourte

T K

dt td