Etude stochastique de l'erreur dans un ealeul num rique approch

par CHARLES BLANC, Lausanne

On sait qu'il est ndcessaire d'user de mdthodes approchdes dans la grande majoritd des problbmes numdriques posds par les applications; cela explique l'int~r~t qu'il y a ~ possdder des renseignements sur l'erreur qu'entra~ne l'emploi de ces mdthodes. Dans un problbme particulier, ces renseignements permettent de mesurer la valeur du rdsultat approchd; d 'autre part, la comparaison de diverses mdthodes pour une classe de probl~mes dolt dgalement tenir compte (outre lea questions de commo- ditd et de plus ou moins grande gdndralitd) des erreurs plus ou moins grandes sur les rdsultats.

Pour un problbme donnd et pour une mdthode approchde de rdsolu- tion, on a en gdndral abordd le probl~me de l'dvaluation de l'erreur en cherchant une borne de cette erreur pour une certaine classe de donndes : ainsi, lorsque le problbme comporte la donnde d'une fonction t, on a cherchd une borne de l'erreur pour tousles cas oh la fonction f appartient / t u n certain ensemble; par exemple, on conna~t une borne de l 'erreur

b commise en dvaluant par la formule de Simpson l'intdgrale 5/(x)dx si

/(x) appartient ~ l'ensemble des fonctions dont la ddrivde quatri~me a une borne M dans (a, b).

Cette fa~;on d'aborder le problbme de l'dtude de l'erreur ne peut donner entibre satisfaction. Tout d'abord, dans de nombreux cas, on n 'abouti t

aucun rdsultat pratiquement utilisable. En outre, les ensembles de fonctions que l'on est amend ~ considdrer ne sont pas trbs intdressants en gdndral et peu en relation avec le problbme considdrd : ainsi l 'ensemble des fonctions dont la ddrivde quatri~me a une certaine borne dans un intervaUe n'est pas naturellement lid all probl~me du calcul d'une in- tdgrale ddfinie; cet ensemble est beaucoup trop restreint et il est du reste souvent inutilement compliqud de s'assurer si une fonction donnde lui appartient. Pour cette raison, de nombreuses dvaluations d'erreur sont inutilisables, par lea hypotheses trop restrictives qu'elles impliquent.

15 Commentarfl Mathematiei Helvetici ~ 2 5

Enfm, il est en gdn6ral impossible d'utiliser ces dvaluations pour une 6tude comparative des diverses m6thodes : en effet, elles font intervenir des ensembles diff6rents de donn6es, eomme on peut le voir trbs facile- ment d6jk pour les formules de quadrature.

Or le probl~me de l'dvaluation de l'erreur peut gtre abord6 d'une mani~re toute diff6rente, plus f6conde semble-t-il. I1 suffit pour cela de doter d'une distribution en probabilit6 l'ensemble des fonctions qui figurent darts les donndes, plus prdcis6ment, de considdrer ces fonctions comme des fonctions al6atoires ; l 'erreur devient alors une variable alga- toire, dont on 6tudie la distribution en probabilitd. En d'autres termes, le probl~me se pr6sente ainsi : ehoisir, d'une manibre plausible, l 'ensemble des donndes, avec sa distribution en probabilit6, puis en ddduire la distribution de l'erreur, pour la m6thode approchde consid6rde ; en faR, on se bornera/~ 6tudier certains 616ments de la distribution de l'erreur, les moments d'ordre un et deux, dldments qui suffiront en gdndral k nous renseigner.

On trouvera dans ce travail un expos6 gdndral et la justification de la mdthode proposde, qu'on peut appeler l'dtude stochastique de l'erreur dans les mdthodes num6riques approchdes; la m6thode s'applique en principe K tous les probl~mes lindaires, c'est-~-dire pour lesquels l 'erreur est une fonctionnelle lin6aire des donn6es; on a trait6 ici les cas de l'interpolation, de la quadrature numdrique, de l 'approximation lin6aire par une base incomplete et de l'int6gration approch6e d'une 6quation diff6rentielle par une dquation aux diffdrences. Les calculs effectifs sont en g6nfiral assez longs (ce qui tient en fair non pas s la m6thode propos6e mais au probl~me lui-mgme); une publication ultdrieure donnera les rfisultats de ces calculs et les conclusions qu'on en peut tirer.

w 1. Moyenne et variance de l'erreur

Nous ne consid4rerons clue des problbmes et des m~thodes lingaires (ce qui est essentiel) et, pour ne pas charger inutilement l'exposd, nous supposerons que ces problbmes comportent la donn6e d'une seule [onc- tion, fonction num6rique r~elle sur un ensemble #. L'6valuation de l'erreur que nous ferons consiste s consid~rer cette fonction comme une fonction al~atoire r~elle ~(t), t dtant un ((point)) de #. Nous supposerons l'existence des moments d'ordres un et deux de ~(t), et de plus

E ~( t ) = 0 ;

226

nous poserons E ~(t). ~(t') = r( t , t') 1) ;

eette fonetion r( t , t I) est la covariance de ~(t). La d6rivation, l 'int~- gration (au aens de Riemann) et d 'une fagon g6n6rale la not ion de limite seront toujours prises en moyenne quaxlratique~). Darts le eas oh 6 ' e s t un segment (a, b), les op6rations de ddrivation et d ' int6grat ion aur

(t) induisent des opdrations sur la covariance, dont noua retiendrons les suivantes3) :

I. Pour ClUe la d6riv6e ~'(t) de ~(t) existe darts ~, il faut et il suffit que r ( t , t ~) ait une d6rivde seconde g6n6rahs~e pour t = t ' ; alors

a a a s r ( t , t') possbde dana 6 ' • 6 'des ddrivdes at ' a t " atot ' ' et lea opdrateurs E

0 et - ~ sont permutables.

b I I . Pou r que l ' int6grale ~ ( t ) d t existe, il fau t et il suffit que

b b

~ dt St(t, t')dt' a exiate.

I I I . (Int6grale de Stieltjes.) Soit une fonction al~atoire ~(t) avec

~ (t) ,7 (t') = s ( t , t ' ) ; pour que b

a

existe, il faut et il suffit que b b

SSr(t, r t') existe. " "

IV. Soit T }(T) = S } ( 0 d v ( 0 ;

sa covariance eat T T SS~(t, r r

T

et les op6rateurs E et S sont permutables .

1) lqous no rappel lerons pas ici la d6finition do la fonct ion al6atoire; nous r envoyons la No te que M. M. Loire a rddigde et qui se t rouve k la fin de l 'ouvrage de M. P. Ldvy,

Processu~ stochat~ue.s et mouvement brownien (Gauthier-Villars 1948). Les renvois k ce t te Note son t d6signds ci-dessous pa r ~Lo~ve~.

s) Voir ~Lobve~, p. 314.

s) Voir ~Lobvv-, p. 315 e t suiv.

227

Dans le eas oh ~ est un segment d ' un espace euclidien k n dimensions, il est ais6 d '6 tendre les propri6t6s pr6c6dentes .

Le probl6me consid6r6 et la m6thode approeh6e 6tudi6e 6 tant lin6aires, l 'erreur elle-m6me est une fonetionnelle lin6aire des donn6es. Nous sommes done amen6s k 6tudier la dis t r ibut ion en probabil i t6 de fonc- tionneUes lin4aires de ~ (l). Soient done

deux fonetionnelles lin6aires ; nous supposons que les op6rations L t et L 2 sont permutables avec E ; cela aura cer ta inement lieu s i c e s op6ra- t ions consistent en combinaisons lin6aires de valeurs, en d6rivat ions et en integrat ions ; on a

E ~x ---- E La ( ~ (t) } --= L~ {E ~:(t)} ,

E ~72 = E L2 {~(t')} ---- L 2 {E ~:(t')} ,

e t ces moyennes sont nulles en ver tu de l 'hypoth6se faite sur ensuite

: L~ L,{E ~(t)$(t')} done

E ~7~ ~Tz = Lx L , {r(t , t')} ,

E #(t);

(I)

oh L 1 por te sur t e t L 2 s u r t '. Cette relat ion r6sout compl6tement le pro- bl6me de r6va lua t ion de la var iance de l 'erreur. La suite de ce t ravai l est consacr6e ~ son applicat ion ~ des op6rateurs particuliers.

Remarquons encore qu'i l sera souvent commode d ' in t roduire une hypo- thbse suppl6mentaire sur la fonct ion ~(t): nous la supposerons 8tation- naire d'ordre deuz , c'est-~-dire telle que la covariance r (t, t t) ne d6pende que de la dJff6rence t - - t ' ; on 6crira alors

r ( t , 6) = R ( t - - t ') .

I1 n ' y a cependent pas d ' int6r6t ~ faire cet te restr ic t ion dans une 6tude g6n6rale (car elle implique non seulement une restr ict ion sur la fonction, mais aussi sur son domaine de d6finition).

Le choix de la fonct ion de covarianee r ( t , t ') est en principe assez arbi t ra i re : il revient ~ fixer en par t ie la dis t r ibut ion en probabili t~ de l 'ensemble des donn6es pour un probl6me consid6r6. Lorsqu 'on suppose

2 2 8

que la fonction est stationnaire d'ordre deux, et si ~ est un segment une dimension, fl semble assez raisonnable de ehoisir la fonction

sin a( t - - t ~) . r ( t , t ' ) = A a ( t - - t ' ) '

c'est en effet la covarianee d'une fonction stationnaire dent le spectre est limit~ ~ la bande (-- a , + a), et constant dans cette bande. Les m~thodes approeh~es ont toutes pour effet de supprimer la partie du spectre situ~e en dehors d'une certaine bande : il est done assez justifi~ de n~gliger cette pattie du spectre. Pour le reste, eomme il n 'y a a priori aucune raison de choisir une autre distribution, nous prenons un spectre constant. Ainsi choisie, la covariance contient encore deux param~tres A e t a dent la d~termination dans un eas particulier est un probl~me d'estimation statistique sur lequel on reviendra plus loin.

w 2. Erreur d'interpolation

Consid~rons une formule d'interpolation, qui consiste ~ donner la valeur f (t) d'une fonetion par une eombinaison lin~aire

E ~, (t) 1 (t,) i

de vnleurs de cette fonetion. Pour une fonetion al~atoire ~(t), l 'erreur d' interpolation est la fonetion

(t) = ~(t) - 2 : a , ( t ) ~( t , ) ; i

pour abr~ger, posons ~(t) = D,~(t) ;

par la relation I du w 1, on a imm~diatement

E ~7(t)~(t') = D~Dt, r ( t , t ' ) done, en explieitant,

E ~ ( t ) ~ ( t ' ) = r ( t , t') - ~ a ~ ( t ) r ( t ~ , t') - X a , ( t ' ) r ( t , t,)

si, en particulier, r ( t , t') = r ( t ' , t ) ,

k i

+ ~ Z a~( t )a , ( t ' ) r ( t~ , t,) ; (2.1) k i

t = t ~, et en tenant eompte de l'identit~ ~ d e n t ~

E y'( t ) ------ r ( t , t) - - 2 Z a~(t)r(t~, t) + ~, Z a~(t)a,( t )r( t~, t,) . k k i

229

Ces relations sont valables quel que soit le nombre de dimensions du domaine de ddfinition de la fonction ~ (t), Consid~rons maintenant en particulier l 'interpolation lindaire sur un intervalle (0, a). On a

et

-h-t (a)] D, ~(t) = ~(t) -- [ a a____~t 2(0) -4-

2 E ~l~(t) ----- r(t , t) -- a [(a -- t) r(O, t) -4- t r (a , t)]

1 -4- ~/ [ (a -- t) ~ r(0, 0) + 2t(a -- t) r(O, a) -~ t 2 r(a, a)] . (2.2)

Si la fonction ~ (t) est stationnaire d'ordre deux, on a simplement

E ~ ( t ) = [ 1 - 4 - ( ~ - - ~ ) 2 - 4 - ( t ) ' ] R(0)-4- 2t(a •2 -$) R(a)

2 - - - - [ ( a - - t) R ( t ) + t R ( a - - t)] . ( 2 . 3 )

a

Prenons dgalement une interpolation paraboIique dans l'intervalle ( - - a , + a ) , O n a i c i

t l = - - a , t s = 0 , t3=-~-a, 1

a l ( t ) = ~ t ( t - a ) ,

1 a 2 ( t ) = ~ (aS- - t 2) ,

1 a~ (t) = - ~ - t (t + a) , d'oh

2 [ t ( t 2 a ) r ( - - a , t ) - } - ( a 2 - - t 2 ) r ( O , t ) + t ( t + a ) r(a, t )] E~S( t ) -~r( t , t) -- -a~ 2

t ~ (t "4- a) 2 r (a, a) +h-~[1 I t ' ( t - - a ) r ( - -a , - -a) + (a2--t2)~r(O, O) + 4 -I

+ t(t--a) (a2--t 2) r (--a, O)+ t i f+a) (aS--t ~) r(O,a) + �89 ( - -a ,a)] ;

pour une fonction stationnaire d'ordre deux, on a plus simplement

(a2_t~)~ t~(t+a)S] E ~2 (t) = 1 -4- t~ (t -- a )~ .f -4- R (0) 4a 4 a 4 4a4 J

-4- 2t~(as -- t~) R(a) Jr t~(t~ -- as) R(2a) a a 2a a

1 a S [ t ( t - - a ) R ( t + a ) + 2 ( a s - t ~ ) R ( t ) + t ( t + a ) R ( t - a ) ] ,

230

ou, en p o s a n t t = u .a ,

E ~2(ua) = (2 - -~ u s -4-~ u')R(O) -4- 2u2(1 - - u2)R(a)

- - � 8 9 1 - - u~)R(2a) -4- u(1 - - u)R(a + au)

- - 2(1 - - u~)R(ua) -- u(1 + u ) R ( a -- ua) .

L a r e l a t i on (2 .1) e x p r i m e en s o m m e que E ~(t)~(t ~) es t l ' e r r e u r p o u r la doub l e i n t e r p o l a t i o n su r r(t, t~), en (t, tr). P o u r dva lue r ce t t e co- va r i ance , il conv i en t donc t o u t d ' a b o r d d ' i n t e r p o l e r r(t, t~), r e l a t i ve - m e n t s t ~, p a r la f o r m u l e consid~rfie, p o u r t = t , t l , . . . , t n, pu i s d ' i n t e r - po le r les v a l e u r s t rouvdes , t o u j o u r s avec la m g m e fo rmule , e t c e t t e lois r e l a t i v e m e n t k t .

Cons id~rons l ' e x e m p l e s u i v a n t : on d e m a n d e la v a r i a n c e E ~ (t) p o u r u n e i n t e r p o l a t i o n p a r a b o l i q u e darts l ' i n t e rva l l e ( - - 1 , A - 1 ) , l a co- v a r i a n c e d e ~(t) 6 t a n t

sin (t ' - - t) . R ( t ' - - t) = t ' - - t '

ca lcu le r en pa r t i cu l i e r ce t t e v a r i a n c e p o u r t = 0,5 ; on c o m m e n c e p a r ca lcu le r l ' i n t e r p o l a t i o n de R( t ~ ~ t) r e l a t i v e m e n t h t r d a n s ( - - 1 , A-1) , p o u r t = - - 1, O, q- 1. Soi t a ins i

s(t, t') = Dt ,r( t , t')

l ' e r r e u r c o m m i s e d a n s une i n t e r p o l a t i o n , se lon la f o r m u l e choisie e t r e l a t i v e m e n t k t I. C o m m e on a

il v i e n t

R (0) = 1,000 0000

R (0,5) = 0,958 8511

R ( 1 ) = 0 , 8 4 1 4 7 1 0

R (1,5) = 0,664 9 9 6 7

R ( 2 ) = 0 , 4 5 4 6 4 8 7 ,

s ( - - 1 , � 8 9 = - - 0 , 0 1 1 5 9 9 8 ,

8 (0 , �89 = - - 0 , 0 0 1 5 1 6 6 ,

s ( �89 �89 = 0 , 0 0 4 4171 ,

s ( 1 , � 8 9 = 0 , 0 0 9 5 7 8 9 ,

d 'oh , en i n t e r p o l a n t p a r a b o l i q u e m e n t p a r r a p p o r t k la p r e m i e r e va r i ab l e , u n e e r r e u r p o u r t I ~--- �89 a v e c u n e v a r i a n c e

E r/z (�89 = 0,000 5125 .

231

Ce rfisultat nous donne une mesure de la dispersion de l'erreur (autour d'une moyenne ~gale ~ z~ro) pour une interpolation faite dans les condi- tions indiqu~es.

Un calcul analogue permettrait par exemple d'~tudier l'erreur dans une interpolation lin~aire sur l'intervalle (0, 1) ; en reprenant la mgme covariance, on aurait alors

E ~f (�89 -~ 0,003 03 .

On remarque que les calculs pr~c6dents ne font pas intervenir les d6riv~s des fonetions envisag~es, mais seulement la eovariance, et cela quelle que soit la formule d'interpolation envisag~e. La comparaison de diverses formules d'interpolation devient ainsi directement possible: pour une covariance donn~e, il est possible de dire alors quelle est en moyenne la meilleure formule.

I1 reste naturellement, dans un cas particulier donn~, ~ choisir con- venablement la fonction de covariance ; si l 'on adopte la forme

sin a(t - - t') r ( t , t ' ) = A a ( t - - t ' )

il rest~ encore ~ estimer (au sens de la statistique) les parambtres A e t a. Pour une fonetion partieulibre, on peut le faire assez bien au moyen des erreurs d'interpolation lin6aire ou, ee qui revient au mgme, par la moyenne quadratique des diffdrences seeondes. En effet, pour des entr6es tabulaires de pas h, on a pour les diffdrences premibres A1 la variance

Z 2 = 2R(0) -- 2R(h) ;

done, avec la fonction R choisie, un dfivelopement limit~ en h:

ensuite, pour les differences secondes A2,

E A~ = 6R(0) -- 4R(h) + 2R(2h) ,

done, avec l a fonction R choisie,

En faisant le calcul de ces moyennes, on obtient, avec une plus ou moins grande precision, une estimation des parambtres.

232

w 3. Int6gration approch6e

Consid~rons une formule d'int~gration num6rique approch~e sur un domaine D par une combinaison lin6aire de valeurs de la fonction

S/(t)dt ~ Za d ( t , ) ; D i

pour une fonction al~atoire ~(t), l 'erreur est une variable al~atoire

= .~ ~ (t) dt - - S a , ~ (t,) ; D

ealculons la eovariance de cette variable al6atoire et d 'une autre variable ~t, ~gale ~ l 'erreur eommise par l'emploi d'une seeonde formule d'int6- gration numSrique, relative k un domaine D ~

posons, pour abr~ger,

t

~ ' = S ~( t )d t - - Z a~ ~(t ' i) ;

= , = L t , { ~ ( t ) } ;

les op~rateurs L et L ~ sont lin~aires et permutables avec E , d'oh

En explicitant, on a

l

E ~ ~l = L t L t , r ( t ' it) .

E ~7 ~ ' = S S r ( t , t ' ) d t d t ' + Z a , a ' k r ( t , , t'k) D D ' i , k

- - Z a, S t ( t , , t ' )d$ ' - - ~ a~ S r ( t , t~)dt . t D' k D

(3. l)

Les considerations prdc4dentes sont valables pour des int~grales mul- tiples quelconques ; si on a plus particuli6rement des int~grales simples, si la fonction ~(t) est stationnaire d'ordre deux, et si l 'on pose (avec D = ( a , b ) , D ~ ( a r,b~))

t r ( t , t t) = R ( t - - t ' ) , s ( t ) = _~ R ( z ) d z

il vient b

E ~ 7 ' = S [ s ( t - - a ' ) - - s ( t - - b')]dt + Z a , a ~ r ( t , , t~) a i , k

b

- - E a , [s ( t , - - a ' ) - - s ( t , - - b')] - - ~V a~ I t ( t , t~)dt k a

233

ou encore b

E ,7 7' = [Ss ( t - a ' ) d t - Z a , s ( t , - a')] a i

b

- - [ I s ( t - - b ' ) d t - - Z a , 8 ( t ~ - - b')] a i

b

- - Z a~[I R($ - - t ~ ) d $ - - Z a, R(t, - - $~)1 . k a i

Si la fonction R ( h ) poss~de des d~riv~es d'ordre assez ~lev~, il est possible de borner par le proc~d~ classique les trois parentheses [ ] de cette expression ; on a donc ainsi facilement une borne pour E ~ ~t.

Cherchons maintenant la variance de l'erreur pour une formule donn~e : il suffit de faire ci-dessus D = D ~, a~ = a~, t~ = t~. En particulier, pour une int~grale simple sur (a, b), et pour une fonction stationnaire d'ordre deux,

b

E ~?~ = ~ s($ - - a ) d t - - Z a , s ( t , - - a ) a i

b

-- [ ] 8 ( / - - b ) d t - - Z a , s ( t , - - b)] (3.2) a i

b

- - ~, a k [ ~ R ( t - - t~ )d t - - Z, a , R ( t ~ - - t~)] . k a i

Ceci permet facilement de comparer entre elles, au point de vue adopt~ ici, diverses formules de quadrature num~rique.

w 4. Approx imat ion l in~aire d 'une fonct ion

Nous allons maintenant ~tudier, toujours au m~me point de vue, l 'erreur que l'on commet en remplagant une fonction par une certaine approximation lin~aire au moyen d'une base incomplete. Reprenons done une fonction al6atoire ~(t) d~finie sur un domaine ~ ; nous sup- posons encore que sa moyenne est nulle et nous d~signons sa covariance par r(t , tt). Soit, sur ~ , un syst~me de n fonctions (non al~atoires)

ul(t ) . . . . . u . ( t )

lin6airement ind~pendantes. Nous supposons qu'on a d~fini sur ce syst~me et sur ~ une ol~ration de produit scaiaire, qui fair correspondre

deux fonctions [ e t g u n nombre d~sign~ par (], g), d~pendant bili-

234

n~airement de / et de g. On supposera que les u~ sent orthonorm~es par rapport ~ce produit et on pose

~ ---- (~, ui) ;

les ~oi sent des variables al~atoires ; soit alors la fonction al6atoire

~(t ) = L ~(t) - - ~(t) - - Z ~ , u , ( t ) ; i

c'est l'erreur dans l 'approximation en moyenne quadratique de ~ ($) par lesu~. O n a E ~ ( t ) - ~ O , et, par la relation (I) du w 1,

E ~(tl) ~(Q) = L , , L , , r ( t l , t~) , (4.1)

pour autant que le produit soit permutable avec E , ce clue nous sup- poserons. On peut done dvaluer de cette mani~re l'erreur quadratique moyenne pour une approximation lin~aire. Pour effectuer le calcul, on formera tout d 'abord

s ( t l , t~) = L t . r ( t l , t2) , c'est-~-dire

s( t l , Q) = r( t l , Q) - - Z u~(t~) (r(tx, t ' ) , u,(tl)) puis

E ~( t l ) ~($2) : 8 ( t l , t2) - - Z Ut(~I) (8( ~/, ~2), Ui($')) , ( 4 . 2 ) i

ce qui r~sout le probl~me. L'hypoth~se que les fonctions u i sent orthonorm~es n'est pas essen-

tieUe. Dans le eas d 'un syst~me quelconque de fonctions u~, on a simple- ment

~?(t) = ~(t) -- Z ai~ u~(t) (~(t'), u,(t~)) i , k

et la suite des calculs se fait de la m6me mani~re. Remarquons encore que l'op~ration L e s t la projection sur la vari~t~i

lin~aire des fonetions orthogonales h l'ensemble des fonctions u i(t). Si l'on poss~de une base complete dans cette varietY, le ealcul de L se fair directement.

Prenons maintenant le eas particulier oh le domaine de d~finition des fonetions est l'intervalle (a, b), le produit scalaire 4rant simplement l'int~grale du produit sur eet intervalle. Si les fonctions u~ sent ortho- norm~es, on a

b , ( t ) ----- L ~(t) --_~ ~(t) -- ~ u , ( t ) S ~ ( z ) u , ( z ) d z

i=1 a done n b

8(t , t') = r ( t , t ') - Z u~(t') ~ r ( t , z) u , ( z ) d z i ~ l a

235

puis n b

B , l ( t ) ,7( t ' ) = s ( t , t ' ) - ,~, u~(t) ~s(z , t') u~(z)dz . k ~ l 4

Si on prolonge la suite des us de fa~on ~ obtenir un ensemble complet sur (a, b), on a

s ( t , t') b

= u,(t ') . fr( t , z) u , ( z ) & n + l tt

puis b

E ~( t )~( t ' ) = ,y, u~(t) S s ( z , t') u~(z)dz ; k = n + l a

ces expressions pourront gtre plus commodes pour un calcul approch~ de E , l ( t ) ,7(t').

lh-enons un exemple: soit l ' intervalle (0, 1) et une seule fonction u~(t) = 1 ; ehoisissons

r( t , t ' ) = s i n a ( t - - t ' ) a (t - - t')

et posons, pour simplifier l '~criture,

sin t go(t ) = t '

t

g _ l ( t ) = S g o ( ~ ) d z , 0

t

g_,(t) = j 'g_~(z),~ ; 0

la fonction g_~ est la t ranscendante connue (et tabuld~e) Si t ; par un calcul simple, on a g - 2 (t) = t Si t "4- cos t -- 1 ; alors

et

1 s ( t , t ' ) = go(at -- a t ' ) -- --d [g_,(at) + g_ , (a -- at)]

1 E ~ ( t ) ,7(t') = go(at - a t ' ) - ~ - [g_ , (at) + g _ , ( a - at)]

1 2 - - --~ [g_~(at') + g_l(a -- at ')] + - ~ g_~(a) ;

en particulier, pour la variance de ~(t),

_ _ 2 E ,7,(t) = x - 2 [g_,(at) + g_~(a - at)] + ~ u g_._(a) . a

2 3 6

II est intdressant de ehercher quel est l 'ordre de grandeur en ionction de a . On a

a ' 2a4 [6t(t -- 1)(t ~ -- t + 1) -- 1] Jr- . . . ; E ~ ( t ) = ~ (1 - - 2t)" +

donc, s i t :/: �89 on a

t a n d i s q u e s i t-----~, o n a

,7 ~ (t) = o (a ~)

E ,7 ~ (t) = O (a ' ) ;

ainsi l 'ordre de grandeur de l 'erreur moyenne quadrat ique est un, saul s i t --~ �89 oh il est deux. Cela ne signifie toutefois pas que cette erreur, pour une valeur donnde de a , est sensiblement plus petite pour t ~ �89 que pour les valeurs voisines (la fonction E ~z(t) est continue); cela confirme en particulier la remarque qu 'une 6valuation d 'erreur qui se borne ~ l 'ordre de grandeur donne souvent une idde fausse, sur tout lorsqu'on dfisire comparer divers rdsultats.

L 'approximat ion lindaire d 'une fonction est une mdthode frdquem- ment utilisde, par exemple dans l ' int6gration d '~quations diff6rentielles. Les considdrations pr6cddentes permet tent toujours d'6tudier, au point de r u e stochastique, l 'erreur commise.

w 5. Equations aux diff6rences

La subst i tut ion d 'une dquation aux diffdrences ~t une fiquation diffd- rentielle est un procfidd trbs commode pour l ' intdgration approch6e : il semble gtre mgme le seul utilisable dans de nombreuses circonstances. Nous allons 6tudier l 'erreur correspondante, en nous pla~ant encore au point de r u e stochastique.

Considdrons une 6quations diffdrentielle lin6aire

D ~(t) -= q~(t) (5.1)

avec des conditions ((aux limites ~ lin6aires

M , ~:(t) = r , , ( t ) p = 1 . . . . . n ( 5 . 2 )

fixant exactement la solut ion; t d6signe symbol iquement une variable d4finie dans un domaine G', k un nombre quelconque de dimensions, les

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conditions por tan t sur une partie 3 " d e ~ seulement ; on suppose que le probl~me pos~ est possible et poss~de une solution et une seule. Soient D O l'op~irateur aux differences qu 'on va subst i tuer k D, M ~ celui qu 'on subst i tue k M~. La solution approch4e est alors solution des ~quations lin~aires

D O ~*(tl,) = (p(tl,) t~E 6 '~ /

M ~ ~*(t~) -- 7~(t~) t~e .~ "~ i (5.3)

oh ~o est un r4seau choisi sur ~ et 3-0 une partie de ~o. Les ~quations aux differences ont une solution

~* (t~) = Z a~ ~ (t,) -+- ~, S b(k~ ) ~, (t,) i p i

done ~*(t~) = Z ak, D ~(t,) q- Z Z b(k~) M , ~(t,) ;

i p i

les coefficients a ~ et b(k~ ) sent tels que, pour toute fonction /(t) ,

D o Z a ~ / (t,) = ] (t~) , i

M~ Z ak, lff,) = o i

D O Z , Z b(k~ ) / , (t,) : 0 p i

M~ Z S ~(b) 1, (t ,)=l~(t~)-

l 'erreur est donc

(5.4)

~(t~) -~ ~(tk) -- Zak~ D~(t,) - - Zz~b(k~ ) M~ ~(t,) ; i p i

or par les relations (5.4)

D O ~7(tk) ----- (D ~ D) ~(tk),

M~ ~(t~) = (M~ - - M, ) ~(t~). Soit alors

E ~ (t~) v if,) = u(t~, t,) ;

l 'op~rat ion E est permutable avec D, D ~ M~ et ~ ; on a done (l'in-

dice ind iquan t la variable sur laquelle op~rent les D et les M ) ,

D~ D~ u(t~,t~) ------ E D~k ~(tk) D ~ ~ (ti)

= E ( D ? k - - D t k ) ~(tk)(De, - Dt, ) rl(t,)

_ D o - - ( t k - - D t k ) ( D ~ Dt~) r(t~,ti)

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et une relation analogue pour les M~,; done

0 0 Dr, Dr, u ( t , , t,) --~ (D~t - - D t t ) ( D ? , - Dr, ) r (t~, t,) I

M ~ u (t~, t,) o / o ( M v , t e - - M ~ , t e ) M ~ (t~,,t,). (5.5)

Posons alors D~ } t~ u ( t~ , t,) = v ( t~ , t,)

M ~ u (t~, t,) = w , ( Q , t,) �9

on a alors, par (7) ,

et

D~ v (t~, t,) ( D ~ - - Dt~ ) o I -~- (Dti - - Dr, ) r (t~, t,) , (5.6) 0 Mp,tk v(t~, t~) o = (M~,,t ~ - - M y , n : ) ( D ~ - - D q ) r(t~, t~) , I

D O w~(tk, ti) (DOtk __ Dtk) o I ( M p , t ~ - Mp,t i) r(tk, t~) , tk (5.7) M ~ w~(tk, t,) o o J (Mv ,q - - r(t~, t~) 1,,tk -~- ( M v , t k - M v , t , ) M v , t ~ ) �9

Ainsi pour ealeuler une valeur de u( t k, t~), il faut

1. ddterminer la fonction v (t~, t~), pour tout tj E G ~ ce qui r6sulte des dquations (5.6), dont la rdsolution eat identique k celle du syst~me (5 .3) ;

2. d6terminer les fonctions w~(t~, $j) pour tou t t~ E 3 -~ ~ part ir des 6quations (5.7), qui sont aussi de la forme (5.3) ;

3. enfin calculer u (t~, t~), ce qui comporte une fois de plus la r6solu- tion d 'un systbme lin6aire alg6brique qui ne diffbre des pr6cddenta que par les seconds membres.

La d~termination de la fonction u (tk, t~) se fair done en principe par la r6solution des m6mes dquations aux diffdrences clue la fonction ~* elle-mgme; il semble, k premiere rue , que cela implique une somme considerable de calculs. I1 fau t toutefois remarquer que la precision re- quise ~tant moindre que pour ~*, il est possible en g~n~ral de prendre un r~seau plus grossier, ce qui entraine des all~gements.

Voyons en particulier ce qui se passe lorsque les conditions aux limites por tent sur les valeurs de la fonction inconnue elle-m6me (et non sur des d~rivdea) ; lea dquations (5.2) se rdduisent

(t) = r (t) aur J

239

done n = 1, M 1 = 1 et M~I-- 1; a l o r s l e s d q u a t i o n s ( 5 . 5 ) s o n t

o o D t k D t , u(Q, t~ ) = o D o (Q,t~) darts ~ 1

I u( t t , t~) = 0 sur

on pose alors D~ u (Q, t,) = v (Q, t,) ,

e t o n a D~t k v (Q, t~) --~ (D~ - - Dt~ ) (D~ - - Dti ) r (Q, t~) dans ~0

v(tk,tJ = 0 pour tk e ~r0

Dans ce cas, on d~terminera successivement v (tk, t~), puis u(tk, t~), toujours par la r$solution des mgmes Squations aux differences (aux seconds membres pros).

Pour fixer les idles, considdrons la r~solution du probl6me de Dirichlet dans un domaine plan ~ , de fronti~re ~ . L 'o l~ ra teur D est alors le la- placien, D O est un o l~ra teur aux diffdrences, ddfini sur un rdseau G ~ ~tendu sur ~ ; pour simplifier, nous supposerons que la fronti~re ~ de est const i tu te par des ar~tes du r~seau G ~ et que l 'on a ainsi j o = ~-; le choix de D O comporte un certain arbitraire, et nous ne pr~ciserons pas quel est ce choix. Le probl~me est done

D ~(t) = 0 darts ~ ,

(t) ----- 7'(t) sur .7 , e t le probl6me approchd

D O ~ * ( t D = 0

~*(t~) = r ( t~)

d'oh, en r~solvant un syst~me lin6aire,

~* (tk) = X b~, 7(t~) t

done

i

Soit a l o r s ~ (t~) l 'erreur en Q, c'est-~-dire

~(Q) = ~(Q) - - Z bk~ ~(t~) , r

puis

e t u( t~ , t,) = ~' ,7(t~) ,7(t,)

v ( t , , t,) = D~, u( t~ , t,) ;

t t ~ 6 ~e,

t~ e .7 ,

t~ ~ 6 ~~ t~ ~ .3",

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on d6termine d ' abord cet te fonct ion v par les 6quations

Dt~ v (t~, t,) = (D~k -- Dtk ) (D~, - - Dt~)r(tk, t,) , t~ e 6 ~~ ,

v(tk , t~) = 0 , t~ r . 7 ,

cela pour tou t couple (tk, t~); on remarque que les seconds membres sont lids /~ l 'erreur que l 'on commet en remplagant l 'op6rateur D par l 'op6rateur D O sur la fonct ion de covariance. On a ensuite u (t k, t~) par le syst6me lin6aire (qui ne se distingue du pr6c~dent que par les seconds membres)

D~ u (t~, t,) = v (t~, t,) t, e 8 0 ,

U (t~, it) = 0 t t e ..7" .

Ces considerations pe rme t t en t de comparer ent re eux les divers op~ra- teurs D o que l 'on a propos4s. Elles pe rme t t en t ~galement for t bien de comparer , en ce qui concerne la precision, les m~thodes d '~quations aux differences avec d 'au t res m~thodes de rdsolution approch~e du probl~me de Dirichlet (par exemple les m~thodes de r~solution par une approxima- t ion lin~aire).

Le choix de la fonct ion de covariance, dans le cas d 'un domaine s deux dimensions, pourra i t se faire de la mani~re su ivan te : en supposant la fonct ion al6atoire s ta t ionnai re d 'ordre deux, on choisit une covariance dont le spectre du Four ier (s deux dimensions), se rdduit ~ une constante dans un cercle e t est nul k l 'extdrieur de ce cercle. On a alors

R ( h x, h~) = A 2 J l ( a V " h~ -1- h ~) aVhI+h

I1 est clair en out re que t ou t ce qui a ~t~ di t ci-dessus s '~tend sans aut re k un nombre quelconque de dimensions.

(Re~u le 21 mai 1952.)

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