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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOGRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE EL-HADJ LAKHDAR BATNA

FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

MEMOIRE PRESENTE POUR LOBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER EN PHYSIQUE

Option

Microstructure et proprits mcanique des matriaux

Par

Mr. Yacine BENDAKMOUSSE

Thme

Soutenue 28 / 04 / 2011

Devant le jury :

BELBACHA EL-DJEMAI Pr U. Batna Prsident HADRIA MEDOUER M.C U. Batna Rapporteur MESSAADI SACI Pr U. Batna Examinateur AYADI KAMEL EDDINE M.C U. Ouargla Examinateur

Etude thorique des effets dimensionnels dans les fils fins mtalliques dans le cadre des modles de

conductions statistiques

Remerciements

Je remercie en premier lieu Dieu de mavoir donn le courage et la volont pour

raliser ce modeste travail.

Ce travail a t ralis au laboratoire dtudes physico-chimiques des

matriaux L.E.P.C.M de luniversit de Batna, sous la direction de Mme

HADRIA MEDOUER Maitre de confrence luniversit de Batna, quil soit

permis de lui exprimer ma profonde gratitude pour laide, les conseil et les

encouragements quelle ne cessa de me prodiguer au cours de cette tude.

Je tiens exprimer mes remerciements Mr. BELBACHA EL-DJEMAI

professeur luniversit de Batna, pour lhonneur quil me fait en acceptant de

prsider le jury de ce mmoire

Je tiens aussi remercier Mr. MESSAADI SACI professeur luniversit

de Batna, et Mr. AYADI KAMEL EDDINE Maitre de confrences luniversit

de Ouargla qui ont accept dtre les examinateurs de mon travail.

Je ne saurais oublier de remercier Mr. REBAI CHOUCHANE et toutes

les personnes qui ont contribu la ralisation de ce mmoire.

A tout ma famille et mes amis, je dis merci pour la sympathie et le soutient

quils mont tmoigns.

sommaire Introduction ...1

Chapitre I phnomne de conduction dans les mtaux massifs

I.1-Modle de Drude... 4 I.1.1- Reprsentation du modle .5 I.2-Modle de Sommerfeld.11 .2.1-Dnombrement des niveaux dnergie lectroniques.15 .2.2-Remplissage des niveaux dnergie lectroniques.16 I.2.3-sphre de Fermi.19 I.3- Modle de llectron presque libre. 20 I.4-Equation de Boltzmann 23 I.4.1-Gnralits 23 I.4.2-Solution gnrale ..25 I.5-Conductivit lectrique 30 I.5.1-Conductivit lectrique dans lapproximation de llectron libre 30 I.5.2-Conductivits lectriques des lectrons dits presque libre 31 .6-Rsistivit lectrique dans les mtaux .33 Conclusion.34

Chapitre II Les diffrents modles de la conductivit lectrique des couches minces mtalliques

II.1.Modle de Fuchs-Sondhimer ..36 II .1.1-Reprsentation mathmatique 37 II .1.2-Cas des rflexions totalement diffuses...39 II .2.3-Cas des rflexions diffuse et spculaire simultanment...42 II.2- Modle de Cottey.. 44 II.3- Modle de Mayadas-Shatzkes... 47 conclusion...51

Chapitre III Les modles statistiques

III.1. Modle statistique unidimensionnel..52 III.1.1-Effet des joints de grains52 III.2. Modle statistique tridimensionnel.. 56 III.2.1-Analyse thorique...57 III.3-Conductivit lectrique .60 III.3.1-Expression du libre parcours moyen total ....61 III.3.2-Expression gnrale de la conductivit totale 62 Conclusion..64

Chapitre IV Rsultats et discussion IV.1-Modlisation numrique.. 67 IV.1.1-Modle de Fuchs-Sondheimer..:67 IV.1.1.a- Formules des quations asymptotiques dduites .67 IV.1.1.b- Influence du coefficient de rflexion p sur la rsistivit lectrique ..68 IV.1.2-Modle de Mayadas-Shatzkes..69 IV.1.2.a - Formules des quations asymptotiques dduites..69 IV.1.2.b- La variation du paramtre en fonction du coefficient de rflexion R ..70 IV.1.2.c-influence du coefficient de rflexion R sur la rsistivit lectrique..71 IV.3-Modle statistique ...73 IV.3.1-Expression de la conductivit lectrique par usage de nouveaux paramtres dimensionnels ...73 IV.1.4-Etude de la conductivit lectrique partir des modles statistiques76 IV.1.4.1-Variation du paramtre dimensionnel en fonction du coefficient de rflexion spculaire p 76 IV.1.4.2-Variation du paramtre dimensionnel en fonction du coefficient T ....77 IV.1.4.3-Variation de la rsistivit lectrique rduite en fonction du paramtre dimensionnel 78 IV.1.4.4-Variation de la rsistivit lectrique rduite en fonction du paramtre du grain ..79 IV.2-Etude de la conductivit lectrique des couches minces mtalliques pure...80 IV.2.1-Couches de Cuivre 81 IV.2.2-Couches dargent ......83 IV.2.3.-Couches de platine 88 IV.3.leffet de recuit sur la rsistivit lectrique des couches minces mtalliques ..95 IV.3.1- Forme gnrale du coefficient de rflexion spculaire effectif ...95 IV.3.2 -Expressions asymptotiques linearises de la rsistivit lectrique98 IV.3.3-Interprtation des rsultats exprimentaux...99 IV.1.4-Etude de la conductivit lectrique des alliages ......104 Rsultats et discussion.....113 Conclusion....114

Introduction gnrale

1

Introduction :

Le transport des lectrons dans les solides a intress les chercheurs pendant plus

dun sicle le dbut en 1900 par Drude o il a labor la premire thorie des

solides, aprs la dcouverte de llectron par J.J. Thomson en 1897qui consiste

dcrire un mtal comme un gaz parfait dlectrons en utilisant le concept de

llectron libre et le temps de relaxation. Ce modle conduit une interprtation

intressante des lois fondamentales telle que la loi dOhm qui permet de dcrire la

conductivit lectrique et la chaleur dans les mtaux. Mais malgr lamlioration

de Lorentz, en 1905, sa thorie a choue sous le problme de chaleur spcifique.

Aprs le dveloppement de la mcanique quantique Sommerfeld en 1928 a

reformul la thorie de Drude-Lorentz en incluant la statistique de Fermi-Dirac.

Une couche mince dun matriau donn est un lment de ce matriau dont lune

des dimensions, quon appelle lpaisseur, a t fortement rduite, de telle sorte

quelle sexprimera en nanomtres. Cette trs faible distance entre les deux

surfaces a limits une perturbation de la majorit des proprits physique. Il ya

beaucoup de Techniques dlaboration des couches minces qui peuvent tre

distingues en deux grandes parties : les mthodes physiques et les mthodes

chimiques et lectrochimiques.

Plusieurs mcanismes contribuant au calcul de la rsistivit des couches minces

ont t labors pour comprendre linfluence des paramtres physiques inclus en

modelant ces mcanismes. Ce sont les collisions internes et les diffusions sur les

surfaces externes et sur les joints de grains.

En 1938, l'apparition dune autre tude sintresse leffet de taille sur la

conductivit lectrique comme couches minces mtalliques a t propos par

Fuchs. En 1952 Fuchs-Sondheimer a propos un autre modle qui tient en compte

leffet de surface externe celui-ci a permis des interprtations de quelques

phnomnes physiques .

2

En suivant lide mise initialement par Fuchs-Sondheimer. En 1967 Cottey a

propos un autre modle tel que la couche mince dpaisseur soit remplace d par

une superposition infinie de couches dpaisseur d, ce modle est appel modle

multicouches.

En 1970 Mayadas-Shatzkes publiait un modle qui prend en compte les effets des

joints de grains, et Tosser a propos un nouveau modle en 1977 s'appelle

modle statistique les travaux de modlisation relatifs aux phnomnes de

transport dans les couches minces mtalliques sont rexamins en utilisant le

concept de libre parcours moyen (modle statistique), ce modle tient en compte

des effets simultans dus aux surfaces externes et aux joints de grains.

Le travail prsent dans le cadre de ce mmoire est rparti en quatre chapitres et se

prsente comme suit :

Le premier chapitre contient les phnomnes de conduction dans les

mtaux massifs.

Le deuxime chapitre est consacr la prsentation de quelque modles de

la conductivit lectrique des couches minces mtalliques .

Dans le troisime chapitre nous introduisons les notions de base dcrivant

les modles de conduction statistiques.

Le quatrime chapitre est consacr a ltude de :

La modlisation numrique, en utilisant les trois modles de

conduction (Modle de Fuchs-Sondheimer, Modle de Mayadas-

Shedzkes, Modle statistique).

La comparaison des rsultats obtenus partir des modles de

conduction statistiques, dans le cas des couches minces mtalliques

pures de cuivre, de largent et de platine .

3

linfluence du recuit sur la variation du coefficient de rflexion

spculaire ; nous utilisons certaines expressions linarises obtenues

dans le cadre des modles statistiques . Cette tude est effectue sur

des rsultats exprimentaux relatifs aux couches de Zinc,

dAluminium et de Molybdenum .

la conductivit lectrique des alliages : nous examinons les donnes

exprimentales de deux alliages, le premier alliage est compos de

Nikel et de fer, et le deuxime est compos de Cobalt et de fer,

partir des modles statistiques.

Chapitre I

phnomne de conduction dans les

mtaux massifs


4

Depuis la dcouverte de llectron par J.J.Thomson (1897) et les travaux de H.A.Lorentz,

on sait que le courant lectrique est vhicul par des lectrons ayant la proprit de se

mouvoir au sein de la matire. En considrant un gaz dlectrons libres auquel est appliqu

la thorie cintique des gaz de Boltzmann, Drude et Lorentz qui ont montr entre 1900 et

1905 que la conductivit lectrique dfinie par la loi dOhm . ,sexprimait de la faon suivant : . / . ;o n est la densit volumique dlectrons libres, e est la charge de llectrons, est le temps moyen entre deux collisions et m est la masse de

llectron.

Le dveloppement de la mcanique quantique permit Sommerfeld, en (1928), de

reformuler la thorie de Drude-Lorentz en incluant la statistique de Fermi-Dirac et la

notion de puits de potentiel, puis Bloch en (1929), prit en compte la priodicit du

potentiel cristallin et il montra ainsi lexistence de bandes dnergie. Ce modle rend alors

correctement compte de la capacit calorifique, de la conductibilit thermique, et de la

conductivit lectrique des mtaux. Il permet galement dexplique la distinction entre

mtaux, semi mtaux, semi-conducteurs et isolent.

En effet, dans un cristal constitu dun ensemble datomes, les lectrons noccupent plus

des niveaux dnergie discrets comme dans le cas de latome isol mais ils sont localiss

dans des bandes dnergie spares par de larges domaines dnergies interdites. La

formation de ces bandes dnergie rsulte du recouvrement des orbitales lectroniques des

couches externes qui se produit lorsque les atomes sont proches les uns des autres. Les

lectrons des couches externes ne restent pas lis un atome particulier, et deviennent plus

ou moins libres de se propager dun atome lautre. On les appelle lectrons de

conduction. La rpartition des lectrons dans les diffrents tats nergtiques obit au

principe dexclusion de Pauli et suit la statistique de Fermi-Dirac. A 0 K, le niveau de plus haute nergie occup par des lectrons est appel le niveau de Fermi et lnergie qui

lui correspond est appele lnergie de Fermi .


5

La conductibilit lectrique est laptitude que possde un matriau conduire llectricit.

Il est de constatation courante que dun corps solide lautre, on observe de trs large

variation de la conductibilit lectrique. Cest ainsi qu la temprature ambiante, le

rapport entre la rsistivit du meilleur isolant et celle du meilleur conducteur, atteint 10 . Les processus responsables de la conductibilit sont dailleurs trs varis, tels que les

particules qui mettent en cause les lectrons libres pour les mtaux, porteurs de charge

(lectrons et trous) issus du dopage dun semi-conducteur, ions mobiles. Notre approche

vis--vis des mcanismes physique de la conduction de llectricit sera progressive. Nous

tudierons :

- Le modle de Drude .

- Le modle de Sommerfeld .

I.1- Modle de Drude :

Seulement trois ans aprs la dcouverte de lelectron par J. J. Thomson en 1897,

P. Drude a dveloppe un modle permettant dcrire la conduction dlectricit et de

chaleur dans les mtaux. Le modle se base sur quatre hypothses fondamentales:

Electrons indpendants et libres: Cela veut dire que les lectrons ninteragissent pas entre

eux et que leur mouvement, entre deux collisions successives avec les noyaux atomiques

qui composent le solide. Il est dcrit par les lois de Newton pour une particule libre. La

premire hypothse nous est impose par la difficult de dcrire la cintique dun systme

N corps interagissants. Aujourdhui on sait quelle est particulirement efficace pour

dcrire un gaz dlectrons libres.

Collisions instantanes: Drude introduit linteraction entre lectrons et ions sous forme de

collisions ayant une dure infinitsimale, qui changent la vitesse dun lectron au cours de

son mouvement. Dans lide originale les lectrons sont sujets de collisions mcaniques

avec les ions du solide.


6

Temps de relaxation: un lectron subit une collision avec une probabilit par unit de

temps1 . Cette probabilit ne dpend pas de la position et de la vitesse de lelectron. Le temps est appel temps de relaxation. Cela implique quun lectron se propage en

moyenne pendant un temps avant sa prochaine collision et sest propag en moyenne un

temps depuis sa dernire collision.

Chaos molculaire: La direction et la vitesse qui caractrisent un lectron aprs une

collision ne sont pas corrles aux quantits respectives avant la collision. En particulier, la

direction aprs une collision est suppose alatoire. La vitesse aprs une collision est aussi

alatoire, mais sa distribution de probabilit est celle dicte par la temprature la position

o la collision a eu lieu. Cette dernire hypothse est ncessaire pour driver le coefficient

de transport de chaleur.

I.1.1- Reprsentation du modle :

Considrons [2] le cas des lectrons de conduction dans les mtaux. Ces lectrons

interagissent par collision avec des ions fixes ou dautres lectrons. Etudions le

mouvement dun lectron entre deux chocs.

En labsence dun champ lectrique externe ( , le mouvement des lectrons libres est

alatoire lintrieur du solide .Les lectrons libres se dplacent alors une vitesse

moyenne , laquelle est une consquence lagitation thermique du solide. cette

vitesse varie avec la temprature du solide et indpendante du champ lectrique externe

appliqu.

Llectron libre se dplace sous linfluence de lagitation thermique mais son mouvement

est limit par les collisions avec les autres atomes du solide .A chaque collision, llectron

libre perd son nergie cintique, laquelle est transforme en radiation thermique par

lmission dun photon.


7

On dfinit comme tant la distance moyenne parcourue par llectron libre entre chaque

collision ou (longueur parcourue par un lectron entre deux collisions).

Le libre temps moyen des collisions pour un lectron libre sera dfinie par :

= VTHERMI . (I-1)

VTHERMI est la vitesse moyenne associe lagitation thermique La figure suivante illustre

le mouvement alatoire de llectron dans le solide.

figure(I-1) : mouvement alatoire de llectron dans le solide.

En prsence dun champ lectrique , on observera un dplacement moyen des lectrons libres sur une priode de temps t. En plus de son mouvement thermique habituel, chaque

lectron libre drivera dune distance moyenne dans la direction parallle lorientation

du champ lectrique E entre chacune des collisions.

Chaque lectron libre sera soumis une force lectrique dans la direction du champ

lectrique appliqu dorigine extrieur, laquelle engendrera une acclration


8

Avec la mcanique Newtonienne, on a F = m. . Appliqu la situation, cela donne :

m. = (I-2)

o: m: est la masse de lectron.

: est la charge de lectron.

: est le champ lectrique impos par un source externe.

La vitesse moyenne de dplacement des lectrons dans la direction du champ lectrique est

la vitesse de drive:

(I-3)

La vitesse de drive sera en gnral beaucoup plus faible que la vitesse rsultant de lagitation thermique. Il est donc raisonnable daffirmer que la vitesse de drive des

lectrons naffecte en rien la frquence des collisions lintrieure du solide et que seule la

temprature affecte la frquence de ces collisions.

On exprime lacclration en fonction de la vitesse de drive et lacclration . selon la

mcanique classique :

(I-4)

Et la vitesse moyenne de drive sur le parcours de llectron libre entre deux collision est

donne par:

m. = (I-5)


9

Donc :

(I-6)

On retiendra donc que la vitesse de drive dun lectron soumis un champ lectrique E,

sera :

La densit de courant est j, elle peut tre dfinit comme tant la charge par unit de temps

qui traverse une unit de surface orthogonale la direction de j.

On a donc :

. . (I-7)

On remplace dans j

. . (I-8) (I-9)


10

La conductivit se dduit immdiatement de la comparaison de (I-10) avec la loi

dOhm sous la forme :

. (I-10)

On aura donc:

(I-11)

On remarque que la conductivit lectrique dans le modle de Drude est donc exprime

en fonction du paramtre , le temps de relaxation, et elle contient le produit volumique

des lectrons par leur mobilit, mais plusieurs faits exprimentaux ne sont pas en accord

avec le modle de Drude, dans lesquels les lectrons libres sont considrs comme un gaz

rgi par les lois de la thorie cintique des gaz. En particulier le modle de Drude prdit

une chaleur spcifique du gaz lectronique environ cent fois plus grande que la valeur

observe exprimentalement.

Pour [5] amlior consquence de modle Drude, en 1905 Lorenz dveloppe ce modle a adopt la distribution classique de Maxwell-Boltzmann pour les vitesses thermiques,

puisque Drude prsuppose la mme vitesse thermique pour tous les lectrons.

Mais la consquence de Lorentz ascidie avec la consquence de Drude. Une part

importante des dfauts de la thorie peut tre corrige si lon tient compte de la nature

quantique du gaz lectronique, en particulier en reconnaissant que les lectrons sont des

fermions, qui obissent au principe dexclusion de Pauli. Ceci impose de remplacer la


11

distribution de Maxwell-Boltzmann, utilise en thorie cintique des gaz et dans le modle

de Drude, par la distribution de Fermi-Dirac.

.2-Modle de Sommerfeld :

Le modle de Sommerfeld fait appel la mcanique quantique, et use dune approximation

: lnergie potentielle lintrieur du matriau reste constante. Ce modle donne des

rsultats intressants qui viennent complter le modle de Drude.

On appelle lectrons libres des lectrons supposs sans interactions les uns avec les autres

et sans interactions avec les charges positives autres que celles quimposent les surfaces

(bord du puit de potentiel) du mtal. Cette dfinition implique les restrictions suivantes[2] :

Linteraction coulombienne rpulsive des lectrons est dans une premire approche nglige.

Linteraction de chacun des lectrons de valence avec les ions est schmatise de la manire suivante :

- La prsence des ions positifs cre, dans la rgion despace occupe par le solide un

potentiel attractif pour les lectrons.

- Un lectron tendant schapper du mtal subit de la part de ce dernier un potentiel

attractif d lexcs ainsi cre dune charge positive.

Les lectrons sont donc pigs dans un puit de potentiel dont la forme pouse celle du

solide. A part cette rgion globale des ions, leur action locale sur les lectrons est nglige.

Autrement dit, on admet que les lectrons de valence prouvent dans le mtal un potentiel

constant, On va reprsenter cela graphiquement.


12

Puits de potentiel

Figure (-3) : nergie potentielle lintrieur du rseau

Bien que ces hypothses paraissent trs restrictives et peu ralistes premire vue, elles

permettent de rendre compte, au moins qualitativement, des proprits les plus

caractristiques de ltat mtallique.

Pour une particule libre, lquation de Schrdinger scrit :

(I-12)

Avec :

h :constante de Planck, m : la masse de llectron, : fonction donde reprsentant la particule, E : valeur propre de lHamiltonien H.

Avec les conditions aux limites imposes au modle, les solutions peuvent tre mises sous

la forme : , , sin sin sin (I-13)


13

Un tat est caractris par trois nombres quantiques , , qui ne peuvent tre que des entiers strictement positifs. Lnergie E est donne par :

E , , L , , (I-14)

Les fonctions dondes (I-14), dcrivent les tats lectroniques dans le modle de

Sommerfeld qui reprsentent des ondes stationnaires. Mais elles ne sont pas adaptes au

problme de la conductivit. Il convient par exemple, de disposer de fonctions dondes

dcrivant le mouvement de llectron dans une direction dfinie.

En mcanique classique, une particule libre est caractrise par un vecteur quantit de

mouvement ; en mcanique quantique, londe reprsentant cette particule sera une

fonction propre de loprateur p :

(I-15)

: est loprateur de composantes , , Les fonctions propres sont de type :

( ) = (I-16)

O : est le vecteur donde.


14

Et quil leur correspond la valeur propre :

(I-17)

Ces fonctions dondes dcrivent la particule libre, dans un milieu tendu linfini et ne

sont pas compatibles directement avec le solide de dimensions finies. Born proposa alors

de considrer le solide comme un milieu infini, construit par translations lmentaires de

longueur L, et pour tenir compte de la priodicit, on impose aux fonctions donde de

vrifier :

, , , , , , , , (I-18)

Les fonctions dondes peuvent tre normes sur le volume dun solide et deviennent :

( ) = (I-19)

avec :

, , (I-20)

Lnergie scrit enfin :

EK K KX KY KZ (I-21)


15

Les tats lectroniques se reprsentent gnralement par le vecteur donde dans lespace

des coordonnes , , .Dans cet espace, les surfaces isonergtiques sont des sphres centres lorigine [4].

.2.1-Dnombrement des niveaux dnergie lectronique:

On a vu prcdemment [4], que dans lespace des k, une surface isonrgtique (W =

constante) est une sphre, on constate quun bon vecteur k a sa disposition un

volume , ce qui donne une coquille sphrique dpaisseur dk.

Il y a bonnes valeurs de k.

La densit dtat sera donc reprsente par la relation :

. 2 . (I-22) . . . (I-23)

Do lexpression de la densit dtats, ou nombre dtats dnergie disponible par unit de

volume :

. . (I-24)


16

Il est aussi possible dcrire la densit dtats en fonction de lnergie cintique

lectronique :

(I-25)

La courbe associe sera alors :

Figure (-4) : Reprsentions graphiques de la densit dtat N E en fonction de lnergie W .2.2-Remplissage des niveaux dnergie lectronique:

En vertu [6] du principe dexclusion de Pauli, et comme lnergie du systme dans son tat

fondamental est minimale, chaque niveau dnergie autoris sera occup par un seul

lectron, en commenant par le plus bas niveau. En effectuant la sommation sur une unit

de volume, tous les niveaux seront remplis jusqu une valeur limite de lnergie.


17

il faut tenir compte de la statistique doccupation des niveaux dnergies par les lectrons :

cest la statistique de Fermi-Dirac.

La probabilit doccupation du niveau dnergie W la temprature T est donne par la

fonction de distribution de Fermi-Dirac :

, . (I-26)

: Energie de Fermi

Au zro absolu, la distribution de Fermi-Dirac donne :

, 0

Figure(-5) :distribution de Fermi-Dirac

Dans le cas gnral, il y a un talement de la fonction au voisinage de lnergie de Fermi :


18

,

Figure(-6) :la probabilit quun lectron possde lnergie W

Le calcul du remplissage des niveaux dnergie doit donc seffectuer en crivant :

, . . (I-27)

Ainsi la notion de remplissage jusqu une nergie limite nest-elle valide en toute rigueur

que pour le zro absolu : on dit alors que le gaz dlectron est totalement dgnr (il y a

dgnrescence de spin pour tous les tats) :

Figure(-7) : Distribution en nergie des lectrons zro absolu


19

Lorsque lon se place une temprature diffrente du zro absolu, les tats lectroniques

ne sont pas tous dgnrs : il y a un talement des tats occups au voisinage de

lnergie de Fermi, effet dautant plus accentu que la temprature est leve :

Figure(-8) : La probabilit doccupation du niveau dnergie W la temprature T> 0

.2.3-Sphre de Fermi:

Faisant abstraction de la dpendance en temprature, on peut dfinir le nombre donde de

Fermi kFERMI, par :

(I-28)

La surface isonrgtique (iso = mme) qui correspond EFERMI dans lespace de k est

appele surface de Fermi. Dans le cas du modle de Sommerfeld, la surface de Fermi est

une sphre de rayon kFERMI, ou sphre de Fermi. Cette sphre est compltement remplie

0K.


20

A la surface de la sphre de Fermi, on peut dfinir la vitesse des lectrons (ou vitesse de

Fermi), soit au sens de Sommerfeld :

SURFACE FERMI FERMI (I-29)

On peut aussi dfinir la temprature de Fermi lectronique par :

FERMI FERMI (I-30)

Avec :

: constant de Boltzman.

.3-Modle de llectron presque libre:

Le modle de llectron libre a t construit essentiellement et uniquement pour les

mtaux, dont il permet linterprtation dun certain nombre de proprits, cependant, du

point de vue de solide, il ne rsout pas le problme fondamental, savoir la diffrence

entre un isolant, un semi-conducteur, ou un mtal. Cette distinction ne peut tre obtenue

quen rintroduisant la structure triplement priodique du rseau. Lobjet de ce qui suit

porte sur les consquences de cette priodicit.

Chaque ion positif i exerce un potentiel attractif sur les lectrons . Le potentiel vu par les lectrons est :


21

(I-31)

Lquation de Schrdinger prend la forme :

(I-32)

o est une fonction priodique, les solutions de lquation (1-32) appeles fonctions

de Bloch sont donnes par :

(I-33)

Elles reprsentent des ondes planes modules par les fonctions (notes souvent ) telle

que est de mme priodicit que , on crit : (I-34)

(I-35)

Les vecteurs sont les vecteurs du rseau rciproque. Ceci dtermine compltement les

fonctions de Bloch par les coefficients de Fourrier . Ceux ci sont proportionnels aux ,

ils sont dautant plus petits que les sont petits.


22

Les valeurs de qui annulent le dnominateur de lquation (I-35) pour un vecteur donn ont leur extrmit dans le plan mdiateur de .

Parmi les consquences de cette tude structurale, il faut noter:

Lapparition dune srie de discontinuit dans la courbe de lnergie des lectrons appele bandes interdites. Un lment est conducteur si sa structure lectronique prsente

au moins une bande permise partiellement occupe, et par consquent il existe des tats

vides au voisinage du niveau de Fermi et infiniment proches des tats occups. Un champ

lectrique aussi faible peut-il ainsi exciter les lectrons. Par contre cause du principe

dexclusion de Pauli, ce mcanisme est impossible dans une bande pleine. Toute excitation

suppose une transition interbande avec franchissement dune bande interdite.

La vitesse dun lectron nest plus colinaire k comme pour les lectrons libres. Elle est dans ce cas (voir cours de mcanique quantique) :

v (I-36)


23

.4-Equation de Boltzmann:

.4.1-Gnralits:

Une perturbation de la fonction de distribution , , des lectrons de conduction d'un mtal peut tre induite par diffrents effets qui sont supposs tre superposables; on crit

donc [6] :

(I-37)

O:

: reprsente l'effet des collisions sur les phonons ou les lectrons.

: rend compte des effets de diffusion.

: reprsente l'effet des forces extrieures (champ E ou B).

En calculant les diffrentielles totales exactes = constante ( est le vecteur d'onde) ou

= constante ( la position gomtrique), on crit:

(I-38)

(I-39)

Comme la rsultante des forces extrieures vaut :


24

(I-40)

On obtient :

(I-41)

Avec :

(I-42)

En rgime stationnaire :

0 (I-43)

Et l'quation de Boltzmann s'crit: (I-44)

Dans l'hypothse du temps de relaxation, on crit:

, , (I-45)

O est la fonction de distribution non perturbe, ou encore:


25

, , (I-46)

O est l'cart par rapport l'quilibre et l'nergie de l'lectron.

.4.2-Solution gnrale

On suppose que:

(I-47)

S'il existe un gradient de temprature dans le systme, nous avons:

(I-48)

L'quation (I-47) est justifie si la dviation par rapport l'quilibre est faible. Calculons

maintenant

(I-49)

Tel que :

(I-50)

O est la constante de Boltzmann.

(I-51) L'quation (I-47) devient alors: T (I-52) La fonction de distribution f tant donne par l'expression:

(I-53)


26

scrit :

(I-54)

(I-55)

Donc :

(I-56)

Dans l'quation (I-56), le terme peut tre nglig condition que le terme

n'entrane pas une contribution identiquement nulle dans l'expression o il se trouve.

Un lectron, de masse m, possde une nergie:

(I-57)

O p est sa quantit de mouvement.

Or (I-58)

O (I-59)

Daprs les quations (I-57) et (I-58), on tire :

(I-60)

quation que l'on peut encore crire, l'aide de (I-59) :

(I-61)

et l'quation (I-56) devient:

(I-62)

En introduisant les quations (I-46), (I-52) et (I-62) dans lquation (I-44), nous

obtenons: T (I-63) En prsence d'un champ lectrique et d'un champ magntique , la rsultante des

forces s'crit:


27

(I-64)

Le produit . se rduit : . . (I-65) Puisque : . 0 (I-66) De plus :

(I-67)

est un terme correspondant la dviation partir de la loi d'Ohm donc il na aucun

sans intrt dans notre calcul. (I-68) A partir de l'quation (I-46), nous avons:

(I-69)

Et L'quation (I-67) s'crit:

(I-70) L'quation (I-63) devient alors:

LogT (I-71) O LogT T T (I-72) D'o la solution pour la fonction :


28

LogT (I-73) Puisque :

et

nous pouvons crire sous la forme:

LogT (I-74) En posant:

(I-75)

O ne dpend pas de , c'est--dire: , , , (I-76) Nous obtenons une quation en :

LogT (I-77) Si nous posons:

LogT (I-78) L'quation (I-77) s'crira: (I-79) La solution de cette quation est:

. (I-80) En remplaant par sa valeur, nous obtenons:


29

1 LogT . LogT ( I-81)

Dans le cas particulier o le champ magntique de la mme direction que le champ

lectrique et le gradient de temprature , lquation (I-81) scrit :

LogT (I-82)

Donc :

LogT (I-83)

Si le matriau ne contient pas un gradient de temprature, scrit : (I-84)

Lcart par rapport lquilibre scrit sous la forme suivante [6]:

(I-85)

A partir de cette quation, nous pouvons calculer la densit du courant lectrique, donc la

conductivit lectrique.


30

.5-Conductivit lectrique:

.5.1-Conductivit lectrique dans lapproximation de llectron libre:

Il convient en gnral pour le calcul de la conductivit lectrique dutiliser la fonction de

distribution F qui mesure le nombre N dlectrons dans ltat k dk pris dans un volume

lmentaire.

(I-49)

En labsence dun perturbation extrieure est donne par :

(I-50)

est le potentiel chimique du gaz dlectrons libres .

Quand le mtal est soumis un champ lectrique , en labsence dun champ magntique

lquation de Boltzmann pour un solide homogne se ramne :

(I-51)

: est le temps de relaxation. Il est li au libre parcours moyen par la relation :

. (I-52)

O est la vitesse de llectron.


31

En labsence du champ la distribution ne donne lieu aucun courant. En revanche, la

distribution correspond la densit de courant :

(I-53)

Dune faon gnrale, le calcul de la densit de courant J et donc de la conductivit

lectrique ( ) implique celui de la distribution en passant par lquation de

Boltzmann. Dans le cas prsent ce calcul est simple, en effet on peut remplacer au premier

ordre par dans le membre gauche de lquation (I-51), do : (I-54)

En se rappelant que lon a :

et On aboutit finalement aprs le calcul la relation :

(I-55)

o est le nombre d'lectrons de conduction par unit de volume, le temps de

relaxation la surface de Fermi, c'est dire la dure moyenne d'un parcours entre deux

chocs.

.5.2-Conductivit lectrique des lectrons dits presque libres:

En procdant de la mme faon que pour les lectrons libres, mais en utilisant la relation :

(I-56)

On aboutit lexpression de la conductivit lectrique des lectrons dits presque


32

libres. Elle est donne sous forme tensorielle par la relation :

(I-57)

O :

(I-58)

Lquation (1.49) nest autre que la valeur moyenne, lintrieur de la surface de Fermi,

de linverse des lments du tenseur de masse effective.

La masse effective se rduit un scalaire dans le cas dune symtrie cubique et fortiori

pour le simple modle de llectron libre.

Il semble donc daprs les quations (I -12), (I -55) et (I-57) que la conductivit lectrique

des mtaux est proportionnelle au temps de relaxation et donc au libre parcours moyen

effectu par les lectrons dans le mtal. Gnralement ce dernier est la superposition de

plusieurs libres parcours moyens qui sont ds aussi plusieurs mcanismes dinteractions,

(interaction lectrons-phonons, lectrons-impuret, interaction lectrons-surfaces

externes, ).

Dans le travail de modlisation qui suit, il sera tenu en compte la limitation gomtrique

impose par les surfaces externes du mtal. On peut prvoir que leffet des surfaces

extrieures est minent lorsque lpaisseur de lchantillon est infrieure ou du mme

ordre de grandeur que le libre parcours moyen des lectrons.


33

.7-Rsistivit lectrique dans les mtaux:

Dans le mtal massif la rsistivit lectrique trouve son origine [5] dans linteraction des lectrons avec les oscillations du rseau (phonons), les imperfections (lacunes,

dislocations) et les impurets ventuellement prsentes.

La rsistivit totale peut tre dcrite comme tant la somme des rsistivits dues chaque type de processus de diffusions. La rsistivit totale est de la forme :

(I-59)

Avec :

: rsistivit de aux phonons

: rsistivit de aux imperfections et impurets.

Si la concentration des imperfections et des impurets est trs petite, devient indpendant de temprature (rgle de Mathiessen). la rsistivit du mtal 0 appele rsistivit rsiduelle . Mais les expriences ont dmontr que proportionnelle avec

T aux hautes tempratures, et proportionnelle avec aux basses tempratures

Donc :

A hautes tempratures A basses tempratures

Ce rsultat est reprsent dans la figure suivante [5] :


34

T

Figure (-9) : variation de la rsistivit lectrique en fonction de la temprature

Conclusion :

On peut dire, malgr les rsultats qui ralis par les modles de Drude et Sommerfeld, traiter la conduction dans le cas du mtal massif : les dimensions des chantillons sont grand, compares au libre parcoure moyen, mais ces modles restent insuffisants pour dterminer la conductivit lectrique avec prcision, quand lune des dimensions de lchantillon mtallique devient de mme ordre ou infrieure au libre parcoure moyen, comme dans le cas des couches minces, dans le chapitre qui suit, nous prsenterons quelque modles qui permettent dtablir des formules thoriques relatives aux phnomnes de transport lectronique.

Chapitre II

Les diffrents modles de la conductivit

lectrique des couches minces

mtalliques

Chapitre II Les diffrent modles de la conductivit lectrique des couches minces mtalliques

35

Quand lune des dimensions de lchantillon mtallique devient de mme ordre ou

infrieure au libre parcoure moyen (l. p. m.), comme le cas des couches minces,

linteraction lectrons-surface va jouer un rle considrable dans la conductivit lectrique

De nombreux modles thoriques prsents dans la littrature permettent dexpliquer et

dinterprter les donnes exprimentales de la conductivit lectrique, ces modles sont

bass sur la rsolution de lquation de transport de Boltzmann, dans laquelle les effets de

surfaces sont incorpors par lintermdiaire des conditions aux limites sur la fonction de

distribution perturbe.

Dans ce chapitre nous prsenterons les modles dcrivant la conductivit lectrique dans

les couches minces mtalliques, cet effet, nous commenons dabord par un rappel sur la

conductivit lectrique dans le cas des mtaux massifs puis, nous abordons avec

suffisamment de dtails la modlisation de la conductivit lectrique dans les couches

minces mtalliques. Les premiers modles ayant dcrit les phnomnes de conduction

lectrique dans les couches minces mtalliques ont t proposs par :

- Fuchs-Sondheimer (1938-1952),

- Cottey (1967),

- Mayadas-Shatzkes (1970),

La thorie la plus ancienne est celle de Fuchs-Sondheimer qui fournit dans certains cas des

rsultats satisfaisants. Dautres modles plus perfectionns ont t dvelopps

ultrieurement apportant divers raffinements, nous citerons ultrieurement avec dtails les

plus rcents.


36

II .1-Modle de Fuchs-Sondheimer :

Dans le cas du mtal massif les dimensions des chantillons sont grandes, compares la

distance moyenne parcourue par un lectrons entre deux chocs conscutifs, la conductivit

lectrique s'exprime par . l / . , o n est le nombre d'lectrons par unit de volume, lm leur(l,p,m). leur vitesse moyenne au voisinage de la surface de Fermi, et la

conductivit des lectrons la surface du conducteur revt une importance secondaire.

Plusieurs mcanismes contribuant au calcul de la rsistivit lectrique des couches minces.

Ce sont les collisions internes et les diffusions sur les surfaces externes et sur les joints de

grains. Lun des plus anciens modles analytique, a t dvelopp par Fuchs en 1936 et

Sondheimer en 1952[7,8,11].

Le formalisme mathmatique propos dans le modle de Fuchs-Sondheimer est abord

avec plus de dtails, car il constitue le premier modle pour la conductivit lectrique dans

le quel les effets des surfaces externes sont tenues en compte. Aucun autre modle

auparavant navait dcrit les phnomnes de transport (rsistivit lectrique, pouvoir

thermolectrique effet Hal,.), dans le cadre des couches de faibles paisseurs.

La variation de la rsistivit des couches minces mtallique a t traite par le modle de

fuchs-sondheimer, en introduisant les effets de surfaces externes. Ce modle est bas sur la

fonction de distribution de Boltzmann et certaines hypothse simplificatrice :

Les couches minces sont homognes avec des surfaces parallles et lisses.

la probabilit quun lectron dtre rflchi spculairement par lune des surfaces lors

de sa collision est p, alors que la fraction restante (1-p) est diffuse dans lespace.

Etant donn limportance de cette thorie et comme elle constitue lune des thories de

base dcrivant les phnomnes de transport dans les couches minces mtalliques, nous


37

avons jug utile de la prsenter ici avec plus de dtails et les autres modles seront

prsents de manire succincte[7].

II .1.1-Reprsentation mathmatique :

Considrons un film mince soumis un champ lectrique E dans le sens de sa longueur

(selon laxe des x). On admet que le film est dpaisseur uniforme (d) et de structure quivalente au matriau massif et que sa temprature est constante.

Figure (II -1) : Gomtrie de modle du Fuchs-sondheimer

Donc le problme est unidimensionnel et la fonction de distribution des lectrons est

dcrite par lquation de Boltzmann qui sexprime sous la forme :

(II-1)


38

:est la fonction de Fermi-Dirac lquilibre(en absence du champ extrieur). le premier

terme du deuxime membre correspond l action du champ ,le seconde fait intervenir le

mouvement des lectron situs une certaine altitude comprise entre 0 (substrat)et (surface suprieure).

La fonction de distribution f tant donne par lexpression :

, , , , , (II-2)

Il en rsulte :

(II-3)

En premire approximation le terme peut tre nglig puisque le champ est selon x

(et donc ).

De mme on peut ngliger le terme puisque ne dpend pas de z.

Donc lquation (II-1) devient comme suive :

. (II-4)

La solution gnrale est du type :

1 , , / (II-5)

O la fonction arbitraire f(v) sera dtermine par les conditions de rflexion des lectrons

sur les surfaces de la couche mince.


39

En premier temps, Fuchs et Sondheimer ont suppos que tous les lectrons subissent une

rflexion totalement diffuse (p = 0). Mais aprs, ils ont mis au point une nouvelle thorie

plus gnrale tenant en compte la rflexion spculaire des lectrons [7].

II .1.2-Cas des rflexions totalement diffuse: Si un lectron est rflchi de faon diffuse la surface limite z=0 cela revient dire que

sa direction aprs le choc est indpendante de son angle dincidence, donc la fonction de

distribution des lectrons est indpendante de la direction. Lquation (II-5) montre que ce

ci peut seulement tre satisfait si nous choisissons f(v) de sorte que (v,0)pour tous les

lectrons sloignant de la surface doit tre nulle pour z=0 .

Ce qui donne :

, 0 0 pour tout 0 .

Ainsi pour la surface limite z=d

, 0 pour tout 0

Si on revient lexpression (II-5) de cela conduit :

1 pour 0 / pour 0 (II-6)

Les fonctions de distribution perturbes des lectrons sont respectivement pour ceux


40

qui sloignent de la surface z=0 et pour ceux qui quittent la surface z=d [7]:

= . . 1 / pour 0 (II-7)

= . . 1 / pour 0

Connaissant la fonction de distribution en fonction de z, ce qui permet de calculer la

densit de courant .la simplification de permet daboutir lexpressions gnrale de la

densit de courant . en utilisant le changement de coordonnes classique on peut crire ces

expressions en coordonnes polaires, devient :

= . . 1 / sin cos (II-8)

On peut calculer la densit de courant pour traduire l effet des surface externes dune

couche mince , cela se fait en utilisant la formule obtenue par Sondheimer [7] prsente

par :

2 . . (II-9)

On peut crire cette intgrale en considrant les coordonnes polaires , , ce qui donne l'quation suivante :

. 11 (II-10)


41

Dans les matriaux massifs ou les couches minces on avait crite J= . E , la conductivit

totale doit tre effectue pour toutes les valeur z (de z=0 z=d).

Donc lexpression gnral de la conductivit est :

1 cos 1 (II-11)

et est la conductivit du mtal massif .

On peut crire (II-11) par une formule simple :

(II-12)

O K reprsente l paisseur rduite donne par :

Avec :

(II-13)

Donc la conductivit du film est donne par :

1 (II-14)

O t est la variable dintgration qui est gale cos . Il ya deux cas limites pour dernier quation si les films sont trs minces ou pais


42

cas des films trs minces 1 :

(II-15)

cas des films pais 1 :

1 (II-16)

O et sont respectivement la rsistivit de la couche mince et celle du mtal massif.

II .2.3-Cas des rflexions diffuse et spculaire simultanment :

On retient lhypothse simplificatrice dj nonce, savoir quune proportion p subit une

rflexion spculaire(se disperse lastiquement)avec une vitesse inverse de tandis que

(1-p)subit une rflexion totalement diffuse avec une perte total de leur vitesse drive. Il faut

noter que Fuchs-Sondheimer proposait que le paramtre p soit indpendant de la direction

des lectrons arrivs aux surfaces.

La fonction de distribution des lectrons quittant la surface est la somme des fonction de

distribution des lectrons qui subissaient une rflexion spculaire et une rflexion diffuse .

Donc pour z=0 ,on a :

, 0 , 0 1 (II-17)

De la mme faon pour z=d :

, , 1 (II-18)


43

Ces quations sont suffisantes pour dterminer la fonction arbitraire f(v) et les fonctions de

distributions rsultantes sont :

, 1 . 0 (II-19) , 1 . 0 (II-20)

La densit du courant J(d) se dtermine de faon similaire au calcul fait dans le cas de la

rflexions totalement diffuse, et lintgration sur z donne finalement[8,11] :

1 1 (II-21)

K= (d / ) : reprsente lpaisseur rduite

Mme si cette fonction est numriquement intgrable, il est pratique de considrer certains

cas limites :

cas des films trs minces 1 :

(II-22)

cas des films pais 1 :

1 1 (II-23)


44

Pour expliquer les phnomnes de transport lectrique dans les couches minces mtalliques

F-S dduites ces formules thoriques de la conductivit et de la rsistivits lectriques

emploient les paramtres K et P .

Dans le quatrime chapitre de ce mmoire nous allons vrifier la validit de ces quations

partir des applications exprimentales sur des couches de cuivre, dargent et de platine.

II .2-Modle de COTTEY:

La mthode propose par COTTEY[9], pour dcrire les phnomnes de diffusion par les

surfaces externes consiste remplacer la couche mince dpaisseur d par une superposition

infinie de couches dpaisseur d ,o les interfaces entre couches sont reprsentes par des

plans partiellement rflchissants parallles entre eux(FIGURE II-2(a) et (b) ).

En suivant lide mise initialement par Fuchs-Sondheimer, la proportion dlectron

traversant chaque interface sans changement du vecteur de vitesse qui est gale p, Des

lors la probabilit p pour quun lectron, arrivant linterface sous langle d incidence

,parcourt une distance L sans avoir t diffus est [12] :

(II-24)

d 1

(a)


45

d

d

d 1

(b)

FIGURE(II-2):reprsentation gomtrique du modle de Cottey.

En introduisant le libre parcours moyen ,correspondant la diffusion par les surfaces , il

est dfini par la relation :

(II-25)

On obtient :

| | (II-26)

Le libre parcours moyen totale scrit :

1 |cos | (II-27) :est le libre parcours moyen dans le mtal massif.

Lexpression de la conductivit lectrique rduite obtenue par application dun champ


46

lectrique est de la forme :

| | (II-28) O est la conductivit lectrique dans le mtal massif.

En intgrant en ,lquation (II-28) donne :

1 1 (II-29) :est appel paramtre dimensionnel du modle de Cottey[9] il est dfini par :

= (II-30)

K : reprsente lpaisseur rduite donne par: k=


47

II .3-Modle de MAYADAS SHATZKES :

Le modle propos par Mayadas et Shatzkes[10] en 1970, il est tendue pour le modle

F-S qui prend en compte la diffusion par les joints de grains . Souvent important dans les

couches minces polycristallines[13] . Ce modle bas sur lcart de la fonction de

distribution des lectrons par rapport lquilibre est suppos d aux effets superposs des

collisions sur le rseau reprsentes par lquation :

, . . . (II-31) Et des collisions sur les joints de grains qui sont dcrites sous la forme intgrale : , . (II-32) O , est la probabilit pour quun tat lectronique k soit transform en un tat lectronique k sous leffet de la collision sur les joints de grains . Les joints de grains sont

reprsents par N plans parallles orient perpendiculairement la direction du champ

lectrique avec un espacement rgulier comme le montre figure suivant :

Potentiel

X Figure (II-3) : La gomtrie du modle de Mayadas - Shatzkes.


48

Lespacement rgulier Dg est valu de manire statistique. Il est considr comme tant

lcart statique entre les plans rflecteurs.

Dans le cas d une couche infiniment paisse, lquation de Boltzmann pour le transport des

charges s crite sous la forme :

. . , . (II-33) La probabilit , est calcule par Mayadas et Shatzkes [10] partir de lHamiltonie de llectron libre avec certaines hypothses simplificatrices, ainsi ils ont suppos que seuls

les joints de grains perpendiculaires au champ lectrique donnent lieu des collisions, de

plus, on reprsente lensemble des joints de grains perpendiculaires est reprsent par une

distributions Gaussienne du plan rflecteur, enfin chaque plan rflecteur est reprsent

lectriquement par un potentiel de Dirac :

(II-34)

:est la position du plan rflecteur le long de laxe Ox parallle au champ lectrique.

:est considr comme une perturbation de lHamiltonien et la probabilit , est identifie la valeur du carr de l lment de matrice : | | | | moyenn sur lensemble de la distribution Gaussienne.

Pour des raisons de commodit, le carr de paramtre S qui apparait dans le carr de

llment de matrice est crit sous la forme :

~ (II-35) O R est appel le coefficient de rflexion .

La solution de lquation de Boltzmann est alors :

. . . (II-36)


49

O est le temps de relaxation associ aux collisions sur le rseau et sur les joints de

grains , sont expression est : 2 | | (II-37) Avec :

| | | | (II-38) Et :

(II-39)

O est le libre parcours moyen de llectron dans le mtal massif . :le diamtre de grain moyen quon identifie l cart statistique entre les plans rflecteur .lcart type S est obtenu en admettant que : 1 Lexpression de se simplifie :

| | | | (II-40) Et lexpression gnrale de la densit de courant est donne par la relation suivante :

2 (II-41) Elle devient :

/ / | | (II-42)

En tenant compte du thorme dexpansion :

(II-43)

O :B est la constante de Boltzmann .


50

Une expression gnrale simplifie de est : . (II-44) Avec : 1 Et . (II-45)

1 3 3 1 (II-46) Pour calculer la conductivit lectrique lorsque la couche est mince, Madyadas et shatzkes

reprennent la mthode de calcul de Fuchs en remplaant le temps de relaxation par

qui ,dans les condition de validit de linquation 1, scrit : 1 (II-47) Lexpression de conductivit de la couche est ensuite dduite des quations obtenues dans

le modle Fuchs-Sondheimer : , , (II-48) O :

, , 6 1 / , 1 1 1 ,1 , Avec :

, =1+ 1 / (II-50)


51

P : est le coefficient usuel de rflexion lectronique spculaire et k est lpaisseur rduit ,

cest--dire O : d : est lpaisseur de la couche.

Conclusion : En effet les thories les plus utilises pour dcrire la rsistivit lectrique dans les

couches minces mtallique sont celles du modle introduit par F-S, qui tient en

compte les effets des surfaces externes, et celui de M-S pour tenir compte des effets

des joints de grains, sans oublier les effets des diffusions par les phonons, avec les

deux premiers models unidimensionnels, Dans le chapitre qui suit, nous prsenterons

d'autre modles qui permettent des reprsentations tridimensionnelles appel (modles

statistiques ) qui tiennent en compte les effets simultans dus aux surfaces externes et

des joints de grains et des diffusions par les phonons.

Chapitre III

Les modles statistiques


52

III.1-Le modle statistique unidimensionnel:

III.1.1- Effet des joints de grains:

Ce modle comparable au le modle de Cottey est tendu pour le modle M-S,

la proportion dlectrons qui fournissent la mme contribution au courant avant et aprs

avoir franchi le joint de grains appel le coefficient de transmission t et la proportion (1-

t) diffuss dans toutes les direction . la contribution des lectrons au courant lectrique est

rduite dun facteur t chaque fois quun joint est franchi . la probabilit que des lectrons

franchissent une distance L sans tre diffuss par un plan rflecteur dpend du nombre N

de plans rflecteur et du coefficient de transmission t :

(III.1)

En admettant que le coefficient de transmission est voisin de 1,on peut considrer que la

probabilit p dlectrons qui franchissent la distance L sans tre diffuss peut scrire :

(III.2)

O : est le libre parcours moyen associ aux collision sur les joint de grains .


53

Z r

X

Y

Y

1 X

Figure (III-1) : La gomtrie du modle statistique unidimensionnel.


54

Lexpression de L est :

L= |cos | (III.3) avec: est lespacement rgulier entre les joints de grains .

En combinant les trois dernires quations, on peut crire le libre parcours moyen

associ aux collisions sur les joints de grains sous la forme :

|cos | (III.4) Si un temps de relaxation unique peut tre dfini par lensemble des processus de

collisions ,supposs superposables ,un libre parcours moyen (de grains) peut tre

dfini par :

(III.5)

Soit :

1 |cos | (III.6) qui peut scrire :

1 | | (III.7) Avec :

(III.8)

Lquation de Boltzmann scrit alors :

, , (III.9)


55

Soit :

(III.10) Avec :

(III.11)

Comme le coefficient de transmission est suppos voisin de 1, lquation dfinissant

suggre que la fonction de distribution est indpendante de x, lquation de Boltzmann se

rduit alors :

(III.12) On peut calculer la densit de courant aprs introduisant les coordonnes polaires dans

lquation suivant :

2 (III.13) Avec : cos En utilisant les relations (III.7) et (III.12),la densit de courant scrit, aprs lintgration

en ,sous la forme :

| | (III.14) Puisque on a :

(III.15)

Et : (III.16)

O :est la conductivit du mtal massif, donc lexpression de J devient :


56

| | (III.17) La conductivit due aux joints de grains , ,est alors gale :

| | (III.18) D o :

3 3 1 (III.19) Pour tablir un modle de conduction des couches minces polycristallines au utilis le

modle statistique tridimensionnel qui tient en compte leffet des joints de grains 14 . III.2-Le modle tridimensionnel:

Dans 14 les couches minces polycristallines les joints de grains peuvent tre reprsentes par trois sries de barrires de potentiel planes perpendiculaires

respectivement aux axes x,y,z (figures II-a , II-b et III-c). ces plans pourraient tre dfinis

de faon statistique, par un espacement moyen Dg.

Cependant, quand un lectron a t transmis spculairement par un grand nombre de

joints de grains, le libre parcours moyen li la diffusion par les joints de grains peut tre

calcul de faon statistique partir de la distance moyenne Dg qui spare deux plans

conscutifs. Il est noter cependant que cette simplification ne pourrait tre utilise dans

le traitement mathmatique propos par Mayadas et Shatzkes [10] pour la dtermination

de la conductivit (et de la rsistivit).


57

III.2.1-Analyse thorique :

La distance 14 D sparent deux plans conscutifs, elle est mesure suivant les directions ox, oy et oz a la mme valeur quelque soit la direction considre si on admet que le grain

moyen est cubique .

Aux coordonnes polaire ( , , ), la trajectoire de llectron est dtermine par les angles . Si , et sont les distances mesures entre deux points successifs de la trajectoire de llectron appartenant aux plans perpendiculaire respectivement aux axes x,

y et z, (figure II-a II-c),on peut crire :

|cos | |sin | (III.20) |sin | |cos | (III.21) |cos | (III.22)


58

Y

X

(a)

Z

Y

X

(b)

(c)

Figure-2-La gomtrie du modle statistique tridimensionnel.


59

Pour chaque direction dfinie par les angles et , nous dsignons par t la fraction

dlectrons qui sont transmis avec conservation du vecteur donde k travers les plans

rflecteurs, et la fraction restante (1-t) des lectrons est diffuse uniformment dans tout l

espace, donc elle ne contribue plus au courant..

Si le nombre de transmissions spculaires successives subies par un lectron avant dtre

diffus est grand, La probabilit totale p qua un lectron de parcourt une distance L sans

tre diffus suit une loi exponentielle et peut scrire sous deux forme :

(III.23)

O : est libre parcours moyen relatif leffet de joint de grain

Soit : (III.24)

, et sont donns par les relations : . (III.25) . (III.26) . (III.27) puisque llectron dont la trajectoire est dfinie par les angles et parcourt les distances

x, y et z entre chaque plan rflecteur perpendiculaire respectivement aux axes x, y et z.

do

. (III.28) La comparaison des deux expressions donnant p entraine : exp . (III.29)


60

En remplaant , , par leur valeur on obtient la relation :

|cos ||sin | |sin ||cos | |cos | (III.30) En utilisant lapproximation :

|cos | |sin | (III.31) Avec : c = |sin | |cos | (III.32) Ce qui permet dcrire sous deux formes 14 diffrentes : 1 |cos | (III.33)

1 |cos | (III.34) Ce modle fait donc intervenir, dun point de vue statistique, les effets moyens des

rflexions des lectrons sur trois sries de plans perpendiculaires aux axes x, y et z.

III.3-Conductivit lectrique :

La conductivit 10 lectrique total est calcule partir de trois mcanismes de diffusion de l'lectron simultanment : collision internes (phonons), les diffusions sur les joints de

grains et les surfaces externes.

Nous supposons que ces trois phnomnes lectriques donnent des effets indpendants

pour dterminer le libre parcours moyen total des lectrons.

Chapitre III

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Etude théorique des effets dimensionnels dans les fils ...lab.univ-batna.dz/lepcm/images/files/magister/sce0129.pdf · des niveaux d’énergie discrets comme dans le cas de l’atome