EURO-INSTITUT D’ACTUARIAT JEAN DIEUDONNE –EURIA

Partie complémentaire du Mémoire présenté en vue de l’obtention du Master d’Actuariat cohabilité entre l’EURIA et l’école des Télécom Bretagne et pour

l’obtention du titre d’Actuaire.

VIABILITE ET SOLVABILITE D ’UNE

COMPAGNIE TAKAFUL EN EUROPE

LUDIVINE COLLET PROMOTION 2009

Introduction ................................................................................................................................ 3 Chapitre 1 : La finance et l’Assurance vie Islamique et les cadres réglementaires ................... 5

1. Des bilans séparés pour le fond des Participants et le fond des actionnaires ou un bilan commun.................................................................................................................................. 5

a. Selon l’IFRS............................................................................................................... 5 b. Selon l’AAOIFI.......................................................................................................... 5 c. Un compromis ............................................................................................................ 5

2. Des principes à appliquer pour une compagnie Takaful en Europe............................... 6 a. Respect de Solvency II ............................................................................................... 6

i) Pilier I : les règles quantitatives ............................................................................. 6 ii) Pilier II : le processus de contrôle prudentiel......................................................... 7 iii) Pilier III : information et discipline de marché .................................................. 7

b. Le contrôle du Conseil de la Charia ou Sharia-Board................................................8 c. La partie investissement gérée selon Le Mudharabah................................................ 9

1) Le partage des profits et des pertes s’applique................................................... 9 2) Instruments financiers à taux peu tolérés ........................................................... 9

3. Des règles d’investissement particulières..................................................................... 10 a. Règles et allocation d’actifs classique...................................................................... 10

i) Produits dérivés et engagements similaires.......................................................... 11 ii) Les obligations islamiques Sukuk ........................................................................ 11 iii) Portefeuilles d’actions ...................................................................................... 11

b. Suffisance des fonds propres et solvabilité : des différences entre une société Takaful et une société classique ....................................................................................... 11

4. Deux spécificités du modèle Wakalah-Mudharabah à ne pas oublier.......................... 12 Chapitre 2 : Des risques à considérer et une gestion actif-passif pour assurer la viabilité de la compagnie ................................................................................................................................ 13

1. La durée de vie d’une entreprise, probabilité de ruine................................................. 13 a. Présentation d’un modèle stochastique .................................................................... 13 b. Interprétation des résultats en termes d’aide a la gestion actif/passif ...................... 15 c. Exemple avec la compagnie Takaful IKHLAS........................................................ 16

i) Estimation des paramètres.................................................................................... 16 ii) Les résultats pour le compte combinant le Participant Fund et le Shareholder Fund.............................................................................................................................. 16 iii) Les résultats pour le compte présentant seulement le Participant Fund........... 17

d. Commentaire ............................................................................................................ 17 2. Calcul des Provisions Techniques................................................................................ 17 3. Le besoin en capital...................................................................................................... 18

a. La Solvabilité Complète Requise ou Solvency Capital Requirements SCR............ 18 b. Les modules de risques ............................................................................................ 19

i) Le risque opérationnel SCRop ............................................................................. 20 ii) Le risque de souscription Non Vie SCRnl ...........................................................20 iii) Le risque de souscription santé SCRhealth ...................................................... 20 iv) Le risque de souscription Vie SCRlife.............................................................20 v) Le risque de défaut de contrepartie SCRdef.........................................................21 vi) Le risque de marché SCRmkt........................................................................... 21

c. Le minimum de capital requis ou Minimum Capital Requirement MCR................ 21 4. Le risque de marché ..................................................................................................... 22

a. Le risque de taux d’intérêt MKTint.......................................................................... 23 b. Le risque action MKTeq .......................................................................................... 24 c. Le risque immobilier MKTprop............................................................................... 25

2

d. Le risque de devise MKTfx...................................................................................... 25 e. Le risque de spread MKTsp ..................................................................................... 26 f. Les concentrations du risque de marché MKTconc ................................................. 26

Chapitre 3 : Solvency II, VaR et probabilité de ruine.............................................................. 27 1. Définition de la VAR ................................................................................................... 27 2. Modèle standard : Cas de la distribution normale........................................................ 28

a. L’écart-type et la moyenne....................................................................................... 29 i) L’écart-type .......................................................................................................... 29 ii) La moyenne .......................................................................................................... 30

b. Et les formules standard pour la marge de solvabilité..............................................31 Conclusion................................................................................................................................ 33 Bibliographie............................................................................................................................ 34 Annexes ………………………………………………………………………………………35

3

INTRODUCTION

L’objet de cette partie est d’étudier dans quelles mesures une compagnie d’assurance-vie Takaful peut assurer sa pérennité dans un cadre réglementaire européen tout en respectant les lois de la Charia. Ainsi, de nombreux risques sont à prendre en considération et, du fait de leurs spécificités par rapport aux contrats d’assurance-vie traditionnelle, notamment dans l’allocation de 100% des bénéfices de souscription aux participants, et le prêt à taux 0% en cas de déficit, une estimation différente de ces risques est à noter. Le modèle d’assurance vie le plus respectueux des règles de la Charia étant le Wakalah-Mudharabah, nous considèrerons dans cette partie que la compagnie utilise ce modèle et donc que la partie investissements est gérée selon le principe du Mudharabah. Afin d’avoir une idée de la situation des établissements financiers islamiques comparés aux concurrents occidentaux, voici les résultats d’analyse des comptes de l’année 2004 de dix banques islamiques, comparés à ceux d’un panel de grandes banques conventionnelles. Cette étude a été réalisée afin de mesurer les risques spécifiques aux compagnies islamiques. L’étude montre que :

- la qualité des actifs des banques islamiques (mesurée par les ratios « provisions et pertes de contrepartie sur encours de crédit ») est dans l’ensemble meilleure que celle des banques occidentales ;

- la solvabilité des banques islamiques (mesurée par le ratio « capital social et réserves sur encours ») est comprise entre 10 et 20%, soit à un niveau supérieur à celui (8%) exigé par les accords de Bâle ;

- la liquidité des banques islamiques (mesurée par le ratio « dépôts sur actif ») est nettement inférieure à celle de leurs concurrentes occidentales ;

- la rentabilité des banques islamiques (mesurée par les ratios « produit net bancaire sur actif » et « résultat net sur actif ») est moindre que celle des grandes banques conventionnelles, mais elle semble être plus stable dans le temps;

- la qualité de la gestion des banques islamiques (mesurée par le nombre de faillites bancaires et par le niveau de formation des salariés) n’est pas significativement différente de celle des établissements classiques.

Ces observations rejoignent dans l’ensemble les constats des agences occidentales de notation

financière : - l’agence Standard & Poors a procédé en 2002 à la même analyse comparative ; l’étude

conclut que les risques des établissements et instruments islamiques « ne sont dans l’ensemble ni plus ni moins élevés que ceux des autres banques de mêmes tailles et profils».

- Moody’s est cependant plus réservée sur la liquidité des banques islamiques, dont les instruments d’actif et de passif ont des maturités plus courtes et plus aléatoires que celles des banques conventionnelles, et sur la qualité des actifs plus réduite en raison de la difficulté des établissements islamiques à pratiquer une gestion dynamique de portefeuille de leurs créances.

Un premier chapitre présentera la nouvelle réforme réglementaire européenne Solvency II, à laquelle devront également répondre les compagnies Takaful implantées en Europe, ainsi que les normes supplémentaires que doivent également respecter les compagnies Takaful sous le contrôle de conseil de la Charia. Dans un deuxième chapitre, nous estimerons la probabilité de ruine d’une compagnie Takaful grâce à un modèle stochastique. En relation avec le référentiel européen Solvabilité II, nous

4

traiterons les provisions techniques, le besoin en capital et nous verrons quels risques sont à prendre en considération. Enfin dans un dernier chapitre, nous concilierons la probabilité de ruine, Solvabilité 2 et l’utilisation de la Value at Risk.

5

CHAPITRE 1 : LA FINANCE ET L’ASSURANCE VIE ISLAMIQUE ET LES CADRES REGLEMENTAIRES

1. Des bilans séparés pour le fond des Participants et le fond des actionnaires ou un bilan commun a. Selon l’IFRS

Actuellement, les assureurs de l’Union Européenne utilisent l’International Financial Reporting Standards (IFRS) pour leurs comptes. D’après l’IFRS, les compagnies Takaful devraient publier leurs comptes en combinant les fonds des participants, ou Participant Fund, et le fond des actionnaires, ou Shareholder Fund. Récemment, le FSA au Royaume-Uni a annoncé que les compagnies Takaful seront régentées comme les mutuelles, c'est-à-dire au niveau de la combinaison des fonds des participants et des actionnaires, et il n’est pas question de modifier ces règles dans un futur proche.

Cela entraîne des problèmes de transparence. Comment les actionnaires éventuels peuvent-ils estimer les résultats de la compagnie si les comptes combinent les résultats du fond des actionnaires avec ceux du fond des participants, puisque les actionnaires ne tirent des avantages économiques, comme les dividendes, que du fonds des actionnaires? Les comptes devraient-ils présenter séparément les Fonds des participants et les fonds des actionnaires? Inversement, comparer la performance des entreprises Takaful avec les entreprises d’assurance traditionnelle nécessiterait les résultats combinés pour être présentés comme un bilan d’assurance traditionnelle.

b. Selon l’AAOIFI

L’AAOIFI (Accounting and Auditing Organization for Islamic Financial Institutions) s’apparente à l’IFRS et a été spécialement développé pour les compagnies Islamiques. Selon les normes AAOIFI, des comptes séparés pour le SF et le PF doivent être présentés. De plus, le Shariah Board doit soumettre chaque année un relevé des problèmes vus dans l’exercice en question.

c. Un compromis Une compagnie Takaful en Europe pourrait inclure en annexes aux principaux comptes IFRS, les comptes pour le PF et pour le SF ainsi que le relevé du Shariah Board, ce qui permettrait la transparence ainsi que d’être comparable avec les autres entités Takaful du monde utilisant les normes AAOIFI. Par exemple, Solvency II regardera explicitement le capital de la compagnie et les besoins estimés en réserve basés sur un calcul de Best Estimate plus une marge de risque.

Toutefois, pour les compagnies Takaful, bien que le Best Estimate des provisions soit gardé pour le Participant Fund, aucun fond de roulement pour couvrir la marge de risque ne sera

6

dans le SF. Cela entraine des complications si nous essayons de modéliser l’entité Takaful en utilisant une approche du risque basé sur le capital.

2. Des principes à appliquer pour une compagnie Takaful en Europe a. Respect de Solvency II

En prenant exemple sur la réforme homologue Bâle 2 dans le milieu bancaire, la réforme Solvabilité 2 est basée sur une approche en trois piliers. En avril 2003, la Commission européenne a défini ces trois piliers: exigences quantitatives, activités de surveillance, information et publication. La grande réforme qu’apporte le référentiel Solvabilité 2 se situe notamment au niveau de la détermination de l’exigence d’une marge de solvabilité. La marge de solvabilité est constituée de manière à ce que la compagnie ait une probabilité de faillite très faible à un horizon fixé. Elle est représentée par les fonds propres supplémentaires et les entreprises doivent régulièrement justifier un niveau de marge pour pouvoir continuer leur activité.

i) Pilier I : les règles quantitatives Le pilier I vise à définir les règles quantitatives qui permettront de mesurer l’exigence de marge imposée aux compagnies d’assurance. Ces règles de calcul devront se rapporter aux provisions techniques avec un objectif d’harmonisation de leur valorisation, à l’exigence de capital avec deux niveaux de capital (MCR et SCR) ainsi que la définition des règles d’éligibilité des éléments de ce capital. Cette exigence en capital peut se représenter à l’aide du schéma ci-dessous :

Ce premier pilier s’attache donc à établir des outils de mesure de la « suffisance » des provisions techniques mais aussi à formuler une harmonisation des principes de calcul entre les différentes compagnies européennes.

Besoin en capital

Provisions en norme Solvency II

7

ii) Pilier II : le processus de contrôle prudentiel L'objectif poursuivi par le pilier II est de définir et d'harmoniser les activités de surveillance aussi bien au niveau des entreprises d'assurance elles-mêmes qu'à l'échelon des superviseurs, c'est-à-dire par les autorités de contrôle telle que l’ACAM ou le CEIOPS. Ces étapes de surveillance doivent passer dans un premier temps par des mécanismes de contrôle interne et d'organisation qui sont visés ainsi que les principes applicables en matière de gestion des risques. Il est nécessaire que les compagnies puissent se contrôler elles mêmes et régulièrement à travers des procédures écrites ou encore par le biais des systèmes de contrôle et d’audit interne. Dans un deuxième temps, les instances européennes souhaiteraient donner aux autorités de contrôle les moyens d’identifier les compagnies représentant un risque financier ou organisationnel important. Dans de tels cas, elles doivent avoir la possibilité d’augmenter l’exigence de capital ou d’appliquer des mesures ciblées pour réduire les risques. Cette étape donnerait aux autorités de contrôle un droit de regard sur l’ensemble de la gestion et du fonctionnement d’un organisme assureur, examinant l’ensemble des risques encourus par la compagnie d’assurance.

iii) Pilier III : information et discipline de marché Ce pilier concerne les éléments d'information qui doivent être publiés par les entreprises d’assurance ; information publique dans le cadre de la discipline de marché, information à l’usage des superviseurs sous forme de dossier annuel, ainsi que les règles d'information des assurés. Mais la mise en place de façon plus spécifique du pilier III est subordonnée à l'avancement des deux premiers piliers. Néanmoins, deux grands principes ont, déjà, été posés par le CEIOPS : - un principe de cohérence maximum avec les exigences comptables de publication d'information ; - un principe d'harmonisation des états réglementaires de reporting aux superviseurs, avec comme objectif un dossier annuel européen.

8

b. Le contrôle du Conseil de la Charia ou Sharia-Board Pour une société Takaful, le conseil de la Charia joue un rôle clé dans la définition des différents types d’actifs dans lesquels l’opérateur Takaful peut investir, et des normes pour le choix au sein d’une classe d’actifs. Ces normes s’ajoutent aux règles ou circulaires provenant des régulateurs. Il existe de nombreux domaines dans lesquels les normes réglementaires devront probablement différer pour Takaful, ou auxquelles les contrôleurs devront porter une attention particulière. Les règles sur la gestion des placements devront englober les actifs conformes à la Charia autorisés aux opérateurs Takaful, et il faudra trouver des méthodes acceptables pour les évaluer. Il peut exister des questions relatives au profil de risque global des actifs, et le volume limité des marchés financiers islamiques implique qu’il peut aussi y avoir des difficultés à rendre congruents actifs et engagements, par exemple en duration ou en lieu. Au-delà de cela, la nature hybride d’une société Takaful signifie qu’elle placera à la fois les fonds des actionnaires et ceux des assurés. Mais il existe aussi des questions relatives aux systèmes et aux contrôles, notamment la nécessité de politiques de placement clairement définies pour les deux types de fonds, de contrôles de ces politiques, et d’une gestion effective des conflits d’intérêts. Les conseillers islamiques du Sharia-board veillent au respect des principes de la Charia pour toutes les opérations faites par la compagnie d’assurance islamique. Riba : Le premier fondement de la loi islamique est la condamnation du prêt à intérêt sur les opérations financières et commerciales. L’intérêt préétabli fait supporter par l’emprunteur l’essentiel du risque d’un projet; cet interdit peut être cependant levé en certaines circonstances (Rahman, 1964). Partage des profits et des pertes : Le second principe impose aux banques de partager avec leurs clients les profits et les pertes issus des projets financés, et de redistribuer une partie (au moins 2,5%) des gains (zakat) à la communauté musulmane. Interdiction des éléments Haram et Gharar : Le troisième pilier vise à conformer les projets financés aux préceptes de l’Islam: le financement des activités illicites, incorrectes (haram) liées à l’alcool, au tabac, aux jeux, aux animaux impurs, aux armes, à la pornographie…, ou purement spéculatives (gharar), est ainsi interdit (non halal). Pour financer les projets de leurs clients, les banques islamiques disposent de trois modes de financement (le partage des profits et des risques, le crédit-bail et le prêt islamique), instrumentalisés comme suit :

Tableau 1. Les principaux instruments bancaires islamiques

Tableau 1. les principaux instruments

bancaires islamiques appellations caractéristiques correspondance avec des

instruments occidentaux Mudaraba* Financement d’un projet par

la banque avec partage des P&P

selon un ratio préétabli

Capital-investissement

Musharaka* Mizaka

Co-financement par la banque et les promoteurs

avec partage des P&P selon un ratio préétabli

Capital-investissement

Kard hasan Prêt sans intérêt avec couverture des frais bancaires réels par

Prêt mutualiste

9

l’emprunteur Bay’mu’ajjal Achat d’un actif par la

banque puis revente à son client avec paiement différé

Vente à terme ou forward

Bay’as-salam Achat d’un actif du client par la banque puis revente à

terme à ce dernier

Cession-bail

Ijara Achat d’un actif par la banque puis location à son client avec promesse de

vente à terme

Crédit-bail

Murabaha Prêt sans intérêt à court terme avec marge bancaire

préétablie

Micro-crédit

Sukuk Emprunt obligataire adossé à un contrat de crédit-bail

Emprunt obligataire

* instrument impliquant un partage de profits & pertes (P&P). Source : Errico & Farahbaksh, 1998, adapté par les auteurs de la recherche.

c. La partie investissement gérée selon Le Mudharabah

Dans le modèle utilisé Wakalah-Mudharabah, la partie investissements est gérée selon le modèle Mudharabah. Etymologiquement et symboliquement, le mot « Mudarabahdharaba fi al-ardh» vient d’un terme coranique « qui signifie parcourir la terre à la recherche des gains licites ». Cette opération met en relation un investisseur, appelé Rabh el Mal, qui fournit le capital et un entrepreneur, le Mudarib, qui fournit son expertise. Dans cette structure financière la responsabilité de la gestion de l'activité repose entièrement sur l'entrepreneur.

1) Le partage des profits et des pertes s’applique Les bénéfices engrangés sont partagés entre les deux parties prenantes selon une répartition convenue à l'avance après que l'investisseur ait recouvré son capital et que les frais de gestion de l'entrepreneur aient été acquittés. En cas de perte, c'est l'investisseur qui en assume l'intégralité, l'entrepreneur ne perdant que sa rémunération. L’application du principe des partages et profits diminue considérablement les risques pour l’entrepreneur puisqu’il n’assume pas les pertes sur l’investissement.

2) Instruments financiers à taux peu tolérés Les projets d'investissement qui bénéficient des financements Mudharabah doivent, par ailleurs, remplir certaines conditions. Ils ne doivent pas avoir trait à des activités Haram (alcool, jeu du hasard, etc.). De plus, la loi islamique interdisant toute activité qui se rapporte, de près ou de loin, au Riba (intérêts), l'investissement dans une société qui utilise activement, paie ou perçoit des intérêts ne devrait pas être acceptable selon la plus stricte interprétation de la Charia.

10

Toutefois, appliquer cette règle à la lettre impliquerait exclure automatiquement la quasi-totalité des entreprises existantes. Les spécialistes en loi islamique ont, donc, progressivement établi des seuils de tolérance en matière d'endettement ou de revenus d'intérêt. Si les instruments financiers à taux représentent une fraction mineure du financement ou des revenus d'une entreprise, alors elle est considérée comme éligible pour recevoir un financement islamique. Comme les placements doivent être conformes à la Charia, une société Takaful ne peut investir dans les obligations classiques à intérêts, ou dans certains types d’actifs. Il existe également des limitations sur l’utilisation des dérivés, par exemple pour couvrir les risques de change. Le profil de risque des actifs, notamment les risques de taux et d’inflation qui deviennent moindres, sera donc différent de celui d’un assureur classique.

3. Des règles d’investissement particulières a. Règles et allocation d’actifs classique

Comme pour l'ensemble des institutions financières islamiques, les assureurs islamiques doivent se conformer aux préceptes de la Charia. La composition de leur portefeuille d'investissements va donc différer de celui d'une société d'assurance classique. Les grandes compagnies d'assurance conventionnelles investissent leur capitaux dans des instruments financiers très divers et très sophistiqués, allant des obligations aux actions et autres produits dérivés. Dans l'allocation d'actifs typique d'une compagnie de Takaful, les actions représentent plus de la moitié du portefeuille, l'immobilier - au moins un dixième, le solde étant placé dans des produits plus liquides.

Allocation d'Actifs

Actions 50% Immobilier

10%

Produits plus liquides

40%

11

i) Produits dérivés et engagements similaires L’autorité de contrôle exige que les assureurs se conforment aux normes en matière d’utilisation de produits dérivés et d’engagements similaires. Ces normes portent sur les restrictions d’utilisation et les obligations de publication relatives aux produits dérivés et engagements similaires, ainsi que sur les contrôles internes et le suivi des positions. Semblablement, le Conseil de la Charia devra approuver ou autoriser ces instruments dérivés, cette approbation s’ajoutant à toutes réglementations et directives.

ii) Les obligations islamiques Sukuk

Les obligations islamiques appelées Sukuk sont des produits de placement respectueux de la Charia. Les placements obligataires ne sont admis que s’ils respectent les principes du sukuk. En 2002, l’Etat malais a levé un emprunt d’un montant de 600 millions $, en faisant appel à un montage original: la société Malaysia Global Sukuk a émis des obligations d’une durée de 5 ans et a acheté pour le même montant des actifs immobiliers à un organisme public, puis les a loués à l’Etat par un contrat de crédit-bail de type ijarah. Les loyers, indexés sur le taux Libor, ont été reversés aux porteurs d’obligations. Le sukuk ainsi conçu a été validé par les comités de la shariah et bien noté par les agences occidentales.

iii) Portefeuilles d’actions La gestion de portefeuilles d’actions a été développée. Sa rémunération ne doit pas être proportionnelle au montant des capitaux gérés. Depuis 1999, une gestion indicielle islamique est possible, car la bourse de New York a lancé 31 indices Dow Jones Islamic Market Index (DJIM), composés uniquement d’actions de sociétés socialement responsables de toutes nationalités, qui doivent être modérément endettées et ne pas se livrer aux activités incorrectes interdites par la Charia.

b. Suffisance des fonds propres et solvabilité : des différences entre une société Takaful et une société classique

L’autorité de contrôle exige que les assureurs se conforment au régime de solvabilité en vigueur. Ce régime dispose des exigences de fonds propres, et des formes de fonds propres permettant à l’assureur d’absorber des pertes imprévues importantes. Il s’agit d’un domaine clé dans lequel il faut examiner les différences entre une société Takaful et une société classique. Tout d’abord, le régime doit tenir compte de la séparation conceptuelle entre les fonds des assurés et ceux des actionnaires. L’affectation des charges ou commissions et des coûts et risques correspondants varie d’un opérateur à l’autre, et parfois au sein de chaque opérateur par type de produits ou fonds. En particulier, le degré d’engagement des actionnaires à combler un déficit du fonds des assurés grâce à un prêt sans intérêts peut varier, et cela aura une incidence sur la manière dont les fonds des actionnaires seront traités dans le régime de solvabilité.

12

Le profil d’actifs d’un opérateur Takaful risque d’être très différent de son homologue classique, et le régime des fonds propres doit en tenir compte, en particulier là où les risques ne sont pas totalement transférés aux assurés (comme ils le sont avec certains produits de placement). Cela devra constituer une question spécifique pour les régimes type norme actuelle de l’Union Européenne, qui considère en général les actifs comme non admis ou totalement admis mais les régimes à exigences de capitaux basées sur les risques devraient aussi appliquer aux instruments islamiques une pondération adaptée. Du fait de l’éventail limité d’actifs disponibles, il peut aussi être difficile d’éviter le risque de concentration. L’ISFB a déjà entrepris des travaux sur la pondération des risques des instruments islamiques dans le contexte de banque islamique, et cela pourrait s’avérer utile en contexte Takaful. Il peut être aussi nécessaire d’examiner les actifs de réassurance, au niveau du régime ou par les contrôleurs, dans la mesure où il faut trouver un équilibre entre le souhait de recourir à des sociétés retakaful et la qualité de la sécurité. Encore une fois, les niveaux de contrôle de solvabilité doivent être explicites en ce qui concerne la relation entre les fonds des actionnaires et ceux des assurés.

4. Deux spécificités du modèle Wakalah-Mudharabah à ne pas oublier

Le régime de solvabilité doit refléter l’origine du risque. Par exemple, s’il existe un déficit dans le fonds de souscription, dans quelle mesure l’opérateur est-il obligé d’accorder un prêt de secours sans intérêts, le Qard al Hasan, et comment en tenir compte dans le régime de solvabilité. En pratique, cela pose aussi la question de savoir si l’obligation peut être étendue aux comptes des placements des assurés. Comme les assurés partagent tout excédent éventuel et, en principe, comblent tout déficit éventuel du fonds de souscription, il faut définir le mode de partage. Actuellement, les politiques des assureurs diffèrent à cet égard.

13

CHAPITRE 2 : DES RISQUES A CONSIDERER ET

UNE GESTION ACTIF-PASSIF POUR ASSURER LA VIABILITE DE LA COMPAGNIE

Selon le QIS4, l’objectif quantitatif du référentiel Solvabilité 2 est de détenir un niveau de capital suffisant afin d’éviter la ruine avec une probabilité de 99,5% sur un horizon de 1 an. Nous pouvons définir la ruine d’une compagnie d’assurance comme étant son incapacité à couvrir tous ses engagements vis-à-vis des tiers. Et selon une schématisation simplifiée de l’activité d’assurance, nous pouvons modéliser la ruine d’une entreprise comme étant l’insuffisance des actifs financiers de l’entreprise face aux prestations qu’elle doit fournir au passif.

1. La durée de vie d’une entreprise, probabilité de ruine

Dans le cadre des réflexions sur la solvabilité issues de « solvabilité II », de nouveaux modèles intégrant les paramètres de solvabilité par le biais d’une contrainte sur la probabilité de ruine sont apparus. On détermine ainsi une allocation d’actifs qui contrôle la probabilité de ruine de l’assureur ou en d’autres termes la capacité de faire face à ses engagements. Le risque le plus important pour une entreprise quelconque et tout particulièrement pour les banques et les assurances est le risque de banqueroute ou de faillite.

a. Présentation d’un modèle stochastique

J. JANSSEN développe une approche pour l’analyse du risque de défaut des compagnies d’assurances dans Modèles stochastiques de gestion actif-passif pour les banques et les assurances (1992), Proceeding of the 24th International Congress of Actuaries, Montréal. Il s’agit d’un modèle global de gestion d’actif-passif sur base d’une hypothèse d’évolution stochastique à la Black et Scholes dans l’esprit de la Dynamic Financial Analysis (DFA). La simplicité du modèle permet d’obtenir des résultats explicites sur l’évolution du rapport actif sur passif ainsi que sur la durée de vie de la compagnie. Définissons : A(t)= actif réel cumulé en t

B(t)= passif réel cumulé en t E(t)= fonds propres en t =A(t)-B(t)

Supposons que l’actif total A(t) et le passif net des fonds propres B(t) suivent des processus browniens géométriques et vérifient donc les équations différentielles stochastiques suivantes :

14

00

,

)0(,)0(

Browniens Mouvements les entren corrélatio det coefficien

,respective ilitéleur volatnt représente ,et

B, deet A de tendanceslessont ,

,0,,,

)()()()(

)()()()(

BBAA

WW

tdWtBdttBtdB

tdWtAdttAtdA

BA

BA

BA

BABA

BBB

AAA

===

>+=+=

ρσσ

µµσσµµ

σµσµ

Nous obtenons la solution suivante pour le ratio actif/passif après application du théorème d’Itô aux dynamiques de l’actif et du passif :

))(~

exp()(

)(

0

0 tWtB

A

tB

tA σµ += (1)

Où

a) ),(2

1 22BABA σσµµµ −−−=

b) ,222BABA σρσσσσ −+=

c) W~

est un mouvement brownien standard.

Théoriquement, la durée de vie d’une entreprise se définit donc comme la durée T telle que, pour la première fois A(t)<B(t) lorsque t=T, autrement dit : T = min{t, A(t)<B(t)}. Il revient au même de définir T comme étant le temps d’atteinte du processus stochastique

≥ 0,

)(

)(ln t

tB

tA de la région( )0,∞− , puisque 0)(

)(ln1

)(

)()()( <⇔<⇔<

tB

tA

tB

tAtBtA .

A partir de (1) et en passant au logarithme népérien : )(~

ln)(

)(ln

0

0 tWtB

A

tB

tA σµ ++=

Posons0

0lnB

Aa = , alors : )(

~)(

)(ln tWta

tB

tA σµ ++=

On peut donc écrire :

{ }atWtttT >−−≥= )(~

,0 inf σµ avec .0,ln0

0 >= aB

Aa

La probabilité de ruine asymptotique et transitoire est:

>−

≤=∞<

.0),2

exp(

,0,1)(

2µ

σµ

µaTP (2)

15

[ ]

+−Φ−−

+Φ=≥t

taa

t

tatTP

σµ

σµ

σµ

2

2exp

Dans ce cas, les moyennes et variances sont :

.)(

,)(

3

2

µσ

µ

aTVar

aTE

=

=

b. Interprétation des résultats en termes d’aide a la gestion actif/passif

En suivant le raisonnement de J. JANSSEN donné dans son cours de Finance Stochastique de 2008, avant d’étudier les effets des paramètres de base µ σ, nous remarquons que l’expression (1) du résultat montre que la gestion est d’autant plus « risquée » que σ est grand. Or l’expression de σ2 en fonction du coefficient de corrélation φ montre que, les variances

22 , BA σσ étant fixées, ce risque est maximum lorsque ρ=-1, auquel cas : 22 )( BA σσσ += . Par contre, il s’annule lorsque ρ =1 et que BA σσ = , c'est-à-dire lorsqu’il y a compensation exacte des risques d’actif et de passif. Dans tous les cas de corrélation possible, la situation la plus dangereuse pour la banque ou

l’assurance est celle où µ ≤ 0, c'est-à-dire lorsque )(2

1)( 22

BABA σσµµ −≤− .

Dans ce cas, la politique doit être de diminuer à tout prix l’excès de risque c'est-à-dire :

• En augmentant BA µµ − ,

• En diminuant la composante de risque de l’actif et en augmentant celle du passif, ces actions ayant toujours pour effet d’accroitre la durée de vie moyenne de la compagnie.

Par contre, si µ > 0, la situation est nettement moins dangereuse. De plus, elle est d’autant meilleure que µ est grand puisque cela a pour effet de diminuer la probabilité de banqueroute. Par contre, le résultat (2) montre que celle-ci augmente si σ2 croît. Notons que (2) ne fait que donner une forme explicite particulièrement simple de la probabilité de non-ruine de la théorie du risque. (2) peut servir d’indicateur pour mesurer la valeur de la compagnie.

Le modèle permet aussi de simuler des scenarii sur base de choix de paramètres de base dictant l’évolution temporelle stochastique de l’actif et du passif. Il rend aussi possible une gestion basée à la fois sur ces deux postes alors qu’auparavant, une banque gérait plutôt l’actif et qu’une compagnie d’assurance le passif. Les modifications des paramètres de base reflètent aussi bien l’influence de techniques de couverture de portefeuilles d’actifs financiers du type option, swaps, caps and flows que celles de protection de gestion de risques telles que les techniques de réassurance.

16

Le modèle présenté ici peut se généraliser notamment en introduisant une asymétrie dans les systèmes d’équations différentielles stochastiques guidant l‘actif et le passif.

c. Exemple avec la compagnie Takaful IKHLAS i) Estimation des paramètres

En utilisant les bilans de 2004 à 2008 de la compagnie Takaful IKHLAS créée en Malaisie en 2003, nous pouvons estimer la durée de vie de l’entreprise. Takaful IKHLAS propose des produits d’assurance vie Family Takaful, et des produits d‘assurance non-vie General Takaful. Nous utiliserons d’abord le bilan combinant les fonds des actionnaires et ceux des participants, puis le bilan Family Takaful présentant uniquement les fonds des participants pour le Family Takaful. Les paramètres moyenne et écart-type de l’actifs A et du passif B BABA σσµµ ,,, ont été estimés le plus classiquement avec des données historiques, dont un exemple d’estimation est donné en annexe. Cependant, le peu de données dont nous disposons pour cette compagnie nous amène à une erreur d’estimation importante d’ordre de plus de 50%.

8149.0ˆ

0261.0ˆ

0323.0ˆ

1008.0ˆ

1130.0ˆ

=====

ρσσµµ

B

A

B

A

En appliquant les formules : )(2

1 22BABA σσµµµ −−−= et BABA σρσσσσ 222 −+= , nous

obtenons la moyenne et l’écart-type estimés du rendement du portefeuille : 0186.0ˆ

0103.0ˆ

==

σµ

ii) Les résultats pour le compte combinant le Participant Fund et le Shareholder Fund

Les résultats sont les suivants :

1,625812 888 131

657 612 669ln0 ==a

Probabilité de ruine asymptotique :

[ ] 43-9,64933E2

0

ˆ

ˆ2

==∞<−

σµa

eTp

17

iii) Les résultats pour le compte présentant seulement le Participant Fund

Les résultats sont les suivants :

2.019425 399 47

717 969 356ln0 ==a

Probabilité de ruine asymptotique :

[ ] 53-6,13691E2

0

ˆ

ˆ2

==∞<−

σµa

eTp

d. Commentaire La faible part d’actif risqué exigées par le conseil de Charia joue un rôle dans la faible probabilité de ruine obtenue. Pierre THEROND et Frédéric PLANCHET dans Allocation d’actifs d’un régime de rentes en cours de service (2004) notent « la faible part d’actif risqué dans l’allocation optimale au regard des pratiques des sociétés d’assurance vie ».

2. Calcul des Provisions Techniques

Le calcul repose sur l’évaluation d’un Best Estimate et d’une Marge pour Risque.

(PT) Techniques Provisions sécurité de marge EstimateBest =+

Le Best Estimate correspond à la Valeur Actuelle Probable (moyenne pondérée par les probabilités de survenance) des Cash-flows futurs générés par le contrat. Les Cash-flows sont actualisés au taux sans-risque de marché observé pour des instruments de même maturité. Les projections réalisées doivent prendre en compte les frais correspondant aux dépenses déjà engagées ou prévisibles. La marge de risque est calculée par la méthode dite « du Coût du capital ». Elle est définie comme le coût que représente l’immobilisation d’un montant de fonds propres éligibles égal au capital de solvabilité requis sur l’ensemble de la durée de vie des engagements d’assurance. La Marge pour Risque est évaluée par la méthode Cost of Capital (CoC). Elle se définit comme étant le coût d’emprunt du capital nécessaire pour gérer le risque non-répliquable. Il s’agit de s’assurer que la valeur des provisions techniques est équivalente au montant qu’un assureur pourrait recevoir en contrepartie de la reprise d’un portefeuille. Ce calcul nécessite la connaissance (ou l’approximation) des SCR futurs, qui nécessitent la connaissance des BEL futures, et qui supposent donc de disposer d’un outil permettant de projeter les Best Estimate futurs avec des modifications d’hypothèses. Plusieurs méthodes permettent d’estimer la Marge pour Risque. Solvency II recommande la méthode du Coût du Capital (Cost of Capital ou CoC).

18

3. Le besoin en capital

Le besoin en capital calculé à l’aide des formules standards est déterminé à partir des différents risques de l’entreprise, synthétisés en modules de risque, pour faire face aux engagements de l’assureur et en intégrant les corrélations qui existent entre ces risques. Pour le modèle interne, ce besoin en capital devra être également déterminé en fonction des différents risques de l’entreprise. Selon le QIS4, ce montant est déterminé de sorte que la probabilité de ruine de la société soit inférieure à 0.5% à horizon 1 an. Le besoin en capital sous Solvabilité 2, représenté par les fonds propres supplémentaires, a pour objectif une mesure en deux paliers : un niveau de capital souhaitable, SCR ou Solvabilité Complète Requise, et un niveau minimal de capital, MCR ou Minimum de Capital Requis.

SCRMCRPT <<

a. La Solvabilité Complète Requise ou Solvency Capital Requirements SCR

Le capital cible SCR devra correspondre au niveau des fonds propres nécessaires pour réduire la probabilité de ruine de l’entreprise d’assurance à un niveau fixé sur un niveau de temps donné ; soit à ce stade d’avancement de la réforme, une probabilité de non ruine à 99,5% à un an, c'est-à-dire une suffisance d’actifs par rapports aux provisions en norme Solvabilité 2 sur 200 ans. Ce niveau devra être déterminé à l’aide des formules standards élaborée par le CEIOPS selon différents modules de risque, mais pourra alternativement être déterminé de façon interne et propre à la compagnie d’assurance, à l’aide de « modèles internes » validés par les autorités de contrôle. Une autre solution possible est également de ne déterminer que quelques modules de risques à l’aide des formules standard et, de déterminer les autres modules de risque à l’aide d’un modèle propre à l’entreprise, cette méthode s’appelle le «modèle mixte ».

Le calcul de la marge de risque suivant la méthode du coût du capital s’effectue comme suit (on suppose que la date d’évaluation est le début de l’année 0, soit t = 0) :

• pour chaque segment d’assurance et de réassurance, trouver un SCR pour l’année t= 0 et pour chaque année future de la durée de vie des engagements pris sur ce segment. Le SCR pour l’année 0 correspond au capital que la société devrait détenir aujourd’hui, à ceci près qu’une partie seulement des risques est prise en compte. Les risques à prendre en compte sont le risque opérationnel, le risque de souscription relatif au portefeuille en cours et le risque de contrepartie relatif aux cessions en réassurance ;

• multiplier chacun des futurs SCR par le coût du capital (Le coût du capital est égal à 6 % pour tous les assureurs) pour obtenir le coût de détention des futurs SCR ;

• actualiser chacun des montants calculés à l’étape précédente au moyen de la courbe des taux sans risque en t = 0. La somme des valeurs actualisées correspond à la marge de risque à associer à le Best estimate des engagements concernés en t = 0 ;

19

• le montant total de la marge de risque est la somme des marges de risque de tous les segments.

b. Les modules de risques

Le calcul SCR qui permet de déterminer le niveau d’exigence de marge est effectué de sorte de prendre en compte les risques réels d’une compagnie d’assurance, y compris des risques exogènes à sont activité d’assurance. Pour cela, les formules standards proposées par le CEIOPS divisent ces risques en plusieurs modules corrélés. Le schéma ci-dessous présente les différents modules de risques à calculer lors des QIS pour la détermination du capital cible requis :

Figure 1 : modules de risques pour le calcul du SCR

Selon le schéma ci-dessus, nous pouvons voir que le SCR dépend dans un premier temps de deux éléments : la charge de capital pour le risque opérationnel notée SCRop et le capital de solvabilité requis de base noté BSCR (Base Solvency Capital Requirement) lui même constitué de plusieurs modules. Le SCR est alors la somme de ces deux éléments considérés indépendant :

SCRopBSCRSCR +=

Le BSCR est lui aussi constitué de plusieurs éléments de risques : le risque de souscription Non Vie SCRnl, le risque de marché SCRmkt, le risque de souscription santé SCRhealth, le risque de défaut de contrepartie SCRdef, et le risque de souscription Vie SCRlife. Mais ces éléments de risques ne sont pas considérés indépendants. En effet, le CEIOPS fournit une matrice de corrélation[ ]

jijiCorr,, , dont la paramètrisation est à l’objectif du QIS3,

pour le calcul de ce BSCR :

SCR

BSCR SCRop

SCR nl SCR life SCR def SCR health SCR mkt

20

∑ ××=ji

jiji SCRSCRCorrBSCR,

,

La matrice de corrélation utilisée est présentée ci-dessous : SCR.Corr SCRmkt SCRdef SCRlife SCRhealth SCRnl

SCRmkt 100% 25% 25% 25% 25%

SCRdef 25% 100% 25% 25% 50%

SCRlife 25% 25% 100% 25% 0%

SCRhealth 25% 25% 25% 100% 0%

SCRnl 25% 50% 0% 0% 100% Evaluons de plus près chacun de ces modules de risque :

i) Le risque opérationnel SCRop

Le risque opérationnel représente le risque de perte du aux procédures internes, personnes, systèmes de gestion et d’exploitation insuffisants, inadéquats ou défaillants pour l’entreprise. Ce module de risque inclut également des éléments externes comme le risque juridique. Il est conçu pour traiter tous les risques opérationnels dans la mesure où ils n’ont pas été explicitement couverts par d’autres modules. Notamment, le risque de réputation ou le risque de décisions stratégiques ne sont pas inclus dans ce module. Le risque opérationnel a un statut spécial, il ne se diversifie pas avec les autres risques.

ii) Le risque de souscription Non Vie SCRnl Le risque de souscription Non Vie est le risque d’assurance spécifique résultant des contrats d’assurance. Il fait référence à l’incertitude concernant les résultats de la souscription de l’assureur. Ces incertitudes se trouvent au niveau du montant et des délais de règlement des prestations en relation avec le passif réellement existant et du volume de l’activité potentielle future et des taux de primes s’y rapportant. La charge de charge du capital pour ce risque de souscription est déterminée en fonction des charges de capital pour le risque de prime et de réserves pour le risque catastrophe.

iii) Le risque de souscription santé SCRhealth Le risque de souscription santé ne rentre pas en compte dans l’étude du QIS3 en France étant donné que l’assurance santé est obligatoire en France et rattachée au risque de souscription Non Vie.

iv) Le risque de souscription Vie SCRlife Le risque de souscription Vie regroupe l’ensemble des risques liés à une tarification insuffisamment prudente lors de la souscription ou le rachat du contrat. Ce module inclut les risques de mortalité, de longévité et de morbidité ainsi que les risques de dépenses et de catastrophe.

21

On doit ici prendre en considération deux spécificités du modèle Wakalah-Mudharbah. La première étant que 100% des bénéfices de souscription reviennent aux participants. La compagnie n’en profite pas. La deuxième portant sur le Quard Hassan, prêt à taux 0% accordé au fond des participants ne cas de déficit du fond.

v) Le risque de défaut de contrepartie SCRdef Le risque de défaut de contrepartie est le risque qu’un débiteur ne respecte pas ses engagements dans les conditions initialement prévues. Notamment le défaut de la compagnie de réassurance est inclus dans ce module. Exemple : la contrepartie doit payer 100 avec une probabilité de 99 % et 10 000 avec une probabilité de 1 %. Par conséquent, le Best estimate du montant recouvrable est 199. On sait peut-être que la contrepartie sera sûrement en mesure de payer le montant de 100, mais qu’elle sera sûrement défaillante, et en supposant une perte en cas de défaut de 50 %, si elle doit payer le montant de 10 000. Par conséquent, la probabilité de défaut actuelle de la contrepartie (PD) est de 1 %. Un calcul évident (mais erroné) de la perte attendue serait :

199×PD× perte en cas de défaut = 199×1 %×50 % ≈ 1. Mais en réalité, la perte attendue est 99 %×100×0 % + 1 %×10 000×50 % = 50. Par conséquent, dans ce cas, la probabilité de défaut sera plutôt calculée comme une moyenne pondérée de probabilités (à savoir 0 % et 100 %):

PD = (99 %×100×0 % + 1 %×10 000×100 %)/199 ≈ 50,25 %. L’application de cette probabilité de défaut produit une perte attendue de :

199×PD×perte en cas de défaut ≈ 199×50,25 %×50 % ≈ 50.

vi) Le risque de marché SCRmkt Le risque de marché SCRmkt résulte du niveau et de la volatilité des cours de marché des actifs financiers. Cette exposition au risque est mesurée par l’impact des mouvements dans le niveau des variables financières telles que le cours des actions, de l’immobilier, du taux de change… Le SCR est donc calculé à l’aide de l’interaction de chacun de ces modules de risque, la détermination de la méthode de calcul de chacun de ces modules de risque étant l’objectif des QIS mis en œuvre par le CEIOPS.

c. Le minimum de capital requis ou Minimum Capital Requirement MCR

Si ce niveau cible du SCR n’est pas atteint, un niveau minimum MCR devra être respecté et surveillé. La commission demande à CEIOPS de tester une approche combinée i.e. l'approche linéaire du CEIOPS (des pourcentages des provisions techniques) avec un plafond à 50% et un plancher à 20% du SCR calculé avec la formule standard ou le modèle interne. Il s’agit d’un second seuil d’alerte de la solvabilité représentant le niveau en dessous duquel les fonds propres ne doivent pas descendre, sous peine d’une intervention des autorités de contrôle, puisqu’elles considèrent qu’au niveau de ce seuil, l’entreprise d’assurance ne peut

22

plus fonctionner normalement ; une augmentation rapide de capital est alors exigé et, à défaut, un retrait d’agrément est effectué. Du fait de l’objectif de ce niveau minimum, le calcul de ce seuil devra être simple, rapide et devra permettre une mesure fréquente, tout en étant fiable et robuste. De même que pour le SCR, le MCR dépend de plusieurs modules de risque corrélés :

Figure 2 : modules de risques pour le calcul du MCR Les risques à prendre en compte dans le calcul du MCR sont plus restreints que les risques utilisés dans la détermination du SCR. En effet, seul le risque de marché, risque de souscription Vie et risques de souscription Non Vie seront à prendre en compte dans le calcul de ce second seuil d’exigence de capital. Cependant, l’évaluation de ces charges de capital n’est pas la même que celle envisagée pour le calcul du SCR. En effet, elles sont déduites à un calcul plus simple permettant un suivie régulier et périodique de ce seuil. La détermination du MCR dépend également de deux autres éléments parallèles, l’ajustement du MCR pour la réduction du partage des bénéfices (AMCR) reflète la perte potentielle des futurs bonus non garantis sur les produits d’assurance vie. Le minimum de capital requis absolu (AMCR) représente également un plancher minimum pour le SCR. La commission européenne, n’ayant pas encore de position définitive sur le sujet, le QIS3 défini trois hypothèses de montant minimum respectivement égale à 1, 2 et 3 millions d’euros.

4. Le risque de marché

Chacun des modules de risques présentés ci-dessus dépend eux même de sous modules de risque. L’objectif de ce paragraphe est de détailler les sous modules, selon la version du QIS3, du risque de marché, risque que nous chercherons par la suite de ce mémoire à déterminer par une méthode alternative.

MCR

MCR nl MCR mkt MCR life SPECIAL

23

La charge de capital pour le «risque de marché» est également déterminée à l’aide d’une matrice de corrélation entre ces différents sous-modules fournie par le CEIOPS : SCR.Mkt.Corr MKTint MKTeq MKTprop MKTsp MKTconc MKTfx

MKTint 100% 0% 50% 25% 0% 25%

MKTeq 0% 100% 75% 25% 0% 25%

MKTprop 50% 75% 100% 25% 0% 25%

MKTsp 25% 25% 25% 100% 0% 25%

MKTconc 0% 0% 0% 0% 100% 0%

MKTfx 25% 25% 25% 25% 0% 100%

a. Le risque de taux d’intérêt MKTint Le risque de taux d’intérêt existe pour tous les actifs et passifs dont la valeur est sensible aux variations de la structure de la courbe de taux d'intérêt et ,qui ne sont pas affectés aux polices dans lesquelles les souscripteurs supportent le risque d'investissement. Il est obtenu en effectuant des variations à la baisse ou à la hausse de la structure des courbes des taux fournie par le CEIOPS. L’absence de reconnaissance du risque inflation pénalise les entreprises qui gèrent ce risque. Le risque inflation est au même titre que le risque de taux un risque de gestion actif-passif. L’épargne longue en assurance-vie est naturellement exposée à ce risque. Un assureur qui « matche » son actif inflation avec des actifs indexés à l’inflation, sera pénalisé par un capital cible plus élevé. L'inflation est la conséquence directe de l'intérêt composé sur les crédits : voici un extrait d'une conférence de Margrit Kennedy "Une des conséquences de ce défaut (l'intérêt composé) dans notre système monétaire entre 1950 et 2001 est la perte de 80% de sa valeur par le Deutschmark. C’est-à-dire, qu’il est passé de la valeur 100 à 20 Pfennig en 50 ans, et c'était la monnaie la plus stable au monde. Pour la plupart des personnes, l'inflation semble faire partie intégrante de tout système monétaire, d’une façon presque ‘naturelle’ puisqu'il n'y a aucun pays dans le monde sans inflation. Puisque l'inflation est perçue en tant que inhérente au système, les économistes et la plupart des personnes croient que l'intérêt est nécessaire pour contrecarrer l'inflation, or l'intérêt en est la cause principale de l'inflation. Environ deux ans après chaque réévaluation du taux d'intérêt, nous pouvons constater une augmentation de l'inflation. Par conséquent, si nous pouvions supprimer l'intérêt, nous pourrions également supprimer l'inflation..." Or les sources d’instabilité financière du système conventionnel, c'est-à-dire le taux d’intérêt, le crédit sans contrepartie, l’abondance de liquidités, la spéculation et la fixation du taux d’intérêt par la banque centrale sont pour l’essentiel absents dans un système de finance islamique, assurant ainsi la stabilité intrinsèque de ce système. Ainsi, La finance islamique est stable par nature. La finance islamique et les risque de taux et d’inflation: Deux principes fondamentaux sous-tendent la finance islamique : le premier est qu’un système financier islamique est basé sur le commerce et la production et non sur l’intérêt, qui est banni ; le deuxième est qu’un système financier islamique basé sur le commerce sera

24

immunisé contre l’instabilité, alors qu’un système basé sur l’intérêt est en soi instable sujet à des pertes et à des crises répétitives. Un système financier islamique est défini comme un système où il n’y a pas d’actifs sans risque et où toutes les transactions sont basées sur le partage du risque et par conséquent du profit ou de la perte. De ce fait tous les actifs financiers sont des créances courantes et il n’y a pas d’instruments de dette avec un taux d’intérêt fixe ou variable. De ce fait le taux de rendement des actifs financiers est en premier lieu déterminé par le rendement du secteur réel. Dans une économie en croissance les banques islamiques obtiennent toujours des rendements nets positifs. Il ne peut pas y avoir de création de crédit ex nihilo en finance islamique. En finance conventionnelle les dépôts auprès d’une banque peuvent être instantanément transformés en prêts ou être utilisés pour acheter des actifs financiers et devenir des réserves ou une base pour un nouveau prêt chez une autre banque, contribuant ainsi à une création de pouvoir d’achat et à une inflation au niveau des prix des biens et des actifs. Une telle situation n’existe pas en finance islamique. Les dépôts doivent être réinvestis directement par la banque dans des activités de production et de commerce et créer des flux de biens et de services. De nouveaux flux monétaires sont générés par la vente des biens et services. La monnaie n’est donc pas créée indépendamment de la production de biens et services. L’investissement est égal à l’épargne et l’offre globale de biens et services est toujours égale à la demande globale. Le passif de l’institution financière est couvert par des actifs réels tangibles qui sont possédés directement par l’institution. Ils ne sont pas couverts par des actifs financiers. Les risques des institutions financières islamiques sont mitigés puisqu’ils sont principalement liés au rendement des opérations d’investissement et non au capital de ces institutions. Dans un tel système seule la banque centrale a le monopole de la création monétaire. Le taux d’intérêt ne peut être utilisé comme instrument de politique monétaire. La banque centrale ne refinance pas les banques, comme c’est le cas en finance conventionnelle. Elle n’achète pas et ne vend pas d’instruments financiers aux banques. La banque centrale doit appliquer des plafonds quantitatifs aux agrégats monétaires. Une telle politique a été efficace pour le maintien de la stabilité financière et l’exclusion des booms spéculatifs et de l’inflation même pour un système financier conventionnel. L’injection de liquidités se fait lorsque la banque centrale procède à l’achat de devises, de l’or, ou de la dette de l’Etat non basée sur l’intérêt, mais indexée sur l’or, ou sur un panier de produits de base, ou sur un portefeuille d’actifs réels créés par l’Etat.

Toutefois, en Grande-Bretagne, des "Banques Islamiques" ajoutent un facteur d'inflation au prêt.

b. Le risque action MKTeq

Le risque action résulte du niveau ou de la volatilité des cours des actions. L’exposition au risque action fait référence à tous les actifs et passifs dont la valeur est sensible aux variations des cours des actions. La charge de capital pour couvrir ce risque est déterminée comme l’effet immédiat sur la valeur nette des actifs et passifs espérée dans le cas d’un scénario de choc sur action.

25

Exemple : Le marché français a soutenu et obtenu qu’un nouveau mode de traitement des actions soit testé lors de QIS4, basée sur le principe du retour à la moyenne. Cette nouvelle approche s’appuie sur :

• une décomposition préalable du cycle et de la tendance grâce au calcul de la moyenne sur une durée d'un an : seule la composante cyclique (ct) est utilisée par la suite ;

• une estimation approximative de la duration moyenne des passifs k (après exclusion des passifs de moins de 2 ans).

Le calcul du SCR action se fait ensuite en utilisant la formule suivante : avecα part des provisions techniques reflétant des engagements de durée ≥ 3 ans ; F(k) et G(k) sont des coefficients donnés dans le tableau suivant :

duration F(k) G(k) 3-5 ans 29 % 0,20 5-10 ans 26 % 0,11 10-15 ans 23 % 0,08 plus de 15ans 22 % 0,07

Le calcul de ces coefficients repose sur un calcul de VaR à 99,5% à l'horizon d'un an, conditionnellement à la position courante dans le cycle en utilisant une distribution gaussienne du rendement des actions.

c. Le risque immobilier MKTprop Le risque immobilier résulte du niveau ou de la volatilité des cours de l’immobilier. La charge de capital pour le risque immobilier est déterminée en effectuant une chute de 20% des benchmark immobiliers sur la valeur nette des actifs et des passifs. Ce risque est d’autant plus important pour en Assurance-vie Islamique puisque l’immobilier représente une part importante des investissements.

d. Le risque de devise MKTfx Le risque de devise résulte du niveau ou de la volatilité des taux de change. La charge de capital pour le risque de devise est déterminée en effectuant une variation de 20% sur la valeur nette des actifs et des passifs.

( ) ( )[ ] ValueMarket Equity %32.1,. ×−+= αα tEquity ckVaRSCR

tt ckGkFckVaR ).()(),( += ( )250ttt YYc −=

26

e. Le risque de spread MKTsp

Le risque de spread est la part de risque issue des instruments financiers et qui est expliqué par la volatilité des spreads de crédit sur la structure de courbe de taux d’intérêt sans risque. Il reflète la variation de valeur due à un mouvement de la courbe de crédit relative à la structure de courbe sans risque

f. Les concentrations du risque de marché MKTconc Les concentrations du risque de marché présentent un risque supplémentaire pour un assureur en raison de la volatilité supplémentaire qui existe dans les portefeuilles d’actifs concentrés ,ainsi que du risque supplémentaire de perte de valeur partielle ou totale définitive en raison de la défaillance d’un émetteur. Du fait de l’éventail limité d’actifs disponibles, il peut aussi être difficile d’éviter le risque de concentration.

27

CHAPITRE 3 : SOLVENCY II, VAR ET PROBABILITE DE RUINE

Sous Solvabilité 2, l’allocation d’actifs aura donc pour contrainte supplémentaire de permettre de couvrir les prestations dues de l’assureur selon un niveau de probabilité élevée (99,5% avec une notion de Value at Risque selon le QIS4) à un horizon de temps donné (1 an toujours selon le QIS4). Nous nommerons cette contrainte par la suite « contrainte de risque». Selon l’état d’avancement de la réforme Solvabilité 2 lors de la quatrième étude quantitative d’impact QIS 4, nous définissons la contrainte de risques comme étant la règle suivante : La probabilité de non ruine de l’assureur à horizon 1 an est supérieure à 99,5% suivant une notion de Value at Risk ; c'est-à-dire que les actifs de la compagnie permettent de couvrir ses prestations dues tout au long d’une année. Rappelons la définition de la Value at Risk (Var) : La Value at Risk au seuil α d’une distribution X, notée VaRα(X) est le quantile d’ordre α de cette distribution X :

)()( 1 αα−= XFXVaR

Où (.)XF représente la fonction de répartition de la distribution X. De cette définition rapportée à notre problématique, nous pouvons redéfinir la contrainte de risques imposée par le nouveau référentiel prudentiel : Le quantile au seuil 99,5% du résultat technique projeté à horizon 1 an de notre compagnie d’assurance est positif ; le résultat technique étant représenté par le montant des actifs financiers retraité des prestations dues. La mesure de cette contrainte de risques nécessite donc la projection sur un an du portefeuille financier de la compagnie ainsi que des engagements au passif.

1. Définition de la VAR

La Value at Risk, VaR, est une mesure agrégée de la prise de risque globale. C'est un indicateur synthétique, introduit en 1994 par la banque d'affaires JP MORGAN, qui rend compte de la perte minimale pour un niveau de risque et un horizon de temps donné. La VaR répond à l'affirmation suivante : « Nous sommes certains, à X%, que nous n'allons pas perdre plus de V euros sur les N prochains jours ». V correspond à la Var, X% au seuil de confiance et N à l'horizon temporel. En assurance vie, la VaR est calculée au seuil de confiance de 99,5% à 1 an. Par exemple, comme présenté par le groupe SFEIR, la VaR au seuil de confiance de 99% à 1 jour, que l'on notera, VaR ( 99%, 1j ), égale à 1 million d'euros signifie qu'un jour sur cent en moyenne, le portefeuille est susceptible d'enregistrer une perte supérieure à cette somme d’ 1 million d'euros.

28

En considérant que les variations de valeur d'un portefeuille sont normales, la VaR peut être exprimée graphiquement, comme dans l'exemple ci-dessous :

Dans l'exemple ci-dessus, la Var(99%,1j) correspond approximativement à une perte de 2.33 millions d'euros et la VaR(95%, 1j) correspond à peu près à une perte de 1.65 million d'euros. Remarque : l'espérance des variations est supposée nulle sur une journée. La volatilité d'un actif est l'écart type des variations du prix de cet actif. En considérant que les variations du portefeuille sont indépendantes d'un jour à l'autre :

La volatilité est proportionnelle àT .

Pratiquement, cela revient à dire que la Var( 99%, 10 j ) = 10 × Var(99%, 1j ). Généralement, c'est la VaR à 1 jour qui est calculée et la VaR à 10 jour est déduite par

multiplication par 10 .

2. Modèle standard : Cas de la distribution normale

La distribution normale est une distribution symétrique en forme de cloche qui est modélisée mathématiquement. Elle est intéressante parce que la très grande majorité des phénomènes naturels tendent vers cette distribution quand on prend un grand nombre de mesures. Par exemple, la distribution de la durée de vie des ampoules électriques a la forme de la distribution normale. Un graphique de la distribution normale ressemble un peu à une cloche symétrique. Le centre de cette cloche correspond à la moyenne. La courbe de probabilité est gonflée au centre, autour de la moyenne, mais baisse rapidement pour s'approcher de zéro, sans toutefois l'atteindre. L'évasement de la courbe correspond à l'écart-type.

29

En étudiant une courbe de distribution normale, on voit que les mesures près de la moyenne sont plus probables que les mesures éloignées. La distribution normale tient compte de deux paramètres la moyenne µ et l'écart-type σ.

a. L’écart-type et la moyenne i) L’écart-type

L'écart-type exprime la dispersion des mesures. La variance (σ2) est la moyenne des carrés des déviations de la moyenne arithmétique. L'écart-type (σ) est la racine carrée de la variance. Il est donc facile de trouver la variance à partir de l'écart-type et vice versa. Plus elle est élevée, plus les mesures sont dispersées et plus la courbe s'aplatit. La figure ci-dessous illustre trois courbes ayant la même moyenne et des écarts types différents.

La surface sous la courbe de distribution normale doit rester constante et égale à 1. C'est pourquoi un aplatissement du sommet résulte en un gonflement du reste de la courbe.

30

Formule mathématique : La formule mathématique de la variance s'écrit comme suit :

n

Xni

ii∑

=

=

−= 1

2

2

)( µσ

i, observation «i» de la variable X; µ, moyenne de la variable X; n, nombre d'observations;

ii) La moyenne L'autre paramètre, la moyenne est plus facile à comprendre. Dans l'exemple ci-dessous, les trois courbes ont le même écart-type, mais des moyennes différentes :

La forme des distributions ne change pas, la distribution se déplace simplement sur l'axe. Formule mathématique : On utilise la lettre grecque µ pour symboliser la moyenne d'une population. La formule pour calculer la moyenne est :

n

xni

ii∑

=

== 1µ

µ, moyenne arithmétique; xi, valeurs des observations de la variable X; n, nombre d'observations. La surface sous une courbe de distribution normale représente la probabilité qu'un phénomène se produise dans cet intervalle. La surface totale sous la courbe vaut toujours 1. Dans le monde des probabilités 1 signifie la certitude qu'un phénomène se produise et 0 l'impossibilité. Entre 0 et 1, c'est la probabilité qu'un évènement se produise.

31

b. Et les formules standard pour la marge de solvabilité Soit un actif financier dont l’évolution sur l’intervalle de temps [0,T], T>0 est représenté par le processus stochastique )0),(( TtTSS ≤≤= défini sur un espace de probabilité convenable.

En t=0, nous observons la valeur de cet actif sur le marché adéquat et donc : 0)0( SS = , 0S

étant connu. Sur un horizon de longueur T, par exemple le jour, le mois ou une année, la « perte » éventuelle de l’actif vaut : )(0 TSS − où cette fois, S(T) est la valeur future de l’actif en T et

donc inconnue car aléatoire. Il est clair qu’il n’y a perte que si cette quantité est strictement positive, autrement l’actif s’est bonifié. On a la relation suivante : αα =≤− ))(( 0 VaRTSSP .

Remarquons que la VaR dépend aussi de l’horizon de temps T sur lequel on le calcule ; en fait : la valeur de la VaR est donc un quantile de la distribution de )(0 TSS − .

Supposant que les variations de valeur d'un portefeuille sont normales et de moyenne et de variance connue( )2, TTm σ . La moyenne et la variance sont à estimer dans le cadre du modèle standard. La Droite de Henry donne les moyennes et écarts-type d’une telle distribution. Dans le cadre de l’assurance, on retient un niveau alpha de 0,995 pour le calcul du SCR. La table normale (cf annexe) donne une valeur z de 2,58 pour ce niveau. Le tableau ci-dessous présente quelques unes de ces autres valeurs z:

alpha 0,95 0,99 0,995 0,999 0,9998

z 1,6449 2,3263 2,58 3,1 3,7

Ce tableau donne le prix de la sécurité : pour passer du niveau de 0.95 à 0.99, le surplus par rapport à la perte moyenne est de 41% plus élevée (2.3263/1.6449×100-100=41%) ; il est de 57% pour le niveau de sécurité demandé en assurance ; il passe à 89% pour un niveau de sécurité de 0.999 et à 124% pour atteindre le niveau de sécurité de 0.9998. De 0.99 à 0.999, le surplus par rapport à la perte moyenne est de 33% (3.1/2.3263×100-100=33%). Nous pouvons écrire via les tables normales que :

[ ]

TT

TT

T

T

mz

mzTSSP

zmTSS

P

+=

=+≤−

=

≤−−

σ

ασ

ασ

αα

α

α

VaR

que doncet

)(

ou

)(

0

0

32

Exemple : Considérons un portefeuille de 10 000 actions d’une valeur de 700€. Par construction, le rendement d'un portefeuille se calcule en fonction du rendement moyen pondéré des actifs qui le constituent. L'indicateur le plus répandu pour mesurer le risque d'un actif est l'écart type. L'écart type est une mesure absolue du risque. Il mesure le degré de dispersion des rendements autour du rendement moyen d'un actif ou de l'espérance mathématique de son rendement. Plus la dispersion autour de la moyenne est importante, plus les quartiers sont élevés et plus le risque est grand. Sur base historique, nous estimons que le rendement global du portefeuille sur un an, soit S(0)-S(1), est bien approximé pour une distribution normale de moyenne 60 et d’écart-type 40. Dans ce cas, la perte sur un an a une distribution normale moyenne de -60 et d’écart-type 40. Le tableau suivant donne la VaR par actif selon différents niveaux de sécurité :

alpha 0,95 0,99 0,995 0,999 0,9998

VaR 5,796 33,052 43,2 64 88

Pour 10 000 actions, nous obtenons le tableau suivant :

alpha 0,95 0,99 0,995 0,999 0,9998

VaR 57960 330520 432 000 640000 880000

En pourcentage de l’investissement initial de 7 millions d’€, cela donne :

alpha 0,95 0,99 0,995 0,999 0,9998

VaR 0,82800% 4,72171% 6,17142% 9,14286% 12,57143%

Ainsi pour passer au niveau de sécurité minimum de 0,95 au niveau maximum de 0,9999, le montant de la couverture est multiplié par un facteur de 15.18. Notons de plus que les actifs risqués sont peu présents en finance islamique puisque difficilement tolérés par le conseil de la Charia. Les formules standard utilisées pour déterminer la marge de solvabilité doivent aboutir à une vision de la situation de l’entreprise dans son ensemble en fonction de la réalité des risques et prendre en compte tous les facteurs de risque.

33

CONCLUSION

Pour qu’une compagnie Takaful puisse se créer en Europe, il est intéressant d’étudier sa viabilité dans la mesure où les valeurs et les principes de la Charia caractérisant la finance et l’assurance islamique ne doivent pas empêcher l’application des réglementations européennes, notamment dans le cadre de Solvabilité II. Réciproquement, ces normes doivent pouvoir permettre l’épanouissement de cette Finance Islamique en Europe. Par définition, une compagnie d’assurances se doit d’être solvable, c’est-à-dire suffisamment solide financièrement pour respecter les engagements qu’elle a envers ses assurés et ses autres créanciers. Plus précisément, la solvabilité peut être définie à partir de deux angles de vue. Le premier étant la possibilité qu’a une entreprise de respecter ses obligations financières en termes de paiement de prestations, d’intérêts et d’amortissements des dettes. Le second étant le fait de disposer d’un tampon financier suffisant pour couvrir les risques, frais et pertes imprévus sans mettre en péril la pérennité de l’entreprise. De plus, étudier la solvabilité d’une compagnie nécessite la prise en compte de nombreux risques. Une pondération adaptée est appliquée aux calculs des deux niveaux de capital requis sous Solvabilité II. Toutefois, la Finance Islamique interdit certains investissements tels que ceux intégrant la notion d’intérêts, ceux dans certains secteurs haram comme le porc, l’armement, les casinos, les hedge fund. Dès lors, une pondération différente pour les compagnies islamiques est à prévoir. En effet, les investissements possibles étant plus limités, un risque de concentration est plus fort. En revanche, le risque de taux est plus limité. Globalement, les établissements financiers islamiques présentent une solvabilité supérieure aux niveaux exigés, avec des actifs de meilleure qualité que celle des banques occidentales. Toutefois, leur liquidité est inférieure à celle des concurrents occidentaux et leur rentabilité est moindre.

34

BIBLIOGRAPHIE

Ouvrages Jacques JANSSEN, Modèles stochastiques de gestion actif-passif pour les banques et les assurances, Transaction of the 24th International Congress of Actuaries, ICA-CIA, vol.1, p. 131-140.1992 Articles J.J. PLUCHART, La gouvernance de la banque islamique, 2006 Munich Re Group, Best Estimate pour Solvency II, Provisions techniques, 2008 Munawar Akhtar, An Islamic way to insurance, 2005 WLS, Résilience et stabilité de la Finance Islamique, 07/03/2009 Cours Jacques JANSSEN, Finance Stochastique, EURIA Sites internet

Spécificités techniques de Solvabilité 2. http://www.ceiops.eu Solvabilité II et les études quantitatives d’impact. http://www.acam-france.fr VaR, Value at Risk, par le groupe SFEIR. http://www.fimarkets.com

I

ANNEXES Annexe 1 : Table de la loi normale ............................................................................................II Annexe 2 : Spécificités techniques pour SII ............................................................................ IV Annexe 3 : Estimation des paramètres a partir de données historiques ...................................VI

II

ANNEXE 1 : TABLE DE LA LOI NORMALE La table ci-dessous comporte les valeurs de la fonction de répartition de la loi normale, à

savoir les valeurs de :

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7793 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8906 0.8925 0.8943 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9986 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

III

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

On lit les décimales dans les lignes, et les centièmes en colonnes. Par exemple, la valeur de F(1.65) se trouve à l'intersection de la ligne 1.6 et de la colonne 0.05 - on trouve F(1.65)=0.9505, à 10-4 près. Pour les valeurs négatives de x, on utilise la relation F(-x)=1-F(x).

IV

ANNEXE 2 : SPECIFICITES TECHNIQUES POUR

SII

Modelling assumptions Confidence Level Calc Used Confidence threshold (Var) SCR 99,5% 0,5% 2,58 2,58 Confidence threshold (Var) MCR 90,0% 10,0% 1,28 1,28 Cost of capital factor (above risk free rate) 6,0%

SCR.Corr SCRmkt SCRdef SCRlife SCRhealth SCRnl

SCRmkt 100% 25% 25% 25% 25%

SCRdef 25% 100% 25% 25% 50%

SCRlife 25% 25% 100% 25% 0%

SCRhealth 25% 25% 25% 100% 0%

SCRnl 25% 50% 0% 0% 100%

SCR.Mkt.Corr MKTint MKTeq MKTprop MKTsp MKTconc MKTfx

MKTint 100% 0% 50% 25% 0% 25%

MKTeq 0% 100% 75% 25% 0% 25%

MKTprop 50% 75% 100% 25% 0% 25%

MKTsp 25% 25% 25% 100% 0% 25%

MKTconc 0% 0% 0% 0% 100% 0%

MKTfx 25% 25% 25% 25% 0% 100%

MKTeq indices Global Other shock scenario 32,0% 45% SCR.Mkt.Equ.Corr Global Other Global 100% 75% Other 75% 100% Property shock (-) 20% MKTeq,alternative duration based scenario Shock

liabilities duration 0-2 years 36,0% liabilities duration 2-5 years 33,0% liabilities duration 5-10 years 23,0% liabilities duration > 10 years 13,0% MKTprop,alternat. duration based scenario

Shock

liabilities duration 0-2 years 18,0% liabilities duration 2-5 years 17,0% liabilities duration 5-10 years 12,0% liabilities duration > 10 years 7,0%

V

Currency shock (+/-) 20%

VI

ANNEXE 3 : ESTIMATION DES PARAMETRES A

PARTIR DE DONNEES HISTORIQUES

Estimation de la volatilité à partir des données historiques Nous nous intéressons désormais plus particulièrement au calcul de la volatilité. A partir de ce qui précède, on peut dire que la volatilité d'une action est l'écart-type des rentabilités sur une année. Afin d'estimer empiriquement la volatilité d'une action, des relevés de cours périodiques sont nécessaires (chaque jour, chaque semaine, ou encore chaque mois). Introduisons les notations suivantes :

• 1+n : Le nombre d'observations • iS : Le cours de l'action au terme du i -ième intervalle de temps

• τ : La durée des intervalles de temps en années • iu : L'espérance de rentabilité

On peut alors poser que : 1,2,...ni ln1

=∀

=

−i

ii S

Su

L'estimation, s, de l'écart-type des iu est donné par la formule :

∑=

−−

=n

ii uu

ns

1

2)(1

1

où u représente la moyenne des iu .

Nous savons que l'écart-type iu est égal à τσ . La variable sest donc un estimateur de

τσ . Nous pouvons donc estimer σ par σ̂ avec : τ

σ s=ˆ .

Cependant, déterminer une valeur appropriée pour n reste très délicat. Généralement, plus le nombre de données est important, meilleure est la qualité de l'estimation. Cependant, la volatilité historique varie au cours du temps, et ainsi, la prise en compte de données trop anciennes ne semble pas être pertinente pour une bonne prédiction de la valeur future. Un compromis qui semble bien fonctionner consiste alors à un relevé dit quotidien des cours de clôture les plus récents sur une période de 90 à 180 jours.

7