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Fichier : Exam_RDM_janv_2016 examen RDM tronc commun 1ère année

Examen de RDM

Tronc commun / janvier 2016

AUCUN DOCUMENT AUTORISE

Durée : 1h30 maximum

Dimensionnement d’un mat d’antenne et de ses vis de fixation

L’objectif est ici de dimensionner un mat d’antenne constitué d’un tube cylindrique. Ce mat est équipé d’une bride permettant sa fixation à un support en béton par des vis qu’il faut dimensionner également. EXERCICE 1 : (4 points) / (temps à consacrer à l’exercice : 15 min. maxi)

Dimensionnement des vis de fixation du mat d’antenne

Barème : Question 1 : 1 point, Question 2 : 3 points,

Pour réaliser la liaison complète du mat avec le sol, on utilise plusieurs vis en acier qui fixeront la bride du mat à un plot en béton. Pour dimensionner ces vis on les modélise par des poutres cylindriques qui subissent une sollicitation de traction . Chacune de ces vis devra résister à un effort maximal F = 12 000 N. Propriétés de l’acier : σe = 800 Mpa, σr = 950 Mpa, τe = 350 Mpa, Fig. 1 : base du mat avec ses vis de fixation

G = 8.104 Mpa, E = 210 000 MPa Coefficient de sécurité : á = 4.

1) Ecrire la condition de résistance en traction d’une vis. (Relation littérale)

2) En déduire le diamètre d minimum des vis.

(Relation littérale et application numérique)

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EXERCICE 2 : (10 points) / (temps à consacrer à l’exercice : 50 min. maxi)

Dimensionnement en résistance du mat d’antenne

Barème : Question 1 : 1 point, Question 2 : 1 point, Question 3 : 1 point,

Question 4 : 2 points, Question 5 : 1 point, Question 6 : 1 point

Question 7 : 2 points, Question 8 : 1 point.

Le mat est modélisé comme une poutre encastrée en B. C’est un tube de longueur L = 5 mètres, de diamètre extérieur D = 100 mm, et de diamètre intérieur d (à déterminer). La ligne moyenne de la poutre est portée par l’axe ���� du repère dont l’origine est en A, coté libre de la poutre.

Le mat subit une sollicitation extérieure due à l’action du vent. Cette action est modélisée par une charge répartie p considérée comme constante.

Pour toute section droite (S) de la poutre, de centre M (x, 0, 0), le torseur de cohésion représentatif de la sollicitation de flexion plane simple est de la forme :

�����é � 0 0����� 00 ��������

Fig. 2 : mat soumis au vent

1) Donner l’expression de la composante de cisaillement �����

2) Montrer que le moment fléchissant ������ a pour expression :

������ � �. �

3) On peut estimer la valeur de la charge répartie due au vent avec l’expression : � � !. ". # avec K = 4 pour D exprimé en mètre et la vitesse du vent #

exprimée en $. %&'. La charge répartie p s’exprime alors en(.$&'. Calculer la valeur de cette charge répartie p (exprimée en(.$&') pour une vitesse du vent : # � ' )*$.+&'.

mat

B

sol

L

��

A

p

,�

-./0����������

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4) Sur le document réponse DR1 (à ne pas oublier de joindre à votre copie), représenter graphiquement l’évolution de l’effort tranchant ����� et du moment fléchissant ������le long de la ligne moyenne de la poutre. (RESPECTER les échelles proposées)

5) Quelle est la section droite la plus sollicitée ?

6) Déterminer l’expression littérale de la contrainte maximale 1$2�dans cette section en fonction de �|���|�45, ", 7

7) Déterminer l’expression littérale de diamètre intérieur d à partir de la condition de résistance. Faire l’application numérique avec : 18 = 350 MPa, coefficient de sécurité á = 4

8) Parmi les tubes proposés dans l’extrait de catalogue ci-dessous, lequel répond le

mieux à notre besoin ?

Fig. 3 : extrait d’un catalogue de tubes en acier

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EXERCICE 3 : (6 points) / (temps à consacrer à l’exercice : 25 min. maxi)

Comportement du mat d’antenne en déformation

Barème : Question 1 : 3 points, Question 2 : 3 points,

On veut vérifier ici que le mat soumis au vent à la vitesse maximale de 120 km.h-1

présente une déformation maximale (flèche) ne dépassant pas 100 mm : ymax ≤ 100 mm.

Quel que soit le résultat trouvé à l’exercice 2, le s applications numériques seront réalisées pour un tube 100 / 80 (D = 100 mm, d = 80 mm) et une charge répartie dont la valeur est p = 600 N.m -1.

1) Exprimer de façon littérale l’équation de la déformée y(x) de la ligne moyenne de la poutre en fonction de :

• la charge répartie p, • la longueur L de la poutre, • le module de Young E de l’acier, • le moment quadratique en flexion 9�:,���� � 9 de la poutre

Vous prendrez le soin d’expliquer votre démarche.

2) En déduire l’expression littérale de la déformation maximale ymax. Faire l’application numérique avec : D = 100 mm, d = 80 mm, E = 210 000 MPa, p = 600 N.m-1 Conclure.

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Document réponse DR1

NOM : …………………… Prénom : ………………………

500

1000

-500

-1000

2000

5000

x (m)

������ (N.m)

-2000

-5000

����� (N)

x (m)

1000

2000

-1000

-2000

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