Examendeculturegénérale Juin2019 àl ...Pour chacun des deux plans ci-dessus, nommer la personne qui ne travaille pas au maxi-mum desadisponibilité. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Nom : ................................................... Prénom : ...................................................

Examen de culture générale

à l’École de Culture Générale

Juin 2019

MATHÉMATIQUES 3C

Durée : 240 minutes

Matériel autorisé : Formulaire usuel fourni avec l’épreuve.

Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S, Casio

fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ Scientific

Calculator

Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :

1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du problème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les solu-

tions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigées.

Si la rédaction est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et aucun point ne sera at-

tribué.

Barème :5 · (nombre de points)

47+1

Nombre de points obtenus : Note finale :

Page 1 sur 5 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de Culture Générale 2019

Mathématiques3C

Problème 1 [12 pts]

Lors d’un test, un enseignant obtient les résultats suivants pour sa classe :

note 2,5 3 4 4,5 5 6effectif 2 4 5 6 3 4

a) (2 points)

Donner la variable statistique observée et établir le tableau des distributions des effectifs,

des fréquences et des fréquences cumulées de cette variable statistique.

b) (2 points)

Calculer la moyenne, la médiane et le mode.

c) (2 points)

Calculer les premier et troisième quartile de la série.

d) (1.5 point)

Construire la boîte à moustaches de la série.

e) (1.5 point)

Calculer le variance et l’écart-type de la série

On décide de faire 3 groupes de notes : insuffisant < 4, correct entre 4 et 5, et bon 5.

f) (3 points)

Effectuer l’histogramme de la nouvelle répartition.

Pour tout l’exercice, si une valeur est obtenue sans calcul, il faut justifier le résultat donné.

Problème 2 [7 pts]

h

41˚ 48˚32˚

18 m

La figure ci-dessus schématise un phare au sommet d’une colline. En observant le sommet du

phare depuis le pied de la colline, l’angle d’élévation est de 48˚. Si on l’observe à 18 m de la base

de la colline, l’angle d’élévation du sommet du phare est de 41˚. La colline forme un angle de

32˚par rapport à l’horizontale. Calculer la hauteur du phare.


Mathématiques3C

Problème 3 [8 pts]

Lors d’une visite, un vendeur de téléphonie propose un nouvel abonnement à un client. La

probabilité que le client signe le contrat du nouvel abonnement est de 20%. S’il ne signe pas, le

vendeur lui propose de le revoir une fois pour lui faire une offre plus adaptée. Dans ce cas, la

probabilité que le client signe est de 30%.

a) (1 point)

Etablir l’arbre décrivant la situation.

b) (1 point)

Calculer la probabilité qu’un contrat soit finalement conclu.

c) (1 point)

Calculer la probabilité qu’un contrat soit signé sachant que le client a refusé la première fois.

d) (2 points)

Calculer la probabilité que le client ait refusé de signer la première fois sachant qu’un contrat

a été conclu.

Le vendeur va rendre visite à cinq clients (il ne retourne pas s’il ne signe pas de contrat).

e) (1 point)

Calculer la probabilité que les cinq contrats soient signés.

f) (2 points)

Calculer la probabilité qu’exactement trois contrats soient signés.


Mathématiques3C


Dans un carré de côté 4 cm (voir croquis ci-contre),

I est le milieu du segment [BC ] et AM = DN = x.

A

B

C

D

I

M

4 cm

x

N

x

On considère la fonction f qui exprime l’aire du triangle M N I en fonction de x.

a) (2 points)

Calculer l’aire du triangle pour x = 2 et x = 3.

b) (4 points)

Montrer que la fonction qui détermine l’aire du triangle en fonction de x est donnée par

f (x) = 12

x

2 °3x +8.

c) (2 points)

Déterminer à l’aide du graphe de f (x) la valeur de x pour laquelle l’aire est minimale.

d) (2 points)

Tracer soigneusement le graphe de cette fonction dans le système d’axes ci-dessous.

°8 °6 °4 °2 2 4 6 8 10

°8

°6

°4

°2

2

4

6

8

0


Mathématiques3C


Aline, Benoît et Carole sont trois copains qui construisent des meubles ensemble. Ils fabriquent

des chaises et des tables. Ils participent tous à la confection de chaque meuble. Aline peut tra-

vailler au maximum pendant 24 heures par semaine, Benoît 30 heures et Carole 46 heures.

Le temps nécessaire pour produire chaque type de meuble ainsi que leur coût et leur prix de

vente sont donnés dans le tableau ci-dessous :

Chaise Table

Aline 1h 2h

Benoît 1h 3h

Carole 2h 3h

Coût 11 frs 14 frs

Prix de vente 16 frs 26 frs

a) (5 points)

Modéliser les contraintes et résoudre graphiquement le système d’inéquations obtenu.

b) (2 points)

Donner le chiffre d’affaire hebdomadaire maximal ainsi que le plan de production qui le

réalise. (Un plan de production est le nombre de chaque type d’objet fabriqués.)

c) (2 points)

Donner le bénéfice hebdomadaire maximal ainsi que le plan de production qui le réalise.

d) (1 point)

Pour chacun des deux plans ci-dessus, nommer la personne qui ne travaille pas au maxi-

mum de sa disponibilité.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0


Mathématiques3C

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Examens de certificatà l’École de Culture Générale

Juin 2018

MATHÉMATIQUES 3C


Matériel autorisé : Formulaire Polymaths fourni avecl’épreuve.Calculette sans écran graphique ne per-mettant pas le calcul formel, la résolutionautomatique d’équations, le calcul intégralou le calcul matriciel.Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :

1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro duproblème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre lessolutions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas cor-rigées.

Gymnase d’YverdonCertificat 2018

Page 1/6Mathématiques

3C

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................


Un sac contient 5 billes rouges, 2 billes jaunes et 1 bille bleue. Chacun leur tour,deux joueurs (nommés J1 et J2) tirent des billes dans ce sac, une par une et sans re-mise. Si un joueur tire la bille bleue, il gagne et le jeu s’arrête. S’il tire une bille jaune,le jeu continue et c’est au tour de l’autre joueur de tirer une bille. Finalement, s’il tireune bille rouge, il perd et le jeu s’arrête. Il y a donc forcément un gagnant à ce jeu.Le joueur J1 commence le jeu.

1. Réaliser un arbre de probabilité correspondant à ce jeu.

2. Calculer la probabilité de gagner du joueur J1.

3. Calculer la probabilité de gagner du joueur J2.

4. Calculer la probabilité que J1 ait gagné, sachant qu’il a tiré une boule jaune.

5. En admettant que le joueur J1 commence chaque partie, combien de fois doit-iljouer à ce jeu pour que sa probabilité de gagner au moins une fois soit supérieureou égale à 90% ?

Problème 2 [5 pts]

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Résoudre les équations :

a) 600 = 50 · a8

b) 0,5 · 2 5x+4 = 2 · 4 x−3

2. Quel capital peut-on espérer obtenir si on place 21′430.- CHF pendant 14 ans surun compte épargne affichant un taux annuel de 0,75 %?



3C

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................


Lors d’un travail pratique, un groupe d’élèves doit déterminer la température d’ébul-lition en degré Celsius (̊ C) d’un liquide inconnu. Les vingt mesures réalisées sontexploitées pour l’étude statistique de cette température d’ébullition.

1. Compléter le tableau de l’étude statistique (les colonnes vides sont à dispositionpour les calculs ultérieurs).

Classes (en C̊) ni xi fi Fi

[105; 106[ 0,05

[106; 107[ 1 0,10

[107; 108[ 3

[108; 109[ 0,60

[109; 110[ 0,25

[110; 111[ 0,95

[111; 112[

Totaux

2. Représenter ci-dessous le diagramme des fréquences cumulées croissantes (les gra-duations des axes sont à ajouter !). En déduire la médiane graphiquement.

3. Calculer la moyenne

4. Calculer la médiane et les quartiles Q1 et Q3 puis réaliser la boîte à moustaches.

5. Calculer la variance et l’écart-type.

Représentations graphiques



3C

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 4 [9 pts]

On considère un cône dont la baseest un cercle de rayon r = 3 cm. Ladistance entre le sommet S et un pointA du cercle est d = 10 cm.

1. Calculer le volume Vcône ducône.

On tronque ce cône en découpant sapartie supérieure (un petit cône dehauteur z est enlevé).

2. Montrer que le volume du cônetronqué en fonction de z s’écritVtronqué = Vcône −

3π91z3.

3. Déterminer z de pour obtenir unvolume Vtronqué = 60 cm3.



3C

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 5 [9 pts]

Après un don du sang, la concentration C de globules rouges dans le sang du donneur(en millions/mm3) s’écrit :

C(t) =5

1 + 0,2 · e−0,14·t, où t est le nombre de jours écoulés depuis le

don.

1. Quelle est la concentration immédiatement après le don ?

2. Quelle est la concentration limite (quand t devient très grand) ?

3. Après combien de temps la concentration est-elle exactement de 4,6 millions/mm3 ?(réponse en jours, heures et minutes)

4. Calculer la concentration après 2 jours, ainsi qu’après 12 jours.

5. Représenter graphiquement la concentration et interpréter par une phrase enfrançais.



3C

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 6 [9 pts]

Des gabarits viennent d’être érigés sur une parcelle, suite à un avis de construction d’unbâtiment (voir figure ci-dessous). Un habitant du village se demande si les distances delimite de propriété, ainsi que de hauteur maximale sont respectées. Il se place sur laroute à la limite de la propriété au point A et mesure à l’aide de capteurs lasers l’angleα = B̂AC = 57̊ ainsi que les distances b = 5,20 m, c = 4,30 m et d = 14,50 m.

1. Déterminer la hauteur du petit gabarit.

2. Calculer la distance horizontale à laquelle se situe le petit gabarit par rapport aupoint A où se trouve l’observateur.

3. Déterminer la hauteur du grand gabarit sachant que l’observateur voit son som-met D avec un angle d’élévation de 42̊ par rapport à l’horizontale.

A

B

C

D

c

b

α

d

petit gabarit

grand gabarit

route



3C

1/5

GYMNASE DE BEAULIEU

Examen de l’école de culture générale

Session de juin 2019

Mathématiques

Nom: Prénom: Classe:


Nombre de pages : 5 pages

Matériel autorisé : Calculatrice agrée et formulaire distribué. Matériel de

dessin géométrique.

Consignes : Une présentation propre et soignée est demandée.

Prière de traiter un problème par feuillet.

Il est indispensable de poser tous les calculs

permettant la résolution d'un problème.

Total: 57 points

Note: .....


Gymnase de Beaulieu, examen de l'école de culture générale, session de juin 2019.

Mathématiques.

2/5

Problème 1 - Système d'inéquations 10 points

a) Utiliser le système d'axes ci-dessous pour résoudre graphiquement le

système d'inéquations suivant:

ÔÔÓ

ÔÔÌ

Ï

£+£+

≥-≥

12292

01

yxyx

yx

b) Déterminer les coordonnées des sommets du polygone des contraintes puis

déterminer les valeurs maximale et minimale de la fonction objectif

yxP 35 -= .



Mathématiques.

3/5

Problème 2 - Exponentielle et logarithme 6 points On observe que la taille d'un plant de maïs croît selon la fonction:

( ) teth 12,0901

285-⋅+

= où t est le nombre de jours écoulés depuis le début des

mesures et ( )th sa hauteur en cm après t jours. (Réponses à 2 décimales)

a) Quelle est la taille du plant au tout début des mesures?

b) Quelle est la taille du plant après un temps très long? (temps infini)

c) Calculer la taille du plant après 20 jours.

d) Après combien de jours la taille du plant est-elle de 150 cm?

Problème 3 - Aire et volume 6 points

On considère un cône droit de révolution de hauteur h = 10 cm et dont le rayon de

la base vaut 4=r cm. (Réponses à 2 décimales)

a) Calculer le demi-angle d’ouverture du cône.

b) Calculer l’aire totale et le volume du cône.

c) On inscrit le cône dans une sphère. Quel est alors le rayon R de cette

sphère ?

Problème 4 - Statistiques 10 points

On donne ci-dessous les résultats à l’examen de mathématiques d’une classe de

gymnase :

ix 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

in 1 2 3 4 5 3 1 1

a) Calculer la moyenne, la variance et l’écart-type.

b) Construire le diagramme en boîte à moustaches.



Mathématiques.

4/5

Problème 5 - Graphes 5 points On a dessiné dans chaque système d’axes ci-dessous le graphe d’une fonction f constituée de deux demi-droites. Sur chaque dessin, tracer le graphe de la fonction

donnée.

( ) ( ) 4+= xfxg ( ) ( )3-= xfxh

( ) ( ) 2+-= xfxk ( ) ( )xfxl -=



Mathématiques.

5/5

Problème 6 - Interprétation de graphes 6 points

On donne le relevé de la puissance (en MW) fournie par une centrale

photovoltaïque en fonction de l’heure de la journée.

a) Quelle est la puissance fournie à 14 h ?

b) A quelle(s) heure(s) obtient-on une puissance de 6 MW ?

c) A quelle(s) heure(s) obtient-on une puissance supérieure à 3 MW ?

d) Quelles sont les puissances maximale et minimale observées lors de cette

journée ?

Problème 7 - Probabilités 14 points

Une première urne contient quatre billes noires et six billes blanches.

a) On tire simultanément trois billes. Calculer les probabilités des événements

suivants :

A = « les trois billes sont blanches »

B = « les trois billes sont de la même couleur »

C = « il y a au moins une bille blanche »

b) On effectue 6 tirages en remettant la bille tirée après chaque tirage. Quelle

est la probabilité d’obtenir exactement 4 billes noires ?

c) On effectue plusieurs tirages en remettant la bille tirée après chaque tirage.

Combien de tirages au minimum doit-on effectuer pour que la probabilité de

tirer au moins une noire soit supérieure à 99,9% ?

Une seconde urne contient une bille noire et neuf billes blanches. On choisit une

des deux urnes au hasard et on en tire une bille.

d) Quelle est la probabilité que cette bille soit noire ?

e) Si on sait qu’elle est noire, quelle est la probabilité que ce soit la première

urne qui ait été choisie ?

GYMNASE DU BUGNON – LAUSANNE Juin 2019

EXAMEN DE L’ÉCOLE DE CULTURE GÉNÉRALE

MATHÉMATIQUES

Nom et prénom du candidat : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classes concernées : 3C1, 3C2, 3CSE01, 3CSE02, 3CSE03

Date : Mardi 11 juin 2019

Durée : 4 heures

Matériel autorisé apporté par les élèves : Formulaires officiels, non annotés

Calculatrice de type reconnu

Problème 1 (11 points)

1.1 Éloise dépose 15’000 francs sur un compte d’épargne à un taux d’intérêts composés de 7,3 %

par an. Combien de temps faudra-t-il pour que cette somme double ?

1.2 La propagation d’un virus au sein d’une population de 200 chimpanzés, en fonction du nombre

de jours t, est donnée par la formule :

N(t) =200

1 + 300·e−0,16t

où N(t) est le nombre de chimpanzés infectés.

(a) Combien de chimpanzés sont atteints au bout de 20 jours ?

(b) Après combien de temps 120 chimpanzés ont-ils été atteints ?


La société Chocovore produit deux types de chocolat noir-amandes.

Pour faire un chocolat de type 1, elle a besoin de 2,3 kg de cacao, 3 kg de sucre et 2 kg d’amandes.

Pour faire un chocolat de type 2, elle a besoin de 2,6 kg de cacao, 2 kg de sucre et 1 kg d’amandes.

Les réserves sur place sont de 130 kg de cacao, 132 kg de sucre et 84 kg d’amandes.

Un chocolat noir-amandes de type 1 est vendu 23 francs et un chocolat de type 2 est vendu 14 francs.

2.1 En appelant x le nombre de chocolats de type 1 et y le nombre de type 2, déterminer les

5 contraintes.

2.2 Déterminer la fonction revenu des ventes.

2.3 Représenter la situation sur le quadrillage en annexe 1 et déterminer par calcul les sommets du

polygone des contraintes.

2.4 Quelle est la production qui donne un revenu maximal ? Justifier.

Examen de l’école de culture générale 1 / 4 Mathématiques C



Deux médicaments sont proposés sous différents conditionnements.

Le premier médicament est proposé sous forme d’ampoules avec une probabilité de 20 %, sous forme

de comprimés avec une probabilité de 50 % ou en gélules avec une probabilité de 30 %.

Le deuxième médicament n’est proposé que sous forme de comprimés ou en gélules. La probabilité

que ce deuxième médicament soit sous forme de gélules est le triple de celle qu’il soit sous forme de

comprimés.

Un patient doit prendre ces deux médicaments. Il choisit de manière aléatoire le conditionnement de

ces deux médicaments.

3.1 Quelle est la probabilité que ces deux médicaments soient sous forme de comprimés ?

3.2 Montrer que la probabilité qu’exactement un médicament soit sous forme de comprimés est

de 50 %.

3.3 Quelle est la probabilité que le premier médicament soit sous forme de comprimés et que le

deuxième soit sous forme de gélules ?

3.4 Quelle est la probabilité que le premier médicament soit sous forme de comprimés ou que le

deuxième soit sous forme de gélules ?

3.5 Sachant qu’au moins un médicament avalé est sous forme de comprimés, quelle est la probabilité

que les deux soient sous forme de comprimés ?

Sur son lit d’hôpital, à chaque prise, le patient choisit de manière aléatoire le conditionnement des

deux médicaments. La probabilité que ces deux médicaments soient sous forme de comprimés est

de 12,5 %.

3.6 Quelle est la probabilité, que lors de 10 prises de ces deux médicaments, le patient n’ait eu que

des comprimés ?

3.7 Quelle est la probabilité, que lors de 10 prises de ces deux médicaments, le patient n’ait eu les

deux médicaments sous forme de comprimés que 3 fois ?




Soit ABCDEF GHIJKL un prisme droit de 12 cm de hauteur et dont les bases sont des hexagones

réguliers de 5 cm de côté.

A B

C

DE

F

G H

I

JK

L

4.1 Quelle est la longueur du segment [ L J ] ?

Considérons le triangle IDL

4.2 Montrer que l’angle ∠IDL mesure environ 41,54°.

4.3 Quelle est l’aire du triangle IDL ?





Zébulon prend sa voiture pour aller travailler. Il a relevé une centaine de durées de trajets en minutes,

et il a obtenu les fréquences indiquées dans le tableau ci-dessous.

Classes zi fi

[ 16 ; 18 [ 17 0,02

[ 18 ; 20 [ 19 0,08

[ 20 ; 22 [ 21 0,20

[ 22 ; 24 [ 23 0,32

[ 24 ; 26 [ 25 0,26

[ 26 ; 30 [ 28 0,12

5.1 Déterminer :

(a) la ou les classe(s) modale(s) ;

(b) la moyenne ;

(c) la médiane ;

(d) Q3 et l’étendue interquartile, sachant que Q1 = 21,5 minutes ;

(e) l’écart-type.

Zébulon prend encore quelques relevés et estime que ses temps de trajet suivent une loi normale,

centrée en µ = 23,5 minutes et d’écart-type σ = 2,5 minutes.

5.2 À quelle fréquence arrive-t-il à faire son trajet en moins de 25 minutes ?

5.3 Il doit arriver au travail pour 8 h 00. À quelle heure (arrondie à la minute la plus proche) doit-il

partir pour être certain à 96 % d’arriver à temps ?



Annexe 1 : Quadrillage pour le problème 2


5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

xx

yy



Annexe 2 : Formulaire statistiques

NotationsPopulation totale Un échantillon Population de tous

les échantillons

Taille N n

Moyenne µ x µx

Écart-type σ s σx

Formules

moyenne d’une population µ =∑

ki=1 fixi

étendue d’une population max − min

espace interquartile d’une population EIQ = Q3 − Q1

écart moyen à la moyenne EM =∑

ki=1 fi |xi − µ|

variance d’une population σ2 =

∑

ki=1 ni(xi − µ)2

N

=∑

ki=1 fi(xi − µ)2

=(

∑

ki=1 fix

2i

)

− µ2

écart-type d’une population σ =√

σ2

score-z d’une observation xi z =xi − µ

σ

estimateur de la moyenne de la population µ̂ = x

estimateur de l’écart-type d’une population σ̂ = s

√

n

n − 1

moyenne de la distribution échantillonnale µx = µ

écart-type de la distribution échantillonnale σx =σ√n

√

N − n

N − 1

estimateur de l’écart-type de la distribution échantillonnale σ̂x =s√

n − 1

proportion vue comme une moyenne x = p

écart-type d’une proportion s =√

p − p2

Examen de l’école de culture générale Mathématiques C


Annexe 3 : Table de la loi normale

Aire = 0,43699

µ

1,53 · σ

— Score -z = 1,53 :ligne 1,5 et colonne +0,03

— Aire sous la courbe = 0,43699

— Pourcentage des observations comprisesentre µ et µ + 1,53σ = 43,699 %

score -z + 0,00 + 0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,04 + 0,05 + 0,06 + 0,07 + 0,08 + 0,09

0,0 0,000 00 0,003 98 0,007 97 0,011 97 0,015 95 0,019 94 0,023 92 0,027 90 0,031 88 0,035 86

0,1 0,039 82 0,043 80 0,047 76 0,051 72 0,055 67 0,059 62 0,063 56 0,067 48 0,071 42 0,075 35

0,2 0,079 26 0,083 17 0,087 06 0,090 95 0,094 83 0,098 71 0,102 57 0,106 42 0,110 26 0,114 09

0,3 0,117 91 0,121 72 0,125 52 0,129 30 0,133 07 0,136 83 0,140 58 0,144 31 0,148 03 0,151 73

0,4 0,155 42 0,159 10 0,162 75 0,166 40 0,170 03 0,173 64 0,177 24 0,180 82 0,184 39 0,187 93

0,5 0,191 46 0,194 97 0,198 47 0,201 94 0,205 40 0,208 84 0,212 26 0,215 66 0,219 04 0,222 40

0,6 0,225 75 0,229 07 0,232 37 0,235 65 0,238 91 0,242 15 0,245 37 0,248 57 0,251 74 0,254 90

0,7 0,258 04 0,261 15 0,264 23 0,267 30 0,270 34 0,273 37 0,276 37 0,279 35 0,282 30 0,285 24

0,8 0,288 14 0,291 03 0,293 89 0,296 73 0,299 55 0,302 34 0,305 11 0,307 85 0,310 57 0,313 27

0,9 0,315 94 0,318 59 0,321 21 0,323 81 0,326 39 0,328 94 0,331 47 0,333 98 0,336 46 0,338 91

1,0 0,341 34 0,343 75 0,346 14 0,348 49 0,350 83 0,353 14 0,355 43 0,357 69 0,359 93 0,362 14

1,1 0,364 33 0,366 50 0,368 64 0,370 76 0,372 86 0,374 93 0,376 98 0,379 00 0,381 00 0,382 98

1,2 0,384 93 0,386 86 0,388 77 0,390 65 0,392 51 0,394 35 0,396 17 0,397 96 0,399 73 0,401 47

1,3 0,403 20 0,404 90 0,406 58 0,408 24 0,409 88 0,411 49 0,413 09 0,414 66 0,416 21 0,417 74

1,4 0,419 24 0,420 73 0,422 20 0,423 64 0,425 07 0,426 47 0,427 85 0,429 22 0,430 56 0,431 89

1,5 0,433 19 0,434 48 0,435 74 0,436 99 0,438 22 0,439 43 0,440 62 0,441 79 0,442 95 0,444 08

1,6 0,445 20 0,446 30 0,447 38 0,448 45 0,449 50 0,450 53 0,451 54 0,452 54 0,453 52 0,454 49

1,7 0,455 43 0,456 37 0,457 28 0,458 18 0,459 07 0,459 94 0,460 80 0,461 64 0,462 46 0,463 27

1,8 0,464 07 0,464 85 0,465 62 0,466 38 0,467 12 0,467 84 0,468 56 0,469 26 0,469 95 0,470 62

1,9 0,471 28 0,471 93 0,472 57 0,473 20 0,473 81 0,474 41 0,475 00 0,475 58 0,476 15 0,476 70

2,0 0,477 25 0,477 78 0,478 31 0,478 82 0,479 32 0,479 82 0,480 30 0,480 77 0,481 24 0,481 69

2,1 0,482 14 0,482 57 0,483 00 0,483 41 0,483 82 0,484 22 0,484 61 0,485 00 0,485 37 0,485 74

2,2 0,486 10 0,486 45 0,486 79 0,487 13 0,487 45 0,487 78 0,488 09 0,488 40 0,488 70 0,488 99

2,3 0,489 28 0,489 56 0,489 83 0,490 10 0,490 36 0,490 61 0,490 86 0,491 11 0,491 34 0,491 58

2,4 0,491 80 0,492 02 0,492 24 0,492 45 0,492 66 0,492 86 0,493 05 0,493 24 0,493 43 0,493 61

2,5 0,493 79 0,493 96 0,494 13 0,494 30 0,494 46 0,494 61 0,494 77 0,494 92 0,495 06 0,495 20

2,6 0,495 34 0,495 47 0,495 60 0,495 73 0,495 85 0,495 98 0,496 09 0,496 21 0,496 32 0,496 43

2,7 0,496 53 0,496 64 0,496 74 0,496 83 0,496 93 0,497 02 0,497 11 0,497 20 0,497 28 0,497 36

2,8 0,497 44 0,497 52 0,497 60 0,497 67 0,497 74 0,497 81 0,497 88 0,497 95 0,498 01 0,498 07

2,9 0,498 13 0,498 19 0,498 25 0,498 31 0,498 36 0,498 41 0,498 46 0,498 51 0,498 56 0,498 61

3,0 0,498 65 0,498 69 0,498 74 0,498 78 0,498 82 0,498 86 0,498 89 0,498 93 0,498 96 0,499 00

3,1 0,499 03 0,499 06 0,499 10 0,499 13 0,499 16 0,499 18 0,499 21 0,499 24 0,499 26 0,499 29

3,2 0,499 31 0,499 34 0,499 36 0,499 38 0,499 40 0,499 42 0,499 44 0,499 46 0,499 48 0,499 50

3,3 0,499 52 0,499 53 0,499 55 0,499 57 0,499 58 0,499 60 0,499 61 0,499 62 0,499 64 0,499 65

3,4 0,499 66 0,499 68 0,499 69 0,499 70 0,499 71 0,499 72 0,499 73 0,499 74 0,499 75 0,499 76

3,5 0,499 77 0,499 78 0,499 78 0,499 79 0,499 80 0,499 81 0,499 81 0,499 82 0,499 83 0,499 83

3,6 0,499 84 0,499 85 0,499 85 0,499 86 0,499 86 0,499 87 0,499 87 0,499 88 0,499 88 0,499 89

3,7 0,499 89 0,499 90 0,499 90 0,499 90 0,499 91 0,499 91 0,499 92 0,499 92 0,499 92 0,499 92

3,8 0,499 93 0,499 93 0,499 93 0,499 94 0,499 94 0,499 94 0,499 94 0,499 95 0,499 95 0,499 95

3,9 0,499 95 0,499 95 0,499 96 0,499 96 0,499 96 0,499 96 0,499 96 0,499 96 0,499 97 0,499 97

4,0 0,499 97 0,499 97 0,499 97 0,499 97 0,499 97 0,499 97 0,499 98 0,499 98 0,499 98 0,499 98

Examen de l’école de culture générale Mathématiques C

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Gymnase de Burier Case postale 96 Rte de Chailly 170 1814 La Tour-de-Peilz

EXAMEN ÉCRIT DE L’ÉCOLE DE CULTURE GÉNÉRALE

JUIN 2019

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

___________________________________________________________________ Nom : ___________________ Prénom : _________________ Classe : ________ ___________________________________________________________________

Durée de l’épreuve : 4 heures

Consignes : La rédaction de vos réponses (avec détails des calculs) se

fait en-dessous de chaque question. Si vous manquez de

place, prière d’utiliser les feuilles quadrillées à disposition.

Matériel autorisé : Formulaires officiels non annotés

Calculatrice Texas Instruments TI 30 ECO RS

Gymnase de Burier École de culture générale


Les parties A et B ci-dessous sont indépendantes l’une de l’autre.

PARTIE A

Pour ses vacances d’été, Antoine décide de faire de la randonnée. Il choisit 7 randonnéesdifférentes qu’il répartit, une par semaine, sur ses 7 semaines de vacances.

a) De combien de manières différentes Antoine peut-il planifier ses vacances d’été ?

b) Vu que 2 des 7 randonnées se trouvent dans la même région, il décide de les placer surdeux semaines consécutives. De combien de manières différentes peut-il planifier son été ?

c) Malheureusement Antoine a trop de travail et ne peut pas prendre 7 semaines de va-cances. Il n’aura que 5 semaines de vacances et ne fera donc que 5 randonnées.Puisque 2 des 7 randonnées se ressemblent beaucoup, s’il fait l’une des deux, il ne fera pasl’autre. De combien de manières différentes peut-il planifier ses 5 semaines de vacances ?

Mathématiques, juin 2019 Page 2/13


PARTIE B

Une des randonnées qu’Antoine veut faire dure 3 jours et se trouve dans les Grisons. Lors-qu’Antoine part le premier jour, il fait beau. Une étude statistique montre que dans cetterégion, s’il fait beau un jour, il y a 3 chances sur 5 qu’il fasse beau le lendemain, alors ques’il pleut, la probabilité qu’il pleuve le lendemain est de 20%.

d) Construire l’arbre des probabilités de la météo pour ces 3 jours dans les Grisons.

e) Quelle est la probabilité qu’il fasse beau le 2e jour et qu’il pleuve le 3e jour de cetterandonnée dans les Grisons ?

f) Quelle est la probabilité qu’il fasse beau le 3e jour de cette randonnée dans les Grisons ?

g) Le 3e jour, lorsqu’Antoine termine sa randonnée, il fait beau. Quelle est la probabilitéqu’il ait fait beau le 2e jour également ?




Un atelier d’art fabrique des bracelets et des colliers.

• Il faut 50 g de métal et 1 heure de travail pour fabriquer un bracelet.

• Il faut 100 g de métal et 3 heures de travail pour fabriquer un collier.

L’atelier dispose au maximum de 2 kg de métal par jour.Au total, les ouvriers peuvent travailler au maximum 50 heures par jour.Comme tous les ouvriers ne maîtrisent pas la fabrication des colliers, il est possible de fabri-quer au maximum 12 colliers par jour.Un bracelet rapporte un bénéfice de 30 francs et un collier rapporte un bénéfice de 50 francs.

a) Compléter le tableau suivant :

x

braceletsy

colliersÀ disposition

(au maximum)

Métal[grammes]

Main d’oeuvre[heures]

b) Déterminer le système de contraintes en lien avec les conditions de fabrication.



c) Représenter graphiquement l’ensemble des solutions du système du point b) dans le sys-tème d’axes ci-dessous.

x = nombre de bracelets

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y = nombre de colliers

5

10

15

20

d) Déterminer le nombre de bracelets et de colliers qu’il faut fabriquer chaque jour afind’obtenir un bénéfice maximum, puis calculer ce bénéfice.




On a représenté le graphe de trois fonctions sur le graphe ci-dessous :

y = R(x), y = C(x) et y = B(x)

x5 10 15 20 25 30

y

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

y = R(x)

y = C(x)

y = B(x)



a) Que vaut l’ordonnée à l’origine de C ?

b) Quels sont les zéros de B ?

c) Combien vaut R(10) ?

d) Quelles sont les solutions de l’équation R(x) = 75 ?

e) Pour quelle valeur de x la fonction B prend-elle une valeur maximale ?

f) Quelles sont les solutions de l’équation R(x) = C(x) ?

On considère maintenant que :

• R(x) est le revenu (en francs) obtenu par la vente de x objets

• C(x) est le coût de fabrication (en francs) de x objets

• B(x) est le bénéfice (en francs) obtenu par la vente de x objets

g) Quel est le revenu maximal ?

h) Pour combien d’objets vendus le bénéfice est-il maximal ?

i) Calculer R(12)− C(12). Quel est le lien avec B ?

j) De manière générale, que peut-on dire de R(x)− C(x) ?




Antoine veut s’acheter une voiture et il hésite entre deux modèles A et B.

• Pour le modèle A, la valeur (en francs) de la voiture est donnée par la formule suivante :

A(t) = 30′000 · 0,8t

où t représente le nombre d’années écoulées depuis l’achat.

• Pour le modèle B, la voiture coûte 25’000 francs à l’achat.Ensuite, la voiture perd 40% de sa valeur chaque année.

a) Quel est le prix d’achat du modèle A ?

b) Trouver la fonction B(t) exprimant la valeur (en francs) du modèle B, où t représente lenombre d’années écoulées depuis l’achat.

c) Quelle est, en %, la perte annuelle du modèle A ?

d) Quelles sont les valeurs des deux voitures 5 ans après leur achat ?

e) Sachant qu’Antoine va revendre sa voiture après 5 ans, quel modèle doit-il acheter s’ilveut minimiser ses coûts ? Justifier.




L’office fédéral de la statistique a publié les chiffres ci-dessous pour l’année 2017 (effectifsen milliers). On a compté le nombre de pièces par logement pour les immeubles locatifs àplusieurs logements dans toute la Suisse.

a) Décrire la variable statistique étudiée et donner son type.

b) Compléter la colonne des fréquences dans le tableau de distribution de cette variable.Les autres colonnes vides sont à votre disposition pour d’éventuels calculs.

Nb de pièces Effectif Fréquence

xi ni fi

1 150

2 400

3 800

4 900

5 250

TOTAL 2500

c) Calculer la moyenne et l’écart-type de cette distribution. Justifier.




Lors de la course populaire reliant Montreux aux Rochers de Naye, on a relevé les temps enminutes des femmes de la catégorie « élite » et on les a répartis en classes dans le tableau dedistribution ci-dessous :

Temps [min] Fréquence [%] Fréquence cumulée [%]

[105; 120[ 1.9 1.9

[120; 135[ 2.8 4.7

[135; 150[ 7 11.7

[150; 165[ 16.8 28.5

[165; 180[ 18.7 47.2

[180; 195[ 21.5 68.7

[195; 210[ 15.4 84.1

[210; 225[ 8.9 93

[225; 240[ 4.2 97.2

[240; 255[ 2.8 100

a) Donner le type de la variable étudiée.

b) Montrer que la valeur arrondie à l’unité du troisième quartile q3 est 201 minutes. Donnerles détails de vos calculs.



c) On donne le premier quartile, q1 = 162 minutes et la médiane q2 = 182 minutes.Dans le système d’axes donné ci-dessous, dessiner la boîte à moustaches (boxplot) decette distribution. Les valeurs extrêmes exactes sont 118 et 252 minutes.

120 140 160 180 200 220 240 260

d) Que dire de la répartition des données au vu de la forme de cette boîte à moustaches(boxplot) ?




Lors d’une course populaire, on a mesuré le temps en minutes réalisé par les 261 coureurs.On suppose que la distribution de ces temps suit un modèle normal dont la moyenne vaut151 minutes et l’écart-type 25 minutes.

On prélève un échantillon aléatoire de 50 sportifs parmi les 261 coureurs.

a) Pourquoi peut-on dire que la distribution de la moyenne des temps de ces 50 sportifssuit une loi normale ? Justifier la réponse.

b) Calculer les paramètres de cette loi normale.

c) Quelle est la probabilité que la moyenne des temps de ces 50 coureurs soit supérieure à161 minutes ? Justifier la réponse.



d) Après la course, on calcule que le temps moyen de ces 50 coureurs est de 142 minutes.Ces 50 coureurs sont-ils significativement meilleurs que les autres ? Justifier avec un testd’hypothèse en utilisant un seuil de signification de 1%.


Problème 1 (17 points)Un récipient contient vingt jetons, numérotés de 1 à 20. Les cinq premiers sont rouges, les deuxsuivants sont bleus, les huit d’après sont verts et les cinq derniers sont jaunes.

A. On tire successivement et sans remise quatre jetons.

a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?

b) Combien y a-t-il de tirages contenant un jeton de chaque couleur ?

c) Combien y a-t-il de tirages ne contenant que des jetons de la même couleur ?

B. On tire simultanément trois jetons.

d) Quelle est la probabilité de tirer un jeton vert et deux jetons jaunes ?

e) Quelle est la probabilité de ne tirer aucun jeton rouge ?

f) Quelle est la probabilité de tirer au moins un jeton rouge ?

C. On place ensuite les jetons dans deux urnes. La première contient deux jetons rouges, deuxbleus et six verts. La deuxième contient trois jetons rouges, deux verts et cinq jaunes.

On choisit une urne au hasard, puis on tire un jeton dans cette urne.

g) Représenter la situation par un arbre.

h) Quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ?

i) Sachant qu’on a tiré un jeton rouge, quelle est la probabilité qu’il provienne de la deuxièmeurne ?

Problème 2 (15 points)Un menuisier fabrique des chaises et des tabourets. Pour chaque chaise, il a besoin de sept piècesde bois, et pour chaque tabouret, il a besoin de trois pièces de bois. Il faut 8 heures de travailpour construire une chaise et 2 heures de travail pour construire un tabouret. Les profits réaliséssur une chaise sont de 30.−, et ceux réalisés sur un tabouret sont de 10.-.

Il dispose de 420 pièces de bois et 400 heures de main-d’œuvre. Il cherche à maximiser sonprofit f .

a) Combien de sièges de chaque sorte le menuisier doit-il fabriquer pour maximiser son profit ?

b) Quel sera alors le profit réalisé ?

Supposons que le menuisier change le prix de vente de ses tabourets et réalise alors un profitde 20.− sur ceux-ci.

c) Si le menuisier veut maximiser son profit avec ce nouveau prix et sous les mêmes contraintes,combien de sièges de chaque sorte doit-il alors produire ?

ECG Chamblandes 2019 mathématiques page 3/5

Problème 3 (22 points)Dans une ferme, à une date déterminée, on a pesé les œufs qui ont été produits. On a obtenules résultats suivants (exprimés en grammes), regroupés par classe.

Classes Effectifs Fréquences Fréquences cumulées[25; 35[ 7[35; 45[ 16[45; 55[ 34[55; 65[ 37[65; 75[ 24[75; 85[ 9[85; 95[ 1

a) Compléter les colonnes des fréquences et des fréquences cumulées (les résultats doivent êtredonnés en pourcent, arrondis à deux chiffres après la virgule).

b) Représenter les données des fréquences par un histogramme en pourcentage.

c) Quel pourcentage des œufs pèsent 65 grammes et plus ?

d) Calculer la moyenne et la médiane de cet échantillon.

e) Calculer la variance (arrondie à l’unité) et l’écart-type de cet échantillon.

f) Quel modèle peut-on utiliser pour décrire le poids des œufs de cette ferme ? Justifier et donnerles paramètres du modèle utilisé.

g) Utiliser ce modèle pour calculer la probabilité qu’un œuf pèse plus de 77 grammes.

h) Le fermier s’engage à ne pas vendre des œufs trop légers. Selon ce modèle, à quel poids doit-ilfixer le seuil pour vendre au moins 95% des œufs de sa ferme ?

Problème 4 (15 points)Considérons un cube Z de sommets ABCDEFGH et dont les arêtes mesurent 12 cm. Considéronsencore le point P de l’arête AB situé à 3 cm de B, le point R de l’arête CB situé à 4 cm de B etle point Q situé au milieu de l’arête BF.

Le solide S est le cube Z dont on a ôté la pyra-mide de sommets PQRB.

a) Compléter le schéma ci-contre en esquissantle solide S.

b) Déterminer le volume de S.

c) Calculer les angles du triangle PQR.

d) Déterminer l’aire totale de S.

A

B

C

D

E

F

G

H


Problème 5 (19 points)Les trois parties A, B et C suivantes sont indépendantes.

A. Deux sœurs, Alice et Béatrice, décident toutes deux de placer leurs économies dans l’espoirde faire un beau voyage dans dix ans. Alice reçoit une offre pour placer ses 12 000 francssuisses sur un compte à 4,8 %. Le banquier de Béatrice lui propose de placer ses 13 000 francssuisses sur un compte à 4,4 %.

a) Quelles seront les valeurs des deux capitaux dans 10 ans ?

b) Quand les deux sœurs auront-elles des capitaux égaux ?

B. Un client d’un célèbre confiseur veut contrôler que le volume des bocaux de pâte à tartinerque ses enfants préfèrent est bien de 250 ml comme l’indique l’étiquette. Il mesure donc levolume des 50 derniers bocaux consommés par sa famille, et obtient une moyenne de 248,8 mlavec un écart-type corrigé de 4 ml.

c) Effectuer un test d’hypothèse unilatéral de seuil de signification de 5 % pour vérifier labonne foi du confiseur.

d) Expliquer par une phrase ce résultat.

C. Un thermomètre a permis de relever automatiquement la température d’un patient de minuità 8 heures pendant une nuit de veille. La courbe ci-dessous représente la température T relevéeen fonction de l’heure h.

t [h]

T [̊ C]

37

38

39

40

41

42

0 1 2 3 4 5 6 7 8

e) À quelle(s) heure(s) la température du patient est-elle de 40◦ C ?

f) Quelle est la température du patient à 6 h du matin ?

g) Quelles sont les températures maximale et minimale du patient au cours de cette nuit ?

h) Quand la température est-elle en baisse ?


Examen ECG

Juin 2019

Mathématiques

Prénom : Nom :

Classe : Maître :

Durée : 4 heures.

Matériel autorisé : formulaire officiel non annoté,formulaires et tables CRM non annoté,calculatrice TI-30 ECO RS.

Examens – session 2018 - 2019�

GYMNASE DE LA CITELAUSANNE

� /61

Examen ECG Mathématiques juin 2019


Calculer en utilisant les valeurs exactes et donner des réponses arrondies à deux décimales.

Soit ABCDEFGH un cube et T un point situé sur la face AEHD. On souhaite trouver le chemin le plus court entre les points F et T, en passant par l’arête AE, sachant que AT = 3 cm, AF = 5 cm et ! . Pour déterminer la position exacte du point P situé sur l'arête AE, on a dessiné le développement du cube. Sur le développement, le point P est l’intersection des segments TF et AE.

!

!

Dans le triangle ATF, nommons ! l’angle en A et ! l’angle en T.

1.1 Calculer la longueur de l’arête du cube;

1.2 Montrer que la mesure de l’angle ! est égale à 120°;

1.3 Calculer la longueur TF;

1.4 Calculer la mesure de l’angle ! ;

1.5 Calculer la longueur AP.

!TAD = 15°

α θ

α

θ

� /62



Un fabricant produit des meubles de type A et B, à partir de bois de chêne, de sapin et de noyer.

Le tableau ci-dessous exprime (en kg) les quantités de bois nécessaires pour produire un meuble de chaque type:

Le fabricant dispose de 800 kg de bois de chêne, de 900 kg de bois de sapin et de 360 kg de bois de noyer. La vente de 1 meuble de type A rapporte CHF 500.- et celle de 1 meuble de type B CHF 500.- également.

2.1 Poser le système des contraintes qui correspond au problème;

2.2 Dessiner le domaine admissible du problème; (graduation des axes: 1 carré ! 10 unités )

2.3 Calculer les coordonnées des sommets du domaine admissible;

2.4 Etablir la fonction objectif du problème;

2.5 Déterminer le nombre de meubles de chaque type que le fabricant doit produire pour maximiser son profit et calculer ce profit maximal.

A B

Chêne 4 8

Sapin 10 6

Noyer 0 4

↔

� /63



Un personnage est situé à 11 m d’un bassin de longueur 3 m et de hauteur 1 m. Depuis sa position, ce personnage lance deux cailloux en direction du centre du bassin. Le dessin ci-dessous représente la trajectoire du premier jet :

!

La trajectoire du premier jet est donnée par la fonction ! .

3.1 Le point A est le point de la trajectoire au moment où le caillou quitte la main du lanceur. Quelle est sa hauteur au-dessus du sol ?

3.2 Le point S est le sommet de la trajectoire. Quelle est sa hauteur au-dessus du sol ?

3.3 Le point B se trouve à la verticale du bord du bassin. Quelle est sa hauteur au-dessus du bord du bassin ?

3.4 Le point C est le point d’impact du caillou avec l’eau du bassin. Calculer sa première coordonnée, sachant que le niveau de l’eau dans le bassin est à 80 cm.

La trajectoire du deuxième jet est donnée par la fonction ! .

3.5 Le caillou parcourant cette seconde trajectoire finit-il sa course dans le bassin ? Justifier par calculs.

3.6 Esquisser sur papier quadrillé la courbe représentative de la fonction g en tenant compte de son sommet, de son axe de symétrie et des intersections avec les axes Ox et Oy. (unité: 2 carrés)

f (x) = −0,05x2 + 0,5x +1,75

g(x) = −0,2x2 +1,8x +1,2

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Les deux parties de ce problème peuvent être résolues séparément.

Un château propose une riche exposition. De plus, ce château est entouré d’un magnifique jardin botanique, accessible aux visiteurs.

— Partie A L’exposition du château ne peut être visitée qu’avec un guide. Le même jour, cinq personnes – Anne, Bernard, Céline, David et Ella – veulent visiter l’exposition du château. Ce jour-là, le château organise huit visites guidées. On suppose que le nombre de places pour chaque visite n’est pas limité.

4.1 De combien de manières différentes ces cinq personnes peuvent-elles choisir les visites si :

a) il n’y a aucune restriction; b) Céline et Ella ont acheté leur billet pour la visite de 14h30; c) Anne et Bernard veulent visiter l’exposition du château ensemble; d) l’une au moins de ces cinq personnes visite l’exposition du château avec le groupe

de 10h30.

4.2 Calculer la probabilité que ces cinq personnes visitent l’exposition du château dans le même groupe.

— Partie B Si les visiteurs ne peuvent découvrir l’exposition du château que dans le cadre d’une visite guidée, ils ont par contre le choix de visiter le jardin botanique librement ou avec un guide. Selon les statistiques établies par la billetterie, 80% des visiteurs participent à une visite guidée de l’exposition du château. Parmi ceux-ci, 20% ne visitent que l’exposition du château, 50% achètent aussi un billet pour une visite guidée du jardin botanique, et les autres se promènent librement dans le jardin. Parmi les personnes qui ne visitent pas l’exposition du château, 65% découvrent le jardin botanique avec un guide.

4.3 Représenter cette situation à l’aide d’un arbre, en utilisant les événements suivants: A: « participer à une visite guidée de l’exposition du château » B: « participer à une visite guidée du jardin botanique » C: « se promener librement dans le jardin botanique » D: « renoncer à se rendre dans le jardin botanique »

4.4 Calculer la probabilité qu’un visiteur pris au hasard :

e) se contente d’une visite guidée de l’exposition du château, sans promenade dans le jardin;

f) ne visite pas l’exposition du château, sachant qu’il effectue une visite guidée du jardin.

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Dans la Permanence Médicale du Sud, on peut se présenter pour une consultation médicale sans rendez-vous préalable. Dans ce cas, il y a toujours un temps d’attente avant la consultation.

On a demandé à 125 patients qui se sont présentés sans rendez-vous à cette permanence le temps qu’ils ont dû attendre avant d’être pris en consultation.

Voici l’histogramme que l’on a réalisé à partir de leurs réponses :

!

5.1 Quel est le type de la variable statistique de ce problème : qualitative ? quantitative ? discrète ? continue ?

5.2 Etablir à partir de l’histogramme le tableau des effectifs ni , des fréquences relatives fi et des fréquences cumulées Fi.

5.3 Calculer les valeurs approximatives de la médiane, de la moyenne et de l’écart-type de la variable statistique.

5.4 Calculer et interpréter le coefficient de variation CV de la variable statistique.

5.5 Réaliser une boîte à moustaches représentant cette situation.

5.6 Quelle sont les proportions des patients qui ont attendu :

a) entre 10 et 40 minutes ? b) moins de 50 minutes ? c) 30 minutes et plus ?

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Gymnase de Morges

Examen ECG Juin 2019 3C

Examen MP Juin 2019 3ASE

Mathématiques

Durée : 240 minutes.

Consignes : Résoudre chaque problème sur une feuille double différente.À l’exception des figures d’étude et des graphiques, l’épreuve doitêtre rédigée à l’encre.Les annotations sur les feuilles d’énoncé sont autorisées, maiselles ne seront pas prises en considération.

Matériel autorisé : Calculatrice sans écran graphique, sans calcul symbolique et nonprogrammable.Formulaire mathématique de base (avec annotations uniquementsur les deux pages centrales).

Problème 1 : Programmation linéaire (13 points)

Une entreprise produit des instruments chirurgicaux composés de nickel et detitane.

Les instruments “ancienne génération” (type A) sont composés de 2,5g de nickelet de 0,5g de titane, alors que ceux de la “nouvelle génération” (type N) sontcomposés de 1,5g de chacun des deux matériaux.

Par ailleurs, il faut 6 minutes pour produire un instrument de type A et 8 minutespour produire un instrument de type N.

L’entreprise dispose d’un stock de 240g de nickel et de 100g de titane, ainsi quede 11h de travail.

Sachant qu’un instrument de type A est vendu 6.- CHF et un instrument de typeN 10.- CHF, combien l’entreprise doit-elle produire d’instruments de chaque typepour maximiser le montant total de ses ventes ? Que vaudra ce montant?

1/5

Problème 2 : Petites questions (23 points)

2.1 Une tour a été bâtie au milieu d’une grande plaine horizontale. Vous voyez, depuisle niveau du sol, le sommet de la tour sous un angle de 20° avec l’horizontale.Après avoir marché 100m en direction du pied de la tour, vous constatez quel’angle est à présent de 30°.

(a) Quelle est la hauteur de la tour ?

(b) Quelle distance vous reste-t-il à parcourir pour en atteindre le pied?

2.2 Vous souhaitez placer 1’000.- CHF. La société ABS vous propose un taux an-nuel (comptabilisé chaque année) de 27%. Après combien de temps avez-vous14’000.- CHF sur le compte?

2.3 Déterminez le sommet et les zéros de la parabole y = 3x2+6x −105.

2.4 Combien d’anagrammes du mot “POPOCATEPETL” commencent-elles par uneconsonne?

2.5 Considérons le solide dont le développement est le suivant :

3

3

3

3

2

2

22

2

2

2

2 2

2

(a) Quel est le nom de ce solide?

(b) Quelle est son aire?

(c) Quel est son volume?

GYMNASE DE MORGES – ECG / MP – MATHÉMATIQUES – JUIN 2019 2/5

Problème 3 : Probabilités (13 points)

Une boule rouge et une boule noire sont réparties au hasard entre trois urnes A, B etC.

3.1 Donnez la liste de toutes les répartitions possibles de ces deux boules entre lestrois urnes.

3.2 Calculez la probabilité que :

(a) l’urne A soit vide?

(b) l’urne B soit vide, sachant que l’urne A est vide?

(c) seule l’urne A soit vide?

(d) seulement une des trois urnes soit vide?

(e) deux urnes soient vides ?

On met ensuite les deux boules dans l’urne A et met de côté les deux autres urnes.Quatre boules rouges et cinq boules noires sont rajoutées dans l’urne A.

On tire ensuite successivement, sans remise et au hasard trois boules.

3.3 Quelle est la probabilité que :

(f) les trois boules tirées soient rouges ?

(g) les trois boules soient de la même couleur ?

(h) l’on ait tiré au moins une boule noire?


Problème 4 : Statistiques (29 points)

4.1 Une étude a été effectuée sur la capacité de mémorisation parmi des adultesatteints d’une maladie neurologique.

Chaque personne devait lire une liste de 30 mots, la cacher et tenter après 5minutes de réciter le plus possible de mots de cette liste.

L’étude a démontré que le nombre X de mots récités suit une loi normale :

X ∼N (8;5)

(a) Quelle est la proportion des personnes interrogées capables de réciter entre4 et 10 mots ?

(b) Combien de mots au minimum un patient doit-il pouvoir réciter pour faire par-tie des 5% des personnes ayant le plus de mémoire?

4.2 On a demandé à 100 élèves d’une école combien de temps (en minutes) ils met-taient pour se préparer le matin avant de venir en cours.

Les résultats ont été les suivants :

Intervalle de temps Effectif[0;10[ 4

[10;20[ 15[20;30[ 23[30;40[ 32[40;50[ 15[50;60[ 11

(c) Quelle est la variable statistique étudiée, et de quelle type est-elle?

(d) Représenter un histogramme des fréquences.

(e) Calculer la moyenne x et l’écart-type de cette variable.

(f) Calculer le mode de cette variable.

(g) Calculer les quartiles et représenter les résultats de cette étude à l’aide d’uneboîte à moustache.

L’école compte en réalité 800 élèves. Des études précédentes ont montré quel’écart-type sur la population entière est de 13,1 minutes.

(h) Pourquoi peut-on considérer que la moyenne sur l’échantillon des 100 élèvessuit une loi normale?


(i) Calculer l’écart-type σx .

(j) Donner un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 98% per-mettant d’estimer le temps moyen mis par tous les élèves de l’école pour sepréparer le matin.

Fonction de répartition Φ de la loi normale N (0;1)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.535860.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.575350.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.614090.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.651730.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.687930.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.722400.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.754900.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.785240.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.813270.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.838911.0 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.862141.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.882981.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.901471.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.917741.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.931891.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.944081.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.954491.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.963271.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.970621.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.976702.0 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.981692.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.985742.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.988992.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.991582.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.993612.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.995202.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.996432.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.997362.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.998072.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.998613.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.999003.1 0.99903 0.99906 0.99910 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.999293.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.999503.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99960 0.99961 0.99962 0.99964 0.999653.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.999763.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.99980 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.999833.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.999893.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.999923.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.999953.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997


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Examendeculturegénérale Juin2019 àl ...Pour chacun des deux plans ci-dessus, nommer la personne qui ne travaille pas au maxi-mum desadisponibilité. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22