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TD : Contraintes normales et tangentielles

Exercice n°1– la potence

@ Remarque : on néglige le poids propre devant la force P.

� Après avoir tracé les diagrammes des sollicitations ; � déterminez l’état de sollicitation de chaque barre ; � calculez le diamètre mini du tirant BC (barres disponibles de 5 mm en 5 mm); � puis l’allongement de cette barre ;

On donne : - P = 20 kN ; - a = 1 m ; - tirant en acier S235 ( MPa235=σ E = 210 000

MPa) avec section circulaire ; - on exige un coefficient de sécurité sur les

contraintes γsécurité = 1,5.

Exercice n°2 – clou de soutènement

Dans ce TD, nous allons traiter le cas d’un clou de mur de soutènement :

On souhaite dimensionner un clou (on suppose que c’est un tube plein – ce qui est faux : pour laisser passer le coulis de mortier pour enrober l’acier – de même, on ne garde que la composante horizontale de la poussée des terres). � Après avoir modélisé le mur de soutènement (on fait l’hypothèse que le mur est articulé en pied – point C) :

- � calculez les sollicitations reprises par le clou (horizontal) et tracez le diagramme (on fait l’hypothèse simplificatrice d’un frottement entre le clou et le sol constant entre 0 et 3 m) ;

- � déterminez la section nécessaire (on prendra un coefficient de sécurité sur les contraintes γsécurité = 1,5) ;

- � sur une vue 3D, tracez la répartition des contraintes normales et des déformations dans la section normale (du tirant) la plus sollicitée ;

- � tracez la variation selon x des contraintes normales et déformations dans le tirant ; - � déterminez le déplacement de la paroi au point B.

On donne : - MPa355=σ , E = 210 000 MPa ; - La longueur du clou est de 6 m.

@ Remarque : on néglige le poids propre des éléments.

P

A

B

C D

4a 2a

3a

1 m

30 kN/m²

1,5 m

A

B

C

3m 3m

Clou

2 m

Poussée sur le mur

Frottement sur le clou

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Exercice n°3 – moment appliqué à une console

� Tracez les diagrammes et réalisez l’étude statique. Déterminez l’IPE le plus économique :

- � lorsqu’il est positionné à chant ; - � lorsqu’il est placé à plat.

@ Remarque : on néglige le poids propre de l’IPE.

Acier type S235 ( MPa235=σ ) ; Coefficient de sécurité sur les contraintes γ = 1,5.

Exercice n°4 – poutre à section en T – chargement ponctuel

A.N. : - L = 6 m ; - a = 1 m ; - P = 20 kN.

Acier type S235 ( MPa235=σ ) ; Coefficient de sécurité sur les contraintes γ = 1,5 ;

- � Tracez les diagrammes des sollicitations ; - � A quelle sollicitation est soumise la partie BC de la poutre ? - � Déterminez et tracez la répartition des contraintes normales (en indiquant leurs

valeurs) pour la section droite la plus sollicitée de la partie BC ; - � Connaissant le module d’Young de l’acier, déterminez les valeurs des déformations

dans la section droite la plus sollicitée de la partie BC de la poutre ; - � Calculez le moment capable de la section (moment maximum non coefficienté qu’elle peut

supporter).

Exercice n°5 – panne de toiture en bois

Considérons une panne de couverture de : - 4 m de portée ; - recevant une charge de neige + poids propre de

2,5 kN/m ; - dont l’axe y est incliné à 30 ° par rapport à la

verticale. La section de bois choisie est 120 x 240 mm². Après avoir tracé le diagramme des contraintes normales dans la section droite, Choisissez la classe de la section de bois à utiliser.

@ Informations complémentaires : Type de bois (H=15%) Résineux Chêne Classe de section Classe 1 Classe 2 Classe 3 Classe 1 Classe 2 Classe 3 Résistance en flexion 14,2 MPa 10,9 MPa 8,7 MPa 14,7 MPa 12,5 MPa 10,9 MPa

MB = 10kN.m 2,000 [m]

B A

y

x

P

A C

D

a L - 2a

B P

a

20

240

120

10 [mm]

4,000 m

2,5 kN/m

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Exercice n°6 – poteau béton

Soit un poteau en béton armé de section rectangulaire 300 x 200 mm² de 1 m de haut. Ce poteau reçoit une charge presque centrée de 150 tonnes en tête. La tolérance d’implantation des éléments porteurs supérieurs est de ± 2 cm selon chaque axe (2 cm selon l’axe y du poteau et 2 cm selon l’axe z du poteau).

Déterminez la variation des contraintes normales dans le poteau selon le positionnement de la force résultante de la descente de charge (pour cela, analysez les cas de position de la charge suivants :

- charge centrée ; - charge excentrée de 2 cm selon y ; - charge excentrée de 2 cm selon z ; - charge excentrée de 2 cm selon y et de 2 cm selon z).

@ Remarque : on négligera le poids propre du poteau. De plus, on considèrera que ce poteau n’a aucune chance de flamber (Ncr > Nlim).

Exercice n°7 – allure des contraintes

Soit les sections suivantes :

� Après avoir rappelé les formules des contraintes normales et tangentielles, � sur le tronçon gauche de la poutre, tracez, sans aucun calcul, l’allure du diagramme des contraintes normales xσ et tangentielles xyτ :

- en traction pure ; - en compression pure ; - en flexion simple (Mz > 0).

Exercice n°8 – poutre à section circulaire

Soit la poutre suivante :

La section est circulaire de diamètre 30 cm ; La poutre est en bois de classe 2 :

- 10,9MPaσ = (en flexion) ; - MPa3,1=τ .

Position du CdG d’½ disque :

� Après avoir réalisé l’étude statique et tracé les diagrammes, � rappelez toutes les formules que vous allez utiliser ; � déterminez les caractéristiques géométriques de la section circulaire ; � Vérifiez les contraintes normales et tangentielles dans la section de bois – Si elles dépassent les contraintes admissibles, vous redimensionnerez la section. Sinon, vous optimiserez la section de bois ;

@ Remarque : on supposera que la contrainte tangentielle est maximale au niveau de la ligne moyenne. On supposera aussi que les coefficients de sécurité sont déjà pris en compte dans les données ;

z

y

z

y

G G

1000

150 tonnes

300

200

[mm]

Position possible

d’application de la charge

G 43r×

×π

5kN/m

3 1,5

A B C

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Exercice n°9 – poutre à section en T – chargement uniformément réparti

q = 10 kN/m ; L = 10 m ; S235 ; coefficient de sécurité γsécurité = 1,5.

- � Une fois l’étude statique effectuée, tracez les diagrammes des sollicitations ; - � A quel état de sollicitation est soumise la partie BC de la poutre ? - � Déterminez la longueur « a » de manière à optimiser les contraintes normales dans la

section ; - � Tracez la répartition des contraintes normales et tangentielles dans la section droite la

plus sollicitée. Vous noterez les valeurs caractéristiques des contraintes, et justifierez tous vos calculs (entre autre la position de la section la plus sollicitée).

- � Vérifiez que les contraintes ne dépassent pas les contraintes admissibles de l’acier ( MPa235=σ MPa152=τ ) en tenant compte du coefficient de sécurité.

Exercice n°10 – plancher supporté par un IPE

On considère un plancher reposant sur une poutre acier IPE. La descente de charges nous donne le schéma suivant (poutre IPE de 6 m de long, appuyée aux deux extrémités) :

On sait que les IPE ont comme caractéristiques mécaniques :

- MPa235=σ ; - MPa152=τ .

Choisissez correctement votre IPE dans le catalogue (en supposant que tous les coefficients de sécurité sont déjà pris en compte dans les données).

20

240

120

10 [mm]

A C

D

a L-2a

B

q

a

250 N/m²

Axe de l’IPE

6m

3m

3m

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