Exercices Stat Inferentielle

8/9/2019 Exercices Stat Inferentielle

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FC ITII : Module de Statistique infrentielle chantillonnage et estimation

PB 1

Une machine fabrique des pices de forme circulaire en srie. A chaque pice tire au hasard on

associe son diamtre exprim en millimtres. On dfinit ainsi une variable alatoireX.

On suppose queXsuit la loi normale de moyenne = 32 et d'cart type = 1

Pour contrler la fabrication, on prlve intervalles rguliers des chantillons de 20 pices.

On appelle X la variable alatoire qui, chaque chantillon de n = 20 pices associe la moyenne des

diamtres de cet chantillon. On assimile ces chantillons des chantillons alatoires prlevs avec

remise.

On suppose que cette variable alatoire X suit alors la loi normale de moyenne = 32 et d'cart

type ' =n

=

20

1.

Dterminer l'intervalle [- h ; + h] tel que la probabilit que X appartienne cet intervallesoit 0,99.

On dterminera, la valeur approche de h, 210 prs.


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PB 2

Une entreprise produit en grande srie des bagues de verrouillage utilises pour la fabrication de

raccords rapides. Ces bagues, en alliages, sont obtenues sur une presse automatique. Plusieurs

outillages sont en service suivant les alliages utiliss et les dimensions obtenir.

On suppose que la variable alatoireXqui, toute bague prleve au hasard dans la fabrication de

l'entreprise, associe son diamtre intrieur exprim en millimtres, suit la loi normale de moyenne

= 24,20 et d'cart type = 0,045.

1 La procdure de contrle est base sur des prlvements intervalles rguliers,

d'chantillons de 20 bagues. La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler

un prlvement de 20 bagues un prlvement alatoire avec remise.

On nomme X la variable alatoire qui tout prlvement de 20 bagues associe la moyenne des

diamtres intrieurs des 20 bagues.

a - Quelle est la loi de probabilit suivie par X ?

Quels sont les paramtres de cette loi ?

b - Dterminer un intervalle [Ls1 , Ls2]centr en = 24,20 et tel que la variable alatoire X

prenne une valeur dans cet intervalle avec la probabilit 0,95.

(Les nombres Ls1et Ls2s'appellent les limites de surveillance).

c - Dterminer un intervalle [Lc1 , Lc2] centr en = 24,20 et tel que la variable alatoire X

prenne une valeur dans cet intervalle avec la probabilit 0,99.

(Les nombres Lc1 et Lc2s'appellent les limites de contrle).

2 La procdure de contrle prvoit qu'aprs chaque prlvement, on mesure les diamtres

intrieurs des 20 bagues obtenues ; on calcule leur moyenne x et

- si x n'appartient pas l'intervalle [Lc1 , Lc2] on procde immdiatement aux rglages,

- si x appartient l'un des intervalles [Lc1 , Ls1] ou [Ls2 , Lc2] on prlve immdiatement un autre

chantillon (procdure d'alerte).

Sur un prlvement de 20 bagues, on obtient les mesures suivantes :

diamtrexi [24,09 ; 24,11] [24,11 ; 24,13] [24,13 ; 24,15] [24,15 ; 24,17] [24,17 ; 24,19]

effectifni 1 2 3 4 3

diamtrexi [24,19 ; 24,21] [24,21 ; 24,33] [24,23 ; 24,25] [24,25 ; 24,27] [24,27 ; 24,29]

effectifni 2 2 1 1 1

Quelle dcision doit-on prendre au vu de ce prlvement ?


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PB 3

Un traceur rouleau dessine, sur chaque plan produit par un cabinet de gomtre, un cartouche

ayant la forme d'un rectangle dont la longueur doit mesurer 10 cm. Pour tester le rglage du traceur,

on prlve un chantillon alatoire de 100 cartouches. On porte les mesures effectues dans le

tableau suivant :

Mesurexi 9,94 9,96 9,98 10 10,02 10,04 10,06

Effectifni 13 17 19 28 16 4 3

1 Donner la moyenne ex et l'cart type e de cet chantillon.

2 Soit X la variable alatoire qui, chaque dessin alatoire de cartouche, associe sa longueur.

Le traceur est rgl pour une moyenne deXqui serait m = 10 cm et un cart type = 0,03 cm.

On note 100X la variable alatoire qui, chaque chantillon alatoire non exhaustif de taille 100,

associe la moyenne des longueurs des 100 cartouches qu'il contient. On admet que 100X suit la

loi normale de moyenne 10 et d'cart type 0,003.

a) Dterminer le rel positif h tel que P(10h 100X 10 + h) = 0,95.

b) On avait convenu que :

si ex appartient l'intervalle [10h , 10 + h] le traceur est bien rgl,

si ex n'appartient pas l'intervalle [10h , 10 + h] on rgle nouveau le traceur.

Au vu du rsultat de la question 1 devra-t-on procder un nouveau rglage du traceur ?


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PB 4

Une machine est charge de conditionner des paquets de farine. On dsigne par M la variable

alatoire qui, chaque paquet prlev au hasard, associe sa masse exprime en grammes ; M suit

une loi normale d'cart type constant, = 30, et dont la moyenne m peut tre modifie.

Un paquet est refus si sa masse est infrieure 955 grammes.

Afin de diminuer le nombre de paquets refuss on dcide de modifier le rglage de la machine.

a) Quelle doit tre la valeur de pour que la probabilit d'accepter un paquet soit gale 0,99

?

b) La machine est rgle de telle sorte que = 1025.

Soit X la variable alatoire qui, tout chantillon alatoire de 20 paquets, associe la moyenne des

masses des 20 paquets. On assimile ces chantillons de 20 paquets des chantillons prlevs avec

remise. Quelle est la loi suivie par la variable alatoire X ?

Dterminer un intervalle centr en tel que la probabilit que X appartienne cet intervalle soit

0,95


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PB 5

Une machine fabrique des pices cylindriques utilises dans le secteur des Travaux Publics. A chaque

pice prleve au hasard dans la production on associe sa longueur, on dfinit ainsi une variable

alatoireX.

Cette variable alatoire X suit la loi normale de moyenne = 30 cm et d'cart type = 0,8 cm

On dsigne par X la variable alatoire qui, chaque chantillon alatoire non exhaustif de 36

pices, associe la moyenne des longueurs des pices de cet chantillon.

1 Quelle est la loi suivie par X?

2 Dterminer le rel h tel que : P(30h X 30 + h) = 0,95.

3 Un magasin reoit une commande de 36 pices fabriques par la mme machine. On mesure les

longueurs de ces 36 pices ; les rsultats sont runis dans le tableau suivant :

longueur [28 ; 28,5[ [28,5 ; 29[ [29 ; 29,5[ [29,5 ; 30[ [30 ; 30,5[ 30,5 ; 31[ [31 ; 31,5[ [31,5 ; 32[

effectif 1 4 6 9 8 5 2 1

En faisant l'hypothse que les valeurs observes sont celles du centre de la classe, calculer la valeur

approche x de la longueur moyenne des pices de cet chantillon.

4 a) Construire un test d'hypothse permettant d'accepter ou de rejeter au seuil de signification

5% l'hypothse selon laquelle la longueur moyenne des pices de la fabrication est bien m1 =

30 cm. On devra :

choisir une hypothse nulle 0H et une hypothse alternative 1H ;

dterminer la rgion critique au seuil de 5 % (en utilisant la question B - 2) ,

noncer la rgle de dcision.

b) Utiliser ce test avec l'chantillon tudi la question B - 3, chantillon que l'on assimile un

chantillon prlev de manire non exhaustive.


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PB 6

On dsigne parXla variable alatoire qui, tout enfant de 10 ans dont le dveloppement physique

est rgulier, pris au hasard dans une population donne, associe sa taille.

La variable alatoireXsuit la loi normale de moyenne 126 cm et d'cart type 4 cm.

On observe une population voisine.

La variable alatoire qui, tout enfant de 10 ans dont le dveloppement physique est rgulier, pris

au hasard dans cette population, associe sa taille suit une loi normale analogue de mme cart type

4 cm, seule la moyenne risque d'tre diffrente.

On prlve au hasard dans cette population voisine un chantillon de 50 enfants (assimil un

chantillon non exhaustif). La taille moyenne observe est 127,4 cm.

Construire un test permettant d'accepter ou de refuser, au risque de 5 %, l'hypothse selon laquelle

la taille des enfants de 10 ans dont le dveloppement physique est rgulier est en moyenne 126 cm

dans cette population.

Utiliser ce test avec l'chantillon de 50 enfants de l'nonc.


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PB 7

Une entreprise fabrique des supports d'auvent utiliss notamment dans la construction de

stades. Ces pices sont ralises en bton.

Soit la variable alatoire Y qui chaque support tir au hasard dans la productionassocie sa charge

de rupture la traction exprime en kg/cm 2 .

A la suite d'une tude statistique on suppose que la variable alatoire Y suit la loi normale de

moyenne 42 kg/cm 2 et d'cart type1,5 kg/cm 2 .

Dans l'objectif d'obtenir des rsultats plus satisfaisants, l'entreprise teste la charge de rupture

de nouveaux supports. Pour cela on dcide de construire un test unilatral au seuil 0,05.

On choisit comme hypothse nulle 0H : = 42 kg/cm2

et comme hypothse alternative 1H : > 42 kg/cm2

Z est la variable alatoire, qui tout chantillon de trente six pices, associe la charge de rupture

moyenne.

On assimile tout tirage de 36 pices un prlvement, au hasard et avec remise.

On donne : sous l'hypothse 0H , Z suit la loi normale de moyenne = 42 kg/cm2

et d'cart type

36

511

, = 0,25.

a) Dterminer le rel positif h tel que P( Z 42 + h) = 0,95.

b) Au seuil = 0,05, dterminer la rgion critique.

c) noncer la rgle de dcision du test.

d) L'entreprise a ralis un chantillon de 36 pices et on a relev une charge moyenne de rupture

de 42,8 kg/cm2

.

Au vu de cet chantillon, au seuil = 0,05 peut on accepter ou refuser l'hypothse 0H ?


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PB 8

Une entreprise d'imprimerie compose les diffrents tomes d'une encyclopdie des sciences et des

techniques. Dans cet exercice tous les chantillons sont assimils des chantillons non exhaustifs.

1. On note X1 la variable alatoire qui, toute page du premier tome choisie au hasard, associe le

nombre de fautes d'impression de la page.

Sur un chantillon alatoire de 48 pages, le nombre de fautes est le suivant :

8 4 6 1 4 6 7 5 3 4 4 9

1 9 1 2 5 1 9 6 4 6 3 2

5 5 3 4 3 6 4 5 3 4 4 1

7 7 4 1 5 3 2 2 1 1 7 3

Calculer la moyenne m1et l'cart type s1 de cet chantillon.

On admet, dans la suite de cet exercice, qu'une estimation ponctuelle de la moyenne 1 de la

variableX1 est 4,17 et qu'une estimation ponctuelle de l'cart type 1 deX1est 2,29.

2. On note X2 la variable alatoire qui, toute page du premier tome choisie au hasard, associe le

nombre de fautes d'impression de la page. Sur un chantillon alatoire de 64 pages de ce

deuxime tome on a obtenu une moyenne la moyenne m2 de 3,31 fautes d'impression et un cart

type s2 de 1,63. En dduire une estimation ponctuelle de la moyenne 2de la variableX2 et une

estimation ponctuelle de l'cart type 2 deX2.

3. On se propose de construire un test d'hypothse pour observer l'volution dans la qualit du

travail d'impression.

a) On note 1X la variable alatoire qui, tout chantillon alatoire de 48 pages du premier tome,

associe le nombre moyen de fautes d'impression de l'chantillon et 2X la variable alatoire

qui, tout chantillon alatoire de 64 pages du deuxime tome, associe le nombre moyen de

fautes d'impression de l'chantillon. Quelles sont les lois de probabilit des variables 1X et

2X ? On ne demande pas les valeurs des paramtres qui sont d'ailleurs inconnus.

b) On note D la variable alatoire telle que D = 1X 2X .

On admet que D suit la loi normale N(12 ,6448

221

2

) .

On prendra pour valeurs de s1 et s2 les valeurs estimes aux questions 1. et 2.

On pose pour hypothse H0 : 1= 2 et pour hypothse H1 : 12 .

Calculer, sous l'hypothse H0, les nombres h et ktels que :

P(h < D < h) = 0,99 et P(k< D < k) = 0,95 .

noncer la rgle de dcision relative ce test successivement lorsque l'on choisit unseuil de signification de 1 % puis de 5 %.

Peut-on conclure au vu des chantillons donns dans les questions 1. et 2. que la diffrence

des moyennes est significative au seuil de risque de 1 % ? au seuil de 5 %


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PB 9

La socit T.D.M. fabrique des appareils en grande srie.

A une date t1, on procde l'analyse de la production. Un chantillon (E1) de 100 profils a donn le

relev statistique suivant :

Hauteur x (mm) [11,6;11,7[ [11,7;11,8[ [11,8;11,9[ [11,9;12[ [12;12,1[ [12,1;12,2[ [12,2;12,3[ [12,3;12,4[

Nbre de pices 1 4 9 38 33 10 3 2

1 a) Grce au tableau prcdent, calculer la moyenne x 1, et l'cart type s1 de l'chantillon (E1).

Pour les calculs on utilisera les centres des intervalles.

b) Donner une estimation ponctuelle m 1 de la moyenne 1 et une estimation ponctuelle s 1 de

l'cart type 1 de la production la date t1.

2 On procde une nouvelle analyse de la production une date t2. Sur un chantillon (E2) de 100

profils, on a obtenu les rsultats suivants :

moyenne de (E2) = 11,96 mm, cart type de (E2) = 0,125 mm.

On se propose ensuite de construire un test d'hypothse pour observer l'volution dans la qualit

de fabrication des profils entre les dates t1 et t2.

a) On note1

X la variable alatoire prenant pour valeur la hauteur moyenne des profils dans

des chantillons alatoires d'effectif 100 prlevs dans la production la date t1.

On note2X la variable alatoire prenant pour valeur la hauteur moyenne des profils dans

des chantillons alatoires d'effectif 100 prlevs dans la production la date t2 .Les chantillons de 100 profils sont assimils des chantillons prlevs avec remise.

Donner une estimation ponctuelle m 2 de la moyenne 2 et une estimation ponctuelle s 2 de

l'cart type 2 de la production la date t2.

b) On note Y la variable alatoire telle que : Y =1

X 2

X .

On admet que Y suit la loi normale N(2 1 ;100

2

2

2

1ss

).

On pose pour hypothse nulle 0H : 1 = 2 et pour hypothse alternative 1H : 12.

Calculer, sous l'hypothse 0H , le nombre h tel que P(- h < Y < h) = 0,95.

Peut-on conclure, au seuil de risque de 5%, que la diffrence des moyennes observes entre

les dates t1et t2est significative ?


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PB 10

Une entreprise fabriquant un certain objet en grande quantit effectue un contrle de sa fabrication

sur un chantillon de 200 objets assimil un chantillon alatoire prlev avec remise. On constate

que 60 objets sont de premire qualit, les autres de qualit courante.

1 Dans la production de lentreprise le poucentage p dobjets de premire qualit est inconnu.

On suppose que la variable alatoire F qui, tout chantillon de taille n = 200 prlev au hasard

et avec remise dans cette production, associe le pourcentage dobjets de premire qualit, suit la

loi normale N(p,n

pp )1( ).

Dterminer un intervalle de confiance de p avec le coefficient de confiance 0,95.

2 En vue damliorer la qualit des objets produits, on procde certaines modifications de la

fabrication. Soitp le nouveau pourcentage dobjets de premire qualit ainsi obtenus. On prlve

un chantillonde 300 objets on observe que 120 sont de premire qualit.

On fait encore lhypothse que la variable alatoire F qui, tout chantillon de taille 300 prlev

au hasard dans la production, associe le pourcentage dobjets de premire qualit, suit la loi

normaleN(p,n

pp )1( ).

a) En supposant que les variables alatoires Fet F sont indpendantes, indiquer quelle loi suit la

variable F - F.

b) Construire un test unilatral permettant de dcider si, au seuil 5% , les modifications apportes

ont amlior significativement le pourcentage dobjets de qualit suprieure.

Utiliser ce test avec les deux chantillons de lnonc.

c) Reprendre le b) avec le seuil 1 %.


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