Electro Stat i Que 1

ELECTROSTATIQUE 1

1. La charge, llectricit 3

1.1. Effet des charges lectriques 4

1.2. Proprits des charges 4

2. Interaction lectrique 5

2.1. Loi de Coulomb 5

2.2. Principe de superposition 8

2.3. Exemples 9

3. Le champ lectrique 10

3.1. Charge ponctuelle 10

3.2. Systme de n charges discrtes 11

3.3. Exemple 12

4. Le potentiel lectrique 13

4.1. Potentiel cr par une charge q 13

4.2. Potentiel cr par un systme de n charges 13

4.3. Relation entre potentiel et champ lectrique 14

4.4. Exemples : 16

5. Energie potentielle dinteraction 17

5.1. Cas d'une source ponctuelle 17

5.2. Energie potentielle d'un systme de charges 18

5.3. Exemple 19

6. Diple lectrostatique 20

6.1. Prambule 20

6.2. Dfinition Erreur ! Signet non dfini.

6.3. Diple molculaire 22

6.4. Moment dipolaire induit 22

6.5. Calcul du potentiel cr par un diple 23

6.6. Exemple : diple dans un champ uniforme. 24

Chap I : Interaction lectrostatique 2003/04

SM1-MIAS1 U.P.F. Tahiti 2

PREAMBULE

L'lectromagntique = une "branche" de la physique :

L'univers = une succession dassemblages

Ces assemblages sont dus des interactions

la plus familire et la plus visuelle

forces de gravitation longue porte (1/r), faible intensit

(dues la masse) toujours attractive

longue porte (1/r), forte intensit

forces lectromagntiques (1040 fois lus que la gravitation)

(dues la charge) attractive ou rpulsive

faible porte (1/r7)

- forces nuclaires 2 types : forte et faible

(dues la couleur) physique nuclaire

les forces lectromagntiques sont responsables de presque

tous les phnomnes qui se produisent notre chelle

L'lectrostatique : interaction entre corps chargs :

- au repos lectrostatique - en mouvement uniforme magntostatique - en mouvement quelconque lectromagntique



1. La charge, llectricit

On ne peut dfinir la charge que :

- par leffet quelle produit

- par ses proprits

Quest-ce quon entend par particule charge ?

- Les particules :

Particules Charge Masse

proton + 1,62 10-19 C 1672 10-30 kg

lectron - 1,62 10-19 C 0,911 10-30 kg

- La matire lectrise (corps charg)

En gnral, la matire est neutre mais elle peut tre lectrise :

- ionisation : le nbre dlectrons est modifi (perte ou gain)

- polarisation : modification de la rpartition des charges

Dfinition :

charge ponctuelle = particule ou corps charg dont les dimensions

sont ngligeables devant la distance d'interaction.



1.1. Effet des charges lectriques

Mise en vidence exprimentale : - 2 types d'effet : attractif - rpulsif

- effet longue porte

- effet 1040 fois plus important que la gravitation

1.2. Proprits des charges

Quantification de la charge : (Millikan 1868 - 1953)

- Au dbut du sicle : lectricit = fluide

- Dcouverte de la structure atomique :

ide de la quantification de la charge

- dcouverte de l'lectron Thomson en 1897

- charge de l'lectron Millikan (e = 1.62 10-19 C)

- charge du proton : exactement l'oppose de celle de l'

Conservation de la charge :

la charge totale dun systme isol est constante

Exemple :

- dsintgration dun neutron : n e + p + neutrino

- matrialisation dun photon : e- + e+

aucun change de

matire avec lextrieur



q2

r 12u

q1

2. Interaction lectrique 2.1. Loi de Coulomb

L'interaction est caractrise par une intensit et une

direction reprsentation vectorielle

Coulomb, grce son pendule de torsion, va quantifier cette

interaction

On considre :

- 2 charges q1 et q2

- 12u

un vecteur unitaire dirig de 1 2

- r la distance qui spare les 2 charges.

12F est la force produite par q1 et qui agit sur q2 :

1 212 12 21. .

q qF K u F

r= =



1 212 12 21. .

q qF K u F

r= =

K > 0

r > 0 c'est le produit q1q2 qui donne le sens de 12F

12u constant

q1q2 > 0 12Fa le mme sens que 12u

q1q2 < 0 12Fa le sens oppos 12u

Units : MKSA

F Newton dfini en mcanique r en mtre dfini en mcanique q en Coulomb dfini partir du courant : q= i.dt

K = 0

1

4pi = 8,9875.109 S.I. 99.10K SI

0 est la permittivit du vide 0 = 8,854 . 10-12

q1 12u

r

12F

q2

q1 12u

r 12F

q2



Finalement : 1 2

12 12

0

.4

q qF u

rpi=

REMARQUES

1 - La loi de Coulomb sapplique 2 charges ponctuelles

2 - La loi de Coulomb sapplique 2 charges ponctuelles

places dans le vide

Un milieu matriel va modifier la valeur de 0 :

Air Vide Eau Verre Silicium

0 79 0 9 0 12 0

EXEMPLE : interaction entre un proton et un lectron

Modle de Bohr (atome d'hydrogne)

proton au repos + lectron anim d'une vitesse v

0

.

4 e

eF N

rpi

=

et vN

r =

or 6

0

1. 2.1 10 /

4e

e

F m v e m sm r

pi

= = =

v

r eF

proton



2.2. Principe de superposition

La force avec laquelle interagissent deux charges nest pas affecte

par la prsence dune troisime charge

1re configuration :

1 221 212

12

. .q q

F K ur

=

2me configuration :

1 231 312

13

. .q q

F K ur

=

3me configuration :

F = F21 + F31

Dune manire plus gnrale : 1ii

F F=

loi de Coulomb et base de llectrostatique principe de superposition

q2 q3

r12

q1

q1

r13

q3 q2

q2

r12

F q1 r13

q3



2.3. Exemples

4.1 Pendule charg angle de dviation l'quilibre?

- angle ?

- force sur A ?

- valeur de q ?

A.N.: m = 0.1g; = 10cm ; d = 1cm ; = 5

4.2 Equilibre des forces

Q/2 Q/2 Q/n

O M A(x=) x

Force sur la boule M ?

Equilibre ?

d

A B

A B



3. Le champ lectrique 3.1. Charge ponctuelle - on considre de nouveau le systme de 2 charges q1, q2

- on exprime 12F l'aide d'un nouveau vecteur :

1 2 112 12 2 12 2

0 0

. . .4 4

q q qF u q u q E

r rpi pi= = =

1E reprsente le champ lectrique cr par la charge q1

112

0

.4

qE u

rpi=

la charge q1 perturbe son environnement...

...le champ 1Ecaractrise cette perturbation

1( )E M

M

q1

Si on place une charge q en M elle subit la force :

( )F qE M=



3.2. Systme de n charges discrtes

ensemble de charges q1, q2, q3, ...,qn

places en des points M1, M2, ...,Mn

Action de ce systme sur une charge q0 place en M (x, y, z) ?

00 0 02 2

1 10 0 0 0

0

1

0

. . .4 4

.

.

i n i ni i

i i

i ii i

i n

i

i

q q qF u F q u

r r

F q E

F q E

pi pi

= =

= =

=

=

= =

=

=

E est le champ lectrique (ou lectrostatique)

du systme de charges q1, q2,...,qn.

021 0 0

( , , ) .4

i ni

i

i i

qE x y z u

rpi

=

=

=

systme de charges q1,...,qn = LA SOURCE du champ lectrique



3.3. Exemple

4 charges q places aux 4 coins d'un carr imaginaire de ct

a.

Champ lectrique en M sur l'axe Ox ?

(axe | au plan du carr et passant par son centre).

A

q

a

D

q

O M

q B ( )E M

x

C AME

q



4. Le potentiel lectrique

On peut caractriser la perturbation du milieu due la

prsence de charges lectriques par une fonction scalaire :

le potentiel lectrostatique V(x,y,z)

4.1. Potentiel cr par une charge q

e potentiel en un point M,

situ la distance r de la charge q est :

0

1( )

4

qV M

rpi=

4.2. Potentiel cr par un systme de n charges

e potentiel en un point M

cr par ensemble de charges q1, q2, q3, ...,qn

places en des points M1, M2, ...,Mn est :

10

1( )

4

ni

i

qV M

rpi=

avec i ir M M=



4.3. Relation entre potentiel et champ lectrique

Champ lectrique variation du potentiel dans l'espace

E gradV=

dfinition

:

Vx

VgradVy

Vz

:

x

y

z

VEx

VE Ey

VEz

=

=

=



Relation "inverse" :

fonction potentiel

Si dans l'espace rgne un champ lectrique ( , , )E x y z

la fonction potentiel en un point M(x,y,z) s'crit :

( ) .V M E d=

o d est le vecteur "dplacement lmentaire" : :

dx

d dy

dz

. . .x y zE d E dx E dy E dz= + +

i

( ) . . .x y zV M E dx E dy E dz= + +

Le calcul de V(M) fera apparatre une constante d'intgration :

le potentiel n'est dfini qu' une constante prs

Diffrence de potentiels

La diffrence de potentiels entre les points P1 et P2 s'crit :

2

1 2 2 11

. ( _ )P

PP P PP

V V E d V V = = =

REM : pas de constante d'intgration



4.4. Exemples : 1. Champ lectrique entre 2 plans chargs On montre que le champ lectrique entre les 2 plans est homogne

Par convention E est dirig du + vers le - :

ici E est donc suivant -Ax: E Ei =

VA VB (>VA) Potentiel en M(x) :

( ) . .V M E d E x K= = +

or V(x = 0) = VA ( ) . AV M E x V= +

Diffrence de potentiels entre les plaques :

. .B B

ABA A

V E d E dx= = .ABV E d=

2. un systme de charges engendre : V(x,y,z) = 3x-y3

6

: 3

0

x

y

z

VE xx

VE E yy

VEz

= =

= =

= =

6 3E xi yj= +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

A M B

x x

d



5. Energie potentielle dinteraction 5.1. Cas d'une source ponctuelle Energie : capacit d'un systme fournir un travail

Travail : produit d'une force par le dplacement qu'elle engendre

On considre - un espace repr par (Oxyz)

- un champ lectrique ( , , )E x y z

- une distribution de potentiels V(x,y,z)

'nergie potentielle d'une charge q place en M(x,y,z) est :

UP = qV(x,y,z)

5.2. Cas d'une source ponctuelle source du champ = charge ponctuelle q1 V1(x,y,z) connue

l'nergie potentielle d'une charge q2 place en M(x,y,z) est :

1 22

0 12

1( ) .

4P

q qU q

rpi=

REMARQUE :

'nergie potentielle de la charge q1 dans le champ cr par q2 :

2 11 2

0 21

1( ) . ( )

4P P

q qU q U q

rpi= =

On choisit dcrire : UP= (q1V2 + q2V1)



5.3. Energie potentielle d'un systme de charges

Quelle nergie faut-il dpenser pour constituer le systme de n

charges ?

1re charge q1 pas d'nergie 2me charge q2 nergie : q2V1 ou q1V2 3me charge q3 nergie : q3(V1+V2) ou V3(q1+q2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - nme charge qn nergie : qn(V1+V2+ ... +Vn-1) ou Vn(q1+q2+...+qn-1)

nergie totale du systme de charges :

0

1 1.

2 4

j

P i

i j i ij

qU q

rpi

=

ou encore 1

2P i i

i

U qV=

Vi = pot. au pt Pi



5.4. Exemple

Chane quasi infinie d'ions rgulirement aligns

Chaque ion a un degr d'ionisation est de 1

a

potentiel en O (sans l'ion) ?

dveloppement de la fonction ln(1+x)=x x/2 + x3/3 -

nergie potentielle de l'ion plac en O ?

nergie totale ?

+ _ _ _ _ _

+ + + + +

x' O x

_



6. Diple lectrostatique

6.1. Prambule

On considre :

- un ensemble de charges qi (+ et -)

- places en des points Ai,

- dans un volume fini,

- au voisinage dun point O,

et 1 point M tel que :

iOM ru=

et OM = r >> OAi = ai

Potentiel V(M) ? :

0

1( ) .

4i

i i

qV M

rpi=

Si 0ii

q = le problme se traite d'une faon particulire : diple lectrique

z

M

ri Ai r

q

O iu

y

x

z

Ai

+q

O

-q y

x



6.2. Moment dipolaire

Si 0ii

q = on remplace le systme de charges par 2 charges en N et P

On considre :

- un systme de 2 charges +q et -q

- a = PN



6.3. Diple molculaire

Molcule forte symtrie :

barycentre des charges + barycentre des charges -

Molcule dans le cas gnral :

les 2 barycentres sont distincts, molcules polaires

sont assimilables des diples de moment dipolaire p

p sexprime alors en debye (D) : 1 D = 1/3 . 10-29 C.m.

Exemple :

Anhydride chlorhydrique Eau

6.4. Moment dipolaire induit Un champ lectrique appliqu une molcule non polaire

moment dipolaire induit

+ + + + + + + + + + +

- - - - - - -- - - - - - - -

p = 1.03 D

p = 1.84 D

H

H C H

H



6.5. Calcul du potentiel cr par un diple

Diple NP potentiel en M ?

- coordonnes polaires

- origine en O milieu de NP

- droite NP = origine des angles

Dfinition du potentiel :

V qPM NM

=

41 1

0pi.

Dans le cas dun diple : OM = r >> a

PM r - (a/2)cos PM r(1 - (a/2r)cos) NM r + (a/2)cos NM r(1 + (a/2r)cos)

Taylor : ( -1) ( -1)( -2)(1+x) = 1 + x + ...2! 3!

+ + si x



6.6. Exemple : diple dans un champ uniforme.

champ lectrostatique uniforme 1 0E E i=

potentiel du plan yOz (x = 0) : V = V0

On place alors en O un diple de moment p pi=

- potentiel V en un point M de coordonnes (r, ) ?

- de quoi se compose lquipotentielle V = V0 ?

- champ lectrostatique total E ?

y

1 0E E i=

V0

p x

z

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