Expo.garch2

Dfinitions et reprsentationsEtude de la stationnarit

Autres proprits

Modles GARCH et volatilit stochastique

Christian Francq

Chapitre 2: Processus GARCH



Autres proprits

Modles linaires (Wold, 1938) et modles ARMA (Box etJenkins, 1970)

Objectif des ARMA : modliser lesprance conditionnelle(linaire).

Modles ARCH (Engle, 1982) et modles GARCH (Bollerslev,1986)

Objectif des GARCH : modliser la variance conditionnelle.



Autres proprits

Plan

1 Dfinitions et reprsentations

2 Etude de la stationnarit

3 Autres proprits



Autres proprits



3 Autres proprits



Autres proprits

GARCH(p,q) semi-fort

DfinitionOn dit que (t) est un processus GARCH(p,q) semi-fort ssi

(i) E(t | u,u < t) = 0, t ZZ ;(ii) Il existe des constantes , i, i = 1, . . . ,q et j, j = 1, . . . ,p tellesque

2t =Var(t | u,u < t) =+q

i=1i

2ti +

pj=1

j2tj, t ZZ.

ARCH : p = 0



Autres proprits

Remarques {E(t | u,u < t) = 0, t ZZ,2t =Var(t | u,u < t) =+

qi=1i

2ti +

pj=1j

2tj.

Pour assurer 2t > 0, on impose souvent > 0, i,j 0.

Si la srie (t) est stationnaire, cest un bruit semi-fort.La prvision optimale est 0 et 2t est la variance conditionnellede lerreur de prvision. Sa forme non constante traduitlhtroscdasticit conditionnelle et permet la "volatilityclustering".Dans le GARCH(1,1) 2t =+2t1 +2t1, est unparamtre de persistance, est un paramtre de ractivit auxchocs, et est un paramtre dchelle.



Autres proprits


qi=1i

2ti +

pj=1j

2tj.

Pour assurer 2t > 0, on impose souvent > 0, i,j 0.Si la srie (t) est stationnaire, cest un bruit semi-fort.

La prvision optimale est 0 et 2t est la variance conditionnellede lerreur de prvision. Sa forme non constante traduitlhtroscdasticit conditionnelle et permet la "volatilityclustering".Dans le GARCH(1,1) 2t =+2t1 +2t1, est unparamtre de persistance, est un paramtre de ractivit auxchocs, et est un paramtre dchelle.



Autres proprits


qi=1i

2ti +

pj=1j

2tj.

Pour assurer 2t > 0, on impose souvent > 0, i,j 0.Si la srie (t) est stationnaire, cest un bruit semi-fort.La prvision optimale est 0 et 2t est la variance conditionnellede lerreur de prvision. Sa forme non constante traduitlhtroscdasticit conditionnelle et permet la "volatilityclustering".

Dans le GARCH(1,1) 2t =+2t1 +2t1, est unparamtre de persistance, est un paramtre de ractivit auxchocs, et est un paramtre dchelle.



Autres proprits


qi=1i

2ti +

pj=1j

2tj.

Pour assurer 2t > 0, on impose souvent > 0, i,j 0.Si la srie (t) est stationnaire, cest un bruit semi-fort.La prvision optimale est 0 et 2t est la variance conditionnellede lerreur de prvision. Sa forme non constante traduitlhtroscdasticit conditionnelle et permet la "volatilityclustering".Dans le GARCH(1,1) 2t =+2t1 +2t1, est unparamtre de persistance, est un paramtre de ractivit auxchocs, et est un paramtre dchelle.



Autres proprits

Reprsentation ARMA sur les carrs

Linnovation de 2t est la variable t = 2t 2t .= Forme ARMA(max(p,q),p) semi-fort :

2t =+r

i=1(i +i)2ti +t

pj=1

jtj, t ZZ.

o r = max(p,q)Lien avec les proprits des sries financires : nonautocorrlation de (t) (quelle que soit la spcification de 2t ),autocorrlation de (2t ) (ici ARMA).

Pb : comment construire de tels modles GARCH? sont-ilstationnaires ? en particulier lhtroscdasticit conditionnelleest-elle compatible avec lhomoscdasticit marginale ?



Autres proprits

GARCH(p,q) (sens fort)

(t) suite de variables i.i.d., Et = 0, E2t = 1.

Dfinition(t) est un processus GARCH(p,q) au sens fort sil vrifie

t =tt

2t =+q

i=1i2ti +

pj=1j

2tj, t Z

> 0 , i 0 (i = 1, . . . ,q) , j 0 (j = 1, . . . ,p).



Autres proprits

Lien avec la reprsentation semi-forte :

Si les esprances conditionnelles existent, si t (u,u < t) on a :

E(t | u,u < t) = 0, Var(t | u,u < t) =2t ,

mais pas dquivalence entre les deux dfinitions.



Autres proprits

Autre reprsentation :

A partir de 2t =2t 2t , avec des conventions videntes on a

2t = +r

i=1i

2ti

2ti +i2ti

= +r

i=1ai(ti)2ti

o r = max(p,q) et ai(z) =iz2 +i, i = 1, . . . ,r.



Autres proprits

Une simulation dun GARCH(1,1) t

1

00

51

0

0 1000 2000 3000 4000

t =tt , t iid St5, 2t = 0.033+0.0902t1 +0.8932t1,t = 1, . . . ,n = 4791



Autres proprits

... qui prsente certaines similarits avec une srie derendements

Re

turn

s

1

00

51

0

0 1000 2000 3000 4000

CAC returns



Autres proprits

Cas GARCH(1,1)Cas GARCH(p,q) gnral


2 Etude de la stationnaritCas GARCH(1,1)Cas GARCH(p,q) gnral

3 Autres proprits



Autres proprits


On cherche les conditions imposer aux paramtres pour quunmodle GARCH admette une solution stationnaire (ici nonexplosive).

Les solutions intressantes sont les solutions non anticipatives (oucausales), i.e. t fonction de t ,t1, . . .



Autres proprits




3 Autres propritsMoments de la loi marginaleAutocorrlations des carrsPrvisions



Autres proprits


GARCH(1,1) : stationnarit strictet =tt

2t =+2t1 +2t1, > 0,, 0

2t = +a(t1)2t1 (a(z) =z2 +)= +a(t1){+a(t2)2t2}

= [

1+N

n=1a(t1) . . .a(tn)

]+a(t1) . . .a(tN1)2tN1

:= ht (N) +a(t1) . . .a(tN1)2tN1.

Soit ht = limN ht(N) [0,+].ht(N) =+a(t1)ht1(N 1) = ht =+a(t1)ht1.



Autres proprits


Le processus limite

ht ={

1+

n=1a(t1) . . .a(tn)

}

est-il valeurs finies ? Critre de Cauchy

[a(t1) . . .a(tn)]1/n = exp[

1

n

ni=1

log{a(ti)}

] e p.s.,

:= E log{2t +} [,+).



Autres proprits


PropositionLe modle GARCH(1,1) a une (unique) solution strictementstationnaire (ergodique et non anticipative) ssi

= E log{2t +} < 0.

[Nelson, 1990]

Cas ARCH(1) (= 0) : 0 < exp{E(log2t )}.Si t N (0,1) : 0 < 3.56.

Remarque : On a

+< 1 < 0 et < 0 < 1.



Autres proprits


Preuve de la propositionSi < 0, daprs le critre de Cauchy et le thorme ergodique,t :=

htt est solution stationnaire (ergodique et causale).

Si > 0, alors 2t =+ p.s. car 2t ht(N) N et ht(N) quand N .Si = 0 alors {Ni=1 loga(ti)}N est une marche alatoire nondgnre (ou alors le rsultat est montr) donclimsupN a(t1) a(tN ) =+ et, daprs le critre deCauchy, ht(N) . Chung-FuchsSoit t =tt une solution strictement stationnaire. On a2t ht = {ht(N)ht}+a(t1) . . .a(tN1)2tN1, N .

Lorsque < 0, le terme de droite tend vers 0 en probabilitquand N , donc le terme de gauche (qui ne dpend pas deN) est nul avec probabilit 1.



Autres proprits


GARCH(1,1) : stationnarit au second ordreSi t est stationnaire au second-ordre et non anticipatif,

E(2t ) = E(2t )E(2t ) = E(2t ) =+ (+)E(2t1)

soit(1)E(2t ) =.

Il faut donc +< 1. On obtient de plus : E(2t ) > 0.Inversement si +< 1 on a < 0. La solution strictementstationnaire vrifie

E(2t ) = E(ht) =[

1++n=1

E{a(t1) . . .a(tn)}]

=[

1++n=1

{Ea(1)}n]=

1 (+) .



Autres proprits


PropritLe modle GARCH(1,1) a une solution stationnaire au second-ordrenon anticipative ssi

+< 1.

Rgions de stationnarit du modle GARCH(1,1) si t N (0,1).1 : Stationnarit au 2nd ordre ; 1 et 2 : Stationnarit stricte ; 3 : Non stationnarit.

0 1 2 3 4

1

3

2



Autres proprits


Modles IGARCH

Si += 1 (et 2t non dgnre) il existe une solutionstrictement stationnaire, mais pas de solution stationnaire ausecond ordre. On dit que lon a un IGARCH(1,1) (par analogie auxARMA intgr racine unit)

2t =+2t1 +ut

out = (2t1 +2t1 2t1) =2t1(2t1 +1)

est centr. Lanalogie avec les ARIMA est trompeuse ...L On ne peut pas utiliser la reprsentation ARMA semi-forte pourobtenir des conditions de stationnarit



Autres proprits







Autres proprits


Modle GARCH(p,q) : stationnarit stricte

Reprsentation vectorielle

zt = bt +Atzt1ozt = (2t , . . . ,2tq+1,2t , . . . ,2tp+1) Rp+q,bt = (2t ,0, . . . ,,0, . . . ,0) Rp+q,

At =

1

2t q2t 12t p2t

Iq1 0 01 q 1 p

0 Ip1 0

.



Autres proprits


Equivalence entre le GARCH univarie et lAR(1) multivari

zt solution de lAR(1) t =

zq+1,tt solution GARCH.

(t) GARCH(p,q) zt = (2t , . . . ,2tp+1) AR(1).donc

(zt) strictement stationnaire (t) strictement stationnaire.(zt) L1 (t) L2.



Autres proprits


Modle GARCH(p,q) : stationnarit stricte

Si on droule le modle

zt = bt +Atzt1on obtient

zt = bt +At{bt1 +At1zt2}

= bt +

k=1AtAt1 . . .Atk+1btk ?

Pb : validit de cette somme infinie.



Autres proprits


Coefficient de Lyapounovpour toute suite de matrices alatoires A = (At), strictementstationnaire et ergodique, telle que E log+ At


Autres proprits


Pour la norme A = |aij|, E log+ At EAt


Autres proprits


CNS de stricte stationnarit pour un GARCH(p,q)PropritLe modle GARCH (p,q) a une (unique) solution strictementstationnaire non anticipative ssi

(A) < 0. Preuve

[Bougerol & Picard, 1992]

(A) ne peut en gnral pas tre calcul explicitement. LeGARCH(1,1) est une exception :

(A) = E log(12t +1) Preuve

(A) < 0 pj=1j < 1. PreuveLe coefficient peut tre estim par simulations.



Autres proprits



(A) < 0. Preuve




(A) < 0 pj=1j < 1. Preuve

Le coefficient peut tre estim par simulations.



Autres proprits



(A) < 0. Preuve




(A) < 0 pj=1j < 1. PreuveLe coefficient peut tre estim par simulations.



Autres proprits


Rgions de stationnarit du modle ARCH(2) : t =

1+12t1 +22t2t , t N (0,1).1 : Stationnarit au second-ordre ;

1 et 2 : Stationnarit stricte ;3 : Non stationnarit

2

3

21

10 1 2 3

0

1

2

3



Autres proprits


Stationnarit au 2nd ordre

PropritLe modle GARCH (p,q) a une solution stationnaire ausecond-ordre non anticipative ssi

qi=1i +

pj=1j < 1. Preuve

La condition quivaut (EAt) < 1. Elle implique la stationnaritstricte :

(A) (EAt) = log(EAt) < 0.Sous cette condition

Var(t) = 1qi=1i pj=1j .

Modle IGARCH :q

i=1i +p

j=1j = 1.



Autres proprits

Moments de la loi marginaleAutocorrlations des carrsPrvisions






Autres proprits


Proprits de la loi marginale :

(t) : solution strictement stationnaire non anticipative.

PropritSi E(2mt )


Autres proprits


Preuve que := {E(Amt )} < 1 implique E(2mt )


Autres proprits


Exemple du GARCH(1,1)

At = (2t , 1)(,) E(Amt ) = E{(2t , 1)m

}(,)m.

Moments dordre 2 : A2t = (4t ,2t ,2t ,1)(2,,,2) a 3 valeurspropres nulles, donc (EA2t ) =Trace=42 +2+2 o 2i = E(2it ).Moments dordre 2m :

E(2mt )


Autres proprits


Rgions dexistence des moments du modle GARCH(1,1).1 : Moment dordre 4

1 et 2 : Moment dordre 23 : Variance infinie.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1

3

2



Autres proprits


Kurtosis :

Distribution conditionnelle :

E(2kt | u,u < t) =2kt E(2kt )

E(4t | u,u < t)

{E(2t | u,u < t)}2= E(

4t )

{E(2t )}2

:= .

Distribution marginale :

:=E(4t )

{E(2t )}2= E[E(

4t | u,u < t)]

{E[E(2t | u,u < t)]}2= E(

4t )

{E(2t )}2 > .

Dans le cas GARCH(1,1), = 1(+)2

1(+)22(41) est une fonction

croissante de 2(41)

1(+)2 .



Autres proprits







Autres proprits


Calcul des autocorrlations et autocovariances de 2t :La fonction dautocovariance peut tre obtenue numriquement, demanire rcursive partir de la reprsentation vectorielle.

Fonction dautocorrlation du carr du modle GARCH(1,1) :t =tt , 2t = 1+0.32t1 +0.552t1, (t )N (0,1).

2 4 6 8 10 12

0.1

0.2

0.3

0.4

Fonction dautocorrlation partielle du mme modle.

2 4 6 8 10 12

0.1

0.2

0.3

0.4



Autres proprits







Autres proprits


Prvisions dun GARCH(p,q) stationnaire au 2nd-ordreLa prvision optimale (au sens L2) de t est 0. Plus gnralement,pour h 0

E(t+h|u,u < t) = E{E(t+h|u,u < t +h)|u,u < t} = 0, t ZZ.

Les prvisions horizon h 0 du carr sobtiennent rcursivement par

E(2t+h|u,u < t) = E(2t+h|u,u < t)

= +q

i=1iE(

2t+hi|u,u < t)+

pj=1

jE(2t+hj|u,u < t),

avec

E(2t+hi|u,u < t) = E(2t+hi|u,u < t), i hE(2t+hi|u,u < t) = 2t+hi, i > h

E(2t+hi|u,u < t) =2t+hi, i h.



Autres proprits


Intervalles de prvision horizon 1, 95%, pour le bruit blanc fort de loi N (0,1).

100 200 300 400 500

-3

-1

1

3

Intervalles de prvision horizon 1, 95%, pour le processus GARCH(1,1) simul avec = 1,= 0.1,= 0.8et (t ) de loi N (0,1).

100 200 300 400 500

-12

-7

-2

3

8

13



Autres proprits


Intervalles de prvision horizon 1, 95%, pour le processus GARCH(1,1) simul avec = 1,= 0.6,= 0.2et (t ) de loi N (0,1).

100 200 300 400 500

-30

-20

-10

0

10

20

30

Intervalles de prvision horizon 1, 95%, pour le processus IGARCH(1,1) simul avec= 1,= 0.7,= 0.3 et (t ) de loi N (0,1).

100 200 300 400 500

-100

-50

0

50



Autres proprits


Cas dun AR(1)-GARCH(1,1) stationnaire

Xt =Xt1 +tt =tt2t =+2t1 +2t1 > 0,, 0,+< 1, || < 1.

E(Xt+h|Xu,u < t) =h+1Xt1,V (Xt+h|Xu,u < t)

= (12(h+1))

{1 (+)}(12) +{2t

1 (+)}2(h+1) (+)(h+1)

2 (+)

si 2 6=+

V (Xt+h|Xu,u < t) =(12(h+1))

(12)2 +{2t

1 (+)}

(h+1)2h

si 2 =+.



Autres proprits


ARMA(1)-GARCH(1,1) non stationnaires

Si || = 1, en initialisant 0 toutes les variables des dates ngativesV (Xt+h|Xu,u < t)

= h{1 (+)} +

{2t

1 (+)}

1 (+)(h+1)1 (+) .

Si += 1 et || < 1,

V (t+h|u,u < t) =h+2t , pour tout h 0.



Autres proprits


Fin du chapitre 2



Autres proprits


Critre de Cauchy

Critre de Cauchy pour la convergence dune suite determe an 0.Soit = limsupa1/nn .

< 1

n=1an 1

n=1

an =+.

Return



Autres proprits


Thorme de Chung-Fuchs

Thorme sur les marches alatoires.Si X1, . . . ,Xn est une suite iid telle que EX1 = 0 et E|X1| > 0, alors p.s.

limsupn

ni=1

Xi =+

et

liminfn

ni=1

Xi =.

Return



Autres proprits


Preuve que < 0 est une CNS de stationnarit stricte

On a vu que < 0 entrane une solution strictementstationnaire zt pour lAR(1) vectoriel, et donc aussi pourlquation GARCH(p,q).On suppose quil existe une solution strictement stationnairezt . On a

z0 = b0+t1k=0

A0 . . .Akbk1+A0 . . .Atzt1 t1k=0

A0 . . .Akbk1,

donc A0 . . .Akbk1 0 p.s. quand k . On peut endduire que A0 . . .Ak 0 p.s. ce qui implique < 0.

Retour



Autres proprits


Calcul du coefficient de Lyapounov dans le casGARCH(1,1)

Pour le modle GARCH (1,1) on a zt = bt +Atzt1 avec

zt =(2t2t

), At =

(2t

2t

)=

(2t1

)(

).

Do

At Atn =(2t1

) ni=1

a(ti)(

)et

1

nlogAt Atn E loga(1) p.s.

Retour



Autres proprits

Moments de la loi marginaleAutocorrlations des carrsPrvisionsp

j=1j < 1 est ncessaire pour la stricte stationnarit

At =

1

2t q2t 12t p2t

Iq1 0 01 q 1 p

0 Ip1 0

, B = ( 1 pIp1 0)

.

On a donc (A) (B) = (B) et

det(BIp) = (1)p(p p

j=1j

pj) = (1)ppB(1/),

avec B(z) = 1pj=1jzj. Il suffit alors de montrer que{B(z) = 0 |z| > 1}

pj=1

j < 1.



Autres proprits


La stricte stationnarit ncessitep

j=1j < 1 (suite)Il suffit alors de montrer que{

B(z) := 1p

j=1jz

j = 0 |z| > 1}

p

j=1j < 1.

On suppose que pj=1j 1 et on montre que B(z0) = 0 pourun |z0| 1. On a B(0) = 1 et B(1) = 1pj=1j 0. Parcontinuit il existe donc une racine dans (0,1].

Si pj=1j < 1 et B(z0) = 0 avec |z0| 1 alors1 =

pj=1jzj0 pj=1j

zj0 pj=1

j

ce qui est impossible.Retour



Autres proprits


Preuve quei +i < 1 est une CNS de stationnarit au

second ordreSi E2t 0.On suppose

i +i < 1. Il suffit de montrer que

zt = bt +

k=0At . . .Atkbtk1 L1.

Daprs la rgle de Cauchy, ceci est vrai si

limk

EAt . . .Atk1/k = limk

Ak1/k = (A) < 1,

o A = EAt .Modles GARCH et volatilit stochastique


Autres proprits


i +i < 1 CNS de stationnarit faible (suite)

On a

A =

1 q 1 p

Iq1 0 01 q 1 p

0 Ip1 0

et on montre par rcurrence que

(A) < 1 i +i < 1.Retour


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Autres propritsMoments de la loi marginaleAutocorrlations des carrsPrvisions

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