Extensions centrales de groupes algébriques simplement connexes et cohomologie galoisienne

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES SIMPLEMENT CONNEXES ET COHOMOLOGIE GALOISIENNE

par P. DELIGNE

In t roduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Terminologie et notat ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1. Espaces classifiants s impl ic iaux et leur cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. La construction pr incipale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Groupes semi-sirnples simplernent connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4. Calculs de commuta teurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Corps locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6. Corps g lobaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7. Quest ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Bibl iographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

O. Introduction

Soit G u n groupe algtbrique lin6aire absolument simple simplement connexe sur un corps F. Si G est dtploy6 et F infini, le groupe G(F) des points rationnels de G est 6gal ~t son groupe des commutateurs (l 'analogue alg6brique de ~ connexe >>) et admet donc une extension centrale universelle

(o.~) 0 -~ = l ( o ( r ) ) -~ o ( r ) - ~ o ( F ) -~ 0.

Matsumoto (1969) ddtermine le noyau zq(G(F)) par gdndrateurs et relations. Pour G de type autre que C, (n t> 1), c'est le quotient K2(F ) de F*| F* par le sous- groupe engendr6 par les x @ (1 -- x) pour x 4:1 dans F*. Pour G de type C, , c'est un groupe L dont K~(F) est quotient. Voir 3 .8 pour plus de d&ails.

Une application

( , ):F* X F*-~A

bimultiplicative : (xy, z) = (x, z) + (yz) et (x, yz) = (x,y) + (x, z), et v&ifiant

C0.9.) (x, 1 - x) = 0

(un symbole) d6finit donc une extension centrale de G(F) par A.

36 P. D E L I G N E

Soient F une cl6ture s6parable de F, n un entier inversible dans F, Z/n(1) le groupe des racines n-i6mes de l'unit6 de F, Z/n(k) sa puissance tensorielle k-i6me sur Z/n et

0, : F* -+ Ha(Gal(F/F), Z/n(1)) le cobord de Kummer (0 .N.3) . On salt (Tate (1976)) que le cup-produit des cobords de Kummer

(o . s ) ( , ) . : F* • F* --> H2(Gal(F/F), Z/n(2)) : x ,y v-. O. x .--. O.y

est un symbole (symbole galoisien). Nous donnons dans le pr6sent article une interpr6- tafion (3.5 et 3.7) de l'extension centrale correspondante en termes de cohomologie 6tale, la construction reposant finalement sur le fait que pour K un groupe de Lie compact presque simple simplement connexe, on a (voir 1.7)

(0 .4) H*(BK, Z) = Z.

Notre construction 3.5 n'exige pas que G soit ddploy6. Pour G absolument simple simplement connexe sur F, elle fournit une extension centrale

(0.5) 0 ~ H*(Gal(F/F), Z/n(2)) --,,- G(F)~ --~ G(F) --~ O.

Nous n'affirmons pas que cette extension centrale soit universelle parmi les extensions centrales de noyau annul6 par n, ni qu'elle soit non triviale. En falt, pour F = R et G(R) compact, l 'espace topologique G(R) est connexe et simplement connexe et l'extension centrale (0.5), 6tant topologique (2.9), est triviale.

La vertu de l'extension centrale (0.5) est d'~tre canonique : d6finie k isomorphisme unique pr6s. Elle est fonctorielle en F, et sa fonctorialit6 en G est contr616e par celle de (0.4). Voir 3 .9 (ii). Pour tout sous-groupe unipotent U de G, cUe est canoniquement trivialis6e sur U(F) (2.11). Pour T u n tore dans G, le commutateur

(tl, t~) :----- t 1 t 2 t 1 ts --1 ~ H2(Gal(F/F), Z/n(2))

de rel6vements ~ et ~ dans G(F)~ de tl, t 2 ~ T(F) est ddcrit en termes de cohomologie galoisienne (3 .5 .3) . Si T "a est l ' image de T dans le groupe adjoint G "~, l 'action de Gad(F)

sur G fournit par transport de structures une action de G~(F) sur l'extension (0.5).

Pour t 1 ~ T"a(F) et t2 ~ T(F), le << commutateur >>

N - - 1 (tl, t~) :----- t l (~) tz ~ H2(Gal(F/F), Z/n(2))

admet une description analogue (4.9). Si F est un corps local et que n est assez divisible, l'extension (0.5) est inddpendante

de n (5.2). C'est une extension centrale

(0.6) o --> G(F)" --> O(F) 0

de G(F) par le groupe ~(F) des racines de l'unit6 dans F si F est non complexe (5.4 .1) , par le groupe trivial pour F complexe. Si F est non archim6dien, d 'anneau de valua-

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQUES 37

tion O, que G a ~, bonne r~duction >> et que ~t(F) est d 'ordre premier ~ la caractdristique r~siduelle, on dispose d 'un scindage

(0 .7) " : G(O) -~ G(F) -

de (0.6) au-dessus du sous-groupe compact maximal hypersp6cial G(O). Voir 5.12. Si F est un corps global, de compldtds les corps locaux F, , le produit restreint

des G(F,) ~ de (0.6) (produit restreint relativement aux G(O~) ~ de (0.7), qui sont ddfinis pour presque toute place v) est une extension centrale du groupe addlique G(/k) par la somme sur les places non complexes des ~t(F,). Poussons-la par

(0 .8) O ~(F~) -+ ~(F) : (x~) ~ I Ix~ ~`F~'I/I~''F'I

(presque tousles facteurs ~gaux ~ 1, et ~t(F) identifid ~t un sous-groupe de ~t(F,) pour F, non complexe). On obtient une extension centrale G(A)~ de G(A) par ~t(F) et la fonctorialitd de (0.5) en le corps de base montre (voir 6.4) qu'elle est canoniquement trivialis6e sur G(F) :

G(F)

(0 .9) ~(F) > G(A)" > G(A).

La fonctorialit~ de (0.6) et (0.9) en O est contr61~e par eelle de (0.4). La fonctorialit~ en F est celle de ridentification de ~(F) ~ un groupe de cohomologie galoisienne. Voir (5.5).

D'apr~s Merkurjev-Suslin (1982), le groupe H~(Gal(F/F), Z/n(2)) est le quotient K,(F) /nK,(F) de K~(F). Sous l 'hypoth~se que la vari~t~ de groupe G soit rationnelle sur F, j 'ai montrd darts un s6minaire ~t Bures (1977-1978, non publid) comment construire une extension de G(F) par K2(F) g6n~ralisant celle construite par Matsumoto pour G dfiployfi. Plus r~cemment, J. L. Brylinsld a montr~ que l 'hypoth~se de rationalit~ est inutile. I1 m 'a n~anmoins sembl6 utile de publier le present article, qui met en ~vidence le caract~re g~om~trique, bas~ sur (0.4), des extensions centrales consid~r~es et de leur fonctorialitfi, et qui suffit pour l 'application ari thm~tique (0.9).

Passons en revue les sections de l'article.

Au w 1, nous rappelons comment interprdter, en g~om~trie algdbrique, la notion homotopique d'espace classifiant, et comment transf~rer, en cohomologie fitale, le r6sultat classique (0.4).

Au w 2, nous expliquons la relation entre espaces classificants et extensions centrales. L'id6e de base est la suivante. Soit G ~ le schema en groupes sur Spec(F) somme de copies de Spec(F) index6es par G(F). Pour une interpr6tation des classifiants eomme topos, on dispose de morphismes

BG(F) ~ BG ~ ~ BG

38 P. DELIGNE

et | a pour fibre Spec(F). Une classe de cohomologie e de BG h coefficients dans Z/n(2) fournit, par image inverse par @, une classe d'hypercohomologie e 8 de BG(F), ~t coefficients dans un complexe calculant la cohomologie galoisienne H'(Gal(F/F), Z/n(2)). Cette hypercohomologie est l 'aboutissement d 'une suite spectrale

E~ ~ = H~(BG(F), Ha(Gal(F/F), Z/n(2))),

off H*(BG(F), ) est la cohomologie du groupe G(F) ~t coefficients dans un G(F)-module trivial. On se ddbarrasse des E ~ en considdrant plut6t une cohomologie relative H : G modulo le groupe trivial. La classe e n a alors une image dans

E~ '8 = H~(BG(F), HS(Gal(F/F), Z/n(2)))

= Hom(G(F) , HS(Gal(P/F), Z/n(2))).

Une application de Merkurjev-Suslin (1982) montre que cette image est nulle. Voir 1.11. La classe e 8 a alors une image dans

E~ '~ = H~(BG(F), H2(Gal(?/F), Z/n(2))),

le groupe des classes d'isomorphie &extensions centrales de G(F) par H2(Gal(F/F), Z/n(2)). Dans le texte, nous travaillons plus pros du niveau des cocycles. Sous l'hypoth~se

que HS(BG, Z/n(2)) = 0, ceci nous permet de construire une extension centrale (0.5) canonique. Par ailleurs, nous travaillons autant que possible sur un schdma de base S et utilisons le langage de la cohomologie &ale plut6t que celui de la cohomologie galoisienne. Sur une base S, ce que l 'on obtient est une extension centrale par Hg(S, Z]n(2)) du noyau d 'un homomorphJsme de G(S) dans Hs(S, Z/n(2)).

Les w 3 et 4 appliquent les rdsultats du w 2 au cas des groupes semi-simples simplement connexes et explicitent la fonctorialit6 et certains commutateurs.

Le w 5 traite des corps locaux : identification de H~(Gal(~'/F), Z/n(2)) ~t ~(F) pour n assez divisible, fonctorialitd en F de cette identification et scindage sur G(O,) dans le cas de bonne r6duction.

Le w 6 traite des corps globaux : construction de (0.9). Le w 7 conjecture comment la th6orie devrait se gdn6raliser au cas des groupes

r6ductifs connexe. On pose aussi une question sur K2, suggdr& par les calculs de commutateurs.

O.N. T e r m i n o l o g i e et nota t ions

(0 .N. 1) Saul mention expresse du contraire, par faisceau sur un sch6ma S nous entendrons toujours faisceau sur le site &ale Sot de S et localement signifie localement

pour la topologie &ale.

( 0 .N .2 ) Par (G~,)s ou simplement G,,, on entend le schema en groupes multi- plicatifs sur S, ou, selon le contexte, le faisceau ~ de ses sections locales.

EXTENSIONS CENTR.ALES DE GROUPES ALGI~,BRIQUES 39

(0 .N .3 ) Pour n u n entier inversible sur S, on note Z/n(1) le faisceau des racines

n-iSmes de l'unitd. La suite exacte de Kummer zn

o ~ Z / n ( 1 ) - + G ~ - ~ G~-~ 0

ddfinit le cobord de Kummer

0 : r(S, d~) --+ HI (S , Z/n(l)).

Pour n Ira, la rgduction modulo n, Z / m ( 1 ) ~ Z/n(1) est x ~-*x *j". Le cobord de

Kummer est compatible k la rdduction modulo n. Le faisceau Z/n(1) est un faisceau de Z/n-modules localement libres de rang un.

On note Z/n(k) sa puissance tensorielle k-i~me (k ~ Z). Pour #" un faisceau abdlien

de n-torsion, on note o*-(k) son produit tensoriel avec Z/n(k) (twist ~ la Tate).

(0 .N .4 ) Un schfima en groupes G sur S sera dit rgductif, semi-simple, simple, simplement connexe, un tore s'il est lisse et affine sur S e t que ses fibres gfiomfitriques ont la

proprifitd dire. Selon la terminologie de SGA3, t. 3, XIX, r4ductif suppose connexe. D'apr~s SGA3, les thfior&mes de structure familiers pour S spectre d 'un corps algdbri-

quement dos restent valables localement pour la topologie dtale sur un schdma de base S. Noter que pour S spectre d 'un corps F, notre terminologie simple correspond

ce qu'il est d'usage d'appeler << groupe algdbrique linfiaire absolument (presque)

simple sur F ~>.

(0.N.5) Un torseur cst un cspace principal homogSnc ~ droite.

(0. IN. 6) Si E cst unc extension ccntralc d'un groupc r, l'application commutatcur :

g,h~--~ghg-lh -I dc E • E dans E sc factorise par une application (g,h), encore

appelde commutateur, de r • 1P dans E.

(0 .N.7) Nous avons tentd d'utiliser systdmatiquement les notations suivantes :

S un schdma

a la projection sur S d 'un schdma sur S un faisceau abdlien sur S. On note encore ~ son image inverse sur un schdma sur S

n un entier inversible sur S A un faisceau abdlien de torsion annul6 par n sur S. On note encore A son image

inverse sur un schdma sur S G, H schdmas en groupes sur S, le plus souvent semi-simples simplement connexes

T un tore sur S. Localement sur S, il est isomorphe ~ G~, pour N convenable. On pose X = ~ O m s ( T , Gm) et Y =3~Oms(G,, ,T ). Ce sont des faisceaux localement isomorphes ~ Z ~ et duaux l 'un de l 'autre pour l 'accouplement x oy

valeurs dans Jt%m s(Gm, Gin) = Z.

Pour T u n sous-schdma en tores maximaux de G, supposd semi-simple, W e s t le

groupe de Weyl (un faisceau ell groupes sur S).

40 P. D E L I G N E

1. Espaces classifiants simpliciaux et leur cohomologie

1.1. L'espace classifiant BG d 'un groupe de Lie G est d~fini classiquement comme ~tant la base d 'un G-torseur (0. N. 5) EG qui soit contractile. I1 est d~fini ~ ~quivalence d'homotopie pr~s. Si K est un sous-groupe compact maximal de G, l'inclusion de K dans G est une dquivalence d'homotopie, EG est un K-torseur sur EG/K, qui est donc une version de BK et BK -+ BG est une ~quivalence d'homotopie. Il est d'usage, chez les topologues, de consid~rer BK de prdf~rence ~ BG.

D'apr~s Milnor (1956) et Segal (1968), une version de BG est la r~alisation g~o- mdtrique de l'espace topologique simplicial suivant :

(1.1.1) A. ~ GA"/G.

Dans (1.1.1), on a not~ A, l 'ensemble totalement ordonn~ { 0, 1, . . . , n } et l 'on regarde un objet simplicial comme un foncteur contravariant sur la catdgorie des A,. L'action

droite par laquelle on divise est l 'action diagonale par translations k droite. Le fibr~ EG est la r~alisation g~om~trique de A ~-~ Ga~.

Pour les applications ~ la g~omdtrie alg~brique, il est commode d'omettre toute mention des r~alisations gdom~triques et de d~finir le classifiant (simplicial) B. G (ou simplement BG) comme dtant l'espace topologique simplicial (1.1.1). La cohomologie de la r~alisation g~om~trique d 'un espace topologique simplicial X. peut se d~finir directement, sans passer par l 'interm~diaire de la r~alisation g~omdtrique. Voici deux d~finitions possibles. Leur ~quivalence est prouv~e dans Deligne (1974), 5.2 ou SGA4 (t. 2), V bis, 2.3.5, 2~3.8. La seconde d~finition, plus calculatoire que la premiere, est celle qui nous servira.

(A) Unfaisceau ~ sur X. est un systbme de faisceaux ~-, sur les X , et de morphismes ~'(q~) : X(q~)* o~- -+ o~',~ pour q0 : A, -+ A,~, avec o~(~bq~) = o~'(t~) o o~-(9 ) (de faqon plus pddante o~'(~q~) = o~(t~) o X(@* (o~(qg))). Les faisceaux d'ensembles sur X. forment un topos et l 'on prend la cohomologie de ce topos.

(B) Soit o~" un faisceau abNien sur X. . Soit ~ * une rdsolution de ce faisceau, avec chaque ~ - : acyclique sur X , : HI(X,, o~-:) = 0 pour i > 0. Par exemple : prendre pour o~-* la rdsolution flasque canonique (Godement (1958), II, 4.3) de o~', sur X , ; elle est fonctorielle en (X, , ~-,). Le systSme des F (X. , ~- : ) est cosimplicial en n e t diffdrentiel gradu6 en m. I1 fournit un complexe double. La cohomologie de ~- est celle du complexe simple associ~ :

(1.1.2) H'(X., 5 ) := H'(sr(X ,

Pour ident i fer la composante de degr~ k de sr(x., 5:) ~ la somme des F(X, , ~ ' : ) pour n 4-m = k, on regarde n comme premiere variable et rn comme seconde. Si d'


est la diff6rentielle simpliciale et d" la diff6rentielle de ~'*, la diff~rentielle de sF(X,,, oqz', ~) est alors d' + (-- 1)" d". La f l t rat ion par n fournit une suite spectrale

( 1 . 1 . 3 ) E~" ~- Hq(X, , ~' , ) ~ H" + ' ( X . , ~-).

La diff~rentielle dl de cette suite spectrale est la diff6rentielle simpliciale Z ( - - 1) ~ 0~. Prenons pour ~ le faisceau constant A. La cohomologie obtenue est alors celle de la r6alisation g6om~trique de X, ~ coefficients dans A, et la suite spectrale (1.1.3) est donnde par la filtration par les squelettes successifs.

1.2. Pour vdrifier que la cohomologie du classifiant simplicial B. G coincide avec celle de l'espace classifiant BG, il n'est pas n6cessaire de passer par la r6alisation g6o- m6trique, comme sugg6r6 par 1.1.

Soit en effet (EG/BG) a. la puissance fibr6e (n + 1)-i~me de EG sur BG. I1 r~sulte de l'existence de sections locales de EG ~ BG que l'espace simplicial (EG/BG) ~. a m~me cohomologie que BG (SGA4 (t. 2), V bis (3.3.2) et (4.1.9)) .

Soit (EG), la fibre de EG en x ~ BG. Pour q e (EG)~, g ~ qg est un isomorphisme G --% (EG)| Notons p ~ q - l p son inverse. L'application

(EG)~, ---> Ga./G : (p,) ~ (p~-~ q)

est ind6pendante du choix de q. Elle fournit un morphisme d'espaces topologiques simpliciaux

(EG/BG) A. --+ (Ga./G) = B. G.

En chaque degrd n, ce morphisme est isomorphe ~t pr2 : EG • G" -+ G", donc est une 6quivalence d'homotopie. Par (1.1.3), il induit un isomorphisme en cohomologie : on a

(1 .2 .1) H*(BG) -% H*((EG/BG) a.) ~ H*(B. G).

1.3. Si l'on identifie Ga./G h G" par

( 1 . 8 . 1 ) (go, - - . , g,) ---> (go g~- 1, gl g~-l, - . . , g , _ l g~- 1),

les fl6ches simpliciales sont donndes par des formules famili6res en cohomologie des groupes. Ainsi

(1 .3 .2) 00, 01, 03 : G 2 ~ G sont (g, h) ~ h, gh, g,

et so, sl : G -+ G 2 sont g ~-* (e, g), (g, e).

1.4. La construction 1.1 s'applique aussi bien pour ddfinir la cohomologie 6tale d 'un schdma simplicial : d a n s 1.1 (A) ou (B), remplacer (( faisceau ~) par << faisceau pour la topologie 6tale ~.

Le cas qui nous intdresse est celui de l'espace classifiant simplicial BG d 'un sch6ma en groupes G sur un sch6ma S, de composantes les Ga,/G. On identifiera par (1.3.1) Ga,/G ~t la puissance fibrde n-i~me G" de G sur S.

42 P. D E L I G N E

Pour X. un sch6ma simplicial sur C, avec X , de type fini sur C, et A un groupe ab~lien de torsion, la suite spectrale 1.1.3 et le th6or~me de comparaison SGA4 (t. 3), XVI , 4.1, appliqu6 aux X , montrent que la cohomologie 6tale H*(X., A) coincide avec la cohomologie H*(X.(C), A) de l'espace topologique simplicial X.(C).

En particulier, pour G u n groupe alg6brique sur C, et pour K un sous-groupe compact maximal du groupe de Lie G(C), la cohomologie 6tale H*(B. G, A) coincide avec son analogue topologique :

(1.+.t) H'(B. G, A) ----- H*(B. G(C), A) = H*(BG(C), A) = H*(BK, A).

t .5. Nous aurons besoin de l'analogue, pour G u n sch6ma en groupes r6ductif sur un schdma S, de r6sultats classiques sur la cohomologie de groupes de Lie et de leurs e.spaces classifiants. Pour S = Spec(C), ils se d6duisent des rdsultats classiques h l 'aide du thdor6me de comparaison. En g6n6ral, localement pour la topologie 6tale sur S, G est l ' image inverse d 'un sch6ma en groupes rdductif d6ploy6 sur Spec(Z), et on se ramSnera au cas de S = Spec(C) ~t l 'aide du

Rappel 1 . 5 . 1 . - - Soient S un schgma, n u n entier inversible sur S, a : G -~ S u n schgma

en groupes r~ductif sur S e t A un faisceau abglien de torsion sur S, annulg par n. On note encore A

l'image inverse de A sur un S-scMma. Alors

(i) La formation des faisceaux R + a, A sur S est compatible ~ tout changement de base

S' -+S. (ii) Si A est localement constant sur S, les R + a, A sont localement constants.

Preuve. - - La question est locale pour la topologie 6tale sur S. On peut donc supposer, et on suppose, que G admet un sous-schdma en groupes de Borel B, de radical unipotent U, et que le tore T = B/U e.st ddploy6. On choisit un isomorphisme T --% G~.

Factorlsons a en

GLG/U +" S.

En tant que schdma sur G/U, G est localement sur G/U isomorphe ~t l'espace affine type de dimension M pour M convenable. On a donc Rb. A ~ A (SGA4 (t. 3), XV, 2.2) et il en r~sulte que Ra, A : Re. A. Le quotient G/U est un T-torseur sur G/B. La compactification T-~quivariante de T : G~ par p~r fournit une compactification de G/U en un S-sch~ma G / U - , propre et lisse sur G/B, dans lequel G/U est le compl~- ment d 'un diviseur ~t croisements normaux relatifs. I1 ne reste qu'~t appliquer SGA4�89 App. ~t Th. finitude, (1.3.1) + (1.3.3) (ii), pour (i), et 2 .4 + SGA4 (t. 3), IX, 2.11,

pour (ii).

Remarque. - - La formule de changement de coefficients

L (1 .5 .2 ) Ra, A = Ra, Z/n | A


L off | est un produit tensoriel d6rivd, ram6ne le calcul de Ra, A au cas oh A est le faisceau constant Z/n. Pour prouver (1.5.2), on se ram~ne par 1.5.1 (i) au cas oh S est le spectre d 'un corps algdbriquement clos, justifiable de SGA4, X V I I (5.2.11.1) .

La d~finition 1.1 de la cohomologie d 'un espace (ou sch6ma) simplicial a un analogue relatif, pour X. augment6 vers S : a : X. ~ S. On d6finit Ra, en rempla~ant F(Xn, ) dans 1.1 (B) par le foncteur d'image directe de X. ~ S.

Pour f : Y -+ Z un morphisme (resp. f : Y. ---> Z un espace simplicial augment6), nous 6crirons souvent Rf,(Y, ) (resp. Rf,(Y., )) pour Rf, . Cette notation permet de lever des ambiguitds, et met en 6vidence l'analogie avec H*(Y, ). Soit a : X . ~ S u n espace simplicial augment6 vers S et dcrivons simplement a pour a. : X . --> S. Comme en 1.1.3, pour ~- un faisceau sur X. , on a une suite spectrale

(1 .5 .a ) El , = R, R , + , a . ( x . ,

Elle permet de ddduire de (1.5.1) son

Corollaire 1.5 .4 . - - Les conclusions (i), (ii) de 1.5.1 valent, sous les ragmes hypothkses, pour Ra,(BG, A).

1.6. Rappels. - - D a n s cette section et les deux suivantes, nous rappellerons les r~sultats classiques dont nous aurons besoin sur la cohomologie des groupes r~ductifs complexes et de leurs classifiants.

Pour le groupe multiplicatif Gin, G , , ( C ) = C*, de sous-groupe compact maximal U x, a l e type d'homotopie d 'un cercle : cohomologie enti6re Z en degrd 0 et 1. Un mod61e du classifiant est l'espace projectif complexe de dimension infinie : cohomologie enti6re Z[x] avec x de degr~ 2.

Pr~cisons, darts le langage qui nous sera utile, notre choix d 'un gdndrateur de HI(C *, Z). La suite exacte exponentielle

0 ~ Z 2,~,~ C , exp C* -+ 0

fait de C un Z-torseur (0. N. 5) sur C*. Sa classe de cohomologie est notre g~n6rateur pr~f~r~ :

(1 .6 .1 ) H'(C', Z) = Z.

Si l'on travaille sur une cl6ture alg~brique G de R, sans choix privil~gid de i = ~ ~ , il faut remplacer la suite exacte exponentieUe par

0 -+ Z(1) -->G -->C* -+0

avec Z(1) = 2zdZ et (1.6.1) devient

(1 .6 .2) Hi(C *, Z(1)) = Z,

pr~figurant les twist ~ la Tate qui apparaJtront en gdomdtrie algdbrique.

44 P. D E L I G N E

On passe du cas de G~ ~t celui d 'un tore T, isomorphe h G~ pour N convenable, par la formule de Kiinneth. Soient X : = Hom(T, G,~) le groupe des caractbres de T et Y : = Hom(G,,, T). Les groupes X et Y sont isomorphes ~t Z s e t en dualitY, la dualit6 6tant donn6e par

(1.6.3) x oy : X | Y ~ Hom(Gm, G,,) = Z.

L'application x ~ x*(1) de X dans H I ( T ( C ) , Z) est un isomorphisme, et

(1.6.+) H*(T(C), Z) =/~X

fonctoriellement en T. La cohomologie du classifiant est l'alg$bre sym&rique

(1 .6 .5) H*(BT(C), Z) = Sym*(X)

avec X en degr6 2 (signe pr~cisd ci-dessous). En particulier,

(1 .6 .6) H4(BT(C), Z) = Sym2(X) = { formes quadratiques enti~res sur Y }.

Le sch6ma simplicial BT a pour composantes les Ta,]T. Par (1.6.4), la suite spectrale (1.1.3) pour BT(C) a pour terme E 1

q

(1 .6 .7) E~ '~ = Hq(T~p/T, Z) = A K e r ( Z : X~p -+ X).

Dans la suite exacte de groupes cosimpliciaux

0 -+El ''1 -+Xap - + X ~ 0 ,

le groupe cosimplicial constant X a une cohomologie r6duite ~t X en degr6 0. Le complexe des cochalnes non d6gdn6r6es, noyau des op6rateurs de ddgdn6rescence, du groupe cosimplicial Xap est r6duit ~t X en degr6s 0 et 1, la diff6rentielle 00 -- 01 &ant l'identit& Le groupe cosimplicial X% est donc acyclique et par la suite exacte longue de cohomologie, le seul groupe de cohomologie non nul de E~ 1 est X en degrd 1. Par passage aux puissances extdrieures (Illusie (1971), I, 4 .3 .2 .1 , dualis6), le seul groupe de cohomologie non nul de E1 'q est Symr en degrd q :

( 1 . 6 . 8 ) E~; '+ = Er = { 0 si p , q Sym ~ X s i p = q .

Dans la description 1.3 de BT : (BT), ----- T ", on a

q

( 1 . 6 . 9 ) E~ ~ = A X ~

et (1.6.9) pour p ----- q = 1 est notre choix de signe pour d~finir l'isomorphisme

(1 .6 .10) H2(BT(C), Z) = E~ = E~ 1 = X.

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BRIQ,UES 45

Les isomorphismes (1 .6 .4) et (1 .6 .7) sont ensuite ddfinis par la structure d'alg~bre de la cohomologie, resp. la structure mulfiplicative de la suite spectrale 1.1.3. Cette structure multiplicative pour x' e Hr et x" e Hr est

�9 = ( - 1 ) , ' , "

avec q~ : Av, ~ A , + v,, et d? : Av,, ~ A~, + v,, donn~s par (0, . . . , p') et (p', . . . , p ' + p") .

1.7. Soient G un groupe alg~brique simple simplement connexe sur C, G(C) le groupe de Lie de ses points complexes et BG(C) son classifiant. Pour suivre la notation usueUe en topologie, nous consid~rons aussi un sous-groupe compact maximal K de G,

de m~me type d'homotopie. On a

(A) rc~(K)= 0 pour i~< 2 (Cartan (1936)).

D'apr~s Hurewitz, on a donc en homologie r6duite H~(K, Z) = 0 pour i~< 2. En cohomologie : H (K, A) = 0 pour i ~< 2 et tout groupe ab61ien A.

La suite spectrale (1.1.3) pour le classifiant simplicial BK s'6crit par 1.3

(1 .7 .1 ) El'" = H"(K' , A) => H ' + " ( B K , A).

Pour q = 0, El' ~ = A e t d 1 est alternafivement 0 et l'identitd : E ~ o = H0(BK, A) = A et E~ '~ = 0 pour p > 0. Pour q = 1, 2, on a El'" = 0. En cohomologie rdduite, on a

donc

(1 .7 .2 ) H~(BK, A) = 0 pour i~< 3.

Pour q = 3, le merphisme dl de E 1'3 dans E 2,s est nul : pour ~t la loi de groupe

K x K - + K , c'est

pr~ -- a* -t- prl : HS(K, A) --> HS(K • K, A),

les morphismes inj~ (i = 1, 2) : k ~ (k, e) et k ~ (e, k) induisent un isomorphisme

HS(K • K, A) ~ HS(K, A) • HS(K, A),

�9 "* r * ~* et les mji(p ~ - + pr~) sont trivialement nuls. La suite spectrale (1.7.1) fournit donc un isomorphisme

(1.7.3) H4(BK, A) -% H3(K, A).

(B) % ( K ) = Z (Bott (1954)).

On a donc H 3 ( K , Z ) = Z , HS(K,Z) = Z , H4(K,Z) est sans torsion et

HS(K, A) = A. Par (1 .7 .3) , fonctoriellement en A, H~(BK, A) = A : H4(BK, Z) = Z

et HS(BK, Z) est sans torsion. Soient T c C G u n tore maximal et W son groupe de Weyl. On suppose K choisi

46 P. DELIGNE

de sorte que T : = T c r3 K soit le sous-groupe compact maximal de T c. L'inclusion de T dans K induit

0.7.4) ~?* : H'(BK, Z) -+ H*(BT, Z) w.

(C) Le morphisme (1.7.4) est un isomorphisme.

La preuve de (C) qui suit m'a 6tfi expliqude par A. Borel. On peut voir q~ : BT -+ BK comme une fibration de fibre K/T. Puisque G est connexe, BG est simplement connexe et la suite spectrale de Leray de ~ s'dcrit

El" = H ' (BK, H"(K/T, Z)) :~ H ' + ' ( B T , Z).

L'espace K/T coincide avec la varidtd de drapeaux G/B. La d~composition de Bruhat, par cellules de dimension rdelle paire, assure que sa cohomologie est sans torsion et nuUe en degr~s impairs. On a donc

Ef q = H~(BK, Z) | H ' (K/T, Z)

et E~ q = 0 pour p---- 1, 2, 3 ou q impair. En bas degr~s, la suite spectrale de Leray donne un isomorphisme

H2(BT, Z) ~ H2(K/T, Z)

et une suite exacte

0 ~ H4(BK, Z) --,- H4(BT, Z) --,,- H4(K/T, Z),

Le morphisme H4(BK, Z) -+ H4(BT, Z) est done injectif et son conoyau sans torsion. Par (1.6.6), H4(BT, Z) est l'espace des formes quadratiques enti6res sur

Y : = Horn(Gin, T). L'action de W sur Y | Q est absolument irrdduetible. Le groupe H4(BT, Z) w e s t done de rang un, isomorphe ~ Z. Le morphisme (1.7.4) est injectff,

conoyau sans torsion, entre groupes isomorphes k Z : c'est un isomorphisme.

Lemme 1.7 .5 . - - Le gdndrateur positif 0 du groupe des formes quadratiques entikres W-invariantes sur Y vdrifie Q ( H , ) ----- 1 pour H , la coracine (courte) correspondant ~ une racine longue ~.

Soit Q1 Ia forme quadratique W-invariante sur Y, a priori ~ valeurs rationnelles, telle que QI(H~) = 1. D'apr~s la classification des syst~mes de racines irrSductibles, pour toute coracine H~, on a QI(H~) = 1, 2 ou 3. Soit B 1 la forme bilin6aire assoei~e

Qx : BI (x ,Y)= Ql(X + y ) - Q l ( x ) - Q.I(y). Pour toute racine ~, les formes

lin~aires sur Y BI(H~,y) et ~(y) sont proportionnelles. Pour y = Ha, la premiere vaut

2QI(H~) et la seconde 2. On a done

(1 .7 .6) BI(H~,y ) = Q I ( H [ ~ ) ~(y).

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALG]~BRIQUES 47

Le groupe K &ant simplement connexe, Y est engendr6 par les coracines. La forme B x est donc tt valeurs enti~res et la forme quadratique Q.x, enti~re sur un syst~me de gdndrateurs, est tt valeurs enti~res. Elle prend la valeur 1, donc est le g~n&ateur posifif

cherchd. D'aprts (C) et 1.7.5, l 'application composde

(1 .7 .7) H' (BK, Z) ~ H4(BT, Z) =~.0.6 Sym~(X)

= { formes quadratiques enti~res sur Y ) Q(~) Z

est un isomorphisme de H4(BK, Z) sur Z.

Remarque 1.7 .8 . - - Soient T~ d l ' image de T Odans le groupe adjoint G ~ et Y~ : = Hom(G,, , T~a). L'indice de Y dam Y~ est l 'ordre du centre de G. Les racines sont ~t valeurs enti~res sur Y~. Puisque Y est engendr6 par les coracines, (1.7.6) montre encore que la forme bilin6aire B = B1 associde ~ la forme quadratique Q. de 1 .7 .5 se prolonge en une forme bilinfaire ~t valeurs enti~res ~ appariant y~a et Y.

1.8. Soient G un groupe algdbrique semi-simple simplement connexe sur C et I l 'ensemble de ses facteurs simples. Le groupe G est le produit de ses facteurs simples : G = II G, (i ~ I). Soient T un tore maximal de G, produit de tores maximaux Ti C G i et W son groupe de Weyl, produit des groupes de Weyl W~ des T~. Les r~sultats qui suivent se ddduisent de 1.7, qui traite du cas off G est simple, par la formule de Ktinneth :

(1 .8 .1) H~(G(C),Z) = 0 pour i< 3,

H'(BG(C), Z) = 0 pour i < 4,

H'(BG(C), Z) H3(G(C), Z);

(1 .8 .2) HS(G(G), Z), Ha(G(C), Z), H*(BG(C), Z) et HS(BG((]), Z) sont sans torsion;

(1 .8 .3) H~(BG(C), Z) ~ H~(BT(C), Z) w ~ I-I H~(BT~(C), Z) w~ =x.~.~ Z I.

De plus, (1.8.2) assure, par la formule des coefficients universels, que (1.8.1) reste valable en cohomologie ~t coefficients dans un groupe abdien A.

1.9. Soient S un sch6ma, n u n entier inversible sur S et A un faisceau ab61ien annul6 par n sur S. Pour X un sch6ma sur S, ou un schdma simplicial sur S, nous noterons syst6matiquement a la projection de X sur S e t A l ' image inverse de A sur X. La notation Ra.(X, ) de 1.5 16vera les ambiguitds.

Soit G~8 , ou simplement G~, le schdma en groupes (~ groupe multiplicatif )~ sur S. Le morphisme

x ~ x " :G,,, ---> G,,,

48 P. DELIGNE

fait de G,~ un Z/n(1)-torseur (0 .N.3 et 0 .N .5) sur G~. Sa classe de cohomologie dans H~(G,+, Z/n(1)) fournit par localisation sur S une section de R 1 a . (G, , Z/n(1)). Le morphisme correspondant

0.9.1) Z/n "-~ R. 1 a,(Gm, Z/n(1))

est un isomorphisme (r~duction ~ (1.6.1), ou mieux, (1.6.2), par (1.5.1)) . Partant de 1~, d~finissant les fl&hes comme en 1.6 $ 1.8 et prouvant que ce sont

des isomorphismes par r~duction 1.5 au cas complexe, on obtient les r~sultats (1.9.2) (1.9.7) suivants.

Soient T un schema en tores sur S e t X, Y comme en (0.N.7) . On a (cf. 1.6)

i ( 1 . 9 . 2 ) R + a,(T, a ( i ) ) = A X | a

(1 .9 .3 ) R 2+ a.(BT, a( i ) ) = Sym+(X) | a

et les R 2i+1 a,(BT, A) sont nuls.

Si a : G -+ S est un schdma en groupes sur S et ~ un faisceau sur S, la section neutre e fournit une d&omposifion de Ra, ~ en la somme directe de ~ en degr6 0 et d 'une image directe rdduite Ra, ~ . De mSme, Ra,(Be, ~ ) est r6duit k ~ en degr6 0 et Ra,(BG, ~ ) se scinde en la somme directe de ~ en degrd 0 et d 'une image directe r~duite P,a,(BG, ~ ) .

Soit G u n schdma en groupes semi-simples simplement connexes sur S (0. N. 4). Localement sur S (0. N. 1), G est produit de facteurs simples (0. N. 4). Soit I le faisceau des facteurs simples. II est localement constant. On a (cf. 1.8)

(1 .9 .4) R4 a.(SG, A(2)) -~ R8 a.(G, A(2)) -~ Z~ | A,

(1 .9 .5) nullit6 des images directes r~duites pr&6dentes.

Soient T un sous-sch~ma en tores maximaux de G et X, Y, W comme en (0.N.7) . Le morphisme de restriction, de R 4 a,(BG, A(2)) = R 4 a,(BG, A(2)) ~t R* a,(BT, A(2)) = R 4 a,(BT, A(2)) = Sym2(X) | A (1.9.3) induit un isomorphisme (cf. 1.8.3)

(1 .9 .6) R 4 a,(BG, A(2)) -~ Sym2(X) w | A.

Localement sur S, G est produit de facteurs simples G+, T est produit de T+ C G+ et si H+ est une coracine courte (correspondant ~ une racine longue) de T+ C G+, (1.9.4) est ddfini par (1.9.6) et l 'isomorphisme

(1 .9 .7) Sym2(X) w -+ Z ~ : Q ~ (Q(H+)).

Si T~ et T , sont deux sous-schdmas en tores maximaux, localement sur S, T~ et T~ sont conjugu6s. Un isomorphisme de conjugaison int(g) induit un isomorphisme entre

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALG~BRIQUES 49

les faisceaux de caract&res X 1 et Xz, et int(g): Sym*(Xx) wl -~ Sym~(X2) w* est indd-

pendant de g. Le diagramme d'isomorphismes

R' a,(BT~, A(2)) wl = Sym(X~) w' | A

(1.9.8) R' a,(BG, A(2)) / ~t, Z I | \ /1..,

R' a.(BW,, A(2)) w* --= Sym(Xs) w' @ A

est commutatif. Cas particulier :

(1.9.9) Pour G simple, R* a,(BG, Z/n(2)) a un gdndrateur canonique 1.

1.10. Pour G un schdma en groupes sur S, la projection de G sur S admet pour section la section neutre e. Elle d~finit un scindage

H*(S, A) H*(G, A) --+ H*(S, A)

de la cohomologie de G en somme directe de celle de S et d'une cohomologie rdduite : celle de G modulo le sous-schdma en groupcs trivial e. De mdme, le classifiant Be a m~me cohomologie que S et la restriction de BG ~ Be fournit un scindage de la cohomologie de BG en celle de S e t celle de BG mod Be.

N o t a t i o n . - - On notera H* ces groupes cohomologie relative, de G mod e, ou de

BG mod Be. Ils sont l'aboutissement de suites spectrales de Leray

E~ ~- -H~(S ,~qa , (G,A) ) ~H~+~(G,A)

et E~" = Hr(S, R~ a.(BG, A)) ~ Hv+~(BG, A).

Si G est semi-simple simplement connexe sur S, de faisceau de facteurs simples I,

on a done par 1,9

(1.10.1) H4(BG, h(2)) --%H (G, A(2)) ~ H~ Z~QA)

(1.10.2) nullit5 des groupes de cohomologie rdduite pr&ddents,

Soient T un sous-schdma en tores maximaux de G et X, Y, W comme en 1.9.

L'isomorphisme (1.10.1) est la restriction ~ BT, localisde sur S :

~ '(BG, A(2)) -> H~ Sym2(X) w| ~.o.~. Ho(S ' Z ~|

(1.1o.s) \ Sq.o. H~ R' a,(BT, A(2)))

50 P. DELIGNE

En particulier, pour G simple simplement connexe sur S,

(1 .10.4) H'(BG, Z/n(2)) = HS(G, Z/n(2)) = H~ Z/n)

cont ient un 616ment canonique 1.

Proposition 1.11. - - Pour S spectre d'un corps F, G u n groupe alggbrique semi-simple simplement connexe sur F et e ~ H3(G, Z/n(2)), l' application

(1 .11.1) g ~-+ g*(c) : G(F) -->-H"(Gal(F/F), Z/n(2))

est nuUe.

Preuve. - - Par (1.10.1), e provient d 'une classe dans H+(BG, Z/n(2)). Comme on le verra en (2.4.2), il en r6sulte que si ~ : G • G ~ G est la loi de groupe, on a

~t*(c) = pr~(e) + pr~(c).

I1 rdsulte de (I . 11.2) que l 'application (1.11.1) : g ~-*g*(e) est un homomorphisme. Si le corps F est fini, H3(Gal(F/F), Z/n(2)) = 0 et 1.11 est trivial. Supposons

donc F infini. Soit Fz une extension finie separable de F telle que G(Ft) soit 6gal ~t son groupe des commutateurs. I1 suffit de prendre F z ddployant G. Le diagramme

G(F) z.n.t HS(Gal(~/F), Z[n(2))

G(Fz ) 1.11.1 > H3(Gal(F/F1), Z/n(2))

est commutafif. Puisque G(F1) est 6gal ~t son groupe des commutateurs, le morphisme en deuxi~me ligne est nul. Pour g E G(F), on a d o n c :

(1.1t.3) [F 1 : F] g*(e) = coresvl/v re~,/F g*(e) = 0.

D6composant n en facteurs primaires, on se ram~ne ~t supposer n puissance d 'un nombre premier g inversible dans F : n = t a. S i t best la plus grande puissance de t divisant [ F t : F ] , on a par (1.11.3)

tbg*(c) ---- 0.

La suite exacte courte

tb 0 -+ Z/ t ~ -+ Z/t* + b _+ Z/tb ~ O,

tordue ~t la Tate, fournit une suite exacte longue de Gal(F/F)-cohomologie

S2(Z/t.+~(2) ) 0_~ S~(Z/tb(2) ) _~e Us(Z/t,(2) ) ~_~ Ss(Z/~+b(2))"

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~BKIQUES 51

Par Merkurjev-Suslin (1982), le groupe Kz(F) s'envoie sur chaque H2(Z/#(2)). La fl~che (9 est donc surjective, et la fl6che @ est injective.

On lit sur (1.10.1) que la classe e est r6duction modt* d 'une classe ~ ~t coefficients dans Z/t '+b(2). La classe g'(r est 1~ r~ducdon modulo/~ de g*(~), et on a encore Pg*(~) = 0. La multiplication par # dans Z/t ~+b est le compos6

Z / t a + b _+ Z / ta

La multiplication par gb dans H2(Z/la+b(2)) est donc le compos6

H~(Z//a + b(2)) ----> H2(Z//a(2)) ~ H2(Z/I ~ + b(2)),

et g*(~) ~-.g*(e) ~-, 0,

avec un z~ro au but car # g*(~) = 0. La fl~che | ~tant injecdve, on conclut que g*(e) = 0. Cet argument est une traduction <~ finie r~ de l 'argument t-adique suivant : Ia

suite exacte courte

0 -+ Zt(2 ) t Zt(2 ) ~ Z/i(2) ---> 0

fournit une suite exacte longue

Hz(Zt(2)) -+ H2(Z/g(2)) L H s ( Z t ( 2 ) ) t H2(Zt(2) )

qui, par Merkurjev-Suslin, montre que Hs(Zt(2)) est sans torsion. g*(r e H'~(Zt(2)), de torsion dans un groupe sans torsion, est nulle.

La classe

1 12. Dans la fin de cette section, nous exposons une variante plus pr6cise de 1.11, due ~ A. A. Beilinson. Nous n'aurons pas ~t nous en servir. Pour simplifier, et pour obtenir un 6nonc6 plus fort, nous travaillons en cohomologie g-adique (T. Ekedahl, On the adic formalism, Grothendieck Festschrift, vol. II, p. 197-218, Progress in Math.,

87, Boston, Birkhauser, 1990) en admettant 1.10 dans le cadre t-adique. Supposant pour simplifier G simple simplement connexe sur S irr6ductible, on dispose au-dessus de S[1/g] d 'un g6n6rateur canonique (1.10.4) dans le groupe de cohomologie g-adique

H3(G, Zt(2)). Notons-le a t.

Proposition 1.13. - - II existe un ouvert dense U de G tel que pour tout t la restriction de a t

U[I/ t ] soit nuUe.

Proc6dant comme en 1.11, il serait possible de modifier la preuve qui suit, et de travailler plut6t en cohomologie k coefficients dans Z/n(2), tout au moins pour U

pouvant d~pendre de n.

Preuve. - - Ceci ne changeant ni la topologie, ni la cohomologie, on peut supposer et on suppose S r6duit. Remplaqant S par un ouvert dense, on peut supposer l'existence

52 P. DELIGNE

d'un tore maximal T C G. I1 existe alors un revStement fini 6tale S' -+ S tel que T se

d6ploie sur S'. On peut supposer S' et done G s, : = G • s S' irr6ductibles. Soit K ' le corps des fractions rationnelles de Gs,. Puisque G se d6ploie sur K', le groupe Gs,(K' ) est 6gal ~t son groupe des commutateurs. En particulier, le point << inclusion identique dans G s, >> : Spec(K') -+ G~, est un produit de commutateurs. Par passage ~ la limite inductive, il existe done un ouvert dense U ' C G s, tel que l'inclusion identique de U '

dans G s, soit un produit de commutateurs dans Gs,(U' ). Soit ~z la projection de G~, sur G. Le compl6ment U de ~(G B, -- U') est un ouvert

dense de G, et U s, C U'. Apr6s changement de base de S ~ S', l'inclusion identique de U dans G devient done un produit de commutateurs dans Gs,(Us, ).

La classe at 6tant primitive, sa restriction ~ U s, est nulle. Si S' est de degr6 N sur S, on en ddduit par un argument de trace que

N. (restriction de a t ~ U) = 0.

Pour t premier ~ N, il en r6sulte que a t [ U ---- 0. Restent tt traiter des t, en nombre fini, qui divisent N. On peut supposer et on suppose g inversible sur S. Soit n la plus grande puissance de t divisant N. La suite exacte courte

n

0 ~ Z t --> Z t "--> Z / n -+ 0,

tordue k la Tate, fournit une suite exacte longue

H2(U, Zt(2)) -+ H2(U, Z/n(2)) L H3(U, Zt(2)) 2> H3(U, Zt(2))

de sorte que la restriction de a t ~t U est de la forme Ob, avec b ~ H~(U, Z/n(2)). Soit ~ le point g6n6rique de U. Par Merkurjev-Suslin (1982), la restriction de b

H2(~}, Z/n(2)) est de la forme Z ( f , g~), avec f , g~ ~ k(~)*. La cohomologie 6tale de est la limite inductive des cohomologies 6tales de ses voisinages de Zariski V C U. II existe done V C U, dense, tel que les f , g~ soient inversibles sur V et que sur V on ait

b ~- E ( f , g ~ ) , . D6s lors, b se rel6ve k H~(U, Zt(2)) et Ob = a t [ V = O.

2. La construction principale

2.1. Soient G u n sch6ma en groupes sur un sch6ma S e t ~ un faisceau (0 .N. 1) de groupes ab6liens sur S. On suppose G s6par6 sur S. Si S est le spectre d 'un corps F, de cl6ture s6parable F, la donn6e de ~ ~quivaut ~ celle d 'un groupe ab61ien B, muni d 'une action continue de Gal(F/F). Nous supposerons G de type fini sur S et, pour tout sch6ma X de type fini sur S, nous noterons ~ x le faisceau sur X image inverse de ~ .

Nous aurons besoin de disposer, pour tout sch6ma X de type fini sur S, d 'une r~solution ~ : de :~x, fonctorielle en X et tt composantes acycliques. La fonctorialit6

en X signifie que pour f : Y -+ X un morphisme de sch6mas de type fini sur S, on dispose d 'un morphisme de rdsolutionsf* ~ ---> ~ : , avec une compatibilitd pour un morphisme compos~. << Composantes acycliques >> signifie H~(X, ~ ) = 0 pour i > 0.

EXTENSIONS CENTRALES DE GKOUPES ALGI~BRIQUES 53

La r~solution flasque canonique (SGA4, XVII , 4.2) fait l'affaire. Une rdsolution injective ~* de l 'image inverse de ~ sur le gros site 6tale SET de S aussi. Le site S~r est celui des sch6mas de type fini sur S, pour la topologie ~tale. Pour f : X -+ S de type fini, i.e. X dans SET , les morphismes de sites f : Xr~ -+ SET e tp : XE~ --~ X~t donnent lieu ~ des foncteursf* et p., exacts et admettant (SGA4 (t. I), IV, 5) pour adjoints gauche respectivementf, et p*. Le composfi p. f* est simplement le foncteur de restriction

Xe~ d 'un faisceau sur SE~ , de sorte qu'une rfisolution injective ~* de l'image inverse de ~ sur Sr~ induit une r~solufion injective fonctorielle en X de ~ x sur chaque Xr

Pour i : Y ~ X un sous-sch~ma ferm~ de X, le lecteur veillera ~ ne pas confondre ~ avec l'image inverse sur Y de ~ . Nous n'aurons pas ~ faire usage de cette image inverse, dont les composantes ne sont en g~n~ral pas acycliques. Nous appellerons ~ restriction ~ Y ~ le morphisme i* : F(X, ~ : ) -~ F(Y, ~ ) .

Si cela ne cr6e pas d'ambiguitd, nous 6crirons simplement ~ et :~* pour ~ x et SY~. Par exemple, nous 6crirons H*(X, ~ ) pour H*(X, ~x).

Notation. - -Pour f : X ~ Y un morphisme et c e F (Y, ~") , nous dcrirons parfois c ( f ) pour f* c. Cette notation sera particuli6rement commode pour X = S, i.e. p o u r f ~ Y(S).

2.2. Soient (Y~)~ z c u n e famiUe finie de sous-sch6mas ferm6s de X, et j : U r X l'inclusion dans X du compl6ment de la rdunion des Y~. Pour D C C, soit i(D) : Y(D) ~ X l'inclusion de l'intersection Y(D) des Yd (d z D). On a Y(0) = X. Si l 'on identifie D

sa fonction caract6ristique C 4 { 0 , 1}, les i(D).(~'r, DI ) apparaissent comme un complexe C-uple, nul en degr~s # 0, 1, de diff6rentieUes les morphismes de restriction. Le complexe simple associd est une r6solution de j, ~ u , ainsi qu'on le vdrifie point par point. R6solvant ses composantes par les i(D). ~ T ~ , on obtient une rdsolution de j~ d r

composantes acycliques : les morphismes

(2 .2 .1) J, ~ u -+ s(i(D). ~Y, DI) -+ s(i(D). ~(D,)

sont des quasi-isomorphismes. Passant aux sections globales, on voit que la cohomologie de j, t~ u (cohomologie relative de X mod [J Y,) est celle du complexe simple associ~ au complexe (C + 1)-uple suivant :

(2 .2 .2) H*(X,j, ~u) = H* sF(Y(D), ~ ( , , ) .

2.3. En termes d 'un syst~me fonctoriel de rdsolutions ~* comme en 2.1, la cohomologie H*(BG, ~ ) est Celle du complexe simple associ~ au complexe double des F(Ga"/G, ~") , comme en 1.1 (B).

Si f : K ~ L e s t un morphisme de complexes, la cohomologie relative correspondante

est celle du complexe simple associ6 au complexe double [K ~ L] nul en premier degrd # 0, 1 et ayant K (resp. L) comme colonne d'indice 0 (resp. 1). Un cocycle est done un cocycle de K muni d 'une homologie ~ z6ro de son image dans L. Si f est en chaque degr~ un 6pimorphisme, le sous-complexe K e r ( f ) C K de s[K -+ L] a m~me cohomologie.

5 4 P. D E L I G N E

La cohomologie r6duite H*(BG, &) de 1.10, rue comme celle de BG mod Be, est obtenue par ce proc6d6 : c'est celle du complexe

(I1.3.t) s[sr(G~./G, ~'~) -~ sr(P,/e, ~ ) ] .

Nos calculs utiliseront trois complexes quasi-isomorphes (et m~me homotopes) ~t (2.3.1). A n i> 0 fixe, le eomplexe r(ea,/e, ~*) est une copie de F(S, &*). La diffdrentielle simpliciale est alternativement 0 et l'identitd : la colonne n ---- 0 du complexe sI'(ea,]e, g~) en est un facteur direct, e t a la m~me cohomologie. Rempla~ant dans (2.3.1) sP(ea,/e, ggm) par sa colonne n -- 0, on obtient done un complexe quasi isomorphe

( 2 . 3 . t ) ' s [sr (Ga"/G, ~ ) -+ r(ea~ ~" ) ] .

Plus pr6cis6ment, le morphisme naturel de d'homotopie. Puisque Ga~ = ea~ = S, obfient le sous-complexe quasi isomorphe

(~..3.2) s [ r (Ga. /G, ~ ) pour n >

Puisque ~ est fonctoriel en X, pour section e e X(S), on a

(2.2.1) dans (2 .2 .1) ' est une 6quivalence rempla~ant (2 .3 .1) ' par un noyau, on

O, 0 pour n<~ 0].

tout sch6ma X de type fini sur S muni d 'une

~I~"(S) @ Ker(e* : ~'~(X) --~ ~'~(S)) -~ ~m(X).

Rempla~ant (2.3.1) par un noyau, on obtient un sous-complexe de (2.3.2)

(2 .3 .3 ) s(Ker(e" : F(G~./G, 2~) -~ r(S, ~m)).

A n fixd, lc complcxc Kcr(e* : F(GA,/G, ~"~) -+ F(S, ~m)) ealculc la cohomologie rdduitc (1.10) dc G ~ que (2.2.2) pour le sous-schdma fcrmd << scction ncutrc >> de G ~ idcntific ~ la cohomologic de ~ sur G ~ -- e, prolongd par 0 sur G".

A m fixd, F ( G a , / G , ~ m) est simplicial cn n, done homotopc au sous- complcxc annuld par touslcs opdrateurs de ddgdndresccnec. Dans (2.3.1), rcmplaw F(Ga./G, ~m) par lc noyau dc touslcs opdratcurs dc ddgdndrcsccncc. Faisons dc m~mc pour F(eA"/e, ~m) : on obticnt k nouvcau la colonnc n ---- 0. Prcnons cnfin lc noyau. Si l 'on idcntific GA,/G k G" commc cn 1.3, on obticnt un sous-complcxc dc (2.3.3)

(2 .3 .4) s(ker(P(G", ~m) __> + I~(Gn-i, ~m))) 1

oh la fl~che est la somme des morphismes de restriction aux sous-sehdmas g~ ---- e (1 ~< i ~ u). Dans (2.3.2) et (2.3.3), nous identifierons aussi G~,/G ~ G ~, comme en 1.3. Les suites spectrales ddfinies par la filtration par n s'dcrivent respcctivement

i H ' ( G " ~ ) (p > 0) 0 (p < 0) *

E~ q /

(2 .3 .6 ) E~ q = Hq(G ~, ~ ) ~ H*(BG, N).

Dans (2.3.6), la notation ~ est celle de 1.10.


Pour T C { 1, . . . , n}, soit D T le sous-schdma << g~ =- e pour i c T ~) de G". Les F(D~, ~ ) forment un eomplexe n-uple, nul endegr~s :~ 0, 1 : identifier T k sa fonetion earaetdristique { 1 , . . . , n} ~ { 0 , 1 } et prendre pour diffdrentielles les restrictions (ef. 2.2). Le eomplexe simple associd est, k n e t m fixds, une rdsolution du noyau (2.3.4). Oe fair est un eas particulier d 'un dnoned valable pour tout groupe abdlien eosimplieial G, considdrd eomme un foneteur sur la eatdgorie des ensembles finis totalement ordonn~s non rides : si tL r e s t la relation d'~quivalenee sur A, engendrde par i -- 1 --- i si i c T, le noyau des opdrateurs de d~g~n~reseenee sur C(A,) admet pour rdsolution le eomplexe simple assoeid au eomplexe n-uple des C(A /R~).

D'apr~s 2 .2 .2 , appliqud aux sous-sehSmas g, ---- e de G", le eomplexe

Ker ( r (G" , ~'*) -+ (~ r ( G "-1, ~*)) 1

calcule done la cohomologie relative de G" modulo la r6union des g~ ---- e : pour j" l'inelusion de ( G - e)" dans G", la suite speetrale d6finie par (2.3.4) s'6erit

(2 .3 .7) E[" = Hq(G~,j~ ' ..~) ~ H*(BG, .~).

2.4. Fixons c ~ H4(BG, ~) et un cocycle repr~sentatif c~ 4- c~ 4- c 1 4- c 0 dans le eomplexe (2.3.2) : c~ e F(G 4-~, ~ ) . Notons d' la diffdrentielle simplieiale et d" eelle de ~*. Que ~c~ soit un eoeyele s'6crit

(9,. 4 . 1 ) d" c s = d' ca 4- d" c~ : d' c2 - - d" c 1 = d' Cl 4- d" Co = d' Co = 0.

La classe [ca] e HS(G, ~ ) est l ' image de e dans le terme E l' s de la suite spectrale (2.3.5) . Elle v6rifie dl[cs] =- O, i.e. est primitive : si ~ : G • s G -+ G est Ia loi de groupe, on a

~*[cs] = pr~[cs] 4- pr2*[cn].

L'application

(2 .4 .3) G(S) -+ Hs(S, ,~) : g ~-~ g*[cs]

cst done un homomorphisme. Soit G(S) ~ le noyau de (2.4.3). Avee la notation 2.1, pour g e G(S) ~ ca(g) : = g* cs

dans F(S, ~ ) est un eobord. D~finissons E(g)C F(S, ~ ) / I m ( d ) par

( 2 . 4 . 4 ) E(g) : = { x c F (S , ~ ' ) l dx = g* cs } / I m ( d ) .

C'est un torseur sous H2(S, ~ ) . L'identit~ (2.4.2) se prdcise en

pr~ c s -- ~* c a 4- pr~ c s ---- -- d" c 2

sur G • G. Pour g e t h dans le noyau de (2.4.3), on a done

h* ca - - (gh)* ca + g* ca = - - d " ( g , h)* c~,

56 P. DELIGNE

d'ofi une application

(~..4.5) E(g) • E(h) ~ E(gh) : x', x" ~-. x' + x" + (g, h)* c~.

Avec la notation introduite en 2.1 : x', x" ~ x' + x" + cz(g, h). Cette application fait de E(gh) la somme des torseurs E(g) et E(h) :

(~-.4.6) E(g) + E(h) -% E(gh).

Pour ga, g~, ga dans le noyau de (2.4.2),

(g,, ga)" c2 -- (gl g, , ga)* c, -4- (gx, g, ga)* c , - - (gx, g,)" c, = d"(gl, g,, ga)* ca

est un cobord. Le diagramme d'isomorphismes 2 .4 .6

E(gl) + E(g~) + E(g3) > E(glgz) + E(g3)

E(gl) + E(gzga) > E(glg2ga)

est donc commutatif, et les E(g) d~finissent une extension centrale E(c) ou simplement E

(2 .4 .7) 0 -+ H2(S, ~ ) --+ E - + G(S) ~ -+ 0.

Un ~Mment de E est la donnde (g; x) de g ~ G(S) ~ et de x ~ E(g). La loi de groupe est

donnde par 2 .4 .5 .

2.5. Soient r et c" deux cocycles reprSsentant c et E', E" les extensions centrales correspondantes. Soit b une homologie de r ~ c" : d ' - - r ---- db et dcrivons b = b 2 + b 1 + b ~ avecb ~dans F(G ~ - ~ , ~ ) . O n a v ' ' ~ - c ' 8 = - d ' ' b ~e t

( 2 . 5 . 1 ) E' (g) -+ E"(g ) : x ~-* x - - b ~ ( g )

est un isomorphisme de torseur. Puisque

c ''~ - - c '~ = d' b ~ + d" b 1,

l 'isomorphisme (2.5.1) est compatible k l 'addition (2.5.5) : l'homologie b d~finit un isomorphisme d'extensions [b] : E' ~ E". Cet isomorphisme ne change pas si b est remplacg par une cochalne cohomologue b + dy.

Si des cocycles repr~sentatifs c', c", c'" donnent lieu k des extensions E', E", E" ' et que b' (resp. b") est une homologie de c' k c" (resp. c" k c'"), de sorte que b' + b " est une homologie de c' k c", on a

(~.. 5 .9 . ) [b' + b"] = [V'] o [b'] : E' -~ E" .

Si bes t une homologie de c ~ c : db = 0, [b ~] s H~(G, ~8) est une classe de coho-

mologie primitive. Elle ddfinit un homomorphisme

( 2 . 5 . 3 ) G ( S ) -+ H~(S , B) : g ~*g*[b ~]


et l 'automorphisme [b] de l'extension E est

( 2 . 5 . 4 ) (g; x) ~ (g; x - - b ' ( g ) ) .

En parficulier, si Hn(BG, ~ ) ~- 0, la construction 2.5 fournit un syst6me transitif

d'isomorphismes entre les extensions centrales d~finies par Ies cocycles reprfisentatifs de c:

Construction 2 .6 . - - Une dasse e e H*(BG, ~ ) dgfinit un morphisme (2.4.3) de G(S) dans H~(S, ~ ) et une classe d'isomorphie d'extensions centrales (2.4.7) du noyau G(S) ~ par

H*(S, ~ ) . Si HS(BG, ~ ) = 0, elle dgfinit mgme une extension centrale canonique (unique d

isomorphisme unique pros) de G(S) ~ par H2(S, ~ ) .

II reste ~ montrer que l'extension centrale construite est ind6pendante, ~ isomorphisme unique pros, du choix de la r6solution fonetorielle ~* de ~ . Le plus simple est de se limiter aux r6solutions fonctorielles ddfinies par une r~solution injective de dans le gros site 6tale S ~ de S (2.1). Si ~ et ~2 sont deux r~solutions, il existe alors un morphisme de r6solutions u : ~a "-+ ~ . I1 induit un isomorphisme d'extensions. De

plus, si u' et u" sont deux morphismes de r6solutions : ~ -+ ~ , , ils sont homotopes, et induisent done le meme isomorphisme d'extensions.

2 7. FonctorialitL ~ La construction 2 .6 est fonctorielle en S, en G e t en ~ . Expli-

citons. (i) Soit u : G' --+ G u n morphisme de schemas en groupes sur S. Pour c u n coeycle

repr~sentatif de c e H4(BG, ~ ) et c' = u* c son image inverse sur BG', les morphismes (2.4.3) et extensions centrales (2 .4 .7) correspondantes E et E' donnent lieu ~t un

diagramme commutatif

0 , H ' ( S , ~ ) ~ -~ E' > O'(S) , H"(S, ~ )

(~. .7. , ) l ~"

0 �9 H 2 ( S , ~ ) - , E > G(S) > Ha(S, ~ ) .

(ii) So ien t f : S' --> S u n morphisme de schdmas, G' : ---- G x s S' l ' image inverse de G sur S' et ~ ' un faisceau sur S' muni de ~ :f* ~ -+ 5~'. On suppose choisis des syst~mes

de r~solufions d'images inverses de ~ et ~ ' , comme en 2.1, et un morphisme prolongeant ~ entre elles. Par exemple : travailler sur un gros site ~tale de S, assez gros pour contenir S', prendre une rdsolution injective de l 'image inverse de dY sur ce site, choisir une r6solution injective de ~ ' , et prolonger tp en un morphisme de rdsolufions. Pour c

un cocycle reprdsentafif de e e H4(BG, :~) et r = q0f* r son image inverse sur BG', les morphismes (2.4.3) et extensions centrales (2.4.7) correspondantes E et E' donnent

lieu ~ un diagramme commutatif

0 , H2(S,&) > E > G(S) > Hs (S ,&)

0 > H*(S', .~') > E' , G'(S') , H3(S ', M').

58 P. DELIGNE

(iii) Pour S hens61ien local de point ferm~ s, on a H*(S, N) --% H*(s, ~ ) . Faisons

S' = s dans (ii). Par (2.5.2), G(S) ~ est l 'image inverse de G(s) ~ C G(s) et l'extension E est l ' image inverse par G(S) ~ -+ G(s) ~ de l'extension centrale E'.

II. 8. Fariante. - - La construction 2.6 est en fait valable dans tout topos. Prendre

pour G un faisceau en groupes et pour ~ un faisceau abdlien. De ce point de vue, 2.6

est le cas particulier du topos des faisceaux sur le site SET , pour ~ l ' image inverse d 'un falsceau sur Set et pour G le faisceau des applications dans un objet en groupes de S~. T.

2 . 9 . Topologie. - - Soit F u n corps local : localement compact non discret. Si G

est un groupe alg6brique sur F, i.e. un schdma en groupes de type fini sur S = Spec(F),

le groupe G(F) est un groupe localement compact. Soient c ~ H4(BG, ~ ) et c u n cocycle

repr~sentatif. Nous nous proposons de vdrifier que le sous-groupe G(F) ~ de G(F) cor-

respondant est un sous-groupe ouvert, et de munir l'extension centrale E d~finie par c

d 'une topologie qui en fasse un groupe topologique et un revfitement de G(F) ~

La construction repose sur le thdor~me des fonctions implicites : si f : X ~ Y est

un morphisme dtale de schdmas de type fini sur F, le morphisme d'espaces localement

compacts f : X(F) ~ Y(F) est un homdomorphisme local. Soient F et B comme en 2.1.

Lemme 9..10. - - Soit k e H~(X, ~ ) . L'application de X(F) dans

H'(S, .~) = H'(Gal(F/F), B) : x v-, x*(h)

est localement constante.

Preuve. - - Soity e X(F). L'hensfilis~ X v de X en y est la limite projective des voisi-

nages ~tales U d e y (schfima U ~tale sur X muni de .~e U(F) au-dessus dey) . l .a coho-

mologie de Xy coincide avec eelle de son point ferm~y _ Spec(F), et est la limite inductive de celle des voisinages ~tales U de y. I1 existe done un voisinage 6tale U tel que la

restriction de h ~ U coincide avec l 'image inverse sur U de y*(h). La fonction x ~ x*(h)

est alors constante de valeur y* (h) sur l 'image de U(F) dans X(F). Par le th~or6me des

fonetions implicites, cette image contient un voisinage de y et 2.10 en r~sulte. Faisons dans 2.10 X = G e t h = [c3] : le morphisme (2.4.3) est localement

constant et son noyau G(F) ~ est done ouvert. Pour faire de E un H~(S, ~)-torseur sur l'espace topologique G(F) ~ il suffit de

d6finir une classe c# de sections locales telle que a) Pour tout g E G(F) ~ il existe une section locale de classe c# d~finie en g.

b) Si Sl et s~ sont deux sections locales de classe c#, sur leur domaine commun

de d~finition V C G(F) ~ on a s 2 = s 1 ~0 avec ~0 : V -+ H2(S, 5~) localement constant. Pour que la structure correspondante d'espace topologique sur E en fasse un

groupe topologique, il suffit que, de plus,

c) Pour trois sections locales sl, s~ et s3, sur l 'ouvert de G(F) ~ • G(F) ~ off sl(x) ,

s2(y) et s3(xy ) sont d~finis, on a sl(x) s~(y) = s3(xy ) c (x ,y ) avec c localement constant.


Dtfinissons la classe ~ comme &ant celle des sections obtenues comme suit

partir d 'un morphisme 6tale f : U --> G tel que f*[ca] = 0, d 'une section locale topologique <p de f : U(F) --> G(F), de domaine V C G(F) et de x E I '(U, ~2) vtrifiant

f * q = dx. La section est dtfinie sur V, de valeur en v la classe modulo Im(d) de (x) r(s ,

Preuve de a) . - - Si g E G(F) ~ g*[ca] ---- 0 et la preuve de 2.10 montre que g admet un voisinage d t a l e f : U --+ G tel q u e f * [ q ] = 0. De plus, par le thfiorSme des fonetlons

implicites, f : U(F) --+ G(F) admet une section locale topologique e n g .

Preuve de b) . - - Soient U+, x+, ~+ ddfinissant des sections locales s+ (i = 1, 2). Sur leur domaine commun de ddfinition, Sl et sa sont encore dtfinies par le produit fibr~

U t • Ua, pr~(x~) et (q~t, r : on peut supposer et on suppose que Ut = U~. et que (Px----r (notts U et r La diff5rence x a - - x t est fermSe. Soit [ x a - xt] ~ Ha(U, ~ ) sa classe. Les sections s t et sa different par ~0*[x a -- xt] , localement constant par 2.10.

Preuve de c). - - Soient U+, x~, ~ ddfinissant des sections locales s+ (i = 1, 2, 3). Soient ~ : G • G -+ G la loi de groupe et U le produit fibr~ sur G • G de prl(Ut) , pr~(U~) et 9*(Ua). La fonction c (x , y ) provient d 'une classe dans Ha(U, ~ ) et d 'une

section locale topologique q~ de U(F) --+ G(F) • G(F), et l 'on conclut encore par 2.10.

2 .11. Soit U un schtma en groupes unipotent sur S, localement extension ittrde de sch6mas en groupes additifs et supposant ~ annulfi par un entier inversible sur S. Une application itdrte de SGAr (t. 3), XV, 2 . 2 donne

(2.11. i ) Ra,(U, =

Avec la notation ~ de 1.9 et 1.10, on a donc Ra, (U, &) = 0. La suite spectrale de 1.10

donne

(9..11.2) H*(U, ~') = O.

Par (2.11.2) appliqufi aux U" et la suite spectrale (2 .3 .6) , on a

(2 .11 .3) ~*(BU, ~ ) = 0.

Si U est un sous-schtma de G e t que c r H4(BG, ~ ) , la fonctorialit6 (2.7.1) donne

(9..11.4) U(S) C G(S) ~ : = ker(G(F) ---> Ha(S, ~ ) )

et l'extension centrale d~finie par un cocycle reprdsentatif de c e s t canoniquement scindde au-dessus de U(S). En particulier, si HS(BG, ~ ) = O, l'extension centrale E

canoniquement attach~e A r est munie d 'un scindage

u(s )

/ f 0 , H * ( S , ~ ) > E , G(S) ~ > 0.

60 P. DELIGNE

2.12. Reprenons les notations de 2.4, en prenant r dans le complexe (2.3.4). Soit h dans G(S) ~ Relevons h en ~ = (h;y) dans l'extension centrale E. L'automorphisme intErieur correspondant de E ne depend que de h. Notons-le Int(h). Pour (g; x) dans E, exprimant que

Int(h) [(g; x)] (h;y) = (h;y) (g; x),

on obtient

(2 .12.1) Int(k) [(g; x)] = (hgh- 1; x -k c2(k, g) - - c,(hgh- 1, h)).

Un calcul laissE au lecteur montre que pour h quelconque dans G(S) et (g; x)

dans E,

x --}- c2(h,g ) -- r -1, ]'t) ~E(ltgh -1)

et que int(h), dEfini par (2.12.1), dEfinit une action de G(S) sur E, relevant l 'action par automorphismes intErieurs de G(S) sur G(S) ~ Un argument plus transparent sera donne dans la preuve de 4.2.

Soient (k;y) et (g;x) dans E, de commutateur (h,g) (O.N.6). Exprimant que

(h, g) (g; x) -- int(h) [(g; x)],

on obtient

(2 .12.2) (h,g) = (hgh-l g-1; c2(h,g) -- c~(hgh -1, h) -- c2(hgh-l g - l , g ) ) .

Un calcul laissE au lecteur (un calcul analogue sera donne en 4.4) montre que pour g e t h quelconques dans G(S), on continue ~ avoir

c2(h, g) - - c2(h - 1 gh, h) - - c,(]tgk -1 g - 1 g) ~ E(hgh-1 g - I ) .

Non seulement le commutateur de g et hes t dans G(S) ~ - - une consequence de ce que (2.4.3) est un homomorphisme - - mais, exprimant pourquoi, on obtient un relEvement explicite de ce commutateur dans E :

(2 .12.3) G(S) • G(S) -+E, donne par (2.12.2)

(h dans le premier facteur G(S), g dans le second). L'intEr~t de ces constructions est de s'appliquer ~ des cas universels. Indiquons

par un indice X l'effet d 'un changement de base X ~ S. Sur G • G, on dispose des deux sections g, h de G a • o dEfinies par prl, pr~ : G • G -+ G. Sur G • G, l ' image inverse du cocycle c dEfinit encore une extension centrale, notEe E o • ~, de G~ • o(G • G) ~ par H*(G • G, ~ ) et (2.12.3) fournit un relEvement ~t Ea• a du commutateur uni-

versel ghg -1 h -~. Pour (go, h0) E G(S) x G(S), le commutateur (2.12.3) s'en dEduit par

image inverse par (go, h0) : S ~ G • G. Soit C C G x G le sous-schEma des (g, h) tels que g commute ~ h e t changeons


de base par C --> S. Au-dessus de C, le commutateur universel est trivial et son rel$-

vement (2.12.3) fournit une classe de cohomologie

(9..1~..4) [comm] e Hs(C, ~).

Par construction, on a

Proposition ~..13. - - Si g e t k dans G(S) commutent, le r (2.12.3) de g e t h,

ggal au commutateur (0 .N.6) si g, h ~ G(S) ~ est

(g, h)* [comm]e H2(S, .~).

2.14. L'intEr+t de 2.13 est qu'il peut +tre plus facile de calculer une classe universelle dans H2(C, ~ ) que de calculer directement un commutateur (0 .N.6) . Cf. 3.2.

Paraphrasons la construction de [comm]. Soient g, k et gh les applications prl , pr 2 et la loi de groupe de G x G dans G. On a sur G x G

h* c3 - (gh)* c3 + g* = - d"(g , h)* c,

et, prenant l ' image inverse par (g, h) ~-* (k, g)

g* c3 - - (hg)* c3 + h* c 3 = - - a"(h , g ) , c,.

Les membres de gauche ont la m~me image inverse sur C et

(~.. 14.1 ) comm : = (g, h)* c~ -- (h, g)* c~

est donc un 2-cocycle sur C. I1 reprEsente [comm].

Si Y est l 'un des sous-schEmas G X e, ou e X G de C, l 'image de comm par le morphisme de restriction (fonctorialitd de ~*)

r(c, r(Y,

est nulle. Le cocycle comm est donc encore un cocycle dans le complexe (2.2.2) relatif ~t ces sous-schdmas. Par (2 .2 .2) , il dEfinit une classe dans la cohomologie relative de C m o d G X e u e X G.

Si on change le reprEsentant c de e en c + db, b = b2 + bl + bo, le 2-cocycle comm

est change en

comm + d"( (g , h)* b 1 - - (h, g)* bl),

et (g, h)* b 1 - - (h, g)* bl s'annule par restriction ~ G x e, e x G. La classe de cohomologie

(2 .14 .2 ) [comm] ~ H2(C mod G x e u e x G, ~ )

ne depend donc que de c. Des arguments analogues permettraient de prEciser [comm]

en une classe de cohomologie dans H ~ ( C m o d G x c u e X G u A , ~ ) , pour A la diagonale ~(G) de G • G.

62 P. DELIGNE

3. Groupes seml-slmples slmplement connexes

8.1. Reprenons comme en 1.9 les notations S, n (inversible sur S), A (annul6 par n), a (projection sur S), T (tore sur S), X = 3f'Oms(T, G,~), Y = 3/%ms(G,~ , T) de (0 .N.7) . Soit e une classe

r ~ ~4(BT, A(2))

(notation ~ de 1.10). Pour i = 2, (1.9.3) s'&rit

R 4 a.(BT, A(2)) = Sym'(X) | A.

Par localisation sur S, la classe e fournit donc une section globale de Sym~(X)| A, i.e. une forme quadratique Q~ k valeurs dans A sur Y.

La classe e d6finit un morphisme (2.4.3) de T(S) dans Hs(S, A(2)) et une classe d'isomorphie d'extensions centrales du noyau T(S) ~ par H~(S, A(2)). D'apr~s 2.13 et 2.14, l 'applicafion commutateur correspondante (0 .N.6) , de T(S) ~ x T(S) ~ H~(S, A(2)), est d6finie par une classe

comm(e) ~H~(T x s T m o d T • e toe • T, A(2)).

On se propose de la calculer. D'apr~s (1.9.2), ddduit de (1.6.4), on a

(8 .1 .1) R*a,(Tmode, Z/n)=lO s i i - - O X| s i i > 0 .

Le calcul de R* a.(T • s T mod T X e to e x T, Z/n) s'en d6duit par la formule de Ktinneth : c'est

[A(X | Z/n(-- 1)) en degr& > 0] ~

Tensorisant avec A(2), on a donc

(8 .1 .~) R* a.(T x s T m o d T x e toe X T, A(2)) = X | 1 7 4

(8 .1 .8) nullit6 des R ~ a. pr&6dents.

Par la suite spectrale de Leray pour la projection sur S, on d~duit de (3.1.1), tensoris6 avec A(1) (voir 1.5.1 Remarque) (reap. de (3.1.2) et (3.1.3)) que

(8 .1 .4) Ha(T mod e, A(1)) = n~ X | A),

(3 .1 .5) H*(T x s T m o d T x e to e x T, A(2)) = H~ X | 1 7 4

Le groupe H~ X | X | A) eat celui des formes bilin~aires sur Y ~ valeurs dans A.

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGI~.BRIQUES 63

Proposition 8.2. - - La forme bilin~aire sur Y image de c0mm(r par (3.1.5) est l'opposle

de la forme bilingaire B~ assodge ~ Q~ .

Preuve. ~ I1 suffit de vdrifier 3.2 en chaque point g~omdtrique de S. On peut done supposer, et on suppose, que S est le spectre d 'un corps alg~briquement elos F. Par fonctoriatitd en A, on peut aussi supposer que A ---- Z]n.

I. 'applicafion de restriction en eohomologie ~t coefficients dans Z/n(2)

HI(T X T) -% HI(T X e to e X T) ~ HI(T) X HI(T)

est bijective, en particulier surjective. Par la suite exacte longue de cohomologie, l 'applicafion

H2(T X T m o d T x e u e x T ) - + H " ( T X T)

est donc injective. Son image est le noyau de

(3,2.1) H~(T X T) ~ H'(T) x H~(T)

et il suffit de v6rifier 3.2 dans H~(T x T). L'identification utilis6e en 3.1 entre le

noyau de 9. 2 9.

A (X �9 X) | Zln ~ (A X �9 A X) | Zln

et X | X | Z/n, donnde par Kfinneth, est

x | ~-* x' n y " (modulo n)

o/1 ' (resp. ") est la premi6re (resp. seconde) injection de X dans X @ X. La classe e est celle d 'un cocycle cs-F c~+ c 1 + c o (2.4). Dans la suite spec-

trale 2 .3 .5 pour BT, on a E~ 'S= 0 (cf. 1.6.8). On peut donc supposer que c ~ = 0. La cochaine c ~ est alors un cocycle. Soit [c ~] E H~(T x T) sa classe de cohomologie. Par ddfinition, Q~ e Sym~(X) | Z/n est obtenu comme suit : [c 2] e HZ(T • T) = E~ 2 v6rifie dx[c~] = 0, donc a une image [c~]- dans E~ ~. Lorsqu'on identifie E~ 2z ~t SyruP(X) | Z/n par la structure multiplicative de la suite spectrale (1.1.3), Q., = [c,]-.

Explicitons. Le produit 2

En ~ lzn 23 ~ a -~E~ : X Q X Q Z / n ---> A (X q~ X) |

est x | ~-~ -- O~(x) A Oo(y ) ----- -- X' A y " (modulo n).

Puisque E~ 1 est dgal ~t E~ 1, il est h valeurs dans Ker(dl). Le morphisme

2 2 dl : E'? -+ Ey : A x | Zln ~ A ( x + x) | Zln

est x Ay ~ x" Ay" -- (X' + X") A (y ' + y " ) + X' Ay'

= -- (X' Ay" + X" ^ y') (modulo n).

64 P. DELIGNE

Les images du produit et de d 1 engendrent Ker(dl : E~ 1 -+ E~' 1), que l 'on peut done

identifier ~t X | X | Z/n par x | ~ x' ^ y " . Pour cette identification, le produit est l'oppos6 du produit x | 6vident, l 'image de dl est le sous-groupe des y | x - x | Le quotient de X | 1 7 4 par ce sous-groupe est Sym*(X) | et, pour cette identification,

-

Soit �9 la sym6trie (g, h) ~-* (h, g) de T x T. Par d6finition, l ' image de comm(e)

dans H2(T x T) est

= [ q ] -

L'action de �9 sur X | X N Z/n C H~(T • T) est donn6e par

7" : x' h y " ~-* X" Ay' --= - - y ' A X",

i.e. x | ~ - - y N x (modulo n).

Pour c2 = x' ^ y " , Q r est done la forme quadratique -- xy sur Y e t comm(e) la forme bilin6aire x N y -k Y | x, en accord avec 3.2.

3.1]. Le noyau de t ~-~ t" : T ~ T e s t canoniquement isomorphe k Y| Le morphisme t ~-*t" : T ~ T est fini, 6tale et surjectif; il fait de T un Y | torseur (0. N. 5) sur T, trivialis6 le long de la section neutre e. Soit

b E HI(T mod e, Y | Z/n(1))

sa classe de cohomologie. L'isomorphisme (3.1.1)

R 1 a,(T mod e, Z/n(1)) = X | Z/n

est donn6 par x ~ x(b), et l 'isomorphisme (3.1.2)

R2a , (T m o d T x e u e • T, Z/n(1)) = X N X N Z / n

est donc donn6 par

x | ~-~ x | b [] b).

Pour B e H ~ 1 7 4 identifi~ ~ un morphisme Y | la elasse correspondante (3.1.5) dans H~(T X s T mod T | e u e X T, (2)) est done

B ( b [ ] b ) .

I1 suffit de le vgrifier en chaque point g6omgtrique. Pour g E T(S), g*(b) ~ Hi(S, Y | Z/n(1)) est simplement le cobord 0g de g pour

la suite exacte longue de eohomologie d~finie par

(3 .3 .1) 0 - + Y N Z/n(1) ~ T -+T -~0.


L' image inverse par g du Y | Z/n(1)-torseur de classe b est en effet s implement l ' image inverse de g par t ~-, t" (voir SGA4�89 Cycles 1.1, pour les conventions de signes).

Pour g, h ~ T(S), on a

(g, h)*(b [] b) = g*(b) | h*(b) = Og|

dans H~(S, Y | Y | Z/n(2)) et

(g, h)*(B(b [] b)) = B(Og | Oh)

dans H~(S, A(2)). Appliquant 2.13 et 3.2, on obdent

Proposition 3 .4 . - - Avec les notations de 3.1 et 3.3, /e commutateur (2.12.3) de g e t h

dans T(S) est

(3.4.1) (g, h) = - - B ~ ( O g |

pour B e : Y | - + A la forme bilingaire associge ~ Q e . En particulier, si g, h e T ( S ) ~ /e commutateur (0 .N.6) de g e t h dans l'extension centrale E de T(S) ~ par H~(S, A(2)) est donnd

par (3 .4 .1) . Rassemblons les r~sultats obtenus. Les notations sont ceUes de (0 .N. 7).

3 .5 . TMorkme principal. - - ~qoient G un scMma en groupes semi-simples simplement

connexes sur S, de faisceau de facteurs simples I, et

c ~ H~ Z I | A)

correspondant par (1.10.1) ~ c eI~4(BG, A(2)). Les H* prgcddents sont nuls (1 .10.2) . Par 2.6, la dasse c fournit un homomorphisra*

(3.5.1) G(S) -+ Hs(S, A(2))

et une extension centrale canonique E(c) du noyau G(S) ~ par H*(S, A(2)) :

(3 .5 .2 ) 0 -+ H'(S, A(2)) -+ E(c) -+ G(S)" -+ 0.

formg g , h e

(3.5.

Soient T u n sous-schdma en tores de G. La restriction de e ~ BT, localisde sur S, ddfinit une quadratique O e sur Y , g~ valeurs dans A. Soit B e la forme bilingaire assodge. Pour T(S) ~ = T(S) n G(S) ~ le commutateur de g e t h dans E(e) est

a) (g, h) = -- Bc(Og | Oh),

off 0 : T(S) ~ HI(S, Y | Z/n(1)) est le cobord ddfini par (3 3. I). Pour T u n sous-schdraa en totes maximaux, Q e clans H~ Sym~(X)W | A) est caraxtgrisd

par la condition que, localement sur S, si o~ est une racine longue d'un facteur simple G, de G,

Qc(H~) = q. 9

66 P. DELIGNE

Si S est le spectre d'un corps F et que A = Z/n, (3.5.1) est trivial : E(c) est une extension par H'(S, Z/n(2)) de G(S) tout entier :

(3.5.4) Z/n(2)) E(c) G(F) ->0.

3.6. Cas particulier. - - Si G est simple (0 .N.4) , et que A = Z/n, la donnde de c est simplement la donnde d 'un entier modulo n localement constant sur S. Pour c = 1, on appellera c le gdngrateur canonique de H4(BG, Z/n(2)) et E(c) l'extension canonique par H'(S, Z/n(2)).

Proposition 3 .7 . ~ Soit G u n groupe algdbrique simple simplement connexe ddployd sur un corps infini F. L'extension centrale canonique (3.6) de G(F) par H~(Gal(F/F), Z/n(2)) est celle attacMe par Matsumoto (1969) ~ l' opposd du symbole galoisien (0.3).

Preuve. - - Soit T u n tore maximal ddployd de G. Par Matsumoto (1969), II , 5 .4 c) ct la preuve de ibid., II, 5.8, l'extension que Matsumoto attache k un symbole c a une restriction ~ T(F) dont le commutateur est donnd par

(3 .7 .1) (Yx(s),y,(t)) : <Yl ,Y , > c(s, t)

pour Yl,Y~ e Y = Hom(G~, T) et < , > la formc bilindaire associde ~ la forme quadratique enti~re W-invariante Q sur Y vdrifiant Q ( H , ) = 1 pour ~ une racine longue. Pour comparer ~ la formule donnde par Matsumoto, utiliser que

Q ( H , ) or = < H~, H~ >.

Prenons pour symbole c l'opposd du symbole galoisien. D'apr~s 3.5, la m~me formule donne alors le commutateur pour l'extension canonique (3.6).

Supposons tout d'abord que G n'est pas de type C~ (n >i I). Toute extension centrale de G(F) est alors donnde par un symbole. De plus, la forme bilin~alre < , > prend la valeur 1 et ce symbole est donc ddtermind par l'application commutateur, pour la restriction ~ T de l'extension centrale. Ceci prouve 3.7 pour G non de type C~

I). Supposons G de type A I = CI : G = SL(2). Regardons SL(2) comme sous-groupe

de SL(n) (n I> 3) par la reprdsentation lindairc somme de la reprdsentation tautologique et d 'une representation triviale. Les extensions centrales (3.6) et de Matsumoto de SL(2) sont induites par les extensions centrales analogues pour SL(n), et 3.7 pour G de type A 1

r~sulte de 3.7 pour G de type A , . Pour G quelconque, rdalisons SL(2) comme sous-groupe de G engendrd par

H~(G,,) et les sous-groupes radiciels U• ~, pour a une racine longue. D'apr~s Matsumoto (1969), II, 5.10, une extension centrale de G est d6terminde par sa restriction t~ SL(2),

et 3.7 pour G r~sulte de 3.7 pour SL(2).

Remarque 3.8. - - Ci-dessus, nous avons trait~ du cas off G = S L ( 2 ) p a r rdduction au cas off G = SL(n) (n >/ 3). Voici une autre fa~on de procdder, peut-~tre plus naturelle.


Le groupe SL(2, F) 6tant parfait, i.e. dgal ~t son groupe d6riv6, il admet une extension centraie universelle

(3 .8 .1 ) 1 -+ L -+ SL(2, F) ~ -+ SL(2, F) -+ 1.

]~tant solution d 'un probl6me universel, cette extension est bien d6finie ~t isomorphisme unique pros (cf. Moore (1968), chap. I).

Le groupe adjoint SL(2) ~ est le groupe PGL(2), l 'aetion de PGL(2) sur SL(2) 6tant d6duite de l 'action de GL(2) sur lui-m~me par automorphismes intdrieurs. L 'act ion de PGL(2, F) sur SL(2, F) se rel6ve un iquement en une action sur SL(2, F) ~. L'extension (3.8.1) dtant une extension centrale, le sous-groupe PSL(2, F) de PGL(2, F) image de SL(2, F) agit trivialement sur L : l 'action de PGL(2, F) sur L se faetorise par PGL(2, F)/PSL(2, F), idenfifi6 ~t F*/F *s par det. Soit K : = LmL~2.r ~ le groupe des co-invariants.

Soient a et b dans F*, g dans PGL(2, F) la matrice diagonale (a, 1), h dans SL(2, F) la matrice diagonaie (b, b-1) et ~ un rel6vement de k dans SL(2, F) ~.

Puisque g, agissant sur SL(2), fixe h, le ~ commuta teur >> g(~) h'-1 est darts L. Son image (g, h) dans K est inddpendante du choix de ~ relevant h.

Dans Moore (1968), 9.2, ou Matsumoto (1969), 5.10, le noyau L e s t d6crit par g6ndrateurs et relations. Calculant l 'action de PGL(2, F) sur L, on ddduit de leurs formules que le quotient K de Les t Ks(F ). Plus prdcisdment, l 'applicafion (a, b) ~-. g(~) ~- 1 induit un isomorphisme de Ks(F) = F*| F*/< (a, 1 -- a) > sur le quotient K de L.

Si une extension centrale

(8 .8 .9 . ) 1 ~ L~ -+ SL(2, F)x -+ SL(2, F) -+ 1

de SL(2, F) est telle que l 'action de PGL(2, F) sur SL(2, F) se relive ~t SL(2, F ) I , avec action triviale sur Lx, elle est ddduite de (3.8.1) par u n morphisme u : L -+ L~ qui se factorise par le quotient K = Kz(F) de L.

L'application ~< commuta teur , g(h~ ~'~--1 :

(8.8.8) (matrices diagonales de PGL(2, F))

• (matrices diagonales de SL(2, F)) -+ Lx

d6termine u, et done l 'extension centraie (3 .8 .2) . Pour v6rifier 3.7 pour SL(2), il suffit done de ealculer le ~ eommuta teur >> (3.8.3) pour l 'extension eanonique de SL(2, F) par HS(Gai(F/F), Z/n(2)), et de eomparer k Matsumoto. Le ealeul du ** eommuta- teur >> (3.8.3) sera fait, dans un cadre plus g6ndral, en 4.9.

Le eas de Sp(2n, F) pourrai t se traiter de m~me, plut6t que par rdduetion au eas de SL(2, F). Si T e s t le tore d6ploy6 maximal standard de Sp(2n, F) et T ~ son image dans le groupe adjoint, l 'extension eentrale canonique est d6tect6e par le ~ commuta teur >>

T~(F) • T(F) -+ HS(Gal(F/F), Z/n(2))

qui sera calcul6 en 4.9.

68 P. DELIGNE

3.9. F o n c t o r i a l i t d s . - - (i) Le morpkisme (3.5.1) et l'extension (3.5.2) sont fonc- toriels en S, A et G. Voir 2.7. La fonctorialitd eta A, appliqude $ l 'addition A | A ~ A, fournit une additivit6 en c.

(ii) Soit u : G - + H u n morphisme entre sch~mas en groupes semi-simples simplement connexes sur S, de faisceaux de facteurs simples I et J. Ddfinissons

( 3 . 9 . 1 ) u* : Z a -~ Z I.

Localement sur S, G (resp. H) est produit de facteurs simples G i (resp. Hi) que l 'on peut supposer d6ploy~s, et on choisit des tores maximaux d~ploy6s T~ de G, et T~ de Hj tels que

u~i: G~ - + G - + H -+H~

envoie T i dans T~. Soient 0q et ~ des racines longues de G i e t H~ et Q.~ la forme quadratique W-invariante sur Y~ :=gf'0ms(G~,, T~) telle que Q~(H~i ) = 1. Alors, u* a pour coefficients de matrice

(u*)] ----- Qj(u~i(H~i)).

Le diagramme

fi*(BH, A(2)) ' ~ , H~ Z J |

H4(BG, A(2)) "~'> H~ Z ~|

est commutatif. Pour c e H~ Z~ | on a donc un diagramme commutatif

(3.9.z) 0 > H"(S,A(2)) > E(u*(c)) > G(S) , Hs(S, A(2))

, H2(S,A(2)) > E(c) , H(S) , H3(S, A(2)).

(iii) So i en t f : S' --~ S fini 6tale, G' un sch6ma en groupes semi-simples simplement

connexes sur S' et G :---- 1-I G' (Demazure-Gabriel (1970), I, w 1, 6.6). Pour S e t S' S'/8

spectres de corps, G est d~duit de G' par restriction des scalaires ~ la Weil. Pour G e t G' vus comme faisceaux sur les gros sites 6tales de S e t S', G -----f. G'. On a un isomorphisme

canonique G(S) = G'(S'). Soit I ' le faisceau sur S' des facteurs simples de G'. Localement sur S, S' est somme

disjointe de sections s,, G --- 1-[s~* G' et le faisceau I des facteurs simples de G est la

somme disjointe des s~ I'. On a done un isomorphisme

( 3 . 9 . 3 ) f . Z r = Z I.


Soit c' ~ H~ ', z r | A), correspondant par (3.9.1) et l 'isomorphisme

H0(S,f , z r | A) -% H~ ', Z r @ A)

~t c e H~ Z I | Les morphismes (3.5.1) et extensions centrales (3 .5 .2) ddfinis par c' et c donnent lieu ~t un diagramme commutat if

( 3 . 9 . 4 )

0 > H~ > E(c') , G'(S') , H3(S' ,A(2))

;Tr ; ITr 0 > H~ A(2)) > E(c) > G(S) > Hn(S, A(2)).

Pour construire (3 .9 .4) , la premi6re 6tape est de rdinterprdter la premi6re ligne

comme donn6e par une construction 3.5 sur S, pour f . A. Localement sur S, S' est

somme disjointe de sections s~, et

ZIQf, a = ( ? Z "~r) N ( ? A)

contient comme facteur direct

@ (Z~ r | A) = Z I | A. gf Soit c s l ' image de c. Les morphismes (3 .5 .1) et extensions centrales (3 .5 .2) d6finies par c' et c s donnent lieu k un isomorphisme

0 ~ H2(S ', a (2) ) > E(c') > G'(S')

( 3 . 9 . 5 ) ~

0 , H*(S , f .A(2) ) > E(cs) > G(S)

> Hs(S ', A(2))

, Hs(S , f . A(2)).

Pour construire (3.9.4) ~ partir de (3 .9 .5) , on utilise la fonctorialit6 de 3 .5

pour le morphisme trace Tr I : f . A -+ A. Un calcul local sur S montre que

Tr I : Z I | A -~ Z* | A

envoie c s sur c, et (3 .9.4) est le compos6 (3 .9 .5) et de

0 > H*(S , f .A(2) ) > E(cs) > g(S) > Hs (S , f .A(2 ) )

l Trf ~ l Trf 0 ~ H~(S, h(2)) > E(c) ~ G(S) > H3(S, h(2)) .

Construisons (3.9.5) . La fonctorialit6 en S de 3.5, pour G e t f , A, fournit un diagramme commutat i f

( a . 9 . 6 )

0

0

> H2(S , f .A(2) ) , E(cs)

F ' * E ( f * , H ( S , f f . A(2)) >

> G(S) , H3(S , f .A(2) )

> f * G(S') > H s ( S ' , f * f . A ( 2 ) ) .

70 P. D E L I G N E

La fonctorialit6 en A de (3.5), appliquSe ~t S', f * G et au morphisme d'adjonction adjA : f * f . A -+ A, fournit un diagramme commutat if

(3 .9 .7)

0 , H z ( S ' , f ' f . A(2))

0 > H"(S', A(2))

)- E ( f * cs) > f * G(S') , Hs (S ' , f* f , A(2))

E(adjA f• cs) .. > f * G(S') , H3(S ', A(2)).

Le morphisme d'adjonction adjo : f* G = f ' f , G ' - + G' dSfinit adj~ : Z r -+f* Z* I. Une vSrification locale laissde au lecteur donne

0 . 9 . 8 ) adjAf*(cs) = adj~ c'.

De 1~, un diagramme commutat i f

0 ~ H2(S ', A(2))

(3 .9 .9)

0 > H2(S ', A(2))

:~ E(adjAf*Cs) :, f*G(S ' ) :. Hs(S',A(2))

> E(c) ~ G'(S') , Hs(S',A(2)).

On dSfinit (3.9.5) comme ~tant l'inverse du composS de (3.9.6), (3.9.7) et (3.9.9) : les isomorphismes H * ( S , f . A ( 2 ) ) = H~(S',A(2)) utilisSs en (3.9.5) pour i = 2, 3 sont le composS

H' (S , f . A(2)) s__~ H , ( S , , f . f . A ( 2 ) ) ~ H'(S', A(2))

et l 'isomorphisme G(S) ----- G'(S') est le composS

G(S) --+f* G(S') ~ G'(S').

(iv) Exemple. - - Soient u : G -+ H, I e t J comme en (ii) et tu* : Z r -+ Z a l e transposS du morphisme u* de (3.9.1). Le faisceau localement constant I e s t le faisceau des sections locales d 'un schdma fini Stale sur S, encore not5 I. Soit G O le schdma en groupes simple simplement connexe sur I tel que, pour i une section locale de I, i* G O soit le

facteur simple G, de G. On a G = H G0 et G(S) = G0(I ) . De m~me, H = 1-[ Ho, I/S JIS

H(S) ----- Ho(J) et u dSfinit un morphisme encore nots u de Go(I ) darts Ho(J). DSfinissons c a e H~ Z I | Z I | Z/n) par

c o = ~ e, | e, (mod n).

Notom E(Go) l'extension canonique (3.6) de Go(I) ~ par H2(I, Z/n(2)) . Par (3.9.5), elle s'identifie ~t l'extension E(co) de G(S) ~ par H2(S, Z | Z/n(2)). De m~me pour H,

a v e c r ~ ~. e ~ ( ~ e j . $

EXTENSIONS CENTRALES DE GROUPES ALGt~BRIQUES 71

Par (3.9.2), on a un diagramme commutat if

(a.9.1o)

0 , H~(S, Z a | , E(u" @ l(c.)) > G(S)

0 ~ H~(S, ZaNZln(2 ) ) �9 E(c,) , H(S)

> Hs(S, ZJNZ/n(2) )

> Ha(S, Z" | Z/n(2)).

O n a

(u* @ 1) (c~) = ]g u*(e~) | e~ = Y~ (u*)'je, @ ej

= Z e , | tu*(ei) = (1 | 'u*) (ca).

La fonctorialit~ en A de 3.9 (i), appliqude ~u*| Z[n, fournit

(3 .9 .11)

0 , H~(S, Z ~ | , E(ca) , G(S) > Hs(S, Z x| Z/n(2))

0 > H2(S, ZJNZ/n (2 ) ) > E(u*| �9 G(S) ~ Hs(S,Z~|

Notons encore *u* le morphisme

H*(I, Z/n(2)) = H*(S, Z* | H*(S, ZJ| = H*(J, Z/n(2)).

Composant (3.9.11) et (3.9. I0) et r~crivant les deux lignes par (3.9.5), on obtient un diagramme commutafif d'extensions canoniques 3.6

HS(I, Z/n(2)) , E(Go) > Go(I)

? l l H ' ( J , Z/n(2)) �9 E(Ho) > H0(J)

> Ha(I, Z]n(2))

I t U *

�9 H"(J, Z/n(2)).

4. Ca lcu l s de c o m m u t a t e u r s

4 . t . Soient G, I, A, c et c c o m m e en 3.5 et H' le sch6ma en groupes des automorphismes de G. Localement sur S, H ' est une extension du groupe fini F' des automorphismes du diagramme de Dynkin de G par le groupe adjoint G ~a. Le groupe F' agit sur I. Soient F C F' le fixateur de c et H l 'image inverse de F dans H'. C'est le sch6ma en groupes des automorphismes de G fixant e.

Le groupe H(S) agit par transport de structures sur l'extension centrale E(c) (3.5.2)

de G(S) ~ par H*(S, A(2)).

Proposition 4.2. - - Pour h e l l ( S ) l'image dans G~o(S) de hi e G(S), l'action par transport de structures de h sur E(c) cofncide avec int(hl) ddfini par (2.12.1).

72 P. DELIGNE

D'apr~s 2.12, si hi ~ G(S) ~ cette action est donc encore Faction par automorphismes inttrieurs d 'un quelconque rel~vement de h 1 dans E(c).

Preuve. ~ Soient h E H(S) un automorphisme de G prtservant c et c 3 + c ~ + c 1 + c o comme en 2.4 un cocycle reprtsentatif de e, dans le complexe (2 .3 .4 ) . Par hypoth~se, il est cohomologue tt son image par h, i.e. ~ son image inverse par l 'automorphisme h-1 de BG :

(4 .~ .1 ) 2c+ -- h(X c+) = ~b,

b ----- b z + b 1 + b ~ avec b i ~ P(G s-i , ~s). Par (1.10.2) la cochalne b v~rifiant (4.2.1)

du complexe (2.3.4) est unique tL 1'addition pros d 'un cobord. L'extension centrale E(c) est d~finie par le cocycle ~ q, et h se prolonge trivialement en un isomorphisme de E(c) avec l'extension ddfinie par le cocycle k(~ q). Cette derni~re s'identifie A E(c) par (4.2.1) et (2.5.1). L 'acdon de h sur l'extension centrale E(c) de G(S) ~ admet done la description suivante. Soit (g; x) dans E(c) : g ~ G(S) ~ et x ~ E(g). On a

(4 .2 .~) h: (g; x) ~-~ (h(g); x - - b , (h (g ) ) ) .

Si h est intdrieur : image de hi ~ G(S), l 'automorphisme k = int hi de BG est homotope tt l'identitd. L'homotopie est un morphisme de schdmas simpliciaux

H : B G • Ax-+BF.

L' image par H du produit d 'un 2-simplexe (a, b) par A x est donn~e eomme suit :

h~

Cette homotopie fournit un choix naturel pour b :

(4 .2 .3 ) : b2(a) = c2(a, hl) - - c2(h i , h ? ~ ahl)

b~(a, b) = - - q ( a , b, hl) + q ( a , hx, h;-l bhl) ~ q ( h x , h~ ~ ahl , k-; -~ bhx)

bo(a , b, c) = co(a , b, c, lq) - - Co(a, b, hx, h i -1 Chl) + Co(a, h? 1 bhl, hi Chl) -- Co(h , h7 h; bhl, h-? Chx).

ConformEment h la notation introduite en 2.1, la premiere ligne signifie que

b~ = ,~ q - q~ c9., pour q~l (resp. q~2) : G ~ G • G rappl icadon a v-~ (a, hi) (resp.

a ~ (hl , h ~ l a h l ) ) . J 'avoue avoir utilis6 l 'homotopie pour deviner (4.2.3), et avoir ensuite vtrifi6 (4.2.1) par force brutale, apr~s avoir ajust6 les signes.

E X T E N S I O N S CENTRALES DE G R O U P E S ALGI~BRIQUES 73

Pour ce choix de b, Faction (4.2.2) s'dcrit

(4 .2 .4 ) (g; x) ~-~ (h lgh~ l ; x + C2(hl, g) - - c ~ ( k l g h l - ' , hi) ).

On retrouve (2.12.1) , ee qui vErifie 4.2.

4 .3 . L'act ion par transport de structures de H(S) sur E(c) induit une action triviale sur le noyau H~(S, A(2)). Pour h e H(S) et g e G(S) ~ image de ~ dans E(c), le (( eommuta teur ~ h(~) ~-1 ne depend done pas du ehoix du rel~vement ~ de g. I1 ddfinit

(4 .3 .1 ) (h,g) :---- h ( F ) ~ - I : H ( S ) )< G(S)~

Construction 4 . 4 . - - Nous construirons une application

(4.4.1) (h,g) :H(S) • G(S) -+E(c)

prolongeant (4.3.1) et qui, pour h image de h 1 ~ G(S) par G ~ G ~ ~-+ H, redonne (2.12.3) .

Pour g e G(S) ~ image de ~'e E(c), exprimant que

(h, g) ~" = h(~),

on dEduit de (4.2.2) que

(4 .4 .2 ) (h, g) : (h(g) g - i ; __ b,(h(g)) - - c,(h(g) g - X g ) ) .

VErifions que pour g quelconque dans G(S), on a encore

- - b~(h(g)) - - c~(h(g) g -X ,g ) eE(h(g) g-X), i.e.

(4 .4 .3 ) cz(h(g) g-X) = d " [ - - b2(h(g)) - - c~(h(g) g- i , g)].

Appl iquant la propridtd de cocycle de c ~ h(g) g-X e t g, on obtient

cz(g ) _ c3(h(g)) + cz(h(g ) g-X) = d" c2(h(g) g-X, g).

t~crivant (4.2.1) sous la forme h* ~c~ -- ~c~ -- dh* b, on obtient

ca(It(g)) - - ca(g ) = - - d" b2(h(g) ).

La somme de ces identitEs donne (4 .4 .3) . DEfinissons (4.4.1) par (4.4.2) . La cocha~ne b vErifiant (4.2.1) 6tant unique

l 'addition d 'un cobord prEs, l'E1Ement (h, g) de E(c) obtenu ne depend pas du ehoix de b. Si h e s t l ' image de h~ e G(S), on peut prendre b donne par (4 .2 .3) . On a alors

(h, g) : (h(g) g - ~; - - c~(h~ gh[ x, h~) + c9.(h1, g) - - c~.(hx gh ; ~ g - x, g))

en accord, comme promis, avec (2.12.3) .

10

P. DELIGNB

Corollaire 4 .5 . - - Soit Z Ie centre de G.

(i) Pour z e Z(S), l'automorphisme int(z) (2.12) de l'extension centrale E(c) de G(S) ~

est triviale.

(ii) Pour g e G(S), le commutateur (z, g) (2.12.3) est trivial.

En particulier, l'image inverse de Z(S) clans E(c) est centrale.

Preuve. - - L'image de z dans H eat la section neutre de H.

4.6. Comme en 2.12, l'intdr~t de cette construction eat de s'appliquer ~t des cas universels, que l 'on peut espdrer calculer. Nous noterons par un indice X l'effet d 'un

changement de base X - + S. Soit G C H X G le sous-sch~ma des (h, g) tels que h fixe g. I1 contient H x e et

e x G. Son image inverse Ct dans G X G par l 'application (G --~ G~a ~--~ G) • G eat

le sous-sch~ma de G x G not6 C en 2.12. Sur C, H c et G c ont des sections universellea h c e t g c , correspondant ~t prl, pr~.

Par d~finition de O, h c e t gc commutent et (4.4.1) devient

(4.6.1) [comm] : = (hc, go) e H ' (G, A(2)).

Si h e H(S) fixe g e G(S), le (~ commutateur )~ (4 .4 .1) de h et g est (h, g)* [comm].

D'apr6s 4.4, l ' image inverse de [comm] sur C1 est donn6e par (2.12.4) .

Construction 4 .7 . ~ Nous prdcisons la dasse 4 . 6 . 1 en une classe

[comm] e H~(C m o d e • G u H x e, A(2)),

d'image inverse dans H~(C1 rood e X G u G x e, A(2)) la classe (2.14.2) .

Changeons de base par H -+ S. Sur H, on dispose de la section universelle h~r

de H~, correspondant ~t l 'application idenfique de H. Notons encore c, l ' image inverse de c, sur BG~ et soit b vfirifiant (4 .2 .1) , pour h = hE. Si l 'on change de base par la section neutre : e : S ~ H, b devient un cocycle. Corrigeons b par l ' image inverse de ce cocycle par H - + S. Nous obtenons ainsi une nouveUe solution de (4.2 .1) . Elle

s 'annule par le changement de base e : S -+ H. Le sous-sch~ma C de G~ = H x G eat un sous-schdma en groupes de G•. La

restrlcdon k BC C BGn annule le premier membre de 4 .2 .1 . L' image inverse de b sur BC

est donc un cocycle. En particulier, sur C, on a dbz = O. Puisque b~ eat dans le complexe (2.3 .4) , la restriction de comm & H • ( e } eat

nulle. Sa restriction ~t e x G eat nulle par construction. Ddfinissons la classe cherch~e comme dtant celle de b 2. I1 reste ~t vdrifier la compa-

dbilit~ avec la classe (2.14.2) . Changeons de base par G -+ G ~a r H. Sur G, on dispose de la section univer-

selle ha de G G. L' image inverse de b eat caractdris~e ~t un cobord pros par

Z c , - hG(Xc , ) = ab.


Cette unicit6 permet, dans le calcul de l 'image inverse de [comm] sur C1, de remplacer l ' image inverse de b par (4.2.3) . On obtient le cocycle repr6sentatif

r g) - - c2(g, h),

en accord avec (2.14.2) .

4.8. Soient T u n sous-sch~ma en tores maximaux de G e t T ~ son image dans G ~. Restreignant la classe (4.7) ~ T ~ • T C C, on obtient une classe

(4.8.1)

telle que pour h

u e H 2 ( T ~ • T m o d T ad • • T ,A(2) )

dans T~(S) et g dans T(S), le commutateur (4.4) de h e t g soit

(h, g) ----- (h, g)* u e Hs(s, a (2) ) .

D'apr6s 4.7, l ' image inverse de u dans

H2(T • T mod T • e t.) e • T, A(2))

est la classe calcul6e en 3.2. Soient X = Hom(T,G, , ) et X ~ a = Hom(T~a,G,,). Par la suite spectrale de

Leray pour la projection sur S, on a (cf. 3.1)

(4 .8 .2 ) H2(T ~ • T mod T ~d • e u e • T, A(2)) ----H~ X ~ | X |

Le calcul de u (4.8.1) est donc une question locale sur S. Localement sur S, G est un produit de facteurs simple G+. La ddcomposition

G = 1-I G i induit des d~compositions de T, T ~a, X, X ~ et leurs duaux Y, y,a. Comme observ6 en 1.7.8, pour chaque i, si Q+ est la forme quadratique Q. de 1 .7 .5 sur Y+, la forme bilin~alre associ6e B~ se prolonge en un accouplement B+ : Y~ X Y, -+ Z.

Posons Bc = ]~q B+- C'est une section globale, sur S, de X ~ | X • A, et son image dans X @ X | A est la section B c (3.2) de X | X | A. Elle est caract6risde par cette propri6t6, et sa fonctorialitd en A. I1 r6sulte donc de 3 .2 que u correspond par 4 . 8 . 2

- - B , . Comme en 3.4, on conclut

Proposition 4 .9 . - - Avec les notations prdcddentes, si Og et Oh sont les cobords 3 .3 de g e t k,

le << commutateur >> (4.4) est donnd par

(h, g) = -- "~(Oh | Og).

Cas particulier : si g se rel6ve en f i e E(c), cette formule calcule h(~) ~--1.

5. Corps locaux

5.1. Soit F u n corps local, i.e. localement compact non discret. Si F _~ C, la coho-

mologie galoisienne de F est nulle. On suppose dor6navant F non isomorphe k C.

76 P. DELIGNE

Soient ~t,(F) le groupe (fini) des racines de l'unit6 contenues dans F, et N son ordre. Si F est d'exposant caractdristique p >1 2 : F _ k((t)) avec k fini, on a ~(F) = k* et N e s t premier ~t p.

Soient F une cl6ture s6parable de F, M un Gal(F/F)-module fini, d 'ordre premier p e t M' : = Horn(M, F*) (dualit6 de Cartier). Le cas qui nous int6resse est celui oih

M = Z/n(2), avec n premier ~t p, et off M' -- Z / n ( - - 1). Supposons tout d 'abord F non archim6dien. Les th6or$mes de dualit6 en Gal(F/F)-cohomologie (Poitou (1967), exp. 12, w 2) assurent alors que le cup-produit ~t valeurs dans H2(F *) = Br(F) = Q / Z fait de H~(M) et H2-~(M ') les duaux l 'un de l'autre, pour une dualit6 (de Pontrjagin) ~t valeurs dans Q./Z. Pour F = R, la cohomologie H~(Gal(C/R), ) est ~t remplacer par la cohomologie de T a t e H~, qui fournit des groupes annul6s par 2. La dualit6 est ~t valeurs dans ~2(~.) = n2(~.) ___ Br(R) = (Q./Z)2 C Q / Z (lot. cir., w 3).

Darts la dualit6 entre Z/n(2) et Z / n ( " 1), le morphisme de r6duction modulo n : Z/nm(2) --> Z/n(2) a pour transposd la multiplication par n : Z / n ( - - 1) --> Z/nm( - - 1). Soit (n, N) le plus grand commun diviseur de n et N. La multiplication par n/(n, N) : Z(n, N) (-- 1) --> Z[n(- - 1) induit un isomorphisme sur H ~ Par dualitd, on a done

Lemme 5 .2 . - - Z~ morphisme de rgduction modulo (n, N) est un isomorphisme

H' (Z/n(2) ) -% H~(Z/(n, N). (2)).

5.8. Pour n divisant N, l 'action de Galois sur Z/n(1) est triviale et

Hz(Zln(2)) = Hs(Z / , (1 ) ) (1) = Br(F), (1).

Puisque Br(F), = Z[n, on a done simplement

O . 8 . 1 ) H'(Z/n(2)) = ~z,(F),

le morphisme de r6duction modulo n &ant

(5.3.9.) H"(ZlN(2)) -+ H'(Z/n(2)) : x ~ x s/" : ~t(F) -+ tz,(V).

Combinant 5.2 et (5.3.1), (5.3.2), on obtient

Construction 5.4. - - Le systkme projectif des H~(Z/n(2) ) pour n premier ~ l'exposant carac- tgristique p s'identifie au syst&ne projectif des tt(,,N), avec pour morphismes de transition les

~(,,,~) ---> ~t(,,~) : x ~-* x ('~'~)/(n'm pour n ] m.

En particulier, pour N [ n, on a

(5.4.1) n ' ( z / n ( 2 ) ) = . ( r ) .

Quand il y a lieu de pr6ciser quel est le corps F consid6r6, nous 6crirons H*(F, Z/n(2)) ou H*(Gal(F/F), Z/n(2)), plut6t que H*(Z/n(2)). C'est un groupe de cohomologie 6tale


de Spec(F). Pour F 1 une extension finie de F, on dispose de morphismes image inverse et trace :

H*(F, ) ~ H * ( F ~ , ) et H*(F~, ) - ~ H * ( F , ),

de composd la multiplication par IF a : F]. Dam le langage de la cohomologie galoisienne, l ' image inverse est la restriction et, si F 1 est s6parable sur F, la trace est la corestriction.

Proposition 5 .5 . - - Soit F 1 une extension finie d'un corps local non archimddien F. 8oient N et N1 les ordres de ~z(F) et ~(F1). Fixons n divisible par N 1 et premier ~ l'exposant caractg-

ristique p. (i) Le diagramme

H2(F~, Z/n(2)) = ~(Fa)

Ha(F, Z/n(2)) = V(F)

est commutatif. (ii) La norme N~IF envoie ~(Fx) dans ~(F). Sur ~z(F1) , cUe est done de la forme x ~ . x "Nxm,

avec ~ dans Z/N. /2 diagramme

Ha(F, Z/n(2))

I'-I2(F1, Z/n(2))

est commutatif.

Preuve. - - Via les identifications des groupes de Brauer de F et F 1 avec Q/Z, la norme : B r ( F 1 ) ~ B r ( F ) est l'identit6 de Q./Z. Pour x ~ H*(F, Z/n(a)) et

y ~ H2-*(F1, Z/n(b)) avec a + b = 1, on a dans le groupe de Brauer

x. Tr (y ) = Nrt/F(res(x ) .y),

i.e. pour la Q./Z-dualit6 utilisde en 5.1,

(5 .5 .1) < x, Tr (y) ) = < res(x),y ).

Les assertions 5.5 rdsultent de 5.5. I par un calcul laiss6 au lecteur, dont les points essentiels sont :

a) Soit x e H~ Z / n ( - - 1)), identifid ~t x : ~ ( P ) -+ Z/n. Le morphisme x, 6tant invariant par Galois, il existe un morpkisme X de ~t(F) dans Z/N tel que x(~) = dX(~ a)

avec d =- n/N. S i y e Ha(F, Z/n(2)) correspond par (5.4.1) ~ ~ e t~(F), on a

1 _1 x(~/a). ( x,y ) = N = n

78 P. DELIGNE

b) Pour x e H~ Z ] n ( - - 1)) : ~z,(F) ~ Z/n, on a res(x) = x.

c) Pour n = N 1 et x e H~ Z/N1(-- 1)) : ~z(F1) --> Z/N1, Tr(x) est

= : - + Z / N 1 .

Remarque 5.6 . - - Pour n premier ~t p quelconque, l 'applicat ion norme de F 1 h F

envoie ~tc,,Nll C ~z(F1) dans ~zl,,~r~ C ~z(F), donc est de la forme x ~-~x ~'l"'~ql/l"'~rl. On drdu i t de 5 .5 que la trace et la restriction, en cohomologie h coefficients dans Z/n(2), s ' identifient par 5 .4

T r : x ~-~ x ("' Nl)/(n' N)

res : x ~-o x ~'.

Exemple 5.7 . - - Soient O l ' anneau de la valuat ion v de F, m son ideal maximal ,

k = Olin le corps rdsiduel et (changement de notations) p la caract6ristique r6siduelle. Pour n ----- ]k* l, on identifiera ~t,(F) k k* par l ' isomorphisme de r~duction modulo m :

k*.

L'ordre de k* est la partie premirre ~t p de l 'ordre de tz(F) et, par 5.4, on a done

O . 7 . 1 ) HZ(F, Z/n(2)) ~ k *

pour n premier ~t p e t divisible par ] k* 1.

Soient F1 une extension finie de F, 01 l ' anneau de sa valuation, k 1 le corps rrsiduel

et e l ' indice de ramification de F1 sur F. Le d iagramme

O 1 > k 1

0" ~ k*

est commutat i f . Par ailleurs, pour l 'extension de corps finis kx/k , la norme est x ~--~x I kl l/l k* I.

Appl iquant 5 .6 k n premier ~t p et divisible par I k~ I, on trouve que les morphismes trace et restriction, pour H2(F, Z/n(2)) et H2(F1, Z/n(2)) s'identifient respectivement ~t

( 5 . 7 . 2 ) Nkl/k : k~ -+ k* et x ~ x* : k* -+ k~.

En fait, le cup-produi t 0,, x ..-. O,,y des cobords de K u m m e r

F" | F* ~ Hi(F, Z/n(1)) | HI(F, Z/n(1)) --> H2(F, Z/n(2)) = k*

est le symbole modrr6 : la r6duction mod m, dans k*, de

( - - 1) ~'~1~'~' x,,~, /y,,,,,.

II serait facile d 'en drdui re (5 .7 .2) .


Exemple 5.8. - - Supposons F de caractrristique 0 et de caractrristique rrsidueUe p, et considdrons H~(F, Z/n(2)) pour n une puissance de p. Si la puissance est assez grande, on obtient par 5 .4 la p-patt ie ~t(F)~ de ~t(F).

Supposons tout d 'abord que p 4 :2 et que F contienne une racine primitive p-i~me de l'unit~. Soit F~r~l l 'extension p-cyclotomique de F. Le groupe de Galois Gal(Foy~l/F ) est un sous-groupe d' indice fini de (1 + pZ~)*. I1 est donc de la forme (1 + p ~ Z~)*, et [ ~t(F)~ [ = p*. Soit F 1 drdui t de F par adjonction d 'une racine de l 'unit6 ~ d 'ordre p~, b > a. Le polyn6me minimal de ~ sur F est X ~ b - * - ~ b - ~ = 0, de sorte que

N~x/~(~) = ~ - ' . Avec les notations de 4.6, s i n est une puissance de p divisible par p~, on a donc v' = 1 : le d iagramme

( 5 . s . a )

H*(F, Z/n(2)) = 5 ,

H'(FI, Z/n(2)) =s . , ~(F1),~ ,

est commutatif . Pour p = 2, les m~mes arguments s 'appliquent, avec la m~me conclusion, si F

contient une racine primitive quatriSme de 1. Dans le cas contraire, ~(F)2 est r6duit h • 1 et pour toute extension F 1 de F de degr6 pair et tout n puissance de 2, le morphisme de restriction de H*(F, Z/n(2)) h H*(Fx, Z/n(2)) est nul.

5 .9 . Soit G un groupe algrbrique simple simplement connexe (0 .N.4) sur F. Prenons n inversible dans F et divisible par I vt(F) 1, et soit e le grnrra teur canonique 1 de f i ' (BG, Z/n(2)) ~ Z[n (3.6).

Si F est r6el, le systtme projectif des

H3(Gal( /F), Z/n(2)) = Hs(Z/2, Z/n) = Hi(Z/Z, Z/n) = Horn(Z/2, Z/n)

est essentiellement nul. Si F est non archimrdien, F est de dimension cohomologique 2 et H~(Gal(F/F), Z/n(2)) ----- 0. L'application ddfinie par e :

G(F) -+ H"(Gai(F/F), Z[n(2))

est donc trivialement nulle. Le m~me 6nonc6 a 6t6 prouv6 pour un corps quelconque en 1.11 comme consrquence de Merkurjev-Suslin.

D'apr~s (2.7.2) et la dr terminat ion 5 .4 de H~(Gal(F/F), Z/n(2)), l 'extension centrale drfinie par r est indrpendante de n divisible par [ vt(F) [. C'est une extension centrale topologique (2.9) canonique

( 5 . 9 . 1 ) 0 -+ t~(F) -+ G(F) - -+ G(F) ~ 0 .

5.10. Supposons F non archimrdien. Avec les notations de 5.7, prenons n premier la caractrristique rrsiduelle p e t divisible par [k* 1" D'aprrs la dr terminat ion (5.7.1)

80 P, DELIGNE

de H' (Gal (F/F) , Z/n(2)), l'extension centra/e de G(F) d4finie par le gdn4rateur canonique de H4(BG, Z/n(2)) est une extension

(5 .10 .1 ) 0 -->k* -+ G(F) ~ --> G(F) -+0

inddpendante de n. Elle se d4duit de l'extension (5 .9 .1) en poussant par

~t(F) - + k * : x ~ - ~ x " m o d m avec a----l~t(F) [/Ik*l = I~t(F),I.

Sa fonctorialit4 en F est contr61de par 5.7 : pour F 1 une extension finie de F on a un diagramme commutat i f

0 > k* > G(F) ~ - > G(F)

0 > k I ) G(F1) ~ > G(F1)

> 0

> 0 .

I1 r~sulte de (5.10.2) que

Proposition 5.11. - - Pour F x une extension non ramifige de F, l'extension 5.10 .1 v#ifie

G(F)- G(Vl)" ~ 'F'.

Pour la p-parfie de ~(F), et F 1 une extension p-cyclotomique, 5 .8 fournit un r4sultat similaire, saul pour p = 2 lorsque F ne contient pas les racines 4-i~mes de l'unit4.

5.12. Supposons F non archim4dien et reprenons les notations de 5.7. Soient G semi-simple simplement connexe sur Spec(@), d' image inverse Gr sur Spec(F), et n premier h la caract4ristique r6siduelle p. Le g6n6rateur canonique c F de H*(BG~, Z/n(2)) se prolonge uniquement en c o e Ha(BG, Z/n(2)). Le corps rdsiduel k est fini, de dimension c0homologique 1. Par 2 .7 (iii), on a donc G(@) ~ = G(O) et l'extension E(cr est une extension par le groupe trivial. La fonctorialit6 (2.7.2) pour Spec(F) --> Spec(O) se

rdduit k un scindage

G(e)

/ 0 > H~ Z/n(2)) ) E(cF) ) G(F) > 0.

Si B v est un sous-groupe de Borel de Gr, B r provient d 'un sous-groupe de Borel B de G (propret4 de la vari4t4 des Borel). Soit U son radical unipotent. Le scindage 2 .11 .5 4tant fonctoriel en S, sur U(@) =- G(@) ca U(F), les scindages 5 .12.1 et 2 .11 .5 coincident.

Par contre, si g[G(@)] est le conjugud de G(@) par un dl6ment du groupe

adjoint G~a(F), correspondant k une nouvelle structure enti~re sur G, les scindages (5.12.1)

pour G(@) et g[G(@)] sont conjuguds par g et ne coincident en g~ndral pas sur

G(@) ca g[G(@)].


Pour n premier h p et divisible par [k* l, (5 .12.1) se rdcrit

G(O)

0 ) k* > g(@) ) G(F);

6. Corps globaux

6.1. Soit F u n corps global. Pour F une extension finie de Q , on note X le spectre de l 'anneau des entiers 0 de F. En caract6ristique p 1> 2, on note k le corps des constantes de F et X la courbe projective non singuli~re sur k dont F est le corps des fonctions rationnelles. Soient ~t(F) le groupe (fini) des racines de l'unit6 contenues dans F, et N son

ordre. En caract~ristique p/> 2, ~(F) -----k* et N est premier ~t p. On note F~ le compl6t6 de F e n une place v. Si v est non complexe, on note N(v)

l 'ordre du groupe ~t(F,) des racines de l'unit6 contenues dans F,. Soit S le compl6ment dans X d 'un ensemble fini T I de points ferm6s, identifi6s

~t des places de F. Soient T| l 'ensemble des places archimddiennes de F et T* : = T s H T~ . Les places complexes ne joueront qu 'un r61e de figurant, et on aura parfois ~ remplacer T*

pa r T : = T s H { places r6elles }. Soient M un faisceau localement constant sur S, k fibres finies d 'ordre premier

aux caract6ristiques rdsiduelles, et M' : = o~orn(M, Gin). Le cas qui nous intdresse est celui off M = Z[n(2), avec n inversible sur S, e t M' = Z/n ( - - 1). Comme d a m le cas local, on dispose de thdor~mes de dualit6. Ils relient Hi(S, M) et Hs-~(S~ ~ , M'), pour H~ une cohomologie ~t support compact convenablement d6finie : la cohomologie relative de S modulo les Spec(F~), v e T, sauf que pour les places r6elles, on remplace la cohomologie 6tale par celle de Tare (J. S. Milne [1986], II, 3.3). La dualit6 est donn6e

par le cup-produit ~t valeurs dans Hs,(U, Gin) = Q/Z .

Proposition 6.9.. - - Sauf pour p >f 2 et S = X , le syst~me projectif des Hs(S, Z/n(2)) (n inversible sur S) est essentMlement nul.

Preuve. - - Si F une extension finie de Q , le cas S = X est inint6ressant : il ne

permet que n ---- 1. On peut done supposer et on suppose que T s est non vide. Si F n 'a pas de place r6elle, pour M e t M' comme en 5.1, on a alors H~ M') = 0 et done par dualitd Hs(S, M) = 0. Darts le cas g6n6ral, la suite exacte longue de cohomologie

relative fournit un isomorphisme

0 H-~(F , , M') ~ H~ M') place8 r~elles

et par dualit6

H~(S, M) -% @ HS(F~, M). placea r~elle~

On conclut par 5.9.

11

82 P. D E L I G N E

La dualitd fournit par les arguments utilisds en 5 .4 :

Construaion 6.8. ~ Le systkme projectif des H~(S, Z/n(2)) pour n inversible sur S s'iden-

( 6 . 3 . 1 )

Hs(S,Z/n(2)) ,

est nul. L'applicadon | est

(6 .3 .~ . ) (x,) ~ n ~'",~'~'"","

@ HS(F,, Z/n(2)) �9 H',(S, Z/n(2)) T

T

6.4. Soient G u n schdma en groupes simples (0. N.4) simplement connexes sur S et n inversible sur S. En caractdristique p I> 2, on suppose que S 4= X. Par 6.2 et la fonctorialitd 2 . 7 (ii), le gdndrateur canonique 3.6 de ~4(BG, Z/n(2)) fournit pour chaque v e T u n morphismc d'cxtensions centrales

0 ~ H"(S, Z/n(2)) ~ Es

0 -, H"(F, ,Z/n(2)) > E,

et pour v e S, par 5.12, un diagramme commutat if

0 ~ H'(S, Z/n(2))

( 6 . 4 . ~ ) o , o

0 > Hs(F,, Z/n(2))

.> G(S) > 0

1 > G(F~) , 0,

, Es > G(S) , 0

G(O,) o (oo) , o

, E, , G(F~) > 0.

Pour v complexe, la fonctorialitd se rdduit au diagramme trivial

0 ~ H'(S, Z/n(2)) > E s .~ G(S) > 0

o , o ,. c ( c ) G ( c ) , o.

title au syst~me projectif des ~.,s~(F), avec pour morphismes de transition les

btc,~,~ --~ ~-~..z~ : x ~ x "'~u<''z~ pour n [ m.

En particulier, pour N I n et n inversible sur S,

Hi(S, Z/n(2)) = ~(F) .

Ce qui nous importe est que le compose


Soit E[o~.s le produit des extensions centrales en deuxi~me ligne de (6 .4 .1) , (614.2) et (6 .4 .3) . On obfient

(6 .4 .4 )

0 > H2(S, ZinC2)) ~ E~ > G(S) - 0

0 :. @ H2(F,,, Z/n(2)) ---> E,;,., s > [I G(F,) x H G(r x �9 E T r ~ T ~ E 8

II OCF,) , o. r

Pour S un ouvert de plus en plus petit de X, les diagrammes 5 . 4 . 4 forment un syst6me inductif, de limite inductive

0 >, He(F, Z/n(2)) : , E F - - ~ G(F) > 0

0 > @ H*(F, ,Z/n(2)) ~ E~ > G(A) > 0

off Ek est le produi t restreint, &endu k toutes les places de F, des extensions E, . Le produi t restreint est pris relafivement aux images par les sclndages (5.12.1) des sous- groupes G(O.), v e S .

Soit E,~,s l 'extension d~duite de Et'~,s en poussant par le morphisme | de (6 .3 .1) . D'apr6s (6 .3 .1) , le morphisme d'extension (6.4.4) fournit un scindage

G(S)

~,.,~,(F) --~ E,~.~ > II G(F,) x II G(~) x II G(F,). v E T v ~ 8 complexe

La limite inductive des extensions E~, s est l 'extension E A ddduite de E~ en poussant (n, N~)/(. N) de m~me par (x~ I-I x,

un scindage

, et la limite inductive des scindages (6.4.6) est

G(F)

0.

Pour n divisible par N, le d iagramme (6.4.7) devient ind~pendant de n. II s '&rit

(6.4.s)

0 �9 ~t(F) > E A

O(r)

/ l �9 G(A) 7 0 .

84 P. DELIGNE

Pour presque chaque place v, l 'ordre N(v) de ~(F,) est premier k la caract6ristique r6siduelle et 5.12 fournit un rel6vement de G(0,) dans l 'extension centrale (5.9.1) de G(F,) par ~(F,). L'extension E A de (6.4.8) est encore d~duite du produit restreint correspondant de ces extensions en poussant par

La fonctorialit6 en F du d iagramme (6.4.8) est donn~e par les formules de 5.5.

7. Questions

Les dnonc~s de cette section sont ~ prendre au signe pr~s.

7 .1 . Soient S, n, T, X, Y comme en ( 0 . N . 7 ) e t c ~ H4(BT, Z/n(2)). La classe c d6finit un morphisme de T(S) darts H3(S, Z/n(2)) et une classe d ' isomorphie d'extensions centrales du noyau T(S) ~ par H~(S, Z/n(2)) (2.6). Pour avoir une extension centrale d6finie ~t isomorphisme unique pr6s, il faut donner c ~ au niveau des cocycles )).

Par analogie avec Deligne (1991), j 'esp6re qu 'on y arrive comme suit.

Espoir 7 .2 . - - Soit Q une forme quadratique ~ valeurs entikres sur Y , de forme bilingaire

associge B. Pour se donner ~ au niveau des cocydes ~ un systkme projectif de classes c , dans les

H4(BT, Z/n(2)) (n inversible sur S ) , dormant lieu localement sur S a Q. mod n (1 .9 ,3 , i -=- 2, 1 .6 .6) , il suffit de se donner une extension centrale de faisceaux sur S

(7 .2 .1) 0 ~G,~ --~ g -+Y -+0,

tetle que le commutateur (Yx,Y~) : Y | -+G, , soit donng par

(7.2.2) (Yl,Y2) ---- (-- 1) B'~''v''-

Voici, de 7.3 ~t 7.6, des indications en faveur de 7.2.

7 .3 . Soit T v le tore sur S pour lequel ~g~'0ms(G~, T v) est le dual yV de Y. Le faisceau ~fOms(Y , G,,) des automorphismes (triviaux sur Y et G,,) d 'une extension (7.2.1) est celui des sections de T v. Pour t ~ T(S) et t' e Tv(S), le produit des cobords d6finis par (3.3.1) :

Ot ,-, Or': T(S) | T'(S) ~ Hi(S, Y | Z/n(1)) | H~(S, yV | Z/n(1)) H*(S,

peut s'interpr~ter comme un morphisme TV(s) dans Hom(T(S) , H~(S, Z/n(2))), groupe qui agit sur toute extension centrale de T(S) ~ par H2(S, Z/n(2)) .

7.4. Si Q e s t donn6 sous la forme C(y ,y) , pour C u n e forme bilin6aire non n6ces- sairement symdtrique, le cocycle ( - - 1 ) c(~a'v2) ddfinit une extension (7.2.1) . Parall6- lement, une extension centrale de T(S) est donnde par le cocycle C(Otx, Ot~).


7.5. Soit d ( Y ) le faisceau des paires (A, q) : A forme alternge entitre sur Y, q application Y ~ G~ vdrifiant

r +y) r q(y)-i = ( _ 1)A,~

La forme quadratique Q dtfinit un torseur PQ sous le faisceau JaT(Y) des formes alterndes sur Y : celui des formes bilindaires enfitres C telles que Q ( y ) = C(y ,y) . Une extension (7.2.1) ddfinit un reltvement de PQ en un d(Y)- torseur : les paires (C, s) avec (3 comme ci-dessus et s une section de d' -+ Y telle que

s(y x q-y,) = s(yl) s(_y,) (=- 1) c('1''r

En fait, la donnde d 'une extension (7.2.1) dquivaut ~t celle d 'un tel rel~vement. Pour (A, q) dans d ( Y ) et t dans T il devrait ~tre possible, ~t l 'imitation de Deligne

(1991), de ddfinir une gerbe (A, q) (t) de lien Z/n(2), cette construction ddfinissant d a m la catdgorie ddrivde un morphisme

(7 .5 .1) ~ : ~ ( Y ) | T -+ Z/n(2) [2].

Un morphisme (7.5.1) induit

(7 .5 .2) Hi(S, ~r | T(S) -+ Ha(S, Z/n(2))

e t, fixant dans le H 1 la classe du M(Y)-torseur ddfini par une extension (7.2.1), un morphisme de T(S) dans Ha(S, Z/n(2)). Ce devrait &re celui ddfini par la classe �9 correspondante.

7.6. Soient G u n sch tma en groupes simples simplement connexes sur S, T un sous-schdma en tores maximaux et X, Y, W comme en (0.N. 7). Uniformdment en n, le gdndrateur naturel (3.6) c , de ~4(BG, Z/n(2)) induit une classe dans Ha(BT, Z/n(2)). Puisque H*(BG, Z/n(2)) = 0 pour i < 4, cette classe induite est ~t considdrer comme ddfinie au niveau des cocycles. En tout cas, l'extension canonique de G(S) ~ par H~(S, Z/n(2)) ddfinie par �9 induit une extension centrale de T(S) ~ ddfinie h isomorphisme unique pr~s.

Soit O la forme quadratique enti~re W-invariante sur Y, vdrifiant Q.(H~) = 1 pour a une racine longue. Pour S le spectre d 'un corps, nous allons construire une extension (7.2.1) adaptde ~t Q. (7.2.2), qui devrait donner les restrictions de r k BT. Puisque, localement sur S, G et T sont ddployts, il suffit de construire cette extension pour G et T dtployts, pourvu que la construction soit fonctorielle en S.

Nous donnerons deux constructions de l'extension voulue. La seconde est une traduction terre ~t terre de la premiere et elle garde un sens pour S quelconque.

Soient done G et T, dtployds, sur S = Spec(F), et construisons une extension centrale

0 ~ F * ~ g ' Z ~ Y ~ 0

vdrifiant (7.2.2).

86 P. DELIGNE

Premikre construction. - - ]~tendons les scalaires ~t F((t)). Le symbole mod6r6

r((t)) | F*

fournit par Matsumoto (1969) une extension centrale

0 -~ F* -~ W -~ G(V((t))) -~ 0,

dont on prend l ' image inverse par l 'application composde

Y ~ T(V((t))) ~ G(V((t))).

Deuxikme construction. - - L'extension 6 ~ est caractdrlsde ~t isomorphisme unique pros par (7.2.2) et comme &ant munie d'applications

[ ] : U~ -- { 0 }-~-~(H~)

v6rifiant les conditions (7.6.1) et (7.6.2) suivantes.

(7 .6 .1 ) Pour a eF" et e~ e U ~ - - { 0 } , [ae~] = aa'~,,'[e~,].

Soit SL(2)~ le sous-groupe SL(2) engendrd par H,(G,,) et lea sous-groupes radiciels U~ et U_ , . Soient N, normalisateur de H,(G,,) dans SL(2), et Na~ : = N, -- H~(G~). Pour dnoncer (7.6.2) nous utiliserons la trijection de J. Tits (Sur lea constantes de structure et le thdorSme d'existence des alg~bres de Lie semi-simples, Publ. Math. I H E g ,

81 (1966), prop. 1, p. 25), entre U , - - { 0 }, U _ , -- { 0 } et N~.

( ' / .6 .2) Pour w~, e~, e_, , dans la trijection de Tits et e3 ~ U ~ - { 0 },

[w~(e~)] = [e d [e~] -~'"~, ~(-- ~(H~)) Q'"~'

avec ~(n) = (-- 1) "~"-1'/~. En particulier,

[e_=] Eel] = (-- 1) Q'"~'.

7.7. Soit G u n sch6ma en groupes r6ductifs (0 .N.4) sur S. II est extension d 'un tore par un groupe semi-simple : le groupe d6riv6 G a~ Soit G '~ le rev&ement s implement connexe de G aer. Pour chaque point g6om6trique ~-de s de caract6ristique 0, la fibre g6om6trique G~ est le rev6tement universel, au sens de la g6om6trie alg6brique, de G~ e'. En ~ mauvaises , caract6ristiques p t> 2, le morphisme 7r : G~ ~ G~ = n'est pas n6ces- sairement 6tale. Si T~ est un tore maximal de G~f, le morphisme ~ induit des isomorphismes sur les sous-groupes radiciels correspondants, et H o m ( G , , T~) est engendr6

par les H~. Soient T u n sous-schdma en tores maximaux de G e t X, Y , W comme en (0.N. 7).

L' image inverse T "~ de T dans G ~ est un sous-sch6ma en tores maximaux de G ~. Soient X ~ et Y~ correspondant k T ~ comme en (0.N. 7).


S o i t Q une forme quadratique enti~re W-invariante sur Y. Par restriction ~t Y~,

elle dtfinit des classes r e H*(BG *, Z/n(2)), pour n inversible sur S. Comme en 7.6, d ie dtfinit aussi une extension centrale de faisceaux sur S

(7.7A) 0 ~ G . ~ ~ ~ Y " ~ 0 .

Espoir 7.8. - - Aveo les notations prdcddentes, la donn~e d'un prolongement de (7 .7 .1) en une exter~ion centrale

G . > o ' ~ > Y "

c',.,.,) f f G ~ > o ~ > Y

ogrifiant (7 .2 .2) dgfinit << au niveau des cocydes ~ des classes c,, e H ' (BG, Z/n(2)) (n inversible sur S) prolongeant les c~, et de restriction ~ BT dgfinies par Q et g.

Remarque 7.9 . - - ]~tant donnds Q et un prolongement (7.8.1) de (7 .7 .1) , on dtfinit comme suit une action sur ~ du normalisateur N de T ~ dans G ~. Pour .~ dam o ~

d' image y dans Y,

a) ract ion de H~(a) est donnde par ~%-..~a~lH='*); b) pour w~, e~, e_~ dans la trijection de Tits, eomme en (7.6.2) ,

w (y) = y levi- �9 (y ) ) Q,H=,.

Si T 1 est un nouveau sous-schEma en tores maximaux de G, les g dans G ~ conju- guant T e n T z forment un torseur sous N. Tordant (7.8.1) par ce torseur, on obtient une donnde analogue pour Tx. Elle dolt donner lieu aux mSmes c,. Cette construction

rend l 'espoir 7.8 inddpendant du choix d 'un tore maximal.

Exemple 7.10. - - Faisons G = GL(N) sur un corps F et prenons pour T u n

tore maximal dtployd. Soient x~ les poids de T dans la repr6sentation standard et

prenons

1

La restriction de Q ~t Y~ est le g6ntrateur positif des formes quadratiques enti~res W-invariantes sur Y ' .

Une reprtsentation lintalre V de G, isomorphe ~t la reprtsentation tautologique,

dtfinit un prolongement (7.8.1) : plonger G dans SL(V | det(V)V), par g ~-~ (g, det(g) -1) et appliquer 7.6 ~t T vu comme tore maximal de SL. Concr$tement, soit e~ la base de Y duale de la base x~ du groupe des caracttres de T et soit V~ le sous-espace de V de

88 P. DELIGNE

poids x~. L'extension o a est caract6risde, ~t isomorphisme unique pr&s, comme v~rifiant (7.2.2) et 6tant munie d'applications

[

v~rifiant

=

Les H, sont les e ~ - ej, et U , = Hom(V~,V~) ~-, v V | Y [ Y~ A o ~ ell la munissant des

[ ] : v71 v, -+

On identifie l 'extemion

Cette construction, V ~-, E, induit un isomorphisme sur les groupes d'automorphismes : de V, comme representation de GL~, et de ~, comme extension centrale prolongeant o ~ C'est donc une ~quivalence de categories : il revient au m~me de se donner une repr6- sentation isomorphe ~ la representation tautologique, ou un prolongement (7.8.1).

Prenons maintenant pour G une forme int~rieure de GL(N) : le groupe multiplicatif d 'une alg~bre centrale simple D sur F. Soit T u n tore maximal. La question ~tant locale, il revient encore au m~me de se donner ~, ou de se donner une representation lin~aire V de G g~om~triquement isomorphe k la representation tautologique de GL(N) : l'existence de o ~ est obstru~e par la classe de D dans le groupe de Brauer.

Si l'on croit 7.8, Its extensions Centrales (3.6) de G~(F) par les HS(F, Z/n(2)) n'ont donc en g~n~ral pas d'extension naturelle ~ G(F). Par contre, si D est d 'ordre k dans le groupe de Brauer, on peut esp6rer que la donn6c d 'un D| simple fournisse une extension naturelle de leur multiple par k.

7.11. Soient F u n corps et n un enticr inversible dans F. Dans cet article, nous avons ~tudi~ des extensions centrales par le groupe de cohomologie galoisienne HS(F, Z/n(2)). D'apr~s Merkurjev-Suslin (1982), ce groupe est le quotient Ks(F ) | Z/n de K2(F ). Le groupe K2(F ) est ~t consid~rer comme un groupe de cohomologie moti- vique HS(F, Z(2)). Nos m~thodes, reposant essentiellement sur les bonnes propri~t~s de localisation, pour la topologie ~tale, des H*(F, Z/n(2)), ne s'appliquent pas ~ Ks(F ). On peut se demander comment y obvier, et dans quelle mesure s'dtendent les fonctorialit~s que nous avons utilis~es. Par exemple : soient T, (i----- 1, 2) deux tores sur un corps F, de cl6ture s6parable F, et Y~ = Hom~(G .... T). Soit B : Y1 | Ys -+ Z invariant par Gal(F/F). La forme B d6finit-elle un accouplement

( ? ) B : T~(F) | Ts(F) -+ Ks(F)

compatible aux accouplements

B(0, tl, 0, ts) : TI(F) | T2(F ) -+ HS(F, Z/n(2)) = Ks(F) | Z/n ?


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Manuscrit re~u le 13 mai 1996.

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Documents

Extensions centrales de groupes algébriques simplement connexes et cohomologie galoisienne