Extraits de sujets d'examensstephane.basnary.free.fr/cifop/BTS/Probabilites (3 Lois)/Lois_exam.pdf · EXERCICE 2011_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2011) Les trois

NOM:................................. – PRENOM: ................................. – Date: ........................ Classe: ......... – Section:................

Extraits de sujets d'examens

Thème:

Loi binomiale – Loi de Poisson – Loi normale – Approximation des Lois

Table des matièresDescriptif des sujets d'examens............................................................................................................2EXERCICE 2013_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2013).....................................3EXERCICE 2012_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2012).....................................4EXERCICE 2011_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2011).....................................5EXERCICE 2010_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2010).....................................6EXERCICE 2009_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2009).....................................7EXERCICE 2008_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2008).....................................8EXERCICE 2007_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2007).....................................9EXERCICE 2006_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2006)...................................10EXERCICE 2005_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2005)...................................11EXERCICE 2013_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2013)...................................12EXERCICE 2012_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2012)...................................13EXERCICE 2011_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2011)...................................14EXERCICE 2010_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2010)...................................15EXERCICE 2009_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2009)...................................16EXERCICE 2008_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2008)...................................17EXERCICE 2007_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2007)...................................18EXERCICE 2006_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2006)...................................19EXERCICE 2005_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2005)...................................20EXERCICE 2006_CPI: (Extrait du sujet groupement CPI – Session 2006)..................................22EXERCICE 2005_CPI: (Extrait du sujet groupement CPI – Session 2005)..................................23

M. Basnary S. Maths – Lois de Probabilités – Sujets d'examens Page n°1/23

Descriptif des sujets d'examens

Loi Binomiale Loi de Poisson Loi Normale Approximation

EXERCICE Ponctuelle Cumulée Ponctuelle Cumulée Probabilité Intervalle ou sigma B ➸ P B ➸ N

2013_Gr_C B. B. A. B.2012_Gr_C C. C.2011_Gr_C B. B. A. B.2010_Gr_C B. B. A. B.2009_Gr_C A. A.2008_Gr_C B. B. A. A.2007_Gr_C B. B. B. B.2006_Gr_C B. B. A. B.2005_Gr_C B.

2013_Gr_B C. C. A. A. B. B.2012_Gr_B B. B. A.2011_Gr_B B. B. A. A.2010_Gr_B A. A. B. B. A.2009_Gr_B C. B. B. A.2008_Gr_B B. B. B. A. B.2007_Gr_B B. B. A.2006_Gr_B C. D.2005_Gr_B B. B. A. A. C.

2006_CPI B. B.2005_CPI A. A. A.

EXERCICE Ponctuelle Cumulée Ponctuelle Cumulée Probabilité Intervalle ou sigma B ➸ P B ➸ N

Loi Binomiale Loi de Poisson Loi Normale Approximation


EXERCICE 2013_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2013)Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

La farine est classé selon des « types » définies en fonction du taux de cendres, c'est-à-dire en fonction du taux de minéraux présent dans la farine. Cette teneur en matière minérale est obtenue par une analyse qui consiste à brûler la farine et à peser le résidu : « les cendres ». Plus la farine est blanche, plus le taux de cendres est faible. Quelques exemples de types de farine courants sont répertoriés dans le tableau ci-dessous :

Type de farine Taux de cendres en % Nom communT 55 Entre 0,5 et 0,6 Farine blancheT 65 Entre 0,62 et 0,75 Farine biseT 80 Entre 0,75 et 0,9 Farine semi-complèteT 110 Entre 1 et 1,2 Farine complète

Le problème porte sur l'étude de la production de la farine semi-complète d'une minoterie.

Partie A. Loi normaleDans un souci de contrôle de la qualité de la production de sa farine semi-complète, une

minoterie décide de procéder à un contrôle du taux de cendres.Le contrôle consiste à prélever 100 g de farine dans un paquet pris au hasard dans la production

de farine semi-complète et à analyser ces 100 g.Un paquet de farine semi-complète est conforme si la masse du résidu, pour les 100 g de farine

prélevés est comprise entre 750 mg et 900 mg, conformément au tableau ci-dessus.On appelle X la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 100 g de farine d'un paquet, associe

la masse du résidu obtenu en mg. On suppose que X suit la loi normale d'espérance 825 et d'écart-type 32,6.

Déterminer la probabilité qu'un paquet de farine, pris au hasard dans la production de farine semi-complète, soit conforme.

Partie B. Loi binomiale et loi de PoissonDans cette partie, on admet que 2% des paquets de la production de farine semi-complète ne sont

pas conformes. On choisit au hasard un lot de 50 paquets de farine semi-complète dans la production. On admet que la production est suffisamment importante pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 50 paquets.

On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de paquets non conformes au type T80, c'est à dire de farine semi-complète. 1. Quelle est la loi suivie par Y ? Justifier. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus un paquet non conforme dans le lot. 3. On considère que la loi suivie par Y peut être approchée par une loi de Poisson.

a) Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson.b) A l'aide de cette loi, calculer la probabilité qu'il y ait moins de quatre paquets non conformes

dans ce lot.


EXERCICE 2012_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2012)Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Une usine fabrique des pièces en bois dont la cote principale C doit être égale à 15 mm.

Partie A. Ajustement affine (...)

Partie B. Probabilités (...)

Partie C. Loi normaleOn s'intéresse, dans cette partie, aux pièces fabriquées qui n'ont aucun défaut de finition.On admet que la variable aléatoire qui donne la cote C des pièces suit une loi normale de

moyenne 15 et d'écart-type σ.Une pièce est acceptée si sa cote se situe dans l'intervalle [ 14,9 ; 15,1 ].

1. Quelle est la probabilité qu'une pièce soit acceptée, lorsque σ = 0,05 ? 2. Déterminer la valeur de σ pour que la probabilité qu'une pièce soit refusée soit égale à 0,002.


EXERCICE 2011_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2011)Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Les valeurs approchées sont à arrondir à 10 – 3.Une usine fabrique en grande série des disques de diamètre théorique 238 millimètres.

Partie A. Loi normaleUn disque est considéré comme conforme pour son diamètre si ce diamètre, exprimé en mm, est

dans l'intervalle [ 237,18 ; 238,82 ]. Dans le cas contraire, le disque est non-conforme.On définit par X la variable aléatoire qui à tout disque produit associe son diamètre en mm.On admet que X suit la loi normale de moyenne 238 et d'écart-type 0,4.Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la production soit conforme pour son

diamètre.

Partie B. Loi binomiale et loi de PoissonOn considère dans cette partie un stock important de disques. On suppose que 4% des disques de

stock n'ont pas de diamètre conforme.On prélève au hasard dans ce stock des lots de 50 disques pour vérification du diamètre.Le nombre de disques de ce stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler

chaque prélèvement à un tirage avec remise de 50 disques.On définit par Y1 la variable aléatoire qui à chaque lot de 50 disques associe le nombre de disque

non-conforme pour leur diamètre. 1. Justifier que Y1 suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. On prélève un lot de 50 disques. Calculer la probabilité que tous les disques de ce lot aient un

diamètre conforme. 3. Dans cette question, on décide d'approcher Y1 par une variable aléatoire Y2 qui suit une loi de

Poisson de paramètre λ.a) Justifier que λ = 2.b) A l'aide de l'approximation de Y1 par Y2, calculer la probabilité que le lot prélevé ait au plus 3

disques non-conformes pour leur diamètre.


EXERCICE 2010_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2010)Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 2.Une entreprise fabrique en très grande série une pièce technique de précision en matière

plastique. Les questions posées se rapportent à la mesure d'une des cotes de cette pièce.

Partie A. Loi normaleSoit X la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa

cote en millimètres. On suppose que X suit la loi normale de moyenne μ = 60,3 et d'écart-type σ. On qualifie de conforme toute pièce dont la cote est comprise entre 59,5 mm et 61,1 mm.

1. Dans cette question on pose σ = 0,4. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit conforme.

2. Quelle valeur faut-il donner à l'écart-type σ pour que la probabilité d'obtenir une pièce conforme soit égal à 0,99 ?

Partie B. Loi binomiale et loi de PoissonOn admet que 95% des pièces produites sont conformes.On note Y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 80 pièces prises au hasard dans la

production, associe le nombre de pièces non conformes. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 80 pièces à un échantillon aléatoire prélevé avec remise. 1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que l'on ait exactement trois pièces non conformes. 3. On considère que la loi suivie par Y peut être approchée par une loi de Poisson.

a) Donner le paramètre λ de cette loi.b) Calculer la probabilité d'obtenir au plus trois pièces non conformes.


EXERCICE 2009_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2009)Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Les résultats obtenus seront arrondis au centième.Dans un centre d'assistance par téléphone, chaque client doit patienter avant d'être mis en relation

avec un conseiller.

Partie A. Loi de PoissonOn admet que 5% des clients attendent plus de 8 minutes.Un sondage réalisé par ce centre téléphonique à demander à 60 clients choisis au hasard s'ils ont

attendu plus de 8 minutes. On suppose que les durées d'attente des clients sont indépendants les unes des autres et que le nombre de clients est suffisamment grand pour que ce choix au hasard soit assimilé à un tirage avec remise.

On note Y la variable aléatoire qui associe à cet échantillon, le nombre de clients ayant attendu plus de 8 minutes. On admet que Y suit la loi binomiale de paramètres n = 60 et p = 0,05. 1. On approche Y par une variable aléatoire Z qui suit une loi de Poisson.

a) Donner le paramètre de cette loi.b) En utilisant la variable aléatoire Z, calculer une estimation de la probabilité qu'au moins 6

clients attendent plus de 8 minutes.


EXERCICE 2008_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2008)Les résultats seront arrondis au centième.

Partie A. Loi normale et intervalle de confianceDans une usine, une machine produit des barres de métal.Dans cette partie on étudie la longueur de ces barres.On définit la variable aléatoire X qui à chaque barre associe sa longueur exprimée en centimètres

et on admet que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m = 92,50 et d'écart-type σ.Une barre de la production est mise au rebut si sa longueur est inférieure à 92,20 cm ou

supérieure à 92,80 cm. 1. On suppose que σ = 0,20.

a) Calculer la probabilité qu'une barre extraite au hasard dans la production de la machine soit mise au rebut.

b) Déterminer le réel a tel que la probabilité que la variable aléatoire X prenne des valeurs comprises entre 92,5 – a et 92,5 + a soit égale à 0,95.

2. Quelle valeur faut-il donner à l'écart-type σ pour la probabilité de mise au rebut d'une barre soit égale à 0,08 ?Dans la suite de l'exercice, on suppose que σ = 0,17.

Partie B. Loi binomialeDans la production de la machine, 8% des barres sont mises au rebut. On prélève un lot de 30

barres extraites au hasard dans la production de la machine. Le nombre de barres produites est suffisamment important pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 barres.

On appelle N la variable aléatoire qui à chaque lot de 30 barres associe le nombre de barres qui sont mises au rebut dans ce lot. 1. Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire N et donner ses paramètres.

Justifier vos résultats. 2. Calculer la probabilité qu'aucune barre de ce lot ne soit mise au rebut. 3. Calculer la probabilité que dans un tel lot, au moins 90% des barres ne soient pas mises au rebut.


EXERCICE 2007_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2007)Les partie A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Une entreprise produit en grande série trois modèles de stylos notés M1, M2 et M3.Un stylo peut-être conforme ou non conforme.

Partie A. Probabilités (...)

Partie B. Loi binomiale et approximationDans cette partie, on s'intéresse aux stylos du modèles M2.

Un autre stock est constitué de stylos du modèle M2. On admet que 3% des stylos de ce stock sont non conformes. On prélève au hasard, dans ce stock, un lot de 50 stylos. On admet que ce stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 50 stylos, associe le nombre de stylos non conformes. 1. Déterminer la loi de probabilité de la variable X. Justifier la réponse et préciser les paramètres. 2. Dans cette question, les résultats seront arrondis à 10 – 3.

a) Quelle est la probabilité que le lot contienne exactement 2 stylos non conformes ?b) Quelle est la probabilité que le lot contiennent au moins 2 stylos non conformes ?

3. On approche la variable aléatoire X par une variable Y qui suit une loi de Poisson.a) Donner le paramètre λ de cette loi.b) A l'aide de la variable aléatoire Y, donner une estimation de la probabilité qu'il y ait

exactement 47 stylos conformes dans ce lot.


EXERCICE 2006_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2006)On donnera la valeur arrondie au millième de chacun des résultats de cet exercice.Une entreprise fabrique des jouets en bois en grand série. On s'intéresse à l'une des pièces de ce

jouet comportant une partie cylindrique permettant l'assemblage des différents éléments du jouet.

Partie A. Loi normalePour que l'assemblage soit réalisable, c'est-à-dire que la pièce étudiée soit conforme, le diamètre

de la partie cylindrique doit être compris entre 13,7 mm et 14,2 mm. Soit X la variable aléatoire qui, à toute pièce prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe le diamètre de la partie cylindrique. On admet que X suit une loi normale N ( m = 14 ; σ = 0,1 )

Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit conforme.

Partie B. Loi binomialeDans cette partie, on considère que 2,4% des pièces de la production ne sont pas conformes. Soit

Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 100 unités prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non conformes. On admet que la production de l'entreprise est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. 1. Quelle est la loi suivie par Y ? Justifier la réponse. En donner le (ou les) paramètre(s). 2. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins trois pièces non conformes dans un lot de 100

unités? 3. On approche la variable aléatoire Y par une variable aléatoire Z qui suit une loi de Poisson.

a) Donner le paramètre de cette loi.b) À l'aide de la variable aléatoire Z, calculer une estimation de la probabilité qu'il y ait

exactement trois pièces non conformes dans un lot de 100 unités.


EXERCICE 2005_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2005)Les parties A, B, C et D peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Une entreprise produit en série des axes de moteurs électriques. Cette entreprise possède trois machines, que l'on appellera E, F et G. Chaque axe est produit par l'une de ces trois machines.

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 4.

Partie A. Probabilités (...)

Partie B. Ajustement affine (...)

Partie C. Loi binomialeDans cette partie, on s'intéresse aux axes de moteurs électriques produits par la machine F.La machine F produit 2,5% d'axes défectueux. On prélève au hasard, dans la production de la

machine F, un lot de 50 axes. La production est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 50 axes de moteurs électriques, associe le nombre d'axes défectueux. 1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y. Justifier la réponse. 2. Calculer la probabilité que le lot contienne exactement deux axes défectueux (le résultat sera

arrondi à 10 – 3 ).

Partie D. Test d'hypothèse (…)


EXERCICE 2013_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2013)Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.


Partie A. Loi de PoissonOn désigne par X la variable aléatoire qui, à tout intervalle de temps d'une durée de 30 secondes,

associe le nombre de skieurs se présentant à une remontée mécanique, entre 14 heures et 15 heures. On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre λ = 6. 1. Déterminer la probabilité P ( X = 6 ). 2. Calculer la probabilité que, pendant un intervalle de temps d'une durée de 30 secondes pris au

hasard entre 14 heures et 15 heures, il se présente au plus 6 skieurs.

Partie B. Loi normaleUne entreprise découpe une grande quantité de tubes pour le montage des remontées mécaniques.

La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [ 245 ; 255 ].

On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur. 1. Après un réglage de la machine, on admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de

moyenne 250 et d'écart-type 3. Calculer la probabilité qu'un tube pris au hasard dans la production de cette journée soit conforme pour la longueur.

2. Le résultat obtenu à la question 1. n'est pas jugé satisfaisant. On décide de modifier l'écart-type à l'aide d'un nouveau réglage de la machine. Dans cette question, la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart-type σ.Déterminer l'écart-type σ pour que P ( 245 Y 255 ) = 0,97.

Partie C. Loi binomialeDans un lot de tubes, 3% des tubes ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard

50 tubes de ce lot. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tubes.

On considère la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur. 1. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité P ( Z = 0 ). 3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement au moins un tube ne soit pas conforme pour

la longueur.

Partie D. Test d'hypothèse (...)


EXERCICE 2012_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2012)Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Un particulier souhaite acheter, auprès d'un producteur, des bottes de paille pour l'isolation de sa maison.


Partie A. Loi normaleOn prélève au hasard une botte de paille dans la production du 20 juillet 2011.

1. On note X la variable aléatoire qui, à chaque botte ainsi prélevée, associe son épaisseur, exprimée en millimètres. On admet que X suit une loi normale de moyenne 360 et d'écart-type 18.Calculer la probabilité P ( 350 X 370 ).

2. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque botte prélevée dans la production de cette journée, associe sa densité exprimée en kg/m3. On admet que Y suit la loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5.Calculer la probabilité qu'une botte prélevée dans la production de cette journée ait une densité comprise entre 90 kg/m3 et 110 kg/m3.

3. On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.Une botte de paille est conforme aux normes d'isolation si son épaisseur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [ 350 ; 370 ] et si sa densité, exprimée en kg/m3, appartient à l'intervalle [ 90 ; 110 ].Calculer la probabilité qu'une botte prélevée dans la production de cette journée soit conforme aux normes d'isolation.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie, sera prise en compte.

Partie B. Loi binomialeOn considère un stock important de bottes de pailles, dont une partie est destinée à un usage

d'isolation. On note E l'évènement : « une botte prélevée au hasard dans le stock est conforme aux normes d'isolation ». On suppose que P (E) = 0,4.

On prélève au hasard 5 bottes de paille dans le stock pour vérification de la conformité aux normes d'isolation. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 5 bottes.

On considère la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement de 5 bottes ainsi défini, associe le nombre de bottes de paille conformes aux normes d'isolation. 1. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, toutes les bottes de paille soient conformes

aux normes d'isolation. 3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins quatre bottes de paille soient

conformes aux normes d'isolation.

Partie C. Intervalle de confiance (...)



Une entreprise fabrique des barres de combustibles pour les centrales électriques. Des pastilles de combustible sont introduites dans des gaines qui servent à réaliser ces barres.


Partie A. Loi normaleUne gaine est considérée comme conforme pour le diamètre lorsque le diamètre intérieur,

exprimé en millimètres, appartient à l'intervalle [ 8,18 ; 8,48 ].On note X la variable aléatoire qui, à chaque gaine prélevée au hasard dans la production d'une

journée, associe son diamètre intérieur..On admet que X suit la loi normale de moyenne 8,33 et d'écart-type 0,09.

1. Calculer la probabilité qu'une gaine ainsi prélevée soit conforme pour son diamètre intérieur. 2. Déterminer le nombre réel h positif tel que P ( 8,33 – h X 8,33 + h ) = 0,95.

Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.

Partie B. Loi binomialeOn considère un stock important de gaines. On note E l'évènement : « une gaine prélevée au

hasard dans le stock n'est pas conforme pour le diamètre intérieur ». On suppose que P (E) = 0,096.On prélève au hasard 50 gains dans le stock pour vérification du diamètre intérieur. Le stock est

suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 gaines.

On considère la variable aléatoire Y qui, à chaque prélèvement de 50 gaines ainsi défini, associe le nombre de gaines non conforme pour le diamètre intérieur de ce prélèvement. 1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, cinq gaines ne soient pas conformes pour le

diamètre intérieur. 3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux gaines ne soient pas conformes

pour le diamètre intérieur.

Partie C. Test d'hypothèse (...)



Dans une usine de conditionnement, une machine remplit à la chaîne des bouteilles d'un certain liquide.

Partie A. Loi binomiale et loi de Poisson

Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 3.On note E l'événement « une bouteille au hasard dans un stock important est non conforme au

cahier des charges ». On suppose que la probabilité de E est 0,02. On prélève au hasard 30 bouteilles dans le stock pour vérification. On suppose que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On considère la variable aléatoire X qui, à chaque prélèvement de 30 bouteilles, associe le nombre de bouteilles non conformes. 1. Loi de X

a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.b) Calculer P ( X 1 )

2. On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X peut être approchée par une loi de Poisson.a) Déterminer la paramètre λ de cette loi de Poisson.b) On désigne par Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ, où λ a la

valeur obtenue au a). En utilisant cette variable aléatoire, calculer la probabilité que dans un tel prélèvement de 30 bouteilles, au plus une bouteille soit non conforme.

Partie B. Loi normaleDans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 2.

Dans cette partie, on considère une grande quantité de bouteilles devant être livrées à des clients. On note Z la variable aléatoire qui, à une bouteille prélevée au hasard dans cette livraison, associe sa contenance en centilitres. On suppose que Z suit la loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 1. 1. Calculer P ( 68 Z 72 ). 2. Déterminer le nombre réel h positif tel que P ( 70 – h Z 70 + h ) = 0,99.



EXERCICE 2009_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2009)Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes.

On s'intéresse au chantier de construction d'un tronçon de TGV. Les travaux de terrassement nécessitent la mise à disposition d'une flotte importante de pelles sur chenilles et de camions-benne. La réalisation de l'ouvrage nécessite de grandes quantités de fers à béton.


Partie A. Loi normaleOn note X la variable aléatoire qui, à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte, associe le

nombre de m3 de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart-type 10. 1. Calculer P ( 110 X 130 ) 2. Calculer la probabilité que la pelle prélevée extraie moins de 100 m3 pendant la première heure

du chantier.

Partie B. Loi de PoissonOn note Y la variable aléatoire qui, à toute heure travaillée prise a hasard pendant la première

semaine du chantier, associe le nombre de camions-benne entrant dans la zone 1 du chantier pour charger des matériaux. On suppose que la variable aléatoire Y suit une loi de Poisson de paramètre 5. 1. Calculer la probabilité de l'évènement suivant :

A : « pendant une heure prise au hasard il n'entre aucun camion-benne sur la zone 1 du chantier ». 2. Calculer la probabilité de l'évènement suivant :

B : « pendant une heure prise au hasard il entre au plus quatre camions-benne sur la zone 1 du chantier ».

Partie C. Loi binomialeOn note E l'événement « un camion-benne pris au hasard dans la flotte n'a pas de panne ou de

sinistre pendant le premier mois du chantier ». On suppose que la probabilité de E est 0,9.On prélève au hasard 10 camions-benne dans la flotte pour les affecter à une zone du chantier.

Le nombre de camions-benne de la flotte est assez important pour que l'on puise assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 camions-benne.

On désigne par Z la variable aléatoire qui a tout prélèvement de ce type associe le nombre de camions-benne n'ayant pas eu de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier. 1. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun des 10 camions-benne n'ait de panne

ni de sinistre pendant le premier mois du chantier.

Partie D. Test d'hypothèse (...)


EXERCICE 2008_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2008)Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Une entreprise fabrique en grande séries des pièces en bois. Ces pièces sont prévues pour s'encastrer les uns dans les autres.


Partie A. Loi normaleUne pièce de ce type est conforme lorsque sa cote x, exprimée en millimètres, appartient à

l'intervalle [9,5 ; 10,5] et lorsque sa cote y appartient à l'intervalle [10,5 ; 11,5]. 1. On note X la variable qui, à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la production d'une

journée, associe sa cote x. On suppose que la variable aléatoire X suit la normale de moyenne 10 et d'écart-type 0,21.Calculer P ( 9,5 X 10,5 ).

2. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa cote y. On admet que P ( 10,5 Y 11,5 ) = 0,985.On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée.Déterminer la probabilité qu'elle soit conforme.

Partie B. Loi binomiale et loi de PoissonOn considère un stock important de pièces. On note E l'évènement: « une pièce au hasard dans le

stock de pièces est défectueuse ». On suppose que P(E) = 0,03.On prélève au hasard 50 pièces dans le stock de pièces pour vérification. Le stock est assez

important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 pièces.On considère la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement à un tirage ainsi définie, associe le

nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses. 1. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer P ( Z = 0 ) et P ( Z 2 ). 3. On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Z peut être approchée par

une loi de Poisson.a) Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson.b) On désigne par Z1 une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ, où λ a la

valeur obtenue au a). En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 50 pièces, au plus deux pièces soient défectueuses.



y x

EXERCICE 2007_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2007)Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Une usine fabrique des ventilateurs en grande quantité. On s'intéresse à trois types de pièces: L'axe moteur, appelé pièce de type 1, l'ensemble des trois pales, appelé pièce de type 2 et le support, appelé pièce de type 3.


Partie A. Loi normaleUne pièce de type 1 est conforme lorsque le diamètre d (voir la figure), exprimé en millimètres,

appartient à l'intervalle [29,8 ; 30,2].On note X la variable aléatoire qui, à chaque pièce de type 1 prélevée au hasard dans la

production des pièces de type 1, associe le diamètre d exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m = 30 et d'écart-type σ = 0,09.

Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production des pièces de type 1 soit conforme.

Partie B. Loi binomialeOn considère une stock important de pièces de type 2. On note E l'événement suivant:E : « Une pièce prélevée au hasard dans le stock de pièces de type 2 est défectueuse. »On suppose que P(E) = 0,03. On prélève au hasard 20 pièces dans le stock de pièces de type 2

pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 pièces de type 2.

On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses. 1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'aucune pièce de ce prélèvement ne soit défectueuse. 3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, une pièce au moins soit défectueuse.

Partie C. Test d'hypothèse (...)


EXERCICE 2006_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2006)Une entreprise fabrique des chaudières de deux types :

– des chaudières dites « à cheminée »,– des chaudières dites « à ventouse ».

Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A. Ajustement affine (...)

Partie B. Probabilités conditionnelles (...)

Partie C. Loi normaleSoit X la variable aléatoire qui, à chaque chaudière prélevée au hasard dans la production, associe

sa durée de fonctionnement en années. On admet que X suit la loi normale de moyenne 15 et d'écart-type 3.

Une chaudière est dite « amortie » si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans.Calculer la probabilité qu'une chaudière prélevée au hasard dans la production soit « amortie ».

Arrondir les résultats à 10 – 3.

Partie D. Intervalle de confianceOn considère un échantillon de 100 chaudières au hasard dans un stock important. Ce stock est

assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 94 chaudières sont sans aucun défaut. 1. Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des chaudières de ce stock qui sont

sans aucun défaut. 2. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard et avec

remise dans ce stock, associe la fréquence des chaudières de cet échantillon qui sont sans aucun défaut.

On suppose que F suit la loi normale de moyenne p et d'écart-type p 1− p100

, où p est la

fréquence inconnue des chaudières du stock qui sont sans aucun défaut.Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence p avec le coefficient de confiance 95%. Arrondir les bornes à 10 – 2.

3. On considère l'affirmation suivante : « la fréquence p est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 2. »Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification.)


EXERCICE 2005_Gr_B: (Extrait du sujet groupement B – Session 2005)Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier pour la construction. Leur diamètre est exprimé en millimètres.

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 2.

Partie A. Loi normaleUne rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartient à l'intervalle

[89,6 ; 90,4] 1. On note X1 la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production

associe son diamètre. On suppose que la variable aléatoire X1 suit la loi normale de moyenne 90 et d'écart-type σ = 0,17.Calculer la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme.

2. L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles: il est envisagée de modifier le réglage des machines produisant les rondelles.On note D la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée dans la production future, associera son diamètre. On suppose que la variable D suit une loi normale de moyenne 90 et d'écart-type σ1. Déterminer la valeur de σ1 pour laquelle la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à 0,99.

Partie B. Loi binomialeOn note E l'évènement « une rondelle prélevée au hasard dans un stock important à un diamètre

défectueux ». On suppose que P(E) = 0,02. On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour vérification de leur diamètre. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimilé ce prélèvement à un tirage avec remise de ces quatre rondelles.

On considère la variable Y1 qui à tout prélèvement de quatre rondelles associe le nombre de rondelles de ce prélèvement ayant un diamètre défectueux. 1. Justifier que la variable aléatoire Y1 suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune rondelle n'ait un diamètre

défectueux. Arrondir à 10 – 3. 3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus une rondelle ait un diamètre

défectueux. Arrondir à 10 – 3.


Partie C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normaleLes rondelles sont commercialisées par lot de 1000. On prélève au hasard un lot de 1000

rondelles dans le dépôt de l'usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 1000 rondelles. On considère la variable aléatoire Y2 qui, à tout prélèvement de 1000 rondelles, associe le nombre de rondelles non conformes parmi ces 1000 rondelles.

On admet que la variable aléatoire Y2 suit une loi binomiale de paramètre n = 1000 et p = 0,02. On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire Y2 par une loi normale de moyenne 20 et d'écart-type 4,43.

On note Z la variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 20 et d'écart-type 4,43. 1. Justifier les paramètres de cette loi normale. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 15 rondelles non conformes dans le lot de 1000

rondelles, c'est à dire calculer P ( Z 15,5 ) ?

Partie D. Test d'hypothèse (…)


EXERCICE 2006_CPI: (Extrait du sujet groupement CPI – Session 2006)Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Une usine fabrique, en grande quantité, un certain type de pièces métalliques pour l'industrie.

Partie A. Probabilités conditionnelles (...)

Partie B. Loi binomialeDans cette question, les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 2.On considère un stock important de pièces de ce modèle. On note E l'évènement : « une pièce

prélevée au hasard dans le stock est défectueuse ». On suppose que P(E) = 0,02.On prélève au hasard dix pièces dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour

que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de dix pièces.On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de dix pièces, associe le nombre de

pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'aucune pièce de ce prélèvement ne soit défectueuse. 3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, une pièce au moins soit défectueuse.


EXERCICE 2005_CPI: (Extrait du sujet groupement CPI – Session 2005)Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans le cadre d'accord sur la formation professionnelle, une grande entreprise a proposé à ses personnels un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel de conception industrielle.


Partie A. Lois de probabilités.On note E l'évènement : « une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a suivi le

stage ». On suppose que P(E) = 0,3.On tire au hasard le nom de n personnes de cette entreprise. On suppose l'effectif suffisamment

important pour pouvoir assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. 1. Dans cette question on prend n = 15.

On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 15 noms, associe le nombre de personnes ayant suivi le stage.a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.b) Déterminer la probabilité qu'une personne au plus parmi les 15 dont le nom a été tiré au

hasard ait suivi le stage. 2. Dans cette question on prend n = 150.

On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 150 noms, associe le nombre de personnes ayant suivi le stage. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n = 150 et p = 0,3.On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire Y par la loi normale de moyenne 45 et d'écart-type 5,6. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 45 et d'écart-type 5,6.a) Justifier les paramètres de cette loi normale.b) Calculer la probabilité qu'au plus 40 personnes, parmi les 150 dont le nom a été tiré au hasard,

aient suivi le stage, c'est à dire calculer P ( Z 40,5 ).

Partie B. Probabilités conditionnelles (...)


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Extraits de sujets d'examensstephane.basnary.free.fr/cifop/BTS/Probabilites (3 Lois)/Lois_exam.pdf · EXERCICE 2011_Gr_C: (Extrait du sujet groupement C – Session 2011) Les trois