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    Fatigue des

    matriaux et desstructures

    5 octobre 2010

    PARTENAIRESUNIT

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    Table des matires

    I - Historique et importance du phnomne de fatigue 7

    A. Premiers accidents de chemin de fer............................................................71. Accident de la ligne Paris - Versailles..........................................................................72. Axe d'un essieu.....................................................................................................10

    B. Les pionniers..........................................................................................111. Rankine et Stephenson..........................................................................................112. Wlher.................................................................................................................113. es pre!i"res !achines de #atigue..........................................................................12$. %oncept d'endurance en #atigue..............................................................................14

    C. Dates importantes...................................................................................141. &ing et l'origine du ph(no!"ne de #atigue..............................................................142. )iner...................................................................................................................153. %o##in...................................................................................................................16$. oi de propagation des #issures selon Paris...............................................................16*. Peterson..............................................................................................................18+. &ndo....................................................................................................................18,. oi de #issuration de Paris.......................................................................................19. &ler et le concept de #er!eture de #issure...............................................................19

    /. )uraka!i et les di!ensions des d(#auts pour l'a!or0age des #issures..........................19

    D. Accidents spectaculaires..........................................................................201. Accident des co!"ts..............................................................................................202. Plate#or!e Alexandre illian...................................................................................213. ncident sur le ol 2$3 de Aloha Air lines 42 aril 1/5............................................22$. 6au#rage de l'&rika 411 d(ce!re 1///5...................................................................23*. Accident de l'%&7 Willhel! Rntgen8 41//5............................................................23+. Roues des loco!oties...........................................................................................25

    II - Aspects macroscopiques et microscopiques du phnomnede fatigue 27

    A. Coure de fati!ue contrainte"nomre de c#cles...........................................271. %aract(risation de la dur(e de ie en #atigue.............................................................272. A!or0age et propagation.......................................................................................293. 9n exe!ple de co!porte!ent.................................................................................30

    B. Des dislocations $ la fissure de fati!ue.......................................................311. :lisse!ent c;cli

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    III - Terminologie et notions de base 57

    A. Les diff'rents t#pes de char!ement...........................................................571. 6otion de charge!ent c;clira?ets de [email protected] (tats de contrainte...............................................................603. Rapport R et contrainte !o;enne a!plitude et (tendue de contrainte........................65

    B. La coure de ()hler ou coure S " N.........................................................661. Repr(sentation de la coure de Whler....................................................................662. es 3 do!aines de la coure de Whler....................................................................673. Bispersion des r(sultats d'essais..............................................................................67$. )od"les !ath(!ati

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    A. Effet d/entaille en fati!ue $ !rand nomre de c#cles..................................1811. Bescription de l'e##et d'entaille en #atigue................................................................1812. Ctention de l'a!plitude de contrainte e##ectie en #atigue.......................................1833. e #acteur de r(duction en #atigue..........................................................................189$. %oe##icient de sensiilit( E l'entaille

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    I -Historique et

    importance duphnomne defatigue

    I

    Premiers accidents de chemin de fer 3

    Les pionniers 44

    Dates importantes 4

    Accidents spectaculaires 56

    Ce chapitre d/introduction pr'sente un histori+ue des 'tudes concernantl/endomma!ement par fati!ue des mat'riau, et des structures. A l/aide d/e,emplesd/accidents sur-enus en ser-ice7 on montre l/importance de ce ph'nom0ne defati!ue et la n'cessit' d/en tenir compte si l/on -eut '-iter des catastrophes.

    A$ %remiers accidents de chemin de fer

    &$ Accident de la ligne %aris - Versailles

    L/ou-erture de la toute premi0re li!ne de chemin de fer a eu lieu en 8rande"Breta!ne le 53 septemre 4952 entre Stoc:tom et Arlin!ton. A titre d/illustration7 lafi!ure 4.4 montre le passa!e de ce premier train sur le pont sur la S:erned/Arlin!ton ;U

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    C/est 8eor!es Stephenson ;4394"499= +ui a cr'' la premi0re locomoti-e $ -apeur.Il a appel'e sa locomoti-e la Bl>cher du nom du !'n'ral Prussien +ui permit auRo#aume Uni de attre Napol'on 4er $ (aterloo. Cette locomoti-e7 construite en&'&(7 pou-ait tirer &6 tonnes ?us+u/au sommet d/une colline a-ec une -itesse de [email protected] La chaudi0re pr'sentait deu, pistons -erticau, $ l/int'rieur. Les ti!esde piston a!issaient lat'ralement sur les roues. Ce t#pe de locomoti-es a 't'produit en mme temps par 1ohn Blen:insop7 (illiam edle# et Pr's ac:orth de*l'ole.

    Attention F pas de source Gigure 1.1 Passage de ce pre!ier train sur le pont sur laSkerne E Arlington 495

    Gigure 1.2 Portait de :eorges Stephenson 41,1-1$5 Source F Wikipedia

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    istori+ue et importance du ph'nom0ne de fati!ue

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    Dans la locomoti-e la Bl>cher7 le mou-ement des roues n/est pas otenu parl/interm'diaire de pi!nons mais par des roues comportant des flas+ues lat'rau,.Stephenson a am'lior' sa locomoti-e et7 en 49427 il a chan!' la conception par uns#st0me ielle"mani-elles. Les roues 'taient coupl'es a-ec des chanes.En *rance7 d0s 49597 sur la -oie de chemin de fer L#on"Saint"tienne7 " la

    deu,i0me construite en *rance"7 circul0rent les premi0res locomoti-es construitespar Farc Se!uin sur la ase des locomoti-es de 8eor!e Stephenson7 +u/il '+uipa deson in-ention7 la chaudi0re tuulaire7 +ui multipliait par si, la puissance d'-elopp'epar ces machines.

    La premi0re li!ne de chemin de fers/est ou-erte en *rance en 49&6 a-ecla li!ne Paris" Gersailles.

    Le d'-eloppement des li!nes de chemins de fer a connu ensuite une croissancespectaculaire dans le monde passant de 266

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    presse sur cet accident.

    )$ Axe d!un essieu

    Cette fi!ure est la reproduction de l/a,e de l/essieu +ui s/est rompu lors d/unaccident en 8rande Breta!ne en 49.

    K u e s t i o nPour+uoi le ?ournaliste +ualifie le ph'nom0ne de fati!ue de sournois

    M M

    M

    Ce premier e,emple illustre l/importance +ue peut re-tir ce ph'nom0ned/endomma!ement par fati!ue et montre +u/un dimensionnement traditionnel n/estpas suffisant pour !arantir la fiailit' des structures sollicit'es en ser-ice.Les e,emples +ui sui-ent montrent les premi0res anal#ses +ui ont 't' d'duites detels accidents.

    Gigure 1. + F Reproduction d'un article de presse sur l'accident de la ligne Paris-Versailles de 1$2

    Gigure 1.+ F Sch(!a de l'axe de l'essieu

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    ()hler7 pour caract'riser le comportement de fati!ue des mat'riau, ref di0II. Lapr'sentation de son tra-ail $ l/e,position de Paris en 493 lui a conf'r' une lar!eaudience internationale. En son temps7 ()hler 'tait un ardent a-ocat de lastandardisation des essais et certification du fer et de l/acier. Il est mort $ ano-re.

    1$ *es premires machines de fatigue

    Les premi0res machines d/essai de fati!ue 'taient essentiellement des machines defle,ion7 soit de fle,ion r'p't'e comme celle de 1ames et 8alton7 soit de fle,ionrotati-e comme celle de ()hler.

    Gigure 1.1H )achine de #atigue en #lexion rotatie de Whler. Source F :ooglei!ages

    Gigure 1./ )achine de #atigue en #lexion r(p(t(e de La!es et :alton Source F>i!oshenko Distor; o# strength o# !aterials

    Gigure 1. F Portrait de August Whler 411/-1/1$5 Source F Wiki!edia

    45

    istori+ue et importance du ph'nom0ne de fati!ue

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    ($ Concept d!endurance en fatigue

    En 49267 ()hler a pr'sent' le concept d/endurance en fati!ue7 c/est"$"dire +u/il ad'fini un ni-eau d/amplitude de contrainte au dessous du+uel la dur'e de -ie N rennomre de c#cles est illimit'e. Il a pr'sent' plus tard une relation entre l/amplitude

    de contrainte et la dur'e de -ie log Nr=AB .

    K u e s t i o nQ a t "il coh'rence entre ces deu, tra-au,

    C$ 2ates importantes

    Ce para!raphe pr'sente les ori!ines de diff'rents concepts7 tr0s importants enfati!ue. Ils seront d'crits de fa%on plus d'taill'e dans la suite du cours ;-oir

    r'f'rences au, chapitres sui-ants=.n peut d/ores et d'?$ noter +ue7 depuis l/ori!ine de ces premiers tra-au,7 denomreuses recherches ont 't' men'es en utilisant ces mmes notions.

    &$ 34ing et l!origine du phnomne de fatigue

    Le concept de coures de fati!ue repr'sentant l/'tendue de contrainte en fonctiondu nomre de c#cles date de 4926. Sir 1ames Alfred Ein! a montr' en 4H6& +uel/ori!ine de la fati!ue r'side dans l/e,istence de microfissures7 comme le montrentles photo!raphies tir'es de son article.

    Gigure1.11 F Photographie de l'article d'&ing !ontrant le rMle des #issures de

    #atigue 41/H35 Source F Wiki!edia

    4&

    istori+ue et importance du ph'nom0ne de fati!ue

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    )$ 5iner

    La r0!le de Finer7 ou de Palm!ren"Finer7 pose +ue les domma!es correspondantssont additifs. La rupture se produit donc lors+ue la somme des domma!es relatifs $cha+ue amplitude atteint l/unit'.6rf chap sui0ant7

    1$ Coffin

    Coffin a propose une relation liant l/amplitude de d'formation totale au nomre dec#cles $ rupture pour la fati!ue oli!oc#cli+ue 6ref dfinition et chap sui0ant7.

    Gigure1.13 Gigure tir(e de l'article de )iner %u!ulatie da!age in Gatigue Lournalo# applied !echanics Vol [email protected] A1*/-A1+$ @41/$*5

    Gigure1.1$ Gigure tir(e de l'article de %o##in A stud; o# the e##ects o# c;clic ther!alstress on a ductile !etal transaction AS)& ol ,[email protected]/31-/*[email protected] 41/*$5.

    4

    istori+ue et importance du ph'nom0ne de fati!ue

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    ($ *oi de propagation des fissures selon %aris

    En 4H67 Paris7 8ome et Anderson ont repr'sent' le tau, de croissance desfissures de fati!ue [email protected] en fonction l/amplitude du facteur d/intensit' de

    contraintes Kpour un char!ement $ amplitude constante. La fi!ure7 tir'e del/article de P. Paris et *. Erdo!an ;4H&=7 A critical anal#sis of crac: propa!ation

    las7 1ournal of Basic En!ineerin!7 Transactions of the American Societ# ofFechanical En!ineers7 Decemer 4H&7 pp.259"2&7 illustre cette loi de propa!ation

    'crite sous la forme [email protected] C KmC et m sont des constantes du mat'riau. Cette fi!ure illustre aussi l/influence durapport de la contrainte minimale sur la contrainte ma,imale R sur la loi defissuration.ref chap sui0ant7

    Gigure1.1* F Gigure tir(e de l'article de Paris.P F>he #racture !echanics approach to#atigue Proceedings o# the tenth %aga!ore Ar!; )aterials con#erence p1H,-132

    41/+35

    42

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    8$ %eterson

    Peterson a propos' de caract'riser la sensiilit' $ l/entaille en fati!ue d/un mat'riaupar un param0tre +ui d'pend du ra#on d/entaille et des propri't's du mat'riau.ref chap sui0ant

    Gigure 1.1+ F &olution de la itesse de #issuration en #atigue daKd6 en #onctionl'a!plitude du #acteur d'intensit( de contraintes delta. n#luence du rapport R.

    4

    istori+ue et importance du ph'nom0ne de fati!ue

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    :$ *oi de fissuration de %aris

    K u e s t i o nEn e,aminant attenti-ement la .fi!ure 4.457 peut"on dire +ue la loi de fissuration de

    Parisda /dN=CKm

    est -alale pour toute l/'tendue des oser-ations

    e,p'rimentales

    '$ 3lber et le concept de fermeture de fissure

    La d'cou-erte du ph'nom0ne de fermeture de fissure est due $ Rolf Eler +uand il'tait 'tudiant $ lWUni-ersit' de Ne South (ales $ S#dne# en Australie. Ceph'nom0ne est caract'ris' par le fait +u/une fissure se propa!eant sous l/effet descontraintes c#cli+ues reste ferm'e ?us+u/$ une -aleur de la char!e +ui ne d'passepas en !'n'ral la moiti' de la char!e ma,imale. Ce ph'nom0ne est d/uneimportance ma?eure pour les prol0mes de propa!ation de fissure sous char!emental'atoire. La premi0re pulication des tra-au, d/Eler a 't' re?et'e par l/un dese,aminateurs. Sous le conseil d/ardrath de la Nasa7 Eler a puli' en 4H36 unarticle intitul' *ati!ue crac: closure under c#lic tension dans la re-ue En!ineerin!*racture Fechanics plus accessile. Cet article est fortement cit' dans X ScienceCitation inde, ;SCI=.ref chap sui0ant

    ;$ 5ura,ami et les dimensions des dfauts pour l!amor"agedes fissures

    Le Professeur Fura:ami de l/Uni-ersit' de ;1apon= a puli' en 4H9H un article dansla re-ue X International 1ournal of fati!ue Y dans le+uel il montre +ue la limited/endurance en fati!ue est conditionn'e par l/amor%a!e des fissures sur des

    inclusions. Il indi+ue +ue la limite d/endurance 60oir dfinition7 en fati!ue -ad'pendre de la racine carr'e de la superficie de ces inclusions. Ces tra-au, ont unetr0s !rande importance sur le ph'nom0ne de fati!ue contact.

    2$ Accidents spectaculaires

    Dans ce para!raphe7 nous allons d'crire +uel+ues accidents spectaculaires +ui ontmalheureusement permis de faire a-ancer les connaissances.Gous remar+uere +ue certains d/entre eu, sont tr0s r'cents.

    &$ Accident des comts

    Le Comet a 't' dessin' et construit en 8rande Breta!ne. Il fut le premier super ?etairliner commercial au monde. Dans les ann'es 267 une s'rie de rupture par fati!ueont conduit plusieurs a-illand Comet $ s/'craser. Il faut citer

    Le 5 Fai 4H2&7 l/a-ion 8"ALQG se d'sint0!re dans une tempte $ 46 666pieds durant la phase ascensionnelle de son -ol de Calcutta -ers Delhi.

    Le 46 1an-ier 4H27 l/a-ion 8"ALQP s/ 'crase de 53 666 pieds par eautemps au cours du -ol RomeZ Londres.

    Le 46 1an-ier 4H27 l/a-ion de la BAC s/'crase en F'diterran'e sur l/ile d/

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    istori+ue et importance du ph'nom0ne de fati!ue

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    Ele tuant &2 personnes.

    Le & Fars 4H2&7 le Comet de la Canadian Pacific Airline s/'crase surl/a'roport de Calcutta suite $ une erreur du pilote en tuant 44 personnes.

    Le 9 A-ril 4H27 l/a-ion 8"ALQP disparat au cours du -ol Rome"Le Caire. Les44 passa!ers et les 3 memres d/'+uipa!e sont tu's.

    Par la suite7 tous les Comets ont 't' clou's au sol.Apr0s cette s'rie d/accidents7 des 'tudes par pressurisation sur le fusela!e duComet dans les conditions de -ol ;diff'rence de pression=7 ont prou-' +ue larupture par fati!ue du fusela!e $ partir de fissures amorc'es au coin des hulots

    carr's 'tait la cause des accidents de ces a-ions. La fi!ure 4.42 droite montre unefissure de fati!ue partant d/un coin d/un hulot carr' et entranant par sapropa!ation le d'chirement du fusela!e.

    CUT SCIETAL n peut7 $ cette occasion7 mesurer les cons'+uencesimportantes du ph'nom0ne de fati!ue des mat'riau, en termes de -ies humaines.

    )$ %lateforme Alexandre

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    Un an apr0s7 en mars 4H947 le rapport d/in-esti!ation a conclu +ue la plateformes/est effondr'e $ cause d/une fissure de fati!ue pr'sente dans l/une de ses si,tuulures7 reli'e $ une ?ame +ui s/est effondr'e a-ec le reste de la plateforme.

    1$ Incident sur le 0ol )(1 de Aloha Air lines 6)' a0ril &;''7

    CUT ECNFIKUE Le coJt 'conomi+ue des ruptures en ser-ice est estim' $

    combien =dont H6[ ont pour ori!ine des fissures de fati!ue.

    Attention F pas de source Gigure 1.22 &!place!ent !ar

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    ($ >aufrage de l!3ri,a 6&& dcembre &;;;7

    Le na-ire se casse en deu, le 44 d'cemre 4HHH $ 9h42 ;heure locale= dans leseau, internationales7 $ une trentaine de milles au sud de la pointe de Penmarc/h;Pointe sud du *inist0re=. La partie a-ant du na-ire somre dans la nuit du 45 au4& d'cemre $ peu de distance du lieu de la cassure. La +uantit' de maout

    d'-ers'e au moment du naufra!e est alors estim'e entre 3 666 et 46 666 tonnes.Le capitaine a d'clar' +u/il a-ait constat' une importante fissuration du pont. Ila-ait essa#' de stopper cette fissure en 'moussant son e,tr'mit' par per%a!e7mais sans succ0s.CUT ECL8IKUE Ce fait illustre +ue le coJt 'colo!i+ue pro-o+u' par leph'nom0ne de fati!ue peut tre tr0s 'le-'.

    8$ Accident de l!IC3? .illhelm +/[email protected] 6&;;'7

    Le & ?uin 4HH97 le anda!e d/une roue de l/ICE X(illhelm R)nt!enY7 +ui roulait $566 :[email protected] en direction de amour! se rompt. Cette rupture restant tout d/aordinaper%ue7 un morceau de cette pi0ce d'fectueuse -ient malencontreusement secoincer dans un ai!uilla!e +u/elle actionne. La partie post'rieure de la rame estalors d'-i'e sur la -oie -oisine7 l/ICE fonce alors $ pleine -itesse sur deu, -oiesparall0les et $ Eschede7 il entre en collision a-ec un pont. Les cons'+uences sonteffro#ales 466 personnes meurent et autant sont less'es. Dans le proc0s ou-ert$ la suite de cet accident7 l/e,pert a recherch' les causes +ui a-aient pu conduire $la rupture par fati!ue de ce anda!e de roue. Il a certes constat' la pr'sence deminuscules amorces de fissures mais de telles amorces de fissures ont aussi 't'd'cel'es sur les 2666 autres roues d'mont'es pour contrOle sur les autres ICE.Sur les compositions ICE actuelles7 les roues $ anda!e ont 't' remplac'es par desroues pleines.

    Gigure 1.2$ F 6au#rage de la partie aant de l'&rika partie aant dans la nuit du 12au 13 d(ce!re 1/// Source F httpFKKplanet-terre.ens-l;on.#r

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    istori+ue et importance du ph'nom0ne de fati!ue

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    9$ +oues des locomoti0es

    K u e s t i o n

    Pour+uoi de nomreuses compa!nies ferro-iaires de part le mode emploient"ellesune personne pour taper sur les roues des locomoti-es et des a!ons de chemin defer

    M M

    M

    Ces +uel+ues e,emples sont r'-'lateurs et ?ustifient le !rand nomres d/'tudesmen'es pour comprendre et '-iter le prol0me de rupture par fati!ue. Leschapitres sui-ants -ont d'-elopper les m'thodes mises en place pour pr'-enir ces

    catastrophes.

    Gigure 1.2* Vue de l'accident de l'%& 7Willhel! Rntgen8 le 3 ?uin 1// Source FWiki!edia

    Attention F pas de source Gigure 6N 1.2+ F &xe!ple de #issure a!orc(e sur unandage de roue

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    istori+ue et importance du ph'nom0ne de fati!ue

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    II -Aspects

    macroscopiques etmicroscopiques duphnomne defatigue

    II

    Coure de fati!ue contrainte"nomre de c#cles 53

    Des dislocations $ la fissure de fati!ue &4

    Stades I et II des fissures de fati!ue &

    Amor%a!e 24

    Cette partie pr'sente +uel+ues e,emples d/amor%a!e de fissures en fati!ue et lesprincipales notions de ase. A titre d/illustration7 sont pr'sent's des r'sultats issusd/une 'tude sur l/acier C&2.

    A$ Courbe de fatigue contrainte-nombre de ccles

    &$ Caractrisation de la dure de 0ie en fatigue

    La dur'e de -ie en fati!ue s/e,prime par la coure \contrainte " dur'e de -ie\

    5&

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    n repr'sente sur cette coure l/amplitude de contrainte en fonction du nomre dec#cles $ rupture. Elle est otenue en menant des essais sur des 'prou-ette!'n'ralement c#lindri+ues. Chacune des 'prou-ettes est sollicit'e $ un ni-eau dechar!ement donn' ?us+u/$ rupture.

    Kue se passe"t"il au cours de la dur'e de -ie d/une 'prou-ette +uels sont les

    m'canismes ph#si+ues Ils peu-ent tre diff'rents sui-ant le ni-eau de

    A!plitude de contrainte en #onction du no!re de c;cles E rupture

    &ssai en #atigue endurance

    5

    Aspects macroscopi+ues et microscopi+ues du ph'nom0ne de fati!ue

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    char!ement appli+u'n distin!ue !'n'ralement deu, domaines fati!ue oli!oc#cli+ue faile nomre de c#cles7 le mat'riau plastifie $ l/'chellemacroscopi+ue7fati!ue pol#c#cli+ue !rand nomre de c#cles7 le mat'riau reste 'lasti+ue $l/'chelle macroscopi+ue.La distinction entre ces deu, domaines est fortement d'pendante du t#pe demat'riau7 mais on peut proposer une s'paration entre 46&et 462c#cles.

    )$ Amor"age et propagation

    La dur'e de -ie en fati!ue d/un mat'riau m'talli+ue peut se d'composer en deu,phases Phase d/amor%a!e d/une fissure ;nomre de c#cles n'cessaire $ cr'er un fissure $partir du mou-ement des dislocations=Phase de propa!ation ;la fissure e,iste et se propa!e dans le mat'riau ?us+u/$ larupture compl0te=

    L/importance de ces deu, phases en nomre de c#cles est tr0s fortement li'e aumat'riau et au ni-eau de sollicitation. n peut dire de fa%on !'n'rale +ue la phasede propa!ation est sou-ent importante pour les fortes contraintes ;amor%a!e rapidede la fissure= alors +ue la phase d/amor%a!e est ma?oritaire dans le domaine destr0s failes contraintes et des !randes dur'es de -ie.Comme illustr' par les fi!ures ci"dessus7 les m'canismes d/amor%a!e sont assediff'rents alors +ue les m'canismes de propa!ation sont similaires.

    A!or0age de propagation

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    Aspects macroscopi+ues et microscopi+ues du ph'nom0ne de fati!ue

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    *a propagation;le d'faut 'tant cr''7 ce film montre une source de *ranc: Read+ui cr'' une oucle de dislocation $ partir d/une dislocation ancr'e en un point +uipeut tre un d'faut ponctuel. Sous l/action de la contrainte7 la dislocation '-olue etforme une oucle +ui -a se propa!er. Dans le mme temps7 une autre oucle peuttre cr''e $ nou-eau7 on assiste donc $ une source +ui -a cr'er de nomreusesdislocation sous l/action de la contrainte=

    l!annihilation;ce film permet de montrer +ue le mat'riau peut aussi se restaureren faisant disparatre certaines dislocation c/est le m'canisme d/annihilation. Des

    6ucl(ation de dislocations

    Source de Granck et Read

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    dislocations de si!ne oppos' se rencontrent dans un mme plan de !lissement ets/annulent pour disparatre7 c/est"$"dire pour reconstituer un plan atomi+uecontinu=

    Remar+ue l/'chelle de cha+ue film 46 nm c/est"$"dire 4 million de fois plus petit+ue le mm ] Il faut un Ficroscope Electroni+ue $ Transmission pour oser-er un telph'nom0ne ]

    Annihilation de dislocations

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    )$ *es bandes de glissement

    Comme nous -enons de le -oir7 les dislocations sont mises en mou-ement par le

    char!ement m'cani+ue. Ces mou-ements peu-ent tre comple,es et sont tr0s li's$ la microstructure du mat'riau. De nomreuses 'tudes e,p'rimentales enparticulier sur des monocristau, ont permis de comprendre l/or!anisation de cesdislocations a-ec le char!ement c#cli+ue. n peut noter +ue les dislocationss/arran!ent principalement sous forme de andes de !lissement persistantes +uisont situ'es dans des plans ien particuliers de la structure cristalline. Ces andescomportent des millions de dislocations +ui s/accumulent ?us+u/$ un stade criti+ueo il est n'cessaire de cr'er une fissure pour accommoder la d'formation plasti+ue.E,aminons l/'-olution de la densit' de dislocations a-ec la dur'e de -ie dans le casdu *er pur.Lors d/un premier stade7 la d'formation plasti+ue est plutOt homo!0ne dans lemat'riau.

    )&>

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    Kuel+ues mots sur les e,p'riences permettant d/oser-er la propa!ation desfissures de fati!ue $ la surface d/un mat'riau ;ici l/acier C &2=Les fi!ures sui-antes illustrent la microstructure de l/acier7 la pr'paration des'chantillons et indi+uent les caract'risti+ues m'cani+ues ;limite d/'lasticit'7 char!e$ rupture et limites d/endurance en traction et torsion=. La forme des 'prou-ettes etles conditions e,p'rimentales sont d'crites.

    )(thode d'oseration de la progression de la #issure

    &&

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    La techni+ue des r'pli+ues consiste $ faire une empreinte de la surface $ oser-era-ec une r'sine souple ;Palin"Luc et al. 56657 E,perimental Techni+ues7 Gol. &&=.Ces empreintes sont ensuite m'tallis'es pour tre oser-'es $ l/aide d/unmicroscope 'lectroni+ue $ ala#a!e.

    &2

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    Goici un e,emple. Apr0s a-oir interrompu l/essai7 & r'pli+ues successi-es sontprises. L/oser-ation au FEB permet de d'terminer la lon!ueur de fissure apr0scha+ue interruption.

    L/anal#se des r'pli+ues permet de remonter l/histori+ue de la fissure et d/oser-ertoute la surface ;cas d/amor%a!e de plusieurs fissures=

    >echni

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    n peut ainsi repr'senter l/'-olution de la fissure en fonction du nomre de c#cles.

    Goici les r'sultats otenus pour un essai de torsion R "4

    Pour le ni-eau de char!ement appli+u' ;432 FPa=7 la rupture a 't' oser-'e au

    &olution de la #issure en #onction du no!re de c;cles

    &olution de la #issuration

    &9

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    M M

    M

    Nous -enons de parcourir la dur'e de -ie en fati!ue d/une 'prou-ette m'talli+uedepuis le mou-ement des dislocations ?us+u/$ la rupture finale. A-ant d/aller plusloin7 il est temps d/effectuer une petite s#nth0se de ces oser-ations tout en!ardant $ l/esprit +ue ce +ui -ient d/tre d'crit est un processus asse !'n'ral pourde nomreu, m'tau, mais +u/il est sa!e de ne pas appli+uer directement cessch'mas sans une 'tude approfondie du mat'riau 'tudi' ainsi +ue des sollicitationsen ser-ice.

    Aanc(e de #issure en #onction du c;cle

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    2$ Amor"age

    &$ Comment dfinir l!amor"age d!une fissure =

    A-ant de terminer ce chapitre sur l/oser-ation e,p'rimentale des m'canismesd/endomma!ement par fati!ue dans les m'tau,7 il est souhaitale d/aorder la+uestion de la d'finition de la phase d/amor%a!e car de nomreuses approchesn'cessitent une d'finition du domaine d/amor%a!e.Kuand peut on consid'rer +ue l/amor%a!e est termin' Est"ce la plus petite fissure oser-ale Cette d'finition d'pend fortement dumo#en d/oser-ation ]Est"ce lors+u/une fissure intra!ranulaire arri-e $ franchir un ?oint de !rain pourpasser dans les !rains -oisins Cette d'finition n'cessite de connatre la

    microstructure.Est"ce la lon!ueur $ partir de la+uelle une fissure en mode II ifur+ue en mode I Cette d'finition d'pend du char!ement comme nous -enons de le -oir.Il est d'licat de d'finir cette notion d/amor%a!e et il e,iste proalement autant ded'finitions +ue d/e,perts en fati!ue ] Il faut donc choisir une d'finition en fonctiondu mat'riau et surtout du prol0me $ traiter ;dur'e de -ie et t#pe de char!ement=.

    )$ Application au cas de l!acier C18

    Goici une d'finition possile de l/amor%a!e dans le cas de l/acier C &2. Apr0sanal#se de la microstructure de cet acier7 on peut consid'rer +ue les !rains deperlite constituent une arri0re difficile $ franchir pour les petites fissures amorc'esdans la ferrite. Il parait donc raisonnale de consid'rer +ue lors+u/une fissure arri-e

    >est de torsion

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    $ casser les !rains de perlite l/entourant7 elle arri-era $ casser les autres et pourrase propa!er ?us+u/$ rupture. Nous proposons donc de d'finir dans ce casl/amor%a!e par une lon!ueur de fissure en relation a-ec la microstructure. Cettelon!ueur est de 6 microns dans ce mat'riau.

    Le choi, d/une lon!ueur $ l/amor%a!e reli'e $ la microstructure permet de prendreen compte la taille de !rain du mat'riau +ui est un facteur important -is"$"-is de lafati!ue mais pr'sente aussi l/incon-'nient de ne pas prendre en compte leparam0tre m'cani+ue car en torsion7 la propa!ation en mode II se prolon!e ienau"del$ de 6 microns.

    B(#inition de l'a!or0age

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    Dans la suite de ce cours7 il -a tre +uestion de calcul de dur'e de -ie. Apr0s ce+ue nous -enons de constater d/un point de -ue e,p'rimental7 il semle n'cessairede s'parer la dur'e de -ie en une phase d/amor%a!e et une phase de propa!ation.>R>aG>p

    Autre d(#inition de l'a!or0age

    %o!paraison traction - torsion

    &

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    Cette fi!ure repr'sente les coures de fati!ue de l/acier C&2 pour le cas de latraction et de la torsion. Nous a-ons repr'sent' en trait plein la coure mo#enne $rupture et en trait interrompu la coure mo#enne $ l/amor%a!e en utilisant lad'finition propos'e pour ce mat'riau. n peut constater +ue les deu, coures sonttr0s proches dans le domaine des !randes dur'es de -ie alors +u/elles s/'loi!nentdans le domaine des petites dur'e de -ie. Cela -ient d'montrer une proposition du

    d'ut de chapitre l/amor%a!e est pr'pond'rant dans la dur'e de -ie pour les!randes dur'es de -ie alors +ue la propa!ation ?oue un rOle d/autant plus important+ue l/on tend -ers les failes dur'e de -ie.Nous allons 'tudier dans les chapitres sui-ants les outils utiles $ l/in!'nieur pourd'crire l/amor%a!e et la propa!ation des fissures de fati!ue par le calcul7 afind/estimer la dur'e de -ie des pi0ces m'cani+ues sous char!ements c#cli+ues.

    A!or0age et propagation

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    III -Terminologie et

    notions de base III

    Les diff'rents t#pes de char!ement 23

    La coure de ()hler ou coure S " N

    Rappels de proailit' 9

    Influence de la contrainte mo#enne 35

    *ati!ue oli!oc#cli+ue 32

    E,ercices H4

    Cette partie pr'sente +uel+ues notions de ase couramment utilis'es en fati!ue desmat'riau, et des structures. La connaissance des termes pr'sent's permettra desui-re ais'ment la suite de la formation et une onne compr'hension de toute lalitt'rature sur ce tr0s -aste domaine.

    A$ *es diffrents tpes de chargement

    &$ >otion de chargement cclique

    La tr0s !rande ma?orit' des s#st0mes m'cani+ues et des structures est char!'e pardes efforts ;forces ou r'sultantes7 moments7 d'placements= -ariales dans letemps. Ceu,"ci cr'ent dans les pi0ces des contraintes et des d'formations elles"mmes -ariales dans le temps de fa%on c#cli+ue ;et pas seulement strictementmonotone comme lors d/un essai classi+ue de traction ou compression +uasi"stati+ue=. n parle alors de char!ement de fati!ue.

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    La fi!ure ci"dessus montre +uel+ues e,emples de char!ements t#pi+ues. n -oit+u/ils peu-ent pr'senter une !rande -ari't'.Si les efforts ou les moments appli+u's au, pi0ces m'cani+ues le sont sui-antdiff'rentes directions7 on parle alors de fatigue multixiale. La fi!ure ci"dessousmontre un e,emple de ce t#pe de char!ement o l/on distin!ue & composantesd/efforts et un composante de moment.

    6otion de charge!ent c;cli

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    Dans le cadre de ce cours7 nous nous limiterons au, char!ements sinuso^dau, ;outrian!ulaire= dits d/amplitude constante.

    )$ Traets de chargement tats de contrainte

    Il ne faut pas confondre les chargements ;efforts7 moments7 d'placements=_X load Y en an!lais` et les contraintes_X stress Y en an!lais`.Le char!ement appli+u' $ une structure ;ou pi0ce= est dit multia,ial +uand lesforces ;ou moments= appli+u's sont de directions diffrentes ;non parall0les=.L/'tat de contraintes est dit multia,ial +uand il # a au moins ) contraintesprincipales non nulles.Il en r'sulte +u/$ un char!ement multia,ial7 correspond forc'ment un 'tat decontrainte multia,ial. Par contre7 un char!ement unia,ial n/entrane pass#st'mati+uement un 'tat de contrainte unia,ial ;rOle de la !'om'trie de la pi0ceet des concentrations de contrainte +ui en r'sultent=

    Remarque

    L/'tat de contraintes est un concept local V il concerne un petit 'l'ment de -olume'l'mentaire d-. Le char!ement est un concept !loal $ l/'chelle de toute la pi0ce oude la structure 'tudi'e.

    Les diff'rents 'tats de contrainteEtat de contrainte B>IAIA* une seule contrainte principale est non nulle aucours de tout un c#cle de char!ement

    Etat de contraintes 5B*TIAIA* 5 ou & contraintes sont non nulles

    &tat de contrainte uniaxial

    &tat de contrainte !ultiaxial

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    L/animation pr'sent'e ci"dessous repr'sente ce +ui est otenu dans le cas d/unchar!ement proportionnel

    Commentaire nous ne consid'rons +ue des char!ements p'riodi+ues7 le tra?et dechar!ement est donc une coure ferm'e.

    %harge!ent proportionnel

    %harge!ent non proportionnel

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    Terminolo!ie et notions de ase

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    En compl'ment notons +ue le char!ement illustr' ici est proportionnel affine c/estle cas si le tra?et d'crit par l/e,tr'mit' du -ecteur a#ant pour coordonn'es les &contraintes principales est un se!ment de droite ne passant pas par l/ori!ine durep0re principal.Si toutes les contraintes principales sont $ -aleur mo#enne nulle alors lechar!ement est dit proportionnel radial.Dans le cas d/un char!ement non proportionnel7 la coure d'crite n/est plus unedroite7 ce +ui est illustr' dans l/animation ci"dessous.

    1$ +apport + et contrainte moenne J amplitude et tenduede contrainte

    n appelle rapport de char!e R ;ou de contraintes= le ratio entre la contrainteminimale sur un c#cle et la contrainte ma,imale. De mme7 le rapport de

    >ra?et de charge!ent non proportionnel

    >ra?et de charge!ent proportionnel

    2&

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    n repr'sente donc les coures de ()hler pour une proailit' de sur-ie Psdonn'e. Si rien n/est pr'cis' c/est !'n'ralement la coure pour une proailit' desur-ie de 672 ;26[ des 'prou-ettes7 ou des pi0ces7 se rompent ou se fissurenta-ant la dur'e de -ie correspondante sur la coure]=

    ($ 5odles mathmatiques de la courbe de ./hlerA titre d/information ce transparent pr'sente +uel+ues mod0les anal#ti+ues decoures de ()hler ;ou coure SN=. Ceu, encadr's en rou!e sont les plus utilis'sindustriellement S d'si!ne la contrainte ;amplitude ou contrainte ma,imale selonle choi, de l/utilisateur du mod0le= a et sont des constantes $ identifier d/apr0s unensemle de r'sultats d/essais. ()hler et Bas+uin ne consid0rent pas d/as#mptoteBastenaire consid0re +u/une as#mptote ;E= e,iste.

    C$ +appels de probabilit

    &$ Krigine de la dispersion en fatigue

    Une coure de ()hler n/est connue e,p'rimentalement +ue ?us+u/$ un nomre dec#cles donn' ;appel' X censure des essais Y= car il faut ien +ue les essais soientfaits en un temps limit's. Il est maintenant admis +ue pour les m'tau, ;cadre de cecours=7 la r'sistance en fati!ue ;amplitude de contrainte= pour une dur'e de -iedonn'e peut tre d'crite par une loi normale ;au !aussienne= +uel +ue soit ledomaine de dur'e de -ie. Par contre7 la dur'e de -ie suit une loi lo!"normale enendurance limit'e et l/in-erse de la dur'e de -ie ;[email protected]= suit une loi lo!"normale pour

    les !randes dur'es de -ie.

    )od"les de coure de Whler ou coure S-6 4Whler [email protected] S-6 cure5

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    A>I5ATIK>

    )$ Traitement statistique

    rappels de proailit'Une -ariale al'atoire suit une loi normale si sa densit' de proailit' est donn'epar

    Proailit(s et coure de Whler

    d(#inition de la loi nor!ale

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    A>I5ATIK>Une -ariale al'atoire suit une loi Lo!"normale si la densit' de proailit' de la-ariale Q est 8aussienne ;ou Normale= en faisant le chan!ement de -arialeQln;=

    A>I5ATIK>En dehors de la fati!ue oli!oc#cli+ue7 il est commun'ment admis +ue la distriutionde la r'sistance en fati!ue pour une dur'e de -ie donn'e est Normale. Connaissantla coure S"N m'diane ;Ps6726 i.e. Une pi0ce sur deu, est d'faillante]= on peutdonc estimer la coure S"N pour n/importe +uelle proailit' de sur-ie Ps si onconnat un estimateur fiale de l/'cart"t#pe. La coure P"S"N s/otient entranslatant la coure m'diane ;Ps6726= de Up 'cart"t#pes7 le facteur Up 'tantdonn' par les tales de la Loi Normale. Par e,emple Upb& pour Ps46 "&7 Up4 pourPs674. Dans l/a'ronauti+ue on utilise sou-ent pour dimensionner des structuresla coure S"N pour Ps46"&.

    d(#inition de la loi log-nor!ale

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    E,emple dia!ramme de ai!h de l/acier &6NCD4 tremp' re-enu ;'prou-etteslisses=

    )$ 2iagramme de Eoodman

    1$ 2iagramme de +oss

    Pour 'tat de contrainte unia,ial seulement ]

    effet de la contrainte normale mo#enne de traction et de compression

    Biagra!!e de Daigh

    Biagra!!e de Daigh

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    Le dia!ramme de ai!h pr'c'dent ne d'crit pas l/effet de contrainte mo#ennen'!ati-e ;compression= sur l/amplitude de contrainte admissile pour une dur'e de-ie donn'e. La DGF ;'+ui-alent en Allema!ne de la Soci't' *ran%aise de Fat'riau,F'tallur!ie= recommande d/utiliser le dia!ramme sui-ant pour le+uel il fautconnatre les -aleurs de Rm en traction et en compression du mat'riau ses limitesd/'lasticit' en traction et en compression ses r'sistances en fati!ue pour R"4 et

    R6 pour la dur'e de -ie consid'r'e ;dans le domaine des !randes dur'es de -ie=.

    Biagra!!e alle!and

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    Effet d/une contrainte mo#enne de cisaillement PAS d/effet si la contrainte decisaillement FAI ne d'passe pas en-iron 679 fois la limite d/'lasticit' encisaillement du mat'riauSource Da-oli et al. Int. 1. *ati!ue7 -ol. 5&7 566&

    ($ Indice de sensibilit la contrainte moenne

    3$ Fatigue oligocclique

    Comme nous l/a-ons d'fini dans le chapitre pr'c'dent7 dans le domaine de lafati!ue oli!oc#cli+ue7 les ni-eau, d/amplitude de contrainte sont !'n'ralementsup'rieurs $ la limite d/'lasticit'7 et l/'prou-ette suit alors une d'formation

    plasti+ue dans sa masse $ cha+ue c#cle. Ceci conditionne les essais prati+u's +uisont diff'rents de ceu, correspondant $ la fati!ue endurance.L/int'rt d/'tudier la fati!ue oli!oc#cli+ue est principalement +ue cela

    Permet de connatre les mat'riau, ;caract'risti+ues7 comportement=.

    Permet de dimensionner des pi0ces dans certains cas.

    &$ >otions d!adaptation d!accommodation et dedformation progressi0e

    A-ant de pr'senter les essais +ui permettent de caract'riser le mat'riau en fati!ue

    oli!oc#cli+ue7 il est n'cessaire d/introduire +uel+ues notions d'cri-ant les diff'rentscomportements des mat'riau,.

    n#luence d'une contrainte !o;enne de cisaille!ent

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    Le cas le plus connu est celui +ui conduit $ la ruine plasti+ue lors d/un char!ementmonotone

    Consid'rons +u/un char!ement p'riodi+ue est appli+u' $ une structure et neconduit pas imm'diatement $ la ruine plasti+ue. Kuatre cas sont alors oser-'s Le premier cas possile est le comportement 'lasti+ue. C/est t#pi+uement ce +uel/on oser-e lors d/un essai de fati!ue $ !rande dur'e de -ie sur 'prou-ettes lisses.

    Le second cas possile correspond au ph'nom0ne d/adaptation. Lors du premier

    c#cle de char!ement7 la limite d/'lasticit' du mat'riau est d'pass'e et uned'formation plasti+ue est oser-'e. Cependant7 apr0s un certain nomre de c#clesde char!ement7 le comportement du mat'riau rede-ient 'lasti+ue.

    Ruine plasti

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    Si7 lors des c#cles de char!ement successifs7 le comportement du mat'riau resteplasti+ue tout en d'cri-ant une coure d/h#st'r'sis +ui se stailise7 on parled/accommodation.

    Un dernier cas peut tre oser-'7 celui de la d'formation pro!ressi-e ou rochetpour le+uel la d'formation du mat'riau au!mente $ cha+ue c#cle de char!ement7ce +ui conduit $ une ruine de la structure.

    Acco!odation

    Adaptation

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    )$ 5thodes exprimentales en fatigue oligocclique

    Le principe !'n'ral des essais consiste $ imposer une sollicitation +ui pro-o+ue uned'formation plasti+ue c#cli+ue dans la pi0ce et $ d'terminer le nomre de c#cles+ue pourra supporter l/'prou-ette.Le film +ui suit donne un e,emple d/e,p'rience men'e en laoratoire.

    Fachines d/essais

    Les essais sont effectu's $ l/aide de machines ser-o"h#drauli+ues de traction" compression7 fle,ion ou torsion altern'e.

    Les essais sont !'n'ralement limit's $ 462c#cles7 car les dur'es de -ie dansce domaine sont failes.

    La fr'+uence de sollicitation est faile ;+uel+ues = de fa%on $ ne pas'chauffer l/'chantillon7 ce +ui pourrait modifier ses propri't's.

    B(#or!ation progressie

    Gatigue oligoc;cli

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    Pour '-iter le ph'nom0ne de rochet et faciliter la conduite des essais7 les essaissont men's en d'formation impos'e7 ce +ui si!nifie +ue la consi!ne ded'placement du -'rin est command'e par un e,tensom0tre li' $ l/'prou-ette. Il estfr'+uent +ue l/on impose une -itesse de d'formation constante en utilisant un c#cletrian!ulaire.Eprou-ettes

    Les 'prou-ettes pour essais oli!oc#cli+ues sont lisses a-ec une partie r'duite pourl/amor%a!e de fissure et des ttes massi-es pour ne pas a-oir de d'formations. nproc0de sou-ent $ un polissa!e soi!n' de la surface de la partie utile. Elles ont!'n'ralement une section circulaire7 mme si pour des applications particuli0res7 onsoit amen' $ utiliser des 'prou-ettes de section carr'e ou rectan!ulaire. Sui-ant let#pe d/e,tensom'trie +ue l/on utilisera7 on choisira des 'prou-ettes $ profil tori+ueou $ partie utile c#lindri+ue.

    Bi##(rents t;pes d'(prouettes de #atigue oligoc;cli

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    Amarra!ePour '-iter le flamement lors+ue le char!ement est en compression et poursupprimer les ?eu,7 il est n'cessaire d/a-oir un tr0s on ali!nement des ttes de

    l/'prou-ette. Plusieurs m'thodes sont emplo#'es F'tal de (ood

    Amarra!es filet's

    &prouette tuulaire pour essai de torsion

    3

    Terminolo!ie et notions de ase

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    E,tensom'trie et mesure des d'placementsL$ encore7 plusieurs possiilit's e,istent

    mesure du d'placement de la tra-erse de la machine d/essai !rce au

    capteur de d'placement int'!r' dans la machine l/incon-'nient de cettem'thode est +ue l/on mesure '!alement la d'formation du s#st0med/amarra!e ;cellule de char!e7 mors=

    mesure directement sur l/'prou-ette e,emple 'prou-ette $ collerettes

    l/aide d/un e,tensom0tre a-ec contact fi,ation sur l/'prou-ette $ l/aide de couteau, Vsans contact mesure opti+ue

    L/e,tensom'trie peut tre a,iale ou diam'trale.

    1$ Comportement cclique des matriaux

    Ecrouissa!e c#cli+ueKuand une 'prou-ette est soumise $ une d'formation c#cli+ue impos'e7 onconstate +ue les contraintes ma,imales et minimales ne restent +ue rarementconstantes pendant tout l/essai.

    &xe!ple de !ontage aec !(tal de Wood

    9

    Terminolo!ie et notions de ase

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    Goici repr'sent'es sch'mati+uement les coures d/'-olution de l/amplitude decontrainte en fonction du nomre de c#cles appli+u's

    R(ponse d'un !at(riau E une sollicitation de #atigue oligoc;cli

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    Coure [email protected]'formationutre les coures de durcissement ou d/adoucissement c#cli+ue7 la r'ponse dumat'riau peut tre caract'ris'e par l/'-olution des oucles d/h#st'r'sis contrainte"d'formation au cours du c#cla!e. Pour cela7 on enre!istre l/effort ou la contrainteen fonction de la d'formation. n otient des oucles +ui '-oluent et se stailisentdans le cas o un r'!ime stale e,iste.La coure montr'e dans la fi!ure & est otenue pour le mme mat'riau ;acierino,#dale &4= +ue pour la fi!ure pr'c'dente V on -oit ien +ue la contrainte'-olue fortement au cours des premiers c#cles.

    %oures de durcisse!ent ou adoucisse!ent c;cli

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    Les coures sui-antes montrent de fa%on sch'mati+ue comment '-oluent lesoucles d/h#st'r'sis +uand il # a consolidation ;adoucissement=.

    coures contrainte - d(#or!ation

    3&

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    Les 'tendues de -ariation de la contrainte 7 et des d'formations totale t 7plasti+ue p et 'lasti+ue el sont rep'r'es sur la fi!ure sui-ante. n peut'crire

    t= el p= E

    p

    Ioucles d'h;st(r(sis contrainte - d(#or!ation

    3

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    n utilise alors les coures d/h#st'r'sis trac'es au c#cle stailis' pour cha+ueni-eau de d'formation.

    %oure de consolidation c;cli

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    Plusieurs m'thodes permettent de la construire. En prati+ue7 on prend 4 ou 5'prou-ettes

    $ partir d/une 'prou-ette en commen%ant par une amplitude de d'formationfaile7 en attendant la stailisation7 puis en choisissant un ni-eau ded'formation sup'rieur

    par des sollicitations par locs d/amplitudes de d'formations lin'airement

    croissants puis d'croissants.D'pouillement des r'sultats Utilisation d/une loi puissance ;par analo!ie a-ec une loi de coure de tractionclassi+ue= .Sur un dia!ramme lo!arithmi+ue7 on reporte la contrainte rationnelle en fonction dela d'formation -raie .

    ($ *oi de 5anson -Coffin

    Coures de r'sistance $ la fati!ue ;coures de Fanson"Coffin=Ce sont les coures +ui indi+uent la d'formation en fonction du nomre de c#cles $rupture ;comme les coures de (LER le sont $ contrainte donn'e=.M Loi de Bas+uin cette loi relit l/amplitude de d'formation 'lasti+ue au nomre de c#cles $ rupture $l/aide de la relation sui-ante

    el2

    = fE

    2NRb

    M Loi de Fanson"Coffin cette loi relit l/amplitude de d'formation plasti+ue au nomre de c#cles $ rupture V

    elle s/'crit

    coure d'(crouissage c;cli

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    p2

    =f' 2NRc

    M Loi totale

    t

    2

    =el

    2

    p

    2

    F$ 3xercices

    oi de )anson co##in

    39

    Terminolo!ie et notions de ase

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    IV -Calcul de rsistance

    l!amor"age desfissures de fatigue

    IV

    En fati!ue oli!oc#cli+ue H&

    En fati!ue $ !rande dur'e de -ie H2

    E,ercices 44H

    A$ 3n fatigue oligocclique

    &$ 5thodes de pr0ision des courbes de 5anson - Coffin

    Ces m'thodes consistent $ tracer les coures de Fanson"Coffin d/un mat'riaudonn' $ l/aide de caract'risti+ues d'termin'es $ partir d/un essai de tractionmonotone.M F'thode des points Les droites 'lasti+ues et plasti+ues sont d'termin'es $ l/aide des coordonn'es de

    pointsLa droite 'lasti+ue est d'finie par les couples de points

    NR=1

    4 Vel=

    fE

    NR=105

    Vel=0,9

    uE

    Pour la droite plasti+ue7 on consid0re les points

    NR=10 Vp=

    1

    4D

    0,75

    NR=104

    V p=

    0,0132

    1,91 el

    Ces coefficients pro-iennent d/essais monotones.D est la ductiilit' en traction

    u la contrainte ultime

    3H

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    M F'thode des pentes uni-erselles Dans ce cas7 les droites 'lasti+ue et plasti+ue sont trac'es en consid'rant +ue +uel+ue soit le mat'riau7 les pentes de ces 5 droites restent tou?ours les mmesPour la droite 'lasti+ue

    pente " 6745

    NR=1 Vel=3,5

    uE

    Pour la droite plasti+ue pente c"67

    NR=1 V p=D0,6

    )(thode des $ points

    )(thode des $ points

    96

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    )$ Influence de la contrainte moenne

    1$ Influence de la triaxialit mcanique

    #$ 3n fatigue grande dure de 0ie

    &$ >otion de critre de fatigue uniaxiale et multiaxiale

    Pour+uoi ce cours Si7 sur une pi0ce $ dimensionner en fati!ue7 $ l/endroit consid'r' l/'tat decontraintes est B>IAIA* X il suffit Y de comparer les -aleurs du couple;amplitude de contrainte7 contrainte mo#enne= ;-aleurs locales= au, !randeurse,p'rimentales supportales par le mat'riau ;-oir coures de ()hler ou de Fanson

    Coffin=.Si l/'tat de contraintes est 5B*TIAIA*on ne peut pas consid'rer s'par'mentcha+ue contrainte principale7 il faut utiliser un crit0re de fati!ue multia,ial.C/est l/o?et de cette partie du cours]

    Dfinition : Ku/est"ce +u/un crit0re de fati!ue C/est un formalisme math'mati+ue faisant inter-enir des param0tres influents surl/amor%a!e d/une microfissure de fati!ue.

    Remarque

    un crit0re de fati!ue permet de r'pondre $ la +uestion sui-ante Est"ce +ue lapi0ce se fissurera sous le ni-eau de contraintes sui-ant a-ant N c#cles ;46 37 pare,emple= Un crit0re de fati!ue ne r'pond ?amais $ la +uestion +uelle est la dur'e de -ie

    Un crit0re de fati!ue est une fonction math'mati+ue de une ou plusieurs -ariales

    6otion de crit"re de #atigue uniaxiale et !ultiaxiale

    94

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    d'finissant un domaine de sur-ie ;et un domaine de ruine= repr'sentatif ducomportement du mat'riau et de la structure consid'r'e.Ce formalisme doit tre intrins0+ue c/est"$"dire +ue le r'sultat final ne doit pasd'pendre du rep0re dans le+uel les calculs sont effectu's.Le choi, des -ariales pertinentes d'pend des auteurs et du t#pe d/approcheutilis'e ;'ner!ie7 plan criti+ue7 in-ariants7 etc.=

    Ce cours pr'sente les ases de +uel+ues crit0res de fati!ue dans le conte,te d'finici"apr0s.

    Fat'riau, m'talli+ues

    Char!ements sollicitations d/amplitude constante ;ou peu -ariale= fr'+uence inf'rieure $ 426

    En-ironnement air7 temp'rature amiante

    Proailit' de fissuration 672 Pas d/effet d/'chelle

    Pas de propa!ation de fissure ;pas de \Tol'rance $ l/endomma!ement\=T#pi+uement on consid0re +ue la fr'+uence de char!ement a !'n'ralement une

    influence n'!li!eale sur la tenue en fati!ue des m'tau, dans le domaine des!randes dur'es de -ie si elle est inf'rieure $ en-iron 426 $ 566 .Ce cours est pr'sent' en consid'rant +ue les propri't's des mat'riau, en fati!uecorrespondent $ des proailit's de sur-ie ;amor%a!e d/une fissure techni+uet#pi+ue de 4mm de lon!= de 672. La mme m'thodolo!ie peut tre appli+u'e pourd/autres proailit's de sur-ie.

    )$ %rsentation des familles de critres

    Gariales Gi Kuel param0tre d/endomma!ement choisir Diff'rentes approches e,istent

    empiri+ues

    6otion de crit"re de #atigue uniaxiale et !ultiaxiale

    95

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    utilisant des in-ariants

    de t#pe plan criti+ue

    'ner!'ti+uesLes contraintes consid'r'es peu-ent tre de plusieurs t#pes

    normale $ un plan mo#enne7 altern'e7 ma,imale.

    amplitude de cisaillement sur un plan octa'dral 7 ou autre plan mat'riel In-ariants du tenseur des contraintes ;-oir d'finition ci"dessous=

    Des approches 'ner!'ti+ues peu-ent tre utilis'es

    'lasti+ue7

    plasti+ue7 totale...

    1$ Critre de fatigue uniaxiale D diagramme de Haigh

    Dia!ramme de ai!h;cf. /Dia!ramme de ai!h/ p 6=

    Ce crit0re ne s/appli+ue +u/au, 'tats de contrainte unia,iau, ]Il s/a!it d/un crit0re empiri+ue pour prendre en compte l/effet de la contraintenormale moenne de traction

    Pour un 'tat de contrainte unia,ial ;traction7 compression7 fle,ion= l/amplitude decontrainte admissile pour une dur'e de -ie donn'e ;463 c#cles par e,emple=d'crot si la contrainte mo#enne au!mente. Ceci se traduit dans le dia!ramme de

    Biagra!!e de Daigh

    nariants du tenseur de contraintes

    9&

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    ai!h par di-ers seuils 8erer7 8oodman7 Soderer!.

    Dans l/industrie automoile7 la paraole de 8erer est la plus utilis'e.

    Dans le milieu a'ronauti+ue la droite de 8oodman est sou-ent retenue.

    Enfin si on -eut tre tr0s s'curitaire7 la droite de Soderer! doit treutilis'e.

    A noter ce dia!ramme ne fait pas de diff'rence entre traction et compression;contrainte normale mo#enne positi-e ou n'!ati-e=.Goici un e,emple de dia!ramme de ai!h otenu sur un acier &6NCD4 tremp're-enu ;'prou-ettes lisses=

    En Allema!ne7 la DGF ;'+ui-alent de la Soci't' *ran%aise de F'tallur!ie etFat'riau,= recommande d/utiliser le dia!ramme de ai!h sui-ant7 o l/effet'n'fi+ue d/une contrainte normale mo#enne n'!ati-e ;compression= est ien prisen compte7 ?us+u/$ un certain seuil ien entendu.

    Biagra!!e de Daigh de l'acier 3H6%B1+ tre!p( reenu 4(prouettes lisses5

    9

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    ($ Critre empirique de fatigue multiaxiale D critre deEough et %ollard

    Pour des applications particuli0res7 +uel+ues crit0res empiri+ues de fati!uemultia,iale ont 't' propos's dans la litt'rature.Le crit0re de 8ou!h et Pollard a 't' propos' pour des arres de machine tournanteschar!'es en fle,ion et torsion comin'es. Il peut aussi tre utilis' sous unchar!ement de traction et torsion comin'es.Ce crit0re s/illustre dans un plan et repr'sente sous le +uart d/ellipse le domained/amplitudes de contraintes normale ;fle,ion= et de cisaillement ;torsion=admissiles pour la dur'e de -ie consid'r'e ;par e,emple 463c#cles=NB une -ariante de ce crit0re e,iste permettant de distin!uer les m'tau, fra!ileset ceu, ductiles. Le seuil n/est plus un +uadrant d/ellipse mais seulement un arcd/ellipse.

    #et de la contrainte nor!ale !o;enne de traction et de co!pression

    92

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    Adapt' pour traction et torsion comin'es ou fle,ion et torsion comin'esE,emple dia!ramme de 8ou!h et Pollard de l/acier &6NCD4 tremp' re-enu;'prou-ettes lisses=

    8$ Critre de fatigue multiaxiale D critre de Crossland

    Le crit0re de Crossland est un crit0re de t#pe in-ariant.

    Biagra!!e de :ough et Pollard

    Biagra!!e de :ough et Pollard de l'acier 3H6%B1+ tre!p( reenu 4(prouetteslisses5

    9

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    Crossland suppose +ue l/amor%a!e d/une fissure de fati!ue dans un m'tal estfortement influenc' par deu, !randeurs m'cani+ues

    la contrainte h#drostati+ue ;sa -aleur ma,imale sur un c#cle dechar!ement=

    l/amplitude de la contrainte de cisaillement sur le plan octa'dral.#poth0ses

    Pas d/influence de la cission mo#enne

    Effet important de la contrainte h#drostati+ue

    a et sont des constantes mat'riau

    oct ,a plus !rande amplitude de cisaillement octa'dral

    H ,ma x

    contrainte h#drostati+ue ma,imale sur le c#cleCes deu, -ariales sont d'finies de la fa%on sui-ante

    i t contraintes principales

    %rit"re de %rossland

    %rit"re de %rossland

    %rit"re de %rossland F d(#inition du plan octa(dral

    93

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    ou ien

    NB pour un char!ement proportionnel7 l/amplitude de oct t peut se calculer enprenantl/amplitude de cha+ue contrainte principale dans l/'+uation ci"dessus.n notera +ue la contrainte de cisaillement sur le plan octa'dral est proportionnelle$ la racine carr' du second in-ariant du tenseur d'-iateur des contraintes. Aussi sile rep0re principal des contraintes n/est pas fi,e par rapport $ la mati0re7l/amplitude de cette !randeur n/est pas d'finie de fa%on intrins0+ue]Pour '-iter tout prol0me de calcul une -ariante intrins0+ue du crit0re de Crosslanda 't' propos'e. L/amplitude du cisaillement octa'dral est alors d'finie par rapport $la -ariation ;ou l/'tendue=7 sur un c#cle de char!ement7 du second in-ariant du

    tenseur des contraintes.

    Le crit0re s/'crit alors

    Le ni-eau de s'curit' -is $ -is du ris+ue d/amor%a!e d/une fissure de fati!ue a-antla dur'e de -ie consid'r'e ;utilis'e pour identifier le seuil du crit0re= s/appr'cie!'n'ralement en calculant un coefficient de s'curit' d'fini comme illustr' sur lafi!ure ci"dessous.Identification du seuil du crit0re pour une dur'e de -ie donn'e ;463par e,emple= Cette identification se fait $ l/aide de 5 -aleurs e,p'rimentales de la r'sistance enfati!ue du mat'riau consid'r' pour la dur'e de -ie 'tudi'e. n utilise sou-ent les

    -aleurs en torsion et en traction ou fle,ion Torsion ;R"4= To

    Traction ;R"4= Tr ou *le,ion ;R"4= *I ou 5 autres r'sultats d/essais...

    Variante intrins"itre =

    %rit"re de %orssland

    99

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    9$ Critre de fatigue multiaxiale D critre de 2ang Van

    Le crit0re de Dan! Gan est un crit0re de t#pe plan criti+ueC/est le premier crit0re as' sur un chan!ement d/'chelle //m'so @ macro//Hpothses

    Adaptation lastiquedu mat'riau s#m'trisation de la cission

    *issuration caus'e par une microplastificationdes !rains7 influenc'e par la

    denti#ication du seuil du crit"re de %rossland

    Biagra!!e de %rossland et d(#inition du coe##icient de s(curit(

    9H

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    contrainte h#drostati+ue

    Pas d/amor%a!e de fissure de fati!ue $ l/'chelle m'soscopi+ue si lescontraintes $ cette 'chelle7 dans l/tat adapt7 ne -iolent pas le critre deplasticit msoscopique.

    E,plications Changement d!chelle selon Hill et 5andel D

    #p macroscopi+uement le mat'riau reste 'lasti+ue en fati!ue $ !rand nomre dec#cles7 la matrice impose sa d'formation au, +uel+ues !rains plastifi's

    #p !rain et matrice ont mme tenseur d/'lasticit'

    D;poth"ses du crit"re de Bang Van

    )acroscopi

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    donc '!alit' des contraintes h#drostati+ues \macro et m'so\

    #p adaptation 'lasti+ue du cristal ;!rain=7 suppos' sui-re un comportement'lastoplasti+ue $ 'crouissa!e isotrope lin'aire s#m'trisation de la cissionm'soscopi+ue" *issuration caus'e par une microplastification des !rains7 influenc'e par lacontrainte h#drostati+ue

    a et sont des constantes mat'riau

    'n , t -ecteur cisaillement msoscopique dans l/'tat adapt sur le plan

    mat'riel ;facette= de normaleHt=Ht contrainte h#drostati+ue msoscopique 6 cellemacroscopique7

    Etat adapt'

    donc

    Plus petit cercle circonscrit au tra?et de l/e,tr'mit' de

    Le centre de ce cercle permet d/estimer

    Le sch'ma ci"dessous permet de -isualiser les diff'rences entre tra?ets m'so etmacro

    &galit( des contraintes h;drostatiitre =

    %rit"re de Bang Van

    carp est un d!iateur

    '=*

    'n , t=Tn , t *n , t

    T" ,n , t

    *n=* .n

    H4

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    A-ec des !randeurs macroscopiquesuni+uement

    %our un traet +A2IA* et des sollicitations sinusoidales 6en phase7

    Repr(sentation du crit"re de Bang Van

    Sch(!atisation du crit"re de Bang Van

    maxn

    {maxtT

    [ Tan , ta Ht]}b

    maxn

    {maxtT

    [ Tan , ta Ht]}b

    H5

    Calcul de r'sistance $ l/amor%a!e des fissures de fati!ue

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    ATT3>TIK> Dles crit0res de CRSSLAND et de DAN8 GAN ne donnent pas des pr0isionscorrectespour des char!ements multia,iau, non proportionnels ;d'phas's=.Pour les char!ements non proportionnels il -aut mieu, utiliser les crit0res de

    Forel ;ENSFA7 Poitiers=7 Papadopoulos ;Ispra7 Italie=7

    LAFE*IP7 etc... ;plus d/une +uarantaine dans la litt'rature=

    :$ Critre de fatigue multiaxiale D critre nergtique du*A53FI%

    Ce crit0re est un crit0re de t#pe 'ner!'ti+ue. Les h#poth0ses sont les sui-antes

    Biagra!!e de Bang Van Qsur le plan criti

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    Correction de tria,ialit' des contraintes

    a-ec

    %rit"re (nerg(ti

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    #poth0ses % feqCi tra-ail fourni en Ci '+ui-alent $ un 'tat de contrainteunia,ial

    Le crit0re s/'crit alors

    Une -ersion ponctuelle de ce crit0re s/'nonce de la fa%on sui-ante

    S/identifie d/apr0s une limited/endurance unia,iale traction7fle,ion plane ou rotati-e ;R"4= sur'prou-ettes \lisses\.

    Pour identifier il faut connatre leslimites d/endurance ;R"4= en torsionet en fle,ion rotati-es sur 'prou-ettes \lisses\.Dans sa -ersion -olumi+ue7 le crit0re s/'crit Kuelle partie de (f participe $ l/endomma!ement CK>V3+TI+ T1) 3> A>I5ATIK>

    Gonction e!piri

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    Version olu!i

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    Une contrainte seuil M e,iste sous lalimite d/endurance usuelle D

    de petits c#cles d/amplitude

    inf'rieure $ M ne cr'ent pas

    d/endomma!ementm'soscopi+ue

    des ccles entre si&ma M etsi&ma D participent l!endommagement

    si&ma M d'pend du mat'riau

    de sa microstructureFAI+3 *3 T1( 3> A>I5ATIK>

    #poth0ses

    Volume d!influenceCi

    uelle partie de W# participe El'endo!!age!ent =

    %rit"re (nerg(ti

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    Ciest un ma,imum local de% f

    eq

    "

    #p (fM ne d'pend pas du char!ement mo#en

    i tat de contrainte B>IAIA*#poth0se

    Alors

    *onction empiri+ue

    A-ec

    Hpothse D % feq Ci tra0ail fourni en Ci qui0alent un tat decontrainte uniaxial

    Alors

    Volu!e d'in#luence

    Version ponctuelle

    Gonction e!piri

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    Le crit0re s/'crit alors

    CK>V3+TI+ T1: 3> A>I5ATIK>

    C$ 3xercices

    S;nopti

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    V -Calcul de rsistance

    la propagation defissures en fatigue

    V

    *issures lon!ues 454

    *issures naturelles 433

    A$ Fissures longues

    Dans le premier chapitre7 nous a-ons -u +ue la dur'e de -ie en fati!ue sed'compose sui-ant une phase d/amor%a!e et une phase de propa!ation. Toutefois7toute pi0ce m'cani+ue est susceptile de contenir des d'fauts li's au mat'[email protected] au proc'd' ;inclusions7 retassures7 d'fauts de surface7 etc.=7 ou encore desconcentrations de contrainte +ui constituent autant de sites potentiels pourl/amor%a!e d/une fissure. En prati+ue7 il faut donc tenir compte non seulement de lapossiilit' d/amor%a!e d/une fissure7 mais '!alement de la croissance de d'fautspr'e,istants. Enfin7 des d'fauts de t#pe fissures peu-ent '!alement tre !'n'r'sen ser-ice par un endomma!ement autre +ue la fati!ue ;corrosion7 choc7 etc.= et sed'-elopper ensuite sous l/action de sollicitations c#cli+ues.La pr'diction des cin'ti+ues de croissance n'cessite de disposer de donn'es+uantitati-es sur la r'sistance $ la propa!ation du mat'riau utilis'7 c/est"$"dire delois de propa!ation permettant de pr'dire les -itesses de propa!ation de fissure enfonction de l/amplitude de char!ement ou tout autre facteur susceptile d/influencerla propa!ation. Ces lois sont !'n'ralement d'termin'es $ partir d/essais delaoratoire men's sur 'prou-ettes normalis'es du t#pe m'cani+ue de la rupture.L/o?ectif de ce chapitre est donc d/e,aminer les m'canismes de propa!ation en selimitant au, conditions o la m'cani+ue lin'aire de la rupture reste applicale.L/influence de diff'rents facteurs sur les -itesses de propa!ation7 ainsi +ue leur

    prise en compte dans les lois de propa!ation utilis'es dans les outils pr'dictifsseront ensuite e,amin'es.

    &$ Caractrisation de la propagation

    Les donn'es n'cessaires $ l/'-aluation ou $ un calcul de dur'e de -ie en fissurationsont 'talies e,p'rimentalement.Un essai t#pi+ue de propa!ation de fissure peut par e,emple tre conduit sur unetOle contenant une entaille centrale ;Center Crac: Tension= facilitant l/amor%a!e;*i!ure 6 4= et sollicit'e en traction ondul'e. Cette entaille consiste en un trou depetite dimension a-ec deu, coupures lat'rales plus fines. Sous l/action duchar!ement c#cli+ue7 deu, fissures se d'-eloppent $ partir de ces coupures

    lat'rales de fa%on +uasiment s#m'tri+ue. La lon!ueur totale de fissure correspond $

    464

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    la distance entre les deu, e,tr'mit's des deu, fissures ;*i!ure 6 4=. Cette lon!ueurest con-entionnellement not'e X 5a Y. Pour des !'om'tries telles +ue la fissure necomporte +u/une pointe ;pla+ue a-ec entaille lat'rale par e,emple=7 la lon!ueur defissure est not'e X a Y.Au cours de l/essai de fissuration7 on suit l/'-olution de la lon!ueur de fissure 5a enfonction du nomre de c#cles appli+u's N7 soit par un dispositif opti+ue7 soit par

    des techni+ues plus '-olu'es telles +ue la -ariation de potentiel 'lectri+ue ou decomplaisance de l/'prou-ette +ui permettent une automatisation de l/essai.

    La repr'sentation la plus simple des donn'es ainsi collect'es consiste $ tracer un!raphe donnant l/'-olution de la lon!ueur de fissure a en fonction du nomre dec#cles appli+u's N7 comme le montre la *i!ure 6 5.

    Pour un char!ement $ amplitude constante7 le tau, de croissance de la fissure

    Gissuration

    Gig H 1 F &prouette %%> pour essai de #issuration

    465

    Calcul de r'sistance $ la propa!ation de fissures en fati!ue

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    L/ASTF ;American Societ# for Testin! of Faterials= pr'conise d/utiliser un pol#nOmede de!r' n.n peut alors tracer l/'-olution de la -itesse de propa!ation [email protected] en fonction de lalon!ueur de fissure a ;*i!ure 6 a=.

    L/ASTF recommande aussi pour d'terminer la coureda /dN=f K de conduire

    les essais sous K+uasi constant.L/ASTF recommande +ue la -ariation de Kentre le d'ut et la fin d/un palier de char!ement permettant d/otenir un point de

    la coure da /dN=f K soit inf'rieur ou '!al $ 3[.n peut mme sur certainesmachines h#drauli+ues $ faile fr'+uence asser-ir l/essai $ K Constante. Cecisuppose de recalculer en temps r'el ;$ cha+ue c#cle ou pa+uet de c#cles= l/effort $appli+uer en fonction de la lon!ueur de la fissure.

    La -itesse de propa!ation crot a-ec la lon!ueur de fissure ?us+u/$ la rupture finaleou l/arrt de l/essai.En outre7 pour une lon!ueur de fissure donn'e7 la -itesse est d/autant plus 'le-'e+ue l/amplitude de contrainte appli+u'e est importante.Il s/ensuit entre autre +ue l/on peut d'crire un mme inter-alle de -ariation de

    -itesse de propa!ation [email protected] a-ec des -aleurs diff'rentes de a et . La mmeremar+ue pourrait s/appli+uer si l/on faisait -arier les dimensions de l/'prou-etteutilis'e pour otenir les donn'es.

    pr0oir une animationLa limite de ce t#pe d/anal#se des essais de fissuration apparat donc clairementles donn'es sont fortement d'pendantes des conditions d/essai ;amplitude decontrainte7 lon!ueur de fissure initiale7 !'om'trie7...=. Il con-ient donc derechercher une m'thode d/anal#se +ui permette de s/affranchir de cetted'pendance et de d'!a!er ainsi des donn'es propres au mat'riau.Dans les conditions de ser-ice7 les fissures de fati!ue se d'-eloppent selon unedirection +ui est7 $ l/'chelle macroscopi+ue7 perpendiculaire $ l/a,e de la contrainteprincipale. Dans de tr0s nomreu, cas7 le chemin de fissuration sera doncperpendiculaire $ la direction de traction +ui tend $ ou-rir la fissure. Ce t#ped/ou-erture est appel' mode I. Les autres modes7 appel's II et II sont toutefoisen-isa!eales.rappels D les 1 modes montrs dans la partie rupture

    Gig H $ F &olution de la itesse de propagation daKd6 en #onction a5 de la longueurde #issure 5 du #acteur d'intensit( de contrainte

    46

    Calcul de r'sistance $ la propa!ation de fissures en fati!ue

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    La *i!ure 6 consid0re le cas d/une fissure de lon!ueur 5a dans une pla+ue

    soumise en mode I $ une contrainte $ l/infini. La th'orie de l/'lasticit' permet ded'crire le champ de contrainte au -oisina!e de la pointe de fissure $ l/aide desrelations sui-antes

    xx= a

    2 rcos

    21sin2sin32

    = a

    2rcos

    2 1sin 2 sin32

    xx= a

    2 rcos

    2sin

    2cos

    32

    0oir cours 5+ pour de plus amples d'tails

    Bi##(rents !odes d'ouerture

    462

    Calcul de r'sistance $ la propa!ation de fissures en fati!ue

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    rupture 'taient $ mme de d'crire la -itesse de propa!ation des fissures soumises$ des char!ements c#cli+ues. Cette caract'risation est as'e sur l/utilisation de

    l/'tendue du facteur d/intensit' de contrainte Kd'finie comme suitK=KmaxKmin Les -aleurs de

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    le domaine I se caract'rise par une rapide d'croissance de la -itesse de

    propa!ation lors+ue la -aleur de Kapproche d/une -aleur caract'risti+ue. Cette

    -aleur est appel'e seuil de propa!ation et not'e Kseuil l. En dessous de cette-aleur7 l/endomma!ement en pointe de fissure en!endr' par le char!ementc#cli+ue de-ient si faile +u/il est +uasiment impossile de d'tecter

    e,p'rimentalement une a-anc'e de fissure. n consid0re donc +ue la fissure ne sepropa!e pas pour K!Kseuil . Ce domaine est en outre caract'ris' par une forteinfluence de la microstructure7 du rapport de char!e et de l/en-ironnement. dans le domaine II7 la coure pr'sente !'n'ralement une partie lin'aire sur unasse lar!e inter-alle. Cette lin'arit' traduit une d'pendance en loi puissance de la-itesse de propa!ation par rapport $ l/amplitude de facteur d/intensit' de contrainteKda

    dN=CKm

    Cette loi puissance est commun'ment appel'e loi de Paris et le domaine de -itessesde propa!ation dans le+uel cette relation est -'rifi'e est appel'e domaine de Paris.Il con-ient de souli!ner +ue7 mme si des e,pressions similaires peu-ent treotenues de mani0re th'ori+ue7 cette relation reste a-ant tout empiri+ue. C et msont donc des param0tres d'pendant certes du mat'riau consid'r'7 mais aussi desconditions d/essai ;rapport de char!e7 en-ironnement7 ...=V le domaine III correspond $ une acc'l'ration de la propa!ation ?uste a-ant larupture rutale. Celle"ci inter-ient lors+ue la -aleur ma,imale du facteur d/intensit'de contrainte au cours du c#cle

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    d'formation plasti+ue au sein d/une one en tte de la fissure au sein de la+uelle on

    a =RE=

    K1

    2 r

    et appel'e one plastifi'e.Irin7 en faisant l/h#poth0se d/une one plastifi'e circulaire7 d'finit alors pour un

    'tat de contrainte plane le ra#on rpde la one plastifi'e par

    La taille et la forme de la one plastifi'e d'pendent essentiellement de l/'tat decontrainte. Ainsi7 Irin propose pour un 'tat de d'formations planes

    soit une taille de one plastifi'e inf'rieure d/un facteur & $ celle otenue encontraintes planes pour une mme -aleur de

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    Au cours de la mise en char!e7 le mat'riau en pointe de fissure se plastifie d0s +uela contrainte locale atteint la limite d/'lasticit'. Apr0s l/alternance de char!e7 lamat'riau r'pond dans un premier temps par une d'formation 'lasti+ue. Laplastification en compression inter-ient lors+ue l/amplitude de contrainte -ue par lemat'riau en pointe est '!ale au doule de la limite d/'lasticit'. Il en -a de mmepour les alternances sui-antes. La r'p'tition de ce processus de plastificationen!endre donc7 au sein de la one plastifi'e monotone7 l/apparition d/une one ded'formations plasti+ues c#cli+ues appel' one plastifi'e c#cli+ue. Le ra#on de cetteone est donn' par une relation similaire $ l/'+uation E+. GI"46 en rempla%ant 3*1

    4&5

    Calcul de r'sistance $ la propa!ation de fissures en fati!ue

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    a= Aspects ph'nom'nolo!i+ues

    Les diff'rents ni-eau, de char!e d/un spectre intera!issent entre eu, de fa%oncomple,e. La compr'hension des effets d/histoire de char!ement sous spectren'cessite de consid'rer des char!ements simplifi's par rapport au, spectres r'els.Le cas le plus simple 7 mais toutefois riche d/ensei!nement7 est constitu' par une

    surchar!e d'crite ci"apr0s.i - 3ffet d!une surcharge

    n appelle surchar!e l/au!mentation de la char!e ma,imale au cours d/un seul

    c#cle. La surchar!e est caract'ris'e par le tau, de surchar!e d'fini par

    =Kpic

    Kmax 7 o

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    n distin!ue +uatre t#pes d/effet X retard Y caract'risti+ues et pr'sent's de fa%on

    sch'mati+ue sur la *i!ure 6 &57 dans l/h#poth0se o la propa!ation se fait $ Kconstant. Si l/amplitude de contrainte est maintenue constante7 la -aleur deKau!mente lors+ue la fissure pro!resse7 et par cons'+uent la -itesse de propa!ationde r'f'rence crot '!alement. Les effets de surchar!e sur les -itesses depropa!ation sont de ce fait plus difficiles $ anal#ser puis+ue la -itesse depropa!ation de r'f'rence -arie7 mais ces effets restent +ualitati-ement les mmes.Le point S d'si!ne le point d/application de la surchar!e. Dans le premier cas7 lasurchar!e n/est pas suffisamment s'-0re pour induire un +uelcon+ue effet sur lapropa!ation ult'rieure. Dans la situation pr'sent'e sur la *i!ure 6 &5 =7 onoser-e un ralentissement de la propa!ation d0s l/application de la surchar!e la-itesse de propa!ation d'crot pro!ressi-ement a-ant de crotre $ nou-eau7 ?us+u/$retrou-er sa -aleur nominale oser-'e sous char!ement $ amplitude constante. nparle alors de X retard Y induit par la surchar!e dans la mesure o7 du fait duralentissement en!endr' par la surchar!e7 le nomre de c#cles re+uis pouratteindre une lon!ueur de fissure donn'e est sup'rieur au nomre de c#clesn'cessaire pour atteindre cette lon!ueur sous char!ement d/amplitude constante.Un comportement l'!0rement diff'rent est pr'sent' sur la *i!ure 6 &5 c= V dans ce

    cas7 on constate +ue l/application de la surchar!e ne se traduit pas instantan'mentpar un ralentissement de la propa!ation. Dans certains cas mme7 on oser-e uneacc'l'ration initiale de la propa!ation a-ant le ralentissement. Enfin7 la *i!ure 6 5d= pr'sente un cas particulier o7 apr0s le ralentissement induit par la surchar!e7 la-itesse de propa!ation au!mente et d'passe sa -aleur nominale7 ?us+u/$ ce +ue lacoure de propa!ation re?oi!ne la coure +ue l/on aurait otenue sans applicationde surchar!e. Le retard n/est donc7 dans un tel cas7 +u/un ph'nom0ne transitoire+ui n/induit $ terme aucun effet sur la dur'e de -ie.Le retard est !'n'ralement caract'ris' $ l/aide de diff'rents param0tres d'finis ci"dessous et sur la *i!ure 6 &&

    NR nomre de c#cles de retard7 d'fini comme la diff'rence entre le nomrede c#cles re+uis pour atteindre une lon!ueur de fissure donn'e apr0ssurchar!e NS et le nomre de c#cle N6 +u/il aurait fallu appli+uer souschar!ement $ amplitude constante pour atteindre cette mme lon!ueurV

    aR lon!ueur de fissure pertur'e par la surchar!e7

    dadNmin -itesse minimale atteinte apr0s surchar!eV aM lon!ueur de fissure pour la+uelle la -itesse minimale apr0s surchar!e

    est atteinteV

    facteur de ralentissement7 d'fini comme le rapport entre la -itesseminimale et la -itesse initiale

    4&

    Calcul de r'sistance $ la propa!ation de fissures en fati!ue

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    Les principau, param0tres !ou-ernant le retard sont

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    iii - Autres tpes de 0ariation de chargement

    Chan!ements de ni-eau,Ces char!ements sont caract'ris's par une -ariation rutale de la contraintema,imale et se r'partissent en deu, cat'!ories

    les char!ements de t#pe X Bas"haut Y ;X Lo"i!h Y= +ui se traduisent parune acc'l'ration transitoire de la propa!ationV

    les char!ements de t#pe X aut"Bas Y ;X i!h"LoY= +ui produisent unretard plus mar+u' +ue celui +ue pro-o+uerait une surchar!e uni+ue demme amplitude.

    Sous"char!ePeu d/'tudes ont 't' men'es sur l/influence de sous"char!e7 notamment encompression7 sur les -itesses de propa!ation et les diff'rences e,p'rimentales;mat'riau7

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    = Fod0les de propa!ation sous char!ement $ amplitude -ariale.

    L/o?ectif final d/un mod0le de propa!ation est de pr'dire +uantitati-ement la dur'ede -ie de structures soumises $ des sollicitations c#cli+ues d/amplitude -ariale.Compte"tenu de la comple,it' des ph'nom0nes mis en ?eu7 les mod0les disponilesconser-ent une part d/empirisme. Deu, t#pes d/approches sont retenues lesapproches !loales7 +ui consid0rent un char!ement $ amplitude constante'+ui-alent $ une s'+uence consid'r'e7 et les anal#ses de t#pe X c#cle par c#cle Y7+ui consid0rent le domma!e induit par un c#cle donn'.

    i - Approche globale

    L/id'e de ase dans ce t#pe d/approche est +ue les -ariations al'atoires del/amplitude de contrainte -ues en pointe de fissure peu-ent tre d'crite $ l/aide dela -aleur mo#enne de l/amplitude du facteur d/intensit' de contrainte d'finie par

    Kmo=)i =1

    n

    Ki

    n E+. 6 4

    o Ki repr'sente l/amplitude du facteur d/intensit' de contrainte au c#cle i ausein d/une s'+uence de n c#cles. n peut noter au passa!e +ue pour un

    char!ement d/amplitude constante on a Kmo=K

    La -itesse de propa!ation pour la s'+uence consid'r'e est ensuite otenue en

    emplo#ant la -aleur deKi dans la loi de propa!ation ad'+uate

    da

    dN=fKmo

    .Si ce t#pe d/approche fournit des r'sultats satisfaisants pour certains t#pesd/application7 elle est prise en d'faut pour rendre compte des effets de spectre surstructures d/a-ion par e,emple.

    ii - Analses ccle par ccle

    Dans ce t#pe d/approche7 l/a-ance au cours d/une s'+uence est suppos'e tre lasomme des a-anc'es 'l'mentaires au cours de cha+ue c#cle de la s'+uence

    asquence=)i =1

    n

    ai

    #et co!in( surchargeKsouscharge

    4&3

    Calcul de r'sistance $ la propa!ation de fissures en fati!ue

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    Les mod0les diff0rent par la m'thode utilis'e pour estimer l/a-ance 'l'mentaire enfonction de l/histoire de char!ement. Ils s/appuient sur les causes suppos'es duretard. Ainsi7 les mod0les empiri+ues sont as's sur des effets d/interaction entre laone plastifi'e cr''e lors de la surchar!e et la one plastifi'e courante associ'e auchar!ement de ase. D/autres mod0les7 as's sur le concept de fermeture7 seproposent de d'terminer l/'-olution de la char!e $ l/ou-erture au cours de la

    s'+uence. Kuel+ues mod0les caract'risti+ues de ce t#pe d/approche sont d'critsdans le para!raphe sui-ant.

    c= Approches empiri+ues as'es sur les interactions de onesplastifi'es

    i - 5odle de .heeler

    Le mod0le de (heeler repose sur la d'termination7 pour un c#cle i donn'7 d/unfacteur de ralentissement not' Cpi+ui '-olue au fur et $ mesure +ue la fissurepro!resse au sein de la one plastifi'e cr''e par la surchar!e ;*i!ure 6 =.1uste apr0s la surchar!e7 Cp est donn' par

    o R6d'si!ne la taille de la one plastifi'e courante7 Rpicest la taille de la one

    plastifi'e cr''e par la surchar!e et " est un param0tre propre au mat'riau.Il en d'coule

    Lors+ue la fissure atteint une lon!ueur ai7 le facteur de ralentissement de-ient

    Le retard disparat lors+ue Cpi47 c/est"$"dire lors+ue la one plastifi'e courante-ient tan!enter l/e,tr'mit' de la one plastifi'e cr''e par la surchar!e. Laconfrontation des pr'dictions a-ec les donn'es e,p'rimentales montre +ue le

    param0tre " d'pend de plusieurs param0tres d/essai.

    4&9

    Calcul de r'sistance $ la propa!ation de fissures en fati!ue

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    ii - 5odle de .illenborgLe mod0le de (illenor! constitue une approche l'!0rement diff'rente puis+u/il sepropose de d'terminer non plus un facteur de ralentissement7 mais une -aleureffecti-e du rapport de char!e -u en pointe de fissure Reffd'fini par

    Reff=Kmineff

    Kmaxeff E+. 6 2

    a-ec Kmineff=KminKR et Kmaxeff=KmaxKR E+. 6 .La -aleur du facteur d/intensit' de contrainte

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    La taille de la one plastifi'e '+ui-alente Re+est donn'e parReq=

    1

    ( KR

    o ( d'crit l/'tat de contrainte.

    Il s/ensuit KR=( a

    0R pica i 7 soit encoreKR=Kpicx

    1

    ai a0

    R pic E+. 6 9.La -aleur effecti-e du facteur d/intensit' de contrainte7 diff'rente de celle introduitepar Eler pour d'crire les effets de fermeture de fissure7 est alors otenue de lafa%on sui-ante

    Si Kmineff*0 etKmaxeff*0 7 Keff=KV

    Si Kmineff!0 etKmaxeff*0 7 Keff=KmaxeffV

    Si Kmaxeff!0 7 Keff=0 .Selon ce mod0le7 il n/# a retard +ue si le rapport de char!e affecte les -itesses depropa!ation. Il pr'sente comme a-anta!e7 par rapport au mod0le de (heeler7 de

    ne pas introduire de param0tre suppl'mentaire.Ces deu, mod0les montrent les mmes limites

    Ils pr'disent tous deu, un retard ma,imal ?uste apr0s la surchar!e7 ce +uin/est +ue rarement oser-' e,p'rimentalementV

    Ils ne peu-ent rendre compte de l/influence de surchar!es multiples et desous char!es '-entuelles.

    Le lo!iciel A*8R( utilise une -ersion 'tendue du mod0le de (illenor!. La -aleurde

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    d= Approches as'es sur les effets de fermeture de fissure

    i - 5odle %+3FFA 6%+30ision de la Fissuration en FatigueAropatiale7

    Le mod0le PRE**AS7 comme d/autres mod0les7 se propose de remplacer unes'+uence d/un char!ement $ amplitude -ariale7 par un nomre de c#cles'+ui-alents d/un char!ement $ amplitude constante ;*i!ure 6 9=.

    Ce mod0le repose en outre sur un certain nomre d/h#poth0ses !'n'ralement ien-'rifi'es pour les allia!es l'!ers utilis's en a'ronauti+ue. Ces h#poth0ses sont lessui-antes;i=. La fissure se propa!e $ cha+ue c#cle par formation de strie. Ce mod0le est donc

    limit' au domaine dit de Paris et la loi de propa!ation est du t#pe

    da

    dN=CKm

    .

    ;ii=. Ce mod0le repose sur le concept de Keff introduit par Eler. Au c#cle i7

    l/incr'ment de fissuration est donn' par a i=CKeffm =CKmax,iKou! ,i

    E+. 6 45.

    ;iii=. La -aleur de Kou!,i d'pend de l/histoire du char!ement et est d'termin'e $partir d/une loi semlale $ celle d/Eler.

    KmaxKou!, $=.R . KmaxKmin E+. 6 4&

    a-ec.R =A) KminH

    KmaxHB

    7 o

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    a-ec .R =A

    Kmin ,1

    Kmax$B

    E+. 6 4;-=. n suppose enfin +u/il n/# a pas d/effet d/'-anescence7 c/est"$"dire +ue la-aleur de

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    n/est pas trop importante7 on peut 'crire la relation pr'c'dente sous la forme

    Le terme )i=1

    n

    -effim est d'fini comme l/efficacit' de la s'+uence not'e E*.

    L/efficacit' est donc un terme caract'risti+ue du spectre consid'r' et int'!rant lescaract'risti+ues X mat'riau Y par le iais de l/e,posant de la loi de Paris. n adonc

    Par ailleurs7 pour le char!ement '+ui-alent on a

    En '!alant les relations E+. I"H et E+. I"46 on en d'duit le nomre de c#cles N e+du char!ement '+ui-alent

    Neq= E(

    a R refb -maxeq-mineq m E+. 6 54.Ce mod0le a connu des '-olutions permettant de rendre compte de l/effet dechar!ement comple,e. En particulier7 afin de prendre en compte l/influence desous"char!e en compression7 la relation donnant U a 't' modifi'e comme suit

    a-ec(=

    1BB 7 B 'tant le param0tre de la loi d/Eler.

    Le domaine d/application de ce mod0le conser-e toutefois +uel+ues limites. Ainsi7 ilne s/appli+ue plus d0s lors +ue le ni-eau de

  • 7/25/2019 Fatigue Papier

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    +ue l/allia!e 545 pr'sente une meilleure r'sistance $ la fissuration +ue l/allia!e549 ;allia!e du Concorde=7 principalement par le iais d/effets de fermeture plusmar+u's pour une -aleur de R donn'e. Cette meilleure r'sistance du 545 setrou-e confirm'e pour les essais