Université Paris-Est Val-de-Marne Créteil DAEU-B

Fiche 9 : Fonctions III. Taux d’accroissement – Dérivation – Variations d’une fonction

1. Taux d’accroissement – Taux de variation.

2. Nombre dérivé – Tangente.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.

Appelons C la courbe représentative de la fonction

f dans un plan P muni d’un repère orthogonal

; ,O i j ; A est le point de la courbe C d’abscisse a.

M un point quelconque de C.

Lorsqu’on fait « glisser » sur la courbe le point M

vers A, ce qui revient à dire que la sécante [AM]

pivote autour du point A, on remarque que cette

droite se rapproche d’une position limite :

la droite T qui est appelée tangente à la courbe C

en A.

La droite [AM] a pour coefficient directeur ( ) ( )f x f a

x a

.

Si la tangente n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, son coefficient directeur est égal à la limite

finie de ce quotient quand x tend vers a, c’est-à-dire : ( ) ( )

limx

f x f a

x a

.

Définition :

Si la courbe C admet au point A(a,f (a)) une tangente non

parallèle à l’axe des ordonnées, le nombre dérivé de f en a

est égal au coefficient directeur de la tangente à C en A.

On le note : f (a).

m = coefficient directeur de la droite T :

f (a) = m

C T

A

Cette définition est donc équivalente à la définition suivante :

Exercice 4

1) On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x². Calculer f (0) et f (a), avec a réel

quelconque.

2) On considère la fonction f définie sur R* par f (x) = 1

x. Calculer f (2) et f (a), avec a réel

quelconque non nul.

3) On considère la fonction f définie sur R+* par f (x) = x .

a) Calculer f (1) et f (a), avec a réel quelconque strictement positif.

b) Déterminer 0

( ) (0)limx

f x f

x

. Que peut-on en déduire ?

Tangente à la courbe

Si f est dérivable en x0, la courbe représentative de f admet au point A(x0,y0) avec y0 = f (x0)

une tangente d’équation y y0 = f’(x0) (x-x0).

Exercice 5

a) Déterminer graphiquement les images par f des réels –1; 0; 1; 3 et 4.

b) Lire graphiquement le coefficient directeur de la droite T1 puis en déterminer l’équation réduite.

c) Lire graphiquement le coefficient directeur des droitesT2 et T3.

d) En déduire les nombres dérivés f ’(-1) ; f ’(0) et f ’( 3).

e) Sachant que f ’(4)=18, déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse 4.

3. Fonction dérivée.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Définition 1:

Si f admet un nombre dérivé pour tout réel x de I, ce qui revient à dire que la courbe représentative de f

dans un repère orthogonal ; ,O i j admet une tangente non parallèle à l’axe (y’y) en tout point, on dit

que f est dérivable sur I.

Définition 2

Si f est dérivable sur l’intervalle I, la fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé f (x) est la

fonction dérivée de f sur I notée f .

Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

f désigne la fonction dérivée de la fonction f ;

f (x) désigne le nombre dérivé de f en x.

4. Dérivée des fonctions usuelles.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Nous admettrons toutes les formules suivantes.

Pour chaque fonction, on donne l’ensemble de définition de la fonction ainsi que le (ou les) plus

grand(s) intervalle(s) où elle est dérivable.

f (x) Df f (x) Intervalle(s) de dérivation

a R 0 R

xn (n1) R nxn-1 R

1

x R\{0}

1

²x ]-∞,0[ ou ]0;+[

1nx

(n1) R\{0} f’(x) 1n

n

x ]-∞,0[ ou ]0 ;+∞[

x [0;+[ Df=[ 1

2 x ]0;+[

Exercice 6

Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes :

a) ( ) 35f x I = R.

b)2( )f x x I = R.

c) 3( )g x x I = R.

d)7( )h x x I = R.

e)2

1( )i x

x I = ]0 ;+∞[

5. Opérations sur les fonctions dérivables.

Nous admettrons les théorèmes suivants:

Les fonctions u et v sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.

a- Dérivée d’une somme

Théorème 1

La fonction u + v est dérivable sur I et pour tout t de I, on a : (u+v)=u+v

b- Dérivée d’un produit par un réel

Théorème 2

Pour tout réel k, la fonction ku est dérivable sur I (ku) =ku

Conséquence

Les fonctions polynômes sont dérivables sur R.

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Exercice 7

Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes :

a) 2( ) 7f x x I = R

b) 5

( )g xx

I = ]0 ;+∞[

c) ( ) 2 3h x x I = R

d) 2( ) 2 1i x x x I = R

e) 19 13 4( ) 5j x x x x I = R

f) ( ) 3k x x I = ]0 ;+∞[

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c- Dérivée d’un produit

Théorème 3

La fonction uv est dérivable sur I (uv) = uv + uv

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Exercice 8

Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes

a) ( ) 1 6 1f x x x I = R b) ( ) 2 3g x x x I = ]0 ;+∞[

=========================================================================

c- Dérivée d’un inverse et d’un quotient

Théorème 4

Si v(x)0, pour tout x de I, alors

- 1

v est dérivable sur I, et:

1

v

'

²

v

v

- u

vest dérivable sur I, et

u

v

' '

²

u v uv

v

Conséquence

- Les fonctions rationnelles sont dérivables sur tout intervalle ne contenant pas de valeurs qui annulent

le dénominateur.

Exercice 9

Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes :

a) 1

( )2 3

f xx

3

;2

I

b) 1

( )3

xg x

x

3;I

c) 2 1

( )2 1

x xh x

x

1;2

I

d) 2

2 7( )

5

xi x

x

I = R

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d- Dérivée d’une fonction composée

Théorème 5:

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et f une fonction dérivable en tout réel u(x) alors la

fonction g définie sur I par : g(x)=f (u(x)), est dérivable sur I et:

g(x)= u(x) '( ( ))f u x .

Conséquences

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors

- la fonction un (nN*) est dérivable sur I et (un) =nuun-1.

- si u(x )≠ 0 sur I, la fonction 1

nu(nN*) est dérivable sur I et

1

'1 '

n n

nu

u u

- si u(x) > 0 sur I, la fonction u est dérivable sur I et '

u ='

2

u

u

En particulier :

Soient a et b deux réels quelconques. Si g(x) = f (ax+b) , alors g(x)=af (ax+b).

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Exercice 10

Calculer la fonction dérivée sur l’intervalle I donné pour chacune des fonctions suivantes :

a). ( ) 2 5f x x 5

;2

I

b) 2g( ) 3x x I = R

c) 2( ) (3 7)h x x I = R

d) 2 3( ) (3 4 )i x x I = R

e)2

1( )

( 3)j x

x

;3I

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Exercice 11

Pour chacune des fonctions suivantes :

- Déterminer l’ensemble de définition.

- Déterminer l’ensemble de dérivation.

- Calculer la fonction dérivée.

Exercice 12*

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6. Dérivées et sens de variation.

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

- f est strictement croissante sur I si et seulement si f (x) > 0 pour tout x de I.

- f est strictement décroissante sur I si et seulement si f (x) < 0 pour tout x de I.

- f est constante sur I si et seulement si f (x) = 0 pour tout x de I.

Remarques

Si f (x) s’annule pour des valeurs isolées sans changer de signe sur I, alors f est strictement

croissante ou strictement décroissante sur I.

On ajoutera une ligne dans les tableaux de

variation pour préciser le signe de la dérivée.

On convient que les flèches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte

monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.

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Exercice 13

Pour chaque fonction: - Préciser l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité.

- Calculer la dérivée puis dresser le tableau de variation.

a) 6 2f ( x ) x² x

b) 2 5

2

xg( x )

x

c) 5

4 1

xh( x )

x

d) ( ) 2 6i x x

Exercice 14

La fonction f définie sur l’intervalle [-3 ;3]

est représentée ci-contre :

1) Résoudre graphiquement sur [-3 ;3]:

a) f (x) = 0 f (x) < 0.

b) f (x) = 0 f (x) < 0.

2) Déterminer graphiquement un intervalle où f et f sont positives en même temps.

Exercice 15

La fonction f définie sur l’intervalle [-5 ;5] est

représentée par la courbe ci-contre.

a) Déterminer graphiquement les variations de f.

b) Quelle est, parmi les courbes données ci-dessous,

la courbe représentative de la fonction dérivée f de la

fonction f ? (Justifier la réponse).

Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3

7. Extremum d’une fonction.

Théorème

Si f est dérivable sur un intervalle I et si f admet un extremum en un point x0 de I, distinct des

extrémités de I, alors f ’(x0)=0.

Réciproquement: si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et si f ’ s’annule en changeant de

signe en x0, x0 I, alors f admet un extremum local en x0.

f admet un maximum en x0. f admet un minimum en x0.

x a x0 b

f (x) 0 +

f

f (a) f (b)

f (x0)

x a x0 b

f (x) + 0

f

f (x0)

f (a) f (b)

Remarque : Si f admet un extremum en x0, la courbe représentative de f admet au point M0 d’abscisse

x0 une tangente horizontale.

f admet un maximum en x0. f admet un minimum en x0.

Remarque:

Si f s’annule en x0 sans changer de signe, alors f n’admet pas d’extremum en x0.

Exercice 16

La fonction f est définie sur R par : 3

53

xf ( x ) . Montrer que f n’a pas d’extremum.

Exercice 17

La fonction f est définie sur R par : f (x) = -3x² + 6 + 8. Montrer que f admet un extremum que l’on

précisera.

Exercice 18

Les laboratoires « Belior » produisent et vendent des trousses d’urgence. Le bénéfice, exprimé en

dizaines d’euros, réalisé par la vente de x dizaines de trousses est égal à :

B(x) = -x² + 80x - 140 pour x[1 ;50]

a) Étudier les variations de la fonction B.

b) Déterminer le nombre de trousses qu’il faut vendre pour réaliser un bénéfice maximal.

Exercice 19*

Exercice 20

8. Exercices récapitulatifs.

Exercice 21

Le plan est muni du repère orthonormal ; ,O i j .

On considère Cf, la représentation graphique de la

fonction numérique f définie définie sur R par :

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d;

où a, b, c et d sont des constantes réelles.

La représentation graphique de la courbe Cf est

donnée ci-contre : on précise qu’aux points A et

B, la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

1) À l’aide du graphique, déterminer les valeurs de f (0),

f (1), f (0) et f (2).

2) Déterminer les valeurs des constantes a, b, c et d.

3) On considère la fonction g définie sur R par :

g(x) = x3 3x2 + 1:

a) Déterminer les limites de la fonction g en +∞ et en ∞.

b) Dresser le tableau complet des variations de la fonction g sur R.

c) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet exactement trois solutions dans R (on précisera un

encadrement par deux entiers de chacune des solutions)

Exercice 22

Exercice 23

On considère f, la fonction numérique de la variable réelle x définie sur l’intervalle

]2;+∞[ par4

22

f ( x ) xx

.

Soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Étudier la limite de f en +∞.

2) Étudier la limite de f en 2. En déduire l’équation d’une asymptote à la courbe Cf .

3) Calculer la fonction dérivée f de f et montrer qu’elle peut s’écrire sous la forme

2

2

4

2

x xf '( x )

x

.

4) Étudier le signe de f (x) pour x appartenant à l’intervalle ]2;+∞[. En déduire le tableau de variation

de la fonction f.

5) Déterminer une équation de T, la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 3.

6.a) Montrer que la courbe Cf admet la droite d’équation y = x + 2 pour asymptote oblique au

voisinage de +∞.

b) Étudier la position de Cf par rapport à .