Formulaire FONCTIONS

Continuitéfonction continue sur un intervalle f est continue sur l’intervalle I lorsqu’elle admet une limite en

tout point de Isi f est dérivable sur I, alors f est continue sur I

théorème des valeurs intermédiaires si f est continue sur [a ; b], l’équation f(x) = k admet au moinsune solution pour toute valeur de k comprise entre f(a) et f(b)

théorème de la bijection si de plus f est monotone, il y a une seule solutionle résultat s’étend à un intervalle ouvert en remplaçant lesimages f(a) et f(b) par les limites de f en a et en b

Dérivéeséquation de la tangente (Ta) y = f ′(a)(x− a) + f(a)variations des fonctions si f ′ > 0 sur l’intervalle I, f est strictement croissante sur I

si f ′ < 0 sur l’intervalle I, f est strictement décroissante sur I

dérivées des fonctions usuelles f f ′ remarques f f ′ remarques

xn n xn−1 1x

−1x2 x 6= 0

1xn

−n

xn+1 x 6= 0√

x1

2√

xx > 0

ln x1x

x > 0 ex ex

sin x cos x cos x − sin x

opérations (u + v)′ = u′ + v′ (k u)′ = k u′ (u v)′ = u′ v + u v′(1u

)′= −u′

u2

(u

v

)′= u′ v − u v′

v2

utilisation d’une fonction auxiliaire f f ′ remarques f f ′ remarques

un n un−1 u′√

uu′

2√

uu > 0

ln uu′

uu > 0 eu u′ eu

sin u u′ cos u cos u −u′ sin u

composée avec une fonction affine [f(ax + b)]′ = a f ′(ax + b)

Exponentielledéfinition exp est définie et strictement croissante sur R =]−∞ ; +∞[

exp est strictement positivepropriétés algébriques ea+b = ea eb e−b = 1

ebea−b = ea

eb

en a = (ea)ne

12 a =

√ea

limites limx→−∞

ex = 0 limx→+∞

ex = +∞ limx→0

ex − 1x

= 1

croissance comparée limx→−∞

x ex = 0 limx→+∞

ex

x= +∞ lim

x→+∞

x

ex= 0

Logarithmedéfinition pour tout k > 0 : ex = k ⇐⇒ x = ln k

ln est définie et strictement croissante sur R+∗ =]0 ; +∞[ln s’annule en x = 1

propriétés algébriques ln(ab) = ln a + ln b ln 1b

= − ln b ln a

b= ln a− ln b

ln an = n ln a ln√

a = 12 ln a

limites limx→0

ln x = −∞ limx→+∞

ln x = +∞ limx→1

ln x

x− 1 = 1

croissance comparée limx→0

x ln x = 0 limx→+∞

ln x

x= 0 lim

x→+∞

x

ln x= +∞

logarithme décimal log x = ln x/ ln 10