Formulaire FONCTIONS
Continuitéfonction continue sur un intervalle f est continue sur l’intervalle I lorsqu’elle admet une limite en
tout point de Isi f est dérivable sur I, alors f est continue sur I
théorème des valeurs intermédiaires si f est continue sur [a ; b], l’équation f(x) = k admet au moinsune solution pour toute valeur de k comprise entre f(a) et f(b)
théorème de la bijection si de plus f est monotone, il y a une seule solutionle résultat s’étend à un intervalle ouvert en remplaçant lesimages f(a) et f(b) par les limites de f en a et en b
Dérivéeséquation de la tangente (Ta) y = f ′(a)(x− a) + f(a)variations des fonctions si f ′ > 0 sur l’intervalle I, f est strictement croissante sur I
si f ′ < 0 sur l’intervalle I, f est strictement décroissante sur I
dérivées des fonctions usuelles f f ′ remarques f f ′ remarques
xn n xn−1 1x
−1x2 x 6= 0
1xn
−n
xn+1 x 6= 0√
x1
2√
xx > 0
ln x1x
x > 0 ex ex
sin x cos x cos x − sin x
opérations (u + v)′ = u′ + v′ (k u)′ = k u′ (u v)′ = u′ v + u v′(1u
)′= −u′
u2
(u
v
)′= u′ v − u v′
v2
utilisation d’une fonction auxiliaire f f ′ remarques f f ′ remarques
un n un−1 u′√
uu′
2√
uu > 0
ln uu′
uu > 0 eu u′ eu
sin u u′ cos u cos u −u′ sin u
composée avec une fonction affine [f(ax + b)]′ = a f ′(ax + b)
Exponentielledéfinition exp est définie et strictement croissante sur R =]−∞ ; +∞[
exp est strictement positivepropriétés algébriques ea+b = ea eb e−b = 1
ebea−b = ea
eb
en a = (ea)ne
12 a =
√ea
limites limx→−∞
ex = 0 limx→+∞
ex = +∞ limx→0
ex − 1x
= 1
croissance comparée limx→−∞
x ex = 0 limx→+∞
ex
x= +∞ lim
x→+∞
x
ex= 0
Logarithmedéfinition pour tout k > 0 : ex = k ⇐⇒ x = ln k
ln est définie et strictement croissante sur R+∗ =]0 ; +∞[ln s’annule en x = 1
propriétés algébriques ln(ab) = ln a + ln b ln 1b
= − ln b ln a
b= ln a− ln b
ln an = n ln a ln√
a = 12 ln a
limites limx→0
ln x = −∞ limx→+∞
ln x = +∞ limx→1
ln x
x− 1 = 1
croissance comparée limx→0
x ln x = 0 limx→+∞
ln x
x= 0 lim
x→+∞
x
ln x= +∞
logarithme décimal log x = ln x/ ln 10