Sujet avec tangente, asymptote

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1ère

partie

On considère l’équation différentielle (E) : y’ + (0,4x) y = 0,4x où y est une fonction

numérique de la variable réelle x, définie et dérivable sur [0, +[, y’ sa fonction dérivée.

1° Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0) : y’ + (0,4x) y = 0.

2° Montrer que la fonction constante h, définie sur [0, +[ par h(x)=1, est une solution

particulière de l’équation différentielle (E).

3° En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).

4° Trouver la solution particulière F de (E) sur [0, +[ qui vérifie la condition initiale F(0)=0.

2ème

partie

Soit f la fonction définie sur [0, +[ par f(x)=0,4xe-0,2x²

. On désigne par C la courbe

représentative de f dans un repère orthogonal (O, ), les unités graphiques étant de 2 cm sur

l’axe des abscisses et de 10 cm sur l’axe des ordonnées.

1°) On admet que x

lim f(x)= 0. Que peut-on déduire pour la courbe C ?

2°) a) Démontrer que, pour tout x de [0, +[, f’(x)= 0,4(1– 4,0 x) (1+ 4,0 x) e-0,2 x²

.

b) En déduire le signe de f’(x) sur [0, +[.

c) Donner le tableau variation de f sur [0, +[. Quelle est la valeur approchée arrondie à

10-2

du maximum de la fonction f ?

3°) Déterminer l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0 et la position de C par

rapport à T.

4°) Tracer la droite T et la courbe C.

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Corrigé de la 1ère partie

1° On écrit pour 0 x, r(x)= )2(2,01

4,0x

x et R(x)=0,2x

2 : R’(x)=r(x).

Sur [0, +[ les solutions de (E0) sont toutes les fonctions x ↦ C 22,0 xe où C est une constante

réelle.

2° Pour 0x, h(x)=1 et h’(x)=0 alors h’(x)+0,4xh(x)= 0+0,4x1 soit : h’(x)+0,4xh(x)= 0,4x.

C’est la preuve que h est une solution particulière de (E) sur [0, +[.

3° (E0) est l’équation homogène associée à l’équation différentielle linéaire (E). A la solution

particulière h de (E), on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenir toutes les solutions de

(E). Il s’agit de toutes les fonctions, définies sur [0, +[, x ↦ 1+ C 22,0 xe où C est une

constante réelle.

4° Pour F solution particulière de (E) sur [0, +[, on écrit pour 0 x, F(x)= 1+ C 22,0 xe où C

est une constante réelle. Alors F(0)=1+Ce0 = 1+C. F(0)=0 pour C= -1.

Finalement pour 0x, F(x)= 1–22,0 xe .

ji

,

Corrigé de la 2ème

partie

1°) x

lim f(x)= 0 s’écrivant aussi x

lim (f(x)–0)= 0, on en déduit que la droite d’équation y = 0

( c’est l’axe des abscisses) est asymptote à C.

2°) a) Pour 0 x,

f’(x)=0,4[1. e-0,2x²

+x(-0,2)2xe-0,2x²

]= 0,4[1–0,4x2] e

-0,2x² =0,4[1–( )²].4,0( x e

-0,2x²

soit f’(x)=0,4(1– 4,0 x)(1+ 4,0 x) e-0,2x²

pour tout x de [0, +[.

b) et c) Pour 0 x, 0< 0,4 et 0< e-0,2x²

, de plus 0 4,0 x et 0<1d’où 0< 1+ 4,0 x. D’après

l’égalité encadrée du a) f’(x) est du signe de 1– 4,0 x pour 0 x .

Soit α=1/ 4,0 , α²=1/0,4=2,5 et f(α)=0,4/ 4,0 e-0,22,5

d’où f(α)= 4,0 e-0,50,38.

On a le tableau de variation suivant :

x 0 α +

f’(x) 0,4 + 0 –

f(x) 0 f(α) 0

f(α) est le maximum de la fonction f sur [0, +[.

3°) f’(0)=0,4 est le coefficient directeur de T qui passe par le point O de coordonnées 0 et

0=f(0). T a pour équation y=0,4x .

Avec 0 x, la position du point M de C abscisse x par rapport à T est donnée par le signe de la

différence w(x)=f(x)–0,4x soit w(x)=0,4x(e-0,2x²

–1).

◇ Pour x=0, w(0)=0 : M est sur C.

◇ Pour 0 < x, -0,2x²<0 d’où e-0,2x²

< e0=1 et e

-0,2x²–1< 0. Comme 0< 0,4x, on obtient

0,4x(e-0,2x²

–1)< 0 soit w(x) < 0 : M est au-dessous de C.

Finalement C est au-dessous de T, O étant le point de contact de T et C .

4°) Voilà la figure demandée : On place aussi la tangente à C, horizontale au point d’abscisse

α.

T

f(α)

C

α