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8/8/2019 Fichier n7
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noncLes parties A et B peuvent tre traites de faon
indpendante.
Partie A
On considre lquation diffrentielle (E) oy est une fonction
numrique drivable de lavariable rellex, etyla drive dey :
16
39
4
3'
xyy (E).
1. Rsoudre dans lintervalle [0, +[ lquation diffrentielle sans
second membre :
yy4
3' 0 (E).
2. Dterminer les constantes a et b telles que la fonction g,
dfinie sur [0, +[ par g(x)=ax+b,soit solution de (E).3. En dduire
lensemble des solutions de (E).
4. Dterminer la solution particulirefde (E) qui prend la valeur
1/4 pourx=0.
Partie B
Soitfla fonction dfinie sur lintervalle [0, +[ parf(x)=x
ex 43
4
3
4
3 . On note (C) la
courbe reprsentative defdans un repre orthonorm dunit graphique
2 cm.1. a) Calculerf(x) pour toutx de [0, +[ ofest la fonction
drive def.
b) En dduire le sens de variation defsur [0, +[.2. Dterminer
)(lim xf
x . Montrer que (C) admet une asymptote (D) dont on donnera
une
quation et prciser la position de (C) par rapport cette
droite.3. Reprsenter (C) et (D) en tenant compte des rsultats
prcdents.
4. a) Montrer que
3
0
4
9
4
3
)1(3
4edxe
x
.
b) En dduire, en cm2, laire de la partie du plan ensemble des
points P de coordonnes
(x,y) vrifiant 0x3 et4
3
4
3x y f(x).
Donner la valeur exacte de cette aire puis arrondir le rsultat
au mm 2.5. Faire une intgration par parties pour calculer la valeur
exacte de lintgraleJ=
3
0
4
3
dxxex
puis arrondir le rsultat au centime prs.
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2/4
Corrig
Partie A
1. On crit pour 0x, r(x)=3/4 etR(x)=(3/4)x :R(x)=r(x). Sur [0,
+[, les solutions de (E)
sont les fonctionsxC.e-3x/4
o Cest une constante relle.2. Pour 0x, g(x)=ax+b etg(x)=a:
baaxbaxaxgxg
4
3
4
3)(
4
3)(
4
3)(' .
Les propositions suivantes {..} sont quivalentes : {g est
solution de (E) sur [0,+[},
{16
3
16
9)(
4
3)(' xxgxg pour 0x}, {
16
3
16
9
4
3
4
3 xbaax pour 0x}.
Pour que g soit solution de (E) sur [0,+[,on est ramen la
recherche de a et bvrifiant les systmes dgalits quivalents suivants
:{
16
3
4
3et
16
9
4
3 baa },
{ 43
34et4
3
16
4
3
9
3
4
16
9
baa },{ 43
3b3et4
3
a },
{4
33
4
)41(3
4
4333
4
33et
4
3
ba }, {
4
3et
4
3 ba }.
Conclusion : Pour la suite on crit pour 0x, g(x)=4
3
4
3x et g est une solution particulire
de (E) sur [0, +[.3. la solution particulire g de (E) on ajoute
toutes les solutions de (E), lquationhomogne associe (E) pour
obtenir toutes les solutions de (E). Ainsi sur [0, +[, les
solutions de (E) sont toutes les fonctionsxx
Cex 43
4
3
4
3 o Cest une constante relle.
4. Pourfsolution de (E), on crit pour 0x,f(x)=x
Cex 43
4
3
4
3 o Cest une constante relle.
f(0)= 04
3+C1= C
4
3. On a les quivalences suivantes :f(0)=
4
1
4
1
4
3 C
soit :f(0)=4
1C= 1
4
3
4
1 .
Finalement la fonctionfcherche est dfinie par :f(x)=x
ex 43
4
3
4
3 pour 0x.
Partie B
1. a) Pour 0x,f(x)=x
e 43
)4
3(
4
3 soitf(x) )1(
4
34
3x
e
.
b)f(0)= 1o)1(4
3 00 ee dof(0)=0..
Pour 0
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3/4
x 0 +f(x) 0 +f(x) 1/4
2. 0limdonnent)4
3(limet0lim 4
3
x
xx
t
texe .
)(lim,0limajoutantendonne,)
4
3
4
3(lim 4
3
xfexx
x
xx.
Lcriture,pour 0x,f(x)=x
ex 43
]4
3
4
3[
o 0lim 43
x
xe , prouve que la droite (D)
dquationy=4
3
4
3x est asymptote (C).
Comme en plus pour tout relx, 0< e3x/4, (C) est au-dessus de
(D).
3. Reprsentation graphique du problme
(C) (D)
tangente (C) au point dabscisse 0
La rgion hachure est la surface dont on calcule laire la
question 4. b)
4. a) ][3
4][
3
4
4
3
3
4 049
3
04
33
0
4
33
0
4
3
eeedxedxexxx
o e0=1. Soit
]1[34 4
9
3
0
4
3
edxex .
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4/4
4. b) On a ici pour 0x, 0< ]4
3
4
3[)(4
3
xxfex
alors laire de la surface hachure ( voir
question 3.) est donne par lintgraleI= 3
0
4
3
dxex
. En fait le carr construit partir de
),,( jiO
a une aire en cm2de 22=4, donc laire cherche, en cm2, vaut : 4I=
]1[3
164
9
e .
On obtient ainsi 4I 4,77.5. On crit
u(x)=x u(x)=1
v(x)=x
e4
3
= ]4
3[
3
44
3x
e
v(x)=x
e 43
3
4
u(x)v(x)=
x
e 43
3
4
uet vsont encore drivables et continues sur alors :
J=[
1
0
4
3
3
04
3
34]
34 dxexe
xx)]1(
34[
344
3403
34 4
9
4
93
0
4
3
4
9
eedxeex
soit
J=9
52
9
16
9
36
9
164o)
9
164(
9
164
9
e alorsJ=9
5216 49
e.
On obtientJ 1,17
