Lycée Déodat de Séverac 10 février 2018PCSI 802 et 803 Devoir surveillé no 5

Filtrage et mécanique du point

I Lisez l’énoncé dans son intégralité : ce n’est pas une perte de temps !

I La durée de l’épreuve est de 4 heures. Le sujet comporte 4 exercices indépendants.I La calculatrice est autorisée.

I Toute application numérique présentée sans unité sera considérée comme fausse.I Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question.I Vous apporterez un soin particulier à la précision et à la qualité de la rédaction en respectant

scrupuleusement les notations de l’énoncé.I La présentation de la copie sera prise en compte dans la notation : Soulignez ou

encadrez vos résultats.I Toute réponse, même juste, non justifiée ne sera pas prise en compte.

I Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez la sur votre copie et pour-suivez votre réflexion en expliquant les raisons des initiatives que vous prendrez en conséquence.

Rendre une copie par exercice.

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Exercice 1. Pendule de FoucaultRendre une copie par exercice.

Comment montrer que la Terre tourne ? Depuis 1996, au Panthéon à Paris, on peut observer lareconstitution de l’expérience menée par Léon Foucault en 1851. Celle-ci avait permis de confirmer,sans observation du ciel, la rotation de la Terre sur elle-même. Une sphère en plomb, de 20 cm dediamètre, de masse m = 47 kg, est suspendue sous le dôme de l’édifice par un fil en acier très find’une longueur L = 67 m. Le pendule ainsi constitué oscille librement. On constate qu’au cours dela journée le plan d’oscillation tourne lentement dans le sens des aiguilles d’une montre autour d’unaxe vertical.

Dans tout l’exercice, les amplitudes angulaires θmax des oscillations sont inférieures à 10◦, soit0,17 rad. On considère qu’on est dans le cadre des petites oscillations.

Données :— La valeur g du champ de pesanteur en un point à la surface de la Terre dépend de la latitude

λ du lieu, elle ne dépend pas de sa longitude.— Valeur du champ de pesanteur à Paris : gParis = 9, 8 m.s−2 ;— Période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique : TTerre = 24 h.

1.1. Pendule simpleOn appelle pendule simple un système constitué d’un fil inextensible de longueur L, dont une extré-mité est fixée à un support et l’autre attachée à un objet quasi ponctuel de masse m. La masse dufil est négligeable par rapport à la masse de l’objet.

Un pendule simple, constitué d’une petite sphère assi-milée à un point B, de masse m = 50 g et d’un fil ABde longueur L, est écarté de sa position d’équilibre d’unangle θ0 inférieur à 10◦, puis lâché sans vitesse initiale(voir figure ci-dessous). Le plan (O,

−→i ,−→k ) contient la ver-

ticale (AO) passant par le point de suspension A et laposition initiale B0 du point B. La position du point Bpeut être repérée par l’abscisse angulaire θ = (

−−−−→AO,

−−−−→AB )

ou par ses coordonnées (x, z) dans le plan (O,−→i ,−→k ). On

représente également la base polaire (−→u r,

−→u θ) telle que

−→u r =

−−−−→AB||−−−−→AB ||

et −→u θ orthogonale à−→u r dans le sens indiqué

sur la figure.

1.1.1. Reproduire cette figure et représenter sans souci d’échelle les forces qui s’exercent sur lasphère B pour un angle θ quelconque. Toutes les actions de l’air sont négligées.1.1.2. Quelle est la trajectoire du pendule ?1.1.3. Déterminer les composantes du vecteur vitesse et du vecteur accélération en B dans le repèrepolaire (A,

−→u r,

−→u θ).

1.1.4. Énoncer la deuxième loi de Newton sous la forme d’une phrase faisant intervenir la quantitéde mouvement. Justifier que le mouvement est plan.1.1.5. Établir l’équation différentielle satisfaite par l’angle θ.1.1.6. Comment se simplifie cette équation dans l’approximation des petits angles ? Quel est lenom de l’équation différentielle que vous reconnaissez ?1.1.7. Déterminer les expressions de la pulsation propre et de la période du pendule.1.1.8. Résoudre l’équation différentielle du mouvement compte tenu des conditions initiales.

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1.1.9. À partir du XVIIIe siècle, les horloges à balancier furent très utilisées pour mesurer le temps.On considère, à Paris, une horloge dont le balancier a une longueur L = 1, 0 m. Le balancier d’unetelle horloge est un pendule aux oscillations entretenues et de faible amplitude que l’on peut modéliserpar un pendule simple. Calculer la période propre du balancier de cette horloge.1.1.10. Pourquoi dit-on que cette horloge bat la seconde ? Que penser des indications données parcette horloge dans un lieu de latitude différente de celle de Paris ?1.2. Pendule de FoucaultLes dimensions précisées précédement montrent que le pendule de Foucault installé au Panthéon peutêtre assimilé à un pendule simple. On filme le mouvement de ce pendule pendant quelques minutes,durée assez courte pour pouvoir négliger la rotation de son plan d’oscillation. Après traitement dela vidéo par un logiciel de relevés de positions, on trace la courbe représentant l’angle θ du centre Bde la sphère en fonction du temps. Cette courbe est reproduite sur la figure ci-dessous.

1.2.1. Déterminer graphiquement la valeur de la pseudo-période T des oscillations le plus précisé-ment possible.1.2.2. Compte tenu du faible amortissement, la pseudo-période peut être assimilé à la périodepropre. À partir de la valeur de la pseudo-période exprimée précédemment, retrouver la longueur dupendule de Foucault décrit dans le texte d’introduction.1.2.3. Quelle est l’origine de l’amortissement constaté dans les oscillations ?1.2.4. Préciser la nature des conversions d’énergies mises en jeu lors des oscillations du pendule.1.2.5. Comment évolue qualitativement l’énergie mécanique au cours du temps ?1.2.6. Une observation sur plusieurs heures montre que le plan d’oscillation tourne lentement, àvitesse constante, autour de l’axe vertical passant par le point de suspension A ; pour le pendule deFoucault installé au Panthéon à Paris, en un jour, soit 24 h, ce plan tourne de 270◦ dans le sens desaiguilles d’une montre, comme l’illustre la figure ci-dessous.

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Pour un observateur fixe dans le référentiel terrestre, le mouvement du pendule n’est pas plan.Que peut-on en conclure quant au référentiel terrestre choisi pour faire l’étude ?

1.2.7. Calculer, pour le pendule installé au Panthéon, la période τ de rotation du plan d’oscillation.1.2.8. On donne ci-dessous la représentation des différentes périodes de rotation en fonction del’inverse du sinus de la latitude λ. Déterminer la latitude de Paris en expliquant la méthode employée.

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Exercice 2. Oscillations mécaniques amortis par frottementsfluides

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L’étude sera menée dans le référentiel du laboratoire considérécomme galiléen. Dans l’ensemble du problème, −→g désigne le champ depesanteur terrestre. On notera g = 9, 81 m.s−2 la norme du vecteur −→g .

Considérons le système représenté ci-contre : une masse m estsuspendue à un ressort vertical de masse négligeable, de raideur k etde longueur à vide x0. L’extrémité supérieure du ressort est fixe etattachée au point O. Soit l’axe (Ox), vertical et orienté vers le bas. Laposition de l’extrémité libre du ressort est repérée par son abscisse x.La masse m du système est une sphère homogène de masse volumiqueρ et de rayon R faible. Lorsque cette sphère est animée d’une vitesse−→v et plongée dans un liquide de coefficient de viscosité η, elle estsoumise, de la part du fluide, en plus de la poussée d’Archimède, àune force de frottement

−→f donnée par la loi de Stokes :

−→f = −6πηR

−→v .

On néglige les interactions éventuelles entre le ressort et le liquideainsi que la poussée d’Archimède dans l’air devant les autres forces.

O

x

x(t)

2.1. Oscillateur non amortiOn considère tout d’abord le système présenté ci-dessus dans l’air dont on néglige les frottements.2.1.1. Déterminer l’équation du mouvement, équation différentielle satisfaite par x.2.1.2. On note ω1 la pulsation propre associé au système. Déterminer l’expression de ω1 en fonctionde k, V et ρ puis en fonction de k, R et ρ.

Dans la suite de l’exercice, la sphère est totalement immergée dans unliquide de masse volumique ρ`. On considére, de plus, que la sphèreest entièrement immergée dans le liquide quelle que soit la position del’oscillateur.

M

2.2. Détermination de la masse volumique du liquideLorsque la sphère est totalement immergée dans le liquide et est à l’équilibre, la longueur du ressortest égale à xeq.2.2.1. Faire le bilan des forces appliquées à la masse m.2.2.2. En déduire l’expression de la masse volumique ρ` du liquide en fonction de ρ , xeq , V , g, x0et k.

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2.2.3. On fait l’expérience avec un ressort deraideur k = 9, 8 N.m−1, avec une bille en étainde masse volumique ρ = 7290 kg.m−3 de rayon2, 0 cm. On mesure un allongement entre la lon-gueur à vide et la longueur à l’équilibre de ∆x =21, 0 cm. On donne les masses volumiques de dif-férents liquide dans le tableau ci-contre. Quel estle liquide dans laquelle la masse est immergée ?

2.3. Oscillations pseudopériodiques de la sphère immergée dans le liquide2.3.1. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l’équation différentielle vérifiée par lalongueur x du ressort à un instant quelconque t au cours du mouvement.2.3.2. En utilisant l’expression de la masse volumique ρ` du liquide déterminée à la questionprécédente, déterminer l’équation différentielle vérifiée par x en utilisant les grandeurs x, xeq, ρ, V ,k, R et η.2.3.3. A quelle condition portant sur k, constante de raideur du ressort, le mouvement de la sphèreest-il pseudo-périodique ? On exprimera la condition sous la forme k > k0 où k0 est une constanteque l’on exprimera en fonction de η , R, V et ρ .2.3.4. Déterminer dans ce cas la pseudo-pulsation ω2 des oscillations en fonction de k0 , k, ρ etV .2.3.5. Déterminer la solution x(t) de l’équation du mouvement sachant que la sphère est lancéeavec une vitesse v0 non nulle à partir de sa position d’équilibre.2.4. Détermination du coefficient de viscosité du liquideOn considère dans cette question que la condition sur k pour avoir des oscillations pseudo-périodiquesest satisfaite. En utilisant les expressions de ω1 et ω2 déterminées précédemment, donner l’expressiondu coefficient de viscosité η du liquide en fonction de R, ρ , V , ω1 et ω2.

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Exercice 3. Étude d’une ligne à retardRendre une copie par exercice.

On s’intéresse dans ce problème à une ligne à retard. cette fonction est utilisée, par exemple, dans lestéléviseurs à tube cathodique. Le balayage d’une ligne de l’écran prend 64 µs aller-retour. Pendantce temps, aucun signal électrique ne peut être traité, il est donc nécessaire de retarder l’informationde la ligne suivante d’une durée égale à celle du balayage.

On se place dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires. La représentationcomplexe d’une grandeur sinusoïdale x(t) sera notée x(t).3.1. Caractérisation de la fonction retardOn appelle fonction retard une fonction qui, à tout signal d’entrée e(t) associe un signal de sorties(t) = e(t− τ) quel que soit t, où τ est le retard.

e(t) s(t) = e(t− τ)Retard

Figure 1 – Fonction retard

3.1.1. Pour une entrée sinusoïdale e(t) = Ecos(ωt), exprimer la sortie s(t).3.1.2. Donner les grandeurs complexes e(t) et s(t) associées à e(t) et s(t). En déduire la fonctionde transfert du retard T (jω) = s/e.3.1.3. Exprimer le module et l’argument de T (jω) en fonction de ω.3.2. Réalisation approchée du retardOn considère le quadripôle en charge présenté sur la figure suivante.

L/2 L/2

Cue uc R us

3.2.1. Le circuit peut être assimilé au suivant :

Zeq

L/2

ucue

Donner l’expression de Zeq en fonction de L, R et C.3.2.2. En déduire l’expression de uc en fonction de ue.

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3.2.3. Déterminer us en fonction de uc. Le calcul de la fonction de transfert globale n’est pasdemandée.

La fonction de transfert en charge du système s’écrit alors H(jx) =1

P (jx)avec

P (jx) = 1 +Q(jx) +1

2(jx)2 +

Q

4(jx)3

où on a introduit les constantes : ω0 =1√LC

, x =ω

ω0

et Q =1

R

√L

C.

A basse fréquence, on peut faire un développement limité de la fonction de transfert. Elle se réécritalors :

H(jx) ≈ 1− jQx−(Q2 − 1

2

)x2.

On utilisera cette forme de fonction de transfert dans la suite de l’exercice.De plus, on admet que la fonction retard déterminée dans la question 3.1.2. peut s’écrire à l’aided’un développement limité à l’ordre 2 comme :

T (jω) ≈ 1− jτω − 1

2ω2τ 2.

3.2.4. En déduire deux relations entre Q, ω0 et τ pour que le circuit en charge proposé ci-dessusréalise bien sa fonction de retard. En déduire la valeur du facteur de qualité.3.2.5. Déduire de la question précédente les valeurs particulières prises par le retard et la résistanceR en fonction de L et C.

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Exercice 4. Simulation d’un élement de radiotélescopeInauguré en 1965, le radiotélescope de Nançay a été créé pour étudier le décalage Doppler de la raie21 cm de l’atome d’hydrogène due au couplage spin nucléaire- spin électronique. C’est un moyenprivilégié d’étude de la cinématique de l’hydrogène interstellaire, et donc des mouvements dansl’univers. De 1956 à 1967, de nombreux chercheurs ont travaillé à la très délicate mise au point de lachaîne de réception suivante.

On se propose de reproduire simplement le principe d’un mélangeur en TP en se plaçant 6 décadesplus bas en fréquence (c’est-à -dire qu’on travaille avec des fréquences 106 fois plus petites que lesfréquences réelles).4.1. Dédoublement de fréquenceAucune connaissance préalable sur le circuit multiplieur AD633 n’est nécessaire.On a deux tensions :

a(t) = A√

2 cos (2πfat) avec fa = 1420 Hz,

e0(t) = E0

√2 cos (2πf0t) avec f0 = 1450 Hz,

mises en entrées d’un multiplieur AD633. On obtient en sortie une tension :

m(t) = a(t)× e0(t)

4.1.1. Démontrer que m(t) est la superposition de deux signaux de fréquence f et f ′ > f que l’ondéterminera :

m(t) = M [cos (2πft+ ϕ0) + cos (2πf ′t+ ϕ0)]

4.1.2. Calculer numériquement f et f ′.4.2. Filtrage

On utilise le filtre suivant :

R

C Re s

4.2.1. En effectuant un schéma équivalent en basse fréquence (BF) puis un autre en haute fréquence(HF), déterminer sans calcul le type de ce filtre.4.2.2. Déterminer la fonction de transfert H(x) de ce filtre en fonction de x = RCω.

4.2.3. Montrer que sa pulsation de coupure s’écrit : ωc =2

RCen fonction de R et C.

4.2.4. On a tracé ci-dessous le diagramme de Bode en gain de ce filtre. Déterminer un ordre degrandeur du produit RC.

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4.2.5. En haute fréquence, pourquoi parle-t-on d’une intégration ? Comment vérifie-t-on cette pro-priété sur le diagramme de Bode en gain ? Vers quelle valeur tend alors le déphasage de s(t) parrapport à e(t) ?4.3. Le mélangeurOn place à l’entrée de ce filtre le signal m(t). La sortie est alors :

s(t) = S cos (2πft+ ϕS) + S ′ cos (2πf ′t+ ϕS′)

4.3.1. Justifier la forme de l’expression ci-dessous.

4.3.2. Déterminer la valeur numérique deS

S ′à partir du diagramme de Bode.

4.3.3. Sachant que l’atténuation de la véritable chaîne de réception est bien supérieure, en déduirela valeur de la fréquence du signal de sortie de la chaîne originale.

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