Finance Empirique MS BIF FC_Suite1

IV Mthodes de prvision Lissage Exponentiel

Une sorte de moyenne-mobile pondre Ide : on cherche lisser les variations observes dans les donnes en tenant compte de lerreur de prvision de la priode prcdente. Quel poids doit-on attacher lobservation prcdente ? Le modle suppose implicitement que pour prvoir les valeurs futures dune variable, les observations rcentes de cette variable contiennent plus dinformation que les plus lointaines Lquation du modle scrit : (1) St = yt-1 + (1-)St-1 o est le paramtre de lissage avec 01 yt est la valeur courante ralise de la variable St est la valeur courante lisset3

N. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse

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Pourquoi qualifie-t-on cette mthode dexponentiel : Ecrivons le modle pour la priode prcdente St-1 = yt-2 + (1-)St-2 En renouvelant lopration une nouvelle fois, on a : St-2 = yt-3 + (1-)St-3 En substituant (2) dans (1), on a : St = yt-1 + (1-)( yt-2 + (1-)St-2) = yt-1 + (1-) yt-2 + (1-)2 St-2 En substituant (3) dans (4): St = yt-1 + (1-) yt-2 + (1-)2 St-2 = yt-1 + (1-) yt-2 + (1-)2( yt-3 + (1-)St-3) = yt-1 + (1-) yt-2 + (1-)2 yt-3 + (1-)3 St-3

(2) (3)

(4)


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Aprs T substitutions de ce type on obtient :

t 2 i 1 t 2 St = (1 ) yt i + (1 ) S 2 i =1

pour t 2

puisque 0, leffet de chaque observation dcrot au fur et mesure que lon avance dans le temps. Intressonst 1

nousi 1

aux

poids

affects

aux

observations

de

la

srie

y

:

(1 )i =0 t

lim 1 (1 ) = 1t

(

1 (1 )t = 1 (1 )t = 1 (1 )

)

=> les poids dcroissent au cours du temps (dcroissance gomtrique) et somment lunit (si le nombre dobservation crot)N. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse 84


f t +1 = E (St +1 t ) = E (S t + ( yt St ) t ) = St + ( yt S t )=> En dautres termes, la (nouvelle) prvision correspond la prcdente auquel on ajoute un facteur dajustement qui tient compte de lerreur commise la priode prcdente. Problmatique lie cette mthode : le choix du paramtre de lissage (alpha) : On cherche le alpha dans lchantillon qui minimise le MAE (utilisation du solver) La valeur damorce de la srie lisse (S2) : S2=y1 ou S2= moyenne des 4 ou 5 premires observations : le choix final sera celui qui minimise le MAE

Les prvisions sont alors gnrs par la relation suivante :


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Forces et faiblesses de la mthode : Ne marche pas trs bien normalement sur sries financires car Peu de structure lisser Cette mthode ne permet pas de corriger la saisonnalit (existe une mthode (hors cours) qui le permet en gardant les proprits du modle (Mthode de Winter) Les prvisions ne convergent pas vers la moyenne de long-terme (Proprits de retour vers la moyenne ) Ne permet pas de capter les tendances (existe une mthode alternative qui le permet : la mthode de Holt Les avantages : Trs simple et rapide utiliser Trs facile de rinitialiser le modle si une nouvelle observation devient disponible


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IV Mthodes de prvision Un cas spcial de modle ARMA(p,q) : AR(1)

Le modle AR(1) appartient une classe trs importante de modles statistiques particulirement utiles pour modliser et effectuer des prvisions de sries financires : les modles ARMA(p,q) ou appels autorgressifs (dordre p) moyennes mobiles (dordre q). Etudier cette classe de modle demanderait un cours part entire. Ici nous dveloppons quelques aspects du modle le plus important de la classe, soit lAR(1) : modle autorgressif dordre 1. Ecriture du modle : yt = + 1yt-1 + ut o ut est un terme rsiduel bruit blanc. La condition de stationnarit scrit : | 1| < 1 est exprim comme lhypothse nulle (H0) devant tre teste. On peut viter de conduire le test si on vrifie que la fonction dautocovariance dcrot rapidement vers 0. Les paramtres du modle (,) peuvent tre estims par les MCO La prvision est simple obtenir : il suffit dcrire le modle pour la priode suivante : yt+1 = + 1yt + ut+1 =>f t +1 = E ( yt +1 t ) = E ( + 1 yt + ut +1 t ) = + 1 yt

f t + 2 = E ( yt + 2 t ) = E ( + 1 yt +1 + ut + 2 t ) = + 1 f t +1N. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse 87

IV Mthodes de prvision Rflexions finales sur les mthodes de prvision

Lanalyse statistique nest pas toujours approprie pour faire de la prvision : Tous les modles statistiques sont avant tout extrapolatifs : Quid lorsque lon a trop peu de donnes (peu le cas en finance) ? Si la structure que lon tudie est compltement nouvelle (lancement dun tout nouveau produit, ) Les modles statistiques chouent en gnral si il y a des changements de structure (test de Chow) ou des changements de rgime La qualit des prvisions dcrot assez vite avec lhorizon de prvision La prvision statistique nest en aucun cas un substitut au jugement. Pourquoi la prvision statistique serait-elle meilleure que les prvisions dexperts : Les prvisions bases sur le jugement sont sujettes beaucoup de biais psychologiques (recherche en conomie et psychologie : Kahneman (prix Nobel en 1992) et Tversky (1979) : Sur-confiance, inconsistance, ancrage L approche optimale serait celle qui se fonde sur un modle thorique solide partir duquel les prvisions seraient ajustes par des jugements dexperts.N. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse 88

V Simulation

Intrt de simuler en finance Mthodologie de la simulation Une premire approche avec lanalyse de sensibilit La simulation de Monte-Carlo


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V Simulation Intrt de simuler en financeLa simulation (computationnelle) utilise lordinateur pour essayer dimiter les vnements rels ou faire des prvisions Lorsque lon cre un modle avec Excel par exemple, celui-ci contient Un certain nombre dintrants Quelques quations La rsolution du modle conduit la gnration dextrants La quasi-totalit des modles de finance dentreprise et un bon nombre des modles de finance de march sont purement dterministes => A intrants constants, ils produisent toujours le mme rsultat.


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V Simulation Intrt de simuler en financeExemples : Gordon-Shapiro (r,g) Black et Scholes (r et ) VAN(CFt,r) Modle de Markowitz (Les deux premiers moments des titres financiers considrs) Problme : Comme tous les modles de finance (Marketing aussi) sont forwardlooking , i.e. ils cherchent donner une information objective aujourdhui base sur des lments futurs (prvus), ils ne sont en aucun cas dterministes par nature : la formalisation mathmatique les rend faussement dterministes alors quils sont intrinsquement purement stochastiques car bass sur des prvisions. Or une prvision correspond une variable alatoire (=> erreurs de prvision) !!! 2 outils permettent dapprhender la nature stochastique de ces modles : Lanalyse de sensibilit La simulation de Monte-CarloN. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse 91

V Simulation Lanalyse de SensibilitLanalyse de sensibilit consiste analyser la sensibilit du modle financier aux variations potentielles de la valeur des intrants. La fonction Table (Donnes->Table) permet de le faire simplement partir dExcel Mthode : Dfinir les donnes du scnario de base sur une feuille part Le modle qui utilise ces donnes apparat sur une nouvelle feuille Copier le rsultat du modle dans une cellule En ligne ou en colonne ou les 2, fates varier les intrants du modle. Slectionner lensemble des lignes et/ou colonnes qui vont contenir le rsultat de lanalyse de sensibilit Appliquer la fonction Table en indiquant la localisation de la valeur des intrants pour lesquels on cherche sensibiliser le modle.


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V Simulation Lanalyse de SensibilitLe fichier sensi.xls calcule la VAN d'un projet dinvestissement. On cherche la sensibilit de la VAN aux variations, la fois, des cots des produits vendus et du cot du capital Le fichier XL comprend 5 onglets: Information contient lnonc du problme Code couleur Dfinition des variables Base contient les donnes du scnario de base ainsi que lapplication de la fonction table Cash Flows contient les formules du calcul de la VAN Sensi au cot des biens vendus rcapitule lanalyse de la sensibilit de la VAN aux variations du cot des produits vendus. Sensi au cot du capital rcapitule lanalyse de la sensibilit de la VAN aux variations du cot du capital


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V Simulation Lanalyse de Sensibilit

Illustration : sensi.xls


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V Simulation Lanalyse de SensibilitLanalyse de sensibilit souffre de 4 faiblesses majeures : La fonction Table ne permet que de faire varier les valeurs que de 2 paramtres => Quid des modles (et ils sont nombreux) qui dpendent de plus de 2 intrants estims ? Cest lutilisateur de dfinir lintervalle de variation des paramtres => biais (dautant plus important si lutilisateur nest pas un expert ) Ne permet pas de prendre en compte la corrlation entre les intrants Ne fournit pas dintervalles de confiance Il est possible de remdier toutes ces faiblesses par une analyse base sur une simulation de Monte-Carlo !!!! Lintrt principal dune analyse de sensibilit provient donc surtout de la simplicit de sa mise en uvre


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V Simulation Simulation de Monte-Carlo

Principe : La simulation de Monte-Carlo est une mthode qui consiste ) valuer de manire itrative un modle dterministe en utilisant un ensemble de valeurs alatoires pour intrants. Cette mthode est dautant plus intressante que : Le modle est complexe Le modle est construit partir de plus de 2 paramtres incertains Le modle est hautement non linaire Une simulation peut potentiellement conduire plus de 10 000 valuations du modle => cette mthode est donc dusage trs rcent car ne savre possible mettre en uvre que si lon peut recourir un ordinateur (puissant !) Pourquoi et/ou quand simuler : Lorsque le modle est trop complexe pour tre analyser analytiquement (e.g. pricing doptions amricaines, VAN ). Lorsquil nexiste pas de donnes existantes (e.g. nouveau produit financier, nouveau produit, ) pour valider un modle dvaluation ou pour calculer la rentabilit dun investissement N. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse 96


Exemple : sensibilit dun TRI Analyse de sensibilit vs Simulation

Part de march4% 1% -5.9 -5.3 -4.7 -4.1 -3.5 -2.8 5% -3.5 -2.8 -2.0 -1.2 0.3 0.5 6% -1.2 -0.2 0.8 1.8 2.8 3.8 7% 1.2 2.3 3.5 4.7 5.9 7.2 8% 3.5 4.8 6.2 7.6 9.1 10.5 1% 2% 3% 4% 5% 6% 4% 5% 6% 7% 8%

Marge dexploitation

2% 3% 4% 5% 6%

Plus probable Moins probable


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Schma explicatif de la mthode


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(a)Gnration des valeurs des variables de contrle tires de distribution(s)

(b)Calcul de lextrant du modle en fonction des valeurs calcules en (a)

(c)Stockage du rsultat

Rptition de lopration N fois

Puis analyse de la distribution des extrants du modleN. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse 99

V Simulation Simulation de Monte-CarloLa rptition des tapes a), b) et c) un grand nombre de fois permet de calculer : Une moyenne (esprance) Un cart-type (dispersion autour de lesprance) Distribution de probabilit de la fonction objectif Intervalles de confiance Combien de rptition ? Plus vous avez dobservations, meilleure sera votre estimation Dpend de la complexit du modle simuler (temps de calcul) Critre de convergence : on arrte l lorsque lamlioration de la prcision de lestimateur par lobservation dune valeur supplmentaire devient marginale Lorsque lintervalle de confiance obtenu vous semble cohrent avec vos anticipations. La simulation permet en dfinitive une analyse la fois graphique et statistique car la fonction objectif est loutput (ex.: VAN)N. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse 100

V Simulation Simulation de Monte-CarloLextrant peut-tre un rsultat discret (accepter ou refuser un projet dinvestissement, ) => distribution discrte de probabilit (loi de Bernoulli, loi binomiale ) Continu (prix dun actif financier, rsultat dune VAN ou dun TRI, ) => distribution continue de probabilit (loi normale, loi log-normale, loi de poisson, loi de student, chi-deux, ) Rappel succinct sur les lois discrtes de probabilit : Une fonction de densit associe une v.a., X, valeurs discrtes indique la probabilit que X appartienne une classe particulire (zone de refus ou dacceptation dun projet dinvestissement) => f(x)=Proba(X=x) (fonction de densit linaire par morceaux) Exemple : Supposons que lon essaye destimer la part de march de certaines marques Automobiles dans la rgion toulousaine : - Difficult daccder des chiffres par rgion partir des donnes constructeur ! - On peut par contre se mettre au bord de lautoroute A61 et compter le nombre de voitures par marque qui passent devant nous ! => X = ConstructeurN. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse 101


Fonction de densit de probabilit Autres Ford PSA Renault VW 20% 10% 25% 30% 15%

% d'observation selon les diffrentes marques30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

Autres

Ford

PSA

Renault

VW

La fonction de densit est linaire par morceaux


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V Simulation Simulation de Monte-CarloLa fonction de rpartition dune v.a. discrte X nous renseigne quant la probabilit que X soit dans une catgorie particulire ou dans une catgorie infrieure cette catgorie : F(x) = Proba(X x). F(x) est donc calcul en sommant les probabilits issues de la fonction de densit. Au niveau de la borne suprieure de x, F(x)=1 (toutes les catgories sont prises en compte) => la fonction de rpartition possde aussi une structure linaire par morceaux. Dans lexemple prcdent, si les marques sont ranges par ordre alphabtique, on aurait : Fonction de rpartition de laFonction de Fonction de densit de rpartition probabilit Autres Ford PSA Renault VW 20% 10% 25% 30% 15% 20% 30% 55% 85% 100%

distribution des marques observes100% 80% 60% 40% 20% 0% Autres Ford PSA Renault VW

F(PSA)=P(Autres)+P(Ford)+P(PSA)=55%N. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse 103


Gnration dobservations alatoires partir dune distribution discrte : Utilisation de la fonction Excel alea() : renvoie un nombre entre 0 et 1 issue dune loi uniforme.

(a) Gnration dun nombre entre 0 et 1 partir dune loi uniforme

Fonction de rpartition120% 100% 80% 60% 40% 20% 0% 1 3 5 7 9 11 13 15 (c) 19 21 23 25 17

(b) Inversion de la fonction de rpartition pour obtenir une valeur X

Valeur obtenue partir de la distribution requiseN. Galy, N. Nalpas et A . Vanhems ESC Toulouse

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V Simulation Simulation de Monte-CarloVous pouvez bien entendu gnrer nimporte quelle valeur pour une v.a. ( valeurs) discrtes laide de la fonction alea() en la combinant avec : Les fonctions rechercheh() ou recherchev() o vous cherchez dans la table de la fonction de rpartition de la v.a. et Ent() qui renvoie la partie entire immdiatement infrieure : ent((alea()*6+1) => simule des nombres alatoires entre 1 et 6 (simulation dun jeu de d)


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Gnration de valeurs alatoires partir dune distribution continue

Fct de rp.


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V Simulation Simulation de Monte-CarloOn peut gnrer des valeurs pour une v.a. continue qui suit une distribution de probabilit particulire en utilisant toujours la fonction alea() en la combinant avec une fonction linaire ou pas : Distribution uniforme : =10*alea() gnre un nombre issu dune uniforme entre 0 et 10. =5+(2*alea()) gnre un nombre issu dune uniforme entre 5 et 7. =x+ ( (y-x)*alea() ) gnre un nombre issu dune uniforme entre x et x+y. Distribution Normale : =LOI.NORMALE.INVERSE(alea(),x,y) gnre un nombre alatoire issu dune distribution normale de moyenne x et dcart-type y.


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Le choix de la distribution de probabilit dpend de votre anticipation quant la vraisemblance datteindre les valeurs centrales et extrmes sur les ralisations de vos intrants (v.a.)


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V Simulation Simulation de Monte-CarloExemple : Evaluation dune VAN par simulation : van.xls On simule sur les constituants du calcul de la VAN On cherche la distribution de probabilit de la VAN


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping

Rappels sur le principe dvaluation dune obligation Pourquoi est-il ncessaire de reconstruire une courbe des taux dintrt Une premire approche simplifie La mthode gnralise sous Excel


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Rappels sur lvaluation dune obligationLvaluation dune obligation repose sur 2 tapes : Identifier les CFs recevoir Dterminer le prix de lobligation comme la valeur prsente (cf. Finance 1) de ces CFs


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Rappels sur lvaluation dune obligationUn exemple avec RHODIA :


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Rappels sur lvaluation dune obligation

Etape 1 : La dtermination des CFs : Obligation 10.5 Rhodia chance 1er juin 2010 Les coupons : Ici, coupons semestriels de 1000 Euros * 10,5 /2 = 52,50 Euros verss tous les 6 mois entre le 1er dcembre 2004 et le 1er juin 2010 (inclus) Remboursement du principal : Remboursement la valeur faciale de 1000 Nombre de Euros le 1er juin 2010 Coupons Principal priode1-dc.-04 1-juin-05 1-dc.-05 1-juin-06 1-dc.-06 1-juin-07 1-dc.-07 1-juin-08 1-dc.-08 1-juin-09 1-dc.-09 1-juin-10 1-dc.-1052,50 52,50 52,50 52,50 52,50 52,50 52,50 52,50 52,50 52,50 52,50 52,50 52,50 1 000,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


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Etape 2 : Calcul de la valeur prsente des CFs : Dans un premier temps, considrons le cas le + simple : nous sommes le 1er juin 2004

CFt P= (1 + r )t t =1Problmes poss avec cette formule : - Comment choisir le taux descompte ? - Est-il raisonnable de considrer que tous les CFs doivent tre actualiss avec le mme taux descompte ? Do provient cette formule : la valeur temps de largent (Time Value of Money)

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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Rappels sur lvaluation dune obligationPrix dune obligation :

P=t =1

T

CFt (1 + r )t

Une formule plus pratique puisque les coupons sont des CFs identiques : Valeur actualise dune annuit (cf. cours de J.F. Verdi)

(1 (1 + r ) ) + Valeur Nominale P = CouponT

r

(1 + r )T


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Rappels sur lvaluation dune obligationTaux de Rendement lchance dune obligation (taux de rendement actuariel ou Yield to Maturity (YTM)) : Cest le taux qui rend gal le prix de lobligation et la valeur prsente de ses CFs. Il est donc solution de lquation :

P=t =1

T

CFt (1 + YTM )t

Il exprime le taux de rendement que rapporterait lobligation si on la dtenait jusqu chance Il suppose implicitement une courbe des taux plate Il est exprim en gnral de manire nominale capitalisation semestrielle (puisque les coupons sont en gnral verss semestriellement) Il se calcule aisment laide du solver dexcel (autre mthode : interpolation linaire (cf. finance 1) ou essai et erreur). On peut aussi utiliser le fichier RAE.xls sur le site du cours Relation inverse dterministe entre le YTM et le prix de lobligation => Donner le prix dune obligation est quivalent donner sont YTM


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Rappels sur lvaluation dune obligationUn Exemple : Soit une obligation avec une maturit dexactement cinq ans portant un coupon annuel de 80 $ pour une valeur nominale de 1 000 $. Quel est son Taux de Rendement lEchance si son prix cot sur le march est de 92,418%

1 5 1 1 + r 1000 + 924,18 = 80 r =? 5 r (1 + r )


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Pourquoi sintresser la courbe des tauxUne utilisation possible : Evaluer le prix dune obligation (Rich and Cheap valuation Method) : De la section prcdente, nous savons que le prix dune obligation ayant les CFs, CFt pour t=1,,T T CFt a pour prix : P =0

(1 + r )t =1

t

Le problme de cette formule est quelle suppose que le cot dun prt/emprunt 1 an par exemple est le mme qu 10 ans => mme r quelque soit la maturit (courbe des taux plate)! Or la courbe des taux nest pratiquement jamais plate. La forme la plus traditionnelle est une courbe croissante concave :

Emprunter court-terme cote relativement moins cher quemprunter LT


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Pourquoi sintresser la courbe des tauxSi la courbe des taux nest pas plate, la dtermination du juste prix dune obligation ncessite dutiliser lensemble de linformation contenue dans la courbe des taux afin dvaluer. Formellement, le prix dune obligation rsout lquation suivante :

T CFt P0 = = CF B(0, t ) (1 + R0,t )t t t =1 t =1

T

o :

- R0,t = R(0 ,t ) reprsente le taux zro - coupon de maturit t

- B(0 ,t ) est le facteur d' escompte (valeur prsente de 1$ reue la date t )

Utiliser B(0 ,t ) plutt que R0,t permet de s' affranchir du problme des frquences de mesure


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Pourquoi sintresser la courbe des tauxQuestions en suspens : Q1 : Comment obtenir les valeurs de R(0,t) et B(0,t) ? Q2 : Utilise-t-on la dernire quation pour obtenir les prix des obligations ou les taux et facteurs descompte implicites ? Q3 : Le prix dune obligation peut-il dvier de cette relation ? Rponses Q1 : Toutes informations afin de dterminer ces quantits doit provenir des donnes de march Plus prcisment, B(t,T) est le prix la date t dune obligation zro-coupon remboursant 1$ la date T. Le facteur descompte B(0,t) est donc le prix dune obligation de valeur faciale 1$ et de maturit t. Le taux spot R(0,t) ou R0,,t correspond au taux annuel de rendement dune obligation zro-coupon de valeur faciale 1$ :

1 = B(0, t ) t (1 + R0,t )


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Pourquoi sintresser la courbe des tauxLe problme est que dans le monde rel, il nexiste quun nombre limit dobligation zro coupon Toutefois, nous allons driver une mthode qui permettra de pouvoir toujours calculer ces taux spot. Rponses Q2 : On utilise gnralement les prix des actifs primitifs afin de driver les taux descomptes (implicites) On utilise alors linformation de la courbe des taux ainsi construites pour calculer le prix de tout autre titre Rponses Q3 : Toute dviation de cette formule dvaluation induit des possibilits darbitrage Nous prsenterons des illustrations de cette rgle


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Une premire approche simplifieConstruction de la courbe zro-coupon : un exemple introductif Supposons quil existe sur le march une obligation zro-coupon qui vaut 92$ (valeur faciale 100$) et qui mature dans 2 ans. Le taux spot annualis 2 ans vaut donc :

92 =

100 R0, 2 = 4,26% 2 (1 + R0,2 )

La collection de tous les taux spot annualiss pour toutes les maturits correspond la structure par terme des taux dintrt ! Considrons dsormais 2 titres de valeur faciale 100$ : Le 1er est une obligation zro-coupon exactement 1 an se vendant 95$ Le second est une obligation 2 ans dont le taux de coupon est 8% et se vendant 99$.


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Une premire approche simplifieLe taux spot 1 an vaut donc :

95 =

100 R = 5,26% (1 + R0,1 ) 0,1

Le taux spot 2 ans vaut :99 = 8 108 8 108 + = + 2 (1 + R0,1 ) (1 + R0,2 ) 1,0526 (1 + R0,2 )2

R0, 2 = 8,7%

On peut aussi construire un titre zro-coupon de maturit 2 ans avec les titres prcdents :Acheter lobligation couponne de maturit 2 ans Vendre 0,08 unit de lobligation zro-coupon 1 an => Cot = 99 0,08*95 = 91,4$


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Une premire approche simplifieCalendrier des paiements :

aujourdhui

1 an

2 ans

=> Il sagit bien dune obligation zro-coupon 2 ans. Que vaut son TRE ?

108 91,4 = R0, 2 = 8,7% 2 (1 + R0,2 )Comment construire en pratique la courbe des taux zro-coupon ?


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Lapproche gnralise sous ExcelLa mthode prcdente est trs fastidieuse gnraliser car elle se base sur un raisonnement de rcurrence => pour construire la courbe des taux, je cherche dabord R0,1, puis je peux chercher R0,2, puis ensuite R0,3, etc En pratique, il faut dterminer un grand nombre de taux dintrt zro-coupon pour construire une courbe des taux prcises. Or le raisonnement de rcurrence impose un temps de calcul trs long. Peut-on utiliser une mthode qui dtermine tous ces taux zro-coupon dun seul coup ? Oui grce au calcul matriciel qui est facilement implmentable sous Excel


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Lapproche gnralise sous Excel

Utilisons un exemple pour rester concret : On part de donnes sur les obligations coupones (pour simplifier lanalyse, on suppose que toutes les obligations cotes ont la mme date de maturit (par exemple le 25 avril), et que lon se trouve cette date).

Au lieu de chercher les taux spot directement, on va chercher les facteurs dactualisation pour saffranchir, dans un premier temps, du problme pos par les puissances : bj = 1 / (1+rj)j On obtient ainsi une criture simplifie.


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Lapproche gnralise sous ExcelObligation 1 103 = 106 * b1 Obligation 2 102 = 5 * b1 + 105 * b2 Obligation 3 100 = 4 * b1 + 4 * b2 + 104 * b3 Obligation 4 104 = 6 * b1 + 6 * b2 + 6 * b3 + 106 * b4 Obligation 5 99 = 5 * b1 + 5 * b2 + 5 * b3 + 5 * b4 + 105 * b5


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Lapproche gnralise sous ExcelCe que lon peut rcrire: Obligation 1 103 = 106 * b1 + 0 * b2 + 0 * b3 + 0 * b4 + 0 * b5 Obligation 2 102 = 5 * b1 + 105 * b2 + 0 * b3 + 0 * b4 + 0 * b5 Obligation 3 100 = 4 * b1 + 4 * b2 + 104 * b3+ 0 * b4 + 0 * b5 Obligation 4 104 = 6 * b1 + 6 * b2 + 6 * b3 + 106 * b4+ 0 * b5 Obligation 5 99 = 5 * b1 + 5 * b2 + 5 * b3 + 5 * b4 + 105 * b5131


VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Lapproche gnralise sous ExcelCe qui nest rien dautre quun produit matriciel: P = CF * B

Comment trouver le vecteur des facteurs dactualisation? Il suffit dinverser la matrice CF, Et alors on trouve B = CF-1 * P On en dduit facilement les taux spot.


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Lapproche gnralise sous ExcelFacteurs dactualisation

Taux spot


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Lapproche gnralise sous ExcelExcel propose des fonctions qui permettent les principaux calculs matriciels : TRANSPOSE(matrice) : Renvoie une plage verticale de cellules sous forme de plage horizontale, ou vice versa. PRODUITMAT(matrice1;matrice2) : Calcule le produit de deux matrices. Le rsultat est une matrice comportant le mme nombre de lignes que matrice1 et le mme nombre de colonnes que matrice2. DETERMAT(matrice) : Donne le dterminant dune matrice INVERSEMAT(matrice) : Renvoie la matrice inverse Bien videmment, vous pouvez facilement sommer des matrices Attention: pour saisir les formules de calcul matriciel: Dterminer la taille de la matrice rsultat (# lignes, #colonnes) Slectionner la zone correspondante F2 Rentrer la formule souhaite CTRL + MAJ + ENTREE


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VI Courbe des Taux dintrt par mthode de Bootstrapping Lapproche gnralise sous ExcelComme la courbe des taux reprsente une application qui chaque maturit associe un taux zro-coupon, ou encore :

R(t , )La courbe des taux pour nimporte quelle maturit peut tre alors gnre par des mthodes standard dinterpolation linaire ou cubique. Dans le cadre dune interpolation linaire. Si on suppose que lon connat les taux zro-coupon pour les dates t1 et t2 avec t1 < t2, on obtient le taux zrocoupon pour une maturit ti tel que t1 < ti < t2 laide de la formule suivante :

(t 2 t i )R(t , t1 ) + (t i t1 )R(t , t 2 ) R(t , t i ) = (t 2 t1 )


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