Flexion simple - Cours Mécanique€¦ · Flexion simple I. Définition : Une poutre est sollicitée à la flexion si le torseur associé aux efforts de cohésion de la partie 2 de

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Chapitre 5 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel

Flexion simple

I. Définition :

Une poutre est sollicitée à la flexion si le torseur associé aux efforts de cohésion de la

partie 2 de la poutre sur la partie 1, peut se réduire en G, barycentre de la section droite

(s) à une résultante contenue dans le plan de symétrie et un moment perpendiculaire à ce

dernier, telle que :

Gcoh =

Gfz

y

Gf

y

G

M

TM

T

0

0

00

1/2

Remarques :

Si Ty=0, on sera en flexion pure et si Ty 0, on sera en flexion simple.

L’effort tranchant donne naissance à des contraintes tangentielles.

Le moment fléchissant donne naissance à des contraintes normales.

II. Moment quadratique d’une section :

II.1. Définition :

Le moment quadratique d’une section par

rapport à un axe contenu dans son plan est par

définition :

ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1


dSySyISS

Oz 22 )( et dSzSzISS

Oy 22 )(

Soit 222 zy

dSSIS

O 22 )( Donc OyOzO III .

Avec OzI : moment quadratique de (S) par rapport à (O, z ) en mm4.

OyI : Moment quadratique de (S) par rapport à (O, y ) en mm4.

OI : Moment quadratique polaire par rapport à (O, x ) en mm4.

y : distance du point M à l’axe (O, z ) en mm

z : distance du point M à l’axe (O, y ) en mm

: Distance OM en (mm).

S ou dS : Élément de surface entourant le point M en mm2.

Moments quadratiques de quelques formes particulières :

II.2. Théorème de Huygens :

. 2dSII Gyoy



II.3. Décomposition en élément simple :

Soit un système (E) de centre de gravité G composé de n solides (Si) de centre de gravité

Gi alors on peut écrire dans le plan ZYO ,, :

nGYGYGYGYGY IIIII ......321

Et

nGZGZGZGZGZ IIIII ......321

Avec GYI : moment quadratique de (E) par rapport à YG,

iGYI : Moment quadratique de (Si) par rapport à YG,

GZI : Moment quadratique de (E) par rapport à ZG,

iGZI : Moment quadratique de (Si) par rapport à ZG,

Exemple :

On donne :

15

35AG BC=EF=10 mm, AF=100 mm et CD=50 mm

Calculer les moments quadratiques GYI et GZI .



III. Etude des contraintes normales :

En un point quelconque M, de la section droite (S), la contrainte normale est définie

par :

yI

M

Gz

fz

M

Avec :M : contrainte normale en M due à la flexion.

GzI : Moment quadratique de la section (S) par rapport à l’axe (G, z ).

fzM : Moment fléchissant selon l’axe (G, z ).

y : ordonnée du point M.

En un point M le plus éloigné de l’axe (G, z ), on peut écrire :

max

max

max

max

max

y

I

My

I

M

GZ

f

Gz

f

On pose Vy max

: ordonnée du point le plus éloigné de l’axe (G, z ).

V

I

y

I GzGZ

max

: Module de flexion de la section droite (S).



Répartition des contraintes dans une section droite :

Remarque :

On remplace une poutre pleine par un

empilage de plaques et on charge l’ensemble ainsi

formé. On constate qu’il se produit un décalage

entre les diverses couches. Il est bien évident que

ce décalage ne peut pas se produire sur la poutre

pleine. Cet empêchement donne naissance à des

contraintes tangentielles.

IV. Condition de résistance :

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale due à la flexion doit rester inférieure

à la résistance pratique à l’extension. On définit la résistance pratique à l’extension Rpe

par le rapport suivant :s

RR e

pe .

Avec Re: résistance élastique à l’extension (MPa).

Rpe : résistance pratique à l’extension (MPa).

s : cœfficient de sécurité.

D'où, la condition de résistance est :

max

max

max pe

Gz

fz

pe R

y

I

MR

V. Concentration de contraintes :

Tout changement brusque de section (rainure, gorge, épaulement) entraîne une

concentration de contrainte (la répartition des contraintes n’est plus linéaire). Dans ce cas

la condition de résistance devient : pethteff RK maxmax



Avec eff : contrainte effective (MPa).

th : Contrainte théorique sans concentration de contrainte (MPa)

Kt : coefficient de concentration de contrainte relative à la flexion. Kt est donné

par des abaques ou des tableaux (Voir annexes C).

VI. Condition de rigidité :

VI.1. Déformée :

On appelle déformée, la courbe de la ligne moyenne après déformation. A tout point C

d’abscisse Xc, correspond une ordonnée yc représentant la distance du point C avant

déformation au point C’ après déformation. Cette ordonnée yc s’appelle la flèche en C.

On remarque que l’équation de la déformée y est en fonction de l’abscisse x : y = f(x).

On note par y’ et y’’ respectivement les dérivées première et secondaire de la déformée

y(x).

On peut calculer la flèche à partir de l’équation de la déformée par double intégration

de l’équation du moment fléchissant.

L’équation de la déformée est : 𝐸. 𝐼𝐺𝑧. 𝑦"(𝑥) = 𝑀𝑓𝑧(𝑥).

Avec : 𝐸 : module d’élasticité longitudinal (MPa).

𝐼𝐺𝑧 : Moment quadratique de la section (S) par rapport à l’axe (G, z ). (mm4).

𝑀𝑓𝑧: Moment de flexion dans la section (S) selon l’axe (G, z ). (N.mm).



VI.2. Condition de la flèche maximale :

On calcule la flèche maximale et on vérifie ensuite que cette flèche reste inférieure à

une valeur limite 𝑓𝑙𝑖𝑚 imposée par le type de construction ou les contraintes

technologiques. Soit alors : |𝑦𝑚𝑎𝑥| ≤ 𝑓𝑙𝑖𝑚.

Exemple de la flèche limite 𝑓𝑙𝑖𝑚 : ( l : longueur de la poutre).

500lim

lf

Poutres de bâtiments

1000lim

lf

Poutres de ponts roulants

Remarque :

Ne pas confondre 𝒚 la flèche en un point dans l’équation de la déformée avec 𝒚 la

distance d’un point M à l’axe (G, z ) dans l’expression de la contrainte en un point.

Les efforts tranchants donnent naissance à des contraintes tangentielles qui sont

généralement négligeables devant les contraintes normales.

VII. Méthodes de calculs en flexion :

Il existe deux méthodes de calculs en flexion :

Le calcul de vérification.

Le calcul de détermination.

Organigramme du calcul de vérification :



Organigramme du calcul de détermination :

Calcul de résistance : max peM R Calcul de détermination : limmax fy

on connaît :

Le moment

fzM

le matériau

(Re et Rpe)

on connaît :

Le moment

fzM

les dimensions

transversales

on connaît :

le matériau

donc Re et Rpe

les dimensions

transversales

on connaît :

l’effort F

le matériau

(module E)

la longueur l

et flim

on connaît :

l’effort T

les dimensions

transversales

la longueur l

et flim

on connaît :

le matériau

(module E)

les dimensions

transversales

la longueur l et

flim

on calcule :

les dimensions

transversales

pe

fzGz

pe

Gz

fz

R

M

y

I

RyI

M

max

max

D’où d ou b et h

on calcule :

Rpe puis Re

maxy

I

MR

Gz

fz

pe

On choisit le

matériau

on calcule :

Le moment de

flexion max qui

peut supporter

l’organe

maxy

IRM Gz

pefz

On détermine Mfz

max

on calcule :

les

dimensions

transversales

on calcule :

le module (E)

On choisit le

matériau

on calcule :

L’effort max

qui peut supporter

l’organe

F ?

On détermine

Fmax



Exercices d’application

Exercice 1 : (Extrait examen 2015)

On considère une poutre (1) de section constante reposant sur deux appuis situés

respectivement en O et A (Voir figure). Le plan yxO ,, est un plan de symétrie pour la

poutre (1) et pour les forces qui lui sont appliquées. La poutre (1) a une section

rectangulaire de largeur b et de hauteur h. On adopte un coefficient de sécurité s = 3.5.

L’action mécanique exercée sur la poutre (1) est modélisée en B par :

0

)(12001/

yNFB

On donne :

b=30 mm, h=60 mm

L=2000 mm

1. Déterminer les réactions aux points O et A ?

2. Déterminer les équations de l’effort tranchant Ty et du moment de flexion Mfz le

long de la poutre (1) ? Construire les diagrammes correspondants ?

3. Déterminer la valeur et la position de maxyT et de

maxfzM ?

4. Déterminer la flèche yB au point B ?

5. Si Cette poutre est en acier E36 de résistance élastique d’extension Re = 240

MPa et de module de Young E = 2.105 MPa. Vérifier dans ce cas la condition de

résistance et conclure ?

Exercice 2 :

Une poutre (1) de longueur L=500 mm, est encastrée à son extrémité O avec un solide

rigide (2). A l’autre extrémité A de (1), on applique une force F=1000 N et incliné d’un

angle α = 30° avec l’horizontal. (Voir figure).

1. Le torseur des actions mécaniques de (2) sur (1) est de la forme :



Ro

M

B

1/2 Tel que dans un repère zyxOR ,,, on a :

0

y

x

B

B

B Et

M

M 0

0

Calculer les actions Bx , By et M ?

2. Tracer les diagrammes des efforts de cohésion N, Ty et Mfz de la poutre (1) ?

3. Déterminer les valeurs maximales des efforts de cohésion N et Mfz ?

4. On néglige lors du dimensionnement l’effet de l’effort tranchant Ty, et on

considère que la poutre (1) est de section circulaire de diamètre d. On donne

Rpe=100 MPa : résistance pratique admissible du matériau de (1).

a. Calculer le diamètre minimal d1 si la poutre est sollicitée seulement à la

traction ?

b. Calculer le diamètre minimal d2 si la poutre est sollicitée seulement à la

flexion ?

5. Déduire le diamètre adéquat d de la poutre (1) ?

Exercice 3 : (Extrait examen 2012)

On considère une poutre (1) de section constante en liaison d’encastrement en O avec

le bâti (0) et libre de l’autre extrémité A (Voir figure). Le plan yxO ,, est un plan de

symétrie pour la poutre (1) et pour les forces qui lui sont appliquées. La poutre (1) a une

section rectangulaire de largeur b=25 mm et de hauteur h=100mm.

Cette poutre est soumise aux actions mécaniques extérieures suivantes :

y (N) 800Fet y (N) 1000 21 F

1. Déterminer les inconnus de la liaison encastrement au point O.



2. Déterminer les équations de l’effort tranchant Ty et du moment de flexion Mfz le

long de la poutre (1). Construire les diagrammes correspondants.

3. Déterminer la valeur et la position de maxyT et de

maxfzM .

4. Déterminer les contraintes normales et tangentielles maxx et de

maxxy .

5. Déterminer l’équation de la flèche y en fonction de l’abscisse x .

6. Déduire la valeur et la position de la flèche maximale.



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