Chapitre 04.Flexion Simple

7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.

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Chapitre 04.Flexion simple.

DfinitionDfinitionDfinitionDfinition ::::

Une pices est soumise la flexion

simple si la rduction des efforts en une

section (S) se rduit uniquement un moment

flchissant (M) et un effort tranchant T

appliqus au centre de gravit de (S).

Remarque :

Etant donn quen flexion simple, effort normal est nul (N=0), la vrification dela stabilit de forme nest pas envisage.

Une section soumise la flexion simple ntant jamais entirement

comprime, alors pour le bton, on utilise le diagramme rectangulaire.

IV.1. Section rectangulaireIV.1. Section rectangulaireIV.1. Section rectangulaireIV.1. Section rectangulaire ::::

A. Section sans armatures comprimesA. Section sans armatures comprimesA. Section sans armatures comprimesA. Section sans armatures comprimes ::::

GM

T

(S)Figure 1

A

h d

b

+

s

a a

G

b bb

y0.8y

M

Fb

Fa

b

cb

f

28

85.0

=

0.4y

Z

(Figure 2)


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d : Hauteur utile de la section (distance entre le centre de gravit des

armatures et la fibre la plus comprime).

A : Section totale des armatures tendues ;

y : Distance de laxe neutre la fibre la plus comprime ;

b : Raccourcissement unitaire du bton de la fibre la plus comprime ;

s : Lallongement unitaire des armatures tendues ;

Fb: Rsultante des efforts de compression dans le bton ;

Fa: Rsultante des efforts de traction dans lacier ;

Z : bras de levier (distance entre Fset Fb).

Rsultante des efforts de compression dans le bton.

bb byF = 8.0

Fbpasse la mi hauteur de la zone comprime, donc une distance de 0.4y

de la fibre la plus comprime.

Rsultante des efforts de traction dans les aciers.

sa AF =

Fapasse par le point a (centre de gravit des armatures tendues).

Equations dquilibre :

ybAFbFaF bsx === 8.000/

=

==

0

8.0

00/

ZAM

ou

ZybM

ZFMM

s

b

bA

posons : dy = ;2

db

M

b =

; dZ =

( )=== 4.014.04.0 dddydZ 4.01=

nous aurons alors : ( ) 04.018.08.0 2 == dbMZybM bb


3/25

Do ( ) = 4.018.0 et8.0

211

=

Car est la racine de lquation 08.032.0 2 =+

On a : dy =Si 2593.0 domaine 1 et le diagramme des dformations passe par le

pivot A, donc 10=s %o.

Pour = 2593.0 ( ) 186.02593.04.012593.08.0 =

Donc si

186.0

253.0

ou pivot A (Domaine 1).

Si 12593.0 cest dire 480.0186.0 domaine 2 et le diagramme

des dformations passe par le pivot B

Donc si 480.0186.0 le raccourcissement du bton de la fibre extrme

sera 5.3=b %o.

On a aussi les triangles aaG et bbG sont semblables

b

a

b

s

G

GbbGaaG =

et 5.3=b %o .

=

=

=

1

5.3

1000

d

dd

y

yds

= 1

15.31000

s .

Donc connaissants

, on peut dterminers

.

RsumRsumRsumRsum ::::

Les armatures tendues dune section rectangulaire soumise un moment M

peuvent tre dterminer par les formules suivantes.

ss

b db

M

et1000,,

2

=


4/25

sd

MA

=

].[en:

][:

][en:et

][:

cmA

MPaenet

cmdb

MPaenM

sb

Remarque:

Thoriquement ; la mthode dj expose est valable jusqu ce que lon ait

dy= cest dire 1= ou bien 480.0= mais pratiquement il nen ait pas ainsi car

partir dune certaine valeur des

, donc de , la contraintes

diminue rapidement et

on arrive une section qui nest pas conomique.

Si 011

1000

5.31 =

==

s , do

0== sss E et A do de point de

vue conomie, il a t dcid que

ss

LsE

fe

=

EtLLL , et L .

Et on a : +

=s

10005.3

5.3

L

L

10005.3

5.3

+= ;

( )LLL 4.018.0 = et LL 4.01=

Et dans le chapitre N01 on a vue que :

Si

L

L

Ls

Si L la section sera arm uniquement par des armatures tendues.

Si > L la section sera arm par des armatures tendues et des

armatures comprimes comme il va tre montr par la suite.

s

0L s

ss

fe

=

10%o


5/25

Application numriqueApplication numriqueApplication numriqueApplication numrique ::::

Dterminer les armatures suivant ltat limite ultime de la poutre suivante :

MPafc 2528=

Acier Fe E400, Situation durable et transitoire.

Il faut tenir compte du poids propre.

Dtermination du poids propre :

mlKNmlNmlKgSg Bb /5.4/4500/4506.03.025001 =====

Dtermination du moment flchissant.

8

2l

gMg =4

lQMQ =

et pour la combinaison fondamentale (sollicitation du 1ergenre) on a :

QGQg + avec 35.1=g et 5.1=Q

do lon tire le moment M :

+=+=4

5.18

35.15.135.1

lQ

lgMMM Qg

mKNM .3944

5200

5.18

55.4

35.1 =

+

=

mKNM .394=

Dtermination du moment rduit :

db

M

b =

avecb

cb

f

28

85.0 =

= le.accidentelSituation15.1ireet trasitodurableSituation5.1

b

5 cmA

60

30

Q= 200 kN (surcharge)

2.50 m 2.50 m


6/25

MPab 2.145.1

2585.0=

= donc

( ) 306.0

55302.14

103942

3

=

=

Vrification de lexistence darmatures comprimes ( )A .

Acier Fe E400 MPafe 400= et on ass

LE

fe

=

.

=le.accidentelSituation1

ireet trasitodurableSituation15.1b

739.115.1200

4001000000200 =

== Ls MPaE

et 668.010005.3

5.3=

+=

L

L

et ( ) 392.04.018.0 == LLL .

< AL MPaMPa

fe

s

s 348

348=

==

calcul de larmature tendue (A) :

d

MA

s =

306.0= 471.0

8.0

211=

=

donc :06.2555811.0348

105.4 3cmA

=

=.

B. Section rectangulaire avec armature comprimesB. Section rectangulaire avec armature comprimesB. Section rectangulaire avec armature comprimesB. Section rectangulaire avec armature comprimes ::::

SiL> ou bien L> ; on renforce la partie comprime de la section par

des armatures qui seront comprimes.

Dans les rgles B.A.E.L ; seules les armatures longitudinales de compression

maintenues tous les 15 au plus, par des armatures transversales seront prises en

compte.

Si les armatures comprimes sont disposes en dehors des angles, les rgles

B.A.E.L prvoit des triers ou pingles (au plus tous les 15 ) pour empcher tout

dplacement ou risque de flambage de ces armatures. Si cette conditions nest pas

vrifie, les armatures comprimes (centrales) seront considrs ( ) comme des

barres de montage qui ninterviendront pas dans les calculs.

La part du moment de flexion quilibr par les armatures comprimes doit

tre infrieur 40% du moment total.


7/25

1. Premire mthode de dtermination des armatures :

A : Section totale des armatures comprimes.

d : distance du centre de gravit des armatures comprimes la fibre la

plus comprime. (en pratique on prend hd 10

1

= ).

La section envisage (figure a) peut tre considre comme la somme dedeux section fictives reprsentes sur les figures (b) et (c).

=+=

AA

AAA 21

les armatures comprimes sont ncessaires domaine 2 et le diagrammedes dformations passe par le pivot B.

pour des raisons dconomie,s

doit tre suprieur ou gal L et pour un

cas limite, on prendLs = ; do :

L

L

10005.3

5.3

+= et

ss

LE

fe

=

.

Et en utilisant les triangles semblables ccG et aaG , on trouve :

( )

L

L

L

L

L

L

L

s

dd

dd

yd

dy

=

=

=

=

1000

100015.3

1, do

( ) = Ls 100015.31000

et pour queLs , il faut

que ( ) LL 1000100015.3

L

L

10005.3

10005.3

+

pour chaque type dacier on a une valeur de L pour chaque type dacieron a une valeur de ne pas dpasser [voir tableau ci-aprs].

Ronds lisses Haute adhrence

Fe E215 Fe E235 Fe E400 Fe E50015.1=s 1=s 15.1=s 1=s 15.1=s 1=s 15.1=s 1=s0.58 0.53 0.55 0.50 0.33 0.27 0.23 0.17

A

d

b

A

(a)

d

s

o%5.3

d

dyL=

a a

G

c cb

A1

d

b

(b)

A2

A

(c)

dd

B


8/25

Quand est infrieur au valeurs donnes dans le tableau ci-contre la

conditionLs

est ralis.

Les valeurs de (tableau) sont toujours infrieurs celles rencontres en

pratique toujours Ls > ss

fe

= et ss

fe

=

La section fictive reprsente sur la figure (b) quilibrera un moment fictif

2

1 dbM bL = ; LL , L et L1000

sL d

MA

= 11

la deuxime section fictive (Figure c) devra donc quilibrer un moment

rsident :

1MMM = , avec MM 4.0

( )ddM

As

=

;

( ) s

s

s

Add

MA

=

=2

Et les armatures de la section relle seront donc :

+=

=

21 AAA

AA


2

1 dbM bL = , 1MMM =

( )ddM

As

= ,s

s

sL

Ad

MA

+

=

1

2. Deuxime mthode de dtermination des armatures :

A

h

b

+

a a

G

b

0.8y

M

Fb

Fa

0.4yA

aF

3.5%o

d

c c

B

y

a

(a) (b) (c)

d

L


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Soit une section rectangulaire avec armatures comprimes (Fig (a)) et

soumises un moment de flexion M. les figures (b) et (c) reprsentent

respectivement les diagrammes et des contraintes.

On abb ybF = 8.0 sa AF = sa AF =

Avec dy L=


08.000/ === ybAAFFFF bssabaH

s

bs ybAA

= 8.0

( ) ( ) =+=

04.00/ dyFddFMM bac

( ) ( ) =+ 04.08.0 dyybddAM bs

( )

( )dd

dyybMA

s

b

+

= 4.08.0

M : en [N.m], b, detyen [cm], sb , et s en [Mpa]

A et A : en [cm].

ApplicationApplicationApplicationApplication ::::

Soit la poutre reprsente sur la figure ci-dessous, soumise son poids

propre (g) et une surcharge dexploitation Q= 264 KN.

Acier Fe E400.

MPafc 2528=

Calcul du moment flchissant :

8

lgMG= avec mlKNhbg b /5.46.03.025 ===

mKNMG .78.138

55.4 ==

mKNlQMQ .33045264

4 ===

mKNMMM QG .5143305.178..1335.15.135.1 =+=+=

5 cmA

60

30

5 cm

Ag

2.50 2.50

Q


10/25

Dtermination des armatures :

1re mthode (Mthode de superposition).

Vrification de lexistence des armatures comprimes A .

db

M

b

=

,

b

cbc

fMPaf

2828

85.025

==

situation durable et transitoire 5.1=b et 15.1=s .

MPab 2.145.1

2585.0=

=

Fe E400 MPafe 400= et MPafe

s

s 348==

( ) 399.0

55302.14

105142

3

=

= .

668.010005.3

5.3=

+=

L

L

avec 739.1200

1000 =

=s

L

fe

8.0

211

=L et ( ) 392.04.018.0 == LLL

et 733.04.01 == LL

> AL

on utilise le principe de la superposition :

Le moment de rsistance limite est donne par :

( ) mNdbM bL .15150555302.14392.0 22

1 ===

le moment rsiduel est donne par :

mNMMM .88495051510005141 ===

36

55733.0348

15150511 cm

d

MA

Ls

=

=

=

A

h

b

Ad

A1

d

b

(M1)

A2

A

( M )

dd


11/25

( ) ( ) 52.0

555348

88492 cm

dd

MA

s

=

=

=

09.055

5===

d

c ;

34.0739.15.3

739.15.3

10005.3

10005.3?

=+

=+

L

L

MPafe

s

s

sLs 34834.009.0 ===><

donc

( ) ( ) 52.0

555348

88492 cm

dd

MAA

s

=

=

==

et enfin :

=+==

52.36

52.0

21

2

cmAAA

cmA

Remarque :

Sisss

L

L E

=

+

>10005.3

10005.3(car

Ls = AL 392.0399.0

cmdy L 74.3655668.0 ===( )

( )( )

( )555348574.364.074.36302.148.5140004.08.0

+

=

+=

dd

dyybMA

s

b

52.36 cmA=

L

L

10005.3

10005.3?

+

; MPafe

s

sLs 34834.009.0 ==>

52.0348

74.36302.148.034852.368.0cm

ybAA

s

bs =

=

=

52.0 cmA =

Rappels (Flexion simple).Rappels (Flexion simple).Rappels (Flexion simple).Rappels (Flexion simple).

Si 5293.00 cest dire 186.00 le diagramme des dformations

passe par le pivot A (domaine 1) [ ]os %10= , cest dires

s

fe

= .


12/25

Si 12593.0 (cest dire Ls < ) ( )ssss E 1000200==

Avec

= 1

15.31000

s

Remarque :

- Si L> (donc Ls < ) la section darmatures calcule ne sera pas conomique,

et pour remdier cela on utilise des armatures comprimes ; donc :

Si > AL et

=

s

sLs

fe

et aussi pour que

=

s

sLs

fe

il

faut que :L

L

10005.3

10005.3

+

si ( )sssssL

L EL

== 100020010005.3

10005.3.

Raccourcissement des armatures comprimesRaccourcissement des armatures comprimesRaccourcissement des armatures comprimesRaccourcissement des armatures comprimes ::::

a. Diagramme des dformations passe par le point A :

%10=s o

Les triangles AaG et ccG sont semblables

dd

dd

Ga

Gc

aA

cc s

=

=

10

1000

=

1101000

s

le raccourcissements

1000 tant connu, la

contraintes dans larmature comprime a pour valeur :

- Si ( )ssLs

=


13/25

b. Le diagramme des dformations passe par le point B :

BbGaaG

d

dd

Gb

Ga

bB

aa s

==

5.3

1000

= 115.31000

s

=

=

=

5.3

1000

s

d

dd

y

dy

bB

ccBbGccG

do :

=

5.31000 s

3. Etude dune section pour laquelle larmature3. Etude dune section pour laquelle larmature3. Etude dune section pour laquelle larmature3. Etude dune section pour laquelle larmature

comprimecomprimecomprimecomprime A est connueest connueest connueest connue ::::

ce cas sa prsente gnralement

dans les sections dappuis des poutres

continues, car les armatures comprimes de

cette section constitues par le prolongement

de la totalit, ou dune partie des armaturesprvues dans la partie centrale de la trave,

qui sont dj connues.

Il a dj t dmontrer que :

( ) ( ) s

s

ddAMdd

MA

=

= ))

MMMMMM == 11

s

b dbM

1000et,, 112

11 =

d

MA

s =

1

11

,

( ) s

s

s

Add

MA

=

=2

et enfin les armatures de la section relle seraient :

+=+=

=

s

sAAAAA

AA

121

et comme A est connue, il suffit de connatre s pour rsoudre le problme :

A a

b

d

10 %o

B

c

G

sdy =

3.5 %o

d c

a

L a

+

-


14/25

Application NumriqueApplication NumriqueApplication NumriqueApplication Numrique ::::

Soit dterminer les armatures tendues dune section rectangulaire de

dimensions (30 x 70)cmpour laquelle .42.9 cmA =

mKNM .620=

Acier Fe E400, pour une situation durable et transitoire.

MPafc 2528=

Situation durable et transitoire

==

5.1

15.1

b

s

Calcul de larmature tendue A :

( ) ( ) ( )34857042.9 ==

= ss ddAMddM

A

mNM .080213=mNMMM .4069202130806200001 ===

( ) 186.0195.0

70302.14

406920

121

>=

=

=db

M

b

Le diagramme des dformations passe par le pivot B.

MPafe

s

sLsL 3481 ==>

Remarque :

On constate que mNMmNM .0002484.0.213080 ==

890.0195.0 11 ==

42.970890.0348

920406

1

11 +

=

+

=

+=s

s

ss

s Ad

MAAA

19.28 cmA =

Remarque :

Pivot B

=

1

15.31000

s

274.08.0

211195.0 1

1

11 =

==

donc 739.1100061.2274.0

071.0274.05.31000 =>=

= Ls

5

65

7

30

A =9.42 cm

A


15/25

4. Armatures symtriques4. Armatures symtriques4. Armatures symtriques4. Armatures symtriques ::::

les armatures symtriques sont prvoir lorsque le moment Mpeut changer

de sens tout en gardant la mme valeur absolue (exemple : pour les poteaux dune

ossature en cas de sisme).

Et MMMM 6.01 == .

Donc

==

MM

MM

6.01

4.0

Par consquent ;

6.0

db

M

b

=

est connue sss ,,, et s .

Et on aura :

( )

+

=+=

==

s

s

s

s

Ad

MAAA

dd

MAA

6.021

4.0

Application numriqueApplication numriqueApplication numriqueApplication numrique ::::

Soit dterminer les armatures de la section arme symtriquement

suivante :

mKNM .400=

Acier Fe E400, MPafc

2528

=

Situation durable et transitoire.

MPaf

b

cb

2.1485.0 28 =

=

( )


16/25

57.17348

19843.12

70938.0348

0004006.06.0cmA

d

MA

s

s

s

=+

=

+

=

et enfin on prendra : 57.17 cmAA ==

IV. 2. Section en TIV. 2. Section en TIV. 2. Section en TIV. 2. Section en T ::::

a. Gnralitsa. Gnralitsa. Gnralitsa. Gnralits ::::

Les sections en T se rencontre par

exemple, dans les planchers, les murs de

soutnement, les tabliers de pont et, dune

manire gnrale, dans tous les ouvrages o

lon fait intervenir le hourdis la rsistance de

la poutre.

Puisque le bton tendu est ngligeable dans les calculs de rsistance, la

section en T prsente une forme conomique, car une grande partie du bton tendu

(poids mort inutile) est supprim.

La partie ABCD (voir figure) est appele table de compression, on plus

simplement table.

La partie EFGH est appele nervure.

Remarque :

Si la table se trouve dans la partie comprime (trave), la section de calcul

sera une section en T.

Si la table se trouve dans la partie tendue, la section de calcul sera une

section rectangulaire de largeur FG, car le bton tendu nest pas pris en compte

dans les calculs de rsistance.

ln ln

A

B C

DE

FG

H

L1 L2


17/25

b. Largeur de la tableb. Largeur de la tableb. Largeur de la tableb. Largeur de la table ::::

!2

01

blb n

!10

1

Lb ; L: la porte de la poutre.

Remarque :

Dans ltude des sections en T, on distingue deux cas suivant que la zone

comprime, de hauteur gale (0.8y), se trouve situe dans la table (fig-a), on bien

dans la nervure (fig-b).

Fig-a : la section en T sera calcule comme une section rectangulaire de

dimension ( )hb , puisque le bton tendu nintervient pas dans les calculs de

rsistance.

ln ln ln

b0

b1

h0

h - h0

b

40

21 LL +20

1L

40

21 LL +20

1L

101L

101L

xx

3

2x

L1L2

Appuis

intermdiaire

b0

h = (d+c)

b

y 0.8 y

Axe neutre

(Figure a)

b0

h = (d+c)

b

y

0.8 y

Axe neutre


18/25

A. Section en T sans armatures comprimeA. Section en T sans armatures comprimeA. Section en T sans armatures comprimeA. Section en T sans armatures comprime ::::

a. Axe neutre dans la table de compression :

Soit la section en T suivante, soumise une momentM0.

Supposant que, pour cette valeur du moment, la hauteur de la zone

comprime soit gale ( )00 8.0 hyh = .

Bilan des efforts :

0hbFb b =

==

=

20

20 000

00/

hdhbM

hdFMM

bba

M0: Moment flchissant quilibr par la table de compression.

Si 0MM laxe neutre se trouve dans la table et la section en T sera calculecomme une section rectangulaire de dimensions ( )hb .

Si > 0MM laxe neutre se trouve dans la nervure et la section de calcul sera une

section en T.

b. Axe neutre dans la nervure :

Fb1: la rsultante des efforts de compressions sur la partie simplement

hachure (ailette) applique 20h de larrte suprieure.

b0

b

h0

d

0.8 y=h0

b .

20h

20hd

Fb

Faa

b0

b

h0

d

0.8 y

b .

20h

Fb2

Faa

Fb1

24.0 0hy


19/25

Fb2:la rsultante des efforts de compression sur la partie doublement

hachure applique (0.4y) de larrte suprieure.

Fa:la rsultante des efforts de traction dans les armatures tendues.

Bilans des efforts :

( ) 001 hbbF bb = ; ybF bb = 02 8.0 et sa AF =


( ) 08.000 00021/ === ybhbbAFFFF bbsbbaH

( ) ( ) =

= 04.08.0

20 0

000/ ydyb

hdhbbMM bba

posons : ( )

=

2

000

hdhbbMMn b et = dy

( ) ( ) 04.018.04.08.0 200 == dbMydybM bnbn

avec ( )2

0

4.018.0db

M

b

n

==

Et on a : ( ) = 08.0 000 ybhbbA bbs

( ) 000

8.0 hbbAybbsb =

et ( ) = 04.08.0 0 ydybM bn

( )[ ] ( ) = 04.000 ydhbbAMn bs

( )[ ]( ) = 04.0100 dhbbAMn bs

( )[ ] 000 = dhbbAMn bs car 4.01=

donc :

( )

s

bn hbbd

M

A

00 +

=


- Si

=>

2

000

hdhbMM b axe neutre dans la nervure et la section de

calcul est une section en T.

- ( )

=

2

000

hdhbbMM bn

ss

b

n

dbM = 1000,,20


20/25

( )

+

=s

bn hbbd

M

A

00

( )

+=

s

bn

d

dhbbMA

00

Met Mnen [MPa]; b, b0,, h0et den [cm] ; ][:enet MPasb A: en [cm].

Application numrique N01Application numrique N01Application numrique N01Application numrique N01 ::::

Acier Fe E400

MPafc 2028=

prendre en compte le poids propre g.

Ferraillage de la section la plus sollicite :

Calcul du moment maximum :

( ) mlKNmlKNSg bb /5.5/5505.02.0112.02500 ==+==

mKNl

gMg

.2.178

55.5

8

2

===

mKNl

QMQ .1354

5108

4=== .

Combinaison fondamentale :

QG 5.135.1 +

+=+= 35.15.12.1735.15.135.1 Qg MMM

mKNM .72.225= .

Vrification de la position de laxe neutre :

Moment rsistant de la table :

==

2

000

hdhbMM

bT

avecb

cb

f

28

85.0 =

MPab 33.11=

( )= 6451212033.11TM

20

5

12

50

120

2.50 2.50

Q=108 KNg

b0

b

0.8y= h0

. cmh

c 510

==


21/25

mKNmKNMT

.3.636.103.636 3 ==

TMM< : Laxe neutre tombe dans la table la section en T sera calcule

comme une section rectangulaire de dimension [120 x 50] cm.

Vrification de lexistence de A :

( ) 082.0

4512033.11

1072.225

2

3

=

=

=

db

M

b

Acier Fe E400 0392= L donc :

< AL et MPafe

s

sLs 34810001000 ==>

08.0

211=

=

; 957.04.01 ==

06.1545957.0348

1072.225 3

cmd

MAs

= == 06.15 cmA= .

Application N 02.Application N 02.Application N 02.Application N 02.

Ferrailler la section la plus solliciter de la poutre suivante :

Acier Fe E400

MPafc 2528=

prendre en compte le poids propre de la poutre g.

Ferraillage de la section la plus sollicite :

Poids propre :

( ) ./5.5/5505.02.0112.02500 mlKNmlKgSg bb ==+==

Moment flchissant maximum :

mKl

gMg .2.178

55.5

8

===

mKl

QMQ .5254

5420

4===

20

5

12

50

120

2.50 2.50

Q=420 KNg


22/25

combinaison fondamentale :

Qg MM + 5.135.1 .

+=+= 5255.15.535.15.135.1 QMMgM

mKNM .72.810=

Vrification de la position de laxe neutre :

==

2

000

hdhbMM

bT avec MPa

f

b

c

b 2.14

85.0 28 =

=

( ) mKNmNMM T .5.797.105.797645121202.14 3

0 ====

avec 08.0 hy= et on constate que :

>= TMmKNM .72.810 laxe neutre tombe dans la nervure.

Calcul de nM :

( ) ( ) ( )=

= 64512201202.14810720

2

000

hdhbbMM

bn

mKNmNMn .2.146.102.146 3 ==

Vrification de lexistence de A :

( )

254.0

45202.14

102.146

2

3

0

=

=

=

db

M

b

n

Acier Fe E400 392.0= L donc = AL

etLs 10001000 > MPa

fe

s

s 348==

851.0254.0 == .

( ) ( )45851.0348

45851.012201202.14102.146 300

+

=

+=

d

dhbbMA

s

bn

60cmA=

B. Section en T avec armatures comprimesB. Section en T avec armatures comprimesB. Section en T avec armatures comprimesB. Section en T avec armatures comprimes ::::

!si > AL (Cest dire, on renforce la partie comprime de la section de

bton par des armatures de compression).

Pour la dtermination des sections darmatures tendues et comprimes ; on

utilisera le principe de superposition des tats comme pour une section

rectangulaire.

+=

=

21 AAA

AA


23/25

le diagramme des dformations de la section avec armatures comprimes est

comme indiqu sur la figure d.

( )

> 480.0simpleFlexion

L Lle diagramme des dformations passe par le pivot

B (domaine 2).

Et la position de laxe neutre est donne par dyL

= .

Dans le cas o les armatures comprimes sont ncssaires ; la partie

comprime stendra toujours dans la nervure (cest dire 08.0 hy> ).

Daprs le principe de superposition dj vu, la section donne par la figure b

quilibre un moment M1donne par :

( )

+=

2

000

2

01

hdhbbdbM bbL .

Et les armaturesA1sont donnes par :

( )

s

b

L

bL hbbd

db

A

00

0

1

+

=

la deuxime section fictive (fig-c) devra donc quilibrer un moment rsiduel

1MMM = (avec MM 4.0 ).

Et les armatures A et 2A sont donnes par :

( )dd

MA

s

= ;

( ) s

s

s

Add

MA

=

=2

Remarque :

Pivot Bs

sLsfe

==

Pivot B( )

s

L

Ls

=

5.31000

Et enfin, on a :

+=

=

21 AAA

AA


24/25


Si > AL

( )

+=

2

000

2

01

hdhbbdbM bbL

1MMM =

( )s

L

Ls

=

5.31000

s

sLs

fe

==

( )dd

MA

s

= ;

( )

s

s

s

b

L

bL

A

hbbd

db

A

+

+

=00

0

1

Met M1 M en [MPa]; b, b0,, h0et den [cm] ; ][:enet, MPassb A et A :

en [cm].

ApplicationApplicationApplicationApplication ::::

Calculer le ferraillage de la section la plus sollicite de la poutre suivante :

Acier Fe E400MPaf

c 2028= .

Prendre en compte le poids propre g.mlKNg /5.5=

Moment flchissant :

mKNl

QMQ .5854

5468

4===

mKNMg .19.17=

combinaison fondamentale :

mKNMMM Qg .7.9005.135.1 =+=

20

5

12

50

120

2.50 2.50

Q=468 KNg


25/25

mKNh

dhbMbT

.5.7972

00 =

=

> TMM laxe neutre tombe dans la nervure.

Calcul de Mn:

( )

=

= 212

45121002.149007002

0

00

h

dhbbMM bn

mKNMmNM nn .14.236.236140 ==

vrification de lexistence de A :

( ) 4106.0

45202.14

1014.2362

3

2

0

=

=

=

db

M

b

n

=> AL 392.0

Calcul de 1M :

( )

+=

20

002

01hdhbbdbM bbL

( )

+=

2

1245121002.1445202.14392.0

2

1M

mNM .10890 31 =MmNMMM =

= 739.1100092.2

668.0

111.0668.05.31000

Ls

MPafe

s

s 348==

.

( ) 8.02 cmA

dd

MA

s

==

=

et enfin :

=+==

8.69

8.0

21 cmAAA

cmA

Documents

Chapitre 04.Flexion Simple