Au programme :

- Notions d’estimation et d’estimateurs ; l’ "Estimation" en statistique

- Propriétés de l’estimateur d’une moyenne de population

- Qu’est-ce qu’une statistique de test et à quoi cela va-t-il servir?

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

Au programme :

- Notions d’estimation et d’estimateurs ; l’ "Estimation" en statistique

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

(x11,x2

1,…,xi1,…,xn

1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1

(x12,x2

2,…,xi2,…,xn

2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2

………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n

peuvent être tirés de cette population)

(x1k ,x2

k ,…,xik,…,xn

k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

(x11,x2

1,…,xi1,…,xn

1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1

(x12,x2

2,…,xi2,…,xn

2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2

………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n

peuvent être tirés de cette population)

(x1k ,x2

k ,…,xik,…,xn

k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

Notez bien l’utilisation des

- codes couleurs :

rouge pour ce qui se rapporte à la population

bleu pour ce qui se rapporte à l’échantillon

- lettres minuscules (observation, estimations)

- Lettres majuscules (variables aléatoires)

- lettres grecques pour les paramètres exacts dans la population

(moyenne et ecart-type exacts)

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

(x11,x2

1,…,xi1,…,xn

1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1

(x12,x2

2,…,xi2,…,xn

2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2

………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n

peuvent être tirés de cette population)

(x1k ,x2

k ,…,xik,…,xn

k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

(x11,x2

1,…,xi1,…,xn

1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1

(x12,x2

2,…,xi2,…,xn

2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2

………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n

peuvent être tirés de cette population)

(x1k ,x2

k ,…,xik,…,xn

k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude X𝑛 : variable d’échantillonnage

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

(x11,x2

1,…,xi1,…,xn

1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1

(x12,x2

2,…,xi2,…,xn

2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2

………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n

peuvent être tirés de cette population)

(x1k ,x2

k ,…,xik,…,xn

k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

iid : indépendantes et identiquement distribuées

>>> de même loi X

Bilan de l’échantillonnage

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude X𝑛 : variable d’échantillonnage

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

(x11,x2

1,…,xi1,…,xn

1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1

(x12,x2

2,…,xi2,…,xn

2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2

………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n

peuvent être tirés de cette population)

(x1k ,x2

k ,…,xik,…,xn

k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

iid : indépendantes et identiquement distribuées

>>> de même loi X

Bilan de l’échantillonnage

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude X𝑛 : variable d’échantillonnage

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

(x11,x2

1,…,xi1,…,xn

1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1

(x12,x2

2,…,xi2,…,xn

2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2

………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n

peuvent être tirés de cette population)

(x1k ,x2

k ,…,xik,…,xn

k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

iid : indépendantes et identiquement distribuées

>>> de même loi X

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude X𝑛 : variable d’échantillonnage

Xn=1

n

i=1

n

Xi

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

Estimateur sans biais de la cible m

dont la loi de probabilité dépend du contexte

(x11,x2

1,…,xi1,…,xn

1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1

(x12,x2

2,…,xi2,…,xn

2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2

………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n

peuvent être tirés de cette population)

(x1k ,x2

k ,…,xik,…,xn

k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon

Bilan de l’échantillonnage

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

(x11,x2

1,…,xi1,…,xn

1) échantillon 1 de taille n ; moyenne observée : x 1

(x12,x2

2,…,xi2,…,xn

2) échantillon 2 de taille n ; moyenne observée : x 2

………………………….…. (une infinité d’échantillons aléatoires de taille n

peuvent être tirés de cette population)

(x1k ,x2

k ,…,xik,…,xn

k ) échantillon k de taille n ; moyenne observée : x k

( X1 , X2 ,… Xi ,… Xn ) n V.A. iid, définissant un n-échantillon Xn=

1

n

i=1

n

Xi Estimateur sans biais de la cible m

dont la loi de probabilité dépend du contexte

തxi=1

n

i=1

n

xiestimation ponctuelle de m

ොµ

X𝑛 : variable d’échantillonnage

X𝑛

ҧ𝑥 = ොµ

m

s

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s,

(respectivement moyenne et

écart-type de la distribution de

X dans la population)

X : variable aléatoire d’étude

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

ҧ𝑥 = ොµ =1

n

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 une estimation ponctuelle de m

X𝑛 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖 estimateur de m , variable d’échantillonnage

un échantillon de taille n

tiré (avec remise) au hasard de la population

(échantillon représentatif de la population)

Variable aléatoire rendant compte de l’ensemble des possibles

sur l’infinité des échantillons que l’on peut tirer (échantillonnage)

Bilan de l’échantillonnage

ҧ𝑥 = ොµ

m

s

X : variable aléatoire d’étude

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

ҧ𝑥 = ොµ =1

n

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 une estimation ponctuelle de m

X𝑛 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖 estimateur de m , variable d’échantillonnage

un échantillon de taille n

tiré (avec remise) au hasard de la population

(échantillon représentatif de la population)

Variable aléatoire rendant compte de l’ensemble des possibles

sur l’infinité des échantillons que l’on peut tirer (échantillonnage)

Bilan de l’échantillonnage

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s

Un estimateur a classiquement pour cible une moyenne, une taille de population, une proportion ou une variance

Au programme :

- Notions d’estimation et d’estimateurs ; l’ "Estimation" en statistique

- Propriétés de l’estimateur d’une moyenne de population

Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne d’échantillon

X𝑛 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖

m

s

𝐸 X𝑛 = 𝐸1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖

𝐸 X𝑛 =1

𝑛𝐸

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖 propriété de l’espérance

𝐸 X𝑛 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝐸 𝑋𝑖 l’espérance d’une somme de V.A.

est la somme de leurs espérances

𝐸 X𝑛 =1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝐸 𝑋

𝐸 X𝑛 =1

𝑛𝑛 𝐸 𝑋

estimateur de m

𝐸 X𝑛 = 𝐸 𝑋 = 𝜇 estimateur sans biais de m

indépendantes

et identiquement distribuées

de même loi que X

Population caractérisée par

2 paramètres exacts : m et s

de la distribution de X(variable aléatoire d’étude)

par définition

Calcul de l’espérance