Fonction continue en un point Continuité Exercices … · Le trinôme n’admet aucune racine réelle (mais ... est donc le produit des fonctions par (). Exercice 7 ... 22:12 PM

Fonction continue en un point – Continuité – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : montrer qu’une fonction est continue en un point

Exercice 2 : déterminer la valeur d’un paramètre pour qu’une fonction soit continue en un point

Exercice 3 : montrer qu’une fonction n’est pas continue en un point

Exercice 4 : montrer qu’une fonction dérivable en un point est continue en ce point

Exercice 5 : étudier le lien entre la continuité et la dérivabilité d’une fonction

Exercice 6 : étudier la continuité d’une fonction en un point en utilisant une expression conjuguée

Exercice 7 : étudier la continuité d’une fonction en un point en utilisant le théorème des gendarmes

Exercice 8 : étudier la continuité d’une fonction en tout point d’un intervalle

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Fonction continue en un point – Continuité

Exercices corrigés

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2

Soit la fonction définie sur par ( ) {( )

. Montrer que est continue en 1.

Rappel : Continuité d’une fonction en un point

Soit une fonction définie sur et soit .

est continue en si et seulement si a une limite en égale à ( ), c’est-à-dire si et seulement si

( ) ( ). En particulier est continue en si et seulement si

( )

( ) ( ).

Remarque : On note indifféremment la limite à gauche de la fonction en

( ) ou

( ) et la

limite à droite de la fonction en

( ) ou

( ).

Etudions la continuité de la fonction en 1.

D’une part,

( )

( ) ( ) .

D’autre part, on a

( )

( ) .

Ainsi,

( )

( ) ( ) donc la fonction est continue en 1.

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



3

Soit la fonction définie sur par ( ) { √ ( )

. Déterminer la(les) valeur(s) du réel

pour que soit continue en 4.

D’une part,

( )

( √ ) .

D’autre part,

( )

( ) ( ) .

La fonction est continue en 4 si et seulement si

( )

( ), c’est-à-dire si et seulement si, pour tout

réel , ( ) .

Or, pour tout , ( ) .

Soit le discriminant du trinôme du second degré . Alors .

Comme , le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

√

√

√

√

√

√

Finalement, la fonction est continue en 4 si et seulement si { √ √ }.

Rappel : Racines d’un trinôme du second degré

Soit le discriminant du trinôme ( ). Alors .

1er

cas :

Le trinôme admet une racine réelle double :

2e cas :

Le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

√

√

3e cas :

Le trinôme n’admet aucune racine réelle (mais admet deux racines complexes conjuguées).

Exercice 2 (1 question) Niveau : moyen




4

Montrer que la fonction définie sur par ( ) {

n’est pas continue en 0.

D’une part, par définition de la fonction , ( ) .

D’autre part,

( )

et

( )

.

Comme

( )

( ) ( ( )), la fonction n’est pas continue en 0.

Exercice 3 (1 question) Niveau : facile




5

Montrer que si une fonction est dérivable en un point , alors est continue en .

Remarque : Cet exercice peut être l’occasion d’une restitution organisée des connaissances (ROC).

Rappel : Dérivabilité d’une fonction en un point – Limite d’un taux d’accroissement

Soit une fonction définie sur et soit .

Pour tout , tel que , le nombre noté ( ) ( )

est appelé taux d’accroissement de en .

Si ce taux d’accroissement admet une limite finie en , on dit que est dérivable en . Autrement dit, est

dérivable en si et seulement si

( ) ( ) ⏟

( réel fini).

Remarque : Ce nombre réel est alors appelé nombre dérivé de en et noté ( ).

Montrons que si une fonction est dérivable en un point , alors est continue en .

Dire qu’une fonction est dérivable en signifie que la fonction définie par ( ) ( ) ( )

a pour limite

( ) lorsque tend vers .

Pour tout , ( )( ) ( ) ( ), d’où ( ) ( )( ) ( ).

Comme

( ) ( ) et comme

( ) , il résulte que

( ) ( ) ( ) ( ).

On vient de montrer que

( ) ( ), c’est-à-dire que la fonction est continue au point .

Remarque importante : Si une fonction est dérivable en , alors est continue en . En revanche, la

réciproque n’est pas vraie : une fonction continue en peut ne pas être dérivable en ; c’est le cas par exemple

de la fonction racine carrée qui est continue en 0 (à droite) mais n’est pas dérivable en 0.





6

Dans cet exercice, est une fonction définie sur un intervalle et est un nombre réel de .

Dans chacun des quatre cas ci-après, indiquer si les deux propositions citées entre guillemets peuvent être

vérifiées simultanément ou non. On pourra donner un exemple ou un contre-exemple.

1) « est continue en » et « est dérivable en »

2) « est continue en » et « n’est pas dérivable en »

3) « n’est pas continue en » et « est dérivable en »

4) « n’est pas continue en » et « n’est pas dérivable en »

1) Les propositions « est continue en » et « est dérivable en » peuvent être vérifiées

simultanément.

Par exemple, toute fonction affine (définie sur ) est continue et dérivable en ( ). Il en va de même pour

toutes les fonctions polynômes (également définies sur ), qui sont continues et dérivables en ( ).

2) Les propositions « est continue en » et « n’est pas dérivable en » peuvent être vérifiées

simultanément.

Par exemple, la fonction valeur absolue (définie sur ) est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0.

Rappel : Valeur absolue d’un réel et fonction valeur absolue

La valeur absolue d’un réel est notée | | et on a | | {

.

La fonction valeur absolue est la fonction définie sur qui, à tout réel , associe sa valeur absolue | |. La

fonction valeur absolue est donc ainsi définie :

| |

Etude de la continuité de la fonction valeur absolue en 0 :

| |

( )

et

| |

( ) . On a bien

| |

( ).

Etude de la dérivabilité de la fonction valeur absolue en 0 :

| | | |

| |

. Or, | | si et | | si .

Finalement,

| | | |

| |

et

| | | |

| |

.

Exercice 5 (4 questions) Niveau : moyen




7

On a

| | | |

| | | |

.

Ci-après est représentée la fonction valeur absolue dans un repère orthonormé.

3) Les propositions « n’est pas continue en » et « est dérivable en » ne peuvent pas être

vérifiées simultanément.

En effet, par théorème (cf exercice 4), toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.

4) Les propositions « n’est pas continue en » et « n’est pas dérivable en » peuvent être

vérifiées simultanément.

Par exemple, la fonction partie entière notée ( ) est discontinue en tous points d’abscisse un entier

relatif.

Rappel : Partie entière d’un réel et fonction partie entière

La partie entière d’un nombre réel est l’unique entier qui lui est immédiatement inférieur ou égal. On la

note ( ). Pour tout , on a donc ( ) ( ) .

La fonction partie entière est la fonction définie sur qui, à tout réel , associe sa partie entière ( ). La

fonction partie entière est donc ainsi définie :

( )

En effet, d’une part

( ) et d’autre part

( ) .

Comme

( )

( ), la fonction partie entière n’est pas continue en 2. N’étant pas continue en 2 (entre

autres), cette fonction n’est pas dérivable en 2 (entre autres).



8

Ci-après est représentée la fonction partie entière dans un repère orthonormé.



9

Soit la fonction définie sur par ( ) {

√

. Etudier la continuité de en 1.

Pour tout ,

( ) √

(√ )(√ )

( )(√ )

( )(√ )

( ) (√ )

Posons le discriminant du trinôme du second degré . Alors ( ) .

Comme , le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

√

√

Après factorisation du trinôme (au numérateur), il vient alors que, pour tout ,

( ) ( )( )

( ) (√ )

√

Or, d’une part,

( ) et, d’autre part,

(√ ) . Par quotient des limites, il résulte

que

( )

. Et comme, par définition de la fonction , ( ) , on a finalement

( ) ( ).

De ce résultat, il découle que la fonction est continue en 1.





10

Soit la fonction définie sur par ( ) { (

)

.

1) Montrer que est continue en 0.

2) Montrer que est dérivable en 0.

3) Etudier la continuité de en 0.

1) Montrons que est continue en 0.

Rappel : Théorème des gendarmes – Théorème de comparaison des limites

Soient , et trois fonctions et soit un nombre réel.

Si pour « assez voisin » de ( fini ou infini), ( ) ( ) ( ), si

( ) et si

( ) , alors

( ) .

Pour tout réel , | ( )| . D’où, en multipliant par , | (

)| . Il vient alors que

| ( )| . Autrement dit, | (

)| , c’est-à-dire | ( )| .

Or,

donc, d’après le théorème de comparaison des limites en 0, il résulte que

| ( )| . Par

conséquent,

( ) .

Et comme par définition de la fonction , ( ) , on a bien

( ) ( ), résultat qui traduit la

continuité de la fonction en 0.

2) Montrons que est dérivable en 0.

Pour tout réel , ( ) ( )

(

)

(

).

Or, en utilisant la même démonstration que celle utilisée à la question précédente, on montre que

( ) ( )

( ) . Ce qui signifie que la fonction est dérivable en 0 et que ( ) .

3) Etudions la dérivabilité de la fonction en 0.

Pour tout réel , ( ) ⏟ ( )

( )⏟

( )

; est donc le produit des fonctions par ( ).

Exercice 7 (3 questions) Niveau : difficile




11

Rappel : Dérivée d’une fonction composée

Soit une fonction dérivable sur un intervalle et soit une fonction dérivable sur ( ).

Alors la fonction est dérivable sur et, pour tout , ( ) ( ) ( ) ( )( ).

Remarque : La fonction se lit « rond ».

D’où, pour tout réel , ( ) ⏟ ( )

( )⏟

( )

⏟ ( )

(

) ( )

⏟ ( )

( ) (

).

Or, d’après la question précédente,

( )

(

) . En outre, la fonction (

)

n’admet pas de limite en 0 donc, par somme des limites, la fonction n’a pas de limite réelle finie en 0.

Ce qui signifie que n’est pas continue en 0.

En zoomant…

Représentation de la fonction dans un repère orthonormé



12

Soit la fonction définie sur par ( ) { ( )

.

1) Démontrer que, pour tout , | ( )| | |.

2) Etudier la continuité de en 0.

3) Etudier la continuité de en .

1) Démontrons que, pour tout , | ( )| | |.

Par définition, pour tout réel , ( ) ( ) , c’est-à-dire, en soustrayant ( ), ( ) .

En particulier, pour tout , en effectuant le changement de variable

, il vient

( ) .

En multipliant par | | , il vient ensuite | | (

( )) | |.

Or, | | (

( )) | | | (

( ))| | | | (

)| | | | ( )| | |

2) Etudions la continuité de en 0.

D’après la question précédente, | ( )| | |. Or,

| | . D’après le théorème de comparaison des

limites en 0, il s’ensuit que

| ( )| , c’est-à-dire

( ) .

De plus, par définition de la fonction , ( ) .

Ainsi,

( ) ( ), ce qui prouve que la fonction est continue en 0.

3) Etudions la continuité de en .

Si , alors en vertu de la décroissance de la fonction inverse sur ,

. D’où ( ) .

Finalement, ( ) ( ) . La fonction est donc une fonction constante et, à ce titre,

elle est continue sur .

De ce résultat, on déduit par ailleurs que

( ) . Or, ( ) ( ) ( ) .

Comme

( ) ( ), la fonction n’est pas continue en 1.

Exercice 8 (3 questions) Niveau : difficile




13

Si ]

] où , alors en vertu de la décroissance de la fonction inverse sur

,

.

D’où ( ) . Finalement, ( ) (

) . La fonction est donc une fonction affine et, à ce

titre, elle est continue sur ]

[.

De ce résultat, on déduit par ailleurs que

( )

( ) . Or, si pour , on a ]

],

alors en raison de la décroissance de la fonction inverse sur ,

, d’où ( ) et

( ) ( ) ( ). De plus,

( )

( ( ))

. Or, ( ) (

)

.

Finalement, comme

( ) ( ), la fonction n’est pas continue en

.

On vient donc d’étudier la continuité de la fonction sur . En l’occurrence, on vient de montrer que la

fonction est continue en sur si et seulement si {

}.

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