Fonction de production à long terme Rodrigues 2013-2014eloge-des-ses.com/wp-content/uploads/2016/05/Dossier-Fonction-de... · EA_____$CHAPITRE$2$/$COURS$COMPLEMENTAIRE$ CLASSED’ECO1$/$201382014$

EA____________________________________________________________________________________ CHAPITRE 2 / COURS COMPLEMENTAIRE CLASSE D’ECO1 / 2013-‐2014

C. RODRIGUES – LYCEE MILITAIRE D’AIX EN PROVENCE 1

Chapitre 2 // Document cours annexe

1.3. La fonction de production à long terme Christophe Rodrigues

Sur le long terme, on retient l’hypothèse de plusieurs inputs variables. Typiquement, la fonction de production se compose de deux facteurs de production : le capital (K) et le travail (L). Deux questions centrales se posent alors pour le producteur : 1) quelles sont les combinaisons techniques optimales des facteurs de production K et L permettant d’obtenir un niveau d’output donné ? 2) Dans l’ensemble de production techniquement déterminé, quelle sera la combinaison économiquement efficiente pour laquelle il faudra opter, c'est-‐à-‐dire celle qui maximise le profit pour un niveau d’output donné ? Autrement dit, avant de se demander quel est le volume d’output optimal que l’entreprise doit rationnellement produire, le producteur cherche, à partir d’une fonction de production déterminée, la combinaison optimale des facteurs de production pour chaque niveau d’output. ð La première question ci-‐dessus est d’ordre technique tandis que la seconde est d’ordre économique. 1.3.1. Les isoquants et le TMST Considérons un volume donné d’output (noté par exemple Q0). Q0 est dans ce cas un paramètre (c’est un réel positif) tandis que les deux facteurs de production sont des inputs variables. La fonction de production s’écrit alors :

Q0 = f (K, L) La théorie microéconomique du producteur utilise un modèle analogue à celui des courbes d’indifférences du consommateur. A l’instar de ce dernier qui choisit, pour chaque niveau d’utilité, des combinaisons de deux biens X et Y, le producteur effectue un arbitrage entre deux facteurs de production variables. Pour chaque niveau d’output, il existe une infinité de combinaisons possibles de K et de L toutes techniquement équivalentes. On appelle « isoquant » (parfois « courbe d’isoproduit ») les combinaisons de K et L qui permettent un même niveau de production. Isoquant : il traduit l’ensemble des combinaisons de capital (K) et de travail ((L) qui, pour un état donné des techniques, permet de produire une même quantité d’output (Q0). ð Les combinaisons de capital et de travail peuvent également être mesurées à l’aide de la notion d’intensité capitalistique. Le coefficient d’intensité capitalistique traduit le rapport du capital et du travail dans la combinaison productive (K/L). Comme pour la carte d’indifférence du consommateur, il existe une infinité d’isoquants, chacun correspondant à un volume donné d’output (de Q0 à Qn).



Figure n°1 :

Les propriétés des isoquants : § Chaque isoquant représentant un ensemble de production pour un volume d’output donné, ils ne peuvent pas se couper les uns les autres. Ainsi, sur la figure n°1, le premier isoquant représente l’ensemble des combinaisons techniques de K et de L permettant d’obtenir l’output Q0. Les points A et B reflètent deux combinaisons techniques équivalentes pour produire Q0. En revanche, le point C est une combinaison technique plus productive puisqu’elle permet d’obtenir l’output Q1, avec Q1 > Q0.

§ Un isoquant est décroissant car on fait l’hypothèse que la productivité marginale des deux facteurs est positive (on suppose que le producteur se situe dans les phases efficientes de production). Si la productivité marginale est positive, la diminution d’un facteur tend à réduire la production ; l’output ne peut rester constant, le long de l’isoquant, qu’à condition que la diminution de ce facteur ne soit compensé par la hausse de l’autre facteur.

§ Un isoquant est normalement convexe. « Mathématiquement », cela signifie que la valeur absolue de sa pente – donc sa dérivée –, en chaque point tend à diminuer lorsqu’on se déplace « de gauche à droite » le long de la courbe (de A vers B sur le premier isoquant de la figure n°1). « Economiquement », cela signifie qu’une diminution donnée de K ne peut être compensée que par une hausse plus importante de L. On suppose en ce sens que le producteur rationnel n’utilise les facteurs de production que dans la phase où leur productivité marginale est décroissante et positive.

→ Plus un isoquant est éloigné de l’origine, plus le volume de production auquel il correspond est important : Q2>Q1>Q0 Les isoquants représentent les possibilités techniques offertes par la fonction de production ; ils constituent la contrainte technologique de l’entreprise. Une fois décidé le volume de production qui maximise le profit, l’entreprise ne peut pas réaliser cette production avec n’importe quelle combinaison de capital et de travail, mais seulement avec l’une des combinaisons situées sur l’isoquant correspondant au niveau optimal de production. La figure n°1 qui représente une fonction de production dans le plan est réductrice car elle ne présente pas véritablement la relation qui existe entre les inputs (K et L) et l’output (Q). Or, il est possible de représenter l’évolution de Q au fur et à mesure que l’on accroît les inputs. Il faut pour cela représenter la fonction de production « dans l’espace » comme le montre la figure n°2. Mathématiquement, la fonction de production est une fonction à double variable : z = f (x, y) ; avec z pour Q et x et y pour chaque facteur de production.



Figure n°2 :

Toutefois, à ce niveau de l’analyse, il est impossible de dire quelle est la combinaison efficiente qui sera choisie sur chaque isoquant. Afin d’éviter de traiter de représentations graphiques dans l’espace, la théorie du producteur se propose dans un premier temps de répondre à la question du choix économique de la combinaison optimale des facteurs pour un niveau d’output donné. Dès lors que l’on renonce à représenter graphiquement Q, on retrouve une représentation graphique en deux dimensions. S’agissant des isoquants et de leur représentation dans le plan, la théorie du producteur envisage deux cas de figures types : § Les fonctions de production à facteurs substituables (comme par exemple la fonction de type Cobb-‐Douglas – voir 1.4.) : la figure n°1 présente un substituabilité partielle entre K et L du fait de la productivité marginale décroissante.

§ Les fonctions de production à facteurs complémentaires (comme par exemple la fonction de type Leontieff – voir 1.4.). La figure n°3 présente des isoquants d’une fonction de production à facteurs complémentaires. Ainsi, pour obtenir l’output Q1, il faut mettre en œuvre K1 unités de capital et L1 unité de travail. A partir de ce point, augmenter l’une ou l’autre de ces quantités n’accroît pas le niveau de l’output.

Figure n°3 :



Si la fonction de production présente des facteurs de production complémentaires, il est impossible pour un niveau donné d’output, de substituer K avec L. En revanche, si c’est une fonction de production à facteurs substituables, il est possible de mesurer le degré de substituabilité entre les deux facteurs. Comme pour la théorie du consommateur, il existe ainsi un taux marginal de substitution qui est appelé le taux marginal de substitution technique (TmST). Le TmST entre le capital et le travail mesure la variation de la quantité de capital qui est nécessaire, le long d’un isoquant, pour compenser une variation infinitésimale de la quantité de travail. ð Ce taux est appelé TmST pour ne pas le confondre avec le TmS de la théorie du consommateur mais également car le degré de substitution entre les deux facteurs dépend de caractéristiques techniques propres à l’entreprise qui sont données dans la fonction de production. ð D’un point de vue mathématique, ce taux est mesuré par la dérivée de K par rapport à L ; il exprime la « pente en un point » de l’isoquant, ou plus spécifiquement, il est égal à la pente de la droite tangente à l’isoquant en ce point. Comme pour le TMS et conventionnellement, le TMST est le plus souvent exprimé avec le signe « moins » placé devant afin que la valeur numérique du taux soit toujours positive. On l’écrit :

TmSTLK = (–) ∂K / ∂L Attention : dans certains manuels de microéconomie (et donc dans certains sujets du concours !), les isoquants sont représentés avec le facteur capital en ordonnées et le facteur travail en abscisses. Dans ce cas, le TMSTKL = (–) ∂L/∂K. En chaque point de la courbe d’un isoquant, le TmST est par ailleurs égal au rapport des productivités marginales des facteurs de production. En effet, la variation de la production de l’output (notée δQ) imputables aux variations de chaque facteur de production (notées δK et δL) s’écrit comme suit :

∂Q = (PmK . ∂K) + (PmL . ∂L) Autrement dit, lorsque le volume de la production augmente, cela s’explique par une hausse de la quantité de chaque facteur (les variations de quantités de facteurs sont formalisées par ∂K et ∂L) pondérée par leurs productivités marginales respectives. Or, par définition, sur chaque isoquant, le volume de l’output est fixé : ∂Q est donc nul. Il vient alors :

(PmK . ∂K) + (PmL . ∂L) = 0 ð PmK . ∂K = – PmL . ∂L

ð PmL / PmK = – ∂K / ∂L = TmST On peut également montrer que l’hypothèse de convexité des isoquants (et donc celle de la productivité marginale décroissante des facteurs de production) implique une décroissance du TMST de gauche à droite sur chaque isoquant. La figure n°4 montre que :

a-‐ la pente de l’isoquant est plus grande en valeur absolue lorsque l’entreprise utilise peu de facteur travail et beaucoup de capital ;

b-‐ Inversement, la pente de l’isoquant devient faible lorsque l’entreprise réduit son intensité capitalistique c'est-‐à-‐dire lorsqu’elle utilise beaucoup de facteur travail et peu de facteur capital. Par exemple, le TmST du facteur capital au facteur travail est plus élevé au point A qu’au point B. Au point A, l’entreprise dispose de peu de facteur travail alors que le facteur



capital est au contraire relativement abondant. Elle est par conséquent « prête » à renoncer à « beaucoup » de K pour obtenir une hausse (même faible) de L. Le rapport ∂K/∂L, c'est-‐à-‐dire le TmST, est élevé. On peut conduire le raisonnement inverse lorsque l’entreprise se trouve dans la combinaison productive B.

Figure n°4 :

Remarque mathématique relative au TMST On peut montrer que le TmST est égal au rapport des dérivées partielles de la fonction de production. En effet, la conséquence d’une variation simultanée de la quantité de chaque facteur sur le volume de l’output est donnée par la différentielle totale de la fonction de production :

δQ (K, L) = (∂Q/∂K) . δK + (∂Q/∂L) . δL Lors du calcul du TmST, on mesure la variation de la quantité de K nécessaire pour compenser une variation infinitésimale de la quantité de L pour un volume d’output constant. Par conséquent, la différentielle totale de la fonction de production δQ (K, L) doit être nulle. On déduit ainsi que le TMST est égal au rapport des dérivées partielles de la fonction de production :

TMSTL,K = (–) δK / δL = (∂Q/∂L) / (∂Q/∂K) 1.3.2. La droite d’isocoût La « carte des isoquants » permet de déterminer quel est, pour chaque niveau d’output possible (mathématiquement de 0 à + ∞), l’ensemble des combinaisons techniquement équivalentes de K et de L. Dès lors, se pose pour le producteur rationnel une question d’ordre économique : quelle sera la combinaison productive qui, pour un niveau déterminé d’output, maximisera le profit ? Répondre à cette question implique que l’on s’interroge sur les divers coûts induits par la production. Dans la présentation du modèle la plus simplifiée où on ne prend en considération que les coûts des deux facteurs de production, le coût total de production noté « C » est égal à la somme du coût du facteur capital et du facteur travail. On note « Pl » le prix du facteur travail et « Pk » le prix du facteur capital. Il vient :

C = Pk . K + Pl . L Cette équation peut être transformée de sorte à exprimer K en fonction de L (comme c’est déjà le cas pour les isoquants). On obtient ainsi :



K = – (Pl/Pk) . L + C/Pk Cette équation est celle de la droite d’isocoût dont le coefficient directeur est égal à – Pl/Pk (c’est à dire l’opposé du rapport des prix des deux facteurs de production). Comme dans la théorie du consommateur, on peut tracer simplement la droite d’isocoût en identifiant ses deux points extrêmes : la quantité maximum de capital que l’on peut acheter pour un coût donné C (celle-‐ci est égal à C/Pk) ; puis la quantité maximale de travail que l’on peut acheter pour un coût total donné (celle-‐ci est égale à C/Pl). En joignant les deux points, on trace la droite d’isocoût. La droite d’isocoût représente l’ensemble des combinaisons de capital et de travail qu’il est possible de se procurer pour un coût total donné et pour un pris donné des facteurs de production. Dans la figure n°6 ci-‐dessous, le prix du capital est noté « r » (pour rate qui signifie « taux » en anglais) et le prix du travail est noté « w » (pour wage qui signifie « salaire » en anglais). Figure n°6 :

ð Comme l’indique l’équation, la pente de cette droite est déterminée par le rapport des prix des deux facteurs. Quand on achète davantage de travail pour un coût donné, la quantité de capital qu’il est possible d’acheter baisse d’autant plus vite que le travail est cher par rapport au capital. En terme mathématique, cela signifie que le rapport Pl/Pk est élevé, ce qui signifie que la valeur absolue de la pente est forte. ð Pour un rapport de prix Pl/Pk, il existe une infinité de droite d’isocoût parallèles correspondant chacune à un coût total différent. Attention : il arrive que la théorie du producteur prenne en compte l’existence d’inputs fixes (impôts divers, amortissement du capital, etc.). Dans ce cas, la droite d’isocoût intègre une donnée supplémentaire, un paramètre noté f.

C = Pl. L + Pk. K + f En exprimant K en fonction de L, il vient :

K = – (Pl/Pk) . L + [(C – f) / Pk] Toutes choses égales par ailleurs, une droite d’isocoût qui intègre l’existence de coûts fixes est plus éloignée de l’origine des axes qu’une droite d’isocoût qui en est dépourvue.



1.3.3. L’équilibre du producteur et le changement d’équilibre L’objectif du producteur consiste, pour chaque niveau de l’output, à maximiser son profit. Or, celui-‐ci se définit par la différence entre les recettes (ou le chiffre d’affaire, c'est-‐à-‐dire la production vendue, dans le langage contemporain de la Comptabilité Nationale) et les coûts de production. Pour un volume d’output Q1, le profit (noté π) s’écrit :

π1 (K, L) = pQ1 (K, L) – [(Pl . L) + (Pk . K) + f] Avec p qui correspond au prix de marché de l’output Q. Si le producteur évolue dans un contexte de concurrence pure et parfaite et en vertu de l’hypothèse d’atomicité du marché, le prix de vente de l’output est un paramètre (on parle de rôle paramétrique des prix). On dit à ce propos que l’entreprise est « price taker » (preneuse de prix). Dès lors, l’ensemble de production déterminé par l’isoquant permettant d’obtenir Q1 conduit le producteur à un calcul d’optimisation : puisqu’il ne peut faire varier le prix de vente de son output (le premier membre de la partie droite de l’équation ci dessus, est pour lui un paramètre, donc mathématiquement une constante) il va devoir opter pour un combinaison de facteurs, sur l’isoquant correspondant à Q1, qui minimise ses coûts de production pour un niveau de Pl et de Pk donné1. Autrement dit, maximiser le profit signifie pour le producteur minimiser ses coûts. Mathématiquement, on se trouve dans une situation analogue à celle de la théorie du consommateur : l’optimum, et donc l’équilibre du producteur, sera atteint au point de tangence entre l’isoquant correspondant à Q1 et la droite d’isocoût la plus basse. Attention : il y a une différence importante entre le calcul de l’optimum du producteur qui maximise le profit et celui de l’optimum du consommateur qui maximise l’utilité. Pour une contrainte de revenu donnée, la consommateur cherche à atteindre la niveau d’utilité le plus élevé (donc la courbe d’indifférence la plus « haute » possible dans la carte d’indifférence) tandis que, pour un niveau d’output donné (c'est-‐à-‐dire un isoquant déterminé), le producteur cherche à atteindre la droite d’isocoût la plus faible. Mathématiquement, le calcul de l’équilibre du consommateur se traduit par une maximisation (de l’utilité) sous contrainte (de son revenu réel), tandis que le calcul de l’équilibre du producteur se traduit par une minimisation (des coûts) sous contrainte (du niveau de l’output). Pour un niveau d’output noté « Q y barre » dans la figure n°7, le producteur peut utiliser les combinaisons A, A’, B, B’ ou C. Elles sont toutes cinq techniquement efficaces : la combinaison A’ est très intensive en capital tandis qu’à l’autre extrémité de l’isoquant, la combinaison A est très intensive en travail ; la combinaison C se traduit pour sa part pour un panier plus intermédiaire de facteurs de production. Cependant, les combinaisons A, A’, B et B’ sont économiquement inefficientes : elles impliquent d’utiliser les droites d’isocoût C3 ou C4 qui sont supérieures à la droite d’isocoût C2. Or, il est possible d’utiliser la droite d’isocoût C2 tout en ayant le niveau d’output correspondant à l’isoquant « Q y barre ». Il y a par conséquent un seul optimum du producteur : c’est le point de tangence entre l’isoquant « Q y barre » et la droite d’isocoût C2 noté C (L*, K*). En ce point, le producteur utilise une combinaison productive qui est située dans l’ensemble de production (c'est-‐à-‐dire qui est techniquement efficace pour ce niveau d’output) et qui en outre minimise les coûts de production. On peut enfin préciser que, pour ce niveau d’output, la droit

1 On peut à cet égard aussi rappeler que les prix des facteurs de production (Pl et Pk) sont librement déterminés sur les marchés correspondants (le marché du travail et le marché du capital) et que, par conséquent, comme pour le prix de l’output, ces prix s’imposent au producteur. Il est également price taker dans ces deux cas.



d’isocoût C1 qui est certes plus faible que C2 n’est pas suffisante et ne sera donc pas retenue par le producteur. Figure n°7 :

Mathématiquement, on peut montrer qu’en ce point C la pente de l’isoquant est égale à celle de la droite d’isocoût. Par définition, en ce point, le TmST est donc égal au rapport des prix des facteurs (celui-‐ci est le coefficient directeur de la droite d’isocoût). A l’équilibre du producteur, on obtient (en valeurs absolues) :

TmST = PmL / PmK = Pl/Pk Ou encore :

TmST = PmL / Pl = PmK / Pk L’équilibre du producteur se traduit par la combinaison capital/travail optimale telle que les productivités marginales des facteurs de production pondérées par leurs prix respectifs sont égales. Autrement dit, tant que la productivité d’un euro dépensé sur le capital est supérieure à celle d’un euro dépensé sur le travail, le producteur à intérêt à substituer du capital au travail et donc à dépenser un euro de plus en capital et un euro de moins en travail. Ce processus de substitution des facteurs de production se poursuit jusqu’à ce que la productivité de l’euro supplémentaire dépensé soit équivalente pour les deux facteurs de production. Changement d’équilibre et variations des prix relatifs des facteurs de production Les données à partir desquelles on établit la droite d’isocoût peuvent évidemment varier d’une période à l’autre. On a pour l’instant considéré que le prix relatif des facteurs de production était stable. Supposons par exemple que, toutes choses étant égales par ailleurs, le prix du travail (c'est-‐à-‐dire le taux de salaire noté Pl dans le modèle) s’élève. Le prix relatif Pl/Pk augmente : le producteur a rationnellement intérêt à substituer du capital au travail tant que l’équilibre entre le prix relatif des facteurs et le rapport des productivités marginales n’est pas rétabli ou, dit autrement, jusqu’à ce que l’égalité entre les productivités marginales pondérées par leur prix respectif soit rétablie.



Il est à noter que l’ampleur de la substitution entre le capital et le travail varie d’une entreprise à l’autre et plus globalement d’un secteur économique à l’autre, en fonction de l’isoquant qui les caractérise. La figure n°8 présente ainsi, pour une même modification du prix relatif des facteurs, deux effets de substitution d’une ampleur différente. Figure n°8 :

NB : attention, sur cette figure, le facteur capital est placé en abscisses tandis que le facteur travail est placé en ordonnées.

Dans la figure 8-‐A, l’effet de substitution est faible. Cela s’explique par le fait que la courbure de l’isoquant est prononcée (la convexité est plus importante que sur la figure B). Autrement dit, dans ce cas, l’élasticité de substitution est faible : indépendamment de la variation du prix relatif, le producteur ne sera rationnellement incité qu’à substituer peu de capital au travail. A l’inverse, sur la figure 8-‐B, la faiblesse de la courbure de l’isoquant Q0 indique que la productivité marginale des facteurs de production est « moins » décroissante que sur la figure A. Ainsi, lorsque le prix du facteur travail s’accroît, le producteur est rationnellement incité à substituer une quantité importante de capital au travail (on vérifie graphiquement que la distance sur l’axe des abscisses entre le point E0 et le point E1 est plus importante sur la figure B que sur la figure A). Il convient sur ce point de préciser une différence importante avec la théorie du consommateur. Le calcul de maximisation de l’utilité sous contrainte du revenu conduit le consommateur à réagir sous forme de l’effet-‐prix lorsque le prix relatif des deux biens change alors que le revenu nominal (noté R) du consommateur reste constant. Or, un tel processus ne peut avoir lieu dans le calcul d’optimisation du producteur car il s’agit d’une minimisation des coûts sous contrainte d’un niveau d’output et non d’une maximisation. En conséquence, lorsque le prix du travail augmente toutes choses égales par ailleurs, si le producteur souhaite conserver le même niveau de coût total



(et donc se maintenir sur la droite d’isocoût notée CC dans la figure n°8), il ne peut plus atteindre l’output correspondant à l’isoquant Q0. Puisque sa contrainte est fixée par l’isoquant Q0, le producteur va donc devoir abandonner la droite d’isocoût CC et opter pour un niveau de coût total plus élevé. C’est la raison pour laquelle seul l’effet de substitution est retenu et non l’effet de revenu (voir chapitre 3 du cours d’EA). Changement d’équilibre et sentier d’expansion de la firme Jusqu’à présent, l’objectif du producteur consistait à identifier la combinaison optimale des facteurs de production permettant de minimiser les coûts – et par conséquent de maximiser le profit – pour un niveau d’output donné. Mais bien évidemment, l’entreprise peut être conduite à développer le volume de sa production, l’échelle de sa production. Pour chaque niveau d’output possible, c'est-‐à-‐dire pour chaque isoquant de la carte, elle peut ainsi identifier les équilibres du producteur correspondants. La courbe qui rejoint les différents points d’équilibre du producteur pour les différents niveaux d’output est appelée « sentier d’expansion de la firme ». Le sentier d’expansion de la firme décrit comment évolue la combinaison optimale des facteurs de production pour un prix relatif des facteurs constant, lorsqu’on développe les capacités de production (donc lorsqu’on accroît le volume de l’output). Figure n°9 :

Dans la figure n°9, le sentier d’expansion de la firme est une droite. C’est un cas particulier qui caractérise une situation où les deux facteurs progressent dans les mêmes proportions au fur et à mesure du développement de l’entreprise. Il y a dans ce cas changement d’échelle de l’entreprise sans substitution des facteurs. Il existe par conséquent deux autres cas typiques : celui où le changement d’échelle de l’entreprise conduit celle-‐ci à progressivement substituer du travail au capital (auquel cas le sentier d’expansion de la firme suit une évolution logarithmique) comment dans la figure n°10 et celui réciproque où elle est conduite à progressivement substituer du capital au travail (auquel cas le sentier d’expansion de la firme suit une évolution exponentielle1). Enfin, notons qu’au-‐delà de ces trois cas particulier, il est possible que le sentier d’expansion de la firme suive un trajet aléatoire telle que le présente la figure n°11.

1 Cette précision n’est vraie que sous la condition où le facteur travail est placé en abscisses et le facteur capital en ordonnées.



Figure n°10

Figure n°11 :

Bon courage et bon travail !

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