Fonctions réciproques et cyclométriques - cspu.bebaudhuina/openofficeIssue_Image... · 1 Fonctions réciproques 1.1 Introduction 1.2 Définitions – Propriétés Rappels TNI-20

Fonctions réciproques et cyclométriquesTable des matières 1 Fonctions réciproques.............................................................................................................3

1.1 Introduction.....................................................................................................................3 1.2 Définitions – Propriétés...................................................................................................3 1.3 Fonctions injectives/surjectives – applications bijectives...............................................5 1.4 Fonctions réciproques......................................................................................................8 1.5 Exercices.......................................................................................................................12

2 Fonctions cyclométriques.....................................................................................................13 2.1 Définitions ....................................................................................................................14

2.1.1 Fonction arc sinus..................................................................................................14 2.1.2 Fonction arc cosinus..............................................................................................15 2.1.3 Fonction arc tangente.............................................................................................16 2.1.4 Et arc cotangente ?.................................................................................................16 2.1.5 Exercices................................................................................................................16

2.2 Dérivation......................................................................................................................17 2.2.1 Dérivation de arcsin x............................................................................................17 2.2.2 Dérivation de arccos x...........................................................................................18 2.2.3 Dérivation de arctan x............................................................................................20 2.2.4 Exercices................................................................................................................21

2.3 Quelques identités fondamentales.................................................................................21 2.3.1 sin(arcsin x)...........................................................................................................21 2.3.2 arcsin(sin x)...........................................................................................................21 2.3.3 cos(arccos x) ........................................................................................................22 2.3.4 arccos(cos x)..........................................................................................................23 2.3.5 Lien entre arcsin x, arcsin(-x), arccos x, arccos(-x)..............................................24 2.3.6 cos(arcsin x) et sin(arccos x).................................................................................25 2.3.7 sin(arctan x)...........................................................................................................26 2.3.8 tan(arccos x) ..........................................................................................................27 2.3.9 Résumé en un coup d'oeil......................................................................................29 2.3.10 Exercices..............................................................................................................29

2.4 Équations cyclométriques..............................................................................................29 2.4.1 Principe de résolution............................................................................................29 2.4.2 Méthode de résolution...........................................................................................31

2.4.2.1 Écrire correctement la CR d'une équation cyclométrique..............................32 2.4.2.2 Équations en arcsin et arccos ........................................................................33 2.4.2.3 Équations en arctan........................................................................................34

2.4.3 Exemples................................................................................................................35 2.4.4 Exercices................................................................................................................40 2.4.5 Cas particulier : sommes et différences d'arc tangentes........................................41

2.4.5.1 Une transformation utile................................................................................41 2.4.5.2 Méthode complétée........................................................................................41 2.4.5.3 Astuce de calcul bien pratique.......................................................................42 2.4.5.4 Exemples........................................................................................................43 2.4.5.5 Exercices........................................................................................................47

6M6 – Fonctions réciproques et cyclométriques – A. Baudhuin - D. Vanderstichelen - 14/09/14 - FileWithImage.odt 1/47

2.5 Démonstration d'identités cyclométriques.....................................................................47 2.5.1 Méthode.................................................................................................................47 2.5.2 Exercices................................................................................................................48

3 Règles de « de l'Hospital »....................................................................................................49 3.1 Limite en un réel............................................................................................................49 3.2 Limite en l'infini............................................................................................................50 3.3 Exemples et remarques..................................................................................................50 3.4 Exercices.......................................................................................................................51

4 Etudes de fonctions cyclométriques......................................................................................52


1 Fonctions réciproques

1.1 Introduction

1.2 Définitions – Propriétés

Rappels TNI-20

• Une relation f d’un ensemble A vers un ensemble B est un triplet (A,B,G), où G⊂A×B est appelé le graphe de la relation f

• Une fonction est une relation par laquelle chaque réel possède au plus une image :La relation f =( A , B , G ) est une fonction ssi ∀ x∈A ,∀ y , z∈B : [( x ; y )∈G et ( x ; z )∈G ] ⇒ y=zssi ∀ x∈A ,∀ y , z∈B : [ f ( x)= y et f ( x )= z ] ⇒ y=z

Réciproque d'une fonction

La relation réciproque d'une fonction réelle est la relation qui fait correspondre àchaque réel y le ou les réels dont y est l'image par cette fonction. TNI-30

Définition équivalente :Soient A⊂ℝ , B⊂ℝ ,G f⊂A×B : la relation réciproque de la fonction

f =(A , B , G f ) est la relation g=(B , A ,G g ) telle que ( x ; y)∈G f ⇔ ( y ; x )∈Gg TNI-32

NB : Pour la facilité, nous convenons que lorsque l'on parlera de "réciproque" sans préciser, on sous-entendra toujours "relation réciproque" et non « fonction réciproque »

Propriétés

Tout réel de dom f est appliqué sur un réel de Im f par la fonction f ; tout réel deIm f est appliqué sur un ou plusieurs réels de dom f par la réciproque de f^.

TNI-34

En effet : tout réel de Im f est l'image d'au moins un réel de dom f, il a donc pour image par la réciproque de f au moins un réel de dom f.

Dans un repère orthonormé, les graphes cartésiens de f et de sa réciproque sontsymétriques l'un de l'autre par rapport à la bissectrice du premier quadrant.

TNI-36

Stratégie de démonstration :

1. Démontrer que deux figures sont symétriques, cela revient à démontrer que pour chaque point A de l'une, il y a un point de l'autre qui est le symétrique de A et réciproquement.

2. Démontrer que deux points A et B sont symétriques par rapport à une droite d se fait en distinguant 2 cas :

a) Les deux points sont confondus : dans ce cas, ils sont symétriques l'un de l'autre si et seulement si ils appartiennent à d.


b) Les deux points sont distincts : dans ce cas, ils sont symétriques l'un de l'autre si le segment qui les joint est perpenticulaire à d etsi le milieu de [AB] appartient à d.

Démonstration (selon cette stratégie):

Hypothèse :

A (a ;b)∈G f ⇔ f (a )=b⇔ A' (b ;a )∈Greciproque. Il est donc déjà acquis qu'à chaque point de Gf correspond un point A' de Greciproque et réciproquement.

Thèse :

A est le symétrique de A' par rapport à d ≡ y=x, la bissectrice du premier quadrant.

Démonstration :

Si A et A' sont confondus, alors a=b, A=A' est un point de d. Il est donc son propre symétrique.

Si A et A' sont distincts, alors a≠b :

▪ Le milieu du segment [AA'] a pour coordonnées( a+b2

;a+b

2 ) : c'est

donc un point de la bissectrice du premier quadrant.

▪ Le coefficient angulaire du segment [AA'] vaut yA '− yA

xA '− x A

=a−bb−a

=−1, ce

qui est l'inverse de l'opposé du coefficient angulaire de d. [AA'] est doncperpendiculaire à d.

Comme le raisonnement s'applique à tous les points de G f , le symétrique de chaque point de G f appartient à G reciproque et inversement.

Le graphique de la réciproque de f est donc le symétrique du graphique de f parrapport à la bissectrice du premier quadrant.

Comment faire pour trouver la réciproque d'une fonction ?

• Graphiquement: Dans un repère orthonormé, le graphe cartésien de la réciproque de f est le symétrique du graphe cartésien de f par rapport à la bissectrice du premier quadrant.

• Algébriquement :

1. On remplace x par y et y par x.

2. On exprime (si possible), y en fonction de x pour obtenir l'expression analytique de la réciproque de f.

3. Au cours de ce processus, on rassemble les CE et les CR éventuelles, qui servent à déterminer le domaine de définition de la réciproque.

Exemples

f :ℝ→ℝ : x→ f ( x )=x3:

1. y=x3 devient x= y3 .

2. Isolons y : y=3√ x


3. Aucune CE ni CR n'a été rencontrée.

La réciproque de f est une fonction : f −1:ℝ→ℝ : x → f −1(x )=

3√ x

g :ℝ→ℝ : x →g ( x )= x2:

1. y=x2 devient x= y2 . On remarque donc que x≥0 (CR).

2. Isolons y : y=±√ x

3. La réciproque de g n'est pas une fonction : c'est une relation h de ℝ+ dans ℝ (on n'écrira pas h :ℝ+

→ℝ : (...) , ce type de notation étant réservé aux fonctions, et on ne la désignera pas par g-1).

Figure 1: La réciproque de la fonction "cube" est une fonction.

Figure 2: La réciproque de la fonction "carré" n'est pas une fonction.

(TNI-40) (TNI-50)

1.3 Fonctions injectives/surjectives – applications bijectives

On voit que les réciproques sont particulièrement intéressantes lorsque ce sont des fonctions, et que cela dépend de caractéristiques de la fonction parfois délicates à exprimer clairement.

Un peu de vocabulaire pour nous comprendre...

Soit une fonction f : A→ B: x → f (x ) ( A⊂ℝ , B⊂ℝ ) :

f est injective si et seulement si chaque élément de l'ensemble d'arrivée estl'image d'au plus 1 élément de l'ensemble de départ. TNI-61

Ou encore (attention : on choisit des élément de dom f, pas de A!) :

.... si et seulement si deux réels distincts et quelconques de son domainede définition ont deux images différentes.

.... si et seulement si chaque réel de l'ensemble d'arrivée possède au plusun antécédent.

.... ssi ∀ x1, x2∈dom f : f ( x1 )= f ( x2 )⇒ x1= x2 .

.... ssi ∀ x1, x2∈dom f : x1≠x2⇒ f ( x1)≠ f ( x2 ) .


Figure 3: Graphe d'une fonction injective de A dans B.

(TNI-60).

f est surjective si et seulement si tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sontl'image d'au moins 1 élément de l'ensemble de départ. TNI-71

Ou encore :

... si et seulement si chaque réel de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent.

... ssi B = Im f

... ssi ∀ y∈B ,∃ x∈A: f ( x )= y .

Figure 4: Graphe d'unefonction surjective de A dans B.

TNI-70

f est une application si et seulement si tout élément de l'ensemble de départ possède une image. TNI-81

Ou encore :

... si et seulement si chaque réel de l'ensemble de départ est l'antécédent d'un réel de l'ensemble d'arrivée

... ssi A = dom f

... ssi ∀ x∈A ,∃ y∈B : f (x )= y

Figure 5: Graphe d'une application de A dans B.

TNI-80


OK

A B

OK

OK

A BOK

OK

A BOK

f est bijective1 (ou f est une bijection) si et seulement si tout réel de l'ensemble d'arrivée possède un et un seul antécédent et tout réel de l'ensemble de départ possède une image2. TNI-91

Ou encore :

... si et seulement f est une application à la fois injective et surjective.

... ∀ y∈B ,∃ ! x∈A: f ( x)= y et ∀ x∈A ,∃ y∈B : f (x )= y

Figure 6: Graphe d'une bijection de A dans B.

TNI-90

Remarquez que :• Être injectif, surjectif, bijectif n'a de sens que si on précise un ensemble de

départ et d'arrivée : f ( x )=√ x est surjectif de ℝ dans ℝ+ mais pas de ℝ dans ℝ.

• Être injectif ou surjectif n'impose jamais de conditions sur l'ensemble de départ. Si l'on souhaite imposer que tous les éléments de l'ensemble de départ aient une image (ils ne peuvent pas en avoir plus d'une puisque nous travaillonsavec des fonctions), on imposera que la fonction soit une application.

• Tout fonction strictement croissante ou strictement décroissante (c'est-à-dire strictement monotone) sur A est injective. Attention, c'est une condition suffisante, mais pas nécessaire : la fonction ci-dessous est injective, sans être monotone :

Figure 7: Graphique d'une fonction injective, mais pas strictement monotone.

TNI-100

1 Les adjectifs injectif et surjectif peuvent s'appliquer à des fonctions qui ne sont pas nécessairement des applications. Mais il faut alors bien parler de fonction injective ou surjective, et non d'injection ou de surjection. Ces deux derniers termes sont des synonymes d'application injective ou surjective. Par contre, l'adjectif bijectif (et donc le terme bijection) ne s'applique que à des fonctions définies partout, i.e. des applications.

2 Remarquons que si f est une bijection, alors #A=#B (le contraire serait franchement choquant). C'est d'ailleurs de cette façon qu'on peut dire que des ensembles infinis ont même cardinalité.


A B

Exemples Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une fonction de l'ensemble des touristes, X, vers l'ensemble des chambres, Y (chaque touriste est éventuellement associé à une chambre).

• Les touristes souhaitent que la fonction soit une application (c'est-à-dire que chaque touriste soit associé à une chambre) et soit injective (c'est-à-dire que chaque chambre ne soit associée qu'à un seul touriste). Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.

• L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée par au moins une personne. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.

• Ces desiderata ne sont compatibles que si le nombre de touristes est égal au nombre de chambres. Dans ce cas, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte que chaque touriste ait une chambre, qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : la fonction sera alors uneapplication à la fois injective et surjective ; c'est-à-dire une application bijective ou une bijection.

1.4 Fonctions réciproques

Lorsque la réciproque d'une fonction est elle-même une fonction, on la désigne par f −1, et dans ce cas, on a dom f −1

=Im f et Im f −1=dom f .

Exemple :

f ( x )=1−√ x+2

◦ dom f =[−2 ;+∞[ et Im f =]−∞ ;1].

◦ Réciproque :

▪ y=1−√ x+2 devient x=1−√ y+2⇔√ y+2=1−x (CE : y+2≥0⇔ y≥−2, CR : 1− x≥0⇔ x≤1)⇔ y+2=(1− x)2⇔ y=(1−x )2−2=(x−1 )2−2

▪ La réciproque de f est une fonction, on écrit donc f −1 ( x )=(x−1 )2−2

▪ dom f −1=]−∞ ;1], Im f −1

=[−2 ;+∞[

▪ Le graphique de f-1 est donc la moitié gauche d'une parabole.


Figure 8: Graphique de et sa réciproque.

TNI-110/ 010

◦ Remarque importante : l'expression (1−x )2−2 est définie sur ℝ, mais le domaine de définition de f -1

est plus limité, du fait des conditions qui sont apparues lors de la définition de l'expression algébrique de la réciproque. On remarque néanmoins que l'utilisation des CE n'est pas indispensable, puisque l'on peut tirer parti du fait que (comme la réciproque est une fonction) dom f −1

=Im f et Im f −1=dom f .

Propriétés

La réciproque d'une fonction f : A→B : x→ f ( x ) est une fonction si et seulement si f est injective de A dans B. TNI-120

En effet, si chaque réel de B n'est l'image par f que d'au plus un réel de A, chaque réel de B n'aura qu'une image au plus par la réciproque de f.

La réciproque d'une bijection de A sur B est une bijection de B sur A. TNI-130

En effet, une bijection possède par rapport à ses ensembles de départ et d'arrivée des propriétés parfaitement symétriques :

Figure 9: Graphe d'une bijection de A dans B.

TNI-140


A B

f

f −1

Si f : A→B : x→ f ( x ) est une fonction injective alors f est une bijection de dom f sur Im f. TNI-145

La propriété est évidente lorsqu'on examine la figure suivante:

Figure 10: Graphe d'une bijection de dom f dans Im f.

TNI-146

Si f est une fonction injective de A dans B, alors la composée f −1

∘ f est la fonction identité sur dom f ⊂A et la composée f ∘ f −1 est la fonction identité sur Im f ⊂B (ou sur dom f −1

⊂B). TNI-150

La propriété est évidente lorsqu'on examine la figure suivante:

Figure 11: Graphique de la composée d'une fonction injective et de sa réciproque: c'estcelui de la fonction identité sur dom f ou Im f, selon l'ordre de la composition.

TNI-151

Exemple 1 (où dom f et Im f sont identiques)

f ( x )=−12

x−2, f −1 ( x )=−2 ( x+2 ), dom f =Im f =ℝ. On calcule :

( f −1∘ f ) (x )= f −1

( f (x ))= f −1(−12

x−2)=−2(−12

x−2+2)=x=Id dom f

( f ∘ f −1 )(x )= f ( f −1(x ))= f (−2 (x+2 ))=−

12

(−2 (x+2))−2= x=Id Im f

f −1∘ f = Id dom f et f ∘ f −1

=Id Im f

Exemple 2 (où dom f et Im f sont différents)

Soit f : [1 ;+∞[→ℝ : x → f (x )=( x−1 )2. On voit aisément que dom f =[1 ;+∞[,Im f =ℝ

+, que cette fonction est injective et que sa réciproque estf −1:ℝ+

→[1 ;+∞[ : x → f −1 ( x )=√ x+1


A B

f

dom f Im f

A B

f

f −1dom f Im f

On voit ensuite que :( f −1

∘ f ) ( x)=√ ( x+1 )2+1=∣x−1∣+1=x sur dom f =[1 ;+∞[

( f ∘ f −1) ( x)=(√ x+1−1)2=x sur dom f −1

=Im f =ℝ+.

Remarque : le fait que √ x2≠ x est-il en contradiction avec cette propriété ?

Non car la fonction f 1 :ℝ→ℝ : x→ f 1 (x )=x2 n'est pas une fonction injective. Sa réciproque n'est donc pas une fonction et donc certainement pas la fonctiong :ℝ→ℝ : x →g ( x )=√ x (la réciproque de f 1 est la relation h, telle que h ( x )=±√ x) !

La fonction k ( x)=√ x2 n'est pas la composée d'une fonction et de sa réciproque, et cette propriété ne s'applique donc pas. Il n'y a aucune raison de s'attendre à obtenir la fonction identité.

Par contre, si on considère la fonction f 2 :ℝ+→ℝ : x→ f 2 (x )=x2, qui est injective et

dont la réciproque est la fonction g, on constate bien que la composée des deux est la fonction identité sur ℝ+ ce qui est bien cohérent avec √ x2

=∣x∣, puisque∀ x∈ℝ

+ :∣x∣= x

Quelques propriétés complémentaires (dépassement) sont énoncées et démontrées à la section 1.6 .

1.5 Exercices


2 Fonctions cyclométriquesLors de la résolution d'équations trigonométriques, nous devons trouver les angles qui ont un sinus, un cosinus, une tangente ou une cotangente qui ont une valeur particulière.

En cherchant un angle dont le sinus vaut k, nous avons utilisé la réciproque de la fonction sinus... Il n'est pas difficile de constater que les réciproques des fonctions trigonométriques ne sont pas des fonctions : aucune des fonctions trigonométriques n'est injective (il est possible de trouver 2 amplitudes d'angles qui ont le même sinus, le même cosinus, la même tangente...).

Figure 12: Réciproque de la fonction sinus. Figure 13: Réciproque de la fonction cosinus.

Figure 14: Réciproques de la fonction tangente.

TNI-200abc - 013

Comme nous disposons d'outils beaucoup plus riches et nombreux pour manipuler les fonctions que pour manipuler les relations, nous souhaiterons disposer de réciproques qui sontdes fonctions, ce qui impose aux fonctions de départ d'être injectives.

Il faudra donc partir non pas des fonctions circulaires, mais de fonctions similaires obtenues en faisant pour chacune une restriction du domaine, sur laquelle la fonction est strictement monotone (donc injective), tout en conservant son ensemble-image.

Les réciproques des fonctions trigonométriques ainsi restreintes sont des fonctions, appelées fonctions cyclométriques.

Remarque : Tout comme les fonctions trigonométriques, les fonctions cyclométriques n'ont desens que si l'on travaille en radians.


2.1 Définitions

2.1.1 Fonction arc sinus

Pour obtenir une fonction strictement monotone, sans restreindre l'ensemble-image, onlimite le domaine de définition à [−

π2

; π2 ]. (graphique dans le manuel p.145).

Figure 15: Fonction arc sinus.

(TNI-200/ 12)

arcsin : [−1 ;1 ]→[−π2

; π2 ]: x →arcsin x tel que

arcsin x= y ⇔ x=sin y et −π2≤ y≤π

2(TNI-205)

Remarques et propriétés :

• La restriction de sin x est une bijection de [−π2

; π2 ] sur [-1;1].

arcsin x est une bijection de [-1;1] sur [−π2

; π2 ].

dom arcsin x=[-1;1], Im arcsin x = [−π2

; π2 ].

• arcsin x est aussi noté sin-1 x (sur les calculatrices uniquement) mais cette notation est anormale : f −1 désigne la fonction réciproque de f, et sinus n'en possède pas !

• Ne confondons pas : même sur les calculatrices, sin−1 x≠(sin x )−1=

1sin x

, alors que

sin2 x=(sin x )2!

• Comme sin x, arcsin x est une fonction impaire.

• On admet que arcsin x est continue sur son domaine.

• La présence d'une fonction arcsinus dans une expression introduit un nouveau type de condition d'existence : arcsin x n'existe que si x∈[−1 ;1 ].


• A la calculatrice :

◦ On travaille en radians.

◦ ASIN ou ARC SIN ou SIN-1 selon les modèles.

2.1.2 Fonction arc cosinus

Pour obtenir une fonction strictement monotone, sans restreindre l'ensemble-image, onlimite le domaine de définition à [0 ;π ] (manuel p.146).

Figure 16: Fonction arc cosinus.

(TNI-220/ 13)

arccos : [−1 ;1 ]→ [ 0 ;π ]: x→arccos x tel quearccos x= y⇔ x=cos y et 0≤ y≤π (TNI-225)


• La restriction de cos x est une bijection de [0 ;π ] sur [-1;1].

• arccos x est une bijection de [-1;1] sur [0 ;π ].

• dom arccos x=[-1;1], Im arccos x = [0 ;π ].

• arccos x n'est ni paire, ni impaire.

• On admet que arccos x est continue sur son domaine.

• La présence d'une fonction arccos dans une expression introduit un nouveau type de condition d'existence : arccos x n'existe que si x∈[−1 ;1 ].

2.1.3 Fonction arc tangente

Pour obtenir une fonction strictement monotone, sans restreindre l'ensemble-image, onlimite le domaine de définition à ]−

π2

; π2 [ (attention au sens des crochets...).


Figure 17: Fonction arc tangente.

(TNI-240/-14)

arctan :ℝ→]−π2

; π2 [ : x→ arctan x tel que

arctan x= y⇔ x=tan y et −π2< y<π

2 (inégalités strictes!) (TNI-245)


• La restriction de tan x est une bijection de à ]−π2

; π2 [ sur ℝ.

• arctan x est une bijection de ℝ sur ]−π2

; π2 [.

• dom arctan x=ℝ, Im arctan x = ]−π2

; π2 [.

• arctan x est impaire.

• On admet que arctan x est continue sur son domaine.

• La présence d'une fonction arctan dans une expression n'introduit aucune condition d'existence : arctan x existe ∀ x∈ℝ.

• Le graphique de arctan x admet deux asymptotes horizontales :lim

x →+∞arctan x=π

2⇔ AH à droite≡ y=π

2 et lim

x →−∞arctan x=−π

2⇔ AH à gauche≡ y=−π

2

2.1.4 Et arc cotangente ?

On pourrait définir cette fonction, mais il est tellement facile de convertir les cotangentes en tangentes, que l'on préfère procéder de cette façon, et s'économiser la quatrième fonction cyclométrique...

2.1.5 Exercices

2.2 Dérivation

2.2.1 Dérivation de arcsin x

Si f ( x )=arcsin x ,alors∀ x∈]−1 ;1 [ : f ' ( x )=1

√1−x2(TNI-210)


Hypothèses

f ( x )=arcsin xf est dérivable sur ]-1;1[ (admis).

Thèse

∀ x∈]−1 ;1[ : f ' (x )=1

√1−x2

Démonstration

f ( x )=arcsin x, donc, ∀ x∈]−1 ;1[ , f (x )∈]−

π2

; π2 [ et cos f ( x)>0

⇒ 4 sin ( f ( x) )=sin (arcsin x )=x On prend le sinus des deux membres, et on tire parti du fait que∀ f ∀ x∈dom f −1 : f ( f −1 (x ))= x .

⇒ (sin ( f ( x )) )'= x '=1 On dérive les 2 membres.

⇔ cos ( f ( x )) . f ' ( x)=1 Dérivation d'une composée

⇔ f ' ( x )=1

cos ( f ( x ))Isolons f'(x) (cos ( f ( x ))≠0, voir plus haut)

Or : sin2 f ( x )+cos2 f ( x )=1⇔cos2 f ( x )=1−sin2 f ( x)

Relation fondamentale

Et :sin 2 f (x )=(sin f ( x) )2=(sin (arcsin x) )2=x2

Par définition de f(x)

Donc :cos2 f ( x )=1−x2

⇔ cos f (x )=+√1−x2

car cos f ( x)>0 (cf. plus haut)

Dès lors : f ' ( x )=1

√1−x 2

Remarques

• domd f =]−1 ;1[≠dom f =[−1 ;1 ] (en x=±1, arcsin x admet des tangentes verticales,symétriques des tangentes horizontales de sin x).

• On constate que la dérivée de arcsin x est une fonction strictement positive sur ]-1 ; 1[,ce qui prouve que arcsin x est une fonction strictement croissante sur ]-1;1[.

4 Remarquons le sens des implications : la seconde ligne est une conséquence de la première, mais la réciproque n'est pas vraie : il y a d'autres amplitudes que f(x) qui ont un sinus qui vaut x. De même, deux fonctions égales ont même dérivée, mais la réciproque n'est pas vraie : deux fonctions qui ont même dérivée peuvent différer (d'une constante).


Exemples

• Soit à dériver f ( x )=arcsin x2 : f ' ( x )=1

√1−( x2 )2.( x2)'= 2 x

√1−x 4

• Soit à dériver f ( x )=(arcsin x )3 : f ' ( x )=3 (arcsin x)2.(arcsin x)

'=

3(arcsin x )2

√1−x2

2.2.2 Dérivation de arccos x

Si f ( x )=arccos x ,alors∀x∈]−1 ;1[ : f ' ( x )=−1

√1− x2(TNI-230)

Hypothèses

f ( x )=arccos xf est dérivable sur ]-1;1[ (admis).

Thèse

∀ x∈]−1 ;1[ : f ' (x )=−1

√1−x2

Démonstration

f ( x )=arccos x Donc ∀ x∈]−1 ;1[ , f (x )∈]0 ;π[ , et sin f (x )>0

⇒ 5 cos ( f ( x ))=cos (arccos x )=x On prend le cosinus des deux membres, et on tire parti du fait que∀ f ∀ x∈dom f −1: f ( f −1 (x ))= x

⇒ (cos ( f ( x) ))'=x '=1 On dérive les 2 membres.

⇔ −sin ( f ( x )) . f ' ( x )=1 Dérivation d'une composée

⇔ f ' ( x )=−1

sin ( f ( x) )Isolons f'(x) (sin f ( x )≠0, cf. plus haut)

Or : sin2 f ( x )+cos2 f ( x )=1⇔sin2 f ( x )=1−cos2 f ( x)

Relation fondamentale

Et :cos2 f ( x )=(cos f (x ) )2=(cos (arccos x ))2=x2

Par définition de f(x)

Donc :sin2 f (x )=1− x2

⇔sin f ( x)=+√1−x2

car sin f (x )>0 (cf. plus haut)

Dès lors : f ' ( x )=−1

√1−x 2

5 Remarquons le sens des implications : la seconde ligne est une conséquence de la première, mais la réciproque n'est pas vraie : il y a d'autres amplitudes que f(x) qui ont un cosinus qui vaut x. De même, deux fonctions égales ont même dérivée, mais la réciproque n'est pas vraie : deux fonctions qui ont même dérivée peuvent différer (d'une constante).


Remarques

• domd f =]−1 ;1[≠dom f =[−1 ;1 ] (en x=±1, arccos x admet des tangentes verticales,symétriques des tangentes horizontales de sin x).

• On constate que la dérivée de arccos x est une fonction négative sur ]-1 ; 1[, ce qui prouve que arccos x est une fonction strictement décroissante sur ]-1;1[.

Exemples

• Soit à dériver f ( x )=arccos (1−x2 ) : f ' ( x )=−1

√1−(1−x 2)2. (1−x2 )'= 2 x

√1−(1−x2 )2

domd f ? CE : 1 – (1−x 2)2>0⇔1−(1+x4−2 x2 )>0

⇔− x4+2 x2

>0⇔ x2 (2− x2 )>0domd f =]−√2 ; √2[∖ {0}

2.2.3 Dérivation de arctan x

Si f ( x )=arctan x , alors∀ x∈ℝ: f ' (x )=1

1+x2 (TNI-250)

Hypothèses

f ( x )=arctan xf est dérivable sur ℝ (admis).

Thèse

∀ x∈ℝ : f ' ( x )=1

1+x2

Démonstration

f ( x )=arctan x

⇒ 6 tan ( f ( x ))=tan (arctan x )=x On prend la tangente des deux membres, et on tire parti du fait que∀ f ,∀ x∈dom f −1 : f ( f −1 ( x ))=x .

⇒ ( tan ( f ( x ) )) '=x '=1 On dérive les 2 membres.

⇔ (1+tan2 ( f (x ) )). f ' ( x )=1 Dérivation d'une composée

⇔ f ' ( x )=1

1+ tan 2 ( f ( x) )Isolons f'(x)

Or : tan 2 f (x )=( tan (arctan x ))2=x 2∀ f : f ( f −1 ( x ))= x

Dès lors : f ' ( x )=1

1+ x2

6 Remarquons le sens des implications : la seconde ligne est une conséquence de la première, mais la réciproque n'est pas vraie : il y a d'autres amplitudes que f(x) qui ont une tangente qui vaut x. De même, deux fonctions égales ont même dérivée, mais la réciproque n'est pas vraie : deux fonctions qui ont même dérivée peuvent différer (d'une constante).


Remarques

• domd f =ℝ=dom f .

• On constate que la dérivée de arctan x est une fonction positive sur ℝ, ce qui prouve que arctan x est une fonction strictement croissante sur ℝ.

• On constante que limx →±∞

f ' (x )=0, ce qui prouve que le graphique de f(x) admet des

asymptotes horizontales à gauche et à droite.

Exemples

• Soit à dériver f ( x )=1

arctan3 x2 :

CE : arctan 3 x2≠0⇔3 x2

≠0⇔ x≠0. dom f =ℝo

f ' ( x )=−1

(arctan3 x2 )2. (arctan 3 x2 )'= −1

(arctan 3 x2 )2.

1

1+(3 x2 )2.(3 x2 )'

=−6 x

(1+9 x4 ) (arctan3 x2 )2

domd f =ℝo

2.2.4 Exercices

2.3 Quelques identités fondamentales...

2.3.1 sin(arcsin x)

sin(arcsin x) est défini sur [-1;1].Sur ce domaine, par définition, arcsin x et sin x sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre. Dès lors,

∀ x∈[−1 ;1 ] ,sin (arcsin x )= x TNI-260

Figure 18: sin(arcsin x) est la fonction identité restreinte sur [-1;1].

TNI-270

2.3.2 arcsin(sin x)

Soit f ( x )=arcsin (sin x ). dom f =ℝ

• f est périodique de période 2π. En effet,∀ x∈ℝ ,arcsin (sin (2π+x )) =

sin est périodique de période2πarcsin (sin x )

• Sur [−π/2 ;π/2 ], arcsin(sin x) = x, par définition

• Sur [π/2 ;3π/2 ], arcsin(sin x) donnera l'amplitude comprise entre -π/2 et π/2 de l'angle qui possède le même sinus que x. Dès lors arcsin (sin x )=π – x.


Figure 19: Dans le quadrant II,arcsin (sin x )=π−x.

Figure 20: Dans le quadrant III,arcsin (sin x )=π−x.

TNI-280 025

• Conclusion :

arcsin (sin x )={x si x∈[−π /2 ;π /2 ]π− x si x∈[π/2 ;3π /2 ]...

arcsin (sin x ) est périodique de période 2πTNI-285

Figure 21: Contrairement à ce que l'on pourrait penser arcsin(sin x) n'est pas la fonction identité!

TNI-290

2.3.3 cos(arccos x)

cos(arccos x) est défini sur [-1;1]. Sur ce domaine, par définition, arccos x et cos x sont deux fonctions réciproques. Dès lors :

∀ x∈[−1 ;1 ] , cos (arccos x )=x TNI-295

Figure 22: cos(arcos x) est la fonction identité restreinte sur [-1;1].

TNI-300

2.3.4 arccos(cos x)

Soit f ( x )=arccos (cos x ). dom f =ℝ

• f est périodique de période 2π. En effet,∀ x∈ℝ ,arccos (cos (2 π+x )) =

cos est périodique de période 2πarccos (cos x )

• Sur [0 ;π ], arccos(cos x) = x, par définition.


• Sur [π ; 2π ], arccos(cos x) donnera l'amplitude comprise entre 0 et π de l'angle qui possède le même cosinus que x. Dès lors arccos (cos x )=2π – x.

Figure 23: Dans le quadrant III,arccos (cos x )=2π−x.

Figure 24: Dans le quadrant IV,arccos (cos x )=2π−x.

TNI-310 026

• Conclusion :

arccos (cos x )={x si x∈ [0 ;π ]2π−x si x∈ [π ;2π ]...

arccos (cos x ) est périodique de période 2πTNI-320

Figure 25: Contrairement à ce que l'on pourrait penser, arccos(cos x) n'est pas la fonction identité!TNI-325

2.3.5 Lien entre arcsin x, arcsin(-x), arccos x, arccos(-x)

TNI-330 020

On voit que arccos x et arcsin x sont complémentaires (puisque le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre) :

• arcsin x=π2−arccos ( x ) (1)

• arccos x=π2−arcsin ( x ) (2).


Comme 2 angles qui ont des cosinus opposés sont supplémentaires ou antisupplémentaires, et que arccos ( x) et arccos (−x ) sont des amplitudes comprises entre 0 et π, arccos ( x) est le supplémentaire de arccos (−x ). Comme leurs amplitudes sont comprises entre 0 et π, on peutécrire :

• arccos x=π−arccos (−x). (3)

De même, comme 2 angles compris entre −π/2 et π /2 , et qui ont des sinus opposés sont opposés, arcsin (−x ) est l'opposé de arcsin x. Comme leurs amplitudes sont comprises dans l'intervalle [−

π2

; π2 ], on peut écrire :

• arcsin x=−arcsin (−x ) (4)

En substituant dans (3) dans (1), il vient :

• arcsin x=π2−(π−arccos (−x ))⇔arcsin x=arccos (−x)−π

2 (5)

En substituant dans (4) dans (2), il vient :

• arccos x=π2−(−arcsin (−x) )⇔arccos x=arcsin (−x )+π

2(6)

2.3.6 cos(arcsin x) et sin(arccos x)

• cos(arcsin x) est une fonction de [−1 ;1 ]→[−π2

; π2 ]→ [0 ;1 ] ( 030)

• sin(arccos x) est une fonction de [−1 ;1 ]→ [0 ;π ]→ [0 ;1 ] ( 040)

Figure 26: cos(arcsin x) et sin(arccos x) dans le quadrant I.

Figure 27: cos(arcsin x) et sin(arccos x) dans le quadrant II.


Figure 28: cos(arcsin x) et sin(arccos x) dansle quadrant III.

Figure 29: cos(arcsin x) et sin(arccos x) dans le quadrant IV.

TNI-340

1. En raisonnant géométriquement :

• Si x≠0, en appliquant Pythagore dans le triangle rectangle dont les côtés mesurent respectivement 1, |x| et cos(arcsin x) et 1, |x| et sin(arccos x), et en observant que le résultat est toujours positif (puisqu'on prend le cosinus d'un angle compris entre −π

2 et π

2, ou le sinus d'un angle compris entre 0 et π), on

voit donc immédiatement que :

cos (arcsin x )=√1− x2 sin (arccos x)=√1− x2

• Si x = 0,on voit immédiatement que ces égalités sont vérifiées aussi, car arcsin 0 = 0 et arccos 0 = π

2,

d'où cos(arcsin 0) = cos(0) = 1 et sin(arccos 0) = sin( π2

) = 1.

2. En raisonnant trigonométriquement :

Soit : α=arc sin x

Alors : sin (α )=x et −π2≤α≤π

2par définition de arcsin

Et donc : cosα≥0

On a : sin2α+cos2

α=1 ⇔cos2α=1−sin2

α Relation fondamentale

Donc : cosα=+√1−sin2α (On prend uniquement la racine

carrée positive puisque cos α≥0)

Ou encore :cos (arc sin x )=+√1− x2

Semblablement :Soit : α=arc cos x

Alors : cos (α )= x et 0≤α≤π par définition de arccos

Et donc : sinα≥0

On a : sin2α+cos2

α=1 ⇔sin2α=1−cos2

α Relation fondamentale

Donc : sinα=+√1−cos2α (On prend uniquement la racine

carrée positive puisque sinα≥0)

Ou encore :sin (arccos x)=+√1−x2


2.3.7 sin(arctan x)

Il s'agit d'une fonction de ℝ→ℝ→ [−1 ;1 ] ( 050).

Figure 30: sin(arctan x) dans le quadrant I. Figure 31: sin(arctan x) dans le quadrant IV.

TNI-345


◦ Si x≠0, on voit que les triangles OAC et OBD sont semblables. Dès lors :

∣OA∣∣OB∣

=∣AC∣∣BD∣

⇔1

√1+ x2=∣sin (arctan x )∣

∣x∣

Comme on voit que sin(arc tan x) est du même signe que x :

∣sin (arctan x )∣∣x∣

={sin (arctan x )

xsi x≥0

−sin (arctan x )

−x=

sin (arctan x )

x si x<0

◦ Les valeurs absolues sont inutiles, et donc :∣OA∣∣OB∣

=∣AC∣∣BD∣

⇔1

√1+ x2=

sin (arctan x )x

⇔sin (arctan x)=x

√1+x2

◦ Si x=0, on voit immédiatement que ce résultat est vérifié aussi, car arctan 0 = 0, d'où sin(arctan 0) = sin(0) = 0.


Soit : α=arc tan x

Alors : tan (α )= x et −π2<α<π

2 donc cosα≠0 par définition de arctan

Exprimons sinα en fonction de tanα :

On a : sin2α+cos2

α=1⇔sin2α=1−cos2

α (1) Relation fondamentale

Et : sin2α+cos2

α=1

⇔ tan2α+1=

1cos2

α⇔cos2

α=1

1+tan2α

(2) Relation fondamentale et division par cos2

α (qui n'est pas nul).

Donc : sin2α=1−

11+ tan 2

α=

tan 2α

1+ tan 2α

En substituant (2) dans (1).

Et :sin2 (arctan x )=

x2

1+ x2

⇔∣sin (arctan x )∣=∣ x

√1+ x2∣

En vertu du calcul précédent.


Comme on voit que sin(arctan x) est du même signe que x, les valeurs absolues sont inutiles (cf. ci-dessus) :

Donc : sin (arctan x )=x

√1+x2

2.3.8 tan(arccos x)

Il s'agit d'une fonction de ℝ→ [0 ;π ]→ℝ ( 060)

Figure 32: tan(arccos x) dans le quadrant I. Figure 33: tan(arccos x) dans le quadrant II.

TNI-350


◦ Si x= 0, l'expression tan(arccos x) n'a pas de sens. En effet, arccos 0=π2

, et la

fonction tan n'est pas définie en π2

.

◦ Si x≠0, on voit que les triangles OAC et OBD sont semblables. De plus, tan(arc cos x) est du même signe que x.Dès lors :

∣BD∣

∣OD∣=∣AC∣

∣OC∣⇔

tan (arccos x )

1=

√1−x 2

x

⇔ tan (arccos x)=√1−x2

x


On a : tan (arccos x )=sin (arccos x )

cos (arccos x ) CE : arccos x≠π

2+k π⇔ x≠0

Or : sin (arccos x)=+√1−x2

et : cos (arccos x )=x

Donc : tan (arccos x )=√1− x2

x


2.3.9 Résumé en un coup d'oeil....

arcsin x arccos x arctan x

sin x

sin (arcsin x)=x(cf. ci-avant)

sin (arccos x)=√1− x2 (cf. ci-avant)

sin (arctan x )=x

√1+x2

(cf. ci-avant)

arcsin (sin x )

={x si x∈[−

π2

; π2 ]

π−x si x∈]π2 ;3π2 [

Période:2π

(cf. ci-avant)

arccos (sin x )

={π2−x si x∈[−

π2

; π2 ]

x−π2

si x∈] π2 ;3π2 [

Période:2π

(n°9)arctan (sin x )=?

(pas d'expressionsimple)

cos x

cos (arcsin x )=√1− x2

(cf. ci-avant)cos (arc cos x )=x (n°9)

(cf. ci-avant)

cos (arctan x )=1

√1+x2

(n°31, 1), 10 3),exemple 4 au § 2.4.1 )

arcsin (cos x )

={x si x∈[0 ;π ]x+π

2 si x∈]−π ;0 [

Période:2π

arccos (cos x )

={x si x∈[0 ;π ]2π− x si x∈[π ; 2π ]Période 2π

(n°9)

(cf. ci-avant)

arctan (cos x )=?(pas d'expression

simple)

tan x

tan (arcsin x )=x

√1− x2

(n°21 4), 30 5),exemple 2 au § 2.4.1 )

tan (arccos x )=√1− x2

x(cf. ci-avant)

tan (arctan x )= x

arcsin ( tan x )=?(pas d'expression

simple)

arccos ( tan x )=?(pas d'expression simple)

arctan ( tan x )

={x si x∈]−π2

; π2 [

Période: π

2.3.10 Exercices

2.4 Équations cyclométriques

2.4.1 Principe de résolution

Face à une équation cyclométrique, l'objectif est toujours de se débarrasser des fonctions cyclométriques qui y apparaissent, en les composant avec une fonction circulaire : nous faisons de cette manière apparaître la fonction identité, exactement comme nous le faisions avec une équation irrationnelle, pour faire disparaître un radical.


Prenons une équation élémentaire et appliquons cette tactique, sans trop nous poser de questions:

√2 x=−x CE : x≥0 arccosx2=−π

3CE :−1≤

x2≤1⇔−2≤x≤2

Débarrassons-nous de la racine carrée en élevant les deux membres au carré.

Débarrassons-nous de l'arccos, prenant le cosinus des deux membres.

(√2 x )2=(−x )2

⇔2 x=x2

⇔ x2−2 x=0

⇔ x (x−2)=0⇐ x=0 ou x=2 (CE ok)S={0 ; 2}(ceci est faux, bien sûr !)

cos(arccosx2)=cos(−π

3 )⇔

x2=cos π

3=

12

⇔ x=1 (CE ok)S={1}

(ceci est faux, bien sûr!)

L'erreur saute aux yeux :

• Pour l'équation irrationnelle :Il manque la CR −x≥0, qui aurait éliminé la valeur 2 qui n'est pas une solution.La raison pour laquelle cette CR est nécessaire, c'est que la fonction « carré » et la fonction « racine carrée » ne sont pas réciproques l'une de l'autre sur ℝ (et ne peuvent pas l'être car la fonction « carré » sur ℝ n'est pas injective). La fonction « racine carrée » n'est la réciproque de la fonction « carré » que si on la restreint à ℝ+. De ce fait, on perd une information à cette étape : le fait que le membre de droite doit être positif, et on ajoute une solution parasite.

• Pour l'équation cyclométrique :C'est la même chose : cosinus et arccos ne sont pas réciproques l'une de l'autre, arccosn'est la réciproque que de la restriction de cosinus sur [0 ;π ]. De ce fait, on perd une information en prenant le cosinus des deux membres (celle qui impose que le membrede droite soit compris entre 0 et π).

En résolvant l'équation cos (membre1 )=cos (membre2 ) on obtient toutes les valeurs de x telles que les deux membres de l'équation aient le même cosinus. Parmi celles-ci, onretrouvera :

◦ les valeurs qui donnent aux deux membres la même valeur (ce sont les solutions de l'équation membre1=membre2)

◦ les valeurs qui donnent aux deux membres des valeurs opposées : ce sont des solutions de l'équation cos (membre1 )=cos (membre2 ), mais pas de l'équation originale. Une CR est donc indispensable pour les éliminer.


TNI-400/100

Figure 34: On voit que l'équation de départ n'a aucune solution, aucune valeur de x ne donne aux deux membres la même valeur. On voit par contre que pour x=1, les deux membres ontdes valeurs opposées.

Figure 35: Sans surprise, nous constatons qu'en x=1, les deux membres de l'équation ontle même cosinus. L'équation que nous résolvons en prenant le cosinus des deux membres possède donc une solution, qui ne vérifie pas l'équation de départ.

Corrigeons donc nos résolutions :

√2 x=−x CE : x≥0 arccosx2=−π

3CE :−1≤

x2≤1⇔−2≤x≤2

Débarrassons-nous de la racine carrée en la composant avec la fonction « carré » sans oublier la CR.

Débarrassons-nous de l'arccos, en le composant avec la fonction cosinus, sans oublier la CR.

⇒ (√2 x)2=(−x )2 CR:−x≥0

⇔2 x= x2

⇔ x2−2 x=0

⇔ x ( x−2 )=0⇔ x=0ou x=2 (CE ok)x=2 ne vérifie pas la CR.S={0}

⇒ cos(arc cosx2 )=cos(−

π3 )

CR:0≤−π3≤π (CR impossible!)

S=∅

Le noeud du problème est donc de repérer quand il faut exprimer une CR, de l'exprimer correctement, et de l'utiliser comme il convient pour valider les résultats obtenus.

2.4.2 Méthode de résolution

Remarque générale: il convient de toujours simplifier les solutions obtenues ! On ne souhaite pas d'expressions constantes dans lesquelles apparaissent encore des fonctions cyclométriques(du type « tan (arcsin 0,5 ) »), mais on souhaite néanmoins chaque fois que possible des

solutions exactes ce qui impose de calculer par exemple que tan (arcsin 0,5) :0,5

√1−(0,5)2=√3

3,

plutôt que de faire une approximation à la calculatrice.

2.4.2.1 Écrire correctement la CR d'une équation cyclométrique

La détermination de la CR d'une équation cyclométrique n'est pas aussi simple que pour les équations irrationnelles pour deux raisons :

1. Une contrainte peut s'appliquer sur les valeurs des deux membres de l'équation. Lorsque l'équation est vérifiée, les deux membres prennent la même valeur, et la CR


imposera donc que les deux membres vérifient les deux contraintes pour toute solution.

Exemple A : arccos x⏟∈[0 ; π ]

=arctan x⏟∈]−π

2; π

2[⏟

[0 ;π ]∩[−π2

; π2[=[0 ; π

2[

CR : {arccos x∈[0 ;π

2[

arctan x∈[ 0 ; π2[

Exemple B : 2 arcsin x⏟∈[−π; π ]

=arccos x⏟∈[0 ;π ]⏟

[−π ;π ]∩[0 ; π ]=[0 ; π ]

CR : {2arcsin x∈[ 0 ;π ]arccos x∈[0 ;π ] (tjs vrai)

2. Une fois correctement écrite, la CR pourrait être impossible à résoudre de manière pratique.

Exemple C : arctan x+arctan2 x⏟∈]−π ;π[

=arctan 3 x⏟∈]−π

2; π

2[⏟

]−π ;π[∩]−π2

; π2[=]−π

2; π

2[

CR : {arctan x+arctan 2 x∈]−π

2; π

2[

arctan3 x∈]−π2

; π2[ ( tjs vrai )

La condition −π2<arctan x+arctan 2 x<π

2 ne se résout pas facilement en x, et ne sera

donc utilisable pratiquement qu'en replaçant x par la valeur que l'on veut valider.

3. Une fois correctement écrite, la CR pourrait n'être pas suffisante, et ne pas exclure toutes les valeurs parasites. Reprenons les exemples ci-dessus :

Exemple A : Résolvons cos (arccos x )=cos (arctan x ) (1)La CR (ci-dessus) impose que les deux membres soient dans le premier quadrant. S'ils ont le même cosinus en étant dans le même quadrant, ils sont forcément égaux. La CR est suffisante : elle garantitque les solutions de (1) vérifient l'équation de départ.

Exemple B : Résolvons7 sin (2arcsin x )=sin (arccos x ) (2)La CR (ci-dessus) impose que les deux membres soient compris entre 0 et π. Il est possible que deux valeurs différentes comprises entre 0 etπ aient même sinus. La CR n'est pas suffisante : même si elle est vérifiée, elle ne garantit pas que les solutions de (1) vérifient l'équationde départ.

Si on résout (2), on trouve comme solutions -1, 0,5 et 1 (voir § 2.4.3 ). Si on se contentait de vérifier la CR, on éliminerait -1 uniquement. Pourtant 1 doit être rejeté également : 2 arcsin 1=π et arccos 1=0. Comme 0 et π ont le même sinus, x=1 est bien une solution de (2), mais ce n'est pas une solution de l'équation originale2arcsin x=arccos x.

Dans un tel cas, il est vital de remarquer que la CR n'est pas suffisante.L'utiliser pour valider les solutions ne sert à rien : il faut vérifier dans l'équation de départ.

7 On aurait évidemment pu résoudre l'équation en prenant le cosinus des deux membres, ce qui aurait rendu la CR suffisante, puisqu'entre 0 et π on ne peut trouver deux valeurs distinctes qui ont le même cosinus.


TNI-410/110

Figure 36: Exemple 2: Il est clair que l'équation ne possède qu'une seule solution (x=0.5). On voit déjà quepour x=1 et x=−1 les deux membres ont le même sinus. Ces valeurs sont solution de (2) mais pas de l'équation de départ.

Figure 37: Exemple 2: La résolution de (2) donne les 3 solutions auxquelles on s'attend, mais la CR n'exclut que x=−1, alors que x=1 n'est pas une solution nonplus.

2.4.2.2 Équations en arcsin et arccos

1. Exprimer les conditions d'existence.

2. Prendre le sinus ou le cosinus des deux membres, en étant attentif à :

a) Écrire la CR (cf. 2.4.2.1 ). Si elle devait être impossible, la résolutionserait déjà terminée : S=∅.

b) Valider que la CR est suffisante, c'est-à-dire qu'elle exclut toute solution parasite. Si ce n'est pas le cas, il sera indispensable de validerchaque solution en la replaçant dans l'équation de départ.

c) N'écrire qu'une implication de gauche à droite : si deux nombres sont égaux, ils ont le même sinus (ou cosinus), mais si deux nombres ont le même sinus (ou cosinus), ils ne sont pas nécessairement égaux8.

d) Résoudre l'équation obtenue.

e) Vérifier que les CE sont respectées.

f) Si la CR est suffisante, vérifier qu'elle est respectée. Sinon valider les solutions en les replaçant dans l'équation de départ.

8 En fait, si la CR est suffisante, on pourrait écrire une équivalence entre l'équation de départ et l'équation d'arrivée combinée avec la CR. Pour éviter d'écrire l'équivalence à tort, ou de l'écrire entre les deux équations, écrire toujours l'implication de gauche à droite est plus prudent.


2.4.2.3 Équations en arctan

Ces équations imposent une précaution supplémentaire, car prendre la tangente des deux membres ne permettra de trouver que les solutions qui ne donnent à aucun des deux membres la valeur π

2+k π . Il y aura donc une étape supplémentaire pour trouver d'éventuelles autres

solutions (tout le reste est inchangé) :


2. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deux membres la valeur π

2+k π , prendre la tangente des deux membres, en étant attentif à :

a) Écrire la CR (cf. 2.4.2.1 ). Si elle devait être impossible, l'étape 2 serait déjà terminée.

b) Valider que la CR est suffisante, c'est-à-dire qu'elle exclut toute solution parasite. Si ce n'est pas le cas, il sera indispensable de validerchaque solution en la replaçant dans l'équation de départ.

c) N'écrire qu'une implication de gauche à droite : si deux nombres sont égaux, ils ont la même tangente, mais si deux nombres ont la même tangente, ils ne sont pas nécessairement égaux.

d) Résoudre l'équation obtenue.

e) Vérifier que les CE sont respectées.

f) Si la CR est suffisante, vérifier qu'elle est respectée. Sinon valider les solutions en les replaçant dans l'équation de départ.

3. [Etape supplémentaire] Si la CR permet aux deux membres de prendre la valeur π

2+k π, égaler un des deux membres (de préférence le plus

simple) à π2+k π, résoudre cette nouvelle équation et déterminer si les

valeurs obtenues sont solutions de l'équation de départ.

2.4.3 Exemples

Exemple 1 : arccosx2⏟

∈[0 ; π ]

=π3

1. CE : −1≤x2≤1⇔−2≤x≤2

2. CR : {0≤arccosx2≤π (toujours vrai)

0≤π3≤π (toujours vrai)

(CR suffisante, toujours vraie)

⇒ cos(arccosx2)=cos(

π3 )


⇔x2=cos π

3=

12

⇔ x=1 (CE et CR OK)Donc : S={1}

Exemple 2 : arctan x⏟∈]−π

2; π

2[

=arcsin45⏟

∈]π4

; π2[⏟

∈]−π2

; π2[∩]π

4; π

2[=] π

4; π

2[

( EM6 n°10 3).

1. CE : --

2. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deux membres la valeur π2+k π,

on prend la tangente des deux membres :

CR :{(π4<arcsin

45<π

2 (tjs vrai))

π4<arctan x<π

2

(CR suffisante).

Nous pouvons écrire:

⇒ tan (arctan x)= tan(arcsin45) ⇔ x= tan(arcsin

45 )

La CR est évidemment vérifiée puisque arctan( tan(arcsin45))=arcsin

45

3. Il n'y a pas de solutions qui donnent au deux membres la valeur π2+k π puisque cette

valeur est exclue par la CR.

Avant de conclure, il reste à simplifier la solution.

Méthode géométrique ( 070) TNI-360

Figure 38: tan(arc sin x) dans le quadrant I. Figure 39 : tan(arc sin x) dans le quadrant IV.

Les triangles OBD et OAE étant semblables, ∣tan (arcsin x )∣

1=∣x∣∣y∣

.

Comme y=√1 – x2 (Pythagore), il vient : ∣tan (arcsin x )∣=∣x∣

√1−x2.

Le résultat est bien un nombre du même signe que x, les valeurs absolues sont dès lors inutiles.


On calcule donc : tan(arcsin45):

45

√1−( 45 )

2=

45

.1

√ 925

=45

.53=

43

.

Nous pouvons conclure que S={43 }

Exemple 3 : arctan x⏟∈]−π

2; π

2[

=2arcsin( 45)⏟

∈]−π ;π]⏟]−π

2; π

2[∩]−π ;π ]=]−π

2; π

2[

1. CE : --2. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deux membres la valeur π

2+k π,

on prend la tangente des deux membres.

CR :{−π2<2arcsin

45<π

2−π

2<arctan x<π

2

(CR suffisante)

On voit cette fois que la CR n'est jamais vérifiée, même sans calculatrice :

arcsin( 45 )>π

4 et donc 2 arcsin( 4

5)>π2

. Il n'y a aucune solution à trouver ici.

3. Sachant que les deux membres appartiennent à ]−π2

; π2[, il est inutile de chercher

d'autres solutions.Dès lors : S=∅

Exemple 4 : arccos x⏟∈[0 ; π ]

=arctan x⏟∈]−π

2; π

2[⏟

[0 ;π ]∩[−π2

; π2[=[0 ; π

2[

1. CE : −1≤x≤12. Prenons le cosinus des deux membres :

CR1 : {arccos x∈[0 ; π

2[

arctan x∈[ 0 ; π2[

(CR suffisante) ⇔{ x∈]0 ;1 ]x∈ℝ

+ }⇔ x∈]0 ;1 ]

⇒ cos (arccos x )=cos (arctan x )⇔ x=cos (arctan x ). Il faut donc déterminer l'expression analytique de cos (arctan x ), ce qui impose une petite parenthèse :

Méthode trigonométriquePour nous débarrasser de l'arctan, il faut en prendre la tangente : nous devons donc exprimer le cosinus en fonction de la tangente :

tan2 x=sin2 xcos2 x

=1−cos2 x

cos2 x=

1cos2 x

−1⇔1

cos2 x= tan2 x+1⇔cos x=

±1

√ tan2 x+1


Donc : cos (arctan x )=±1

√ tan2 (arctan x)+1=

±1

√ x2+1

Comme arctan x∈]−π2

; π2[, cos (arc tan x)>0, il faut donc choisir le signe positif.

Dès lors : x=1

√ x2+1

⇒ x2=

1

x2+1

CR29 : x≥0

⇔ x2 (x2+1)−1=0

⇔ x4+x2

−1=0

Équation bicarrée : posons y= x2, CR3 : y≥0⇔ y2

+ y−1=0ρ=1+4=5,

⇔ y=−1±√5

2

Valeur négative à exclure (CR3).

⇔ y=−1+√5

2⇔ x=±√−1+√5

2 Valeur négative à exclure (CR2).

La CR1 et la CE sont vérifiées : arctan √−1+√52

≈arctan 0,789≈0,666≤1

donc S={√−1+√52 }

NB : Plutôt que de vérifier la CR1 et la CE, on pouvait aussi visualiser les graphiques de arccos x et de arctan x pour se convaincre que l'équation possède une et une seule solution. Comme il n'en reste qu'une, elle doit forcément être valable...

Exemple 5 : 2arcsin x⏟∈[−π; π ]

=arccos x⏟∈[0 ;π ]⏟

[−π ;π ]∩[0 ; π ]= [0 ; π ]

1. CE : −1≤x≤12. Prenons le sinus des deux membres :

CR :{2arcsin x∈[ 0 ;π ]arccos x∈[0 ;π ] (tjs vrai)

(CR non suffisante : entre 0 et π, plusieurs valeurs ont le même sinus).⇒ sin (2arcsin x )=sin (arccos x )⇔2sin (arcsin x )cos (arcsin x )=sin (arccos x )

⇔2. x.√1− x2=√1−x2

⇔ (2 x−1 ) √1− x2=0

⇔ x=±1 ou x=12

Les CE sont vérifiées. Vérifier la CR ne servirait à rien, elle n'est pas suffisante. On remplace donc dans l'équation :

9 Dans ce cas-ci, la CR2 est une conséquence immédiate de la CR1, mais il n'est pas garanti que ce soit toujours le cas : nous la faisons donc apparaître systématiquement, de manière à acquérir le réflexe : si l'on compose avec une fonction non-injective (ici la fonction « carré »), il faut sauvegarder l'information perdue en écrivant une CR. Il est toujours temps ensuite de remarquer qu'elle est éventuellement redondante avec une précédente.


2 arcsin−1=−π≠arccos−1=π : à rejeter.

2arcsin12=2. π

6=π

3=arccos

12

: OK !

2 arcsin 1=π≠arccos 1=−π : à rejeter.

Dès lors : S={12}

Exemple 6 : arcsin x+arcsin(− x2)⏟

∈[−π ;π ]

=2arcsin(√32

x)⏟∈[−π ;π]⏟

[−π ;π ]∩[−π ;π ]=[−π ;π]

1. CE : {−1≤x≤1

−1≤−x2≤1⇔−2≤ x≤2

−1≤√32

x≤1⇔−2√33

≤x≤2√33}⇔−1≤ x≤1

2. Prenons le sinus des deux membres :

CR :{arcsin x+arcsin(− x2)∈[−π ;π ]

2arcsin(√32

x)∈[−π ;π ]

(CR non suffisante : entre 0 et π, plusieurs valeurs ont le même sinus).

⇒ sin(arcsin x+arcsin(− x2))=sin(2 arcsin √3

2x)

Appliquons la formule d'addition et de duplication :

⇔sin (arcsin x )cos(arcsin(− x2))+sin(arcsin(− x

2)).cos (arcsin x )

=2sin(arcsin √32

x)cos(arcsin √32

x)⇔ x √1−

x2

4+(− x

2)√1−x2=2 √3

2x .√1−

34

x2

⇔x2√4− x2

−x2√1−x2

=√32

x √4−3 x2

⇔x2√4− x2−

x2√1−x2−x √3

2√4−3 x2=0

⇔12

x (√4− x2−√1− x2

−√3√4−3 x2)=0

⇔ x=0 ou √4− x2−√1−x2

−√3√ 4−3 x2=0

⇔√4− x2=√1− x2

+√3√4−3 x2 CR2 : -- (2 membres positifs)⇔4−x2

=1−x2+3 (4−3 x2 )+2√3√1−x2√4−3 x2

⇔−9+9 x2=2√3√1− x2√4−3 x2

⇔9( x2−1)=2√3√1− x2√4−3 x2 CR3 : x2

−1≥0⇔81 ( x4

−2 x2+1)=4.3(1−x2) (4−3 x2 )

⇔27( x4−2 x2

+1)=4 (4−4x2−3 x2

+3 x4 )⇔15 x4

−26 x2+11=0

ρ=262−4.15.11=16


x2=

26±430

⇐ x2=1 ou x2

=1115

(Rejeté cf. CR3)

⇔ x=±1Les CE sont vérifiées. Vérifier la CR ne servirait à rien, elle n'est pas suffisante. On remplace donc dans l'équation :

arcsin (−1 )+arcsin( 12)=−π

2+π

6=−π

3≠2arcsin(−√3

2 )=−2π

3 : à rejeter.

arcsin 0+arcsin 0=0=2arcsin 0 OK.

arcsin (1)+arcsin(−12)=π

2+−π

6=π

3≠2arcsin( √3

2 )=2π3

: à rejeter.

Conclusion : S= {0}

TNI-450/ 120

Figure 40: Exemple 6: 0 est la seule solutionde l'équation.

Figure 41: Exemple 6: en prenant le sinus des deux membres on trouve trois solutions. Comme pour x=1 et x=-1, les deux membresprennent des valeurs comprises en −π et π , la CR n'élimine pas les valeurs parasites.

2.4.4 Exercices

2.4.5 Cas particulier : sommes et différences d'arc tangentes

2.4.5.1 Une transformation utile

Considérons une égalité de la forme arctan a+arctan b=arctan c. Moyennant quelques conditions bien choisies, on peut écrire :

arctan a+arctanb=arctan c ⇒ tan (arctan a+arctan b)= tan (arctan c)

⇔tan (arctan a )+tan (arctanb )

1−tan (arctan a ) . tan (arc tan b)=tan (arctan c)

⇔a+b

1−a b=c

On peut ensuite isoler l'inconnue (a, b ou c) pour résoudre l'équation.

La méthode s'applique bien sûr à des cas moins simples ou a, b ou c peuvent être des

expressions de la variable (du type arctan 2 x+arctan x=arctan32

x), voire à des égalités entre

sommes ou différences (du type arctan a+2arctan b=arctan c−arctan d ).


Le développement ci-dessus demande néanmoins quelques précautions supplémentaires par rapport à la méthode décrite au § 2.4.2.3 : la formule d'addition (ou de soustraction) impose en effet des précautions supplémentaires car elle n'est valable que si les 2 angles additionnés et leur somme, sont différents de π

2+k π.

Le développement proposé ci-dessus ne donnera donc que les solutions pour lesquellesarctan a≠π

2+k π, arctan b≠π

2+k π et (arctan a+arctanb )≠π

2+k π. Dans cet exemple, c'est

parfait car tous ces éléments sont effectivement toujours différents de π2+k π mais cela n'est

pas toujours le cas, comme l'illustreront les exemples de la section 2.4.5.4 .

La démarche de résolution doit donc être complétée pour traiter le cas dans lequel la formule d'addition (ou de soustraction) ne s'applique pas.

2.4.5.2 Méthode complétée


2. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deux membres la valeur π

2+k π , prendre la tangente des deux membres, en étant attentif à :

a) Écrire la CR (cf. 2.4.2.1 ). Si elle devait être impossible, l'étape 2 serait déjà terminée.

b) Valider que la CR est suffisante, c'est-à-dire qu'elle exclut toute solution parasite. Si ce n'est pas le cas, il sera indispensable de valider chaque solution en la replaçant dans l'équation de départ.

c) N'écrire qu'une implication de gauche à droite : si deux nombres sont égaux, ils ont la même tangente, mais si deux nombres ont la même tangente, ils ne sont pas nécessairement égaux.

d) [Nouvelle restriction] Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun terme de la somme (ou différence) de tangentes la valeur deπ2+k π , utiliser la formule d'addition (ou soustraction).

e) Résoudre l'équation obtenue.

f) Vérifier que les CE sont respectées.

g) Si la CR est suffisante, vérifier qu'elle est respectée. Sinon valider les solutions en les replaçant dans l'équation de départ.

h) [Nouvelle étape] Pour trouver les autres solutions, identifier les valeurs qui donnent à l'un ou l'autre des termes de l'addition (ou soustraction) la valeur de π

2+k π , et vérifier si elles sont solution de

l'équation de départ.


3. Si la CR permet aux deux membres de prendre la valeur π2+k π, égaler un

des deux membres (de préférence le plus simple) à π2+k π, résoudre cette

nouvelle équation et déterminer si les valeurs obtenues sont solutions de l'équation de départ.

Remarque :Pourrait-on utiliser une méthode similaire avec des sinus (ou des cosinus), par exemple pour l'équation arcsin a+arcsin b=arcsin c ? Pas directement car on ne dispose pas de formule donnant sin(a+b) en fonction de sin a et sin b, mais, si l'on se rappelle que cos (arcsin a )=√1−a2, ça devient possible :

arcsin a+arcsinb=arcsin c ⇒sin (arcsina+arcsinb )=sin (arcsin c ) ⇔sin (arcsin a ). cos (arcsin b)+sin (arcsin b ) . cos (arcsin a )=c

⇔a√1−b2+b√1−a2

=cVoyez un exemple au § 2.4.3 .

Notez que contrairement au cas de la tangente, il n'y a pas de conditions associées à la formule d'addition dont il faille se préoccuper.

2.4.5.3 Astuce de calcul bien pratique

Lorsqu'il s'agira de chercher les valeurs de l'inconnue qui rendent les deux membres égaux àπ2+k π , on utilisera comme d'habitude le membre le plus simple, mais si les deux membres

sont des sommes d'arctan, il pourra être nécessaire de résoudre une équation du type(arctan a±arctanb )=π

2+k π, potentiellement difficile ou longue à traiter.

On peut dans ce cas la remplacer par une équation équivalente bien plus simple à résoudre. En effet :

x+ y=π

2+k π⇔ y=π

2− x+k π

⇔ tan y=cot x⇔ tan x . tan y=1⇔1−tan x . tan y=0De même :

x− y=π2+k π⇔ y=π

2+ x+k π

⇔ tan y=−cot x ⇔ tan x . tan y=−1⇔1+tan x . tan y=0Si x=arctan a et y = arctan b comme dans notre exemple, la version de gauche est nettement plus compliquée à utiliser que la version de droite, qui se réduit à 1 – a.b=0.

Remarque :Résoudre 1−tan x . tan y=0 au lieu de x+ y=π

2+k π revient à évaluer le cas où la

condition d'existence sur le dénominateur n'est pas vérifiée dans la formule d'addition ou de soustraction :

tan (x+ y)⏟CE : x+ y≠π

2+kπ

=tan x+tan y

1−tan x tan y⏟

CE :{x≠π

2+k π

y≠π2+k π

1−tan x .tan y≠0

tan (x− y )⏟CE : x− y≠π

2+kπ

=tan x− tan y

1+tan x tan y⏟

CE :{x≠π

2+k π

y≠π2+k π

1+tan x .tan y≠0


2.4.5.4 Exemples

Exemple 1 : arctan x+arctan 2 x⏟∈]−π; π[

=arctan (−x √2)⏟∈]−π

2; π

2[⏟

]−π ;π[∩]−π2

; π2[=]−π

2; π

2[

1. CE : /

2. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont différents deπ2+k π ? Pour répondre à cette question, nous pouvons prendre la tangente des deux

membres :

CR : {arctan x+arctan 2 x∈]−π

2; π

2[

arctan (−x√2)∈]−π2

; π2[ ( tjs vrai )

(CR suffisante)

⇒ tan (arctan x+arctan (2 x ))=tan (arctan (−x √2) )

◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x et arctan(2x) sont différents deπ2+k π ? Pour répondre à cette question, nous pouvons utiliser la formule

d'addition :

⇔x+2 x

1−2 x2=−x √2 (1−2 x2

≠0, puisque la somme des angles≠π2+k π)

⇔3 x+ x√2 (1−2 x2)

1−2 x2 =0

⇔−2√2 x3+(3+√2) x=0

⇔ x (−2√2 x2+3+√2)=0

Donc : x=0 ou x2=

3+√22√2

=3√2+2

4⇔ x=

±√3√2+22

Vérifions la CR: arctan 0+arctan 0=0+0=0, OK.

arctan √3√2+22

+arctan √3√2+2≈0,896+1,190=2,0856>π2

arctan−√3√2+22

+arctan−√3√2+2≈−0,896−1,190=−2,0856<−π2

Les deux autres solutions doivent donc être éliminées.

◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x ou arctan 2x sont égaux à π2+k π ?

Bien sûr que non (CR).

3. La CR ne permet pas que les deux membres soient égaux à π2+k π, il n'y a donc pas

d'autres solutions à chercher.

Conclusion : S= {0}

Exemple 2 : arctan x+arctan 2 x⏟∈]−π; π[

=2arctan ( x√2)⏟∈]−π ;π [⏟

]−π ;π[∩]−π ;π[=]−π ;π [

1. CE : /


2. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont différents deπ2+k π ?

CR :{arctan x+arctan 2 x∈]−π ;π[ (tjs vrai)2arctan ( x √2)∈]−π ;π[ (tjs vrai)

(CR non suffisante)

⇒ tan (arctan x+arctan (2 x ))=tan (2 arctan ( x √2))

◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x et arctan(2x) sont différents deπ2+k π ?

⇔x+2 x1−2 x2=

2 tan (arctan ( x √2) )

1−tan2 (arctan ( x √2) )

⇔x+2 x

1−2 x2=

2 x √2

1−2 x2 (1−2 x2

≠0, puisque la somme des angles≠π2+k π)

⇔3 x=2 x √2⇔ x=00 est-il solution de l'équation de départ ? Vérifier la CR ne servirait à rien, elle n'est pas suffisante. On remplace donc dans l'équation de départ : 0+0=0 : OK.

◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x ou arctan 2x sont égaux à π2+k π ?

Bien sûr que non.

3. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont égaux àπ2+k π ?

La CR limite la valeur de k à 0 ou -1.

◦ Si k = 0 : 2arctan (−x √2)=π2⇔ arctan (−x√2)=π

4⇔− x√2=1⇔ x=−√2

2

◦ Si k = -1 : 2 arctan (−x √2)=−π2⇔arctan (−x √2)=−π

4⇔−x √2=−1⇔ x=√2

2Vérifions si ce sont des solutions de l'équation de départ :

arctan(−√22 )+arctan (−√2)=−π

2=2arctan(−√2

2√2) OK.

arctan(√22 )+arctan (√2 )=π

2=2 arctan( √2

2√2) OK.

Conclusion : S={−√22

;0 ; √22 }

Exemple 3 : arctan x+2arctan 2 x⏟∈]−

3π2

; 3π2

[

=arctan (−x √2)⏟∈]−π

2; π

2[

⏟]−

3π2

; 3π2

[∩]−π2

; π2[=]−π

2; π

2[

1. CE : /



CR :{arctan x+2arctan 2 x∈]−π

2; π

2[

arctan (−x√2)∈]−π2

; π2[ (tjs vrai)

(CR suffisante)

⇒ tan (arctan x+2 arctan (2 x ) )=tan (arctan (−x√2) )

◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x et 2 arctan(2x) sont différents deπ2+k π ?

⇔x+tan (2 arctan (2 x ) )

1− x tan (2 arctan (2 x ) )=−x √2

Or tan (2 arctan (2 x ) )=2 tan (arctan (2 x ) )

1− tan2 (arctan (2 x ) )=

4 x

1−4 x2

(arctan(2 x) est bien entendu différent de π2+k π)

⇔

x+4 x

1−4 x2

1−4 x2

1−4 x2

=−x√2

⇔x−4 x3

+4 x1−4 x2

−4 x2=−x √2⇔−4 x3

+5 x1−8 x2 + x√2=0

⇔−4 x3+5 x+x √2−8 x3√2=0⇔ x (−x2 (4+8√2)+5+√2)=0

⇔ x=0 ou x2 (4+8√2)=5+√2

⇔ x=±√ 5+√24+8√2 [=±

12 √ 9√2−1

7 ]La CR est-elle vérifiée?

arctan 0+arctan 0=0 : OKLes deux autres valeurs doivent être rejetées.

◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x ou 2 arctan 2x sont égaux à π2+k π ?

arctan x≠π2+k π ,∀ x∈ℝ

2arctan (2 x )=π2+k π

⇔ arctan (2 x )=π4+k π

2(k∈ℤ )

Cette équation ne peut avoir de solutions que pour k=0 ou k=-1.⇔ arctan (2 x )=π

4ou arctan (2 x )=−π

4⇔ 2 x=1 2 x=−1

⇔ x=12

x=−12

Ces valeurs sont-elles solutions de l'équation de départ ?

arctan12+2arctan 1⏟

π2

≈2,034≠arctan(−12√2)≈−0,615

arctan(−12)+2 arctan (−1)⏟

−π2

≈−2,034≠arctan(−12√2)≈0,615

Ces deux valeurs sont donc à rejeter.


3. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont égaux àπ2+k π ? Non (cf. CR).

Conclusion : S= {0}

Exemple 4 : arctan x+arctan 2 x⏟∈]−π ;π[

=arctan (3 x )−arctan (4 x)⏟∈]−π ;π[

1. CE : /


CR :{arctan x+arctan 2 x∈]−π ;π[arctan3 x−arctan (4 x )∈]−π ;π [

(CR non suffisante)

⇒ tan (arctan x+arctan (2 x ))=tan (arctan (3 x )−arctan (4 x) )

◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x, arctan(2x), arctan(3x) et arctan(4x) sont différents de π

2+k π ?

⇔x+2 x

1−2 x2=

3 x−4 x

1+12 x2

⇔3 x (1+12 x2 )=−x (1−2 x2 )x (38 x2

+4)=0

x=0 ou x2=−

219

(impossible)

0 est-il solution de l'équation de départ ? Vérifier la CR ne servirait à rien, elle n'est pas suffisante. On remplace donc dans l'équation : 0+0=0+0 : OK.

◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x, arctan(2x), arctan(3x) et arctan(4x) sont égaux à π

2+k π ? Non.

3. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont égaux àπ2+k π ? Il n'y a pas de membre « plus simple » que l'autre :

arctan (x )+arctan (2 x )=π2+k π ⇔

Astuce!1−x (2 x )=0⇔ x=±√2

2Ces valeurs sont-elles solutions de l'équation de départ ? Non :

arctan(√22 )+arctan (√2 )≠arctan(3√2

2 )−arctan (2√2 )

arctan(−√22 )+arctan (−√2)≠arctan(−3√2

2 )−arctan (−2√2 )

Conclusion : S= {0}

2.4.5.5 Exercices

2.5 Démonstration d'identités cyclométriques

2.5.1 Méthode

La démonstration d'une identité cyclométrique demande une démarche analogue à celle de la résolution d'équations, et la validité de l'identité doit être évaluée dans chaque cas.


• Identités en arc sinus et arc cosinus :1. Exprimer les CE.

2. Prendre le sinus (ou le cosinus) des deux membres en ayant soin de n'écrire qu'une implication de gauche à droite, et vérifier si l'égalité résultante est vérifiée. Cela prouve que les deux membres de l'identité ont même sinus (ou cosinus), c'est-à-dire qu'ils sont égaux ou supplémentaires (égaux ou opposés).

Il faut donc vérifier ensuite qu'il s'agit bien d'une égalité. Dans le cas contraire, l'identité est invalidée.

• Identités en arc tangente :1. Exprimer les CE.

2. Prendre la tangente des deux membres en ayant soin de n'écrire qu'une implication de gauche à droite, et vérifier si l'égalité résultante est vérifiée. Cela prouve que lesdeux membres de l'identité ont même tangente, c'est-à-dire qu'ils sont égaux ou anti-supplémentaires lorsqu'ils sont différents de π

2+k π .


3. Vérifier que l'identité est également vérifiée lorsque les deux membres sont égaux à π

2+k π (pour peu que ce soit possible, bien sûr)

• Identités contenant des sommes ou différences d'arc tangentes :1. Exprimer les CE.

2. Prendre la tangente des deux membres en ayant soin de n'écrire qu'une implication de gauche à droite, et vérifier si l'égalité résultante est vérifiée, en faisant usage de la formule calculant la tangente d'une somme/différence. Cela prouve que les deuxmembres de l'identité ont même tangente, c'est-à-dire qu'ils sont égaux ou anti-supplémentaires lorsqu'ils sont différents de π

2+k π et que tous les termes des

sommes et différences de tangentes sont différents de π2+k π .


3. Vérifier que l'identité est également vérifiée lorsque les deux membres sont égaux à π

2+k π (pour peu que ce soit possible, bien sûr). Dans le cas contraire, l'identité

est invalidée.

4. Vérifier que l'identité est également vérifiée lorsqu'un ou plusieurs termes des sommes et différences de tangentes vaut π

2+k π .

2.5.2 Exercices


3 Règles de « de l'Hospital »Lors du calcul de limites (en un réel ou en l'infini), certains cas d'indétermination ne peuvent être levés que par l'usage d'une technique développée par Bernouilli10 et publiée par Guillaume de l'Hospital11 et qui porte depuis lors abusivement le nom de « règle de de l'Hospital ».

3.1 Limite en un réel

Soient f et g deux fonctions numériques d'une variable réelle et a un point d'accumulation12 deleurs domaines :

Si :

• limx → a

f (x )

g ( x) présente un cas d'indétermination "

00

" ou "±∞±∞ " ;

• il existe un intervalle ouvert I centré en a sur lequel :1. f et g sont dérivables, sauf éventuellement en a,2. g' ne s'annule pas sur I ∖{a}

3. limx → a

f ' ( x )

g ' ( x ) existe (qu'elle soit réelle ou infinie)

Alors :

limx →a

f ( x )

g ( x )=lim

x →a

f ' ( x )

g ' (x )

Remarques :1. On se limitera pour ce sujet à la mise en pratique.2. Ne confondez pas la relation ci-dessus avec le calcul de la dérivée d'une quotient :

(en général, f ' ( x )

g ' ( x)≠( f ( x )

g ( x ) )'

)

3. La condition « f' et g' ne s'annulent pas sur I ∖{a} » n'exclut en pratique que le cas de fonctions :1. constantes au voisinage de a. Dans de tels cas, les limites sont élémentaires à

calculer, et la règle est inutile.

2. dont les dérivées sont des cas « rares » du type f ( x )=sin( 1x−a ) qui ont une

infinité de racines dans tout intervalle centré sur a. Nous pouvons donc raisonnablement faire l'hypothèse, dans le cadre de notre cours, que cette condition est toujours satisfaite (exemples de limites auxquelles la règle ne s'applique pas pour cette raison en annexe ).

4. La règle n'est valable que si limx →a

f ' ( x)g ' (x )

existe : si l'application de la règle lève

l'indétermination mais arrive à la conclusion que la limx →a

f ' ( x)g ' (x )

n'existe pas, il est

10 Jean Bernouilli, mathématicien suisse, 1667-1748.11 Guillaume de l'Hospital, mathématicien français, 1661-1704.12 Il est impossible de se prononcer sur l'appartenance de a au domaines de f et g : a n'appartient pas

nécessairement au domaine dans un cas d'indétermination « 0/0 » (appartient dans un cas tel que

f ( x )=x , g ( x )=sin xet n'appartient pas dans un cas tel que f ( x )=x .sin x . sin1x

,g ( x )= x2sin1x

) alors

qu'il n'y appartient nécessairement pas dans le cas « infini/infini ».


erroné de conclure que la limite de départ n'existe pas : il faut simplement conclureque la règle ne s'applique pas et que le résultat est sans valeur.

3.2 Limite en l'infini

La règle précédente s'étend au cas où x tend vers l'infini. Dans ce cas :

• On remplace a par −∞ ou +∞.

• On remplace l'intervalle centré par la demi-droite ] −∞;k[ si x tend vers −∞ ou par la demi-droite ]k ; +∞[ si x tend vers +∞.

3.3 Exemples et remarques

• limx →0

arcsin ( x )x

="00

" =L' Hospital

limx→0

1

√1−x2

1=1

• limx →+∞

x (π2−arc tan x )="+∞ . 0"= lim

x →+∞

π2−arc tan x

1x

="00

"

=L' Hospital

limx →+∞

−1

1+ x2

−1x2

= limx →+∞

x2

1+x2=" ∞∞ " =L' Hospital

limx→+∞

2 x2 x

=1

◦ On peut transformer une indétermination du type "0 .±∞" pour se ramener à un cas d'indétermination que l'on peut traiter avec la règle de L'Hospital.

◦ On peut appliquer la règle plusieurs fois, tant que les conditions sont remplies.

• limx →π

+

sin x

√ x−π="

00

"=LH

limx →π

+

cos x1

2√ x−π

= limx →π

+

2 cos x √ x−π=0

• La règle de de L'Hospital n'est pas toujours efficace. L'exemple suivant est un cas où elle est parfaitement inutile:

limx →+∞

√1+ x2

x="∞∞ "=

LHlim

x →+∞

x

√1+x2

1= lim

x →+∞

x

√1+x2=" ∞∞ "= lim

x→+∞

1x

√1+x 2

= limx →+∞

√1+ x2

x

alors qu'il suffisait de faire une simple mise en évidence:

limx →+∞

√1+ x2

x= lim

x→+∞

∣x∣.√ 1x2+1

x=1


• On pourrait essayer d'appliquer la règle dans le cas suivant :

limx →0

x2sin( 1x )

sin x="

0 . fonctionbornée0

"="00

"

=LH

limx →0

2 x sin1x+ x2 cos(1

x )(−1x2 )

−cos x=lim

x →0

2 x sin( 1x )−cos( 1

x )−cos x

=limx →0

2 x sin( 1x )

−cos x+lim

x→0

cos( 1x )

cos x=

0 . fonctionbornée−1⏟

0

+

limx→0

cos(1x )

1⏟n'existe pas

La limite du quotient des dérivées n'existe donc pas. On ne peut donc en tirer aucune conclusion concernant la limite de départ, même pas qu'elle n'existe pas.

Il faut donc calculer différemment :

limx →0

x2sin( 1x )

sin x=lim

x →0

xsin x

. limx →0

x sin( 1x ) =1. (0 . fonctionbornée )=0

NB : Le « 0.fonction bornée » = 0 est une raccourci pour le raisonnement rigoureux suivant :

−1≤sin1x≤1⇔−∣x∣≤ x sin

1x≤∣x∣ (ne pas oublier les valeurs absolues!)

Or limx →0

(−∣x∣)=limx →0

∣x∣=0

Dès lors, par le théorème du sandwich : limx →0

x sin( 1x )=0

3.4 Exercices


4 Etudes de fonctions cyclométriquesL'étude complète d'une fonction cyclométrique est désormais à notre porte : elle demandent en effet :

• De résoudre une équation cyclométrique (recherche des racines) ;• De calculer des limites de fonctions cyclométriques (pour déterminer les points creux

et les asymptotes)• De calculer et d'étudier les dérivées de fonctions cyclométriques.


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Fonctions réciproques et cyclométriques - cspu.bebaudhuina/openofficeIssue_Image... · 1 Fonctions réciproques 1.1 Introduction 1.2 Définitions – Propriétés Rappels TNI-20