FONDAMENTAUX PHYSIQUE · 2020. 5. 20. · 4 Chapitre 1. Cinématique 1 Vecteurs La description du mouvement d’un objet ponctuel nécessite la connaissance de sa posi-tion, sa vitesse

QCM d’évaluation

Rappels de cours

Fiches de synthèse

Plus de 100 exercices intégralement corrigés

Christian CerrutiAndré Steimer

L1LESFONDAMENTAUX

PHYSIQUE

Physicien, professeur des universités, Christian Cerruti a participé à de nombreux programmes

de recherches internationaux.

Physicien, professeur de chaire supérieure, André Steimer a enseigné en classes préparatoires à Mulhouse.

PHYSIQUEles

fondamentaux l1

9782807327597_INT_Fondamentaux_Physique.indb 1 04/05/2020 19:55:58

Dans la même collection, pour le même publicBurg P., Mathématiques. Les fondamentaux en L1, 272 pagesBellec C., Chimie. Les fondamentaux en L1, 224 pagesBeaux G., Beaux J.-F. & Boutin V., Biologie. Les fondamentaux en L1, 304 pages

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Sommaire III

Sommaire

Première partie. Mécanique1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Dérivation des champs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Vitesse et accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Quelques mouvements d’un objet ponctuel dans le référentiel terrestre 107 Changement de référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Les lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Les forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Utilisation du principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Travail et énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Énergies potentielle et mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Oscillateurs en mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 Oscillateur non entretenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 Oscillateur entretenu, résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


IV Sommaire

4 Système de points matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851 Les grandeurs cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862 Étude Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 Solide en rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894 Collisions de deux points matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Deuxième partie. Électromagnétisme5 Charges électriques fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051 Champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062 Énergie potentielle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103 Le potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114 Flux du champ électrostatique, théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135 Applications du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6 Charges électriques en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411 Courant électrique et champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422 Mouvement d’une charge en présence de

E et

B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443 Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Troisième partie. Thermodynamique7 Modèles de gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1651 Le gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1662 Les gaz réels, phases condensées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173


Sommaire V

8 Évolutions de systèmes thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1771 Étude énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1782 Irréversibilité, second principe, entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Quatrième partie. Optique9 Principes et lois de l’optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042 Propagation rectiligne de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053 Les lois de la réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074 Les lois de la réfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085 Lois complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10 Images lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211 Systèmes optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2222 Objet-image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2223 Stigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

11 Les miroirs sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2331 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2342 Stigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2343 Relation de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242


VI Sommaire

12 Les lentilles sphériques minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2451 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2462 Lentilles convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2473 Lentilles divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2504 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Réponses au QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259


Première partie

Mécanique

1. Cinématique2. Dynamique3. Oscillateurs en mécanique4. Système de points matériels



Chapitre 1. Cinématique 3

CHAPITRE 1

CinématiqueSélectionner pour chaque question la (ou les) réponse(s) exacte(s)

1 À un référentiel donné, on peut associer :❏ Un seul❏ Plusieurs repères d’espace

2 La trajectoire d’un mobile dépend du référentiel d’étude :❏ Oui❏ Non

3 La position d’un mobile est définie par :❏ Un scalaire❏ Un vecteur❏ Trois scalaires

4 Le système solaire est un système déformable :❏ Oui❏ Non

5 Le temps mis pour traverser un fleuve dépend de :❏ La vitesse du courant❏ Sa direction❏ Son sens

6 Un avion décolle à 720 km.h–1 (30°/sol), en 1 min il atteint une altitude de :❏ 12 000 m❏ 600 m❏ 200 m

7 Un manège effectue 3 tours/min, sa vitesse angulaire est :❏ 0,05 rad.s–1

❏ 1,57 m.s–1

❏ 0,314 rad.s–1

8 Rotation de la terre/soleil, la norme de sa vitesse est :❏ 29 860 m.s–1

❏ 29,86 m.s–1

❏ 10 7515 km.h–1

➠ Réponses page 20


4 Chapitre 1. Cinématique

1 VecteursLa description du mouvement d’un objet ponctuel nécessite la connaissance de sa posi-tion, sa vitesse et son accélération au cours du temps.

Ces quantités sont des vecteurs qu’il est toujours possible de projeter sur la base directe orthonormée ( , , )u u u1 2 3

�� :

A a u a u a u�� = + +1 1 2 2 3 3 avec a a1 2, et a3 les composantes du vecteur A

��.

1.1. Produit scalaire

S AB AB= =�� . cosa avec a l’angle entre A

�� et B��

; ou encore, en utilisant les composantes :

S a b a b a b= + +1 1 2 2 3 3

Dans le cas particulier où les vecteurs A��

et B��

sont orthogonaux :

S = 0

1.2. Produit vectoriel

C A B B A�� = ∧ = − ∧ avec C AB= sin a et a l’angle entre A

�� et

B��

; ou encore :

C a b a b u a b a b u a b a b u�� = − + − + −( ) ( ) ( )2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3

Les vecteurs A��

, B��

et C��

forment un trièdre trirectangle direct.

Dans le cas particulier où les vecteurs A��

et B��

sont colinéaires :

C��

= 0

1.3. Propriétés des vecteurs unitaires ( , , )u u u1 2 3

�� d’une base orthonormée

directe• u u u u u u1 1 2 2 3 3 1��

. . .= = =

• u u u u u u1 2 1 3 2 3 0��

. . .= = =

• u u u u u u1 1 2 2 3 3 0�� ∧ = ∧ = ∧ =

• u u u1 2 3

�� ∧ = , u u u2 3 1

�� ∧ = , u u u3 1 2

�� ∧ =

2 Dérivation des champs vectoriels

2.1. Deux champs vectoriels associés V t( )� ��

et U t( )� ��

• X t V t U t( ) ( ) ( )� ��

= + → dX dt dV dt dU dt��

/ / /= +

• Y t V t U t( ) ( ) ( )= ⋅� ��

→ dY dt V dU dt dV dt U/ ( / ) ( / )= ⋅ + ⋅��

• Z t V t U t( ) ( )^ ( )� ��

= → dZ dt dV dt U V dU dt��

/ ( / ) ( / )= ∧ + ∧

�B

A

�

B

A

C



2.2. Champ vectoriel V t V t u t( ) ( ) ( )� ��

= dont la norme et l’orientation dépendent de t

a) Cas général

dV dt dV dt u V du dt��

/ ( / ) ( / )= +

b) Son orientation est fixe

( / ) ( / )dV dt dV dt u��

= → V��

et ( / )dV dt��

sont des vecteurs colinéaires.

c) Sa norme est constante

( / ) ( / )dV dt V du dt��

=

En utilisant les égalités d VV dt V dV dt( . ) / .( / )��

= 2 et VV V cste�� . = =2 on déduit la pro-

priété suivante :

V dV dt�� .( / ) = 0 à V

�� et ( / )dV dt

�� sont des vecteurs orthogonaux.

Ce cas s’applique à un vecteur unitaire et sa dérivée par rapport à t.

3 Champ scalaireUn champ (ou fonction scalaire) S peut dépendre de plusieurs variables (x, y, z,…), les variations de x ou/et y ou/et z induisent des variations de S.

Elles sont prises en compte séparément :dS S x dx S y dy S z dz= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂( / ) ( / ) ( / ) avec ( / )¶ ¶S x , ( / )¶ ¶S y et ( / )¶ ¶S z les dérivées partielles de S.

Exemple

Dans le cas de la fonction S x y z x xz y z( , , ) = + −2 6 5 2 on obtient :( / )∂ ∂ = +S x z2 6 est la dérivée de S par rapport à x (avec y et z fixés), ( / )∂ ∂ = −S y yz10 est la dérivée de S par rapport à y (avec x et z fixés) et ( / )∂ ∂ = −S z x y6 5 2 est la dérivée de S par rapport à z (avec x et y fixés).

Finalement, la variation globale de S s’écrit :

dS z dx yzdy x y dz= + − + −( ) ( )2 6 10 6 5 2

Remarque — Un champ vectoriel V��

peut également dépendre de plusieurs variables, à travers sa norme ou/et son orientation, il convient d’appliquer la procédure précédente. Un exemple sera détaillé pour les coordonnées sphériques (voir le paragraphe « Repé-rage »).



4 Repérage

4.1. Référentiel

Le repérage d’un objet ponctuel d’intérêt est effectué dans un référentiel R défini par : un solide de référence (S), un repère d’espace et le temps.

Le solide de référence (S) est celui par rapport auquel le mouvement de l’objet est étudié. Le repère d’espace, lié au solide (S), comprend un point origine et trois axes orthonor-més (repère cartésien).

Le temps est indépendant du référentiel, au moins pour les applications que nous abor-derons ici ; cependant en mécanique relativiste (A. Einstein 1905), le temps perd son caractère absolu.

Si l’on change de référentiel, c’est-à-dire de solide de référence, le mouvement d’un objet change.

Par exemple : un individu (objet) en mouvement dans un train n’a pas le même mouve-ment, par rapport au référentiel R1 (lié au quai S1) et par rapport au référentiel R2 (lié au train S2), sauf si le train est à l’arrêt.

Le mouvement d’un objet est donc relatif.

4.2. Les différents repères

a) Généralités

Il existe de nombreux systèmes de coordonnées ou repères liés au solide de référence (S) : on peut changer le point origine, l’orientation des axes et/ou les variables permet-tant la localisation de l’objet

Le choix d’un système de coordonnées peut être quelconque, cependant il est préférable de tenir compte des symétries et/ou des particularités du problème à traiter.

Trois systèmes de coordonnées sont couramment utilisés, pour repérer un objet ponc-tuel situé en M.

b) En coordonnées cartésiennes ( , , , )O Ox Oy Oz

Le vecteur position s’écrit OM xu yu zux y z

� �� = + + et sa norme

OM x y z= + +( ) /2 2 2 1 2.

La base ( , , )u u ux y z

�� est orthonormée et directe.

Les scalaires x, y et z sont les composantes du vecteur position, ils sont obtenus en projetant OM

� �� sur les axes Ox , Oy et Oz :

x OM ux= .��

, y OM uy= .��

et z OM uz= .��

.

Les vecteurs unitaires sont fixes :

du dt du dt du dtx y z

�� / / /= = = 0.

z

Mzu

y

x

Oz

xu yu



c) En coordonnées cylindriques ( , , , )O r zq

Le vecteur position s’écrit OM ru zur z

� �� = + et sa norme OM r z= +( ) /2 2 1 2.

La base utilisée ( , , )u u ur z

�� q est orthonormée et directe.

Les scalaires r, q (0 à 2p) et z définissent la position de M.

z yzu

u�ru

O

M

O

P

�

z u�r

ru

yx �

Ox

O

P

�

r

Les vecteurs unitaires u u ur x y

�� = +cos sinq q et u u ux yq q q

�� = − +sin cos dépendent de

l’angle q( )t .

Le vecteur position peut être projeté sur la base ( , , )u u ux y z

�� :

OM r u r u zux y z

� �� = + +cos sinq q .

Les dérivées des vecteurs unitaires, par rapport à t, s’écrivent :• Pour ur

�� : du dt du d d dtr r

�� / ( / )( / )= q q , ou encore du dt d dt ur

�� / ( / )= q q en utili-

sant du d u u ur x y

�� / sin cosq q q q= − + = .

• Pour uq

�� : du dt du d d dtq q q q��

/ ( / )( / )= , ou encore du dt d dt urq q��

/ ( / )= − en utili-

sant du d u u ux y rq q q q��

/ (cos sin )= − + = − .

d) En coordonnées sphériques ( , , , )O r θ φ

Le vecteur position s’écrit OM rur� ��

= et sa norme OM r= .

La base utilisée (u u ur

�� , ,θ φ ) est orthonormée et directe.

Les scalaires r, q (0 à p) et f (0 à 2p) définissent la position de M.

z

M

yP

zM

ru ruu�

u�

y

�

�O

M

x�O

P

�u�u�

�

r

x P

Les vecteurs unitaires :u u u ur x y z

�� = + +sin (cos sin ) cosθ φ φ θ , u u u ux y zθ θ φ φ θ

�� = + −cos (cos sin ) sin et

u u ux yf f f�� = − +sin cos

dépendent des angles q( )t et f( )t .



Le vecteur position peut être projeté sur la base ( , , )u u ux y z

�� :

OM r u r u r ux y z

� �� = + +sin cos sin sin cosθ φ θ φ θ .

Les dérivées des vecteurs unitaires, par rapport à t s’écrivent :• Pour ur

�� : la dérivation de ur

�� génère deux termes :

– ∂ ∂ = + −u u u ur x y z

�� / cos (cos sin ) sinθ θ φ φ θ , la dérivée partielle par rapport à q

(f fixé) ;– ∂ ∂ = − +u u ur x y

�� / sin ( sin cos )φ θ φ φ , la dérivée partielle par rapport à f (q fixé).

Alors la dérivée de ur��

, par rapport au temps

du dt u d dt u d dtr r r

�� / ( / )( / ) ( / )( / )= ∂ ∂ + ∂ ∂θ θ φ φ ,

peut être utilement réécrite comme suit :

du dt d dt u d dt ur

�� / ( / ) ( / )sin= +θ φ θθ φ .

• Pour uq

�� : a même procédure est utilisée pour dériver uq

��, par rapport à q et f :

– ∂ ∂ = − + −u u u ux y zθ θ θ φ φ θ��

/ sin (cos sin ) cos

– ∂ ∂ = − +u u ux yθ φ θ φ φ��

/ cos ( sin cos ).

Alors, la dérivée de uq

�� par rapport au temps

du dt u d dt u d dtθ θ θθ θ φ φ��

/ ( / )( / ) ( / )( / )= ∂ ∂ + ∂ ∂ .

peut se réécrire :

du dt d dt u d dt urθ φθ φ θ��

/ ( / ) ( / )cos= − +

• Pour uf

�� : La dérivée de uf

�� s’écrit :

du dt du d d dtf f f f��

/ ( / )( / )= ,

ou encore du dt d dt u urφ θφ θ θ��

/ ( / )(sin cos )= − + en utilisant

du d u ux yf f f f��

/ (cos sin )= − + et cos sin sin cosφ φ θ θ θu u u ux y r

�� + = + .

4.3. Remarques utiles• Les coordonnées cylindriques sont utiles pour traiter une rotation autour d’un axe.

Si le mouvement est plan, z = cte et on utilisera les coordonnées polaires (r et q). • Les coordonnées géographiques utilisent la symétrie sphérique de la terre.• La trajectoire d’un objet ponctuel est constituée par l’ensemble des positions qu’il

occupe au cours du temps.Elle dépend du référentiel et son équation relie les composantes du vecteur positionOM� ��

entre elles, après avoir éliminé la variable t. Dans le cas d’une trajectoire circulaire dans le plan xOy, l’équation x y R2 2 2+ = s’obtient à partir de x R t= cos w et x R t= cos w .



5 Vitesse et accélération

5.1. Définitions

a) Le vecteur vitesse est la dérivée temporelle du vecteur position

V t dOM dt( ) /� ��

=

Il est porté par la tangente en M à la trajectoire et dépend du référentiel.

b) Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse

A t dV dt d OM dt( ) / /� ��

= = 2 2

Il dépend également du référentiel.

5.2. Expressions

a) En coordonnées cartésiennes

Le vecteur vitesse s’écrit :

V t v u v u v ux x y y z z( )� �� = + +

avec v dx dt v dy dt v dz dtx y z= = =/ , / , / et sa norme V v v vx y z= + +( ) /2 2 2 1 2.

Le vecteur accélération s’écrit :

A t dV t dt a u a u a ux x y y z z( ) ( ) /� �� = = + +

avec a d x dt a d y dt a d z dtx y z= = =2 2 2 2 2 2/ , / , / et sa norme A a a ax y z= + +( ) /2 2 2 1 2.

b) En coordonnées cylindriques


V t dOM dt v u v u v ur r z z( ) /� �� = = + +q q .

En utilisant OM ru zur z

� �� = + → dOM dt dr dt u r d dt u dz dt ur z

� �� / ( / ) ( / ) ( / )= + +q q

(voir la dérivation de vecteurs unitaires dans le paragraphe « Repérage » ) et après iden-tification, il vient :

v dr dt v r d dt v dz dtr z= = =/ , ( / ), /q q et la norme V v v vr z= + +( ) /2 2 2 1 2q .


A t dV dt a u a u a ur r z z( ) /� �� = = + +q q .

Après dérivation du vecteur vitesse V t( )� ��

, on obtient :a d r dt r d dtr = −( / ) ( / )2 2 2q ,

a r d dt dr dt d dtq q q= +( / ) ( / )( / )2 2 2 ,

a d z dtz = 2 2/ et la norme A a a ar z= + +( ) /2 2 2 1 2q .



c) En coordonnées sphériques


V t dOM dt v u v u v ur r( ) /� �� = = + +θ θ φ φ .

En utilisant OM rur� ��

= → dOM dt dr dt u r d dt u r d dt ur

� �� / ( / ) ( / ) ( / )sin= + +θ φ θθ φ

(voir la dérivation de vecteurs unitaires dans le paragraphe « Repérage ») et après identi-fication, il vient :

v dr dtr = / , v r d dtq q= ( / ), v r d dtφ φ θ= ( / )sin

et la norme V v v vr= + +( ) /2 2 2 1 2θ φ .


A t dV dt a u a u a ur r( ) /� �� = = + +θ θ φ φ .

Après dérivation du vecteur vitesse V t( )� ��

, on obtient :a d r dt r d dt r d dtr = − −( / ) ( / ) ( / ) sin2 2 2 2 2θ φ θ,

a r d dt dr dt d dt r d dtθ θ θ φ θ θ= + −( / ) ( / )( / ) ( / ) sin cos2 2 22 ,

a r d dt dr dt d dt r d dt d dtφ φ θ φ θ θ φ θ= + +( / )sin ( / )( / )sin ( / )( / )cos2 2 2 2 et la

norme A a a ar= + +( ) /2 2 2 1 2θ φ .

6 Quelques mouvements d’un objet ponctuel dans le référentiel terrestre

Le mouvement d’un objet ponctuel M peut être compliqué et se développe dans l’espace (3D) ; cependant, on peut généralement le décomposer en une suite de translations et de rotations.

Le référentiel terrestre R (le solide de référence T terre= et un repère d’espace carté-sien (O Ox Oy Oz, , , ), par rapport auquel le mouvement est évalué dans ce paragraphe, est considéré comme « absolu » (voir le chapitre suivant « dynamique »). Voyons quelques mouvements particuliers.

6.1. Un mouvement rectiligne

Il s’effectue, par définition, sur une droite.

Il est souvent possible de choisir un axe de coordonnée ( )Ox suivant la direction du mou-vement, on peut alors écrire :

V t v t ux x( ) ( )� ��

= et OM t x t ux( ) ( )� ��

= , obtenus en intégrant A t a t ux x( ) ( )� ��

= .

Les constantes d’intégration sont fixées par les conditions initiales V t v ux( )= =0 0

� �� et

OM t x ux( )= =0 0

� �� :

• Dans le cas particulier où la vitesse est constante :A t dV dt( ) /� ��

= =0 → V t v u dOM dtx( ) /� ��

= =0 → OM t v t x ux( ) ( )� ��

= +0 0 .



• Dans le cas particulier où l’accélération est constante :A t a u dV dtx( ) /� ��

= =0 → V t a t v u dOM dtx( ) ( ) /� �� = + =0 0 →

OM t a t v t x ux( ) (( / ) )� ��

= + +1 2 02

0 0 .

Si A t V t( ). ( )� ��

> 0, le mouvement est uniformément accéléré ;

si A t V t( ). ( )� ��

< 0, le mouvement est uniformément retardé.Pour la chute libre d’un objet ponctuel, l’accélération est constante.

• Dans le cas particulier d’un mouvement sinusoïdal, l’accélération n’est pas constante :A t Cxux( )� �� = − , avec C une constante positive.

Une solution convenable est :OM t x t um x( ) cos( )� ��

= +ω φ et V t x t um x( ) sin( )� �� = − +ω ω φ , avec la pulsation

w = C 1 2/ .Les conditions initiales s’écrivent :x xm0 = cosf et v xm0 = −ω φsin .

Elles permettent de fixer l’amplitude xm et la phase f :x x v Cm = +( / ) /

02

02 1 2 et tan / ( )/f = −v x C0 0

1 2 .Par exemple :V t( )= =0 0� ��

et OM t x ux( )= =0 0

� �� à x xm = 0 et f = 0.

6.2. Rotation d’un objet ponctuel dans un plan perpendiculaire à un axe fixe

Dans cette situation, les coordonnées polaires r et q conviennent et l’on peut écrire :OM t Rur( )� ��

= , V t dOM dt R d dt u R u( ) / ( / )� ��

= = =θ ωθ θ et

A t R d dt u R d dt u R u R d dtr r( ) ( / ) ( / ) ( /� �� = − + = − +θ θ ω ωθ

2 2 2 2 ))uθ��

,

avec R le rayon du cercle parcouru par l’objet ponctuel et ω θ( ) /t d dt= sa vitesse angulaire.Dans le cas particulier où la vitesse angulaire est constante ( )w w= 0 :– Le mouvement est circulaire uniforme.– La vitesse a un module constant : V t R u( )

� �� = ω θ0 .

– L’accélération est radiale et centripète : A t R ur( )� �� = − w0

2 .

– Pour un mouvement hélicoïdal uniforme, on rajoutera z = at.



Exemples de mouvements

zV Vy

M

V V

uru

u �u �

x�

M M

xu

yu

yuzu

ru

x yxuy

circulaire hélicoïdal cy

7 Changement de référentielUn référentiel R′, en mouvement par rapport à R, peut être utile pour l’étude du mouve-ment d’un objet ponctuel M.

Ce paragraphe est consacré à différents mouvements possibles de R′ par rapport à R. L’objet ponctuel M étant immobile dans R′, on définira sa vitesse et son accélération d’entraînement par rapport à R.

7.1. Translation de R′ ( ; , , )¢ ¢ ¢ ¢O u u ux y z

� �� par rapport à R

La position de M, s’écrit :

OM OO O M� �� = ′ + ′ avec ′ = ′ + ′ + ′ =′ ′ ′O M x u y u z u cx y z

ste� ��

.

La vitesse et l’accélération d’entraînement de M sont :

v M v OE R( ) ( )� ��

= ′

a M a OE R( ) ( )� ��

= ′

7.2. Rotation, autour de l’axe Oz , de R′ ( ; , , )O u u ur z

�� q par rapport à R

z y u�ru

O �zu

r

� M

yx �

O xO

M

�u�

rur

La position de M, s’écrit :

OM ru rr

� �� = = .

La vitesse d’entraînement de M est :

v M dOM dt r uE ( ) /� ��

= = ω θ (r cste= et du dt ur

�� / = ω θ ).



En définissant w w��

= uz le vecteur vitesse de rotation angulaire de R′ par rapport à R, on peut réécrire utilement la vitesse d’entraînement :

v M rE ( )� ��

= ∧w .

L’accélération d’entraînement de M s’obtient par dérivation :

a dv dt r d dt u r uE E r

� �� = = −/ ( / )ω ωθ

2

ou encore

a d r dt d dt r vE E

� �� = ∧ = ∧ + ∧( ) / ( / )w w w

Elle comporte deux composantes :r d dt u d dt r( / ) ( / )ω ωθ

�� = ∧ ortho radiale, et

− = ∧ = ∧ ∧r u v rr Ew w w w2��

( ) radiale (centripète).

Dans le cas particulier d’une rotation uniforme ( )w = cste , de R′ par rapport R, seule la composante radiale de l’accélération d’entraînement subsiste :

a r u v rE r E

� �� = − = ∧ = ∧ ∧w w w w2 ( )

7.3. Mouvement combiné (translation + rotation) de R′ par rapport à R

La vitesse d’entraînement de M est :

v M v O O ME R( ) ( )� ��

= ′ + ∧ ′w .

L’accélération d’entraînement de M s’écrit :

a M a O d dt O M O ME R( ) ( ) ( / ) (� ��

= ′ + ∧ ′ + ∧ ∧ ′w w w��

).

7.4. Composition des mouvements

Un objet ponctuel M est en mouvement par rapport aux référentiels R et R′, eux-mêmes en mouvement l’un par rapport à l’autre.

Dans ce paragraphe, on établit la relation entre les vitesses v MR¢( )� ��

et v MR( )� ��

d’une part, les accélérations a MR¢( )

� �� et a MR( )� ��

d’autre part.

a) Dérivation d’un vecteur A��

par rapport au temps, dans R et R′

Par rapport au référentiel R, on écrit :A a u a u a ux x y y z z

�� = + + avec ( , , )u u ux y z

�� des vecteurs fixes dans R, puis

( / ) ( / ) ( / ) ( / )dA dt da dt u da dt u da dt uR x x y y z z

�� = + + .

Par rapport au référentiel R′, on écrit :A a u a u a ux x y y z z

�� = + +′ ′ ′ ′ ′ ′ avec ( , , )u u ux y z¢ ¢ ¢

� �� des vecteurs fixes dans R′, puis

( / ) ( / ) ( / ) ( / )dA dt da dt u da dt u da dt uR x x y y z z

�� ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + +

��.



On peut dériver la deuxième expression de A��

par rapport à R :( / ) ( / ) ( / ) ...dA dt da dt u a du dtR x x x x R

�� = + +′ ′ ′ ′ idem en y′ et z′ avec ( , , )u u ux y z¢ ¢ ¢

� ��

des vecteurs mobiles en rotation ( )w w w�� = = ′u uz z dans R.

D’autre part, on peut écrire :u u ux x y′ = +� ��

cos sinq q , puis

( / ) ( / )( sin cos )du dt d dt u u ux R x y y′ ′= − + =� ��

θ θ θ ω ou encore

( / )du dt ux R x′ ′= ∧� ��

w ( )u u uy z x′ ′ ′= ∧� ��

Compte tenu des résultats précédents, on obtient la relation suivante : ( / ) ( / )dA dt dA dt AR R

�� = + ∧′ w , valable quel que soit le vecteur A

��.

b) Loi de composition des vitesses

Pour l’objet ponctuel M, on écrit :OM OO O M� �� = ′ + ′ , puis

( / ) ( / ) ( / )dOM dt dOO dt dO M dtR R R

� �� = ′ + ′ .

On utilise :( / ) ( )dOM dt v MR R

� �� = ,

( / ) ( )dOO dt v OR R′ = ′

� �� ,

( / ) ( / )dO M dt dO M dt O MR R′ = ′ + ∧ ′′

� �� w et ( / ) ( )dO M dt v MR R

′ =′ ′

� �� .

Il vient la relation entre les vitesses de M :v M v M v MR R E( ) ( ) ( )� ��

= +′ avec la vitesse d’entraînement de M

v M v O O ME R( ) ( )� ��

= ′ + ∧ ′w .

c) Loi de composition des accélérations

On obtient l’accélération à partir de la vitesse de M :

a M dv M dt dv O dt dR R R R R( ) ( ( ) / ) ( ( ) / ) (� ��

= + ′ +′ w��

/ ) ( / )dt O M dO M dt R∧ ′ + ∧ ′w .

On utilise :( ( ) / ) ( ( ) / ) ( )dv M dt dv M dt v MR R R R R′ ′ ′ ′= + ∧� ��

w��

,

( ( ) / ) ( )dv M dt a MR R R′ ′ ′=� ��

,

( ( ) / ) ( )dv O dt a OR R R′ = ′

� �� ,

( / ) ( / )dO M dt dO M dt O MR R′ = ′ + ∧ ′′

� �� w puis

w w w w�� ∧ ′ = ∧ + ∧ ∧ ′′( / ) ( ) ( )dO M dt v M O MR R

avec ( / ) ( )dO M dt v MR R′ =′ ′

� �� .



Il vient la relation entre les accélérations de M :a M a M a M a MR R E C( ) ( ) ( ) ( )� ��

= + +′ avec

a M a O d dt O M O ME R( ) ( ) ( / ) (� ��

= ′ + ∧ ′ + ∧ ∧ ′w w w��

) l’accélération d’entraînement

de M eta M v MC R( ) ( )� ��

= ∧ ′2w l’accélération de Coriolis de M.

d) Cas particuliers

• Dans le cas d’une translation :w�� = → = ′0 a M a OE R( ) ( ), l’accélération d’entraînement est indépendante de M.

• Dans le cas d’une rotation uniforme :

w w w�� = → = ∧ ∧ ′c a M O Mste

E ( ) ( ).

• L’accélération de Coriolis a MC ( )� ��

est nulle si :w��

= 0 translation de R′ par rapport à R,

v MR′ =( )� ��

0 M immobile par rapport à R′ ou w��

/ / ( )v MR¢ .



Synthèse

Définitions

Repères Vecteur position OM� ��

Vecteur vitesse �

� ��

VdOMdt

=

Vecteur accélération�

� � ��

adVdt

d OM

dt= =

2

2

Car

tésie

nnes

Sur ux��

x dxdt

d x

dt

2

2

Sur uy��

y dydt

d y

dt

2

2

Sur uz��

z dzdt

d z

dt

2

2

Cyl

indr

ique

s Sur ur��

r drdt

d r

dtrddt

2

2

2

−

q

Sur uq

��0 r

ddtq r

d

dtrdrdt

ddt

2

22

q q

+

Sur uz��

z dzdt

d z

dt

2

2

Sphé

rique

s

Sur ur��

r drdt

d r

dtrddt

rddt

2

2

2 2

−

−

θ ϕsin θθ

Sur uq

��0 r

ddtq

rd

dt

drdt

ddt

rddt

2

22

θ θ ϕ

+

−

2

sin cosθ θ

Sur uj

� ��0 r

ddtϕ

θ

sin r

d

dt

drdt

ddt

2

22

ϕθ

ϕ

+

sin sinn cosθ

θ ϕθ+

2r

ddt

ddt

Loi de composition des mouvements• Vitesses : V M V M V MR R E

� �� ( ) = ( ) + ( )′ avec V M V O O ME R

� �� ( ) = ′( ) + ∧ ′w

• Accélérations : a M a M a M a MR R E C

� �� ( ) = ( ) + ( ) + ( )′ avec

a M a Oddt

O M O ME R

� �� ( ) = ′( ) +

∧

′ + ∧ ∧ ′ww w

a M V MC R

� �� ( ) = ∧ ( )′2w



Exercices

Exercice 1Soit : un repère cartésien fixe ( , , , )O u u ux y z

�� et une base orthonormée directe ( , , , )M u u ur z

�� q

dont les vecteurs ur��

et uq

�� tournent autour de l’axe Oz avec la vitesse angulaire ω θ( ) /t d dt= ,

q étant l’angle entre ux��

et ur��

.1. Tracer le repère cartésien et la base mobile sur une même figure.2. Calculer du dtr

��/ , du dtq

��/ et du dtz

��/ , exprimer les résultats dans la base ( , , )u u ur z

�� q .

Exercice 2Soit R le référentiel terrestre (solidaire de la terre) muni d’un repère cartésien ( , , , )O u u ux y z

�� ,

O étant le centre de la terre et uz��

orientant l’axe de la terre vers le nord.1. Trouver le vecteur vitesse V t( )

� �� d’un avion repéré par un point M tel que OM rur

� �� = par

rapport au repère cartésien, exprimer le résultat en coordonnées sphériques.2. Faire une figure avec la position et les composantes du vecteur vitesse de l’avion.3. Discuter les cas particuliers où seulement une seule des trois coordonnées varie, les deux

autres étant constantes.

Exercice 3Un individu nage (en ligne droite) du point A vers le point B et retourne vers A, le module de sa vitesse VP est constant, par rapport au courant.Une première fois, le vecteur vitesse VC

� �� du courant est orienté de A vers B durant tout le par-

cours.La deuxième fois, le courant est nul.Comparer les temps mis par l’individu lors de ses deux sorties. Commenter.

Exercice 4Un bateau M effectue la traversée entre Carteret (point A) et l’île de Jersey (point B), distant d’environ 30 km.Le vecteur vitesse V

�� du courant marin est constamment perpendiculaire à AB, sa norme est

nulle sur chacune des deux rives et augmente linéairement jusqu’à atteindre son maximum Vmax = 2 m.s–1 à AB / 2.Le vecteur vitesse v

du bateau, par rapport au courant, est constant v = 5 m s–1 et orthogonal à V��

durant tout le trajet.1. Quelle est la trajectoire du bateau ?2. En déduire la distance BB′ (B′ est le point d’accostage du bateau) et la durée de la traversée.



Exercice 5Un secouriste, assis au bord de l’eau (en A), aperçoit un touriste en détresse (en B) à la distance dN du bord .On note : C la projection de B sur le bord de la plage et D le point où le secouriste se jette à l’eau.Il se déplace à vitesses constantes : vC en course et vN à la nage.Calculer la distance x CD= qui permet de minimiser le temps mis par le secouriste, pour atteindre le naufragé.On donne dN = 100 m, v vC N= =3 6 m.s–1.

Exercice 6 Un objet ponctuel M se déplace suivant l’axe Ox, son vecteur accélération s’écrit : A t kV ux( )� �� = − 2 , k est une constante et V la vitesse de l’objet.

On donne : x t x( )= =0 0 et V t V( )= =0 0.

1. Trouver les expressions des vecteurs V t( )� ��

puis OM t( )� ��

.2. Montrer que le vecteur vitesse peut s’écrire : V x V k x x ux( ) exp( ( ))

� �� = −0 0 .

Exercice 7La lune effectue, à vitesse constante et sur une orbite circulaire de rayon R = 3 84 105, km, un tour complet de la terre en 28 jours. 1. Calculer w sa vitesse de rotation et V la norme de sa vitesse.2. Trouver l’orientation de l’accélération qu’elle subit et calculer son module A.

Exercice 8Un objet se déplace dans un plan, son vecteur position s’écrit :OM t A t u A t ux x y y( ) cos( ) sin( )� ��

= +w w0 0 , avec A Ax y, et w0 trois constantes positives.

1. Calculer son vecteur accélération A t( )� ��

.Montrer qu’il est proportionnel à OM t( )

� ��.

2. Exprimer A t( )� ��

en coordonnées polaires ( , )r q .En déduire les relations suivantes : d r dt r2 2 2

02/ ( )= −w w et r cste2w = , avec r OM= et

ω θ= d dt/ .3. Écrire l’équation de la trajectoire de l’objet.

Exercice 9Une ambulance roule à vitesse constante v v uA A x

�� = le long d’une avenue.

Sa sirène émet des sons à intervalle régulier ( )∆t T= .Un observateur immobile mesure leurs fréquences : fA durant l’approche puis fE durant l’éloi-gnement de l’ambulance.La vitesse du son (dans l’air) est vS = 340 m.s–1.1. Trouver les expressions de fA et fE en fonction T, vA et vS .2. En déduire la valeur de vA, sachant que fA = 550 Hz et fE = 450 Hz.



Exercice 10En coordonnées cartésiennes, le vecteur position d’un point M s’écrit : OM t a t u a t u btux y z( ) cos( ) sin( )� ��

= + +w w , avec a, b et w et des constantes.

1. Calculer les vecteurs vitesse V t( )� ��

et accélération A t( )� ��

en coordonnées cartésiennes.2. Écrire les équations du mouvement en coordonnées cylindriques ( , , )r zq . À quel type de

mouvement a-t-on à faire ?3. En déduire les expressions de V t( )

� �� et A t( )� ��

en coordonnées cylindriques.4. Calculer la norme de la vitesse.

En déduire la distance parcourue par le point M sur sa trajectoire, en une période de révo-lution.

Exercice 11Un cerceau de centre O et de rayon R roule, sans glisser, sur le sol avec la vitesse angulaire fixe w et reste constamment dans un plan vertical.R est le référentiel fixe muni du repère ( , , )O u ux y

�� avec Ox horizontal et Oy vertical.

Au temps t = 0, un point M du cerceau coïncide avec le point O. On note : I le point de contact entre le cerceau et l’axe Ox et q( )t l’angle entre CI

� �� et CM� ��

.1. Faire une figure en utilisant l’ensemble des données précédentes.2. Exprimer la condition de roulement sans glissement de la roue.

En déduire la vitesse du point C.3. Trouver x t( ) et y t( ), les coordonnées du point M, en fonction de R et q.4. Calculer les vecteurs vitesse V t( )

� �� et accélération A t( )

� ��.

5. Montrer que A t( )� ��

est proportionnel à CM t( )� ��

et que V t( )� ��

est perpendiculaire à IM� ��

.

Exercice 12Un tourniquet hydraulique ( )MN tourne avec la vitesse angulaire w, autour de l’axe vertical ( )Oz perpendiculaire au plan de la figure. L’eau est éjectée en M (et N) avec la vitesse VT

� �� par rapport au tourniquet.

On note : d OM= et a l’angle entre –uq

�� et VT� ��

.1. Calculer le vecteur vitesse VR

� ��, de l’eau par rapport au référentiel fixe R muni du repère

( , , , )O u u ux y z

�� , exprimer le résultat obtenu dans la base ( , )u ur

�� q .

2. En déduire le vecteur accélération AR� ��

de l’eau par rapport à R. 3. Discuter le cas particulier où la vitesse angulaire vaut : ω α=V dT cos / .

yu� ru

�Mdyu

�

TV

xOxuN



Exercice 13Un train se déplace vers le nord, à la vitesse v Tterre( ) = 150 km.h–1.Un individu avance dans le couloir vers l’avant du train, à la vitesse v Itrain( ) = 4 km.h–1.Un oiseau vole vers le sud, à la vitesse v Oindividu( ) = 50 km.h–1.Définir différents référentiels possibles et calculer la vitesse de l’oiseau par rapport à la terre.

Exercice 14Deux tiges T OA L1 1( )= et T AB L2 2( )= , liées au point A, forment un ensemble tournant autour de Oz dans le plan Oxy.La tige T1 étant fixée en O, on définit les angles :α ω= 1t (entre T1 et Ox) et β ω= 2t (entre T2 et T1).

Au temps t = 0, les deux tiges sont alignées sur l’axe Ox.1. Faire une figure représentant l’ensemble T T1 2+ en mouvement.

2. Écrire les composantes des vecteurs OA� ��

et AB� ��

dans le référentiel R′ lié à la tige T1.3. Trouver la vitesse v BR¢( )

� �� du point B par rapport au référentiel R′ et la vitesse d’entraîne-

ment v BE ( )� ��

du point B, due au mouvement de la tige T1 par rapport au référentiel fixe R. En déduire l’expression de la vitesse v BR( )

� �� du point B par rapport à R.

4. Calculer l’accélération a BR( )� ��

du point B par rapport à R.Identifier les différents termes obtenus.

Réponses au QCM

1) plusieurs ; 2) oui ; 3) 1 vecteur, 3 scalaires ; 4) oui ; 5) les 3, sauf si direction // aux rives ; 6) 6 000 m ; 7) 0,314 rad.s–1 ; 8) 29 860 m.s–1, 107 515 km.h–1

Solutions des exercices

Exercice 11. z zu u�

OM

�

zuru

xy�

Pxu yur


SOMMAIRE

I. Mécanique1. Cinématique2. Dynamique3. Oscillateurs en mécanique4. Système de points matériels

II. Electromagnétisme5. Charge électriques fixes6. Charges électriques en

mouvement

III. Thermodynamique7. Modèles de gaz8. Évolutions de systèmes thermo-

dynamiques

IV. Optique9. Principes et lois de l’optique

géométrique10. Images lumineuses11. Les miroirs sphériques12. Les lentilles sphériques minces

C onforme aux cursus des Licences scienti-fiques, ce manuel permet aux étudiants de renforcer leurs compétences et leur autono-

mie en physique durant toute leur première année de Licence. Le contenu traite du socle de connais-sances commun à l’ensemble des universités.

Dans chaque chapitre• Un QCM d’évaluation pour tester ses acquis.

• Des rappels de cours et leur synthèse pour réviser les grandes notions abordées durant l’année.

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FONDAMENTAUX PHYSIQUE · 2020. 5. 20. · 4 Chapitre 1. Cinématique 1 Vecteurs La description du mouvement d’un objet ponctuel nécessite la connaissance de sa posi-tion, sa vitesse