Formalisation pour les sciences sociales et politiques ...homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/lesson02.pdf · Logique des prédicats et syllogismes MatteoGagliolo [email protected]

Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes

Formalisation pour les sciences sociales et politiquesLogique des prédicats et syllogismes

Matteo [email protected]

Université libre de Bruxelles

SOCA-D173 2016-2017, Leçon 2

Gagliolo (ULB) Logique des prédicats et syllogismes SOCAD173:2 1 / 39


Plan de la leçon

I PropositionsI NégationI FormesI Inférences immédiates et carré logiqueI Diagramme de Venn à 3 ensemblesI Syllogismes

Syllabus : Ch 4.



D’abord : ça sert à quoi ?

La logique :I est fondamentale pour construire des raisonnements valides ;I est le « ciment » qui tient ensemble toute construction mathématique ;I permets de mieux comprendre la théorie de la probabilité

(STAT-D103) ;I est à la base de l’informatique (INFO-D203) ;I est indispensable pour interroger des bases des données.



Propositions

I Proposition : une phrase dont on peut se demander si elle est vraieou fausse.

I Principe de bivalence : une proposition est soit vraie soit fausse.

I Logique des propositions : étudie les relations entre propositions, enles considérant des « atomes » (Ch. 3).

I Logique des prédicats : étudie la structure des propositions, et lesrelations qui en suivent (Ch. 4).



Structure d’une proposition*

sujet – copule – prédicat

Sur base du sujet, on distingue entre :

I propositions singulières : le sujet est un terme singulier« Socrate est un philosophe »

I propositions générales : le sujet est un terme générale« Tout philosophe est un homme »,« Certains hommes sont des philosophes »

Prédicat : terme générale.



Propositions singulières

Exemple : « Socrate est un philosophe ».

C’est une relation d’appartenance d’un élément (sujet) à un ensemble(prédicat).

x ∈ P.

La copule peut être implicite :

« Socrate nage »

signifie :

« Socrate est un nageant ».



Propositions générales

Dans ce cas, le sujet est aussi un ensemble, et la copule dessine unerelation ensembliste avec le prédicat.Exemples :

« Tout philosophe est un homme »« Certains hommes sont des philosophes »« Aucun homme n’est un âne »



Négation d’une proposition

Proposition singulière : négation banale.

Proposition Négation

Socrate est un philosophe Socrate n’est pas un philosophe

x∈P x /∈P

Propositions avec termes généraux

« Tout philosophe est un homme »,« Aucun homme n’est un âne ».

Négation ?



Négation d’une proposition : exemple

Proposition : Tous les cygnes sont blancNégation : Il existe (au moins) un cygne qui n’est pas blanc



Négation d’une proposition : exemple

Proposition : Aucune poule n’a des dentsNégation : Il existe (au moins) une poule qui a des dents



Négation vs. contraire

Pour les propositions contenant des termes généraux :

négation et contraire sont deux concepts différents.

Proposition : Toutes les poules ont des dentsNégation : Certaines poules n’ont pas de dents

Contraire : Aucune poule n’a des dents

Pour nier la proposition : un seul contre-exemple suffit.Pour affirmer le contraire : la proposition ne doit être vérifiée pour aucundes éléments de l’ensemble.Proposition singulière : pas de distinction entre négation et contraire.

Proposition : Socrate est un philosopheNégation/Contraire : Socrate n’est pas un philosophe



Structure d’une proposition générale

On peut classifier les propositions générales selon deux aspects :

quantité et qualité

QuantitéInformation sur l’extension du sujet :

I universelles : information sur tous les éléments d’un ensemble :« Tous les philosophes sont des hommes. »« Aucune poule n’a des dents. »

I particulières : information sur certains (au moins un) des élémentsd’un ensemble :

« Certains hommes sont des philosophes. »« Certains cygnes ne sont pas blancs. »



Structure d’une proposition générale

On peut classifier les propositions générales selon deux aspects :

quantité et qualité

QualitéLa qualité dépend tout simplement de la copule utilisée :

I affirmatives :« Tous les philosophes sont des hommes. »« Certains hommes sont des philosophes. »

I négatives :« Aucune poule n’a des dents. »« Certains cygnes ne sont pas blancs. »



Formes possibles

On a donc 2 critères, chacun prenant 2 valeurs possibles, ce qui nous fait22 = 4 combinaisons possibles.

Négative

AffirmativeParticulière

Négative

Affirmative

Universel

le



Formes possibles

On a donc 2 critères, chacun prenant 2 valeurs possibles, ce qui nous fait22 = 4 combinaisons possibles.

Qualité

Affirmative Négative

Qua

ntité

Uni

vers

elle

Tout S est P Aucun S n’est P

Par

ticu

lière

Au moins un S est P Au moins un S n’est pas P



Les quatre formes

On a donc défini 4 formes possibles de propositions générales.Par convention, elles sont indiquées par les voyelles a, e, i , o :

Quantité et Qualité Exemple

a Universelle affirmative Tous les cygnes sont blancs

e Universelle négative Aucun cygne n’est blanc

i Particulière affirmative Au moins un cygne est blanc

o Particulière négative Au moins un cygne n’est pas blanc



Diagrammes de VennExercice 1 : Dessiner les diagrammes de Venn des quatre formes.

Ω

S P

a : Tous les S sont des P.

Ω

S P

e : Aucun S n’est un P.

Ω

S P

i : Au moins un S est un P.

Ω

S P

o : Au moins un S n’est pas un P.Gagliolo (ULB) Logique des prédicats et syllogismes SOCAD173:2 15 / 39


Diagrammes de Venn

Ω

S P

a : Tous les S sont des P.

Ω

S P

e : Aucun S n’est un P.

Ω

S P

i : Au moins un S est un P.

Ω

S P

o : Au moins un S n’est pas un P.



Les quatre formes comme relations entreensembles

Exercice 2.1 : Les quatre formes représentent des relations entre lesensembles S et P . En utilisant les relations et les opérateurs ensemblistes,écrivez de plusieurs façons différentes chacune des quatre formes.

Exercice 2.2 : En utilisant les relations et les opérateurs ensemblistes,écrivez de plusieurs façons différentes chacune des quatre relations entreensembles vues dans la leçon précédente (Syllabus, Ch. 2, Figure 2.6).Lesquelles correspondent aux formes vues aujourd’hui ?



Universelle Affirmative (Venn)

Tous les S sont des P

S ⊂ P

S ∖ P = ∅

S ∩ P = ∅

Ω

S P

Relation : S est inclus dans P .



Universelle Négative (Venn)

Aucun S n’est un P

S ∩ P = ∅

S ⊂ P

Ω

S P

Relation : S et P sont disjoints.



Particulière Affirmative (Venn)

Au moins un S est un P

S ∩ P = ∅

Ω

S P

Relation : S et P se rencontrent.



Particulière Négative (Venn)

Au moins un S n’est pas un P

S ∖ P = ∅

S ∩ P = ∅

Ω

S P

Relation : S et P se rencontrent.



Les quatre formes comme relations entreensembles

Quantité et Qualité Forme Ensembles

a Universelle affirmative Tous les S sont des P S ⊂ P

e Universelle négative Aucun S n’est un P S ∩ P = ∅

i Particulière affirmative Au moins un S est un P S ∩ P = ∅

o Particulière négative Au moins un S n’est pas un P S ∖ P = ∅



Inférences immédiates

Quantité et Qualité Forme Ensembles

a Universelle affirmative Tous les S sont des P S ⊂ P

e Universelle négative Aucun S n’est un P S ∩ P = ∅

i Particulière affirmative Au moins un S est un P S ∩ P = ∅

o Particulière négative Au moins un S n’est pas un P S ∖ P = ∅

Avec S = ∅ :I a, e sont contraires, ne pouvant pas être vraies au même tempsI i , o sont subcontraires, ne pouvant pas être fausses au même tempsI a, o sont contradictoires : l’une est la négation de l’autreI e, i sont contradictoires : l’une est la négation de l’autreI i , a sont subalternes : si a est vraie, alors i est vraieI e, o sont subalternes : si e est vraie, alors o est vraie



Carrée logiquePour illustrer les inférences immédiates (relations entre les quatre formes),on utilise depuis longtemps ce schéma



Carré logiqueΩ

S P

S ⊂ P

S ∩ P = ∅

Ω

S P

Avec S = ∅ :

SaP SeP

SiP SoP

Contraires

Subcontraires

Subaltern

es

Subaltern

es

Contradictoires

Contradictoires

Ω

S P

S ∩ P = ∅

S ∩ P = ∅

Ω

S P



Structure des syllogismes

I La conclusion lie un sujet, ou mineur, (S) à un prédicat, ou majeur (P)I Les deux prémisses contiennent un autre terme, dit moyen (M)I La prémisse majeure lie le moyen (M) au prédicat de la conclusion (P)I La prémisse mineure lie le moyen (M) au sujet de la conclusion (S)

Tout M est un P Prémisse majeure Moyen M et prédicat P

Tout S est un M Prémisse mineure Moyen M et sujet S

∴ Tout S est un P Conclusion Sujet : S, Prédicat : P

Notation : ∴ se lit donc.



Structure des syllogismes : modes

I Chacune des trois propositions qui composent un syllogisme peutprendre l’une des quatre formes (a,e,i,o), indépendamment des formesdes autres propositions.

I Classification des arguments selon les formes utilisées dans ses troispropositions, dans l’ordre ; par ex. aaa, aai, aio, eai, iao, oae, . . .

I 4 formes, 3 propositions, donc 43 = 64 combinaisons (modes)possibles.



Structure des syllogismes : figuresI Dans chacune des deux prémisses, le moyen terme (M) peut prendre le

rôle de sujet, ou de prédicat — indépendamment de sa place dansl’autre prémisse.

I 2 places possibles, dans 2 prémisses, donc 22 = 4 combinaisons(figures) possibles :

Figure M dans la majeure M dans la mineure

1 Sujet (MxP) Prédicat (SxM)

2 Prédicat (PxM) Prédicat (SxM)

3 Sujet (MxP) Sujet (MxS)

4 Prédicat (PxM) Sujet (MxS)

(x ∈ a, e, i , o)Gagliolo (ULB) Logique des prédicats et syllogismes SOCAD173:2 28 / 39


Structures possibles

On a donc 64 modes possibles et, indépendamment du mode, 4 figurespossibles, pour un total de 64 × 4 = 256 structures possibles !

aaa aae aai . . .

1 MaP, SaM, SaP MaP, SaM, SeP MaP, SaM, SiP . . .

2 PaM, SaM, SaP PaM, SaM, SeP PaM, SaM, SiP . . .

3 MaP, MaS, SaP MaP, MaS, SeP MaP, MaS, SiP . . .

4 PaM, MaS, SaP PaM, MaS, SeP PaM, MaS, SiP . . .



Structures valides (ou syllogismes)

I La majorités de ces structures ne sont pas des syllogismes !I Certaines modes ne sont jamais valides : seulement 14 des 64 possibles

permettent de construire des syllogismes (modes concluants)I Toutes les figures des modes concluants ne forment pas des

syllogismes. Seules 24 des 14 × 4 = 56 combinaisons possibles sontvalides.

Comment reconnaître une structure valide ? On peutI apprendre les 24 syllogismes par coeur (voir Wikipedia) ;I apprendre les règles de validité (PHILD101) ;I apprendre à utiliser les diagrammes de Venn.


https://fr.wikipedia.org/wiki/Syllogisme#Les_modes_concluants


Venn : trois ensembles

Avec trois ensembles, on a 23 = 8 éventualités pour le placement d’unélément, donc 8 parties de l’univers :

x /∈ M

x ∈ Mx /∈ P

x /∈ M

x ∈ M

x ∈ P

x/∈S

x /∈ M

x ∈ Mx /∈ P

x /∈ M

x ∈ M

x ∈ P

x∈

S

S P

ΩM



Validité d’un argument

Pour déterminer la validité d’un argument :1. Identifier S et P dans la conclusion.2. Identifier S, P, et M dans les prémisses.3. Réécrire l’argument en utilisant S, M, P.4. Identifier la forme de chaque proposition.

5. Représenter la conclusion sur un Venn à deux ensembles, S et P.

6. Représenter les deux prémisses sur un autre Venn, à trois ensembles,S, M et P.

7. Comparer la conclusion (S, P, point 5) avec le diagramme à troisensembles (S, M, P, point 6) :

I Conclusion nécessairement vraie : argument valide (syllogisme).I Conclusion potentiellement fausse : argument pas valide.

8. Valide avec prémisses vraies ? La conclusion est alors nécessairementvraie.



Exemple : 1ère figure, aaa

Tout ce qui nage est un poisson.

Tout philosophe nage.

∴ Tout philosophe est un poisson.

Ω

S P S P

ΩM



Exemple : 1ère figure, eae

Aucun homme n’est un âne.

Tous les philosophes sont des hommes.

∴ aucun philosophe n’est un âne.

Ω

S P S P

ΩM



Exemple : 2ème figure, aaa

Tout philosophe est un homme.

Tout Socratique est un homme.

∴ Tout Socratique est un philosophe.

Ω

S P S P

ΩM



Exemple : 2ème figure, eio

Aucun chat ne nage

Certains félins nagent

∴ Certains félins ne sont pas des chats

Ω

S P S P

ΩM



Est que Prinny impacte la validité ce cet argument ?Non, uniquement sa vérité.



Remarques*

I Pour les arguments, utiliser toujours les lettres S , P, M, dans le bonordre (sujet, prédicat, moyen terme).

I Dans certaines structures, la conclusion peut être vraie si les prémissessont vraies. Ce n’est pas suffisant pour être valide ! Dans unsyllogisme, la conclusion doit être vraie si les prémisses sont vraies.

I Chaque partie d’un diagramme à deux ensemble est partagéultérieurement en deux dans le diagramme à trois ensemble, par laprésence du troisième ensemble :

I Pour marquer une universelle, il faut hachurer les deux partiesconcernées

I Pour marquer une particulière, il faut placer un X :I dans l’une des deux parties, si l’autre a déjà été hachuréeI sur la frontière entre les deux parties, si aucune des deux a été

hachurée (voir TP)



Conclusion

À retenirI combinatoire : arbre des éventualitésI inférences immédiates et carré logiqueI diagrammes de VennI validité d’un argument (Venn)

Syllabus : Ch 4.

ProchainementLogique des propositions

I ConnecteursI Tables de vérité

Syllabus : Ch. 3.


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