Formalisation pour les sciences sociales et politiques

SOCA-D-173

2020/06/04

20 points, temps de résolution : 2 heures.

Les parties en italique et les remarques sont des explications supplémentaires : on

ne s’attend pas que vous écriviez autant à l’examen !

La structure de l’examen et les grilles d’évaluation peuvent changer d’une session

à l’autre.

Exercice 1 [3 points]

Dans l’univers Ω des répondants à une enquête, ces ensembles sont définis :— l’ensemble 𝐵 des résidents à Bruxelles ;— l’ensemble 𝑁 des néerlandophones ;— l’ensemble 𝐹 des francophones.Soit 𝐴 l’ensemble des répondants qui résident à Bruxelles et parlent français ou néerlandais

(ou les deux).

1.1. [1 point] Représenter l’ensemble 𝐴 graphiquement, sur un diagramme de Venn des en-sembles 𝐵, 𝑁 , 𝐹 .

1.2. [1 point] Définir 𝐴 en utilisant les opérateurs ensemblistes.

1.3. [1 point] Définir 𝐴 en compréhension.

Solution de l’exercice 1

Grille d’évaluation :

— Erreurs : entre −0, 25 et −1 selon la gravité :— Confusion entre ∩ et ∪, ou entre ∧ et ∨ : −0, 5 ;— Confusion entre opérateurs ensemblistes et connecteurs : −1.— Manque des parenthèses où nécessaires : −0, 5 ;— Parenthèse ouverte pas fermée : −0, 25.

1

1.1. [1 point]Sur papier :

Sur l’UV :

1.2. [1 point]

𝐴 = 𝐵 ∩ (𝑁 ∪ 𝐹 )

Réponses alternatives correctes, mais plus compliquées :

𝐴 = (𝐵 ∩𝑁) ∪ (𝐵 ∩ 𝐹 )

2

Remarque. Attention aux parenthèses ! Par exemple, cette réponse :

𝐴 = 𝐵 ∩𝑁 ∪ 𝐹

pour les règles de priorité se lit ainsi :

𝐴 = (𝐵 ∩𝑁) ∪ 𝐹

incluant donc tous les répondants francophones, peu importe leur lieu de résidence.Ce genre d’erreur comporte une perte de 0, 5 points.

1.3. [1 point]

𝐴 = 𝑥 ∈ Ω | (𝑥 ∈ 𝐵) ∧ [(𝑥 ∈ 𝑁) ∨ (𝑥 ∈ 𝐹 )],

ou bien

𝐴 = 𝑥 ∈ Ω | 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝑁 ∨ 𝑥 ∈ 𝐹 ).

Les remarques par rapport aux parenthèses au point précédent s’appliquent ici aussi.

Réponses alternative plus simple, mais pas possible sur l’UV car l’univers de référence

était pré-encodé :

𝐴 = 𝑥 ∈ 𝐵 | (𝑥 ∈ 𝑁) ∨ (𝑥 ∈ 𝐹 ).

Exercice 2 [3 points]

Évaluer la table de vérité de l’expression suivante :

(𝑝 ⇒ ¬𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞)

Solution de l’exercice 2

Grille d’évaluation :— Arbre syntaxique : pré-rempli sur l’UV.— Table : entre 0 et 3 points :

— Ordre des éventualités : pré-rempli sur l’UV ;— Colonnes : pré-remplies sur l’UV ;— Chaque valeur incorrecte : −0, 25.

∨

∧

𝑞𝑝

⇒

¬

𝑞

𝑝

𝑝 𝑞 ¬𝑞 𝑝 ⇒ ¬𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 (𝑝 ⇒ ¬𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞)

1 1 0 0 1 1

1 0 1 1 0 1

0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1

3

La proposition est une loi logique (toujours vraie).

Exercice 3 [3 points]

Tout défi est une opportunité

Aucune opportunité n’est un obstacle

∴ Aucun obstacle n’est un défi

3.1. [0,5 points] Identifier 𝑆, 𝑃 , 𝑀 , et les formes des trois propositions. Rappel : il fautcommencer par la conclusion !

3.2. [0,5 points] Représenter la conclusion sur un diagramme de Venn à deux ensembles (𝑆, 𝑃 ).

3.3. [1 point] Représenter les prémisses sur un diagrammes de Venn distincts.

3.4. [1 point] Prouver la validité ou l’invalidité de l’argument en comparant les deux dia-grammes.

Solution de l’exercice 3

Remarque. Par convention, 𝑆 et 𝑃 indiquent respectivement le sujet et prédicat de la conclu-sion, tandis que 𝑀 est le terme moyen. Utiliser d’autres lettres, ou les mêmes dans un

ordre différent, est désormais considéré erreur (−0, 25 points). Dans ce cas 𝑆 et 𝑃 étaientpré-remplis sur l’UV.

Grille d’évaluation :— Identification de 𝑆, 𝑃 et 𝑀 , dans le bon ordre, réécriture de l’argument avec ces trois

lettres, et— identification des formes des trois propositions : 0, 5 points (Question 6 sur l’UV) ;— Chaque proposition marquée correctement : 0, 5 points (Questions 7 et 8 sur l’UV) ;— Marquer la conclusion dans le diagramme des prémisses : −1 points.— Interprétation de la validité : entre 0 et 1 point (Question 9 sur l’UV).

3.1. [0,5 points]Ici 𝑆 = obstacles, 𝑃 = défis, sont respectivement le sujet et le prédicat de la conclu-

sion : le terme moyen est donc 𝑀 = opportunités. L’argument peut donc se réécrire

ainsi :

Tout 𝑃 est un 𝑀 Universelle affirmative (PaM)

Aucun 𝑀 n’est un 𝑆 Universelle négative (MeS)

∴ Aucun 𝑆 n’est un 𝑃 Universelle négative (SeP)

3.2. [0,5 points]Sur papier :

4

Sur l’UV :

Remarque. Il ne faut jamais marquer la conclusion sur le diagramme des prémisses ! Sil’on fait ça, on va croire valide beaucoup d’arguments invalides. C’est comme dessiner lacible autour de la flèche après l’avoir tirée !

3.3. [1 point]Sur papier :

Sur l’UV :

5

Remarque. Attention à la rature des parties vides dans le diagramme à trois

ensembles. Dans le diagramme à deux on a une partie à raturer, selon la qualité (affir-mative/négative) de la proposition. Dans le diagramme à trois ensembles, la même partiecorrespondra à deux parties à raturer. Sur l’UV il fallait donc placer deux symboles pour chaque prémisse, donc 4 au total (voir figure ci-dessus).

3.4. [1 point]Validité. Pour vérifier la validité de l’argument, on doit comparer le diagramme de laconclusion avec celui résultant des deux prémisses, pour voir si la conclusion découle desprémisses.La conclusion affirme que 𝑆 n’a aucun élément en commun avec 𝑃 , c’est à dire 𝑆∩𝑃 = ∅.Or après avoir marqué les deux prémisses, on se retrouve bien avec la partie 𝑆 ∩ 𝑃 videdans le diagramme relatif.L’argument est donc valide, car la conclusion ne peut pas être fausse si les prémisses sontvraies.

6

Exercice 4 [2 points]

Soit 𝐺 le graphe ici représenté :

1

2

3

45

4.1. [1 point] Représenter le graphe sous forme de matrice.

4.2. [1 point] Représenter le graphe des relations réciproques sous forme de matrice.

Solution de l’exercice 4

4.1. [1 point] ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 1 1 0 1

1 0 1 0 0

1 1 0 1 0

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠L’élément 𝑥𝑖,𝑗 (à la ligne 𝑖 et colonne 𝑗) est 1 s’il existe l’arc 𝑖 → 𝑗.

4.2. [1 point] ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 1 1 0 1

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

7

Exercice 5 [3 points]

Étant donné ce système d’équations :4 − 3𝑦 = 2(1 − 𝑥)

3𝑦 + 2 − (1 − 𝑥) = 2𝑥− 𝑦 + 7

5.1. [2 points] Résoudre le système en explicitant les calculs.

5.2. [1 point] Vérifier la solution, en remplaçant les valeurs trouvées dans les deux équations.

Solution de l’exercice 5

Grille d’évaluation :— Solution correcte : 2 points.— Vérification par calcul : 1 point.— Erreurs de calcul : entre −0, 25 et −3 selon la gravité. Typiquement −0, 25 pour des

erreurs de distraction, −0, 5 pour les erreurs plus communs, −1 ou pire pour des erreursvraiment graves ou des contradictions évidents, du genre 1 = 2.

— Vérification en contradiction avec la solution trouvée : −1 point, sauf si la contradictionest remarquée. Répondre Non à la question « Est-ce que la solution est bien vérifiée ? »

suffit pour éviter de perdre ce point.

5.1. [2 points]On commence par réorganiser la deuxième équation :

3𝑦 + 2 − (1 − 𝑥) = 2𝑥− 𝑦 + 7

Après quelques passages

3𝑦 + 1 + 𝑥 = 2𝑥− 𝑦 + 7

3𝑦 + 𝑦 + 1 − 7 = 2𝑥− 𝑥

4𝑦 − 6 = 𝑥

on peut isoler 𝑥 :

𝑥 = 4𝑦 − 6

Version en notation UV, en trois passages intermédiaires :

3*y + 1 + x = 2*x -y + 7

3*y + y + 1 -7 = 2*x -x

4*y -6 = x

x = 4*y - 6

8

Remplaçons cette valeur de 𝑥 dans la première équation :

4 − 3𝑦 = 2(1 − 𝑥)

4 − 3𝑦 = 2 − 2𝑥

4 − 3𝑦 = 2 − 2(4𝑦 − 6)

4 − 3𝑦 = 2 − 8𝑦 + 12

8𝑦 − 3𝑦 = 14 − 4

5𝑦 = 10

𝑦 =10

5= 2

que l’on peut remplacer dans la première équation pour obtenir le 𝑥 de l’intersection :

𝑥 = 4 · 2 − 6 = 2

Version en notation UV, en trois passages intermédiaires :

4 - 3*y = 2 -2*(4*y - 6)

4 - 3*y = 2 -8*y +12

5*y = 10

y = 10/5 = 2

x = 4*2 - 6 = 2

Solution : (2; 2)Sur l’UV :

x = 2

y = 2

5.2. [1 points] Vérifions : 4 − 3(2) = 2(1 − (2))

3(2) + 2 − (1 − (2)) = 2(2) − (2) + 74 − 6 = −2

6 + 2 + 1 = 4 − 2 + 7−2 = −2

9 = 9

On arrive à deux identités, la solution est donc vérifiée. Les valeurs 𝑥 = 2 et 𝑦 = 2 rendentles deux équations vraies au même temps.Version UV :

4 - 3*y = 2*(1 - x)

4 - 3*(2) = 2*(1 - (2))

4 - 6 = -2

-2 = -2

3*y + 2 - (1 - x) = 2*x - y + 7

3*(2) + 2 -(1 - (2)) = 2*(2) - (2) + 7

6 + 2 + 1 = 4 - 2 + 7

9 = 9

9

Remarque. La solution doit être vérifié avec les deux équations. Plusieurs copies conte-naient une vérification partielle, utilisant une seule des équations : souvent c’était unemauvaise solution qui vérifiait bien une des équations, mais pas l’autre. . . En autre, ilfaut utiliser les équations originaux telle que écrites dans l’énoncé : tout passage préalablepeut rajouter des erreurs, et donc fausser la vérification.

Remarque. Utiliser toujours les parenthèses pour remplacer une variable avec sa valeur,et faire attention aux signes.

Pour info, les deux droites sont : 𝑦 = 2

3𝑥 + 23

𝑦 = 14𝑥 + 3

2

voici donc la vérification graphique (pas requise sur l’UV) :

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

(2; 2)

x

y 𝑦 = 23𝑥 + 2

3

𝑦 = 14𝑥 + 3

2

10

Exercice 6 [5 points]

Soient 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) les fonctions :

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 5𝑥 + 6

𝑔(𝑥) = ln 𝑓(𝑥) = ln (−𝑥2 + 5𝑥 + 6)

Justifier les réponses aux questions suivantes, et expliciter les calculs :

6.1. [1 point] Quelles sont les racines de 𝑓 ?

6.2. [1 point] Quel est le signe de 𝑓 sur R ?

6.3. [1 point] Quel est le domaine de définition 𝐷𝑔 de 𝑔 ?

6.4. [2 points] Quelle est la dérivée de 𝑔 ?

Solution de l’exercice 6

Grille d’évaluation

— Chaque réponse correcte et justifiée : voir points correspondants.— Réponses sans justification : 0 points.— Erreurs de calcul : entre −0, 25 et −2 selon la gravité. Typiquement −0, 25 pour des

erreurs de distraction, −0, 5 pour les erreurs plus communs, −1 ou pire pour des erreursvraiment graves.

Comme remarqué, on peut écrire 𝑔 comme 𝑔(𝑥) = ln 𝑓(𝑥), où la fonction 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +5𝑥 + 6 est composée par la fonction logarithme népérien. 𝑓(𝑥) est un polynôme de degré 2,graphiquement une parabole.

6.1. [1 point]𝑓(𝑥) étant une parabole,

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,

avec 𝑎 = −1, 𝑏 = 5, 𝑐 = 6, on vérifie s’il y a des racines (valeurs de 𝑥 tels que 𝑓(𝑥) = 0),en calculant le discriminant :

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (5)2 − 4(−1)(6) = 25 + 24 = 49

Vu que ∆ ≥ 0, les deux solutions sont

𝑥1,2 =−𝑏±

√∆

2𝑎=

−(5) ±√

49

2(−1)=

−5 ± 7

−2,

Les deux racines sont donc

𝑥1 =−5 + 7

−2= −1

𝑥2 =−5 − 7

−2= 6

Version UV :

∆ = b^2 - 4*a*c = (5)^2 - 4*(-1)*(6) = 25 + 24 = 49

Nombre de solutions : 2.Justification : Pour ∆ > 0 la parabole a deux racines.

Solutions éventuelles :𝑥1 = [-(5) + sqrt(49)]/[2*(-1)] = (-5 + 7)/(-2) = -1

𝑥2 = [-(5) - sqrt(49)]/[2*(-1)] = (-5 - 7)/(-2) = 6

11

6.2. [1 point]Vu que 𝑎 < 0, la parabole est concave, et 𝑓(𝑥) ≥ 0 pour 𝑥 ∈ [−1; 6], et négatif ailleurs.Version UV :

Intervalle : ]-∞;-1] Signe : -Intervalle : ]-1;6] Signe : +Intervalle : ]6;+∞[ Signe : -Justification : La parabole est concave car le coefficient a = -1 est négatif;

elle est donc positive entre ses deux racines, négative ailleurs.

6.3. [1 point]La fonction externe dans la composition, 𝑔(𝑧) = ln 𝑧, est définie pour 𝑧 > 0 (soit 𝑧 ∈ R+

0 ).La fonction interne 𝑓(𝑥) est un polynôme, donc elle est définie pour tout R. La seulecondition à imposer est donc 𝑓(𝑥) > 0. C’est une condition sur la fonction interne 𝑓(𝑥),pour permettre à la fonction 𝑔[𝑓(𝑥)] d’exister.Puisque l’on doit imposer 𝑓(𝑥) > 0, il faut exclure les racines 𝑥1 et 𝑥2 dans les intervallesrésultants (les intervalles seront ouverts.Comme vu au point précédent, 𝑓(𝑥) est strictement positive entre ses deux racines. Ledomaine de 𝑔(𝑥) est donc :

𝐷𝑔 = ] − 1; 6[

Version UV :

𝐷𝑔 = ]-1;6[

Justification : ln(f(x)) esr définie pour f(x)>0, ici f(x) est une parabole concave,

donc strictement positive entre ses deux racines, qui sont exclues du domaine.

Remarque. Il faut préciser que la parabole est concave, car c’est pour cette raison quele domaine est ] − 1; 6[, plutôt que ] −∞;−1[ ∪ ]6; +∞[.

Pour information, la courbe 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 5𝑥 + 6 est la suivante :

−4 −2 2 4 6 8−2

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y𝑓(𝑥)

6.4. [1 point]Il faut calculer la dérivée de 𝑔 qui est une fonction composée qu’on peut donc mettre dansla forme 𝑢[𝑣(𝑥)], avec ici 𝑢(𝑧) = ln(𝑧) et 𝑣(𝑥) = 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 5𝑥 + 6. La dérivée de 𝑔sera

𝑔′(𝑥) = 𝑣′(𝑥) · 𝑢′[𝑣(𝑥)].

On sait que la dérivée de 𝑢(𝑧) est 1𝑧 donc 𝑢′[𝑣(𝑥)] sera 1

𝑓(𝑥) .

La dérivée de 𝑣(𝑥) est 𝑣′(𝑥) = (−𝑥2 + 5𝑥 + 6)′ = −2𝑥 + 5.

12

La dérivée de 𝑔 est donc

𝑔′(𝑥) =(−𝑥2 + 5𝑥 + 6)′

−𝑥2 + 5𝑥 + 6=

(−2𝑥 + 5)

−𝑥2 + 5𝑥 + 6.

Version UV :

𝑔′(𝑥) = (-2*x+5)/(-x^2+5*x+6)

Pour information, voici le graphe de 𝑔 :

−4 −2 2 4 6 8

−6

−4

−2

2

4

6

x

y

13

Exercice 7 [1 point]

Soit ℎ(𝑥) la fonction :ℎ(𝑥) = 2𝑒2𝑥 − 1

Trouver une primitive 𝐻(𝑥) de ℎ(𝑥).

Solution de l’exercice 7

Grille d’évaluation

— Chaque réponse correcte : voir points correspondants.— Erreurs de calcul : entre −0, 25 et −1 selon la gravité. Typiquement −0, 25 pour des

erreurs de distraction, −0, 5 pour les erreurs plus graves.

7.1. [1 point]Une primitive 𝐻(𝑥) de ℎ(𝑥) est une fonction telle que 𝐻 ′(𝑥) = ℎ(𝑥). Ici on peut appliquer

la règle :

Fonction ℎ(𝑥) = 𝐻 ′(𝑥) Primitive 𝐻(𝑥)

𝑎 · 𝑓 ′(𝑥) + 𝑏 · 𝑔′(𝑥) 𝑎 · 𝑓(𝑥) + 𝑏 · 𝑔(𝑥)

en posant 𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑓 ′(𝑥) = 2𝑒2𝑥, 𝑔′(𝑥) = −1.Pour 𝑢′(𝑥) = 2𝑒2𝑥 on peut utiliser la règle :

Fonction 𝑓(𝑥) = 𝐹 ′(𝑥) Primitive 𝐹 (𝑥)

𝑣′(𝑥) · 𝑒𝑣(𝑥) 𝑒𝑣(𝑥)

avec 𝑣(𝑥) = 2𝑥, car 𝑣′(𝑥) = 2. On a donc 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥.Pour 𝑔′(𝑥) = −1 = −1 · 1 on utilise :

Fonction 𝑓(𝑥) = 𝐹 ′(𝑥) Primitive 𝐹 (𝑥)

𝑎 𝑎 · 𝑥avec 𝑎 = −1, en obtenant 𝑔(𝑥) = −𝑥. En somme :

𝐻(𝑥) = 𝑒2𝑥 − 𝑥

Version UV :

𝐻(𝑥) = exp(2*x) - x

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