Formalisation pour les sciences sociales et politiques ...homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/lesson08.pdfI Je mets u = 1 à étendre avec croissance a, pendant m secondes; I je

Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions

Formalisation pour les sciences sociales et politiques

Fonctions II

Matteo [email protected]

Université libre de Bruxelles

SOCA-D173 2019-2020, Leçon 8

M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 1 / 27


Plan de la leçon

Petite histoire du nombre : bases et chiffres

Hyperbole

Exposants

Exponentielle

Logarithme

Composition de fonctions

Syllabus : Ch. 6.



D’abord, ça sert a quoi ?

HyperbolePour comprendre la signification de « inversement proportionnel ».

ExponentielleModèle fondamentale en statistiques (distribution exponentielle,distribution normale) et démographie (croissance d’une population).

LogarithmePour comprendre la régression logistique et les changements d’échelle.

Composition de fonctionPour lire et comprendre les formules représentant des distributions deprobabilité, et comprendre l’effet de leurs paramètres.









Notation scientifique

Les nombres trop petits ou trop grands pour être écrits de façon pratiquesont représentés par vos calculettes et ordinateurs dans cette forme

±a× 10n,

où a ∈ [1; 10[ est la mantisse, et n ∈ Z l’exposant.Exemples :

123, 45 = 1, 2345× 102,

0, 0067 = 6, 7× 10−3.



Notation scientifique

Les nombres trop petits ou trop grands pour être écrits de façon pratiquesont représentés par vos calculettes et ordinateurs dans cette forme

±a× 10n,

où a ∈ [1; 10[ est la mantisse, et n ∈ Z l’exposant.Exemples :

1

2⏞ ⏟ 23 , 45 = 1, 2345× 102,

0,

3⏞ ⏟ 006 7 = 6, 7× 10−3.



Hyperbole et inverse

Si l’on divise une constante a par x on obtient une fonction qui correspondà une hyperbole sur le plan :

y = f (x) =a

x= ax−1.

On dit dans ce cas que y estinversement proportionnelle à x .Pour tout a ̸= 0, f est :

I définie en R0 = R− {0},I bijective sur R0

Pour a = 1, f (x) = 1x = x−1 s’appelle fonction inverse, et son application

réciproque est égale à elle-même.Voir le graphique interactif.


https://ggbm.at/PB9NQsuX


Exposants et leurs propriétésVous connaissez déjà bien les puissances avec exposant entier,an, a ∈ R+

0 = ]0; +∞[, n ∈ Z. On vous a expliqué que l’exposant représentela répétition d’une multiplication :

an =

n fois⏞ ⏟ a · a . . . · a

Vous connaissez bien les propriétés des exposants, n’est-ce pas ? Parexemple :

aman = am+n

Que dire des exposants négatifs ?

a−n =1an

Ou bien des exposants rationnels

a1n = n

√a

Mais surtout pourquoi a0 = 1 ? ? ?



L’Expand-o-tronImaginons un appareil pour « étendre » la matière, avec deux réglages :

I facteur de croissance par

seconde aI un « timer » t

Par exemple : je mets une quantité 1de matière à étendre avec un facteurde croissance a = 3, pendant 2secondes, en passant :

I de 1 à 3 pendant la premièreseconde

I de 3 à 9 pendant la deuxièmeEn général, pour une quantité initiale u de matière, je vais en obtenir

r = u · at

r

u= at

Source : [Azad 2009]. Voir graphique interactif.M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 8 / 27

http://betterexplained.com/ebook

https://ggbm.at/pqycD4Qj


Exposants et produits

Comment on évalue am · an avec un Expand-o-tron ?

I Je mets u = 1 à étendre avec croissance a, pendant m secondes ;I je mets le résultat am à étendre (donc cette fois u = am), encore avec

croissance a, pendant n secondes.

Mais vu que la croissance a est la même dans les deux cas, je pourrais aussilaisser étendre l’originale u = 1 pendant m + n secondes, avec le mêmerésultat ! Donc :

aman = am+n.



Exposant nul

Comment on évalue a0 avec un Expand-o-tron ?

I Je mets une quantité u à étendre avec croissance a, pendant 0secondes. Rien ne change !

I Le résultat est donc r = u · a0=u.

u · a0 = u

Donc, en divisant par u :

a0 = 1 ∀a ∈ R.



Exposant négatifAvec t < 0, l’expand-o-tron devient une machine du temps !

I Je mets une quantité u à étendre avec croissance a, pendant t = −1secondes, en obtenant r = u · a−1 = ? ? ?

I On peut reformuler ça ainsi : je me suis retrouvé avec une quantitéfinale u, après 1 seconde à croissance a. Quelle était la quantité dedépart r ?

I Je peux donc écrire : u = r · a1 = r · a.I Si je divise par a : u · 1

a = r .I Mais je sais que r = u · a−1, donc u · a−1 = u · 1

a

En divisant par u :

a−1 =1a1

∀a > 0.

Si on va en arrière pendant n secondes, avec le même procédé :

a−n =1an

∀a > 0.



Exposant rationnel et racinesJe mets u à étendre avec croissance a pendant t = 1 seconde, mais j’ouvrela porte après t = 1

2 secondes :

I Si j’avais laissé pour t = 1, j’aurais obtenu r = u · a1 = u · a.I Je suis resté avec r ′ = u · a

12 = ? ! ?

I Si je referme la porte et je laisse étendre pour le restant t = 12 , je dois

bien obtenir u · a, donc :

r = r ′ · a12 = u · a

12 · a

12 = u · a.

En divisant la dernière équation par u :

a12 · a

12 = a,

donc :

a12 =

√a ∀a ≥ 0.



Exposant rationnel et racines

Je mets u à étendre avec croissance a pendant t = 1 seconde, mais j’ouvrela porte après t = 1

2 secondes :

I Si j’avais laissé pour t = 1, j’aurais obtenu r = u · a1 = u · a.I Je suis resté avec r ′ = u · a

12 = ? ! ?

I Si je referme la porte et je laisse étendre pour le restant t = 12 , je dois

bien obtenir u · a, donc :

r = r ′ · a12 = u · a

12 · a

12 = u · a.

Si j’ouvre et referme n − 1 fois à intervalles réguliers, pour ouvrir la n-èmefois à t = 1 :

a1n = n

√a ∀a ≥ 0.



Fonctions exponentielles

Jusqu’ici on a utilisé les exposants pour définir des fonctions puissance, dugenre : f (x) = xa, où a est un paramètre (donc constant pour une fonctiondonnée).Et si on écrivait plutôt f (x) = ax ? Un telle fonction est appelée unefonction exponentielle.

Cette famille de fonctions est utilisée surtout pour décrire l’évolution dans

le temps (x) d’une quantité soumise à une croissance constante (a).

Formellement : f (x) = ax , avec a > 0, est une application bijective entre :

f : R → R+0 ,

où R+0 = ]0; +∞[ est l’ensemble des réels positifs non nuls.

Voir graphique interactif.


https://ggbm.at/URnCsfc3


Exemple : la croissance d’un bactérie

Considérons une bactérie qui se reproduit en se divisant en 2 nouveauxindividus chaque heure. En indiquant avec t le temps en heures, u = f (0)le nombre d’individus initial, la formule pour calculer le nombre d’individusf (t) après t heures équivaut à un expand-o-tron avec facteur de croissancea = 2, donc :

f (t) = f (0) · 2t ,

soit :

f (t)

f (0)= 2t .





f (t) = f (0) · 2t ,

soit :

f (t)

f (0)= 2t .

0

5

10

15

0 1 2 3 4

t [hours]

f(t)

/f(0

)





f (t) = f (0) · 2t ,

soit :

f (t)

f (0)= 2t .

0.0e+00

5.0e+06

1.0e+07

1.5e+07

0 5 10 15 20 25

t [hours]

f(t)

/f(0

)





f (t) = f (0) · 2t ,

soit :

f (t)

f (0)= 2t .

0e+00

1e+14

2e+14

0 10 20 30 40 50

t [hours]

f(t)

/f(0

)



Fonction exponentielle en base e

Un nombre qui est souvent utilisécomme base de la fonctionexponentielle est la constante de

Néper e ≈ 2.7182, définie commelimite :

(1+1n)n −−−→

n→∞e,

Voir Syllabus, Sec. 6.7.

Graphique interactif.


https://ggbm.at/URnCsfc3


Logarithme

Rappel : f (x) = ax , avec a > 0, est une application bijective entre :

f : R → R+0 ,


On peut donc définir sa fonction réciproque, le logarithme de base a :f −1(x) = loga x , avec a > 0 :

f : R+0 → R.

On appelle le logarithme de base e logarithme népérien loge x = ln x .Une autre base qui est souvent utilisée est 10 : si x = 10y on écrity = log10 x = log x .



Logarithme

Rappel : f (x) = ax , avec a > 0, est une application bijective entre :

f : R → R+0 ,


On peut donc définir sa fonction réciproque, le logarithme de base a :f −1(x) = loga x , avec a > 0 :

f : R+0 → R.

On appelle le logarithme de base e logarithme népérien loge x = ln x .Une autre base qui est souvent utilisée est 10 : si x = 10y on écrity = log10 x = log x .



Logarithme népérien

Essayer f(x)=eˆx dans ce graphique.


https://ggbm.at/aqxCpPq6


Logarithme népérien

Essayer f(x)=eˆx dans ce graphique.


https://ggbm.at/aqxCpPq6


Propriétés des logarithmesLe logarithme permet de transformer un produit en somme.Pour a > 0, u > 0, v > 0, b ∈ R, c ∈ R :On connaît déjà :

ab · ac = a(b+c)

a0 = 1

1ac

= a−c

ab

ac= a(b−c)

(ab)c = a(b·c)

On voit donc que :

loga(u · v) = loga u + loga v

loga 1 = 0

loga1v= − loga v

logau

v= loga u − loga v

loga(uc) = c loga u



Exercice

Slide précédente : démontrer les équivalences à droite à partir de celles àgauche, en écrivant u = ab et v = ac .Exemple : soient a > 0, b ∈ R, c ∈ R, u = ab, v = ac .Étant donné que ab · ac = a(b+c), démontrer loga(u · v) = loga u + loga v .loga(u · v) = loga(a

b · ac) par hypothèse ;loga(a

b · ac) = loga(ab+c) par les propriétés des exposants ;

loga(ab+c) = b + c car loga(a

x) = x ;b+ c = loga(u)+ loga(v) car u = ab ⇔ loga(u) = b, de même pour v et c .



Composition de fonctionsSi j’ai deux fonctions f et g telles que :

I le but de f est la source de gI l’image du domaine de f est contenue dans le domaine de g

f : A → B

g : B → C

je peux en définir une troisième quien est la composition

(g ∘ f ) : A → C

en évaluant d’abord f , puis g :

y = g [f (x)].

AB

Domaine de f

Image de f

C

fg

Domaine de g

Dans le plan : voir graphique.

Exemple : si f (x) = ax et g(x) = x + b, leur composition est la droiteg [f (x)] = ax + b.


https://ggbm.at/qzUQBG8c


Composition de fonctionsSi j’ai deux fonctions f et g telles que :

I le but de f est la source de gI l’image du domaine de f est contenue dans le domaine de g

f : A → B

g : B → C

je peux en définir une troisième quien est la composition

(g ∘ f ) : A → C

en évaluant d’abord f , puis g :

y = g [f (x)].

AC

g o f

Dans le plan : voir graphique.

Exemple : si f (x) = ax et g(x) = x + b, leur composition est la droiteg [f (x)] = ax + b.


https://ggbm.at/qzUQBG8c


Domaine de définition des fonctions composées*Conditions d’existence à imposer pour trouver le domaine des fonctionscomposées g [f (x)], avec f : D → R, où D ⊂ R est le domaine de f (x).

Fonction g [f (x)] Condition sur f (x)

[f (x)]n, n ∈ N Aucuneh(x)f (x) f (x) ̸= 0

f (x)−n, n ∈ N f (x) ̸= 0√︀f (x) f (x) ≥ 0

ln [f (x)] f (x) > 0

ef (x) Aucune

Une fois trouvée l’ensemble C ⊂ R où la condition est vraie, le domaine dedéfinition de g [f (x)] est D ∩ C .

I Si aucune condition sur f : C = R, le domaine de g [f (x)] estD ∩ R = D.

I Si le domaine de f est D = R, le domaine de g [f (x)] est R ∩ C = C .



Composition et réciproqueSi on compose une application bijective

f : A → B

avec sa réciproque f −1

f −1 : B → A,

on fait un “aller-retour” :

I de chaque point x ∈ A on va à son image f (x) ∈ BI de f (x) on revient à son unique antécédent x

Dans ce cas f −1 ∘ f = f ∘ f −1.Ceci nous permet d’écrire, par exemple :

(√x)2 =

√x2 = x , ∀x ∈ R+

e ln x = ln(ex) = x , ∀x ∈ R+0

aloga x = loga(ax) = x , ∀x ∈ R+

0



Position et échelle

Une composition de fonction très utilisée en statistique implique la fonction

g(x) =x − 𝜇

𝜎.

En composant une fonction h(x) avec g , on obtient une nouvelle fonctionf (x) = h[g(x)], qui est une version translatée et dilatée en horizontal de lah originale.𝜇 est le paramètre de position, et contrôle le déplacement horizontal, versla droite (𝜇 > 0) ou vers la gauche (𝜇 < 0).𝜎 est le paramètre d’échelle, et contrôle la dilatation (𝜎 > 1) oucompression (𝜎 < 1) horizontale.

Exemple : f (x) =(︀ x−𝜇

𝜎

)︀2. Voir graphique interactif.


https://ggbm.at/haVm7U8U


Position et échelle : exemple 1

g(x) =(x − 1)

2, h(x) = x2

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x

h(x

) =

x^2

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x

g(x

) =

(x−

1)/

2




g(x) =(x − 1)

2, h(x) = x2

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x

h(x

) =

x^2

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0g(x) = (x−1)/2

x




g(x) =(x − 1)

2, h(x) = x2

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x

h(x

) =

x^2

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0g(x) = (x−1)/2

x

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x

f(x)

= h

[g(x

)]




g(x) =(x − 1)

2, h(x) = e−x2

h est la fonction Gaussienne non normalisée.Voir deuxième graphique ici pour la version normalisée.

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x

h(x

) =

exp(−

x^2

)

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x

g(x

) =

(x−

1)/

2





g(x) =(x − 1)

2, h(x) = e−x2


−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x

h(x

) =

exp(−

x^2

)

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0g(x) = (x−1)/2

x





g(x) =(x − 1)

2, h(x) = e−x2


−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x

h(x

) =

exp(−

x^2

)

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0g(x) = (x−1)/2

x

−5.0

−2.5

0.0

2.5

5.0

−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x

f(x)

= h

[g(x

)]




Échelle logarithmiqueOn peut utiliser la composition de fonctions pour rendre des graphiquesplus clairs.Le logarithme présente un avantage dans ce sens : il permet de mieuxvisualiser une fonction qui varie sur plusieurs ordres de grandeur.Par exemple, si on dessine le graphique de log10(2

t) (à gauche), on obtientune droite :

0

5

10

15

0 1 2 3 4

t [hours]

f(t)

/f(0

)

1

2

3

4

5

6789

10111213141516

0 1 2 3 4

t [hours]

f(t)

/f(0

) [log10 s

cale

]





0.0e+00

5.0e+06

1.0e+07

1.5e+07

0 5 10 15 20 25

t [hours]

f(t)

/f(0

)

1e+01

1e+02

1e+03

1e+04

1e+05

1e+06

1e+07

0 5 10 15 20 25

t [hours]

f(t)

/f(0

) [log10 s

cale

]





0e+00

1e+14

2e+14

0 10 20 30 40 50

t [hours]

f(t)

/f(0

)

1e+01

1e+02

1e+03

1e+04

1e+05

1e+06

1e+07

1e+08

1e+09

1e+10

1e+11

1e+12

1e+13

1e+14

0 10 20 30 40 50

t [hours]

f(t)

/f(0

) [log10 s

cale

]



Conclusion

À retenir

I Notation scientifiqueI HyperboleI Propriétés des exposantsI ExponentielleI Logarithme (propriétés)I Composition de fonctions

Syllabus : Ch. 5, 6.

Prochainement

I Étude de fonctionsI DérivéeI Intégrale

Syllabus : Ch. 7.M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 27 / 27

Documents

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