Formation à l'enseignement des mathématiques au Burkina

Formation à l’enseignement des mathématiques au Burkina Faso : étude de pratiques d’enseignement de

stagiaires sur la fraction dans les classes de CM2 et de sixième

Thèse

Kirsi Douamba

Doctorat en didactique

Philosophiæ doctor (Ph.D.)

Québec, Canada

© Kirsi Douamba, 2015

iii

RÉSUMÉ

Au Burkina Faso, des études menées par Kiélem et Barro (2007) et Traoré (2012) ont montré des

insuffisances dans la formation initiale des enseignants. Par exemple, Traoré (2012) révèle que les

programmes de formation initiale à l’enseignement des mathématiques sont inadaptés aux besoins

des finissants. Notre étude vise la compréhension des pratiques des stagiaires du primaire et du

post-primaire sur l’enseignement de la fraction, un concept difficile pour les élèves.

Une combinaison de plusieurs théories et concepts dont les théories des situations didactiques

(Brousseau, 1986a) et des champs conceptuels (Vergnaud, 1981), les concepts d’incidents

didactiques (Roditi, 2003; Rogalski, 2003), de postures épistémologiques (DeBlois & Squalli, 2002) et

d’adaptations (DeBlois & Maheux, 2005) et des conceptions des mathématiques (Noël & Mura, 1999)

a permis de répondre à la question suivante : « Quelles sont les pratiques des stagiaires du primaire

et du post-primaire dans leur enseignement de la fraction en classe du cours moyen deuxième année

(CM2) du primaire et en classe de sixième du post-primaire? » Notre méthodologie de recherche est

basée sur une étude de cas multiples. Huit projets d’enseignement, dont quatre pour chaque niveau

de scolarité (6e et 7e années) ont été analysés. Des entrevues semi-dirigées qui ont suivi les

réalisations de leçons ont été également analysées.

Nos analyses montrent que lors des réalisations de cours, les stagiaires rencontrés se préoccupent

davantage de l’achèvement des contenus planifiés, ce qui pourrait expliquer qu’ils pratiquent un

enseignement transmissif. Certaines conceptions, comme les mathématiques sont transparentes,

pourraient soutenir ces pratiques et expliquer que les stagiaires rencontrés adoptent tous une

posture d’ancien élève. En outre, nos analyses montrent que les stagiaires du primaire font des

adaptations normatives ou d’évitement alors que quatre formes d’adaptation sont manifestées par les

stagiaires du post-primaire. Cette compréhension des pratiques des stagiaires pourrait favoriser une

formation initiale à l’enseignement des mathématiques amenant les stagiaires à se décentrer de leur

posture de l’ancien élève par des transformations dans leurs conceptions des mathématiques et

dans leurs préoccupations d’enseignement dans un contexte de large effectif de classe.

v

ABSTRACT

In Burkina Faso, studies carried out by Kiélem and Barro (2007) and Traoré (2012) showed

deficiencies in the initial training of teachers. For example, Traoré (2012) reveals that initial training to

the teaching of mathematics programs are inadequate to the needs of graduates. Our study aims at

the understanding of teaching practice of students of primary and post-primary on the fraction in CM2

and first form. The fraction that is taught in the two levels of education is hardly learned by students.

A combination of several theories and concepts including theories of didactic situations (Brousseau,

1986a) and conceptual fields (Vergnaud, 1981), the concepts of didactic incidents (Roditi, 2003;

Rogalski, 2003), epistemological postures (DeBlois & Squalli, 2002) and adaptations (DeBlois &

Maheux, 2005) and mathematical concepts (Noël & Mura, 1999) allowed to answer the following

question "what are the practices of primary and post primary trainees in teaching the fraction in the

medium second-year (CM2) of the primary level and the first form of the post-primary? "Our research

methodology is based on a multiple case study. Eight teaching projects, including four for the Grade

6 and four for the Grade 7 were analyzed. Semi-structured interviews that followed the lessons

performance were also analyzed.

Our analyzes show that during the performance of course, the trainees encountered are concerned

about the completion of the planned contents, which may explain that they practice a transmissive

teaching. Some designs, such as mathematics are transparent, could support these practices and

explain that trainees encountered all adopt a posture of former student. In addition, our analyzes

show that primary school trainees manifest normative adaptations or avoidance while four forms of

adaptation are manifested by the post-primary trainees. This understanding of the practical trainees

could promote initial training in the teaching of mathematics bringing trainees to decenter from the

posture of former student by changes in their conceptions of mathematics and their concerns of

teaching in a context of a large class.

vii

TABLE DES MATIÈRES

RÉSUMÉ ............................................................................................................................................... iii

ABSTRACT ............................................................................................................................................. v

TABLE DES MATIÈRES ......................................................................................................................... vii

LISTE DES TABLEAUX .......................................................................................................................... xv

LISTE DES FIGURES ........................................................................................................................... xvii

LISTE DES ABRÉVIATIONS ET DES SIGLES .......................................................................................... xix

DÉDICACE ........................................................................................................................................ xxiii

REMERCIEMENTS ............................................................................................................................. xxv

INTRODUCTION ................................................................................................................................... 1

CHAPITRE 1 .......................................................................................................................................... 5

PROBLÉMATIQUE ................................................................................................................................ 5

1.1 Cadre contextuel ....................................................................................................................... 5

1.1.1 Aperçu de l’organisation du système éducatif au Burkina Faso ........................................ 6

1.1.2 Performances en mathématiques des élèves de 6e au Burkina Faso ................................ 7

1.1.3 Historique des approches pédagogiques au Burkina Faso .............................................. 10

1.1.3.1 L’héritage de l’école coloniale et sa culture scolaire ................................................ 10

1.1.3.2 Pédagogie par les objectifs (PPO) ............................................................................. 12

1.1.3.3 Pédagogie pour de grands effectifs .......................................................................... 13

1.1.3.4 La multiplicité d’ethnies et le bilinguisme dans l’enseignement .............................. 16

1.1.3.5 Approche par les compétences ................................................................................. 17

1.1.4 Revue de recherches sur les pratiques de stagiaires et d’enseignants expérimentés des

mathématiques ......................................................................................................................... 22

1.1.4.1 Pratiques de stagiaires sur l’enseignement des mathématiques ............................. 22

1.1.4.2 Pratiques d’enseignants expérimentés de mathématiques ..................................... 24

1.1.5 Synthèse du cadre contextuel .......................................................................................... 26

1.2 Cadre théorique ...................................................................................................................... 27

1.2.1 L’erreur et sa place dans l’apprentissage......................................................................... 28

1.2.2 Théorie des champs conceptuels (TCC) ........................................................................... 30

1.2.3 Théorie des situations didactiques (TSD) ......................................................................... 32

1.2.4 Incidents didactiques ....................................................................................................... 35

viii

1.2.5 Conceptions des mathématiques de futurs enseignants ................................................. 37

1.2.6 Postures épistémologiques et types d’adaptation des futurs enseignants ..................... 39

1.2.7 Synthèse du cadre théorique ........................................................................................... 43

1.3 Cadre d’investigation ............................................................................................................... 44

1.3.1 Différents sens de la fraction ........................................................................................... 44

1.3.2 Difficultés d’apprentissage de la fraction ......................................................................... 47

1.3.3 Transition primaire/secondaire dans l’apprentissage de la fraction ............................... 51

1.4 Questions de recherche .......................................................................................................... 53

CHAPITRE 2 ........................................................................................................................................ 57

MÉTHODOLOGIE DE LA RECHERCHE ................................................................................................. 57

2.1 Méthode qualitative/interprétative de recherche .................................................................. 57

2.1.1 Description de la recherche qualitative/interprétative ................................................... 57

2.1.2 Étude de cas multiples comme méthode de recherche ................................................... 61

2.2 Méthode de collecte des données .......................................................................................... 62

2.2.1 Les outils de collecte de données ..................................................................................... 62

2.2.1.1 Recueil documentaire ............................................................................................... 63

2.2.1.2 Enregistrement de séances de cours ........................................................................ 63

2.2.1.3 Entrevues individuelles semi-dirigées ....................................................................... 64

2.2.2 Schématisation de la méthode de collecte des données ................................................. 66

2.2.3 Recrutement des stagiaires participants .......................................................................... 66

2.2.3.1 Échantillon des stagiaires participants ...................................................................... 66

2.2.3.2 Démarches administratives pour la désignation des participants ............................ 67

2.2.3.3 Recrutement des stagiaires de l’ordre primaire ....................................................... 68

2.2.3.4 Recrutement des stagiaires de l’ordre post-primaire ............................................... 69

2.2.3.5 Rencontre d’information au Lycée Philippe Zinda Kaboré ........................................ 70

2.2.4 Collecte des données ....................................................................................................... 71

2.3 Structuration de l’analyse des données .................................................................................. 72

2.3.1 Processus d’analyse des données .................................................................................... 73

2.3.2 Plan d’analyse ................................................................................................................... 73

2.3.2.1 Analyse d’une planification de projet d’enseignement ............................................ 74

2.3.2.2 Analyse d’une réalisation de projet d’enseignement ............................................... 76

2.3.2.3 Analyse du travail d’un élève .................................................................................... 77

ix

2.3.2.3 Analyse d’une entrevue semi-dirigée ....................................................................... 78

2.4 Interprétation des conceptions des mathématiques, de l’enseignement et de l’apprentissage

des stagiaires ................................................................................................................................. 80

2.5 Influence de la posture d’inspecteur dans l’analyse des données ......................................... 81

CHAPITRE 3 ........................................................................................................................................ 83

ANALYSE DES PRATIQUES D’ENSEIGNEMENT DES STAGIAIRES DU PRIMAIRE ET DU POST-PRIMAIRE

........................................................................................................................................................... 83

3.1 Leçon sur l’addition et la soustraction de deux fractions planifiée et vécue par Penda. ... 84

3.1.1 Description et analyse de la planification de la leçon .................................................. 84

3.1.2 Description et analyse de la réalisation de la leçon ..................................................... 88

3.1.3 Description et analyse de l’entrevue ........................................................................... 96

3.1.4 Synthèse ..................................................................................................................... 101

3.2 Leçon sur l’addition et la soustraction des fractions planifiée et vécue par Piga ............. 104

3.2.1 Description et analyse de la planification de la leçon ................................................ 104

3.2.2 Description et analyse de la réalisation de la leçon ................................................... 108

3.2.3 Description et analyse de l’entrevue ......................................................................... 115

3.2.4 Synthèse ..................................................................................................................... 118

3.3 Leçon sur la multiplication d’une fraction par un entier naturel planifiée et vécue par

Pélagie ..................................................................................................................................... 120




3.3.4 Synthèse ..................................................................................................................... 137

3.4 Leçon sur la division des fractions planifiée et vécue par Poko ........................................ 140




3.4.4 Synthèse ..................................................................................................................... 157

3.5 Leçon sur l’écriture fractionnaire planifiée et vécue par Sidi ........................................... 159




x

3.5.4 Synthèse ..................................................................................................................... 173

3.6 Leçon sur la simplification d’une fraction planifiée et vécue par Sana ............................. 175



3.6.3 Description et analyse de l’entrevue .......................................................................... 186

3.6.4 Synthèse ..................................................................................................................... 190

3.7 Leçon sur la simplification d’une fraction planifiée et vécue par Sylvie ........................... 191




3.7.4 Synthèse ..................................................................................................................... 204

3.8 Leçon sur l’addition de deux fractions ayant le même dénominateur planifiée et vécue par

Safi ........................................................................................................................................... 206




3.8.4 Synthèse ..................................................................................................................... 219

CHAPITRE 4 ...................................................................................................................................... 223

INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS .................................................................................................. 223

4.1 Tâches mathématiques et situations d’enseignement planifiées ......................................... 223

4.1.1 Tâches mathématiques planifiées .................................................................................. 223

4.1.1.1 Tâches mathématiques planifiées par les stagiaires du primaire rencontrés ......... 223

4.1.1.2 Tâches mathématiques planifiées par les stagiaires du post-primaire rencontrés 226

4.1.1.3 Arrimage primaire/post-primaire ............................................................................ 228

4.1.2 Approches et stratégies d’enseignement planifiées ...................................................... 228

4.1.2.1 Approches et stratégies d’enseignement planifiées par les stagiaires du primaire 228

4.1.2.2 Approches et stratégies d’enseignement planifiées par les stagiaires du post-

primaire ............................................................................................................................... 230

4.1.2.3 Transition primaire/post-primaire .......................................................................... 231

4.2 Incidents didactiques et types d’adaptation ......................................................................... 233

4.2.1 Incidents didactiques...................................................................................................... 233

4.2.1.1 Incidents didactiques observés lors des réalisations de cours au primaire ............ 234

xi

4.2.1.2 Incidents didactiques observés lors des réalisations de cours au post-primaire ... 236

4.2.1.3 Synthèse .................................................................................................................. 237

4.2.2 Adaptations des stagiaires ............................................................................................. 237

4.2.2.1 Adaptations des stagiaires du primaire rencontrés ................................................ 238

4.2.2.2 Adaptations des stagiaires du post-primaire rencontrés........................................ 240

4.2.2.3 Synthèse .................................................................................................................. 241

4.3 Conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques des stagiaires

rencontrés ................................................................................................................................... 242

4.3.1 Conceptions de l’enseignement des stagiaires rencontrés ........................................... 242

4.3.1.1 Conceptions de l’enseignement des stagiaires de primaire rencontrés ................. 242

4.3.1.2 Conceptions de l’enseignement des stagiaires de post-primaire rencontrés ........ 244

4.3.1.3 Synthèse .................................................................................................................. 245

4.3.2 Conceptions de l’apprentissage des stagiaires rencontrés ............................................ 247

4.3.2.1 Conception de l’apprentissage des stagiaires du primaire rencontrés .................. 247

4.3.2.2 Conception de l’apprentissage des stagiaires du post-primaire rencontrés .......... 248

4.3.2.3 Synthèse .................................................................................................................. 249

4.3.3 Conceptions des mathématiques des stagiaires rencontrés ......................................... 250

4.3.3.1 Conception des mathématiques des stagiaires du primaire rencontrés ................ 250

4.3.3.2 Conception des mathématiques des stagiaires du post-primaire rencontrés ........ 251

4.3.3.3 Synthèse .................................................................................................................. 253

4.4 En conclusion ........................................................................................................................ 254

CONCLUSION GÉNÉRALE ................................................................................................................. 257

Rappel de la problématique ........................................................................................................ 257

Rappel de la méthodologie de recherche ................................................................................... 260

Rappel sur l’analyse des données ............................................................................................... 260

Rappel des résultats de l’étude ................................................................................................... 261

Les limites de l’étude .................................................................................................................. 263

Pertinence et retombées de l’étude ........................................................................................... 265

Perspectives de recherche .......................................................................................................... 267

BIBLIOGRAGHIE ............................................................................................................................... 269

ANNEXES ......................................................................................................................................... 279

Annexe 1 : Cas Penda .................................................................................................................. 279

xii

1.1 Contenu de la planification ............................................................................................... 279

1.2 Transcription de la réalisation ........................................................................................... 281

1.3. Transcription de l’entrevue .............................................................................................. 293

Annexe 2 : Cas Piga ...................................................................................................................... 302



2.3 Transcription de l’entrevue ............................................................................................... 320

Annexe 3 : Cas Pélagie ................................................................................................................. 327




Annexe 4 : Cas Poko .................................................................................................................... 352




Annexe 5 : Cas Sidi ....................................................................................................................... 373




Annexe 6 : Cas Sana ..................................................................................................................... 394




Annexe 7 : Cas Sylvie ................................................................................................................... 414

7.1. Contenu de la planification .............................................................................................. 414

7.2 Transcription de la réalisation du cours ............................................................................ 417


Annexe 8 : Cas Safi ...................................................................................................................... 436


8.2 Transcription de la séance de cours .................................................................................. 440

8.3. Transcription de l’entrevue .............................................................................................. 449

Annexe 9 : Fiches de leçons au primaire et au post-primaire ..................................................... 454

xiii

9.1. Fiche de leçon au primaire selon l’approche ASEI/PDSI .................................................. 454

9.2. Fiche de leçon au post-primaire ....................................................................................... 455

Annexe 10 : Lettres administratives............................................................................................ 456

10.1. Lettre adressée au Directeur général de l’Institut des Sciences .................................... 456

10.2. Lettre adressée au Directeur provincial de l’Enseignement de Base du Kadiogo ......... 458

10.3. Lettre adressée au Directeur régional du Ministère des Enseignements secondaire et

supérieur du Centre ................................................................................................................ 460

Annexe 11 : Formulaires de consentement ................................................................................ 462

11.1. Formulaires de consentement à l’intention des stagiaires ............................................ 462

11.2. Formulaires de consentement à l’intention des parents ............................................... 465

Annexe 12 : Recrutement par le téléphone des participants et questions de l’entrevue semi-

dirigée ......................................................................................................................................... 467

12.1. Texte pour le recrutement téléphonique des participants ............................................ 467

12.2. Questions pour l’entrevue semi-dirigée ........................................................................ 469

xv

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1 : Éléments distinctifs des trois versions de l’approche par les compétences (Source : MASSN,

MEBA, & MESSRS, 2008, Roegiers, 2010) ...................................................................................................... 18

Tableau 2 : Rôle de l’enseignant et des élèves au cours d’un processus d’enseignement et d’apprentissage

d’un concept en mathématique. ........................................................................................................................ 34

Tableau 3 : Unités de sens d’une planification de leçon d’un stagiaire ............................................................. 76

Tableau 4 : Unités de sens d’une réalisation de leçon par un stagiaire ............................................................ 77

Tableau 5 : Unités de sens de l’activité d’un élève............................................................................................ 78

Tableau 6 : Unités de sens d’une entrevue avec un stagiaire ........................................................................... 79

Tableau 7 : Conceptions des mathématiques, de l’enseignement et de l’apprentissage et postures

épistémologiques .............................................................................................................................................. 81

Tableau 8:Titres des leçons planifiées par les stagiaires. ............................................................................... 224

Tableau 9: Titres des leçons planifiées et réalisées par les stagiaires. ........................................................... 226

Tableau 10: Récapitulatif des résultats de l'étude ........................................................................................... 232

Tableau 11 : Incidents didactiques vécus dans les classes des stagiaires ..................................................... 234

Tableau 12 : Les adaptations des stagiaires rencontrés. ................................................................................ 238

Tableau 13 : Nombre de répétitions de procédures dans les classes. ........................................................... 243

Tableau 14 : Conceptions de l’enseignement de la fraction des stagiaires du primaire rencontrés ................ 244

Tableau 15 : Conceptions de l’enseignement de la fraction des stagiaires du post-primaire rencontrés ........ 245

Tableau 16 : Conception de l’apprentissage de la fraction des stagiaires du primaire rencontrés .................. 248

Tableau 17 : Conception de l’apprentissage de la fraction des stagiaires du post-primaire rencontrés .......... 249

Tableau 18 : Conceptions des mathématiques des stagiaires du primaire rencontrés ................................... 251

Tableau 19 : Conceptions des mathématiques des stagiaires du post-primaire rencontrés ........................... 253

xvii

LISTE DES FIGURES

Figure 1 : Schéma d’un extrait de l’enseignement de base. ................................................................................ 7

Figure 2 : Composantes d'une formation initiale (DeBlois, 2012)...................................................................... 42

Figure 3: Modèle théorique reliant les cinq sens des fractions aux différentes opérations des fractions et de

résolution de problèmes (M. J. Behr et al., 1983; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007, p. 296). ..................... 45

Figure 4 : Représentation de la solution de 4

3

2

1 (source : Osana et Rayner (2012)) ................................. 54

Figure 5 : Schéma de collecte et d’analyse des données ................................................................................. 66

Figure 6: Composantes de la formation initiale en jeu lors de la pratique d'enseignement et d'apprentissage de

Penda. ............................................................................................................................................................. 102


Piga. ................................................................................................................................................................ 119


Pélagie. ........................................................................................................................................................... 138


Poko. ............................................................................................................................................................... 157

Figure 10: Composantes de la formation initiale en jeu lors de la pratique d'enseignement et d'apprentissage

de Sidi. ............................................................................................................................................................ 174


de Sana. .......................................................................................................................................................... 190


de Sylvie. ......................................................................................................................................................... 204


de Safi. ............................................................................................................................................................ 220

xix

LISTE DES ABRÉVIATIONS ET DES SIGLES

AN : Assemblée nationale

APC : Approche par les Compétences

ASEI/PDSI : Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve

BIE : Bureau international d’Éducation

BREDA : Bureau régional pour l’Éducation en Afrique

CB : Compétence de base

CE1 : Cours élémentaire première année

CE2 : Cours élémentaire deuxième année

CEB : Circonscription de l’Enseignement de Base

Cégep : Collège d’enseignement général et professionnel

CEP : Certificat d’études primaires

Cf. : Confer

CH : Chercheur

CM1 : Cours moyen première année

CM2 : Cours moyen deuxième année

CP1 : Cours préparatoire première année

CP2 : Cours préparatoire deuxième année

DEPE : Direction des Études, de la Prospective et de l’Évaluation

DGIFPE : Direction générale des Inspections et de la Formation des Personnels de l’Éducation

DGRIEF : Direction générale de la Recherche, des Innovations éducatives et de la Formation.

DI : Direction des Inspections

DIFPP : Direction des Inspections et de la Formation professionnelle et pédagogique

DM : Département de Mathématiques

xx

DPEBA : Direction provinciale de l’Enseignement de Base et de l’Alphabétisation

El : Élève

Els : Élèves

ENEP : École nationale des Enseignants du Primaire

ENS/UK : École normale supérieure/Université de Koudougou

IDS : Institut des Sciences

IM : Inspection de Mathématiques

IPB : Institut pédagogique du Burkina

LMD : Licence-Maîtrise-Doctorat

M/PC : Mathématiques/Physique et Chimie

M/SVT : Mathématiques/Sciences de la Vie et de la Terre

MASSN : Ministère de l’Action sociale et de la Solidarité nationale du Burkina Faso

MEBA : Ministère de l’Enseignement de Base et de l’Alphabétisation du Burkina Faso

MÉN/ADEA : Ministère de l’Éducation nationale du Cameroun/Association pour le Développement de

l’Éducation en Afrique

MENA : Ministère de l’Éducation nationale et de l’Alphabétisation du Burkina Faso

MESS : Ministère des Enseignements secondaire et supérieur du Burkina Faso

MESSRS : Ministère des Enseignements secondaire, supérieur et de la Recherche scientifique du

Burkina Faso

NAEP : National Assessment of Education Progress

OCECOS : Office central des Examens et Concours du Secondaire

OTI : Objectif terminal d’Intégration

PAESG : Programme d’Appui à l’Enseignement secondaire général

PGCD : Plus grand commun diviseur

PPCM : Plus petit commun multiple

xxi

PPO : Pédagogie par les objectifs

SMASE : Strengthening of Mathematics and Sciences in Education

TCC : Théorie des Champs conceptuels

TSD : Théorie des Situations didactiques

TTISSA : Teacher Training Initiative for Sub-Saharan Africa [Initiative pour la formation des

enseignants en Afrique subsaharienne]

UNESCO : United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization [Organisation des

Nations Unies pour l’éducation, la science et la culture].

VIH/SIDA : Virus de l’immunodéficience humaine/Syndrome d’immunodéficience acquise

xxiii

DÉDICACE

À mon épouse, à mes enfants, à ma petite fille et à mon petit-fils.

xxv

REMERCIEMENTS

J’ai pu mener à terme la présente étude, grâce à la disponibilité constante de ma directrice de thèse,

Pr Lucie DeBlois de la Faculté des Sciences de l’Éducation de l’Université Laval. Elle est restée

constamment à mon écoute et a toujours apporté des critiques et des suggestions à mon travail. Du

fond du cœur, je lui adresse mes sincères remerciements.

J’adresse mes vifs remerciements aux responsables du Programme canadien de Bourse de la

Francophonie (PCBF) et aux autorités politiques et administratives du Ministère des Enseignements

secondaire et supérieur (MESS) du Burkina Faso qui ont rendu possible cette recherche. Mes

sincères remerciements vont à messieurs Lucien Bonou de l’Institut des Sciences, Login Somé de

l’Université de Ouagadougou, Kalifa Traoré de l’Université de Koudougou et Ousséni So de l’Institut

des Sciences. Ils ont facilité mon inscription à travers leur lettre de motivation.

Je remercie très sincèrement le Directeur général de l’Institut des Sciences, monsieur Lucien Bonou,

et le Directeur régional de l’Éducation nationale et de l’Alphabétisation du Centre, monsieur

Managabamba Zoungrana. Ils ont contribué à faciliter la collecte de mes données de recherche. Mes

sincères remerciements vont également aux douze stagiaires des enseignements primaire et post-

primaire qui ont accepté m’accompagner dans ma recherche.

Mes vifs remerciements vont à mon épouse Rasmata Éléonore Douamba/Doulcoum, Conseillère

pédagogique au Ministère de l’Éducation nationale et à monsieur Namoussa Mano, Directeur des

Stages à l’Institut des Sciences. Ils m’ont toujours transmis des documents dans le cadre de mes

recherches documentaires.

Je témoigne à toutes ces personnes ma profonde gratitude.

1

INTRODUCTION

L’Initiative pour la formation des enseignants1 en Afrique subsaharienne (TTISSA2), une initiative de

l’UNESCO3, relève que la qualité des enseignants est fondamentale pour assurer des

apprentissages efficaces. En effet « 40 % des jeunes ayant fréquenté l'école primaire pendant cinq

ans n’ont ni les compétences de base indispensables pour ne pas retomber dans l’analphabétisme,

ni les qualifications minimales pour prétendre à un emploi » (UNESCO-BREDA, 2011) (p. 24).

L’absence de compétences dans la conception et dans la mise en œuvre de stratégies efficaces

d’enseignement constitue, en Afrique subsaharienne, une entrave à l’accroissement de la qualité de

l’enseignement (Adedeji & Olaniyan, 2011). Ces auteurs trouvent qu’il y a une nécessité d’améliorer

les connaissances des enseignants dans les matières qu’ils enseignent à travers la formation, de

promouvoir et de développer des méthodes innovantes de formation des enseignants afin de réduire

l’analphabétisme. La formation aide les enseignants à gérer dans leurs pratiques les contradictions

qui existent, par exemple, entre la logique de réussite et celle d’apprentissage à moyen et long

terme, et entre la logique de la gestion individuelle et celle de la gestion collective de la classe

(Benavente, Ralambomanana, & Mbanze, 2008). Selon ces auteurs, la formation pourrait permettre à

l’enseignant d’être en mesure de « réguler ses propres pratiques et de les évaluer, en agissant sur

les valeurs et les représentations et en soulignant le droit à l’erreur ainsi que la valeur de la

diversité » (p. 235).

La dynamique dans la formation des enseignants en Afrique subsaharienne demanderait des

recherches en contexte sur l’enseignement et l’apprentissage dans les pays de cette région. Au

Burkina Faso, le niveau faible des apprentissages scolaires serait dû, entre autres, aux grands

effectifs de classes, au nombre insuffisant des enseignants, à la faible qualification professionnelle

des enseignants, à l’absence de matériel et d’infrastructures scolaires. Par exemple, des études

menées par l’Inspection de Mathématiques (1994) et par l’Office central des Examens et Concours

du Secondaire (2006) montrent que les élèves des classes de 6e [7e année de scolarité] du post-

primaire [secondaire] ont de mauvaises performances en mathématiques. Douamba (1999) relève

1 Dans tout le document, le masculin est utilisé dans le but d'alléger le contenu. 2 TTISSA : Teacher Training Initiative for Sub-Saharan Africa. Cette initiative contribue à améliorer l’accès, la qualité et l’équité de l’éducation à travers une qualité et une quantité accrues du corps enseignant en Afrique subsaharienne. (http://www.unesco.org/new/fr/education/themes/education-building-blocks/teacher-education/ttissa/). 3 UNESCO : United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization [Organisation des Nations Unies pour l’éducation, la science et la culture].

http://www.unesco.org/new/fr/education/themes/education-building-blocks/teacher-education/ttissa/

2

que les causes d’échec en mathématiques des élèves de la classe de 6e sont dues, entre autres, à

l’absence de motivation de l’élève qui est causée par son environnement familial, à l’absence de

formation initiale de certains enseignants, aux conditions d'enseignement, surtout dans les classes à

effectifs larges et le manque de matériel didactique. La qualification insuffisante des enseignants

serait donc une des causes expliquant la déperdition4 scolaire.

Dans la recherche d’une amélioration de la qualification des enseignants de mathématiques, Traoré

(2012) constate qu’en formation initiale, il y a une inadéquation entre les programmes de formation et

les besoins des finissants et un problème d’articulation entre la formation théorique et le stage. La

présente recherche, que nous avons intitulée « formation à l’enseignement des mathématiques au

Burkina Faso : étude de pratiques d’enseignement de stagiaires sur la fraction dans les classes de

CM2 et de sixième », se veut une compréhension des pratiques des stagiaires dans les ordres

d’enseignement primaire et post-primaire. Une étude des pratiques des stagiaires sur l’enseignement

de la fraction se justifie par la difficulté de compréhension de la fraction par les élèves du primaire et

du secondaire (M. Behr, J., Harel, Post, & Lesh, 1992; DeBlois, 2011; Gould, 2005; I. Oliveira, 2008;

Osana & Rayner, 2012; Perrin-Glorian, 1986; Rosar, Nieuwenhoven, & Jonnaert, 2007). Or, la

compréhension de la fraction semble permettre aux élèves de résoudre certains problèmes

mathématiques de la vie quotidienne et favoriser leur évolution dans leur apprentissage des

mathématiques à cause, notamment, du passage obligé des structures additives aux structures

multiplicatives.

Notre thèse comporte quatre chapitres et une conclusion générale. Le premier chapitre sur la

problématique comprend quatre parties qui sont : le cadre contextuel, le cadre théorique, le cadre

d’investigation et les questions de recherche. Dans le cadre contextuel, l'organisation du système

scolaire, les performances en mathématiques des élèves de la classe de 6e du post-primaire [1re

année du secondaire] et les approches d’enseignement et d’apprentissage des mathématiques

vécues au Burkina Faso ont été développées afin de justifier la pertinence sociale et éducative de

notre recherche. Afin de justifier la pertinence scientifique de notre recherche, nous avons fait

également dans le cadre contextuel une revue de travaux de recherche sur les pratiques des

stagiaires et d’enseignants dans l’enseignement des mathématiques.

4 La déperdition scolaire est l’ensemble des exclusions par un conseil des enseignants (Kaboré-Konkobo, 2008).

3

À la suite, nous avons décrit dans le cadre théorique des théories et des concepts en didactique des

mathématiques qui, combinés, nous permettront d’analyser les données de notre recherche. En effet,

nous combinons la théorie des champs conceptuels (Vergnaud, 1981, 1991), la théorie des situations

didactiques (Brousseau, 1986a, 1988, 2003) et le concept d’incidents didactiques lors des pratiques

de classes (Roditi, 2003; Rogalski, 2003) afin d’analyser les planifications et les réalisations de cours

des stagiaires rencontrés. Les incidents didactiques sont des occasions de constater les formes

d’adaptation des stagiaires (DeBlois & Maheux, 2005). En plus de ces adaptations, les conceptions

de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques (DeBlois, 2012; Noël & Mura, 1999;

Savard, 2014) qui émergent des planifications, des réalisations et des entrevues semi-dirigées sont

caractéristiques de la posture épistémologique (DeBlois & Squalli, 2002) adoptée par le stagiaire lors

de sa pratique.

Dans le cadre d’investigation, nous avons fait ressortir des résultats de recherches réalisées sur la

fraction. Premièrement, Adjiage (2007), M. J. Behr, Lesh, Post et Silver (1983), Blouin (1993),

Charalambous et Pitta-Pantazi (2007), DeBlois (2011), Fridman-Bittencourt (2008), Mercier et

DeBlois (2004) et Rossa et Bruceb (2009) montrent différentes interprétations mathématiques de la

fraction. Deuxièmement, nous relevons des difficultés d’apprentissage de la fraction qui sont dues à

la complexité du concept. Ces difficultés sont relevées dans plusieurs publications (M. Behr, J. et al.,

1992; DeBlois, 2011; Mercier & DeBlois, 2004; Osana & Rayner, 2012; Rosar et al., 2007).

Troisièmement, nous présentons des propositions faites par des chercheurs (DeBlois, 2011; Mercier

& DeBlois, 2004; Reimer & Moyer, 2005; Rosar et al., 2007; Tzur, 2007) pour un apprentissage de la

fraction dans l’enseignement primaire et dans celui du secondaire dans un contexte différent de celui

du Burkina Faso. Cette présentation pourrait nous aider à comprendre l’approche d’enseignement et

d’apprentissage planifiée et réalisée sur la fraction par un stagiaire dans sa classe.

La méthodologie de notre recherche constitue le deuxième chapitre. La justification du choix de la

méthode de recherche, la description de la méthode de collecte des données, la détermination de

l’échantillon des stagiaires participants, la période de collecte des données, l’analyse de la rigueur de

la méthodologie de recherche et la structuration de l’analyse des données sont, entre autres, des

contenus que nous développons dans ce chapitre.

Notre troisième chapitre est constitué de l’analyse des résultats des données recueillies. Il comporte

huit sections correspondant aux huit cas de pratiques de stagiaires sur l’enseignement de la fraction

4

que nous avons analysées (quatre stagiaires dans chaque ordre d’enseignement). Pour chacun des

huit stagiaires rencontrés, nous étudions, sur la base des unités de sens établies dans la

méthodologie, sa planification du cours, sa réalisation du cours planifié en classe et le contenu d’une

entrevue semi-dirigée que nous avons réalisée avec le stagiaire après sa séance de leçon.

L’interprétation des résultats constitue le quatrième chapitre. C’est une synthèse et une discussion

sur les tâches mathématiques et les situations d’enseignement planifiées par les stagiaires, sur les

incidents didactiques et les types d’adaptations réalisés par les stagiaires rencontrés, de même que

sur leurs conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques. Il s’agit dans ce

chapitre d’une recherche de réponses à notre question de recherche et aux sous-questions qui la

décrivent.

Dans la conclusion générale, nous récapitulons les principaux résultats de nos travaux. Nous y

relevons également les limites, la pertinence et les retombées de notre recherche. Nous proposons

des pistes de recherches futures.

5

CHAPITRE 1

PROBLÉMATIQUE

Notre souci de contribuer à l’amélioration des résultats des élèves en mathématiques au Burkina

Faso est motivé par les résultats des études portant sur la déperdition scolaire. En outre, nous avons

servi à la Direction générale des Inspections et de la Formation des Personnels de l'Éducation

(DGIFPE) de 1999 à 2004 en tant qu'inspecteur de l’enseignement secondaire (option :

mathématiques) et à l’Institut des Sciences (structure de formation initiale des enseignants de

mathématiques, de physique-chimie et des sciences de la vie et de la terre) de 2004 à 2011 en tant

que formateur des enseignants de mathématiques du post-primaire [secondaire]. Dans ces deux

structures, nous avons mené des activités de suivis-conseils des enseignants de mathématiques et

des stagiaires. Nos constatations lors de ces visites nous donnent davantage d’arguments pour

étudier les pratiques des stagiaires sur l’enseignement des mathématiques afin de mieux

comprendre ces pratiques. Une compréhension de ces pratiques pourrait nous aider dans

l’amélioration de notre pratique de formation en institut. La présente recherche pourrait aussi avoir

des retombées qui contribueraient à la formation initiale des futurs enseignants (Traoré, 2012).

Nous nous proposons d’étudier les pratiques des stagiaires du primaire et du post-primaire sur

l’enseignement des mathématiques. Ces deux ordres d’enseignement pourraient permettre d’étudier

les pratiques réalisées dans des classes du cours moyen deuxième année [CM2; 6e année de

scolarité] et de sixième [première année du secondaire] au Burkina Faso pour mieux cerner cette

transition, étape charnière que nous développons dans la section 1.1.2. Nous étayons notre

argumentation dans la section suivante, c’est-à-dire dans le cadre contextuel, notre choix. Par la

suite, nous développons successivement le cadre théorique, le cadre d’investigation et les questions

de notre recherche.

1.1 Cadre contextuel

Nous développons d’abord la pertinence sociale et éducative de notre étude en donnant un aperçu

de l’organisation du système éducatif burkinabé, en évoquant les faibles performances des élèves et

en faisant un historique des approches d’enseignement des mathématiques connues au Burkina

Faso. Par la suite, nous justifions la pertinence scientifique de notre étude à travers des résultats de

6

recherche sur les pratiques de stagiaires et d’enseignants expérimentés de mathématiques. Nous

terminons le cadre contextuel par une synthèse.

1.1.1 Aperçu de l’organisation du système éducatif au Burkina Faso

Le Burkina Faso (ex Haute-Volta, ancienne colonie française) est un pays situé au cœur de l’Afrique

occidentale. Son système éducatif est organisé en éducation formelle, en éducation non formelle, en

éducation informelle et en éducation spécialisée (AN, 2007)5. L’éducation formelle est l’ensemble des

activités d’éducation se déroulant dans des structures scolaires, universitaires ou de formation

professionnelle (écoles, collèges, lycées, universités, écoles de formation professionnelle, instituts

supérieurs de formation…). Quant à l’éducation non formelle, elle regroupe les activités d’éducation

et de formation (alphabétisation, formation des jeunes agriculteurs…) et le développement de

l’environnement lettré, qui se réalisent dans un cadre non scolaire. L’éducation informelle concerne

toute forme d’éducation non structurée contribuant à la formation de l’individu et à son insertion

sociale. Enfin, l’éducation spécialisée correspond à l’« ensemble des activités d’éducation et de

formation destinées à des personnes atteintes d’un handicap physique, sensoriel ou mental ou ayant

des difficultés d’adaptation personnelle et d’intégration sociale, afin de faciliter leur adaptation et leur

insertion sociales » (Article 2, AN, 2007, p.3).

L’enseignement de base, l’enseignement secondaire6, l’enseignement supérieur et la formation

technique et professionnelle structurent l’éducation formelle. L’enseignement de base se compose de

l’enseignement primaire et de l’enseignement post-primaire et correspond à la durée obligatoire de

l’éducation au Burkina Faso. Il vise « à faire acquérir aux apprenants de 6 ans à 16 ans des

compétences de base qui leur permettent soit de poursuivre les études dans l’enseignement

secondaire, soit de s’insérer dans la vie socioprofessionnelle » (Article 2, AN, 2007; p.3).

L’enseignement primaire reçoit les enfants âgés de six (6) ans au moins. La fréquentation scolaire y

est obligatoire et sa durée normale est de six (6) ans. L’ordre primaire est constitué du cours

préparatoire première et deuxième années (CP1 et CP2), du cours élémentaire première et

deuxième années (CE1 et CE2) et du cours moyen première et deuxième années (CM1 et CM2). Il

est sanctionné par un diplôme de fin de cycle qui est le certificat d’études primaires (CEP).

L’enseignement post-primaire a pour but de « consolider les acquis de l’enseignement primaire et

5 AN : Assemblée nationale. 6 Le secondaire correspond au niveau collégial au Québec.

7

préparer les élèves à l’enseignement secondaire ou à la vie professionnelle » (Article 2, AN, 2007;

p. 3). Il est d’une durée de trois (3) à quatre (4) ans. Il est le second palier de la fréquentation scolaire

obligatoire. Un diplôme sanctionne la fin de ce cycle post-primaire. La première année de l’ordre

post-primaire de l’enseignement de base formelle accueille les élèves du primaire venant de la

classe du cours moyen deuxième année (CM2)7 et ayant obtenu leur certificat d’études primaires

(CEP). Ces élèves sont inscrits en classe de sixième8 (6e). La figure 1 ci-dessous est une

schématisation d’un extrait de l’enseignement de base.

Figure 1 : Schéma d’un extrait de l’enseignement de base9.

1.1.2 Performances en mathématiques des élèves de 6e au Burkina Faso

Au Burkina Faso, la déperdition scolaire, définie comme « la perte progressive des élèves au cours

de leur cycle scolaire » (p.3), se constate à travers les exclusions des élèves décidées en conseil des

enseignants pour les mauvais résultats, les mauvaises conduites et les abandons (Kaboré-Konkobo,

2008). Selon l’auteure, les faibles revenus des parents et les frais élevés de scolarité constituent une

des principales causes externes de la déperdition. À côté de ces causes qui sont d’ordre

économique, elle a cité, entre autres, la responsabilité des enseignants (sévérité, qualification) et le

produit de l’école méconnu par certains parents, une vision partagée par des élèves. Quant aux

7 Le cours moyen 2e année (CM2) est la sixième année du primaire. Il accueille les élèves de 11 à13 ans. 8 La sixième (6e) est la première année du post-primaire. Elle accueille les élèves de 12 à 14 ans. 9 Source : MENA/MESSR. Rapport national sur le développement de l’éducation au Burkina Faso. Juin 2004

Enseignement de base

Sixième (6e)

Cours préparatoire : CP1; CP2

Enseignement primaire

Enseignement post-primaire

Cours élémentaire : CE1, CE2

Cours moyen : CM1, CM2

Troisième (3e)

Quatrième (4e)

Cinquième (5e)

8

causes internes, Kaboré-Konkobo (2008) cite, entre autres, les mauvaises orientations des élèves,

les effectifs pléthoriques et le nombre insuffisant en personnel enseignant. En ce qui concerne les

effectifs pléthoriques, par exemple, le ratio élèves/maître était en 2011 de 54,3 au primaire (MÉNA,

2011) et le ratio élèves/classe était pour la même année de 72 (MESS, 2011) au post-primaire

[secondaire].

Le but de l’enseignement des mathématiques dans la classe de 6e [7e année de scolarité] est de

« consolider et approfondir les acquis de la scolarité élémentaire et doter les élèves d’un certain

nombre de connaissances pratiques » (MESSRS/DGIFPE/DI/IM, 2009; p. 1)10. Ce but rencontre des

défis plus grands lorsque les élèves présentent des difficultés en mathématiques dès la première

année du post-primaire. Des études réalisées par l’Inspection de mathématiques (1995), par

Douamba (1999) et par l’Office central des Examens et Concours du Secondaire (2006) mettent en

évidence les mauvais résultats en mathématiques des élèves des classes de 6e. En effet, au cours

de l’année scolaire 1993-1994, une étude portant sur le programme de mathématiques de la classe

de 6e, programme en application au cours de l’année scolaire 1991-1992, a été faite par l’Inspection

de mathématiques (MESSRS/DIFPP/DM, 1995). L’analyse et l’interprétation sont faites suivant deux

rubriques : les activités numériques et les activités géométriques. Il en ressort que dans les activités

numériques, les élèves ont des difficultés notables lorsqu’il s’agit de passer du cadre numérique au

cadre graphique et vice-versa11, d’effectuer des calculs portant sur la division des nombres décimaux

et les fractions, de résoudre des problèmes sur la proportionnalité. Par exemple, l’exercice qui

consiste à donner un résultat sous forme de fraction dans le calcul de la somme d’une fraction et

d’un entier est réussi par 16 % d’un échantillon de 4537 élèves. Le problème suivant : « un terrain

carré de 40 m de côté est représenté dans un plan par un carré de 5cm de côté. Quelle est l’échelle

du dessin? » enregistre un taux de réussite de 12 % seulement. En outre, l’Inspection de

mathématiques a trouvé que les élèves ont des difficultés à comprendre le concept de la fraction

(MESSRS/DIFPP/DM, 1995).

L’étude de l’Inspection de mathématiques sur l’évaluation des programmes de mathématiques a

motivé en 1999 notre choix de sujet de mémoire de fin de formation à la fonction d’inspecteur de

l’enseignement secondaire (option mathématique). Nous avons intitulé notre sujet de recherche :

10 Source : Arrêté n° 2009-308/MESSRS/SG/DGIFPE/DI/IM du 19 octobre 2009 portant application des nouveaux

programmes de mathématiques en classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème dans l’enseignement général post‐primaire. 11 Résolution de problèmes consistant par exemple à déterminer l’échelle d’un plan, d’un dessin.

9

« Échec en mathématiques au Burkina Faso : approche de quelques causes en classe de sixième ».

À partir des résultats donnés par l’Inspection de mathématiques, nous avons relevé dans notre travail

préliminaire qu’en activités numériques, 57 items sur les 81 proposés enregistrent un taux de

réussite par les élèves inférieur à 50 %. En activités géométriques, 61 items sur les 94 proposés

enregistrent un taux de réussite par les élèves inférieur à 50 % (Douamba, 1999).

La Direction des études de la prospective et de l’évaluation (DEPE) de l’Office central des Examens

et Concours du Secondaire (OCECOS), une structure du Ministère des Enseignements secondaire,

supérieur et de la Recherche scientifique (MESSRS), a mené une étude sur les performances des

élèves de la classe de 6e du post-primaire dans quatre disciplines scolaires, dont les mathématiques

(MESSRS/OCECOS/DEPE, 2006). Les résultats ont encore confirmé les faibles performances déjà

constatées dans l’étude faite au cours de l’année scolaire 1993-1994 par l’Inspection de

mathématiques.

Les deux études, celles de l’Inspection de mathématiques (1995) et de la Direction des études, de la

prospective et de l’évaluation (2006), à plus de dix ans d’intervalle, attesteraient la persistance des

échecs en mathématiques des élèves de 6e, d’où l’importance de se préoccuper des élèves de ce

degré scolaire et de ceux qui précèdent immédiatement ce degré. Une faible performance d’un élève

constitue donc une cause de son exclusion de l’établissement scolaire. Par exemple, au post-

primaire, tout élève qui obtient une moyenne inférieure à 7 sur 20 est exclu, même s’il n’a jamais

redoublé dans son cycle (UNESCO/BIE, 2010). L’échelle de notation va de 0 à 20 dans toutes les

disciplines scolaires. Les mathématiques et le français, avec des coefficients qui sont les plus élevés

(coefficient 5 pour chacune de ces matières) au post-primaire (Coulidiati-Kiélem, 2008; Douamba,

1999), influent positivement ou négativement sur les résultats d’un élève, suivant qu'il obtienne une

bonne ou une mauvaise moyenne en mathématiques ou en français.

D’autres causes pourraient expliquer les mauvaises performances de l’élève de 6e. Premièrement,

l’élève de 6e devrait s’adapter très vite à de nouvelles organisations du travail scolaire, à des

pratiques pédagogiques différentes de celles qu’il a vécues en classe du cours moyen deuxième

année (CM2). Par exemple, le fait que plusieurs professeurs (professeurs de mathématiques, de

français, d’anglais, de sciences de la vie et de la terre, d’histoire-géographie, d’éducation physique et

sportive…) interviennent dans la classe de 6e nécessite une adaptation de l’élève à la nouvelle

situation. Deuxièmement, au primaire, l’approche d’enseignement en classe du cours moyen

10

deuxième année (6e année de scolarité) s’inscrit dans le registre de la pédagogie par les objectifs et

la conduite de classe pour un cours d’arithmétique, de système métrique ou de géométrie obéit à une

même démarche chronologique (Djibo, 2010). Tandis qu’au post-primaire, l’enseignant emploie

l'approche qu’il juge opportune pour son enseignement (Douamba, 1999). L’approche utilisée peut

être différente de celle de la pédagogie par les objectifs. Les pratiques d’enseignement des

mathématiques au primaire et au post-primaire sont donc à considérer. En regard des faibles

performances des élèves de 6e, nous nous demandons comment améliorer leurs résultats en

mathématiques. Une compréhension des phénomènes d’enseignement au moment de la transition

primaire-secondaire pourrait-elle conduire à cerner les caractéristiques liées aux pratiques

enseignantes pour cette discipline?

1.1.3 Historique des approches pédagogiques au Burkina Faso

Le bilan des études sur les performances des élèves en classe de 6e du post-primaire nous amène à

poser cinq réflexions initiales sur l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques au Burkina

Faso : 1) l’héritage de l’école coloniale et sa culture scolaire; 2) la pédagogie par les objectifs

introduite dans les années 70; 3) la grandeur des effectifs de classe; 4) la multiplicité d’ethnies et

donc de langues (environ une soixantaine); 5) l’approche par les compétences dans des classes à

larges effectifs.

1.1.3.1 L’héritage de l’école coloniale et sa culture scolaire

Les institutions administratives et scolaires et leur organisation, léguées par le colonisateur,

subissent souvent des réformes pour tenir compte de l’évolution de la société burkinabé. Toutefois,

certains legs culturels ancrés résistent au changement. C’est le cas de l’héritage culturel de l’école

républicaine dont la mission est d’instruire la personne, c’est-à-dire lui transmettre l’héritage culturel

patrimonial spécifique et universel qui lui conférerait ultérieurement une formation pour un citoyen

éclairé (Gohier, 2002). Selon cette auteure, l’école républicaine s’opposerait à l’école démocratique

qui met l’accent sur l’accessibilité du savoir au plus grand nombre et qui véhicule une conception de

l’éducation plus contextualisée, afin de s’ouvrir à la spécificité des différents milieux de vie.

Avant les années 70, l’approche par les contenus, héritée de l’ère coloniale, était réalisée à travers la

méthode magistrale (MESSRS, 2006). Cette méthode d’enseignement consiste en un exposé fait par

l’enseignant sur le savoir à apprendre. Le savoir scolaire est communiqué par l’enseignant qui ne

11

recherche pas une rétroaction lors de sa communication. Il est transmis et imposé à l’élève et ce

dernier le mémorise. Par la suite, l’enseignant vérifie, par des exercices, que le savoir est appliqué

de manière satisfaisante. Le savoir n’est donc pas construit par l’élève et il pourrait ne pas avoir

véritablement de sens pour lui. La méthode est centrée sur le savoir et non sur l’apprenant. La

pratique du cours magistral au Burkina Faso pourrait s’expliquer, entre autres, par les contraintes

imposées par les programmes, les classes à larges effectifs et la forme actuelle des examens, mais

aussi par le fait que certains enseignants qui l’ont connue comme élèves et qui n’ont pas eu une

formation à l'enseignement la répètent.

Les examens scolaires sont sélectifs dans les deux ordres d’enseignement (primaire et post-

primaire). Les classes d’examen12 sont affectées aux enseignants chevronnés afin d’obtenir de bons

pourcentages aux examens en fin d’année scolaire. Dans l’enseignement primaire, les stagiaires ne

sont pas placés dans les classes du cours moyen deuxième année (6e année de scolarité), car les

élèves sont préparés au certificat d’études primaires (CEP). Les élèves les plus méritants à l’examen

sont récompensés. Il en est de même des maîtres qui ont réalisé dans leur classe les meilleurs taux

de réussite au certificat d’études primaires (CEP). Face à cette situation, les enseignants en viennent

à penser que les échecs des élèves leur sont imputables. La caractérisation de l'apprentissage

scolaire se trouve clairement exprimée dans « les contrôles et les sanctions établis afin de s'assurer

que les enseignants remplissent certaines obligations envers l'école, en tant qu'institution sociale, et

envers la société au sens large » (Cobb, Perlwitz, & Underwood, 1994) (p. 50).

Selon cette conception de l’apprentissage qui assimile la réussite à la compréhension (Piaget, 1974),

des enseignants tenant les classes d’examen font pour le mieux dans leur enseignement en faisant fi

de certaines approches pédagogiques qui pourraient donner plus de sens aux concepts enseignés et

procurer une meilleure compréhension de l’élève. Ils privilégieraient par exemple une pratique de

classe du genre « enseignement/recettes » afin de préparer l’élève à la réussite de l’examen

scolaire.

12 Les classes d’examen sont les classes où les élèves passent un examen à la fin de l’année scolaire. Il s’agit, par exemple, de la classe de CM2 (6e année de scolarité) au primaire et de la classe de 3e (10e année de scolarité) au post-primaire.

12

1.1.3.2 Pédagogie par les objectifs (PPO)

Dans la pratique de cette pédagogie, l’enseignant semble s’intéresser au comportement attendu de

l’élève, c’est-à-dire qu’il rechercherait surtout les bonnes applications des règles et des algorithmes

mathématiques dans la production de l’élève lors de chaque séance de cours. L’atteinte des objectifs

spécifiques ou opérationnels formulés est visée par l’enseignant lors de la réalisation de sa leçon. Or,

la réussite n’est pas toujours synonyme d’une compréhension de l’élève (Piaget, 1974). L’utilisation

des règles de calcul par imitation peut procurer de bons résultats dans l’immédiat, mais elles

pourraient ne pas toujours garantir cette réussite à l’élève dans le moyen ou long terme.

Au Burkina Faso, dans les classes de première et deuxième années du cours moyen, la conduite

d’une séance de 60 minutes portant sur l’apprentissage de l’arithmétique, du système métrique et de

la géométrie suit la démarche commune suivante : 1) calcul mental13; 2) révision portant sur la leçon

précédente; 3) leçon du jour comportant une phase concrète, une phase semi-concrète et une phase

abstraite; 4) exercices d’application collectifs et individuels; 5) copie de la définition ou de la règle

[procédure]. Tandis que dans les classes de 6e [7e année de scolarité], la conduite d’un cours de

mathématiques d’une durée de cinquante-cinq (55) minutes selon la pédagogie par les objectifs

consiste à : 1) donner une activité de contrôle de prérequis; 2) donner des activités sur les notions à

étudier; 3) poser des questions de compréhension sur les concepts étudiés; 4) faire noter la synthèse

(définition, propriété, théorème…) dans les cahiers de leçons; 5) proposer des exercices

d’application et de réinvestissement.

L’entrée d’un cours par le contrôle des prérequis est critiquée par Legendre (2004). L’apprentissage

dépend plus des « préacquis » ou connaissances antérieures que des « prérequis », car les

connaissances antérieures sont des « “structures d’accueil”, des “représentations préalables” ou des

“schèmes mentaux” qui peuvent avoir un effet tout autant perturbateur (notion d’obstacles) que

facilitateur (idée d’ancrage ou de point d’appui) sur les apprentissages à réaliser » (Legendre,

2004)(p. 11). Les approches d’enseignement des mathématiques selon la pédagogie par les objectifs

consistent à faire réaliser des apprentissages sur la base d’une graduation des contenus à acquérir.

La détermination des objectifs spécifiques ou opérationnels et l’élaboration d’activités mathématiques

13 Le calcul mental est l’habileté à effectuer de tête des opérations arithmétiques sans écrire les nombres qui

interviennent ni utiliser aucun moyen matériel. Il consiste à faire rapidement par la pensée des calculs avec des procédures spéciales et au moyen de procédés adaptés à une situation particulière. Le calcul mental se fait au début de chaque séance de calcul.

13

se référant auxdits objectifs constituent un point important dans l’élaboration d’une fiche pédagogique

au Burkina Faso. Le rôle de l’enseignant consiste donc à faire acquérir le savoir enseigné à travers

des activités dirigées et cadrées. L’enseignant fournit l’information et les moyens nécessaires lors de

son enseignement à l’élève qui, graduellement, répond aux questions guidées dans la tâche

mathématique.

Des points de similarité existent dans la planification [fiche pédagogique] d’une leçon au cours

moyen deuxième année et en classe de 6e. Le titre de la leçon, les objectifs spécifiques de la leçon,

les documents et le matériel didactique constituent des éléments qui ressortent dans les

planifications de leçons. L’évaluation des connaissances à la fin du temps didactique est également

un trait commun dans les séances de cours de ces deux ordres d’enseignement. Toutefois, il en

existe des différences. En effet, le calcul mental et l’observation des trois situations (concrète, semi-

concrète et abstraite14) ne sont pas une exigence à chaque cours en classe de 6e.

1.1.3.3 Pédagogie pour de grands effectifs

Des réflexions ont été menées sur la pédagogie des grands groupes afin de rendre efficientes les

pratiques d’enseignement et d’apprentissage dans les classes à grands effectifs. Comme son nom

l’indique, la pédagogie des grands groupes est une innovation pédagogique conçue pour gérer les

grands effectifs des classes. Le nombre de 45 élèves est le plus souvent donné comme la limite

supérieure d’une classe dite régulière dans les pays en voie de développement (Fofana, 2011).

Dans la pédagogie des grands groupes, à travers l’organisation de la classe, on cherche à

considérer que la taille de la classe n’est pas un facteur limitant les apprentissages, mais un facteur

valorisant et enrichissant ces derniers. Son principe et celui de l’apprentissage coopératif semblent

essentiellement les mêmes. En effet :

La coopération vise à travailler ensemble pour atteindre des objectifs communs. Avec des activités de coopération, les individus cherchent des résultats qui sont bénéfiques pour eux-mêmes et pour tous les autres membres du groupe. L’apprentissage coopératif est l’utilisation de petits groupes permettant aux élèves de travailler ensemble pour maximiser l’apprentissage des uns et des autres. L'idée est simple. Les membres du groupe sont divisés en petits groupes après avoir reçu des instructions de l'enseignant. Ils travaillent ensuite sur une tâche, jusqu'à ce que tous les membres du

14 La situation concrète consiste à faire manipuler l’élève. La situation semi-concrète consiste à faire représenter la manipulation réalisée et enfin la phase abstraite consiste à demander à l’élève d’utiliser un symbolisme.

14

groupe l’aient comprise et achevée (Johnson, Johnson, & Jonhson-Holubec, 1993) (page 1:5; traduction libre).

Au Cameroun (MÉN/ADEA, 1999)15, pour une pratique de la pédagogie des grands groupes, le

maître organise ses élèves en sous-groupes de travail. Chaque sous-groupe est structuré avec un

responsable, un rapporteur, parfois avec un gardien du temps, et son fonctionnement vise à cultiver

l’esprit de la promotion collective. Ensuite, l’enseignant octroie à tous les sous-groupes le même

travail à faire en précisant toutes les consignes. Les résultats qui découlent des débats dans chaque

sous-groupe sont notés par le rapporteur pour la mise en commun. La synthèse des résultats

primaires obtenus dans les différents sous-groupes constitue l’essentiel de la leçon pour toute la

classe. À cette étape, l’enseignant joue un rôle de guide, de personne-ressource, d’animateur de sa

classe.

L’enseignant va se servir, entre autres, de la structuration des sous-groupes, des interventions dans

les sous-groupes et en plénière comme forme d’institutionnalisation pour résoudre les problèmes

ponctuels d’apprentissage de ses élèves. Le sous-groupe est un lieu privilégié de préparation active

des élèves, d’échange et de communication (Thériault, Couillard, Gauthier, & Landry, 1994). La

pédagogie des grands groupes permet aux élèves de développer des compétences transversales

comme les capacités d’organisation, de gestion du temps, d’écoute et de respect de l’autre, etc.

(Mano, 2002). Tout en ressortant les retombées positives sur le rendement des élèves de

l’apprentissage coopératif, Plante (2012) relève dans les travaux des chercheurs d’autres effets de

l’apprentissage coopératif qui sont l’effort, la motivation scolaire, une bonne estime de soi de l’élève,

ainsi que le développement des habiletés sociales et relationnelles.

La pédagogie des grands groupes consommerait du temps, mais ces pertes apparentes de temps

pourraient permettre d’en gagner plus tard si les élèves arrivent effectivement à développer un savoir

viable, c’est-à-dire un savoir qui peut être adapté à une famille de situations. Aussi, l’enseignant

engage ses élèves à entrer dans une tâche de découverte autonome des concepts.

Une expérimentation basée sur les travaux de grands groupes a été menée à Ouagadougou pour

pallier les problèmes des grands effectifs dans l’enseignement primaire (Mano, 2002). Selon l’auteur,

les maîtres expérimentateurs qui ont reconnu les avantages de ces nouvelles stratégies pour eux et

15 Ministère de l’Éducation nationale du Cameroun/Association pour le développement de l’Éducation en Afrique.

15

pour leurs élèves ont décidé d'appliquer ces stratégies en activités d'éveil comme les sciences

d’observation, l’histoire et la géographie. C’est ainsi que les responsables de l'institut pédagogique et

les autorités de l'enseignement de base qui ont été satisfaits de cette expérimentation ont souhaité

sa vulgarisation à travers la formation des enseignants à la pédagogie des grands groupes. Quant à

l’enseignement des mathématiques au post-primaire, le principe des travaux de groupe est retenu

pour les situations de grand groupe, mais il ne connaît pas de systématisation (Mano, 2002). Sa

pratique serait limitée parce que les infrastructures scolaires, l’absence de matériel didactique et la

lourdeur des programmes seraient, entre autres, des éléments handicapant la systématisation de la

pratique de la pédagogie des grands groupes aussi bien au primaire qu’au post-primaire.

Selon Plante (2012), malgré les avancées de cette approche, trois motifs semblent freiner la mise en

œuvre de l’apprentissage coopératif. Premièrement, les conceptions de certains enseignants sur leur

propre rôle comme transmetteur du savoir et leur capacité à gérer efficacement l’apprentissage

coopératif déterminent leur volonté de pratiquer un apprentissage coopératif dans leur classe.

Deuxièmement, la planification pour la pratique de l’apprentissage coopératif est exigeante, tant dans

le choix du matériel et des tâches, que dans les comportements et attitudes à mobiliser. La capacité

à gérer efficacement l’apprentissage coopératif exige donc un apprentissage de l’application de cette

approche dans leur classe. Troisièmement, la gestion du travail en petits groupes associée à

l’apprentissage coopératif est une cause de résistance des enseignants. En effet, l’apprentissage

coopératif nécessite une supervision continue et un soutien accru, parfois difficiles à maintenir. Faire

des rétroactions rapides aux équipes et questionner de façon pertinente afin d’amener les élèves à

organiser leur pensée seraient une source de démotivation des enseignants pour la pratique de

l’apprentissage coopératif (Ding, Li, Piccolo, & Kulm, 2007; Plante, 2012).

Le sentiment qu’on ne peut pas être fidèle aux programmes d’enseignement avec un grand groupe

(Peretti, 1993) semble partagé par certains enseignants au Burkina Faso. La description que ces

enseignants font de la pédagogie des grands groupes révèle que leur formation sur cette pédagogie

reste au stade de la simple information (Djibo, 2010). Selon Djibo (2010), ces enseignants

développeraient un sentiment de désaveu de la pédagogie de groupes, car ils considèreraient que

cette pédagogie ne permet pas d’apprécier le niveau d’apprentissage de chaque élève. Or, lorsque

les élèves travaillent en petits groupes collaboratifs, leur apprentissage se trouve renforcé (Olson,

Cooper, & Lougheed, 2011). Les travaux en sous-groupes rendent les élèves plus actifs au cours

16

des séances de leçons. Ils sont des occasions données à l’élève de s’exprimer sur les tâches

offertes d’abord dans le sous-groupe, et éventuellement à toute la classe lors de la validation des

résultats. Dans les classes à grands effectifs, des élèves peuvent rester passifs durant des séances

lorsque les travaux se font individuellement ou dans le groupe-classe. Dans ce cas, nous posons

l’hypothèse selon laquelle des réactions d’évitement ou d’anxiété à l’égard de la tâche sont adoptées

par ces élèves (DeBlois, 2014). Selon l’auteure, ces réactions peuvent se manifester, par exemple,

par des élèves (10-11 ans) lorsqu’ils ont à interpréter des relations logico-mathématiques en jeu dans

des problèmes.

Pour une implantation de l’apprentissage coopératif, Plante (2012) suggère premièrement une

meilleure préparation des enseignants, en introduisant dans leur formation des cours sur la gestion

de cette forme de travail afin d’augmenter leurs perceptions d’efficacité professionnelle, et

deuxièmement une participation des enseignants à des séances d’apprentissage coopératif afin

d’augmenter leur prise de conscience des bénéfices de cette approche. Nous ajoutons l’hypothèse

selon laquelle cette modalité de fonctionnement remet en question les approches pédagogiques,

notamment l’approche par objectifs pratiquée au Burkina Faso. Une approche par l’apprentissage

coopératif accorde une place plus grande à l’activité des élèves et par conséquent, une remise en

question du rôle de l’enseignant.

1.1.3.4 La multiplicité d’ethnies et le bilinguisme dans l’enseignement

Des langues nationales sont prises en compte dans certaines écoles dites « écoles bilingues » pour

l’enseignement. Le mooré, le dioula, le fulfuldé, le lyèlé, le dagara, le gulmancéma et le bissa sont les

langues concernées (Ilboudo, 2009; Sawadogo, 2004). L’école bilingue semble la seule réforme qui

marque un rapprochement de l’école aux principales préoccupations burkinabé (Traoré, 2006). En

effet selon l’auteur, les apprentissages à l’école bilingue se font d’abord dans une langue nationale,

et par la suite dans la langue française qui est introduite au cours de la scolarité de l’enfant.

La pratique du bilinguisme (mooré-français, dioula-français, fulfuldé-français…) pourrait poser des

défis supplémentaires dans les grands centres urbains où l’unicité d’une langue nationale parlée par

tous les enfants serait posée. En effet, avec le flux migratoire, il y a un brassage culturel qui pourrait

influencer l’enseignement et l’apprentissage dans les centres urbains. Les différences culturelles de

l’enseignant et des élèves qui sont dues à l’hétérogénéité ethnique des élèves pourraient poser des

17

défis particuliers, car l’exploitation au quotidien du vécu culturel de tous et de chacun des élèves

dans la conduite d’un cours est exigeante dans une classe, qui de plus est à grand effectif.

Pour le cas des mathématiques particulièrement, Traoré (2006) montre, en identifiant et analysant

des pratiques quotidiennes des Siamous mobilisant des ressources mathématiques, que les

mathématiques construites en contexte diffèrent de celles enseignées à l’école sur beaucoup de

points. Par exemple, « des différences, des écarts importants existent dans la représentation même

des nombres, surtout lorsque ces derniers sont des grands nombres. […]. Et les procédures de

calcul (oral/mental) diffèrent considérablement dans les deux mondes, les mathématiques scolaires

et les mathématiques de la vie quotidienne » (pp. 267-268). À l'exemple de ce que Traoré (2006) a

fait et afin de montrer, par exemple, les similarités et les différences, une étude sur les réalités

culturelles éducatives des ethnies en mathématiques pourrait être un atout pour une prise en compte

du vécu culturel de l’élève dans son apprentissage. Les résultats d’une telle étude pourraient avoir

des retombées, par exemple, pour la formation des enseignants, pour l’élaboration des tâches

d’enseignement/apprentissage et pour la rédaction de manuels scolaires.

1.1.3.5 Approche par les compétences

Le vent des réformes scolaires et éducatives entreprises à travers le monde à partir des années

1990 (M. Tardif & Mujawamariya, 2002) a soufflé sur le Burkina. Le gouvernement Burkinabé, « par

Décret 2001-179/PRES/PM/MEBA du 02 mai 2001 portant adoption de la Lettre de Politique

éducative, a opté pour une révision des programmes d’enseignement selon l’Approche par les

Compétences (APC) » (MASSN, MEBA, & MESSRS, 2008; p. 9). En 2006, la réforme du système

éducatif du Burkina Faso prend en compte ce décret et propose par exemple dans la réécriture des

programmes de mathématiques à l’ordre primaire qu’un accent soit mis sur « le raisonnement et

l’acquisition de compétences fondamentales de logique » (MESSRS, 2006, p.12). L’idée de faire

acquérir des compétences aux élèves à travers les programmes des disciplines scolaires connaît

donc un début de matérialisation. En 2008, un document conjoint de référence, issu de trois

ministères (Ministère de l’Action sociale et de la Solidarité nationale (MASSN), Ministère de

l’Enseignement de Base et de l’Alphabétisation (MEBA), Ministère des Enseignements secondaire,

supérieur et de la Recherche scientifique (MESSRS)), contient une description de la version prise par

le Burkina, car il y a plusieurs versions de l’approche par les compétences. Dans le tableau ci-après,

nous donnons trois versions de l’approche par les compétences (APC) qui se distinguent selon les

18

entrées : l’entrée par les compétences transversales, l’entrée par les compétences de base et

l’entrée par les « habiletés ». Nous avons construit ce tableau sur la base du document conjoint de

référence sur l’approche par les compétences de base (MASSN, MEBA, & MESSRS, 2008) et des

travaux de Roegiers (2010).

Tableau 1 : Éléments distinctifs des trois versions de l’approche par les compétences (Source :

MASSN, MEBA, & MESSRS, 2008, Roegiers, 2010)

Versions de l’approche par les

compétences Accent mis sur Caractérisée par

Entrée par les compétences transversales

le développement de compétences transdisciplinaires (recherche de l’information, résolution de problème, argumentation…) (MASSN et al., 2008)

un groupe d’apprenants restreints; des opportunités de transfert immédiates; un formateur spécialement formé à cet effet (Roegiers, 2010).

Entrée par les compétences de base

l’objectif terminal d’intégration (OTI) qui est décliné en compétences de base (CB) (MASSN et al., 2008)

une forte composante orientée vers l’évaluation; pas de préférence exclusive pour une méthode pédagogique (pratiques de type socioconstructiviste, pratiques plus structurées, ou articulation de plusieurs pratiques) selon leur pertinence et leur efficacité méthodologique (Roegiers, 2010).

Entrée par les « habiletés »

un ensemble de comportements à installer, de petites tâches à accomplir dans une visée pragmatique (MASSN et al., 2008)

des objectifs de savoir-être (avoir, entre autres, des habitudes en matière d’hygiène, d’alimentation, d’économie d’énergie) (Roegiers, 2010)

Ce tableau laisse voir des traits distinctifs entre ces trois versions de l’approche par les

compétences. L’approche par les compétences transversales semble décrire de façon explicite les

approches d’enseignement/apprentissage, comme la résolution de problème. Elle recommande la

formation des formateurs. Tandis que l’approche par les compétences de base n’apporte pas

d’explicitation dans les approches d’enseignement/apprentissage et semble mettre de l’avant

l’évaluation des apprentissages. L’approche par les compétences transversales qui semble être

19

adaptée aux petits groupes d’apprenants ne pourrait être une réalité dans les classes à larges

effectifs qu’après des réaménagements dans le groupe classe, comme la division du grand groupe

en groupes restreints. Mais, cette situation peut générer d’autres problèmes, par exemple un

problème d’espace ou de temps. L’approche par les compétences transversales et l’approche par les

compétences de base semblent antagoniques. Quant à l’entrée par les habiletés, elle semble être

restrictive dans ses visées de formation. Elle se limite au développement de compétences de vie.

Avant de présenter l’entrée par laquelle le Burkina opte pour l’approche par les compétences, nous

donnons d’abord deux interprétations du concept de compétence décrit par Rey (1998) qui semblent

nécessaires pour une compréhension des compétences de base et des compétences transversales.

Afin d’expliciter les objectifs pédagogiques, « la compétence peut être définie par les comportements

auxquels elle donne lieu » (p. 46) : c’est ce qu’il appelle la « compétence-comportement ». « Mais si

l’on veut redonner aux comportements leur sens de conduites humaines, il faut comprendre la

compétence en la référant à sa finalité technico-sociale et on est conduit à la définir par sa fonction.

C’est la «compétence-fonction» » (Rey, 1998) (p. 46). Nous pourrons avec ces deux interprétations

situer celle qui semble le plus caractériser l’option prise par le Burkina.

Le groupe des experts nationaux du Burkina qui a élaboré en 2008 le document conjoint de

référence pour les trois ministères (MASSN, MEBA, MESSRS) propose l’approche par les

compétences de base. « La compétence de base est une compétence en lien avec le contexte, qui

participe au développement de l’objectif terminal d’intégration (OTI). L’objectif terminal d’intégration

est l’objectif disciplinaire à atteindre par tout élève, au terme d’une année, d’un niveau ou d’un cycle,

selon le contexte. La compétence de base est une compétence essentielle au succès de tous les

élèves d’une classe, dans une matière donnée » (MASSN, MEBA, & MESSRS, 2008, p. 13). Selon le

groupe des experts nationaux, une famille de situations permet à l’élève d’acquérir une compétence

de base, et l’atteinte d’un objectif terminal d’intégration passe par le développement de plusieurs

compétences de base. Cette vision de la compétence semble celle de la « compétence-

comportement » décrite par Rey (1998). Quelles sont les motivations de ce choix?

Trois raisons semblent motiver le choix d’entrée par les compétences de base. Premièrement, pour

le groupe des experts :

20

le choix de l’entrée par les compétences de base pour le Burkina s’explique aussi par le peu de distance entre la PPO16, majoritairement utilisée comme méthode de conception des cours par les enseignants et l’entrée par les compétences de base. Même si l’une a une vision globale qui exige que dans la démarche on parte du global vers le spécifique alors que l’autre chemine dans le sens inverse, ces approches partent toujours d’une finalité (OTI17) qui se décompose en compétences de base d’une part et en objectifs spécifiques de l’autre (MASSN, MEBA, & MESSRS, 2008, p. 14).

Deuxièmement, l’entrée par les compétences de base permet une organisation des apprentissages

par paliers. Cette organisation pour le Burkina vise à « … assurer l’efficacité de son système éducatif

en avançant prudemment dans ses objectifs, c’est-à-dire en renforçant d’une part le développement

de compétences générales poursuivies jusqu’alors, mais de façon timide par les réformes

précédentes, et en focalisant d’autre part l’action sur le développement de compétences ciblées en

lien avec l’évolution socioéconomique et culturelle du pays » (MASSN, MEBA, & MESSRS, 2008,

pp. 15-16). Cette organisation consiste en la diversification des activités à l’intérieur d’un palier et tout

au long de l’année. Les activités sont composées de prétests, d’activités d'apprentissage ponctuel

par résolution de problèmes, d’activités d’intégration ou de réinvestissement, d’activités d’évaluation

formative, d’activités de remédiation et d’activités d’évaluation sommative et/ou certificative.

Troisièmement, l’entrée par les compétences de base « répond à la spécificité de notre réforme qui

s’articule autour des principes majeurs suivants » (MASSN, MEBA, & MESSRS, 2008, p. 17) :

« donner sens à l’apprentissage, en l’ajustant aux besoins de la société, en travaillant à combattre le

bachotage, la mémorisation, le conformisme, l’imitation, la ruse des élèves qui alimentent l’échec

scolaire » (p. 17); « rendre les apprentissages plus efficaces en atteignant mieux les objectifs

terminaux d’intégration et en instruisant plus massivement les populations scolarisables »; « intégrer

les acquis de l’apprentissage pour faciliter leur réinvestissement dans les pratiques sociales

complexes et leur mobilisation dans des projets pluridisciplinaires »; « enraciner l’apprentissage dans

son contexte socioéconomique et culturel » (p. 18).

Mais comment se concrétise l’entrée par les compétences de base dans les pratiques enseignantes?

Premièrement, les apprentissages se font à travers les leçons quotidiennes données par les

enseignants selon les « méthodes actives ». C’est ainsi que les travaux des élèves se font à partir de

situations didactiques destinées à un apprentissage contextualisé. Deuxièmement, dans

16 PPO : Pédagogie par les objectifs 17 OTI : Objectif terminal d’intégration.

21

l’organisation des apprentissages, une partie du temps est consacrée aux activités d’intégration,

c’est-à-dire aux activités au cours desquelles, l’élève apprend à mobiliser ses ressources dans des

tâches complexes dans lesquelles il réinvestira ses acquis (MASSN, MEBA, & MESSRS, 2008). En

somme :

Si le contenu des capacités générales ne change pas, la manière d’enseigner et d’apprendre change avec l’APC [approche par les compétences], car enseigner doit devenir pour l’enseignant une recherche sur l’activité professionnelle. Avec la multiplicité des canaux de transmission du savoir, l’enseignant devient le canal le plus limité parmi tant d’autres. C’est pourquoi il importe qu’il donne un autre sens à sa fonction (MASSN, MEBA, & MESSRS, 2008, p. 16).

Comme nous l’avons relevé dans le tableau 1, il n’y a pas une méthode pédagogique de référence

dans la pratique de l’approche par les compétences de base. Les enseignants peuvent soit pratiquer

une approche de type socioconstructiviste, soit articuler plusieurs types de pratiques selon leur

pertinence et leur efficacité méthodologique. Toutefois, dans les propositions de démarche

pédagogique faites ci-dessus, l’expression « méthodes actives », bien connue dans les pratiques

d’enseignement du primaire et du post-primaire au Burkina semble faire référence à la pédagogie par

les objectifs. Ainsi, les stagiaires pourraient faire un rapprochement entre l’expression « objectif

général », issue de la pédagogie par objectif, et « objectif terminal d’intégration », émergeant de

l’approche par les compétences de base.

En conclusion, l’approche par les compétences de base cherche à développer chez l’élève des

savoirs et compétences. Toutefois, la proximité des concepts utilisés dans cette approche avec la

pédagogie par les objectifs pourrait mener à des confusions créant ainsi une résistance au

changement de pratiques d’enseignement. En effet, « le peu de distance entre la PPO [pédagogie

par les objectifs], majoritairement utilisée comme méthode de conception des cours par les

enseignants et l’entrée par les compétences de base » (MASSN, MEBA, & MESSRS, 2008, p. 14)

pourrait être une source « d’une certaine ambiguïté qui conduit parfois » (Legendre, 2001)(p. 28) à

assimiler l’approche par les compétences de base à celle d’objectifs. D’autres causes peuvent

expliquer la résistance au changement : les grands effectifs de classes, le maintien du caractère

sélectif des examens scolaires, l’absence de manuels scolaires rédigés selon l’approche par les

compétences de base, la formation des enseignants et des formateurs d’enseignants. Afin de mieux

expliciter le problème à l’étude, nous faisons une revue de travaux de chercheurs en didactique des

mathématiques sur les pratiques des stagiaires et des enseignants dans leur enseignement.

22

1.1.4 Revue de recherches sur les pratiques de stagiaires et d’enseignants

expérimentés des mathématiques

Il est nécessaire que nous nous intéressions aux recherches tant sur les pratiques des stagiaires que

sur les pratiques des enseignants expérimentés. En effet, trois raisons nous amènent à évoquer les

pratiques d’enseignants expérimentés de mathématiques. Premièrement, les enseignants débutants

recherchent des pratiques mises en œuvre par les enseignants expérimentés, car elles les rassurent

et sont supposées efficaces (Butlen, Masselot, & Pézard, 2003). Deuxièmement, les futurs

enseignants ont de leurs vécus antérieurs comme élèves des conceptions qui se sont formées au

contact d'enseignants marquants (Chouinard, 1999). Troisièmement, certains enseignants, en tant

que personnes-ressources, accompagnent les stagiaires, par exemple, dans leurs planifications de

leçons.

1.1.4.1 Pratiques de stagiaires sur l’enseignement des mathématiques

Les recherches sur les pratiques des stagiaires montrent, entre autres, les choix des stagiaires dans

les tâches mathématiques, dans leurs interventions en classe et dans la gestion de la classe.

L’analyse de pratiques de classe de futurs enseignants de mathématiques des Lycées et Collèges

[système français] (Robert, Roditi, & Grugeon, 2007) montre que le projet mathématique d’une

séance de cours peut être « soit majoré au détriment des élèves, ou que ce soit la prise en compte

des élèves qui est majorée, au détriment du suivi du projet mathématique » (p. 66). Butlen et al.

(2003) montrent qu’une grande majorité de stagiaires qu’ils ont observés ont des pratiques qui « se

caractérisent par une baisse des exigences et une mise en actes de scénarios risquant de priver les

élèves d’apprentissages collectifs » (p. 50). Ces stagiaires semblent être obnubilés par les réactions

des élèves et le désir de constater que tous les élèves suivent (Robert et al., 2007).

Selon Chouinard (1999), la préoccupation principale de certains enseignants débutants est « de

favoriser l'apprentissage, mais en se centrant plutôt sur les contenus à enseigner que sur les besoins

et les capacités des élèves » (p. 500). Des stagiaires n’opèreraient pas de changement en

profondeur dans les tâches mathématiques qu’ils tirent des manuels. Si bien que pour beaucoup

d’élèves, faire des mathématiques serait, comme « effectuer une suite de (petites) tâches simples,

isolées les unes des autres, où il suffit d'appliquer correctement une propriété indiquée par

l'enseignant (ou à deviner facilement) » (Robert et al., 2007; p. 68). D’autre part, selon ces auteurs,

certaines notions mathématiques semblent devenues naturelles pour des stagiaires qui n’y voient

23

plus de difficultés. Ils constatent que les stagiaires n’arrivent pas à élaborer de manière explicite les

contenus à exposer et à préciser par exemple les anticipations sur le déroulement de la séance

comme sur les difficultés des élèves et les temps accordés aux tâches. Ces stagiaires semblent

méconnaître les mathématiques pour les élèves.

En ce qui concerne les interventions des stagiaires en classe, Bacon (2009) révèle que ces

interventions sollicitent un travail procédural plutôt qu’un travail conceptuel. Ne sachant pas comment

développer de nouveaux modes de communication dans la classe (H. Oliveira & Hannula, 2008), les

stagiaires semblent rechercher la mémorisation des procédures dans leur pratique (Ambrose, 2004).

Selon cet auteur, la plupart des futurs enseignants continueraient à penser que l'enseignement

consiste à expliquer les choses, même s’ils parlent de l'importance à donner du temps de réflexion

aux élèves. Ils pensent que donner une procédure [règle] en la commentant est suffisant pour la faire

apprendre à tous les élèves (Robert et al., 2007). Selon Bacon (2009), les conceptions des stagiaires

sur les contenus mathématiques auraient une incidence sur leurs interventions en classe. Les

contenus mathématiques, la culture de l’établissement scolaire fréquenté et la gestion des activités

avec un groupe-classe dans le temps imparti joueraient également sur les interventions des

stagiaires en classe (Bacon, 2009).

Quant à la gestion de la classe, elle demeure un défi à relever par les enseignants débutants, même

s’ils présentent un enthousiasme et un esprit d’initiative dans leur pratique de classe (Chouinard,

1999). Selon Bacon (2009), des stagiaires privilégient la gestion de la classe pour garantir une bonne

évaluation du stage au détriment de l’apprentissage des élèves. En outre, ils mettraient en avant les

pratiques empruntées à leurs enseignantes associées ou les pratiques qu’ils ont intégrées de leur

expérience préprofessionnelle; une expérience qui a alors une portée reproductive plutôt

qu’éducative. Or, les stages sont des moments pour mettre à l’épreuve les connaissances des futurs

enseignants en milieu réel (Kiélem & Barro, 2007).

Enfin, Bacon (2009) reconnaît que l’évaluation du stage pourrait influencer les pratiques des

stagiaires, un facteur pouvant jouer sur les pratiques de classe des stagiaires au Burkina Faso. En

effet, à l’ordre primaire comme à l’ordre post-primaire, les stagiaires sont soumis vers la fin de

l'année scolaire à un examen, soit certificatif, soit de passage.

24

Des pratiques dérivées des pratiques des enseignants titulaires de classe pourraient être mises en

avant par le stagiaire au Burkina Faso, car, par exemple, le stagiaire de l’ordre primaire est suivi par

un maître titulaire de classe et par le directeur d’école dans la préparation quotidienne de ses cours.

C’est ainsi qu’il reçoit des critiques et des conseils nécessaires pour améliorer ses pratiques de

classe. Une connaissance de résultats de recherche sur les pratiques d’enseignants expérimentés

pourrait nous aider à comprendre les pratiques des stagiaires.

1.1.4.2 Pratiques d’enseignants expérimentés de mathématiques

Les recherches sur les pratiques des enseignants ont pu identifier, entre autres, des formes de

présentation des contenus d’enseignement. Une forme de présentation consiste en une présentation

directe des savoirs par l’enseignant. Selon Robert et al. (2007), une pratique largement partagée par

les enseignants consiste à orienter les activités des élèves de façon univoque vers les savoirs visés

par un guidage permanent des élèves, et ils donnent peu de temps de travail autonome. Les élèves

sont dans ces cas, rarement confrontés, et s'il y a confrontation, elle est de courte durée. Cette

situation réduirait, au niveau des élèves, « leurs questionnements sur ce qu'il faut utiliser et leurs

essais autonomes de mises en relation de connaissances variées » (Robert et al., 2007; p. 64). Les

élèves font fonctionner les outils dans les tâches mathématiques les uns après les autres, suite à un

découpage fortement induit par l'enseignant lors de la leçon. Ces tâches semblent être menées au

détriment de la conceptualisation des connaissances (Robert et al., 2007). Lorsqu’un enseignant

cherche à rapprocher la notion à l’étude des « notions du sens commun, ou de réalités extérieures

que les élèves sont censés connaître, voire de réalités extraites de leur univers affectif » (p. 21), il

produirait une saisie approximative de la notion par les élèves (Kahn & Rey, 2008).

Novotná et Hošpesoná (2009), dans leur étude de pratiques de classe, révèlent qu’un enseignant

présente souvent la théorie avant la résolution du problème. Cet enseignant « enracine la notion

nouvelle dans la théorie que ses élèves devraient connaitre déjà » (p. 315), afin de créer un réseau

consolidé de connaissances et de savoirs. Il utilise l’effet Topaze18 et réagit immédiatement à la

situation dans la classe. Dans son style d’enseignement, il pose des questions « Pourquoi? » dans

toutes les activités (Novotná & Hošpesoná, 2009). L’effet Topaze réduit la responsabilité des élèves

pour un accomplissement réussi des problèmes à résoudre. En s’attribuant « une part très

importante de l’activité mathématique de la classe, exposant à la fois le savoir et les méthodes, et où

18 Nous apportons des précisions sur l’effet Topaze à la section de notre cadre théorique.

25

les élèves les appliquent pour réaliser des tâches très décomposées » (p. 15), il apporte lui-même

les bonnes réponses aux problèmes qu’il pose lors de sa pratique (Roditi, 2009). Selon cet auteur,

cette conception de l’enseignement pourrait être une expression d’une régulation du temps

d’enseignement.

Une autre forme de présentation d’un contenu d’enseignement consiste à ne pas présenter le texte

du savoir, mais de mettre une activité dans laquelle les élèves sont « amenés à utiliser, à approcher,

voire à construire certaines notions du savoir » (Kahn & Rey, 2008; p. 22). Dans son style

d’enseignement, il pose des questions « Comment? » dans toutes les activités. Selon Novotná et

Hošpesoná (2009), un enseignant, participant à leur étude, n’utilise pas l’effet Topaze lorsqu’il

privilégie la découverte des faits et des algorithmes par les élèves lors de la résolution des

problèmes.

Un autre aspect différenciateur des pratiques des enseignants réside dans les choix qu’ils font afin

d’influencer l’acquisition des connaissances de leurs élèves, ou leur réussite à certaines tâches

mathématiques (Chesnais & Horoks, 2009). Selon elles, le mode de travail (travail collectif, travail

individuel en classe, absence ou peu de phases d’institutionnalisation ou de prise en compte des

erreurs des élèves dans la correction) est un facteur déterminant les effets différenciateurs des

pratiques d’enseignement. La gestion des erreurs en classe détermine aussi des modes

d’intervention des enseignants. Le choix d’intervention en classe est orienté par la nature des

interprétations que l’enseignant fait à l’égard des erreurs de ses élèves (DeBlois, 2006).

En étudiant des phases de correction d’exercices sur le calcul littéral au collège, Coppé et Mouhayar

(2009) constatent que les enseignants participants connaissent les erreurs classiques des élèves,

surtout celles relatives aux tâches de réduction d’une expression littérale. Toutefois, dans leur

analyse des erreurs, certains enseignants participants « se limitent à l’identification des opérations

dans la démarche de résolution de l’élève, d’autres comparent seulement la technique utilisée par

l’élève à celle qu’il a enseignée; d’autres essayent de spécifier la ou les source(s) d’erreur » (p. 283).

De plus, les enseignants observés interprètent les erreurs lors des séances de cours sans interroger

l’élève qui l’a commise. Or, l’interprétation faite par un enseignant peut ne pas correspondre à la

pensée de l’élève (Coppé & Mouhayar, 2009).

26

En conclusion, des transformations des pratiques « se produisent à l'intérieur du style

d'enseignement “prévu” des enseignants, par exemple, leurs croyances et leurs choix en matière de

contenus et de gestion de la classe » (Perrin-Glorian, DeBlois, & Robert, 2008)(p. 53). Les

conceptions des enseignants des mathématiques, de l’enseignement et de l’apprentissage

pourraient-elles modeler les pratiques des stagiaires dans leur classe?

1.1.5 Synthèse du cadre contextuel

Les élèves qui ont obtenu leur certificat d’études primaires (CEP) semblent avoir des difficultés à

poursuivre leur cursus scolaire au Burkina Faso. Des études (MESSRS/DIFPP/DM, 1995;

MESSRS/OCECOS/DEPE, 2006) révèlent de faibles performances en mathématiques des élèves

des classes de 6e (7e année de scolarité). Les mauvais résultats en mathématiques des élèves des

classes de 6e seraient, entre autres, une cause de déperdition scolaire. Pour les enseignants de

mathématiques exerçant dans ces classes, les larges effectifs de classes et l’insuffisance du matériel

didactique, entre autres, sont des sources de difficultés qu’ils connaissent dans leurs classes. Afin

d’aider les enseignants de mathématiques du primaire et du post-primaire dans leurs pratiques de

classe, nous posons l’hypothèse selon laquelle une étude des pratiques des stagiaires durant leur

formation initiale pourrait contribuer à mieux comprendre les interactions de la classe menant à un

apprentissage des élèves. Cette compréhension pourrait avoir des retombées pour de perspectives

nouvelles en formation initiale et continue des enseignants de mathématiques.

Nous avons vu que les pratiques des enseignants pourraient influencer les pratiques des stagiaires

étant donné que certains enseignants ont la charge de conseiller des stagiaires qui sont sous leur

tutelle lors du stage. Nous avons aussi constaté que les choix d’un enseignant dans sa pratique de

classe sont liés à ses conceptions de l’apprentissage, de l’enseignement ou des mathématiques sur

un objet d’enseignement. Par exemple, en étudiant la corrélation entre la connaissance

mathématique commune des enseignants et la pertinence de leur intervention en classe, Clivaz

(2011) arrive au résultat que la connaissance mathématique commune19 « correcte n’est associée à

une manifestation de pertinence des interventions que dans 37,3 % des cas alors qu’elle est

19 « Les Connaissances Mathématiques Communes (CMC) sont utilisées ailleurs que dans l'enseignement, quand il s’agit de calculer, de résoudre des problèmes, d’utiliser un vocabulaire correct… Ces connaissances sont essentielles et absolument nécessaires pour l’enseignant, mais d'autres personnes disposent de ces connaissances. C’est le cas en particulier de certains parents qui ont ainsi parfois l’impression de pouvoir eux aussi “enseigner” » (Clivaz, 2011; pp. 28-29).

27

associée à une manifestation de non-pertinence dans 44,4 % des cas. Autrement dit […], une

connaissance mathématique commune correcte semble provoquer plus souvent une intervention

mathématique non-pertinente de l’enseignant qu’elle n’en provoque une pertinente! » (p. 227). H.

Oliveira et Hannula (2008) observent aussi qu’un enseignant débutant, qui excellait dans les cours

de mathématiques, reconnait avoir eu des difficultés à résoudre des problèmes mathématiques

donnés lors de sa formation et aurait remis en question les « mathématiques dures » qu’il a apprises.

Nous choisissons d’étudier des pratiques des stagiaires du primaire et du post-primaire dans leur

enseignement des mathématiques pour les raisons que nous exposons maintenant. Plusieurs

approches d’enseignement sont connues dans l’enseignement au Burkina Faso. L’absence d’une

expérience pré professionnelle quant à la pédagogie des grands groupes ou de l’approche par les

compétences de base pourrait conduire les stagiaires à privilégier des pratiques de la pédagogie par

les contenus et de la pédagogie par les objectifs vécus lors de leurs apprentissages scolaires.

L’aisance et l’efficacité d’un enseignant dans son discours, l’organisation et la conduite de son

intervention en classe, entre autres, pourraient être intériorisées comme « bon modèle » par le futur

enseignant.

L’étude des pratiques de stagiaires du primaire et du post-primaire dans leur enseignement revêt un

double avantage. Premièrement, nous aurons des résultats sur ces pratiques pour chaque ordre

d’enseignement afin de mieux cerner les spécificités de chacun des ordres et les exigences de cette

transition. Deuxièmement, nous contribuons à documenter les pratiques des stagiaires réalisées à

l’intérieur d’une formation initiale sur l’enseignement des mathématiques au Burkina Faso.

« L’analyse des séances de la classe est un objet assez nouveau dans la recherche en didactique

des mathématiques et les cadres théoriques dans ce domaine ne sont pas encore satisfaisants pour

ce type d’étude dans lesquelles il y a une masse de données importantes à traiter, à cause de la

complexité des situations étudiées » (Coppé & Mouhayar, 2009; p. 283). Cette complexité exige de

croiser différentes théories pour analyser les pratiques des stagiaires. Nous développons dans la

section suivante notre cadre théorique.

1.2 Cadre théorique

Nous inscrivons notre recherche dans l’axe qui porte sur des analyses didactiques en lien avec la

planification, la réalisation et l’étude de situations d’enseignement (Bednarz, 2007). En nous

28

intéressant aux pratiques des stagiaires dans leur enseignement, nous nous intéressons à tout ce

que le stagiaire va mettre en œuvre lors de la planification de la séance de leçon et lors de la

réalisation des tâches d’enseignement dans la classe (Robert & Rogalski, 2002). C’est ainsi qu’il

devient nécessaire de discuter de l’erreur et de sa place dans l’apprentissage des élèves. En situant

l’erreur dans le processus d’apprentissage, un sens particulier est donné à l’acte d’enseigner.

La théorie des champs conceptuels (Vergnaud, 1981, 1990) et la théorie des situations didactiques

(Brousseau, 1986a, 1988, 2003), à partir de laquelle s’est développée la notion d’incidents

didactiques (Roditi, 2003, 2005), contribuent à analyser les spécificités des contenus mathématiques

et des interactions de la classe. En outre, les conceptions des mathématiques des futurs enseignants

(DeBlois, 2012; Noël & Mura, 1999) contribuent à préciser les postures épistémologiques adoptées

par les stagiaires (DeBlois & Squalli, 2002) et les types d’adaptations privilégiées (DeBlois &

Maheux, 2005), autant d’angles pour étudier les pratiques des stagiaires et que nous développons

dans notre cadre théorique.

1.2.1 L’erreur et sa place dans l’apprentissage

Les théories cognitives20 soutiennent que le développement d’une connaissance fondamentale par

l’élève passe par sa construction par ce dernier. Elles s’intéressent à ce qui se passe dans la tête de

l’élève. Elles considèrent que la pensée de l’être n’est pas semblable à une ardoise vierge, comme le

laisserait concevoir une perspective béhavioriste21. Les théories cognitives privilégient des situations

d’enseignement qui favorisent l’activité de l’élève puisqu’elles considèrent l’erreur comme normale

dans le processus d’apprentissage. Dans ces conditions, l’enseignant agit sur la règle productrice de

l’erreur plutôt que sur l’erreur elle-même (J. Tardif, 1995). Dans une perspective constructiviste22, le

sujet construit par assimilation et accommodation la connaissance à partir de ses propres structures

mentales (Piaget, 1968). La connaissance productrice d’erreurs ferait apparaître des obstacles

producteurs de conceptions alternatives et d’algorithmes erronés (Brousseau, 1988; DeBlois, 2008).

Les contraintes de la tâche pourraient mettre en défaut les connaissances antérieures et provoquer

20 Le cognitivisme, le constructivisme et le socioconstructivisme sont des courants de pensée en théories cognitives qui soutiennent que l’apprenant est le principal acteur de ses activités intellectuelles. 21 Selon Rocheleau (2000), les béhavioristes considèrent que les êtres naissent avec un cerveau vierge sur lequel les

expériences s’inscrivent au fur et à mesure comme une ardoise vierge. Ils ne s'intéressent pas aux processus mentaux internes qui interviennent lors des apprentissages (Basque, Rocheleau, & Winer, 1998). 22 Le terme « constructivisme » a été lancé par Piaget pour désigner sa théorie de la connaissance (Glasersfeld, 1994; J. Tardif, 1995). Piaget (1968), en menant des études sur le développement de la connaissance, connu sous le nom d’épistémologie génétique, révèle que le sujet apprend en agissant.

29

une réorganisation des connaissances. Un nouvel état d’équilibre est atteint. Toutefois, l’atteinte de

cet équilibre ne peut arriver que si l’élève surmonte les « obstacles épistémologiques » (Bachelard,

1972; Piaget, 1975). Selon Bachelard, « c’est dans l’acte même de connaître, intimement,

qu’apparaissent, par une sorte de nécessité fonctionnelle, des lenteurs et des troubles. C’est là que

nous montrerons des causes d’inertie que nous appellerons des obstacles épistémologiques »

(Bachelard, 1972; p. 13). Pour Brousseau (1986b), l'apprentissage et l'enseignement font apparaître

non seulement des obstacles épistémologiques, mais d’autres d’ordre ontogéniques et didactiques.

Alors que les obstacles ontogéniques résultent du développement psychogénétique de l'homme, les

obstacles didactiques sont des résultats de décisions didactiques (Brousseau, 1986b). Amener

l’élève à surmonter les obstacles producteurs d’erreurs requiert de l’enseignant une compréhension,

entre autres, des représentations et des procédures des élèves dans la résolution des problèmes

mathématiques.

L’erreur dans une production d’élève est donc doublement importante. D’une part, elle permet de

situer les connaissances des élèves pour comprendre les obstacles sous-jacents et adapter la

situation didactique, et d’autre part, elle permet à l’élève de mettre en route un processus de

développement d’une nouvelle connaissance. Selon DeBlois et René de Cotret (2005), le fait de

s’interroger sur la nature des erreurs des élèves pourrait permettre d’exploiter les erreurs « fertiles »

et d’identifier les savoirs (connaissances institutionnalisées) qui font obstacle à l’apprentissage en

jeu. Il devient ensuite possible de proposer une tâche qui vise à mobiliser la connaissance obstacle

pour susciter une prise de conscience à l’égard de son invalidité (DeBlois & René de Cortet, 2005).

Une erreur est donc une source de progrès, à condition qu’elle soit autorisée, voire sollicitée dans les

interactions de la classe. L’acte d’enseignement consiste à privilégier le franchissement des

obstacles, ce qui induit une gestion des erreurs (Henry, 1991). La gestion des erreurs des élèves est

une des tâches importantes dans les pratiques d’enseignement, car elle participe au développement

de la compréhension des élèves pour les concepts enseignés. Dans les théories cognitives, l’erreur

serait une illustration explicite d’un ensemble de conceptions spontanées ou préconstruites,

incorporées dans un réseau cohérent de représentations cognitives qui se constituent en obstacles

au développement de nouveaux concepts (Henry, 1991). La théorie des champs conceptuels est une

théorie cognitiviste (Vergnaud, 1990). Un objectif de cette théorie est de soutenir l’enseignement

30

pour que l’enseignant ou le stagiaire soit en mesure de « proposer aux élèves un ensemble organisé

des problèmes » (Levain & Vergnaud, 1994; p. 57).

1.2.2 Théorie des champs conceptuels (TCC)

La théorie des champs conceptuels offre un cadre pour cerner la complexité et la difficulté des

problèmes mathématiques, mais aussi pour analyser les procédures et les erreurs des élèves et

étudier leurs représentations symboliques (Levain & Vergnaud, 1994). Selon Vergnaud (1990), cette

théorie a pour but de « fournir un cadre cohérent et quelques principes de base pour l’étude du

développement et de l’apprentissage des compétences complexes, notamment de celles qui relèvent

des sciences et des techniques » (p. 135). Pour lui, la théorie des champs conceptuels permet de

regrouper les situations et les problèmes mathématiques à résoudre. Nous donnons deux exemples

de champs conceptuels exploités dans les ordres primaire et post-primaire : le champ conceptuel des

structures additives et le champ conceptuel des structures multiplicatives. Le champ conceptuel des

structures additives correspond à l’ensemble des situations qui demandent une addition, une

soustraction ou une combinaison de telles opérations (DeBlois, 2011; Levain & Vergnaud, 1994;

Vergnaud, 1981, 1990).

Le champ conceptuel des structures multiplicatives est à la fois l’ensemble des situations dont le traitement implique une ou plusieurs multiplications ou divisions, et l’ensemble des concepts et théorèmes qui permettent d’analyser ses situations : proportion simple et proportion multiple, fonction linéaire et fonction n-linéaire, rapport scalaire direct et inverse, quotient et produit de dimensions, combinaison linéaire et application linéaire, fraction, rapport, nombre rationnel, multiple et diviseur, etc. (Vergnaud, 1990; p. 148).

Pour Vergnaud (1981), au-delà de l’enseignement élémentaire, les difficultés causées, par exemple,

par les notions de rapport, de proportion, de fraction et de fonction demandent des précautions

didactiques importantes, dont une étude rigoureuse des problèmes mathématiques.

La théorie des champs conceptuels offre une structure qui donne du sens aux concepts

mathématiques. Par définition, un concept [concept « scolaire »] est caractérisé par un triplet (S, I,

s) : "S" désigne l’ensemble des situations qui donnent du sens au concept (la référence); "I" désigne

l’ensemble des invariants (propriétés) sur lesquels repose l’opérationnalité des schèmes (le signifié);

"s" est l’ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter

symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le

31

signifiant) (Reuter, Cohen-Azria, Daunay, Delcambre, & Lahanier-Reuter, 2007; Vergnaud, 1990).

Ainsi, en nous référant au concept de nombre rationnel :

- "S" désigne, entre autres, l’ensemble des tâches qui ont trait au nombre rationnel dont la fraction

comme rapport ou partie d’un tout, la fraction unitaire, le nombre fractionnaire, la fraction décimale, la

fraction impropre;

- "I" désigne les définitions, les propriétés caractéristiques et les théorèmes concernant le nombre

rationnel. Par exemple, tout nombre rationnel s’écrit sous la forme b

a (a et b des entiers avec b 0);

un nombre rationnel a une suite décimale illimitée périodique;

- "s" désigne, entre autres : b

a; a/b; c

b

a; a %; (a, b, et c sont des entiers, avec b non nul); ½ ; ¼;

SDIP [suite décimale illimitée périodique]; b

a+

b

c=

b

ca .

Selon Levain et Vergnaud (1994), les valeurs numériques, par exemple des nombres petits ou

grands, impliquées dans un problème contribuent à le rendre plus complexe. Les efforts qu’un élève

fournit dans la résolution d’une activité mathématique et/ou les différents processus dans lesquels il

s’engage dans la réalisation de sa procédure témoignent des exigences du problème (Pariès, 2004).

En outre, un problème mathématique est qualifié de complexe s’il nécessite de l’élève, entre autres,

une conjecture, un choix d’une propriété parmi plusieurs et des raisonnements en plusieurs étapes.

L’étude des niveaux de complexité des problèmes à donner en classe semble nécessaire afin de

produire une motivation intrinsèque de l’élève dans ses apprentissages. La théorie des champs

conceptuels (Vergnaud, 1981) semble offrir un cadre pour cette étude. Vergnaud (1990) distingue

d’ailleurs les erreurs conceptuelles des erreurs algorithmiques. La gestion d'une erreur au cours

d'une séance de leçon demanderait donc au stagiaire de l'analyser afin de reconnaître le type

d'erreur et les connaissances-en-acte à l’origine de cette erreur (Vergnaud, 1990). Pour Vergnaud

(1990), les connaissances-en-acte sont les savoir-faire et les savoirs exprimés qui permettent à

l’action de l’élève d’être opératoire. Lorsqu’il s’agit de connaissances sur des concepts et des

théorèmes, elles sont respectivement appelées « concepts-en-acte » ou « théorèmes-en-acte ». Afin

d’approfondir l’étude des situations didactiques lors des séances de cours, nous utiliserons la théorie

32

des situations didactiques de Brousseau (1986a). Par exemple, la nature des situations et les rôles

que se donne un enseignant ou un stagiaire lors de sa pratique de classe pourraient être étudiés à

l’aide de la théorie des situations didactiques.

1.2.3 Théorie des situations didactiques (TSD)

La théorie des situations didactiques (Brousseau, 1986a; Brousseau & Balacheff, 1998; Schubauer-

Leoni, 1998) se développe autour des notions de situation didactique, situation a-didactique et

situation non-didactique. Une situation didactique se présente lorsqu’une intention d’enseignement

d’un savoir est manifeste. Lorsque cette intention n’est pas perçue par l’élève, la situation est dite a-

didactique (Brousseau, 1986a, 1988, 1989). Pour Brousseau (2003), une situation non-didactique se

constate lorsque l’évolution de l’élève n’est pas soumise à une intervention didactique directe. Il n’y a

aucune intention d'enseignement d’un savoir scolaire à l’élève. Selon l’auteur, la situation didactique

implique un enseignant, un élève et un milieu. Ce milieu constitue tout ce qui agit sur l'élève ou ce

sur quoi l'élève agit dans une situation d’action. La situation didactique laisse émerger des

interactions entre l’élève, l’enseignant et un savoir apparent dans le milieu matériel, symbolique et

social (van Zanten, 2008). Un contrat tacite lie les acteurs, c’est le contrat didactique.

Le contrat didactique fait partie intégrante des situations didactiques. Développé par Brousseau

(1988), ce concept correspond à « l’ensemble des obligations réciproques et des «sanctions» que

chaque partenaire de la situation didactique impose ou croit imposer, explicitement ou implicitement,

aux autres et celles qu’on lui impose ou qu’il croit qu’on lui impose, à propos de la connaissance en

cause » (Brousseau, 2003; pp. 5-6). Différents effets de contrat constatés par les chercheurs dans

les pratiques de classe pourraient modifier l’apprentissage des élèves (Brousseau, 1989, 2003;

DeBlois, 2011; Novotná & Hošpesoná, 2009). En effet, des effets de contrat se révèlent lorsque

l’enseignant apporte des indices ou interprète les verbalisations des élèves de manière à faire réussir

ses élèves à tout prix, ce qui risque souvent de réduire le travail cognitif de ces derniers. Certains

effets de contrat didactique ont été définis par Brousseau (2003). Par exemple, l’effet Jourdain

survient quand un comportement banal de l’élève est perçu par l’enseignant comme l’expression d’un

savoir savant. L’effet Topaze se révèle lorsque l’enseignant apporte tellement d’indices à l’élève qu’il

réduit l’effort intellectuel. Il y a deux formes d’effet Topaze : la forme explicite et la forme implicite

(Novotná & Hošpesoná, 2009). Dans la forme explicite, l’effet Topaze se manifeste soit par une

description des pas que les élèves doivent exécuter, soit par une question concernant la procédure

33

de résolution, soit par un avertissement d’une erreur possible, soit par un avertissement d’une

analogie avec un problème-type ou un problème résolu auparavant, soit par un rappel à une

expérience ou à une connaissance précédente. Dans la forme implicite, il se manifeste soit par une

reformulation, soit par une utilisation des mots-signaux, soit par un soufflement des commencements

des mots, soit par des questions qui conduisent à la simplification de la procédure de résolution.

L’effet de l’attente incomprise émanerait, par exemple, des réponses aux questions données par

l’élève qui ne sont pas celles attendues de l’enseignant. Quant au paradoxe du comédien, il survient

dans les interventions d’un enseignant en classe lorsque ce dernier produit ses questions et ses

réponses en privant l’élève de la possibilité d’agir (Brousseau, 2003).

Pour Brousseau (1988, 2003), un objectif de l’enseignement est de permettre à l’élève de faire

fonctionner le savoir appris en l’absence de l’enseignant. Pour le préparer à cette visée de

l’apprentissage, il propose que la pratique enseignante mette l’élève en situation de recherche

approfondie des solutions aux problèmes en proposant des situations qui suscitent une activité non

convenue, c’est-à-dire une activité qui ne s’intègre pas dans une démarche présupposée par

l’enseignant, mais qui amène l’élève à agir en fonction de ses connaissances. L’élève qui se sent

responsable du résultat obtenu et proposé entre alors dans un processus de dévolution (Brousseau,

1988, 2003). Pour Brousseau (1988), l’enseignant peut donc proposer des situations

« d’enseignement » qui n’offrent pas une délégation de sa responsabilité à l’élève, car toutes les

informations sont données par lui, ou des situations « d’apprentissage » où il se défait de sa

responsabilité et laisse à l’élève le soin de développer ses connaissances. Afin de gérer les

équilibres fondamentaux23, la conduite de situations didactiques, comme les situations a-didactiques

conduisant à la dévolution, semble exiger des choix didactiques (Brousseau, 1988).

Les situations « d’enseignement » et « d’apprentissage » sont vécues dans les interactions de la

classe. Brousseau (1986a) distingue quatre phases différentes dans le processus d’apprentissage au

cours desquelles le savoir n’a pas la même fonction et l’élève le même rapport avec le savoir. Ce

sont les phases d’action, de formulation, de validation et d’institutionnalisation. Nous répertorions

dans le tableau 2 ci-dessous les caractéristiques de chaque phase.

23 Les équilibres fondamentaux sont : « équilibre entre incertitude et certitude, désordre et ordre, difficulté et facilité »; « équilibre entre les niveaux de contrôles »; « équilibre temporel et rythme; équilibre entre le plaisir de se définir par son activité intellectuelle et celui d’obtenir une sécurité reconnue de façon rapide et efficace »; « équilibre entre le désir consommé et le désir produit »; « équilibres sociaux et culturels dans la classe entre le nombre de producteurs et de consommateurs d’idées, de réussites et d’échecs… » (Brousseau, 1988; p. 330).

34

Tableau 2 : Rôle de l’enseignant et des élèves au cours d’un processus d’enseignement et d’apprentissage d’un concept en mathématique.

Phases Rôle de l’enseignant Rôle des élèves

d’action

L’enseignant pose un problème à l’élève dont la meilleure solution est le savoir.

Les élèves manifestent certaines connaissances sous la forme de procédures issues de prises de décisions, jugent le résultat de leur action, ajustent cette dernière, sans l’intervention de l’enseignant, grâce à la rétroaction de la situation elle-même. Ils abandonnent ou améliorent leur modèle pour en créer un autre.

de formulation

L’enseignant organise et gère une situation de communication des stratégies, des productions.

Les élèves énoncent dans leur langage des conjectures quant aux propriétés reconnues et aux raisons des procédures mises en œuvre. Ils communiquent leurs stratégies, leurs productions.

de validation

L’enseignant organise et gère une situation de débat scientifique dans laquelle les élèves sont engagés.

Les déclarations font place à l’argumentation et l’on commence un processus de preuve. Ils participent à l’élaboration d’une production commune.

d’institutionnalisation

L’enseignant met en relation les productions avec le savoir social qu’il institue.

Les élèves définissent le savoir comme objet d’étude.

Le rôle de l’enseignant et celui de l’élève sont les traits déterminants dans chacune des phases.

Dans la phase d’action, l’élève agit sur la tâche. Il peut y avoir des allers-retours entre les actions et

la situation, dont l’action consiste à expérimenter des procédures. Dans la situation de formulation,

l’élève partage avec d’autres élèves sa proposition de solution, par exemple, dans un sous-groupe. À

la validation, dans le cas d’une classe, il s’agit d’une exigence à prouver le résultat. Dans la phase de

formulation et de validation, l’enseignant est le garant de la gestion des échanges dans les sous-

groupes, puis dans le groupe-classe. Son rôle de médiateur pourrait prendre tout son sens lors de

ces deux phases. Dans l’institutionnalisation, le rôle de l’enseignant est d’amener les élèves à

décontextualiser la connaissance, afin de formaliser le savoir construit comme un savoir scolaire. À

ce sujet, Roditi (2003) distingue trois modes d’intégration lors de la situation d’institutionnalisation. Il

peut y avoir soit le mode bilan, soit le mode apport, soit le mode déclaration. Par le mode bilan, les

35

savoirs qui sont construits en classe par les élèves à partir de questions posées sont

institutionnalisés par l’enseignant. Dans le mode apport, l’enseignant énonce des savoirs qui

répondent à un problème posé en classe, mais qui n’a pas été résolu par les élèves. Dans le mode

déclaration, l’enseignant présente des savoirs mathématiques sans qu’ils n’aient jamais fait l’objet

d’un questionnement préalable en classe. Un incident didactique pourrait être, par exemple, à

l’origine d’un mode apport lors de la pratique de classe d’un enseignant.

1.2.4 Incidents didactiques

La méthode d’investigation qui consiste à identifier et analyser les incidents et leurs traitements par

l’enseignant peut permettre une étude des pratiques des stagiaires dans une perspective

d’évaluation, de formation et de développement des compétences (Rogalski, 2003). Les incidents

didactiques illustrent les interactions entre l’enseignant et l’élève en relation avec le milieu didactique

(Roditi, 2005). Selon Roditi (2003), « l’incident est une manifestation publique (au sens où elle

s’intègre à la dynamique de la classe) d’un élève ou d’un groupe, en relation avec l’enseignement, et

en décalage négatif par rapport à l’ensemble des réponses correctes envisageables compte tenu de

la tâche proposée » (p. 193). Les incidents didactiques peuvent être causés par des effets du contrat

didactique, comme par exemple, l’effet Topaze et le paradoxe du comédien. Pour Roditi (2005), leur

gestion nécessite des adaptations des différents acteurs et demande de l’enseignant un savoir-faire

dans sa pratique d’enseignement. Pour Rogalski (2003), « la définition la plus générique d’incident

est le fait qu’il y a un décalage entre ce qui est prévu et ce qui se passe effectivement » (p. 374).

Les erreurs semblent être des incidents didactiques inévitables lors des séances de leçons. Les

erreurs, les questions des élèves, les réponses incomplètes, les réponses aux questions hors de

portée des élèves, les désaccords entre les élèves et les silences sont des exemples d’incidents

didactiques relevés par Roditi (2003, 2005). En nous inspirant des travaux de Roditi (2005), nous

illustrons par des exemples des incidents didactiques en nous référant à l’enseignement et

l’apprentissage de la fraction.

L’erreur : 4

3+

5

2=

9

5. Cette erreur découle d’une connaissance qui n’est pas valide pour cette

tâche. La connaissance serait valide pour 3,4+2,5=5,9.

36

La question : Peut-on dire que 10

7est simplifiable par 2? Cette question concerne la tâche de

simplification d’une fraction. Le fait que 10 soit divisible par 2 n’est pas suffisant pour la

simplification de cette fraction.

La réponse incomplète : Écrire 1,2

3,0sous forme d’une fraction. L’élève qui dira que j’ai

déplacé la virgule d’un chiffre laisse imaginer, entre autres, des réponses comme 1,2

3,

21

3,0,

21

3.

Le silence : Un élève interrogé reste silencieux, car il n’ose pas par exemple exprimer son

idée.

Le désaccord alors que personne n’a tort : Des procédures distinctes de simplification d’une

fraction peuvent conduire à une même fraction irréductible. Mais, elles peuvent être une

source de désaccord entre des groupes d’élèves dès le départ.

La réponse à une question hors de portée des élèves : la recherche du plus grand commun

diviseur (PGCD) de deux nombres naturels qui sont grands semble nécessiter l’utilisation

d’autres outils mathématiques tels que la décomposition en produit de facteurs premiers de

chaque nombre. Ce contenu n’est pas du programme de la 7e année de scolarité, mais de la

8e année au Burkina Faso. Donc, pour une fraction dont les termes sont grands, la recherche

du PGCD de ces termes afin de simplifier cette fraction serait difficilement compréhensible à

l’élève de 7e année de scolarité. Bien que cette procédure ne soit pas hors de portée pour

certains élèves, elle ne figure pas au programme de 6e.

Selon Roditi (2003), « soit l’incident ne porte sur aucune notion du champ mathématique de la

séquence, soit il porte sur un objet d’enseignement qui n’est pas directement lié à la stratégie prévue

par le professeur, soit enfin l’incident porte sur un contenu directement lié à la stratégie

d’enseignement » (p. 194). La liste d’incidents didactiques que nous avons donnée ne semble donc

pas exhaustive. L’auteur détermine des modes de gestion à la suite de l’apparition des incidents

didactiques. Cette gestion est définie comme l’intervention de l’enseignant consécutive à un incident.

37

Premier mode : Ignorer : l’enseignant se comporte comme s’il n’a rien entendu.

Deuxième mode : Répondre : l’enseignant n’approuve pas la réponse de l’élève et donne sa

réponse avec ou sans explications.

Troisième mode : Enrichir : l’enseignant détourne la réponse de l’élève et la complète afin de

parvenir à une bonne réponse.

Quatrième mode : Relancer : l’enseignant décide de donner plus de temps de recherche, soit

à l’élève qui est à l’origine de l’incident, soit à un autre élève, soit à la classe entière. À ce

niveau, Roditi (2003) propose cinq manières d’intervenir pour l’enseignant : « changer

d’intervenant, guider l’élève, faciliter la tâche, demander un approfondissement de la

réponse, ou reprendre la réponse » (p. 195).

Les interventions d’un stagiaire lors d’un incident didactique pourraient être modulées par ses

conceptions des mathématiques. Que sait-on des conceptions des mathématiques des futurs

enseignants?

1.2.5 Conceptions des mathématiques de futurs enseignants

Charlot et Bautier (1993) définissent le rapport au savoir comme «la relation de sens, et donc de

valeur, entre un individu et le savoir comme produit ou processus» (p. 7). L’adage populaire, stipulant

que « la répétition est pédagogique », semble relever d’un rapport à l’enseignement de type

traditionnel de la personne qui l’emploie. L’approche socio-anthropologique (Bautier & Rochex, 1998;

Charlot, 1997; Charlot, Bautier, & Rochex, 1992) présente des concepts permettant une étude du

rapport aux mathématiques du stagiaire dans son rapport à l’apprentissage des élèves et de

l’enseignement. Cette approche se caractérise, entre autres, par son objet qui est le rapport à

« l’apprendre », par ses trois dimensions qui sont la dimension épistémique24, la dimension

identitaire25 et celle sociale26, et par un sujet singulier qui est l’élève (Caillot, 2014).

24 Le rapport épistémique au savoir est la « relation de l’individu à la nature même de l’acte d’apprendre et du fait de savoir » (Charlot et al., 1992). Il est une forme de conceptualisation qui illustre le rapport au savoir. Il est la relation entre l’apprenant, l’apprentissage et le fait de savoir (Savard, 2014). 25 «La relation de sens entre l’individu et le savoir s’enracine ici dans l’identité même de l’individu; aussi parlons-nous de rapport identitaire au savoir (Charlot et al., 1992). 26 « Le sujet dont on étudie le rapport au savoir existe en effet dans une société et un environnement social qui donnent une forme particulière aux dimensions épistémiques et identitaires » (Pautal, Venturini, & Dugal, 2008) (p. 67). Selon ces auteurs, le rapport épistémique et le rapport identitaire modulent le rapport social au savoir.

38

Pour Charlot (1997), le rapport aux mathématiques de l’enseignant se définit comme l’ensemble des

relations qu’il entretient, par exemple, avec un théorème, des situations mathématiques et des

élèves. L’enseignant de mathématiques a tendance à morceler les savoirs afin qu’ils soient

accessibles aux élèves, ce qui conduit souvent à des savoirs dissouts dans les successions de

tâches qui n’offrent pas de sens en elles-mêmes (Charlot & Bautier, 1993). Selon ces auteurs, le

savoir mathématique décontextualisé pour l’enseignant n’a de sens pour les élèves que s’il est

contextualisé; d’où un rapport des élèves au savoir mathématique différent de celui des enseignants.

Les savoirs mathématiques proposés par un stagiaire lors de sa pratique de classe pourraient

permettre de cerner sa représentation des mathématiques.

Selon Charlot(1997), une représentation des mathématiques apparaîtrait comme une interprétation,

une vision, une conception des mathématiques. Les représentations de l’enseignement seraient

« comme «des systèmes d’interprétations» et sont ancrées «dans un réseau de significations» »

(Charlot, 1997; p. 97). Les représentations des mathématiques, de l’enseignement et de

l’apprentissage comprises comme conceptions des mathématiques, de l’enseignement et de

l’apprentissage, nous amènent à utiliser ces dernières expressions dans notre travail. Les

conceptions des enseignants des mathématiques semblent avoir un impact sur leur rapport à

« l’apprendre » (l’apprentissage). La conception des mathématiques du futur enseignant semble

déterminante dans l’élaboration de ses projets d’enseignement/apprentissage.

L’étude de Noël et Mura (1999) révèle que les futurs enseignants du primaire conçoivent les

mathématiques comme un ensemble de techniques, une matière difficile, une matière qui dépend de

la culture et fait appel à la mémorisation; alors que les futurs enseignants du secondaire mettent

l’accent sur le raisonnement inductif et conçoivent les mathématiques comme un jeu, un art ou une

activité créatrice ou encore une simplification de ce qui est complexe. Pour elles, les futurs

enseignants du primaire et du secondaire conçoivent les mathématiques comme une science qui se

caractérise par la logique, la rigueur et l'application de procédures précises. Ils voient en cette

matière son utilité dans la vie courante, un moyen de créer des modèles de la réalité. Toutefois, ces

futurs enseignants semblent perdre de vue les dimensions philosophique, esthétique et ludique des

mathématiques qui contribuent à l'éducation des jeunes (Noël & Mura, 1999). Les recherches

(DeBlois, 2012; DeBlois & Vézina, 2001; Savard, 2014) montrent que les conceptions du futur

enseignant des mathématiques sont caractéristiques de ses postures épistémologiques. En effet,

39

pour chaque posture épistémologique, le futur enseignant manifesterait des conceptions l’expliquant

(DeBlois, 2012; Savard, 2014).

1.2.6 Postures épistémologiques et types d’adaptation des futurs enseignants

Au Québec, les travaux de DeBlois (2009) font ressortir trois entrées qu’elle propose pour développer

un programme de formation initiale à l’enseignement et à l'apprentissage des mathématiques. Il s’agit

de l’entrée par la discipline « mathématique », de l’entrée par les relations entre enseignement et

apprentissage et de l’entrée par les visées de l’apprentissage des mathématiques. En entrant par la

discipline « mathématiques », les futurs enseignants pourraient avoir une compréhension pour eux

des mathématiques avant de prendre conscience de la diversité des représentations des élèves. Ce

passage de leur compréhension à celles de leurs élèves pourrait leur permettre de distinguer les

caractéristiques périphériques pour reconnaître les caractéristiques pertinentes utilisables en classe

pour l’enseignement d’un concept mathématique. Ils pourraient à ce moment détenir les outils leur

permettant de rechercher une cause aux erreurs des élèves. L’entrée par les relations entre

enseignement et apprentissage favoriserait la présentation des contraintes explicites ou non des

enseignants de mathématiques de même que les théories développées pour les analyser et les

gérer. Quant à l’entrée par les visées de l’apprentissage des mathématiques, elle contribuerait à

placer la notion de problème au cœur de l'apprentissage afin de générer un contexte de discussions

visant à sensibiliser les futurs enseignants aux interactions auxquelles sont conviés les élèves

(DeBlois, 2009). Pour elle, ces entrées et les questions sur l’enseignement et l’apprentissage

pourraient conduire les futurs enseignants à alterner entre les trois postures épistémologiques

définies par DeBlois et Squalli (2002). Ces postures sont les suivantes : ancien élève, étudiant

universitaire, enseignant.

Comme ancien élève, le futur enseignant travaille habituellement sur des exercices ou des

problèmes pour lesquels les réponses sont disponibles et il recherche toujours un «bon» modèle

d’enseignement (DeBlois & Squalli, 2002). Le risque est grand de développer une compréhension

fragmentaire des notions sous-entendues dans les formules mathématiques (Cyr & DeBlois, 2007) et

des connaissances didactiques considérées de manière procédurale (DeBlois & Maheux, 2005). La

posture de l’ancien élève reflète des conceptions d’un enseignement dans lequel les mathématiques

sont souvent apprises par mémorisation et par la réalisation d’exercices (Savard, 2014). Pour elle, le

40

rapport épistémique de l’ancien élève a donc trait à l’utilisation des savoirs « à » enseigner, c’est-à-

dire des procédures, des algorithmes conventionnels des mathématiques.

Selon DeBlois et Squalli (2002), dans la posture de l’étudiant universitaire, le futur enseignant ne

s’attend pas à des réponses organisées pour les questions posées en cours de didactique des

mathématiques, car « l’enseignement universitaire soulève des questions concernant des problèmes

d’enseignement ou d’apprentissage qui n’ont pas nécessairement de réponses “toutes faites” »

(p. 217). Selon Savard (2014), l’étudiant universitaire navigue d’une part, entre sa volonté d'obtenir

de bons résultats scolaires et celle de devenir un enseignant qualifié. D’autre part, il évolue entre

l’expérience de l’apprenant de l’enseignement et les nouvelles pratiques sur l’enseignement. Les

pratiques enseignantes discutées dans les cours universitaires de didactique visent une

compréhension conceptuelle des savoirs chez les élèves. Or, les futurs enseignants peuvent avoir

peu d’expérience de ce type de compréhension (Savard, 2014). Selon elle, le rapport épistémique de

l’étudiant universitaire se réfère aux savoirs « pour » enseigner qui sont des savoirs didactiques.

Enfin, en pratique de classe lors du stage, le futur enseignant développe une posture d’enseignant à

travers l’élaboration des situations d’apprentissage et l’adaptation de ses interventions, plus

particulièrement, au moment où les élèves font des erreurs (DeBlois & Squalli, 2002). Le rapport

épistémique de l’enseignant concerne les savoirs « sur » enseigner qui visent à responsabiliser les

élèves dans leur apprentissage (Savard, 2014).

Des contradictions internes, propres au futur enseignant, pourraient naître des différentes

conceptions des tâches d’enseignement et des expériences scolaires et universitaires. Ces tensions

pourraient influencer les adaptations de sa planification lors de ses interventions en classe (DeBlois

& Maheux, 2005; Ndolly, 2012). Quatre types d’adaptations ont déjà été identifiés dans des travaux

antérieurs: l’adaptation projective, l’adaptation de retrait, l’adaptation normative et l’adaptation

d’évitement (DeBlois & Maheux, 2005). Selon DeBlois et Maheux (2005), l’adaptation projective

intervient lorsque le stagiaire profite d’une situation créée par les élèves pour poser davantage des

questions, pour susciter ou poursuivre une discussion alors que dans l’adaptation retirée, le stagiaire

juge les élèves capables de surmonter certaines difficultés et il abandonne aux élèves la discussion

qui clarifiera les confusions importantes sur la notion étudiée. Dans l’adaptation normative, le

stagiaire tend à se ramener à sa planification lorsqu’il constate un écart dans la production des

élèves par rapport à ses attentes. Enfin, l’adaptation d’évitement surgit au moment où le stagiaire

41

simplifie la tâche ou diminue ses attentes. Elle intervient aussi lorsqu’il constate que les élèves

donnent des solutions sans explication ou présentent des explications confuses. Ces différentes

adaptations pourraient se manifester lors des incidents didactiques qui surviennent pendant la

réalisation d’une leçon par un stagiaire à travers ses modes de gestion de ces incidents.

En effet, selon Ndolly (2012), le stagiaire situé dans la posture de l’ancien élève manifeste

essentiellement des adaptations normatives et d’évitement. Il canalise les stratégies de recherche de

solutions aux problèmes d’enseignement en orientant le travail des élèves sur ses propres stratégies

ou tout simplement, il expose les solutions avec parfois des explications. Ses interventions sont

marquées, entre autres, par des effets Topaze. Ces deux types d’adaptations sont observées quand

le stagiaire utilise une approche transmissive (Ndolly, 2012). Tandis que, situé dans la posture de

l’enseignant, le stagiaire manifeste des adaptations projectives et de retrait (Ndolly, 2012). Par

exemple, dans l’adaptation projective, l’enseignant amène l’élève à trouver les solutions aux

problèmes qui sont posés ou qui se posent à lui. Ce type d’adaptation apporterait d’ailleurs une aide

aux élèves par des questions qui pourraient débloquer une situation et engendrer un savoir à

institutionnaliser. Pour Ndolly (2012), les adaptations projectives et de retrait sont perceptibles

lorsque le stagiaire réalise un cours selon une approche de nature constructiviste. Les projets et les

préoccupations des futurs enseignants de l’enseignement et de l’apprentissage et leurs conceptions

des mathématiques pourraient influencer les adaptations de leur planification lors de la réalisation

des activités en classe. Le modèle des composantes d’une formation initiale développé par DeBlois

(2012) établit des liens entre la conception des mathématiques de l’ancien élève et celui du futur

enseignant, entre les préoccupations de l’ancien élève et celles de l’étudiant universitaire, entre le

projet d’apprentissage de l’ancien élève et le projet d’enseignement du stagiaire, comme le montre la

figure 2.

42

Figure 2 : Composantes d'une formation initiale (DeBlois, 2012)

Le modèle de DeBlois (2012) se décrit en trois rubriques. Premièrement, les préoccupations de

l’étudiant universitaire auraient un impact sur la planification du projet d’enseignement et

d’apprentissage du stagiaire. En effet, l’étudiant universitaire se préoccupe de la mise en pratique

des connaissances qui, souvent, remettent en question ses expériences d’ancien élève et ses

conceptions à l’égard des mathématiques. Il pourrait chercher à se conformer, entre autres, aux

exigences d’une approche d’enseignement/apprentissage proposée durant la formation afin d’avoir le

sentiment de réaliser ce qu’il a appris lors de sa formation. Le projet d’enseignement du stagiaire

serait ainsi la résultante des conflits internes du futur enseignant entre ses préoccupations d’ancien

élève et celles d’étudiant universitaire ou d’enseignant stagiaire. Deuxièmement, le projet

d’enseignement du stagiaire peut laisser voir, entre autres, la conception de son rôle d’« animateur »

de la classe, d’« organisateur » de l’apprentissage, de « transmetteur de connaissances », de

« maintien de l’ordre » ou d’« observateur des signes d’apprentissages et de difficultés » (DeBlois,

2012; p. 317). Il serait la résultante des préoccupations de l’étudiant universitaire. Toutefois, ce projet

43

d’enseignement peut être affecté de la vision de l’apprentissage de l’ancien élève comme celle de

convoquer une réussite des élèves (DeBlois, 2012) ou une exécution intégrale de la leçon planifiée.

Troisièmement, le stagiaire manifeste certaines conceptions des mathématiques dans sa posture de

l’ancien élève (DeBlois, 2012). Par exemple, lorsqu’il recherche lors de la résolution d’un problème

que l’élève utilise une procédure appropriée, mémorisée, ou qu’il suive une procédure initiale utilisée

pour la construction d’un concept (Herscovics & Bergeron, 1982b), il semble manifester une

conception instrumentale des mathématiques. Ces conceptions peuvent influencer les projets

d’enseignement et d’apprentissage du stagiaire depuis la planification à la réalisation d’une leçon.

1.2.7 Synthèse du cadre théorique

Nous choisissons de combiner dans notre recherche plusieurs concepts développés en didactique

des mathématiques. Nous nous référons ainsi à la théorie des champs conceptuels (Vergnaud,

1990) et à la théorie des situations didactiques (Brousseau, 1986a; Brousseau & Balacheff, 1998) qui

semble à l’origine du concept d’incident didactique (Roditi, 2003; Rogalski, 2003) afin d’identifier des

connaissances spécifiques à l’enseignement27 de la fraction. Nous faisons un pas de côté afin de

cerner les notions de conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques

(DeBlois, 2012; Noël & Mura, 1999; Savard, 2014) pour donner un sens aux notions de postures

épistémologiques du futur enseignant (DeBlois & Squalli, 2002) et d’adaptations du stagiaire (DeBlois

& Maheux, 2005) afin d’analyser les pratiques des stagiaires lors de l’enseignement de la fraction. En

effet, la théorie des champs conceptuels offre un cadre pour analyser les caractéristiques des

exercices et problèmes offerts aux élèves et une étude des erreurs. En lui ajoutant la théorie des

situations didactiques, il devient possible d’analyser, entre autres, la nature des situations

d’enseignement/apprentissage planifiées ou réalisées et les interactions de la classe.

Les étudiants en enseignement entrent dans la formation initiale avec des connaissances sur

diverses dimensions du travail enseignant qui seraient issues de leurs expériences pré

professionnelles (Bednarz & Perrin-Glorian, 2003). Ces expériences pré professionnelles, issues de

leurs cursus scolaire et universitaire, pourraient ressurgir lorsqu’il y a des incidents didactiques en

classe (Roditi, 2003). Ces derniers, notamment dans le cas des erreurs d’élève, créent un écart entre

la planification et l’intervention. Cet écart sera interprété comme une forme d’adaptation (DeBlois & 27 Certaines tâches mathématiques nécessitent que l’enseignant se réfère à des connaissances mathématiques, dont d’autres professionnels utilisant les mathématiques ne disposent pas. Ce sont des connaissances spécifiques à l’enseignement.

44

Maheux, 2005). Nous portons d’ailleurs notre attention sur l’étude des incidents didactiques observés

lors des réalisations des cours par les stagiaires.

Pour étudier les pratiques des stagiaires du primaire et du post-primaire, il nous fallait choisir une

notion qui soit présente dans les deux ordres d’enseignement. La fraction est l’un des concepts

mathématiques enseignés au primaire et au post-primaire. De plus, la compréhension de la fraction

est une nécessité pour la vie quotidienne et pour le cursus scolaire de l’élève. En effet, elle est

impliquée dans d’autres apprentissages en mathématiques (algèbre, géométrie, probabilité), mais

aussi dans des apprentissages en physique, en chimie). Or, les évaluations consultées montrent que

les élèves présentent des difficultés dans l’apprentissage de la fraction (MESSRS/DIFPP/DM, 1995).

Une hypothèse explicative de ces difficultés pourrait être liée à l’inexistence ou à la méconnaissance

d’un développement culturel de la fraction dans la société traditionnelle burkinabé. Par exemple,

dans les mesures de longueur, la largeur des doigts ou une coudée [longueur de l’avant-bras]

pourraient remplacer un tiers ou un quart d’une longueur, car ce vocabulaire semble inexistant dans

les langues nationales. Que nous disent les recherches sur l’enseignement et l’apprentissage de la

fraction?

1.3 Cadre d’investigation

Nous choisissons, en regard de notre désir d’étudier les pratiques des stagiaires sur l’enseignement

de la fraction, de donner des résultats de recherches sur l’apprentissage de la fraction et sur la

formation à l’enseignement de la fraction. Ces résultats peuvent être instructifs pour une

compréhension des pratiques d’enseignement des stagiaires sur la fraction.

1.3.1 Différents sens de la fraction

La théorie des champs conceptuels de Vergnaud (1981) nous sensibilise à l’étude des particularités

des tâches mathématiques dans lesquelles il est possible de retrouver les fractions. L’apprentissage

des fractions fait l’objet d’une attention particulière des chercheurs ces dernières années (Pantazi-

Pitta, Gray, & Christou, 2004) parce que les fractions exigent des connaissances conceptuelles

profondes et aussi, parce que beaucoup d'élèves sortent de l'école élémentaire avec une

connaissance insuffisante (Ross & Bruce, 2009).

45

Plusieurs travaux de chercheurs en didactique des mathématiques (Adjiage, 2007; M. J. Behr, Lesh,

Post, & Silver, 1983; Blouin, 1993; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; DeBlois, 2011; Fridman-

Bittencourt, 2008; Mercier & DeBlois, 2004; Ross & Bruce, 2009), que nous rapportons dans cette

sous-section, permettent de repérer une variété d’interprétation de la fraction selon leur contexte :

une « partie-tout », une « partie-ensemble », un « rapport », une « proportion », un « quotient », un

« résultat d’une division », un « nombre », un « opérateur » ou une « mesure ». Ces différents

contextes d’utilisation de la fraction pourraient familiariser les élèves avec cette notion pour les

amener à considérer la fraction comme un nombre. Les opérations sur l’addition peuvent alors avoir

un sens. La figure ci-dessous schématise les niveaux de développement des sens de la fraction pour

une meilleure réussite dans la résolution de problèmes sur les fractions.

Figure 3: Modèle théorique reliant les cinq sens des fractions aux différentes opérations des fractions

et de résolution de problèmes (M. J. Behr et al., 1983; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007, p. 296).

L’étude de Behr, Lesh, Post et Silver (1983 ; 1992) montre que la compréhension du sens « partie-

tout » de la fraction est souvent le point d’entrée dans l’étude de la fraction. La fraction « partie-

tout », représentée par b

a (a et b étant des entiers naturels, avec b ≠ 0), présente un tout partagé

en ‘b’ parties égales et on a réuni en ‘a’ parties (Blouin, 1993). Ainsi, on utilise souvent des figures

géométriques à partager en parties égales. Ce sens est souvent en relation avec la fraction

« mesure ». À ce moment, c’est l’existence d’une unité de mesure qui confère à la fraction le sens de

« mesure » (M. J. Behr et al., 1983). Le sens « mesure » serait nécessaire pour le développement de

la maîtrise des opérations sur l'addition des fractions (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007).

Toutefois, les sens « partie d’un tout » et « mesure » conduisent souvent les élèves à considérer

impossibles les fractions supérieures à l’unité, aussi appelées fractions impropres. Selon Hasegawa

(2000), cela pourrait être dû aux modèles mentaux construits dans les premiers apprentissages de la

Partie-tout/Fractionnement

Rapport Opérateur Quotient Mesure

Équivalence Multiplication Résolution de problèmes Addition

46

fraction. En effet, avec l’équipartition en jeu dans la relation partie d’un tout, l’élève percevrait dans

un premier temps qu’une fraction serait toujours plus petite que l’unité.

Une interprétation de la fraction proche du sens de « partie-tout » est le sens « partie d’un

ensemble ». Toutefois dans ce cas, un ensemble fini correspond à une grandeur discrète (Mercier &

DeBlois, 2004). Par exemple, la phrase, « une classe de première année du secondaire compte 35

filles sur un total de 75 élèves », permet d’interpréter que les filles représentent 15

7 de l’effectif de la

classe. Ce contexte fait aussi intervenir la procédure d’équipartition mais pour une quantité discrète

plutôt que continue.

Au Burkina Faso, dans le manuel scolaire de la classe du cours moyen première et deuxième

années (MEBA/DGRIEF, 2010), la notion de fraction est formellement introduite à la page 81 à partir

de fractionnement de figures géométriques (disque, carré, rectangle). Cette introduction semble

prendre en compte le sens « partie-tout » d’une fraction. Toutefois, nous constatons les notations «

10

1,

100

1,

1000

1» (p. 53) et «

2

1kg » (p. 64). Au cas où un enseignant aborde ces notations avant que

la fraction ne soit abordée, parce qu’il suit la progression du manuel scolaire, et un autre enseignant

introduit la notion de fraction et à l’occasion aborde ces notations, un effet différentiateur pourrait

émerger dans les apprentissages des élèves sur la fraction.

Pour M. J. Behr et coll. (1983), la fraction « rapport », la fraction « opérateur », la fraction « quotient »

s’appuient sur d’autres procédures. Le sens « rapport » de la fraction est utilisé pour représenter la

relation qui existe entre deux quantités (M. J. Behr et al., 1983). Il s’agit donc pour l’élève d’établir

une comparaison, ce qui est nouveau. Blouin (1993) précise que le sens « partie-tout » se distingue

du sens « rapport » par le fait que dans le premier cas, le numérateur et le dénominateur de la

fraction désignent des objets appartenant à la même collection, alors que dans le sens « rapport », le

numérateur et le dénominateur pourraient désigner des objets distincts. Ainsi dans la phrase, « Il y a

12 filles et 16 garçons dans la classe A, alors que l’on compte 15 filles et 20 garçons dans la classe

B » (Blouin, 1993; p. 13), le rapport 16

12indique qu’il y a 3 filles pour 4 garçons dans la classe A et le

même rapport dans la classe B, mais exprimé sous la forme 20

15. Le rapport favoriserait ainsi la

47

compréhension des fractions équivalentes (Blouin, 1993). En outre, l’interprétation des fractions qui

correspond à l’identification des secteurs en statistiques permettrait aussi la compréhension du sens

« rapport » (Behr et coll., 1983). La fraction « rapport » permet également de comprendre la notion

de « proportion » (Behr et coll., 1983; Blouin, 1993). En effet, selon Blouin (1993), la notion de

proportion est une variante du sens « rapport ». On parlera de proportion lorsque le rapport est

invariant quand les grandeurs varient (Adjiage, 2007). Ainsi, une recette de yaourt qui exige d’utiliser

une tasse de lait en poudre pour quatre tasses d’eau présente un rapport 4

1. Ce rapport permet de

prévoir la quantité d’eau nécessaire devant une nouvelle quantité de lait en poudre.

La fraction « opérateur » est considérée comme une fonction plutôt qu’une équipartition ou une

comparaison comme dans les exemples précédents. Le nombre ne représente plus une quantité,

mais une transformation (M. J. Behr et al., 1983). Cette interprétation se révèle utile pour le

développement de la compréhension des opérations sur la multiplication des fractions

(Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Ce sens permet de réfléchir sur des problèmes de salaire

horaire qui passent de 20 $ à 25 $, en appliquant la transformation «4

5 ». La fraction « opérateur »

permet aussi d’agrandir ou de réduire les dimensions d’une figure géométrique (Blouin, 1993).

Vergnaud (1981) reconnait que l’introduction successive d’opérateurs multiplicatifs ne devrait pas

concerner l’enseignement élémentaire.

Enfin, l’opération de division conduit à identifier la fraction « quotient » (M. J. Behr et al., 1983;

Blouin, 1993). Ce contexte se rapporte au résultat de a divisé par b, résultat de l’équation linéaire

bx=a (b≠0) (Blouin, 1993). Ainsi, si 5x=2 alors x=5

2. La fraction est alors un nombre. Le sens

« nombre » permet d’ailleurs aux élèves de calculer (Rouche, 1998) et de situer la fraction sur la

droite numérique (Adjiage & Pluvinage, 2000).

1.3.2 Difficultés d’apprentissage de la fraction

Les bonnes réponses des élèves que l’enseignant perçoit lors de la réalisation de son cours peuvent

lui donner une satisfaction, alors qu’elles peuvent ne pas être le signe de développement de

connaissances sur le concept étudié. En effet, la connaissance d’une procédure mémorisée ou

l'application d'une procédure sans comprendre le sens, est souvent plus rapide et moins exigeante

48

que le développement d'une compréhension. Pour Gould (2005), les résultats d’une compréhension

instrumentale28 sont plus immédiats et plus apparents à travers des réponses correctes en moins de

temps. Dans l’apprentissage de la fraction, selon M. J. Behr et al. (1983), la fraction « partie-tout »

est souvent introduite très tôt dans le cursus scolaire. C’est plus tard (quatrième année de scolarité)

que la notion de fraction est systématiquement traitée et c’est en huitième année que les élèves

explorent et étendent les notions de nombre rationnel. Ces savoirs sur les nombres rationnels sont

ensuite appliqués en algèbre élémentaire.

M. J. Behr et al. (1983) concluent que de nombreuses difficultés des élèves en algèbre remontent à

une compréhension incomplète des notions antérieures des fractions. Les élèves éprouvent des

difficultés importantes dans l’apprentissage et l'application des concepts de la fraction (Tanner,

2008); des difficultés qui vont au-delà de l’utilisation des algorithmes. Nous relevons en cinq points

des aspects qui semblent constituer des difficultés de compréhension aux élèves.

Premièrement, les fractions sont complexes parce qu’elles ont différentes significations dans

différents contextes (M. Behr, J. et al., 1992; Osana & Rayner, 2012) comme nous l’avons vu plut tôt.

L’introduction et l’ordre de présentation des différents sens de la fraction constitueraient des sources

de difficultés pour l’élève, notamment à cause des différences de procédures en jeu. Deuxièmement,

dans le contexte nord-américain, M. J. Behr et al. (1983) indiquent dans leur étude que la plupart des

jeunes de 13 et 17 ans réussissent l’addition des fractions ayant le même dénominateur. Toutefois,

un tiers des jeunes de 13 ans et les deux tiers de ceux de 17 ans arrivent à effectuer correctement

l’opération 2

1+

3

1. Même à plus de trois ans d’apprentissage sur les fractions, un tiers des élèves ont

des difficultés à développer une bonne compréhension du calcul de la somme des fractions ayant

des dénominateurs différents. Au Burkina Faso, les opérations 5

4+

5

2 et

4

7-

4

3 sont réussies

respectivement par 87% et 78% par les élèves de 6e (13-14 ans) (MESSRS/DIFPP/DM, 1995). Il

s’agit d’opérations sur les fractions ayant le même dénominateur.

28 Une compréhension instrumentale des mathématiques est la manifestation d’une capacité à traiter un problème

mathématique en appliquant une règle appropriée, mémorisée, ou en suivant une procédure initiale utilisée pour la construction d’un concept, sans comprendre pourquoi la règle ou la procédure fonctionnent (Herscovics & Bergeron, 1982b)

49

Les élèves semblent ne voir dans les fractions que des entiers juxtaposés. Ils utilisent lorsqu’ils

effectuent une addition des fractions le plus souvent, des procédures spontanées, comme la

procédure qui consiste à ajouter les numérateurs d'une part et les dénominateurs d’autre part, et

celle qui consiste à garder le numérateur 1 et à additionner les dénominateurs dans la somme des

fractions de numérateurs 1. Les procédures de calcul développées dans les entiers naturels seraient

ainsi des sources d’obstacles épistémologiques lors des calculs sur les fractions (DeBlois, 2011; Ni &

Zhou, 2005; Perrin-Glorian, 1986).

L’addition développée dans les décimaux pourrait aussi constituer un obstacle pour l’élève. En effet,

cette confusion pourrait amener l’élève dans le calcul 3

1+

3

1à trouver

6

2. Selon Perrin-Glorian (1986),

seuls les nombres entiers auraient vraiment le statut de nombre pour beaucoup d’élèves. Ces

derniers se ramènent donc par des moyens divers aux entiers naturels et à leurs opérations lors des

calculs sur les fractions.

Troisièmement, une étude réalisée par Rosar, Nieuwenhoven et Jonnaert (2007) dans une classe

dont les élèves sont âgés de onze ans, montre qu’au début de l’apprentissage de la fraction, ces

élèves ont des difficultés à lire certaines fractions. Par exemple, des élèves lisent « seize huitièmes »

pour 8/16 et « cinq demis » pour 2/5. En outre, 80 % des élèves de l’échantillon ne parviennent pas à

placer une fraction sur une droite numérique. Ils positionnent sur la droite numérique, entre autres,

2/5 à 2,5 ou 2/5 soit à 0,1, à 0,25, ou à 0,5. Enfin, ils confondent par exemple 7/8 et 7,8 en justifiant

qu’on a remplacé la barre de fraction par une virgule. Cette étude montre « la précarité des

représentations construites par les élèves autour de la notion de nombre et de fraction-nombre »

(p. 14). Pour plusieurs élèves, seuls les nombres entiers auraient vraiment le statut de nombre.

Quatrièmement, les élèves éprouvent des difficultés à comprendre les fractions impropres, car le

sens commun de « fraction » est celui d’un partage de l’unité. Selon Ambrose (2004), des stagiaires

observent lors de leur première session de formation que des élèves âgés de 10 ans penseraient

que 1 est supérieur à 4

4. De plus, ces élèves ne seraient pas familiers avec la conversion des

fractions impropres et des nombres fractionnaires. La plupart de ces élèves affirment n’avoir jamais

vu des fractions impropres et ne sachant pas comment les interpréter. Certains élèves arriveraient à

partitionner les ensembles, mais ils auraient du mal à nommer les parties qu'ils tireraient (Ambrose,

50

2004). Selon l’auteur, l’expérience sur l’enseignement de la fraction menée par ces stagiaires amène

la plupart de ces derniers à reconnaître que l'enseignement exigerait plus que la simple présentation

de l'information aux élèves.

Cinquièmement, les élèves manifestent des difficultés à résoudre des problèmes de la vie

quotidienne sur la fraction. Un élève peut diviser correctement une fraction par une fraction et ne pas

être capable de trouver le nombre de recettes nécessitant trois quarts de tasse de lait pour une

recette lorsqu'on dispose de trois tasses de lait (Gould, 2005). À propos de la proportion inverse, des

élèves de secondaire II (13-14 ans) ont eu après enseignement des difficultés à utiliser le produit

croisé, par exemple, dans la résolution du problème suivant : «4 machines prennent 300 jours pour

fabriquer toutes les briques qui vont être utilisées dans la construction d’une maison. En combien de

jours 8 machines identiques fabriqueront la même quantité de briques?» (I. Oliveira, 2008) (p. 128).

En effet des élèves (10/33) ont fait : 600483008

300

4 n

n. Au Burkina Faso, l’étude

menée par l’inspection de mathématiques (1995) montre que les élèves de 6e éprouvent des

difficultés dans le calcul de la quatrième proportionnelle. En effet, l’exercice ci-dessous obtient un

taux de réussite de 15% (échantillon : 4537 élèves).

Énoncé : Le tableau ci-dessous représente une situation de proportionnalité. Trouver le

terme manquant.

1,2

5 4

Dans les classes du primaire et dans la classe de première année du post-primaire [secondaire], les

problèmes se ramènent le plus souvent aux questions d’ajout, de soustraction, d’augmentation, de

diminution, de gain, de perte, de partage, de remise, d’intérêt et de comparaison. Les problèmes à

résoudre sur les fractions se complexifient avec les propriétés algébriques développées dans les

nombres rationnels et les problèmes de géométrie portant, entre autres, sur les rapports de

projection, les homothéties, les similitudes.

Les erreurs algorithmiques, les erreurs sur les opérations formelles des fractions, l’incompréhension

des écritures symboliques des fractions et l’incompréhension du problème sont des types d’erreurs

commises par des élèves de sixième et septième année lors de l’enseignement de la multiplication

des fractions (Isiksal & Cakiroglu, 2011). Face aux difficultés que les élèves ont à apprendre les

51

fractions, il devient possible de mettre en lumière les pratiques des stagiaires, et ce pour les deux

ordres d’enseignement.

1.3.3 Transition primaire/secondaire dans l’apprentissage de la fraction

L’apprentissage de la fraction amorcée à l’école primaire se poursuit au secondaire [post-primaire]

avec le développement des propriétés algébriques dans l’ensemble des nombres rationnels et des

fonctions. La compréhension du fractionnement par l’élève est, entre autres, une condition qui peut

aider les élèves dans leur passage du primaire au secondaire (DeBlois, 2011). Rosar et al. (2007)

proposent qu’on étudie le fractionnement ou la partition dans sa diversité sans aucune restriction.

Pour eux, qu’on ne se contente pas d’un cas comme le partage d’une tarte par exemple. L’utilisation

de plusieurs figures géométriques et d’ensembles discrets pourrait forger une compréhension des

élèves. Le principe de l’équipartition, c’est-à-dire le partage égal de figures géométriques diverses ou

d’ensembles discrets, apporte plus de précisions dans les réponses des élèves de sixième année du

primaire et donnerait du sens au symbole d’écriture de la fraction (Mercier & DeBlois, 2004). Pour

DeBlois (2011), l’élève du primaire qui comprend les procédures de l’équipartition peut mener une

réflexion sur l’importance du dénominateur commun dans l’addition ou la soustraction des fractions

ayant des dénominateurs différents. Une compréhension de l’utilisation d’un commun multiple

d’entiers naturels aide l’élève dans l’identification d’un dénominateur commun pour certaines

opérations (DeBlois, 2011). Dans le programme du Burkina Faso, le plus grand commun diviseur et

le plus petit multiple sont officiellement introduits en classe de 5e [8e année de scolarité]. Sont-ils

introduits comme des «théorèmes-en-acte » (Vergnaud, 1990) dans les niveaux inférieurs? Cette

possibilité peut relever de l’enseignant.

La notion de proportionnalité amorcée à l’ordre primaire se consolide au secondaire avec les notions

de « suites proportionnelles », de « taux de variation » et de « pente d’une courbe » au secondaire.

En effet selon DeBlois (2011), les fractions équivalentes vues au primaire permettent de traiter le

coefficient de proportionnalité dans une situation proportionnelle. « Ce coefficient de proportionnalité

correspond aussi au taux de variation d’une fonction ou à la pente d’une courbe dans un graphique,

des notions vues au secondaire » (DeBlois, 2011; p. 141).

En ce qui concerne l’apprentissage des opérations des fractions au primaire et au secondaire, Rosar

et al. (2007) se demandent pourquoi ne pas insister sur l’addition, la soustraction et la multiplication

52

des fractions dans les apprentissages au primaire et reporter pour plus tard, par exemple, la division

d’une fraction par une autre qui sera utile à l’élève en algèbre et en probabilité. Cette étude semble

traduire une difficulté des élèves à comprendre la division des fractions. Certes, les élèves du

secondaire revisitent et formalisent les fractions qu’ils ont déjà travaillées au primaire, cependant il

serait un leurre, de penser que ces derniers peuvent réaliser les opérations sur les fractions

« automatiquement » (DeBlois, 2011). Selon elle, « certains apprentissages nécessitent une analyse

pour surmonter les obstacles qui prennent leur origine dans les apprentissages faits avec des

nombres naturels » (p. 142). L’analyse des erreurs des élèves par le stagiaire du primaire et du post-

primaire semble ainsi prendre tout son sens afin de déceler d’éventuels obstacles épistémologiques

et didactiques. De plus, les stagiaires pourraient favoriser un apprentissage actif des élèves en

sollicitant des résolutions non routinières de problèmes mathématiques réalistes et une justification

de leurs résultats afin de comprendre leur raisonnement, au lieu de continuer à appliquer des

pratiques traditionnelles qui consistent à « dire et montrer » (Tzur, 2007).

En outre, les nouvelles technologies permettent aux enseignants d’avoir de nouvelles approches

d’introduction de la fraction. À l’aide de l’outil informatique, la manipulation virtuelle prend place à la

manipulation matérielle. Elle pourrait contribuer à l'apprentissage de la fraction des élèves au-delà de

ce que les élèves auraient appris en utilisant la manipulation matérielle et d’autres stratégies

d'enseignement (Reimer & Moyer, 2005). En effet, sur 19 élèves de troisième année de scolarité

participant à l’étude de Reimer et Moyer (2005), les résultats de l'évaluation des connaissances

conceptuelles montrent que plus de la moitié des élèves ont amélioré leurs scores après avoir

effectué des manipulations virtuelles de la fraction. Lorsque les élèves observent des images

illustrées sur les pages de manuels ou de feuilles de calcul, ils n'ont pas cette possibilité de pratique

avec des représentations virtuelles dynamiques.

En somme, les choix didactiques, ainsi que les situations mises en place, jouent un rôle significatif

dans l’amélioration des apprentissages des élèves. La pratique enseignante vise à amener chaque

élève à développer de nouvelles compréhensions. On s’apercevra que l'élève a compris un concept

s'il est capable de donner des exemples ou des contre-exemples, de décider si un objet donné relève

d'un concept ou non, de formuler des propriétés des opérations sur les fractions, de connaître les

liens avec des concepts voisins, de connaître l'incidence de conditions supplémentaires ou s’il peut

réaliser des performances impossibles auparavant (Vollrath, 1988). L’élève manifestera des

53

compétences sur la fraction s’il fait preuve de compréhensions procédurales et conceptuelles à

travers les résolutions de problèmes. Une compréhension de la pratique de classe des stagiaires du

primaire et du secondaire sur la fraction serait une source d’amélioration de la formation initiale dans

ces deux ordres d’enseignement qui favoriserait une meilleure transition primaire/secondaire dans

l'apprentissage de la fraction.

1.4 Questions de recherche

Clivaz (2011) établit, en étudiant des pratiques d’enseignement de la multiplication par un nombre à

deux chiffres, que des enseignants ont des connaissances mathématiques sur l’algorithme de la

multiplication. Toutefois selon l’auteur, certaines Connaissances Mathématiques Spécifiques à

l’enseignement et relatives à un objet d’enseignement, comme l’algorithme de la multiplication,

manquent à des enseignants. L’absence d’une telle connaissance ne permettrait pas aux

enseignants d’effectuer des choix en désaccord avec leurs conceptions de l’apprentissage, de

l’enseignement ou des mathématiques (Clivaz, 2011). L’étude (Osana & Rayner, 2012) semble aussi

traduire une absence de connaissances spécifiques à l’enseignement de la fraction chez de futurs

enseignants de mathématiques. Dans leur recherche, elles proposent le problème suivant à des

étudiants en formation à l’enseignement des mathématiques : « Aileen est allé à une fête et a

ramené 3/4 d'un gâteau à la maison. Le lendemain, elle a remarqué que quelqu'un avait mangé la

moitié de ce qu'elle a ramené. Quelle quantité du gâteau entier a été mangée? » (Osana & Rayner,

2012) (P. 299; traduction libre).

Selon Osana, ce problème consiste à multiplier deux fractions inférieures à 1. Sa résolution est sans

difficulté pour les étudiants. Une étudiante a utilisé le fractionnement d’un disque représentant le

gâteau en huit parts égales pour illustrer la valeur 3/8. Osana montre aux futurs enseignants

comment illustrer la même solution à l'aide d'un modèle rectangulaire (cf. figure ci-dessous). Selon

elle, ce modèle rend l'algorithme de la multiplication des fractions plus transparent.

54

Figure 4 : Représentation de la solution de 4

3

2

1 (source : Osana et Rayner (2012))

4 3

2

1

4

3

2

1=

24

13

=

8

3

Osana et Rayner (2012) montrent qu’une maîtrise de la manipulation des parts égales d’une unité

peut permettre au stagiaire de faire comprendre les différents sens et les algorithmes des opérations

sur la fraction. Elles décrivent alors des aspects fondamentaux qui semblent des connaissances

spécifiques à l’enseignement de la fraction, car ils servent de cadre pour structurer une analyse de la

pensée des élèves et sont aussi une base mathématique pour comprendre les algorithmes standards

de la fraction. Ces aspects sont : des « parties-entières » peuvent être divisées en parts; des parts

doivent avoir la même taille; une part est plus petite que la « partie-tout »; la taille de la part est

basée sur la taille de l'unité de référence; des fractions sont exprimées dans les termes de l'unité

originale; des parts peuvent être associées pour former des « parties-tout »; des parts (unités

fractionnaires) peuvent être associées, peu importe leur quantité; chaque fraction a une variété de

représentations.

Selon Pinto et Tall (1996) et Young et Zientek (2011), certains futurs enseignants ont des

connaissances mathématiques communes insuffisantes sur la fraction. Pinto et Tall (1996) cherchent

à avoir une compréhension de sept futurs enseignants sur le nombre rationnel. Ces futurs

enseignants sont à leur troisième année de formation à l’enseignement des mathématiques au

primaire et au secondaire. Ces chercheurs ont utilisé une entrevue et ont sollicité des futurs

enseignants des définitions d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel. Trois des sept étudiants

ont donné des définitions presque satisfaisantes. Une étudiante ne réussit pas à donner une

définition. Parmi ces étudiants, certains ont désigné 0,97853 et 0,343232, comme des nombres

irrationnels. La formation mathématique qu’ils ont reçue ne semble pas leur apporter une

compréhension de la notion de nombre rationnel.

55

L’étude de Young et Zientek (2011) révèle que des connaissances sur la fraction semblent aussi

manquer à certains futurs enseignants. Ces auteurs ont administré des opérations sur les fractions à

344 étudiants inscrits dans le premier des trois cours de mathématiques pour futurs enseignants du

primaire et du collège [secondaire]. Ils constatent dans leur étude que 41 % des futurs enseignants

de l’échantillon exécutent sans erreurs les quatre opérations sur les fractions ; donc 59 % d’entre eux

manifestent quelques difficultés dans la réalisation de certaines tâches sur les quatre opérations. Ces

futurs enseignants montrent plus de difficulté à résoudre les problèmes sur la division des fractions

(55 % de réponses justes), suivie de la multiplication des fractions (66 % de réponses justes), de

l’addition des fractions dont les dénominateurs sont premiers entre eux (77 % de réponses justes) et

l’addition des fractions ayant les mêmes dénominateurs (89 % de réponses justes) (Young & Zientek,

2011).

En plus de l’absence de connaissances spécifiques à l’enseignement de la fraction chez les futurs

enseignants (Osana & Rayner, 2012), les études (Pinto & Tall, 1996; Young & Zientek, 2011)

montrent que certaines connaissances mathématiques communes sur la fraction semblent manquer

à certains futurs enseignants du primaire et du secondaire. La complexité dans l’apprentissage de la

fraction expliquerait-elle l’absence de connaissances mathématiques communes sur la fraction chez

certains futurs enseignants? Les travaux de Clivaz (2011) semblent indiquer toutefois que les

connaissances mathématiques ne sont pas suffisantes pour réaliser des interventions pertinentes.

Les travaux de recherche (Proulx & Bednarz, 2008) évoquent plutôt une hypothèse liée au

développement d’une culture mathématique qui favoriserait une «décompression» des savoirs

mathématiques. Nous nous situons dans la foulée de cette hypothèse. Notre recherche vise donc à

comprendre les pratiques d’enseignement des stagiaires du primaire et du post-primaire sur la

fraction au Burkina Faso. Les questions que nous posons rentrent dans la recherche de cette

compréhension qui semble nécessaire pour cerner le développement d’une formation initiale avec

des programmes adaptés aux besoins des finissants des ordres d’enseignement primaire et post-

primaire.

Afin de comprendre les pratiques des stagiaires du primaire et du post-primaire sur l’enseignement

de la fraction, nous nous proposons d’étudier les planifications et les réalisations de leçons de

stagiaires. L’analyse d’une planification de leçon sur la fraction d’un stagiaire peut nous révéler, par

exemple, la complexité d’une tâche mathématique, les situations d’enseignement prévues, les

56

conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques du stagiaire. Lors de la

réalisation de la leçon planifiée, nous pouvons étudier les incidents didactiques. Lorsqu’un incident

didactique est révélé, les adaptations réalisées au moyen du type de questionnement (individuel ou à

la classe), de l’utilisation de contre-exemples, de l’ajout d’informations, des reformulations, de la

diminution des exigences ou de la présentation d’une autre tâche peuvent être observées. Ces choix

pédagogique et didactique révèlent le contrat didactique. Ces effets, dits de contrat didactique, qui

surviennent dans une classe seraient des caractéristiques du développement d’une situation

d’enseignement/apprentissage (Brousseau, 1986a, 2003). Les difficultés rencontrées par les

stagiaires peuvent ainsi se révéler. La gestion des incidents didactiques peut être une source

d’observation des types d’adaptation du stagiaire, révélant ainsi ses conceptions de l’enseignement,

de l’apprentissage et des mathématiques et sa posture épistémologique lors de la séance de cours.

En portant notre étude sur les pratiques des stagiaires sur l’enseignement de la fraction, nous

posons la question générale suivante : Quelles sont les pratiques des stagiaires du primaire et du

post-primaire dans leur enseignement de la fraction en classe du cours moyen deuxième année

(CM2) du primaire et en classe de sixième du post-primaire? Afin de répondre à cette question

générale, nous tenterons de répondre à trois questions secondaires :

Quelles sont les tâches mathématiques et la nature des situations d’enseignement planifiées

par les stagiaires rencontrés pour un apprentissage de la fraction au CM2 et en sixième?

Quels sont les incidents didactiques et les types d’adaptation lors des réalisations de leçons

planifiées par les stagiaires du primaire et du post-primaire rencontrés?

Quelles conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques sont

observables à travers les postures épistémologiques adoptées par les stagiaires rencontrés

durant leurs pratiques d’enseignement?

Les réponses à ces questions passent par une méthodologie de recherche adaptée. Dans le

chapitre 2, nous précisons nos orientations méthodologiques et donnons notre justification du choix

de l’étude de cas multiples. Nous y présentons également notre méthode de collecte des données et

notre modèle d’analyse.

57

CHAPITRE 2

MÉTHODOLOGIE DE LA RECHERCHE

Dans le chapitre précédent, nous annoncions que notre recherche porterait sur des pratiques des

stagiaires sur l’enseignement de la fraction. Des stagiaires de l’ordre primaire et ceux de l’ordre

post-primaire vont respectivement planifier et réaliser des leçons dans des classes du cours

moyen deuxième année (CM2) [6e année de scolarité] et dans des classes de 6e [7e année de

scolarité]. Cette étude vise à documenter les pratiques des stagiaires sur l’enseignement des

fractions pour disposer de données destinées à améliorer la formation initiale offerte dans les

structures de formation au Burkina Faso. Notre méthodologie de recherche est basée sur la

recherche qualitative/interprétative. Dans le présent chapitre, nous justifions d’abord le choix de

notre méthodologie de recherche. À la suite, nous détaillons notre démarche de cueillette des

données, nous faisons une analyse de la rigueur de cette méthodologie et nous terminons par une

structuration de l’analyse des données.

2.1 Méthode qualitative/interprétative de recherche

Nous optons pour une recherche qualitative/interprétative, et plus précisément pour une étude de

cas multiples. Afin de comprendre la pratique d’enseignement de la fraction d’un stagiaire, nous

cherchons à donner du sens à ce qu’il fait avant, pendant et après une séance de leçon. Chaque

cas à l’étude est une source d’informations. Dans cette partie, nous décrivons dans un premier

temps la recherche qualitative/interprétative et dans un deuxième temps, l’étude de cas.

2.1.1 Description de la recherche qualitative/interprétative

La recherche qualitative est de plus en plus mise à contribution dans l’étude des phénomènes

sociaux et humains et une de ses orientations est la recherche qualitative/interprétative (Savoie-

Zajc, 2000). La recherche qualitative/interprétative est utilisée par les chercheurs pour comprendre

le point de vue et le sens que les acteurs donnent à leurs conduites ou à leur vie (Anadón, 2006).

Le raffinement des postulats et des langages, l’élaboration des critères de scientificité,

l’échantillonnage, la généralisation et l’élaboration des techniques de collecte et d’analyse des

données qualitatives de recherche en éducation, entre autres, connaîtraient dès lors une réflexion

plus poussée des chercheurs.

58

Pour satisfaire aux exigences d’une recherche qualitative/interprétative, les indices de rigueur

suivants doivent être satisfaits : les critères méthodologiques, les critères relationnels (Savoie-Zajc,

2000). Ces critères, que nous explicitons dans la suite, sont des repères pertinents pour une

recherche crédible. Selon Savoie-Zajc (2000), quatre qualités composent les critères

méthodologiques : la crédibilité, la fiabilité, la confirmation et la transférabilité. Voici comment nous

avons tenu compte de ces quatre critères.

La crédibilité demande que l’on choisisse les participants à la recherche pour être en mesure de

rencontrer le critère de plausibilité du sens donné au phénomène étudié. L’étude des cas de

séances de leçons sur les fractions pour chaque cycle d’enseignement assurera la plausibilité du

sens que nous donnerons aux pratiques d’enseignement des stagiaires de mathématiques au

Burkina Faso. Le choix des stagiaires participants à notre recherche est déterminant pour l’atteinte

de l’objectif que nous nous sommes fixé, à savoir, comprendre les pratiques d’enseignement des

stagiaires du primaire et du post-primaire pour cerner les exigences de cette transition chez les

élèves. C’est ainsi que les caractéristiques des participants seront faites dans la section 2.2.3.

Cette description visera à satisfaire ce critère de la crédibilité de notre recherche.

La fiabilité, un des critères méthodologiques, se réfère à la cohérence entre les questions posées

au départ et les résultats obtenus. L’absence de cohérence entre les questions de recherche et les

résultats traduirait une difficulté à atteindre les objectifs de la recherche. Pour satisfaire ce critère,

la recherche doit avoir un fil conducteur clair. Les différentes décisions prises pendant la recherche

doivent être bien justifiées. Dans le cas de notre recherche, la triangulation entre les verbatim

d’une réalisation d’une leçon et une entrevue, les contenus documentaires des planifications de

leçons et le journal de bord que nous décrirons dans les paragraphes, ci-dessous, ajoutent à la

fiabilité des réponses aux questions de recherche, satisfaisant ainsi le critère de fiabilité de notre

étude.

En effet, selon Savoie-Zajc (2000), la triangulation est un indice de rigueur qui permet au

chercheur d’explorer un plus grand nombre de facettes de la question étudiée à travers les

données recueillies. Plusieurs points de vue sont abordés pendant la recherche. La triangulation

consiste à analyser un même corpus de données avec plus d’un outil. Par exemple, le verbatim

d’une réalisation de cours sera analysé avec des outils sortis, par exemple, du concept d’incident

59

didactique, de la théorie des situations didactiques, des concepts d’adaptations et de conceptions

de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques. Les caractéristiques des tâches

mathématiques planifiées, la nature des situations d’enseignement planifiées, les types incidents

didactiques vécus dans les classes et les types d’adaptation lors des incidents didactiques révèlent

des conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques de chacun des

stagiaires. Dans notre recherche, plusieurs cas sont à l’étude dans chaque ordre d'enseignement.

De plus, pour chaque cas, plusieurs sources de collecte de données sont prévues. Nous réalisons

une triangulation des informations recueillies des différentes données entre elles (données

recueillies à partir de la planification de la séance de leçon, de la réalisation du projet

d’enseignement et des entrevues) afin de comprendre le développement de la pratique du

stagiaire sur l’enseignement de la fraction.

Quant au journal de bord, il est un document dans lequel le chercheur note les impressions et les

sentiments ressentis pendant la recherche. Il y consigne les événements jugés importants. Ces

notes deviennent très précieuses pendant le travail d’analyse des données et la rédaction de la

thèse (Savoie-Zajc, 2000). Le journal de bord permet de retrouver la dynamique du terrain et de

reconstituer les atmosphères pendant la recherche. Dans notre étude, nous consignons dans le

journal de bord, entre autres, le contexte de réalisation de la séance de leçon, la période de la

collecte, l’humeur du chercheur et celle du stagiaire. Ces impressions et ces sentiments lors du

processus de collecte des données pourraient nous être utiles lors de la rédaction de l’analyse des

données. Par exemple, des cas de classes bruyantes entravant la réalisation des activités

d’enseignement par des stagiaires ont été relevés.

La confirmation, un autre critère méthodologique, renvoie aux processus d’objectivation suivis

pendant et après la recherche. On constate cette qualité dans une recherche si cette dernière est

convaincante et crédible, si la cueillette et l’analyse des données sont rigoureuses et si la

démarche empruntée est très claire. La clarification de différentes procédures de collecte des

données et l’explicitation de notre modèle d’analyse, qui s’appuie sur des théories en didactique

des mathématiques, permettent de répondre à cette exigence qu’est l’indice de confirmation de

notre méthodologie.

60

La transférabilité, quant à elle, concerne le lecteur de la recherche qui s’interroge sur la pertinence,

la plausibilité et la ressemblance qui existeraient entre le contexte décrit et son propre milieu de vie

pour une utilisation potentielle des résultats. Les résultats de l’analyse de cette étude sont liés au

contexte du Burkina Faso. Nous souhaitons d’une part que les chercheurs qui nous liront puissent

exploiter nos résultats, et d’autre part, plus particulièrement, dans les pays de l’Afrique

subsaharienne qui présentent un contexte éducatif semblable à celui du Burkina Faso, que les

formateurs d’enseignants de mathématiques du primaire et du post-primaire [secondaire] puissent

reconnaître une similarité de l’étude à leurs préoccupations et adapter les retombées de notre

étude à leur propre contexte.

Le deuxième indice de rigueur que nous abordons concerne les critères relationnels qui se

composent de l’équilibre et de l’authenticité de la recherche (Savoie-Zajc, 2000). Selon cette

auteure, ces critères relationnels illustrent une position socioconstructiviste où le participant joue

un rôle actif de coconstructeur de sens avec le chercheur. Pour l’auteure, l’équilibre est vérifié si

les points de vue ressortis respectent les « différentes voix », sans privilégier qui que ce soit. Afin

de satisfaire ce critère, nous nous proposons de répertorier pour chaque stagiaire les mêmes

aspects dans notre étude. À la suite de cette vue individualisée de l’activité de chaque stagiaire,

nous identifions les caractéristiques des pratiques des stagiaires dans chaque ordre

d’enseignement. Quant à l’authenticité, elle se compose de l’authenticité ontologique29, de

l’authenticité éducative30, de l’authenticité catalytique31 et de l’authenticité tactique32. Selon Savoie-

Zajc (2000), « ces quatre niveaux d’authenticité s’intéressent à la qualité des prises de conscience

que les participants développent : la recherche qualitative/interprétative est source et occasion

d’apprentissage tant pour les participants que pour le chercheur » (p. 193). Dans notre étude, nous

avons eu une rencontre avec les stagiaires afin de planifier ensemble le projet de recherche. Nous

reviendrons sur cette rencontre dans la sous-section 2.2.3.5. Elle a été l’occasion donnée aux

participants de connaître la question à l’étude, d’avoir une vision commune sur le projet de

recherche, d’avoir plus de motivation dans la participation et de « passer à l’action », afin de nous

accompagner dans cette recherche. À travers cette démarche, nous satisfaisons ainsi aux quatre

29 L’authenticité ontologique est perçue lorsque la recherche permet aux participants d’améliorer et d’élargir leurs perceptions sur le problème à étudier (Savoie-Zajc, 2000). 30 L’authenticité éducative consiste à considérer les points de vue de tous les participants à l’étude comme objet d’apprentissage (Savoie-Zajc, 2000). 31 L’authenticité catalytique émerge lorsque les résultats de l’étude stimulent les participants (Savoie-Zajc, 2000). 32 Lorsque les participants peuvent passer à l’action, on parlera d’authenticité tactique (Savoie-Zajc, 2000).

61

niveaux d’authenticité ci-dessus énumérés. En somme, les critères méthodologiques et les critères

relationnels sont des critères de qualité pour une étude de cas. En effet, l’étude de cas multiple

constitue une orientation de la recherche qualitative (Anadón, 2000).

2.1.2 Étude de cas multiples comme méthode de recherche

Nous privilégions une étude de cas multiples afin de connaître comment des stagiaires planifient et

réalisent leurs séances de cours. L’étude de cas multiples convient à une recherche qui vise une

meilleure compréhension d’un phénomène (Karsenti & Demers, 2000; Yin, 1989). Elle nous

permettra de répondre à notre question de recherche puisque nous cherchons à comprendre les

activités d’enseignement et d’apprentissage sur la fraction planifiées et réalisées par des stagiaires

dans quatre classes du cours moyen deuxième année (CM2) du primaire et dans quatre classes

de sixième du post-primaire.

L’étude de cas est en plus particulariste, descriptive, heuristique et inductive (Anadón, 2006;

Merriam, 1988). Elle est particulariste parce qu’elle s’intéresse au cas particulier. Elle est

descriptive, car elle décrit minutieusement et dans les détails le résultat du cas étudié. Elle est

heuristique, car elle permet une compréhension approfondie du cas étudié et elle est inductive

parce qu’elle part de l’observation de terrain. Par un raisonnement inductif, le chercheur peut

élaborer des liens entre, par exemple, les caractéristiques du cas et des hypothèses interprétatives

(Anadón, 2006; Merriam, 1988). Selon Yin (1989), l’étude de cas est particulièrement nécessaire

lorsqu’on cherche à comprendre les phénomènes sociaux complexes découlant des événements

du vécu quotidien. Elle se prête donc à l’étude des pratiques d’enseignement qui semblent très

complexes.

Nous faisons une investigation empirique sur les enseignements réalisés par des stagiaires. Le

stagiaire est le cas à l'étude et il est la principale unité d'analyse (Yin, 1989). Selon cet auteur,

plusieurs individus peuvent être intégrés dans une étude de cas multiples et le recueil

d’informations porte alors sur chaque individu de l’échantillon. Une étude de cas peut donc

comporter un cas unique ou des cas multiples. Un avantage à effectuer une étude de cas multiples

vient du fait que les éléments de preuve provenant de cas multiples sont souvent plus pertinents,

rendant l'étude plus crédible (Yin, 1989). Pour l’auteur, la logique qui sous-tend l'utilisation d’une

étude de cas multiples est la même et chaque cas doit être soigneusement choisi afin qu'il prédise

62

des résultats similaires (une reproduction littérale) ou qu'il donne des résultats contraires, mais

pour des motifs prévisibles (une reproduction théorique).

Afin de comprendre ce qui caractérise les contenus des planifications de cours portant sur la

fraction, la conduite en classe des activités mathématiques élaborées et les interventions auprès

des élèves, nous privilégions une étude de cas multiples. Nous avons initialement prévu de faire

une étude de six cas dans chaque ordre d’enseignement, mais nous en avons analysé quatre.

Nous reviendrons dans la section 2.2.4 de ce chapitre pour justifier ce changement. Si ces cas,

disposés efficacement au sein d'une conception de cas multiples, se révèlent comme prédit (Yin,

1989), ils fourniraient un support convaincant pour répondre à notre question de recherche.

À l’exemple de nombreux chercheurs, nous nous préoccupons de l’enrichissement de la pensée et

du discours par le développement de théories en sciences de l’éducation (Stenhouse, 1988). Nous

nous préoccupons plus particulièrement de la compréhension de l’action didactique lors de la

formation initiale dans le contexte du Burkina Faso. Notre collecte des données est donc relative à

l’étude de cas multiples par l’implication des stagiaires du primaire et du post-primaire afin de

développer une connaissance des pratiques de ces derniers sur l’enseignement sur la fraction en

particulier et au moment de la transition primaire-secondaire.

2.2 Méthode de collecte des données

2.2.1 Les outils de collecte de données

Les instruments de collecte de données de ce type de méthode sont les entrevues qualitatives,

l’observation, les questionnaires, les documents (Anadón, 2006; Yin, 1989). Nous utilisons

plusieurs sources (documents, observations, entrevues) pour réaliser notre étude. La question

« Quelles sont les pratiques des stagiaires du primaire et du post-primaire dans leur enseignement

de la fraction en classe du cours moyen deuxième année (CM2) du primaire et en classe de

sixième du post-primaire? » s’inscrit dans une recherche qui vise à comprendre l’action des

stagiaires dans leur classe. Le stagiaire est sous une variété d’influences telles que la formation

dans les écoles de formation, les pratiques des enseignants dans les établissements scolaires où il

réalise son stage et les expériences vécues tout au long de son passé scolaire. Toutefois, il ne

sera pas possible que la recherche de compréhension des pratiques des stagiaires nous permette

d’évaluer le poids relatif de cette variété d’influences.

63

2.2.1.1 Recueil documentaire

Nous avons recueilli des planifications [fiches] de leçons des stagiaires et des travaux réalisés par

des élèves pendant les séances de leçons pour des fins d’analyse. Pour chaque stagiaire

rencontré, nous avons saisi et mis en annexe sa planification de leçon. Nous avons également

récupéré d’autres documents qui pourraient se révéler importants lors de notre analyse. Ce sont :

des photocopies de cours donnés dans les institutions de formation au cours de l'année scolaire

2011-2012 et des manuels scolaires des classes du cours moyen deuxième année du primaire et

de 6e [7e année de scolarité] du post-primaire.

2.2.1.2 Enregistrement de séances de cours

L’observation d’un cours sur la fraction en classe du cours moyen deuxième année (CM2) [6e

année de scolarité] et en classe de 6e [7e année de scolarité] ne peut se faire que dans une

période bien déterminée. La détermination de notre période de collecte des données tient compte

de cette période. L’observation directe dans la classe (Artigue, 1988) permet de voir la réalisation

du projet d’enseignement et d’apprentissage du stagiaire. À travers cette réalisation, il est possible

d’observer éventuellement les phases de synthèse, de bilan et d’institutionnalisation (Butlen,

Charles-Pezard, & Masselot, 2009). Il est possible également d’analyser le développement des

adaptations pédagogiques lors des incidents didactiques dans la classe (DeBlois, 2008; DeBlois &

Maheux, 2005) et de déduire les postures épistémologiques adoptées par le stagiaire (DeBlois &

Squalli, 2002; Ndolly, 2012). En outre, l’observation directe nous informe de l’existence d’éventuels

effets de contrat didactique et de situations d’apprentissage contextualisées ou décontextualisées

(Brousseau & Balacheff, 1998).

Toutes les séances de cours ont fait l’objet d’enregistrements audiovisuels. Nous avons utilisé une

caméra vidéo portative pour filmer les leçons. Pour des questions de luminosité et de distance ou

pour capter le travail d’un élève, il nous arrive de nous déplacer dans la classe afin d’obtenir un

bon enregistrement. Toutefois, nous constatons quelques déchets dus à notre manque

d’expérience dans ce savoir-faire en enregistrement audiovisuel. Les enregistrements permettent

de revoir et de réécouter ce qui a été fait et dit dans la classe pour une meilleure analyse des

séances de leçons. Ils sont transcrits mot à mot pour une meilleure exploitation des données

recueillies.

64

2.2.1.3 Entrevues individuelles semi-dirigées

Les entrevues individuelles semi-dirigées permettent d’avoir des informations sur le travail fait en

classe pour confirmer ou infirmer non seulement nos analyses documentaires, mais aussi nos

analyses des observations de la classe. C'est donc l'occasion pour nous de comprendre, entre

autres, l’influence de l'environnement de la salle de classe, de la planification de l'enseignement

des activités, de l'évaluation, des conceptions du rôle de l’enseignant dans la salle de classe et des

visées pédagogiques du cours (Akkoç & Ogan-Bekiroglu, 2006). En effet, bien qu’il soit souhaitable

que le stagiaire ait une connaissance de ce qui est à enseigner (Schneuwly, 1995), la pratique est

complexe, ce qui exige de la situer dans un environnement plus large que celle de la classe. Nous

pourrions aussi obtenir du stagiaire une meilleure compréhension de ses choix face à certains

comportements des élèves lors de la séance de leçon et des éventuels changements qu’il a

opérés par exemple dans son « discours » didactique (Brodie, 2000), comme partir des idées des

élèves et mener des stratégies de questionnement qui mettent l’accent sur le développement du

langage et des concepts mathématiques par les élèves. Nous pourrions également avoir accès

aux appréciations du stagiaire sur le contenu de son cours tant du point de vue des difficultés

rencontrées que des réussites.

Les durées des entrevues ont été variables, mais aucune n’a excédé une heure. Chaque entrevue

semi-dirigée s’est faite immédiatement après chaque séance de leçon. Toutes les entrevues semi-

dirigées ont été enregistrées, car selon Stenhouse (1988), bien qu’il y ait des divergences de

points de vue des chercheurs sur l’opportunité d’un enregistrement, l’enregistrement de l’entrevue

rend la collecte de données plus fiable. En outre, ces enregistrements ont l'avantage de devenir

plus faciles à utiliser comme source de travail plus tard. Nos entrevues ont été structurées et nous

espérons les avoir menées dans un climat détendu (Stenhouse, 1988), non pas dans le regard de

l’inspecteur sur un candidat, mais dans un esprit de coopération. En effet, nous pensons que les

mots introductifs, comme le rappel des objectifs de notre recherche, sont pour apaiser le stagiaire

par rapport aux réponses qu’il va donner à nos questions. Chaque entrevue s’est déroulée dans

l’établissement scolaire dont relève le stagiaire. L’exploitation de ces enregistrements audio a été

faite après une transcription mot pour mot.

Afin de mener l’entrevue semi-dirigée et d’avoir des données fiables, nous avons formulé les

questions ci-après qui ont eu l’approbation du comité d’éthique de la recherche de l’Université

65

Laval (cf. annexe 12.2). Toutefois, certaines questions subsidiaires sont intervenues, une chose

normale à notre sens dans une entrevue semi-dirigée. Les questions rédigées sont les suivantes :

Questions :

1) Le stagiaire apprécie son travail et parle des difficultés qu’il a rencontrées.

a) Comment avez-vous vécu cette séance de cours?

b) Quelles sont les difficultés d’ordre pédagogique ou didactique que vous avez

rencontrées lors de la planification de la séance de leçon?

c) Quelles sont les difficultés d’ordre pédagogique ou didactique que vous avez

rencontrées lors de la réalisation de la séance de leçon?

d) Pouvez-vous suggérer ce qui peut être fait pour amoindrir les difficultés que vous

venez d’évoquer?

2) La compréhension des choix pédagogiques et les types d’activités.

a) Pourquoi avez-vous opté pour cette approche (magistrale, inductive, démonstrative,

constructiviste…) dans la planification et la réalisation du projet d’enseignement?

b) Qu’est-ce qui a motivé votre choix pour le(s) problème(s) que vous avez donné(s) aux

élèves?

3) La gestion des incidents didactiques dans la classe

a) Comment avez-vous procédé pour aider l’élève ou les élèves devant cet incident? (Un

incident géré par le stagiaire est présenté verbalement à ce dernier).

b) Quelle aide pouvez-vous apporter à l’élève devant cet incident? (Un incident non géré

par le stagiaire est présenté verbalement à ce dernier).

66

2.2.2 Schématisation de la méthode de collecte des données

Nous effectuons notre collecte des données sur des planifications [fiches] de leçons utilisées par

des stagiaires, sur l’observation des séances de leçons de ces stagiaires, sur des productions de

leurs élèves durant la classe, sur des entrevues semi-dirigées entre le chercheur et les stagiaires

après les séances de cours. Nous donnons dans la figure ci-dessous une schématisation de la

collecte et de l’analyse des données.

Figure 5 : Schéma de collecte et d’analyse des données

2.2.3 Recrutement des stagiaires participants

2.2.3.1 Échantillon des stagiaires participants

La cueillette des données s’est déroulée dans la région du Centre au Burkina Faso, plus

précisément dans la ville de Ouagadougou et sa banlieue. Les stagiaires participants à cette

Échantillon : 6 stagiaires de l’ordre primaire et 6 stagiaires de l’ordre post-primaire

Collecte des données

Observation de cours sur la fraction avec

enregistrements audiovisuels :

- 6 séances de cours au CM2

- 6 séances de cours en

sixième

Recueil documentaire

- 6 projets d’enseignement au CM2 - 6 projets d’enseignement en sixième - Travaux réalisés par des élèves lors

des réalisations de cours

Transcriptions des enregistrements

audiovisuels

Étude des transcriptions des enregistrements

audiovisuels

Entrevues avec enregistrements audio :

12 entrevues semi-dirigées avec les 12 stagiaires impliqués

Transcriptions des enregistrements audio

Étude des transcriptions des enregistrements

audio

Étude des projets d’enseignement et des

travaux des élèves

67

recherche étaient au nombre de douze (12), dont six (6) stagiaires du primaire et six (6) stagiaires

du post-primaire exerçant dans des établissements scolaires de ladite zone. Les stagiaires

participants du primaire sont issus d’écoles de formation privées des enseignants du primaire de la

ville de Ouagadougou et ceux du post-primaire viennent de l’Institut des Sciences (Ouagadougou).

Nous n’avons pas eu de stagiaires du primaire provenant d’une école de formation publique (École

nationale des Enseignants du Primaire : ENEP) parce que la durée de la formation dans les ENEP

qui était d’un an passe cette année à deux ans. Par conséquent, il n’y a pas de stagiaire venant de

ces écoles au cours de l’année scolaire 2012-2013. Dans les écoles privées, la durée de la

formation y était déjà de deux ans, dont un an de formation théorique et un an de stage.

2.2.3.2 Démarches administratives pour la désignation des participants

La participation des stagiaires à notre projet de recherche est subordonnée à un accord d’une part,

avec les autorités administratives des institutions de formation dont relèvent les stagiaires

participants et d’autre part, avec les stagiaires eux-mêmes. Dès l’Automne 2012, nous étions en

contact avec le Directeur provincial de l’Enseignement de Base et de l’Alphabétisation33 (DPEBA)

du Kadiogo d’une part, et avec le Directeur général de l’Institut des Sciences de Ouagadougou

d’autre part. Nous leur avons expliqué les objectifs de notre projet de recherche et demandé leur

engagement à nous soutenir pour certaines questions administratives. C’est ainsi que nous leur

avons adressé des correspondances pour demander la participation des stagiaires à notre étude

(cf. annexes 10. 1 et 10.2). Aussi, ils ont accepté d'être les personnes de relai du Comité d’éthique

de la recherche de l’Université Laval auprès des stagiaires participants en cas de non-respect de

nos engagements avec ces derniers. Ne pouvant pas aller dans une classe du primaire sans

l’autorisation du Directeur provincial de l’Enseignement de Base et de l’Alphabétisation et dans une

classe de 6e [7e année de scolarité] du post-primaire sans l’accord du Directeur régional de

l’Enseignement secondaire, des demandes d’autorisation à effectuer des suivis de cours dans les

classes ciblées ont été également adressées à ces autorités administratives (cf. annexes 10.2 et

10.3).

33 Actuellement, il est désigné sous le nom de Directeur provincial de l’Éducation nationale et de l’Alphabétisation (DPENA) avec le changement de la dénomination du ministère en ministère de l’Éducation nationale et de l’Alphabétisation.

68

La participation des stagiaires à notre recherche s’est faite sur la base du volontariat. Cependant,

nous avons contacté le Directeur provincial de l’Enseignement de Base et de l’Alphabétisation du

Kadiogo (Ouagadougou) pour obtenir des contacts téléphoniques de chefs de Circonscription de

l’Enseignement de Base (CEB) et des adresses d’écoles d’application de la province du Kadiogo.

Le Directeur des stages de l’Institut des Sciences (Ouagadougou) nous a transmis des contacts

téléphoniques des stagiaires dudit institut qui sont placés dans des établissements scolaires de la

région du Centre. C’est alors que nous avons entrepris le recrutement des stagiaires participants.

2.2.3.3 Recrutement des stagiaires de l’ordre primaire

Nous avons effectué des appels téléphoniques aux chefs de circonscriptions de l’enseignement de

base que nous avons ciblés. En effet, nous avons choisi de travailler avec des stagiaires placés

dans des écoles d’application qui opèrent une innovation dans les pratiques d’enseignement, cette

innovation étant appelée à se généraliser dans un proche avenir. Il s’agit de la pratique de

l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI/PDSI) ».

Notre choix a été motivé par le Directeur provincial de l’Enseignement de Base et de

l’Alphabétisation du Kadiogo. Nous avons connu cette approche « ASEI/PDSI » à travers les

documents lors de notre collecte des données. Nous y reviendrons dans l’analyse des données.

Les échanges téléphoniques nous ont permis de localiser les circonscriptions afin de nous y rendre

et avoir les contacts téléphoniques des directrices et des directeurs des écoles d’application que

nous avons retenues. Ces écoles ont été retenues pour leur position géographique afin de faciliter

notre déplacement dans lesdites écoles.

Nous avons effectué un déplacement dans les écoles d’application pour nous entretenir avec les

directrices et les directeurs afin d’expliquer notre recherche qui nécessite une adhésion volontaire

des participants. Dans chaque école, il y a un minimum de dix stagiaires et nous cherchons la

participation d’un seul. Le choix d’un seul stagiaire s’explique par le fait que nous voulons avoir

une variété d’informations provenant de diverses sources d’encadrement de proximité. Deux

modes d’obtention du volontaire venant d’une école ont été faits. Dans le premier mode, les

stagiaires de toute l’école sont rassemblés et nous leur donnons toutes les informations

importantes. Ainsi, comme cela est explicité dans les clauses arrêtées avec le comité d’éthique de

l’Université Laval, chaque stagiaire doit planifier et réaliser un cours sur la fraction dans une classe

du cours moyen deuxième année en présence du seul chercheur. La leçon portant sur les fractions

69

est filmée, puis elle est suivie d’une entrevue qui sera enregistrée. La participation est volontaire.

Les enregistrements audiovisuels et audio ne seront pas divulgués. Sur place, le premier stagiaire

qui se porte volontaire est retenu. Ce fut le cas pour cinq stagiaires. Le deuxième mode a été

observé dans une école d’application en banlieue de Ouagadougou. Le chef de circonscription

ayant eu l’information l’a portée à la connaissance du directeur d’école qui a rassemblé tous les

stagiaires avant le jour de notre arrivée. Il s’est dégagé deux volontaires et il a opéré un tirage au

sort pour retenir le participant. Le jour de notre arrivée, nous avons donné au directeur et au

volontaire les informations importantes que nous avons déjà évoquées, car ils ne les avaient pas.

Après l’acceptation de nous accompagner dans notre travail de recherche, nous informons le

stagiaire volontaire qu’il a une compensation de trente dollars canadiens (30 $ CAN) et que nous

lui donnons quarante-huit (48) heures pour encore réfléchir et nous donner sa réponse définitive.

Nous n’avons pas enregistré de désistement. Donc, nous avons eu l’adhésion volontaire des six

stagiaires participants. C’est alors que nous avons commencé à leur demander de planifier le jour

de notre passage pour le suivi du cours en accord avec le directeur d’école et le maître de la

classe du cours moyen deuxième année (CM2).

2.2.3.4 Recrutement des stagiaires de l’ordre post-primaire

Le Directeur des Stages de l’Institut des Sciences nous a communiqué des contacts téléphoniques

de 33 stagiaires de la ville de Ouagadougou et de sa banlieue. Nous avons opéré un choix des

stagiaires qui prend en compte les critères suivants : trois (3) stagiaires de la filière

mathématiques/physique-chimie (M/PC) dont deux (2) en première année de stage et un (1) en

deuxième année ; trois (3) stagiaires de la filière mathématiques/Sciences de la vie et de la terre

(M/SVT) dont deux (2) en première année de stage et un (1) en deuxième année. Les stagiaires

des deux filières ont suivi les mêmes programmes de formation à l’enseignement des

mathématiques. Dans un souci d’équité, nous avons choisi le même nombre de stagiaires par

filière. Nous avons choisi plus de stagiaires qui sont à leur première année de stage, car ils ont

moins d’expérience dans la pratique de classe que ceux qui sont à leur deuxième année de stage.

Nous avons effectué un appel téléphonique à chacun des stagiaires ciblés et nous lui avons livré le

contenu d’un écrit qui a eu l’accord du comité d’éthique de l’Université Laval pour le recrutement

téléphonique des participants volontaires (cf. annexe 12.1). Nous lui avons donné quarante-huit

(48) heures avant qu’il ne donne sa réponse définitive. Là aussi, pour les six (6) stagiaires

70

contactés, il n’y a pas eu de désistement. Nous avons obtenu l’adhésion d’une stagiaire de la ville

de Ouagadougou et de cinq (5) stagiaires de la banlieue. Comme pour les stagiaires du primaire,

ceux du post-primaire ont également bénéficié de la compensation financière de trente dollars

canadiens (30 $ CAN).

Ces adhésions volontaires obtenues, nous avons porté l’information au Directeur régional du

Ministère des Enseignements secondaire et supérieur (MESS, ex-MESSRS) et au Directeur

général de l’Institut des Sciences. Puis, nous avons fait des appels téléphoniques aux directeurs

ou proviseurs d’établissements scolaires dont relèvent les stagiaires participants pour leur informer

des démarches administratives que nous avons prises pour une visite de classe dans leur

établissement. Les contacts téléphoniques des chefs d’établissement nous ont été donnés par les

stagiaires participants. La programmation de notre passage dans l’établissement est laissée à

l’initiative du stagiaire en accord avec son chef d’établissement.

2.2.3.5 Rencontre d’information au Lycée Philippe Zinda Kaboré

Après l’acceptation des douze (12) participants volontaires à notre recherche, nous avons organisé

une rencontre au Lycée Philippe Zinda Kaboré. Nous avons choisi un jeudi pour cette rencontre

afin d’avoir la présence du maximum de stagiaire du primaire, car le jeudi est un jour de repos au

primaire. Dix (10) stagiaires (six du primaire et quatre du post-primaire) étaient présents à cette

rencontre. Les deux autres du post-primaire, pour des raisons d’emploi de temps, se sont excusés

et nous les avons rencontrés une autre fois (un samedi matin) au Lycée Mixte de Gounghin. À ces

rencontres, nous avons rappelé aux participants les objectifs de notre recherche et les

engagements que nous avons pris avec le comité d’éthique de la recherche de l’Université Laval.

Chaque stagiaire a eu à signer un formulaire de consentement (annexe 11.1) et nous lui avons

remis des formulaires de consentement à l’intention des parents d’élèves (annexe 11.2). En effet,

nous avons prévu récupérer des travaux réalisés par certains élèves lors des séances de cours et

pour cela il faut un consentement des parents. Tout parent d’élève des classes concernées est

sollicité à signer un formulaire qui nous autorise en cas de besoin à récupérer le travail fait par son

enfant. Ces documents ne sont pas mis en annexe dans notre thèse. La nécessité de considérer

un travail fait par un élève nous amène à saisir le contenu de ce travail à l’endroit voulu dans notre

analyse. Nous nous abstenons de prendre les travaux des élèves dont les parents n’ont pas signé

71

le formulaire. À ces rencontres également, nous avons versé à chaque stagiaire participant le tiers

de la compensation, le restant étant remis juste après l’entrevue.

La planification et la réalisation d’une leçon sur la fraction sont demandées à chacun des stagiaires

participants. Au primaire, la séance est à donner dans une classe du cours moyen deuxième

année (CM2) [6e année de scolarité] et au post-primaire, elle est à réaliser dans une classe de 6e

[7e année de scolarité]. Chaque séance de cours porte sur la fraction. Une liberté est laissée à

chaque stagiaire de choisir le contenu qu’il souhaite dispenser lors de notre passage et le jour de

la réalisation de son cours. C’est alors que nous avons commencé à noter le choix du jour de

chacun des stagiaires rencontrés pour l’observation de cours.

2.2.4 Collecte des données

En consultant, l’ouvrage « Mathématiques, CM1 et CM2 » du Burkina Faso (Ministère de

l'Enseignement de Base et de l'Alphabétisation, 1998), les contenus sur les fractions sont abordés

à partir de la 27e leçon et ils se retrouvent dans plus d’une douzaine de leçons. Tandis que dans la

proposition de progression de l’inspection de mathématiques en classe de 6e, les contenus sur les

fractions sont à aborder courant janvier à avril. Dans le cadre de notre fonction d’inspecteur de

mathématiques, nous avons effectué plusieurs suivis-conseils de stagiaires et d’enseignants de

mathématiques du post-primaire. Nous avons constaté que dans leur plan de progression pour la

réalisation des cours, les enseignants suivent dans la majorité des cas le plan de progression

proposé par l’inspection de mathématiques. En regard des propositions de progression dans les

programmes d’enseignement des mathématiques au primaire et au post-primaire, nous avons

programmé et réalisé notre collecte des données dans la période de janvier à avril 2013.

Nous avons recueilli des données de pratiques d’enseignement de six stagiaires par ordre

d’enseignement, soit 12 dans l’ensemble des deux ordres d’enseignement. Ce chiffre, six par ordre

d’enseignement, n’est pas une exigence dans notre méthodologie. Afin d’avoir quatre à cinq cas

pour chaque ordre d’enseignement pour l’analyse, car des impondérables peuvent advenir lors de

la collecte des données et créer d’éventuels désagréments lors de l’analyse, nous avons choisi

d’observer six pratiques de stagiaires par ordre d’enseignement. Des insuffisances dans la collecte

des données nous mettraient en difficulté dans l’accomplissement de notre travail de recherche.

72

Nos suivis des cours se sont déroulés du 25 janvier 2013 au 9 février 2013 dans les classes du

primaire et du 1er février au 20 février 2013 dans les classes du post-primaire. Comme nous le

disons ci-haut, au cours moyen deuxième année, les contenus sur les fractions couvrent une

douzaine de leçons et en classe de sixième, les fractions sont abordées courant janvier à avril.

Cependant ces situations n’ont pas empêché que certaines leçons soient faites par plusieurs

stagiaires. Par exemple à l’ordre primaire, quatre stagiaires ont planifié et réalisé chacun un cours

sur « l’addition et la soustraction des fractions ». Nous avons, après une étude primaire des

données, éliminé les cas où la notion à l’étude n’avait pas été abordée pour certaines raisons,

comme l’arrivée en retard des élèves et les multiples déplacements des élèves dans la classe,

perturbant ainsi le bon déroulement du cours. Donc, parmi les six stagiaires rencontrés pour

chaque ordre d’enseignement ayant participé à notre collecte des données, nous avons retenu

quatre stagiaires. Nous avons choisi ces quatre cas sur la base des critères suivants : notion à

l’étude; niveau de la planification atteint lors de la réalisation; gestion de la classe; ancienneté dans

le stage. Un souci d’équilibre entre les deux ordres d’enseignement a été aussi déterminant dans

la détermination de ce quota. Nous apporterons dans l’analyse de chaque cas retenu pour l’étude

des précisions sur les titres des leçons planifiées et réalisées.

2.3 Structuration de l’analyse des données

Deux choix de pratique d’analyse qualitative des données s’offraient à nous : l’utilisation d’un

logiciel d’analyse ou le traitement à l’aide d’un papier-crayon (Paillé, 2011). Notre choix s’est porté

sur une analyse de « façon manuelle », c’est-à-dire à l’aide du papier-crayon. Ce travail de « façon

manuelle » nous permet un suivi pas-à-pas du traitement des données dans la recherche de sens

dans la planification de leçon, dans la réalisation de cours et dans l’entrevue pour chacun des cas

à l’étude. En pratiquant un travail d’analyse à la main des données, nous ne perdons pas de vue le

processus des stagiaires qui interagissent avec les élèves en fonction des planifications réalisées.

En regard des multiples données venant des différentes sources de collecte, il est judicieux de

décrire notre processus d’analyse et de justifier nos choix préférentiels des unités de sens pour

l’analyse.

73

2.3.1 Processus d’analyse des données

Dans le chapitre 3 sur l’analyse des données, nous avons changé les noms des stagiaires et des

élèves afin de respecter le souci de confidentialité. Nous avons choisi d’identifier chacun des

stagiaires du primaire par un prénom commençant par « P » et chacun des stagiaires du

secondaire (post-primaire) par un prénom commençant par « S ». Ainsi, il sera plus facile de

reconnaître l’ordre d’enseignement de chacun au moment d’interpréter les résultats de recherche.

En rappel, le recueil documentaire des planifications, les enregistrements audiovisuels de séances

de leçons, les enregistrements audio d’entrevues semi-dirigées constituent l’essentiel de notre

collecte de données lors des pratiques des stagiaires. Les enregistrements audiovisuels et audio

ont fait l’objet des transcriptions verbatim. Nous partons de ces transcriptions et des documents

collectés pour réaliser une analyse des planifications de leçons, des réalisations de cours et des

entrevues des stagiaires participants.

2.3.2 Plan d’analyse

Notre démarche, qui n’incrimine, ni ne privilégie un participant, vise à satisfaire l’indice d’équilibre

dans le traitement des données. En effet, pour chaque cas à l’étude, nous procédons

successivement à l’analyse de la planification du projet d’enseignement, de la réalisation en classe

du projet d’enseignement et de l’entrevue semi-dirigée (cf. annexes 1 à 8). Chacune des

annexes 1 à 8 porte sur un cas à l’étude et contient respectivement la planification de la leçon par

le stagiaire, la transcription verbatim de la réalisation du cours et la transcription verbatim de

l’entrevue semi-dirigée. L’analyse de ces trois parties s’est faite sur la base d’unités de sens.

« Une unité de sens élémentaire peut être un mot, une phrase, ou même un paragraphe si on

analyse un texte écrit par exemple. […]. Mais, quelle que soit cette unité, elle représentera une

idée, un événement, un élément clé dans la compréhension du phénomène étudié » (Dumas,

2000) (p. 362). Le plan, que nous avons élaboré en précisant les unités de sens pour l’analyse des

données, confère les mêmes observations pour l’analyse de chaque cas à l’étude. Nous terminons

pour chaque cas à l’étude par une synthèse, afin de sortir les principaux résultats auxquels nous

sommes parvenus en vue de répondre à la question de recherche.

74

Le schéma d’analyse que nous avons établi conduit à répondre à la question de recherche, ce qui

confère à notre recherche le critère de fiabilité. De plus, l’exploitation du journal de bord que nous

avons faite afin de retenir le ou les cas pour l’étude et la triangulation des données rendent

également notre recherche fiable. Nos unités de sens ont été validées. Un accord interjuges a pu

être réalisé dans l’interaction entre ma directrice de thèse et moi, par exemple, lors de

l’identification des unités de sens en regard des incidents didactiques. Ainsi, alors que

l’identification de la nature d’un effet de contrat a pu servir de validation à l’unité de sens choisie,

des lapsus et l’ignorance par les stagiaires de certaines réponses d’élèves ont été retirés de

l’analyse, ces unités de sens n’ayant pas permis un consensus en fonction du cadre théorique

décrit dans la problématique.

2.3.2.1 Analyse d’une planification de projet d’enseignement

Les canevas de fiches pour des planifications de leçons de mathématiques au Burkina Faso (cf.

annexes 9.1 et 9.2) ont orienté nos choix dans la détermination des unités de sens d’une

planification d’une séquence d’enseignement/apprentissage. Les informations préliminaires, les

approches et stratégies d’enseignement/apprentissage, les situations d’enseignement et les tâches

mathématiques sont les catégories d'unités de sens que nous avons répertoriées pour l’analyse

d’une planification de leçon. Les effectifs (classe, filles, garçons), le thème ou titre du chapitre, le

titre de la leçon, les objectifs de la leçon, la justification de la leçon, le matériel didactique prévu,

les documents exploités sont les unités de sens qui composent la catégorie des informations

préliminaires. L’approche et les stratégies d’enseignement/apprentissage peuvent être

explicitement nommées dans la planification, comme elles peuvent être implicites à travers les

types d’activités mathématiques données (exemples : tâches mathématiques; consignes de

travail). Elles constituent une catégorie et les unités de sens qui la composent dérivent de la

problématique. Elles sont : le cours magistral, la pédagogie par les objectifs, la pédagogie des

grands groupes, l’approche par les compétences de base, le travail individuel, le travail en sous-

groupes et le travail collectif. Une troisième catégorie est constituée des situations d’enseignement

planifiées qui sont identifiées selon les situations d’action, de formulation, de validation et

d’institutionnalisation (Brousseau, 1986a). En effet, les consignes de travail, entre autres, peuvent

permettre de conjecturer sur une présence de ces unités de sens.

75

Les tâches mathématiques constituent la quatrième et dernière catégorie que nous considérons

dans l’analyse d’une planification de leçon. Une tâche mathématique peut être un exercice de

calcul ou un problème. Un problème mathématique peut être défini comme un énoncé constitué

d’un ensemble de données essentielles, éventuellement de distracteurs (données inutiles) et de la

question qui nécessite une recherche de réponse. Différents problèmes d’ajout, de retrait, de

comparaison, d’égalité ou de transformation (Vergnaud, 1981) pourraient être proposés aux

élèves. En outre, le sens « partie-tout » de la fraction peut se percevoir dans des problèmes d’ajout

et de retrait et les sens « rapport » et « proportion » de la fraction, dans des problèmes de

comparaison et d’égalité. Quant au sens « opérateur » de la fraction, il peut s’observer, comme

l’indique le nom, dans des problèmes de transformation (par exemple, un agrandissement, une

réduction). Lorsque seules les opérations sont présentées, nous considérerons qu’il s’agit d’un

exercice de calcul nécessitant une interprétation de la fraction comme un nombre. Ainsi, le choix

des variables didactiques telles que la grandeur des nombres, les relations entre les données d'un

problème et l’ordre de présentation de ces données ont été analysés (Vergnaud, 1981). Les unités

de sens dans la catégorie «tâches mathématiques» sont : les valeurs des nombres (numérateur,

dénominateur ou nombre naturel plus petit que 10, compris entre 10 et 99 inclusivement, plus

grand que 99); la complexité d’un problème (nombre d’étapes dans la résolution du problème,

données complètes ou superflues); la nature du problème (problème d’ajout, de retrait, de

comparaison, d’égalité ou de transformation) et le sens de la fraction en jeu. Nous présentons

dans le tableau 3 les unités de sens d’une planification de leçon d’un stagiaire.

76

Tableau 3 : Unités de sens d’une planification de leçon d’un stagiaire

Catégorie d’unités de sens Unités de sens

Informations préliminaires contenues dans la planification de la leçon

Effectif total; effectif des garçons; effectif des filles. Thème d’étude; titre de la leçon; justification de la leçon; objectifs de la leçon; matériel didactique prévu; documents pédagogiques exploités

Approches et stratégies d’enseignement / apprentissage

approche par les contenus; approche par les objectifs; approche par les compétences de base. Travail individuel; travail en sous-groupes; travail collectif.

Situations d’enseignement Situation d’action; situation de formulation; situation de validation; situation d’institutionnalisation (Brousseau, 1986a).

Tâches mathématiques

Complexité d’une tâche Valeurs numériques : numérateur, dénominateur, nombre naturel plus petit que 10, compris entre 10 et 99 inclusivement, plus grand que 99 (Levain & Vergnaud, 1994); Nombre d’étapes dans la résolution du problème : une étape; deux étapes; trois étapes (Pariès, 2004; Vergnaud, 1990); données complètes ou superflues. Nature du problème : ajout, retrait, comparaison, égalité, transformation (Vergnaud, 1981). Sens de la fraction : « partie-tout »; « nombre »; « rapport »; « opérateur »; « mesure » (M. J. Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983; Blouin, 1993; Mercier & DeBlois, 2004; Adjiage, 2007; Rossa & Bruceb, 2009).

2.3.2.2 Analyse d’une réalisation de projet d’enseignement

Pour chacune des réalisations de cours, plusieurs lectures de la transcription verbatim nous ont

permis de retenir plusieurs unités de sens. Le critère pour retenir une unité de sens est l’apparition

d’un incident didactique. En rappel, Roditi (2003, 2005) relève que les erreurs, les questions des

élèves, les réponses incomplètes, les réponses hors de portée des élèves, les désaccords entre

les élèves et les silences sont des incidents didactiques. Par exemple, nous pouvons rechercher

l’origine du silence d’un élève. En effet, un élève qui a des difficultés à interpréter ce qui se dit

dans la classe, car les expressions dans les échanges verbaux sont complexes, ne peut répondre

à une sollicitation de la part de l’enseignant. La langue d’enseignement est le français au Burkina

Faso. Elle peut constituer une source de difficultés à la compréhension de certains problèmes

mathématiques surtout quand ceux-ci ne sont pas issus du milieu culturel de l’élève. Les incidents

didactiques explicités par Roditi (2003, 2005) sont étroitement liés à l’action des élèves. Toutefois,

77

nous avons repéré d’autres incidents didactiques qui semblent être liés à l’action du stagiaire, par

exemple des erreurs mathématiques du stagiaire et des effets de contrat didactique produits par le

stagiaire.

L’analyse de certaines sections retenues de la transcription verbatim nous a également permis

d’observer des adaptations que le stagiaire a manifestées lors de la réalisation de la leçon.

L’intervention du stagiaire face à une action d’un élève lors d’une tâche mathématique est

l’occasion d’analyser les adaptations (retirée; d'évitement; projective; normative) privilégiées par ce

stagiaire. Rappelons que selon Savard (2014), l’adaptation projective et de retrait sont des

occasions pour le stagiaire d’intégrer des savoirs « sur » enseigner. Il pose des questions, en

suscitant les échanges dans la classe ou en laissant les élèves clarifier par eux-mêmes leurs

divergences (DeBlois & Maheux, 2005). Tandis que dans l’adaptation normative et d’évitement, il

intègre des savoirs « à » enseigner (Savard, 2014). Il conduit les élèves vers ce qu’il a

explicitement planifié ou en simplifiant les tâches afin d’être en harmonie avec ses attentes

(DeBlois & Maheux, 2005). Les adaptations projectives et de retrait pourraient donc être

déterminées par le rapport épistémique de l’enseignant et celles normatives et d’évitement par le

rapport épistémique de l’ancien élève.

Les unités de sens des réalisations d’une situation d'enseignement sont découpées selon les

incidents didactiques et l’adaptation faite par le stagiaire lors de l’écart entre la planification et la

réalisation de la leçon quelle qu’en soit la section. Nous présentons dans le tableau 4 les unités de

sens d’une réalisation de leçon par un stagiaire.

Tableau 4 : Unités de sens d’une réalisation de leçon par un stagiaire


Incidents didactiques

Erreurs; questions des élèves; réponses incomplètes; réponses hors de portée des élèves; désaccord entre les élèves; silences (Roditi, 2003, 2005). Effets de contrat didactique (Brousseau, 1989, 2003)

Adaptations du stagiaire Retirée; d'évitement; projective; normative (DeBlois & Maheux, 2005)

2.3.2.3 Analyse du travail d’un élève

La gestion d’une erreur semble un point nodal de l’acte d’enseignement. C’est dans cette

perspective que nous avons voulu analyser les activités des élèves, afin de constater les prises de

78

décision faites par le stagiaire. L’analyse des activités des élèves est intéressante dans deux cas

de figure. Premièrement, en cas de réussite à une tâche mathématique, lorsque la démarche de

l’élève est innovante et lorsque l’élève apporte des justifications à son travail, cela montre le niveau

de compréhension de cet élève et donne une piste de connaissance sur ce que l’élève peut

produire sur la base de ses acquis mathématiques. Deuxièmement, en cas de non-réussite à une

tâche mathématique d’un élève, nous cherchons à repérer les origines de cette non-réussite. Elle

peut être d’ordre algorithmique ou d’ordre conceptuel. Dans une situation de non-réussite d’un

élève, nous cherchons à savoir s’il y a eu un obstacle. Si oui, cet obstacle est-il d’ordre didactique

ou épistémologique? L’analyse d’une démarche d’élève permet de comprendre l’intervention du

stagiaire dans une situation de réussite ou de non-réussite de cet élève. Nous présentons dans le

tableau 5 les unités de sens d’une réalisation de tâche mathématique par un élève.

Tableau 5 : Unités de sens de l’activité d’un élève


Cas de réussite à la tâche Application d’une procédure vue en classe Procédure innovante de résolution de la tâche Justification du résultat

Cas de non-réussite à la tâche

Erreur algorithmique; erreur conceptuelle (Vergnaud, 1990) Obstacle didactique; obstacle épistémologique (Brousseau, 1986b)

Toutefois, les travaux réalisés par des élèves que nous avions récupérés afin d’étudier, dans les

cas d’erreurs, ce que les stagiaires ont entrepris pour leur gestion, montrent en majorité de bonnes

réponses qui font penser que certains élèves ont attendu les corrections au tableau et ont

simplement recopié les réponses. Ce comportement pourrait s’expliquer par la hantise de la note

sanction; les élèves ont préféré donner quelque chose de correct. L’analyse des travaux des

élèves dans une classe se trouve ainsi compromise. Toutefois, lors de l’analyse d’une erreur (cas

d’incident didactique) produite par exemple au tableau, nous cherchons à comprendre la nature de

cette erreur et à préciser, lorsqu’il y a un obstacle producteur de l’erreur, la nature de cet obstacle.

2.3.2.3 Analyse d’une entrevue semi-dirigée

Nous rappelons que les entrevues semi-dirigées ont suivi les réalisations des projets

d’enseignement. Pour chaque cas à l’étude, des extraits à des fins d’analyse de la transcription

verbatim de l’entrevue sont faits. Ces extraits illustrent les unités de sens. Ils nous permettent

79

après analyse d’infirmer ou de confirmer les résultats d’analyse faits lors de la planification ou de la

réalisation de la leçon.

Une classe d’unités de sens porte sur l’auto-évaluation du stagiaire. Cette auto-évaluation est un

moment donné au stagiaire d’apprécier son travail, mais aussi un moment donné au chercheur

d’observer la prise de conscience du stagiaire de ses compétences et de ses difficultés lors de la

planification et de la réalisation de son projet d’enseignement/apprentissage. Des questions ont

porté également sur ses choix pédagogiques et les tâches mathématiques données aux élèves.

Après la recension des difficultés ressenties par le stagiaire, nous lui demandons de suggérer dans

l’immédiat ce qu’il pourrait faire pour amoindrir ses difficultés lors d’un prochain cours sur la même

leçon ou une autre leçon, autant de manifestations de sa compétence.

Une autre classe unités de sens porte sur la place de l’incident didactique dans l’acte

d’enseignement du stagiaire. Le procédé d’aide du stagiaire à un élève ou à des élèves devant une

erreur est une source d’informations sur sa conception de l’apprentissage de l’élève. Il en est de

même des suggestions d’aide qu’il pourrait apporter à un élève devant une erreur non perçue par

le stagiaire en classe. Nous présentons dans le tableau 6 les unités de sens d’une entrevue semi-

dirigée avec un stagiaire.

Tableau 6 : Unités de sens d’une entrevue avec un stagiaire

Catégorie d’unités de sens

Unités de sens

Auto-évaluation du stagiaire lors de la séance de cours

Prise de conscience de ses compétences et de certaines difficultés (d’ordre pédagogique ou didactique lors de la planification et lors de la réalisation de la séance de leçon); suggestion pour amoindrir les difficultés.

Caractérisation de ses choix pédagogiques (approche par les contenus; approche par les objectifs; approche par les compétences de base; travail individuel; travail en sous-groupes; travail collectif); Caractérisation de ses choix de(s) problème(s) donné(s) aux élèves.

Gestion des erreurs dans la classe

Procédé d’aide à un élève ou à des élèves devant une erreur; suggestion d’aide à apporter à un élève devant une erreur

80

2.4 Interprétation des conceptions des mathématiques, de

l’enseignement et de l’apprentissage des stagiaires

Afin de réaliser une synthèse des analyses réalisées, nous utiliserons les notions de conceptions

et de postures épistémologiques. Le stagiaire manifeste des conceptions des mathématiques qui

peuvent être repérées dans sa planification de leçon, dans ses interventions en classe et dans son

discours lors de l’entrevue. Il s'agit par exemple des conceptions suivantes: les mathématiques

sont transparentes; les mathématiques sont une discipline de logique et de rigueur; les

mathématiques sont un ensemble de techniques; les mathématiques sont des applications de

procédures précises (Noël & Mura, 1999).

Le style d’intervention d’un stagiaire face à une erreur semble révélateur de ses conceptions sur

l’apprentissage (DeBlois & Squalli, 2002). Le stagiaire pourrait, soit privilégier un style directif, soit

jouer un rôle d’aide et d’accompagnateur des élèves. Pour la médiation, il pourrait aménager des

moments de recherche en autonomie, comme il pourrait transformer la tâche mathématique

prévue (Pariès, 2004). Pour cette auteure, la médiation se voit également dans l’organisation, la

nature et la forme des échanges et dans ce que l’enseignant semble laisser à la charge des

élèves.

Au moment de l’institutionnalisation, le type de mode (déclaration, apport ou bilan) (Roditi, 2003)

est aussi révélateur de la conception du stagiaire de l’apprentissage des élèves. De plus, un

stagiaire, qui pense que tout contenu mathématique vu en classe est supposé compris par les

élèves ou que l’exécution intégrale du contenu planifié dans le temps requis est recherchée lors de

la réalisation d’une leçon, manifeste ainsi des conceptions de l’enseignement des mathématiques.

Les conceptions des mathématiques, de l’enseignement et de l’apprentissage du stagiaire seraient

donc en relation avec sa posture épistémologique. Elles peuvent être infirmées ou confirmées lors

de l’entrevue.

81

Tableau 7 : Conceptions des mathématiques, de l’enseignement et de l’apprentissage et postures épistémologiques

Conception des mathématiques (DeBlois, 2012; Noël & Mura, 1999)

Transparence; discipline de logique et de rigueur; ensemble de techniques; application de règles précises.

Conception de l’enseignement (DeBlois, 2012)

Enseignement transmissif; contenu vu en classe supposé compris par les élèves; exécution intégrale du contenu planifié dans le temps requis.

Conception de l’apprentissage (DeBlois, 2012)

Assimilation de la réussite à la compréhension; viser la réussite.

Postures épistémologiques (DeBlois & Squalli, 2002)

Ancien élève; enseignant stagiaire

2.5 Influence de la posture d’inspecteur dans l’analyse des

données

Nous avons vécu plusieurs expériences dans notre carrière professionnelle. Il est important de

signaler les différentes postures épistémologiques que nous avons adoptées à un moment donné

et qui pourraient réapparaître et influencer notre lecture des données. De 1986 à 1996, nous avons

été professeur de mathématiques dans les collèges et lycées au Burkina Faso. Au cours de

l’année scolaire 1996-1997, nous avons été nommé conseiller pédagogique au Projet d’Appui à

l’Enseignement secondaire général (PAESG), un projet piloté par la coopération française. De

1997 à 1999, nous suivons une formation à la fonction d’inspecteur de l’enseignement secondaire

(option mathématique). Nous sommes donc à plus de dix ans dans cette fonction. Notre mise à la

disposition de l’Institut des Sciences (IDS) de Ouagadougou depuis 2004, nous confère dès lors un

statut de formateur des enseignants du post-primaire. Nous avons en octobre 2004 repris des

études en mathématiques et obtenu en 2005 le diplôme d’études approfondies de mathématiques

appliquées et calcul scientifique (option analyse numérique). Nous avons donc à notre actif

différentes postures épistémologiques : ancien étudiant en mathématiques; enseignant de

mathématiques; encadreur pédagogique; formateur d’enseignants, étudiant en science de

l’éducation et chercheur.

Dans la posture d’inspecteur de l’enseignement secondaire, nous examinons la conformité de

l’exécution d’une leçon faite par un enseignant en regard d’une grille de référence officielle

produite par l’inspection de mathématiques. Nous apportons des jugements sur les activités

proposées et nous lui prodiguons des conseils. Ces jugements et ces conseils découlent soit de

82

notre expérience dans l’enseignement des mathématiques, soit de notre expérience dans les

observations de réalisation de cours par des enseignants et des stagiaires lors des visites-conseils

ou des examens certificatifs. Par exemple, dans le suivi d’un cours, nous apprécions, entre autres,

le contenu et l’animation du cours dispensé par un enseignant. L’exactitude des contenus

mathématiques donnés oralement ou écrits, la rigueur mathématique et la pertinence des activités

mathématiques en fonction des objectifs visés sont, entre autres, des axes d’observation afin

d’apprécier un contenu de leçon. Dans la posture de formateur, nous exploitons des situations

d’enseignement que nous avons observées lors des suivis-conseils des stagiaires dans nos tâches

de formations à l’Institut des Sciences (IDS). Des stratégies d’enseignement que nous jugions être

une réussite ou un échec sont de fois présentées en exemple aux futurs enseignants.

Dans la posture de chercheur, nous voulons étudier le sens des pratiques des stagiaires lors d’un

enseignement sur la fraction dans les classes du cours moyen deuxième année du primaire et de

sixième du post-primaire pour mieux comprendre les exigences de cette transition pour les élèves.

Cette compréhension pourrait permettre de faire des propositions pour une formation initiale à

l’enseignement de la fraction dans les ordres d’enseignement primaire et post-primaire. Les

besoins d’une étude des sens de la fraction et de la nature des situations didactiques dans les

planifications de leçons, d’une étude des incidents didactiques et des adaptations vécus lors des

réalisations de cours et d’une étude des conceptions des mathématiques, de l’enseignement et de

l’apprentissage des stagiaires nous amènent à étudier ces phénomènes au regard des concepts

définis par la recherche en didactique des mathématiques. Nous développons ainsi des outils

d’étude découlant d’une combinaison de plusieurs théories développées en didactique des

mathématiques. La structuration de notre analyse devient alors garante de la manifestation de

notre posture de chercheur. En effet, elle prédéfinit une crédibilité dans l’analyse des planifications

de leçons, des réalisations de cours et des entrevues, afin d'obtenir des réponses à nos questions

de recherche et de dégager les conclusions qui s’imposent.

83

CHAPITRE 3

ANALYSE DES PRATIQUES D’ENSEIGNEMENT

DES STAGIAIRES DU PRIMAIRE ET DU POST-

PRIMAIRE

Nous organisons l’analyse des pratiques des huit stagiaires sur l’enseignement de la fraction en

huit sections. Dans les quatre premières sections, nous examinons les pratiques des quatre

stagiaires de l’ordre primaire et dans les quatre autres sections, nous étudions celles des quatre

stagiaires de l’ordre post-primaire. Chaque stagiaire étant un cas à l’étude, quatre sous-sections

composent donc chaque cas : une analyse de la planification de la leçon, une analyse de la

réalisation du cours, une analyse de l’entrevue et une synthèse permettant de dégager ses

conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et de mathématiques et sa posture

épistémologique.

L’addition et la soustraction des fractions, la multiplication d’une fraction par un nombre entier

naturel et la division des fractions sont les titres des leçons planifiées et réalisées par Penda, Piga,

Pélagie et Poko, les quatre stagiaires de l'ordre primaire. Une leçon sur l’addition et la soustraction

des fractions a été présentée par Penda et Piga. Pélagie et Poko ont réalisé respectivement leur

cours sur la multiplication d’une fraction par un nombre entier naturel et sur la division des

fractions. Nous présentons successivement les cas Penda, Piga, Pélagie et Poko. Cette

présentation de notre analyse des pratiques des quatre stagiaires suit l’ordre de présentation des

contenus mathématiques donné dans le programme de la classe du cours moyen 2e année [6e

année de scolarité].

L’écriture fractionnaire, la simplification d’une fraction et l’addition de deux fractions ayant le même

dénominateur sont les leçons planifiées et réalisées par Sidi, Sana, Sylvie et Safi, les quatre

stagiaires de l'ordre post-primaire. Nous présentons premièrement le cas Sidi qui a réalisé un

cours sur l’écriture fractionnaire. Ensuite, nous présentons les cas Sana et Sylvie. Ces deux

stagiaires ont planifié et réalisé une leçon sur la simplification des fractions. En dernière analyse,

c’est le cas Safi dont la leçon porte sur l’addition de deux fractions ayant le même dénominateur.

Notre ordre de présentation des cas tient compte de l’ordre des leçons établi dans le programme

84

de mathématiques de la classe de 6e [7e année de scolarité] du post-primaire. Les quatre

stagiaires se sont référés au modèle de la fiche pédagogique (annexe 9.2) pour la planification de

leur leçon. Par conséquent, le titre du chapitre, le titre de la leçon, la durée de la leçon, la classe,

l’effectif de la classe, l’effectif de filles et celui des garçons, les objectifs spécifiques de la leçon, les

objectifs de contrôle de prérequis, la méthode pédagogique et les techniques d’enseignement et

d’organisation sont des précisions que chaque stagiaire a apportées en informations régulières sur

sa planification.

3.1 Leçon sur l’addition et la soustraction de deux fractions planifiée et vécue par

Penda.

Penda planifie une leçon sur l’addition et la soustraction des fractions. Le manuel scolaire qu’elle

utilise est le livre de mathématiques de l’élève du cours moyen des première et deuxième années

(MEBA/DGRIEF, 2010)34. Dans ce livre, les leçons qui précèdent la présente leçon sur les

fractions sont : notion de fraction; comparaison d’une fraction à l’unité; prendre une fraction d’une

grandeur; fraction et écriture décimale; transformation d’une fraction en nombre fractionnaire;

comparaison des fractions. Le chapitre sur la comparaison des fractions aborde les notions

suivantes : la comparaison de deux fractions ayant le même dénominateur, la comparaison de

deux fractions ayant le même numérateur, la simplification d’une fraction et la réduction de deux

fractions au même dénominateur (MEBA/DGRIEF, 2010; pp. 111 à 115).

3.1.1 Description et analyse de la planification de la leçon

Informations préliminaires dans la planification

En informations préliminaires, Penda donne l’effectif de la classe, la durée de la séance de leçon,

le titre de la leçon, la justification de la leçon, l’objectif de la leçon, le matériel pour la conduite du

cours et le document exploité. Le temps prévu pour la séance de leçon est d'une (1) heure. En

consultant l’ouvrage, il s’agit de la leçon 41 (MEBA/DGRIEF, 2010; pp. 119 à 121). L’effectif de la

classe est de 53 élèves. Penda justifie la leçon du jour en ces termes : « les fractions sont étudiées

de façon très abstraite dans les classes, rendant ainsi son enseignement difficile. C’est pourquoi il

est important de leur apprendre l’addition et la soustraction des fractions » (annexe1; Contenu de

34 MEBA/DGRIEF : ministère de l’Enseignement de Base et de l’Alphabétisation / Direction générale de la Recherche, des Innovations éducatives et de la Formation.

85

la planification). L’objectif de la leçon libellé dans le manuel de l’élève et repris dans la planification

de Penda est le suivant : « à l’issue de la séance, l’élève doit être capable d’effectuer des

opérations d’addition et de soustraction sur les fractions » (cf. annexe 1; Contenu de la

planification). Le tableau, la craie, l’éponge, les feuilles de cahiers, les stylos à bille, le crayon à

papier et la gomme constituent le matériel indispensable répertorié par Penda dans sa fiche

pédagogique [planification]. Le livre de l’élève CM1-CM2 est le document de référence noté.

Cette leçon constitue le tout premier contenu du manuel sur l’addition et la soustraction des

fractions. Une leçon sur l’addition et la soustraction des fractions ayant le même dénominateur

n’est pas explicitée dans l’ouvrage utilisé par Penda. En regard de cette proposition d’entrée dans

l’addition et la soustraction des fractions, sans autre précision, une liberté semble laissée à tout

enseignant, donc aux stagiaires de faire travailler les élèves ou pas, par exemple, sur l’addition et

la soustraction des fractions ayant le même dénominateur.

Contenu du déroulement de la leçon

Le contenu du déroulement de la leçon est constitué de trois étapes (annexe 1; Contenu de la

planification) qui sont : l’introduction; le développement de la leçon; la synthèse et l’évaluation. Une

séance de calcul mental, une révision [contrôle de prérequis] et une communication d’un récit pour

motiver les élèves composent la première étape qui est l’introduction. Pour le calcul mental, Penda

inscrit les trois problèmes suivants :

Problème 1 : Dans un jardin, il y a 64 pieds d’arbres et 44 pieds de goyaviers. Combien

d’arbres y a-t-il en tout?

Problème 2 : Dans une classe de 96 élèves, 56 élèves ont eu la moyenne. Combien

d’élèves n’ont-ils pas eu la moyenne?

Problème 3 : Papa a payé 150 boîtes de lait. Il a donné 50 boîtes de lait à son frère. Il lui

reste combien de boîtes?

Ces problèmes se ramènent effectivement, comme Penda le dit dans le point d’apprentissage

(annexe 1; Contenu de la planification), à l’addition et à la soustraction des entiers naturels. De tels

calculs interviennent lors de l’addition ou la soustraction des fractions. Le premier problème touche

86

l’addition dans le sens d’une réunion d’ensembles alors que le deuxième touche la soustraction

dans le sens du complément d’un ensemble. Le troisième fait intervenir la soustraction dans le

sens du retrait. Le calcul demandé exige des élèves d’additionner ou de soustraire uniquement les

dizaines entre elles pour les deux premières opérations et de retirer 50 pour la dernière. Le

nombre 150 est le plus grand des entiers naturels qui apparaissent dans les calculs. Un travail

individuel des élèves semble sollicité sous la forme d’une approche par les contenus. Nous

pouvons conjecturer une phase d’action d’une situation de Brousseau (1986a), car l’élève utilisera

certaines procédures émergeant de prises de décisions afin de trouver une réponse à chaque

problème. Le calcul mental vise, entre autres, le développement de techniques opératoires et

d’automatisme des élèves dans les opérations de calcul. Penda ne prévoit pas de procédure de

calcul qui pourrait être institutionnalisée à la suite de la correction de chaque problème.

En guise de révision sur les fractions, Penda prévoit l’exercice ci-dessous :

Exercice : Réduis les fractions au même dénominateur : 4

1 et

5

2;

7

3 et

2

1.

Cette révision porte sur la réduction des fractions au même dénominateur qui est une notion dont

la compréhension aide l’élève dans l’addition et la soustraction des fractions ayant des

dénominateurs différents. Penda, en proposant des tâches de contrôle de prérequis, respecte le

canevas sur la planification d’une leçon de mathématiques à l’école primaire. La réalisation de ces

tâches constitue une occasion pour rappeler les procédures institutionnalisées dans un cours

antérieur sur la réduction des fractions au même dénominateur. Un travail individuel est proposé

sous la forme d’une approche par les objectifs pour la réalisation de ces exercices de contrôle de

prérequis. Penda achève cette première étape du déroulement de la leçon en se proposant de

communiquer l’objectif de cours. Cette communication va constituer sa motivation à l’introduction

de la leçon.

Dans la deuxième étape du déroulement de la leçon, deux activités mathématiques sont prévues;

l’une sur l’addition des fractions et l’autre sur la soustraction des fractions. Penda prévoit dans la

première activité mathématique de présenter les opérations suivantes : 5

2+

7

4 et

2

1+

5

3+

3

2. Ces

deux opérations semblent avoir des exigences distinctes. La première nécessite de multiplier entre

87

eux les dénominateurs, ce qui revient à trouver un commun multiple. Dans le cas où les élèves ne

prendraient pas conscience de la présence du commun multiple, ils se verraient en difficulté pour

trouver le dénominateur de la deuxième opération. Quant à la deuxième activité, Penda va donner

les calculs suivants : 6

5-

4

3 et

9

5-

5

2. Les fractions présentes dans les exercices du contrôle de

prérequis et dans les opérations d’addition et de soustraction ont des numérateurs et des

dénominateurs qui sont constitués d’entiers naturels inférieurs à 10. Le produit de deux

quelconques de ces entiers naturels donne au moins une dizaine, mais il est inférieur à 50. Les

élèves auront donc à additionner ou à soustraire des entiers naturels inférieurs à 50 lors de la

réalisation de ces tâches.

La consigne prévue par Penda pour la réalisation de chacune de ces deux activités est : « En

groupe, recopiez les opérations que vous avez devant vous. Échangez entre vous, faites l’addition

(la soustraction) et dites comment vous avez fait pour trouver la réponse » (annexe 1; Contenu de

la planification). Cette consigne de travail semble convenir au développement d’un travail interactif

dans la classe. En effet, elle intègre une action individuelle, une recherche en sous-groupes et une

synthèse dans le groupe-classe. Il s’agit d’une approche de la pédagogie de grands groupes. Une

telle organisation qui prévoit des travaux coopératifs pourrait permettre d’observer les phases

d’action, de formulation, de validation et d’institutionnalisation selon Brousseau (1986a) lors de la

réalisation des tâches sur l’addition et la soustraction des fractions. À l’issue de la réalisation de

chaque tâche, Penda se propose d’institutionnaliser les points d’apprentissage suivants :

Pour additionner des fractions, on les réduit au même dénominateur, on additionne les

numérateurs et on garde le dénominateur commun.

Pour soustraire des fractions, on les réduit au même dénominateur, on soustrait le plus

petit numérateur du plus grand numérateur et on conserve le dénominateur.

La troisième et dernière étape du déroulement de la leçon est constituée de la synthèse et de

l’évaluation. Pour la synthèse, Penda envisage de demander aux élèves de relater ce qu’ils ont

retenu sur l’addition et la soustraction des fractions. Ce travail collectif correspond à un rappel des

procédures de calcul formulées. Pour l’évaluation, Penda propose les deux opérations ci-après : 4

5

88

+7

4 et

9

7-

7

4. Les nombres présents au numérateur et au dénominateur des fractions sont inférieurs

à 10.

Penda semble concevoir les mathématiques comme une application des procédures de calcul. En

effet, l’absence de problème mathématique sur les fractions et la présence de plusieurs opérations

exprime une recherche d’application des procédures de calcul sur l’addition et la soustraction des

fractions lors de la réalisation de la leçon.

En conclusion

Penda prévoit des opérations de calcul tirées du manuel scolaire (MEBA/DGRIEF, 2010; p. 119)

pour l’apprentissage de l’addition et de la soustraction des fractions ayant des dénominateurs

différents. Elle ne planifie pas de tâche mathématique comportant une résolution de problème. Elle

aborde l’addition et la soustraction des fractions ayant des dénominateurs différents sans évoquer

l’addition et la soustraction des fractions ayant le même dénominateur. Elle respecte ainsi l’ordre

de présentation des leçons du manuel de la classe. Les consignes de travail planifiées montrent

les types d’organisation du travail dans la classe : travail individuel, travail en sous-groupes et

travail collectif. Le développement d’une approche de la pédagogie des grands groupes avec les

différentes phases d'une situation de Brousseau (1986a) pourrait surgir du projet

d’enseignement/apprentissage de l’addition et de la soustraction des fractions.

3.1.2 Description et analyse de la réalisation de la leçon

Pour tous les stagiaires du primaire et du post-primaire rencontrés, nous analysons leur réalisation

de cours en lien avec les incidents didactiques décrits par Roditi (2003, 2005) et les formes

d’adaptations selon DeBlois et Maheux (2005) survenues à la suite de certains incidents

didactiques. Penda réalise le cours en suivant les étapes du déroulement de la leçon prévues dans

sa planification. Nous nous intéressons à huit incidents didactiques qui ont surgi des interactions

dans sa classe. Ces incidents sont intervenus lors de la réalisation du calcul mental et lors de

l’apprentissage des notions sur la fraction faisant l’objet de la leçon.

89

Premier incident didactique : désaccord entre les élèves

Les trois problèmes du calcul mental sont présentés sous le procédé La Martinière35. En rappel, le

premier problème consiste à trouver le nombre total d’arbres lorsqu’on a 64 pieds d’arbres et 44

pieds de goyaviers. Un désaccord survient entre les élèves dans l’écriture du résultat de ce

problème au tableau.

El36 : 108. [Penda jette un coup d’œil dans sa préparation.] Penda : 108! C’est 108! Els : Oui [pour certains élèves]. Penda : 108! Els : Non [cette fois pour d’autres élèves]. El : pieds d’arbres. Penda : Ema vient écrire ça au tableau. 64+44. [Ema écrit 108 au tableau]. (Annexe 1; Réalisation : L17-L23).

Les élèves en disant « oui » apprécient le résultat du calcul mental. L’insistance de Penda sur

« 108 » amène un élève à ajouter « pieds d’arbres ». Cet élève voit qu’il faut apporter une

précision qui est l’objet du calcul. Sans savoir pourquoi d’autres élèves ne sont pas d’accord avec

le résultat « 108 », la réponse du deuxième élève fait apparaître une exigence entretenue par les

enseignants à propos de l’identification de la quantité en jeu dans les réponses en mathématiques.

Toutefois, Penda fait écrire le nombre 108 au tableau. Les réponses des deuxième et troisième

problèmes suivants sont notées au tableau avec les nombres obtenus seulement.

L’institutionnalisation en jeu porte sur le résultat obtenu sans formulation d’une procédure de

calcul. L’absence d’une formulation d’une procédure pour les trois opérations pourrait traduire que

le résultat présenté permet désormais à l’élève d’effectuer mentalement de telles opérations. Nous

interprétons cet incident comme manifestant une conception de transparence des mathématiques.

35 En rappel, pour la pratique du procédé La Martinière (PLM), l’enseignant pose le problème une fois lentement et distinctement. Il donne un temps de réflexion suffisant aux élèves. Il veille en ce moment à ce que personne n’écrive, pour cela, il fait lever les crayons, les coudes sur la table. Un premier coup de règle donne le signal pour écrire. Au deuxième coup de règle, qu’ils aient fini ou non, tous les élèves posent la craie ou le crayon sur la table. Il s’en suit la correction au tableau et l’explication de la règle concernée avec la participation des élèves. Un troisième coup de règle invite les élèves qui ont trouvé la réponse à lever les ardoises, le résultat tourné vers le maître qui contrôle en appréciant les réponses justes par "bien". Les élèves qui n’ont pas trouvé corrigent sur les ardoises. Cette correction est vérifiée par le maître. En dernier et quatrième coup de règle, les élèves effacent et la séance se poursuit selon le même processus. 36 El désigne un élève et Els désigne des élèves.

90

Deuxième incident didactique : éviter des erreurs

Penda donne l’activité qui consiste à calculer 5

2+

7

4 et

2

1+

5

3+

3

2 aux élèves. Juste avant la

correction de ces opérations au tableau, elle pose des questions qui rassurent les élèves qui ont

emprunté le cheminement qu’elle souhaite voir. Elle n’offre pas l’occasion aux autres élèves de

proposer les résultats de leurs travaux. Elle conduit ses élèves en fonction de ce qu’elle a prévu

dans sa planification.

Penda :… c’est bon, on va passer à la correction. Regardez les additions au tableau, on vous demande de les additionner. Est-ce qu’ils ont les mêmes dénominateurs? Els: Non. Penda : Les fractions n’ont pas les mêmes dénominateurs et on demande de les additionner. Des fractions qui n’ont pas les mêmes dénominateurs, on demande de faire les additions, comment on peut faire? Hein! [Des élèves lèvent le doigt]. On doit faire quoi d’abord? Qu’est-ce qu’on doit faire d’abord? Oui! El : On doit les réduire au même dénominateur. (Annexe 1; Réalisation : L107-L114).

Cette intervention semble vouloir éviter la production d’erreurs par les élèves. Penda anticipe sur la

gestion des erreurs en adoptant un style explicatif dans son discours. En effet, l’annonce que « les

fractions n’ont pas les mêmes dénominateurs et on demande de les additionner » avant la

question « comment on peut faire » donne un indice de la démarche à initier, une manifestation de

l’effet Topaze. La réussite des élèves dans leurs réponses, qui parait être un signe de leur

compréhension, semble être un élément générateur de cet effet Topaze.

Troisième incident didactique : gestion des erreurs

Le calcul de 5

2+

7

4 a été une source d’erreurs.

El : 5

2+

7

4=

75

72

=

35

14[oralement dit : 2 fois 7 14; 5 fois 7 35. Penda apprécie par

des oui les calculs faits par l’élève. L’élève va à la ligne et pose le calcul ci-dessous.]

El : 7

4=

57

24

=

35

8. [L’élève parle en faisant ses calculs. Ensuite l’élève pose le

calcul ci-dessous.]

35

14+

35

8=

75

22[14+8=22; 35+35=75]

Penda : Non. Est-ce qu’on additionne les dénominateurs?

91

Els : Non! (Annexe 1; Réalisation : L125-L130).

L’élève produit une première erreur en multipliant les numérateurs des fractions entre eux et les

dénominateurs entre eux. L’écriture «57

24

» est erronée, car pour réduire

5

2 et

7

4 au même

dénominateur «35», la bonne écriture est : «57

54

». La deuxième erreur commise est due à

l’addition des dénominateurs entre eux, dont la somme est d’ailleurs erronée. Le fait d’additionner

ensuite les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux [14+8 et 35+35] est une erreur

conceptuelle. L’élève interprète les termes d’une fraction comme des entiers naturels séparés par

un trait. Il effectue l’addition comme dans l’ensemble des entiers naturels. Nous observons enfin

que l’égalité dans la proposition «5

2+

7

4=

75

72

» est erronée. Cette erreur de notation semble

intégrée dans les travaux des élèves.

Après avoir remercié l’élève qui a effectué le calcul 5

2+

7

4 au tableau, Penda énonce une

procédure de calcul.

Penda : […] quand vous finissez de réduire au même dénominateur, vous additionnez les numérateurs entre les numérateurs et vous laissez le dénominateur commun qui est 35. C’est comme ça. Tu cherches le dénominateur commun des fractions. Quand tu trouves le dénominateur commun, tu additionnes les numérateurs entre les numérateurs et tu laisses le dénominateur. On ne touche pas au dénominateur. On ne touche pas au dénominateur. On laisse le dénominateur commun, c’est les numérateurs seulement on additionne. C’est compris? Els : Oui. (Annexe 1; Réalisation : L134-L140).

Penda, en formulant la procédure de l’addition des fractions, manifeste une adaptation par rapport

à la planification prévue. En effet, Penda écrit dans sa planification : « Échangez entre vous, faites

l’addition et dites comment vous avez fait pour trouver la réponse ». Les erreurs commises

semblent à l’origine de son changement. La formulation des procédures de calcul revenait aux

élèves en regard du contenu de la planification. Cet écart entre la planification et la réalisation

manifeste d’une adaptation normative. Planifiée pour une pratique active, la séance de leçon est

conduite selon un style explicatif. Le mode apport qui apparaît dans l’institutionnalisation du savoir

scolaire semble l’expression d’une conception transmissive de l’enseignement de Penda.

92

Quatrième incident didactique : gestion d’une erreur

Une erreur est faite dans le calcul de 2

1+

5

3+

3

2. Si les réductions des fractions

2

1 et

5

3 au même

dénominateur « 30 » ne causent pas de problème à Sabine qui est envoyée au tableau, elle fait

une erreur sur la réduction de 3

2 au dénominateur « 30 ». Éloi perçoit l’erreur, mais sa proposition

de correction a été modifiée par Penda. En effet, au lieu de 522 , c’est plutôt 352 que

Penda propose.

Sabine : Je vais faire 522 ; puis 532 . [Mais elle écrit : 523

322

. Éloi

intervient immédiatement]. Éloi : C’est 5; en haut c’est 5. Penda : C’est bien. En haut tu as dit 322 , tu as écrit 2, c’est 5; en haut. [Sabine efface le 2 au milieu et écrit 5]. Éloi : Ce n’est pas là-bas, c’est le 3. Penda : C’est bon, écrit 5 là-bas. [Elle n’a pas tenu compte de la proposition de Éloi.

Sabine obtient donc la fraction suivante : 325

352

=

30

30. Penda se rend compte de

l’erreur et apporte une correction]. Penda : Non! 2 fois 5 fois? Non! 2 fois 5 fois 2; 2 fois 5 fois 2. [Éloi va montrer là où Sabine doit apporter la correction]. Penda : Bien, on calcule maintenant. (Annexe 1; Réalisation : L159-L170).

Les interventions de Penda dans cet extrait semblent révéler une conséquence de sa pratique

transmissive des connaissances, car elle ne tient pas compte de la proposition d’Éloi. Mais elle y

revient par la suite. La proposition d’Éloi servira à corriger l’erreur commise, car « 2 fois 5 fois 2 »

est le terme du numérateur dans la bonne réponse attendue :325

252

=

30

20.

Cinquième incident didactique : opération non réussie

Le calcul de 2

1+

5

3+

3

2 n’est pas réussi par les élèves. Les élèves affirment dans l’extrait ci-dessous

que « c’est pierre » le calcul, c’est-à-dire que c’est difficile.

Penda : […]. Qui a trouvé? Qui a trouvé? Eh, donc personne n’a trouvé! [À 31 mn 54 s] Els : Non!

93

Penda : Euh, donc personne n’a trouvé? El : C’est pierre [pour dire que c’est dur]. Penda : C’est pierre, ah bah! El : C’est une pierre. Penda : OK, il n’y a pas de problème. Donc, ceux qui n’ont pas trouvé, vous prenez la correction. Prenez la correction. Donc, maintenant si on vous donne un exercice maintenant sur l’addition des fractions vous pouvez trouver non? On vous a dit qu’on les réduit au même dénominateur, c’est ça non? (Annexe 1; Réalisation : L203-L213).

La réduction de trois fractions au même dénominateur laisse Penda étonnée de cette non-réussite

des élèves. Cette opération est d’ailleurs prise dans le manuel de l’élève (p.119), ce qui pourrait

expliquer que Penda n’anticipe pas que les deux opérations ont des niveaux de difficulté différents.

Le nombre de fractions dans une addition n’en modifierait pas les exigences. Cet étonnement

pourrait manifester de sa conception de transparence à l’égard des mathématiques.

Sixième incident didactique : désaccord entre des élèves et Penda

À la suite de l’incident précédent, les élèves reviennent sur l’erreur «7

4=

57

24

» non décelée par

Penda (cf. deuxième incident didactique). En effet, un élève utilise le corrigé de l’activité dans les

cahiers pour revenir à l’erreur. Cette erreur provoque un désaccord entre certains élèves et Penda.

Le désaccord est mis en évidence dans l’extrait ci-dessous.

[Un élève se déplace au tableau pour montrer une erreur commise. Il s’en est suivi un échange entre l’élève et Penda]. Penda : 4 fois 5, ça fait combien? Non, c’est 4 fois 2. [L’élève insiste et montre la source de l’erreur. Penda l’écoute.]

El : 7

4=

57

54

=

35

20

Penda : Ah là, c’est vrai hein! [Certains élèves manifestent leur satisfaction]. Ici, c’est 5, c’est pas 2. C’est vrai hein, c’est 20 sur? Très bien, c’est 20 sur 35. Qui a corrigé çà? C’est 20 sur 35, corrigez. Moi-même, je n’ai pas fait attention. C’est 4 5. C’est 20 sur 35. 4 5; 7 5. [Un autre élève va porter toutes les corrections qui s’imposent dans les étapes du calcul]. (Annexe 1; Réalisation : L234-L242).

Suite à ce désaccord, Penda a failli perdre le contrôle de la classe, car durant quatre minutes, elle

a été sollicitée par d’autres élèves sur d’autres calculs qu’ils jugent incorrects ou qu’ils ne

comprennent pas. Interprétées comme une rupture de contrat didactique, les questions des élèves

manifestent d’une modification dans leurs connaissances, ce qui les insécurise. Simultanément,

94

cela offre une opportunité d’apprentissage puisqu’ils prennent conscience que leurs connaissances

sont insuffisantes.

Penda : [un élève manifeste pour dire qu’il y a une autre erreur au tableau]. Où ça? Il faut aller montrer on va voir. [il montre 2 dans le calcul 332 ]. Non, ce n’est pas 3, c’est 2. C’est 2. [L’élève retourne à sa place, mais il ne semble pas convaincu]. C’est fini? Els : Non! [Tibi se déplace au tableau pour montrer quelque chose]. Penda : C’est 3, elle a écrit. [Un autre élève intervient]. El : 3 et puis 2.

Penda : [Penda réécrit correctement 325

332

.] Vous voyez maintenant? C’est fini

non? Els : Oui. [Tibi échange avec la stagiaire. Son attitude traduit un désaccord sur quelque chose au tableau]. Penda : Elle a renversé seulement les chiffres, sinon c’est comme ça. [Un instant après, elle va au tableau pour mieux se faire comprendre]. C’est la même chose; ça

donne les mêmes résultats. [Elle écrit 323 et 325

323

]. Ça ne donne pas les

mêmes résultats? (Annexe 1; Réalisation : L249-L262).

À travers les échanges entre les acteurs dans la classe, une forme de contrat didactique est

apparue au cours du déroulement du calcul de 2

1+

5

3+

3

2. En effet, la disposition des nombres au

numérateur et au dénominateur en tenant compte de la disposition des fractions dans la donnée

de l’exercice lors de la réduction des fractions au même dénominateur (2

1=

352

351

;

5

3=

325

323

;

3

2=

523

522

) semble manifester un contrat didactique dont la rupture serait à l’origine

du désaccord entre des élèves et Penda. Cette rupture marque l’apprentissage qui pourrait se

produire concernant la propriété de la commutativité de la multiplication [ 332 = 323 ].

Septième incident didactique : gestion des erreurs

Les productions de certains élèves révèlent des erreurs qui montrent qu’ils essaient de se ramener

aux calculs connus sur les entiers naturels (exemple : 5

2+

7

4=

12

6). Ces élèves conçoivent les

fractions comme des entiers naturels séparés par un trait. De telles erreurs semblent

95

conceptuelles. Penda semble s’appuyer sur la répétition des procédures pour faire apprendre

l’élève et elle présente des exemples de calcul qui fonctionnent. En effet, elle a eu à répéter au

moins cinq fois la procédure d’addition et de soustraction des fractions. Elle a fait répéter neuf fois

les mêmes procédures par les élèves. Elle semble rechercher la mémorisation des procédures

mathématiques par ses élèves, une conception à l’égard de l’enseignement des mathématiques.

Penda : […]. Donc vous voyez que même si les fractions n’ont pas les mêmes dénominateurs, on peut les réduire au même dénominateur et les additionner ou les soustraire. Els : Oui. Penda : […]. C’est la même chose, pour soustraire des fractions aussi, on les réduit au même dénominateur; si elles ne sont pas au même dénominateur, on les réduit au même dénominateur, on garde le dénominateur commun, on additionne les numérateurs et les numérateurs. Mais, maintenant, est-ce que les numérateurs, on doit les additionner ou les soustraire au hasard? El : Non! (Annexe 1; Réalisation : L291-L302).

L’expression « on peut les réduire » plutôt qu'« on doit les réduire » risque de conduire les élèves à

faire des erreurs lorsqu’ils veulent additionner ou soustraire des fractions ayant des dénominateurs

différents, car ce n’est pas une possibilité mais c’est une condition nécessaire pour le calcul.

Huitième incident didactique : gestion des erreurs

Lors de l’évaluation, Penda s’intéresse aux nombres de réussites ou de non-réussites afin de juger

de l’atteinte de ses objectifs de cours. L’extrait ci-dessous illustre le désir de Penda de connaître le

nombre d’élèves qui ont réussi les calculs 4

5+

7

4 et

9

7-

7

4.

Penda : C’est sûr que tout le monde a trouvé ça? Els : Oui. Penda : Qui n’a pas trouvé? Qui a trouvé 1? 4 personnes. Qui n’a rien trouvé? Qui n’a rien trouvé? Qui n’a rien trouvé? [Des élèves disent Rokia]. Tu lèves le doigt, on va voir. Qui n’a rien trouvé? Onhon; OK! Vous prenez, ceux qui n’ont rien trouvé, vous prenez la correction. Désormais, je sais qu’il n’y aura plus de problème pour additionner des fractions. Els : Oui. (Annexe 1; Réalisation : L364-L370).

Penda s’intéresse au nombre de réussites et d’échecs de ses élèves manifestant ainsi une

conception de l’apprentissage selon laquelle la réussite représente une compréhension. Rokia a

96

fait des erreurs qui amènent une intervention sous la forme de reproduction du corrigé. Cette

adaptation normative vise à permettre à Rokia de s’approprier le contenu en jeu.

En conclusion

Nous dénombrons huit incidents didactiques dont les erreurs constituent la base. Le premier

incident didactique a été une source de désaccord entre les élèves; tandis que le sixième

engendre un désaccord entre les élèves et Penda. Penda utilise un style explicatif avec production

d’un effet Topaze lors du deuxième incident didactique. D’autres modes de gestion des erreurs tels

que l’annonce ou la répétition d’une procédure de calcul par Penda sont observés, par exemple,

lors des troisième et septième incidents didactiques. Les troisième et huitième incidents

didactiques sont à l’origine d’adaptations normatives.

Penda semble aussi assimiler la réussite des élèves à leur compréhension, une conception de

l’apprentissage. Le temps d’enseignement semble dominer le temps d’apprentissage lors des

réalisations des tâches mathématiques, notamment en raison du mode apport privilégié dans

l’institutionnalisation des procédures de calcul. La réussite des élèves, paraissant un indice de leur

apprentissage en mathématiques, semble générer le style explicatif de Penda.

Une conception selon laquelle les mathématiques sont transparentes semble émerger de la

réalisation du cours de Penda. En effet, les exemples de calcul présentés à l’élève et

l’institutionnalisation des bonnes réponses semblent être considérés par Penda comme suffisants

pour une compréhension de l’élève. L’analyse de l’entrevue permettra, entre autres, de confirmer

ou d’infirmer les conceptions des mathématiques, de l’apprentissage et de l’enseignement qui

émergent de sa réalisation du cours.

3.1.3 Description et analyse de l’entrevue

L’entrevue semi-dirigée vise à obtenir une auto-évaluation de Penda de sa séance de cours afin

d’infirmer ou de confirmer ses conceptions des mathématiques, de l’apprentissage et de

l’enseignement. Elle lui permet également d’évoquer ses compétences et les difficultés d’ordre

pédagogique ou didactique qu’elle a eues lors de la planification et de la réalisation de la leçon afin

de comprendre ses choix.

97

Conception de l’enseignement

Penda a utilisé une nouvelle approche d’enseignement/apprentissage pour son cours. Cette

nouvelle approche qu’elle utilise pour la première fois pour planifier une leçon est l’approche

Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve37 (ASEI-PDSI). Or, elle a reçu

une formation sur une ancienne méthode. Sa description de cette méthode semble illustrer les

caractéristiques de la pédagogie par les objectifs (PPO) qui est une approche utilisée au Burkina

Faso depuis des décennies (cf. 1.1.3.2 du chapitre 1).

CH38 : … avez-vous eu des difficultés pour préparer la leçon, à savoir des difficultés d’ordre pédagogique ou bien d’ordre didactique pour la préparation de la fiche pédagogique? Penda : Bon! Comme c’est une nouvelle approche, l’année passée, la formation, c’est l’ancienne méthodologie, on a suivi. […]

Penda : L’ancienne méthodologie, puisque il y a une petite différence, voilà! Puisque là-bas, quand tu finis révision, motivation, tu pars à la phase concrète, phase semi-concrète, phase abstraite. Donc, les procédures, ce n’est pas pareil. Et puis, la nouvelle approche là, ça prend un peu de temps. La préparation aussi, vous voyez que les fiches là, j’ai combiné ça beaucoup. Voilà, et puis c’est quelque chose, on n’a jamais fait. Ça même, c’est une première fois. Même la pratique que j’ai faite dans les autres classes, je n’ai pas fait ça. (Annexe 1; Entrevue : L13-L24).

CH : Cette approche, comment ça s’appelle? Penda : ASEI-PDSI. C’est ça, j’ai essayé, de pratiquer. (Annexe 1; Entrevue : L31-L32).

Penda affirme n’avoir pas eu de problème lors de la réalisation de la leçon, car elle a suivi la

méthodologie de l’approche.

Penda : Comme c’est la méthodologie je suivais, là ça ne me pose pas trop de problèmes, mais, le problème présentement en tout cas que j’ai à mon niveau c’est pour, puisque on nous demande de faire ça par cœur de fois; voilà! […]. (Annexe 1; Entrevue : L50-L52).

37 Source : contenu de cours de formation; année scolaire 2011-2012. Les éléments caractéristiques de cette approche sont, entre autres, la participation de l’élève dans l’apprentissage, la recherche du sens des savoirs par l’élève, une collaboration avec d’autres élèves, une originalité des procédures pour réaliser des apprentissages, la reconnaissance des différents styles d’apprentissage par l’enseignant, l’aide apportée par l’enseignant aux élèves, la motivation intrinsèque des élèves et la prise de décision par consensus par les élèves d’un même groupe de travail. 38 CH désigne le chercheur.

98

En effet, elle semble avoir suivi les différentes étapes du déroulement de la leçon planifiée.

Toutefois, la conduite du cours selon une perspective de type socioconstructiviste, comme

présentée dans l’approche Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI-

PDSI), ne semble pas apparaître lors de la réalisation. En effet, nous n’avons pas perçu une

exploitation des résultats obtenus dans les sous-groupes lors des interactions dans la classe.

Penda ne semble d’ailleurs pas favorable aux travaux en sous-groupes, car elle pense que cette

forme d’organisation du travail consomme du temps.

Penda : Mais, il y a d’autres qui faisaient en groupes, il y a d’autres qui s’aidaient. Puisque de fois ça prend du temps. Si tu dois demander aux élèves de faire un travail en groupe, bon, de fois, ils ont tendance à faire ça individuellement avant de voir les résultats pour travailler en groupes. CH : Mais, l’organisation pratique du travail de groupes, comment ça se passe? Puisque vous dites qu’effectivement, ils font un travail de groupes. Comment se fait le travail de groupes en général? Penda : Bon, comme nous, on ne rentre pas au CM2 là oh, vraiment. CH : Non, même dans les petites classes, le travail de groupes; c’est, c’est en général quoi. Penda : Puisque dans les petites classes là même, ils n’appliquent pas ça. (Annexe 1; Entrevue : L262-L269).

La gestion du temps didactique semble une préoccupation de Penda. La recherche d’un gain en

temps semble obéir à un objectif : achever le contenu de leçon planifié dans le temps requis. Cet

objectif semble une manifestation d’une conception de l’enseignement : le contenu planifié est à

exécuter intégralement pendant la séance de cours.

La pratique de l’approche Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI-

PDSI) dans les classes de cette école pilote ne semble pas rentrer dans le quotidien de tous les

enseignants titulaires de classe. Penda l’exprime dans l’extrait ci-dessous.

Penda : Eux aussi, ils ont été formés théoriquement. Il y a d’autres qui disent qu’ils n’ont jamais vu l’application selon l’approche, donc eux aussi, ils ne peuvent pas pratiquer. Puisque, ils ont déjà la main dans l’ancienne méthodologie. Ils sont habitués à ça, il y a d’autres qui préfèrent toujours opter au lieu de pratiquer l’ASEI. Je pense que c’est à cause de tout ça même, jusqu’à présent les gens n’appliquent pas ça comme ça hein! Par contre, il y a d’autres depuis le début de l’année, ils ont commencé ça. (Annexe 1; Entrevue : L281-L286).

Penda semble avoir suivi des pratiques d’enseignants de deux approches d’enseignement dans

son école d’application : une approche du type transmissif et une approche de type

99

socioconstructiviste. L’approche du type transmissif semble donc guider les choix des tâches

mathématiques de Penda. Elle donne ainsi des exercices, afin de montrer les procédures

d’addition et de soustraction des fractions.

Penda : […]. Donc, il faut partir comme vous voyez, j’ai mis l’exercice au tableau. Je suis allée à base d’un exercice pour pouvoir montrer les relations qui lient les fractions pour que les enfants puissent connaître qu’il faut réduire d’abord avant de soustraire ou d’additionner. (Annexe 1; Entrevue : L40-L44).

En utilisant l’action individuelle des élèves et en utilisant des exercices afin d’institutionnaliser des

procédures de calcul, elle semble concevoir l’enseignement comme étant une transmission des

connaissances. Elle confirme ce que nous avons observé lors de l’analyse des interactions en

classe : le style explicatif de son enseignement et la formulation des procédures par elle-même. Sa

conception transmissive de l’enseignement semble contribuer à l’émergence des adaptations

normatives qu’elle manifeste lors de certains incidents didactiques.

Une autre conception de l’enseignement émerge de l’entrevue.

CH : Finalement, qu’est-ce que vous avez suggéré pour les différentes erreurs que vous avez constatées? Qu’est-ce que vous avez suggéré aux élèves pour qu’ils surmontent effectivement leurs erreurs? Penda : C’est ça je disais, j’ai dit que pour additionner ou soustraire les fractions, il faut toujours d’abord les mettre au même dénominateur, tu additionnes ou tu soustrais les numérateurs entre eux et tu gardes le dénominateur commun; les dénominateurs, on ne les additionne pas, on ne les soustrait pas. (Annexe 1; Entrevue : L117-L123). […]

Penda : […]. S’ils [les élèves] arrivent à répéter en tout cas au moment du résumé, tu sais vraiment qu’ils ont compris. (Annexe 1; Entrevue : L131).

Penda reconnaît avoir constaté certaines erreurs commises par les élèves lors de leurs travaux. La

répétition des procédures semble son mode de gestion de ces erreurs; une répétition qui pourrait

générer leur mémorisation. Penda confirme ainsi sa volonté de voir les élèves mémoriser les

procédures lors de son enseignement.

Conception de l’apprentissage

Penda se dit satisfaite de sa prestation du jour, car les objectifs de cours sont atteints en regard

des réussites des élèves à l’évaluation terminale.

100

Penda : Bon, je pense qu’il y a beaucoup qui ont compris hein. Quand on a fait l’exercice d’évaluation, je pense qu’il y a beaucoup qui ont trouvé. Quand j’ai demandé, quels sont ceux qui ont trouvé? Je circulais, je voyais comment ils traitaient ça. Il y a 4 qui ont faussé. C’est ce que j’ai constaté. Donc je pense que sur 53 personnes, je pense que l’objectif est un peu atteint. (Annexe 1; Entrevue : L241-L244).

Si 4 élèves sur 53 n’ont pas réussi la tâche d’évaluation, l’on peut être d’avis avec Penda sur

l’appréciation qu’elle a faite. Toutefois, son appréciation est basée uniquement sur le nombre de

réussites et d’échecs. Cette conception de l’apprentissage semble une conséquence d’une

pratique d’enseignement de type explicatif. Elle confirme ainsi sa conception de l’apprentissage

selon laquelle, la réussite est assimilée à la compréhension.

Conceptions des mathématiques

Nous avons cherché à comprendre le choix de Penda d’aborder directement un apprentissage sur

l’addition des fractions ayant des dénominateurs différents.

CH : Pourquoi vous êtes parti directement à l’addition des fractions ayant des dénominateurs différents, au lieu de passer d’abord par des fractions ayant le même dénominateur avant de venir avec des dénominateurs différents? Penda : Comme c’est au CM2, ils ont déjà vu les réductions, voilà. Ils ont vu les comparaisons, même numérateur, même dénominateur; ils ont vu tout ça. Donc je pense que, si c’était comme s’ils n’avaient pas vu ça, peut-être qu’on ne pouvait pas aller, mais ils ont déjà tout. […]. CH : Ils ont une notion sur l’addition des fractions? Penda : Non, non! (Annexe 1; Entrevue : L170-L180).

La réduction des fractions au même dénominateur est, entre autres, utilisée pour la comparaison

des fractions et pour l’addition des fractions ayant des dénominateurs différents. Donc, le fait que

les élèves aient vu la réduction des fractions au même dénominateur n’implique pas qu’ils savent

mobiliser cette connaissance pour l’addition et la soustraction des fractions. Penda semble

confirmer une conception des mathématiques déjà observées par Roy et Mura (1999), les

mathématiques sont transparentes.

En conclusion

Trois conceptions de l’enseignement émergent de l’entrevue semi-dirigée. Premièrement, en

affirmant qu’elle veut passer par les exercices pour faire apprendre les procédures sur l’addition et

101

sur la soustraction des fractions, Penda semble concevoir l’enseignement comme une

transmission des connaissances. Cette conception semble produire l’adaptation normative lors du

troisième incident didactique. Deuxièmement, un achèvement du contenu de cours planifié semble

avoir une influence sur son organisation du travail des élèves. Troisièmement, Penda semble

rechercher une mémorisation des procédures de calcul par ses élèves.

Une conception de l’apprentissage émerge et se confirme durant l’entrevue. En ne recherchant

que les réussites dans les travaux des élèves, Penda semble penser que la réussite est synonyme

de compréhension. Elle ne semble pas percevoir les exigences liées à l’activité de réduire au

même dénominateur pour l’élève. Elle semble avoir une conception selon laquelle les

mathématiques sont transparentes, notamment lorsqu’elle considère que les élèves ont une

connaissance de la réduction des fractions au même dénominateur, car la leçon est

antérieurement faite en classe. Ces conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des

mathématiques, relevées lors de l’entrevue, semblent traduire que Penda place le contenu « à »

enseigner au centre de sa pratique.

3.1.4 Synthèse

Notre analyse de la planification, de la réalisation et de l’entrevue fait voir les composantes d’une

formation initiale (DeBlois, 2012) afin de cerner la logique de la pratique chez Penda.

102

Figure 6: Composantes de la formation initiale en jeu lors de la pratique d'enseignement et d'apprentissage de Penda.

Le projet d’enseignement (planification) de Penda laisse voir l’importance de la réalisation

d’opération de calculs sur les fractions tout en étant préoccupé de l’approche proposée dans sa

formation. Les tâches mathématiques proposées aux élèves sont extraites du livre de

mathématiques du cours moyen des première et deuxième années (MEBA/DGRIEF, 2010; p. 119-

121) sans reformulation. Une tension entre les tâches et l’approche proposée pourrait expliquer les

choix faits lors de la réalisation.

L’étude des incidents didactiques et des formes d’adaptation montre que Penda conçoit

l’apprentissage des mathématiques comme un ensemble d'algorithmes à expliquer. Par exemple,

lors de la première adaptation normative (troisième incident didactique), Penda formule elle-même

la procédure de calcul sur l’addition et la soustraction des fractions. Elle adopte un style explicatif

qui montre le caractère transmissif de son style d’enseignement en classe. Elle semble ainsi

103

activer ses propres connaissances afin que les élèves les réinvestissent dans les tâches

mathématiques.

Or, lors de l’entrevue, Penda expliquera qu’elle s’est basée sur l’approche Activity-Student-

Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI-PDSI) pour planifier la leçon. Un des

principes de cette approche est l’utilisation du travail coopératif en classe. L’influence de la

pédagogie par les objectifs (PPO) paraît donc prendre le dessus sur cette nouvelle approche.

Nous posons l’hypothèse selon laquelle la fiche à remplir pour planifier l’intervention en classe,

fortement semblable à celle de la pédagogie par les objectifs, influence le travail de Penda. En

outre, selon Penda, certains enseignants titulaires pratiquent la pédagogie par les objectifs dans

leur classe. Cette utilisation semble avoir influencé la réalisation du cours de Penda.

Lors de la réalisation en classe, la transmission des connaissances et la recherche de la

mémorisation des savoirs enseignés par les élèves dominent. Par exemple, elle fait répéter les

procédures sur l’addition et la soustraction des fractions par plusieurs élèves. En agissant ainsi,

Penda chercherait à provoquer la réussite de ses élèves. En outre, elle semble concevoir les

mathématiques comme étant un ensemble de techniques, puisqu’elle s’apprend par la répétition;

une conception qui pourrait expliquer ses choix d’interventions. Ensuite, en déclarant à la fin de la

réalisation du cours que les élèves n’auront plus de problème dans les opérations d’addition des

fractions (cf. huitième incident didactique), Penda exprime que le fait de suivre des exemples de

calcul au tableau est un déclencheur de la compréhension de l’élève : une conception de

transparence des mathématiques.

En conclusion, la conduite de classe de Penda pourrait, entre autres, être sous l’influence de la

pédagogie par les objectifs et de sa préoccupation d’achever la leçon dans le temps afin de juger

de l’atteinte de ses objectifs de cours. Sa satisfaction à l’entrevue par rapport à l’atteinte de son

objectif de cours semble la conforter. Elle semble ainsi se placer davantage dans une posture de

l’ancien élève, car elle place les savoirs mathématiques « à » enseigner au centre de sa pratique

de classe. Ses adaptations normatives, son style transmissif des connaissances, sa recherche de

la réussite des élèves, son assimilation de la réussite à la compréhension, sa quête d’une

mémorisation des procédures par les élèves et sa conception de transparence des mathématiques

semblent caractériser la posture de l’ancien élève qu'elle adopte lors de sa pratique de classe.

104

3.2 Leçon sur l’addition et la soustraction des fractions planifiée et vécue par

Piga

Piga planifie, comme Penda, une leçon sur l’addition et la soustraction des fractions. En ce qui

concerne les documents pédagogiques qu’il a utilisés, il liste dans sa planification le livre de l’élève

et le livret guide du maître.



Nous avons choisi d’ajouter l’analyse de l’expérimentation de Piga parce que la manipulation

semble privilégiée. Piga prévoit une heure pour la réalisation de la leçon dans une classe du cours

moyen deuxième année (CM2) [6e année de scolarité]. Il n’apporte pas de précision sur les

effectifs de la classe, des filles et des garçons dans sa planification. Toutefois, nous avons pu

observer à partir de l’enregistrement vidéo les effectifs suivants qui étaient notés au tableau :

Effectif de la classe : 62 ; Filles : 33; Garçons : 29.

Piga justifie la leçon en ces termes : « Les fractions sont étudiées de façon très abstraite dans les

classes, rendant ainsi son enseignement difficile. Or les fractions permettent de comprendre les

notions de part lorsqu’on les aborde sous la forme fractionnaire ». Nous constatons une similitude

dans les justifications données par Piga et par Penda. Les objectifs de la leçon définis par Piga

sont : « À l’issue de la séance, 80 % des élèves doivent être capables d’additionner des fractions,

de soustraire des fractions et de résoudre les opérations qui leur seront proposées ». À travers ce

libellé des objectifs de cours, le comportement attendu de l’élève semble une orientation qui

guidera la pratique de classe de Piga. Pour le déroulement de la séance de cours, il liste dans sa

planification le matériel suivant : ardoises, craies, tableau, feuilles de cahier.


Piga organise la réalisation du cours en quatre étapes : 1) introduction; 2) développement du

contenu; 3) synthèse; 4) évaluation. Dix minutes sont prévues à l’étape de l’introduction. Au cours

de cette introduction, Piga compte mener une activité de calcul mental, un rappel de prérequis et

une communication de la justification de la leçon aux élèves (annexe 2; Contenu de la

planification). Il envisage de donner les deux problèmes ci-dessous pour le calcul mental :

105

Problème 1 : Dans une classe de CM, un maître ramasse 72 cahiers d’exercices et 59 cahiers de devoirs, combien d’élèves n’ont pas fait le devoir.

Problème 2 : Une boîte de lait coûte 400 F; sept boîtes coûteront combien de francs?

Nous remarquons que les deux problèmes sont de natures différentes. Le premier problème, une

réunion d’ensembles, porte sur la soustraction des entiers naturels dont une particularité semble

résider dans le choix des nombres. En effet, le chiffre des unités de 59 exige d’emprunter à la

dizaine supérieure pour arriver à la solution. Quant au deuxième problème, une proportion, il porte

sur le produit d’un multiple de cent et d’un entier naturel. Toutefois, Piga n’explicite pas les

objectifs de ces problèmes et ne prévoit pas de procédures permettant à l’élève de mener

ultérieurement et mentalement des cas similaires de calcul. Cette tâche, qui sera donnée

oralement sous la forme d’une approche par les contenus, se fera individuellement. Nous pourrons

reconnaître une phase d’action d’une situation de Brousseau (1986a), car l’élève utilisera certaines

procédures émergeant de prises de décisions afin de donner une réponse à chaque problème. Les

objectifs du calcul mental sont, entre autres, de développer des techniques opératoires et un

automatisme de l’élève dans les opérations de calcul.

Quant au contrôle de prérequis, Piga compte poser deux questions orales et donner un exercice

écrit dont nous donnons les libellés ci-dessus.

Question 1 : Quand deux fractions d’une même grandeur ont le même numérateur, quelle est la plus petite? La plus grande?

Question 2 : Comment réduit-on deux fractions au même dénominateur?

Exercice : Réduis au même dénominateur : 3

2et

9

7;

9

3et

12

9;

3

5et

12

8.

L’expression « d’une même grandeur » utilisée dans la première question vise à comparer deux

fractions ayant le même dénominateur. La formulation de cette première question pose donc

problème. La deuxième question vise à faire rappeler aux élèves des procédures mathématiques

vues lors d’un cours antérieur. Le dernier exercice vise l’application des procédures évoquées lors

de la réponse à la deuxième question. Ces tâches de contrôle de prérequis se font

individuellement sous la forme d’une approche par les objectifs parce qu'elles visent le rappel de

notions utiles à l’élève pour mieux travailler d'autres tâches mathématiques entrant dans la

compréhension des nouvelles notions qui seront vues dans la leçon.

106

Avant de passer à la deuxième étape, Piga communiquera la justification de la leçon aux élèves.

La deuxième étape, planifiée pour se dérouler en trente-cinq (35) minutes, porte sur trois

consignes qui sont :

Consigne 1 : À l’aide d’une feuille, découpe deux rectangles de dimensions égales et deux autres, de mêmes dimensions, différents des premiers.

Consigne 2 : Prenez un à un les premiers rectangles et pliez en deux (2). Pliez ensuite les deux autres en quatre (4).

Consigne 3 : Prenez les deux carreaux des rectangles du second cas et complétez un rectangle du premier cas; puis du 2e cas. Que constatez-vous? Comment additionner

16

4 et

4

2. Comment soustraire?

Piga compte passer par un pliage de feuilles rectangulaires suivi d’un découpage des plis de ces

feuilles pour obtenir des régions (carreaux). Il va ensuite rassembler les carreaux pour faire

comprendre la notion d’addition des fractions ayant des dénominateurs différents. Il opte ainsi pour

un fractionnement de figures géométriques afin d’amener les élèves à trouver de manière

procédurale la manière pour additionner des fractions ayant des dénominateurs différents. Après

chaque consigne, il décrit son rôle comme enseignant et il précise les tâches dévolues aux élèves.

Quant aux élèves, si pour les consignes 1 et 2, il n’apporte pas de précision sur l’organisation du

travail; dans la troisième consigne, il prévoit qu’ils exécutent la tâche par groupes de 2 ou 3 élèves

et qu’ils échangent entre eux. Nous percevons donc dans la planification l’organisation d’un travail

en sous-groupes et la possible présence d’une phase d’action selon Brousseau (1986a).

La synthèse qui constitue la troisième étape est prévue pour une durée de sept minutes. À cette

étape, Piga prévoit poser des questions afin d’amener les élèves à formuler les procédures de

calcul sur l’addition et sur la soustraction des fractions. L’on peut penser que Piga prévoit une

institutionnalisation des savoirs scolaires sur les notions à l’étude. Cette étape de la synthèse

permet de conjecturer le développement des phases de formulation, de validation et

d’institutionnalisation selon Brousseau (1986a) lors de la réalisation des tâches mathématiques

entrant dans l’introduction de l’addition de deux fractions dont les dénominateurs sont différents. À

travers les points d’apprentissage contenus dans la planification, les procédures d’addition et de

soustraction des fractions à institutionnaliser sont les suivantes :

107

Points d’apprentissage :

Procédure 1 : Pour additionner des fractions, on les réduit au même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

Exemple : 5

2+

7

4=

75

72

+

57

54

=

35

14+

35

20=

35

34.

Procédure 2 : Pour soustraire une fraction d’une autre, il faut les réduire au même dénominateur, soustraire le plus petit numérateur du plus grand numérateur et conserver le dénominateur.

Exemple : 6

5-

4

3=

46

45

-

64

63

=

24

20-

24

18=

24

2.

Ces opérations données en exemple sont contenues dans le manuel de l’élève

(MEBA/DGRIEF, 2010; p. 119).

La quatrième et dernière étape est consacrée à l’évaluation. Elle est prévue pour une durée

de huit (8) minutes. Piga compte donner l’exercice suivant :

Exercice : Effectue les opérations : 12

9-10

7;

21

3-

2

1;

3

2+

4

2;

12

1+

4

2.

Ces multiples opérations sont des calculs sur l’addition et la soustraction des fractions. Elles

semblent une expression d’une conception des mathématiques de Piga : une application de

procédures. Une phase d’action sera réalisée selon une approche par les objectifs, car l’évaluation

vise à s’enquérir de la réussite de chaque élève afin de juger de l’atteinte des objectifs du cours. À

cette étape de l’évaluation, il prévoit également demander les avis de ses élèves sur sa prestation

du jour. Ces avis constitueraient une évaluation de sa prestation.

Piga propose des opérations de calcul relatives à chacune des notions à l’étude (addition et

soustraction des fractions). Dans les opérations proposées, les termes qui apparaissent au

numérateur et au dénominateur de chacune des fractions sont inférieurs à 10. Toutefois dans

l’évaluation, les termes des fractions sont supérieurs à 10. Il n’y a pas de dénominateur qui est

multiple de l’autre dans les propositions de fractions qui composent une opération de calcul.

108

En conclusion

Piga planifie une leçon sur l’addition et la soustraction des fractions ayant des dénominateurs

différents. Toutefois, sa planification n’évoque pas l’addition et la soustraction des fractions ayant

le même dénominateur. Il respecte toutefois l’ordre de présentation du manuel utilisé dans la

classe. Les rôles de Piga et des élèves laissent croire à une construction de la connaissance en

interaction dans la classe. Les quatre phases d’action, de formulation, de validation et

institutionnalisation développées par Brousseau (1986a) semblent possibles à l’analyse de la

planification. En effet, les élèves agissent par sous-groupe de deux ou trois sur les tâches entrant

dans la compréhension de l’addition et de la soustraction des fractions. Ils tirent les conséquences

de leurs observations par des échanges entre eux. Les validations se feront dans le groupe-classe.

Nous constatons que les opérations sur les fractions font intervenir uniquement le sens

« nombre ».


Au début du cours, Piga fait chanter les élèves afin de les égayer et les motiver à suivre la leçon.

Dans l’ordre de présentation du cours, nous ressortons des cas d’incidents didactiques et nous

essayons de comprendre leurs origines. Nous nous intéressons également aux types d’adaptation

survenus lors de certains incidents didactiques.

Premier incident didactique : gestion des erreurs

Piga utilise le procédé « La Martinière39 » dans l’exécution du calcul mental qui comporte deux

problèmes de nature différente. Dans le premier problème, il est question de calculer 72-59. Tandis

que dans le deuxième problème, les élèves doivent exécuter mentalement 400 7. Nous donnons

ci-dessous des discours de Piga après la réalisation de chaque problème.

39 Pour la pratique du procédé La Martinière (PLM), l’enseignant pose le problème une fois lentement et distinctement.

Il donne un temps de réflexion suffisant aux élèves. Il veille en ce moment à ce que personne n’écrive, pour cela, il fait lever les crayons, les coudes sur la table. Un premier coup de règle donne le signal pour écrire. Au deuxième coup de règle, qu’ils aient fini ou non, tous les élèves posent la craie ou le crayon sur la table. Il s’en suit la correction au tableau et l’explication de la règle concernée avec la participation des élèves. Un troisième coup de règle invite les élèves qui ont trouvé la réponse à lever les ardoises, le résultat tourné vers le maître qui contrôle en appréciant les réponses justes par "bien". Les élèves qui n’ont pas trouvé corrigent sur les ardoises. Cette correction est vérifiée par le maître. En dernier et quatrième coup de règle, les élèves effacent et la séance se poursuit selon le même processus.

109

Piga : 72-59; c’est bien. Marquez un point, ceux qui ont trouvé. Ceux qui n’ont pas trouvé, vous corrigez. 1 point à l’angle; marquez seulement un point. Montrez ceux qui ont trouvé, soulevez comme ça seulement. Soulevez la feuille. (Annexe 2; Réalisation : L33-L35).

Piga : 2 800. C’est bien, ceux qui ont trouvé vous marquez un point. Ceux qui n’ont pas trouvé, corrigez, rapidement. Montrez ceux qui ont corrigé, montrez la correction. (Annexe 2; Réalisation : L42-L43).

Dans les deux interventions de Piga, il ne cherche pas à savoir les erreurs commises par les

élèves qui ont donné une réponse erronée ni à laisser exprimer les procédures qu’ils utilisent. Les

élèves vont recopier les bonnes réponses dans leur cahier. Pour Piga, les bonnes réponses

semblent suffisantes pour comprendre, manifestant ainsi une conception de l’apprentissage selon

laquelle une réussite correspond à une compréhension. Piga semble manifester également une

conception selon laquelle les mathématiques sont transparentes, car il n’y a pas de formulation de

procédures de calcul à l’issue de ces calculs.

Deuxième incident didactique : une erreur et sa gestion

Nous constatons qu’après la réalisation du calcul mental, Piga passe à la première consigne

prévue dans l’étape du développement de la leçon. Il «saute» ainsi le contrôle des prérequis et la

justification de la leçon. Après le découpage des rectangles, Piga revient sur le contrôle de

prérequis. Une erreur est commise dans la réponse donnée sur la comparaison de deux fractions

ayant le même dénominateur.

Piga : OK, suivez. Quand deux fractions d’une même grandeur ont le même numérateur, quelle est la plus grande? Quand deux fractions d’une même grandeur ont le même numérateur, quelle est la fraction la plus grande? Oui. [Il indique un élève]. El : La plus grande est celle qui a le grand dénominateur. Piga : La plus grande est celle qui a le grand dénominateur. C’est comme ça? Els : Oui. Piga : Ils ont le même numérateur. Ces deux fractions d’une même grandeur, vous avez vu ça, comparaison de fractions. D’une même grandeur, ils ont le même numérateur, et pas le même dénominateur. On demande quelle est la fraction la plus grande. Quelqu’un? Oui. El : C’est celle qui a le plus petit dénominateur. Piga : Voilà, on retient ça. C’est celle qui a le plus petit dénominateur. Qui va m’expliquer comment on réduit deux fractions au même dénominateur. Oralement, comment on réduit deux fractions au même dénominateur. [Des élèves lèvent les doigts]. (Annexe 2; Réalisation : L72-L84).

110

L’expression « deux fractions d’une même grandeur » semble poser un problème de

compréhension. Lorsque des élèves trouvent que la plus grande entre deux fractions ayant le

même numérateur est celle qui a le plus grand dénominateur, ils semblent faire référence à la

comparaison des entiers naturels. La bonne réponse est venue par la suite d’un élève, puisqu’il y a

deux possibilités de réponses (plus grand ou plus petit). Il n’y a pas eu une demande de

justification des réponses bonnes ou mauvaises afin de se convaincre de la compréhension de

l’élève. Encore une fois, l’assimilation de la réussite à la compréhension et la transparence des

mathématiques sont des conceptions respectives de l’apprentissage et des mathématiques qui

semblent émerger des pratiques d’enseignement de Piga dans cet extrait.

Troisième incident didactique : gestion des erreurs

Dans le contrôle des prérequis, après les questions orales sur la comparaison des fractions, Piga

donne l’exercice qui porte sur la réduction au même dénominateur des fractions ci-après : 3

2 et

9

7

; 9

3 et

12

9 ;

3

5 et

12

8.

Après la correction des trois items au tableau, Piga cherche à estimer les réussites.

Piga : Remettez le brouillon. Qui a eu 3? Qui a tout trouvé? C’est bien. Qui a trouvé 2? 2 sur 3? Bien. 1? 1 sur 3? Bien. [Des mains sont levées pour 3, 2 ou 1 trouvés.] Qui n’a rien trouvé? 0 trouvé? [Il n’y a pas eu de main levée.] (Annexe 2; Réalisation : L123-L125).

Des élèves ont réussi à 3, 2 ou 1 de ces trois items. Les élèves qui ont eu une ou deux bonnes

réponses ont donc commis des erreurs. Par exemple pour la réduction de 3

2 et

9

7 au même

dénominateur, la production d’un élève montre la solution suivante :

Cet élève semble confondre la réduction au même dénominateur et le produit de deux fractions. Le

rappel de la procédure de réduction des fractions au même dénominateur fait auparavant ne

semble pas aider l’élève dans son travail.

111

El : Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on multiplie la fraction par le dénominateur de l’autre. Piga : On multiple les deux termes El : les deux termes par le dénominateur de l’autre. (Annexe 2; Réalisation : L90-L93).

Encore une fois, Piga semble chercher à obtenir des réussites de la part de ses élèves. Cela laisse

penser que, pour lui, les bonnes réponses données exprimeraient une compréhension, une

conception de l’apprentissage. Cette situation semble traduire également une conception de

transparence des mathématiques.

Quatrième incident didactique : gestion d’une diversité de réponses

Piga revient à l’étape du développement de la leçon qu’il a commencée et qu’il a suspendue pour

faire le rappel des prérequis. Les élèves sont amenés à découper deux carreaux sur une feuille

rectangulaire qui en compte quatre (cf. consigne 1 dans la sous-section 3.2.2.1 ci-dessus). Ils

doivent par la suite identifier la fraction représentée par ces deux carreaux.

Piga : […]. On compte deux carreaux et on découpe. Et vous allez me dire, ça représente quelle fraction? Oui. (Annexe 2; Réalisation : L166-L167).

Nous dénombrons cinq réponses distinctes données par cinq élèves : le quart; une fraction; le

numérateur; fractions ordinaires; fractions décimales. Ces réponses montrent que les élèves ont

des connaissances sur les fractions. Toutefois, Piga ajoute des explicitations.

Piga : Le numérateur, c’est vrai. Mais, ce n’est pas ce que je veux. On a enlevé 2, il y avait 4. On enlève 2, les deux-là, comment on va appeler 2? C’est quoi? Deux… deux combien? [Il insiste sur «deux combien» pour amener l’élève à compléter la réponse.] El : 2 tiers. [Des voix s’élèvent dans la classe donnant des réponses.] Els : Moi, moi… Piga : Oui. El : 2 quarts. (Annexe 2; Réalisation : L195-L201).

Piga donne des indices lorsqu’il avance « On a enlevé 2, il y avait 4. On enlève 2, les deux-là,

comment on va appeler 2? C’est quoi? Deux… deux combien? ». Il semble produire ainsi un effet

Topaze. Les élèves ont donc ajouté « quarts » après « deux ». Cette réponse satisfait le stagiaire.

Malgré la recherche de gestion de l’erreur, Piga manifeste un enseignement de type transmissif,

car son style explicatif vise à produire la réponse qu’il attend.

112

Cinquième incident didactique : erreurs et leur gestion

Nous rappelons que dans l’activité de fractionnement de rectangles, il est question de déterminer

d’abord les deux quarts qui représentent les deux carreaux enlevés sur un total de quatre

carreaux. Par la suite, Piga souhaite que les élèves donnent la fraction qui correspond au nombre

de carreaux restant. Dans cette partie, il semble vouloir amener les élèves à comprendre la

procédure de soustraction de deux fractions, car lorsqu’on enlève 2 quarts de l’unité, il reste 2

quarts.

Piga : Donc 2 quarts. Les deux qu’on a enlevés, c’est 2 quarts. Vous écrivez 2 quarts là-bas. Écrivez 2 quarts; donc vous nommez la fraction 2 quarts. Et l’autre moitié maintenant, l’autre moitié, c’est quoi? C’est combien? On a enlevé 2, l’autre moitié, c’est combien? Quelle est la fraction? Quelle fraction qui reste? C’était 4, on enlève 2; les 2 quarts là. On a enlevé les 2 quarts, ce qui restent là, on va appeler ça combien? C’est quelle faction? Oui. [Deux élèves donnent des réponses non satisfaisantes à Piga, mais nous ne pouvons pas transcrire, car elles ne sont pas audibles.] Piga : Ouuu! [Piga baisse la tête, un signe de déception. [À 36 mn 03 s.] Ce qui reste, c’est quoi? 2 quarts; les deux carreaux qu’on a enlevés là, c’est 2 quarts. On est d’accord. Els : Oui Piga : C’est 2 quarts, les 4 carreaux forment ce qu’on appelle le dénominateur. Maintenant le nombre de carreaux, ce sont les numérateurs. On enlève deux, on dit que c’est, ça représente 2 quarts. Maintenant le restant, ce qui reste là c’est quoi? Est-ce que c’est 3 quarts? Ça reste combien? El : 2 quarts. (Annexe 2; Réalisation : L204-L218).

La question primaire est reformulée et répétée plusieurs fois. Piga semble avoir donné un élément

de réponse lorsqu’il pose finalement la question « Est-ce que c’est 3 quarts? ». Il y aurait une

production d’un effet Topaze.

Un autre cas d’effet Topaze est intervenu lorsque Piga veut amener les élèves à formuler une

procédure de calcul sur l’addition des fractions ayant des dénominateurs différents.

Piga : Voilà. On remarque que les deux ont le même dénominateur. Donc, pour que ça puisse être la même chose, il faut qu’on ait le même dénominateur. Maintenant avec les fractions, pour additionner qu’est-ce qu’on doit faire maintenant? Pour additionner deux fractions, qu’est-ce qu’on doit faire? On a remarqué que, il faut que les deux fractions aient le même dénominateur. Comment on va faire? Oui. El : Il faut réduire au même dénominateur. (Annexe 2; Réalisation : L275-L280).

113

Le fait de revenir à plusieurs reprises sur le même dénominateur semble avoir amené la réponse

donnée par l’élève. Son discours semble une manifestation d’une adaptation normative en regard

des multiples réponses erronées des élèves depuis le début de l’activité. L’abondance du discours

explicatif de Piga semble manifester d’une expression de sa conception transmissive de

l’enseignement.

Sixième incident didactique : gestion d’une erreur

Le résultat final donné par un élève à la correction au tableau de l’opération 21

3-

2

1 est le suivant :

Cet élève a mis les termes de l’opération au même dénominateur en respectant l’ordre de

présentation des fractions. Toutefois, posée ainsi cette opération conduit à traiter des nombres

négatifs. Piga désigne un autre élève qui explique comment il a fait.

El : J’ai fait 42

21-

42

6.

Piga : Est-ce que c’est ce qu’on a dit? On a dit 21

3-

2

1.

El : On fait l’inverse. Piga : L’inverse! Comment? Pourquoi, on fait l’inverse? Donc vous n’avez pas bien suivi, on a dit quoi? On enlève le plus petit numérateur du plus grand. Mais, ici on a

dit quoi : trois vingt-et-un moins un demi (21

3-

2

1), est-ce que c’est possible?

Els : Non [L’élève au tableau s’apprête à effacer ce qu’elle a écrit.] Piga : Non, non, laisse. Tu as inversé, ce n’est pas bon. On continue, à ta place. (Annexe 2; Réalisation : L402-L409).

Les élèves s’attendent à donner un résultat sous forme de fraction à ce calcul en appliquant la

procédure formulée sur la soustraction des fractions ayant des dénominateurs différents. Or, dans

l’état actuel de leurs connaissances mathématiques, il leur est impossible d’effectuer ce calcul.

Piga suspend la correction de l’opération. Il fait répéter ensuite plus de 22 fois les procédures de

calcul sur l’addition et la soustraction des fractions. Il semble rechercher dans son enseignement

une mémorisation des procédures par les élèves, une manifestation de sa conception de

114

l’enseignement. Piga revient ensuite à la correction de l’opération «21

3-

2

1» à travers le discours

ci-dessous :

Piga : […]. Ici là [en revenant à 21

3-

2

1], c’est un piège. Il fallait dire seulement qu’on

ne peut pas. Vous lisez, il fallait lire ici seulement [en indiquant la règle sur la soustraction des fractions]. On enlève le plus petit du plus grand. Alors que vous avez un, vous avez 6 et on voulait enlever 21, est-ce que c’est possible? Il fallait dire ici seulement que je ne peux pas. (Annexe 2; Réalisation : L465-L469).

Il semble y avoir une rupture du contrat didactique chez l’élève. En effet, les élèves cherchent à

appliquer la procédure habituelle en ôtant le plus petit numérateur (6) du plus grand (21). Le retour

de Piga sur la question à la fin du cours montre le trouble créé par cet incident didactique. Le fait

de suspendre la correction de cet item avant d’y revenir semble la manifestation d’une adaptation

d’évitement. De plus, il semble manifester une conception selon laquelle les mathématiques sont

transparentes lorsqu’il considère la procédure de calcul sur la soustraction de deux fractions

explicite pour les élèves.

En conclusion

Nous avons relevé six incidents didactiques lors de la réalisation de la leçon. Ils sont

essentiellement survenus au moment où les élèves font des erreurs. Piga semble manifester un

enseignement de type transmissif, car il apporte des indices aux élèves afin qu'ils trouvent les

réponses attendues. Par exemple, le style explicatif conduit à une adaptation normative lors du

cinquième incident didactique. En effet, Piga, constatant l’écart des réponses avec celles

planifiées, produit un effet Topaze afin d’obtenir les réponses qu’il attend des élèves. Il semble

également manifester deux conceptions de l’apprentissage. Premièrement, il viserait dans son

intervention une réussite des élèves. Deuxièmement, il assimilerait la réussite des élèves à une

tâche mathématique à leur compréhension. La conception de l’apprentissage aurait pour

conséquence le développement d’une conception de l’enseignement : la recherche de la

mémorisation des procédures de calcul. En effet, Piga fait répéter plusieurs fois les procédures de

calcul formulées en classe.

115

Enfin, Piga semble concevoir les mathématiques comme transparentes. Par exemple, à la

correction du calcul 21

3-

2

1 (sixième incident didactique), Piga informe les élèves que cette

opération est impossible en leur disant de se référer à la procédure de calcul donnée en classe sur

la soustraction des fractions. Il manifeste ainsi une adaptation d’évitement.

Le projet d’enseignement s’opérationnalise dans un style explicatif avec l’évitement de certaines

difficultés aux élèves et une adaptation normative. De plus, nous observons certaines conceptions

de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques lors de la réalisation du cours de

Piga. L’analyse de l’entrevue confirmera ou infirmera nos observations.


L’entrevue semi-dirigée vise à proposer à Piga une auto-évaluation à l’égard de sa séance de

cours dans un but de reconnaître ses conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des

mathématiques. L’auto-évaluation permet également de discuter des compétences et des

difficultés que Piga a rencontrées lors de sa planification et de sa réalisation de la leçon afin de

comprendre ses choix.


Piga dit avoir construit et réalisé le cours selon l’approche Activity-Student-Experiment-

Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI-PDSI). Le principe de cette approche est de donner la

latitude aux élèves pour manipuler, découvrir et formuler les procédures mathématiques.

Piga : L’approche ASEI-PDSI; l’enseignant intervient moins. L’enseignant ne donne seulement que des directives et des consignes. Et tout, c’est les élèves maintenant qui manipulent, qui découvrent et qui formulent leurs procédures. Le principe là même, c’est comme ça. (Annexe 2; Entrevue : L79-L81).

Piga explique sa difficulté lors de la planification de la leçon à partir du fait qu’il n’a pas encore

dispensé un cours dans une classe du cours moyen. Il a été aidé par l’enseignant titulaire de la

classe du cours moyen deuxième année (CM2) [6e année de scolarité].

Piga : Comme on voit tout au niveau des ENEP, on nous a formés pour tout le cycle. Mais maintenant, je n’ai pas eu le temps pour pratiquer dans la classe là proprement

116

dite. C’était une difficulté pour moi. Mais je me suis dit, il faut essayer de faire avec. Il y a eu aussi l’appui de quelques enseignants. (Annexe 2; Entrevue : L15-L18).

Piga ajoute qu’il a éprouvé une autre difficulté au moment de trouver une activité pour la situation

concrète de sa pratique de classe. Il exprime cette difficulté dans l’extrait ci-dessous.

Piga :… C’est la concrétisation en fait. Au départ, je ne voulais pas faire à partir des feuilles, je voulais faire la leçon à partir des fruits comme pastèques et oranges. Vu leur nombre aussi, on pouvait faire par groupe, mais les objets aussi qui devrait être utilisés pouvaient quand même… Puisqu’on allait amener des couteaux pour diviser l’orange. On allait dégager les différents types de fractions et sur ça, on allait facilement y arriver. Mais, c’était d’abord comment concrétiser une fraction? C’est ça même qui est un peu… (Annexe 2; Entrevue : L20-L25).

La recherche d’objets concrets convenables pour le fractionnement a amené Piga à utiliser les

feuilles de papier. Ce choix semble motivé par l’effectif de la classe qui est de soixante-deux

élèves. Piga reconnaît une incompréhension des élèves à mener l’activité de pliage, de découpage

et de détermination des fractions correspondant aux portions de rectangles.

Piga : C’était au niveau des consignes. Les élèves n’entendent pas aussi bien. Les élèves qui interprètent mal les choses. On dit de plier en 2, de plier en 3. Il fallait expliquer. Vous voyez qu’entre-temps même j’ai pris une feuille, la feuille pour expliquer comment on plie. Dans les normes mêmes, je ne devais pas toucher à quelque chose, sauf le tableau et la craie seulement. (Annexe 2; Entrevue : L68-L71).

L’incompréhension des élèves conduit Piga à mener un discours explicatif, afin de contrer leurs

difficultés. Le décalage entre les erreurs dues à une incompréhension des élèves lors de sa

pratique d’enseignement en classe et l’approche planifiée a produit un enseignement de type

transmissif.


En optant pour l’approche Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI-

PDSI), Piga veut mettre l’élève au centre de son apprentissage. Il semble concevoir

l’apprentissage comme une construction des connaissances par l’élève.

Piga : Vous avez vu au niveau d’ASEI, l’élève travaille beaucoup plus qu’à l’ancienne méthode. Parce qu’un enfant peut imiter ce que l’enseignant a fait, mais il n’a rien compris. Ça ne vient pas de lui. Il peut imiter quelque chose : on coupe, voilà comment on plie. L’enfant a imité, mais il n’a pas réellement manipulé. (Annexe 2; Entrevue : L124-L127).

117

Nous voulons comprendre le choix de Piga porté sur la manipulation d’un fractionnement de

feuilles rectangulaires.

Piga : D’abord les oranges, vu leur effectif, trouver des oranges pour chacun, en tout cas ce n’est pas facile. Et les objets aussi, utiliser des couteaux, des élèves peuvent arriver à se blesser ou bien des trucs comme cela. Donc pour éviter tout cela, et trouver quelque chose, on n’a pas besoin d’acheter, c’est sur place et l’élève manipule rapidement, c’est ce qui m’a un peu motivé à partir des feuilles. (Annexe 2; Entrevue : L175-L179).

La mise en place de situations d’action à travers une manipulation d’objets semble sous-tendre le

choix de la tâche planifiée par Piga. Il a prévu le travail en sous-groupes de deux ou trois [par

table] dans sa planification. Toutefois, Piga a privilégié le travail individuel dans la classe.

Piga : Là, c’est pour déceler un peu les faibles et les bons rapidement. Puisque quand on dit un groupe, le travail du groupe, ce n’est pas sûr que… on a toujours des gens, on n’arrive pas à les déceler. (Annexe 2; Entrevue : L151-L153).

La recherche des faibles et des bons, pour ainsi parler des non-réussites et des réussites, semble

manifester lors de sa pratique en classe une conception de l’apprentissage selon laquelle la

réussite est synonyme de la compréhension. Planifiée dans l’optique d’une construction des

connaissances par l’élève à l’intérieur d’un sous-groupe, la leçon est conduite dans l’optique

d’obtenir des réussites immédiates à travers un travail individuel et un discours explicatif.

Conception des mathématiques

Nous cherchons à comprendre comment Piga peut aider les élèves qui ont des difficultés à réaliser

les tâches mathématiques.

CH : Et comment vous avez procédé pour aider les enfants qui avaient des difficultés à faire des rectangles, ou bien à faire des additions, ou bien à réduire au même dénominateur. Piga : C’est de suivre ce que leur voisin fait. Il faut suivre, il jette un coup d’œil sur son voisin. Est-ce que c’est la même chose qu’il fait? (Annexe 2; Entrevue : L184-L187).

Le discours de Piga semble illustrer une conception des mathématiques : les mathématiques sont

transparentes. En effet, selon Piga, l’élève, en comparant l’action de son voisin et la sienne, peut

comprendre.

118

Lors de l’entrevue, nous présentons à Piga une erreur produite au tableau par un élève afin de

comprendre sa gestion de cette erreur. En effet, dans l’opération 12

1+

4

2, après avoir réduit les

fractions au même dénominateur, l’élève additionne les numérateurs entre eux et les

dénominateurs entre eux.

Piga : Ah, en tout cas ça c’est une erreur. CH : […]. Comment on peut procéder pour amener l’élève à surmonter cette erreur. Piga : C’est par des exercices; par des exercices seulement. (Annexe 2; Entrevue : L211-L214).

Pour Piga, les nombreux exercices amèneront l’élève à surmonter ses insuffisances. Cette idée

semble laisser voir des conceptions des mathématiques. Les mathématiques seraient un

ensemble de techniques et la réalisation d’une multiplicité d’exercices participerait au

développement d’automatisme.

En conclusion

Piga dit avoir planifié la leçon selon l’approche Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-

See-Improve (ASEI-PDSI). Un principe de cette approche serait de faire travailler les élèves en

sous-groupes. Piga reconnait lors de l’entrevue que les élèves apprennent mieux lors des travaux

en sous-groupes. Toutefois, il utilise le travail individuel en classe. Il justifie ce choix en disant que

le travail individuel permet de déceler les « faibles » et les « bons » élèves. Ce qui confirme d’une

part sa conception transmissive de l’enseignement et d’autre part, la conception de l’apprentissage

qui assimile la réussite à la compréhension. En outre Piga, en déclarant que les élèves qui ne

réussissent pas surmonteront leurs difficultés après avoir effectué plusieurs exercices,

manifesterait deux conceptions des mathématiques : les mathématiques sont transparentes; faire

des mathématiques, c’est développer des automatismes. Toutes ces conceptions de

l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques manifestées par Piga lors de l’entrevue

semblent caractéristiques de son désir de mettre le savoir « à » enseigner au centre de son

enseignement.

3.2.4 Synthèse

L’analyse de la planification, de la réalisation et de l’entrevue fait ressortir les composantes d’une

formation initiale (DeBlois 2012) pour décrire la logique de Piga dans sa pratique de classe.

119

Figure 7: Composantes de la formation initiale en jeu lors de la pratique d'enseignement et d'apprentissage de Piga.

Piga planifie une leçon sur l’addition et la soustraction de la fraction ayant des dénominateurs

différents. Il a suivi l’ordre de présentation du manuel de classe (MEBA/DGRIEF, 2010), car il ne

prévoit pas l’addition et la soustraction des fractions ayant le même dénominateur. Les consignes

des tâches mathématiques et d’organisation du travail planifiées laissent croire à une construction

de la connaissance par l’élève à la réalisation du cours.

Lors de la réalisation de la leçon, six incidents didactiques, essentiellement dus à des erreurs

d’élèves sont survenus. Deux incidents didactiques sont à l’origine de deux adaptations : une

adaptation normative (cinquième incident didactique) et une adaptation d’évitement (sixième

incident didactique). Le projet d’enseignement s’effectue dans un style explicatif et dans des

modes apports dans l’institutionnalisation afin que les élèves trouvent les réponses attendues. Piga

manifesterait ainsi d’une conception transmissive de l’enseignement. Une autre conception de

120

l’enseignement relevée lors de la pratique de classe est la recherche d’une mémorisation des

procédures de calcul, car Piga a fait répéter plusieurs fois les procédures de calcul en classe.

Deux conceptions de l’apprentissage émergent également de la pratique de Piga. Premièrement, il

semble rechercher une réussite des élèves. Deuxièmement, il semble assimiler la réussite à la

compréhension, car les bonnes réponses lui semblent suffisantes. Les réponses des élèves ne

sont suivies d’une justification. L’absence de justification des réponses témoigne d’une conception

des mathématiques selon laquelle les mathématiques sont transparentes. En outre, lorsque Piga

affirme que la réalisation d’exercices permettra aux élèves de comprendre, il semble concevoir les

mathématiques comme un ensemble de techniques à faire acquérir les élèves.

En conclusion, lors de la planification, Piga semble vouloir mettre l’élève au centre de son dispositif

d’enseignement à travers, entre autres, les tâches de manipulation de figures, les consignes de

réalisation des tâches et l’organisation du travail collaboratif. Le style transmissif, l’adaptation

normative et l’adaptation d’évitement, que nous constatons lors des incidents didactiques de la

leçon, semblent traduire que le contenu « à » enseigner est au centre de la pratique de Piga. Il

manifesterait ainsi une posture de l’ancien élève. De plus, ses conceptions de l’apprentissage

(assimilation de la réussite à la compréhension, recherche de réussite des élèves) et de celles des

mathématiques (transparence des mathématiques, ensemble de techniques) que nous avons

relevées lors de la réalisation de la leçon et de l’entrevue semblent caractéristiques de sa posture

de l’ancien élève. Il confirme l’hypothèse que les savoirs « à » enseigner sont au centre de son

intervention en classe.

3.3 Leçon sur la multiplication d’une fraction par un entier naturel planifiée et

vécue par Pélagie

Pélagie planifie une leçon sur la multiplication d’une fraction par un nombre entier. Le manuel

scolaire qu’elle utilise pour l’élaboration de la fiche de leçon est le livre de mathématiques du cours

moyen première et deuxième années (MEBA/DGRIEF, 2010; p 125-127). En ce qui concerne

l’étude des fractions, cette leçon vient après celle de l’addition et la soustraction des fractions.

121



Le thème, le titre de la leçon, la durée de la leçon, la date, la classe, l’effectif de la classe, la

justification, les objectifs spécifiques, le matériel collectif et individuel et le document de travail

constituent les informations préliminaires contenues dans la fiche de planification. « Étude des

fractions » et « multiplication d’une fraction par un entier naturel » constituent respectivement le

thème et le titre de la leçon que Pélagie inscrit dans sa planification. Elle prévoit soixante minutes

pour la réalisation de la leçon dans une classe du cours moyen deuxième année [6e année de

scolarité] dont l’effectif est de 72 élèves. Il n’y a pas de précision quant aux effectifs des filles et

des garçons.

Pélagie justifie la leçon sur la multiplication d’une fraction par un nombre entier naturel en ces

termes : « Les élèves ont appris à additionner et à soustraire des fractions. Cependant, ils ne

connaissent pas la multiplication d’une fraction par un nombre entier. Il est donc important de leur

montrer une technique pour la multiplication d’une fraction par un nombre entier » (annexe 3;

Contenu de la planification). Cette justification marque une référence sur ce que les élèves ont

déjà appris dans la classe et sur ce qu’ils vont aborder dans la leçon du jour. Elle semble exprimer

une conception des mathématiques de Pélagie : les mathématiques sont un ensemble de

techniques. Quant à l’objectif de cours, il est ainsi formulé dans la planification : « l’élève doit être

capable de multiplier une fraction par un nombre entier » (annexe 3; Contenu de la planification).

Pélagie fait la liste du matériel collectif (la règle, le tableau, la craie, les disques) et du matériel

individuel (l’ardoise, le cahier de brouillon, la règle, la gomme, le crayon). Les disques semblent

constituer un matériel spécifique pour cette leçon. Dans le manuel utilisé pour la planification, le

titre de la leçon est « multiplication des fractions » et les objectifs spécifiques qui y sont contenus

sont : à la fin de la leçon, l’élève sera capable de « multiplier un nombre par une fraction » et de

« multiplier une fraction par une fraction » (MEBA/DGRIEF, 2010; pp. 125-127).


Comme Piga, le plan de déroulement de la leçon de Pélagie comporte quatre étapes. Ce sont : 1)

une introduction; 2) un développement; 3) une synthèse/conclusion; 4) une évaluation. Pour

122

l’introduction de la leçon qui constitue la première étape, Pélagie envisage de faire effectuer en

classe des exercices de calcul mental, des exercices de révision et de donner une motivation de la

leçon. Pour le calcul mental, elle inscrit trois exercices qui sont :

Exercice 1 : Fatou a acheté 11 cartons de 12 boules de savon. Combien de boules de savon a-t-elle achetées?

Exercice 2 : Pour les présentations de vœux, le maire a invité 11 groupes de 22 personnes. Combien de personnes a-t-il invitées?

Exercice 3 : Pour la course de dimanche, les candidats doivent faire 11 fois le tour d’une piste de 36 km. Quelle distance doivent-ils parcourir?

Elle considère ces problèmes comme des exercices. L’apprentissage d’un calcul rapide de la

multiplication d’un entier naturel à deux chiffres par 11 est sollicité (12 11; 22 11; 36 11). Les

problèmes font intervenir la réunion d’ensembles équipotents dans les trois cas. Ces problèmes

sont considérés comme du calcul mental. En effet, l’utilisation du nombre 11 pour chacun des cas

conduira les élèves à observer que la multiplication d’un nombre par 11 consiste, entre autres, à

effectuer les calculs suivants : nombre 11= nombre 10 + nombre. Par exemple : 36 11= 36

10 + 36 = 360 + 36 = 396. Une justification ayant permis de trouver la réponse n’est pas prévue

dans la planification. Un travail individuel est sollicité des élèves sous la forme d’une approche par

les contenus. Au cours de la réalisation, il pourrait y avoir une phase d’action où chaque élève va

utiliser des procédures issues de prises de décisions afin de proposer des réponses aux

problèmes. Le calcul mental vise, entre autres, le développement de techniques opératoires et

d’automatisme de l’élève dans les opérations de calcul.

Pour la révision de procédures de l’addition et de la soustraction des fractions, Pélagie prévoit

deux questions orales et un exercice écrit. Ce sont :

Questions orales :

Que faut-il faire pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents?

Quelle est la plus grande fraction entre deux fractions de numérateurs différents et de même dénominateur?

Question écrite : effectuez ces opérations : 7

3 +7

2 et 2

3 +6

1 .

123

La première question orale porte sur le rappel des procédures d’addition et de soustraction de

deux fractions ayant des dénominateurs différents. La deuxième question est une demande de

rappel de la procédure de comparaison de deux fractions ayant des numérateurs différents et le

même dénominateur. La question écrite rentre dans le cadre de l’application de la procédure

d’addition des fractions ayant le même dénominateur d’une part et de celle de deux fractions ayant

des dénominateurs différents d’autre part. Les entiers naturels qui constituent les termes de

chacune des fractions sont inférieurs à 10. Sous la forme d’une approche par les objectifs, l’élève

effectuera individuellement chaque exercice de contrôle de prérequis. Par la suite, Pélagie planifie

communiquer aux élèves la justification et l’objectif de la leçon que nous avons évoqués ci-dessus.

Cela correspond à une exigence du canevas de la fiche pédagogique pour des fins de motivation

des élèves sur la leçon.

Dans la deuxième étape, Pélagie envisage de donner trois activités mathématiques assorties de

consignes dans le développement de la leçon (annexe 3; Contenu de la planification). Ces activités

sont :

Consigne 1 : lisez le problème et ensemble, nous allons le représenter puis le résoudre :

Une mère donne à son bébé 3

1 d’orange par jour. Au bout de 5 jours, quelle quantité

d’oranges le bébé aura-t-il consommée?

Consigne 2 : tracez deux traits de longueurs égales et divisez chaque trait en cinq parties égales. Coloriez 4 parties sur chaque trait et dites quelles fractions cela représente-t-il sur chaque trait et sur les deux traits.

Consigne 3 : Observez ces opérations et dites ce que vous constatez :

3

1 ×5=3

5 et 5

4 ×2=5

8

L’utilisation de l’expression « consigne » semble faire apparaître une confusion chez Pélagie des

termes « consigne, problème et exercice ». Le premier problème fait intervenir l’addition de

fractions dans un contexte d’ajout. À travers la première consigne, nous constatons qu’il y aura un

travail collectif qui se fera au cours de la séance de leçon. En effet, la représentation visuelle des

quantités d’oranges consommées et la résolution de la tâche mathématique se feront dans le

groupe-classe. La seule invite faite à l’élève est la représentation visuelle des quantités d’oranges.

124

Le travail individuel et le travail collectif semblent apparents dans le libellé de certaines consignes.

Les différentes phases d’action, de formulation, de validation et d’institutionnalisation dans une

situation de Brousseau (1986a) semblent apparaître dans une approche de pédagogie de groupes.

La deuxième tâche fait intervenir un fractionnement et le repérage de la fraction représentée.

Pélagie vise à passer par un fractionnement de segments de droite afin d’amener les élèves à

découvrir 5

4 2=

5

8 . Elle met ainsi en évidence son désir de passer par des représentations

visuelles afin de faire découvrir le résultat. Toutefois, elle ne spécifie pas si c'est individuellement,

en sous-groupes ou en groupe-classe que les élèves réaliseront la consigne.

Enfin, la dernière tâche fait intervenir une opération selon le but visé dans la leçon. L’exécution de

cette tâche entre dans le cadre de la formulation de la procédure de calcul d’une multiplication

d’une fraction par un nombre entier naturel. Elle semble s’insérer dans une phase de formulation

de la procédure de calcul. Le point d’enseignement/apprentissage prévu dans la planification est le

cadre où l’enseignant écrit la procédure à institutionnaliser, mais cette dernière n’est pas explicitée

dans la planification.

La troisième étape du déroulement de la leçon est une recherche de réponse à la question

suivante : « Qu’avez-vous retenu de ce que nous venons d’apprendre? » (Annexe 3; Contenu de la

planification). Pélagie manifeste un désir de voir les élèves rappeler ce qu’ils ont mémorisé. Elle

semble exprimer une conception de l’enseignement des mathématiques : la recherche d’une

mémorisation des procédures de calcul.

À la quatrième et dernière étape, celle de l’évaluation des acquis, Pélagie envisage de donner ce

qui suit aux élèves :

- Individuellement, effectuez les opérations et résolvez le problème :

11

30 ×22 ; 12×6

7 .

- Moussa et ses six frères consomment chacun 4

1 de pain au petit déjeuner.

Combien de morceaux de pain consomment-ils?

Nous constatons que dans les opérations qui sont proposées, Pélagie fait implicitement cas de la

notion de commutativité de la multiplication quand elle invite les élèves à effectuer le calcul de 12×

125

6

7 . Cette opération porte sur le produit d’un entier naturel par une fraction. Quant au problème, il

nécessite un niveau supplémentaire de réflexion (première étape) pour trouver d’abord le

nombre 7 à multiplier avec la fraction 4

1 . Toutefois, la question posée n’invite pas à donner une

réponse sous la forme d’une fraction. Les opérations données correspondent à des applications

directes de la procédure de calcul à institutionnaliser.

En conclusion

Pélagie prévoit développer un enseignement/apprentissage sur la multiplication d’une fraction par

un entier naturel. Nous observons qu’elle s’est démarquée du contenu du manuel scolaire en

proposant de nouvelles formulations du titre et de l'objectif de cours. Elle semble avoir ainsi

circonscrit et précisé le contenu à faire apprendre aux élèves. Elle passe par des représentations

de figures géométriques, par conséquent par le sens « partie d’un tout », et des opérations de

calcul faisant intervenir le sens « nombre », afin d'amener l’élève à donner une procédure de calcul

de la multiplication d’une fraction par un entier naturel.

Pélagie allie explicitement le travail individuel et le travail collectif dans la réalisation des tâches

mathématiques. Deux formes d’approches semblent être ainsi développées : l’approche par les

contenus et la pédagogie des groupes. Les différentes phases d’une situation de Brousseau

(1986a) semblent prévisibles lors du développement de l’apprentissage de la multiplication d’une

fraction par un nombre entier naturel. La recherche de la mémorisation des procédures est une

conception de l’enseignement qui semble émerger de la planification de Pélagie. En outre, notre

analyse révèle deux conceptions des mathématiques : les mathématiques sont un ensemble de

techniques; les mathématiques consistent en une application de procédures.


Nous nous intéressons dans notre analyse aux incidents didactiques qui sont intervenus lors des

interactions dans la classe. Les erreurs et leur gestion sont des exemples d’incidents didactiques

que nous avons observés lors des réalisations du calcul mental et de l’apprentissage de la fraction.

Certains incidents didactiques sont à l’origine de formes d’adaptation de Pélagie lors de ses

interventions.

126

Premier incident didactique : justification incomplète d’une réponse

Pélagie utilise le procédé La Martinière40 pour présenter ses exercices sur le calcul mental. À la fin

de la correction du premier exercice qui se ramène à calculer mentalement 12 11, elle demande

aux élèves d’énoncer un procédé de ce calcul. Nous donnons ci-dessous une description faite par

un élève.

El : Moi, je trouve 132 savons. Pélagie : Très bien! Comment tu as fait? El : J’ai écarté les 2 chiffres et j’ai fait mélanger les 2 chiffres. Pélagie : La somme El : La somme des 2 chiffres au milieu. Pélagie : Viens porter le résultat. (Annexe 3; Réalisation : L11-L16).

Pélagie n’apporte pas de commentaire avant la réalisation des deux autres exercices. Elle semble

manifester une adaptation d’évitement, car la justification donnée par l’élève pourrait nécessiter

des précisions lorsque la somme des deux chiffres donne une dizaine.

Nous constatons aussi que l’élève écrit 132 comme réponse au tableau. Le nombre 132 est le

résultat du calcul de 12 11, mais il n’est pas considéré par Pélagie comme une réponse écrite

complète, car la réponse attendue est 132 boules de savon. À la fin de l’activité de calcul mental,

un contrôle des réussites est fait. En effet, trois points correspondent à la réussite des trois calculs

(12 11; 22 11; 36 11).

Pélagie : […]. Qui sont ceux qui ont 3 points, ceux qui ont 3 points, levez [elle constate les mains levées]; 2 points, levez le bras [elle constate]; 1 point, c’est pas bien, passable; 0 point, c’est pas bon, il faut grouiller. (Annexe 3; Réalisation : L55-L57).

Pélagie constate qu’il y a des non-réussites sans s’attarder aux erreurs commises par les élèves.

Nous ne saurons dire la nature de ces non-réussites. Il y a des élèves qui n’ont trouvé aucun

40 Pour la pratique du procédé « La Martinière » (PLM), l’enseignant pose le problème une fois lentement et

distinctement. Il donne un temps de réflexion suffisant aux élèves. Il veille en ce moment à ce que personne n’écrive, pour cela, il fait lever les crayons, les coudes sur la table. Un premier coup de règle donne le signal pour écrire. Au deuxième coup de règle, qu’ils aient fini ou non, tous les élèves posent la craie ou le crayon sur la table. Il s’en suit la correction au tableau et l’explication de la règle concernée avec la participation des élèves. Un troisième coup de règle invite les élèves qui ont trouvé la réponse à lever les ardoises, le résultat tourné vers le maître qui contrôle en appréciant les réponses justes par "bien". Les élèves qui n’ont pas trouvé corrigent sur les ardoises. Cette correction est vérifiée par le maître. En dernier et quatrième coup de règle, les élèves effacent et la séance se poursuit selon le même processus.

127

calcul. Les bonnes réponses données ne sont pas suffisantes pour cerner le raisonnement

mathématique des élèves sur le calcul mental (par exemple : 36 11 = 36 10 + 36). L’absence de

demande de précision de procédure dans ce calcul mental semble révéler que Pélagie conçoit les

mathématiques comme une discipline transparente.

Deuxième incident didactique : gestion d’une erreur

Lors de la première question orale de révision, les élèves ont eu des difficultés à rappeler la

procédure de l’addition de deux fractions ayant des dénominateurs différents. Afin de les amener à

donner la procédure, Pélagie évoque l’expression « le même dénominateur » qui semble être un

élément déterminant dans la réponse cherchée.

El : deux fractions, on multiplie le dénominateur Pélagie : de dénominateurs différents El : on multiplie le dénominateur différent et on conserve le numérateur. Pélagie : Non. Pour additionner deux fractions de dénominateurs différents, les deux fractions, vous voulez additionner et qui n’ont pas le même dénominateur. Qu’est-ce que vous devez faire d’abord? El : Il faut les mettre d’abord au même dénominateur. (Annexe 3; Réalisation : L70-L76).

L’indice donné par Pélagie conduit un élève à donner la réponse attendue rapidement. Cette

stratégie d’intervention, un effet Topaze, montre l’importance pour Pélagie que ses élèves

réussissent. Elle semble rechercher la réussite de ses élèves : une conception de l’apprentissage.

Troisième incident didactique : silence des élèves

À la deuxième question orale portant sur la révision de la comparaison de fractions ayant le même

numérateur et des dénominateurs différents, les élèves ne réagissent pas; ils gardent le silence.

Cette attitude amène Pélagie à donner un exemple.

Pélagie : Très bien. Maintenant, quelle est la plus grande fraction entre deux fractions qui ont le même numérateur et qui n’ont pas le même dénominateur? Entre deux fractions qui ont le même numérateur et qui n’ont pas le même dénominateur, quelle est la plus grande fraction? [Il n’y a pas de main levée.] Par exemple 1 tiers et 1 demi; quelle est la plus grande fraction entre 1 tiers et 1 demi? (Annexe 3; Réalisation : L82-L86).

128

Un élève trouve que 3

1 est plus grand que 2

1 . Nous constatons que les élèves ont des difficultés à

rappeler la procédure de comparaison de deux fractions ayant le même numérateur et des

dénominateurs différents. Pélagie rappelle donc ladite procédure. Lorsqu’elle demande de la

répéter, il n’y a pas de volontaire pour le faire. Face à ce second silence, Pélagie donne encore

elle-même la procédure.

Pélagie : C’est une leçon que vous avez déjà faite, la, les euh, la comparaison des fractions. C’est un peu ça. Onhon, donc, entre deux fractions qui ont un même dénominateur euh, qui ont un même numérateur et des dénominateurs différents, la plus grande est celle qui a le petit dénominateur. OK! (Annexe 3; Réalisation : L119-L122).

L’expression « c’est une leçon que vous avez déjà faite » prononcée par Pélagie suite au silence

des élèves à répondre semble traduire une conception particulière de l’enseignement des

mathématiques : un contenu vu en classe est supposé compris par les élèves.

Quatrième incident didactique : désaccord entre les élèves

Lors de la correction de la question écrite portant sur la révision de l’addition des fractions, un

premier élève effectue l’addition des fractions 7

3 +7

2 au tableau et trouve 7

5 . Un deuxième élève,

invité au tableau pour continuer avec une autre opération, revient sur l’opération 7

3 +7

2 . Il cherche à

réduire les fractions au même dénominateur «49».

Pélagie : Éééh! Est-ce que ici, c’est la peine de réduire au même dénominateur? Els : Non. Pélagie : On-on [non]; parce que c’est le même dénominateur non? Ici on a 7, ici on a 7. Ce n’est pas la peine de réduire au même dénominateur. C’est le deuxième que je te dis de traiter; le deuxième : trois demis plus un sixième. (Annexe 3; Réalisation : L141-L145).

Le deuxième élève à aller au tableau n’est pas le seul à avoir trouvé49

35 , car d’autres élèves ont

suivi la même démarche dans leur cahier de brouillon ou sur leur ardoise. Nous donnons un

exemple :

129

Cette surgénéralisation d’une procédure pourrait être la conséquence de l’effet Topaze déjà

observé. Le désaccord entre les élèves trouve sa solution dans la simplification de 49

35 pour

obtenir 7

5.

Cinquième incident didactique : désaccord entre Pélagie et un élève

Pour la réalisation de la première activité mathématique qui porte sur la résolution du problème

relatif à la quantité d’oranges consommée par un bébé au bout de cinq jours s’il en consomme le

tiers d’une orange par jour, Pélagie utilise des disques en papier [pour les oranges]. Elle fractionne

chaque disque en trois parties égales par pliage et met ces disques à la disposition des élèves.

Pélagie, en utilisant des disques, insère une manipulation d’un objet concret lors de la réalisation

de la leçon, une phase d’action. Elle demande aux élèves de colorier un tiers de chacun des cinq

disques qu’elle a mis à la disposition des groupes de travail afin de trouver la solution au problème

donné. Un groupe est constitué des élèves d’une même table, soit deux à trois élèves. Pélagie

cherche par la suite à avoir des élèves une réponse sur la quantité d’oranges consommée par le

bébé en cinq jours.

Pélagie : OK! Nous allons voir combien de parts, quelle quantité d’oranges la maman donne au bébé au bout des 5 jours. Pour cela, qu’est-ce que nous allons faire? Oui [pour désigner un élève]. El : Nous allons prendre le 1 tiers multiplié par 5. Pélagie : Comment ça là, le 1 tiers multiplié par 5? On a dit que la maman donne 1 tiers d’orange pendant 5 jours. Donc, nous allons commencer à compter : 1 tiers aujourd’hui; 1 tiers demain; 1 tiers après-demain et comme ça jusqu’à 5 jours, et ensemble, nous allons voir quelle quantité, l’enfant a consommé. C’est pas plus facile? (Annexe 3; Réalisation : L220-L226).

La proposition ci-dessus d’un élève paraît répondre à la question du problème. Pélagie, qui ne

s’attend pas à cette réponse, fait une proposition en menant une intervention conforme à sa

planification. Ainsi, au moment de la présentation des solutions des élèves, elle utilise un style

explicatif révélant sa propre procédure de résolution du problème.

130

Pélagie a prévu un comptage et elle s’attend à ce que l’élève passe par ce canal. L’élève ne saura

pas pourquoi sa réponse n’est pas acceptée. Cette intervention, manifestation d’une adaptation

normative, révèle une conception des mathématiques de Pélagie : une application de procédures

précises.

Sixième incident didactique : désaccord entre Pélagie et un élève

En rappel, dans la deuxième activité mathématique, les élèves ont pour tâche de tracer deux

segments, de les fractionner et de colorier certaines parties de ces segments. À l’exploitation des

dessins, Pélagie demande d’abord aux élèves de dénombrer les parties coloriées. Un élève s’est

mis donc à compter les parties coloriées, mais Pélagie semble retourner à sa planification et

change d’avis. Elle souhaite que l’élève énumère les fractions.

Pélagie :… Quelqu’un pour compter le nombre de parties coloriées sur sa feuille. Toi là-bas. El : Une partie coloriée, 2 parties coloriées Pélagie : 2 sur combien? Il ne faut pas dire parties coloriées. Compte seulement, 1? El : 1 Pélagie : Non, non. 1 sur combien? El : C’est 1 tiers. Pélagie : C’est 1 tiers? [Des élèves répondent non]. El : 1 cinquième, 2 cinquièmes, 3 cinquièmes. (Annexe 3; Réalisation : L343-L351).

La situation nécessite une réorganisation immédiate de la pensée de l’élève pour accéder à la

nouvelle demande. Ce tâtonnement occasionne chez l’élève une réponse qui émane des résultats

de la précédente tâche où les élèves ont dénombré des tiers à l’intérieur du disque. L’adaptation

normative réalisée par Pélagie semble émerger des premières réponses des élèves qui les

conduisent à dénombrer et à comparer comme pour le cas du sens rapport de la fraction.

Septième incident didactique : gestion d’une erreur

Pélagie fait répéter plus de 14 fois la procédure sur la multiplication d’une fraction par un nombre

entier naturel. Sa démarche semble de provoquer une mémorisation de cette procédure afin

d’obtenir, entre autres, des réussites à l’évaluation. En rappel, deux opérations et un problème

composent l’évaluation. L’énoncé du problème est le suivant :

131

« Moussa et ses six frères consomment chacun 4

1 de pain au petit déjeuner.

Combien de morceaux de pain consomment-ils? »

La résolution de ce problème amène l’élève à repérer l’entier naturel à multiplier avec la fraction 4

1

ou encore à ajouter la fraction à sept reprises. Pour la correction au tableau, tous les élèves font

une erreur d’interprétation. En effet, il y a 7 personnes et non 6. Cette erreur amène Pélagie à

poser successivement des questions.

El : Je fais 4

16

Pélagie : Comment ça 4

16? Qui sont ceux qui consomment le pain? C’est

combien de personnes qui consomment le pain? El : multiplié par 7. (Annexe 3; Réalisation : L468-L471).

La conduite du questionnement suite à cette erreur amène Pélagie à créer un effet Topaze. En

effet, son discours dévoile implicitement le nombre de personnes à considérer dans le calcul après

la réponse erronée de l’ensemble des élèves lorsqu’elle dit : «C’est combien de personnes qui

consomment le pain?» Elle cherche à attirer l’attention des élèves sur l’interprétation à donner à

l’énoncé du problème afin de provoquer leur réussite. Cette intervention montre qu’elle se

préoccupe de l’erreur lorsque tous les élèves la produisent.

Huitième incident didactique : gestion des erreurs

À la fin de la correction du problème, Pélagie fait une vérification des réussites aux questions de

l’évaluation.

Pélagie : […]. OK, qui sont ceux qui ont trouvé les 3? Les trois? Personne? Tu as trouvé les trois? [En s’adressant à un élève] OK, les deux opérations? [Beaucoup d’élèves lèvent le doigt]. Qui a trouvé le problème? Qui a trouvé le problème? [Deux élèves lèvent le doigt]. OK, c’est bien. Qui a trouvé bon; des trois, qui a trouvé 2? [Des élèves lèvent le doigt]. Qui a trouvé 1? [Il y eut des mains levées]. Qui n’a rien trouvé? Qui n’a rien trouvé? [Il y eut des mains levées]. (Annexe 3; Réalisation : L482-L488).

Pélagie reprend son appréciation des réussites avant les simplifications des fractions. Elle semble

ainsi assimiler la réussite des élèves à leur compréhension. Des élèves ont appliqué la procédure

132

de calcul dans les deux opérations, mais ils n’ont pas simplifié leurs résultats. Lors de cette

évaluation, comme dans le calcul mental et dans le contrôle de prérequis, Pélagie ne s’attarde pas

sur les non-réussites. Elle se conforme au contenu de sa planification.

Neuvième incident didactique : gestion d’une réponse incomprise

Après le calcul de 6

712 donné à l’exercice d’évaluation, le résultat

6

84 trouvé est simplifié.

L’élève qui effectue la simplification trouve comme résultat final 1

14 . Pélagie dit à l’élève d’écrire

14 seulement : « Est-ce qu’on écrit 1

14 ? Écris 14 seulement ». (Annexe 3; Réalisation : L463). Un

élève manifeste son incompréhension.

El : Je ne comprends pas quand on a trouvé 1

14 et puis, vous avez dit de laisser le 1.

Si on laisse le 1, est-ce que ça peut aller?

Pélagie : Mais, est-ce que si on écrit 1

14 comme ça, ça veut dire quelque chose? Si

on dit 14 divisé par 1, un nombre divisé par 1 est égal au nombre lui-même non? Els : Oui Pélagie : Donc si vous écrivez ça, c’est comme si vous ne savez pas que 14 divisé par 1 est égal à 1. Puisque la fraction c’est comme une division non? El : Oui.

Pélagie : Donc, si vous écrivez 1

14 c’est comme si vous ne savez pas qu’un nombre

divisé par 1 est égal au nombre lui-même. Quoi d’autre? C’est bon? Els : Oui. (Annexe 3; Réalisation : L563-L573).

Cette phase d’institutionnalisation conduit Pélagie à adopter un style explicatif, ce qui pourrait être

une manifestation de sa conception de l’enseignement : l’enseignement transmissif.

En conclusion

Nous relevons neuf incidents didactiques lors de la réalisation de la leçon. Les incidents

didactiques sont dus à des erreurs et leur gestion (deuxième, septième et huitième incidents

didactiques), à des désaccords entre les acteurs de la classe (quatrième, cinquième et sixième

incidents didactiques), à des silences (troisième incident didactique) et à des réponses

incomprises (premier et neuvième incidents didactiques). Trois incidents didactiques sont à

l’origine d’adaptations de Pélagie. Le premier incident didactique génère une adaptation

133

d’évitement. Des adaptations normatives sont survenues lors des cinquième et sixième incidents

didactiques.

Lors de la réalisation de certaines tâches mathématiques, Pélagie semble très présente, c’est-à-

dire qu’elle oriente le travail des élèves. Par exemple, elle prescrit la procédure additive pour

réaliser 3

15. Son style explicatif de la leçon produit des effets Topaze. Par exemple, lors du

neuvième incident didactique, une gestion d’une réponse incomprise, elle adopte le style

transmissif afin de justifier la notation « 14 » au lieu de «1

14». Pélagie semble aussi concevoir que

toute notion mathématique vue en classe est supposée comprise des élèves lors du troisième

incident didactique. Nous relevons au septième incident didactique que Pélagie a fait répéter

plusieurs fois le savoir scolaire institutionnalisé. Elle semble, par cet acte, rechercher la

mémorisation de la procédure de calcul. Cette procédure semble faire apparaître le sens

«opérateur» de la fraction.

Le discours explicatif qui est suivi de la répétition de la procédure de calcul semble viser la réussite

des élèves afin d’atteindre l’objectif du cours. En outre, l’absence d’une compréhension des

erreurs commises et le dénombrement des réussites aux tâches d’évaluation traduit une autre

conception de l’apprentissage : « réussir et comprendre » sont synonymes. Cette conception s’est

révélée, notamment lors du huitième incident didactique.

Deux conceptions des mathématiques ont été aussi mises en évidence. Premièrement, Pélagie

semble considérer que les bonnes réponses et les procédures de calcul suffisent à l’élève pour

comprendre, exprimant ainsi que les mathématiques sont une discipline transparente. Elle

manifeste cette conception lors du premier incident didactique. Deuxièmement, au cinquième

incident didactique, elle semble manifester que les mathématiques consistent en une application

de procédures éprouvées. L’analyse de l’entrevue permettra de confirmer ou d’infirmer certaines

conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques que nous avons jusque-

là observées.

134


L’entrevue semi-dirigée vise à avoir une auto-évaluation de Pélagie de sa séance de leçon. Cette

auto-évaluation permet de constater les conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des

mathématiques. De plus, elle permet de connaître les compétences et les difficultés que Pélagie a

eues lors de la planification et de la réalisation de la leçon afin de comprendre ses choix.


Pélagie situe ses difficultés dans la planification de la leçon au niveau de l’approche Activity-

Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI-PDSI) qu’elle a appliquée.

Pélagie : Bon, un peu de difficultés parce que avec l’approche ASEI, c’est vrai qu’on a vu ça à l’école, mais quand même il y a des difficultés. (Annexe 3; Entrevue : L2-L3).

Elle décrit cette approche qui demande de prévoir des consignes et de faire travailler les élèves.

Elle compare également ce qui se fait dans l’ancienne méthode et dans l’approche ASEI-PDSI.

Pélagie : Bon, pour l’ancienne méthode, généralement, c’est le problème expliqué. On met le problème, on explique, on essaie de schématiser. Alors qu’avec l’ASEI-PDSI, ce sont les enfants mêmes qui travaillent. On ne voit même pas trop le rôle de l’enseignant. C’est aux enfants eux-mêmes de travailler. Et puis confectionner les fiches [pas eu de suite]. (Annexe 3; Entrevue : L8-L11).

Pélagie semble inviter à dépasser ses expériences d’ancien élève et à s’adapter à une nouvelle

stratégie d’enseignement. Ses difficultés seraient donc liées au changement dans le contenu de la

planification qui passe d’un contenu d’enseignement basé sur le savoir « à » enseigner à un

contenu d’enseignement centré sur l’élève. Elle a donc été aidée dans la tâche d’élaboration de sa

fiche [planification] de leçon par la directrice de l’école et l’enseignante titulaire de la classe du

cours moyen deuxième année (CM2).

Pélagie : Bon, la fraction, quand on a dit un cours sur la fraction, surtout avec la multiplication. Quand j’ai préparé, la directrice m’a demandé quel, bon, je voulais présenter… j’ai dit la multiplication. Bon, j’ai voulu préparer avec la méthode classique, genre le problème expliqué; mettre le problème et puis demander aux élèves de travailler. Quand elle m’a dit que non, il faut que les élèves manipulent, je me suis dit que ça, c’est impossible. Pour un cours sur les fractions, comment on peut multiplier une fraction par un nombre, ma première réaction était de dire que c’était

135

impossible. Bon, avec les conseils, tout ça là, c’est ça qui m’a permis de préparer le cours. (Annexe 3; Entrevue : L13-L19).

À l’écouter, Pélagie n’aurait pas planifié sa leçon en se référant à l’approche Activity-Student-

Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI-PDSI) sans l’aide qu’elle a reçue. Pourtant

elle connaît les avantages et les inconvénients dans l’application de cette approche.

Pélagie : Avantageux pour les élèves, c’est l’approche ASEI. Oui, parce qu’ils travaillent et on voit que quand c’est eux-mêmes qui agissent, ils mémorisent plus. Alors que pour l’ancienne méthode, on vient, on leur explique. Alors que lors de l’explication, il y a d’autres même qui ne sont pas attentifs. Et une fois qu’ils ne sont pas attentifs, ils ne trouvent pas. Alors qu’ici, ils agissent eux-mêmes. Pour les élèves en tout cas, c’est bon. […]

Toutefois, l’absence de matériel didactique et de documents pédagogiques adaptés pourrait rendre

fastidieuse sa pratique.

Pélagie : Par rapport à l’enseignant, c’est surtout au niveau de la préparation. Il y a trop de littérature et puis comme il faut donner les consignes, on a les livrets guides, mais pour la méthode classique, donc pour adapter, pour quitter la méthode classique à l’approche-là, c’est un peu difficile. Et puis la recherche du matériel aussi, c’est difficile. Il faut une préparation avant même le jour J. (Annexe 3; Entrevue : L99-L110).

Une autre difficulté que Pélagie aurait eue au cours de la séance de leçon semble venir de la non-

réussite des élèves à certaines de ces tâches mathématiques. Des cas d’incidents didactiques, par

exemple le deuxième, ont effectivement montré des effets Topaze à travers son discours explicatif.

Pélagie justifie ses discours en classe par le fait que les élèves n’apprennent pas ou qu’ils ne

révisent pas leurs leçons. Cette justification semble traduire une conception de l’enseignement :

tout contenu mathématique qui a fait l’objet d’un cours en classe est supposé assimilé par les

élèves. En outre, les reformulations de Pélagie donnent des éléments de réponses aux questions

qui sont posées. Cette pratique semble révéler une autre conception de l’enseignement :

l’enseignement de type transmissif.

Dans l’extrait ci-dessous, Pélagie semble encore manifester la conception de l’enseignement selon

laquelle un contenu vu en classe est supposé compris par les élèves.

136

Pélagie :… bon, c’est au niveau de la révision seulement que vraiment il y a eu le problème parce que vraiment ils n’ont pas appris. On sent qu’ils n’ont pas appris les leçons. (Annexe 3; Entrevue : L46-L48).

Une autre conception de l’enseignement de Pélagie : l’exécution intégrale du contenu planifié dans

le temps requis.

Pélagie : Bon, c’est revoir le temps puisque j’ai débordé. C’est revoir le temps et puis maintenant demander aux élèves de réviser avant de venir. (Annexe 3; Entrevue : L69-L70).


Pélagie a voulu s’appuyer sur les connaissances des élèves sur l’addition des fractions afin de

construire des connaissances sur la multiplication des fractions. Toutefois, elle se trouve confronté

à des difficultés des élèves sur l’addition des fractions.

Pélagie : […]. Sinon, ils savent que chaque nouvelle leçon, il faut une révision. Peut-être, ils ont dû réviser la dernière leçon avant de venir et comme ça ne coïncidait pas avec ma révision, voilà pourquoi il y a des difficultés. Puisqu’après chaque leçon, il y a la révision. (Annexe 3; Entrevue : L76-L80).

Son insistance sur le fait que les élèves ne révisent pas leur leçon avant de venir en classe semble

traduire que la mémorisation d’un contenu mathématique est nécessaire pour la réussite de

l’élève. L’invite à une mémorisation du savoir scolaire institutionnalisé semble être sous-tendue par

une conception de l’apprentissage : la réussite des élèves afin de justifier l’atteinte des objectifs de

cours.


Des erreurs sont commises par les élèves lors de la réalisation. Lors de l’entrevue, Pélagie dit

avoir effectivement constaté des insuffisances dans les travaux des élèves. Elle donne un exemple

sur l’addition des fractions.

Pélagie : Bon, des insuffisances, oui. Puisque même avec le petit rappel qu’on a fait sur l’addition et puis sur la soustraction, on a vu que même avec une opération de deux fractions ayant le même dénominateur, beaucoup cherchaient à mettre les fractions au même dénominateur, alors que ce n’était pas ça. (Annexe 3; Entrevue : L51-L54).

137

Elle pense que le fait de rappeler la procédure sur l’addition des fractions ayant des dénominateurs

différents dans le contrôle de prérequis justifierait le comportement de certains élèves qui ont

utilisé cette procédure, même si les fractions ont déjà le même dénominateur. Les élèves ont

appliqué de façon mécanique la procédure d’addition des fractions ayant des dénominateurs

différents. Pélagie n’ayant pas prévu cette manière de procéder des élèves semble manifester une

conception des mathématiques selon laquelle, elles sont transparentes.

En conclusion

Lors de la réalisation de la leçon, les reformulations de procédures de calcul faites par Pélagie

donnent des éléments de réponses aux questions qui sont posées. Elle justifie son discours en

classe par le fait que les élèves n’apprennent pas ou qu’ils ne révisent pas leurs leçons. Elle

semble manifester quatre conceptions de l’enseignement. Premièrement, elle conçoit

l’enseignement comme une transmission des connaissances. Deuxièmement, elle semble penser

que tout contenu mathématique vu en classe est compris par l’élève. Troisièmement, elle

recherche une exécution de la leçon planifiée dans le temps prévu. Quatrièmement, la

mémorisation d’un contenu mathématique permettrait à l’élève de surmonter ses difficultés. Enfin,

Pélagie semble concevoir l’apprentissage comme une juxtaposition des connaissances, et les

mathématiques comme une discipline transparente.

Pélagie, en recherchant des contenus de référence lors de ses tâches de planification de cours,

semble adopter la posture de l’ancien élève. De plus, les différentes conceptions de

l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques qu’elle manifeste lors de l’entrevue

semblent dire qu’elle accorde une importance au contenu « à » enseigner dans sa pratique de

classe.

3.3.4 Synthèse

Notre analyse de la planification, de la réalisation et de l’entrevue fait voir les composantes d’une

formation initiale (DeBlois, 2012) afin de cerner la logique de la pratique chez Pélagie.

138

Figure 8: Composantes de la formation initiale en jeu lors de la pratique d'enseignement et

d'apprentissage de Pélagie.

Le projet d’enseignement laisse voir l’utilisation de figures géométriques lors de sa réalisation.

Pélagie semble mettre les élèves au centre dans l’apprentissage de la multiplication d’une fraction

par un entier naturel, car elle organise les connaissances des élèves sur la base de leurs actions

afin de provoquer un apprentissage. À l’entrevue, elle affirme avoir planifié le cours selon

l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI-PDSI) ».

Lors de la réalisation de la leçon, des incidents didactiques dus, entre autres, à des erreurs et leur

gestion, à des désaccords entre les acteurs de la classe, à des silences et à des réponses

incomprises sont survenus. Pélagie manifeste une adaptation d’évitement et deux adaptations

normatives lors de la réalisation du cours. L’analyse de la planification, de la réalisation et de

l’entrevue ont révélé des conceptions de Pélagie de l’enseignement, de l’apprentissage et des

mathématiques qui pourraient expliquer ces adaptations.

139

La conception de l’enseignement, selon laquelle tout contenu mathématique qui a fait l’objet d’un

cours en classe est supposé compris par les élèves, apparaît, par exemple, au troisième incident

didactique. L’entrevue confirme cette conception à travers le récit de Pélagie qui justifie certaines

non-réussites des élèves par l’absence de révision des élèves des cours antérieurs. Elle justifie

également son style transmissif des connaissances développé lors de la réalisation par le fait que

les élèves n’apprennent pas leurs leçons. Le cinquième incident didactique est un cas de

développement d’un enseignement de type transmissif. La recherche de la mémorisation des

procédures est une autre conception de l’enseignement révélée lors de l’analyse de la réalisation

et de l’entrevue. En effet, Pélagie fait répéter plus de 14 fois la procédure de calcul sur la

multiplication d’une fraction par un entier naturel. Elle exprime lors de l’entrevue sa préoccupation

de voir achever le contenu de cours planifié dans le temps requis : une conception de

l’enseignement.

Lors du huitième incident didactique, Pélagie semble assimiler la réussite des élèves à leur

compréhension : une conception de l’apprentissage. De plus, en adoptant le style explicatif, elle

provoque les réponses qu’elle attend des élèves. La réussite des élèves lors de la réalisation de la

leçon est une autre conception de l’apprentissage de Pélagie. La non-réussite des élèves à

certaines tâches données en classe amène Pélagie, lors de l’entrevue, à insister sur la révision par

les élèves des savoirs antérieurs institutionnalisés avant chaque séance de cours.

La pratique d’enseignement/apprentissage de Pélagie semble aussi liée à ses conceptions des

mathématiques. Dès la planification, le contenu de la justification de la leçon (cf. sous-section

3.3.1; informations préliminaires), entre autres, semble illustrer la conception de Pélagie selon

laquelle les mathématiques sont un ensemble de techniques à faire apprendre aux élèves. Le

septième incident didactique semble révéler une autre conception des mathématiques :

l’application de procédures précises. De plus, Pélagie semble concevoir les mathématiques

comme une discipline transparente (cf. premier incident didactique). Cette conception est

confirmée lors de l’entrevue, car Pélagie, en revenant sur son rappel de la procédure sur l’addition

des fractions, ne s’attendait pas à ce que les élèves appliquent la procédure de réduction des

fractions au même dénominateur pour additionner deux fractions ayant déjà le même

dénominateur.

140

En conclusion, planifiée selon l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-

See-Improve (ASEI-PDSI) », la pratique de classe de Pélagie se révèle comme une approche

transmissive des connaissances. Elle utilise un style explicatif et un mode apport des procédures

mathématiques lors de la réalisation de la leçon. Les adaptations normatives, l’adaptation

d’évitement et le style transmissif de l’enseignement sont caractéristiques de la posture de l’ancien

élève adoptée par Pélagie lors de sa pratique. De plus, les différentes conceptions de

l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques, manifestées par Pélagie lors de la

planification de la leçon, de la réalisation du cours ou de l’entrevue, semblent exprimer qu’elle

privilégie les savoirs mathématiques « à » enseigner : une caractérisation également de la posture

de l’ancien élève.

3.4 Leçon sur la division des fractions planifiée et vécue par Poko

Poko planifie une leçon sur la division des fractions. Dans le manuel scolaire, cette leçon vient

après celles sur l’addition et la soustraction des fractions et sur la multiplication des fractions

(MEBA/DGRIEF, 2010; p. 130-134).



Poko, en inscrivant « ASEI/PDSI » au début de sa fiche de leçon [planification], nous informe

qu’elle suit le modèle de l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-

Improve » (ASEI-PDSI) pour la planification du cours. Les autres informations préliminaires

contenues dans sa planification sont : le thème; le titre; la durée; la date; la classe; l’effectif; la

justification; les objectifs de la leçon; le matériel (annexe 4; Contenu de la planification). La division

des fractions correspond au titre que Poko donne à la leçon dont le thème est : les fractions. Elle

prévoit une (1) heure pour la réalisation de la leçon dans une classe du cours moyen deuxième

année (CM2) [6e année de scolarité]. Cette classe compte 38 élèves dont 18 garçons et 20 filles.

Cet effectif nous semble moindre que le ratio élèves/maître 54,3 au primaire.

Poko vise à la fin de la séance de cours que l’élève de la classe puisse trouver l’inverse d’une

fraction et effectuer des calculs où interviennent la division d’une fraction par un nombre entier

naturel et la division de deux fractions. Elle justifie l’enseignement/apprentissage de la leçon sur la

141

division des fractions en ces termes : « les élèves n’utilisent pas couramment les fractions, mais

elles sont très importantes dans les études. C’est pour cela que nous allons les étudier dans ce

chapitre » (annexe 4; Contenu de la planification). Elle met ainsi en relief l’importance de la fraction

dans le cursus scolaire de l’élève sans indiquer l’importance des fractions en dehors de l’école. En

ce qui concerne le matériel, elle fait la liste d’un matériel collectif pour la leçon (orange, couteau,

craies, tableau mural, règle) et d’un matériel individuel (cahiers d’exercices, stylos à bille, règles).


À la suite des informations préliminaires, Poko décrit le déroulement de la leçon. Elle y prévoit trois

étapes qui sont : 1) introduction (10 minutes); 2) développement (35 minutes); 3)

conclusion/Évaluation (15 minutes). Elle prend soin d’affecter un temps à chaque étape. La

première étape, l’introduction, comporte le calcul mental, le rappel des prérequis et la phase de

motivation extrinsèque des élèves. Pour le calcul mental (annexe 4; Contenu de la planification),

les énoncés sont les suivants :

Exercice 1 : Chaque matin, les quatre vaches de Barry donnent 12 litres de lait. Combien de litres de lait donne une seule vache?

Exercice 2 : 4 sachets de coton pèsent 36g. Calcule la masse d’un seul sachet de coton.

Exercice 3 : Effectue 56 4=?

Dans le livre de mathématiques de l’élève des classes du cours moyen première et deuxième

années (MEBA/DGRIEF, 2010), une procédure consiste à trouver la moitié de la moitié du

nombre ; exemple : « 36 4 = (36 2) 2 = 18 2 = 9 » (p. 130). Les deux problèmes touchent le

sens partage de la division alors que le dernier exercice correspond à l’opération. Les opérations à

effectuer dans le calcul mental prévu exigent toutes des divisions de nombres entiers naturels par

4. Toutefois, l’insertion de ces calculs dans un contexte, comme celui des deux premiers

problèmes, exige de repérer les relations de partage équitable entre les données pour y

reconnaître l’opération à réaliser. Le calcul mental est proposé sous la forme d’une approche par

les contenus. L’élève travaille seul et propose un résultat. Ces opérations visent, entre autres, le

développement de techniques opératoires et d’automatisme chez l’élève.

Poko propose pour le contrôle des prérequis les deux calculs et le problème suivants :

142

Effectue les opérations suivantes : 3

5 2

1 =? ; 7

5 5=?

Un litre d’huile pèse 3 kg. Calcule la masse de 5

4 l de cette huile.

Ces tâches mathématiques concernent le sens opérateur d’une fraction. L’élève cherche les

réponses aux tâches mathématiques posées par son travail personnel. Le contrôle de prérequis

est proposé sous la forme d’une approche par les objectifs. En effet, il est une occasion de

rappeler les procédures de calcul sur la multiplication d’une fraction par un entier naturel et la

multiplication de deux fractions institutionnalisées dans de précédents cours. À la suite de ce

contrôle de prérequis, Poko envisage de communiquer à la classe la justification et les objectifs

spécifiques de la leçon du jour, afin de les motiver à suivre la leçon.

Au début de la deuxième étape, Poko prévoit une situation problème dont le contenu est le

suivant :

Situation problème : Maman divise une orange en quatre parties égales. Elle veut

partager les 4

3 de l’orange à ses trois enfants. Calcule la part de chacun.

Poko considère cet énoncé comme un problème puisqu’elle écrit «situation problème». Le sens

« partie d’un tout » de la fraction et le retrait apparaissent dans cet énoncé. Poko poursuit dans sa

planification avec le libellé ci-dessous :

Consigne 1 : 3

2 ; 2

3 . Quelle remarque faites-vous du numérateur de la première

fraction et le dénominateur de la deuxième fraction?

L’algorithme de division des fractions consiste à inverser la deuxième fraction et à la multiplier par

la première. La question posée semble s’inscrire dans un objectif : évoquer l’inverse d’une fraction.

En effet, un des objectifs de la leçon est «l’élève sera capable de déterminer l’inverse d’une

fraction» (Annexe 4; Planification). La tâche proposée vise l’atteinte de cet objectif de cours. Sa

réalisation semble donc s’inscrire dans une approche par objectifs.

À la suite de cette consigne, deux autres consignes sont successivement prévues dans la

planification. Poko a prévu dans sa planification des réponses qu’elle attend des élèves lors de la

réalisation de ces deux tâches mathématiques. Nous avons noté ci-dessous ces réponses en

italique.

143

Consigne 2 : Repartons en haut à la situation problème. - Calcule la part de chacun.

La part de chacun est de : 4

3 3=34

3

=

12

3 =43

13

=4

1 .

Chacun a 4

1 de l’orange.

- Comment faire pour diviser une fraction par un nombre? Pour diviser une fraction par un nombre, on multiplie ce nombre par le dénominateur de la fraction et on garde le numérateur.

Consigne 3 : L’aire d’un mouchoir rectangle est de 3

4 m2. La largeur est 2

1 m. Calcule

sa longueur. La longueur est de : L=A l.

3

4 1

2 =13

24

=3

8 m L=3

8 m.

- Comment avons-nous procédé pour trouver la longueur? Nous avons pris la première fraction et multiplié par l’inverse de la deuxième fraction. - Comment faire pour diviser une fraction par une fraction? Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie cette faction par l’inverse de l’autre.

À cette étape, Poko considère comme une consigne, par exemple, l’énoncé «L’aire d’un mouchoir

rectangle est de 3

4 m2. La largeur est 2

1 m. Calcule sa longueur». Les problèmes proposés relèvent

du champ conceptuel des structures multiplicatives. La « situation problème » est relative à un

problème de partage dans le sens d’une division. Le deuxième problème semble se rapporter à un

quotient de dimensions. En outre, ils ne semblent pas exiger plus d’une étape pour leur résolution.

Enfin, les termes des fractions données sont inférieurs à 10. Dans la recherche de la longueur du

mouchoir, une familiarité avec la notion d’aire d’un rectangle permet à l’élève de repérer l’opération

de division. Aucune forme d’organisation de la classe n’est notée pour la réalisation de ces tâches

mathématiques en classe. Les interactions prévues portent sur les procédures plutôt que sur le

raisonnement. Encore une fois, en regard du libellé des consignes, la réalisation de ces deux

tâches semble s’inscrire dans une approche par les objectifs avec des phases

d’institutionnalisation de deux procédures de calcul. Premièrement : «Pour diviser une fraction par

un nombre, on multiplie ce nombre par le dénominateur de la fraction et on garde le numérateur».

Deuxièmement : «Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie cette faction par l’inverse

de l’autre».

144

La troisième et dernière étape est celle de la conclusion et de l’évaluation. Dans la conclusion,

Poko va solliciter ce que les élèves ont retenu de la séance de cours, l’utilité de la division des

fractions dans la vie courante et le lien entre la leçon du jour et celle à venir sur les fractions. Ce

travail collectif correspond à une phase de formulation. Les procédures sur l’inverse d’une fraction,

sur la division d’une fraction par un entier naturel et sur la division de deux fractions seront

institutionnalisées. Au niveau de l’évaluation, Poko envisage de donner deux items qui sont des

applications directes des procédures de calcul qui seront données au cours de la leçon. Elle pourra

ainsi juger de l’atteinte de ses objectifs de cours. Les énoncés des tâches proposées sont les

suivants :

a) Détermine l’inverse de chacune des fractions suivantes : 11

25 ; 15

14 .

b) Effectue les opérations : 3

2 5; 4

5 7

1 .

Elle ajoute un problème de défi additionnel41 et un exercice de remédiation42 dans sa planification.

Problème de défi additionnel : 15 litres d’essence ont coûté 5 700 francs. On en

consomme 2

1 litre par jour. Calcule le nombre de jours qu’il faudra pour consommer

toute l’essence, puis calcule la dépense journalière.

Exercice de remédiation : Calculer : 4

5 3; 2

3 3

1 .

Le problème posé fait intervenir une division de fraction dans la recherche d’une contenance (la

recherche de la quantité de ½ dans 15) et de partage équitable (5700 francs partagés également

en 30 jours). La recherche d’une relation proportionnelle pourrait permettre d’identifier la dépense

quotidienne. Le problème de défi additionnel semble construit sur l’objectif suivant : « diviser un

entier par une fraction » (MEBA/DGRIEF, 2010; p. 130). Le problème est issu du manuel scolaire

(MEBA/DGRIEF, 2010; p. 133). Toutefois, l’exercice de remédiation présente uniquement des

calculs. Poko achève sa planification en prévoyant du temps pour que les élèves formulent leur

appréciation de la séance de cours.

41 Le problème de défi additionnel est prévu pour les élèves qui terminent rapidement les exercices lors de l’évaluation formative. 42 Les exercices de remédiation sont prévus pour les élèves qui ont eu des difficultés dans les exercices lors de l’évaluation formative.

145

En conclusion

Poko prévoit aborder l’inverse d’une fraction, la division d’une fraction par un nombre entier naturel

et la division de deux fractions. Ella a prévu deux problèmes et un exercice pour le calcul mental,

deux exercices et un problème pour le contrôle de prérequis, deux questions sur l’inverse d’une

fraction, un problème sur la division d’une fraction par un entier naturel, un problème sur la division

de deux fractions et des exercices d’évaluation. Les tâches mathématiques sont écrites sans

préciser comment la stagiaire et les élèves vont s’y prendre pour arriver à énoncer des savoirs

scolaires à institutionnaliser. Une application des procédures mathématiques sur la division d’une

fraction par un entier naturel et sur la division de deux fractions semble être le but poursuivi à

travers le contenu de la planification. Le projet d’enseignement vise des objectifs spécifiques à

atteindre à la fin de la séance de cours et les tâches mathématiques élaborées se référeraient

auxdits objectifs. Le développement d’une approche par les objectifs avec des phases

d’institutionnalisation semble caractériser le projet d’enseignement des notions à l’étude.


Nous étudions les incidents didactiques et les types d’adaptation intervenus lors du déroulement

de la séance de cours. Nous dénombrons sept incidents didactiques dont deux ont été à l’origine

d’adaptations normatives. Les incidents didactiques sont souvent dus à des erreurs et à leur

gestion.

Premier incident didactique : gestion des erreurs

Poko utilise le procédé La Martinière43 pour présenter les exercices de calcul mental dont deux

sont contextualisés dans des problèmes de partage. Ces exercices se ramènent à des divisions de

nombres entiers naturels par 4 (12 4 ; 36 4 ; 56 4). La pratique de cette activité recommande

après le premier calcul qu’une procédure de calcul soit formulée (12 4 = (12 2) 2 = 6 2 = 3).

43 Pour la pratique du procédé La Martinière (PLM), l’enseignant pose le problème une fois lentement et distinctement.

Il donne un temps de réflexion suffisant aux élèves. Il veille en ce moment à ce que personne n’écrive, pour cela, il fait lever les crayons, les coudes sur la table. Un premier coup de règle donne le signal pour écrire. Au deuxième coup de règle, qu’ils aient fini ou non, tous les élèves posent la craie ou le crayon sur la table. Il s’en suit la correction au tableau et l’explication de la procédure concernée avec la participation des élèves. Un troisième coup de règle invite les élèves qui ont trouvé la réponse à lever les ardoises, le résultat tourné vers le maître qui contrôle en appréciant les réponses justes par "bien". Les élèves qui n’ont pas trouvé corrigent sur les ardoises. Cette correction est vérifiée par le maître. En dernier et quatrième coup de règle, les élèves effacent et la séance se poursuit selon le même processus.

146

Toutefois, cette formulation ne se fait pas. Il n’y a donc pas eu de phase de formulation et

d’institutionnalisation d’une procédure de calcul lors de la réalisation du calcul mental.

Devant la réponse erronée d’un élève, Poko a interrogé un autre élève pour obtenir la bonne

réponse.

Poko : […]. Levez les bics, coudes sur la table. 36 eh ! 56 divisé par 4 égale combien? 56 divisé par 4 égale combien? [1er coup de règle sur la table à 04mn 20s suivi d’un 2e coup de règle sur la table à 04mn 28s.] 56 divisé par 4 égale combien? Oui. El1 : Égale 16 Poko : Non. El2 : Égale 14. Poko : Égale 14. Viens écrire. [L’élève passe écrire 14 au tableau]. C’est bien. (Annexe 4; Réalisation : L31-L38).

Nous posons l’hypothèse selon laquelle la bonne réponse identifiée par un élève permet aux

autres qui ont fait des erreurs de comprendre. Poko semble assimiler la réussite à la

compréhension, car elle ne demande pas aux élèves d’expliciter leur procédure de calcul. Cela

pourrait émerger d’une conception selon laquelle les mathématiques sont transparentes. En outre,

les coups de règle sur la table ont pour but de réguler l’exécution des consignes de la tâche, le

calcul mental contribuant au développement d’automatisme chez l’élève.

Deuxième incident didactique : une rupture de contrat didactique

Dans un exercice de contrôle de prérequis, il est question de calculer la masse de 5

4 de litre d’une

huile dont le litre pèse 3 kg. Nous constatons que dans un premier temps, Poko accepte l’écriture

« 35

4 » à travers sa réponse « oui » dans l’extrait ci-dessous. Par la suite, elle demande une

réécriture du calcul sous la forme «5

4 3, sans évoquer la commutativité.

El : La masse de 5

4 de litre d’huile est : 35

4 .

Poko : oui

147

El : 3 fois 4 12. 12 divisé par 4. Els : 5 ; 5 El : 12 divisé par 5. Dans 12 il y a combien de fois 5? Il y a 2 fois. Poko : Est-ce qu’on peut? Sous forme de fraction; écris sous forme de fraction.

C’est? Efface ce que tu as écrit là-bas là, 3 multiplié par truc là. C’est 5

4 3 non?

Els : Oui.

Poko : C’est sous forme de fraction. 5

4 multiplié maintenant par 3. 5

4 3?

Els : 5

12 . (Annexe 4; Réalisation : L76-L85).

La multiplication d’une fraction par un entier naturel et la multiplication d’un entier par une fraction

sont des notions qui ont été vues dans le chapitre sur la multiplication des fractions qui précède ce

chapitre sur la division des fractions. Les élèves semblent avoir l’habitude de donner les mesures

de longueur, de poids ou de capacité sous forme de nombres entiers naturels ou de nombres

décimaux. L’élève cherche donc à trouver un résultat sous forme d’un nombre décimal lorsqu’il dit

« Dans 12, il y a combien de fois 5 ». Mais Poko amène l’élève à donner le résultat sous forme de

fraction. Elle semble ainsi refuser l’écriture sous forme décimale la réponse au calcul. Le refus de

Poko de la notation « 35

4 » et de la réponse sous forme décimale du calcul semble une rupture

dans les habitudes de notations des élèves. Poko semble manifester une conception des

mathématiques selon laquelle elle doit se conformer à ses notations mathématiques planifiées.

Elle se ramène ainsi au contenu de sa planification et manifeste une adaptation normative.

Troisième incident didactique : un désaccord dans la classe

Nous avons noté dans l’analyse de la planification que Poko a prévu un problème de division où le

sens partage est privilégié. Une mère veut partager les 4

3 d'une orange à ses trois enfants. Poko

passe par la manipulation d’un matériel pour amorcer l’apprentissage de la notion à l’étude. Elle

utilise l’orange et le couteau qu’elle a amenés pour concrétiser le partage.

148

Poko : […]. Donc nous allons diviser ça ensemble et calculer la part de chacun. [Elle prend l’orange.] L’orange a été divisée en combien de parties? Els : En 4 parties. Poko : En quatre parties. [Elle se met à couper l’orange en 4 parties]. Combien de parties de l’orange qu’elle veut partager à ses trois enfants? Oui! El : Elle veut partager les trois quarts de l’orange à ces trois enfants. Poko : Elle veut partager les trois quarts de l’orange à ces trois enfants. Donc, nous allons partager. Elle a enlevé comme ça, ça c’est pour elle et les trois quarts pour partager à ses trois enfants. Selon vous quelle sera la part de chacun ici? Quelle sera la part de chacun ici? Oui! (Annexe 4; Réalisation : L104-L112)

La manipulation amorcée par Poko à travers le fractionnement de l’orange en quatre parties égales

et son commentaire a conduit un élève à donner la réponse « un quart » pour la part de chacun

des trois enfants. Poko souhaite une justification de la réponse. Un désaccord intervient entre

Poko et certains élèves dans la détermination de la part de chaque enfant dans le partage des 4

3

de l’orange entre les trois enfants. Des élèves, dont Maria, proposent le calcul suivant : 3 ÷3.

El : 4

1.

Poko : 4

1. Comment tu as fait pour trouver

4

1 ? Oui Maria.

Maria : 3 divisé par 3.

Poko : 3 divisé par 3 ; non! C’est les 4

3 qu’elle veut partager à ses 3 enfants. Lui, il a

dit que chacun aura 4

1.

4

1, tu as fait comment pour trouver

4

1 ? Oui!

El : J’ai fait : 4

3 divisé par 3.

[…]

El : le chiffre, le numérateur divisé par le chiffre et je garde le dénominateur. […]

Poko : divisé par le nombre. C’est comme ça ? Non ! Ce n’est pas comme ça. On peut faire comme ça, mais ce n’est pas ce que moi je veux pour que ça soit facile. Oui, viens.

149

[…]

Poko : Non, non. Viens je vais t’aider. Suivez, suivez. Donc ça sera 4

3 3= ; donc

nous allons faire 34

3

=

12

3. On peut simplifier ? (Annexe 4; Réalisation : L113-L140).

Poko est revenue sur son appréciation sur la procédure des élèves (4

33) pour reconnaître la

véracité de leur proposition. Mais elle propose le calcul 34

3

qui donne aussi

4

1 après

simplification. Le comportement de Poko semble orienté vers la procédure de calcul à

institutionnaliser. Elle souhaite que les élèves s’approprient cette procédure de calcul. Or, les

élèves, en utilisant une autre procédure qui donne la bonne réponse, semblent persister dans leur

procédure de calcul qui semble dictée par la situation : le partage de trois quarts d’une orange à

trois personnes.

L’appréciation de Poko semble une manifestation de sa conception des mathématiques : un

ensemble de techniques à utiliser. Cette conception la conduit à une adaptation normative en

rapport à la procédure présentée dans sa planification.

Quatrième incident didactique : une erreur de formulation d’une procédure

Deux propositions de procédure de calcul sur la division d’une fraction par un nombre entier

naturel sont énoncées; l’une par un élève et l’autre par Poko.

El : Pour diviser une fraction par un nombre, on prend le dénominateur, multiplié par le nombre et on garde le numérateur. Poko : Très bien. Donc pour multiplier une fraction par un nombre entier, on prend le dénominateur multiplié par cette fraction et on garde le numérateur. On pouvait même faire, on pouvait même dire que pour diviser une fraction, pour diviser une fraction par un nombre entier, on prend cette fraction divisée par l’inverse de la, du nombre. (Annexe 4; Réalisation : L147-L152).

Poko reprend l’énoncé de l’élève et souhaite ajouter la procédure de multiplication de fractions

(première fraction multipliée par la fraction obtenue en inversant le nombre entier naturel). Mais

des erreurs sont apparues dans son intervention. En effet dans sa formulation de la procédure, elle

parle de « diviser par l’inverse » au lieu de « multiplier par l’inverse ». Poko semble avoir comparé

la procédure de l’élève et la sienne et elle établit celle de l’élève comme savoir. C’est d’ailleurs la

150

procédure contenue dans le manuel de classe (MEBA/DGRIEF, 2010 ; p. 132) et dans la

planification de Poko. Elle semble rechercher une application de procédures précises qui est une

conception des mathématiques, car elle se conforme aux procédures établies dans son manuel

scolaire.

Cinquième incident didactique : une erreur et sa gestion

Poko veut étayer la procédure de division d’une fraction par un entier naturel qu’elle a énoncée à

travers une question sur l’exemple «4

3 3 =

4

3

3

1». Les élèves n’ont pas pu donner l’inverse du

nombre entier naturel 3.

Poko : […]. Donc, si on vous demande l’inverse de 3, c’est combien? L’inverse de 3, c’est combien? L’inverse de 3? El : 4.

Poko : L’inverse de 3, je dis de 3. L’inverse de 3, l’inverse de 3, c’est3

1 . Vous voyez

non. (Annexe 4; Réalisation : L152-L155).

Les élèves ne réussissent pas non plus à déterminer l’inverse de 2

1 .

Poko : […]. Mais,3

4 2

1 , lui il a dit que il a fait 4 2 et puis 1 3, c’est bien. Nous

pouvons dire que pour diviser une fraction par une fraction on prend la première fraction et on multiplie par l’inverse de la deuxième fraction. La première fraction ici,

c’est combien? C’est 3

4 multiplié par l’inverse de 2

1 .

Els : C’est 3

2 .

Poko : 3

2 ; 2 combien? 2 sur 1. Donc ça sera égal à 3

4 2

1 =3

4 1

2 =31

24

=3

8 m.

(Annexe 4; Réalisation : L196-L201).

Cette intervention ne donne pas le résultat escompté. En effet, n’étant pas familiers avec l’inverse

d’une fraction ou d’un entier naturel, les élèves n’en saisissent pas le rôle. Or, dans le cas de la

division des fractions, l’inverse nous fait passer de la division à la multiplication des fractions. Ils

semblent considérer plutôt 3

2 , comme l’inverse de2

1 . Une autre interprétation possible est qu’ils

utilisent le nombre 3

2 de l’écriture 31

24

qu’un élève a posée au tableau dans la réalisation de

151

l’opération 3

4 2

1 . Dans les deux cas de détermination de l’inverse de nombres, Poko donne elle-

même les réponses. L’effet de contrat, « le paradoxe du comédien », apparaît. Elle semble ainsi

manifester une conception transmissive de l’enseignement.

Sixième incident didactique : gestion du temps didactique

Ram est envoyé au tableau pour trouver une réponse à la première question de l’exercice

d’évaluation.

Poko : […]. Oui, Ram vient. Suivez; déposez les bics et vous suivez au tableau. Tu

écris en bas dans la colonne 3. Tu mets correction. Fais vite. 11

25 ; l’inverse de

11

25,

c’est combien? [Poko reprend la question en parcourant des yeux la classe].

11

25 ; l’inverse de

11

25, c’est combien? [Elle ne donne pas le temps à Ram au tableau

de répondre. Elle interroge un autre élève].

El : 25

11.

Poko : [elle dit à Ram]. Tu écris25

11.

Ram : [il veut donner l’inverse de l’autre fraction]. L’inverse de Poko : C’est bien quelqu’un d’autre. [Ram est remplacé]. (Annexe 4; Réalisation : L275-L284).

Ram n’a fait qu’écrire le résultat dicté par son camarade. Poko semble être préoccupée par la

gestion du temps qu’elle n’offre pas un temps de réflexion à Ram. Dès le début de la réalisation,

elle manifeste cette préoccupation. En effet, lorsque les élèves cherchent leur matériel didactique

(feuille, stylos à bille, crayon…) pour s’installer, ses premiers mots sont : « Faites vite! Faites

vite! » (Annexe 4; Réalisation : L1). Elle répète d’ailleurs aux élèves cette expression quand ils

réalisent une tâche mathématique. Ce fut aussi le cas juste avant que Ram ne soit désigné pour

aller au tableau.

Poko : Ça là même, ça ne dépasse pas 5 minutes. Faites vite on va corriger. C’est fini? Qui a fini? C’est combien de minutes vous voulez prendre pour faire ça? Faites vite on va corriger. [Elle dit cela en tapant des mains]. (Annexe 4; Réalisation : L267-L269).

La planification d’une leçon selon une approche par les objectifs semble nécessiter une vérification

de l’atteinte des objectifs à la fin de la leçon. Notre analyse de la planification montre que les

152

tâches mathématiques semblent être planifiées dans un schéma d’une approche par les objectifs.

Poko semble faire une course contre la montre afin d’achever dans le temps requis ce qu’elle a

programmé et de vérifier l’atteinte de ses objectifs de cours. Cette situation manifeste d’une part de

sa conception de l’enseignement des mathématiques : une exécution intégrale du contenu planifié

dans le temps requis. D’autre part, l’atteinte des objectifs de la leçon suppose une réussite des

élèves. Cette conception de l’apprentissage semble amener Poko à vouloir des élèves une

mémorisation des procédures de calcul. En effet, elle fait répéter cinq fois la procédure de la

division d’une fraction par un entier naturel et quatre fois celle de la division d’une fraction par une

fraction après leur institutionnalisation.

Septième incident didactique : une erreur et sa gestion

Lors de la correction de l’opération 3

2 5, un élève écrit au tableau : 3

2 5=3

52 . Cette erreur

correspond à la procédure de multiplication d’une fraction par un nombre naturel. Il est remplacé

par un autre élève qui propose la procédure attendue. La gestion des erreurs semble consister à

trouver un élève qui donne la bonne réponse. Cette approche paraît être en référence à des

exemples démonstratifs qui peuvent amener les élèves à se corriger. Cette intervention marque le

peu d’attention portée aux erreurs. Nous posons l’hypothèse selon laquelle la présentation des

bonnes réponses est suffisante pour que les élèves comprennent : une conception selon laquelle

les mathématiques sont transparentes, puisque la réponse donnée serait suffisante pour que

l’élève en difficulté de compréhension puisse améliorer ses connaissances.

En conclusion

Nous relevons sept incidents didactiques lors de la réalisation de la leçon. Le deuxième incident

didactique porte sur une rupture de contrat didactique, car les élèves semblent voir leurs habitudes

de notations remises en cause par Poko. Il est à l’origine d’une adaptation normative de Poko. Lors

du troisième incident didactique, le désaccord entre Poko et les élèves est à l’origine également

d’une adaptation normative. La gestion du temps didactique semble à l’origine du sixième incident

didactique. En effet, un élève interrogé pour répondre à une question est aussitôt remplacé par

quelqu’un d’autre. Les autres incidents didactiques sont dus à des erreurs et leur gestion.

153

Poko planifie un problème sur la division d’une fraction par un nombre entier naturel à résoudre à

l’aide d’un matériel (orange). Toutefois, en faisant un fractionnement d’une orange en classe, elle

provoque une bonne réponse. C’est ainsi qu’elle ajoute une demande de justification.

Lorsqu’un élève commet une erreur lors de la réalisation d’une tâche mathématique, Poko choisit

un autre élève pour apporter la réponse qu’elle attend ou elle donne elle-même la procédure de

résolution. Par exemple, elle a formulé la procédure de division de deux fractions, réalisant ainsi un

mode apport dans l’institutionnalisation de cette procédure de calcul. Elle semble ainsi porter une

attention particulière au contenu enseigné par rapport à la compréhension de l’élève.

L’intention de Poko de passer par la résolution de problème fait place à une approche de type

explicatif. Poko semble ainsi manifester une conception d’un enseignement de type transmissif.

Elle semble également convaincue qu’il faut qu’elle achève tout ce qu’elle a planifié dans le temps

requis. Deux conceptions de l’apprentissage se dégagent donc de la réalisation du cours.

Premièrement, Poko semble rechercher la réussite des élèves à travers ses modes apports dans

l’institutionnalisation des procédures de calcul. Deuxièmement, la réussite et la compréhension

semblent synonymes chez Poko, car elle ne demande pas de justification d’une réponse trouvée

par un élève lors des tâches d’évaluation.

Ces différentes conceptions de l’enseignement et de l’apprentissage pourraient prendre leur

origine dans les conceptions des mathématiques de Poko. En effet, à certaines occasions, les

pratiques de Poko montrent qu’il suffit de voir faire pour comprendre : une conception des

mathématiques comme étant transparentes. Une autre conception des mathématiques de Poko

lors de la réalisation du cours est celle qu’elle semble avoir révélée lors de planification :

l’application des procédures de calcul à travers les multiples opérations de calcul. Elle semble ainsi

considérer les mathématiques comme un ensemble de techniques à faire apprendre aux élèves.

L’analyse de l’entrevue permettra de confirmer ou d’infirmer ces hypothèses.


L’entrevue semi-dirigée vise à placer Poko dans une auto-évaluation sur la séance vécue afin de

confirmer ou infirmer les hypothèses posées précédemment. En outre, l’auto-évaluation permet de

discuter des compétences et des difficultés qu’elle a rencontrées lors de la planification et de la

réalisation de la leçon afin de comprendre l’origine de ses choix.

154


Nous avons posé une question afin de connaître les difficultés de Poko lors de l’élaboration de la

fiche de leçon. Son problème semble lié au volume du contenu mathématique à planifier. Dans le

manuel de classe, quatre objectifs sont répertoriés dans ce chapitre sur la division des fractions

(MEBA/DGRIEF, 2010; p. 130), mais un temps alloué à la réalisation de cette leçon n’est pas

donné. Une liberté semble donc laissée aux enseignants dans la détermination du temps.

Poko : Bon, la préparation de la leçon, c’est au niveau du développement. Je n’ai pas fait la division d’un nombre entier par une fraction. Donc, je me suis dit que si je fais tout ça, ça sera trop quoi. Les enfants ne vont pas comprendre. Vaut mieux faire les deux seulement pour qu’ils puissent comprendre. Là, je vais faire ça la prochaine fois. J’ai scindé la leçon en deux. (Annexe 4; Entrevue : L10-L13).

Poko veut parler de la division d’une fraction par un entier et de la division d’une fraction par une

fraction lorsqu’elle évoque « Vaut mieux faire les deux seulement », car ce sont ces contenus

qu’elle a planifiés. Elle a d’ailleurs eu des conseils d’enseignants expérimentés pour la planification

de la leçon. Cette aide est venue de l’enseignant titulaire de la classe du cours moyen deuxième

année (CM2) et du directeur de l’école. Ils ont apporté des amendements qui lui ont permis de

réduire ses objectifs de cours et de modifier la justification à la leçon.

Le contenu de la planification de Poko a donc connu des changements suite à cet encadrement de

proximité. Selon Poko, elle a planifié sa leçon selon l’approche « Activity-Student-Experiment-

Improvisation/Plan-Do-See-Improve » (ASEI-PDSI).

CH : Quelle est l’approche pédagogique que vous avez utilisée? Poko : ASEI-PDSI, programme SMASE [Strengthening of Mathematics and Sciences in Education]. CH : La méthode vous semble-t-elle adaptée? Connaissez-vous d'autres méthodes? Pourquoi avoir choisi cette méthode? Poko : Il y a la méthode classique. Mais depuis qu’on a commencé avec cette méthode, moi-même, je maîtrise ça plus que ce qu’on a appris à l’école. On apprenait ça aussi à l’école, mais sous forme de tableau. Donc, quand nous sommes venus ici, on a fait des réunions. On nous a formés, on a dit de laisser les tableaux; et puis que c’est facile avec moi. Là même c’est facile, donc moi, je me dis que c’est facile. (Annexe 4; Entrevue : L32-L40).

Le modèle de planification d’un cours selon l’approche ASEI-PDSI est sous forme de tableau.

L’ancienne méthode évoquée par Poko serait l’approche par les objectifs bien connue depuis des

155

décennies au Burkina Faso. Nous ajoutons une question afin de comprendre les formes

d’organisation de classe dans l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-

See-Improve ». Poko nous donne sa réponse dans l’extrait ci-dessus.

Poko : Là, c’est le travail individuel. La méthode classique, on fait par groupes. Mais ici, on ne demande pas par groupes. Il faut faire par groupes, non, non. Souvent, c’est en sciences qu’on fait par groupes. CH : Pourquoi en sciences on le fait, et en mathématiques on ne le fait pas? Poko : Bon, en mathématiques, on peut le faire, mais au CP. Par exemple, les bâtonnets, ils peuvent le faire ensemble. (Annexe 4; Entrevue : L158-L163).

Selon Poko, l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve »

(ASEI-PDSI) privilégie le travail individuel pour les cours de mathématiques au cours moyen [5e et

6e années de scolarité]. Elle déclare aussi que la pratique du travail de groupes peut se faire au

cours préparatoire [1re et 2e années de scolarité]. Cette déclaration de Poko laisse voir une

certaine ambiguïté dans la pratique de l’approche ASEI-PDSI. Le développement du travail

individuel au cours de sa réalisation semble beaucoup plus exprimer une recherche d’un gain de

temps. La recherche d’un avancement dans le cours que nous avons constaté lors de l’analyse

semble être confirmée à travers le discours ci-après de Poko.

CH : Pourquoi vous avez opté pour le changement? Est-ce que c’est évident que l’élève à sa place… Poko : Je pense que c’est pour être aussi dans le temps. Puisque quand lui il va faire bon… (Annexe 4; Entrevue : L66-L67).

Elle justifie dans l’extrait ce qui l’a amenée à remplacer tout élève qui commet une erreur par un

autre lors de la réalisation de la leçon. En voulant achever ce qu’elle a planifié, elle semble

manifester une conception de l’enseignement : une exécution intégrale du contenu planifié dans le

temps requis.


Poko a regardé le contenu qui suit la présente leçon, ce qui obéit à une demande du canevas de la

fiche pédagogique. En effet, l’enseignant doit faire un lien entre la présente leçon et la leçon à

venir et n’est pas invité à s’intéresser aux contenus sur les fractions de la classe de 6e du post-

primaire [7e année de scolarité] lors de la planification de la leçon.

156

Poko : Ce qui va venir après, c’est ce que j’ai donné là : trouver une fraction à partir d’un nombre. C’est cette leçon qui vient. CH : Et au-delà, avez-vous pensé à ce qui peut être fait en 6e sur les fractions pour voir? Poko : Non, non. (Annexe 4; Entrevue : L210-L213).

La préoccupation de Poko semble donc de se conformer aux prescriptions d’une planification selon

l’approche ASEI-PDSI. Comme, elle le dit dans un extrait ci-haut, elle n’aurait pas eu de difficultés

à planifier sa leçon. Elle est également satisfaite de sa pratique de classe. Elle fonde sa

satisfaction sur le nombre de réussites des élèves aux exercices d’application.

Poko : Bon, ça n’a pas été difficile puisque après avoir évalué, j’ai compté. J’ai trouvé ceux qui ont trouvé trois exercices, j’ai compté 25. (Annexe 4; Entrevue : L4-L5).

Nous rappelons que l’effectif de la classe est de 38 élèves et l’évaluation comporte quatre items.

Donc environ deux tiers des élèves ont répondu correctement à trois items sur les quatre. La

satisfaction de Poko de sa réalisation en classe est venue de ce taux de réussite. Elle confirme

une manifestation d’une conception de l’apprentissage que nous avons relevée dans l’analyse de

la réalisation. Elle assimile la réussite à la compréhension.


Nous disions dans l’analyse de la réalisation que Poko accorde peu d’attention aux erreurs

produites en classe. Tout élève qui commet une erreur au tableau est remplacé par quelqu’un

d’autre. Nous rapportons une réponse de Poko sur le fait qu’elle remplace un élève qui commet

une erreur par un autre.

Poko : Je peux dire, il peut aller s’assoir et suivre ce que l’autre va faire. Comme ça, quand on va donner l’exercice d’évaluation maintenant, il va essayer de … (Annexe 4; Entrevue : L61-L62).

Le fait de voir faire les mathématiques et d’en imiter laisse apparaître une conception selon

laquelle les mathématiques sont transparentes.

En conclusion

Poko, en planifiant sa leçon selon l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-

See-Improve » (ASEI-PDSI), elle privilégie le travail individuel dans sa classe, car selon elle, le

travail en sous-groupe avec cette approche se fait dans les petites classes (cours préparatoire

157

première et deuxième années). Tout élève qui commet une erreur est immédiatement remplacé, ce

qui est justifié, notamment, par son désir de gagner du temps afin de réaliser son cours dans le

temps prévu. De plus, la réussite des élèves semble correspondre à leur compréhension pour elle.

Enfin, une conception selon laquelle les mathématiques sont transparentes semble émerger

devant l’importance de la présentation des bonnes réponses au détriment d’une justification des

réponses. Les conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques qu’elle

manifeste lors de l’entrevue semblent montrer qu’elle accorde une importance au contenu « à »

enseigner dans sa pratique de classe.

3.4.4 Synthèse


formation initiale (DeBlois, 2012) pour décrire la logique de Poko dans sa pratique de classe.

Figure 9: Composantes de la formation initiale en jeu lors de la pratique d'enseignement et

d'apprentissage de Poko.

158

Poko planifie sa leçon selon l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-

Improve » (ASEI-PDSI). Elle a prévu plusieurs tâches mathématiques, allant du calcul mental à

l’évaluation. L’organisation du travail et les rôles que joueront les acteurs dans la classe ne sont

pas spécifiés dans la planification.

Lors de la planification de la leçon, les tâches mathématiques semblent être rédigées selon une

approche par les objectifs. En effet, elles sont produites sur la base des objectifs spécifiques

rédigés. Lors de la réalisation du cours, l’enseignement de type transmissif semble mis en

évidence, par exemple, au troisième incident didactique où Poko manipule elle-même les objets et

fait des commentaires lors de la résolution d’un problème. Cette conception de l’enseignement

pourrait prendre son origine dans sa préoccupation à achever le contenu planifié dans le temps.

En effet lors de l’entrevue, Poko justifie sa pratique dans un souci de gestion du temps didactique.

En outre, elle recherche une mémorisation des procédures dans son enseignement lorsqu’elle fait

répéter les procédures de calcul en classe (cf. sixième incident didactique).

Le projet de réaliser une approche socioconstructivisme en regard de l’inscription ASEI/PDSI dans

la planification s’est toutefois mué en une approche par les contenus lors de la réalisation. Par

exemple, Poko propose le fractionnement d’une orange pour amorcer la résolution du problème.

Lors du cinquième incident didactique, elle formule la procédure de division de deux fractions,

manifestant ainsi un mode apport dans l’institutionnalisation de cette procédure.

Dans la gestion des erreurs, lorsqu’un élève commet une erreur, soit elle choisit un autre élève

pour apporter la réponse attendue, soit elle donne elle-même la procédure de résolution de la

tâche. C’est ainsi que lors de la réalisation, quatre incidents didactiques surviennent par suite

d’erreurs et de leur gestion (premier, quatrième, cinquième et septième incidents didactiques).

Deux autres incidents didactiques sont dus à une rupture de contrat didactique (deuxième et

troisième incidents didactiques). Le sixième incident didactique serait dû à la gestion du temps

didactique. Poko manifeste lors de la réalisation du cours deux adaptations normatives qui sont

survenues lors des deuxième et troisième incidents didactiques.

Nous avons relevé deux conceptions de l’apprentissage lors de la réalisation du cours ou lors de

l’entrevue. Premièrement, Poko semble rechercher les bonnes réponses des élèves à travers ses

modes apports lors de ses interventions en classe. Deuxièmement, elle semble assimiler la

159

réussite à la compréhension des élèves lorsqu’elle exprime à l’entrevue sa satisfaction, car elle a

constaté qu’un tiers des élèves n’ont pas réussi l’exercice d’évaluation.

Trois conceptions des mathématiques sont manifestées par Poko lors de sa pratique.

Premièrement, elle considère les connaissances mathématiques comme transparentes. En effet, le

passage sur l’inverse d’une fraction exprime que le seul exemple exécuté permet à l’élève de

trouver l’inverse de toute fraction. Or, le cinquième incident didactique prouve le contraire. De plus,

cette conception ressort à l’entrevue lorsqu’elle exprime qu’un élève qui ne réussit pas pourra

apprendre en regardant faire. Deuxièmement, Poko semble concevoir les mathématiques comme

un ensemble de techniques à faire apprendre aux élèves. Par exemple, ses adaptations

normatives sont relatives à cette conception où les manières d’opérer des élèves ne semblent pas

conformes à sa vision. Troisièmement, l’application des procédures précises semble donc guider la

conduite de cours lors de la réalisation de la leçon. En effet, dès la planification de la leçon, Poko

planifie plusieurs opérations de calcul afin que les élèves utilisent les procédures

institutionnalisées. Elle semble manifester cette conception des mathématiques lors de la

formulation de la procédure de division d’une fraction par un nombre entier naturel (quatrième

incident didactique).

En conclusion, la pratique de Poko semble dériver de l’approche par les contenus qu’il a connue

lors de ses cursus scolaire et universitaire et de l’approche par les objectifs qu’il a connue lors de

son cursus scolaire et de sa formation à l’institut. Poko semble accorder une importance au

contenu « à » enseigner dans sa pratique de classe, une manifestation de la posture de l’ancien

élève. Ses adaptations normatives, son style transmissif des connaissances, sa recherche de la

réussite des élèves, son assimilation de la réussite à la compréhension, sa recherche d’un

achèvement de la leçon planifiée lors de la réalisation et sa conception de transparence des

mathématiques semblent encore illustrer sa posture de l’ancien élève lors de sa pratique de

classe.

3.5 Leçon sur l’écriture fractionnaire planifiée et vécue par Sidi

La leçon sur « l’écriture fractionnaire », planifiée par Sidi, représente la première leçon sur les

fractions, lorsque nous nous référons au programme de mathématiques ou au manuel scolaire

« Faso Math » de la classe de 6e du post-primaire [7e année de scolarité].

160



Sidi a planifié une leçon pour une classe de 6e dont l’effectif est de 71 élèves. On y dénombre 40

filles et 31 garçons. Il inscrit trois objectifs de cours dans sa planification. En effet, il vise à la fin de

la leçon que l’élève de cette classe soit capable de : « 1) distinguer une fraction et une écriture

fractionnaire44; 2) écrire une fraction décimale45 sous forme de nombre décimal; 3) écrire un

décimal sous forme d’une fraction décimale » (annexe 5; Contenu de la planification). Il prévoit 55

minutes pour l’exécution du cours. Pour le contrôle des prérequis, il prévoit donner des tâches

mathématiques qui amènent les élèves à reconnaître les éléments de ℕ [ensemble des entiers

naturels], à reconnaître les éléments de D [ensemble des décimaux positifs] et à distinguer les

ensembles ℕ et D. La méthode de redécouverte46 inscrite dans la planification semble l’approche

pédagogique de référence de Sidi. On observe également qu'il prévoit l’enseignement par les

activités, le questionnement et le travail individuel pour ses stratégies47 d’enseignement.

Dans la planification, une colonne est consacrée à la description du rôle de Sidi et des actions qu’il

mènera lors de la réalisation du cours. Par exemple, Sidi y décrit les tâches mathématiques et la

proposition de bonne réponse qu’il attend des élèves à chacune des tâches mathématiques. Une

autre colonne est consacrée à la description du rôle des élèves et des actions qu’ils mèneront lors

de la réalisation du cours. Par exemple, Sidi y décrit des indications pour l’utilisation des cahiers de

cours et des cahiers de brouillon. Il se conforme au modèle de la planification de cours

(annexe 10) qu’il a reçu de son école de formation pour apporter les informations qui sont

contenues dans sa fiche de leçon.

44 Exemples : 3,4

15,3,

4

7.

45 Exemples : 100

3,

10

7

46 Le principe de la méthode de redécouverte consiste à placer l’élève dans des conditions et des situations favorables afin qu’il découvre un phénomène, les conséquences et les applications d’une loi mathématique. Source : cours de didactique des mathématiques, année 2011-2012. 47 Notons que les documents issus de la formation initiale utilisent le terme « technique » pour désigner « stratégie ». On parle donc de techniques pédagogiques et de techniques d’organisation de la classe au post-primaire.

161


Sidi planifie le contenu de la leçon en sept (7) étapes (annexe 5; Contenu de la planification). Ce

sont : 1) un contrôle de prérequis; 2) une motivation à l’introduction de la notion de fraction; 3) une

activité permettant d’énoncer la convention : a b =b

a ; a un nombre décimal et b un nombre

décimal non nul; 4) un exercice pour faire fonctionner la convention; 5) des tâches sur les fractions

décimales; 6) un exercice pour faire fonctionner la notion de fractions décimales; 7) une évaluation

terminale.

Lors du contrôle de prérequis, première étape de la leçon, Sidi va vérifier si les élèves sont

capables de reconnaître les éléments de ℕ48, de reconnaître les éléments de D49 et de distinguer

ℕ et D. Il prévoit donc les items suivants : « Compléter par ou : 5…ℕ; 3,5...ℕ; 2,75…ℕ;

5,00…ℕ; 0…ℕ; 6,54…D; 0…D; 13…D; 14,0…D ». Ces items sont construits à partir d’un contenu

sur la numération décimale qui est vu en classe de 6e (MESSRS/DIES, 1991, 1997). Un travail

individuel des élèves sera sollicité sous la forme d’une approche par les objectifs pour la réalisation

de cet exercice de contrôle de prérequis. Le stagiaire vérifiera le niveau de réussite des élèves afin

d’apprécier leur connaissance. Quant à la motivation à l’introduction de la leçon, deuxième étape

de la leçon, Sidi envisage de communiquer ceci à ses élèves : « les fractions étant déjà vues dans

les classes antérieures, prêtez donc attention pour renforcer vos connaissances sur la notion des

fractions ». L’apprentissage mathématique évoluant en spirale, Sidi semble vouloir s’appuyer sur

les connaissances des élèves afin que ces derniers en développent de nouvelles. La sollicitation

des élèves d’être attentifs serait une demande de Sidi à ces derniers de bien écouter d’une part, et

d’autre part d’agir en s’appliquant.

Au cours de la troisième étape, il prévoit une tâche mathématique dont l’énoncé est le suivant :

3,42 5,1 peut encore s’écrire1,5

42,3. Comment appelle-t-on cette écriture? Que

représentent 3,42 et 5,1?

Donner la réponse de chaque expression : A= 1

13 ; B= 5,12

0 ; C=

1

100 ; D=546

0 .

48 Ensemble des nombres entiers naturels. 49 Ensemble des nombres décimaux positifs.

162

Les élèves vont traiter individuellement cette activité, puis il s’en suivra la correction au tableau. La

période de travail individuel correspond à une phase d’action pour l’élève. En effet, ce dernier agit

sur la tâche, prend des décisions pour trouver une résolution à la question et propose un résultat

sans l’intervention de l’enseignant. Par la suite, il suivra une situation de formulation/validation lors

de la correction de la tâche mathématique au tableau, car Sidi prévoit faire la synthèse de la

correction de l’activité en aidant les élèves à énoncer les conséquences de cette tâche. Ensuite,

ces conséquences mathématiques seront institutionnalisées comme des savoirs scolaires par Sidi

que les élèves prendront dans leur cahier de cours, illustrant un mode apport de cette

institutionnalisation. Nous reconnaissons les caractéristiques de phases d’action, de formulation,

de validation et d’institutionnalisation d’une situation didactique selon Brousseau (1986a).

Pour la quatrième étape du cours, Sidi propose un exercice d’évaluation dont le libellé est le

suivant : « Donner les réponses des fractions suivantes : A=1

153 ; B= 1425

0 ; C= 1

283 ». Cet

exercice est une invite à l'élève à appliquer les conséquences de l’écriture fractionnaire planifiées.

Ces conséquences sont : « Pour tout nombre décimal a, 1

a = a ; pour tout nombre décimal b non

nul, on a b

0 = 0 ». L’application des procédures mathématiques semble manifester une conception

des mathématiques qui est ainsi exprimée dans la planification. Un travail individuel est proposé

sous la forme d’une approche par les objectifs. Sidi jugera de la réussite des élèves dans

l’accomplissement de la tâche. Cependant, il n’y a pas d'exercice spécifique pour contrôler

l’atteinte du premier objectif de leçon qui est : « distinguer une fraction et une écriture

factionnaire ».

La cinquième étape consiste à énoncer la définition d’une fraction décimale et une procédure pour

transformer une fraction décimale en un nombre décimal et l’écriture d’un nombre décimal sous

forme de fraction décimale. Sidi envisage, dans un premier temps, d'aider les élèves à définir une

fraction décimale. Les élèves pourraient donner la définition sur la base de leur connaissance du

cycle primaire. Ce travail collectif correspond à une phase de formulation. Dans un second temps,

il proposera successivement deux tâches mathématiques. La première tâche est la suivante :

« Calculer : 10

13 ; 100

253 ; 10000

12538». Ces calculs devraient permettre aux élèves de donner une

procédure pour écrire une fraction décimale sous forme de nombre décimal. Ce contenu est un

163

approfondissement de ce qui est fait au cours moyen du cycle primaire (MEBA/DGRIEF, 2010;

p. 101). L’énoncé de la deuxième tâche mathématique est le suivant : « Écrire sous forme d’une

fraction décimale : 2,3 ; 2,54 ; 12,538 ». Comme à la troisième étape, les élèves et Sidi joueront

dans cette étape les mêmes rôles lors de la réalisation des tâches mathématiques. Les élèves

traiteront individuellement les calculs, et par la suite, il y aura la correction au tableau. Sidi prévoit

faire la synthèse des travaux faits et aider les élèves à formuler les propositions mathématiques

qui se dégageront. L’institutionnalisation des savoirs scolaires se fera dans un mode apport. Nous

reconnaissons dans cette étape les caractéristiques de phases d’action, de formulation, de

validation et d’institutionnalisation d’une situation didactique selon Brousseau (1986a).

La sixième étape correspond à une évaluation. Les procédures de transformation d’une fraction

décimale en un nombre décimal et celle d’écriture d’un nombre décimal sous forme de fraction

décimale seront évaluées avec les items suivants : « 1) calculer : 100

1275 ; 100

30 ; 10000

513 ; 2) écrire

sous forme de fraction décimale : 0,3; 7,21; 3,1 ». Les numérateurs et les dénominateurs des

fractions données sont plus grands que 10. Ces tâches mathématiques sont proposées pour une

application des procédures institutionnalisées lors de la cinquième étape. La conception selon

laquelle les mathématiques consistent en une application des procédures semble encore être

révélée dans cette étape. Enfin, en septième et dernière étape, Sidi proposera l’exercice 1 et

l’exercice 2 du manuel de classe (MESSRS/DIES, 1997)(p. 58).

En conclusion

Sidi prévoit aborder l’écriture fractionnaire. Il planifie des opérations de calcul. Il n’y a pas de

problème à résoudre. Les consignes de travail planifiées montrent que le travail individuel et le

travail collectif sont les deux formes d’organisation du travail prévues pour la réalisation de la

leçon. Nous pouvons conjecturer un développement des phases d’action, de formulation, de

validation et d’institutionnalisation lors des troisième et cinquième étapes du déroulement de la

leçon où il s’agit de donner l’écriture conventionnelle d’une écriture fractionnaire (a b =b

a ; a un

nombre décimal et b un nombre décimal non nul), de définir une fraction décimale et d’énoncer

une procédure pour transformer une fraction décimale en un nombre décimal et vice-versa. Les

quatre phases de Brousseau (1986a) semblent apparentes sans anticipation des erreurs des

164

élèves. Une conception des mathématiques semble avoir le contenu de la planification à travers le

choix des tâches : faire des mathématiques, c’est appliquer des procédures institutionnalisées.


Comme dans l’analyse faite pour les stagiaires du cycle primaire rencontrés, nous nous

intéressons aux incidents didactiques et aux types d’adaptation intervenus dans l’apprentissage de

la fraction. Nous identifions six incidents didactiques, dont un incident est à l’origine d’une

adaptation projective.

Premier incident didactique : gestion d’erreurs

Les élèves ont commis des erreurs dans l’exercice de contrôle des prérequis. Nous avons en

exemple les erreurs suivantes : 5 ℕ ; 0 D ; 13 D ; 14,0 D. Dès la première réponse

erronée [5 ℕ], Sidi amène les élèves à rappeler la signification de ℕ.

El (Bila) : 5 ℕ.

Sidi : 5 n’appartient pas à ℕ c’est ça? Els : Non. Sidi : ℕ représente quoi? Oui, Gaétan. [Gaétan ne donne pas de réponse]. Sidi : Qui peut me dire ce que représente ℕ. Oui [en désignant un élève. Pendant ce temps, l’élève au tableau change le symbole en ].

El : ℕ représente l’ensemble des entiers naturels.

Sidi : ℕ représente l’ensemble des entiers naturels; oui, le deuxième. Donc 5 appartient à ℕ. (Annexe 5; Réalisation : L26-L34).

Cet extrait montre que Sidi vise à toucher l’interprétation que les élèves se donnent des symboles

, et ℕ. Toutefois, la même démarche n’est pas suivie pour gérer les trois autres erreurs. Sidi

intervient pour dire aux élèves que «ℕ est inclus dans D ».

Sidi : 14 appartient à D. Ok, donc c’est ça. Mais, il faut savoir que dans le cours on a

vu que ℕ est inclus dans D [Il note au tableau ℕ D]. Ça veut dire que tous les

éléments de ℕ appartient à l’ensemble D. (Annexe 5; Réalisation : L62-L64).

Sans revenir explicitement sur la notation D qui désigne l’ensemble des décimaux positifs et sur ce

qu’on entend par décimaux positifs, et en rappelant aux élèves que le contenu est déjà vu en

classe, Sidi semble manifester une conception de l’enseignement : un contenu vu en classe est

supposé compris par les élèves.

165


Lors du contrôle de prérequis, le discours de Sidi, afin d’apprécier une réponse donnée par un

élève, permet aux autres élèves de déduire la véracité de la réponse. En effet, lorsque la réponse

est juste, Sidi l’apprécie par un OK. Quand elle est erronée, il demande l’avis des élèves.

Sidi : 5 n’appartient pas à ℕ, c’est ça? Els : Non. (Annexe 5; Réalisation : L27-L28).

Hamidou : 5,00 ℕ

Sidi : OK, 5,00 appartient à ℕ. […]. El : 0 ℕ Sidi : 0 appartient à ℕ. OK… (Annexe 5; Réalisation : L38-L41).

Sidi : 0 n’appartient pas à D. C’est ça? Els : Non. (Annexe 5; Réalisation : L46-L47).

La question « c’est ça? » de Sidi après toute réponse erronée donnée au tableau induit de la part

des élèves une réponse « non » qui signifie que ce n’est pas ça. Cet effet de contrat didactique

établi dans la classe permet aux élèves de donner la réponse « non » attendue de Sidi. Les items

de l’exercice sont dichotomiques, d’où la bonne réponse est par la suite donnée par l’élève qui est

interrogé. Les réponses ne sont pas développées autour d’une argumentation, car à aucun

moment une justification n’est demandée aux élèves. Sidi semble assimiler la réussite à la

compréhension, manifestation d’une conception de l’apprentissage.

Troisième incident didactique : anticipation sur l’erreur

Dans la troisième étape du déroulement du cours, Sidi, conformément à sa planification, donne à

calculer les fractions suivantes : 1

13 , 5,12

0,

1

100 et 546

0 . Avant que l’élève ne mène une réflexion

sur la tâche, Sidi fait des commentaires.

Sidi : Pour la réponse à ces fractions [en indiquant les fractions qui sont données au

tableau], on vous dit 1

13 ,5,12

0; or on avait dit que 3,42 5,1 peut encore s’écrire

sous cette forme [en indiquant 1,5

42,3], donc vous divisez seulement 13 par 1; 0 par

12,5; et ainsi de suite. Puis vous donnez les réponses. (Annexe 5; Réalisation : L87-L90).

166

Sidi semble créer ainsi un effet Topaze parce que son commentaire balise un chemin que l’élève

peut suivre. Son commentaire parait une anticipation à prévenir les éventuelles erreurs des élèves.

Il semble donc préoccupé par la réussite de ses élèves. En outre, la recherche d’une interprétation

de la notation conventionnelle par l’élève semble devenue une application de la procédure

proposée par Sidi. En plus de cette conception de l’apprentissage (la réussite) et des

mathématiques (l’application des procédures), son explication montre l’importance de sa

conception transmissive de l’enseignement.


Lors de la troisième étape du déroulement du cours, Sidi, conformément à sa planification,

propose à la classe la première tâche mathématique: « 3,42 5,1 peut encore s’écrire1,5

42,3.

Comment appelle-t-on cette écriture? ». Toute fraction est une écriture fractionnaire, mais toute

écriture fractionnaire n’est pas une fraction. Éric répond que c’est une fraction.

Éric : Une fraction. Sidi : OK, donc c’est une écriture fractionnaire. (Annexe 5; Réalisation : L93-L94).

La reformulation de Sidi ne permet pas de reconnaître que toute écriture fractionnaire n’est pas

une fraction malgré l’objectif de sa leçon : « distinguer une fraction et une écriture fractionnaire ». Il

semble préoccupé par la réponse à donner à la question posée. La bonne réponse qu’il donne

sans une clarification des deux expressions (fraction et écriture fractionnaire) pour l’élève semble

traduire une conception de Sidi des mathématiques : elles sont transparentes.

Cinquième incident didactique : une erreur

Sidi sollicite des élèves une définition de la fraction décimale en début de la cinquième étape de la

leçon. Nous donnons une proposition de réponse de Rokia et le discours tenu par Sidi à la suite de

cette réponse.

Rokia : Une fraction décimale est une fraction qui a une virgule. Sidi : Une fraction décimale est une fraction qui a une virgule. Oui, une fraction qui a une virgule, de quelle manière? La fraction peut avoir une virgule; on peut avoir ça [il

note au tableau5,3

5,12]. La fraction possède des décimales, mais ce n’est pas une

fraction décimale. Qui peut dire mieux? Oui. (Annexe 5; Réalisation : L204-L208).

167

Sidi a précisé, dans ce cours, que lorsqu’on parle de fraction, le numérateur et le dénominateur

sont des nombres entiers naturels. Il s’attendait à avoir comme réponse, par exemple, 10

7. Le

nombre 5,3

5,12 est plutôt une écriture fractionnaire. Sidi a tenté d’adopter une adaptation projective

puisqu’il essaie d’exploiter l’erreur de l’élève. Il s’intéresse à l’erreur de cet élève. Toutefois, pour

trouver la bonne réponse, il se tourne vers les autres élèves. Ce choix pourrait être motivé par son

désir d’obtenir la réussite d’un élève : une manifestation de sa conception de l’apprentissage.

Sixième incident didactique : anticipation sur les erreurs

Un cas d’effet de contrat didactique intervient quand Sidi fait des commentaires afin que les élèves

formulent une procédure permettant d’écrire une fraction décimale sous forme de nombre décimal.

Sidi : OK! Donc vous remarquez que ici [en indiquant 10

13], le numérateur égal à 13 et

le dénominateur c’est 10. Mais au niveau de la réponse, on a le numérateur et on a la

virgule qui est placé à un seul chiffre après la virgule. Ici, on a 100

253; vous voyez qu’au

niveau du résultat les 253 ont été répétés et il y a la virgule qu’on a placée ici à deux

chiffres. De même que ici, on a 10000

12538; la virgule a été placée sous le même nombre

mais, après 4 chiffres. Qu’est-ce que vous pouvez dire de ça, de ces calculs? Puisque la réponse reste toujours le numérateur [il encercle au tableau le numérateur]. La réponse, c’est toujours le numérateur [il encercle tous les numérateurs et les réponses] et ici, au niveau de la réponse on a 0 et la réponse a été, la virgule a été décalée d’un seul chiffre. Ici, on a deux chiffres après la virgule, deux zéros et on a placé la virgule après deux chiffres. Ici, on a jusqu’à quatre chiffres et la virgule a été comptée jusqu’à quatre chiffres avant d’être placée. Qu’est-ce que vous pouvez dire comme règle? Pour faire ce genre de calcul, sans faire ce calcul [en indiquant les calculs posés et effectués], comment on peut donner la réponse? (Annexe 5; Réalisation : L315-L327).

Il ne laisse pas d’initiative de recherche aux élèves. Il leur suggère les réponses faisant ainsi un

effet de contrat didactique de type « paradoxe du comédien ». Il recherche une conformité de la

réponse avec ce qu’il a planifié. Son discours participe à un évitement d’éventuelles erreurs. Sidi

semble manifester une conception de l’apprentissage en développant un style d’enseignement

explicatif dans son discours : la réussite des élèves.

168

En conclusion

Nous dénombrons six incidents didactiques lors de la réalisation de la leçon par Sidi. Ils sont

essentiellement basés sur les erreurs et leur gestion. Toutefois, les troisième et sixième incidents

didactiques, où un effet Topaze et un « paradoxe du comédien » apparaissent, manifestent d’une

volonté de Sidi d’anticiper les erreurs pour les éviter. Le cinquième incident didactique est à

l’origine d’une adaptation projective. En effet Sidi reprend l’erreur de l’élève afin de provoquer de

nouvelles propositions de réponses. Toutefois, le désir d’obtenir une réussite pousse Sidi à

interroger un autre élève.

La préoccupation à l’égard d’une réussite de ses élèves amène Sidi a développé un enseignement

de type transmissif. Ses discours en classe sont une manière d’exposer le contenu à enseigner.

En effet, il émet des commentaires et des explications qui semblent indiquer aux élèves les

techniques pour obtenir les bonnes réponses. Il semble mettre au centre de son enseignement le

savoir scolaire. Cette conception de l’enseignement pourrait prendre son origine dans sa

conception des mathématiques comme étant une discipline où l’application des procédures est

visée. Par exemple, lors du troisième incident didactique, Sidi propose aux élèves de poser la

division des nombres afin de trouver les réponses voulues.

Le premier incident didactique montre une autre conception de l’enseignement chez Sidi : tout

contenu vu en classe est supposé compris par les élèves. En effet, il n’explicite pas le sens de D

(ensemble des décimaux positifs), car il estime que le contenu a été antérieurement fait en classe.

Une conception des mathématiques, selon laquelle les mathématiques sont transparentes, pourrait

justifier le fait que Sidi n’explicite pas l’ensemble D et ses éléments caractéristiques. Lors du

quatrième incident didactique, nous constatons également que Sidi n’apporte pas une distinction

entre les notions de fraction et d’écriture fractionnaire. Cela semble encore illustrer sa conception

selon laquelle les mathématiques sont transparentes. Enfin, Sidi semble assimiler la réussite à la

compréhension. Cette conception de l’apprentissage s’est révélée lors du deuxième incident

didactique où les réponses ne sont pas suivies d’une demande de justification, alors que la tâche

est composée de questions dichotomiques. L’analyse de l’entrevue permettra de confirmer ou

d’infirmer des conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques.

169


Nous sollicitons une auto-évaluation de Sidi de sa séance de leçon à travers l’entrevue semi-

dirigée afin de connaître certaines de ses conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et

des mathématiques. L’auto-évaluation permet également de discuter des compétences et des

difficultés qu’il a eues lors de la planification et de la réalisation de la leçon afin de comprendre

l’origine de ses choix.


L’effectif de 71 élèves de la classe semble un élément déterminant dans le travail de groupes afin

de permettre un développement des capacités intellectuelles de chacun et de tous dans la classe.

Nous avons voulu comprendre pourquoi Sidi a privilégié le travail individuel des élèves lors des

réalisations des tâches mathématiques. Il nous le relate dans les lignes qui suivent :

Sidi: Parce que un travail de groupes, ç’allait prendre encore beaucoup plus de temps. Et il y aura en quelque sorte de la zizanie, du bavardage, voilà. Et la classe sera difficile à contrôler et on n’allait pas évoluer assez rapidement comme ça. Et puis compte tenu aussi que les enfants avaient déjà entendu parler de fraction, je me suis dit qu’individuellement chacun pouvait essayer. C’est ça seulement. (Annexe 5; Entrevue : L114-L118).

Cet extrait montre la préoccupation de Sidi à l’égard du temps didactique. Sidi a mis 1 heure 7

minutes 58 secondes sans épuiser le contenu de sa planification de leçon pour une séance de

leçon planifiée pour une durée de 55 minutes. L’évolution rapide du cours qu’il a souhaitée, en

proposant le travail individuel, n’est donc pas atteinte. Deux conceptions de l’enseignement

semblent se dégager de cet extrait. Premièrement, Sidi conçoit l’enseignement comme une

exécution intégrale du contenu planifié dans le temps requis. Deuxièmement, il pense que tout

contenu vu en classe est supposé compris par les élèves lorsqu’il déclare que les élèves ont « déjà

entendu parler des fractions ».

Sidi n’a pas achevé le contenu de la leçon planifié dans le temps prévu. Comme nous le disions ci-

haut, l’achèvement du contenu dans le temps didactique semble sa préoccupation. Il n’est donc

pas satisfait du déroulement de la séance de cours, puisqu’il est allé au-delà du temps planifié

sans achever le cours.

170

Sidi : Pour le cours, on ne peut pas dire qu’on est satisfait parce que le temps cause beaucoup un problème. Pour être dans la fourchette, c’est très difficile de respecter le temps. En fait, étant donné que chaque partie doit avoir une activité, après le contenu, après puis le faire fonctionner. Donc ce qui fait qu’on ne peut pas choisir un contenu un peu élevé pour faire un cours. Il faut des petites portions seulement. (Annexe 5; Entrevue : L99-L103).

Il pense que le non-achèvement de son cours est dû à la méthode de redécouverte qu’il a utilisée.

Il décrit sa compréhension de la méthode de redécouverte dans l’extrait ci-dessous.

Sidi : C’est la méthode de redécouverte. CH : La méthode de redécouverte; qui consiste à quoi? Sidi : Qui consiste à faire les enseignements par les activités, le travail étant individuel. CH : Le travail individuel. Sidi : Oui, oui, enseignement par les activités. CH : C’est vous qui avez choisi le travail individuel ou bien c’est systématique? Sidi : Non, non. C’est moi qui ai choisi le travail individuel. (Annexe 5; Entrevue : L106-L112).

Sidi a privilégié le travail individuel lors de la réalisation du cours. De plus, nous avons relevé lors

du sixième incident didactique, que peu de temps de réflexion est accordé aux élèves afin qu’ils

formulent les procédures mathématiques. Il fait des commentaires qui balisent le travail à faire.

Cette situation, en décalage avec la méthode de redécouverte, manifeste de sa conception de

l’enseignement de type transmissif.

Sidi a constaté des erreurs dans les productions des élèves lors de ses déplacements en classe. Il

donne un exemple dans l’extrait ci-dessous.

Sidi: Il y a eu un élève, j’ai eu à donner 100

524 et j’ai demandé de donner la réponse,

j’ai vu un [élève] qui a fait celui-là [en montrant le résultat : 100

524 =52 400]. (Annexe 5;

Entrevue : L149-L150).

Cependant, Sidi n’a pas utilisé un cas d’erreur lors de la réalisation de la leçon. Il relate ci-dessous

le discours qu’il a tenu lorsqu’il a constaté le résultat «100

524 =52 400 » :

Sidi: C’est pour cela au niveau de la correction, lorsque j’ai voulu faire des réajustements, je leur ai demandé voir s’ils ont compris et j’ai repris en m’appuyant sur la formule, sur la règle qu’il faut compter, par exemple, si on a deux chiffres, on a

171

ça, donc j’ai repris en leur disant de compter à deux chiffres après la virgule. (Annexe 5; Entrevue : L158-L161.

Le discours de Sidi semble un rappel de la transformation d’une fraction décimale en un nombre

décimal dans un style explicatif. Sa gestion de l’erreur semble viser la répétition des procédures au

détriment d’une recherche des causes de l’erreur. Cette répétition semble une quête de la

mémorisation des procédures par les élèves, une conception de l’enseignement.

Lors du contrôle des prérequis, nous avons constaté des erreurs commises par les élèves.

Sidi : Oui justement, il y avait eu certainement des erreurs. Il y a des enfants qui ont dit que 13 n’appartient pas à D; d’autres même disent que 0 n’appartient pas à D. CH : Pensez-vous avoir apporté des réponses convaincantes aux élèves? Sidi : Moi, je pense qu’à la fin, je les ai fait comprendre qu’on a vu dans le cours que

ℕ étant inclus dans D, ça veut dire que tous les éléments de ℕ appartiennent à D. Donc, par conséquent, tout ce qui appartient à ℕ est à D.

CH : Oui, par exemple l’élève qui avait marqué que 5,00 n’est pas élément de ℕ, donc en ce moment… Sidi : Oui, oui, ils ont dit ça. Mais, dans le cours passé aussi, on a eu à parler de ça. Puisqu’on a donné un exemple 14 dans le cours, puis on a donné 14,00; je leur avais demandé quel était le plus grand entre 14 et 14,00. Ils ont dit que 14 et 14,00 sont

égaux. Je dis comme 14 et 14,00 sont égaux, alors que 14 appartient à ℕ, donc 14,00 appartient aussi à ℕ. Mais, là-bas, je n’ai pas pris le soin de repartir en arrière pour leur expliquer. (Annexe 5; Entrevue : L162-L175).

Dans cet extrait, Sidi revient dans ses réponses sur le fait que le contenu est déjà vu lors d’un

cours antérieurement fait. Il semble confirmer une conception de l’enseignement de

mathématiques observée lors de la réalisation : tout contenu vu en classe est supposé compris par

les élèves.


Sidi reconnaît à l’entrevue qu’il a eue des difficultés lors de la planification de la leçon. La difficulté

qu’il exprime est relative à la détermination d’une tâche pour le contrôle des prérequis.

Sidi:… j’ai eu encore du mal à formuler les prérequis, puisque je ne savais pas au juste ce qui entrait. Je considère mal ce que les élèves devraient avoir pour entrer dans la notion de fraction. Comme connaissance, donc je me suis référé au chapitre 1er sur la notion des nombres décimaux et des entiers naturels. Puisque au niveau du

172

cours, au niveau de la remarque, ils ont eu à parler que b

a est une fraction si a et b

sont des entiers naturels. (Annexe 5; Entrevue : L11-L16).

Des exemples de notation «b

a =a b » ressortent dans plusieurs leçons du manuel scolaire du

cours moyen première et deuxième années de l’ordre primaire. Par exemple, nous relevons les

notations «10

25 =25 10=2,5; 8

5 =5 8=0,625=1000

625 » dans la leçon 35 du livre (MEBA/DGRIEF,

Mathématiques CM1 et CM2, p. 101). Les élèves de 6e ont obtenu leur certificat d’études primaires

(CEP). Sidi a demandé à ses élèves de réviser leurs leçons du primaire sur la fraction avant son

cours. Cependant, il ne se réfère pas aux contenus des manuels de la classe du cours moyen

deuxième année (CM2) afin de faire comprendre les élèves. Il semble exprimer que les contenus

mathématiques de la classe du CM2 sont compris des élèves. Il manifesterait une conception de

l’apprentissage selon laquelle une réussite correspond à une compréhension.


Sidi reconnaît avoir eu une difficulté dans la formulation de la procédure mathématique qui permet

d’écrire un nombre décimal sous forme de fraction décimale. Il suggère qu’on mette à la disposition

des enseignants un document où il y a des procédures mathématiques afin d’éviter des

formulations disparates entre les enseignants.

Sidi : Si au niveau, par exemple des fractions, des fractions décimales, l’écriture d’un décimal sous forme de fraction décimale, s’il y avait quand même une règle pour permettre aux élèves, comme la première, pour permettre aux élèves de décaler la virgule d’1 chiffre, 2 chiffres… vers la droite. Si au niveau de la 2e, les 1,5 qu’on veut écrire sous forme de fraction décimale, s’il y avait une règle pour permettre d’expliquer correctement. Sinon, chaque professeur sera obligé d’expliquer à sa manière. Comme c’est 1,5, vous avez un chiffre après la virgule, vous mettez 1, vous

mettez10

15 . Ou bien comme c’est comme ça, sinon il n’y a pas de règle précisément

pour faire. (Annexe 5; Entrevue : L74-L80).

Cette demande de Sidi semble confirmer une conception des mathématiques : les mathématiques

sont un ensemble de techniques conventionnelles à faire apprendre aux élèves. Il semble ainsi

adopter la posture de l’ancien élève, car il recherche des contenus de référence lors de ses tâches

de planification de cours.

173

En conclusion

Sidi adopte le travail individuel en classe, car il est préoccupé par la gestion du temps didactique.

Selon lui, la gestion du temps didactique constitue une insuffisance lors de sa réalisation de la

leçon. Il semble concevoir l’enseignement comme une exécution intégrale du contenu planifié dans

le temps requis. Trois autres conceptions de l’enseignement sont apparues lors de l’entrevue :

l’enseignement transmissif; un contenu vu en classe est supposé compris par les élèves; la

mémorisation des procédures.

Sidi confirme une conception de l’apprentissage lors de l’entrevue. En effet, bien que Sidi soit

informé que les fractions sont abordées dans les classes de 5e et 6e années de scolarité [cours

moyen première et deuxième années], il n’exploite pas les manuels de ces classes lors de la

planification de son cours. Il semble exprimer que la réussite est synonyme de compréhension, car

les élèves sont passés d’une classe du primaire à celle du post-primaire après leur succès au

certificat d’études primaires.

Deux conceptions des mathématiques apparaissent de l’entrevue. Premièrement, les

mathématiques seraient une discipline transparente parce que la présentation des définitions de ℕ

et de D serait suffisante pour que les élèves ne fassent plus d’erreur. Deuxièmement, les

mathématiques sont un ensemble des techniques. En effet, en reconnaissant avoir eu des

difficultés lors de la détermination des objectifs de cours et du choix des tâches mathématiques,

Sidi pose comme un handicap à son enseignement l’absence de documents pédagogiques et

didactiques de référence. Il recherche des techniques conventionnelles à faire apprendre aux

élèves. En conclusion, les différentes conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des

mathématiques manifestées par Sidi lors de l’entrevue semblent dire qu’il met le savoir « à »

enseigner au centre de son enseignement/apprentissage.

3.5.4 Synthèse


formation initiale (DeBlois, 2012) pour décrire la logique de Sidi dans sa pratique de classe.

174

Figure 10: Composantes de la formation initiale en jeu lors de la pratique d'enseignement et d'apprentissage de Sidi.

Sidi a planifié des opérations de calcul. Il a prévu également un travail individuel et un travail

collectif comme organisation des élèves en classe. L’organisation de travail et les consignes

inscrites dans la planification laissent conjecturer une forme d’animation dans la classe lors de la

réalisation. En effet, Sidi prévoit aider les élèves dans la formulation des savoirs scolaires.

La réalisation de la leçon semble être caractérisée par un enseignement de type transmissif. En

effet, les libellés des tâches mathématiques présentées sont immédiatement commentés et les

questions sont explicitées. Cette conception de l’enseignement est confirmée par l’analyse de

l’entrevue. Son style explicatif des définitions et des procédures mathématiques et son mode

apport dans l’institutionnalisation des savoirs scolaires semblent manifester de sa préoccupation à

l’égard d’une recherche d’application des procédures mathématiques et de la réussite des élèves.

Sidi semble d’une part assimiler la réussite à la compréhension, et d’autre part, considérer que les

mathématiques sont transparentes c’est-à-dire qu’elles sont compréhensibles par celui qui écoute

ou voit une bonne réponse, car les réponses des élèves ne sont pas justifiées.

175

Les différentes conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques

pourraient expliquer les pratiques apparues lors de la réalisation, par exemple, lors des erreurs et

leur gestion. La gestion d’une erreur a été à l’origine d’une adaptation projective de Sidi. Cette

adaptation est une caractéristique de la posture de l’enseignant. Au cinquième incident, à la suite

d’une erreur commise par un élève, Sidi sollicite d’un autre élève la bonne réponse. L’absence

d’une compréhension des réponses des élèves ne semble donc pas confirmer une manifestation

de sa posture d’enseignant.

« Un contenu vu est supposé compris par les élèves » est une autre conception de l’enseignement

manifestée par Sidi lors de la réalisation de la leçon et confirmée lors de l’entrevue, lorsqu’il

déclare n’être pas revenu sur certains contenus antérieurement vus par les élèves. L’analyse de

l’entrevue révèle également deux autres conceptions de l’enseignement et une conception des

mathématiques. En effet, premièrement, Sidi semble rechercher dans son enseignement une

exécution intégrale du contenu planifié dans le temps requis, donc préoccupé par la gestion du

temps. Deuxièmement, il semble rechercher une mémorisation des procédures par les élèves.

Troisièmement, il semble concevoir les mathématiques comme un ensemble de techniques

lorsqu’il évoque l’absence de certaines procédures dans les manuels scolaires qui a été une cause

de ces difficultés lors de la planification de la leçon.

En conclusion, en privilégiant un style transmissif des connaissances dans son enseignement, en

assimilant la réussite des élèves à leur compréhension et en considérant que les mathématiques

sont transparentes, Sidi manifeste des conceptions qui l’amènent à mettre le savoir « à »

enseigner au centre de son enseignement/apprentissage. Ces conceptions sont caractéristiques

de la posture de l’ancien élève adoptée par Sidi lors de sa pratique de classe.

3.6 Leçon sur la simplification d’une fraction planifiée et vécue par Sana

Sana planifie une leçon sur la simplification d’une fraction. Selon le programme de mathématiques

de la classe de 6e, l’utilisation des critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 ou 10 pour simplifier les

fractions est un des objectifs de cette leçon pour ce niveau de scolarité. En consultant le manuel

de mathématiques de la classe de 6e (MESSRS/DIES, 1997; p. 67-68), la simplification de la

fraction est une leçon qui vient après celles portant sur l’écriture fractionnaire [notation

conventionnelle d’une fraction, fractions décimales] et sur l’écriture fractionnaire d’un quotient.

176

Toutefois, elle précède la leçon sur les opérations des fractions [addition de deux fractions,

multiplication d’un décimal par une fraction].



Sana planifie la leçon pour une classe de 66 élèves dont 33 filles et 33 garçons. Cinquante-cinq

(55) minutes sont prévues dans la planification [fiche pédagogique] pour la réalisation de la leçon.

Les objectifs de la leçon sont : « 1) simplifier une fraction en utilisant les critères de divisibilité par

2, 3, 5, 9 ou 10; 2) reconnaître une fraction irréductible; 3) rendre une fraction irréductible »

(annexe 6; Contenu de la planification). Pour le contrôle de prérequis, l’élève de la classe doit être

en mesure de reconnaître un nombre divisible par 2, 3, 5, 9 et 10 et de reconnaître des fractions

égales50. À l’instar de Sidi, Sana se base sur la méthode de redécouverte pour la planification et la

réalisation de son cours. Il propose un enseignement par les activités et le questionnement comme

stratégie51. Le travail individuel est la forme d’organisation de classe prévue dans la planification.

Dans la planification, une colonne est consacrée à la description du rôle de Sana et des actions

qu’il mènera lors de la réalisation du cours. Par exemple, Sana y décrit les tâches mathématiques

et les temps qu’il estime nécessaires pour la réalisation de ces tâches par l’élève. Une autre

colonne est consacrée à la description du rôle des élèves et des actions qu’ils mèneront lors de la

réalisation du cours. Par exemple, Sana y inscrit des indications pour l’utilisation des cahiers de

cours et de brouillon et des propositions de bonnes réponses qu’il attend des élèves pour les

tâches mathématiques. Le contenu des informations préliminaires nous fait dire que Sana suit le

modèle de planification (annexe 10) qu’il a reçu lors de sa formation initiale.


Dans la planification, le contenu du déroulement de la leçon comporte six (6) étapes, qui sont : 1)

le contrôle de prérequis; 2) une motivation sur la leçon; 3) une activité permettant d’introduire la

notion de simplification d’une fraction; 4) un exercice d’application de la définition de la

50 La terminologie « fractions égales » est utilisée au Burkina Faso lorsqu’on parle de « fractions équivalentes », particulièrement dans les classes du primaire et du post-primaire. 51 Notons que les documents issus de la formation initiale utilisent le terme « techniques » pour désigner ces stratégies. On parle donc de techniques pédagogiques et de techniques d’organisation de la classe au post-primaire.

177

simplification d’une fraction; 5) une activité permettant d’énoncer la définition de fraction

irréductible; 6) un exercice d’évaluation (annexe 6; Contenu de la planification).

Le contrôle de prérequis, la première étape du déroulement de la leçon, consiste à donner en

classe les tâches mathématiques suivantes:

1) Indiquer si les nombres suivants sont divisibles par 2; 3; 5 ou 9 : 3; 40; 45.

2) Les fractions suivantes sont-elles égales : a) 6

3 et 2

1 ; b) 25

12 et 5

4 .

Sana vise, à travers ces questions, un contrôle des connaissances des élèves sur les critères de

divisibilité et sur l’équivalence entre deux fractions. Il prévoit un travail individuel pour la réalisation

de cette tâche. Ce travail individuel est sollicité des élèves sous la forme d’une approche par les

objectifs. Toutefois, la nécessité d’utiliser les critères de divisibilité peut ne pas s’imposer à l’élève,

car les nombres semblent petits et la connaissance des tables de multiplication par 2, 3, 5, 9 et 10

semble suffisante. Les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 constituent un contenu de chapitre au

cours moyen du primaire (MEBA/DGRIEF, 2010; pp. 65; 66). Ils sont revus en classe de 6e

(MESSRS/DIES, 1997; pp. 67-68).

À la deuxième étape de la leçon, celle relative à la motivation, Sana prévoit raconter aux élèves

l’histoire suivante :

Dans une classe de 6e, le professeur demande à ses élèves : les fractions 30

24 et

25

20 sont-elles égales? Non! répond Adama, ces fractions ne sont pas égales.

Aminata dit : c’est faux, ces fractions sont égales. Qui des deux a raison?

Cette histoire contée viserait à susciter une discussion entre les élèves et à donner une occasion à

l’enseignant de leur demander d’être attentif afin de trouver par eux-mêmes la réponse à la

question à la fin du cours. Les nombres en jeu font intervenir la divisibilité par 6 ou successivement

par 2 et par 3 pour la première fraction. La deuxième fraction fait intervenir la divisibilité par 5

uniquement sans que ce choix ne soit justifié par Sana.

À la troisième étape du déroulement de la leçon, Sana propose l’activité suivante : « Trouver

toutes les fractions égales à 18

6 dont le numérateur est un entier naturel plus petit que 6 ». Les

178

réponses attendues par Sana sont 9

3;

6

2;

3

1, car il a fait successivement une simplification de

18

6

par 2, par 3 et par 6. Toutefois, les fractions 12

4 et 15

5 sont aussi des réponses à la question posée.

Comme nous le disions en introduction de ce cas à l’étude, la simplification d’une fraction est

abordée au cours moyen de cycle primaire. Donc, le contenu n’est pas nouveau pour un élève de

6e. Le développement qui est fait dans la planification, en dehors de l’action individuelle de l’élève

dans la recherche de réponse à la tâche donnée, la formulation de la définition sur la simplification

d’une fraction est prévue pour être faite par Sana. Les caractéristiques des phases d’action et

d’institutionnalisation semblent ainsi prévisibles pour la réalisation de cette tâche mathématique.

Le travail individuel semble proposé dans une approche par les objectifs.

Lors de la quatrième étape, Sana propose que les élèves travaillent sur la simplification d’une

fraction. La tâche planifiée est la suivante : « Simplifier les fractions suivantes : 45

15 et 24

8 ». Dans

les réponses que Sana a prévues, il n’apparaît pas l’utilisation des critères de divisibilité même

constitue une évaluation de la compréhension des élèves sur la simplification des fractions. De

nouveau, un travail individuel et un travail collectif à travers une approche par les objectifs sont les

formes d’organisation du travail planifiées pour la réalisation de cette tâche mathématique.

À la cinquième et avant-dernière étape, Sana propose la tâche mathématique suivante :

« Simplifier les fractions suivantes : 15

5 ; 6

8 et 3

2 ». Les élèves auront à se familiariser avec la

notion de fraction irréductible lors de la réalisation de la tâche. Comme dans la troisième étape, le

travail individuel et le travail collectif proposés se feront selon une approche par les objectifs. Sana

prévoit une synthèse durant laquelle il donnera la définition d’une fraction irréductible. Nous

reconnaissons les caractéristiques des phases d’action et d’institutionnalisation lors de la

réalisation de cette tâche mathématique.

La sixième et dernière étape est prévue pour la recherche d’une fraction irréductible par

simplification. Les fractions choisies semblent nécessiter l’utilisation des critères de divisibilité par

3, par 5, par 9 ou par 10 à cause des valeurs des entiers naturels pris comme termes. La tâche

proposée est la suivante : « Écrire sous forme de fraction irréductible : a) 27

63 ; b) 300

240 ; c) 125

75 ; d)

179

45

54 ». Comme à la quatrième étape, un travail individuel et un travail collectif, planifiés sous forme

d’une approche par les objectifs, sont les stratégies de travail prévues pour la réalisation de cette

tâche d’évaluation.

En conclusion

Sana prévoit une leçon sur la simplification de fractions par l’utilisation des critères de divisibilité.

Le sens « nombre » d’une fraction semble développé dans les tâches mathématiques proposées,

car l’utilisation de procédures de calcul est privilégiée dans ces tâches. Sana planifie des travaux

individuels et collectifs dans une approche par les objectifs pour la réalisation de toutes les tâches

mathématiques proposées. Seules les caractéristiques des phases d’action et

d’institutionnalisation dans une situation de Brousseau (1986a) sont apparentes lors des troisième

et cinquième étapes de la réalisation de la leçon. Cependant, Sana ne planifie pas une anticipation

des difficultés des élèves.


Lors de la réalisation des tâches mathématiques, un travail individuel est demandé aux élèves

dans un premier temps. Puis, dans un second temps, les corrections sont faites au tableau par des

élèves désignés comme il est prévu dans la planification. Aucun élève n’évoque un critère de

divisibilité par 2, 3, 5 ou 9 pour justifier ce qu’il fait lors des simplifications des fractions. De plus,

l'usage de ces critères n'est pas sollicité par Sana. Certaines fractions dont les deux termes sont

de petits nombres exigent la connaissance des tables de multiplication, mais d’autres fractions

exigent l’utilisation des critères de divisibilité. Nous présentons, selon l’ordre de déroulement de la

leçon, les incidents didactiques et les formes d’adaptation qui sont intervenus lors de la réalisation

du cours.

Premier incident didactique : la gestion d’une erreur

Dans la première question du contrôle de prérequis, il est question, entre autres, que les élèves

disent si 45 est divisible par 2, 3, 5 ou 9. À la correction au tableau, un élève donne une réponse

contenant une erreur.

El : Activité :

180

1) 3 est divisible par 3. 40 est divisible par : 2 ; 5. 45 est divisible par : 2; 5; 3; 9. (Annexe 6; Réalisation : L34-L37).

Sana reprend oralement les réponses données au tableau. Un élève n’est pas d’accord avec la

réponse « 45 est divisible par 2 », mais il le manifeste timidement. Les autres élèves sont restés

silencieux.

Sana : 45 est divisible par 2; 3; 5 et 9. [Un élève répond faiblement.] El : Non. [Sana n’a pas entendu la réponse non de l’élève et il n’a pas non plus remarqué qu’il y a 2 parmi les diviseurs de 45.] Sana : Très bien. On dit maintenant de dire si les fractions sont égales ou non. (Annexe 6; Réalisation : L48-L51).

L’émergence de cet incident didactique ne semble pas reconnue par Sana qui suit la planification

prévue. L’absence d’une demande de justification des réponses lors de la correction de l'exercice

et la présence de l'erreur semblent traduire une préoccupation de Sana à réaliser intégralement le

contenu planifié dans son enseignement. Il semble donc préoccupé par le temps dès le début.

Deuxième incident didactique : réponse incomplète

Après le contrôle de prérequis, Sana demande aux élèves de trouver des fractions équivalentes à

18

6 dont les numérateurs sont plus petits que 6. Il a «sauté» la motivation de la leçon qui suivait le

contrôle de prérequis. Lors de la réalisation de la tâche, il oriente les actions des élèves avant

qu’ils ne commencent à travailler.

Sana : Quand on a fait le 1er exercice, il y avait des fractions égales là-bas ou bien? Qu’est-ce qu’on avait dit? Comment on avait fait pour déterminer, pour démontrer que ces deux fractions étaient égales. Donc vous utilisez ça. Hon! (Annexe 6; Réalisation : L87-L89).

La procédure dont Sana parle consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un même

entier naturel. Ses commentaires, manifestation d’un effet Topaze, réduisent la réflexion

personnelle des élèves. La phase d’action semble allégée. Lors de la correction, Georgette fait des

simplifications successives jusqu’à obtenir la fraction irréductible 3

1 . Jonas, un autre élève,

propose une simplification donnant directement la fraction 3

1 .

181

Georgette : Activité : 18

6 =318

36

=26

22

=3

1 . (Annexe 6; Réalisation : L93).

Jonas : 18

6 =618

66

=3

1 . (Annexe 6; Réalisation : L105).

Georgette et Jonas n’explicitent pas dans leur réponse, conformément à la tâche demandée, les

fractions égales à 18

6 dont le numérateur est inférieur à 6. Sana propose la démarche ci-dessous.

Sana : C’est tout, OK! Donne, merci beaucoup. On doit aller étape par étape. [Il revient à la réponse de Georgette].

C’est bien, elle a mis = = . Très bien, tu ne devrais pas encore diviser par

2, tu reviens à la ligne et tu écris . Ici, tu as divisé par 3. Ici il a divisé par 6 [en

montrant la réponse de Jonas]. Ici on peut encore diviser par combien? Oui. El : Par 2.

Sana : Très bien : = = . Donc on trouve ; et . Donc, vous prenez la

correction. Donc voici les fractions qui sont égales à : ; et . Donc vous

prenez la correction dans les cahiers de leçons. (Annexe 6; Réalisation : L106-L114).

Une adaptation normative suit cet incident didactique. Ce type d’adaptation conduit Sana à utiliser

un discours explicatif pour trouver les fractions équivalentes. Il semble concevoir l’enseignement

comme une transmission des connaissances.

Troisième incident didactique : désaccord entre les élèves

Après avoir énoncé la définition sur la simplification d’une fraction, Sana donne à simplifier les

fractions 45

15 et 24

8 . Après quelques minutes de travail individuel des élèves, il circule dans les

rangées et contrôle ce qu’ils ont fait dans leur cahier de brouillon. Puis, il commente la définition.

Sana : Donc, c’est-à-dire pour simplifier, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier, c’est-à-dire même nombre entier. Ce nombre doit être plus grand que 1. Ce nombre doit être plus grand que 1. (Annexe 6; Réalisation : L154-L156).

18

6

318

36

6

2

18

6

18

6

218

26

9

3

9

3

6

2

3

1

18

6

9

3

6

2

3

1

182

Le commentaire de Sana sur la procédure de simplification qui est déjà institutionnalisée semble

traduire son désir d’avoir un grand nombre des réussites. Cet extrait montre un style

d’enseignement explicatif conduisant Sana à réaliser un effet Topaze.

Lors de la correction de l’exercice, Téné est envoyée au tableau. Elle propose les réponses

suivantes : 45

15=

545

515

=

39

33

=

3

1;

24

8 =

424

48

=

26

22

=

3

1. (Annexe 6; Réalisation : L162).

Sana semble souhaiter que les élèves reviennent à la fraction initiale à chaque fois et qu’ils

effectuent une nouvelle division du numérateur et du dénominateur par un même entier naturel,

afin de trouver une fraction équivalente. Par exemple (cf. troisième incident didactique) : 45

15=

345

315

=15

5;

45

15 =545

515

= 9

3;

45

15 =1545

1515

=3

1. Toutefois, il y a des désaccords entre les élèves

lorsqu’il s’est agi d’apprécier le travail de Téné. Un élève garde même le silence quand Sana

l’interroge sur les résultats de Téné.

Sana : [il suit attentivement ce que fait Téné au tableau]. C’est ça? [Certains élèves disent oui, d’autres disent non]. Oui [en s’adressant à un élève]. Oui, je vous écoute.

[L’élève ne dit rien]. Donc, elle a pris , c’est-à-dire . (Annexe 6;

Réalisation : L163-L165).

Les élèves semblent habitués à faire des simplifications successives jusqu’à trouver une fraction

irréductible. Ils ont des difficultés à comprendre Sana, car la réponse donnée est juste. Finalement,

Sali propose qu’on revienne à la fraction initiale et qu’on recommence la simplification. Cette

réponse satisfait Sana qui reprend la correction de l’exercice en posant des questions.

Sali : On doit recommencer. Sana : Bon, c’est bon. En réalité tu devrais reprendre encore [en s’adressant à Téné].

Voilà! Donc, 45

15 =545

515

=9

3 . Et tu reprends encore45

15 , on peut diviser par combien

encore? El : Par 3.

Sana : Très bien : 345

315

=15

5 . On peut encore diviser par combien? Oui. (Annexe 6;

Réalisation : L168-L172).

Des simplifications successives, que les élèves ont connues au cycle primaire pour obtenir une

fraction irréductible, un nouveau contrat didactique est en train de s’établir dans la classe. Ils

45

15

545

515

183

doivent adopter une nouvelle procédure dans la simplification des fractions qui vise à les préparer

à utiliser le plus grand commun diviseur. Cette adaptation normative manifeste de sa conception

des mathématiques comme étant une application de procédures.


À la cinquième étape du déroulement de la leçon, il y a la fraction 3

2 dans la liste des fractions

proposées par Sana pour une simplification. Henri propose dans un premier temps le résultat

suivant : «3

2 =13

12

=3

2 ». (Annexe 6; Réalisation : L213). Par la suite, une nouvelle question de

Sana amène un autre élève à proposer une simplification par 2.

Sana : […]. On doit diviser par un nombre qui est plus grand que 1. Est-ce que ici là, c’est ce qu’il a fait? Donc ici, on peut diviser par combien? El : Par 2. […] Sana : On peut diviser par 2? Els : Non. El : Là-bas, on ne peut pas diviser. Sana : On ne peut pas Els : diviser. (Annexe 6; Réalisation : L222-L229).

L’absence d’une justification nous amène à proposer deux interprétations. Premièrement, la

question « donc ici, on peut diviser par combien? » semble convaincre l’élève qu’une simplification

est possible. Il propose donc 2. Deuxièmement, on pourrait se demander si l’élève sait si les

divisions du numérateur et du dénominateur par un même entier naturel doivent donner des entiers

naturels. Sana sollicite les réponses d’autres élèves. Ces réponses, données sans justification,

semblent montrer une conception de l’apprentissage de Sana selon laquelle les bonnes réponses

sont synonymes d’une compréhension.

Cinquième incident didactique : gestion d’erreurs

La dernière étape de la séance de cours consiste à traiter l’exercice suivant : «Écrire sous forme

de fraction irréductible : a) 27

63 ; b) 300

240 ; c) 125

75 ». Andréa, qui est allée au tableau, donne des

réponses erronées aux trois questions.

184

Andréa : a) = = [une erreur]; = .

b) = = [une erreur].

c) = = . = [une erreur]. (Annexe 6; Réalisation : L288-L290).

Andréa fait des erreurs de calcul qui sont dues à une non-maîtrise des tables de multiplication et

des critères de divisibilité. Sana envoie un second élève au tableau et l’amène par des questions à

écrire 3

7 , la forme irréductible de la fraction27

63 . Par la suite, Sana reste au tableau et reprend les

simplifications de 300

240 et de 125

75 en posant des questions à la classe qui sont, entre autres, « Est-

ce que 240:3, ça donne 8? » « On peut diviser par combien? » « Est-ce que 25 divisé par 5 ça

donne 4? » « Ça donne combien? » (Annexe 6; Réalisation : L316-L332). Sa gestion de ces

erreurs commises a consisté à changer d’élève pour le premier cas, puis à offrir des explications

pour les autres, une adaptation normative, car les productions des élèves divergent des réponses

qu’il attend d’eux. Une conception de l’apprentissage selon laquelle une bonne réponse représente

une compréhension surgit. En effet, Sana semble rechercher les bonnes réponses à travers ces

séries de questions.

Sixième incident didactique : rupture de contrat didactique

À la fin de la correction de l’exercice d’évaluation, les derniers conseils de Sana aux élèves

marquent son attachement à l’utilisation du plus grand commun diviseur (PGCD) pour rendre une

fraction irréductible. Nous donnons ci-dessous un extrait des conseils donnés par Sana.

Sana : […]. Donc, si on vous donne une fraction et on vous dit d’écrire sous forme irréductible, vous devez savoir je dois diviser par combien d’abord pour trouver. Est-ce que c’est compris? Donc ici au lieu de commencer par diviser par 2, 3, non on commence par le plus grand. Voilà, est-ce que c’est compris? Els : Oui. Sana : On commence par le plus grand. OK, donc vous prenez la correction. (Annexe 6; Réalisation : L336-L341).

Les élèves affirment avoir compris l’explication de Sana évoquant l’utilisation du plus grand

commun diviseur (PGCD). L’utilisation du PGCD semble en rupture avec ce que les élèves ont

appris. En effet, conformément au programme des classes de sixième et septième années de

27

63

727

763

3

9

33

39

1

3

300

240

3300

3240

1

8

125

75

5125

575

25

15

525

515

4

3

185

scolarité, les élèves sont amenés à utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10 dans leurs

procédures de simplification des fractions.

En annonçant qu’« on commence par le plus grand » sans une justification, Sana semble montrer

qu’il privilégie le mode apport de l’institutionnalisation dans son enseignement, une manifestation

d’une conception transmissive de l’enseignement et d’une conception des mathématiques, les

mathématiques sont transparentes.

En conclusion

Nous dénombrons six incidents didactiques lors de cette réalisation dont trois sont dus aux erreurs

et à leur gestion (premier, quatrième et cinquième incidents didactiques). Par exemple, la réponse

« 45 est divisible par 2 » cause le premier incident didactique. Le troisième incident didactique est

un désaccord entre les élèves. En effet, les élèves ne s’accordent pas sur un travail de

simplification proposé par un élève au tableau. Une réponse incomplète (deuxième incident

didactique) et une rupture de contrat didactique (sixième incident didactique) composent les deux

autres incidents didactiques. La réponse incomplète (deuxième incident) donnée par les élèves,

qui est due à une démarche de simplification différente de celle planifiée par Sana, amène ce

dernier à intervenir afin de garantir la réponse qu’il attend des élèves, manifestant ainsi une

adaptation normative. Trois adaptations normatives de Sana sont ainsi intervenues à la suite des

deuxième, troisième et cinquième incidents didactiques. Quant à la rupture de contrat (sixième

incident didactique), elle est causée par l’introduction implicite pour l’élève de l’utilisation du plus

grand commun diviseur (PGCD) lors de la recherche d’une fraction irréductible.

Sana, en faisant des commentaires lorsque les élèves sont en situation de recherche individuelle

les orientent sur ce qu’ils doivent faire lors des incidents didactiques. Nous constatons également

l’absence de validation des connaissances par les élèves à travers d’échanges en classe, phase

qui n’était pas prévue dans sa planification. De plus, la phase de formulation est occultée et

l’institutionnalisation des savoirs se fait dans un mode apport. Durant le cours, l’élève recopie les

synthèses et les définitions données, afin de les réinvestir dans les exercices qui suivent. La leçon

semble ainsi être faite dans le schéma d’une approche transmissive. Sana recherche dans son

cours une exécution intégrale du contenu planifié (premier incident didactique), exprimant ainsi sa

conception de l’enseignement.

186

Deux conceptions de l’apprentissage sont manifestées par Sana. Lors du troisième incident

didactique, il semble viser une réussite des élèves lorsqu’il donne des indices de réponse à la

question pendant que les élèves travaillent. Quant à la deuxième conception, il semble assimiler la

réussite des élèves à leur compréhension. En effet, il semble rechercher les bonnes réponses lors

des réalisations des tâches. Par exemple au quatrième incident didactique, il sollicite des réponses

d’autres élèves afin d’obtenir la bonne réponse.

Les commentaires évoquant implicitement l’utilisation de plus grand commun diviseur dans les

procédures de simplification des fractions semblent indiquer que ces commentaires suffisent pour

développer une compréhension. Sana semble manifester une conception selon laquelle les

mathématiques sont transparentes. L’absence d’explicitation des réponses des tâches laisse voir

aussi cette conception de transparence des mathématiques de Sana. Une deuxième conception

des mathématiques est apparue lors du troisième incident didactique. En effet, il semble

rechercher une application des procédures de calcul lorsqu’il propose sa démarche de recherche

des fractions équivalentes à . L’analyse de l’entrevue permettra de confirmer certaines

conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques de Sana.


L’entrevue semi-dirigée vise une auto-évaluation de Sana à l’égard de sa séance de cours et une

connaissance de ses conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques.

L'auto-évaluation permet également de discuter ses compétences et ses difficultés lors de la

planification et de la réalisation du cours afin de comprendre ses choix.


Une difficulté exprimée par Sana réside dans le découpage des chapitres en leçons d’une heure.

Sana décompose, sur la base des conseils d’enseignants expérimentés, le contenu sur la

simplification d’une fraction et les critères de divisibilité en deux leçons; l'une sur les critères de

divisibilité qu’il a faite auparavant et l’autre sur la simplification d’une fraction qui constitue la

présente leçon. Il reconnaît ensuite la difficulté de « trouver au moins deux objectifs spécifiques »

pour cette leçon. Il se demande comment démultiplier l’objectif qui est déjà « simplifier une

fraction ».

45

15

187

Sana : […]. Comment j’allais diviser ça pour trouver les objectifs, parce que l’objectif, c’est simplifier une fraction. Mais, selon moi si on dit de simplifier une fraction, on peut simplifier une fraction, mais ne pas écrire la fraction sous forme irréductible. Donc j’ai eu l’idée, je me suis dit pourquoi ne pas mettre a) simplifier une fraction et maintenant b) fraction irréductible… (Annexe 6; Entrevue : L14-L18).

Cet extrait montre l’exigence de « décompresser » un savoir mathématique devenu familier.

Bien que satisfait de sa séance d’enseignement/apprentissage, Sana reconnait qu’il a eu une

difficulté dans la gestion du temps lors de la réalisation du cours. En effet, il a dû abandonner

l’étape de la motivation et la question d) de son dernier exercice d’évaluation pour rester dans le

temps.

Sana :… sinon j’avais une motivation, mais je n’ai pas pu donner ça parce que je me disais qu’avec la motivation j’allais tellement déborder l’heure. Donc, j’étais obligé d’enlever ça. Et au niveau de l’exercice d’application aussi, c’était les quatre exercices a), b), c), d) j’étais obligé d’enlever le d) pour pouvoir être à l’heure. CH : Donc, c’est une difficulté de gestion du temps. Sana : Voilà une difficulté de gestion du temps. (Annexe 6; Entrevue : L29-L34).

Sana est préoccupé par la réalisation complète du contenu de sa planification dans le temps requis

qu’il propose un allègement du contenu d’enseignement en diminuant le nombre de fractions et en

donnant des petits nombres dans les exercices d’application.

Sana : Si je prends l’exercice d’application, là où j’ai mis300

240 , ce sont des nombres

tellement un peu énormes pour des exercices d’application donc je pouvais mettre

30

24 . Bon maintenant au niveau des activités aussi, souvent je donne jusqu’à 3

fractions, je peux essayer d’amener ça à 2 pour essayer de voir est-ce que ça ne va pas aller. (Annexe 6; Entrevue : L75-L78).

Enfin, Sana confirme ce que nous avons observé lors de la réalisation de la leçon. Il donne lui-

même la définition de simplification d’une fraction et la définition de fraction irréductible. Cette

pratique, qui n’est pas congruente avec la méthode de redécouverte, confirme que sa conception

de l’enseignement est de type transmissif comme nous le constatons dans l’extrait ci-dessous :

Sana : Donc je donne un exercice, les élèves essaient de traiter l’exercice, je regarde. Maintenant l’exercice que je vais donner c’est en rapport avec ce qu’on avait vu. Voilà, donc je fais le rappel, prérequis, je dis pour simplifier une fraction […], donc après je leur ai dit de simplifier une fraction, c’est-à-dire ils vont diviser la fraction par un même nombre. Il y a d’autres qui ont pu faire, il y a d’autres qui n’ont pas pu faire.

188

Maintenant à partir de ça, j’annonce ma propriété. Donc ça veut dire simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Maintenant comme ils ont vu comment simplifier une fraction, deuxième partie je donne une activité en leur disant de simplifier les fractions. Et je donne les fractions, et parmi ces fractions il y a une fraction qu’on ne peut plus simplifier. À partir de ça, ils vont remarquer que non, il y a une fraction qu’on ne peut plus simplifier. Et je leur dis que cette fraction est appelée fraction irréductible. Voilà, c’est comme ça moi j’ai essayé de faire mes activités, d’annoncer mes propriétés. (Annexe 6; Entrevue : L44-L55).


Sana semble préoccupé par le contenu en jeu sans considérer les connaissances antérieures des

élèves. Par exemple, pour lui, la simplification des fractions n’est pas au programme de l’ordre

primaire. Or, la leçon sur la comparaison des fractions aborde ce contenu (cf. MEBA/DGRIEF,

2010; pp. 111-115).

Sana : Je me suis dit que, en tout cas ils ont vu les fractions à l’école primaire. Mais selon moi, concernant les simplifications, ils n’ont pas tellement, ils n’ont pas vu ça à l’école primaire. Donc, si moi je les laisse ça, chacun va proposer, mais si c’était au début, par exemple les écritures fractionnaires, en tout cas là je pouvais essayer de faire ça comme ça, la méthode de découverte. En ce moment, je considère qu’ils avaient déjà vu au moins les fractions à l’école primaire. Voilà, donc en leur rappelant, ils vont pouvoir me donner les propriétés. (Annexe 6; Entrevue : L89-L94).

Il semble justifier sa volonté de ne pas laisser l’apprentissage de la simplification des fractions

sous la responsabilité des élèves. Il préfère leur apporter toutes les informations. Cette conception

transmissive de l’enseignement semble soutenue par une conception de l’apprentissage selon

laquelle la réussite des élèves permet de justifier l’atteinte des objectifs de cours.


Sana oriente les élèves vers les procédures de résolution qu’il souhaite voir lors des réalisations

des tâches mathématiques. En effet, il impose l’utilisation de la division du numérateur et du

dénominateur par un même entier naturel afin de montrer l’équivalence de deux fractions.

Sana : Pour montrer que les fractions sont les mêmes. Mais, quand j’ai fait les fractions, on a fait des fractions égales. Quand est-ce peut-on dire que des fractions sont égales? Donc, j’ai fait ça, maintenant en disant qu’en multipliant numérateur et le dénominateur par un même nombre on trouve des fractions égales ou bien en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre, on peut trouver des

189

fractions égales. Mais, comme ici je voudrais utiliser la division, c’est pour cela j’ai essayé d’enlever, laisser tomber la multiplication et utiliser la division. Sinon

effectivement quand j’ai et , quelqu’un d’autre pouvait dire que le tout

multiplié par trois me donne et il dit que les fractions sont égales. Là aussi, la

personne a raison, mais en ce moment la personne a multiplié, donc, pourtant on n’a pas besoin de la multiplication, c’est de la division. (Annexe 6; Entrevue : L151-L159).

Son discours semble révéler une conception des mathématiques de Sana, une application de

procédures précises lors des réalisations des tâches mathématiques.

En conclusion

L’entrevue a permis de cerner certains choix pédagogiques dans la pratique de Sana. Il opte pour

l’enseignement transmissif en proposant lui-même les procédures de simplification d’une fraction.

Cet enseignement transmissif semble motivé par sa volonté d’achever le contenu du cours planifié

dans le temps requis, car dès le début de la réalisation il évite certaines activités planifiées, comme

la motivation, afin de ne pas déborder le temps. Il propose même à l’avenir alléger le contenu

planifié en choisissant par exemple des fractions dont les termes seront au plus des dizaines.

L’entrevue a confirmé une conception de l’apprentissage et une conception des mathématiques de

Sana. Il conçoit la réussite de ses élèves comme un signe de leur apprentissage. En effet, il

anticipe sur les actions des élèves et ne semble pas les laisser prendre d’initiative dans leur travail.

Nous cherchons aussi à comprendre pourquoi Sana se contente de la division du numérateur et du

dénominateur de 6

3 par 3 pour montrer l’égalité de

6

3 et

2

1 alors qu’il pouvait aussi utiliser la

multiplication de chacun des termes de 2

1par 3. Selon Sana, les objectifs de la leçon l’amènent à

ne s’intéresser qu'à la division. Il manifesterait une conception selon laquelle les mathématiques

correspondent à une application de procédures. Les conceptions de l’enseignement, de

l’apprentissage et des mathématiques qu’il manifeste lors de l’entrevue semblent montrer qu’il met

au centre de sa pratique de classe le contenu « à » enseigner.

6

3

2

1

2

1

6

3

190

3.6.4 Synthèse


formation initiale (DeBlois, 2012) pour décrire la logique de Sana dans sa pratique de classe.

Figure 11: Composantes de la formation initiale en jeu lors de la pratique d'enseignement et d'apprentissage de Sana.

Dans la planification, le rôle que Sana croit devoir jouer lors de la réalisation de la leçon lui

consacre le statut d’un organisateur des connaissances mathématiques à travers des résolutions

de tâches mathématiques. Toutefois lors de la réalisation, les connaissances mathématiques sont

transmises et les élèves en font usage lors des exercices d’application. Durant l’entrevue, la seule

insatisfaction de Sana est venue de la gestion du temps didactique. Dans cette appréciation de la

réalisation de la leçon, il ne remet pas en cause le style explicatif adopté pour l’apprentissage des

élèves. Il exprime, entre autres, un achèvement du contenu planifié dans le temps. Sana évite les

191

procédures que produiraient certains élèves afin d’aller directement sur sa propre procédure,

manifestant ainsi des adaptations normatives (deuxième et troisième incidents didactiques).

Sana exprime deux conceptions de l’apprentissage lors de sa pratique de classe : l’assimilation de

la réussite à la compréhension ; la réussite des élèves. Par exemple, lors du deuxième incident

didactique, le discours explicatif de Sana produit un effet Topaze, évitant ainsi d’avoir à gérer

certaines propositions de réponses des élèves. Cet effet Topaze semble générer une réussite des

élèves. Cette vision de l’apprentissage est confirmée lors de l’entrevue.

Lors du troisième incident didactique, Sana donne une procédure qui n’a pas été comprise de

prime abord par les élèves. Il y revient lors des exercices d’application à travers une démarche qui

va au-delà du programme d’enseignement de la classe de 6e : l’utilisation du plus grand commun

diviseur (PGCD). Sana manifesterait ainsi une vision selon laquelle les mathématiques consistent

en une application de procédures mathématiques. Cette conception est confirmée par le discours

de Sana lors de l’entrevue. Il manifesterait également une vision selon laquelle les mathématiques

sont transparentes parce qu’il considère que son explication et le fait de voir faire suffisent pour

comprendre en mathématiques.

En conclusion, les adaptations normatives, le style transmissif, la recherche d’une application des

procédures mathématiques et la conception de transparence des mathématiques semblent issues

de la posture de l’ancien élève de Sana. Sa pratique de classe semble dériver de l’approche par

les contenus qu’il a connue lors de ses cursus scolaire et universitaire et de la pédagogie par les

objectifs qu’il a connue lors de son cursus scolaire et de sa formation à l’institut, car il semble

privilégier le savoir «à» enseigner.

3.7 Leçon sur la simplification d’une fraction planifiée et vécue par Sylvie

Comme Sana, la simplification d’une fraction est la leçon planifiée et réalisée par Sylvie. Nous

avons choisi le même thème parce que Sylvie est à sa deuxième année de stage, alors que Sana

en est à sa première année. En rappel, l’utilisation des critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 ou 10

pour simplifier les fractions est un des objectifs de cette leçon pour la classe de 6e [7e année de

scolarité].

192



L’effectif de la classe de Sylvie est de 92 élèves dont 36 filles et 56 garçons. Cinquante-cinq (55)

minutes sont prévues dans la planification pour la réalisation de la leçon. Sylvie définit dans la

planification un seul objectif à atteindre à l’issue de la leçon. Selon elle, à la fin de la séance,

l’élève de la classe doit être capable de simplifier une fraction. Pour l’atteinte de cet objectif, elle

prévoit d’abord contrôler si les élèves sont à mesure de « reconnaître une fraction », de

« reconnaître le numérateur et le dénominateur d’une fraction » et de « rappeler les critères de

divisibilité par 2, 3, 5 ou 10 ». Comme Sidi et Sana, la méthode de redécouverte est la référence

de Sylvie pour la planification et la réalisation de son cours, car elle est inscrite sur la planification.

Un enseignement par des activités de redécouverte et le questionnement sont également les

stratégies d’enseignement que Sylvie prévoit. Le travail individuel est sa forme d’organisation de la

classe.

Dans la planification, une colonne est consacrée à la description du rôle de Sylvie et des actions

qu’il mènera lors de la réalisation du cours. Par exemple, Sylvie y décrit les tâches mathématiques

et les temps qu’il estime nécessaires pour la réalisation de ces tâches par l’élève. Une autre

colonne est consacrée à la description du rôle des élèves et des actions qu’ils mèneront lors de la

réalisation du cours. Par exemple, Sylvie y inscrit des indications pour l’utilisation des cahiers de

cours et de brouillon et des propositions de bonnes réponses qu’il attend des élèves pour les

tâches mathématiques. En regard des informations préliminaires contenues dans la planification,

nous pourrions dire que Sylvie suit le modèle de planification qu’elle a reçu au cours de sa

formation initiale.


Dans le scénario de la leçon, Sylvie inscrit cinq étapes. Ce sont : 1) un contrôle des prérequis; 2)

une motivation à l’introduction de la simplification d’une fraction; 3) une activité permettant

d’énoncer une procédure mathématique sur la simplification d’une fraction; 4) une évaluation

terminale; 5) une tâche mathématique que l’élève doit traiter à domicile (annexe 7; Contenu de la

planification).

193

L’exercice de contrôle des prérequis [première étape du déroulement de la leçon] prévu par Sylvie

comporte les questions suivantes :

1) Soit l’écriture suivante5

3 :

a) Comment appelle-t-on cette écriture?

b) Trouver le numérateur et le dénominateur dans cette écriture.

2) Quand dit-on qu’un nombre est divisible par 2? 3? 5? Ou 10?

La première question permet à l’élève de reconnaître une fraction et de distinguer ses deux

termes. Quant à la deuxième question, les élèves auront à formuler les critères de divisibilité par 2,

3, 5 ou 10. Un travail individuel sera sollicité aux élèves à travers une approche par les contenus

pour la réalisation de ces questions de contrôle de prérequis. Chaque élève mènera sa réflexion

afin de proposer une réponse à chacune des tâches proposées.

À la deuxième étape qui est celle de la motivation de la leçon, Sylvie envisage de raconter l’histoire

suivante en classe :

Deux élèves de 6e discutent. L’un dit : “150

255 =10

17 ”. L’autre dit : “Faux! Parce que les

numérateurs et les dénominateurs ne sont pas égaux”. Lequel de ces deux élèves a

raison?

Les propositions de réponses des élèves à la question posée seront commentées par Sylvie, mais

elle ne tranchera pas dans l’immédiat pour dire qui a raison et qui a tort. Elle veut susciter le désir

de l’élève à suivre le cours, car ce dernier peut trouver de lui-même la bonne réponse (150

255 =10

17 ) à

la fin de la séance. Par la suite, elle notera au tableau le titre du chapitre « Les fractions (2) » et le

sous-titre de la leçon « Simplification d’une fraction » que les élèves prendront dans leur cahier de

cours. Il s’agit d’une présentation du plan de la leçon qui guide la prise de note des élèves. Ce plan

sera au fur et à mesure complété en fonction de l’avancement dans la leçon.

Dans la troisième étape du déroulement de la leçon, les élèves seront amenés à travailler sur

l’activité mathématique ci-après :

194

Soit la fraction25

15 .

a) Diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par un même entier.

b) Trouver les écritures décimales de 25

15 et de la nouvelle fraction trouvée en a).

c) Comparer 25

15 et la nouvelle fraction.

d) Peut-on trouver encore des nombres entiers qui diviseront le numérateur et le

dénominateur de la nouvelle fraction?

Nous constatons que pour la réalisation de cette activité, il pourrait y avoir une phase d’action qui

consistera à laisser l’élève traiter les différentes questions. Ces dernières portent essentiellement

sur les différentes représentations formelles d’une même fraction, il s’agit de la notation

mathématique. Après cette phase, nous ne percevons pas dans le rôle et les activités des élèves

une mention concernant la formulation d’une procédure mathématique et sa validation dans le

groupe classe. Cependant, Sylvie prévoit dans sa planification faire des ajustements et faire noter

la synthèse des réponses de l’activité dans les cahiers de cours. Elle donnera également la

définition d’une fraction irréductible. Il apparaît donc l’institutionnalisation d’une définition sur la

simplification d’une fraction. Donc, des quatre phases d’enseignement/apprentissage décrites par

Brousseau (1986a), les phases d’action et d’institutionnalisation semblent apparentes dans la

planification de Sylvie. Le fait qu’elle va énoncer les savoirs à apprendre en classe traduira un

mode apport lors de l’institutionnalisation des connaissances mathématiques. La tâche

mathématique, comportant plusieurs questions, semble établir différentes étapes que devrait

franchir l’élève afin de trouver la procédure de simplification d'une fraction. Elle semble être

rédigée dans la vision d’une approche par les objectifs.

Après cette analyse des rôles des acteurs dans le déroulement de l’activité, nous examinons le

contenu de l’activité à travers les réponses attendues par Sylvie. Nous notons qu’elle prévoit le

résultat suivant : «25

15 =525

515

=5

3 ; 25

15 =5

3 » à la question. Toutefois elle n’évoque pas de

critères de divisibilité dans les réponses de toutes les tâches de simplification qu’elle a proposées.

Les quatrième et cinquième étapes sont celles de l’évaluation. Dans la quatrième étape, Sylvie

envisage de donner l’exercice d’application suivant :

195

Simplifier les fractions suivantes de façon irréductible :4

10 ; 12

18 ; 150

255 ; 90

480 .

Les entiers naturels portés au numérateur et au dénominateur des fractions sont de valeurs

variantes, car il y en a des nombres plus petits que 10, des nombres compris entre 10 et 99

inclusivement, et des nombres plus grands que 99. Toutefois, il n’apparaît pas une utilisation des

critères de divisibilité dans les propositions de réponses de Sylvie. La présence de la fraction 150

255

dans la liste des fractions vise à permettre à Sylvie de revenir sur l’histoire contée lors de l’étape

de la motivation afin que les élèves puissent confirmer l’exactitude de la proposition «150

255 =10

17 ».

Comme dans la troisième étape, le travail individuel proposé se fait selon une approche par les

contenus. À la fin de la correction de cet exercice, Sylvie s’enquerra du taux d’atteinte de l’objectif

de la leçon. Quant à la cinquième étape, elle consiste à donner des références d’exercices sur la

simplification des fractions à faire à domicile pour une prochaine séance. Les élèves noteront les

références suivantes : « Exercices n° 3 et 5, pages 70-71 » du manuel scolaire de la classe de 6e

(MESSRS/DIES, 1997).

En conclusion

Sylvie prévoit une leçon sur la simplification de fractions. Cependant, la justification des

simplifications à l’aide des critères par 2, 3, 5 et 10 est omise dans la planification. Sylvie a exploité

le sens nombre de la fraction en privilégiant des exercices. La planification de la leçon montre un

schéma qui laisse entrevoir les caractéristiques des phases d’action et d’institutionnalisation dans

une situation de Brousseau (1986a) lors de la réalisation de la tâche portant sur l’apprentissage de

la notion à l’étude. Un travail individuel est proposé pour la réalisation de toute tâche

mathématique planifiée. Sylvie semble privilégier une approche par les contenus pour la réalisation

du contrôle de prérequis et de l’évaluation.


Nous avons relevé cinq incidents didactiques lors du déroulement de la séance de cours. Ils sont

dus à des désaccords entre les élèves et à des erreurs. Ils ont été à l’origine de deux adaptations :

une adaptation de retrait et une adaptation d’évitement.

196

Premier incident didactique : gestion d’une erreur

Lors de la correction de l’activité mathématique donnée à la troisième étape du déroulement de la

leçon (cf. sous-section 3.7.1 ci-dessus), Sali affirme que 15 vingt-cinquièmes est plus grand que 3

sur 5, en comparant les numérateurs de ces deux fractions.

Sali : 15 vingt-cinquièmes est plus grand que Sylvie : Est plus grand que? Sali : 3 sur 5. Sylvie : Pourquoi? Pourquoi tu as dit ça? Sali : Parce que le numérateur de 15 vingt-cinquièmes est plus grand que numérateur de 3 sur 5. (Annexe 7; Réalisation : L156-L160).

Cette erreur semble de nature conceptuelle. En effet, l’élève utilise la procédure de comparaison

des nombres entiers naturels sans égard aux fractions. La gestion de cette erreur par Sylvie a

consisté à faire intervenir Élodie qui donne la bonne réponse.

Sylvie : Oui, Élodie. Élodie : 15 vingt-cinquièmes et 3 cinquièmes sont égales parce que, parce que l’écriture décimale sont égaux. (Annexe 7; Réalisation : L163-L165).

Cet extrait montre une intervention de type interrogatif. Toutefois, devant la justification erronée de

Sali, Sylvie s’adresse à Élodie. L’intervention de Sylvie vise l’obtention de la bonne réponse et de

la bonne justification. Son intention de gérer les erreurs semble manifester de sa conception de

l’apprentissage selon laquelle la réussite correspond à la compréhension de l’élève.


Après la troisième étape, il s’est agi de formuler une procédure de simplification d’une fraction.

Sylvie pose une question à la classe qui a généré une réponse erronée d’un élève.

Sylvie : […]. Pour simplifier une fraction, comment faut-il faire selon vous? Pour simplifier une fraction? Oui. El : On doit les réduire au même dénominateur. (Annexe 7; Réalisation : L217-L219).

Suite de cette erreur, Sylvie demande aux autres élèves s’ils connaissent la réduction des fractions

au même dénominateur. Cette intervention de type interrogatif engendre un désaccord entre les

élèves en regard des réponses "oui" par-ci, "non" par-là. Sylvie gère cet incident didactique en se

référant à ce qu’ils ont fait sur les fractions dans cette classe de 6e et en transformant l’expression

197

«réduire» des élèves par «simplifier». Elle circonscrit ainsi le débat. Karim semblait avoir une

réponse à la question sur la réduction des fractions, mais Sylvie le ramène sur la simplification

d’une fraction.

Sylvie : On doit les, est-ce que vous connaissez ça? [Des réponses "non" et des réponses "oui"]. Vous connaissez ça pour l’instant? Est-ce qu’on fait ça ensemble ici ? Oui Karim. Karim : Pour réduire une fraction. Sylvie : Oui, pour simplifier. Karim : Pour simplifier une fraction, on doit diviser le numérateur et le dénominateur par un nombre entier. (Annexe 7; Réalisation : L220-L225).

Sylvie semble opter pour le choix d’autres élèves pour obtenir la bonne réponse. Bien que le style

interrogatif soit toujours convoqué, elle conçoit à nouveau la réussite comme une compréhension

de l’élève.

Troisième incident didactique : désaccord entre les élèves

Après la prise de la procédure formulée dans les cahiers par les élèves, l’exercice donné en classe

consiste à rendre irréductibles les fractions4

10 ,12

18 ,150

255 et 90

480 . Lors de sa correction au tableau,

un désaccord intervient entre les élèves dans la démarche de simplification de 12

18 . En effet, Karim,

qui travaille au tableau, propose de simplifier la fraction par 6, mais certains élèves s’objectent

suite à une question de Sylvie.

Karim : 18 6; 12 6 Sylvie : Vous êtes d’accord avec ça? Els : Non. (Annexe 7; Réalisation : L280-L282).

La question de Sylvie a pu engendrer un effet de contrat didactique. En effet, les élèves ont pu

considérer que le fait de formuler la question implique que l’élève a tort. L’implication de Sylvie

dans cet incident didactique a ensuite consisté à laisser Karim aller au bout de sa démarche de

simplification.

Sylvie : Attendez d’abord, il va faire nous allons voir si effectivement c’est divisible par 6.

Karim : 18 6=3; 12 6=2. 12

18 =612

618

=2

3

Sylvie : C’est bon?

198

Els : Oui. Sylvie : C’est ce que vous avez trouvé? Vous avez divisé par combien d’abord? El : On a divisé par 3. Sylvie : Ensuite par? El : Par 2 Sylvie : Par 2. Donc vous trouvez les mêmes choses. Donc c’est bon. Vous trouvez les mêmes résultats. Ça peut aller? Els : Oui. (Annexe 7; Réalisation : L283–L293).

Les élèves avaient utilisé les divisions par 3 et par 2 pour simplifier 12

18 . Une adaptation de retrait

chez Sylvie a permis à Karim d’aller au bout de sa justification pour expliquer qu’il est possible

d’obtenir le même résultat en divisant seulement par 6. La référence au plus grand commun

diviseur n’est pas formulée puisqu’elle est du programme de la classe de 5e [8e année de

scolarité]. Toutefois, elle est présente «en-acte». Sylvie se donne ainsi le rôle de médiatrice des

apprentissages des élèves.


Les critères de divisibilité n’ont pas été beaucoup utilisés au cours de la leçon. Durant le

déroulement du cours, seul le critère de divisibilité par 5 est évoqué une seule fois lors de la

simplification de 150

255 . La justification de l’application de ce critère a été une source d’erreur pour

Karim.

Karim : 150

255 =

Sylvie : Tu vas diviser par combien? Karim : Je vais diviser par 5. Sylvie : Par 5, pourquoi tu choisis 5. Karim : Parce que dans 255, il y a deux 5 et dans 150 il y a un 5. Élodie : Parce que les nombres se terminent par 0 ou 5. Sylvie : Parce que les nombres divisibles par 5 se terminent par 0 ou 5. On a vu ça. Els : Oui. (Annexe 7; Réalisation : L297-L305).

La justification des simplifications à l’aide des critères de divisibilité constitue un apprentissage à

l’égard de ce contenu en classe de 6e. Sylvie, en rappelant aux élèves qu’ils ont vu les critères de

divisibilité en classe, manifeste d’une conception de l’enseignement selon laquelle tout contenu vu

en classe est supposé compris par les élèves. Mais, la réponse de Karim montre le contraire.

199

Cinquième incident didactique : désaccord entre les élèves

Des désaccords interviennent entre les élèves lorsqu’il est question de simplifier .

Karim : = =

Sylvie : , c’est bon?

Els : Oui Sylvie : C’est bon? Els : Oui Sylvie : Est-ce qu’on peut toujours simplifier. [Certains élèves disent non, d’autres disent oui]. Oui David, on peut toujours simplifier? David : Oui Sylvie : Par combien? Regardez bien. Regardez bien, par? El : 5 Sylvie : Est-ce qu’on peut simplifier par 5, c’est possible? Els : Non! Sylvie : Oui El : Par 2. Sylvie : Par 2, c’est possible? Els : Non! Sylvie : Par? El : Par 3. Sylvie : Par 3. Il faut vérifier avec le 3 voir si ça marche. Donc, tu divises d’abord; il faut diviser en bas voir si c’est possible (Annexe 7; Réalisation : L306-L325).

La compréhension des critères de divisibilité par 2, par 3 et par 5 pourrait éviter le tâtonnement

pour trouver un diviseur commun à 51 et 30. Le fait de poser les divisions de 51 et de 30 par 3 ne

justifie pas une utilisation du critère de divisibilité par 3. Or, l’utilisation des critères de divisibilité

est un objectif inscrit dans la planification de cette leçon. Il semble y avoir une manifestation d’une

adaptation d’évitement dans la simplification de cette fraction.

En conclusion

Parmi les cinq incidents didactiques dénombrés, trois sont des erreurs et leur gestion; tandis que

deux sont des désaccords entre les élèves. La gestion des erreurs permet d’observer que les

interventions de Sylvie consistent à écouter d’autres élèves. Par exemple lors du premier incident,

30

51

150

255

5150

5255

30

51

30

51

200

lorsque Sali trouve que 25

15 est supérieur à

5

3, Élodie apporte une bonne réponse. Le fait de

solliciter les élèves pour avoir la bonne réponse semble une manifestation d’une adaptation de

retrait de Sylvie. Elle semble manifester une conception de l’apprentissage selon laquelle la bonne

réponse correspond à une compréhension tant de la part de l’élève qui l’énonce que pour celui qui

l’écoute.

L’adaptation de retrait survenu au troisième incident didactique, qui n’est pas planifiée, amène

Sylvie à adopter un style laissant les élèves trouver les réponses aux tâches mathématiques.

Toutefois, nous constatons un évitement (cinquième incident didactique) dû à l’absence d’une

utilisation des critères de divisibilité par 2, 3, 5, ou 9 lors de la simplification des fractions. Sylvie

semble manifester une conception selon laquelle les mathématiques sont transparentes parce que

les réponses des élèves ne sont pas justifiées. Les choix d’entiers naturels pour les simplifications

seraient clairs pour les élèves. En outre, Sylvie, en rappelant les critères de divisibilité (quatrième

incident didactique), semble exprimer que toute notion abordée en classe est comprise des élèves,

traduisant ainsi une conception de l’enseignement.

L’adaptation d’évitement, la conception de l’apprentissage (assimilation de la réussite à la

conceptualisation) et la conception de l’enseignement (contenu vu en classe supposé compris)

semblent exprimer que Sylvie aurait adopté la posture de l’ancien élève lors de la réalisation de la

leçon. L’analyse de l’entrevue permettra de confirmer ou d’infirmer cette hypothèse.


L’entrevue semi-dirigée vise une auto-évaluation de Sylvie sur sa séance afin de confirmer ou

d’infirmer notre hypothèse ci-dessus formulée. Cette auto-évaluation permet de discuter les

compétences et les difficultés rencontrées lors de la planification et de la réalisation de la leçon

afin de comprendre l’origine de ses choix.


Sylvie affirme n’avoir pas eu de difficulté dans la tâche d’élaboration de sa fiche de planification.

CH : […]. Avez-vous eu des difficultés à préparer le cours? Des difficultés d’ordre pédagogique ou d’ordre didactique pour la préparation de la séance de leçon?

201

Sylvie : Non. (Annexe 7; Entrevue : L10-L12).

Sylvie pense que son cours s’est bien déroulé, même s’il a été difficile. En effet, elle reconnaît qu’il

y a des élèves qui ne conduisent pas des simplifications nécessaires jusqu’à obtenir une fraction

irréductible.

Sylvie : La séance n’a pas été un peu facile. Mais, ça s’est bien passé. CH : Ça s’est bien passé? Sylvie : Oui, oui. CH : Bon, vous avez dit que ça n’a pas été facile. Quelles sont les difficultés que vous avez eues à rencontrer? Sylvie : La simplification, il y a des gens qui ont simplifié à moitié, ils ne sont pas allés au bout pour trouver une fraction irréductible. (Annexe 7; Entrevue : L2-L8).

Sylvie relève dans l’extrait ci-dessus les difficultés des élèves plutôt que les siennes. Comme pour

la planification, elle affirme n’avoir pas eu de difficulté lors de la réalisation de la leçon. Notre

analyse de la réalisation faisait voir une diminution des exigences des tâches, car il n’y a pas eu

véritablement une utilisation des critères de divisibilité lors de la séance de cours même si la

justification des simplifications à l’aide de ces critères est un objectif du cours défini dans la

planification. Nous posons l’hypothèse qu’elle était préoccupée par le nombre d’élèves qui

réussissent et par l’achèvement du contenu dans le temps prévu.

Nous avons voulu savoir pourquoi Sylvie choisit presque les mêmes élèves lors de la réalisation de

la leçon. Par exemple, Karim a été interrogé environ cinq fois. Il est le « major » de sa classe dans

le classement du premier trimestriel de l’année scolaire 2012-2013. La réponse de Sylvie laisse

voir une préoccupation au cours de la séance de leçon : celle de la gestion du temps didactique.

CH : Je constate également que pour le choix des élèves là, c’est les mêmes qui reviennent. Je ne veux pas nommer de nom, mais je sais qu’il y a un garçon qui lui, et même son cahier est là, Sylvie : C’est ça, c’est lui-là. Bon effectivement, comme on était pris par le temps aussi et il n’y avait pas de volontaires aussi comme ça, donc il fallait qu’il reste en même temps pour terminer. (Annexe 7; Entrevue : L102-L105).

L’achèvement du contenu planifié voulu par Sylvie semble une caractéristique de sa conception de

l’enseignement, une exécution intégrale du contenu planifié dans le temps requis.

Les tâches mathématiques semblent être mises en cause dans la gestion du temps. Sylvie

propose dans l’extrait ci-après ce qu’elle peut faire pour améliorer sa pratique de classe.

202

Sylvie : Ça, c’est problème de gestion de temps… L’objectif, ce n’est pas volumineux. C’est en fait, j’ai remarqué au niveau des exercices d’application, j’ai donné jusqu’à 4 fractions à simplifier. Par la suite, j’ai trouvé que c’était trop. Je pouvais donner au moins deux comme ça. Ça, c’est à relever. (Annexe 7; Entrevue : L112-L115).

Elle semble privilégier, comme Sana, un allègement du contenu de la leçon planifié afin de

parvenir à l’achever dans le temps requis. Elle exprime encore sa volonté d’exécuter intégralement

le contenu planifié dans le temps requis lors de ses pratiques de classe. Cette conception aurait

pour conséquence une mise du savoir «à» enseigner au centre des interventions de Sylvie, une

pratique d’un enseignement de type transmissif.

Sylvie nous informe qu’en circulant dans la classe, elle a constaté des erreurs produites par des

élèves. Par exemple, elle dit que des élèves ont multiplié pour simplifier au lieu de diviser.

CH : Est-ce que vous avez trouvé des erreurs? Vous avez circulé, vous avez trouvé des erreurs? Sylvie : Oui, oui CH : […] je n’ai pas senti pratiquement la gestion de certaines erreurs commises par les élèves. Je voudrais comprendre pourquoi. Sylvie : Bon, comme peut-être ils ont déjà vu ça en classe de CM2 [cours moyen deuxième année], c’est peut-être ça aussi. (Annexe 7; Entrevue : L58-L64).

L’argument que Sylvie donne dans son discours pour ne pas revenir sur certaines erreurs pourrait

venir du fait qu’elle considère que ce savoir devrait être déjà acquis. Cela pourrait manifester d’une

conception de l’enseignement selon laquelle un contenu vu en classe est supposé connu. Sylvie

justifierait ainsi le fait qu’elle ne s’est pas référée aux contenus mathématiques du CM2 lors de la

planification de son enseignement.

Conception de l’apprentissage et des mathématiques

Sylvie dit avoir pratiqué une méthode de redécouverte lors de la réalisation de la leçon. Selon elle,

certains élèves auraient compris la notion de simplification de fraction à travers l’activité qu’elle a

donnée.

CH : C’est amener les enfants à découvrir la notion, ce fut le cas? Sylvie : Bon, pas totalement parce qu’il y a d’autres qui n’ont pas pu trouver. Il y a d’autres en tout cas, ils se sont bien sorti. (Annexe 7; Entrevue : L45-L47)

203

Elle reconnaît également qu’il y a eu des réussites et des non-réussites à l’exercice d’application.

Elle attribue les non-réussites des élèves à une insuffisance dans les fractions qu’elle a proposées

dans l’activité mathématique d’apprentissage, reconnaissant ainsi l’importance des variables

didactiques. En effet, la fraction 25

15 qu’elle a donnée dans la troisième étape offre un seul pas de

simplification, c’est-à-dire la simplification par 5 uniquement. D’où, dans l’exercice d’application,

par exemple pour rendre irréductible la fraction12

18 , des élèves se sont limités à la simplification

par 2, alors qu’il fallait ensuite simplifier par 3 pour avoir la réponse souhaitée.

Sylvie : […]. Par exemple, au niveau de la fraction, j’ai donné25

15 . 25

15 , quand on

divise directement par 5, on obtient une fraction irréductible. On obtient 5

3 . Et

pourtant dans l’exercice d’application, quand on a fait par exemple le 8, ou bien je

prends un exemple le12

18 . Le12

18 , il fallait diviser, il y a d’autres qui ont divisé par 6, ils

ont trouvé la fraction irréductible, mais il y a d’autres qui ont divisé d’abord par 2, ils

ont trouvé6

9 . Il y a d’autres qui se sont limités là-bas. Il y a d’autres qui se sont

limités à6

9 . Donc, moi je dis que l’erreur peut provenir de moi parce qu’il fallait

prendre un exemple qui allait abonder dans ce sens. Ils allaient simplifier jusqu’à deux fois pour trouver une fraction irréductible. (Annexe 7; Entrevue : L50-L57).

Sylvie est sensible à l’influence des caractéristiques des nombres en jeu. Sa conception des

mathématiques laisse voir qu’elle reconnaît que les mathématiques sont davantage qu’un

ensemble de techniques à faire apprendre aux élèves. En effet, sa préoccupation à l’égard de la

variable didactique en jeu manifeste de l’importance de la conceptualisation dans l’apprentissage

des élèves. La réussite afin de juger de l’atteinte de ses objectifs de cours semble toutefois motiver

son choix des tâches mathématiques.

En conclusion

Sylvie exprime deux conceptions de l’enseignement lors de l’entrevue. D’une part, elle ne revenait

pas sur certaines erreurs, car elle considérait que certains savoirs sont déjà acquis par l’élève. Elle

semble ainsi exprimer une conception de l’enseignement : tout contenu mathématique vu en

classe est supposé compris par tous les élèves. D’autre part, elle exprime une préoccupation lors

de la réalisation du cours : celle de la gestion du temps didactique. C’est ainsi qu’elle choisit

204

d’interroger Karim (le major de la classe) plusieurs fois. L’exécution intégrale du contenu planifié

serait donc liée à sa conception de l’enseignement. Elle semble concevoir également que la

réussite des élèves serait un signe d’apprentissage, car elle propose de revoir les caractéristiques

des tâches proposées suite à la non-réussite de certains élèves à l’exercice d’application. Les

conceptions de l’enseignement et de l’apprentissage que Sylvie exprime lors de l’entrevue

semblent révéler qu’elle privilégie le contenu « à » enseigner dans sa pratique de classe,

confirmant ainsi sa posture de l’ancien élève lors de sa pratique.

3.7.4 Synthèse


formation initiale (DeBlois, 2012) pour décrire la logique de Sylvie dans sa pratique de classe.

Figure 12: Composantes de la formation initiale en jeu lors de la pratique d'enseignement et d'apprentissage de Sylvie.

205

Sylvie planifie la leçon sur la simplification d’une fraction en se basant sur la méthode de

« redécouverte » qu’elle a connue lors de sa formation. Elle a prévu un travail individuel pour la

réalisation des différentes tâches mathématiques planifiées. Des opérations de calcul composent

essentiellement les tâches mathématiques.

Lors de la réalisation du cours, des incidents didactiques dus aux erreurs des élèves et aux

désaccords entre eux sont à l’origine d’une adaptation de retrait (troisième incident didactique) et

d’une adaptation d’évitement (cinquième incident didactique). Tout contenu mathématique vu en

classe est supposé compris des élèves, l’assimilation de réussite à la compréhension et la

conception de transparence des mathématiques ont été manifestées par Sylvie lors de la

réalisation du cours. Toutefois, la conception selon laquelle la réussite est synonyme de

compréhension serait la seule conception confirmée lors de l’entrevue.

L’analyse de l’entrevue montre trois autres conceptions, dont une de l’enseignement, une de

l’apprentissage et une des mathématiques. L’achèvement de la leçon planifiée semble une

préoccupation exprimée par Sylvie lors de l’entrevue. En effet, le désir d’évaluer et de justifier

l’atteinte des objectifs de cours a motivé l’exécution intégrale du contenu planifié. Sylvie exprime

également lors de l’entrevue que la réussite est un signe d’apprentissage. Enfin, en souhaitant

opérer des choix de fractions en jouant sur les valeurs des termes afin de montrer des procédures

pertinentes sur la simplification des fractions, Sylvie prend conscience que la fraction semble

limiter les élèves dans leur travail de simplification. Tout en exprimant une conception selon

laquelle les mathématiques sont un ensemble de techniques, elle semble aussi montrer la place

des variables didactiques dans l’enseignement des mathématiques, afin de créer un

développement des connaissances chez l’élève.

En conclusion, la volonté d’achever la leçon planifiée, l’assimilation de la réussite à la

compréhension et la conception de transparence des mathématiques sont des cas de

manifestation de la posture de l’ancien élève adoptée par Sylvie lors de sa pratique de classe. En

effet, cette pratique semble mettre le savoir scolaire « à » enseigner au centre de l’enseignement.

206

3.8 Leçon sur l’addition de deux fractions ayant le même dénominateur planifiée

et vécue par Safi

Safi planifie et réalise une leçon sur l’addition de deux fractions ayant le même dénominateur. En

nous référant au manuel de l’élève (MESSRS/DIES, 1997; pp.68-69), nous constatons que la

précédente leçon porte sur la simplification des fractions à l’aide des critères de divisibilité par 2, 3,

5, 9 et 10. La présente leçon constitue la deuxième partie du chapitre sur les fractions (2). Nous

rappelons que l’addition des fractions est apprise dans les classes du cours moyen première et

deuxième années [5e et 6e année de scolarité] de l’ordre primaire. En effet, les stagiaires Penda et

Piga de l’ordre primaire ont planifié et réalisé une leçon sur l’addition et la soustraction des

fractions.



Safi envisage de faire la leçon en cinquante-cinq (55) minutes dans une classe de 6e qui compte

78 élèves dont 43 garçons et 35 filles. Un objectif à atteindre à la fin de la séance de leçon est

inscrit dans la planification. En effet, selon Safi, l’élève de la classe sera capable à la fin de la

leçon d’additionner deux fractions qui ont le même dénominateur. Pour le contrôle des prérequis,

elle vérifiera si les élèves savent « additionner deux entiers naturels » et « donner la fraction

correspondante à une surface donnée ». La méthode d’enseignement qu’elle préconise est celle

de redécouverte. L’enseignement par les activités de redécouverte et le questionnement sont les

stratégies qu’elle prévoit pour accomplir cette méthode. Le travail en groupe-classe est la forme

d’organisation prévue lors de la réalisation de la leçon.

Dans la planification, une colonne est consacrée à la description du rôle de Safi et des actions

qu’elle mènera lors de la réalisation du cours. Par exemple, elle y décrit les tâches mathématiques

et y propose les temps qu’elle estime nécessaires pour la réalisation de ces tâches par l’élève.

Une autre colonne est consacrée à la description du rôle des élèves et des actions qu’ils mèneront

lors de la réalisation du cours. Par exemple, Safi y inscrit des indications pour l’utilisation des

cahiers de cours et de brouillon et des propositions de bonnes réponses qu’il attend des élèves

pour les tâches mathématiques. Comme les trois cas précédents de l’ordre post-primaire, elle

semble se conformer au modèle de fiche pédagogique reçu lors de sa formation.

207


Cinq étapes sont prévues par Safi dans sa planification (annexe 8; Planification). Ce sont : 1) le

contrôle de prérequis; 2) la motivation à l’introduction de la notion; 3) l’activité de redécouverte

visant à faire énoncer la règle d’addition de deux fractions ayant le même dénominateur; 4) un

exercice pour faire fonctionner la règle mathématique; 5) une évaluation terminale.

Lors de la première étape, c’est-à-dire dans le contrôle de prérequis, deux calculs « a=13+4 » et

« b=258+31 » sont prévus. L’addition des entiers naturels intervient dans la somme des

numérateurs lorsqu’on effectue l’addition de deux fractions ayant le même dénominateur. Posées

ainsi, les opérations conduisent à lire une recherche de résultats amenée par l’addition de deux

nombres. Le signe égalité pourrait alors être interprété comme une équivalence plutôt qu’une

procédure ou une désignation (Côté, 2002). Safi envisage aussi dans cette étape de proposer des

figures géométriques afin que les élèves donnent des fractions qui correspondent à des parties

hachurées. Il s’agit d’un retour à la notion de fractionnement dans le sens de « partie d’un tout »,

qui pourrait étayer la compréhension de certains élèves sur l’addition des fractions. Bien que le

travail individuel ne soit pas cité dans les informations préliminaires comme forme d’organisation

de la classe, nous constatons que Safi intègre, en plus du travail collectif, le travail individuel pour

la réalisation du contrôle de prérequis. Le travail individuel et le travail collectif sont donc

demandés des élèves sous la forme d’une approche par les contenus. L’élève mènera une

réflexion sur la tâche afin de pouvoir proposer une réponse au groupe-classe.

La deuxième étape concerne la motivation à l’introduction de l’addition des fractions ayant le

même dénominateur. Cette étape conduit Safi à présenter une histoire dans laquelle les élèves

auront à identifier le bon résultat sur la base de deux réponses à une même addition de fractions

réalisée par des élèves fictifs. Cette histoire prévue dans la planification est la suivante :

Après avoir calculé la somme des fractions 8

3 et

8

2 :

- Ali trouve comme résultat : 8

3 +

8

2 =

16

5.

- Sofie quant à elle trouve le résultat suivant : 8

3 +

8

2 =

8

5

208

Lequel des deux élèves a trouvé le bon résultat? Justifier.

À l’issue de cette histoire racontée, Safi prévoit communiquer aux élèves l’objectif de la leçon.

Afin de générer la procédure de l’addition de deux fractions ayant le même dénominateur,

troisième étape de cette leçon, Safi prévoit la réalisation d’une activité qui porte sur un partage de

chocolat, à nouveau un contexte de « partie d’un tout ». Safi prévoit ensuite un travail de recherche

individuelle dans les cahiers de brouillon. À la suite de la correction de l’activité au tableau, les

élèves recopieront le corrigé dans leur cahier de cours. Le travail individuel [pour la recherche] et

le travail collectif [pour la correction au tableau] sont les deux formes d’organisation de la classe

qui sont prévues pour la réalisation des tâches mathématiques. Ils sont sollicités aux élèves sous

la forme d’une approche par les contenus. La réflexion individuelle semble correspondre à une

phase d’action. Safi prévoit ensuite de « faire la synthèse, faire énoncer la notion en aidant les

élèves à bien la formuler et faire noter le résumé » (annexe 8; Planification). Cette expression

conduit à l’interprétation qu’elle laisse l’initiative de la formulation de la procédure aux élèves

compte tenu de son intention de les aider. Nous reconnaissons les caractéristiques de phases

d’action, de formulation, de validation et d’institutionnalisation d’une situation didactique selon

Brousseau (1986a). Cette étape est conçue pour l’institutionnalisation de la formule de calcul

suivante : «c

a+

c

b=

c

ba ( a ℕ; b ℕ; c ℕ*)».

Pour la quatrième étape de la leçon, elle propose une évaluation. En effet, les additions suivantes

sont données : 5

7+

5

2;

10

110+

10

38;

3

1+

3

2;

12

5+

12

8. En outre, le problème ci-après est proposé :

« Une tablette de chocolat est constituée de 24 carrés. Toto en mange 24

5et Titi en mange

24

10.

Calculer le nombre total de carrés de chocolat que Toto et Titi ont mangé » (annexe 8;

Planification). Le contexte « partie d’un tout » déjà fractionné pourrait ne pas inviter l’élève à

donner un résultat sous forme de fraction parce que la question porte sur le nombre de carré. Les

élèves vont traiter individuellement les tâches mathématiques proposées, puis il s’en suivra la

correction au tableau. Dans la cinquième et dernière étape de la leçon, Safi prévoit un exercice

d’additions de fractions ayant le même dénominateur que les élèves feront en classe et deux

autres exercices qu’ils traiteront à domicile pour la prochaine séance de leçon sur les fractions.

209

En conclusion

Safi planifie une leçon sur l’addition des fractions ayant le même dénominateur. Les tâches

mathématiques proposées sont des opérations d’addition et des problèmes élaborés sur la base

d’un contexte « partie-tout ». Les tâches seront menées sous la forme d’une approche par les

contenus où le travail individuel et le travail collectif sont sollicités. À l’étape du développement de

l’addition des fractions ayant le même dénominateur, les caractéristiques des phases d’action, de

formulation, de validation et d’institutionnalisation d’une situation de Brousseau (1986a) semblent

apparentes compte tenu des consignes de travail et des rôles que joueront Safi et les élèves lors

des réalisations des tâches mathématiques. Une application de la procédure d’addition des

fractions semble motiver les choix des opérations pour l’évaluation.


Nous nous intéressons dans cette analyse aux incidents didactiques et aux formes d’adaptation de

Safi qui sont survenus lors de la réalisation du cours. En effet, des interactions entre Safi et les

élèves ont influencé l’enseignement de Safi et l’apprentissage de ces derniers et ont créé des

incidents didactiques. Nous dénombrons six incidents didactiques qui sont essentiellement dus à

des erreurs. Ces incidents ont amené des formes d’adaptation.

Premier incident didactique : une erreur dans la consigne

Safi donne le calcul « a=13+4 » lors du contrôle des prérequis. À la correction, elle commet une

erreur de lecture. Elle lit « a=13+14 ». Cette erreur crée des interventions répétitives des élèves

sous la forme suivante « +4, Madame, +4; +4; a c’est +4; +4; +4 ». Ils veulent que Safi rectifie ce

qu’elle a lu. Les interventions répétitives des élèves sont une forme de désaccord avec

l’enseignante. Mais elle ne revient pas sur ce qu’elle a dit.

Safi : […]. Allez-y. L’exercice 1, on demande d’effectuer les opérations suivantes : a =13+14; b =258+31. Els : +4 Madame; +4; +4; a c’est +4; +4; +4. [Des répétitions +4]. Safi : L’exercice 2 : soit les figures suivantes [suite inaudible]. Pour chaque figure,

indiquer la fraction de surface qui a été hachurée. On a donné un exemple : e = .

Donc vous faites ça. Dans 3 minutes on va corriger. Sur les feuilles que vous avez prises. (Annexe 8; Réalisation : L26-L30).

6

3

210

Safi ignore les réactions des élèves. Cet extrait révèle une adaptation de retrait laissant les élèves

apporter la réponse à cette erreur de lecture.

Deuxième incident didactique : pertinence d’une motivation

À l’étape de la motivation de la leçon du jour, Safi raconte l’histoire prévue à cet effet et les élèves,

après l’avoir écouté, doivent dire si Ali ou Sofie a raison dans les propositions suivantes : Ali

propose 8

3+

8

2=

16

5 et Sofie propose

8

3+

8

2=

8

5. Quand Safi commence « Ali trouve comme

résultat 8

3+

8

2 égal à », les élèves achèvent la phrase en disant «

8

5». Elle continue la lecture

comme si de rien n’était et donne la solution d’Ali : «16

5».

Safi : […]. Donc, vous écoutez attentivement ce que je vais vous dire. On dit après

avoir calculé la somme des fractions et , Ali trouve comme résultat + égal à

Els : .

Safi : . Et Sofie trouve comme résultat + = . Maintenant, on vous demande

lequel de ces élèves a raison? [Elle écrit une partie de l’énoncé au tableau]. Safi : Oui [pour désigner une élève]. El : Sofie a raison. Safi : Sofie a raison, elle propose que Sofie a raison. Tout le monde est d’accord avec elle? Els : Oui. Safi : Tout le monde? Els : Oui. (Annexe 8; Réalisation : L89-L100).

Presque tous les élèves de la classe reconnaissent que Sofie a raison. Le désaccord entre les

élèves souhaité par Safi à travers cette histoire contée n’a pas fonctionné. Deux interprétations

semblent possibles. Premièrement, le choix de la tâche pourrait ne pas être un enjeu pour les

élèves. Deuxièmement, la connaissance des élèves de l’addition des fractions ayant le même

dénominateur pourrait être acquise parce que les élèves sont à leur troisième année dans

l’apprentissage de cette notion mathématique.

8

3

8

2

8

3

8

2

8

5

16

5

8

3

8

2

8

5

211

Troisième incident didactique : erreur de formulation d’une réponse

À la troisième étape de la leçon, la tâche suivante est proposée :

Vincent veut partager sa barre de chocolat mesurant 7 cm avec Julie et Estelle. Vincent coupe alors sa barre de chocolat en 7 morceaux de même longueur. Il en donne 2 morceaux à Julie et 3 morceaux à Estelle qu’il aime bien. On donne l’illustration ci-dessous de la barre de chocolat de Vincent.

a) À partir de l’illustration ci-dessus, donner les fractions de chocolat correspondantes à la part de Julie et d’Estelle.

b) Donner la fraction correspondante au nombre total de morceaux de chocolat que Vincent a partagé?

Matilde qui est envoyée au tableau écrit la phrase suivante : « le nombre de chocolats que Vincent

a partagé ». Or, la question posée porte sur l’identification de « la fraction de la barre de chocolat

partagé ». Cette erreur de formulation de la réponse est restée en l’état au tableau.

Safi : En petit b), on vous demande de donner la fraction correspondante au nombre total de morceaux de chocolat que Vincent a partagé.

Matilde : b) le nombre de chocolats que Vincent a partagés : 7

2+

7

3=

7

5.

Safi : C’est bien. (Annexe 8; Réalisation : L149-L152).

Safi s’est donc intéressée au résultat du calcul en ignorant l’erreur de formulation écrite au tableau.

Elle semble manifester une conception de l’apprentissage des mathématiques selon laquelle un

bon résultat correspond à une compréhension.

Quatrième incident didactique : erreur dans l’élaboration d’une formule

À la fin de la correction de la tâche décrite dans le troisième incident, une majorité des élèves de la

classe déclare avoir trouvé7

5. Safi donne des indices aux élèves pour des propositions de

formulation de la procédure d’addition. L’utilisation d’un style explicatif produit un effet Topaze.

Safi : Bien, donc ici la part que Julie a reçue 7

2 et Estelle a reçu

7

3. On a dit que

Vincent a coupé son chocolat en 7 morceaux égaux. Il en a donné 2 à Julie et 3 à Estelle. Donc, il en a donné 2 septièmes à Julie et 3 septièmes à Estelle. Donc le nombre total de chocolats qu’il a partagé à Estelle et Julie est de 5 septièmes. Donc

212

sur ses 7 morceaux de chocolat, il en a donné 5 à Julie, il en a partagé 5, c’est-à-dire à Julie et à Estelle. Donc maintenant on obtient, on voit que les deux fractions ont le

même dénominateur et on a trouvé 7

5 comme le nombre total de morceaux de

chocolat partagé. Quelle règle on peut donc déterminer ici pour additionner deux fractions de même dénominateur. Qu’est-ce qu’on va dire? Els : Oui moi. [Des élèves claquent des doigts.] Safi : Oui Mariam, on va dire quoi? Mariam : Pour additionner des fractions qui ont le, pour additionner deux fractions qui ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs seulement. Safi : On additionne les numérateurs seulement! Et le dénominateur, on le jette? Oui Robert. Robert : Et on garde le dénominateur commun. Safi : Oui, reprends. (Annexe 8; Réalisation : L158-L172).

Safi semble avoir emboîté le pas de Matilde en parlant de nombre total de chocolats plutôt que de

la fraction de la barre de chocolat partagé. Une maladresse dans la formulation des réponses de la

part des élèves se reproduit dans la récupération faite par Safi. Cette adaptation projective semble

viser la formulation de la procédure par les élèves. En effet, les élèves sont ensuite sollicités pour

donner la formule de calcul «c

a+

c

b=

c

ba , où a et b sont des entiers naturels et c un entier

naturel non nul ». Cette formule constitue la nouveauté dans cette leçon. C’est un passage vers

l’algèbre.

Safi : […]. Donc si on prend a et b comme deux entiers, il ne faut pas oublier qu’ici nos fractions sont avec des nombres entiers. Donc lorsqu’on va, on prend a et b; lorsqu’on prend a et b comme deux nombres entiers naturels, c’est-à-dire des nombres sans virgule et qu’on prend c également un nombre entier naturel, c’est-à-dire un nombre sans virgule, entier naturel sans virgule et il est différent de zéro. Si on

a c

a et

c

b, on demande d’additionner ces deux fractions, quelle est la règle? Qu’est-

ce qu’on va écrire ? On a b

a, on a la fraction

b

aet la fraction

c

bet on demande

d’additionner les deux fractions, en règle générale, on va écrire quoi? Oui. (Annexe 8; Réalisation : L177-L184).

Le discours explicatif de Safi vise à jeter les bases pour l’élaboration de la formule. Elle est source

de quelques erreurs. Par exemple « on a la fraction b

aet la fraction

c

bet on demande

d’additionner les deux fractions, en règle générale, on va écrire quoi? ». Il s’agit plutôt de parler de

213

la fraction c

aet de la fraction

c

b en regard de la formule proposée. Son enseignement de type

transmissif l’amène à privilégier l’explication.

Cinquième incident didactique : réponse incomplète

Lors de l’évaluation formative, pour le calcul de C=3

1+

3

2, Safi attend des élèves la réponse finale

C=1. Mais, ce n’est pas le même entendement pour l’élève envoyée au tableau qui encadre plutôt

3

3 comme résultat de son calcul. La simplification de

3

3souhaitée par Safi a constitué une

difficulté à l’élève qui est au tableau. Safi utilise donc l’écriture conventionnelle «3

3= 33 » pour

gérer cette difficulté. Mais, la notation 3

3semble constituer un blocage à l’élève. Il y a une situation

d’incompréhension entre l’élève et Safi. Safi finit par désigner Alice qui apporte une réponse à la

question posée.

El : C = + = = . [L’élève encadre [oralement dit : 3 sur 3]].

Safi : = . 3 sur 3 égal à combien?

El : 3 tiers. [Des élèves claquent des doigts pour répondre à la question posée par Safi. L’élève, au tableau, a des difficultés à répondre à cette question]. Safi : 3 divisé par 3 égal à combien? 3 divisé par 3, ça fait combien? Oui Alice. Alice : Égal à 1. Safi : Ça fait 1. Donc 3 sur 3 égal à combien. [Des élèves se lèvent, claquent des doigts en disant « moi, moi… »]. El : 1 [une répétition de l’élève qui est au tableau]. (Annexe 8; Réalisation : L235-L244).

Un élève qui obtient la note 10

10 à un devoir de mathématiques perçoit qu’il a la totalité des points

qui est 10. Or, cela veut dire aussi qu’il a obtenu l’unité de mesure en entier; qu’il a obtenu le

« tout ». Donc, l’écriture symbolique introduite dans la notation des productions des élèves dès le

cours préparatoire de l’ordre primaire semble créer un obstacle didactique dans le développement

3

1

3

2

3

21

3

3

3

3

3

3

214

de la fraction comme quotient ou résultat d’une division. Cet obstacle pourrait expliquer la difficulté

de l’élève dans la simplification de 3

3.

Sixième incident didactique : gestion des erreurs

Tous les élèves volontaires qui passent au tableau ne commettent pas d’erreur dans l’application

de la procédure de calcul sur l’addition des fractions ayant le même dénominateur. Mais dans les

productions de certains élèves, les erreurs suivantes sont produites :5

7+

5

2 =

10

9;

12

5+

12

8=

24

13;

5

7+

5

2=

55

27

=

25

14;

10

110+

10

38=

1010

38110

=

100

4180;

3

1+

3

2=

33

21

=

9

2. Par exemple, dans le résultat «

5

7+

5

2=

10

9», l’élève opère comme s’il a à faire à des entiers naturels. Il additionne les numérateurs

entre eux et les dénominateurs entre eux. Des obstacles épistémologiques dus aux procédures de

calcul dans les entiers naturels et dans les nombres décimaux semblent à l’origine de ces erreurs

de calcul sur les fractions. Tandis que dans le résultat «5

7+

5

2=

55

27

=

25

14», l’élève semble faire

recours à l’algorithme de calcul d’un produit de deux fractions dans son travail. Safi recherche les

bonnes réponses lors des réalisations de tâches mathématiques. Elle semble assimiler la réussite

à la compréhension. De plus, elle manifesterait une conception selon laquelle les mathématiques

sont transparentes parce que les réponses proposées ne sont pas justifiées.

En conclusion

Des erreurs et leur gestion, des désaccords entre les acteurs et une réponse incomplète

constituent les six incidents didactiques que nous avons relevés lors de la réalisation de Safi. Les

premier, troisième, quatrième et sixième incidents didactiques sont dus à des erreurs et à leur

gestion. Par exemple, le discours de Safi laisse apparaître un effet Topaze lors du quatrième

incident. Elle manifeste ainsi un style transmissif des connaissances lors de cet incident. Le

deuxième incident didactique, une pertinence d’une motivation, semble une erreur d’appréciation

des acquis des élèves sur l’addition des fractions ayant le même dénominateur, car la tâche

mathématique proposée ne provoque pas de réponses contradictoires des élèves. Cet incident

semble attester que les élèves ont des connaissances sur l’addition des fractions ayant le même

215

dénominateur. Or, Safi donne un problème de partage de chocolat qu’elle étaye en faisant un

schéma de fractionnement du chocolat lors de l’activité de « redécouverte ». Une réponse

incomplète constitue le cinquième incident didactique. En effet, la réponse «3

3» donnée par un

élève alors que Safi s’attend à avoir « 1 » comme réponse a été une source d’incompréhension

entre l’élève et Safi.

Le premier incident didactique est à l’origine d’une adaptation de retrait. En effet, en ignorant les

demandes de correction de l’erreur de lecture qu’elle a commise, Safi semble penser que ses

élèves sont à mesure de faire la correction. Le quatrième incident didactique, une erreur dans

l’élaboration d’une formule, Safi manifeste d’une adaptation projective. En effet, elle suscite

l’élaboration de la formule «c

a+

c

b=

c

ba , où a et b sont des entiers naturels et c un entier naturel

non nul ».

L’analyse des incidents didactiques a été l’occasion de repérer des conceptions de

l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques de Safi. Nous avons déjà évoqué ci-

dessus la conception transmissive de l’enseignement qui s’est révélée, notamment lors du

quatrième incident didactique. Safi semble s’intéresser aux bonnes réponses en délaissant les

erreurs produites lors de la correction d’une tâche mathématique. Ce fut le cas au sixième incident

didactique qui semble illustrer une conception de l’apprentissage selon laquelle la réussite est

synonyme de compréhension. Cet incident laisse émerger une autre conception chez Safi : les

mathématiques sont transparentes. En effet, l’absence d’une demande de justification des

réponses (juste ou erronées) semble traduire que ces dernières suffisent pour que les élèves

développent une compréhension. L’analyse de l’entrevue permettra de confirmer ou d’infirmer ces

différentes conceptions de Safi.


L’entrevue semi-dirigée vise à proposer à Safi une auto-évaluation de sa séance de cours afin de

confirmer ou d’infirmer ces conceptions exprimées lors de la réalisation du cours. L’auto-évaluation

permet également de discuter les compétences et les difficultés rencontrées lors de la planification

et de la réalisation de la leçon afin de comprendre les choix de Safi.

216


Safi confirme lors de l’entrevue avoir utilisé la méthode de redécouverte dans sa pratique de

classe. Elle justifie le choix de cette approche par le fait que les élèves ont connu la notion à

l’étude dans la classe du cours moyen deuxième année.

Safi : La redécouverte, parce que comme vous l’avez déjà dit, c’est quelque chose qu’ils ont déjà vu en classe de CM2. (Annexe 8; Entrevue : L104-L105).

Safi semble détenir uniquement des informations sur les savoirs qu’aurait un élève de sixième

[septième année de scolarité] sur les fractions. Elle se réfère donc essentiellement aux manuels

scolaires de cette classe pour la planification de sa leçon.

CH : […]. Puisque dans le programme du primaire, c’est supposé que les fractions sont déjà un peu abordées. Est-ce que vous avez pensé à voir un peu des documents du primaire pour voir effectivement quels sont les contenus enseignés au primaire? S’il y a des acquis, et en partant de là pour les prérequis ou les renforcements. Safi : Non, non. (Annexe 8; Entrevue : L45-L50).

En se référant uniquement aux contenus mathématiques de la classe de sixième [septième année

de scolarité] afin de trouver des tâches à proposer aux élèves de sa classe, Safi semble manifester

une conception de l’apprentissage des mathématiques de Safi : les contenus vus dans les classes

antérieures sont supposés compris des élèves.

À l’entrevue, Safi raconte que la lenteur des élèves a influencé sa gestion du temps didactique lors

de la réalisation de la leçon. Elle pense proposer des tâches mathématiques plus courtes à l’avenir

afin d’améliorer sa prestation en classe. Dans les extraits ci-dessous, elle exprime sa difficulté et

ses propositions d’amélioration du cours.

CH : Quelle est la difficulté que vous avez eue en classe à dispenser le cours? Safi : Difficulté? C’est peut-être la lenteur des élèves. Sinon, je ne pense pas qu’il y a eu des difficultés. (Annexe 8; Entrevue : L70-L72).

Safi : C’est de réduire les activités. Certaines activités étaient trop longues pour recopier. Ça prit un peu de temps aussi. Donc, je ferai des activités un peu plus courtes. (Annexe 8; Entrevue : L141-L142).

Ses propositions d’amélioration du cours portent un allègement des tâches mathématiques afin

que les élèves mettent moins de temps dans la phase d’action en vue d’un achèvement du

217

contenu planifié. Elle semble concevoir l’enseignement comme la réalisation intégrale du contenu

planifié dans le temps requis.


Safi semble se préoccuper des bonnes réponses lors de la réalisation de son cours, car même, en

ayant observé des erreurs lors du contrôle des prérequis, par exemple, la confusion du

« dénominateur » et du « numérateur » par des élèves, elle s’en tient aux bonnes réponses

données. En outre, certains élèves n’auraient pas fait l’exercice de contrôle de prérequis et

attendent la correction.

CH : Vous avez circulé, qu’est-ce que vous avez constaté au niveau du travail des élèves. Des réussites ou des insuffisances, en avez-vous constaté? Safi : Oui, j’en ai trouvé. Au niveau de l’activité du prérequis, au niveau de l’exercice 2, il y a eu quelques difficultés à ce niveau. Il y a eu des élèves qui ont eu à confondre les dénominateurs et les numérateurs. Puisqu’on a demandé de donner les surfaces hachurées en fractions. Il y en a qui ont confondu le numérateur et le dénominateur. Il y en a aussi qui n’ont même pas fait. Ils sont assis, ils attendent qu’on fasse la correction. (Annexe 8; Entrevue : L81-L87).

Safi semble être préoccupée par les réussites des élèves afin de juger de l’atteinte de ses objectifs

de cours. Elle revient sur le manque d’engagement de certains élèves qu’elle interprète comme

une démotivation à traiter les tâches mathématiques lorsqu’elle tient le discours suivant : « Il y en a

aussi qui n’ont même pas fait. Ils sont assis, ils attendent qu’on fasse la correction ». Elle exprime

par la suite qu’elle allie la motivation extrinsèque et la coercition pour amener les uns et les autres

au travail.

Safi : Souvent, on essaie de les motiver, par exemple, en essayant de récompenser ceux qui participent au cours. Mais, malgré ça, ça ne va pas. Souvent aussi, on menace, on met dehors, on met au mur, mais, ça ne va pas. C’est toujours la même chose. Ils ne veulent pas faire. Il y en a qui changent, mais il y en a qui ne changent pas. (Annexe 8; Entrevue : L95-L98).

C’est ainsi qu’elle affirme que n’eût été la lenteur des élèves, elle aurait 100 % de réussite.

Safi : Avec le temps, la lenteur des élèves, je ne peux pas dire que ç’a été parfait 100 %. (Annexe 8; Entrevue : L75).

La recherche du pourcentage de réussite lors des évaluations semble une manifestation d’une

conception de l’apprentissage chez Safi : la réussite représente une compréhension.

218


Safi reconnaît avoir eu des difficultés à choisir des exercices pour le contrôle de prérequis et la

tâche mathématique de redécouverte. Elle évoque dans les extraits ci-dessous ses difficultés et

ses recherches documentaires lors de la planification du cours.

CH : Quelles sont les difficultés que vous avez eues à préparer ce cours? Safi : C’est surtout au niveau des activités. Trouver une bonne activité et puis le prérequis aussi. (Annexe 8; Entrevue : L1-L2).

CH :… pour cette préparation, vous avez été accompagnée par des personnes ressources ou bien? Safi : Non, non, c’est à partir des documents que j’ai pris à la bibliothèque seulement. (Annexe 8; Entrevue : L5-L7).

Safi : Je n’ai pas les titres des documents en tête. Je sais qu’il y a Pythagore 6e, il y en a deux; c’est les deux j’ai utilisé. Il y a un autre encore, mais je ne me rappelle pas trop du document. (Annexe 8; Entrevue : L11-L12).

Safi : Comme ce sont des fractions, je ne savais pas exactement comment j’allais… Le prérequis que j’allais prendre pour faciliter la compréhension de la leçon d’aujourd’hui. Le premier prérequis que j’ai eu c’était sur l’addition à « savoir additionner deux entiers naturels », mais comme on a à faire à des fractions, je ne savais pas maintenant quel autre prérequis. (Annexe 8; Entrevue : L40-L43).

Il émerge de ces extraits une préoccupation de Safi. Elle semble rechercher dans des documents

de référence des tâches mathématiques adaptées à un contrôle de prérequis afin d’introduire

l’addition des fractions. Sa difficulté à rappeler des procédures mathématiques qui permettront aux

élèves de réussir l’activité entrant dans l’apprentissage de l’addition des fractions semble ainsi

posée par Safi. Elle manifesterait une conception des mathématiques selon laquelle l’application

de procédures permet la réussite à certaines tâches.

En conclusion

L’entrevue nous a permis de confirmer une seule conception : la conception de l’apprentissage

selon laquelle la réussite est assimilée à la compréhension. En effet, le fort pourcentage de

réussite à l’évaluation convainc Safi de la pertinence de sa pratique de classe. D’autres

conceptions sont apparues lors de l’entrevue.

219

Safi manifeste deux conceptions de l’enseignement lors de l’entrevue. Premièrement, elle semble

concevoir l’enseignement comme une réalisation intégrale du contenu planifié dans le temps

requis, car elle prévoit alléger davantage le contenu de la leçon afin de l’achever, une façon

d’intervenir sur la « lenteur » de ses élèves. Deuxièmement, un contenu mathématique abordé en

classe est supposé compris des élèves. En effet, elle ne s’appuie pas sur les contenus du primaire

dans son enseignement.

Enfin, le désir de Safi de trouver des prérequis adaptés à sa séance de cours à partir des ouvrages

de référence montre qu’elle cherche des tâches mathématiques où une application de procédures

est prépondérante. Les conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques

manifestées lors de l’entrevue semblent exprimer que Safi met le contenu « à » enseigner au

centre de son enseignement de la fraction.

3.8.4 Synthèse

L’analyse de la planification, de la réalisation et de l’entrevue ressort les composantes d’une

formation initiale (DeBlois, 2012) pour décrire la logique de Safi dans sa pratique de classe.

220

Figure 13: Composantes de la formation initiale en jeu lors de la pratique d'enseignement et d'apprentissage de Safi.

L’analyse de la planification montre que Safi semble réduire la complexité des tâches

mathématiques qu’elle propose en donnant des problèmes qui sont étayés par des figures

géométriques. Elle semble avoir ainsi simplifié dès la planification de la leçon ses attentes compte

tenu de sa préoccupation à l’égard des réussites de ses élèves et du temps didactique.

L’analyse de la réalisation de la leçon montre six incidents didactiques dont deux sont à l’origine de

deux adaptations : une adaptation de retrait survenu lors du premier incident didactique et une

adaptation projective intervenue lors du quatrième incident didactique. Safi montre également des

conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques. En effet, elle manifeste

une conception transmissive de l’enseignement au quatrième incident didactique. Lors des

troisième et sixième incidents didactiques, elle perçoit la réussite de l’élève à une tâche comme

une compréhension de ce dernier. Également lors du sixième incident didactique, elle manifeste

une conception de transparence des mathématiques parce que les réponses proposées ne sont

221

pas justifiées. Toutefois, la conception de l’apprentissage (assimilation de la réussite à la

compréhension) est la seule à être confirmée par Safi lors de l’entrevue. Quatre autres

conceptions sont apparues lors de l’entrevue : deux de l’enseignement, une de l’apprentissage et

une des mathématiques.

En effet lors de l’entrevue, l’auto-évaluation de sa pratique de classe révèle que Safi considère

qu’un contenu enseigné en classe est supposé compris des élèves. La deuxième conception de

l’enseignement manifestée par Safi est sa volonté de toujours alléger le contenu planifié afin de

l’achever dans le temps requis. Elle a également exprimé que la réussite des élèves est un signe

de leur apprentissage. En effet, elle souhaite donner des activités mathématiques plus courtes afin

que, même avec la lenteur des élèves, elle ait davantage de réussite. Enfin, elle semble

rechercher dans les ouvrages des tâches pertinentes pour une application de procédures

mathématiques. Elle exprime que les mathématiques consistent en une application de procédures

précises.

En conclusion, en faisant une adaptation de retrait et une adaptation projective, Safi semble mettre

l’élève au centre de son apprentissage, révélant ainsi sa posture de l’enseignant. Cependant lors

de la réalisation du cours, en concevant un enseignement de type transmissif, en assimilant la

réussite de l’élève à sa compréhension ou encore en recherchant l’achèvement du contenu planifié

dans le temps requis, elle semble mettre le contenu mathématique au centre de son

enseignement, révélant ainsi sa posture de l’ancien élève. Elle semble donc alterner entre la

posture de l’ancien élève et celle de l’enseignant lors de la réalisation de la leçon. Mais, des

conceptions exprimées par Safi lors de l’entrevue, comme le désir d’achever le contenu planifié

dans l’heure de cours ou la recherche de la réussite des élèves, semblent renforcer l’hypothèse de

la posture de l’ancien élève qu’elle a adoptée lors de sa pratique de classe.

223

CHAPITRE 4

INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS

L’analyse descriptive et interprétative des pratiques des huit stagiaires sur l’enseignement de la

fraction nous offre des résultats qui nous permettent de discuter et de répondre aux questions de

recherche. Les réponses à ces questions vont nous permettre de donner une réponse à la

question générale : « Quelles sont les pratiques des stagiaires du primaire et du post-primaire

dans leur enseignement de la fraction en classe du cours moyen deuxième année (CM2) du

primaire et en classe de sixième du post-primaire? » Nous rappelons que Penda, Piga, Pélagie et

Poko sont les stagiaires rencontrés de l’ordre primaire; tandis qu’à l’ordre post-primaire, ce sont les

stagiaires Sidi, Sana, Sylvie et Safi. Nous présentons en trois sections des réponses aux questions

posées.

4.1 Tâches mathématiques et situations d’enseignement

planifiées

Nous visons dans cette section une réponse à la question suivante : Quelles sont les tâches

mathématiques et la nature des situations d’enseignement planifiées par les stagiaires rencontrés

pour un apprentissage de la fraction au CM2 et en sixième? Dans deux sous-sections, nous

discutons respectivement de la nature des tâches mathématiques planifiées et de la nature des

situations d’enseignement planifiées par les stagiaires rencontrés du primaire et du post-primaire.

Par la suite, nous faisons une synthèse afin de constater les ressemblances et les différences

dans les planifications de leçons sur la fraction faites par les stagiaires du primaire et du post-

primaire, ce qui permet de constater les exigences de la transition primaire-secondaire.

4.1.1 Tâches mathématiques planifiées

4.1.1.1 Tâches mathématiques planifiées par les stagiaires du primaire rencontrés

Nous rappelons dans le tableau ci-dessous les titres des leçons planifiées par les stagiaires du

primaire rencontrés, de même que les variables didactiques en jeu.

224

Tableau 8:Titres des leçons planifiées par les stagiaires.

Stagiaires Titres des leçons sur les fractions

Variables didactiques en jeu dans l’enseignement/apprentissage de la notion à l’étude

Penda Addition et soustraction de deux fractions

Exercices d’addition et de soustraction de 2 fractions de dénominateurs différents et exercice d’addition de 3 fractions de dénominateurs différents; dans chaque opération, aucun dénominateur n’est multiple de l’autre. Les termes des fractions sont plus petits que 10.

Piga Addition et soustraction des fractions

Activité de fractionnement : partage d’une figure rectangulaire en 4 (sens « partie-tout »). Exercices d’addition et de soustraction de 2 fractions ayant des dénominateurs différents; il y a une opération où un dénominateur est multiple de l’autre. Certains termes de fractions sont plus grands que 10, mais tous les termes sont plus petits que 50.

Pélagie Multiplication d’une fraction par un entier naturel

Activités de fractionnement : partage sur un disque et sur des traits (sens « partie-tout »); exercices de multiplication d’un entier plus grand que 10 par une fraction supérieure à 1; apparition du sens « opérateur ».

Poko Division des fractions

Problèmes de partage d’une orange (sens « partie-tout ») et d’aire; exercices de détermination de l’inverse d’une fraction; exercices de division d’une fraction par un entier et d’une fraction par une fraction. Il y a des fractions dont au moins un des termes est plus grand que 10, mais il n’y a pas de terme plus grand que 30.

Un des objectifs généraux52 de l’arithmétique au cours moyen [5e et 6e années de scolarité] est

d’amener l’élève à résoudre des problèmes sur les fractions. Toutefois, il semble y avoir plus

d’opérations de calcul que de problèmes dans les tâches mathématiques proposées par les

stagiaires rencontrées sur l’étude de la fraction.

Avant de présenter les opérations de calcul, Piga, Pélagie et Poko font intervenir l’utilisation du

fractionnement selon le sens « partie-tout » (M. J. Behr et al., 1983) par la manipulation d’objets

physiques (oranges, feuilles rectangulaires, disques) ou de figures géométriques. Toutefois,

l’influence de la forme géométrique choisie n’est pas considérée comme une variable didactique

(Pothier & Sawada, 1984). Pélagie semble développer également le sens « opérateur » dans le

52 Ces objectifs sont contenus dans le programme d’arithmétique du cours moyen deuxième année.

225

problème qu’elle pose pour introduire la multiplication d’une fraction par un entier naturel, ce qui

est congruent avec le but visé par sa leçon. En outre, la résolution du problème proposé par

Pélagie pour amorcer l’apprentissage du produit d’une fraction par un entier naturel laisserait voir,

entre autres, un problème d’ajout (addition de fractions équivalentes) ou un problème d’opérateur

(produit d’une fraction par un entier naturel). Dans le problème de défi additionnel proposé par

Poko, la recherche du nombre de ½ litre d’essence contenu dans 15 litres semble faire ressortir le

sens « mesure » d’une fraction. De plus, Poko, propose deux problèmes qui semblent faire

référence au sens « quotient » d’une fraction. En effet, l’opération de division de son deuxième

problème semble accessible si on se réfère à la formule de l’aire d’un rectangle.

Enfin le sens « nombre » intervient pour les exercices portant sur les opérations (Mercier &

DeBlois, 2004; Rouche, 1998). Toutefois, les opérations proposées semblent viser une application

de procédures de calcul. En outre, nous constatons que les fractions en jeu dans les problèmes

proposés au primaire font intervenir des termes [numérateurs ou dénominateurs] rarement

supérieurs à 10.

Chacun des quatre stagiaires a rédigé une tâche mathématique dont la congruence avec le but

décrit dans leur planification semble discutable. Ainsi, Penda et Piga n’ont pas proposé de

problèmes sur l’addition et la soustraction des fractions ayant des dénominateurs différents alors

que Pélagie, dans le problème donné en évaluation, demande le nombre de morceaux plutôt que

la quantité de pain consommée (annexe 3; Planification). Quant à Poko, son problème de défi

additionnel (annexe 4; Planification) ne semble pas congruent avec les buts dans sa leçon puisqu’il

s’agit de diviser un entier par une fraction alors qu’elle vise la division d’une fraction par un entier.

L’ouvrage mathématique des classes du cours moyen (MEBA/DGRIEF, 2010) semble le référent

privilégié par les stagiaires dans le choix de leurs activités mathématiques. Toutefois, les

opérations de calcul qu’ils ont trouvées dans le manuel de l’élève de la classe ne correspondent

pas nécessairement aux objectifs visés. Les stagiaires rencontrés semblent donc avoir des

difficultés à choisir les activités pour planifier une amorce ou approfondir un contenu

d’enseignement/apprentissage sur la fraction dans les classes du cours moyen.

226

4.1.1.2 Tâches mathématiques planifiées par les stagiaires du post-primaire rencontrés

Nous rappelons dans le tableau ci-dessous les titres des leçons planifiées et réalisées par les

stagiaires du post-primaire rencontrés, de même que les variables didactiques en jeu.

Tableau 9: Titres des leçons planifiées et réalisées par les stagiaires.

Stagiaires Titres des

leçons sur les fractions

Variables didactiques en jeu dans l’enseignement/apprentissage de la notion à

l’étude

Sidi Écriture fractionnaire

Des exercices : il y a de petits termes (inférieurs à 10) et de grands termes (supérieurs à 100) dans les fractions données.

Sana

Critères de divisibilité et simplification d’une fraction

Des exercices : parmi les fractions données, le plus petit dénominateur est 3 et le plus grand est 300; les critères de divisibilités par 2, 3, 5, 9, 10 sont en jeu compte tenu du choix des nombres.

Sylvie

Critères de divisibilité et simplification d’une fraction

Des exercices : parmi les fractions données, les dénominateurs se situent entre 4 et 150; les critères de divisibilités par 2, 3, 5, 9, 10 sont en jeu compte tenu du choix des nombres.

Safi

Addition de deux fractions ayant le même dénominateur

Activité de partage d’une tablette de chocolat (sens partie-tout); exercices d’addition de deux fractions ayant le même dénominateur, il y a de petits nombres (exemple : 3) et de grands nombres (exemple : 123) comme dénominateurs des fractions données.

Dans les programmes de mathématiques (2009) de l’ordre post-primaire du Burkina Faso,

l’enseignement des mathématiques vise, entre autres, à fournir à l’élève des méthodes opératoires

qui lui permettent de résoudre des problèmes simples de la vie courante où à l’occasion d’autres

enseignements. Ce but semble viser une contextualisation du contenu d’enseignement et mettre

en exergue le volet transversal des savoirs mathématiques.

Les contenus sur les fractions que les stagiaires ont planifiés sont enseignés dès l’ordre primaire.

Les quatre stagiaires ont utilisé les documents usuels pour la planification de leur leçon. Ces

documents sont : le livre « Faso-Maths » de la classe de 6e, le guide pédagogique de la classe de

6e et le programme de mathématiques de 2009 de la classe de 6e. Safi exploite, en plus de ces

documents, le livre « Pythagore » de la classe de 6e. Tous ces manuels scolaires datent d’avant

les programmes de mathématiques de 2009.

227

Deux problèmes portant sur l’addition de deux fractions ayant le même dénominateur sont

proposés par Safi. Ces problèmes portent sur un partage de chocolat, ce qui ne semble pas tenir

compte du milieu culturel de l’élève. L’intégration de problèmes issus du vécu quotidien de l’élève

vise à montrer, entre autres, l’utilité des apprentissages mathématiques comme élément de

motivation pour l’élève.

Toutes les autres tâches mathématiques planifiées par les stagiaires du post-primaire rencontrés

sont des opérations de calcul. En planifiant des opérations de calcul, les stagiaires du post-

primaire semblent privilégier l’application des procédures de calcul. Le sens « nombre » est la

forme d’interprétation de la fraction qui semble le plus fréquente en regard des tâches

mathématiques planifiées par ces quatre stagiaires. En outre, les fractions en jeu dans les

différentes tâches mathématiques au post-primaire font intervenir des termes [numérateurs ou

dénominateurs] généralement supérieurs à 10. Sidi fait usage de lettres pour formuler la notation

conventionnelle d’une écriture fractionnaire. Safi utilise également des lettres pour formuler la

procédure de calcul des deux fractions ayant le même dénominateur. Ces différentes notations

semblent viser une initiation vers l’algèbre dans la classe de 6e [7e année de scolarité].

Sylvie et Safi, qui ont une année d’expérience, semblent avoir réduit les exigences dans les tâches

mathématiques. Par exemple, le problème sur le fractionnement offert par Safi, bien qu’il fasse

allusion au sens « partie-tout » d’une fraction, ne semble pas ajouter aux connaissances des

élèves qui sont à leur troisième année d’apprentissage de la fraction. En outre, la résolution du

problème est balisée par la figure géométrique proposée par Safi.

Une des difficultés des stagiaires rencontrés semble résider dans le choix des tâches

mathématiques congruentes avec les objectifs qu’ils ont définis dans leur leçon. Par exemple, la

tâche mathématique (« calculer : 10

13;

100

253;

1000

12538 ») proposée par Sidi pourrait ne pas amener

l’élève à la formulation d’une procédure sur l’écriture d’une fraction décimale sous forme de

nombre décimal à cause du mot « calculer » de la consigne. Sana et Sylvie risquent de ne pas

exploiter en classe l’utilisation des critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 ou 10 qui est un but de leur

leçon, car les questions portant sur ces critères ne sont pas prévues dans leur planification.

228

4.1.1.3 Arrimage primaire/post-primaire

Les tâches mathématiques proposées dans les planifications de leçons semblent essentiellement

porter sur des opérations de calcul. Ce choix semble s’inscrire dans la conception du futur

enseignant qui recherche l’application des procédures mathématiques (DeBlois, 2012).

Néanmoins, nous dénombrons, en plus des exercices, six problèmes planifiés sur les fractions à

l’ordre primaire contre deux à l’ordre post-primaire. Si l’on ajoute, les problèmes donnés pour le

développement du calcul mental, nous comptons 16 problèmes planifiés par les stagiaires de

l’ordre primaire. Nous constatons qu’à l’ordre primaire, les sens « partie-tout », « quotient »,

« nombre » et « mesure » semblent émerger des problèmes planifiés. Tandis qu’à l’ordre post-

primaire, c’est essentiellement le sens « nombre » dans les opérations qui semble apparent. Il y

aurait une préoccupation à l’égard de l’algèbre parce que deux stagiaires font usage des lettres

dans la formulation des procédures mathématiques. Les stagiaires rencontrés du post-primaire

proposent une bonne réponse à chaque tâche mathématique planifiée. Cependant, ils ne planifient

pas une anticipation sur les erreurs possibles. De même à l’ordre primaire, il n’y a pas

d’anticipation sur les erreurs des élèves.

4.1.2 Approches et stratégies d’enseignement planifiées

Les approches pédagogiques et les stratégies d’enseignement planifiées par les stagiaires

rencontrés attesteraient d’une prise en compte ou non des caractéristiques et des contraintes des

classes. Par exemple, un large effectif est une contrainte de classe. Les consignes prévues pour la

réalisation des tâches mathématiques semblent aussi des éléments qui permettent de voir en

amont la structuration d’une pratique de classe. Pour chaque tâche mathématique, il est conseillé

au stagiaire de préciser son rôle et celui des élèves à travers les types d’organisation de classe

[individuel, sous-groupe, groupe-classe].

4.1.2.1 Approches et stratégies d’enseignement planifiées par les stagiaires du primaire

Penda et Piga intègrent les trois types d’organisation de classe dans leur planification. Par

exemple, Penda note que les élèves vont échanger entre eux sur chaque tâche mathématique

avant la correction au tableau. Cela signifie implicitement qu'un travail en sous-groupes se fera lors

de la réalisation du cours. Le travail individuel et le travail en groupe-classe apparaissent dans la

fiche pédagogique de Pélagie. Le rôle de chacun des stagiaires Penda, Piga et Pélagie prévu dans

229

sa planification consiste à octroyer les tâches mathématiques, à donner les consignes de travail, à

poser des questions et à faire des synthèses. Quant aux élèves, ils répondront aux questions qui

leur seront posées à travers un travail individuel, en sous-groupe ou en groupe-classe. Penda,

Piga et Pélagie semblent se projeter comme des animateurs dans leur classe lors de la

planification de leur cours (DeBlois, 2012). Nous constatons que Poko ne fait pas apparaître de

consigne et de forme d’organisation de travail des élèves. Cette planification n’apporte donc pas

d’information sur son rôle et celui des élèves.

Les types d’organisation de classe et les types d’actions des différents acteurs décrits dans une

planification de leçon permettent de conjecturer sur la présence des phases d’action, de

formulation, de validation et d’institutionnalisation que l’enseignant développera lors de la

réalisation d’une tâche mathématique, autant de formes identifiées par les travaux de Brousseau

(1986a). Pour les tâches de calcul mental, des phases d’action semblent prévisibles lors de leur

réalisation en classe à travers les travaux individuels. Cependant, les stagiaires rencontrés

n’institutionnalisent pas une procédure de calcul à la suite de chaque calcul mental. Quant aux

tâches de contrôle des prérequis et d’évaluation, des phases d’action semblent également

prévisibles lors de leur réalisation, car le stagiaire cherche à vérifier l’atteinte des objectifs formulés

en estimant le nombre de réussites des élèves. L’atteinte d'objectifs étant recherchée lors des

réalisations du calcul mental, du contrôle de prérequis et de l’évaluation, les tâches semblent être

proposées sous la forme d’une approche par les objectifs.

Pour l’apprentissage des notions sur la fraction qui font l’objet des cours, notre analyse des

planifications montrent que les consignes de réalisation des tâches planifiées par Penda, Piga et

Pélagie laissent entrevoir les quatre phases de Brousseau (1986a) à travers des travaux

individuels, des travaux en sous-groupes et des travaux collectifs sous la forme d’une pratique de

la pédagogie des groupes. Piga et Pélagie prévoient des fractionnements de figures géométriques

lors de la réalisation de certaines de ces tâches. Penda et Poko n’évoquent pas une telle pratique

dans leur fiche pédagogique. Aucune des quatre phases didactiques n’est apparente dans la

planification de Poko, car elle n’a pas apporté de précision sur son rôle ni sur celui des élèves.

230

4.1.2.2 Approches et stratégies d’enseignement planifiées par les stagiaires du post-

primaire

Dans les informations préliminaires, Sidi et Sana notent uniquement une pratique d’un travail

individuel des élèves dans leur planification. Sylvie et Safi notent, en plus du travail individuel, le

travail en groupe-classe. Aucun stagiaire du post-primaire n’intègre des travaux en sous-groupes.

Les rôles que Sidi, Sylvie et Safi s’assignent lors de la réalisation de leur leçon sont : veiller au bon

déroulement du travail des élèves; aider les élèves dans la formulation des procédures

mathématiques. Sana a choisi de formuler lui-même les définitions. Le rôle des élèves dans un

cours de ces stagiaires rencontrés consisterait à traiter les tâches mathématiques offertes et à

proposer des réponses.

L’organisation de la classe et les rôles que joueront les élèves et les stagiaires font supposer une

phase d’action lors de la réalisation des cours. Pour les tâches de contrôle des prérequis et

d’évaluation, des phases d’action semblent prévisibles lors de leur réalisation en classe à travers

les travaux individuels planifiés par les quatre stagiaires du post-primaire rencontrés. Ces

différentes tâches sont planifiées sous la forme d’une approche par les objectifs, car elles visent

une congruence avec des objectifs spécifiques à atteindre à la fin de la leçon. Le décompte des

réussites pour juger de l’atteinte de ces objectifs de cours est fait à la fin de la réalisation de

chaque évaluation.

Pour l’apprentissage d’une notion à l’étude sur la fraction, Sidi, Sylvie et Safi envisagent d’aider les

élèves à formuler les définitions ou les procédures mathématiques à la fin de chaque tâche

mathématique. Par la même occasion, ils procèdent à l’institutionnalisation du savoir scolaire. Tout

cela semble une prise en compte des phases de formulation/validation et d’institutionnalisation des

résultats de l’apprentissage. Le stagiaire, par la suite, va recopier au tableau les définitions et les

procédures mathématiques afin que les élèves les considèrent comme des savoirs scolaires à

apprendre. Sana semble le seul à planifier un mode apport lors de l’institutionnalisation des savoirs

scolaires, car il formulera lui-même les définitions et procédures mathématiques. Les trois autres

stagiaires semblent privilégier un mode bilan (Roditi, 2003). Tous les stagiaires du post-primaire

rencontrés ont précisé dans leur planification qu’ils pratiqueront la méthode de « redécouverte »

lors de la réalisation. Cependant, une approche par les objectifs semble caractériser l’approche

d’enseignement planifiée par Sana en regard des consignes développées. . En effet, la formulation

231

d’objectifs spécifiques, le contrôle des prérequis, l’élaboration de tâches mathématiques pour juger

l’atteinte des objectifs de cours sont, entre autres, des caractéristiques d'une pratique de la

pédagogie par les objectifs. Toutefois, aucun des quatre stagiaires ne développe une pratique de

la pédagogie de groupes dans sa planification.

4.1.2.3 Transition primaire/post-primaire

À l’exception de Poko qui inscrit l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-

See-Improve (ASEI/PDSI) » comme l’approche de référence dans sa planification, les autres

stagiaires de l’ordre primaire ne désignent pas une approche de référence dans leur planification.

Toutefois à l’entrevue, ils disent s’être référés à l’approche « ASEI/PDSI » pour planifier leur leçon.

Tous les stagiaires du post-primaire décrivent la méthode de redécouverte comme leur approche

de référence pour la planification de leur leçon. À l’entrevue, ils confirment s’être basés sur cette

approche dans la planification de leur cours. Ces deux approches semblent distinctes dans les

interprétations des stagiaires parce qu’au primaire, trois des quatre stagiaires prévoient une phase

d’action dans laquelle interviennent des tâches concrètes, semi-concrètes et abstraites; tandis

qu’au post-primaire, les stagiaires font une tâche essentiellement formelle (Herscovics & Bergeron,

1982a), appelée abstraite dans le milieu scolaire. Un changement qui pourrait influer sur la

compréhension des élèves en classe de 6e.

Dans les deux ordres d’enseignement, seuls trois stagiaires de l’ordre primaire ont prévu des

travaux en sous-groupes. Cette situation semble exclure une prise en compte de l’état des

connaissances des élèves au sujet du travail coopératif en classe. La phase d’institutionnalisation

semble surreprésentée pour les deux ordres d’enseignement, contrairement à la phase de

formulation qui semble moins représentée.

Il devient ainsi possible de répondre à notre première question de recherche : Quelles sont les

tâches mathématiques et la nature des situations d’enseignement planifiées par les stagiaires

rencontrés pour un apprentissage de la fraction au CM2 et en sixième? Tous les stagiaires

rencontrés semblent avoir utilisé le modèle de planification de leçon proposé par leur structure de

formation. À l’exception de Poko, les trois stagiaires du primaire et les quatre stagiaires de l’ordre

primaire semblent avoir respecté la forme de présentation d’une leçon de mathématiques

232

proposée par leur structure de formation. Poko a préféré une forme de présentation proposée à

son lieu de stage. Nous récapitulons dans le tableau 10 ci-dessous les résultats de l’étude.

Tableau 10: Récapitulatif des résultats de l'étude

Pour l’apprentissage d’une notion sur la fraction Stagiaires du primaire

Stagiaires du post-primaire

Tâches mathématiques

Manipulation d’objets Piga, Pélagie, Poko

-

Opérations de calcul (sens nombre de la fraction)

Penda, Piga, Pélagie, Poko

Sidi, Sana, Sylvie, Safi

Fractionnement de figures géométriques (sens « partie-tout » de la fraction)

Piga, Pélagie

Safi Problèmes à résoudre sur la fraction

Pélagie, Poko

Organisation de la classe

Travail individuel et travail collectif

- Sidi, Sana, Sylvie, Safi

Travail individuel, travail en sous-groupes, travail collectif

Penda, Piga, Pélagie

-

Situations d’enseignement

Action, institutionnalisation Poko Sana

Action, formulation, validation, institutionnalisation

Penda, Piga, Pélagie

Sidi, Sylvie, Safi

Approches d’enseignement

Approche par les objectifs Penda, Piga, Pélagie Poko

Sidi, Sana, Sylvie, Safi

Approche par les groupes Penda, Piga, Pélagie

-

Tous les stagiaires du primaire (4 sur 4) et tous les stagiaires du post-primaire (4 sur 4) planifient

des opérations de calcul. Ils semblent développer les sens « nombre » de la fraction. Trois

stagiaires de l’ordre primaire (3 sur 4) proposent en plus des opérations de calcul des problèmes

mathématiques et des manipulations d’objet pour l’apprentissage de la notion sur la fraction. Une

seule stagiaire du post-primaire (1 sur 4) propose, en plus des exercices de calcul, deux

problèmes sur la fraction où elle propose des fractionnements de figures rectangulaires pour leur

résolution.

Trois stagiaires du primaire (3 sur 4) planifient le travail individuel, le travail en sous-groupe et le

travail collectif comme stratégies d’organisation de leur classe. Les consignes de travail (rôle de

l’enseignant, rôle de l’élève) proposées par ces trois stagiaires permettent de conjecturer les

situations d’action, de formulation, de validation et d’institutionnalisation selon Brousseau (1986a).

233

Lors de l’entrevue, les stagiaires du primaire (4 sur 4) disent avoir planifié leur cours selon

l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI/PDSI) ».

Toutefois, l’analyse montre un développement de la pédagogie par les objectifs lors des

réalisations de ces quatre stagiaires parce que des éléments caractéristiques (formulation

d’objectifs spécifiques, contrôle des prérequis, évaluation pour juger l’atteinte des objectifs) d'une

pratique de cette pédagogie sont planifiés.

Tous les stagiaires de l’ordre post-primaire planifient le travail individuel et le travail collectif dans

leur projet d’enseignement. Toutefois les consignes de travail (rôle de l’enseignant, rôle de l’élève)

développées dans les planifications de trois stagiaires permettent de conjecturer les situations

d’action et de formulation, de validation et d’institutionnalisation de Brousseau (1986a). Tous les

stagiaires du post-primaire (4 sur 4) inscrivent la méthode de « redécouverte » comme la méthode

d’enseignement dans la planification de leur leçon. Toutefois, lors de la réalisation, leur pratique

semble s’insérer dans la pédagogie par les objectifs qu’ils ont d’ailleurs reconnue lors de

l’entrevue.

4.2 Incidents didactiques et types d’adaptation

L’analyse des réalisations de leçons nous a permis d’étudier les incidents didactiques et les formes

d’adaptation afin de répondre à la deuxième question de recherche qui est la suivante : Quels sont

les incidents didactiques et les types d’adaptation lors des réalisations de leçons planifiées par les

stagiaires du primaire et du post-primaire rencontrés?

4.2.1 Incidents didactiques

L’analyse de chaque cas à l’étude nous a permis de relever les incidents didactiques vécus lors

des activités du calcul mental et/ou des activités d’apprentissage de la fraction. Nous récapitulons

dans le tableau ci-dessous les incidents didactiques observés. Dans le tableau nous utilisons la

lettre « X » pour indiquer ce qui a constitué un incident didactique et le signe «-» pour indiquer son

absence.

234

Tableau 11 : Incidents didactiques vécus dans les classes des stagiaires

Incidents didactiques

Penda Piga Pélagie Poko Sidi Sana Sylvie Safi

Erreur X X X X X X X X

Désaccord entre les acteurs

X - X X - X X X

Réponse incomplète

ou incomprise

- - X - - X - X

Rupture de contrat

didactique - - - X - X - -

Silence - - X - - - - -

Gestion du temps

didactique X

Nombre d’incidents didactiques

8 6 9 7 6 6 5 6

Nous dénombrons un total de 53 incidents didactiques, dont 30 au primaire et 23 au post-primaire.

Les réalisations du calcul mental, entre autres, ont été des sources supplémentaires de vivre des

incidents didactiques dans les classes du primaire. Nous discutons dans un premier temps des

incidents didactiques vécus dans les classes de l’ordre primaire, et dans un second temps, ceux

vécus par les stagiaires de l’ordre post-primaire. Par la suite nous faisons une synthèse.

4.2.1.1 Incidents didactiques observés lors des réalisations de cours au primaire

Les erreurs et leur gestion ont été à l’origine, pour chacun des quatre stagiaires, de la majorité des

incidents didactiques. Par exemple chez Piga, tous les incidents didactiques (six) sont dus aux

erreurs des élèves et à leur gestion. Toutefois pour chacun de ces stagiaires, leur grande

préoccupation porte sur la gestion du temps d’enseignement comme le révèlent les entrevues

post-expérimentation. Cette préoccupation ne semble pas favoriser la recherche d’une

compréhension d’une erreur pendant la réalisation des cours. La gestion des erreurs consiste

235

ainsi, pour chacun des stagiaires, à trouver rapidement la bonne réponse, soit par l’action d’un

élève ou par celle du stagiaire lui-même. Par exemple, au neuvième incident didactique, Pélagie

adopte un discours explicatif pour apporter une réponse à une question d’un élève. Les discours

explicatifs sont souvent producteurs d’effets Topaze.

En effet, des effets Topaze sont constatés dans les commentaires faits par Penda, Piga et Pélagie.

Par exemple, lors du deuxième incident didactique, Penda provoque une bonne réponse par le

discours suivant : « des fractions qui n’ont pas les mêmes dénominateurs, on demande de faire les

additions, comment on peut faire? Hein! […]. On doit faire quoi d’abord? Qu’est-ce qu’on doit faire

d’abord? Oui! » (Annexe 1; Réalisation : L111-L114). Piga provoque également la bonne réponse

donnée par un élève lorsqu’il insiste sur l’expression « le même dénominateur » lors du cinquième

incident didactique.

Des réponses correctes ou erronées sont à la base de désaccords entre les acteurs [élèves et

stagiaire] lors des réalisations de cours de Penda et de Pélagie. Les désaccords interviennent plus

particulièrement lorsque les réponses attendues des uns et des autres dans les corrections des

tâches mathématiques diffèrent, comme le montrent la présentation des résultats du calcul mental

[premier incident didactique] et la manifestation d’une difficulté comportementale [sixième incident

didactique] observées dans la classe de Penda.

Certains désaccords entre les élèves semblent liés à des ruptures de contrat. Par exemple, le

quatrième incident didactique [désaccord entre les élèves] lors de la réalisation de Pélagie semble

venu du fait que certains élèves conçoivent appliquer la procédure de réduction des fractions au

même dénominateur afin de les additionner, même si celles-ci ont déjà un même dénominateur. Le

troisième incident didactique [rupture de contrat didactique] lors de la réalisation de Poko, un

désaccord intervient entre Poko et les élèves. En effet, Poko s’oriente vers la formulation de la

procédure qu’elle souhaite voir et les élèves recherchent la bonne réponse à travers leur

procédure.

Des réponses incomprises sont à l’origine d’incidents didactiques lors des réalisations de cours de

certains stagiaires. Ces incidents didactiques seraient dus à la présence de variables didactiques

particulières. Par exemple, lors de l’addition de trois fractions ayant des dénominateurs différents

[cinquième incident didactique chez Penda], les élèves traduisent leur difficulté en disant que c’est

236

une « pierre ». Aussi, lors de la réalisation du calcul mental [premier incident didactique chez

Poko], les élèves ont eu à recourir au papier et au crayon afin de traiter le problème, ce qui est

contraire à la pratique du calcul mental.

Nous avons considéré le silence comme un incident didactique. En effet, le troisième incident

didactique chez Pélagie, tous les élèves de la classe sont restés silencieux à la suite d’une

sollicitation de la stagiaire. Elle a donc apporté une réponse à sa question et elle est passée à

autre chose, créant ainsi un effet de contrat appelé « paradoxe du comédien ». Elle continue car

elle semble juger que l’explication donnée est comprise des élèves.

4.2.1.2 Incidents didactiques observés lors des réalisations de cours au post-primaire

À nouveau, les erreurs provoquent un incident didactique. Une stratégie que Sidi, Sana, Sylvie et

Safi semblent adopter pour éviter une erreur consiste à faire des commentaires avant que les

élèves ne se lancent dans la recherche des solutions aux questions posées. Ce style explicatif est

beaucoup utilisé par Sidi et Sana. Par exemple, dans le troisième incident didactique [désaccord

entre les élèves], Sana explique la procédure de simplification d’une fraction à travers son

commentaire, afin de permettre aux élèves de réaliser un exercice qu’il a donné. Le désir d’éviter

l’erreur et d’avoir des réussites semble guider l’utilisation de cette stratégie. Une autre stratégie est

utilisée par Sidi, Sana, Sylvie et Safi lorsqu’une erreur est commise. Ils remplacent l’élève qui

produit l’erreur par quelqu’un d’autre afin d’obtenir la bonne réponse. Par exemple, au premier

incident didactique [gestion d’une erreur], Sylvie sollicite Élodie pour obtenir la bonne réponse.

Des effets de contrat didactique sont présents dans les commentaires faits par Sidi, Sana et Safi

lors de leur réalisation lorsqu’ils veulent expliciter la question d’une tâche ou une procédure

mathématique qui découle de la réalisation d’une tâche ou lorsqu’ils veulent répondre à des

questions d’élèves. Par exemple, Sana a provoqué un effet Topaze lors des simplifications de 45

15

et de 24

8 [troisième incident didactique]. En effet, dans son discours, il donne sa démarche à

suivre pour trouver la solution. Sylvie semble la seule à n’avoir pas produit d’effet Topaze, car

lorsqu’un élève pose une question, elle la retourne aux autres élèves.

237

Des ruptures de contrat sont intervenues lors des réalisations de Sana [troisième et sixième

incidents didactiques]. Par exemple au troisième incident didactique, il propose une procédure de

simplification d’une fraction qui crée une incompréhension des élèves, car ces derniers

connaissent une technique de simplification allant à trouver une fraction irréductible.

4.2.1.3 Synthèse

Les principaux incidents didactiques que nous avons observés lors de l’analyse des réalisations de

cours des stagiaires des deux ordres d’enseignement sont les erreurs et leur gestion, les

désaccords entre les acteurs, les réponses incomplètes ou incomprises des élèves et les ruptures

de contrat didactique. Les erreurs et leur gestion sont un incident didactique fréquent et vécu lors

des réalisations de cours de tous les stagiaires des deux ordres d’enseignement [8 sur 8]. Dans

chacun des ordres d’enseignement (primaire et post-primaire), une production d’effet Topaze est

vécue dans des classes de deux sur quatre stagiaires. Des réponses incomplètes sont observées

lors des réalisations de deux stagiaires du post-primaire. Des ruptures de contrat didactique sont

des incidents didactiques vécus lors des cours d’un stagiaire de chaque ordre d’enseignement.

Cette rupture de contrat didactique semble intervenir lorsque le stagiaire s’appuie sur des

connaissances distinctes de celles de ses élèves afin d’installer une procédure de calcul.

Les stagiaires rencontrés des deux ordres d’enseignement apportent, soit par eux, soit par d’autres

élèves, les bonnes réponses lorsqu’ils constatent des réponses erronées dans leur classe. Coppé

et Mouhayar (2009) l’ont aussi remarqué en étudiant les pratiques de classe d’enseignants

expérimentés. Cela pourrait expliquer que ces stagiaires n’interrogent pas les élèves pour

comprendre leur raisonnement. Par conséquent, l’action des stagiaires des deux ordres

d’enseignement dans la gestion d’une erreur consiste à trouver la bonne réponse. L’absence d’une

exploitation des erreurs lors des réalisations de cours, les commentaires producteurs d’effets de

contrat didactique et le mode apport des stagiaires dans l’institutionnalisation des savoirs

enseignés sont, entre autres, à l’origine de différentes adaptations des stagiaires, ce qui permet

d’interpréter l’écart entre la planification et la réalisation des stagiaires.

4.2.2 Adaptations des stagiaires

Les stagiaires de l’ordre primaire rencontrés ont manifesté des adaptations normatives et

d’évitement lors des réalisations de leur leçon. Les quatre formes d’adaptations (normative,

238

d’évitement, projective et de retrait) sont observées chez les stagiaires de l’ordre post-primaire

rencontrés. Nous donnons dans le tableau ci-dessous, les types d’adaptations que nous avons

relevés dans notre analyse.

Tableau 12 : Les adaptations des stagiaires rencontrés.

Stagiaires

du primaire

Adaptations

normatives

Adaptations

d’évitement

Adaptations

projectives

Adaptations

de retrait

Total

Penda 2 - - - 2

Piga 1 1 - - 2

Pélagie 2 1 - - 3

Poko 2 - - - 2

Sidi - - 1 - 1

Sana 3 - - - 3

Sylvie - 1 - 1 2

Safi - - 1 1 2

Total 10 3 2 2 17

Des commentaires et des questions d’un stagiaire lors de la réalisation d’une tâche mathématique

en classe peuvent émerger des formes d’adaptation lorsqu’un incident didactique survient (DeBlois

& Maheux, 2005). Le nombre d’adaptations qui semble minime en regard des incidents didactiques

repérés pour chaque stagiaire s’expliquerait par le rôle que le stagiaire a joué en classe. En effet,

certains stagiaires devancent par des commentaires explicatifs avant qu’un incident didactique ne

surgisse.

4.2.2.1 Adaptations des stagiaires du primaire rencontrés

Sept adaptations normatives et deux adaptations d’évitement ont été manifestées par les

stagiaires du primaire rencontrés. Les quatre stagiaires font des apports d’informations afin de

recadrer les réponses en classe en rapport à leurs attentes planifiées, manifestant ainsi

d’adaptations normatives.

Penda, Pélagie et Poko ont chacune fait deux adaptations normatives; tandis que Piga en produit

une. Par exemple, Penda manifeste une adaptation normative lorsqu'elle énonce la procédure de

l’addition des fractions ayant des dénominateurs différents [troisième incident didactique]

conformément à sa planification. Pélagie, au cinquième incident didactique, au lieu de partir de la

239

proposition de l’élève qui est de multiplier 3

1 par 5, qui peut être un cheminement à explorer (

3

1

5=3

1+

3

1+

3

1+

3

1+

3

1=

3

5), elle revient à sa planification et propose le comptage du

fractionnement de figures géométriques afin d’obtenir le résultat 3

5. Quant à Poko, des ruptures

de contrat didactique [deuxième et troisième incidents didactiques] sont à l’origine de ses

adaptations normatives. En effet, elle propose ses propres notations mathématiques dans les

opérations de calcul lorsqu’elle réalise que les productions des élèves ne sont pas conformes à ce

qu’elle a planifié. Par exemple lors du deuxième incident didactique, elle propose sans justification

que l’élève efface ce qu’il a écrit « 35

4 » et qu’il note plutôt «5

4 3 ». Elle se conforme à la

notation inscrite dans sa planification. Nous rappelons que le contenu sur la multiplication d’une

fraction par un entier naturel ou d’un entier naturel par une fraction est antérieurement vu par les

élèves. La notion de commutativité peut être implicitement acceptée par les élèves qui pourraient

noter indifféremment « 35

4 » ou «5

4 3 ».

Piga, en identifiant la fraction d’une représentation (cinquième incident didactique) à travers un

effet Topaze, manifeste une adaptation normative. Il réalise un mode apport (Roditi, 2003) afin de

recadrer les interventions des élèves en regard du contenu de sa planification. En plus de

l’adaptation normative, Piga et Pélagie ont manifesté des adaptations d’évitement. En effet, cette

adaptation intervient chez Piga lorsque les élèves ont eu des difficultés à trouver une réponse à

l’opération 21

3-

2

1. Piga donne la réponse et demande aux élèves de se référer à la procédure de

calcul. Or, les élèves, après avoir utilisé la procédure, se sont butés à un calcul impossible pour

leur niveau de scolarité : « 6-21 ». L’application de la procédure de calcul dans cette opération a

connu une limite au cours moyen deuxième année [6e année du primaire], contraignant Piga à une

adaptation d’évitement. Quant à Pélagie, elle manifeste cette adaptation lors du premier incident

didactique, car elle n’apporte pas de complément d’information suite à la proposition incomplète

d’un élève pour le calcul d’un nombre à deux chiffres multiplié par 11.

240

4.2.2.2 Adaptations des stagiaires du post-primaire rencontrés

Nous dénombrons huit adaptations, dont trois adaptations normatives, une adaptation d’évitement,

deux adaptations projectives et deux adaptations de retrait lors des réalisations de cours des

stagiaires du post-primaire. Sana est le seul à manifester trois adaptations normatives aux

deuxième, troisième et cinquième incidents didactiques. Par exemple, lors du troisième incident,

Sana donne une technique de simplification en introduisant implicitement l’utilisation du plus grand

commun diviseur (PGCD). Ce mode apport de la connaissance semble baliser le travail des élèves

afin qu’ils apportent les réponses attendues en suivant la technique de simplification planifiée.

Syvie manifeste une adaptation d’évitement au cinquième incident didactique de sa réalisation de

cours. En effet, des propositions de simplification de 30

51par 5, par 2 et enfin par 3 sont faites sans

une demande de justification. Sylvie semble éviter l’utilisation des critères de divisibilité par 2, par 3

et par 5 qui pourraient clarifier les propositions bonnes ou erronées des élèves.

Sylvie et Safi manifestent des adaptations de retrait. Sylvie adopte cette adaptation lors du

troisième incident didactique survenu lors de la réalisation de son cours. Cette adaptation est

intervenue suite à un désaccord entre les élèves dans la simplification de la fraction 12

18. La

simplification de 12

18 par 6 par un élève est à l’origine de ce désaccord. Toutefois le retrait de

Sylvie semble être teinté d’une dévolution de son rôle aux meilleurs élèves de la classe. Les

bonnes réponses données par ces derniers sont validées par Sylvie. Une adaptation de retrait est

aussi manifestée par Safi lors du premier incident didactique lors de la réalisation du cours. Cette

adaptation est due à une erreur qu’elle a faite lorsqu’elle lisait la tâche mathématique. La suite

montre que les élèves semblent avoir apporté une réponse à leur sollicitation de Safi.

Sidi et Safi manifestent des adaptations projectives lors de leur réalisation de cours. L’adaptation

projective de Sidi est intervenue lors du cinquième incident didactique, suite à une erreur commise

dans la définition d’une fraction décimale. Sidi semble chercher à utiliser l’erreur commise afin

d’obtenir une bonne réponse. L’adaptation projective manifestée par Safi intervient lorsqu’elle

relance la reformulation de la procédure d’addition de deux fractions ayant le même dénominateur,

suite à une formulation incomplète proposée par un élève lors du quatrième incident didactique.

241

4.2.2.3 Synthèse

Selon les stagiaires du primaire, ils ont pratiqué l’approche « Activity-Student-Experiment-

Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI/PDSI) » et selon ceux du post-primaire, la méthode de

redécouverte serait leur approche d’enseignement. Les principes, de ces deux approches

d’enseignement, décrits dans leurs contenus de formation semblent mettre l’élève au centre de

son apprentissage.

Cependant, les erreurs, les désaccords et les ruptures de contrat didactique ont été des causes

d’adaptations qui ne s’appuient pas sur les activités des élèves, mais plutôt sur les savoirs

mathématiques à enseigner tant au primaire et au post-primaire. Cela pourrait expliquer

l’apparition des deux formes d’adaptation observées dans l’analyse des pratiques de classe des

stagiaires du primaire: adaptation normative et adaptation d’évitement. En effet, tous ces stagiaires

(4 sur 4) ont manifesté au moins une adaptation normative. En plus de manifester une adaptation

normative, deux stagiaires sur quatre (2 sur 4) font des adaptations d’évitement lors de leur cours.

Quant au post-primaire, il y a une plus grande variété dans les adaptations des stagiaires. Les

quatre formes d’adaptation (DeBlois & Maheux, 2005) sont relevées dans l’analyse des pratiques

de classe des stagiaires rencontrés. Un stagiaire (1 sur 4) manifeste uniquement des adaptations

normatives. Un stagiaire (1 sur 4) manifeste également une adaptation d’évitement. Une

adaptation projective et une adaptation de retrait ont été chacune manifestées par deux stagiaires

(2 sur 4).

En conclusion, selon (Ndolly, 2012), les adaptations normatives et d’évitement sont

caractéristiques de la posture de l’ancien élève, tandis que les adaptations projectives et de retrait

sont caractéristiques de la posture l’enseignant stagiaire. Tous les stagiaires du primaire (4 sur 4)

et un stagiaire du post-primaire (1 sur 4) auraient ainsi adopté la posture de l’ancien élève lors de

la réalisation de leur leçon en regard des formes d’adaptations manifestées à l'occasion de

certains incidents didactiques. Deux stagiaires, en manifestant une adaptation projective ou une

adaptation retirée uniquement, auraient manifesté la posture de l’enseignant stagiaire au cours de

leur séance de leçon. Une stagiaire (1 sur 4) semble alterner entre la posture de l’ancien élève et

celle de l’enseignant stagiaire en regard des types d’adaptation (évitement et retrait) qu’elle

manifeste lors de sa séance de cours. Cependant, ces résultats sur l’analyse des réalisations de

242

cours ne sauraient être définitifs, car les adaptations tirent leur origine du moins du tiers des

incidents didactiques [17 sur 53]. Les différentes conceptions de l’enseignement, de

l’apprentissage et des mathématiques qui émergent des planifications de leçons, des incidents

didactiques et de l’entrevue pourraient être déterminantes dans la précision de la posture

épistémologique adoptée par chaque stagiaire lors de sa pratique.

4.3 Conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des

mathématiques des stagiaires rencontrés

L’analyse de la réalisation et de l’entrevue semi-dirigée qui a suivi le cours ont permis de relever

pour chacun des stagiaires rencontrés ses conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et

des mathématiques. Elle permet donc de répondre à la troisième question de recherche : Quelles

conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques sont observables à

travers les postures épistémologiques adoptées par les stagiaires rencontrés durant leurs

pratiques d’enseignement?

4.3.1 Conceptions de l’enseignement des stagiaires rencontrés

Les conceptions de l’enseignement que nous avons observées lors de l’analyse des pratiques des

stagiaires rencontrés sont : l’enseignement est la transmission du savoir scolaire; tout contenu vu

en classe est supposé compris par l’élève; enseigner correspond à une exécution intégrale du

contenu planifié; l’enseignement consiste à susciter la mémorisation des connaissances par

l’élève. Nous revenons sur ces conceptions pour chaque ordre d’enseignement afin de réaliser une

synthèse.

4.3.1.1 Conceptions de l’enseignement des stagiaires de primaire rencontrés

Tous les stagiaires du primaire rencontrés manifestent les mêmes deux conceptions de

l’enseignement lors de leur réalisation en classe. Premièrement, ils conçoivent l’enseignement de

la fraction comme une transmission des connaissances. En effet, lors des incidents didactiques, ils

utilisent le style explicatif et font des commentaires empreints d’effets de contrat didactique (effet

Topaze, paradoxe du comédien) qui sont des illustrations de cette conception qu’ils ont de

l’enseignement. À l’exception de Poko, cette conception semble être confirmée par leur discours

lors des entrevues semi-dirigées.

243

Deuxièmement, ces quatre stagiaires conçoivent la mémorisation des définitions et des procédures

par les élèves dans leur approche d’enseignement. À la fin d’une activité mathématique, chacun

des quatre stagiaires de l’ordre primaire termine par un processus visant à faire énoncer la

procédure ou la définition mathématique à l’étude. En effet, le mode apport (Roditi, 2003) est utilisé

par ces stagiaires pour l’institutionnalisation des savoirs scolaires. Par la suite, ils répètent ou font

répéter plusieurs fois les conséquences mathématiques élaborées avant, pendant ou après la

prise dans les cahiers de cours des savoirs enseignés. Penda et Pélagie confirment cette

conception lors de l’entrevue. En effet, Penda affirme d’ailleurs que l’élève comprend une

procédure mathématique s’il arrive à la répéter. Pélagie confirme à l’entrevue sa volonté de faire

mémoriser les procédures par ses élèves. Nous donnons dans le tableau ci-dessous le nombre de

fois que des procédures ont été répétées en classe.

Tableau 13 : Nombre de répétitions de procédures dans les classes.

Stagiaires

du primaire Répétitions des procédures mathématiques

Nombre de

fois

Penda Procédures d’addition ou de soustraction des

fractions ayant des dénominateurs différents

9

Piga Procédures d’addition ou de soustraction des

fractions ayant des dénominateurs différents

Plus de 22

Pélagie Procédure de la multiplication d’une fraction par un

entier naturel

Plus de 14

Poko

Procédure de la division d’une fraction par un entier

naturel

5

Procédure de la division d’une fraction par une

fraction

4

Selon l’analyse de la réalisation, Pélagie semble la seule à exprimer que tout contenu vu en classe

est compris par les élèves. Elle confirme cette conception de l’enseignement lors de l’entrevue

semi-dirigée. Enfin Poko manifesterait lors de l’analyse de la réalisation la conception selon

laquelle l’enseignement consiste en une exécution intégrale du contenu de la leçon planifié.

Cependant, lors de l’entrevue, Penda et Poko sont les deux stagiaires à exprimer cette conception

de l’enseignement. Par exemple Poko, en pressant les élèves dans leur travail (septième incident

didactique), semble faire une course contre le temps en vue d’un achèvement du contenu à

enseigner. L’achèvement du contenu planifié semble constituer une des raisons de la non-

utilisation des travaux en sous-groupes par Penda et Poko.

244

Nous rapportons dans le tableau ci-dessous les conceptions de l’enseignement observées lors de

l’analyse des incidents didactiques dont certaines ont été confirmées par l’analyse des entrevues

qui ont suivi les réalisations de cours.

Tableau 14 : Conceptions de l’enseignement de la fraction des stagiaires du primaire rencontrés

Conceptions de l’enseignement

Stagiaires ayant manifesté ces conceptions

Lors des incidents didactiques

Lors de l’entrevue

Transmission des connaissances

Penda; Piga; Pélagie; Poko Penda; Piga; Pélagie

Contenu vu en classe est supposé compris par l’élève

Pélagie Pélagie

Exécution intégrale du contenu planifié

Poko Penda; Poko

Mémorisation des procédures

Penda; Piga; Pélagie; Poko Penda; Pélagie

4.3.1.2 Conceptions de l’enseignement des stagiaires de post-primaire rencontrés

Les quatre stagiaires du post-primaire conçoivent l’enseignement de la fraction comme une

transmission des connaissances. Sidi et Sana qui sont à leur première année d’enseignement

soutiennent cette vision lors de l’entrevue. Par exemple, au septième incident didactique, Sana

manifeste une conception transmissive dans son enseignement. Lors de l'entrevue, Sidi, en

déclarant « … j’ai repris en m’appuyant sur la formule, sur la règle qu’il faut compter, par exemple,

si on a deux chiffres, on a ça, donc j’ai repris en leur disant de compter à deux chiffres après la

virgule » (Annexe 5; Entrevue : L159-L161), semble une manifestation de sa conception

transmissive de l’enseignement. Dans cet extrait, Sidi semble également user de la répétition de

sa procédure pour écrire une fraction décimale sous forme d’un nombre décimal afin d’obtenir une

mémorisation de la procédure par ses élèves.

Sidi et Sylvie semblent structurer leur enseignement comme tout contenu mathématique vu en

classe est supposé connu. Par exemple, lors du quatrième incident didactique, Sylvie laisse

émerger cette conception de l’enseignement. Ces deux stagiaires semblent soutenir cette

conception lors de l’entrevue. En effet, chacun de ses stagiaires soutient que l’organisation du

travail individuel en classe serait en partie liée à leur volonté d’avancer dans le cours en classe.

245

Les quatre stagiaires du post-primaire rencontrés semblent rechercher l’achèvement du contenu à

enseigner dans le temps prévu afin de pouvoir évaluer et juger de l’atteinte de l’objectif de cours.

Ils développent cette conception lors de l’entrevue. Par exemple, Sana, Sylvie et Safi pensent

alléger le contenu de leur planification la prochaine fois afin d’achever le cours dans le temps

requis. Sana, le seul a manifesté cette conception de l’enseignement lors de la réalisation, n’a pas

fait certaines tâches mathématiques du contenu planifié dans le but d’avancer dans son cours. La

gestion des erreurs, les commentaires des stagiaires et l’organisation du travail font dire que les

stagiaires rencontrés du post-primaire semblent privilégier l’avancement dans le temps pendant

leur séance de cours. Cette préoccupation des stagiaires semble ainsi confirmer les résultats de

recherche de Bacon (2009) où la gestion du temps serait l’une des influences contextuelles qui

structurent les pratiques des stagiaires.

Nous rapportons dans le tableau ci-dessous les conceptions de l’enseignement observées chez

les quatre stagiaires du post-primaire lors de l’analyse des incidents didactiques et des entrevues

qui ont suivi les réalisations de cours.

Tableau 15 : Conceptions de l’enseignement de la fraction des stagiaires du post-primaire rencontrés

Conceptions de l’enseignement


Lors des incidents didactiques

Lors de l’entrevue

Transmission des connaissances

Sidi; Sana; Safi Sidi; Sana; Sylvie

Contenu vu en classe est supposé compris par l’élève

Sidi; Sylvie Sidi; Sylvie

Exécution intégrale du contenu planifié

Sana Sidi; Sana; Sylvie; Safi

Mémorisation des procédures

- Sidi

4.3.1.3 Synthèse

La conception selon laquelle l’enseignement correspond à la transmission des connaissances est

la plus dominante dans les deux ordres d’enseignement (8 stagiaires sur 8). Elle s’est manifestée,

entre autres, par la formulation des procédures par le stagiaire, par les commentaires producteurs

d’effet Topaze et par le choix des meilleurs élèves de la classe afin d’apporter les bonnes

246

réponses attendues. Or, les stagiaires du primaire déclarent avoir planifié leur leçon selon

l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI/PDSI) », une

approche de type socioconstructiviste selon le cours qu’ils ont reçu dans leur école de formation;

tandis que ceux du secondaire parlent d’une approche de redécouverte, dont le principe décrit

dans le cours en institution est de placer l’élève au centre de son apprentissage.

Comme Plante (2012), nous constatons que tous les stagiaires rencontrés n’accordent pas une

place plus grande à l’activité des élèves. Ils pensent, comme Robert, Roditi & Grugeon (2007) l’ont

montré, qu’il est suffisant de donner une procédure [règle] et de la commenter afin que tous les

élèves apprennent. Lorsque les élèves rencontrent une difficulté, ils apportent l’information utile

afin que les élèves trouvent la réponse attendue. Certains agissent, comme l’a montré Roditi

(2009), en apportant les bonnes réponses aux problèmes qu’ils posent lors de leur pratique. Ils

semblent croire que l'enseignement consiste à expliquer les choses aux élèves (Ambrose, 2004).

Le rôle de transmetteur des connaissances (DeBlois, 2012), qu’ils ont joué, semble révéler une

mise au centre du savoir enseigné dans leur pratique.

La mémorisation des procédures mathématiques semble surtout recherchée par cinq stagiaires,

dont quatre du primaire et un du post-primaire. Cette conception de l’enseignement pourrait

provenir de leur expérience d’ancien élève lors de la réalisation de la leçon. La recherche par les

stagiaires de la mémorisation immédiate des procédures mathématiques confirme un résultat

d’une étude d’Ambrose (2004). L’atteinte des buts de cours semble un catalyseur de cette

croyance. En effet, à la fin de chaque évaluation au cours d'une leçon, un décompte (une

estimation) des réussites est fait par tous les stagiaires rencontrés. Ces stagiaires croiraient que la

mémorisation des procédures pourrait apporter davantage de réussite.

Six stagiaires rencontrés, dont quatre du post-primaire, semblent croire qu’un bon développement

de pratique consiste en une réalisation intégrale du contenu planifié. Cette conception semble

amener deux stagiaires du post-primaire qui sont à leur deuxième année de stage à alléger le

contenu de leur leçon. Or, selon Robert, Roditi et Grugeon (2007), la baisse des exigences et la

mise en actes de scénarios risquent de priver les élèves d’apprentissages collectifs. La conception

selon laquelle l’enseignement correspond à une réalisation intégrale du contenu planifié lors de

leur séance de cours semble être due à une contrainte de la pratique de classe dans les deux

247

ordres d’enseignement : la vérification de l’atteinte des objectifs planifiés à la fin de la leçon, une

exigence de la pédagogie par les objectifs.

Enfin, une conception selon laquelle tout contenu mathématique enseigné en classe serait connu

des élèves apparaît dans les deux ordres d’enseignement (1 sur 4 au primaire et 2 sur 4 au post-

primaire). Les stagiaires qui manifestent cette conception semblent privilégier les savoirs à

enseigner prescrits dans les programmes d’enseignement et ne s’appuient pas sur les préacquis

des élèves dans leur pratique. Ils penseraient que le rappel des prérequis est suffisant pour que

l’élève construise de nouvelles connaissances.

Les différentes conceptions de l’enseignement, que les stagiaires rencontrés des deux ordres

d’enseignement ont manifestées lors de la planification, de la réalisation et de l’entrevue semi-

dirigée, sont illustratives de la posture de l’ancien élève qu’ils ont adoptée. Leurs conceptions de

l’apprentissage semblent une confirmation de cette posture qu’ils ont adoptée lors de leur pratique.

4.3.2 Conceptions de l’apprentissage des stagiaires rencontrés

L’analyse des pratiques des stagiaires rencontrés a montré deux conceptions de l’apprentissage.

Ce sont : assimilation de la réussite à la compréhension et la réussite de l’élève. Afin de faire une

synthèse, nous récapitulons pour chaque ordre d’enseignement les conceptions de ces stagiaires

sur l’apprentissage.

4.3.2.1 Conception de l’apprentissage des stagiaires du primaire rencontrés

L’analyse des incidents didactiques et de l’entrevue montre que les quatre stagiaires de l’ordre

primaire rencontrés semblent assimiler la réussite de leurs élèves à la compréhension. Par

exemple, lors de sa réalisation de cours, Pélagie manifeste cette conception lors du dixième

incident didactique où elle ne se préoccupe que de bonnes réponses. Lors de l’entrevue, Penda

confirme cette conception lorsqu’elle déclare : «Bon, je pense qu’il y a beaucoup qui ont compris

hein. Quand on a fait l’exercice d’évaluation, je pense qu’il y a beaucoup qui ont trouvé»

(Annexe 1; Entrevue : L241-L242).

Les commentaires explicatifs et les effets de contrat didactiques faits par Penda, Piga et Pélagie

semblent viser la réussite de leurs élèves. Par exemple, Penda et Pélagie font des effets Topaze

producteurs de réussite dans leur cours lors de leur deuxième incident didactique. Un effet Topaze

248

qui amène les élèves à trouver la réponse « deux quarts » attendue de Piga survient au cinquième

incident didactique. Piga serait le seul à confirmer cette conception de l’apprentissage lors de

l’entrevue. En effet, il déclare avoir organisé en classe un travail individuel dans le but de détecter

les réussites et les non-réussites.

Nous récapitulons dans le tableau ci-dessous les conceptions de l’apprentissage observées lors de

l’analyse des incidents didactiques et des entrevues qui ont suivi les réalisations de cours des

stagiaires de l’ordre primaire.

Tableau 16 : Conception de l’apprentissage de la fraction des stagiaires du primaire rencontrés

Conceptions de l’apprentissage


Lors des incidents didactiques Lors de l’entrevue

Assimilation de la réussite à la compréhension

Penda; Piga; Pélagie; Poko Penda; Piga; Poko

Vise la réussite Penda; Piga; Pélagie Piga

4.3.2.2 Conception de l’apprentissage des stagiaires du post-primaire rencontrés

Tous les stagiaires de l’ordre post-primaire rencontrés semblent assimiler la réussite de leurs

élèves à la compréhension. En effet, les réponses des tâches mathématiques ne sont pas

généralement suivies d’une demande de justification. En effet, Sidi, Sana, Sylvie et Safi semblent

respectivement développer cette conception lors de leurs deuxième, quatrième, premier et sixième

incidents didactiques. Sidi et Safi semblent avoir confirmé cette conception lors de l’entrevue. Par

exemple, Safi déclare avoir constaté que des élèves confondent « numérateur » et

« dénominateur ». Cependant, elle s’est contentée des bonnes réponses qui sont données.

Sidi et Sana semblent rechercher la réussite de leurs élèves lors de la réalisation de leur cours.

Par exemple, la production de l’effet Topaze par Sidi et Sana lors de leur troisième incident

didactique attesterait cette conception de l’apprentissage. Sana aurait confirmé cette conception

lors de l’entrevue, lorsqu’il souhaite apporter plus d’informations aux élèves afin qu’ils puissent

donner des propriétés mathématiques. Les propos de Sylvie et de Safi lors de l’entrevue semblent

également dire qu’elles recherchent la réussite de leurs élèves lors des réalisations de leur cours.

Par exemple, selon Safi, le temps et la lenteur des élèves, entre autres, auraient faussé son

attente à l’égard de ses élèves : la réussite de tous à l’évaluation.

249

Nous récapitulons dans le tableau ci-dessous les conceptions de l’apprentissage observées lors de

l’analyse des incidents didactiques et lors de l’analyse des entrevues qui ont suivi les réalisations

de cours des stagiaires de l’ordre post-primaire.

Tableau 17 : Conception de l’apprentissage de la fraction des stagiaires du post-primaire rencontrés

Conceptions de l’apprentissage



Assimilation de la réussite à la compréhension

Sidi; Sana; Sylvie; Safi Sidi; Safi

Vise la réussite Sidi; Sana Sana; Sylvie; Safi

4.3.2.3 Synthèse

Tous les stagiaires, quel que soit l’ordre d’enseignement, semblent assimiler la réussite et la

compréhension (Piaget, 1974). Cette conception semble amener les stagiaires à viser davantage

de bonnes réponses dans leur pratique. Elle semble soutenir le style explicatif pratiqué par tous les

stagiaires rencontrés. Afin de favoriser l’apprentissage, nous constatons comme Chouinard (1999)

que ces stagiaires semblent centrer leur pratique de classe sur les savoirs mathématiques « à »

enseigner que sur les besoins et les capacités de leurs élèves.

Trois stagiaires du primaire (3 sur 4) et tous les stagiaires du post-primaire (4 sur 4) donnent des

explications et font des commentaires. L’explicitation des procédures et les exemples illustratifs

faits en classe, entre autres, visent la réussite des élèves. La réussite (DeBlois, 2012) considérée

comme un apprentissage de l’élève est une conception proche de la précédente. Toutefois, elle

s’en distingue parce qu’elle semble liée à une pratique. L’atteinte d’un objectif de cours est fonction

du nombre de réussites à l’évaluation qui suit l’institutionnalisation d’une procédure. Les effets de

contrat didactique que nous avons observés lors des incidents didactiques prendraient leur origine

dans cette conception de l’apprentissage des stagiaires. Les conceptions de l’enseignement et de

l’apprentissage semblent avoir une influence sur les choix des tâches mathématiques proposées

par les stagiaires rencontrés. Ces tâches semblent révéler les conceptions des mathématiques de

ces stagiaires.

250

4.3.3 Conceptions des mathématiques des stagiaires rencontrés

Nous avons relevé lors des pratiques de classe des stagiaires rencontrés trois conceptions des

mathématiques des stagiaires rencontrés. Ce sont : les mathématiques sont considérées comme

transparentes; les mathématiques sont un ensemble de techniques; les mathématiques consistent

en une application de procédures. Nous relevons pour chaque ordre d’enseignement les

conceptions des mathématiques observées afin de produire une synthèse.

4.3.3.1 Conception des mathématiques des stagiaires du primaire rencontrés

Tous les stagiaires de l’ordre primaire rencontrés conçoivent les mathématiques comme une

discipline transparente. Par exemple, Piga et Pélagie semblent manifester cette conception

respectivement lors des septième et premier incidents didactiques dans leur réalisation de cours. À

l’entrevue, Penda manifeste cette conception, car elle explique que des exemples antérieurement

faits en classe sur la réduction des fractions au même dénominateur suffisent pour que les élèves

fassent un travail de réduction avant d’additionner les fractions ayant des dénominateurs différents.

Poko révèle également cette conception lorsqu’elle dit : « Je peux dire, il peut aller s’assoir et

suivre ce que l’autre va faire. Comme ça, quand on va donner l’exercice d’évaluation maintenant, il

va essayer de… » (Annexe 4; Entrevue : L61-L62). Pour elle, l’élève en regardant traiter un

exercice pourra comprendre et produire de bons résultats. Ce qui ne semble pas toujours vérifié.

Les mathématiques sont vues comme un ensemble de techniques par les quatre stagiaires du

primaire lors de leur pratique. En effet, Pélagie et Poko ont exprimé cette conception lors de la

réalisation de leur leçon. Par exemple, le calcul de « 4

3 3 » qui a été l’origine du troisième

incident didactique, Poko impose la technique de calcul qu’elle juge opportune « 34

3

» en

délaissant la proposition « 4

33 » des élèves. Toutefois, à l’entrevue nous n’avons pas eu une

confirmation de leur part de cette conception. C’est plutôt Penda et Piga qui ont manifesté cette

conception lors de l’entrevue. Par exemple, un exercice mathématique pouvant nécessiter une

démarche particulière dans la recherche d’une bonne réponse, Piga estime lors de l’entrevue que

la multiplicité des exercices peut aider les élèves à acquérir les connaissances utiles et par

conséquent, ils surmonteront leurs difficultés.

251

La recherche d’une application des procédures de calcul est observée lors des cinquième et

quatrième incidents didactiques intervenus respectivement lors des réalisations de cours de

Pélagie et de Poko. Cependant, l’analyse des planifications fait ressortir que tous les stagiaires

rencontrés ont planifié beaucoup d’opérations de calcul pour l’évaluation de la leçon. Ils semblent

ainsi rechercher une application des procédures de calcul lors de l’évaluation.

Nous récapitulons dans le tableau ci-dessous les conceptions des mathématiques observées lors

de l’analyse de la planification et des incidents didactiques et lors des entrevues qui ont suivi les

réalisations de cours des quatre stagiaires de l’ordre primaire.

Tableau 18 : Conceptions des mathématiques des stagiaires du primaire rencontrés




Transparence des mathématiques

Penda; Piga; Pélagie; Poko Penda; Piga; Pélagie;

Poko

Ensemble de techniques Pélagie; Poko Penda; Piga

Application de procédures Pélagie; Poko -

4.3.3.2 Conception des mathématiques des stagiaires du post-primaire rencontrés

Les quatre stagiaires du post-primaire semblent manifester la conception selon laquelle les

mathématiques sont transparentes. Par exemple, lors du quatrième incident didactique, Sidi, en

omettant de clarifier les termes « fraction et écriture fractionnaire » afin de permettre aux élèves de

reconnaître une fraction, exprimerait cette conception. La distinction de ces deux termes par l’élève

constitue un objectif de la leçon (cf. annexe 5; Contenu de la planification). Un autre exemple, lors

du sixième incident didactique, Sana semble traduire cette conception lorsqu’il déclare : « Donc, si

on vous donne une fraction et on vous dit d’écrire sous forme irréductible, vous devez savoir je

dois diviser par combien d’abord pour trouver. Donc ici au lieu de commencer par diviser par 2, 3,

non on commence par le plus grand. » (Annexe 6; Réalisation : L336-L338). En effet, la recherche

du plus grand commun diviseur des dénominateurs ne saurait être évidente pour les élèves de 7e

année de scolarité. Toutefois, aucun de ces stagiaires n’a confirmé cette conception lors de

l’entrevue.

Sidi et Sana semblent rechercher une application des procédures de calcul lors de leur pratique de

classe. En effet, Sidi produit un effet Topaze lors du troisième incident didactique lorsqu’il veut que

252

ses élèves appliquent une procédure qu’il a donnée en classe : « … on vous dit 1

13 ,5,12

0; or on

avait dit que 3,42 5,1 peut encore s’écrire sous cette forme [en indiquant1,5

42,3], donc vous

divisez seulement 13 par 1; 0 par 12,5… » (Annexe 5; Réalisation : L87-L89). Sana semble

manifester cette conception lors du cinquième incident didactique, et qu’il confirme lors de

l’entrevue semi-dirigée lorsqu’il déclare : « … quelqu’un d’autre pouvait dire que le tout multiplié

par trois me donne et il dit que les fractions sont égales. Là aussi, la personne a raison, mais en

ce moment la personne a multiplié, donc, pourtant on n’a pas besoin de la multiplication, c’est de la

division » (annexe 6; Entrevue : L157-L159). En visant l’application de la division du numérateur et

du dénominateur des fractions, il n’offre pas d’initiative aux élèves pour montrer l’équivalence de

deux fractions. Safi semble également exprimer cette conception lors de l’entrevue lorsqu’elle

déclare avoir des difficultés à rappeler les procédures nécessaires en contrôle des prérequis.

Toutefois, comme à l’ordre primaire, les quatre stagiaires du post-primaire ont planifié des

opérations de calcul pour l’évaluation, l’objectif recherché semblant être l’application des

procédures de calcul institutionnalisées.

Sidi et Sylvie semblent, lors de leur entrevue, concevoir les mathématiques comme un ensemble

de techniques à faire apprendre aux élèves. Sidi semble avoir recherché une procédure

conventionnelle pour la transformation d’un nombre décimal en fraction décimale. En effet, lors de

l’entrevue, il explique : « … l’écriture d’un décimal sous forme de fraction décimale, s’il y avait

quand même une règle pour permettre aux élèves… » (Annexe 5; Entrevue : L74-L75). Lors de

l’entrevue, Sylvie la manifeste ainsi : « … parce qu’il fallait prendre un exemple qui allait abonder

dans ce sens. Ils allaient simplifier jusqu’à deux fois pour trouver une fraction irréductible »

(Annexe 7; Entrevue : L55-L57). Elle semble dire qu’elle aurait donné certains types de

simplification lors de l’apprentissage, ses élèves feraient mieux à l’exercice d’évaluation qui a

révélé certaines de leurs difficultés.

Nous récapitulons dans le tableau ci-dessous les conceptions des mathématiques observées lors

de l’analyse de la planification et des incidents didactiques et lors de l’analyse des entrevues qui

ont suivi les réalisations de cours des stagiaires de l’ordre post-primaire.

2

1

6

3

253

Tableau 19 : Conceptions des mathématiques des stagiaires du post-primaire rencontrés




Transparence des mathématiques

Sidi; Sana; Sylvie; Safi -

Ensemble de techniques - Sidi; Sylvie

Application de procédures Sidi; Sana Sana; Safi

4.3.3.3 Synthèse

L’ensemble des stagiaires rencontrés (8 sur 8) semble développer une conception selon laquelle

les mathématiques sont transparentes. Cette conception les amène à présenter aux élèves les

bons résultats et à rechercher dans leur gestion des erreurs à apporter les bonnes réponses. Par

exemple, à l’ordre primaire, une explicitation des réponses est rarement donnée lors des

réalisations du calcul mental. À l’ordre post-primaire, l’absence de justification de la plupart des

réponses est illustrative de cette conception. La vision d’une mathématique transparente fait que

les stagiaires semblent privilégier la pratique par l’exemple. Ainsi, un exemple présenté par le

stagiaire ou par un élève semble suffisant, pour qu’à force de répéter, les élèves arrivent à de bons

résultats. Cette conception de mathématiques semble créer un automatisme chez l’élève, ce qui

ne correspond pas nécessairement à une compréhension du concept.

L’analyse des planifications montre que tous les stagiaires (8 sur 8) semblent rechercher

l’application des procédures institutionnalisées lors de leurs exercices d’évaluation. Cette

conception des mathématiques révélée dans les travaux de Noël et Mura (1999) est confirmée lors

de la réalisation de leçon ou lors de l’entrevue par deux stagiaires du primaire (2 sur 4) et trois

stagiaires du post-primaire (3 sur 4). Cette conception amène les stagiaires à formuler eux-mêmes

les procédures de calcul lors de leur réalisation de cours et à proposer plusieurs exercices rentrant

dans le cadre d’une application de ces procédures.

Enfin, les stagiaires du primaire (4 sur 4) et deux stagiaires du post-primaire (2 sur 4) laissent

observer une conception selon laquelle les mathématiques sont un ensemble de techniques, une

conception également relevés par les travaux de Noël et Mura (1999). Deux stagiaires du primaire

ont manifesté cette conception lors des incidents didactiques; tandis que les deux autres du

primaire et les deux du post-primaire l’expriment lors de l’entrevue. Cette conception des

254

mathématiques semble s’ériger en obstacle qui empêche les stagiaires rencontrés à s’intéresser

au cheminement de leurs élèves. Ils semblent privilégier leur manière de faire qui serait, selon eux,

adaptée à la réalisation et facilitée l’exécution de la tâche donnée. Leurs techniques qui semblent

s’imposer à eux seraient des reprises de ce qu’ils ont connu lors de leur apprentissage scolaire ou

universitaire ou lors de leur formation. Les trois conceptions des mathématiques (transparence des

mathématiques, ensemble de techniques, application de procédures) manifestées par les

stagiaires rencontrés semblent les amener à produire, entre autres, le style explication des savoirs

« à » enseigner, à rechercher la mémorisation des procédures et à proposer beaucoup

d’opérations de calcul.

4.4 En conclusion

Dans cette conclusion, nous apportons une réponse à notre question générale : « Quelles sont les

pratiques des stagiaires du primaire et du post-primaire dans leur enseignement de la fraction en

classe du cours moyen deuxième année (CM2) du primaire et en classe de sixième du post-

primaire? » Notre étude montre des formes d’adaptations des stagiaires rencontrés lors des

incidents didactiques (DeBlois & Maheux, 2005). Les adaptations normatives et d’évitement, qui

sont caractéristiques de la posture de l’ancien élève (Ndolly, 2012), sont manifestées par les

stagiaires de l’ordre primaire et un stagiaire de l’ordre post-primaire. Un stagiaire du post-primaire

manifeste uniquement une adaptation projective; tandis qu’une autre manifeste une adaptation

projective et une adaptation retirée. Ces adaptations sont caractéristiques de la posture de

l’enseignant (Ndolly, 2012) qu’ils ont adoptée à un moment de la réalisation de leur leçon. Une

stagiaire, en manifestant une adaptation d’évitement et une adaptation de retrait, alterne entre la

posture de l’ancien élève et celle de l’enseignant stagiaire, à un moment de la réalisation de sa

séance de cours. En disant « à un moment de la réalisation », nous nous référons à d’autres

éléments révélés par l’analyse de la planification, de la réalisation et de l’entrevue semi-dirigée,

comme les conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques des

stagiaires rencontrés, qui illustrent l’émergence de la posture de l’ancien élève.

Une conception de l’enseignement (l’enseignement consiste en une exécution intégrale du contenu

planifié) et une conception des mathématiques (les mathématiques consistent en une application

des procédures institutionnalisées) semblent à l’origine de l’émergence d’autres conceptions de

l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques. Les stagiaires rencontrés semblent, dès

255

la planification de la leçon, orienter le travail des élèves vers une application des procédures

mathématiques institutionnalisées, une conception des mathématiques révélée par les travaux de

Noël et Mura (1999). En effet, ils ont planifié beaucoup d’opérations de calcul, surtout pour

l’évaluation. La préoccupation d’achever le contenu de l’enseignement planifié oriente le choix des

tâches mathématiques, et la conséquence est que certains stagiaires rencontrés, surtout au post-

primaire, semblent avoir allégé les tâches. La recherche de la réussite (DeBlois, 2012), une

conception de l’apprentissage de l’élève, semble aussi être la cause de l’allègement des contenus

d’enseignement (Robert et al., 2007) lors de la planification par certains stagiaires de l’ordre post-

primaire rencontrés.

En plus de la recherche de la réussite des élèves, les stagiaires rencontrés semblent assimiler la

réussite de l’élève à sa compréhension (Piaget, 1974). Ils travaillent donc dans leur classe à

obtenir de bonnes réponses aux questions qu’ils posent. Par exemple, la production d’effet Topaze

(Brousseau, 1989, 2003) concourt à l’obtention d’une bonne réponse. Les stagiaires

communiquent les procédures mathématiques et les commentent dans le but de provoquer un

apprentissage des élèves (Robert et al., 2007). Ces deux conceptions de l’apprentissage

(assimilation de la réussite à la compréhension; recherche de la réussite) semblent à l’origine de la

recherche de la mémorisation des procédures mathématiques (Ambrose, 2004) par les stagiaires

du primaire rencontrés lors de la réalisation des cours.

La réalisation intégrale du contenu d’enseignement planifié, une préoccupation des stagiaires

rencontrés, semble les amener à apporter les bonnes réponses aux questions (Roditi, 2009) ou à

expliquer les notions aux élèves (Ambrose, 2004) lorsqu’une difficulté intervient. Le rôle de

transmetteur des connaissances (DeBlois, 2012) ainsi joué par ces stagiaires laisse émerger une

de leurs conceptions des mathématiques : les mathématiques sont transparentes. Cette

conception conduit les stagiaires à communiquer les procédures mathématiques et à accepter les

réponses sans justification dans leur pratique. Une autre conception des mathématiques, les

mathématiques sont un ensemble de techniques (Noël & Mura, 1999), semble générer chez les

stagiaires rencontrés des prises de décisions, comme le refus des manières de procéder des

élèves et une imposition de leurs propres procédures. Les deux conceptions des mathématiques

de ces stagiaires (les mathématiques sont transparentes, les mathématiques sont un ensemble de

techniques) ont eu, en reprenant l’expression de Bacon (2009), une incidence sur leur pratique

256

pédagogique en classe. En effet, une pratique hybride due à la présence de séquences

d’approche par les contenus et d’approche par les objectifs est révélée par notre étude. Les

stagiaires rencontrés semblent, selon des résultats de Chouinard (1999), se centrer sur les

contenus à enseigner plutôt que sur les besoins et les capacités des élèves.

Or, les stagiaires de l’ordre primaire rencontrés déclarent à l’entrevue avoir planifié et réalisé leur

leçon selon l’approche « Activity-Student-Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve

(ASEI/PDSI) »; tandis que ceux de l’ordre post-primaire écrivent dans leur planification la méthode

de « redécouverte », comme leur approche d’enseignement. Ces stagiaires semblent donc vouloir,

en regard de la description donnée dans les contenus de formation à l’enseignement des

mathématiques de chacune de ces deux approches d’enseignement/apprentissage, mettre l’élève

au centre de son apprentissage. Toutefois, leur pratique semble être sous l’influence de la

pédagogie par les objectifs qu’ils ont connue lors de leur cursus scolaire et lors de la formation à

l’institut et à leur lieu de stage. Ils visent l’atteinte de leurs objectifs de cours à la fin de leur leçon,

une exigence de la pédagogie par les objectifs. Les stagiaires rencontrés des deux ordres

d’enseignement semblent donc avoir surtout adopté la posture de l’ancien élève lors de leur

pratique.

257

CONCLUSION GÉNÉRALE

Dans cette conclusion générale, nous présentons brièvement et sous forme de rappel notre

problématique, notre méthodologie de recherche et les résultats de notre étude. Nous terminons

en évoquant des limites et des retombées de notre recherche.

Rappel de la problématique

Au Burkina Faso, les faibles performances des élèves particulièrement en mathématiques et en

français sont des causes de déperdition scolaire, car ces matières ont les plus forts coefficients.

Des études menées par l’inspection de mathématiques (1995) et par l’Office central des Examens

et Concours de Secondaire (2006) ont montré que les élèves des classes de 6e [7e année de

scolarité] de l’ordre post-primaire ont de faibles performances en mathématiques. Ces élèves

viennent des classes du cours moyen deuxième année [6e année de scolarité] de l’ordre primaire.

Nous avons voulu dans cette étude comprendre les pratiques des stagiaires sur l’enseignement de

la fraction dans les classes du cours moyen deuxième année [6e année de scolarité] et de 6e [7e

année de scolarité] afin de contribuer au développement de compétences des futurs enseignants

des ordres d’enseignement primaire et post-primaire sur l’enseignement de la fraction.

Des études ont été réalisées sur les pratiques d’enseignement des stagiaires et des enseignants

expérimentés (Bacon, 2009; Butlen et al., 2003; Chouinard, 1999; Coppé & Mouhayar, 2009;

Malabry, 2009; Novotná & Hošpesoná, 2009; Robert et al., 2007). Par exemple, Robert, Roditi et

Grugeon (2007) constatent que les stagiaires ont quelques difficultés à prendre en compte les

élèves lors de leurs pratiques de classes et à gérer le temps d’enseignement. Selon eux, ils

n’opèrent pas de changement significatif dans les activités mathématiques qu’ils tirent des

manuels et ils donnent des pistes de résolution aux élèves. Bacon (2009) montre que les stagiaires

demandent en classe un travail algorithmique plutôt qu’un travail conceptuel. Ces différents

résultats nous amènent à vouloir comprendre les pratiques de classe des stagiaires dans

l’enseignement de la fraction au Burkina Faso afin de mener une réflexion sur la formation initiale

des futurs enseignants qui pourrait contribuer à l’amélioration des résultats des élèves dans les

ordres d’enseignement primaire et post-primaire.

258

Nous combinons plusieurs théories et concepts développés dans l’enseignement et

l’apprentissage des mathématiques afin de comprendre les pratiques des stagiaires. Pour étudier

la complexité des tâches mathématiques planifiées et pour comprendre les erreurs conceptuelles

ou algorithmiques des élèves, nous nous référons à la théorie des champs conceptuels

développée par Vergnaud (1981, 1990). Certaines erreurs des élèves étant dues, à des obstacles

didactiques et épistémologiques, nous nous référons à la théorie des situations didactiques de

Brousseau (1986b). Cette théorie nous a permis de conjecturer sur la présence des phases d’une

situation de Brousseau (1986a) dans les planifications des stagiaires. De plus lors des réalisations

des leçons, des effets de contrat didactiques surviennent lors des interventions des stagiaires

(Brousseau, 2003). Les réalisations de cours ont été des occasions d’étude des incidents

didactiques survenus dans les classes des stagiaires (Roditi, 2003, 2005; Rogalski, 2003). Le

mode de gestion des incidents didactiques serait, entre autres, dû aux conceptions des

mathématiques des futurs enseignants. Les conceptions des mathématiques des futurs

enseignants (DeBlois, 2012; Noël & Mura, 1999) aident également à comprendre certaines

conceptions de l’enseignement et de l’apprentissage des mathématiques des stagiaires. Les

incidents didactiques sont à l’origine de la manifestation d’adaptations normatives, d’évitement,

projectives ou de retrait des stagiaires (DeBlois & Maheux, 2005). Ces adaptations sont

illustratives de la posture de l’ancien élève ou de l’enseignant que le stagiaire adopte lors de sa

pratique (Ndolly, 2012). Il en est de même de certaines conceptions de l’enseignement qui

semblent privilégier le savoir «à» enseigner, caractérisant ainsi la posture de l’ancien élève

(Savard, 2014).

En nous intéressant à la pratique des stagiaires sur l’enseignement de la fraction, nous avons

voulu limiter le contenu de notre cadre d’investigation à des études se rapportant aux différents

sens de la fraction, aux difficultés d’apprentissage de la fraction afin de mettre en lumière les

exigences de la transition primaire/secondaire. L’apprentissage de la fraction fait l’objet de

recherches particulières ces dernières années (Pantazi-Pitta et al., 2004). L’écriture symbolique de

la fraction constitue une difficulté particulière des élèves, car ils n’y voient que des entiers

juxtaposés ce qui les conduit à utiliser dans les opérations sur les fractions des procédures de

calcul sur les entiers naturels et sur les nombres décimaux; des procédures qui seraient des

sources d’obstacles épistémologiques (DeBlois, 2011; Ni & Zhou, 2005; Perrin-Glorian, 1986). Les

travaux en didactique des mathématiques montrent plusieurs interprétations de la fraction dont

259

l’introduction et l’ordre de présentation de ces interprétations constitueraient des sources de

difficultés pour l’élève (M. J. Behr et al., 1983; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Mercier &

DeBlois, 2004). Pour un meilleur développement des sens de la fraction, il faudrait amener les

élèves à maîtriser le fractionnement (M. J. Behr et al., 1983; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007)

avant d’insister sur les opérations d’addition, de soustraction et de multiplication et reporter pour

plus tard certaines opérations complexes comme la division d’une fraction par une fraction (Rosar

et al., 2007). Mercier et DeBlois (2004) suggèrent qu’un ordre d’introduction des sens de la fraction

soit observé dans la rédaction des manuels scolaires du primaire et du secondaire et qu’en outre,

les enseignants suivent cet ordre dans leur progression afin d’avoir un meilleur développement des

savoirs des élèves sur la fraction. L’ordre d’introduction de la fraction tiendra donc compte des

niveaux de développement de l’élève. L’élaboration des programmes d’enseignement des

mathématiques doit se référer aux résultats de recherche en didactique des mathématiques afin de

favoriser l’apprentissage de la fraction. La difficulté des élèves à comprendre les fractions

impropres peut être due aux modèles mentaux construits et aux activités organisées dans les

premiers stades de l'apprentissage des fractions (Hasegawa, 2000). Donc, la connaissance des

différentes interprétations de la fraction pourrait aider un stagiaire dans sa gestion des difficultés

d’apprentissage de ses élèves. Young et Zientek (2011) préconisent un renforcement de la

compréhension des futurs enseignants sur la fraction afin d’amoindrir leurs difficultés

d’apprentissage à l’enseignement de cette notion. Osana et Rayner (2012) proposent des aspects

fondamentaux à préciser pour une formation initiale à l’enseignement de la fraction, par exemple,

l’équipartition et la manipulation des parts (Mercier & DeBlois, 2004).

Sur la base des concepts développés dans notre cadre théorique, nous cherchons à comprendre

les pratiques des stagiaires du primaire et du post-primaire sur l’enseignement de la fraction. Nous

formulons une question de recherche qui est la suivante : Quelles sont les pratiques des stagiaires

du primaire et du post-primaire dans leur enseignement de la fraction en classe du cours moyen

deuxième année (CM2) du primaire et en classe de sixième du post-primaire? Nous la précisons

en trois sous-questions secondaires. Les réponses à ces questions secondaires permettent de

comprendre le problème qui nous préoccupe. Ces questions sont les suivantes :

260

Quelles sont les tâches mathématiques et la nature des situations d’enseignement

planifiées par les stagiaires rencontrés pour un apprentissage de la fraction au CM2 et en

sixième?

Quels sont les incidents didactiques et les types d’adaptation lors des réalisations de

leçons planifiées par les stagiaires du primaire et du post-primaire rencontrés?

Quelles conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques sont

observables à travers les postures épistémologiques adoptées par les stagiaires

rencontrés durant leurs pratiques d’enseignement?

Nous optons pour une étude de cas multiples sur les projets d’enseignement et d’apprentissage

sur la fraction planifiés par des stagiaires du primaire et du post-primaire, afin de mieux cerner

l’articulation possible dans la transition à ces ordres d’enseignement.

Rappel de la méthodologie de recherche

Nous avons opté pour une étude qualitative et nous avons pris comme méthode de recherche les

cas multiples. Quatre cas ont été étudiés pour chaque ordre d’enseignement [primaire et post-

primaire]. Nous avons étudié la planification et suivi la réalisation de la leçon planifié sur la fraction

de chacun des stagiaires de notre échantillon. À la fin de chaque réalisation, nous avons récupéré

des travaux faits par certains élèves et la planification [fiche] de leçon du stagiaire. Nous avons par

la suite transcrit huit enregistrements audiovisuels et huit enregistrements audio. Le choix s’est fait

sur la base d’informations que nous avons consignées dans notre journal de bord. Par exemple,

les classes dans lesquelles les réalisations de cours ont été perturbées sont écartées. Les

planifications de leçons, les transcriptions verbatim des réalisations du cours et des entrevues

semi-dirigées et quelques productions d’élèves ont fait l’objet de notre analyse descriptive et

interprétative dans le chapitre 3.

Rappel sur l’analyse des données

Les concepts développés dans le cadre théorique nous ont permis d'analyser l’approche

d’enseignement planifiée par le stagiaire et celle observée, les tâches mathématiques prévues et

celles faites dans la classe, les rôles prévus pour les acteurs [élèves et stagiaire] et ceux vécus

261

dans la classe. La description d’une planification a porté, entre autres, sur les informations

préliminaires données dans la planification [effectif de la classe, objectifs de la leçon, justification

de la leçon, approche d’enseignement prévue, formes d’organisation de la classe] et sur les tâches

mathématiques planifiées. De plus, les analyses ont porté, entre autres, sur la complexité des

tâches mathématiques et sur la nature des situations d’enseignement planifiées par les stagiaires

rencontrés.

Quant à l’analyse d’une réalisation, nous avons ressorti les incidents didactiques qui sont apparus

lors des activités du calcul mental et/ou lors de l’apprentissage des notions à l’étude sur la fraction.

Ces incidents didactiques ont eu un effet sur les pratiques d’enseignement des stagiaires. Des

adaptations ont été manifestées lors de certains incidents didactiques. Nous en avons fait un état

pour chaque cas à l’étude. Les différents incidents didactiques et les adaptations ont permis de

repérer les conceptions manifestés par les stagiaires rencontrés sur l’enseignement, sur

l’apprentissage et sur les mathématiques.

L’étude de l’entrevue a confirmé les conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des

mathématiques pour chaque stagiaire. Elle a également permis de connaître les compétences et

les difficultés d’ordre pédagogique ou didactique rencontrés lors de la planification et de la

réalisation de la leçon. Les résultats auxquels nous sommes parvenus dans le chapitre 3 nous ont

permis une discussion dans le chapitre 4 afin de répondre à notre question de recherche.

Rappel des résultats de l’étude

Les tâches mathématiques et la nature des situations d’enseignement planifiées

Les tâches mathématiques planifiées par les stagiaires de l’ordre primaire rencontrés sont

composées d’exercices de calcul et de problèmes. Toutefois, il y a une forte proportion

d’opérations de calcul. Plus précisément, à l’ordre primaire, les sens « partie-tout », « quotient »,

« nombre » et « mesure » semblent émerger des exercices et des problèmes planifiés. À l’ordre

post-primaire, les tâches mathématiques planifiées sont essentiellement des exercices de calcul.

Une seule des stagiaires de cet ordre d’enseignement a proposé un problème. En outre, c’est

essentiellement le sens « nombre » dans les opérations de calcul qui semble développé, avec une

préoccupation à l’égard de l’algèbre.

262

Les stagiaires de l’ordre primaire rencontrés se sont référés à l’approche « Activity-Student-

Experiment-Improvisation/Plan-Do-See-Improve (ASEI/PDSI) » pour planifier leur leçon. Les

caractéristiques de l’approche « ASEI/PDSI » décrite semblent l’illustrer comme une approche de

type socioconstructiviste (cf. analyse de l’entrevue de Penda, p. 97). Dans l’application de cette

approche, les stagiaires du primaire rencontrés prévoient une phase d’action avec des

manipulations d’objets et des tâches concernant la notion de fraction.

Les stagiaires de l’ordre post-primaire rencontrés ont planifié leur leçon en se référant à la

méthode de la « redécouverte ». Cette méthode pourrait également être qualifiée d’approche de

type socioconstructiviste, toutefois sa description donnée dans le cours des futurs enseignants

semble peu explicite (cf. analyse de l’entrevue de Sidi, p. 161). Dans l’application de cette

approche, les stagiaires rencontrés font des tâches essentiellement formelles. Un changement qui

pourrait influer sur la compréhension des élèves en classe de septième année de scolarité.

Les incidents didactiques et les types d’adaptation

Les erreurs et leur gestion sont des incidents didactiques vécus dans toutes les classes des huit

stagiaires rencontrés. D’autres formes d’incidents didactiques ont été observées dans certaines

classes. En effet, des désaccords entre les acteurs sont enregistrés dans deux classes du primaire

et dans trois classes du post-primaire. Des réponses incomprises ou incomplètes sont également

des incidents didactiques observés dans une classe du primaire et dans deux classes du post-

primaire. Tandis que la rupture de contrat didactique, une forme d’incident didactique, est vécue

dans une classe de chaque ordre d’enseignement. Enfin, le silence et la gestion du temps

didactique sont respectivement constatés dans une classe du primaire.

L’erreur et sa gestion sont les incidents didactiques qui ont été des causes d’adaptations des

stagiaires. En effet, tous les stagiaires rencontrés de l’ordre primaire ont manifesté des adaptations

normatives. De plus, deux stagiaires de cet ordre d’enseignement ont manifesté chacun une

adaptation d’évitement. Au post-primaire, les incidents didactiques ont été à l’origine des quatre

formes d’adaptation. En effet, un stagiaire a essentiellement manifesté des adaptations

normatives. Deux stagiaires ont manifesté une adaptation projective. Il en est de même de

l’adaptation de retrait. Enfin, l’adaptation d’évitement a été observée dans une classe.

263

Les conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des mathématiques

Les incidents didactiques ont été des occasions de repérer des conceptions de l’enseignement, de

l’apprentissage et des mathématiques des stagiaires rencontrés. Ces derniers ne mènent pas une

étude des erreurs. En effet, l’absence d’une exploitation des erreurs en classe, les commentaires

explicatifs, les discours emprunts d’effets de contrat didactique et le mode apport des stagiaires

dans l’institutionnalisation des savoirs enseignés sont la manifestation d’une conception d’un

enseignement de type transmissif manifesté par les huit stagiaires rencontrés. En plus de cette

conception de l’enseignement, quatre stagiaires du primaire et un stagiaire de l’ordre post-primaire

semblent rechercher dans leur pratique de classe la mémorisation des procédures de calcul. En

outre, la réalisation intégrale du contenu planifié dans le temps requis semble aussi faire l’objet

d’une préoccupation de six stagiaires, dont deux du primaire. Enfin, trois stagiaires dont un du

primaire considère que tout contenu mathématique vu en classe est compris des élèves.

Deux conceptions de l’apprentissage semblent être exprimées par les stagiaires rencontrés lors de

leur pratique. En effet, les huit stagiaires semblent assimiler la réussite des élèves à leur

compréhension. Tandis que sept stagiaires, dont trois du primaire et quatre du post-primaire,

semblent viser la réussite de leurs élèves. Cette conception de l’apprentissage pourrait avoir

comme corollaire la recherche de la mémorisation des procédures de calcul par les élèves ou

l’allégement du contenu d’enseignement.

En ce qui concerne les conceptions des mathématiques des stagiaires, notre étude montre que

tous les stagiaires rencontrés semblent exprimer deux conceptions des mathématiques : « les

mathématiques sont transparentes »; « les mathématiques consistent en une application des

procédures de calcul institutionnalisées ». En plus, quatre stagiaires du primaire et deux du post-

primaire semblent dire que les mathématiques sont un ensemble de techniques. Notre étude a

connu des limites qui ont certainement eu une influence sur les résultats. Quelles sont ces limites?

Les limites de l’étude

Les travaux réalisés par les élèves que nous avons récupérés présentent en majorité de bonnes

réponses. Cela a limité notre étude sur la compréhension de la gestion des erreurs par les

stagiaires. Une seule caméra, pour capter les actions des élèves et celles de l’enseignant lors de

264

ses déplacements dans les rangées, semble insuffisante, surtout dans une classe à grand effectif.

Des insuffisances dans l’enregistrement des informations ont donc été constatées, surtout sur les

productions des élèves. Si à son temps, nous avions réussi à capter en images le maximum des

travaux des élèves au fur et à mesure qu’ils effectuent les tâches mathématiques, nous n’aurions

pas besoin de récupérer leurs réalisations sur les feuilles de brouillon. À l’analyse, nous constatons

que certaines images auraient dû être prises afin d’améliorer nos propos sur les rôles et des

actions des stagiaires dans la classe.

Lors des entrevues semi-dirigées, certaines questions auraient pu être formulées afin de mieux

comprendre les choix pédagogiques des stagiaires et leurs conceptions de l’enseignement, de

l’apprentissage et des mathématiques. Notre posture d’inspecteur semble avoir influencé certaines

de nos questions. En effet, nous effectuons habituellement des visites-conseils et faisons passer

aux stagiaires des examens pratiques. Ces situations d’évaluation formative et d’évaluation

sommative lors du stage nous amènent à développer des jugements de valeur sur les pratiques de

classe. Ces jugements pourraient avoir influencé notre questionnement lors de l’entrevue. Pour

contrer cet effet, nous avons considéré des extraits des verbatim qui semblent au mieux être en

conformité avec les questions planifiées pour cette entrevue semi-dirigée.

Une seule leçon sur la fraction réalisée par stagiaire rencontré pourrait être restrictive de ce qu’on

peut observer sur les pratiques de celui-ci sur l’enseignement de la fraction. Le nombre de

pratiques observées ne semble pas permettre une généralisation des résultats obtenus.

Nonobstant ces limites, les résultats auxquels nous sommes parvenus en croisant l’analyse des

planifications, des réalisations et des entrevues semblent apporter des réponses à nos questions

de recherche. Ces résultats nous aident à comprendre les pratiques des stagiaires sur

l’enseignement de la fraction dans les classes de sixième et septième années de scolarité. Ils

contribuent également à une compréhension de la formation initiale des enseignants dans les deux

ordres d’enseignement primaire et post-primaire pour une amélioration de la transition

primaire/post-primaire au Burkina Faso.

265

Pertinence et retombées de l’étude

Pertinence sociale

Notre étude montre qu’à l’ordre post-primaire le sens « nombre » de la fraction est surexploité. De

plus, l’utilisation de tâches formelles avec une évolution vers l’algèbre est très présente. Les

difficultés de certains élèves de la classe de septième année de scolarité à suivre l’enseignement

dispensé nécessitent que le stagiaire utilise des manipulations d’objets concrets ou des

représentations géométriques afin de faire comprendre ces élèves. L’utilisation des approches de

l’ordre primaire pour amorcer l’apprentissage de la fraction pourrait donc être d’une utilité au post-

primaire. La formation initiale pourrait contribuer à mieux outiller les futurs enseignants du post-

primaire de certaines approches d’enseignement/apprentissage de la fraction connues à l’ordre

primaire.

Notre étude montre également que les stagiaires des deux ordres d’enseignement utilisent des

fiches pour la planification de leurs leçons. Il y a une fiche propre à chaque ordre d’enseignement.

Le remplissage de la fiche semble être balisé par les différentes rubriques qui la composent. Par

exemple une évaluation, entrant dans le cadre de la détermination du nombre de réussites pour

juger de l’atteinte d’un objectif du cours, reste toujours un contenu à planifier et à exécuter lors de

la séance de cours. Toutefois, pour chacune des fiches, l’anticipation sur la gestion des erreurs

des élèves ne constitue pas une exigence.

Enfin, notre recherche a permis d’observer les préoccupations partagées par les stagiaires des

deux ordres d’enseignement. En effet, ils ne semblent pas distinguer « comprendre et réussir »

dans leur pratique. Ils semblent par conséquent être préoccupés par le nombre de réussites à la fin

de la réalisation de leur cours. En outre, ils semblent être préoccupés par l’achèvement du cours,

le temps didactique. La forme actuelle de l’évaluation du futur enseignant à la fin de son stage

pourrait expliquer ces préoccupations comme l’évoque Bacon (2009). En effet, l'évaluation de la

pratique de classe au Burkina Faso semble prendre en compte, entre autres, ces préoccupations

citées.

266

Pertinence scientifique

Les stagiaires conçoivent les mathématiques comme un ensemble de techniques (Noël & Mura,

1999) ou une discipline transparente, ce qui pourrait expliquer la posture de l’ancien élève

privilégiée (DeBlois & Squalli, 2002) notamment lors des adaptations normatives (DeBlois &

Maheux, 2005). Notre recherche montre que les stagiaires du primaire développent surtout des

adaptations normatives et d’évitement; tandis que ceux du post-primaire montrent une plus grande

variété d’adaptations (normative, évitement, projective, retrait).

Retombées de l’étude

Le stagiaire semble demeurer dans sa posture de l’ancien élève, car celui-ci cherche à se

conformer aux prescriptions prévues en matière d’évaluation de son stage. Ces prescriptions

semblent parfois réduire ses marges de manœuvre dans la planification et la réalisation de son

cours. La prise en compte lors de l’évaluation de la pratique de classe de certaines initiatives du

stagiaire pourrait amener le dernier à se décentrer de sa posture de l’ancien élève. Par exemple,

des initiatives entrant dans le sens d’une recherche de la construction des connaissances

mathématiques par l’élève comme la gestion des erreurs et l’organisation de travail coopératif.

La recherche d’informations sur les acquis antérieurs des élèves par les stagiaires semble

absente, notamment au post-primaire. La formation initiale pourrait susciter cette recherche

d’informations dans les deux ordres d’enseignement en allant au-delà des contenus propres à

l’enseignement et à l’apprentissage des mathématiques restreints à chaque ordre d’enseignement.

Elle pourrait, par exemple, proposer des contenus de l’ordre primaire aux futurs enseignants du

post-primaire et vice-versa.

Le développement du sens « nombre » est beaucoup développé dans les pratiques des stagiaires

des deux ordres d’enseignement. Le programme de formation initiale des enseignants du primaire

et du post-primaire pourrait intégrer un module sur la fraction dans toutes ses interprétations. Outre

la recherche de la compréhension des différents sens de la fraction par les futurs enseignants, ce

contenu pourrait intégrer une analyse a priori de certains problèmes sur la fraction et une analyse

de propositions d’erreurs sur la faction. Ce contenu de formation qui entre dans le sens de

267

l’enseignement de la fraction pourrait améliorer la transition primaire/post-primaire dans

l’apprentissage des élèves sur la fraction.

La nécessité de donner plus de connaissances sur l’enseignement/apprentissage des

mathématiques au stagiaire afin qu'il adopte la posture de l’enseignant lors de ses pratiques de

classe nous amène à proposer qu’on repense la formation initiale au Burkina Faso. Une relecture

des programmes de formation qui vise à développer chez les futurs enseignants des

connaissances «sur» enseigner les mathématiques. Ces programmes d’enseignement pourraient

viser la formation du futur enseignant, entre autres, à l’utilisation d’approches et de stratégies

d’enseignement conformes à une notion mathématique à l’étude, à la compréhension des erreurs

des élèves et à la gestion des obstacles épistémologiques et didactiques. Ils pourraient ainsi

contribuer à un changement dans les conceptions de l’enseignement, de l’apprentissage et des

mathématiques exprimées par les stagiaires.

Enfin, une organisation du stage en alternance avec des cours en institut pourrait permettre aux

futurs enseignants d’échanger leurs expériences de terrain avec les formateurs en institut. Cet

échange pourrait se faire, entre autres, sur la gestion des erreurs des élèves de manière à

influencer le projet d’enseignement du stagiaire et par conséquent, son projet d’apprentissage

professionnel.

Perspectives de recherche

Nous avons évoqué dans notre recherche certaines questions telles que l’absence de gestion des

erreurs sur la fraction en classe et l’absence de la pratique d’un travail coopératif dans les

pratiques des stagiaires rencontrés. Nous posons donc deux questions de recherche future dont

les réponses pourraient être une aide aux futurs enseignants dans leurs tâches

d’enseignement/apprentissage de la fraction en particulier et des mathématiques en général.

Mener une étude sur la gestion des erreurs des élèves : Comment amener les futurs

enseignants à interpréter les obstacles didactiques et épistémologiques qui émergent des

erreurs des élèves dans l’apprentissage de la fraction dans les classes du primaire et du

post-primaire?

268

Mener une « recherche-formation » sur la pratique des travaux en sous-groupes dans les

classes à grands effectifs : Comment se développent les concepts mathématiques lorsque

les élèves travaillent en sous-groupes dans une classe à grand effectif?

Une étude pourrait aussi être menée afin de répondre à la question sur l’effet différentiateur

qui peut exister dans les apprentissages des élèves sur la fraction, lorsque cette notion est

différemment introduite dans des classes du cours moyen première année (5e année de

scolarité).

269

BIBLIOGRAGHIE

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279

ANNEXES

Annexe 1 : Cas Penda

1.1 Contenu de la planification

Classe : CM2

Effectif : 53

Durée : 1 heure

Thème : Les fractions.

Titre : L’addition et la soustraction des fractions

Justification : Les fractions sont étudiées de façon très abstraite dans les classes, rendant ainsi

son enseignement difficile. C’est pourquoi il est important de leur apprendre l’addition et la

soustraction des fractions.

Objectif : à l’issue de la séance, l’élève doit être capable de :

- effectuer des opérations d’addition et de soustraction sur les fractions.

Matériel : tableau, craie, éponge, feuille, bics, gomme, crayon

Document : livre de l’élève CM1-CM2, page 119.

Déroulement de la leçon

Étape / Durée Activités d’enseignement/Apprentissage

Point d’apprentissage Activités du maître

Activités de l’élève

Introduction

Calcul mental : - Dans un jardin il y a 64 pieds d’arbres et 44 pieds de goyaviers. Combien d’arbres y a-t-il en tout? - Dans une classe de 96 élèves, 56 élèves ont eu la moyenne. Combien d’élèves n’ont-ils pas eu la moyenne? - Papa a payé 150 boîtes de lait. Il a donné 50 boîtes de lait à son frère. Il lui reste combien de boîtes?

répondent sur les ardoises et montrent à la fin du temps.

Addition et soustraction des opérations

Révision : Réduis les fractions au même

dénominateur : 4

1 et

5

2;

7

3 et

2

1

répondent aux questions

Révision sur la réduction des fractions au même dénominateur.

Motivation : À la fin de la leçon, chacun doit être capable d’effectuer des opérations

280

portant sur l’addition et la soustraction des fractions

Développement

Consigne 1

5

2+

7

4;

2

1+

5

3+

3

2

En groupe, recopiez les opérations que vous avez devant vous. Échangez entre vous, faites l’addition et dites comment vous avez fait pour trouver la réponse.

Les élèves en groupes s’exécutent, recopient l’exercice, observent les dénominateurs si ils sont pareils avant de faire l’addition

Pour additionner des fractions, on les réduit au même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

Consigne 2

6

5-

4

3;

9

5-

5

2

En groupe, recopiez les opérations que vous avez devant vous et effectuez. Échangez entre vous et dites comment vous avez fait pour trouver la réponse.

Les élèves en groupes s’exécutent.

Pour soustraire des fractions, on les réduit au même dénominateur, on soustrait le plus petit numérateur du plus grand numérateur et on conserve le dénominateur.

Synthèse

Évaluation

Que peut-on retenir sur l’addition et la soustraction des fractions.

4

5+

7

4 et

9

7-

7

4

Quelle leçon nous venons de faire?

répondent oralement. répondent sur les ardoises. Avis des élèves

281

1.2 Transcription de la réalisation

Penda : Bien, vous prenez vos feuilles, feuilles sur la table; un bic ou un crayon; une gomme. Vous 1

posez devant vous. Vous écrivez vos noms à la marge. Vous n’avez pas besoin de mettre la date. 2

Ceux qui ont écrit la date aussi, il n’y a pas de problème. Vous savez bien que les fractions sont 3

utilisées, les enfants apprennent dans les classes aussi. 4

Els : Oui. 5

Penda : D’accord. Aujourd’hui nous allons [suite inaudible]. Donc aujourd’hui là nous allons 6

travailler sur ça [suite inaudible]. 7

Prenez vos ardoises; ardoises, craies, chiffons. [Elle donne des coups de règle sur sa table]. 8

Penda : C’est fini? 9

Els : Oui! 10

Penda : Ardoises, craies, chiffons. [Les élèves s’affairent à déposer le matériel voulu sur leur 11

table]. Coudes sur la table, les mains en l’air. Et vous écoutez. Dans un jardin, il y a 64 pieds 12

d’arbres et 44 pieds de goyaviers. Dans un jardin, il y a 64 pieds d’arbres et 44 pieds de goyaviers. 13

Combien d’arbres y a-t-il en tout? [Penda donne un 1er coup de règle sur la table à 01mn 58s et 14

quelques secondes après, un 2e coup à 2mn 08s]. On dépose les craies et on lève les ardoises. 15

Oui toi. 16

El : 108. [Penda jette un coup d’œil dans sa préparation]. 17

Penda : 108! C’est 108! 18

Els : Oui [de certains élèves]. 19

Penda : 108! 20

Els : Non [d’autres élèves]. 21

El : pieds d’arbres. 22

Penda : Ema vient écrire ça au tableau. 64+44. [Ema écrit 108 au tableau]. 23

Penda : Ceux qui ont trouvé, levez les ardoises je vais voir. C’est bien, baissez les ardoises. Ceux 24

qui n’ont pas trouvé, baissez les ardoises. Bien [en s’adressant à ceux qui ont trouvé]. Ceux qui 25

n’ont pas trouvé, corrigez. Corrigez vite! C’est corrigé? 26

Els : Oui. 27

Penda : Soulevez, je vais voir. C’est bien, baissez. Coudes sur la table! Dans une classe de 96 28

élèves, 56 élèves ont eu la moyenne. Dans une classe de 96 élèves, 56 élèves ont eu la moyenne. 29

Combien d’élèves n’ont-ils pas eu la moyenne? [À 03mn 21s, Penda donne un 1er coup de règle 30

sur la table avant même d’achever de dicter la question et à 03mn 27s, elle donne un 2e coup]. 31

Soa : Moi [en levant le doigt]. 32

Penda : Oui Soa. 33

Soa : 40 élèves. 34

Penda : 40 élèves ; oui, viens écrire. [Soa passe écrire 40 au tableau]. 35

282

Penda : Donc 96-56, ça fait? 36

Els : 40. 37

Penda : Levez les ardoises. Ceux qui n’ont pas trouvé, baissez. Baissez, ceux qui n’ont pas 38

trouvé. Tout le monde a trouvé? 39

Els : Oui. 40

Penda : C’est bien. On continue. Papa a payé 150 boîtes de lait, Papa a payé 150 boîtes de lait, il 41

a donné 50 boîtes de lait à son petit frère. [Elle tape sur la table à 04mn 14s en posant la question 42

ci-après.] Il lui reste combien de boîtes? [Elle donne le 2e coup de règle]. Levez les mains. Oui! 43

El : 100. 44

Penda : C’est bien. Viens au tableau. [L’élève passe écrire 100 au tableau]. Ceux qui ont trouvé? 45

Levez les ardoises! C’est bien. Baissez les ardoises. Ceux qui n’ont pas trouvé? Les gens qui n’ont 46

pas trouvé ici? C’est très bien. Ceux qui ont trouvé tout, 3 sur 3? 3 sur 3? C’est bien, baissez les 47

ardoises. 2 sur 3? 2 sur 3? C’est bien. 1; 1 sur 3? 1 sur 3? Tu as trouvé 1, ce n’est pas grave. 48

Désormais, tu peux mieux faire. Tu vas apprendre à calculer. C’est ça non! 49

El : Oui 50

Penda : Voilà. Maintenant, vous suivez au tableau. Voici un exercice que j’ai mis au tableau. Vous 51

allez réduire les fractions au même dénominateur. 52

El : Toutes les fractions? 53

Penda : Les fractions au tableau; réduire au même dénominateur. Réduis les fractions au même 54

dénominateur. 4

1et

5

2;

7

3et

2

1. [Elle circule dans la classe]. Mettez les résultats seulement, vous 55

n’avez pas besoin de formuler des phrases. [Pendant que les élèves travaillent individuellement, 56

Penda met d’autres fractions au tableau. Cet énonce sera caché par un rideau prévu à cet effet]. 57

C’est fini? 58

Els : Non! 59

[Penda circule et observe le travail des élèves]. 60

Penda : C’est fini? 61

Els : Non! 62

Penda : Ceux qui ont fini levez les mains je vais voir. Ceux qui ont fini? On attend un peu encore. 63

Vous pouvez vous aider, il n’y a pas de problème. Vous pouvez vous aider, ce n’est pas un devoir, 64

c’est un exercice. Vous pouvez vous aider. 65

Bien, nous allons passer à la correction [à 10mn 15s]. Nous allons passer à la correction. Oui, tu 66

viens [en désignant un élève. L’élève commence à traiter sans lire l’énoncé]. Il faut lire! 67

El : Un quart et deux cinquièmes. 68

Penda : Très-bien, un quart et deux cinquièmes. 69

El : 4

1=

54

51

= [10mn 45s] 70

283

1 fois 5 5 71

Penda : Vous suivez 72

El : 4 fois 5 20. [L’élève note le résultat et l’encadre]. 73

4

1=

54

51

=

20

5.

5

2=

45

42

= 74

2 fois 4 8; 5 fois 4 20; 75

5

2=

45

42

=

20

8. [L’élève note le résultat et l’encadre]. 76

Penda : Donc, ça fait 20

5et

20

8. [Un élève claque des doigts.] Oui, toi. 77

El : 3 septièmes et 1 demi. 78

3 multiplié par 2 sur 7 multiplié par 2 est égal [27

23

].

27

23

=

14

6[6 quatorzièmes]. 79

Est égal à [sous-entendu2

1]

72

71

=

14

7[7 quatorzièmes]. [Les résultats sont encadrés]. 80

Penda : C’est bien. Tout le monde a trouvé comme ça? 81

Els : Oui [réponse donnée en chœur]. 82

Penda : Qui n’a pas trouvé? Qui n’a pas trouvé? Levez les doigts franchement on va voir. [Elle 83

dénombre ceux qui n’ont pas trouvé]. C’est bien, prenez la correction. Mais désormais vous vous 84

entrainez. C’est compris? 85

Els : Oui. 86

Penda : Voilà! Prenez la correction. Tu veux changer de feuille [en s’adressant à un élève]? Non. 87

Si tu veux prendre la correction, tu prends la correction sur ta feuille seulement. C’est fini? 88

Els : Oui. 89

Penda : Très bien. Nous allons voir une autre leçon aujourd’hui sur les fractions. Donc, je vais 90

vous demandez de suivre; qu’à la fin de la séance je veux que tout un chacun de CM puisse 91

additionner, faire l’addition des fractions et la soustraction sur les fractions. Voici, je mets un autre 92

exercice au tableau. Vous allez essayer de faire l’addition de ces fractions. [À 14 mn 18s]. 93

[Penda écrit au-dessus des opérations qu’elle vient de dévoiler]. Addition des fractions : 94

5

2+

7

4;

2

1+

5

3+

3

2. 95

Sur vos feuilles. Vous essayez de faire l’addition de ces fractions, je vais voir. Vous additionnez les 96

fractions. [Penda lit l’énoncé]. Vous pouvez vous aider. Vous traitez ça sur vos feuilles. [Elle circule 97

et observe le travail fait individuellement ou en groupe par les élèves]. C’est fini? 98

Els : Non! 99

Penda : C’est un essai, c’est un essai. Vous essayez [à 18 mn 19 s]. [Elle contrôle le travail d’un 100

élève et apprécie] : C’est bien. [À 18mn 42]. C’est bien, vous avez essayé. C’est un effort, c’est 101

284

bien. On va faire la correction, on va voir. Tout le monde ne peut pas trouver. [Elle fait une lecture 102

silencieuse de ce qui est au tableau]. [À 20 mn 02 s, elle demande à un groupe d’élèves.] C’est 103

fini. 104

Els : Oui 105

Penda : Quels sont ceux qui ont fini? Levez les doigts, on va voir. [Elle constate le nombre de 106

doigts levés]. Donc, c’est bon, on va passer à la correction. Regardez les additions au tableau, on 107

vous demande de les additionner. Est-ce qu’ils ont les mêmes dénominateurs? 108

Els: Non. 109

Penda : Les fractions n’ont pas les mêmes dénominateurs et on demande de les additionner. Des 110

fractions qui n’ont pas les mêmes dénominateurs, on demande de faire les additions, comment on 111

peut faire? Hein! [Des élèves lèvent le doigt]. On doit faire quoi d’abord? Qu’est-ce qu’on doit faire 112

d’abord? Oui! 113

El : On doit les réduire au même dénominateur. 114

Penda : Très bien, on doit les réduire au même dénominateur avant de faire l’addition. Sinon, ce 115

n’est pas possible. Je vous ai dit que les fractions sont apprises de façon abstraite. On ne peut pas 116

très concrétiser, mais il y a des relations. Quand tu prends le cheminement tu peux aboutir au 117

résultat, c’est comme ça. Donc pour additionner ces fractions, il faut qu’on les réduise d’abord au 118

même dénominateur. 5

2+

7

4=… 119

Donc on va chercher un dénominateur commun d’abord, avant de les additionner. Si ils ne sont 120

pas au même dénominateur, on ne peut pas les additionner. Oui, comme je vois déjà des doigts en 121

l’air. Viens essayer on va voir. 122

El : 2 cinquièmes + 4 septièmes égal 2fois 7 + 5 fois 4 123

Penda : Oui 124

El : 5

2+

7

4=

75

72

=

35

14[oralement dit : 2 fois 7 14; 5 fois 7 35. Penda apprécie par des oui les 125

calculs faits par l’élève. L’élève va à la ligne et pose le calcul ci-dessous]. 126

7

4=

57

24

=

35

8. [L’élève parle en faisant ses calculs. Ensuite l’élève pose le calcul ci-dessous]. 127

35

14+

35

8=

75

22[14+8=22; 35+35=75] 128

Penda : Non. Est-ce qu’on additionne les dénominateurs? 129

Els : Non! 130

Penda : On additionne les numérateurs entre les numérateurs et on laisse le dénominateur 131

commun. Voilà! [L’élève qui est au tableau apporte la correction à ce qu’il a écrit. 35

14+

35

8=

35

22]. 132

Merci [en s’adressant à l’élève qui était au tableau]. Donc quand vous êtes devant une fraction de 133

ce genre, on additionne, quand vous finissez de réduire au même dénominateur, vous additionnez 134

les numérateurs entre les numérateurs et vous laissez le dénominateur commun qui est 35. C’est 135

285

comme ça. Tu cherches le dénominateur commun des fractions. Quand tu trouves le dénominateur 136

commun, tu additionnes les numérateurs entre les numérateurs et tu laisses le dénominateur. On 137

ne touche pas au dénominateur. On ne touche pas au dénominateur. On laisse le dénominateur 138

commun, c’est les numérateurs seulement on additionne. C’est compris? 139

Els : Oui. 140

Penda : Voilà, donc on passe à l’exercice suivant : 2

1+

5

3+

3

2=. [Elle fait une lecture du calcul à 141

faire, puis le réécrit un peu plus bas]. 142

Oui [pour désigner un élève], tu viens. 143

El : Ça va faire : 351 144

Penda : Onhon! 145

El : Elle écrit : 2

1+

5

3+

3

2=

352

351

146

Penda : Très bien. Suivez bien hein, suivez. 147

El : 2

1+

5

3+

3

2=

352

351

=

30

15 148

Penda : Très bien, donc elle a cherché un dénominateur commun. Oui, tu continues. Plus 149

combien? Il faut tirer le rideau pour gagner l’espace. Tu amènes ça à droite. [L’élève encadre le 150

résultat 30

15 avant de poursuivre. Et après des hésitations, elle note : 232 au numérateur. 151

Soit : 30

15=

232 . Des élèves lèvent le doigt pour aller au tableau]. 152

Els : Moi, moi… 153

Penda : Sabine va l’aider on va voir. 154

Sabine : 323 . 30

15=

325

332

155

Penda : C’est bien. À ta place et tu suis [en s’adressant à celle qui était auparavant au tableau]. 156

Sabine : 30

15=

325

332

=

30

18. 157

Penda : Très bien. [Sabine encadre le résultat30

18]. 158

Sabine : Je vais faire 522 ; puis 532 . [Mais elle écrit : 523

322

. Éloi intervient 159

immédiatement]. 160

Éloi : C’est 5; en haut c’est 5. 161

Penda : C’est bien. En haut tu as dit 322 , tu as écrit 2, c’est 5; en haut. [Sabine efface le 2 au 162

milieu et écrit 5]. 163

286

Éloi : Ce n’est pas là-bas, c’est le 3. 164

Penda : C’est bon, écrit 5 là-bas. [Elle n’a pas tenu compte de la proposition de l’élève. Sabine 165

obtient donc la fraction suivante : 325

352

=

30

30. Penda se rend compte de l’erreur et apporte une 166

correction]. 167

Penda : Non! 2 fois 5 fois? Non! 2 fois 5 fois 2; 2 fois 5 fois 2. 168

Éloi va monter là où Sabine doit apporter la correction. 169

Penda : Bien, on calcule maintenant. 170

Sabine : 325

252

=

30

20. 171

Sabine encadre le résultat obtenu. 172

Penda : Très bien. Donc on a réduit les fractions au même dénominateur. On fait quoi maintenant? 173

Sabine : 15 trentièmes + 18 trentièmes +20 trentièmes. [Elle écrit : 30

15+

30

18+

30

20=] 174

Penda : Formidable! Donc, vous voyez, il y a des gens qui ont commencé à faire les additions 175

sans réduire au même dénominateur, j’ai vu ça sur les feuilles. Et pourtant vous avez fait la 176

réduction au même dénominateur? C’est vrai non? 177

Els : Oui. 178

Penda : Vous avez vu ça? [À 30 mn 56 s]. 179

Els : Oui! 180

Els : Non! 181

Els : Oui! 182

Els : Non! 183

[Il n’y a pas d’unanimité dans la classe pour une réponse] 184

El : Réduction au même dénominateur, on a vu. 185

Els : Non! 186

El : On a vu. 187

Penda : Mais, vous n’avez pas vu, comment vous faites pour traiter ça? Donc vous n’avez pas 188

appris dans l’air! 189

El : On a fait ça au CM1. 190

Penda : On a fait au CM1; il y a d’autres qui ont fait au CM1; il y a d’autres qui ont fait au CM2. Il y 191

a d’autres qui ont vu au CE2 aussi? 192

Els : Non 193

Penda : Ah bon! C’est que vous … [suite murmurée, donc inaudible]. Ah! C’est l’addition des 194

fractions vous n’avez pas vu, sinon vous avez vu comment on réduit les fractions au même 195

dénominateur. [À 31 mn 38 s]. 196

287

Els : Oui. 197

Penda : C’est l’addition des fractions vous n’avez pas encore vu et c’est ça nous sommes en train 198

de faire, comment on peut faire. Ou bien? C’est ça non! 199

Els : Oui. 200

Penda : Sinon vous avez vu, on vous a montré comment on réduit les fractions au même 201

dénominateur. C’est maintenant comment on additionne les fractions, c’est ça vous ne connaissez 202

pas. Et c’est ça, nous sommes en train de faire. Qui a trouvé? Qui a trouvé? Eh, donc personne 203

n’a trouvé! [À 31 mn 54 s] 204

Els : Non! 205

Penda : Euh, donc personne n’a trouvé? 206

El : C’est pierre [pour dire que c’est dur]. 207

Penda : C’est pierre, ah bah! 208

El : C’est une pierre. 209

Penda : Ok, il n’y a pas de problème. Donc, ceux qui n’ont pas trouvé, vous prenez la correction. 210

Prenez la correction. Donc, maintenant si on vous donne un exercice maintenant sur l’addition des 211

fractions vous pouvez trouver non? On vous a dit qu’on les réduit au même dénominateur, c’est ça 212

non? 213

Els : Oui 214

Penda : On additionne les numérateurs entre eux et on laisse le dénominateur commun. On ne 215

touche pas au dénominateur. Tout le monde sait ce qu’on appelle un numérateur et ce qu’on 216

appelle un dénominateur non? 217

Els : Oui. 218

Penda : Voilà! Vous prenez la correction. 219

[Pendant que les élèves prennent le corrigé, Penda met un exercice au tableau]. 220

Vous prenez la correction. Prochainement, si on vous donne un exercice sur l’addition des 221

fractions, vous les réduisez au même dénominateur d’abord. Si vous finissez de les réduire au 222

même dénominateur, vous additionnez les numérateurs entre eux et vous laissez le dénominateur 223

commun. On n’additionne pas les dénominateurs, c’est les numérateurs seulement. [Elle circule et 224

contrôle la prise du corrigé]. 225

Il y eut des échanges entre elle et un élève. Tu avais mis combien? Tu avais mis combien avant? 226

[Réponse inaudible de l’élève]; 2 [une répétition de Penda]. 20? Ici tu avais mis combien? Mais 227

pourquoi tu as corrigé? Je dis on ne corrige pas. La correction, on prend ça en bas. Ce que tu as 228

fait tu laisses ça et tu prends la correction ici. Pourquoi vous voulez remodifier ça pour corriger en 229

même temps? Han! Si tu n’as pas trouvé, tu n’as pas besoin de passer le bic pour corriger. On 230

prend la correction en bas. Ce que tu avais essayé de faire, tu laisses ça. On est d’accord? 231

Els : Oui. 232

Penda : Voilà! 233

288

[Un élève se déplace au tableau pour montrer une erreur commise. Il s’en est suivi un échange 234

entre l’élève et Penda]. 235

Penda : 4 fois 5, ça fait combien? Non, c’est 4 fois 2. 236

[L’élève insiste et montre la source de l’erreur. Penda l’écoute.] 237

El : 7

4=

57

54

=

35

20 238

Penda : Ah là, c’est vrai hein! [Certains élèves manifestent leur satisfaction]. 239

Ici, c’est 5, c’est pas 2. C’est vrai hein, c’est 20 sur? Très bien, c’est 20 sur 35. Qui a corrigé çà? 240

C’est 20 sur 35, corrigez. Moi-même, je n’ai pas fait attention. C’est 4 5. C’est 20 sur 35. 4 5; 7241

5. [Un autre élève va porter toutes les corrections qui s’imposent dans les étapes du calcul]. 242

Voilà, il faut mettre là-bas aussi là. C’est là-bas, j’ai dit 20 sur truc là. Et vous corrigez maintenant 243

le reste. Ça fait 20 et puis 14. Ça fait35

34 au lieu de combien là? 244

El : 35

22 245

Penda : Voilà. Ça fait 20 sur 35 et 14 sur 35, donc ça fait 34 sur ? 34 trente-cinquièmes. 246

C’est fini? 247

El : Oui. [À 37 mn 56 s]. 248

Penda : [Après avoir bien contrôlé ce qui est au tableau.] Voilà! [Un élève manifeste pour dire qu’il 249

y a une autre erreur au tableau]. Où ça? Il faut aller montrer on va voir. [Il montre 2 dans le calcul 250

332 ]. Non, ce n’est pas 3, c’est 2. C’est 2. [L’élève retourne à sa place, mais il ne semble pas 251

convaincu]. C’est fini? 252

Els : Non! 253

[Tibi se déplace au tableau pour montrer quelque chose]. 254

Penda : C’est 3, elle a écrit. [Un autre élève intervient]. 255

El : 3 et puis 2. 256

Penda : [Penda réécrit correctement 325

332

.] Vous voyez maintenant? C’est fini non? 257

Els : Oui. 258

[Tibi échange avec la stagiaire. Son attitude traduit un désaccord sur quelque chose au tableau]. 259

Penda : Elle a renversé seulement les chiffres, sinon c’est comme ça. [Un instant après, elle va au 260

tableau pour mieux se faire comprendre]. C’est la même chose; ça donne les mêmes résultats. 261

[Elle écrit 323 et 325

323

]. Ça ne donne pas les mêmes résultats? 262

289

Maintenant, vous allez traiter cela on va voir. Si on a :6

5-

4

3,

9

5-

5

2. Vous traitez ça nous allons voir; 263

6

5-

4

3,

9

5-

5

2. Vous vous dépêchez un peu. 264

Vous avez rectifié la correction là : 35

20. 265

Els : Oui. 266

Penda : [Elle circule dans les rangées et contrôle le travail des élèves. Elle échange avec certains 267

élèves.] On se dépêche un peu. Il y a des gens qui ont fini? 268

Els : Oui. 269

Penda : Levez les doigts ceux qui ont fini, on va voir. On se dépêche un peu [À 46 mn 06s]. Il y a 270

des gens qui ont fini. On va faire la correction. [À 47mn 45s]. 271

Els : Oui. 272

Penda : [À 48mn 06s]. Oui, passe au tableau, on va faire la correction. Suivez! 273

El : 46

45

=

24

20

64

63

=

28

12 274

Els : Ce n’est pas comme ça. Ce n’est pas comme ça. 275

Penda : 64 ? 276

Els : 64 =24, 63 = 18. 277

El : 64

63

=

24

18

24

20-

24

18=

24

2. 278

Penda : 20-18=2; très bien. Oui! 9

5-

5

2. 279

El : 9

5-

5

2=

59

55

=

45

25.

5

2=

95

92

=

45

18. Donc je fais :

45

25-

45

18 280

Penda : Il faut aller en bas, sinon comme ça là, ça sera… Tu continues en bas. 281

El : 45

25-

45

18=

45

7 282

Penda : Donc 25-18=7. Qui a tout trouvé? Ceux qui ont tout trouvé? 283

Els : Presque la totalité de la classe lève le doigt. 284

Penda : C’est sûr? 285

Els : Oui. 286

Penda : Bravo à vous alors. 287

El : On fait un ban. 288

Penda : S’il y a d’autres qui n’ont pas trouvé, prenez la correction. Il y a des gens qui n’ont pas 289

trouvé? Levez les doigts on va voir. Qui n’a pas trouvé? Franchement, honnêtement, levez les 290

290

doigts. Combien de personnes? Ce n’est pas grave, corrigez. Prenez la correction. Donc vous 291

voyez que même si les fractions n’ont pas les mêmes dénominateurs, on peut les réduire au même 292

dénominateur et les additionner ou les soustraire. 293

Els : Oui. 294

Penda : Donc, à chaque moment c’est la même chose. Comme on a dit pour l’addition, quand 295

deux fractions sont de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur et on 296

additionne les numérateurs entre eux et on garde le dénominateur commun. C’est la même chose, 297

pour soustraire des fractions aussi, on les réduits au même dénominateur; si elles ne sont pas au 298

même dénominateur, on les réduit au même dénominateur, on garde le dénominateur commun, on 299

additionne les numérateurs et les numérateurs. Mais, maintenant, est-ce que les numérateurs, on 300

doit les additionner ou les soustraire au hasard? 301

El : Non! 302

Penda : Donc, on prend du plus grand au plus petit. On prend le plus grand et on soustrait avec le 303

plus petit. Donc, qu’est-ce que vous retenez maintenant sur l’addition et la soustraction des 304

fractions? Qu’est-ce que vous retenez? On a dit quoi? Oui! 305

El : Pour additionner des fractions, on doit les réduire au même dénominateur avant d’additionner. 306

Penda : Avant d’additionner quoi? Oui. [Un autre élève fut interrogé] 307

El : Pour additionner des fractions, on les réduit au même dénominateur, on soustrait les 308

numérateurs et on garde le dénominateur commun. 309

Penda : Ça c’est la soustraction. Je dis pour additionner d’abord. Pour additionner des fractions? 310

El : Pour additionner des fractions, on les réduit au même dénominateur, on additionne les 311


Penda : Très bien. [Elle recopie la règle sur l’addition des fractions au tableau]. Et pour les 313

soustraire on fait comment? Pour soustraire, pour soustraire des fractions, on dit comment on fait. 314

Els : Moi, moi, moi… 315

Penda : Oui, toi. 316

El : Pour soustraire des fractions, on les réduit au même dénominateur et on soustrait les 317

numérateurs entre eux… 318

Penda : Et on fait quoi? 319

El : Et on soustrait les numérateurs entre eux et on laisse le dénominateur commun. 320

Penda : Et on garde le dénominateur commun. 321

[Penda recopie la règle sur la soustraction des fractions au tableau. 322

Pour additionner des fractions, on les réduits au même dénominateur, on additionne les 323


Pour soustraire une fraction d’une faction, il faut les réduire au même dénominateur, soustraire le 325

plus petit du plus grand numérateur et conserver le dénominateur commun.] 326

Penda : [À 59mn 48s]. C’est quelle leçon, on vient de voir? 327

291

Els : Arithmétique. 328

Penda : C’est bien. Arithmétique : L’addition et la soustraction des fractions. [Le titre est mis au-329

dessus des règles qui sont déjà notées. À 01 h 01mn 40s, Penda fait une lecture des règles. Cette 330

lecture est suivie d’une lecture par un élève.] 331

On va prendre ces exemples : Ex : 5

2+

7

4=

75

72

+

57

54

=

35

14+

35

20=

35

34 332

6

5-

4

3=

46

45

-

64

63

=

24

20-

24

18=

24

2. 333

[Penda met ensuite des exercices de calcul au tableau]. 334

[À 1h 06mn08s] Vous traitez ça sur vos ardoises, on va voir : 4

5+

7

4;

9

7-

7

4. On fait ça sur les 335

feuilles là. Quand je dis ardoises là, c’est les feuilles. 336

Els : Sur les feuilles, sur les feuilles… 337

Penda : Oui, oui les mêmes feuilles là. Faites l’addition et la soustraction. Ça doit être vite. Si c’est 338

compris, en tout cas ça doit être vite ou bien? Donc, 2 minutes ça va non? [À 1h 07mn 49s]. 339

Els : Oui 340

Penda : Je sais qu’il y a déjà des gens qui ont déjà fini. [À 1h 09mn 16s]. C’est fini en s’adressant 341

à un élève. 342

El : Oui. 343

Penda : Ça doit être vite hein! [Elle contrôle le travail des élèves]. 344

Penda : Qui a fini encore? [À 1h 11mn 16s]. Je pense qu’on va corriger il y a beaucoup de gens 345

qui ont terminé maintenant. [À 1h 11mn 55s, elle désigne un élève pour le tableau]. On suit au 346

tableau. 4

5+

7

4 347

El : 4

5+

7

4. 348

Penda : [Elle répète] 4

5+

7

4. Oui. 349

El : 4

5+

7

4=

74

75

=

28

35+ 350

47

44

=

28

16 351

28

35+

28

16=

28

51 352

[Penda désigne un autre élève pour le tableau.] 353

El : 9

7-

7

4=

79

77

=

63

49. 354

292

Penda : C’est bon, on n’encadre pas d’abord. 355

El : 9

7-

7

4=

79

77

=

63

49= 356

Penda : Non, pourquoi tu mets égal là-bas? Viens en bas : 4 sur 7 =; 4 septièmes = 357

El : 7

4=

97

94

=

63

36 358

63

49-

63

36=

63

13 359

[Penda suit attentivement le calcul fait au tableau.] 360

Penda : Qui a trouvé les ... [inaudible]? Ceux qui ont fini? [Beaucoup d’élèves lèvent le doigt.] 361

C’est sûr? 362

Els : Oui. 363

Penda : C’est sûr que tout le monde a trouvé ça? 364

Els : Oui. 365

Penda : Qui n’a pas trouvé? Qui a trouvé 1? 4 personnes. Qui n’a rien trouvé? Qui n’a rien trouvé? 366

Qui n’a rien trouvé? [Des élèves disent Rokia]. Tu lèves le doigt, on va voir. Qui n’a rien trouvé? 367

Onhon; OK! Vous prenez, ceux qui n’ont rien trouvé, vous prenez la correction. Désormais, je sais 368

qu’il n’y aura plus de problème pour additionner des fractions. 369

Els : Oui. 370

Penda : Pour faire une soustraction aussi. Voilà! Prenez le résumé [les règles de calcul] au 371

tableau. 372

293

1.3. Transcription de l’entrevue

CH : Rebonjour, 1

Penda : Bonjour 2

CH : Ça va? 3

Penda : Ça va bien 4

CH : D’accord, donc nous avons pu suivre votre prestation en classe, au CM2. C’est pour pouvoir 5

poser quelques questions par rapport à votre prestation et comprendre certaines choses. 6

Comment avez-vous la séance de cours? 7

Penda : Bon! Comme c’est un début et puis on n’arrive pas, puisque quand nous faisons des 8

observations au moment du stage pratique, on n’arrive pas au CM2, on se limite au CM1 9

seulement. Voilà, donc les phases d’observation et de pratique, ça se limite au CM1. On n’a pas 10

trop de notions aussi, et comme c’est pour une première fois, vraiment [rire], j’ai essayé de faire 11

mon mieux seulement quoi, voilà. 12

CH : Bon! en amont parlant, avez-vous eu des difficultés pour préparer la leçon, à savoir des 13

difficultés d’ordre pédagogique ou bien d’ordre didactique pour la préparation de la fiche 14

pédagogique? 15

Penda : Bon! Comme c’est une nouvelle approche, l’année passée, la formation, c’est l’ancienne 16

méthodologie on a suivi. 17

CH : Eh, l’ancienne méthodologie, qui consistait à quoi? 18

Penda : L’ancienne méthodologie, puisque il y a une petite différence, voilà! Puisque là-bas, quand 19

tu finis révision, motivation, tu pars à la phase concrète, phase semi-concrète, phase abstraite. 20

Donc, les procédures, ce n’est pas pareille. Et puis, la nouvelle approche là, ça prend un peu de 21

temps. La préparation aussi, vous voyez que les fiches là, j’ai combiné ça beaucoup. Voilà, et puis 22

c’est quelque chose, on n’a jamais fait. Ça même, c’est une première fois. Même la pratique que 23

j’ai faite dans les autres classes, je n’ai pas fait ça. 24

CH : Ce n’est pas vrai! Pourquoi, vous avez choisi de faire ça? 25

Penda : Comme on a dit que c’est ça qui doit être à l’application, moi aussi j’ai, puisque l’année 26

passée on nous a parlé de ça, que cette année, normalement c’est ça qu’on doit pratiquer. Comme 27

jusque-là, nous, on n’a pas encore commencé ça, j’ai profité essayer avec l’approche en même 28

temps. Puisque, il y avait eu l’autre formateur, lui, il nous avait remis un document sur ça, Voilà, 29

donc je me suis basé sur ça un peu et j’ai préparé mon cours. 30

CH : Cette approche, comment ça s’appelle? 31

Penda : ASEI-PDSI. C’est ça j’ai essayé de pratiquer. Comme, on a dit, toute chose ça s’apprend, 32

et que nous sommes en stage, voilà, c’est mieux de profiter s’il y a l’occasion pour pouvoir 33

s’adapter un peu. Je sais tôt ou tard, nous allons rentrer dedans. Voilà, comme notre école aussi, 34

ils ont pris ça comme une école pilote aussi encore. J’ai jugé bon de pratiquer, faire l’essai en 35

même temps. 36

CH : Mais, la difficulté pratiquement, c’est quoi? C’est lié à quoi? Votre difficulté pédagogique et 37

d’ordre didactique sur la fraction précisément. Qu’est-ce vous avez eu comme difficultés à préparer 38

ce cours-là? 39

294

Penda : Bon, notre difficulté en tout cas, ici comme c’est l’abstrait on ne peut pas concrétiser. 40

Donc, c’est l’addition et puis la soustraction là, vraiment pour concrétiser ce n’est pas facile. Donc, 41

il faut partir comme vous voyez, j’ai mis l’exercice au tableau. Je suis allée à base d’un exercice 42

pour pouvoir montrer les relations qui lient les fractions pour que les enfants puissent connaître 43

qu’il faut réduire d’abord avant de soustraire ou d’additionner. 44

CH : Quelles sont également les difficultés que vous avez eues dans la réalisation du cours en 45

classe? 46

Penda : En classe! 47

CH : Est-ce que dans la conduite du cours avez-vous eu des difficultés? Ou à…, d’ordre didactique 48

sur la fraction? 49

Penda : Comme c’est la méthodologie je suivais, là ça ne me pose pas trop de problèmes mais, le 50

problème présentement en tout cas que j’ai à mon niveau c’est pour, puisque on nous demande de 51

faire ça par cœur de fois; voilà! Comme ça présentement, pour le moment je n’arrive pas à faire ça 52

lors de mes pratiques, je n’arrive pas à faire ça. Donc, il faut que je voie mon cahier de temps en 53

temps. 54

CH : Donc dans la conduite du cours on vous demande de mémoriser ou de comprendre? 55

Penda : Voilà, on nous demande de mémoriser la méthodologie pour aller du début jusqu’à la fin. 56

CH : Sans jeter un coup d’œil sur le? 57

Penda : Voilà, dans le cahier. C’est ça qui, c’est ça qui est demandé en tout cas. Mais, pour le 58

moment moi je ne peux pas ça hein. Même, d’autres titulaires même ne font pas hein! Mais 59

comme nous sommes en stage, de fois on… 60

CH : C’est une exigence ou c’est? 61

Penda : Non, non, ce n’est pas une exigence; tu peux jeter un coup d’œil de temps en temps. Je 62

pense que c’est ce qui est dit même. Les inspecteurs ont dit ça, ce n’est pas condamné, mais c’est 63

la meilleure solution quoi. 64

CH : Donc, dans la conduite du cours, les élèves, aucune difficulté que les élèves ont eues? Vous 65

n’avez pas constaté en vous-même dans l’introduction ou la conduite du cours, rien, aucune 66

difficulté? 67

Penda : Bon, peut-être les erreurs oui. 68

CH : Pour tout ça, ou ç’a roulé comme vous l’avez planifié? 69

Penda : Peut-être les erreurs, vraiment d’inattention comme ça! 70

CH : Comment vous pouvez pour faire améliorer les difficultés que vous avez rencontrées? Vous 71

avez parlé des inattentions, des erreurs. Qu’est-ce que? 72

Penda : Bon ça, je pense que au fur et à mesure en tout cas ça va aller. Comme, c’est le début, 73

voilà, c’est inévitable comme c’est le début là, tu n’es pas habitué, tu n’as pas la main, voilà. C’est 74

un stage d’abord, puisque l’année passée, on n’avait pas l’habitude de pratiquer dans les classes, 75

c’est la théorie seulement. Donc, ça veut dire que c’est dans ces quelques mois seulement on a 76

commencé la pratique là. Voilà, donc, c’est la main d’abord. 77

295

CH : Donc, on a un peu parlé de l’approche pédagogique que vous avez adoptée, vous parlé de 78

l’approche 79

Penda : Oui, c’est une nouvelle approche. 80

CH : ASEI-PDSI, euh, vous avez opté cette approche uniquement parce que c’est recommandé 81

Penda : Non, puisque 82

CH : Ou il est adaptée au contenu? Est-ce que tous les contenus mathématiques sont adaptés 83

pour faire ça? 84

Penda : Oui, puisque ils ont opté ça pour les calculs et l’observation. Voilà, c’est dans ces deux 85

matières seulement. Sinon les autres matières ne font pas partie. 86

CH : Vous pensez, c’est mathématiques et puis sciences 87

Penda : Je pense, pour le moment en tout cas. 88

CH : Mais vous avez dit que vous avez vu ça à l’école et que ça sera appliqué. Est-ce à dire que 89

ça sera généralisé sur tout le Burkina ou c’est uniquement dans votre circonscription? 90

Penda : Présentement, ils disent que ce n’est pas national. 91

CH : Ce n’est pas national? 92

Penda : Non, non! 93

CH : C’est uniquement 94

Penda : Je pense qu’ils ont ciblé des circonscriptions pour ça. 95

CH : Donc vous pensez que cette méthode va beaucoup mieux, ça vous permet de travailler mieux 96

que l’ancienne méthode? 97

Penda : Bon! Puisque nous nous sommes des débutants, la méthode seulement en tout cas qu’ils 98

vont nous recommandée, je pense qu’on peut s’habituer, puisque l’ancienne méthode, nous 99

n’avons pas la main là-dessus d’abord. 100

CH : Mais, maintenant les problèmes que vous avez donnés, vous avez dit addition, qu’est-ce qui 101

a motivé le choix de ces exercices-là? 102

Penda : Le choix des exercices? 103

CH : Par exemple, vous avez pris par exemple pour l’addition, il y a deux termes, après vous avez 104

pris trois termes. 105

Penda : C’est pour dire aux enfants que les fractions là, ça peut ne pas être deux, ça peut aller à 106

plusieurs fractions. On peut te demander d’additionner plusieurs fractions en même temps ou de 107

les soustraire en même temps. C’est à cause de ça j’ai donné des exemples de trois fractions et de 108

deux fractions. Comme ça même si ils rencontrent ça ailleurs ils savent qu’on peut les réduire au 109

même dénominateur avant de les additionner ou de les soustraire. 110

CH : Avez-vous constaté des erreurs lorsque vous avez circulé dans la classe? 111

Penda : Chez les élèves? 112

CH : Oui. 113

296

Penda : Il y a d’autres, puisque quand j’ai mis l’exercice au tableau, il y a d’autres, ils n’ont pas mis 114

au même dénominateur. Voilà, il y a quelques-uns qui ont fait ces erreurs. Puisque comme ils 115

avaient vu la réduction au même dénominateur, donc d’autres ont pu surmonter. 116

CH : Finalement, qu’est-ce que vous avez suggéré pour les différentes erreurs que vous avez 117

constatées? Qu’est-ce que vous avez suggéré aux élèves pour qu’ils surmontent effectivement 118

leurs erreurs? 119

Penda : C’est ça je disais, j’ai dit que pour additionner ou soustraire les fractions, il faut toujours 120

d’abord les mettre au même dénominateur, tu additionnes ou tu soustrais les numérateurs entre 121

eux et tu gardes le dénominateur commun; les dénominateurs, on ne les additionne pas, on ne les 122

soustrait pas. 123

CH : Dans votre méthode, je voudrais comprendre, dans la méthode ASEI PDSI, les règles sont 124

immédiatement annoncées par les élèves ou bien par l’enseignant? 125

Penda : Non, bon, je pense que dans toutes les deux méthodes là on annonce ça. C’est annoncé, 126

l’enseignant peut annoncer ça. Maintenant, il faut que toi tu annonces ça aux élèves pour qu’ils 127

aient une notion sur ça. Après maintenant en récapitulatif, en récapitulatif, tu leur demandes 128

maintenant pour pourvoir, pour comprendre, pour savoir vraiment s’ils ont compris la notion que tu 129

as donnée, ou soit ce que tu es en train de faire vraiment si les enfants comprennent quoi, voilà. 130

S’ils arrivent à répéter en tout cas au moment du résumé, tu sais vraiment qu’ils ont compris. 131

CH : Est-ce que la répétition et la compréhension, c’est la même chose? 132

Penda : Non, s’ils arrivent à faire les exercices par exemple et à donner la règle, vraiment en tout 133

cas il y a un gain quelque part quoi. Par rapport à quand tu poses la question, ils n’arrivent pas à 134

répondre, ça veut dire que les élèves n’ont rien compris. Soit ton objectif n’est même pas atteint en 135

ce moment. 136

CH : Effectivement, j’ai vu au niveau de 2

1+

5

3+

3

2, j’ai constaté vous êtes revenu là-dessus. 137

Effectivement, dans la réduction de 5

3 au même dénominateur, les élèves ont dû, il y a eu la 138

commutativité qui a dû jouer et les élèves étaient un peu perdu 139

Penda : Voilà, comme ils n’ont pas encore vu la multiplication, c’est ça on dit que les fractions sont 140

étudiées de manière abstraite, puisqu’ils n’ont pas encore vu la multiplication des fractions. Donc, 141

ils ne savent pas que l’ordre ne change pas par 1 5 et 5 1, si tu mets 1 5 et 5 1, il y a d’autres 142

qui voient que ce n’est pas la même chose. Pourtant, c’est pareil. 143

CH : Mais, ça c’est la multiplication des entiers naturels, pas des fractions, puisque c’est au 144

numérateur 145

Penda : Oui, c’est au numérateur. 146

CH : Puisqu’ils ont mis 2 3, ils s’attendaient à ce que ça soit 5

3, maintenant ça fait

2

2

3

3. C’est 147

ça effectivement les élèves sont venus au tableau, parce qu’ils étaient un peu perdus puisque c’est 148

cette démarche, pour un début ça été la démarche. Maintenant, comme là, ç’a changé, ils étaient 149

un peu perdus. Maintenant, vous êtes revenu pour apporter, et là, ç’a un peu clarifié, sinon ils vont 150

donner la réponse, mais ils ne vont pas comprendre effectivement pourquoi c’est, parce que eux, 151

297

ils ont une logique de calcul et quand ça change un peu seulement, effectivement ça atténue leur 152

réponse. Ça, ç’a été très positif puisqu’il fallait revenir leur faire comprendre. 153

Mais maintenant, vous dites que c’est de façon abstraite. Le cours sur les fractions, c’est fait de 154

façon abstraite, pourquoi ne peut-on pas concrétiser le cours? 155

Penda : Pour concrétiser, par exemple si c’est la comparaison des fractions, là, j’ai fait ça au CM1 156

même, j’ai pu concrétiser ça avec les feuilles, mais pour l’addition des fractions ayant des 157

dénominateurs différents, vraiment ce n’est pas facile. 158

CH : Il n’y a aucune possibilité de, vous avez regardé dans les divers documents, manuels 159

scolaires,… 160

Penda : Il n’y en a pas, ce n’est pas concrétisé 161

CH : Il n’y a rien qui vous permet de faire comprendre l’addition des fractions de dénominateurs 162

différents ou de même dénominateur. 163

Penda : Ce que j’ai vu, ils sont partis des exercices là et puis tirer la règle, les relations qui 164

existent. 165

CH : Je constate que vous dites que c’est la première fois 166

Penda : En tout cas moi, c’est la première fois. 167

CH : Non, pour les élèves aussi, c’est ce que j’ai compris 168

Penda : Oui, oui, puisqu’ils n’ont pas encore vu ça aussi. 169

CH : Pourquoi vous êtes parti directement à l’addition des fractions ayant des dénominateurs 170

différents, au lieu de passer d’abord par des fractions ayant le même dénominateur avant de venir 171

avec des dénominateurs différents? 172

Penda : Comme c’est au CM2, ils ont déjà vu les réductions, voilà. Ils ont vu les comparaisons, 173

même numérateur, même dénominateur. Ils ont vu tout ça. Donc je pense que, si c’était comme 174

s’ils n’avaient pas vu ça, peut-être qu’on ne pouvait pas aller, mais ils ont déjà tout. Vous voyez 175

quand j’ai mis l’exercice au tableau même, il y a d’autres qui ont trouvé. Par exemple, l’enfant là 176

même, vous voyez elle avait mis 4 sur 2, mais l’autre-là qui a attiré mon attention sur ça, voilà. Ça 177

veut dire qu’ils ont une notion sur ça, voilà. 178

CH : Ils ont une notion sur l’addition des factions? 179

Penda : Non, non! 180

CH : Sur la réduction? 181

Penda : Sur la réduction, voilà! 182

CH : Mais, est-ce que c’est pour autant qu’il faut occulter par exemple l’addition des fractions ayant 183

le même dénominateur? Puisque ça peut être une étape qui permet d’avancer à des fractions 184

ayant des dénominateurs différents. 185

Penda : En tout cas. 186

298

CH : En fin j’essaie de comprendre avec vous, puisque quand vous prenez par exemple [une figure 187

fut faite pour concrétiser la somme de fractions ayant le même dénominateur] 3

1+

3

1, ça va donner 188

combien? 189

Penda : 3

2 190

CH : Donc 3

2 on peut déjà les concrétiser pour voir. 191

Penda : Oui, ça au moins 192

CH : Donc déjà, ayant des dénominateurs communs 3

1+

3

1 on va voir que c’est égal à

3

2. Là, ils 193

pouvaient effectivement voir le sens 3

1+

3

1=

3

2. Donc, ça déjà on peut voir c’est un peu concret, 194

c’est moins abstrait. Puis c’est des figures, ils peuvent manipuler avant de continuer. Là ce sont 195

des suggestions. 196

Penda : Avant de partir aux dénominateurs différents 197

CH : Peut-être c’est les textes qui demandent l’abstraction. C’est les textes qui demandent 198

l’abstraction? 199

Penda : Non puisque ce que vous dites là, je vois ça. Puisqu’ils ont vu l’addition des fractions, ils 200

ont vu ça. Mais l’addition des fractions sur les dénominateurs différents, ils n’ont pas encore vu ça 201

d’abord. Ils n’ont pas encore vu. 202

CH : Mais la préparation du cours, vous avez été aidé par votre directeur? 203

Penda : Mais, j’ai fait, comme c’est une première fois, j’ai des documents. Je me suis guidé avec 204

ces documents. J’ai montré au directeur 205

CH : Mais quelles sont vos documents? Vous avez eu des contenus de formation sur la fraction? 206

Penda : Non! 207

CH : Vous n’avez pas eu de contenu pendant la phase théorique 208

Penda : Lors de la formation, non. 209

CH : Et même ici [au lieu du stage]? 210

Penda : Non, et même ici, on n’a pas eu. C’est ça je dis, comme c’est la première fois-là, j’ai 211

essayé de me débattre voir, sinon… 212

CH : Mais quel est le document de cours que vous exploité pour préparer votre cours? 213

Penda : C’est mathématique CM1, CM2 que j’ai utilisé. 214

CH : Mathématique CM1, CM2? 215

Penda : Oui. 216

CH : Vous avez noté ça dans la fiche pédagogique? 217

Penda : Oui, même la page. 218

299

CH : Donc, je n’ai pas beaucoup de choses, comme c’est pour comprendre 219

Penda : Ils ont tout vu en fractions ça restait l’addition des fractions de dénominateurs différents et 220

la multiplication des fractions. Donc après l’addition, c’est la multiplication des fractions. Elle [la 221

maîtresse de classe] était déjà avancée. C’est à cause de nous-même, elle a retardé son cours. 222

Les exercices là même, j’ai pris ça dans les livres. 223

CH : Est-ce qu’il y a une utilité de la fraction dans la vie courante? Que les élèves peuvent utiliser 224

dans la vie courante? 225

Penda : Bon, je ne peux pas dire qu’il n’y en a pas. 226

CH : Est-ce que vous voyez? 227

Penda : Si on prend par exemple les maçons, ils ont besoin des fractions. Au niveau de leur 228

fonction, je pense qu’ils ont besoin des fractions. Quand ils mesurent les largeurs, les angles, je 229

pense que c’est nécessaire. Les menuisiers aussi, je pense oui. 230

CH : Vous avez prévu 1 heure, mais je constate que vous avez fait plus d’1h. 231

Penda : J’ai ajouté 10 mn même, puisque bon, j’ai fini à temps, mais avec l’évaluation là. C’est le 232

fait de donner le temps aux élèves pour qu’ils traitent les exercices. S’ils ne finissent pas aussi tu 233

ne peux pas évaluer, puisque si tu les coupes, ils n’ont pas fini de traiter les exercices, tu vas 234

savoir comment qui a trouvé, qui n’a pas trouvé; qui a compris, qui n’a pas compris. Donc, il faut 235

leur laisser le temps. Donc tout ça là. 236

CH : Donc apparemment vous êtes un peu satisfaite de la prestation en général, en conclusion? 237

Vous êtes satisfaite de la prestation d’aujourd’hui? 238

Penda : Là, je ne peux rien dire là-dessus. 239

CH : Par rapport aux résultats que vous avez vus chez les élèves, qui a trouvé, qui n’a pas trouvé 240

Penda : Bon, je pense qu’il y a beaucoup qui ont compris hein. Quand on a fait l’exercice 241

d’évaluation, je pense qu’il y a beaucoup qui ont trouvé. Quand j’ai demandé, quels sont ceux qui 242

ont trouvé? Je circulais, je voyais comment ils traitaient ça. Il y a 4 qui ont faussé. C’est ce que j’ai 243

constaté. Donc je pense que sur 53 personnes, je pense que l’objectif est un peu atteint. 244

CH : Je constate que les élèves, déjà les tables qui sont disposées pour faire un travail de groupe, 245

mais… 246

Penda : Oui, c’est disposé, mais de fois les dernières tables là, les élèves déplacent ça, ils 247

s’asseyent 3. 248

CH : La méthode préconisée, la nouvelle méthode préconise un travail individuel ou un travail 249

collectif ou un travail de groupe? 250

Penda : bon, puisque, de fois quand il donne, puisque ce n’est pas toutes les classes, et puis de 251

fois ce n’est pas à chaque fois qu’il met les élèves là en groupes. Par exemple au CP1 252

présentement même, si ce n’est pas, même au CE2, les tables ne sont pas disposées comme ça. 253

Donc le travail collectif, ce n’est pas à chaque moment. 254

CH : Le travail de groupes aussi non plus? C’est un travail individuel alors? 255

Penda : C’est ça. De fois, c’est individuel. De fois, si tu leur dis de faire ça en groupes, ils font. Si 256

tu leur demandes de faire ça individuellement, ça dépend du maître. 257

300

CH : Pourquoi vous n’avez pas voulu faire ce travail de groupes aujourd’hui? 258

Penda : Non, j’ai dit demandé, moi j’ai parlé de ça. J’ai dit qu’ils peuvent traiter en groupes, ils 259

peuvent s’aider, j’ai dit ça aujourd’hui. 260

CH : Mais, j’ai constaté que tout au long du travail là, 261

Penda : Mais, il y a d’autres qui faisaient en groupes, il y a d’autres qui s’aidaient. Puisque de fois 262

ça prend du temps. Si tu dois demander aux élèves de faire un travail en groupes; bon, de fois ils 263

ont tendance à faire ça individuellement avant de voir les résultats pour travailler en groupes. 264

CH : Mais, l’organisation pratique du travail de groupes, comment ça se passe? Puisque vous dites 265

qu’effectivement, ils font un travail de groupes. Comment se fait le travail de groupes en général? 266

Penda : Bon, comme nous on ne rentre pas au CM2 là oh, vraiment. 267

CH : Non, même dans les petites classes, le travail de groupes; c’est, c’est général quoi. 268

Penda : Puisque dans les petites classes là même, ils n’appliquent pas ça. 269

CH : Ils n’appliquent pas ça? 270

Penda : Non, non, ils n’appliquent pas ça d’abord. 271

CH : C’est ce que je voulais comprendre. Puisque suivant mes lectures aussi le travail de groupes, 272

le groupe est organisé, de fois il y a un chef, il y a un rapporteur et effectivement, ils font le travail 273

et après on désigne le rapporteur d’aller exposer ce qu’ils ont trouvé. Je ne sais pas si c’est la 274

même organisation que vous avez connue. 275

Penda : Non, non, présentement ils ne font pas ça là-bas. Puisque comme la méthode n’est pas, 276

ils n’ont pas mis ça en application d’abord comme ça. Les titulaires ne sont pas encore formés, eux 277

aussi, ils attendent une formation sur l’application. Ils ont eu la théorie. Mais eux aussi, ils 278

attendent l’application. 279

CH : Ils ont eu la théorie dans 280

Penda : Eux aussi, ils ont été formés théoriquement. Il y a d’autres qui disent qu’ils n’ont jamais vu 281

l’application selon l’approche, donc eux aussi, ils ne peuvent pas pratiquer. Puisque, ils ont déjà la 282

main dans l’ancienne méthodologie. Ils sont habitués à ça, il y a d’autres qui préfèrent toujours 283

opter au lieu de pratiquer l’ASEI. Je pense que c’est à cause de tout ça même, jusqu’à présent les 284

gens n’appliquent pas ça comme ça hein! Par contre, il y a d’autres depuis le début de l’année, ils 285

ont commencé ça. 286

CH : Mais, ça ne joue pas sur votre prestation? Par exemple vous voulez appliquez une méthode, 287

le maître accompagnant applique autre méthode, comment vous gérez? 288

Penda : Voilà, j’ai essayé mon mieux, sinon ici en réalité personne n’applique l’approche d’abord. 289

Mais, comme on dit c’est une nouvelle méthode et moi je suis apprenante, je suis stagiaire, donc je 290

pense que c’est mieux s’il y a l’occasion, si l’occasion se présente, c’est mieux d’essayer chaque 291

fois, ça fait toujours un gain. 292

CH : Bon, parce que je ne connais pas aussi, comme vous dites cette méthode, c’est maintenant 293

ici aussi que j’ai, sinon suivant les textes il y a la PPO (pédagogie par les objectifs) et l’approche 294

par les compétences. Cette approche, c’est basé sur quelle approche pédagogique, je ne sais pas 295

pour l’instant. Mais, on va étudier comme vous le dites, est-ce sur l’approche par les 296

compétences? Est-ce sur ? Donc je constate que les stagiaires effectivement appliquent cette 297

301

méthode. Les stagiaires que j’ai eus avant aussi appliquent, c’est sur la base de cette méthode. 298

J’attends d’observer aussi pour voir… 299

Penda : Puisque les syndicats sont entrain de boycotter ça. Il y a d’autres qui disent que comme il 300

y a des circonscriptions pilotes pour ça, il y a des circonscriptions aussi qui n’ont pas opté pour ça. 301

Ils sont entrain de dire non, il faut nationaliser ça partout pour que tout le monde puisse appliquer 302

ça avant de commencer les applications dans les écoles. Ils sont là-dessus, mais maintenant 303

comme nous nous sommes des stagiaires, nous, on peut rien dire d’abord. 304

CH : D’accord, nous, nous voulons comprendre effectivement ce qui se passe. En résumé, c’est 305

que c’est une méthode qui est donnée à l’école, on vous a donné l’information, mais, ici dans votre 306

circonscription c’est quelque chose qu’on demande d’appliquer. 307

Penda : Le directeur même a demandé ça. On a fait une rencontre, il a demandé aux titulaires 308

d’appliquer l’approche. 309

CH : Maintenant, certains appliquent, certains n’appliquent pas. Vous en tant que stagiaire eh. 310

Penda : Voilà… 311

CH : Bon merci bien, d’avoir répondu à mes questions. Je vous souhaite un bon parcours dans 312

votre formation et du courage. On va s’arrêter là pour l’entretien. 313

302

Annexe 2 : Cas Piga


Thème : Les fractions

Titre : Addition et soustraction des fractions

Classe : CM2

Durée : Une heure

Matériel : Ardoises, tableau, craies, feuilles de cahier

Documentation : Livre d’élève, livret guide du maître

Objectifs spécifiques : À l’issue de la séance, 80 % des élèves doivent être capables de :

- additionner des fractions;

- soustraire des fractions;

- résoudre les opérations qui leur seront proposées.

Justification : Les fractions sont étudiées de façon très abstraite dans les classes, rendant ainsi son enseignement difficile. Or les fractions permettent de comprendre les notions de part lorsqu’on les aborde sous la forme fractionnaire.


Introduction (10 minutes)

Rôle du maître :

1. Calcul mental

- Dans une classe de CM, un maître ramasse 72 cahiers d’exercices et 59 cahiers de devoirs, combien d’élèves n’ont pas fait le devoir.

- Une boîte de lait coûte 400 F. Sept boîtes coûteront combien de francs?

2. Rappel

Oral :

- Quand deux fractions d’une même grandeur ont le même numérateur, quelle est la plus petite, la plus grande?

- Comment réduit-on deux fractions au même dénominateur?

Écrit :

Réduis au même dénominateur : 3

2et

9

7;

9

3et

12

9;

3

5et

12

8.

Activités des élèves : Résolution de l’exercice

Rôle du maître :

3. Communication de la justification aux élèves.

303

Développement (35 minutes)

Rôle du maître : Consigne 1 : À l’aide d’une feuille, découpe deux rectangles de dimensions égales et deux autres de mêmes dimensions différents des premiers.

Activités des élèves : Découpage des rectangles.

Rôle du maître : Consigne 2 : Prenez un à un les premiers rectangles et pliez en deux (2). Pliez ensuite les deux autres en quatre (4).

Pour le premier cas, compte et découpe deux carreaux, dis quelle fraction cela représente.

Pour le second cas, compte et découpe quatre carreaux, dis quelle fraction cela représente.

Point d’apprentissage : Obtention de fractions différentes.

Activités des élèves : Découpage selon les fractions demandées.

Rôle du maître : Consigne 3 : Prenez les deux carreaux des rectangles du second cas et complétez un rectangle du premier cas; puis du 2e cas. Que constatez-vous? Comment additionner

16

4et

4

2. Comment soustraire?

Activités des élèves : Les élèves exécutent par table, constatent et échangent.

Synthèse (7 minutes)

Rôle du maître : Que peut-on retenir sur l’addition et la soustraction des fractions?

Activités des élèves : Formulation de la règle.

Point d’apprentissage : Règles :

- Pour additionner de fractions, on les réduit au même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

Exemple : 5

2+

7

4=

75

72

+

57

54

=

35

14+

35

20=

35

34.

- Pour soustraire une fraction d’une autre, il faut les réduire au même dénominateur, soustraire le plus petit numérateur du plus grand numérateur et conserver le dénominateur.

Exemple : 6

5-

4

3=

46

45

-

64

63

=

24

20-

24

18=

24

2».

Évaluation (8 minutes)

Sur ton brouillon, effectue ces opérations : 12

9-10

7;

21

3-

2

1;

3

2+

4

2;

12

1+

4

2.

Rôle du maître : Que pensez-vous de la leçon?

Activités des élèves : Avis des élèves.

304


Piga : [À 00 mn 24 s]. Debout. [Les élèves se mettent debout.] 1

Qui va me proposer un chant? Un chant rapidement? Oui. Qui va proposer un chant rapidement? 2

[Des élèves lèvent le doigt. Piga indique un élève.] Oui 3

El : Les trois camarades. 4

Piga : Les trois camarades; bon, on chante les trois camarades : 1-2-3. [De 00 mn 42 s à 02 mn 5

00 s, les élèves chantent en chœur la chanson "les trois camarades".] 6

C’est bien, assis. [Les élèves s’asseyent.] 7

Vous rangez les cahiers de leçon. Vous prenez seulement deux ou trois doubles feuilles. Deux, 8

trois, prenez trois doubles feuilles, vous écrivez nom et prénoms à la marge. Rapidement. Ça y 9

est? [À 03 mn 23 s]. 10

Els : Oui. 11

Piga : Levez les bics. Levez les bics. Tout le monde, levez. [Piga donne des coups de règle sur sa 12

table. Des élèves continuent à écrire.] Suivez bien. Dans une classe de CM, un enseignant 13

ramasse 72 cahiers d’exercices et 59 cahiers de devoirs pour une correction. Combien d’élèves 14

n’ont pas fait le devoir? [À 3 mn 54 s, le stagiaire donne un coup de règle sur une table.] Suivant, 15

on écrit simplement la réponse. [À 4 mn 11s.] C’est bon? 16

[Piga donne un coup de règle sur la table.] On arrête. Quelqu’un pour corriger; qui va corriger? 17

Oui, ton nom c’est quoi? 18

Fabien : Fabien. [Piga donne la craie à Fabien]. Je vais faire 72 cahiers-58 cahiers. 19

Piga : 59 20

Fabien : 59 cahiers. 21

Piga : Écris; égal à combien? 22

Fabien : Égale 10 cahiers. 23

Piga : 10 cahiers? Écris 10; écris, écris. [Fabien écrit 10 cahiers]. 10 cahiers, vous êtes d’accord? 24

Els : Non 25

Piga : Est-ce que c’est 10? 26

Els : Non. Moi, moi. [Piga désigne un autre élève]. 27

Piga : Oui, rapidement. 28

El : 13 cahiers. 29

Piga : 13 cahiers. Écris. Viens, donne-lui la craie. [L’élève commence à écrire au tableau.] 30

On met toujours 13 cahiers de devoirs. Comment tu as fait pour trouver 13? 31

El : J’ai fait: 72-59. 32

Piga : 72-59; c’est bien. Marquez un point, ceux qui ont trouvé. Ceux qui n’ont pas trouvé, vous 33

corrigez. 1 point à l’angle; marquez seulement un point. Montrez ceux qui ont trouvé, soulevez 34

comme ça seulement. Soulevez la feuille. 35

305

[Piga donne un coup de règle sur la table]. C’est bien. 36

[À 05 mn 45 s.] Une boîte de lait coûte 400 francs. Sept boîtes coûteront combien? 37

[Piga donne un coup de règle sur une table]. Combien coûteront 7 boîtes? Écrivez simplement la 38

réponse. Rapidement. 39

[À 06 mn 06 s.] On arrête. Qui corrige? Qui va corriger? Oui. [Il désignant un élève]. 40

El : Une boîte coûte 400 fr, je fais 40 multiplié par 7 et je trouve 2 800 fr. 41

Piga : 2 800. C’est bien, ceux qui ont trouvé vous marquez un point. Ceux qui n’ont pas trouvé, 42

corrigez, rapidement. Montrez ceux qui ont corrigé, montrez la correction. [Des élèves présentent 43

leur feuille.] 44

OK, c’est bien. [À 07 mn 03 s, il consulte sa fiche pédagogique.] 45

[À 07 mn 18 s]. Bon, prenez une feuille. À l’aide d’une feuille, découpez deux triangles de 46

dimensions égales; deux triangles de dimensions égales à l’aide d’une feuille. 47

[À 08 mn 10 s]. Deux, deux, deux rectangles du moins, deux rectangles de dimensions égales, 48

deux rectangles. Faites deux rectangles rapidement de dimensions égales. 49

Découpez deux rectangles, mêmes dimensions. C’est fini [à 08 mn 49 s.] 50

Els : Non! 51

Piga : [à 09 mn 25 s]. On n’a pas besoin que ce soit très grand. Pourvu que ça soit seulement la 52

même chose. [Piga circule dans la classe et observe ce que font les élèves]. 53

[À 10 mn 02 s]. C’est fini? 54

Els : Non! 55

Piga : Deux rectangles, découpez rapidement. [Le ton est assez fort. Il circule dans la classe un 56

instant, puis il va consulter sa fiche pédagogique.] 57

[À 11 mn 22 s]. C’est fini? [Beaucoup d’élèves disent oui et quelques-uns disent non.] 58

OK, vous découpez deux autres rectangles de dimensions égales et différents des deux premiers 59

rectangles; vous déposez, rapidement. [À 11 mn 32 s]. 60

[À 12 mn 08 s]. C’est fini? 61

Els : Non 62

Piga : Onhon 63

Els : Non. 64

Piga : Faites vite! Faites vite. [À 12 mn 30 s.] Les deux premiers rectangles ont les mêmes 65

dimensions, les autres aussi ont les mêmes dimensions. C’est compris? 66

Els : Oui. 67

Piga : C’est fini? [À 12 mn 54 s]. 68

Els : Non. 69

Piga : Faites vite! Faites vite. Découpez seulement; déposez. C’est fini? [À 13 mn 31 s.] 70

306

Els : Oui. 71

Piga : OK, suivez [à 13 mn 36 s]. Quand deux fractions d’une même grandeur ont le même 72

numérateur, quelle est la plus grande? Quand deux fractions d’une même grandeur ont le même 73

numérateur, quelle est la fraction la plus grande? Oui. [Il indique un élève]. 74

El : La plus grande est celle qui a le grand dénominateur. 75

Piga : La plus grande est celle qui a le grand dénominateur. C’est comme ça? 76

Els : Oui. 77

Piga : Ils ont le même numérateur. Ces deux fractions d’une même grandeur, vous avez vu ça, 78

comparaison de fractions. D’une même grandeur, ils ont le même numérateur, et pas le même 79

dénominateur. On demande quelle est la fraction la plus grande. Quelqu’un? Oui. 80

El : C’est celle qui a le plus petit dénominateur. 81

Piga : Voilà, on retient ça. C’est celle qui a le plus petit dénominateur. Qui va m’expliquer comment 82

on réduit deux fractions au même dénominateur. Oralement, comment on réduit deux fractions au 83

même dénominateur. [Des élèves lèvent les doigts]. 84

Piga : Oui. [Il indique un élève.] 85

El : Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on multiplie chaque fraction par le 86

dénominateur de l’autre. 87

Piga : Qui va bien reprendre? Qui va bien reprendre ce qu’il a dit? Clairement. Pour réduire deux 88

fractions au même dénominateur, qu’est-ce qu’on fait? Oui. 89

El : Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on multiplie la fraction par le 90

dénominateur de l’autre. 91

Piga : On multiple les deux termes 92

El : les deux termes par le dénominateur de l’autre. 93

Piga : de la fraction par le dénominateur de l’autre. C’est bien. Vous allez faire ça rapidement. [À 94

15 mn 35 s]. Réduisez au même dénominateur les fractions suivantes : 3

2 et

9

7;

9

3 et

12

9 ;

3

5 et 95

12

8. Rapidement. [À 17 mn 50 s], c’est fini? 96

Els : Non. 97

Piga : Faîtes vite, ça reste 2 minutes. [À 19 mn 36 s]. 98

Piga se déplace dans la classe et observe ce que font les élèves. 99

Piga : [À 21 mn 40 s]. Bien, on arrête. On arrête, on va corriger le 1er exercice. Oui [pour désigner 100

une élève]. 101

El : 3

2 et

9

7.

3

2=

93

92

=

27

18;

9

7=

39

37

=

27

21;

27

18 et

27

21. 102

Piga : 27

18et

27

21. C’est comme ça? 103

307

Els : Oui. 104

Piga : OK, bien. Deuxième exercice; vas-y. 105

El : 9

3 et

12

9. 106

Piga : On dépose les bics et on suit, on ne corrige pas. Suivez au tableau. 107

El : 129

123

=

108

36;

912

99

=

108

81;

108

36et

108

81. [Des élèves lèvent les doigts.] 108

Piga : Onhon, lis maintenant. 109

El : 38 cent-huitièmes et 81 cent-huitièmes. 110

Piga : Voilà, c’est bien. Donne [la craie] à quelqu’un. Donne à quelqu’un. Choisis quelqu’un. [Celui 111

qui est au tableau remet la craie à une élève.] 112

El : 3

5 et

12

8.

123

125

=

36

60;

312

38

=

36

24;

36

60et

36

24. [Piga consulte sa fiche de préparation et jette 113

de temps en temps un d’œil sur ce qui se fait au tableau.] 114

Piga : On lit. 115

El : 60 trente-sixièmes et 24 trente-sixièmes. [À 26 mn 58 s]. 116

Piga : C’est comme ça? 117

Els : Oui. 118

Piga : OK, donc ça fait 1 point, 1 point. Changez rapidement avec les autres. Corrigez rapidement; 119

on échange. Il y a le nom dessus hien, vous reprenez. Les propriétaires vont reprendre après. 1 120

point, 1point, ça fait au total 3 points. On corrige rapidement, c’est fini? Vous regardez si ce n’est 121

pas comme ça c’est zéro. C’est comme ça, ça fait 1 point. Ça fait 3 exercices, c’est sur 3. 122

Remettez le brouillon. Qui a eu 3? Qui a tout trouvé? C’est bien. Qui a trouvé 2? 2 sur 3? Bien. 1? 123

1 sur 3? Bien. [Des mains sont levées pour 3, 2 ou 1 trouvés.] 124

Qui n’a rien trouvé? 0 trouvé? [Il n’y a pas eu de main levée.] 125

Vous avez trouvé au moins 1? 126

Els : Oui. 127

Piga : C’est sûr? 128

Els : Oui. 129

Piga : D’accord. C’est bien. [À 28 mn 16 s,] prenez maintenant les deux premiers rectangles 130

découpés. Prenez les deux premiers rectangles qu’on a découpés; les deux premiers rectangles. 131

Montrez d’abord je vais voir s’ils ont la même forme; si c’est la même chose. D’accord, montrez 132

comme ça seulement. [Piga effectue un contrôle des feuilles présentées.] 133

Les deux premiers là; deux premiers rectangles. C’est bien; c’est bien. C’est bien. Vous pliez, 134

prenez 1 à 1, vous pliez en deux. Pliez deux fois : vous pliez une fois et deux fois. Rapidement, 135

pliez. Une fois et deux fois; on plie deux fois. [Piga effectue un contrôle des rectangles pliés.] 136

308

Bien, bien; dépliez maintenant. Dépliez. Prenez l’autre, vous pliez la même chose. Prenez l’autre, 137

vous pliez la même chose. [Piga montre comment plier devant un élève.] 138

C’est bien, dépliez. Comptez le nombre de carreaux. Vous avez combien de carreaux. Il y a des 139

carreaux qui sont formés. Il y a combien de carreaux? Vous dépliez et vous comptez le nombre de 140

carreaux. 141

[Piga désigne un élève.] Tu as combien? 142

El : 4 carreaux. 143

Piga : 4 carreaux. Oui. [Il désigne successivement deux autres élèves]. 144

El : 4 carreaux 145

El : 4 carreaux 146

Piga : C’est bien. Tout le monde a 4 carreaux? 147

Els : Oui. 148

Piga : OK, prenez le second cas, les deux autres rectangles. On plie maintenant 4 fois; pliez 4 fois. 149

Les deux autres là, pliez 4 fois. C’est fini? 150

Els : Non. 151

Piga : [Il laisse travailler les élèves un instant.] C’est fini? 152

Els : Oui. [À 31 mn 15 s]. 153

Piga : Dépliez maintenant. Si c’est fini, on déplie et on compte le nombre de carreaux. On a 154

combien de carreaux? Oui [en désignant un autre élève]. 155


Piga : 4 carreaux; toi, tu trouves 4 carreaux. Oui [en désignant un autre élève]. 157


Piga : 8 carreaux. Toi, tu trouves combien? [Il désigne un autre élève.] 159


Piga : 16 carreaux. [Des élèves annoncent certains avoir trouvé 8 carreaux et d’autres 16.] 161

Oh! Vous avez plié comment? [Piga prend une feuille et commence à plier.] 162

On plie 1 fois, 2 fois, 3 fois, 4 fois. On déplie et on compte le nombre de carreaux : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 163

7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 et 16. 164

Découpez, vous découpez; prenez les premiers rectangles là. Les premiers rectangles qu’on a 165

découpés. Comptez deux carreaux et vous découpez. Comptez deux carreaux et on coupe. On 166

compte deux carreaux et on découpe. Et vous allez me dire, ça représente quelle fraction? Oui. 167

El : C’est 4 deuxièmes; 4 quarts. 168

Piga : Tu as 4 carreaux, tu as enlevé combien? 169

El : 2. 170

Piga : On avait plié par? 171

309

El : 4. 172

Piga : Par 4. Par 4 là, comment on va appeler ça? C’est le? Comment on va appeler? Oui. 173

El : Le quart? 174

Piga : Ce n’est pas le quart. Oui. 175

El : C’est une fraction. 176

Piga : C’est une fraction, c’est vrai. Mais, comment on va appeler ça? Avant qu’on ne divise, 177

quand on ouvre comme cela [il effectue le geste à l’aide d’un rectangle d’un élève]. On ouvre, on 178

voit que c’est 4; il y a 4 carreaux. Mais, ça-là, on va appeler comment? On a 4 carreaux, c’est quel 179

terme de la fraction? Oui. 180

El : Le dénominateur. 181

Piga : Le dénominateur. On est d’accord? 182

Els : Oui. 183

Piga : OK, on dit d’enlever deux carreaux. On enlève deux carreaux et les deux carreaux 184

représentent quelle fraction? Rapidement. 185

El : Le numérateur. 186

Piga : Oui 2 représente le numérateur, mais les deux carreaux représentent quelle fraction? 187

Comment on peut appeler ces deux carreaux-là? 188

El : Fractions ordinaires. 189

Piga : Fractions ordinaires, non. Oui. On va appeler les deux carreaux quoi? On a enlevé deux 190

carreaux. Que représentent deux carreaux dans les 4? 2 carreaux représentent quoi? 191

El : Fractions décimales. 192

Piga : Décimales! Non! Oui. 193


Piga : Le numérateur, c’est vrai. Mais, ce n’est pas ce que je veux. On a enlevé 2, il y avait 4. On 195

enlève 2, les deux-là, comment on va appeler 2? C’est quoi? Deux… deux combien? [Il insiste sur 196

«deux combien» pour amener l’élève à compléter la réponse.] 197

El : 2 tiers. [Des voix s’élèvent dans la classe donnant des réponses.] 198


Piga : Oui. 200

El : 2 quarts. 201

Piga : Deux 202

Els : Quarts 203

Piga : Donc 2 quarts. Les deux qu’on a enlevés, c’est 2 quarts. Vous écrivez 2 quarts là-bas. 204

Écrivez 2 quarts; donc vous nommez la fraction 2 quarts. 205

310

Et l’autre moitié maintenant, l’autre moitié, c’est quoi? C’est combien? On a enlevé 2, l’autre moitié, 206

c’est combien? Quelle est la fraction? Quelle fraction qui reste? C’était 4, on enlève 2; les 2 quarts 207

là. On a enlevé les 2 quarts, ce qui restent là, on va appeler ça combien? C’est quelle faction? Oui. 208

[Deux élèves donnent des réponses non satisfaisantes à Piga, mais nous ne pouvons pas 209

transcrire, car elles ne sont pas audibles.] 210

Piga : Ouuu! [Piga baisse la tête, un signe de déception. [À 36 mn 03 s.] Ce qui reste, c’est quoi? 2 211

quarts; les deux carreaux qu’on a enlevés là, c’est 2 quarts. On est d’accord. 212

Els : Oui 213

Piga : C’est 2 quarts, les 4 carreaux forment ce qu’on appelle le dénominateur. Maintenant le 214

nombre de carreaux, ce sont les numérateurs. On enlève deux, on dit que c’est, ça représente 2 215

quarts. Maintenant le restant, ce qui reste là c’est quoi? Est-ce que c’est 3 quarts? Ça reste 216

combien? 217

El : 2 quarts. 218

Piga : Ça reste aussi 2 quarts. Donc vous écrivez 2 quarts aussi là-bas. Ça représente 2 quarts. [À 219

36 mn 56 s,] c’est fini? 220

Els : Oui. 221

Piga : Prenez maintenant les deux autres rectangles. Prenez un seulement des deux autres 222

rectangles et on compte 4 carreaux et on découpe. Comptez 4 carreaux dans le second cas de 223

rectangle et on découpe. Comptez 4 carreaux. [À 37 mn 18 s] 224

[À 37 mn 37 s], c’est fini? 225

Els : Oui. 226

Piga : Aaan? 227

Els : Oui 228

Piga : Les 4 carreaux représentent quoi? 229

El : 4 seizièmes 230

Piga : Très bien; 4 seizièmes. Un ban chinois pour elle. Vous connaissez un ban chinois? 231

Comment on fait un ban chinois, rapidement. [Les élèves font le ban chinois]. C’est bien. Donc 4 232

seizièmes. On écrit 16

4sur le morceau de feuille.

16

4, écrivez dedans. Donc ça représente

16

4. 233

C’est fini? 234

Els : Oui. 235

Piga : OK et le restant? Ce qui reste représente quelle fraction? Ce qui reste représente, c’est 236

quelle fraction? Oui. 237

El : 16 quarts. 238

Piga : 16 quarts. [Des élèves disent moi, moi en levant les mains.] Oui [pour désigner un élève]. 239

El : 16

4. 240

311

Piga : 16

4.

16

4, c’est ce qu’on a, ce qu’on a enlevé là

16

4ou bien? Maintenant le restant là, ça 241

représente quelle fraction? Oui. 242

El : 12 seizièmes. 243

Piga : 16

12; c’est comme ça? 244

Els : Oui 245

Piga : OK, ça représente16

12. Mettez

16

12sur le morceau, après on va continuer. C’est fini? 246

Els : Oui. 247

Piga : On continue. On prend; prenez un morceau du 2e cas, du 2e cas de rectangle qu’on a 248

découpé : le morceau, 1 quart là, 16

4 là. Prenez le morceau et essayez de compléter avec l’autre, 249

le 1er cas de rectangle. Remplacez, on va voir. Complétez la feuille pour que la feuille soit 250

complète. 251

Qu’est-ce que vous constatez? Est-ce que c’est possible? Est-ce que ça peut? 252

Els : Non. 253

Piga : Ce n’est pas possible? 254

Els : Non. 255

Piga : On reprend les 16

4et on complète là où on avait découpé, dans l’autre côté :

16

4et

16

12, 256

essayez de coller. Complétez voir. C’est possible? [Des réponses "oui" et des réponses "non" des 257

élèves]. Quand on complète, c’est correct non? 258

Els : Oui. 259

Piga : Qu’est-ce qu’on constate maintenant? On peut dire quoi? On a pris deux quarts qu’on veut 260

compléter avec 16

12, on a vu que ce n’est pas possible; ça ne rentre pas. On prend maintenant 261

notre morceau, 16

4et on complète le restant

16

12, on voit que c’est possible. Maintenant, quel 262

constat faites-vous? Qu’est-ce que vous remarquez? Qu’est-ce qu’on remarque? 263

Oui, tu remarques quoi? 264

El : Je remarque que 4

2 ne peut pas être collé à

16

12 pour donner

16

16. 265

Piga : C’est très bien, lui il remarque que ce n’est pas possible. Pour que ça soit possible, il faut 266

que ça soit quoi, comment? Il faut que ça soit comment? Qu’est-ce que les deux morceaux ont en 267

commun pour que ça puisse aller ensemble? Qu’est-ce qu’on remarque? Ce que vous avez écrit 268

là, qu’est-ce qu’on remarque? Pour que ça puisse… Oui [pour désigner un élève]. 269

EL : [La réponse de l’élève n’est pas audible.] 270

312

Piga : Voilà, c’est très bien. Lui, il remarque qu’il faut…, la fraction c’est quoi? Les deux fractions 271

que vous avez complétées, c’est 16

4et

16

12. Vous remarquez dans

16

4et

16

12, qu’est-ce que les 272

deux ont en commun? 16

4et

16

12? Rapidement. Oui. 273

El : On remarque que les deux ont le même dénominateur en commun. 274

Piga : Voilà. On remarque que les deux ont le même dénominateur. Donc, pour que ça puisse être 275

la même chose, il faut qu’on ait le même dénominateur. Maintenant avec les fractions pour 276

additionner, qu’est-ce qu’on doit faire maintenant? Pour additionner deux fractions, qu’est-ce qu’on 277

doit faire? On a remarqué que, il faut que les deux fractions aient le même dénominateur. 278

Comment on va faire? Oui. 279

El : Il faut réduire au même dénominateur. 280

Piga : Oui. 281

El : Pour réduire, pour additionner deux fractions, il faut additionner les numérateurs et on garde le 282

dénominateur commun. 283

Piga : Donc pour additionner, il faut songer d’abord à réduire, il faut réduire les deux fractions au 284

même dénominateur. Et pour faire la soustraction, on va faire comment? Est-ce qu’on peut enlever 285

dans le morceau là, on peut enlever les 10 là là-bas? Dans le 1er cas, dans 2e cas de rectangle-là? 286

On fait comment? Il faut que… il faut que… oui. 287

El : Il faut que les deux fractions soient au même dénominateur. 288

Piga : ont, aient le même dénominateur. Maintenant tu vas tout reformuler pour additionner une 289

fraction, additionner deux fractions, on les réduit au même dénominateur et comment on fait? On 290

additionne quoi? 291

Els : On additionne les numérateurs et on garde le dénominateur. 292

Piga : Qui va tout répéter. Oui. 293

El : Pour additionner deux fractions au même dénominateur, on additionne les numérateurs et on 294

garde les numérateurs… 295

Piga : Vous êtes d’accord avec ce qu’elle dit? 296

Els : Non. 297

Piga : Reprends. 298

El : Pour additionner deux fractions au même dénominateur. 299

Piga : Vous êtes d’accord avec ce qu’elle dit? 300

Els : Non. 301

Piga : Pour additionner deux fractions au même dénominateur. Pour additionner deux fractions, on 302

fait comment? Oui. 303

El : Pour additionner deux fractions, on réduit les dénominateurs. 304

Piga : On les réduit au même dénominateur. 305

313

El : On les réduit au même dénominateur, on additionne les numérateurs. 306

Piga : On additionne les numérateurs. 307

Els : On garde le dénominateur. 308

Piga : et on garde le dénominateur. [À 45 mn 18 s, Piga efface le tableau et recopie la règle sur 309

l’addition des fractions. Pendant ce temps, 13 élèves récitent la règle formulée.] 310

Els : Pour additionner deux fractions, on les réduit au même dénominateur, puis on garde, puis on 311

additionne les numérateurs et on garde le dénominateur. 312

Piga : 313

314

[À 48 mn 16 s]. Ça, c’est pour additionner. Maintenant pour soustraire, est-ce qu’on fait la même 315

chose? Pour soustraire, on fait comment? On fait quelle technique? Oui. 316

El : Pour soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur, puis on soustrait, on 317

prend la plus grande et on soustrait celle qui a le plus petit numérateur. 318

Piga : Tu vas reprendre [en désignant un autre élève]. 319

El : Pour soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on soustrait les 320


Piga : Voilà, ça veut dire aussi, pour soustraire aussi deux fractions, on les réduit au même 322

dénominateur. Maintenant, on soustrait le plus petit numérateur du plus grand. C’est compris? Qui 323

va tout reprendre? Oui. 324

El : Pour soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on soustrait les 325


Piga : Interroge quelqu’un. 327

El : Pour soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on les numérateurs, 328

puis on garde le dénominateur. 329


[Il efface le tableau et recopie la règle sur la soustraction des fractions. Deux élèves ont eu des 331

difficultés à dire la règle. Le stagiaire revient sur la règle formulée.] 332

Pour soustraire une fraction d’une autre, on les réduit au même dénominateur, puis on soustrait le 333

plus petit numérateur du plus grand et on garde les dénominateurs. 334

335

Qui va reprendre comme ça je vais voir? Oui. 336

El : Pour soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur 337

314

Piga : Non ce n’est pas deux fractions. Pour soustraire une fraction 338

El : Pour soustraire une fraction 339

Piga : D’une autre 340

El : D’une autre fraction, on le réduit au même dénominateur, on soustrait les, on soustrait le plus 341

petit du plus grand et on garde le dénominateur. 342

El : Pour soustraire une fraction de l’autre 343

Piga : D’une autre 344

El : D’une autre fraction, on soustrait, on les réduit au même dénominateur, puis on soustrait le 345

plus petit du plus grand et on garde le dénominateur. 346


[Huit élèves récitent la règle formulée à tour de rôle. Certains ont facilement réussi, mais d’autres 348

ont eu des difficultés. Pendant ce temps, le stagiaire recopie la règle au tableau.] 349

350

[À 53 mn 55 s,] c’est bien. 351

Prenez les brouillons, vos brouillons. Faites les opérations suivantes. Recopiez d’abord. 352

Effectue les opérations suivantes :12

9, les feuilles-là, on n’écrit pas dans le cahier, sur les feuilles-353

là seulement. 354

12

9-10

7. C’est fini 355

Els : Non 356

Piga : On continue 12

9-10

7.

21

3-

2

1; ça y est? 357

Els : Oui 358

Piga : 3

2+

4

2; ça y est? 359

Els : Oui 360

Piga : 3

2+

4

2. Le dernier maintenant

12

1+

4

2;

12

1+

4

2. [À 55 mn 41 s]. Rapidement, vous avez 5 361

minutes. Vous avez fini? C’est12

9, suivez :

12

9-10

7, ça c’est le 1. Le 2 :

21

3-

2

1, un demi, un 362

315

deuxième on appelle ça aussi un demi. 3

2+

4

2;

12

1+

4

2. [À 56 mn 27 s]. Vous avez 5 minutes pour 363

le tout. [Il se déplace dans la classe et observe le travail des élèves.] [À 59 mn 54 s,] il vous reste 2 364

minutes, faites vite. [À 1 h 01 mn 56 s,] 1 minute. [Il échange avec certains élèves.] 365

[À 1 h 04 mn 07 s,] on arrête. Échangez; arrêtez. Échangez; échangez. Qui va corriger le premier 366

exercice? Oui. [Une élève passe au tableau pour la correction du 1er calcul.] 367

El : 12

9-10

7, [L’élève revient à la ligne pour effectuer le calcul]. 368

Piga : Continue sur la même ligne. 369

El : 12

9-10

7=

1012

109

=

120

90

1210

127

=

120

84

120

90-120

84=

120

6. [Des élèves lèvent les mains pour 370

se faire interroger.] 371


Els : Oui. 373

Piga : Bien. On pouvait aussi faire comment? Vous avez vu la simplification. 374

Els : Oui. 375

Piga : Ahan? 376

Els : Oui. 377

Piga : Oui [en désignant une autre élève pour le 2e calcul]. Communiquez rapidement. Il faut lui 378

donner. [Des élèves communiquent le 2e calcul à faire à l’élève au tableau.] 379

El : [À 1 h 07 mn 22 s,] 21

3-

2

1= 380

Piga : Voilà 21

3-

2

1. Dans le 1er cas qui va m’expliquer comment on simplifie?

120

6, on simplifie 381

comment? Oralement. Ici là, tu allais faire comment? [Un élève interrogé explique ce qu’il a fait, 382

mais ce n’est pas audible.] 383

Piga : Tu auras quoi? 384

El : 20

1. 385

Piga : 20

1. [Il revient à celle qui fait le 2e calcul au tableau.] 386

El : 21

3-

2

1=

221

23

=

41

6=

212

211

=

41

21 387

[Des élèves ne sont pas d’accord avec ce qui est fait l’élève au tableau. Ils manifestent en disant.] 388

Els : Ce n’est pas comme ça. [Ils apportent la correction à l’erreur de calcul 21 2=42. L’élève 389

transforme 41 en 42.] 390

El : 391

316

392

[L’élève lit ensuite le résultat de son calcul. Des élèves lèvent les mains pendant que l’élève au 393

tableau est toujours sur la tâche.] 394

Piga : Il faut reprendre. Suivez; reprends. Reprends. 395

El : D’effacer? 396

Piga : Non, non, reprend oralement. 21

3, en réduisant au même dénominateur, on a quoi? 397

El : On a… 398

Piga : Reprend, reprend, on a dit moins, on n’a pas dit plus hien. Le ton est un peu élevé. 399

C’est moins. [L’élève semble ne pas comprendre ce que veut le stagiaire.] 42

6-. Qui a fait ça 400

autrement? [Il désigne un autre élève.] 401

El : J’ai fait 42

21-

42

6. 402

Piga : Est-ce que c’est ce qu’on a dit? On a dit 21

3-

2

1. 403

El : On fait l’inverse. 404

Piga : L’inverse! Comment? Pourquoi, on fait l’inverse? Donc vous n’avez pas bien suivi, on a dit 405

quoi? On enlève le plus petit numérateur du plus grand. Mais, ici on a dit quoi : trois vingt-et-un 406

moins un demi (21

3-

2

1), est-ce que c’est possible? 407

Els : Non. [L’élève au tableau s’apprête à effacer ce qu’elle a écrit.] 408

Piga : Non, non, laisse. Tu as inversé, ce n’est pas bon. On continue, à ta place. 409

Qui a trouvé que ce n’est pas possible? Qui a écrit pas possible? Oui. 410

El : Parce qu’on ne peut pas enlever 21

3dans

2

1. 411

[Piga ne laisse l’élève qui parle achever sa phrase.] 412

Piga : Bon, dans l’exercice, ce qu’elle a fait ce n’est pas comme cela. Mais, je voudrais voir 413

quelqu’un qui me dise que ici-là ce n’est pas possible [en indiquant 42

6-

42

21]. Donc tout le monde 414

a fait pareille comme ça [en indiquant 42

6-

42

21]. Est-ce qu’on peut enlever 6 dans 21? 415

Els : Non. 416

Piga : Tout le monde a fait comme cela? 417

317

Els : Non. 418

Piga : On continue. [À 1 h 13 mn 43 s, des élèves claquent des doigts pour aller au tableau.] 419

Piga : 3

2+

4

2;

3

2+

4

2 hein. Au fond.

3

2+

4

2;

3

2+

4

2 420

El : 3

2+

4

2=

43

42

=

12

8

34

32

=

12

6

12

8+

12

6=

12

14 421

Piga : Tu peux simplifier? Tu peux simplifie? Simplifie on va voir. 422

El : 12

14. Je vais simplifier par 4. Dans 14 il y combien de fois 4, il va 3 fois. 423

Piga : Dans 14 il y a combien de fois 4? 4 fois 3 424

Els : 12. 425

Piga : Est-ce que c’est 14? 426

El : Non. [Des élèves lèvent le doigt pour aller au tableau.] 427

Piga : Laissez la simplification, après. C’est comme ça qu’on vous a appris à faire? 428

Els : Non. 429

Piga : Qui va essayer, je vais voir? Oui. Laisse, elle va essayer. On simplifie quatorze douzième 430

sur, euh on simplifie12

14. 431

El : Je vais simplifier par 2. Dans 14 il y a combien de fois 2, il y a 7 fois; dans 12, il y a combien de 432

fois 2, il y a 6 fois. 12

14=

212

214

=

6

7. 433

Piga : Donc on va, ici-suivez. Pour simplifier, le monsieur qui était ici là, on divise par le même 434

nombre. Tu regardes 14 là, je peux diviser 14 par combien? Et 12 par la même chose. Ce n’est 435

pas ce qu’on vous a expliqué? 436

Els : Oui. 437

Piga : Et tu fais 14 divisés par 2, c’est égal à 7; 12 divisé par 2 c’est, 6. Est-ce qu’on peut encore 438

diviser 6

7? Est-ce qu’on peut encore continuer? 439

Els : Non. 440

Piga : Quand on ne peut pas, on fait comment? On? On fait comment? 441

Els : On arrête. 442

Piga : On s’arrête. OK, le dernier exercice, qui va corriger? [Des élèves lèvent les mains.] 443

Piga : 12

1+

4

2. Oui, la fille là. 444

El : 12

1+

4

2=

812

41

=

48

4

124

122

=

48

24

48

4+

48

24=

48

28. 445

318


Els : Oui. [L’élève, au tableau, commence à simplifier par 2. Des élèves trouvent que ce qu’elle fait 447

n’est pas juste. Il commence à lever les mains.] 448

Els : Ce n’est pas par 2. Ce n’est pas par 2. 449

Piga : On peut trouver un chiffre plus grand que 2, ou bien? 450

Els : Oui. 451

Piga : Combien? 452

Els : 4 453

El : 48

28=

448

428

= 454

Piga : Il faut faire la division de l’autre côté. Va là-bas [en indiquant une partie du tableau]. [L’élève 455

n’arrive pas à effectuer les opérations de division.] 456

8 quoi? C’est bon, qui va l’aider? [Des élèves disent moi, moi en claquant des doigts.] 457

Vas-y [en indiquant un élève]. Il faut lire 48 divisé par 4. On prend combien de chiffres? 458

El : On prend un chiffre. 459

Piga : Onhon. 460

El : Dans 4 il y a combien de fois 4, il va 1 fois. 1 fois 4 4, 4 ôté de 4 il reste 0. J’abaisse 8, dans 8 461

il y a combien de fois 4? Il y a 2 fois; 2 fois 4 8, 8 ôté de 8 il reste 0. 462

Piga : 48 divisé par 4 égales 12. Onhon, écris. 463

El :…448

428

=

12

7 464

Piga : 12

7, il faut vous exercer à simplifier les fractions. OK, ça fait 1 point, 1 point. C’était su 4. Ici 465

là [en revenant à 21

3-

2

1], c’est un piège. Il fallait dire seulement qu’on ne peut pas. Vous lisez, il 466

fallait lire ici seulement [en indiquant la règle sur la soustraction des fractions]. On enlève le plus 467

petit du plus grand. Alors que vous avez un, vous avez 6 et on voulait enlever 21, est-ce que c’est 468

possible? Il fallait dire ici seulement que je ne peux pas. 469

Qui a trouvé 4? Corrigez rapidement. Qui a eu 4? Ça fait 1 point, 1 point. 470

Ça fait 1 point 1 point. 1 point ici [en indiquant le résultat de 12

9-10

7]; 1 point pour celui qui dit que 471

ce n’est pas possible; 1 point par-là [en indiquant le résultat de 12

1+

4

2] et 1 point par là [en 472

indiquant le résultat de 12

1+

4

2]. 473

Rapidement, corrigez. Qui a trouvé 4. [Deux mains sont levées.] C’est bien, vous avez très bien 474

compris la leçon. Applaudissez d’abord pour eux. [Les élèves applaudissent pour leurs 475

camarades.] 476

319

3; 3 sur 4? Levez. [Il y a beaucoup plus de mains levées.] 477

2 sur 4? Bien. 1 sur 4? Qui a trouvé 1? 0? 478

OK. C’est quelle leçon? C’est quelle leçon? [Les élèves lèvent les mains.] 479

Oui. Rassemblez les feuilles, j’arrive. 480

El : Arithmétique. 481

Piga : Arithmétique, onhon. [Il écrit arithmétique au-dessus de la règle sur l’addition des fractions.] 482

Addition, est-ce que c’est l’addition seulement qu’on a vue? 483

Els : Non 484

Piga : Oui. 485

El : L’addition et la soustraction des fractions. 486

Piga : Donc on dira : Addition et soustraction des fractions. [Il fait une lecture de la règle de calcul 487

sur l’addition des fractions et leur dit de prendre en exemple les calculs effectués au tableau. Il fait 488

une lecture également la règle de calcul sur la soustraction des fractions et leur dit de prendre en 489

exemple les calculs effectués au tableau sur la soustraction.] 490

Qui va lire? Oui. [Une élève est désignée. L’élève fait une lecture des deux règles.] 491

C’est bien. C’est bien. C’est très bien. C’est bien. C’est bien. Maintenant, que pensez-vous de la 492

leçon? Est-ce que vous pensez que vous avez bien compris? Si on vous donne un exercice, vous 493

pouvez trouver? Même si ce n’est pas ici? 494

Els : Oui 495

Piga : C’est sûr? 496

Els : Oui. 497

Piga : C’était comment? Est-ce que c’était dur? 498

Els : Non. 499

Piga : Est-ce que les fractions étaient dures? 500

Els : Non. 501

Piga : C’est bien, debout; assis; debout; assis; assis; c’est bon. 502

320

2.3 Transcription de l’entrevue

CH : Comment avez-vous vécu la séance de leçon? 1

Piga : Comment j’ai vécu la séance de leçon? En tout cas, il y avait de l’ambiance, les élèves 2

étaient motivés. Ça m’a surpris un peu ce matin. Je m’attendais à un CM2 pas facile, mais je me 3

suis rendu compte que les élèves ont beaucoup participé. 4

CH : En fait, cette question, c’est pour avoir votre appréciation de la séance de leçon de ce matin. 5

C’est juste pour ça. 6

Piga : Ça, c’est bien. 7

CH : Vous avez fait des cours au CM1? 8

Piga : Au CM1, non, non. C’est ma première fois d’essayer de pratiquer au CM. J’ai le CP. Je suis 9

au CE. 10

CH : Et après vous allez passer au CM ou pas encore? 11

Piga : Non, non. Après, je pense, je m’arrête là. 12

CH : Vous avez eu des difficultés à préparer la séance de leçon? Des difficultés d’ordre 13

pédagogique ou d’ordre didactique? 14

Piga : Comme on voit tout au niveau des ENEP, on nous a formés pour tout le cycle. Mais 15

maintenant, je n’ai pas eu le temps pour pratiquer dans la classe là proprement dite. C’était une 16

difficulté pour moi. Mais je me suis dit il faut essayer de faire avec. Il y a eu aussi l’appui de 17

quelques enseignants. 18

CH : Donc, vous avez eu des difficultés dans la préparation de la leçon? Si oui, de quel genre? 19

Piga : On peut dire oui. C’est la concrétisation en fait. Au départ, je ne voulais pas faire à partir des 20

feuilles, je voulais faire la leçon à partir des fruits comme pastèques et oranges. Vu leur nombre 21

aussi, on pouvait faire par groupe, mais les objets aussi qui devrait être utilisés pouvaient quand 22

même… Puisqu’on allait amener des couteaux pour diviser l’orange. On allait dégager les 23

différents types de fractions et sur ça on allait facilement y arriver. Mais, c’était d’abord comment 24

concrétiser une fraction? C’est ça même qui est un peu… 25

CH : Donc votre objectif de la leçon du jour, c’était exactement quoi? L’objectif de la leçon du jour? 26

Piga : J’ai mis ça sur la fiche : l’élève doit être capable d’abord d’additionner et soustraire des 27

fractions et résoudre les exercices qui lui seront proposés, les exercices d’évaluation. 28

CH : Donc, c’était l’addition et la soustraction des fractions comme vous l’avez notée au tableau. 29

L’intervention des quarts de feuilles, vous avez parlé des oranges; ça, c’est pour introduire quel 30

objectif? L’utilisation des rectangles, des feuilles, vous avez dit de plier par-ci, par-là, je voudrais 31

avoir une clarification là-dessus. 32

Piga : Sur les feuilles ou les oranges? 33

CH : Sur les feuilles, puisque vous avez utilisé des feuilles en classe. Vous avez dit de faire des 34

rectangles de mêmes dimensions, on plie, ainsi de suite. Je voudrais avoir plus de précision. 35

Qu’est-ce qui était vraiment fondamental dans la réalisation de cette activité? 36

Piga : C’est ce qu’on appelle aussi, pluridisciplinarité. Ça veut dire, on ne peut pas se limiter 37

seulement qu’à l’arithmétique, on pouvait aussi aller en géométrie. Quand on découpe, vous avez 38

321

vu qu’il y a eu des élèves même qui ont eu des difficultés pour découper même en rectangles. Il y 39

a eu certains élèves qui ont eu des difficultés pour couper les feuilles en rectangles. 40

CH : Moi, je n’ai pas perçu, puisque ça n’a pas été relevé. Moi, j’étais en train de filmer. Donc, je 41

ne peux pas percevoir. C’est vous qui percevez et en aucun cas je n’ai pas vu que vous avez 42

manifesté quand même qu’il y a des erreurs. Allons-y. 43

Piga : Premièrement quand on prend une feuille de forme rectangulaire et puis on plie en deux, 44

l’enfant voit visiblement que les plis, les 4 carreaux… C’était pour faire comprendre d’abord, faire 45

comprendre à l’enfant le dénominateur là d’abord c’est quoi à partir, à partir de la feuille. Quand on 46

plie la feuille en 4 ou en 2, en 3, n’importe quel [nombre de fois], le nombre de parties quand on 47

n’enlève pas, ça forme une unité. C’est comme l’orange. C’est comme une unité. 48

CH : C’est un tout, oui. 49

Piga : C’est un tout c’est ça qu’on appelle dénominateur. Et dès qu’on enlève 1 carreau ou 2 50

carreaux, les 2 carreaux représentent une fraction qui garde toujours le même dénominateur. 51

CH : Une partie du « tout ». 52

Piga : Une partie du « tout ». Voilà l’esprit qui m’a un peu…, ce qui m’a conduit à utiliser les 53

feuilles. Et à partir de là maintenant, on peut manipuler. On peut essayer de compléter, si on 54

n’arrive pas, pourquoi? Parce que là c’est 4

2, là c’est 1. 55

CH : Je constate que là vous revenez même au fondement de la fraction. 4

2, puisque c’est 2 56

portions sur 4. C’est la notion de4

2alors que les fractions ont été vues au CM1 et même j’ai 57

constaté que c’est vu cette année, parce que j’ai regardé dans les cahiers. J’ai eu l’impression que 58

c’est une reprise pour cette année, ce n’est pas un nouveau cours. L’addition a été faite; 59

comparaison; tout ça, ç’a été fait. 60

Piga : Ils ont déjà vu ça, je pense. Ils ont déjà peut-être brossé ça. Mais maintenant, malgré tout 61

de même, il y a des difficultés; il y a toujours des difficultés. 62

CH : La difficulté des élèves! C’est vous, à votre niveau avec ce qu’on a fait, la difficulté que vous 63

avez eue dans le déroulement de cette séance de leçon. Quelle est la difficulté exacte que vous 64

avez eue à faire passer le message? 65

Piga : Je n’ai pas eu tellement de difficulté comme cela. 66

CH : Vous n’avez pas eu de difficultés? 67

Piga : Pas tellement. C’était au niveau des consignes. Les élèves n’entendent pas aussi bien. Les 68

élèves qui interprètent mal les choses. On dit de plier en 2, de plier en 3. Il fallait expliquer. Vous 69

voyez qu’entre-temps même j’ai pris une feuille, la feuille pour expliquer comment on plie. Dans les 70

normes mêmes, je ne devais pas toucher à quelque chose, sauf le tableau et la craie seulement. 71

CH : Quelle est l’approche pédagogique que vous avez adoptée pour la séance. 72

Piga : ASEI-PDSI 73

CH : Vous avez eu un contenu sur ça à l’école? 74

322

Piga : Oui, un cours, mais le cahier n’est pas venu. 75

CH : C’est quelle école? 76

Piga : École Sig-Nonghin : EFEP-Sig-Nonghin. 77

CH : Concrètement, cette approche consiste à quoi? Consiste en quoi? 78

Piga : L’approche ASEI-PDSI; l’enseignant intervient moins. L’enseignant ne donne seulement que 79

des directives et des consignes. Et tout, c’est les élèves maintenant qui manipulent, qui découvrent 80

et qui formulent leurs règles. Le principe là même, c’est comme ça. 81

CH : Concrètement, c’est ce qui s’est réalisé? 82

Piga : Voilà, c’est l’élève qui manipule, qui découvre et puis maintenant qui va essayer de formuler 83

sa règle et puis on adopte. On fait répéter 84

CH : Donc, vous pensez que ce matin, les élèves ont découvert les règles tout seul et ils ont répété 85

sans… Ce n’est pas venu de vous? Les règles ne sont pas dictées par vous? 86

Piga : Peut-être des corrections oui. 87

CH : Des corrections, vous intervenez pour apporter des corrections. 88

Piga : Pour bien formuler les phrases. 89

CH : Est-ce qu’il y a une autre approche que vous avez vue à l’école? 90

Piga : Oui, la méthode classique. 91

CH : La méthode classique consiste en quoi? 92

Piga : La méthode classique a trois phases, a trois niveaux. Il y a la phase concrète : quand on 93

utilise des bâtonnets, des… 94

CH : Ça, c’est au CP oui. 95

Piga : Même au CM, on peut utiliser des bâtonnets dans l’ancienne…, on utilise quelque chose de 96

concret. 97

CH : Quelque chose de concret, mais des bâtonnets au CM2, je n’en vois pas. Enfin, vous pouvez 98

me donner une idée 99

Piga : Réellement, il y a un problème de niveau. Il y a des classes de CM où on utilise souvent. 100

Vous voyez, vous avez vu même ce matin, 48 divisé par 4, l’élève a eu des problèmes. Ça dépend 101

du niveau réel, un élève peut être au CM2 et le niveau réel de l’élève là même… 102

CH : Il y a la phase concrète. 103

Piga : Il y a la phase concrète qui consiste à faire manipuler l’enfant. L’enfant manipule les objets 104

concrètement. Par exemple, si c’était l’ancienne méthode sur les fractions, on pouvait aussi faire 105

avec les feuilles ou les oranges, mais là il y a une manipulation collective. L’enseignant manipule, 106

les élèves regardent, les élèves aussi manipulent; manipulation collective et manipulation 107

individuelle. Chaque élève imite maintenant ce que l’enseignant a fait. Mais maintenant, dans la 2e 108

phase là, c’est ce qu’on appelle la phase semi-concrète. On passe par des dessins. On dessine le 109

nombre de carreaux, on essaie d’enlever. On enlève; ça, c’est combien? On fait tout au tableau et 110

l’enfant aussi imite la même chose et l’enfant refait la même chose sur son ardoise ou sur cahier 111

de brouillon. Voilà! C’est dans la phase maintenant abstraite, dans la phase semi-concrète d’abord. 112

323

CH : C’est ce que vous avez dit. 113

Piga : Voilà, les dessins. La phase abstraite consiste à effacer les dessins et on garde les 114

fractions. Et maintenant on fait les opérations sur ces fractions. Voilà, un peu l’ancienne méthode 115

et la nouvelle méthode. 116

CH : Maintenant, pourquoi vous avez privilégié la méthode ASEI-PDSI au lieu de la méthode 117

classique? 118

Piga : ASEI, parce que l’enseignant, on peut dire que l’enseignant ne se fatigue pas comme ça. Il 119

se repose, il ne fait que donner des consignes. Ça permet aussi à l’enseignant de jeter un coup 120

d’œil par-ci, par-là; ça gagne un peu de temps. 121

CH : C’est le repos de l’enseignant vous, vous voulez ou bien c’est la réussite des élèves quand 122

vous enseignez? 123

Piga : Vous avez vu au niveau d’ASEI, l’élève travaille beaucoup plus qu’à l’ancienne méthode. 124

Parce qu’un enfant peut imiter ce que l’enseignant a fait, mais il n’a rien compris. Ça ne vient pas 125

de lui. Il peut imiter quelque chose : on coupe, voilà comment on plie. L’enfant a imité, mais il n’a 126

pas réellement manipulé. 127

CH : Mais, dans cette phase concrète, est-ce qu’il n’arrive pas que les élèves travaillent en 128

groupes? Au lieu que ça soit l’enseignant qui manipule. Et s’ils travaillent en sous-groupes. 129

Piga : Ça dépend, il y a plusieurs types de… il y a des classes, ce qu’on appelle la pédagogie du 130

groupe. Les élèves sont classés en groupes, les élèves sont en groupes et on travaille ensemble. 131

On essaie de mélanger les meilleurs et les faibles. Ça, c’est ce qu’on appelle la pédagogie du 132

groupe. On peut aussi arriver, les élèves peuvent travailler en groupes si c’est la pédagogie du 133

groupe qui est appliquée en classe. Chaque classe est indépendante. Mais actuellement on est en 134

train de promouvoir la pédagogie du groupe. 135

CH : Mais, pourquoi vous n’avez pas privilégié par exemple la pédagogie du groupe? Puisque c’est 136

une pratique aussi. 137

Piga : Oui, mais ça dépend de comment j’ai utilisé la classe. Je suis au CE2, j’ai demandé la 138

classe pour présenter une leçon. Je viens, je ne peux rien changer. Je ne dois rien toucher, ça va 139

perturber en tout cas l’esprit. Je ne peux pas dire de former des groupes sur le champ et puis 140

travailler. Je ne peux pas. Donc de la manière dont j’ai vu la classe, peut-être, c’est des groupes 141

comme cela. Ça peut être des groupes comme cela. 142

CH : Donc, vous ne vous êtes pas renseigné sur les pratiques d’enseignement dans la classe? 143

Piga : Je ne me suis pas renseigné en tout cas. 144

CH : Vous avez opté, choisi, c’est ASEI-PDSI? 145

Piga : La méthode ASEI-PDSI, on peut faire en groupes. Peut-être d’autres personnes peuvent 146

faire la même technique d’enseignement, mais par groupes. Au lieu que ce soit un travail individuel 147

comme ce que j’ai fait, mais des travaux par groupes. 148

CH : Qu’est-ce qui a motivé votre choix pour le travail individuel? 149

Qu’est-ce qui a motivé votre choix pour le travail individuel? 150

324

Piga : Là, c’est pour déceler un peu les faibles et les bons rapidement. Puisque quand on dit un 151

groupe, le travail du groupe, ce n’est pas sûr que… on a toujours des gens, on n’arrive pas à les 152

déceler. 153

CH : Quel est l’intérêt de faire un travail de groupes selon vous? 154

Piga : L’intérêt, c’est que les élèves apprennent beaucoup plus quand ils sont ensemble. Entre 155

eux, ils apprennent beaucoup plus. 156

CH : Donc, vous voyez que ç'a un intérêt. Puisque vous dites qu’on n’arrive pas à déceler les 157

faibles, est-ce que l’objectif, c’est de déceler les faibles? L’objectif, c’est d’amener les faibles à 158

émerger. C’est ce que je pense. Je veux comprendre. 159

Piga : Ç'a un intérêt. C’est vrai. 160

CH : Mais vous, vous avez privilégié le travail individuel. Donc, celui qui ne comprend pas, il va 161

attendre la correction en ce moment. Alors qu’ils peuvent s’épauler. Enfin, là c’est un point de vue 162

et je veux comprendre pourquoi vous… 163

Piga : C’est juste pour un temps, si c’était ma classe, là, j’allais voir comment organiser la classe 164

pour que les élèves puissent 165

CH : Dans les classes que vous tenez, vous pratiquez la pédagogie du groupe? 166

Piga : On fait la pédagogie du groupe. On fait ça là-bas, au CE2. 167

CH : Au CE2. 168

Piga : Il se peut qu’ici aussi ce soit des groupes. Mais, ma pratique aujourd’hui, je n’ai pas 169

réellement misé sur la pédagogie du groupe. Il se peut qu’ici là, on ait des groupes. Je me dis 170

même que c’est des groupes. Ça doit être des groupes. [16 min 50 s]. 171

CH : Donc, vous avez voulu donner des activités pour que les élèves arrivent à découvrir. Pour ces 172

activités que vous avez données, qu’est-ce qui a motivé ce choix? Concrètement qu’est-ce qui 173

vous a motivé à faire ce choix? 174

Piga : D’abord les oranges, vu leur effectif, trouver des oranges pour chacun, en tout cas ce n’est 175

pas facile. Et les objets aussi, utiliser des couteaux, des élèves peuvent arriver à se blesser ou 176

bien des trucs comme cela. Donc pour éviter tout cela, et trouver quelque chose, on n’a pas besoin 177

d’acheter, c’est sur place et l’élève manipule rapidement, c’est ce qui m’a un peu motivé à partir 178

des feuilles. 179

CH : Mais, avez-vous constaté des élèves qui avaient des difficultés dans la réalisation des 180

activités? 181

Piga : Oui, oui. D’abord même dans le découpage. Découper deux rectangles de mêmes 182

dimensions, il y a eu des gens qui ont eu des difficultés. 183

CH : Et comment vous avez procédé pour aider les enfants qui avaient des difficultés à faire des 184

rectangles, ou bien à faire des additions, ou bien à réduire au même dénominateur. 185

Piga : C’est de suivre ce que leur voisin fait. Il faut suivre, il jette un coup d’œil sur son voisin. Est-186

ce que c’est la même chose qu’il fait? 187

CH : C’est ça que vous avez opté pour aider, pour que les élèves… 188

Piga : Voilà, c’était pour manipuler la feuille là. 189

325

CH : Même pour faire les calculs? 190

Piga : C’est la table de multiplication. Je dis en tout ça, ça fait combien? Souvent, par exemple si 191

c’est 2 fois 6 ou 2 fois combien, soit je demande à l’élève tu récites jusqu’à... s’il ne connait pas le 192

voisin, et puis on continue. 193

CH : Pour les erreurs de calcul. 194

Piga : Pour les erreurs de calcul. 195

CH : Mais, je voyais, j’ai vu au tableau, ça, c’est le tout dernier-là, l’élève qui faisait 48+48, puisque 196

c’est le même dénominateur. Vous avez dit non et quelqu’un d’autre a répondu. Est-ce que l’élève 197

qui est au tableau sait pourquoi on a dit qu’on met 48, on ne met pas 48+48? 198

Piga : Il y a eu des… peut-être l’élève a suivi après. 199

CH : Pourquoi effectivement l’élève faisait l’addition des deux dénominateurs. Puisque c’est 48

4 et 200

combien sur 48, donc l’élève a additionné les numérateurs et additionné les dénominateurs. Elle 201

était en train d’additionner les dénominateurs. 202

Piga : Les autres ont dit non, non. 203

CH : Les autres ont dit non, non. Et rapidement elle a… Est-ce qu’elle a compris pourquoi on 204

n’additionne pas les dénominateurs? 205

Piga : Ah, je crois qu’elle a suivi avec le reste. Elle a suivi avec l’ensemble classe. 206

CH : Voilà une erreur que peut-être, vous aurez dû… elle est au tableau, c’est ce que vous avez vu 207

au tableau. Peut-être, il y a beaucoup à leur place aussi qui aurait fait la même erreur. Mais, elle a 208

changé parce que les autres ont dit non. Mais concrètement est-ce que l’élève sait pourquoi on 209

n’additionne pas les dénominateurs? 210

Piga : Ah, en tout cas ça c’est une erreur. 211

CH : Et comment vous pouvez passer, comment on peut procéder pour amener l’élève à 212

surmonter cette erreur. 213

Piga : C’est par des exercices; par des exercices seulement. 214

CH : Par des exercices seulement. Est-ce que au niveau de l’école, il y a eu des enseignements 215

par rapport à ça? Par rapport à la gestion des erreurs? 216

Piga : La gestion des erreurs? 217

CH : Dans votre formation théorique? Est-ce qu’il y a eu des contenus? 218

Piga : Amener l’élève a surmonté ses erreurs? Ce n’est pas un contenu comme cela. Je ne pense 219

pas. 220

CH : Autre question également, est-ce que vous avez eu des contenus de formation sur la 221

fraction? Par exemple les renforcements? 222

Piga : Non, non. 223

CH : Des renforcements sur la fraction? 224

Piga : Typiquement sur la fraction, non. 225

326

CH : Vous avez eu des contenus de renforcement à quel niveau au cours de votre formation, en 226

mathématiques par exemple? Sur quel contenu, notion mathématique vous avez eu un 227

renforcement à l’école? 228

Piga : Au niveau de l’école, il y a un programme : le calcul au CP jusqu’au CM. Mais dire qu’il y a 229

une formation proprement dite sur les fractions, non. On prend seulement la discipline là, 230

l’arithmétique on fait ça. Mais on ne rentre pas dedans, ce n’est pas approfondi. 231

CH : Je constate que vous avez prévu un cours d’une heure, c’est ça. 232

Piga : Oui. 233

CH : Mais à ma surprise, on a fait 1 h 30 mn, pourtant vous n’avez pas eu de difficultés dans la 234

réalisation de la séance de cours. Comment vous justifiez les 30 mn en plus? 235

Piga : J’ai ce problème. La gestion du temps n’est pas facile surtout en enseignement même du 236

calcul au primaire. 237

CH : Vous avez une montre? 238

Piga : Oui, un portable. 239

CH : Avez-vous été aidé dans la préparation du cours? 240

Piga : À une correction, sinon l’esprit… C’est une correction seulement; corriger, reformuler la 241

justification. 242

CH : Par? 243

Piga : L’enseignant de la classe. 244

CH : L’enseignant de la classe. 245

Piga : Monsieur G. 246

CH : Donc, il a relu tout le contenu avec vous. 247

Piga : Il a lu et corrigé en crayon et j’ai repris. 248

CH : Ça me revient. L’exercice, un exercice que vous avez dit, ou bien vous n’avez pas traité 249

avant. Est-ce que l’objectif c’est de dire ce n’est pas possible 250

Piga : C’était pour voir comment les élèves pouvaient mettre en pratique la soustraction, la 2e règle 251

qui disait qu’il faut que pour soustraire une fraction d’une autre, on les réduit au même 252

dénominateur puis on soustrait le plus petit numérateur du plus grand. Alors que là on avait 21

3-

2

1253

, à un moment donné ils ont inversé puisque ce n’est pas possible. Je m’attendais à ce que 254

quelqu’un me dise, ce n’est pas possible. 255

CH : Vous faites les corrigés généralement, des propositions de réponses. 256

Piga : Généralement oui. 257

CH : Parce que je constate effectivement les points d’apprentissage, je vois des corrigés, mais là 258

pratiquement pour l’évaluation, il n’y a pas eu de corrigé. 259

Merci comme je le dis, on va s’arrêter là. 260

327

Annexe 3 : Cas Pélagie


Fiche d’une leçon d’arithmétique

Thème : étude des fractions

Titre : multiplication d’une fraction par un nombre entier

Durée : 60 minutes

Date : 09-02-2013

Classe : CM2

Effectif : 72 élèves

Justification : les élèves ont appris à additionner et à soustraire des fractions. Cependant, ils ne connaissent pas la multiplication d’une fraction par un nombre entier. Il est donc important de leur montrer une technique pour la multiplication d’une fraction par un nombre entier.

Objectifs spécifique : À l’issue de la séance, l’élève doit être capable de multiplier une fraction par un nombre entier.

Matériel collectif : règle; tableau; craie; problèmes; opérations; disques.

Matériel individuel : ardoise; cahier de brouillon; règle; crayon; gomme.

Document : MEBA/ DGRIEF Mathématiques cours moyen première et deuxième années; pages 125, 126, 127.


I- Introduction

1. Calcul mental

- Fatou a acheté 11 cartons de 12 boules de savon. Combien de boules de savon a-t-elle achetées?

- Pour les présentations de vœux, le maire a invité 11 groupes de 22 personnes. Combien de personnes a-t-il invitées?

- Pour la course de dimanche, les candidats doivent faire 11 fois le tour d’une piste de36 km. Quelle distance doivent-ils parcourir?

2. Révision

Orale :

- Que faut-il faire pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents? »

- Quelle est la plus grande fraction entre deux fractions de numérateurs différents et de même dénominateur? »

Écrite : consigne : effectuez ces opérations : 7

3+

7

2;

2

3+

6

1.

328

3. Motivation

Communication de la justification et de l’objectif.

II- Développement

Consigne 1 : lisez le problème et ensemble, nous allons le représenter puis le résoudre :

Une mère donne à son bébé 3

1d’orange par jour. Au bout de 5 jours, quelle quantité

d’oranges le bébé aura-t-il consommée?

Activité des élèves : lecture du problème et représentation

Point d’enseignement/apprentissage : 3

1×5=

3

5. Les élèves par le biais de cette activité doivent

parvenir à donner le résultat de 3

1×5.

Consigne 2 : tracez deux traits de longueurs égales et divisez chaque trait en cinq parties égales. Coloriez 4 parties sur chaque trait et dites quelles fractions cela représente-t-il sur chaque trait et sur les deux traits?

Activité des élèves : traçage, division, coloriage et réponse.

Point d’enseignement/apprentissage : 5

4×2=

5

8.

Consigne 3 : Observez ces opérations et dites ce que vous constatez : 3

1×5=

3

5;

5

4×2=

5

8.

Activité des élèves : observation et constat.

Point d’enseignement/apprentissage : règle

III- Synthèse/conclusion

Qu’avez-vous retenu de ce que nous venons d’apprendre?

IV Évaluation

Acquis : individuellement, effectuez les opérations et résolvez le problème. 11

30×22 ; 12×

6

7.

Moussa et ses six frères consomment chacun 4

1 de pain au petit déjeuner. Combien de

morceaux de pain consomment-ils?»

Exercice de remédiation : à préciser après l’évaluation

Décision par rapport à la leçon : poursuivre ou reprendre?

Prestation de l’enseignante :

- Qu’est-ce que tu as aimé au cours de la leçon?

- Sur quel aspect voudrais-tu que je revienne?

329


Pélagie : [Premiers mots non audibles.] Prêts! On va faire le calcul mental. Coudes sur la table, les 1

mains en l’air. [Elle consulte sa fiche de préparation sur sa table.] 2

Fatou achète 11 cartons de 12 boules de savon. Combien de boules de savon a-t-elle acheté? 3

[Par une seule lecture lente, posée bien articulée, elle commence à dicter le problème ci-dessous. 4

À 00 mn 41s, un 1er coup de règle sur une table pour que les élèves calculent mentalement et 5

écrivent leur réponse. À 00 mn 50s, un 2e coup de règle sur table et les élèves arrêtent d’écrire. Un 6

élève est ensuite désigné pour la correction.] 7

Combien? 8

El : Fatou a en tout 32 savons. 9

[Sans rien dire, Pélagie désigne un autre élève.] 10

El : Moi, je trouve 132 savons. 11

Pélagie : Très bien! Comment tu as fait? 12

El : J’ai écarté les 2 chiffres et j’ai fait mélanger les 2 chiffres. 13

Pélagie : La somme 14

El : La somme des 2 chiffres au milieu. 15

Pélagie : Viens porter le résultat. 16

El : Il passe et porte le nombre 132 au tableau. 17

Pélagie : Très bien. [Elle donne 3e coup de règle sur la table.] 18

Ceux qui ont trouvé, levez; ceux qui n’ont pas trouvé, corrigez. Maintenant ceux qui ont trouvé, 19

vous marquez 1 point au coin de l’ardoise. 20

[À 01mn 54s, elle donne un coup de règle sur la table.] On lève la craie. Pour les présentations de 21

vœux, le maire a invité 22 groupes de 11 personnes. Combien de personnes a-t-il invité? 22

[À 02mn 18s, un coup de règle sur une table pour que les élèves calculent mentalement et écrivent 23

leur réponse et à 02mn 27s un autre coup de règle sur table; les élèves arrêtent d’écrire. Un élève 24

est désigné pour la correction.] 25

El : 242 26

Pélagie : 242 quoi? 27

El : [Il regarde sur sa feuille et dit :] personnes 28

[Pélagie tend la craie à l’élève qui vient de donner la réponse. L’élève passe au tableau et écrit : 29

242], 30

Pélagie : Ceux qui ont trouvé, vous levez. Ok, ceux qui ont trouvé, vous marquez 1 point. Ceux qui 31

n’ont pas trouvé, vous corrigez. 32

[Elle va à la porte chasser des élèves d’autres classes attirés qui n’avaient pas cours et 33

probablement par notre présence.] 34

330

[À 03 mn 21s]. Pour la course de dimanche, les candidats doivent faire 11 fois le tour, 11 fois une 35

piste de 36 km. Quelle distance doivent–ils parcourir? 36

[Elle fait le même scénario que les fois précédentes : 03mn 39s, 1er coup de règle et à 03mn 46s, 37

2e coup de règle.] 38

Pélagie : Oui [en désignant un élève]. 39

El 1 : Ils doivent parcourir 396 40

Pélagie : Quoi? 41

El1 : m, distance 42

El2 : Moi. 43

[Pélagie désigne l’élève qui se propose de répondre.] 44

El 2 : 375; 395 fois 45

[Pélagie désigne un 3e élève.] 46

El 3 : 396 km. 47

Pélagie : Très bien, 396 km. Viens écrire le résultat. 48

El 3: 396 km 49

Pélagie : Tu mets ici personnes et là boules [en indiquant les nombres déjà écrits]. 50

[L’élève écrit p pour personnes et b pour boules au niveau des réponses précédentes.] 51

El 3 : 242 p ; 132 b, 52

Pélagie : Ok, ceux qui ont trouvé, levez. Ceux qui n’ont pas trouvé, corrigez. C’est bon, ceux qui 53

ont trouvé, 1 point. Ceux qui n’ont pas trouvé, corrigez. 54

Qui sont ceux qui ont 3 points, ceux qui ont 3 points, levez [elle constate les mains levées]; 2 55

points, levez le bras [elle constate]; 1 point, c’est pas bien, passable; 0 point, c’est pas bon, il faut 56

grouiller. C’est bon. Maintenant, que faut-il faire pour additionner, pour soustraire deux fractions qui 57

n’ont pas le même dénominateur? Pour additionner, pour soustraire 2 fractions qui n’ont pas le 58

même dénominateur, que faut-il faire? Une seule personne! Oui. 59

El : Pour additionner un nombre à 2 chiffres… 60

Pélagie : On-on [non]. Pour additionner 61

El : Pour additionner un nombre 62

Pélagie : Deux fractions 63

El : Deux fractions 64

Pélagie : De dénominateurs 65

El : De dénominateurs, on prend le numérateur [Le 1er élève est bloqué.] 66

Pélagie : Vous ne révisez pas. Oui [pour désigner un autre élève]. 67

El : Pour additionner ou soustraire un. 68

Pélagie : Deux fractions 69

331

El : deux fractions, on multiplie le dénominateur 70

Pélagie : de dénominateurs différents 71

El : on multiplie le dénominateur différent et on conserve le numérateur. 72

Pélagie : Non. Pour additionner deux fractions de dénominateurs différents, les deux fractions, 73

vous voulez additionner et qui n’ont pas le même dénominateur. Qu’est-ce que vous devez faire 74

d’abord? Oui. 75

El : Il faut les mettre d’abord au même dénominateur. 76

Pélagie : Très bien, parle fort. 77

El : Pour 78

Pélagie : Additionner 79

El : Pour additionner ou soustraire deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur, il faut 80

d’abord les rendre au même dénominateur. 81

Pélagie : Très bien. Maintenant, quelle est la plus grande fraction entre deux fractions qui ont le 82

même numérateur et qui n’ont pas le même dénominateur? Entre deux fractions qui ont le même 83

numérateur et qui n’ont pas le même dénominateur, quelle est la plus grande fraction? [Il n’y a pas 84

de main levée.] Par exemple 1 tiers et 1 demi; quelle est la plus grande fraction entre 1 tiers et 1 85

demi? Oui. 86

El : 1 tiers est plus grand. 87

Pélagie : C’est vrai ça? 88

Els : Moi, moi 89

Pélagie : Oui [en désignant un autre élève]. 90

El : 2 demis. 91

[Pélagie désigne un autre élève.] 92

El : 1; 1 demi est le plus grand. 93

Pélagie : est la 94

El : est la plus grande fraction. 95

Pélagie : Donc, on va dire que pour, on va dire que entre deux fractions qui ont le même 96

numérateur et qui n’ont pas le même dénominateur, quelle est la plus grande fraction? Par rapport 97

à ce que vous venez de dire, quelle est la plus grande fraction? Oui. 98

El : Le plus petit 99

Pélagie : La plus grande fraction 100

El : La plus grande fraction est le plus petit dénominateur 101

Pélagie : est celle 102

El : celle la plus petit dénominateur. 103

Pélagie : qui a 104

332

El : qui a la plus 105

Pélagie : le plus 106

El : le plus petit dénominateur. 107

Pélagie : onhon, [oui] reprend. Entre deux fractions 108

El : Entre deux fractions 109

Pélagie : qui ont le même numérateur 110

El : qui ont le même numérateur 111

Pélagie : et qui n’ont pas le même dénominateur 112

El : et qui n’ont pas, et qui n’ont pas le même dénominateur, le plus petit 113

Pélagie : la plus petite 114

El : la plus petite est le dénominateur 115

Pélagie : est celle qui a le plus petit dénominateur. 116

El : est celle qui a le plus petit dénominateur. 117

Pélagie : Quelqu’un d’autre pour répéter bien. [Il n’y a pas de volontaire.] 118

C’est une leçon que vous avez déjà faite, la, les euh, la comparaison des fractions. C’est un peu 119

ça. Onhon, donc, entre deux fractions qui ont un même dénominateur euh, qui ont un même 120

numérateur et des dénominateurs différents, la plus grande est celle qui a le petit dénominateur. 121

OK! 122

[Pélagie recopie ensuite au tableau les calculs ci-dessous. 7

3 +

7

2= ;

2

3 +

6

1 = Elle efface les 123

réponses du calcul mental pour faire de la place au tableau.] 124

Faites vite, vous avez deux minutes [à 10mn 20s]. 125

[Elle va chasser certains élèves qui sont revenus à une fenêtre de la classe. Elle circule et observe 126

le travail des élèves.] 127

[À 12mn 21s.] C’est bon, on n’écrit plus, on va corriger. [Des élèves claquent des doigts en disant 128

moi, moi… Certains se mettent même debout.] 129

Oui. [Elle tend la craie à un élève. L’élève passe au tableau]. Lis. 130

El : 3 septièmes plus 2 septièmes égale combien? Je fais 3 + 2 = 6. 131

Pélagie : 3 + 2! Elle se retourne vers la classe. 132

Els : moi, moi… 133

Pélagie : 3 + 2? 134

El : [Après un temps] 3 + 2 égale 5 et j’abaisse 7. 135

[Pélagie était partie à la porte pour faire partir des élèves d’autres classes qui étaient là. L’élève 136

écrit 7

5devant le symbole de l’égalité]. 137

333

Pélagie : 3+2 =5; 5 septièmes. Très bien. On ne corrige pas, on ne corrige pas. 138

[Elle tend la craie à un autre élève. L’élève envoyé pour effectuer la deuxième opération a cru bon 139

de reprendre le premier calcul en réduisant au même dénominateur 49.] 140

Éééh! Est-ce que ici, c’est la peine de réduire au même dénominateur? 141

Els : Non. [13mn 38s] 142

Pélagie : On-on [non]? Parce que c’est le même dénominateur non? Ici on a 7, ici on a 7. Ce n’est 143

pas la peine de réduire au même dénominateur. C’est le deuxième que je te dis de traiter; le 144

deuxième : trois demis plus un sixième. Eh silence, suivez. 145

El : Je réduis au même dénominateur. 146

Pélagie : Onhon (oui) 147

El : 2 fois1 2; 3 fois 6 18 (il place 2 et 18 comme de numérateurs et il revient tracer les traits de 148

fraction. Toutefois, ses traits sont mal placés). 2 fois 6 12. 149

Pélagie : Oui, les barres de fraction doivent être là. 150

[Elle indique à l’élève où tracer le trait de fraction; elle fait aussi recommencer la disposition de 151

nombres car l’élève allait aboutir à 12

2 +

12

18]. 152

Tu dois commencer par ça, 3 fois 6 d’abord avant de… Et puis tu mets la barre de fraction au 153

niveau de l’égalité. [L’élève efface ce qui est écrit 12

2 +

12

18et reprend.] 154

El : 3 fois 6 18, 2 fois1 [il place 2 et 18 comme de numérateurs]; 2 fois 6 12 [il écrit 12 sous 18]; 2 155

fois 6 12 [il écrit 12 sous 2]. Il a donc : 12

18+

12

2=

12

20. 156

Pélagie : Est-ce qu’on doit laisser comme ça? 157

Els : Non. 158

Pélagie : On doit… 159

Els : Simplifier 160

El : Je simplifie par 5. [L’élève regarde la stagiaire.] 161

Pélagie : Commence petit à petit en montant. 162

El : Je simplifie par… 163

Els : Ils claquent des doigts et certains se lèvent même. 164

Pélagie : Onhon [pour désigner un autre élève]. 165

El : Je simplifier par 4. 166

Pélagie : Il allait faire la simplification ailleurs. 167

Non, continue sur la même ligne. 168

El : dans 20 il y a combien de fois 4, il va 4 fois. Il va 5 fois, 5 fois 4 20, 20 ôté de 20 il reste 0; 169

dans 12 il va combien de fois 4, il va 3 fois; 3 fois 4 12, 12 ôté de 12 il reste 0. Est égal à 5 tiers. 170

334

Pélagie : Très bien! Ok 5 tiers. Qui sont ceux qui ont trouvé les deux opérations? Dites la vérité. 171

Qui sont ceux qui ont trouvé les deux opérations? [Elle observe les mains levée.] 172

Une opération? Bien Qui n’a rien trouvé? [Des mains sont levées.] 173

Redoublez d’effort, c’est compris. 174

Els : Oui. 175

Pélagie : [À 16mn 46s]. Ok! Vous avez appris à additionner et à soustraire les fractions. Vous avez 176

même comparé les fractions. Aujourd’hui, nous allons apprendre à multiplier une fraction par un 177

nombre entier. C’est ce que nous allons faire aujourd’hui, donc soyez attentif. 178

[Elle dévoile un problème écrit au tableau et caché par un rideau.] 179

Lisez le problème, nous allons ensemble essayez de le schématiser. 180

[Une première lecture lente et posée est faite par la stagiaire.] Problème : Une mère donne à son 181

bébé 3

1d’orange par jour. Au bout de 5 jours, quelle la quantité d’orange, le bébé aura-t-il 182

consommé? 183

Els : Des élèves claquent des doigts pour lire le problème. 184

Pélagie : Oui [pour désigner un élève]. 185

El : Une première lecture est faite. 186

Pélagie : Oui [un autre élève est désigné]. 187

El : une deuxième lecture est faite. 188

Pélagie : [À 18 mn 11s]. C’est bon, assis. Vous avez des disques déposés, vous allez déplier les 189

disques. Vous allez déplier. [Les élèves commencent à déplier les disques.] 190

Je n’ai pas dit de bavarder. Maintenant, nous allons considérer le disque comme étant l’orange, 191

par ce que ce n’est pas hygiénique de travailler avec les oranges. Vous allez vous salir, et puis 192

après vouloir travailler, ce n’est pas hygiénique, donc nous allons travailler avec les disques. Ça 193

veut dire que le disque sera notre orange, l’orange que la maman donne à son bébé. Quand vous 194

allez déplier, ça fait combien de parties sur chaque disque? Oui [pour désigner un élève]. 195

El : Ça fait 3 carr, disques 196

Pélagie : 3 parties sur chaque disque. Donc, nous avons 3 parties sur 3. Donc, ça veut dire que la 197

maman a pris l’orange qu’elle a divisée en 3, puisqu’on a dit 1 tiers. 1 tiers, vous allez colorier la 198

partie que la maman donne à son enfant par jour. Ça veut dire que sur chaque disque, vous allez 199

colorier combien de parties? Puisqu’on a dit que la maman donne quelle quantité? Oui. 200

El : 1 tiers. 201

Pélagie : Ça veut dire une partie sur combien de parties? 202

El : Sur 3 parties. 203

Pélagie : Donc vous allez colorier la partie que la maman donne à son enfant. Ça veut dire que 204

vous allez colorier une partie sur chaque disque. Vous avez dit que les disques sont pliés en trois, 205

donc vous allez plier une partie, une partie sur chaque disque. Je n’ai pas dit de plier, j’ai dit de 206

colorier. C’est déjà divisé en 3 non, coloriez une partie. 207

335

[Après un court instant.] Faites vite. C’est sur chaque disque, je n’ai pas dit sur un disque 208

seulement, sur les cinq disques, puisqu’on a dit au bout de 5 jours. Donc, ça veut dire, chaque 209

jour, 1 disque, chaque jour 1 tiers d’orange. Donc, vous allez coloriez une partie sur les trois. 210

[Il y a une division inéquitable de certains disques.] 211

Voilà [en observant ce que des élèves ont fait], une partie sur les trois. Elle montre à la classe, 212

vous voyez? Faites comme ça pour tous les disques. Je vous avais dit de ne pas toucher au 213

disque-là non? Parce que si vous appuyez dessus, on va perdre les traits et on ne verra plus les 3 214

parties. Normalement, on doit voir les 3 parties. Regardez, ceux qui n’ont pas touché, on voit les 215

trois parties : 1 partie, 2 parties, 3 parties. C’est bon pour les cinq disques? 216

Els : Oui 217

Pélagie : Vous avez tous fini? [À 22mn 14 s] 218

Els : Oui. 219

Pélagie : OK! Nous allons voir combien de parts, quelle quantité d’oranges la maman donne au 220

bébé au bout des 5 jours. Pour cela, qu’est-ce que nous allons faire? Oui [pour désigner un élève]. 221

El : Nous allons prendre le 1 tiers multiplié par 5. 222

Pélagie : Comment ça là, le 1 tiers multiplié par 5? On a dit que la maman donne 1 tiers d’orange 223

pendant 5 jours. Donc, nous allons commencer à compter : 1 tiers aujourd’hui; 1 tiers demain; 1 224

tiers après-demain et comme ça jusqu’à 5 jours, et ensemble, nous allons voir quelle quantité, 225

l’enfant a consommé. C’est pas plus facile? 226

Els : Oui, oui. 227

Pélagie : Quel groupe va se lancer à l’eau? Oui, tu commences à montrer. Ça veut dire que nous 228

avons la quantité que l’enfant consomme sur chaque table. C’est pas ça? 229

Els : Oui. 230

Pélagie : Donc, allez-y, compte. Tu as combien de parties? Onhon! 231

El : 3 parties 232

Pélagie : Oui, tu as ? 233

El : 3 parties de l’orange; 1; 2; 3. 234

Pélagie : Ça c’est l’orange que tu as, maintenant il faut compter les parties coloriées là. 235

El : 1 [un]. 236

Pélagie : 1 quoi? 237

El : 1 [un] partie de l’orange. 238

Pélagie : On-on [non]. On dit une partie. 1 sur combien? 239

Els : Une partie 240

El : 1 sur 3 [réponse donnée par un autre élève]. 241

Pélagie : Donc, 1… 242

Els : tiers. 243

336

Pélagie : Donc 1 tiers. 244

El : 2 tiers, [élève qui avait commencé à compter]. 245

Pélagie : Lève, lève pour que les autres voient. 246

El : 3 tiers, 4 tiers, 5 tiers. 247

Pélagie : Ok, un autre groupe? Vous derrière. Compte. 248

El : 1 tiers, 2 tiers, 3 tiers, 4 tiers, 5 tiers. 249

[Pélagie confirme à chaque fois par onhon [oui] que l’élève cite une fraction.] 250

Pélagie : Ça veut dire que tous les autres groupes, vous avez comme ça 5 tiers. Maintenant, 251

quand vous regardez, on a 1 tiers combien de fois, puisqu’on a dit que le total fait 5 tiers. On a 1 252

tiers combien de fois? Sur vos tables, vous avez 1 tiers combien de fois? [Des élèves claquent des 253

doigts.] Oui. 254

El : On a 1 tiers 5 fois. 255

Pélagie : Vous avez 1 tiers 5 fois. 1 tiers 5 fois qui donne combien? 1 tiers 5 fois qui donne 256

combien? Oui. 257

El : Qui donne 5 tiers. 258

Pélagie : 1 tiers 5 fois qui donne 5 tiers. Qu’est-ce qu’on va dire maintenant? Rapidement, oui. 259

Qu’on a? 260

El : On va dire 1 tiers multiplié par 5. 261

Pélagie : 1 tiers 5 fois, on va dire qu’on a 1 tiers multiplié par 5. Et ça veut dire l’enfant 262

consomme? Au bout de 5 jours, quelle quantité l’enfant consomme? Oui. 263

El : 5 tiers. 264

Pélagie : Très-bien. Vous allez répéter. Toi tu as dit qu’on va dire c’est combien? 265

El : On va faire 1 tiers multiplié par 5. 266

Pélagie : Donc 1 tiers multiplié par 5 pour trouver la quantité d’orange que l’enfant consomme. 267

Donc on a 1 tiers multiplié par 5 qui est égal à? 268

El : 5 tiers. 269

Pélagie : Répète. 270

El : 1 tiers multiplié par 5 qui est égal à 5 tiers. 271

Pélagie : Onhon 272


Pélagie : Elle indique un autre élève. Oui. 274

El T : 1 tiers multiplié par 5 tiers est égal à 275

Pélagie : On-on [non], 1 tiers multiplié. 276

El T : 1 tiers multiplié par 5 tiers est égal à 5. 277

Pélagie : On-on [non]; elle désigne un autre élève. 278

337


Pélagie : Ok, suivant [pendant ce temps, elle écrit au tableau : 3

1×5=

3

5.] 280


Pélagie : Ok, très-bien, vas-y, vas-y! 282


Pélagie : Ok, très bien, merci. Maintenant si on vous demandait de calculer au bout de 5 jours la 284

partie, la quantité d’orange que l’enfant ne consomme pas. Comment est-ce qu’on va faire? Parce 285

qu’on a trouvé la quantité d’orange que l’enfant consomme, maintenant à supposer qu’à chaque 286

fois que la maman donne 1 tiers d’orange au bébé, elle jette le reste. Si on vous demandait de 287

calculer la quantité d’orange que la maman va jeter pendant 5 jours. Comment est-ce qu’on va 288

faire? Vous avez les feuilles non, vous allez compter on va voir. Vous allez vous lever et puis 289

compter pour les autres. Oui. 290

Montre tes disques-là même, on va voir. [Elle contrôle les disques de l’élève.] 291

Ce n’est pas bon. Je vous avais dit de ne pas toucher au disque. [En montrant un des disques sur 292

une table]; pourquoi tu plies cette partie et tu laisses cette partie-là? C’était comme ça non, 293

pourquoi tu n’as pas plié les 2 parties, c’est une partie? Elle revient à l’élève qu’elle avait désigné. 294

Mais, il y a 5, est-ce que c’est cinq disques que tu tiens? 295

[L’élève rassemble 5 disques et commence à compter.] 296

El : 1; 2. 297

Pélagie : On-on [non], on parle de fraction. Reprends 1 tiers. 298

El : 1 tiers, 2 tiers, 3 tiers, 4 tiers, 5 tiers, 6 tiers, 7 tiers, 8 tiers, 9 tiers, 10 tiers. 299

Pélagie : Très-bien. Un autre, là-bas, oui vous. 300

El : 1 tiers. 2 tiers, 3 tiers, 4 tiers, 5 tiers, 6 tiers, 7 tiers, 8 tiers, 9 tiers, 10 tiers. 301

Pélagie : Très-bien. Qu’est-ce que vous constaté? Qu’est qu’on va dire pour trouver les 10 tiers-302

là? C’est 2 tiers combien de fois? Vous avez compté 2 tiers combien de fois? [Des élèves claquent 303

des doigts.] 304

El : 2 tiers 10 fois. Des élèves continuent à claquer des doigts. 305

Pélagie : Oui 306

El : 2 tiers 5 fois. 307

Pélagie : 2 tiers 5 fois. Et 2 tiers 5 fois est égal à combien? 308

El : Est égal à 10 tiers. 309

Pélagie : Donc, on va dire que c’est 2 tiers, donnez la phrase pour compléter. 310

El : 2 tiers multiplié par 5. 311

Pélagie : 2 tiers multiplié par 5 est égal 312

Els : 10 tiers. 313

338

Pélagie : [Elle écrit au tableau : 3

2×5=

3

10]. Répète [en désignant un élève]. 314

El : 2 tiers multiplié par 5 est égal à 10 tiers. 315

[Plusieurs élèves ont été successivement désignés pour répéter ce résultat.] 316





Pélagie : [À 29mn 53s]. Très-bien, vous allez prendre des feuilles, vous allez tracer deux traits de 321

longueurs égales. Je ne demande pas de mettre vos noms sur les feuilles-là hein. Non, laissez 322

comme ça. Vous allez tracer deux traits de longueurs égales que vous allez diviser en 5. Suivez, 323

on va faire ça ensemble. La stagiaire fait un premier trait au tableau. 324

Voici mon deuxième trait. 325

Allez-y. Marquez deux traits de longueur égale que vous allez divisez en cinq parties comme au 326

tableau : 1 [une], 2, 3, 4, 5. Allez faite vite. On n’a pas besoin de beaucoup de temps pour tracer 327

deux traits, vous avez déjà les lignes même de la feuille. Cinq parties égales. C’est bon? 328

[Quelques élèves disent oui.] 329

Faites vite; cinq parties égales. Comme vous avez les lignes-là, vous n’avez pas besoin, vous 330

n’avez donc pas besoin de faire les traits avant de mettre les points. Vous comptez le nombre de 331

parties avez les lignes et si ça vaut 5, vous tracez. Ou bien? J’ai ma feuille comme ça (en 332

présentant une feuille de cahier) il y a déjà une ligne, je compte 1 parties, 2 parties, 3 parties, 4 333

parties 5 parties. Si ça vaut les 5 parties, je trace maintenant la ligne point joindre les 5 parties. 334

C’est pas plus facile et plus rapide? Onhon [oui], faites vite. Pour ceux qui ont fini, sur chaque trait 335

vous allez colorier 4 parties. 336

[Elle colorie 4 parties sur chaque trait au tableau en disant] 1 partie, 2 parties, 3 parties et puis 4 337

parties. Donc, on a 4 parties sur 5. [Elle marque 5

4à côté de chaque trait.] Faites vite. 338

[Elle contrôle les figures et constate que certains élèves font 4 parties égales.] 339

Même si c’est avec la craie, vous pouvez colorier. Faites vite. Ok, on va noter ce qui reste. Puisque 340

si on colorie 4 parties, il va rester 1 partie sur les 5. On doit voir 1 sur 5 [5

1]. Voilà

5

1 qui n’est pas 341

colorié et 5

4coloriés. Ok, c’est très bien. Maintenant si on vous demandait la partie coloriée, de 342

compter le nombre de parties coloriées. Quelqu’un pour compter le nombre de parties coloriées 343

sur sa feuille. Toi là-bas [à 35 mn 59 s]. 344

339

El : Une partie coloriée, 2 parties coloriées. 345

Pélagie : 2 sur combien? Il ne faut pas dire parties coloriées. Compte seulement, 1? 346

El : 1 347

Pélagie : Non, non. 1 sur combien? 348

El : C’est 1 tiers. 349

Pélagie : C’est 1 tiers? [Des élèves répondent non.] 350

El : 1 cinquième, 2 cinquièmes, 3 cinquièmes. 351

Pélagie : Les autres suivez! 352

El : 4 cinquièmes, 6 cinquièmes (les autres réagissent en claquant des doigts) 353

Pélagie : Continue 354

El : 6 cinquièmes, 7 cinquièmes, 6 cinquièmes. 355

Pélagie : Euh! Après 7 c’est 6? 356

El : 8 cinquièmes. [Un autre élève commence à compter.] 357

1 cinquième, 2 cinquièmes, 3 cinquièmes, 358

Pélagie : Toi, tu ne montres rien. Les autres assis, suivez sur vos feuilles, s’il se trompe vous 359

pouvez le corriger. 360

El : 1 cinquième, 2 cinquièmes, 3 cinquièmes 4 cinquièmes, 5 cinquièmes, 6 cinquièmes, 7 361

cinquièmes, 8 cinquièmes. 362

Pélagie : 8 cinquièmes. Ok, c’est très bien. Vous êtes d’accord avec ce qu’il a dit? 363

Els : Oui. 364

Pélagie : Donc 8 cinquièmes, qu’est-ce qu’on va dire? Ça fait 4 cinquièmes combien de fois? 365

El : 4 cinquièmes deux fois. 366

Pélagie : Donc on va dire que c’est 367

El : On va dire que c’est 4 cinquièmes plus 4 cinquièmes. 368

Pélagie : 4 cinquièmes plus 4 cinquièmes ou? 369

El : 4 cinquièmes multipliés par 2. 370

Pélagie : Voilà, 4 cinquièmes plus 4 cinquièmes très bien ou 4 cinquièmes multipliés par 2. 4 371

cinquièmes multipliés par 2 est égal à? 372

El : 8 cinquièmes 373

Pélagie : Reprends 374

El : 4 cinquièmes multipliés par 2 est égal à 8 cinquièmes. 375

Pélagie : Très bien, suivant [pendant que l’élève répète, elle note au tableau :5

4×2=

5

8], suivante 376

ou bien c’est… 377

340

El : 4 cinquièmes plus 4 cinquièmes est égal à 8 cinquièmes 378

Pélagie : 4 cinquièmes multipliés par 2 379

El : 4 cinquièmes multipliés par 2 est égal à 8 cinquièmes 380

Pélagie : Onhon [oui] pour qu’un autre élève répète 381

El : 4 cinquièmes multipliés par 2 est égal à 8 cinquièmes 382

Pélagie : Ok, très-bien. 4 cinquièmes multipliés par 2 est égal à 8 cinquièmes. Et si on vous 383

demandait la partie non coloriée. Oui, il y a une partie non coloriée, le reste là est égal à combien? 384

El : 2 cinquièmes. 385

Pélagie : 2 cinquièmes, ça fait 1 cinquième combien de fois? 386

Els : Deux fois. 387

Pélagie : Ou on va dire que c’est 1 cinquième 388

El : 1 cinquième multiplié par 2. 389

Pélagie : Donc 1 cinquième multiplié par 2 est égal à? 390

El : 2 cinquièmes. 391

Pélagie : Ok, répétez. À 38mn 47s 392

Els : Quatre élèves ont répété : 1 cinquième multiplié par 2 est égal à 2 cinquièmes. 393

Pélagie : OK, très-bien, maintenant, c’est bon. Regardez, on a 3

1×5 =

3

5;

3

2×5=

3

10 ;

5

4×2=

5

8 ; 394

5

1×2=

5

2. Qu’est-ce qu’on peut dire? Quand vous regardez, qu’est-ce qu’on peut dire? Il y a une 395

fraction, il y a un nombre entier, qu’est-ce qu’on peut dire? Si on vous demandait à partir de là de 396

donner une règle qu’est-ce que tu peux dire? Oui [en s’adressant à un élève]. 397

El : On va dire, on va dire que pour multiplier une fraction, on multiplie le numérateur et on garde le 398

dénominateur. 399

Pélagie : Tu as dit que pour multiplier une fraction, on multiplie… 400

El : On prend 401

Pélagie: Quelle fraction et on multiplie la fraction par une fraction ou on multiplie la fraction par… 402

El : Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on prend, on multiplie le numérateur et on 403

garde le dénominateur. 404

[Pélagie dit onhon [oui] par moment pour approuver les dires de l’élève.] 405

Pélagie : Très-bien, suivant répète. 406

El : Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur et on garde le 407

dénominateur. 408

[Entre 41 mn 00s et 44mn 38s, plus de dix élèves sont amenés à répéter la règle formulée. 409

Certains ont réussi à le faire, mais d’autres ont eu des difficultés. Ces derniers, soit ils mélangent 410

341

numérateur et dénominateur, soit ils oublient «par un entier naturel» Pendant ce temps, la stagiaire 411

écrit la règle au tableau.] 412

Pélagie : Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur de la fraction 413

par le nombre entier et on garde le dénominateur. 414

[À 44mn 38s.] Vous allez maintenant résoudre ces exercices. Vous allez résoudre 415

individuellement. Résolvez sur vos feuilles. 11

30×22 = ;

6

7×12= 416

Moussa et ses 6 frères consomment chacun 4

1de pain au petit déjeuner. Combien de morceaux 417

de pain consomment-ils? 418

Sur les feuilles, faites vites. On vous a montré comment on multiplie une fraction par un nombre 419

entier. 420

Els : Oui 421

Pélagie : Donc, faites vite. [Elle circule dans les rangées et contrôle le travail des élèves.] 422

Toi tu as déjà fini? [En s’adressant à un élève]. 423

El : Oui. 424

Pélagie : Les autres, faites vite. Oui, vous faites avec le petit problème. Faites vite. [Des élèves 425

claquent des doigts.] Ceux qui n’ont pas fini là, faites vite. Il y a d’autres qui ont déjà fini, faites vite. 426

Attendez que les autres finissent aussi. 427

[Des élèves claquent de plus en plus des doigts des doigts.] 428

Attendez que les autres-là finissent. 429

[À 50mn 03s.] Ok, suivez. [Un élève est envoyé au tableau pour la correction. Il a effacé une partie 430

du tableau d’abord avant de commencer le premier calcul.] 431

El : 11

30×22 =

660 432

Pélagie : Il faut effectuer l’opération. Ou bien? Suivez au lieu de claquer des doigts. 433

[L’élève pose l’opération 30 × 22 et trouve 660, puis il complète alors sa réponse.] 434

El : 11

30×22 =

11

660. 435

Pélagie : 11

660, on ne peut pas réduire? 436

Els : Non 437

Pélagie : On ne peut pas diviser 66 par 11? 438

Els : Non. 439

Pélagie : Si, si. Réduit! Réduit! C’est possible : 66 divisé par 11. Il faut faire la division, vous allez 440

voir que c’est possible. Attends, il ne faut pas mélanger. Tu viens vers là, 660 divisé par. 441

342

[Elle indique un endroit où l’élève effectuera la division. L’élève effectue la division de 660 par 11 et 442

trouve 60.] 443

C’est égal à? 444

El : À 60 445

Pélagie : Donc mets égal à 60. Ne corrigez pas. Continue avec le 2e exercice. 446

El : 11

30×22 =

11

660=60. 447

Pélagie : Hein, suis là-bas (en s’adressant à un élève qui ne suit pas ce qui se passe au tableau). 448

El : 6

7×12= L’élève pose et effectue le calcul 7×12. Il trouve 84. Il porte alors la réponse au niveau 449

de la fraction. 450

Pélagie : Regarde où tu mets la barre de fraction, ça doit être entre =. 451

El : 6

7×12=

6

84. Je le réduis au même dénominateur. 84 2= 42; 6 2=3. 452

Pélagie : Il ne faut pas mélanger avec les écritures-là, sinon on ne va pas voir. Tu peux effacer ce 453

qui est en bas et puis tu continues, avec l’éponge. 454

[L’élève pose les divisions et les effectue.] 455

El : C’est égal à 42 tiers. 6

7×12=

6

84=

3

42. 456

Pélagie : On ne peut plus simplifier? 457

Els : On peut, on peut. 458

El : Je les réduis au même. 459

Pélagie : Je le simplifie. 460

El : Je le simplifie. 42 3= 14 ; 3 3 = 1; 6

84=

3

42=

1

14. 461

[La division de 3 par 3 a été aussi posée et effectuée.] 462

Pélagie : Est-ce qu’on écrit1

14? Écris 14 seulement. 463

El : 6

84=

3

42=14. 464

[Un élève claque des doigts.] 465

Pélagie : Oui, tu viens corriger le problème. Il faut effacer les traits-là. 466

[L’élève efface les traits, puis il fait une lecture du problème d’abord avant de commencer.] 467

El : Je fais 4

1×6 468

343

Pélagie : Comment ça 4

1×6? Qui sont ceux qui consomment le pain? C’est combien de personnes 469

qui consomment le pain? 470

El : multiplié par 7. 471

Pélagie : Attends, pourquoi tu dis multiplié par 7 comme ça. Dis-nous. 472

El : Parce que c’est Moussa et ses petits frères. 473

Pélagie : Donc combien de personnes? 474

El : 7. 475

Pélagie : Ok. Suivez au tableau. 476

El : Il écrit : 4

1×7 477

Pélagie : Tu n’écris pas "solutions", "résultats", "opérations" et puis il n’y a pas de phrase. 478

[L’élève efface ce qu’il a écrit. Puis il reprend selon la présentation de la résolution d’un problème] 479

El : 480

Solutions Résultats Opérations

Le nombre de morceaux de pain qu’ils consomment :

4

1×7 =

4

7

4

1×7=

4

7

Pélagie : Donc, le nombre de morceaux de pain qu’ils consomment est égal à 4

7. 481

OK, qui sont ceux qui ont trouvé les 3? Les trois? Personne? Tu as trouvé les trois? [en 482

s’adressant à un élève] 483

Ok, les deux opérations? [Beaucoup d’élèves lèvent le doigt]. 484

Qui a trouvé le problème? Qui a trouvé le problème? [Deux élèves lèvent le doigt]. Ok, c’est bien. 485

Qui a trouvé bon; des trois, qui a trouvé 2? [Des élèves lèvent le doigt]. 486

Qui a trouvé 1? [Il y eut des mains levées]. 487

Qui n’a rien trouvé? Qui n’a rien trouvé? [Il y eut des mains levées]. 488

Ok, maintenant qui sont ceux qui ont trouvé 660 onzièmes ou 84 sixièmes. Ceux qui n’ont pas 489

réduit au même dénominateur-là? [Des élèves lèvent le doigt.] 490

Donc vous avez trouvé, seulement vous n’avez pas réduit. C’est ça? [Les élèves répondent oui]. 491

Ok c’est bien. Ceux qui n’ont pas trouvé, corrigez. Faites vite. 492

Maintenant, si on vous demandait qu’est-ce que vous avez retenu de ce que vous venez de faire? 493

Qu’est-ce que avez retenu de ce que vous venez de faire? Oui. 494

344

El : J’ai retenu que pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur de 495

la fraction par le nombre entier et on garde le dénominateur de la fraction. 496

[La règle est toujours écrite au tableau. S’agit-il de mémoire ou d’une lecture que l’élève a donné 497

sa réponse?] 498

Pélagie : Ok, si on vous demandait quelle leçon vous avez vu avec Madame? Si vous sortez de la 499

classe et on vous demandait quelle leçon vous avez vu avec Madame? Oui. 500

El : On a vu arithmétique. 501

Pélagie : Arithmétique. Oui. 502

El : On a vu la multiplication des fractions 503

Pélagie : La multiplication des fractions. 504

El : La multiplication des fractions par un nombre entier. 505

Pélagie : Oui. 506

El : On a vu comment multiplier un nombre, un nombre, une fraction par un nombre entier. 507

Pélagie : Oui. 508

El : La simplification des fractions. 509

Pélagie : Oui. On a vu la multiplication et la simplification des fractions. Et si on demandait un titre 510

au résumé? Et si on vous demandait de donner un titre? Oui. 511

El : La multiplication des fractions en nombre entier. 512

Pélagie : Qui va bien dire? 513

El : La multiplication des fractions par un nombre entier. 514

Pélagie : Est-ce que c’est des fractions? On va dire que c’est la multiplication de quoi par quoi? 515

El : La multiplication de deux fractions par un nombre entier. 516

Pélagie : Est-ce qu’on a deux fractions ici? 517

El : de deux nombres entiers. 518

Pélagie : Oui (en désignant un autre élève). 519

El : La multiplication d’un fraction [d’une, correction apportée par la stagiaire] d’une fraction et deux 520

nombres entiers. 521

Pélagie : Euh! Oui. 522

El : La multiplication de la fraction par un nombre entier. 523

Pélagie : Donc on va dire qu’on a vu la multiplication d’une fraction par un nombre entier. Parce 524

qu’on a dit qu’on va multiplier une fraction par un nombre entier. C’est ce qu’on a vu non? La 525

multiplication d’une fraction par un nombre entier. 526

Et si on vous demandait, on a vu la multiplication d’une fraction par un nombre entier, quelle leçon, 527

on n’a pas encore vu? Qu’est-ce qu’on peut voir d’autre? À partir de ça-là quelle leçon, selon vous, 528

quelle leçon on peut voir? 529

345

El : La simplification. 530

Pélagie : On peut voir la simplification. Oui. 531

El : La division des fractions. 532

Pélagie : La division des fractions. Oui. 533

El : La soustraction de fractions. 534

Pélagie : Vous avez déjà vu ça. 535

Els : Oui. 536

El : L’addition des fractions. 537

Pélagie : Vous avez déjà vu ça aussi. Maintenant, est-ce qu’au niveau de la multiplication des 538

fractions, est-ce qu’on va multiplier une fraction, on peut multiplier une fraction par une fraction? 539

Mais, est-ce qu’on a multiplié une fraction par une fraction? On a multiplié une fraction par un 540

nombre entier. Mais, est-ce qu’on a multiplié une fraction par une fraction? 541

Els : Non. 542

Pélagie : Donc, on n’a pas encore vu ça. On peut… 543

El : La multiplication d’une fraction par une fraction. 544

Pélagie : Voilà, donc on peut voir ça aussi. Donc vous avez dit que le titre c’était multiplication, 545

répétez. 546

Els : La multiplication d’une fraction par un nombre entier. 547

[Pélagie écrit le titre de la leçon au tableau.] 548

Pélagie : Et par rapport à ma prestation, qu’est-ce que j’ai fait et qui ne vous a pas plu? Et qu’est-549

ce que j’ai fait qui vous a plu? Rien, rien, rien! Vous n’avez rien à dire? Au lieu de murmurer, 550

parlez. Oui. 551

El : Ce que vous avez fait et puis ça nous a plu, on ne connaissait pas multiplier un nombre 552

fractionnaire par un nombre entier. 553

Pélagie : Donc, vous ne saviez pas multiplier une fraction par un nombre entier. Qui d’autre? Oui. 554

El : Ça m’a plu, parce que j’ai connu que si on trouve la réponse d’une fraction, si on peut 555

simplifier, on simplifie. 556

Pélagie : Ok c’est bien. Si on peut simplifier, on doit simplifier. 557

El : La leçon m’a plu parce que quand on fait une devoir [un devoir, correction apportée par 558

Pélagie] un devoir et on va dire de multiplier la fraction, ça ne va pas être difficile. 559

Pélagie : Ça ne va pas être difficile. Vous avez intérêt. Maintenant, sur quel aspect voulez-vous 560

que je revienne? Est-ce que ce qu’on a fait, il y a quelque chose que vous ne comprenez pas ou 561

bien vous voulez qu’on reprenne quoi? Oui. 562

El : Je ne comprends pas quand on a trouvé 1

14et puis, vous avez dit de laisser le 1. Si on laisse 563

le 1, est-ce que ça peut aller? 564

346

Pélagie : Mais, est-ce que si on écrit 1

14 comme ça, ça veut dire quelque chose? Si on dit 14 565

divisé par 1, un nombre divisé par 1 est égal au nombre lui-même non? 566

Els : Oui 567

Pélagie : Donc si vous écrivez ça, c’est comme si vous ne savez pas que 14 divisé par 1 est égal 568

à 1. Puisque la fraction c’est comme une division non? 569

El : Oui. 570

Pélagie : Donc, si vous écrivez 1

14c’est comme si vous ne savez pas qu’un nombre divisé par 1 571

est égal au nombre lui-même. Quoi d’autre? C’est bon? 572

Els : Oui. 573

Pélagie : Vous avez fini de prendre la correction? Donnez les feuilles, vous pouvez prendre le 574

résumé. Donnez les feuilles. Ok, ceux qui n’ont pas fini, vous continuez. Ceux qui ont fini, vous 575

donnez les feuilles. Les feuilles sur lesquelles vous avez travaillé, où vous fait les exercices-là. Ce 576

sont ces feuilles-là que je veux. 577

[Pélagie procède au ramassage des feuilles où les élèves ont cherché les solutions aux 578

questions qui leur sont posées.] 579

347


CH : Avez-vous eu des difficultés d’ordre pédagogique à préparer la fiche pédagogique? 1

Pélagie : Bon, un peu de difficultés parce que avec l’approche ASEI, c’est vrai qu’on a vu ça à 2

l’école mais, quand même il y a des difficultés. 3

CH : De quels genres? 4

Pélagie : De quel genre! Par rapport à la préparation, puisqu’avec la méthode classique, c’est un 5

peu différent. Ici, il faut prévoir des consignes et puis faire travailler les élèves. 6

CH : Et l’ancienne méthode, qu’est-ce qu’il fallait faire? Ça consistait à quoi? 7

Pélagie : Bon, pour l’ancienne méthode, généralement, c’est le problème expliqué. On met le 8

problème, on explique, on essaie de schématiser. Alors avec, alors qu’avec l’ASEI-PDSI, ce sont 9

les enfants mêmes qui travaillent. On ne voit même pas trop le rôle de l’enseignant. C’est aux 10

enfants eux-mêmes de travailler. Et puis pour confectionner les fiches [pas eu de suite]. 11

CH : Et au niveau de difficultés d’ordre didactique sur la fraction pour la préparation du cours? 12

Pélagie : Bon, la fraction, quand on a dit un cours sur la fraction, surtout avec la multiplication. 13

Quand j’ai préparé, la directrice m’a demandé quel, bon, je voulais présenter, j’ai dit la 14

multiplication. Bon, j’ai voulu préparer avec la méthode classique, genre le problème expliqué; 15

mettre le problème et puis demander aux élèves de travailler. Quand elle m’a dit que non, il faut 16

que les élèves manipulent, je me suis dit que ça, c’est impossible. Pour un cours sur les fractions, 17

comment on peut multiplier une fraction par un nombre, ma première réaction était de dire que 18

c’était impossible. Bon, avec les conseils, tout ça là, c’est ça qui m’a permis de préparer le cours. 19

CH : D’accord. Donc, vous n’avez pas eu de difficultés parce que vous avez été accompagnée 20

dans la préparation? 21

Pélagie : Voilà, j’ai été accompagnée, surtout ça. Surtout ça, sinon c’était grave. 22

CH : Vous n’avez pas eu de problème de documentation? Avoir le matériel pour la préparation du 23

cours? 24

Pélagie : Non, non. Je n’ai pas eu de problème de documentation. Comme la directrice était à ma 25

disposition et puis à chaque fois qu’il y avait un problème, elle était là. Et puis avec la maîtresse, 26

en tout cas, je n’ai pas eu de problème. 27

CH : Quelles difficultés avez-vous rencontré dans la réalisation du cours? 28

Pélagie : Bon, j’ai constaté que les enfants là ne révisaient pas, parce que pour moi la révision 29

était pour quelques minutes. Maintenant j’ai vu que non, il fallait même que j’essaie de reformuler 30

les phrases pour qu’ils puissent trouver la réponse. Les enfants là même vraiment, et puis j’ai plié 31

les disques, déposé, leur dire de ne pas toucher; ils ont touché. Ça fait que d’autres avaient plus 32

de trois parties. 33

CH : Est-ce à dire que c’est vous qui aviez fait les figures et puis découper? 34

Pélagie : Je leur ai dit de découper. Maintenant, premièrement j’ai essayé avec leur participation 35

pour plier. Maintenant les élèves, ils étaient habitués à plier en 4, en 6. Donc quand je leur ai 36

demandé de plier, immédiatement c’est ce qu’ils ont fait. Donc, ça ne faisait pas ressortir les trois 37

parties-là. 38

348

CH : Comment vous faites pour avoir les trois parties? 39

Pélagie : Il faut plier le disque pas en deux, disons en deux mais on appuie sur une partie jusqu’au 40

milieu. Et maintenant l’autre partie on tourne. 41

CH : Donc la difficulté que vous avez rencontré en classe, c’est lié au fait qu’au pliage ça été 42

modifié ou il y a eu… Vous avez dit que vous avez modifié effectivement le langage, reformuler les 43

questions, les questions si j’ai bien compris. Ce fut les seules difficultés que vous avez rencontrées 44

dans la réalisation du cours. 45

Pélagie : Comme les élèves même ont participé, bon c’est au niveau de la révision seulement que 46

vraiment il y a eu le problème parce que vraiment ils n’ont pas appris. On sent qu’ils n’ont pas 47

appris les leçons. 48

CH : Mais lorsque vous avez circulé, avez-vous constaté des insuffisances ou des réussites dans 49

la réalisation des élèves? 50

Pélagie : Bon, des insuffisances, oui. Puisque même avec le petit rappel qu’on a fait sur l’addition 51

et puis sur la soustraction, on a vu que même avec une opération de deux fractions ayant le même 52

dénominateur, beaucoup cherchait à mettre les fractions au même dénominateur, alors que ce 53

n’était pas ça. 54

CH : Et qu’est-ce qui, selon vous, pourrait poser cet état de fait? Le fait de vouloir réduire au même 55

dénominateur alors que c’est déjà au même dénominateur. 56

Pélagie : C’est une perte de temps parce que s’ils réduisent au même dénominateur, à la fin il faut 57

qu’ils simplifient. Donc, c’est une perte de temps pour eux. Alors que s’ils étaient partis 58

directement, il n’y a pas de problème. Maintenant au niveau de l’exercice d’application, beaucoup 59

ce sont jeté sur les 6 frères, ils ont oublié Moussa. Donc, ça fait que beaucoup, beaucoup, 60

beaucoup ont faussé. 61

CH : Mais, selon vous s’il y a à refaire le cours que feriez-vous? Avez-vous des idées, puisqu’il y a 62

eu des difficultés. 63

Pélagie : À reprendre ce cours, peut-être dans une autre classe. 64

CH : Oui, dans une autre classe quoi. 65

Pélagie : Dans une autre classe. 66

CH : S’il y a à refaire qu’est-ce que vous ferez? Puisqu’il y a eu des insuffisances, qu’est-ce que 67

vous ferez pour améliorer? 68

Pélagie : Bon, c’est revoir le temps puisque j’ai débordé. C’est revoir le temps et puis maintenant 69

demander aux élèves de réviser avant de venir. 70

CH : Est-ce à dire que généralement, on ne leur demande pas de réviser. 71

Pélagie : Oui, on leur demande de réviser mais, il faut insister là-dessus. Parce que quoi qu’on 72

dise, ils n’écoutent pas. Il faut peut-être insister là-dessus. 73

CH : Parce que quand vous dites comme ça, c’est comme si, bon comme c’est un cas particulier, 74

vous dites de réviser mais, est-ce que ce n’est pas de leur devoir de 75

Pélagie : Non, puisque pour toute leçon, peut-être quand je dis de réviser, c’est peut-être attirer 76

leur attention sur les fractions par exemple. Sinon, ils savent que chaque nouvelle leçon, il faut une 77

349

révision. Peut-être, ils ont dû réviser la dernière leçon avant de venir et comme ça ne coïncidait 78

pas avec ma révision, voilà pourquoi il y a des difficultés. Puisqu’après chaque leçon, il y a la 79

révision. 80

CH : Pensez-vous que c’est compris, la leçon a été comprise, mais finalement c’est la 81

mémorisation qui n’a pas suivie? 82

Pélagie : Je pense que la leçon était comprise. 83

CH : Ce n’est pas la leçon du jour ! Sur l’addition des fractions-là. 84

Pélagie : Bon, je pense que ça été compris. Seulement les élèves, je ne sais pas, quand on leur 85

dit de réduire [additionner], il faut forcément qu’ils réduisent. Ils ne cherchent pas à savoir est-ce 86

que l’opération que j’ai est déjà au même dénominateur ou pas. Eux, ils veulent forcément réduire 87

parce qu’au niveau de la révision orale on leur a dit que non, pour additionner ou soustraire deux 88

fractions de dénominateurs différents, il faut les réduire au même dénominateur. 89

CH : Je reviens à la pratique d’enseignement, vous avez dit que c’est la méthode ASEI-PDSI. 90

Qu’est-ce qui a motivé ce choix? 91

Pélagie : Bon puisque c’est une méthode qu’on expérimente et maintenant on a dit que dans la 92

région du Centre, c’est ce qu’on doit appliquer. Dans la région du Centre, ça veut dire qu’on ne doit 93

plus appliquer la méthode classique. Maintenant, surtout à l’école ici, même lors de nos 94

préparations, c’est vrai que je suis au CP1, on nous demande d’appliquer l’approche ASEI. Donc, 95

c’est pour ça que… 96

CH : Selon vous cette méthode et l’ancienne méthode, qu’est-ce qui est avantageux pour les 97

élèves ou bien pour vous. 98

Pélagie : Avantageux pour les élèves, c’est l’approche ASEI. Oui, parce qu’ils travaillent et on voit 99

que quand c’est eux-mêmes qui agissent, ils mémorisent plus. Alors que pour l’ancienne méthode, 100

on vient on leur explique. Alors que lors de l’explication il y a d’autres-mêmes qui ne sont pas 101

attentifs. Et une fois qu’ils ne sont pas attentifs, ils ne trouvent pas. Alors qu’ici, ils agissent eux-102

mêmes. Pour les élèves en tout cas, c’est bon. 103

CH : Ce sont des avantages que vous avez donnés par rapport à la méthode, est-ce qu’y a-t-il des 104

inconvénients? 105

Pélagie : Par rapport à l’enseignant, c’est surtout au niveau de la préparation. Il y a trop de 106

littérature et puis comme il faut donner les consignes, on a les livrets guides mais, pour la méthode 107

classique, donc pour adapter, pour quitter la méthode classique à l’approche-là, c’est un peu 108

difficile. Et puis la recherche du matériel aussi, c’est difficile. Il faut une préparation avant même le 109

jour J. 110

CH : Je constate que l’organisation de la classe, il y a des groupes mais, je n’ai pas constaté le 111

travail de groupes. 112

Pélagie : Le travail de groupes c’est au niveau de la manipulation. Comme vous avez dit que vous 113

voulez le travail, voir ceux qui s’en sortent, ceux qui… j’ai préféré les laisser faire les exercices 114

individuellement. 115

CH : Oui, oui. Les exercices je suis d’accord mais, par exemple l’activité là où vous avez pris les 116

fractions; manipuler et compter-là. 117

350

Pélagie : C’était en groupes. 118

CH : Je n’ai pas senti. 119

Pélagie : Puisque j’ai dit de disposer par table. 120

CH : Autant pour moi, 121

Pélagie : C’est par table au lieu que ce soit en groupe, j’ai préféré considérer une table comme 122

étant un groupe. 123

CH : Mais, le compte rendu je constate que vous désignez un de la table. Comment c’est organisé 124

le travail en groupes? 125

Pélagie : Puisque le compte-rendu, il désigne quelqu’un comme étant secrétaire ou bien le porte-126

parole. Maintenant quand on interroge, lui il se lève et puis il parle au nom du groupe. Puisque 127

comme ils ne peuvent pas parler tous à la fois. 128

CH : Vous avez l’habitude de faire ce travail ? 129

Pélagie : Dans les grandes classes, on peut le faire [le travail de groupe], mais dans les petites 130

classes c’est un peu compliqué. Dans les petites classes, c’est très compliqué. 131

CH : Donc dans les petites classes, vous faites du travail individuel. 132

Pélagie : Oui, parce que c’est compliqué, surtout au CP. Puisqu’une fois qu’on les met en groupes, 133

c’est comme si on leur avait demandé de bavarder. Donc au CP, c’est trop compliqué. 134

CH : Donc, votre dernier mot par rapport à la prestation. Êtes-vous satisfaite? 135

Pélagie : Oui, je peux dire que je suis satisfaite. 136

CH : Les élèves aussi sont satisfaits? 137

Pélagie : Vous l’avez constaté vous-même, ils ont dit qu’ils sont très contents. Comme ils sont 138

satisfaits, moi aussi je suis satisfaite. 139

CH : D’accord. Et la méthode ASEI et l’ancienne méthode, y-a-t-il un rapport avec la pédagogie par 140

les objectifs? 141

Pélagie : Oui, il y a un rapport. Ça touche le même objectif. C’est les procédés, c’est la démarche 142

qui diffère. Sinon, c’est le même objectif. 143

CH : Vous avez entendu parler de l’approche par les compétences? 144

Pélagie : Non, non. 145

CH : En aucun cas dans votre formation vous n’avez eu vent de cette approche? 146

Pélagie : Non, non. Même la formation en ASEI, on a eu la chance que notre professeur de 147

pédagogie du calcul fait partie des formateurs en ASEI. Donc c’est lui qui nous a donné une notion 148

sur ça. Sinon, les autres n’ont pas eu cette chance. Et puis à l’école ici, il y a des difficultés, ils ont 149

des difficultés. Imagine que tu n’as pas reçu de formation et tu viens à l’école on t’impose ça. C’est 150

un peu difficile mais, nous, on a eu la chance, mais pas l’approche par les compétences. 151

CH : On va s’arrêter là, c’est juste des compléments d’information par rapport au cours. Enfin, je 152

n’apprécie pas le cours, c’est juste seulement poser des questions de compréhension des 153

351

difficultés que vous avez eues pendant la réalisation pendant la préparation du cours. C’est ça qui 154

m’intéresse et puis ce qui a motivé vos choix d’activités. C’est juste ce j’avais comme questions 155

352

Annexe 4 : Cas Poko


Fiche d’une leçon d’arithmétique : ASEI-PDSI

Thème : Les fractions

Titre : La division des fractions

Classe : CM2

Date : 25 -01-2013

Durée : 60 minutes

Effectif : 38 Garçons : 18 Filles : 20

Justification : Les élèves n’utilisent pas couramment les fractions, mais elles sont très importantes dans les études. C’est pour cela que nous allons les étudier dans ce chapitre.

Objectifs de la leçon : À l’issue de la séance, l’élève sera capable de :

- déterminer l’inverse d’une fraction;

- diviser une fraction par un nombre;

-diviser une fraction par une fraction.

Matériel :

Collectif : orange, couteau, craies, tableau mural, règle.

Individuel : cahiers d’exercices, les bics (stylos à bille), règles.


I- Introduction : 10 minutes

Calcul mental

Chaque matin, les quatre vaches de Barry donnent 12 litres de lait. Combien de litres de lait donne une seule vache?

4 sachets de coton pèsent 36g. Calcule la masse d’un seul sachet de coton.

Effectue 56 4.

Rappel des prérequis

Effectue les opérations suivantes : 3

5

2

1=? ;

7

5 5=?

Un litre d’huile pèse 3 kg. Calcule la masse de 5

4l de cette huile.

Point d’apprentissage : Contrôle d’acquisition d la multiplication des fractions.

Motivation : Communication de la justification et des objectifs.

353

II- Développement : 35 minutes

Situation problème

Maman divise une orange en quatre parties égales. Elle veut partager les 4

3de l’orange à ses trois

enfants. Calcule la part de chacun.

Consigne 1

3

2 ;

2

3.

Quelle remarque faites-vous du numérateur de la première fraction et le dénominateur de la deuxième fraction ?

Point d’apprentissage : notion de l’inverse d’une fraction

Consigne 2

Repartons en haut à la situation problème.

- Calcule la part de chacun.

La part de chacun est de : 4

3 3=

34

3

=

12

3=

43

13

=

4

1.

Chacun a 4

1de l’orange.

- Comment faire pour diviser une fraction par un nombre ?

Pour diviser une fraction par un nombre, on multiplie ce nombre par le dénominateur de la fraction et on garde le numérateur.

Point d’apprentissage : notion de la division d’une fraction par un nombre.

Consigne 3

L’aire d’un mouchoir rectangle est de 3

4m2. La largeur est

2

1m. Calcule sa longueur.

La longueur est de : L=A l.

3

4

1

2=

13

24

=

3

8m L=

3

8m.

- Comment avons-nous procédé pour trouver la longueur ?

Nous avons pris la première fraction et multiplié par l’inverse de la deuxième fraction.

- Comment faire pour diviser une fraction par une fraction ?

Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie cette faction par l’inverse de l’autre.

Point d’apprentissage : notion de division d’une fraction par une fraction.

III- Conclusion : 15 minutes

Qu’avez-vous retenu de ce que vous venez d’apprendre?

354

- l’inverse d’une fraction;

- la division d’une fraction par un nombre;

- la division d’une fraction par une fraction».

Lien avec la vie courante

- construction d’une maison sur une parcelle

Lien avec la leçon à venir

- trouver un nombre à partir d’une de ses fractions.

Évaluation

Acquis

a) Détermine l’inverse de chacune des fractions suivantes : 11

25 ;

15

14.

b) Effectue les opérations : 3

2 5;

4

5

7

1.

Défi additionnel :

15 litres d’essence ont coûté 5 700 francs. On en consomme 2

1 litre par jour. Calcule le nombre de

jours qu’il faudra pour consommer toute l’essence, puis calcule la dépense journalière.

Exercice de remédiation

4

5 3;

2

3

3

1.

Prestation de l’enseignant

- Qu’est-ce qui a été facile avec vous dans tout ce que nous venons d’apprendre?

- Qu’est-ce que vous n’aviez pas compris?

- Où voulez-vous que je revienne?

355


Poko : Faites vite ! Faites vite ! C’est fini ? 1

Els : Oui 2

Poko : Ok, c’est bien. Vous entendez parler de fractions ou bien ? Est-ce qu’à la maison vous 3

utilisez les fractions pour vos calculs pour vos achats ? 4

Els : Oui 5

Poko : Onhon ? 6

Els : Oui [plus fort]. 7

Poko : Ok. Donc nous allons travailler ensemble. Levez les bics, coudes sur la table. 8

Chaque matin, les quatre bœufs d’Ali donnent 12 litres de lait. Quel est ? Combien de litres de lait, 9

va donner une seule vache ? Chaque matin, les quatre vaches d’Ali donnent 12 litres de lait. 10

Combien de litres de lait, va donner une seule vache ? 11

[Elle donne un 1er coup de règle sur la table à 01mn 43s et un 2e coup de règle à 01mn 48s. Des 12

élèves claquent des doigts en disant «moi».] 13

Poko : Combien de litres de lait, va donner une seule vache ? Oui Maria. 14

Maria : 3 litres de lait. 15

Poko : 3 litres de lait ; comment tu as fait pour trouver 3 ? 16

Maria : 12 divisé par 4 17

Poko : Onhon [oui], vas-y, tu écris. 18

Maria : Dans 12 il y a combien de fois 4 ? Il y a 3 fois. 3 fois 4 12. 12 ôté de 12 il me reste 0 19

Poko : Non, tu mets la réponse seulement. Au lieu de calculer comme ça, tu mets 3 litres de lait, 20

Faites vite. Suivez. C’est bon, qui a trouvé 3 litres ? C’est bien, marquez un trait. Ceux qui n’ont 21

pas trouvé, corrigez. 22

Levez les bics, coudes sur la table ; coudes sur la table. 23

4 sachets de coton pèsent 36 grammes, calcule la masse d’un seul sachet de coton. 4 sachets de 24

coton pèsent 36 grammes, calcule la masse d’un seul sachet de coton. 25

[1er coup de règle sur la table à 03mn 15s suivi d’un 2e coup de règle sur la table à 03mn 22s.] 26

Poko : Quelle est la masse d’un seul sachet ? Raïssa. 27

Raïssa : 9. 28

Poko : Oui, viens écrire ! Fais vite. [Raïssa passe écrire 9 au tableau]. 29

9 grammes. Qui a trouvé ? C’est bien. Les autres, corrigez. Ceux qui ont trouvez, marquez un trait. 30

Levez les bics, coudes sur la table. 36 eh ! 56 divisé par 4 égale combien ? 56 divisé par 4 égale 31

combien ? 32

[1er coup de règle sur la table à 04mn 20s suivi d’un 2e coup de règle sur la table à 04mn 28s.] 33

56 divisé par 4 égale combien ? Oui. 34

356

El1 : Égale 16 35

Poko : Non. 36

El2 : Égale 14. 37

Poko : Égale 14. Viens écrire. [L’élève passe écrire 14 au tableau]. C’est bien. 38

[À 05mn 05s, Poko commence à recopier au tableau les exercices suivant : Effectue les opérations 39

suivantes : 2

1

3

5 = ? 5

3

5 = ?] 40

[À 05mn 46s]. Allez-y. 41

El : Sur les mêmes feuilles ? 42

Poko : Oui. Faites vite. Faites vite. 43

[Elle ajoute un problème à 06 mn 05s. Un litre d’huile pèse 3kg. Calcule la masse de 5

4l de cette 44

huile. Elle circule dans les rangées et observe ce que font les élèves. Puis, elle repart à sa table 45

consulter sa fiche de préparation.] 46

[À 10mn 14s,] c’est fini ? 47

Els : Non. 48

Poko : [Elle recommence à contrôler le travail des élèves, mais elle ne porte pas d’appréciation sur 49

ce qui se fait]. Qui a fini ? [À 11mn 52s.] Faites vite on va corriger. 50

[À 13mn]. On va arrêter pour corriger. Qui vient au tableau. 51


Poko : Solange ; suivez au tableau. 53

Solange : J’effectue les opérations suivantes. 54

Poko : Il faut utiliser la règle. 55

[Elle intervient pour des erreurs de notation des égalités ou des traits de fraction]. 56

Solange : 2

1

3

5 =

23

15

=

6

5 57

Poko : C’est bien ; quelqu’un d’autre. 58

[Des élèves claquent des doigts en disant «moi, moi…»]. Oui. 59

El : 5 sur 7 multiplié par 5. 60

Poko : Qui vient faire le problème ? Oui. 61

On va faire ça de l’autre côté [en indiquant une partie du tableau]. 62

El : La masse de cette huile. 63

Poko : Tu lis d’abord le problème. [L’élève fait la lecture du problème.] 64

Poko : Onhon [oui], vas-y. 65

357

[L’élève commence à traiter sans suivre la forme de présentation pour la résolution d’un problème]. 66

Poko : C’est comme ça qu’on fait ? 67

Els : Non. 68

Poko : Qu’est-ce qu’on doit faire ? 69

[L’élève note : solution – résultats – opération. Il utilise une règle pour tracer ses traits.] 70

Poko : C’est quelle masse, on a dit de calculer ? La masse de ? 71

Els : D’huile. 72

Poko : C’est la masse de 5

4de litre ; la masse de

5

4 de litre d’huile. De

5

4 ; la masse de. 73

[L’élève note avec des omissions de mots qui ont donné lieu à des répétitions de ce qu’il faut écrire 74

sous «solution».] 75

El : La masse de 5

4 de litre d’huile est : 3

5

4. 76

Poko : oui 77

El : 3 fois 4 12. 12 divisé par 4. 78

Els : 5 ; 5 79

El : 12 divisé par 5. Dans 12 il y a combien de fois 5? Il y a 2 fois. 80

Poko : Est-ce qu’on peut? Sous forme de fraction; écris sous forme de fraction. C’est? Efface ce 81

que tu as écrit là-bas là, 3 multiplié par truc là. C’est 5

4 3 non? 82

Els : Oui. 83

Poko : C’est sous forme de fraction. 5

4multiplié maintenant par 3.

5

4 3? 84

Els : 5

12 85

Poko : Tu mets l’égalité ; égal. C’est5

12, c’est bon. Est-ce qu’on peut simplifier? 86

Els : Non 87

[La rédaction de l’élève au tableau] 88

89

358

Poko : Donc, 5

12le litre. C’est bon, qui a tout trouvé? Qui a tout trouvé? C’est bien. Qui a trouvé 2? 90

1? Qui a trouvé 1? Qui n’a rien trouvé? Hé, je sais qu’il y a des gens qui n’ont rien trouvé. Ok, 91

corrigez, corrigez vite, vite, on va continuer. 92

Hum, vous avez dit que vous utilisez couramment les fractions dans vos calculs à la maison. Han? 93

Els : Oui. [Rire d’un élève]. 94

Poko : C’est bien. [À 21mn 40s]. À la fin de notre leçon, chacun doit être capable de donner 95

l’inverse d’une fraction, de diviser une fraction par un nombre entier et de diviser une fraction par 96

une fraction. [À 21mn 54s]. Regardez le premier [en indiquant le tableau], le premier exercice : 3

2 97

et 2

3. Quelles remarques faites-vous? Quelles remarques faites-vous de

3

2 et

2

3 ? Oui 98

El : On a pris 3

2 c’est l’inverse 99

Poko : Onhon ? L’inverse de la ? 100

El : On a fait l’inverse de 3

2. 101

Poko : C’est bien. Donc 3

2 est l’inverse de

2

3. C’est bien [à 22mn 34s]. Maman divise une orange 102

en 4 parties. Elle veut partager les 4

3 de l’orange à ses 3 enfants. Calcule la part de chacun. 103

Donc nous allons diviser ça ensemble et calculer la part de chacun. [Elle prend l’orange.] L’orange 104

a été divisée en combien de parties ? 105

Els : En 4 parties. 106

Poko : En quatre parties. [Elle se met à couper l’orange en 4 parties]. Combien de parties de 107

l’orange qu’elle veut partager à ses trois enfants ? Oui ! 108

El : Elle veut partager les trois quarts de l’orange à ces trois enfants. 109

Poko : Elle veut partager les trois quarts de l’orange à ces trois enfants. Donc, nous allons 110

partager. Elle a enlevé comme ça, ça c’est pour elle et les trois quarts pour partager à ses trois 111

enfants. Selon vous quelle sera la part de chacun ici ? Quelle sera la part de chacun ici ? Oui ! 112

El : 4

1. 113

Poko : 4

1. Comment tu as fait pour trouver

4

1 ? Oui Maria. 114

Maria : 3 divisé par 3 115

Poko : 3 divisé par 3 ! Non ! C’est les 4

3 qu’elle veut partager à ses 3 enfants. Lui, il a dit que 116

chacun aura4

1.

4

1, tu as fait comment pour trouver

4

1 ? Oui ! 117

El : J’ai fait : 4

3 divisé par 3. 118

Poko : Donc, calculons la part de chacun. 119

[Poko écrit au tableau : Solution-Résultats-Opérations et elle souligne ces titres à la règle.] 120

Qui vient effectuer l’opération ? Kadi 121

Kadi : [Elle pose la division] 122

359

4

3

3

Poko : C’est comme ça ? 123

Els : Non. 124

Poko : D’accord. Qui vient ? Oui ! C’est bon à ta place. 125

El : 4

3 3. Je divise le numérateur, je prends le chiffre divisé par le numérateur. 126

Poko : Tu prends ? 127

El : le chiffre, le numérateur divisé par le chiffre et je garde le dénominateur. 128

Poko : divisé par le nombre. C’est comme ça ? Non ! Ce n’est pas comme ça. On peut faire 129

comme ça, mais ce n’est pas ce que moi je veux pour que ça soit facile. Oui, viens. 130

El : 4

3 3. Je prends le dénominateur multiplié par le chiffre. 131

Poko : Par le nombre 132

El : Par le nombre. 133

Poko : Onhon, vas-y. Il faut bien placer les signes. Tu reviens en bas, comme il n’y a pas de place 134

là-bas. 135

El : 3

43 136

Poko : Mais, tu as inversé. C’est 4

4 non ! Pourquoi 4 vient en haut ?

4

3. 137

El : 4

43 138

Poko : Non, non. Viens je vais t’aider. Suivez, suivez. Donc ça sera 4

3 3= ; donc nous allons 139

faire 34

3

=

12

3. On peut simplifier ? 140

El : Oui. 141

Poko : Par combien ? 142

Els : par 3. 143

Poko : 12

3=

312

33

=

4

1. [Les calculs sont faits par le groupe-classe]. 144

Et si on vous demandait comment diviser une fraction par un nombre entier ? Avec tout ce qu’on a 145

fait, comment diviser une fraction par un nombre entier ? Oui ! 146

El : Pour diviser une fraction par un nombre, on prend le dénominateur, multiplié par le nombre et 147

on garde le numérateur. 148

Poko : Très bien. Donc pour multiplier une fraction par un nombre entier, on prend le 149

dénominateur multiplié par cette fraction et on garde le numérateur. On pouvait même faire, on 150

pouvait même dire que pour diviser une fraction, pour diviser une fraction par un nombre entier, on 151

prend cette fraction divisée par l’inverse de la, du nombre. Donc, si on vous demande l’inverse de 152

3 c’est combien ? L’inverse de 3 c’est combien ? L’inverse de 3 ? 153

El : 4. 154

360

Poko : L’inverse de 3, je dis de 3. L’inverse de 3, l’inverse de 3, c’est3

1. Vous voyez non. Donc

4

3155

3

1. Vous voyez, multiplié plutôt par

3

1 [

4

3

3

1]. Donc pour diviser, suivez, pour diviser une 156

fraction par un nombre entier, on prend cette fraction et on multiplie par l’inverse du nombre. Donc 157

ça va donner : 4

3

3

1=

34

13

. On peut simplifier facilement. On enlève 3 en haut et 3 en bas. Il 158

reste4

1. C’est bon. Donc, comment diviser une fraction par un nombre entier ? Comment diviser 159

une fraction par un nombre entier ? 160

Pour diviser une fraction par un nombre entier, on multiplie ce nombre par le dénominateur de la 161

fraction et on garde le numérateur. 162

Pour diviser une fraction, suivez, pour diviser une fraction par un nombre entier, on prend cette 163

fraction, on prend ce nombre, le nombre entier là, on multiplie par le dénominateur et on garde le 164

numérateur. 165

Quelqu’un pour répéter. Oui ! 166

El : Pour diviser une fraction par un nombre, on prend le dénominateur multiplié par ce nombre et 167


Poko : Quelqu’un d’autre. Oui. 169

El : Pour diviser une fraction par un nombre, je prends ce nombre multiplié par le dénominateur et 170


Poko : C’est bien. Quelqu’un d’autre. 172

El : Pour diviser une fraction par un nombre entier, je prends le dénominateur multiplié par ce 173

nombre et je garde le dénominateur 174

Poko : Le numérateur. 175


Poko : Le numérateur de la fraction. C’est bien. Donc, ici on verra: 177

Solution

Calculons la part de chacun

4

3 3

Résultats

4

1 de l’orange

Opérations

4

3 3=

34

3

=

312

33

4

1.

C’est bien. On va faire le 3e exercice. 178

«L’aire d’un mouchoir rectangle est de 3

4 m2. La largeur est de

2

1 de mètre. Calcule la longueur». 179

Qui vient essayer? Qui vient? Oui, vas-y. 180

El : Je vais calculer la longueur. 181

Poko : À quoi est égale la longueur du rectangle? À quoi est égale la longueur du rectangle 182

connaissant l’aire et la largeur? Oui Ismael. 183

361

Ismael : longueur du rectangle = demi-périmètre - largeur 184

Poko : Non, non. J’ai dit, oui c’est bien. J’ai dit, mais si on n’a pas le demi-périmètre, à quoi est 185

égale la longueur connaissant l’aire et la largeur? 186

El : longueur = surface largeur. 187

Poko : Oui, vas-y. 188

El : 189

Solution

La longueur du rectangle

3

4

2

1

Résultats

3

8m

Opérations

3

4

2

1=

31

24

=

3

8m

[Je prends 4 2 sur 1 3].

Poko : Égale 3

8m onhon. Donc comment nous pouvons diviser une fraction par une fraction? 190

Comment diviser une fraction par une fraction? Avec tout ce qu’il a fait là, comment diviser une 191

fraction par une fraction? [Des élèves claquent des doigts]. Oui Kadi. Suivez. 192

Kadi : Pour diviser une fraction par une fraction, on prend la 1re fraction multipliée par la 2e fraction. 193

Poko : Multipliée par la 2e fraction? 194

Kadi : donc, le numérateur de la 1re fraction par le dénominateur de la 2e fraction. 195

Poko : C’est bien. Donc on va dire ici. Ce qu’il a fait c’est bien. Mais,3

4

2

1, lui il a dit que il a fait 196

4x2 et puis 1x3, c’est bien. Nous pouvons dire que pour diviser une fraction par une fraction on 197

prend la première fraction et on multiplie par l’inverse de la deuxième fraction. La première fraction 198

ici, c’est combien? C’est 3

4multipliés par l’inverse de

2

1. 199

Els : C’est 3

2. 200

Poko : 3

2; 2 combien ? 2 sur 1. Donc ça sera égal à

3

4

2

1=

3

4

1

2=

31

24

=

3

8m. Ce qu’il a fait 201

aussi c’est bien. Lui, il a fait un produit de croix comme ça : ; donc c’est bien. Donc, 202

comment diviser une fraction par une fraction? Comment diviser une fraction par une fraction? 203

Toujours les mêmes et les autres? Oui! 204

El : Pour diviser une fraction par une fraction, on prend le numérateur de la 1re 205

Poko : On prend? 206

El : On prend le numérateur de la 1re fraction, on multiple par le dénominateur de la 2e fraction. 207

Ensuite, on prend le numérateur de la 2e fraction multiplié par le dénominateur de la 1re fraction. 208

Poko : C’est bien. Ce que tu dis c’est bien, mais c’est long; c’est long. Oui. C’est bien. Oui [en 209

désignant un autre élève] 210

362

El : Pour multiplier. 211

Poko : Pour diviser. 212

El : Pour diviser deux fractions, on prend la 1re fraction divisée. 213

Poko : non, multipliée 214

El : multipliée par l’inverse de la 2e fraction. 215

Poko : Oui, Awa 216

Awa : Pour réviser 217

Poko : Pour diviser, 218

Awa : Pour diviser une fraction par une fraction, je prends la 1re fraction, on multiplie, multiplie par 219

Poko : multipliée 220

Awa : multipliée par l’inverse de la 2e fraction. 221

Poko : C’est bien. Oui, Issa. 222

Issa : Pour diviser une fraction par une fraction, on prend la 1re fraction, on multiplie par l’inverse 223

de la 2e fraction. 224

Poko : Oui 225

El : Pour diviser une fraction par une fraction, on prend la 1re fraction multipliée par l’inverse de la 226

2e fraction. 227

Poko : C’est bien. Oui. 228


2e fraction. 230

Poko : Oui, c’est bien. Qu’avez-vous retenu de tout ce qu’on a fait? Vous avez retenu quoi de tout 231

ce qu’on a fait? Toujours les mêmes et les autres? Qu’est-ce vous avez retenu? Oui Ram. 232

Ram : Oui, on a retenu. 233

Poko : Toi, tu as retenu quoi? 234

Ram : La division de fractions. 235

Poko : Quelles fractions? Quelle division? Le 2e exercice, on a dit une division d’une fraction par 236

un nombre entier. Donc, c’est lequel que toi tu as retenu? Le 1er ou le 2e? 237

Ram : Le 2e. 238

Poko : Le 2e, c’est bien. Qui d’autre? 239

El : J’ai retenu les deux. 240

Poko : Tu as retenu les deux! Et les autres? Oui! 241

El : J’ai retenu les deux. 242

Poko : Les deux, c’est bien. Dites-moi, avec tout ce qu’on a fait là, qu’est-ce qui peut vous servir à 243

la maison comme ça, avec la division des fractions? Ça peut vous servir à quoi? À faire quoi? Oui! 244

363

El : Ça peut nous servir à partager. 245

Poko : À partager. C’est bien. 246

El : Ça peut nous servir à diviser quelque chose. 247

Poko : À diviser quelque chose, C’est bien. Ça peut vous servir à construire une maison dans une 248

parcelle, ou bien? Quelle sera la leçon après la division de la fraction? Qui peut me dire la leçon 249

qui va suivre en arithmétique sur les fractions. Est-ce que vous connaissez la leçon qui suit les 250

fractions en arithmétique? C’est quelle leçon? Quelle leçon peut suivre ça? 251

El : La division de trois fractions. 252

Poko : La division de trois fractions. Bon, là! Non, non. 253

El : La transformation des nombres fractionnaires. 254

Poko : La transformation des nombres fractionnaires, ça, c’est déjà passé. Ça, c’est déjà passé, 255

ce qui va venir là. On va dire : trouver un nombre à partir de sa fraction. Trouver un nombre d’une 256

fraction à partir de sa fraction. 257

[Poko efface le tableau et recopie les exercices ci-dessous]. 258

1) Détermine l’inverse de chacune des fractions :11

25 ;

15

14. 259

2) Effectue les opérations suivantes : 3

2 5;

4

5

7

1. 260

Faites vite [à 47 mn 25 s]. 261

El : Sur les mêmes feuilles ? 262

Poko : Oui, allez, faites vite. [Puis, elle met au tableau le problème ci-dessous]. 263

15 litres d’essence ont coûté 5 700 frs. On en consomme 2

1 litre par jour. Calcule le nombre de 264

jours qu’il faudrait pour consommer l’essence, puis calcule la dépense journalière. 265

Qui a fini ? Qui a fini ? Ceux qui ont fini, vous allez faire ça. [Elle fait une lecture du problème]. 266

Ça là même, ça ne dépasse pas 5 minutes. Faites vite on va corriger. C’est fini ? Qui a fini ? C’est 267

combien de minutes vous voulez prendre pour faire ça? Faites vite on va corriger. [Elle dit cela en 268

tapant des mains]. 269

Le problème, ce n’est pas tout le monde qui doit faire, j’ai donné seulement à Mariam et puis 270

l’autre là. C’est eux deux seulement, c’est pour eux. Donc, si vous avez fini ça là, on va corriger. 271

Vous avez fini ça là non? 272

Els : Quelques élèves disent oui. 273

Poko : Qui n’a pas fini? [Il n’y a pas eu de réaction dans la classe]. 274

On va corriger. Qui vient? Qui vient? Oui, Ram vient. Suivez; déposez les bics et vous suivez au 275

tableau. Tu écris en bas dans la colonne 3. Tu mets correction. Fais vite. 11

25 ; l’inverse de

11

25, 276

c’est combien ? [Poko reprend la question en parcourant des yeux la classe]. 277

364

Poko : 11

25 ; l’inverse de

11

25, c’est combien ? [Elle ne donne pas le temps à Ram au tableau de 278

répondre. Elle interroge un autre élève]. 279

El : 25

11. 280

Poko : [Elle dit à Ram]. Tu écris25

11. 281

Ram : [Il veut donner l’inverse de l’autre fraction]. L’inverse de 282

Poko : C’est bien quelqu’un d’autre. [Ram n’a pas montré ce qu’il connait en allant au tableau et il 283

est remplacé]. 284

Oui, et les autres ? Vous ne voulez pas venir au tableau ? 285

El : L’inverse de 15

14 est

14

15. [Il écrit la réponse au tableau]. 286

Poko : Oui. C’est bien. Et les autres ? Oui, viens. Toi [en indiquant un élève]. 287

El : 288

289

Poko : Non, non. Qui vient? Oui, Damien. Toi, tu es déjà venu au tableau, quelqu’un d’autre. 290

[Un élève claque des doigts. Une élève est envoyée au tableau]. 291

Allez, vas-y vite : 3

2 5. 292

El : 3

2 5=

53

2

=

15

2 293

Poko : Égale combien? 294

El : deux quinzièmes. 295

Poko : C’est bien. Quelqu’un d’autre? Mariam, au tableau, fais vite. 4

5

7

1. 296

Mariam : 4

5

7

1=

14

75

=

4

35. 297

Poko : Onhon, c’est bien. Qui a tout trouvé? Qui a tout trouvé? Ceux qui ont tout trouvé, levez les 298

mains. Le premier? Ceux qui ont trouvé 3 exercices sur 4? C’est bien. Qui a trouvé 2? 2 299

exercices? 1? Tu as trouvé 1? Ceux qui ont tout trouvé, hééé 4 et 3, c’est bien. Ceux qui ont trouvé 300

1 aussi, il faut faire l’effort. Les autres, corrigez. Corrigez vite, vite. 301

Avec tout ce qu’on a fait, qu’est-ce qui a été facile ici avec vous? Qu’est-ce qui a été facile? Oui. 302

El : Celle qui a été facile avec nous, c’est la division entre fractions; 303

Poko : La division de deux fractions, onhon. 304

365

El : Ce qui a été difficile [et après rectification de la stagiaire] facile, c’est l’inverse des fractions. 305

Poko : l’inverse des fractions, onhon. L’inverse des fractions, et la division d’une fraction par un 306

nombre entier, vous n’avez pas compris? 307

Els : On a compris. 308

Poko : Donc, vous n’avez pas compris? Donc, ça veut dire que c’est tout ou bien? Qui n’a pas 309

compris quelque chose? Qui n’a pas compris quelque chose ici? C’est bien. Comment diviser une 310

fraction par un nombre entier? Comment diviser une fraction par un nombre entier? [Elle 311

commence à écrire la règle au tableau]. 312

Pour diviser une [elle arrête et repose sa question]. Comment diviser une fraction par un nombre 313

entier? Oui. 314

El : Pour diviser une fraction [il avait de difficulté à prononcer] 315

Poko : Une fraction. 316

El : Une fraction par un nombre entier, je prends le dénominateur de cette fraction multiplié par le 317

nombre. 318

Poko : Multiplié par le nombre, c’est bien. Donc pour diviser une fraction par un nombre entier, on 319

multiplie le dénominateur de la fraction par ce nombre entier et on garde le numérateur. Comment 320

faire pour diviser une fraction par une fraction? 321


2e fraction. 323

Poko : C’est bien. Vous avez fini de prendre la correction? 324

Els : Oui. 325

Poko : C’est quelle leçon? 326

Els : Arithmétique. 327

Poko : Le titre, c’est quoi? 328

El : La division des fractions 329

[La stagiaire écrit : Arithmétique : La division des fractions. Puis, il s’en est suivi des lectures des 330

règles écrites au tableau. Chaque règle est suivie d’un exemple]. 331

366


CH : Comment avez-vous trouvé cette séance de leçon? 1

Poko : Je peux dire que ça va un peu; ça va. 2

CH : Ça va un peu, ç’a été difficile? 3

Poko : Bon, ça n’a pas été difficile puisque après avoir évalué, j’ai compté. J’ai trouvé ceux qui ont 4

trouvé trois exercices, j’ai compté 25. 5

CH : Donc, vous étiez à l’aise dans le déroulement de la leçon? 6

Poko : Oui, je peux dire que ça va. 7

CH : Quelles sont les difficultés d’ordre pédagogique, d’ordre didactique que vous avez eues lors de 8

la planification de la leçon? 9

Poko : Bon, la préparation de la leçon, c’est au niveau du développement. Je n’ai pas fait la division 10

d’un nombre entier par une fraction. Donc, je me suis dit que si je fais tout ça, ça sera trop quoi. Les 11

enfants ne vont pas comprendre. Vaut mieux faire les deux seulement pour qu’ils puissent 12

comprendre. Là, je vais faire ça la prochaine fois. J’ai scindé la leçon en deux. 13

CH : Sinon pour la préparation de la leçon, aucune difficulté? 14

Poko : Non, non. 15

CH : Quelles sont les difficultés d’ordre pédagogique, d’ordre didactique que vous avez eues lors de 16

la réalisation de la leçon? 17

Poko : Je peux dire au niveau de comment diviser une fraction par un nombre entier. Bon, je disais 18

que pour, souvent c’est la répétition et comme je répète, il y a des mots que j’oublie souvent. 19

CH : S’il y a à refaire, est-ce que vous avez une idée de comment reprendre cette partie. S’il y a à 20

reprendre le cours une autre fois, que feriez-vous par exemple? 21

Poko : Je me dis que c’est au niveau de la prononciation seulement. Et puis, il y a l’exercice que 22

j’avais donné : « maman divise là »; eux, ils avaient… J’ai interrogé l’enfant 4

3 3. Lui, il a pris

4

3, 23

prendre le dénominateur, le numérateur plutôt divisé par la fraction. Ce qu’il a fait c’est bien. On 24

pouvait même trouver la même chose. Je me dis que ça c’est un peu compliqué avec eux que ce que 25

j’ai fait. 4

3, on prend le dénominateur et on multiplie par la fraction par le nombre. C’est un peu facile. 26

Il y a aussi l’inverse de la fraction. Pour diviser une fraction par un nombre entier, on prend la 2e 27

fraction, la 1re fraction, on multiple par l’inverse de la 2e fraction. Donc, quand j’ai donné ça, l’inverse 28

de la fraction, ils avaient des difficultés pour donner l’inverse de 3. Voilà pourquoi je dis, ça même 29

c’est un peu compliqué pour eux. Donc, on va faire l’inverse de 4

3multiplié, on prend le nombre 30

multiplié par le dénominateur, là c’est un peu facile avec eux. 31

CH : Quelle est l’approche pédagogique que vous avez utilisée? 32

Poko : ASEI-PDSI, programme SMASE [Strengthening of Mathematics and Sciences in Education]. 33

CH : La méthode vous semble-t-elle adaptée? Connaissez-vous autres méthodes? Pourquoi avoir 34

choisi cette méthode? 35

367

Poko : Il y a la méthode classique. Mais depuis qu’on a commencé avec cette méthode, moi-même, 36

je maîtrise ça plus que ce qu’on a appris à l’école. On apprenait ça aussi à l’école, mais sous forme 37

de tableau. Donc, quand nous sommes venus ici, on a fait des réunions. On nous a formés, on a dit 38

de laisser les tableaux et puis que c’est facile avec moi. Là même c’est facile, donc moi, je me dis 39

que c’est facile. 40

CH : Plus que ce vous avez fait en classe, à l’école. 41

Poko : Oui. 42

CH : Mais, finalement c’est parce que c’est facile, c’est ça qui a motivé votre choix ou bien? 43

Poko : Non, ce n’est pas parce que c’est facile. Moi aussi j’apprends. Le fait de dispenser le cours, 44

moi aussi j’apprends plus. 45

CH : Pour le choix des problèmes à donner aux élèves, qu’est-ce qui a motivé le choix des différents 46

problèmes? 47

Poko : Les problèmes, ce que j’ai donné ici, c’est l’exercice additionnel. Il y a d’autres qui finissent 48

vite. Donc, il faut donner un exercice plus compliqué, sinon certains finissent et ils dérangent les 49

autres. Donc, on donne cet exercice plus compliqué que ce qu’on a donné aux autres pour eux. Il y a 50

l’exercice 4

5 3. Ça, ceux qui ont des difficultés, donc on fait ça leur donner. Donc, comme ils ont dit 51

qu’ils ont tout compris. S’il y avait des gens qui ont dit qu’ils n’avaient pas compris, j’allais leur dire de 52

faire ça. Mais ça, on ne corrige même pas l’exercice de remédiation et le défi additionnel, on fait ça 53

après la séance, on peut même leur donner l’exercice de remédiation comme un exercice de maison, 54

ou bien un exercice à 10h, ils peuvent rester en classe et puis faire. 55

CH : Nous avons constaté que certaines erreurs qui étaient intervenues, vous avez préféré changer 56

d’élève. Pourquoi ce choix? 57

Poko : Changer d’élève? 58

CH : Oui, il y a un qui va au tableau, il ne réussit pas, vous envoyez quelqu’un d’autre. Pourquoi de 59

tel choix? 60

Poko : Je peux dire, il peut aller s’assoir et suivre ce que l’autre va faire. Comme ça, quand on va 61

donner l’exercice d’évaluation maintenant, il va essayer de … 62

CH : Est-ce que le fait de suivre, ça permet de remonter ses difficultés? 63

Poko : Non, non. Il pouvait faire lui-même et là je vais lui expliquer il va comprendre plus que d’aller 64

suivre. 65

CH : Pourquoi vous avez opté pour le changement? Est-ce que c’est évident que l’élève à sa place… 66

Poko : Je pense que c’est pour être aussi dans le temps. Puisque quand lui il va faire bon… 67

CH : Pour être dans le temps? Parce que j’ai constaté en aucun moment dans le déroulement de la 68

leçon, la gestion des erreurs. Je n’ai pas perçu ça. Est-ce que je me trompe ou bien? Par exemple, il 69

y a des erreurs qui sont commises. Pour aider les élèves à surmonter leurs erreurs, je ne l’ai pas 70

perçu. Est-ce que je me trompe? 71

Poko : J’ai passé regarder leur exercice au niveau de la division d’une fraction par un nombre entier. 72

On dit qu’on multiplie le dénominateur par cette fraction, de la fraction. Il y a d’autres qui multiplient 73

par le numérateur. C’est ce que j’ai vu. 74

368

CH : Oui mais, la gestion d’une erreur, c’est amener l’élève à reconnaître son erreur et surmonter 75

l’erreur. C’est ce que je n’ai pas… 76

Poko : J’ai signalé ça ici. Il y a une [élève] qui était assise ici là, elle avait pris le numérateur 77

multiplier par cette fraction, donc arrivée, je l’ai fait comme ça [un signe est fait]. Bon et partir, pour lui 78

dire que ce qu’elle fait ce n’est pas ça. Mais, je n’ai pas parlé. 79

CH : Je vais revenir sur les difficultés. Vous avez effectivement dit que vous n’avez pas eu de 80

difficulté à organiser le cours. Le choix des exercices, vous avez parlé de ce problème, mais c’est 81

que le début [du cours], il y avait déjà des problèmes, des exercices que vous avez donnés, des 82

genres d’activités introductives. Qu’est-ce qui a motivé ce choix [d’activités] et le matériel que vous 83

avez amené? Quel est le matériel, par exemple, pour introduire la fraction? Il y a deux questions…. 84

Poko : Non c’est moi, je me dis, j’ai fait ça moi-même, pour diviser une orange : maman veut diviser 85

une orange, c’est moi-même. En venant avec l’orange, on va couper devant eux concrètement, ils 86

vont comprendre que ça, que la craie… 87

CH : Donc, c’est un matériel concret qu’ils connaissent, je suis d’accord. Il y a aussi l’application que 88

vous avez eue à donner. Qu’est-ce qu’ils peuvent faire dans la vie avec les fractions; ça aussi c’est 89

une bonne initiative. Vous avez parlé de la construction dans une parcelle, mais vous n’êtes pas 90

allée au de-là. Est-ce que vous avez une idée derrière pour préciser comment ils peuvent utiliser une 91

fraction dans la construction d’une parcelle, occuper une parcelle? Comment vous…En disant cela, 92

est-ce vous avez des propositions ou des… 93

Poko : En disant cela, lorsqu’on veut construire une maison de 16 tôles, je sais que la maison de 16 94

tôles est en forme de rectangle. Par exemple, si on dit que la parcelle a une surface de 500 m2, on dit 95

la longueur, c’est… La surface, bon, la parcelle a une surface de 3

7, par exemple, on dit que la 96

longueur égale 20m. On dit de calculer la largeur de cette parcelle. Donc, je peux dire qu’ils peuvent 97

utiliser la division de la fraction par un nombre entier pour trouver la largeur, la longueur plutôt. 98

CH : Mais, pour trouver la longueur puisqu’à un moment donné, il y a une question que vous avez 99

utilisé, surtout au début, des enfants ont commencé à diviser. Par exemple dans le problème, vous 100

avez dit de calculer, calculer la part de chacun. Les enfants ont commencé à diviser. Les enfants ont 101

voulu donné sous forme décimale la réponse. Vous avez dit de donner sous forme fractionnaire. 102

Qu’est-ce qui a joué pour que les élèves cherchent à diviser pour donner sous forme décimale la 103

réponse? 104

Poko : Je me dis, c’est parce qu’ils ne comprennent pas. Comme, ils n’ont jamais vu la division d’une 105

fraction, je me dis que c’est ça, qu’ils veulent diviser. 106

CH : Est-ce que la question aussi ne joue pas? La question? Puisque vous avez dit de donner la 107

réponse. 108

Poko : Donner la part de chacun. 109

CH : Donne la part de chacun. Est-ce que c’est une précision? Puisque la part de chacun, une 110

fraction, c’est un nombre rationnel; un nombre décimal, comme sous forme décimale. On peut 111

donner la réponse sous forme de fraction, comme sous forme décimale. Ils ont commencé, vous les 112

avez arrêtés. Est-ce qu’il ne pouvait pas y avoir de précision dans la question? 113

Poko : Calculer la part de chacun sous forme de fraction. 114

369

CH : Donner la part de chacun sous forme de fraction. 115

Poko : Je pouvais même les laisser continuer et dire que c’est ce que je veux. Je veux qu’on fasse 116

ça sous forme de fraction. 117

CH : Donc, là aussi, il y a les deux réponses pour faire la part des choses. Bon, il y aura aussi après, 118

ça vous permettra d’introduire après la relation qui … Vous dites que le cours qui vient c’est 119

transformer par exemple un nombre décimal, une fraction sous forme décimale. Donc déjà, ça donne 120

une intuition sur ce qui va venir après. Ils ont vu les nombres décimaux, il fallait déjà voir, celui qui 121

est intelligent pouvait déjà trouver un rapport. Donc, c’est à ce niveau que… 122

J’ai constaté que le choix des élèves revenait, c’est presque les mêmes, vous privilégiez les mêmes. 123

Est-ce les meilleurs ou bien c’est des volontaires? 124

Poko : Ce sont des volontaires seulement. Je ne les connais pas. Comme je ne suis pas au CM2, je 125

ne connais pas qui est meilleurs, voilà pourquoi je demandais et les autres, vous ne voulez pas venir 126

au tableau? J’ai même dit ça. 127

CH : Dans la formation théorique, est-ce qu’on vous dit de fois d’interroger ceux qui ne lèvent pas la 128

main? 129

Poko : Oui, il y a une même que j’ai interrogée qui n’a pas levé la main. On peut interroger ceux qui 130

ne veulent pas venir au tableau. Peut-être, c’est ce qu’il ne comprend pas qu’il ne veut pas venir au 131

tableau. Là quand il va venir, le fait même de venir au tableau, on va expliquer, tu comprends mieux. 132

Donc, je pouvais les interroger comme ça. Là, s’ils ne peuvent pas faire, je vais expliquer davantage 133

pour qu’il comprenne mieux. 134

CH : Quelles sont les … 135

Au niveau des pratiques d’enseignement là, vous avez vu la méthode; la formation théorique que 136

vous avez eue ici, vous avez eu à l’école que vous n’avez pas appliqué, mais est-ce que l’APC, on 137

vous en a parlée? Non! 138

Poko : Non. 139

CH : C’est la PPO, la pédagogie par les objectifs? 140

Poko : Oui 141

CH : Les méthodes d’enseignement, il y a la PPO, l’APC. Il y a la méthode que vous dites, ça relève 142

de quelle, ça se rapproche de la PPO? 143

Poko : Ce qu’on a appris à l’école, non. Ce n’est pas la même chose, parce que là-bas, il y a la 144

phase concrète, la phase semi-concrète et la phase abstraite. Mais ici, après la phase semi-concrète, 145

on fait le résumé et l’évaluation. Mais ici, après avoir évalué, il y a la prestation de l’enseignant, les 146

exercices de remédiation, les défis additionnels. Donc ça, c’est (ce n’est) plus comme l’autre là. Bon, 147

je me dis que ça là c’est long et ça prend du temps. 148

CH : Ça prend du temps? 149

Poko : Ça prend du temps par rapport à l’autre puisque l’autre après avoir fait la phase abstraite, tu 150

évalues et puis tu donnes le résumé. Là-Bas, il n’y a pas de défis additionnels, les exercices de 151

remédiation. Non, non. Et puis là-bas aussi, il n’y a pas de justification. 152

CH : Ce que vous avez fait dans le déroulement, quelle est la forme d’organisation de la classe? 153

Vous n’avez pas compris? Vous ne voyez pas comment… 154

370

Poko : Non, non. 155

CH : Parce que l’organisation de la classe, ça peut être un travail individuel, le travail en sous-156

groupe, ou le groupe-classe. 157

Poko : Là, c’est le travail individuel. La méthode classique, on fait par groupe. Mais ici, on ne 158

demande pas par groupes. Il faut faire par groupes, non, non. Souvent, c’est en sciences qu’on fait 159

par groupe. 160

CH : Pourquoi en sciences on le fait et en mathématiques, on ne le fait pas? 161

Poko : Bon, en mathématiques, on peut le faire, mais au CP. Par exemple, les bâtonnets, ils peuvent 162

le faire ensemble. 163

CH: Par exemple ici pour découvrir l’inverse, est-ce qu’il n’y avait pas possibilité, ou diviser une 164

fraction, est-ce qu’il n’y avait pas d’activités les amenant à découvrir parce que j’ai eu le 165

pressentiment qu’il y a des informations qu’ils avaient déjà. 166

Poko : Puisqu’au niveau de la multiplication, je me dis qu’ils ont déjà vu la multiplication et puis 167

même l’inverse de ça. 168

CH : Bon, dans quelle classe? Vous ne vous êtes pas renseignée? 169

En préparant le cours, vous avez essayé de voir ce qu’il ont vu antérieurement, par exemple? 170

Poko : J’ai demandé à leur maître; il m’a dit, puisqu’il voulait faire même la… Le jour que, le jour que 171

j’ai commencé ma fiche, je crois que c’était le mardi, le mercredi, que j’avais préparé ma fiche 172

déposer. Lui, il m’avait dit, c’est le mercredi même qu’il voulait faire la division. Voilà pourquoi je vous 173

ai appelé aujourd’hui pour que vous veniez. Puisqu’il a dit que si je ne fais pas ça aujourd’hui ou 174

demain, lundi il allait continuer avec la division parce qu’il a dit qu’il est au niveau de la multiplication 175

des fractions. Donc, je me dis que l’inverse là, ils ont vu ça au CM1. Sinon, moi je suis au CM1. Les 176

élèves de CM1, ils ont vu l’inverse. Je me dis qu’ils ont vu ça l’année passée. Bon, c’est… 177

CH : Effectivement, eh, je peux accepter que le programme de CM1 et CM2, c’est la même chose. 178

Poko : C’est la même chose. 179

CH : Je peux dire que c’est presque la même chose. Donc peut-être, ils ont déjà des informations. 180

Donc en ce moment, on pouvait donner une activité les amenant à se rappeler directement, parce 181

que j’ai l’impression que les réponses sont venues beaucoup plus de vous que des élèves. Vous 182

apportez les réponses vous-même. Et là, pour une méthode, il faut que les élèves travaillent et qu’ils 183

découvrent certaines informations. Bon, vous avez parlé de la question de temps. 184

Poko : Si c’était la méthode classique là, on pouvait faire comme ça, mais avec cette méthode, on ne 185

peut pas travailler comme ça. Vous-même, vous voyez, vous avez vu l’exercice que j’ai donné ici, 186

l’évaluation que j’ai donné ici là, c’est deux, combien? Quatre exercices. Moi-même j’avais promis 5 187

minutes pour faire ça. Donc l’inverse, il faut prendre le dénominateur mettre en haut et prendre le 188

numérateur mettre en bas. C’est plus facile. Donc, ils allaient faire moins de 5 minutes. Donc, voilà 189

pourquoi, ils trainaient, ils trainaient. Donc cette méthode prend du temps plus que l’autre méthode. 190

Si c’était l’autre méthode, on pouvait faire comme ça. 191

CH : Cette méthode, comme je ne m’y connais pas, je vais découvrir et peut-être avoir plus 192

d’informations. Sinon, la méthode classique, quand même vous parlez d’objectifs, dans le 193

déroulement, volet spécifique, objectifs spécifiques, les ressources pédagogiques et le matériel, le 194

corps principal de la leçon, développement, situation problème, d’accord. Donc, je vois qu’il y a 195

371

problème; de situation-problème. Ok, je ne vais pas perdre le temps sur ça, c’est un document que je 196

vais récupérer et photocopier 197

Poko : Un exemple de fiche pédagogique ici. 198

CH : Oui 199

Poko : Ça c’est en mathématique : un exemple de titre, eh! Thème, titre, classe, durée, justification, 200

objectif, matériel collectif, individuel, document. Déroulement : introduction et puis la conclusion, 201

l’évaluation aussi, défis additionnels, exercices de remédiation, prestation de l’enseignant, activité de 202

prolongement. 203

CH : Par exemple, si je reviens à la classe du CM1, puisque les fractions, vous pouvez donner des 204

cours au CM1, quelle est l’organisation de la classe? C’est toujours le travail individuel? 205

Poko : Bon, ce que j’ai l’habitude de faire là-bas, la fois passée, j’ai fait la soustraction, la 206

multiplication sur les fractions, mais j’ai fait ça individuellement. Mais, je n’ai pas fait ça par groupes. 207

CH : Mais en amont aussi, quel est, est-ce que vous avez essayé de voir ce qui va venir après, la 208

leçon qui vient après les fractions? 209

Poko : Ce qui va venir après, c’est ce que j’ai donné là : trouver une fraction à partir d’un nombre. 210

C’est cette leçon qui vient. 211

CH : Et au-delà, avez-vous pensé à ce qui peut être fait en 6e sur les fractions pour voir? 212

Poko : Non, non. 213

CH : Est-ce que vous avez eu des modules de formations sur la fraction? Des compléments de 214

cours, un renforcement sur la fraction? 215

Poko : Non, non. Il ne faut pas que je vais dire qu’il n’y en a pas. Il y a des cours que je n’ai pas 216

suivis parce qu’entre-temps je suis tombée malade et un cours déjà passé, j’ai des difficultés pour 217

recopier. Je ne recopie pas. C’est avec ces documents que j’utilise pour préparer. 218

CH : Mais, est-ce que les différents cours que vous avez utilisés, y a-t-il quelque chose qui est fait 219

sur la faction? 220

Poko : Oui, mais on nous a donné un petit livret. Ça aussi c’est l’approche ASEI-PDSI. Mais là-bas, 221

c’est sous forme de tableau, on prépare. 222

CH : Sur la fraction? 223

Poko : Oui. Si je me rappelle bien, je me dis qu’il y a un cours sur ça, la fraction. 224

CH : Je vais voir, comme j’ai le cahier. 225

Poko : On n’a pas fait dans le cahier. C’est un petit livret qu’on nous a donné. On n’a donné à l’école. 226

CH : et on a récupéré ce petit livret? 227

Poko : Non, non. Ça y est toujours là. Mais comme je ne travaille pas avec, comme on nous a dit de 228

ne pas utiliser ça, moi j’utilise ça là. 229

CH : Il y a eu un texte officiel qui dit, ou bien qui vous a dit de ne pas utiliser. Je veux comprendre. 230

Poko : On peut utiliser, mais pas sous forme de tableau. Là-bas, c’est les tableaux, la préparation 231

c’est dans les tableaux. 232

372

CH : Oui et à ce niveau, c’est sur la fraction. Moi je veux parler, ce n’est pas de façon générale. 233

Poko : Je sais qu’il y a un cours préparé sur la fraction là-bas. 234

CH : Oui j’aimerais avoir ce document. 235

Poko : Si ce n’est pas après je vais prendre vous donner. Sinon, je n’ai pas ça ici. 236

CH : D’accord. Le contenu de formation, le renforcement sur les fractions, j’ai besoin de ça pour 237

mieux interpréter ce qui est fait. Puisque nous voulons voir dans quels cas améliorer, faire des 238

propositions pour étudier, comprendre la formation initiale. 239

Poko : Bon, on n’a pas fait un cours sur la fraction. S’il y a un exemple. Est-ce qu’il n’y a pas un 240

exemple ici? 241

CH : Je vois pédagogie différenciée, je vois la pédagogie des grands groupes, là c’est des tableaux 242

de ce genre? 243

Poko : Voilà, c’est ce qu’on faisait à l’école. 244

CH : Ça c’est l’organisation de la fiche. 245

Poko : Oui. 246

CH : Et avec le temps, on a évolué en simplifiant. Peut-être, c’est ça seulement. Ça doit être le même 247

contenu, mais peut-être c’est la présentation qui diffère. Ça doit être les mêmes contenus. Bon, je 248

vais photocopier cette partie donc avec la fiche, je vais comprendre. 249

Poko : Oui. 250

CH : Je vais m’arrêter là. Est-ce que vous avez quelque chose d’autre? Puisque vous avez dit que 251

vous n’avez rencontré aucune difficulté dans la préparation de la leçon. 252

Poko : Au niveau de la préparation, je n’ai pas eu de la difficulté. 253

CH : Vous avez été accompagnée par le maître de classe ou bien c’est... 254

Poko : Bon, dire que je n’ai pas été accompagnée, c’est trop dire parce qu’au niveau de la 255

justification, j’avais fini ma fiche. Je leur ai donné, ils ont regardé [le directeur et le maître de CM2]. 256

Au niveau de la préparation, j’avais dit que les enfants ne connaissent pas les fractions. Donc, ce qui 257

fait qu’ils ont des difficultés pour diviser une fraction par une fraction, et pour diviser un nombre entier 258

à une fraction, pour diviser une fraction par un nombre entier. Lui [le directeur], il m’a dit ce n’est pas 259

qu’ils ne connaissent pas, comme ils ont déjà vu les fractions, la comparaison des fractions, la 260

simplification des fractions, ils entendent parler, et puis, ils connaissent même. C’est que c’est la 261

division, ils ne peuvent pas. Et puis à la maison aussi, au niveau de leurs achats, ils n’utilisent pas 262

les fractions pour calculer. Donc, c’est ce qu’il m’a dit de mettre : «les enfants n’utilisent pas 263

couramment les fractions». Donc là-bas, il m’a corrigé. Au niveau de l’exercice [objectif] spécifique 264

aussi, j’ai donné au maître du CM2. Lui, il a regardé. Il m’a dit qu’il connaît le niveau de ses élèves. 265

Donc, si moi je vais faire tous les 4 objectifs là, ça sera un peu compliqué. La compréhension sera un 266

peu compliquée; donc, de laisser un, un objectif. Donc, si j’enlève et puis faire les trois, et puis 267

scinder la leçon en 2. Après on va continuer avec la division d’un nombre entier par une fraction. 268

Sinon, comme ça, ça sera un peu compliqué avec les élèves. C’est là-bas seulement. 269

CH : On va s’arrêter là. Merci bien. 270

373

Annexe 5 : Cas Sidi


Titre du chapitre : Fractions : Introduction

Titre de la leçon : Écriture fractionnaire Classe : 6e Durée : 55 min Effectif : 71 Garçon : 31 Filles : 40

Objectifs : À la fin de la leçon sur l’écriture fractionnaire, l’élève de la classe de 6e doit être capable de :

- distinguer une fraction et une écriture factionnaire; - écrire une fraction décimale sous forme de nombre décimal; - écrire un décimal sous forme d’une fraction décimale.

Prérequis :

- reconnaître les éléments de ℕ; - reconnaître les éléments de D;

- distinguer les ensembles ℕ et D.

Méthode pédagogique : Redécouverte

Techniques : Enseignement par les activités; questionnement; travail individuel.

Scénario : Déroulement

Étapes, durées et intentions

pédagogiques Rôle et interventions du professeur

Rôle et activités des élèves

1re étape : 5min Contrôle des prérequis

Le professeur propose l’exercice suivant au tableau : Exercice

Compléter par ou .

5 …… ℕ; 3,5 ….. ℕ; 2,75 …… ℕ; 5,00…… ℕ; 0 …… ℕ; 6,54 ….. D; 0 ……..... D; 13 ……… D; 14,0 …… D. Il ordonne d traiter l’exercice au brouillon. Il veille au bon déroulement Il interroge des élèves pour la correction. Réponse attendue (RA)

Complétons par ou .

5 ℕ; 3,5 ℕ; 2,75 ℕ; 5,00 ℕ; 0 ℕ;

6,54 D; 0 D; 13 D; 14,0 D Le professeur fait des ajustements si nécessaires. Il rappelle que ℕ D.

- Les élèves traitent l’exercice au brouillon. - Les élèves interrogés corrigent l’exercice et les autres suivent attentivement la correction. - Les élèves écoutent attentivement le professeur et posent des questions de compréhension

2e étape : 4 min Motivation à l’introduction de la notion de fraction

Dans ce chapitre, nous aborderons la notion de fractions. Les fractions étant déjà vu dans les classes antérieures, prêtez donc attention pour renforcer vos connaissances sur la notion des fractions. Le professeur communique oralement les objectifs de la leçon du jour puis il écrit le titre et le sous-titre de la leçon au tableau.

- Les élèves écoutent attentivement le professeur. - Ils recopient ensuite le titre et le sous-titre de la leçon dans leur cahier

374

Chapitre IV : Les fractions I- Écriture fractionnaire

1- Convention a- Notation

de cours.

3e étape : 14 min Activité permettant d’énoncer la convention

Le professeur propose l’activité suivante au tableau. Activité

Énoncé de l’activité mathématique :

3,42 : 5,1 peut encore s’écrire1,5

42,3.

Comment appelle-t-on cette écriture? Que représente 3,42 et 5,1? Donner la réponse de chaque expression.

A= 1

13 ; B=

5,12

0 ; C=

1

100 ; D=

546

0.

Le professeur demande de traiter l’activité au brouillon. Il veille à son bon déroulement. Il interroge des élèves pour la correction. RA : Cette écriture est appelée écriture fractionnaire. 3,42 représente le numérateur. 5,1 représente le dénominateur. Donner la réponse de chaque expression. A= 13 ; B= 0 ; C= 100 ; D= 0. Le professeur fait le point des acquis et fait au besoin des réajustements. Il ordonne de prendre l’activité et sa correction dans leur cahier de cours. Il fait la synthèse et fait énoncer la notation et les conséquences en aidant les élèves à bien la formuler. Retenons : Si a est un nombre décimal et si b est un nombre

décimal non nul, on pose a : b =b

a. a s’appelle le

numérateur et b s’appelle le dénominateur de l’écriture

fractionnaireb

a.

Remarque : Si a et b sont des entiers naturels, on dit que b

a

est une fraction.

Exemples : 3

7;

5

9;

13

135 sont des fractions.

Conséquences :

Pour tout nombre décimal a, 1

a= a.

Pour tout nombre décimal b non nul, on a b

0= 0

- Les élèves ferment leur cahier de cours puis prennent leur cahier de brouillon. - Ils traitent l’activité au brouillon. - Les élèves interrogés corrigent l’activité et les autres suivent attentivement la correction - Les élèves ferment leur cahier de brouillon puis prennent les cahiers de cours. - Ils prennent l’activité et sa correction. - Ils tentent de dégager les conséquences. - Ils notent alors la trace écrite dans leur cahier de cours.

375

4e étape : 4 min Faire fonctionner la convention

Le professeur met l’exercice suivant au tableau. Exercice :

Donner les réponses des fractions suivantes :

A=1

153 ; B=

1425

0 ; C=

1

283.

Il ordonne de fermer les cahiers de cours et de prendre les cahiers de brouillon. Il veille au bon déroulement. Il interroge des élèves pour la correction. R.A. Donnons les réponses : A=153 ; B= 0 ; C= 283. Le professeur fait le point des acquis et fait au besoin des ajustements.

- Les élèves ferment leur cahier de cours, puis prennent les cahiers de brouillon. - Ils traitent l’exercice. - Les élèves interrogés corrigent l’exercice au tableau et les autres suivent la correction attentivement.

5e étape : 18 min Activité permettant d’énoncer la notion de fractions décimales

2- Fractions décimales a- Définition

Le professeur aide les élèves à définir une fraction décimale avec des exemples à l’appui. Il fait noter la trace écrite. Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10; 100; 1000; 10000; …

Exemples : 100

524;

10

318;

10000

450 sont des fractions

décimales. b- Écriture d’une fraction décimale sous forme de

décimal Le professeur propose l’activité suivante au tableau. Activité :

Calculer : 10

13;

100

253;

1000

12538.

Il ordonne de traiter l’activité au brouillon. Il veille à son bon déroulement. Il interroge des élèves pour la correction. R.A : il effectue les divisions. Le professeur fait le point des acquis et fait au besoin des réajustements. Il ordonne de prendre le sous-titre, l’activité et sa correction dans leur cahier de cours. Il fait énoncer la règle en aidant les élèves à bien la formuler. Il fait noter la règle. Règle 1 : Pour diviser un nombre entier par 10; 100; 1000; …; on place une virgule à 1; 2; 3;… chiffres à partir de la droite.

c- Écriture d’un décimal sous forme de fraction décimale.

Le professeur propose l’activité suivante au tableau : Activité : Écrire sous forme d’une fraction décimale : 2,3 ; 2,54 ; 12,538 Il ordonne de traiter l’activité au brouillon. Il veille à son bon déroulement. Il interroge des élèves pour la correction.

- Les élèves tentent de définir une fraction décimale, puis donnent des exemples. - Les élèves notent la trace écrite dans leur cahier de cours. - Les élèves ferment alors les cahiers de cours, puis prennent les cahiers de brouillon. - Ils traitent l’activité et les élèves interrogés corrigent l’activité au tableau et les autres suivent la correction. - Les élèves ferment leur cahier de brouillon, puis recopient le sous-titre, l’activité et sa correction dans les cahiers de cours. - Les élèves notent alors la règle. - Les élèves ferment alors les cahiers de cours, puis prennent les cahiers de brouillon. - Ils traitent l’activité et les élèves interrogés corrigent l’activité au tableau et les autres suivent la correction. - Les élèves ferment leur cahier de brouillon, puis recopient le sous-

376

R.A : 2,3 =10

23 ; 2,54 =

100

254 ; 12,538 =

1000

12538.

Il fait le point des acquis et fait au besoin des ajustements. Il ordonne de prendre le sous-titre, l’activité et sa correction dans leur cahier de cours et fait énoncer la règle en aidant les élèves à bien la formuler. Il fait noter la règle. Règle 2 : Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

titre, l’activité et sa correction dans les cahiers de cours. - Les élèves notent la règle.

6e étape : 4 min Faire fonctionner la notion de fractions décimales

Le professeur met l’exercice suivant au tableau. Exercice

1. Calculer : 100

1275 ;

100

30 ;

10000

513.

2. Écrire sous forme de fraction décimale : 0,3; 7,21; 3,1. Il ordonne de fermer les cahiers de cours et de prendre les cahiers de brouillon. Il veille à son bon déroulement. Il interroge des élèves pour la correction. R.A :

1. Calculons : 100

1275=12,75 ;

100

30=0,3 ;

10000

513=0,0510.

2. Écrivons sous forme de fraction décimale : 0,3=10

3;

7,21=100

721; 3,1=

10

31.

Il fait le point des acquis et fait au besoin des réajustements.

- Les élèves ferment alors les cahiers de cours, puis prennent les cahiers de brouillon. - Ils traitent l’exercice et les élèves interrogés corrigent l’exercice au tableau et les autres suivent attentivement la correction.

7e étape : 2 min Évaluation terminale

Le professeur donne les références suivantes : Exercices n°1 et 2, page 58. Collection «Faso Math»

Les élèves prennent les références données par le professeur.

Remplissage du cahier de texte : 2 min.

Contrôle des présences : 2 min.

377


[Sidi observe l’heure du début du cours sur sa montre et commence à écrire dans le cahier 1

d’absences]. 2

Sidi : Donc, on a Julien qui n’est pas là, sinon le reste est là. Ok, nous allons commencer le cours. 3

En attendant, vous prenez vos cahiers de brouillon, prenez les feuilles et vous traitez cet exercice. 4

Exercice : [à 01mn 23s] Vous ne recopiez pas, vous complétez directement. 5

Compléter par ou : 5 … ℕ; 3,5 … ℕ; 5,00 … ℕ; 0 … ℕ; 6,54 …D; 0 … D; 13 … D; 14,0 … D. 6

Ok! Oui [pour répondre à une sollicitation d’un élève] 7

El : Je n’ai pas eu de feuille. 8

Sidi : Tu n’as pas eu de feuille. Ok, donc vous avez deux minutes. Dépêchez-vous. [Sidi cherche 9

une feuille pour l’élève qui n’en a pas]. Qui d’autre n’a pas eu de feuille. Fatou a eu? 10

Fatou : Non. 11

Sidi : [Il se déplace dans la classe et contrôle le travail des élèves.] Compléter par «appartient» ou 12

«n’appartient pas». 13

[Il va remettre dans son sac les feuilles qu’il a enlevées. Il prend ses feuilles sur la planification du 14

cours]. 15

Ça peut aller? 16

Els : Oui. 17

Sidi : On a fini? [Une seule réponse oui]. 18

Ok, donc on corrige maintenant. [Des élèves claquent des doigts qui sont accompagnés de «moi 19

monsieur»]. 20

Qui passe pour le 1er? Oui Bila. Tu effaces avec le chiffon les points de suspension et tu 21

complètes. 22

[Bila efface les points de suspension]. 23

Sidi : Ok, le deuxième! 24

[Bila n’a pas fini de donner la réponse du premier item]. 25

Bila : 5 ℕ. 26

Sidi : 5 n’appartient pas à ℕ c’est ça? 27

Els : Non. 28

Sidi : ℕ représente quoi? Oui, Gaétan. 29

[Gaétan ne donne pas de réponse]. 30

Sidi : Qui peut me dire ce que représente ℕ. Oui [en désignant un élève. Pendant ce temps, 31

l’élève au tableau change le symbole en ]. 32

El : ℕ représente l’ensemble des entiers naturels. 33

Sidi : ℕ représente l’ensemble des entiers naturels; oui, le deuxième. Donc 5 appartient à ℕ. 34

El : 3,5 n’appartient pas à ℕ. 35

378

Sidi : Ok, Hamidou. 5,00, tu me donnes le chiffon? [L’élève donne le chiffon à l’enseignant qui 36

réécrit l’item en disant] ici ℕ et tu complètes là. 37

Hamidou : 5,00 ℕ 38

Sidi : Ok, 5,00 appartient à ℕ. Et 0? Le chiffon est là, sur la table. 39

El : 0 ℕ 40

Sidi : 0 appartient à ℕ. OK, tu me donnes la craie. 6,54. 41

El : 6,54 D 42

Sidi : Ok, merci. 0; [il passe entre les rangées pour remettre la craie à une élève]. 0 appartient-il ou 43

n’appartient-il pas à D? Le chiffon est là. 44

El : 0 D 45

Sidi : 0 n’appartient pas à D. C’est ça? 46

Els : Non. 47

Sidi : Non. Qui corrige? Oui. 48

El : 0 D 49

Sidi : 0 appartient à D. Oui Nafi. 13 appartient-il ou n’appartient-il pas à D? 50

Nafi : 13 D. 51


Els : Non. 53

Sidi : Non. Oui [en remettant la craie à un autre élève]. 54

El : 13 D 55

Sidi : 13 appartient à D. Et le dernier? Oui. Merci [en recevant la craie de l’élève qui était au 56

tableau] 57

El : 14,0 D 58


Els : Non. [L’élève qui est au tableau change le symbole en symbole, puis remet la craie à 60

l’enseignant]. 61

Sidi : 14 appartient à D. Ok, donc c’est ça. Mais, il faut savoir que dans le cours on a vu que ℕ est 62

inclus dans D [Il note au tableau ℕ D]. Ça veut dire que tous les éléments de ℕ appartient à 63

l’ensemble D. Comme ℕ est inclus dans D, le zéro appartient à D, également à ℕ aussi. De même 64

que le 13 et le 14,0 appartiennent aussi à D. 65

Donc, pour ce matin nous allons voir la notion de fraction. Vous avez déjà vu la notion de fraction 66

dans les classes antérieures, suivez donc attentivement pour renforcer vos connaissances sur les 67

fractions. Donc, vous notez en chapitre 4, et à la fin de ce cours vous devriez être capables de 68

distinguer une écriture factionnaire d’une fraction, d’écrire un nombre décimal sous la forme d’une 69

fraction décimale et d’écrire également une fraction décimale sous la forme décimale. Donc, vous 70

prenez le cahier de cours et vous notez [en écrivant au tableau] en : 71

379

Chapitre IV : Les fractions : Introduction. 72

I- Écriture fractionnaire 73

Vous notez en : 1- Convention. Et vous notez en : a- Notation. 74

Activité 75

Après avoir recopié le plan, vous prenez vos cahiers d’exercices et vous commencez à traiter 76

l’activité. On a : 3,42 : 5,1 peut encore s’écrire1,5

42,3. Donc l’activité, on vous dit que 3,42 divisé par 77

5,1 peut encore s’écrire1,5

42,3. Donc vous commencez à répondre. 78

Comment appelle-t-on cette écriture? Que représentent 3,42 et 5,1? [En allant dans la 3e colonne 79

du tableau, Sidi écrit en commentant]. 80

Et ici «Donner la réponse à chaque expression : A= 1

13; B=

5,12

0; C=

1

100 ; D=

546

0». Donc, 81

vous avez cinq minutes. Ok, dépêchez-vous. 82

Comment appelle-t-on ces nombres? 3,42; qu’est-ce que ça représente? Et en même temps les 83

5,1. Et on vous demande de donner la réponse. Dépêche-toi [en s’adressant à un élève lors de 84

son passage dans les rangées]. S, dépêches-toi. Dépêchez-vous! 2 minutes. [Pendant ce temps, il 85

continue à contrôler le travail fait individuellement par les élèves]. 86

Sidi : Pour la réponse à ces fractions [en indiquant les fractions qui sont données au tableau], on 87

vous dit1

13,

5,12

0; or, on avait dit que 3,42 : 5,1 peut encore s’écrire sous cette forme [en indiquant88

1,5

42,3], donc vous divisez seulement 13 par 1; 0 par 12,5; et ainsi de suite. Puis vous donnez les 89

réponses. Ok, on passe à la correction. [Il note sous l’énoncé de l’activité, correction qu’il souligne]. 90

Correction. Correction, comment appelle-t-on cette écriture? Donc vous suivez maintenant. Oui 91

Éric. 92

Éric : Une fraction. 93

Sidi : Ok, donc c’est une écriture fractionnaire. [Sidi note cette réponse au tableau]. 94

Ok, ensuite que représente 3,42? 3,42 représente? Oui Ali. 95

Ali : Le dénominateur. 96

Sidi : Le dénominateur, c’est ça? 97

Els : Non. 98

Sidi : Non. Oui Ali. 99

Ali : Le numérateur. 100

Sidi : Le numérateur; 3,42 représente le numérateur. Et 5,1? Oui [en désignant un élève]. 101

El : Le dénominateur. 102

Sidi : Ok, 5,1 représente le dénominateur. Ok, maintenant on vous dit de donner la réponse. Qui 103

vient calculer le A; on vous dit 13 sur 1 [Il note A=1

13 au tableau]. 104

380

Oui, Kuilga; donc tu calcules ici [en indiquant une partie du tableau] et tu reportes la réponse. 105

[Kuilga pose la division]. 106

Sidi :13 sur 1, oui. 107

Kuilga : 13 divisé par 1 : dans 1 il y a combien de fois 1, il y a 1 fois. 1 fois 1 1; 1 ôté de 1, il reste 108

0. J’abaisse le chiffre 3. Dans 3 il y a combien de fois 1, il y a 3 fois. 3 fois 1 3; 3 ôté de 3, il reste 0. 109

Sidi : [Il suit le calcul effectué par Kuilga par des onhon, ce qui traduit son acceptation de ce qui se 110

dit et se fait. Puis il dit] OK, donc égal à? 111

Kuilga : 13. [Il reporte la réponse A= 1

13= 13]. 112

Sidi : Le B. Oui Pato ; 5,12

0. Donc tu calcules le 0 sur, attends, B=

5,12

0. 113

Pato : B écrit0

5,12. 114

Sidi : Non, ce n’est pas 12,5 sur 0. B=5,12

0. 115

[Pato écrit B = 5,12

0] 116

Sidi : Oui, donc c’est 0 sur 12,5. 117

[Pato pose la division de 0 par 12,5 et l’effectue en parlant avec une voix non audible. Il trouve 0]. 118

Sidi : égale à 0. 119

[Pato reporte la réponse B=5,12

0=0]. 120

Sidi : Donc, c’est égal à zéro. Merci [en s’adressant à l’élève Pato qui lui a remis la craie]. De 121

même pour le C, 100 divisé par 1? [Il écrit au tableau C=1

100=]. Sans plus calculer qui peut me 122

donner? Oui Sala. 123

[Sala pose le calcul et l’effectue comme précédemment. Elle parle d’une voix non audible]. 124

Sidi : Tu parles pour tout le monde. 125

[Sidi ne revient pas à sa proposition qui consiste à donner la réponse sans calculer]. 126

Sala : Dans 1, il y a combien de fois 1? Il y a 1 fois; 1 fois 1 1 ôté 1, il reste 0 et j’abaisse 0. Dans 0 127

il y a combien de fois 1, il y a 0 fois; 0 fois 1 0 ôté de 0, il reste 0. J’abaisse le 0. 128

Sidi : Tu parles fort. 129

Sala : Dans 0 il y a combien de fois 1, il y a 0 fois; 0 fois 1 0 ôté de 0, il reste 0. 130

Sidi : Donc il reste… la réponse c’est combien? 131

Sala : égal à 100. 132

381

Sidi : égal à 100. 133

[Sala reporte la réponse C = 1

100 = 100]. 134

Sidi : Ok, le D? Oui Ado. On a 0 sur 546. [Il réécrit au tableau D = 546

0]. 135

Ado : Dans 0 il y a combien de fois 546? Il y a 0 fois. 0 fois 546 égale 0. 136

Sidi : Donc on a 0; en bas, non non là-bas [pour indiquer à l’élève où il doit reporter la réponse]. 137

[Ado reporte la réponse : D = 546

0= 0]. 138

Sidi : Ok, y a-t-il des questions? 139

Els : Non [le non n’est dit pas de façon audible]. 140

Sidi : Donc, vous prenez votre cahier de cours, vous recopiez l’activité et sa correction. Dépêchez-141

vous! Il circule dans les rangées et contrôle la prise des notes. Dépêchez-vous! Encore quelque 142

temps. [Il intervient auprès d’un élève]. On peut aller? 143

Els : Oui [de façon timide]. 144

Sidi : Ok, donc il faut se dépêcher. On peut effacer la première partie? 145

Els : Oui 146

Sidi : Il prend le chiffon du seau d’eau et efface l’énoncé de l’activité. Vous notez à la suite que : 147

Retenons [il écrit retenons au tableau]. Après l’activité et sa correction vous prenez ceci : [il fait des 148

commentaires en recopiant]. Si a est un nombre décimal et si b est un nombre décimal non nul, on 149

pose, on pose : a:b =b

a [proposition notée avec de la craie de couleur rouge]. Vous voyez le 150

rouge? 151

Els : Oui [réponse timidement dite]. 152

Sidi : Donc a divisé par b égal à a sur b. Donc a s’appelle le numérateur et b est le dénominateur 153

de l’écriture fractionnaireb

a; de l’écriture fractionnaire

b

a [expression répétée oralement. Puis, il 154

poursuit au tableau avec la remarque]. 155

Remarque. Vous marquez remarque. Si a et b sont des entiers naturels, si a et b sont des entiers 156

naturels, on dit que, on peut effacer par-là? 157

Els : Oui. 158

Sidi : Ok. Donc si a et b sont des entiers naturels, on dit que a sur b est une fraction. Donc, si a et 159

b appartien[nen]t à ℕ; si a et b appartien[nen]t à ℕ seulement, si ils sont des entiers naturels, on 160

dit que b

aest une fraction. Donc exemple de fraction. 161

Qui va me donner un exemple de fraction où a et b sont des entiers naturels. Oui, chef [le chef de 162

classe]. 163

Chef : Deux tiers. 164

382

Sidi : Deux tiers [il note3

2]. 165

El : Moi [en levant le doigt]. 166

Sidi : Oui 167

El : Cinq quarts 168

Sidi : Cinq quarts [il note 4

5]. Oui Maï. 169

Maï : Quatre huitièmes8

4 170

Sidi : Quatre huitièmes [il note8

4]. Ok, c’est bon. Donc exemples :

3

2;

4

5;

8

4. Vous prenez au 171

moins ces trois exemples. Et on continue. On a mis a) Notation; b) Conséquences. Vous marquez 172

en b) Conséquences. [Il écrit le sous-titre b) Conséquence dans la partie réservée au plan du 173

déroulement de la leçon, puis il revient dans la suite de leçon et note conséquences qu’il souligne]. 174

Conséquences : Pour tout nombre décimal a on a : 1

a= a. Pour tout nombre décimal b non nul on 175

b

0= 0. 176

[Sidi utilise la craie de couleur orange pour écrire les égalités. Il commente les deux 177

conséquences]. 178

Donc, vous fermez les cahiers de cours et vous prenez les cahiers d’exercices. [Il note exercice au 179

tableau et recopie l’énoncé]. 180

Exercice : Donner les réponses des fractions suivantes sans calculer. Vous avez 1 minute. A = 181

1

153 ; B =

1425

0; C =

1

183. [À 37mn23s]. 182

[Il circule dans les rangées pour contrôle le travail des élèves. Et en sourdine, nous entendons] 183

c’est 1

153. 184

Sidi : Correction. [À 37mn23s]. Ado, tu corriges le A. [Les élèves claquent des doigts qui sont 185

accompagnés de «moi» pour passer au tableau]. 186

Ado : A = 1

153= 153. 187

Sidi : Oui Zon, le B. 188

Zon : B = 1425

0= 0. 189

Sidi : Taisez-vous, je vous vois. Oui, Leïla, le C. Ok, merci [en prenant la craie]. 190

Leïla : C = 1

183 = 283. 191

383

Sidi : 283, ok, merci. C’est compris? 192

Els : Oui. 193

Sidi : Y a-t-il des questions? 194

Els : Non! 195

Sidi : [Il note les sous-titres dans l’espace du tableau réservé au plan de déroulement de la leçon 196

et les soulignent]. Donc, vous marquez. [À 38mn 58s]. 197

2- Fractions décimales. On a vu en 1- les conventions. a- Définition. Qui peut me définir ce que 198

c’est qu’une fraction décimale? Quand on parle de fraction et en plus il y a le mot «décimale». 199

[Sidi commente la question tout en effaçant une partie du tableau]. 200

Oui, une fraction décimale, c’est quoi? Personne? Fraction décimale? 201

[Des élèves claquent des doigts pour répondre à la question]. 202

Oui, oui Rokia. 203

Rokia : Une fraction décimale est une fraction qui a une virgule. 204

Sidi : Une fraction décimale est une fraction qui a une virgule. Oui, une fraction qui a une virgule, 205

de quelle manière? La fraction peut avoir une virgule : on peut avoir ça : [Sidi note l’exemple 206

suivant au tableau.] 5,3

5,12; la fraction possède des décimales, mais ce n’est pas une fraction 207

décimale. Qui peut dire mieux? Oui. 208

El : Une fraction décimale est fraction 209

Sidi : Fort 210

El : Une fraction décimale est fraction dont le dénominateur est 100, 10, 1000… 211

Sidi : Ok, très bien, c’est ça. Donc, une fraction décimale est fraction dont le dénominateur, vous 212

avez vu que l’écritureb

a, b est appelé le dénominateur, dont le dénominateur est 10, 100, 1000 et 213

ainsi de suite. Donc, vous notez la définition. [Sidi commente la définition en la recopiant au 214

tableau]. 215

Sidi : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10; 100; 1000; … [À 42mn 216

18s]. [Il écrit «Exemples :» au tableau et continue dans son commentaire]. 217

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur [phrase non achevée]. Exemple de 218

fraction décimale. Par ici [en indiquant une rangée de la classe]; oui Kati; un exemple de fraction 219

décimale. [Des élèves continuent à claquer des doigts pour se faire interroger]. 220

Kati : 84 221

Sidi : 84; non, tu n’as pas suivi la définition. La définition dit qu’une fraction décimale est une 222

fraction dont le dénominateur, ou bien c’est le mot dénominateur que tu ne sais pas? 223

Kati : 4 dixièmes. 224

Sidi : Onhon [oui]. 225

Kati : 4 dixièmes 226

384

Sidi : Ok; donc 4 sur 10 [il note 10

4 au tableau]. Oui Ali. 227

Ali : 100

5 228

Sidi : Oui, Anne. 229

Anne : 1000

6. 230

Sidi : 1000

6. Ok, c’est bon. Donc vous notez ces exemples de fractions décimales. Exemples :

10

4;231

100

5;

1000

6sont des fractions décimales. Ok! Donc vous notez en [À 44mn 00s]. b- Écriture d’une 232

fraction décimale sous forme de décimal. Vous connaissez déjà les nombres décimaux. Donc, il 233

s’agit d’écrire ici une fraction décimale qu’on vient de voir sous forme de décimal. [Il souligne le 234

sous-titre de la leçon]. Donc vous mettez : activité. Activité : Calculer. Vous calculez ça :10

13;

100

253; 235

10000

12538. 236

Donc vous avez 5 minutes pour traiter [À 45mn35s]. Prenez les brouillons et vous traitez ça. Après 237

avoir recopié le sous-titre dans le cahier de cours, vous fermez le cahier de cours et vous prenez le 238

cahier de brouillon pour calculer ça. Oui les feuilles [observation faite probablement par un élève 239

car il travaille sur des feuille]. Vous prenez les feuilles et vous traitez ça. Ici, ce sont les feuilles qui 240

représentent les cahiers de brouillon. Vous traitez l’activité; 4 minutes [À 46mn09s]. On se 241

dépêche. 242

[Il efface la 4e colonne [à droite] du tableau, puis il écrit dans la 3e colonne en dessous des 243

exemples «correction» qu’il souligne]. 244

Correction : Oui As, tu as fini? 245

[Il va jeter un coup sur le travail de certains élèves]. 246

Donc, on se dépêche. Ok! Qui a fini le A? [Des mains sont levées]. Ok, c’est très bien. 247

[Il effectue un contrôle du travail des élèves et apprécie positivement les résultats de certains 248

élèves]. 249

Le B aussi c’est fini ici [en s’adressant à un élève]. Il faut revoir, 10

13ne peut pas être encore égal à 250

13 [en contrôlant le travail d’un autre élève]. Vous avez 1 minute [à 47mn40s]. C’est fini ici? [Il 251

prend la feuille de l’élève]. Ok! 252

[Il contrôle le travail d’un 2e élève, puis d’un troisième et apprécie]. Ok, c’est bien. 253

Onhon! [Il change de rangée pour contrôler les résultats]. C’est bien ici. 254

Non, tu calcules directement ici. La méthode de calcul, tu le fais ici et ça marche [en s’adressant à 255

un élève]. Même ce que tu es en train d’essayer, tu le fais dans le brouillon. 256

385

Non, tu divises en même temps directement ici. Il ne faut pas reporter, sur votre feuille de brouillon, 257

il ne faut pas calculer ailleurs et reporter la réponse. Même vos divisions, vous divisez dans la 258

feuille de brouillon et vous reportez la réponse en même temps là-bas. 259

Donc, correction : Calculons : 10

13. Qui vient calculer et il met la réponse? 260

[Les élèves claquent des doigts en disant «moi Monsieur» pour se faire interroger]. 261

Ok, Aug de K. 10

13et tu mets la réponse. Après Ad, tu calcules [phrase inachevée]. 262

Omer : Il pose le calcul. Dans 13 il y a combien de fois 10? Il y a 1 fois. 1 fois 13 mois 10, il reste 263

3, j’ajoute 1 zéro [il place une virgule au niveau du quotient]. Dans 30 il y a combien de fois 10? Il y 264

a 3 fois. 30 ôté de 30, il reste 0. [L’enseignant répète les dires de l’élève dans son calcul] 265

Sidi : égale 1,3. 266

[Omer va noter le résultat de son calcul : 10

13=1,3. Des mains sont levées alors que Sidi a déjà 267

désigné un élève pour la correction de l’item B. Sidi répète le résultat donné par l’élève : 1,3]. 268

100

253. [Ado va pour la correction]. Après Ado, c’est Rabi le troisième. 269

Ado : [Ado pose le calcul.] Dans 253 il y a combien de fois 100 ou dans 2 il y a combien de fois 1? 270

Il y a 2 fois [il effectue avec une faible voix le calcul]. 271

Sidi : Tu parles fort pour toute la classe. 272

Ado : [La suite du calcul]. J’ajoute 1 zéro. Dans 530 il y a combien de fois 100 ou dans 5 il y a 273

combien de fois 1? 5 fois. 5 fois 0 0; 0 ôté de 0, il reste 0. 5 fois 0 0; 0 ôté de 3, il reste 3. 5 fois 5 5; 274

5 ôté de 5, il reste 0. J’ajoute 1 zéro. Dans 300 il y a combien de fois 100 ou dans 3 il y a combien 275

de fois 1? 3 fois. 3 fois 0 0 ôté de 0, il reste 0; 3 fois 0 0 ôté de 0, il reste 0; 3 fois 1 3 ôté de 3, il 276

reste 0. 277

[Il va noter le résultat.] 100

253= 2,53. 278

Sidi : Ok, tu fais le 3e [en remettant la craie à l’élève R qu’il a auparavant désigné]. 10000

12538 279

Rabi : Elle pose le calcul. 280

Sidi : Fort! Dans 12538 il y a combien de fois 10000? 281

Rabi : Dans 12538 il y a combien de fois 10000 ou dans 1253 il y a combien de fois 1000 ou dans 282

125 il y a combien de fois 100 ou dans 12 il y a combien de fois 10? Il 1 fois. 283

Sidi : Tu calcules directement. 284

Rabi : 1 fois 0; 0 ôté 8 il reste 8; 1 fois 0; 0 ôté 3 il reste 3; 1 fois 0; 0 ôté 5 il reste 5; 1 fois 0; 0 ôté 285

2 il reste 2; 1 fois 1; 1 ôté 1 il reste 0. J’ajoute 1 zéro et je place une virgule. 286

Sidi : On place 1 zéro et on place une virgule. Oui. 287

386

Rabi : Dans 25380 il combien de fois 10000 ou dans 2538 il y a combien de fois 1000 ou dans 253 288

il y a combien de fois 100 ou dans 25 il y a combien de fois 10? Il y a 2 fois. [L’enseignant soit dit 289

«onhon» soit répète ce que dit l’élève]. 290

Sidi : Donc tu complètes. Là-bas, tu as 0; 8; 3; 5; 0. Ok. [Ce donne comme reste 5380 pour la 291

division]. 292

Rabi : 5380 divisé par 10000. Je place 0. Dans 53800 il combien de fois 10000 ou dans 5380 il y a 293

combien de fois 1000 ou dans 538 il y a combien de fois 100 ou dans 53 il y a combien de fois 10? 294

Il y a 5 fois. 295

Sidi : Donc on complète encore : 0; 0; 8; 3 et 0 296

Rabi : Je place 0. Dans 38000 il combien de fois 10000 ou dans 3800 il y a combien de fois 1000 297

ou dans 380 il y a combien de fois 100 ou dans 38 il y a combien de fois 10? Il y a 3 fois. 298

[Sidi attire l’attention d’un élève qui fait autre chose et ne suit pas la correction]. 299

Sidi : Il y a 3 fois. 300

Rabi : [elle effectue le calcul et trouve comme reste 8000. Elle lace 1 zéro à droite]. Dans 80000, il 301

combien de fois 10000 ou dans 8000 il y a combien de fois 1000 ou dans 800 il y a combien de 302

fois 100 ou dans 80 il y a combien de fois 10? Il y a 8 fois. 303

Sidi : Il va 8 fois. Ainsi on aura 00000. Ok! Donc la réponse c’est combien? 304

Rabi : 1,2538. [Elle note le résultat]. 10000

12538= 1,2538. 305

Sidi : 1,2538. Qui a trouvé les trois? [Beaucoup de mains sont levées]. Ok! Y a-t-il des questions? 306

Donc vous prenez le cahier de cours, vous recopier l’activité et la correction [à 56min46s]. 307

[Il se promène dans les rangées pour contrôler la prise de notes]. 308

Ça y est? Dépêchez-vous. 309

Vous avez fini? [Question posée à un élève qui n’écrivait plus]. 310

[Sidi efface la colonne de droite juxtaposée à la colonne réservée au plan du déroulement de la 311

leçon]. 312

Dépêches-toi Sita. Ça y est? 313

Els : Oui 314

Sidi : Ok! Donc vous remarquez que ici [en indiquant 10

13], le numérateur égal à 13 et le 315

dénominateur c’est 10. Mais au niveau de la réponse, on a le numérateur et on a la virgule qui est 316

placé à un seul chiffre après la virgule. Ici, on a 100

253; vous voyez qu’au niveau du résultat les 253 317

ont été répétés et il y a la virgule qu’on a placée ici à deux chiffres. De même que ici, on a 10000

12538; 318

la virgule a été placée sous le même nombre mais, après 4 chiffres. 319

Qu’est-ce que vous pouvez dire de ça, de ces calculs? Puisque la réponse reste toujours le 320

numérateur [il encercle au tableau le numérateur]. La réponse, c’est toujours le numérateur [il 321

387

encercle tous les numérateurs et les réponses] et ici, au niveau de la réponse on a 0 et la réponse 322

a été, la virgule a été décalée d’un seul chiffre. Ici, on a deux chiffres après la virgule, deux zéros 323

et on a placé la virgule après deux chiffres. Ici, on a jusqu’à quatre chiffres et la virgule a été 324

comptée jusqu’à quatre chiffres avant d’être placée. 325

Qu’est-ce que vous pouvez dire comme règle? Pour faire ce genre de calcul, sans faire ce calcul 326

[en indiquant les calculs posés et effectués], comment on peut donner la réponse? 327

Oui Alou. 328

Alou : Pour trouver les nombre décimaux, on prend le numérateur et on décale la virgule avant un 329

chiffre. 330

Sidi : Avant un chiffre. Et si c’est 100? Si c’est 100? [01h00mn08s] Ce que tu as dit c’est vrai, mais 331

lorsque le dénominateur est 10, on décale d’un chiffre; d’un chiffre vers quel côté en plus? Et si 332

c’est 100? Si c’est 1000? Si c’est 10000? Oui, Th. 333

Théo : Pour calculer un nombre décimal par 10, 100, 1000, 10 00, on décale, on compte le nombre 334

de zéros et on décale, et on compte vers la droite à gauche par le nombre de zéros. 335

Sidi : Ok, c’est ça mais, ce n’est pas bien dit. On va reformuler. Donc vous notez : Règle 1 : Pour 336

diviser un nombre entier par 10, 100, 1000… on place une virgule à 1, 2, 3… chiffres à partir de la 337

droite. 338

Donc c’est la règle n°1. Donc, vous fermez les cahiers de cours et vous prenez les feuilles. Prenez 339

les feuilles de brouillon et vous calculez celui-ci [à 1h 03mn 00s]. Exercice : Donner la réponse 340

sans calculer : 100

1275= ;

100

30= ;

10000

513=. On dit de donner les réponses sans le moindre calcul. 341

Donc, 1 minute [à 1h 04mn08s]. 342

Paul, tu as fini? On dit de donner la réponse sans calculer. [Il circule dans les rangées et contrôle 343

le travail des élèves]. 344

Dépêches-toi [à l’adresse d’un élève]. Ça y est? 345

Els : Oui. 346

Sidi : On peut passer à la correction. [Des élèves claquent des doigts]. 347

Els : Oui. 348

Sidi : O-S. Ça peut aller? Donc tu donnes la réponse du 1er. 349

O-S : 12,75. 350

[Les élèves claquent de plus en plus des doigts]. 351

Sidi : Oui, Bila. On a 100

30 352

Bila : 0,30. 353

Sidi : Trouve 0,30. Oui Fati; 10000

513. 354

Fati : 0,0513. 355

Sidi : Ok, merci. Ça y est? 356

388

Els : Oui. 357

Sidi : C’est compris? 358

Els : Oui. 359

Sidi : Ok, donc ici, pour trouver la réponse, on a 100 au dénominateur. Comme la règle dit, si on a 360

ça on déplace, on place la virgule à deux chiffres à partir de la droite. Comme c’est 100, on compte 361

à partir de la droite 1, 2 et on place la virgule. Ali, on suit. De même qu’ici vous avez 100

30. C’est 362

toujours 100, vous comptez à partir de la droite; à deux chiffres et vous placez la virgule. Ici vous 363

avez 10000

513. Vous comptez à 4 chiffes à partir de la droite. Pour 10000, on a 1, 2, 3, 4 et vous 364

placez la virgule. Ça peut aller? 365

Els : Oui. 366

Sidi : Qui a tout trouvé? [Presque tous les élèves ont levé la main]. 367

Sidi : Ok, c’est bien. 368

[À l’adresse du CH]. Il est l’heure, on peut continuer? Il reste une partie que je n’ai pas faite. [À 1h 369

07mn 37s] 370

CH: Non. 371

Sidi : OK. OK, donc c’est bon pour aujourd’hui [à 01h07mn58s]. 372

389


CH : Quelles sont les difficultés d’ordre pédagogique que vous avez eues dans la préparation du 1

cours ou d’ordre didactique? 2

Sidi : Dans la préparation, premièrement j’ai eu du mal à formuler à partir de la convention. 3

Puisque dans la convention, on devait d’abord informer les élèves que 3,42:5,1 peut encore 4

s’écrire; je voudrais amener les élèves à écrire 3,42:5,1; je voulais les amener à écrire sous forme 5

de fraction. Or dans beaucoup de manuel on pose que ça, ça peut encore s’écrire par convention. 6

Et j’ai préféré poser, comme je n’ai pas eu de solution, j’ai préféré poser ça dans l’activité : 3,42:5,1 7

peut encore s’écrire avant de commencer à leur poser des questions, à ce qu’ils donnent ce que ça 8

représente chaque terme. 9

CH : C’est la seule difficulté que vous avez eue? 10

Sidi : En plus au niveau des prérequis. Voilà! Comme prérequis, j’ai eu encore du mal à formuler 11

les prérequis, puisque je ne savais pas au juste ce qui entrait. Je considère mal ce que les élèves 12

devraient avoir pour entrer dans la notion de fraction. Comme connaissance, donc je me suis référé 13

au chapitre 1er sur la notion des nombres décimaux et des entiers naturels. Puisque au niveau du 14

cours, au niveau de la remarque, ils ont eu à parler que b

aest une fraction si a et b sont des entiers 15

naturels. Et à chaque fois, les remarques et les conséquences, on dit que a est un nombre décimal, 16

b est un nombre décimal. Donc je me suis appuyé sur ça pour faire la révision. 17

CH : Oui parlant de prérequis, vous avez parlé de difficultés, vous avez parlé des ouvrages. Quels 18

sont les ouvrages que vous avez utilisés alors pour le … 19

Sidi : Les ouvrages? 20

CH : Les documents. 21

Sidi : J’ai utilisé le document Pythagore 6e; collection Faso-Math aussi que j’ai utilisée. Et il y a un 22

document que nous avons eu à photocopier à l’IDS, document du professeur. Mais, dans aucun 23

des trois documents, ils ont tous commencé à donner le cours comme ça. Or on disait que pour le 24

cours, ça devrait être une participation effective des élèves. Les élèves devaient formuler eux-25

mêmes les lois. Mais, au niveau de la convention j’ai constaté à chaque fois qu’ils donnaient ça 26

d’abord avant de donner des exercices par la suite. 27

CH : Vous vous êtes repérés à des documents du collège c’est-à-dire du post primaire, pour 28

préparer vos cours. 29

Sidi : Oui, oui. 30

CH : N’avez-vous pensé à consulter les livres du primaire, puisque vous dites que c’est des 31

notions, à un moment j’ai entendu parler de notions qu’ils connaissent. 32

Sidi : Oui, au niveau de la motivation, j’ai eu à dire que comme ils ont déjà vu dans des classes 33

antérieures. 34

CH : Quelles classes par exemple? 35

Sidi : Par exemple au CM2, les élèves voient la notion de fraction. Donc, je me suis référé à ça. 36

CH : Pourquoi n’avez-vous pensé à prendre des documents du CM2 pour vous aider? Peut-être ça 37

peut vous aider, je n’en sais rien. 38

Sidi : Ça c’est clair. Mais, j’avais demandé aux élèves de lire leurs cahiers avant de venir, de revoir 39

leurs cahiers de CM2. Ce qu’ils ont vu sur les fractions, je leur ai demandé de jeter un coup d’œil 40

avant de venir pour le cours. 41

390

CH : Oui, les élèves, peut-être, ont lu mais, vous ne savez pas ce qu’ils ont fait. 42

Sidi : Non, non. C’est ça oui. Ça c’est une erreur de ma part. 43

CH : Ce n’est pour dire qu’il y a erreur, j’essaie seulement de comprendre. Sinon, vous avez utilisé 44

le guide pédagogique et CIAM. Vous vous êtes documenté, c’est des échanges. Donc, il n’y a pas 45

question d’erreur, question de… Non, non, on cherche à comprendre. 46

Sidi : Oui, oui. Ça aurait pu m’aider aussi si j’avais jeté un coup d’œil. Peut-être ça pouvait m’aider. 47

CH : Est-ce que vous avez eu des difficultés à dispenser ce cours dans la classe? 48

Sidi : Difficultés à dispenser ... 49

CH : Le cours dans la réalisation en classe; des difficultés d’ordre pédagogique ou à un moment 50

donné des difficultés d’ordre didactique que vous avez constatées. 51

Sidi : Pour les parties que j’ai exécutées, je n’ai pas trouvé beaucoup de difficultés comme ça. 52

Mais, c’était un peu la 3e partie qui allait poser un peu le problème puisque là-bas, on avait 53

demandé d’écrire maintenant un nombre décimal sous forme d’une fraction décimale. Donc là-bas, 54

même au niveau de la règle, ils ont dit qu’un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une 55

fraction décimale. Ils n’ont pas précisé clairement comme au niveau de la règle n°1 que pour écrire 56

une fraction décimale sous forme décimal, il faut décaler la virgule. Là-bas, ils n’ont pas précisé. On 57

donne par exemple 1,5 aux élèves, on leur dit d’écrire sous forme de fraction décimale et il n’y a 58

pas de règle que les enfants vont s’appuyer. 59

CH : Donc si je comprends bien l’exploitation des documents mêmes vous posent des problèmes. 60

Sidi : En quelque sorte. 61

CH : L’exploitation des documents, les contenus mêmes sont, en quelque sorte, ça vous pose des 62

problèmes? Aussi bien pour la préparation ou même de fois pour conduire le cours, euh… il y a des 63

difficultés à entrer dans le cours à partir de ces documents. 64

Sidi : Voilà! Mais le problème, c’est au niveau de la préparation. Si la préparation a été bien faite 65

seulement le cours peut être exécuté facilement. 66

CH : Oui, mais il se trouve que les documents ne vous aide pas, ne vous aide pas pour la 67

préparation. 68

Sidi : Oui, justement. Ça m’aide mais, pas totalement. 69

CH : Oui je sais, il y a toujours des incompréhensions. D’accord, donc qu’est-ce que vous suggérez 70

pour amoindrir ces difficultés? 71

Sidi : Comme suggestions? 72

CH : Oui. 73

Sidi : Si au niveau par exemple des fractions, des fractions décimales, l’écriture d’un décimal sous 74

forme de fraction décimale, s’il y avait quand même une règle pour permettre aux élèves, comme la 75

première, pour permettre aux élèves de décaler la virgule d’1 chiffre, 2 chiffres… vers la droite. Si 76

au niveau de la 2e, les 1,5 qu’on veut écrire sous forme de fraction décimale, s’il y avait une règle 77

pour permettre d’expliquer correctement. Sinon, chaque professeur sera obligé d’expliquer à sa 78

manière. Comme c’est 1,5, vous avez un chiffre après la virgule, vous mettez 1, vous mettez 10

15. 79

Ou bien c’est comme ça, sinon il n’y a pas de règle précisément pour faire. 80

CH : Avez-vous eu des compléments de formation sur la fraction? 81

Sidi : Compléments de formation sur la fraction! 82

391

CH : Un renforcement sur la fraction, sur l’enseignement de la fraction au niveau de l’IDS ? Des 83

cours comme ça de renforcement sur la fraction? 84

Sidi : Non, non. 85

CH : Vous n’avez pas eu à préparer un cours sur la fraction lors des travaux dirigés? 86

Sidi : Oui, oui. Là-bas, on a fait des fractions. Mais, ce sont les mêmes documents qu’on a 87

exploités, surtout le document collection Faso-Math. 88

CH : Faso-Math. 89

Sidi : On a fait des études là-bas sur la fraction. 90

CH : Vous avez ce contenu- là ici? 91

Sidi : Non, je n’ai pas amené. 92

CH : Vous n’avez pas de corriger sur ce qui a été fait? 93

Sidi : Non, non. Puisque c’était réparti en plusieurs groupes. Nous, notre groupe n’a pas fait ça. 94

CH : Mais, vous n’avez pas pris le corrigé non plus? 95

Sidi : Le corrigé, non, non. On a suivi seulement la présentation du cours. 96

CH : Mais, maintenant la séance du cours, pour vous ça va? Vous êtes satisfait, sinon, qu’est-ce 97

que … 98

Sidi : Pour le cours, on ne peut pas dire qu’on est satisfait parce que le temps cause beaucoup un 99

problème. Pour être dans la fourchette, c’est très difficile de respecter le temps. En fait, étant donné 100

que chaque partie doit avoir une activité, après le contenu, après puis le faire fonctionner. Donc ce 101

qui fait qu’on ne peut pas choisir un contenu un peu élevé pour faire un cours. Il faut des petites 102

portions seulement. 103

CH : Parlant de petites portions, ça c’est quelle approche vous avez utilisée? Quelles méthodes 104

didactiques? 105

Sidi : C’est la méthode de redécouverte. 106

CH : La méthode de redécouverte; qui consiste à quoi? 107

Sidi : Qui consiste à faire les enseignements par les activités, le travail étant individuel. 108

CH : Le travail individuel. 109

Sidi : Oui, oui, enseignement par les activités. 110

CH : C’est vous qui avez choisi le travail individuel ou bien c’est systématique? 111

Sidi : Non, non. C’est moi qui ai choisi le travail individuel. 112

CH : Pourquoi vous n’avez pas voulu faire un travail de groupes? 113

Sidi : Parce que un travail de groupes, ç’allait prendre encore beaucoup plus de temps. Et il y aura 114

en quelque sorte de la zizanie, du bavardage, voilà. Et la classe sera difficile à contrôler et on 115

n’allait pas évoluer assez rapidement comme ça. Et puis compte tenu aussi que les enfants avaient 116

déjà entendu parler de fraction, je me suis dit qu’individuellement chacun pouvait essayer. C’est ça 117

seulement. 118

CH : Je constate que vous avez parlé d’objectifs; c’est déterminé des objectifs, après vérifier. Est-119

ce à dire que c’est dans la pédagogie par objectifs que vous avez abordé le cours. C’est la 120

pédagogie par les objectifs que vous avez exploité ou bien? 121

392

Sidi : Oui. Au niveau des objectifs? 122

CH : Au niveau de la conduite du cours, de la méthode, de l’approche pédagogique. 123

Sidi : Justement. 124

CH : La pédagogie par les objectifs. 125

Sidi : C’est en fonction des objectifs à atteindre; puisqu’on dit au début de chaque cours, les 126

objectifs à atteindre doivent être informés aux élèves. On devrait informer aux élèves ce qu’ils 127

devraient être capables de faire à la fin du cours. C’est pour ça, j’ai énuméré les objectifs au début 128

avant de commencer le cours. 129

CH : Vous avez entendu parler de l’approche par les compétences? 130

Sidi : Oui, oui, approche par les compétences. 131

CH : Vous avez déjà eu à travailler sur l’approche par les compétences en classe? 132

Sidi : J’espère qu’on a eu à travailler sur ça 133

CH : Mais, en classe dans vos cours? 134

Sidi : Dans le cours? 135

CH : Vous avez déjà eu à préparer un cours selon l’approche par les compétences? 136

Sidi : Non, non. La méthode qu’on utilise fréquemment, c’est la redécouverte et la technique 137

d’enseignement par les activités. Donc, depuis le début de la rentrée, toute mes fiches se basent 138

sur la redécouverte. 139

CH : C’est ce qui est beaucoup plus conseillé à l’IDS. 140

Sidi : Oui, oui. Sinon, on a vu d’autres méthodes, d’autres techniques mais, les fiches qu’on a eu à 141

préparer à l’école, c’est sur la redécouverte. Donc, ce que j’ai pu faire de mieux aussi c’est la 142

redécouverte. 143

CH : C’est la méthode privilégiée. 144

Sidi : Oui, oui. 145

CH : Vous avez en circulant constaté des erreurs? 146

Sidi : Sur les copies des élèves, oui, oui. 147

CH : Par exemple de quel genre? 148

Sidi : Il y a eu un élève, j’ai eu à donner 100

524 et j’ai demandé de donner la réponse, j’ai vu un 149

[élève] qui a fait celui-là [en montrant le résultat100

524=52 400]. 150

CH : Il a eu à dire que 100

524est égale à 52 400. Comment vous interprétez cette erreur? 151

Sidi : J’ai tout simplement compris que l’élève a ajouté les deux zéros au niveau du numérateur 152

seulement. 153

CH : Il a multiplié par 100. 154

Sidi : L’élève a multiplié par 100. 155

CH : Au lieu de compter les deux chiffres à partir de la droite pour placer une virgule, lui il a 156

multiplié par 100. 157

393

Sidi : C’est pour cela au niveau de la correction, lorsque j’ai voulu faire des réajustements, je leur ai 158

demandé voir s’ils ont compris et j’ai repris en m’appuyant sur la formule, sur la règle qu’il faut 159

compter, par exemple, si on a deux chiffres, on a ça, donc j’ai repris en leur disant de compter à 160

deux chiffres après la virgule. 161

CH : Au niveau du contrôle des prérequis, il y avait eu des erreurs par-ci, par-là. 162

Sidi : Oui justement, il y avait eu certainement des erreurs. Il y a des enfants qui ont dit que 13 163

n’appartient pas à D; d’autres même disent que 0 n’appartient pas à D. 164

CH : Pensez-vous avoir apporté des réponses convaincantes aux élèves? 165

Sidi : Moi, je pense qu’à la fin, je les ai fait comprendre qu’on a vu dans le cours que ℕ étant inclus 166

dans D, ça veut dire que tous les éléments de ℕ appartiennent à D. Donc, par conséquent, tout ce 167

qui appartient à ℕ est à D. 168

CH : Oui, par exemple l’élève qui avait marqué que 5,00 n’est pas élément de ℕ, donc en ce 169

moment … 170

Sidi : Oui, oui, ils ont dit ça. Mais, dans le cours passé aussi, on a eu à parler de ça. Puisqu’on a 171

donné un exemple 14 dans le cours, puis on a donné 14,00; je leur avais demandé quel était le plus 172

grand entre 14 et 14,00. Ils ont dit que 14 et 14,00 sont égaux. Je dis comme 14 et 14,00 sont 173

égaux, alors que 14 appartient à ℕ, donc 14,00 appartient aussi à ℕ. Mais, là-bas, je n’ai pas pris 174

le soin de repartir en arrière pour leur expliquer. 175

CH : On va s’arrêter là. C’est juste seulement pour connaître vos difficultés dans la préparation et 176

dans la réalisation du cours, pour avoir une idée de l’approche pédagogique que vous avez eu à 177

utiliser et la gestion des erreurs. C’est l’essentiel de ce que j’avais comme questions. 178

394

Annexe 6 : Cas Sana


Titre du chapitre : Les fractions

Titre de la leçon : Simplification d’une fraction Classe : 6eA Durée : 55 min Effectif : 66 Garçon : 33 Filles : 33

Objectifs : À la fin de la leçon, l’élève de la classe de 6e A doit être capable de : - Simplifier une fraction en utilisant les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 ou10; - Reconnaître une fraction irréductible; - Rendre une fraction irréductible.

Prérequis : - Reconnaître un nombre divisible par 2, 3, 5, 9 et 10 - Reconnaître des fractions égales.

Méthode pédagogique : Redécouverte

Techniques : Enseignement par les activités; questionnement.

Organisation de la classe : Travail individuel.

Étape, durée et intention

pédagogique Rôle et intervention du professeur Rôle et activités des élèves

1re étape : 8 min Contrôle des prérequis

Proposer l’activité aux élèves : Activité

1) Indiquer si les nombres suivants sont divisibles par : 2; 3; 5 ou 9. (Aucun nombre n’est donné, mais à partir des réponses attendues nous avons comme nombres : 3; 40; 45).

2) Les fractions suivantes sont-elles égales

a) 6

3 et

2

1; b)

25

12 et

5

4.

- Donner (4 min) aux élèves pour réfléchir et traiter dans les cahiers d’exercices sans prendre l’énoncé. - Envoyer un élève corriger au tableau et superviser la correction. - Faire le point sur ce qui est essentiel à retenir : on ne change pas la valeur d’une fraction si on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Traiter individuellement dans les cahiers d’exercices.

Réponses attendues :

1) 3 est divisible par 3; 40 est divisible par 2 et 5; 45 est divisible par 3; 5 et 9.

2) a) 6

3 et

2

1 sont égale ; b)

25

12 et

5

4

ne sont pas égales. Les autres suivent la correction.

395

2e étape : 4 min Motivation

- Raconter cette histoire aux élèves. Dans une classe de 6e, le professeur demande à ses élèves :

les fractions 30

24 et

25

20 sont-elles

égales? Non! répond Adama, ces fractions ne sont pas égales. Aminata dit : c’est faux, ces fractions sont égales. Qui des deux a raison? - Donner 2mn aux élèves pour écouter et réfléchir. - Le professeur fait remarquer qu’à la fin de la leçon, ils seront capables de dire qui a raison. - Annoncer la leçon du jour. - Écrire le titre de la leçon au tableau. Chapitre 4 : Les fractions.

2) Fraction irréductible a) Simplifier une fraction

- Écouter le professeur. - Proposer des réponses oralement. - Ils donnent des réponses divergentes. - Une discussion s’installe. - Écouter le professeur - Recopier le titre de la leçon dans les cahiers de cours.

3e étape : 12 min Activité permettant d’introduire la notion : simplifier une fraction

- Proposer l’activité aux élèves Activité

Trouver toutes les fractions égales

à 18

6 dont le numérateur est un

entier naturel plus petit que 6. - Donner 1 minute aux élèves pour recopier et 2 minutes pour traiter individuellement dans les cahiers d’exercices. - Envoyer un élève corriger au tableau et superviser la correction; -Faire prendre la correction dans les cahiers de cours. - Poser la question suivante aux élèves : comment a-t-on fait pour

obtenir les fractions 9

3;

6

2 et

3

1.

Le professeur fait remarquer qu’en ce moment nous pouvons dire

qu’on a simplifié 18

6.

- Faire une synthèse puis l’écrire à tableau.

- Recopier l’activité dans les cahiers de cours - Traiter individuellement dans leur cahier d’exercices Réponses attendues :

218

26

=

9

3;

318

36

=

6

2;

618

66

=

3

1

On trouve : 9

3;

6

2;

3

1.

- Les autres suivent la correction au tableau; - Prendre la correction dans les cahiers de cours. - Écouter et répondre oralement à la question posée. Réponse attendue : On a divisé le numérateur et le dénominateur par 2; 3 et 6. -Écouter le professeur. - Prendre la synthèse dans les cahiers de cours.

396

Synthèse Pour obtenir ces fractions, on a divisé le numérateur et le

dénominateur de 18

6 par 2; 3 et 6.

On dit qu’on a simplifié la fraction

18

6.

- Donner une définition et l’écrire au tableau.

Définition Simplifier une fraction c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un nombre entier (plus grand que 1).

- Prendre la définition dans les cahiers de cours.

4e étape : 6 min Faire fonctionner la notion

- Proposer l’exercice aux élèves Exercice

Simplifier les fractions suivantes :

45

15 et

24

8

- Donner 1 minute aux élèves pour prendre l’exercice dans les cahiers de cours et 2 minutes pour traiter dans les cahiers d’exercices. - Envoyer un élève corriger au tableau et superviser la correction; - Faire prendre la correction dans les cahiers de cours. - Écrire le titre de la deuxième notion au tableau.

b) Fraction irréductible

- Prendre l’exercice dans les cahiers de leçons. - Traiter individuellement dans les cahiers d’exercices

Réponses attendues

345

315

=

15

5;

545

515

=

9

3;

1545

1515

=

3

1;

224

28

=

12

4;

424

48

=

6

2;

824

88

=3

1

- Les autres suivent la correction - Prendre la correction dans les cahiers de cours

5e étape : 10 min Activité permettant d’introduire la notion de fraction irréductible

- Proposer l’activité aux élèves Activité

Simplifier les fractions suivantes :

15

5;

6

8 et

3

2.

- - Donner 1 minute aux élèves pour prendre l’exercice dans les cahiers de cours et 2 minutes pour traiter dans les cahiers d’exercices. - Envoyer un élève corriger au tableau et superviser la correction; - Faire prendre la correction dans les cahiers de cour;

- Recopier l’activité dans les cahiers de cours - Traiter individuellement dans les cahiers d’exercices


515

55

=

3

1;

26

28

=

3

4;

3

2 impossible.

- Les autres suivent la correction. - Prendre la correction dans les cahiers de cours. - Écouter et répondre oralement à la

397

- Poser la question suivante : que constatez-vous? - Faire une synthèse, puis l’écrire au tableau.

Synthèse : On remarque qu’on ne peut plus

simplifier3

2, on dit que

3

2 est une

fraction irréductible. - Donner une définition

Définition : Une fraction irréductible est une fraction qu’on ne peut plus simplifier. - Écrire cette remarque. NB : Écrire une fraction sous forme irréductible, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier pour obtenir une fraction irréductible

question posée. Réponse attendue : on constate qu’on

ne peut pas simplifier3

2.

- Prendre la synthèse dans les cahiers de cours. - Prendre la définition dans les cahiers de cours. - Prendre la remarque dans les cahiers de cours.

6e étape : 10 min Évaluation terminale

- Proposer cet exercice aux élèves Exercice d’application :

Écrire sous forme de fraction

irréductible : a) 27

63; b)

300

240;

c) 125

75; d)

45

54.

- Donner 2 minutes aux élèves pour prendre l’exercice dans les cahiers de cours et 5 minutes pour traiter dans les cahiers d’exercices. - Envoyer un élève corriger au tableau et superviser la correction; - Faire le point sur les taux de réussites - Faire prendre la correction dans les cahiers de cours.

- Recopier l’exercice dans les cahiers de cours - Faire les recherches dans les cahiers d’exercices.

Réponses attendues

a) 927

963

=

3

7;

b) 10300

10240

=

30

24,

330

324

=

10

8,

210

28

=

5

4;

c) 5125

575

=

25

15,

525

515

=

5

3;

d) 945

954

=

5

6.

- Les autres suivent la correction. -Prendre la correction dans les cahiers de cours.

Contrôle des absences et le remplissage du cahier de textes : 5 mn

398


Sana : Bonjour 1

Els : Bonjour 2

Sana : Cette rangée est-ce qu’il y a des absents? Il y a des absents? 3

Els : Non. 4

Sana : 2e rangée? 5

Els : Oui, Zida Benoît. 6

Sana : Sidi. 7

Els : Benoît. 8

Sana : 3e rangée? C’est tout? 3e rangée, il y a des absents? 9

Els : Zida Raogo. 10

Sana : Zida Raogo. 4e rangée? 11

Els : Non. 12

Sana : Apparemment, Zida Raogo ne vient plus. OK, nous allons continuer. Prenez vos cahiers de 13

leçons. [Il divise le tableau en trois parties]. 14

Je vais mettre un exercice au tableau. Ce n’est pas la peine de recopier l’exercice. Donc, vous 15

traitez ça directement. C’est compris? 16

Els : Oui. 17

Sana : Voilà! C’est un peu ça, ce n’est pas la peine de recopier l’exercice. 18

[À 1 mn 35s; il recopie l’activité ci-dessous au tableau]. 19

Activité : 20

1) Indiquer si les nombres suivants sont divisibles par 2; 3; 5 ou 9 : 3, 40; 45. 21

2) Les fractions suivantes sont-elles égales : a) 6

3et

2

1; b)

25

12et

5

4. 22

[Après avoir recopié, il fait une lecture de l’activité]. 23

Allez-y. Tu ne traites pas? Je dis, on traite ça dans les cahiers d’exercices. Répondez directement 24

[À 3 mn 55 s]. Je vous donne 3 minutes. 25

[Sana circule dans la classe et contrôle le travail des élèves]. 26

On dit de traiter, ce n’est pas la peine de recopier l’exercice (en s’adressant à un élève). 27

[Sana continue à circuler dans les rangées pour voir ce que font les élèves]. 28

[À 5 mn 16 s]. Qui a fini? [Il n’y a pas eu de réponse]. 29

Oui! [À 5 mn 42 s]. Qui a fini? [Il n’y a pas eu de réponse]. 30

[À 6 mn 13 s]. OK, donc nous allons corriger. Un volontaire; oui, allez-y. Voici de la craie. Tu 31

corriges le petit 1 d’abord; voilà! Tu corriges le petit 1. 32

[L’élève recopie au tableau et en silence la réponse qu’elle a écrite sur une feuille]. 33

399

El : Activité : 34

1) 3 est divisible par 3; 35

40 est divisible par : 2 ; 5. 36

45 est divisible par : 2; 5; 3; 9. 37

[Sana semble suivre ce qui se fait au tableau]. 38

Sana : Oui c’est bien. Oui quelqu’un d’autre pour corriger le 2). Oui Inoussa, tu passes dire si les 39

fractions suivantes sont-elles égales? 40

Inoussa : a) 6

3et

2

1 vrai; b)

25

12et

5

4 faux. 41

[Sana semble suivre ce qui se fait au tableau]. 42

Sana : Merci, vous êtes d’accord? Donc, on a dit de dire si les nombres suivants sont divisibles par 43

2; 3; 5 et 9. Donc elle a dit 3 est divisible par 3, c’est ça? 44

Els : Oui. 45

Sana : 40 est divisible par 2 et 5. 46

Els : Oui. 47

Sana : 45 est divisible par 2; 3; 5 et 9. [Un élève répond faiblement]. 48

El : Non. [Sana n’a pas entendu la réponse non de l’élève et n’a pas non plus remarqué qu’il y a 2 49

parmi les diviseurs de 45]. 50

Sana : Très bien. On dit maintenant de dire si les fractions sont égales ou non. Bon, on n’a pas dit 51

de répondre par vrai ou faux, mais tu devrais dire d’abord. Tu as dit trois sixièmes et un demi; tu as 52

dit vrai. Ça veut dire, ces fractions sont égales. Donc, tu devrais mettre ces fractions sont égales; 53

très bien. 25

12et

5

4 faux, ça veut dire que ces fractions ne sont pas égales. C’est très bien. [À 11 54

min 25s]. 55

Donc aujourd’hui nous allons voir, nous allons continuer sur les fractions. Donc ce que vous devez 56

retenir par-là, quand est-ce peut-on considérer que deux fractions sont égales? Vous voyez ici 6

357

et2

1, on a divisé le numérateur par 3 et le dénominateur par 3 pour obtenir

2

1. Donc, si on divise le 58

numérateur et le dénominateur d’une fraction, on obtient toujours la même fraction. Est-ce que on 59

se comprend? 60

Els : Oui. 61

Sana : OK, donc, aujourd’hui on va voir la simplification d’une fraction. Donc à la fin du cours vous 62

devriez être capable de simplifier une fraction, d’écrire une fraction sous forme irréductible. Avant 63

d’écrire une fraction sous forme irréductible, vous devriez d’abord connaître ce que sait une 64

fraction irréductible. Est-ce qu’on se comprend? 65

Els : Oui. 66

Sana : Voilà! Donc, on avait mis chapitre I, chapitre 4; III) vous mettez maintenant : petit 2) 67

Fraction irréductible; petit a) Simplifier une fraction. 68

400

[Il fait beaucoup de répétitions quand il recopie les titres au tableau]. 69

C’est activités numériques hein? 70

Els : Oui 71

Sana : [Sana efface une partie du tableau]. Et donc voici une activité. On dit «trouver» donc vous 72

prenez ça dans les cahiers de leçons là. 73

Activité : Trouver toutes les fractions égales à 18

6 dont le numérateur est un entier naturel plus 74

petit que 6. 75

Donc voici. Donc, vous prenez ça rapidement dans les cahiers de leçons. Et puis vous prenez vos 76

cahiers d’exercices, vous traitez ça là-bas. Donc, vous allez trouver des fractions qui sont égales à 77

18

6dont le numérateur est plus petit que 6. Donc ça veut dire que les fractions que vous aurez 78

trouvées, que vous allez trouver, le numérateur sera plus petit que 6. Est-ce que on se comprend? 79

El : Oui. 80

Sana : OK. Donc vous prenez vos cahiers de brouillon [À 15mn28s]. 81

[Il contrôle le travail des élèves]. 82

Sana : Tu as fini? [En s’adressant à un élève]. Il y a des gens qui n’ont pas encore fini de recopier 83

Els : Oui 84

Sana : Faites ça dans le cahier de brouillon. Faites ça dans le cahier de brouillon 85

[À 16 mn 56]. Oui, qui a fini? [Il n’y a pas eu de réponse]. 86

Sana : Quand on a fait le 1er exercice, il y avait des fractions égales là-bas ou bien? Qu’est-ce 87

qu’on avait dit? Comment on avait fait pour déterminer, pour démontrer que ces deux fractions 88

étaient égales. Donc vous utilisez ça. Hon! 89

[À 18 mn 11 s]. OK, donc on va corriger. Ok Georgette. Trace. [Georgette trace un trait pour diviser 90

le tableau]. 91

Donne les fractions qui sont égales. 92

Georgette : Activité : 18

6=

318

36

=

26

22

=

3

1. [Elle écrit au tableau jusqu’à la fin sans parler. Le 93

stagiaire semble suivre ce qui se fait au tableau.] 94

Sana : C’est ça? 95

Els : Oui 96

Sana : On peut faire ça autrement aussi. 97

Els : Oui 98

Sana : Donc tu passes Issaka. Passe. 99

[Issaka ne réussit pas à faire autrement]. 100

Sana : Selon moi tu vas faire autrement, si tu ne vas pas faire autrement, ce n’est pas la peine. 101

[Issaka retourne à sa place]. 102

401

Oui qui voit autre chose? Oui Jonas, tu passes. Viens, ils ont dit de donner, trouver toutes les 103

fractions égales à18

6. 104

Jonas : 18

6=

618

66

=

3

1. 105

Sana : C’est tout, OK! Donne, merci beaucoup. On doit aller étape par étape. [Il revient à la 106

réponse de Georgette]. 107

C’est bien, elle a mis 18

6=

318

36

=

6

2. Très bien, tu ne devrais pas encore diviser par 2, tu reviens 108

à la ligne et tu écris 18

6. Ici, tu as divisé par 3. Ici il a divisé par 6 [en montrant la réponse de 109

Jonas]. Ici on peut encore diviser par combien? Oui. 110

El : Par 2. 111

Sana : Très bien : 18

6=

218

26

=

9

3. Donc on trouve

9

3;

6

2et

3

1. Donc, vous prenez la correction. 112

Donc voici les fractions qui sont égales à 18

6:

9

3;

6

2et

3

1. Donc vous prenez la correction dans les 113

cahiers de leçons. Vous prenez la correction dans les cahiers de leçons. Allez-y! C’est fini? 114

Els : Non. 115

Sana : [À 23 mn 11 s]. OK, on a trouvé 9

3;

6

2;

3

1. Pour trouver

9

3, comment on a fait? Oui Safi. 116

Safi : Fraction par 2. 117

Sana : On a divisé quoi par 2? 118

Safi : On a divisé par 2. 119

Sana : Oui, Issa. 120

Issa : On a divisé le numérateur par 2 et le dénominateur par 2. 121

Sana : Très bien. Donc, pour trouver 9

3, on a divisé le numérateur par 2 et le dénominateur par 2. 122

Donc pour trouver 6

2aussi on a divisé le numérateur et le dénominateur par? 123

El : Par 2. 124

Sana : Par combien? Pour trouver 6

2? 125

El : par 6 126

Sana : Pour trouver 6

2? Là où on a trouvé

6

2, c’est ici non? On a divisé par 3. 127

Els : Par 3 128

402

Sana : Pour trouver 3

1on a divisé par… 129

El : 6 130

Sana : Très bien. Donc le fait de diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un 131

nombre entier, on dit qu’on a simplifié cette fraction. Est-ce qu’on se comprend? 132

Els : Oui. 133

Sana : OK. Donc, donc vous notez : Synthèse : 134

Prenez la correction avant de mettre synthèse. [Sana écrit la synthèse au tableau en la répétant 135

plusieurs fois]. 136

Synthèse : Pour obtenir les fractions 9

3;

6

2;

3

1, on a divisé le numérateur et le dénominateur de 137

18

6par 2; 3 puis 6. On dit qu’on a simplifié la fraction

18

6. 138

Et vous notez définition. [À 26 mn 06 s]. 139

Définition : Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un nombre 140

entier (plus grand que 1). 141

Donc, si on vous dit de simplifier une fraction, c’est-à-dire seulement de diviser le numérateur et le 142

dénominateur par un nombre entier plus grand que 1. 143

Donc, celui qui ne connaît pas ses critères de divisibilité, les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 144

aura beaucoup de problèmes pour simplifier ses fractions. 145

Si vous avez fini, vous notez exercice. Vous prenez l’exercice d’abord dans les cahiers de leçons. 146

Exercice : Simplifier les fractions suivantes : 45

15 et

24

8. 147

Donc vous allez simplifier 45

15 et

24

8. Donc vous prenez l’exercice dans les cahiers de leçons et 148

vous traitez dans vos cahiers d’exercices. [À 29 mn 26 s]. 149

[Sana contrôle le travail des élèves]. Vous avez 2 minutes pour traiter l’exercice [à 30 mn 23 s]. On 150

va voir si vous pouvez simplifier une fraction. 151

[Il continue à contrôler ce que font les élèves en circulant dans les rangées. Il commente la 152

définition]. 153

Donc, c’est-à-dire pour simplifier, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre 154

entier, c’est-à-dire même nombre entier. Ce nombre doit être plus grand que 1. Ce nombre doit 155

être plus grand que 1. 156

Tu as fini? [En s’adressant un élève]. 157

El : Oui. 158

Sana : [Il va contrôler les résultats de l’élève et repart sans rien dire] .Qui a fini? [Une élève a levé 159

le doigt. Il va contrôler les résultats. Il repart sans rien dire]. 160

[À 33 mn 51 s.] Volontaire pour corriger. Oui Téné. Tu passes. Donc, suivez Téné. 161

Téné : Correction : 45

15=

545

515

=

39

33

=

3

1.

24

8=

424

48

=

26

22

=

3

1. 162

403

Sana : [Il suit attentivement ce que fait Téné au tableau]. C’est ça? [Certains élèves disent oui, 163

d’autres disent non]. Oui [en s’adressant à un élève]. Oui, je vous écoute. [L’élève ne dit rien]. 164

Donc, elle a pris45

15, c’est-à-dire

545

515

. Elle a trouvé

9

3et elle prend

9

3, elle divise par 3 encore 165

et elle trouve3

1. Vous êtes d’accord avec elle? [Des élèves disent non]. 166

Oui, Sali pourquoi tu n’es pas d’accord? Oui, qu’est-ce qu’on peut écrire? 167

Sali : On doit recommencer. 168

Sana : Bon, c’est bon. En réalité tu devrais reprendre encore [en s’adressant à Téné]. Voilà! Donc, 169

45

15=

545

515

=

9

3. Et tu reprends encore

45

15, on peut diviser par combien encore? 170

El : Par 3. 171

Sana : Très-bien : 345

315

=

15

5. On peut encore diviser par combien? Oui. [La réponse tarde à 172

venir]. On a divisé par 5; on a divisé par 3. On peut diviser par? 173

El : Par 5. 174

Sana : oui, voici par 5, on a déjà divisé par 5. On peut diviser par 15. Ou bien? Donc on peut 175

diviser par 15. On a 1545

1515

=

3

1; très bien. Et l’autre aussi, vous faites

24

8. On peut diviser par 176

combien? 177

El : Par 2. 178

Sana : Très-bien et on trouve 24

8=

224

28

=

12

4. Ensuite, on divise par combien? 179

Els : Par 4. 180

Sana : Par 4 et on trouve combien? 181

Els : 6

2. 182

Sana : 424

48

=

6

2. Et on peut aussi diviser par combien? 183

El : Par 8. 184

Sana : Par 8, très bien. On trouve 185

El : On trouve3

1. 186

Sana : On trouve 824

88

=

3

1. OK, donc c’est comme ça, si on vous dit de simplifier, c’est comme 187

ça qu’on fait. Est-ce qu’on se comprend? 188

Els : Oui 189

404

Sana : Voilà! Donc, on revient à la ligne et on… Donc, prenez la correction (à 38 mn 13s). Prenez 190

la correction et vous mettez b) Fraction irréductible. 191

[Sana répète le titre b). Il efface ensuite la partie centrale du tableau]. 192

Activité : Simplifier les fractions suivantes : 15

5;

6

8;

3

2. Donc vous allez simplifier ces fractions : 193

15

5;

6

8;

3

2. 194

[Sana circule dans les rangées et contrôle la prise des notes]. C’est lent hein. 195

Donc, les barres de fraction, on souligne avec, on trace avec la règle. C’est compris hein. 196

Els : Oui. 197

Sana : Voilà. Le jour du devoir celui qui trace à main levée seulement, on barre. Donc vous prenez 198

l’activité et vous traitez ça dans le cahier d’exercices. Donc, vous traitez ça dans vos cahiers 199

d’exercices. Qui ne peut pas simplifier une fraction? Qui ne peut pas simplifier? [Il n’y a pas de 200

réponse]. 201

Donc vous simplifiez ces fractions-là rapidement. 202

[À 42 mn 42s]. Qui a fini? Je vais voir qui est fort; qui a pu simplifier ça rapidement. 203

[Sana passe contrôler les résultats des certains élèves]. 204

En mathématiques, si tu veux monter que tu connais, tu dois être rapide. Et si tu n’es pas rapide, 205

plus [moins] tu connais. Oui, tu as fini [en s’adressant à un élève] [43 mn 56s]. 206

[Sana alla contrôler les résultats. Il apprécie cette fois-ci] OK. Donc, un volontaire pour corriger. 207

Oui Henri. Tu passes. Prends la craie. 208

[Sana efface une partie du tableau pour permettre à l’élève de travailler]. Donc Henri va simplifier 209

les fractions ; 15

5. 210

Henri : 15

5=

515

55

=

5

1. [Une erreur est non relevée par le stagiaire et les élèves]. 211

Sana : Onhon [oui], continue. 212

Henri : 6

8=

26

28

=

3

4.

3

2=

13

12

=

3

2. 213

Sana : À ta place. C’est ça? Oui Issouf. 214

Issouf : Non! Il y a une erreur. 215

Sana : Où? Onhon [oui]. 216

Issouf : Premier exercice 217

Sana : Enhan. 218

Issouf : C’est3

1. 219

405

Sana : Très-bien. 3

1, donc au lieu de [il procède à la correction de l’erreur au tableau]. Donc, c’est 220

3

1. OK c’est tout? Oui, qui voit autre chose encore? [Il n’y a pas de réponse. Sana fait un retour 221

sur la fraction3

2]. On a dit que diviser, on doit diviser par un nombre qui est plus grand que 1. Est-222

ce que ici là, c’est ce qu’il a fait? Donc, ici on peut diviser par combien? 223

El : Par 2. 224

Sana : On peut diviser par 2? 225

Els : Non. 226

El : Là-bas, on ne peut pas diviser. 227

Sana : On ne peut pas 228

Els : diviser 229

Sana : Très bien, donc vous mettez là-bas impossible. [Il efface qu’avait fait l’élève et il écrit :3

2 : 230

impossible]. Donc on ne peut pas simplifier parce que le numérateur et le dénominateur ne peut 231

[peuvent] être divisés par un même nombre. Donc ça veut dire qu’on ne peut pas simplifier3

2. En 232

ce moment, on dit que3

2 est une fraction irréductible. Est-ce qu’on se comprend? 233

Els : Oui. 234

Sana : Donc vous notez : Synthèse 235

El : On prend la correction? 236

Sana : Oui vous prenez la correction. 237

Synthèse : 238

On remarque qu’on ne peut pas simplifier 3

2. On dit que

3

2est une fraction irréductible. [Sana 239

répète la synthèse avant de passer à la définition]. Donc définition : Une fraction irréductible est 240

une fraction qu’on ne peut plus simplifier. Très bien. [Sana lit une seconde fois la définition]. 241

Donc, si on vous dit de mettre une fraction sous forme irréductible, ça veut dire quoi? Vous allez 242

simplifier la fraction jusqu’à trouver une fraction irréductible. C’est compris? 243

Els : Oui 244

Sana : Voilà. Donc une fraction irréductible est une fraction qu’on ne peut plus simplifie. 245

[Il circule dans les rangées et contrôle la prise de notes. Il répète par moment la définition. Il efface 246

une partie du tableau]. 247

[À 52 mn 21 s]. OK, si c’est fini vous suivez. Donc, suivez. Par exemple si je prends, on avait fait248

45

15 et on vous avait dit de simplifier

45

15. Si on dit de simplifier

45

15, tu peux diviser le tout par 3 et 249

406

laisser comme ça. Mais, si on vous dit d’écrire sous forme irréductible, la fraction que tu as trouvée 250

là, ça doit être irréductible. Donc d’abord on divise par combien? Oui, oui Issouf. 251

Issouf : Par 5. 252

Sana : Bon, on peut diviser par 5. Par 5 on trouve combien? 15 divisé par 5 on trouve combien? 253

El : 3 254

Sana : Donc 3 sur? 255

El : sur 9. 256

Sana : 9

3. Très bien. Est-ce qu’on peut laisser ça comme ça? Si tu laisses comme ça, c’est faux. 257

Donc tu reviens à la ligne et tu mets 9

3divisé par combien? 258

Els : 3 259

Sana : Très bien, divisé par 3. C’est égal à? 260

Els : 1 sur 3. 261

Sana : Très-bien 1 sur 3 : 9

3=

39

33

=

3

1. Donc voici, on a écrit

45

15sous forme irréductible. Donc, 262

si on vous dit d’écrire une fraction sous forme irréductible, d’abord on simplifie. Si tu simplifies, si tu 263

vois que la fraction que tu as trouvée on peut simplifier encore, tu prends la fraction que tu as 264

trouvée, tu simplifies ça encore. Est-ce qu’on se comprend? 265

Els : Oui [ce sont les mêmes qui répondent oui ou non]. 266

Sana : Si on dit d’écrire sous forme de fraction irréductible, celui qui va simplifier et puis laisser 267

comme ça si la fraction est toujours réductible, c’est faux. Si on peut simplifier la fraction, c’est que 268

c’est faux. C’est compris? 269

Els : Oui. 270

Sana : OK, donc vous prenez un exercice. On va voir si vous avez compris [à 54 mn 00s]. 271

[Il efface la partie centrale du tableau pour mettre l’exercice d’application]. Exercice d’application : 272

Écrire sous forme de fraction irréductible : a) 27

63 ; b)

300

240 ; c)

125

75. 273

Allez-y. Donc, vous allez écrire ces fractions sous forme irréductible. Donc, écrire sous forme de 274

fraction irréductible. Vous prenez l’exercice d’application dans les cahiers de leçons. [À 55 mn 50 275

s,] si c’est fini, vous faites ça maintenant dans les cahiers d’exercices. Vous traitez l’exercice dans 276

les cahiers d’exercices. 277

[Sana circule et contrôle le travail des élèves. Il a toujours depuis le début du cours ses fiches de 278

préparation dans ses mains]. 279

Qui a fini? [Il n’y a pas eu de réponse, à 58 mn 18 s]. 280

Oui, qui a fini? [À 58 mn 59 s, Il n’y a toujours pas de réponse]. 281

407

[À 1 h 00 mn 45 s]. Qui a trouvé quelque chose? Qui a fini? [Un élève dit qu’il a fini. Sana contrôle 282

son travail. Puis il repart sans dire un mot. Il vérifie le travail d’une élève. Là encore, il ne dit mot 283

après le contrôle du travail fait]. 284

Qui a fini le a) et le b). Des mains sont levées. Tu as fini le a) et le b)? [En s’adressant à un élève]. 285

Qui a tout fini? [Il n’y a pas de réponse]. 286

[À 1 h 02 mn 00 s]. Donc on va corriger. Donc tu passes Andréa. Donc vous suivez Andréa. 287

Andréa : a) 27

63=

727

763

=

3

9 [une erreur];

33

39

=

1

3. 288

b) 300

240=

3300

3240

=

1

8 [une erreur]. 289

c) 125

75=

5125

575

=

25

15.

525

515

=

4

3 [une erreur]. 290

Sana : Oui. OK, c’est ça? Suivez, c’est ça? Oui, je vous écoute. Qui a trouvé comme ça? Oui. 291

El : Moi, je n’ai pas trouvé comme ça. 292

Sana : Anhan [en s’adressant à l’élève]. 293

[L’élève reprend ce qu’il a dit]. 294

El : Moi, je n’ai pas trouvé comme ça 295

Sana : Le premier tu as trouvé combien? Comment tu as fait? 296

El : J’ai fait 63 sur 27 divisé par 3. 297

Sana : Donc tu as fait 63 divisé par 3 et 27 divisé par 3. Tu as trouvé combien? 298

El : 21 sur 9 299

Sana : 21 sur 9. Onhon. [Il écrit au tableau ce que dit l’élève]. 300

El : divisé par 3. 301

Sana : divisé par 3 et tu as trouvé combien? 302

El : 7 sur 3. 303

Sana : Très bien 7 sur 3. OK, suivez ici. Elle a mis 63 sur 27; 63 divisé par 7. Est-ce qu’on peut 304

diviser, on peut prendre 27 divisé par 7? Est-ce qu’on peut diviser 27 par 7? 305

Els : Non 306

Sana : Donc, vous devez connaître les tables de multiplication. On peut diviser par combien? Oui, 307

Daouda. 308

Daouda : Par 9. 309

Sana : Très bien par 9. Donc on pouvait diviser par 9. Si on divise par 9 on trouve combien? Oui. 310

El : 7 sur 3. 311

Sana : Très bien 7 sur 3. Donc celui qui veut, il pouvait commencer par là en divisant directement 312

par 9 ou bien il peut diviser, en faisant diviser par 3 d’abord, ensuite diviser par 3. Est-ce que c’est 313

compris? 314

408

Els : Oui. [Les réponses "oui" du groupe-classe sont timidement dites]. 315

Sana : OK ici, 240 sur 300. Elle a mis 3300

3240

=

1

8. Est-ce que 240:3, ça donne 8? 316

Els : Non. 317

Sana : On peut diviser par combien? 318

Els : 10. 319

Sana : Très bien, on peut diviser par 10. Donc on peut d’abord diviser par 10. Donc je reprends ici 320

b) 10300

10240

et on trouve combien? 321

El : 30

24 322

Sana : Très bien30

24. Est-ce que

30

24on ne peut pas simplifier encore? 323

Els : Oui. 324

Sana : Très bien. On a30

24, on peut diviser par combien? 325

El : 6 326

Sana : Très bien par 6. On trouve combien? 327

El : 5

4. 328

Sana : Très bien. Donc par finir on aura 300

240=

5

4. Donc, ici elle a mal divisé. Et ici? Est-ce que 25 329

divisé par 5 ça donne 4? 330

Els : Non. 331

Sana : Ça donne combien? 332

Els : 5. 333

Sana : 5. 525

515

=

5

3. Est-ce que c’est compris? 334

Els : Oui. 335

Sana : Qui n’a pas compris? Donc, si on vous donne une fraction et on vous dit d’écrire sous forme 336

irréductible, vous devez savoir je dois diviser par combien d’abord pour trouver. Est-ce que c’est 337

compris? Donc ici au lieu de commencer par diviser par 2, 3, non on commence par le plus grand. 338

Voilà, est-ce que c’est compris? 339

Els : Oui. 340

Sana : On commence par le plus grand. OK, donc vous prenez la correction. [Les élèves 341

commencent à prendre la correction]. Maintenant comme exercice, page 70, Faso-Maths 6e, 342

exercice 5. Donc vous allez faire l’exercice 5 seulement; exercice n°5. [Durée : 1h 11mn 34s]. 343

409


CH : Quelles sont les difficultés que vous avez eues lors de la préparation du cours? 1

Sana : Selon moi, les difficultés, c’est côté documentation, parce qu’on a que Faso-Math et le 2

guide pédagogique. Ici on a une bibliothèque qui nous permet de se documenter un peu. Donc, 3

côté documentation il n’y a pas eu de problème. 4

CH : En documentation, il n’y a pas eu de problème? 5

Sana : Il n’y a pas eu totalement de problème. 6

CH : Mais au niveau du contenu de la fraction, quelles difficultés d’ordre pédagogique ou d’ordre 7

didactique vous avez eues pour préparer le cours? 8

Sana : Bon, ce que moi j’ai eu c’est concernant les objectifs. Voilà les objectifs, parce c’était, la 9

leçon moi je voulais c’était en deux objectifs : simplification d’une fraction et critères de divisibilité. 10

Maintenant je me suis renseigné avec des grands frères, ils m’ont dit que moi je ne peux pas faire 11

simplification d’une fraction et critères de divisibilité en même temps. Donc, j’étais obligé de faire 12

critères de divisibilité avant; bon maintenant avant de faire simplification d’une fraction. Maintenant, 13

utiliser simplification d’une fraction comme une leçon, ça aussi était un problème. Comment j’allais 14

diviser ça pour trouver les objectifs, parce que l’objectif, c’est simplifier une fraction. Mais, selon 15

moi si on dit de simplifier une fraction, on peut simplifier une fraction, mais ne pas écrire la fraction 16

sous forme irréductible. Donc j’ai eu l’idée, je me suis dit pourquoi ne pas mettre a) simplifier une 17

fraction et maintenant b) fraction irréductible. Et dans l’ensemble maintenant je les regroupe pour 18

dire, si on dit maintenant de mettre, d’écrire une fraction irréductible, ça veut dire de simplifier la 19

fraction jusqu’à obtenir une fraction irréductible. Donc, c’est comme ça j’ai eu l’idée de faire. 20

CH : Maintenant au niveau de la réalisation en classe de ce cours, avez-vous senti des difficultés à 21

un moment donné? 22

Sana : Voilà, j’ai senti des difficultés, surtout au niveau des élèves, ils ne sont pas rapides. Euh, ils 23

ont beaucoup de difficultés surtout en maths, il y a de petites erreurs qu’ils font et que nous avons 24

constatées au niveau des tables de multiplication. 25

CH : Là, c’est des difficultés au niveau des élèves et en vous-même. Est-ce que vous avez senti 26

qu’à un moment donné il faut réorganiser le cours? Vous avez eu le sentiment de faire quelque 27

chose en dehors de ce que vous avez prévu? 28

Sana : Oui effectivement, sinon j’avais une motivation, mais je n’ai pas pu donner ça parce que je 29

me disais qu’avec la motivation j’allais tellement déborder l’heure. Donc, j’étais obligé d’enlever ça. 30

Et au niveau de l’exercice d’application aussi, c’était les quatre exercices a), b), c), d) j’étais obligé 31

d’enlever le d) pour pouvoir être à l’heure. 32

CH : Donc, c’est une difficulté de gestion du temps. 33

Sana : Voilà une difficulté de gestion du temps. 34

CH : En dehors de ça, le contenu mathématique à faire passer, là il n’y avait pas de difficultés? 35

Sana P : Non, il n’y a pas de difficulté. 36

CH : Quelle est l’approche pédagogique que vous avez eue à utiliser aussi bien dans la fiche 37

pédagogique que dans la réalisation du cours? Quelle est l’approche pédagogique, la méthode? 38

410

Sana : C’est enseignement par les activités, le questionnement. J’ai fait des activités, par des 39

questions, j’ai fait ça. 40

CH : Donc ça consiste exactement en quoi? La méthode d’enseignement, vous avez dit 41

enseignement par les activités, le questionnement, soyez plus précis. Comment ça se déroule 42

exactement? 43

Sana : Donc je donne un exercice, les élèves essaient de traiter l’exercice, je regarde. Maintenant 44

l’exercice que je vais donner c’est en rapport avec ce qu’on avait vu. Voilà, donc je fa is le rappel, 45

prérequis, je dis pour simplifier une fraction, bon diviser une fraction par, donc après je leur ai dit 46

de simplifier une fraction, c’est-à-dire ils vont diviser la fraction par un même nombre. Il y a d’autres 47

qui ont pu faire, il y a d’autres qui n’ont pas pu faire. Maintenant à partir de ça, j’annonce ma 48

propriété. Donc ça veut dire simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur 49

par un même nombre. Maintenant comme ils ont vu comment simplifier une fraction, deuxième 50

partie je donne une activité en leur disant de simplifier les fractions. Et je donne les fractions, et 51

parmi ces fractions il y a une fraction qu’on ne peut plus simplifier. À partir de ça, ils vont 52

remarquer que non, il y a une fraction qu’on ne peut plus simplifier. Et je leur dis que cette fraction 53

est appelée fraction irréductible. Voilà, c’est comme ça moi j’ai essayé de faire mes activités, 54

d’annoncer mes propriétés. 55

CH : Je vais revenir sur certains de vos propos. Vous avez dit que vous avez approché vos aînés 56

pour la préparation du cours. Ces aînés, c’est sur les objectifs, c’est sur le contenu scientifique, 57

c’est pour amoindrir les erreurs? C’est quels conseils vous ont-ils donnés exactement? 58

Sana : Ce que moi j’ai fait, je me suis approché seulement pour regarder le volume, c’est-à-dire la 59

quantité que je devais… J’ai fait mon cours le résumé, je me suis approché de lui pour lui 60

présenter. Il m’a dit en tout cas qu’on ne peut pas réaliser ça en 55 minutes. Quand il m’a dit ça, il 61

m’a dit ce qu’on peut faire en 55 minutes. Donc maintenant moi je suis allé, j’ai enlevé la partie que 62

je voulais faire. Et d’autres parties, j’ai fait avant, parce qu’il faut ça avant. Donc quand il m’a dit ça, 63

je suis revenu essayer de refaire, chercher mes objectifs, mais, après je ne lui ai pas montré. C’est 64

ce matin, nous nous sommes vus. Donc, je lui ai présenté la fiche là seulement. 65

CH : Toujours pour revenir sur vos propos, vous avez dit que la bibliothèque était un peu garnie. 66

Quels sont les documents que vous avez exploités pour la préparation du cours. Avez-vous 67

quelques titres? 68

Sana : Oui, c’est Pythagore seulement moi j’ai utilisé. 69

CH : Pythagore! Donc, en dehors de Pythagore et le Faso-Math, vous n’avez plus eu de 70

documents? 71

Sana : Non. Actuellement! On avait une bibliothécaire, actuellement elle n’est plus là. 72

CH : Par rapport aux difficultés de gestion [du temps], s’il y a à refaire qu’est-ce que vous allez 73

entreprendre pour amoindrir ces difficultés? À chaud comme ça, qu’est-ce qui vous vient en tête? 74

Sana : Si je prends l’exercice d’application, là où j’ai mis300

240, ce sont des nombres tellement un 75

peu énormes pour des exercices d’application donc je pouvais mettre30

24. Bon maintenant au 76

niveau des activités aussi, souvent je donne jusqu’à 3 fractions, je peux essayer d’amener ça à 2 77

pour essayer de voir est-ce que ça ne va pas aller. 78

411

CH : Maintenant vous avez opté pour l’enseignement par les activités, qu’est-ce qui a motivé votre 79

choix? La méthode d’enseignement? 80

Sana : Selon moi, cette méthode, elle est un peu, je peux dire facile et compréhensible aussi par 81

les élèves. Parce qu’en laissant les élèves essayer d’abord avant de leur montrer comment on 82

passe, selon moi ils assimilent beaucoup plus rapidement et facilement. Voilà, donc c’est ce qui 83

m’a motivé. Donc je les laisse essayer d’abord, après j’apporte des appréciations et un peu de 84

correction. 85

CH : D’aucuns parlent aussi de méthodes de découverte, de redécouverte qui de fois amènent les 86

élèves à découvrir, à donner les règles, pourquoi vous n’avez pas opté pour ça? Laisser les élèves 87

par exemple énoncer les règles de fois? 88

Sana : Je me suis dit que, en tout cas ils ont vu les fractions à l’école primaire. Mais selon moi, 89

concernant les simplifications ils n’ont pas tellement, ils n’ont pas vu ça à l’école primaire. Donc, si 90

moi je les laisse ça, chacun va proposer, mais si c’était au début, par exemple les écritures 91

fractionnaires, en tout cas là je pouvais essayer de faire ça comme ça, la méthode de découverte. 92

En ce moment, je considère qu’ils avaient déjà vu au moins les fractions à l’école primaire. Voilà, 93

donc en leur rappelant, ils vont pouvoir me donner les propriétés. 94

CH : Effectivement les fractions ont été abordées à l’école primaire, mais est-ce que vous avez eu 95

l’idée de revoir ce qu’ils ont vu à l’école primaire? 96

Sana : Au début, j’ai eu l’occasion de revoir ça. 97

CH : Qu’est-ce qu’ils ont vu exactement à l’école primaire? 98

Sana : je prends un exemple, j’avais écrit une fraction, c’était3

5,4. Je leur ai fait savoir que

3

5,499

n’est pas une fraction. Donc, il y a un qui a levé sa main pour dire que, mais, Monsieur on disait à 100

l’école primaire que c’était une fraction. Moi je leur ai dit que c’est vrai, même si à l’école primaire 101

on lui disait que c’était une fraction par ce qu’on ne savait pas comment démontrer que ce n’est 102

pas une fraction. Donc, à partir de la 6e si on3

5,4, on ne peut pas considérer ça comme une 103

fraction, du fait que le numérateur est un nombre décimal. Donc, je leur fais savoir qu’une fraction, 104

on parle d’une fraction quand le numérateur et le dénominateur sont des entiers naturels, comment 105

écrire une fraction, écriture fractionnaire. 11min23s. 106

CH : En circulant vous avez constaté des erreurs et des réussites? 107

Sana : En tout cas j’ai vu des erreurs. 108

CH : Pour certaines erreurs, qu’est-ce que vous avez apporté? 109

Sana : Il y a quelques-unes, j’ai essayé de corriger. Surtout les erreurs de calcul que j’ai essayé de 110

corriger. 111

CH : Il n’y a pas eu d’erreurs de raisonnement? 112

Sana : Pour les erreurs de raisonnement, je n’ai pas essayé ça. Mais, pour les erreurs de calcul, 113

par exemple celui qui met 6:2 = 2, ça, je signale de revoir le calcul parce que ce n’est pas ça. 114

CH : Dans votre formation, avez-vous eu un contenu sur la fraction en complément ou bien en 115

renforcement? Un contenu de cours sur la fraction? 116

412

Sana : Non, on n’a pas eu de cours sur la fraction. 117

CH : Pensez-vous que c’est nécessaire? 118

Sana : Selon moi, ça doit-être nécessaire, parce que souvent ce n’est pas facile. Arrivé, on te 119

donne la classe de la 6e, tu as laissé la 6e il y a peut-être 10 ans de cela et pour revenir enseigner 120

les fractions en 6e, ce n’est pas facile. Souvent tu as l’envie d’utiliser des propriétés de la classe 121

terminale, pourquoi pas? Pourtant en 6e ce n’est pas très intéressant, on ne peut pas utiliser ça. 122

Donc, souvent en tout cas, si on pouvait revoir ça surtout pour les classes 6e, 5e, 4e, 3e. 123

CH : Au niveau des contenus universitaires en mathématiques, avez-vous un recours aux fractions 124

lorsqu’il s’agissait des nombres rationnels? 125

Sana : C’était en algèbre, mais je ne pense pas que nous avons fait les fractions? 126

CH : C’est les propriétés de groupe, anneau, corps. 127

Sana : Voilà. 128

CH : Est-ce que vous savez qu’on peut concrétiser certains contenus d’enseignement, rendre 129

concret, passer par des objets concrets ou bien semi-concrets pour l’enseignement de la fraction 130

en 6e, au CM2? Est-ce que vous avez déjà entendu parler? 131

Sana : En utilisant des objets? 132

CH : En utilisant des objets ou des figures. 133

Sana : En lisant le live Pythagore, moi j’ai vu ça. Souvent on donne des chocolats, on donne que 134

combien de tiers. Voilà, j’ai vu ça, j’ai essayé d’appliquer ça, entre temps je me suis dit est-ce que 135

les élèves vont pouvoir me suivre. 136

CH : C’est parce qu’on parle de chocolat ou bien? 137

Sana : Non, non 138

CH : Est-ce qu’on pouvait changer autre chose à la place du chocolat pour travailler? 139

Sana : J’ai essayé surtout au niveau de la motivation, je voulais prendre le pain et essayer voir 140

comment on pouvait faire ça. En disant un père donne 2 tiers du pain à son fils ou… pour montrer 141

que les fractions de pain qu’on a remis à chacun sont les mêmes. 142

CH : Ça s’est pour comprendre si 2

1 et

6

3 sont les égales. 143

Sana : Voilà. 144

CH : Dans cette résolution, l’élève est parti diviser. Est-ce que un élève qui faisait par exemple 2

1 145

= 0,5 et 6

3 = 0,5, il pouvait dire que c’est égal sans passer par les simplifications puisque on dirait 146

que la simplification, c’était quelque chose d’acquis. Donc pour moi je revois effectivement qu’au 147

CM2 c’est quelque chose qui est vu. Si toutefois vous n’avez pas vu, puisque ils sont partis et ils 148

ont simplifié directement. Donc, c’est quelque chose qui est vu, sinon je m’attendais à ce qu’ils 149

divisent pour trouver des décimaux, puisque la simplification si toutefois, ce n’était pas vu. 150

413

Sana : Pour montrer que les fractions sont les mêmes. Mais, quand j’ai fait les fractions, on a fait 151

des fractions égales. Quand est-ce peut-on dire que des fractions sont égales? Donc, j’ai fait ça, 152

maintenant en disant qu’en multipliant numérateur et le dénominateur par un même nombre on 153

trouve des fractions égales ou bien en divisant le numérateur et le dénominateur par un même 154

nombre, on peut trouver des fractions égales. Mais, comme ici je voudrais utiliser la division, c’est 155

pour cela j’ai essayé d’enlever, laisser tomber la multiplication et utiliser la division. Sinon 156

effectivement quand j’ai 6

3et

2

1, quelqu’un d’autre pouvait dire que

2

1 le tout multiplié par trois me 157

donne 6

3 et il dit que les fractions sont égales. Là aussi, la personne a raison, mais en ce moment 158

la personne a multiplié, donc, pourtant on n’a pas besoin de la multiplication, c’est de la division. 159

CH : OK. Merci bien on va s’arrêter là. 160

414

Annexe 7 : Cas Sylvie

7.1. Contenu de la planification

Titre du chapitre : Les fractions (2)

Titre de la leçon : Simplification d’une fraction Classe : 6eB Effectif : 92 Garçon : 56 Filles : 36 Durée : 55 min

Objectifs : À l’issue de la leçon, l’élève de la classe de 6e B doit être capable de simplifier une fraction.

Prérequis : - Reconnaître une fraction. - Reconnaître le numérateur et le dénominateur d’une fraction - Rappeler les critères de divisibilité par 2, 3, 5 ou 10.

Méthode pédagogique : Méthode de la redécouverte

Techniques d’enseignement : Questionnement; enseignement par les activités.

Technique d’organisation de la classe : Travail individuel.

Matériel :

- Pour le professeur : Règle - Pour l’élève : Règle



pédagogique Rôle et intervention du professeur Rôle et activités des élèves

1re étape : Contrôle des prérequis (6 mn)

Le professeur propose l’exercice ci-dessous au tableau puis interroge nommément des élèves pour répondre oralement les questions.

Exercice

1) Soit l’écriture suivante5

3.

a) Comment appelle-t-on cette écriture?

b) Trouver le numérateur et le dénominateur dans cette écriture 2) Quand dit-on qu’un nombre est divisible par 2? 3? 5? Ou 10?

Les élèves interrogés nommément restent à leur place, se mettent debout et tentent de répondre oralement les questions.


1) Soit l’écriture5

3.

a) Cette écriture est une fraction b) Le numérateur est 3 et le

dénominateur est 5. 2) Un nombre est divisible par :

2 s’il se termine par un chiffre pair (0, 2, 4, 6 ou 8);

3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3;

5 s’il se termine par 0 ou 5;

10 s’il se termine par 0.

415

2e étape : Motivation à l’introduction de la nouvelle leçon (4 mn)

Le professeur raconte ce qui suit aux élèves puis pose oralement la question ci-dessous aux élèves. : « Deux élèves de 6e discutent. L’un

dit : “150

255=

10

17”. L’autre dit : “Faux!

Parce que les numérateurs et les dénominateurs ne sont pas égaux”. Lequel de ces deux élèves a raison? » - Le professeur met le titre du chapitre et le sous-titre au tableau, puis communique l’objectif aux élèves. Chapitre 5 : Les fractions (2).

I- Simplification d’une fraction a) Simplifier une fraction

- Les élèves écoutent attentivement le professeur et tentent de répondre à la question posée. - Les élèves recopient le titre du chapitre et le sous-titre puis écoutent le professeur.

3e étape : 12 min Activité permettant d’énoncer la notion de la nouvelle notion

Le professeur propose l’activité ci-dessous aux élèves, leur donne 5 mn de réflexion puis circule en contrôlant leur travail

1. Activité

Soit la fraction25

15.

a) Diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par un même entier. b) Trouver les écritures décimales de

25

15 et de la nouvelle fraction trouvée

en a).

c) Comparer 25

15 et la nouvelle

fraction. d) Peut-on trouver encore des nombres entiers qui diviseront le numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction? Le professeur suit la correction proposée par les élèves, fait des ajustements et fait noter la synthèse.

2. Synthèse

25

15=

5

3; on dit qu’on a simplifié la

fraction25

15.

5

3 est une fraction qu’on ne peut plus

Les élèves recopient l’activité dans leur cahier de cours, écoutent les consignes et réfléchissent dans leur cahier d’exercices.

a) 25

15=

525

515

=

5

3;

25

15=

5

3

b) Les écritures décimales : 25

15

=0,6 5

3=0,6

c) Comparaison de 25

15 et

5

3.

25

15

=0,6 et 5

3=0,6, donc

25

15=

5

3

d) On ne peut plus trouver des entiers qui divisent le numérateur et

le dénominateur de5

3.

Les élèves recopient la correction de l’activité, notent le sous-titre et notent la trace écrite dans leur cahier de cours.

416

simplifier; on dit que 5

3est une fraction

simplifiée. Le professeur recopie le sous-titre au tableau et aide les élèves à tirer la règle et donner une définition d’une fraction irréductible.

3. Règle Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par un même nombre entier supérieur à 1. N. B. Une fraction irréductible est une fraction qui n’est pas simplifiable (c’est-à-dire une fraction qu’un ne peut plus simplifier).

Les élèves notent le sous-titre, tentent de trouver la règle et la définition d’une fraction irréductible. Les élèves notent la trace écrite dans leur cahier de cours.

4e étape : Évaluation terminale (12 mn)

Le professeur propose l’exercice d’application ci-dessous aux élèves, leur donne 5 mn, puis circule en contrôlant leur travail.

Exercice d’application : Simplifier les fractions suivantes de

façon irréductible :4

10;

12

18;

150

255;

90

480.

Le professeur raconte la discussion des deux élèves et pose à nouveau la question suivante aux élèves : lequel des deux élèves a raison? Le professeur s’enquiert du taux d’atteinte de l’objectif et fait noter la correction de l’exercice d’application dans les cahiers de cours.

Les élèves recopient l’exercice d’application dans leur cahier de cours, réfléchissent dans leur cahier d’exercices et répondent aux questions posées.

Réponses attendues Simplification des fractions :

4

10=

24

210

=

2

5

150

255=

5150

5255

=

330

351

=

10

17

12

18=

212

218

=

36

39

=

2

3

90

480=

1090

10480

=

39

348

=

3

16

Les élèves écoutent le professeur et répondent à la question.

Réponse attendue C’est le premier élève qui a raison. Les élèves recopient la correction de l’exercice d’application dans leur cahier de cours.

5e étape : Tâche à domicile

Le professeur donne les références des exercices au tableau, demande aux élèves de les noter et de le traiter pour le prochain cours. Exercices n° 3 et 5, page 70-71 (Faso-Math).

Les élèves notent les références des exercices.

417

7.2 Transcription de la réalisation du cours

Sylvie : Sans trop tarder, nous allons passer au contrôle d’absence. 1re rangée, qui a son voisin 1

absent? Il n’y a pas d’absents? 2

El : Non! 3

Sylvie : 2e rangée? Il n’y a pas d’absents? 4

El : Non! 5

Sylvie : 3e rangée? Pas d’absents? 6

El : O. Alain 7

Sylvie : [Elle commence à écrire dans le cahier d’absences.] O. Alain. 8

El : Il est sorti pour chercher son cahier. Il est sorti pour chercher son cahier. 9

Sylvie : [Elle arrête d’écrire dans le cahier d’absences]. 4e rangée? Pas d’absent? 10

El : Non! 11

Sylvie : [Elle divise le tableau en trois parties à l’aide d’une règle]. Nous allons faire un petit 12

exercice avant de commencer le cours. Ne recopiez pas l’exercice. C’est compris! 13

El : Oui! 14

Sylvie : [Elle recopie l’exercice au tableau en commentant]. Donc en 1) soit l’écriture suivante 5

3 : 15

a) Comment appelle-t-on cette écriture? 16

b) Trouver le numérateur et le dénominateur de cette écriture? 17

2) Quand dit-on qu’un nombre est divisible par 2, 3, 5 et 10? 18

[Un élève arrive à 2minutes 7secondes du début du cours. Il salue Sylvie et va à sa place]. 19

Donc, on va répondre maintenant aux questions. Donc on vient à la question n°1; soit l’écriture 20

suivante 3 sur 5. Comment appelle-t-on cette écriture? [Des élèves lèvent les mains en claquant 21

des doigts]. 22

El : On appelle cette écriture le fraction. 23

Sylvie : On appelle le fraction, vous êtes d’accord avec ça? 24

Els : Non. 25

Sylvie : Oui, Karim 26

Karim : On appelle cette écriture une fraction. 27

Sylvie : On appelle cette écriture une fraction. Vous êtes d’accord avec ça? 28

Els : Oui. 29

Sylvie : OK, c’est bien. Ensuite, on passe au b) trouver le numérateur et le dénominateur de cette 30

écriture. Oui [en indexant une élève]. 31

El : Le numérateur c’est 3. [La réponse est répétée par la stagiaire]. 32

El : Le dénominateur, c’est 5. 33

418

Sylvie : Vous êtes d’accord avec ça? 34

Els : Oui. 35

Sylvie : C’est bien. Ensuite on passe au 2). Quand dit-on qu’un nombre est divisible par 2? Oui 36

Karim. 37

Karim : On dit qu’un nombre est divisible par 2 quand il se termine par un chiffre pair. 38

Sylvie : Par un chiffre pair. 39

Karim : Exemple : 2, 0, 2, 4, 6, 8, etc. 40

Sylvie : Vous êtes, etc. 41

Karim : 10, 12, 14. 42

Sylvie : Donc les nombres pairs, on ne peut pas tout citer, c’est bien! Ensuite par 2, quand dit-on 43

qu’un nombre est divisible par 3; par 3 plutôt? Par 3? Oui, Binta. 44

Binta : On dit qu’un nombre est divisible par 3 quand il se termine par, quand, quand, on dit qu’un 45

nombre est divisible par 3 quand le nombre, le, quand on peut le diviser par 3. 46

Sylvie : Quand on peut le diviser par 3, vous êtes d’accord avec ça? 47

Els : Oui 48

Sylvie : Oui Karim 49

Karim : On dit qu’un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres est divisible. 50

Sylvie : Il est divisible, eh divisible par combien? 51

Karim : Par 3 52

Sylvie : Par 3, vous êtes d’accord avec ça? 53

Els : Oui. 54

Sylvie : Maintenant, on passe au 5. Quand dit-on qu’un nombre est divisible par 5? Oui Aline. 55

Aline : On dit qu’un nombre est divisible par 5 quand il se termine par 0. 56

Sylvie : S’il se termine par 0 ou? 57

Els : 5 58

Sylvie : S’il se termine par 0 ou 5. Et en dernier, quand dit-on qu’un nombre est divisible par 10? 59

Oui [en indexant un élève]. 60

El : Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0. 61

Sylvie : Par 0, c’est 0 uniquement? 62

Els : Oui 63

Sylvie : Par 0, c’est bien. Donc quand il se termine par 0. C’est bien. Donc, vous écoutez ce que je 64

vais dire et vous répondez. Vous essayez de répondre à la question. Ça peut aller? 65

Els : Oui. 66

419

Sylvie : Donc deux élèves de 6e A discutent. L’un dit, donc l’un dit 150

255=

10

17. [Sylvie écrit cette 67

proposition au tableau]. Donc, un des élèves a dit ça 150

255=

10

17. Et l’autre dit faux parce que les 68

numérateurs et les dénominateurs ne sont pas égaux. Il dit parce que 255 17 et 150 10. Lequel 69

de ces deux élèves a raison? Selon vous, lequel de ces deux élèves a raison? Je vous écoute. Oui 70

Aïcha. C’est le 1er ou le 2e? 71

Aïcha : C’est le 1er. 72

Sylvie : C’est le 1er, pourquoi? Est-ce que vous êtes d’accord avec ce qu’elle a dit? 73

Els : non. 74

Sylvie : Oui [en désignant un autre élève]. 75

El : C’est le 2e. 76

Sylvie : C’est le 2e élève. Vous êtes d’accord avec ça? 77

Els : Oui. 78

Sylvie : Il y a des gens qui ont dit oui et il y a des gens aussi qui ont dit non. Donc vous suivez 79

attentivement ça sera notre leçon du jour qui est, on a vu ça, fraction (2). Donc la leçon du jour 80

c’est : simplification. Donc à l’issue de la leçon, vous devez être capables de simplifier une fraction. 81

Ça peut aller? 82

Els : Oui 83

Sylvie : Donc vous devez être capables de simplifier une fraction. Donc vous prenez vos cahiers 84

de cours. On n’avait noté, en partie activités numériques, on n’avait noté chapitre 2, chapitre 6, les 85

fractions (2) ou bien? 86

Els : Oui! 87

Sylvie : Et on n’avait noté : Rappel sur les critères de divisibilité. Ce n’est pas ce qu’on a noté? 88

Els : Oui! 89

Sylvie : À la suite vous notez maintenant. Donc, je reprends le chapitre 6. Donc, ne recopiez plus 90

le chapitre 6, ça peut aller? Parce que vous avez déjà recopié ça. Donc : les fractions (2). I) 91

Simplification d’une fraction. Donc vous notez seulement I) Simplification d’une fraction. Ensuite 92

vous sautez une ligne et vous tracez. 93

[Sylvie efface l’exercice qui était écrit au tableau, puis elle souligne à la règle les titres du chapitre 94

et du paragraphe I) qu’elle venait de noter dans la partie gauche du tableau]. 95

Sylvie : Donc ça [en encadrant le titre du chapitre] on l’avait noté, ce n’est plus la peine de 96

recopier. I) simplification : 1) activité. Donc, vous marquez à la ligne 1) Activité en couleur. [La 97

stagiaire commence à recopier l’activité au tableau]. 98

Soit la fraction25

15. 99

a) Diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par un même nombre entier. 100

420

b) Trouver les écritures décimales de 25

15et de la nouvelle fraction trouvée en a). 101

c) Comparer 25

15 et la nouvelle fraction. 102

d) Peut-on trouver encore des nombres entiers qui diviseront le numérateur et le dénominateur de 103

la nouvelle fraction? [À 12mn 54s] 104

Donc, vous prenez vos cahiers d’exercices, vous traitez l’activité là-bas. Donc en 5 minutes, on 105

reprend. Vous prenez 5 minutes, dans le cahier d’exercices. 106

[Sylvie circule dans la classe pour observer ce que font les élèves. Elle écrit dans le cahier de 107

textes]. [À 17mn 54s]. Vous avez fini? 108

El : Non! 109

Sylvie : Ok! Donc, les 5 minutes sont arrivées. Je vous ajoute 2 minutes. Allez-y, je vous ajoute 2 110

mn. Allez-y. [Elle continue à contrôler le travail fait sans commenter]. 111

[À 19mn 38s]. On va corriger maintenant. Déposez vos bics [stylos à bille]. Cessez de calculer. 112

Suivez au tableau. Déposez les bics et les cahiers. Oui! [L’élève désignée fait une lecture de 113

l’énoncé]. 114

Tu écris ici. [Sylvie indique l’endroit où on doit écrire les réponses de l’activité]. 115

Tu mets correction. Tu parles fort pour ceux qui sont derrière. [L’élève écrit au tableau en 116

commentant]. 117

El : Je divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre. [L’élève utilise la règle pour 118

tracer le trait de fraction]. 119

Sylvie : Parle hein. 120

El : 25

15= 121

Sylvie : Tu vas diviser par combien? Tu dis oralement. 122

El : Par 5. 123

Sylvie : Par 5. Vous êtes d’accord avec ça? 124

Els : Oui. 125

Sylvie : Donc on va diviser par 5 pour voir; vas-y. 126

El : 25

15=

525

515

=

5

3 127

Sylvie : 15 5, ça fait 3 et 25 5, ça fait 5. Ensuite, on dit de trouver les écritures décimales de 128

25

15 et de la nouvelle fraction. Qui passe? Oui [pour désigner une autre élève]. 129

El : [Il dit oralement d’abord et ensuite elle écrit au tableau]. b) Je trouve les écritures décimales de 130

25

15et

5

3. 131

421

Sylvie : [Elle apporte des corrections aux fautes d’orthographe]. Onhon. 132

Écriture, il y a quoi à e? Accent onhon [oui], écriture. Il manque deux points. 133

El : b) Je trouve les écritures décimales de 25

15 et

5

3 :

25

15= 134

Sylvie : Tu peux présenter l’opération à droite. [L’élève pose la division de 15 par 25 et l’effectue]. 135

Ça fait combien? Tu n’as pas besoin de mettre ça, tu mets directement. Tu n’as pas besoin de 136

mettre 12 divisé par 25, 15 divisé par 25. Tu mets directement. 137

El : 25

15=0,6. 138

Sylvie : C’est bon. Non, tu fais pour le 5

3 en bas. On ne voit pas hein. 139

El : 5

3=0,6. 140

Sylvie : Égale à 0,6. Oui Sali, tu passes au tableau pour la question c). Tu sépares le tableau. Il 141

faut effacer. Prends la règle pour séparer. 142

Sali : [Elle fait une lecture de la question c)]. c) Comparer 25

15 et la nouvelle fraction. 143

Sylvie : Donc, nouvelle fraction, c’est quoi? C’est? 144

Sali : C’est 0,6. 145

Sylvie : Est-ce que ça, c’est une fraction? 146

Els : Non! 147

Sylvie : La nouvelle fraction qu’on a trouvée? 148

El : La nouvelle fraction, c’est 3 cinquièmes. 149

Sylvie : 3 sur 150

El : 5 151

Sylvie : donc c). 152

Sali : Je compare 25

15et la nouvelle 153

Sylvie : On connait maintenant la nouvelle fraction. Donc on ne va plus mettre nouvelle fraction. 154

Tu mets25

15et

5

3. 155

Sali : 15 vingt-cinquièmes est plus grand que 156

Sylvie : Est plus grand que? 157

Sali : 3 sur 5. 158

Sylvie : Pourquoi? Pourquoi tu as dit ça? 159

422

Sali : Parce que, le numérateur de 15 vingt-cinquièmes est plus grand que numérateur de 3 sur 5. 160

Sylvie : Vous êtes d’accord avec ce qu’il a dit? 161

Els : Non! 162

Sylvie : Oui, Élodie. 163

Élodie : 15 vingt-cinquièmes et 3 cinquièmes sont égales parce que, parce que l’écriture décimale 164

sont égaux. 165


Els : Oui. 167

Sylvie : Parce que, regardez. On dit que 15 sur 25, on a trouvé 0,6; 3 sur 5 on a trouvé 0,6 aussi. 168

Donc, on peut dire que 15 sur 25 égal à 3 sur 5. En 2) maintenant, qui passe pour le 2? Qui passe 169

pour le 2? Y a personne? 2) on dit peut-on trouver des nombres entiers qui diviseront le 170

numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction; ça veut dire qui diviseront le numérateur et 171

le dénominateur de5

3, parce que quand on a dit

25

15, on a divisé par combien? Par 5 pour obtenir172

5

3. Est-ce qu’on peut diviser

5

3 pour obtenir une nouvelle fraction? Est-ce qu’on peut? Oui, David. 173

David : Non. 174

Sylvie : David dit qu’on ne peut pas. Est-ce que vous êtes d’accord avec ça? 175

Els : Oui 176

Sylvie : Donc il faut passer écrire. Tu passes écrire, donc tu marques 2). Donc 2). [Elle dicte à 177

David ce qu’il doit écrire au tableau]. 178

David : On ne peut plus trouver des nombres entiers qui diviseront le numérateur et le 179

dénominateur de5

3. [Il y avait des fautes d’orthographe qui ont été corrigées, soit par des élèves, 180

soit par Sylvie]. 181

Sylvie : À ta place. Donc, ici on a abouti, on a calculé et trouvé 25

15égal à combien? 182

Els : 5

3 183

Sylvie : Donc suivez ici : 25

15=

525

515

=

5

3. Donc on dit que

5

3est une fraction simplifiée. Donc on a 184

simplifié25

15, on a trouvé

5

3. On a

5

3est une fraction simplifiée. On a, vous avez dit en question 2, 185

on ne peut plus trouver des nombres entiers qui diviseront5

3, ou bien? 186

Els : Oui. 187

423

Sylvie : On dit que 5

3est une fraction irréductible; ça veut dire fraction irréductible. Ça veut dire 188

c’est une fraction? 189

Els : Qu’on ne peut plus simplifier. 190

Sylvie : Qu’on ne peut plus simplifier. Donc5

3est une fraction simplifiée et on dit que

5

3est une 191

fraction irréductible. Ça peut aller? 192

Els : Oui. 193

Sylvie : C’est compris? 194

Els : Oui. 195

Sylvie : Donc vous prenez ça, vous prenez dans vos cahiers de cours. [À 32mn 17s]. [Elle écrit 196

quelque chose dans le cahier de textes]. 197

Je peux effacer là? 198

Els : Oui. 199

Sylvie : Si vous finissez, vous marquez en 2) synthèse. [Elle note la synthèse au tableau en 200

commentant]. 201

25

15=

5

3; on dit qu’on a simplifié la fraction

25

15.

5

3 est une fraction qu’on ne peut plus simplifier. 202

On dit que 5

3 est une fraction irréductible. 203

[Elle circule dans les rangées et contrôle la prise de notes. Un élève parle à Sylvie qui passe à 204

côté de lui]. 205

Simplifier, ce n’est pas «simplier». [Elle avait écrit «simplier» au tableau]. 206

(À 39mn 51s). On peut poursuivre? [Certains disent oui, d’autres disent non]. 207

Allez, recopiez rapidement. [Sylvie passe à côté de Issa qui pose la question; à 40mn 23s]. 208

Issa : irréductible, ça veut dire quoi? 209

Sylvie : Irréductible, que ça veut dire quoi? Il y a un qui pose la question : irréductible, que ça veut 210

dire quoi? Oui [pour désigner une élève]. 211

El : On ne peut plus simplifier. 212

Sylvie : On ne peut plus simplifier. Ça peut aller? 213

Issa : Oui. 214

Sylvie : [À 40mn 36s]. Donc vous marquez en 3) Règle. [La stagiaire utilise la règle pour souligner 215

le titre]. 216

3) Règle. Vous notez. Pour simplifier une fraction, comment faut-il faire selon vous? Pour simplifier 217

une fraction? Oui. 218

El : On doit les réduire au même dénominateur. 219

424

Sylvie : On doit les, est-ce que vous connaissez ça? [Des réponses "non" et des réponses "oui"]. 220

Vous connaissez ça pour l’instant? Est-ce qu’on fait ça ensemble ici ? Oui Karim. 221

Karim : Pour réduire une fraction. 222

Sylvie : Oui, pour simplifier. 223

Karim : Pour simplifier une fraction, on doit diviser le numérateur et le dénominateur par un 224

nombre entier. 225

Sylvie : Oui, par un même nombre entier. Vous êtes d’accord avec ça? 226

Els : Oui 227

Sylvie : Donc, effectivement pour simplifier une fraction, il faut diviser le numérateur et le 228

dénominateur par un même nombre entier. Donc, vous notez ça. Mais, ce nombre doit être 229

supérieur à 1. Ça peut aller? 230

Els : Oui. 231

Sylvie : Donc vous notez. 232

3. Règle : Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction 233

par un même nombre entier supérieur à 1. 234

Vous encadrez la règle comme vous avez l’habitude de faire. Maintenant, on va donner en même 235

temps, notez bien ce que c’est qu’une fraction irréductible. 236

N. B. Une fraction irréductible est une fraction qui n’est pas simplifiable (c’est-à-dire une fraction 237

qu’on ne peut plus simplifier). 238

Vous avez fini. [À 46mn 17s]. 239

Els : Oui 240

Sylvie : [Elle efface une partie du tableau]. On peut effacer là? 241

Els : Oui 242

Sylvie : [À 47mn 13s]. On peut continuer? 243

Els : Oui. 244

Sylvie : Question, question, s’il y en a. Question, question, il n’y a pas de question? Vous n’avez 245

pas de question? 246

Els : Non 247

Sylvie : Vous avez compris. 248

Els : Oui 249

Sylvie : C’est sûr que vous avez compris? 250

Els : Oui 251

Sylvie : Donc, je vais vérifier ça. Je vais vérifier si vous avez compris avec un exercice 252

d’application. 253

[Elle efface la synthèse du calcul fait]. À la ligne vous marquez. 254

425

[Elle marque exercice d’application au niveau du plan du tableau] 255

Exercice d’application. Vous marquez à la ligne : Exercice d’application. À la ligne vous marquez : 256

simplifier les fractions suivantes de façon irréductible. On a4

10,

12

18,150

255 et enfin

90

480. 257

Utilisez la règle pour tracer la barre de fraction. Le trait, utilisez la règle. 258

C’est fini? [Il n’y eut pas de réponse de la part des élèves]. 259

[À 51mn 06s]. Prenez 5 minutes encore pour faire toutes les étapes. Dans 5 minutes on reprend. 260

Dans les cahiers d’exercices. 261

[Sylvie circule dans les rangées et contrôle ce que font les élèves]. 262

Donc faites attention, on a dit de façon irréductible. Donc, ça veut dire, vous devez, simplifier 263

jusqu’à trouver une fraction qu’on ne peut plus simplifier. Ça peut aller? 264

Els : Oui. 265

Sylvie : [À 55mn 08s]. On va corriger maintenant. Déposez vos bics. Oui Karim, tu passes au 266

tableau. Suivez, déposez vos, vos cahiers, suivez. Fermez les cahiers et suivez maintenant. 267

Karim : Correction. Je simplifie les fractions suivantes de façon irréductible. 268

4

10=

24

210

269


Els : Oui 271

Sylvie : Attention à la barre de fraction. La barre de fraction doit être entre les égalités, ça peut 272

aller? 273

Els : Oui 274

Sylvie : OK, au milieu. 275

Karim : 10 2=5; 4 2= 2. 4

10=

24

210

=

2

5. 276

Sylvie : C’est bon? 277

Els : Oui. 278

Sylvie : Donc, tu fais le second. Quelqu’un d’autre va passer faire... 279

Karim : 18 6; 12 6 280


Els : Non 282

Sylvie : Attendez d’abord, il va faire nous allons voir si effectivement c’est divisible par 6. 283

Karim : 18 6=3; 12 6=2. 12

18=

612

618

=

2

3 284


426

Els : Oui 286

Sylvie : C’est ce que vous avez trouvé? Vous avez divisé par combien d’abord? 287

El : On a divisé par 3. 288

Sylvie : Ensuite par? 289

El : Par 2 290

Sylvie : Par 2. Donc vous trouvez les mêmes choses. Donc c’est bon. Vous trouvez les mêmes 291

résultats. Ça peut aller? 292

Els : Oui. 293

Sylvie : Ensuite on continue, quelqu’un d’autre pour le suivant, les150

255. Il n’y a pas quelqu’un? 294

Donc Karim, tu termines en même temps. 295

Écris en haut de l’autre côté pour qu’on puisse te suivre. 296

Karim : 150

255= 297

Sylvie : Tu vas diviser par combien? 298

Karim : Je vais diviser par 5. 299

Sylvie : Par 5, pourquoi tu choisis 5. 300

Karim : Parce que dans 255, il y a deux 5 et dans 150 il y a un 5. 301

Sylvie : C’est ça? Élodie 302

Élodie : Parce que les nombres se terminent par 0 ou 5. 303

Sylvie : Parce que les nombres divisibles par 5 se terminent par 0 ou 5. On a vu ça. 304

Els : Oui. 305

Karim : 150

255=

5150

5255

=

30

51 306

Sylvie : 30

51, c’est bon? 307

Els : Oui 308


Els : Oui 310

Sylvie : Est-ce qu’on peut toujours simplifier. [Certains élèves disent non, d’autres disent oui]. 311

Oui David, on peut toujours simplifier? 312

David : Oui 313

Sylvie : Par combien? Regardez bien. Regardez bien, par? 314

El : 5 315

427

Sylvie : Est-ce qu’on peut simplifier par 5, c’est possible? 316

Els : Non! 317

Sylvie : Oui 318

El : Par 2. 319

Sylvie : Par 2, c’est possible? 320

Els : Non! 321

Sylvie : Par? 322

El : Par 3. 323

Sylvie : Par 3. Il faut vérifier avec le 3 voir si ça marche. Donc, tu divises d’abord; il faut diviser en 324

bas voir si c’est possible. 325

[Karim pose l’opération 51 3 et l’effectue]. 326

Sylvie : Donc tu mets 330

351

égal à? 327

Karim : 150

255=

5150

5255

=

330

351

=

10

17. 328


El : Oui. 330

Sylvie : Donc, on passe au dernier maintenant. 331

Karim : 90

480 332

Sylvie : Oui. On va diviser par combien? 333

Karim : Je vais diviser par… 334

Sylvie : On divise par? 335

Els : Par 5 336

Sylvie : Par 5 337

Els : 5 338

Sylvie : Oui, c’est possible. On peut encore diviser par combien? 339

Els : Par 10. 340

Sylvie : Par? 341

Els : 10 342

Sylvie : OK, vas-y 343

Karim : 1090

10480

= 344

Sylvie : 480 10 égale combien? 345

428

Karim : est égal à 346

Sylvie : Si tu ne peux pas, il faut présenter la division. 347

Karim : C’est 48. 348

Sylvie : Onhon. Là-bas, il va te rester 9. 349

Karim : 1090

10480

=

9

48. 350

Sylvie : On trouve9

48, on peut toujours diviser? 351

Els : Oui 352

Sylvie : On peut toujours diviser par combien? Oui Eli. 353

Eli : On peut diviser par 3. 354

Sylvie : Vérifie si on peut toujours diviser par 3. 355

Karim : 9

48=

3

16. 356

Sylvie :3

16. Est-ce qu’on peut toujours simplifier ça? On peut toujours diviser? 357

Els : Non! 358

Sylvie : On ne peut plus. C’est bien. Quels sont ceux qui ont trouvé ça. [Elle montre la première 359

simplification. Il y a beaucoup de mains levées]. C’est vérifié? 360

Els : Oui. 361

Sylvie : En effet, j’ai remarqué ça. Et ça 12

18, ceux qui ont trouvé ça? Oui, c’est bien. Et ça? Et le 362

dernier? Personne n’a trouvé ça. Issa, toi tu as trouvé ça? Ou bien vous n’avez pas eu le temps 363

pour terminer? 364

On revient à notre question initiale. On avait dit que les deux élèves discutaient : l’autre dit que 365

150

255=

10

17; l’autre a dit ça et l’autre dit faux, lequel des deux élèves a raison? C’est le premier? 366

Els : Oui 367

Sylvie : Donc vous voyez maintenant. 368

Question? Il n’y a pas de question? Donc vous prenez ça, prenez la correction, dans les cahiers de 369

cours. Après vous marquez exercices de maison; exercices de maison. Du silence! 370

El : Maman, 371

Sylvie : Oui 372

El : Vous nous avez donné exercices de maison 373

Sylvie : Oui, après on va corriger. Ça peut aller? 374

429

El : Oui. 375

Sylvie : Donc exercices de maison : Exercices n° 3 et 5 pages 70-71 (Faso Math). 376

On s’arrête là pour aujourd’hui s’il n’y a pas de question. 377

Els : Non [pas très fort]. 378

Sylvie : Donc, on continue prochainement. [Durée : 01h 06mn 07s). 379

430


CH: Comment vous avez vécu cette séance de cours? 1

Sylvie : La séance n’a pas été un peu facile. Mais, ça s’est bien passé. 2

CH : Ça s’est bien passé? 3

Sylvie : Oui, oui. 4

CH : Bon vous avez dit que ça n’a pas été facile. Quelles sont les difficultés que vous avez eues à 5

rencontrer? 6

Sylvie : La simplification, il y a des gens qui ont simplifié à moitié, ils ne sont pas allés au bout 7

pour trouver une fraction irréductible. 8

CH : Ça, c’est une difficulté au niveau des élèves ou bien à votre niveau? Vous, votre difficulté à 9

dispenser ce cours? Avez-vous eu des difficultés à préparer le cours? Des difficultés d’ordre 10

pédagogique ou d’ordre didactique pour la préparation de la séance de leçon? 11

Sylvie : Non. 12

CH : Vous n’avez pas eu de difficulté. Et maintenant, quelles sont les difficultés vraiment que vous 13

avez eues dans la réalisation de leçon en classe? À votre niveau, je ne dis pas des élèves? 14

Quelles sont les difficultés que vous avez eues à dispenser ce cours? 15

Sylvie : En classe, non. 16

CH : Vous n’avez pas eu de difficulté? Ce que vous avez prévu, les élèves euh. 17

Sylvie : Bon, les objectifs ne sont pas totalement atteints 18

CH : Les objectifs ne sont pas atteints. 19

Sylvie : Il y a d’autres qui n’ont pas trouvé la simplification. J’ai vu des élèves, au lieu de diviser, ils 20

ont multiplié. 21

CH : Mais, maintenant, bon comme vous avez dit que vous n’avez pas de difficultés, d’accord on 22

va, puisque j’allais, j’avais d’autres questions par rapport à ça, mais comme vous n’avez pas eu de 23

difficultés dans la préparation du cours, vous n’avez pas eu de difficultés dans la réalisation du 24

cours en classe. Mais maintenant quelle est l’approche pédagogique que vous avez eue à utiliser 25

en classe. 26

Sylvie : L’approche pédagogique, c’est-à-dire? 27

CH : La méthode d’enseignement que vous avez eue à utiliser? 28

Sylvie : J’ai utilisé la méthode de redécouverte. 29

CH : Méthode de redécouverte, qui consiste à quoi? 30

Sylvie : Ça consiste à faire découvrir l’enfant sur ce qu’on veut enseigner; à faire découvrir. 31

CH : À cet effet, qu’est-ce que les élèves ont découvert au cours de cette séance? 32

Sylvie : Bon, ils se sont un peu bien sortis! 33

CH : Qu’est-ce qu’ils ont découvert concrètement? 34

Sylvie : Ils ont découvert, bon, la simplification d’une fraction à travers une activité donnée. 35

431

CH : À travers une activité donnée! 36

Sylvie : Oui, oui 37

CH : Donc le schéma de cette méthode-là, quel est le schéma de cette approche, de la méthode 38

d’enseignement? Vous dites que c’est la méthode de découverte. 39

Sylvie : de redécouverte 40

CH : Oui, ça consiste à quoi exactement? Quel est le schéma? 41

Sylvie : Le schéma : c’est posé des questions, suscité, bon, la technique, c’est la technique du 42

questionnement. Donc, c’est posé des questions successives qui vont permettre à l’enfant de 43

découvrir la notion du jour, la notion qu’on veut enseigner. 44

CH : C’est amener les enfants à découvrir la notion, ce fut le cas? 45

Sylvie : Bon, pas totalement parce qu’il y a d’autres qui n’ont pas pu trouver. Il y a d’autres en tout 46

cas, ils se sont bien sorti. 47

CH : Vous avez dit qu’il y a d’autres qui ne se sont pas bien, qui n’ont pas bien réussi, mais s’il y a 48

à refaire, vous avez des idées pour refaire et puis… 49

Sylvie : Il y a des idées. Par exemple, au niveau de la fraction j’ai donné25

15.

25

15, quand on 50

divise directement par 5, on obtient une fraction irréductible. On obtient5

3. Et pourtant dans 51

l’exercice d’application, quand on a fait par exemple le 8, ou bien je prends un exemple le12

18. Le52

12

18, il fallait diviser, il y a d’autres qui ont divisé par 6, ils ont trouvé la fraction irréductible, mais il y 53

a d’autres qui ont divisé d’abord par 2, ils ont trouvé6

9. Il y a d’autres qui se sont limités là-bas. Il y 54

a d’autres qui se sont limités à6

9. Donc, moi je dis que l’erreur peut provenir de moi parce qu’il 55

fallait prendre un exemple qui allait abonder dans ce sens. Ils allaient simplifier jusqu’à deux fois 56

pour trouver une fraction irréductible. 57

CH : Est-ce que vous avez trouvé des erreurs? Vous avez circulé, vous avez trouvé des erreurs? 58


CH : Des erreurs, d’accord. Comment avez-vous, je constate que la gestion des erreurs, je n’ai pas 60

senti pratiquement la gestion de certaines erreurs commises par les élèves. Je voudrais 61

comprendre pourquoi. 62

Sylvie : Bon, comme peut-être ils ont déjà vu ça en classe de CM2 [cours moyen deuxième 63

année], c’est peut-être ça aussi. 64

CH : Mais, vous voyez qu’ils ont déjà vu au CM2, on est là et il y a toujours des erreurs. 65


CH : Ça veut dire qu’il fallait amener les élèves à surmonter leurs difficultés. Mais, maintenant, je 67

constate que vous avez circulé, vous avez circulé, vous avez observé, mais en aucun cas je n’ai 68

432

pas senti que vous avez apporté de l’aide comme ça à un élève. Pourquoi, vous n’avez pas voulu 69

apporter de l’aide par exemple aux élèves qui ont des difficultés. C’est… Par exemple vous-même 70

vous avez trouvé une erreur ici. Non, ça, c’est l’élève qui est brillant. Par exemple là vous avez vu 71

des erreurs comme ça. 72


CH : Mais en aucun cas, comment on peut faire, comment vous pouvez faire par exemple pour 74

amener cet élève à surmonter par exemple ses erreurs? 75

Par exemple 4

10=

54

510

76

Sylvie : Effectivement! 77

CH : Qu’est-ce qui a fait qu’effectivement que 78

Sylvie : Pour elle, elle a dû prendre le 5 là. 10 c’est divisible par 5. Donc, elle a cru comme ça c’est 79

divisible par 5 là. Donc surement, ça aussi c’est, le 4 est aussi divisible par 5. Il fallait que j’attire 80

son attention, parce que pour elle-même, apparemment c’est un problème de niveau, parce que 4, 81

on ne peut pas diviser 4 par 5; 4 5 ne peut pas donner 7. 82

CH : oui, vous dites que c’est un problème de niveau, est-ce que, ils sont en 6e, parce que quand 83

on dit que c’est un problème de niveau, on risque de les abandonner à leur sort. Est-ce qu’il n’y a 84

pas lieu d’amener même ces élèves qu’on pense qu’ils ont un niveau faible, c’est des difficultés 85

qu’ils ont, à surmonter ces difficultés. 86

Sylvie : C’est ça oui. 87

CH : Peut-être le fait de dire de diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Ils 88

ont divisé par 5, c’est le même nombre. Mais il faut que le nombre là divise aussi bien le 89

numérateur et le dénominateur. Lui, il a vu que le nombre divise le numérateur, mais 5 ne divise 90

pas le dénominateur, puisque ça divise, mais on trouve un nombre décimal. Peut-être dans son 91

esprit… quand on dit diviser par le même nombre là, c’est effectivement par trouver, ça veut dire 92

qu’il faut trouver des entiers, et c’est à ce niveau que peut-être amener, attirer l’attention. Je vois ici 93

12/10, là il n’est pas parti loin et là aussi il est revenu, diviser par 5, c’est la même erreur et ça s’est 94

bloqué. 95

Sylvie : Ça, c’est l’activité 96

CH : Ça, c’est l’activité, ça, c’est l’exercice; donc, tu vois que l’activité, même avec les règles qui 97

ont été données 98

Sylvie : Ils n’ont pas abouti. 99

CH : Est-ce que, il n’y a pas lieu effectivement d’insister par exemple 100

Sylvie : Effectivement, je vais travailler à les amener à bien comprendre 101

CH : Je constate également que pour le choix des élèves là, c’est les mêmes qui reviennent. Je ne 102

veux pas nommer de nom, mais je sais qu’il y a un garçon qui lui, et même son cahier est là, 103

Sylvie : C’est ça, c’est lui-là. Bon effectivement, comme on était pris par le temps aussi et il n’y 104

avait pas de volontaires aussi comme ça, donc il fallait qu’il reste en même temps pour terminer. 105

CH : On était pris par le temps? Donc, il y a eu une difficulté? Ou bien? 106

433

Sylvie : Oui, oui gestion de temps. 107

CH : Puisque vous avez dit qu’il n’y a pas eu de difficultés, comment vous pouvez effectivement 108

faire pour améliorer, est-ce que les objectifs sont volumineux? Effectivement, il y a eu cette 109

difficulté dans la gestion du temps. Ce que vous avez prévu faire en 1 heure, effectivement on a 110

fait plus d'une heure. On a fait 1h 10mn. Je ne retiens, mais comme j’ai filmé! 111

Sylvie : Ça, c’est problème de gestion de temps. Sinon l’objectif, j’ai utilisé un seul objectif. 112

L’objectif, ce n’est pas volumineux. C’est en fait, j’ai remarqué qu’au niveau des exercices 113

d’application, j’ai donné jusqu’à 4 fractions à simplifier. Par la suite, j’ai trouvé que c’était trop. Je 114

pouvais donner au moins deux comme ça. Ça, c’est à relever. 115

CH : Vous pouvez donner deux? 116

Sylvie : Oui, oui, deux fractions. 117

CH : D’accord. J’ai trouvé une classe calme. Je reviens pour la conduite du cours. Je constate que 118

vous avez privilégié le travail, le travail des activités là, le travail individuel. Est-ce-que, comme 119

c’est une activité de découverte, est-ce que c’est la seule possibilité ou bien. Qu’est-ce qui a 120

motivé votre choix pour le travail individuel? Ils sont combien dans la classe? 121

Sylvie : Ils sont au nombre de 92. J’ai préféré utiliser le travail individuel. Technique d’organisation 122

de la classe, j’ai utilisé le travail individuel. Tout simplement, si les élèves travaillent seuls, moi je 123

pense qu’ils peuvent arriver à mieux découvrir. Et s’ils travaillent seuls aussi, je peux voir 124

réellement quel individu a un problème. 125

CH : Et le travail en groupe? Vous pensez que le travail de groupe n’est pas aussi source de, ne 126

permet pas aux élèves d’avoir, de travailler ensemble, échanger et que les meilleurs apportent 127

aussi un appui à ceux qui ont des difficultés. 128

Sylvie : Bon, ça aussi, c’est bon, mais finalement les élèves se retrouvent en groupes, ils 129

bavardent. Sauf quelques-uns seulement qui travaillent. 130

CH : Donc, vous n’avez jamais, vous ne privilégiez pas le travail de groupe. 131

Sylvie : Non, c’est le travail individuel. Là, je reconnais vraiment, tel élève a un problème dans telle 132

partie, là je m’approche de lui, j’essaie d’expliquer. 133

CH : Mais, aujourd’hui, on n’a pas perçu que les élèves qui ont des difficultés, vous avez, on n’a 134

pas perçu. Parce qu’effectivement, si c’est le cas c’est une bonne chose. Mais les erreurs que 135

vous avez constatées, en aucun cas également aussi nous n’avons constaté qu’individuellement et 136

même collectivement; est-ce qu’il n’y avait possibilité, par exemple, pour certaines erreurs criardes 137

d’aller au tableau et puis peut-être évoquer, puisqu’ils sont 92, vous avez vu peut-être pour 2 138

personnes ou bien pour une rangée. Vous ne pouvez pas voir, mais s’il y a un échantillon 139

d’erreurs, est-ce qu’on ne peut pas effectivement à haute voix, pour attirer l’attention des autres qui 140

sont à leur place? 141

Sylvie : C’était problème de gestion de temps aussi. Le temps a été mal géré aussi. 142

CH : C’est le temps qui a été mal géré? D’accord. Je peux voir la fiche pédagogique. Pour la 143

préparation de votre cours, vous avez eu à dire qu’ils ont fait déjà ce contenu au CM, d’accord. 144

Quels sont les éléments d’information que vous avez pris comme repère pour faciliter 145

l’apprentissage de ce contenu en 6e ? Vous ne vous êtes pas référée à un document de 6e pour 146

voir ce qu’ils ont fait. 147

434

Sylvie : au CM2, non. 148

CH : Est-ce que le langage est adapté par exemple? Puisque vous n’avez pas dit irréductible, 149

simplification. Est-ce que si vous étiez parti du langage employé au primaire qu’ils connaissent 150

déjà en remontant ou c’est le même langage, je n’en sais rien. Je vous demande seulement. Donc, 151

vous n’avez aucun document de CM comme repère dans vos activités. 152

Sylvie : Non, non. 153

CH : C’est uniquement le Faso Maths, et puis? 154

Sylvie : C’est Faso Maths que j’ai utilisé. 155

CH : Faso Maths et puis quoi, document d’accompagnement? 156


CH : Et le programme bien entendu, ou bien là aussi vous n’avez pas utilisé le programme? 158

Sylvie : Oui, j’ai utilisé le programme de mathématiques. 159

CH : Toujours dans la suite je constate : rappeler les critères; c’est le contrôle de prérequis. À quel 160

moment ça, c’est intervenu, les critères de divisibilité? 161

Sylvie : Au niveau des prérequis. 162

CH : À quel moment ce rappel de prérequis, c’est intervenu dans votre cours? 163

Sylvie : Au niveau de la simplification, par exemple les élèves, par exemple 15/25, ils vont voir que 164

d’après les critères, 15 est divisible par 5, 25 aussi un nombre qui se termine par 5 soit par tant est 165

divisible par 5. 166

CH : Mais, justement à ce niveau je n’ai pas vu l’exploitation au niveau de l’exercice d’application. 167

Sylvie : J’ai posé la question à, oui on dirait que celui qui était au tableau, je lui ai posé la question, 168

il m’a dit, je lui ai demandé pourquoi tu choisis de diviser par 5. Il n’a pas trouvé, mais il y a une qui 169

a levé son doigt qui a dit que parce qu’il a donné en même temps la règle, comment faire pour 170

savoir qu’un nombre est divisible par 5. 171

CH : Eh, je suis d’accord avec toi, mais les exercices qui suivent, à savoir 480 ou bien quand on a 172

simplifié, on est arrivé à 51/30, ils ont dit que c’est divisible par 3, vous avez dit de poser la 173

division, est-ce qu’on n’avait besoin de poser la division selon vous? 174

Sylvie : Ooooh 175

CH : Puisque les critères de divisibilité le permettent. 176


CH : 5+1 =6; 6 est divisible par 3. Donc, c’est à ce moment qu’il faut mettre en pratique les critères 178

de divisibilité. Puisque la somme des chiffres est divisible par 3. 3+0=3, donc divisible par 3. Même 179

ici 48 divisé par chose là, vous avez dit de poser la division. 180

Sylvie : Bon, comme il avait des difficultés pour trouver le nombre là, je lui ai dit de poser la 181

division. 182

CH : Non, on a dit que c’est divisible par 3 et vous dites de poser la division. 183

435

Sylvie : Oui, comme c’est divisible, par exemple si on prend ici là c’est divisible par 3, on sait que 184

c’est divisible par 3, mais combien on va trouver? Quel nombre on va trouver? 185

CH : Non, ils ne savent même pas que c’est divisible par 3. Ça veut dire que s’il y a des difficultés, 186

parce qu’il y a beaucoup d’élèves qui ne savent pas pourquoi c’est divisible par trois. C’est parce 187

qu’on a posé la division. Moi, c’est ce que j’ai compris. 188


CH : Puisque là, il fallait revenir c’est divisible par 3 parce que 4+8=12, 12 qui est divisible par 3; 190

c’est-à-dire en application avec les critères de divisibilité. 191

Sylvie : Effectivement. 192

CH : Peut-être à ce moment, ça permet aux élèves de voir l’utilité de ces critères de divisibilité là. 193

Sinon à chaque fois, ils risquent de poser des divisions là. 194

Sylvie : Ça, c’est un problème à mon niveau. 195

CH : On va s’arrêter là. 196

436

Annexe 8 : Cas Safi


Titre du chapitre : Fraction

Titre de la leçon : Addition de deux fractions : les fractions ont le même dénominateur

Classe : 6eIII Effectif : 78 Garçons : 43 Filles : 35 Durée : 55 mn

Objectifs : L’élève de la classe de 6e III doit être capable d’additionner deux fractions qui ont le même dénominateur.

Prérequis : - Additionner deux nombres entiers naturels; - Donner la fraction correspondante à une surface donnée.

Méthode : Méthode de la redécouverte

Techniques : Questionnement; enseignement par les activités.

Organisation de la classe : Groupe classe.

Matériel :

- Pour le professeur : craie de couleur - Pour l’élève : néant



pédagogique Rôle et interventions du professeur Rôle et activités des élèves

1re étape : Contrôle des prérequis (6 mn)

- Proposer les exercices suivants à faire en 3 mn. Exercice1 Effectuer exercices suivants : a=13+4; b=258+31. Exercice 2 Soit les figures suivantes : a)

b)

c)

- Résoudre les exercices dans le cahier de brouillon individuellement

Réponse attendues Exercice1 : Effectuons les opérations a = 13 + 4 = 17 a = 17 Exercice2 : Donnons la fraction de surface qui a été hachurée :

a = 7

4; b =

8

6; c =

2

1; d =

4

2.

437

d)

e)

Pour chaque surface, indiquer la fraction de

surface qui a été hachurée. Exemple : e= 6

3

2e étape : Motivation à l’introduction de la nouvelle notion (5 mn)

- Proposer l’exercice suivant à faire en 3 mn. Exercice :

Après avoir calculé la somme des fractions

8

3 et

8

2 :

- Ali trouve comme résultat : 8

3 +

8

2 =

16

5

- Sofie quant à elle trouve le résultat suivant :

8

3 +

8

2 =

8

5

Lequel des deux élèves a-t-il trouvé le bon résultat? Justifier. - Écrire le titre de la leçon au tableau après avoir communiquer les objectifs spécifiques. III- Opérations sur les fractions 1- Addition de deux fractions

a- Les fractions ont le même dénominateur

- Proposer leur réponse. - Noter le titre de la leçon dans leur cahier de cours après avoir écoutés les objectifs spécifiques.

3e étape : Activité permettant d’énoncé la notion d’addition de deux fractions qui ont le même dénominateur

- Donner l’activité suivante à faire en 5 mn. Activité

Vincent veut partager sa barre de chocolat mesurant 7 cm avec Julie et Estelle. Vincent coupe alors sa barre de chocolat en 7 morceaux de même longueur. Il en donne 2 morceaux à Julie et 3 morceaux à Estelle qu’il aime bien. On donne l’illustration ci-dessous de la barre de chocolat de Vincent.

a) À partir de l’illustration ci-dessus, donner les fractions de chocolat correspondantes à la part de Julie et d’Estelle. b) Donner la fraction correspondante au nombre total de morceaux de chocolat que Vincent a partagé? - Veiller au bon déroulement de l’activité - Interroger des élèves pour la correction - Faire la synthèse et faire énoncer la notion

- Noter l’activité dans leur cahier de cours. - Traiter individuellement l’activité dans le cahier de brouillon individuellement - Participer à la correction

Réponses attendues a) Donnons les fractions correspondantes à la part de Julie et d’Estelle :

La part de Julie : 7

2

La part d’Estelle : 7

3

b) Donnons la fraction correspondante au nombre de chocolat que Vincent a partagé.

438

en aidant les élèves à bien formuler - Faire noter le résumé

On peut donc écrire : 7

2 +

7

3 =

7

5

Illustration : Part de Julie Part d’Estelle

7

2 +

7

3

7

5

Règle : Pour additionner deux fractions qui ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur. Soient a et b deux nombres entiers naturels et c un nombre entier naturel différent de zéro. On a :

c

a +

c

b =

c

ba

Vincent a partagé 7

5 de son

chocolat. - Noter la correction dans leur cahier de cours - Proposer le résumé - Noter le résumé dans leur cahier de cours

4e étape : Faire fonctionner la notion (10 mn)

- Donner les exercices d’application suivants :

Exercices d’application 1- Calculer :

A= 5

7 +

5

2 B=

10

110 +

10

38

C = 3

1 +

3

2 D=

12

5 +

12

8

2- Une tablette de chocolat est constituée de

24 carrés. Toto en mange 24

5et Titi en

mange24

10.

Calculer le nombre total de carrés de chocolat que Toto et Titi ont mangé. - Veiller au bon déroulement des exercices d’application - Interroger des élèves pour la correction - Faire noter la correction dans les cahiers de cours. - Faire le point des acquis - Faire des réajustements nécessaires

- Noter les exercices d’application dans les cahiers de cours - Traiter dans le cahier de brouillon individuellement - Participer à la correction et poser des questions

Réponses attendues 1) Calculons

A=5

7 +

5

2=

5

27 =

5

9

B=10

110+

10

38=

10

38110 =

10

148

C = 3

1 +

3

2=

3

31 =

3

3=1

D=12

5 +

12

8=

12

85 =

12

13

2) Calculons le nombre total de carrés de chocolat mangé par Toto et Titi.

24

5 +

24

10 =

24

15.

- Noter la correction dans leur cahier de cours.

439

Dernière étape : Évaluation terminale (6 mn)

- Proposer l’exercice suivant Exercice

Calculer :

A= 7

11 +

7

8; B=

9

7 +

9

9;

C= 123

745 +

123

899; D=

34

107 +

34

61

- Donner les exercices de maison suivant : Exercice 1

Calculer :

A= 18

35 +

18

19; B=

7

25 +

7

13;

C= 97

156 +

97

99; D=

14

92 +

14

47

Exercice 2 Compléter les égalités suivantes

17

.... +

17

5=

17

9;

4

8 +

4

....=

4

14;

108

175 +

108

....=

18

256 ;

9

2 +

....

....=1

- Traiter l’exercice - Montrer les réponses au professeur - Poser des questions et prendre la correction - Recopier les exercices dans les cahiers d’exercices - Commencer à les traiter; - Poser des questions au professeur.

Contrôle des absences et le remplissage du cahier de textes : 5 mn

440

8.2 Transcription de la séance de cours

Safi : Vous allez bien? Aujourd’hui c’est la fête de Saint Valentin, personne n’a amené quelque 1

chose pour moi? 2

[Un élève efface le tableau. Rires de certains élèves ; des réponses sont données par les élèves 3

pêle-mêle]. 4

Safi : D’accord, voilà pour les activités, je vais vous demander de prendre des feuilles, des feuilles 5

de cahier. Donc, chacun va enlever une feuille de cahier, vous allez faire les exercices là-dessus. 6

Les exercices qu’on va mettre au tableau, vous allez faire là-dessus. Après, je vais ramasser, c’est 7

compris? 8

Els : Oui. [Ils commencent à enlever des feuilles de leur cahier]. 9

Safi : Maintenant, y a-t-il des absents? La première rangée, y a-t-il des absents? 10

Els : Oui, K. I. 11

Safi : Votre K. I., il ne vient plus? [Elle note le nom de l’absent dans le cahier d’absences]. 12

Els : Non. 13

Safi : C’est le seul absent? 14

Els : T. T. [Safi écrit le nom de cet absent encore dans le cahier d’absences]. 15

Safi : Oui qui encore? Qui d’autre encore? C’est fini? 16

Els : Oui. [La stagiaire range le cahier d’absences et fait sortir des feuilles]. 17

Safi : Maintenant, je vais vous partager des feuilles. Nous allons. Vous allez enlever une feuille 18

pour deux personnes. Partagez. Enlevez, faites circuler; une feuille pour deux personnes. Une 19

feuille pour deux personnes; vous enlevez, vous divisez et vous faites circuler. Tout le monde doit 20

avoir une [non audible]. Allez-y; une feuille pour deux personnes. Partagez. Divisez ça en deux. 21

Les exercices qui sont dessus. Vous allez laisser ça, je n’avais pas vu [en s’adressant à des 22

élèves]. Pas de reste? 23

[La classe est bruyante. Les élèves s’exécutent dans le bruit]. 24

Sur les feuilles que vous avez déchirées, vous allez faire les exercices là-dessus [5mn 30s]. 25

Allez-y. L’exercice 1, on demande d’effectuer les opérations suivantes : a =13+14; b =258+31. 26

Els : +4 Madame; +4; +4; a c’est +4; +4; +4. [Des répétitions +4]. 27

Safi : L’exercice 2 : Soit les figures suivantes [suite inaudible]. Pour chaque figure, indiquer la 28

fraction de surface qui a été hachurée. On a donné un exemple : e =6

3. Donc vous faites ça. Dans 29

3 minutes on va corriger. Sur les feuilles que vous avez prises. 30

[Beaucoup de bruit vient de la classe voisine. Elle met de l’ordre dans ses papiers et commence à 31

contrôler le travail des élèves. Elle contrôle le travail effectué par certains élèves]. 32

441

[10mn39s]. Question? On va passer à la correction. 33

Els : Moi. [Certains élèves claquent des doigts]. 34

Safi : On ne va pas passer toute l’éternité à faire ça quand même. Il faut qu’on avance. Oui [pour 35

désigner un élève pour la correction]; c’est une leçon qu’on doit faire. Bon, déposez puis vous 36

suivez; suivez la correction. Déposez les bics [stylos à bille] et suivez la correction. Tu as trouvé a 37

égal combien. 38

[Safi continue à jeter un coup d’œil sur ce que les élèves ont fait sur leur feuille et ne suit pas ce 39

qui se passe au tableau]. 40

El : Exercice 1 41

Effectuons les opérations suivantes : 42

a= 13 43

+ 4 44

= 17 45

Safi : Bien, tu as trouvé a égale combien? a égal à? 46

El : 17 47

Safi : a = 17; c’est bon? Tout le monde a trouvé? [Des élèves commencent à claquer des doigts. 48

Certains disent «moi»]. 49

Els : Oui. 50

Safi : Oui, le b. 51

El : b) 52

258 53

+ 31 54

= 289 55

b égal 289 56

Safi : C’est bon? 57

Els : Oui. 58

Safi : Bon, exercice 2. 59

El : Moi en claquant des doigts. 60

Safi : Oui, Mamadi. 61

Mamadi : Exercice 2. [Il repart à sa place chercher la feuille d’exercice]. Soit les figures suivantes. 62

[Il donne une valeur de a, mais il a mal présenté sa réponse. L’égalité n’est pas bien placée 63

devant le trait de fraction]. 64

Safi : =, c’est mal écrit. Qu’est-ce que je vous ai dit la dernière fois. 65

[Mamadi place encore mal l’égalité. Safi hausse un peu le ton]. 66

442

Safi : la stagiaire hausse un peu le ton : égal, il est mal écrit. C’est, comme ça on l’écrit? 67

Els : Non. [Des élèves claquent des doigts pour passer au tableau. Mamadi apporte une correction 68

à ce qu’il a écrit : a = 7

4]. 69

Safi : Voilà. 70

Els : Moi, moi… [Des élèves claquent des doigts]. 71

Safi : Oui, Fani. 72

Fani : b = 8

6. [Des élèves claquent des doigts en disant moi, moi, moi…] 73

Safi : b = six huitièmes. Oui [pour désigner un élève]. 74

El : c = 2

1; c égale un demi. 75

Safi : c égale un demi. Oui. [Safi tend la craie à un élève qu’elle vient de désigner]. 76

El : d = 4

2. 77

Safi : Bien. Est-ce que tout le monde a trouvé? 78

Els : Oui. 79

Safi P : C’est faux, il y a des gens qui n’ont pas fait. Ceux qui ont fait, qui sont ceux qui ont tout 80

trouvé? Ceux qui n’ont pas trouvé, le problème c’était quoi? 81

Els : On n’a pas terminé, on n’a pas fini, on n’a pas fini. [16mn55s] 82

Safi : Qu’est-ce que vous avez fait et vous n’avez pas fini? Hon? Les feuilles là, ce n’est pas obligé 83

de bien présenter. C’est un brouillon. Vous prenez votre temps vous voulez écrire la date, nom, 84

quoi quoi quoi… Est-ce qu’on a besoin de ça? On ne va pas corriger. 85

D’accord, donc le a était égal à 4 septièmes (7

4); le b, d, le b 6 huitièmes (

8

6); le c un demi (

2

1) ; 86

le d 2 quarts (4

2). Bien. 87

Els : On n’a pas fini. 88

Safi : Le e est déjà fait. On a donné ça en exemple. Donc, vous écoutez attentivement ce que je 89

vais vous dire. On dit après avoir calculé la somme des fractions 8

3et

8

2, Ali trouve comme 90

résultat 8

3+

8

2 égal à 91

Els : 8

5. 92

443

Safi : 16

5. Et Sofie trouve comme résultat

8

3+

8

2=

8

5. Maintenant, on vous demande lequel de ces 93

élèves a raison? [Elle écrit une partie de l’énoncé au tableau]. 94

Safi : Oui [pour désigner une élève]. 95

El : Sofie a raison. 96

Safi : Sofie a raison, elle propose que Sofie a raison. Tout le monde est d’accord avec elle? 97

Els : Oui. 98

Safi : Tout le monde? 99

Els : Oui. 100

Safi : D’accord, donc après on verra si elle a vraiment raison ou pas? Donc aujourd’hui nous allons 101

voir l’opération sur les… 102

Els : Fractions. 103

Safi : Fractions. [Elle efface le tableau, puis elle le divise en 3 parties]. Donc en grand deux vous 104

notez, en grand 3 [elle commence à recopier les titres au tableau]. Aujourd’hui on est au grand 3, 105

opérations sur les fractions. 106

Chapitre 5 : Fractions 107

I 108

II 109

III- Opérations sur les fractions 110

1- Addition de deux fractions 111

a- Les fractions ont le même dénominateur 112

Donc, en activité vous notez dans le cahier. 113

Activité : 114

Tout le monde a noté le titre? 115

Els : Non. 116

Safi : [Elle circule pour contrôler la prise de note dans les cahiers de cours]. En activité vous notez, 117

à la ligne. 118

Vincent veut partager sa barre de chocolat mesurant 7 cm avec Julie et Estelle. Vincent coupe 119

alors sa barre de chocolat en 7 morceaux de même longueur. Il en donne 2 morceaux à Julie et 3 120

morceaux à Estelle qu’il aime bien. On donne l’illustration suivante de la barre de chocolat de 121

Vincent : 122

123

[Des élèves interviennent pour corriger une faute d’orthographe au tableau. En effet, il y avait 124

«ent» à Vincent coupe]. 125

444

a) À partir de l’illustration ci-dessus, donnez les fractions de chocolat correspondantes à la 126

part de Julie et d’Estelle. 127

b) Donner la fraction correspondante au nombre total de morceaux de chocolat que 128

Vincent a partagé. [30 mn] 129

Donc, après avoir noté ça, vous allez sur vos feuilles là, traiter l’exercice. 130

[La stagiaire circule dans les rangées pour contrôler le travail fait individuellement par les élèves] 131

[37mn01s]. 132

Bon, déposez les bics; déposez tout et vous suivez la correction. Matilde au tableau, suivez. 133

[Matilde commence à écrire]. 134

Matilde : Elle commence à écrire : les fractions 135

Safi : Tu dois écrire quoi d’abord? Correction. 136

Matilde : Correction. 137

a) La fraction correspondante à la part de : 138

Julie a deux septimes. 139

Safi : Ce n’est pas ce que tu as écrit. 140

[Matilde avait écrit : Julie 7

2]. 141

Matilde : Julie a 7

2. 142

Safi : de quoi? 143

Matilde : Julie a 7

2de la barre. 144

Safi : de la barre de chocolat. Écris ça : a 7

2de la barre de chocolat. 145

Matilde : Julie a 7

2 de la barre de chocolat. Estelle a

7

3. 146

Safi : Estelle a 7


Matilde : Estelle a 7


Safi : En petit b), on vous demande de donner la fraction correspondante au nombre total de 149

morceaux de chocolat que Vincent a partagé. 150

Matilde b) le nombre de chocolats que Vincent a partagés : 7

2+

7

3=

7

5. 151

Safi : C’est bien. Ceux qui ont fait l’activité, quels sont ceux qui ont fait l’activité? Levez le doigt. 152

Oui, vous avez trouvé? [Les élèves répondent en chœur]. 153

445

Els : Oui. 154

Safi : Ce n’est pas vrai. 155

Els : C’est vrai. 156

[Il s’en est suivi du bavardage pour dire que c’est vrai ou pour montrer à la stagiaire le résultat]. 157

Safi : Bien, donc ici la part que Julie a reçue 7

2 et Estelle a reçu

7

3. On a dit que Vincent a coupé 158

son chocolat en 7 morceaux égaux. Il en a donné 2 à Julie et 3 à Estelle. Donc, il en a donné 2 159

septièmes à Julie et 3 septièmes à Estelle. Donc le nombre total de chocolats qu’il a partagé à 160

Estelle et Julie est de 5 septièmes. Donc sur ses 7 morceaux de chocolat, il en a donné 5 à Julie, il 161

en a partagé 5, c’est-à-dire à Julie et à Estelle. Donc maintenant on obtient, on voit que les deux 162

fractions ont le même dénominateur et on a trouvé 7

5 comme le nombre total de morceaux de 163

chocolat partagé. Quelle règle on peut donc déterminer ici pour additionner deux fractions de 164

même dénominateur. Qu’est-ce qu’on va dire? 165

Els : Oui moi. [Des élèves claquent des doigts]. 166

Safi : Oui Mariam, on va dire quoi? 167

Mariam : Pour additionner des fractions qui ont le, pour additionner deux fractions qui ont le même 168

dénominateur, on additionne les numérateurs seulement. 169

Safi : On additionne les numérateurs seulement! Et le dénominateur, on le jette? Oui Robert. 170

Robert : Et on garde le dénominateur commun. 171

Safi : Oui, reprends. 172

Robert : Si une fraction a le même dénominateur 173

Safi : Si une fraction? 174

Robert : Si deux fractions ont le même dénominateur, on additionne le numérateur et on laisse le 175

dénominateur commun. 176

Safi : On additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun [43mn59s]. Donc si on 177

prend a et b comme deux entiers, il ne faut pas oublier qu’ici nos fractions sont avec des nombres 178

entiers. Donc lorsqu’on va, on prend a et b. Lorsqu’on prend a et b comme deux nombres entiers 179

naturels, c’est-à-dire des nombres sans virgule et qu’on prend c également un nombre entier 180

naturel, c’est-à-dire un nombre sans virgule, entier naturel sans virgule et il est différent de zéro. Si 181

on a c

a et

c

b, on demande d’additionner ces deux fractions, quelle est la règle? Qu’est-ce qu’on 182

va écrire? On a b

a, on a la fraction

b

aet la fraction

c

bet on demande d’additionner les deux 183

fractions, en règle générale, on va écrire quoi? Oui. 184

El : c

ba [oralement dit]. 185

Safi : a + c

b [L’élève parle et la stagiaire écrit au tableau en répétant ce qu’il dit]. 186

446

El : c

a +

c

b=

c

ba [45mn]. 187

Safi : Donc on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun. [Elle efface ce 188

qu’elle a écrit au tableau]. Donc vous allez prendre la correction. Notez la correction. 189

[Elle écrit au tableau]. Illustration : 190

[Elle construit sans règle un rectangle représentant la barre de chocolat et la divise en 7 parties. 191

Elle illustre les parts de Julie et d’Estelle. Elle utilise la craie de couleur orange pour assurer la part 192

d’Estelle]. 193

Part de Julie Part d’Estelle 194

7

2

7

3 195

7

5 196

Donc, après avoir pris la correction, vous notez. Vous prenez l’illustration. 197

[Elle fait des commentaires en recopiant la règle]. Règle : Pour additionner deux fractions qui ont le 198

même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur commun. 199

Soient a et b deux entiers naturels et c un entier naturel différent de zéro, on a : c

a +

c

b=

c

ba . 200

[Elle utilise la craie de couleur orange pour noter les termes qu’elle juge important, par exemple : 201

ont le même dénominateur, additionne, numérateurs, a, b, entiers naturels, c un entier naturel 202

différent de zéro. Elle encadre la formule]. 203

Els : [Les élèves prennent la correction et la règle dans leur cahier de cours. 204

[Il y a beaucoup de bruit causé par des élèves qui sont au-dehors. Safi circule et contrôle la prise 205

de notes. Elle efface la partie extrême droite du tableau qui, entre temps, a été divisé en cinq 206

parties. Elle ne quitte pas sa fiche de préparation. Elle a écrit au tableau exercice d’application en 207

parlant d’une voix inaudible. 59mn30s] 208

Safi : Exercice d’application 209

Calculer : 210

A = 5

7 +

5

2; B =

10

110+

10

38; C =

3

1+

3

2; D =

12

5+

12

8 [1h01mn20s]. 211

Prenez ça toujours sur vos feuilles, les feuilles que je vais ramasser, vous prenez ça là-bas. 212

[Sali contrôle le travail des élèves et de fois échange avec certains élèves]. 213

[1h06mn33s]. On va passer à la correction, déposez et vous suivez. 214

Els : Moi, moi. 215

[Certains élèves claquent des doigts. Safi remet la craie à un élève pour la correction au tableau]. 216

447

Safi : Parle fort hein. Non de l’autre côté. 217

[Il y a une partie du tableau pour les interventions des élèves]. 218

El : Correction de l’exercice d’application 219

Calculons : 220

A = 5

7 +

5

2= 221

Safi : Parle fort, on n’entend pas. 222

El : =5

27 =

5

9. Il encadre le résultat. 223

Safi : = 5

9. 224

[Elle désigne une autre élève pour calculer B. L’élève se trompe de question et d’autres élèves 225

interviennent pour dire que c’est la question B. Elle efface ce qu’elle avait écrit et reprend avec B]. 226

El : B = 10

110+

10

38=

10

38110. Oralement dit :=

10

156. 227

Safi : = 10

156 228

Els : Non, moi, moi… [Des élèves claquent des doigts]. 229

Safi : = 110 +38. Pose l’opération, c’est égal à? 230

El : 148 231

Safi : 148 232

[L’élève note le résultat et l’encadre : 10

148. Des élèves claquent des doigts en disant : moi, moi… 233

Safi désigne une élève pour le calcul de C]. 234

El : C =3

1+

3

2=

3

21=

3

3. [L’élève encadre

3

3[oralement dit : 3 sur 3]]. 235

Safi : = 3

3. 3 sur 3 égal à combien? 236

El : 3 tiers. 237

[Des élèves claquent des doigts pour répondre à la question posée par Safi. L’élève, au tableau, a 238

des difficultés à répondre à cette question]. 239

Safi : 3 divisé par 3 égal à combien? 3 divisé par 3, ça fait combien? Oui Alice. 240

Alice : Égal à 1. 241

Safi : Ça fait 1. Donc 3 sur 3 égal à combien. [Des élèves se lèvent, claquent des doigts en disant 242

«moi, moi…»]. 243

El : 1 [Une répétition de l’élève qui est au tableau]. 244

448

[Safi désigne un élève pour la question D]. 245

El : D = 12

5+

12

8=

12

85 =

12

13. 246

Safi : [Elle a suivi attentivement ce qui s’est passé au tableau]. C’est bien. Tout le monde a tout 247

trouvé? 248

Els : Oui. 249

Els : Oui. 250

Safi : C’est vrai? 251

Els : Oui. 252

[Il y a beaucoup de bruit que nous n’entendons plus ce que dit Safi]. 253

Safi : Donc, additionner deux fractions ayant le même dénominateur, on additionne les 254

numérateurs et on garde le dénominateur. Oui [pour écouter la question à un élève]. 255

[L’élève pose sa question dans une voix inaudible]. Je n’entends pas. 256

El : Et quand les dénominateurs ne sont pas les mêmes? 257

Safi : Quand les dénominateurs ne sont pas les mêmes, on va voir ça prochainement. Quand les 258

dénominateurs ne sont pas les mêmes, on les met au même dénominateur avant de, d’appliquer 259

cette règle-là. Prochainement on va voir çà, comment on met au même dénominateur. Y a-t-il 260

d’autres questions? 261

Els : Pas de réponse de la part des élèves. 262

Safi : C’est bon? 263

Els : Oui! 264

Safi : La stagiaire appelle le chef de classe et lui donne un exercice à recopier au tableau et à faire 265

à la maison pour la prochaine fois. 266

Chef de Classe : elle veut commencer à recopier l’exercice donné au tableau. 267

Safi : Après, après tu vas mettre ça. 268

449

8.3. Transcription de l’entrevue

CH : Quelles sont les difficultés que vous avez eues à préparer ce cours? 1

Safi : C’est surtout au niveau des activités. Trouver une bonne activité et puis le prérequis aussi. 2

CH : Sinon, aucune difficulté d’ordre pédagogique, d’ordre didactique dans la préparation du cours? 3

Safi : Dans la préparation du cours, non. 4

CH : Mais, pour cette préparation, vous avez été accompagnée par des personnes ressources ou 5

bien? 6

Safi : Non, non, c’est à partir des documents que j’ai pris à la bibliothèque seulement. 7

CH : Vous avez une bibliothèque bien fournie ici ou bien c’est ailleurs? 8

Safi : Oui, je pense que oui. 9

CH : Quels sont les documents que vous avez exploités? 10

Safi : Je n’ai pas les titres des documents en tête. Je sais qu’il y a Pythagore 6e, il y en a deux; c’est 11

les deux j’ai utilisé. Il y a un autre encore, mais je ne me rappelle pas trop du document. 12

CH : Mais, vous avez dû noter sur votre fiche de préparation les documents exploités. 13

Safi : Et non, puisque. Sur la fiche de préparation, la bibliographie ne ressort pas. 14

CH : C’est les seuls documents que vous avez exploités pour la préparation du cours? 15

Safi : Il y a le programme aussi, le curriculum, le programme en mathématiques aussi de la classe. 16

CH : Donc, vous avez dit la difficulté, c’est trouver des activités 17

Safi : C’est trouver des activités adéquates et surtout au niveau du prérequis aussi. 18

CH : Je constate qu’au niveau des activités, vous vous êtes ramenée à une activité se rapportant au 19

chocolat. Pourquoi ce choix? 20

Safi : Comme ils aiment s’amuser, on essaie de faire les activités avec les…Bon, je veux dire en 21

fonction des élèves on peut voir si, puisque ces derniers-là, à chaque fois ils aiment manger en 22

classe. Voilà pourquoi j’ai pris l’exemple du chocolat. 23

CH : Il aime manger du chocolat? 24

Safi : Comme, ils aiment manger en classe et puis à chaque fois aussi ils se tiraillent pour ça. 25

CH : Le chocolat est bien connu ici. 26

Safi : Oui, il y en a. Dans les boutiques, on en trouve. 27

CH : On en trouve et c’est bien consommé? 28

Safi : Oui, c’est bien consommé. 29

CH : Si je pose, parce qu’on pouvait rentrer dans notre culture voir est-ce qu’il n’y a pas quelque 30

chose qu’on pourrait mieux partager. 31

Safi : Oui, peut-être les arachides. 32

CH : Si on prend les arachides, ce n’est pas une barre 33

450

Safi : Ce n’est pas une barre, mais comme c’est 34

CH : C’est un ensemble. 35

Safi : C’est un ensemble, voilà. 36

CH : Vous dites au niveau du prérequis, vous avez eu des difficultés. 37

Safi : Oui, au niveau du prérequis. 38

CH : Ça, c’est dû à quoi? 39

Safi : Comme ce sont des fractions, je ne savais pas exactement comment j’allais… Le prérequis 40

que j’allais prendre pour faciliter la compréhension de la leçon d’aujourd’hui. Le premier prérequis 41

que j’ai eu c’était sur l’addition à « savoir additionner deux entiers naturels », mais comme on a à 42

faire à des fractions, je ne savais pas maintenant quel autre prérequis. Je trouve que le prérequis sur 43

l’addition des entiers naturels, ce n’est pas, comment je vais dire, ce n’est pas…. 44

CH : Si je reviens au prérequis, avez-vous, dans la documentation, pensé à des ouvrages du 45

primaire? Puisque dans le programme du primaire, c’est supposer déjà un peu vu les fractions. Est-46

ce que vous avez pensé à voir un peu des documents du primaire pour voir effectivement quels sont 47

les contenus enseignés au primaire. S’il y a des acquis et partant de là pour les prérequis ou les 48

renforcements. 49

Safi : Non, non. 50

CH : D’accord, donc au niveau de la documentation, c’est uniquement sur le programme du post-51

primaire? 52

Safi : Post-primaire, oui. 53

CH : Vous avez eu le document d’accompagnement, le document de l’élève également? Le 54

document du professeur et le livre de 6e. 55

Safi : Oui. 56

CH : Vous avez pu exploiter ces documents? 57

Safi : Oui. 58

CH : Est-ce que vous avez eu des contenus de formation sur la fraction dans la formation théorique à 59

l’IDS? 60

Safi : Sur les fractions? 61

CH : Sur les fractions, soit en contenu académique ou en didactique des mathématiques, avez-vous 62

travaillé sur l’enseignement de la fraction? 63

Safi : En contenu [académique], non. En didactique, on en a vu, mais c’était en TD [travaux dirigés]. 64

CH : En TD, ç’a constitué exactement à quoi? 65

Safi : Il y a des groupes qui ont eu à préparer des leçons sur les fractions. Mais, nous, on n’a pas 66

travaillé sur ça. 67

CH : Donc, vous n’avez pas pu avoir ce contenu? 68

Safi : Non. 69

CH : Quelle est la difficulté que vous avez eue en classe à dispenser le cours? 70

451

Safi : Difficulté? C’est peut-être la lenteur des élèves. Sinon, je ne pense pas qu’il y a eu des 71

difficultés. 72

CH : Donc, ç’a marché comme vous avez prévu dans votre préparation du cours? Tout a roulé 73

comme il se le doit? 74

Safi : Avec le temps, la lenteur des élèves, je ne peux pas dire que ç’a été parfait 100 %. 75

CH : Et comment vous pouvez faire pour améliorer, par exemple, vous parlez de lenteur? Est-ce une 76

lenteur ou les activités sont longues? 77

Safi : Oui, peut-être les activités. Les activités sont longues. J’ai perdu beaucoup de temps au niveau 78

des activités. Peut-être, trouver des petites activités, assez courtes et puis pertinentes, et puis ça va 79

aller plus vite. 80

CH : Vous avez circulé, qu’est-ce que vous avez constaté au niveau du travail des élèves. Des 81

réussites ou des insuffisances, en avez-vous constaté? 82

Safi : Oui, j’en ai trouvé. Au niveau de l’activité du pré requis, au niveau de l’exercice 2, il y a eu 83

quelques difficultés à ce niveau. Il y a eu des élèves qui ont eu à confondre les dénominateurs et les 84

numérateurs. Puisqu’on a demandé de donner les surfaces hachurées en fractions. Il y en a qui ont 85

confondu le numérateur et le dénominateur. Il y en aussi qui n’ont même pas fait. Ils sont assis, ils 86

attendent qu’on fasse la correction. 87

CH : Parce qu’ils n’ont pas compris ou bien c’est une démission? 88

Safi : Ça, je ne peux… 89

CH : Est-ce une première fois? 90

Safi : Non, ce n’est pas la première fois. 91

CH : Ils ont l’habitude d’attendre toujours les corrigés? 92

Safi : Voilà, ils ont l’habitude d’attendre toujours les corrigés. 93

CH : Quelle initiative vous avez prise par exemple pour amener ces élèves-là à travailler? 94

Safi : Souvent, on essaie de les motiver, par exemple, en essayant de récompenser ceux qui 95

participent au cours. Mais, malgré ça, ça ne va pas. Souvent aussi, on menace, on met dehors, on 96

met au mur, mais, ça ne va pas. C’est toujours la même chose. Ils ne veulent pas faire. Il y en a qui 97

changent, mais il y en a qui ne changent pas. 98

CH : Quelle est la méthode d’enseignement que vous avez utilisée en classe? 99

Safi : C’est la redécouverte. 100

CH : La méthode de redécouverte. Et quelles techniques? 101

Safi : Les techniques de questionnement, d’enseignement par les activités. 102

CH : Pourquoi avez-vous choisi cette pratique d’enseignement? 103

Safi : La redécouverte, parce que comme vous l’avez déjà dit, c’est quelque chose qu’ils ont déjà vu 104

en classe de CM2. 105

CH : Et ça consiste à quoi, la méthode de redécouverte? 106

452

Safi : Ça consiste à poser des questions aux élèves pour découvrir la nouvelle notion du jour à 107

travers des activités par exemple. 108

CH : Ce fut le cas aujourd’hui de redécouvrir? Ce fut le cas? 109

Safi : Oui. Je peux dire oui, puisqu’ils ont été, c’est eux-mêmes qui ont fait sortir la règle. 110

CH : Avez-vous déjà entendu parler des phases concrètes, semi-concrètes, phases abstraites dans 111

l’enseignement des mathématiques? 112

Safi : Non. 113

CH : Pas du tout? 114

Safi : Non. 115

CH : Avez-vous déjà entendu parler de l’approche par les compétences et de la pédagogie par les 116

objectifs? 117

Safi : La pédagogie par les objectifs, oui. En TD, on en a parlé. 118

CH : De la pédagogie par les objectifs. 119

Safi : Oui. 120

CH : Et votre méthode, ça se rapporte à quelle pratique d’enseignement? La pédagogie par les 121

objectifs ou l’approche par les compétences? 122

Safi : La pédagogie par les objectifs. 123

CH : Et l’approche par les compétences, vous avez eu des informations? 124

Safi : Non. 125

CH : Pas du tout? 126

Safi : Non, non. 127

CH : Puisque c’est ça qui est entré en vigueur selon les textes. Mais dans la pratique, il n’y a rien qui 128

est fait. 129

Safi : Puisque, on n’a pas encore reçu de formation. Moi, je ne sais comment on met cette méthode 130

en œuvre. 131

CH : Ça reste théorique? 132

Safi : Voilà. 133

CH : Il n’y a pas de pratique du tout partout. 134

Maintenant, vous avez dit qu’il y a eu des difficultés. Vous avez prévu un cours d’une heure, vous 135

avez fait plus d’une heure, ça veut dire qu’il y a eu des difficultés dans le déroulement de la leçon. S’il 136

y a à refaire, qu’est-ce que vous pensez, vous comptez faire pour amoindrir les difficultés dont vous 137

avez parlé. 138

Par exemple au niveau des activités, au niveau du contrôle de prérequis, s’il y a à refaire, que feriez-139

vous? À chaud, quelles sont les idées qui vous viennent? 140

Safi : C’est de réduire les activités. Certaines activités étaient trop longues pour recopier. Ça prit un 141

peu de temps aussi. Donc, je ferai des activités un peu plus courtes. 142

453

CH : Sinon, je constate que l’initiative de photocopier pour le contrôle de pré requis, c’est déjà une 143

bonne chose. Est-ce qu’on ne pouvait pas faire autant pour l’activité de redécouverte? 144

Safi : Oui, c’était possible. 145

CH : Aussi dans le programme, vous vous êtes limité à l’addition. C’était le seul objectif du cours 146

aujourd’hui? 147

Safi P : Oui, c’est l’addition. C’est l’addition. 148

CH : La soustraction, vous n’avez pas voulu faire? 149

Safi : Dans le programme, c’est uniquement l’addition qui ressort. 150

CH : Il n’y a pas la soustraction des fractions? 151

Safi : On parle de l’addition des fractions. En ce moment, il y aura l’addition des fractions ayant le 152

même dénominateur, l’addition des fractions de dénominateurs différents, l’addition d’une fraction et 153

d’un nombre entier. Ensuite, c’est la multiplication. Il n’y a pas la soustraction dans le programme. 154

CH : OK, c’est juste pour avoir une idée de ce que vous avez préparé. Donc je vais arrêter là. 155

454

Annexe 9 : Fiches de leçons au primaire et au post-primaire

9.1. Fiche de leçon au primaire selon l’approche ASEI/PDSI

Classe : …………………………………………………... Effectif : ……………………………………

Thème : ………………………………………………………………...…………………………………………

Titre : ……………………………………………………………………………………………………………...

Justification : ……………………………………………………………….…………………………………...

……………………………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………………………...

Objectif spécifique : ……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………...

Matériel :

- Collectif : ……………………………………………………………................................................

- Individuel : ……………………………………………………………………………………………..

Document : …………………………………………………………………………………………..…………..


Étapes/Durées

Activités

d’enseignement/apprentissag

e Points

d’apprentissage Observations

Rôle du

maître

Activités des

élèves

I. Introduction

II.

Développement

III. Synthèse

IV. Évaluation

455

9.2. Fiche de leçon au post-primaire

Fiche n°…

Titre de la leçon :

Classe : Durée :

Objectifs : savoir, savoir-faire, savoir-être.

Prérequis : savoir, savoir-faire, savoir-être dont la maîtrise par l’élève est jugée indispensable

pour aborder avec succès l’apprentissage projeté au cours de la leçon.

Méthodes pédagogiques (à utiliser) :

Techniques (techniques à mettre en œuvre) :

Matériel (pour le professeur, pour l’élève) :

Déroulement : scénario

Étape, durée, intention

pédagogique

Rôle et interventions du

professeur

Rôle et activités des

élèves

1ère étape (x minutes

Contrôle des prérequis

- Proposer aux élèves l’activité

n°1, la corriger en insistant sur

…

- Poser les questions …

- Résoudre l’exercice n°1

(individuellement ou en

groupe)

- Répondre aux questions

2ème étape (y minutes)

Motivation de

l’introduction de la

notion nouvelle

- Raconter l’histoire suivante en

rapport avec la découverte de

la propriété ou de la notion…

- Écrire le titre de la leçon au

tableau

- Écouter et réagir en

posant des questions

3ème étape (z minutes)

Activité permettant

d’énoncer la propriété

Évaluation (t minutes)

Synthèse

-Écrire au tableau l’activité …

-Veiller à son bon

déroulement…

- Faire la synthèse et faire

énoncer en corrigeant au

besoin la propriété.

- Questions de compréhension

portant sur la propriété…

- Faire recopier le résumé.

- Travail en groupes ou

individuel

- Si travail en groupes,

faire le compte rendu des

résultats au grand groupe

- Répondre aux questions

et se corriger

mutuellement.

-Prendre le résumé dans

le cahier de cours.

4ème étape (s minutes)

Faire fonctionner la

propriété

- Faire l’exercice n°…

-Envoyer les élèves au tableau

pour corriger

- Faire l’exercice et poser

des questions au

professeur.

A ces différents points, on peut ajouter l’évaluation terminale ainsi que les exercices d’approfondissement.

456

Annexe 10 : Lettres administratives

10.1. Lettre adressée au Directeur général de l’Institut des Sciences

Québec, le ………………… 2012

Kirsi DOUAMBA

Doctorant à l’Université Laval

QUÉBEC

A

Monsieur le Directeur général de l’Institut des

Sciences (IDS)

OUAGADOUGOU

Objet : Invitation à participation

à notre projet de recherche

Monsieur,

Dans le cadre de notre thèse en didactique des mathématiques dont le thème est « Formation initiale

à l’enseignement des mathématiques au Burkina Faso : étude de pratiques d’enseignement de stagiaires sur

la fraction dans les classes de CM2 et de sixième», nous avons l’honneur de solliciter de votre haute

bienveillance la participation de six (6) élèves-professeurs en stage dans la région du Centre à notre projet de

recherche.

Le stagiaire aura à réaliser un cours d’une heure sur la fraction. La séance de cours sera suivie d’une

entrevue semi-dirigée. Pour une cueillette pertinente des données, nous aurons à filmer la séance de cours et

à photocopier la fiche de préparation de la leçon. L’entrevue sera enregistrée.

Les documents photocopiés (ensemble des planifications pour l’enseignement de la fraction, travaux

d’élèves), les enregistrements vidéo des réalisations et les enregistrements audio des entrevues seront notre

propriété, tenus confidentiels et gardés par-devers nous. Ils seront conservés jusqu’à la fin de notre recherche,

puis ils seront détruits.

La période prévue pour nos activités de cueillette de données va du 04 janvier 2013 au 30 avril 2013.

Nous rentrerons en contact avec vous dès notre arrivée à Ouagadougou.

Le projet de recherche a été par le Comité d’éthique de la recherche l’Université Laval : N° d’approbation

2012-239 / 26-11-2012.

Dans l’attente d’une suite favorable, veuillez agréer Monsieur le Directeur, l’expression de mes

sentiments les plus distingués.

Kirsi DOUAMBA


[email protected]

CANADA

mailto:[email protected]

457

Plainte ou critique

Vous pourriez adresser toute plainte ou critique au Directeur général de l’Institut des Sciences.

458

10.2. Lettre adressée au Directeur provincial de l’Enseignement de Base du

Kadiogo

Québec, le ………………… 2012

Kirsi DOUAMBA


QUÉBEC

A

Monsieur le Directeur provincial de

l’Enseignement de Base du Kadiogo

OUAGADOUGOU

Objet : Invitation à participation

à notre projet de recherche

Monsieur,




bienveillance la participation de six (6) élèves-maîtres en stage dans la Province du Kadiogo à notre projet de

recherche.








La période prévue pour nos activités de cueillette de données va du 04 janvier 2013 au 30 avril 2013.

Nous rentrerons en contact avec vous dès notre arrivée à Ouagadougou.


2012-239 / 26-11-2012.



Kirsi DOUAMBA


[email protected]

CANADA


459

Plainte ou critique

Vous pourriez adresser toute plainte ou critique au Directeur provincial de l’enseignement de base du

Kadiogo.

460

10.3. Lettre adressée au Directeur régional du Ministère des Enseignements

secondaire et supérieur du Centre

Québec, le ………………… 2012

Kirsi DOUAMBA


QUÉBEC

A

Monsieur le Directeur régional du Ministère

des Enseignements secondaire et supérieur du

Centre

OUAGADOUGOU

Objet : Observation de séances de

cours de six stagiaires

Monsieur,




bienveillance la possibilité d’entrer dans des classes de sixième des collèges et lycées de la Région du

Centre. Nous souhaiterions observer six (6) séances de leçons réalisées par des stagiaires de l’Institut des

Sciences.








La période prévue pour nos activités de cueillette de données va du 04 janvier 2013 au 30 avril 2013. Nous

rentrerons en contact avec vous dès notre arrivée à Ouagadougou.


2012-239 / 26-11-2012.



Kirsi DOUAMBA

461


[email protected]

CANADA

Plainte ou critique

Vous pourriez adresser toute plainte ou critique au Directeur général de l’Institut des Sciences.


462

Annexe 11 : Formulaires de consentement

11.1. Formulaires de consentement à l’intention des stagiaires

FORMULAIRE DE CONSENTEMENT À L’INTENTION DES STAGIAIRES

Présentation

Kirsi DOUAMBA

Doctorant en didactique des mathématiques

Faculté des Sciences de l’Éducation

Université Laval

Cette recherche est financée par : Programme canadien de Bourses de la Francophonie

Nature de l’étude

La nature et les procédés de la recherche se définissent comme suit :

1. Le projet est issu d’un constat des mauvaises performances des élèves des classes de sixième. La sixième

est la première année du post primaire au Burkina Faso (première année du secondaire au Québec). Le but

du projet est d’améliorer la transition primaire/post primaire dans l’enseignement des mathématiques. Ce

projet vise l’étude de pratiques d’enseignements des mathématiques des stagiaires du primaire et du post

primaire afin de comprendre la portée de la formation initiale sur ces pratiques.

2. Pour mener cette étude, je réaliserai des études documentaires qui porteront sur les programmes

d’enseignement, les contenus des cours de formation à l’enseignement des mathématiques, de douze projets

de planification de séances de cours sur la fraction par douze stagiaires (six au primaire et six au post

primaire) et des productions d’élèves au cours de ces séances de leçons sur la fraction. Je filmerai la

réalisation des douze projets de cours planifiés par les stagiaires. La durée de chaque séance de cours sera

d’une heure au maximum. Chaque séance de cours sera suivie d’une entrevue semi-dirigée d’une heure

maximale.

Acceptation d’être filmé

Acceptez-vous d’être filmé lors d’une séance d’enseignement en classe, sachant que cet enregistrement vidéo

ne sera jamais diffusé et qu’il sera détruit en même temps que tout le matériel de la recherche?

Cochez votre choix : Oui___ Non___ .

Participation volontaire et droit de retrait

Ma recherche n’aura aucun impact sur le parcours professionnel des stagiaires. Les stagiaires sollicités

choisiront volontairement de participer ou de se retirer. Ils acceptent volontairement que je filme leurs cours et

que j’enregistre l’entrevue. J’organise une séance d’information au cours de laquelle chaque stagiaire sollicité

aura toutes les informations relatives à mon projet de recherche.

463

Si vous décidez de mettre fin à votre participation, il est important d’en prévenir le chercheur dont les

coordonnées sont incluses dans ce document. Tous les renseignements personnels vous concernant seront

alors détruits.

Confidentialité et gestion des données

En ce qui concerne le caractère confidentiel des renseignements reçus sur les enregistrements audio - vidéo

les mesures suivantes ont été prises :

- les noms des stagiaires ne paraîtront sur aucun rapport et aucun article;

- un code sera utilisé sur les divers documents de la recherche. Ma directrice de thèse et moi-même

serons les seuls à avoir accès à la liste des noms et des codes;

- en plus de remplacer les noms des participants par un code, tous les noms qui seront cités dans les

enregistrements audio - vidéo et qui pourraient permettre éventuellement d’identifier, même

indirectement, les participants, comme les noms des élèves… seront également remplacés par des

codes.

- les données obtenues seront conservées jusqu’à la fin de notre thèse en août 2015.

Les formulaires de consentement signés seront dans une enveloppe. Au Burkina, cette enveloppe collée sera

gardée dans une armoire verrouillée à mon domicile. À mon retour à Québec, elle sera déposée dans une

armoire verrouillée dans un local au Pavillon des Sciences de l’Éducation de l’Université Laval. Les

enregistrements audio - vidéo seront confidentiellement conservés sur un ordinateur protégé par un mot de

passe dans un premier temps. Par la suite, ils seront déposés sur le serveur de la Faculté des sciences de

l'éducation de l’Université Laval dans un fichier accessible uniquement à ma directrice de thèse et moi-même.

Pour des stagiaires qui ont manifesté un désir d’avoir les résultats de cette recherche, nous leur transmettrons

en fichier joint à un courriel un résumé des résultats. Toutefois des articles seront proposés à des revues

scientifiques internationales et à des revues professionnelles du Burkina Faso.

Pour des renseignements supplémentaires :

Je suis disponible pour toute question concernant mon projet de recherche :

Kirsi DOUAMBA

Doctorant

Faculté des Sciences de l’Éducation, local 1282

Université Laval, Ste Foy

Téléphone : (418) 656-2131, poste 2094

Courriel : [email protected]

Signatures

……………………………………. …………………………………

Signature du chercheur Date

Je soussigné(e) ……………………………………………….. consens librement participer à la recherche

intitulée : «Formation initiale à l'enseignement des mathématiques au primaire et au post primaire au Burkina


464

Faso : Étude de pratiques d'enseignement de stagiaires sur la fraction dans les classes de CM2 et de

sixième».

……………………………………. …………………………….

Signature du (de la) stagiaire Date

Plainte ou critique

Le stagiaire participant du primaire pourrait adresser toute plainte ou critique au Directeur provincial de

l’enseignement de base du Kadiogo.

Le stagiaire participant du post primaire pourrait adresser toute plainte ou critique au Directeur général de

l’Institut des Sciences.

Ce projet a été par le Comité d’éthique de la recherche l’Université Laval : N° d’approbation 2012-239 / 26-11-

2012.

465

11.2. Formulaires de consentement à l’intention des parents

FORMULAIRE DE CONSENTEMENT À L’INTENTION DES PARENTS

Kirsi DOUAMBA

Doctorant en didactique des mathématiques

Faculté des Sciences de l’Éducation

Université Laval

Décembre 2012,

Madame, Monsieur,

Je mène actuellement une recherche au doctorat sur la formation initiale à l’enseignement des mathématiques

au Burkina Faso. Cette recherche a été approuvée par le comité d’éthique de l’Université Laval sous le

numéro 2012-239. Plus précisément, je veux étudier les pratiques d’enseignement de stagiaires sur la fraction

dans les classes de CM2 et de sixième afin de mieux comprendre les difficultés spécifiques à chacun des

degrés scolaires. Cette séance d’enseignement sera filmée avec une caméra portative. Durant cette séance,

je filmerai les interactions que la stagiaire a avec les élèves. Ainsi, même si l’objectif est de filmer la stagiaire,

il est possible que les mains ou les travaux de votre enfant apparaissent à la caméra puisque je souhaite

comprendre la spécificité des interactions de la classe. Je sollicite donc votre permission afin de récupérer,

éventuellement, des travaux écrits auprès de votre enfant, travaux qu’il aura réalisés au cours de la séance de

cours portant sur les fractions qui sera filmée.

Les travaux de votre enfant vont contribuer à la compréhension de certaines pratiques de gestions des travaux

des élèves par les stagiaires. Ils seront photocopiés. La photocopie sera anonyme. Seul le nom de

l’établissement scolaire figurera sur la photocopie pour l’étude en lien avec la réalisation du stagiaire. Vous

avez donc la garantie que le nom de votre enfant n’apparaîtra sur aucun document de mes travaux de

recherche.

Consentement

Je soussigné reconnais avoir pris connaissance des buts que vous poursuivez et pour lesquels vous souhaitez

récupérer des travaux réalisés en mathématiques par mon enfant. Je consens à ce que mon enfant vous

remette ses travaux afin que vous fassiez des photocopies.

……………………………………. …………………………….

Signature du parent Date

Plainte ou critique

Le parent d’élève du primaire pourrait adresser toute plainte ou critique au Directeur provincial de

l’enseignement de base du Kadiogo.

Le parent d’élève du post primaire pourrait adresser toute plainte ou critique au Directeur général de l’Institut

des Sciences.

466


2012.

467

Annexe 12 : Recrutement par le téléphone des participants et

questions de l’entrevue semi-dirigée

12.1. Texte pour le recrutement téléphonique des participants

Bonjour madame/monsieur.

Je me nomme Kirsi Douamba. Je suis étudiant au doctorat en didactique des mathématiques à l’Université

Laval (Canada). Je mène une recherche sur la formation initiale à l’enseignement des mathématiques au

Burkina Faso. Plus précisément, je voudrais étudier des pratiques d’enseignement de stagiaires sur la fraction

dans les classes de CM2 et de sixième afin de mieux cerner les difficultés de l’arrimage de cet apprentissage

entre le primaire et le post primaire.

Je sollicite la participation de 6 stagiaires du primaire à mon projet de recherche et 6 stagiaires du post

primaire. Je serai très ravi de vous compter parmi les participants. Votre participation consiste à planifier

comme vous en avez l’habitude au moment de réaliser un cours d’une heure sur les fractions dans une classe

de CM2 ou de sixième. La séance de cours sera filmée afin d’identifier les différences entre les interventions

dans les classes de CM2 et de sixième. Ce cours sera suivi d’un entretien d’une heure au maximum, entretien

qui sera enregistré audio afin de comprendre les intentions qui ont conduit certains choix didactiques et

pédagogiques réalisés dans l’action. Si vous acceptez participer à ce projet de recherche, il y aura une

rencontre, avec tous les participants, où j’exposerai mon projet de recherche en détail.

[Pour les stagiaires du primaire]. J’ai obtenu votre contact téléphonique à partir de la Direction provinciale de

l’Enseignement de Base du Kadiogo. Le présent appel est officieux. Le directeur provincial de l’enseignement

de Base du Kadiogo et le directeur d’école ne sont pas au courant de ce premier contact.

[Pour les stagiaires du post primaire]. J’ai obtenu votre contact téléphonique à partir de la Direction des Stages

de l’Institut des Sciences (IDS) de Ouagadougou. Le présent appel est officieux. Les autorités administratives

de l’IDS, le directeur régional des enseignements secondaire et supérieur du Centre et le directeur (proviseur)

de votre collège (lycée) ne sont pas au courant de ce premier contact.

Ils seront informés une fois que vous m’aurez donné votre réponse dans le cas où elle serait positive afin que

je puisse réaliser toutes les démarches administratives pour la réalisation de la séance de leçon qui sera

suivie de l’entretien. Dans le cas où votre réponse est négative, ils ne seront pas au courant de nos échanges.

Il est prévu une compensation financière de 30$ (environ 14 500 CFA) pour votre participation. Je vous donne

un temps de réflexion. Je vous appellerai dans quarante-huit heures pour avoir votre réponse.

468

Merci de m’avoir écouté. Tout le plaisir sera pour moi de vous compter parmi les participants.

Agréable journée.


2012.

469

12.2. Questions pour l’entrevue semi-dirigée

Questions à poser à chaque stagiaire

1) Le stagiaire apprécie son travail et parle des difficultés qu’il a rencontrées.

a. Comment avez-vous vécu cette séance de cours?

b. Quelles sont les difficultés d’ordre pédagogique ou didactique que vous avez

rencontrées lors de la planification de la séance de leçon?

c. Quelles sont les difficultés d’ordre pédagogique ou didactique que vous avez

rencontrées lors de la réalisation de la séance de leçon?

d. Pouvez-vous suggérer ce qui peut être fait pour amoindrir les difficultés que vous

venez d’évoquer?

2) La compréhension des choix pédagogiques et les types d’activités.

a. Pourquoi avez-vous opté pour cette approche (magistrale, inductive, démonstrative,

constructiviste…) dans la planification et réalisation du projet d’enseignement?

b. Qu’est-ce qui a motivé votre choix pour le(s) problème(s) que vous avez donné(s)

aux élèves?

3) La gestion des incidents dans la classe

a. Comment avez-vous procédé pour aider l’élève ou les élèves devant cet incident?

(Un incident géré par le stagiaire est présenté verbalement à ce dernier).

b. Quelle aide pouvez-vous apporter à l’élève devant cet incident? (Un incident non

géré par le stagiaire est présenté verbalement à ce dernier).

Documents

Formation à l'enseignement des mathématiques au Burkina