IUFM de Bourgogne / Centre de MâconConcours de recrutement des professeurs des écoles

Mlle BARBRY Sandrine

L’utilisation de la démarche de recherche pour faciliter les

apprentissages en mathématiques

Directeur de mémoire : Mlle Claudette Champion

Discipline : Mathématiques

Date de soutenance: mai 2007

N° dossier : 0401385N

Sommaire

Introduction ..........................................................................................................................p 3

PREMIERE PARTIE : La démarche de recherche

I. Présentation de cette démarche ..................................................................................... p 4

1. Définition

a. Qu'est-ce-que la démarche de recherche ? ...........................................................p 4

b. Sa place dans les instructions officielles ..............................................................p 4

c. Le type d'apprentissage correspondant .................................................................p 6

2. Les raisons de l'intérêt pour cette démarche

a. Les constats : la désaffection pour les mathématiques ..........................................p 6

b. Le résultat de recherches par les groupes de recherche ........................................p 7

c. Avis personnel : le goût des mathématiques favorise la réussite ..........................p 7

II. Les apports de la démarche de recherche pour l'enfant ................................................p 8

1. Aide au développement de l'enfant

a. Développement de la pensée rationnelle .............................................................p 8

b. Développer les capacités à chercher ....................................................................p 9

c. Socialisation de l'enfant ........................................................................................p 9

2. Aide pour l'élève dans les apprentissages

a. Elève acteur de ses apprentissages .......................................................................p 10

b. Construction d'un esprit ........................................................................................p 10

c. Exemple dans le domaine de l'apprentissage des nombres en cycle II ................p 10

III. Rôle de la recherche dans l'appropriation des notions mathématiques .......................p 12

1. En théorie

a. D 'après les instructions officielles ......................................................................p 12

b. Apports de la résolution de problèmes ................................................................p 13

c. D 'après les groupes de recherche et les théoriciens .............................................p 13

2. En pratique: des mathématiques pour le plaisir

a. Exemples de quelques projets ...............................................................................p 14

b. Exemple d'Ateliers de Recherche en Mathématiques ..........................................p 15

c. Ma pratique en classe de deuxième année de cycle II .........................................p 15

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DEUXIEME PARTIE : du point de vue pédagogique et didactique

I. Mise en place de cette démarche ...................................................................................p 18

1. En théorie

a. Déroulement ........................................................................................................p 18

b. Le rôle de l'enseignant ........................................................................................p 18

c. Place de l'erreur ....................................................................................................p 19

d. La modification du contrat didactique .................................................................p 19

2. Propositions d'activités

a. Des problèmes « pour chercher » : les problèmes ouverts ...................................p 20

b. Les situations de recherche ............................................................. ....................p 20

c. Exemples donnés par les Instituts de Recherche en Mathématiques ...................p 21

d. Mise en place en première année de cycle II (pratique personnelle) ..................p 21

II. Difficultés de mise en place de cette démarche ............................................................p 23

1. Avis des enseignants

a. Le manque de temps .............................................................................................p 23

b. La peur de ne pas être à la hauteur .......................................................................p 23

c. Mon avis personnel ...............................................................................................p 24

2. Mon analyse

a. Les difficultés de mise en place ...........................................................................p 24

b. Les difficultés rencontrées par les élèves ............................................................p 24

c. Les points positifs observés en classe .................................................................p 24

III. Appliquer cette démarche dans d'autres disciplines ...................................................p 25

1. Propositions de mises en place dans les classes

a. En cycle I dans le domaine de la découverte du monde .....................................p 25

b. En cycle III dans le domaine de l'histoire/géographie ........................................p 25

2. Pistes à explorer

a. Les outils informatiques au service de cette démarche ........................................p 26

b. Les limites ............................................................................................................p 26

CONCLUSION ....................................................................................................................p 27

BIBLIOGRAPHIE ...............................................................................................................p 28

ANNEXES ...........................................................................................................................p 29

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Introduction :

On souligne souvent l’importance de transmettre le goût de lire aux enfants. Les mathématiques n’ont pas autant de succès. Bien au contraire ! Nombreux sont ceux qui gardent un mauvais souvenir de cette discipline lors de leur scolarité : ils n’ont « jamais rien compris », ils n’étaient pas « matheux », c’était « trop dur », ils n’y arrivaient pas, ils avaient toujours de mauvaises notes… J'ai rejoint les groupes de recherche qui s'interrogent sur les méthodes à mettre en place pour pallier cette désaffection des mathématiques. Je me suis demandée comment je pouvais faire, en tant qu'enseignante du primaire, pour donner le goût des mathématiques aux élèves, quelles pédagogies pouvais-je mettre en place pour les aider à comprendre les mathématiques, quelles situations pouvaient permettre aux élèves de construire leurs savoirs mais aussi, comment permettre aux élèves de s'approprier ces notions abstraites appartenant à ce domaine scientifique. Les documents officiels de 2002 préconisent de placer la résolution de problèmes au centre des activités mathématiques, ainsi que de consacrer une partie aux problèmes pour chercher. Je me suis alors souvenue que pour réussir en mathématiques, j'avais compris pour apprendre. De plus, si pour la plupart des personnes faire des mathématiques c'est avant tout calculer, la majorité des mathématiciens préfèrent chercher. Chercher une démarche pour permettre aux élèves de comprendre et d'aimer les mathématiques était alors ma priorité. Je souhaite faire découvrir aux élèves que les mathématiques peuvent être source de plaisir au même titre que la lecture ou la musique.Après m'être informée, la démarche d'investigation m'a paru répondre à mes attentes.

Dans une première partie, je présenterai tout d'abord cette démarche, ses impacts sur le développement de l'enfant ainsi que sur l'élève puis sa contribution à faciliter les apprentissages.Dans une seconde partie, je m'intéresserai d'une part à la mise en place de cette démarche, puis aux difficultés de la mettre en oeuvre en classe, et d'autre part à sa transposition dans d'autres disciplines. Dans chacune de ces parties, j'ai présenté et analysé des séances que j'ai menées durant mes stages.

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PREMIERE PARTIE : La démarche de recherche

I. Présentation de ce dispositif :

1. Définition

a. Qu'est-ce que la démarche de recherche ?

Ce type de démarche a été utilisé, dans un premier temps en sciences expérimentales à partir des travaux de G. Charpak. La démarche scientifique, appelée aussi démarche d'investigation, donne à l'élève un statut de chercheur. Elle se déroule suivant trois étapes principales: l'étape de formulation d'un problème à résoudre, l'étape de recherche d'une réponse, et l'étape de formulation d'une réponse.

Transposer aux mathématiques cette démarche a sensiblement les mêmes étapes. Il faut formuler des hypothèses, chercher à construire une théorie puis la valider. Les mathématiques se distinguent par le caractère interne de la validation: la preuve.

Du point de vue du mathématicien, la démarche scientifique est de faire des recherches et d'expérimenter cette démarche sur des problèmes. Le travail d'un mathématicien est de chercher à résoudre des problèmes en trois étapes:

– observer et analyser le problème,– abstraire ou modéliser le problème afin de trouver des solutions, – démontrer et prouver la pertinence de ces solutions.

On parle de démarche expérimentale lorsqu'un certain degré de liberté accompagne la recherche, on se situe parfois dans le tâtonnement. Dans certains cas, il s'agit d'expérimenter, c'est à dire réaliser des expériences pour s'approprier des notions. L'expérimentation en sciences ne prend pas racine dans la manipulation d'objets mais dans les moyens que se donne le scientifique de se frotter à l'incertitude. L'élève expérimente lorsqu'il met en place des essais pour tester ses hypothèses ou pour étudier un phénomène.

Le raisonnement expérimental, pratiqué lors d'une démarche de recherche, comprend plusieurs étapes: la mise en place d'investigations, l'élaborations d'hypothèses, la déduction de conséquences et la confrontation des prévisions. C'est donc ce type de raisonnement qu'il est question de mettre en place .

D'après les documents d'application concernant les activités de recherche, « Dans ces activités, les élèves doivent être mis en situation de prendre en charge les différentes tâches associées à la résolution d'un problème:

• faire des hypothèses et les tester• élaborer une démarche pertinente afin de produire une solution personnelle• formuler une réponse• expliquer leurs méthodes, les mettre en débat, argumenter. »

b. Sa place dans les Instructions officielles

Les programmes de 2002 mettent « la résolution de problèmes au centre des activités de mathématiques de l'élève ».

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On constate d'ailleurs qu'une partie des documents d’accompagnement en mathématiques est consacrée aux « problèmes pour chercher ».

J'ai choisi de présenter les compétences se rapportant à la démarche de recherche en mathématiques dans le tableau suivant:

CYCLE Domaine d'apprentissage Compétences visées en fin de cycle

Cycle I

Cycles des apprentissages

premiers

Découvrir le monde

Compétences relatives aux quantités et aux nombres:

- comparer des quantités, réaliser une collection comportant la même quantité d'objets qu'une autre collection en utilisant des procédures non numériques ou numériques,- résoudre des problèmes portant sur les quantités en utilisant des nombres connus, sans recourir aux opérations usuelles.

Cycle II

Cycle des apprentissages fondamentaux

Mathématiques

Compétences générales concernant l'ensemble des activités mathématiques:

- s'engager dans une procédure personnelle de résolution et la mener à son terme,- rendre compte oralement de la démarche utilisée, en s'appuyant éventuellement sur sa « feuille de recherche »- admettre qu'il existe d'autres procédures que celle qu'on a soi-même élaborée et essayer de les comprendre.- analyser des problèmes de recherche simples

Cycle III

Cycle des approfondissements

Mathématiques

Compétences générales concernant l'ensemble des activités mathématiques:

- utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes,- chercher et produire une solution originale dans un problème de recherche,- mettre en oeuvre un raisonnement,- formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit et les exposer oralement, argumenter à propos de la validité d'une solution,- développer ses capacités à chercher, abstraire, raisonner, prouver...

Les textes officiels préconisent l'utilisation de la démarche scientifique afin de donner du sens aux apprentissages. Selon V. Durand-Guerrier et T. Dias, membres du Laboratoire Interdisciplinaire de Recherche en Didactique et en Histoire des Sciences et Techniques, à l'école élémentaire, l'enseignement des mathématiques s'appuie sur des méthodes favorisant la transmission des notions au détriment de la recherche du sens, et ceci bien que, depuis quelques années,

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l'institution insiste sur la nécessaire évolution des démarches d'enseignement des mathématiques.

c. Le type d'apprentissage correspondant

Jean Piaget, psychologue connu pour ses travaux sur le développement de l'intelligence chez l'enfant, appuyait le concept de constructivisme en disant « C'est par ses propres actions que l'on construit ses connaissances et comprendre c'est inventer ou reconstruire par réinvention ». Dans la démarche de recherche, on est proche du constructivisme mais je pense qu'il est préférable de l'associer à la conception socioconstructiviste.On parle également de pédagogie active. Dans cette conception, l’acquisition des connaissances passe par l’interaction entre le sujet et la situation d’enseignement. Les élèves sont acteurs de leurs apprentissages et apprennent au contact du réel. Les échanges que l’élève établit avec l’enseignant et les autres élèves, lui permettent de remettre en cause ses «anciens» savoirs et savoir-faire afin d’en acquérir de nouveaux. Je n'oublie pas de souligner l'importance du langage dans ce type d'apprentissage.

La démarche que je présente, privilégie donc la construction des savoirs par l'élève. Il apprend par la recherche, par l'action, en s'impliquant; il apprend progressivement, en se trompant ; il apprend en interagissant avec ses pairs, en exposant son point de vue et en le confrontant à d'autres points de vue et aux résultats pour en tester la pertinence et la validité.

2. Les raisons de l'intérêt pour cette démarche

a. Les constats : la désaffection pour les mathématiques

Contrairement aux autres disciplines, l'enseignement des mathématiques est souvent une suite logique, une chaîne, où chaque étape de raisonnement est reliée à la précédente. Si un maillon manque, la chaîne ne tient plus. Ce maillon peut faire défaut à l'apprentissage d'une notion et même à tout un apprentissage. Les lacunes en mathématiques constatées chez les étudiants résultent souvent d'un manque de connaissances de base et d'un manque de compréhension des concepts. C'est également ce que j'ai pu constater lors de cours de soutien en mathématiques donnés à des collégiens et à des lycéens. Ils n'avaient pas acquis les notions travaillées à l'école primaire et se retrouvaient en échec scolaire dans cette discipline. Par ailleurs, beaucoup l'ont remarqué, une personne qui échoue systématiquement en mathématiques, sera découragée et ne fera plus preuve d'intérêts pour cette discipline.

Depuis plus de dix ans, la situation est préoccupante, les jeunes montrent un manque d'intérêt pour les carrières scientifiques. Le problème semble naître très en amont. C'est en effet ce que révèle une enquête européenne qui montre qu'à la fin du primaire, la moitié des enfants disent déjà que les mathématiques ne sont pas pour eux.

D'autre part, les évaluations nationales à l'entrée en sixième, en mathématiques, sur résolution de problèmes, ont montré les difficultés de raisonnement des élèves. C'est pour cette raison que des personnes cherchent des dispositifs à mettre en place pour permettre aux élèves d'apprendre à raisonner et à réfléchir dès l'école primaire.

De même, dans le cadre du projet européen Scienceduc, le 28 septembre 2005, un colloque avait pour objectif de disséminer les bonnes pratiques d'enseignement des sciences à l'école. Pour les intervenants, un enseignement rénové des mathématiques à l'école primaire doit s'inspirer de ''La main à la pâte''.

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b. Le résultat de recherches menées par des groupes de recherche

Que ce soit dans les IREM (Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématique), à l'INRP (Institut National de Recherche Pédagogique), dans les universités ou encore dans les IUFM (Institut Universitaire de Formation des Maîtres), de nombreuses équipes travaillent dans le même but : comprendre comment les élèves s'approprient les connaissances et les méthodes enseignées en mathématiques et avec quelles difficultés et, finalement, déterminer comment contribuer à faciliter cet apprentissage. Pour Roland Charnay, professeur de mathématiques et chercheur associé en didactique des mathématiques à l'INRP, l'élève doit mémoriser, appliquer des connaissances mais aussi les fabriquer, les discuter afin d'en contrôler leur fonctionnement et leur usage. Il faut que l' enseignant permette à l'élève de « passer d'une position d'exécutant à une position d'acteur ». De plus, il conseille d'apprendre aux élèves à réfléchir pour empêcher qu'ils n'appliquent ''bêtement'' des formules. En limitant les mathématiques aux chiffres, ou à des situations utilisant les nombres, les élèves sont souvent entraînés à limiter la résolution de problèmes à la recherche d'opérations. Par ailleurs, combien d'élèves sont capables de réciter un théorème sans l'avoir réellement compris.

Placer l'élève en situation de recherche, acteur de ses apprentissages, ne permettrait-elle pas d'éviter cela ?

Selon l'équipe ERMEL, Equipe de Recherche Mathématique pour l'Ecole Elémentaire, le processus d'apprentissage passe par l'action, il se nourrit de l'observation. En d'autres termes, il se déploie en situation de recherche de procédures. Par exemple, l'apprentissage des nombres passe nécessairement par l'imprégnation, il se structure lorsque les élèves cherchent volontairement des procédures pour résoudre un problème qu'ils rencontrent.

Une des solutions avancées est le recours aux problèmes pour chercher. De nombreuses expériences ont eu lieu depuis près de 20 ans tant à l'école élémentaire qu'au collège, concernant la mise en oeuvre de problèmes de recherche en mathématiques. Elles montreraient clairement les apports de la démarche scientifique en terme d'apprentissage. D'autre part, E. Brézin, président de l'Académie des Sciences, considère que c'est en reliant les mathématiques à des situations réelles qu'on intéresse les élèves. Intéresser les élèves et leur donner le goût des mathématiques illustrent bien les raisons de ma réflexion dans ce mémoire.

c. Avis personnel : le goût des mathématiques permet de réussir

J'ai pu observer que l’une des sources de motivation pour les élèves est de pratiquer des mathématiques autrement, sans qu’il n'y ait la contrainte de la leçon à connaître par coeur. Je pense qu'en s'investissant dans ses apprentissages, l'élève participe activement à sa réussite. La motivation peut provenir de l’aspect ludique des mathématiques. Beaucoup de questions mathématiques peuvent à la fois constituer d’amusantes devinettes et correspondre à des problèmes scientifiques riches. Par exemple: trouver le plus court chemin allant d’un point à un autre, évaluer les chances de gagner à une loterie, construire une figure en s‘interdisant l’emploi de certains instruments. Personnellement, mon plaisir à faire des mathématiques a contribué à l'acquisition des connaissances. En leur offrant des situations d'apprentissages motivantes, je souhaite donner aux élèves l'envie de chercher, la volonté de comprendre le sens même des savoirs enseignés. Pour moi, la démarche de recherche pourrait permettre cela tout en leur montrant la nécessité de comprendre pour apprendre. Après tout, la curiosité envers les objets mathématiques et les relations qu’ils entretiennent, est naturelle chez l’homme. Si nous réfléchissons bien, nous nous retrouvons souvent, dans notre quotidien, dans la position d'un chercheur qui teste, tâtonne pour trouver la solution à son problème.

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Il est nécessaire, semble-t-il, de trouver des pratiques pédagogiques qui utilisent le côté chercheur de l'enfant dans le but de lui faire apprécier les mathématiques et de lui en faciliter la compréhension. C’est précisément sur ce point que j’ai voulu axer une partie de ma pratique professionnelle. De plus, je pense que travailler sur des situations réelles est préférable aux activités sur fiches, surtout en mathématiques qui est une discipline comportant beaucoup de notions abstraites.

II. Les apports de la démarche de recherche pour l'enfant

1. Aide au développement de l'enfant

a. Développement de la pensée rationnelle

R. Charnay a dit « Dès leur plus jeune âge, les élèves doivent être confrontés à des pratiques "mathématisantes": chercher, expliquer, argumenter, prouver, organiser...».

La rationalité est indispensable pour donner une valeur de vérité incontestable à un savoir dans sa constitution.

D'après la définition du dictionnaire Larousse, une certitude ou pensée rationnelle naît d'une déduction faite par le raisonnement et n'a rien d'empirique. Pourtant il apparaît clairement que la construction de cette pensée débute avec l'expérience et l'observation. D'après les travaux de Piaget, jusqu'à 7-8 ans, l'enfant raisonne sur des observations et des perceptions immédiates, à partir de 8 ans, l'enfant commence à employer le "parce que"; le raisonnement s'appuie sur la réalité ou sur une observation directe, enfin à partir de 11 ans, il peut raisonner sur de pures hypothèses. Pour compléter cela, je citerais les propos de Françoise Duquesne, professeur de mathématiques qui a écrit l'ouvrage intitulé Apprendre à raisonner en mathématiques à l'école et au collège. Elle considère que raisonner en mathématiques c'est faire des hypothèses, les tester, acquérir des certitudes, trouver des arguments, prouver ou remettre en cause une affirmation, accepter de changer de point de vue, mais c'est aussi démontrer, déduire, résoudre un problème, s'engager dans une recherche, induire des conjectures à partir d'observation et d'essais. L'utilisation progressive de la démarche de recherche, en choisissant des situations adaptées à l'âge des élèves, soutiendrait peut-être ce développement de l'enfant. Enfin, d'après les instructions officielles, l'école maternelle doit permettre à l'enfant de découvrir le monde qui l'entoure. En utilisant des situations d'expérimentations, l'enfant apprend à formuler des interrogations plus rationnelles, à anticiper des situations, à prévoir et observer les conséquences de ses actes, à identifier des caractéristiques susceptibles d'être catégorisées. En résumé, il commence à raisonner. Au cours des autres cycles, cette aptitude doit être renforcée. La directive est donc simple nous devons mettre en place des situations rendant possible le dévelopement de la pensée rationnelle. J'ai choisi de me situer dans le courant psychologique qui suppose que la raison n'est pas innée. Pour moi, la capacité d'un élève à mener à terme un raisonnement se développe avec l'âge et avec la pratique.

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b. Développer les capacités à chercher

Suite à ses recherches, Henri Bassis, écrivain et président du groupe français d'éducation nouvelle, considérait que l'attitude la plus naturelle chez l'homme est sa curiosité à explorer et inventer ses savoirs et ses comportements. Il donnait en exemple la curiosité du bébé qui apprend à marcher. C'est cette curiosité que je souhaite « cultiver » avec l'utilisation de la démarche de recherche. De même, les problèmes pour chercher valorisent des comportements et des méthodes essentiels pour la construction des savoirs des élèves (prendre des initiatives, être critique vis-à-vis de son travail, s’organiser, communiquer,…). Il est donc souhaitable de les mettre en place. Lors des activités de résolution de problèmes, les élèves prennent conscience de la nécessité de chercher, de réfléchir (et non de donner la première réponse qui leur « passe par la tête »). Les travaux de l'auteur américain Alison Gopnick (en 2000) nous amènent à considérer les jeunes enfants comme des êtres scientifiques qui utilisent leur environnement social comme champ d'investigation « ils réfléchissent, font des observations, émettent des hypothèses et pratiquent des expériences.». Le jeune enfant est donc déjà capable de modifier ses hypothèses si elles se révèlent erronées. Cette nouvelle approche des capacités cognitives des jeunes enfants met l'accent sur l'importance des activités de compréhension. Utiliser cette capacité naturelle de l'enfant, en lui permettant de s'investir dans une recherche, devrait l'aider à comprendre les notions travaillées. A travers l'utilisation de cette méthode, je vise également le développement des attitudes de pensée: oser des essais, se poser des questions, soumettre toute affirmation au doute et montrer ainsi les mathématiques non pas comme une discipline figée mais comme un lieu d'échange et de plaisir d'apprendre. En cycle 2, les premiers véritables problèmes mathématiques sont abordés et il semble que c’est à ce moment là que les élèves commencent à éprouver le plus de difficultés vis-à-vis des mathématiques. R. Charnay conseille de développer le plaisir de chercher, de lancer des sortes de défis aux élèves, bref de proposer des activités dont l'objectif se trouve dans la tâche plus que dans le résultat. Reprenant cela, Pierre Eysseric, professeur de mathématiques à l'IUFM de l'académie d' Aix-Marseille, responsable d'un groupe de recherche à l'IREM de Méditerranée et président de l'association Maths-en-stock, pilote, depuis quelques années dans des écoles primaires du Var, une expérimentation visant à mettre en place un lieu et un temps pour le plaisir de chercher en mathématiques. Il s'agit des Ateliers de Recherche(ARM). Après analyse, il avance que ce temps est nécessaire en classe et qu'il permet d'accroître l'envie de chercher des élèves.

c. Socialisation de l'enfant

Pendant les phases orales lors d'activités de recherche, l'enfant développe des capacités argumentatives. En effet, lorsque ce dernier, persuadé du bien-fondé de son idée, doit convaincre ses camarades, il utilise de nombreuses compétences langagières.Lorsque le maître met en place un travail de recherche en groupe, il attend une forte interaction sociale entre le élèves. Les élèves doivent échanger et se mettre d'accord pour présenter leur production commune. La mise en place de cette démarche est un atout pour l'élève qui prendra conscience de l'utilité de ses connaissances prenant ainsi confiance en ses propres moyens. De même, ce type d'activités contribue à l'éducation civique des élèves. Les moments de recherche en groupe sont plus efficaces si l'on s'entraide: les idées proposées par les uns, même erronées, alimentent celles des autres. Les moments de débats offrent l'occasion de travailler l'écoute, la prise en compte de l'avis des autres mais aussi le respect d'autrui.

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Le tout pour l'enseignant est de permettre cette socialisation de l'enfant durant cette démarche scientifique.

2. Aide pour l'élève dans les apprentissages

a. Élève acteur de ses apprentissages

Les apprentissages en mathématiques sont souvent limités à la mémorisation de formules et de procédures sans véritable compréhension de la part de l'apprenant. Ainsi, permettre à l'élève de comprendre les mathématiques, dès l'école primaire, c'est lui permettre d'acquérir des bases solides et de les maîtriser. Dans la résolution de problèmes pour chercher, l'élève prend conscience de la « puissance » de ses connaissances, il les assimile. Cette activité valorise également des comportements et des méthodes essentiels pour la construction des savoirs: prendre des initiatives, remettre son travail en question, s'organiser, être méthodique et communiquer. Je pense qu'un élève acteur maîtrise mieux les savoirs qu'il a construits. L'élève qui n'aime pas les mathématiques mais qui en cherchant trouve une solution acceptable, éprouve de la satisfaction. Un des atouts de l'utilisation de la démarche de recherche est qu'elle permet à l'enfant d'explorer et de découvrir par lui-même pour apprendre.

b. Construction d'un esprit

Un des principaux objectifs de l'utilisation des « problèmes pour chercher » est de développer la capacité de l’élève à faire face à des situations inédites. Les problèmes permettent de développer l'esprit logique et critique des élèves. Lors des activités de recherche, l'élève produit une solution et réalise parfois, que sa procédure est différente de celle des autres. Pendant la phase d'échanges, les élèves doivent argumenter et défendre leur points de vue. Il est donc primordial qu'ils aient préalablement mis en place les preuves qui valideront leur solution. L'élève apprend donc à prouver ce qu'il avance. La fixation des stratégies mise au point lors d'activités de recherche, est généralement très solide car les expériences sont le résultat d'un parcours personnel. Par fixation, j'entends que le procédé d'apprentissage laisse une empreinte : ce que nous avons appris, nous le conservons car nous nous le sommes approprié.

De même, dans son ouvrage intitulé La formation de l'esprit scientifique, première édition en 1938, Gaston Bachelard écrivait que l'on construit les nouvelles connaissances en détruisant celles antérieures. Pour lui, l'esprit scientifique nous interdit d'avoir une opinion sur des sujets que nous ne connaissons pas. Il écrivait: « Pour un esprit scientifique, toute connaissance est une réponse à une question. S'il n'y a pas eu de questions, il ne peut y avoir de connaissance scientifique. Rien ne va de soi. Rien n'est donné. Tout se construit. » Nous devons donc aider l'élève à construire son esprit scientifique.

De plus, l'utilisation de la démarche de recherche permettrait également aux élèves d'acquérir une méthode de travail. En effet, pour ma part, je considère que la résolution de problèmes et la recherche de solutions m'ont permis de posséder une certaine rigueur de travail par exemple pour l'organisation et la présentation des résultats.

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c. Exemple dans le domaine de l'apprentissage des nombres en cycle II (pratique personnelle)

J'effectue mon stage filé à Montceau-les-Mines, dans une classe de grande section de maternelle. Celle-ci est composée de 25 élèves, dont 2 élèves en intégration scolaire. C'est une classe de niveau très hétérogène dans tous les domaines d'apprentissages.

Au début de mon stage, après avoir évalué le niveau de mes élèves en mathématiques, plus spécifiquement dans la maîtrise des nombres, j'ai décidé de travailler les compétences appartenant à l'approche des nombres et des quantités. Suivant les recommandations de l'enseignante titulaire, j'ai réalisé mes séances en début d'après midi pendant le décloisonnement. J'avais donc à chaque séance 12 élèves de la classe.

Lors d'une de mes premières séances, j'avais mis en place des ateliers en autonomie afin de travailler avec les élèves les plus en difficulté. Mon objectif était le dénombrement de quantités soit en d'autres termes la connaissance de la suite numérique jusqu'à 10. Dans le coin regroupement, je montrais aux élèves les pages d'un album à compter. Après observations de l'organisation des premières pages, une quantité d'objets suivie du nombre écrit, la tâche des élèves était de me donner le nombre associé à la quantité représentée. Malgré la réussite systématique d'une élève sur les cinq, cette séance fut un échec du point de vue de mes objectifs. En effet, les élèves ne répondaient pas toujours de façon réfléchie, ils donnaient des nombres sans avoir compté, et montraient, pour certains, de réelles lacunes dans la connaissance de la suite numérique. De plus, j'ai pu constater un certain manque d'intérêt, deux élèves en particulier, ne tenaient pas en place. L'analyse de cette séance, chercher les raisons de cet échec, m'a conduit à plusieurs déductions. J'ai conclu que je devais travailler avec eux sur la suite numérique et que je devais leur proposer des situations motivantes.

C'est alors que je me suis penchée sur l'utilisation de la démarche de recherche. Je souhaitais que les élèves participent à la construction des savoirs mathématiques.

Dans la classe, une bande numérique allant jusqu'à 31 est affichée mais les élèves, avant de la travailler, ne savaient pas ce qu'elle représentait. A travers la « construction » d'une bande numérique individuelle, je souhaitais que mes élèves se l'approprient réellement et qu'ils possèdent chacun une aide pour dénombrer. Soucieuse de la réussite de chaque élève, et avec l'accord de l'enseignante titulaire, j'ai placé ma séance en milieu de matinée afin que tous les élèves se construisent une bande numérique. J'ai utilisé les bandes numériques de Rémi Brissiaud (annexe 1). Je rappelle brièvement qu'il est non seulement maître de conférences de psychologie cognitive mais aussi qu'il appartient à l'équipe de recherche portant sur la compréhension, le raisonnement et l'acquisition des connaissances en mathématiques. Après avoir préalablement découpé chaque bande, je les ai distribuées aux élèves. J'ai demandé aux élèves de m'aider à reconstituer les bandes malencontreusement mélangées. La consigne était donc de remettre les nombres dans le bon ordre. Les élèves avaient le droit de consulter les livres à compter et de se déplacer pour aller voir la bande numérique affichée. J'ai observé les élèves pendant la phase de travail. Certains l'ont reconstituée sans faire appel à aucune aide, d'autres ont recherché un modèle. Aucun des élèves n'est resté bloqué sans rien faire. Après ce temps de travail, j'ai choisi certains élèves pour qu'ils présentent leurs travaux. Un élève avait constitué une bande numérique dans l'ordre décroissant. En lui demandant de lire oralement sa suite, il s'est rendu compte de son erreur et l'a corrigée. Les autres erreurs étaient souvent des erreurs de placement de nombres au bon endroit. La lecture orale a permis la correction de certaines bandes mais pas de toutes. J'ai décidé de demander à certains des élèves, ceux les plus en difficulté, d'aller au tableau pour corriger. Ils disposaient des mêmes

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extraits de bandes agrandis. Lorsqu' un élève montrait des difficultés à lire un nombre, je lui demandais de dénombrer la constellation de points associée. J'ai remarqué que ce travail restait difficile pour certains élèves. Je considère que la manipulation leur permet d'organiser leur comptage et d'éviter les erreurs. A la fin de cette phase de correction, les élèves ont constitué leur bande numérique en collant chaque élément sur une bande cartonnée.Après analyse, la démarche utilisée ne possédait pas toutes les étapes de celle de recherche. En effet, il manquait la présence d'un réel problème mathématique. Je n'ai pas placé les élèves en groupe. Par ailleurs, la participation des élèves et l'apport de cette activité ont été concluants.Ce travail a permis aux élèves de posséder une outil précieux en mathématiques.

N'ayant pas oublié mes élèves en difficulté dans le dénombrement, j'ai décidé de réfléchir à la manière de les intéresser. J'ai mis en place une séance ayant pour objectif le comptage de petites collections. Je me suis aperçue qu'en permettant aux élèves de manipuler les objets, non seulement, j'enlevais une cause d'erreur, mais aussi j'augmentais leur attention. La manipulation utilisée durant une démarche de recherche, est donc un des moyens pédagogiques permettant d'intéresser les élèves.

Pour finir, qui n'a pas remarqué pendant une observation des élèves, le plaisir qu'ils montrent à aider l'adulte à compter des feuilles, à distribuer du matériel. Lorsque l'occasion s'y prête, j'essaye d'exploiter cela en demandant aux élèves de récupérer le matériel pour leur groupe par exemple.

III. Rôle de cette démarche dans l'appropriation des notions mathématiques

1. En théorie

a. D 'après les Instructions officielles

D'après les documents d'application des programmes de 2002, « l'activité de résolution de problème est à privilégier. Ceci dans le but de développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d'ordre méthodologique: émettre des hypothèses et les tester, gérer des essais successifs, élaborer une solution originale et en éprouver sa validité, argumenter. Ces situations peuvent enrichir leur représentation des mathématiques, développer leur désir de chercher, leurs capacités de résolution [...] »Au cycle I, la plupart des questions sont des situations de recherche pour l'élève. En effet, celui-ci qui ne possède que peu de savoirs, devra pour répondre à ses interrogations, chercher, tester...C'est de cette manière que le jeune enfant découvre le monde et se l'approprie.

Au cycle II, cette démarche de recherche va prendre une grande importance. Elle donne l'occasion aux élèves de prendre conscience de l'utilité des premiers outils mathématiques qu'ils se sont appropriés auparavant. Ils deviennent progressivement capables de rendre compte de la démarche utilisée en s'appuyant sur la trace écrite qu'ils ont élaborée. En d'autres termes, ils commencent à présenter leurs résultats et à acquérir une méthode de travail en mathématiques.

Enfin au cycle III, les élèves deviennent capables de s'investir davantage dans la phase d'échange et de confrontation. Le travail sur l'argumentation s'enrichit. Les élèves vérifient la

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validité de leurs réponses, ils apprennent à vérifier. Ils comprennent mieux l'utilité des concepts mathématiques et sont plus aptes à les maîtriser.

b. Apports de la résolution de problèmes

D'après le groupe ERMEL, les connaissances mathématiques prennent du sens dans les problèmes qu'elles permettent de résoudre. La résolution de problèmes permet non seulement à l'élève de prendre conscience de ses connaissances, d'accroître ses capacités argumentatives mais aussi de développer le plaisir de chercher.

Tout problème mathématique, dans l'enseignement, doit être donné avec une intention didactique, celle de vouloir activer certaines notions ou de préparer à la construction de nouvelles.

Un problème permet aux élèves de construire de nouveaux apprentissages lorsque :- il y a réellement une difficulté à surmonter,- les élèves peuvent mettre en oeuvre des connaissances anciennes pour

s’engager dans une procédure,- les élèves peuvent envisager ce que peut être une solution au problème- le problème est suffisamment ouvert pour que les procédures proposées soient

diverses.Il existe 4 types de problèmes à utiliser pour les apprentissages; ceux dont la résolution vise la construction d'une nouvelle connaissance, ceux destinés à réinvestir et à exercer des connaissances déjà travaillées, ceux mobilisant plusieurs connaissances, et enfin ceux centrés sur le développement des capacités à chercher: en général, pour résoudre ces problèmes, les élèves ne connaissent pas encore de solution experte.Pour finir, cette mise en place est un des moyens pédagogiques pour donner du sens aux notions abstraites.

c. D 'après les groupes de Recherche et les théoriciens

Faire aimer les mathématiques, dès le plus jeune âge, joue un rôle fondamental dans les apprentissages à venir. Pour J. Fargeas, inspectrice générale de l'éducation nationale en 1990, il est nécessaire de présenter aux élèves des situations spécialement conçues pour développer chez eux des attitudes de recherche et la conscience de leurs capacités. D'après les équipes de l'INRP, pousser les élèves à expérimenter, à essayer, à chercher nécessite plus de temps mais entraîne une meilleure compréhension des mathématiques. Une des méthodes avancées par de nombreux manuels pousse l'élève à trouver la bonne opération qui solutionne le problème. A l'inverse, l'enjeu didactique pour les élèves, dans les problèmes de recherche, consiste à mettre en place une procédure personnelle de résolution pour tenter de déterminer une solution possible. Les problèmes « pour chercher » développent une attitude scolaire différente de celle traditionnelle : il ne s'agit plus de chercher parmi des dernières connaissances enseignées lesquelles vont pouvoir s’appliquer dans tel problème, mais plutôt d'aborder le problème avec la compréhension de la situation effective à un moment donné et de le résoudre avec ses propres connaissances.

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2. En pratique : des mathématiques pour le plaisir

On peut pratiquer les mathématiques uniquement par plaisir, plaisir qui peut venir du fait de trouver des solutions à un problème donné, ou plaisir qui viendrait simplement du fait de chercher. Qui n'a pas souvenance de sa satisfaction, du plaisir qu'il a ressenti en résolvant un problème de mathématiques...

a. Exemples de quelques projets (les compétitions mathématiques...)

Les mathématiques scolaires sont essentiellement perçues par de nombreux élèves comme élément de réussite ou d'échec scolaire, au même titre que la plupart des disciplines importantes. C'est à partir de l'école primaire que les élèves développent des stratégies qui permettent de « réussir », sans véritablement porter attention aux contenus, ils font des mathématiques sans aucun intérêt. C'est pour lutter contre ces attitudes que sont mises en place les compétitions mathématiques présentées, brièvement, ci-après.

✗ Les rallyes mathématiques :Leur intérêt réside dans le fait que c'est un jeu et qu'il n'y a pas d'enjeu scolaire. En proposant des problèmes « ouverts » qui sortent du modèle scolaire, ces ''compétitions'' contribuent à modifier le rapport aux mathématiques que possèdent certains élèves. Faire des mathématiques, cela devient « relever un défi ». Réfléchir en mathématiques c’est « raisonner, chercher » et non pas « faire des opérations, appliquer des règles».

✗ ''Maths en stock'': Cette association travaille en partenariat avec les IREM et les IUFM pour permettre la mise en place dans des classes de l'école primaire d'activités de recherche en mathématiques. Les ARM, Ateliers de Recherche en Mathématiques, sont expérimentés dans des classes de cycle II et III. Les élèves se posent une question et travaillent ensemble pour y répondre. Lors d'un congrès annuel, les élèves chercheurs viennent présenter leurs travaux de recherche. Soulignons la présence d'une personne extérieure à la classe, spécialiste en mathématiques, qui représente le garant de la qualité du travail.

Tout comme au niveau du primaire, des actions sont organisées au secondaire, en voici deux;✗ ''MATh-en-JEANS '':

Ce slogan signifie des mathématiques décontractées, pour le plaisir, mais c'est aussi l'acronyme d'une ''Méthode d'Apprentissage des Théories mathématiques en Jumelant des Établissements pour une Approche Nouvelle du Savoir''. Pour V. Chauveau l'objectif vise à faire découvrir aux élèves le plaisir des chercheurs mathématiciens. L'accent est mis sur la ''recherche mathématique autrement''. Ces activités sont destinées aux élèves de collège et de lycée.

✗ Maths sans frontières : Cette association organise des compétitions de mathématiques entre des classes entières de troisième et de seconde. Les sujets proposés se veulent ludiques, attrayants, drôles et donnent l'envie de chercher. Les élèves mènent de véritables recherches mathématiques puis présentent leurs investigations.

b. Exemple des Ateliers de Recherche en Mathématiques (les ARM ):

Les Ateliers de Recherche en Mathématiques ont pour premier objectif de placer les enfants dans une dynamique de recherche.

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Il s’agit de créer des conditions favorisant la découverte du plaisir de chercher et de faire en sorte que l’élève mette en place une démarche scientifique dans la résolution de problème. Pour cela, on transpose, le plus fidèlement possible, la démarche des chercheurs en mathématiques aux élèves.Pour illustrer ces propos, j'évoquerai comme exemple un problème de recherche tiré de : Les Classes Mathématiques par Pierre Eysseric. Ce problème, intitulé « Euro », avait pour objectif d’amener les élèves à rechercher toutes les combinaisons possibles de pièces de monnaie (10 centimes d’euro, 20 centimes d’euro et 50 centimes d’euro) pour atteindre un montant de 2 euros, sachant que toutes les catégories de pièces devaient être utilisées. Les élèves pouvaient par la suite travailler sur un autre montant à atteindre, ou sur un choix de pièces de monnaie plus important (50, 20, 10, et 5 centimes d'euros par exemple). Cet exemple d'énoncé montre l'importance d'utiliser des situations prises dans le quotidien de l'élève pour l'intéresser.Ces ateliers de recherche sont une source de grande motivation de la part des élèves et ils représentent, pour nous enseignant, une nouvelle manière d'aborder les mathématiques.

c. Ma pratique en classe de deuxième année de cycle II

Permettre aux élèves de faire des mathématiques par plaisir fait partie d'une de mes priorités. Néanmoins, les élèves de grande section n'étant pas conscients de ce que sont réellement les mathématiques, je pense que mon ambition ne pouvait pas être complètement satisfaite. C'est pourquoi, j'ai tenté de mettre en place un maximum de situations de recherche lors de mon stage en responsabilité de trois semaines. Je vais vous en présenter deux.

Mon stage s'est déroulé dans une classe de Cours Préparatoire à Tournus. Celle-ci était composée de 18 élèves, dont 6 était en grande difficulté. L'enseignante titulaire m'avait prévenue de l'hétérogénéité de la classe mais aussi du comportement très turbulent d'un élève. Il a 2 ans de retard et il est envisagé de le placer en classe d'intégration. Contre toute attente, cet élève a montré beaucoup d'intérêt à chaque séance de mathématiques. Je devais travailler avec les élèves sur la correspondance des désignations écrites et orales des nombres, la suite numérique ainsi que sur les décompositions additives. J'ai consulté le livre rédigé par l'Equipe de Recherche Mathématiques pour l'Ecole élémentaire, concernant le cycle des apprentissages fondamentaux, afin de trouver des idées de situations de recherche pouvant être mises en place.

Pour ma première séquence, je me suis inspirée du jeu du château d'Ermel. Les élèves, placés par groupe de deux, disposaient d'extraits de bandes numériques. Mes objectifs étaient de réviser la suite numérique ainsi que de faire remarquer aux élèves sa régularité. Leur tâche était de constituer la plus grande bande numérique. Comme les bandes ne pouvaient pas se placer l'une à la suite de l'autre sans chevauchements, les élèves ont eu des moments de doute. J'ai constaté pendant cette première phase que le travail par deux était très bénéfique. Les échanges d'opinions, les conseils, réfléchir à deux sont des instants très enrichissants pour les élèves. Pendant cette phase, les élèves cherchaient à me solliciter pour que je valide ou non leurs propositions mais je mettais contrainte à ne pas leur répondre. Après avoir constitué leur bande numérique, la phase de présentation orale de leur travail a été un moment d'échanges. J'avais pris le soin d'observer les groupes afin d'établir un ordre de passage. Chaque groupe venait expliquer sa méthode et le résultat obtenu. Certains avaient une bande numérique qui se terminait avant celles des autres. Leurs explications étaient souvent qu'ils n'avaient pas osé chevaucher deux extraits de bandes.

A la séance suivante, chaque élève a réinvesti ce travail en constituant individuellement une bande. Nous avons ensuite tiré un trait après chaque nombre se terminant par 9 puis coupé les bandes sur ce trait. Celles-ci ont été collées sous forme d'un carré ( cf annexes 2 et 3 ).

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Une séance a ensuite été consacrée à l'observation de cette suite. Je souhaitais que les élèves remarquent les régularités de la suite des nombres ainsi que celles des familles de nombres. Voici quelques unes des remarques faites par les élèves: « dans la première colonne, il n'y a des zéros à la fin de chaque nombre », « et dans la deuxième ce sont des 1 », « c'est vrai mais si on regarde l'autre nombre ça change à chaque fois »... Lors de cette phase d'échanges, mon rôle était essentiellement de corriger le vocabulaire employé et de questionner les élèves sur leurs remarques pour pousser plus loin leurs réflexions. Quelques régularités de la suite des nombres ont ainsi été énumérées par les élèves. Nous avons fait ressortir les similitudes entre les familles de nombres, la famille des dix, des vingt... A la dernière étape de cette séquence, les élèves devaient continuer ce « carré numérique » en complétant la famille de quarante.Afin d'évaluer leurs acquis, je leur ai proposé ultérieurement un travail sur feuille (annexes 4 et 5). Leur tâche était de compléter une suite numérique, disposée similairement au travail précédent. Etant donné la rapidité dont tous les élèves ont fait preuve pour la réalisation de ce travail, je leur ai demandé de continuer cette suite en s'appuyant sur nos observations. Tous les élèves, y compris ceux en difficulté, ont complété sans erreur.

Mes objectifs m'ont paru atteints. Toutefois, je pense que ce travail aurait été plus judicieux en début d'année scolaire.Je constate également que cette situation ne répondait pas à tous les critères d'une situation de recherche.

Ma seconde situation de recherche proposée avait pour finalité spécifique: être capable de connaître ou de reconstruire rapidement les résultats des tables d'addition (de 0 à 9). Je ne citerai que quelques uns de mes objectifs transversaux comme lire un tableau à double entrée, mobiliser ses connaissances pour résoudre un problème ou encore justifier sa procédure.J'avais affiché le tableau suivant (format d'environ 70 cm par 70cm):

Volontairement, je ne l'ai pas présenté, j'ai laissé les élèves me dire ce qu'ils observaient, pensaient que cela était sans valider leurs remarques. J'ai distribué aux élèves deux cartons sur lesquels étaient écrites des sommes. Après un moment de réflexion, les élèves devaient venir au tableau les placer et surtout justifier leurs placements. Je validais ou non leurs placement, si les élèves avaient juste ils laissaient leur carton sinon ils retournaient à leur place pour réfléchir. Au départ, j'ai eu peur que les élèves ne comprennent pas le fonctionnement du tableau. Puis, au fur et à mesure de placements corrects mais souvent mal justifiés, un élève a compris et a expliqué comment placer son carton. Malgré cela certains élèves ne comprenaient toujours pas. J'ai donc laissé passer plusieurs groupes avant eux. Tous ont ainsi réussis à placer leurs sommes.

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+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345678910

Après analyse, je pense que la lecture d'un tableau à double entrée, pourtant travaillé avec l'enseignante titulaire, a représenté un obstacle conséquent pour certains élèves. J'aurais dû m'assurer que tous les élèves avaient acquis cette compétence préalablement.

A la séance suivante, après avoir rempli une feuille de calculs d'additions, j'ai présenté aux élèves le tableau rempli des cartons de sommes. Je leur ai demandé de réfléchir et de me dire par quoi pouvait-on remplacer ces sommes. Les élèves ont beaucoup participé mais les réponses étaient souvent inappropriées, par exemple remplacer une somme par une différence. Voyant que les élèves ne trouvaient pas, je leur ai distribué deux cartons par groupe. Sur ces cartons figuraient les résultats de chaque addition se trouvant dans le tableau. Après un court instant de réflexion par pairs, les élèves sont venus placer leur nombre. Comme à la séance précédente je validais ou non sans justifier. Après quelques erreurs, un groupe vient placer son '0' sur '0+0'. Je me suis dit qu'ils avaient compris! Toujours est-il que leur justification m'a vite fait revenir sur mon opinion. « Nous plaçons le 0 ici car il y a 2 zéros. ». J'ai alors dit que l'emplacement était correct mais que la justification ne l'était pas. Les autres groupes disposaient alors d'une piste. Au fur et à mesure, après de nombreux essais, un groupe est parvenu à expliquer pourquoi ils avaient placé 4 au dessus de '2+2'. Une fois que les élèves eurent compris que c'était le résultat de l'addition qu'il fallait mettre, chaque groupe est venu placer correctement son nombre. J'ai constaté à ce moment, que le fait d'avoir laissé les élèves réfléchir, comprendre à leur rythme avait pris du temps mais avait été très bénéfique. Les élèves se sont tous réellement impliqués sans se rendre compte qu'ils faisaient du calcul mental. Il est vrai que, en comparant les réactions des élèves quand ils effectuaient les additions sur feuille d'exercices et celles durant ce travail, je réalise l'impact de l'utilisation de cette démarche. Un des points forts de cette méthode d'apprentissage est que tous les élèves se prennent au jeu et même les plus faibles ont de bonnes idées.

Dans une autre séance, similaire à la précédente, je souhaitais attirer l'attention des élèves sur les résultats des additions. Peut-on avoir plusieurs fois le même nombre dans ce tableau ? Pourquoi? Mon principal objectif était la compréhension des décompositions additives. En travaillant sur les constatations des élèves j'ai pu aborder une des propriétés de l'addition: la commutativité. Quelques séances de réinvestissement ont suivi. Les élèves devaient utiliser leurs connaissances, les remarques faites afin de trouver le maximum de décompositions additives pour chacun des nombres (annexes 6 et 7).

Ces séances ont permis à tous les élèves de travailler sur l'addition, de faire des hypothèses, d'oser se tromper, d'essayer de se justifier...de prendre du plaisir à faire des mathématiques. Après observation, je me suis aperçue que j'aurais dû confectionner des cartons plus petits afin que les élèves puissent distinguer les cases du tableau (annexes 8 et 9). Je constate que je n'ai pas assez exploité les hypothèses des élèves.

A la fin de mon stage, lorsque j'ai demandé aux élèves s'ils avaient aimé faire des mathématiques, la majorité m'ont répondu « oui » et ils ont ajouté qu'ils préféraient faire des mathématiques comme cela qu'en remplissant leur fichier. L'enseignante titulaire a d'ailleurs souhaité conserver certaines de mes activités, elle a conservé le jeu du furet et le tableau d'additions.

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DEUXIEME PARTIE : du point de vue pédagogique et didactique

I. Mise en place de cette démarche

1. En théorie

a. Déroulement

D'après les documents d'application, concernant les activités de recherche en mathématiques: « Les séances d'enseignement comportent en générale différentes phases, avec des modes d'organisation diversifiés. Les phases de recherche sont souvent plus efficaces et plus riches si elles sont conduites en petits groupes, facilitant la confrontation des idées entre pairs et favorisant l'intérêt de tous les élèves pour la tâche proposée. »

D 'après les documents d'accompagnement des programmes, une séance de « problèmes pour chercher » comportent différentes phases :

• un temps de présentation collective de la situation; pendant lequel l'enseignant veillera à ce que l'élève comprenne la situation et ce qu'il faut chercher,

• un temps de recherche personnelle (temps court); car il est nécessaire que les élèves soient individuellement confronté au problème afin qu'ils s'en imprègnent,

• un temps de recherche en groupe; les élèves doivent échanger leurs points de vue, se concerter et réfléchir ensemble afin de proposer une solution au problème posé ( procédure et réponse),

• un temps de mise en commun, de débat et de validation; chaque rapporteur vient présenter le travail effectué par son groupe, les élèves argumentent, confrontent leurs procédures et en valident certaines.

• un temps de conclusion; sous forme d'échanges entre le maître et les élèves, pendant lequel il s'agit de valoriser certaines procédures ou encore certains comportements qui pourront être retravaillés ou réinvestis.J'appuyerai ceci en présentant les étapes du déroulement d'un ARM:

Lors de la première phase, dite phase d’action, les élèves sont par groupe de deux. L'enseignant les confronte à un problème de recherche. On met en place la démarche d'investigation. Les élèves émettent des hypothèses, les testent, ils manipulent ou schématisent...

Lors de la deuxième phase, phase de mise en commun orale, les élèves exposent et explicitent leur propositions à toute la classe. Les élèves de la classe réagissent en confirmant les différentes propositions, en demandant des explications supplémentaires ou en faisant des objections qui pourraient permettre à la recherche d’avancer ou de prendre une toute autre direction.

b. Le rôle de l'enseignant :

Du point de vue de l’enseignant, il est indéniable que son rôle est complexe.Dans un premier temps, l'enseignant doit trouver une situation de recherche motivante pour les élèves.

Lors de la phase d'action, l’enseignant intervient par exemple pour encourager les élèves à poursuivre leurs recherches mais en aucun cas il ne doit intervenir pour évaluer le raisonnement des élèves. Il ne doit ni valider ni invalider les diverses solutions trouvées par ces derniers.

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Par contre, il est important, pour l'enseignant de circuler afin d'observer le travail des groupes, en particulier pour recueillir des informations qui l'aideront à prévoir la phase de mise en commun. Rappelons que c'est l'enseignant qui décidera les travaux les plus intéressants à exploiter collectivement, ainsi que l'ordre de passage des rapporteurs.

De plus, il surveille que les élèves respectent les règles de vie de classe comme par exemple, un niveau sonore tolérable.

Lors de la phase orale, l'enseignant veille à la rigueur du langage utilisé, à la précision du vocabulaire et à la validité du raisonnement. Il organise la confrontation des propositions des élèves, précise dans quelles conditions chacun peut intervenir pour expliquer sa solution, pour demander des explications ou pour contester... Il peut questionner, interpeller les groupes pour inciter les uns à argumenter et les autres à s'interroger. En fin de débat, il récapitule les procédures utilisées et les acquis.

Pendant la phase de validation des propositions, le maître évite de donner un avis, il est souhaitable que ce soit les élèves eux-mêmes qui valident ou non une solution. Par ailleurs, l'enseignant occupe une place de régulateur du débat, il peut proposer de nouvelles pistes de recherche.

c. Place de l'erreur

Le philosophe Alain s'est penché sur les manières d'apprendre à réfléchir et à penser rationnellement en évitant les préjugés. Il a ainsi constaté que : « L’erreur n’a rien d’étrange. C’est le premier état de toute connaissance ».

L'erreur prend une telle importance en mathématiques qu'elle peut provoquer de réels blocages. Une petite erreur de calcul ou la mauvaise recopie d'un nombre et c'est tout le problème qui est faux malgré un raisonnement correct.Dans cette démarche pédagogique, l'erreur n'a plus le même statut. Les erreurs doivent être des points d'appui pour l'apprentissage. Elle ne doit pas être encouragée en tant que telle, mais elle fait partie de la recherche. L'enseignant doit analyser les erreurs et non les juger, quant à l'élève il doit chercher une remédiation à ses erreurs.De plus, pour l'enseignant, l'erreur renseigne sur la manière de procéder de l'élève.Pour mener à bien leurs recherches, les élèves devront avoir été informés qu'ils peuvent prendre des initiatives, faire des essais et recommencer ou encore travailler sur une feuille de brouillon (pas d'attention particulière à l'orthographe, aux ratures). L'élève doit avoir conscience qu'il peut se tromper et que c'est en se trompant qu'on apprend.

d. La modification du contrat didactique

Par définition, ce contrat est « ce qui détermine explicitement pour une petite part, mais surtout implicitement, ce que chaque partenaire va avoir à charge de gérer et dont il sera, d’une manière ou d’une autre, comptable devant l’autre ». En résumé, il fixe les rôles et les attentes des élèves et de l'enseignant dans un type d'activité donné. Les éléments qui caractérisent la démarche de recherche implique un changement de ce contrat. Les élèves ne travaillent plus pour faire plaisir à l’enseignant ou pour obtenir une bonne note mais pour le plaisir et l’envie de chercher des solutions aux problèmes posés.En outre, contrairement aux situations magistrales où l’enseignant transmet le savoir et où l'élève est passif, les élèves sont ici acteurs de leurs apprentissages.

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2. Propositions d'activités (déroulement)

a. Des problèmes « pour chercher »: les problèmes ouverts

J. Julio : « C'est dans l'activité de résolution de problèmes que se trouve la source de la connaissance . »

D'après les programmes de 2002, les enseignants doivent permettre à l'élève d'être confronté à de véritables problèmes de recherche pour lesquels ils ne disposent pas de solution déjà éprouvée et pour lesquels plusieurs démarches sont possibles.Le terme de ''problèmes ouverts'' a été introduit par une équipe de l'IREM de Lyon pour évoquer une catégorie de problèmes destinés à mettre en route, avec les élèves, une démarche scientifique. La définition proposée est la suivante : un problème ouvert est un problème qui possède les caractéristiques suivantes :

➔ l’énoncé est court,➔ l’énoncé n’induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires ni

de questions du type « montrer que »). En aucun cas, cette solution ne doit se réduire à l’utilisation ou l’application immédiate des derniers résultats présentés en cours,

➔ le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité. Ainsi, peuvent-ils prendre facilement ''possession'' de la situation et s’engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contre-exemples.

Le problème ouvert est principalement destiné à développer un comportement de recherche et des capacités d'ordre méthodologique: faire et gérer des essais, faire des hypothèses et les tester, imaginer des solutions, éprouver leur validité, argumenter...Donner un problème de recherche, c'est permettre aux élèves de relever un défi.

b. Les situations de recherche

Les situations de recherche peuvent être issues de la classe, de la vie courante, de jeux, d'autres domaines de connaissances ou s'appuyer sur des objets mathématiques. Elles peuvent prendre la forme d'expériences concrètes, de description orale ou encore de supports écrits.Les élèves doivent pouvoir s'approprier facilement la situation. La difficulté doit résider dans les moyens de répondre au problème. Celui-ci doit présenter une certaine résistance, il ne doit pas donner lieu à une réponse qui résulte d'un traitement immédiatement reconnu.

Certaines situations de recherche, les situations-problèmes, ont pour but d'introduire une nouvelle notion en montrant sa nécessité dans la résolution du problème posé. Le travail s'effectue en général en groupe. Pour résoudre, les élèves peuvent utiliser une méthode lourde qui leur permet de prendre conscience de l'insuffisance de leurs connaissances. C'est lors de la mise en commun que le maître introduit la nouvelle notion, celle la mieux adaptée à la résolution. Cette méthode permet à l'élève de prendre conscience de la nécessité de connaître la nouvelle notion. Enfin, si nous nous référons à la démarche du mathématicien présentée au début de ce mémoire, sa transposition en classe permettrait aux élèves de se confronter à des situations de recherche. Ils pourraient chercher en expérimentant à l'aide de matériels variés.

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c. Exemples donnés par les instituts de recherche en mathématiques

R. Charnay ainsi que les équipes de recherche proposent de nombreux énoncés de problèmes ouverts, j'en nomme ici quelques uns:

• Problème pouvant être proposé à des élèves de cycle III (CM2) :Je pense à 3 nombres entiers qui se suivent. Je les additionne et je trouve 426. Quels sont ces trois nombres ?

• Problème pouvant être proposé à des élèves de cycle II ( CP) :En utilisant un catalogue et dans le but d'organiser une fête, demander aux élèves de réaliser une liste de ce qu'on peut acheter avec un montant de 30 euros.

• Problème pouvant être proposé à des élèves de cycle I (MS) :Demander aux élèves de proposer une méthode de classement de jouets (à eux de trouver des propriétés de classement).Je vous soumets également quelques situations de recherche pouvant être proposées aux élèves, et adaptables au niveau des élèves :

• Trouver le nombre de bus nécessaire pour une sortie de plusieurs classes de l'école.• On m'a remis une enveloppe contenant des pièces de monnaie beaucoup trop lourde

pour mes poches. Comment faire pour obtenir le moins de pièces possible tout en conservant le même montant ?

Précisons que pour trouver des énoncés de problèmes de recherche, il faut chercher dans certains manuels scolaires, prendre des exemples dans les travaux de recherche (comme ceux de l'équipe ERMEL), dans des revues destinées aux enseignants ( comme la revue Grand N) ou encore dans les sujets proposés lors des concours ou des rallyes mathématiques. Je rappelle que la revue Grand N, destinés aux enseignants du primaire, est une revue dédiée à l'enseignement des mathématiques, des sciences et technologies.

d. Mise en place en première année de cycle II (pratique personnelle)

Au cours de mon stage filé, en période 4, j'ai voulu travailler l'exploitation de données numériques. Je voulais que les élèves cherchent réellement une procédure personnelle à mettre en place pour résoudre un problème simple de distribution. Etant donnée l'hétérogénéité de ma classe, même dans un groupe de 12, j'ai choisi de diviser ce groupe en deux groupes de niveaux. Au premier groupe, j'ai proposé un énoncé comportant des nombres inférieurs à 10, au second un problème avec des nombres supérieurs à 10.

Suite à une distribution de bonbons dans les semaines précédentes qui n'avait pas été équitable par manque de bonbons, j'ai décidé de leur proposer un énoncé du type « J'ai X bonbons, je veux les distribuer équitablement à Y enfants. Combien en recevront-ils chacun? ». Lorsque j'ai demandé à un élève de reformuler le problème, j'ai constaté qu'il ne l'avait pas compris. J'ai ainsi réalisé l'importance de cette étape. Ma consigne était de trouver une solution au problème. Les élèves avaient à leur disposition des cubes et des feuilles pour dessiner ou schématiser.J'ai choisi de rester avec le groupe le plus faible et j'ai laissé en autonomie ''de résolution'' l'autre groupe. En ce qui concerne les élèves qui étaient avec moi, je les ai laissés en recherche individuelle pendant un court laps de temps. Voyant qu'ils bloquaient, je les ai poussés à avoir recours à la manipulation. Cette situation-problème s'est avérée très difficile pour 3 de mes élèves. Je

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pense que cela était trop compliqué pour eux, qui ne maîtrisent pas le dénombrement. Pendant ce temps, les autres élèves ont tous eu recours à la schématisation du

problème. Je vous propose deux des productions des élèves en annexes 10 et 11. En analysant leurs productions on peut remarquer la technique des élèves pour distribuer les objets, ici des coeurs représentant les bonbons. En s'appuyant sur leurs feuilles de travail, les élèves ont pu me donner le résultat de la distribution de 12 bonbons entre 4 enfants. Malgré l'absence du résultat écrit, cette trace écrite montre que les élèves ont mis en oeuvre une procédure personnelle de résolution.

Mon objectif d'exploitation de données numériques a été atteint par certains de mes élèves. Effectivement, je crois que 4 de mes élèves ne savaient pas comment faire pour résoudre le problème, et ce même en ayant recours à la manipulation. Peut-être aurais-je du leur proposer une tâche plus adaptée à leur niveau?Cette séance m'a permis de constater toute la complexité de concevoir une situation de recherche permettant à tous les élèves d'atteindre mes objectifs.

Toujours dans le domaine des nombres et des quantités, j'ai mené une séquence sur le dénombrement de quantités en essayant de trouver une situation de recherche. Pour résumer, j'avais placé des quantités différentes d'objets divers dans des sacs transparents. Après les avoir présentés aux élèves, je leur ai demandé de me dire quel était le sac qui contenait le plus d'objets. J'ai écrit leur hypothèses au tableau. Tous les élèves m'ont cité un sac ayant un contenu volumineux. J'ai pu noter, après analyse que je n'ai pas assez exploité leurs hypothèses. J'aurais dû leur demander d'argumenter leur point de vue. Je leur ai ensuite demandé: « Comment peut-on savoir qui a raison ? ». Une élève a répondu qu'il fallait compter les contenus des sacs. Tenant compte des niveaux des élèves, j'ai distribué les sacs en fonction de leur quantité. Les élèves disposaient d'une feuille de résultat du type [ Le sac n°.....contient ..... objets.]. Les élèves ayant des difficultés pour dénombrer, se sont aidés spontanément de leur bande numérique. Au vue d'une phase de correction vivante, je leur avais demandé d'échanger de sac avec leurs voisins. Lors de la séance suivante, les élèves devaient présenter oralement leurs résultats aux autres et les autres devaient les valider ou non. En cas de désaccord, l'élève dénombrait à nouveau la collection. Je tiens à préciser que tous les élèves ont fait preuve de sérieux et de motivation. Certains m'ont sollicité pour l'écriture de nombres et cela m'a permis de noter certaines lacunes. L'étape suivante était la mise en évidence d'une observation : la quantité est indépendante du volume. Revenant sur leurs hypothèses et sur leurs résultats, j'ai laissé les élèves me proposer leurs remarques jusqu'à une formulation correcte. Cette séquence s'est terminée sur une présentation au reste de la classe de leurs activités et de leurs découvertes. Voici quelques une de leurs réflexions: « Il faut vérifier ce qu'on pense. », « Ce n'est pas parce qu'on voit un gros volume d'objets qu'il y en a beaucoup. », « Pour savoir combien il y a d'objets dans un sac, il faut compter. ».

Pour terminer cette séquence, j'ai proposé aux élèves de réaliser une quantité équipotente à celle contenue dans un sac. J'ai pu examiner leur procédure de dénombrement. La plupart des élèves ont réalisé la quantité équipotente en dénombrant. Deux d'entre eux ont disposé les objets de façon organisée permettant ainsi une correspondance terme à terme. Enfin, deux élèves se sont associées, elles plaçaient simultanément un objet puis deux puis trois dans chaque sac. Après vérification collective chaque élève a réussi ce travail. Sans s'en rendre compte les élèves, très investis, ont travaillé le dénombrement.

En analysant ma pratique, j'ai relevé ma difficulté à définir clairement une situation-problème mais aussi à exploiter les hypothèses des élèves. J'ai pu constater combien il est difficile de concevoir une situation de recherche en cycle II.

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II. Difficultés de mise en place de cette démarche

1. Avis des enseignants

L'introduction d'une démarche expérimentale en mathématiques, recommandée par les programmes d'enseignement, est en oeuvre. Effectivement, certains enseignants tentent de changer leur pédagogie, en mettant en place une démarche d'investigation en mathématiques. Cependant, celle-ci reste fortement contestée par une minorité d'enseignants.

a. Le manque de temps

D'après Thierry Dias, formateur à l'IUFM de Lyon et auteur d'une thèse sur la dimension expérimentale des mathématiques, la préparation matérielle supplémentaire qu'engendre ce dispositif de travail n'est pas la seule raison qui freine les enseignants. Il est vraisemblable que l'obstacle soulevé par la plupart des enseignants se situe davantage dans le changement du contrat didactique. Toutefois ce n'est pas le seul. Certains avancent le manque de temps. En effet, la démarche de recherche est consommatrice de temps. Une enseignante disait à ce sujet « Le nombre d'élèves dans ma classe suppose que le temps consacré aux activités de recherche soit conséquent, or cela m'est impossible si je veux respecter les programmes! ».Le rapport au temps didactique est ainsi bouleversé, on entend beaucoup d'enseignants rejoindre l'avis de cette collègue et refuser l'utilisation de cette méthode car ''cela prend trop de temps''.On peut donc juger que l'accent mis sur les compétences liées au raisonnement est en opposition avec les contraintes institutionnelles qui pèsent sur les professeurs, en particulier en ce qui concerne l'avancement dans le programme.Autre inconvénient annoncé est le problème de planification d'une séquence. Il est difficile de fixer un nombre précis de séances puisque leur programmation doit se faire en fonction de l'avancement des recherches.

b. La peur de ne pas être à la hauteur

Tous les enseignants qui avaient un niveau insuffisant en mathématiques pendant leur scolarité, avouent ne pas être à l’aise avec cette discipline. Lorsqu'on leur demande leur avis sur cette démarche, ils avouent volontiers ressentir de l'appréhension, et si je ne parvenais pas à exploiter leurs recherches. Peut-on demander sans risques, à des enseignants, formés de manière théorique, d'intégrer (sans formation complémentaire) une dimension expérimentale à leur enseignement ? Cela paraît compliqué. Cependant, lorsque les professeurs éprouvent un réel plaisir à faire des mathématiques, à chercher des solutions, à résoudre des problèmes de tous genres, ils doivent tenter, à travers l’utilisation d’une pédagogie particulière, de transmettre ce plaisir de chercher aux élèves. Ils pourraient également aider leurs collègues à mettre en place des situations de recherche. En résumé, les étapes de cette démarche bousculent les habitudes des enseignants. Elles rendent à la fois la préparation plus complexe et la conduite de la classe plus délicate.

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c. Mon avis personnel

Il est vrai qu'il est difficile de mettre en place cette démarche. De plus, gérer le temps consacré à cette situation tout en respectant les programmes n'est pas une tâche facile. Je suppose qu'un ''tutorat'' entre les enseignants pourrait peut être effacer certaines réticences. Malgré ces inconvénients, j'ai pu relever que le problème ouvert offre une occasion de prendre en compte et même de valoriser les différences entre les élèves. En effet, si l'énoncé est le même pour tous les élèves, les solutions peuvent être diverses, plus ou moins rapides, utilisant des connaissances et des stratégies variées. C'est précisément cette diversité qui est intéressante à exploiter lors du moment de débat. Cette méthode doit donc être considérée comme une richesse du point de vue des connaissances; on peut exploiter chaque stratégie, cela est source d'échanges et d'apports mutuels. Il reste tout de même compliqué pour nous, enseignant, de trouver des points positifs dans chaque procédure même celles inadaptées. D'autre part, chaque élève peut avoir sa procédure qui « marche » alors je me demande comment leur faire découvrir la méthode institutionnelle. J'ai rejoins le parti adopté par des équipes de recherche qui conseillent de ne pas enseigner les nombres mais de permettre aux élèves de les utiliser, d'en faire quelque chose afin qu'ils prennent du sens, néanmoins il reste très difficile de définir des situations de recherche.

2. Mon analyse

a. Les difficultés de mise en place

Au cours de mes stages, définir des tâches qui soient en adéquation avec les compétences à acquérir s'est avéré délicat. De plus, j'ai pu constater qu'il est compliqué de :

trouver des situations intéressantes pour chaque élève, définir clairement le problème « pour chercher » ou le sujet de la recherche, concevoir des situations de recherche correspondant aux besoins des élèves, préparer matériellement les séances, organiser la classe, changer de rôle, être plus distant, prévoir les procédures des élèves pour anticiper la phase orale.

b. Les difficultés rencontrées par les élèves

Lors des premières séances, cette démarche se montre déstabilisante pour les élèves, surtout ceux du cours préparatoire, qui étaient habitués à travailler exclusivement sur un fichier. En effet, cela demande de changer quelques unes de leurs habitudes de travail comme travailler par groupe, chercher sans toujours trouver, accepter de se tromper, recommencer...Il apparaitrait donc nécessaire de proposer ce type d'activités dès le début de l'année scolaire.

J'ai également pu noter que certains élèves hésitent à proposer une réponse de peur qu'elle soit erronée.

c. Les points positifs observés en classe

Au cours de mes stages en maternelle, je me suis rendue compte que, même s' il utilise le nom des nombres et récite la comptine numérique, l'élève ne maîtrise pas pour autant le

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cardinal du nombre. Pour remédier à cela, la mise en situation de recherche ou encore l'utilisation de la manipulation a favorisé l'acquisition des différents aspects du nombre. Je suppose que, si les nombres ou les décompositions additives avaient été travaillés de manière traditionnelle, avec une leçon et des exercices d'application, les compétences acquises ne seraient pas si solides. De même, mettre les élèves en activité de recherche a contribué à développer leur capacité de réflexion et leur intérêt aux apprentissages mathématiques. En effet, l'enseignante titulaire de la classe de CP, m'a confié après mon stage, que les élèves avaient beaucoup apprécié mes séquences de mathématiques et qu'ils souhaitaient travailler à nouveau de cette manière.

III . Appliquer cette démarche dans d'autres disciplines

1. Propositions de mises en place dans les classes

a. En cycle I dans le domaine de la découverte du monde

Découvrir le monde en expérimentant, en tâtonnant, en jouant, en observant, en cherchant...voilà ce que préconisent les instructions officielles pour le cycle des apprentissages premiers.

Nous devons exploiter la curiosité des jeunes élèves pour leur permettre d'acquérir un premier capital de connaissances et de méthodes. Trouver des situations de recherche où l'élève pourra apprendre, est une des missions de l'enseignant de maternelle.

Je présenterai brièvement une séance observée lors d'un stage en observation en première année d'IUFM. Cette classe de Nevers accueillait des élèves de petite et moyenne section. L'enseignante avait fixé comme objectif le classement d'objets en fonction de leur capacité à retenir l'eau ou non. Dans un premier temps, les élèves avaient donné leurs hypothèses, puis, lors d'une phase d'action, les avaient testées. J'avais constaté un réel investissement de chaque élève lors de cette séance d'apprentissage.Je considère qu'à l'école maternelle, la démarche de recherche doit être utilisée pour permettre aux élèves de s'approprier les savoirs.

b. En cycle III dans le domaine de l'histoire/géographie

Plutôt que d'enseigner toujours de manière transmissive l'histoire et la géographie, je souhaiterais essayer d'intégrer la démarche de recherche. J'ai participé à un atelier de pratique pédagogique sur la mise en problème de situation. Pour résumer, nous devions pousser les élèves de CE1 à s'interroger sur la présence d'une enseigne sur leur école afin de les amener à découvrir les raisons de son existence. Dans un premier temps, les élèves observaient une photographie de cette plaque et la décrivaient. Notre rôle se limitait à écrire leurs propositions. A partir de la lecture de celles-ci, les élèves devaient poser des questions, faire ressortir un problème puis émettre des hypothèses. Dans un second temps, les élèves devaient mener des recherches pour répondre à chacune de leur question.

J'envisage au cours de ma carrière professionnelle d'intégrer la démarche de recherche dans cette discipline.

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2. Pistes à explorer

a. Les outils informatiques au service de cette démarche

Étant donnée l'importance attribuée aux outils informatiques dans l'enseignement et ce dès le cycle I, je me demande s'il ne serait pas intéressant de mener un travail interdisciplinaire. Lier les mathématiques et l'informatique favorise l'acquisition de notions en géométrie par exemple. Ceci explique l'essor de quelques logiciels. Je présenterai brièvement l'un d'entre eux.Le logiciel appelé Apprenti Géomètre, développé par les CREM (Centre de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques), dans les années 2002-2003, constitue une aide à l'apprentissage des mathématiques en général et pas seulement de la géométrie.Il est destiné aux élèves du primaire et du début du secondaire. Son principe est qu'il permet de visualiser à l'écran des figures diverses et de soumettre celles-ci à quelques opérations bien choisies. Il représente un champ d'expérimentation complémentaire à d'autres plus traditionnels mais aussi un complément non négligeable à la démarche de recherche.

b. Les limites

Il n'apparaît pas possible d'utiliser la démarche de recherche pour l'apprentissages de toutes les connaissances que ce soit en mathématiques ou dans d'autres disciplines. Effectivement, certaines notions, comme les désignations orales et écrites des nombres, le vocabulaire et les techniques opératoires se rapportant aux mathématiques, ne peuvent être construites complètement par les élèves en situation de recherche. De même, les savoirs factuels, en histoire par exemple, sont essentiellement à amener par une démarche transmissive.Outre cela, il paraît difficile d'évaluer les acquis des élèves dans cette méthode pédagogique sans avoir recours aux évaluations traditionnelles. Pour finir, le manque d'outils à la disposition des enseignants freine l'utilisation de cette démarche de recherche.

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CONCLUSION

Aborder les notions de façon « expérimentale », mettre les élèves en situation de « recherche », relier l'enseignement à d'autres disciplines sont des voies nouvelles. L'engouement de ces dernières années pour les démarches expérimentales du type « la main à la pâte » est un point d'appui pour motiver les professeurs des écoles à adopter des méthodes similaires en mathématiques. A travers ce mémoire, j'ai tenté de montrer que l'utilisation de la démarche de recherche en mathématiques, apparaît comme une des pistes pédagogiques à exploiter à l'école primaire afin d'en faciliter ses apprentissages. En permettant aux élèves d'éprouver du plaisir à faire des mathématiques je souhaite participer à leur réussite. Lors de ma pratique, les élèves ont montré un réel investissement dans ces activités de recherche. Cependant, il est difficile de juger de l'impact de cette méthode d'apprentissage en se limitant au cycle des apprentissages fondamentaux et ce n'est pas lors de quelques séances menées que je suis en mesure d 'évaluer les ''retombées'' de l'utilisation de cette démarche. Néanmoins, grâce à ma pratique pendant les stages, j'ai pu entrevoir des pistes à exploiter davantage, des détails à améliorer afin d'obtenir les résultats escomptés. D'ailleurs, j'ai constaté qu'il restait encore beaucoup de composantes de cette démarche à travailler, comme par exemple, les moyens de chercher, les manières de prouver un argument...

Aider les élèves à comprendre pour apprendre, faire évoluer l'image que les enfants ont des mathématiques, leur permettre d' « aimer » faire des mathématiques et pourquoi pas de former de futurs mathématiciens... Voilà quelques uns de mes objectifs d'évolution professionnelle.

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BIBLIOGRAPHIE

Ouvrages consultés :

– ERMEL, '' Apprentissages numériques et résolution de problèmes en grande section '', Institut National de Recherche Pédagogique, Hatier pédagogie, 1990

– ERMEL,'' Apprentissages numériques, cycle des apprentissages fondamentaux, cours préparatoire '', Institut National de Recherche Pédagogique, Hatier pédagogie, 1990

– Ministère de l'Éducation nationale, Les programmes 2003-2004, Qu'apprend-on à l'école maternelle, SCEREN, XO Édition

– Ministère de l'Éducation nationale, Les programmes 2003-2004, Qu'apprend-on à l'école élémentaire, SCEREN, XO Édition

– Ministère de l'Éducation nationale, de l'enseignement supérieur et de la Recherche, Mathématiques École primaire, Collection École Documents d'accompagnement des programmes, Centre national de documentation pédagogique, 2002

– Françoise Duquesne, Apprendre à raisonner en mathématiques à l'école et au collège, coll Études, adaptation scolaire, Ed. du Centre National d'Études et de Formation pour l'Enfance Inadaptée(CNEFEI), mars 2002

Ouvrages ou revues dont sont extraites certaines citations :

– ERMEL, Apprentissages et résolution de problèmes chez les 5-8 ans, Institut National de Recherche Pédagogique, Cycle des apprentissages fondamentaux, Hatier enseignants, 1990.

– Repères-IREM, V. Durand-Guerrier et T. Dias , Expérimenter pour apprendre en mathématiques,, n°60, p-61-78, 2005.

– Henri Bassis, Je cherche donc j'apprends, G.F.E.N, Messidor, éd sociales, 1988, p 163.

– Roland Charnay, Apprendre par la résolution de problèmes, IN: Grand N, IREM de Lyon, 1987, n°42.

– Repères pratiques, Précis de pédagogie, éd Nathan, septembre 2003.

– Commission des affaires familiales et sociales, rapport d'information déposé à l'Assemblée Nationale concernant l'enseignement des disciplines scientifiques dans le primaire et dans le secondaire, le 2 mai 2006 .

Sites internet consultés :

– http://www.eduscol.education.fr – http://publimaths.irem.univ-mrs.fr – http://www.crdp.ac-grenoble.fr – http://pedagogie.lyon.iufm.fr – http://www.cahiers-pedagogiques.com – http://educmath.inrp.fr

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Annexes

Présentation :

✗ Annexe 1 : La bande numérique de Rémi Brissaud ............................................p 30Activité numérique en Grande Section de Maternelle: construction par les élèves de leur bande numérique.

✗ Annexes 2 et 3 : Travaux d'élèves de Cours Préparatoire .............................p 31-32Tâche de l'élève : disposer leur suite de nombres (par famille de dizaine) sous la forme d'un carré numérique.

✗ Annexes 4 et 5 : Exercices réalisés par des élèves de CP : .............................p 33-34Objectif : compléter une suite numérique et la continuer.

✗ Annexes 6 et 7 : Exercices d'application en CP:..............................................p 35-36Réinvestissement du travail sur le tableau (répertoire additif).

✗ Annexe 8 : Tableau à double entrée regroupant les tables d'additions de 0 à 9 .........................................p 37

✗ Annexes 9 et 10 : Schémas réalisés par des élèves de GS: .............................p 38-39 Représentation d'une situation de distribution

(distribuer équitablement 12 objets entre 4 personnes)

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Annexe 1 : La bande numérique de Rémi Brissaud

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Annexes 2 : Travaux d'élèves de Cours Préparatoire

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Annexe 3: Travaux d'élèves de CP

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Annexe 4 : Exercice réalisé par un élève de CP :

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Annexe 5: Exercice réalisé par une élève de CP :

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Annexe 6 : Exercices d'application en CP

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Annexe 7 : Exercices d'application en CP

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Annexe 8 : Tableau à double entrée regroupant les tables d'additions de 0 à 9

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Annexe 9 : Schéma réalisé par une élève de Grande section de maternelle

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Annexe 10: Schéma réalisé par un élève de Grande Section de Maternelle

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Résumé

Après avoir cherché un moyen pédagogique pouvant aider les élèves dans leurs apprentissages mathématiques, j'ai constaté que la démarche de recherche semblait répondre à mes attentes. En effet, son utilisation en classe participe non seulement au développement de l'enfant mais il facilite également l'appropriation par l'élève des notions mathématiques. Cependant les difficultés de mise en place rencontrées freinent son application.

Mots clés :

– démarche de recherche– constructivisme– pensée rationnelle– problème « pour chercher »

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