BOITE A OUTILS CLASSIQUES DU TOPOGRAPHE

Données Traitements Résultats

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énith

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Coo

rd. X

,Y,Z

ou

λ, ϕ

, h o

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, N,

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Arcs Surfaces Volumes emq T

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,Y,Z

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, h o

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Arcs Surfaces Volumes emq T

Coordonnées RECTANGULAIRES absolues et relatives

X, Y ou E, N: coord. Absoluesx, y : coord, relatives

Coordonnées POLAIRES relativesB peut êtredéfini parrapport à A:GAB, LG est le gisementG est l'angle de la direction AB compté del'axe des ordonnées, dans le sens horaire

TRANSFORMATION des POLAIRES en RECTANGULAIRES

XB =XA + L.sinG YB = YA + L.cosG RECTANGULAIRES en POLAIRES

quadran 1 et 3: tga=(XB-XA)/(YB-YA)=x/y

G=a ou G=a+200 gonsquadran 2 et 4: tga=(YB-YA)/(XB-XA)=y/x

G=α+100 ou G=α+300 gonsL = x/sinG = y/cosG et

Secteur Circulairearc(AB) = R.a (rd)R=arc(AB) / a (rd)a(rd)=arc(AB)/Ra(rd)=3.14*a(gons)/200S=R^2*a(rd)/2S=Pi*R^2*a(gons)/2a(rd)=(2.S) / (R^2)

Distance entre 2 points

xXX AB += yYY AB +=

AB X-Xx = AB Y-Yy =

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,Y,Z

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, h o

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Arcs Surfaces Volumes emq T

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rd. X

,Y,Z

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Arcs Surfaces Volumes emq T

Le POINT alignéXC = XA+ (XB - XA) L / ABYC = YA+ (XB - YA) L / AB

Distance d'un point à une droite

S(ABC) = a*y/2a = 2S / yy = 2S / a

Le triangle rectangleB=100-C C=100-B B+C=100gonssinB=b/a cosB=c/a tgB=b/csinC=c/a cosC=b/a tgC=c/ba^2 = b^2 + c^2S = bc / 2b = 2S / 2 c = 2S / 2b=a*sinB=a*cosC=c*tgB=c/tgCc=a*sinC=a*cosB=b*tgC=b/tgBa=b/sinB=c/cosB=c/sinC=b/cosC

Le triangle quelconquea/sinA=b/sinB=c/sinCA+B+C=200gons

S=(absinC)/2=(bcsinA)/2=(acsinB)/2a=2S/(bsinC)=2S/(csinB)b=2S/(asinC)=2S/(csinA)c=2S/(bsinA)=2S/(asinB)

Gisement: sens des directricesGML=GLM 200 GLM=GLM 400

Transmission des GisementsGMN = GLM + atg 200GMN = GLM - atd 200avec atg, l'angle topographique de gauche et l'atd, de droite.

atg = lr - lv ou = lv - lr selon le sens de graduation limbelr = atg + lv ou lv = atg + lr

Angles et gisementsα = GLM - GLMGLN = GLM + α

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,Y,Z

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Arcs Surfaces Volumes emq T

GLM = GLN - α

G0G0 = GLM - lMGLM = G0 + lMlM = GLM - G0

G0 moyen pondéré

Cercle défini par 3 points

LES INTERSECTIONSde deux droites

formule de Delambre

droite-cercleéquation du second degré

de deux cercles

n21

nn2211

d....dddG0....dG0dG0

G0m+++

+++=

))XX)(YY()XX)(YY((2)XXYY(X)XXYY(X)XXYY(XY

BCCAACCB

2A

2B

2A

2BC

2C

2A

2C

2AB

2B

2C

2B

2CA

O −−−−−−+−+−+−+−+−

=

)XX(2XX)Y-(Y-)Y-(Y

XBC

2B

2C

2OB

2OC

O −−+

= 2OA

2OA )Y-(Y)X-(XR +=

AMBM

BMBABAAM tgGtgG

tgG)YY()XX(YY

−−−−

+=

AMAMAM )tgGY-(YXX +=

Gtg1A 2+= )Y)tgGX-(XGtg-2(YB OAO2

A ++=

)tgGX-(X2Y-)X-(XR-YGtgYC OAA2

OA22

O22

A ++=

4AC-BD 2=

2ADB-YI1

+=

2AD-B-YI2 =

AAI1I1 X)tgGY-(YX +=

AAI2I2 X)tgGY-(YX +=

2A

2B

2A

2B

22

21 Y-YX-XR-RK ++= ( ) ( ) )XXY-Y4(A 2

AB2

BA −+=

))X-(X2Y-)Y-)(YX-(X2X-)Y-4(K(YB 2ABABAABABA=

2A

21

2A

2AABCB K)KX-)R-Y)(XX-)((XX-4(XC ++= 4AC-BD 2=

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Arcs Surfaces Volumes emq T

de deux droites avec déport

Calculs de GAB et GCDGAA1=GAB-100GCC1=GCD+100X,Y de C1 et A1 par PvRpuis intersection de 2 droites

Changement de basesans mise à l'échelle

XM = XA + xMsinG - yMcosGYM = YA + xMcosG + yMsinG

par l'adaptation d'Helmert1) détermination des paramètres p, q, r à partir de deux points connus dans les 2 repères

2) calcul des coordonnées XM et YM connu dans un seul repère

LES SYSTEMES DE REFERENCE GEODESIQUES

a) X, Y, Z <-----> X', Y', Z'1) recherche des paramètres (tx,ty,tz,rx,ry,rz et k) (7 max)2) application

b) X, Y, Z -----> λ, ϕ, h

à partir du calcul de w, par itération

2A

21

2A

2AABCB K)KX-)R-Y)(XX-)((XX-4(XC ++= 4AC-BD 2=

2ADB-YI1

+=

2AD-B-YI2 =)X-2(X

)Y-(Y2YKX

AB

BAI1I1

+=

)X-2(X)Y-(Y2YK

XAB

BAI2I2

+=

)Y-)(Yx-(x-)X-)(Xy-(yp 12121212=)X-)(Xx-(x)Y-)(Yy-(yq 12121212 +=

212

212 )y-(y)x-(xr +=

r)x-q(x)y-p(y

XX 1M1M1M

++=

r)y-q(y)x-p(x-YY 1M1M

1M+

+=

−

−−

−=

tztytx

zyx

*krxryrxkrxryrzk

ZYX

1S2S

PXYarctan2)

XYarctan(

+==λ

=ϕPZarctan0

21

022 )sine-(1w ϕ= w

aN = aw-Zsinpcosh 00 ϕ+ϕ=

+

−=ϕ−12

hNNe1

PZarctan

21

22 )YX(P +=

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Arcs Surfaces Volumes emq T

e=excentricité de l'ellipsoïde associé

c) λ, ϕ, h -----> X, Y, Z

c) λ, ϕ -----> E, N

d) E, N -----> λ, ϕ

on calcule ϕ par itération

e) système d'Altitude et Hauteur

LES CANEVASa) la Station Libre (adaptation d'Helmert)

1) détermination des paramètres à partir des coord. des points connus dans les deux systèmes

2) détermination des coord. des points3) paramètres de la similitude

Translation de composante p en X et q en Y

Rotation d'angle Homothétie de rapport

b) le Relèvement

20

22 )sine-(1w ϕ= wN = aw-Zsinpcosh 00 ϕ+ϕ=

+

−=ϕhN

1P

arctan

ϕ⇒→⇒⇒ϕ←ϕ⇒⇒

ε<ϕϕoui,si

w0non,si?- 0

21

22 )sine-(1

aNϕ

=

λϕ+= cosh)cos(NX λϕ+= sinh)cos(NY ϕ+= h)sin)e-(N(1Z 2

0sinϕλ=γ

ϕ+ϕ−

+

π

+ϕ

=sine1sine1ln

2e

42tanlnL

ϕ+ϕ−

+

π+

ϕ=

0

000 sine1

sine1ln2e

42tanlnL

021-

022

00 cot)sine-a(1kR ϕϕ=)L)sin-((L

000expRR ϕ=

ECRsinE +γ= N0 CRcos-RN +γ=

021-

022

00 cot)sine-a(1kR ϕϕ=N0

E

CNRC-E

tan+−

=γ0sinϕ

γ=λ

γ=

sinC-E

R E

ϕ

−=00

0 RRln

sin1LL

( )(L)1 exp2arctan=ϕ

2exp

esin-1sine12arctan )L(2

e

1

1 π−

ϕϕ+

=ϕϕ⇒→⇒

ϕ⇒ϕ←ϕ⇒⇒ε<ϕϕ

oui,sinon,si?- 1

1

HNh +≈

nx

x ig

∑=ny

y ig

∑=nX

X iG

∑=nY

Y iG

∑= gii xxx' −= gii yyy' −= Gii XXX' −= Gii YYY' −=

∑ ∑∑ ∑

+

+= 2

i2

i

iiii

'y'x'Yy''Xx'

a∑ ∑

∑ ∑+

−= 2

i2i

iiii

'y'x

'Xy''Yx'b

Ggg Xby-axp ++=

Ggg Yya-bxq +−=

iii by-axpX += iii yaxbqY ++=

)abarctan(=α

α=

α=

cosa

sinbk

CBCABA

CBAC

CA

AB

BA

AM

XX)YY()Y-(Y

YY)lltan()XX(

)l-tan(l)X-(X

tanG+−

−−

−

−+−

−−

=AMBM

BMBABAAM tanG-tanG

)tanGY-(Y-)X-(XYY +=

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c) le RabattementRésoudre ATS --> AS

Résoudre ABS --> BAS --> GASRésoudre ACS --> CAS --> GAS -->contrôleXA, YA, AS, GAS --> PvR --> XS, YS

d) l'excentrement de stationS = station stationnéeR = repère connu

e) la polygonale

f) Méthodes du point isolé (à voir d'une manière spécifique)

g) la Réduction des distances1) la réduction à l'horizonthale Dh=Di*sinV2) la réduction au niveau 0 ou à l'ellipsoïde: Do = Dh * R / (R+h) avec R=6370000m et h la hauteur moyenne du chantier

3) la correction due à la projection Lambert: DL = Do(1+CL*10^-5) avec CL en cm/km

CBAC

CA

AB

BA

CBACAB

AM

XX)lltan(

)YY()l-tan(l

)Y-(Y

YY)lltan()l-tan(ltanG

+−−

−−

−+−

−=

ABAMBM l-lGG +=

AMBMAM tanG-tanG

AMAMAM Gtan)YY(XX −+=

+= →→

A

RAA)(SA)(R D

)l-sin(l*rarcsinll

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4) on peut associer la correction athmosphérique: Dh = Dha(1+CA*10^-6) avec CA en ppm 5) mr=(1+CA*10^-6)*(1+CL*10^-5)*R / (R+h) le module de réductionh) la correction de dvs, le signe en fonction de ab par rapport au // d'origine et au méridien de la station∆E en km = différence des abcisses entre a et bN est l'ordonnée du 1/3 de ab

LE NIVELLEMENTa) directdn = lr - lv Σdn = Σlr - Σlv H = H+dnlv = lr - dn b) indirect1)visées unilatérales et DR

2)visées réciproques (sans DR)

Dn=Dh.tg((V"-V')/2)=Di.sin((V"-V')/2)Dh = Di.cos ((V"-V')/2

3) module de réfraction athmosphérique

4) coef de correction de niveau apparent

5) point inaccessible (Dh mesurable)

6) point inaccessible (mesure hauteur)

7) point inaccessible(Dh non mesurable)

(St1-St2-I en triangle)Résoudre St1-St2-I --> Dh1, Dh2Dn1 = Dh1 / tgV1 Dn2 = Dh2 / tgV2

dmgon)200N(128

Esdvab3

1ab −∆

=

Cnahv-DnihtHstHp +++=

CnahvDni-ht-HpHst −+= tgVDhDni =

15DCna (km)

2(m) =

2Vcd))(400(VcgV ++=2

400-VcdVcgcv +=

2))'V'(V'-(200e +=

2))'V'-(200(V'V +=

12

'V"Vtg'tgV

1Dh2Rmra +

−−=

2Rmra-1q =

Cnahv-DnihtHstHp +++=tgVDhDni =

−

=

12 tgV1

tgV1

DhIB

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8) point inaccessible(Dh non mesurable)

(St1-St2-I alignés)

HI=HT1+H1I HI=HT2+H2ILES RACCORDEMENTS

1) CIRCULAIRES1a) la notion de tangence

1b) tracer une droite tangente à un cercle et passant par un point

1c) tracer une droite tangente à 2 cercles donnés

1d) tracer un cercle tangent connaissant:

l'ordre des construction est aussi l'alphabétique les données sont identifiées par D (droite), T (point de tangence), C (cercle), R (rayon), P (point)D,T,R C,T,R D,D,R D,T,P D,P,P D,D,P

D,D,T C,C,R D,T,C C,P,P

21

212121 tgVtgV

tgVHHDhIH−

+=

21

112122 tgVtgV

tgVHHDhIH−

+=

112212 htDn-htHH ++= →

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D,D,C1e) raccordement double

D,D,T,R,R

2) à rayons progressifs2a) clothoïde

2b) parabolique

RLA2 = L.dL.dA2 =τ

......)936021610

(2Ax2

1329

25

21

+τ

−τ

+τ

−τ=

......)2520044014

(3

2Ay2

1329

25

21

+τ

−τ

+τ

−ττ

=

2

2

A2L

=τ)x

yarctg(=ϖ

22 yxc +=

)cos1R(yd 111 τ−−= 11M Rsinxx τ−= 1M dRy += )2γ(tg)d(Rt 11 +=

RpX 11T =2Rp

Y2

11T =

2RpY

22

2T =RpX 22T =2

R)pp(2D 12 −

=

2DXX A1T −= 1CXpY 1T11T += 2CXpY 2T22T +=2DXX A2T +=

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3) implantations

LES SURFACESSurfaces usuelles

Scarré = a^2 Srectangle = L * lS triangle = (b * h) / 2 = 0.5 a b sin CS trapèze = (B + b) * h / 2S cercle = Π * R ^2S limite courbe non circulaire = 2 f c / 3

S polygone connaissant les C.P.

S polygone connaissant les C.R.

Somme des angles intérieurs d'un polygone à n cotés = (n-2)200gons

redressement de polygone redressement de limites division des terrains urbains division des terrains rurauxsol. graphique sol. Numérique par ligne // base Résolution d'une équation du second degré

dont les coefficients sont:en x

en y

∑ ++= )L,.sin(L.LL2S 1nn1nn

∑ += )Y-(YX2S 1n1-nn

2T22T

RpXRpXX 22T11TS −=−=

2RpY

2RpYY 2

22T2

11TS −=−=

R2)X(XYY 2SPSP −+=

ˆS2MN)2

calculer_S)1

ABCDM

ABCDM

=°

° )2MAPsin(2

1AMAP ==M)Atg(P4

PMs2

=

βααβ+α

=tgtg2

sin)tg(tga2

α−= dsinb Sc =

βαββ+α

=tgtg2

sin)tg(tga2

β−= dsinb Sc =

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par une ligne issue d'un sommet par ligne issue d'un pointsitué sur un des cotés

par ligne issue d'un point un quadrilatère par ligne un quadrilatère par ligne situé à l'intérieur issue d'un sommet issue d'un point situé sur un coté

O est obtenu par int. des 2 droites décalées de y1 et y2 de AB et AC on transforme le quadrilatère en on transforme le quadrilatère en

triangle de surface équivalente triangle de surface équivalente

par ligne // à une direction donnée un quadrilatère1) situer E par IDD par ligne // à une direction donnée2) calculer SABE faire comme pour le triangle un triangle, en 2 parties égales3) S=SABE - s1 ci-contre en tenant compte par ligne perp. à une base un triangle par segment4) diviser par ligne de SADE issu d'un sommet,// à une base de longueur et direction

connues

Toutes ces solutions permettent le calcul de:

LES VOLUMES

1) usuels tronc de cône pyramide tronc de pyramideparallèlèpipède sphère calotte shérique cylindre cône

MsinMAS2MN)2 ABCDM

ABCDM

=°

)2sin(2 M)Atg(P4

M)Atg(PSsAQ 1+

= M)Atg(P)S(sQT 1+=

M)Atg(PS2SsRA 21++

= M)Atg(P)S2S(sRU 21++=

β−= dsinb Sc =

Bsin.BAs2x 11 =Bsin.BOs2BM 1=

ABs2y 1

1 =

CAs2y 2

2 =

lL*V = 3R34V π=

3hRV

2π= )RrrR(

3hV 22 ++

π= h*S

31V = bBbB S*SSS(

3hV ++=

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Lect

ures

an

gula

ires

Ang

les

azim

utau

x

Gis

emen

ts

Ang

le z

énith

al

Dén

ivel

ée

Long

ueur

s

Coo

rd. X

,Y,Z

ou

λ, ϕ

, h o

u E

, N,

H

Arcs Surfaces Volumes emq T

Lect

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Coo

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,Y,Z

ou

λ, ϕ

, h o

u E

, N,

H

Arcs Surfaces Volumes emq T

2) cubatures

LES ERREURS1) sur les niveaux

collimation verticale cv

1ère étape 2ème étape 3ème étapesoit réglersoit assurer la proportion sur les lectures faites en rayonnement

avec L, la portée sur le point rayonné

2) sur les théodoliteserreur d'index

collimation horizontale

3) sur les IMELconstante d'addition

C = AC - (AB + BC)

4) composition des erreurs accidentelles

par rapport à la valeur vraie: par rapport à la valeur moyenne:

emq e sur une somme ou une différence de n éléments d'emq différents e1, e2, .... en

e=±

emq e sur une somme ou une différence de n éléments d'emq identique eie=± ei

emq em sur une moyenne de n éléments d'emq identique ei

3

3hRhV

32 π−π= hS*V = 3

V = )RrrR(3

V ++= h*S3

V = bBbB S*SSS(3

V ++=

2SSdV 21+

=

∑ ∑+++= )S2S4SS(3hV impairpairn1

)hhhh(4SV dcba +++= ∑ ∑ ∑ ∑+++= )h4h3h2h(

4SV 4321

dDlv_vraielv_faitetg(cv) −

−= Ltg(cv)l_faitelvraie −=

2400-VcdVcgcv +=

2)200(llch CGCD ±−

=

ne

e2

i∑±= 1nv

e2

i

−±= ∑

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HArcs Surfaces Volumes emq

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,Y,Z

ou

λ, ϕ

, h o

u E

, N,

H

Arcs Surfaces Volumes emq T

em=± ei /

emq eF sur un élément F = f (m1, m2, ...mn) fonction de n variables mi d'emq différentes e1, e2, .... ena) solution calculée

1) calculer F = f ( m1, m2, ....., mn)2) calculer F1 = f ( m1+e1, m2, m3,......,mn) calculer F2 = f ( m1, m2+e2, m3,......,mn) --------------------------------------------------> calculer Fi = f ( m1, m2,...,mi+ei, ......,mn) --------------------------------------------------> calculer Fn = f ( m1, m2, m3,......,mn+en)3) calculer ∆1 = F1 - F calculer ∆2 = F2 - F ------------------------- calculer ∆n = Fn - F4) eF = ±

b) solution algébrique:

4) eF = ±

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