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1

PLAQUE MULTICOUCHE

E1,v1

E2,v2

x1

x3

O

e1

e2

Figure 1 : Gomtrie de la plaque composite

Le but de cet exercice est dexaminer la courbure dune plaque

multicouche circulaire sous leffet dun changement de temprature. La

plaque est compose de deux couches homognes : le dpt et le substratqui ont successivement des paisseurs e1 et e2, des modules dYoung E1et E2, et des coefficients de Poisson 1 et 2. La temprature initiale

est note T0. Comme la distribution des matriaux dans lpaisseur nest

pas symtrique, le simple changement de temprature va gnrer une

courbure de la plaque, et des contraintes thermomcaniques autoquilibres

lintrieur des couches, mme en prsence dun champ de temprature

uniforme.

1. Rappeler les quations gnrales valides pourune plaque composite,

dans le cadre de la thorie de plaque de Love-Kirchhoff. Commenter

les diffrences prsentes au niveau des quations dquilibre et decomportement entre une plaque homogne et une plaque composite. Ecrire

les quations de comportement pour la plaque composite qui prennent en

compte la dilatation thermique.

La cinmatique dune plaque de Love-Kirchhoff scrit :

u1 = U+ 2x3

u2 = V1x3

u3 = W

Les dformations sexpriment donc comme :

11 = U,1 + 2,1x3

22 = V,21,2x3

33 = 0

212 = U,2 + 2,2x3 +V,11,1x3

223 =1 +W,2

231 = 2 +W,1

Les quations dquilibre de la plaque homogne et de la plaque composite

restent les mmes :

N11,1 +N12,2 = 0

N12,1 +N22,2 = 0

M11,11 +M22,22 + 2M12,12 + p = 0

Dans les plaques de Kirchhoff-Love, on ne sintresse quaux composantes11, 22, 12 des tenseurs de contraintes et de dformations. Dsormais pour

simplifier lcriture, on note :

=

1122

212

=

1122

12

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2

On introduit les notions de dformation transversale et rotation transversale

gnralises :

=

U,1V,2

U,2 +V,1

=

2,11,2

2,21,1

Il vient :

= + x3

La loi de Hooke scrit dans ce cas, en prenant en compte la dformation

thermique :

= S1i

( th )

o Si

est le tenseur de souplesse du matriau i. Pour un matriau homogne

isotrope, ce tenseur scrit :

Si

=1/Ei i/Ei 0i/Ei 1/Ei 0

0 0 1/Gi

S1i

=

i + 2i i 0i i + 2i 0

0 0 i

Par dfinition, on obtient ainsi les quations de comportement de la plaque :

N=Z

dx3 = Z

S1i

dx3 + Z

S1i

x3dx3

ZS1

ith dx3

M=Z

x3dx3 = Z

S1i

x3dx3 + Z

S1i

x23dx3

ZS1

ithx3dx3

Sous forme matricielle, il vient :N

M

=

ZS1

idx3

ZS1

ix3dx3Z

S1i

x3dx3

ZS1

ix23dx3

ZS1

ith dx3Z

S1i

thx3dx3

Si bien que :

N=

N11N22

N12

M=

M11M22

M12

2. Dans la suite, on considre que la couche de dpt est trs mince par

rapport celle de substrat. Cela conduit supposer quil y a uniquementun effort normal dans la couche de dept, et que le moment y est nul.

En crivant lquilibre des efforts pour une section droite de la plaque

multicouche, dterminer leffort normal Ns et le moment flchissant Ms

dans la couche de substrat en fonction de leffort normal N dans la couche

de dpt ? On examine alors la couche de substrat seule. Ecrire lquation

de comportement pour la couche de substrat, en dduisant la relation entre

N et la rotation de la couche.

N

N

x3

x1

Meq

e1

Figure 1 : Schma de calcul

Dans ce cas, la plaque redevient monocouche et homogne. Leffet de

la temprature se rsume un effort normal dans la couche dont on nglige

lpaisseur, qui transmet en fait un effort tangentiel la partie restante de la

plaque. Lquilibre dans chaque section du multicouche fournit :

M= MsNe1

2 = 0

N= Ns +N= 0

Les efforts dans la couche de substrat sont alors :

Ms = Ne1

2

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3

Ns = N

Lquation de comportement pour la couche homogne devient :

Ns

Ms =

ZS1

1dx3 0

0Z

S

11 x23dx3

ZS1

1th dx3

0

Dans les conditions du problme de chargement biaxial, on a :

Ns11 = Ns22 =N N

s12 = 0

Ms11 = Ms22 = M

s = Ne1

2Ms12 = 0

11 = 22 = 12 = 0

11 = 22 = 12 = 0

Si bien que :Ms = S1

1e31/12

=12

e31S

1M=

12

e31

11

EMs =

6

e21

11

EN

En notant = 1/R la courbure cause par N, on retouve la formule deStoney, qui donne la relation entre N et le rayon de courbure :

N=1

R

E1e21

6(11)

Si la plaque a une courbure initiale, on a :

N= (1

R

1

R0)

E1e21

6(11)

Remarques :

Dans ce cas, laxe neutre de la plaque multicouche nest pas au centre de

la plaque. La position o la contrainte est nulle se trouve dans la couche de

substrat, au 1/3 de la section vers la couche de dpt :

Ns

E1e1+

12Ms(e1/2x3)

E1e31

= 0

x3 =

2e1

3

3. Retourner au problme de la plaque bicouche. On observe que, sur

de grandes plaques, de diamtre 200 300 mm, la flexion seffectue selon

une direction prfrentielle. Cela conduit reconsidrer les conditions aux

limites axisymtriques, et utiliser la place une hypothse de dformation

plane. La plaque est libre sur ses bords. On effectue un changement de

temprature de t0 T = T1 pour toute la structure. Dterminer les champsdes efforts et des dformations gnraliss. Dterminer le rayon de la

coubure de la plaque.

Application numrique pour une plaque de 30 cm de diamtre,

qui consiste en un substrat en silicium et un dpt de nickel :

E1=112 GPa, E2=207 GPa, 1=0.25, 2=0.31, e1=200 m, e2=50 nm,

1 = 3.106/degreC, 2 = 13.10

6/degreC, T0=300C , T1=20

C .

Dans le cas de la dformation plane, les quations dquilibre

deviennent :

N11,1 = 0 M11,11 = 0

Avec les conditions limites de bords libres, il vient : N11 = 0, M11 = 0, etles quations de comportement scrivent :

N11

M11

= Z

e1+e2

0 (i + 2i)dx3Z

e1+e2

0 (i + 2i)x3dx3Ze1+e20

(i + 2i)x3dx3

Ze1+e20

(i + 2i)x23dx3

U,12,1

(T1T0)

Ze1+e20

(2i + 2i)idx3Ze1+e20

(2i + 2i)ix3dx3

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4

On peut rcrire les quations de comportement sous la forme :N11

M11

= A

U,12,1

(T1T0)B

Les dformations gnralises sont calcules :

U,12,1

= A

1 N

11M11

+A

1B(T1T0) = A

1B(T1T0)

Les constantes de A et B sont calcules comme suit :Ze1+e20

(i + 2i)dx3 = (1 + 21)e1 + (2 + 22)e2

Ze1+e20

(i + 2i)x3dx3 = (1 + 21)e212

+ (2 + 22)(e1 + e2)

2e21

2Ze1+e20

(i + 2i)x23dx3 = (1 + 21)

e313

+ (2 + 22)(e1 + e2)

3e31

3Ze1+e20

(2i + 2i)idx3 = (21 + 21)1e1 + (22 + 22)2e2

Ze1+e20

(2i + 2i)ix3dx3 = (21 + 21)1e212

+ (22 + 22)2(e1 + e2)

2e21

2

Le rayon de courbure est calcul partir de :

1

R= 2,1

4. Peut on utiliser la formule de Stoney pour calculer leffort normal

dans la couche de dpt ? Sinon, tablir la formule dans ce cas.

La formule de Stoney a t tablie en chargement biaxial, dans ce cas

de dformation plane, on ne peut pas utiliser cette formule. Dans ce cas on

a :

=12

e31

1

EMeq =

6

e21

1

EN

Donc la formule dans le cas de dformation plane :

N= (1

R

1

R0)E1e

21

6