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RÉSUMÉ

La société à forme tontinière réglementée par le code des assurances français présente des pointsde connexion déterminants entre l'assurance conventionnelle et l'assurance islamique dite Taka-ful. L'objectif de ce mémoire est d'exploiter l'environnement juridique simple et allégé consacréaux tontines an d'identier les concepts clefs qui doivent retenir l'attention de l'actuaire dansla modélisation d'un produit d'assurance revendiquant une conformité à l'éthique musulmane.L'étude a permis dans un premier temps de proposer deux produits candidats déclinés à partirde la tontine dénie par le code des assurances. Chaque produit a fait l'objet d'une analyse ac-tuarielle marquant clairement la diérence avec la tarication d'une assurance conventionnelle.Après avoir sélectionné le produit candidat le plus attractif du point de vue commercial, cettemême analyse a ensuite permis de modéliser la participation d'un réassureur proposant un traitéde réassurance adapté à l'éthique du produit retenu. La clôture de l'étude s'est faite sur la valo-risation d'un portefeuille réel représentant une population d'environ 10 000 individus souhaitantsouscrire un produit d'assurance respectant l'éthique musulmane.

Mots-clefs : Tontine, Takaful, assurance islamique, Gharar, incertitude, loi des grands nombres,tarication, allocation de capital, distribution Poisson Binomiale, distribution Multivariate Ber-

noulli, théorème central limite, réassurance, Retakaful, quote-part, Musharaka.

ABSTRACT

The tontine type company ruled by the French insurance code provides key connecting pointsbetween conventional insurance and Islamic insurance called Takaful. The objective of this thesisis to exploit the simple and lighter legal environment devoted to tontines in order to identifythe key concepts which should attract the attention of the actuary in the modelization of theinsurance product claiming a conformity with Islamic ethics. The study allowed rst to providetwo candidate products derived from the tontine dened by the insurance code. Each product wassubject to an acturial analysis marking clearly the dierence with the pricing of a conventionalinsurance. After selecting the most attractive candidate product from a commercial point ofview, this same analysis has allowed to modelize the participation of a reinsurer proposing areinsurance treaty suited to the ethics of the selected product. The closure of the study has beenmade on the valuation of a real portfolio representing a population of approximatively 10,000individuals wishing to subscribe an insurance product complying with Islamic ethics.

Keywords : Tontine, Takaful, Islamic insurance, Gharar, uncertainty, law of large numbers,pricing, capital allocation, Poisson Binomial distribution, Multivariate Bernoulli distribution,central limit theorem, reinsurance, Retakaful, quota share, Musharaka.

Remerciements

Je remercie Vincent Lepez et Christian Robert pour leur encadrement ainsi que pour leursencouragements.Je remercie également Bruno Latourette, Guillaume Biessy et Anass Patel pour nos nombreuxéchanges consacrés au Takaful et leurs précieux conseils.Je remercie tout particulièrement mon épouse et mes deux petits garçons qui m'ont soutenupendant l'élaboration de ce mémoire.Je remercie enn tous ceux qui, d'une manière ou d'une autre, m'ont aidé à achever ce travail.

Sommaire

Introduction 1

1 Préliminaires 21.1 Assurance conventionnelle et éthique musulmane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Gharar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Haram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Riba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Maysir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Premier pas vers une structure viable dans le référentiel réglementaire français . . 31.2.1 Règles de placement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Assurance mutuelle et solvabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 La problématique de l'incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 La tontine, point de convergence entre le code des assurances et le Takaful . . . . 61.3.1 Société à forme tontinière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Association tontinière en cas de décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Modèle de la tontine retenu par l'étude du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1 Société réduite à une association en cas de décès . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Société munie d'une fenêtre Takaful . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 La tontine décès : une économie d'échange du risque 142.1 Une conguration tontinière introductive : trois associés . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Répartition au prorata des cotisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Détermination des cotisations individuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 Résolution par la méthode de Newton Raphson . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4 Aectation du fonds en l'absence totale de décès . . . . . . . . . . . . . . 192.1.5 Constitution d'une provision en faveur des survivants . . . . . . . . . . . . 202.1.6 Exemples et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Modélisation d'une tontine décès constituée de n individus . . . . . . . . . . . . . 272.2.1 Analyse actuarielle et ux tontiniers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants . . . . . 292.2.3 Tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants . . . . 30

2.3 Hypothèses de tarication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants . . . . . 32

8

2.3.2 Tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants . . . . 32

3 Méthodes de tarication des risques tontiniers 343.1 Tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants . . . . . . . . . 34

3.1.1 La méthode directe : méthode de Newton Raphson . . . . . . . . . . . . . 353.1.2 La méthode d'approximation : simuler la méthode directe . . . . . . . . . 36

3.2 Tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants . . . . . . . . . 373.2.1 La méthode directe : détermination de la loi Multivariate Bernoulli . . . . 383.2.2 Une application particulière de la méthode directe : la loi Poisson Binomiale 393.2.3 La méthode d'approximation : version généralisée du théorème Central limite 40

3.3 Vers une comparaison avec l'assurance temporaire décès . . . . . . . . . . . . . . 433.3.1 Primes assurantielles et cotisations tontinières . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.2 Versements garantis et versements indéterminés . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Exemples et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.1 Tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants . . . . . 463.4.2 Tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants . . . . 54

4 Capital requis par la tontine munie d'une provision en faveur des survivants 584.1 Détermination du capital associatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.1 Escompte par la Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.2 Chargement de sécurité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Financement et réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.1 De nouveaux participants à l'opération tontinière . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2 Solution de réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Cas pratique : étude d'une alternative à l'assurance emprunteur . . . . . . . . . . 674.3.1 Etude de la base de données fournie par la société 570 easi . . . . . . . . . 684.3.2 Réassurance en quote-part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4 Digression juridique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4.1 Contrat de Musharaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4.2 Modèle coopératif saoudien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Conclusion 79

Annexe 80

A Probabilités : généralités 81A.1 Lois de probabilités étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A.1.1 Loi Poisson Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81A.1.2 Loi Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.2 Théorèmes de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.2.1 Lois tronquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.2.2 Généralisation du théorème central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.2.3 Théorème de Cramer-Wold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9

B Formalisation de la tarication en allocation de capital 85B.1 Mesures de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

B.1.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.1.2 Mesure induite par la tontine munie d'une provision en faveur des survivants 87

B.2 Méthodes d'allocation de capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87B.2.1 Méthode induite par l'axiomisation de Kalkbrenner . . . . . . . . . . . . . 87B.2.2 Méthode induite par la tontine munie d'une provision en faveur des survivants 88

C Tableaux de valeurs 90

Bibliographie 94

0

Introduction

D'après une enquête publiée par l'IFOP en juillet 2011, la population française d'origine mu-sulmane manifeste un intérêt pour les produits issus de la nance islamique. Certaines initiativesrécentes de compagnies d'assurance vie sur le marché français ont montré la compatibilité entreles règles de placement du code des assurances et les principes de la nance islamique. Il esttoutefois à noter que la vocation de ces produits est surtout de fournir une solution d'épargnemunie d'avantages scaux. An de proposer une alternative à l'assurance vie pour couvrir unrisque de décès, une association à but non lucratif française 1 a mené une enquête pour propo-ser une solution adaptée au référentiel réglementaire français. L'enquête a révélé que si l'assu-rance conventionnelle est caractérisée par un transfert total du risque de l'assuré vers l'assureur,l'éthique assurantielle du Takaful doit se traduire par le partage des risques entre les détenteursde police. Certains experts en droit musulman ainsi que des professionnels de l'assurance conven-tionnelle ont été consultés dans le cadre de cette même enquête : ces derniers constatent surcertains marchés étrangers que cette éthique se limite malheureusement à une forme d'habillagejuridique qui masque l'activité commerciale réelle de la compagnie Takaful. Cela est surtoutvisible au niveau actuariel lorsqu'un contrat Takaful couvrant le risque de décès et un contratd'assurance conventionnelle temporaire décès sont tarifés selon une lecture identique des clausescontractuelles pourtant marquées par des éthiques distinctes.

L'objectif de ce mémoire est donc ambitieux car il vise non seulement à proposer un produitd'assurance décès qui soit conforme à l'éthique musulmane et viable dans le code des assurances envigueur en France, mais aussi à fournir la modélisation actuarielle adaptée. Nous commenceronspar présenter les principes de base du droit des aaires musulman et plus particulièrement ceuxdu Takaful. Après avoir caractérisé le Takaful par rapport à l'assurance conventionnelle, nousserons en mesure d'adopter un modèle adéquat reétant la coopération ainsi que le partage durisque. Ce même modèle sera par la suite prolongé de manière à faire introduire un réassureursans fausser l'éthique du produit d'assurance décès étudié.

1. Association d'Innovation pour le Développement économique et IMMobilier (AIDIMM)

1

Chapitre 1

Préliminaires

1.1 Assurance conventionnelle et éthique musulmane

An de bien cerner les divergences entre le contrat d'assurance conventionnelle et l'éthiquemusulmane, nous allons rappeler la caractérisation du cycle de production de l'assurance qui aété faite par l'économiste Jean Fourastié [JFR 1946]. En eet, le cycle de production de l'assureurest inversé par rapport au cycle de production d'une entreprise classique : l'entreprise connaît leprix des matières premières utilisées dans la production du produit qu'elle propose. Ce prix estdonc connu et payé avant le prix de vente du produit en question. Si nous faisons correspondrele prix de vente de l'opération d'assurance au montant de la prime et le prix d'achat au montantdu sinistre, nous pouvons armer que le prix de vente est connu et payé avant le prix d'achatet il s'agit bien là d'une inversion du cycle de production. Cela revient tout simplement à direque l'assureur encaisse les primes avant de payer les sinistres. Il est intéressant de remarquerque c'est l'inversion même du cycle de production qui engendre les incompatibilités avec le droitmusulman.

1.1.1 Gharar

Le fait de xer et de payer un prix de vente avant le prix d'achat confère à l'opération d'assu-rance un caractère hasardeux et incertain. L'incertitude réside non seulement dans le montant dusinistre à payer mais aussi dans la date de survenance du sinistre. Cette incertitude déséquilibrela transaction entre l'assuré et l'assureur : même si aucun sinistre ne survient avant l'expira-tion du contrat, l'assuré est débité de la prime au prot de l'assureur et dans le cas contraire,l'indemnisation de l'assureur prend eet quelle que soit la situation de ce dernier. Le contratd'assurance peut constituer une perte disproportionnée en faveur de l'un des participants auxdépens de l'autre. Ce caractère d'incertitude, appelé Gharar en arabe, est un caractère prohibépar l'Islam surtout lorsque le transfert du risque vers un tiers est total, ce qui est notamment lecas pour l'assureur qui porte entièrement la charge du risque cédé par l'assuré.

2

1.1.2 Haram

La mécanique inversée de la production rend possible une vente à découvert. An de renforcerla protection des assurés, les régulateurs de l'assurance imposent donc des règles aux assureursqui réduisent l'incertitude inhérente aux contrats d'assurance sans pour autant l'éliminer. L'as-sureur doit couvrir ses engagements contractuels envers ses assurés en constituant des provisionstechniques. La couverture de ces provisions est réalisée par des placements. Cela signie que, tantque les prestations ne sont pas exécutées, l'assureur investit les primes encaissées dans des actifssélectionnés sur les marchés nanciers. L'investissement soumis aux règles de la nance islamiqueexclut les actifs émis par des sociétés dont l'activité principale est liée aux secteurs nancierset bancaires conventionnels, aux secteurs de l'alcool, de la viande porcine, du divertissementpour adultes ou encore de l'industrie militaire. Les secteurs prohibés par la nance islamiquesont qualiés de Haram qui signie illicite en arabe. Un assureur conventionnel n'exclut pas duportefeuille de couverture les actifs considérés comme illicites par la nance islamique.

1.1.3 Riba

La couverture des provisions techniques incite donc l'assureur à assumer la fonction de ges-tionnaire nancier : l'assureur constitue son portefeuille de couverture et adapte sa compositionpar rapport à ses engagements envers les assurés. Le portefeuille peut, par exemple, inclure desactifs obligataires dont les taux de rendement font apparaître des taux d'intérêt. Les obligationssont en général moins risquées que les actions, mais il s'agit toujours d'une classe d'actifs, qui pardénition est exclue par la nance islamique. En eet, l'interdiction de l'usage du taux d'intérêt,appelé Riba en arabe, est l'un des fondements du droit des aaires musulman.

1.1.4 Maysir

La présence d'actionnaires dans une société d'assurances représente un facteur commercialqui peut déséquilibrer la transaction entre l'assuré et l'assureur : même si aucun sinistre nesurvient avant l'expiration du contrat, l'assuré est débité de la prime au prot de l'assureur dontune part alimente le fonds des actionnaires. L'aléa lié au contrat d'assurance peut générer uneperte disproportionnée en faveur de l'un des participants aux dépens de l'autre. Cette formed'incertitude particulière qui génère un déséquilibre dans une transaction est interprétée commeune spéculation ou un "pari" appelé Maysir en arabe.

1.2 Premier pas vers une structure viable dans le référentiel ré-

glementaire français

A l'issue de l'analyse précédente, l'idée même d'une assurance islamique semble être un contre-sens. Pourtant, la religion musulmane encourage l'individu à prendre des mesures pour réduirel'ampleur des désastres qui pourraient l'aecter. D'après un Hadith 1 authentié, le prophète

1. Le Hadith signie littéralement conversation ou récit. Il désigne les actes et les paroles du prophète, quifurent d'abord rapportés oralement par une chaîne ininterrompue de transmetteurs, puis rassemblés et consignés

dans des recueils. Les plus importants furent constitués au 9ème siècle.

3

conseille à un croyant de placer sa conance en Dieu et d'attacher son chameau plutôt que dese limiter uniquement à placer sa conance en Dieu en orant la possibilité au chameau librede s'échapper. L'Islam ne s'oppose donc pas à l'idée de vouloir minimiser les risques et parconséquent elle ne s'oppose pas à faire usage de la loi des grands nombres. Elle exclut certesla spéculation et l'incertitude ainsi que le taux d'intérêt. En revanche, elle compte parmi sesprincipes la coopération et l'entre-aide mutuelle ainsi que le partage équitable des risques et desbénéces. Toutes ces bases ont permis de concevoir un modèle alternatif à celui de l'assuranceconventionnelle.

1.2.1 Règles de placement

An d'éliminer les caractères Riba et Haram, il sut d'appliquer le ltre de la nance isla-mique aux placements eectués. Il est utile de donner des précisions par rapport au taux d'intérêttechnique mentionné dans le code des assurances. Le taux d'intérêt technique représente le tauxde rendement des placements anticipé de manière prudentielle par l'assureur. Sachant qu'il estquestion de la nance islamique qui exclut le recours au taux d'intérêt usuraire, il faut insistersur le qualicatif technique du taux décrit dans l'article A 132-1-1 du code des assurances : letaux d'intérêt technique doit être perçu comme un indicateur prudentiel et ne reète pas la réa-lité économique des placements. Supposons que le taux d'intérêt technique soit xé à 2,5%, celasignie que l'assureur escompte que ses placements rapporteront un taux de rendement minimumde 2,5%. Supposons par ailleurs qu'il soit possible de constituer deux portefeuilles de couvertureavec un taux de rendement supérieur à 2,5%, l'un qui soit composé uniquement d'actifs conformesà la nance islamique et l'autre qui soit conventionnel. L'assureur peut choisir sa stratégie deplacements selon un critère nancier et sélectionner le portefeuille muni du taux de rendementle plus élevé ou selon un critère éthique qui, dans le cadre de la nance islamique, consisteraità satisfaire la préférence religieuse de ses clients. Ce dernier choix indépendant du taux d'inté-rêt technique et ce dernier ne représente donc pas un élément d'exclusion par la nance islamique.

Nous supposons donc dans le cadre de notre étude que les règles de placement du code desassurances sont compatibles avec les principes de la nance islamique.

1.2.2 Assurance mutuelle et solvabilité

Toute compagnie d'assurance à but non lucratif est dépourvue d'actionnaires. En eet, lefonds de souscription appartient intégralement aux assurés souvent dénommés sociétaires car ilssont à la fois détenteurs de police et actionnaires. Une telle structure est considérée comme étantdémunie de toute vocation commerciale et ne génère donc pas de Maysir.

Sachant qu'une compagnie d'assurance doit continuellement satisfaire des contraintes de sol-vabilité règlementaires et que le marché de l'assurance rend l'appel du capital inéluctable, il estpeu probable d'imaginer actuellement la création d'une compagnie d'assurance sans être assistéepar des actionnaires. Les modèles Takaful en vigueur au moyen-orient impliquent généralementla présence d'actionnaires octroyant un prêt à taux zéro au fonds mutuel lorsque ce dernier faitdéfaut. Les modèles en question sont basés sur une structure hybride où le fonds des détenteurs

4

de police est strictement séparé du fonds des actionnaires. Cette particularité implique de nom-breuses dicultés réglementaires lorsqu'il est question d'établir une compagnie Takaful dans unréférentiel réglementaire conventionnel. Plutôt que de présenter en détail les modèles Takaful exis-tant au moyen-orient, nous renvoyons aux documents de référence publiés par l'Islamic Finance

Services Board (IFSB). Il s'agit du Conseil des services nanciers islamiques. Cette institution aétabli dès janvier 2006 conjointement avec l'Autorité Internationale des Contrôleurs d'Assurance(IAIS) un groupe de travail mixte pour étudier les problématiques liées à la réglementation etau contrôle du Takaful. Un document intitulé "Questions sur la réglementation et le contrôle du

Takaful (assurance islamique)" a été publié en août 2006 et regroupe les problématiques princi-pales dans l'adaptation du Takaful dans un environnement référentiel conventionnel. Parmi lespublications actuelles de l'IFSB 2, les documents [IFSB8], [IFSB11] et [IFSB14] fournissent desétudes beaucoup plus détaillées. An de ne pas avoir à traiter ces problématiques d'ordre régle-mentaires, l'étude sera focalisée sur une structure à but non lucratif et le caractère Maysir nesera donc pas discuté.

1.2.3 La problématique de l'incertitude

S'il est possible d'exclure les caractères Riba, Haram et Maysir, l'exclusion du Gharar est enrevanche délicate : comment exclure l'incertitude d'une activité assurantielle ? L'idée développéepar les juristes en droit musulman est de rapprocher la cotisation assurantielle du Tabarru' quidésigne en langue arabe une donation et permet ainsi d'autoriser la présence de l'incertitudedans les engagements du contrat émis par une compagnie Takaful. Une donation n'exige aucunretour et de ce fait ne peut donc être associée à un retour incertain. Lorsque l'un des cotisantsne gure pas parmi les sinistrés, sa cotisation assume une fonction donatoire car elle prote auxsinistrés et se rapproche donc du Tabarru'.

Dans les modèles Takaful utilisés au moyen-orient, la cotisation est donc considérée commeune donation an d'éliminer le caractère Gharar. Une telle interprétation de la prime du contratd'assurance dans l'environnement référentiel français n'est pas possible car cela nous projette-rait inéluctablement dans le code civil entrainant ainsi la problématique de la requalicationréglementaire : l'opération assurantielle reste caractérisée par l'incertitude. La réglementationfrançaise démontre paradoxalement que l'argument fourni par les experts en droit musulman estparfaitement censé au point de ne pas pouvoir autoriser l'implémentation d'un contrat d'assu-rance axé autour d'une donation. Notre étude retient donc que la qualication de la cotisationen termes de donation n'est pas une solution adaptée au cadre de la règlementation françaisede l'assurance et qu'un modèle Takaful doit assumer l'incertitude an de pouvoir trouver sonancrage dans le code des assurances.

2. Signalons que si le projet d'harmonisation européenne Solvabilité 2 a fait l'objet de campagnes d'étudesquantitatives menées auprès des sociétés d'assurances conventionnelles, le document IFSB-11 propose une listede normes qualitatives que devrait satisfaire une société Takaful en termes de solvabilité. Ces normes sont enphase avec celles qui ont été établies par l'IAIS an qu'une société Takaful puisse être conforme aux exigences desrégulateurs conventionnels.

5

Dans le cadre de notre étude, nous considérons que le Gharar devient acceptable lorsque l'unedes parties se décharge partiellement et non totalement du risque sur un tiers.

1.3 La tontine, point de convergence entre le code des assurances

et le Takaful

Les hypothèses émises à la n des sections 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 précédentes ont xé la démarchede l'Association d'Innovation pour le Développement économique et IMMobilier (AIDIMM) dansla recherche d'une structure juridique régie par le code des assurances et conforme à l'éthiquemusulmane. Présentons l'AIDIMM en quelques mots. Il s'agit d'une association créée en 2005qui se compose de professionnels de l'immobilier, de la nance et du domaine des services engénéral. Cette association à but non lucratif rééchit sur les méthodes de la nance islamique etles attentes du public, en menant des travaux de recherche et de sensibilisation. L'AIDIMM aorganisé un certain nombre de conférences et de formations à ce sujet et a également été en contactavec quelques grandes banques françaises qui font une veille active sur la nance islamique, etqui par ailleurs maîtrisent déjà très bien ce type de produits. Sachant que le marché de la nanceislamique concerne aussi celui de l'assurance, l'AIDIMM a constitué une commission chargéed'étudier la viabilité du Takaful dans le référentiel réglementaire français. Cette commission aidentié des points de connexions déterminants entre le Takaful et la tontine réglementée par lesarticles R.322-139 à R.322-159 du code des assurances.

1.3.1 Société à forme tontinière

Commençons par préciser ce qu'est une société à forme tontinière. Il s'agit d'une sociétéd'assurance mutuelle particulière régie par le code des assurances. Son activité se limite à laconstitution et a l'administration d'opérations tontinières... et absolument rien d'autre ! En eet,d'après l'article L321-1, "aucun agrément ne peut être accordé à une entreprise tontinière pour

des opérations autres que tontinières". L'opération tontinière est menée conjointement par laditesociété à forme tontinière et une association d'adhérents. L'opération consiste à capitaliser demanière commune les cotisations des adhérents. Sachant qu'une société à forme tontinière peutgérer plusieurs associations, chaque association tontinière se voit attribuer un fonds. Les fondssont distincts et sont alimentés par les diérentes cotisations et les éventuels revenus et plus oumoins-values, sous la seule déduction des frais de gestion et d'acquisition statutaires. Les fondsdes associations sont bloqués jusqu'à la date de liquidation. Parmi les articles du code des as-surances consacrés aux tontines, les articles R.322-139, R.322-154 et R.322-159 ont été identiéscomme étant non seulement les articles clefs de la tontine, mais aussi les points de connexionavec les principes du Takaful :

1. une société à forme tontinière ne peut garantir aux adhérents que la liquidation d'une as-sociation leur procurera une somme déterminée à l'avance ;

6

2. l'objet d'une société à forme tontinière est non commercial et consiste uniquement à ap-porter une assurance aux risques portés par les sociétaires.

Le point (1) signie que le risque est partagé uniquement entre les participants et qu'il n'y apar ailleurs aucun transfert total de risque entre les participants et la société à forme tontinière,i.e. le gestionnaire des fonds des associations. L'hypothèse 1.2.3 est donc satisfaite. Le point (2)signie qu'il n'y a pas d'actionnaires autres que les participants eux-mêmes et l'hypothèse 1.2.2permet d'armer que la société à forme tontinière exclut le caractère Maysir. La société à formetontinière peut à priori gérer les placements en respectant simultanément le code des assuranceset les règles de la nance islamique, ce qui permet de neutraliser les caractères Haram et Riba.Nous considérons donc que l'hypothèse 1.2.1 est satisfaite.

Donnons à présent quelques précisions sur les associations gérées par une société à formetontinière. D'après l'art. R 322-145, il faut rassembler un minimum de 200 participants pourconstituer une association tontinière. Il existe deux types d'associations tontinières caractériséesde la manière suivante :

les fonds d'une association en cas de survie sont liquidés entre les survivants,

les fonds d'une association en cas de décès sont liquidés entre les ayants droit des décédés.

Les associations en cas de survie ont un cycle d'existence pouvant aller jusqu'à vingt ans tandisque les associations en cas de décès ont un cycle d'existence annuel. Il existe actuellement deuxsociétés à forme tontinière présentes sur le marché français de l'assurance :

Les Associations Mutuelles Le Conservateur

La Mutuelle phocéenne assurance 3

Ces deux sociétés gèrent uniquement des associations en cas de vie : elles n'ont constitué aucuneassociation en cas de décès 4. Pour une même société à forme tontinière, l'association en cas dedécès doit être unique.

1.3.2 Association tontinière en cas de décès

Nous résumons dans ce qui suit les points de réexion soulevés par l'AIDIMM.

3. Sachant que l'activité de La Mutuelle phocéenne assurance est actuellement en run-o, le Conservateur estconsidéré comme l'unique représentant des tontines sur le marché français.

4. Une première observation a été faite à ce sujet dans un rapport publié par l'ACAM en 2005. La situationn'a pas changé depuis.

7

1. Est-ce que la constitution d'une association en cas de survie est compatible avec l'éthique

musulmane ? D'après l'art. R.322-139, les bénéciaires d'un adhérent d'une associationtontinière en cas de survie sont, par dénition, les survivants de cette dernière. Ce typed'association peut générer des dissonances avec le droit successoral musulman car les bé-néciaires à la date de souscription sont inconnus.

2. Est-ce que l'activité d'une société à forme tontinière peut être réduite à une unique associa-

tion tontinière en cas de décès ? Rappelons qu'une société à forme tontinière ne peut gérerqu'une seule association tontinière en cas décès. La conguration d'une société dépourvuede toute association tontinière en cas de survie et axée autour d'une unique associationtontinière en cas de décès ne s'est jamais présentée sur le marché français et n'est pasmentionnée dans le code des assurances.

3. Est-ce qu'une société à forme tontinière peut gérer simultanément :

des associations en cas de survie non conformes à l'éthique musulmane

une unique association en cas de décès gérée de manière conforme à la nance islamique ?

L'art. R.322-142 du code des assurances garantit la séparation stricte des fonds de chaqueassociation et chacune d'entre elles peut donc faire l'objet d'une gestion diérente. La ges-tion d'un fonds conforme à la nance islamique n'aura donc aucun impact sur la gestiond'un fonds conventionnel et vice et versa.

4. Est-ce qu'un groupe d'entreprises d'assurance peut compter une société à forme tontinière

parmi ses liales ? La réponse est clairement oui. Le groupe mutualiste le Conservateur estconstitué entre autres :

d'une société d'assurance mutuelle

d'une société à forme tontinière

5. Est-ce que le modèle d'un couple regroupant une société à forme tontinière et une entreprise

d'assurance peut se rapprocher d'un modèle Takaful utilisé au moyen-orient ?

Le groupe Le Conservateur est constitué entre autres :

d'une société à forme tontinière, qui par dénition, gère uniquement des associationstontinières

d'une société d'assurance mutuelle apte à émettre des contrats d'assurance qui garan-tissent en cas de décès l'épargne réalisée dans le cadre de l'association tontinière.

8

Cette double structure permet au Conservateur d'accompagner systématiquement l'adhé-sion tontinière d'une contre-assurance en cas décès 5. Il est donc tout à fait possible d'en-visager un groupe construit de manière inversée par rapport au risque :

une société d'assurance proposant des contrats d'assurance-vie orant des solutions deplacement personnel compatibles avec la nance islamique

une société à forme tontinière gérant une unique association en cas de décès dont l'adhé-sion permet de se prémunir contre le risque de mortalité.

Cette forme est proche du Family Takaful ou Takaful vie où une partie de la contributionalimente le fonds mutuel et l'autre alimente un compte de placement personnel. Ce modèleest présenté en détail dans le document [IFSB8]

6. Quels seraient les usages commerciaux d'une tontine décès ? Il n'est pas possible de recou-rir à la tontine pour proposer une solution obsèques 6. En eet, d'après le régime juridiqueconcerné 7, "seules les entreprises d'assurance (branche 20), les institutions de prévoyance

et les mutuelles peuvent émettre des contrats d'assurance sur la vie, support de nancement

en prévision d'obsèques". Signalons qu'en 1985, l'ore tontinière en cas de décès proposéepar le Conservateur se déclinait sous deux formes :

(a) un capital versé en cas de décès

(b) un capital versé en cas d'invalidité totale et dénitive

7. Quelle est le cycle d'existence d'une association tontinière en cas de décès ? Quel est l'in-

térêt d'un tel cycle dans la recherche d'une conformité avec l'éthique musulmane ? Le codedes assurance permet au contrat d'assurance de couvrir le suicide uniquement à partir dela deuxième année. Une assurance décès qui se veut conforme à l'éthique musulmane nesaurait couvrir le décès survenu à la suite d'un suicide. Or d'après l'art. R.322-153 du codedes assurances, l'association tontinière en cas de décès est liquidée chaque année. Cet articlepermet de garantir que la souscription vaut pour une année : les cotisants qui souhaitentcontinuer leur participation à la tontine doivent donc renouveller leur contrat annuellementet ainsi le suicide reste exclu des couvertures garanties.

En résumé, l'AIDIMM a émis un premier avis en supposant que l'association tontinière en casde décès n'impose aucune contrainte dans le développement d'une assurance décès compatible

5. Il ne s'agit pas d'une adhésion à l'association tontinière de contre-assurance mentionnée dans le code desassurances mais bien d'un contrat d'assurance au sens classique.

6. L'ore tontinière est clairement inadaptée car le fonds de l'association est bloqué jusqu'à la date de liqui-dation.

7. Source : Lamy Assurances

9

avec l'éthique musulmane. Bien que cet avis doit encore être conrmé conjointement par desexperts en droit des assurances et des experts en droit des aaires musulman, le point fort dece projet est de proposer un montage qui se décline en droit constant, i.e. tout est régi par lecode des assurances.

1.4 Modèle de la tontine retenu par l'étude du mémoire

Nous avions précédemment signalé qu'il était question de créer une société à forme tontinièreaxée autour d'une unique association tontinière en cas de décès. Nous allons voir dans ce quisuit que les contraintes de solvabilité règlementaires en vigueur ne permettent pas d'envisager cemontage.

1.4.1 Société réduite à une association en cas de décès

Certains seuils réglementaires ne sont pas adaptés lorsqu'il s'agit de concevoir une sociétéà forme tontinière gérant une unique association. Ces seuils concernent notamment le fondsd'établissement ainsi que le fonds de garantie.

Fonds d'établissement

Pour rappel, le fonds d'établissement est un fonds de sécurité constitué au prot des adhérentset gure parmi les capitaux propres d'une compagnie d'assurance représentés dans le tableau 1.1.

P1 CAPITAUX PROPRESP1a Fonds d'établissementP1b Primes liées au capital socialP1c Réserves de réévaluationP1e Ecart de changement de réglementationP1f Report à nouveauP1g Résultat de l'exercice

Table 1.1 Capitaux propres d'une compagnie d'assurance vie

En ce qui concerne les sociétés à forme tontinière, ce fonds est soumis à une contrainte particu-lière :

[CdA 2014] art. R.322-158 Les sociétés à forme tontinière doivent avoir un fonds d'établisse-

ment au moins égal à 160 000 euros.

Comment constituer un tel fonds lorsque la société à forme tontinière est vouée à une uniqueassociation tontinière ? Le fonds d'établissement pourrait être alimenté par les frais de gestion,

10

mais si nous supposons qu'une association compte au moins 200 individus, augmenter la cotisa-tion individuelle d'un chargement de 800 euros est fort peu recommandable d'un point de vuecommercial. Même si nous pourrions supposer un apport de 160 000 euros à fonds perdu par desassociations culturelles et cultuelles consacrées à l'éthique musulmane, cela ne pourrait sure àrésoudre la contrainte de solvabilité qui suit.

Régime actuel de solvabilité

Le code des assurances traite la solvabilité des opérations tontinières dans une catégorie àpart. En eet, les opérations tontinières classées dans la branche 23 du code des assurancesdoivent remplir les conditions suivantes :

Exigence minimale de solvabilité= 1% des avoirs des associations tontinières (art. R334-13)

Fonds de garantie

= max

exigence minimale de solvabilité3 ; 2, 8× 106

(art. R334-15)

Cette contrainte de solvabilité est considérable pour un unique fonds associatif. En supposant quele montant des avoirs de l'association tontinière en cas de décès est pratiquement identié à lasomme des cotisations pures individuelles, cela signie que le volume total des cotisations devraitatteindre 2,8 millions euros. Cela n'est guère envisageable lorsqu'il s'agit de démarrer une activitétontinière en comptant uniquement sur une association de quelques centaines d'individus.

Un cas de jurisprudence ?

Nous avons déjà signalé qu'aucune société à forme tontinière réduite à une association en casde décès n'a été observée sur le marché français de l'assurance. La conguration de la sociétéaxée autour d'une unique association tontinière en cas de décès peut soulever des problématiquesd'ordre juridique qui viendront s'ajouter aux problématiques de solvabilité mentionnées précé-demment. An de maintenir la dimension pratique de notre étude, nous allons donc envisagerdans la prochaine section une conguration juridique plus stable qui permet de satisfaire aussibien les exigences du code des assurances que les principes de l'éthique musulmane.

1.4.2 Société munie d'une fenêtre Takaful

L'article suivant est du plus grand intérêt pour une association tontinière en cas de décès detype Takaful :

[CdA 2014] art. R.322-142 (...) Les fonds de chaque association doivent être gérés séparément

et ne peuvent se confondre à aucun égard avec ceux des autres associations.

L'idée est la suivante : l'association tontinière en cas de décès propose de devenir en quelquesorte le locataire d'un espace de gestion chez une société à forme tontinière déjà existante sur lemarché en précisant les conditions que doit satisfaire la gestion de son fonds. Bien que la société

11

à forme tontinière ne soit pas tenue de suivre les requêtes de gestion émises par une associationtontinière, nous allons supposer que cette première accepte d'appliquer le ltre de la nanceislamique à la gestion du fonds de l'association en cas de décès. Si les placements du fonds del'association en cas de décès sont gérés selon les règles de la nance islamique, cela n'aura aucunimpact sur la gestion des fonds voisins des associations en cas de survie. De manière générale,lorsqu'une compagnie d'assurance conventionnelle propose des produits Takaful, il est d'usage dedire qu'une telle compagnie est munie d'une fenêtre Takaful.

Le fonds d'établissement d'une société à forme tontinière gérant plusieurs associations ton-tinières en cas de survie pourra plus facilement atteindre le minimum requis de 160 000 eurosexigé par le code des assurances. An de s'en convaincre, il sut de consulter les rapports an-nuels publiés par la Mutuelle Phocéenne Assurance pour en apprécier l'ordre de grandeur dansle tableau 1.2.

Fonds d'établissement (P1a)31/12/2007 4 306 557,3731/12/2008 4 525 247,3731/12/2009 4 724 497,4431/12/2010 4 905 848,4431/12/2011 5 074 366,55

Table 1.2 Fonds d'établissement de la Mutuelle Phocéenne Assurance (d'après les rapportsannuels publiés)

Avoirs des Montant minimum de la Total des élémentsassociations marge de solvabilité constitutifs

31/12/2008 2 400 000 9 623 91031/12/2009 2 400 000 11 969 34931/12/2010 2 588 510 2 600 000 13 740 31731/12/2011 2 503 369 2 600 000 15 972 374

Table 1.3 Marges de solvabilité de la Mutuelle Phocéenne Assurance (d'après les rapportsannuels publiés)

En ce qui concerne la marge de solvabilité, nous présentons les données dans le tableau 1.3 8.Précisons que la Mutuelle Phocéenne Assurance gère au 31 décembre 2011 une quinzaine d'as-sociations tontinières en cas de survie en run-o. Si nous prenons pour modèle la MutuellePhocéenne Assurance, la gestion d'une association tontinière en cas de décès supplémentaire et

8. Les montants de 2 600 000 correspondent aux seuils xés par le code des assurances en vigueur à la date dubilan des comptes.

12

constituée d'un minimum de 200 individus aura peu d'impact sur ces ordres de grandeurs. Nouspouvons donc supposer que l'étude d'une société à forme tontinière munie d'une fenêtre Takafulpermet de neutraliser les problématiques liées au fonds d'établissement et au régime de solva-bilité mentionnées précédemment. En résumé, le modèle retenu est celui d'une société à formetontinière gérant :

les fonds des associations tontinières en cas de survie,

le fonds d'une unique association tontinière en cas de décès géré selon les règles de la nanceislamique.

13

Chapitre 2

La tontine décès : une économie

d'échange du risque

A notre connaissance, la littérature actuarielle ne propose pas d'articles ou d'études liésdirectement au Takaful. L'objet de ce chapitre est donc de commencer par l'étude d'un cassimple de trois individus 1 an de pouvoir mettre aisément en évidence toutes les problématiquesauxquelles nous serons confrontés dans l'étude d'une association tontinière constituée de n ≥ 200participants. Nous étudierons deux déclinaisons possibles de la tontine : l'une sans provisionen faveur des survivants, l'autre avec constitution d'une provision en faveur des survivants. Laseconde section traite de l'étude en dimension n et pose le problème de la tarication qui requiertun temps de calcul considérable dès qu'il s'agit de déterminer les valeurs exactes des cotisationsindividuelles.

2.1 Une conguration tontinière introductive : trois associés

Tout peut commencer par la rencontre de trois individus qui décident d'un commun accordde constituer un fonds collectif à la veille du 1er janvier de l'année N. Ils décident de le placersur les marchés nanciers au 01/01/N et de le liquider au 31/12/N selon une clé de répartitionà déterminer.

2.1.1 Répartition au prorata des cotisations

Nos trois associés commencent par xer les règles suivantes :

1. la part des survivants vient augmenter au prorata celles des ayants droit des décédés à ladate de liquidation du fonds commun ;

1. L'étude du cas de deux individus a été présenté dans [BEN 2014] lors du séminaire Takaful qui s'est tenu àla Harvard Law School le 24 avril 2014. Ce cas requiert uniquement des connaissances basiques en probabilités etne sera pas traité dans le présent mémoire.

14

2. si tous les participants décèdent avant la date de liquidation du fonds commun, les ayantsdroit de chaque participant reçoivent une part du fonds correspondant au prorata des partssouscrites au 31/12/N-1 ;

3. si aucun participant ne décède avant le 01/01/N+1, l'aectation du fonds commun ne pro-te à aucun participant et le fonds est totalement cédé à des ÷uvres de charité.

La règle (1) signie que les ayants droit du décédé récupèrent la totalité du fonds collectif : lapart du participant décédé est transmise à ses ayants droit désignés à laquelle vient s'ajouter lapart du survivant et ce dernier ne perçoit aucune compensation. La règle (2) permet à chacundes participants décédés de transmettre sa part à ses ayants droit désignés. La règle (3) stipuleenn que si les trois associés sont toujours vivants à la date de liquidation, aucun d'eux ne ré-cupère sa part. L'idée sous-jacente est de rapprocher la cotisation du Tabarru' qui désigne unedonation et qui permet ainsi d'éliminer juridiquement l'aléa résidant dans les engagements ducontrat émis par la compagnie Takaful. Dans la réglementation française, la donation est régiepar le code civil et n'a aucune viabilité dans le code des assurances. En choisissant de ne pasconstituer de provision en faveur des survivants comme le suggère le point 9 de l'art. R. 322-155,les engagements tontiniers prennent eet uniquement en cas de décès et lorsque le participantne gure pas parmi les décédés, sa cotisation assume pleinement un caractère irrévocable et serapproche donc du caractère donatoire du Tabarru'.

Les associés nommés 1, 2 et 3 sont respectivement caractérisés par leur probabilité de décèsq1, q2 et q3 pendant l'année N. Nous allons donc désigner par Y1 ∼ Ber(q1), Y2 ∼ Ber(q2) etY3 ∼ Ber(q3) les indicateurs de décès liés respectivement aux associés 1, 2 et 3 à l'issue del'année N. Nous supposons par ailleurs que :

∀i, j ∈ 1, 2, 3, i 6= j, Yi⊥⊥Yj .

Les cotisations rassemblées au 31/12/N-1 sont respectivement notées c1, c2 et c3. Pour des raisonsde simplicité, nous allons considérer que le rendement des cotisations placées est nul au bout d'uneannée. Nous nommons 0 le fonds de la tontine an de préciser que le fonds n'est pas liquidé entreles diérents associés lorsque personne de décède pour être cédé à des ÷uvres de charité :

(Y3, Y2, Y1) 3 2 1 0

(0, 0, 0) 0 0 0 c1 + c2 + c3

(0, 0, 1) 0 0 c1 + c2 + c3 0

(0, 1, 0) 0 c1 + c2 + c3 0 0

(0, 1, 1) 0 c2

(1 + c3

c1+c2

)c1

(1 + c3

c1+c2

)0

(1, 0, 0) c1 + c2 + c3 0 0 0

(1, 0, 1) c3

(1 + c2

c1+c3

)0 c1

(1 + c2

c1+c3

)0

(1, 1, 0) c3

(1 + c1

c2+c3

)c2

(1 + c1

c2+c3

)0 0

(1, 1, 1) c3 c2 c1 0

15

ou plus explicitement :

(Y3, Y2, Y1) 3 2 1 0

(0, 0, 0) 0 0 0 c1 + c2 + c3

(0, 0, 1) 0 0 c1 + c2 + c3 0

(0, 1, 0) 0 c1 + c2 + c3 0 0

(0, 1, 1) 0 c2c1+c2

(c1 + c2 + c3) c1c1+c2

(c1 + c2 + c3) 0

(1, 0, 0) c1 + c2 + c3 0 0 0

(1, 0, 1) c3c1+c3

(c1 + c2 + c3) 0 c1c1+c3

(c1 + c2 + c3) 0

(1, 1, 0) c3c2+c3

(c1 + c2 + c3) c2c2+c3

(c1 + c2 + c3) 0 0

(1, 1, 1) c3 c2 c1 0

La somme des ux sur chaque ligne vaut c1 + c2 + c3. Hormis le cas où aucun membre ne décède,le fonds de l'association tontinière est totalement liquidé entre les ayants droit des membresdécédés. Ces congurations correspondent à celles d'une économie d'échange 2 déterminée par ladonnée :

des trois agents 1, 2 et 3

d'un bien représenté par le fonds collectif

de huit répartitions possibles du bien entre les 1, 2 et 3

2.1.2 Détermination des cotisations individuelles

La problématique de cette économie d'échange est de déterminer les valeurs numériquesstrictement positives des cotisations c1, c2, c3 en fonction des versements strictement positifsλ1, λ2, λ3 escomptés par les trois participants en cas décès :

E[

Y1c1Y1c1+Y2c2+Y3c3

(c1 + c2 + c3) | Y1 = 1]

= λ1

E[

Y2c2Y1c1+Y2c2+Y3c3

(c1 + c2 + c3) | Y2 = 1]

= λ2

E[

Y3c3Y1c1+Y2c2+Y3c3

(c1 + c2 + c3) | Y3 = 1]

= λ3

L'idée est d'estimer les cotisations requises c1, c2, c3 lorsque chaque participant i espère obtenirune part λi du fonds sans qu'elle ne soit garantie contractuellement au titre de la tontine.Explicitons la première égalité :

λ1 = E[

Y1c1Y1c1+Y2c2+Y3c3

(c1 + c2 + c3) | Y1 = 1]

= E[

c1c1+Y2c2+Y3c3

(c1 + c2 + c3) | Y1 = 1]

= c1(c1 + c2 + c3)E[

1c1+Y2c2+Y3c3

](car Y1⊥⊥Y2 et Y1⊥⊥Y3)

2. Il s'agit là d'une économie d'échange pure. Le qualicatif "pur" signie qu'il n'y a pas de production.

16

Or :

E

[1

c1 + Y2c2 + Y3c3

]=

(1− q2)(1− q3)

c1+q2(1− q3)

c1 + c2

+(1− q2)q3

c1 + c3+

q2q3

c1 + c2 + c3

donc :

λ1 = (c1 + c2 + c3)(1− q2)(1− q3) + c1q2q3

+c1

(1 +

c3

c1 + c2

)q2(1− q3) + c1

(1 +

c2

c1 + c3

)q3(1− q2)

se qui peut encore s'écrire :

λ1 = c1 + (c2 + c3)(1− q2)(1− q3) +c1c3

c1 + c2q2(1− q3) +

c1c2

c1 + c3q3(1− q2)

Par permutation circulaire sur les indices, nous pouvons déduire des relations similaires pour λ2

et λ3 :

(S3)

λ1 = c1 + (c2 + c3)(1− q2)(1− q3) + c1c3

c1+c2q2(1− q3) + c1c2

c1+c3q3(1− q2)

λ2 = c2 + (c1 + c3)(1− q1)(1− q3) + c2c3c1+c2

q1(1− q3) + c2c1c2+c3

q3(1− q1)

λ3 = c3 + (c1 + c2)(1− q1)(1− q2) + c3c1c2+c3

q2(1− q1) + c3c2c1+c3

q1(1− q2)

Les triplets (q1, q2, q3) ∈ ]0, 1[3 et (λ1, λ2, λ3) ∈ ]0,+∞[3 étant donnés, nous obtenons nalementun système non-linéaire de trois équations que nous nommons (S3) où les inconnues à déterminersont les réels strictement positifs c1, c2 et c3.

2.1.3 Résolution par la méthode de Newton Raphson

La méthode de Newton Raphson est directement appliqué au système non linéaire (S3) enposant :

F : R3 −→ R3 x1

x2

x3

−→

f1(x1, x2, x3)f2(x1, x2, x3)f3(x1, x2, x3)

avec :

f1(x1, x2, x3) = x1

[1 +

x3

x1 + x2q2(1− q3) +

x2

x1 + x3q3(1− q2)

]+(x2 + x3)(1− q2)(1− q3)− λ1

f2(x1, x2, x3) = x2

[1 +

x3

x2 + x1q1(1− q3) +

x1

x2 + x3q3(1− q1)

]+(x1 + x3)(1− q1)(1− q3)− λ2

17

f3(x1, x2, x3) = x3

[1 +

x2

x3 + x1q1(1− q2) +

x1

x3 + x2q2(1− q1)

]+(x1 + x2)(1− q1)(1− q2)− λ3

La fonction F ainsi dénie est de classe C2 sur ]0,+∞[3. Considérons la matrice jacobienne deF en c = (c1, c2, c3)′ où ·′ désigne la transposée d'une matrice ligne :

JF (c) =

∂f1

∂x1(c1, c2, c3) ∂f1

∂x2(c1, c2, c3) ∂f1

∂x3(c1, c2, c3)

∂f2

∂x1(c1, c2, c3) ∂f2

∂x2(c1, c2, c3) ∂f2

∂x3(c1, c2, c3)

∂f3

∂x1(c1, c2, c3) ∂f3

∂x2(c1, c2, c3) ∂f3

∂x3(c1, c2, c3)

S'il existe c ∈ ]0,+∞[3 tel que F (c) = 0 et JF (c)−1 soit inversible, il existe un ε > 0 tel que pourtout c0 vériant ||c0 − c||1 < ε, la suite (ck)k∈N décrite par la relation suivante :

∀k ∈ N,

ck+11

ck+12

ck+13

=

ck1ck2ck3

−JF

ck1ck2ck3

−1

× F

ck1ck2ck3

converge quadratiquement vers c :

∃A < 1, ∀k ∈ N, |ck+1 − c| ≤ A|ck − c|

Chaque itération k nécessite la résolution d'un système linéaire pour inverser la matrice jaco-bienne que nous détaillons en commençant par les éléments de la diagonale :

∂f1

∂x1(c1, c2, c3) = 1 +

q2(1− q3)c2c3

(c1 + c2)2+q3(1− q2)c2c3

(c1 + c3)2

∂f2

∂x2(c1, c2, c3) = 1 +

q1(1− q3)c1c3

(c2 + c1)2+q3(1− q1)c1c3

(c2 + c3)2

∂f3

∂x3(c1, c2, c3) = 1 +

q1(1− q2)c1c2

(c3 + c1)2+q2(1− q1)c1c2

(c3 + c2)2

Déterminons les autres éléments de la matrice jacobienne, ligne par ligne :

∂f1

∂x2(c1, c2, c3) = −q2(1− q3)c1c3

(c1 + c2)2+q3(1− q2)c1

c1 + c3+ (1− q2)(1− q3)

∂f1

∂x3(c1, c2, c3) = −q3(1− q2)c1c2

(c1 + c3)2+q2(1− q3)c1

c1 + c2+ (1− q2)(1− q3)

∂f2

∂x1(c1, c2, c3) = −q1(1− q3)c2c3

(c1 + c2)2+q3(1− q1)c2

c2 + c3+ (1− q1)(1− q3)

∂f2

∂x3(c1, c2, c3) = −q3(1− q1)c1c2

(c2 + c3)2+q1(1− q3)c2

c1 + c2+ (1− q1)(1− q3)

∂f3

∂x1(c1, c2, c3) = −q1(1− q2)c2c3

(c1 + c3)2+q2(1− q1)c3

c2 + c3+ (1− q1)(1− q2)

∂f3

∂x2(c1, c2, c3) = −q2(1− q1)c1c3

(c2 + c3)2+q1(1− q2)c3

c1 + c3+ (1− q1)(1− q2)

18

Posons ∀(x1, x2, x3) ∈ (R∗)3 :

g1(x1, x2, x3) := x1 + (x2 + x3)(1− q2)(1− q3) + x1x3x1+x2

q2(1− q3) + x1x2x1+x3

q3(1− q2)

g2(x1, x2, x3) := x2 + (x1 + x3)(1− q1)(1− q3) + x2x3x1+x2

q1(1− q3) + x2x1x2+x3

q3(1− q1)

g3(x1, x2, x3) := x3 + (x1 + x2)(1− q1)(1− q2) + x3x1x2+x3

q2(1− q1) + x3x2x1+x3

q1(1− q2)

Il est utile de remarquer que ∀(x1, x2, x3) ∈ (R∗)3 :

q1g1(x1, x2, x3) + q2g2(x1, x2, x3) + q3g3(x1, x2, x3)

1− (1− q1)(1− q2)(1− q3)= x1 + x2 + x3

En particulier, le système (S3) peut se réécrire :g1(c1, c2, c3) = λ1

g2(c1, c2, c3) = λ2

g3(c1, c2, c3) = λ3

et la solution du système (S3) vérie :

c1 + c2 + c3 =λ1q1 + λ2q2 + λ3q3

1− (1− q1)(1− q2)(1− q3)

Cela permet de limiter la recherche de la solution dans l'ensemble suivant :

D =

(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 + x3 =

λ1q1 + λ2q2 + λ3q3

1− (1− q1)(1− q2)(1− q3)

En revanche, il n'est pas aisé d'énoncer une condition susante sur les couples (qi, λi) pourl'existence de cotisations strictement positives. Les exemples numériques du prochain chapitremontreront que l'obtention de solutions strictement positives peut s'obtenir soit avec des λiidentiques soit avec une population de taille assez importante pour permettre aux versements λid'être susamment éloignés.

2.1.4 Aectation du fonds en l'absence totale de décès

L'aectation du fonds qui ne pourrait être liquidée par suite de l'absence de décès à desassociations caritatives peut paraître déséquilibrée. An d'y remédier, il est possible de modierla règle (3) de la manière suivante :

(Y3, Y2, Y1) 3 2 1

(0, 0, 0) c3 c2 c1

(0, 0, 1) 0 0 c1 + c2 + c3

(0, 1, 0) 0 c1 + c2 + c3 0

(0, 1, 1) 0 c2c1+c2

(c1 + c2 + c3) c1c1+c2

(c1 + c2 + c3)

(1, 0, 0) c1 + c2 + c3 0 0

(1, 0, 1) c3c1+c3

(c1 + c2 + c3) 0 c1c1+c3

(c1 + c2 + c3)

(1, 1, 0) c3c2+c3

(c1 + c2 + c3) c2c2+c3

(c1 + c2 + c3) 0

(1, 1, 1) c3 c2 c1

19

Cette nouvelle grille de répartition signie que dans le cas où personne ne décède, la tontine décèsrétribue chaque participant proportionnellement à sa cotisation payée à la date de souscription :aucun participant n'est favorisé dans ce dénouement précis et les participants peuvent doncêtre incités à vouloir renouveler une tontine annuelle selon les mêmes règles ou peuvent toutsimplement décider de ne pas renouveler leur association. Il est intéressant de noter que cettenouvelle grille de répartition ne nécessite pas de revoir le procédé de tarication des cotisationsci en fonction des taux de décès qi et des montants λi escomptés. Le système d'équations (S3)traduit l'espérance de chaque participant de pouvoir procurer un montant λi aux ayants droitdésignés en cas de décès. En eet, la vocation première de la tontine décès est de proposer unecouverture adaptée au risque de décès et non de rétribuer les survivants en l'absence totale dedécès. Le fait que chaque participant récupère exactement sa cotisation en l'absence totale dedécès traduit justement son indiérence dans ce cas précis par rapport à sa cotisation déterminéepar le système S3 car cela revient en fait à écrire les relations suivantes :

E [(1− Y1)c1 | Y1 = 0, Y2 = 0, Y3 = 0] = c1

E [(1− Y2)c2 | Y1 = 0, Y2 = 0, Y3 = 0] = c2

E [(1− Y3)c3 | Y1 = 0, Y2 = 0, Y3 = 0] = c3

2.1.5 Constitution d'une provision en faveur des survivants

La tontine présente une dissymétrie importante en cas du décès d'au moins une personne. Ilest donc nécessaire d'établir une règle qui prenne une part des sommes versées à l'associationdégressive en fonction de la population des décédés. L'idée est de prévoir deux congurationspossibles :

1. la somme des cotisations permet de couvrir totalement les versements λi escomptés desparticipants décédés ;

2. l'eectif des décédés est trop important et le fonds de la tontine ne sut pas à couvrirtotalement les versements λi escomptés des participants décédés.

Maintenons les notations précédentes en dénommant les cotisations ci et les versements escomptésλi. Dénissons le ux suivant ∀i = 1, 2, 3 :

Zi := λiYi min

1,

c1 + c2 + c3

λ1Y1 + λ2Y2 + λ3Y3

+ ci max

0,c1 + c2 + c3 − λ1Y1 − λ2Y2 − λ3Y3

c1 + c2 + c3

Le ux Zi peut se décomposer de la manière suivante :

Zi := 1∑3j=1 λjYj≤

∑3j=1 cjλiYi (2.1)

+ 1∑3j=1 λjYj≤

∑3j=1 cj

ci∑3j=1 cj

3∑j=1

cj −3∑j=1

λjYj

(2.2)

+ 1∑3j=1 λjYj>

∑3j=1 cj

λiYi∑3j=1 λjYj

3∑j=1

cj (2.3)

20

Interprétons chacune des composantes du ux Zi perçu par le participant i :

1. le ux 2.1 est perçu par i en cas de décès et correspond au versement intégral du capitalλi non garanti par les engagements contractuels de la tontine car il ne prend eet unique-ment si la somme des cotisations permet de couvrir tous les versements escomptés par lesparticipants décédés ;

2. le ux 2.2 est perçu par i qu'il soit vivant ou décédé et correspond à une quote part dusurplus généré par la tontine et réparti au prorata des cotisations payées à l'ouverture dela tontine ;

3. le ux 2.3 est perçu par i en cas de décès et correspond à une quote part du fonds dispo-nible de la tontine et réparti au prorata des versements escomptés dès que la somme descotisations ne sut pas à couvrir la totalité des versements escomptés par les participantsdécédés.

Le ux 2.2 exige une attention particulière car il s'inspire de la section précédente où en situationd'absence totale de décès chaque participant récupère sa quote-part du fonds au prorata des co-tisations payées à la date de souscription. En eet, nous retrouvons exactement ce même cas degure si aucun individu ne décède car Zi = ci. Par ailleurs, le fait d'attribuer le ux 2.2 quelquesoit l'état de l'individu i permet d'éviter à un participant de tirer un avantage disproportionnédu surplus : si le participant i survit, il obtient sa quote-part du surplus au prorata des cotisa-tions au même titre que tous les autres participants et s'il décède, il obtient la part précédenteaugmentée du versement escompté en cas de décès en situation de surplus généré par la tontine.

Déterminons maintenant l'espérance du ux Zi pour tout i, j, k ∈ 1, 2, 3 tels que les in-dices i, j, k soient distincts deux à deux. Rappelons au préalable que les indicatrices Yi sontindépendantes deux à deux :

E[Zi] = λiqi

(3∑l=1

cl

)E

[1λjYj+λkYk>∑3

l=1 cl−λiλi + λjYj + λkYk

](2.4)

+ λiqiP

(λjYj + λkYk ≤

3∑l=1

cl − λi

)(2.5)

+ ciP

(3∑l=1

λlYl ≤3∑l=1

cl

)(2.6)

− ci∑3l=1 cl

3∑l=1

λlqlP

∑m 6=l

λmYm ≤3∑

m=1

cm − λl

(2.7)

21

Le terme 2.4 est obtenu en notant que :

λiYi1∑3l=1 λlYl>

∑3l=1 cl∑3

l=1 λlYl=λiYi1λjYj+λkYk>∑3

l=1 cl−λiλi + λjYj + λkYk

Les termes 2.5 et 2.7 sont obtenus en remarquant que :

λiYi1∑3l=1 λlYl>

∑3l=1 cl = λiYi1λjYj+λkYk>∑3

l=1 cl−λi

L'objectif est de déterminer les cotisations individuelles requises par le produit tontinier dénipar les ux Zi. Pour cela, nous allons poser :

ci = E[Zi]

an d'obtenir la relation suivante :

ci∑3l=1 cl

= λiqi

E

[1λjYj+λkYk>∑3l=1

cl−λiλ1Y1+λ2Y2+λ3Y3

]+

P(λjYj+λkYk≤∑3l=1 cl−λi)∑3

l=1 cl

P(∑3

l=1 λlYl >∑3

l=1 cl

)+∑3

l=1

λlqlP(∑m 6=l λmYm≤

∑3m=1 cm−λl)∑3

l=1 cl

(2.8)

Si la somme des cotisations ci à atteindre est xée à la date de constitution, nous sommes enmesure de déterminer la cotisation individuelle ci en fonction des versements λi escomptés ainsique des taux de décès qi. Le fait de xer le capital

∑3i=1 ci à rassembler en vue de constituer une

tontine décès correspond à un appel de nancement collectif dénommé crowdfunding en anglais.

2.1.6 Exemples et commentaires

Les exemples présentés dans cette section ont étés réalisés à l'aide du logiciel Excel et nenécessitent pas l'utilisation d'un langage de programmation particulier.

Tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants

Intéressons nous tout d'abord à un cas où λ1 = λ2 = λ3. Les valeurs des cotisations c1, c2, c3

présentées ci-dessous ont été fournies par l'algorithme de Newton Raphson au bout de six itéra-tions avec (c0

1, c02, c

03) = (1, 1, 1) comme point de départ :

i qi λi ci1 0, 18% 4500 2331, 442 0, 58% 4500 1494, 003 1, 34% 4500 698, 73

Total 4524, 17

D'un point de vue commercial, nous remarquons un premier fait inhabituel : un individu plusâgé qu'un autre pourra payer moins cher, c'est le cas par exemple de l'individu 3 muni du taux

22

de décès le plus élevé mais dont la cotisation est la plus faible. Toutes les issues possibles de latontine décès sont représentées dans le tableau ci-dessous :

(Y3, Y2, Y1) Probabilité 3 2 1

(0, 0, 0) 97, 91430% 0, 00 0, 00 0, 00(0, 0, 1) 0, 17607% 0, 00 0, 00 4524, 17(0, 1, 0) 0, 57349% 0, 00 4524, 17 0, 00(0, 1, 1) 0, 00103% 0, 00 1766, 89 2757, 28(1, 0, 0) 1, 32495% 4524, 17 0, 00 0, 00(1, 0, 1) 0, 00238% 1043, 24 0, 00 3480, 93(1, 1, 0) 0, 00776% 1441, 66 3082, 51 0, 00(1, 1, 1) 0, 00001% 698, 73 1494, 00 2331, 44

Nous remarquons par ailleurs qu'il existe une forte probabilité pour que le fonds associatif neprote à aucun participant en n d'année. Étudions maintenant plusieurs cas où les λi divergentde plus en plus. Signalons que le nombre d'itérations requis augmente au fur et à mesure que lesλi s'éloignent 3 :

i qi λi ci λi ci λi ci1 0, 18% 4497 2090, 38 4495 1943, 45 4475 747, 322 0, 58% 4500 1579, 63 4500 1620, 11 4500 1574, 243 1, 34% 4503 855, 82 4505 963, 38 4525 2216, 46

Total 4525, 83 Total 4526, 94 Total 4538, 02

Voici d'autres exemples qui n'admettent pas de solutions strictement positives :

i qi λi ci λi ci λi ci1 0, 18% 4450 −125, 93 4445 33, 29 4475 11382966, 672 0, 58% 4500 373, 34 4500 −70, 99 4500 742044, 843 1, 34% 4550 4304, 87 4555 4592, 35 4525 −12120455, 95

Total 4551, 87 Total 4554, 64 Total 4554, 56

La sensibilité des ci par rapport aux λi montre qu'il est nécessaire d'avoir une condition susantesur les couples (qi, λi) pour que les ci soient strictement positifs.

Tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants

Les exemples précédents munis de solutions positives révèlent des dissymétries importanteslorsque tous les participants survivent ou lorsqu'une unique personne décède. Focalisons notreattention sur les tarifs représentés dans le tableau 2.1 et fournis par l'algorithme de NewtonRaphson. Les issues possibles de la tontine sont représentées dans le tableau 2.2 où nous avonssupposé que le rendement annuel des cotisations placées est nul. Nous supposons que la mêmeassociation décide plutôt de constituer une tontine avec constitution d'une provision en faveurdes survivants. Les contributions ci/(c1 + c2 + c3) ont été calculées exactement à l'aide de laformule 2.8 et sont représentées dans le tableau 2.3. La même association décide par ailleurs

3. Le premier cas nécessite 6 itérations et le dernier qui présente des solutions explosives nécessitent 18 itéra-tions

23

i qi λi ci1 0, 18% 4993, 79 2116, 742 0, 58% 5000, 00 1818, 973 1, 34% 5006, 00 1094, 45

Total 5030, 16

Table 2.1 Cotisations en vue de constituer une tontine sans provision en faveur des survivantsavec (λ1, λ2, λ3) = (4993, 79 , 5000 , 5006)

(Y3, Y2, Y1) Probabilité 3 2 1

(0, 0, 0) 0, 9791121 1094, 45 1818, 97 2116, 74(0, 0, 1) 0, 0017656 0 0 5030, 16(0, 1, 0) 0, 0057120 0 5030, 16 0(0, 1, 1) 0, 0000103 0 2324, 79 2705, 37(1, 0, 0) 0, 0132983 5030, 16 0 0(1, 0, 1) 0, 0000240 1714, 40 0 3315, 76(1, 1, 0) 0, 0000776 1889, 62 3140, 54 0(1, 1, 1) 0, 0000001 1094, 45 1818, 97 2116, 74

Table 2.2 Toutes les issues possibles de la tontine sans provision en faveur des survivants

de calibrer la somme des cotisations pour constituer une tontine avec provision en faveur dessurvivants sur la somme des cotisations de la tontine sans provision en faveur des survivants

c1 + c2 + c3 =λ1q1 + λ2q2 + λ3q3

1− (1− q1)(1− q2)(1− q3)

qui vaut 5030,16. Les cotisations résultantes sont représentées dans le tableau 2.4. Les issuespossibles de la tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants sont représentéesdans le tableau 2.5 où nous avons supposé que le rendement annuel des cotisations placées estnul. Les lignes qui font apparaître un versement nul correspondent à une situation où le fondsde la tontine ne sut pas à couvrir tous les décès. La comparaison entre les tables 2.2 et 2.5montre clairement que les dissymétries ont été atténuées. An d'eectuer une comparaison avecl'assurance temporaire décès, nous allons xer la somme des cotisations de la manière suivante :

c1 + c2 + c3 = λ1q1 + λ2q2 + λ3q3

Une telle tontine sera clairement défaillante car la somme des cotisations ne sut pas à couvrir lemoindre décès. Ceci dit, elle nous permet d'obtenir le tableau comparatif 2.6 avec les primes descontrats d'assurance conventionnelle où les versements λi sont garantis par les clauses contrac-tuelles. En observant les primes d'assurance conventionnelle, nous constatons une redistributionde 15% sur les cotisations tontinières : les cotisations des individus 1 et 2 sont moins élevéesque les primes d'assurance conventionnelle correspondantes, ce qui défavorise l'individu 3 quiest le plus âgé de l'association et qui se voit attribuer une cotisation plus élevée que la prime

24

i qi λici

c1+c2+c31 0, 18% 4993, 79 8, 52%2 0, 58% 5000, 00 27, 54%3 1, 34% 5006, 00 63, 94%

Total 100, 00%

Table 2.3 Quote parts en vue de constituer une tontine avec provision en faveur des survivantsavec (λ1, λ2, λ3) = (4993, 79 , 5000 , 5006)

i qi λi ci1 0, 18% 4993, 79 428, 522 0, 58% 5000, 00 1385, 243 1, 34% 5006, 00 3216, 40

Total 5030, 16

Table 2.4 Cotisations en vue de constituer une tontine avec provision en faveur des survivantsavec (λ1, λ2, λ3) = (4993, 79 , 5000 , 5006)

(Y3, Y2, Y1) Probabilité 3 2 1

(0, 0, 0) 0, 9791121 3216, 40 1385, 24 428, 52(0, 0, 1) 0, 0017656 23, 25 10, 02 4996, 89(0, 1, 0) 0, 0057120 19, 28 5008, 30 2, 57(0, 1, 1) 0, 0000103 0, 00 2516, 64 2513, 52(1, 0, 0) 0, 0132983 5021, 45 6, 65 2, 06(1, 0, 1) 0, 0000240 2518, 15 0, 00 2512, 01(1, 1, 0) 0, 0000776 2516, 59 2513, 57 0, 00(1, 1, 1) 0, 0000001 1678, 75 1676, 74 1674, 66

Table 2.5 Toutes les issues possibles de la tontine avec provision en faveur de survivants

d'assurance conventionnelle correspondante. Observons maintenant le tableau 2.7 correspondantà un autre cas de tontine avec provision en faveur des survivants où les versements λi sont plusdistants : en observant les primes d'assurance conventionnelle, nous constatons cette fois uneredistribution plus importante de 9,74 sur les cotisations tontinières et les cotisations des indi-vidus 1 et 3 sont moins élevées que les primes d'assurance conventionnelle correspondantes, cequi défavorise l'individu 2 qui se voit attribuer une cotisation plus élevée de 9,74 que la primed'assurance conventionnelle correspondante.

L'approche économique faite dans la mise en place des deux types de tontine décès à troisassociés peut, en théorie 4, se généraliser à un nombre de participants n quelconque. Le nombre

4. Le calcul des cotisations est impossible lorsque le nombre de participants atteint 200 comme l'exige le codedes assurances, d'où l'intérêt de développer une alternative dans le présent mémoire.

25

i qi λici

c1+c2+c3ci λiqi

1 0, 18% 4993, 79 8, 53% 8, 97 8, 992 0, 58% 5000, 00 27, 56% 28, 95 29, 003 1, 34% 5006, 00 63, 91% 67, 15 67, 08

Total 105, 07 105, 07

Table 2.6 Cotisations tontinières et primes d'assurance conventionnelle avec (λ1, λ2, λ3) =(4993, 79 , 5000 , 5006)

i qi λici

c1+c2+c3ci λiqi

1 0, 18% 10000, 00 8, 55% 12, 04 18, 002 0, 58% 5000, 00 27, 52% 38, 74 29, 003 1, 34% 7000, 00 63, 93% 90, 01 93, 80

Total 140, 80 140, 80

Table 2.7 Cotisations tontinières et primes d'assurance conventionnelle avec (λ1, λ2, λ3) =(10000, 5000, 7000)

n doit être susamment élevé pour que la mutualisation du risque rende l'opération tontinièreperformante :

en atténuant la décroissance des cotisations individuelles par rapport aux taux de décèsindividuels ;

en permettant aux participants de choisir des versements espérés λi susamment distants.

26

2.2 Modélisation d'une tontine décès constituée de n individus

La conguration à 3 individus étudiée précédemment nous permet d'aborder la généralisationdu modèle envisagé à n individus.

2.2.1 Analyse actuarielle et ux tontiniers

Il s'agit tout d'abord de proposer une dénition de la tontine dans le respect de l'articlesuivant :

[CdA 2014] art. R.322-154 Les sociétés à forme tontinière ne peuvent avoir pour objet de garan-

tir à leurs adhérents que la liquidation d'une association leur procurera une somme déterminée

à l'avance.

Sauf mention contraire, les notations et hypothèses présentées dans la dénition qui suit serontutilisées tout au long du présent mémoire.

Dénition 2.2.1 L'espace vectoriel Rn est muni de la norme ||.||1 notée |.|. La transposée d'unematrice v de taille n à valeurs réelles qui soit colonne ou ligne est notée v′. Nous notons Ber(]0, 1[)l'ensemble des variables de Bernoulli paramétrées par un élément de ]0, 1[.Soit N = 1, . . . , n une association tontinière en cas de décès regroupant n participants et consti-

tuée à l'instant t = 0. La date de liquidation du fonds de l'association tontinière en cas de décès

est noté T > 0. Nous adoptons par ailleurs les notations et hypothèses suivantes :

1. xi représente l'âge de i à la date d'adhésion t = 0 ;

2. qi ∈ ]0, 1[ est la probabilité de décès de l'individu i entre 0 et T , i.e. qi = T qxi ;

3. q := (q1, · · · , qn)′ désigne le vecteur des probabilités de décès individuelles entre 0 et T ;

4. Yi est une v.a. qui vaut 1 si i décède entre 0 et T et 0 sinon et les v.a. Yi sont indépendantesdeux à deux.

5. Y := (Y1, · · · , Yn)′ décrit l'état de l'association N à la date T et |Y | =∑n

i=1 Yi est lenombre de décès survenus entre 0 et T ;

6. λi > 0 est la somme escomptée par i à la date t = 0 ;

7. λ := (λ1, · · · , λn)′ désigne le vecteur des sommes escomptées par l'association N à la date

t = 0 et |λ| =∑n

i=1 λi ;

27

8. c := (c1, · · · , cn)′ désigne les cotisations individuelles ci de l'association N réunies à la date

t = 0 et |c| =∑n

i=1 ci est le fonds de départ de l'association.

9. K est le capital de l'association N obtenu à la date de liquidation T : si r désigne le taux

de rendement escompté des placements à la date T , alors K = |c|(1 + r).

Une tontine décès est dénie par une application

a : R+ × (R∗+)n × (R∗+)n × Ber(]0, 1[)n −→ [0, 1]n

(K, c, λ, Y ) −→

a1 (K, c, λ, Y )· · ·

an (K, c, λ, Y )

avec

∑ni=1 ai(K, c, λ, Y ) = 1.

Le montant du capital K de l'association est conditionné par les art. R334.13 et R134.15 pré-cisant le régime de solvabilité appliqué aux opérations tontinières. Les paramètres K,λ, c sontdéterministes et les parts ai perçues restent aléatoires et ne peuvent être garanties à l'avancemême pour un vecteur λ xé à la date de souscription. La dénition précédente signie qu'unetontine est entièrement déterminée par ses ux aléatoires ai. Une conséquence importante de ladénition des ux tontiniers est de ne pas pouvoir utiliser le modèle collectif traditionnel pourdéterminer la charge totale des montants versés. Pour rappel, le modèle collectif est déterminépar la donnée d'une fréquence aléatoire Z de sinistres et des montants (Xi)(i∈N) correspondants :

S =

Z∑i=1

Xi

L'une des propriétés caractéristiques de ce modèle est de supposer que les montants Xi sont

indépendants et identiquement distribués (i.i.d.) et que les v.a.r.

(Xi)(i∈N) , Zsont indépen-

dantes. Cette propriété ne peut être satisfaite dans le cadre de la tontine décès. En eet, lorsquenous considérons une tontine a, la charge totale S s'interprète de la manière suivante :

S = K

car le capital K est totalement liquidé à la date t = T :

S =

|Y |∑i=1

Xi avec Xi = a(n−|Y |+i)K

où(a(1), · · · , a(n)

)désigne le vecteur ordonné par rapport aux indices associé à (a1, · · · , an).

Est-ce plus adéquat d'évoquer un modèle individuel ? Les coecients ai sont certes considérésindividu par individu mais restent tous dépendants de l'eectif aléatoire |Y | des participantsdécédés. Nous voyons clairement que la modélisation des ux tontiniers proposée ne correspondpas à un modèle actuariel classique.

28

2.2.2 Tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants

Il s'agit de généraliser à n participants la tontine décrite dans la section 2.1.4. Cette tontine,dénommée tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants est certes munied'un faible potentiel commercial en raison des dissymétries générées en l'absence de provision enfaveur des survivants. Ceci dit, il s'agit du modèle théorique ayant permis de xer les bases dansla démarche entreprise par l'étude du mémoire.

[CdA 2014] art. R.322-152 A la n de chaque année, l'intégralité de l'avoir de chaque associa-

tion en cas de décès est répartie entre les ayants droit des sociétaires décédés au cours de l'année,

sous la seule déduction des prélèvements qui pourraient être spéciés par les statuts en confor-

mité du 9 de l'art. R.322-155. La répartition est eectuée au prorata des sommes correspondant

à chaque cotisation, conformément à l'art. R322-149. (...)

Le point 9 mentionné dans l'article ci-dessus concerne la provision en faveur des survivants et feral'objet de la tontine décès décrite dans la section 2.2.3. Lorsque l'association tontinière compten participants, la part aléatoire αi du capital K perçue par les ayants droit du participant is'écrit :

αi :=ciYi∑nj=1 cjYj

1|Y |>0

La quantité αi dépend des données déterministes ci ainsi que de deux v.a. dépendantes Yi et∑nj=1 cjYj :

1. Yi1|Y |>0 détermine si les ayants droit du participant i perçoivent une part du fonds ;

2.(ci/∑n

j=1 cjYj

)détermine le montant de la part perçue par les ayants droit du participant

i.

Remarquons maintenant que :

Yi = 1Yi>0 = 1Yi>01|Y |>0 = Yi1|Y |>0

et que :

Yi = 1 =⇒n∑j=1

cjYj = ci +∑

j∈N\i

cjYj

Toute l'information biométrique de l'association privée de i est rassemblée dans le dénominateurde αi :

αi =ciYi

ci +∑

j∈N\i cjYj

Les ux tontiniers se résument donc aux relations suivantes :

α0 = 1|Y |=0

∀i = 1, · · · n, αi =ciYi∑nj=1 cjYj

1|Y |>0

29

et satisfont l'égalité∑n

i=0 αi = 1. Le ux α0 = 1|Y |=0 nous permet de marquer l'article suivanten l'absence totale de décès :

[CdA 2014] art. R.322-155 Les statuts à forme tontinière doivent spécier, sous réserve des

prescriptions contenues dans le présent livre : (...) L'aectation des fonds (...) des associations

en cas de décès qui ne pourraient être liquidées par suite de l'absence de décès ; (...).

Les participants peuvent ainsi se positionner librement par rapport au ux α0 = 1|Y |=0 :

soit le fonds de l'association est cédé à des ÷uvres charitables an de ne jamais pouvoirproter aux participants ;

soit le fonds de l'association est restitué intégralement aux participants au prorata descotisations :

α0 =

n∑i=1

1|Y |=0ci∑nj=1 cj

Ainsi la tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants est dénie par l'appli-cation :

α : (R∗+)n × Ber(]0, 1[)n+1 −→ [0, 1]n+1 c1

· · ·cn

,

1|Y |=0Y1

· · ·Yn

−→

1|Y |=0

c1Y1∑nj=1 cjYj

1|Y |>0

· · ·cnYn∑nj=1 cjYj

1|Y |>0

où nous avons considéré l'ensemble 0 ∪ N an de maintenir la cohérence avec la dénition2.2.1.

2.2.3 Tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants

Nous allons proposer une tontine décès qui exploite l'article suivant :

[CdA 2014] art. R.322-155 Les statuts des sociétés à forme tontinière doivent spécier, sous

réserve des prescriptions contenues dans le présent livre : (...) 9 La quotité des prélèvements qui

pourraient être aectés à la constitution d'une provision en faveur des survivants des associations

en cas de décès ; (...)

Lorsque l'association tontinière compte n participants, la part aléatoire βi du capital K perçuepar les ayants droit du participant i s'écrit :

βi :=λiYi

maxK,∑n

j=1 λjYj

+ci∑nj=1 cj

max

0, 1−

∑nj=1 λjYj

K

La quantité βi est bien dénie car :

∀K > 0, max

K,n∑j=1

λjYj

> 0

30

Le ux βi dépend par ailleurs des données déterministes K,λ, c ainsi que de deux v.a.r. dépen-dantes Yi et

∑nj=1 λjYj . La part βi admet par ailleurs la décomposition suivante :

βi = 1∑nj=1 λjYj≤K

λiYiK

+ 1∑nj=1 λjYj>K

λiYi∑nj=1 λjYj

+ 1∑nj=1 λjYj≤K

ci∑nj=1 cj

(1−

∑nj=1 λjYj

K

)

et en isolant l'information biométrique de i lorsque cela est possible, nous obtenons :

βi = λiYi

(1∑j 6=i λjYj≤K−λi

K+

1∑j 6=i λjYj>K−λiλi +

∑j 6=i λjYj

)

+ci∑nj=1 cj

(1∑n

j=1 λjYj≤K −

∑nj=1 λjYj1∑l 6=j λlYl≤K−λj

K

)

Ainsi la tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants est dénie par l'appli-cation β : R+ × (R∗+)n × (R∗+)n × Ber(]0, 1[)n −→ [0, 1]n détaillée ci-dessous :

(K, c, λ, Y ) −→

λ1Y1

maxK,∑nj=1 λjYj

+ c1∑nj=1 cj

max

0, 1−∑nj=1 λjYjK

· · ·

λnYnmaxK,∑n

j=1 λjYj+ cn∑n

j=1 cjmax

0, 1−

∑nj=1 λjYjK

2.3 Hypothèses de tarication

Il s'agit désormais de déterminer les cotisations individuelles de chaque participant en res-pectant l'article suivant :

[CdA 2014] art. R.322-149 Les cotisations revenant aux associations en cas de décès sont cal-

culées en tenant compte de l'âge des sociétaires à l'époque de leur échéance et suivant un tarif

établi sur une table de mortalité spéciée par les statuts. Elles sont proportionnelles au montant,

déterminé au moyen dudit tarif, de la somme probable à obtenir lors de la répartition.

L'étude du cas à trois individus a été l'occasion de fournir pour chacune des tontines α et β unehypothèse de tarication permettant de déterminer les cotisations ci. Nous concluons donc cechapitre sur les méthodes de tarication correspondant aux deux tontines étudiées. Nous noteronsr le taux de rendement escompté des placements à l'issue de la période T . Le taux d'actualisationr est xé dans les conditions prévues a l'article A.132-1 du code des assurances.

31

2.3.1 Tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants

Déterminons la tarication associée à la tontine α en calibrant les espérances conditionnellesdes uxKαi sur les versements escomptés λi comme nous l'avons fait dans le cas à trois individus :

∀i = 1, · · · , n, λiYi = KE [αi|Yi] (2.9)

et en passant à l'espérance de chaque membre de l'égalité précédente, nous obtenons :

∀i = 1, · · · , n, λiqi = KE [αi] = KE

[ciYi∑nj=1 cjYj

1|Y |>0

]

ce qui peut encore s'écrire :

∀i = 1, · · · , n, λi = ciKE

[1

ci +∑

j∈N\i cjYj

]

Nous pouvons par ailleurs poser K = (1 + r)|c| an d'obtenir un système Sα,λ,rn de n équationsnon linéaires où les inconnues sont les cotisations ci :

(Sα,λ,rn ) : ∀i = 1, · · · , n, λi1 + r

= ci

n∑j=1

cj

E

[1

ci +∑

j∈N\i cjYj

]

L'expression exacte de l'espérance est donnée par la relation suivante :

E

[1

ci +∑

j∈N\i cjYj

]=

∑(yj)j∈N\i∈0,1n−1

∏j∈N\i P (Yj = yj)

ci +∑

j∈N\i cjyj

=∑

(yj)j∈N\i∈0,1n−1

∏j∈N\i q

yjj (1− qj)1−yj

ci +∑

j∈N\i cjyj(2.10)

Nous retenons donc que l'espérance 2.10 est une somme constituée de 2n−1 termes.

2.3.2 Tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants

Déterminons la tarication associée à la tontine β en calibrant les espérances des ux βiK1+r

sur les cotisations ci comme nous l'avons fait dans le cas à trois individus :

∀i = 1, · · · , n, ci =K

1 + rE[βi] (2.11)

Cette hypothèse implique par ailleurs que :

n∑i=1

ci =K

1 + r

32

L'hypothèse 2.11 permet d'écrire :

∀i = 1, · · · , n, ci =K

1 + rE

λiYi

maxK,∑n

j=1 λjYj

+ ciE

[max

0, 1−

∑nj=1 λjYj

K

]

d'où :

∀i = 1, · · · , n, ci =

(K

1 + r

) E

[λiYi

maxK,∑nj=1 λjYj

]1− E

[max

0, 1−

∑nj=1 λjYjK

] (2.12)

=

(K

1 + r

) E

[λiYi

maxK,∑nj=1 λjYj

]E[min

1,∑nj=1 λjYjK

] (2.13)

=

(K

1 + r

) E

[λiYi

maxK,∑nj=1 λjYj

]∑n

l=1E

[λlYl

maxK,∑nj=1 λjYj

] (2.14)

En sommant la relation 2.14 sur i = 1, · · · , n, nous retrouvons l'implication K = (1 + r)|c| del'hypothèse 2.11. Sachant que K et r sont des données escomptées, la somme |c| des cotisationsindividuelles est en fait xée dès la date de souscription t = 0. Explicitons le numérateur de lafraction gurant dans les relations précédentes :

E

λiYi

maxK,∑n

j=1 λjYj

= λiqiE

[1∑j 6=i λjYj>K−λiλi +

∑j 6=i λjYj

]+λiqiK

P

∑j 6=i

λjYj ≤ K − λi

Nous retenons donc que le calcul d'une cotisation ci requiert en partie la détermination de lafonction de répartition du vecteur aléatoire (Y1, · · · , Yi−1, Yi+1, · · · , Yn).

33

Chapitre 3

Méthodes de tarication des risques

tontiniers

Une tontine performante doit faire appel à une mutualisation importante du risque, d'oùl'importance de l'article suivant :

[CdA 2014] art. R.322-145 Les associations (...) en cas de décès que créent les sociétés à forme

tontinière ne peuvent être valablement constituées que si elles comprennent au moins deux cents

membres.

Or pour un entier n > 0 quelconque, l'espérance 2.10 est une somme constituée de 2n−1 termesdans le cas de la tontine α tandis que l'expression 2.14 de la cotisation ci requiert entre autres ladétermination d'une fonction de répartition discrète correspondant à 2n occurrences. Sachant quel'article ci-dessus impose la contrainte n ≥ 200, l'utilisation des méthodes vues dans la section 2.1est inconcevable car la mutualisation du risque implique une complexité exponentielle dans lescalculs de la tarication. Il est donc impératif de pouvoir disposer d'une méthode d'approximationpour déterminer les cotisations individuelles. Par opposition aux méthodes d'approximation, nousqualions de méthodes directes les méthodes de calcul dont l'application est limitée par la valeurde n.

3.1 Tontine sans constitution d'une provision en faveur des sur-

vivants

L'hypothèse de tarication 2.9 nous a conduit à un système non-linéaire où les inconnuessont les cotisations à déterminer. La méthode de résolution de Newton Raphson a été retenuepour sa simplicité et fait oce de méthode directe. Nous désignerons donc par :

(NR), la méthode directe utilisant l'algorithme de Newton Raphson ;

(NRMC), la méthode d'approximation utilisant des simulations de Monte Carlo pour ap-procher les espérances intervenant dans la méthode (NR).

34

3.1.1 La méthode directe : méthode de Newton Raphson

Commençons par énoncer la proposition suivante :

Proposition 3.1.1 (Méthode de Newton Raphson) Soit F : Rn → Rn une application

(C1)n et notons JF (x) la matrice jacobienne de F en x ∈ Rn. S'il existe c ∈ Rn tel que F (c) = 0et JF (c)−1 soit inversible, alors il existe un ε > 0 tel que pour tout c0 vériant |c0 − c| < ε, lasuite (ck)k∈N décrite par la relation suivante :

∀k ∈ N, ck+1 = ck − JF(ck)−1× F (ck)

converge quadratiquement vers c :

∃A < 1, ∀k ∈ N, |ck+1 − c| ≤ A|ck − c|

Appliquons la méthode de Newton Raphson à notre cas en posant :

F : Rn −→ Rn x1

· · ·xn

−→

f1(x1, · · · , xn)· · ·

fn(x1, · · · , xn)

où ∀i = 1, · · · , n :

fi(x1, · · · , xn) = xi

n∑j=1

xj

E

[1

xi +∑

j∈N\i xjYj

]− λi

1 + r(3.1)

Les fonctions fi sont toutes C1 sur Rn. La matrice jacobienne au point (ck1, · · · , ckn) s'écrit :

JF (ck1, · · · , ckn) =

∂f1

∂x1(ck1, · · · , ckn) · · · ∂f1

∂xn(ck1, · · · , ckn)

· · · · · · · · ·∂fn∂x1

(ck1, · · · , ckn) · · · ∂fn∂xn

(ck1, · · · , ckn)

Explicitons la matrice jacobienne en commençant par les éléments de la diagonale : ∀i = 1, · · · , n

∂fi∂xi

(ck1, · · · , ckn) = 1 + E

(∑

j∈N\i ckj (1− Yj)

)(∑j∈N\i c

kjYj

)(cki +

∑j∈N\i c

kjYj

)2

(3.2)

ensuite lorsque i 6= l :

∂fi∂xl

(ck1, · · · , ckn) = ckiE

(1− Yl)(∑n

j=1 ckj

)−∑

j∈N\i ckj (1− Yj)(

cki +∑

j∈N\i ckjYj

)2

(3.3)

35

où

E

[∑j∈N\i c

kj (1− Yj)

cki +∑

j∈N\i ckjYj

]

=∑

(yj)j∈N\i∈0,1n−1

∏j∈N\i

qyjj (1− qj)1−yj

∑j∈N\i ckj (1− yj)

cki +∑

j∈N\i ckj yj

(3.4)

et

E

∑j∈N\i c

kj (1− Yj)(

cki +∑

j∈N\i ckjYj

)2

=

∑(yj)j∈N\i∈0,1n−1

∏j∈N\i

qyjj (1− qj)1−yj

∑j∈N\i c

kj (1− yj)(

cki +∑

j∈N\i ckj yj

)2 (3.5)

L'application directe de la méthode de Newton Raphson peut aboutir à une solution approxima-tive au bout d'un certain nombre d'itérations :

c =

c1

· · ·cn

= limk→+∞

ck1· · ·ckn

où ∀k ∈ N, ck+1 = ck − (JF (ck))−1 × F (ck)

Lorsque n croît et tant que la condition d'inversibilité sur la matrice jacobienne est satisfaite,l'algorithme génère très rapidement des explosions combinatoires. Pourtant, la détermination descotisations tontinières pour des populations de grande taille est non seulement motivée par le codedes assurances, mais aussi par l'obtention d'une solution c munie de composantes strictementpositives lorsque les λi sont distincts.

3.1.2 La méthode d'approximation : simuler la méthode directe

L'idée est d'appliquer la méthode de Monte-Carlo pour simuler toutes les espérances appa-raissant aussi bien dans le vecteur F que dans la matrice jacobienne de F pour chaque itérationk de l'algorithme de Newton-Raphson. En eet, la loi forte des grands nombres appliquée auxrelations 3.1,3.2 et 3.3 nous permet d'écrire ∀k ∈ N, ∀i = 1, · · · , n et ∀l = 1, · · · , n tel que l 6= i :

fi(ck1, · · · , ckn)

p.s.= − λi

1 + r+ cki

n∑j=1

ckj

limM→+∞

1

M

M∑m=1

1

cki +∑

j 6=i ckjY

mj

∂fi∂xi

(ck1, · · · , ckn)p.s.= 1 + lim

M→+∞

1

M

M∑m=1

(∑j 6=i c

kj (1− Y m

j ))(∑

j 6=i ckjY

mj

)(cki +

∑j 6=i c

kjY

mj

)2

∂fi∂xl

(ck1, · · · , ckn)p.s.= cki lim

M→+∞

1

M

M∑m=1

(1− Y ml )∑n

j=1 ckj −

∑j∈N\i c

kj (1− Y m

j )(cki +

∑j 6=i c

kjY

mj

)2

36

où les éléments de la suite (Y m1 , Y m

2 , Y m3 , · · · , Y m

n )m∈N sont i.i.d. et telle que :

(Y 11 , Y

12 , Y

13 , · · · , Y 1

n ) ∼ Y.

En simulant un très grand nombreM de réalisations (y1, y2, y3, · · · , yn) du vecteur (Y1, Y2, Y3, · · · , Yn),nous pouvons récupérer les (n− 1)uplets requis :

(y2, y3, y4, · · · , yn)(y1, y3, y4, · · · , yn)· · ·(y1, y2, y3, · · · , yn−1)

Les M simulations (yM1 , yM2 , yM3 , · · · , yMn ) réalisées permettront alors d'approcher toutes les es-pérances issues de la kème itération produite par l'algorithme de Newton Raphson.

3.2 Tontine avec constitution d'une provision en faveur des sur-

vivants

L'hypothèse de tarication 2.11 nous a conduit à exprimer les cotisations en fonction dela somme des cotisations : si la somme des cotisations est xée à la date de souscription, lescotisations sont déterminées par des formules fermées. Ces dernières nécessitent néanmoins ladétermination de la fonction de répartition de la loi du vecteur aléatoire Y qui suit une loi diteMultivariate Bernoulli 1. Notons au passage que d'après le théorème de Cramer Wod, la loi duvecteur Y est entièrement déterminée par les lois unidimensionnelles de toutes les combinaisonslinéaires

∑ni=1 λiYiλ∈R des composantes Yi et lorsque les versements escomptés λi sont iden-

tiques, la variable aléatoire |Y | suit une loi dite Poisson Binomiale. Nous désignerons donc par :

(MVB), la méthode directe utilisant la fonction de répartition de la loi du vecteur Y lorsqueles versements escomptés λi sont distincts ;

(PB), la méthode directe utilisant la fonction de répartition de la loi du vecteur Y lorsqueles versements escomptés λi sont identiques ;

(MVBMC), la méthode d'approximation de la méthode (MVB) utilisant des simulationsde Monte Carlo ainsi que d'autres techniques d'approximation ;

(PBMC), la méthode d'approximation de la méthode (PB) utilisant des simulations deMonte Carlo ainsi que d'autres techniques d'approximation.

1. Nous maintiendrons la dénomination en anglais car la consultation de la littérature en langue française arévélé que la dénomination "loi de Bernoulli multivariée" est réservée pour la loi d'un vecteur Y dont seule unecomposante prend la valeur 1 tandis que les autres prennent la valeur 0.

37

3.2.1 La méthode directe : détermination de la loi Multivariate Bernoulli

Rappelons la relation 2.14 qui permet de calculer la cotisation individuelle ci correspondantà la tontine β :

ci =

(K

1 + r

) E

[λiYi

maxK,∑nj=1 λjYj

]∑n

l=1E

[λlYl

maxK,∑nj=1 λjYj

]avec :

E

[λiYi min

1

K,

1∑nj=1 λjYj

]= λiqiE

[1∑j 6=i λjYj>K−λiλi +

∑j 6=i λjYj

]+λiqiK

P

∑j 6=i

λjYj ≤ K − λi

Il s'agit donc de déterminer les quantités suivantes :

∀i = 1, · · · , n, E

[1∑j 6=i λjYj>K−λiλi +

∑j 6=i λjYj

]

=∑

(yj)j 6=i∈0,1n−1

1]K−λi,+∞[

(∑j 6=i λjyj

)λi +

∑j 6=i λjyj

∏j 6=i

qyjj (1− qj)1−yj (3.6)

∀i = 1, · · · , n, P

∑j 6=i

λjYj ≤ K − λi

=

∑(yj)j 6=i∈0,1n−1

1[0,K−λi]

∑j 6=i

λjyj

∏j 6=i

qyjj (1− qj)1−yj (3.7)

La loi du vecteur Y = (Y1, · · · , Yn) ∈ Ber (]0, 1[)n est appelée la Multivariate Bernoulli Distri-

bution. Une étude de cette loi a été faite dans l'article [YHG 2011]. La fonction de répartitioncorrespondante est compliquée à déterminer car il s'agit d'une loi discrète à 2n réalisations :

∀y = (y1, · · · , yn) ∈ 0, 1n, P(Y = y) =n∏i=1

P(Yi = yi) =n∏i=1

qyii (1− qi)1−yi

Pour tout i = 1, · · · , n, la loi du (n−1)uplet (Y1 = y1, · · · , Yi−1 = yi−1, Yi+1 = yi+1, · · · , Yn = yn)peut se déduire directement à partir de la loi du vecteur Y . En eet, pour tout (n − 1)uplet(yj)j 6=i ∈ 0, 1n−1 :

P (Y1 = y1, · · · , Yi−1 = yi−1, Yi+1 = yi+1, · · · , Yn = yn) =∏j 6=i

qyjj (1− qj)1−yj =

P(Y = y)

qyii (1− qi)1−yi

La méthode directe consiste donc à déterminer les probabilités de toutes les réalisations possibles(y1, · · · , yn) ∈ 0, 1n an de pouvoir calculer les quantités 3.6 et 3.7 qui permettent de calculer

38

les cotisations ci. La détermination de la loi du vecteur Y nous permet aussi par ailleurs decalculer le premier terme du dénominateur gurant dans la fraction de la cotisation ci car :

n∑i=1

E

λiYi

maxK,∑n

j=1 λjYj

= 1− E

[max

0, 1−

∑nj=1 λjYj

K

](3.8)

= 1−P

n∑j=1

λjYj ≤ K

+n∑j=1

λjqjK

P

∑l 6=j

λlYl ≤ K − λj

ce qui nous permet d'obtenir une autre expression de la cotisation ci :

ci = qiλi

(K

1 + r

) E

[1∑j 6=i λjYj>K−λiλi+

∑j 6=i λjYj

]+ 1

KP(∑

j 6=i λjYj ≤ K − λi)

P(∑n

j=1 λjYj > K)

+ 1K

∑nj=1 λjqjP

(∑l 6=j λlYl ≤ K − λj

) (3.9)

3.2.2 Une application particulière de la méthode directe : la loi Poisson Bi-

nomiale

Lorsque les versements escomptés λi sont identiques, il est plus aisé de déterminer la loi del'eectif |Y | de participants décédés. En eet, lorsque ∀i = 2, · · · , n, λi = λ1, l'expression d'unecotisation ci devient :

ci = qi

(λ1K

1 + r

) (1/λ1)E

[1∑j 6=i Yj>K/λ1−11+∑j 6=i Yj

]+ (1/K)P

(∑j 6=i Yj ≤ K/λ1 − 1

)P(∑n

j=1 Yj > K/λ1

)+ λ1

K

∑nj=1 qjP

(∑l 6=j Yl ≤ K/λ1 − 1

) (3.10)

Les lois de la v.a.r |Y | ainsi que des v.a.r∑

j 6=i Yj peuvent être déterminées par un algorithmeecace. Commençons par détailler les lois en question en énonçant la dénition suivante :

Dénition 3.2.1 Soit X l'ensemble des valeurs aléatoires réelles dénies sur un espace proba-

bilisé (Ω,F ,P). Soit n ∈ N∗ et soit (Xk)k=1,··· ,n ⊂ X telle que :

∀k = 1, · · · , n, P[Xk = 1] = 1−P[Xk = 0] = qk,

et telle que :

∀k, l ∈ 1, · · · , n, k 6= l, Xk⊥⊥Xl

La variable aléatoire∑n

k=1Xk est dite distribuée selon une loi Poisson Binomiale et on note :

n∑k=1

Xk ∼ PB(q1, ..., qn)

Les détails de la distribution Poisson Binomiale sont présentés dans l'annexe. Si l'expression de ladistribution Poisson Binomiale est aisée (cf. annexe concernée), cette dernière ne peut nullementfaire l'objet d'une implémentation informatique directe. L'expression récursive suivante provientde l'article [WAN 1993] :

39

Proposition 3.2.1 Soit X ∈ X telle que X ∼ BP(q1, ..., qn) où :

∀k = 1, . . . , n, 0 < qk < 1

Notons :

f(k) = (−1)k−1n∑l=1

(ql

1− ql

)kLa distribution de X admet l'expression suivante :

P[X = m] =

∏nk=1(1− qk) si m = 0

1m

∑mk=1 f(k)P[X = m− k] si m ∈ 1, ..., n

0 sinon.

Pour chaque = 1, · · · , n, la fonction de distribution de∑

j 6=i Yj nous permet de calculer directe-ment les quantités 3.6 et 3.7 lorsque λ1 = λ2 = · · · = λn :

∀i = 1, · · · , n, E

[1∑j 6=i Yj>K/λ1−1

1 +∑

j 6=i Yj

]=

n∑m=0

1]K/λ1,+∞[(1 +m)

1 +mP

∑j 6=i

Yj = m

∀i = 1, · · · , n, P

∑j 6=i

Yj ≤ K/λ1 − 1

=

n∑m=0

1[0,K/λ1](1 +m)P

∑j 6=i

Yj = m

La fonction de distribution de la v.a.r. |Y | =

∑nj=1 Yj nous permet enn de déterminer la

probabilité suivante :

P

n∑j=1

Yj > K/λ1

=n∑

m=1

1]K/λ1,+∞](m)P

n∑j=1

Yj = m

3.2.3 La méthode d'approximation : version généralisée du théorème Central

limite

Le théorème suivant est un cas particulier de la condition de Lindeberg rappelée dans l'annexeet permet de faire converger la loi du vecteur Y vers une loi gaussienne :

Théorème 3.2.1 Soit (Xi)i∈N∗ ⊂ X une suite de variables discrètes indépendantes telle que :

∀i ∈ N∗, E[Xi] = µi <∞ et var[Xi] = σ2i <∞

et soit ∀n ∈ N∗, S2n :=

∑ni=1 σ

2i . Si les conditions suivantes sont réalisées :

1. ∃A > 0, ∀i ∈ N∗, |Xi| ≤ A

2. limn→+∞ Sn = +∞

40

alors :

1

Sn

n∑i=1

(Xi − µi)L−→

(n−→+∞)N (0, 1)

Les conditions du théorème 3.2.1 sont vériées pour toute association tontinière N :

1. ∀i ∈ N, λiYi ≤ maxi∈N λi

2. ∀i ∈ N, 0 < qi < 1 et λi > 0

Par application du théorème 3.2.1, nous obtenons donc les convergences en loi suivante :

∀i = 1, · · · , n,∑n

j 6=i λj(Yj − qj)√∑nj 6=i λ

2jqi(1− qi)

L−→ N (0, 1)

ce qui permet d'eectuer les approximations gaussiennes suivantes :

∀i = 1, · · · , n, P

∑j 6=i

λjYj ≤ K − λi

≈ Φ

K − λi −∑nj 6=i λjqj√∑n

j 6=i λ2jqi(1− qi)

(3.11)

où Φ désigne la fonction de répartition d'une loi normale centrée réduite :

∀x ∈ R, Φ(x) =

∫ x

−∞

1√2πe−u

2/2du

Il s'agit maintenant d'estimer l'espérance suivante :

E

[1∑j 6=i λjYj>K−λiλi +

∑j 6=i λjYj

]= P

∑j 6=i

λjYj > K − λi

E

1

λi +∑

j 6=i λjYj|∑j 6=i

λjYj > K − λi

Pour simuler la loi tronquée

(∑j 6=i λjYj |

∑j 6=i λjYj > K − λi

), il sut de poser :

ui := P

∑j 6=i

λjYj ≤ zi |∑j 6=i

λjYj > K − λi

=P(∑

j 6=i λjYj ≤ z)−P

(∑j 6=i λjYj ≤ K − λi

)1−P

(∑j 6=i λjYj ≤ K − λi

)Il en vient :

P

∑j 6=i

λjYj ≤ zi

= ui + (1− ui)P

∑j 6=i

λjYj ≤ K − λi

41

or la fonction de répartition de la variable∑

j 6=i λjYj est croissante monotone et donc :

zi = Q∑j 6=i λjYj

P∑j 6=i

λjYj ≤ zi

= Q∑

j 6=i λjYj

ui + (1− ui)P

∑j 6=i

λjYj ≤ K − λi

(3.12)

oú :∀X ∈ X , ∀p ∈]0, 1[, QX(p) := inf x ∈ R | P(X ≤ x) ≥ p

En simulant M valeurs u1i , · · · , uMi uniformément réparties entre 0 et 1, la relation 3.12 nous

fournit M valeurs z1i , · · · , zMi simulées selon la loi tronquée

(∑j 6=i λjYj |

∑j 6=i λjYj > K − λi

).

L'application d'une méthode de Monte-Carlo nous permet d'approcher l'espérance recherchée :

1

M

M∑m=1

1

λi + zmi−→

(M→+∞)E

1

λi +∑

j 6=i λjYj|∑j 6=i

λjYj > K − λi

Cela nous permet d'écrire :

E

[1∑j 6=i λjYj>K−λiλi +

∑j 6=i λjYj

]= P

∑j 6=i

λjYj > K − λi

( limM→+∞

1

M

M∑m=1

1

λi + zmi

)

Pour le moment, la méthode de simulation des valeurs z1i , · · · , zMi n'ore pas une utilisation

optimale car elle suppose la détermination de la fonction de répartition de la loi∑

j 6=i λjYj .L'idée est donc de recourir aux approximations gaussiennes 3.11 :

∀i = 1, · · · , n, P

∑j 6=i

λjYj ≤ zi

≈ ui + (1− ui)Φ

K − λi −∑nj 6=i λjqj√∑n

j 6=i λ2jqi(1− qi)

or :

∀i = 1, · · · , n, P

∑j 6=i

λjYj ≤ zi

≈ Φ

zi −∑n

j 6=i λjqj√∑nj 6=i λ

2jqi(1− qi)

ce qui fournit ∀i = 1, · · · , n une approximation zi de la simulation zi envisagée par la relation3.12 :

zi :=n∑j 6=i

λjqj + Φ−1

ui + (1− ui)Φ

K − λi −∑nj 6=i λjqj√∑n

j 6=i λ2jqi(1− qi)

√√√√ n∑j 6=i

λ2jqi(1− qi) (3.13)

et nalement :

E

[1∑j 6=i λjYj>K−λiλi +

∑j 6=i λjYj

]≈

1− Φ

K − λi −∑nj 6=i λjqj√∑n

j 6=i λ2jqi(1− qi)

( limM→+∞

1

M

M∑m=1

1

λi + zmi

)(3.14)

42

où les valeurs z1i , · · · , zMi sont simulées en fonction des valeurs u1

i , · · · , uMi uniformément répartiessur [0; 1] selon la relation 3.13.

3.3 Vers une comparaison avec l'assurance temporaire décès

La diculté d'appréciation de l'ore tontinière réside dans l'absence de tontine décès surle marché de l'assurance. La comparaison ne peut donc se faire qu'avec une ore d'assurancevoisine. Il s'agit donc de comparer l'ore tontinière avec l'ore la plus proche, et en somme laplus compétitive, représentée par l'assurance décès temporaire.

3.3.1 Primes assurantielles et cotisations tontinières

Pour un même individu i, nous distinguerons donc la cotisation tontinière ci correspondantà un versement non déterminé de la prime d'assurance conventionnelle pi = λiqi

1+r correspondantau versement garanti d'un montant λi.

Tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants

En ce qui concerne la tontine α, nous avons précédemment montré que les cotisations tonti-nières satisfont la propriété suivante :

n∑i=1

ci =

∑ni=1 λiqi

(1 + r)P (∑n

i=1 Yi > 0)=

1

P (∑n

i=1 Yi > 0)

n∑i=1

pi

Cette dernière égalité permet de relier la somme des cotisations tontinières ci requises par latontine α à la somme des primes pi par le biais de la probabilité P (|Y | > 0) = P (

∑ni=1 Yi > 0),

ce qui permet de marquer quantitativement les diérences contractuelles entre l'assurance tem-poraire décès et l'ore tontinière :

1. si la probabilité P (|Y | > 0) est faible, la tontine décès risque de ne pas se comporter commeun produit d'assurance décès à la date d'expiration ;

2. si au contraire P (|Y | > 0) est très proche de 1, la somme des cotisations tontinières serapprochera de la somme de primes d'assurance conventionnelle. Cette condition peut êtrevériée dès que la population tontinière sera assez importante.

Tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants

En ce qui concerne la tontine β, la tarication des cotisations tontinières ci vérie l'égalitésuivante :

n∑i=1

ci =K

1 + r

43

Nous pouvons poser K =∑n

i=1 λiqi dans un premier temps an de faciliter la comparaison avecl'assurance temporaire décès :

n∑i=1

ci =

n∑i=1

pi

Ceci dit, nous tâcherons dans le dernier chapitre de déterminer une valeur adéquate de K.

Pourcentage de perte du fonds associatif

Remarquons pour nir que toute association tontinière N peut être partitionnée de la manièresuivante :

N = A ∪B avec A = i ∈ N | λiqi < ci(1 + r) et B = i ∈ N | λiqi ≥ ci(1 + r)

En eet, si les membres de la sous-association A se comportent en agents économiques rationnels,ces derniers peuvent décider de renoncer à payer la cotisation tontinière pour payer la primed'assurance conventionnelle en contrepartie d'un capital λi garanti en cas de décès. Dans cecas, le fonds associatif peut subir un pourcentage de perte de

(∑i∈A ci/

∑i∈N ci

)et la sous-

association B doit déterminer de nouvelles cotisations. Cette perte en capital peut représenterle coût de la cohésion associative portée par le groupe A. Cet indicateur dépend de la mortalitéde la population N : si certains participants peuvent retrouver leur éthique dans la propositiond'une cotisation tontinière plus avantageuse que la prime d'assurance conventionnelle, ce sera audépens d'autres participants.

3.3.2 Versements garantis et versements indéterminés

La comparaison des primes et des cotisations ne saurait sure pour savoir si l'alternativetontinière peut se mesurer à l'assurance conventionnelle. Les engagements contractuels des deuxores sont clairement distincts : le risque d'une tontine décès est à la charge de l'association Ntandis que les assurés conventionnels ont payé pour se décharger totalement du risque. L'objectifreste néanmoins de rendre l'alternative tontinière aussi compétitive que l'assurance convention-nelle et nous devons donc disposer de certains indicateurs sur les engagements contractuels.

Tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants

Commençons par expliciter le cas de la tontine α :

αiK ≤ λi ⇐⇒ciYi∑nj=1 cjYj

1|Y |>0K ≤ λi ⇐⇒ciYi

ci +∑

j 6=i cjYj≤ λiK⇐⇒ K

λiYi −

1

ci

∑j 6=i

cjYj ≤ 1

Or l'application du théorème 3.2.1 nous fournit la convergence en loi suivante :

Kλi

(Yi − qi)− 1ci

∑j 6=i cj(Yj − qj)√

K2

λ2iqi(1− qi) + 1

c2i

∑nj 6=i c

2jqj(1− qj)

L−→(n−→∞)

N (0, 1)

44

Nous pouvons donc eectuer une approximation gaussienne lorsque le nombre de participants nest très grand :

P (αiK > λi) = 1−P

YiKλi− 1

ci

∑j 6=i

cjYj ≤ 1

≈ 1− Φ

1− Kλiqi + 1

ci

∑j 6=i cjqj√

K2

λ2iqi(1− qi) + 1

c2i

∑nj 6=i c

2jqj(1− qj)

Pour un participant i donné, nous disposons désormais d'un indicateur permettant de posi-tionner quantitativement les engagements contractuels tontiniers αi non déterminés par rapportaux engagements contractuels garantis de l'assurance conventionnelle. En eet, la probabilitéP (αiK = λi | Yi = 1) < 1 s'oppose à l'expression de la probabilité P(λiYi = λi | Yi = 1) = 1certes triviale, mais qui caractérise le versement garanti d'une assurance conventionnelle en casde décès.

Tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants

En ce qui concerne la tontine β, il sut de noter que :

βi =λiYiK

+

(1−

∑nj=1 λjYj

K

)[ci∑nj=1 cj

+ 1∑nj=1 λjYj>K

(λiYi∑nj=1 λjYj

− ci∑nj=1 cj

)]

Nous obtenons donc :

λiYi ≤ βiK ⇐⇒ 0 ≤

(1−

∑nj=1 λjYj

K

)[ci∑nj=1 cj

+ 1∑nj=1 λjYj>K

(λiYi∑nj=1 λjYj

− ci∑nj=1 cj

)]

⇐⇒n∑j=1

λjYj ≤ K

et enn ∀i = 1, · · · , n :

P (λiYi ≤ βiK) = P

n∑j=1

λjYj ≤ K

L'étude se limite donc à l'estimation de la probabilité de l'évènement

∑nj=1 λjYj ≤ K

car ce

dernier détermine si chaque participant i obtient un versement supérieur au versement λi en casde décès. Par application du théorème 3.2.1, nous obtenons la convergence en loi suivante :∑n

i=1 λi(Yi − qi)√∑ni=1 λ

2i qi(1− qi)

L−→(n−→∞)

N (0, 1)

45

et lorsque l'eectif de l'association N est très grand, nous pouvons eectuer l'approximationgaussienne suivante quelque soit i ∈ 1, · · · , n :

P (λiYi ≤ βiK) ≈ Φ

K −∑n

i=1 λiqi√∑ni=1 λ

2i qi(1− qi)

3.4 Exemples et commentaires

Les exemples présentés dans cette section ont été calculés en utilisant les taux de mortalité à100% de la tables TH 00-02 établie par l'INSEE. Les méthodes d'approximation ne permettentpas de déterminer aisément des intervalles de conance 2. An de pouvoir apprécier les margesd'erreur commises, il est nécessaire de déterminer les résultats par les méthodes directes lorsquela dimension le permet. Le langage C s'est donc imposé dans l'implémentation des méthodes detarication précédentes pour les raisons suivantes :

1. les méthodes directes (NR), (MVB) et (PB) nécessitent le calcul d'au moins 2n termes etle moyen le plus ecace de les gérer est d'utiliser les opérateurs de manipulation de bit dulangage C ;

2. la taille considérable des matrices jacobiennes successives durant l'exécution des méthodesdirecte (NR) et indirecte (NRMC) nécessite une gestion dynamique du stockage en mé-moire. Certains des résultats présentés dans le présent mémoire ont été obtenus au boutd'une semaine grâce à l'algorithme (NRMC).

Le logiciel R aurait pu convenir pour le traitement de la méthode d'approximation (NRMC)ou des méthodes (PB) et (PBMC) 3. Ceci dit, l'implémentation en C a permis de regrouper lesvariables de toutes les méthodes de tarication dans les mêmes structures de données.

3.4.1 Tontine sans constitution d'une provision en faveur des survivants

Les résultats présentés ont été produits au bout d'une dizaine d'heures en eectuant 50000simulations de Monte-Carlo pour l'approximation des espérances et 101 itérations pour l'algo-rithme de Newton qui a été exécuté sans critère d'arrêt.

Une association de 20 individus

Une association de 20 personnes nous permet de déterminer les tarifs individuels en utilisantles méthodes directe (NR) et d'approximation (NRMC). Sachant que la taille de l'association estréduite, les versements escomptés ne peuvent être distants et ont tous été xés à 2500 an de

2. L'expression de la variance de certaines lois simulées peut s'avérer complexe en particulier dans la méthodeutilisant les matrices jacobiennes.

3. Un package R consacré à l'utilisation de lois Poisson Binomiales est accessible en ligne.

46

garantir la stricte positivité des cotisations tontinières. Les détails des résultats sont donnés dansle tableau 3.1 en annexe et sont représentés dans le graphique C.1. Commençons par remarquerque la probabilité pour que tous les participants survivent à l'issue de la tontine est de 94, 82% :la probabilité pour que tous les participants survivent est considérablement élevée. Il est possiblepar ailleurs de déterminer la valeur de la somme théorique des cotisations qui est nettementsupérieure à la somme des primes d'assurance conventionnelle :

20∑i=1

ci =2500

P(|Y | > 0)

20∑i=1

qi =2500

5, 18%

20∑i=1

qi = 2561, 59

Il est clair qu'une telle tontine décès ne peut se mesurer à l'assurance conventionnelle, ce qui estconrmé par le graphe 3.1 où toutes les primes d'assurance sont nettement inférieures aux coti-sations conventionnelles correspondantes. La perte en pourcentage du fonds de l'association ton-tinière dénie dans la section 3.3.1 est donnée par l'indicateur

∑1≤i≤20|ci>2500qi ci/

∑20i=1 ci =

100%. La mutualisation du risque doit donc être ampliée par des populations de taille plusimportante où la tarication par la méthode directe n'est plus applicable. Une association de20 personnes nous permet néanmoins d'apprécier la marge d'erreur commise par les méthodes(NR) et (NRMC) sur la somme des cotisations. En eet, la valeur théorique de la somme descotisations est donnée par la relation :

20∑i=1

ci =2500

P(|Y | > 0)

20∑i=1

qi

et peut être donc comparée avec les résultats des méthodes direct (NR) et approximative (NRMC) :

20∑i=1

ci = 2561, 5920∑i=1

cNRi ≈ 2561, 5920∑i=1

cNRMCi ≈ 2563, 59

avec ∣∣∣∣∣20∑i=1

ci −20∑i=1

cNRi

∣∣∣∣∣ ≤ 10−9 et

∣∣∣∣∣20∑i=1

ci −20∑i=1

cNRMCi

∣∣∣∣∣ ≤ 2

Sachant que la complexité de la méthode directe est exponentielle, cette méthode ne peut pasêtre appliquée à des populations de taille importante. Les résultats des prochains exemples serontdonc uniquement produits par la méthode (NRMC).

Une association de 200 individus

Nous considérons dix fois la même vingtaine d'individus de la section 3.4.1 an d'obtenir uneassociation tontinières de 200 individus. Rappelons que l'eectif 200 est le minimum réglementairepour constituer une association tontinière. Les capitaux sous risque sont espacés de 4000 à 4900.Les tarifs détaillés gurent dans les tableaux C.3 et C.4 de l'annexe. La valeur théorique de lasomme des cotisations est déterminée par :

200∑i=1

ci =1

P(|Y | > 0)

200∑i=1

λiqi =1

41, 26%

200∑i=1

λiqi

47

0

20

40

60

80

100

120

140

Prim

e

Taux de décès

Primes d'assurance conventionnelle

Cotisations tontinières (NR)

Cotisations tontinières (NRMC)

Figure 3.1 Primes et cotisations pour une somme sous risque de 2500 ¿

-2.00%

-1.50%

-1.00%

-0.50%

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

2.00%

2.50%

Err

eu

r re

lati

ve

Taux de décès

Erreur relative (NRMC-NR)/NR

Figure 3.2 Erreurs relatives commises sur le calcul des cotisations représentées sur le graphe3.1

48

4000

4200

4400

46004800

0

10

20

30

40

50

60

Versem

ent garanti en cas de

décès

Prim

e d'assurance conven

tionn

elle

Taux de décès

Figure 3.3 Primes d'assurance conventionnelle - 200 individus

4000

4200

4400

46004800

0

10

20

30

40

50

60

Versem

ent e

scom

pté et non

garanti

Cotisation tontinière

Taux de décès

Figure 3.4 Cotisations tontinières - 200 individus

49

ce qui nous permet de vérier que la marge d'erreur sur la somme des cotisations reste acceptable :

200∑i=1

ci = 5725, 96200∑i=1

cNRMCi = 5728, 54

Même si la taille de l'association est assez importante pour espacer les versements escomptés,l'ore tontinière reste moins compétitive que l'assurance conventionnelle :

1. la probabilité P(|Y | = 0) est de 58, 74% ;

2. si les participants préfèrent payer une prime d'assurance conventionnelle moins élevée quela cotisation tontinière correspondant au même capital sous risque, la perte en pourcentagedu fonds est de : ∑

1≤i≤200|ci>λiqi ci∑200i=1 ci

= 91, 04%

avec Card(1 ≤ i ≤ 200|ci > λiqi) = 167 ;

3. les probabilités (P (αiK > λi))1≤i≤200 d'obtention d'une part supérieure au versement es-compté dénies dans le chapitre 3.3 sont approximées par des lois gaussiennes et sontreprésentées dans le graphique 3.5.

Nous remarquons un eet de lissage dans la tarication tontinière par rapport à la tarication del'assurance conventionnelle : pour un même capital sous risque, une personne munie d'un risquede décès plus important paiera une cotisation moins élevée qu'une personne munie d'un risque dedécès plus faible. Pour s'en convaincre, il sut de consulter les tarifs détaillés des tables C.3 etC.4 de l'annexe. Cet eet est commercialement inhabituel, il n'existe aucune incitation nancièrepour qu'un individu accepte de payer une charge en faveur d'un autre individu. Ceci dit, celapermet à certains individus munis d'un risque de mortalité plus élevé de payer une cotisationtontinière moins élevée que la prime d'assurance conventionnelle : ce fait est nettement visible surla catégorie de primes correspondant au capital sous risque de 4000. Les indicateurs précédentsconrment que l'eectif 200 ne sut pas pour rendre la tontine décès compétitive : les cotisationsdeviennent élevées par rapport aux primes dès que les capitaux sous risque deviennent importants.

50

4000

4200

4400

4600

48000%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

Versem

ent e

scom

pté et non

garan

ti

Prob

abilité d'obten

ir un

e pa

rt sup

érieure au

versemen

t escom

pté

Taux de décès

Figure 3.5 Probabilités d'obtention d'une part supérieure au versement escompté dans lecadre de la tontine décès constitué de 200 individus

Une association de 1000 individus

La population étudiée correspond à cinq fois la population de 200 individus étudiée dans lasection 3.4.1. Les capitaux sous risque sont espacés de 2500 à 4950 :

1. la probabilité P(|Y | = 0) vaut 6, 99% ;

2. la valeur théorique de la somme des cotisations tontinières vaut :

1000∑i=1

ci =1

P(|Y | > 0)

1000∑i=1

λiqi =9887, 90

93, 01%= 10631, 43

3. la valeur estimée de la somme des cotisations tontinières par la méthode (NRMC) vaut :

1000∑i=1

cNRMCi = 10658, 16

4. la perte en pourcentage du fonds vaut :

51

2500

2750

3000

3250

3500

3750

4000

4250

4500

4750

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0,05

425%

0,05

637%

0,05

947%

0,06

365%

0,07

200%

0,08

421%

0,09

926%

0,11

909%

0,14

646%

0,17

951%

0,21

800%

0,25

775%

0,29

654%

0,33

756%

0,38

664%

0,44

352%

0,50

355%

0,57

369%

0,64

408%

0,71

332%

Versem

ent garanti en

cas de décès

Prim

e d'assurance conventio

nnelle

Taux de décès

Figure 3.6 Primes d'assurance conventionnelle - 1000 individus

2500

2750

3000

3250

3500

3750

4000

4250

4500

4750

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0,05

425%

0,05

637%

0,05

947%

0,06

365%

0,07

200%

0,08

421%

0,09

926%

0,11

909%

0,14

646%

0,17

951%

0,21

800%

0,25

775%

0,29

654%

0,33

756%

0,38

664%

0,44

352%

0,50

355%

0,57

369%

0,64

408%

0,71

332%

Versem

ent e

scom

pté et non

garanti

Cotisation tontinière

Taux de décès

Figure 3.7 Cotisations tontinières - 1000 individus

52

∑1≤i≤1000 | ci>λiqi ci∑1000

i=1 ci= 62, 38%

avec Card(1 ≤ i ≤ 1000 | ci > λiqi) = 598 ;

5. les probabilités (P (αiK > λi))1≤i≤1000 dont les approximations gaussiennes sont représen-tées sur le graphique 3.8.

L'eet de lissage remarqué dans l'étude de la section 3.4.1 devient plus apparent sur le graphe3.7 et les probabilités P (αiK > λi) représentées sur le graphe 3.8 deviennent plus faibles.

2500

2750

3000

3250

3500

3750

40004250

45004750

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

4,0%

Versem

ent e

scom

pté et non

garan

ti

Prob

abilité d'obten

ir un

e pa

rt su

périe

ure au

versemen

t escom

pté

Taux de décès

Figure 3.8 Probabilités d'obtention d'une part supérieure au versement escompté dans lecadre de la tontine décès constituée de 1000 individus

Commentaires

Ces quelques exemples montrent que l'ore liée à la tontine α présente très peu d'intérêtcommercial. Le lissage des cotisations est intéressant car il permet de canaliser l'apport nancierdes individus plus jeunes vers les individus plus âgés dans le cadre d'une démarche solidaire entrediérentes générations. Ceci dit, les probabilités d'obtention des sommes escomptées mais nongaranties sont beaucoup trop faibles pour rivaliser avec l'ore assurantielle voisine.

53

3.4.2 Tontine avec constitution d'une provision en faveur des survivants

Une association de 20 individus modélisée par une loi Poisson Binomiale

Une association de 20 personnes nous permet de déterminer les tarifs individuels en utilisantles méthodes directe (PB) et d'approximation (PBMC). Les sommes sous risque λi ont toutesété xées à 4000 et l'appel de nancement collectif a été calibré sur la somme 4000

∑ni=1 qi.

Les détails des résultats sont donnés dans le tableau C.2 en annexe et sont représentés dans legraphique 3.9. Nous constatons que :

la probabilité de défaillance du fonds collectif est de 5,32% ;

les erreurs relatives entre les méthodes (PB) et (PBMC) sont inférieures à 0,7% en valeurabsolue ;

les écarts relatifs entre les primes d'assurance conventionnelle et les cotisations (PB) sontinférieurs à 0,2% en valeur absolue.

Une association de 200 individus modélisée par une loi MultiVariate Bernoulli

Nous reconsidérons l'association de 200 individus qui a permis de représenter le graphique 3.3des primes d'assurance conventionnelles λiqi en fonction du risque de mortalité qi individuel et duversement garanti λi. An de faciliter l'étude, le rendement r du capital escompté K est supposénul et l'appel de nancement collectif est calibré de manière à ce que :

∑ni=1 ci = K = λiqi. Nous

constatons que :

les eets de lissage générés par la tontine α ont disparu et l'allure des cotisations est simi-laire à celle des primes de cotisations ;

les erreurs relatives entre primes d'assurance conventionnelle et les cotisations tontinièressont faibles et peuvent être négligées.

Une association de 1000 individus modélisée par une loi MultiVariate Bernoulli

Nous conservons les hypothèses des résultats produits dans la section 3.4.2 et nous reconsi-dérons l'association de 1000 individus qui a permis de représenter le graphique 3.6 des primesd'assurance conventionnelles. L'allure des cotisations est similaire à celle des primes d'assuranceconventionnelle. Nus constatons que les erreurs relatives entre primes d'assurance conventionnelleet les cotisations tontinières restent faibles mais ont légèrement augmentées par rapport à cellesobtenues en considérant une population de 200 individus.

54

0

5

10

15

20

25

30

Taux de décès

Primes d'assurance conventionnelle

Cotisations tontinières (PB)

Cotisations tontinières (PBMC)

Figure 3.9 Primes et cotisations pour une somme sous risque de 4000 ¿

0

0

0

0

0

0

0

0

Taux de décès

Ecart relatif (PB-Prime)/Prime

Erreur relative (PBMC-PB/PB)

Figure 3.10 écarts et erreur relatifs associés aux calculs représentés sur le graphe 3.9

55

4000

4200

4400

4600

48000

5

10

15

20

25

30

35

Versemen

ts escomptés et non garantis

Cotisations tontinières

Taux de décès

Figure 3.11 Tontine β - 200 cotisations

4000

4200

44004600

4800

‐10%

‐8%

‐6%

‐4%

‐2%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0,05

4%

0,05

6%

0,05

9%

0,06

4%

0,07

2%

0,08

4%

0,09

9%

0,11

9%

0,14

6%

0,18

0%

0,21

8%

0,25

8%

0,29

7%

0,33

8%

0,38

7%

0,44

4%

0,50

4%

0,57

4%

0,64

4%

0,71

3%

Versem

ents escom

ptés et n

on garantis

Écart relatif en

tre la prim

e conven

tionn

elle et la cotisation tontinière

Taux de décès

Figure 3.12 écarts relatifs entre les primes d'assurance conventionnelle et les cotisations de latontine β

56

2500

2750

3000

3250

3500

3750

4000

4250

4500

4750

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0,05

425%

0,05

637%

0,05

947%

0,06

365%

0,07

200%

0,08

421%

0,09

926%

0,11

909%

0,14

646%

0,17

951%

0,21

800%

0,25

775%

0,29

654%

0,33

756%

0,38

664%

0,44

352%

0,50

355%

0,57

369%

0,64

408%

0,71

332%

Versem

ents éscom

ptés et n

on garantis

Cotisations ton

tinières

Taux de décès

Figure 3.13 Tontine β - 1000 cotisations

2500

2750

3000

3250

3500

3750

4000

42504500

4750

‐10%

‐8%

‐6%

‐4%

‐2%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

0,05

425%

0,05

637%

0,05

947%

0,06

365%

0,07

200%

0,08

421%

0,09

926%

0,11

909%

0,14

646%

0,17

951%

0,21

800%

0,25

775%

0,29

654%

0,33

756%

0,38

664%

0,44

352%

0,50

355%

0,57

369%

0,64

408%

0,71

332%

Versem

ents éscom

ptés et n

on garantis

Écart relatif en

tre la prim

e conven

tionn

elle et la cotisation tontinière

Taux de décès

Figure 3.14 écarts relatifs entre les primes d'assurance conventionnelle et les cotisations de latontine β

57

Chapitre 4

Capital requis par la tontine munie

d'une provision en faveur des survivants

L'objet de ce chapitre est de proposer une estimation du fonds associatif requis par la tontinedécès munie d'une provision en faveur des survivants. En eet, les cotisations individuelles sontdéterminées en fonction du capital cible à rassembler dès la date de souscription.

4.1 Détermination du capital associatif

Le montant total du fonds associatif est déterminé en fonction d'un seuil ε > 0 xé pour laprobabilité de défaillance du fonds associatif :

P

(n∑i=1

λiYi ≤ K

)≥ 1− ε (4.1)

Le capital escompté K apparaît comme le quantile d'ordre 1− ε de la loi de la v.a.r.∑n

i=1 λiYi :

Kε := Q∑ni=1 λiYi

(1− ε) (4.2)

où :

Q∑ni=1 λiYi

(p) := inf

k ∈ R∗+ |P

(n∑i=1

λiYi ≤ k

)≥ p

4.1.1 Escompte par la Value-at-Risk

L'expression 4.2 peut se réécrire :

Kε = V aR1−ε

(n∑i=1

λiYi

)où nous avons fait apparaître la mesure Value-at-risk :

V aRp

(n∑i=1

λiYi

):= Q∑n

i=1 λiYi(p)

58

En supposant que l'eectif n de l'association tontinière soit susamment grand, l'application dela condition 3.2.1 nous fournit l'approximation en loi suivante∑n

i=1 λi(Yi − qi)√∑ni=1 λ

2i qi(1− qi)

L−→(n−→∞)

Z

oú Z ∼ N (0, 1) ce qui nous permet de proposer une estimation du capital K escompté :

Kε ≈n∑i=1

λiqi + Φ−1(1− ε)

√√√√ n∑i=1

λ2i qi(1− qi) (4.3)

Désormais, nous xerons le capital Kε escompté à la date t = T de la manière suivante :

Kε :=n∑i=1

λiqi + Φ−1(1− ε)

√√√√ n∑i=1

λ2i qi(1− qi) (4.4)

Pour une population donnée, nous sommes donc en mesure d'estimer le capital escompté. Noussommes donc en mesure de proposer une somme de cotisations cεi requise par la tontine β enfonction du seuil ε. La somme des cotisations à rassembler à la date t = 0 devient :

n∑i=1

cεi =1

1 + r

n∑i=1

λiqi + Φ−1(1− ε)

√√√√ n∑i=1

λ2i qi(1− qi)

(4.5)

4.1.2 Chargement de sécurité

Traditionnellement, le chargement de sécurité vient augmenter la prime pure et permet derésister à la volatilité du risque de mortalité du portefeuille. La somme

∑ni=1 c

50%i des cotisations à

rassembler apparaît comme la somme sous risque totale d'un portefeuille d'assurance temporairedécès conventionnelle :

n∑i=1

c50%i =

1

1 + r

n∑i=1

λiqi + Φ−1(1− 50%)

√√√√ n∑i=1

λ2i qi(1− qi)

=

∑ni=1 λiqi1 + r

Cela signie que si la somme des cotisations est estimée de manière à être égale à la somme desprimes de l'assurance conventionnelle, le fonds à 50% de chance de couvrir les décès survenuspendant l'année. Notons au passage que cette écriture ne nous permet pas d'armer que chaquec50%i vaut exactement (λiqi)/(1 + r) car il faut rappeler que les cotisations c50%

i restent déter-minées par une même méthode d'allocation du capital K50%. La somme des cotisations c50%

i depositionner l'ore tontinière par rapport à l'assurance conventionnelle :

n∑i=1

cεi =

(n∑i=1

c50%i

)[1 + δN (ε)]

59

où δN (ε) désigne le taux de chargement impactant la somme des cotisations pour que la proba-bilité de défaillance du fonds soit limité à ε :

∀ε ∈ ]0, 1/2], δN (ε) :=Φ−1(1− ε)

√∑ni=1 λ

2i qi(1− qi)∑n

i=1 λiqi(4.6)

Remarque 4.1.1 Il est logique de penser qu'en termes de primes pures, une ore tontinière

devrait être moins chère que l'assurance conventionnelle. En eet, nous avons déni l'assurance

conventionnelle comme un transfert de risque total an de l'opposer au partage du risque dé-

nissant l'ore tontinière : un individu devrait payer plus cher an de se décharger du risque pour

devenir "indiérent" à la survenance du sinistre. D'après notre modélisation, il faut toutefois

remarquer que la tarication induite par le partage du risque n'est pas moins onéreuse que la

tarication induite par le transfert de risque total :

si ε ∈ ]1/2, 1], les cotisations tontinières sont en moyenne moins chères que les primes d'as-

surance conventionnelle correspondantes et nous pouvons donc faire correspondre les pro-

babilités de défaillance du fonds appartenant à l'intervalle ]1/2, 1] à des tontines rustiques

dont les fonds sont trop faibles pour orir les garanties de l'assurance conventionnelle ;

les probabilités de défaillance du fonds appartenant à l'intervalle ]0, 1/2[ déterminent en

revanche des ores tontinières certes plus chères que l'assurance conventionnelle correspon-

dante mais restent dénies par un partage du risque qui dénit notre modélisation même.

Nous limitons donc le seuil ε dans l'intervalle ]0, 1/2] an de xer l'ancrage du modèle dans

un cadre assurantiel non artisanal mais en remarquant toutefois que l'ore tontinière rivalise

réellement avec l'assurance conventionnelle uniquement lorsque ε tend vers 0 : si la tontine ne

peut garantir de somme à l'avance, elle a tout intérêt à proposer une capacité de couverture

importante et cela passe par un chargement de sécurité δN (ε) considérable sur les cotisations

tontinières. An d'alléger le chargement δN (ε) pour les cotisants, nous allons introduire un autre

prol de participant dans la prochaine section.

4.2 Financement et réassurance

An d'éviter des chargements trop élevés sur les cotisations individuelles, l'augmentation decapital doit pouvoir faire appel à une source externe de nancement. En eet, les participantssont eux-mêmes actionnaires de la société à forme tontinière et l'émission d'une dette en faisantintervenir une institution bancaire n'est pas adaptée au caractère éthique de la tontine. Il s'agitdonc de déterminer un nancement qui soit compatible avec l'éthique revendiquée par le produit.Nous allons donc nous permettre une digression par rapport au code des assurances où la tontinen'admet uniquement des cotisants pour seuls sociétaires. Cette digression nous permet néanmoinsde suivre la modélisation proposée dans la dénition 2.2.1 en attendant de trouver un nancementadéquat par le biais de la réassurance.

60

4.2.1 De nouveaux participants à l'opération tontinière

L'idée est de faire participer un investisseur solidaire I qui puisse renforcer le fonds associatifpar un apport de capital cI > 0. En prolongeant la modélisation de la tontine mentionnée dans ladénition 2.2.1, il s'agirait donc d'un participant I muni d'un ux YI déterministe nul pendanttoute la durée de l'opération tontinière 1 : l'état de la nouvelle association serait donc décrit à ladate T par le vecteur (Y1, · · · , Yn, YI)′ = (Y1, · · · , Yn, 0)′ ce qui signierait que le participant Ine perçoit pas de ux au même titre que les participants décédés. Nous allons donc adapter lesnotations et hypothèses de la dénition 2.2.1 en caractérisant l'association tontinière par les ncotisations individuelles c1, ..., cn.

Dénition 4.2.1 Soit une association tontinière en cas de décès regroupant n participants à

l'instant t = 0 et caractérisée par un ensemble de n cotisations individuelles c1, ..., cn. La date

de liquidation du fonds de l'association tontinière en cas de décès est noté T > 0. Soit une asso-ciation de m pourvoyeurs de capital caractérisée par le vecteur des m apports d = (d1, ..., dm)′ etcomplétant l'association tontinière de la manière suivante :

1. L'ensemble c1, ..., cn, d1, ..., dm est appelée une opération tontinière ;

2. Les vecteurs c = (c1, · · · , cn)′ et d = (d1, · · · , dm)′ désignent toutes les participations

réunies à la date t = 0 de l'opération tontinière considérée et (∑n

i=1 ci +∑m

i=1 di) est

le montant du fonds de départ de l'association ;

3. Kn,m est le capital de l'opération tontinière considérée obtenu à la date de liquidation T ;

4. L'opération tontinière considérée est dénie par l'application :

an,m : R+ × (R∗+)n+m × (R∗+)n × Ber(]0, 1[)n −→ [0, 1]n+mKn,m,

c1

· · ·cnd1

· · ·dm

, λ, Y

−→

a1 (Kn,m, c, d, λ, Y )· · ·

an (Kn,m, c, d, λ, Y )an+1 (Kn,m, c, d, λ, Y )

· · ·an+m (Kn,m, c, d, λ, Y )

où

n∑i=1

ai (Kn,m, c, d, λ, Y ) +m∑i=1

an+i (Kn,m, c, d, λ, Y ) = 1.

1. En abusant lourdement des notations de la dénition 2.2.1, nous pourrions écrire YI ∼ Ber(qI) avec qI =P(YI = 1) = 0

61

Si nous considérons la tontine β, l'introduction de m pourvoyeurs de capital induit l'opérationtontinière βn,m : R+ × (R∗+)n+m × (R∗+)n × Ber(]0, 1[)n −→ [0, 1]n+m détaillée ci-dessous :

Kn,m,

c1

· · ·cnd1

· · ·dm

, λ, Y

−→

c1∑nj=1 cj+

∑mj=1 dj

max

0, 1−∑nj=1 λjYjKn,m

+ λ1Y1

maxKn,m,∑nj=1 λjYj

· · ·cn∑n

j=1 cj+∑mj=1 dj

max

0, 1−∑nj=1 λjYjKn,m

+ λnYn

maxKn,m,∑nj=1 λjYj

d1∑nj=1 cj+

∑mj=1 dj

max

0, 1−∑nj=1 λjYjKn,m

· · ·

dm∑nj=1 cj+

∑mj=1 dj

max

0, 1−∑nj=1 λjYjKn,m

Les pourvoyeurs de capital ainsi que les participants survivants détiennent l'usufruit du sur-plus éventuel généré par le fonds associatif tandis que les ayants droit des participants décédésacquièrent le fonds associatif. La tontine devient pour les pourvoyeurs de capital un instru-ment nancier à revenus aléatoire conforme à l'éthique musulmane. Sachant que les pourvoyeursde capital ne souhaitent pas bénécier de la couverture tontinière en cas de décès, nous al-lons renforcer leur vocation dans la modélisation en introduisant un ensemble de paramètresθii=1,··· ,m ⊂ ]0, 1[ qui représente les parts supplémentaires à prélever sur la part revenantaux participants bénéciant de la couverture tontinière. Nous dénissons l'opération tontinièreβθn,m : R+ × (R∗+)n+m × (R∗+)n × Ber(]0, 1[)n −→ [0, 1]n+m dénie ci-dessous :

Kn,m,

c1

· · ·cnd1

· · ·dm

, λ, Y

−→

(1−∑mi=1 θi)c1∑n

j=1 cj+∑mj=1 dj

max

0, 1−∑nj=1 λjYjKn,m

+ λ1Y1

maxKn,m,∑nj=1 λjYj

· · ·(1−

∑mi=1 θi)cn∑n

j=1 cj+∑mj=1 dj

max

0, 1−∑nj=1 λjYjKn,m

+ λnYn

maxKn,m,∑nj=1 λjYj

d1+θ1∑nj=1 cj∑n

j=1 cj+∑mj=1 dj

max

0, 1−∑nj=1 λjYjKn,m

· · ·dm+θm

∑nj=1 cj∑n

j=1 cj+∑mj=1 dj

max

0, 1−∑nj=1 λjYjKn,m

Taux de chargement des investisseurs solidaires

Concernant la probabilité de défaillance du fonds, nous allons envisager plusieurs seuils suc-cessifs : le premier est maintenu uniquement par le chargement des participants, les suivantsseront atteints par les chargements successifs des participants et des investisseurs. Commençons

62

par préciser quelques notations :

µn :=

n∑i=1

λiqi

σn :=

√√√√ n∑i=1

λ2i qi(1− qi)

∀j = 1, · · · ,m, Kn,j := µn + σnΦ−1(1− εn,j)n∑i=1

cεn,0i :=

µn + σnΦ−1(1− εn,0)

1 + r

et introduisons la subdivision εn,jj=1,··· ,m de l'intervalle [0, 5%; 50%] :

0, 5% ≤ εn,m < εn,m−1 < · · · < εn,2 < εn,1 < εn,0 ≤ 50%

Cette subdivision va nous permettre de déterminer les taux de chargement de tous les partici-pants. En eet, l'apport de capital dj du jème pourvoyeur permet de réduire la probabilité dedéfaillance du fonds de εn,j−1 à εn,j :

1− εn,1 = Φ

((1 + r)

(d1 +

∑ni=1 c

εn,0i

)− µn

σn

)

1− εn,2 = Φ

((1 + r)

(d1 + d2 +

∑ni=1 c

εn,0i

)− µn

σn

)· · ·

1− εn,m = Φ

((1 + r)

(∑mi=1 di +

∑ni=1 c

εn,0i

)− µn

σn

)et nous pouvons donc déterminer les apports dj en fonction des probabilités de défaillance εn,j :

d1 =µn + σnΦ−1(1− εn,1)

1 + r−

n∑i=1

cεn,0i

= σnΦ−1(1− εn,1)− Φ−1(1− εn,0)

1 + r

d2 =µn + σnΦ−1(1− εn,2)

1 + r−

n∑i=1

cεn,0i − d1

= σnΦ−1(1− εn,2)− Φ−1(1− εn,1)

1 + r· · ·

dm =µn + σnΦ−1(1− εn,2)

1 + r−

n∑i=1

cεn,0i −

m−1∑j=1

dj

= σnΦ−1(1− εn,m)− Φ−1(1− εn,m−1)

1 + r

63

En résumé :

∀j = 1, · · · ,m, dj = σnΦ−1(1− εn,j)− Φ−1(1− εn,j−1)

1 + r(4.7)

∀j = 1, · · · ,m,j∑i=1

dj = σnΦ−1(1− εn,j)− Φ−1(1− εn,0)

1 + r(4.8)

ce qui nous permet de déterminer les taux de chargement correspondant respectivement à l'en-semble des cotisants et à chaque pourvoyeur :

δn,0 :=σnµn

Φ−1(εn,0) (4.9)

∀j = 1, · · · ,m, δn,j := dj1 + r

µn(4.10)

Espérance de gain des investisseurs solidaires

Déterminons la part θi ∈ ]0, 1[ qui permet d'obtenir une espérance de ux βn,i supérieure àla part investie :

E[βn,i]Kn,m > di (4.11)

Il en vient 2 :

E

[di + θi

∑nj=1 c

εn,0j∑n

j=1 dj +∑n

j=1 cεn,0j

(1−

∑nj=1 λjYj

Kn,m

)1∑nj=1 λjYj≤Kn,m

]>

diKn,m

⇐⇒ di + θi

n∑j=1

cεn,0j >

di

(1 + r)E[(

1−∑nj=1 λjYjKn,m

)1∑nj=1 λjYj≤Kn,m

]⇐⇒ θi >

di∑nj=1 c

εn,0j

1

(1 + r)E[(

1−∑nj=1 λjYjKn,m

)1∑nj=1 λjYj≤Kn,m

] − 1

⇐⇒ θi >

di∑nj=1 c

εn,0j

1

(1 + r)E[(

1−∑nj=1 λjYjKn,m

)1∑nj=1 λjYj≤Kn,m

] − 1

D'après la relation 3.8, nous sommes déjà familiers avec l'espérance du dénominateur :

E

[(1−

∑nj=1 λjYj

Kn,m

)1∑nj=1 λjYj≤Kn,m

]

= P

n∑j=1

λjYj ≤ Kn,m

− n∑j=1

λjqjKn,m

P

∑l 6=j

λlYl ≤ Kn,m − λj

2. Quitte à eectuer la vérication numérique sur un cas concret grâce à l'approximation développée pour la

relation 3.8, nous pouvons supposer que l'espérance E[(

1−∑n

j=1 λjYj

Kn,m

)1∑n

j=1 λjYj≤Kn,m

]est distincte de 0.

64

La probabilité de défaillance du fonds est xée en fonction du seuil εn,m :

P

n∑j=1

λjYj ≤ Kn,m

= 1− εn,m

En appliquant les approximations gaussiennes, la condition 4.11 nous amène donc à étudier lacondition suivante :

θi >di∑n

j=1 cεn,0j

1

(1 + r)

1− εn,m −

∑nj=1 λjqjΦ

(µn+σnΦ−1(1−εn,m)−

∑l6=j λlql−λj√∑

l 6=j λ2lql(1−ql)

)µn+σnΦ−1(1−εn,m)

− 1

(4.12)

4.2.2 Solution de réassurance

Il s'agit maintenant de déterminer un pourvoyeur de capital qui puisse intervenir dans le cadredélimité par le référentiel réglementaire français de l'assurance. Pour cela, nous allons exploiterles articles du code des assurances qui autorise la réassurance des opérations tontinières :

la réassurance est dénie par l'article L310-1-1 du code des assurances comme "l'activité

d'un organisme, autre qu'un véhicule de titrisation mentionné à l'article L310-1-2, qui

consiste à accepter des risques d'assurance cédés, soit par une entreprise d'assurance ou

par une autre entreprise de réassurance, soit par les mutuelles ou unions régies par le livre

II du code de la mutualité, soit par les institutions de prévoyance et leurs unions régies par

les dispositions du titre III du livre IX du code de la sécurité sociale" ;

l'article R321-1 du code des assurances expose les dispositions relatives aux entreprises d'as-surance parmi lesquelles gurent les opérations tontinières : "23. Opérations tontinières :Toutes opérations comportant la constitution d'associations réunissant des adhérents en vue

de capitaliser en commun leurs cotisations et de répartir l'avoir ainsi constitué soit entre

les survivants, soit entre les ayants droit des décédés".

Il est donc possible de réassurer une opération tontinière. Rappelons la dénition d'un traité deréassurance QP (γ) en quote-part : la compagnie d'assurance céde une part γ de ses primes auréassureur qui s'engage en contre-partie à couvrir une part γ des sinistres.

Commission de réassurance

Les frais d'acquisition et de gestion assumés par la cédante sont couverts par le chargementdes primes. Ces frais peuvent être conséquents surtout lorsqu'il s'agit du lancement d'un nouveauproduit d'assurance. Le réassureur en comparaison sera confronté à une gestion plus aisée. An

65

QP (γ) Primes :=∑n

j=1 Pj Sinistres :=∑n

j=1 SjCession γ

∑nj=1 Pj γ

∑nj=1 Sj

Rétention (1− γ)∑n

j=1 Pj (1− γ)∑n

j=1 Sj

Table 4.1 Traité de réassurance en quote-part : taux de cession γ

de rendre le partenariat plus équilibré, le réassureur verse donc une commission de réassuranceà la cédante destinée à prendre en charge une partie ou la totalité des frais d'acquisition et degestion. Dans le cadre de notre étude, nous avons considéré les cotisations ci en termes pures,i.e. incluant uniquement la valorisation du risque car les chargements couvrant les frais de d'ac-quisition et de gestion ne participent pas à la répartition du fonds à la date de liquidation. Leschargements d'acquisition et de gestion peuvent représenter une perte importante en capital. Lacommission de réassurance est donc un moyen de reconstituer cette perte. Ceci dit, nous allonsconsidérer dans notre cas que la commission sera supérieure aux frais d'acquisition et de gestion.Nous nous permettrons donc l'abus de langage qui consiste à dénommer par commission de ré-assurance la "composante nette" des frais d'acquisition et de gestion de la commission engagéeinitialement par le réassureur.

Taux de cession de la quote-part

Soit alors un unique participant R déni selon la dénition 4.2.1 : la contribution dR > 0 faitoce de commission de réassurance. Considérons maintenant l'opération tontinière βn,R. Noussupposons que :

les sinistres désignés par le traité en quote-part correspondent aux ux versés aux ayantsdroit des décédés ;

les primes cédées au réassureur sont acquises au réassureur mais restent dans le fonds as-sociatif de la tontine qui, rappelons le, est investi dans des actifs conformes à la nanceislamique.

Notons γR le taux de cession caractérisant le traité en quote-part. Le ux βn,R perçu au titre del'opération tontinière par le réassureur R doit donc être interprété en fonction du taux de cessionγR :

βn,R

= γR

1 + r

Kn,R

dR +

n∑j=1

cεn,0j

− 1∑nj=1 λjYj≤Kn,R

n∑i=1

λiYiKn,R

− 1∑nj=1 λjYj>Kn,R

n∑i=1

λiYi∑nj=1 λjYj

= γR

(1−

∑nj=1 λjYj

Kn,R

)1∑nj=1 λjYj≤Kn,R (4.13)

66

or d'aprés la dénition 4.2.1 :

βn,R =dR + θR

∑nj=1 c

εn,0j

dR +∑n

j=1 cεn,0j

(1−

∑nj=1 λjYj

Kn,R

)1∑nj=1 λjYj≤Kn,R

Nous pouvons soit déterminer le taux de cession γR en fonction de la commission dR et descotisations cii=1,··· ,n :

γR =dR + θR

∑nj=1 c

εn,0j

dR +∑n

j=1 cεn,0j

(4.14)

soit déterminer la commission dR en fonction du taux de cession γR et des cotisations cii=1,··· ,n :

dR =γR − θR1− γR

n∑j=1

cεn,0j (4.15)

La section consacrée à l'introduction des pourvoyeurs nous montre qu'il est possible d'envisagerl'intervention de plusieurs réassureurs annonçant leur participation en termes de quote-part pourensuite déterminer les apports en commission de réassurance correspondants.

4.3 Cas pratique : étude d'une alternative à l'assurance emprun-

teur

Il s'agit maintenant d'appliquer tous les outils actuariels dont nous disposons sur la tontinedécès munie d'une provision en faveur des survivants. Les données qui permettent d'illustrerl'étude du mémoire ont été fournies par la société 570 easi (éthique à sensibilité islamique)pionnière dans l'apport de solutions nancières conformes à l'éthique musulmane sur le marchéfrançais. Parmi les réalisations de la société 570 easi gurent un contrat d'assurance vie pourle compte d'une compagnie d'assurance conventionnelle mais surtout une alternative de nance-ment immobilier. La solution de nancement immobilier dans le respect de l'éthique musulmaneest un contrat dit Murabaha. Il s'agit d'un contrat proposé par la banque sous la forme d'uncrédit immobilier assorti d'une hypothèse avec un diéré de paiement constitué de mensuali-tés classiques. La banque est propriétaire du bien avant de pouvoir le revendre au client avecune marge xe sur la durée du nancement. L'exemple représenté dans le tableau 4.2 décrit lesdiérentes étapes du processus. Rappelons qu'il n'existe aucun historique permettant de menerune étude statistique sur le comportement d'un sociétaire adhérent à une tontine décès. L'étudequantitative du présent mémoire repose donc sur une base de données constituée par la société570 easi avec le partenaire bancaire et représentant 9957 acheteurs éligibles sur le marché del'immobilier. Cette base de données convient au cadre de notre étude car la Murabaha fait ocede produit d'appel pour une assurance de l'emprunteur adaptée au caractère éthique du produitimmobilier. En eet, la Murabaha actuelle est proposée sans aucune couverture décès/invalidité,ce qui renforce considérablement les conditions restrictives du crédit.

67

Figure 4.1 Le contrat immobilier Murabaha

Prix achat 100 000 eurosApport de 20% 20 000 eurosEmprunt de 80% 80 000 eurosDroits achat/revente 1 500 eurosFrais hypothèse/intermédiation 1 000 eurosMarge bancaire 24 000 eurosDroits de notaire 7 000 eurosCoût total sur 10 ans 133 500 euros

Table 4.2 Exemple de contrat Murabaha

4.3.1 Etude de la base de données fournie par la société 570 easi

Description de la population

Nous ne considérons pas dans notre étude les eets d'antisélection et nous utilisons les taux demortalité à 100% des tables TH 00-02 et TF 00-02 établies par l'INSEE. Les caractéristiques dela population considérée sont résumées dans les graphiques 4.2 et 4.3 ainsi que dans les tableaux4.3, 4.4 :

68

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

]0;18] ]18;23] ]23;28] ]28;33] ]33;38] ]38;43] ]43;48] ]48;53] ]53;58] ]58;63] ]63;68] ]68;73]

Fréq

uence

Classes d'âge

Figure 4.2 Répartition des âges

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

Fré

qu

en

ce

Sommes escomptées limitées à 500 000 €

Figure 4.3 Répartition des sommes escomptées mais non garanties

69

Eectif 9957Pourcentage d'hommes 78,1%Pourcentage de femmes 21,9%

Table 4.3 Composition par genre de la population étudiée

Variable Moyenne Ecart-type Min MaxÂge 36 7 20 65

Taux de décès 0,18% 0,16% 0,03% 1,72%Capital assuré 170 128 117 578 30 372 3 451 100

Table 4.4 Caractéristiques de la population étudiée

Estimation du capital requis sans réassurance

Le capital requis est escompté comme le quantile d'ordre 1 − εn,0 d'une loi gaussienne ap-proximant la loi de la v.a.r.

∑ni=1 λiYi :

Kn,0 = µn + σnΦ−1(1− εn,0)

où les paramètres µn et σn sont dénis avec n = 9957 de la manière suivante :

Moyenne µn =∑n

j=1 λjqj 3 144 157

Variance σ2n =

∑nj=1 λ

2jqj(1− qj) 799 717 983 720

Ecart-type σn =√∑n

j=1 λ2jqj(1− qj) 894 270

Table 4.5 Paramètres de l'approximation gaussienne

La deuxième colonne du tableau 4.6 présente le fonds escompté en fonction de la probabi-lité de défaillance et permet d'illustrer la remarque 4.1.1 : lorsque la probabilité de défaillanceest supérieure à 50%, les cotisations pures seront en moyenne plus faibles que les primes purescorrespondant à l'ore voisine proposée par l'assurance temporaire décès. Le benchmark seradonc xé à 50% et nous pouvons déjà noter qu'il faut augmenter de 73,3% les cotisations purespour passer d'une probabilité de défaillance de 50% à 0,5%, ce qui est commercialement accep-table. La somme des cotisations à rassembler à la date de souscription est déterminée en fonction :

70

Probabilité Somme Chargementde défaillance des cotisations de sécurité

εn,0∑n

i=1 cKn,0i δn,0

90% 1 978 32180% 2 367 84270% 2 648 71460% 2 888 70950% 3 113 027 0,0 %40% 3 337 344 7,2 %30% 3 577 339 14,9 %20% 3 858 211 23,9 %10% 4 247 732 36,5 %5% 4 569 405 46,8 %2% 4 931 447 58,4 %1% 5 172 811 66,2 %0,5% 5 393 705 73,3 %

Table 4.6 Somme des cotisations à rassembler au 01/01/N en fonction de la probabilité dedéfaillance du fonds escompté au 31/12/N (taux d'actualisation xé à 1%)

d'un chargement de sécurité à atteindre an de maintenir la probabilité de défaillance endeçà du seuil εn,0 < 50% ;

d'un taux d'actualisation annuel xé à 1% dans le cadre de notre étude 3.

La gure 4.4 représente les apports qui viennent augmenter le fonds initial de 3 113 027 eurosan de réduire la probabilité de défaillance par paliers de 10%. La tarication consiste donc àdéterminer les cotisations individuelles cKn,0i correspondant à la probabilité de défaillance εn,0.

En d'autres termes, il s'agit d'allouer la somme∑n

i=1 cKn,0i entre les 9957 individus. Rappelons

que les cotisations cKn,0i incluent le chargement de sécurité qui permet de réduire le seuil de 50%à celui de εn,0. La tarication a été réalisée à l'aide de la méthode (MVBMC) 4. An de préserverla condentialité des données fournies par la société 570 easi, nous ne présenterons pas les tarifsindividuels obtenus selon les méthodes développées dans le chapitre précédent.

3. Le taux de 1% est certes faible mais peut convenir à une rentabilité annuelle satisfaisant les règles deplacement du code des assurances. Cette hypothèse est indépendante de la politique de placement du fonds quidoit être conforme aux principes de la nance islamique.

4. 50 000 simulations ont été réalisées pour le calcul de chaque espérance.

71

Même si les chargements de sécurité sont commercialement acceptables dans notre cas, ilest intéressant d'étudier une réassurance en quote-part an de réduire le chargement de sécuritépour les cotisants tout en maintenant une espérance de rentabilité positive pour le réassureur.

4.3.2 Réassurance en quote-part

La gure 4.5 représente les détails de notre problématique. Nous faisons appel aux approxi-mations gaussiennes pour obtenir :

δn,0 =σ

µnΦ−1(εn,0)

dR(εn,0 , εn,R) = σnΦ−1(εn,R)− Φ−1(εn,0)

1 + r

γR(εn,0 , εn,R) =θRµn − σn(1− θR)Φ−1(εn,0) + σnΦ−1(εn,R)

µn + σnΦ−1(εn,R)

La relation 4.12 nous permet de poser :

ΘR(εn,0 , εn,R) := σnΦ−1(εn,R)− Φ−1(εn,0)

µn + σΦ−1(εn,0)

(1 + r)−1

1− εn,R −

∑ni=1 λiqiΦ

(µn+σnΦ−1(1−εn,R)−

∑j 6=i λjqj−λi√∑

j 6=i λ2jqj(1−qj)

)µn+σnΦ−1(1−εn,R)

− 1

Il s'agit d'étudier les valeurs εn,0 et εn,R qui permettent de vérier θR > ΘR(εn,0 , εn,R) an quel'espérance du résultat du réassureur soit strictement positive.

Nous sommes ainsi en mesure de déterminer les niveaux de chargement correspondant auxseuils εn,0 et εn,R qui incombent resp. à l'association tontinière et au réasssureur qui permettentd'obtenir une rentabilité en espérance nulle pour le réassureur. Ceci dit, le réassureur est lui-même soumis à des contraintes réglementaires concernant sa propre marge de solvabilité ainsi queson capital économique requis. Signalons que le respect des contraintes réglementaires observéespar le réassureur ainsi que ses objectifs de protabilité doivent être pris en compte dans ladétermination des chargements et du paramètre θR. An de simplier notre étude, nous allonsnous placer dans le cas où εn,0 < 50% an que le chargement de sécurité émis par l'associationtontinière permette au réassureur R d'obtenir une marge supplémentaire pour considérer lescontraintes supplémentaires.

72

3 113 027 €

224 317 €

239 995 €

280 872 €

389 521 €

1 145 973 €

Prob

abilité de dé

faillan

ce du

fond

s associatif atteinte

Fond

s associatif

0,5%

10%

20%

30%

40%

50%

Figure 4.4 Divers chargements permettant de diminuer le seuil de probabilité de défaillance73

Fond

s associatif

,∑

1

,∑

1

=,

,

%∑

1

,%∑

1

0,5%

,,

50%

Figure 4.5 Détermination d'une réassurance adaptée en fonction des seuils εn,0 et εn,R74

0,5%

5%

10%

15%20%25%30%35%40%45%50%

0 €

500 000 €

1 000 000 €

1 500 000 €

2 000 000 €

2 500 000 €

0,5% 2% 4% 6% 8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

22%

24%

26%

28%

30%

32%

34%

36%

38%

40%

42%

44%

46%

48%

50%

, , ,

,

,

Figure 4.6 Commission dR de la réassurance en quote-part en fonction des seuils εn,R < εn,0

0,5%

5%

10%

15%20%25%30%35%40%45%50%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0,5% 2% 4% 6% 8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

22%

24%

26%

28%

30%

32%

34%

36%

38%

40%

42%

44%

46%

48%

50%

, , ,

,

,

Figure 4.7 Taux de cession γR de la réassurance en quote-part en fonction des seuils εn,R < εn,0

75

0,5%

5%

10%

15%20%25%30%35%40%45%50%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0,5% 2% 4% 6% 8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

22%

24%

26%

28%

30%

32%

34%

36%

38%

40%

42%

44%

46%

48%

50%

Θ , , ,

,

,

Figure 4.8 Part ΘR satisfaisant un résultat d'espérance nulle pour le réassureur en fonctiondes seuils εn,R < εn,0

Appuyons nous sur l'étude fournie pour proposer un traité en quote-part. Rappelons que lasomme des cotisations dites pures vaut µn = 3 113 027 et considérons le taux de chargement desécurité δn,0(30%) = 14, 9%. Cela signie qu'un cotisant payerait en moyenne

3 113 027

9 957≈ 312 euros

l'ore conventionnelle voisine correspondant à une assurance temporaire décès. Il payerait parailleurs :

3 113 027 . (1 + 14, 9%)

9 957≈ 360 euros

pour souscrire l'ore tontinière. L'écart est commercialement acceptable mais ne permet pas deréduire la probabilité de défaillance du fonds associatif en deça de 30%. Un traité en quote-partmuni d'une commission de réassurance :

dR(30% , 0, 5%) = 1 816 317 euros

et d'un taux de cession :γR(30% , 0, 5%) = 77, 61%

permettrait de réduire la probabilité de défaillance du fonds associatif à 0,5%. Cela revient pourle réassureur R à fournir un apport dR de 1 816 317 euros en échange d'un prélèvement sur lesurplus redistribué aux cotisants qui soit supérieur à ΘR(30% , 0, 5%) = 66, 74%.

76

4.4 Digression juridique

Le réassureur reste un partenaire de choix pour diverses raisons. La formule en réassuranceproposée :

1. permet d'éviter le recours d'une institution bancaire conventionnelle ;

2. découle de la modélisation traduisant l'approche coopérative.

La deuxième remarque ci-dessus nous incite à tenter deux interprétations du traité en quote-partdans le référentiel du droit des aaires musulman.

4.4.1 Contrat de Musharaka

La Musharaka désigne généralement un contrat par lequel une institution procure un apportnancier d'un ou plusieurs entrepreneurs pour le nancement en fonds propres d'un projet. Tousles pourvoyeurs de fonds sont éligibles à la gestion de l'activité, mais n'y sont pas nécessaire-ment tenus, les prots positifs sont distribués aux diérents apporteurs de capitaux selon unerépartition xée par consentement mutuel à la date de signature du contrat tandis que les pertessont à la charge de chaque participant au prorata des contributions respectives et dans ce derniercas, il n'est pas permis d'allouer les pertes autrement. Pouvons nous armer que la tontine et leréassureur sont liés par une forme de Musharaka ?

l'association 1, · · · , n des participants ainsi que le réassureur R ont respectivement ap-porté leurs contributions cii∈N et dR ;

le montant de l'excédent détermine certes s'il s'agit d'une perte ou d'un prot mais cetexcédent du fonds associatif est alloué au prorata des contributions entre le réassureur etles participants uniquement lorsque θR = 0, ce qui n'est pas avantageux pour le réassureur ;

le fonds associatif net de l'excédent est toujours liquidé entre les participants décédés.

Sachant que l'objectif de ce mémoire n'est pas de répondre à la question juridique qui vient d'êtreposée, nous notons tout de même que le réassureur promouvoit dans notre étude l'activité de latontine en nançant une marge de solvabilité et il est important de préciser qu'une institutionbancaire ne peut assumer un rôle similaire. Le réassureur assume ici la vocation d'un Venture

capitalist 5, un rôle qui est en phase avec l'éthique musulmane dans la mesure où apports etrépartitions sont déterminés à la date de souscription quelque soit l'issue du fonds à la date deliquidation. La tontine n'exige pas que le réassureur reste partenaire durant toute l'activité du

5. Un Venture capitalist est un investisseur qui apporte du capital, ainsi que son expérience aux premièresphases de développement d'une entreprise innovante considérée comme à fort potentiel de développement et deretour sur investissement.

77

projet, i.e. à chaque fois que la tontine redébutera un cycle annuel. En supposant que le produitattire chaque année de nouveaux participants, le réassureur peut se désengager dès que la pro-babilité de défaillance du fonds est réduite par la seule participation des cotisants.

4.4.2 Modèle coopératif saoudien

Il s'agit du seul modèle utilisé en Arabie saoudite où :

1. le fonds est intégralement géré par une compagnie d'assurance coopérative ;

2. lorsque le fonds génère un excédent :

(a) 10% de l'excédent est attribué aux participants ;

(b) 90% de l'excédent est prélevé par les actionnaires.

Le modèle coopératif saoudien est représenté dans le rapport [EY 2012] et peut avoir recours à unecouverture proposée par un opérateur Retakaful. Ceci dit, les modèles Retakaful actuels manquentmalheureusement de transparence et la diérence entre Retakaful et réassurance conventionnellen'est pas explicite. Notre étude nous a permis en revanche d'introduire le réassureur de manièreà ce qu'il assume la fonction des actionnaires décrite dans le modèle coopératif saoudien et sonprélèvement sur le surplus redistribué aux cotisants et xé par le paramètre θR. En eet, l'ex-périence montre que les actionnaires uniquement confrontés aux investissements des industriesclassiques restent novices face à l'activité assurantielle et prennent une position faussée par rap-port au modèle coopératif saoudien. Le réassureur en revanche détient une compréhension trèsne du risque inhérent à l'assurance et du mécanisme du partage des pertes et des prots.

78

Conclusion

L'objectif du présent mémoire est de contribuer à la réexion sur la viabilité du Takaful dansle référentiel réglementaire français. Bien que le Takaful soit issu d'une conception théologique,cette assurance alternative a été abordée d'un point de vue opérationnel en tenant compte desrestrictions réglementaires émanant aussi bien du référentiel conventionnel de l'assurance que decelui du Takaful. Sachant que le marché français dénombre actuellement deux sociétés à formetontinière, l'étude de la tontine reste un exercice pédagogique. En eet, l'examen détaillé d'unestructure élémentaire régie par le code des assurances a mis en évidence les notions juridiquesclefs de l'étude. Les principes identiés et clairement énoncés ont donné lieu à une formalisa-tion mathématique permettant de distinguer un contrat Takaful d'un contrat d'assurance vieconventionnelle. Le point fort de notre modélisation est d'avoir déni un écosystème coopératifde manière transparente où le réassureur s'impose comme un partenaire de choix. Enn, les outilsactuariels réquisitionnés enn dans la valorisation des risques ont permis d'apprécier la viabilitééconomique de l'alternative assurantielle envisagée.

L'étude a pu bénécier d'une base de données toute adaptée : il s'agit d'une population sou-haitant souscrire une assurance emprunteur sollicitée par une acquisition immobilière conformeà l'éthique musulmane. L'écosystème assurantiel mis en place reste toutefois axé autour de latontine qui est une structure marginale du code des assurances. En eet, l'horizon annuel dela tontine décès peut dicilement solliciter l'attention d'un réassureur. Même si un traité denancement paraît à priori adapté aux exigences éthiques du produit assurantiel proposé, le ré-assureur doit xer ses objectifs de protabilité. L'extension de l'étude doit répliquer le mécanismetontinier proposé sous une forme moins contraignante : possibilité de rachat avant l'expiration ducontrat ou versement immédiat du capital sous risque en cas de décés. La modélisation deviendracertes plus complexe. Ceci dit, le produit développé sera plus attractif aussi bien pour les assuréspotentiels que pour un réassureur souhaitant participer à un projet innovant.

La lecture actuarielle des éléments clefs de notre étude ne sollicite pas les techniques probabi-listes utilisées traditionnellement dans la tarication. Ce constat met non seulement en évidencela nécessité de pouvoir distinguer au niveau actuariel les clauses contractuelles du Takaful decelles de l'assurance conventionnelle, mais renforce l'actuaire en tant que conseiller techniquedans le développement du produit Takaful. Enn, la démarche didactique adoptée par le présentmémoire espère encourager une compréhension authentique des principes éthiques du Takaful etfaciliter le dialogue entre juristes en droit de l'assurance conventionnelle, juristes en droit desaaires musulman et actuaires.

79

Annexe

80

Annexe A

Probabilités : généralités

L'objet de cette annexe est de présenter les lois de probabilités utilisées tout au long del'étude du présent mémoire. Nous notons X l'ensemble des valeurs aléatoires réelles dénies surun espace probabilisé (Ω,F ,P).

A.1 Lois de probabilités étudiées

A.1.1 Loi Poisson Binomiale

Dénition A.1.1 Soit N = 1, ..., n et soit (Yi)i∈N ⊂ X telle que :

∀i ∈ N, P[Yi = 1] = 1−P[Yi = 0] = qi,

et telle que :

∀i, j ∈ N, i 6= j, Yi⊥⊥Yj

La variable aléatoire Y =∑n

i=1 Yi est dite distribuée selon une loi Poisson Binomiale et on note :

Y ∼ PB(q1, ..., qn)

Proposition A.1.1 Si Y ∈ X est telle que Y ∼ PB(q1, ..., qn), alors :

E[Y ] =n∑i=1

qi et var[Y ] =n∑i=1

qi(1− qi).

Fonction de distribution

Explicitons la distribution Poisson Binomiale lorsque n = 2 :

P[Y = 0] = (1− q1)(1− q2)

P[Y = 1] = (1− q1)q2 + q1(1− q2)

P[Y = 2] = q1q2

81

De manière générale :

∀k = 0, 1, 2, P[Y = k] =∑

A ⊆ 1, 2|A| = k

∏i∈A

qi∏

j∈1,2\A

(1− qj)

Proposition A.1.2 En adoptant la notation :

∀k = 0, 1, ..., n, Ak = A ⊆ N | |A| = k,

La distribution Poisson Binomiale peut s'écrire de manière générale :

∀k = 0, 1, ..., n, P[Y = k] =∑A∈Ak

∏i∈A

qi∏

j∈N\A

(1− qj)

Lorsque les paramètres qi ont tous la même valeur q, nous voyons clairement apparaître la fonctionde distribution de la loi binomiale. En eet, l'ensemble Ak contient n!

k!(n−k)! éléments et donc :

∀k = 0, 1, ..., n, P[Y = k] =n!

k!(n− k)!qk(1− q)n−k

et nous retrouvons les lois plus élémentaires suivantes :

1. si ∀i = 1, . . . , n, qi = q, alors Y une loi binomiale de paramètres (n, q),

2. si n = 1, alors Y suit une loi de Bernoulli de paramètre q.

Fonction de répartition

Rappelons que la fonction de répartition d'une loi discrète est une fonction en escalier. Lafonction de répartition de Y est notée FY : R −→ [0; 1] et prend les valeurs :

FY (y) =

0 si y < 0P[Y = 0] si y ∈ [0; 1[. . . . . .P[Y = 0] + P[Y = 1] + · · ·+ P[Y = k] si y ∈ [k; k + 1[. . . . . .P[Y = 0] + P[Y = 1] + · · ·+ P[Y = n] si y ∈ [n;n+ 1[

D'après l'expression de la distribution, FY s'écrit donc :

FY (y) =

0 si y < 0∑byc

l=0

∑A∈Al

∏i∈A qi

∏j∈N\A(1− qj) si y ≥ 0

82

Quantile

Rappelons la dénition du quantile d'ordre α :

∀α ∈]0; 1[, Qα(Y ) = infy ∈ R |P[Y ≤ y] ≥ αTout comme la fonction de répartition, la fonction quantile d'une variable aléatoire discrète estune fonction en escalier. La fonction quantile de Y est notée Q·(Y ) :]0; 1[−→ R et prend lesvaleurs :

Qα(Y ) =

0 si α ∈]0;FY (0)]1 si α ∈]FY (0);FY (1)]. . . . . .k si α ∈]FY (k − 1);FY (k)]. . . . . .n si α ∈]FY (n− 1);FY (n)]

A.1.2 Loi Normale

Fonction de distribution

Rappelons la dénition d'une loi normale

Dénition A.1.2 On appelle loi N (µ, σ2) la loi sur R de densité

fµ,σ(x) =1√

2πσ2exp

(−(x− µ)2

2σ2

)Si X ∈ X suit une loi N (µ, σ2), on dit que X suit une loi normale ou gaussienne de paramètres

(µ, σ2) et on note X ∼ N (µ, σ2).

Fonction de répartition

La fonction de répartition Φ(x) de la loi normale centrée réduite est dénie de la manièresuivante :

Φ(x) =

∫ x

−∞

1√2πe−t

2/2dt

A.2 Théorèmes de probabilités

A.2.1 Lois tronquées

Soit X ∈ X et soient a, b ∈ R∪−∞,+∞ tels que a < b. La fonction de répartition associéeà la loi tronquée X|a ≤ X ≤ b est :

∀x ∈ [a, b], FX|a≤X≤b(x) = P (X ≤ x|a ≤ X ≤ b)

=P (a ≤ X ≤ x)

P (a ≤ X ≤ b)

=F (x)− F (a)

F (x)− F (b)

83

La densité associée est :

∀x ∈ [a, b], fX|a≤X≤b(x) =

f(x)

F (b)−F (a) si x ∈ [a, b]

0 sinon

A.2.2 Généralisation du théorème central-limite

Théorème A.2.1 Soit (Xi)i∈N∗ ⊂ X une suite de variables discrètes indépendantes telle que :

∀i ∈ N∗, E[Xi] = µi <∞ et var[Xi] = σ2i <∞

et soit ∀n ∈ N∗, S2n :=

∑ni=1 σ

2i . Si les conditions suivantes sont réalisées :

1. ∃A > 0, ∀i ∈ N∗, |Xi| ≤ A

2. limn→+∞ Sn = +∞

alors :1

Sn

n∑i=1

(Xi − µi)L−→

(n−→+∞)N (0, 1)

A.2.3 Théorème de Cramer-Wold

Théorème A.2.2 La loi d'un vecteur aléatoire (X1, X2, · · · , Xn) est entièrement déterminée par

celles de toutes les combinaisons linéaires de ses composantes.

84

Annexe B

Formalisation de la tarication en

allocation de capital

B.1 Mesures de risque

An de marquer plus nettement la distance avec les méthodes de tarication utilisées enassurance conventionnelle, nous montrons qu'il est possible de formaliser la tarication de latontine munie d'une provision en faveur des survivants en allocation de capital. Cela a pourconséquence de faire apparaître une mesure de risque non cohérente, ce qui est inhabituel lorsqu'ils'agit de traiter des problèmes actuariels classiques.

B.1.1 Dénitions

Commençons par énoncer certaines dénitions élémentaires concernant les mesures de risque.

Dénition B.1.1 Soit X l'ensemble des valeurs aléatoires réelles dénies sur un espace proba-

bilisé (Ω,F ,P). Soit n ∈ N. Une mesure de risque est une application

ρ : X n −→ Rn

Dénition B.1.2 Soit ρ : X → R une mesure de risque. Soient X,Y ∈ X bornées et soit µ ∈ R.

1. ρ est dite invariante par translation si :

ρ(X + µ) = ρ(X) + µ

2. ρ est dite sous-additive si :

ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y )

3. ρ est dite homogène positive si :

µ ≥ 0, ρ(µX) = µρ(X)

85

4. ρ est dite monotone si :

X ≤ Y p.s.⇒ ρ(X) ≤ ρ(Y )

Une mesure de risque ρ : X → R est dite cohérente si elle vérie les propriétés 1, 2, 3 et 4.

La sous-additivité est en fait la première propriété qui caractérise les problématiques de l'assu-rance : il est plus avantageux de mutualiser les risques que de les considérer individuellement.L'homogénéité positive signie qu'un risque individuel doit croître proportionnellement par rap-port à sa taille. La monotonie signie qu'une mesure de risque ne peut donner d'indication plusimportante à une position moins risquée qu'une autre. Enn, l'invariance par translation exprimele fait qu'un risque augmenté d'un montant sûr, i.e. déterministe est aussi important que la me-sure du même risque augmentée du même montant sûr. L'espérance est un exemple trivial demesure de risque cohérente.

La Value-at-Risk ou Valeur en risque est une mesure de risque très utilisée dans le milieubancaire dénie par le quantile qui s'est imposée dans la réglementation Solvency 2 :

Dénition B.1.3 Soit X ∈ X et soit p ∈]0, 1[. La Value-at-Risk d'ordre p est dénie par :

V aRp(X) := infk ∈ R∗+ |P (X ≤ k) ≥ p

Proposition B.1.1 La VaR est une mesure de risque invariante par translation, positive homo-

gène et monotone mais elle ne satisfait pas la sous-additivité.

Proposons un contre-exemple an de montrer que la VaR ne satisfait pas la propriété de sous-additivité. Soit 0 < q < 1 et soient X,Y ∈ X telles que X,Y ∼ Ber(q). Supposons par ailleursque X et Y soient indépendantes. Nous avons :

P[X = 1] = P[Y = 1] = q et P[X = 0] = P[Y = 0] = 1− q

Choisissons comme niveau de probabilité α = 1− q, il en vient :

Q1−q(X) = Q1−q(Y ) = 0.

Notons que X + Y ∼ B(2, q) et donc :

FX+Y (0) = P[X + Y = 0] = (1− q)2.

Remarquons que (1− q)2 < 1− q, ce qui implique Q1−q(X + Y ) = 1 et enn :

1 = V aR1−q(X + Y ) > V aR1−q(X) + V aR1−q(Y ) = 0.

86

B.1.2 Mesure induite par la tontine munie d'une provision en faveur des

survivants

En ce qui concerne l'association tontinière en cas de décès β, nous souhaitons déterminer unemesure de risque adéquate. Nous dénissons pour tout ε ∈]0, 1[ la mesure de risque suivante :

ρε : X −→ R

X −→ E[

XmaxV aR1−ε(X),X

]La mesure ρε est bien dénie car maxV aR1−ε(X), X > 0 pour tout ε ∈]0, 1[. Ceci dit, il nes'agit pas d'une mesure cohérente. En eet, elle ne vérie ni l'homogénéité :

∀X ∈ X , ∀µ > 1, ρε(µX) = E

[µX

maxµV aR1−ε(X), µX

]= ρε(X) 6= µρε(X)

ni l'invariance par translation :

∀X ∈ X , ∀µ > 0, ρε(X + µ) = E

[X + µ

maxV aR1−ε(X) + µ,X + µ

]6= ρε(X) + µ

En revanche, la mesure ρε est monotone :

X ≤ Y p.s. =⇒ X

maxV aR1−ε(X), X≤ Y

maxV aR1−ε(Y ), Y p.s. =⇒ ρε(X) ≤ ρε(Y )

et sous-additive sur l'ensemble X ∈ X | X ≥ 0 :

X ≥ 0, Y ≥ 0

=⇒ X + Y

maxV aR1−ε(X + Y ), X + Y ≤ X

maxV aR1−ε(X), X+

Y

maxV aR1−ε(Y ), Y =⇒ ρε(X + Y ) ≤ ρε(X) + ρε(Y )

Nous disposons désormais d'une mesure de risque ρε munie des propriétés minimales pour carac-tériser l'association tontinière : la sous-additivité permet de reéter l'avantage de la mutualisationet la monotonie permet de comparer les risques individuels. L'invariance par translation fait dé-faut, ce qui signe que la sous-additivité permet d'écrire pour un même risque i considéré mfois :

ρ(mYi) ≤ mρ(Yi)

sans pour autant obtenir l'inégalité dans l'autre sens.

B.2 Méthodes d'allocation de capital

B.2.1 Méthode induite par l'axiomisation de Kalkbrenner

Dans l'article [KKB 2005], l'auteur propose une axiomisation minimale que doit satisfaire uneapplication an de pouvoir faire oce d'allocation de capital. Si X caractérise le risque agrégéde toutes les branches d'un groupe d'assurance, cette axiomisation suppose que le capital allouéà la branche Xi est indépendante de l'allocation faite à la branche X −Xi.

87

Dénition B.2.1 Soit ρ : X → R une mesure de risque. Une allocation de capital induite par

ρ est une application g : X × X −→ R qui vérie

∀X ∈ X , g(X,X) = ρ(X)

Dénition B.2.2 Soit g : X × X −→ R une allocation de capital induite par une mesure de

risque ρ. Soient ∀a, b ∈ R et X,Y, Z ∈ X :

1. g est dite linéaire si :

g(aX + bY, Z) = ag(X,Z) + bg(Y,Z)

2. g est dite diversiante si :

∀X,Y ∈ X , g(X,Y ) ≤ ρ(X)

La linéarité par rapport à la première variable siginie que le capital alloué à un ensemble derisques est égal à la somme des capitaux alloués aux risques individuels. La diversication exprimele fait que le capital g(X,Y ) alloué à une sous-branche X d'une branche Y plus large ne doitpas être plus élevé que le capital alloué au risque X considéré de manière autonome.

B.2.2 Méthode induite par la tontine munie d'une provision en faveur des

survivants

Nous allons désormais nous restreindre à l'ensemble X ∈ X | X ≥ 0 qui correspond aucadre de notre étude an de pouvoir poser :

∀k ≥ 0, X2 ≥ 0, gε(X1, X2) := E

[X1

max k,X2

].

Nous voyons immédiatement que l'application gε est induite par ρε :

∀X ∈ X , X ≥ 0, gε(X,X) = E

[X

max k,X

]et que la linéarité est vériée par linéarité de l'espérance :

∀a, b ∈ R,∀X,Y, Z ∈ X , g(aX + bY, Z) = E

[aX + bY

max k, Z

]= aE

[X

max k, Z

]+ bE

[Y

max k, Z

]= ag(X,Z) + bg(Y,Z)

En revanche, la diversication est uniquement vériée pour des v.a. X,Y positives qui satisfontl'inégalité X ≤ Y car dans ce cas précis nous obtenons :

E

[X

max k, Y

]≤ E

[X

max k,X

]88

Notons que l'article [KKB 2005] établit que si une allocation de capital linéaire est induite parune mesure de risque, alors cette dernière est sous-additive.

La tarication de la tontine β peut être formalisée en allocation de capital à l'aide de lamesure ρε :

∀K > 0, ∀i = 1, · · · , n, cKi =

(K

1 + r

) gε

(λiYi,

∑j 6=i λjYj

)ρε

(∑nj=1 λjYj

) (B.1)

Remarquons que les primes d'assurance conventionnelles pi = λiqi1+r peuvent être trivialement

caractérisées par une méthode d'allocation proportionnelle munie de l'espérance qui est unemesure de risque cohérente :

∀K > 0, ∀i = 1, · · · , n, pKi =

(K

1 + r

)E[λiYi]∑nj=1E [λjYj ]

(B.2)

89

Annexe C

Tableaux de valeurs

TH00-02

Sommesous

risque

:2500

erreur

relative

iâge

Tauxde

décès

Primes

Cotisations

(NR)

Cotisations

(NRMC)

(NRMC-NR)/NR

125

0,05%

1,36

138,25

138,89

0,46%

227

0,06%

1,41

138,14

138,69

0,40%

329

0,06%

1,49

137,98

138,86

0,64%

431

0,06%

1,59

137,76

137,68

-0,06%

533

0,07%

1,8

137,33

137,18

-0,11%

635

0,08%

2,11

136,70

136,60

-0,07%

737

0,10%

2,48

135,92

137,08

0,85%

839

0,12%

2,98

134,91

135,38

0,34%

941

0,15%

3,66

133,53

132,97

-0,42%

1043

0,18%

4,49

131,88

130,79

-0,83%

1145

0,22%

5,45

129,99

129,60

-0,30%

1247

0,26%

6,44

128,06

128,85

0,62%

1349

0,30%

7,41

126,21

126,21

-0,01%

1451

0,34%

8,44

124,28

122,30

-1,60%

1553

0,39%

9,67

122,02

121,64

-0,30%

1655

0,44%

11,09

119,44

121,39

1,63%

1757

0,50%

12,59

116,78

117,24

0,39%

1859

0,57%

14,34

113,74

112,19

-1,36%

1961

0,64%

16,1

110,77

109,94

-0,75%

2063

0,71%

17,83

107,91

110,11

2,04%

Total

132,72

2561,59

2563,59

Table C.1 Tarication tontinière par la méthode directe (NR) et la méthode d'approximation(NRMC)

90

App

elde

nancementcollectifxéà212,358

TH00-02

Sommesous

risque

:4000

erreur

relative

écartrelatif

iâge

Tauxde

décès

Primes

Cotisations

(PB)

Cotisations

(PBMC)

(PBMC-PB)/PB

(PB-Prime)/P

rime

125

0.05%

2,170

2,166

2,172

0,26%

-0,19%

227

0.06%

2,255

2,251

2,254

0,16%

-0,18%

329

0.06%

2,379

2,374

2,379

0,21%

-0,18%

431

0.06%

2,546

2,541

2,547

0,23%

-0,18%

533

0.07%

2,880

2,875

2,880

0,16%

-0,18%

635

0.08%

3,368

3,363

3,370

0,23%

-0,17%

737

0.10%

3,971

3,964

3,973

0,22%

-0,16%

839

0.12%

4,763

4,756

4,769

0,27%

-0,15%

941

0.15%

5,858

5,850

5,866

0,27%

-0,14%

1043

0.18%

7,180

7,171

7,172

0,01%

-0,12%

1145

0.22%

8,720

8,711

8,724

0,15%

-0,10%

1247

0.26%

10,310

10,301

10,306

0,04%

-0,08%

1349

0.30%

11,862

11,854

11,865

0,09%

-0,07%

1451

0.34%

13,502

13,496

13,493

-0,02%

-0,05%

1553

0.39%

15,466

15,463

15,506

0,28%

-0,02%

1655

0.44%

17,741

17,742

17,735

-0,04%

0,01%

1757

0.50%

20,142

20,150

20,140

-0,05%

0,04%

1859

0.57%

22,948

22,964

22,989

0,11%

0,07%

1961

0.64%

25,763

25,791

25,740

-0,20%

0,11%

2063

0.71%

28,533

28,573

28,478

-0,33%

0,14%

Total

212,358

212,358

212,358

Table C.2 Tarication tontinière par la méthode directe (PB) et la méthode d'approximation(PBMC)

91

Graphique 3.3 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900

0,0543% 2,17 2,22 2,28 2,33 2,39 2,44 2,50 2,55 2,60 2,660,0564% 2,25 2,31 2,37 2,42 2,48 2,54 2,59 2,65 2,71 2,760,0595% 2,38 2,44 2,50 2,56 2,62 2,68 2,74 2,80 2,85 2,910,0637% 2,55 2,61 2,67 2,74 2,80 2,86 2,93 2,99 3,06 3,120,0720% 2,88 2,95 3,02 3,10 3,17 3,24 3,31 3,38 3,46 3,530,0842% 3,37 3,45 3,54 3,62 3,71 3,79 3,87 3,96 4,04 4,130,0993% 3,97 4,07 4,17 4,27 4,37 4,47 4,57 4,67 4,76 4,860,1191% 4,76 4,88 5,00 5,12 5,24 5,36 5,48 5,60 5,72 5,840,1465% 5,86 6,00 6,15 6,30 6,44 6,59 6,74 6,88 7,03 7,180,1795% 7,18 7,36 7,54 7,72 7,90 8,08 8,26 8,44 8,62 8,800,2180% 8,72 8,94 9,16 9,37 9,59 9,81 10,03 10,25 10,46 10,680,2578% 10,31 10,57 10,83 11,08 11,34 11,60 11,86 12,11 12,37 12,630,2965% 11,86 12,16 12,45 12,75 13,05 13,34 13,64 13,94 14,23 14,530,3376% 13,50 13,84 14,18 14,51 14,85 15,19 15,53 15,87 16,20 16,540,3866% 15,47 15,85 16,24 16,63 17,01 17,40 17,79 18,17 18,56 18,950,4435% 17,74 18,18 18,63 19,07 19,52 19,96 20,40 20,85 21,29 21,730,5036% 20,14 20,65 21,15 21,65 22,16 22,66 23,16 23,67 24,17 24,670,5737% 22,95 23,52 24,10 24,67 25,24 25,82 26,39 26,96 27,54 28,110,6441% 25,76 26,41 27,05 27,70 28,34 28,98 29,63 30,27 30,92 31,560,7133% 28,53 29,25 29,96 30,67 31,39 32,10 32,81 33,53 34,24 34,95

Table C.3 200 primes d'assurance conventionnelle en fonction du taux de décès (table TH00-02) et du capital sous risque

92

Graphique 3.4 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900

0,0543% 10,06 12,57 15,51 18,89 22,90 27,65 33,30 40,14 48,63 59,220,0564% 10,05 12,58 15,50 18,92 22,88 27,64 33,29 40,16 48,63 59,240,0595% 10,05 12,58 15,51 18,91 22,88 27,62 33,27 40,15 48,59 59,290,0637% 10,04 12,57 15,48 18,91 22,91 27,64 33,28 40,13 48,61 59,250,0720% 10,04 12,57 15,49 18,89 22,88 27,61 33,29 40,12 48,60 59,200,0842% 10,04 12,57 15,47 18,88 22,87 27,59 33,27 40,15 48,57 59,190,0993% 10,02 12,56 15,48 18,86 22,84 27,60 33,28 40,10 48,51 59,130,1191% 10,02 12,54 15,44 18,88 22,86 27,61 33,21 40,05 48,46 59,160,1465% 10,01 12,53 15,45 18,85 22,83 27,57 33,20 40,03 48,43 59,060,1795% 10,00 12,52 15,43 18,79 22,80 27,46 33,14 39,96 48,31 59,010,2180% 9,99 12,49 15,40 18,82 22,75 27,46 33,07 39,88 48,28 58,870,2578% 9,98 12,46 15,34 18,76 22,74 27,42 33,04 39,84 48,26 58,820,2965% 9,94 12,46 15,35 18,77 22,71 27,34 32,97 39,83 48,20 58,450,3376% 9,94 12,45 15,33 18,70 22,67 27,37 32,93 39,72 48,03 58,470,3866% 9,91 12,45 15,29 18,66 22,64 27,30 32,85 39,59 47,87 58,250,4435% 9,89 12,37 15,29 18,63 22,58 27,18 32,81 39,49 47,76 58,250,5036% 9,84 12,36 15,29 18,59 22,48 27,18 32,71 39,42 47,74 57,980,5737% 9,87 12,32 15,18 18,51 22,49 27,13 32,58 39,32 47,59 57,740,6441% 9,79 12,31 15,14 18,52 22,38 27,00 32,53 39,30 47,33 57,790,7133% 9,79 12,26 15,14 18,43 22,27 27,02 32,41 39,16 47,20 57,36

Table C.4 200 cotisations tontinières en fonction du taux de décès (table TH 00-02) et ducapital sous risque

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