Integrales dobles sobre rectangulos

Teorema 1. Si una funcion f es continua en un rectangulo R = [a, b] × [c, d] entonces f es

integrable en R. ademas el valor de la integral puede obtenerse por integracion sucesiva

Demostracion. Para y0 fija en [c, d] la integral∫ badx existe ya que el integrando es continuo en

R

Sea

A(y) =

∫ b

a

f(x, y)dx

vamos a demostrar que A(y) es continua en [c, d]. Sean y, y1 ∈ [c, d] entonces

|A(y)− A(y1)| =∣∣∣∣∫ b

a

f(x, y)dx−∫ b

a

f(x, y1)dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ b

a

(f(x, y)− f(x, y1)) dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x, y)− f(x, y1)| dx

Como f es continua y y esta cercana a y1 entonces |f(x, y)− f(x, y1)| < εb−a Por lo tanto∫ b

a

|f(x, y)− f(x, y1)| dx ≤∫ b

a

ε

b− adx =

ε

b− a(b− a) = ε

1

∴

|A(y)− A(y1)| < ε

si y esta cercana a y1

∴ A(y) es continua y por tanto integrable en [c, d] y su integral es∫ d

c

A(y)dy =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy

Con un razonamiento analogo se puede concluir que

∫ ∫R

f(x, y)dr =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dydx

∴ ∫ ∫R

f(x, y)dr =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dydx =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy

Integrales dobles extendidas a regiones mas generales

Sea S una region acotada, e incluyamos S en un rectangulo Q

Sea f una funcion definida y acotada en S.

Definamos una nueva funcion f en Q

f(x, y) =

f(x, y) si (x, y) ∈ S

0 si (x, y) ∈ Q− S

2

Si lo es, decimos que f es integrable en S y que por definicion∫ ∫S

f =∫ ∫Q

f

Teorema 2. Sea S una region tipo I. Supongamos que f esta definida y es acotada en S que es

continua en el interior de S. Existe la integral∫ ∫S

f

y puede calcularse por integracion reiterada∫ ∫S

f =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

f(x, y)dydx

Dem. SeaQ = [a, b]x[c.d] un rectangulo que contiene a S y sea f(x, y) =

f(x, y) si (x, y) ∈ S

0 si (x, y) ∈ Q− Slos unicos puntos donde hay discontinuidad para f son los de la frontera de S, puesto que fr(S)

tiene contenido nulo, f es integrable en Q.

Para x fijo ∃∫ d

c

f(x, y)dy aplicando integracion iterada

3

∫ ∫Q

f =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dydx si ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) f(x, y) = f(x, y)

y para todos los demas valores de y en [c, d] f(x, y) = 0

∴∫ d

c

f(x, y)dy =

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy ∴∫ ∫

Q

f =

∫ b

a

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dydx

Analogamente, si consideramos una region T = {(x, y)|c ≤ y ≤ d y ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y)}

con ϕ1 y ϕ2 funciones continuas en [c, d] siendo ϕ1 ≤ ϕ2 tenemos que

∫ ∫T

f(x, y)dxdy =∫ d

c

∫ ϕ2(y)

ϕ1(y)

f(x, y)dxdy

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