GEL-21945 Circuits

LOIS ET THÉORÈMES DE CIRCUITS

Objectifs

•  comprendre et être capable d’utiliser les lois de Kirchhoff; •  reconnaître les éléments en série ou en parallèle dans un circuit

complexe; •  obtenir les dipôles équivalents d’éléments en série ou en parallèle; •  calculer correctement des diviseurs de tension ou des diviseurs de

courant simple ou en cascade; •  savoir mettre à zéro (annuler) une source de tension ou de courant; •  savoir transformer un circuit électrique complexe en son équivalent

Thévenin et son équivalent Norton •  être capable de passer d’un équivalent Thévenin à un équivalent

Norton et vice-versa; •  utiliser un équivalent Thévenin ou Norton entre deux bornes d’un

circuit pour déduire la tension ou le courant par ces bornes; •  comprendre clairement ce que signifie un système linéaire avec ses

avantages; •  exploiter les caractéristiques d’un système linéaire dont le principe

de superposition des sources. 2/73

Plan du cours

  Lois de Kirchhoff

  Dipôles équivalents

  Transformations de sources

  Théorèmes de Thévenin et de Norton

  Transfert maximal de puissance

  Principe de superposition

3/73

+

- v

a b c

d e f

- Une jonction où au moins deux éléments électriques ont une connexion commune est appelée nœud - Dans chaque élément, on peut définir une variable tension v et une variable courant i

Noeuds

Éléments

Parcours fermés a-b-c-d-e-f-a

a-b-e-f-a b-c-d-e-b

Éléments, nœuds et parcours fermés

4/73

Lois de Kirchhoff

5/73

Lois de Kirchhoff

i1 – i2 + i3 + i4 – i5 = 0

- v1 + v2 + v3 – v4 = 0

Loi des courants La somme algébrique des courants à un nœud d’un circuit électrique est égale à zéro en tout temps.

i1 i2

i3 i4

i5

Loi des tensions La somme algébrique des tensions dans un parcours fermé d’un circuit électrique est égale à zéro en tout temps.

v1

v4

v3

v2

- +

- +

+ -

+ -

a

b c

d 6/73

Gustav Kirchhoff-Savard 1824-1887 7/73

Lois de Kirchhoff-lois de Maxwell Loi des courants provient de la 3e loi de Maxwell (dite de Gauss) sur les charges électriques en version statique (dE/dt=0)

Loi des tensions provient de la 1ère loi de Maxwell (dite de Faraday ou d’induction) en version statique (dH/dt=0)

D ⋅d

S = [Q]V∫

doncddt

D ⋅d

S = d

Ddt∫ ⋅d

S = ε dE

dt∫ = 0 = ddt[Q]v = Ik

k∑∫

E ⋅d = − d

dt

B ⋅dS

S∫∫∫ = −µ dHdtS∫∫ ⋅d

S = 0

avecE

a

b

∫ ⋅d =Vab

8/73

James Clerk Maxwell-Grenier 1831-1879

9/73

Exemple

+

-

3 V 2 A

+

+

+

+

+ -

-

-

-

-

v2 v6

v4

3 V

6 V i6

i4

1 A 1 A

i3

Déterminer i3, i4, i6, v2, v4 et v6

i3 = -3 A, i4 = 3 A, i6 = 4 A, v2 = -3 V, v4 = -6 V, v6 = 6 V

10/73

Exemple avec éléments

11/73

Dipôles équivalents

12/73

Relation v-i d’un dipôle

Que contient ce dipôle?

13/73

Équivalents séries

14/73

1. Équivalent série de résistances

V

-

+

R1

R2

i

v2

-

+

R3

v3

v1 +

+ -

-

V

-

+

Req

i

321eq RRRR ++=

15/73

2. Équivalent série de condensateurs

-

+

v

C1

C2

CN

v1 + -

v2 + -

vN + -

i

-

+

v Ceq

i

∑=

=N

1k keq C1

C1

16/73

3. Équivalent série d’inductances

Leq

L1

L2

LN -

+

v

i

-

+

v

i

v1

v2

vN

∑=

=N

1kkeq LL

17/73

Diviseurs de tension

18/73

1. Diviseur de tension par résistances

vRRR

Rv321

kk ++=

v

-

+

R1

R2

i

v2

-

+

R3

v3

v1 +

+ -

-

Req = Rkk∑

vk =RkReq

19/73

2. Diviseur de tension par condensateurs

vCC

vk

eqk =

-

+

v

C1

C2

CN

v1 + -

v2 + -

vN + -

i

1Ceq

= 1Ckk

∑

20/73

3. Diviseur de tension par inductances

vk =LkLeq

v

L1

L2

LN -

+

v

i

v1

v2

vN

Leq = Lkk∑

21/73

Équivalents parallèles

22/73

1. Équivalent parallèle de résistances

i

i1 i2

R1 R2 v1 v2 Req

i

v

-

+

v

-

+

21eq R1

R1

R1 +=

+ +

- -

23/73

2. Équivalent parallèle de condensateurs

i

i1 i2

C1 C2 v1 v2 v

-

+

+ +

- - Ceq

i

v

-

+

21eq CCC +=

24/73

3. Équivalent parallèle inductances

Leq

-

+

v L1

-

+

v L2

i i

i1 i2

21eq L1

L1

L1 +=

25/73

Diviseurs de courant

26/73

1. Diviseur de courant par résistances

i

i1 i2

R1 R2 v1 v2 v

-

+

+ +

- -

iRR

ik

eqk =

27/73

i1 =R2

R1+ R2i

2. Diviseur de courant par condensateurs

iCCieq

kk =

i

i1 i2

C1 C2 v1 v2 v

-

+

+ +

- -

28/73

3. Diviseur de courant par inductances

iLL

ik

eqk =

L1

-

+

v L2

i

i1 i2

29/73

Élément Équivalent série

Diviseur de tension

Équivalent parallèle

Diviseur de courant

Résistance Inductance Condensateur

∑=

=N

1kkeq RR

vR

Rv N

1kk

kk

∑=

=

∑=

=N

1k keq C1

C1 ∑

=

=N

1kkeq CCv

C1C

1v N

1k kk

k

∑=

= iC

Ci N

1kk

kk

∑=

=

∑=

=N

1k keq R1

R1 i

R1R

1i N

1k kk

k

∑=

=

∑=

=N

1kkeq LL

vL

Lv N

1kk

kk

∑=

= ∑=

=N

1k keq L1

L1

Récapitulatif

i

L1L

1i N

1k kk

k

∑=

=

30/73

Équivalents de sources

31/73

Équivalent série de sources de tension

32/73

Exemple 2 sources V en série

33/73

Équivalent parallèle de sources de courant

34/73

Transformations de sources

35/73

Équivalence de sources réelles

Sous certaines conditions, la source de tension non idéale et la source de courant non idéale sont équivalentes.

Conditions: ssssp iRvetRR ==

36/73

Équivalence de sources réelles

s

Rs

IRp

p IsR

I

−

+

+

−

V

I

s

V

I

+

−

V

IR

Vs

s

Vs

V

IVs /

37/73

Méthode de transformation

38/73

Théorème de Thévenin

39/73

Équivalent Thévenin

Circuit inconnu a

b

VT RT

a

b a

b

Tout dipôle qui comporte uniquement des résistances électriques et des sources indépendantes et commandées est équivalent à une unique source de tension idéale VT (tension de Thévenin) en série avec une resistance RT (résistance de Thévenin).

Circuit équivalent Thévenin

- +

- +

40/73

Utilité de l’équivalent Thévenin

Circuit A

Circuit B

Circuit A -

+ v

VT RT

- +

VT RT

- + Circuit

B

1. Décomposition d’un circuit complexe en parties simples:

2. Transfert maximal de puissance: Optimisation du transfert de puissance vers une charge résistive après avoir identifié RT.

VT RT

- +

Rch 41/73

Comment identifier un circuit équivalent Thévenin ?

VT = tension aux bornes du dipôle en circuit ouvert

RT = résistance équivalente du dipôle lorsque toutes les sources indépendantes du dipôle sont annulées.

VT ? RT ? VT RT

a

b - +

Cas 1: Sources indépendantes seulement…

42/73

Vs = 0 V -

+

Court circuit

is = 0 Circuit ouvert

Comment annule-t-on les sources de tension et de courant ?

Comment identifier un circuit équivalent Thévenin ?

Cas 1: Sources indépendantes seulement

On ne peut mettre à zéro une source commandée: cela reviendrait aussi à mettre à zéro la variable de commande.

Attention

43/73

a V

R1

R2 Rch

a

b

VT

RT

Rch

Circuit équivalent Diviseur de tension

Exemple 1 (source indépendante seulement)

21

21

RRRRRT +

=VRR

RVT21

2

+=

44/73

Exemple 2

Vs -

+

R1 R2

R3 R

i

Trouver le courant i dans R en utilisant le théorème de Thévenin

VT =R3

R1 + R3Vs1. Tension Thévenin ?

231

31T R

RRRRR ++

=2. Résistance Thévenin ?

3. Courant dans la charge R ? T

T

RRVi+

=45/73

Exemple 3

+

- 5 V

5 Ω 30 Ω

20 Ω 3 V

i

+

-

Déterminer le courant i en réduisant le circuit de droite à sa forme la plus simple.

i = 224 mA

46/73

Exemple 4

R3

R1

- +

is

vs

R2 R

a

b

is = 2 A, R1 = 6 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 2 Ω, vs = 6 V

VT = 6 V

RT = 4 Ω

Trouver l’équivalent Thévenin

47/73

Comment identifier un circuit équivalent Thévenin ?

1 - Circuit ouvert Circuit ouvert ó R infinie entre a et b On calcule la tension Vab-co 2 - Court-circuit

Court-circuit ó R nulle entre a et b On calcule le courant Iab-cc

VT = Vab-co

VT ? RT ?

RT =Vab−coIab−cc

VT RT

a

b - +

Cas 2: Sources indépendantes et commandées ou sources indépendantes seules

48/73

Exemple 1 (présence de source commandée)

-

+

i

- +

6 Ω 10 Ω

6 Ω20 V

2i

Trouver l’équivalent Thévenin

a

b

VT = 12 V

RT = 13.6 Ω 49/73

Transfert maximal de puissance

50/73

Transfert maximal de puissance

VT

-

+

RT

R

i

Puissance dans la charge R

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=RR

VRPT

T

51/73

Transfert maximal de puissance (suite)

R = RT

P

R RT RT RT

T

2T

max R4VP =

Puissance maximale

T

2T

max R4VP =

dP/dR=0

52/73

Rendement de Thévenin pour un transfert maximal de puissance

Le rendement de transfert de puissance est

entrée

sortie

pp=η

Lors d’un transfert maximum de puissance, la puissance d’entrée est

T

2

entrée R2v

p T=

Lors d’un transfert maximum de puissance, la puissance de sortie est

Tsortie R

vpp T

4

2

max ==

Rendement maximal de Thévenin = 50% 53/73

P (W)

2 4 6

Un circuit électrique est connectée à une résistance variable, la puissance fournie à la résistance a été mesurée telle que donnée sur la figure. Déterminer le circuit équivalent de Thévenin.

1 3 5

R (Ω)

12.5

Exemple 1:

54/73

Déterminer la charge Rch qui permettra un transfert maximal de puissance pour le circuit suivant. Déterminer la puissance maximale transférée. Déterminer le rendement de transfert de puissance de la source Vs vers la charge Rch.

Exemple 2:

Vs = 180 V -

+

30 Ω

150 Ω Rch

a

b

Rendement = 35.7 % Rch = RT = 25 Ω Pmax = 225 W

55/73

Déterminer la charge Rch qui permettra un transfert maximal de puissance pour le circuit suivant. Déterminer la puissance maximale transférée. Déterminer le rendement de transfert de puissance de la source Vs vers la charge Rch.

Exemple 2:

Vs = 8 V -

+

2 Ω

2 Ω Rch

a

b

Rendement = 16.7%

Rch = RT = 1 Ω

Pmax= VT2/4RT= 4W

56/73

VT = 2/(2+2)*8=4V

Pin= 8*(8/(2+2||1)) = 8*3=24W

2W 4W

18W

3A

2A 1A

Circuit Équivalent de Norton

57/73

Équivalent Norton

iN RN

a

b

a

b

Tout dipôle qui comporte uniquement des résistances électriques et des sources indépendantes et commandées est équivalent à une unique source de courant idéale iN (courant de Norton) en parallèle avec une resistance RN (résistance de Norton).

Circuit équivalent Norton

- +

58/73

Comment identifier un circuit équivalent Norton ?

iN = courant en court-circuit du dipôle

RN = résistance équivalente du dipôle lorsque toutes les sources indépendantes du dipôle sont annulées.

Cas 1: Sources indépendantes seulement

iN RN

a

b IN ? RN ?

59/73

Exemple 1

Vs = 15 V -

+

R1 = 8 kΩ

R3 = 4 kΩ

R2 = 6 kΩ

a

b

RN = 4 kΩ

iN = 1.25 mA

60/73

Exemple 2

5.6 A

a

b

Déterminer la puissance maximale transférable à une charge Rch en utilisant un circuit équivalent Norton du circuit suivant.

30 Ω 150 Ω

3 Ω

Rch

Pmax = 175 W

61/73

2 - Circuit ouvert Circuit ouvert ó R infinie entre a et b On détermine la tension vab-co

iN ? RN ? iN RN

a

b

iN = iab-cc

RN = Vab−coiab−cc

1 - Court-circuit Court-circuit ó R nulle entre a et b On détermine le courant iab-cc

Comment identifier un circuit équivalent Norton ?

Cas 2: Sources indépendantes et commandées ou sources indépendantes seules

62/73

Exemple 1

-

+

2 Ω

3 Ω16 V

10 ix a

b

0.9 A

ix

Rch

Trouver l’équivalent Norton vu des bornes a et b puis estimer la puissance maximale transférable à une charge Rch

Pmax = 0.75 W

63/73

Exemple 2

3 Ω6 Ω

2 ia

b

2.5 A i

Trouver l’équivalent Norton vu des bornes a et b.

+ - 4 Ω 1 Ω

IN = 1 A

RN = 3 Ω

64/73

Équivalents Thévenin et Norton

Remarques

RT = RN

VT = RN iN

(Résistances Thévenin et Norton)

(Sources Thévenin et Norton)

iN RN

a

b VT

RT

a

b - +

Thévenin Norton

VT = Vco IN = Icc

65/73

Principe de superposition

Systèmes linéaires

F x y Entrée Sortie

Système

Définition d’un système linéaire

y = F(x)

Superposition: x1 y1

x2 y2

x1 + x2 y1 + y2

Homogénéité: x y

K . x K . y

alors

alors 67/73

Exemple d’un système linéaire

Déterminer si la loi d’Ohm est linéaire: v = R i

Superposition ? Homogénéité ?

x R i v Entrée Sortie

Système

68/73

Exemple d’un système non linéaire

La dissipation d’une puissance dans une résistance est-elle linéaire?

Superposition ? Homogénéité ?

[ ]2 x R i p Entrée Sortie

Système

p = R i2

69/73

Linéarité des circuits électriques

Résistance

Condensateur

Inductance

Transformateur idéal

Source commandée

iRv =

dtdvCi =

dtdiLv =

aiietvav 2

121 −==

12 vv µ=

1m2 irv =1m2 vgi =

12 ii α=70/73

Systèmes linéaires

•  Circuit avec deux sources: Vs1 et Vs2 (ça pourrait être une source tension et une source courant cependant) (il pourrait aussi y avoir plusieurs sources de tout acabit)

•  Sortie: I1, le courant traversant R1

(ça pourrait être une autre résistance, ou même une tension) •  I1 = aVs1 + bVs2

•  a et b déterminées par superposition des sources –  on annule la source Vs2 (Vs2=0), I1=aVs1 –  on annule la source Vs1 (Vs1=0), I1=bVs2

71/73

Principe de superposition

Lorsqu’un circuit électrique linéaire est excité par plusieurs sources, l’analyse du circuit peut être effectuée en considérant une seule source indépendante à la fois, les autres sources indépendantes étant annulées. La réponse totale sera égale à la somme de toutes les réponses individuelles.

Exemple 1: Sources indépendantes seulement

Vs Is -

+

R1

R2

i

Trouver le courant i en utilisant le principe de superposition.

21

1

RRIRVi ss

++=

72/73

Exemple 2 Sources indépendantes et commandées

Vs 3 i -

+

R1 i

Trouver le courant i en utilisant le principe de superposition.

-

+ Is

R2

321

2

++−=RRIRVi ss

73/73

Pour en savoir plus

  Circuits électriques, Hoang Le-Huy, Les presses de l’Université Laval, 2004.

  Introduction to electric circuits, Dorf R.C., Svoboda J.A., Wiley, 2004.

  The analysis and design of linear circuits, Thomas R.E., Rosa A.J., Wiley, 2004.

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