Géométrie analytique

La pente

Pente

La pente d’un segment est obtenue par la formule :

P1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

dans l’exemple ci-contre :

m = x1x2 -

y1y2 - =

02 -

15 - =

2

4 = 2

m = 2

variation des ordonnées

variation des abscisses x1x2 -

y1y2 -∆ y

∆ x ::

m = 22

1

Graphiquement, on peut constater ce fait.

1 2 3

1

2

3

4

5

+ 1

+ 2

+ 1

+ 2

Ce qui signifie que pour un accroissement d’une unité des abscisses, il y a accroissement de deux unités des ordonnées.

On peut donc en déduire la propriété fondamentale d’une droite :

Tout segment d’une droite a la même pente.

ou

La pente d’un segment ( son inclinaison ) est une notion importante en géométrie analytique.

Elle permet de déterminer certaines informations.

Exemple

Calculons les pentes des segments AB et DC :

Coordonnées des sommets du rectangle :

A ( 5 , 15 ) B ( 25 , 25 )

C ( 30 , 15 ) D ( 10 , 5 )

m ( A , B ) :x1x2 -

=y1y2 -

525 -=

1525 - 10

20=

m ( D , C ) :x1x2 -

=y1y2 -

1030 -=

515 -

1

2

10

20=

1

2

m ( A , B ) = m ( D , C )

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

D

Propriété : Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux.

Calculons les pentes des segments AD et BC :

m ( A , D ) :x1x2 -

=y1y2 -

510 -=

15 5 -

m ( B , C ) :x1x2 -

=y1y2 -

2530 -=

2515 -

= -10

5

- 2

- 2

-10

5=

m ( A , D ) = m ( B , C )

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

D

A ( 5 , 15 ) B ( 25 , 25 )

C ( 30 , 15 ) D ( 10 , 5 )

Propriété : Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux.

alors AB ll DC

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

D

m ( A , B ) =

1

2

m ( D , C ) = 1

2

m1 :

m2 :

m1 = m2

alors AD ll BC

m ( A , D ) =

m ( B , C ) =

m1 :

m2 :

m1 = m2

- 2

- 2

La pente d’un segment ( son inclinaison ) est une notion importante en géométrie analytique.

Elle permet de déterminer certaines informations.

Exemple

Calculons les pentes des segments AB et BC :

Coordonnées des sommets du rectangle :

m ( A , B ) :x1x2 -

=y1y2 -

525 -=

1525 - 10

20=

m ( B , C ) :x1x2 -

=y1y2 -

2530 -=

2515 -

1

2

-10

5=

- 2

1

pentes inverses et opposées

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

D

A ( 5 , 15 ) B ( 25 , 25 )

C ( 30 , 15 ) D ( 10 , 5 )

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

D

Propriété : Si deux segments ont des pentes inverses et opposées, alors ils sont perpendiculaires entre eux.

m ( A , B ) =

1

2

m ( B , C ) = - 2

1

alors AB BC

Remarque : Pour pouvoir comparer correctement des pentes, n’oublie pas de toujours simplifier tes calculs au maximum.

m1 :

m2 :

1

m2

-m1

1

=

pentes inverses

et opposées

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

CD

Cas particuliers

Calculons la pente du segment AC:

C ( 30 , 5 )A ( 10 , 5 )

m = x1x2 -

y1y2 -=

1030 -=

5 5 - 0

20= 0

Un segment horizontal a une pente nulle.

Calculons la pente du segment BD:

Pente BD :

D ( 15 , 5 )B ( 15 , 30 )

m = x1x2 -

y1y2 -=

1515 -=

30 5 - -10

0= ?

Pente AC :

Un segment vertical a une pente

indéterminée.

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

CD

Calculons la pente de AB et de BC .

Pente AB :

B ( 15 , 30 ) C ( 30 , 5 )

A ( 10 , 5 ) B ( 15 , 30 )

m = x1x2 -

y1y2 -=

1015 -

530 -=

25

5= 5

Pente BC :

m = x1x2 -

y1y2 -=

1530 -

30 5 -=

- 25

15=

- 5

3

Si deux segments ont des pentes différentes alors ils sont sécants ( ils se croisent selon un certain angle ).

Remarques :

Si deux segments ont des pentes inverses et opposées alors ils sont perpendiculaires ( sécants à un angle précis de 900 ).

En résumé

Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux.

Si deux segments ont des pentes différentes alors ils seront sécants ( ils se croiseront selon un certain angle ).

Si deux segments ont des pentes inverses et opposées alors ils seront perpendiculaires ( sécants à un angle précis de 900 ).

m1 = m2

m1 ≠ m2

m1 = - 1m2