GIA 400 Analyse de rentabilité de projet - cours, examens · 1 GIA-400 Analyse de rentabilité de projets Louis Parent, ing., MBA GIA 400 – Cours 1 2 LOUIS PARENT, ING. MBA Ingénieur

GGIIAA 440000

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1

GIAGIA--400400Analyse de Analyse de rentabilitrentabilitéé de projetsde projetsLouis Parent, Louis Parent, inging., MBA., MBA

2GIA 400 – Cours 1 2

LOUIS PARENT, ING. MBALOUIS PARENT, ING. MBA

Ingénieur Industriel, École Polytechnique de Montréal (1974)Master in Business Administration (MBA), Finance, Université McGill (1982)

Expérience de travailMonsanto Canada (Pétrochimie), 1974 -1978Brasserie Molson du Canada, 1978 – 1980Groupe Secor (Consultant en stratégie d'entreprise), 1982 – 1993Louis Parent Développement Corporatif Inc., 1993 – aujourd'hui.

Analyse de rentabilité de projets:Aéronautique , pièces automobile: fabrication et distribution, métallurgie, vélos, télécommunications, TI, immobilier et même …cercueils!

2


ContactContact

Disponible sur appel pour consultation en tout temps, à l'école ou à mon bureau.

Bureau:420 rue Notre-Dame ouestBureau 503, MontréalBureau: (514) 878-9588 Cell: (514) 947-4141

ETS: B-2614 (ne suis à peu près jamais là!)

[email protected]@louisparent.ca


Un exemple de mon travailUn exemple de mon travail

RETURN TO EQUITY INVESTORS ($000) - Base CaseFirst Generation Aircraft: Citation BravoSecond Generation Aircraft: Honda Jet

Investors' Cash Flow Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5 Year 6 Year 7 Year 8 Year 9 Year 10Equity Investment 2 817.8 2 073.7 - 198.3 - - - - - - Cash Avai lable for Dividends - - 994.0 - - 2 899.7 3 074.2 2 510.1 1 752.1 2 033.3 Add: Terminal Value (5x EBITDA) 18 916.3

(2 817.8) (2 073.7) 994.0 (198.3) - 2 899.7 3 074.2 2 510.1 1 752.1 20 949.7 Total Equity Investment 5 089.8 Internal Rate of Return (IRR) 29.0% (calculated using monthly cash flow figures)NPV at 20% 2 790.1 (calculated using monthly cash flow figures)

(6 000)

(4 000)

(2 000)

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2 000

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($00

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5GIA 400 – Cours 1

Cursus type en FinanceCursus type en Finance

Niveau Principaux sujetsObjet

L'entreprise Le marchéfinancier

Introduction(ex: GIA 400)

Introduction aux mathématiques financières, à l'analyse de rentabilité de projet, aux structures de financement d'entreprise. Introduction àl'analyse sous incertitude.

Intermédiaire

Estimation de la valeur marchande d'entreprises et de titres financiers conventionnels, gestion de portefeuille de placements.

AvancéAnalyse de risques, produits dérivés, mathématiques financières très avancées.


Plan de coursPlan de cours

COURS MATIÈRE RÉFÉRENCE

1

Introduction : Les décisions économiques en ingénierie

Rôle des ingénieurs dans les entreprises, les formes d’entreprises, les décisions stratégiques de nature économique en ingénierie, le processus d’investissement, concepts de coût et de revenu, coût d’exploitation, coût en capital, coût d’opportunité, coût irrécupérable, analyse marginale.

AEI Chapitre 1

2

Analyse financière

États financiers, bilan, état des résultats, état des flux de trésorerie, état des bénéfices non répartis, dépenses déductibles, revenus imposables, amortissement linéaire, effet fiscal, analyse par ratios, liquidité, solvabilité, gestion, rentabilité.

AEI Annexe A

Notes

complémentaires

3 et 4

Structure des taux d’intérêt, équivalence et applications

Valeur temporelle de l’argent, intérêt simple, intérêt composé, capitalisation discrète, valeur présente, valeur future, taux effectif, taux nominal, taux périodique, capitalisation continue, équivalence de taux, facteur d’actualisation, équivalence économique, flux monétaires uniques, flux monétaires irréguliers, taux d’intérêt variables, annuités, flux monétaires composés, perpétuités.

AEI Chapitres 2 et 3

(Sections 2.1; 2.2; 2.3.1 à

2.3.4; 3.1 à 3.7)

5 Cas particuliers

Gradients linéaires (arithmétiques), gradients géométriques, versements continus.

AEI Chapitres 2 et 3

(Sections 2.3.5;

2.3.6 et 3.4)

6 Examen 1 Cumulatif

4


Plan de cours (suite)Plan de cours (suite)


7

Financement Modes de financement, emprunts (dette), obligations, capitaux propres, actions ordinaires, actions privilégiées, valeur intrinsèque, hypothèse du taux de réinvestissement, structure de capital, coût du capital, taux de rendement exigé, taux de rendement acceptable minimal.

AEI Chapitres 3 et

10

(Sections 3.8; 10.1.1; 10.1.2; 10.2 et 10.3)

8

Analyse des projets indépendants Valeur actualisée équivalente, valeur future équivalente, valeur annuelle équivalente, taux de rendement interne, taux de rendement externe, délai de récupération (actualisé), investissement en fonds de roulement. Distribution du devoir 1 À remettre à l’examen 2

AEI Chapitre 4

9

Analyse des projets mutuellement exclusifs Méthode de l’investissement total, analyse différentielle, valeurs actualisées équivalentes, valeurs annuelles équivalentes, analyse différentielle, période d’analyse différente des durées de vie utile des projets, période d’analyse inconnue, durées de vie inégales, coût fixe, coût variable, coût semi-variable, coût moyen, coût marginal, analyse de point mort, analyse de sensibilité, analyse de remplacement.

AEI Chapitres 5 et

6

10 Examen 2 Cumulatif


Plan de cours (suite)Plan de cours (suite)


11

L’amortissement Actif amortissable, bien amortissable, coût amortissable, amortissement comptable, amortissement fiscal, déduction pour amortissement, dépréciation économique, dépréciation réelle, règle de la demi-année, méthode linéaire, méthodes d’amortissement accéléré, amortissement proportionnel à l’utilisation, valeur aux livres, valeur résiduelle, valeur de récupération, catégories de biens, catégorie ouverte, catégorie fermée, révision de l’amortissement.

AEI Chapitre 7

12

L’impôt Impôt des sociétés, amortissement d’emprunt, effet fiscal de la disposition, gains (pertes) en capital, récupération d’amortissement (gain de disposition), perte terminale, crédit d’impôt à l’investissement, report de pertes d’exploitation, report de pertes en capital, estimation des flux monétaires après impôt.

Distribution du devoir 2 À remettre à l,examen final

AEI Chapitres

8 et 9

13 L’analyse de rentabilité après impôt : Révision

EXAMEN FINAL Cumulatif

5


ÉÉvaluationvaluation

Examen 1 25%Devoir 1, à remettre à l'examen 2 5%Examen 2 25%Devoir 2, à remettre à l'examen final 10%Examen final 35%

100%

TOUTE DOCUMENTATION PERMISE AUX EXAMENSORDINATEURS INTERDITS

CALCULATRICES AVEC FONCTIONS FINANCIÈRES ESSENTIELLES

10GIA 400 – Cours 1 10

Le manuelLe manuel

La version actuellement en vente est la 2ème édition québécoise, basée sur la 4ème édition américaine.

De nombreuses coquilles ont été corrigées… mais il en reste!

Le cours suit le manuel de près.À l'exception du premier TP, tous les exercices utilisés proviennent du manuel.Excellent ouvrage de référence, àconserver dans sa bibliothèque.La version américaine est devenue un classique. Elle en est à sa 5ème

édition (janvier 2010).

6


Les calculatrices financiLes calculatrices financièèresresTI Voyage 200

L'application Finance est essentielle à la réussite du cours.Si votre calculatrice ne la contient pas (vieux modèles), installez-la àpartir de la calculatrice d'un collègue qui a une calculatrice qui la contient.Quelques fonctions "maison" additionnelles sont disponibles sur le site du cours.

La TI Nspire contient déjà une application financière très élaborée.Quelques programmes "maisons" additionnels aussi disponibles sur le site du cours.

TI Nspire CAS


Les calculatrices financiLes calculatrices financièèresresTI BAII Plus

Il y a d'autres modèles sur le marché, mais ils ne sont pas tous dotés du mode "Cash Flow" qui est essentiel.Le App pour le iPhone est excellent. Malheureusement, les téléphones portables sont interdits aux examens.

7


Sites du coursSites du cours

Site principal: Moodle ÉTShttp://moodle.etsmtl.ca/course/view.php?id=13

Site en backup: Googlehttps://sites.google.com/site/gia400lparent/

Cours 1Cours 1

Les dLes déécisions cisions ééconomiques en conomiques en ingingéénierienierie

8

15GIA 400 – Cours 1 15

ContenuContenu

Introduction

Les décisions stratégiques en ingénierie et le critère universel du rendement sur l'investissement.

Les décisions à court terme:Les phénomènes de coûts

16GIA 400 – Cours 1 16

Le taux de survie des entreprises au QuLe taux de survie des entreprises au QuéébecbecAu Québec plus de 50% des entreprises du secteur manufacturier employant de 100 à 500 personnes – nombres d'entre elles dirigées par des ingénieurs –disparaissent après moins de 10 ans d'existence!Mauvais plan d'affaires, mauvaise gestion, mauvaise structure financière, mauvaises décisions d'investissement!

Source: Mélançon S. & Alarie M., Taux de survie des entreprises au Québec et taux de passage, MICQ, Mars 2001

Taux de survie des entreprises manufacturièresde 100 à 500 employés au Québec

0%

10%20%

30%

40%50%

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90%100%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Années d'existence

9

17GIA 400 – Cours 1 17

Les types d'entrepriseLes types d'entrepriseType Avantages Désavantages

Entreprise individuelle

• Facile et peu coûteuse à mettre sur pied.

• Dettes garanties par les biens personnels du propriétaire

• Au Canada, le taux d'imposition des individus est plus élevé que celui des sociétés.

• Financement limité aux ressources du propriétaire

Société de personnes

• Facile et peu coûteuse à mettre sur pied.

• Partage du risque entre plusieurs individus

• En cas de faillite, les associés sont solidairement responsables de toutes les dettes: Si un des associéest insolvable, les autres doivent assumer sa part des dettes.

Société par action(personne morale)

• Possibilité de lever des fonds auprès d'investisseurs externes.

• Les actions peuvent être revendues• Responsabilité limitée au montant

investi• Une compagnie peut en détenir une

autre (filiale).• Au Canada, taux d'impôt plus

avantageux que celui des particuliers.

• Frais comptables (impôts de compagnie)

• Frais de constitution et d'immatriculation annuels

18GIA 400 – Cours 1 18

10

19GIA 400 – Cours 1 19

ÉÉVOLUTION SOCIALE DE L'ENTREPRISEVOLUTION SOCIALE DE L'ENTREPRISE

Recrutement à l'université, puis longue et intense socialisation aux valeurs et à la culture de l'entreprise

Promotion presqu'exclusivement à l'interne: préserve une culture spécifique à l'entreprise.

Emploi à vie

Les actionnaires sont un groupe d'intérêt parmi tant d'autres.

Niveau de concurrence relativement faible: marchés de l'entreprise protégés, règlementés ou dominés par quelque joueurs

Conseils d'administration amicaux et pépères

1950 - 1980 1980 - ?

Adapté de Allaire & Firsirotu Black Markets & Business Blues, p. 42

Pouvoir aux ingénieursPouvoir aux financiers

Grande mobilité du talent d'une compagnie àl'autre

Embauche à l'externe, utilisation des "chasseurs de tête". Culture d'entreprise à la mode du jour.

Aucune sécurité d'emploi

Les "investisseurs" sont la seule partie prenante qui compte réellement

Marchés dérèglementés, concurrence mondiale intense

Le management est devenu un "sport de contact" dont les étoiles sont payés comme des athlètes professionnels.

20GIA 400 – Cours 1 20

LES PROJETS D'INGLES PROJETS D'INGÉÉNIERIENIERIEÀÀ GRANDE GRANDE ÉÉCHELLECHELLE

11

21GIA 400 – Cours 1 21

Les projets d'ingLes projets d'ingéénierie nierie àà grande grande ééchellechelle

Durée de développement: 13 ansÉquipements et outillage: 125 M$R&D: 75 M$Pub. de lancement: 110 M$Investissement total: 310 M$

Durée de développement: 4 ansÉquipements et outillage: 50M$R&D: 350 M$Frais de démarrage: 50 M$Investissement total: 450 M$(Bombardier seulement)Investissement des fournisseurs:400 M$ en plus

CRJ 700/900

22GIA 400 – Cours 1 22

Projets d'ingProjets d'ingéénierie nierie àà grande grande ééchelle: Dchelle: Dééveloppement du CRJ 700/900veloppement du CRJ 700/900

Objectifs de performance de l'appareil:

Vitesse, nombre de sièges, autonomie, altitude

Indicationsd'une opportunité

de marché

1. Modèle d'ingénierie:Critères opérationnels: Consommation de carburantDurée du trajet

Paramètres de design:Poids carburant/poids appareilSurface de l'aile et géométrie

Poussée des moteursAérodynamisme

2. Modèle des coûts d'opération de la compagnie aérienne:

Prix maximum de l'appareil

Coût récurrents:Main d'oeuvreet frais générauxMoteurs et systèmesMatières premières

Développement:IngénierieOutillageEssais en vol

3. Modèle paramétrique du coût de l'appareil

4. Modèle FinancierNombre minimum d'appareils à vendre

pour atteindre un rendement acceptable

Coûts récurrents maximumCoûts de développement maximum

Pour atteindre un rendement acceptable

Faisabilité? Ingénierie détailléeRéévaluer les objectifs ON

GIA

400

12

23GIA 400 – Cours 1 23

Projets d'ingProjets d'ingéénierie nierie àà grande grande ééchelle: Dchelle: Dééveloppement du CRveloppement du CR--700/900700/900

(600 $)

(400 $)

(200 $)

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200 $

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600 $

0 5 10 15 20

Années

Cas

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(M $

)

Investissement total sur 4 ans: 450 M$

Flux monétaire cumulatif neutre après 10 ans(300 appareils doivent être vendus pour récupérer l'investissement)

Début deslivraisons

24GIA 400 – Cours 1 24

Exemple de Direct TV (p.21)Exemple de Direct TV (p.21)

Nouvelle technologie3 millions d'abonnés nécessaires pour atteindre le seuil de rentabilitéPrévoit atteindre 10 millions d'abonnés après 5 ans.Investissement initial énorme: satellites, publicité, systèmes de service à la clientèle, etc…Les investisseurs sont nerveux et sceptiques. Pourquoi?

Le problème n'est pas la technologie: ça marche!Le problème n'est pas de prévoir les coûts d'exploitation: c'est toujours la partie la plus facile!Le problème c'est la "ligne du haut" du modèle financier: les hypothèses de revenus.

Est-ce que suffisamment de consommateurs accepteront de payer 700$ en équipement et 60$ et plus par mois pour un système qui ne se raccorde qu'à un seul appareil? Ou 900$ pour un système qui peut se raccorder à deux appareils?

13

25GIA 400 – Cours 1 25

Comment estimer la ligne du haut?Comment estimer la ligne du haut?

Sources primaires d'information:"Focus Group" auprès de clients potentiels:

Utilisateurs de l'ancienne technologie satelliteAbonnés au câbleConsommateurs de région rurales (câble non-disponible)Quels sont les besoins actuels insatisfaits?Présentation du concept et de la grille de tarifs

Sources secondaires:Combien d'abonnés à l'ancienne technologie?Combien d'abonnés au câble?Combien de personnes vivent dans des zones où le câble n'est pas disponible et ont des revenus suffisants pour se payer le service? Hypothèses de pénétration: pessimiste, réaliste, optimiste

A Wrong Assumption is the mother off all f -ups!

26GIA 400 – Cours 1 26

Incertitude des coIncertitude des coûûts:ts:Exemple du remplacement des transformateurs au BPC (pp.18Exemple du remplacement des transformateurs au BPC (pp.18--19)19)

Coût totalCoût d'acquisition 1 320 000 $ 720 000 $ 616 000 $Coût d'entretien sur 20 ans 264 000 $ 144 000 $ 440 000 $Perte d'efficacité 0 $ 0 $ ?

Sous-total 1 584 000 $ 864 000 $ 1 056 000 $Coût d'un accident

pondéré pour la probabilité 9 561 600 $Total 1 584 000 $ 10 425 600 $ 1 056 000 $

Nombre Probabilitéd'accidents marginale Total Pondéré

0 88 .75% - - 1 10 .58% 80 8.466 2 0 .63% 160 1.014 3 0 .03% 240 0.082 4 0 .00% 320 - 5 0 .00% 400 - 6 0 .00% 480 - 7 0 .00% 560 - 8 0 .00% 640 - 9 0 .00% 720 -

10 0 .00% 800 - 11 0 .00% 880 - 12 0 .00% 960 - 13 0 .00% 1 040 - 14 0 .00% 1 120 - 15 0 .00% 1 200 - 16 0 .00% 1 280 - 17 0 .00% 1 360 - 18 0 .00% 1 440 - 19 0 .00% 1 520 - 20 0 .00% 1 600 -

100 .00% 9.562

Coût (M $)

Simulation Monte-Carlo

Les analyses de rentabilité font souvent appel à des analyses de risque par simulation.(pas au programme de GIA 400!Chapître 13 du manuel)

Option 1 Option 2 Option 3Solution Remplacer Remplacer transfos Modifier tous

tous les transfos à l'extérieur seul. les transfosNombre de transfos à remplacer ou modifier 44 24 44Coût unitaire des transfos 30 000 $ 30 000 $ 14 000 $Coût d'entret ien annuel 300 $ 300 $ 500 $Probabilité d'accident BPC 0% 0.6% 0.0%Coût d'un nettoyage sans objet 80 M$ sans objetCoût total

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27GIA 400 – Cours 1 27

Les dLes déécisions stratcisions stratéégiques de nature giques de nature ééconomique en conomique en ingingéénierienierie

Engagent et définissent l'entreprise pour de nombreuses années:Choix d'équipements et de procédésRemplacement d'équipements désuetsFabrication de nouveaux produits, augmentation de la capacité de productionRéduction de coûts par l'automatisationAmélioration de la qualité, du serviceAcquisition d'une autre entreprise

Tous ces types de décision ont deux choses en commun:Ils demandent aux propriétaires de l'entreprise d'investir aujourd'hui pour récolter des bénéfices plus ou moins certains dans l'avenir. Ils demandent des investissements qui sont très souvent l'équivalent de plusieurs fois les bénéfices annuels futurs qu'ils pourront générer.

28GIA 400 – Cours 1 28

Analyse de rentabilitAnalyse de rentabilitéé de projets: Pourquoi?de projets: Pourquoi?

En tant qu'ingénieurs vous serez souvent appelés à présenter des propositions d'investissements qui engageront vos entreprises pour de nombreuses années.

Toutefois, les ressources financières de votre organisation seront la plupart du temps limitées. Elle sera forcée de choisir parmi plusieurs projets, en utilisant la plupart du temps le critère, omniprésent dans l'entreprise, de la rentabilité économique.

Vous devez donc apprendre comment présenter clairement et avec rigueur les aspects financiers de votre projet en utilisant le langage standardisé de la finance.

15

29GIA 400 – Cours 1 29

L'analyse de rentabilitL'analyse de rentabilitéé est un est un éélléément de culture ment de culture personnellepersonnelle

Financement d'achats importantsComparer des hypothèques ayant des termes différentsAchat vs location d'une automobile

Épargne et placements

Compréhension des marchés financiers et de l'économie, par exemple:

Pourquoi parle-t-on si souvent d'entreprises qui "déçoivent les attentes des investisseurs" pour expliquer les mouvements de la Bourse?Pourquoi la politique des taux d'intérêts de la Banque Centrale semblent-ils si importants pour l'économie?

Plusieurs des concepts de la finance moderne reposent sur des théories développées au départ pour étudier les jeux de hasard!

30GIA 400 – Cours 1 30

Qu'estQu'est--ce que l'analyse de rentabilitce que l'analyse de rentabilitéé de projet?de projet?

La rentabilité de projet est généralement définie par le rendement sur l'investissement. C'est une mesure universellement utilisée pour faire des choix entre différents projets et/ou l'option toujours possible de ne rien faire.

Une bonne analyse de rentabilité:Doit tenir compte des rentrées additionnelles nettes de fonds

Analyse coût-bénéficeDoit tenir compte de la répartition dans le temps de ces rentrées de fonds

100$ en main aujourd'hui vaut plus que 100$ à recevoir dans 5 ans.Doit tenir compte du niveau d'incertitude autour des prévisions de rentrées de fonds: i.e. le niveau de risque.

En général, plus l'incertitude autour du flux monétaire futur d'un projet est grande, plus la valeur actuelle de ce flux monétaire àrecevoir dans l'avenir diminue.200$ ou 0$ à recevoir dans 5 ans avec une probabilité respective de 50% vaut moins que 100$ à recevoir dans 5 ans avec une probabilitéde 100% et encore moins que 100$ en main aujourd'hui.

16

31GIA 400 – Cours 1 31

UN PETIT EXEMPLEUN PETIT EXEMPLE

On vous propose d'acheter une machine à contrôle numérique de 500 000$ qui permettra de réaliser les économies suivantes sur 5 ans, nettes des frais de financement et d'impôts. Quel est le taux de rendement espéré de cet investissement?

Année 0 1 2 3 4 5Coût de la machine à C.N. (500 000 $)Économie annuelles, nettes d'impôt 100 000 $ 150 000 $ 200 000 $ 200 000 $ 200 000 $Total des entrées (sorties) de fonds (500 000 $) 100 000 $ 150 000 $ 200 000 $ 200 000 $ 200 000 $

Convention:Les sorties de fonds sont des "entrées de fonds négatives". Dans le monde de la finance, les montants négatifs sont souvent montrés entre parenthèses.

Convention:Les montants sont généralement supposés être déboursés ou encaissés en fin de période. S'ils le sont en début de période, on les montre donc à la fin de la période précédente. Le point "0" représente donc la fin de l'année -1 et le début de l'année 1.

32GIA 400 – Cours 1 32

RENDEMENT: Les calculs naRENDEMENT: Les calculs naïïfs (et faux)fs (et faux)

Année 0 1 2 3 4 5 MoyenneÉconomie annuelles, nettes d'impôt 100 000 $ 150 000 $ 200 000 $ 200 000 $ 200 000 $ 170 000 $Rendement annuel sur l'investissment de 500 000$ 20.0% 30.0% 40.0% 40.0% 40.0% 34.0%

1. Rendement annuel moyen: 34.0%

2. Période de récupération de l'investissement: 3.25 années.

Entrées (sorties) de fonds cumultatives

(600 000 $)(400 000 $)(200 000 $)

0 $200 000 $400 000 $

0 1 2 3 4 5

Année

3.25 an

Année 0 1 2 3 4 5Entrées (sorties) de fonds cumulatives (500 000 $) (400 000 $) (250 000 $) (50 000 $) 150 000 $ 350 000 $

an%

%R

145

70%

ans 5sur 70$000 500$000 350

=⇒

==

17

33GIA 400 – Cours 1 33

RENDEMENT: Le bon calculRENDEMENT: Le bon calcul

Rendement annuel: 18.4%Au lieu d'acheter une machine de 500 000$, on pourrait reproduire exactementla même série de sorties et d'entrées de fonds en investissant ce montant en 5 tranches échéant respectivement à la fin des années 1 à 5 dans un titre financier rapportant 18.4% par année.

PreuveMontants investis

à 18 .4% p.a.Année 0 1 2 3 4 5T ranche No. 1 (84 477 $) 100 000 $T ranche No. 2 (107 046 $) 150 000 $T ranche No. 3 (120 573 $) 200 000 $T ranche No. 4 (101 857 $) 200 000 $T ranche No. 5 (86 046 $) 200 000 $T otal des entrées (sorties) de fonds (500 000 $) 100 000 $ 150 000 $ 200 000 $ 200 000 $ 200 000 $

Montants reçus avec intérêts

x (1+.184)2

x (1+.184)3

x (1+.184)4

x (1+.184)5

x (1+.184)1

Année 0 1 2 3 4 5C oût de la machine à C.N. (500 000 $)Économ ie annuelles, nettes d'im pôt 100 000 $ 150 000 $ 200 000 $ 200 000 $ 200 000 $T otal des entrées (sorties) de fonds (500 000 $) 100 000 $ 150 000 $ 200 000 $ 200 000 $ 200 000 $

Les deux séries de sorties et d'entrées de fondssont exactement les mêmes

34GIA 400 – Cours 1 34

Les dLes déécisions cisions àà court termecourt terme(i.e. sans investissement)(i.e. sans investissement)

18

35GIA 400 – Cours 1 35

DDéécisions cisions àà court termecourt terme

Aucun investissement n'est proposé, donc pas de "calculs de rendement sur l'investissement"Seuls les changements dans les coûts d'exploitation à court terme importentOn compare le coût du cas de référence: (i.e. le statu quo) à une ou plusieurs nouvelles solution. On retient l'option à moindre coût ou à plus grand bénéfice.Exemples:

Changements de méthode de productionEx: Matière première plus chère, mais permettant des économies de main d'oeuvre

Planification des opérations Ex: heures supplémentaires vs deuxième quart de travail

Production à l'interne vs sous-traitance

36GIA 400 – Cours 1 36

Rapports coRapports coûûtt--volume fondamentauxvolume fondamentaux

Indice de volume: unité de mesure utilisée pour définir le volumeExemples: unités, kilomètres, mètres carrés, litres, etc…

Coûts fixes ou coûts de capacité: coûts qui ne dépendent pas du volume, du moins à court-terme.

Exemples: loyer, assurances, etc…

Coûts variables: coûts qui sont directement liés au volumeExemples: matières premières, main d'oeuvre directe, etc…

Coûts semi-variables: coûts dont une partie est fixe et une partie est variable.

Exemples: électricité.$/mois (fixe) + $/kwh (variable)

19

37GIA 400 – Cours 1 37

Rapports coRapports coûûtt--volume fondamentauxvolume fondamentaux

FIXE

VARIABLE

SEMI-VARIABLE

Volume

Coût

0

38GIA 400 – Cours 1 38

Le coLe coûût totalt total

C = F + V x Qoù:

C: Coût totalF: Coûts fixesV: Coûts variables unitairesQ: Quantité

0 $

1 000 $

2 000 $

3 000 $

4 000 $

5 000 $

6 000 $

0 5000 10000 15000 20000 25000

Kilomètres par année

Coût

ann

uel t

otal

Fixe:2095$

Variable:0.16$/km

C = 2095 + 0.16 x Q

Coûts Fixes Coûts Variables($/année) $/km

Assurance 720 $Immatriculation 120 $Permis de conduire 55 $Essence, pneus, lubrification 0.10 $Entretien 0.02 $Dépréciation 1 200 $ 0.04 $(un coût semi-variable)Total 2 095 $ 0.16 $

Coûts d'utilisation d'une automobile (pp.30-33)

20

39GIA 400 – Cours 1 39

Le coLe coûût moyen unitairet moyen unitaire

0.00 $

0.10 $

0.20 $

0.30 $

0.40 $

0.50 $

0.60 $

0.70 $

0 5000 10000 15000 20000 25000

Kilomètres par année

Coût

moy

en p

ar k

m

Coût fixe moyen = 2095/Q

Coût total moyen = 2 095/Q + 0.16

Coût variable moyen = 0.16

$/km

Kilomètres 0 5 000 10 000 15 000 20 000 Coûts fixes 2 095 $ 2 095 $ 2 095 $ 2 095 $ 2 095 $Coûts variables 0 $ 800 $ 1 600 $ 2 400 $ 3 200 $Coût total 2 095 $ 2 895 $ 3 695 $ 4 495 $ 5 295 $

Coût fixe moyen 0.42 $ 0.21 $ 0.14 $ 0.10 $Coût variable moyen 0.16 $ 0.16 $ 0.16 $ 0.16 $Coût moyen ($/km) 0.58 $ 0.37 $ 0.30 $ 0.26 $

VQFC

QVQF

QCC

+=

×+==

C: Coût moyenC: Coût totalF: Coûts fixesV: Coûts variables unitairesQ: Quantité

40GIA 400 – Cours 1 40

0 $

2 000 $

4 000 $

6 000 $

8 000 $

10 000 $

12 000 $

- 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000

Quantité

Notion de pointNotion de point--mortmortPoint-mort est le volume pour lequel les revenus sont égaux aux dépenses, donc pour lequel le profit est de 0.

mort-pointau Quantitéunitaire ventedePrix

Revenus

si

=

−=⇒

+=⇒=+=

=

PM

PM

Q:P:R

)VP(FQ

VQFPQCRVQFC

PQR

QPM

Revenus

Coûts totauxPoint-mort

Exemple:P= 1.00 $/unitéF= 3000$V= 0.50 $/unitéQPM= 3 000/(1-0.5)=6 000

perte

profit

21

41GIA 400 – Cours 1 41

Effets d'utilisation de capacitEffets d'utilisation de capacitéé vs. vs. ééconomies d'conomies d'ééchellechelle

Ne pas confondre les deux!

Effet d'utilisationde capacité:même capacité,mais utilisationsdifférentes

Effet d'échelle:Même utilisation, mais capacités différentes

Scénario 1 Scénario 2 Scénario 3Capacité de l'usine (tonne) 100 000 100 000 500 000 Utilisation de la capacité 50% 90% 90%Production (tonnes) 50 000 90 000 450 000 Coûts variables ($/tonne) 25.00 $ 25.00 $ 25.00 $Coûts variable totaux 1 250 000 $ 2 250 000 $ 11 250 000 $

Coûts fixes 1 000 000 $ 1 000 000 $ 3 000 000 $

Coût total 2 250 000 $ 3 250 000 $ 14 250 000 $$/tonne 45.00 $ 36.11 $ 31.67 $

42GIA 400 – Cours 1 42

Effets d'apprentissageEffets d'apprentissageConfondre encore moins avec effets d'apprentissage!

Gains d'efficacité associés à l'expérience accumulée

x

xblogKY

KxY

blog

x

blogx

2

2

1

211 +

+=

= Yx: le nombre d'heures pour produire la xème unitéYx: le nombre d'heures moyen par unité pour produire les x

premières unitéK: le nombre d'heures pour produire la première unitéx: le numéro de série de l'unitéb: Le pourcentage d'apprentissage = le nombre d'heures pour

produire une unité à chaque fois que la production cumulative double, en %

X Coût1 100.00 $2 80.00 $4 64.00 $8 51.20 $16 40.96 $32 32.77 $64 26.21 $128 20.97 $256 16.78 $512 13.42 $1024 10.74 $

1 $

10 $

100 $

1 10 100 1000

Nombre cumulatif d'unités produites

Coût

uni

taire

de

la X

eme

unité

22

43GIA 400 – Cours 1 43

Le coLe coûût marginalt marginal

dQdCCm

=

CmCoût marginalC: Coût totalF: Coûts fixesV: Coûts variables unitairesQ: Quantité

Cas simple, le plus courant:

VdQdC

QVFC

Cm==

+=

� Le coût marginal est simplementle coût variable unitaire

(qui est constant quelque soit Q)

Définition: Le coût additionnel entraîné par la production de la n ième unité

44GIA 400 – Cours 1 44

Le coLe coûût marginalt marginalCas plus complexe: le coût variable change avec Q

Exemple: escomptes de volumeLe coût unitaire moyen d'un microprocesseur diminue de 5% avec l'achat d'une unité additionnelle:

Quantité achetée Coût unitaire(Q) V1 100.00 $2 95.00 $3 90.25 $4 85.74 $5 81.45 $6 77.38 $7 73.51 $8 69.83 $9 66.34 $10 63.02 $

11 )1( −−= QRQVC

CmCoût marginalC: Coût totalF: Coûts fixesV1: Coût de la première unitéR: Taux du rabais par unitéQ: Quantité

$99.56))05.1(ln(5.51()05.1($100C

))R1ln(Q1()R1(VdQdCC

15.5m

1Q1m

=−+−=

−+−==

−

−

5.5) à (interpolé unité 6ième la de marginal coût Le

23

45GIA 400 – Cours 1 45

Le coLe coûût marginal: Preuvet marginal: Preuve

Quantité achetée Coût unitaire(Q) V1 100.00 $2 95.00 $3 90.25 $4 85.74 $5 81.45 $6 77.38 $7 73.51 $8 69.83 $9 66.34 $

10 63.02 $

Coût totalC

100.00 $190.00 $270.75 $342.95 $407.25 $464.27 $514.56 $558.67 $597.08 $630.25 $

Coût marginalCm

100.00 $90.00 $80.75 $72.20 $64.30 $57.02 $50.30 $44.11 $38.41 $33.17 $

FormuleCm

99.97 $89.97 $80.72 $72.17 $64.28 $56.99 $50.27 $44.08 $38.39 $33.15 $

1Q1 )R1(VV −−=

))R1ln(Q1()R1(QVC 1Q1m −+−= −

46GIA 400 – Cours 1 46

Planification des opPlanification des opéérationsrations

Besoins additionnels de productionOption 1: heures supplémentaires

Le salaire horaire augmente sensiblementOption 2: quart de travail additionnel:

Prime de nuit moins chère que le tarif des heures supplémentairesMais: coûts fixes additionnels

OPTION 1 OPTION 2Besoins additionnels (unités) 4 000 4 000 Capacité additionnele (unités) 12 000 21 000

Coût Fixes additionnels 0 $ 13 500 $Coût variables 36.00 $ 31.50 $

Coût total additionnel 144 000 $ 139 500 $Coût moyen par unité 36.00 $ 34.88 $

Exemple Heures Supp. Vs 2eme quart de travail (pp. 36-38)

24

47GIA 400 – Cours 1 47

0 $20 000 $40 000 $60 000 $80 000 $

100 000 $120 000 $140 000 $160 000 $180 000 $200 000 $

0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000

Quantité additionnele

Coût

s ad

ditio

nnel

s

Option 1Option 2

Graphique de rentabilitGraphique de rentabilitééSeuil de rentabilité de l'option 2:3 000 unités

C1 = 0 + 36Q

C2 = 13 500$ + 31.5Q

Seuil de rentabilité:C1 = C2

36Q =13 500 + 31.5QQ = 13 500/(36-31.5)

Q= 3000

48GIA 400 – Cours 1 48

DDéécision Achat cision Achat –– Fabrication (SousFabrication (Sous--traitance)traitance)Probablement le type de décision le plus courantL'option de fabrication comporte presque toujours un "coût d'opportunité":

par exemple, les revenus qui pourraient être retirés d'une autre utilisation de l'espace occupé par la fabrication

Fabrication Achat d'un$/unité "Maison" sous-traitant

Quantité 20 000 20 000 Coûts variables

Matières premières 5.00$ 100 000$ -$ Main d'oeuvre directe 9.50$ 190 000$ -$ Électricité et eau 1.75$ 35 000$ -$ Filtres à essence 17.00$ -$ 340 000$

Coûts fixesChauffage et éclairage 20 000$ 20 000$ Dépréciation 100 000$ 100 000$ Revenu locatif -$ (35 000)$

Coût total 445 000$ 425 000$ Coût unitaire moyen 22.25$ 21.25$

Sans considérer le revenu locatif:

Coût total 445 000$ 460 000$ Coût unitaire moyen 22.25$ 23.00$

Exemple des filtres à ssences (pp. 38-39)

25

49GIA 400 – Cours 1 49

Exemple d'un plan d'affairesExemple d'un plan d'affaires

Partenair Inc.Avion en "kit"Investissement de 500 K$ pour lancer la production et la mise en marché

1

Cours 2Cours 2

Les Les éétats financiers tats financiers et leur analyseet leur analyse

GIA 400GIA 400Louis Parent, Louis Parent, inging., MBA., MBA


ContenuContenu

Généralités

États financiers

Le Bilan

L'état des résultats

L'état des flux de trésorerie ("Cash-flow")

Relations entre les états financiers

Points importants

Exemple global

Analyse des états financiers

Référence: Annexe A: A.1 à A.5

2


ObjectifsObjectifs

Se familiariser avec la préparation des états financiers.

Cela nous servira à présenter les projections financières d'un projet sous une forme universellement comprise (le "proforma").

Comprendre la différence entre le bénéfice net et le flux de trésorerie net.

Le flux de trésorerie (synonymes: flux monétaire, "cash flow") est le montant utilisé pour calculer la rentabilité d'un projet.


Pourquoi apprendre des notions de comptabilitPourquoi apprendre des notions de comptabilitéé àà de de futurs ingfuturs ingéénieurs?nieurs?

Un bon ingénieur + Un mauvais comptable =Un ingénieur ordinaire

Un mauvais ingénieur + Un bon comptable = Un mauvais ingénieur

Un bon ingénieur + Un bon comptable =Un excellent ingénieur + un excellent financier !

3


Année 0 1 2 3 4 5

État des résultatsProduits (Revenus) 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $Charges (Dépenses)

Main d'œuvre 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $Matières 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $Frais indirects 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $Intérêts (6 250 $) (5 226 $) (4 100 $) (2 861 $) (1 499 $)

Bénéfice imposable 47 500 $ 33 351 $ 41 788 $ 47 243 $ 50 566 $Impôts (40%) 19 000 $ 13 341 $ 16 715 $ 18 897 $ 20 226 $Bénéfice net 28 500 $ 20 011 $ 25 073 $ 28 346 $ 30 339 $

État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 28 500 $ 20 011 $ 25 073 $ 28 346 $ 30 339 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $

InvestissementAchat d'actif immobilisé (125 000 $)Disposition 50 000 $Effet fiscal de la disposition (9 796 $)Fonds de roulement (23 333 $) 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 23 333 $

FinancementEmprunt 62 500 $ 10 237 $ 11 261 $ 12 387 $ 13 626 $ 14 988 $

Flux monétaire net (85 833 $) 57 487 $ 63 147 $ 59 772 $ 57 590 $ 119 799 $

TRAM 15%PE 143 694 $TRI 67.6%

Pourquoi des notions de comptabilitPourquoi des notions de comptabilitéé en GIA 400?en GIA 400?La comptabilité établit le langage standard, universellement compris, des finances et de l'argent. Il faut bien parler ce langage pour obtenir les ressources financières nécessaires à la réalisation de projets.

Projet rentable


Origines de la comptabilitOrigines de la comptabilitéé modernemoderne

Vers la fin du 15e siècle, les marchands de Venise utilisaient déjà le système moderne. En 1494, Luca Pacioli, un collaborateur de Leonardo da Vinci, publie le premier traité qui codifie les principes de la comptabilitémoderne.

4


Des principes vieux de 500 ans et quelques essais Des principes vieux de 500 ans et quelques essais rréécents de les modifiercents de les modifier

Vincent Lacroix

Bernie Madoff

En comptabilité on ne peut cacher un mensonge

que par un autre mensonge…

…Jusqu'à ce que le château de cartes

finisse par s'écrouler!

Jeffrey Skilling


OpOpéérations comptablesrations comptables

Tenue des "livres".Enregistrement des transactions: Journal

Chaque transaction est entrée deux fois dans le Journal: un débit et un crédit

Classement des transactions par compte: Grand Livre

Préparation d'un résumé: les États Financiers.

Dans ce cours, nous passons directement à la préparation des états financiers, sans passer par les techniques de tenue de livres traditionnelles à double écriture qui rendent la préparation des états financiers une stricte question de méthode et de mécanique.

On s'en tiendra ici à une approche plus intuitive et algébrique.

5


Types d'opTypes d'opéérations financirations financièères rres réésumsuméées par les es par les éétats tats financiersfinanciers

ExploitationOpérations courantes:

Ventes, dépenses, impôts

InvestissementAcquisition de biens durables, dont la durée de vie dépasse la celle des opérations courantes

Immobilisations: bâtiments, machinerie & outillageActifs intangibles: brevets, droits de distribution, etc.…

FinancementObtention de ressources financières

Émission de capital-actionsEmprunts


Les 3 Les 3 éétats financiers de basetats financiers de base

t = 0 t = 1

Bilan au début (à t = 0)Actif Passif

• Encaisse• Autres

biens que la sociétépossède

• Les dettes de la société

Capitaux propres• L’investisse-

ment des actionnaires

Bilan à la fin (à t =1)Actif Passif






État des résultats (de t=0 à t=1)Le bénéfice comptable de la période =

Revenus – dépenses d’exploitation – amortissements – intérêts – impôts

État des flux de trésorerie de (t=0 à t=1)

Le flux monétaire (FM) de la période =Bénéfice comptable + amortissements +/– var. fonds de roulement

– Investissement +/– Financement

En général: Bénéfice

comptable

=Flux

monétaire

Actif = Passif + Capitaux propres Actif = Passif + Capitaux propres

Exercice financier

6


Information donnInformation donnéée par les e par les éétats financierstats financiers

Début de l'exercice financier

Fin de l'exercice financier

Combien d'argent (cash) la Cie a-t-elle générée et dépensée durant cet exercice?

État des flux de trésorerie

Quelle est la position financière de la Cie à la fin de l'exercice? Bilan final

Quelle est la position financière de la Cie au début de l'exercice? Bilan initial

Combien de bénéfices (profit) la Cie a-t-elle fait durant cet exercice financier?

État des résultats

Exer

cice

fina

ncie

r


ÉÉtat des rtat des réésultats (ER)sultats (ER)

Résume les activités d'exploitation

Couvre une période, nommée exercice financier

Est une image dynamique

Produits d'exploitations(Revenus)

VentesCharges d'exploitation(Dépenses)

Coût des ventesFrais générauxFrais financiers (intérêts)Impôts

Produits – Charges = Bénéfices

7


La comptabilitLa comptabilitéé dd’’exercice: Revenus et dexercice: Revenus et déépenses penses àà ll’’ERER

On comptabilise les revenus gagnés au cours de l’exercice, même si les clients n’ont pas encore payé leur facture à la fin de l’exercice

On comptabilise les dépenses engagées au cours de l’exercice, même si elles ne sont pas encore payées à la fin de l’exercice. Par exemple:

Factures impayés dues à des fournisseursIntérêts courus sur les emprunts, même si non encore payésSalaires courus mais non payés parce que la date de fin de la dernière période de paye ne correspond pas à la date de fin de l’exercice financier.


La comptabilitLa comptabilitéé dd’’exercice: Revenus et dexercice: Revenus et déépenses penses àà ll’’ER (suite)ER (suite)

On ne comptabilise pas comme revenus ou dépenses de l’exercice:

Les revenus perçus d’avance en regard de biens ou de service àlivrer après la fin de l’année financière (ex: abonnements)Les frais payés d’avance pour des biens ou services à recevoir après la fin de l’année financières (ex: primes d’assurance)Les dépenses engagées pour produire des biens qui, à la fin de l’exercice financier ne sont pas encore vendus (i.e. sont encore en inventaire)

Les investissements comme l’achat de biens dont la vie utile excède la fin de l’exercice ne sont pas des dépenses. Dans ce cas seule une partie de la valeur est considérée comme ayant étéépuisée au cours de l’exercice: c'est l’amortissement.Les opérations de financement comme l’émission d’actions, les dividendes, les emprunts et remboursements du capital sur les dettes ne sont ni des revenus ni des dépenses (mais les intérêts sont comptabilisés comme une dépense!).

8


ÉÉtat des flux de trtat des flux de tréésorerie (EFT)sorerie (EFT)

Résume la variation des liquidités (encaisse)

Couvre une période, nommée exercice financier

Est une image dynamique

Sources de fondsBénéfices netsVar. d'autres éléments d'exploitation qui ont un incidence sur les liquiditéÉmission de capital-actionsEmprunts

Utilisation de fondsAcquisition d'immobilisationsRemboursements de detteDividendes

Sources – Utilisations = Variation de l'encaisse

Réconcilie les revenus et dépenses d’exercice avec la variation de l’argent en banque


Le bilanLe bilan

Résume la situation financière

Est une image statique à la fin de l'exercice financier

Ce qu'elle possède (actif)EncaisseComptes à recevoirInventairesImmobilisationsAutres actifs

Ce qu'elle doit (passif)Aux fournisseursAux prêteursÀ d'autres

Ce que les actionnaires possèdent (capitaux propres)

Capital-actions investiBénéfices non-répartis

Actif = Passif + Capitaux Propres

9


SOMMAIRE DES SOMMAIRE DES ÉÉQUATIONS FONDAMENTALESQUATIONS FONDAMENTALES

BilanACTIF = PASSIF + CAPITAUX PROPRES

État des résultatsPRODUITS – CHARGES = BÉNÉFICES

État des flux de trésorerieSOURCES DE FONDS – UTILISATIONS DE FONDS =

VARIATION DE L'ENCAISSE

À ces équations s'ajoutent des équations de lien entre les états financiers


Flux monFlux monéétaire et encaissetaire et encaisse

10


La structure du bilanLa structure du bilan

Total des capitaux propres

Capitaux propresCapital-actionsBénéfices non répartis

Total du passif +Total des capitaux propresTotal de l’actif

Total du passif

PassifPassif à court terme (moins d’un an)

Avances bancairesComptes fournisseursCharges à payerTranche à court terme de la dette àlong terme

Passif à long terme (plus d’un an)Dette à long terme

ActifActif à court terme (moins d’un an)

EncaisseTitres négociablesComptes clientsStocks (Inventaires)

Matières premières, produits finis, travaux en cours

Frais payés d’avanceActif à long terme (plus d’un an)

Immobilisations (bâtiments, équipements)Actifs incorporels (intangibles)Autres actifsNets des amortissements accumulés.

=

Bilan de XYZ Inc.À une date précise


PrPrééparation dparation d’’un bilan: Exempleun bilan: Exemple

Au 31 décembre 2008, les soldes des comptes de bilan au grand livre de la société "Les fabrication métalliques Griffintown" étaient les suivants:

Préparer le bilan au 31 décembre 2008

Compte SoldeAmortissements accumulé 40 000 $Bénéfices non répartis 65 000Capital-action 200 000Comptes clients 80 000Comptes fournisseurs 50 000Dette à long terme totale 200 000Encaisse 40 000Immobilisations 400 000Impôts à payer 15 000Stocks 50 000

11


PrPrééparation d'un bilan: Exempleparation d'un bilan: ExempleFabrications métalliques Griffintown Inc.Bilan aux 31 décembre 2008

ActifActif à court terme

Encaisse 40 000 $Comptes clients 80 000Stocks 50 000

Actif à court terme 170 000Immobilisations 400 000

Amortissments accumulés (40 000)Immobilisations nettes 360 000Actif total 530 000 $

PassifPassif à court terme

Comptes fournisseurs 50 000 $Impôts à payer 15 000

Passif à court terme 65 000Dette à long terme 200 000Passif total 265 000Capitaux propres

Capital actions 200 000Bénéfices nons-répartis 65 000

Capitaux propres totaux 265 000Total du passif et des capitaux propres 530 000 $


ÉÉvaluation des valuation des ééllééments dments d’’actifsactifs

Équation générale:

exercicel' de coursau :initial:final :

____

eif

retraitsajoutsbilanauValeurbilanauValeur eeif −+=

12


ÉÉvaluation des comptes clientsvaluation des comptes clients

douteuses créancespour provisions :exercicel' de coursau crédit à venteslessur reçus Paiements

exercicel' de coursau crédit à Ventes:initiaux clients Comptes:

finaux clients Comptes:

provisions:P

VCC

CC

provisionsPVCCCC

e

e

i

f

eeif −−+=


ÉÉvaluation des immobilisationsvaluation des immobilisations

Sont inclus dans les immobilisations:Les terrainsLes immeubles Les équipements

exercicel' de coursau ent amortissem :exercicel' dedébut au accumulés entsAmortissem

exercicel' defin la à accumulés entsAmortissemexercicel' de coursau simmobilisé actifsd' ventesexercicel' de coursau simmobilisé actifsd' achats:

simmobilisé actifs des $en initiale brutevaleur :

simmobilisé actifs des $en finale brutevaleur :

e

e

e

i

f

D

VAI

I

=

=

+=

−+=

i

f

eif

eeif

Acc_Am

Acc_Am:AI

AIbrutes_MM

brutes_MM

DAcc_AmAcc_Am

VAIAAIIMM_brutesbrutes_IMM

13


ÉÉvaluation des immobilisations (suite)valuation des immobilisations (suite)

Définition de l’amortissement:Partie de la valeur d’une immobilisation ayant une vie utile de plusieurs exercices financiers qui est considérée comme ayant étéutilisée au cours d’un exercice donné.

L’immobilisation nette est la valeur de l’immobilisation compte tenue de sa perte de valeur dans le temps

Acc_AmIMM_brutesnettes_IMM −=


Calcul de lCalcul de l’’amortissementamortissement

Il existe plusieurs méthodes reconnues pour calculer l’amortissementOn se limitera pour l’instant à l’amortissement linéaire:

Perte de valeur constante à chaque année.

années)en ement (habituell économique viela de durée :)résiduelle valeur appelée (aussi

économique viela defin la àon récupérati de valeur :nacquisitiod'Coût :

entamortisseml' demontant :

N

SCA

NSCAD

D

−=

14


0 1 2 3 4 5Année

Vale

ur a

mor

tie ($

)

Amortissement linAmortissement linééaire: Illustration graphiqueaire: Illustration graphique

S

CA

N

D1

NSCAD

D

−=

==

amortie valeur de courbe la de pente la

ntamortissmel'


ÉÉvaluation des stocksvaluation des stocks

Évaluation par inventaire:Décompte physique quelques fois par année

Équation de gestion des stocks:

exercicel' de coursau ventesdes coûts:exercicel' de coursau production de coûts :

initialstock :

finalstock :

e

e

i

f

eeif

CVCPS

S

CVCPSS −+=

15


SchSchééma de l'ma de l'éévaluation des stocksvaluation des stocks

Coûts de production

+Stocks si les

ventes sont nulles

=

Stocks si les ventes sont nulles Coûts des ventes

- =

Stock final

Stock initial


ÉÉvaluation des valuation des ééllééments de passifsments de passifs

Même équation générale:

exercicel' de coursau :initial:final :

____

eif

retraitsajoutsbilanauValeurbilanauValeur eeif −+=

16


ÉÉvaluation des comptes fournisseursvaluation des comptes fournisseurs

exercicel' de coursau crédit à achats lessur effectués Paiementsexercicel' de coursau crédit à Achats:

initiaux rsfournisseu Comptes:

finaux rsfournisseu Comptes:

:PACC

CF

PACFCF

e

e

i

f

eeif −+=


LES CAPITAUX PROPRES AU BILANLES CAPITAUX PROPRES AU BILAN

Capital-actions (ou souscrit)Actions ordinaires:

Droit de vote aux assembléesParticipation aux bénéfices (i.e. versement de dividendes) à la discrétion du conseil d'administration

Actions privilégiées:Sans droit de votes, dividende fixe, déterminé d'avanceForme de financement de plus en plus rare car les dividendes ne sont pas déductibles d'impôt pour l'entrepriseLa dette sans lien sur l'actif est aujourd'hui utilisée davantage.

Bénéfices non-répartisBénéfices accumulés, laissés dans l'entreprise par les actionnaires pour la financerCe n'est pas gratuit! Doit produire un rendement pour les actionnaires!

17


ÉÉvaluation des capitaux propresvaluation des capitaux propres

esactionnairaux payer) àou (payés déclarés Dividendes exercicel' de coursau impôts après net, Bénéfice:

initiaux répartisnon Bénéfices:

finaux répartisnon Bénéfices:

:dividendesNI

NRB

NRB

dividendesNIBNRBNR

e

e

i

f

eeif −+=

exercicel' de coursau ($) actionsd'Rachat exercicel' de coursau ($) actionsd' Émissions

initialaction Capital:

final actions Capital:

:Rachats:Émissions

CapAct

CapAct

RachatsÉmissionsCapActCapAct

e

e

i

f

eeif −+=

Capital-actions (ou souscrit)

Bénéfices non répartis


Exemple d'Exemple d'éétats financierstats financiers

Siège social: Longueuil, QC1 450 employésVentes de 337 M$ (2009)Trois secteurs d'activité:

Trains d'atterrissageAérostructuresComposantes de turbines à gaz

18


Bilans d'Bilans d'HHéérouxroux--DevtekDevtek: Actif: Actif

BILANS CONSOLIDÉSAux 31 mars 2009 et 2008 (en milliers de dollars canadiens)

2009 2008

ActifActif à court terme

Trésorerie et équivalents de trésorerie 39 759 $ 24 431 $

Comptes clients 52 190 44 887

Impôts à recevoir 5 630 5 415

Autres débiteurs 3 739 5 420 Stocks 95 647 86 625

Frais payés d’avance 2 011 1 458

Impôts futurs 11 172 9 142

Autres actifs à court terme - 9 235

210 148 186 613 Immobilisations corporelles, moins amortissements accumulés 155 481 124 596

Actifs incorporels, moins amortissements accumulés 11 190 5 787

Autres actifs 362 3 646

Écart d’acquisition 39 993 35 812 Total de l'actif 417 174 $ 356 454 $


Bilans d'Bilans d'HHéérouxroux--DevtekDevtek: Passif et capitaux propres: Passif et capitaux propresBILANS CONSOLIDÉSAux 31 mars 2009 et 2008 (en milliers de dollars canadiens)

2009 2008

Passif et capitaux propresPassif à court terme

Comptes fournisseurs et charges à payer 83 575 $ 68 117 $

Comptes fournisseurs - autres 18 559 2 860

Impôts à payer 3 241 2 349

Impôts futurs 3 568 6 680 Tranche à court terme de la dette à long terme 4 221 5 011

113 164 85 017

Dette à long terme 83 047 72 242

Autres passifs à long terme 15 982 8 564

Impôts futurs 8 490 9 853 Total du passif 220 683 175 676

Capitaux propresCapital-actions 102 822 104 260

Surplus d’apport 1 375 1 115

Cumul des autres éléments du résultat étendu (12 124) (9 932) Bénéfices non répartis 104 418 85 335

Total des capitaux propres 196 491 180 778

Total du passif et capitaux propres 417 174 $ 356 454 $

19


Structure de l'Structure de l'éétat des rtat des réésultats (ER)sultats (ER)

État des résultats de XYZ Inc.Pour une période donnée

- Charges (ou coûts des ventes)

= Bénéfice avant impôts (BAI)- Impôts= Bénéfice net (NI)

- Intérêts= Bénéfice d'exploitation (BAII)- Frais généraux

= Bénéfice brut

Produits nets


Calcul des produits netsCalcul des produits nets

Ce sont les produits nets qui apparaissent à l'état des résultatsLes produits nets ne comprennent jamais les taxes (i.e. TPS & TVQ)

- rabais- retours- escomptes- taxes = Produits nets

Ventes brutes

20


Calcul des charges (oCalcul des charges (oùù cocoûût des ventes)t des ventes)

Par détermination directe (la somme des dépenses applicables à l'exercice)Par l'équation de gestion des stocks

exercicel' de coursau ventesdes coûtsexercicel' de coursau production de coûts :

initialstock :

finalstock :

:CVCPS

S

SCPSCV

CVCPSS

e

e

i

f

feie

eeif

−+=⇒

−+=

L'achat d'actifs immobilisésn'est pas une dépense d'exploitation!!!


Calcul des frais gCalcul des frais géénnééraux de l'ERraux de l'ER

+ Amortissements de non-fabrication

+ Frais d'administration(salaires du personnel administratif, loyer des bureaux, honoraires professionnels, télécommunications, etc…)

= Frais généraux

+ Frais de commercialisation(salaires du personnel de ventes et de marketing, commissions, publicité, expositions, etc..)

21


Calcul des frais financiersCalcul des frais financiers

période la à appliquants'intérêt d' taux :exercicel' dedébut au capitalou dette la deMontant :

exercicel' de intérêtsd' dépenses :

rCapInt

rCapInt

i

e

ie ×=

Le remboursement de capitaln'est pas une dépense d'exploitation!!!


Exemple d'Exemple d'éétat des rtat des réésultats: sultats: HHéérouxroux--DevtekDevtek

Q: Si la Cie a fait 21 363 K$ de bénéfices en 2009, comment se fait-il que l'encaisse au bilan n'ait augmenté que de 39 759 K$ – 24 431 K$ =15 328 K$ ???

ÉTAT DES RÉSULTATSPour les exercices terminés les 31 mars 2009 et 2008 (en millers de dollars canadiens)

2009 2008

Ventes 337 635 $ 307 882 $Coût des ventes

Coût des ventes, avant amortissements 260 610 244 717

Amortissements 20 106 16 518

280 716 261 235

Bénéfice brut 56 919 46 647 Frais de vente et d'administration 22 466 18 879

Bénéfice d'exploitation 34 453 27 768

Frais financiers, montant net 4 485 4 999

Bénéfice avant impôts sur les bénéfices 29 968 22 769

Impôt sur les bénéfices 8 605 3 750 Bénéfice net 21 363 $ 19 019 $

Bénéfice net par action 0.68 $ 0.60 $Nombre moyen d'action en circulation au cours de l'exrcice 31 583 173 31 609 638

22


L'L'ÉÉTAT DES FLUX DE TRTAT DES FLUX DE TRÉÉSORERIE (EFT)SORERIE (EFT)

ObjectifsCalculer la variation de l'encaisse entre le début et la fin de l'exerciceRéconcilier le montant des bénéfices net de l'exercice avec le montant de l'encaisse à la fin de l'exercice

La majeure partie des revenus et des dépenses ne sont pas réglées comptant.Certaines entrées ou sorties de fonds ne sont ni des dépenses, ni des revenus (par exemple: l'acquisition d'une machine et son amortissement subséquent)On ne calcule jamais la rentabilité d'un investissement à partir de ses bénéfices comptables, mais toujours à partir de ses flux de trésorerie.Une formule percutante pour s'en souvenir:

CASH IS KING!CASH IS KING!


Structure de l'Structure de l'éétat des flux de trtat des flux de tréésorerie (EFT)sorerie (EFT)État des flux de trésorerie de XYZ Inc.

Pour une période donnée

= Liquidités nettes provenant de l'exploitation

= Variation totale des liquidités+ Liquidités au début de l'exercice

= Liquidités à la fin de l'exercice

= Liquidités nettes provenant du (affectées au) financement

Activités de financement:+ Sources de liquidités- Utilisations de liquidités

= Liquidités nettes affectées à l'investissement

Activités d'investissement:+ Sources de liquidités- Utilisations de liquidités

Activités d'exploitation:+ Sources de liquidités- Utilisations de liquidités

+

+

23


Variation provenant des activitVariation provenant des activitéés d'exploitations d'exploitation

Bénéfice netAmortissements (ont enlevés du bénéfice net à l'ER, mais ne sont pas une dépense en argent comptant)Variation du fonds de roulement hors caisse

Fonds de roulement = Actif à court terme (excl. encaisse) –Passif à court termeDeux approches possibles de présentation:

1. Approche détaillée:Par la variation de chacun des éléments d'actif et de passifs à court terme liées à l'exploitation, excluant l'encaisse

2. Approche abrégée:Par la variation globale des éléments d'exploitation du fonds de roulement hors-caisse: Présentation plus succincte, mais beaucoup moins informative

++

+


DDééfinition du fonds de roulement et du fonds de roulement hors finition du fonds de roulement et du fonds de roulement hors caissecaisse

FDR = Actif CT – Passif CT

FDRhc= Actif CT (sans encaisse) – Passif CT

FDRhc = FDR − encaisse

Si ∆ FDRhc est positive Si ∆ FDRhc est négative

Utilisation de liquidités Source de liquidités

24


Variation provenant des activitVariation provenant des activitéés d'exploitation:s d'exploitation:Approche dApproche déétailltaillééee

= Liquidités provenant de l'exploitation

= Liquidités nettes provenant (affectées) à l'exploitation

= Liquidités affectées à l'exploitation

Utilisations de liquidités:+ Perte nette (si c'est le cas)+ Variations de chacun des actifs à court terme* ayant augmenté+ Variations de chacun des passifs à court terme ayant diminué

Sources de liquidités:+ Bénéfice net+ Amortissements+ Variations de chacun des actifs à court terme* ayant diminué+ Variations de chacun des passifs à court terme ayant augmenté

-

* autres que l'encaisse


Variation provenant des activitVariation provenant des activitéés d'exploitation:s d'exploitation:Approche abrApproche abrééggééee

= Liquidités provenant de l'exploitation

= Liquidités nettes provenant (affectées) à l'exploitation

= Liquidités affectées à l'exploitation

Utilisations de liquidités:+ Perte nette (si c'est le cas)+ Variation du fonds de roulement d'exploitation hors-caisse

(si celle-ci est positive)

Sources de liquidités:+ Bénéfice net+ Amortissements+ Variation du fonds de roulement d'exploitation hors-caisse

(si celle-ci est négative)

-

25


Variation provenant des activitVariation provenant des activitéés d'exploitation: Exemples d'exploitation: ExempleÉléments de l'état des résultatsBénéfice net de l'année 2009 32 200 $Amortissements de l'année 2009 18 000 $

Éléments à court termedu bilan 31 déc 2008 31 déc 2009Actif à court terme

Encaisse 40 000 $ 36 780 $Comptes clients 80 000 $ 105 000 $Stocks 50 000 $ 45 000 $

170 000 $ 186 780 $Passif à court terme

Comptes fournisseurs 50 000 $ 86 000 $Impôts à payer 15 000 $ 13 800 $

65 000 $ 99 800 $

Fonds de roulementActif à court terme 170 000 $ 186 780 $Moins: Passif à court terme (65 000 $) (99 800 $)Fonds de roulement 105 000 $ 86 980 $Moins: encaisse (40 000 $) (36 780 $)Fonds de roulement hors-caisse 65 000 $ 50 200 $

Approche abrégée

Approche détailléeVariation des liquidités provenant de l'exploitationSources de liquidités

Bénéfice net 32 200 $Amort issement 18 000 $Dim. des stocks 5 000 $Aug. des comptes fournisseurs 36 000 $

91 200 $Utilisations de liquidités

Aug. des comptes clients (25 000 $)Dim. des impôts à payer (1 200 $)

(26 200 $)Variation des liquidités provenantdes activités d'exploitation 65 000 $

Variation des liquidités provenant de l'exploitationSources de liquidités

Bénéfice net 32 200 $Amort issement 18 000 $Diminution du fonds de roulementhors-caisse 14 800 $

Variation des liquidités provenantdes activités d'exploitation 65 000 $

∆ FDRhc = 50 200$ − 65 000$ = (14 800$)

Diminution du FDRhc = Source de liquidités


Variation provenant des activitVariation provenant des activitéés d'investissements d'investissement

= Liquidités provenant de l'investissement

= Liquidités nettes provenant de (affectées à) l'investissement

= Liquidités affectées à l'investissement

Utilisations de liquidités:+ Achat d'actifs immobilisés+ Placements de fonds

Sources de liquidités:+ Ventes d'actifs immobilisés+ Récupération de fonds placés (i.e. vente de placements)

-

26


Variation provenant des activitVariation provenant des activitéés de financements de financement

= Liquidités provenant du financement


= Liquidités affectées à l'investissement

Utilisations de liquidités:+ Remboursement de capital sur les emprunts+ Paiement de dividendes aux actionnaires+ Rachat d'actions des actionnaires (plus rare)

Sources de liquidités:+ Nouveaux emprunts+ Émission de nouvelles actions

-


Exemple d'EFT: Exemple d'EFT: HHéérouxroux--DevtekDevtekÉTAT DES FLUX DE TRÉSORIEPour les exercices terminés les 31 mars 2009 et 2008 (en millers de dollars canadiens)

2009 2008

Trésorerie et équivalents de trésorerie liés à ce qui suit :Activités d’exploitationBénéfice net 21 363 $ 19 019 $

Éléments n’affectant pas les liquidités :

Amortissement 20 106 16 518

Impôts futurs 4 770 1 622 Gain sur remise de dette - (1 251)

Perte liée à la vente d’immobilisations corporelles 18 78

Amortissement des frais de financement reportés 168 183

Amortissement de la perte nette reportée liée à

un intrument financier dérivé - 51 Désactualisation de l’obligation liée à la mise hors service -

d’immobilisations et des prêts sans intérêts 1 357 947

Charge au titre de la rémunération à base d’actions 260 681

Fonds autogénérés des activités d’exploitation 48 042 37 848

Variation nette des éléments hors caissedu fonds de roulement liés à l’exploitation (2 783) (14 780)

Flux de trésorerie d’exploitation 45 259 23 068

Approcheabrégée

27


Exemple d'EFT: Exemple d'EFT: HHéérouxroux--DevtekDevtek (suite)(suite)

ÉTAT DES FLUX DE TRÉSORIEPour les exercices terminés les 31 mars 2009 et 2008 (en millers de dollars canadiens)

2009 2008

Trésorerie et équivalents de trésorerie liés à ce qui suit :Activités d’investissementAcquisition d’immobilisations (23 489) (26 773)

Acquisition d’actifs incorporels à durée de vie limitée (3 721) (321)

Produit de la vente d’immobilisations 18 291

Flux de trésorerie d’investissement (27 192) (26 803) Activités de financementAugmentation de la dette à long terme 8 268 15 621

Remboursement de la dette à long terme (15 387) (8 990)

Rachat d’actions ordinaires (2 099) -

Émission d’actions ordinaires 321 640 Autres 273 (743)

Flux de trésorerie de financement (8 624) 6 528

Incidence des variations des taux de change sur la trésorie et les équ. 5 885 1 514

Variation de la trésorerie et des équivalents au cours de l'exercice 15 328 4 307 Trésorerie et équivalents de trésorerie au début de l’exercice 24 431 20 124

Trésorerie et équivalents de trésorerie à la fin de l’exercice 39 759 $ 24 431 $

Montant d'encaisse reporté au bilan


Exemple d'EFT: Exemple d'EFT: HHéérouxroux--DevtekDevtek (suite)(suite)

Variation du fonds de roulement: Approche détaillée2009 2008

Comptes clients (7 303) $ 1 963 $

Impôts à recevoir (215) (2 892) Autres débiteurs 1 681 (755)

Stocks (14 504) 10 749

Frais payés d’avance (553) (484)

Autres actifs à court terme 2 511 (488)

Comptes fournisseurs et charges à payer et autres passifs 7 152 (20 218) Comptes fournisseurs – autres 1 391 (1 391)

Impôts à payer 1 821 2 349

Incidence des fluctuations du taux de change 5 236 (3 703)

(2 783) $ (14 870) $

28


Relations mathRelations mathéématiques entre les matiques entre les éétats financierstats financiers

Le bénéfice net (NI) de l'ER est une source de fonds dans la section des activités d'exploitation de l'EFT.

Le bénéfice net (NI) de l'ER sert au calcul des BNRf du bilan à la fin de l'exercice financier.

BNRf= BNRi + NIe - Dividendese

La variation de l'encaisse de l'EFT sert au calcul de l'encaisse du bilan de la fin de l'exercice financier

Encaissef= Encaissei + Variation de l'exercice


Relation entre les Relation entre les éétats financiers: Schtats financiers: Schéémama

ER

EFT Bilan

NI affecte leBNR

NI affectela variation de

l'encaisse

Encaisse

29


Relation mathRelation mathéématique entre les matique entre les éétats financierstats financiers

État des résultats de XYZ Inc.Pour une période donnée

- Charges (ou coûts des ventes)

= Bénéfice avant impôts (BAI)- Impôts

= Bénéfice net (NI)

- Intérêts= Bénéfice d'exploitation - Frais généraux

= Bénéfice brut

Produits nets- Charges (ou coûts des ventes)

= Bénéfice avant impôts (BAI)- Impôts

= Bénéfice net (NI)

- Intérêts= Bénéfice d'exploitation - Frais généraux

= Bénéfice brut

Produits nets




Total du passif





EncaisseTitres négociablesComptes clientsStocks (Inventaires)Frais payés d’avance

Actif à long terme (plus d’un an)ImmobilisationsActifs incorporels (intangibles)Autres actifs




Total du passif





EncaisseTitres négociablesComptes clientsStocks (Inventaires)Frais payés d’avance

Actif à long terme (plus d’un an)ImmobilisationsActifs incorporels (intangibles)Autres actifs

=

Bilan de XYZ Inc.À une date précise

État des flux de trésorerie de XYZ Inc.Pour une période donnée

















Il faut que cela balance à la cenne!


Points importantsPoints importantsER

Couvre les activités au cours d'un exerciceNe tient pas compte du paiement des opérations

EFTTient compte du paiement des opérationsAnalyse de la variation des différents postes du bilan au cours de l'exercice

BilanRésume la situation financière à la fin de l'exerciceBasé sur le bilan au début de l'exercice et les résumés des opérations fournis par les deux autres états financiers

Bi Bf

ER EFT

Exercice financier

30


Exemple de prExemple de prééparation dparation d’’un ER, dun ER, d’’un EFT et du bilan finalun EFT et du bilan final

Fabrications métalliques Griffintown Inc.Sommaire des opérations financières pour l'année terminée le 31 décembre 2009

Ventes (toutes à crédit) 1 000 000 $Paiements reçus des clients 975 000Achat de matières premières (toutes à crédit) 250 000Main d'œuvre de fabrication 330 000Frais généraux de fabrication* 135 000Frais de vente et d'administration 200 000Paiements faits aux fournisseurs 214 000Paiements des impôt de 2008 15 000Achat d'équipement le 1er janvier 2009 ** 50 000Émission de capital actions 25 000Amortissements de l'équipement existant 10 000

* Comprend le loyer, l'électricité, les taxes et les assurances** Valeur résiduelle: 10 000$; Vie utile: 5 ans

Autres informationsStock de matières premières le 31 déc. 2009 45 000Taux d'impôt pour l'année 2009 30%Dividendes payés (% du bénéfice net de 2009) 10%La dette à long terme est remboursable en 5 paiements annuels égauxde 40 000$, dûs le 31 décembre de chaque année, plus intérêts à 8%


Exemple de prExemple de prééparation dparation d’’un ER, dun ER, d’’un EFT et du bilan finalun EFT et du bilan final

Les calculs préliminaires

Note: l'amortissement de l'année est souvent inclus au coût des ventes

Calcul 1: Coûts des ventes

Stocks au début 50 000Plus: Achats de MP 250 000Mons: Stock à la fin (45 000)Coût de le matière première 255 000Main d'œuvre de fabrication 330 000Frais généraux de fabrication 135 000Coût des ventes 720 000

Calcul 2: Immobilisations et AmortissementsAmortissement Amortissement

cumulé Amortissement cumuléCoût au 31 déc. 08 année 2009 au 31 déc. 09

Équipement 400 000 40 000 10 000 50 000Équipement acheté en 2009 50 000 - 8 000 8 000Total 450 000 40 000 18 000 58 000

Amortissement du nouvel équipementCoût 50 000Moins: Valeur résiduelle (10 000)Montant amortissable 40 000Vie utile 5 ansAmortissement (linéaire) 8 000

31


Exemple de prExemple de prééparation dparation d’’un ER, dun ER, d’’un EFT et du bilan final (suite)un EFT et du bilan final (suite)

Les calculs préliminaires (suite)

Calcul 3: Dette à long terme

Année 2009Capital au début 200 000Moins: Remboursement de capital (40 000)Capital à la fin 160 000Intérêts de l'année(8% du capital au début de l'année) 16 000

Calcul 4: Comptes clients

Solde à la f in de 2008 80 000Plus: Ventes à crédit de 2009 1 000 000Moins: paiements reçus des clients (975 000)Solde à la fin de 2009 105 000

Calcul 5: Comptes fournisseurs

Solde à la f in de 2008 50 000Plus: Achats à crédit de 2009 250 000Moins: Paiements faits aux fournisseurs (214 000)Solde à la fin de 2009 86 000


Exemple de prExemple de prééparation dparation d’’un ER, dun ER, d’’un EFT et du bilan final (suite)un EFT et du bilan final (suite)

Fabrications métalliques Griffintown Inc.États des résultats pour l'année terminée le 31 décembre 2009

Produits 1 000 000 $Coûts des ventes 720 000Amortissement de l'équipement 18 000

738 000Marge brute 262 000Frais de vente et d'administration 200 000Bénéfice avant intérêts et impôts (BAII) 62 000Intérêts 16 000Bénéfice avant impôt (BAI) 46 000Impôts (30%) 13 800Bénéfice net 32 200 $

Fabrications métalliques Griffintown Inc.États des bénéfices non-répartis pour l'année terminée le 31 décembre 2009

Bénéfices non répartis au début de l'exercice 65 000 $Bénéfice net de l'exercice 32 200Moins: Dividendes payés (3 220)Bénéfices non répartis à la fin de l'exercice 93 980 $

32


Exemple de prExemple de prééparation dparation d’’un ER, dun ER, d’’un EFT et du bilan final (suite)un EFT et du bilan final (suite)Fabrications métalliques Griffintown Inc.États des flux de trésorerie pour l'année terminée le 31 décembre 2009

Activités d'exploitationSources de fonds:

Bénéfice net 32 200 $Amortissements 18 000Diminution des stocks 5 000Augmentation des comptes fournisseurs 36 000

Utilisations de fonds:Augmentation des comptes clients (25 000)Diminution des impôts à payer (1 200)

Fonds provenant de l'exploitation 65 000 $

Activités d'investissementUtilisations de fonds:

Achat d'équipement (50 000)Fonds utilisés dans l'investissement (50 000)

Activités de financementSources de fonds

Remboursement de capital sur la DLT (40 000)Paiement de dividendes (3 220)Émission de capital actions 25 000

Fonds utilisés dans les activités de financem (18 220)

Variation totale des liquidités (3 220)

Encaisse au début de l'exercice 40 000Encaisse à la fin de l'exercice 36 780 $


ActivitActivitéés d'exploitation: Approche abrs d'exploitation: Approche abrééggééee

Calcul 6: Fonds de roulement d'exploitation hors caisse

31 déc. 2008 31 déc. 2009Actifs à court terme

Encaisse - Comptes clients 80 000 105 000Stocks 50 000 45 000

Total 130 000 150 000Passifs à court terme

Comptes fournisseurs 50 000 86 000Impôts à payer 15 000 13 800

Total 65 000 99 800Fonds de roulement 65 000 50 200

Approche abrégéeActivités d'exploitationSources de fonds:

Bénéfice net 32 200 $Amortissements 18 000Diminution du FDR hors-caisse 14 800

Fonds provenant de l'explotation 65 000 $

33


Exemple de prExemple de prééparation dparation d’’un ER, dun ER, d’’un EFT et du bilan final (suite)un EFT et du bilan final (suite)Fabrications métalliques Griffintown Inc.Bilans aux 31 décembre 2008 et 2009

31 déc. 2008 31 déc. 2009ActifActif à court terme

Encaisse 40 000 $ 36 780 $Comptes clients 80 000 105 000Stocks 50 000 45 000

Actif à court terme 170 000 186 780Immobilisations 400 000 450 000

Amort issments accumulés (40 000) (58 000)Immobilisations nettes 360 000 392 000Actif total 530 000 $ 578 780 $

PassifPassif à court terme

Comptes fournisseurs 50 000 $ 86 000 $Impôts à payer 15 000 13 800

Passif à court terme 65 000 99 800Dette à long terme 200 000 160 000Passif total 265 000 259 800Capitaux propres

Capital actions 200 000 225 000Bénéfices nons-répartis 65 000 93 980

Capitaux propres totaux 265 000 318 980Total du passif et des capitaux propres 530 000 $ 578 780 $


Notions d'analyse financiNotions d'analyse financièèrere

Techniques d'analyse des états financiers pour en tirer des informations utiles à la prise de décision

Pour différents groupes: gestionnaires, actionnaires, créanciers

Basé sur l'étude de ratios qui rend possible:les comparaisons entre entreprises de différentes taillesl'analyse historique de la performance d'une entreprise donnée

34


CatCatéégories de mesures de performancegories de mesures de performance

Ratios de liquidité à court terme

Ratios de solvabilité à long terme ou ratios de levier financier

Ratios d'efficacité de gestion de l'actif

Ratios de rentabilité


Ratios de liquiditRatios de liquiditéés s àà court termecourt terme

Ratio du fonds roulement = Actif CTPassif CT

Ratio de liquidité = Actif CT – Stocks – Frais payés d'avancePassif CT

Ratio de liquidité immédiate = EncaissePassif CT

35


Ratios de viabilitRatios de viabilitéé àà long termelong terme

Ratio d'endettement = Passif total moyenActif total moyen

Ratio de levier financier = Actif total moyenCapitaux propres moyens

Ratio de couverture des intérêts = Bénéfice imposable + IntérêtsIntérêts

Multiple d'endettement = Dette totale (LT et CT)BAIIA**

* Dette totale = Dette à court terme + Dette à long terme** BAIIA: Bénéfice avant intérêts, impôts et amortissements


Ratios d'efficacitRatios d'efficacitéé de la gestion de l'actifde la gestion de l'actif

Rotation de l'actif = Produits (Ventes) Actif total moyen*

Rotation des comptes clients =

Rotation des stocks =

Rotation des immobilisations = Produits (Ventes)Immobilisations moyennes*

*moyenne = moyenne du début et de fin d'exercice

Produits (Ventes) Comptes clients moyens*

Coût des ventesStocks moyens*

Période de collectiondes comptes clients =

Comptes clients moyens*Produits (Ventes) X 365 jrs

Période de rotation des stocks = Stocks moyens*Coût des ventes

X 365 jrs

36


Analyse de rentabilitAnalyse de rentabilitéé: Rendements: Rendements

Rendement des capitaux propres =

Marge bénéficiaire nette =

*moyenne = moyenne du début et de fin d'exercice

Bénéfice net Capitaux propres moyens*

Bénéfice netProduits (Ventes)

Rendement de l'actif total = Bénéfice net Actif moyen*

Analyse de rentabilitAnalyse de rentabilitéé: Marges: MargesMarge Brute = Bénéfice brut

Ventes

Marge Bénéficiaire = Bénéfice net Ventes


RRéévision: Analyse financivision: Analyse financièèrere

Décomposition du rendement sur les capitaux propres:Le rendement sur les capitaux propres est le principal moteur de création de valeur pour une entreprise. Il est toujours intéressant de le décomposer pour en comprendre les sources opérationnelles et financières:

Bénéfice netCapitaux propres

Bénéfice netProduits

Produits Actif

Actif Capitaux propres

X =

Margebénéficiaire X Rotation de

l'actif X Levier = Rendement surles capitaux propres

Rendementsur ventes

Efficacité dela gestion de

l'actif

Gestion dela structurefinancière

Rentabilitépour les

actionnairesX X =

X Bénéfice netCapitaux propres


Produits Actif


X =



Rendementsur ventes


l'actif



actionnairesX X =

X

37


Exemples d'analyse de ratiosExemples d'analyse de ratios

(M $) 2003 2004 2005 2006 2007 2008Ventes 587 101 678 723 711 493 740 649 870 482 833 703 Bénéfice net (40 415) (5 901) 38 669 40 740 47 453 48 431 Capitaux propres 203 339 195 126 276 371 343 360 366 890 413 614 Capitaux propres moyens 199 233 235 749 309 866 355 125 390 252

Groupe Canam

2004 2005 2006 2007 2008 SecteurMarge bénéficiaire nette -0.9% 5.4% 5.5% 5.5% 5.8% 4.7%Rendement des capitaux propres moyens -3.0% 16.4% 13.1% 13.4% 12.4% 10.3%

Analyse historique

Analysecomparative


Exemple dExemple d’’analyse comparative: les donnanalyse comparative: les donnééeses

2008 2009 2008 2009Ventes 378 476 405 607 50 703 46 770Coût des ventes 286 350 306 158 36 638 34 118Intérêts 2 103 2 184 286 272Bénéfice imposable 20 198 20 898 1 452 184Bénéfice net 12 731 13 400 826 53Encaisse 5 569 7 227 1 622 1 287Stocks 35 159 34 511 9 963 8 795Actif à court terme total 48 020 48 949 12 802 11 416Immobilisations 97 017 95 653 8 863 8 091Actif total 163 514 163 429 27 397 25 342Passif à court terme total 58 478 55 390 9 562 8 512Dette totale 44 671 42 218 3 010 2 919Passif total 98 906 98 144 16 730 15 962Capitaux propres 64 608 65 285 10 667 9 380

Wall-Mart (M USD) Sears (M USD)

38


Exemple dExemple d’’analyse comparative: les ratiosanalyse comparative: les ratios

2008 2009 2008 2009Viabilité à court terme

Ratio du fonds de roulement 0.82 0.88 1.34 1.34Ratio de liquidité 0.22 0.26 0.30 0.31Ratio de liquidité immédiate 0.10 0.13 0.17 0.15

Viabilité à long termeRatio d'endettement 0.60 0.60 0.61 0.63 Levier financier 2.53 2.50 2.57 2.70 Couverture des intérêts 10.60 10.57 6.08 1.68

Efficacité de la gestionRotation de l'actif total 2.5 1.8Rotation des stocks 8.8 3.6Rotation des immobilisations 4.2 5.5

RendementsRendement de l'actif total 8.2% 0.2%Rendement des capitaux propres 20.6% 0.5%Marge bénéficiaire brute 24.3% 24.5% 27.7% 27.1%Marge bénéficiaire nette 3.4% 3.3% 1.6% 0.1%

Wall-Mart (M USD) Sears (M USD)


Exemples de dExemples de déécompositioncompositiondu rendement des capitaux propresdu rendement des capitaux propres

En date du 11 août 2010, dernière année financière complèteSource des donnée: Yahoo!Finance

en G USD Dell HP Apple Intel Cisco1 Ventes 52.9 114.6 42.9 35.1 36.1 2 Bénéfice net 1.4 7.7 8.2 4.4 6.1 3 Actif total moyen 30.1 114.1 43.5 51.9 63.4 4 Cap. Propres moyens 5.0 39.7 26.3 40.4 36.5 X Marge bénéficiaire (2/1) 2.71% 6.69% 19.19% 12.44% 16.98%X Rotation de l'actif total (1/3) 1.76 1.00 0.99 0.68 0.57 X Levier (3/4) 6.06 2.87 1.65 1.29 1.74 = Rendement des capitaux propres 28.9% 19.3% 31.3% 10.8% 16.8%

1

Cours 3Cours 3

LL’’intintéérêt et les formules rêt et les formules dd’é’équivalencequivalence



Un mot Un mot ccééllèèbrebre

« L’intérêt composé est la plus grande invention de l’humanité »

- Albert Einstein

« L'éducation est ce qu'il vous restera quandvous aurez oublié ce que vous avez appris à l'école »

2


Contenu des 3 prochains coursContenu des 3 prochains cours

Comprendre la notion d’intérêt

Comprendre la notion d’équivalence

Comprendre les méthodes de calcul de montants équivalents

Références:

Cours 3: AEI, 2.1 à 2.3.4;

Cours 4: AEI, 3.1 à 3.3; 3.5 et 3.6.1

Cours 5: AEI, 3.4, 2.3.5, 2.3.6


LL’’intintéérêtrêt

Définition de l’intérêtL’intérêt est le loyer de l’argent:

Le montant à payer pour l’usage d’un capital pendant une période donnée

Composantes de l’intérêt:Le coût d'opportunité pour le prêteur:

La compensation à payer au prêteur pour qu'il remette à plus tard ses propres dépenses de consommation ou qu’il cède le rendement qu'il pourrait obtenir en investissant dans ses propres projets.

Une prime pour l’inflation ou la dévaluation de la monnaie.S’il y a de l’inflation, le pouvoir d’achat de l’argent remboursé plus tard vaudra moins que celui de l’argent prêté aujourd’hui

Une prime de risque liée à la probabilité de défaut de l’emprunteurRisque que l’emprunteur soit incapable de rembourser les intérêts, le capital ou les deux.

3


DDéétermination des taux dtermination des taux d’’intintéérêtsrêts

En théorie: la loi de l’offre et de la demande pour l’argentL’offre: l’épargneLa demande: l’investissement

L'intérêt est le principal mécanisme d'autorégulation de l'activitééconomique.

$

%Taux d’intérêt

Épargne

Investissementiéquilibre


DDéétermination des taux dtermination des taux d’’intintéérêtsrêts

En pratique: l’État, par l’entremise de sa banque centrale, se substitue au libre-marché de l'argent:

La banque centrale manipule les taux d’intérêt et/ou la masse monétaire pour « stimuler » ou « refroidir la surchauffe » de l’économie.

L'intervention de l’État dans le marché de l'argent peut soulager l'économie et même aider la popularité des politiciens à court terme mais crée toujours des dommages sérieux à long terme.

Parmi les effets pernicieux de la création de monnaie à partir de rien ("ex-nihilo", "from thin air"):

InflationLa création de monnaie baisse la valeur de l'argent de papier alors encirculation et cause une montée des prix.

Bulles économiques:De bas taux d’intérêts encouragent la spéculation et les projets d’investissement dont la rentabilité et la durabilité à long terme est parfois plus que douteuse.

4


L'actif de la Banque Centrale US (L'actif de la Banque Centrale US (FederalFederal Reserve Bank)Reserve Bank)

20102008 2009-

500 000

1 000 000

1 500 000

2 000 000

2 500 000

1/3/

07

4/3/

07

7/3/

07

10/3

/07

1/3/

08

4/3/

08

7/3/

08

10/3

/08

1/3/

09

4/3/

09

7/3/

09

10/3

/09

1/3/

10

4/3/

10

7/3/

10

10/3

/10

Act

if de

la F

eder

al R

eser

ve(e

n m

illio

ns d

e $

US)

Hypoyhèques"subprime"

Autres Prêts CommerciauxPrêts aux banquesObligations à long-terme du gouver-nement US ("QE" )

Obligations à court-terme du gouvernement US

Or: Moins de 0.5%

Cet actif est ce qui garantit la valeur du passif de la "Fed", c'est-à-dire celle de l'argent en circulation


1971: Abandon de l'1971: Abandon de l'éétalontalon--or (Gold Standard)or (Gold Standard)

1967 1973

1/35 once d'or 1/1 500 once d'or (juillet 2011)

5


Cours mensuel moyen de lCours mensuel moyen de l’’oror

Abandon du lien entre le $ et l'or

Années 1970: taux d'inflation de 12% à 15%/année

Début de la crise des subprime

Crise financière de septembre 2008

Bullespéculative

Taux d'intérêtsPortés à 20% +

http://www.goldprice.org/gold-price-history.html#20_year_gold_price


Augmentations des prix de certaines denrAugmentations des prix de certaines denréées de base en 2010es de base en 2010

Coton + 102.5% Bœuf + 23.2%Fer + 80.2% Sucre + 22.9%Caoutchouc + 53.2% Soya + 21.5%Café + 46.3% Cuivre + 21.2%Huile de palme + 45.5% Saumon + 20.4%Maïs + 43.7% Pétrole + 20.0%Blé + 33.0% Orge + 18.8%Laine + 32.4% Cuir + 18.5%Charbon + 23.6% Arachides + 13.8%

Source: Fonds monétaire Internationalhttp://www.imf.org/external/np/res/commod/External_Data-120910.csv

Toutes ces augmentations seront tôt ou tard repassées aux consommateurs

Les taux d'intérêts maintenus très bas pour ne pas nuire à la "relance" de l'économie et la perte de confiance envers la valeur future du dollar américain, encouragent actuellement la spéculation sur les denrées de base.

6


L'essence L'essence àà un prix recordun prix record…… maximum ou minimum???maximum ou minimum???

En avril 2011 l'essence atteignit le niveau "record" de 1.45$/litre, soit presque 30 fois le prix le plus bas jamais enregistré qui fut d'environ 5¢/litre en 1931. En 1931, une pièce de 10¢achetait donc 2 litres d'essenceEn avril 2011, la valeur intrinsèque du métal contenu dans la pièce de 1931 était parvenu à 2.90$ (contre 7¢ à l'époque)La pièce de 1931 peut donc acheter en 2011: 2.90/1.45 = 2 litres d'essence, soit la même quantité qu'en 1931, alors que son prix était à son minimum historique.La contrefaçon légale de la monnaie par l'État est essentiellement responsable de la hausse du prix de l'essence!

Pièce de 10¢ de 1931• Pièces émises entre 1920 et 1967:• Poids: 2.33 g• Composition: 80% argent, 20% cuivre• Valeur intrinsèque du métal en 1931: 7¢• Valeur intrinsèque du métal en 2011: 2.90$

Pièce de 10¢ de 2011• Pièces émises depuis 2000• Poids: 1.75 g• Composition: 92% acier, 5.5% cuivre, 2.5%

nickel• Valeur intrinsèque du métal en 2011: 2¢


Le mot de la fin appartiendraLe mot de la fin appartiendra--tt--il il àà Thomas Jefferson?Thomas Jefferson?

“La question de savoir si la

circulation d'argent de

papier, plutôt que d'espèces

sonnantes, est un bienfait

ou une malédiction est

fort débattue...

Je pense qu'il s'agit là d'un

cas où la raison ne fera

jamais taire la clameur

mercantile, du moins

jusqu'à ce que la ruine

l'étouffe."

(1813)

Thomas Jefferson (1743-1826)3e président des États-Unis (1801-1809)

Principal auteur de la déclaration d'indépendance et fondateur de l'Université de

Virginie

7


Deux lectures chaudement recommandDeux lectures chaudement recommandéés pour s'initier s pour s'initier àà l'l'ééconomieconomie

Murray N. Rothbard,« The Mystery of Banking »

Version pdf gratuite ici:http://mises.org/Books/mysteryofbanking.pdf

Peter D. Schiff,(Un des seuls économistes

à avoir prédit en détail le crash de 2008)« How an Economy Grows

and why it Crashes »


Divers types de taux dDivers types de taux d’’intintéérêtsrêts

Taux du marché monétaire

1,87%Rendements d'obligations types du gouvernement canadien, à 3 ans

3,48%Rendements moyens des obligations négociables du gouvernement canadien, plus de 10 ans

Rendements des obligations

5,19%Prêts hypothécaires ordinaires à 5 ans

3,00%Taux de base des prêts aux entreprises (prime rate)

Taux d'intérêt

1,12%Acceptations bancaires à 1 mois

0,92%Bons du Trésor à 1 mois

1,07%Taux du papier commercial de premier choix à 1 mois

1,00% Taux directeur du financement à un jour

31/12/10Taux directeur de la Banque du Canada

Source: Banque du Canada

8


Taux dTaux d’’intintéérêt en fonction du temps (rêt en fonction du temps (ééchchééance) ance)

Source: Banque du Canada, en date du 31 décembre 2010

1 mois 0.92%3 mois 0.97%6 mois 1.13%1 an 1.37%2 ans 1.67%3 ans 1.87%5 ans 2.41%7 ans 2.70%10 ans 3.11%Long terme 3.52%


La courbe de rendement (La courbe de rendement (Yield CurveYield Curve))

y = 0.0117x0.3589

R2 = 0.9887

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%

3.0%

3.5%

4.0%

0 5 10 15 20 25

Années

Taux

ann

uel e

ffect

if

9


Les risques de dLes risques de dééfaut en fonction de la note de crfaut en fonction de la note de créédit (rating)dit (rating)

"Investment grade": AAA à BBB"Speculative grade" (i.e. "junk bonds"): BBB– à C

Rating 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15AAA - 0.0 0.1 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 0.9 0.9 1.0 1.1 AA+ - 0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 AA 0.0 0.0 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0 1.1 1.2 1.3 AA- 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.3 A+ 0.1 0.1 0.3 0.5 0.6 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.8 2.1 2.4 2.6 A 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.9 1.1 1.3 1.6 1.9 2.1 2.3 2.4 2.5 2.8 A- 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.1 1.5 1.8 2.0 2.2 2.3 2.5 2.7 2.8 2.9 BBB+ 0.2 0.5 0.8 1.1 1.5 2.0 2.3 2.7 3.1 3.4 3.8 4.0 4.3 4.8 5.3 BBB 0.2 0.6 0.9 1.4 1.9 2.4 2.9 3.3 3.9 4.4 5.0 5.5 6.0 6.2 6.5 BBB- 0.4 1.2 2.1 3.2 4.3 5.3 6.2 7.0 7.7 8.5 9.2 9.9 10.6 11.6 12.3 BB+ 0.6 1.5 2.8 4.1 5.3 6.5 7.6 8.4 9.5 10.5 11.2 12.0 12.6 13.1 14.0 BB 0.8 2.5 4.7 6.8 8.7 10.5 12.1 13.4 14.6 15.6 16.6 17.5 18.0 18.4 18.8 BB- 1.3 3.9 6.6 9.3 11.5 13.8 15.7 17.7 19.4 20.9 22.0 22.9 23.9 24.9 25.8 B+ 2.6 7.0 11.3 15.0 17.8 20.0 22.0 23.8 25.4 27.1 28.4 29.4 30.4 31.4 32.3 B 5.9 12.6 18.0 21.8 24.4 27.0 28.4 29.5 30.4 31.3 32.3 33.2 34.0 34.7 35.6 B- 9.1 17.2 23.1 27.1 30.0 31.8 33.6 34.7 35.5 36.1 36.7 37.3 37.6 37.9 38.5 CCC/C 27.4 36.8 42.1 45.2 47.6 48.7 49.7 50.6 51.9 52.9 53.7 54.6 55.7 56.6 56.6 Investment grade 0.1 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 2.9 3.2 3.4 3.6 3.8 Speculative grade 4.4 8.5 12.2 15.1 17.5 19.5 21.1 22.6 23.9 25.2 26.2 27.1 27.9 28.7 29.4 All rated 1.6 3.2 4.6 5.8 6.8 7.6 8.4 9.0 9.6 10.2 10.7 11.1 11.5 11.8 12.2 Source: S&P, 2010 Annual Global Corporate Default Study And Rating Transitions, Mars 2011

Années

Taux de défaut cumulatif depuis l'attribution de la note de crédit (%) (1981-2010)


Comment les agences attribuentComment les agences attribuent--ils les notes de crils les notes de créédit?dit?

Modèles quantitatifs, par exemple: le Score "Z" de Altman*

totalActifVentes

totalPassifpropresCapitaux

totalActifonexploitatid' Bénéfice

totalActifrépartisnon Bénéfices

totalActifroulement de Fonds

99804200107384707170

5

4

3

2

1

54321

=

=

=

=

=

++++=

X

X

X

X

X

X.X.X.X.X.Z

Jugement qualitatif des analystes sur les perspectives de rentabilité de l'entreprise

2.90

1.23

élevé

faible

moyen

Risquede défautZ

* Source: Altman, Edward I., Predicting Financial Distress of Companies: Revisiting the Z-Score and Zeta Models,New York University, July 2000, http://pages.stern.nyu.edu/~ealtman/Zscores.pdf

10


0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

0 5 10 15 20 25 30Terme (années)

Taux

d'in

térê

t

La structure des taux dLa structure des taux d’’intintéérêt en fonction du terme et du risque rêt en fonction du terme et du risque de dde dééfautfaut

Obligationdu Gouvernement

BBB

BB(«junk bond»)

Primes de risque

de défaut

« le spread »

Note

Inflation attendue

Droit d’usagesans risque

AAA


ÉÉllééments des transactions ments des transactions àà intintéérêtrêt

AnLe montant d'un flux monétaire régulier et constant A à la période n (une annuité)

FnLa valeur future d’un montant P, à la fin de la période n

InLe montant d’intérêt en $ de la période n

FLa valeur future d’un montant P, après N périodes

ILe montant d’intérêt total (entre 0 et N) en $

nLa position dans le temps où on se situe dans l’analyse(entre 0 et N)

NNombre total de paiements ou de périodes d’intérêt

iTaux d’intérêt périodique en %

PCapital initial ou valeur présente (au temps 0)

NotationÉlément

11


Les calculs dLes calculs d’’intintéérêtrêt

L’intérêt simpleL’ intérêt est calculé sur le capital initial seulementIl n’y a pas d’intérêt sur l’intérêt des périodes précédentes, même si on ne le retire pas.

NPiI ××=

)1()(

iNPFiPNPF

IPF

+=+=+=

La valeur future de P:


IntIntéérêt simple: Exemplerêt simple: Exemple

400$ 11.4 000$ 14)10%000$(1 1)1($4004%10000$ 1

:ou1400$ 400$ 000$ 1

$400$100%10$000 1$100%10$000 1$100%10$000 1$100%10$000 1

ans 4%10

$000 1

4

3

2

1

=×=×+=+==××==

=+=+==⇒

=×==×==×==×=

===

iNPFPiNI

IPFI

IIIINiP

12


Les calculs dLes calculs d’’intintéérêtrêt

L’intérêt composéL’intérêt est calculé sur le solde de la période précédente, comprenant capital et les intérêts accumulés, si ceux-ci n’ont pas été retirés.

)1)1(()1(

)1(

:généralEn etc. ...

)1)(1)(1()1()1)(1()1(

)1(

23

12

1

−+=−+=

−=+=

+++=+=++=+=

+=

NN

N

iPPiPI

PFIiPF

iiiPiFFiiPiFF

iPF


IntIntéérêt composrêt composéé: Exemple: Exemple

464$ 11.464 000$ 110%)000$(1 1)1(

464$1)-1.464( 000$ 1)1)%01((1 000$ 1)1)1((

:ou1464$ 464$ 000$ 1

$464$133%10$313 1$121%10$012 1$110%10$100 1$100%10$000 1

ans 4%10

$000 1

4

4

4

3

2

1

=×=+=+=

=×=−+=−+=

=+=+==⇒

=×==×==×==×=

===

N

N

iPF

iPI

IPFI

IIIINiP

13


Diagramme de flux monDiagramme de flux monéétairetaire

Conventions:+: Entrée d’argent–: Sortie d’argentLes flux monétaires sont toujours en fin de période

0 1 2 N

F

0$

+$

–$ P 3 …………..

nPériode

temps


Autre exempleAutre exemple

Dépôt (P) de 1000$ dans un placement à 8% par année pendant 10 ans.Quel montant (F) peut-on retirer à la fin de la 10eme année?

0

1 2 10

F = 1000$(1+.08)10

=2 159$

0

+

–P = 1 000$

N = 10i = 8%

3 4 5 6 7 8 9

14


Illustration (Exemple 2.2)Illustration (Exemple 2.2)

Achat de l’île de Manhattan en 1626 pour 24$.Combien cette somme vaudrait-elle à la fin de 2009 si elle avait été placée dans un compte portant intérêt à 8% par année?

$ 875 141 149 883 151 103284.6$24)08.1$(24)1(

composéIntérêt $75964.31$24)38308.1$(24)1(

:simpleIntérêt

années 383%8

$24

12383 =××=+=+=

=×=×+=+=

===

NiPF

NiPF

NiP

Plus de 151 trillions $, soit une augmentation de plus de 75 trillions $ au cours des 9 dernières années!


0 $

500 $

1 000 $

1 500 $

2 000 $

2 500 $

3 000 $

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Année (N )

Val

eur

Futu

re (F

)

Intérêt composéIntérêt simple

IntIntéérêt simple vs. intrêt simple vs. intéérêt composrêt composéé

P = 1 000$i = 10%

15


IntIntéérêt simple vs intrêt simple vs intéérêt composrêt composéé

Gain du à l’intérêt composé

[ ]

[ ][ ] $64064.$1000400.1464.1$000 1

)4%01((1)%01(1000$ 1

:deest gain le ans 4 après exemple, notre Dans)1()1(

)1)1((

:Gain)1)1((

:composéIntérêt

:simpleIntérêt

4

=×=−=×+−+=

+−+=

−−+=

−+=

=

∆I∆I

iNiP∆I

iPNiP∆I

iPI

iPNI

N

N

N


Notions dNotions d’é’équivalence quivalence ééconomiqueconomique

Deux flux monétaires sont économiquement équivalents si leur valeur économique actualisée au même moment dans le temps est égale.Si deux flux monétaires sont équivalents, un investisseur sera indifférent àla substitution d’un flux monétaire pour l’autre.

Équivalence = Indifférence

16


Diagramme de flux monDiagramme de flux monéétaire: taire: ÉÉquivalence et transactionquivalence et transaction

Équivalence Transaction

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

P = 100$F = 161.05$

À 10% d'intérêt composé par année, recevoir 161.05$ dans 5 ans est équivalent à recevoir

100$ aujourd'hui.Une ligne pointillée va signifier

une équivalence

À 10% d'intérêt composé par année, il faut investir 100$ aujourd'hui pour recevoir

161.05$ dans 5 ans.Une ligne pleine va signifier

une transaction

P = 100$

F = 161.05$

+- -

+

i = 10% i = 10%


Exemple 2.4: Un exemple simple dExemple 2.4: Un exemple simple d’é’équivalencequivalence

On vous propose de recevoir 3 000$ en fin de période dans 5 ans ou P $ maintenant. Vous avez la garantie de recevoir le montant de 3 000$ dans 5 ans (risque nul). Vous n'avez pas besoin des P $ maintenant et vous pourriez les déposer à un taux de 8%. Quel est le montant P $ vous rendrait indifférent entre recevoir P $ aujourd'hui et3 000$ à la fin d'une période de 5 ans.

$20424693.1

$3000)08.1($3000

)1(

)1(

5 %;8 $;3000

5 ==+

=

+=

+=

===

P

iFP

iPF

NiF

N

N

2 042$ maintenant est équivalent à 3 000$ dans 5 ans2 042$ maintenant est équivalent à 3 000$ dans 5 ans

0 1 2 3 4 5

P = 2 042$F = 3 000$

17


Les principes dLes principes d’é’équivalencequivalence

1. Deux flux monétaires équivalents sont équivalents à n’importe quel moment dans le temps

0 1 2 3 4 5

Années

2 042$

2 572 $3 000$

303 )1( iPF +=

25

3 )1( iFP+

=

La valeur future à 8% par année de 2 042$ à n= 3 est égale à la valeur actualisée à 8% par année de 3 000$ à n=3



Corolaire du Principe 1:Une transaction financière est justement valorisée si la somme des valeurs équivalentes (VE) des flux monétaires entrants et des flux monétaires sortants est égale à 0, à n'importe quel moment dans le temps.

- 2 042$

0 1 2 3 4 5

3 000$

- 2 572$

2 572$

0 1 2 3 4 5

3 000$2 042$

- 2 042$

( )0$042 2$042 2

081$3000$042 2 50

=+−=

++−= −∑ .VE ( ) ( )0$275 2$275 2

081$000 3.081$042 2 233

=+−=

+++−= −∑ .VE

0 1 2 3 4 5

3 000$

- 2 042$

i = 8%

à t =0 à t =3

Transaction:Investir 2 042$Recevoir 3 000$ dans 5 ans

18


Les principes dLes principes d’é’équivalence: Analogie mquivalence: Analogie méécaniquecanique

100 N

75 N

Structure en équilibre

25 N

Si la structure est en équilibre, elle est en équilibre en tout point.Par exemple, la somme des moments autour du point "X" est de 0:

( ) ( ) ( )022525200

3751252100

=−+=

−+=∑ XM

Transaction financièreen équilibre

0 1 2 3 4 5

3 000$

- 2 042$

i = 8%

X1 2 1

(1+.08)3

(1+.08)-2

Si la transaction est en équilibre, elle est en équilibre en tout point dans le temps.Par exemple, la somme des valeurs équivalentes (VE) au point "X", à t=3, est de 0:

( ) ( )( ) ( )

0572 2572 285730000 325971042 2

0811000 3081042 2 23

=+−=+−=

+++−=∑ −

..

..VEX

- 2 572$

+ 2 572$

X

+



2. L’équivalence est fonction du taux d’intérêt Le changement de taux d’intérêt annule l’équivalence

Années

0 1 2 3 4 5

2 042$

3 000$ à 8%

3 289 $ à 10%

À 10% d’intérêt 2 042$ maintenant n’est plus équivalent à 3 000$ dans 5 ans, mais à 3 289$ dans 5 ans.

19



3. Les flux monétaires à paiements multiples peuvent être convertis en flux monétaires à paiement unique

( )

$.

iFP

45970 3.09)(1141.85$5

13-

333

=+×=

+= −

Les trois plans dont économiquement équivalents: ils ont la même valeur actualiséeLe plan 2, à paiement unique, est équivalent aux plans à paiements multiples 1 et 3

Prêt de 20 000$ à 9% d’intérêt pour 5 ans:Choix de 3 plans de remboursement

Année Plan 1 Plan 2 Plan 31 5 141.85 $ 0.00 $ 1 800.00 $2 5 141.85 $ 0.00 $ 1 800.00 $3 5 141.85 $ 0.00 $ 1 800.00 $4 5 141.85 $ 0.00 $ 1 800.00 $5 5 141.85 $ 30 772.48 $ 21 800.00 $

Versements totaux 25 709.25 $ 30 772.48 $ 29 000.00 $Intérêts totaux 5 709.25 $ 10 772.48 $ 9 000.00 $

Année Plan 1 Plan 2 Plan 31 4 717.29 $ 0.00 $ 1 651.38 $2 4 327.79 $ 0.00 $ 1 515.02 $3 3 970.45 $ 0.00 $ 1 389.93 $4 3 642.62 $ 0.00 $ 1 275.17 $5 3 341.85 $ 20 000.00 $ 14 168.50 $

Valeuractualisée totale 20 000.00 $ 20 000.00 $ 20 000.00 $

Versements annuels

Valeur actualisée des versements



4. L’équivalence ne dépend pas du choix du point de vue, soit celui de l’emprunteur ou du prêteur

Choix entre payer 3 000$ dans 5 ans ou P $ maintenant. Si vous pouvez investir P à 8%, trouvez P.Quel montant actualisé P est équivalent à payer 3 000$ dans 5 ans, si ce montant peut être placé à un taux de 8% pour 5 ans?

$20424693.1

$3000)08.1($3000

)1(

)1(

5 %;8 $;3000

5 −=−

=+

−=

+=

+=

==−=

P

iFP

iPF

NiF

N

N

Payer ou recevoir 2 042$ maintenant est toujours respectivement équivalent à payer ou recevoir 3 000$ dans 5 ans

20


Cinq types de flux monCinq types de flux monéétairestaires

Flux monétaire uniqueFlux monétaires irréguliersFlux monétaires constants et périodiques: annuités à intervalles réguliers

Dans deux semainesFlux monétaire à gradient linéaireFlux monétaire à gradient géométrique


Les formules de flux monLes formules de flux monéétaires uniquestaires uniques1. Capitalisation1. Capitalisation

0 N

Processus decapitalisationF = P(1+i)N

P

F

),,(),,()1(

:Notationtioncapitalisa defacteur le appeléest )1(

)1(

NiPFPFNiPFi

i

iPF

N

N

N

==+

+

+=

21


Capitalisation dCapitalisation d’’un flux monun flux monéétaire unique: Exemple 2.7taire unique: Exemple 2.7

Vous possédez 2 000$ que vous investissez à un taux de 10% par année. Combien vaudra cette somme dans 8 ans?

$20.287 4)1436.2( $000 28) %,10 ,/( 000$ 2

),,(C annexel' de tablelapar ou

$20.287 4)10.01$(000 2

)1(8

====

=+=

+=

FPFF

NiPFPF

F

iPF N

P = 2 000 $

0 1 2 3 4 5 6 7 8

F = ?i =10%N =8

0

Transaction


TI Voyage 200: le "TVM TI Voyage 200: le "TVM SolverSolver""

( ) $20287 48 10%, $000 2 .,P/FF ==

0 1 2 3 4 5 6 7 8

P = - 2000 $

F = ?i =10%N =8

0

Ni(%)

PAFK

Solveur TVM Fonctions TVM

CM=CK

Les fonction financières des calculatrices (et d'Excel) font toujours les calculs d'équivalence comme s'il s'agissait d'une transaction. Le signe est donc toujours inversé.

Nous verrons la signification de K et C au prochain cours

22


TI TI NspireNspire: le "TVM : le "TVM SolverSolver""

Solveur TVM Fonctions TVM

Seule différence avec la Voyage 200:Pas de "_" après "tvm"


Les formules de flux monLes formules de flux monéétaires uniquestaires uniques2. Actualisation2. Actualisation

0 N

P

F

Processus d’actualisationF = P (1+i)-N

),,(),,()1(

:Notationionactualisatd'facteur le appeléest )1(

)1()1(

NiFPFPNiFPi

i

iFi

FP

N

N

NN

==+

+

+=+

=

−

−

−

23


Actualisation dActualisation d’’un flux monun flux monéétaire unique: Exemple 2.9taire unique: Exemple 2.9

Quelle somme doit-on investir maintenant pour accumuler une somme de1 000$ dans 5 ans si le taux annuel est de 12%?

0 1 2 3 4 5P = ?

F = 1 000$i =12%N =5

( )( ) $4356756740 $000 1

5 12 $1000

ou$435671201( 000$ 1

15

..P%,,F/PP

)N,i,FP(FP

.).P

)i(FP N

====

=+=

+=−

−


SensibilitSensibilitéé des facteurs F/P et P/F des facteurs F/P et P/F àà NN et et ii

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Périodes

(P/F

,i,n)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Périodes

(F/P

,i,n)

Capitalisation Actualisation

0%

5%

10%

15%

i% 0%

5%

10%

15%

i%

24


Effet de divers taux dEffet de divers taux d’’actualisation: Exemple 2.10actualisation: Exemple 2.10

Montant forfaitaire de 1 millions $ sera reçu dans 50 ans. Quelle est la valeur actualisée équivalente de ce montant à 5%, à 10% et à 25%?

14.27$ 27) 014 (0,000 $ 000 000 150) 25%, ,/( $ 000 000 1

:25% à

519$ 8 519)) (0,008 $ 000 000 150) 10%, ,/( $ 000 000 1

:10% à

200$ 87 (0,0872) $ 000 000 150) 5%, ,/( $ 000 000 1

:5% à

),,(

===

===

===

=

FPP

FPP

FPP

NiFPFP


Les formules de flux monLes formules de flux monéétaires uniques: Comment trouver taires uniques: Comment trouver NN

Connaissant P, F et i, comment trouver N:

)1(log)( log

i)(1 log log

)1(

)1(

i PFN

NPF

iPF

iPF

N

N

+=

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=

25


Comment trouver Comment trouver N: N: Exemple 2.8Exemple 2.8

Combien de temps mettra 6 000$ pour capitaliser à 12 000$ à 20% année?

années8032012

1 log

20% 000$; 12 000$; 6

.N).log(

)(log)i( log)PF(N

iFP

=

=+

=

===


Un truc commode pour estimer Un truc commode pour estimer NN ou ou i si F/P = 2i si F/P = 2: La r: La rèègle de 72gle de 72

Combien de temps met un placement pour doubler en valeur (i.e. F/P = 2) si le taux d’intérêt est de 8%?

années 00.987272

72:72 de règleou

années 01.9)08.1log(

)2( log)1(log)( log

===

=×

=+

=+

=

iN

iN

i PFN

i en %

26


La rLa rèègle de 72gle de 72

i Calcul exact Règle de 72 Erreur1% 69.66 72.00 3.36%2% 35.00 36.00 2.85%3% 23.45 24.00 2.35%4% 17.67 18.00 1.85%5% 14.21 14.40 1.36%6% 11.90 12.00 0.88%7% 10.24 10.29 0.40%8% 9.01 9.00 -0.07%9% 8.04 8.00 -0.54%10% 7.27 7.20 -1.00%11% 6.64 6.55 -1.45%12% 6.12 6.00 -1.90%13% 5.67 5.54 -2.34%14% 5.29 5.14 -2.78%15% 4.96 4.80 -3.22%16% 4.67 4.50 -3.64%17% 4.41 4.24 -4.07%18% 4.19 4.00 -4.49%19% 3.98 3.79 -4.90%20% 3.80 3.60 -5.31%

Années pour doubler PN Calcul exact Règle de 72 Erreur

1 100.0% 72.0% -28.00%2 41.4% 36.0% -13.09%3 26.0% 24.0% -7.66%4 18.9% 18.0% -4.87%5 14.9% 14.4% -3.16%6 12.2% 12.0% -2.01%7 10.4% 10.3% -1.18%8 9.1% 9.0% -0.56%9 8.0% 8.0% -0.07%

10 7.2% 7.2% 0.32%11 6.5% 6.5% 0.64%12 5.9% 6.0% 0.90%13 5.5% 5.5% 1.13%14 5.1% 5.1% 1.32%15 4.7% 4.8% 1.49%16 4.4% 4.5% 1.64%17 4.2% 4.2% 1.77%18 3.9% 4.0% 1.89%19 3.7% 3.8% 1.99%20 3.5% 3.6% 2.08%

Rendement si P double

Estimation de N Estimation de i


Les formules de flux monLes formules de flux monéétaires uniques: Comment trouver itaires uniques: Comment trouver i

Connaissant P, F et N, comment trouver i:

1

)1(

)1(

)1(

1

1

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=

N

N

N

N

PFi

iPF

iPF

iPF

Attention: Vrai seulement pour les flux monétaires uniques!

27


Comment trouver Comment trouver i: i: ExempleExemple

Google a émis ses premières actions au public le 19 août 2004 au prix de 100$ par action. Le 17 janvier 2011, ces actions valaient 624 $. Quel est le taux de rendement annuel moyen depuis l’émission?

annéepar 06331100624

1

années 416 624$; 100

461

1

%,i

PFi

.NF$;P

.

N

=−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

===


0 $

100 $

200 $

300 $

400 $

500 $

600 $

700 $

800 $

8/19

/200

4

11/1

9/20

04

2/19

/200

5

5/19

/200

5

8/19

/200

5

11/1

9/20

05

2/19

/200

6

5/19

/200

6

8/19

/200

6

11/1

9/20

06

2/19

/200

7

5/19

/200

7

8/19

/200

7

11/1

9/20

07

2/19

/200

8

5/19

/200

8

8/19

/200

8

11/1

9/20

08

2/19

/200

9

5/19

/200

9

8/19

/200

9

11/1

9/20

09

2/19

/201

0

5/19

/201

0

8/19

/201

0

11/1

9/20

10

Application: Le rendement des actions de GoogleApplication: Le rendement des actions de Google

%,..i

.06331

$00100$18624 416

1

=−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

Prix par action86,45% / an Depuis Oct. 08:

50,38% / an33,08% / an

-63,53% / an

14/01/11:624.18$

Du 19 août 2004 au 14 janvier 2011:

28


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )N,i,A/FAi

iAF

iAiF

iAiF

iAAFiF

iA...iAiAiAiAiF

:iiA...iAiAiAAF

N

N

N

N

N

N

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+=

−+=

++−=−+

++−=−+

++++++++++=+

++++++++++= −

11

11

1111

11

:obtienton (2), de (1)t soustrayanen 111111

)(1par t multiplianen 1111

432

132

Facteur de capitalisationd’une annuité

Flux monFlux monéétaires constants et ptaires constants et péériodiques: les annuitriodiques: les annuitééss1. Capitalisation1. Capitalisation

0 1 2 3 N-1N

A A A A A

F

(Eq. 1)

(Eq. 2)


Capitalisation dCapitalisation d’’une annuitune annuitéé: Exemple 2.13: Exemple 2.13

Versement de 3 000$ à la fin de chaque année, dans un compte d’épargne offrant un taux annuel de 7%. Quel est le montant accumulé après 10 ans?

449.34$ 4164)000$(13.81 310 7 000 3

:ou

449.34$ 41070

10701 000 3

11

10

====

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

)%,,F/A($F)N,i,A/F(AF

.).($F

i)i(AF

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A = 3 000$

F = ? i = 7%

29


Flux monFlux monéétaires constants et ptaires constants et péériodiques: les annuitriodiques: les annuitééss2. Actualisation2. Actualisation

0

1 2 3 N-1

A A A A A

N

P

),,/()1(

1)1(

:donc)1(

:relation lapar liéssont et

),,/(1)1(

NiAPAii

iAP

iPF

PF

NiAFAi

iAF

N

N

N

N

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

=

+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

Facteur d’actualisationd’une annuité


Actualisation dActualisation d’’une annuitune annuitéé: Exemple 2.18: Exemple 2.18

Un gagnant de loterie recevra 24 000$ par année pendant 21 ans. Il songe à quitter son emploi pour lancer sa propre entreprise, mais il a besoin de 250 000$ tout de suite.Combien peut-il emprunter maintenant à 10% en promettant à la banque d’endosser en leur faveur ces entrées de fonds futures?

( )( )

( ) ( )( ) 568.66$ 20764878000 24

21 10 000 2421 10 000 241

11

=×=×=×=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−+=

.$%,,A/P$P%,,A/P$P

N,i,A/PAii

)i(AP N

N

0

1 2 3 20

A= 24 000$

21

P= ?$

i= 10%

30


Actualisation dActualisation d’’une perpune perpéétuittuitéé (annuit(annuitéé perpperpéétuelle)tuelle)

Si le nombre de périodes N tend vers l’infini:

iAP

iA

iAP

Niii

Aii

iAP NN

N

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

∞→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

=

101alors , Si

)1(11

)1(1)1(

Exemple: Quelle est la valeur actualisée de 100$ reçus à la fin de chaque année pour une infinité d’années, si le taux d’intérêt est de 5%?

000$ 205.

$100 ==⇒= PiAP

Facteur d’actualisationd’une perpétuité =

l’inverse de i


Flux monFlux monéétaires constants et ptaires constants et péériodiques: les annuitriodiques: les annuitééss3. Facteur d3. Facteur d’’amortissementamortissement

),,/(1)1(

:Alors

),,/(1)1(

:Si

NiFAFiiFA

NiAFAi

iAF

N

N

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

Facteur d’amortissementd’une annuité

Facteur d’amortissement:Le facteur pour trouver le montant d’une annuité A qui s’accumulera à une valeur F, étant donné le nombre de période N et le taux d’intérêt i.

31


Amortissement dAmortissement d’’une annuitune annuitéé: Exemple: Exemple

Vous désirez accumuler 1 million $ pour votre retraite dans 35 ans. En supposant que vous puissiez obtenir en moyenne un rendement de 8% par année, combien devez-vous épargner à chaque année pour atteindre votre objectif?

A =?

F =1 M$i =8%

0 1 2 3 4 353433

803.26$ 526) 803 (0.005 M$ 1)35%,8,(M$ 1),,/(

ou

803.26$ 5 1)08.1(

08.M$ 11)1( 35

=====

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+=

AA/FFNiFAFA

iiFA N


Flux monFlux monéétaires constants et ptaires constants et péériodiques: les annuitriodiques: les annuitééss4. Facteur de recouvrement du capital4. Facteur de recouvrement du capital

Facteur de recouvrement:Le facteur pour trouver le montant d’une annuité A étant donné le capital initial (i.e. le montant actualisé P), le nombre de période N et le taux d’intérêt i.Application la plus commune: calcul du montant des paiements d’un prêt

),,/(1)1(

)1(

:Alors

),,/()1(

1)1(

:Si

NiPAPi

iiPA

NiAPAii

iAP

N

N

N

N

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−++

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

=Facteur de recouvrement

du capital par annuité

32


Recouvrement du capital: Exemple 2.16Recouvrement du capital: Exemple 2.16

Emprunt de 250 000$ pour l’achat de matériel de laboratoire, à 8% par année.Remboursable en 6 versements égaux, incluant capital et intérêts, pendant les 6 prochaines années.Quel est le paiement annuel?

( )( )

( )( )

( ) ( )078.85$ 4538) 315 000$(0.216 250

68$000 250:ou

078.85$ 541081

08108000$ 25011

16

6

===

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

+=

A%,,P/AN,i,P/AP

...

iiiPA N

N

0 1 2 3 4 5 6

P = 250 000$

A = ?


OubliOubliéé votre calculatrice financivotre calculatrice financièère?re?Comment trouver Comment trouver ii par interpolation linpar interpolation linééaireaire

( )

( )

( )101200M5M6 ,i,P/A,

$$

PA

N,i,P/APA

N,i,P/APA

===

=⇒

=

%,

%,%%,,%

%),,(

),,(%i

463

4603100610002803

11172012330

117201203

=

+=×+=

×−−

+=

i

(A/P, i, 10)0,1172 0,1233

3%

4%

0,12

3,46%

(A/P,3%,10) (A/P,4%,10)

Trouvez les facteurs de chaque côtéde 0,12 pour N=10 dans les

tableaux de l’annexe C

33


Flux monFlux monéétaires compostaires composééss

Flux monétaires composés de flux monétaires uniques et d’annuitésCalculer les valeurs de chacun des flux séparément. Ces valeurs s’additionnent.Exemple:

Quelle est la valeur actualisée à 10% d’une annuité de 1 000$ par année pendant 7 ans plus un montant unique de 5 000$ à la fin de la septième année?

$21.7434$79.2565$42.4868

)513158$(.5000)86842.4( $10007) 10%, ,/( $5000)7 %,10 ,/( $1000

=+=

+=+=

+=

FPAP

PPP uniqueannuitétotale

0 1 2 3 4 5 6 7

1000$ 1000$ 1000$ 1000$ 1000$ 1000$

1000$

5000$

P=7434.21$

P=2 565.79$

P=4 868.42$


Flux monFlux monéétaires compostaires composééss

Les calculatrices financières évaluent les flux monétaires composés d'annuités et de montant uniques en une seule opération.

0 1 2 3 4 5 6 7

1000$ 1000$ 1000$ 1000$ 1000$ 1000$

1000$

5000$

P=7434.21$

P=2 565.79$

P=4 868.42$

34


Flux monFlux monéétaires irrtaires irrééguliersguliers

Les flux monétaires irréguliers doivent être décomposés en une série de flux monétaires uniques

0

F1

F2

F3

1 2 3

P=P1+P2+P3

P1

P2

P3

0 1 2 3 0 1 2 3

0

F1

F2

F3

1 2 3

+

+

=


Formule de flux monFormule de flux monéétaire irrtaire irrééguliergulier

( ) ( ) ( )

( )n,i,F/PFP

:ouN,i,F/PF......,i,F/PF,i,F/PFP

Nn

nn

N

∑=

=

=

+++=

1

21 21

Calculer le P de chaque flux monétaire futur Fn séparément et les additionnerFormule générale:

Sur la Voyage 200 et la Nspire:P = npv(i,F0,{F1..Fn},{f1,...,fn})fn:fréquence des flux monétaires. Optionel si = 1La fonction npv donne l'équivalence et n'inverse pas le signe de P

35


Flux monFlux monéétaires irrtaires irrééguliers: Exemple 2.12 (p.73)guliers: Exemple 2.12 (p.73)

Contrat de Troy AikmanValeur actuelle des versements s’il peut placer son argent à 6%?Pour la prime de signature, devrait-il accepter un montant forfaitaire de8 M$ au lieu des versements annuels de 1.375 M$?On suppose que les paiements sont faits en début d’année.

Prime den Année Salaire signature (prorata) Revenu total0 1993 2 500 $ 1 375 $ 3 875 $1 1994 1 750 $ 1 375 $ 3 125 $2 1995 4 150 $ 1 375 $ 5 525 $3 1996 4 900 $ 1 375 $ 6 275 $4 1997 5 250 $ 1 375 $ 6 625 $5 1998 6 200 $ 1 375 $ 7 575 $6 1999 6 750 $ 1 375 $ 8 125 $7 2000 7 500 $ 1 375 $ 8 875 $

Total 39 000 $ 11 000 $ 50 000 $



Note:Convention de fin d’année. La premier paiement est donc fait à la période 0, le deuxième à la fin période 1, etc.i.e. Fin de l'année 0 = Début de l'année 1

),,/(1

niFPFPNn

nn∑

=

=

=

niinFP −+= )1(),,/(Prime de

n (P/F,n,6%) Salaire signature (prorata) Revenu total0 1.0000 2 500 $ 1 375 $ 3 875 $1 0.9434 1 651 $ 1 297 $ 2 948 $2 0.8900 3 693 $ 1 224 $ 4 917 $3 0.8396 4 114 $ 1 154 $ 5 269 $4 0.7921 4 158 $ 1 089 $ 5 248 $5 0.7473 4 633 $ 1 027 $ 5 660 $6 0.7050 4 758 $ 969 $ 5 728 $7 0.6651 4 988 $ 914 $ 5 902 $

Valeur actualisée totale 30 496 $ 9 051 $ 39 547 $

Valeurs actualisées (en 000$)

36



Calcul avec la TI Nspire/Voyage 200.

Salaires:P = npv(6,2500,{1750,4150,4900,5250,6200,6750,7500})= 30496Prime de signature:P = npv(6,1375,{1375},{7})= 9051

Prime den Année Salaire signature (prorata) Revenu total0 1993 2 500 $ 1 375 $ 3 875 $1 1994 1 750 $ 1 375 $ 3 125 $2 1995 4 150 $ 1 375 $ 5 525 $3 1996 4 900 $ 1 375 $ 6 275 $4 1997 5 250 $ 1 375 $ 6 625 $5 1998 6 200 $ 1 375 $ 7 575 $6 1999 6 750 $ 1 375 $ 8 125 $7 2000 7 500 $ 1 375 $ 8 875 $

Valeur actualisée 30 496 $ 9 051 $ 39 547 $

Revenu total:P = 30 496$ + 9 051$ = 39 547$ ou:P = npv(6,3875,{3125,5525,6275,6625,7575,8125,8875})= 39547


TI TI NspireNspire/Voyage 200/Voyage 200

Les fonctions du "TVM Solver" sont disponibles directement:

P = tvm_PV(N,i(%),A,F,[K], [M]) = A(P/A. i, N) + F(P/F, i, N)

F = tvm_FV(N,i(%),P,A,[K], [M]) = A(F/A. i, N) + P(F/P, i, N)

A = tvm_Pmt(N,i(%),P,F,[K], [M]) = P(A/P. i, N) + F(A/F, i, N)

N = tvm_N(i(%),P,A,F,[K], [M]) = log(F/P)/log(1+i)

i(%) = tvm_I(N,P,A,F,[K], [M]) = (F/P)1/N-1 si A = 0

( )( ) ( )( ) 01111

:de pour solution laou

=−−++

−++ − A

iFi

iPi

i

NN

Note: [K] et [M] sont optionnels

( ) 0 si 01

:desolution laou

FPAi

PAi N ==−++ −

Note:Avec la Nspire, pas de "_"

après "tvm"

Note:Avec la Nspire, pas de "_"

après "tvm"

37


TI TI NspireNspire/Voyage 200 (suite)/Voyage 200 (suite)

Valeur présente équivalente d'un flux monétaire quelconque:

P = npv(i(%),FM0,{FM1..FMn},[{fréquences}])

0 1 2 3 4 5

-200$

50$ 100$ 100$

250$300$

P = npv(10,-200,{50,100,250,300},{1,2,1,1})=360.26$

P = 320.26$


TI Voyage 200 (suite)TI Voyage 200 (suite)

Taux de rendement d'un flux monétaire quelconque(i.e. le taux de rendement interne, TRI):i = TRI= irr(F0,{F1..Fn},{f1,...,fn})

0 1 2 3 4 5

-200$

50$ 100$ 100$

250$300$

i = TRI= irr(-200,{50,100,250,300},{1,2,1,1})= 49.1%

38


Fonctions EXCELFonctions EXCEL

Toutes les formules vues sont disponibles dans EXCELCliquez fx, puis type de fonctions: Finances



Valeur actualisée (présente)VA=(taux, npm, vpm, vc, type)

taux: taux d’intérêt par périodenpm: nombre de périodesvpm: annuité équivalentevc: valeur capitalisée (future)Type: 0 ou omis = fin de période; 1= début de période

Valeur capitalisée (future)VC=(taux, npm, vpm, va, type)

va: valeur actualisée (présente)

Nombre de période:NPM =(taux,vpm,va,vc,type)

Taux d’intérêt:TAUX =(npm,vpm,va,vc,type)

Si flux à montant unique,Mettre vpm = 0 ou blancet vc = le montant unique

Si flux à montant unique,Mettre vpm = 0 ou blancet va = le montant unique

Si flux à montant unique,Mettre vpm = 0 ou blancet va et vc = les montants connus

39


Fonctions EXCEL (suite)Fonctions EXCEL (suite)

Montant d’une annuité équivalente à P ou FVPM =(taux, npm, va, vc, type)

taux: taux d’intérêt par périodenpm: nombre de périodesva: valeur actualisée (présente)vc: valeur capitalisée (future)Type: 0 ou omis = fin de période; 1= début de période

Valeur présente équivalente (PE) d’un flux monétaire irrégulier

VAN=(taux, valeur 1, valeur 2,, valeur n)taux: taux d’intérêt par périodeValeur n: la valeur du flux monétaire à la fin de la période 1, 2, etc. (il n' y pas de période 0)Ne jamais inclure la valeur 0 (Excel croira que c'est la valeur 1)Les valeurs peuvent être un vecteur (ex. C5:C15)

Si on connaît P, va = P et vc est omis(,,)Si on connaît F, vc = F et va est omis(,,)


Fonctions EXCEL (suite)Fonctions EXCEL (suite)

Taux de rendement d'un flux monétaire quelconque(i.e. le taux de rendement interne ou TRI)

TRI = (valeur 0, valeur 1, valeur 2,… valeur n,[essai])taux: taux d’intérêt par périodeValeur n: la valeur du flux monétaire à la fin de la période 0,1, 2, etc. Les valeurs peuvent être un vecteur (ex. C5:C15)Essai: il est parfois nécessaire de donner une valeur de départ àl'algorithme d'extraction de racine, car il y a une limite (100?) au nombre d'itérations qu'Excel fait.

40


ConclusionConclusion

(F/A, i%, N)

(P/A

, i%, N

)

amortissement

(A/F, i%, N)

AnnuitéAnnuité FuturFuturcapitalisation

PrésentPrésent

capitalisation(F/P, i%, N)actualisation

(P/F, i%, N)

actua

lisati

on

reco

uvre

ment

(A/P, i%

, N)

1

Cours 3: TPCours 3: TPSolutionnaireSolutionnaire


2GIA 400 – Cours 3: TP

Exercice 2.2Exercice 2.2

0 1 2 3 4 5 6 7

100$ 100$ 100$ 100$

Pa. P = 100$(P/A, i, 4)(P/F, i, 4)b. P = 100$(F/A, i, 4)(P/F, i, 7)c. P = 100$(P/A, i, 7) – 100$(P/A, i ,3)d. P = 100$ [(P/F, i, 4) + (P/F, i, 5) + (P/F, i, 6) + (P/F, i, 7)]

Rép: a. devrait être P = 100$(P/A, i, 4)(P/F, i, 3)

Pour calculer la valeur P de la transaction suivante à la période 0, laquelle des expressions ci-dessous ne convient pas?

2


Exercice 2.2 (suite)Exercice 2.2 (suite)

0 1 2 3 4 5 6 7

100$ 100$ 100$ 100$

P

a) P = 100$(P/A, i, 4)(P/F, i, 4)

Soit i = 10%

P=100$(P/A, 10%, 4)P=316.99$

-1

P=316.99$(P/F, 10%, 4)P=216.51$

0 1 2 3 4 5 6 7

100$ 100$ 100$ 100$

P

P=316.99$(P/F, 10%, 3)P=238,16$

P=100$(P/A, 10%, 4)P=316.99$


Exercice 2.2 (suite)Exercice 2.2 (suite)b) P = 100$(F/A, i, 4)(P/F, i, 7)

0 1 2 3 4 5 6 7

100$ 100$ 100$ 100$

P

0 1 2 3 4 5 6 7P

F = 100$(F/A, 10%, 4)F = 464.10$

P = 464.10$(P/F, i, 7)P = 238.16$

3


Exercice 2.2 (suite)Exercice 2.2 (suite)c) P = 100$(P/A, i, 7) – 100$(P/A, i ,3)

0 1 2 3 4 5 6 7

100$ 100$ 100$ 100$

P

100$ 100$ 100$

-100$ -100$ -100$

0 1 2 3 4 5 6 7

P = 486.64$ - 248.69$ = 238.16$

P = 100$(P/A, 10% ,3)P = 248.69$

P = 100$(P/A, 10%, 7)P = 486.84$


Exercice 2.2 (suite)Exercice 2.2 (suite)d) P = 100$ [(P/F, i, 4) + (P/F, i, 5) + (P/F, i, 6) + (P/F, i, 7)]

0 1 2 3 4 5 6 7

100$ 100$ 100$ 100$

P

0 1 2 3 4 5 6 7

P = 238.16$

P = 100$(P/F, 10%, 4) = 68.30$

P = 100$(P/F, 10%, 5) = 62.09$

P = 100$(P/F, 10%, 6) = 56.45$

P = 100$(P/F, 10%, 7) = 51.32$

P = npv(10,0,{0,100},{3,4})=238.16

Méthode du flux irrégulier:

4



Pour retirer la série de paiements suivante de 1 000$, déterminez le dépôt minimum P que vous devez effectuer aujourd'hui si vos dépôts se fructifient à un taux d'intérêt de 10%, composé annuellement. Soulignons que vous ferez un autre dépôt de 500$ à la fin de la 7e

année. Moyennant le dépôt minimum P, votre solde à la fin de la 10e

année devrait être de zéro.

Fin de la période Dépôt Retrait

0 P

1 – 6 1 000$

7 500$

8-10 1 000$



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 000$ 1 000$

500$P

Une des nombreuses approches possibles de solution:P =1 000$(P/A, 10%, 10) – 1 000$(P/F, 10%, 7) – 500$ (P/F, 10%, 7)

= 6 144.57 $ – 513.16$ – 256.58$ = 5 374.83$

Autre approche possible:P = 1 000$(P/A, 10%, 6) – 500$(P/F, 10%, 7) +1000$ (P/A, 10%, 3)(P/F, 10%, 7)

= 4 355.26$ – 256.58$ +1276.15$= 5 374.83$

…Mais la méthode la plus simple reste toujours:P = npv(10,0,{1000,-500,1000},{6,1,3})=5 374.83

i =10%

5


Exercice 2.4(suite)Exercice 2.4(suite)

Preuve tabulaire

Dépôt Solde Intérêts Retrait SoldeAnnée (début) au début Intérêts (fin) à la fin

1 5 375 $ 5 375 $ 537 $ (1 000 $) 4 912 $2 0 $ 4 912 $ 491 $ (1 000 $) 4 404 $3 0 $ 4 404 $ 440 $ (1 000 $) 3 844 $4 0 $ 3 844 $ 384 $ (1 000 $) 3 228 $5 0 $ 3 228 $ 323 $ (1 000 $) 2 551 $6 0 $ 2 551 $ 255 $ (1 000 $) 1 806 $7 0 $ 1 806 $ 181 $ 0 $ 1 987 $8 500 $ 2 487 $ 249 $ (1 000 $) 1 736 $9 0 $ 1 736 $ 174 $ (1 000 $) 909 $

10 0 $ 909 $ 91 $ (1 000 $) 0 $



Un couple veut financer les études universitaires de leur fille de 5 ans et crée à cette fin un fonds universitaire au taux d'intérêt de 10%, composé annuellement. Quel dépôt annuel A devra-t-il faire à partir du 5e anniversaire de l'enfant (aujourd'hui) jusqu'à son 16e anniversaire pour couvrir les frais de scolarité donnés dans le tableau suivant? On suppose que la date du 5e anniversaire est aujourd'hui.

Anniversaire Dépôt Retrait5-16 A1718 25 000$19 27 000$20 29 000$21 31 000$

6

11GIA 400 – Cours 3: TP 11


4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

A = ?

25K$27K$

29K$31K$

i =10%

1. Combien faudra-t-il avoir accumulé à la fin de l'année 16:P16 = 0$(P/F, 10%, 1)+ 25 000$(P/F, 10%, 2) +27 000$(P/F, 10%, 3)

+ 29 000$ (P/F, 10%, 4)+ 31 000$(P/F, 10%, 5)= 80 002.06$

2. Combien faut-il verser à chaque année pour accumuler 80 002.06$ après 12 ans:A= 80 002.06(A/F, 10%, 12) = 3 741.19$

Avec les TI:nsolve(npv(10,-A,{-A,0,25,27,29,31},{11,1,1,1,1,1})=0,A)

= 3741.19

P16

12GIA 400 – Cours 3: TP 12

Exercice 2.4: PreuveExercice 2.4: Preuve

Année Solde début Dépôts Retraits Intérêts Solde fin5 0 $ 3 741 $ 0 $ 0 $ 3 741 $6 3 741 $ 3 741 $ 0 $ 374 $ 7 856 $7 7 856 $ 3 741 $ 0 $ 786 $ 12 383 $8 12 383 $ 3 741 $ 0 $ 1 238 $ 17 363 $9 17 363 $ 3 741 $ 0 $ 1 736 $ 22 840 $10 22 840 $ 3 741 $ 0 $ 2 284 $ 28 866 $11 28 866 $ 3 741 $ 0 $ 2 887 $ 35 493 $12 35 493 $ 3 741 $ 0 $ 3 549 $ 42 784 $13 42 784 $ 3 741 $ 0 $ 4 278 $ 50 803 $14 50 803 $ 3 741 $ 0 $ 5 080 $ 59 625 $15 59 625 $ 3 741 $ 0 $ 5 962 $ 69 329 $16 69 329 $ 3 741 $ 0 $ 6 933 $ 80 003 $17 80 003 $ 0 $ 0 $ 8 000 $ 88 003 $18 88 003 $ 0 $ (25 000 $) 8 800 $ 71 803 $19 71 803 $ 0 $ (27 000 $) 7 180 $ 51 984 $20 51 984 $ 0 $ (29 000 $) 5 198 $ 28 182 $21 28 182 $ 0 $ (31 000 $) 2 818 $ 0 $

7

13GIA 400 – Cours 3: TP 13


Quelle est la valeur actualisée de la série de revenus suivante à un taux d'intérêt de 10%? (Tous les mouvements de trésorerie se produisent en fin d'année)

n Flux monétaire net1 11 000$2 12 100$3 04 14 641$

14GIA 400 – Cours 3: TP 14


0 1 2 3 4

11 000$12 100$

14 641$i =10%

P = 11 000$(P/F, 10%, 1)+ 12 100$(P/F, 10%, 2) +14 641$(P/F, 10%, 4)= 10 000$ + 10 000$ + 10 000$= 30 000$

Sur les TI en une étape:P = npv(10,0,{11000,12100,0,14641})=30000

P = ?

8

15GIA 400 – Cours 3: TP 15


0 1 2 3 4 5

1 000$

i =15%2 000$ 2 000$

a. P = 1 000$(P/A, 15%, 4) + 2 000$ + 2 000$(P/F, 15%, 5) b. P = 1 000$(P/F, 15%, 5) + 1 000$(P/A, 15%, 5) + 2 000$ c. P = [1 000$(F/A, 15%, 5) +1 000$](P/F, 15%, 5) + 2 000$d. P = [1 000$(F/A, 15%, 4) +2 000$] (P/F, 15%, 4) + 2 000$

Rép: d. devrait être:P = [1 000$(F/A, 15%, 4) +2 000$(P/F, 15%, 1)] (P/F, 15%, 4) + 2 000$

Vous voulez trouver la valeur actualisée équivalente pour les flux monétaires suivants à un taux d'intérêt de 15%. Laquelle des expressions suivantes ne convient pas?



0 1 2 3 4 5

1 000$

i =15%2 000$ 2 000$

a) P = 1 000$(P/A, 15%, 4) + 2 000$ + 2 000$(P/F, 15%, 5)

0 1 2 3 4 5

P = 2 000$

1 000$ 1 000$ 1 000$

P = 1 000$(P/A, 15%, 4)= 2 854.98$

P = 2 000$(P/F, 15%, 5)= 994.35$

P = 5 849.33$

9


Exercice 2.9 (suite)Exercice 2.9 (suite)b) P = 1 000$(P/F, 15%, 5) + 1 000$(P/A, 15%, 5) + 2 000$

0 1 2 3 4 5

1 000$

i =15%2 000$

1 000$ 1 000$ 1 000$

2 000$

1 000$1 000$

0 1 2 3 4 5

P = 2 000$

P = 1 000$(P/A, 15%, 5)= 3 352.16$

P = 1 000$(P/F, 15%, 5)= 497.18$

P = 5 849.33$


Exercice 2.9 (suite)Exercice 2.9 (suite)c) P = [1 000$(F/A, 15%, 5) +1 000$](P/F, 15%, 5) + 2 000$

0 1 2 3 4 5

1 000$

2 000$

1 000$ 1 000$ 1 000$

2 000$

1 000$1 000$

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

F = [1 000$(F/A, 15%, 5)= 6 742.38$

F = 1 000$F = 7 742.38$

P = 7 742.38$(P/F, 15%, 5)= 3 849.33$P = 2 000$

P = 5 849.33$

10


Exercice 2.9 (suite)Exercice 2.9 (suite)d) P = [1 000$(F/A, 15%, 4) +2 000$] (P/F, 15%, 4) + 2 000$

Devrait être: P = [1 000$(F/A, 15%, 4) +2 000$(P/F, 15%, 1)] (P/F, 15%, 4) + 2 000$

0 1 2 3 4 5

1 000$

i =15%2 000$ 2 000$

1 000$ 1 000$ 1 000$

0 1 2 3 4 5

F = 1 000$(F/A, 15%, 4)= 4 993.38$

P = 2 000$(F/A, 15%, 1)= 1 739.13$

F= 6 732.51$

P = 2 000$

P = 6 732.51$(P/F, 15%,4)= 3 849.53$

P = 5 849.33$

20GIA 400 – Cours 3: TP 20


Vous déposez 2 000$ dans un compte d'épargne qui rapporte un intérêt simple de 9% par année. Pour doubler votre solde, vous devez attendre au moins (?) années. Cependant, si vous déposez 2 000$ dans un autre compte d'épargne qui porte intérêt à un taux de 8% composé, il vous faudra (?) années pour doubler votre solde.

11

21GIA 400 – Cours 3: TP 21

Exercice 2.10Exercice 2.10Intérêt simple à 9%

ans 111109011

:2 Comme

1111

..i

N

P/FiPFN

iNPFiNPF

)iN(PFPiNPF

PiNIIPF

===

=

−=

=−+=+=

+==

+=

Intérêt composé à 8%

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )

ans 0190334030100

08012

:2 Comme1

11

1

...N

.loglogN

P/FilogPFlogN

ilogNPFlogiPF

iPFN

N

==

+=

=+

=

+=+=

+=

TI:Tvm_N(8,-1,0,2)=9.01

TI:Tvm_N(8,-1,0,2)=9.01

22GIA 400 – Cours 3: TP 22


Rendement composé à 15%

( )( )( )

( )( )

ans 9640607030100

15012

:2 Comme1

1

...N

.loglogN

P/FilogPFlogN

iPF N

==

+=

=+

=

+=

Règle de 72

3.2%deerreur

ans 8041572

10015072

⇒

==

×=

.N

.N

Vous avez acheté 250 actions de Gaz Métropolitain au coût de 7 800$, le 31 décembre 1995. Vous avez l'intention de les conserver jusqu'à ce quel leur valeur double. Si vous prévoyez une croissance annuelle de 15% des titres de la compagnie, combien d'années devrez-vous les conserver? Comparez le résultat avec celui obtenu en utilisant la règle de 72.

12

23GIA 400 – Cours 3: TP 23


0 1 2 3 4 5

i =7% 1 500$

3 000$ 3 000$2 000$

P = ?

P = 1 500$(P/F, 7%, 2)+ 3 000$(P/F, 7%, 3) + 3 000$(P/F, 7%, 4)+ 2 000$(P/F, 7%, 5)

= 1 310.16$ + 2 448.89$ + 2 288.69$ + 1425.97$= 7 473.71$

Avec les TI:P = npv(7,0,{0,1500,3000,2000},{1,1,2,1})=7473.71

Au cours des 5 prochaines années, vous prévoyez retirer les montants suivants d'un compte d'épargne portant intérêt à un taux de 7%, composé annuellement. Combien devez déposer aujourd'hui?



Preuve tabulaire

Année 1 2 3 4 5 Solde au début 7 473.71 $ 7 996.87 $ 7 056.65 $ 4 550.62 $ 1 869.16 $Intérêts (7%) 523.16 $ 559.78 $ 493.97 $ 318.54 $ 130.84 $Retraits (à la fin) 0.00 $ (1 500.00 $) (3 000.00 $) (3 000.00 $) (2 000.00 $)Solde à la fin 7 996.87 $ 7 056.65 $ 4 550.62 $ 1 869.16 $ 0.00 $

13

25GIA 400 – Cours 3: TP 25


0 1 2 3 4 5 6

100$ 100$ 100$ 100$ 100$

V4

a. V4 = [100$(P/A, i, 6) – 100$(F/P, i, 4)](F/P, i, 4)b. V4 = 100$(F/A, i, 3) + 100$(P/A, i, 2)c. V4 = 100$(F/A, i, 4) – 100$ + 100$(P/A, i, 2)d. V4 = [100$(F/A, i, 6) – 100$(F/P, i, 2)] (P/F, i, 2)

Rép: b. devrait être:V4 = 100$(F/A, i, 3)(F/P, i, 1) + 100$(P/A, i, 2)

On veut calculer la valeur équivalente à n = 4 du flux suivant. Lequel des énoncés ne convient pas?

26GIA 400 – Cours 3: TP 26


0 1 2 3 4 5 6

100$ 100$ 100$ 100$ 100$

V4Supposons que i = 10%

0 1 2 3 4 5 6

F =A(F/A, i, N)F =100$(F/A, 10%, 3)F = 331.00$

P =A(P/A, i, N)P =100$(P/A, 10%, 2)P = 173.55$

0 1 2 3 4 5 6

F =P(P/F, i, N)F =331.00$(F/P, 10%, 1)F = 364.10$

V4 = 364.10$ + 173.55$V4 = 537.65$

V4 = 100$(F/A, i, 3)(F/P, i, 1) + 100$(P/A, i, 2)

14

27GIA 400 – Cours 3: TP 27


0 1 2 3 4 5 6

100$ 100$ 100$ 100$ 100$

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

a. V4 = [100$(P/A, i, 6) – 100$(P/F, i, 4)](F/P, i, 4)

P =A(P/A, i, N)P =100$(P/A, 10%, 6)P = 435.53$

100$

P =F(P/F, i, N)P =–100$(P/F, 10%, 4)P =–68.30$

-100$

F =P(F/P, i, N)F =367.23$(F/P, 10%, 4)F = 537.32$V4 = 537.66$

V4

P = 435.53$ – 68.30$= 367.23$

28GIA 400 – Cours 3: TP 28


c. V4 = 100$(F/A, i, 4) – 100$ + 100$(P/A, i, 2)

0 1 2 3 4 5 6

100$ 100$ 100$ 100$ 100$100$

-100$

0 1 2 3 4 5 6

F =A(F/A, i, N) F =100$(F/A, 10%, 4) F = 464.10$

P =A(P/A, i, N) P =100$(P/A, 10%, 2) P = 173.55$

P = – 100$

V4 = 464.10$ - 100.00$ + 173.55$V4 = 537.65$

15

29GIA 400 – Cours 3: TP 29

Exercice 2.59 (suite)Exercice 2.59 (suite)d. [100$(F/A, i, 6) – 100$(F/P, i, 2)] (P/F, i, 2)

0 1 2 3 4 5 6

100$ 100$ 100$ 100$ 100$100$

-100$

0 1 2 3 4 5 6

F =A(F/A, i, N)F =100$(F/A, 10%, 6)F = 771.56$

F =P(F/P, i, N)F = – 100$(F/P, 10%, 2)F = – 121.00$

0 1 2 3 4 5 6

P = F(P/F, i, N)P = 650.56$(P/F, 10%, 2)P = 537.65$V4 = 537.65$

F = 771.56$ – 121.00$F = 650.56$



Lisez la lettre suivante, envoyée par un éditeur de revue:"Lors de la naissance de votre enfant vous avez reçu en cadeau un abonnement de 24 mois à la revue Croissance enfant/parent. Pour renouveler à chaque année votre abonnement annuel jusqu'à ce que votre enfant ait 72 mois, il vous en coûtera 15.96$ par année, soit 63.84$ au total. Nous croyons qu'il est important que vous continuiez à recevoir cette publication jusqu'au 72e mois de votre enfant et nous vous offrons donc l'occasion de renouveler votre abonnement pour 48 mois maintenant pour la somme de 57.12$. Il s'agit non seulement d'une économie de 10% sur votre tarif annuel habituel, mais également d'une protection contre l'inflation, qui fait constamment augmenter les prix. Abonnez‐vous dès aujourd'hui en nous faisant parvenir 57.12$."

a) Si votre argent fructifie à un taux de 6% par année, déterminez si cette offre présente une quelconque valeur?

b) À quel taux d'intérêt les deux options de renouvellements proposés seraient pour vous économiquement équivalentes?

16


Exercice 2.62 a)Exercice 2.62 a)

Option 1

Option 2

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

15.96$15.96$ 15.96$ 15.96$

− 57.12$

i = 6%

P = −15.96$ − 15.96$(P/A, 6%, 3) = −58.62$

l'option 2 est avantageuse (option à moindre coût)

− 58.62$ retirer 15.96$ au début des 4 prochaines années estéquivalent à retirer 58.62$ maintenant


Exercice 2.62 b)Exercice 2.62 b)

0 1 2 3 4

15.96$

i = ?

− 57.12$

15.96$ 15.96$ 15.96$

( )( )

( )%967

5789233 , $9615$1641

3 $9615$9615$1257

.i.,i,A/P

i,A/P..,i,A/P...P

=⇒=−=−

−−=−=

Solution trouvée avec calculatrice:tvm_I(3,-41.16,15.96,0)=7.96%

17



Dans une des usines de Fairmont Textiles, certains employés sont atteints du syndrome du canal carpien (inflammation des nerfs qui traversent la paume de la main), causé par l'exécution prolongée de mouvements répétitifs, par exemple le fait de coudre pendant de nombreuses années. Il semble que 15 employés de cette usine ont présenté des signes de ce syndrome au cours des 5 dernières années. La Mutuelle Avon a augmentéla prime d'assurance-responsabilité de Fairmont à 30 000$ par année àcause de ce problème. Avon est prête à diminuer les primes d'assurance à16 000$ par année au cours des 5 prochaines années si Fairmont met en place un programme de prévention du syndrome du canal carpien, par lequel les employés se familiariseront avec ce problème et apprendront comment s'en prémunir.Quel montant maximal Fairmont devrait-elle investir dans son programme de prévention pour qu'il soit avantageux, si son taux d'intérêt annuel est de 12%?



Économie annuelle = 30 000$ − 16 000$ = 14 000$ Investissement max = P = 14 000$(P/A, 12%, 5) = 50 467$

0 1 2 3 4 5

A = 14 000$

P = ?

18



Le service de la R&D de Boswell Électrique a mis au point un système de reconnaissance de la voix qui pourrait accroître la popularité des ordinateurs personnels au Japon. Actuellement la programmation de l'ensemble complexe des caractères de la langue japonaise dans le clavier d'un ordinateur rend celui-ci trop compliqué et encombrants si on le compare aux claviers utilisés par les Occidentaux. Boswell a déjà trouvé des emplois plus traditionnels pour ses systèmes de reconnaissance vocale, qui permettent par exemple de dicter des rapports médicaux en anglais. L'adaptation de cette technologie à la langue japonaise devrait faire grimper le taux d'acceptation des ordinateurs personnels au Japon. L'investissement nécessaire à la création d'une version commerciale de grande envergure est de 10 millions $, financés à un taux d'intérêt de 12%. Le système se vendra environ 4 000$ (pour un profit net de 2 000$, excluant les frais de développement) et sera compatible avec les ordinateurs personnels à grande puissance. Le produit aura une durée de vie de 5 ans sur le marché. En supposant que la demande annuelle demeure constante pendant la durée de vie du produit sur le marché, indiquez combien d'appareils Boswell devra vendre chaque année pour recouvrer son investissement initial et les intérêts.



0 1 2 3 4 5

A = 2 000$(X)

P = -10 000 000$

i = 12%

On cherche X tel que:( )( )( )( )

( ) unités 387 13.6048000$ 2

$000 000 10000$ 000 1060483$000 2

000$ 000 105 12 $000 2

==

==

X

.X%,,A/PX

Avec la TI:nsolve(npv(12,-10000000,{2000X},{5})=0,X)

1387

19


Exercice S1Exercice S1



Pour sa prochaine tournée mondiale, Snoop Dogg pense s’acheter un jet privé Global Express de 50 millions $. Sa fortune est actuellement immobilisée dans des placements qui lui rapportent plus de 20% par année. Il songe donc àemprunter cette somme à 6% pour un terme de 10 ans, mais un investisseur lui propose de lui verser 50 M$ tout de suite enéchange de la cession de ses droit d’auteurs qui s’élèvent à 6 millions $ par année pour les 10 prochaines années. Devrait-il accepter cette offre?

( ) ( )

urinvestissel' de offrel'Accepter auteursd' droits des annuelmontant au supérieur est montant Ce

M$ 703668) 1350(M$ 5010 6 M$50

:prêtdu ent remboursem de Annuité

⇒

=×=×==.,A

%,,A/PN,i,P/APA

(Yep! That’s right!)

20



Quel est le taux d’intérêt implicite à l’offre de l’investisseur?

( )( )

( )

%.iN,A,P

iPAi

PAi

iiiPA

N

N

N

46310M$6M$50

munies)sont escaculatric dont vos racines, de résolution de algorithmeun avec(ou

erreur!et essaipar que pour résout se neéquation Cette

01

111

=⇒=−==

=−++⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++

=

−

Attention: Avec la calculatrice, PV et

PMT doivent être de signes contraires.

1

Cours 4Cours 4

Les transactions Les transactions ààintintéérêt rêt



RRéésumsuméé des calculs ddes calculs d’é’équivalencequivalence

A=P(A/P ,i ,N)Annuité équivalente à une

valeur présente(recouvrement)

A=F(A/F ,i ,N)Annuité équivalente à une

valeur future(amortissement)

P=A(P/A, i, N)Valeur présente d’une annuité

F=A(F/A, i, N)Valeur future d’une annuité

P=F(P/F, i, N)Valeur présente d’un flux unique

F=P(F/P, i, N)Valeur future d’un flux unique NiPF )1( +=

NiFP

)1( +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

iiAF

N 1)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

= N

N

iiiAP

)1(1)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+=

1)1( NiiFA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−++

=1)1(

)1(N

N

iiiPA

2


RRéésumsuméé des calculs ddes calculs d’é’équivalence (suite)quivalence (suite)

Valeur future d’un flux irrégulier

Valeur présente d’un flux irrégulier n

nNn

n iFP

)1(1 += ∑

=

=( )∑

=

=

=Nn

nn NiFPFP

1 , ,/

∑=

=

−+=Nn

n

nNn iPF

1)1(( )∑

=

=

=Nn

nn NiPFPF

1 , ,/


Objectif du cours Objectif du cours

Comment calculer les taux effectifs à partir des taux nominaux

Apprendre à calculer le montants du capital des intérêts dans une série de paiements égaux

Référence: AIE 3.1 à 3.3; 3.5 et 3.6.1

3


Taux dTaux d’’intintéérêt nominal et taux effectif:rêt nominal et taux effectif:Pourquoi sPourquoi s’’intintééresser resser àà ce sujet?ce sujet?

Dans tous les exemples fait jusqu’à maintenant, nous avons implicitement supposé que les paiements étaient effectués une fois par année.

Mais la plupart du temps, les flux monétaires générés par un projet d’ingénierie ou utilisés pour rembourser son financement le sont d’une façon beaucoup plus régulière qu’une fois par année.

On continuera cependant toujours à parler du rendement d’un projet en terme de son rendement annuel, car c’est la base utilisée par tous les entreprises pour évaluer leur rendement en le comparant au leur coût du capital qui lui aussi toujours exprimé annuellement.

Il nous donc apprendre comment transformer les taux d'intérêt exprimés en taux annuel nominal en taux d'intérêt effectifs pour une période quelconque ou en taux effectif annuel.


Le taux dLe taux d’’intintéérêt nominalrêt nominal

En général, et même si le mois ou le trimestre sont des périodes de paiements beaucoup plus fréquentes, les institutions financières annoncent leurs taux d’intérêts en terme de taux annuel, mais se composant sur une fréquence autre qu’annuelle.

Ex: 12% par année, se composant mensuellement

Le taux annuel ainsi donné est le taux nominal, parce que la période du taux d’intérêt « affiché » ne correspond pas à la fréquence réelle de capitalisation.

Exemple:Taux de carte de crédit « 18% par année, se composant mensuellement »Nous verrons que le taux effectif annuel est alors de 19.56%.

4


Le taux effectif annuel:Le taux effectif annuel:1. Calcul du taux effectif sur la p1. Calcul du taux effectif sur la péériode de capitalisationriode de capitalisation

Une première chose facile à faire:Trouver le taux effectif pour la période de capitalisation

moispar 5112

1821M

18%

mensuel effectif %.%i

r

==

==

Exemple: taux nominal de 18% par année, composé mensuellement

Mri

iMr

=

==

=

tioncapitalisa de périodepar effectif

tion capitalisa de périodepar effectifintérêt d' taux leannéepar tion capitalisa de périodes de nombre le

annuel) (toujours nominalintérêt d' taux le


Le taux effectif annuel:Le taux effectif annuel:2. Calcul du taux effectif annuel2. Calcul du taux effectif annuel

Celui qui est toujours utilisé en analyse de rentabilité.Lorsqu’on parle d’un projet qui a un « rendement de 20% », on veut toujours dire un rendement effectif annuel de 20%.

11 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

M

a Mri

Exemple: taux nominal de 18% par année, composé mensuellement

( ) %.%.i

%i

r

a

a

56191511

112

181

21M18%

12

12

=−+=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

== Fonction eff(r,M)

5


GGéénnééralisation: le taux effectif sur une pralisation: le taux effectif sur une péériode quelconqueriode quelconque

Lorsque les périodes de versement sont différentes des périodes de capitalisation.

[ ]

annéepar tion capitalisa de période de nombre le annéepar versementde périodes de mombre le

versementde périodepar tion capitalisa de période de nombre le

11 versementde période

====

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

CKMKC

CKri

C

Par exemple:Un prêt à 18% nominal, dont les intérêts sont composés mensuellement, mais payés à tous les trois mois:

[ ]

[ ] ( ) trepar trimes %5741%511

112

%181

4 3 %18

33

3

3

..i

i

K,C,r

mois

mois

=−+=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===Fonction "maison" pour Voyage 200 et Nspire disponible sur le site du cours:

ieff(r,C,K)


Période de versement

Période de capitalisation K C M

Taux effectif par période de versement

Taux effectif annuel

Mensuel Quotidien 12 30 360 1.51% 19.72%Trimestriel Quotidien 4 90 360 4.60% 19.72%Semestriel Quotidien 2 180 360 9.41% 19.72%

Annuel Quotidien 1 360 360 19.72% 19.72%

Mensuel Mensuel 12 1 12 1.50% 19.56%Trimestriel Mensuel 4 3 12 4.57% 19.56%Semestriel Mensuel 2 6 12 9.34% 19.56%

Annuel Mensuel 1 12 12 19.56% 19.56%

Mensuel Trimestriel 12 0.333333 4 1.48% 19.25%Trimestriel Trimestriel 4 1 4 4.50% 19.25%Semestriel Trimestriel 2 2 4 9.20% 19.25%

Annuel Trimestriel 1 4 4 19.25% 19.25%

Mensuel Semestriel 12 0.166667 2 1.45% 18.81%Trimestriel Semestriel 4 0.5 2 4.40% 18.81%Semestriel Semestriel 2 1 2 9.00% 18.81%

Annuel Semestriel 1 2 2 18.81% 18.81%

Le taux effectif sur une pLe taux effectif sur une péériode quelconque: Exemplesriode quelconque: ExemplesTaux nominal = 18%

[ ] 11 versementde période −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

C

CKri 11 a −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

M

Mri

6


Le taux effectifLe taux effectifLe taux effectif Le taux effectif àà composition continuecomposition continue

Quand les flux monétaires sont énormes ou continus, il est fréquent que la composition soit continue

[ ]

[ ]

1

:1)( continuen compositio à annuel effectif taux Le

1

11

11

−=

=

−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∞

ra

Kr

C

C

ei

K

ei

CKr

CKlimi

CKri

Le nombre e ou le "nombre d'Euler" est une constante mathématique donnée par:

Geek fact:La première émission d'actions de Google fut d'un montant global de e milliards $(2 718 281 828$).

Le nombre e ou le "nombre d'Euler" est une constante mathématique donnée par:

Geek fact:La première émission d'actions de Google fut d'un montant global de e milliards $(2 718 281 828$).

71828211 .nn

limen

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→=


0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 10 20 30 40 50

n

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1171828.211 lim =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

n

n∞→n

n

Le nombreLe nombre ee

7


ExempleExemple

Prêt d’un an à 12%Composition mensuelle:

ia = (1+ 12%/12)12 – 1 = 12.6825%Composition continue:

ia = e0.12 – 1 = 12.7497%

Si le prêt est de 100 000$, la différence d’intérêt n’est que de 67.18$

Si le prêt est de 100 000 000$, la différence d’intérêt est de 67 182.14$!


Influence de la pInfluence de la péériode de composition sur le taux effectifriode de composition sur le taux effectif

Taux nominal: 12%

Composition continue

11.9%

12.0%

12.1%

12.2%

12.3%

12.4%

12.5%

12.6%

12.7%

12.8%

0 5 10 15 20 25

Nombre de périodes de composition par année

Taux

eff

ectif

ann

uel

8


RRéésumsuméé des formules ddes formules d’’intintéérêtrêt

Taux annuel effectif à composition continue

Taux effectif sur une période quelconque


Taux effectif par période de compositionMri =

11 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

M

a Mri

11 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

C

CKri

1−= rei


Calcul dCalcul d’é’équivalence:quivalence:Quand les pQuand les péériodes de versement et capitalisation coriodes de versement et capitalisation coïïncidentncident

Une période de versement = une période de capitalisationdonc C = 1

Procédure générale

1. Trouver le nombre de versement par année KEx: Paiements mensuels : K =12

2. Trouver le nombre de périodes de capitalisation par période versement CEx: Paiements mensuels, intérêts composés mensuellement: C =1

3. Calculer le taux d’intérêt effectif i par période de versement:

4. Calculer le nombre total de périodes de capitalisation NN =K x nombre d’annéesCe sont les i et N à utiliser dans les formules d’équivalence des page 2 et 3 (AEI, p. 100)

Mr

CKr

CKrii ==−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +== 11

1

tioncapitalisa de période versementde période

9


Exemple 3.5: PrêtExemple 3.5: Prêt--autoauto

Mustang 21 599$*, taux de financement de 48 mois à 8.5%!*** Plus 1% de frais de transport et de préparation, plus TPS & TVQ** Taux nominal, composé mensuellement

* Plus 1% de frais de transport et de préparation, plus TPS & TVQ. ** Taux nominal, composé mensuellement

P = 20 000$r = 8.5%K = 12, C =1 ⇒ M = CK = 12N = 48 mois

i mensuel= r/M = 8.5%/12= 0.7083%

A = P(A/P, i, N)A = 20 000$ (A/P, 0.7083%, 48)A = 492.97$ par mois

KM

r imensuelOU:

Prix de vente 21 599.00 $Frais de transport (1%) 215.99 $Total avant taxes 21 814.99 $TPS (5,0%) 1 090.75 $TVQ (8.5%) 1 946.99 $Total à payer 24 852.73 $Versement comptant (4 852.73 $)Solde à financer 20 000.00 $

Transaction


Auto: Comment calculer un prix de locationAuto: Comment calculer un prix de location

Supposons qu’un contrat de location de 48 mois, à 0$ comptant, au même taux de 8.5% et avec une valeur résiduelle du véhicule de 10 000$ soit offert.Un contrat de location n’est en fait qu’un financement dont la valeur présente de la valeur résiduelle du véhicule à la fin du bail est enlevée du montant du initial.

La valeur résiduelle du véhicule revient au locateur et non au locataire

Contrairement à un achat, La TPS et la TVQ sont calculées sur le montant des paiements et non sur la valeur initiale du véhicule.

Du point de vue du locateur:

-21 814.99 $

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14484746

10 000 $

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Montant équivalent du financement=– 21 814.99$ + 10 000$ (P/F, .7083%, 48)

= – 21 814.99$ + 7 126.24$ = – 14 688.75$

484746

10


Auto: Prix dAuto: Prix d’’une locationune location

( )( )

( )( ) $..

$.,P/A(A

F/P$N,i,F/PP

4741208511.05356.72$ mensuelPaiement :(8.5%) TVQet (5%) TPS Plus

0536248) 0.7083%, 688.75$ 14

688.75$ 1448 .7083%, ,$000 1021599

résiduelleValeur Prix

==

==

=+=−=

Pour calculer le taux de location, il faut calculer l’annuité pour rembourser le montant équivalent du financement et y ajouter la TPS et la TVQ. Ce montant équivalent est égal au prix initial, moins la valeur présente de la valeur résiduelle :


Auto: Achat ou locationAuto: Achat ou locationL’option de location, en plus de n’exiger aucun comptant, permet d’économiser 80.50$ par mois.

Achat LocationPrix de la voiture 21 599.00 $ 21 599.00 $Transport et préparation 215.99 $ 215.99 $Montant avant taxes 21 814.99 $ 21 814.99 $TPS & TVQ 3 038 $

24 852.73 $ 21 814.99 $Valeur résiduelle 10 000.00 $Valeur présente (7 126.24 $)Comptant (4 852.73 $) 0.00 $Montant financé 20 000.00 $ 14 688.75 $Paiements 492.97 $ 362.05 $TPS&TVQ 50.42 $Paiements totaux 492.97 $ 412.47 $

Cependant, l’option d’achat permet à l’acheteur de récupérer la valeur résiduelle de 10 000$ dans 48 mois. Est-ce que le paiement comptant de 4 853$ et le déboursé additionnel mensuel de 80$ le justifient? Tout dépend du rendement que l’acheteur pourrait obtenir en plaçant ces montants pendant 48 mois: aurait-il plus ou moins que 10 000$ dans 48 mois?Si on peut placer cet argent à plus que 0,3664% par mois (4.49% effectif par année), on devrait préférer la location:

4 852.73$(F/P, 0.3664%,48)+80.50$(F/A, 0.3664%,48)= 5 783.95$+4 216.05$ = 10 000.00$

11


Calcul dCalcul d’é’équivalence:quivalence:Quand les pQuand les péériodes de versement et capitalisation diffriodes de versement et capitalisation diffèèrentrentA: Cas oA: Cas oùù CC>1>1

i.e. Plus d’une période de capitalisation par période de versementProcédure générale:1. Trouver le nombre de périodes de versements par année (K) et le nombre

de capitalisation par période de versement (C)2. Calculer le taux d’intérêt effectif i par période de versement:

Capitalisation discrète:

Capitalisation continue:

3. Trouver le nombre total de périodes de versements (N):

4. Utiliser i et N dans les formules appropriées des la pages 2 et 3(AEI p. 100)

( ) 11 −+= CCK/ri

1−= Krei

années)d' nombre(KN ×=


Exemple 3.7Exemple 3.7

Dépôt trimestriels (à tous les trois mois) de 1 000 $ dans un fonds rapportant des intérêts de 12% nominal annuel, se composant mensuellement. Trouvez le solde accumulé à la fin de la deuxième année.

Étape 1K = 4, C = 3 M = CK =12

Étape 2i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +12%/12)3 -1 = 3.030% par trimestreieff(12,3,4)=3.03

Étape 3N = K x Nombre d’années = 4 x 2 = 8 trimestres

Étape 4F = A(F/A, i, N) = 1000 $ (F/A, 3.030%, 8) = 1000 $ x 8.901 808F = 8 901.81$

12


Exemple 3.7 avec les TIExemple 3.7 avec les TI

Dans un examen la formule du calcul du taux d'intérêt effectif, correspondant aux périodes de versement est exigé, i.e.:i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +12%/12)3 -1 = 3.030% par trimestreVous pouvez toujours utiliser la méthode directe ou la fonction ieff(r,C,K)pour vérifier votre calcul

KM

Méthode du taux effectif Méthode directe

ritrimestriel


Calcul dCalcul d’é’équivalence:quivalence:Quand les pQuand les péériodes de versement et capitalisation diffriodes de versement et capitalisation diffèèrentrentB: Cas oB: Cas oùù CC<1<1

i.e. Moins d’une période de capitalisation par période de versement

Procédure générale1. Si l'intérêt payé dès que le montant est déposé

Procédure générale: même que pour C > 1C peut être une fraction dans les formules

Ex: Dépôts mensuels, intérêt composé trimestriellementC = 1/3

2. Si l'intérêt n'est pas payé sur un dépôt fait après le début de la période de capitalisation

On additionne les dépôts fait au cours de la période de capitalisation et on les reporte à la fin de la période.Ensuite, même procédure générale que pour C = 1

13



Dépôt mensuels de 500 $ dans un fonds rapportant des intérêts de 10% nominal par année, se composant trimestriellement et calculés à partir du moment où l'argent est déposé. Trouvez le solde accumulé à la fin de la dixième année.

Étape 1K = 12, C = 1/3 M = CK =4

Étape 2i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +10%/4)1/3 -1 = 0.826% par moisieff(10,1/3,4)=0.826

Étape 3N = K x Nombre d’années = 12 x 10 = 120 mois

Étape 4F = A(F/A, i, N) = 500 $ (F/A, 0.826%, 120) = 500 $ x 203.883 47F = 101 907.89$


Exemple 3.9 avec les TIExemple 3.9 avec les TI

Même remarque: le calcul du taux effectif, correspondant aux périodes de versement est toujours exigé lors d'un examen, i.e.:i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +10%/4)1/3 -1 = 0.826% par mois

Méthode du taux effectif Méthode directe

KM

ritrimestriel

14


Exemple 3.10Exemple 3.10Dépôt mensuels de 500 $ dans un fonds rapportant des intérêts de 10% nominal par année, se composant trimestriellement et mais aucun intérêt payé si l'argent est déposé après le début de la période de capitalisation. Trouvez le solde accumulé à la fin de la dixième année.

Étape 0A = 500$ x 3 = 1 500$ par période de capitalisation

Étape 2i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +10%/4)1 -1 = 2.5% par trimestreieff(10,1,4)=2.50

Étape 3N = K x Nombre d’années = 4 x 10 = 40 trimestres

Étape 4F = A(F/A, i, N) = 1 500 $ (F/A, 2.5%, 40) = 1 500 $ x 67.402 55F = 101 103.83$ (une différence de 804.06$)

Étape 1K = 4, C = 1


Taux dTaux d’’intintéérêt variables: Capitalisation en charêt variables: Capitalisation en chaîîne ne Exemple: Montant uniqueExemple: Montant unique

Placement de 1 000$ pour 10 ans rapportant 6% p.a. effectif les deux premières années, 8% les trois années suivantes et 10% les 5 dernières années. Trouver F et le taux d’intérêt moyen des 10 années.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P = 1000$

B2 = P(F/P,6%,2)

F = B5(F/P,10%,5)

B5 = B2 (F/P,8%,3)

i = 6% i = 8 % i = 10 %1 124$

1 415$

2 279$

( )( )( )( )( )( )

$279 210%,5 ,$415 1

10%,5 ,8%,3 ,$124 110%,5 ,8%,3 ,6%,2 ,$000 1

====

FF/PF

F/PF/PFF/PF/PF/PF

15


Taux dTaux d’’intintéérêt variables: Capitalisation en charêt variables: Capitalisation en chaîîne ne Exemple: Montant unique (suite)Exemple: Montant unique (suite)

Calculer le montant d'une annuité équivalente à taux constant à ce placement unique à taux variable.

i moyen = (F/P)1 /N – 1 = (2 279$/1000$)1 /10 –1 = 8.59%

A = F(A/F, i, N)= 2 279$ (A/F, 8.59%, 10)= 152.97$

ou:A = P(A/P, 8.59%, 10)

= 152.97$

Signification:Si au lieu de placer 1 000$ à t=0 aux taux variables indiqués, on plaçait 152.97$ à la fin de chaque année pendant 10 ans à un taux constant de 8.59% on obtiendrait le même 2 279$ à la fin de la 10e année.


Taux dTaux d’’intintéérêt variable: Srêt variable: Sééries de flux monries de flux monéétairestaires

A2

0 1 2 3 N

A1A3 AN

AN-1

i1 i2 i3 iNiN-1

( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]111111

111111

eéquivalent annuitéL'

111 111

111111

21211

112

11

12

11

11

21

121

1212

111

432321

,i,F/P...,i,F/P,i,F/P...,i,F/P,i,F/P,i,F/PPA

i...ii...iiiPA

A....AAAA

i...iiA...iiAiAP

A....i.....iiAi.....iiAF

N

N

n

NN

NNN

+++=

+++++++++=

====

+++++++++=

++++++++=

−−−−−−

−−−

16


Taux dTaux d’’intintéérêt variable: Srêt variable: Sééries de flux monries de flux monéétairestairesExemple 3.13Exemple 3.13

i 0 1 2 3

100$200$ 250$

5% 7% 9%

Déterminez la série uniforme (annuité) équivalente de:

1. Calculer P

( ) ( )( ) ( )( )( )

:ou$40477

5%,1 ,7%,1 ,9%,1 ,$2505%,1 ,7%,1 ,$2005%,1 ,$100.P

P/FP/FP/FP/FP/FP/FP=

++=

( )( )( )[ ]{ }( ) $414775%,1 ,$1007%,1 ,$2009%,1 ,$250 .P/FP/FP/FP =++=

2. Calculer A( ) ( )( ) ( )( )( )

$5417965912

$4147165912$41471

5%,1 ,7%,1 ,9%,1 ,5%,1 ,7%,1 ,5%,1 ,$41471

..

.A

A..P/FP/FP/FAP/FP/FAP/FA.P

==

=++==



Exercice supplémentaire:Quel est le taux d'intérêt unique équivalent (i*)?

( ) ( ) ( )

:)(solution de algorithmeun d' muniessont cescalculatri Les(TRI) internerendement de taux leest pur équation cette àsolution la

0$414771

$411791

$411791

$41179321

TRIi*

.*i

.*i

.*i

.=−

++

++

+

i*= TRI =IRR(-477.41,{179.54}, {3})= 6.2838%

i 0 1 2 3

100$200$ 250$

5% 7% 9% 0 1 2 3

179.54$

5% 7% 9%

179.54$ 179.54$

0 1 2 3

179.54$

i*%

179.54$ 179.54$

i*% i*%

P = 477.41$

P = 477.41$P = 477.41$

17



i 0 1 2 3

100$200$ 250$

5% 7% 9% 0 1 2 3

179.54$

6.2838%

179.54$ 179.54$

P = 477.41$P = 477.41$

Année 1 2 3 Taux d'intérêt 5.00% 7.00% 9.00%Solde au début $477.40 $401.27 $229.36Intérêts 23.87 28.09 20.64 Retraits (100.00) (200.00) (250.00) Solde à la fin $401.27 $229.36 $0.00

Année 1 2 3 Taux d'intérêt 6.28% 6.28% 6.28%Solde au début $477.40 $327.86 $168.92Intérêts 30.00 20.60 10.61 Retraits (179.54) (179.54) (179.54) Solde à la f in $327.86 $168.92 $0.00

Preuve de l'équivalence


Prêts commerciaux amortis: calcul du capital et des intPrêts commerciaux amortis: calcul du capital et des intéérêtsrêts

Structure de prêt la plus courante Tous les versements sont égaux dans le temps et incluent une portion de remboursement de capital, une portion d’intérêts.Pourquoi cela nous intéresse-t-il?

Préparation des états financiers: intérêts affectent l’ER et le bilan, le capital affecte le bilan seulementLes intérêts sont déductibles pour fins d’impôt, pas le capital

Le calcul du montant total du paiement s’effectue selon la formule d’annuité:

A=P(A /P, i, N)Où:A: Montant du versement, capital et intérêtsP: Montant du prêti: le taux d’intérêt effectif par période de versementN: le nombre total de versements

18


Prêts commerciaux amortis: calcul du capital et des intPrêts commerciaux amortis: calcul du capital et des intéérêtsrêts

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Capital Intérêts

Période

$

AA

Capital + Intérêt = Annuité constanteMontant du capital et des intérêts varient d’un paiement à l’autre


Calcul du capital et des intCalcul du capital et des intéérêtsrêtsDeux mDeux mééthodes possiblesthodes possibles

1. Méthode tabulaire:Tableau d’amortissement du prêt:

Montants du capital et des intérêt à chaque période

2. Méthode analytique:Calcul des montant de capital et d’intérêts pour une période donnée seulement en calculant le solde impayé à la fin de la période précédente.

19


Balance Balance Balance BalanceMois Cap. Début Capital Intérêt Total Capital Fin Mois Cap. Début Capital Intérêt Total Capital Fin

1 20 000.00 $ 351.30 $ 141.67 $ 492.97 $ 19 648.70 $ 25 10 844.98 $ 416.15 $ 76.82 $ 492.97 $ 10 428.84 $2 19 648.70 $ 353.79 $ 139.18 $ 492.97 $ 19 294.91 $ 26 10 428.84 $ 419.10 $ 73.87 $ 492.97 $ 10 009.74 $3 19 294.91 $ 356.29 $ 136.67 $ 492.97 $ 18 938.62 $ 27 10 009.74 $ 422.06 $ 70.90 $ 492.97 $ 9 587.68 $4 18 938.62 $ 358.82 $ 134.15 $ 492.97 $ 18 579.80 $ 28 9 587.68 $ 425.05 $ 67.91 $ 492.97 $ 9 162.62 $5 18 579.80 $ 361.36 $ 131.61 $ 492.97 $ 18 218.44 $ 29 9 162.62 $ 428.06 $ 64.90 $ 492.97 $ 8 734.56 $6 18 218.44 $ 363.92 $ 129.05 $ 492.97 $ 17 854.52 $ 30 8 734.56 $ 431.10 $ 61.87 $ 492.97 $ 8 303.46 $7 17 854.52 $ 366.50 $ 126.47 $ 492.97 $ 17 488.03 $ 31 8 303.46 $ 434.15 $ 58.82 $ 492.97 $ 7 869.31 $8 17 488.03 $ 369.09 $ 123.87 $ 492.97 $ 17 118.93 $ 32 7 869.31 $ 437.23 $ 55.74 $ 492.97 $ 7 432.09 $9 17 118.93 $ 371.71 $ 121.26 $ 492.97 $ 16 747.23 $ 33 7 432.09 $ 440.32 $ 52.64 $ 492.97 $ 6 991.77 $10 16 747.23 $ 374.34 $ 118.63 $ 492.97 $ 16 372.89 $ 34 6 991.77 $ 443.44 $ 49.53 $ 492.97 $ 6 548.33 $11 16 372.89 $ 376.99 $ 115.97 $ 492.97 $ 15 995.90 $ 35 6 548.33 $ 446.58 $ 46.38 $ 492.97 $ 6 101.74 $12 15 995.90 $ 379.66 $ 113.30 $ 492.97 $ 15 616.23 $ 36 6 101.74 $ 449.75 $ 43.22 $ 492.97 $ 5 652.00 $13 15 616.23 $ 382.35 $ 110.61 $ 492.97 $ 15 233.88 $ 37 5 652.00 $ 452.93 $ 40.03 $ 492.97 $ 5 199.07 $14 15 233.88 $ 385.06 $ 107.91 $ 492.97 $ 14 848.82 $ 38 5 199.07 $ 456.14 $ 36.83 $ 492.97 $ 4 742.93 $15 14 848.82 $ 387.79 $ 105.18 $ 492.97 $ 14 461.04 $ 39 4 742.93 $ 459.37 $ 33.60 $ 492.97 $ 4 283.56 $16 14 461.04 $ 390.53 $ 102.43 $ 492.97 $ 14 070.50 $ 40 4 283.56 $ 462.62 $ 30.34 $ 492.97 $ 3 820.93 $17 14 070.50 $ 393.30 $ 99.67 $ 492.97 $ 13 677.20 $ 41 3 820.93 $ 465.90 $ 27.06 $ 492.97 $ 3 355.03 $18 13 677.20 $ 396.09 $ 96.88 $ 492.97 $ 13 281.12 $ 42 3 355.03 $ 469.20 $ 23.76 $ 492.97 $ 2 885.83 $19 13 281.12 $ 398.89 $ 94.07 $ 492.97 $ 12 882.23 $ 43 2 885.83 $ 472.52 $ 20.44 $ 492.97 $ 2 413.31 $20 12 882.23 $ 401.72 $ 91.25 $ 492.97 $ 12 480.51 $ 44 2 413.31 $ 475.87 $ 17.09 $ 492.97 $ 1 937.43 $21 12 480.51 $ 404.56 $ 88.40 $ 492.97 $ 12 075.95 $ 45 1 937.43 $ 479.24 $ 13.72 $ 492.97 $ 1 458.19 $22 12 075.95 $ 407.43 $ 85.54 $ 492.97 $ 11 668.52 $ 46 1 458.19 $ 482.64 $ 10.33 $ 492.97 $ 975.55 $23 11 668.52 $ 410.31 $ 82.65 $ 492.97 $ 11 258.20 $ 47 975.55 $ 486.06 $ 6.91 $ 492.97 $ 489.50 $24 11 258.20 $ 413.22 $ 79.75 $ 492.97 $ 10 844.98 $ 48 489.50 $ 489.50 $ 3.47 $ 492.97 $ 0.00 $

PaiementPaiement

MMééthode tabulairethode tabulaire

Exemple du prêt auto de 20 000$ à 8,5% p.a. nominal, 48 mois.

A = 492.97$ I4 = B4–1 x i= 18 938.62$ x 0.7083%= 134.15$

PP4 = A– I4= 492.97$ - 134.15$= 358.82$B4 = B3– PP4

= 18 938.62$ - 358.82$=18 579.80$

AInPPnBn-1 Bn AInPPnBn-1 Bn


Forme analytiqueForme analytique

1. Calculer Bn-1 directement:Bn-1 est la valeur présente des N – n + 1 annuités qui restent à n – 1

0

N

A A……..

Bn-1 = A(P /A, i, N-n+1)

N – n + 1

n-1

n

2. Calculer In

In est l'intérêt à payer sur Bn-1: In = Bn-1 x i période de capitalisation

3. Calculer PPn

PPn est le capital à payer à n: PPn = A - In

En français:Le solde du capital à la fin de n-1 est la valeur présente des paiements qui restent à faire.

En franEn franççais:ais:Le solde du capital Le solde du capital àà la la fin de fin de nn--11 est la valeur est la valeur prpréésente des paiements sente des paiements qui restent qui restent àà faire.faire.

20


Forme analytique: Exemple du prêt auto Forme analytique: Exemple du prêt auto àà n=21n=21

Exemple du prêt auto à n = 21, Paiements: A = 492.97$

B21–1 = B20 = A(P/A, 0.7083%, 48–21+1)= 492.97$(P/A, 0.7083%, 28)= 12 480.67$

I21= B20 x i= 12 480.67$ x 0.7083%= 88.40$

PP21 = A – I21= 492.97$ – 88.40$ = 404.56$


Prêts Prêts àà taux variables: Exemple taux variables: Exemple

Mustang 21 599$*, 0$ comptant, taux de financement de 1%!*** Plus TPS & TVQ, plus 1% de frais de transport et de préparation** Contrat de crédit de 48 mois, 1% la première année seulement, Taux de 12% par les trois années suivantes.. Taux nominaux, composés

mensuellement

* Plus TPS & TVQ, plus 1% de frais de transport et de préparation** Contrat de crédit de 48 mois, 1% la première année seulement. Taux de 12% par les

trois années suivantes. Taux nominaux, composés mensuellement

$39.327 1836) 0.0833%, ,/( $41.528

) , ,/(12

===

APNiAPAB

Solde du prêt à la fin de la première année:

Valeur présente à la fin de n =12 des36 paiements qui restent

$41.52848) 0.0833%, ,/( 852.73$ 24

) , ,/(121

===−

PANiPAPA

Paiements de la première année (K = 12, C = 1):

Le prêt est amorti sur 48 mois

( )( ) 000833112011

111 ..

CKri Cmensuel

=−+=

−+=

21


Prêts Prêts àà taux variables: Exemple (suite)taux variables: Exemple (suite)

$18.6226)3 1%, ,/( $39.327 18

) , ,/(124813

===−

PANiPABA

Montant des 36 paiements restants (K=12, C=1):

Quel plan est le meilleur?La réponse a cette question dépend en grande partie du rendement qu'il serait possible d'obtenir sur le montant comptant de 4 853$. Est-il suffisant pour compenser les paiements plus élevés, compte tenu de leurs distributions dans le temps?Nous verrons comment répondre efficacement à cette question à partir du cours 8.

( )( ) 0101121201

111 ..

CKri Cmensuel

=−+=

−+=

Plan original Plan modifiéPrix de la voiture 24 853 $ 24 853 $Comptant (4 853 $) 0 $Montant financé 20 000 $ 24 853 $Paiements 1 à 12 492.97 $ 528.41 $Paiement 13 à 48 492.97 $ 622.18 $Paiements totaux 23 662 $ 28 739 $Comptant 4 853 $ 0 $Déboursés totaux 28 515 $ 28 739 $


Plan modifiPlan modifiéé: le tableau d'amortissement du prêt : le tableau d'amortissement du prêt (aussi nomm(aussi nomméé calendrier de remboursement du prêt)calendrier de remboursement du prêt)

Balance BalanceMois Capital Capital Intérêt Total Mois Capital Capital Intérêt Total

0 24 852.73 $1 24 345.03 $ 507.69 $ 20.71 $ 528.41 $ 25 12 727.27 $ 490.01 $ 132.17 $ 622.18 $2 23 836.92 $ 508.12 $ 20.29 $ 528.41 $ 26 12 232.36 $ 494.91 $ 127.27 $ 622.18 $3 23 328.37 $ 508.54 $ 19.86 $ 528.41 $ 27 11 732.50 $ 499.86 $ 122.32 $ 622.18 $4 22 819.41 $ 508.96 $ 19.44 $ 528.41 $ 28 11 227.64 $ 504.86 $ 117.33 $ 622.18 $5 22 310.02 $ 509.39 $ 19.02 $ 528.41 $ 29 10 717.74 $ 509.91 $ 112.28 $ 622.18 $6 21 800.21 $ 509.81 $ 18.59 $ 528.41 $ 30 10 202.73 $ 515.01 $ 107.18 $ 622.18 $7 21 289.97 $ 510.24 $ 18.17 $ 528.41 $ 31 9 682.58 $ 520.16 $ 102.03 $ 622.18 $8 20 779.30 $ 510.66 $ 17.74 $ 528.41 $ 32 9 157.22 $ 525.36 $ 96.83 $ 622.18 $9 20 268.22 $ 511.09 $ 17.32 $ 528.41 $ 33 8 626.61 $ 530.61 $ 91.57 $ 622.18 $10 19 756.70 $ 511.51 $ 16.89 $ 528.41 $ 34 8 090.69 $ 535.92 $ 86.27 $ 622.18 $11 19 244.76 $ 511.94 $ 16.46 $ 528.41 $ 35 7 549.41 $ 541.28 $ 80.91 $ 622.18 $12 18 732.39 $ 512.37 $ 16.04 $ 528.41 $ 36 7 002.72 $ 546.69 $ 75.49 $ 622.18 $13 18 297.53 $ 434.86 $ 187.32 $ 622.18 $ 37 6 450.57 $ 552.16 $ 70.03 $ 622.18 $14 17 858.32 $ 439.21 $ 182.98 $ 622.18 $ 38 5 892.89 $ 557.68 $ 64.51 $ 622.18 $15 17 414.72 $ 443.60 $ 178.58 $ 622.18 $ 39 5 329.63 $ 563.25 $ 58.93 $ 622.18 $16 16 966.69 $ 448.04 $ 174.15 $ 622.18 $ 40 4 760.75 $ 568.89 $ 53.30 $ 622.18 $17 16 514.17 $ 452.52 $ 169.67 $ 622.18 $ 41 4 186.17 $ 574.58 $ 47.61 $ 622.18 $18 16 057.13 $ 457.04 $ 165.14 $ 622.18 $ 42 3 605.85 $ 580.32 $ 41.86 $ 622.18 $19 15 595.52 $ 461.61 $ 160.57 $ 622.18 $ 43 3 019.72 $ 586.12 $ 36.06 $ 622.18 $20 15 129.29 $ 466.23 $ 155.96 $ 622.18 $ 44 2 427.74 $ 591.99 $ 30.20 $ 622.18 $21 14 658.40 $ 470.89 $ 151.29 $ 622.18 $ 45 1 829.83 $ 597.91 $ 24.28 $ 622.18 $22 14 182.80 $ 475.60 $ 146.58 $ 622.18 $ 46 1 225.95 $ 603.89 $ 18.30 $ 622.18 $23 13 702.44 $ 480.36 $ 141.83 $ 622.18 $ 47 616.02 $ 609.92 $ 12.26 $ 622.18 $24 13 217.28 $ 485.16 $ 137.02 $ 622.18 $ 48 (0.00 $) 616.02 $ 6.16 $ 622.18 $

Paiement Paiement

22


Prêt simple: comment construire le tableau d'amortissementPrêt simple: comment construire le tableau d'amortissement

Prêt de 10 000$ à un taux nominal de 6%, composé mensuellement, remboursé en 5 paiements annuels égaux, comprenant capital et intérêt, payables en fin d'année.

%.%Mri

CKMC;K%;rM

effectifannuel 1761126111

12121612

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

==⇒===

0 1 2 3 4 5

P = 10 000$

A A A A A

( ) $385 25 6.17%, $000 10 == ,P/AA

eff(6,12)=6.17%


Prêt simple: comment construire le tableau d'amortissementPrêt simple: comment construire le tableau d'amortissement

Année 1 2 3 4 5 Capital au début (Bn-1) 10 000 $ 8 232 $ 6 355 $ 4 362 $ 2 246 $Intérêts (I) 617 $ 508 $ 392 $ 269 $ 139 $Remb. de capital (PP) 1 768 $ 1 877 $ 1 993 $ 2 116 $ 2 246 $Capital à la fin (Bn) 8 232 $ 6 355 $ 4 362 $ 2 246 $ (0 $)

( )

nnn

nn

nn

PPBBIAPP

iBI

−=

−=

=

−

−

1

1

Programme « maison »:tblamort(npmt,N,i,PV,FV)

• npmt: les "npmt" premières années du tableau à afficher.

• Ce programme est disponible sur le site du cours: tblamort.v2p

• Fonction déjà inclue sur Nspire (voir page suivante)

tblamort(5,5,6.17,10000,0)

23


Tableau d'amortissement avec la Tableau d'amortissement avec la NspireNspire

La Nspire possède déjà cette fonction:amortTbl(NPmt,N,I,PV,[PMT],[FV],[K],[M],[0,1])

Ne pas entrer FV si FV=0


Prêt Prêt àà taux variable mais taux variable mais àà paiements paiements éégauxgaux

Un prêt de 5 000$ porte un intérêt effectif, composé annuellement, de 8% la première année, 10% la deuxième année et 12% la troisième année. Il doit être remboursé en trois paiements annuels égaux. Quel est le montant du paiement et le calendrier de remboursement du prêt, capital et intérêts?

0 1 2 3

A=?

i = 8% i = 10% i = 12%

P=5 000$

A=? A=?

24


Prêt Prêt àà taux variable mais taux variable mais àà paiements paiements éégaux (suite)gaux (suite)

Période 0 1 2 3Taux 8% 10% 12%Période P/F (produit) (P/F,i,1) (P/F,i,1) (P/F,i ,1)

1 0.9259 0.9259 2 0.8418 0.9259 0.9091 3 0.7516 0.9259 0.9091 0.8929

Total 2.5192

Période 1 2 3Taux 8% 10% 12%Capital au début 5 000.00 $ 3 415.27 $ 1 772.08 $Intérêts 400.00 $ 341.53 $ 212.65 $Remb. de capital 1 584.73 $ 1 643.20 $ 1 772.08 $Capital à la fin 3 415.27 $ 1 772.08 $ (0.00 $)Paiement total 1 984.73 $ 1 984.73 $ 1 984.73 $

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

$73984 151922

$000 5121101811018181

000 5121%101%81%101%81%81

111111

111111

..

A

%%%%%%$A

%AAAP

==

++++++++=

++++++++=

−−−−−−

−−−−−−


Prêt Prêt àà paiements paiements éégaux mais irrgaux mais irrééguliersguliers

Un prêt de 5 000$ porte intérêt à 8% composé annuellement. Il doit être remboursé sur cinq ans en quatre paiements annuels égaux dus à la fin de la première, deuxième, quatrième et cinquième année. On ne paie rien à la troisième année.

0 1 2 3 4 5

A=?

P=5 000$

A=? A=? A=?

25


Prêt Prêt àà paiements paiements éégaux mais irrgaux mais irrééguliersguliers

( ) ( )( ) ( )

$0515633.1989

$000 53.1989 0.7938 3.9927$000 5

3 8%, 5 8%, $000 5

.A

AAA,F/PA,A/PAP

==

=−=−==

0 1 2 3 4 5

A

P=5 000$

A

A A A A

Année 1 2 3 4 5 Capital au début 5 000.00 $ 3 836.95 $ 2 580.86 $ 2 580.86 $ 1 447.27 $Intérêt 400.00 $ 306.96 $ 0.00 $ 429.46 $ 115.78 $Remb. de capital 1 163.05 $ 1 256.09 $ 0.00 $ 1 133.59 $ 1 447.27 $Capital à la fin 3 836.95 $ 2 580.86 $ 2 580.86 $ 1 447.27 $ 0.00 $Paiement total 1 563.05 $ 1 563.05 $ 0.00 $ 1 563.05 $ 1 563.05 $

( )( ) $464291.081$862580 24 ..I =−+= Intérêt composé pour 2 ans


Prêt Prêt àà paiements paiements éégaux mais irrgaux mais irrééguliersguliersAutres méthodes pour trouver A:

0 1 2 3 4 5

A

P=5 000$

A A A

Avec la TI:nsolve(npv(8,5000,{-A,0,-A},{2,1,2})=0,A)=1563.05

Avec calculatrice financière:Entrer CF0=0; CF1=1, F1=2; CF2=0, F2=1; CF3=1, F3=2NPV, Entrer I=8 NPV = 3.199$Faire une règle de 3:

05563 13.199

000 5000 53.199

1

.A

A

==

=

26


Prêt oPrêt oùù on ne paie que les inton ne paie que les intéérêts rêts àà certaines pcertaines péériodesriodes

Un prêt de 5 000$ porte intérêt à 8% composé annuellement. Il doit être remboursé sur cinq ans en quatre paiements annuels égaux dus à la fin de la première, deuxième, quatrième et cinquième année. La troisième année on ne paiera que les intérêts.

0 1 2 3 4 5

A=?

P = 5 000$

A=? A=? A=?I =?


Prêt oPrêt oùù on ne paie que les inton ne paie que les intéérêts rêts àà certaines pcertaines péériodesriodes

Pour trouver A, on considère pour N que le nombre de paiements oùon paie capital et intérêts. Ici N = 4

0 1 2 3 4 5

A=1509.60$

P = 5 000$

A=1 509.60$ I =?

Année 1 2 3 4 5 Capital au début 5 000.00 $ 3 890.40 $ 2 692.02 $ 2 692.02 $ 1 397.78 $Intérêt 400.00 $ 311.23 $ 215.36 $ 215.36 $ 111.82 $Remb. de capital 1 109.60 $ 1 198.37 $ 0.00 $ 1 294.24 $ 1 397.78 $Capital à la fin 3 890.40 $ 2 692.02 $ 2 692.02 $ 1 397.78 $ 0.00 $Paiement total 1 509.60 $ 1 509.60 $ 215.36 $ 1 509.60 $ 1 509.60 $

( ) ( ) $60509 14 8%, 000$ 5 4 8%, .,P/A,P/APA ===

A=1509.60$ A=1 509.60$

27



Montant du paiement de capitalPRINCPER =(taux; période; npm; va; vc; type)

taux: taux d’intérêt par périodePériode: la période pour la quelle on veut connaître l’intérêtnpm: nombre de périodesva: valeur actualisée (capital)vc: valeur capitalisée (future)Type: 0 ou omis = fin de période; 1= début de période

Montant du paiement d’intérêtINTPER =(taux; période; npm; va; vc; type)

1





Dans combien d’années un investissement triplera-t-il si son taux d’intérêt de 9% se compose:

a) Trimestriellement,

b) Mensuellement,

c) Continuellement?

2



3/3%9

=⇒==

PFPF

r

N=?

F =3P

P

0

a) trimestriellement K = 1;C = 4 M = CK=4

( )( )

( )( ) ans 3412

0930813

1

308914091

11

4

..lnln

ilnP/FlnN

%.%.i

Mri

a

M

a

==+

=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

TI: tvm_n(eff(9,4),-1,0,3)=12.34



b) mensuellement K = 1; C = 12M =12

( )( )

( )( )

ans2512093811

31

3819112091

11

12

..lnln

ilnP/FlnN

%.%.i

Mri

a

M

a

=

=+

=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

c) continuellement M = infini

ans21.12

)09417.1ln()3ln(

)1ln()/ln(

%417.91

1

09.0

=

=+

=

=−=

−=

iPFN

ei

ei

a

ra

tvm_N(eff(9,12),-1,0,3)=12.25 tvm_N((e^(.09)-1)*100,-1,0,3)=12.21

3



À combien doivent s’élever les dépôts trimestriels, A, qui permettront de retirer les montants indiqués dans le diagramme des flux monétaires, si l’intérêt de 8% se compose trimestriellement?

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 500$

2 500$

A(Dépôt)



%%

CKri

CK

%r

C

214

81

11

1 versementde périodepar n compositio de période 14annéepar dépôts 4

8

1

ltrimestrie

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⇒=⇒

=

Calcul du taux d’intérêt trimestriel

ieff(8,1,4)=2.00

4



0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 500$

2 500$P(retraits)=1385.77$ + 2 133.73$= 3 519.49$

1 500$(P/F, 2%, 4)= 1 385.77$

2 500$(P/F, 2%, 8)= 2 133.73$

A(Dépôt) ( ) ( )

( )( )

$024717.4720

$49195 34720747206$49195 3

7 2%, $49195 3

..A

A..AA.,A/PAA.

dépôtsPretraitsP

==

=+=+=

=

nsolve(npv(2,A,{A},{7})=3519.49,A)=471.02



Preuve tabulaire

Trimestre Solde début Intérêt (2%) Dépôt Retrait Solde fin0 - 0.00 $ 471.02 $ 0.00 $ 471.02 $1 471.02 $ 9.42 $ 471.02 $ 0.00 $ 951.47 $2 951.47 $ 19.03 $ 471.02 $ 0.00 $ 1 441.52 $3 1 441.52 $ 28.83 $ 471.02 $ 0.00 $ 1 941.38 $4 1 941.38 $ 38.83 $ 471.02 $ (1 500.00 $) 951.23 $5 951.23 $ 19.02 $ 471.02 $ 0.00 $ 1 441.28 $6 1 441.28 $ 28.83 $ 471.02 $ 0.00 $ 1 941.13 $7 1 941.13 $ 38.82 $ 471.02 $ 0.00 $ 2 450.98 $8 2 450.98 $ 49.02 $ 0.00 $ (2 500.00 $) 0.00 $

5



Sam Salvetti désire prendre sa retraite dans 15 ans. Il peut placer de l’argent à un taux d’intérêt de 8% se composant trimestriellement. Quel est le montant du dépôt qu’il doit effectuer à la fin de chaque trimestre, jusqu’au moment de sa retraite, pour pouvoir retirer 25 000$ à tous les 6 mois pendant les 5 premières années de sa retraite? Présumez que son premier retrait aura lieu 6 mois après le début de sa retraite.



(Trimestres)

0 601 2 593

A =?

(Semestres)

0 101 2 93

Épargne Retraite

A= 25 000$

60154

%2114

%81

11

1 ;4 %;8

1

=×=×=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×+=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×+=

===

AnnéesKN

CKri

CKr

C

ltrimestrie

1052

%04.4122

%81

11

2 ;2 %;8

2

s

=×=×=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×+=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×+=

===

AnnéesKN

CKri

CKrC

emestriel

6



(Trimestres)

0 601 2 593

A =?

(Semestres)

0 101 2 93

Épargne Retraite

A= 25 000$

1. Combien doit-il avoir au début de sa retraite pour retirer 25 000$ à tous les six mois?

P = A(P/A, i, N)= 25 000$ (P/A, 4.04%, 10)= 202 369.22$

2. Combien doit-il déposer à la fin de chaque trimestre pour accumuler 202 369.22$ après 60 trimestres?

A = F(A/F, i, N)= 202 369.22$ (A/F, 2%, 60)= 1 774.37$

P = 202 369.22$

F= 202 369.22$

1 774.37$

tvm_pmt(60,2,0,tvm_pv(10,4.04,25000,0))=1774.37



Émilie Lacy reçoit 250 000$ d’une compagnie d’assurances après le décès de son mari. Elle veut déposer ce montant dans un compte d’épargne rapportant 6%, se composant mensuellement, puis effectuer 60 retraits mensuels égaux s’échelonnant sur 5 ans, de sorte qu’au moment du dernier retrait, le solde du compte d’épargne soit de zéro. Combien peut-elle retirer à chaque mois?

7



A =?

0

601 2 593

A =?

P = 250 000$

60512

%5.01112

%61

11

1 ;21K %;6

1

=×=×=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×+=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×+=

===

AnnéesKN

CKri

Cr

C

mensuel

833.20$ 4

)60 %,5.0 ,/$(000 250

),,/(

=

=

=

A

PAA

NiPAPA



Le diagramme de flux monétaires suivant présente des transactions dont le taux d’intérêt est variable.a. Trouvez la valeur actualisée. (En d’autres termes, combien

doit-on déposer maintenant pour pouvoir retirer 300$ à la fin de la première année. 300$ à la fin de la deuxième année, 500$ à la fin de la troisième année et 500$ à la fin de la quatrième année?)

b. Quel est le taux d’intérêt effectif unique applicable aux 4 années?

0 1 2 3 4

300$ 300$

500$ 500$

P=?6% composé

mensuellement9% composé


mensuellement

8



0 1 2 3 4

300$ 300$

P=?6% composé



mensuellement

%.%

Mri

MCK%;r

M

a

17611261

11

1212 1; 6

12

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⇒===

%.%

Mri

MCK%;r

M

a

38911291

11

1212 1; 9

12

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⇒===

500$ 500$

%.%

Mri

MCK%;r

M

a

17611261

11

1212 1; 6

12

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⇒===

eff(6,12)=6.17 eff(6,12)=6.17eff(9,12)=9.38



0 1 2 3 4

300$ 300$

P=1305.32$

6.17% 9.38% 6.17%

500$

500$

9.38%

470.95$

970.95$1187.68$

887.68$

1385.82$

1085.82$

+++

(P/F, 6.17% ,1)(P/F, 9.38% ,1)(P/F, 9.38% ,1)(P/F, 6.17% ,1)

Calcul de P

Calcul de i effectif unique

1 305.32$

500$

01 2 3 4

500$300$ 300$

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

%8187:IRRfonction la Avec

01500$1500$

1300$1$300305.32$ 1

1111

43

21

44

33

22

11

.i

ii

ii

iFiFiFiFP

=

=++++

++++−⇒

+++++++=

−−

−−

−−−−

IRR(-1305.32,{300,500},{2,2})=7.818

i i i i

9



M. Simard achète une automobile neuve de 12 500$. Il fait un versement initial de 2 500$ et emprunte le reste à la banque, àun taux d’intérêt de 9%, se composant mensuellement. Il remboursera cet emprunt par des versements mensuels s’échelonnant sur 2 ans. Pour chacune des questions suivantes, choisissez la bonne réponse.a) Quel est le montant du versement mensuel (A)?

i. A = 10 000$(A/P, 0.75%, 24)ii. A = 10 000$(A/P, 9%, 2)/12iii. A = 10 000$(A/F, 0.75%, 24)iv. A = 12 500$(A/F, 9%, 2)/12



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

A=?

P = 10 000$

A = P(A/P, i, N)A = 10 000$(A/P, 0.75%, 24)A = 456.85$

Réponse i.%.%

CKri

CK%;rC

mensuel

75011291

1 1

1 12; 9

1

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

10



b) Immédiatement après avoir effectué le 12e versement, M. Simard veut calculer le solde impayé de son emprunt. À combien s’élève-t-il?

i. 12Aii. A(P/A, 9%, 1)/12iii. A(P/A, 0.75%, 12)iv. 10 000$ – 12A

Rappel:Après avoir fait le 12e versement, on se situe à la période n = 13.Le solde B du capital à payer à la période 13 est le solde à la de la fin de la période précédente, dont l'indice de temps est N-n+1 = 24-13+1=12.Sans faire le tableau d'amortissement au complet, on peut connaître B12: c'est la valeur présente des 12 paiements qui restent à faire.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

A=456.85$


Bn-1=B13-1 = B12= ?

n = 13 n – 1 =12B13-1= B12 = Solde du capital à la fin de la 12e périodeB12=A(P/A, i, N-n+1)B12 = 456.85$(P/A, 0.75%, 24-13+1)B12 = 456.85$(P/A, 0.75%, 12) la valeur présente des 12 versements restantsB12 = 5 224.01 $

Réponse iii.

11



Vous achetez une maison 150 000$ et contractez un emprunt hypothécaire de 120 000$, dont le taux nominal est de 9%. Cinq ans plus tard vous revendez la maison 185 000$ (déduction faite de tous les frais de vente). Quelle est la valeur nette (le montant qui reste avant toute taxe et impôt) réalisée en fonction d’un amortissement de 30 ans. Présumez que la capitalisation est semestrielle et que les versements sont mensuels.



0

2 360359

P= 120 000$

1

A= ?

A = P(A/P, i, N)A = 120 000$(A/P, 0.7363%, 360)A = 951.40 $

3603012

0.7363%12

91

1 1

1/6 12; 9

61

=×=×=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

annéesKN

%

CKri

CK%;r

/

C

mensuel

ieff(9,1/6,12)=0.7363

12



0

2 360359

P= 120 000$

1 6159 60

B60 = ?

n = 61 n – 1 =60B60 = Solde du capital à la fin de la 60e périodeB60=A(P/A, i, N – n + 1)B60 = 951.40$(P/A, 0.7363%, 360-61+1)B60 = 951.40$(P/A, 0.7363%, 300) la valeur présente des 300 versements restantsB60 = 114 906.41$

Valeur nette réalisée = Prix de vente net – Solde du capital à payer=185 000$ - 114 906.41$ = 70 093.59$


Exercice 3.70: Question supplExercice 3.70: Question suppléémentairementaire

Quel rendement avez-vous obtenu sur votre investissement comptant initial de30 000$?

0 1 2 3

P = 30 000$

A = 951.40$

F = 70 093.59$

59 60

( ) ( )( )( )

( )

( ) %/an4861005711

%/mois55710

0159093 701

114095130000

60$59093 7060$40951$000 30

12

6060

60

..i

.i

i.ii

i.

,i,P/F.,i,A/P.P

a −=−−=

−=⇒

=++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−+−

+−=−=

13


Exercice 3.70: Question supplExercice 3.70: Question suppléémentairementaire

Supposons maintenant que l'achat de la maison vous a permis d'économiser un loyer de 800$/mois, mais que le montant des taxes, le chauffage et l'entretien s'élèvent en moyenne à 500$/mois. Quel est le rendement obtenu?

0 1 2 3

P = 30 000$

A = 651.40$

F = 70 093.59$

59 60

( ) /an4101000391

is0.0339%/mo

$40651$500$40951$800

12 %..i

i

..AEntretien&TaxesHypothèqueLoyerA

a =−+=

=⇒

=−−=−−=



Si vous contactez un emprunt de 120 000$ avec un amortissement de 30 ans et un taux d’intérêt variable de 9% se composant mensuellement et susceptible de changer tous les 5 ans,

a) au début quel sera le versement mensuel?

b) si au bout de 5 ans, le prêteur porte le taux d’intérêt nominal à 9.75%, à combien s’élèvera le nouveau versement mensuel?

14



a) au début quel sera le versement mensuel?

$.A,P/A$(A

Ni,P/A(PA

annéesKN

%.%%CK

ri

CK%;rC

mensuel

55965360) 0.75%, 000 120

) ,

3603012

7501291

129111

1 12; 91

===

=×=×=

==−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===



b) si au bout de 5 ans, le prêteur porte le taux d’intérêt nominal à9.75%, à combien s’élèvera le nouveau versement mensuel?

056.16$ 115

300) 0.75%, ,/$(55.965

60

60

=

=

B

APB

Le solde du capital à payeraprès 60 versements = La valeur présente des300 paiements restants

$.A,P/A$(.A

Ni,P/A(PAannéesKN

%.i

%.CK

ri

CK%;.r

mensuel

C

mensuel

31025 1300) 0.8125%, 16056 115

) , 3002512

8125012759111

1 12; 7591

===

=×=×=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

Le nouveau versementmensuel:

15



Vous contractez aujourd'hui un emprunt remboursable en 4 paiements égaux de 3 000$, comprenant capital et intérêt et dus en fin d'année. Le remboursement de capital de la quatrième année est de 2 750$.Quel est le montant du prêt et son taux d'intérêt effectif?Établissez le calendrier d'amortissement du prêt.



??

0750$ 2

4$000 3

4

4

====

==

PiBPPNPMT

( ) ( ) $700 99.09%.4 ,000$ 3%099750$ 2$250

250$750$ 2000$ 3 750$ 2750$ 20

34

44

443

===

===

=−=−=

=+=+=

A/PN,i,P/APMTP.BIi

PPPMTIPPBB

Année 1 2 3 4Capital au débutIntérêtsRemboursement de capital 2 750 $Capital à la fin 0 $PMT total 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $

Année 1 2 3 4Capital au début 9 700 $ 7 582 $ 5 271 $ 2 750 $Intérêts 882 $ 689 $ 479 $ 250 $Remboursement de capital 2 118 $ 2 311 $ 2 521 $ 2 750 $Capital à la fin 7 582 $ 5 271 $ 2 750 $ 0 $PMT total 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $

16



Vous contractez aujourd'hui un emprunt remboursable sur 4 ans de la manière suivante:

Taux d'intérêt de 12%, composé trimestriellement3 paiements égaux comportant capital et intérêts dus à la fin des années 1, 2, et 4Paiement des intérêts seulement à la fin de l'année 3Montant des intérêts de l'année 2: 885$

Quel est le montant du prêt et son taux d'intérêt effectif?Établissez le calendrier d'amortissement du prêt.



$88544 1

1203 annéel' à

seulement intérêts?

2

3

===⇒==

=

=⇒

=

ICKMC,K

%rPP

P

Année 1 2 3 4Capital au début 10 000 $ 7 052 $ 3 734 $ 3 734 $Intérêts 1 255 $ 885 $ 469 $ 469 $Remboursement de capital 2 948 $ 3 318 $ 0 $ 3 734 $Capital à la fin 7 052 $ 3 734 $ 3 734 $ 0 $PMT total 4 203 $ 4 203 $ 469 $ 4 203 $

Année 1 2 3 4Capital au débutIntérêts 885 $Remboursement de capital 0 $Capital à la fin 0 $PMT total

$052 70.1255

85$821 ===

iIB

( )( ) $302 42 .1255,0 $052 7

2 .1255,01

==

=

,P/AA,P/ABA

1

2

3 ( )( ) 00$0 103 .1255,0 $023 4

3 .1255,0 ==

=,A/PP

,A/PAP

%55124120111

4

..Mri

M

a =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

17



Vous contractez aujourd'hui un emprunt de 10 000$ remboursable sur 4 ans de la manière suivante:

Paiements égaux comportant capital et intérêts en fin d'année 1 et 4.Aucun paiement, ni intérêt, ni capital aux années 2 et 3Montant des intérêts de l'année 1: 1 200$

Établissez le calendrier d'amortissement du prêt.



( )( )( ) $886 140.49%640$ 4

112%1$657 4 34

==−+=I

Avec les TI:nsolve(npv(12,0,{x,0,0,x})=10000,x)=6543

Année 1 2 3 4Capital au début 10 000 $Intérêts 1 200 $ 0 $ 0 $Remboursement de capital 0 $ 0 $Capital à la fin 0 $PMT total$200 1

0000 01

1

3322

=

=====

IPPIPPI

$P

( ) ( )( ) ( )

$6543528416355089290000$ 10

4 12 1 12 000$ 10

%12000$ 10

$002 11

==+=

+=

===

XX..X.X

%,,F/PX%,,F/PXPIi

0 1 2 3 4

P =10 000$

X X

Année 1 2 3 4Capital au début 10 000 $ 4 657 $ 4 657 $ 4 657 $Intérêts 1 200 $ 0 $ 0 $ 1 886 $Remboursement de capital 5 343 $ 0 $ 0 $ 4 657 $Capital à la fin 4 657 $ 4 657 $ 4 657 $ 0 $PMT total 6 543 $ 0 $ 0 $ 6 543 $

18



Avec une calculatrice financière:Supposez X = 1$

0 1 2 3 4Flux monétaire 0 $ 1 $ 0 $ 0 $ 1 $

Calculez NPV à 12%NPV = 1.5284$

Faire une règle de 3:

543$ 6$52841$000 10

$000 10$52841$1

==

=

.X

X.

1

Cours 5Cours 5

LL’’intintéérêt et lesrêt et lesformules dformules d’é’équivalence:quivalence:Cas particuliersCas particuliers


2GIA 400 - Cours 5

ContenuContenu

Flux monétaires en début de période

Flux monétaires continus

Gradient linéaire

Gradient géométrique

Référence

AEI 3.4, 2.3.5, 2.3.6

2

3GIA 400 - Cours 5

Calculs dCalculs d’é’équivalence de flux non conventionnels:quivalence de flux non conventionnels:Versements en dVersements en déébut de pbut de péérioderiode

Quand le flux monétaire et le taux d'intérêts sont connus, le flux monétaire de début de période est transformé en flux monétaire de fin de période en lui appliquant un facteur de capitalisation d’une période.Exemple:

0 1 2 3

100 $ 200 $ 150 $

0 1 2 3

x (1 + i )110 $

220 $165 $

i = 10%i = 10%

( )( )

$79405$97123$82181$1002 10%, ,$1501 10%, ,$200

$100

...PF/PF/P

P

=++=

++= ( )

( )( )

$79405$97123$82181$1003 10%, ,$1652 10%, ,$220

1 10%, ,$110

...PF/PF/P

F/PP

=++=

++=

P=NPV(10,100,{200,150})=405.79 P=NPV(10,0,{110,220,165})=405.79

4GIA 400 - Cours 5

Calculs dCalculs d’é’équivalence de flux non conventionnels:quivalence de flux non conventionnels:Versements en dVersements en déébut de pbut de péérioderiode

Quand le flux monétaire ou le taux d'intérêts sont inconnus, il faut manipuler les années.Exemple: Combien déposer en début de période pendant 5 ans à un taux d'intérêt 10%, pour accumuler 5 000$ à la fin de l'année 5.

0 1 2 3 4 5

A = ?

F = 5 000$

0 1 2 3 4 5

F = 5 000$

-1

P=5 000$(P/F, 10%, 6)P = 2822.37$

A=2832.37$(A/P, 10%, 5) = 744.53$

Directement avec la TI:nsolve(npv(10,-A,{-A,5000},{4,1})=0,A)=744.53

3

5GIA 400 - Cours 5

Calcul dCalcul d’é’équivalence d'unquivalence d'unVersement unique Versement unique àà composition continuecomposition continue

( )

( )

rN

rN

Nr

r

N

FeP

PeF

ePF

rei

iPF

−=

=

−+=

−=

+=

:et

11

:Doncnominal annuel taux leest où 1

:quesait on continue,est n compositio la Si

1

Exemple:Valeur dans 5 ans de 1 000$ déposés à r = 8%, composécontinuellement:

1491.82$ 000$ 1

000$ 14

508

==

=

=×

.

.

rN

e

eF

PeF

6GIA 400 - Cours 5

Calculs dCalculs d’é’équivalence de flux non conventionnels:quivalence de flux non conventionnels:Flux continus et composition continueFlux continus et composition continue

( )

( )

( )NrAPAre

eAP

Af(t)

dtetfP

r

ttf

rN

rN

rtN

, ,/1

: constant flux àfonction unePour

:par donnéest nominalau taux continuefaçon de composémonétaire,flux ce de actualisée valeur La

au temps monétaireflux ledonnant continuefonction uneSoit

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

=

= −∫

La plupart du temps, lorsque l'on choisit de construire un modèle financier àflux continus, on choisira aussi la composition continue du flux monétaire.

0 N

f(t)=A

Note: r est un taux annuel, A doit être un flux par année

∆t

4

7GIA 400 - Cours 5

Calculs dCalculs d’é’équivalence de flux non conventionnels:quivalence de flux non conventionnels:Versements continus et composition continue (suite)Versements continus et composition continue (suite)

Si le flux continu est constant, plutôt que de transformer les formules de P et Fcomme dans le manuel, on peut plutôt continuer à utiliser toutes nos formules en transformant le flux continu en un flux de fin de période comme ceci:

0 1

A

Flux continu

0 1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

×)1ln( i

i

Flux de fin de période

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

×=)iln(

iAA1

Si ce flux A se répète ensuite sur plusieurs périodes N et qu'il est composéde façon continue on peut utiliser tous les facteurs d'équivalence habituels avec i = er – 1

8GIA 400 - Cours 5

Versements continus et composition continue: ExempleVersements continus et composition continue: Exemple

Le Gouvernement du Québec prévoit que son déficit budgétaire fera augmenter la dette de la province de 5 700$ par minute en 2010. Supposons que pour financer cette dette, le gouvernement tire des chèques 24/7 sur une marge de crédit offerte par un syndicat bancaire à un taux nominal de 6% par année, composé continuellement. Si le déficit continue ainsi pendant 3 ans, à combien s'élèvera la marge de crédit utilisée à la fin de la troisième année?

On peut approximer ce flux monétaire par un flux monétaire continu car:Une minute = 1.9 x 10-6 année

Première chose à faire, exprimer A dans la même unité de temps que r :

A = 5 700 $ /minuteA = 5 700 $/min x 60 min/hre x 24 hres/jr x 365 jrs/année

= 2 995 200 000 $/année

5

9GIA 400 - Cours 5

Versements continus et composition continue: ExempleVersements continus et composition continue: Exemple

( )( )( )

G$ 847918933G$ 0983

3 6.1837%, G$ 0983

G$ 09830618371

061837G$ 2.995

183761 :où

1

...

,A/F.N,i,A/FAF

.).ln(

.

%.ei

)iln(iAA

r

====

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

Exercice: vérifier que cette méthode donne le même résultat que celui qui peut être trouvé avec la formule donnée au tableau 3.2, p 155 du manuel.

10GIA 400 - Cours 5

Versements continus et composition continue:Versements continus et composition continue:Flux Flux nonnon--constants dans le tempsconstants dans le temps

Cas d’une fonction linaire (Rampe)Le flux monétaire augmente (diminue) d’un montant constant G.

( )

( ) ( )rNrN

rtN

rtN

eNrGe

rGP

dteGtdtetfP

−−

−−

−−−=

== ∫∫

1

2

00

0 N∆t

Gttf =)(

0 N∆t

jtcetf −=)(c

( )

( )( )Njr

rtN

jtrtN

ejr

cP

dtecedtetfP

+

−−−

−+

=

== ∫∫

1

00

Cas d’une fonction exponentielle (extinction)Le flux monétaire décroit à un taux constant j.

6

11GIA 400 - Cours 5

Retour aux flux discrets: Gradient linRetour aux flux discrets: Gradient linééaire strictaire strict

NN -1

Années

0G

2G3G

(N-2)G(N-1)G

G > 0

0 1 2 3 4

(N-1)G

NN -1

0 G2G

3G

(N-2)G

G < 0

0 1 2 3 4

Le premier mouvement d'un gradient linéaire strict esttoujours 0

Définition:Flux monétaire qui augmente ou diminue d'un montant constant G àchaque période

12GIA 400 - Cours 5

Situation pratiqueSituation pratique

Malheureusement, il est très rare dans la pratique que A1 = 0Dans un modèle financier, la situation suivante est beaucoup plus courante:

0 1 2 3 4 5

A1

A1+GA1+2G

A1+3G

A1+4G

Il nous faut recourir à une astuce…

7

13GIA 400 - Cours 5

DDéécomposition en une annuitcomposition en une annuitéé et un gradient linet un gradient linééaire strictaire strict

0 1 2 3 4 5

A1

A1+GA1+2G

A1+3GA1+4G

0 1 2 3 4 5

A1

0 1 2 3 4 5

G2G

3G4G

+

=

Ces deux flux monétaires peuvent maintenant être analysés algébriquement…

14GIA 400 - Cours 5

Formules d'Formules d'ééquivalence d'un gradient linquivalence d'un gradient linééaire:aire:ActualisationActualisation

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )N,i,G/PGiiiNiGP

inGiGnP

i/GN...i/Gi/GP

N

N

N

nn

nN

n

N

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−+

=

+−

=+−=

+−++++++=

∑∑=

−

=

111

:suit commerésout se série cette1

11 1

ou111210

2

11

32

Facteur d'actualisation d'un gradient linéaire

0 1 2 3 4 5

G2G

3G 4G

8

15GIA 400 - Cours 5

Actualisation d'un gradient linActualisation d'un gradient linééaire: Exemple 2.20aire: Exemple 2.20

Une usine de textile vient d'acheter un chariot élévateur dont la durée de vie utile est de 5 ans. L'ingénieur estime que les coûts d'entretien de ce véhicule durant la première année seront de 1 000$. Les coûts d'entretien devraient augmenter à mesure que le chariot élévateur s'use, au rythme de 250$ par année pour le reste de sa durée de vie utile. Supposons que les dépenses d'entretien surviennent à la fin de chaque année. L'entreprise souhaite créer un compte d'entretien qui porte intérêt à un taux (effectif) annuel de 12%. Tous les frais d'entretien seront acquittés à partir de ce compte. Combien l'entreprise doit-elle déposer dans ce compte aujourd'hui.

0 1 2 3 4 5

P = ?

1 000$1 250$

1 500$1 750$

2 000$

16GIA 400 - Cours 5

0 1 2 3 4 5

Exemple 2.20 (suite)Exemple 2.20 (suite)

P = PA + PG

1 000$1 250$

1 500$1 750$

2 000$ 0 1 2 3 4 5

PA

1 000$

0 1 2 3 4 5

PG

1 000$

250$500$ 750$=+

Annuité

Gradient linéaire

9

17GIA 400 - Cours 5


1. Actualisation de l'annuité:PA=A(P/A, i, N)

= 1000$(P/A, 12%, 5)= 3 604$

2. Actualisation du gradient linéairePG=G(P/G, i, N)

= 250$(P/G, 12%, 5)= 250$ (6.3970)= 1 599$

3. Valeur actualisée totaleP=PA+PG

= 3 604$ + 1 599$= 5 204$

( ) ( )( ) ( )

397061201120

15120120152

5

...

..=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−+

Fonction "maison" sur les TI(disponible sur le site du cours):pvgl(N,i%,A,G)

pvgl(5,12,1000,250)=5204

Fonction "maison" sur les TI(disponible sur le site du cours):pvgl(N,i%,A,G)

pvgl(5,12,1000,250)=5204

18GIA 400 - Cours 5


Exercice: On peut vérifier la solution en calculant la valeur présente du flux monétaire irrégulier.

0 1 2 3 4 5

P = 5 204$

1 000$1 250$

1 500$1 750$

2 000$

AnnéeFlux

monétaireFacteur

d'actualisationValeur

actualisée1 1 000 $ 0.8929 $8932 1 250 $ 0.7972 $9963 1 500 $ 0.7118 $1 0684 1 750 $ 0.6355 $1 1125 2 000 $ 0.5674 $1 135

Total $5 204

( )∑=

=

=Nn

nn NiFPFP

1 , ,/

P = PE = npv(12,0,{1000,1250,1500,1750,2000})=5204$Méthode de la PE d’un flux irrégulier:

10

19GIA 400 - Cours 5

Rappel: Exercice 2.4Rappel: Exercice 2.4

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21A = ?

25K$27K$

29K$31K$

i =10%

Combien faudra-t-il avoir accumulé à la fin de l'année 16:P16 = 0$(P/F, 10%, 1)+ 25 000$(P/F, 10%, 2) +27 000$(P/F, 10%, 3)

+ 29 000$ (P/F, 10%, 4)+ 31 000$(P/F, 10%, 5)= 80 002.06$

20GIA 400 - Cours 5

Exercice 2.4: Calcul avec gradientExercice 2.4: Calcul avec gradient

17 18 19 20 21

25K$27K$

29K$31K$

17 18 19 20 21

25K$27K$

29K$31K$

17 18 19 20 21

25K$27K$

29K$31K$

17 18 19 20 21

25K$27K$

29K$31K$

17 18 19 20 21

25K$27K$

29K$31K$

17 18 19 20 21

25K$27K$

29K$31K$

17 18 19 20 21

25K$27K$

29K$31K$

17 18 19 20 21

25K$27K$

29K$31K$

17 18 19 20 21

25K$27K$

29K$31K$

16

16 17 18 19 20 21

25K$

PA= A(P/A, i%, N)PA= 25K$(P/A, 10%, 4)PA=79.247 K$

16 17 18 19 20 21

2K$4K$

6K$

PG= G(P/G, i%, N)PG= 2K$(P/G, 10% 4)PG= 2K$ (4.3781)PG= 8.756 K$

À t=17:P = PA + PGP = 79 247$ + 8756 $ = 88 003$TI:pvgl(4,10,25000,2000)=88003

À t=16:P = 88 013$(P/F, 10%, 1) = 80 003$TI:tvm_pv(1,10,0,-88003)=80003

=

+

11

21GIA 400 - Cours 5

Formules d'Formules d'ééquivalence d'un gradient linquivalence d'un gradient linééaire:aire:Conversion d'un gradient linConversion d'un gradient linééaire en annuitaire en annuitéé constanteconstante

( )( )

( )( )[ ] ( )N,i,G/AG

iiiNiGA

Pi

iiPA

N

N

N

N

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−−+

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++

=

1111

:obtienton linéairegradient un d' subsituantEn 11

1

:est capitaldu nt recouvreme de annuitél' que déjàsait On

Facteur de conversion d'un gradient linéaire en annuité

22GIA 400 - Cours 5

Conversion d'un gradient linConversion d'un gradient linééaire en annuitaire en annuitéé: Exemple 2.21: Exemple 2.21

Jean et Bernadette ouvrent chacun un compte d'épargne à leur coopérative d'épargne et de crédit. Ces comptes portent intérêt à un taux annuel de 10% (effectif). Jean souhaite déposer 1 000$ dans son compte à la fin de la première année et accroître ce montant de 300$ à chacune des 5 années suivantes, Bernadette veut déposer un montant égal pendant les 6 prochaines années. Quel devra être la valeur du dépôt annuel de Bernadette pour que les deux comptes aient un solde égal à la fin des 6 années?

0 1 2 3 4 5 6

1 000$1 300$

1 600$1 900$2 200$

2 500$

Jean0 1 2 3 4 5 6

F(Jean) = F(Bernadette)A=?

Bernadettei=10%

12

23GIA 400 - Cours 5

Exemple 2.21: PremiExemple 2.21: Premièère solutionre solution

0 1 2 3 4 5 6

1 000$1 300$

1 600$1 900$2 200$

2 500$

Jean

i=10% 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

A = 1 000$

300$ 600$ 900$ 1200$1500$

+

0 1 2 3 4 5 6

AG= 667.08$

=

( )( )

( ) ( ) ( )( )[ ]

( )667.08$ 1$08667$000 1

22362$300

22362110110

16101016 %10

6 %10 $300

6

6

=+=+=

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−−+=

=

=

.AAA.A

...

..,,G/A

,,G/AAN,i,G/AGA

Gtotal

G

G

G

24GIA 400 - Cours 5

Exemple 2.21: PremiExemple 2.21: Premièère solutionre solution

0 1 2 3 4 5 6

A = 1 000$0 1 2 3 4 5 6

AG= 667.08$

Jean: Annuité

Jean:Annuité équivalente

au gradient

+

0 1 2 3 4 5 6

ATotal= 1 667.08$

Bernadette:Annuité totale

équivalente

=

13

25GIA 400 - Cours 5

Exemple 2.21: DeuxiExemple 2.21: Deuxièème solutionme solution

0 1 2 3 4 5 6

1 000$1 300$

1 600$1 900$2 200$

2 500$

Jean

i=10% 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

PA=A(P/A,i,N)PA=1 000$(P/A, 10% 6)PA= 4 355.26$

300$ 600$ 900$ 1200$1500$

+P = PA + PGP= 4 355.26$ + 2 905.26$ = 7 260.52$TI:pvgl(6,10,1000,300)=7260.51

A= P(A/P, i, N)A= 7 260.52$ (A/P, 10%, 6) = 1 667.08$TI:tvm_pmt(6,10,-7260.51, 0)=1667.07

=

PG =G(P/G,i,N)PG =300$(P/G, 10% 6)PG= 300$ (9.6842) = 2 905.26$

PA

PG

26GIA 400 - Cours 5

Exemple 2.21: TroisiExemple 2.21: Troisièème solutionme solution

0 1 2 3 4 5 6

1 000$1 300$

1 600$1 900$2 200$

2 500$

Jean0 1 2 3 4 5 6


Bernadettei=10%

P=npv(10,0,{1000,1300,1600,1900,2200,2500})= 7260.68

P = 7260.68

A = 7260.68 (A/P, 10, 6) = 1667.08$

tvm_pmt(6,10,npv(10,0,{1000,1300,1600,1900,2200,2500}),0)1667.07

En une étape avec la TI:

14

27GIA 400 - Cours 5

Exemple 2.21: QuatriExemple 2.21: Quatrièème solution avec me solution avec nSolvenSolve

PJean = pvgl(6,10,1000,300)

PBernadette = npv(10,0,{A},{6})

FJean = FBernadette ⇒ PJean = PBernadette

⇒ pvgl(6,10,1000,300)=npv(10,0,{A},{6})

nsolve(pvgl(6,10,1000,300)−npv(10,0,{A},{6})=0,A)= 1667.07

0 1 2 3 4 5 6

1 000$1 300$

1 600$1 900$2 200$

2 500$

Jean0 1 2 3 4 5 6


Bernadettei=10%

P P

28GIA 400 - Cours 5

Formules d'Formules d'ééquivalence d'un gradient linquivalence d'un gradient linééaire:aire:Capitalisation d'un gradient linCapitalisation d'un gradient linééaireaire

( )

( ) ( )

( ) ),,/)(,,/(,,/:fairefaut Il

)., ,/(facteur let directemen pasdonnent ne tablesLes

,,/11:obtienton

linéaire,gradient un d' eéquivalent annuitél' à subsituantEn

11:est annuité uned' ecapitalisé valeur la que déjàsait On

NiPFNiGPGNiGFG

NiGF

NiGFGNi

iiGF

Ai

iAF

N

N

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+=

Facteur de capitalisation d'un gradient linéaire

Facteur d'actualisation d'un gradient

linéaire

Facteur de capitalisation d'un montant

unique

X

15

29GIA 400 - Cours 5

Capitalisation d'un gradient linCapitalisation d'un gradient linééaire (daire (déécroissant): Exemple 2.22croissant): Exemple 2.22

Vous effectuez une série de dépôts annuels dans un compte bancaire qui porte intérêt à un taux de 10% (effectif). Le dépôt initial à la fin de la première année est de 1 200$. Les dépôts subséquents décroissent de 200$ chacune des 4 années suivantes. De combien disposerez-vous immédiatement après le cinquième dépôt?

0 1 2 3 4 5

1 200$ 1 000$800$

600$ 400$

F = ?i = 10%

30GIA 400 - Cours 5


0 1 2 3 4 5

A = 1 200$

FA

0 1 2 3 4 5

200$400$

600$800$

– FG

F= FA– FGF= A(F/A, i, N) – G(F/G, i, N)F= A(F/A, i, N) – G(P/G, i, N)(F/P, i, N)

F= 1 200$ (F/A, 10%, 5) – 200$ (P/G, 10%, 5)(F/P,10%, 5)F= 7 326$ – 200$ (6.862)(F/P, 10%, 5) = 7 326$ – 1 372$(F/P,10%,5)F= 7 326$ – 2 211$ = 5 115$

0 1 2 3 4 5

1 200$ 1 000$800$

600$ 400$

=

F= FA+ FG

16

31GIA 400 - Cours 5


Solution avec la TI:

0 1 2 3 4 5

1 200$ 1 000$800$

600$ 400$

P = pvgl(6,10,-1200,200)=-3176.58F = tvm_fv(5,10,-3176.58.0)=5115.92

i = 10%F = 3176.58$ (F/P, 10%,5) = 5 115.91$

En une seule étape:tvm_fv(5,10,pvgl(6,10,-1200,200),0)=5115.92

32GIA 400 - Cours 5

Gradients gGradients gééomoméétriquestriques

Définition:Flux monétaire qui augmente ou diminue d'un pourcentage constant g àchaque période

Une situation très fréquente en modélisation financière

g > 0

0 1 2 3 4

g < 0

NN -1

A1A1(1+g)

A1(1+g)N-1

A1(1+g)2

0 1 2 3 4 NN -1

A1

A1(1+g)

A1(1+g)2

A1(1+g)N-1

Années

Années

17

33GIA 400 - Cours 5

Formules d'Formules d'ééquivalence d'un gradient gquivalence d'un gradient gééomoméétrique:trique:ActualisationActualisation

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )N,i,g,A/PAP

gii

NAP

gigi

igAP

igAP

PP

igAiAP

AgAA

NN

N

n

nn

n

nnnnn

n

nn

:Notation

si 1

si 111

:àrésout se série Cette

11

: desaddition l'est monétairesflux de série la de

111

par donnéeest monétaireflux tout de actualisée valeur la quesait On 1Soit

11

1

1

1

1

1

11

1

1

=

=+

=

≠⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++−

=

++=

++=+=

+=

−

=

−−

−−−

−

∑

Facteur d'actualisation d'un gradient géométrique

34GIA 400 - Cours 5

Actualisation d'un gradient gActualisation d'un gradient gééomoméétrique: Exemple 2.23trique: Exemple 2.23

Ansell Inc., un fabricant d'appareils médicaux, utilise l'air comprimé pour contrôler divers équipements de production automatisé. Le système de distribution d'air comprimé actuel présente de nombreuses fuites et fonctionne actuellement 70% du temps (24 heures par jour, 250 jours de production par année). La puissance du système est de 260 kW (et non kWh: erreur dans le livre) au tarif de 0.05$/kWh.Si le système n'est pas remis en état, les fuites continueront d'augmenter de sorte que le temps de fonctionnement du compresseur augmentera de 7% par année et ne suffira plus dans 5 ans.Si Ansell décide de remplacer tout le système de distribution aujourd'hui, il en coûtera 28 570$, mais le taux d'utilisation du compresseur diminuera de 23% et se situera donc à 70%x(1-23%) = 53.9% par jour.Si Ansell obtient un taux d'intérêt de 12%, devrait-elle remplacer son système maintenant?

18

35GIA 400 - Cours 5

0 1 2 3 4 5


Il faut calculer la valeur présente de la consommation d'énergie des deux options. Si la différence est plus grande que le coût du remplacement, il est avantageux de remplacer

1. Non-remplacement

440$) 54 non(et 600$ 540.05$/kWhkw 260rheures/jou 24

ejours/anné 25070kWhpar TarifkW jour par heuresannéepar jours jour par n utilisatio

année première la consommée énergiel' deCoût

1

1

-

%

%AA

−=×××

×=××××=

=

P = ?

A1 = ? g = +7%

i = 12% ( )( ) ( )

( ) ( )

937$ 222

070120

120107011600 54

si 111

55

1

11

-P

....$P

gigi

igAP

N,i,g,A/PAPNN

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++−

−=

≠⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++−

=

=

−

−

Fonction "maison" sur les TI(disponible sur le site du cours):pvgg(N,i%,A1,g)

pvgg(5,12,-54600,7)=-222937

Fonction "maison" sur les TI(disponible sur le site du cours):pvgg(N,i%,A1,g)

pvgg(5,12,-54600,7)=-222937

36GIA 400 - Cours 5


Il faut calculer la valeur présente de la consommation d'énergie des deux options. Si la différence est plus grande que le coût du remplacement, il est avantageux de remplacer.

2. Remplacement

0 1 2 3 4 5

P = ?

A = ?

i = 12%

( )( )

552$ 1515) 12%, $(042 42

$042 42

042$ 4223%)-(1 600$ 54

économies) %-(1 actuelCoût annéepar consommée énergiel' deCoût

−=−=−=

=−=

×−=×=

=

,P/AN,i,A/P

N,i,A/PAP

A Coût de l'énergieNon-Remplacement $222 937Remplacement $151 552Économie du remplacement $71 385Coût du remplacement $28 570Gain net du remplacement $42 815

Remplacer

19

37GIA 400 - Cours 5

Rappel: Exercice 2.8Rappel: Exercice 2.8

0 1 2 3 4

11 000$12 100$

14 641$

i =10%

P = 11 000$(P/F, 10%, 1)+ 12 100$(P/F, 10%, 2) +14 641$(P/F, 10%, 4)= 10 000$ + 10 000$ + 10 000$= 30 000$

38GIA 400 - Cours 5

13 310$

– 13 310$

Exercice 2.8: Solution par gradientExercice 2.8: Solution par gradient

0 1 2 3 4

11 000$12 100$

14 641$i =10%

g =10%

( )( )

( )( )

000$ 30000$ 10000$ 40$000 103 0%1 $310 13

3 à 310$ 13 de actualisée valeur la moins

$000 401001

000$ 1141

: quand

10 que observeon

1

=−===

==

=+

=+

=

==⇒

=

P,,F/PP

N,i,F/PFPn

.)i(NAP

i gig

%g

gradient

20

39GIA 400 - Cours 5

Formules d'Formules d'ééquivalence d'un gradient gquivalence d'un gradient gééomoméétrique:trique:CapitalisationCapitalisation

( )

( ) ( )

( )

( )N,i,g,A/FAF

giiNAF

gigi

giAF

iFP

N-

NN

N

:Notation

si 1

si 11

:obtienton ion,actualisatd' formule la dans 1t substituanEn

11

11

1

=

=+=

≠⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−+

=

+= −

Facteur de capitalisation d'un gradient géométrique

40GIA 400 - Cours 5

Capitalisation d'un gradient gCapitalisation d'un gradient gééomoméétrique: Exemple 2.24trique: Exemple 2.24

Jérémie Cantin, un travailleur autonome, ouvre un compte de retraite à la banque. Son objectif est d'y accumuler 1 000 000$ d'ici son départ pour la retraite dans 20 ans. Une banque locale lui propose un compte de retraite portant intérêt à 8%, composé annuellement, pendant 20 ans. Jérémie prévoit que son revenu annuel augmentera de 6% par année pendant le reste de sa carrière. Il entend faire un premier dépôt à la fin de la première année et augmenter ses dépôts subséquents de 6% chaque année. Quel devra être le montant de son premier dépôt?

21

41GIA 400 - Cours 5


0 1 2 3 4 20N -1Années

A1= ?

F = 1 000 000$

( )( ) ( )

( ) ( )

( )$ 756.85 1369108472000$ 000 1

69108472000 000 1

686181000 000 1

si 11

1

1

2020

1

1

11

==⇒=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−+

=

≠⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−+

=

=

.A.A$

%%%%A$

gigi

giAF

N,i,g,A/FAFNN

i =8%g =6%

P = tvm_pv(20,8,0,1000000)P = pvgg(20,8,a1,6)

Nsolve(tvm_pv(20,8,0,1000000)=pvgg(20,8,a1,6),a1)=13756.85

42GIA 400 - Cours 5

Rendement de la Bourse en longue pRendement de la Bourse en longue péérioderiode

Indice S&P 500

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

1/3/

1980

1/3/

1982

1/3/

1984

1/3/

1986

1/3/

1988

1/3/

1990

1/3/

1992

1/3/

1994

1/3/

1996

1/3/

1998

1/3/

2000

1/3/

2002

1/3/

2004

1/3/

2006

1/3/

2008

1/3/

2010

i =13.4%/an sur 21 ans

i =8.2%/an sur 31 ans

22

43GIA 400 - Cours 5

Rendement de la Bourse en longue pRendement de la Bourse en longue péérioderiode

Taux effectif moyen: 7.24%/an

Valeur accumulée de 741$ placé à tous les mois dans le S&P500(Janvier 1980 - Janvier 2011)

0 $

200 000 $

400 000 $

600 000 $

800 000 $

1 000 000 $

1 200 000 $

1/3/

1980

7/1/

1981

1/3/

1983

7/2/

1984

1/2/

1986

7/1/

1987

1/3/

1989

7/2/

1990

1/2/

1992

7/1/

1993

1/3/

1995

7/1/

1996

1/2/

1998

7/1/

1999

1/2/

2001

7/1/

2002

1/2/

2004

7/1/

2005

1/3/

2007

7/1/

2008

1/4/

2010

44GIA 400 - Cours 5

Gradient gGradient gééomoméétrique compostrique composéé

Quand la croissance du flux monétaire dépend de plusieurs gradients:On calcule le facteur g total en composant les sous-facteurs ainsi:

( )( )( ) ( )[ ] 11111 nfacteur 3facteur 2facteur 1facteur −++++= g....ggggtotal

Exemple:Flux monétaire = Unités vendues x Prix de vente unitaireCroissance du volume de vente (unités vendues): 7% par annéeCroissance du prix de vente: 5% par annéeCroissance du flux monétaire

( )( )[ ] %.%%gtotal 351215171 =−++=

23

45GIA 400 - Cours 5

Gradient gGradient gééomoméétrique infinitrique infini

( ) ( )

gigi

AP

giAP

N

gigi

igAPNN

>−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=

∞→

≠⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++−

=−

siseulement et si

01

: si

si 111

1

1

1

Une des formules les plus remarquables de la Finance!

46GIA 400 - Cours 5

Application: Valeur marchande d'une entrepriseApplication: Valeur marchande d'une entreprise

La valeur marchande d'une entreprise se modélise comme la valeur actualisée des flux monétaires qu'elle peut générer dans l'avenir.La plupart du temps on construit un modèle prévisionnel des flux monétaires pour les 5 ou 10 prochaines années.Mais qu'arrive-t-il pour la suite? Est-ce que l'entreprise a une valeur de 0 àl'année 6 ou 11? Bien sûr que non!On doit donc estimer la valeur terminale de l'entreprise à la fin de la période de prévision détaillée. On a souvent alors recours à un gradient géométrique infini:

Valeur actualisée à t = 0 2 800 $ 583 $ 625 $ 579 $ 530 $ 482 $

(en K$) 0 1 2 3 4 5Flux monétaire net 700 $ 900 $ 1 000 $ 1 100 $ 1 200 $ 1 250 $ + 5%/an

6 et +

i = 20% g = 5%

Valeur terminaleActualisée à t = 5 8 333 $Actualisée à t = 0 3 349 $

Valeur actualisée totale 6 149 $

1 250$/(20%–5%)8 333$ (1+20%)-5

24

47GIA 400 - Cours 5

IntIntéérêt et formules d'rêt et formules d'ééquivalence: Rquivalence: Réécapitulation gcapitulation géénnééralerale

A=P(A/P ,i ,N)Annuité équivalente à une

valeur présente(recouvrement)

A=F(A/F ,i ,N)Annuité équivalente à une

valeur future(amortissement)

P=A(P/A, i, N)Valeur présente d’une annuité

F=A(F/A, i, N)Valeur future d’une annuité

P=F(P/F, i, N)Valeur présente d’un flux unique

F=P(F/P, i, N)Valeur future d’un flux unique NiPF )1( +=

NiFP

)1( +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

iiAF

N 1)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

= N

N

iiiAP

)1(1)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+=

1)1( NiiFA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−++

=1)1(

)1(N

N

iiiPA

48GIA 400 - Cours 5

Formules d'Formules d'ééquivalence: Rquivalence: Réécapitulation gcapitulation géénnééralerale

P=A1(P/A1, g, i, )Valeur présente d'un gradient géométrique

infini

F=A1(F/A1, g, i, N)Valeur future d'un

gradient géométrique (i = g)

P=A1(P/A1, g, i, N)Valeur présente d'un gradient géométrique

(i = g)

A=G(A/G, i, N)Annuité équivalente d'un gradient linéaire

F=G(F/G, i, N)Valeur future d'un gradient linéaire

P=G(P/G, i, N)Valeur présente d’un gradient linéaire

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−+

= N

N

iiiNiGP

111

2

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−+= N

ii

iGF

N 11

( )( )[ ] ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−−+

=11

11N

N

iiiNiGA

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++−

=−

giigAP

NN 1111

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++

=gi

giAFNN 11

1

∞ giAP−

= 1

25

49GIA 400 - Cours 5

Formule d'intFormule d'intéérêt: Rrêt: Réécapitulation gcapitulation géénnééralerale

Taux annuel effectif à composition continue

Taux effectif sur une période de versement quelconque


Taux effectif par période de compositionMri =

11 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

M

a Mri

11 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

C

CKri

1−= rei

50GIA 400 - Cours 5

RRéévision: Intvision: Intéérêt et formules d'rêt et formules d'ééquivalencequivalence

Calculez la valeur actualisée au temps 0 du flux monétaire suivant

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

600$500$

400$ 300$ 200$ 100$300$ 300$ 300$

500$

r = 8% composé semestriellement r = 12% composé mensuellement

années

%16.812%81

11

21,2

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⇒==

a

M

a

i

Mri

MKC

%6812112

%121

11

12112

12

.i

Mri

MK,C

a

M

a

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⇒==

eff(8,2)=8.16 eff(12,12)=12.68

26

51GIA 400 - Cours 5

RRéévision: Intvision: Intéérêt et formules d'rêt et formules d'ééquivalencequivalence

0 1 2 3 4 5

600$ 500$ 400$ 300$ 200$ 100$

i = 8.16%

Années 0 - 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

500$ 500$ 500$ 500$ 500$

100$ 200$ 300$ 400$–

=

0 1 2 3 4 5

600$

+

( ) ( )855$ 1100$(7.33)-$988 1$600

5 168 $1005 8.16%, ,500$ $600=+=−+=

P%,.,G/PP/AP

( )( )

3371

112

.iiiNi

N

N

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−+

P =-600+pvgl(5,eff(8,2),-500,100)=-1855

52GIA 400 - Cours 5

RRéévision: Intvision: Intéérêt et formules d'rêt et formules d'ééquivalencequivalenceAnnées 6 - 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

300$ 300$ 300$500$

années

1 855$

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i = 8.16% i = 12.68%

( ) ( )987$275$ 712$

5 2.68%1 $5003 12.68%, ,300$=+=

+=P

,,F/PP/AP987$

( )$522 2667$ 855$ 1

5 168 $987$855 1=+=

+=P

%,.,F/PP2 522$

712$

275$1 855$

667$

27

53GIA 400 - Cours 5

Les 3 Les 3 éétats financiers de basetats financiers de base

t = 0 t = 1

Bilan au début (à t = 0)Actif Passif






Bilan à la fin (à t =1)Actif Passif






État des résultats (de t=0 à t=1)Le bénéfice comptable de la période =

Revenus – dépenses d’exploitation – amortissements – intérêts – impôts

État des flux de trésorerie de (t=0 à t=1)

Le flux monétaire (FM) de la période =Bénéfice comptable + amortissements +/– var. fonds de roulement

– Investissement +/– Financement

En général: Bénéfice

comptable

=Flux

monétaire

Actif = Passif + Capitaux propres Actif = Passif + Capitaux propres

Exercice financier

54GIA 400 - Cours 5

RRéévision: Analyse financivision: Analyse financièèrere

Décomposition du rendement sur les capitaux propres:Le rendement sur les capitaux propres est le principal moteur de création de valeur pour une entreprise. Il est toujours intéressant de le décomposer pour en comprendre les sources opérationnelles et financières:

Bénéfice netCapitaux propres


Produits Actif


X =



Rendementsur ventes


l'actif



actionnairesX X =

X Bénéfice netCapitaux propres


Produits Actif


X =



Rendementsur ventes


l'actif



actionnairesX X =

X

28

55GIA 400 - Cours 5

Exemple de question d'examen: Exercice 2.60Exemple de question d'examen: Exercice 2.60

Henri Comtois prévoit effectuer deux dépôts, un de 25 000$ aujourd'hui et un autre de 30 000$ à la fin de la 6e année. Il souhaite retirer C $ chaque année pendant les 6 premières années et (C+1 000$) chaque année pendant les 6 années suivantes, Déterminez la valeur de C si les dépôts fructifient à 10% composé annuellement.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C

C + 1 000$

25 000$ 30 000$

i = 10%

56GIA 400 - Cours 5

Exemple de question d'examen: Exercice 2.60Exemple de question d'examen: Exercice 2.60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C

C + 1 000$

30 000$

i = 10%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pdépôts = Pretraits25 000 + 30 000$(P/F, 6, 10%) = C(P/A, 10%, 12)+1000$(P/A, 10%, 6)(P/F, 10%, 6)25 000$ + 16 934$ = C(6.8136) +2 458$C(6.8136)= 25 000 + 16 934$ - 2 458$=39 476$C= 39 476$/(6.8136)= ⇒ C = 5 794$

25 000$

C

1 000$

1000$(P/A, 10%,6)=4 355$ 4 355$(P/F, 10%,6)=2 458$

30 000$(P/F,10%,6)=16 934$

29

57GIA 400 - Cours 5

Solution TI permiseSolution TI permise

C = nsolve(npv(10,-25000,{C,C-30000,C+1000},{5,1,6})=0,C)=5794

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C

C + 1 000$

25 000$ 30 000$

i = 10%

( ) 0 10 25000

0:Écrire

12

1=+−

=+

∑=

=

n

nn

retraitsdépôt

n%,,F/PF$

PP

58GIA 400 - Cours 5

Autre exemple de question d'examenAutre exemple de question d'examen

Un prêt portant intérêt aux taux nominal de 6% composémensuellement est remboursé sur 3 ans de la façon suivante:

400$ par mois la première année,450$ par mois la deuxième année,500$ par mois la troisième année.

Quel est le montant du prêt?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

….. ….. …..400$

450$ 500$

P = ?

112

6

===

CK

%r

[ ] %5.0112%6111

1

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

C

mensuel CKri

30

59GIA 400 - Cours 5

Autre exemple de question d'examen (suite)Autre exemple de question d'examen (suite)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

….. ….. …..400$

450$ 500$

P = ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

P = 500$(P/A, 0.5%, 12)

5 809$

P = 450$(P/A, 0.5%, 12)

5 229$4 648$

P = 400$(P/A, 0.5%, 12)

4 925$

5 154$P = 5 809$(P/F, 0.5%, 24)

P = 5 229$(P/F, 0.5%, 12)

P = 14 726$

60GIA 400 - Cours 5

Solution TI permiseSolution TI permise

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

….. ….. …..400$

450$ 500$

P = ?

( )∑=

=

−=

=+36

1 50.

0:Écrire

n

nnemprunt

entremboursememprunt

n%,,F/PFP

PP

P = -npv(0.5,0,{-400,-450,-500},{12,12,12}) = 14726.42

31

61GIA 400 - Cours 5

ÉÉtats financiers: Exemple de question d'examentats financiers: Exemple de question d'examen

On vous donne l'état des résultats et les bilans partiels suivants de la sociétéXYZ:

On vous demande de compléter l’état des résultats et le bilan au 31 décembre 2009 ainsi que de dresser l'état des flux de trésorerie.

Le 31 décembre 2008 il restait à faire 5 paiements annuels égaux, comprenant capital et intérêt, sur la dette à long terme de 200$. Le taux effectif annuel est de 8% et le paiement du le 31 décembre 2009 a été fait.Aucun nouvel emprunt n’a été fait durant l’année 2009.

État des résultatspour l'année terminée le 31 décembre 2009Ventes 1 000 $Coût des ventes 700 $Frais généraux 150 $Amortissements 50 $Bénéfice avant intérêts et impôts 100 $Intérêts ?Bénéfice avant impöts ?Impôts (30%) ?Bénéfice net ?

Bilan au 31 décembre 2008 2009Encaisse 100 $ ?Autres actifs à court terme 50 $ 70 $Immobilisations 350 $ 450 $Amortissements accumulés (100 $) ?Actif total 400 $ ?Passifs à court terme 40 $ 30 $Dette à long terme 200 $ ?Passif total 240 $ ?Capital action 60 $ 60 $Bénéfices non répartis 100 $ ?Capitaux propres 160 $ ?Passif et capitaux propres 400 $ ?

62GIA 400 - Cours 5

État des résultatspour l'année terminée le 31 décembre 2009Ventes 1 000 $ 1 000 $Coût des ventes 700 $ 700 $Frais généraux 150 $ 150 $Amortissements 50 $ 50 $Intérêts ? 16 $Bénéfice avant impöts ? 84 $Impôts (30%) ? 25 $Bénéfice net ? 59 $

Bilan au 31 décembre 2008 2009 2009Encaisse 100 $ ? 45 $Autres actifs à court terme 50 $ 70 $ 70 $Immobilisations 350 $ 450 $ 450 $Amortissements accumulés (100 $) ? (150 $)Actif total 400 $ ? 415 $Passifs à court terme 40 $ 30 $ 30 $Dette à long terme 200 $ ? 166 $Passif total 240 $ ? 196 $Capital action 60 $ 60 $ 60 $Bénéfices non répartis 100 $ ? 159 $Capitaux propres 160 $ ? 219 $Passif et capitaux propres 400 $ ? 415 $

ÉÉtats financiers: Exemple de question d'examen (suite)tats financiers: Exemple de question d'examen (suite)

159$

$59$100

=

+=+=

f

if

BNR

NIBNRBNR

( ) ( ) ( )150$$50$100 =+=

+= DAcc.AmAcc.Am if

Paiements dus sur la dette:A=200(A/P,8%,5)= 50I = 200 (8%) =16PP=50-16=34

66134200 =−=

+= eif PPDetteDette

Voir EFT

32

63GIA 400 - Cours 5

ÉÉtats financiers: Exemple de question d'examen (suite)tats financiers: Exemple de question d'examen (suite)

70-50=20 augmentation⇒ Utilisation de fonds

40-30=10 diminution⇒ Utilisation de fonds

État des flux de trésoreriepour l'année terminée le 31 décembre 2009Exploitation

Bénéfice net 59 $Amortissements 50 $Augmentation actifs court terme (20 $)Diminutiuon passifs court terme (10 $)

79 $Investissement

Acquisition immobilisations (100 $)Financement

Remboursement de la dette à long terme (34 $)Variation de l'encaisse (55 $)Encaisse au début 100 $Encaisse à la fin 45 $

450-350= 100 augmentation⇒ Utilisation de fonds

Paiements dus sur la dette:A=200(A/P,8%,5)= 50I = 200 (8%) =16PP=50-16=34

64GIA 400 - Cours 5

Conseils pour l'examenConseils pour l'examen

Toute documentation permiseN'oubliez pas votre calculatrice financière !!!Faites vos diagrammes de flux monétaireSi vous avez le temps, vérifier votre solution en attaquant le problème d'une manière différente. Par exemple:

Si vous calculez une annuité à partir d’une valeur présente, vérifiez que le calcul à partir d’une valeur future donne le même résultat.

1





Les deux flux monétaires illustrés dans les diagrammes suivants sont considérées comme équivalentes à un taux d'intérêt de 10%, composéannuellement. Trouvez la valeur de X permettant d'atteindre cette équivalence.

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

200$ 200$150$

100$ 100$

X X X X X X

150$

2


0 1 2 3 4 5


0 1 2 3 4 5

200$ 200$150$ 100$ 100$ 150$

i =10%

0 1 2 3 4 5

X = 150.45$

200$

520.78$

P = 200$+520.78$=520.78$=720.78$

150$(P/F, 10%, 1) + 100 $(P/F, 10%, 2) + 100 $(P/F, 10%, 3)+ 150$(P/F, 10%, 4) + 200 $(P/F, 10%, 5) =520.78$

P = X + X(P/A, 10%, 5)720.78$ = X + 3.7908X X=720.78$/4.7908 = 150.45$



Autre méthode de solution avec NPV

( )∑=

=−− +=

5

011 10

n

nn n%,,F/PFPP

P-1 = npv(10,0,{200,150,100,150,200},{1,1,2,1,1})= 655.45

0 1 2 3 4 5

200$ 200$150$

100$ 100$150$

i =10%

( ) $451506 10, $25655 .,P/A.X ==

En une seul étape:tvm_pmt(6,10,npv(10,0,{200,150,100,100,150,200}),0)=-150.45

N I PV FV (optionnel)

-1

P-1 = 655.45$

Fonctions tvmrenversent les signes

3



Trouvez l'annuité (A) en utilisant un facteur A/G, pour que les deux flux monétaires suivants soient équivalents à un taux de 10%, composé annuellement.

0 1 2 3 4 5

050$

100$150$

200$

50$

0 1 2 3 4 5

A A A A A A



0 1 2 3 4 5

050$

50$

100$150$

200$

i =10%

0 1 2 3 4 5

( )( )

( )[ ]( ) $539081051$50

1111

..Aii

iNiGA

N,i,G/AGA

N

N

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−−+

=

=

Facteur A/G= 1.8105

50$

90.53$ 90.53$ 90.53$ 90.53$ 90.53$

4



0 1 2 3 4 550$

90.53$ 90.53$ 90.53$ 90.53$ 90.53$

0 1 2 3 4 5

P = 90.53$ (P/A, 10%, 5)P = 343.18$

Ptotal = 343.18$ – 50$ = 293.18$

50$

343.18$

293.18$



0 1 2 3 4 5

A A A A A A

-1

A = P(A/P, i, N)A = 266.53$ (A/P, 10%, 6)A= 61.20$

266.53$

0 1 2 3 4 5

P-1= 293.18(P/F, 10%, 1)=266.53

293.18$

tvm_pmt(6,10,npv(10,0,{-50,0,50,100,150,200}),0)= -61.18$

5



Déterminez le taux d'intérêt (i) qui rendra les flux monétaires suivants économiquement équivalents.

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

1 500$ 1 500$ 1 500$ 1 500$ 1 500$ 1 500$

2 200$

1 760$

1 408$1 126$ 901$ 721$

équivalenceà i = ?



51

2

20%)-200$(1 2721$ queVérifier

20180$200 2$760 11

=

−=−==−= %.AAg

2 200$

1 760$

1 408$1 126$ 901$ 721$

0 1 2 3 4 5 6

Le gradient géométrique

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++−

=−−

2012011$200 2111 66

1 .ii.

giigAP

NN

gradient

6



0 1 2 3 4 5 6

1 500$ 1 500$ 1 500$ 1 500$ 1 500$ 1 500$

L'annuité

( )( )

( )( )

( ) ( )

%.i

.ii.

iii

PP

PP:eÉquivalenc

iiiP

gradientannuité

gradientannuité

annuité

7818:EXCELpar Solution

02012011$200 2

111$1500

0

111$1500

66

6

6

5

5

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++−−

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−+

=−

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−+

=

−


Exercice 2.61Exercice 2.61Autre méthode: Méthode du taux de rendement

( ) ( )

( ) 0

:ailleursPar

0

=⇒

=−

=−

=

−

−

GradientAnnuité

GradientAnnuitégradientannuité

gradientannuité

gradientannuité

P

PPP

PP

PP:eÉquivalenc

0 1 2 3 4 5 6

1 500$ 1 500$ 1 500$ 1 500$ 1 500$ 1 500$

1 760$1 408$

1 126$ 721$

2 200$

901$

P = 0$

7


Exercice 2.61Exercice 2.61Autre méthode: Méthode du taux de rendement

0 1 2 3 4 5 6

92$

374$599$

779$

260$700$

P = 0$

Annuité - Gradient

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 654321 1$7791$5991$3741$921$2601$7000

6$7795$5994$3743$922$2601$7000−−−−−− +++++++++−+−=

++++−−==

iiiiii

P/F, i, P/F, i, P/F, i, P/F, i, P/F, i, P/F, i, P

Nous verrons dans quelques semaines que le taux i qui rend P = 0 est appelé le taux de rendement interne (TRI). Les calculatrices financières sont munies d'un algorithme qui permet de trouver rapidement les racines de ce polynôme. En mode "Cash-Flow", on peut trouver:

i = TRI = IRR = 18.78%Avec la TI: TRI = IRR(0,{-700,-260,92,374,599,779})=18.78%



Un puits de pétrole peut produire 10 000 barils durant sa première année d'exploitation selon les estimations. Sa production subséquente devrait baisser de 10% par rapport à l'année précédente, Le puits à des réserves prouvées de 100 000 barils.

a. Si le prix du pétrole est de 18$ le baril pendant les 7 prochaines années, quelle sera la valeur actualisée de la séquence de revenus anticipée à un taux d'intérêt de 15% composé annuellement, pendant les 7 prochaines années?

b. Si le prix du pétrole est de 18$ le baril pendant la première année, puis augmente de 5% par rapport au prix de l'année précédente, quelle sera la valeur actualisée à un taux d'intérêt de 15% composéannuellement, pendant les 7 prochaines années?

c. Après 3 ans de production, vous décidez de vendre le puits. Quelle sera son juste prix si sa durée de production est illimitée et que le prix continue d'augmenter de 5% par année?

8



0 1 2 3 4 5 6 7

A1 = 10 000 barils/an x 18$/baril= 180 000$/an

g = -10%i = 15%

( ) ( ) ( ) ( )( )

$537 590

10015015011011$000 180111 77

1

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−+−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++−

=−−

P

....

giigAP

NN

A1

TI: pvgg(7,15,180000,-10)=590537



0 1 2 3 4 5 6 7

A1 = 10 000 barils/an x 18$/baril= 180 000$/an

gcomposé = (1+gproduction)(1+gprix) – 1gcomposé= (1-10%)(1+5%) – 1gcomposé= (0.90)(1.05) – 1 = – 5.5%

i = 15%

A1

( ) ( ) ( ) ( )( )

$893 655

0551501501055011$000 180111 77

1

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−+−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++−

=−−

P

....

giigAP

NN

TI: pvgg(7,15,180000,-5.5)=655893

9


Exercice 2.63 c)Exercice 2.63 c)

( )( )

4 annéel' de revenus les fois 4.88.2051 de multipleun soit $993 740

20.5%$903 151

(-5.5%)-15%$903 151

$903 151551 $000 180

1 $000 180

1

31

31

==

==−

=

=−=

+=

Pgi

AP

%.A

gA

0 1 2 3 4 5 6 7

A1=A4

∞P

Note: On peut vérifier qu'au rythme d'extraction décroissant de -10% par année, les réserves du puits sont suffisantes pour une infinité d'année:

( ) barils 000 10010

barils 000 10

0 siseulement et si 1

=−−

=

<−

=

%Q

gg

QQ



Année Année Cumulatif Prix Courants Actualisés Année Année Cumulatif Prix Courants Actualisés4 7 290 34 390 20.84 $ 151 904 $ 132 090 $ 29 523 95 290 70.56 $ 36 929 $ 975 $5 6 561 40 951 21.88 $ 143 549 $ 108 544 $ 30 471 95 761 74.09 $ 34 898 $ 802 $6 5 905 46 856 22.97 $ 135 654 $ 89 194 $ 31 424 96 185 77.79 $ 32 978 $ 659 $7 5 314 52 170 24.12 $ 128 193 $ 73 295 $ 32 382 96 566 81.68 $ 31 164 $ 541 $8 4 783 56 953 25.33 $ 121 142 $ 60 229 $ 33 343 96 910 85.77 $ 29 450 $ 445 $9 4 305 61 258 26.59 $ 114 479 $ 49 493 $ 34 309 97 219 90.06 $ 27 831 $ 366 $

10 3 874 65 132 27.92 $ 108 183 $ 40 670 $ 35 278 97 497 94.56 $ 26 300 $ 300 $11 3 487 68 619 29.32 $ 102 233 $ 33 420 $ 36 250 97 747 99.29 $ 24 853 $ 247 $12 3 138 71 757 30.79 $ 96 610 $ 27 463 $ 37 225 97 972 104.25 $ 23 486 $ 203 $13 2 824 74 581 32.33 $ 91 297 $ 22 567 $ 38 203 98 175 109.47 $ 22 195 $ 167 $14 2 542 77 123 33.94 $ 86 275 $ 18 544 $ 39 182 98 358 114.94 $ 20 974 $ 137 $15 2 288 79 411 35.64 $ 81 530 $ 15 239 $ 40 164 98 522 120.69 $ 19 820 $ 113 $16 2 059 81 470 37.42 $ 77 046 $ 12 522 $ 41 148 98 670 126.72 $ 18 730 $ 92 $17 1 853 83 323 39.29 $ 72 808 $ 10 290 $ 42 133 98 803 133.06 $ 17 700 $ 76 $18 1 668 84 991 41.26 $ 68 804 $ 8 456 $ 43 120 98 922 139.71 $ 16 727 $ 62 $19 1 501 86 491 43.32 $ 65 020 $ 6 948 $ 44 108 99 030 146.69 $ 15 807 $ 51 $20 1 351 87 842 45.49 $ 61 444 $ 5 710 $ 45 97 99 127 154.03 $ 14 937 $ 42 $21 1 216 89 058 47.76 $ 58 064 $ 4 692 $ 46 87 99 214 161.73 $ 14 116 $ 35 $22 1 094 90 152 50.15 $ 54 871 $ 3 856 $ 47 79 99 293 169.82 $ 13 339 $ 28 $23 985 91 137 52.65 $ 51 853 $ 3 168 $ 48 71 99 364 178.31 $ 12 606 $ 23 $24 886 92 023 55.29 $ 49 001 $ 2 603 $ 49 64 99 427 187.22 $ 11 912 $ 19 $25 798 92 821 58.05 $ 46 306 $ 2 139 $ 50 57 99 485 196.58 $ 11 257 $ 16 $26 718 93 539 60.95 $ 43 759 $ 1 758 $ 51 52 99 536 206.41 $ 10 638 $ 13 $27 646 94 185 64.00 $ 41 352 $ 1 445 $ 52 46 99 583 216.73 $ 10 053 $ 11 $28 581 94 767 67.20 $ 39 078 $ 1 187 $ 53 42 99 624 227.57 $ 9 500 $ 9 $

Total 2 090 453 $ 735 521 $ Total 508 201 $ 5 432 $Grand total 2 598 654 $ 740 953 $

RevenusProduction Production Revenus

Prix actuel

Prix atteint en juillet 2008

10



Trouvez la valeur actualisée du flux monétaire suivant en utilisant au plus trois facteurs d’intérêt (d’équivalence) à un taux d’intérêt de 10% composé annuellement.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

20$

20$

60$40$

20$ 20$ 20$ 20$

40$ 40$ 40$

60$ 60$ 60$



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

20$

20$

40$

20$ 20$ 20$ 20$

40$ 40$ 40$

60$ 60$ 60$

60$

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

20$

20$

40$

20$ 20$ 20$ 20$

60$

20$ 20$ 20$

Étape 1

Données

11



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

20$

20$

40$

20$ 20$ 20$ 20$

60$

20$ 20$ 20$

Étape 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1220$

40$

20$ 20$ 20$ 20$

60$

20$ 20$ 20$

Étape 2

20$ 20$ 20$ 20$

20$

80$



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1220$

40$

20$ 20$ 20$ 20$

60$

20$ 20$ 20$

Étape 2

20$ 20$ 20$ 20$

20$

80$

( )( )

$96.0$27.136$24.137$27.1368618.6$20

)12 %,10 ,/$(205 %,10 ,/$20

=−=−=

−=

PP

APGPP

La solution utilise 2 facteurs d’équivalence

pvgl(5,10,0,20)-tvm_pv(12,10,-20,0)=0.96

12



Vous empruntez 1 000$ à 8% d'intérêt se composant annuellement. Le remboursement est effectué selon le calendrier suivant. Trouvez X, soit le montant nécessaire pour rembourser l'emprunt à la fin de la 4e

année.

100$300$500$

X

1234

Montant du remboursementn

P =1 000$

0 1 2 3 4

100$300$

500$X


Solution 1: Valeur présente des versements pris individuellement


P =1 000$

0 1 2 3 4

100$300$

500$X = 345$

Pversement1 = - 100$(P/F, 8%, 1) = -93$Pversement2 = - 300$(P/F, 8%, 2) = -257$Pversement3 = -500$(P/F, 8%, 3) = -397$Pversement4 = 1000$ - (93$ + 257$ +397$) Pversement4 = 1000$-747$=253$ X = 253$(F/P, 8%, 4) = 345$

93$

257$

397$

747 $

npv(8,1000,{-100,-300,-500})= 253Ou:

13



Solution 2: Valeur future des versements pris individuellement

P =1 000$

0 1 2 3 4

100$300$

500$

F = 126$

Femprunt=1 000$ $(F/P, 8%, 4) = 1 360$Fversement1 = - 100$(F/P, 8%, 3) = -126$Fversement2 = - 300$(F/P, 8%, 2) = -350$Fversement3 = -500$(F/9, 8%, 1) = -540$

1 360$ - 126$ - 350$ - 540$ - X = 0X = - 345$

F = 1 360$

X = 345$

F = 350$

F = 540$



Solution 3: Supposer un gradient linéaire de 200$

P =1 000$

0 1 2 3 4

100$ 300$500$

700$

( ) ( )

261$ 1000$- 1261$:en trop payés

entsremboursem des présenteValeur 261$ 1 $930$331

$(4.6501)200$3314 %8 $2004 %8 $100

=

⇒=+=

+=+=

+=

PP

,,P/G,,P/APPPP GradientAnnuité

P =1 261$Excédent: 261$

355$

X = 700$ – 355$X = 345$

( )$345$355$700

$3554 8%, ,$261:excédentl' de futureValeur

paiementdernier du Excédent

=−===

=

XF/PF

14



Solutions pour les maniaques de la TI (comme moi!):

nsolve(npv(8,1000,{-100,-300,-500,X})=0,X)=-344.60

P =1 000$

0 1 2 3 4

100$300$

500$X

tvm_fv(4,8,npv(8,1000,{-100,-300,-500}),0)=344.60

ou



Une série de dépôts trimestriels de 1 000$ chacun s'échelonne sur 3 ans. On veut calculer sa valeur capitalisée (i.e. future), en fonction d'un intérêt de 12%, se composant mensuellement. Parmi les équation suivantes, laquelle est la bonne?

a) F=4(1000$)(F/A, 12%, 3)

b) F=1000$(F/A, 3%, 12)

c) F= 1000$(F/A, 1%, 12)

d) F=1000$(F/A, 3.03%, 12)

15



( ))d:Rép

%,.,A/FF

AnnéesKN%..i

%i

CKri

C;K%;rC

12 033 $1000

12340331011

112

121

11

3 4 12

3

3

=⇒

=×=×==−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

TI: ieff(12,3,4)=3.03



Anita Tardif, une propriétaire d'une agence de voyages, achète une vieille maison où elle veut aménager les bureaux de son entreprise. Elle découvre que le plafond est mal isolé et que l'installation de 15 cm de mousse isolante pourrait atténuer substantiellement les pertes de chaleur. Elle estime que l'isolation lui permettra de réduire les frais de chauffage de 40$ par mois et les frais de climatisation de 25$ par mois. Si on tient pour acquis que l'été (juin, juillet, août) dure 3 mois et l'hiver (décembre, janvier, février) aussi 3 mois, combien peut-elle consacrer à l'isolation si elle s'attend à conserver la maison pendant 3 ans? Présumez que ni le chauffage ni la climatisation sont utilisés le reste de l'année. Les travaux pourraient être exécutés à la fin du mois de mai. On offre à Anita un taux d'intérêt de 9% se composant mensuellement.

16



Valeur présente des économies du premier cycle d'opération

12

750112%91

1 12 91

=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

N

%.i

C;K%;r ( )( )( )( )

$541857 0.75%, 3 0.75%, $40 1 0.75%, 3 0.75%, $25

.P,F/P,A/P,F/P,A/PP

=

+=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12mai juin juil. août sep. oct. nov. déc. jan. fév. mars avril

P

25$ 25$ 25$ 40$ 40$ 40$



0 1 2 3

Valeur présente des économies des trois cycles d'opération

185.54$

185.54$ 185.54$

169.62$

185.54$

155.08$510.24$

++

%.i

MC;K%;r

a 389112%91

121 12 912

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⇒===

( )$08155

2 9.38%, $54185.P

,F/P.P==

( )$62169

1 9.38%, $54185.P

,F/P.P==

années

Note: npv(9.38,185.54,{185.54},{2})=510.25$

17



On prévoit que le bénéfice net d’un projet, qui atteint 500 000$ au moment 0, diminuera à un rythme constant pour atteindre 40 000$ au bout de 3 ans. Si l’intérêt se compose continuellement à un taux nominal de 11%, déterminez la valeur actualisée de ce flux monétaire continu.

0 1 2 3

40 000$

500 000$

f(t)

t

an/$GansN

$F$F

:oùN

FFG

GtF)t(f

N

N

333 153 3

000 40000 5000

0

0

−=⇒=

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

+=

G = –153 333$/an

années



Comme f(t) n’est pas une constante A sur t, on ne peut utiliser la transformation en flux discret que nous avons vue,i.e.:

Il faut donc intégrer:( ) ( )

( ) ( )

180$ 722 440$ 555 619$ 277 1

333 153 000 500 3 11 :où

11

:page155 la à manuel le dans donnéessont intégralesdeux ces de solutions Les

0

2

0 00

00

0

=−=⇒

−====

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

+=

+==

−−

−−

−−

∫ ∫

∫∫

P

$G$;F;N%;r

NerGe

rG

reeFP

dteGtdteFP

dteGtFdtetfP

rNrNrN

rN

o

rtN N

rt

rtN

rtN

( )NiAPAPi

iAA ,,/et )1ln(

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

×=

18


0 1 2 3


Sans intégrer, on peut approximer la solution à 0.5% près de la manière suivante:1. Calculer un flux moyen constant A pour chaque année.2. Transformer ce flux en flux de fin d’année.3. Calculer la valeur présente de chacun des flux

( )

$K325.123$K410.285

:manière même la de$K494.447

11628.01ln11628.0333.423

)1ln(

%628.1111

3

2

1

11

11.0

==

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

=−=−=

AA

Ai

iAA

eei r

40 000$

500 000$

f(t)

t

$K333.4231 =A

$K000.2702 =A

$K667.1163 =A

123.325$

$K180.722$K589.718)3%,628.11,/(325.123 )2%,628.11,/(494.285

)1%,628.11,/(494.447

≈=

++=

PFPFPFPP

0 1 2 3

447.494$

285.410$

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=)1ln( i

iAA



Dan Harrisson, qui a l’intention de prendre sa retraite dans 25 ans, gagne actuellement un salaire 40 000$ par année. Il s’attend à ce que son salaire annuel augmente de 2 500$ par année (40 000$ la première année, 42 500$ la deuxième année, etc.) et projette de déposer annuellement 5% de son salaire annuel dans une caisse de retraite rapportant un intérêt de 7% se composant quotidiennement. Combien aura-t-il accumulé au moment de sa retraite?

%.%M%i

CK%;rM

a 257136571171

365M365 1; 7365

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⇒===

$125%5$500 2:linéaire)(gradient épargnel' de annuelleon Augmentati

$000 2%5$000 40:année première la de Épargne

=×=×

=×=×

neargtaux d'épon salaireAugmentati

neargtaux d'épSalaire

TI: eff(7,365)=7.25

19



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

2 000$2 125$

2 250$

5 000$4 875$

4 750$

etc…

F=?

( )

( ) ( )

( ) $ 941.33 69 250725.

10725.10725.

$125

11,,/

:longau facteur lecalculer faut Ilire,fractionnaintérêt un pour / ni

, pasdonnant ne tablesLes

25

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−+==

+=

gradient

N

gradient

gradientannuitétotal

F

Ni

iiGNiGFGF

F/G,i,NGP

F/GFFF ( )

( )

074.37$ 201 $04.133 131$33.941 69

133.04$ 13125 %,25.7 ,/$000 2

,,/

=+=

===

total

annuité

F

AFNiAFAF

i=7.25%

TI: tvm_fv(25,eff(7,365),pvgl(25,eff(7,365),-2000,-125),0)=201074.37



Catherine Munger désire acheter des meubles valant 3 000$. Elle se propose d’obtenir un financement de 2 ans pour son achat. Le magasin de meubles lui "indique" le taux d’intérêt n’est que de 1% par mois et calcule comme suit le montant de son versement mensuel:

Durée des versements = 24 moisIntérêt=3 000$ x 1% x 24 = 720$Frais de constitution du dossier= 25$Montant dû= 3 000$ + 720$ + 25$ = 3 745$Versement mensuel = 3 745$ / 24 mois = 156.04$ par mois

a) Quel est le taux d’intérêt effectif annuel ia du prêt contracté par Catherine? Quel est le taux d’intérêt nominal, en fonction d’une capitalisation mensuelle?

b) Catherine achète les meubles et effectue 12 versements mensuels. Elle veut ensuite rembourser en bloc le reste du prêt (au bout de 12 mois). Combien doit-elle au magasin de meubles?

20



( )( )

( )

( )

( )annéepar 27221285611

annéepar 6924101856101

moispar 85611:-156.04)PMT 3000, P 24,N (mettre cecalculatri la Avec

0000 3

041561000 3

04156

01

111

12

24

%.%.r%..i

%.i

$$.i

$$.i

PAi

PAi

iiiPA

a

N

N

N

=×=⇒

=−+=⇒

====

=−++

=−++⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

+=

−

−

a)

b) Le solde au début de la période 13 est la valeur présente des 12 paiementsqui restent à faire:

( )( ) 664.85$ 1

11324 85611 041561

12

12

113

=

+−=

+−=−

B%,.,A/P$.B

nN,i,A/PAB



Un prêt de 10 000$ s’étend sur une période de 24 mois. Le prêteur offre des taux nominaux, se composant mensuellement, de 8% pour les 12 premiers mois, et de 9% pour tout solde impayé après 12 mois. Selon ces taux, calculez le montant du versement qu’il faudrait effectuer à la fin de chaque mois pendant 24 mois pour rembourser le prêt.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

r = 8% r = 9%

P = 10 000$

A = ?

%667.0112%81

1 12; %;81

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

i

CKr

%750.0112%91

112;%;91

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

i

CKr

ieff(8,1,12)=0.667 ieff(9,1,12)=0.750

21



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

$43453$0622$000 10$1

: àest 000$ 10 que ce 1$ àest 22.06$$0622$5610$5011

)12 6670 $(4311$5011)12 6670 )(12 7500 $(1)12 6670 $(1

$1 queSupposer :cecalculatri la Avec

..

A

A...P

%,.,F/P..P%,.,F/P%,.,A/P%,.,A/PP

A

=×=⇒

=+=+=

+==

i= 0.667% i= 0.750%

11.43$11.50$

10.56$

22.06$


Exercice 3.79: Preuve tabulaireExercice 3.79: Preuve tabulaire

VersementMois Solde début Intérêt Capital Total Solde fin

1 10 000.00 $ 66.67 $ 386.76 $ 453.43 $ 9 613.24 $2 9 613.24 $ 64.09 $ 389.34 $ 453.43 $ 9 223.90 $3 9 223.90 $ 61.49 $ 391.93 $ 453.43 $ 8 831.97 $4 8 831.97 $ 58.88 $ 394.55 $ 453.43 $ 8 437.43 $5 8 437.43 $ 56.25 $ 397.18 $ 453.43 $ 8 040.25 $6 8 040.25 $ 53.60 $ 399.82 $ 453.43 $ 7 640.43 $7 7 640.43 $ 50.94 $ 402.49 $ 453.43 $ 7 237.94 $8 7 237.94 $ 48.25 $ 405.17 $ 453.43 $ 6 832.76 $9 6 832.76 $ 45.55 $ 407.87 $ 453.43 $ 6 424.89 $10 6 424.89 $ 42.83 $ 410.59 $ 453.43 $ 6 014.30 $11 6 014.30 $ 40.10 $ 413.33 $ 453.43 $ 5 600.97 $12 5 600.97 $ 37.34 $ 416.09 $ 453.43 $ 5 184.88 $13 5 184.88 38.89 $ 414.54 $ 453.43 $ 4 770.34 $14 4 770.34 35.78 $ 417.65 $ 453.43 $ 4 352.69 $15 4 352.69 32.65 $ 420.78 $ 453.43 $ 3 931.91 $16 3 931.91 29.49 $ 423.94 $ 453.43 $ 3 507.98 $17 3 507.98 26.31 $ 427.12 $ 453.43 $ 3 080.86 $18 3 080.86 23.11 $ 430.32 $ 453.43 $ 2 650.54 $19 2 650.54 19.88 $ 433.55 $ 453.43 $ 2 217.00 $20 2 217.00 16.63 $ 436.80 $ 453.43 $ 1 780.20 $21 1 780.20 13.35 $ 440.07 $ 453.43 $ 1 340.12 $22 1 340.12 10.05 $ 443.37 $ 453.43 $ 896.75 $23 896.75 6.73 $ 446.70 $ 453.43 $ 450.05 $24 450.05 3.38 $ 450.05 $ 453.43 $ 0.00 $

Cours 7Cours 7

Le financementLe financement



ContenuContenu

Sources de financementCoût de l'endettement:

Prêts à termeObligations

Coût des capitaux propresBénéfices non répartisÉmission d'actions ordinairesÉmission d'actions privilégiées

Coût moyen pondéré du capitalLe choix du taux de rendement minimal acceptable pour un projet

Références:AEI: 3.8; 10.1.1., 10.1.2, 10.2 et 10.3


CoCoûût du Capital: Pourquoi?t du Capital: Pourquoi?

capitaldu pondérémoyen coût le

empruntd' capitaldu impôts, après moyen,intérêt d' taux lepériodepar proprescapitaux desmoyen rendement) de (i.e.intérêt d' taux le

totalcapital le $en proprescapitaux des totalle

$en talemprunt tod' capital le:où

=

=

=

+===

=

+=

kii

C CVCeC

VCi

VCik

d

e

ed

d

eedd

1. Notion de coût moyen pondéré du capital (CMPC)

2. Notion de taux de rendement acceptable minimal (TRAM)

projet leRefuser Si

projet leAccepter Si:Donc

connu est dettepar t financemen le si ou, :généralEn

⇒<

⇒≥

==

TRAMR

TRAMR

iTRAMkTRAM

projet

projet

e


Financement: les sources de fondsFinancement: les sources de fonds

Deux grandes sources de financement de projets:

1. Capitaux propres:Source internes: Bénéfices non répartisSources externes: Appel aux investisseurs par l'émissions de nouvelles actions

2. Endettement:À court terme: seulement pour financer les actifs à court terme tels les comptes clients et les stocksÀ long terme: pour financer les actifs à long terme tels les immobilisations ou les acquisitions d'entreprises


Endettement et capitaux propres: DiffEndettement et capitaux propres: Difféérencesrences

Endettement• Pas un droit sur l'actif de la

société, sauf en cas de défaut (non-paiement)

• Droit de saisie• L'émission d'une dette entraîne

donc une augmentation du risque pour les actionnaires

• Les créanciers n'ont pas le droit de vote, sauf en cas de faillite

• Doivent approuver les termes de réorganisation

• Les intérêts font partie des coûts et sont entièrement déductibles d'impôts

Capitaux propres• Droit de propriété sur les actifs

de la société• Une action est un droit sur le flux

monétaire résiduel de l'entreprise (i.e. après paiement des créanciers)

• Les actionnaires votent pour l'élection du conseil d'administration, approbation des offres d'achat, etc…

• Les dividendes payés aux actionnaires ne sont pas déductibles d'impôt

• Les actionnaires n'ont pas de recours légaux si les dividendes ne sont pas versés


Bénéfices$

0 TVallée dela Mort

Famille & Amis Anges

Capital de risquePAPE

Rondes

1 2 3 Mezzanine

Sources de financement en capitaux propres et stades de dSources de financement en capitaux propres et stades de dééveloppement veloppement de l'entreprisede l'entreprise

Amorçage Démarrage Croissance Maturité

Stades de développementRisqueélevé

Risquefaible


Anges InvestisseursAnges Investisseurs

Personnes fortunées et expérimentées

Entrepreneurs qui ont réussi50K$ à 500 K$

Participent activement à la gestionPossèdent un réseau d'affaires considérable Objectif: Défi intellectuel et rendement à long terme


SociSociééttéés de Capital de Risque (Venture Capital)s de Capital de Risque (Venture Capital)

Commanditaires-InvestisseursFonds de pension

FondationsCompagnies

Individus

Fonds de capital de risque

Associés principaux

• Génère le deal-flow• Découvre les opportunités• Négocie les financements• Suit et avise le management

des sociétés financées• Favorise les synergies inter-

compagnies

Sociétés financées

Autres fonds d'investissement

100% des fondsà investir

2% à 3% de fraisde gestion annuels

(25 à 50 dossiers)

70 à 80%du gain


CoCoûût de l'endettementt de l'endettement

10GIA 400 – Cours 7 10

Le coLe coûût de la dette: t de la dette: A) Prêts A) Prêts àà terme ou "prêt commercial": Rappelterme ou "prêt commercial": Rappel

Tous les versements sont égaux dans le temps et incluent une portion de remboursement de capital, une portion d’intérêts.Le calcul du montant total du paiement s’effectue selon la formule d’annuité:

A=P(A /P, i, N)Où:A: Montant du versement, capital et intérêtsP: Montant du prêti: le taux d’intérêt effectif par période de capitalisationN: le nombre total de paiement

Coût de ce type de dette (ks) est le taux d'intérêt annuel effectif du prêt:

ks= ieffectif

11GIA 400 – Cours 7 11

A) Prêts A) Prêts àà terme ou "prêt commercial": Rappelterme ou "prêt commercial": Rappel

Exemple:Montant du prêt (le capital=P): 100 000$Taux d'intérêt 8%, composé mensuellementPaiements dus à la fin de chaque année pendant 5 ans.

Année 1 2 3 4 5Capital au début 100 000 $ 83 056 $ 64 706 $ 44 832 $ 23 309 $Intérêt 8 300 $ 6 894 $ 5 371 $ 3 721 $ 1 935 $Remboursement de capital 16 944 $ 18 350 $ 19 873 $ 21 523 $ 23 309 $Capital à la fin 83 056 $ 64 706 $ 44 832 $ 23 309 $ 0 $Paiement total 25 244 $ 25 244 $ 25 244 $ 25 244 $ 25 244 $

( )( ) $244 255 8.30%, A/P,000$ 100

3081128111

121; ;812

===

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

AN,i,P/APA

%.%CK

ri

CK%rC

-40 000 $

-20 000 $

0 $

20 000 $

40 000 $

60 000 $

80 000 $

100 000 $

120 000 $

0 1 2 3 4 5

IntérêtsCapital

P

A A A A A

12GIA 400 – Cours 7 12

Le coLe coûût de la dette:t de la dette:B) ObligationsB) Obligations

Définition:Titre de créance donnant droit à des intérêts fixes périodiques et au remboursement de la valeur nominale à l'échéance.

Caractéristiques:La valeur nominale Un taux d'intérêt contractuel, fixant les intérêts à payer sur la valeur nominaleDes dates de paiement des intérêts (habituellement tous les 6 mois)La date d'échéance

13GIA 400 – Cours 7 13

Une obligationUne obligation

1 000$

Échéance: 31 mars 2030

5%Intérêts payables le

30 septembre et le 31 mars

30

se

pt

. 20

10

25

$

31

ma

rs

20

11

25

$

30

se

pt

. 20

11

25

$

31

ma

rs

20

12

25

$

30

se

pt

. 20

12

25

$

31

ma

rs

20

13

25

$

31

ma

rs

20

30

25

$

30

SE

PT

. 20

29

25

$

Etc. à tousles 6 mois

Valeur nominalede la coupure:

Montant payableà l'échéance

Couponsd'intérêts:

EncaissablesTous les 6 mois

14GIA 400 – Cours 7 14

Obligations: Diagramme de flux monObligations: Diagramme de flux monéétairetaire

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Semestres

Prix d'achat = ?

Valeur nominale1 000$

Échéance de 20 ans = 40 semestres

40

Couponsd'intérêt25$

39

Dépend des taux d'intérêt en vigueur sur le marchéau moment précis de la mise en vente des obligations(processus d'enchère)

15GIA 400 – Cours 7 15

Obligations: Termes importantsObligations: Termes importants

Obligation émise au pairObligation achetée à sa valeur nominale

taux du coupon = taux d'intérêt en vigueur sur le marché

Obligation avec prime d'émissionObligation achetée à un prix supérieur à sa valeur nominale

taux du coupon > taux d'intérêt en vigueur sur le marché

Obligation avec escompte d'émissionObligation achetée à un prix inférieur à sa valeur nominale

taux du coupon < taux d'intérêt en vigueur sur le marché

Le prix de l'obligation s'ajuste au taux d'intérêt en vigueur sur le marché au moment précis de l'émission.

16GIA 400 – Cours 7 16

Obligations: ExempleObligations: Exemple

Hydro-Québec, 11 ¼%, échéance 25 septembre 2008Émises le 25 septembre 1985

Durée = 23 ansCoupure: 100 000$Paiements d'intérêt 2 fois par année: le 25 mars et le 25 septembre

2 x 23 = 46 coupons de 100 000$ x 11.25% / 2 = 5 625$ chacun

Cours le 26 janvier 1998 = 108 888$.À cette date, quelle était le coût d'un financement par dette de 10 ans pour Hydro-Québec?

17GIA 400 – Cours 7 17

Obligations: ExempleObligations: Exemple

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

108 888$

5 625$

100 000$

( ) ( )( ) ( )

ce...calculatrilaavecévidemmentfait se calcul Le

91684789.88$ 107085.44$ 122

888$ 108085.44$ 12214

:ioninterpolatPar 085.44$ 1224789.88$ 1075

:erreurset essaispar Solution 20$00 10020625$ 5 888$ 108

%.%%i

P%iP%i

,i,F/P,i,P/AN,i,F/PFN,i,A/PAP

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

+=

=⇒==⇒=

+=+=

18GIA 400 – Cours 7 18

Obligations: Exemple (suite)Obligations: Exemple (suite)

( ) %.%.i

r

0753101916841

: effectif) échéancel' àrendement de taux nommé (aussi:effectif annuelTaux

9.8336%4.9168%2:nominal annuelTaux

2 =−+=

=×=

Toujours utiliser ce taux annuel effectif (i) pour déterminer le coût annuel de ce type de detteCoût de ce type de dette (kb) est le taux d'intérêt annuel effectif de l'obligation:

kb= ieffectif


Rendement d'une obligation: méthodes de calcul avec la calculatrice financière

Avec le solveur TVM

Taux semestriel effectif = 4.9168%r =Taux annuel nominal = 4.9168% x 2 = 9.8336%kb=Taux annuel effectif = (1+4.9168%)2-1 = 10.0753%

K=1; M = 1

r = Taux annuel nominal = 9.8336%kb=Taux annuel effectif = (1+9.8336%/2)2-1 = 10.0753%

K=2; M = 2 Fonction TI eff(r,M)kb = eff(9.8336,2)=10.0753%


Rendement d'une obligation: méthodes de calcul avec la calculatrice financière

Avec la fonction IRR

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

108 888$

5 625$

100 000$

IRR(-108888,{5625,105625},{19,1})= 4.9168%

Taux semestriel effectif = 4.9168%r =Taux annuel nominal = 4.9168% x 2 = 9.8336%kb=Taux annuel effectif = (1+4.9168%)2-1 = 10.0753%

21GIA 400 – Cours 7 21


John Brewer achète au prix de 1 000$ une nouvelle obligation de société. L'entreprise émettrice promet de verser à tous les 6 mois au détenteur 45$ d'intérêt sur les 1 000$ de valeur nominale, à rembourser au bout de 10 ans. Deux ans plus tard, John vend l'obligation à Kimberly Crane au prix de 900$.a) Quel est le rendement de l'obligation de John?

0 1 2 3 4

1 000$

900$45$ 45$ 45$

45$

i=?

( ) ( )( ) ( )

%.semestrieli


082 :cecalculatri la Avec

4$9004$45$000 1

=

+=+=

( ) %..i

%.%.r

2041020801

:effectif annuelrendement Le1642082

:nominalrendement Le

2 =−+=

=×=

semestres

22GIA 400 – Cours 7 22


b) Si Kimberly conserve l'obligation pendant les 8 ans qui restent avant l'échéance que est le rendement à l'échéance de son investissement?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A = 45$

900$

1 000$

45$

i=?

( ) ( )( ) ( )

%.semestrieli


4535 :cecalculatri la Avec

16$100016$45$900

=

+=+=

( ) %..i

%.%.r

201110545301

:effectif annuelrendement Le9061024535

:nominalrendement Le

2 =−+=

=×=

semestres

23GIA 400 – Cours 7 23

Exemple 3.18: DiscussionExemple 3.18: Discussion

Quel était le taux d'intérêt effectif sur le marché au moment au John a acheté l'obligation pour 1000$?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20semestres

A = 45$

1 000$

1 000$

( ) ( )

( ) %..

%./i%.i

,i,F/P,i,P/A

semestre

20910451 annuel effectifTaux

54100045nominale valeur la àAchat :Ou54

20$10002045$$000 1

2 =−+=

==⇒=

+=

Si ce taux n'avait pas changé au moment où il a vendu l'obligation àKimberly, quel montant aurait-il reçu?

( ) ( ) $000 11654$1000165445$ =+= %,.,F/P%,.,P/AP

La hausse des taux d'intérêt a fait baissé la valeur de son obligation

24GIA 400 – Cours 7 24

Fluctuation du prix des obligations au fil du tempsFluctuation du prix des obligations au fil du temps

Changement Effet sur le prix d'une obligation

Baisse des taux d'intérêts

Augmente le prix, car le coupon et la valeur nominale en $ ne changent pas. Leur valeurs présentes sont donc augmentées.

Hausse des taux d'intérêt

Baisse le prix. La valeur présente des coupons restants et de la valeur nominale est diminuée.

25GIA 400 – Cours 7 25

CoCoûût de l'endettement aprt de l'endettement aprèès impôtss impôts

( ) ( ) ( )

sobligation lessur effectifintérêt d' taux leentreprisel' de marginalimpôt d' taux le termeàprêt lesur intérêt d' taux le

termeàprêt un par financée totaledette la defraction la :où

111

==

==

−−+−=

b

s

bsd

ktkS

tkStSki

Note: On doit aussi tenir compte des frais d'émission

26GIA 400 – Cours 7 26

CoCoûût de l'endettement: Exemple 10.5t de l'endettement: Exemple 10.5

Alpha effectue un financement par dette de 4 M$ selon les modalités suivantes:

La valeur nominale de l'obligation est de 1 000$ et l'émission peut rapporter 940$ (après les frais d'émission de 6%), quel est le coût de l'endettement si le taux d'imposition marginal de la compagnie est de 38%?

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

%.k,k,F/P,k,A/P

N,i,F/PFN,i,A/PAP

%A

.PP

?k

b

bb

b

741020$100020$100$940

000$ 1 :obligationl' de nominale valeur La$10010$1000

:obligationl' de annuelcoupon Le$940060$1000$1000

émissiond' Frais$1000:obligationl' denet ventedePrix

=

+=+=

==

=−=−=

= ( ) ( ) ( )

( )( )( )( )( )( )

%.i...

...it.kkS

tkStSki

d

d

bs

bsd

8563801107402501

3801120250%;38 %;7410 %;12 %;25

111

=−−+

−=====

−−+−=

Source Montant Fraction Taux d'intérêt Frais d'émissionPrêt à terme 1 M$ 25% 12% -Obligations d'un terme de20 ans. Coupons annuels 3 M$ 75% 10% 6%

27GIA 400 – Cours 7 27

CoCoûût des capitaux proprest des capitaux propres

28GIA 400 – Cours 7 28

Le coLe coûût des capitaux proprest des capitaux propres

Fondamentalement deux sources de capitaux propres:1. Le flux monétaire net des capitaux propres

Décision à prendre: Payer des dividendes ou réinvestir dans des projets?

Revenus (R)

Coûts d'exploitation (OC) Flux monétaire avant impôt (FMAI)

I DPA Bénéfice imposable (TI)

Impôt (T)Bénéfice net (NI)

Flux monétaire lié à l'exploitation

Flux monétaire net descapitaux propresRemboursement de

capital de la dette

DividendesFlux monétaire disponiblePour investissement

29GIA 400 – Cours 7 29

Le coLe coûût des capitaux propres:t des capitaux propres:

Fondamentalement deux sources de capitaux propres (suite):

2. L'émission de nouvelles actionsÉvaluation à faire: Combien valent ces nouvelles actions?Si l'entreprise est déjà publique: valeur = cours actuelSi c'est un premier appel public à l'épargne (PAPE), ou en anglais un Initial Public Offering (IPO):

Valeur actuelle du flux monétaire des capitaux propresEntreprises publiques comparables: multiple des bénéfices, des ventes, etc…En définitive: ce que le marché accepte de payer

30GIA 400 – Cours 7 30

Le coLe coûût des capitaux proprest des capitaux propres

Un des sujets les plus difficiles de la finance:Contrairement au coût des actions privilégiées ou de la dette, le coût des capitaux propres ne s'observe pas directement. Il doit être inféré à partir du prix des actions.

Deux sources de rendement pour les actionnaires:1. Les dividendes en espèces2. L'appréciation de la valeur de l'action (plus-value)

Les principes de base:1. L'entreprise devrait offrir aux actionnaires, sur le flux monétaire des

capitaux propres réinvestis, un rendement au moins égal à ce qu'ils pourraient obtenir en investissant eux-mêmes leurs dividendes dans d'autres actifs au risque comparable.

2. Conceptuellement, le prix d'achat des actions est la valeur actualisée des dividendes futurs, au taux de rendement attendu par les actionnaires, et compte tenu de la croissance prévue de ces dividendes.

31GIA 400 – Cours 7 31

Deux types d'actionDeux types d'action

Actions privilégiées:Priorité sur les actions ordinaires pour le paiement de dividendesDividende fixé à l'avance en % de la valeur nominale

Valeur fluctue en fonction des taux d'intérêtsDividende cumulatif, s'il ne peut être payé. (i.e. reporté à la période suivante)Aucun droit de vote aux assemblées d'actionnairesParfois convertibles en actions ordinaires selon des termes prédéterminés

Actions ordinairesDonnent droit à une participation aux bénéfices, proportionnelle au nombre d'actions détenues sur le total en circulation.Droit de vote aux assemblées: élection du conseil d'administration, nomination des vérificateurs externesLe conseil d'administration décide de la part des bénéfices qui seront versés en dividendes. Le reste est le "bénéfice non réparti" et est réinvesti dans l'entrepriseDividendes parfois payables sous forme d'actions additionnellesLeur valeur fluctue en fonction des perspectives de profits et de leur risque non-diversifiable.

32GIA 400 – Cours 7 32

Notion de risque diversifiable:Notion de risque diversifiable:Un des piliers de la thUn des piliers de la thééorie financiorie financièère modernere moderne

Tout le risque peut être éliminé en combinant 1 action de la Compagnie Blanche avec une action de la Compagnie Noire. Le rendement attendu

d'un tel portefeuille devrait être le taux de rendement sans risque (i.e. le taux des obligations gouvernementales, par exemple 5%)

Un investisseur qui possède un portefeuille diversifié peut justifier payer plus cher par action qu'un investisseur non-diversifié.

Profits deBlanche + Noire

20 $20 $20 $20 $20 $20 $0 $5%

200 $

eiAP =

Profits de Profits deChutes de neige par saison Probabilité la Cie Blanche la Cie NoireMoins de 150 cm 10% (10 $) 30 $De 151 à 175 cm 20% 0 $ 20 $De 176 à 200 cm 40% 5 $ 15 $De 201 à 250 cm 20% 20 $ 0 $Plus de de 251 cm 10% 50 $ (30 $)Moyenne pondérée (A) 10 $ 10 $Écart-type (risque) 16 $ 16 $Rendement attendu (ie) 20% 20%Valeur de l'action par action (P) 50 $ 50 $

33GIA 400 – Cours 7 33

Exemple de la Compagnie ABC (p. 635)Exemple de la Compagnie ABC (p. 635)

Dividende à la fin de la première année: 5$Croissance future du dividende: 10%Valeur prévue dans 3 ans: 120$ (note: pourquoi?)Les investisseurs acceptent de payer 100$ par action (note: pourquoi?)Quel est le taux de rendement requis pour ses actions (kr)?

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )32

2

33210

1$120101$5

1101$5

1$5100

321

rrr

rrr

k,

k,

k$

,k,F/PPD,k,F/PD,k,F/PDP

+++

++

++

+=

+++=

0 1 2 3100$

5$5.50$ 6.05$

120$

kr= irr(-100,{5,5.50,126.05})=11.44%

34GIA 400 – Cours 7 34

Le coLe coûût des capitaux propres:t des capitaux propres:1. Le co1. Le coûût des bt des béénnééfices nonfices non--rréépartis partis ((kkrr))

( )( )

( )( )

gPDk

kggk

DP

....k

gDk

gDk

DP

r

r

r

rrr

+=

<−

=

∞→++

++

++

++

=

0

1

10

2

31

211

0

:alors , si

:estsolution ladont infini egéométriqugradient un est Ceci1

11

11

( )dividendedu croissance de annuel taux le

1 année première la de dividende leactionl' de actuelprix le

01

0

=+==

=

ggDD

PEn pratique, la "valeur prévue dans N années" n'est pas connue!

35GIA 400 – Cours 7 35

Le coLe coûût des capitaux propres:t des capitaux propres:2. Le co2. Le coûût de nouvelles actions ordinaires t de nouvelles actions ordinaires ((kkee))

( )

actions desémission d'prix du %en émission d' frais lesdividendedu croissance de annuel taux le

1 année première la de dividende leactionl' de actuelprix le

01

0

==

+===

cfg

gDDP

( ) gfP

Dkc

e +−

=10

1


Frais d'émission, marché primaire et secondaireL'entreprise émet des titres (obligations ou actions)La banque d'investissement les achète de l'entreprise 95$ et les revend aux investisseurs initiaux 100$ (frais de 5%)Par la suite, les investisseurs initiaux peuvent revendre leur titre, par exemple pour 120$, par l'intermédiaire d'un courtier en valeurs mobilières à d'autres investisseurs qui les paieront 125$ (commission de 4%). C'est ce qu'on appelle le marchésecondaire.

Entreprise

Investisseursinitiaux

Banqued'investissement

100$

95$

Investisseurssubséquents

125$

120$Courtier

en valeurs

Marché primaire

Marché secondaire(la Bourse)

37GIA 400 – Cours 7 37

Le coLe coûût des capitaux propres:t des capitaux propres:3. Le co3. Le coûût des actions privilt des actions priviléégigiéées es ((kkpp))

actions desémission d'prix du %en émission d' frais les annuel fixe dividende le

actionl' deémission d'prix le

==

=

c

*

*

fD

P

( )c*

*

p fPDk

−=

1

38GIA 400 – Cours 7 38

Le coLe coûût des capitaux propres:t des capitaux propres:Moyenne pondMoyenne pondéérréée (e (iiee))

1

esprivilégié actionsd'émission l'par financés proprescapitaux desfraction la

ordinaires actions nouvelles deémission l'par financés proprescapitaux desfraction la

répartisnon bénéfices lespar financés proprescapitaux desfraction la

:où

=++

=

=

=

++=

cba

c

b

a

ckbkaki pere

39GIA 400 – Cours 7 39

CoCoûût des capitaux propres: Exemple 10.4t des capitaux propres: Exemple 10.4

En plus du 4 M$ financé par dette, Alpha effectue un financement par les capitaux propres de 6 M$:

Source Montant FractionBénéfices non répartis 1 M$ 16.7%Nouvelles actions ordinaires 4 M$ 66.7%Actions privilégiées 1 M$ 16.7%

Les actions ordinaires se négocient à 40$ sur le marché boursierDividendes en espèces de 5$ à la fin de la première année, augmentant de 8% par année par la suite.Des actions ordinaires peuvent être émises à 40$ chacune mais comportent des frais d'émission de 12.4%Des actions privilégiées d'une valeur nominale de 100$ avec un dividende de 9% peuvent être émises. Étant donné les taux d'intérêts actuels sur un placement de ce niveau de risque, le prix de vente des actions sera de 95$ et les frais d'émission de 6% de ce prix.Déterminer le coût des capitaux propres.

40GIA 400 – Cours 7 40


Coût des bénéfices non-répartis:

%520%8$40

$5

0

1 .gPDkr =+=+=

Coût des nouvelles actions ordinaires

( ) ( ) %2722812401$40

$510

1 .%.

gfP

Dkc

e =+−

=+−

=

Coût des nouvelles actions privilégiées

( ) ( ) %08100.06-195$

$91

.fP

Dkc

*

*

p ==−

=

Coût pondéré des capitaux propres:

( )( ) ( )( ) ( )( )%9619

100801670222706660205016701670 ;6660 ;1670

.i......i

.c.b.a

ckbkaki

e

e

pere

=++=

===

++=

41GIA 400 – Cours 7 41

CoCoûût moyen pondt moyen pondéérréé du capitaldu capital

Nous avons maintenant en main tous les éléments nécessaires au calcul du coût moyen pondéré du capital.

capitaldu pondérémoyen coût le

empruntd' capitaldu impôts, après moyen,intérêt d' taux lepériodepar proprescapitaux desmoyen rendement) de (i.e.intérêt d' taux le

totalcapital le $en proprescapitaux des totalle

$en talemprunt tod' capital le:où

===

+====

+=

kii

C CVCeC

VCi

VCik

d

e

ed

d

eedd

42GIA 400 – Cours 7 42

CMPC d'Alpha (Ex. 10.4 et 10.5)CMPC d'Alpha (Ex. 10.4 et 10.5)

Reprenant les estimés de id et de ie, on peut maintenant calculer le coût moyen pondéré du capital de la société Alpha:

( )( ) ( )( )

%7214M$10

M$6%9619M$10

M$4%856

.

..VCi

VCik eedd

=

+=

+=

Source Montant (M$) Pondération Coût Coût pondéréPrêt à terme 1Obligations d'un terme de 20 ans 3Total endettement 4 40.0% 6.85% 2.74%Bénéfices non répartis 1Nouvelles actions ordinaires 4Actions privilégiées 1Total capitaux propres 6 60.0% 19.96% 11.98%Total 10 100% 14.72%

43GIA 400 – Cours 7 43

ExisteExiste--tt--il une structure de capital optimale?il une structure de capital optimale?Un autre problème central de la finance sur lequel il s'est écrit des centaines de papiers…Disons tout simplement que sur un très large intervalle du ratio endettement/capitaux propres, le coût moyen pondéré du capital ne varie pratiquement pas.

Le coût plus bas de l'endettement est contrebalancé par une augmentation rapide du coût des capitaux propres à mesure que le taux d'endettement augmente.

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

40.0%

45.0%

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Endettement/Capitaux propres

Coû

t

CMPC

Coût des capitaux propres

Coût de l'endettement

44GIA 400 – Cours 7 44

Notion de coNotion de coûût marginal du capitalt marginal du capital

En général, le coût de l'endettement et des capitaux propres augmente avec le niveau d'endettement (ratio Dette/Actif) car l'augmentation de l'endettement affecte le risque financier de l'entreprise.Le coût marginal du capital = le coût de chaque nouveau dollar recueilliMêmes formules mais coûts différents…Dans notre exemple, si l'entreprise voulait lever de nouveaux fonds au-delàdes 10 M$, les coûts changeraient probablement, notamment ceux de la dette à long terme.

45GIA 400 – Cours 7 45

Que faire quand l'entreprise ne paie aucun dividende?Que faire quand l'entreprise ne paie aucun dividende?

Apple ne paieaucun dividende…

Mais son facteur Beta (β) est connu.

46GIA 400 – Cours 7 46

William F. SharpeWilliam F. Sharpe

Concepteur du CAPM (1962):"Capital Asset Prices - A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk". Journal of Finance XIX (3): 425–42 Prix Nobel d'économie, avec Harry Markowitz et Merton Miller (1990)Professeur Emeritus, Stanford University

47GIA 400 – Cours 7 47

Le coLe coûût des capitaux propres:t des capitaux propres:Approche basApproche baséée sur le risquee sur le risque

CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM)Largement utilisé par les praticiens de la finance pour évaluer le coût des capitaux propres

( )

( ) 1.0un pour marchédu risque de prime la 500) P&S le comme indice(un

boursier marchédu ensemblel' derendement deTaux boursier) marchédu ensemblel'pour 1.0(

entreprisel' de risque de indicel'

ntales)gouverneme ns(obligatio risque sansrendement deTaux proprescapitaux desCoût

:ou

=β=−⇒

==β=β

==

−β+=

fm

m

f

e

fmfe

RR

R

RK

RRRK

48GIA 400 – Cours 7 48

ÉÉvaluation du Facteur Beta (valuation du Facteur Beta (ββ))

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

-20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

Rendement mensuel (R)des actions d'Apple

Rendement mensuel (R)du S&P 500

Beta= Pente=1.47

( )( )500

500

:uesmathématiq En termes

P&S

P&SApple

RVARR,RCOV

=β

Avec EXCEL:Beta = Pente(y_connus,x_connus)

y_connus: Rendements des actionsx_ connus: Rendements du S&P 500

Avec EXCEL:Beta = Pente(y_connus,x_connus)

y_connus: Rendements des actionsx_ connus: Rendements du S&P 500


0%

5%

10%

15%

20%

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

49

Exemple: CoExemple: Coûût des capitaux propres pour Applet des capitaux propres pour Apple

Beta (β)= 1.47

( )

( ) %..K

RR

R

RRRK

e

fm

f

fmfe

812%6471%4

1920) depuis historique uearithmétiq (moyenne 6%

ans) 10 US,ns(Obligatio %4:ou

=+=

=−

=

−β+=

Beta (β)

Ke

Apple (1.47)Indice

boursier

Rf

(Rm– Rf)

4.0%

1.47x6% = 8.8%

Ke = 12.8%


Application: Taux de croissance anticipApplication: Taux de croissance anticipéé des bdes béénnééfices d'Applefices d'Apple

Quel était le taux de croissance des bénéfices anticipé, qui était implicite au prix des actions d'Apple le 10 septembre 2010?Si on utilise le bénéfice par action au lieu du dividende pour modéliser le prix d'une action, on a:

giBPAPe −

= 1Prix par action

Coût des capitaux propres= taux de rendement

attendu par les actionnaires

Bénéfice par actionPour la prochaine année

Taux de croissance àLong terme du BPA

PBPAig

giBPAP

ee

1

1

1−=⇒

−=

RatioPrix/Bénéfice

%812$97210$3871

.i.P.BPA

e ==

=%/an39%53%812

97210387%812 ....

..g =−=−=⇒

Pour Apple:

51GIA 400 – Cours 7 51

Effet de l'endettement sur Effet de l'endettement sur ββ et le coet le coûût des capitaux propres:t des capitaux propres:Deux sources de risque pour une entreprise:Deux sources de risque pour une entreprise:

Le risque d'affaires

Variations de la demande, des prix et des coûts dues:

Aux cycles économiquesAux caractéristiques de l'industrie

Pouvoir des clientsPouvoir des fournisseurs

À l'intensité de la concurrence:

Nouveaux entrantsProduits substituts

Le risque d'affaires

Variations de la demande, des prix et des coûts dues:

Aux cycles économiquesAux caractéristiques de l'industrie

Pouvoir des clientsPouvoir des fournisseurs

À l'intensité de la concurrence:

Nouveaux entrantsProduits substituts

Le risque financier

Variabilité des bénéfices dues àl'endettement:

Les charges fixes d'intérêts augmentent la volatilité des bénéfices et du rendement sur les capitaux propres.

Le risque financier

Variabilité des bénéfices dues àl'endettement:

Les charges fixes d'intérêts augmentent la volatilité des bénéfices et du rendement sur les capitaux propres.

Risque totalβ total

52GIA 400 – Cours 7 52

Rappel: Effet de la dette sur la volatilitRappel: Effet de la dette sur la volatilitéé des bdes béénnééficesfices

Entreprise A Entreprise BBénéfice d'exploitation moyen 200 200 Intérêts (10%) - 60 Bénéfice avant impôts 200 140 Impôts (30%) 60 42 Bénéfice net 140 98

Dette - 600 Capitaux propres 1 000 400 Capital Total 1 000 1 000 Rendement sur les capitaux propres 14.0% 24.5%

Les entreprises A et B ont le même bénéfice d'exploitation:moyenne de 200 K$ avec un écart-type de 40 K$. (20%)

L'entreprise A et l'entreprise B ont le même capital total de 1 000 K$, mais:A n'a aucune dette; B est financée à 60% par dette.

Quelle est l'entreprise la plus risquée?

53GIA 400 – Cours 7 53

Effet de la dette sur la volatilitEffet de la dette sur la volatilitéé des bdes béénnééfices: Exemplefices: Exemple

Entreprise A Entreprise BBénéfice d'exploit. moyen 200 200

Écart-type 40 40 Écart-type/moyenne 20.0% 20.0%

Bénéfice net moyen 140 98 Écart-type 28 28 Écart-type/moyenne 20.0% 28.6%

Rend. sur les Cap. Prop. 14.0% 24.5%Écart-type 2.8% 7.0%Écart-type/moyenne 20.0% 28.6%

Rendement sur les capitaux propres

-7.5% 4.4% 16.3% 28.2% 40.1%

Prob

abili

té

A

B

Quelle est l'entreprise la plus risquée?

Résultats obtenus par simulation Monte-Carlo

54GIA 400 – Cours 7 54

Ajustement du Beta (Ajustement du Beta (β)β) pour l'endettementpour l'endettement

( )( )EDtTotal

RA −+β

=β11

proprestaux Dette/Capi ratioimpôtd' taux

dette) (sanspur affaired' risquedu le

==

β=β

D/Et

RA

55GIA 400 – Cours 7 55

CoCoûût des capitaux propres pour une entreprise privt des capitaux propres pour une entreprise privééee

Approche possible avec CAPM:Trouver des entreprises publiques comparables et leur β totalCalculer βRA de ces comparablesFaire la moyenne des βRA : Ce sera le βRA de l'entrepriseCalculer le β total de l'entreprise avec son ratio d'endettement et son taux d'impôt:

Calculer Ke avec CAPM

Ajouter 3% pour le manque de liquidité d'un titre non-transigé en bourse

( )( )EDtRATotal −+β=β 11

( )%RK totalfe 6β+=


Taux d'impôt 27.5%Estimation du coût des capitaux propresBeta - Risque d'affaires 1.20Objectif Dette/Capitaux propres 0.61Beta Total 1.73Taux de rendement sans risque 4.0%Prime de risque du marché 6.0%Prime de risque 10.4%Prime pour entreprsise privée 3.0%Coût des capitaux propres 17.4%

56

CoCoûût des capitaux propres pour une entreprise privt des capitaux propres pour une entreprise privéée: Exemplee: Exemple

Fabricant de composantes de traction en caoutchouc pour des véhicules industriels (tracteurs, excavatrices, etc.) et récréatifs (motoneiges).

Entreprise Activités Risque total Risque d'affairesTitan International Industrial Tires 2.02 1.45 Carlisle Tire & Wheel Industrial Tires 0.68 0.61 Balkrishna Industries Industrial Tires 1.50 0.93 Nokian Div. Tires 1.32 1.12 MRF Ltd Div. Tires 1.49 1.07 Cooper Tires Div. Tires 2.52 1.64 Terex Constr. & Ag. Machinery 2.57 1.67 AGCO Corporation Constr. & Ag. Machinery 1.92 1.71 Caterpillar Inc. Constr. & Ag. Machinery 1.61 0.90 Deere & Company Constr. & Ag. Machinery 1.65 0.97 CNH Global N.V. Constr. & Ag. Machinery 2.59 1.15 Doosan Infracore Constr. & MH. Mach. 1.57 0.61 Arctic Cat Power Sports 1.14 1.21 Polaris Power Sports 1.91 1.70 Moyenne 1.75 1.20

Beta

Source: Capital IQ

( )( )EDtTotal

RA −+β

=β11

( )( )EDtRATotal −+β=β 11( )

( )

%.%%.erise privéime entrepPr%.i

%.%.%

RRRK

e

fmTotalfe

4173414414

41467214

=+=

+==+=

−β+=

57GIA 400 – Cours 7 57

Le choix du taux de rendementLe choix du taux de rendementacceptable minimalacceptable minimal

58GIA 400 – Cours 7 58

Choix du TRAM: Financement du projet connuChoix du TRAM: Financement du projet connu

On connaît le montant de la dette reliée directement au projet et le calendrier précis de paiement d'intérêt et de capitalLe reste du projet est financé par les capitaux propres

Procédure:On calcule le flux monétaire des capitaux propres: c'est le flux monétaire qui revient aux actionnaires.

Donc après les paiements des intérêts et du capitalOn calcule le taux de rendement du flux monétaire des capitaux propres

Le TRAM est le coût des capitaux propres ie

TRAM = ie

59GIA 400 – Cours 7 59

Financement du projet connu: Exemple 10.7Financement du projet connu: Exemple 10.7

Alpha souhaite installer des machines-outils qui devraient augmenter ses revenus pour les prochaines années. L'investissement est de 150 000$, financé à 60% par des capitaux propres et 40% par un emprunt à 12%, remboursable par des versements annuels égaux pendant 5 ans. Le taux d'imposition net est de 38%.TRAM= ie=19.96% (exemple 10.5)Est-ce qu'Alpha devrait accepter ce projet?

60GIA 400 – Cours 7 60

Financement du projet connu: Exemple 10.7Financement du projet connu: Exemple 10.7

Année 0 1 2 3 4 5État des résultatsProduits 68 000 $ 73 000 $ 79 000 $ 84 000 $ 90 000 $ChargesCharges d'exploitation 20 500 $ 20 000 $ 20 500 $ 20 000 $ 20 500 $Intérêts 7 200 $ 6 067 $ 4 797 $ 3 376 $ 1 783 $Amortissements 22 500 $ 38 250 $ 26 775 $ 18 743 $ 13 120 $Bénéfice imposable 17 800 $ 8 683 $ 26 928 $ 41 882 $ 54 597 $Impôt (38%) 6 764 $ 3 300 $ 10 233 $ 15 915 $ 20 747 $Bénéfice net 11 036 $ 5 384 $ 16 695 $ 25 967 $ 33 850 $


Bénéfice net 11 036 $ 5 384 $ 16 695 $ 25 967 $ 33 850 $Amortissement 22 500 $ 38 250 $ 26 775 $ 18 743 $ 13 120 $

0 $ 33 536 $ 43 634 $ 43 470 $ 44 709 $ 46 970 $Investissement

Matériel et récupération (150 000 $)Disposition 11 633 $

(150 000 $) 11 633 $FinancementRemboursement du capital du prêt 60 000 $ (9 445 $) (10 578 $) (11 847 $) (13 269 $) (14 861 $)Flux monétaire net des capitaux propr (90 000 $) 24 091 $ 33 056 $ 31 623 $ 31 440 $ 43 742 $

PE à 19.96% 4 163 $TRI 21.88%

Le projet est rentable car PE>0 et TRI > TRAMNous verrons la semaine prochaine comment calculer PE et TRI

61GIA 400 – Cours 7 61

Choix du TRAM: Financement du projet inconnuChoix du TRAM: Financement du projet inconnu

On ne veut pas présumer d'un endettement lié spécifiquement au projetL'entreprise vise plutôt à maintenir à long terme une structure financière cible pour l'ensemble de ses investissements

Procédure:On calcule le flux monétaire avant intérêt, avant remboursement de capital, mais après impôts, comme si la compagnie n'avait pas de dettes.On calcule le taux de rendement de ce flux monétaire

Le TRAM est le coût moyen pondéré du capital k ou, s'il est connu, le coût marginal du capital

Comme le coût de l'endettement après impôts est inclus dans k, on tient ainsi compte implicitement des flux monétaires après impôts liés àl'endettement

TRAM = k

62GIA 400 – Cours 7 62

Financement du projet inconnu: Exemple 10.8Financement du projet inconnu: Exemple 10.8

Même projet, mais cette fois en fonction d'une structure de capital cible de 40% en dette et 60% en capitaux propres. (On ne présume pas des conditions du prêt).TRAM = k = 14.71%

Pas d'intérêts, ni de remboursement de capital du prêt

Année 0 1 2 3 4 5État des résultatsProduits 68 000 $ 73 000 $ 79 000 $ 84 000 $ 90 000 $ChargesCharges d'exploitation 20 500 $ 20 000 $ 20 500 $ 20 000 $ 20 500 $Intérêts 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $Amortissements 22 500 $ 38 250 $ 26 775 $ 18 743 $ 13 120 $Bénéfice imposable 25 000 $ 14 750 $ 31 725 $ 45 258 $ 56 380 $Impôt (38%) 9 500 $ 5 605 $ 12 056 $ 17 198 $ 21 424 $Bénéfice net 15 500 $ 9 145 $ 19 670 $ 28 060 $ 34 956 $


Bénéfice net 15 500 $ 9 145 $ 19 670 $ 28 060 $ 34 956 $Amortissement 22 500 $ 38 250 $ 26 775 $ 18 743 $ 13 120 $

0 $ 38 000 $ 47 395 $ 46 445 $ 46 802 $ 48 076 $Investissement

Matériel et récupération (150 000 $)Disposition 11 633 $

(150 000 $) 11 633 $FinancementRemboursement du capital du prêt 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $Flux monétaire net des capitaux propr (150 000 $) 38 000 $ 47 395 $ 46 445 $ 46 802 $ 59 709 $

PE à 14.71% 7 010 $TRI 16.54%


Annexe:Développement du CAPM:

L'essentiel de la théorie moderne du portefeuille


Concept mathématique No.1

Quantifier le risque: L'écart-type du rendement attendu

La théorie moderne de la finance repose sur la notion fondamentale du compromis à faire entre le risque et le rendement. En supposant une fonction de répartition aléatoire des rendements, le risque est mesuré par l'écart-type (σ(R)) autour d'une valeur espérée E(R) de la répartition.Dans l'exemple ci-dessus, l'actif Y est considéré plus risqué que l'actif X, car l'écart-type de son rendement espéré est plus grand que celui de l'actif Y.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Actif X:E(R) = 12%σ(R) = 10%

Actif Y:E(R) = 20%σ(R) =15%

Actif X:E(R) = 12%σ(R) = 10%

Actif Y:E(R) = 20%σ(R) =15%

Fonction de densitéde probabiliténormale standardiséeD'autres fonctions de répartition peuvent être utilisées pour autant qu'on puisse définir la valeur espérée et l''écart-type

Ecart de la valeur espéréeen nombre d'écart-type (Z) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Actif X -28% -18% -8% 2% 12% 22% 32% 42% 52%Actif Y -40% -25% -10% 5% 20% 35% 50% 65% 80%

Probabilité que lerendement soit inférieur 0.003% 0.13% 2.3% 15.9% 50.0% 84.1% 97.7% 99.87% 99.997%

50%

34%14%

2% 0.1%


Le rendement attendu et son écart-type pour un portefeuille

Supposons maintenant que nous combinions les actifs X et Y dans un portefeuille. Le rendement espéré du portefeuille E(Rp) est simplement la moyenne pondérée des rendements espérés de X et Y. Cependant, pour connaître le niveau de risque du portefeuille σ(Rp), on doit connaître davantage que seulement l'écart-type de chaque actif compris dans le portefeuille. On doit connaître aussi la corrélation des rendements, c'est-à-dire comment ceux-ci varient un par rapport à l'autre. Ces rendements ont-ils tendance à s'annuler ou à varier ensemble dans la même direction?

+= ?

?

Actif X:E(R) = 12%σ(R) = 10%

Actif X:E(R) = 12%σ(R) = 10%

Actif Y:E(R) = 20%σ(R) =15%

Actif Y:E(R) = 20%σ(R) =15%

Portefeuille:E(Rp) =σ(Rp) =

Portefeuille:E(Rp) =σ(Rp) = ?


Concept mathématique No.2

La corrélation entre les rendements d'actifs individuels

Rendement de Y

Rendement de X

Le coefficient de corrélation (r) est une mesure de la manière dont les rendements de deux actifs varient un par rapport à l'autre.

Rendements positivement et parfaitement correlés:Le rendement de Y varie dans la même direction que le rendement de X. Pour chaque augmentation unitaire de X, l'augmentation de Y est une constante positive (la pente).r = +1.0; r carré: 1.0Le r carré représente la fraction de la variation dans le rendement de Y qui est expliqué par la variation du rendement de X

Rendement de Y

Rendement de X

Rendements négativement et parfaitement correlés:Le rendement de Y varie dans la direction opposée du rendement de X. Pour chaque augmentation unitaire de X, la diminution de Y est une constante négative.r = -1.0; r carré: 1.0

Rendement de X

Rendement de YCas le plus fréquent:Rendements positivement mais imparfaitement correlés:Le rendement de Y varie généralement (mais pas toujours) dans la même direction que le rendement de X. Pour chaque augmentation unitaire de X, la diminution de Y est une constante positive (la pente).r = +0.6; r carré: .36


Le couple risque-rendement d'un portefeuille comportant deux actifs risqués

L'exemple suivant démontre la procédure mathématique pour calculer le rendement espéré d'un portefeuille E(Rp) et l'écart-type σ(Rp) pour un portefeuille simple composé de deux actifs risqués. Si un fraction "a" du portefeuille est investi dans X et une fraction (1-a) est investi dans Y, E(Rp) et σ(Rp) sont donnés par:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21 2222 121

1

XYYX

YX

aaRaRaRp

REaRaERpE

σ−+σ−+σ=σ

−+=

σXY est la covariance entre les rendements de X et Y et est donné par:( ) ( )YXXYXY RRr σσ=σ

où rXY est le coefficient de corrélation entre les rendements de X et de Y.

Le tableau suivant donne E(Rp) et σ(Rp) pour 7 portefeuilles composés de proportions différentes de X et Y, sous 3 hypothèses pour rXY:

1.00 0.33 -1.00Portefeuille % X % Y E(Rp) σ(Rp) σ(Rp) σ(Rp)

1 100% 0% 12.00% 10.0% 10.0% 10.0%2 80% 20% 13.60% 11.0% 9.4% 5.0%3 60% 40% 15.20% 12.0% 9.8% 0.0%4 50% 50% 16.00% 12.5% 10.3% 2.5%5 40% 60% 16.80% 13.0% 11.0% 5.0%6 20% 80% 18.40% 14.0% 12.8% 10.0%7 0% 100% 20.00% 15.0% 15.0% 15.0%

rxy


Le couple risque-rendement d'un portefeuille comportant deux actifs risqués

10%

11%

12%

13%

14%

15%

16%

17%

18%

19%

20%

21%

22%

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16%

Chaque courbe définit, pour une corrélation donnée entre X et Y, l'ensemble des opportunités de portefeuille. On peut noter que si rXY= 0.33, aucun investisseur ne devrait choisir le portefeuille 1, car le portefeuille 2 offre au rendement supérieur, avec moins de risque. Pour cette raison. La partie de la courbe entre 2 et 7 est appelée la frontière efficiente.

1

2

34

5

6

7

3

rXY = +1.0

rXY =0.33

rXY = -1.0

100% investi dans X

100% investi dans Y

Frontière efficiente


Composition du portefeuille efficient de N actifs risqués

Le calcul de la frontière efficiente pour des portefeuilles composés de plusieurs actifs risqués est un problème de recherche opérationnelle fort complexe. Il faudrait déterminer, pour un niveau de risque donné, le rendement maximal qui peut être obtenu pour des milliards de combinaisons possibles d'actifs disponibles sur le marché!

Milliards de portefeuilles possibles!

E(Rp)

σ(Rp)

Frontière efficienteRisque-rendement


Le portefeuille efficient composé de N actifs risqués et d'un actif sans risque

Fort heureusement, lorsqu'on introduit un actif sans risque, le problème de composition du portefeuille optimal est grandement simplifié. La ligne droite représente la combinaison d'une position dans un actif sans risque et dans un portefeuille d'actifs risqués.

E(Rm)

σ(Rp)

E(Rp)

Rf

M

σ(Rm)

La droite qui passe par M, domine tous les autres choix possibles de portefeuilles. Tout ce qu'un investisseur doit maintenant savoir est le taux de rendement sans risque (Rf) et la composition du portefeuille "M".

La frontière linéaire domine tous les autres portefeuilles possibles.


La droite du marchés des capitaux

Le fait qu'un portefeuille composé de différentes proportions d'un actif sans risque et du portefeuille d'actifs risqués M domine n'importe quel autre portefeuille est un résultat extrêmement utile de la théorie moderne de la finance. Cette conclusion conduit à une relation linéaire simple, nommée la droite du marché du capital (CML), donnant le rendement attendu de n'importe quel portefeuille efficient en fonction de son niveau de risque. La CML implique que:

Le prix des titres s'établissent en fonction d'un taux d'actualisation qui comprend:

Le taux de rendement sans risquePlus un prime pour le risque

Au total, le prix des titres s'ajuste de façon à ce que le portefeuille Mreprésente le portefeuille du marché dans son ensemble, comprenant tous les titres détenus par tous les investisseurs

E(Rm)

σ(Rp)

E(Rp)

Rf

M

σ(Rm)

Équation de la droitedu marché du capital

CML

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )Rm

RfRmEb

RpRm

RfRmERfRpE

RpbRfRpECMLb

σ−

=

σσ

−+=

σ+=: la de pente la ,soit


Développement du Capital Asset pricing Model (CAPM)

E(Rm)

σ(Rp)

E(Rp)

Rf

M

σ(Rm)

I

Considérons le portefeuille P composé de:a investi dans l'actif I(1-a) investi dans le portefeuille du marché M

Le rendement espéré et l'écart-type de P, sont donnés par:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] 21 2222 121

1

IMMI

MI

aaaaRp

REaRaERpE

σ−+σ−+σ=σ

−+=

où σIM est la covariance entre le rendement de l'actif I et le rendement du marché.

Le changement dans le rendement et le risque du portefeuille P par rapport à la proportion ainvestie dans I est donné par:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] [ ]222221

2222 4222212121

IMIMMMIIMMI

MI

aaaaaaaaRp

REREaRpE

σ−σ+σ+σ−σ×σ−+σ−+σ=∂

σ∂

−=∂

∂

−


Développement du Capital Asset pricing Model (CAPM)Comme à tout moment, tous les titres sur le marché doivent appartenir à quelqu'un, les prix des titres doit s'ajuster continuellement jusqu'à ce qu' ils soient effectivement détenus par quelqu'un. L'actif I doit donc être entièrement inclus dans M. Il en découle, qu'en situation d'équilibre de marché (i.e. tous les titres sont détenus par quelqu'un), a doit être égal à zéro. En évaluant les équations précédentes à a = 0, on obtient:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] [ ]M

MIMIMMM

a

MIa

aRp

REREaRpE

σσ−σ

=σ+σ−×σ=∂

σ∂

−=∂

∂

−

=

=

222

12

0

0

2221

La pente de la frontière efficiente au point M est donc:

( )( )

( ) ( )( ) MMIM

MI

a

REREaRpaRpE

σσ−σ−

=∂σ∂∂∂

=2

0

La pente de la frontière efficiente au point M doit aussi être égale à la pente de la CML au point M que nous avons trouvé. précédemment:

( ) ( )( )

( )M

M

MMIM

MI RfREREREσ

−=

σσ−σ−

2

( ) ( )[ ]RfRERfRE MM

IMI −

σσ

+= 2

En réarrangeant les termes on obtient:


Développement du Capital Asset pricing Model (CAPM)

Dans l'équation précédente, le terme représente la pente d'un modèle simple de

régression linéaire, habituellement dénoté β.

2M

IM

σσ

William F. Sharpe, énonça donc ainsi le Capital Asset Pricing Model (CAPM), sa contribution la mieux connue dans le domaine de la Finance, contribution pour laquelle il lui fut accordé le Prix Nobel d'économie de 1990:

( )

( )

( ) 1.0un pour marchédu risque de prime la 500) P&S le comme indice(un

boursier marchédu ensemblel' derendement deTaux boursier) marchédu ensemblel'pour 1.0(

entreprisel' de risque de indicel'

ntales)gouverneme ns(obligatio risque sansrendement deTaux du titre espérérendement le proprescapitaux desCoût

:ou

=β=−⇒

==β=β

=

===

−β+=

fm

m

f

e

fmfe

RR

R

RiRiEK

RRRK

1

Cours 7:TPCours 7:TPSolutionnaireSolutionnaire




Pour financer un nouveau projet, on émet des obligations d'une valeur nominale de 1 000$. Ces obligations seront vendues à escompte à un prix courant de 970$ avec un taux d'intérêt nominal de 10%. Les coupons sont semestriels. Les frais associés à cette nouvelle émission seront d'environ 5%. Les obligations arriveront à échéance dans 10 ans et le taux d'imposition de l'entreprise est de 40%. Calculez le coût après impôt de ce financement par emprunt (en pourcentage).

Note: Dans le manuel, tous les problèmes de ce chapitre sont avec des coupons annuels. Nous allons plutôt les faire avec des coupons semestriels, ce qui est plus conforme à la réalité du marché obligataire (…et des questions d'examen!)

2



( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) %..t.k

..ik

%.i,i,F/P,i,A/P

N,i,F/PFN,i,A/PAPNF

/%A.P

b

annueleffectifb

semestriel

0170.4)-%(138111%6811:impôt après

impôtsavant %68111%6851

68520$100020$50$920

20 coupons/an 2 x ans 10coupons de nombre000$ 1 obligationl' de nominale valeur La

$50210$1000obligationl' de semestrielcoupon Le$9200501000$-$970émissiond' Frais000$ 1-$970

:obligationl' denet ventedePrix

2

==−=

=−+==

=+=

+====

=====

===

P= 920$

A= 50$ F= 1 000$

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20



Solutions avec la TI

i semestriel = 5.6794%i effectif annuel = (1+.056794)^2-1=11.68%

i nominal = r = 11.3589%

i effectif annuel = (1+11.3589/2)^2-1=11.68%

Ou:i effectif annuel = eff(r,M)eff(11.3589,2)=11.68%

OU

3



La structure de capital de la compagnie minière Northern Ontario est la suivante:

L'entreprise souhaite maintenir sa structure de capital actuelle pour le financement de ses futurs projets. Si elle prévoit obtenir un emprunt de 800 000$ pour un nouveau projet, quelle sera l'échelle (i.e. la taille) de cet investissement?

Source MontantEmprunt 665 000 $Actions privilégiées 345 000 $Actions ordinaires 1 200 000 $



La dette constitue 30.0905% de la structure de capital cible.Donc un emprunt de 800 000$, permettrait de réaliser un investissement total de 2 658 647$

$647 658 20.300905

000$ 800=

Calcul direct:

Source Montant % Montant %Emprunt 665 000 $ 30.0905% 1 465 000 $ 30.0905%Actions privilégiées 345 000 $ 15.6109% 760 038 $ 15.6109%Actions ordinaires 1 200 000 $ 54.2986% 2 643 609 $ 54.2986%

2 210 000 $ 100.0000% 4 868 647 $ 100.0000%Augmentation du capital 2 658 647 $

Avant le projet Après le projet

4



La structure de capital de la société Okanagan Citrus est la suivante:

Source MontantObligations à long terme 3 000 000 $Actions privilégiées 2 000 000 $Actions ordinaires 5 000 000 $

En supposant que l'entreprise maintienne sa structure de capital dans l'avenir, déterminez son coût de capital pondéré (k) si le coût de son endettement après impôt est de 7.5%, le coût des actions privilégiées de 12.8% et le coût des actions ordinaires de 20%.



Source Montant % CoûtObligations à long terme 3 000 000 $ 30.0% 7.50%Actions privilégiées 2 000 000 $ 20.0% 12.80%Actions ordinaires 5 000 000 $ 50.0% 20.00%

10 000 000 $ 100.0% 14.81%

La moyenne pondérée du coût de capital est de 14.81%:

( ) ( ) ( )%.%%.%.k

%%%.%%.%k811410562252

2050812205730=++=

++=

5



Optical World Corporation, un fabricant de systèmes de vision périphérique, a besoin de 10 M$ pour mettre en marché ses nouveaux systèmes de vision robotisés. L'entreprise envisage deux options de financement: les actions ordinaires et les obligations. Si elle décide de réunir des capitaux en émettant des actions ordinaires, les frais d'émission seront de 6% et le prix de l'action sera de 25$. Si elle opte plutôt pour le financement par emprunt, elle pourra vendre des obligations d'une valeur nominale de 1 000$ au taux d'intérêt de 12% sur 10 ans, avec coupons semestriels. Les frais d'émission des obligations seront de 1.9%.

a) Dans le cas du financement par actions, déterminez les frais d'émission et le nombre d'actions à vendre pour obtenir 10 M$

b) Dans le cas du financement par emprunt, déterminez les frais d'émission et le nombre d'obligations (et non d'actions) d'une valeur nominale de 1 000$ qu'elle devra vendre pour rassembler 10 M$. Quel paiement d'intérêt annuel sera nécessaire?



a) Dans le cas du financement par actions, déterminez les frais d'émission et le nombre d'actions à vendre pour obtenir 10 M$

( )

298$ 638 $501532 425

actions 532 425$5023

$000 000 10$501$5023$0025

$50230.06-1$25)-(1

=×=×=

===

=−===

==

.auxission totFrais d'émactionparémission'dfraisactionsNbauxission totFrais d'ém

. actionix net parPrcemenentt du finantanMonNb actions

... actionission parFrais d'ém.P

fionix d'émissPr actionix net parPrP

6



b) Dans le cas du financement par emprunt, déterminez les frais d'émission et le nombre d'obligations (et non d'actions) d'une valeur nominale de 1 000$ qu'elle devra vendre pour rassembler 10 M$. Quel paiement d'intérêt annuel sera nécessaire?

( )

280$ 223 1$120 194 10

120$2$6060$$10006

2

sobligation 194 1081.00$9

$000 000 10

$009810.019-1$000 1)-(1

=×=×=

=×==×=

×=

==

=

====

annéeotaux par Intérêts tation par obligIntérêt($)ationNb d'obligannéeotaux par Intérêts t

n obligationnuels parIntérêts a%

aleminValeur no/uponTaux du coation par obligemestrielsIntérêts s

sobligation'Nb d

n obligatioix net parPrcemenentt du finantanMonsobligation'Nb d

.Pfionix d'émissPrn obligatioix net parPrP


Exercice 10.4 (question additionnelle)Exercice 10.4 (question additionnelle)

c) Si la société optait de financer le projet à hauteur de 50% par actions sur lesquelles les investisseurs s'attendent à recevoir un dividende de 2.00$ la première année, croissant de 5% par année par la suite, 10% à même les bénéfices non répartis et le reste par emprunt quel serait le coût moyen pondéré du capital pour ce projet? Le cours actuel de l'action est de 25$ et le taux d'impôt de l'entreprise est de 30%.

Coût des bénéfices non répartis (kr)

13%5%%8%5$25$2

0

1 =+=+=+= gPDkr

Coût des nouvelles actions (ke)

( ) 13.51%5%%518%5$5023

$210

1 =+=+=+−

= ..

gfP

Dkc

r

Coût des obligations (kb)

( )( )( )

20coupons/an 2 ans 10000 1

$60$000 12%12$981019$000 1

=×=−=

====

N$F

A.P ( ) ( )

( ) ( )

( ) %7212106171

%17602 000 120 60$981

2 ..k

.i,i,F/P,i,A/P

N,i,F/PFN,i,A/PAP

b

semestriel

=−+=

=+=

+=

7


Exercice 10.4 (question additionnelle)Exercice 10.4 (question additionnelle)

Coût moyen pondéré du capital (k)Méthode "tableau"

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( ) %4313%511365%136165b ;61a ;0 ici

%90831%721210 ici

111

..ic

ckbkaki...tki

StkStSki

e

pere

bd

bsd

=+====

++=

=−=−==

−−+−=

( ) ( )

%6211068%563000 10

000 6%4313000 10

000 4%908

.%..k

..k

VCi

VCik eedd

=+=

+=

+=

Méthode équations:

Source de financement $ % Avant impôt Après impôt PondéréActions 5 000 50% 13.51% 13.51% 6.76%Bénéfices non-répartis 1 000 10% 13.00% 13.00% 1.30%Emprunt 4 000 40% 12.72% 8.90% 3.56%Total 10 000 100% 11.62%

CoûtMontant



On prévoit que les bénéfices, les dividendes et le prix des actions de la société Mobil Appliance croîtront à un taux annuel de 12%. Les actions ordinaires de Mobil se négocient actuellement au prix de 18$ par action. Le dernier dividende en espèce de Mobil a été de 1.00$ et son dividende en espèces prévu à la fin de cette année est de 1.09$. Déterminez le coût des bénéfices non répartis.

%.%%.%.k

gPDk

r

r

06181206612$18$091

0

1

=+=+=

+=

8



Mobil veut se procurer des fonds pour financer un nouveau projet en émettant de nouvelles actions ordinaires. Grâce à ce nouveau projet, le dividende en espèces prévu sera de 1.10$, à fin de l'année courante, et son taux de croissance sera de 10%. Les actions s'échangent actuellement à 18$, mais les nouvelles actions ordinaires rapporteront à Mobil 15$ par action, net des frais d'émission.

a) Quels sont les frais d'émission de Mobil en pourcentage?

b) Quel est le coût des nouvelles actions ordinaires?

%.tionel de l'acCours actu

par actionoduit net Prfc 6716$18$1511 =−=−=

( )

%.%%.%.k

gfP

Dk

e

ce

331710337100.1667)-$(118

$10110

1

=+=+=

+−

=



Produits chimiques Delta devrait avoir la structure de capital suivante dans un avenir prévisible.

Les frais d'émission sont déjà inclus dans chaque élément de coût. Le taux d'imposition marginal sur le revenu (t) de Delta devrait être de 40%. Déterminez le coût du capital (k)

Coût avant Coût aprèsSource impôt impôtDette 30%

Court terme 10% 14%Long terme 20% 12%

Capitaux propres 70%Actions ordinaires 55% 30.00%Actions privilégiées 15% 12.00%

en % du totaldes fonds

9



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) %.%.%%.%k

%..%

.%

i

%.i

%%%VC

%;%%VC

VCi

VCik

d

e

e

d

eedd

58201426706730

607%2730

%20%4830

%10

1426%12%70%15%30

%70%55

701555

302010

=+=

=+=

=+=

=+=

=+=

+=

Coût avant Coût aprèsSource impôt impôtDette 30%

Court terme 10% 14% 8.40%Long terme 20% 12% 7.20%

Capitaux propres 70%Actions ordinaires 55% 30.00%Actions privilégiées 15% 12.00%

100% 100%

en % du totaldes fonds

( ) ( ) %..%t%ks 40840114114 =−=−=

( ) ( ) %..%t%kb 20740112112 =−=−=



Vous payez 1 010$ une obligation de 1 000$, dont l'intérêt de 9.5% est payé semestriellement. Si après 3 ans (donc 6 versements d'intérêt), vous vendez l'obligation, quel prix devez vous en obtenir pour que votre investissement ait un rendement de 10% nominal, composésemestriellement?

10



0 1 2 3 4 5 6 N

P0 = 1 010$

A = 47.50$F = ?i = 5%

semestres

( ) ( )( ) ( )

( )

$41030 174620

9076807462010241$1010

06 5 6 5 47.50$$10100

0 monétaireflux du présentevaleurlarendquiceluiest ventedeprix Le

0

..

.F

.F.%,,F/PF%,,P/A

N,i,F/PFN,i,A/PAP

==

=++−=++−

=++=

6

$50472

9.5%000$ 1($) semestrielCoupon

%512%10111

1210:semestrepar voulu rendement le

1

=

=×

=

==

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

N

.A

ACK

ri

; C%; Krc

Note: se calcule aussi directement avec la calculatrice



Candi Yamaguchi songe à acheter une obligation d'une valeur nominale de 1 000$, dont les intérêts de 6% sont versés deux fois par année. Elle désire obtenir un rendement annuel de 9% (nominal). Présumez que l'obligation parviendra à échéance à sa valeur nominale dans 5 ans. À quel prix doit-elle acheter l'obligation?

a) P=60$(P/A, 6%, 5)+1 000$ (P/F, 6%, 5)

b) P=90$(P/A, 9%, 5)+1 000$ (P/F, 9%, 5)

c) P=30$(P/A, 4,5%, 10)+1 000$ (P/F, 4,5%, 10)

d) P=30$(P/A, 3%, 10)+1 000$ (P/F, 3%, 10)

11



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P0 = ?

A = 30$

i = 4.5%

semestres

F = 1 000$

10

$302

6%000$ 1($) semestrielCoupon

%5412%9111

129:semestrepar voulu rendement le

1

=

=×

=

=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

N

A

A

.CK

ri

; C%; Krc

( ) ( )( ) ( )

$3188101 .5%4 000 101 .5%4 $30

achatd'prix le

0

0

0

.P,,F/P,,A/PP

N,i,F/PFN,i,A/PAP

=+=

+=

Réponse: c)



Supposons que vous pouvez acheter 1) une obligation à coupon zéro (i.e. une obligation dont tous les coupons ont été enlevés), qui coûte 513.60$ aujourd'hui et qui rapporte sa valeur nominale de 1 000$ dans 5 ans; ou 2) une obligation qui coûte 1 000$ aujourd'hui, rapporte 113$ en intérêts deux fois par année et arrive à échéance à sa valeur nominale de 1 000$ dans 5 ans.Quelle obligation assure le meilleur rendement?

12


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


semestresP = 1000$

A = 113$ F =1 000$

semestres

P = 513.60$

F = 1 000$

( ) ( )( )

( ) ( ) %25141%896111

%8961010000$60513

22 ..ii

.i,i,F/P.

N,i,F/PFN,i,A/PAP

sesmestrea

semestre

=−+=−+=

=+=

+=

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) %882313011111

%301110100010 $131$000 1

22 .%.ii

.i,i,F/P,i,A/P

N,i,F/PFN,i,A/PAP

semestrea

semestriel

=−+=−+=

=+=

+=

A = 113$

plus avantageux

1

Cours 8Cours 8

L'analyse de projets L'analyse de projets indindéépendantspendants


2GIA 400 –Cours 8

OBJECTIFSOBJECTIFS

Étudier le critère de délai de récupérationAnalyser la rentabilité de projets indépendants par les critères :

de valeur (PE, FE, AE)de rendement (TRI)

Approfondir la notion de TRAM

Référence: AIE: Chapitre 4Sections 4.1 à 4.5, 4.6.2, 4.6.4, 4.6.5, 4.7.1 et 4.7.2

2

3GIA 400 –Cours 8

Analyse de rentabilitAnalyse de rentabilitéé de projets:de projets:Analogie avec les prêtsAnalogie avec les prêts

Banque ClientPrêt

Remboursement

Flux monétaire du prêt

Entreprise ProjetInvestissement

Rendement

Flux monétaire du projet

Toutes les mêmes techniques d'équivalence s'appliquent!

4GIA 400 –Cours 8

Analyse de rentabilitAnalyse de rentabilitéé de projets: Principes gde projets: Principes géénnéérauxraux

La rentabilité des projets d’investissement s’évalue à partir des flux monétaires qu’il génèrera, et non à partir de ses bénéfices comptables.

La notion des flux monétaires réfère strictement aux entrées et aux sorties de fonds inhérentes au projet.

À moins d'indications contraire, la situation fiscale de l’entreprise doit être considérée. Les flux monétaires sont calculés après impôts selon le taux marginal d’imposition de la société

Les flux monétaires sont des prévisions, donc tournés vers le futurLes coûts passés ne sont en général pas inclusToutefois, les coûts passés pourront être inclus si la réalisation du projet, et seulement si sa réalisation, permettrait de les récupérer en tout ou en partie.

3

5GIA 400 –Cours 8

Flux monFlux monéétaire d'un projet: Exemple 4.1taire d'un projet: Exemple 4.1

La société de Produits Chimiques XL envisage d'installer un système informatisé de contrôle de procédé dans une de ses usines de traitement. Cette usine sert environ 40% du temps, soit pendant 3 500 heures par année, à la production d'une substance de rupture d'émulsion brevetée; le reste du temps (60%), elle sert à fabriquer d'autres produits chimiques spéciaux. La production annuelle de la substance de rupture d'émulsion est de 30 000 kg et le prix de vente est de 15$/kg.Le système de contrôle, qui coûte 650 000$, permettrait d'augmenter le prix de vente de 2$/kg car son produit serait plus pur et efficace. De plus le volume de production augmenterait de 4 000 kg par année, sans augmentation de la quantité de matières premières utilisées ou du temps de fabrication.Le nombre d'opérateurs par période de travail serait réduit à un par quart de travail, ce qui représente des économies de 25$/heure.Le nouveau système occasionnerait des coûts d'entretien additionnels de 53 000$ par année et sa durée de vie utile serait de 8 ans.

6GIA 400 –Cours 8


Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Entrées de fondsAugmentation du prix de vente

Production annuelle 30 000 30 000 30 000 30 000 30 000 30 000 30 000 30 000 Augmentation du prix de vente 2.00 $ 2.00 $ 2.00 $ 2.00 $ 2.00 $ 2.00 $ 2.00 $ 2.00 $

Revenus additionnels 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $Augmentation de la quantité produiteAugmentation de production 4 000 4 000 4 000 4 000 4 000 4 000 4 000 4 000 Prix de vente 17.00 $ 17.00 $ 17.00 $ 17.00 $ 17.00 $ 17.00 $ 17.00 $ 17.00 $Revenus additionnels 68 000 $ 68 000 $ 68 000 $ 68 000 $ 68 000 $ 68 000 $ 68 000 $ 68 000 $Économies de main d'œuvreHeures de production 3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 3 500 Économies par heure 25.00 $ 25.00 $ 25.00 $ 25.00 $ 25.00 $ 25.00 $ 25.00 $ 25.00 $Économies de main d'œuvre 87 500 $ 87 500 $ 87 500 $ 87 500 $ 87 500 $ 87 500 $ 87 500 $ 87 500 $

Entrées de fonds totales 215 500 $ 215 500 $ 215 500 $ 215 500 $ 215 500 $ 215 500 $ 215 500 $ 215 500 $

Sorties de fondsCoût du sytème (650 000 $)Entretien annuel (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $)Sorties de fonds totales (650 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $) (53 000 $)

Flux monétaire net (650 000 $) 162 500 $ 162 500 $ 162 500 $ 162 500 $ 162 500 $ 162 500 $ 162 500 $ 162 500 $

4

7GIA 400 –Cours 8

Diagramme de flux monDiagramme de flux monéétaire du projet (ex. 4.1)taire du projet (ex. 4.1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Investissement = -650 000$

A = 162 500$

Années

Comme nous le verrons bientôt, le taux de rendement de ce projet est celui qui rend la valeur actualisée de l'annuité de 162 500$ égale à + 650 000$. On dira alors que la valeur présente équivalente du projet à ce taux est de 0. (Ici, ce taux de rendement est de 18.62%).

P = 162 500$(P/A, i, 8) = + 650 000$ i = 18.62%

PE = P(flux du projet) - Investissement

PE = 0

8GIA 400 –Cours 8

Projets IndProjets Indéépendants: Dpendants: Dééfinitionfinition

Projets non liés entre eux

La décision de réaliser ou non un projet n'affecte pas la décision concernant d'autres projets

S'il y a suffisamment de capitaux, tous les projets indépendants rentables peuvent être retenus

5

9GIA 400 –Cours 8

Un critUn critèère d're d'éévaluation prvaluation prééliminaire:liminaire:La pLa péériode de rriode de réécupcupéérationration

Méthode ancienne, utilisée avant l'époque des ordinateurs personnels"Les vieilles méthodes ne meurent jamais,

elles disparaissent seulement avec les mort des vieux gestionnaires."

Peut seulement être encore utile pour se faire une idée rapide, par calcul mental, de la rentabilité (très) approximative d'un projet.

Méthode basée sur le temps nécessaire pour que les flux monétaires net générés par le projet équivalent le montant de l'investissement

Sans tenir compte de l'influence du temps sur la valeur de l'argentDélai de récupération sans actualisation des flux monétaires futurs

En tenant compte de l'influence du temps sur la valeur de l'argentDélai de récupération avec actualisation des flux monétaires futurs

10GIA 400 –Cours 8

DDéélai de rlai de réécupcupéérationration

( ) nnn

nn

nn

nn

TRAMYY

YY

x

x

−=

=

=

=

+=

=

∑

∑

1

:ionactualisat Avec

:ionactualisat Sans

10

10

minimum acceptablerendement de taux onrécupérati de délai

période la de indice période la denet monétaireflux

mentinvestissel' demontant 0

=====

TRAMnn

nYY

x

n

6


DDéélai de rlai de réécupcupéération sans actualisation: Exemple 4.2ration sans actualisation: Exemple 4.2

Pour le projet de l'exemple de contrôle de procédé (Ex. 4.1)Le délai de récupération de l'investissement, sans actualisation est de 4 ans:

ans 4$500 162$000 650

:500$ 162 àégaux sont annuelsflux les comme

:ionactualisat Sans

0

10

===

= ∑=

=

nx

n

nn

nn

YYn

Y

YYx


DDéélai de rlai de réécupcupéération sans actualisation: Solution graphiqueration sans actualisation: Solution graphiqueExemple 4.3Exemple 4.3

0 1 2 3 4 5 6(85 000$)

15 000$25 000$ 35 000$ 45 000$ 45 000$ 35 000$

années

(100 000 $)

(50 000 $)

0 $

50 000 $

100 000 $

150 000 $

- 1 2 3 4 5 6

∑=

=

Nn

nnY

0

Flux monétairecumulatif

années

Délai de récupération:

3.2 années

7


DDéélai de rlai de réécupcupéération avec actualisation:ration avec actualisation:Exemple 4.3 avec actualisationExemple 4.3 avec actualisation

Année Flux

monétaire P(15%) P(15%)

cumulatif 0 (85 000 $) (85 000 $) (85 000 $)1 15 000 $ 13 043 $ (71 957 $)2 20 000 $ 15 123 $ (56 834 $)3 35 000 $ 23 013 $ (33 821 $)4 45 000 $ 25 729 $ (8 092 $)5 45 000 $ 22 373 $ 14 281 $6 35 000 $ 15 131 $ 29 413 $

(100 000 $)

(80 000 $)

(60 000 $)

(40 000 $)

(20 000 $)

0 $

20 000 $

40 000 $

0 1 2 3 4 5 6


4.2 années

Flux monétaireactualisécumulatif

Tient compte de la valeur présente des flux monétaires futurs.Améliore la méthode mais ne donne pas une idée exacte de la rentabilité.Ne donne pas la valeur du projet ni son taux de rendement.

( ) nNn

nn TRAMY −

=

=

+∑ 11


DDéélai de rlai de réécupcupéération avec actualisation:ration avec actualisation:Exemple 4.3 avec actualisationExemple 4.3 avec actualisation

+ =

Année Flux

monétaire

Coût du financement

(15%) Flux monétaire

cumulatif 0 (85 000 $) (85 000 $)1 15 000 $ (12 750 $) (82 750 $)2 25 000 $ (12 413 $) (70 163 $)3 35 000 $ (10 524 $) (45 687 $)4 45 000 $ (6 853 $) (7 540 $)5 45 000 $ (1 131 $) 36 329 $6 35 000 $ 5 449 $ 76 778 $

(100 000 $)(80 000 $)(60 000 $)(40 000 $)(20 000 $)

0 $20 000 $40 000 $60 000 $80 000 $

100 000 $

- 1 2 3 4 5 6


4.2 années


Tient compte du coût du financement du flux monétaire cumulatif non encore récupéré.

8


Lacunes du dLacunes du déélai de rlai de réécupcupéérationration

Sans actualisation:Ne tient pas compte de l'influence du temps sur la valeur de l'argent

1$ dans 3 ans vaut autant que 1$ dans un an.

Avec ou sans actualisation:Ne mesure pas la rentabilité d'un projet sur sa durée vie totale:

Ne tient absolument pas compte des flux monétaires générés après la fin de la période de récupération

Ne fournit pas une mesure de rentabilité directement comparable au coût du capitalEn tant que critère de sélection, la période de récupération maximale est purement arbitraire et subjective et élimine souvent des projets créateurs de valeur pour l'entreprise (i.e. dont le rendement est supérieur au coût du capital)


Exemple du tableau 4.1Exemple du tableau 4.1

Le projet 2 a un délai de récupération plus long, mais est clairement plus rentable que le projet 1.

(100 000 $)

(80 000 $)

(60 000 $)

(40 000 $)

(20 000 $)

0 $

20 000 $

40 000 $

60 000 $

80 000 $

0 1 2 3 4 5 6

Projet 2

Projet 1


3.0 ans 3.6 ans

Année 0 1 2 3 4 5 6 TotalProjet 1 (90 000 $) 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $ 1 000 $ 1 000 $ 1 000 $ 3 000 $Projet 2 (90 000 $) 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 60 000 $

Flux monétaires annuels

9


Les techniques d'analyseLes techniques d'analysede la rentabilitde la rentabilitéé de projetsde projets

basbaséées sur la valeures sur la valeur


Analyse de la valeur actualisAnalyse de la valeur actualiséée: 3 crite: 3 critèères possiblesres possibles

Valeur actualisée équivalente (PE) Aussi nommée valeur actuelle nette (VAN)

Valeur future équivalente (FE)

Valeur annuelle équivalente (AE)

Ces valeurs équivalentes mesurent la rentabilité d'un investissement en l'exprimant par une valeur monétaire équivalente au flux monétaire annualisé

Si valeur équivalente > 0, on accepte l'investissementSi valeur équivalente = 0, on reste indifférent à l'investissementSi valeur équivalente < 0, on rejette l'investissement

10


Analyse de la valeur actualisAnalyse de la valeur actualiséée: 3 crite: 3 critèères possiblesres possibles

L’analyse est basée sur un rendement minimum d’investissement fixé par l’entreprise, le taux de rendement acceptable minimal (TRAM)

Les trois critères amènent toujours à la même conclusion

Ces critères ont la propriété d’additivité, ex:Si PErecettes = X et PEdéboursés = Y , alors:PEnet = X + YetPEnet = PErecettes+ PEdéboursés


L'analyse de valeur actualisL'analyse de valeur actualiséée e ééquivalente (quivalente (PEPE))

Un projet génère des flux monétaires annuels A0, A1, A2…. AN..La valeur présente équivalente PE du projet est donnée par:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

projetdu viede durée

période defin la ànet monétaireflux defonction en calculée

:où

1

1111

0

0

22

11

00

====

=

+=

+++

++

++

+=

∑

∑

=

=

NTRAMi

nAiPEiPE

n,i,F/PA

iA

iA...

iA

iA

iAiPE

n

N

nn

N

nn

n

NN

11


L'analyse de valeur actualisL'analyse de valeur actualiséée e ééquivalente (quivalente (PEPE))

Règle de décision:

Si PE(TRAM) > 0, on accepte l'investissementSi PE(TRAM) = 0, on reste indifférent à l'investissementSi PE(TRAM) < 0, on rejette l'investissement


Valeur actualisValeur actualiséée e ééquivalente (quivalente (PEPE): Exemple 4.4): Exemple 4.4

Reprenons l'exemple 4.1 et fixons le TRAM à 15%.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

650 000$

A = 162 500$

Années

TRAM = 15%

( ) ( )

( ) ( )

( ) acceptableest projet le015190$ 79$190 729$000 650

8 15 $500 162$000 650150

⇒>=+−=

+−=

=∑=

%PE

%,,A/P%PE

n,i,F/PAiPEN

nn

La valeur actualisée équivalente (PE) est de:

Sur les calculatrices:PE = npv(15,-650000,{162500},{8})=79190

12


Valeur actualisValeur actualiséée e ééquivalente (quivalente (PEPE): Flux mon): Flux monéétaires irrtaires irrééguliers: guliers: Exemple 4.5Exemple 4.5

La Compagnie d'usinage Tiger envisage l'acquisition d'une nouvelle machine à découper le métal. L'investissement initial est de 75 000$ et le flux monétaire prévu pendant les 3 années du projet est le suivant:

Calculez la PE à un TRAM de 15%.

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) acceptableest projet le015$553 3

3 15%, ,$067 552 15%, ,40$3 271 15%, ,$400 24$000 7515

0

⇒>=+

++−=

=∑=

%PE

P/FP/FP/F%PE

n,i,F/PAiPEN

nn

Année 0 1 2 3Flux monétaire (75 000 $) 24 400 $ 27 340 $ 55 760 $

Sur les calculatrices:PE = npv(15,-75000,{24400,27340,55760})=3553


Valeur actualisValeur actualiséée e ééquivalente (quivalente (PEPE): Exercice): Exercice

On estime qu’un projet engendrera des épargnes annuelles de 17 000 $ et que les déboursés seront de 1 400 $/année. Déterminer l’investissement initial maximal dans des équipements qui auront une vie économique de 10 ans et dont la valeur de revente estimée sera alors 10% du prix d’acquisition original. Le taux minimum de rendement acceptable avant impôt le TRAM, est de 10 %.

13


Valeur actualisValeur actualiséée e ééquivalente (quivalente (PEPE): Exercice): Exercice

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A0=X

+0.10 X17 000 $/an

1 400 $/an

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

699$ 99961450

$855 950$855 95961450

0038550$855 9503855010$855 95

010 10%, ,1010 10%, ,$600 1510

==

=+−=++−

=++−=++−=

.X

X.X.X

X..XP/FX.P/AX%PE

Le montant maximal de l'investissement initial est celui qui rendra la PE(10%) égale à 0.

TRAM=10%

TI Voyage 200:nsolve(npv(10,-X,{15600,15600+.1X},{9,1})=0,X)=99699


Valeur actualisValeur actualiséée e ééquivalente (quivalente (PEPE): Signification): Signification1. Concept du fonds commun de placement1. Concept du fonds commun de placement

Reprenons l'exemple 4.5:Année 0 1 2 3Flux monétaire (75 000 $) 24 400 $ 27 340 $ 55 760 $

On peut voir la trésorerie de l'entreprise comme un fonds d'investissement rapportant le TRAM.Si le 75 000$ avait été laissé dans ce fonds commun d'investissement, sa valeur à la fin de l'année 3 aurait été de:F=75 000$(F/P, 15%, 3) = 114 066$Si on investit plutôt dans le projet est qu'on réinvestit le flux monétaire généré dans le fonds d'investissement, la somme accumulée à la fin de l'année 3 serait de:F= 24 400$(F/P,15%,2)+27 340$(F/P,15%,1)+55 760$= 119 470$Le projet permet d'accumuler 119 470$ – 114 066$ = 5 404$ de plus après 3 ans.La valeur actualisée de 5 404$ à 15% pendant 3 ans est de:P=5 404$(P/F, 15%, 3) = 3 553$ Ce montant est exactement la PE(15%) calculée plus tôt. Si la PE est positive, c'est qu'il y a un surplus par rapport à un investissement au TRAM. Le projet a donc généré un flux monétaire à un taux supérieur au TRAM.

14


Concept du fonds commun de placementConcept du fonds commun de placement

Option 1: Investir 75 000$ dans un fonds de placement rapportant 15%/année.

Option 2: Investir 75 000$ dans le projet et réinvestir le flux monétaire du projet dans le fonds de placement à 15%/année.

P = 75 000$ F = 114 066$

0(F/P, 15% ,3)

24 400$ 32 269$(F/P, 15% ,2)

27 340$ 31 441$

55 760$

F = 119 470$

1 2 3

0 1 2 3

(F/P, 15% ,1)

∆F = 5 404$

P = 75 000$

PE = 3 553$(P/F, 15% ,3)


Valeur actualisValeur actualiséée e ééquivalente (quivalente (PEPE): Signification): Signification2. Concept des fonds emprunt2. Concept des fonds empruntééss

Supposons que le projet "emprunte" de la trésorerie de l'entreprise les 75 000$ à15%. Si on applique le flux monétaire généré par le projet pour rembourser capital et intérêt de ce prêt, combien restera-t-il dans la "caisse du projet" à la fin?

Le projet est en surplus d'encaisse de 5 404$ à la fin du projet. Cette encaisse du projet appartient à l'entreprise.La valeur actualisée de 5 404$ à 15% pendant 3 ans est de P=5 404$(P/F, 15%, 3) = 3 553$. Ce montant est exactement la PE(15%) calculée plus tôt. S'il y a un surplus, c'est que le projet a généré un flux monétaire supérieur au montant de son financement, capital et intérêts. Il crée donc de la valeur. Cette valeur est la PE

Année 1 2 3Solde du prêt au début 75 000 $ 61 850 $ 43 788 $Intérêts (15%) 11 250 $ 9 278 $ 6 568 $Total dû 86 250 $ 71 128 $ 50 356 $Flux monétaire du projet 24 400 $ 27 340 $ 55 760 $Remboursement (24 400 $) (27 340 $) (50 356 $)Solde du prêt à la fin 61 850 $ 43 788 $ 0 $Flux monétaire net 0 $ 0 $ 5 404 $Encaisse du projet 0 $ 0 $ 5 404 $

15


Le lien entre la Le lien entre la PEPE , le , le TRITRI et le et le TRAMTRAM et la valeur marchande de et la valeur marchande de l'entreprisel'entreprise

Cinq entreprises, constituées d'un seul projet, investissent les montants suivants à t = 0 et financent leurs investissement par des émissions d'action. Le nombre d'actions émises est arbitraire.

Entreprise A B C D EInvestissement initial à t = 0 (I) (200) (100) (105) (160) (75)Nombre d'actions émises (N) 200 50 35 40 15Valeur aux livres des actions = -I/N 1.00 $ 2.00 $ 3.00 $ 4.00 $ 5.00 $

Les prévisions de flux monétaire pour les 5 prochaines années ainsi que le TRAM varient d'une entreprise à l'autre:

La PE et le TRI de chaque entreprise sont donc les suivants:

Entreprise A B C D EProjection du f lux monétaire de projet:

Flux An 1 50 40 20 40 40Flux An 2 60 30 20 30 40Flux An 3 80 65 20 65 65Flux An 4 90 40 20 40 40Flux An 5 100 25 25 25 40

TRAM 10% 20% 12% 13% 15%

Entreprise A B C D EPE 78.7 21.1 (30.1) (18.0) 75.5 TRI 22.6% 29.4% 0.0% 8.2% 51.6%



La valeur marchande des actions (P) de chaque entreprise après que l'investissement initial (I) a été fait est la valeur présente du flux monétaire des années 1 à 5, divisé par le nombre d'actions en circulation (N) :

NIPEP −

=

Par exemple pour l'entreprise A:

( ) action/..actions

.N

IPEP $391200

$7278200

$200$778==

−−=

−=

Cette valeur peut s'exprimer en terme de multiple de la valeur aux livres (B):

( )( )

( ) 391$001$391 .

.

.NI

NIPEB livresValeur auxPmarchandeValeurB/P ==

−−

==

Enfin. le ratio du TRI sur TRAM, ou en d'autres termes, le nombre de fois que l'entreprise A retourne son taux de rendement minimum est de:

262%10%622 ..TRAM/TRI ==

16



Le même calcul peut être fait pour chaque entreprise et porté sur un graphique:Entreprise A B C D EPE 78.7 21.1 (30.1) (18.0) 75.5 TRI 22.6% 29.4% 0.0% 8.2% 51.6%

P(Flux projet 1 à 5) = PE-I 278.71 121.12 74.93 142.04 150.52 Valeur des actions = (PE - I)/N 1.39 $ 2.42 $ 2.14 $ 3.55 $ 10.03 $

TRI/TRAM 2.26 1.47 0.00 0.63 3.44 Valeur des actions/Valeur au livres 1.39 1.21 0.71 0.89 2.01

C et D: le rendement de ces entreprises est inférieur àleur TRAM. Leurs actions valent moins que leur valeur aux livres originale.B, A, E: le rendement est supérieur au TRAM. La valeur présente des flux monétaires par action est positive et s'ajoute à la valeur originale des actions.

Création de valeur

Destruction de valeur

E

DC

BA

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

TRI /TRAM

P/B

=(P

E-I

)/(-

I)



Cours des actions le 25 avril 2011

Rendement desBénéfice Capitaux Coût des

Capitalisation Capitaux Ratio net prévu Propres (ROE) Capitaux RatioCompany Name Symb. boursière (M) Propres (B) M/B (NI) (NI/B) Beta Propres (Ke) ROE/KeAdobe Systems Inc. ADBE 16 889 5 425 3.11 1.1 20.5% 1.6 13.6% 1.50Apple Inc. AAPL 324 308 61 477 5.28 24.0 39.1% 1.38 12.3% 3.18CA Technologies CA 12 323 5 465 2.25 1.1 19.6% 0.96 9.8% 2.01Dell Inc. DELL 29 116 7 766 3.75 3.2 41.7% 1.4 12.4% 3.37Electronic Arts Inc. ERTS 6 823 2 358 2.89 0.3 11.3% 1.38 12.3% 0.92Google Inc. GOOG 169 150 49 351 3.43 11.3 22.8% 1.19 11.1% 2.05Hewlett-Packard HPQ 88 700 41 547 2.13 11.5 27.6% 1.01 10.1% 2.74Intel Corporation INTC 115 565 47 349 2.44 12.4 26.2% 1.12 10.7% 2.44Microsoft Corporation MSFT 214 429 48 481 4.42 21.8 45.1% 1.05 10.3% 4.37Oracle Corp. ORCL 175 853 37 059 4.75 11.6 31.4% 1.1 10.6% 2.96Symantec Corporation SYMC 14 525 4 541 3.20 1.1 25.2% 0.87 9.2% 2.73Yahoo! Inc. YHOO 22 064 12 865 1.72 1.0 8.1% 0.87 9.2% 0.88

17

33GIA 400 –Cours 8 33

Le lien entre le rendement sur l'investissement et la valeur marLe lien entre le rendement sur l'investissement et la valeur marchande du chande du capital de l'entreprisecapital de l'entreprise

DELL

CA HPQYHOO

SYMCGOOG

ERTS

AAPL

ADBE

ORCLMSFT

INTC

y = 0.7007x + 1.5771R2 = 0.4238

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Ratio Rendement/Coût des capitaux propres

Rat

io C

apita

lisat

ion

bour

sièr

e/Va

leur

aux

livr

es c

apita

ux p

ropr

es

34GIA 400 –Cours 8 34

Le lien entre le rendement sur l'investissement et la valeur marLe lien entre le rendement sur l'investissement et la valeur marchande du chande du capital de l'entreprisecapital de l'entreprise

Rentabilité des projetsde l'entreprise

Valeur de l'entreprisesur le marché financier

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Taux de rendement du projetTaux de rendement acceptable minimum

Vale

ur p

rése

nte

des

flux

mon

étai

res

du p

roje

tM

onta

nt d

e l'i

nves

tisse

men

t

Rendement des capitaux propresCoût des capitaux propres

Cap

italis

atio

n bo

ursi

ère

Cap

itaux

pro

pres

Capitalisation boursière = La valeur marchande d'une entreprise= Somme de la valeur présente des flux monétaires futurs de

l'ensemble de tous ses projets

DELL

CA HPQYHOO

SYMCGOOG

ERTS

AAPL

ADBE

ORCLMSFT

INTC

y = 0.7007x + 1.5771R2 = 0.4238

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Ratio Rendement/Coût des capitaux propres

Rat

io C

apita

lisat

ion

bour

sièr

e/Va

leur

aux

livr

es c

apita

ux p

ropr

es

18


Analyse de la valeur future Analyse de la valeur future ééquivalente (quivalente (FEFE))

Si FE(TRAM) > 0, on accepte l'investissementSi FE(TRAM) = 0, on reste indifférent à l'investissementSi FE(TRAM) < 0, on rejette l'investissement

Un projet génère des flux monétaires annuels A0, A1, A2…. AN.. La valeur future équivalente FE du projet est donnée par:

( ) ( ) ( )

( )

( )nN,i,P/FA

iA

A...iAiAiA)i(FE

N

nn

nNN

nn

NNNN

−=

+=

+++++++=

∑

∑

=

−

=

−−

0

0

22

110

1

111


Valeur future Valeur future ééquivalente (quivalente (FEFE): Exemple 4.6): Exemple 4.6

Toujours avec les données de l'exemple 4.5


Calculez la FE à un TRAM de 15%.

( )

( ) ( )( )

$ 404 5760$ 55 441$ 31 269$ 32066$ 114

760$ 551 15%, $043 27 2 15%, $400 243 15%, 7500015

0

=+++=

+++−=

−=∑=

-,P/F

,P/F,P/F%)(FE

nN,i,P/FA)i(FEN

nn

Soit le même montant que la valeur future de la PE calculée plus tôt

Avec la TI Voyage 200:FE =tvm_fv(3,15,−npv(15,-75000,{24400,27340,55760}),0)=5404

19


Valeur future Valeur future ééquivalente (quivalente (FEFE): Exercice 4.10): Exercice 4.10

Pour les projets d'investissement indépendants suivants, calculez la FE àun TRAM de 15%

n A B C D E0 (1 000 $) (5 000 $) (1 000 $) (3 000 $) (5 000 $)1 500 $ 2 000 $ 0 $ 500 $ 1 000 $2 900 $ (3 000 $) 0 $ 2 000 $ 3 000 $3 1 000 $ 5 000 $ 3 000 $ 3 000 $ 2 000 $4 2 000 $ 5 000 $ 7 000 $ 4 000 $5 (500 $) 3 500 $ 13 000 $ 1 250 $

FLUX MONÉTAIRE DES PROJETS

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) $001 1$200015%,4 $10005 15%, $500015 :EProjet

00$7 7$125015%,45 $5005 15%, $300015 :DProjet 06$0 23$1300015%,4 $05 15%, $100015 :CProjet

41$7 4$350015%,4 $20005 15%, $500015 :BProjet $354 3$50015%,4 $5005 15%, $100015 :AProjet

0

−=+++−==+++−=

=+++−==+++−=

=−++−=

−= ∑=

...,P/F,P/F%)(FE...,P/F,P/F%)(FE

...,P/F,P/F%)(FE...,P/F,P/F%)(FE

...,P/F,P/F%)(FE

nN,i,P/FA)i(FEN

nn

Accepter tous les projets, excepté le projet E


Analyse de la valeur annuelle Analyse de la valeur annuelle ééquivalente (quivalente (AEAE))

Calcul de la valeur annuelle équivalente (i.e. montants égaux sur les années 1 à N d'un flux monétaire relié à un investissement au taux du TRAM.Utilité: Calcul du montant de revenus annuels récurrents nécessaires pour rentabiliser un investissement sur N années, étant donné un TRAM.

LoyersPrix unitaires

Pas de méthode directe de calcul. Il faut passer soit par PE ou FE:AE(i)= PE(i)(A/P,i,N)AE(i)=FE(i)(A/F,i,N)

Si AE(TRAM) > 0, on accepte l'investissementSi AE(TRAM) = 0, on reste indifférent à l'investissementSi AE(TRAM) < 0, on rejette l'investissement

20


Valeur annuelle Valeur annuelle ééquivalente (quivalente (AEAE): Exemple 4.9): Exemple 4.9

La société de communication Skyward envisage de mettre au point des systèmes satellisés qui permettront aux passagers des lignes aériennes de faire des appels téléphoniques et d'envoyer des fax à partir des avions…Cinq compagnies ont accepté d'offrir le service téléphonique de bord dans 120 avions si Skyward va de l'avant avec son système. Skyward estime les flux monétaires suivants pour installer, puis exploiter 120 systèmes:

n An (M$)0 (15.0 $)1 (3.5 $)2 5.0 $3 9.0 $4 12.0 $5 10.0 $6 8.0 $

Est-ce que le projet est justifié en fonction d'un TRAM de 15%?Quels sont les revenus récurrents équivalents du projet?



( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )( )

M$ 1.83515%,6) ,$(946615

:eéquivalent annuitéL'

acceptableest projet le015M$ 9466

6 15%, ,$85 15%, ,$102 15%, ,$51 15%, ,$53$1515

0

==

=

⇒>=

++++−−=

= ∑=

A/P.%AEN,i,P/AiPEiAE

%PE.

P/FP/F...P/FP/F.%PE

n,i,F/PAiPEN

nn

Avec la TI Voyage 200:AE =tvm_pmt(6,15,−npv(15,-15,{-3.5,5,9,12,10,8}),0)=1.835

21



SOLEX produit de l'énergie solaire vendue au distributeur local d'électricité. Elle utilise des cellules solaires au silicium sont le coût initial est moins élevé mais dont l'efficacité se dégrade au fil du temps. De plus, elles doivent être remplacées tous les 4 ans, ce qui occasionne la structure de flux monétaires cycliques suivante:

Déterminez les flux monétaires annuels équivalents si le TRAM = 12%

0 1 2 3 4

-1 000$

800$700$ 600$ 500$

etc….



( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

$35312%,4) ,$(017 112

:eéquivalent annuitéL'

$ 017 14 12%, ,$5003 12%, ,$600

2 15%, ,$7001 12%, ,$800$1000120

==

=

=++

+++−=

= ∑=

A/P%AEN,i,P/AiPEiAE

P/FP/F...P/FP/F%PE

n,i,F/PAiPEN

nn

Avec la TI Voyage 200:AE =tvm_pmt(4,12,−npv(12,-1000,{800,700,600,500}),0)=335

22


Le recouvrement en capital (Le recouvrement en capital (RCRC))

Estimation du coût annuel équivalent, sur la vie d'un projet, d'un coût initial comme le coût d'achat d'équipementUtilité:

Comparer ce coût avec le montant connu d'une annuité comme un taux de location annuelCalculer des coûts d'utilisation à l'heure, à la tonne, etc..

( ) ( )

( )( ) iSN,i,P/ASP)i(RC

N,i,F/ASN,i,P/AP)i(RC

+−=

−=:àrésout seéquation cette

P=Prix d'achat

S =Valeur résiduelle

N

0

0 1 2 N-13 N

RC(i)

équivalence


Recouvrement en capital: Exemple 4.11Recouvrement en capital: Exemple 4.11

Une machine coûte 20 000$ et possède une durée de vie utile de 5 ans. Àla fin des 5 années, elle peut être vendue pour 4 000$, après rajustement d'impôt. Si l'entreprise peut obtenir des revenus annuels de 4 400$ par année pour cette machine, devrait-elle l'acheter si le TRAM est de 10%?

( )( )( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )221$$621 4$400 4

621$ 4400$$ 212 4$4005 10 $000 16

$000 4105 10 $000 4$000 20

=−=−=

==+=

+=+−=

+−=

BénéficeAECoûtsAEvenusReAEBénéficeAE

ûtsvenus - CoRe )Perte(Bénéfice

%,,P/A%%,,P/A

iSN,i,P/ASP)i(RC

Il n'est pas rentable de faire l'acquisition de la machine car le coût annuel équivalent en capital est plus élevé que les revenus potentiels. i.e.: AE(i) < 0

Avec la TI Voyage 200:RC = tvm_pmt(5,10,-20000,4000)=4621

23


Recouvrement en capital: Exercice 4.14Recouvrement en capital: Exercice 4.14

Votre entreprise a acheté une presse à injection au prix de 100 000$. La durée de vie utile estimée de cette machine est de 8 ans. Votre service de la comptabilité prévoit que le coût de recouvrement en capital sera de25 455$ par année. Si le TRAM de votre entreprise est de 20%, quelle valeur de récupération après 8 ans le service de comptabilité a-t-il estimé?

( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) 000$ 10$997 9060610

455$ 25061$ 260.06061-$061 26$455 25

0.200.26061-$061 26$455 25208 20 8 20 $000 100$455 25

208 20 $000 100$455 25

≈=−

=

=+=

+−=+−=

+−=

.S

SSS

S%%,,P/AS%,,P/AS%%,,P/AS

iSN,i,P/ASP)i(RC

Avec la TI Voyage 200:S =tvm_fv(8,20,− 100000,25455)=9997


Liens entre les valeurs Liens entre les valeurs ééquivalentesquivalentes

)N,i,F/A)(i(FE)i(AE)N,i,P/A)(i(PE)i(AE)N,i,P/F)(i(PE)i(FE

===

24


Les techniques d'analyseLes techniques d'analysede la rentabilitde la rentabilitéé de projetsde projets

basbaséées sur le taux de rendementes sur le taux de rendement


CritCritèère: Le taux de rendement interne (re: Le taux de rendement interne (TRITRI))

Définition:Le taux de rendement interne (TRI) ou i* est le taux d'intérêt qui rend la valeur présente des flux monétaires nets d'un projet égale à 0.

A0A1

A2A3

A4 AN-1ANFlux

monétaire net de projet typique

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

TRI*iN*,i,F/PA...*,i,F/PA*,i,F/PA)i(PE

*iA...

*iA

*iA*)i(PE

N

NN

=+++==+

+++

++

==

100111

0

10

11

00

Si TRI > TRAM, on accepte l'investissementSi TRI = TRAM, on est indifférent l'investissement

Si TRI < TRAM, on rejette l'investissement

25


Visualisation du Visualisation du TRITRI

Flux monétaire de l’exemple 4.5Année 0 1 2 3Flux monétaire (75 000 $) 24 400 $ 27 340 $ 55 760 $

(5 000 $)

0 $

5 000 $

10 000 $

15 000 $

20 000 $

25 000 $

30 000 $

35 000 $

0% 5% 10% 15% 20%

i

PE

Le taux quirend PE =0

TRI = 17.46%


Types de flux monTypes de flux monéétairetaire

Un seul changement de signe dans le flux monétaireUne seule possibilité de TRICas le plus fréquent

Simple

$

Périodes

Changement de signe

Non simple

Plusieurs changements de signe dans le flux monétairePlusieurs possibilités de TRI

$

Périodes

Changements de signe

26


Exemple de Exemple de TRITRI multiplemultiple

(1 200 $)

(1 000 $)

(800 $)

(600 $)

(400 $)

(200 $)

0 $

200 $

400 $0% 5% 10

%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

55%

60%

65%

70%

75%

i

PE

Période 0 1 2 3 4 5 6Flux monétaire (15 000 $) 37 500 $ (23 100 $) 500 $ (1 000 $) 300 $ 400 $

TRI =7.1%

Plusieurs changements de signeL’équation qui rend PE = 0 a deux racines

TRI =41.3%



La société InterCell veut participer à l’exposition universelle de Mexico. Pour ce faire, elle doit investir 1 M$ à l’année 0 pour créer sa vitrine. La vitrine produira un flux monétaire de 2.5 M$ à la fin de la première année. Puis, à la fin de la deuxième année, il faudra dépenser 1.54 M$ pour la remise en condition des lieux.

Période 0 1 2Flux monétaire (000$) (1 000 $) 2 500 $ (1 540 $)

a) Tracez la courbe de valeur en fonction de ib) Calculez les valeurs de i* (TRI) pour cet investissementc) Accepteriez-vous ce projet si le TRAM est de 14%

27


(50.0 $)

(40.0 $)

(30.0 $)

(20.0 $)

(10.0 $)

0.0 $

10.0 $

20.0 $

0% 5% 10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

i

PE(0

00$)


i PE0% (40.0 $)5% (15.9 $)

10% 0.0 $15% 9.5 $20% 13.9 $25% 14.4 $30% 11.8 $35% 6.9 $40% 0.0 $45% (8.3 $)50% (17.8 $)

Courbe de valeur

TRI=10%

TRI=40%

PE(14%) = 8.0 K$ > 0 ⇒ Accepter le projetLe projet est rentable pour tous TRAM entre 10% et 40%


Calcul du Calcul du TRITRI: 3 m: 3 mééthodesthodes

Calcul direct

Méthode empirique: essai et erreur

Solution par ordinateur

28


Calcul du Calcul du TRITRI: M: Mééthode directethode directe

Possible seulement pour les montants uniques (P et F)Exemple 4.13:

Projet 1: 2 flux monétaires

Période 0 1 2 3 4Flux monétaire (1 000 $) 0 $ 0 $ 0 $ 1 500 $

%67.10*1)5.1(*

5.1*)1(

5.1$000 1$500 1)4*,,/(

0$500 1)4*,,/$(000 1*)(

41

4

=−=

=+

==

=+−=

ii

i

iPF

iPFiFE


Calcul du Calcul du TRITRI: M: Mééthode directethode directe

Exemple 4.13: Projet 2: Trois flux monétaires

Période 0 1 2Flux monétaire (2 000 $) 1 300 $ 1 500 $

%i*

iXiXX

X

aacbbX

XXiX

iiiFE

25,économique itéimpossibil uneest 100%- àinférieur intérêt d'un taux Comme

160%-ou %25*1*60.0et 25.1

)000 2(2)500 1)(000 2(4300 1300 1

24

:par donnéessont racines lesdont equadratiquéquation uneest Ceci0$500 1$300 1$000 2

*)1( :soit0$500 1*)1$(300 1*)1$(000 2*)(

21

2

2

2

2

=

=⇒−=−==−

−+±−=

−±−=

=++−+=

=++++−=

29


Calcul du Calcul du TRITRI: Essai et erreur: Essai et erreur

1. Estimation de départ de i*

2. On calcule PE(i*) à ce tauxSi PE(i*) est positive, on augmente i*Si PE(i*) est négative, on diminue i*

3. On reprend le point 2

4. Lorsque PE(i*) change de signe, on interpole entre les deux derniers essais pour trouver le i* qui rend PE(i*) = 0

Note: Pour que l'interpolation soit valable, l'écart entre les deux derniers i*essayés ne doit pas être plus grand que 5%.


Calcul du Calcul du TRITRI par essai et erreur: Exemplepar essai et erreur: Exemple

Période 0 1 2 3Flux monétaire (1 000 $) 500 $ 300 $ 900 $

$80.52)3%,25,/$(900)2%,25,/$(300)1%,25,/$(500$1000

:25% à estimationl' augmenteon positive,est La

$83.145)3%,20,/$(900)2%,20,/$(300)1%,20,/$(500$1000


$39.253)3%,15,/$(900)2%,15,/$(300)1%,15,/$(500$1000

:estimationl' avec PE de Calcul15%: de estimation Première

=+++−=

=+++−=

=+++−=

PEFPFPFPPE

PE

PEFPFPFPPE

PE

PEFPFPFPPE

i*

30


Calcul du Calcul du TRITRI par essai et erreur: Exemple (suite)par essai et erreur: Exemple (suite)

%26.28%26.3%2502.8180.52%5%25

))22.28(80.52()080.52(%5%25*

:er pour trouv interpoleon produit,est s' signe de changementUn

$22.28)3%,30,/$(900)2%,30,/$(300)1%,30,/$(500$1000


=+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

+=

−=+++−=

i

i*

PEFPFPFPPE

PE

52.80$

-28.22$25% 30%

0$

i* = 28.26%


Calcul du Calcul du TRITRI: par ordinateur: par ordinateur

Résolution graphiqueTracé de PE(i*) pour différents taux

EXCEL: PE(i*) = VAN(taux; A1; A2 ;… ;An ) + A0

i* est le taux où la courbe croise l'abscisse

Algorithme de résolution de racine:Sur la TI (attention aux signes!)TRI=IRR(F0,{F1...Fn},{f1...fn})EXCEL:TRI = TRI (A0; A1; A2;… An; estimation)

Solution par itération jusqu'à ce que TRI ne varie pas de plus de 0,00001% Retourne #NOMBRE! si l'estimation de départ est trop loin de la solution après 20 itérations.

31


Le TRI: Pourquoi rendement "interne" ?Le TRI: Pourquoi rendement "interne" ?

On parle de rendement "interne" car le calcul du TRI suppose que l'on peut réinvestir les flux monétaires du projet et obtenir un rendement égal au TRI.Exemple

TRAM = 15%PE(15%) = npv(15,-100,{35,39,42,46,50})= 38.7TRI = irr(-100,{35,39,42,46,50})= 29.36%

Année 0 1 2 3 4 5 Flux monétaire (100) 35 39 42 46 50

Le TRI de 29.36% suppose que l'on puisse réinvestir les flux monétaires du projet à29.36%:

%36291010023621

511

...

PFiTRI

/N/

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

TRI = irr(-100,{0,362.2},{4,1})= 29.36%

Année 0 1 2 3 4 5 Balance du projet au début 0.0 35.0 84.3 151.0 241.3 Rendement de l'année à 29.36% 0.0 10.3 24.7 44.3 70.9 Flux monétaire de l'année 35.0 39.0 42.0 46.0 50.0 Balance du projet à la fin 35.0 84.3 151.0 241.3 362.2 Réinvestissement (35.0) (84.3) (151.0) (241.3) 0.0Flux monétaire net (100.0) 0.0 0.0 0.0 0.0 362.2 PE à 29.36% 0.0TRI 29.36%


Année 0 1 2 3 4 5Balance du projet au début 0.0 35.0 79.3 133.1 199.1 Rendement de l'année à 15% 0.0 5.3 11.9 20.0 29.9 Flux monétaire de l'année 35.0 39.0 42.0 46.0 50.0 Balance du projet à la fin 35.0 79.3 133.1 199.1 279.0 Réinvestissement (35.0) (79.3) (133.1) (199.1) 0.0Flux monétaire net (100.0) 0.0 0.0 0.0 0.0 279.0 PE à 15% 38.7TRI = TRIM 22.78%

Le Le TRIMTRIM: Le taux de rendement interne modifi: Le taux de rendement interne modifiéé

Une hypothèse plus réaliste serait que les flux monétaires du projet peuvent être réinvestis à un taux de rendement égal au TRAM. Le calcul du taux de rendement sous cette hypothèse est appelé le taux de rendement interne modifié (TRIM):

%78221010002791

511

...

PFiTRIM

/N/

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

N.B.: On retrouve la PE originale à 15%

Le TRIM est le TRI calculé sur le flux monétaire modifié pour le réinvestissement à un taux autre que le TRI original:

TRIM = irr(-100,{0,279.0},{4,1})= 22.78%

Ou:

32


Le Le TRIMTRIM rréésout le problsout le problèème des changements de signeme des changements de signeOn peut généraliser la définition du TRIM de la manière suivante:

( )( ) 1

1

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=N

négatifsfluxPEpositifsfluxFETRIM

Les taux d'actualisation des flux positifs et des flux négatifs peuvent être différents mais en général, on actualise les deux au TRAM.

Avec la TI Nspire (déjà dans l’application finance)et la Voyage 200 (fonction maison disponible sur le site du cours):

TRIM = MIRR(ifin, ireinv, CFo,{CF1.. CFn},{f1..fn}*)TRIM = MIRR(15,15,-100,{50,-35,50},{1,1,3}) = 15.60%

*Sur la Voyage 200, mettre 1, sans les accolades, si les fréquences sont toutes=1

( )( ) %60151

47126082611

511

...

TRAMPETRAMFETRIM

/N/

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

FE = tvm_fv(5,15,-npv(15,0,{50,0,50},{1,1,3}),0)=261.08PE = npv(15,-100,{0,-35})=-126.47

Année 0 1 2 3 4 5Flux monétaire de l'année (100.00) 50.0 (35.0) 50.0 50.0 50.0 Flux négatifs (100.00) - (35.00) - - - PE à 15% (126.47) Flux posit ifs - 50.00 - 50.00 50.00 50.00 FE à 15% 261.08 TRIM 15.60%


Calcul par ordinateur:Calcul par ordinateur:Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé du du TRITRI : Exercice 4.62: Exercice 4.62

Une nouvelle technologie permet de fabriquer un distributeur automatique informatisé qui peut moudre des grains de café et faire du café frais à la demande. L'ordinateur exécute également des fonctions plus complexes comme donner de la monnaie pour les billets de 5$ ou 10$ et surveiller l'âge d'un article, ce qui permet de déplacer le stock plus ancien en avant de la ligne pour réduire le gaspillage. Chaque distributeur coûte 4 500$, et EasySnack a calculé le flux monétaire suivant (en M$) pour une durée utile de 6 ans, y compris l'investissement initial.

Période 0 1 2 3 4 5 6Flux monétaire net (20 $) 8 $ 17 $ 19 $ 18 $ 10 $ 3 $

33


Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé du du TRITRI : Exercice 4.62: Exercice 4.62

a) Si le TRAM de la société est de 18%, la mise en marché de ce produit est-elle un projet valable en vertu du critère du TRI?

b) Si l'investissement nécessaire ne change pas, mais que le flux monétaire capitalisé augmente de 10% par rapport aux prévisions initiales, de combien le TRI devrait-il augmenter?

c) Si l'investissement nécessaire passe de 20 M$ à 22 M$, mais que l'on prévoit une diminution de 10% du flux monétaire capitalisé, de combien le TRI devrait-il diminuer?


Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé du du TRITRI : Exercice 4.62: Exercice 4.62

1





Utilisez l'analyse de la valeur future nette et du taux de rendement pour déterminer la viabilité des projets A, B et C si le TRAM est de 10%.

n A B C D0 (1 500 $) (4 000 $) (4 500 $) (3 000 $)1 300 $ 2 000 $ 2 000 $ 5 000 $2 300 $ 1 500 $ 2 000 $ 3 000 $3 300 $ 1 500 $ 2 000 $ (2 000 $)4 300 $ 500 $ 5 000 $ 1 000 $5 300 $ 500 $ 5 000 $ 1 000 $6 300 $ 1 500 $ 2 000 $7 300 $ 3 000 $8 300 $

Flux monétaires des projets

2



Solutions avec la calculatrice:Projet A:

TRI = irr(-1500,{300},{8})=11.8%FE(10%) =tvm_fv(8,10,npv(10,-1500,{300},{8}),0)= 215.38TRI>TRAM; FE(TRAM) > 0 ⇒ Projet acceptable

Projet B:TRI = irr(-4000,{2000,1500,500,1500},{1,2,2,1})=26.2%FE(10%) = tvm_fv(6,10,npv(10,

-4000,{2000,1500,500,1500},{1,2,2,1}),0)=2982.43

TRI>TRAM; FE(TRAM) > 0 ⇒ Projet acceptable

Projet C:TRI = irr(-4500,{2000,5000},{3,2})=49.5%FE(10%) =tvm_fv(5,10,npv(10,

-4500,{2000,5000},{3,2})=11262.90TRI>TRAM; FE(TRAM) > 0 ⇒ Projet acceptable



Pour les flux monétaires suivants, calculez la valeur annuelle équivalente si le TRAM = 12%.

n Investiss. Revenu Flux Net0 (10 000 $) (10 000 $)1 2 000 $ 2 000 $2 2 000 $ 2 000 $3 3 000 $ 3 000 $4 3 000 $ 3 000 $5 1 000 $ 1 000 $6 2 000 $ 500 $ 2 500 $

Solution avec la calculatrice:AE(12%) =tvm_pmt(6,12,-npv(12,

-10000,{2000,3000,1000,2500},{2,2,1,1},0)=-180.96

AE(TRAM) < 0 ⇒ Projet non rentableTRI = 9.3% < TRAM ⇒ Projet non rentable

3



Vous envisagez un investissement de 2 000$ dont la durée de vie utile est de 3 ans. Vous êtes certain des revenus pour la première et la troisième année, mais pas de ceux de la deuxième année. Si vous escomptez un taux de rendement d'au moins 10% sur votre investissement, quel devrait être le revenu minimal pour la deuxième année?

n Flux

monétaire 0 (2 000 $)1 1 000 $2 X $3 1 200 $

( ) ( ) ( ) ( )

$092290.8264

$33189$5890182640$09909$000 20

3 10 $200 12 10 1 10 $000 1$000 2010

..X

.X..%,,F/P%,,F/PX%,,F/P%PE

==

+++−=+++−==

nsolve(npv(10,-2000,{1000,X,1200})=0,X)=229.09



Pour un projet d'investissement représenté par les flux monétaires suivants, calculez le TRI. Ce projet est-il acceptable si le TRAM est de 10%?

n Flux

monétaire 0 (5 000 $)1 0 $2 4 840 $3 1 331 $

Solution avec la calculatrice:TRI = irr(-5000,{0,4840,1331})=10.00%TRI = TRAM ⇒ On reste indifférent au projet (i.e. le projet est au point-mort en termes de valeur).

4



Vous envisagez construire une maison ancienne et la convertir en édifice à bureaux que vous pourriez louer. Supposons que vous en restiez propriétaire pendant 10 ans, combien êtes vous prêt à débourser pour la maison ancienne aujourd'hui compte tenu des données financières suivantes:

Coûts de transformation à la période 0 = 20 000$

Revenus de location annuels = 25 000$

Coût d'entretien annuels (taxes incluses) = 5 000$

Valeur estimée nette de la propriété dans 10 ans = 225 000$

Coût du capital = 8%



Le prix d'achat maximal est celui qui rend la PE(TRAM) = 0Prix d'achat maximal = 218 420$

Solution avec EXCEL:

( ) ( ) ( )

420$ 21882$4 11338$9 124$000 2082$4 11338$9 124$000 200

10 ,%8 ,/$000 2459 ,%8 ,/$000 20$000 200%8

=++−=++−−=

++−−==

XX

FPAPXPE

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Coût d'achat de la maison (X$)Coût des transformation (20 000 $)Revenus de location 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $ 25 000 $Coûts d'entretien annuels (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $)Valeur de revente 225 000 $Flux monétaire net, excl. prix d'achat (20 000 $) 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 245 000 $PE(8%), excl. prix d'achat 218 420 $Prix d'achat maximal (218 420 $)PE(8%), incl. prix d'achat 0 $

Solution en équation:

npv(8,-20000,{20000,245000},{9,1})=218420

X+218 420 = 0 X = -218 420$

Solution avec calculatrice:

5


Exercice 4.38: Autre mExercice 4.38: Autre mééthode de solutionthode de solution

Transformer les coûts non-récurrents en coûts équivalents annuels(i.e. calculer la RC)

( )( )( )( ) ( )( )( )

$545 12.14900$000 1814900$000 052

000$ 252 0810 8%, $000 252-$000 2010 8%, )8(

−=+−=

++=+−=

X.X

.,P/AXiS,P/ASP%RC

Calculer le flux monétaire récurrent annuel (A):Revenus: 25 000$Entretien: 5 000$Flux net: 20 000$

( )

22$4 2181490545$ 23

$ 545 320.149$000 20$545 1214900

0

==

=+−−==

+−==

.X

XX.AEARCAE



NasTech fait l’acquisition d’une machine de vibro-abrasion au coût de 20 000$ durant l’année 0. La durée de vie utile de cette machine est de 10 ans, après quoi sa valeur de récupération sera de 0$. La machine produit des revenus annuels nets de6 000$. Les dépenses annuelles d’exploitation et d’entretien sont estimées à 1 000$. Si le TRAM fixé par NasTech est de 15%, dans combien d’années cette machine deviendra-t-elle rentable?

6



Méthode du délai de récupération actualisé

(30 000 $)

(20 000 $)

(10 000 $)

0 $

10 000 $

20 000 $

30 000 $

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Années

Sold

e du

fond

s du

pro

jet

6.5 ans

n Flux

monétaire Coût du

financement Solde du

projet 0 (20 000 $) (20 000 $)1 5 000 $ (3 000 $) (18 000 $)2 5 000 $ (2 700 $) (15 700 $)3 5 000 $ (2 355 $) (13 055 $)4 5 000 $ (1 958 $) (10 013 $)5 5 000 $ (1 502 $) (6 515 $)6 5 000 $ (977 $) (2 493 $)7 5 000 $ (374 $) 2 134 $8 5 000 $ 320 $ 7 454 $9 5 000 $ 1 118 $ 13 572 $

10 5 000 $ 2 036 $ 20 607 $

Est-ce un projet rentable?

0$094 5$094 25$000 20)(10) 15%, ,/$(000 5$000 20)(

%4.21

>=+−=+−=

>=

TRAMPEAPTRAMPE

TRAMTRI

Le projet est rentable

N.B.: la valeur actualisée de20 607$ à 15% est la PE de5 094$

N.B.: la valeur actualisée de20 607$ à 15% est la PE de5 094$



Une grande entreprise de transformation d’aliments envisage d’utiliser des lasers pour accélérer le processus d’épluchage des pommes de terre et éliminer les déchets. Pour installer le système, l’entreprise a besoin de 3 M$ pour acheter des lasers de puissance industrielle. Le système lui fera économiser chaque année 1.2 M$ en salaires et matériaux, mais lui occasionnera des coûts d’exploitation et d’entretien additionnels de 250 000$. Les impôts annuels sur le revenu augmenteront également de 150 000$. Le système a une durée de vie de 10 ans et une valeur de récupération d’environ 200 000$. Si le TRAM fixé par l’entreprise est de 18%, justifiez la valeur économique de ce projet en utilisant:a) La méthode de la PEb) La méthode de la FEc) La méthode de l’AEd) Le taux de rendement (TRI)

7


Exercice 4.43Exercice 4.43Prévision de flux monétaire en K$

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Acivités d'exploitation

Économies en salaires et matériaux 1 200 $ 1 200 $ 1 200 $ 1 200 $ 1 200 $ 1 200 $ 1 200 $ 1 200 $ 1 200 $ 1 200 $Entretien (250 $) (250 $) (250 $) (250 $) (250 $) (250 $) (250 $) (250 $) (250 $) (250 $)Impôts (150 $) (150 $) (150 $) (150 $) (150 $) (150 $) (150 $) (150 $) (150 $) (150 $)

800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $Activités d'investissement

Achat des lasers (3 000 $)Valeur de récupération 200 $

(3 000 $) 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 200 $

Flux monétaire net (3 000 $) 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 800 $ 1 000 $

( )

( ) $14110 18 $633

$316 310 18 $633

==

==

%,,P/A)TRAM(AE

%,,P/F)TRAM(FE

PE, FE et AE > 0 ⇒ Projet rentableTRI > TRAM ⇒ Projet rentable

PE=npv(18,-3000,{800,1000},{9,1})=633TRI=irr(-3000,{800,1000},{9,1})=23.7



Le propriétaire d'une entreprise envisage d'investir 55 000$ dans du nouveau matériel. Il estime que les flux monétaires nets durant la première année seront de 5 000$, mais qu'ils augmenteront de 2 500$ par année à partir de la deuxième année. Le matériel à une vie utile estimée à 10 ans et une valeur de récupération nette de 6 000$ au bout de 10 ans. Le coût du capital de l'entreprise est de 12%.

a) Déterminez le coût annuel de recouvrement du capital (coût de possession) pour le matériel

b) Calculez les économies annuelles équivalentes

c) Déterminez s'il s'agit d'un investissement avisé en utilisant la valeur annuelle équivalente

8



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P=(55 000$)

S=6 000$

AE(12%) = 5 000$

G=2 500$

( ) ( )( ) ( )[ ]( ) [ ] $)392 9($720$672 812

12%$000 610 12 $000 6$000 5512=+−=

+−−=%RC

%,,P/A%RC

( ) ( )( ) 962$ 812

10 12 $500 212=

=%AE

%,,G/A%AE

+

+

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=

AE(12%) = 4 570$



a) Le coût annuel de recouvrement du capital:( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )$392 9$720$672 812

12%$000 610 12 $000 6$000 551210N

000$ 6$000 55

12 ,

=+−=+−−=

===

=+−=

%RC%,,P/A%RC

SP

%TRAMTRAMSNTRAM,P/ASPTRAMRC

b) Les économies annuelles équivalentes:( ) ( )( ) 962$ 137)500$(3.584 2$000 512

10 12 500$ 2000$ 512=+=

+=%AE

%,,A/G%AE

c) La valeur annuelle équivalente:( )( )( ) rentableest projet le0

570$ 4$392 9962$ 131212

⇒>=−=−=

TRAMAE%AE

RC)économies(AE%AE

9



=VPM(12%,10,-55000,6000)=VAN(12%,C3:L3)=VPM(12%,10,van(12%,C3:L3))=TRI(B5:L5)

RC=-tvm_pmt(10,12,-55000,6000)=-9392AEéconomies=tvm_pmt(10,12,npv(12,0,{5000,7500,10000,12500,

15000,17500,20000,22500,25000,27500}),0)=13962

AEnette= 13 962$ − 9 392$ = 4 570$



On prévoit que le prix actuel (année 0) du kérosène, soit 0,26$/litre, devrait augmenter de 0,03$/année. (à la fin de la première année, il coûtera donc 0,29$/litre). M. Garcia consomme environ 4 000 litres de kérosène durant la saison hivernale pour chauffer des locaux. On lui propose d'acheter un réservoir de stockage coûtant 400$, qu'il pourra revendre pour la somme de 100$ après 4 ans. La capacité du réservoir est suffisante pour combler les besoins de chauffage de M. Garcia pendant 4 ans et lui permettrait d'acheter du kérosène pour 4 ans au prix actuel (0,26$/litre). Par ailleurs, il peut investir son argent à un taux de 8%.

Utilisez la méthode de l'AE pour déterminer s'il doit acheter ce réservoir de stockage. Supposez que le kérosène qui est facturé àl'utilisation est payé à la fin de l'année. (Le kérosène destiné au réservoir de stockage doit être acheté immédiatement.)

Cette décision changerait-elle si le prix du kérosène augmentait de 0,06$/année plutôt que de 0,03$?

10



Option 1:

0 1 2 3 4

S = 100$

P = 400$

Kérosène = 4 160$ ( ) ( )( ) ( )[ ]( ) [ ] 8.58$)9($858908

8%$1004 8 $100$4008=+−=

+−−=.%RC

%,,P/A%RC

( ) ( ) ( )( ) 354.57$) (1255.99 198.58$

$99255 14 8%, ,$160 4=−−==−=

TotaleAE.A/PKérosèneAE

Option 2:0 1 2 3 4

A = 4 000 l x0.29 $/l =

1 160$

G = 4 000 l x0.03 $/l =

120$( ) ( )

( )328.48$ 1168.48$160$ 14 8%, ,$120$160 1

=−−==−−= A/GKérosèneAE

AE(Option 2) > AE(Option 1) ⇒ Choisir l'option 2

AE=-(tvm_pmt(4,8,-400,100)+tvm_pmt(4,8,-4160,0))=-1354.57

AE=tvm_pmt(4,8,npv(8,0,{1160,1280,1400,1520}),0)=-1328.48



Option 1:

0 1 2 3 4

S = 100$

P = 400$

Kérosène = 4 160$ ( ) ( )( ) ( )[ ]( ) [ ] 8.58$)9($858908

8%$1004 8 $100$4008=+−=

+−−=.%RC

%,,P/A%RC

( ) ( )( ) 354.57$) (1255.99 198.58$

$99255 14 8%, ,$160 4=−−=

−=−=TotaleAE

.A/PKérosèneAE

Option 2 à+6¢/litre:

A = 4 000 l x0.32 $/l =

1 280$

G = 4 000 l x0.06 $/l =

240$( ) ( )

( )616.95$ 1$96363280$ 14 8%, ,$240$082 1

=−−==−−=

.A/GKérosèneAE

AE(Option 2) < AE(Option 1) ⇒ Choisir l'option 1

AE=-(tvm_pmt(4,8,-400,100)+tvm_pmt(4,8,-4160,0))=-1354.57

0 1 2 3 4

AE=tvm_pmt(4,8,npv(8,0,{1280,1520,1760,2000}),0)=-1616.95

11



AE(Option 2)>AE(Option 1)⇒Choisir Option 2

AE(Option 2)<AE(option 1)⇒Choisir Option 1



…Un câblodistributeur envisage installer un système de compression numérique. qui produirait les économies et dépenses suivantes:

La période d'investissement est de 2 ans, suivie d'une durée de vie utile de 8 ans (pour une durée de vie de projet totale de 10 ans). Cela signifie que les économies annuelles surviendront à la fin de la troisième année et les dernières, à la fin de la dixième année. Si le TRAM de l'entreprise est de 15%, justifiez la valeur économique du projet en utilisant la méthode de la PE.

(000 $)Investissement

Aujourd'hui 500 Première année 3 200 Deuxième année 4 000

Économies annuelles entemps de satellite 2 000

Revenus différentiels attribuablesaux nouveaux abonnements 4 000

Dépenses annuelles différentielles 1 500 Impôt différentiel 1 300 Valeur de récupération nette pour

une vie économique de 8 ans 1 200

12



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Exploitation

Économies de temps de satellite 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 Revenus différentiels 4 000 4 000 4 000 4 000 4 000 4 000 4 000 4 000 Dépenses annuelles différentielles (1 500) (1 500) (1 500) (1 500) (1 500) (1 500) (1 500) (1 500) Impôt dif férentiel (1 300) (1 300) (1 300) (1 300) (1 300) (1 300) (1 300) (1 300)

InvestissementCoût du système (500) (3 200) (4 000) Récupératrion 1 200

Flux monétaire net (500) (3 200) (4 000) 3 200 3 200 3 200 3 200 3 200 3 200 3 200 4 400

PE(15%) 4 847.23

PE=npv(15,-500,{-3200,-4000,3200,4400}{1,1,7,1})=4847.23

TRI=irr(-500,{-3200,-4000,3200,4400}{1,1,7,1})=31.81%

projet rentablePE(TRAM)>0;TRI>TRAM


Cours 9Cours 9

L'analyse de projets L'analyse de projets mutuellement exclusifsmutuellement exclusifs



ContenuContenu

Comparer la rentabilité d'options mutuellement exclusives, de même vie économique par les critères:

De valeur (PE, FE, AE)De rendement (TRI)

Comparer la rentabilité d'options mutuellement exclusives de durées de vie différentes:

Selon l'horizon définiSelon l'hypothèse de répétition

Techniques et Applications

Référence:AEI: Chapitres 5 et 6


DDééfinitionsfinitions

Projets ou options mutuellement exclusifs:Toutes les options visent l'atteinte du même objectif, donc le choix de l'une d'entre elles élimine les autres par le fait même… même si elles sont rentables

Option Zéro:L'option de ne rien faire, c'est-à-dire de ne retenir aucune des options (statu quo)Peut être une option en soi, avec un flux monétaire défini

ouLe flux des autres options peuvent être définis relativement à l'option 0.


PROJETS DE MÊME DURPROJETS DE MÊME DURÉÉEE


Projets de même durProjets de même duréée:e:Comparaison par critComparaison par critèère de valeurre de valeur

1. La comparaison d'options mutuellement exclusives implique l'application d'un critère de valeur à chaque option, puis

2. Un choix parmi ces options mutuellement exclusives. L'option choisie possède la valeur (PE, FE ou AE):

la plus élevée; oula moins négative si les flux positifs n'existent pas ou peuvent n'être pas considérés (i.e. comparaison de coûts seulement).


Comparaison par critComparaison par critèère de valeur re de valeur PEPE et et FEFE::Exemple 5.1:Exemple 5.1:

La société Bullard (SB) pense à étendre sa gamme de produits pour machines industrielles…À cette fin, elle étudie plusieurs combinaisons possibles de nouveau matériel et de main d'œuvre:

Méthode 1 (M1): installer un nouveau centre d'usinage, avec 3 opérateursMéthode 2 (M2): installer un nouveau centre d'usinage muni d'un changeur de palettes automatiques, avec 3 opérateursMéthode (M3): installer un nouveau centre d'usinage muni d'un changeur de palettes automatiques, avec 3 opérateurs se partageant les tâches

Chacune des 3 options donne lieu à des coûts et à des revenus différents. Celles qui comportent un changeur de palettes permettent de réduire le temps nécessaire au chargement et déchargement des pièces. Il en coûte davantage pour acquérir et installer un tel appareil, mais cette solution est susceptible d'engendrer des revenus annuels plus élevés. Bien qu'ils permettent d'économiser sur la main d'œuvre, les opérateurs qui se partagent les tâches sont plus longs à former et leur rendement initial est moindre. Par contre, une fois qu'ils auront pris de l'expérience, on s'attend àce que les profits augmentent de 13% par année pendant les 5 ans que couvre la période d'étude.



Voici les investissements et les revenus estimés par SB:

M1 M2 M3Investissements

Achat de la machine outil (121 000 $) (121 000 $) (121 000 $)Changeur de palettes automatique (66 600 $) (66 600 $)Installation (30 000 $) (42 000 $) (42 000 $)Outillage (58 000 $) (65 000 $) (65 000 $)

Total des investissements (209 000 $) (294 600 $) (294 600 $)Profits annuels

Revenus additionnels 65 000 $ 69 300 $ 36 000 $Économies de main d'œuvre directe 17 300 $Économies sur frais de mise au point 4 700 $ 4 700 $

Revenus netsAnnée 1 65 000 $ 74 000 $ 58 000 $Année 2 à 5 mêmes mêmes g = +13%/an

Valeur de récupération au bout de 5 ans 90 000 $ 200 000 $ 200 000 $

Méthode

SB considère aussi l'option nulle (ne rien faire) si aucune des options n'est rentable. Selon la mesure de la PE, quelle option doit-elle choisir si le TRAM = 12%?


Exemple 5.1: L'option M2 est la plus rentableExemple 5.1: L'option M2 est la plus rentable

PE de M1Année 0 1 2 3 4 5Investissement (209 000 $)Revenus nets 65 000 $ 65 000 $ 65 000 $ 65 000 $ 65 000 $Valeur de récupération 90 000 $Flux monétaire net (209 000 $) 65 000 $ 65 000 $ 65 000 $ 65 000 $ 155 000 $PE(12%) 76 379 $

PE de M2

PE de M3

Année 0 1 2 3 4 5Investissement (294 600 $)Revenus nets 74 000 $ 74 000 $ 74 000 $ 74 000 $ 74 000 $Valeur de récupération 200 000 $Flux monétaire net (294 600 $) 74 000 $ 74 000 $ 74 000 $ 74 000 $ 274 000 $PE(12%) 85 639 $

Année 0 1 2 3 4 5Investissement (294 600 $)Revenus nets 58 000 $ 65 540 $ 74 060 $ 83 688 $ 94 567 $Valeur de récupération 200 000 $Flux monétaire net (294 600 $) 58 000 $ 65 540 $ 74 060 $ 83 688 $ 294 567 $PE(12%) 82 479 $


Exemple 5.1: Comparaison des Exemple 5.1: Comparaison des FEFE

L'utilisation de la FE comme critère de comparaison aurait conduit àla même conclusion:

FE(12%) = PE(12%)(F/P,12%,5) FE(12%) = PE(12%)(1.7623)

PE(12%) FE(12%) FE/PEM1 76 379 $ 134 606 $ 1.7623M2 85 639 $ 150 925 $ 1.7623M3 82 479 $ 145 356 $ 1.7623

10GIA 400 – Cours 9 10

Exemple 5.1: Comparaison des Exemple 5.1: Comparaison des AEAE

L'utilisation de l' AE comme critère de comparaison aurait conduit à la même conclusion:

AE(12%) = PE(12%)(A/P,12%,5) AE(12%) = PE(12%)(0.2774)

PE(12%) AE(12%) AE/PEM1 76 379 $ 21 188 $ 0.2774M2 85 639 $ 23 757 $ 0.2774M3 82 479 $ 22 881 $ 0.2774

11GIA 400 – Cours 9 11

Projets de même durProjets de même duréée:e:Comparaison par critComparaison par critèère de rendementre de rendement

Il n'est pas utile de classer des projets selon leur TRI.Le critère de rentabilité est toujours la création de valeur en $. On ne paie pas ses comptes avec des %!Exemple:

Le placement 2 produit plus de revenus en $. Il est préférable au placement 1, même si son taux de rendement est plus bas.

n A1 A20 (1 000 $) (5 000 $)1 2 000 $ 7 000 $

TRI 100% 40%PE(10%) 818 $ 1 364 $

12GIA 400 – Cours 9 12

Projets de même durProjets de même duréée:e:Comparaison par critComparaison par critèère de rendementre de rendement

On ne peut classer des projets selon leur TRI uniquement si l'investissement est identique.Par exemple les options de l'exemple 5.1

Investissement TRIM1 (209 000 $) 24.03% non comparable car investissement différentM2 (294 600 $) 20.88% comparableM3 (294 600 $) 20.10% comparable

13GIA 400 – Cours 9 13

L'analyse diffL'analyse difféérentiellerentielle

Avant de choisir l'option la plus coûteuse, il est important vérifier que le rendement produit par l'investissement additionnel est supérieur au TRAMReprenons l'exemple suivant:

Est-que l'investissement additionnel de 4 000$ dans A2 produit un rendement satisfaisant?Oui, car il permet de réaliser 5 000$ de plus, ce qui correspond à un rendement de 25%:

n A1 A20 (1 000 $) (5 000 $)1 2 000 $ 7 000 $

TRI 100% 40%PE(10%) 818 $ 1 364 $

n A1 A2 A2 - A10 (1 000 $) (5 000 $) (4 000 $)1 2 000 $ 7 000 $ 5 000 $

TRI 100% 40% 25%PE(10%) 818 $ 1 364 $ 545 $

14GIA 400 – Cours 9 14

L'analyse diffL'analyse difféérentielle: Grentielle: Géénnééralisationralisation

Pour deux projets mutuellement exclusifs A et B, B étant le projet le plus coûteux, on peut écrire:B = A + (B – A)Le flux monétaire de B comporte donc deux composantes: le flux monétaire de A et le flux monétaire différentiel (B-A)La règle de décision est alors:

Si TRIB-A > TRAM, on choisit BSi TRIB-A = TRAM, on choisit un ou l'autre

Si TRIB-A < TRAM, on choisit A

15GIA 400 – Cours 9 15

L'analyse diffL'analyse difféérentielle: Exemple 5.3rentielle: Exemple 5.3

Jean Cormier est étudiant. Il veut mettre sur pied une petite entreprise de peinture qu'il compte exploiter en dehors de ses heures de cours. Pour économiser sur les frais de lancement, il décide d'acheter du matériel d'occasion. Il envisage deux options mutuellement exclusives: se charger lui-même de la plupart des travaux en se limitant aux habitations privées (B1) ou acheter plus de matériel et embaucher des assistants afin d'étendre l'exploitation aux locaux commerciaux, pour lesquels il prévoit un matériel plus coûteux, mais des revenus plus élevés (B2). Dans un cas comme dans l'autre, il s'attend à fermer son entreprise dans 3 ans, à la fin de ses études universitaires. Les flux monétaires prévus:

n B1 B20 (3 000 $) (12 000 $)1 1 350 $ 4 200 $2 1 800 $ 6 225 $3 1 500 $ 6 330 $

Compte tenu d'un TRAM de 10%, quel projet doit-il choisir?

16GIA 400 – Cours 9 16

L'analyse diffL'analyse difféérentielle: Exemple 5.3rentielle: Exemple 5.3

B1 est acceptable, mais doit-on faire l'investissement additionnel dans B2?L'analyse différentielle montre que le TRI de (B2-B1 ) est de 15%, ce qui est supérieur au TRAM de 10%L'option 2, qui a la PE la plus élevée est donc effectivement préférable.

n B1 B2 B2-B10 (3 000 $) (12 000 $) (9 000 $)1 1 350 $ 4 200 $ 2 850 $2 1 800 $ 6 225 $ 4 425 $3 1 500 $ 6 330 $ 4 830 $

PE(10%) 842 $ 1 719 $ 877 $TRI 25.0% 17.4% 15.0%

17GIA 400 – Cours 9 17

Exemple 5.3: Visualisation des Exemple 5.3: Visualisation des TRITRI

(3 000 $)

(2 000 $)

(1 000 $)

0 $

1 000 $

2 000 $

3 000 $

4 000 $

5 000 $

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%i

PE ($

)

B1

B2B2 - B1

TRI =25%

TRI =17.4%

TRI =15%

Choix de B2 Choix de B1 ni B1 ni B2

18GIA 400 – Cours 9 18

Analyse diffAnalyse difféérentielle: Rrentielle: Rèègles de dgles de déécisioncision

Classer les options enordre croissant d'investissement en $

Retenir comme option "Défenseur" l'option ayant le plus faible investissement (A)

Retenir comme option "Aspirant" l'option suivante dans la liste (B)

Calculer le TRI de B-A

Si TRI(B-A)> TRAM ⇒ On retient B, car il est plus rentable que A

Si TRI(B-A)= TRAM ⇒ A et B sont équivalents

B devient l'option "Défenseur"

Si TRI(B-A)< TRAM ⇒ On retient A, car il est plus rentable que B A reste l'option "Défenseur"

Épuisement de la liste? Le "Défenseur" courant est l'option a plus rentable

non oui

Note:Il n'est pas nécessaire de conserverseulement les options rentables pour cette analyse

19GIA 400 – Cours 9 19

Analyse diffAnalyse difféérentielle de 3 options: Exemple 5.4rentielle de 3 options: Exemple 5.4

Reprenons les données de l'exemple 5.1. Si le TRAM est de 12%, quel projet choisiriez-vous, compte tenu du taux de rendement de l'investissement différentiel?

Étape 1:On classe les options en ordre croissant d'investissement: M1, M2, M3

Année M1 M2 M30 (209 000 $) (294 600 $) (294 600 $)1 65 000 $ 74 000 $ 58 000 $2 65 000 $ 74 000 $ 65 540 $2 65 000 $ 74 000 $ 74 060 $4 65 000 $ 74 000 $ 83 688 $5 155 000 $ 274 000 $ 294 567 $

20GIA 400 – Cours 9 20


Étape 2:M1 est le défenseur, M2 l'aspirant. On calcule le TRI de M2-M1:

TRI de (M2-M1) est supérieur au TRAM de 12%.M2 est préférable à M1 et devient le nouveau défenseur.

Année M1 M2 M2-M10 (209 000 $) (294 600 $) (85 600 $)1 65 000 $ 74 000 $ 9 000 $2 65 000 $ 74 000 $ 9 000 $2 65 000 $ 74 000 $ 9 000 $4 65 000 $ 74 000 $ 9 000 $5 155 000 $ 274 000 $ 119 000 $

TRI 14.76%

21GIA 400 – Cours 9 21


Étape 3:M2 est le défenseur, le prochain projet dans la liste, M3 devient l'aspirant.On calcule le TRI de M3-M2:

Le TRI de (M3-M2) est inférieur au TRAM de 12%.M2 est préférable à M3 et reste le défenseur.La liste est épuisée, le défenseur courant, M2, est l'option la plus rentable.

Année M2 M3 M3-M20 (294 600 $) (294 600 $) 0 $1 74 000 $ 58 000 $ (16 000 $)2 74 000 $ 65 540 $ (8 460 $)2 74 000 $ 74 060 $ 60 $4 74 000 $ 83 688 $ 9 688 $5 274 000 $ 294 567 $ 20 567 $

TRI 6.66%

22GIA 400 – Cours 9 22

PROJETS DE DURPROJETS DE DURÉÉES DIFFES DIFFÉÉRENTESRENTES

23GIA 400 – Cours 9 23

Projets de durProjets de duréées diffes difféérentes:rentes:Comparaison par critComparaison par critèère de valeurre de valeur

Lorsque les projets ont des vies économiques différentes, il faut déterminer une période d'analyse selon l'une des méthodes suivantes:Horizon défini:

La période d'analyse est définie par la situation. Par exemple:

Contrats, changement prévu de production, etc…Horizon indéfini:

La situation ne suggère pas de période d'analyse, alors on choisit selon:

l'hypothèse de répétabilité, lorsque c'est possibleLa vie économique de l'un des projets, lorsque la répétabilité n'est pas possible.

24GIA 400 – Cours 9 24

Projets de durProjets de duréées diffes difféérentes:rentes:Comparaison par critComparaison par critèère de valeurre de valeur

Période de service requise

Définie

La période d'analyse est égale aux vies utiles des projets

La période d'analyse est plus courte que les vies utiles des projets

La période d'analyse est plus longue que les vies utiles des projets

La période d'analyse correspond à la vie utile la plus longue des projets

La période d'analyse correspond au plus petit commun multiple des vies

utiles des projets

La période d'analyse est égale à une des vies utiles des projets

Indéfinie

Période d'analyse =Période de

service requise

Répétition improbable

Répétitionprobable

Cas 1

Cas 2

Cas 3

Cas 4

25GIA 400 – Cours 9 25

Cas 2: PCas 2: Péériode d'analyse < riode d'analyse < NN: Exemple 5.7: Exemple 5.7

SGD obtient un contrat pour débarrasser une propriété du gouvernement de ses matières radioactives et les transporter dans un dépotoir désigné. Cette tâche nécessite une défonceuse spéciale pour creuser et charger les matières dans un véhicule. Approximativement 400 000 t de déchets doivent être déplacés en 2 ans. Le modèle A coûte 150 000$, et on estime qu'il pourra servir 6 000 heures avant de nécessiter une révision majeure. Pour enlever ces déchets d'ici 2 ans, l'entreprise a besoin de 2 unités de ce modèle; le coût d'utilisation de chacune d'elles s'élève à40 000$ par année pour 2 000 heures de service. À ce rythme le modèle sera utilisable pendant 3 ans, après quoi chaque unité aura une valeur de récupération estimative de 25 000$Le modèle B, plus efficace, coûte 240 000$ l'unité; on prévoit qu'il fournira 12 000 heures de service avant de nécessiter une révision majeure. Pour terminer le travail d'ici à 2 ans, l'entreprise devra l'utiliser 2 000 heures par année au coût de 22 500$. Sa valeur de récupération après 6 ans de service est évaluée à 30 000$. Ici encore, 2 unités sont nécessaires.Comme la vie utile des équipements dépasse la période de service requise, la valeur de récupération après les deux ans d'utilisation sur ce contrat a du être estimée par les ingénieurs à 45 000$ chacune pour les unités du modèle A et à 125 000$ chacune pour le modèle B.Si le TRAM de la société est de 15%, quelle option devrait-elle choisir?

26GIA 400 – Cours 9 26


Période d'analyse = Période de service requise = 2 ans.Il faut donc utiliser l'estimé de la valeur de récupération à la fin de la période de service de 2 ans et comparer la PE de chaque optionLes revenus peuvent être ignorés car ils seront les mêmes dans les deux cas.

Année 0 1 2Modèle A

Coût d'acquisition (300 000 $)Coût d'utilisation (80 000 $) (80 000 $)Valeur de récupération 90 000 $

Flux monétaire net (300 000 $) (80 000 $) 10 000 $PE(15%) (362 004 $)

Année 0 1 2Modèle B

Coût d'acquisition (480 000 $)Coût d'utilisation (45 000 $) (45 000 $)Valeur de récupération 250 000 $

Flux monétaire net (480 000 $) (45 000 $) 205 000 $PE(15%) (364 121 $)

On préfère le Modèle A, car sa PE est la plus élevée.


Exemple 5.7 par analyse différentielle

Année A B B-A0 (300 000 $) (480 000 $) (180 000 $)1 (80 000 $) (45 000 $) 35 000 $2 10 000 $ 205 000 $ 195 000 $

TRI 14.26%

Flux monétaire

L'option la moins coûteuse est A, c'est donc le défenseur.On calcule le TRI de B-A: 14.26%TRI (14.26%) < TRAM (15%) On conserve A comme défenseurLa liste est épuisée: On choisit l'option A

28GIA 400 – Cours 9 28

Cas 3: PCas 3: Péériode d'analyse > riode d'analyse > NN: Exemple 5.8: Exemple 5.8

Nouveautés Samson, une entreprise de vente par correspondance, désire un système postal automatique destiné aux annonces publicitaires et aux factures. Elle étudie deux types de machines, de conception différente. Les deux possèdent toutefois des capacités de production identiques et remplissent exactement les mêmes fonctions. Le modèle A. qui est semi-automatique et coûte 12 500$, durera 3 ans; quant au modèle B, entièrement automatique, il coûte 15 000$ et sa durée de vie utile est de 4 ans. Voici les flux monétaires nets prévus pour les deux machines:

Année 0 1 2 3 4 5Modèle A

Coût d'acquisition (12 500 $)Coût d'utilisation (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $)Valeur de récupération 2 000 $

Flux monétaire net (12 500 $) (5 000 $) (5 000 $) (3 000 $)

Année 0 1 2 3 4 5Modèle B

Coût d'acquisition (15 000 $)Coût d'utilisation (4 000 $) (4 000 $) (4 000 $) (4 000 $)Valeur de récupération 1 500 $

Flux monétaire net (15 000 $) (4 000 $) (4 000 $) (4 000 $) (2 500 $)

29GIA 400 – Cours 9 29

Exemple 5.8Exemple 5.8Comme les affaires connaissent un certain essor, il se peut qu'au bout de la cinquième année aucun de ces deux modèles ne soit en mesure de répondre àl'augmentation du volume des envois. Dans ces circonstances, un système postal entièrement automatisé devra être installé. Compte tenu de ce scénario, quel modèle l'entreprise devrait-elle choisir, en fonction d'un TRAM de 15%?Comme les deux modèles ont vie utile inférieure à la période de service requise (5 ans), on doit émettre une hypothèse quant à la façon de combler les besoins en matière de courrier. Supposons qu'il soit possible de louer un appareil au coût de6 000$ par année, et qu'il en coûterait 5 000$ par année pour l'utiliser pour le reste de la période de service requise. On pourrait alors évaluer ainsi la PE de chaque option:

On préfère le Modèle B, car sa PE est la plus élevée.

Année 0 1 2 3 4 5Modèle A

Coût d'acquisition (12 500 $)Coût d'utilisation (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $)Coût de location (6 000 $) (6 000 $)Valeur de récupération 2 000 $

Flux monétaire net (12 500 $) (5 000 $) (5 000 $) (3 000 $) (11 000 $) (11 000 $)PE(15%) (34 359 $)


Coût d'acquisition (15 000 $)Coût d'utilisation (4 000 $) (4 000 $) (4 000 $) (4 000 $) (5 000 $)Coût de location (6 000 $)Valeur de récupération 1 500 $

Flux monétaire net (15 000 $) (4 000 $) (4 000 $) (4 000 $) (2 500 $) (11 000 $)PE(15%) (31 031 $)

30GIA 400 – Cours 9 30

Cas 4: PCas 4: Péériode d'analyse = riode d'analyse = N N la plus longue: Exemple 5.9la plus longue: Exemple 5.9

Ferme d'élevage Piedmont (FEP) possède des droits miniers sur une terre où elle cultive des céréales et fait paître du bétail. Récemment, on a découvert du pétrole sur cette propriété. La famille décide d’extraire le pétrole, de vendre la terre puis de se retirer des affaires. Elle peut soit louer du matériel lui permettant d’extraire et de vendre elle-même le pétrole, soit louer la terre à une société pétrolière.

Si elle choisit la première option, elle devra d’abord assumer des frais de location totaux de 300 000$, payables dès le début, mais l’exploitation produira un flux monétaire net de 600 000$ après impôt, à la fin de chaque année pendant les 5 prochaines années. Dans 5 ans, FED pourra vendre sa terre une fois que le pétrole aura été retiré; cette opération donnera lieu à un flux net de 1 000 000$.

Si elle choisit la deuxième option, la société de production extraira tout le pétrole en seulement 3 ans, délai après lequel FED pourra vendre la terre pour un flux net de 800 000$. Le flux net provenant des versements de location reçu par FED s’élèvera à630 000$ au début de chacune des 3 prochaines années.

Laquelle de ces options l’entreprise doit-elle choisir si le TRAM est de 15%.

31GIA 400 – Cours 9 31


On peut ici prendre comme période d’analyse, la période de service la plus longue car nous connaissons le flux monétaire de l’option la plus courte après la fin de sa période de service: c’est zéro.

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

(300$)

600$ 600$ 600$ 600$

1 600$

années

Option production

630$ 630$ 630$800$

Option location

0$ 0$

Périoded’analyse

= 5 ans

32GIA 400 – Cours 9 32


L’option Production possède la plus grande PE.Cependant, la PE de l’option Production n’est que de 1.3% plus grande que celle de l’option Location qui fait porter le risque d’exploitation du puits de pétrole à une autre société. De plus, cette PE est très sensible à la valeur de terre dans 5 ans. Si la valeur de la terre dans 5 ans était diminuée de 6% ou plus, l’option Location serait la plus rentable.

Année 0 1 2 3 4 5 Équipement (300 $)Revenus nets 600 $ 600 $ 600 $ 600 $ 600 $Vente de la terre 1 000 $Flux monétaire net (300 $) 600 $ 600 $ 600 $ 600 $ 1 600 $PE(15%) 2 208 $TRI 201.9%

Année 0 1 2 3 4 5 Investissement 0 $Revenus nets 630 $ 630 $ 630 $ 0 $Vente de la terre 800 $Flux monétaire net 630 $ 630 $ 630 $ 800 $ 0 $ 0 $PE(15%) 2 180 $TRI #NUM!

Option Production

Option Location

Prix de vente de la terre dans 5 ans

PE (Production)

Meilleure option

900 $ 2 159 $ Location943 $ 2 180 $ Indifférence

1 000 $ 2 208 $ Production

33GIA 400 – Cours 9 33

Horizon indHorizon indééfini: Hypothfini: Hypothèèse de rse de rééppéétabilittabilitéé

Hypothèse:

Il est possible de répéter le même flux monétaire pour chacun des projets jusqu'à ce que leur fin concorde.

Les données économiques des projets demeurent constantes sur la période d'analyse

L'horizon d'analyse = le plus petit commun multiple

Si le plus petit commun multiple est trop élevé, il faut choisir un horizon d'analyse.

34GIA 400 – Cours 9 34

HypothHypothèèse de rse de rééppéétabilittabilitéé: Exemple 5.10: Exemple 5.10

Revenons à l’exemple 5.8:Année 0 1 2 3 4 5Modèle A

Coût d'acquisition (12 500 $)Coût d'utilisation (5 000 $) (5 000 $) (5 000 $)Valeur de récupération 2 000 $

Flux monétaire net (12 500 $) (5 000 $) (5 000 $) (3 000 $)


Coût d'acquisition (15 000 $)Coût d'utilisation (4 000 $) (4 000 $) (4 000 $) (4 000 $)Valeur de récupération 1 500 $

Flux monétaire net (15 000 $) (4 000 $) (4 000 $) (4 000 $) (2 500 $)

Supposons maintenant que les modèles A et B sont tous deux en mesure de répondre à la future augmentation du volume et qu’on ne procèdera pas à une élimination progressive du système au bout de 5 ans. On prévoit plutôt conserver le mode de fonctionnement actuel pendant une période indéfinie; de plus dans l’un et l’autre cas, ni le prix , ni les coûts d’exploitation ne subiront de changements importants. En fonction d’un TRAM de 15%, quel modèle l’entreprise doit-elle choisir?

35GIA 400 – Cours 9 35


Pour rendre les deux projets comparables on prendra une période d’analyse qui correspond au plus petit commun multiple des durées de vie de chaque modèle:

Période d’analyse = 3 x 4 = 12 ans. Donc, on supposera 4 cycles de 3 ans pour le modèle A et 3 cycles de 4 ans pour le modèle B.

Comme la structure de coûts ne change pas d’un cycle à l’autre, on pourra déterminer la PE du premier cycle est supposer qu’elle se répètera pour chaque cycle subséquent:

Modèle A

Modèle B

0 1 2 30 1 2 3

0 1 2 3 4

(12 500)(5 000) (5 000)

(3 000)

(15 000)

(4 000) (4 000)(2 500)

(4 000)

(22 601$) (22 601$) (22 601$) (22 601$)

PE(15%)

PE(15%)

(25 562$) (25 562$) (25 562$)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

36GIA 400 – Cours 9 36


On peut maintenant calculer la PE de chaque modèle sur une période d’analyse commune de 12 ans:

(22 601$) (22 601$) (22 601$) (22 601$)

(25 562$) (25 562$) (25 562$)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Modèle A

Modèle B

PE(15%) = (22 601$) +(22 601$)(P/F, 15%,3)+(22 601$)(P/F, 15%,6)+(22 601$)(P/F, 15%,9)= (53 657$)

PE(15%) = (25 562$) +(25 562$)(P/F, 15%,4)+(25 562$)(P/F, 15%,8)+= (48 534$)

Sur un horizon d’analyse de 12 ans, le modèle B à une PE supérieure et constitue la meilleure option.

37GIA 400 – Cours 9 37

Projets de durProjets de duréées diffes difféérentes:rentes:Comparaison par critComparaison par critèère de rendementre de rendement

Cet aspect n'est pas considéré dans le coursTrop de risques de TRI multiplesNécessite un ordinateur

Ignorer la section "Analyse du TRI appliqué à des projets ayant des vies utiles inégales", pp. 349 à 354).

Autres sujets ignorés dans le cours:Projets non-mutuellement exclusifs: contraintes budgétaires (chap. 10)Analyse de risque (chap. 13)Analyse des options réelles (ex: valeur maximale d'une étude d'avant-projet) (chap.14)


Projets non-mutuellement exclusifs sous contrainte budgétaire

Supposons que ABC Inc. a devant elle quatre propositions de projets, totalisant 1.540 M$, mais qu'elle ne dispose que d'un budget total de 1 millions $. Quels projets devrait-elle choisir?

Projet Invest. PEA 650 $ 100 $B 350 $ 40 $C 300 $ 80 $D 240 $ 100 $

Total 1 540 $ 320 $Budget Maxi 1 000 $

Il faut énumérer toutes les combinaisons possibles de projets et choisir parmi celles qui respectent la contrainte budgétaire, celle qui offre la PE maximale:

Choisir B, C et D:Investissement total:890 K$PE: 220 K$

ExcédentComb. Invest. PE Budgétaire

1 A B C D 1 540 320 (540)2 A B C 1 300 220 (300)3 A B D 1 240 240 (240)4 A B 1 000 140 05 A C D 1 190 120 (190)6 A C 950 180 507 A D 890 200 1108 B C D 890 220 1109 B C 650 120 35010 B D 590 140 41011 C D 540 180 46012 A 650 100 35013 B 350 40 65014 C 300 80 70015 D 240 100 76016 0 0 1 000

Projets

Aucun


Projets non-mutuellement exclusifs sous contrainte budgétaire

Solution par programmation linéaire en nombre entier

}{

K$ 890ent totalInvestissmK$ 220

1 ;0

100001240300350650

:1008040100 :

==

====

∈≤+++

+++

PEDCBA

:Solution

,D,C,B,A DCBA

sujet àDCBAMax

40GIA 400 – Cours 9 40

Les applications des techniques Les applications des techniques d'd'éévaluation valuation ééconomiqueconomique

41GIA 400 – Cours 9 41

Les applications des techniques d'Les applications des techniques d'éévaluation valuation ééconomiqueconomique

Évaluer la rentabilité lorsque la vie économique est très longue

Calculer le coût ou le profit unitaire, compte tenu du coût du capital

Décision "fabriquer ou acheter"

Calculer le point mort économique

Coût minimum annuel équivalent comme critère de conception

Calculer la vie économique d'un équipement

Analyser le remplacement d'équipement

42GIA 400 – Cours 9 42

Vie Vie ééconomique perpconomique perpéétuelle ou trtuelle ou trèès longues longue

Lorsque la vie économique est perpétuelle ou de 40 ans et plus (ponts, autoroutes, etc…)Forme particulière de PE que nous avons déjà vue à quelques reprises:.

annuitél' de annuel croissance de taux leg)( approprié capitaldu coût le

initialment investissel'

10

==

=

−+=

TRAMiP

:oùgi

APPE

o

Ne s'applique qu'à une annuité.


Vie économique très longue: Exemple

Un nouveau pont à péage dont la vie utile est de plus de 50 ans doit être construit.On prévoit que les revenus de péage sont de 50 millions $ la première année et qu'il augmenteront de 2% par année par la suite. Les coûts d'entretiens annuels seront de 20 millions et augmenteront aussi de 2% par année. Le coût du capital est de 6%.Quel est le montant maximal de construction du pont pour qu'il soit économiquement rentable?

( )M$750

M$75026

M$300

2%6%

30M$M$20-M$50

ans 50

0

00

1

1

−=⇒

+=−

+==

==

==−

+=

∞=⇒>

P

P%%

PPE

gTRAMA

gTRAMAPPE

NN

o

44GIA 400 – Cours 9 44

Calcul du profit ou coCalcul du profit ou coûût unitaire, incluant le cot unitaire, incluant le coûût du capitalt du capital

Procédure générale:

1. Déterminer le nombre d'unités par période sur l'horizon d'analyse (i.e. la vie économique)

2. Déterminer le flux monétaire sur l'horizon d'analyse

3. Identifier le TRAM et calculer PE

4. Transformer PE en AE

5. Diviser AE par le nombre d'unités produites

45GIA 400 – Cours 9 45

Profit ou coProfit ou coûût unitaire: Exemple 6.3t unitaire: Exemple 6.3

Reprenons l’exemple 4.5 (cours 8):La Compagnie d'usinage Tiger envisage l'acquisition d'une nouvelle machine à découper le métal. L'investissement initial est de 75 000$ et le flux monétaire prévu pendant les 3 années du projet (les économies attribuables à la nouvelle machine) est le suivant:


Si la machine fonctionne pendant 2 000 heures par année, déterminez les économies équivalentes par heure-machine si le TRAM est de 15%.

46GIA 400 – Cours 9 46


Il faut d’abord déterminer la PE:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )$553 3

3 15%, ,$067 552 15%, ,40$3 271 15%, ,$400 24$000 75%15

,,/0

=+

++−=

= ∑=

P/FP/FP/FPE

niFPAiPEN

nn

Ensuite déterminer l’AE:

( ) ( ) année/$556 13 15%, , 353$ 3%15 == A/PAE

Les économies annuelles par heure-machine:

heure/$78.0annéeheures 2000

année$556 1==

Avec la TI (AE a le même signe que PE):tvm_pmt(3,15,npv(15,-75000,{24400,27340,55760}),0)/2000 = 0.78

47GIA 400 – Cours 9 47

Fabriquer ou acheter?Fabriquer ou acheter?

Procédure générale:

1. Déterminer l'horizon d'analyse (i.e. la vie économique)

2. Déterminer la quantité produite par période

3. Obtenir le coût unitaire d'achat

4. Déterminer les coûts de fabrication

5. Estimer le flux monétaire associé à la fabrication

6. Calculer l'AE associé à la fabrication

7. Déterminer le coût unitaire du produit fabriqué, comme précédemment

8. Choisir l'option ayant le coût unitaire minimum

48GIA 400 – Cours 9 48

Fabriquer ou acheter: Exemple 6.5Fabriquer ou acheter: Exemple 6.5La société Ampex fabrique actuellement des boîtiers de vidéocasettes et des bandes magnétiques utilisés à des fins commerciales. Elle prévoit une hausse de la demande pour les bandes à particule métallique, et doit choisir entre continuer à fabriquer elle-même des boîtiers de vidéocassette ou les acheter auprès d’un fournisseur.Si elle achète les boîtiers, elle devra également acheter le matériel nécessaire pour charger les bandes magnétiques, car sa machine actuelle n’est pas compatible avec les boîtiers du fournisseur envisagé.Le taux projeté de production des bandes est de 79 815 unités par semaine pour les 48 semaines d’exploitation de l’année. L’horizon de planification est de 7 ans. Après avoir pris en compte les effets de l’impôt sur le revenu, le service de comptabilité a détaillé les coûts annuels de chaque option comme suit:

AchatCoût en capital:

Nouvelle machine de chargement 405 000 $Valeur de récupération après 7 ans 45 000 $

Coûts d'exploitation annuelsMain d'œuvre 251 956 $Achat de boîtiers vides (0.85$/unité) 3 256 452 $

Frais généraux marginaux 822 719 $Coûts d'exploitation annuels 4 331 127 $

Fabrication (coûts annuels)Main d'œuvre 1 445 613 $Matériel 2 048 511 $Frais généraux marginaux 1 088 110 $Coût annuel total 4 582 234 $

Les flux monétaires sont des flux monétaires discrets en fin d’année.Le TRAM est de 14%.

Calculez le coût unitaire de chaque option.

49GIA 400 – Cours 9 49


Le coût unitaire de fabriquer:

A = 4 582 254$AE = A = 4 582 254$Volume annuel = 79 815 unités/ semaine x 48 semaines/année = 3 831 120 unitésCoût unitaire = AE/Volume annuel = 4 582 254$/3 831 120 unités = 1.20$/unité

Le coût unitaire d’acheter:

P = 405 000$

A = 4 331 127$

S = 45 000$

AE = A + RC(14%) = 4 331 127$ + [(405 000$ - 45 000$)(A/P, 14%, 7)+(14%)(45 000$)]AE = 4 331 127$ + 90 249$ = 4 421 376$Coût unitaire = AE/Volume annuel = 4 421 376$/3 831 120 unités = 1.15$/unité

Il est plus rentable d’acheter que de fabriquer, mais la différence n’est pas grande. Compte tenu des risques de non-performance du fournisseur, on préférera peut-être continuer à fabriquer…

0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

50GIA 400 – Cours 9 50

Le pointLe point--mort ou le seuil de rentabilitmort ou le seuil de rentabilitéé(Break(Break--eveneven point)point)

Le point-mort comptable: vu au cours 1

0 $

2 000 $

4 000 $

6 000 $

8 000 $

10 000 $

12 000 $

- 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000

Quantité

mort-pointau QuantitéQunitaire ventedePrix

Revenus

si

PM =

−=⇒

+=⇒=+=

=

:P:R

)CP(FQ

VQFPQCRVQFC

PQR

PM

Exemple:P= 1.00 $/unitéF= 3000$V=0.50 $/unitéQPM= 6000 unitésVentes = 3 000$

51GIA 400 – Cours 9 51

Le pointLe point--mort ou le seuil de rentabilitmort ou le seuil de rentabilitéé ééconomique:conomique:Tenir compte du coTenir compte du coûût du capital.t du capital.Exemple 6.6 (modifiExemple 6.6 (modifiéé))

Bernard Toupin est ingénieur de vente. Il achète un véhicule qu’il utilisera exclusivement pour son travail pendant 3 ans. Le véhicule est une sous-compacte payée 11 000$ qui aura une valeur de revente de 4 800$ dans 3 ans. D’après l’estimation qu’il fait du kilométrage annuel à parcourir et des informations parues dans un magazine spécialisé, il estime les coûts d’exploitation annuels suivants:

Si son coût du capital pour ce véhicule est de 6%, quel taux de remboursement au kilomètre doit-il obtenir pour atteindre le point-mort économique?

Année 1 Année 2 Année 3Kilométrage parcouru 14 500 km 13 000 km 11 500 kmEntretien de routine 100 $ 132 $ 172 $Assurances 635 $ 635 $ 635 $Immatriculation 78 $ 78 $ 78 $Réparations 70 $ 115 $ 227 $Accessoires 15 $ 13 $ 12 $Essences et taxes 688 $ 650 $ 522 $Huile 80 $ 100 $ 100 $Stationnements et péages 135 $ 125 $ 110 $Total 1 801 $ 1 848 $ 1 856 $

52GIA 400 – Cours 9 52

Exemple 6.6 (modifiExemple 6.6 (modifiéé))

Note: cette solution est purement basée (comme il se doit) sur le flux monétaire (i.e. elle ne considère pas l’amortissement comme un déboursé):

La valeur de récupération du véhicule a été estimée à partir de la somme des amortissements annuels: 11 000$ – (2 879$ + 1 776$ + 1 545$) = 4 800$

Le taux de remboursement qui permettra d’atteindre le point-mort économique est celui qui rend la PE du flux monétaire net = 0:

( ))()(

0)()(déboursésPEentsremboursemPE

déboursésPEentsremboursemPEnetPE=⇒

=−=

Calcul de PE(déboursés):

Année 0 1 2 3Coût de l'auto (11 000 $)Valeur de récupération 4 800 $Coût exploitation (1 801 $) (1 848 $) (1 856 $)Déboursés totaux (11 000 $) (1 801 $) (1 848 $) 2 944 $PE (6%) (11 872 $)

53GIA 400 – Cours 9 53

Exemple 6.6 (modifiExemple 6.6 (modifiéé))Pour atteindre le point mort économique:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

[ ]km$34010

905 34872 11

872 11656 9570 11679 13872 113 6%, ,500 112 6%, ,000 131 6%, ,500 14

872 113 6%, ,500 112 6%, ,000 131 6%, ,500 14kmpar ent remboursem de taux leSoit

872 110

/.$X

$X$F/PF/PF/PX

$F/PXF/PXF/PXX

$)déboursés(PE)entsremboursem(PE)déboursés(PE)entsremboursem(PEnetPE

==

=++=++

=++=

==⇒=−=

Preuve: Année 0 1 2 3Coût de l'auto (11 000 $)Valeur de récupération 4 800 $Coût exploitation (1 801 $) (1 848 $) (1 856 $)Déboursés totaux (11 000 $) (1 801 $) (1 848 $) 2 944 $Remboursements à 0.3401$/km 4 932 $ 4 422 $ 3 911 $Flux monétaire net (11 000 $) 3 131 $ 2 574 $ 6 855 $PE (6%) 0.0000 $

Solution directe possible avec la TI:nslove(NPV(6,-11872,{14500*x,13000*x,11500*x})=0,x)

x=0.3401

54GIA 400 – Cours 9 54

ÉÉconomie de la conception: Recherche de lconomie de la conception: Recherche de l’’AEAE minimumminimumExemple 6.7Exemple 6.7

Un courant électrique (I) de 5 000 ampères doit être transmis sur une distance (L) de 300 mètres d’une centrale jusqu’à un poste, 24 h/jour, 365 jours/an, pendant 25 ans.Le conducteur est en cuivre dont le coût installé est de 16.50$/kg. La valeur de récupération du conducteur après 25 ans d’usage est de 10%. La densité du cuivre est de 8 894 kg/m3. La perte de puissance par le conducteur est inversement proportionnelle àla section du conducteur (A). La résistivité (ρ) d’un conducteur de cuivre est de 1.7241 x 10-4 ohms-cm2/m. Le coût de l’électricité est de 0,0375$/kWhLe coût du capital est de 9%Calculez la section (A) optimale du conducteur.

La résistance (R) d’un conducteur est donnée par:R=ρ (L /A)La perte de puissance (PL) d’un conducteur est donnée par:PL=I2 RT/1 000 kWhOù T est le temps pendant lequel le courant circule dans le conducteur.

55GIA 400 – Cours 9 55


Calcul du coût annuel de la perte de puissance:

/année$775 424

h0.0375$/kWkWh101373.1:est perdue éélectricitl' de coût total Le

kWh101373.1

300107241.1000 1

36524000 5000 1000 1

7

7

42

22

A

A

A

A

ALTIRTIPL

=

××

=

×=

×××

××=

×==−

ρ

Calcul du coût total du conducteur:

AonrécupératiValeur de

AAkgcoûtdensitéVolumeCoût

$441%)10(

406$ 4$50.16894 8300100

/

2

=

=×××=

××=

56GIA 400 – Cours 9 56


Le coût annuel équivalent du conducteur AE:

AAAE

AAARCPAAARC

PLRCAE

775 424444

44440404%)9(441A(9%)25) 9%, ,/)(441406 4(%)9(

($)%)9(

+=⇒

=+=+−=

+=

Le minimum de l’AE en fonction de A:

$466 2731

775 42431444

cm 31444

775 424

0775 424444

2

2

=+×=

==

=−=

AE

et

A

AdAdAE

57GIA 400 – Cours 9 57

0 $

5 000 $

10 000 $

15 000 $

20 000 $

25 000 $

30 000 $

35 000 $

40 000 $

45 000 $

50 000 $

0 10 20 30 40 50 60

A (cm2)

AE


AE

PL

RC

A* = 31 cm2

58GIA 400 – Cours 9 58

Analyse de remplacementAnalyse de remplacement

Est-ce qu'on remplace tout de suite?Si non, quand doit-on remplacer?

Déterminer les coûts pertinents

Approche de comparaison:Le défenseur: l'équipement déjà en fonctionL'aspirant: le nouvel équipement

Deux méthodes:Flux monétaireCoût d'opportunité (ou coût d'option)

59GIA 400 – Cours 9 59

Analyse de remplacement: les coAnalyse de remplacement: les coûûts pertinents au dts pertinents au dééfenseurfenseurExemple 6.9Exemple 6.9

L’imprimerie McIntosh a acheté une machine à imprimer de 20 000$ il y a 2 ans. Elle a prévu pour cette machine une durée de vie de 5 ans et une valeur de récupération de 5 000$. L’an dernier, elle a dépensé 5 000$ en réparations, et les coûts d’exploitation actuels s’élèvent à 8 000$ par année. De plus, la valeur de récupération prévue est tombée à 2 500$ à la fin de la vie utile de la machine. McIntosh a également appris de manière indépendante que cette machine à une valeur marchande actuelle de 10 000$. Son fournisseur lui propose de lui verser ce montant pour sa machine actuelle si elle en achète une nouvelle. Quelle valeur relative au défenseur doit-on considérer pour notre analyse?

Commentaires:Le coût initial, le coûts des réparations passées sont des coûts irrécupérables qui ne doivent pas être considérés.Les coûts d’exploitation peuvent être considérés que dans la mesure où ils changeraient avec une nouvelle machine. Dans ce cas, on pourrait attribuer à la nouvelle machine la différence de coûts d’exploitation.La valeur marchande actuelle (non la valeur de reprise donnée par un fournisseur) et l’estimation actuelle de la valeur de récupération, est toujourspertinente dans l’analyse du défenseur.

60GIA 400 – Cours 9 60

Analyse de remplacementAnalyse de remplacementMMééthode du flux monthode du flux monéétaire: Exemple 6.10taire: Exemple 6.10

On propose à l’imprimerie McIntosh (exemple 6.9) une autre machine àimprimer coûtant 15 000$. Pour sa vie utile de 3 ans, cette machine nécessitera suffisamment moins de main d’œuvre et de matières premières pour que les coûts d’exploitation passent de 8 000$ à 6 000$. On prévoit également pouvoir la revendre 5 500$ après 3 ans. Si on achète la nouvelle machine, l’ancienne sera vendue à une autre entreprise, et non échangée contre la nouvelle.Supposons que McIntosh ait besoin d’une machine (l’ancienne ou la nouvelle) pendant 3 ans seulement et qu’elle ne prévoit pas qu’une machine de meilleure qualité soit offerte sur le marché pendant cette période de service.Si le TRAM est de 12%, décidez s’il est rentable de procéder au remplacement maintenant.

61GIA 400 – Cours 9 61


Il est avantageux de remplacer maintenant: PE(Aspirant) > PE(Défenseur)

0 1 2 3

(8 000$) (8 000$) (8 000$)

2 500$

(6 000$)(6 000$) (6 000$)

5 500$

(15 000$)

10 000$0 1 2 3

Année 0 1 2 3Coût d'achat de la machine (15 000 $)Vente de l'ancienne machine 10 000 $Coûts d'exploitation annuels 2 000 $ 2 000 $ 2 000 $Valeur de récupération 3 000 $

(5 000 $) 2 000 $ 2 000 $ 5 000 $PE(12%) 1 939 $AE(12%) 807 $TRI 30.0%

Analyse différentielle

(15 000$)

10 000$ 2 000$ 2 000$ 5 000$

0 1 2 3

TRAM 12%

Année 0 1 2 3Coûts d'exploitation annuels 0 $ (8 000 $) (8 000 $) (8 000 $)Valeur de récupération 2 500 $Flux monétaire net 0 $ (8 000 $) (8 000 $) (5 500 $)PE(12%) (17 435 $)AE(12%) (7 259 $)

Année 0 1 2 3Coût d'achat de la machine (15 000 $)Vente de l'ancienne machine 10 000 $Coûts d'exploitation annuels (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $)Valeur de récupération 5 500 $Flux monétaire net (5 000 $) (6 000 $) (6 000 $) (500 $)PE(12%) (15 496 $)AE(12%) (6 452 $)

Défenseur

Aspirant

62GIA 400 – Cours 9 62

MMééthode du cothode du coûût d'opportunitt d'opportunitéé: Exemple 6.11: Exemple 6.11

Dans l’exemple précédent on a crédité la valeur de revente(10 000$) de la machine actuelle au prix d’achat de la nouvelle machine (15 000%).On pourrait plutôt considérer que, si l’on conservait l’ancienne machine, on encourrait un coût d’opportunité de 10 000$.On arriverait ainsi à la même décision:PE(Aspirant) > PE(Défenseur)Notez que l’analyse différentielle est exactement la même.

Année 0 1 2 3Coûts d'exploitation annuels 0 $ (8 000 $) (8 000 $) (8 000 $)Coût d'opportunité (10 000 $)Valeur de récupération 2 500 $Flux monétaire net (10 000 $) (8 000 $) (8 000 $) (5 500 $)PE(12%) (27 435 $)AE(12%) (11 423 $)

Année 0 1 2 3Coût d'achat de la machine (15 000 $)Vente de l'ancienne machine 0 $Coûts d'exploitation annuels (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $)Valeur de récupération 5 500 $Flux monétaire net (15 000 $) (6 000 $) (6 000 $) (500 $)PE(12%) (25 496 $)AE(12%) (10 615 $)

Année 0 1 2 3Coût d'achat de la machine (15 000 $)Vente de l'ancienne machine 10 000 $Coûts d'exploitation annuels 2 000 $ 2 000 $ 2 000 $Valeur de récupération 3 000 $

(5 000 $) 2 000 $ 2 000 $ 5 000 $PE(12%) 1 939 $AE(12%) 807 $TRI 30.0%

Défenseur

Aspirant

Analyse différentielle

63GIA 400 – Cours 9 63

Identification de la vie Identification de la vie ééconomiqueconomique

Le coût annuel total équivalent (AEC) lié à la possession d'un équipement comporte deux composantes:1. Les coûts annuels équivalents d'opération et d'entretien (AC)2. Les coûts annuels équivalents en capitaux (RC)

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )N,i,P/An,i,F/POCiSN,i,P/ASPAEC

OC

N,i,P/An,i,F/POCAC

NSiSN,i,P/ASPRC

:ACRCAEC

N

nnNN

n

N

nn

N

NN

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

=

=

+−=

+=

∑

∑

=

=

1

1

annuels opérationsd' coûts les:où

:ailleurspar

annéel' àon récupérati de valeur laest où

que coursdernier au vu avons nous

La vie économique est le n où le coût annuel équivalent AEC est àson minimum.

64GIA 400 – Cours 9 64

Identification de la vie Identification de la vie ééconomique: Exemple 6.12conomique: Exemple 6.12

Nouveau chariot élévateur:Prix d’acquisition: 18 000$Coûts d’exploitation de la première année: 4 000$, augmentant par la suite de 40% par annéeValeur de récupération, à la fin de la première année:10 000$, diminuant de 25% par année par la suite.Révision majeure à la fin de la cinquième année: 5 000$Durée de vie maximale: 7 ans.TRAM = 15%

Quelle est la vie économique du chariot élévateur?

65GIA 400 – Cours 9 65

Identification de la vie Identification de la vie ééconomique: Exemple 6.12conomique: Exemple 6.12

Méthode du livre, sans ordinateur, est très longue!Construire plutôt un modèle EXCEL:

( ) ( )nTRAMPAnTRAMFPOCACn

nn ,,/ , ,/

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

=

nn gOCOC )1(1 +=ngPS )1( −=

( )( ) ( )TRAMSTRAM, nPASPRC +−= ,/

( )[ ]( )nTRAMPAFPAC , ,/%15 ,5 ,/$000 5=

)()(

RévisonAConExploitatiAC

RCAEC

++=

Vie économiqueà AEC minimum: 3 ans

66GIA 400 – Cours 9 66


0 $

2 000 $

4 000 $

6 000 $

8 000 $

10 000 $

12 000 $

14 000 $

16 000 $

18 000 $

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Années

Coû

t ann

uel é

quiv

alen

t

AEC minimum

RC

AC

Vie économique : N*= 3 ans

AEC


Calcul de l'AEC avec la TI: Exemple

Les données:Nouveau chariot élévateur:

Prix d’acquisition: 18 000$Coûts d’exploitation de la première année: 4 000$, augmentant par la suite de 40% par annéeValeur de récupération, à la fin de la première année:10 000$, diminuant de 25% par année par la suite.Durée de vie maximale: 5 ans.TRAM = 15%

Quelle est l'AEC si on conserve le chariot élévateur 3 ans?

Calculer les coûts d'exploitation (OC) annuels pour les 3 premières années, et la valeur de récupération à la fin de l'année 3:

Année 1 2 3Coût d'exploitation 4 000 $ 5 600 $ 7 840 $Valeur de récupération 10 000 $ 7 500 $ 5 625 $


Calcul de l'AEC avec la TI: Exemple

AEC = tvm_pmt(N,i,npv(i,-P,{-OC1,-OC2,...-OCn}),S)

N = le nombre d'années d'opération sous analysei = le TRAMP = le coût d'achat de l'équipementOCn: les coûts d'exploitation annuelsS: la valeur de récupération

0 1 2 3S = 5 625$

P = 18 000$

OC1 = 4 000$ OC2 = 5 600$

OC3 = 7 840$

AEC = -tvm_pmt(3,15,npv(15,-18000,{-4000,-5600,-7840}),5625)=11899

69GIA 400 – Cours 9 69

Quand doitQuand doit--on remplacer? Planification de remplacementon remplacer? Planification de remplacement

Détermination de l'horizon d'analyse

Indéfini: Pas d'information définissant la durée du projet

Utilisation de AE comme critère économique

Défini:

Utilisation de PE comme critère économique

Hypothèse:

La technologie et les coûts de la solution de remplacement demeurent constants dans le temps.

70GIA 400 – Cours 9 70

Horizon indHorizon indééfinifini

Procédure:

1. Calculer la vie économique N* et l’AEC du défenseur et de l’aspirant.

2. Comparer l’AEC du défenseur et de l’aspirant. Si l’AEC(Défenseur) est supérieur à l’AEC(Aspirant), Il faut remplacer maintenant le défenseur.

3. S’il ne faut pas remplacer le défenseur maintenant, quand doit-on le faire?

On doit continuer à utiliser le défenseur jusqu’à la fin de sa vie économique et évaluer le moment ou l’AEC(Défenseur) deviendra supérieur à l’AEC(Aspirant)

71GIA 400 – Cours 9 71

Horizon indHorizon indééfini: Exemple 6.13fini: Exemple 6.13

La compagnie Isolateurs électriques de pointe (IEP) envisage de remplacer une machine d’inspection qui sert à tester la résistance mécanique d’isolateurs électriques, par une nouvelle machine plus efficace. Si elle répare la machine actuelle, elle pourra l’utiliser pendant 5 ans encore. Elle peut cependant la vendre maintenant 5 000$ à une autre entreprise du même secteur. Si elle conserve la machine, elle devra procéder immédiatement à une révision de 1 200$ pour la remettre en état de marche. La révision ne prolongera pas la durée de vie initialement prévue et n’augmentera pas la valeur de la machine. Les coûts d’exploitation, estimés à 2 000$ durant la première année, devraient augmenter de1 500$ par année subséquente. On prévoit que les valeurs marchandes diminueront de 1 000$ par année.

La nouvelle machine coûte 10 000$. Ses coûts d’exploitation seront de 2 000$ la première année et augmenteront de 800$ par année subséquente. La valeur de récupération, estimé à 6 000$ après la première année, diminuera de 25% par année subséquente. L’entreprise souhaite un taux de rendement de 15%.

1. Trouvez la durée de vie économique du défenseur et celle de l’aspirant et

2. Déterminez à quel moment on devrait remplacer le défenseur.

72GIA 400 – Cours 9 72


Déterminer les N* et les AEC:

N*(Défenseur) = 2 ans; AEC(Défenseur) = 5 116$N*(Aspirant) = 4 ans; AEC(Aspirant) = 5 826$

L’AEC(Défenseur) est inférieur On ne remplace pas immédiatement

73GIA 400 – Cours 9 73


Quand doit-on remplacer le défenseur?On peut le garder jusqu’à la fin de sa vie économique de 2 ans.

Par la suite (et seulement si on insiste absolument pour avoir une réponse à cette question maintenant!):Évaluer l’AEC de conserver le défenseur un an de plus:

RévisionCoût

d'exploitationCoùt

d'opportunitéValeur marchande en

cas de disposition PE AEC2 0 $ 3 000 $ 3 000 $3 5 000 $ 2 000 $ 5 609 $ 6 450 $

L’AEC(Défenseur) est plus grande que l’AEC(Aspirant) à son N* de 4. On doit devrait donc remplacer la machine actuelle après 3 ans.Si ce n’était pas le cas, il faudrait calculer l’AEC(Défenseur) pour une autre année et comparer avec l’AEC(Aspirant) à son N* de 4…… et ainsi de suite jusqu’à ce que l’AEC(Défenseur) soit plus grand que l’AEC(Aspirant) à son N* de 4

74GIA 400 – Cours 9 74

Horizon dHorizon dééfini: Exemple 6.14fini: Exemple 6.14

En utilisant les données du dernier exemple, supposons que l’entreprise a obtenu un contrat pour exécuter un service donné, au moyen du défenseur ou de l’aspirant, au cours des 8 prochaines années. À la fin du contrat, ni le défenseur, ni l’aspirant ne sera conservé. Quelle est la meilleure stratégie de remplacement?Pour solutionner ce problème, il faut énumérer toutes les options « raisonnables » de remplacement et évaluer la PE de chaque option.Nous avons déjà établi que le défenseur peut être utilisé 0, 1, 2 ou 3 années et l’aspirant 4 années au plus:

Utilisation du défenseur

Utilisation de l’aspirant

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Option 1

Option 2

Option 3

Option 4

Option 5

Option 6

années

75GIA 400 – Cours 9 75


À l’aide des AEC établis précédemment, on peut calculer la PE de chaque option.

Exemple de calcul: Option3

L’option 3 est la meilleure stratégie, car la PE est à son minimum

( )( )( )

( )( )$217 25

15% 6, ,/2 %,15 ,/151 615% 2, ,/4 %,15 ,/$826 5

2 %,15 ,/$116 5%)15(

=++

=

FPAPFPAP

APPE 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5 116$5 826$ 6 151$

Défenseur AspirantAspirant

npv(15,{5116,5826,6151},{2,4,2})=25217

76GIA 400 – Cours 9 76

Exercices pour le TPExercices pour le TP

5.33 Rép: a) TRIA= 11.71%; TRIB= 19.15%; b) Projet B; c) Comme le projet au plus grand investissement n'est pas rentable pour TRAM de 15%, on choisira toujours B.5.48 Rép: AE par heure: Modèle A = (71.46$); Modèle B = (79.48$)5.52 Rép: a) Projet B, PEB-A = 3.48$ TRIB-A = 15.98%; b) TRIC-D = 7.03%, choisir D; c) TRIF-E n'a pas de solution, car E domine F à n'importe quel TRAM, choisir E 6.15 Rép: 3.75$ par personne6.54 Rép: PEOption 1= (198 946 $), PEOption 2 = (210 708 $), Choisir Option 16.55 Rép: AEC(Défenseur) = 2 380$, AEC(Aspirant) = 2 946$, Conserver le défenseur encore au moins un an.

La semaine prochaine: Examen 2 – durée de 3 heures.

Bonne fin de semaine à tous!

1





Voici les flux monétaires de deux projets d’investissement,A et B:

n Projet A Projet B0 (120 000 $) (100 000 $)1 20 000 $ 15 000 $2 20 000 $ 15 000 $3 120 000 $ 130 000 $

Flux monétaires nets

a) Calculez le TRI de chaque investissement

b) En fonction d’un TRAM de 15%, déterminez l’acceptabilité de chaque projet

c) Si A et B sont mutuellement exclusifs, quel projet choisiriez-vous, compte tenu taux de rendement de l’investissement différentiel

2



a) Le TRI de chaque investissement


TRI 11.71% 19.15%


En équation:

( ) ( ) ( ) ( ) 321 1000 1201000 201000 20000 1200 −−− ++++++−== TRITRITRITRIPE

Projet A:

( ) ( ) ( ) ( ) 321 1000 1301000 151000 15000 1000 −−− ++++++−== TRITRITRITRIPE

Projet B:

Projet A: irr(-120000,{20000,120000},{2,1}) = 11.71%

Projet B: irr(-100000,{15000,130000},{2,1}) = 19.15%



b) Acceptabilité de chaque projet en fonction d’un TRAM de 15%


TRI 11.71% 19.15%TRAM 15% 15%PE (TRAM) (8 584 $) 9 863 $


rentable pasest n'projet Le⇒<TRAMTRIProjet A:

rentableest projet Le⇒> TRAMTRIProjet B:

Conclusions confirmées par le calcul des PE(TRAM)

Projet A: npv(15,-120000,{20000,120000},{2,1}) = -8584

Projet B: npv(15,-100000,{15000,130000},{2,1}) = 9863

3



b) Analyse différentielle:Étape 1: classer les projets rentables en ordre croissant d’investissement:

Il n’y qu’un seul projet rentable à un TRAM de 15%: B (!)B est toujours préférable à A si le TRAM est de 15%

Le TRI de (A-B) est forcément négatif car la PE de (A-B) à un TRAM de 0% = - 20 000$Signification: B domine A, quelque soit le TRAM. (60 000 $)

(40 000 $)

(20 000 $)

0 $

20 000 $

40 000 $

60 000 $

80 000 $

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

BA

A-B

PE

TRAM

n Projet A Projet B A - B0 (120 000 $) (100 000 $) (20 000 $)1 20 000 $ 15 000 $ 5 000 $2 20 000 $ 15 000 $ 5 000 $3 120 000 $ 130 000 $ (10 000 $)

TRI 11.71% 19.15% #VALUE!



Une société aérienne veut équiper ses appareils de nouveaux réacteurs. Les deux modèles à l’étude ont la même durée de vie et s’équivalent sur le plan de l’entretien et des réparations.

Le réacteur A qui coûte 100 000$ consomme 100 000 litres pour1 000 heures de fonctionnement, selon la charge moyenne associée au service passager.Le réacteur B coûte 200 000$ et consomme 80 000 litres pour 1 000 heures de fonctionnement dans les mêmes conditions.

Aucun des deux ne nécessitera de révision majeure avant 3 ans. Leur valeur de récupération représente 10% de l’investissement initial. Si le carburant coûte 0.50$/litre et si on prévoit que la consommation des réacteurs augmentera de 6% par année en raison d’une baisse de leur efficacité, lequel la société doit-elle installer?

Supposez 2 000 heures de fonctionnement par année et un TRAM de 10%. Utilisez le critère de l’AE. Pour chaque réacteur (et non circuit), quel est le coût équivalent d’une heure de fonctionnement?

4



À mon humble avis, il est toujours plus facile de résoudre ce genre de problème en construisant d’abord un tableau:

Réacteur A Réacteur BCoût 100 000 $ 200 000 $Récupération (10%) 10 000 $ 20 000 $Consommation (l) par 1 000 heures 100 000 80 000

Données communes:TRAM 10%Heures de fonctionnement par année 2 000 Coût du carburant 0.50 $Augmentation annuelle de la consommation 6%

Réacteur A 0 1 2 3 Achat du réacteur (100 000 $)Valeur de récupération 10 000 $Consommation (litres) (+ 6%/année) 200 000 212 000 224 720 Consommation ($) (100 000 $) (106 000 $) (112 360 $)Flux monétaire (100 000 $) (100 000 $) (106 000 $) (102 360 $)

Réacteur B 0 1 2 3 Achat du réacteur (200 000 $)Valeur de récupération 20 000 $Consommation (litres) (+6%/année) 160 000 169 600 179 776 Consommation ($) (80 000 $) (84 800 $) (89 888 $)Flux monétaire (200 000 $) (80 000 $) (84 800 $) (69 888 $)



Première méthode de solution:Évaluation directe du flux monétaire net avec la calculatrice financièreRéacteur A 0 1 2 3 Flux monétaire (100 000 $) (100 000 $) (106 000 $) (102 360 $)

Réacteur B 0 1 2 3 Flux monétaire (200 000 $) (80 000 $) (84 800 $) (69 888 $)

1. Calculer la PE à un TRAM de 10%:Avec fonction NPV:

Réacteur A: PE = (355 417$); Réacteur B: PE = (395 318$)2. Calculer la AE de ces PE à un TRAM de 10%:

Avec fonction PMT:Réacteur A: AE = (142 918$); Réacteur B: AE= (158 963$)

3. Coût équivalent par heure:Réacteur A: (142 918$/an)/2 000 h/an = (71.46$)Réacteur B: (158 963$/an)/2 000 h/an = (79.48$)

Le réacteur A est la meilleure option

5



Deuxième méthode de solution:Évaluation directe du flux monétaire net avec équations standardsRéacteur A 0 1 2 3 Flux monétaire (100 000 $) (100 000 $) (106 000 $) (102 360 $)

Réacteur B 0 1 2 3 Flux monétaire (200 000 $) (80 000 $) (84 800 $) (69 888 $)

Réacteur A:

$)46.71(000 2/$)918 142(:heurePar $918 1423) 10%,,/$)(417 355(

$)417 355(3) 10%, ,360$( 102 -2) 10%, ,000$( 106-1) 10%, ,000$( 100$000 100

) ,/(

===

=−−=

=

PAAEPE

P/FP/FP/FPENTRAM,PAPEAE

Réacteur B:

$)48.79(000 2/$)963 158(:heurePar $963 1583) 10%,,/$)(318 395(

$)318 395(3) 10%, ,688$( 69 -2) 10%, ,800$( 84-1) 10%, ,000$( 80$000 200

) ,/(

===

=−−=

=

PAAEPE

F/PF/PF/PPENTRAM,PAPEAE


Exercice 5.48Exercice 5.48Troisième méthode de solution: décomposition du problème en flux monétaires standards et calculs par équation (Sans faire de tableau pour connaître le flux monétaire net):Réacteur A:

( ) ( )

( ) ( )

(71.46)$/h000 918$)/2 (142 :heurePar 918$) (142728$) (105190$) (37

$/h86522000

728$ 105heurepar AC

728$) (1053) 10%, (.06)(.10

.10)(1.06)(11000$) (100

$/h6018000 2

$190 37190$) (37000) (.06)(103) 10%, ,000$)( 10000$ (100

))(() ,)((

33

11

==+=

==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++−=

==

=+−=

=+−=

+=

−

AE

.

,P/AAC

.reRC par heu

P/ARCN,TRAM,P/AN,TRAM,g,A/PAAC

iSTRAM, NP/ASPRCACRCAE

0 1 2 3 0 1 2 3+P = 100 000$

S = 10 000$

A1 = 100 000$g = 6%

6



0 1 2 3 0 1 2 3+P = 200 000$

S = 20 000$

A1 = 80 000$g = 6%

Réacteur B

( ) ( )

( ) ( )

(79.48)$/h000 918$)/2 (142 :heurePar 918$) (142728$) (105190$) (37

$/h29422000

582$ 84heurepar AC

582$) (843) 10%, (.06)(.10

.10)(1.06)(11000$) (80

$/h1937000 281$3 47

381$) (74000) (.06)(203) 10%, ,000$)( 20000$ (200))((

) ,)((

33

11

==+=

==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++−=

==

=+−==

+−=+=

−

AE

.

,P/AAC

.reRC par heu

P/ARCN,TRAM,P/AN,TRAM,g,A/PAAC

iSTRAM, NP/ASPRCACRCAE



18.60 $

37.19 $

52.86 $

42.29 $

0.00 $

10.00 $

20.00 $

30.00 $

40.00 $

50.00 $

60.00 $

70.00 $

80.00 $

90.00 $

Réacteur A Réacteur B

$/he

ure

CarburantRéacteur 79.48$

71.46$

7



a) Les projets A et B sont mutuellement exclusifs. Dans l’hypothèse que tous les deux peuvent être répétés pour une période indéfinie, lequel choisiriez-vous en fonction du critère du TRI? Le TRAM est de 15%.

n A B0 (100 $) (200 $)1 60 $ 120 $2 50 $ 150 $3 50 $

Période d’analyse = le plus petit commun multiple des durées de vie: 3 x 2 = 6 ans.

Répéter A 2 fois, B 3 fois.



Pour comprendre comment utiliser le TRI pour un tel problème, déterminons d’abord la PE à un TRAM de 15%, selon la méthode que nous avons vue au dernier cours:

0 1 2 3

0 1 2

-100$

60$50$ 50$

0 1 2 3 4 5 6

-200$

150$120$

PE(15%)=22.86$

22.86$ 22.86$

0 1 2 3 4 5 6

17.77$ 17.77$PE(15%)=17.77$

17.77$

Projet A

Projet B

PE(15%) = 37.89$

PE(15%) = 41.37$

On ne peut calculer deTRI pour de tels flux!

8



Pour calculer un TRI, on doit énumérer tous les flux monétaires annuels.Attention! La fin d’un cycle, correspond au début du cycle suivant:

Projet A

0 1 2 3

-100$

60$50$ 50$

0 1 2 3

-100$

60$50$ 50$

0 1 2 3 4 5 6

1er cycle

2e cycle

-100$

60$50$

50$

60$50$ 50$

Projet B

0 1 2

-200$

150$120$

0 1 2

-200$

150$120$

0 1 2

-200$

150$120$

0 1 2 3 4 5 6

-200$

120$

-50$ -50$

120$150$120$

1er cycle

2e cycle

3e cycle



n A B B-A0 (100 $) (200 $) (100 $)1 60 $ 120 $ 60 $2 50 $ (50 $) (100 $)3 (50 $) 120 $ 170 $4 60 $ (50 $) (110 $)5 50 $ 120 $ 70 $6 50 $ 150 $ 100 $

TRI 28.89% 21.65% 15.98%TRAM 15% 15% 15%PE(TRAM) 37.89 $ 41.37 $ 3.48 $PE(TRI) 0 $ 0 $ 0 $

En principe, on peut maintenant calculer un TRI. Cependant comme il s’agit de flux monétaire non simples (plusieurs changements de signes), il n’est pas certain qu’on puisse trouver une solution.Dans le cas présent, la calculatrice trouve des solutions qui sont bonnes car les PE calculées à ces TRI sont effectivement 0.On préfère B à A, même si le TRI de B est inférieur, car le TRI différentiel >TRAM et que ceci implique forcément que PEB(TRAM) > PEA(TRAM).

Dans un cas semblable, il vous est permis d’ignorer le calcul du TRI et de conclure, sur la base de la PE que B est préférable à A.

9



b) Supposons que les projets C et D sont mutuellement exclusifs, lequel choisiriez-vous en fonction du critère du TRI? Le TRAM est de 15%.

n C D0 (4 000 $) (2 000 $)1 2 410 $ 1 400 $2 2 930 $ 1 720 $

Le Projet D, le moins couteux à un TRI supérieur et le TRI de l’investissement différentiel C-D, est inférieur au TRAM: on choisit D.

n C D C-D0 (4 000 $) (2 000 $) (2 000 $)1 2 410 $ 1 400 $ 1 010 $2 2 930 $ 1 720 $ 1 210 $

TRI 20.86% 34.12% 7.03%TRAM 15% 15% 15%PE(TRAM) 311 $ 518 $ (207 $)PE(TRI) 0 $ 0 $ 0 $



c) Supposons que les projets E et F sont mutuellement exclusifs, lequel choisiriez-vous en fonction du critère du TRI? Le TRAM est de 15%.

n E F0 (2 000 $) (3 000 $)1 3 700 $ 2 500 $2 1 640 $ 1 500 $

n E F F-E0 (2 000 $) (3 000 $) (1 000 $)1 3 700 $ 2 500 $ (1 200 $)2 1 640 $ 1 500 $ (140 $)

TRI 121.95% 23.74% #NUM!TRAM 15% 15% 15%PE(TRAM) 2 457 $ 308 $ (2 149 $)PE(TRI) 0 $ 0 $ #NUM!

On ne peut calculer de TRI pour F-E, car E domine F à n’importe quel TRAM. Choisir E

10



(3 000 $)

(2 000 $)

(1 000 $)

0 $

1 000 $

2 000 $

3 000 $

4 000 $

0% 20% 40% 60% 80% 100% 120% 140% 160%

TRAM

PE

E

F

F-E



La municipalité de Grandeville a décidé de construire un terrain de balle molle sur une propriété cédée par un de ses résidents. Le conseil municipal a déjà décidé de fournir 800 000$ pour financer le projet (investissement en capital initial). L’ingénieur de la ville a recueilli l’information suivante concernant le projet:

Frais de fonctionnement annuels: 120 000$Frais de services publics: 13 000$Coûts de rénovation: 50 000$ tous les 5 ansFrais annuels d’utilisation par les équipes (revenus): 32 000$Durée de vie utile infinieTaux d’intérêt: 5%

Si la ville prévoit une affluence de 40 000 personnes chaque année, àcombien devrait-elle fixer le prix minimal du billet pour atteindre le seuil de rentabilité?

11



Les revenus et les coûts annuels récurrents:Montant AE

Revenus et coûts annuels récurrentFrais de fonctionnment annuels (120 000 $) (120 000 $)Services publics (13 000 $) (13 000 $)Revenus d'utilisation 32 000 $ 32 000 $Coût net (101 000 $) (101 000 $)

Les coûts non-récurrents:

$AE%)$()i(PAE

,g

)gi(PA)gi(

AP

000 405000 800

:donc 0 ici

11

===

=

−=⇒−

=

$049 9)5 %,5 ,/$(000 50

==

AEFAAE

Le prix par billet:

$.

$(AE)(AE(AEPE

$$$)(AE

753billets 000 40

049$ 150:billetPar

049 150Revenus)Coûts -Revenus)0

049 150049 49000 101Coûts

=

=⇒==

−=−−=

Montant AECoûts d'aménagement du terrain (800 000 $) (40 000 $)Coûts de rénovation (à tous les 5 ans) (50 000 $) (9 049 $)

(49 049 $)



Céramiques Julien utilise depuis 10 ans un pulvérisateur automatique de vernis. L’appareil peut servir pendant 10 ans encore et n’aura aucune valeur économique à la fin de cette période. Ses coûts d’exploitation et d’entretien annuels s’élèvent à 15 000$. Étant donné l’augmentation des ventes, il faut acheter un nouveau pulvérisateur.

Option 1:L’entreprise conserve le pulvérisateur actuel et achète pour la somme de 48 000$ un nouveau pulvérisateur à petite capacité dont la valeur sera de 5 000$ dans 10 ans. Le nouveau pulvérisateur occasionnera des coûts d’exploitation et d’entretien annuels de 12 000$.

Option 2:L’entreprise vend le pulvérisateur actuel et achète un nouveau pulvérisateur à grande capacité pour la somme de 84 000$. La valeur de récupération du nouveau pulvérisateur sera de 9 000$ dans 10 ans et ses coûts d’exploitation et d’entretien annuels seront de 24 000$. La valeur marchande actuelle du pulvérisateur est de 6 000$.

Quelle option devrait-on choisir si le TRAM est de 12%?

12



Option 1 0 1 2 Nouveau pulvérisateur (48 000 $)Valeur de récupérationCoûts exploitation & entretien: Actuel (15 000 $) (15 000 $)Coûts exploitation & entretien: Nouveau (12 000 $) (12 000 $)Flux monétaire net (48 000 $) (27 000 $) (27 000 $)

Option 2 0 1 2 Nouveau pulvérisateur (84 000 $)Valeur de récupération de l'actuel 6 000 $Coûts exploitation & entretien (24 000 $) (24 000 $)Flux monétaire net (78 000 $) (24 000 $) (24 000 $)

9 10

5 000 $(15 000 $) (15 000 $)(12 000 $) (12 000 $)(27 000 $) (22 000 $)

9 10

9 000 $(24 000 $) (24 000 $)(24 000 $) (15 000 $)

……….

……….……….

……….……….……….

Option 1

Méthode du flux monétaire

( ) ( ) ( ) ( )$946 19810 12%, 000$ 22-9 12%, 000 27000 48%12 =−−= ,F/P,A/P$$PE

Option 2

( ) ( ) ( )$087 10210 12%, ,/000$ 15-9 12%, ,/$000 24$000 78%)12( =−−= FPAPPE

PEA(TRAM) > PEB(TRAM)Choisir l’option 1

npv(12,−48000,{−27000,−22000},{9,1}) = −198946

npv(12,−78000,{−24000,−15000},{9,1}) = −210708



Méthode différentielle:Option au plus grand investissement: Option 2Calculer la PE ou le TRI de (Option 2 – Option1):

9 10 3 000 $ 7 000 $…..

…..Option 2 - Option 1 0 1 2 Flux net (30 000 $) 3 000 $ 3 000 $

( ) ( ) ( ) ( )$167 1110 12%, 000$ 79 12%, $000 3$000 30%12%12

12 =++−==

− ,F/P,A/PPETRAM

npv(12,−30000,{3000,7000},{9,1})= −11761

( ) ( ) ( )%.TRI

TRI,F/PTRI,A/PTRIPE132

10 , 000$ 79 , $000 3$000 300

12

12

=⇒++−==

−

−

TRI < TRAM Choisir l’option 1

PE< 0 Choisir l’option 1

irr(−30000,{3000,7000},{9,1})= 2.13

Ou:

13



Une machine commandée par ordinateur âgée de 6 ans a coûté 8 000$ et possède une valeur de récupération actuelle de 1 500$. Si son propriétaire la conserve pendant les 5 prochaines années, ses coûts d’exploitation et d’entretien et sa valeur de récupération prévus seront les suivants:

Coûts Retards causés Valeur den Expl. & Rép. par les pannes récupération1 1 300 $ 600 $ 1 200 $2 1 500 $ 800 $ 1 000 $3 1 700 $ 1 000 $ 500 $4 1 900 $ 1 200 $ 0 $5 2 000 $ 1 400 $ 0 $

On propose de remplacer cette machine par un nouveau modèle mieux conçu coûtant 6 000$. On croit que cet achat éliminera complètement les pannes et les coûts qui en découlent, et que les coûts d’exploitation et de réparation diminueront de 200$ par année. On suppose que l’aspirant a une vie économique de 5 ans (N*) et une valeur de récupération finale de 12%. Devrait-on remplacer la machine maintenant?



Il faut déterminer la vie économique N* du défenseur et comparer l’AECcorrespondant à l’AEC de l’aspirant.

On peut arrêter le calcul à n=2 car l’AEC va en augmentant.N* = 1; AEC = 2 380$

$380 2$900 1$480$900 1

$480$)200 1%(12)1 %,12 ,/$)(200 1$500 1(

=+===

+−=+=

AECACRC

PARCACRCAEC

[ ]

$055 2$890 2$416$089 2)2 %,12 ,/(

2) 12%, ,/$(300 21) 12%, ,/$(900 1$416

$)000 1%(12)2 %,12 ,/$)(000 1$500 1(

=+==

+==

+−=+=

AECPA

FPFPACRC

PARCACRCAEC

n=1 n=2

Coût Expl.n Opportunité (P) S RC & Rép. Retards OC PE(OC) AC AEC0 1 500 $1 1 200 $ 480 $ 1 300 $ 600 $ 1 900 $ 1 900 $ 1 900 $ 2 380 $ N*2 1 000 $ 416 $ 1 500 $ 800 $ 2 300 $ 3 530 $ 2 089 $ 2 505 $

tvm_pmt(1,12,npv(12,-1500, {-1900}),1200)=2380 tvm_pmt(2,12,npv(12,-1500,

{-1900,-2300}),1000)=2505

14



N* de l’aspirant est donné = 5 ans.Il faut calculer l’AEC pour une vie économique de 5 ans:

Coût Expl.n d'acquisition (P) S RC & Rép. Retards OC PE(OC) AC AEC0 6 000 $1 1 100 $ 0 $ 1 100 $2 1 300 $ 0 $ 1 300 $3 1 500 $ 0 $ 1 500 $4 1 700 $ 0 $ 1 700 $5 1 000 $ 1 507 $ 1 800 $ 0 $ 1 800 $ 5 188 $ 1 439 $ 2 946 $

$469 2$439 1$507 1$439 1$166)200$(1.774 100$ 15) 12%, ,1005) 12%, ,/$(200$100 1

$507 1$)000 1%(12)5 %,12 ,/$)(000 1$000 6(

=+==−+=−+=

=+−=

+=

AEC$(A/FGAAC

RCPARC

ACRCAECn=5

On choisit de garder le défenseur pendant encore un an (i.e. jusqu’à la fin de sa vie économique) car: AEC(Défenseur) = 2 380$ < AEC(Aspirant) = 2 946$

tvm_pmt(5,12,npv(12,-6000,{-1100,-1300,-1500,-1700,-1800}),1000)=2946

1

Cours 11Cours 11

L'amortissementL'amortissement



Objectif et contenuObjectif et contenu

Objectif:Maîtriser les techniques d'amortissement afin de calculer les déductions pour amortissement utilisées lors de l'établissement d'un flux monétaire de projet après impôt.

Contenu:Apprendre les différentes méthodes d'amortissementDéfinir le coût amortissable (ou coût de base)Se familiariser avec l'amortissement fiscal

Catégories de déduction pour amortissementRègle de demi-année

Référence:AEI, Chapitre 7

2


DDééprprééciation et amortissementciation et amortissement

Immobilisation

Dépréciation fonctionnelle:Obsolescence due au

changement organisationnelou technologique

Dépréciation physique:Détérioration due à l'usure,

la corrosion, etc.

Amortissement comptable:"Rapprochement" de

l'utilisation d'un bien et des revenus qu'il génère

Amortissement fiscal:Pour fins de calcul de

l'impôt à payer

Prise en charge par amortissement:

Répartition systématique de la

valeur d'une immobilisation sur sa

durée amortissable

Dépréciation économique:

Le prix d'achat moins la valeur marchande


Processus d'amortissementProcessus d'amortissement

1. Est-ce un bien amortissable et quel est son coût amortissable?

2. Quelle est la valeur prévue du bien à la fin de sa vie économique (valeur de récupération)?

3. Quelle est la durée de vie utile?

4. Quelle méthode d'amortissement choisir?

3


Qu'estQu'est--ce qu'un bien amortissable?ce qu'un bien amortissable?

1. Un bien utilisé dans le cadre d'activités économiques ou détenu pour produire des bénéfices.

Principe fiscal important: une activité ou un amortissement sur un bien n'ayant aucune chance de produire des bénéfices n'est pas déductible pour fins d'impôt.

2. Un bien ayant une vie utile définissable et supérieure à une année

3. Un bien qui s'use, se détériore, perdant ainsi de la valeur

Amortissable: équipements, matériel roulant, bâtimentsNon amortissable: terrains


Quel est le coQuel est le coûût amortissable du bien t amortissable du bien àà ddééprpréécier?cier?

Le coût amortissable est le montant sur lequel les déductions pour amortissements sont calculées.

Il peut comprendre:Les coûts des études d'ingénierieLe coût d'acquisition du bienLe coût de transport vers le siteLe coût de préparation du siteLe coût d'installationEt tout autres coûts nécessaires pour rendre le bien fonctionnel.

Il faut déduire de ces coûts:La valeur de reprise d'un équipement existant que le nouvel équipement remplace.Les crédits d'impôts, et autres subventions, offerts pour certains investissements.

4


CoCoûût amortissable: Exemple 7.1t amortissable: Exemple 7.1

La société Lanier achète une machine à poinçonner de 62 500$. Elle paie aussi des frais de transports de 725$, ainsi que les frais de main d'œuvre de 2 150$ pour la faire installer dans son usine. Enfin la préparation du local destiné à la recevoir lui coûte 3 500$. Déterminez le coût amortissable de cette nouvelle machine.Les principes comptables:

Toutes les dépenses engagées pour acquérir et mettre en service sont amortissables.L'amortissement commence seulement lorsque le bien entre effectivement en service

Coût de la machine 62 500 $Transport 725 $Main d'œuvre pour l'installation 2 150 $Préparation du local 3 500 $Coût amortissable 68 875 $


CoCoûût amortissable avec valeur de reprise: Exemple 7.2t amortissable avec valeur de reprise: Exemple 7.2

Supposons que la société Lanier achète la machine à poinçonner moyennant la cession d'une machine similaire et paie comptant le reste du prix d'achat. La valeur de reprise de la vieille machine s'élève à 5 000$ et sa valeur comptable à 4 000$.La valeur comptable (ou "valeur aux livres") est la valeur qui reste à amortir:

Valeur comptable = Coût amortissable initial – Amortissements accumulésLe "gain non constaté" est la différence entre la valeur marchande de la machine et sa valeur comptable:

Gain non constaté = Valeur marchande – Valeur comptable = 1 000$

Coût de la machine 62 500 $Moins: Gain non-constaté (1 000 $)Transport 725 $Main d'œuvre pour l'installation 2 150 $Préparation du local 3 500 $Coût amortissable 67 875 $

Il y a un impact fiscal à un gain (ou un perte) sur disposition qui serait "constaté" en fin de projet. Nous verrons cela la semaine prochaine.

5


Quelles sont la vie utile et la valeur de rQuelles sont la vie utile et la valeur de réécupcupéération? ration?

La vie utile est la période pendant laquelle le bien permet d'atteindre des objectifs économiques.

La valeur de récupération représente le montant pouvant être récupéré lors de la disposition du bien, net des coûts entraînés par la disposition.

ce montant peut même être négatif s'il faut payer plus que le bien vaut pour s'en débarrasser.


Types et mTypes et mééthodes d'amortissementthodes d'amortissement

Types:Amortissement comptable

"Rapprocher" le mieux possible le coût d'un bien les revenus générés par ce bien.Utilisé dans les états financiers publiés dans les rapports annuels, les états financiers internes

Amortissement fiscalAmortissement permis par l'agence du revenu du Canada (ARC) et Revenu Québec en vue du calcul de la déduction pour amortissement (DPA).En général, permet un amortissement plus rapide que l'amortissement comptable au début de la vie d'un bien. Ceci encourage l'investissement par les entreprises.Le gain fiscal ainsi réalisé (qui est en fait une subvention gouvernementale) est rapporté à la rubrique "Impôts reportés" au bilan.

6


Amortissement comptable et amortissement fiscal: ExempleAmortissement comptable et amortissement fiscal: Exemple

Une société achète une machine dont le coût amortissable est de 1 000$. Elle estime sa durée de vie à 10 ans et sa valeur de récupération à 0$.

Pour fins comptables, elle choisit d'utiliser la méthode de l'amortissement linéaire. L'amortissement annuel est donc de (P-S) / N = 1 000$/10 = 100$.Au niveau fiscal, elle doit utiliser la méthode du solde dégressif, dont le taux pour la première année est de 15%. L'amortissement de la première année est donc de 1 000$ x 15% = 150$

Traitement TraitementÉtat des résultats Comptable FiscalRevenus 2 000 $ 2 000 $Dépenses 1 500 $ 1 500 $Bénéfice avant amortissements, intérêts et impôts (BAAII) 500 $ 500 $Amortissement 100 $ 150 $Bénéfice avant intérêts et impôts (BAII) 400 $ 350 $Intérêts 100 $ 100 $Bénéfice avant impôts (BAI) 300 $ 250 $Impôt (20%) 60 $ 50 $Bénéfice net 240 $ 200 $

Impôts exigibles ou courants 50 $Impôts reportés (par différence) 10 $Impôts totaux 60 $


Types et mTypes et mééthodes d'amortissement (suite)thodes d'amortissement (suite)

Méthodes:

Amortissement linéaire

Méthodes d'amortissement accéléré:

Amortissement dégressif à taux constantMéthode utilisée pour le calcul de la déduction fiscale pour amortissement (DPA)

Amortissement proportionnel à l'ordre numérique inverse des années ("Sum-of-Years-Digits" ou SOYD)

Amortissement proportionnel à l'utilisation ("Units of Production" ou "UP")

7


Amortissement linAmortissement linééaire (SL pour "Straight Line")aire (SL pour "Straight Line")

Un montant constant en $ est transformé en dépenses ("passéà la dépense") à chaque année.

( )

nB

nDPDPB

NSP

nD:où

NSPD

n

n

N

nnn

n

n

annéel' à )livres"aux valeur (" comptableValeur

utile Vieonrécupérati deValeur

leamortissabCoût annéel' dent amortissme

1

=

−=−=

====

−=

∑=


Amortissement linAmortissement linééaire: Exemple 7.3aire: Exemple 7.3

Voici les données concernant une automobile.Coût amortissable, P = 10 000$Vie utile, N = 5 ansValeur de récupération, S = 2 000$

Utilisez la méthode de l'amortissement linéaire pour calculer les dotations aux amortissements annuelles (D) et les valeurs comptables (B) qui en résultent.

( ) ( ) an$600 1ans 5

$000 8ans 5

000$ 2-$000 10 /N

SPD ===−

=

Année 1 2 3 4 5B au début 10 000 $ 8 400 $ 6 800 $ 5 200 $ 3 600 $Amortissement (D) 1 600 $ 1 600 $ 1 600 $ 1 600 $ 1 600 $B à la fin 8 400 $ 6 800 $ 5 200 $ 3 600 $ 2 000 $

8


Amortissement dAmortissement déégressif gressif àà taux constanttaux constant(DB pour "(DB pour "Declining Declining Balance")Balance")

La même fraction d de la valeur du bien au début de chaque année est transformée en dépense d'amortissement à chaque année.

( )teurmultiplicaN

d 1=

C'est la méthode autorisée par la loi de l'impôt au Canada, avec un multiplicateur de 1. De plus, pour fins fiscales, on n'aura pas à calculer d, car il nous sera donné par les règles de l'impôt des sociétés.

( )( )

( )[ ]années debout au accumuléent amortisseml'

111

1 1

1

11

nTDBdPTDB

dPBnddPD

dPDN

d

n

nn

nn

nn

=−−=

−=≥−=

=

=

−


Amortissement dAmortissement déégressif gressif àà taux constant: Exemple 7.4taux constant: Exemple 7.4

Voici les données concernant un photocopieur:Coût amortissable, P = 10 000$Vie utile, N = 5 ans

Utilisez la méthode dégressif à taux constant pour calculer les Dn et BnDans ce méthode, nous n'avons pas besoin de connaître S

( )( ) ( )( ) ( )

...etc.ddPD

.ddPD

.dPDN

d

280$ 1 20100$0 21

600$ 1 201000$ 21

000$ 2$000 1020

%20511

2133

122

1

=−=−=

=−=−=

===

===

−

−

Année 1 2 3 4 5B au début 10 000 $ 8 000 $ 6 400 $ 5 120 $ 4 096 $Amortissement (D) 2 000 $ 1 600 $ 1 280 $ 1 024 $ 819 $B à la fin 8 000 $ 6 400 $ 5 120 $ 4 096 $ 3 277 $

9


Comparaison entre amortissement linComparaison entre amortissement linééaireaireet det déégressif gressif àà taux constanttaux constant

P = 100 000$; S = 10 000$, N =10

n B début D B fin B début D B fin1 100 000 $ 9 000 $ 91 000 $ 100 000 $ 10 000 $ 90 000 $2 91 000 $ 9 000 $ 82 000 $ 90 000 $ 9 000 $ 81 000 $3 82 000 $ 9 000 $ 73 000 $ 81 000 $ 8 100 $ 72 900 $4 73 000 $ 9 000 $ 64 000 $ 72 900 $ 7 290 $ 65 610 $5 64 000 $ 9 000 $ 55 000 $ 65 610 $ 6 561 $ 59 049 $6 55 000 $ 9 000 $ 46 000 $ 59 049 $ 5 905 $ 53 144 $7 46 000 $ 9 000 $ 37 000 $ 53 144 $ 5 314 $ 47 830 $8 37 000 $ 9 000 $ 28 000 $ 47 830 $ 4 783 $ 43 047 $9 28 000 $ 9 000 $ 19 000 $ 43 047 $ 4 305 $ 38 742 $

10 19 000 $ 9 000 $ 10 000 $ 38 742 $ 3 874 $ 34 868 $

Linéaire Dégressif à taux constant


Comparaison entre amortissement linComparaison entre amortissement linééaireaireet det déégressif gressif àà taux constanttaux constant

0 $

10 000 $

20 000 $

30 000 $

40 000 $

50 000 $

60 000 $

70 000 $

80 000 $

90 000 $

100 000 $

- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SL DSL B finDB DDB B fin

P = 100 000$; S = 10 000$, N =10

10


Passage de la mPassage de la mééthode DB thode DB àà SLSL

Pour des fins comptables (mais non fiscales), il est permis de passer de la méthode DB à la méthode SL afin d'atteindre, à la fin de vie utile, une valeur comptable égale à la valeur de récupération.On peut faire le changement l'année ou la méthode DB résulte en un amortissement plus petit que le donnerait la méthode SL, si on prenait à ce moment comme valeur initiale la valeur non-amortie avec la méthode DB, moins la valeur de récupération.

Exemple 7.5:Méthode: DB d: 20.0%Année 1 2 3 4 5B au début 10 000 $ 8 000 $ 6 400 $ 5 120 $ 4 096 $Amortissement (D) 2 000 $ 1 600 $ 1 280 $ 1 024 $ 819 $B à la fin 8 000 $ 6 400 $ 5 120 $ 4 096 $ 3 277 $

Méthode: SL d: 20.0%Valeur de récupération: 2 700 $Année 1 2 3 4 5Valeur amortissable 7 300 $ 5 300 $ 3 700 $ 2 420 $ 1 396 $Nombre d'années restantes 5 4 3 2 1Amortissement annuel 1 460 $ 1 325 $ 1 233 $ 1 210 $ 1 396 $

Méthode: DB d: 20.0%Changement à SL à l'année 4Valeur de récupération: 2 700 $Année 1 2 3 4 5B au début 10 000 $ 8 000 $ 6 400 $ 5 120 $ 3 910 $Amortissement (D) 2 000 $ 1 600 $ 1 280 $ 1 210 $ 1 210 $B à la fin 8 000 $ 6 400 $ 5 120 $ 3 910 $ 2 700 $

On veut atteindre une valeur aux livres à la fin des 5 années égale à une valeur de récupération de2 700$ Année du

changement de méthode

1 024$<1 210$


Amortissement proportionnel Amortissement proportionnel àà l'ordre numl'ordre numéérique inverse des rique inverse des annannéées (SOYD)es (SOYD)

Le taux n'est pas constant à chaque année:

( )

( )2

1321

1

+=++++=

−+−

=

NNN...SOYD

SPSOYD

nNDn

Noter que le numérateur est l'inverse du nombre d'années qui restent au début de n. Par exemple si N = 5.

n N-n+11 52 43 34 25 1

Carl Frederick Gauss aurait trouvé la formule de SOYD à l'âge de 5 ans!

C.F. Gauss (1777-1855)

11


Amortissement proportionnel Amortissement proportionnel àà l'ordre numl'ordre numéérique inverse des rique inverse des annannéées (SOYD): Exemple 7.7es (SOYD): Exemple 7.7

Calculer le calendrier d'amortissement selon la méthode SOYD en utilisant les données suivantes:

Coût amortissable:P = 10 000$Vie utile:N = 5 ansValeur de récupération:S = 2 000$

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) $000 215

151000 2000$ 10

11

000$ 2000$ 1015

151

152

1552

1321

1

1

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+−

−−=

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+−

−−=

−+−

=−+−

=

=+

=+

=++++=

∑

∑

=

=

n

nn

n

nn

n

n$B

SSOYD

nNSPB

nSPSOYD

nND

NNN...SOYD

Année 1 2 3 4 5N-n+1 5 4 3 2 1SOYD 15 15 15 15 15Fraction amortie 5/15 4/15 3/15 2/15 1/15B au début 10 000 $ 7 333 $ 5 200 $ 3 600 $ 2 533 $Amortissement (D) 2 667 $ 2 133 $ 1 600 $ 1 067 $ 533 $B à la fin 7 333 $ 5 200 $ 3 600 $ 2 533 $ 2 000 $


Amortissement proportionnel Amortissement proportionnel àà l'utilisationl'utilisation

L'utilisation annuelle du bien pour générer des revenus est divisée par l'utilisation prévue du bien durant sa vie utile. Ceci est permis, dans certains cas, par la loi de l'impôt.

( )SPeuvreunités d'oTotal des

ommées à neuvre consUnités d'oDn −=

Exemple 7.8: On estime à 55 000$ le coût initial d'un camion servant àtransporter du charbon, et à 250 000, le nombre de kilomètres qu'il parcourra durant sa vie utile; aux termes de celles-ci, sa valeur de récupération atteindra 5 000$. Calculez la dotation aux amortissements de l'année au cours de laquelle le camion a roulé 30 000 kilomètres.

( ) ( )

000$ 6

000$ 50253$000 5000$ 55

km 000 250km 000 30

=

=−=nD

12


L'amortissement fiscal: terminologieL'amortissement fiscal: terminologie

Produit de disposition (PD)Valeur de récupération

Fraction non amortie du coût en capital (FNACC)

Valeur comptable, valeur aux livres

Coût en capital (CC)Coût amortissable

Déduction pour amortissement (DPA)Amortissement

BienÉlément d'actif

Amortissement fiscalAmortissement comptable


Amortissement fiscal: MAmortissement fiscal: Mééthodethode

Au Canada, l'amortissement fiscal est basé sur la méthode de l'amortissement dégressif à taux constant.

Le taux d est spécifié en fonction de la catégorie de biens (voir page suivante). Aucun calcul de d à faire.

Pas d'hypothèse à faire sur la valeur de récupérationSi la valeur de récupération excède la FNACC (i.e. le montant qui reste à amortir) , il y aura de l'impôt à payer sur le gain. (ou à récupérer sur le gain). Explications au prochain cours…

13


CatCatéégories et tauxgories et taux

Résumé des principales catégories seulement. Voir tableau 7.1 pour les autres

30%Équipement de construction mobile, camions de livraison38

30%Automobiles, camions, matériel roulant10

30%Équipements de fabrication acquis après le 25 février 199243

44

8

6

1

Catégorie

25%Brevets et licences

20%Meubles, équipements de bureau, équipements non utilisés pour la fabrication

10%Bâtiments en bois, métal ondulé

4%Bâtiments en brique, pierre, ciment y compris toutes leurs parties constituantes (électricité, mécanique) acquis après 1987

Taux (d)Description


RRèègle de la demigle de la demi--annannééee

Afin de tenir compte du fait que les biens sont acquis àdifférents moments dans l'année. La première année donne droit à seulement 50% de la DPA calculé par la méthode dégressive à taux constant.Exception: si le bien a été acquis plus de 358 jours avant sa mise en service, la règle du 50% ne s'applique pas.Certaines catégories de biens ne sont pas soumises non plus àcette règle par exemple:

Matériel destiné à prévenir, diminuer ou éliminer la pollution de l'eau ou de l'airMatériel de génération électrique et de production ou de distribution d'énergie thermique:

Année 1: 25% x P; Année 2: 50% x P; Année 3: 25% x P.

14


Formules pour le calcul de la DPAFormules pour le calcul de la DPA

Sauf indication contraire, les formules pour le calcul de la DPA sont les formules de la méthode d’amortissement DB, modifiées pour tenir compte de la règle de demi-année.

Si la règle de demi-année s’applique

Si la règle de demi-année ne s’applique pas

( )( )nn

nn

dPFNACC

nddPDPA

−=

≥−= −

1

1 1 1

( )( )( )( )( ) 1

1

21

121

211 121

2

−

−

−−=

−=≥−−=

=

nn

nn

ddPFNACC

dPFNACCndddPDPA

dPDPA

Au lieu d’utiliser ces formules, il vaut mieux faire le tableau de la DPA et de la FNACC au long. C’est plus simple et, en bout de ligne, plus rapide.


Tableau de la DPA et de la FNACC: ExempleTableau de la DPA et de la FNACC: Exemple

Machine-outil achetée 100 000$Catégorie: 43, d =30% (donné par la loi de l’impôt, pas de calcul à faire)Période d’analyse du projet: 5 ans.Pas d’hypothèse à faire sur S

Méthode: DB d: 30.0%

Année 1 2 3 4 5 Taux d'amortissement 15.0% 30.0% 30% 30% 30%FNACC au début 100 000 $ 85 000 $ 59 500 $ 41 650 $ 29 155 $DPA de l'année 15 000 $ 25 500 $ 17 850 $ 12 495 $ 8 747 $FNACC à la fin 85 000 $ 59 500 $ 41 650 $ 29 155 $ 20 409 $

Règle de demi-annéeDPAn = FNACCn-1 d

FNACCn = FNACCn-1 - DPAn

15


Rajustement relatifRajustement relatif

Lorsqu'on prolonge la vie utile d'un équipement:

Amortissement comptable:Nouveau coût amortissable =coût non amorti + coût de l'amélioration

Amortissement fiscal:Voir un fiscaliste!


Amortissement fiscal: Exercice 7.28Amortissement fiscal: Exercice 7.28

Le 9 juillet 1996, à l'occasion d'une vente de faillite, la société Tissofil Ltée achète un métier à fuseaux usagé, qu'elle paie 34 000$. Le métier n'est installé dans l'usine que le 12 janvier 1999. Calculez la DPA et la FNACC relatives à cette machine appartenant à la catégorie 43, pour une période de 5 ans, commençant l'année oùelle est devenue prête à mettre en service.

P = 34 000$; Catégorie 43: d = 30%Entrée en service plus de 358 jours après son acquisition la règle du 50% ne s'applique pas à la première année

Si le métier était entré en service moins de 358 jours après son acquisition, la règle du 50% ce serait appliquée pour la première année:

Année 1 2 3 4 5FNACC au début 34 000 $ 23 800 $ 16 660 $ 11 662 $ 8 163 $DPA 10 200 $ 7 140 $ 4 998 $ 3 499 $ 2 449 $FNACC à la fin 23 800 $ 16 660 $ 11 662 $ 8 163 $ 5 714 $

Année 1 2 3 4 5FNACC au début 34 000 $ 28 900 $ 20 230 $ 14 161 $ 9 913 $DPA 5 100 $ 8 670 $ 6 069 $ 4 248 $ 2 974 $FNACC à la fin 28 900 $ 20 230 $ 14 161 $ 9 913 $ 6 939 $

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Amortissement fiscal: Traitement d'un bien qui en remplace un Amortissement fiscal: Traitement d'un bien qui en remplace un autre de la même catautre de la même catéégorie fiscalegorie fiscale

Pas de panique!!! C'est plus simple qu'il n'y paraît!


Le traitement d'un bien qui en remplace un autre de même Le traitement d'un bien qui en remplace un autre de même catcatéégorie fiscale: Un exemplegorie fiscale: Un exemple

Un projet d'une durée de 6 ans nécessitera l'équipement suivant:Une machine d'un coût de 10 000$ dont la durée de vie utile est de 3 ans, au terme des quelles sa valeur de disposition sera de 2 000$Une deuxième machine, pour remplacer la première, au coût de 12 000$, achetée à la fin de la troisième année. Les deux machines appartiennent à la même catégorie fiscale (cat. 43) dont le taux d'amortissement selon la méthode du solde dégressif est de d = 30%.

Dressez le tableau de la FNACC et de la DPA pour chacune des 6 années du projet.

1. Faire le tableau de la FNACC et de la DPA de la première machine:Année 1 2 3Taux de DPA 15% 30% 30%FNACC au début 10 000 $ 8 500 $ 5 950 $DPA 1 500 $ 2 550 $ 1 785 $FNACC à la fin 8 500 $ 5 950 $ 4 165 $

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Le traitement d'un bien qui en remplace un autre de même Le traitement d'un bien qui en remplace un autre de même catcatéégorie fiscale: Un exemplegorie fiscale: Un exemple

2. Calculer la DPA de l'année 4:

3. Compléter le tableau de FNACC et DPA jusqu'à la fin du projet, selon la méthode habituelle:

Note: La disposition de la deuxième machine pourrait donner lieu, en fin de projet, àune perte ou un gain fiscal qui serait calculé relativement à la FNACC finale de5 594$. Nous verrons cela la semaine prochaine.

Année 1 2 3 4 5 6Taux de DPA 15% 30% 30% Mixte 30% 30%FNACC au début 10 000 $ 8 500 $ 5 950 $ 14 165 $ 11 416 $ 7 991 $DPA 1 500 $ 2 550 $ 1 785 $ 2 750 $ 3 425 $ 2 397 $FNACC à la fin 8 500 $ 5 950 $ 4 165 $ 11 416 $ 7 991 $ 5 594 $

Acquisitions Moins:

Dispositions FNACC au

début Taux DPASur les acquisitions nettes de l'année 12 000 $ (2 000 $) 10 000 $ 15% 1 500 $Sur le reste de la catégorie 4 165 $ 30% 1 250 $Total 14 165 $ 2 750 $


Travaux pratiquesTravaux pratiques

7.6 Rép: 1 591 500$7.12 Rép: a) 15; b) 3 333$; c) 2 667$7.16 Rép: 57 600$7.21 Rép: Changement de méthode année 4, D4 à D7 = 2 723$7.23 Rép: a) 3 400$; b: 8 000$, 4 800$, 2 880$, 1 320$, 0$; c) 5 667$,

4 533$, 3 400$, 2 267$, 1 133$7.30 Rép: a) Tour: 7 500$, 6 250$; Camion: 2 530$, 2 875$;

Bâtiment: 14 000$, 14 000$; Photocopieur: 13 333$, 10 666$b) Tour: 6 750$, 11 475$; Camion: 3 750$, 6 375$;Bâtiment: 16 000$, 31 360$; Photocopieur: 4 000$, 7 200$c) Passer à SL à l'année 9 – 1 866$/an

7.38 Rép: a) 32 000$/an; b) 525 000$; c) 23 333$

Bonne fin de semaine à tous!

1





Pour automatiser l'un de ses processus de fabrication, la sociétéWaterloo achète trois cellules flexibles coûtant 500 000$ chacune. À la livraison, la société paie des frais de transport et de manutention s'élevant respectivement à 25 000$ et 12 000$. La préparation du site coûte 35 000$. Six contremaîtres, gagnant chacun 15$ de l'heure, passent 5 semaines de 40 heures à installer et tester les cellules flexibles. Enfin des fils électriques spéciaux et d'autres matériaux nécessaires aux nouvelles cellules coûtent 1 500$. Déterminez le coût amortissable de ces cellules.

Prix unitaire TotalCellules flexibles 3 500 000 $ 1 500 000 $Transport et manutention 1 37 000 $ 37 000 $Préparation du site 1 35 000 $ 35 000 $Temps des contremaîres 1 200 heures 15 $ 18 000 $Fils électriques et autres 1 1 500 $ 1 500 $Coût amortissable total 1 591 500 $

Qté

2



Calculez le calendrier d'amortissement de l'élément d'actif suivant. On utilise l'amortissement proportionnel à l'ordre numérique inversé des années (SOYD).

Coût de l'élément d'actif, P = 12 000$Vie utile, N = 5 ansValeur de récupération, S = 2 000$.

a) Quel est le dénominateur de la fraction servant à calculer l'amortissement?

b) Quelle est la dotation aux amortissements de la première année complète d'utilisation?

c) Quelle est la valeur comptable de l'élément d'actif à la fin de la quatrième année?



N

Valeur aux livres au

début Fraction amortieAmortissement

de l'annéeValeur aux

livres à la fin1 12 000 $ 5/15 3 333 $ 8 667 $2 8 667 $ 4/15 2 667 $ 6 000 $3 6 000 $ 3/15 2 000 $ 4 000 $4 4 000 $ 2/15 1 333 $ 2 667 $5 2 667 $ 1/15 667 $ 2 000 $

15/15 10 000 $

a) le dénominateur:( ) ( ) 15

265

21

==+

=NNSOYD

b) Amortissement de la première année

c) Valeur à la fin de la 4e année

( ) $667 2$000 215141$000 10

11 1 =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+−

−−=∑= S

SOYD

nNSPB

n

nn

( )

( ) $333 3$000 2$000 1215

115

1

=−+−

=

−+−

= SPSOYD

nNDn

3



Un appareil appartient à la catégorie 8 de DPA, Calculez la fraction non amortie du coût de capital (FNACC) au bout de 3 ans. Le coût en capital se chiffre à 100 000$.

d 20%

N


débutAmortissement

de l'annéeValeur aux livres

à la fin1 100 000 $ 10 000 $ 90 000 $2 90 000 $ 18 000 $ 72 000 $3 72 000 $ 14 400 $ 57 600 $

( )

( ) $600 572012201$000 100

12

1

2

1

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= −

..

ddPB nn

Règle du 50%

( )dBD nn 1−=



Voici les données concernant un élément d'actif:Coût de l'élément d'actif, P = 30 000$Vie utile, N = 7 ansValeur de récupération, S = 8 000$

Appliquez la méthode DB avec passage à la méthode SL, si nécessaire, pour calculer les dotations aux amortissements annuelles et les valeurs comptables qui en résultent.

4


N B au début Amortissement1 30 000 $ 3 143 $2 25 714 $ 2 952 $3 22 041 $ 2 808 $4 18 892 $ 2 723 $5 16 193 $ 2 731 $6 13 880 $ 2 940 $7 11 897 $ 3 897 $

Méthode SL


Selon la méthode DB, la valeur comptable n'atteindra pas la valeur de récupération à la fin de la vie utile de 7 ans:

N B au début Amortissement B fin1 30 000 $ 4 286 $ 25 714 $2 25 714 $ 3 673 $ 22 041 $3 22 041 $ 3 149 $ 18 892 $4 18 892 $ 2 699 $ 16 193 $5 16 193 $ 2 313 $ 13 880 $6 13 880 $ 1 983 $ 11 897 $7 11 897 $ 1 700 $ 10 198 $

Méthode DB

Étape 1: trouver l'année où l'amortissement calculé avec la méthode SL en prenant comme valeur initiale le solde selon la méthode DB devient plus grand que l'amortissement que celui calculé avec la méthode DB:

( ) 23$7 24

$000 8-92$8 81==D

4 = Année où l'amortissement SL > DB



Étape 2: Passer de DB à SL à partir de l'année 4:

N B au début Amortissement B fin1 30 000 $ 4 286 $ 25 714 $2 25 714 $ 3 673 $ 22 041 $3 22 041 $ 3 149 $ 18 892 $4 18 892 $ 2 723 $ 16 169 $5 16 169 $ 2 723 $ 13 446 $6 13 446 $ 2 723 $ 10 723 $7 10 723 $ 2 723 $ 8 000 $

Méthode DB 1 à 3; Méthode SL 4 à 7

Valeur comptable = S à la fin de la vie utile

5



La société Upjohn achète du matériel d'emballage dont la vie utile est estimée à 5 ans. Son coût est de 20 000$ et sa valeur de récupération estimative au bout de 5 ans est de 3 000$. Calculez la dotation aux amortissements pour chacune des 5 années de vie utile du matériel, selon les méthodes comptables suivantes:

a) Linéaire

b) Dégressif à taux double. (La cinquième année limitez la dotation aux amortissements à un montant tel que, à la fin de l'exercice, la valeur comptable du matériel soit égale à la valeur de récupération de 3 000$).

c) Proportionnel à l'ordre inverse des années (SOYD)



a) Méthode SLN


débutAmortissement


à la fin1 20 000 $ 3 400 $ 16 600 $2 16 600 $ 3 400 $ 13 200 $3 13 200 $ 3 400 $ 9 800 $4 9 800 $ 3 400 $ 6 400 $5 6 400 $ 3 400 $ 3 000 $

b) Méthode DDB

c) Méthode SOYD

N


débutAmortissement


à la fin1 20 000 $ 8 000 $ 12 000 $2 12 000 $ 4 800 $ 7 200 $3 7 200 $ 2 880 $ 4 320 $4 4 320 $ 1 320 $ 3 000 $5 3 000 $ 0 $ 3 000 $

N


début Fraction amortieAmortissement

de l'annéeValeur aux

livres à la fin1 20 000 $ 5/15 5 667 $ 14 333 $2 14 333 $ 4/15 4 533 $ 9 800 $3 9 800 $ 3/15 3 400 $ 6 400 $4 6 400 $ 2/15 2 267 $ 4 133 $5 4 133 $ 1/15 1 133 $ 3 000 $

( ) 000$ 17 $000 3-$000 20:amortiMontant

201

==−

==

SP

%N

d

$000 20:amortiMontant

4022012

=

=×=×=

=⇒

P

%%teurmultiplicaN

d

teurmultiplicaDDB

( ) 000$ 17 $000 3-$000 20:amortiMontant

15

==−

=

SP

SOYD

Arrêt àl'année 4

6



Une société de fabrication acquiert quatre éléments d'actifs:Tour Camion Bâtiment Photocopieur

Coût initial 45 000 $ 25 000 $ 800 000 $ 40 000 $Durée amortissable 12 ans 200 000 km 50 ans 5 ansCatégorie de DPA 43 10 1 8Valeur de récupération 3 000 $ 2 000 $ 100 000 $ 0 $Amortissement comptable DDB UP SL SOYD

À des fins comptables, on utilise pour le camion l'amortissement proportionnel à l'utilisation (UP). La première et la deuxième année, ce dernier parcourt 22 000 km et 25 000 km respectivement.

a) Pour chacun des éléments d'actif, calculez l'amortissement comptable des 2 premières années.

b) Pour chacun des éléments d'actif, calculez la déduction pour amortissement (DPA) des 2 premières années.

c) Supposons que, durant les premières années, on applique au tour la méthode DDB puis qu'on passe à la méthode SL pour le reste de la vie utile. Quand le changement doit-il avoir lieu?



a) L'amortissement comptable des 2 premières années.

b) DPA des 2 premières années.La règle du 50% s'applique pour l'année 1

Tour Camion Bâtiment PhotocopieurMéthode DB DB DB DBP 45 000 $ 25 000 $ 800 000 $ 40 000 $S sans objet sans objet sans objet sans objetMontant à amortir 45 000 $ 25 000 $ 800 000 $ 40 000 $Taux d'amortissement 15.00% 15.00% 2.00% 10.00%DPA 6 750 $ 3 750 $ 16 000 $ 4 000 $FNACC 38 250 $ 21 250 $ 784 000 $ 36 000 $Taux d'amortissement 30.00% 30.00% 4.00% 20.00%DPA 11 475 $ 6 375 $ 31 360 $ 7 200 $FNACC 26 775 $ 14 875 $ 752 640 $ 28 800 $

année 1

année 2

Tour Camion Bâtiment PhotocopieurMéthode DDB UP SL SOYDP 45 000 $ 25 000 $ 800 000 $ 40 000 $S sans objet 2 000 $ 100 000 $ 0 $Montant à amortir 45 000 $ 23 000 $ 700 000 $ 40 000 $Taux d'amortissement 16.67% 0.115$/km 2.00% 5/15Amortissement année 7 500 $ 2 530 $ 14 000 $ 13 333 $Valeur aux livres à la f in 37 500 $ 22 470 $ 786 000 $ 26 667 $Taux d'amortissement 16.67% 0.115$/km 2.0% 4/15Amortissement année 6 250 $ 2 875 $ 14 000 $ 10 667 $Valeur aux livres à la f in 31 250 $ 19 595 $ 772 000 $ 16 000 $

année 1

année 2

7


Exercice 7.30Exercice 7.30c) Passage de DDB à SL

Année où amortissement SL > amortissement DB = Année 9Année B au début Amortissement B à la fin Montant à amortir Amortissement

1 45 000 $ 7 500 $ 37 500 $ 42 000 $ 3 500 $2 37 500 $ 6 250 $ 31 250 $ 34 500 $ 3 136 $3 31 250 $ 5 208 $ 26 042 $ 28 250 $ 2 825 $4 26 042 $ 4 340 $ 21 701 $ 23 042 $ 2 560 $5 21 701 $ 3 617 $ 18 084 $ 18 701 $ 2 338 $6 18 084 $ 3 014 $ 15 070 $ 15 084 $ 2 155 $7 15 070 $ 2 512 $ 12 559 $ 12 070 $ 2 012 $8 12 559 $ 2 093 $ 10 466 $ 9 559 $ 1 912 $9 10 466 $ 1 744 $ 8 721 $ 7 466 $ 1 866 $10 8 721 $ 1 454 $ 7 268 $ 5 721 $ 1 907 $11 7 268 $ 1 211 $ 6 056 $ 4 268 $ 2 134 $12 6 056 $ 1 009 $ 5 047 $ 3 056 $ 3 056 $

DDB SL

Calendrier d'amortissement modifié:Année Méthode B au début Amortissement B à la fin

1 DDB 45 000 $ 7 500 $ 37 500 $2 DDB 37 500 $ 6 250 $ 31 250 $3 DDB 31 250 $ 5 208 $ 26 042 $4 DDB 26 042 $ 4 340 $ 21 701 $5 DDB 21 701 $ 3 617 $ 18 084 $6 DDB 18 084 $ 3 014 $ 15 070 $7 DDB 15 070 $ 2 512 $ 12 559 $8 DDB 12 559 $ 2 093 $ 10 466 $9 SL 10 466 $ 1 866 $ 8 599 $10 SL 8 599 $ 1 866 $ 6 733 $11 SL 6 733 $ 1 866 $ 4 866 $12 SL 4 866 $ 1 866 $ 3 000 $


Exercice7.38Exercice7.38

Il y a 25 ans, l'entreprise Construction Picard a acheté un bâtiment de 1 200 000$ devant servir d'entrepôt. Des réparations structurales totalisant 125 000$ ont été achevées au début de l'année en cours. On estime qu'elles prolongeront de 10 ans la vie utile estimative du bâtiment, dont le coût a été amorti selon la méthode de l'amortissement linéaire. Comme on prévoit que sa valeur de récupération sera négligeable, on n'en tient aucun compte. Par ailleurs, la valeur comptable du bâtiment avant les réparations s'élevait à 400 000$.

a) À combien s'élevait la dotation aux amortissements des années passées?

b) À combien se chiffre la valeur comptable du bâtiment après la comptabilisation des réparations?

c) À combien se chiffre la dotation aux amortissements de l'année en cours selon la méthode de l'amortissement linéaire?

8



a) la dotation aux amortissements des années passées

$000 3225

$000 800

$000 800 52 000$; 004 000$; 200 1

==−

=

=−====

NBPannuelentAmortissem

BPaccumuléentAmortissemNBP

b) Valeur comptable après réparations

000$ 525000$ 512000$ 400000 125 000$; 004

=+===

tablealeur compNouvelle v$sRéparationB

c) Amortissement pour l'année en cours

333$ 3222.5

$000 525ans 52210512

ans 512$000 32

000$ 004

===

=+=

===

NPD

..rationsaprès répatetanresVie utile

.DBrationsavant répatetanresVie utile

1

Cours 12Cours 12L'analyse de rentabilitL'analyse de rentabilitééapraprèès impôts impôt

Louis Parent, Louis Parent, inging. MBA. MBA

2GIA 400 – Cours 12 2

Un mot cUn mot cééllèèbrebre

« Il n'y a que deux choses qui soient certaines en ce bas-monde: la mort et les taxes. »

- Benjamin Franklin

Benjamin Franklin (1706 -1790)

2

3GIA 400 – Cours 12 3

ObjectifsObjectifs

Revoir le calcul du bénéfice imposable

Se familiariser avec le calcul de l'impôt des sociétés surLes bénéfices ou pertes d'exploitationLes gains ou pertes en capital

Apprendre comment tenir compte de l'impôt dans le calcul du flux monétaire d'un projet

Apprendre à présenter les flux monétaires de projet selon les règles de l'art

Référence: AEI, Chapitre 8 et 9

4GIA 400 – Cours 12 4

Les fondements de l'impôt sur le revenu des sociLes fondements de l'impôt sur le revenu des sociééttééss

Le principe de base:Impôt sur les bénéfices = Bénéfice imposable x Taux d'imposition

Les taux actuellement en vigueur (les taux "statutaires") au Québec sont les suivants:

Fédéral Québec CombinéTaux de base 16,5% 11,9% 28,4%Déduction petite entreprise* 5,5% 3,9% 9,4%Taux de petite entreprise 11,0% 8,0% 19,0%

* Bénéfice imposable de moins de 500 K$

Taux d'imposition combinés des sociétés actives pour 2011

3

5GIA 400 – Cours 12 5

Lexique des taux d'impôtLexique des taux d'impôt

Le taux d'impôt moyen ou effectif:

Le taux d'impôt marginal:

Le taux d'impôt différentiel pour l'investissement:

mposableBénéfice ipayét d'impôt tanMonteffectif =

$ 1osable revenu impérieur au sup

rochain $r sur le ppôt à payeImt inalargm =

Avant l'investissement

Après l'investissement

Taux différentiel

Bénéfice imposable 70 000 $ 95 000 $ 25 000 $Impôts à payer 24 500 $ 35 250 $ 10 750 $Taux effectif 35.00% 37.11% 43.00%

6GIA 400 – Cours 12 6

Calcul du bCalcul du béénnééfice imposable et du bfice imposable et du béénnééfice netfice net

État des Résultats du Projet (ER)

Revenus (Produits) $Moins: Dépenses (Charges)

Coût des produits vendus $Autres dépenses d'exploitation $Déduction pour amortissement (DPA) $Intérêts sur la dette $

Bénéfice imposable $Moins: Impôt sur le revenu $Bénéfice net $

4

7GIA 400 – Cours 12 7

Calcul du bCalcul du béénnééfice imposable et du bfice imposable et du béénnééfice net: Exemple 8.3fice net: Exemple 8.3

Une entreprise achète une machine à commande numérique au coût de 40 000$ (année 0) et l'utilise pendant 5 ans. Elle classe ce bien dans la catégorie 43 de DPA. Par conséquent son amortissement selon la méthode DB est de 30%. La règle du 50% s'applique pour la première année. La DPA de la première année est donc de 6 000$ (40 000$ x 30% x 50%). Supposons que l'entreprise prévoie les revenus et coûts suivants pour la première année d'exploitation:

Si le taux d'impôt s'appliquant au projet est de 40%, quel est le bénéfice net du projet pour la première année?

Revenus 52 000 $Coûts des produits vendus 20 000 $Charges d'exploitation 5 000 $DPA pour la machine 6 000 $

8GIA 400 – Cours 12 8

Calcul du bCalcul du béénnééfice imposable et du bfice imposable et du béénnééfice net: Exemple 8.3fice net: Exemple 8.3

La machine a été achetée à l'année 0, ce qui correspond au début de l'année 1. Cependant on ne compte pas comme dépense de l'année 1 son coût total.On compte plutôt comme dépense l'amortissement – qu'il soit comptable ou fiscal – qui fait correspondre les revenus annuels à un "épuisement graduel" de la machine durant cette période.

État des résultats du projetAnnée 1

Revenus (Produits) 52 000 $Moins: Dépenses (Charges)

Coût des produits vendus 20 000 $Autres dépenses d'exploitation 5 000 $Déduction pour amortissement (DPA) 6 000 $Intérêts sur la dette 0 $

Bénéfice imposable 21 000 $Moins: Impôt sur le revenu (40%) 8 400 $Bénéfice net 12 600 $

5

9GIA 400 – Cours 12 9

BBéénnééfice net et flux monfice net et flux monéétairetaire

Le bénéfice net comprend une dépense pour amortissement qui n'est pas un flux monétaire. C'est pourquoi ce type de dépense est souvent appelé une "dépense hors-caisse".Comme la rentabilité d'un projet (comme celle de n'importe quel investissement) s'évalue toujours sur la base de son flux monétaire, il nous faut donc réconcilier le bénéfice net et le flux monétaire du projet:

RésutatsAnnée 1 Année 0 Année 1

Revenus (Produits) 52 000 $ 52 000 $Moins: Dépenses (Charges)

Coût des produits vendus 20 000 $ (20 000 $)Autres dépenses d'exploitation 5 000 $ (5 000 $)Déduction pour amort issement (DPA) 6 000 $Intérêts sur la dette 0 $

Bénéfice imposable 21 000 $Moins: Impôt sur le revenu (40%) 8 400 $ (8 400 $)Bénéfice net 12 600 $Achat de la machine (40 000 $)Flux monétaire net (40 000 $) 18 600 $

Flux monétaire

10GIA 400 – Cours 12 10

BBéénnééfice net et flux monfice net et flux monéétaire: la prtaire: la préésentation standardsentation standard

Année 0 1 2 3…

État des résultatsRevenus (Produits) 52 000 $ 52 000 $Moins: Dépenses (Charges)

Coût des produits vendus 20 000 $ 20 000 $Autres dépenses d'exploitation 5 000 $ 5 000 $Déduction pour amortissement (DPA) 6 000 $ 10 200 $Intérêts sur la dette à venir à venir

Bénéfice imposable 21 000 $ 16 800 $Moins: Impôt sur le revenu (40%) 8 400 $ 6 720 $Bénéfice net 12 600 $ 10 080 $


Bénéfice net 12 600 $ 10 080 $Plus: DPA 6 000 $ 10 200 $

18 600 $ 20 280 $Investissement

Achat de la machine (40 000 $)Fonds de roulement à venir à venir à venir

FinancementDette à venir à venir à venir

Flux monétaire net (40 000 $) 18 600 $ 20 280 $

6

11GIA 400 – Cours 12 11

Que faire avec les pertes Que faire avec les pertes …… et les impôts net les impôts néégatifs?gatifs?

Normalement, une entreprise peut reporter une perte d'exploitation de la manière suivante:

Sur les bénéfices des 3 années précédentes – en commençant par la plus ancienne – auquel cas elle obtiendra un remboursement des impôts passésSi les bénéfices passés sont insuffisants pour essuyer la perte, on peut la reporter sur les 7 années suivantes.

Dans notre cours, comme c'est souvent le cas en pratique, on supposera que les pertes d'un projet peuvent être appliquées contre les bénéfices générées par d'autres activités de l'entreprise, venant ainsi réduire l'impôt à payer par les activités consolidées de la société.

Un impôt négatif sera donc considéré comme un flux monétaire positif pour le projet.

12GIA 400 – Cours 12 12

Pertes et impôts nPertes et impôts néégatifs: Exemplegatifs: ExempleAnnée 0 1 2 3…

État des résultatsRevenus (Produits) 10 000 $ 52 000 $Moins: Dépenses (Charges)

Coût des produits vendus 5 000 $ 20 000 $Autres dépenses d'exploitation 5 000 $ 5 000 $Déduction pour amortissement (DPA) 6 000 $ 10 200 $Intérêts sur la dette à venir à venir

Bénéfice imposable (6 000 $) 16 800 $Moins: Impôt sur le revenu (40%) (2 400 $) 6 720 $Bénéfice net (3 600 $) 10 080 $


Bénéfice net (3 600 $) 10 080 $Plus: DPA 6 000 $ 10 200 $

2 400 $ 20 280 $Investissement

Achat de la machine (40 000 $)Fonds de roulement à venir à venir à venir

FinancementDette à venir à venir à venir

Flux monétaire net (40 000 $) 2 400 $ 20 280 $

7

13GIA 400 – Cours 12 13

Effet fiscal de la disposition de biens en capital (Effet fiscal de la disposition de biens en capital (GG))

P

FNACC

DPAaccumulée

( ) ( ) ( ) ( )tFNACCPt.PSGFNACCPS

5 −+−=>>

Gain en capital imposé à 50% du taux d'impôt +Récupération de toutes les économies d'impôts résultant de la DPA réclamée depuis le début.

Gain en capital

S

( ) ( )tFNACCSGFNACCSP

−=>>

Il y a de l'impôt à payer: la DPA réclamée était trop grande en regard de la véritable valeur marchande du bien lors de sa disposition. L'impôt vise à récupérer la réduction d'impôt résultant de la DPA réclamée en trop depuis le début.

S

( ) ( )tFNACCSGFNACCS

−=<

Il y a un bénéfice fiscal à la disposition: la DPA était insuffisante pour amener le bien à sa valeur marchande lors de sa disposition.

S

14GIA 400 – Cours 12 14

Effet fiscal de la disposition de biens en capital (Effet fiscal de la disposition de biens en capital (GG): Exemple 8.7): Exemple 8.7

Une entreprise a achetée une perceuse à colonne au coût de 250 000$. La perceuse est classée dans la catégorie 43 (d = 30%). Si elle vend la machine au bout de 3 ans, calculez l'effet fiscal de la disposition et la valeur de récupération nette pour chacune des quatre valeurs de récupération suivantes:a) 150 000$; b) 104 125$; c) 90 000$; d) 270 000$Le taux d'impôt de l'entreprise est de 40% et les gains de capital sont imposés à 50% de ce taux, c'est-à-dire 20%.

La première chose à faire est de calculer la FNACC à la fin de la troisième année (104 125$):

Année 1 2 3Taux de DPA 15% 30% 30%FNACC au début 250 000 $ 212 500 $ 148 750 $DPA 37 500 $ 63 750 $ 44 625 $FNACC à la fin 212 500 $ 148 750 $ 104 125 $

8

15GIA 400 – Cours 12 15


a) S = 150 000$

( )( ) ( )( ) $350 184125$ 104000$ 150 =−=−=>>

.tFNACCSGFNACCSP

• Ceci est un impôt à payer, donc le flux monétaire est de -18 350$• La valeur de récupération nette, NS, est de:

650$ 131350$ 18000$ 150 =−=+=

NSGSNS

b) S = 104 125$

125$ 1040

====

SNS$G

FNACCS

16GIA 400 – Cours 12 16


c) S = 90 000$

( )( ) ( )( ) $650 54125$ 104000$ 90 −=−=−=<

.tFNACCSGFNACCS

• Ceci est un crédit d'impôt, donc le flux monétaire est de +5 650$• La valeur de récupération nette, NS, est de:

650$ 59$650 5000$ 90 =+=+=

NSGSNS

d) S = 270 000$

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

350$ 62350$ 85000$ 44125$ 104000$ 25045000$ 250000$ 270

5

=+=−+−=

−+−=>>

G...G

tFNACCPt.PSGFNACCPS

650$ 207$350 26$000 702 =−=+=

NSGSNS

• Ceci est un impôt à payer, donc le flux monétaire est de - 62 350$• La valeur de récupération nette, NS, est de:

9

17GIA 400 – Cours 12 17

Traitement fiscal d'un remplacementTraitement fiscal d'un remplacement

Revenons à l'exemple donné au dernier cours (p. 31):Un projet d'une durée de 6 ans nécessitera l'équipement suivant:

Une machine d'un coût de 10 000$ dont la durée de vie utile est de 3 ans, au terme des quelles sa valeur de disposition sera de 2 000$Une deuxième machine, pour remplacer la première, au coût de 12 000$, achetée à la fin de la troisième année. Cette machine aura une valeur de disposition de 3 000$ à la fin du projet.Les deux machines appartiennent à la même catégorie fiscale (cat. 43) dont le taux d'amortissement selon la méthode du solde dégressif est de d = 30%.

Dressez le tableau de la FNACC et de la DPA pour chacune des 6 années du projet.Déterminer l'effet fiscal de la disposition si le taux d'imposition de l'entreprise est de 30%.

Dans ce cas, on ne détermine pas l'effet fiscal de la disposition de la première machine à t =3. On fait plutôt un traitement fiscal global de la catégorie à la fin du projet.


Traitement fiscal d'un remplacement (suite)Traitement fiscal d'un remplacement (suite)

Année 1 2 3Taux de DPA 15% 30% 30%FNACC au début 10 000 $ 8 500 $ 5 950 $DPA 1 500 $ 2 550 $ 1 785 $FNACC à la fin 8 500 $ 5 950 $ 4 165 $

Année 1 2 3 4 5 6Taux de DPA 15% 30% 30% Mixte 30% 30%FNACC au début 10 000 $ 8 500 $ 5 950 $ 14 165 $ 11 416 $ 7 991 $DPA 1 500 $ 2 550 $ 1 785 $ 2 750 $ 3 425 $ 2 397 $FNACC à la fin 8 500 $ 5 950 $ 4 165 $ 11 416 $ 7 991 $ 5 594 $

Acquisitions Moins:

Dispositions FNACC au

début Taux DPASur les acquisitions nettes de l'année 12 000 $ (2 000 $) 10 000 $ 15% 1 500 $Sur le reste de la catégorie 4 165 $ 30% 1 250 $Total 14 165 $ 2 750 $

Rappel du calcul de la DPA et de la FNACC du projet:

Traitement fiscal, en fin de projet seulement:Effet fiscal de la disposition:Produit de la disposition 3 000 $FNACC à la fin 5 594 $Perte dur disposition (2 594 $)Effet fiscal de la disposition (t=30%) 778 $

On ne fait pas de traitement fiscal à t =3 de la perte de2 000$ 4 165$ =(2 165$) sur cette première disposition.

10

19GIA 400 – Cours 12 19

La RC aprLa RC aprèès impôts impôt

Rappel: la RC avant impôtRC = (P-S)(A/P, i, N) + iS

La RC après impôtRC = (P-S)(A/P, i, N) + iS

+ AE des économies d'impôts dues à la DPA+ AE de l'effet fiscal de la disposition

Exemple:

Effet fiscal de la dispositionS 100.00 $FNACC 204.09 $Perte (104.09 $)Effet fiscal de la disposition (35%) 36.43 $

P 1 000 $S 100 $d 30.0%t 35.0%N 5TRAM 15.0%

AE= 36.43$(A/F, 15%, 5)AE= 5.40$

AE= ?

Année 1 2 3 4 5Taux d'amortissement 15% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 1 000.00 $ 850.00 $ 595.00 $ 416.50 $ 291.55 $DPA 150.00 $ 255.00 $ 178.50 $ 124.95 $ 87.47 $FNACCà la fin 850.00 $ 595.00 $ 416.50 $ 291.55 $ 204.09 $Économie d'impôt DPA (35%) 52.50 $ 89.25 $ 62.48 $ 43.73 $ 30.61 $

Effet fiscal de la disposition:

Économies d'impôtsdues à la DPA:

20GIA 400 – Cours 12 20

La RC aprLa RC aprèès impôt (suite)s impôt (suite)

0 1 2 3 4 5

AE des économies d'impôt due à la DPA

( )( ) $501271

211 .dt

ddPA =−−

=

dg −=

( )( ) $00751

2 .td

dPAjust =−

−=

Ajustement au gradientpour règle du 50%:127.50$ – 75.00$ = 52.50$

( )$66259

11.

g,i,N,A/PAPE==

( )$2265

1 .

Ni,,F/PAjustPE−=

==

89.25$62.48$

43.73$ 30.61$

$44194226566259 .$.$.totalePE =−=( ) $0058$44194 .A/P,i,N.AE ==

( )( ) ( ) ( )( ) ( )$0822058.00$5.40$283.48$ impôt après

coûtun 283.48$$1001505 %,15 ,$100$000 1impôtavant .RC.P/ARC

=++==+−=

RC après impôt:

11

21GIA 400 – Cours 12 21

La RC aprLa RC aprèès impôts impôt

Pour ceux qui (comme moi) préfèrent solutionner ces problèmes avec un tableau:

( )( ) ( )$082205 %15 $43737impôt après .,A/P,.RC ==

Année 0 1 2 3 4 5Taux d'amortissement 15% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 1 000.00 $ 850.00 $ 595.00 $ 416.50 $ 291.55 $DPA 150.00 $ 255.00 $ 178.50 $ 124.95 $ 87.47 $FNACCà la fin 850.00 $ 595.00 $ 416.50 $ 291.55 $ 204.09 $Économie d'impôt DPA (35%) 52.50 $ 89.25 $ 62.48 $ 43.73 $ 30.61 $

Année 0 1 2 3 4 5Achat de l'équipement (1 000.00 $)Disposition 100.00 $Avant impôt (1 000.00 $) 0.00 $ 0.00 $ 0.00 $ 0.00 $ 100.00 $Effet fiscal de la disposition 36.43 $Économies d'impôt dues à la DPA 52.50 $ 89.25 $ 62.48 $ 43.73 $ 30.61 $Flux monétaire net (1 000.00 $) 52.50 $ 89.25 $ 62.48 $ 43.73 $ 167.04 $PE(TRAM) (737.73 $)RC après impôt(TRAM) (220.08 $)

22GIA 400 – Cours 12 22

L'analyse de projet aprL'analyse de projet aprèès impôts impôt

12

23GIA 400 – Cours 12 23

Projet ne nProjet ne néécessitant que des activitcessitant que des activitéés d'exploitation et s d'exploitation et d'investissement: Exemple 9.1d'investissement: Exemple 9.1

On propose à une petite entreprise de fabrication d'outils un centre d'usinage informatisé. Ce nouveau système coûte 125 000$. S'il est installé il produira des revenus annuels de 100 000$; chaque année il coûtera 20 000$ en main d'œuvre, 12 000$ en matières premières et8 000$ en frais indirects (électricité et services publics). Il sera classéparmi les biens de la catégorie 43. L'entreprise prévoit l'abandonner progressivement au bout de 5 ans, puis le vendre 50 000$.Déterminez le flux monétaire net après impôt pour chaque année du projet, en fonction d'un taux d'impôt marginal (i.e. celui qui s'appliquera au projet) de 40%.Déterminez ensuite la valeur actualisée équivalente (PE) après impôt du projet, si le TRAM de l'entreprise est de 15%.

24GIA 400 – Cours 12 24


Pour résoudre ce problème, il nous faudra dresser l'état des résultats et l'état des flux de trésorerie.Pour calculer le bénéfice après impôt, ainsi que l'effet fiscal de la disposition. il nous faut connaître la DPA de chacune des années et la FNACC à la fin du projet. Un calcul préliminaire à faire est donc le suivant:

Effet fiscal de la disposition

Valeur de récupération (S) 50 000 $FNACC 25 511 $Gain 24 489 $Impôt à payer (40%) 9 796 $Flux monétaire (9 796 $)

Année 1 2 3 4 5Taux d'amortissement 15% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 125 000 $ 106 250 $ 74 375 $ 52 063 $ 36 444 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $FNACC à la fin 106 250 $ 74 375 $ 52 063 $ 36 444 $ 25 511 $

DPA et FNACC

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25GIA 400 – Cours 12 25


Année 0 1 2 3 4 5


Main d'œuvre 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $Matières 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $Frais indirects 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $


TRAM 15%PE 43 443 $TRI 27.8%

Projet rentable


Bénéfice net 24 750 $ 16 875 $ 22 613 $ 26 629 $ 29 440 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $

InvestissementAchat d'actif immobilisé (125 000 $)Disposition 50 000 $Effet fiscal de la disposition (9 796 $)


26GIA 400 – Cours 12 26

Projet nProjet néécessitant des investissements dans le fonds de roulementcessitant des investissements dans le fonds de roulement

Un rappelFonds de roulement = Actifs à court terme - Passifs à courts terme

En pratique pour un projet:Fonds de roulement (FR) = Stocks + Comptes clients – Comptes fournisseursFlux monétaire associé au FR = Variation du FR d'un période à l'autreAugmentation du FR = Flux monétaire négatif (investissement)Diminution du FR = Flux monétaire positif (récupération)

Le FR peut être récupéré, en tout ou en grande partie, en fin de projet.

Le fonds de roulement est souvent négligé dans l'analyse de projet. Pourtant, il implique souvent un investissement réel et important qui peut rendre la PE d'un projet <0!

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27GIA 400 – Cours 12 27

Projet nProjet néécessitant des investissements dans le fonds de cessitant des investissements dans le fonds de roulement: Exercice 9.3roulement: Exercice 9.3

Supposons que l'entreprise de fabrication d'outils de l'exemple 9.1 prévoie que les revenus annuels de 100 000$ sont fondés sur un volume annuel de 10 000 unités ou 833 unités par mois. L'information suivante est disponible:

Évaluez la rentabilité du projet compte tenu de l'investissement nécessaire dans le fonds de roulement.

Prix par unité 10 $Coût variables par unités

Main d'œuvre 2 $Matières 1.20 $Frais indirects 0.80 $

Coût total 4.00 $

Volume mensuel 833 unitésStocks de produits f inis 2 moisStocks de matières premières 1 moisComptes fournisseurs (créditeurs) 1 moisComptes clients (débiteurs) 2 mois

28GIA 400 – Cours 12 28

Exercice 9.3 (suite)Exercice 9.3 (suite)Il nous faut faire un nouveau calcul préliminaire: l'investissement nécessaire dans le fonds de roulement. Par exemple, pour l'année 1:

Inventaire matières premières:

$000 1mois 1sunités/moi 833é1.20$/unit =××=××= nb. moissuelVolume menCoûtMPInvMP

Inventaire produits finis:

67$6 6mois 2sunités/moi 833$/unité004 =××=××=

.nb. moissuelVolume menCoûtTotalInvPF

Comptes clients:


.nb. moissuelVolume menixPrCC

Comptes fournisseurs:


.nb. moissuelVolume menCoûtMPCF

FR(Année 1) = 1 000$ + 6 667$ + 16 667$ - 1 000$ = 23 333$

Le besoin en FR est souvent donné globalement comme un % des ventes. Par exemple, ici, ce serait 23.3% des ventes annuelles de 100 000$

Le besoin en FR est souvent donné globalement comme un % des ventes. Par exemple, ici, ce serait 23.3% des ventes annuelles de 100 000$

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29GIA 400 – Cours 12 29


Le fonds de roulement est investi en début d'année, donc à la fin de l'année précédente.

On peut négliger le fait qu'il faudra quelque temps pour amener l'inventaire de produits finis au niveau voulu.

Le fonds de roulement est récupéré à la fin du projet, soit à la fin de l'année 5.Une augmentation du fonds de roulement est un investissement, c'est donc un flux monétaire négatifUne diminution du fonds de roulement est une récupération d'investissement, c'est donc un flux monétaire positif

Nous pouvons maintenant calculer la nouvelle PE du projet, compte tenu de l'investissement à faire dans le fonds de roulement…

Année 0 1 2 3 4 5Volume mensuel 833 833 833 833 833Inventaire matières premières 1 000 $ 1 000 $ 1 000 $ 1 000 $ 1 000 $ 0 $Inventaires produits finis 6 667 $ 6 667 $ 6 667 $ 6 667 $ 6 667 $ 0 $Comptes clients 16 667 $ 16 667 $ 16 667 $ 16 667 $ 16 667 $ 0 $Moins: Comptes fournisseurs (1 000 $) (1 000 $) (1 000 $) (1 000 $) (1 000 $) 0 $Fonds de roulement 23 333 $ 23 333 $ 23 333 $ 23 333 $ 23 333 $ 0 $Variation du fonds de roulement 23 333 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ (23 333 $)(Investissement dans) récupération

du fonds de roulement (23 333 $) 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 23 333 $

30GIA 400 – Cours 12 30


Analyse de rentabilitéavec l'investissement dans le fonds de roulement

Aucun changementÀ l'ER

Année 0 1 2 3 4 5


Main d'œuvre 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $Matières 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $Frais indirects 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $



Bénéfice net 24 750 $ 16 875 $ 22 613 $ 26 629 $ 29 440 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $



TRAM 15.00% Sans le FRPE 31 711 $ 43 443 $TRI 22.6% 27.8%

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31GIA 400 – Cours 12 31

Projet financProjet financéé en partie par des fonds emprunten partie par des fonds empruntééss

RappelRevenus (R)

Coûts d'exploitation (OC) Flux monétaire avant impôt (FMAI)

I DPA Bénéfice imposable (TI)

Impôt (T)Bénéfice net (NI)

Flux monétaire lié à l'exploitation

Flux monétaire net descapitaux propresRemboursement de

capital de la dette

DividendesFlux monétaire disponiblePour investissement

PE(TRAM = ie)ie = le coût des capitaux propres

PE(TRAM = k)k= le coût moyen

pondéré du capital

32GIA 400 – Cours 12 32

Projet financProjet financéé en partie par des fonds emprunten partie par des fonds empruntéés: Exemple 9.4s: Exemple 9.4

Continuons toujours avec l'exemple de l'entreprise de fabrication d'outils et supposons maintenant que 62 500$ des 125 000$ investis dans l'équipement de production proviennent d'un emprunt devant être remboursé sur 5 ans au moyen de versements annuels égaux à un taux d'intérêt de 10%. Le reste, soit 62 500$ plus23 333$ en fonds de roulement, sont financés par les capitaux propres (c'est-à-dire les bénéfices non répartis).

Il nous faut maintenant faire un nouveau calcul préliminaire: les paiements annuels sur la dette. Il nous faut de plus isoler le montant annuel des intérêts car ceux-ci sont déductibles pour fins du calcul de l'impôt.Le paiement annuel:

A = P (A/P, i, N) = 62 500$ (A/P, 10%, 5) = 16 487$

In = Bn-1 x i PPn = A – In

Taux d'intéret 10.0%Année 0 1 2 3 4 5Capital au début 62 500 $ 52 263 $ 41 002 $ 28 614 $ 14 988 $Intérêt 6 250 $ 5 226 $ 4 100 $ 2 861 $ 1 499 $Remboursement de capital 10 237 $ 11 261 $ 12 387 $ 13 626 $ 14 988 $Capital à la fin 52 263 $ 41 002 $ 28 614 $ 14 988 $ 0 $Paiement total 16 487 $ 16 487 $ 16 487 $ 16 487 $ 16 487 $

Bn = Bn-1 – PPn

17

33GIA 400 – Cours 12 33

Exemple 9.4 suiteExemple 9.4 suiteAnalyse de rentabilité

avec un financement par dette

Rendement du projet = Rendement sur l'investissement en capitaux propres

Flux monétaire disponible aux actionnaires

Année 0 1 2 3 4 5


Main d'œuvre 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $Matières 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $Frais indirects 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $Intérêts 6 250 $ 5 226 $ 4 100 $ 2 861 $ 1 499 $



Bénéfice net 21 000 $ 13 739 $ 20 152 $ 24 912 $ 28 541 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $


FinancementEmprunt 62 500 $ (10 237 $) (11 261 $) (12 387 $) (13 626 $) (14 988 $)


TRAM 15%PE 44 728 $TRI 32.1%

34GIA 400 – Cours 12 34

Exemple 9.4 suiteExemple 9.4 suite

Enfin, et même si cela n'est pas exigé dans ce cours, une bonne présentation financière d'un projet doit comprendre son bilan:

Année 0 1 2 3 4 5 Récup.

Bilan du projetActifEncaisse 0 $ 29 513 $ 63 866 $ 93 944 $ 120 848 $ 145 334 $ 208 871 $Fonds de roulement

Inventaire matières premières 1 000 $ 1 000 $ 1 000 $ 1 000 $ 1 000 $ 1 000 $ 0 $Inventaires produits finis 6 667 $ 6 667 $ 6 667 $ 6 667 $ 6 667 $ 6 667 $ 0 $Comptes clients 16 667 $ 16 667 $ 16 667 $ 16 667 $ 16 667 $ 16 667 $ 0 $Moins: Comptes fournisseurs (1 000 $) (1 000 $) (1 000 $) (1 000 $) (1 000 $) (1 000 $) 0 $

Fonds de roulement 23 333 $ 23 333 $ 23 333 $ 23 333 $ 23 333 $ 23 333 $ 0 $Immobilisations 125 000 $ 125 000 $ 125 000 $ 125 000 $ 125 000 $ 125 000 $ 0 $Moins: DPA accumulés 0 $ (18 750 $) (50 625 $) (72 938 $) (88 556 $) (99 489 $) 0 $Immobilisations nettes 125 000 $ 106 250 $ 74 375 $ 52 063 $ 36 444 $ 25 511 $ 0 $Actif total 148 333 $ 159 096 $ 161 574 $ 169 339 $ 180 625 $ 194 178 $ 208 871 $

Dette à long terme 62 500 $ 52 263 $ 41 002 $ 28 614 $ 14 988 $ 0 $ 0 $Capitaux propres

(bénéfices non répartis) 85 833 $ 106 833 $ 120 573 $ 140 725 $ 165 637 $ 194 178 $ 208 871 $Passif et capitaux propres 148 333 $ 159 096 $ 161 574 $ 169 339 $ 180 625 $ 194 178 $ 208 871 $

BNRn = BNRn-1 + NIn

Calcul du BNRaprès récupération

BNR avant récupération 194 178 $Plus: Produit de la disposition 50 000 $Moins: FNACC année 5 (25 511 $)Effet fiscal de la disposition (9 796 $)BNR après récupération 208 871 $

18

35GIA 400 – Cours 12 35

En rEn réésumsuméé: les : les éétapes tapes àà suivresuivre

1. Calculer l'amortissement

2. Calculer l'effet fiscal de la disposition

3. Calculer le programme de remboursement de la dette (s'il y a lieu)Calcul des intérêtsCalcul du remboursement de capital

4. Calculer l'investissement périodique à faire dans le fonds de roulement et son montant récupéré à la fin du projet (s'il y a lieu)

5. Établir l'état des résultats pour obtenir le bénéfice net après impôt

6. Établir l'état du flux de trésorerie pour obtenir le flux monétaire net après impôt

7. Faire les calculs de rentabilité requis (PE, AE, TRI…)

36GIA 400 – Cours 12 36

Discussion sur l'effet de la dette sur la valeur d'un projetDiscussion sur l'effet de la dette sur la valeur d'un projet

Dans l'exemple précédent, le financement d'une partie du projet par dette semble avoir créé de la valeur, car la PE a augmenté de 13 017$:

Sans dette Avec dette DifférenceTRAM 15.0% 15.0%Investissement en capitaux propres 148 333 $ 85 833 $ (62 500 $)PE du projet 31 711 $ 44 728 $ 13 017 $Valeur marchande des capitaux propres 180 044 $ 130 562 $ (49 483 $)Dette 0 $ 62 500 $ 62 500 $Valeur marchande du projet 180 044 $ 193 062 $ 13 017 $

Financement

Cette différence est due au fait que nous avons substitué à 62 500$ de capitaux propres dont le coût est de 15%, 62 500$ de dette dont le coût est de 6% après impôt. C'est la différence entre la valeur présente du flux monétaire de la dette à 15% et celle à 6%:

Année 0 1 2 3 4 5Paiements d'intérêt (6 250 $) (5 226 $) (4 100 $) (2 861 $) (1 499 $)Économies d'impôts 2 500 $ 2 091 $ 1 640 $ 1 145 $ 600 $Capital (10 237 $) (11 261 $) (12 387 $) (13 626 $) (14 988 $)Flux monétaire net de la dette (13 987 $) (14 397 $) (14 847 $) (15 343 $) (15 888 $)PE à 15% (49 483 $)PE à 6% (62 500 $)Différence 13 017 $

19

37GIA 400 – Cours 12 37


La théorie de la Finance (théorème Modigliani-Miller) démontre clairement que dans un monde sans impôt, un changement de la structure de capital de peut changer la valeur marchande d'un actif.

Par exemple: le montant de l'hypothèque sur une maison ne devrait d'aucune manière changer la valeur marchande de la maison.

La création de valeur que nous avons constatée provient du fait que le gouvernement subventionne le coût de la dette en permettant la déduction des intérêts du bénéfice imposable. Cette subvention passe alors directement dans les poches des actionnaires sous forme d'une plus-value à leurs actions (PE positive).

En réalité, le gain pour les actionnaires est en partie annulé par le plus haut taux de rendement (TRAM) exigé par les actionnaires pour un projet comportant de la dette.

Sans dette Avec dette DifférenceInvestissement en capitaux propres 148 333 $ 85 833 $ (62 500 $)Coût des capitaux prorpes 15.00% 18.89%PE du projet 31 711 $ 31 711 $ (0 $)Valeur totale des capitaux propres 180 044 $ 117 544 $ (62 500 $)Dette 0 $ 62 500 $ 62 500 $Valeur marchande du projet 180 044 $ 180 044 $ (0 $)

Financement

38GIA 400 – Cours 12 38


La financement par dette augmente le TRI espéré du projet pour les actionnaires, mais en augmente aussi la volatilité.Les investisseurs exigeront un taux de rendement plus élevé pour supporter ce risque financier.

Simulation Monte-Carlo en supposant une distribution normale pour les revenus.

� = 100 000$ � = 10 000$

Distribution de fréquence du TRI du Projet

0%1%2%3%4%5%6%7%8%

0.0% 10.0% 20.0% 30.0% 40.0% 50.0%TRI

Prob

abili

té

Sans detteAvec dette

20

39GIA 400 – Cours 12 39

L'effet de l'impôt sur le coL'effet de l'impôt sur le coûût du capitalt du capital

Le coût moyen pondéré du capital, k, ne change pas, quelque soit le ratio D/E

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

id

ie

k

Ratio D/E

Sans impôt

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

id

ie

k

Avec impôt

Le coût moyen pondéré du capital, k, varie selon le ratio D/E

Ratio D/E

( )( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++ρ=

−ρ−+ρ=

EDDtk

EDkti se

1

1 � = coût des capitaux propres, sans dette (15%)t = taux d'impôt (40%)ks = coût de la dette (10%)D/E = ratio dette/capitaux propres

40GIA 400 – Cours 12 40

L'effet de l'impôt sur le coL'effet de l'impôt sur le coûût du capitalt du capitalEn fait, le coût de la dette devrait aussi augmenter avec l'augmentation du ratio d'endettement, car le risque de défaut est plus grand pour le prêteur.Ceci aura pour effet de réduire encore la différence de valeur entre un projet avec ou sans dette.

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

40.0%

45.0%

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Endettement/Capitaux propres

Coû

t

CMPC

Coût des capitaux propres

Coût de l'endettement

21

41GIA 400 – Cours 12 41

Exercice 9.26Exercice 9.26Voici l'information financière concernant le projet de ré-outillage d'un fabricant d'ordinateurs:

Le projet coûte 2 M$ et sa durée de vie est 5 ans.Il peut être classé parmi les biens de la catégorie 43, à laquelle s'applique d = 30%.À la fin de la cinquième année, tous les biens détenus relativement au projet seront vendus. La valeur de récupération prévue représente 10% du coût initial.Le fabricant financera le projet en empruntant 40% de l'investissement auprès d'une institution financière à un taux d'intérêt de 10%. L'emprunt devra être remboursé en cinq versements égaux.Son taux d'imposition différentiel (i.e. marginal, i.e. celui qui s'applique au projet) est de 35%.Son TRAM est de 18%.

a) Déterminez les flux monétaires après impôtsb) Calculez la valeur actualisée équivalente de ce projet

42GIA 400 – Cours 12 42


DPA et effet fiscal de de la dispositionLa règle du 50% s'applique à l'année 1

Prêt: Capital et intérêtMontant du prêt: P = 2 M$ x 40% = 800 K$; i = 10%; N = 5Paiements annuels: A = P(A/P, i, N) = 800 (A/P, 10%, 5) = 211.0 K$

Année 1 2 3 4 5Paiement total 211.0 $ 211.0 $ 211.0 $ 211.0 $ 211.0 $Capital au début 800.0 $ 669.0 $ 524.8 $ 366.3 $ 191.9 $Intérêt 80.0 $ 66.9 $ 52.5 $ 36.6 $ 19.2 $Capital remboursé 131.0 $ 144.1 $ 158.6 $ 174.4 $ 191.9 $Capital à la fin 669.0 $ 524.8 $ 366.3 $ 191.9 $ 0.0 $

Année 1 2 3 4 5Taux d'amortissement 15% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 2 000.0 $ 1 700.0 $ 1 190.0 $ 833.0 $ 583.1 $DPA 300.0 $ 510.0 $ 357.0 $ 249.9 $ 174.9 $FNACC à la fin 1 700.0 $ 1 190.0 $ 833.0 $ 583.1 $ 408.2 $

DispositionS (10%) 10% 200.0 $FNACC, année 5 408.2 $Perte (208.2 $)Effet fiscal (t = 35%) 35% 72.9 $

22

43GIA 400 – Cours 12 43

Exercice 9.26Exercice 9.26Année 0 1 2 3 4 5

État des résultats (K$)Revenus 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $Dépenses d'exploitation 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $DPA 300.0 $ 510.0 $ 357.0 $ 249.9 $ 174.9 $Intérêts 80.0 $ 66.9 $ 52.5 $ 36.6 $ 19.2 $Bénéfice imposable (380.0 $) (576.9 $) (409.5 $) (286.5 $) (194.1 $)Impôt (35%) (133.0 $) (201.9 $) (143.3 $) (100.3 $) (67.9 $)Bénéfice après impôts (247.0 $) (375.0 $) (266.2 $) (186.2 $) (126.2 $)

État des flux de trésorerie (K$)Exploitation

Bénéfice net (247.0 $) (375.0 $) (266.2 $) (186.2 $) (126.2 $)Plus: DPA 300.0 $ 510.0 $ 357.0 $ 249.9 $ 174.9 $

InvestissementMachinerie (2 000.0 $)Disposition 200.0 $Effet fiscal 72.9 $

FinancementEmprunt (remboursements) 800 $ (131.0 $) (144.1 $) (158.6 $) (174.4 $) (191.9 $)

Flux monétaire net (1 200.0 $) (78.0 $) (9.1 $) (67.7 $) (110.8 $) 129.8 $

TRAM 18.0%PE(TRAM) (1 314.3 $)AE(TRAM) (420.3 $)

44GIA 400 – Cours 12 44

Exercice 9.36Exercice 9.36La société Pièces nationales, fabricant de pièces d'automobile, envisage l'achat d'un système de prototypage rapide afin de réduire le temps consacré aux applications relatives au façonnage, à l'ajustement et au fonctionnement des prototypes de pièces d'automobile. Elle fait appel à un consultant pour évaluer les besoins de départ en matériel informatique, de même que les frais d'installation. Voici ses estimations:

Matériel de prototypage: 187 000$.Matériel de post-traitement: 25 000$Entretien: 36 000$ par année par le fabricant du matérielRésine: consommation annuelle de polymère liquide: 1 600 litres à87.50$/litreLa vie utile estimative du système est de 6 ans et sa valeur de récupération, de 30 000$. Il est classé parmi la catégorie 43 (d = 30%)Des frais de conception de logiciels de 20 000$ seront passées en dépenses au cours de la première annéeGrâce à ce nouveau système, des économies de temps de 114 000$ et de résine de 35 000$ seront réalisées chaque annéeLe taux d'imposition marginal est de 40%Le TRAM est de 20%

a) Calculez la PE du projet s'il est financé entièrement par les bénéfices non répartis de l'entreprise

23

45GIA 400 – Cours 12 45


DPA et effet fiscal de la dispositionLa règle du 50% s'applique à l'année 1

Année 1 2 3 4 5 6Taux d'amortissement 15% 30% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 212.0 $ 180.2 $ 126.1 $ 88.3 $ 61.8 $ 43.3 $DPA 31.8 $ 54.1 $ 37.8 $ 26.5 $ 18.5 $ 13.0 $FNACC à la fin 180.2 $ 126.1 $ 88.3 $ 61.8 $ 43.3 $ 30.3 $

DispositionS 30.0 $FNACC, année 5 30.3 $Perte (0.3 $)Effet fiscal (t = 40%) 40% 0.1 $

46GIA 400 – Cours 12 46

Exercice 9.36 a)Exercice 9.36 a)Année 0 1 2 3 4 5 6

État des résultats (K$)Revenus

Économies de main d'œuvre 114.0 $ 114.0 $ 114.0 $ 114.0 $ 114.0 $ 114.0 $Économies de résine 35.0 $ 35.0 $ 35.0 $ 35.0 $ 35.0 $ 35.0 $

Dépenses d'exploitat ionLogiciel 20.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $Entretien 36.0 $ 36.0 $ 36.0 $ 36.0 $ 36.0 $ 36.0 $Résine 140.0 $ 140.0 $ 140.0 $ 140.0 $ 140.0 $ 140.0 $DPA 31.8 $ 54.1 $ 37.8 $ 26.5 $ 18.5 $ 13.0 $

Intérêts 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $Bénéfice imposable (78.8 $) (81.1 $) (64.8 $) (53.5 $) (45.5 $) (40.0 $)Impôt (40%) (31.5 $) (32.4 $) (25.9 $) (21.4 $) (18.2 $) (16.0 $)Bénéfice après impôts (47.3 $) (48.6 $) (38.9 $) (32.1 $) (27.3 $) (24.0 $)


Bénéfice net (47.3 $) (48.6 $) (38.9 $) (32.1 $) (27.3 $) (24.0 $)Plus: DPA 31.8 $ 54.1 $ 37.8 $ 26.5 $ 18.5 $ 13.0 $

InvestissementMachinerie (212.0 $)Disposition 30.0 $Effet fiscal 0.1 $

FinancementEmprunt (remboursements) 0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $

Flux monétaire net (212.0 $) (15.5 $) 5.4 $ (1.1 $) (5.6 $) (8.8 $) 19.1 $

TRAM 20.0%PE(TRAM) (221.6 $)AE(TRAM) (66.6 $)

PE< 0 Économies insuffisantes pour justifier l'investissement.

24

47GIA 400 – Cours 12 47


b) Si l'investissement initial est entièrement financé par une banque locale à un taux d'intérêt de 13% se composant annuellement, calculez la PE de cet investissement

Prêt: Capital et intérêtMontant du prêt: P = 225 K$; i = 13%; N = 6Paiements annuels: A = P(A/P, i, N) = 225 (A/P, 13%, 6) = 53.0 K$

Année 1 2 3 4 5 6Paiement total 53.0 $ 53.0 $ 53.0 $ 53.0 $ 53.0 $ 53.0 $Capital au début 212.0 $ 186.5 $ 157.7 $ 125.2 $ 88.5 $ 46.9 $Intérêt 27.6 $ 24.2 $ 20.5 $ 16.3 $ 11.5 $ 6.1 $Capital remboursé 25.5 $ 28.8 $ 32.5 $ 36.8 $ 41.5 $ 46.9 $Capital à la fin 186.5 $ 157.7 $ 125.2 $ 88.5 $ 46.9 $ (0.0 $)

48GIA 400 – Cours 12 48

Exercice 9.36 b)Exercice 9.36 b)Année 0 1 2 3 4 5 6

État des résultats (K$)Revenus

Économies de main d'œuvre 114.0 $ 114.0 $ 114.0 $ 114.0 $ 114.0 $ 114.0 $Économies de résine 35.0 $ 35.0 $ 35.0 $ 35.0 $ 35.0 $ 35.0 $

Dépenses d'exploitat ionLogiciel 20.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $ 0.0 $Entretien 36.0 $ 36.0 $ 36.0 $ 36.0 $ 36.0 $ 36.0 $Résine 140.0 $ 140.0 $ 140.0 $ 140.0 $ 140.0 $ 140.0 $DPA 31.8 $ 54.1 $ 37.8 $ 26.5 $ 18.5 $ 13.0 $

Intérêts 27.6 $ 24.2 $ 20.5 $ 16.3 $ 11.5 $ 6.1 $Bénéfice imposable (106.4 $) (105.3 $) (85.3 $) (69.8 $) (57.0 $) (46.1 $)Impôt (40%) (42.5 $) (42.1 $) (34.1 $) (27.9 $) (22.8 $) (18.4 $)Bénéfice après impôts (63.8 $) (63.2 $) (51.2 $) (41.9 $) (34.2 $) (27.6 $)


Bénéfice net (63.8 $) (63.2 $) (51.2 $) (41.9 $) (34.2 $) (27.6 $)Plus: DPA 31.8 $ 54.1 $ 37.8 $ 26.5 $ 18.5 $ 13.0 $

InvestissementMachinerie (212.0 $)Disposition 30.0 $Effet fiscal 0.1 $

FinancementEmprunt (remboursements) 212 $ (25.5 $) (28.8 $) (32.5 $) (36.8 $) (41.5 $) (46.9 $)

Flux monétaire net 0.0 $ (57.5 $) (37.9 $) (45.9 $) (52.1 $) (57.2 $) (31.5 $)


PE< 0 Économies insuffisantes pour justifier l'investissement.

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49GIA 400 – Cours 12 49


c) En vous appuyant sur le taux de rendement de l'investissement différentiel quelle est la meilleure option de financement?

0 1 2 3 4 5 6Option A: bénéfices non répartis (212.0 $) (15.5 $) 5.4 $ (1.1 $) (5.6 $) (8.8 $) 19.1 $Option B: emprunt 0.0 $ (57.5 $) (37.9 $) (45.9 $) (52.1 $) (57.2 $) (31.5 $)Flux monétaire net (A-B) (212.0 $) 42.0 $ 43.3 $ 44.8 $ 46.5 $ 48.4 $ 50.6 $TRI 7.80%



ks(1-t) =13% x (1 - 40%) = 7.80%La différence entre les deux options est strictement reliée au flux monétaire après impôt de la dette. C'est pour cette raison que le TRI différentiel est égal à ks après impôt.

L'option dette semble avoir une meilleure PE, mais le TRAM au niveau du flux monétaire des actionnaires devrait être plus élevéavec le recours à de la dette! De toutes manières, aucune des deux options n'est rentable!


Un mot sur la mUn mot sur la mééthode dite "directe" de calcul du flux monthode dite "directe" de calcul du flux monéétairetaire

Une méthode fortement déconseillée car:Présentation de "style ingénieur", jamais utilisée pour des présentations à la direction d'entreprises et de conseil d'administration

Non compatible avec la présentation normale des états financiers des sociétés. Ne donne pas le bénéfice net, qui est une donnée financière tout de même importante pour les preneurs de décision.Donne très peu de renseignements sur les hypothèses sous jacentes.

Si on vous remet de tels tableaux en blanc à l'examen, ignorez-les!

1




Exercice 9.7 et 9.23Exercice 9.7 et 9.23

Ex. 9.7:Un constructeur automobile projette d'acheter un robot industriel pour se charger des travaux de soudage par points présentement exécutés par des travailleurs qualifiés. Le coût initial du robot s'élève à235 000$, et les économies de main d'œuvre prévues annuellement totalisent 122 000$. Si l'entreprise achète le robot, il sera assujetti à un taux de DPA de 30%. Elle l'utilisera pendant 7 ans, au terme desquels elle s'attend à le vendre 50 000$. Son taux d'imposition marginal pour la durée du projet est de 38%. Déterminez les flux monétaires après impôt pour chacune des années du projet.

Ex. 9.23:Pour financer le robot industriel, l'entreprise empruntera auprès d'une banque locale le montant complet et le remboursera à raison de50 000$ par année, plus 12% d'intérêt sur le solde impayé jusqu'au remboursement total. Déterminez les flux monétaires nets pour la durée du projet

Note: nous allons supposer un TRAM de 15% et aussi calculer la PE

2


Exercice 9.7Exercice 9.7P = 235 000 $ d = 30% t = 38%S = 50 000 $ N = 7 TRAM = 15%

Année 0 1 2 3 4 5 6 7Taux de DPA 15.0% 30% 30% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 235 000 $ 199 750 $ 139 825 $ 97 878 $ 68 514 $ 47 960 $ 33 572 $DPA 35 250 $ 59 925 $ 41 948 $ 29 363 $ 20 554 $ 14 388 $ 10 072 $FNACC à la fin 199 750 $ 139 825 $ 97 878 $ 68 514 $ 47 960 $ 33 572 $ 23 500 $

S 50 000 $FNACC 23 500 $Gain (perte) 26 500 $Effet fiscal de la disposition (10 070 $)

Année 0 1 2 3 4 5 6 7État des résultatsÉconomies de main d'oeuvre 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $DPA 35 250 $ 59 925 $ 41 948 $ 29 363 $ 20 554 $ 14 388 $ 10 072 $Bénéfice imposable 86 750 $ 62 075 $ 80 053 $ 92 637 $ 101 446 $ 107 612 $ 111 928 $Impôt 32 965 $ 23 589 $ 30 420 $ 35 202 $ 38 549 $ 40 893 $ 42 533 $Bénéfice net 53 785 $ 38 487 $ 49 633 $ 57 435 $ 62 896 $ 66 719 $ 69 396 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 53 785 $ 38 487 $ 49 633 $ 57 435 $ 62 896 $ 66 719 $ 69 396 $DPA 35 250 $ 59 925 $ 41 948 $ 29 363 $ 20 554 $ 14 388 $ 10 072 $

Investissement(Achat) disposition du robot (235 000 $) 50 000 $Effet fiscal de la disposition (10 070 $)

Flux monétaire net (235 000 $) 89 035 $ 98 412 $ 91 580 $ 86 798 $ 83 451 $ 81 107 $ 119 397 $PE(15%) 148 118 $

Calcul de la DPA et de la FNACC




# 235 000 $ d = 30% t = 38%S = 50 000 $ N = 7 TRAM = 15%

i = 12.0%Année 0 1 2 3 4 5 6 7Capital au début 235 000 $ 185 000 $ 135 000 $ 85 000 $ 35 000 $Intérêt 28 200 $ 22 200 $ 16 200 $ 10 200 $ 4 200 $Remboursement de capital 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 35 000 $Capital à la fin 185 000 $ 135 000 $ 85 000 $ 35 000 $ 0 $

Année 0 1 2 3 4 5 6 7État des résultatsÉconomies de main d'oeuvre 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $DPA 35 250 $ 59 925 $ 41 948 $ 29 363 $ 20 554 $ 14 388 $ 10 072 $Intérêts 28 200 $ 22 200 $ 16 200 $ 10 200 $ 4 200 $ 0 $ 0 $Bénéfice imposable 58 550 $ 39 875 $ 63 853 $ 82 437 $ 97 246 $ 107 612 $ 111 928 $Impôt 22 249 $ 15 153 $ 24 264 $ 31 326 $ 36 953 $ 40 893 $ 42 533 $Bénéfice net 36 301 $ 24 723 $ 39 589 $ 51 111 $ 60 292 $ 66 719 $ 69 396 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 36 301 $ 24 723 $ 39 589 $ 51 111 $ 60 292 $ 66 719 $ 69 396 $DPA 35 250 $ 59 925 $ 41 948 $ 29 363 $ 20 554 $ 14 388 $ 10 072 $

Investissement(Achat) disposition du robot (235 000 $) 50 000 $Effet fiscal de la disposit ion (10 070 $)

FinancementEmprunt (Remboursement) 235 000 $ (50 000 $) (50 000 $) (50 000 $) (50 000 $) (35 000 $) 0 $ 0 $

Flux monétaire net 0 $ 21 551 $ 34 648 $ 31 536 $ 30 474 $ 45 847 $ 81 107 $ 119 397 $PE(15%) 185 842 $

Calcul du calendrier du prêt

3


Exercice 9.23 (modifiExercice 9.23 (modifiéé))

Supposons plutôt que l’entreprise emprunte 50% du coût du robot selon les modalités suivantes:

Taux d’intérêt de 10% nominal, composé trimestriellementDeux paiements égaux: un à la fin de la première année et un à la fin de la quatrième année.

Calcul du montant des paiements:

0 1 2 3 4

P = 117 500$

PMT = ? PMT = ?

ieff = 10.38%

$.

$PMT

PMT.PMT.PMT.$)F/P(PMT)F/P(PMTP

%.%i

$%$P

eff

387 7457961500 117

57961673620905950500 1174 10.38%, ,1 10.38%, ,

381014

101

500 11750000 2354

==

=+=+=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=×=



Une autre façon de calculer le montant des deux paiements:

0 1 2 3 4

P = 1.5793$

PMT = 1$ PMT = 1$

ieff = 10.38%

Supposer que PMT = 1$Utiliser la calculatrice en mode CF:

CF0=0; CF1=1; CF2=0; CF3=0; CF4=1NPV: I=10.38%; CPT NPV=1.5796$ (mettre la calculatrice à 4 décimales)Remarquez que 1.5796 est exactement le facteur total d'actualisation trouvéprécédemment.

Faire une règle de 3:0 1 2 3 4

PMT = 74 387$ PMT = 74 387$

P = 117 500$

$387 741.5796$117500$

$117500$57961$1

==⇒= XX.

4



Enfin une autre façon de calculer le montant des deux paiements avec la TI:

nsolve(npv(10.38,0,{X,0,0,X})=117500,X)=74387

0 1 2 3 4

P = 117 500$

X X

ieff = 10.38%



• Intérêt inclus au 1er paiement:117 500$ x 10.38% = 12 198$

• Intérêt inclus au 2e paiement:L’intérêt sur 55 311$ composé à 10.38% pour 3 ans:55 311$ x((1+ 10.38%)3-1) = 19 076$

• Ou par différence: 74 387$ – (55 311$ - 0$) = 19 076$

Prêt de 4 ansRemboursé en 2 paiements égaux à la fin de l'année 1 et de l'année 4Intérêt de 10% nominal composé trimestriellement

% emprunté 50%P 117 500 $I nominal 10%i effectif 10.38%A 74 387 $

Année 0 1 2 3 4Capital au début 117 500 $ 55 311 $ 55 311 $ 55 311 $Intérêt 12 198 $ 19 076 $Remboursement de capital 62 189 $ 55 311 $Capital à la fin 55 311 $ 55 311 $ 55 311 $ 0 $

Année 0 1 2 3 4 5 6 7État des résultatsÉconomies de main d'oeuvre 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $ 122 000 $DPA 35 250 $ 59 925 $ 41 948 $ 29 363 $ 20 554 $ 14 388 $ 10 072 $Intérêts 12 198 $ 0 $ 0 $ 19 076 $ 0 $ 0 $ 0 $Bénéfice imposable 74 552 $ 62 075 $ 80 053 $ 73 561 $ 101 446 $ 107 612 $ 111 928 $Impôt 28 330 $ 23 589 $ 30 420 $ 27 953 $ 38 549 $ 40 893 $ 42 533 $Bénéfice net 46 222 $ 38 487 $ 49 633 $ 45 608 $ 62 896 $ 66 719 $ 69 396 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 46 222 $ 38 487 $ 49 633 $ 45 608 $ 62 896 $ 66 719 $ 69 396 $DPA 35 250 $ 59 925 $ 41 948 $ 29 363 $ 20 554 $ 14 388 $ 10 072 $

Investissement(Achat) disposition du robot (235 000 $) 50 000 $Effet fiscal de la disposition (10 070 $)

FinancementEmprunt (Remboursement) 117 500 $ (62 189 $) 0 $ 0 $ (55 311 $) 0 $ 0 $ 0 $

Flux monétaire net (117 500 $) 19 283 $ 98 412 $ 91 580 $ 19 660 $ 83 451 $ 81 107 $ 119 397 $PE(15%) 166 578 $


5



Un entrepreneur en construction routière envisage l'achat d'une trancheuse coûtant 200 000$ et pouvant creuser en une heure une tranchée de 1 m de largeur sur 5 m de longueur. Bien entretenue, la machine conservera son taux de production constant pendant les 3premières années d'exploitation, taux qui décroîtra par la suite de0.5 m/h chaque année. La trancheuse doit creuser annuellement2 000 m de tranchée (de 1 m de largeur). Ses frais d'exploitation et d'entretien s'élèvent à 15$/h. Elle appartient à catégorie 38 de la DPA, àlaquelle s'applique d = 30%. Au bout de 5 ans, l'entreprise vendra la trancheuse 40 000$. Si son taux d'imposition marginal est de 34%, déterminez le flux monétaire annuel après impôt.

Note: On supposera un TRAM de 15% pour calculer la PE



P = 200 000 $ d = 30% t = 34%S= 40 000 $ N = 5 TRAM = 15%

Année 0 1 2 3 4 5Taux de DPA 15.0% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 200 000 $ 170 000 $ 119 000 $ 83 300 $ 58 310 $DPA 30 000 $ 51 000 $ 35 700 $ 24 990 $ 17 493 $FNACC à la fin 170 000 $ 119 000 $ 83 300 $ 58 310 $ 40 817 $

S 40 000 $FNACC 40 817 $Gain (perte) (817 $)Effet fiscal de la disposition 278 $

Coût horaire 15 $Année 0 1 2 3 4 5Mètres de tranchées à creuser 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 Capacité à l'heure 5.0 5.0 5.0 4.5 4.0 Nombre d'heures d'opération 400 400 400 444 500 Coût d'exploitation annuel 6 000 $ 6 000 $ 6 000 $ 6 667 $ 7 500 $



Calcul du coût d'exploitation

6



Quel est le coût équivalent après impôt par mètre de tranchée creusée?( ) ( )

m/$30.23m/an 000 2

602$/an 46:creusé mètrepar équivalentCoût

$602 465 15%, ,/$216 156,,/

=

===

AEPANTRAMPAPEAE

Année 0 1 2 3 4 5

État des résultatsCoût d'exploitation annuel 6 000 $ 6 000 $ 6 000 $ 6 667 $ 7 500 $DPA 30 000 $ 51 000 $ 35 700 $ 24 990 $ 17 493 $Bénéfice imposable (36 000 $) (57 000 $) (41 700 $) (31 657 $) (24 993 $)Impôt (12 240 $) (19 380 $) (14 178 $) (10 763 $) (8 498 $)Bénéfice net (23 760 $) (37 620 $) (27 522 $) (20 893 $) (16 495 $)


Bénéfice net (23 760 $) (37 620 $) (27 522 $) (20 893 $) (16 495 $)DPA 30 000 $ 51 000 $ 35 700 $ 24 990 $ 17 493 $

Investissement(Achat) disposition de la trancheuse (200 000 $) 40 000 $Effet fiscal de la disposit ion 278 $

Flux monétaire net (200 000 $) 6 240 $ 13 380 $ 8 178 $ 4 097 $ 41 275 $PE(TRAM) (156 216 $)



Supposons maintenant qu'après 3 ans, il devient évident que les travaux pour lesquels la trancheuse a été achetée dureront encore 3 ans. L'entrepreneur a maintenant les deux options suivantes pour finir le contrat:1. Conserver la trancheuse une année de plus, toujours avec la même perte

d'efficacité de 0.5 m/h par année. La valeur de récupération à la fin du contrat tomberait alors à 25 000$.

2. Vendre la première trancheuse pour 80 000$ et en acheter une nouvelle au prix de 200 000$. La valeur de récupération de cette nouvelle machine sera aussi de 80 000$ dans 3 ans. On fera le traitement fiscal des dispositions en fin de projet.

Supposons de plus que l'achat de la première trancheuse ait été financé en partie par un emprunt de 150 000$ à un taux d'intérêt effectif annuel de 8%, remboursable en 5 paiements annuels égaux, comportant capital et intérêt. Cependant, s'il vend la machine après trois ans, il devra rembourser dès ce moment la totalité du capital restant à payer. La nouvelle trancheuse pourrait aussi être financée en partie par un emprunt de 150 000$, mais le taux effectif annuel serait de 6%, remboursable en 3 paiements annuels égaux, comportant capital et intérêt.Quelle option l'entrepreneur devrait-il choisir?

7


Option 1: Garder la machine actuelle encore 3 ans

Année 4 5 6Taux de DPA 30% 30% 30%FNACC au début 83 300 $ 58 310 $ 40 817 $DPA 24 990 $ 17 493 $ 12 245 $FNACC à la f in 58 310 $ 40 817 $ 28 572 $

S 25 000 $FNACC 28 572 $Gain (perte) (3 572 $)Effet fiscal de la disposition 1 214 $

Calcul du calendier du prêt, 1ère machineP 150 000 $Nombre de paiements (cap. et int.) 5i effectif 8.00%Montant des paiements (cap. et int.) 37 568 $Capital à la fin de la 3eme année 66 995 $

Année 4 5 6Capital au début 66 995 $ 34 786 $ 0 $Intérêts 5 360 $ 2 783 $ 0 $Remboursement de capital 32 209 $ 34 786 $ 0 $Capital à la fin 34 786 $ 0 $ 0 $

Coût horaire 15 $Année 4 5 6Mètres de tranchées à creuser 2 000 2 000 2 000 Capacité à l'heure 4.5 4.0 3.5 Nombre d'heures d'opération 444 500 571 Coût d'exploitation annuel 6 667 $ 7 500 $ 8 571 $





B3=37 568$(P/A, 8%, 2) = 66 995$

FNACC3 vient du problèmeprécédent



Année 3 4 5 6

État des résultatsCoût d'exploitation annuel 6 667 $ 7 500 $ 8 571 $DPA 24 990 $ 17 493 $ 12 245 $Intérêts 5 360 $ 2 783 $ 0 $Bénéfice imposable (37 016 $) (27 776 $) (20 817 $)Impôt (12 586 $) (9 444 $) (7 078 $)Bénéfice net (24 431 $) (18 332 $) (13 739 $)


Bénéfice net (24 431 $) (18 332 $) (13 739 $)DPA 24 990 $ 17 493 $ 12 245 $

Investissement(Achat) disposition de la trancheuse 0 $ 25 000 $Effet fiscal de la disposition 1 214 $

FinancementEmprunt (Remboursements) 0 $ (32 209 $) (34 786 $) 0 $

Flux monétaire net 0 $ (31 650 $) (35 625 $) 24 721 $PE(TRAM) (38 205 $)AE(TRAM) (16 733 $)AE par mètre creusé (8.37 $)

Option 1

8


DPA et FNACC du projetAnnée 4 5 6Taux de DPA Mixte 30% 30%FNACC au début 83 300 $ 160 310 $ 112 217 $DPA 42 990 $ 48 093 $ 33 665 $FNACC à la fin 160 310 $ 112 217 $ 78 552 $

S machine 2 80 000 $FNACC 78 552 $Gain (perte) 1 448 $Effet fiscal de la disposition (492 $) année 6

Calcul du calendier du Prêt 2eme machineP 150 000 $Nombre de paiements (cap. et int.) 3i effectif 6.00%Montant des paiements (cap. et int.) 56 116 $Année 4 5 6Capital au début 150 000 $ 102 884 $ 52 940 $Intérêts 9 000 $ 6 173 $ 3 176 $Remboursement de capital 47 116 $ 49 943 $ 52 940 $Capital à la fin 102 884 $ 52 940 $ 0 $

Remboursement du 1er prêt à t=3 66 995 $

Effet fiscal de la disposition en fin de projet


Vient de l'Option 1

DPA des acquis.FNACC Acquis. nettes à demi-taux DPA sur DPA FNACCDébut Acquis. Dispos, nettes à demi-taux le reste Totale Fin

83 300 $ 200 000 $ (80 000 $) 120 000 $ 18 000 $ 24 990 $ 42 990 $ 160 310 $

Option 2: Changer la machine

DPA et FNACC à l'année 4



Exercice 9.9 (modifiExercice 9.9 (modifiéé))Option 2

Conserver la première machine

Coût horaire 15 $Année 3 4 5 6Mètres de tranchées à creuser 2 000 2 000 2 000 Capacité à l'heure 5.0 5.0 5.0 Nombre d'heures d'opération 400 400 400 Coût d'exploitation annuel 6 000 $ 6 000 $ 6 000 $

Année 3 4 5 6

État des résultatsCoût d'exploitation annuel 6 000 $ 6 000 $ 6 000 $DPA 42 990 $ 48 093 $ 33 665 $Intérêts 9 000 $ 6 173 $ 3 176 $Bénéfice imposable (57 990 $) (60 266 $) (42 842 $)Impôt (19 717 $) (20 490 $) (14 566 $)Bénéfice net (38 273 $) (39 776 $) (28 275 $)


Bénéfice net (38 273 $) (39 776 $) (28 275 $)DPA 42 990 $ 48 093 $ 33 665 $

Investissement(Achat) disposition de la machine 2 (200 000 $) 80 000 $(Achat) disposition de la machine 1 80 000 $Effet fiscal de la disposition (492 $)

FinancementEmprunts (remboursements) - Prêt 1 (66 995 $)Emprunts (remboursements) - Prêt 2 150 000 $ (47 116 $) (49 943 $) (52 940 $)

Flux monétaire net (36 995 $) (42 400 $) (41 626 $) 31 957 $PE(TRAM) (84 327 $)AE(TRAM) (36 933 $)AE par mètre creusé (18.47 $)

PE Option 2 - PE Option 1 = (46 122 $)


9



Conserver la première machine

Année 3 4 5 6

État des résultatsCoûts (économies) d'exploitation (667 $) (1 500 $) (2 571 $)DPA additionnelle 18 000 $ 30 600 $ 21 420 $Intérêts additionnels 3 640 $ 3 390 $ 3 176 $Bénéfice imposable (20 974 $) (32 490 $) (22 025 $)Impôt (7 131 $) (11 047 $) (7 488 $)Bénéfice net (13 843 $) (21 444 $) (14 536 $)


Bénéfice net (13 843 $) (21 444 $) (14 536 $)DPA 18 000 $ 30 600 $ 21 420 $

Investissement(Achat) disposition de la machine 2 (200 000 $) 80 000 $Effet fiscal de la disposition (492 $)(Achat) disposition de la machine 1 80 000 $ (25 000 $)Effet fiscal de la disposition (1 214 $)

FinancementEmprunts (remboursements) - Prêt 1 (66 995 $) 32 209 $ 34 786 $ 0 $Emprunts (remboursements) - Prêt 2 150 000 $ (47 116 $) (49 943 $) (52 940 $)

Flux monétaire net (36 995 $) (10 750 $) (6 001 $) 7 237 $PE(TRAM) (46 122 $)AE(TRAM) (15 374 $)AE par mètre creusé (7.69 $)

TRI différentiel -57.8%

Par analyse différentielle Option 2 - Option 1



La division industrielle de la société Distributeurs automatiques Windsor étudie la demande de son usine de Toronto relativement àl'inclusion d'un tour de filetage dans le budget des immobilisations de l'année 2000:

Période d'analyse du projet: 6 ansCoût du projet 48 018$Coût amortissable: 48 018$Valeur de récupération: 3 500$Économies prévues: 38 780$/annéeCatégorie de DPA 43, d = 30%Taux d'impôt: 40%TRAM: 15%

a) Déterminez les flux monétaires pour chaque année du projetb) Ce projet est-il acceptable selon le critère de la valeur actualisée

équivalente (PE)c) Déterminez le TRI de cet investissement

10



Projet acceptable

P = 48 018 $ d = 30% t = 40%S = 3 500 $ N = 6 TRAM = 15.0%

Année 0 1 2 3 4 5 6Taux de DPA 15.0% 30% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 48 018 $ 40 815 $ 28 571 $ 19 999 $ 14 000 $ 9 800 $DPA 7 203 $ 12 245 $ 8 571 $ 6 000 $ 4 200 $ 2 940 $FNACC à la fin 40 815 $ 28 571 $ 19 999 $ 14 000 $ 9 800 $ 6 860 $


Année 0 1 2 3 4 5 6État des résultatsÉconomies de main d'oeuvre 38 780 $ 38 780 $ 38 780 $ 38 780 $ 38 780 $ 38 780 $DPA 7 203 $ 12 245 $ 8 571 $ 6 000 $ 4 200 $ 2 940 $Bénéfice imposable 31 577 $ 26 535 $ 30 209 $ 32 780 $ 34 580 $ 35 840 $Impôt 12 631 $ 10 614 $ 12 084 $ 13 112 $ 13 832 $ 14 336 $Bénéfice net 18 946 $ 15 921 $ 18 125 $ 19 668 $ 20 748 $ 21 504 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 18 946 $ 15 921 $ 18 125 $ 19 668 $ 20 748 $ 21 504 $DPA 7 203 $ 12 245 $ 8 571 $ 6 000 $ 4 200 $ 2 940 $

Investissement(Achat) disposition de la machine (48 018 $) 3 500 $Effet fiscal de la disposit ion 1 344 $

Flux monétaire net (48 018 $) 26 149 $ 28 166 $ 26 696 $ 25 668 $ 24 948 $ 29 288 $

PE(TRAM) 53 312 $AE (TRAM) 14 087 $TRI 51.0%





Supposons que le projet serait financé en partie par un emprunt sur 6 ans au montant de 20 000$, à un taux d’intérêt de 8% nominal, capitalisé trimestriellement. Le prêt serait remboursable par 6 versements annuels (fin d’année). Les versements des années 1, 3 et 5 et 6 sont égaux et comprennent le capital et les intérêts. Le versement des années 2 et 4 ne comprennent que les intérêts.

0 1 2 3 4 5 6

ieff = 8.24%P = 20 000$

A = ? A = ? A = ? A = ?

I2 = ? I4 = ?

$071 6)4 8.24%, ,/(

%24.814%81

4

==

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

PAPA

ieff

N = 4 = nombre d’années où l’on verse capital et intérêt si, et seulement si, on paie les intérêts durant les autres années.

11



Dans ce genre de prêt, on vient intercaler des années où on ne paie que les intérêts sur le solde de capital en début d'année.Remboursement capital et intérêt: 4 ans au calcul standard de prêt àterme + 2 ans intérêt seulementLe prêteur a toujours le même rendement de 8.24%

215 578 $1 284 $

0 $15 578 $1 284 $

410 790 $

889 $0 $

10 790 $889 $

Année 1Capital au début 20 000 $Intérêt 1 649 $Capital remboursé 4 422 $Capital à la fin 15 578 $Paiement total 6 071 $

315 578 $

1 284 $4 787 $

10 790 $6 071 $

5 610 790 $ 5 609 $

889 $ 462 $5 182 $ 5 609 $5 609 $ 0 $6 071 $ 6 071 $



Année 0 1 2 3 4 5 6État des résultatsÉconomies de main d'oeuvre 38 780 $ 38 780 $ 38 780 $ 38 780 $ 38 780 $ 38 780 $DPA 7 203 $ 12 245 $ 8 571 $ 6 000 $ 4 200 $ 2 940 $Intérêt 1 649 $ 1 284 $ 1 284 $ 889 $ 889 $ 462 $Bénéfice imposable 29 929 $ 25 251 $ 28 925 $ 31 891 $ 33 691 $ 35 378 $Impôt 11 971 $ 10 101 $ 11 570 $ 12 756 $ 13 476 $ 14 151 $Bénéfice net 17 957 $ 15 151 $ 17 355 $ 19 134 $ 20 214 $ 21 227 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 17 957 $ 15 151 $ 17 355 $ 19 134 $ 20 214 $ 21 227 $DPA 7 203 $ 12 245 $ 8 571 $ 6 000 $ 4 200 $ 2 940 $

Investissement(Achat) disposition de la machine (48 018 $) 3 500 $Effet fiscal de la disposition 1 344 $

FinancementEmprunt (Remboursement) 20 000 $ (4 422 $) 0 $ (4 787 $) 0 $ (5 182 $) (5 609 $)Flux monétaire net (28 018 $) 20 737 $ 27 395 $ 21 139 $ 25 134 $ 19 233 $ 23 402 $


12



Un bien appartenant à la catégorie 8 (d =20%) coûte 100 000$. On prévoit qu'après 6 ans d'usage, il aura une valeur de récupération nulle. Chaque année, il produira des revenus de 300 000$ et nécessitera des dépenses de 100 000$ pour la main d'œuvre et de50 000$ pour les matières. Ce sont les seuls revenus et dépenses liés à ce bien. Tenez pour acquis que le taux d'imposition est de 40%.a) Calculez les flux monétaires après impôt pour la durée du projetb) Calculez la valeur actualisée équivalente (PE) en fonction d'un

TRAM de 12%. Cet investissement est-il acceptable?



Projet acceptable

P = 100 000 $ d = 20% t = 40%S = 0 $ N = 6 TRAM = 12.0%


S 0 $FNACC 29 491 $Gain (perte) (29 491 $)Effet fiscal de la disposition 11 796 $

Année 0 1 2 3 4 5 6État des résultatsRevenus 300 000 $ 300 000 $ 300 000 $ 300 000 $ 300 000 $ 300 000 $Dépenses

Main d'œuvre 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $Matières 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $DPA 10 000 $ 18 000 $ 14 400 $ 11 520 $ 9 216 $ 7 373 $

Bénéfice imposable 140 000 $ 132 000 $ 135 600 $ 138 480 $ 140 784 $ 142 627 $Impôt 56 000 $ 52 800 $ 54 240 $ 55 392 $ 56 314 $ 57 051 $Bénéfice net 84 000 $ 79 200 $ 81 360 $ 83 088 $ 84 470 $ 85 576 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 84 000 $ 79 200 $ 81 360 $ 83 088 $ 84 470 $ 85 576 $DPA 10 000 $ 18 000 $ 14 400 $ 11 520 $ 9 216 $ 7 373 $

Investissement(Achat) disposition de la machine (100 000 $) 0 $Effet fiscal de la disposition 11 796 $





13



Supposons qu’en plus de l’achat de la machine, il faut procéder à un agrandissement de l’usine qui coutera 200 000$. Une nouvelle loi fiscale permet de réclamer une DPA selon la méthode linéaire sur 15 ans en appliquant une valeur résiduelle de 10% du coût original. Comme cet agrandissement serait une partie intégrante de la bâtisse, on ne pourra en disposer à la fin du projet. On l’attribuera plutôt, à sa valeur dépréciée, à d’autres activités de l’entreprise.

AgrandissementP 200 000 $S (fiscal, 10%) 20 000 $Taux de la DPA (d) 1/15DPA = (P-S) x d 12 000 $

Année 0 1 2 3 4 5 6FNACC au début 200 000 $ 188 000 $ 176 000 $ 164 000 $ 152 000 $ 140 000 $DPA 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $FNACC à la fin 188 000 $ 176 000 $ 164 000 $ 152 000 $ 140 000 $ 128 000 $

S 128 000 $ valeur aux livres, attribuée à la fin du projet à un autre projet FNACC 128 000 $Gain (perte) 0 $Effet fiscal de la disposition 0 $





Année 0 1 2 3 4 5 6État des résultatsRevenus 300 000 $ 300 000 $ 300 000 $ 300 000 $ 300 000 $ 300 000 $Dépenses

Main d'œuvre 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $Matières 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $DPA 22 000 $ 30 000 $ 26 400 $ 23 520 $ 21 216 $ 19 373 $


Bénéfice net 76 800 $ 72 000 $ 74 160 $ 75 888 $ 77 270 $ 78 376 $DPA 22 000 $ 30 000 $ 26 400 $ 23 520 $ 21 216 $ 19 373 $

Investissement(Achat) disposition de la machine (100 000 $) 0 $Effet fiscal de la disposition 11 796 $(Coût) disp. de l'agrandissement (200 000 $) 128 000 $Effet fiscal de la disposition 0 $



14



Un ingénieur des installations envisage un investissement de 50 000$ dans un système de gestion de l'énergie (SGE), grâce auquel on devrait réaliser des économies annuelles de 10 000$ sur les factures de services publics pendant N années. Après N années, le SGE aura une valeur de récupération nulle. Effectuez une analyse après impôt pour déterminer le nombre d'années que N doit représenter pour que le taux de rendement du capital investi atteigne 10%. Tenez pouracquis que le bien fait partie de la catégorie 10 de la DPA, à laquelle s'applique d = 30%, et que le taux d'imposition est de 35%.


Exercice 9.16Exercice 9.16P = 50 000 $ d = 30% t = 35%S = 0 $ N = ? TRAM = 10.0%

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Taux de DPA 15.0% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 50 000 $ 42 500 $ 29 750 $ 20 825 $ 14 578 $ 10 204 $ 7 143 $ 5 000 $ 3 500 $DPA 7 500 $ 12 750 $ 8 925 $ 6 248 $ 4 373 $ 3 061 $ 2 143 $ 1 500 $ 1 050 $FNACC à la fin 42 500 $ 29 750 $ 20 825 $ 14 578 $ 10 204 $ 7 143 $ 5 000 $ 3 500 $ 2 450 $

S 0 $FNACC 2 450 $Gain (perte) (2 450 $)Effet fiscal de la disposition 858 $

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9État des résultatsRevenus 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $Dépenses

DPA 7 500 $ 12 750 $ 8 925 $ 6 248 $ 4 373 $ 3 061 $ 2 143 $ 1 500 $ 1 050 $Bénéfice imposable 2 500 $ (2 750 $) 1 075 $ 3 753 $ 5 627 $ 6 939 $ 7 857 $ 8 500 $ 8 950 $Impôt 875 $ (963 $) 376 $ 1 313 $ 1 969 $ 2 429 $ 2 750 $ 2 975 $ 3 132 $Bénéfice net 1 625 $ (1 788 $) 699 $ 2 439 $ 3 657 $ 4 510 $ 5 107 $ 5 525 $ 5 817 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 1 625 $ (1 788 $) 699 $ 2 439 $ 3 657 $ 4 510 $ 5 107 $ 5 525 $ 5 817 $DPA 7 500 $ 12 750 $ 8 925 $ 6 248 $ 4 373 $ 3 061 $ 2 143 $ 1 500 $ 1 050 $

Investissement(Achat) disposition du système (50 000 $) 0 $Effet fiscal de la disposition 858 $

Flux monétaire net (50 000 $) 9 125 $ 10 963 $ 9 624 $ 8 687 $ 8 031 $ 7 571 $ 7 250 $ 7 025 $ 7 725 $50 052.98 $

PE(TRAM) 53 $AE (TRAM) 9 $TRI 10.0%



15



Solution analytiqueP = Prix de la machine; d = taux de DPA; R = Revenus annuels; t = taux d'impôt;N = nombre d'années; i = TRAMPE = 0 = – P + PE(revenus d'exploitation nets après impôt) +PE(économies d'impôts dues à la DPA)+ PE(effet fiscal de la disposition)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

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++−−

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++

−−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

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++−−

+−

=

−=−=

+=

=+

−−−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+−=

−=

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−

diid

itdPd

itPd

idtdP

iiitRP

diid

itdPd

dg,i,F/PN,i,g,A/PtdPdPE

itPd

,i,F/PtdPPEi

dtdPN,i,F/PdtdPPE

iiitR

N,i,A/PtRPE

NN

N

N

N

N

NN

N

N

N

N

N

111

11

1

1

1111

211

21

1211

1110

1111

21où

1 21N à 2 annéeDPA sur Impôt 1

21 21 annéeDPA sur Impôt

1121

121ndispositio la de fiscalEffet 1

111

1impôt après nets revenus



Solution analytiqueP = 50 000$; d = 30% R = 10 000$; t = 35%; i = 10%

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )

( ) ( )

997858

4011701$057 4386$ 2

1170875$ 14

1110111500$ 6000$ 050

1111

211

21

1211

1110

111

111

≈=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+++⎟

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⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

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⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+−+−=

−−−

−−−

.N

...

..

...

diid

itdPd

itPd

idtdP

iiitRP

NN

N

N

N

N

NN

N

N

N

N

16



Une société projette d'acheter une machine qui lui fera économiser annuellement 130 000$ avant impôt. Ses frais d'exploitation, entretien compris, s'élèvent à 20 000$ par année. La société s'en servira pendant 5 ans, au terme desquels la valeur de récupération sera nulle. Présumez que le taux de DPA de la machine est 30%. La société a un taux d'imposition marginal de 40%. Si elle vise un TRI de 12% après impôt, combien peut-elle se permettre de payer cette machine?



Solution trouvée avec Excel "Valeur cible"

P = 332 118 $ d = 30% t = 40%S = 0 $ N = 5 TRAM = 12.0%

Année 0 1 2 3 4 5Taux de DPA 15.0% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 332 118 $ 282 300 $ 197 610 $ 138 327 $ 96 829 $DPA 49 818 $ 84 690 $ 59 283 $ 41 498 $ 29 049 $FNACC à la fin 282 300 $ 197 610 $ 138 327 $ 96 829 $ 67 780 $


Année 0 1 2 3 4 5État des résultatsRevenus 130 000 $ 130 000 $ 130 000 $ 130 000 $ 130 000 $Dépenses

Frais d'exploitation 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $DPA 49 818 $ 84 690 $ 59 283 $ 41 498 $ 29 049 $

Bénéfice imposable 60 182 $ 25 310 $ 50 717 $ 68 502 $ 80 951 $Impôt 24 073 $ 10 124 $ 20 287 $ 27 401 $ 32 381 $Bénéfice net 36 109 $ 15 186 $ 30 430 $ 41 101 $ 48 571 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 36 109 $ 15 186 $ 30 430 $ 41 101 $ 48 571 $DPA 49 818 $ 84 690 $ 59 283 $ 41 498 $ 29 049 $

Investissement(Achat) disposition du système (332 118 $) 0 $Effet fiscal de la disposit ion 27 112 $


PE(TRAM) 0 $AE(TRAM) 0 $TRI 12.00%



17



Solution analytiqueP = Prix de la machine PE = 0 = – P + PE(revenus d'exploitation nets après impôt) +

PE(économies d'impôts dues à la DPA) + PE(effet fiscal de la disposition)

( )( )( )( ) ( ) $915 2375 12%, ,$000 665 12%, ,%401000$ 20000$ 130

impôt aprèson exploitatid' revenus==−−= A/PA/P

PE

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) P.F/PtdddPF/PtdddP

F/PtdddPF/PtddPF/PtdP

PE

237205 12%, ,12

4 12%, ,12

3 12%, ,12

2 12%, ,2

1 12%, ,2

DPA la à dues impôtsd' économies

32

22

22

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

( )( )( ) ( ) ( ) P.F/PddPF/PFNACCS

SPE

046305 12%, ,12

15 12%, ,

0 ndispositio la de discaleffet 4 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−−=

=

( ) $118 33271640

$915 237$915 23704630.0.2372

==

=−−⇒

.P

PPP



La société Ampex fabrique une grande variété de cassettes destinées aux marchés publics et privés. Comme la production des cassettes VHS fait l'objet d'une concurrence de plus en plus vive, Ampex cherche a vendre son produit a des prix compétitifs. Présentement, elle possède 18 chargeurs qui introduisent des bandes magnétiques dans des boîtiers VHS de un demi-pouce. Chaque chargeur nécessite un opérateur par période de travail. A l'heure actuelle, la société produit hebdomadairement 25 000 cassettes de un demi-pouce, a raison de 3 période de travail par jour, 5 jours par semaine, 50 semaines par année. Afin de réduire le coût unitaire, Ampex peut acheter des boîtiers lui coûtant 0,15 $ de moins (chacun) que ceux qu'elle fabrique actuellement. Un fournisseur lui garantit un prix de 0,77$ par boîtier pour les trois prochaines années. Toutefois, les chargeurs existants sont incapables d'introduire les bandes dans les boîtiers proposés. Pour s'adapter à ces derniers, Ampex doit acheter huit chargeurs KING-2500 coûtant 40 000 $ chacun. Pour que ces nouvelles machines fonctionnent convenablement, elle doit aussi acheter du matériel de manutention valant 20 827 $, ce qui porte le total du cout en capital a 340 827 $. Les nouvelles machines appartiennent à la catégorie 43 de la DPA, laquelle s'applique d = 30%, et leur vie utile estimative est de huit ans. À la fin du projet, Ampex prévoit que la valeur marchande de chaque chargeur sera de 3 000$.

18



Beaucoup plus rapides, les nouvelles machines dépasseront la demande actuelle de 25 000 cassettes par semaine. Chaque chargeur nécessitera deux opérateurs par période de travail, à raison de trois périodes de travail par jour, 5 jours par semaine, 50 semaines par année.Le salaire moyen des nouveaux employés dont l'entreprise a besoin s'élève a 8,27 $ l'heure, plus 23 % pour les avantages sociaux, soit un total de 10,17 $ l'heure. Comme le fonctionnement des nouveaux chargeurs est simple, la formation aura une incidence négligeable sur le projet. On prévoit que les frais d'exploitation, entretien compris, demeureront les mêmes pour les nouveaux chargeurs: l'analyse n'en tiendra donc pas compte. Si Ampex achète les nouveaux chargeurs, elle enverra les anciens dans d'autres usines ou ils serviront d'appareils de secours: il n'y aura donc pas de disposition. Le taux d'imposition marginal de la société est de 40 %. Déterminez les flux monétaires âpres impôt pour la durée du projet. Déterminez le TRI de cet investissement. Cet investissement est-il rentable si le TRAM est de 15 %?



La solution de ce problème exige que nous fassions nous-mêmes le calcul des revenus (i.e. économies) annuels générés par le projet:Économies sur les boîtiers:Consommation hebdomadaire 25 000 Nombre de semaines de production 50 Production annuelle 1 250 000 Économie par boîtier 0.15 $Économies annuelles 187 500 $

Économies de main d'œuvre:Actuel Proposé

Nombre de chargeurs 18 8Opérateurs/chargeur/pér. de travail 1 2Opérateurs/période de travail 18 16

Nombre d'opérateurs en moins par période travai 2 Heures/période 8 Période de travail/jour 3 Périodes de jours de travail/semaine 5 Semaines de travail par année 50 Heures économisées par année 12 000 Salaire horaire 8.27 $Salaires annuels 99 240 $Plus avantages sociaux (23%) 22 825 $Total des économies de main d'œuvre 122 065 $

Économies annuelles totales 309 565 $

19



Projet rentableÉconomies par cassette, nettes d'impôt = 130 000$/1 250 000= 0.104$/cassette

P = 340 827 $ d = 30% t = 40%S = 24 000 $ N = 8 TRAM = 15.0%

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8Taux de DPA 15.0% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 340 827 $ 289 703 $ 202 792 $ 141 954 $ 99 368 $ 69 558 $ 48 690 $ 34 083 $DPA 51 124 $ 86 911 $ 60 838 $ 42 586 $ 29 810 $ 20 867 $ 14 607 $ 10 225 $FNACC à la fin 289 703 $ 202 792 $ 141 954 $ 99 368 $ 69 558 $ 48 690 $ 34 083 $ 23 858 $

S 24 000 $FNACC 23 858 $Gain (perte) 142 $Effet fiscal de la disposition (57 $)

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8État des résultatsRevenus: économies 309 565 $ 309 565 $ 309 565 $ 309 565 $ 309 565 $ 309 565 $ 309 565 $ 309 565 $Dépenses:

DPA 51 124 $ 86 911 $ 60 838 $ 42 586 $ 29 810 $ 20 867 $ 14 607 $ 10 225 $Bénéfice imposable 258 441 $ 222 654 $ 248 728 $ 266 979 $ 279 755 $ 288 698 $ 294 958 $ 299 340 $Impôt 103 376 $ 89 062 $ 99 491 $ 106 792 $ 111 902 $ 115 479 $ 117 983 $ 119 736 $Bénéfice net 155 065 $ 133 593 $ 149 237 $ 160 187 $ 167 853 $ 173 219 $ 176 975 $ 179 604 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 155 065 $ 133 593 $ 149 237 $ 160 187 $ 167 853 $ 173 219 $ 176 975 $ 179 604 $DPA 51 124 $ 86 911 $ 60 838 $ 42 586 $ 29 810 $ 20 867 $ 14 607 $ 10 225 $

Investissement(Achat) disposition du système (340 827 $) 24 000 $Effet fiscal de la disposit ion (57 $)

Flux monétaire net (340 827 $) 206 189 $ 220 503 $ 210 074 $ 202 774 $ 197 663 $ 194 086 $ 191 582 $ 213 772 $

PE(TRAM) 583 351 $AE(TRAM) 130 000 $TRI 59.80%





La société de machinerie Michel projette d'étendre sa gamme actuelle de mandrins. Pour ce faire, elle a besoin de machines valant 500 000$, de même qu'un bâtiment de 1.5 M$ pour abriter les nouvelles installations. Elle doit aussi investir 250 000$ dans le terrain et 150 000$ dans le fonds de roulement.Par ailleurs, elle estime que le produit donnera lieu à des ventes additionnelles totalisant 750 000$ par année pendant 10 ans, au terme desquels le terrain pourra être vendu 500 000$, le bâtiment, 700 000$ et le matériel, 50 000$. La société recouvrera entièrement son investissement dans le fonds de roulement.Les sorties de fonds annuelles relatives à la main d'œuvre, aux matières et àtoutes les autres charges sont estimées à 425 000$ par année.Le taux de l'imposition de l'entreprise est de 40% et celui s'appliquant à ses gains en capital, de 20%. Le bâtiment sera amorti en fonction de d = 4% et la machinerie à d = 30%.Le TRAM de la société s'élève à 15% après impôt.

Déterminez les flux monétaires nets après impôts de cet investissement. L'expansion est-elle justifiable?

20


P machinerie = 500.0 $ d = 30% FR = 150 $S machinerie = 50.0 $ N = 10 Récup. du FR = 100%

P bâtiment = 1 500.0 $ d = 4%S bâtiment = 700.0 $ N = 10 t = 40%

P terrain = 250.0 $ d = 0% t gain capital= 20%S terrain = 500.0 $ N = 10 TRAM = 15.0%

MachinerieAnnée 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Taux de DPA 15% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 500.0 $ 425.0 $ 297.5 $ 208.3 $ 145.8 $ 102.0 $ 71.4 $ 50.0 $ 35.0 $ 24.5 $DPA 75.0 $ 127.5 $ 89.3 $ 62.5 $ 43.7 $ 30.6 $ 21.4 $ 15.0 $ 10.5 $ 7.4 $FNACC à la fin 425.0 $ 297.5 $ 208.3 $ 145.8 $ 102.0 $ 71.4 $ 50.0 $ 35.0 $ 24.5 $ 17.2 $

S 50.0 $FNACC = P 17.2 $Gain (perte) 32.8 $Effet fiscal de la disposition (13.1 $)

BâtimentAnnée 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Taux de DPA 2% 4% 4% 4% 4% 4% 4% 4% 4% 4%FNACC au début 1 500.0 $ 1 470.0 $ 1 411.2 $ 1 354.8 $ 1 300.6 $ 1 248.5 $ 1 198.6 $ 1 150.7 $ 1 104.6 $ 1 060.4 $DPA 30.0 $ 58.8 $ 56.4 $ 54.2 $ 52.0 $ 49.9 $ 47.9 $ 46.0 $ 44.2 $ 42.4 $FNACC à la fin 1 470.0 $ 1 411.2 $ 1 354.8 $ 1 300.6 $ 1 248.5 $ 1 198.6 $ 1 150.7 $ 1 104.6 $ 1 060.4 $ 1 018.0 $

S 700.0 $FNACC 1 018.0 $Gain (perte) (318.0 $)Effet fiscal de la disposition 127.2 $

Terrain

S 500.0 $P 250.0 $Gain (perte) en capital 250.0 $Effet fiscal de la disposition (50.0 $)






S>P Gain en capital de 250 000$, imposé à 50% du taux de 40% (20%)


Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 État des résultatsRevenus 750.0 $ 750.0 $ 750.0 $ 750.0 $ 750.0 $ 750.0 $ 750.0 $ 750.0 $ 750.0 $ 750.0 $Dépenses

Frais d'exploitation 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $DPA 105.0 $ 186.3 $ 145.7 $ 116.7 $ 95.8 $ 80.6 $ 69.4 $ 61.0 $ 54.7 $ 49.8 $

Bénéfice imposable 220.0 $ 138.7 $ 179.3 $ 208.3 $ 229.2 $ 244.4 $ 255.6 $ 264.0 $ 270.3 $ 275.2 $Impôt 88.0 $ 55.5 $ 71.7 $ 83.3 $ 91.7 $ 97.8 $ 102.3 $ 105.6 $ 108.1 $ 110.1 $Bénéfice net 132.0 $ 83.2 $ 107.6 $ 125.0 $ 137.5 $ 146.7 $ 153.4 $ 158.4 $ 162.2 $ 165.1 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 132.0 $ 83.2 $ 107.6 $ 125.0 $ 137.5 $ 146.7 $ 153.4 $ 158.4 $ 162.2 $ 165.1 $DPA 105.0 $ 186.3 $ 145.7 $ 116.7 $ 95.8 $ 80.6 $ 69.4 $ 61.0 $ 54.7 $ 49.8 $

Investissement(Achat) disposition de la mach. (500.0 $) 50.0 $Effet fiscal de la disposition (13.1 $)(Achat) disposition du bâtiment (1 500.0 $) 700.0 $Effet fiscal de la disposition 127.2 $(Achat) disposition du terrain (250.0 $) 500.0 $Effet fiscal de la disposition (50.0 $)Fonds de roulement (150.0 $) 150.0 $

Flux monétaire net (2 400.0 $) 237.0 $ 269.5 $ 253.3 $ 241.7 $ 233.3 $ 227.2 $ 222.7 $ 219.4 $ 216.9 $ 1 679.0 $

PE(TRAM) (839.1 $)AE(TRAM) (167.2 $)TRI 7.0%


Projet non rentable

21



Quel devrait être le montant des ventes additionnelles pour que le projet soit rentable? Supposez que l'investissement dans le fonds de roulement représente 20% des ventes. (i.e. dans le scénario précédent, 150 K$ = 750 K$ x 20%).

Si la PE à des revenus de 750K$ est de (839.1K$), cela revient à chercher l'augmentation des ventes, par rapport à 750 K$, qui aurait un impact de +839.1K$ sur la PE. Il faut isoler l'impact des revenus sur le flux monétaire net après impôts:

Dans une année donnée, l'impact d'un changement des revenus (∆R) sur le flux monétaire (∆FM) après impôt au taux t=40% est de:

( ) R.tRFM ∆=−∆=∆ 601

Plus, l'impact d'une variation des revenus sur la variation du fonds de roulement, ici:

10 t à 0.2et 0 tà 20 =∆+=∆− RR.


0.6∆R

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


On cherche donc à trouver ∆R qui rendrait la ∆PE du flux monétaire suivant égale à+839.1K$, au TRAM de 15%:

( ) ( )( ) ( )

K$31043K$3293K$750

K$32932.860739.1K$8

8607204940011332039.1$8247202001885602039.1$8

15%,102010 15%, 6020$1839

0 ..RRR

.R

R.R.R.R..R..R.R.

,F/PR.,A/PR.R..PE

=+=∆+=

+==∆

∆=∆+∆+∆−=∆+∆+∆−=

∆+∆+∆−==∆

0.8∆R

−0.2∆R

Avec la TI:750+nsolve(npv(15,-0.2X,{0.6X,0.8X},{9,1})=839.1,X)=1043

0.2∆R0.6∆R

22



R = 750 K$ + ∆R = 750 K$ +293.3K$ = 1 043.3K$

0.6∆R

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.8∆R

−0.2∆R

0.2∆R0.6∆R

Avec la TI BA II:CFo=-.2!, CF1=.6!, F1=9!, CF2=.8!, F2=1!(I=15!NPV% = 2.8607

839.162.8607 =293.3$



Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 État des résultatsRevenus 1 043.3 $ 1 043.3 $ 1 043.3 $ 1 043.3 $ 1 043.3 $ 1 043.3 $ 1 043.3 $ 1 043.3 $ 1 043.3 $ 1 043.3 $Dépenses

Frais d'exploitation 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $ 425.0 $DPA 105.0 $ 186.3 $ 145.7 $ 116.7 $ 95.8 $ 80.6 $ 69.4 $ 61.0 $ 54.7 $ 49.8 $

Bénéfice imposable 513.3 $ 432.0 $ 472.6 $ 501.6 $ 522.5 $ 537.7 $ 548.9 $ 557.3 $ 563.6 $ 568.5 $Impôt 205.3 $ 172.8 $ 189.0 $ 200.7 $ 209.0 $ 215.1 $ 219.6 $ 222.9 $ 225.4 $ 227.4 $Bénéfice net 308.0 $ 259.2 $ 283.6 $ 301.0 $ 313.5 $ 322.6 $ 329.4 $ 334.4 $ 338.2 $ 341.1 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 308.0 $ 259.2 $ 283.6 $ 301.0 $ 313.5 $ 322.6 $ 329.4 $ 334.4 $ 338.2 $ 341.1 $DPA 105.0 $ 186.3 $ 145.7 $ 116.7 $ 95.8 $ 80.6 $ 69.4 $ 61.0 $ 54.7 $ 49.8 $

Investissement(Achat) disposition de la mach. (500.0 $) 50.0 $Effet fiscal de la disposition (13.1 $)(Achat) disposition du bâtiment (1 500.0 $) 700.0 $Effet fiscal de la disposition 127.2 $(Achat) disposition du terrain (250.0 $) 500.0 $Effet fiscal de la disposition (50.0 $)Fonds de roulement (208.7 $) 208.7 $

Flux monétaire net (2 458.7 $) 413.0 $ 445.5 $ 429.3 $ 417.6 $ 409.3 $ 403.2 $ 398.7 $ 395.4 $ 392.9 $ 1 913.6 $

PE(TRAM) 0.0 $AE(TRAM) 0.0 $TRI 15.0%

Preuve:

Projet au point-mort

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Un ingénieur industriel qui travaille pour l'usine de textile Winnipeg propose l'achat d'appareils de détection à balayage destinés à l'entrepôt et aux salles de tissage. L'ingénieur croit que, grâce à ce matériel, qui permet d'enregistrer l'emplacement des boîtes et de conserver les données sur ordinateur, on pourra améliorer le système de localisation des boîtes placées dans l'entrepôt. Voici les données relatives au projet:

Coût du matériel et de l'installation: 44 500$Durée du projet: 6 ansValeur de récupération prévue: 0$Investissement dans le fonds de roulement (entièrement recouvrable à la fin du projet): 10 000$Économies de main d'œuvre et de matières prévues: 62 800$Charges annuelles prévues: 8 120$Méthode d'amortissement: Catégorie 8 de la DPA, d = 20%Taux d'imposition marginal: 35%

a) Déterminez les flux monétaires nets après impôts pour la durée du projetb) Calculez le TRI de cet investissementc) Si le TRAM est de 18%, ce projet est-il acceptable?



P = 44 500 $ d = 20% t = 35%S = 0 $ N = 6 TRAM = 18.0%

FR = 10 000 $Recouvrement du FR = 100.0%





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Année 0 1 2 3 4 5 6État des résultatsRevenus: économies de m.o. et matières 62 800 $ 62 800 $ 62 800 $ 62 800 $ 62 800 $ 62 800 $Dépenses:

Charges annuelles 8 120 $ 8 120 $ 8 120 $ 8 120 $ 8 120 $ 8 120 $DPA 4 450 $ 8 010 $ 6 408 $ 5 126 $ 4 101 $ 3 281 $


Bénéfice net 32 650 $ 30 336 $ 31 377 $ 32 210 $ 32 876 $ 33 409 $DPA 4 450 $ 8 010 $ 6 408 $ 5 126 $ 4 101 $ 3 281 $

Investissement(Achat) disposition du système (44 500 $) 0 $Effet fiscal de la disposit ion 4 593 $(Investissement) Récupération du FR (10 000 $) 10 000 $




Projet rentable



Supposons maintenant que le fournisseur offre une option de location de 6 ans, au prix de 18 000$ par année, payable en début d’année. Pour fins fiscales, les coûts de location sont entièrement déductibles.

Quelle est la meilleure option?

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Le paiement des frais de location en début d’année est un actif à court terme: les frais payés d’avance.Ceci vient donc augmenter les besoins en fonds de roulement de18 000$, montant qui sera récupéré à la fin de la 6e année.

Année 0 1 2 3 4 5 6État des résultatsRevenus: économies de m.o. et matières 62 800 $ 62 800 $ 62 800 $ 62 800 $ 62 800 $ 62 800 $Dépenses:

Charges annuelles 8 120 $ 8 120 $ 8 120 $ 8 120 $ 8 120 $ 8 120 $Frais de location 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $


Bénéfice net 23 842 $ 23 842 $ 23 842 $ 23 842 $ 23 842 $ 23 842 $Investissement

(Investissement) Récupération du FR (10 000 $) 10 000 $Moins plus variation des frais payés d'avance (18 000 $) 18 000 $



PE(location) < PE(achat)(différence de 16 132$)

Il est préférable d'acheter (même si le TRI est supérieur!)



Analyse différentielle: Achat - Location

Il est préférable d'acheter

Année 0 1 2 3 4 5 6État des résultatsÉconomie de frais de location 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $DPA due à l'achat 4 450 $ 8 010 $ 6 408 $ 5 126 $ 4 101 $ 3 281 $Économies imposables 13 550 $ 9 990 $ 11 592 $ 12 874 $ 13 899 $ 14 719 $Impôts 4 743 $ 3 497 $ 4 057 $ 4 506 $ 4 865 $ 5 152 $Économies nettes 8 808 $ 6 494 $ 7 535 $ 8 368 $ 9 034 $ 9 567 $État des flux de trésorerieExploitation

Économies nettes 8 808 $ 6 494 $ 7 535 $ 8 368 $ 9 034 $ 9 567 $DPA 4 450 $ 8 010 $ 6 408 $ 5 126 $ 4 101 $ 3 281 $

Investissement(Achat) disposition du système (44 500 $) 0 $Effet fiscal de la disposition 4 593 $Économie de fonds de roulement 18 000 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ (18 000 $)

Flux monétaire net (26 500 $) 13 258 $ 14 504 $ 13 943 $ 13 494 $ 13 135 $ (558 $)


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Un fabricant de vêtements pour bambins envisage un investissement destiné àinformatiser la planification des besoins en matières, l'impression de coupons de marchandise, la facturation et la paie. Un consultant recommande le budget suivant:

Les ordinateurs ont une vie utile de 6 ans et une valeur de récupération totale de 1 000$. Le système est classé dans la catégorie 10 (d = 30%).L'élaboration de progiciels coutera 20 000$. Cette dépense peut être passée à la dépense pendant la première année d'opération du système.Le nouveau système permettra une économie de salaires annuelle de52 000$ et entraînera des coûts additionnels de 12 000$ par année.Le système sera entièrement financé par un emprunt au coût de 11%, remboursé en 5 paiements annuels égaux.Le taux d'impôt est de 40% et le TRAM de 18%

Calculez le flux monétaire après impôt de ce projet

Ordinateurs et imprimantes 65 000 $Réseau local d'entreprise (LAN) 15 000 $Installation et essai du système 4 000 $



A = P(A/P, i, N) = 84 000$(A/P, 11%, 5) = 22 728$

P = 84 000 $ d = 30% t = 40%S = 1 000 $ id = 11.0% TRAM = 18.0%

FR = 0 $ Prêt = 84 000 $ N projet = 6Recouvrement du FR = 0.0% N prêt = 5

Année 0 1 2 3 4 5 6Taux de DPA 15.0% 30% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 84 000 $ 71 400 $ 49 980 $ 34 986 $ 24 490 $ 17 143 $DPA 12 600 $ 21 420 $ 14 994 $ 10 496 $ 7 347 $ 5 143 $FNACC à la f in 71 400 $ 49 980 $ 34 986 $ 24 490 $ 17 143 $ 12 000 $


Paiement annuel: 22 728 $Année 0 1 2 3 4 5 6Capital au début 84 000 $ 70 512 $ 55 541 $ 38 922 $ 20 476 $ 0 $Intérêts 9 240 $ 7 756 $ 6 109 $ 4 281 $ 2 252 $ 0 $Remboursement de capital 13 488 $ 14 972 $ 16 618 $ 18 446 $ 20 476 $ 0 $Capital à la fin 70 512 $ 55 541 $ 38 922 $ 20 476 $ 0 $ 0 $




27



Projet rentable

Année 0 1 2 3 4 5 6État des résultatsRevenus: économies de salaires 52 000 $ 52 000 $ 52 000 $ 52 000 $ 52 000 $ 52 000 $Dépenses:

Progiciels 20 000 $Dépenses additionnelles 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $DPA 12 600 $ 21 420 $ 14 994 $ 10 496 $ 7 347 $ 5 143 $Intérêts 9 240 $ 7 756 $ 6 109 $ 4 281 $ 2 252 $ 0 $

Bénéfice imposable (1 840 $) 10 824 $ 18 897 $ 25 223 $ 30 401 $ 34 857 $Impôt (736 $) 4 329 $ 7 559 $ 10 089 $ 12 160 $ 13 943 $Bénéfice net (1 104 $) 6 494 $ 11 338 $ 15 134 $ 18 240 $ 20 914 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net (1 104 $) 6 494 $ 11 338 $ 15 134 $ 18 240 $ 20 914 $DPA 12 600 $ 21 420 $ 14 994 $ 10 496 $ 7 347 $ 5 143 $

Investissement(Achat) disposition du système (84 000 $) 1 000 $Effet fiscal de la disposition 4 400 $

FinancementEmprunt (remboursements) 84 000 $ (13 488 $) (14 972 $) (16 618 $) (18 446 $) (20 476 $) 0 $

Flux monétaire net 0 $ (1 992 $) 12 943 $ 9 713 $ 7 183 $ 5 112 $ 31 457 $




Supposons que le système soit financé par 34 000$ de capitaux propres (bénéfices non répartis) et que le reste soit financé par deux prêts dont les modalités sont les suivantes: Prêt 1:

Capital de 25 000$Taux d’intérêt 8% nominal, composé mensuellementTerme de 5 ans3 paiements égaux de capital et intérêts à la fin des années 1,3 et 5Paiement des intérêts seulement aux années 2 et 4

Prêt 2:Capital de 25 000$Taux d’intérêt 12% nominal, composé trimestriellementTerme de 6 ans3 paiements égaux de capital et intérêts à la fin des années 2, 4 et 6Aucun paiement les autres années

28



Calcul du calendrier du prêt 1

( ) $753 93 8.30%, ,/$000 25

%30.8112%81

12

==

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

PAA

ieff

N = 3 = nombre de paiements capital et intérêt, si et seulement si, on paieles intérêts durant les autres périodes.

Calcul du calendier du Prêt 1P 25 000 $Nombre de paiements (cap. et int.) 3Nombre de paiements (int. seulement) 2i nominal 8.00%i effectif 8.30%Montant des paiements (cap. et int.) 9 753 $

Année 1 2 3 4 5Capital au début 25 000 $ 17 322 $ 17 322 $ 9 006 $ 9 006 $Intérêts 2 075 $ 1 438 $ 1 438 $ 747 $ 747 $Remboursement de capital 7 678 $ 8 316 $ 9 006 $Capital à la fin 17 322 $ 17 322 $ 9 006 $ 9 006 $ (0 $)Paiements capital et intérêt 9 753 $ 9 753 $ 9 753 $



Calcul du calendrier du prêt 2

( )

$127 139045.1$000 25

)4919.0()6231.0()7894.0($000 25)6 12.55%, ,/()4 12.55%, ,/(2 12.55%, ,/$000 25

%55.1214%121

4

==

++=++==

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

PMTPMT

PMTPMTPMTFPPMTFPPMTFPPMTP

ieff

0 1 2 3 4 5 6P = 25 000$

PMT = ? PMT = ? PMT = ?

i = 12.55%

25 000$ x((1+0.1255)2-1)

= 6 669$Calcul des intérêts:

18 543$ x((1+0.1255)2-1)

= 4 947$

10 362$ x((1+0.1255)2-1)

= 2 764$

Calcul du calendier du Prêt 2P 25 000 $Nombre de paiements (cap. et int.) 3Nombre de paiements (int. Seulement) 0i nominal 12.00%i effectif 12.55%Montant des paiements (cap. et int.) 13 127 $

Année 0 1 2 3 4 5 6Capital au début 25 000 $ 25 000 $ 18 543 $ 18 543 $ 10 362 $ 10 362 $Intérêts 6 669 $ 4 947 $ 2 764 $Remboursement de capital 6 457 $ 8 180 $ 10 362 $Capital à la fin 25 000 $ 18 543 $ 18 543 $ 10 362 $ 10 362 $ 0 $Paiements capital et intérêt 13 127 $ 13 127 $ 13 127 $

29



Autres manières de calculer le calendrier du Prêt 2:Prêt avec paiement réguliers au deux ans:

Il s’agit d’un prêt pour lequel les paiements, capital et intérêts, sont effectués à tous les 2 ans.Taux d’intérêt effectif pour deux ans et montant du paiement capital et intérêt à tous les deux ans: ( )

( ) $127 133 26.68%, ,/000$ 25

%68.261%55.121 2

==

=−+=

APPMT

ieff

Méthode de la règle de 3 :Utiliser la calculatrice en mode CF

Supposer des paiements de 1$, aux années 2, 4, 6 et 0$ les autres années.NPV à 12.55% = 1.9045$

Paiement recherché (X):

$127 131.9045$

000$ 25$90451

$1000 25

==⇒= X.$

X

Directement avec la TI:nsolve(npv(12.55,0,{0,X,0,X,0,X})=25000,X)=13127



Projet rentable


Progiciels 20 000 $Dépenses additionnelles 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $ 12 000 $DPA 12 600 $ 21 420 $ 14 994 $ 10 496 $ 7 347 $ 5 143 $Intérêts - Prêt 1 2 075 $ 1 438 $ 1 438 $ 747 $ 747 $ 0 $Intérêts - Prêt 2 0 $ 6 669 $ 0 $ 4 947 $ 0 $ 2 764 $


Bénéfice net 3 195 $ 6 284 $ 14 141 $ 14 286 $ 19 143 $ 19 256 $DPA 12 600 $ 21 420 $ 14 994 $ 10 496 $ 7 347 $ 5 143 $

Investissement(Achat) disposition du système (84 000 $) 1 000 $Effet fiscal de la disposition 4 400 $

FinancementEmprunt (remboursements) - Prêt 1 25 000 $ (7 678 $) 0 $ (8 316 $) 0 $ (9 006 $) 0 $Emprunt (remboursements) - Prêt 2 25 000 $ 0 $ (6 457 $) 0 $ (8 180 $) 0 $ (10 362 $)



30



La société moulage sous pression Montréal se propose d'installer une nouvelle machine industrielle à son usine. La machine coûte 250 000$ installée, produira des revenus additionnels de 80 000$ par année et permettra d'économiser 50 000$ par année sur la main d'œuvre et les matières. Elle sera financée au moyen d'un emprunt bancaire de150 000$, dont le capital sera remboursé en trois versements annuels égaux, plus 9% d'intérêt sur le solde impayé.Elle appartient à la catégorie 43 de la DPA, à laquelle s'appliqued = 30%. La vie utile de cette machine est de 10 ans, au terme desquels elle sera vendue 20 000$. Le taux d'imposition global est de 40%.

a) Déterminez les flux monétaires nets après impôts pour la durée du projet

b) Calculez le TRI de cet investissementc) Si le TRAM est de 18%, ce projet est-il justifiable sur le plan

économique?



P = 250 000 $ d = 30% t = 40%S = 20 000 $ N = 10 TRAM = 18.0%

FR = 0 $ Prèt = 150 000 $ id = 9.0%Recouvrement du FR = 0.0% id = 9.0%

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Taux de DPA 15.0% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 250 000 $ 212 500 $ 148 750 $ 104 125 $ 72 888 $ 51 021 $ 35 715 $ 25 000 $ 17 500 $ 12 250 $DPA 37 500 $ 63 750 $ 44 625 $ 31 238 $ 21 866 $ 15 306 $ 10 714 $ 7 500 $ 5 250 $ 3 675 $FNACC à la f in 212 500 $ 148 750 $ 104 125 $ 72 888 $ 51 021 $ 35 715 $ 25 000 $ 17 500 $ 12 250 $ 8 575 $

S 20 000 $FNACC 8 575 $Gain (perte) 11 425 $Effet fiscal de la disposition (4 570 $)

Année 0 1 2 3Capital au début 150 000 $ 100 000 $ 50 000 $Intérêt 13 500 $ 9 000 $ 4 500 $Remboursement de capital 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $Capital à la fin 100 000 $ 50 000 $ 0 $




31



Projet rentable

P = 250 000 $ d = 30% t = 40%S = 20 000 $ N = 10 TRAM = 18.0%

FR = 0 $ Prèt = 150 000 $ id = 9.0%Recouvrement du FR = 0.0% id = 9.0%

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10État des résultatsRevenus:

Ventes additionnelles 80 000 $ 80 000 $ 80 000 $ 80 000 $ 80 000 $ 80 000 $ 80 000 $ 80 000 $ 80 000 $ 80 000 $Économies m.o. et matières 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $ 50 000 $

Dépenses:DPA 37 500 $ 63 750 $ 44 625 $ 31 238 $ 21 866 $ 15 306 $ 10 714 $ 7 500 $ 5 250 $ 3 675 $

Intérêts 13 500 $ 9 000 $ 4 500 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $Bénéfice imposable 79 000 $ 57 250 $ 80 875 $ 98 763 $ 108 134 $ 114 694 $ 119 286 $ 122 500 $ 124 750 $ 126 325 $Impôt 31 600 $ 22 900 $ 32 350 $ 39 505 $ 43 254 $ 45 877 $ 47 714 $ 49 000 $ 49 900 $ 50 530 $Bénéfice net 47 400 $ 34 350 $ 48 525 $ 59 258 $ 64 880 $ 68 816 $ 71 571 $ 73 500 $ 74 850 $ 75 795 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 47 400 $ 34 350 $ 48 525 $ 59 258 $ 64 880 $ 68 816 $ 71 571 $ 73 500 $ 74 850 $ 75 795 $DPA 37 500 $ 63 750 $ 44 625 $ 31 238 $ 21 866 $ 15 306 $ 10 714 $ 7 500 $ 5 250 $ 3 675 $

Investissement(Achat) disposition du système (250 000 $) 20 000 $Effet fiscal de la disposition (4 570 $)(Investissement) Récupération du FR 0 $ 0 $

FinancementEmprunt (Remboursement) 150 000 $ (50 000 $) (50 000 $) (50 000 $) 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $

Flux monétaire net (100 000 $) 34 900 $ 48 100 $ 43 150 $ 90 495 $ 86 747 $ 84 123 $ 82 286 $ 81 000 $ 80 100 $ 94 900 $



Exercice 9.28 (Exercice 9.28 (éénoncnoncéé modifimodifiéé))

On projette d'acheter un tour à mandrin entièrement automatique valant35 000$. On prévoit que la machine assurera des recettes de 10 000$ par année pendant 6 ans. On estime que sa valeur de récupération au bout de ces 6 ans sera de 3 000$. Ce tour remplacera un tour dont la valeur aux livres actuelle est de4 500$ et dont l'amortissement selon la méthode dégressive au cours de la dernière année a été de 1 500$. De nouvelles règles fiscales permettront d'amortir le nouveau tour selon la méthode dégressive, mais à un taux de 5% plus grand que l'ancien, lequel ne sera pas vendu mais affecté à d'autres opérations. De plus la règle du 50% ne s'appliquera pas pour la première annéeLe fabricant du tour propose les modalités de paiement suivantes:

5 000$ comptantAnnée 1 à 5: 5 paiements égaux en fin d'année de 6 681$Année 6: un paiement final de 11 681$

Le taux d'impôt est de 36% et le TRAM de 15%

Est-ce un projet rentable?

32



FNACC de l'ancien tour 4 500 $DPA de la dernière année 1 500 $FNACC au début de la dernière année 6 000 $Taux de la DPA de l'ancien tour 25.0%Augmentation du taux (nouvelle règle) 5%Taux de la DPA du nouveau tour 30%

Année 0 1 2 3 4 5 6Taux de DPA 30.0% 30% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 35 000 $ 24 500 $ 17 150 $ 12 005 $ 8 404 $ 5 882 $DPA 10 500 $ 7 350 $ 5 145 $ 3 602 $ 2 521 $ 1 765 $FNACC à la f in 24 500 $ 17 150 $ 12 005 $ 8 404 $ 5 882 $ 4 118 $

S 3 000 $FNACC 4 118 $Gain (perte) (1 118 $)Effet fiscal de la disposition 402 $



Calcul du nouveau taux de DPA



Calcul du taux d'intérêt implicite à la proposition du fabricant:

0 1 2 3 4 5 6

P = 30 000$

11 681$

id = TRI du financement = 12.0%

A = 6 681$

F = 11 681$ – 6 681$= 5 000$

irr(30000,{−6681,−11681},{5,1})=12.00

Paiement comptant 5 000 $Montant du prêt 30 000 $Paiement annuel 6 681 $Dernier paiement 11 681 $Taux d'intérêt implicite 12.00%

Année 1 2 3 4 5 6Capital au début 30 000 $ 26 919 $ 23 469 $ 19 605 $ 15 277 $ 10 429 $Intérêts 3 600 $ 3 231 $ 2 817 $ 2 353 $ 1 833 $ 1 252 $Remboursement de capital 3 081 $ 3 450 $ 3 864 $ 4 328 $ 4 848 $ 10 429 $Capital à la fin 26 919 $ 23 469 $ 19 605 $ 15 277 $ 10 429 $ (0 $)Paiement total 6 681 $ 6 681 $ 6 681 $ 6 681 $ 6 681 $ 11 681 $


33



Projet rentable

P = 35 000 $ d = 30% t = 36%S = 3 000 $ id = 12.0% TRAM = 15.0%

FR = 0 $ Prêt = 30 000 $Recouvrement du FR = 0.0% N = 6


DPA 10 500 $ 7 350 $ 5 145 $ 3 602 $ 2 521 $ 1 765 $Intérêts 3 600 $ 3 231 $ 2 817 $ 2 353 $ 1 833 $ 1 252 $

Bénéfice imposable (4 100 $) (581 $) 2 038 $ 4 046 $ 5 645 $ 6 984 $Impôt (1 476 $) (209 $) 734 $ 1 456 $ 2 032 $ 2 514 $Bénéfice net (2 624 $) (372 $) 1 305 $ 2 589 $ 3 613 $ 4 469 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net (2 624 $) (372 $) 1 305 $ 2 589 $ 3 613 $ 4 469 $DPA 10 500 $ 7 350 $ 5 145 $ 3 602 $ 2 521 $ 1 765 $

Investissement(Achat) disposition du système (35 000 $) 3 000 $Effet fiscal de la disposition 402 $

FinancementEmprunt (remboursements) 30 000 $ (3 081 $) (3 450 $) (3 864 $) (4 328 $) (4 848 $) (10 429 $)

Flux monétaire net (5 000 $) 4 795 $ 3 528 $ 2 585 $ 1 863 $ 1 287 $ (793 $)



Exercice 9.29 (modifiExercice 9.29 (modifiéé))Une société industrielle envisage l'acquisition d'une nouvelle presse à injection coûtant 100 000$. Cette machine devrait assurer des revenus additionnels de40 000$ par année et les frais d'exploitation annuels sont évalués à 5 000$.

Cette machine pourrait avoir une vie utile de 8 ans. Cependant en raison de changements rapides de technologie et pour rester concurrentielle, la sociétés'attend à devoir changer la machine dans 4 ans, au terme desquels la valeur de récupération sera de 10 000$. Elle appartient à la catégorie 43 (d = 30%).

L'incertitude autour de l'évolution technologique amène la société à considérer un financement de 40% du coût d'acquisition par un prêt à terme de 8 ans comportant un taux pour les 4 premières années et un autre taux pour les 4 année suivantes. Il y a donc 4 paiements égaux pour les 4 premières années puis, à cause du changement de taux, 4 paiements égaux (mais différents des quatre premiers) pour les 4 dernières années. Tous les paiements sont faits en fin d'année. Les modalités du prêt sont les suivantes:

La deuxième série de 4 paiements égaux (années 5 à 8) est de 6 000$ par année.La première année le montant d'intérêt est de 2 400$La dernière année, le remboursement de capital est de 5 608$Si la compagnie vend la machine dans quatre ans, le solde du capital impayé à la fin de la quatrième année devra être payé en entier dès ce moment.

Le taux d’impôt de la société est de 40% et le TRAM approprié est de 14%.

Est-ce un projet rentable sur un horizon d'analyse de 4 ans?

34



Année 0 1 2 3 4Taux de DPA 15.0% 30% 30% 30%FNACC au début 100 000 $ 85 000 $ 59 500 $ 41 650 $DPA 15 000 $ 25 500 $ 17 850 $ 12 495 $FNACC à la fin 85 000 $ 59 500 $ 41 650 $ 29 155 $





Année 1 2 3 4 5 6 7 8Capital au début 40 000 $ 20 324 $ 5 608 $Intérêts 2 400 $ 392 $Remboursement de capital 5 608 $Capital à la fin 20 324 $ 0 $Paiement totaux 6 000 $ 6 000 $ 6 000 $ 6 000 $

Calcul du prêt Calcul du prêt SudokuSudoku

Les données:

i = 2 400$/40 000$ = 6%P = 40 000$, i = 6%, N = 4, F = ?F = P au début du deuxième prêt

i = ? i = ?

B au début de 8 = 0 + 5 608$ = 5 608$I année 8 = 6 000 $ – 5 608$ = 392$i = 392$ / 5 608$ = 7%F = 0, A = 6 000$, i = 7%, N = 4P = 6 000$ (P/A, 7%, 4) = 20 324$

i = 6% i = 7%

Année 1 2 3 4 5 6 7 8Capital au début 40 000 $Intérêts 2 400 $Remboursement de capital 5 608 $Capital à la fin 0 $Paiement totaux 6 000 $ 6 000 $ 6 000 $ 6 000 $

35


Montant du prêt 40 000 $Taux d'intérêt 1 - 4 6.00%Solde capital fin année 4 20 324 $Paiement annuel 6 898 $

Année 1 2 3 4 5 6 7 8Capital au début 40 000 $ 35 502 $ 30 735 $ 25 681 $ 20 324 $ 5 608 $Intérêts 2 400 $ 2 130 $ 1 844 $ 1 541 $ 392 $Remboursement de capital 4 498 $ 4 768 $ 5 054 $ 5 357 $ 5 608 $Capital à la fin 35 502 $ 30 735 $ 25 681 $ 20 324 $ 0 $Paiement totaux 6 898 $ 6 898 $ 6 898 $ 6 898 $ 6 000 $ 6 000 $ 6 000 $ 6 000 $


Calcul du prêt Calcul du prêt SudokuSudoku

P = 40 000$, i = 6%, N = 4, F = 20 324$A = (40 000$ – (20 324$)(P/F, 6%,4)) (A/P, 6%, 4) = 6 898$Ou avec la calculatrice faire: PV = 40 000$; N = 4; FV = – 20 324$ PMT = – 6 898$

Comme on vendra la machine à la fin de l'année 4, on devra rembourser tout le solde du capital :Remboursement de capital à l' année 4 = 5 357$ + Solde du capital à la fin de l'année 4= 5367$ + 20 234$ = 25 681$



Projet rentable

Année 0 1 2 3 4État des résultatsRevenus 40 000 $ 40 000 $ 40 000 $ 40 000 $Dépenses:

Coût d'exploitation annuels 5 000 $ 5 000 $ 5 000 $ 5 000 $DPA 15 000 $ 25 500 $ 17 850 $ 12 495 $Intérêts 2 400 $ 2 130 $ 1 844 $ 1 541 $

Bénéfice imposable 17 600 $ 7 370 $ 15 306 $ 20 964 $Impôt 7 040 $ 2 948 $ 6 122 $ 8 386 $Bénéfice net 10 560 $ 4 422 $ 9 184 $ 12 578 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 10 560 $ 4 422 $ 9 184 $ 12 578 $DPA 15 000 $ 25 500 $ 17 850 $ 12 495 $

Investissement(Achat) disposition de la machine (100 000 $) 10 000 $Effet fiscal de la disposition 7 662 $

FinancementEmprunt (remboursements) 40 000 $ (4 498 $) (4 768 $) (5 054 $) (25 681 $)

Flux monétaire net (60 000 $) 21 062 $ 25 154 $ 21 980 $ 17 055 $

PE(TRAM) 2 765 $AE(TRAM) 949 $TRI 16.3%

36


Exercice 9.35 (modifiExercice 9.35 (modifiéé))La société minière Morrierville étudie la possibilité d’implanter une nouvelle méthode d’exploitation à sa mine Lenoir. La méthode appelée extraction par longue taille est exécutée par un robot… La société projette les données financières suivantes relativement à la méthode d’extraction par longue taille:

Trouvez la valeur actualisée équivalente si la société est autorisée par l’Agence de Revenu du Canada (ARC) à calculer la DPA des robots de manière proportionnelle à l’épuisement du gisement (UP).Faites le même calcul en supposant que le taux de DPA s’appliquant aux robots est de 30%, en utilisant la méthode du solde dégressif (DB).Le taux d’impôt est de 40% et le TRAM de 15%

Installation de 2 robots 9.3 M$Quantité totale de charbon exploitable 50 M tonnesCapacité d'extraction année 1 5 M tonnesAugmentation (dim.) annuelle de productivité

Années 2 à 5 5% par annéeAnnées 6 à 10 -10% par année

Durée du projet 10 ansValeur de récupération estimative 0.5 M$Besoins en fonds de roulement 2.5 M$Rentrées additionnelles prévues

Économies de main d'œuvre 6.5 M$Prévention des accidents 0.5 M$

Coûts additionnels prévusExploitation et entretien 2.4 M$



Méthode UP

Méthode DB

DPA: Proportionnel à l'utilisation Effet fiscal de la dispositionP 9 300 $ S 500 $S 500 $ FNACC 500 $P-S 8 800 $ Gain (perte) 0 $Amortissement par tonne ($/t) 0.1760 $ Effet fiscal de la disposition (0 $)

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tonnes extraites (K) 5 000.0 5 250.0 5 512.5 5 788.1 6 077.5 5 467.4 4 918.5 4 424.7 3 980.5 3 580.8 Tonnes extraites cumulatives (K) 5 000.0 10 250.0 15 762.5 21 550.6 27 628.2 33 095.5 38 014.0 42 438.7 46 419.2 50 000.0 FNACC au début (K$) 9 300 $ 8 420 $ 7 496 $ 6 526 $ 5 507 $ 4 437 $ 3 475 $ 2 610 $ 1 831 $ 1 130 $DPA (K$) 880 $ 924 $ 970 $ 1 019 $ 1 070 $ 962 $ 866 $ 779 $ 701 $ 630 $FNACC à la fin 8 420 $ 7 496 $ 6 526 $ 5 507 $ 4 437 $ 3 475 $ 2 610 $ 1 831 $ 1 130 $ 500 $


DPA: Méthode DB 30%

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Taux de DPA 15.0% 30.0% 30.0% 30.0% 30.0% 30.0% 30.0% 30.0% 30.0% 30.0%FNACC au début 9 300 $ 7 905 $ 5 534 $ 3 873 $ 2 711 $ 1 898 $ 1 329 $ 930 $ 651 $ 456 $DPA 1 395 $ 2 372 $ 1 660 $ 1 162 $ 813 $ 569 $ 399 $ 279 $ 195 $ 137 $FNACC à la fin 7 905 $ 5 534 $ 3 873 $ 2 711 $ 1 898 $ 1 329 $ 930 $ 651 $ 456 $ 319 $

S 500 $FNACC 319 $Gain (perte) 181 $Effet fiscal de la disposition (72 $)


37



Méthode UPAnnée 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10État des résultatsRevenus 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $Dépenses:

Coût d'exploitation et d'entretien 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $DPA 880 $ 924 $ 970 $ 1 019 $ 1 070 $ 962 $ 866 $ 779 $ 701 $ 630 $

Bénéfice imposable 3 720 $ 3 676 $ 3 630 $ 3 581 $ 3 530 $ 3 638 $ 3 734 $ 3 821 $ 3 899 $ 3 970 $Impôt 1 488 $ 1 470 $ 1 452 $ 1 433 $ 1 412 $ 1 455 $ 1 494 $ 1 529 $ 1 560 $ 1 588 $Bénéfice net 2 232 $ 2 206 $ 2 178 $ 2 149 $ 2 118 $ 2 183 $ 2 241 $ 2 293 $ 2 340 $ 2 382 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 2 232 $ 2 206 $ 2 178 $ 2 149 $ 2 118 $ 2 183 $ 2 241 $ 2 293 $ 2 340 $ 2 382 $DPA 880 $ 924 $ 970 $ 1 019 $ 1 070 $ 962 $ 866 $ 779 $ 701 $ 630 $

Investissement(Achat) disposition des robots (9 300 $) 500 $Effet fiscal de la disposition (0 $)(Investissement) récupérat ion (2 500 $) 2 500 $


PE(TRAM) 4 620 $AE(TRAM) 921 $TRI 24.2%



Méthode DB

La méthode DB est plus avantageuse

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10État des résultatsRevenus 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $Dépenses:

Coût d'exploitation et d'entrtien 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $ 2 400 $DPA 1 395 $ 2 372 $ 1 660 $ 1 162 $ 813 $ 569 $ 399 $ 279 $ 195 $ 137 $

Bénéfice imposable 3 205 $ 2 229 $ 2 940 $ 3 438 $ 3 787 $ 4 031 $ 4 201 $ 4 321 $ 4 405 $ 4 463 $Impôt 1 282 $ 891 $ 1 176 $ 1 375 $ 1 515 $ 1 612 $ 1 681 $ 1 728 $ 1 762 $ 1 785 $Bénéfice net 1 923 $ 1 337 $ 1 764 $ 2 063 $ 2 272 $ 2 418 $ 2 521 $ 2 593 $ 2 643 $ 2 678 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 1 923 $ 1 337 $ 1 764 $ 2 063 $ 2 272 $ 2 418 $ 2 521 $ 2 593 $ 2 643 $ 2 678 $DPA 1 395 $ 2 372 $ 1 660 $ 1 162 $ 813 $ 569 $ 399 $ 279 $ 195 $ 137 $

Investissement(Achat) disposition de la mach (9 300 $) 500 $Effet fiscal de la disposition (72 $)(Investissement) récupération (2 500 $) 2 500 $



1

Cours 13Cours 13

RRéévisionvision



L'essentiel de GIA 400 en une page!L'essentiel de GIA 400 en une page!

( ) ( ) ( )( )

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,ddPdDPA

/PdDPAmb. Cap.ReEmprunts-Récup FRR-Invest. F

al Dispo.Effet Fiscmo.ImDisp mo.ImInvest. DPABén. netCFN,TRAM,P/APiSN,TRAM,P/ASPAEC

TRAMTRI,TRIFPPE

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n

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FNACC-S-G2n 121

2

rentableprojet 01

rentable projet01

11

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11

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∑

∑

2


Solution de l'examen typeSolution de l'examen type


Question 1Question 1

L'entreprise XYZ Ltée, manufacturier de pièces usinées et fabriquées de métal, considère l'achat d'une fraiseuse (milling) contrôlée par ordinateur d'une valeur de 100 000$ afin de satisfaire auxdemandes pour des produits spéciaux. On prévoit que les couts d'installation de la machine, la préparation du site, le câblage électrique et le raccordement de la machine s'élèveront à 15 000$. Des gabarits et des matrices sont également nécessaires et leur cout est de 20 000$. La durée de vie prévue pour la fraiseuse est de 8 ans, alors que la durée de vie pour les gabarits et matrices est de 4 ans. La fraiseuse aura une valeur de revente (ou de récupération) de 25 000$ à la fin de sa durée de vie et les gabarits et matrices auront une valeur de rebut de métal de 1 000$ en tout temps durant leur durée de vie.

XYZ Ltée devra aussi construire un entrepôt sur un terrain adjacent à l'usine principale à un coût de 160 000$. Cet achat se divise comme suit: 120 000$ pour la bâtisse et 40 000 $ pour le terrain. À la fin des 8 années d'exploitation, la bâtisse aura une valeur résiduelle de 80 000$ et le terrain une valeur de revente de 110 000$.

La méthode de la somme des nombres, jusqu'à une valeur résiduelle de 80 000$, est utilisée pour la bâtisse. La méthode du solde dégressif à taux constant de 20% est utilisée pour l'amortissement de la fraiseuse. La méthode linéaire est utilisée pour l'amortissement des gabarits et matrices et les règlements du ministère du Revenu permettent leur amortissement complet sur 2 ans. La règle de la demi-année ne s'applique pas et la fraction imposable du gain en capital est de 50 %.

XYZ Ltée prévoit des revenus annuels de 140 000$ pour la durée de vie de ce projet et des dépenses annuelles de 22 000 $ pour les matières premières, 32 000$ pour la main d'œuvre, 3 500$ en coût d'énergie et 2 500$ pour les autres coûts.

3


Question 1 (suite)Question 1 (suite)La durée de vie de ce projet est de 8 ans, le taux marginal d'imposition de XYZ Ltée est de 40%. Le coût du capital de l’entreprise (TRAM) étant de 15%.

Évaluez ce projet et formulez votre recommandation en utilisant la méthode de la valeur actualisée nette (VAN), en tenant compte que l'investissement sera finance par des prêts dont la somme totale s'élève a 200 000 $.

Trois prêts sont requis pour couvrir le montant total de l’emprunt. :

Prêt 1 : Un montant de 100 000$ financé sur 4 ans à un taux annuel de 10%, dont les remboursements en capital se font de la façon suivante :

40 % du montant du prêtAnnée 4

30 % du montant du prêtAnnée 3

20% du montant du prêt

10% du montant du prêt

Année 2

Année 1

Prêt 2 : Un montant de 50 000$ financé sur 4 ans à un taux de 8% nominal composé trimestriellement dont les versements capital et intérêts se font a tous les ans.

Prêt 3 : Un montant de 50 000$ financé sur 4 ans à un taux de 9% nominal composé mensuellement, dont les versements, capital et intérêts, se font en deux versements égaux a la fin de la première année et a la fin de la quatrième année.

Note: Supposez que l'entreprise a d'autres sources de revenu imposable et que les catégories d'amortissement fiscal seront fermées à la fin du projet seulement.


Question 1: SolutionQuestion 1: Solution

DPA et effet fiscal de la dispositionFRAISEUSEP (Achat et installation) 115 000 $S 25 000 $N 8d 20.0%

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8Taux de DPA 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20%FNACC au début 115 000 $ 92 000 $ 73 600 $ 58 880 $ 47 104 $ 37 683 $ 30 147 $ 24 117 $DPA 23 000 $ 18 400 $ 14 720 $ 11 776 $ 9 421 $ 7 537 $ 6 029 $ 4 823 $FNACC à la f in 92 000 $ 73 600 $ 58 880 $ 47 104 $ 37 683 $ 30 147 $ 24 117 $ 19 294 $

S 25 000 $FNACC 19 294 $Gain (perte) 5 706 $Effet fiscal de la disposition (t=40%) (2 282 $) à t = 8



4



DPA et effet fiscal de la disposition

MATRICESP 20 000 $S 1 000 $N 4d 50.0% linéaire, 2 ans, pas de demi-année

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8Taux de DPA 50% 50% 50% 50% 50% 50% 50% 50%FNACC au début 20 000 $ 10 000 $ 0 $ 0 $ 0 $ 9 500 $ 0 $ 0 $DPA 10 000 $ 10 000 $ 0 $ 0 $ 9 500 $ 9 500 $ 0 $ 0 $FNACC à la fin 10 000 $ 0 $ 0 $ 0 $ 9 500 $ 0 $ 0 $ 0 $

DPA à t = 5DPA

FNACC Acquis. Acqus. DPA sur DPA FNACCDébut Acquis. Dispos. nettes nettes le reste Totale Fin

0 $ 20 000 $ (1 000 $) 19 000 $ 9 500 $ 0 $ 9 500 $ 9 500 $

S 1 000 $FNACC 0 $Gain (perte) 1 000 $Effet fiscal de la disposition (t=40%) (400 $) à t = 8


Effet fiscal de la disposition (à la fin seulement)



BÂTISSEP 120 000 $S 80 000 $P-S 40 000 $N 8d SYD = 36

Année 0 1 2 3 4 5 6 7 8Taux de DPA 8/36 7/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36FNACC au début 120 000 $ 111 111 $ 103 333 $ 96 667 $ 91 111 $ 86 667 $ 83 333 $ 81 111 $DPA 8 889 $ 7 778 $ 6 667 $ 5 556 $ 4 444 $ 3 333 $ 2 222 $ 1 111 $FNACC à la fin 111 111 $ 103 333 $ 96 667 $ 91 111 $ 86 667 $ 83 333 $ 81 111 $ 80 000 $

S 80 000 $FNACC 80 000 $Gain (perte) 0 $Effet fiscal de la disposition (t=40%) 0 $ à t = 8

TERRAIN

S 110 000 $Prix d'achat 40 000 $Gain (perte) 70 000 $Effet fiscal de la disposition (t=40% x 50% (14 000 $) à t = 8




5



( ) 178$ 154 8.24%, ,000 50

%248140801

4

==

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

P/A$PMT

..ieff

Prêt 1

P 100 000 $i 10%N 4

Année 0 1 2 3 4% Capital remboursé 10% 20% 30% 40%Capital au début 100 000 $ 90 000 $ 70 000 $ 40 000 $Remboursement de capital (10 000 $) (20 000 $) (30 000 $) (40 000 $)Capital à la fin 90 000 $ 70 000 $ 40 000 $ 0 $Intérêts 10 000 $ 9 000 $ 7 000 $ 4 000 $

Prêt 2

P 50 000 $i nominal 8%i effectif 8.24%N 4A (Paiement) 15 178 $

Année 0 1 2 3 4Capital au début 50 000 $ 38 944 $ 26 976 $ 14 022 $Remboursement de capital (11 056 $) (11 968 $) (12 954 $) (14 022 $)Capital à la fin 38 944 $ 26 976 $ 14 022 $ (0 $)Intérêts 4 122 $ 3 210 $ 2 224 $ 1 156 $Paiement Capital + Intérêt 15 178 $ 15 178 $ 15 178 $ 15 178 $


Prêt 3

P 50 000 $i nominal 9%i effectif 9.38%N 4A (2 Paiements) 31 001 $

Année 0 1 2 3 4Capital au début 50 000 $ 23 689 $ 23 689 $ 23 689 $Remboursement de capital (26 311 $) 0 $ 0 $ (23 689 $)Capital à la fin 23 689 $ 23 689 $ 23 689 $ 0 $Intérêts 4 690 $ 7 312 $Paiement Capital + Intérêt 31 001 $ 0 $ 0 $ 31 001 $


%3891120901

12

..ieff =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

P = 50 000$

PMT = ? PMT = ?

i = 9.38%( ) ( )

( )( )( )( ) 12$3 71289189$6 23

$690 412891$000 50

$001 311.6128

000$ 50612816986091420000$ 50

,4 9.28% ,,1 9.28% ,$000 50

34

11

=−+=

=−+=

==

=+=+==

%.I

%.I

PMT

PMT.PMT.PMT.F/PPMTF/PPMTP

0 1 2 3 4

6



Solution du prêt 3 avec la méthode de la règle de 3:Calculatrice en mode CF:CF0=0$; CF1=1$; CF2=0$; CF3=0$; CF4=1$NPV: i = 9.38%; NPV= 1.6128Règle de 3:

P = 1.6128

PMT = 1$ PMT = 1$

i = 9.38%

0 1 2 3 4

$001 311.6128$50000$

1.6128$1$

000$ 50==⇒= PMTPMT

Avec la TI:nsolve(npv(9.38,50000,{-x,0,-x},{1,2,1})=0,x)=31001


Question 1: SolutionQuestion 1: SolutionAnnée 0 1 2 3 4 5 6 7 8État des résultatsRevenus 140 000 $ 140 000 $ 140 000 $ 140 000 $ 140 000 $ 140 000 $ 140 000 $ 140 000 $Dépenses:

Matières, m.o., énergie et autrres 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $ 60 000 $DPA 41 889 $ 36 178 $ 21 387 $ 17 332 $ 23 365 $ 20 370 $ 8 252 $ 5 935 $Intérêts - Prêt 1 10 000 $ 9 000 $ 7 000 $ 4 000 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $Intérêts - Prêt 2 4 122 $ 3 210 $ 2 224 $ 1 156 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $Intérêts - Prêt 3 4 690 $ 0 $ 0 $ 7 312 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $

Bénéfice imposable 19 299 $ 31 612 $ 49 390 $ 50 201 $ 56 635 $ 59 630 $ 71 748 $ 74 065 $Impöt 7 720 $ 12 645 $ 19 756 $ 20 080 $ 22 654 $ 23 852 $ 28 699 $ 29 626 $Bénéfice net 11 579 $ 18 967 $ 29 634 $ 30 121 $ 33 981 $ 35 778 $ 43 049 $ 44 439 $État des flux de trésorerieExploitation

Bénéfice net 11 579 $ 18 967 $ 29 634 $ 30 121 $ 33 981 $ 35 778 $ 43 049 $ 44 439 $DPA 41 889 $ 36 178 $ 21 387 $ 17 332 $ 23 365 $ 20 370 $ 8 252 $ 5 935 $

InvestissementAchat (disposition) fraiseuses (115 000 $) 25 000 $Achat (disposition) matrices (20 000 $) (19 000 $) 1 000 $Achat (disposition) bâtisse (120 000 $) 80 000 $Achat (disposition) terrain (40 000 $) 110 000 $Effet fiscal de la disposition fraiseuse (2 282 $)Effet fiscal de la disposition matrices (400 $)Effet fiscal de la disposition bâtisse 0 $Effet fiscal de la disposition terrain (14 000 $)

FinancementPrêt 1 100 000 $ (10 000 $) (20 000 $) (30 000 $) (40 000 $)Prêt 2 50 000 $ (11 056 $) (11 968 $) (12 954 $) (14 022 $)Prêt 3 50 000 $ (26 311 $) 0 $ 0 $ (23 689 $)

Flux monétaire net (95 000 $) 6 102 $ 23 177 $ 8 066 $ (49 259 $) 57 346 $ 56 148 $ 51 301 $ 249 691 $

PE(TRAM=15%) 58 666.49 $

7


Question 2Question 2

Une usine de fabrication de pellicules photographiques considère l'installation d'un nouveau système de traitement et de filtration des eaux de procédés. Ce système de traitement permettrait a l'entreprise de récupérer certains métaux dont notamment de l'argent (Ag). Le cours présent (valeur) de l'argent sur le marché est de 0,30 $/gramme. (1,32$/g en mars 2011 !)

L'entreprise doit choisir entre deux systèmes ayant les caractéristiques suivantes :

250 000 $ 250 000 $ Subvention

1 % du coût initial 1 % du coût initial Taxes et assurances

35 000 $ 17 500 $ Coûts d’entretien annuels

70 000 $ 30 000 $ Coûts d’opération annuels

90% 50% Taux de récupération des résidus d'argent

1 400 000 $ 700 000 $ Achat et installation

Système B Système A

La subvention est non imposable et sera versée en deux paiements égaux a la fin de la première et de la troisième année.

On utilisera des méthodes d'amortissement différentes pour les deux systèmes. Le système A sera amorti par la méthode du solde dégressif a 15 % par année alors que pour le système B on utilisera la méthode de la somme des nombres jusqu'a une valeur correspondante a 10 % de son coût d'acquisition. La durée de vie de ces deux systèmes est estimée à 6 ans. Ne tenez pas compte de la règle de la demi-année. Les deux systèmes n'auront aucune valeur a la fin du projet.


Question 2 (suite)Question 2 (suite)

L'entreprise investira 700 000$ de ses propres fonds. Le solde sera financé par emprunt portant intérêt à 12% effectif par année remboursable en trois versements égaux a la fin de la deuxième, quatrième et sixième année. On estime que l'usine déversera 100 000 000 de litres d'eau durant la première année et on anticipe un accroissement annuel de 10 % pour les années subséquentes. Des analyses chimiques de l'eau des procédés révèlent un contenu en argent de 12 mg par litre d'eau utilisé.

Sachant que le coût du capital de l'entreprise (TRAM) est de 10 %, qu'elle a un taux d'imposition de 50% et qu'elle a d'autres sources de profits tout au long de la durée du projet, calculez la V AN de chaque système et faites une recommandation. Supposez que la fraction imposable du gain en capital est de 50 % et que les catégories d'amortissement fiscal seront fermées a la fin du projet.

8


Question 2: SolutionQuestion 2: SolutionSystème AP 700 000 $S 0 $N 6d 15.0%

Année 0 1 2 3 4 5 6Taux de DPA 15% 15% 15% 15% 15% 15%FNACC au début 700 000 $ 595 000 $ 505 750 $ 429 888 $ 365 404 $ 310 594 $DPA 105 000 $ 89 250 $ 75 863 $ 64 483 $ 54 811 $ 46 589 $FNACC à la fin 595 000 $ 505 750 $ 429 888 $ 365 404 $ 310 594 $ 264 005 $

S 0 $FNACC 264 005 $Gain (perte) (264 005 $)Effet fiscal de la disposition (t=50%) 132 002 $ à t = 6

Montant à financer 0 $

Année 1 2 3 4 5 6Litres traités (000) 100 000 110 000 121 000 133 100 146 410 161 051 Teneur (à 12 mg/l) (kg) 1 200 1 320 1 452 1 597 1 757 1 933 Récupération (50%) (kg) 600 660 726 799 878 966 Valeur (0,30$/g) 180 000 $ 198 000 $ 217 800 $ 239 580 $ 263 538 $ 289 892 $




Calcul des revenus du projet

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 000$ 180$ 10180$/g 30050l / g 1012l 101001 336 ==×××= − .%AnvenusRe



Système AAnnée 0 1 2 3 4 5 6RésultatsRevenus 180 000 $ 198 000 $ 217 800 $ 239 580 $ 263 538 $ 289 892 $Dépenses

Coûts d'opération 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $Entretien 17 500 $ 17 500 $ 17 500 $ 17 500 $ 17 500 $ 17 500 $Assurances 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $ 7 000 $DPA 105 000 $ 89 250 $ 75 863 $ 64 483 $ 54 811 $ 46 589 $Intérêts 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $

Bénéfice imposable 20 500 $ 54 250 $ 87 438 $ 120 597 $ 154 227 $ 188 803 $Impôt (50%) 10 250 $ 27 125 $ 43 719 $ 60 298 $ 77 114 $ 94 401 $Bénéfice net 10 250 $ 27 125 $ 43 719 $ 60 298 $ 77 114 $ 94 401 $Flux de trésorerieExplitation

Bénéfice net 10 250 $ 27 125 $ 43 719 $ 60 298 $ 77 114 $ 94 401 $DPA 105 000 $ 89 250 $ 75 863 $ 64 483 $ 54 811 $ 46 589 $Subvention 125 000 $ 125 000 $

(Investissement) dispostion (700 000 $)Effet fiscal de la disposition 132 002 $Emprunt (Remboursement)Flux monétaire net (700 000 $) 240 250 $ 116 375 $ 244 581 $ 124 782 $ 131 924 $ 272 993 $

PE(10%) 119 584 $

Au cours de l'argent en mars 2011 (1,32 $/g), PE = 1 788 675$

9



0 1 2 3 4 5 6Litres traités (000) 100 000 110 000 121 000 133 100 146 410 161 051 Teneur (à 12 mg/l) (kg) 1 200 1 320 1 452 1 597 1 757 1 933 Récupération (90%) (kg) 1 080 1 188 1 307 1 437 1 581 1 739 Valeur (0,30$/g) 324 000 $ 356 400 $ 392 040 $ 431 244 $ 474 368 $ 521 805 $

Calcul des revenus du projet

Système BP 1 400 000 $S 140 000 $P-S 1 260 000 $N 6 SYD= 21d 15.0%

Année 0 1 2 3 4 5 6Taux de DPA 6/21 5/21 4/21 3/21 2/21 1/21FNACC au début 1 400 000 $ 1 040 000 $ 740 000 $ 500 000 $ 320 000 $ 200 000 $DPA 360 000 $ 300 000 $ 240 000 $ 180 000 $ 120 000 $ 60 000 $FNACC à la fin 1 040 000 $ 740 000 $ 500 000 $ 320 000 $ 200 000 $ 140 000 $

S 0 $FNACC 140 000 $Gain (perte) (140 000 $)Effet fiscal de la disposition 70 000 $ à t = 6





Montant à financer (P) 700 000 $i 12.0%N 6A 360 947 $

0 1 2 3 4 5 6Capital au début 700 000 $ 700 000 $ 517 133 $ 517 133 $ 287 745 $ 287 745 $Paiement de capital 0.00 $ (182 867 $) 0 $ (229 388 $) 0 $ (287 745 $)Capital au début à la fin 700 000 $ 517 133 $ 517 133 $ 287 745 $ 287 745 $ 0 $Intérêt 178 080 $ 131 559 $ 73 202 $Paiement capital + intérêt 0 $ 360 947 $ 0 $ 360 947 $ 0 $ 360 947 $


0 1 2 3 4 5 6

P = 700 000$

PMT = ? PMT = ?

i = 12%

PMT = ?

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )( )( ) 02$2 731%12145$7 287

59$5 1311%121$133 517

80$0 1781%121$000 700

$947 3601.9393

000$ 70093931506606355079720000$ 50

,6 12% ,,4 12% ,,2 12% ,$000 700

26

24

22

=−+=

=−+=

=−+=

==

=+++=++==

I

I

I

PMT

PMT.PMT.PMT.PMT.F/PPMTF/PPMTF/PPMTP

10



Autres méthodes de calcul des paiements du prêt:Méthode du prêt de 2 ans:

( )( ) 47$9 3603 25.44%, ,$000 700

%44251121 22

===−+=

A/PPMT.%i ans

Méthode de la règle de 3:

Calculatrice en mode CF:CF0=0$; CF1=0$; CF2=1$; CF3=0$; CF4=1$; CF5=0$;CF6=1$NPV: i = 12%; NPV= 1.9393$Règle de 3:

47$9 3601.9393$

000$ 7001.9393$

1$000$ 700

==⇒= PMTPMT

Avec la TI:nsolve(npv(12,700000,{0,-x,0,-x,0,-x})=0,x)=360947



Système BAnnée 0 1 2 3 4 5 6RésultatsRevenus 324 000 $ 356 400 $ 392 040 $ 431 244 $ 474 368 $ 521 805 $Dépenses

Coûts d'opération 70 000 $ 70 000 $ 70 000 $ 70 000 $ 70 000 $ 70 000 $Entretien 35 000 $ 35 000 $ 35 000 $ 35 000 $ 35 000 $ 35 000 $Assurances 14 000 $ 14 000 $ 14 000 $ 14 000 $ 14 000 $ 14 000 $DPA 360 000 $ 300 000 $ 240 000 $ 180 000 $ 120 000 $ 60 000 $Intérêts 0 $ 178 080 $ 0 $ 131 559 $ 0 $ 73 202 $

Bénéfice imposable (155 000 $) (240 680 $) 33 040 $ 685 $ 235 368 $ 269 603 $Impôt (50%) (77 500 $) (120 340 $) 16 520 $ 343 $ 117 684 $ 134 801 $Bénéfice net (77 500 $) (120 340 $) 16 520 $ 343 $ 117 684 $ 134 801 $Flux de trésorerieExplitation

Bénéfice net (77 500 $) (120 340 $) 16 520 $ 343 $ 117 684 $ 134 801 $DPA 360 000 $ 300 000 $ 240 000 $ 180 000 $ 120 000 $ 60 000 $Subvention 125 000 $ 125 000 $

(Investissement) dispostion (1 400 000 $)Effet fiscal de la disposition 70 000 $Emprunt (Remboursement) 700 000 $ 0 $ (182 867 $) 0 $ (229 388 $) 0 $ (287 745 $)Flux monétaire net (700 000 $) 407 500 $ (3 207 $) 381 520 $ (49 046 $) 237 684 $ (22 943 $)

PE 55 579 $

PEsystème A>PEsystème B

Choisir le système AAu cours de l'argent en mars 2011 (1,32 $/g), PE = 3 059 943$

PEsystème B>>>PEsystème A

Choisir le système B

11


Revue de calculs de prêtsRevue de calculs de prêts


Revue du calcul de prêtsRevue du calcul de prêts

1. Prêt à terme conventionnel: Paiements égaux, incluant capital et intérêts à chaque période.

( ) $331 34 12.55%, ,

551214%121

iellement trimestrcomposé 124

000$ 10

4

==

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

P/APPMT

%.i

%,rNP

eff

nnn

nn

nn

n

PPBBnIPMTPPn

iBInBn

−=−=

=

−

−

−

1

1

1

: defin la à Capital : à capital dePaiement

: àintérêt d'Paiement : dedébut au Capital

Année 1 2 3 4Capital au début 10 000 $ 7 924 $ 5 588 $ 2 959 $Intérêts 1 255 $ 995 $ 701 $ 371 $Remboursement de capital 2 076 $ 2 336 $ 2 629 $ 2 959 $Capital à la fin 7 924 $ 5 588 $ 2 959 $ 0 $

12


Calcul de prêts: DonnCalcul de prêts: Donnéées es SudokuSudoku

Exemple 1A

??

0750$ 2

4$000 3

4

4

====

==

PiBPPNPMT

( ) ( ) $700 99.09%.4 ,000$ 3%099750$ 2$250

250$750$ 2000$ 3 750$ 2750$ 20

144

44

44314

======

=−=−==+=+==

−

−

A/PN,i,P/APMTP.BIi

PPPMTIPPBBB

Année 1 2 3 4Capital au débutIntérêtsRemboursement de capital 2 750 $Capital à la fin 0 $PMT total 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $




??

0280$4

$000 3

4

4

===

==

=

PiBINPMTExemple 1B

( ) ( ) 49$4 910.29%.4 ,000$ 3%2910$720 2280$

$2720$2720$0720$ 2280$$000 3

34

443

44

===

===

=+=+=

=−=−=

A/PN,i,P/APMTP.BIi

PPBBIPMTPP

Année 1 2 3 4Capital au débutIntérêts 280 $Remboursement de capitalCapital à la fin 0 $PMT total 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $


13



Exemple 2

??

000$ 24

$700 9000$ 20

1

4

======

PMTiINBP

( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( ) $219 410%,4 ,$375 1310%,4 ,625$ 6-$000 20

10%,4 ,4 10%, ,$700 9$000 2010%$000 20$000 2

4

1

===−=−=

===

P/AP/APMTP/AP/FN,i,P/AN,i,F/PBPPMT

PIi

Année 1 2 3 4Capital au début 20 000 $Intérêts 2 000 $Remboursement de capitalCapital à la fin 9 700 $PMT total

Année 1 2 3 4Capital au début 20 000 $ 17 781 $ 15 339 $ 12 654 $Intérêts 2 000 $ 1 778 $ 1 534 $ 1 265 $Remboursement de capital 2 219 $ 2 441 $ 2 685 $ 2 954 $Capital à la fin 17 781 $ 15 339 $ 12 654 $ 9 700 $PMT total 4 219 $ 4 219 $ 4 219 $ 4 219 $


Revue du calcul de prêtsRevue du calcul de prêts2. Prêt à remboursements de capital déterminés

Montant fixe annuel ou montant donné selon un calendrier de remboursement

000$ 2 :4An 000$; 4 :3An 000$; 3 :2An 000$; 1 :1An :(Données) capital de entsRemboursem

6812112

%121

ementmensuellem composé 124

000$ 10

12

n

eff

PP

%.i

%,rNP

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===

nnn

n

nn

n

PPBBnPPn

iBInBn

−=

=

−

−

−

1

1

1

: defin la à Capital : à capital dePaiement


Année 1 2 3 4Capital au début 10 000 $ 9 000 $ 6 000 $ 2 000 $Intérêts 1 268 $ 1 141 $ 761 $ 254 $Remboursement de capital 1 000 $ 3 000 $ 4 000 $ 2 000 $Capital à la fin 9 000 $ 6 000 $ 2 000 $ 0 $

14



3. Prêt à terme où les intérêts seulement sont payés certaines années

( ) $331 34 12.55%, ,4intérêtsd'et capital depaiement ay iloù annéesd' Nombre

551214%121

iellement trimestrcomposé 1205et 2 annéesaux seulement intérêts mais ,6

000$ 10

4

52

===

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=

==⇒==

P/APPMT

%.i

%,rPPPPN

P

eff

nnn

nnn

nn

n

PPBBnPP,IPMTPPn

iBInBn

−==−=

=

−

−

−

1

1

1

: defin la à Capital0 si sauf : à capital dePaiement


Année 1 2 3 4 5 6Capital au début 10 000 $ 7 924 $ 7 924 $ 5 588 $ 2 959 $ 2 959 $Intérêts 1 255 $ 995 $ 995 $ 701 $ 371 $ 371 $Remboursement de capital 2 076 $ 0 $ 2 336 $ 2 629 $ 0 $ 2 959 $Capital à la fin 7 924 $ 7 924 $ 5 588 $ 2 959 $ 2 959 $ 0 $



Exemple 3

?$885

551203 annéel' à

seulement intérêts ,4000$ 10

2

3

==

==⇒

==

PMTI

%.iPP

NP

( ) 03$2 43 12.55%, ,000$ 103intérêtsd'et capitaldepaiement ay iloù annéesd' Nombre

===

P/APMT

I2 = 885$ est une donnée superflue!

Année 1 2 3 4Capital au début 10 000 $Intérêts 885 $Remboursement de capital 0 $Capital à la fin 0 $PMT total


15


Revue du calcul de prêts: DonnRevue du calcul de prêts: Donnéées es SudokuSudoku

?$885

551203 annéel' à

seulement intérêts?

2

3

=

==

=⇒

=

PMTI

%.iPP

P


Année 1 2 3 4Capital au débutIntérêts 885 $Remboursement de capital 0 $Capital à la fin 0 $PMT total

$052 70.1255

85$821 ===

iIB

( )( ) $302 42 .1255,0 $052 7

2 .1255,01

==

=

,P/AA,P/ABA

1

2

3 ( )( ) 00$0 103 .1255,0 $023 4

3 .1255,0 ==

=,A/PP

,A/PAP


Année 1 2 3 4Capital au début 10 000 $ 4 640 $ 4 640 $ 4 640 $Intérêts 1 255 $ 0 $ 0 $ 1 975 $Remboursement de capital 5 360 $ 0 $ 0 $ 4 640 $Capital à la fin 4 640 $ 4 640 $ 4 640 $ 0 $


4. Prêt à terme où il n'y a aucun paiement (ni capital, ni intérêts) certaines années, paiements égaux comprenant capital et intérêts les autres années.

XPMTPMT

%.i

%,rPMTPMTN

P

eff

==

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

===⇒=

=

41

4

32

551214%121

iellement trimestrcomposé 1203et 2 annéesaux paiement aucun mais ,4

000$ 10

$615 61.5117

$000 101.5117$

$1$000 10

==⇒= XX

( )( )( ) $975 142.58%640$ 4

112.55%1$640 4 34

==−+=I

Ou directement avec la TI:

nsolve(npv(12.55,0,{x,0,0,x})=10000,x)=6615

Année 1 2 3 4Flux monétaire 1 $ 0 $ 0 $ 1 $PE (12.55%) 1.5117 $

16


Revue des calculs d'amortissementRevue des calculs d'amortissement



Terrains:Bien non amortissableGain ou perte lors de disposition imposée à 50% du taux d'impôt de la société.Exemples:

Taux d'impôt: 30.0%

Exemple 1P 100 000 $S 150 000 $Gain 50 000 $Effet fiscal: Gain x 30% x 50%= (7 500 $)

Exemple 2P 100 000 $S 75 000 $Perte (25 000 $)Effet fiscal: Perte x 30% x 50% = 3 750 $

17



Méthodes d'amortissement des autres biens1. Linéaire

$/an000 204

000$ 20-000$ 1004

000$ 20000$ 100

==−

=

===

NSPD

NSP

Si la règle de la demi-année s'applique:Année 1 2 3 4FNACC au début 100 000 $ 90 000 $ 70 000 $ 50 000 $DPA 10 000 $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000 $FNACC à la fin 90 000 $ 70 000 $ 50 000 $ 30 000 $

S 20 000 $FNACC 30 000 $Perte (10 000 $)Effet fiscal de la disposition (t=30%) 3 000 $

Note: Avec la règle de demi-année, la FNACC ne sera pas égale S. Il en résultera donc une perte fiscale équivalente à une demi-année.



Méthodes d'amortissement des autres biens2. Dégressif à taux constant

%dNSP

304

000$ 20000$ 100

====

Si la règle de la demi-année s'applique:

Année 1 2 3 4d 15% 30% 30% 30%FNACC au début 100 000 $ 85 000 $ 59 500 $ 41 650 $DPA 15 000 $ 25 500 $ 17 850 $ 12 495 $FNACC à la fin 85 000 $ 59 500 $ 41 650 $ 29 155 $

Effet fiscal de la dispositionS 20 000 $FNACC 29 155 $Perte (9 155 $)Effet fiscal de la disposition (t=30%) 2 747 $

S n'est pas une donnée pertinente au calcul de la DPAS n'est utile qu'au calcul de l'effet fiscal

18



Calcul de la valeur amortissable lorsque l'investissement est un remplacement d'un bien de la même catégorie

Au début de la période d'analyse de 4 ans, un nouveau bien est acquis pour 100 000$. Catégorie 43 (d = 30%). La valeur de disposition dans 4 ans sera de 20 000$Remplace un bien de même catégorie dont la FNACC au moment du remplacement était de 23 324$ et vendu pour 15 000$.

FNACC et DPA de la première année:

FNACC et DPA du projet:

On ne fait pas de traitement fiscal àt = 0 du bien remplacé. On fait plutôt un traitement fiscal global de la catégorie à la fin du projet (à t = 4).

Année 1 2 3 4d Mixte 30% 30% 30%FNACC au début 23 324 $ 88 577 $ 62 004 $ 43 403 $DPA 19 747 $ 26 573 $ 18 601 $ 13 021 $FNACC à la fin 88 577 $ 62 004 $ 43 403 $ 30 382 $

Effet fiscal de la disposition (à la fin du projet seulement)FNACC à la fin 30 382 $S 20 000 $Perte (10 382 $)Effect fiscal (30%) 3 115 $ (à t = 4)

FNACC Acquisitions DPA des acquis. DPA sur DPA FNACCDébut Acquisitions Dispositions nettes nettes à d/2 le reste à d Totale Fin

23 324 $ 100 000 $ (15 000 $) 85 000 $ 12 750 $ 6 997 $ 19 747 $ 88 577 $


Recherche du taux de DPARecherche du taux de DPA

?dFNACCDPANP

==

===

$155 29$495 12

4000$ 100

4

4

30%650$ 41495$ 12

650$ 41495$ 12155$ 92443

3

4

14

4

==

=+=+=

==−

d

DPAFNACCFNACCFNACC

DPAFNACC

DPAd

P = 100 000$ est une donnée superflue

Année 1 2 3 4d ? ? ? ?FNACC au début 100 000 $DPA 12 495 $FNACC à la fin 100 000 $ 0 $ 0 $ 29 155 $

19


Revenus et dRevenus et déépenses penses àà considconsidéérerrer



1. Projet d'expansion de la capacitéRevenus additionnels prévusCoûts additionnels encourusInvestissement nécessaire: Immobilisations et fonds de roulement additionnels

Exemple:Revenus actuels: 10 000$Unités vendues actuelles: 1 000 Prix actuel: 10$/unité

Projet:Investissement: 2 500$; d = 30%Unités vendues additionnelles: 200/anHausse de prix: 10% Revenus annuels additionnels: 200 x (10$ x 1.10)=2 200$Coûts additionnels: 500$/an

Année 0 1 2 3 etc..État des résultatsRevenus 2 200 $ 2 200 $ 2 200 $Coûts 500 $ 500 $ 500 $DPA 375 $ 638 $ 446 $Bénéfice imposable 1 325 $ 1 063 $ 1 254 $Impôt (30%) 398 $ 319 $ 376 $Bénéfice net 928 $ 744 $ 878 $Flux monétaireBénéfice net 928 $ 744 $ 878 $DPA 375 $ 638 $ 446 $Investissement (2 500 $)Flux monétaire net (2 500 $) 1 303 $ 1 381 $ 1 324 $

20



2. Projet de fabrication pour remplacer l'achat de l'externeRevenus: les coûts évités (ex. coûts d'achat d'un sous-traitant)Coûts additionnels encourus (ex: coûts de production)

Revenus évités – Coûts additionnels = économies nettesInvestissement nécessaire: Immobilisations et fonds de roulement additionnels

Exemple:Coût des produits achetés: 10 000$/anUnités achetées actuellement: 1 000 Prix d'achat actuel: 10$/unité

Projet:Investissement: 2 500$; d = 30%Coût de production 8$/unité Coût de production annuel: 1 000 x 8$ = 8 000$/an

Année 0 1 2 3 etc..État des résultatsRevenus (coûts évités) 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $Coûts de production 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $Économies nettes 2 000 $ 2 000 $ 2 000 $DPA 375 $ 638 $ 446 $Bénéfice imposable 1 625 $ 1 363 $ 1 554 $Impôt (30%) 488 $ 409 $ 466 $Bénéfice net 1 138 $ 954 $ 1 088 $Flux monétaireBénéfice net 1 138 $ 954 $ 1 088 $DPA 375 $ 638 $ 446 $Investissement (2 500 $)Flux monétaire net (2 500 $) 1 513 $ 1 591 $ 1 534 $



3. Projet de remplacement pour diminuer les coûtsRevenus: les anciens coûtsCoûts: les nouveaux coûts

anciens coûts – nouveaux coûts = économies nettesInvestissement nécessaire: Immobilisations et fonds de roulement additionnels

Exemple:Anciens coûts (main d'œuvre, matières premières, entretien, etc.): 10 000$/an

Projet:Investissement: 2 500$; d = 30%Nouveaux coûts: 8 000$/an

Année 0 1 2 3 etc..État des résultatsRevenus: anciens coûts 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $Nouveaux coûts 8 000 $ 8 000 $ 8 000 $Économies nettes 2 000 $ 2 000 $ 2 000 $DPA 375 $ 638 $ 446 $Bénéfice imposable 1 625 $ 1 363 $ 1 554 $Impôt (30%) 488 $ 409 $ 466 $Bénéfice net 1 138 $ 954 $ 1 088 $Flux monétaireBénéfice net 1 138 $ 954 $ 1 088 $DPA 375 $ 638 $ 446 $Investissement (2 500 $)Flux monétaire net (2 500 $) 1 513 $ 1 591 $ 1 534 $

21


Comment trouver les revenus du pointComment trouver les revenus du point--mortmort

Disons que nous avons analysé le projet suivant et que nous ayons trouvé, avec des revenus (R0) de 2 200$ par année , que sa PE est de 1 795$.Le fonds de roulement est de 10% des revenus, investi à t=0 et récupéré à t=5)

Année 0 1 2 3 4 5État des résultatsRevenus 2 200 $ 2 200 $ 2 200 $ 2 200 $ 2 200 $Coûts 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $DPA 375 $ 638 $ 446 $ 312 $ 219 $Bénéfice imposable 1 325 $ 1 063 $ 1 254 $ 1 388 $ 1 481 $Impôt (30%) 398 $ 319 $ 376 $ 416 $ 444 $Bénéfice net 928 $ 744 $ 878 $ 971 $ 1 037 $Flux monétaireBénéfice net 928 $ 744 $ 878 $ 971 $ 1 037 $DPA 375 $ 638 $ 446 $ 312 $ 219 $Investissement (2 500 $)Fonds de roulement (10% des revenus) (220 $) 220 $Flux monétaire net (2 720 $) 1 303 $ 1 381 $ 1 324 $ 1 284 $ 1 476 $PE (15%) 1 795 $

Quels sont les revenus annuels, avant impôts, qui nous rendraient indifférents envers ce projet? Autrement dit, à quel niveau de revenus annuels la PE du projet serait-elle de 0?


Comment trouver les revenus du pointComment trouver les revenus du point--mort (suite)mort (suite)

Pour répondre à la question, il faut isoler l'impact des revenus sur le flux monétaire net après impôts:

Dans une année donnée, l'impact d'un changement des revenus (∆R) sur le flux monétaire (∆FM) après impôt au taux t=30% est de:

( ) R.tRFM ∆=−∆=∆ 701Plus, l'impact d'une variation des revenus sur la variation du fonds de roulement, ici:

5 t à 0.1et 0 tà 10 =∆=∆− RR.

On cherche donc à trouver ∆R qui rendrait la ∆PE du flux monétaire suivant égale à−1 795$, au TRAM de 15%:

0 1 2 3 4 5

0.7∆R 0.7∆R 0.7∆R 0.7∆R0.8∆R

−0.1∆R

22



( ) ( )( ) ( )

$418 1$782$200 2

$7822.2962

$795 129622049703465210$795 1

4972010352237010$795 115%,5105 15%, 7010$795 1

0 =−=∆−=

−=−

=∆

∆=∆+∆+∆−=−∆+∆+∆−=−

∆+∆+∆−=−=∆

RRR

R

R.R.R.R..R..R.R.

,F/PR.,A/PR.R.PE

0 1 2 3 4 5

0.7∆R 0.7∆R 0.7∆R 0.7∆R0.8∆R

−0.1∆R

Avec la TI:2200-nsolve(npv(15,-0.1X,{0.7X,0.8X},{4,1})=-1795,X)=1418

0.7∆R0.1∆R



0 1 2 3 4 5

0.7∆R 0.7∆R 0.7∆R 0.7∆R0.8∆R

0.7∆R0.1∆R

−0.1∆R

1

Risque et incertitudeRisque et incertitudeUne introductionUne introduction


2Risque et incertitude: une introduction

ContenuContenu

Méthodes de définition des sources de risque de projet

Concepts élémentaires de probabilités

Distribution statistique de la PE

Techniques de simulation

Les décisions séquentielles et la valeur de l'information additionnelle

Référence: AEI, Chap. 13

2


ÉÉvolution des prvolution des prééoccupations des entreprises sur la rentabilitoccupations des entreprises sur la rentabilitéé de projetde projet

Avant 1960:Quel est le délai de récupération de l'investissement?

1960 – 1990:Est-ce que la valeur actualisée de ce projet est positive?

Depuis 1990:Quelle est la valeur actualisée de ce projet avec un niveau de confiance de 95%?Dans le cas de très grands projets – comme par exemple le développement d'un avion: quelle est la probabilité qu'une PE négative excède la valeur des capitaux propres de l'entreprise?

Depuis 2000:Quelle est la PE stratégique de ce projet?

Quelle est la PE du projet, incluant la valeur des options stratégiques qui y sont enchâssées?


Les sources de risque d'un projetLes sources de risque d'un projet

Prévisions de ventes incertainesTaille et taux de croissance du marché potentielPrix, réactions des concurrents et parts de marché

Technologie:Problèmes de performance du produitInnovations des concurrents et désuétude

Prévisions de coûts incertainesHypothèses de coûts irréalistes

Coûts de l'investissementDépassements budgétaires, imprévusRetards dans la construction

Hypothèses financières:Taux d'intérêtTaux de change

Etc..

3


MMééthodes de dthodes de dééfinition du risquefinition du risque

1. Analyse de sensibilité

2. Analyse du point mort

3. Analyse de scénarios


Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé

Mesurer l'impact sur la PE du projet de changements dans une ou des variables du modèle financier du projet.Exemples:

Qu'arrive-t-il si les ventes ne sont que de 1 000 unités/année au lieu de 2 000?Qu'arrive-t-il si la croissance des ventes n'est que de 2% par année au lieu de 5%?

Méthode de présentation utile et pratique: le graphique de sensibilitéX: variation en % d'une variable d'entrée au modèleY: PE(TRAM)La pente de la droite indique la sensibilité de la PE à un changement dans la variable d'entrée.

VentesPEPente

∆∆

=

Exemple:

Plus la pente est élevée, plus la PE est sensibleà la variation des ventes

4


Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé: Exemple 13.1: Exemple 13.1

La société SMW désire obtenir un contrat de 5 ans pour la fabrication de coffres de transmission. Pour fabriquer ces pièces, elle doit investir 125 000$ dans une nouvelle machine à forger. Le volume annuel est estimé à 2 000 unités par année, à un prix unitaire de 50$. Les frais variables s'élèveraient à 15$/unité et les frais fixes à10 000$ par année.Le taux de DPA est pour la machine est de 30% et sa valeur de récupération dans 5 ans serait de 32% du coût initial.Le TRAM est de 15% et le taux d'impôt de 40%

Les incertitudes ou éléments de risque:Avant d'obtenir un contrat ferme, la société doit fournir des échantillons et investir dans l'équipement nécessaire.Le prix unitaire pourrait baisser en fonction de la qualité des échantillonsLa demande pourrait être plus basse que prévue, car le client ne garantit pas de quantités minimales. Si ses affaires baissaient, il pourrait décider de rapatrier la fabrication de ces pièces à l'interne.La société connaît moins bien ce genre d'équipement. Son estimation des coûts variables et fixes pourraient être erronés.La valeur de récupération dans 5 ans n'est qu'une estimation.


Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé: Exemple 13.1: Exemple 13.1

P = 125 000 $ t = 40%d = 30% TRAM = 15%S = 32%

Année 0 1 2 3 4 5État des résultatsRevenus

Prix unitaire 50 $ 50 $ 50 $ 50 $ 50 $Demande (unités) 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000

Revenus totaux 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $Charges

Coût variable unitaire 15 $ 15 $ 15 $ 15 $ 15 $Coût variable total 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $Coût fixe 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $

Bénéfice imposable 41 250 $ 28 125 $ 37 688 $ 44 381 $ 49 067 $Impôts 16 500 $ 11 250 $ 15 075 $ 17 753 $ 19 627 $Bénéfice net 24 750 $ 16 875 $ 22 613 $ 26 629 $ 29 440 $État des flux de trésorerieBénéfice net 24 750 $ 16 875 $ 22 613 $ 26 629 $ 29 440 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $(Investissement) disposition (125 000 $) 40 000 $Effet fiscal de la disposition (5 796 $)Flux monétaire net (125 000 $) 43 500 $ 48 750 $ 44 925 $ 42 248 $ 74 578 $PE(15%) 40 460 $

Le projet: la situation de référence ("Base case")

5


Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé: Exemple 13.1 (suite): Exemple 13.1 (suite)

Identifier les variables d'entrée fondamentales de ce projet:1. Le prix unitaire2. La demande3. Le coût variable unitaire4. Les coûts fixes5. La valeur de récupérationFaire varier chacune des variables sur une fourchette plausible, par exemple +/-20%:

Variation -20% -10% 0% 10% 20%Prix 40.00 $ 45.00 $ 50.00 $ 55.00 $ 60.00 $Demande 1 600 1 800 2 000 2 200 2 400Coût variable unitaire 12.00 $ 13.50 $ 15.00 $ 16.50 $ 18.00 $Coûts fixes 8 000 $ 9 000 $ 10 000 $ 11 000 $ 12 000 $Valeur de récupération 32 000 $ 36 000 $ 40 000 $ 44 000 $ 48 000 $

Calculer la PE(TRAM) pour chacune de ces valeurs:Variation -20% -10% 0% 10% 20%Prix 234 $ 20 347 $ 40 460 $ 60 573 $ 80 686 $Demande 12 302 $ 26 381 $ 40 460 $ 54 539 $ 68 618 $Coût variable unitaire 52 528 $ 46 494 $ 40 460 $ 34 426 $ 28 393 $Coûts fixes 44 483 $ 42 472 $ 40 460 $ 38 449 $ 36 438 $Valeur de récupération 38 074 $ 39 267 $ 40 460 $ 41 654 $ 42 847 $



0 $

10 000 $

20 000 $

30 000 $

40 000 $

50 000 $

60 000 $

70 000 $

80 000 $

90 000 $

-20% -10% 0% 10% 20%Variation

PE(1

5%) $

Prix unitaire

Demande

Valeur derécupérationCoûts fixes

Coût variableunitaire

Valeur deréférence

Sensibilité élevée de la PE au:

PrixVolume

Sensibilité modérée de la PE au:

Coût variable unitaire

Sensibilité faible de la PE au:

Coûts fixesValeur de récupération

Sensibilité élevée de la PE au:

PrixVolume

Sensibilité modérée de la PE au:

Coût variable unitaire

Sensibilité faible de la PE au:

Coûts fixesValeur de récupération

Porter la PE(TRAM) sur un graphique.PE(TRAM) varie de façon linéaireDonc, pour tracer le graphique, nous n'avons besoin que d'un seul point par variable (par exemple +20%), car la valeur de référence est déjà connue (40 460$)

6



( )( )( ) DPA.CF.CVPxQ.A

DPAtDPACFQCVQPxA406060

1+−−=

+−−−−=

La variation de A par rapport aux variations de Q, Px, CV et CF est donné par:

( ) ( )( )

CF.ACVCVQ.A

PxPx.PxQ.AQQ.QCVPx.A

∆−=∆∆−=∆−=∆

∆=∆=∆=∆∆=∆=∆−=∆

60120060

12002000606021356060

La variation de la PE causée parune variation de d % de la variableautour du scénario de base:

( )( )( )( )

( )( )( )( ) d,A/Pd.PE

d,A/PdPEd,A/PdPEd,A/PρPE

2011315%,5 10000606033915%,5 15200 1

129 20115%,5 50200 114079115%,5 200021

−=−=∆−=−=∆

==∆==∆

PEPEPEPE base ∆+=∆+= $460 10

la PE du scénario évalué sera donnée par:

Méthode analytiqueLe flux monétaire A des années 1 à 5, excluant la valeur de récupération est donnée par:

Posons:∆Variable = d (Valeur de base)où d = variation en % de la variable part rapport au scénario de base



Quant à la valeur résiduelle S, son impact F5 sur le flux monétaire de l'année 5 est donné par:

( )( ) ( ) ( )FNACC.S.F

tFNACCtStFNACCSSF4060

1

5

5

−=

−−=−−=

L'impact d'une variation de S sur F5 est donné par:S.F ∆=∆ 605

( )( ) d,,F/Pd.PE 932 115 %15 000 4060 ==∆

La PE totale à cette valeur de S est de:

dPEPEPE base 11932460 40 +=∆+=

La variation de la PE causée par une variation de d % de la valeur de récupération est donné par:

7



On peut maintenant porter les fonctions de la PE en fonction de d sur un graphique

dPE:SdPE:CFdPE:CVdPE:Px

dPE:Q

932 11460 40131 20460 40393 60460 40

129 201460 40791 140460 40

+=−=−=

+=+=

Ces fonctions sont linéaires. Comme on connaît la PE du scénario de base où d =0% (i.e. 40 460$), on a qu'àcalculer un seul autre point. Ex: pour Q à d = 20%:

( )618 68158 28 460 40

20791 140460 40=+=

+=PE

.PE

Prix 80 686 $Demande 68 618 $Coûts variables 28 393 $Coûts fixes 36 438 $Valeur de récupération 42 847 $

PE à d = 20%


Analyse du point mortAnalyse du point mort

Technique centrée sur la quantité vendue:Jusqu'à quel point est-ce que les ventes peuvent tomber avant que le projet commence à ne plus être rentable?

Solution par ordinateur avec le Solveur d'Excel : 1 425 unités/année, soit 28.74% de moins que le cas de référence


Prix unitaire 50 $ 50 $ 50 $ 50 $ 50 $Demande (unités) 1 425 1 425 1 425 1 425 1 425



Bénéfice imposable 21 133 $ 8 008 $ 17 571 $ 24 265 $ 28 950 $Impôts 8 453 $ 3 203 $ 7 028 $ 9 706 $ 11 580 $Bénéfice net 12 680 $ 4 805 $ 10 543 $ 14 559 $ 17 370 $État des flux de trésorerieBénéfice net 12 680 $ 4 805 $ 10 543 $ 14 559 $ 17 370 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $(Investissement) disposit ion (125 000 $) 40 000 $Effet fiscal de la disposition (5 796 $)Flux monétaire net (125 000 $) 31 430 $ 36 680 $ 32 855 $ 30 178 $ 62 508 $PE(15%) 0 $

8


Analyse du point mort: Approche analytiqueAnalyse du point mort: Approche analytique

Partir du scénario de base à 2 000 unités pour le quel la PE a été calculée précédemment à 40 460$. Nous avons établi précédemment que pour une variation d de Q:

dPE 791 140460 40 +=

En solutionnant pour d à PE = 0, on trouve:

( ) ( ) unités 425 12874.01000 21

%74.28791 140460 40

791140460400

=−=+=

−=−

=

+==

dQQ

ρ

dPE

basePM


Analyse du point mort: Autre approche analytiqueAnalyse du point mort: Autre approche analytique

L'impact de Q sur le flux monétaire A des années 1 à 5 est de:( )( )

( )( ) Q.QAtQCVQPxA21601550

1=−=−−=

∆PE = −40 460$

21∆Q = −40 460 (A/P, 15%, 5) = − 12 061∆Q = 12 061/21 = 575

Ou: ∆Q = nsolve(npv(15,0,{21Q},{5})=-40460,Q)=-574.8QPM = Qbase+ ∆Q = 2 000 − 575 = 1 425 unités

On cherche la quantité ∆ Q qui rendra la PE de ∆ A égale à – 40 460$

0 1 2 3 4 5

21∆Q 21∆Q 21∆Q 21∆Q 21∆Q

9


Analyse du point mort: Encore une autre approche analytiqueAnalyse du point mort: Encore une autre approche analytique

Trouver la quantité Q où la PE du flux monétaire net est égale à 0.

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

unités 425 1396370330 100

330 1003953700150mort-pointAu

330 10039537015330 100352232115

5155 15%, 21155

0

==⇒

−===

−=−=

+= ∑=

=

.Q

Q.%PEPE,

Q.%PE.Q%PE

%,,F/PF,A/PQ%PE

PM

PMPM

n

nn

Année 0 1 2 3 4 5 Entrées de fonds

Revenus, net d'impôt 50X(1-0.4) 30 Q 30 Q 30 Q 30 Q 30 QCrédit d 'impôt du à la DPA(0.4) 7 500 $ 12 750 $ 8 925 $ 6 248 $ 4 373 $Récupération, net de l'effet fiscal 34 204 $

Sorties de fondsInvestissement (125 000 $)Coûts variables, nets d'impôts 15X(1-.04) (9Q) (9Q) (9Q) (9Q) (9Q)Coûts fixes, net d'impôts (1-0.4) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $)

Flux monétaire netCoefficient de Q 21Q 21Q 21Q 21Q 21QConstante (125 000 $) 1 500 $ 6 750 $ 2 925 $ 248 $ 32 578 $

tvm_pv(5,15,-1,0)= 3.3522

npv(15,-125000,{1500,6750, 2925,248,32578})=-100330

Calcul des coefficients:


Analyse du point mort: GraphiquementAnalyse du point mort: Graphiquement

10


Analyse de scAnalyse de scéénariosnarios

Façon simple de tenir compte de l'interaction entre et/ou du changement simultané de plusieurs variables.La pratique commune: 3 scénarios

Pire scénario (worst case)Meilleur scénario (best case)Scénario le plus probable (most likely case)

Exemple:

Les questions qu'il faut maintenant adresser:Quelle est la probabilité que chaque scénario se concrétise?

Quelle est la probabilité que la PE soit négative?

Variable PirePlus

probable MeilleurDemande 1 500 2 000 2 500Prix unitaire 48 $ 50 $ 53 $Coût variable unitaire 17 $ 15 $ 12 $Coûts fixes 11 000 $ 10 000 $ 8 000 $Valeur de récupération 0 $ 40 000 $ 50 000 $PE(15%) (20 749 $) 40 460 $ 112 833 $

Scénario


Analyse de la distribution de la Analyse de la distribution de la PEPE

11


Revue des concepts Revue des concepts éélléémentaires de probabilitmentaires de probabilitéés utiles s utiles àà la la ddéécision d'investissementcision d'investissement

Distribution des probabilités

Espérance et variance

Probabilités conjointes et probabilités conditionnelles

Covariance et coefficient de corrélation


Distribution de probabilitDistribution de probabilitééss

Une variable aléatoire X est un paramètre, ou variable, qui peut prendre plusieurs valeurs aux quelles sont associées des probabilités ou chances de réalisation.La distribution de probabilités f(x) est une fonction, discrète ou continue, qui donne la probabilité pi de chacune des valeurs xi que peut prendre X.

∑ = 1ip

La distribution cumulative de probabilités F(x) indique la probabilité que X atteigne une valeur inférieure ou égale à une valeur quelconque x.Exemple:

y f(y)=p F(Y)48 $ 30% 30%50 $ 50% 80%53 $ 20% 100%

100%

Prix unitaire (Y)x f(x)=p F(X)

1 500 20% 20%2 000 60% 80%2 500 20% 100%

100%

Unités vendues (X)

12


Valeur espValeur espéérréée et variancee et variance

La valeur espérée (ou la moyenne) de X, E(X) ou µ, est une moyenne pondérée, selon les probabilités, des valeurs que peut prendre la variable aléatoire X.

La variance de X, VAR(X) ou σ2 est une mesure-clé du risque car elle indique le niveau de dispersion ou d'écart des valeurs possibles de X par rapport à sa valeur espérée E(X). La variance est la moyenne pondérée, selon les probabilités, du carrédes écarts entre x et E(X).

L'écart-type σ est la racine carrée de la variance.

( ) ∑=µ= iix xpXE

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )222

2222

XExp

XExpXExpXVAR

iixx

iiiix

−=σ=σ

−=−=σ=

∑∑∑

E(X) VAR(X)σx= 316

E(Y) VAR(Y)σy= 1.73

x p xp (x-E(X))^2 (x-E(X))^2(p) y p yp (y-E(Y))^2 (y-E(Y))^2(p)1 500 20% 300 250 000 50 000 48 $ 30% $14.40 4.00 1.202 000 60% 1 200 0 0 50 $ 50% $25.00 0.00 0.002 500 20% 500 250 000 50 000 53 $ 20% $10.60 9.00 1.80

100% 2 000 100 000 100% $50.00 3.00

Unités vendues (X) Prix unitaire (Y)


ProbabilitProbabilitéés conjointes de variables als conjointes de variables alééatoires indatoires indéépendantespendantes

La probabilité conjointe P(x,y) est la probabilité que X et de Y prennent des valeurs précises en même temps.Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes (i.e. la valeur de l'une ne dépend pas de la valeur de l'autre), P(x,y) est donnée par le produit de P(x) et de P(y):

( ) ( ) ( )yPxPy,xP =

Reprenons l'exemple de SMW:

Si le nombre d'unités vendues est indépendant du prix unitaire – une hypothèse souvent irréaliste dans la pratique – la probabilité que le nombre d'unités vendues soit de 1 600 et que le prix soit de 48$, est de:

( ) ( ) ( ) ( ) %6%30%20$481600 48$ ,600 1 =×===== YPXPPy,xP

y f(y)=p F(Y)48 $ 30% 30%50 $ 50% 80%53 $ 20% 100%

100%


1 500 20% 20%2 000 60% 80%2 500 20% 100%

100%

Unités vendues (X)

13


Quelle est la probabilité que ce projet ne soit pas rentable? Autrement dit. que la PE soit négative?Pour répondre à des questions de ce type, nous devons connaître la distribution statistique de la PE

La distribution de la La distribution de la PEPE

Reprenons l'exemple de SMW et supposons que le volume et le prix peuvent varier en même temps et de façon indépendante de la manière suivante:

y f(y)=p F(Y)48 $ 30% 30%50 $ 50% 80%53 $ 20% 100%

100%


1 500 20% 20%2 000 60% 80%2 500 20% 100%

100%

Unités vendues (X)


La distribution de la La distribution de la PEPE

Pour connaître la distribution statistique de la PE, il nous faut d'abord formuler la PEen fonction des deux variables aléatoires X et Y:

( ) ( )( ) ( )∑=

=

+−=5

0 15%, 5 15%, 96%15

n

nn n,F/PF,A/PXXY.PE

tvm_pv(5,15,-1,0)= 3.3522

Année 0 1 2 3 4 5Entrées de fonds

Revenus, net d'impôt XY(1-0.4) .6XY .6XY .6XY .6XY .6XYCrédit d'impôt du à la DPA(0.4) 7 500 $ 12 750 $ 8 925 $ 6 248 $ 4 373 $Récupération, net de l'effet f iscal 34 204 $

Sorties de fondsInvestissement (125 000 $)Coûts variables, nets d'impôts 15X(1-.04) (9X) (9X) (9X) (9X) (9X)Coûts fixes, net d'impôts (1-0.4) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $)

Flux monétaire netMontants dépendants de X et Y .6XY-9X .6XY-9X .6XY-9X .6XY-9X .6XY-9XMontants fixes (125 000 $) 1 500 $ 6 750 $ 2 925 $ 248 $ 32 578 $

( ) ( ) 100330963522315 −−=⇒ XXY..%PE

npv(15,-125000,{1500,6750,2925,248,32578})=-100330

14


La distribution de la La distribution de la PEPESi le prix et le volume sont des variables aléatoires indépendantes, on peut calculer ainsi la distribution statistique de la PE:

E(PE) = 40 460$VAR(PE)

σPE= 23 352$

( ) ( ) 330 1009635223%15 −−= XXY..PE

x y P(x) P(y) P(x,y)

Distribution cumulative des probabilités (F) PE(15%)

PE pondérée

(PE-E(PE))^2 pondéré

1 500 48 $ 20% 30% 6% 6% (771 $) (46 $) 102 002 234 1 500 50 $ 20% 50% 10% 16% 5 263 $ 526 $ 123 887 305 1 500 53 $ 20% 20% 4% 20% 14 314 $ 573 $ 27 346 226 2 000 48 $ 60% 30% 18% 38% 32 415 $ 5 835 $ 11 650 463 2 000 50 $ 60% 50% 30% 68% 40 460 $ 12 138 $ 0 2 000 53 $ 60% 20% 12% 80% 52 528 $ 6 303 $ 17 475 695 2 500 48 $ 20% 30% 6% 86% 65 602 $ 3 936 $ 37 924 685 2 500 50 $ 20% 50% 10% 96% 75 658 $ 7 566 $ 123 887 305 2 500 53 $ 20% 20% 4% 100% 90 743 $ 3 630 $ 101 132 494

40 460 $ 545 306 409

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

(771 $

)

5 263

$

14 31

4 $

32 41

5 $

40 46

0 $

52 52

8 $

65 60

2 $

75 65

8 $

90 74

3 $

PE(15%)

Prob

abili

té

P(x,y) = P(x)P(y)


Calculs des statistiques de la Calculs des statistiques de la PEPE avec la Voyage 200avec la Voyage 200

Stats /List Editor

F4, 1-Var Stats

E(PE)=40 462 σPE=23 352

PE="tvm_pv(5,15,-1,0)*(.6*x*y-9*x)+npv(15,-125000,{1500,6750,2925,248,32578})"

pxy="px*py"

15


Calculs des statistiques de la Calculs des statistiques de la PEPE avec la avec la NspireNspire

Le "Stats/List Editor" est remplacé par "List & Spreadsheet"

Menu, Statistics, Stat Calculations, One-variable statistics:

OK,


La distribution cumulative de la La distribution cumulative de la PEPE

On peut aussi porter la distribution cumulative de la PE sur un graphique et observer que:

La probabilité que la PEsoit inférieure à 0 est de 6%.La probabilité que la PEsoit inférieure à la valeur de référence de 40 460$ est de 68%.Le cas de référence peut donc être qualifié de légèrement optimiste, car sa probabilité est plus grande que 50%.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

(20 000 $) 0 $ 20 000 $ 40 000 $ 60 000 $ 80 000 $ 100 000 $PE(15%)

Prob

abili

té c

umul

ativ

e

PE de référence:40 460$

P(PE< 10 460$)= 68%

P(PE< 0$)= 6%

16


Comparaison d'options indComparaison d'options indéépendantes et de niveau de risque pendantes et de niveau de risque diffdifféérent: Exemple13.8rent: Exemple13.8

L'entreprise Technologies Vertes a conçu un appareil permettant à un véhicule de passer de l'essence au gaz naturel. Elle a développé des prototypes pour 4 segments de marché différents: automobile compacte (modèle 1), automobile standard (modèle 2), VUS (modèle 3) et camion (modèle 4). N'étant pas convaincue de la demande du public, elle aimerait commencer par commercialiser l'appareil dans un seul segment. L'équipe du marketing de Technologies Vertes a compilé la distribution potentielle de la PE de chacun des modèles comme s'il était commercialisé indépendamment l'un de l'autre:

Recommandez lequel devrait être choisi comme produit de lancement.

PE(10%)(en M$) Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 41 000 $ 35% 10% 40% 20%1 500 $ 45% 40%2 000 $ 40% 25%2 500 $ 35% 30%3 000 $ 20% 20%3 500 $4 000 $ 5% 15%4 500 $ 10% 10%

100% 100% 100% 100%

Probabilités


Comparaison d'options indComparaison d'options indéépendantespendantes

Étape 1: Calcul de la PE espérée et de l'écart-type de la PE chaque option

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) $950 10.05000$ 40.20000$ 30.40000$ 20.35000$ 11 =+++=

= ∑PEE

xpXE ii

( )[ ] ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) $865950 1000 40.05000 30.20000 20.40000 1350 22222

221

=−+++=

−=σ ∑.

XExp ii

Exemple de calcul pour le modèle 1:

PE(10%)(en M$) Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 41 000 $ 35% 10% 40% 20%1 500 $ 45% 40%2 000 $ 40% 25%2 500 $ 35% 30%3 000 $ 20% 20%3 500 $4 000 $ 5% 15%4 500 $ 10% 10%

100% 100% 100% 100%E(PE) 1 950 $ 2 100 $ 2 100 $ 2 000 $σ(PE) 865 $ 957 $ 1 091 $ 1 000 $

Probabilités

17


Calcul des statistiques de la Calcul des statistiques de la PEPE avec la TI: Exemple pour M1avec la TI: Exemple pour M1

Stats /List Editor F4, 1-var Stats

E(PE)

σPE


1 940 $

1 960 $

1 980 $

2 000 $

2 020 $

2 040 $

2 060 $

2 080 $

2 100 $

2 120 $

800 $ 850 $ 900 $ 950 $ 1 000 $ 1 050 $ 1 100 $ 1 150 $

Comparaison d'options indComparaison d'options indéépendantes (suite)pendantes (suite)

Étape 2: Élimination des options inefficaces du point de vue risque-rendementLe défenseur initial est l'option à la plus grande PE: Modèle 2Éliminer toutes les options ayant un écart-type plus grand que celui du Modèle 2.

élimination des Modèles 3 et 4: Offrent la même PE ou moins, mais avec plus de risque.Le Modèle 1 est l’aspirant

M2

M3

M4

M1

FrontièreefficientePE(10%)

σPE

18


Comparaison d'options indComparaison d'options indéépendantes (suite)pendantes (suite)

Étape 3: Évaluation des options restantesCalculer la probabilité de tous les cas où le défenseur (Modèle 2) a une PE inférieure à celle de l’aspirant (Modèle 1):

PE(M1) PE(M2) p(M1) p(M2) p(M1)p(M2)2 000 $ 1 000 $ 40.0% 10.0% 4.00%2 000 $ 1 500 $ 40.0% 45.0% 18.00%3 000 $ 1 000 $ 20.0% 10.0% 2.00%3 000 $ 1 500 $ 20.0% 45.0% 9.00%3 000 $ 2 500 $ 20.0% 35.0% 7.00%4 000 $ 1 000 $ 5.0% 10.0% 0.50%4 000 $ 1 500 $ 5.0% 45.0% 2.25%4 000 $ 2 500 $ 5.0% 35.0% 1.75%

44.50%

La probabilité que le Modèle 2 ait effectivement une PE inférieure à celle du Modèle 1 est inférieure à 50%.Ceci qui devrait inciter un décideur rationnel à préférer le Modèle 2.


Comparaison dComparaison d’’options indoptions indéépendantes (suite)pendantes (suite)

Taux de rendement

sans risque

Courbe d'indifférence du marché financier(ou fonction de compromis entre le risque et le rendement)

0%

5%

10%

15%

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Indice de risque(υ, β, ou autre)

TRAM

Prime de

risque

LA façon correcte et sans équivoque de départager les options 1 et 2 serait de calculer leur PE en fonction d'un TRAM ajusté pour le risque.

Un sujet qui serait abordé longuement dans un cours de Finance de niveau intermédiaire

19


Variables dVariables déépendantespendantesIl arrive très souvent en pratique que la valeur d'une variable aléatoire dépend de la valeur d'une autre variable aléatoire. Par exemple, si le volume dépend du prix:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) %12%30%40$48$48000 2$48000 2 =×=====

====YPY|XP,P

yYPyY|xXPy,xP

Si X et Y sont des variables aléatoires dépendantes (i.e. la valeur de l'une dépend de la valeur de l'autre), la probabilité conjointe de X et Y , P(x,y) , est donnée par:

Les probabilités marginales de X sont données par:( ) ( ) ( ) ( )

52%%8%32%123$5 000 20$5 000 28$4 000 2000 2

=++=++== ,P,P,PXP

Prix unitaire (Y) Probabilité

Unités vendues

(X)Probabilité

conditionnelleProbabilité conjointe

1 500 10% 3%$48 30% 2 000 40% 12%

2 500 50% 15%100% 30%

1 500 10% 5%$50 50% 2 000 64% 32%

2 500 26% 13%100% 50%

1 500 50% 10%$53 20% 2 000 40% 8%

2 500 10% 2%100% 20%

100% 100%

Unités vendues

(X) Probabilité1 500 18%2 000 52%2 500 30%2 060 100%

( )341

060 2=σ=

X

XE

Prix (Y) Probabilité48 $ 30%50 $ 50%53 $ 20%50 $ 100%

( )$731$50

.YE

X =σ=


Variables dVariables déépendantespendantes

À partir des probabilités conjointes, on peut, comme précédemment, calculer la distribution de la PE:

( ) ( ) 330 1009635223%15 −−= XXY..PE

( )

( )( )

%65%8%13%32%12000 20

%30207 22

202 44

=+++=>

=≤=

=

PEPPEP

σPEE

PR

20


Covariance et coefficient de corrCovariance et coefficient de corréélationlation

Lorsqu'il existe un lien de dépendance entre plusieurs variables aléatoires, il peut devenir très fastidieux d'estimer les probabilités conditionnelles et conjointes.On préfère souvent utiliser un des concepts les plus puissants de la science statistique: le coefficient de corrélation, ρxy. Mathématiquement, le coefficient de corrélation se définit comme:

( )yx

xyY,X

σσ=ρ

Cov

La covariance, Cov(X,Y) est l'espérance mathématique du produit des différences entre les valeurs de X et l'espérance de X, et les valeurs de Y et l'espérance de Y:

( ) [ ]( ) [ ]( ){ }YEYXEXEX,Y xy −−=σ=Cov

Le coefficient de corrélation ρxy peut prendre des valeurs entre -1 et + 1.ρxy= –1 variables parfaitement, mais inversement, corréléesρxy= +1 variables parfaitement, et positivement, corréléesρxy= 0 variables non corrélées, ou indépendantes


Coefficient de corrCoefficient de corréélation: illustrationlation: illustration

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

ρxy = +1 ρxy = -1

ρxy = 0 ρxy = 0.7

21


Calcul du coefficient de corrCalcul du coefficient de corréélation: exemplelation: exemple

Cov(X,Y) = -240

( )( )( ) 40610

731341240Cov .

.Y,X

yxxy −=

−=

σσ=ρ

x y P(x,y) (x-E(X)) (y-E(Y))

(x-E(X)) (y-E(Y)) pondéré

1 500 48 $ 3% -560 $ -2.0 $ 33.601 500 50 $ 5% -560 $ 0.0 $ 0.001 500 53 $ 10% -560 $ 3.0 $ -168.002 000 48 $ 12% -60 $ -2.0 $ 14.402 000 50 $ 32% -60 $ 0.0 $ 0.002 000 53 $ 8% -60 $ 3.0 $ -14.402 500 48 $ 15% 440 $ -2.0 $ -132.002 500 50 $ 13% 440 $ 0.0 $ 0.002 500 53 $ 2% 440 $ 3.0 $ 26.40

100% -240.00

Dans l'exemple précédant, le coefficient de corrélation entre le volume et le prix est de -0.4061:


1 5001 6001 7001 8001 9002 0002 1002 2002 3002 400

48 $ 49 $ 50 $ 51 $ 52 $ 53 $

Prix

Volu

me

annu

alis

é

Estimation du coefficient de corrEstimation du coefficient de corréélation avec des donnlation avec des donnéées es historiqueshistoriques

Au lieu d'estimer des probabilités conditionnelles, l'analyse de données historiques de vente pourrait permettre au personnel du marketing de SMW de déterminer empiriquement que le coefficient de corrélationentre le prix et le volume de vente de la société SMW est de -0.4061:

ρxy = -0.4061

F4, Regressions

-80

22


Distribution de la Distribution de la PEPE liliéée e àà des variables ddes variables déépendantes:pendantes:Simulation Monte CarloSimulation Monte Carlo

La solution analytique d'une distribution de PE liée à des variables d'entrée dépendantes peut rapidement devenir très difficile à calculer, surtout lorsque la fonction de PE comprend une combinaison non linéaire de variables comme le produit du volume et du prix, comme dans notre exemple:

( ) ( ) 330 1009635223%15 −−= XXY..PE

L'espérance de cette fonction de PE est facile à calculer – l'espérance d'un produit est le produit des espérances.Par contre, le calcul de la variance de la fonction de PE ci-dessus fait intervenir un niveau de mathématiques statistiques avancé.On préfère alors procéder par simulation sur ordinateur.

En plus de nous laisser spécifier la forme et les paramètres de la distribution des variables d'entrée du modèle, les logiciels de simulation nous permettent de spécifier le coefficient de corrélation désiré entre elles.


Qu'estQu'est--ce qu'une simulation Monte Carlo?ce qu'une simulation Monte Carlo?

Prix (Y) Volume (X)

48$

50$

53$

30%

50%

20%

y P(y)

1 500

2 000

2 500

18%

52%

30%

x P(x)

Une simulation Monte Carlo est une expérience qui vise à déterminer la distribution statistique d'une variable dont les valeurs dépendent de la valeur de variables aléatoires.

ρ = -0.4061

Chaque urne contient des boules dont la distribution des couleurs correspond aux probabilités d'observer une valeur donnée de la variable aléatoire.Le logiciel de simulation comprend un algorithme qui peut générer des nombres aléatoires corrélés selon le coefficient de corrélation désiréL'expérience consisterait ici à tirer une boule de chaque urne des milliers de fois, calculer la PE pour chaque couple x, y puis compter la distribution statisque des PEainsi obtenues.

E(Y) =50$σY = 1.73$

E(X) =2 060σX = 341

23


Qu'estQu'est--ce qu'une simulation Monte Carlo?ce qu'une simulation Monte Carlo?

Muni du puissant outil de travail qu'est un ordinateur, posons maintenant l'hypothèse plus réaliste que le prix et le volume peuvent prendre davantage que 3 valeurs chacun. Remplaçons donc les urnes par des distributions normales:

E(Y) =50$σY = 1.73$

E(X) =2 060σX = 341

Prix (Y) Volume (X)

ρ = -0.4061

f(y) f(x)

50$ 55$45$ 2 060 3 0801040

+3σ-3σ+3σ-3σ

Nous supposerons de plus que la valeur de récupération S peut prendre une valeur entre 0$ et 50 000$, selon une distribution triangulaire dont la valeur la plus probable est de 40 000$:

40 000$ 50 000$0$

f(s)

1

P(S ≥ 40 000$) = 20%

P(S ≤ 40 000$) = 80%


Simulation avec Crystal BallSimulation avec Crystal Ball

Crystal Ball est une macro complémentaire (add-in) pour Excel.

Utilisable sur n'importe quel modèle financier construit avec Excel

Les cellules en vert sont les variables d'entrée aléatoires

Spécifier la forme et les paramètres de la distributionSpécifier les corrélations désirées entre les variables d'entrée

Les cellules en bleu sont les variables dont on désire connaître la distribution


Prix unitaire 50 $ 50 $ 50 $ 50 $ 50 $Demande 2 000 2 000 $ 2 000 $ 2 000 $ 2 000 $



Bénéfice imposable 41 250 $ 28 125 $ 37 688 $ 44 381 $ 49 067 $Impôts 16 500 $ 11 250 $ 15 075 $ 17 753 $ 19 627 $Bénéfice net 24 750 $ 16 875 $ 22 613 $ 26 629 $ 29 440 $État des flux de trésorerieBénéfice net 24 750 $ 16 875 $ 22 613 $ 26 629 $ 29 440 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $(Investissement) disposit ion (125 000 $) 40 000 $Effet fiscal de la disposition (5 796 $)Flux monétaire net (125 000 $) 43 500 $ 48 750 $ 44 925 $ 42 248 $ 74 578 $PE(15%) 40 460 $

DPA et effet fiscal de la disposition

Année 1 2 3 4 5Taux de DPA 15% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 125 000 $ 106 250 $ 74 375 $ 52 063 $ 36 444 $DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $FNACC à la fin 106 250 $ 74 375 $ 52 063 $ 36 444 $ 25 511 $

Effet fiscal de la dispositionS 40 000 $FNACC à la fin 25 511 $Gain 14 489 $Impôt à payer (5 796 $)

24


RRéésultats de la simulationsultats de la simulation

Nous demandons à l'ordinateur de générer 10 000 essais en choisissant au hasard, mais selon les distributions et corrélation spécifiées, le prix, le volume et la valeur de récupération et d'accumuler la distribution de la PE résultant de ces essais:

Essai No. Prix Volume S PE(15%)1 $46.91 3 073 $45 701 $98 5832 $48.47 2 030 $38 943 $36 0193 $48.81 1 687 $37 737 $13 6984 $50.40 1 802 $25 075 $23 5375 $52.69 1 896 $11 054 $34 7166 $49.21 2 120 $21 730 $40 1177 $49.82 1 911 $31 536 $30 960

etc. etc. etc. etc. etc.

9 997 $48.36 1 944 $20 340 $24 2509 998 $49.24 1 877 $16 483 $21 9339 999 $48.08 2 033 $34 261 $33 255

10 000 $48.79 2 210 $42 063 $50 488Moyenne $50.00 2 067 $30 092 $41 782Écart-type $1.72 341 $10 964 $22 430

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

-6000

0

-1000

040

000

9000

0

1400

00

PE(15%)

Fréq

uenc

e

Distribution des PEobtenues par simulation


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

(50 000 $) 0 $ 50 000 $ 100 000 $ 150 000 $

PE(15%)

Prob

abili

té c

umul

ativ

e

RRéésultats de la simulationsultats de la simulation

La simulation indique que la probabilité que la PE soit inférieure à 0 est de 3.13%.La PE minimale avec un niveau de confiance de 95% est de 4 643$.

3.13% 4 643$

Niveau de confiance

PE minimale

99.9% (28 982 $)99% (11 321 $)98% (4 490 $)97% (466 $)96% 2 199 $95% 4 643 $90% 13 063 $80% 22 961 $70% 30 092 $60% 36 273 $50% 42 049 $

Statistics ValueTrials 10 000Mean 41 782 $Median 42 049 $Standard Deviation 22 430 $Coeff. of Variability 0.5368Range Minimum (45 482 $)Range Maximum 138 317 $Range Width 183 799 $

25


La tolLa toléérance pour le risque drance pour le risque déépend de la taille relative de l'enjeupend de la taille relative de l'enjeu

Lorsque l'enjeu d'un pari risque d'avoir un effet significativement défavorable sur leur niveau richesse, la plupart des gens préfèrent éviter le risque. Il en va de même pour les entreprises.

Un projet qui aurait un risque, même relativement faible, de 5%, de résulter en une PE négative de 50 M$ et de 95% d'avoir une PE positive de 50 M$ serait probablement rejeté par une entreprise dont les capitaux propres sont de 10 M$.Le même projet serait probablement accepté par une entreprise dont les capitaux propres sont de 10 G$.

Une branche de la finance, la théorie de l'utilité de la richesse – et de l'aversion au risque – s'intéresse à ce sujet fondamental pour la modélisation de la valeur de produits financiers, notamment celle des produits dérivés.


DDéécisions scisions sééquentiellesquentielleset la valeur de l'informationet la valeur de l'information

26


DDéécisions scisions sééquentielles et valeur de l'information:quentielles et valeur de l'information:Un exempleUn exemple

Un promoteur immobilier considère l'achat d'un terrain sur lequel il pourrait construire un projet de maisons unifamiliales. Il a fait les calculs suivants selon 3 scénarios de demande:

Sans aucune autre information a sa disposition, le promoteur considère que les probabilités associées à la demande pour ce projet seraient égales au taux de succès observés par le passé pour des projets immobiliers semblables dans la région de Montréal:

DemandeProportion des projets

Forte 40.0%Moyenne 45.0%Faible 15.0%Total 100.0%

DemandeCoût de

constructionVente des maisons PE nette

Forte (6 250 $) 7 500 $ 1 250 $Moyenne (6 250 $) 6 875 $ 625 $Faible (6 250 $) 5 000 $ (1 250 $)

PE à 15% en K$


L'espL'espéérance de la rance de la PEPE sans information additionnellesans information additionnelle

Sans aucune autre information, le promoteur peut évaluer l'espérance de la PE à593.8 K$.

Comme la PE espérée est positive, il devrait entreprendre le projet. Cependant, ilconstate que l'écart-type est très élevé et qu'il existe une probabilité non négligeable, de 15%, que le projet soit un important échec financier.

S'il existait une source d'information parfaite, qui pourrait assurer au promoteur, avec un niveau de confiance de 100%, si la demande sera faible (ou non), quel montant maximum devrait-il être prêt à débourser cette information?

DemandeCoût de

constructionVente des maisons PE nette Probabilité

PE nette pondérée

Forte (6 250 $) 7 500 $ 1 250 $ 40.0% 500.0 $Moyenne (6 250 $) 6 875 $ 625 $ 45.0% 281.3 $Faible (6 250 $) 5 000 $ (1 250 $) 15.0% (187.5 $)

E(PE)= 593.8 $σ = 826.2 $

PE à 15% en K$

27


La valeur de l'information parfaiteLa valeur de l'information parfaite

Espérance de PEsans information additionnelle:

VEIP = 781.3 K$ – 593.8 K$ = 187.5 K$VEIP = 781.3 K$ – 593.8 K$ = 187.5 K$

Si le promoteur disposait d'information lui prédisant à coup sur que le projet sera un échec financier, il ne l'entreprendrait pas. La PE du cas "demande faible" serait donc 0. La valeur espérée du projet avec de l'information parfaite est donc augmentée à725.0 K$.La valeur espérée de l'information parfaite (VEIP) est la différence de PE entre le cas avec information parfaite et le cas sans information:

Espérance de PEavec information parfaite:

DemandeCoût de


PE nette pondérée

Forte (6 250 $) 7 500 $ 1 250 $ 40.0% 500.0 $Moyenne (6 250 $) 6 875 $ 625 $ 45.0% 281.3 $Faible (6 250 $) 5 000 $ (1 250 $) 15.0% (187.5 $)

E(PE)= 593.8 $σ = 826.2 $

DemandeCoût de


PE nette pondérée

Forte (6 250 $) 7 500 $ 1 250 $ 40.0% 500.0 $Moyenne (6 250 $) 6 875 $ 625 $ 45.0% 281.3 $Faible 0 $ 0 $ 0 $ 15.0% 0.0 $

E(PE)= 781.3 $σ = 436.4 $

PE à 15% en K$

PE à 15% en K$


DDéécisions avec de l'information imparfaitecisions avec de l'information imparfaite

Malheureusement, l'information parfaite n'existe pas. Par contre, le promoteur peut commander une étude de marché d'une firme spécialisée dans les développements domiciliaires. Le coût de l'étude est de 20 000$. Dans son offre de service cette firme fournit des statistiques, compilées sur une centaine de projets résidentiels, indiquant les résultats de ses études en fonction de la demande réelle:

Ce tableau peut être lu de la manière suivante, par exemple:Lorsque la demande est effectivement forte, la probabilité que l'étude indique une demande forte est de 75%. i.e.:P(E=H|R=H) =75%Lorsque la demande est effectivement moyenne, la probabilité que l'étude indique une demande forte est de 22.2%. i.e.:P(E=H|R=M) =22.2%

Forte (H) Moy. (M) Faible (L) TotalForte (H) 75.0% 12.5% 12.5% 100.0%Moy. (M) 22.2% 66.7% 11.1% 100.0%Faible (L) 0.0% 33.3% 66.7% 100.0%

Demande réelle(R)

Demande prédite par l'étude (E)

28


DDéécisions avec de l'information imparfaite (suite)cisions avec de l'information imparfaite (suite)

Il nous faut maintenant calculer les probabilités conditionnelles de chaque état de la demande réelle, en fonction des prévisions de l'étude. Pour ce faire nous devons d'abord calcules les probabilités conjointes et marginales des deux variables. Pare exemple:P(R=H, E=H) = P(E=H|R=H) P(R=H) = (0.75)(0.40)= 30%P(R=M, E=H) = P(E=H|R=M) P(R=M) = (0.222)(0.45)= 10%P(R=L, E=H) = P(E=L|R=L) P(R=L) = (0)(0.15)= 0%P(R=H, E=M) = P(E=M|R=H) P(R=H) = (.125)(0.40)= 5%P(R=M, E=M) = P(E=M|R=M) P(R=M) = (.667)(0.45)= 30%P(R=L, E=M) = P(E=M|R=L) P(R=L) = (.333)(0.15)= 5%Etc...

P(R)Forte (H) Moy. (M) Faible (L) Total

Forte (H) 30% 5% 5% 40%Moy. (M) 10% 30% 5% 45%Faible (L) 0% 5% 10% 15%

Total P(E) 40% 40% 20% 100%


Demande réelle(R)

Probabilités conjointes et marginales


Forte (H) Moy. (M) Faible (L)Forte (H) 75.0% 12.5% 25.0%Moy. (M) 25.0% 75.0% 25.0%Faible (L) 0.0% 12.5% 50.0%

Total 100.0% 100.0% 100.0%

Demande réelle(R)


DDéécisions avec de l'information imparfaitecisions avec de l'information imparfaite

Nous pouvons maintenant établir les probabilités conditionnelles de la demande réelle, étant donnée la prédiction de demande faite par la firme d'experts-conseil. Par exemple:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ...etc%

%%

LEPLE,HRLE|HRP

%.%

%MEP

ME,HRME|HRP

%%%

HEPHE,MRPHE|MRP

%%%

HEPHE,HRPHE|HRP

25205

512405

254010

754030

===

=====

===

=====

===

=====

===

=====

Probabilités conditionnelles P(R|E)

29


DDéécisions avec de l'information imparfaite:cisions avec de l'information imparfaite:Construction d'un arbre de dConstruction d'un arbre de déécisioncision

Nœud décisionnel Nœud événementiel Résultat conditionnel

Construire

Ne pas construire

H (40%)

M (45%)

PE = 1 250$

PE = 625$

PE = (1 250$)

PE = 0$

PE =594$

PE=0$

PE =594$

100%

L (15%)


Information imparfaite: L'arbre de dInformation imparfaite: L'arbre de déécision completcision complet

Valeur de l’étude =PE avec information– PE sans information= 625 – 594 = 31 K$

Acheter l’étude au coût de 20 K$



625 – Coût de l’étude =

625 –20 = 605

O: ConstruireN: Ne pas construire

1250605

(1250)0

1250605

(1250)0

1250605

(1250)0

1250605

(1250)0

Acheterétude

Ne pasacheter étude O

N

HML

HML

HML

HML

40%45%15%

75%25%0%

12.5%75%

12.5%

25%25%50%

O

N

O

N

N

E=H40%

40%

20%

594594

1074

469

(156)

625

Sans le coût de l’étude

//

//

1074

469

0

//

//O

R =

E=M

E=L

//

1

Risque et incertitude: TPRisque et incertitude: TPSolutionnaireSolutionnaire

Louis Parent, Louis Parent, inging., MBA., MBA

2Risque et incertitude: TP


On examine deux méthodes différentes pour résoudre un problème de fabrication. On prévoit que toutes deux seront obsolètes d'ici 6 ans. La méthode A, qui coûte au départ 80 000$, entraîne des frais d'exploitation de 22 000$ par année. Pour sa part la méthode B dont le coût initial est de 52 000$ entraîne des frais d'exploitation annuels de 17 000$. On estime la valeur de récupération de la méthode A à 20 000$ et celle de la méthode B, à 15 000$. La méthode A générera des revenus de 18 000$ par année de plus que la méthode B. Les besoins en fonds de roulement de la méthode A seront égaux à 10% de ces revenus additionnels.

Les investissements dans les deux méthodes sont assujettis à un taux de DPA de 30%. Le taux d'imposition marginal de la société est de 40% et son TRAM de 20%.

2



a) Quelle méthode est la plus avantageuse?

On procèdera directement par l'analysedu flux monétaire différentiel A – B

PE >0 Choisir la

méthode A

Option A Option B d 30%P 80 000 $ 52 000 $ t 40%S 20 000 $ 15 000 $ TRAM 20%

DPA et FNACCOPTION A - Option BAnnée 1 2 3 4 5 6Taux de DPA 15% 30% 30% 30% 30% 30%FNACC au début 28 000 $ 23 800 $ 16 660 $ 11 662 $ 8 163 $ 5 714 $DPA 4 200 $ 7 140 $ 4 998 $ 3 499 $ 2 449 $ 1 714 $FNACC à la f in 23 800 $ 16 660 $ 11 662 $ 8 163 $ 5 714 $ 4 000 $

Effet fiscal de la disposition Option A - Option BS 5 000 $FNACC à la f in 4 000 $Gain 1 000 $Effet fiscal de la disposition (400 $)

Année 0 1 2 3 4 5 6Revenus additionnels 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $ 18 000 $Frais d'exploitation additionnels 5 000 $ 5 000 $ 5 000 $ 5 000 $ 5 000 $ 5 000 $DPA additionnelle 4 200 $ 7 140 $ 4 998 $ 3 499 $ 2 449 $ 1 714 $Bénéfice imposable additionnel 8 800 $ 5 860 $ 8 002 $ 9 501 $ 10 551 $ 11 286 $Impôt additionnel 3 520 $ 2 344 $ 3 201 $ 3 801 $ 4 220 $ 4 514 $Bénéfice net additionnel 5 280 $ 3 516 $ 4 801 $ 5 701 $ 6 331 $ 6 771 $État des flux de trésorerie différentiel A-BBénéfice net 5 280 $ 3 516 $ 4 801 $ 5 701 $ 6 331 $ 6 771 $DPA 4 200 $ 7 140 $ 4 998 $ 3 499 $ 2 449 $ 1 714 $Investissement (28 000 $) 5 000 $Fonds de roulement (1 800 $) 1 800 $Effet fiscal (400 $)Flux monétaire net (29 800 $) 9 480 $ 10 656 $ 9 799 $ 9 199 $ 8 780 $ 14 886 $PE à 20% 4 121 $

État des résultats différentiel A-B


0 1 2 3 4 5 6


b) Quel revenu annuel additionnel la méthode A doit-elle produire pour que les deux méthodes s'équivalent?On sait que des revenus additionnels de 18 000$ engendrent une PE de 4 121$.L'effet des revenus sur le flux monétaire:

Revenus après impôts: R(1-t) = 0.6RFonds de roulement -0.1R à t = 0 et +0.1R à t = 6

On sera indifférent lorsque que les flux monétaires suivants auront une PEde – 4 121$.

(0.6)∆R

∆R = nsolve(npv(20,-0.1R,{0.6R,0.7R},{5,1})=-4121,R)= -2136

R = Rbase+ ∆R =18 000$ − 2 136$ = 15 864$

0.1∆R

0.7∆R

3



On considère deux machines différentes pour un projet de réduction de coûts.La machine A, dont le coût initial est de 60 000$ aura une valeur de récupération nette, compte tenu de l'effet fiscal de la disposition, de 22 000$ au terme de 6 années de service. La machine B, coûte au départ 35 000$, et on estime que, après 4 années de service, sa valeur de récupération après impôts sera négligeable. Voici les probabilités se rapportant aux coûts annuels d'exploitation après impôts de chaque machine:

Le TRAM de ce projet est de 10% et la période de service requise est de 12 ans.a) En présument l'indépendance statistique, quelle machine l'entreprise devrait-

elle préférer?b) Calculez la probabilité que ce choix puisse être le mauvais.

Coûts anuels d'E&E Probabilité Coûts anuels d'E&E Probabilité5 000 $ 20% 8 000 $ 10%8 000 $ 30% 10 000 $ 30%10 000 $ 30% 12 000 $ 40%12 000 $ 20% 14 000 $ 20%

Machine A Machine B


Exercice 13.21Exercice 13.21Déterminons la distribution de la AE de chaque option:AE = E&E annuel+RC, où RC=(P-S)(A/P, TRAM, N)+TRAM(S)Avec la TI, directement dans le Stats/List Editor:AEA="EEA+tvm_pmt(6,10,-60000,22000)"

AEB="EEB+tvm_pmt(4,10,-35000, 0)"

Machine AE(AE) = 19 725$

σ =2 358$

Machine BE(AE) = 22 441$

σ =1 800$

Il n’y a ici rien d’ambigu: On devrait préférer la machine A car son coût annuel équivalent est inférieur à celui de la machine B et sa variance est aussi plus petite. (N.B.: avec le critère de la AE, la décision ne dépend pas de la période de service requise de 12 ans).

Stats/List Editor 1-Var Stats

4



Calcul des statistiques avec la Nspire:

List & spreadsheet

Menu, statistics, stat calculationsOne-variable statistics



Calculons tout de même la probabilité que la AE de la machine A soit plus grande que celle de la machine B.Il faut énumérer tous les cas possibles où la AE de A > la AE de B et faire le total des probabilités conjointes:

AE Prob. AE Prob. Prob. conjointe20 925 $ 30% 19 041 $ 10% 3%22 925 $ 20% 19 041 $ 10% 2%22 925 $ 20% 21 041 $ 30% 6%

11%

Machine A Machine B

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) %113.02.01.02.01.03.0

04112 ,2292519041 ,2292519041 ,20925=++=>

++=>

BA

BA

AEAEPPPPAEAEP

À 11%, le risque est faible et confirme le choix de la machine A.

5



La société Monjoie produit des chemises industrielles et grand public. Le marquagede la forme des pièces sur le tissu est actuellement effectué manuellement. La société envisage l'achat d'un système automatisé. Elle peut choisir entre le système Lectra ou celui de la société Tex. Voici leurs caractéristiques comparatives:

LECTRA TEXCoût annuel de la main d'œuvre 51 609 $ 51 609 $Économies annuelles de matières 230 000 $ 274 000 $Investissement 136 150 $ 195 500 $Vie utile 6 ans 6 ansValeur de récupération 20 000 $ 15 000 $Taux de DPA 30% 30%

Estimations les plus probables

Le taux d'imposition marginal de la société est de 40% et le TRAM approprié est de 12%.

a) D'après les estimations les plus probables quelle est la meilleure option?


DPA et FNACC 1 2 3 4 5 6FNACC au début 59 350 $ 50 448 $ 35 313 $ 24 719 $ 17 303 $ 12 112 $DPA 8 903 $ 15 134 $ 10 594 $ 7 416 $ 5 191 $ 3 634 $FNACC à la fin 50 448 $ 35 313 $ 24 719 $ 17 303 $ 12 112 $ 8 479 $Effet fiscalS (5 000 $)FNACC à la fin 8 479 $Perte (13 479 $)Effet fiscal 5 391 $

État des résultats0 1 2 3 4 5 6

Économies de main d'œuvre 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $Économies de matières

Système TEX 274 000 $ 274 000 $ 274 000 $ 274 000 $ 274 000 $ 274 000 $ Moins: Système LECTRA (230 000 $) (230 000 $) (230 000 $) (230 000 $) (230 000 $) (230 000 $)Économie nette 44 000 $ 44 000 $ 44 000 $ 44 000 $ 44 000 $ 44 000 $DPA 8 903 $ 15 134 $ 10 594 $ 7 416 $ 5 191 $ 3 634 $Économies imposables 35 098 $ 28 866 $ 33 406 $ 36 584 $ 38 809 $ 40 366 $Impôt 14 039 $ 11 546 $ 13 362 $ 14 634 $ 15 524 $ 16 147 $Économies nettes 21 059 $ 17 319 $ 20 044 $ 21 951 $ 23 285 $ 24 220 $État des flux de trésorerieÉconomies nettes 21 059 $ 17 319 $ 20 044 $ 21 951 $ 23 285 $ 24 220 $DPA 8 903 $ 15 134 $ 10 594 $ 7 416 $ 5 191 $ 3 634 $Investissement (59 350 $) (5 000 $)Effet fiscal 5 391 $Flux monétaire net (59 350 $) 29 961 $ 32 454 $ 30 638 $ 29 366 $ 28 476 $ 28 245 $PE(12%) 64 211 $AE(12%) 15 618 $

Analyse différentielle TEX-LECTRA


Choisir le système TEX

6



b) Supposez que la société s'appuie sur les distributions de probabilités suivantes pour estimer les économies de matières de chaque système:

Présumez que les économies de matière sont statistiquement indépendantes. Calculez la moyenne (espérance) et l'écart-type de l'économie annuelle équivalente associée au système TEX.

Économies de matières Probabilité150 000 $ 25%230 000 $ 40%270 000 $ 35%

Système LECTRAÉconomies de matières Probabilité

200 000 $ 30%274 000 $ 50%312 000 $ 20%

Système TEX



Il nous faut d’abord exprimer la PE en fonction des économies du système Tex par rapport au système LECTRA:

Année 0 1 2 3 4 5 6 Économies de matières

Système TEX T T T T T T Moins: Système LECTRA L L L L L LÉconomie nette T-L T-L T-L T-L T-L T-LDPA 8 903 $ 15 134 $ 10 594 $ 7 416 $ 5 191 $ 3 634 $

Flux de trésorerieÉconomies après impôts (T-L)*(1-0.4) (T-L)*.6 (T-L)*.6 (T-L)*.6 (T-L)*.6 (T-L)*.6 (T-L)*.6Crédit d'impot du à la DPA (* 0.4) 3 561 $ 6 054 $ 4 238 $ 2 966 $ 2 076 $ 1 453 $Investissement (59 350 $) (5 000 $)Effet fiscal 5 391 $Flux monétaire net

Terme variable (T-L)*.6 (T-L)*.6 (T-L)*.6 (T-L)*.6 (T-L)*.6 (T-L)*.6Terme constant (59 350 $) 3 561 $ 6 054 $ 4 238 $ 2 966 $ 2 076 $ 1 845 $

( ) ( )( )( ) ( )∑=

=

+−=6

0 12%, 6 12%, 60%12

n

nn n,F/PF,A/P.LTPE

tvm_pv(6,12,-1,0)*0.6= 2.4668

npv(12,-59350,{3561,6054,4238,2966,2076,1845})=-44930

( ) ( ) 930 4446682%12 −−=⇒ LT.PE

7



Nous pouvons maintenant calculer les statistiques de la distribution de la PE

E(PE) = 43.1K$; σ = 152.9 K$

À 64.2K$, le scénario "le plus probable" pourrait être qualifié de "plutôt optimiste".

PE= "tvm_pv(6,12,-1,0)* .6*(TEX-LEC)+NPV(12,-59.4,{3.6,6.1,4.2, 3.0,2.1,1.8})"

1-Var stats

Stats/List editor



Calcul des statistiques de la PE avec la Nspire

8



c) Calculez la probabilité que le système TEX soit en fait le mauvais choix.

Nous cherchons donc la probabilité que la PE différentielle soit < 0:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) %4035.05.035.03.04.03.00

000 702 ,000 274000 702 ,000 200000 32 ,000 2000=++=<

++=<PEP

PPPPEP

( ) ( ) ( ) ( )%...

.PEP.PEP.PEPPEP40175010501200

434921621180=++=

−=+−=+−==<

Ou directement du tableau précédent (TI):

La probabilité est plus petite que 50%, on devrait préférer le système TEX.



Transport Baillargeon envisage équiper ses 2 000 camions d'un système de messagerie par satellite. Les effets effectués sur 120 camions ont révélé que la messagerie par satellite pouvait réduire de 60% la facture de 5 M$ que représentent les communications interurbaines de l'entreprise avec les chauffeurs. De plus, le système a permis de réduire de 0.5% le nombre de kilomètres à vide, ce qui représenterait une économie annuelle de 1.25 M$ pour l'ensemble de la flotte.Équiper 2 000 camions d'une liaison par satellite nécessitera un investissement de 8 M$ et la construction d'un système de transmission de messages coûtant 2 M$. Le matériel aura une vie utile de 8 ans et une valeur de récupération négligeable; ils seront assujettis à un taux de DPA de 30%. Le taux d'imposition marginal de la société est de 38% et son TRAM, de 18%.

a) Déterminez la PE du projetb) Soumettez les hypothèses d'économies à une analyse de sensibilité à des

variations de ±10%, ±20% et ±30%.c) Préparez un diagramme de sensibilité.

9



PE du scénario de base:P 10 000 $ TRAM 18%S 0 $ t 38%

d 30%

DPA et FNACCAnnées 1 2 3 4 5 6 7 8FNACC au début 10 000 $ 8 500 $ 5 950 $ 4 165 $ 2 916 $ 2 041 $ 1 429 $ 1 000 $DPA 1 500 $ 2 550 $ 1 785 $ 1 250 $ 875 $ 612 $ 429 $ 300 $FNACC à la fin 8 500 $ 5 950 $ 4 165 $ 2 916 $ 2 041 $ 1 429 $ 1 000 $ 700 $

Effet discal de la dispositionS 0 $FNACC à la fin 700 $Perte (700 $)Effet fiscal 266 $

Etat des résulats 0 1 2 3 4 5 6 7 8Économies de télécom. 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $ 3 000 $Économies de charge vide 1 250 $ 1 250 $ 1 250 $ 1 250 $ 1 250 $ 1 250 $ 1 250 $ 1 250 $Moins: DPA (1 500 $) (2 550 $) (1 785 $) (1 250 $) (875 $) (612 $) (429 $) (300 $)Économies imposables 2 750 $ 1 700 $ 2 465 $ 3 001 $ 3 375 $ 3 638 $ 3 821 $ 3 950 $Éconmies après impôts 1 705 $ 1 054 $ 1 528 $ 1 860 $ 2 093 $ 2 255 $ 2 369 $ 2 449 $Flux de trésorerieÉconomies après impôts 1 705 $ 1 054 $ 1 528 $ 1 860 $ 2 093 $ 2 255 $ 2 369 $ 2 449 $Plus: DPA 1 500 $ 2 550 $ 1 785 $ 1 250 $ 875 $ 612 $ 429 $ 300 $Investissement (10 000 $) 0 $Effet fiscal 266 $Flux monétaire net (10 000 $) 3 205 $ 3 604 $ 3 313 $ 3 110 $ 2 967 $ 2 868 $ 2 798 $ 3 015 $PE(18%) 2 965 $



Analyse de sensibilitéImpact des économies de télécommunications TC sur la PE:

( ) ( )( )

( )( )( )

dPEPEPEd.dPE

,,A/Pd.PETCdTCposons

,,A/PTCtPE

base

base

785429657854077641860

8 8%1 3000380%

8 8%1 1

+=∆+===∆

=∆

=∆∆−=∆

Impact des économies de transport à vide TV sur la PE:

( ) ( )( )

( )( )( )

dPEPEPEd.dPE

,,A/Pd.PETVdTVposons

,,A/PTVtPE

base

base

31602965316007764775

8 8%1 1250380%

8 8%1 1

+=∆+===∆

=∆

=∆∆−=∆

10



La PE est plus sensible à une variation des économies de télécommunication:

dPE 78542965 +=

dPE 31602965 +=



L'expérience passée de l'escouade de la moralité du service de police de la Ville de Montréal (SPVM) démontre que la probabilité qu'un dépanneur, choisit purement au hasard, ait en tablette du vin qui ne comporte par l'étiquette règlementaire de la régie des permis d'alcool est de 5%. Un indicateur ("stool pigeon") offre au sergent Lacasse de l'avertir lorsque le Dépanneur Ingénium aura de telles bouteilles sur ses tablettes. Le sergent Lacasse connaît bien cet informateur et son expérience lui indique que:

Lorsque l'indicateur dit qu'un dépanneur est en infraction, il a raison 40% du temps (comparativement au 5% d'un choix au hasard)Lorsque l'indicateur dit qu'un dépanneur n'est pas en infraction, il a raison 80% du temps.

Si le sergent Lacasse organise une descente à l'Ingénium et qu'il y trouve effectivement de l'alcool non-réglementaire, il recevra 100 points de mérite àson dossier. S'il organise une descente, mais qu'on ne trouve pas d'alcool non-réglementaire, il perdra 50 points. Enfin, s'il n'organise pas de descente mais que le Journal de Montréal publie une enquête choc en première page blâmant la police qui tolère la vente d'alcool illégal dans une institution de haut-savoir, il perdra 100 points.Que devrait faire le sergent Lacasse?

11


Exercice 13.23 (suite) Exercice 13.23 (suite)

Les données:

Calcul des probabilités conjointes et marginales:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) %..NRPNR|NIPNR,NIP

%..NRPNR|OIPNR,OIP%..ORPOR|NIPOR,NIP

%..ORPOI|OIPOR,OIP

76950801995020305060

205040

========================

========

O 40%N 60%O 20%N 80%

O 5%

N 95%

Réalité (R) Informateur (I)

O N TotalO 2.0% 3.0% 5.0%N 19.0% 76.0% 95.0%

21.0% 79.0% 100.0%Total

Réalité (R)

Informateur (I)



Calcul des probabilités conditionnelles

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) %.

%%

NIPNI,NRPNI|NRP

%.%%

NIPNR,ORPNI|ORP

%.%%

OIPOI,NRPOI|NRP

%.%%

OIPOI,ORPOI|ORP

2967976

83793

5902119

59212

===

=====

===

=====

===

=====

===

=====

O N TotalO 2.0% 3.0% 5.0%N 19.0% 76.0% 95.0%

21.0% 79.0% 100.0%Total

Réalité (R)

Informateur (I)

12


Exercice 13.23 (suite)Exercice 13.23 (suite)D: Faire une descentePD: Ne pas faire de descenteO = Dépanneur en infractionN = Dépanneur pas en infraction

Ne pasécouter l'indic

+100

-50

O

N

5%

95%

-42.5

-100

0

O

N

5%

95%

-5

+100

-50

O

N

9.5%

90.5%

-37.7

-100

0

O

N

9.5%

90.5%

-9.5

+100

-50

O

N

3.8%

96.2%

-44.3

-100

0

O

N

3.8%

96.2%

-3.8

-5.0

-9.5

-3.879%

21%

R =

I = O

I = N

-5.0

Écouterl'indic

//

//

//

D

PD

D

PD

D

PD

-5.0

L'information de l'indic n'a aucune valeur.La décision la moins pire est de ni écouter l'indic, ni organiser une descenteL'espérance de points avec de l'information parfaite est de:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 50950100050

0100=+=

=+=..

NRPORP

La valeur de l'information parfaite est donc de:

( ) 1055 =−−=VEIP



Le directeur des installations d'une usine se demande s'il doit ouvrir un autre magasin d'usine, ce qui coûterait environ 500 K$ en équipement divers (le local sera loué). La réussite d'un magasin d'usine dépend de la demande dans la nouvelle région. Si la demande est élevée on peut s'attendre à un bénéfice avant impôt (BAI) de 1 M$ par année; si la demande est moyenne, le BAI est de 500 K$; et si la demande est faible, le BAI se chiffre à un perte de 80 K$. En se fondant sur sa connaissance de la région et de son produit, il croit que la probabilité est de 40% que les ventes soient moyenne, et tout aussi probable que la demande soit forte ou faible (30% dans les deux cas),Supposez que le TRAM de l'entreprise est de 15% et que le taux d'imposition marginal sera de 40%. Supposez aussi que la valeur de récupération des équipements sera de 100 K$ dans 5 ans. Les équipements de magasin sont assujettis à un taux de DPA de 20%.a) Si le magasin était exploité pendant 5 ans, devrait-il l'ouvrir? Combien le

directeur devrait-il être prêt à payer pour connaître avec certitude l'état de la demande dans ce nouveau marché?

13



( ) ( )( ) ( )∑=

=

+−=5

05 15 ,,5 15% ,115

n

nn %,F/PFA/PtBAI%PE

tvm_pv(5,15,-1,0)*0.6= 2.0113

npv(15,-500,{20,36,28.8,23,152.2})=-347.6

( ) 634701132%15 .BAI.PE −=⇒

TRAM 15% P 500 $t 40% S 100 $d 20%

DPA et effet fiscalAnnée 1 2 3 4 5 FNACC au début 500.0 $ 450.0 $ 360.0 $ 288.0 $ 230.4 $DPA 50.0 $ 90.0 $ 72.0 $ 57.6 $ 46.1 $FNACC à la fin 450.0 $ 360.0 $ 288.0 $ 230.4 $ 184.3 $

S 100.0 $FNACC 184.3 $Perte -84.3 $Effet fiscal 33.7 $

Année 0 1 2 3 4 5 Bénéfice après impôt BAI (1-t) BAI (1-t) BAI (1-t) BAI (1-t) BAI (1-t)Crédits d'impôts du à la DPA (DPA*t) 20.0 $ 36.0 $ 28.8 $ 23.0 $ 18.4 $Investissement -500.0 $ 100.0 $Effet Fiscal 33.7 $Flux monétaire

Variable BAI (1-t) BAI (1-t) BAI (1-t) BAI (1-t) BAI (1-t)Fixe -500.0 $ 20.0 $ 36.0 $ 28.8 $ 23.0 $ 152.2 $



L'espérance de PE

Demande p BAI PE pPEForte 30% 1 000 $ 1 664 $ 499.1 $Moyenne 40% 500 $ 658 $ 263.2 $Faible 30% -80 $ -509 $ -152.6 $

609.7 $

( ) 634701132%15 .BAI.PE −=

La valeur de l'information parfaiteSi le directeur était sûr que la demande serait faible, il n'entreprendrait pas le projet et la PE du cas "demande faible" serait de 0.La PE espérée du projet serait donc maintenant de:

( ) ( ) ( ) ( ) K$ 3762300%40658%30664 1 .%PEE =++=

( ) projet le reEntreprend0K$ 7609 ⇒>= .PEE

La valeur espérée de l'information parfaite est l'augmentation de la PE espérée due à l'information parfaite:

K$ 615276093762 ...VEIP =−=

14



b) Supposez qu'il existe une étude de marché d'une valeur de 10 000$ dont la fiabilité se présente comme suit. (Les valeurs indiquées ont étéobtenues en fonction de l'expérience passée, la demande réelle ayant été comparée aux prévisions de l'étude).

Établissez la stratégie qui permettra de maximiser la PE après prise en compte de l'étude de marché. Quelle est la valeur réelle de cette étude de marché?

Élevée (H) Moy. (M) Faible (L)Élevée (H) 70% 25% 5%Moy. (M) 20% 60% 20%Faible (L) 5% 20% 75%

Étude (E)

Réalité (R)



Les probabilités conjointes et marginalesP(R=H, E=H) = P(E=H|R=H) P(R=H) = (0.7)(0.3)= 21%P(R=M, E=H) = P(E=H|R=M) P(R=M) = (0.20)(0.4)= 8%P(R=L, E=H) = P(E=H|R=L) P(R=L) = (0.05)(0.3)= 1.5%P(R=H, E=M) = P(E=M|R=H) P(R=H) = (.25)(0.3)= 7.5%P(R=M, E=M) = P(E=M|R=M) P(R=M) = (.6)(0.4)= 24%P(R=L, E=M) = P(E=M|R=L) P(R=L) = (.2)(0.3)= 6%P(R=H, E=L) = P(E=L|R=H) P(R=H) = (.05)(0.3)= 1.5%P(R=M, E=L) = P(E=L|R=M) P(R=M) = (.2)(0.4)= 8%P(R=L, E=L) = P(E=L|R=L) P(R=L) = (.75)(0.3)= 22.5%

Élevée (H) Moyenne (M) Faible (L) TotalÉlevée (H) 21.0% 7.5% 1.5% 30.0%Moy. (M) 8.0% 24.0% 8.0% 40.0%Faible (L) 1.5% 6.0% 22.5% 30.0%Total 30.5% 37.5% 32.0% 100.0%

Réalité (R)

Étude (E)

15



Les probabilités conditionnelles: Réalité (R) étant donnée Étude (E)

Élevée (H) Moyenne (M) Faible (L)Réalité (R) Élevée (H) 68.9% 20.0% 4.7%

Moy. (M) 26.2% 64.0% 25.0%Faible (L) 4.9% 16.0% 70.3%Total 100.0% 100.0% 100.0%

Étude (E)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) %

%.%

MEPME,MRME|MRP

%%.%.

MEPME,HRME|HRP

%.%.

%.HEP

HE,LRHE|LRP

%.%.

%HEP

HE,MRPHE|MRP

%.%.

%HEP

HE,HRPHE|HRP

64537

24

2053757

94530

51

226530

8

968530

21

===

=====

===

=====

===

=====

===

=====

===

===== ( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) %.

%%.

LEPLE,HRLE|LRP

%%%

LEPLE,MRLE|MRP

%.%%.

LEPLE,HRLE|HRP

%%.

%MEP

ME,LRME|LRP

37032

522

25328

7432

51

16537

6

===

=====

===

=====

===

=====

===

=====







647 – Coût de l’étude =

647–10 = 637

O: OuvrirN: Ne pas ouvrir

1664658

(509)0

1664658

(509)0

1664658

(509)0

1664658

(509)0

Acheterétude

Ne pasacheter étude O

N

HML

HML

HML

HML

30%40%30%

69%26%5%

20%64%16%

5%25%70%

O

N

O

N

N

E=H30.5%

37.5%

32.0%

610610

1293

673

-115

647

Sans le coût de l’étude

//

//

1293

673

0

//

//O

R =

E=M

E=L

//

1

Les options rLes options rééelleselleset la PE stratet la PE stratéégiquegique

Une introductionUne introduction


2Options réelles et PE stratégique

L'analyse des options rL'analyse des options rééelles: La principale innovation des 20 elles: La principale innovation des 20 dernidernièères annres annéées en analyse de rentabilites en analyse de rentabilitéé de projet.de projet.Parmi les dizaines d'ouvrages et les centaines d'articles parus sur le sujet depuis 20 ans, bon nombre portent spécifiquement sur l'application des options réelles pour quantifier la valeur de la flexibilité en design de systèmes et en innovation technologique.

Référence pour ce cours: AEI, 14.1 à 14.5

2


Pourquoi le cadre conceptuel des options rPourquoi le cadre conceptuel des options rééelles commenceelles commence--tt--il il ààretenir l'attention des organisations financiretenir l'attention des organisations financièèrement sophistiqurement sophistiquéées?es?

L'approche classique ne s'intéresse qu'à la moyenne et non à la distribution des valeurs possibles de la PE. En plus de balayer ainsi sous le tapis des probabilités, souvent non négligeables de catastrophe financière, l'approche classique ignore la valeur des options stratégiques permettant dans les faits à la firme, soit d'éviter les flux monétaires négatifs, soit d'investir encore davantage dans un projet plus rentable que son espérance mathématique de rendement:

Report, abandon, expansionAcquisition de concurrentsPartenariats, licences, sous-traitance, etc.Options sur des livraisons futures à des clients (ex:. aéronautique)

Chez les entrepreneurs en technologie, il existe aussi une insatisfaction envers l'incapacité de la PE classique à saisir la valeur des options stratégiques liées aux activités de R&D.

Bref, l'analyse de rentabilité de projet traditionnelle faillit à la tâche lorsqu'il s'agit d'établir un lien entre la valeur des projets de l'entreprise et ses véritables options stratégiques.


Pourquoi les options rPourquoi les options rééelles intelles intééressentressent--elles les praticiens de elles les praticiens de l'analyse l'analyse ééconomique en ingconomique en ingéénierie?nierie?

"You can always amend a big plan, but you can never expand a little one. I don't believe in little plans. I believe in plans big enough to meet a situation which we can't possibly foresee now."

– Harry S. Truman (1884-1972)33e Président des États-Unis

Harry Truman, Président des États-Unis de 1945 à 1952, a formulé cette réponse parfaite:

3


Options rOptions rééelles: Un exempleelles: Un exemple

Revenons à notre exemple du promoteur immobilier. Il décide d'acheter l'étude de marché, mais celle-ci prédit une demande faible. Dans ce cas, la PE espérée est de -156.3 K$. Le propriétaire accepte de baisser son prix de 200 K$. La PE espérée du projet devient donc de 43.8 K$.

Jugeant le projet encore trop risqué (probabilité de 50% de perdre 1 050 K$), le promoteur demande au propriétaire du terrain s'il pourrait retarder sa décision finale d'un an. Si la demande reste faible, il n'entreprendrait pas le projet, mais si les conditions changent et que la demande s'avère forte ou moyenne, il achètera le terrain au prix négocié (le coût de construction total sera alors de 6 050 K$) Quelle est la valeur de cette option de report?

PE du projet avec baisse de prix du terrain de 200 K$

DemandeCoût de


PE nette pondérée

Forte (6 050 $) 7 500 $ 1 450 $ 25% 362.5 $Moyenne (6 050 $) 6 875 $ 825 $ 25% 206.3 $Faible (6 050 $) 5 000 $ (1 050 $) 50% (525.0 $)

E(PE)= 43.8 $σ = 1 115.8 $

PE à 15% en K$

DemandeCoût de


PE nette pondérée

Forte (6 250 $) 7 500 $ 1 250 $ 25% 312.5 $Moyenne (6 250 $) 6 875 $ 625 $ 25% 156.3 $Faible (6 250 $) 5 000 $ (1 250 $) 50% (625.0 $)

E(PE)= (156.3 $)8 {⎨ 1 115.8 $

PE à 15% en K$

PE du projet sans baisse de prix du terrain


Petit vocabulaire des optionsPetit vocabulaire des options

Option européenne: Option ne pouvant être exercée qu'à son échéance.Option américaine: Option pouvant être exercée à n'importe moment jusqu'à son échéance.Option d'achat ("Call"): Droit, mais non obligation, d'acheter plus tard un bien à un prix fixé maintenant (le prix d'exercice).Option de vente ("Put"): Droit, mais non obligation, de vendre plus tard un bien à un prix fixé maintenant (le prix d'exercice).Prix d'exercice: Prix auquel l'option peut être exercée (i.e. le montant à investir).Terme de l'option: période de temps pendant laquelle l'option est valable. Valeur intrinsèque de l'option: Différence entre la valeur actuelle de l'actif sous-jacent et le prix d'exercice.Prime de l'option: Différence entre la valeur de l'option et sa valeur intrinsèque.Option dans le cours ("in the money"): Option dont le prix d'exercice est inférieur àla valeur courante du bien sous-jacent.Option hors du cours ("out of the money"): Option dont le prix d'exercice est supérieur à la valeur courante du bien sous-jacent.Option au cours ("at the money"): Option dont le prix d'exercice est égal à la valeur courante du bien sous-jacent.

4


Deux mDeux mééthodes de calcul de la valeur d'une optionthodes de calcul de la valeur d'une option

Treillis binomial (1979)Méthode générale, valable pour tous les types d'optionsSeule méthode exacte pour évaluer une option américaine, par exemple:

Option d'expansion ou d'abandon en tout temps d'un projet.Méthode aujourd'hui très utilisée: explicite, visuelle, logique et facilement programmable sur Excel

Modèle de Black-Scholes (1973)Cas limite du treillis binomialValable pour options européennes seulement, par exemple:

Options de report de projet après une certaine période d'évaluation: période de R&D, projet pilote, attente de changements dans les conditions du marché.

Avantage: une formule au lieu d'un long calcul par arbre de décision.Désavantage majeur: la formule est une "boîte noire" qui n'expose pas clairement aux décideurs les sources de la valeur d'une option.


MMééthode du treillis binomialthode du treillis binomial

Proposé en 1979: par Cox, Roxet Rubenstein: "Option Pricing: A Simplified Approach." Journal of Financial Economics 7: 229-263.[1] John C. Cox, Nomura Professor of Finance, MIT Sloan School of ManagementSteve Ross, Modigliani professor of Financial Economics, MIT Sloan School of Management. Mark Rubenstein, Professor of Finance, Haas School of Business of the University of California, Berkeley.

John C. Cox

Steve Ross

Mark Rubenstein

5


Le modLe modèèle binomial simplele binomial simple

V

Vu

Vd

p

1– p

V = Valeur actuelle de l'actifσ = Écart-type de la valeur actuelle de l'actifu = facteur haussierd = facteur baissierp = probabilité objective que la valeur de l'actif

augmente à Vu1– p = probabilité objective que la valeur de l'actif

baisse à VdC = Valeur d'une option d'achat sur l'actif K = Prix d'exercice (ou le montant à investir

pour obtenir Vu)

C

Cu = Max(0, Vu – K)

Cd = Max(0, Vd – K)

p

1– p

Valeur de l'actif sous-jacentà l'option d'achat

Valeur de l'option d'achat


ModModèèle binomial simple: le portefeuille rle binomial simple: le portefeuille rééplicatifplicatif

CCu = Max(0, Vu – K)

Cd = Max(0, Vd – K)

p

1– p

Valeur de l'option d'achat

∆V+ b

u ∆V + Rbp

1– p d ∆V + Rb

Valeur du portefeuille réplicatif

VVd

p

1– p

VuValeur de l'actif

( )duRdCuC

RVuCb

duCCV

CRbVdCRbVu

bVC

udu

du

d

u

−−

=∆−

=

−−

=∆

=+∆⇒

=+∆⇒+∆=

Argumentation d'arbitrage:Un "portefeuille réplicatif" ou "portefeuille de couverture" est construit de telle manière à ce que sa valeur égale la valeur de l'option d'achat: ∆V = ∆ parts du projetb = b dollars d'obligations sans risque

6


Portefeuille rPortefeuille rééplicatif: Exempleplicatif: Exemple

Un actif à une valeur de 300$ à t = 0. dans un an, à t = 1, sa valeur peut monter de 5% avec une probabilité p ou baisser de 5% avec une probabilité (1-p).Une option d'achat à 300$ peut être exercée à t =1.Le taux d'intérêt sans risque est de 4%.

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )$05014250142

9113615095

$0015501425015791136150051

$911369500511509500051

15095051

015$0300852 0Max 0Max$15300153 0Max 0Max

$285950300950$315051300051

104

104

04

=−=−+=+∆

=−=−+=+∆

−=−

−=

−−

=

=−−

=−−

=∆

=−=−=

=−=−=

===⇒=

===⇒=

..*.e.RbVd

....e.RbVu

...e

..duR

dCuCb

..duCCV

,KVd,C,KVu,C

.VdV.d.VuV.u

.

.

.ud

du

d

u

d

u

Condition à t =1 Actif

Option d'achat

Portefeuil le réplicatif

Hausse 315.00 $ 15.00 $ 15.00 $Baisse 285.00 $ 0.00 $ 0.00 $

L'option d'achat et le portefeuille réplicatif ont les mêmes valeurs dans le cas d'une hausse ou d'une baisse. Leur valeur à t = 0 doit donc être la même, i.e:

C = ∆V + b

(*) Le signe négatif signifie que c'est un emprunt


( )

( )( )dutr

tr

duuddu

CqqCeCdu

dedudRq

CduRuC

dudR

RduRdCuC

duCCbVC

f

f

−+=⇒

−−

=−−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+−−

=−

−+

−−

=+∆=

∆−

∆

1

risque)du égardl' à neutre éprobabilit la appeléeest (q :soit

1

ModModèèle binomial simple: Valeur de l'optionle binomial simple: Valeur de l'option

Cu = Max(0, 15) = 15$

Cd = Max(0, –15) = 0$

q= 0.9081

1– q

∆V+ b

u ∆V + Rbp

1– p d ∆V + Rb

C à t = 113.62$

C à t = 013.09$

Poursuivons notre exemple:

( )

( )( )( ) ( ) ( )( )

$09130411

$62130908111590810

1

90810950051950

104

104

...C

..e

CqqCeC

.....e

dudeq

.du

tr

tr

f

f

==

−+=

−+=

=−−

=−

−=

−

∆−

∆

7


La probabilitLa probabilitéé neutre neutre àà l'l'éégard du risque: interprgard du risque: interpréétationtation

Probabilités objectives

Probabilités neutres

( )

487901

5121080251

80030518025180

3 si

80$100

0$8 ;251$100$125

103

.q

...

.....e

dudeq

%r

.d.u

.trf

f

=−

=−

−=

−−

=−

−=

=

====⇒

∆

V0=10060%

40%

V1u=125

V1d = 80

E(V1) = 107

( ) ( ) ( )( ) %776

100107lnln

1074806125

0

1

1

.VVEi

..VE

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

=+=⇒

( ) ( ) ( )

fr..i

...VE

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

=+=⇒

%003100

0455103ln

045510348798051211251

V0=10051.21%

48.79%

V1u=125

V1d = 80

E(V1) = 103.0455

Probabilités qui permettent d'actualiser E(V1) au taux rf et d'arriver

au même V0


La probabilitLa probabilitéé neutre neutre àà l'l'éégard du risque: interprgard du risque: interpréétationtation

Probabilités objectives Probabilités neutres

Considérons maintenant une option d'achat avec K = 95$

C0= ?60%

40%

C1u=MAX(125-95,0)=30

C1d =MAX(80-95,0)=0

E(C1) = 30(.6)+0(.4) = 18

Le taux à utiliser pour escompter E(C1) afin d'obtenir C0 est inconnu!Il faut calculer C0 directement par la méthode du portefeuille réplicatif:

( )( ) ( )( )

( ) %8418$9114

$18lnln

$9114$7651$6766

$7651800251308000251

676680251

030

0

1

0

03

..C

CEi

...bVC

...e

..duR

dCuCb

...du

CCV

.ud

du

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

=−=+∆=

−=−

−=

−−

=

=−−

=−−

=∆

C0= ?51.21%

48.79%

C1u=MAX(125-95,0)=30

C1d =MAX(80-95,0)=0

E(C1) = 30(.5121)+0(.4879)=15.36$

Le taux à utiliser pour escompter E(C1) afin d'obtenir C0 est rf:

( )( ) $9114

1.0305$3615$3615

1031

0 ..e

.e

CEC .trf==== ∆

Méthode beaucoup plus simple pour la construction d'arbres

complexes!

8


∆t

Extension du modExtension du modèèle binomial sur plusieurs ple binomial sur plusieurs péériodesriodes

Distribution lognormale

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )Td

TTrKV

d

,T

TrKVd

dNKedVNC

f

f

Trachat

f

σ−=σ

σ−+=

σ

σ++=

−= −

1

2

2

2

1

21

2ln

2ln

Si on répète les essais binomiaux un grand nombre de fois, la distribution de VT sur Ttendra à suivre une distribution lognormale. Cox, Ross et Rubenstein ont démontré (1)

que la formule de Black-Scholes, proposée 6 ans plus tôt, peut être dérivée du modèle binomial pour un grand nombre d'essais.(1) Voir Copeland & Weston, pp 256-268

T

V

VT

f(VT)

ud

eu T

1=

= ∆σ

VT

Vu

Vd

Vuu

Vud

Vdd

Vuuu

Vuud

Vudd

Vddd

Etc…


Myron S. ScholesMyron S. Scholes

Concepteur avec Fisher Black (1938-1995) du modèle d'évaluation d'options connu comme la "formule de Black-Scholes"(1973):"The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Politicial Economy: Vol. 81, No. 3, pp. 637-54.Prix Nobel d'économie 1997, avec Robert C. MertonProfesseur Emeritus, Stanford University

9


Le mLe mododèèle Blackle Black--ScholesScholesCachat = Valeur d'une option d'achat

européenne ("call")Cvente = Valeur d'une option de vente

européenne ("put")V = la valeur présente des flux

monétaires découlant de l'exercice de l'option (excluent l'investissement K)

K = le prix d'exercice de l'option(le montant à investir)

T = le temps restant jusqu'à ce que l'option expire

rf = le taux d'intérêt sans risque= le taux de rendement des

obligations gouvernementales pour un terme égal à celui de l'option (T)

σ = écart-type du rendement du projet

N = fonction de distribution cumulative normale standard (0,1)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )Td

TTrKV

d

,T

TrKVd

dNKedVNC

f

f

Trachat

f

σ−=σ

σ−+=

σ

σ++=

−= −

1

2

2

2

1

21

2ln

2ln

( ) ( )12 dNSdNKeC oTr

ventef −−−= −

La formule de Black-Scholes ne donne que la valeur d'une option européenne, qui ne peut donc être exercée qu'àl'expiration de son terme.

La formule de Black-Scholes ne donne que la valeur d'une option européenne, qui ne peut donc être exercée qu'àl'expiration de son terme.


InterprInterpréétation de la formule de Blacktation de la formule de Black--ScholesScholes

Ce que dit la formule en français:La valeur d'une option d'achat (C) est la valeur présente des flux monétaires du projet (excluant l'investissement), pondérée par la probabilité conditionnelle à l'exercice N(d1) que cette valeur dépasse le montant à investir pour réaliser le projet, moins la valeur présente du montant à investir, pondérée par la probabilité que le montant à investir soit inférieur à la valeur présente des flux monétaires du projet.

( ) ( )21 dNKedNVC Trachat

f ×−×= −

Valeur présente des flux monétaires du projet

(excluant l'investissement)

Probabilité conditionnelle àl'investissement que cette

valeur dépasse le montant àinvestir

Valeur présente du montant à investir pour exercer

l'option

Probabilité que le montant àinvestir soir inférieur à la valeur présente des flux

monétaires du projet (excluant l'investissement)

10


Valeur d'une option d'achat amValeur d'une option d'achat amééricainericaine

Il n'existe pas de formule pour la valeur d'une option américaine – il faut, en principe, procéder par treillis binomial à plusieurs périodes. Cependant, il peut être démontré qu'il n'est jamais optimal d'exercer une option d'achat américaine avant son expiration.1

La preuve de ce théorème équivaut à démontrer le vieil adage "On ne perd rien pour attendre".

Il en découle que la valeur d'une option d'achat américaine est égale à la valeur d'une option d'achat européenne, qui ne peut être exercée avant son expiration.On peut donc toujours utiliser la formule de Black-Scholes pour calculer la valeur d'une option d'achat, qu'elle soit américaine ou européenne.

Cependant, il peut aussi être démontré qu'il peut être optimal d'exercer une option de vente américaine avant son expiration.

Recevoir K$ maintenant vaut toujours plus que de recevoir K$ plus tard.La valeur exacte d'une option de vente américaine est donc donnée par un treillis binomial.

1 Voir Copeland & Weston, Financial Theory and Corporate Policy, 3rd edition, Addison Wesley, pp 253-254


ÉÉvaluation de l'option du promoteur immobiliervaluation de l'option du promoteur immobilier

1. Déterminer V, la valeur présente espérée des flux monétaires, excluant l'investissement (i.e. la valeur du projet sans flexibilité):

Si le promoteur retarde sa décision d'un an (T =1), la valeur présente du produit de la vente des maisons, pondéré pour les probabilités connues à T = 0 est de5 299 K$:

2. Estimer σ, l'écart type (volatilité) du rendement du report du projet: 11.7%

TRAM

σ2

DemandePE dans un

an (t = 1)PE à t = 0 à

15% ProbabilitéPE

pondéréeForte 7 500 $ 6 522 $ 25% 1 630 $Moyenne 6 875 $ 5 978 $ 25% 1 495 $Faible 5 000 $ 4 348 $ 50% 2 174 $

E(PE) 5 299 $

Vente des maisons

Demande V à T = 0 V à T = 1 Rendement ProbabilitéRendement

pondéré (R-E(R)^2)-E(R)Forte 5 299 $ 7 500 $ 41.5% 25% 10.38% 1.76%Moyenne 5 299 $ 6 875 $ 29.7% 25% 7.44% 0.54%Faible 5 299 $ 5 000 $ -5.6% 50% -2.82% 2.13%

E(R) = 15.00% 4.43%κ⎨ 21.1%

11


ÉÉvaluation de l'option du promoteur immobilier avec valuation de l'option du promoteur immobilier avec BlackBlack--ScholesScholes

Nous avons maintenant tous les éléments en main pour calculer la valeur de l'option de report.Il s'agit d'une option d'achat européenne, car le promoteur attendra de connaître les conditions du marché dans un an avant de l'exercer. On peut donc utiliser Black-Scholes:

V = 5 299$K = 6 050$T = 1rf = 4%σ = 21.1%

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )K$ 254

037 156$9 12929.013$8 53691.0 $299 5

2929.0 $050 63691.0 $299 5

2929.05448.1211.03342.0

3691.0

3342.01211.0

1 2211.0%4050 6299 5ln

104.22

12

11

2

1

=−=−=

−=

=≤=−=−−=−=

=≤=

−=++

=

−

report

report

C

eC

dZNdNTdd

dZNdN

d

σ


Formule de Formule de BlackBlack--ScholesScholes: fonctions avec les TI: fonctions avec les TI

Voyage 200Le fichier blksch.v2f, disponible sur le site du cours, contient cette fonction:

Syntaxe:blksch(V,K,T,rf%,s%)

{call, put}

Ex:blksch(5299,6050,1,4,21.1)

{253.91, 767.69}

Nspire

Le fichier BlackScholes.tns, disponible sur le site du cours, contient cette fonction:

12


PEPE stratstratéégique et prime d'option rgique et prime d'option rééelle (elle (PORPOR))

La PE stratégique (PES) du projet, est la véritable valeur du projet pour le promoteur, si l'on tient compte de la possibilité réelle qu'il a de reporter sa décision. Dans le cas d’une option de report:

( ) K$ 210 K$ 44K$ 254 =−=−= reportsansPEPESPOR

La différence entre la PE stratégique et la PE classique, est appelé la prime d'option réelle (POR) ou la valeur de la flexibilité. C’est le montant maximal à payer pour l’option de report:

$K 254== CPES

On peut donc concevoir la PE stratégique comme la somme de deux composantes: la PE du projet sans report, plus la valeur de la flexibilité:

( )K$ 254K 210K$ 44

=+=+=

$PESPORreportsansPEPES


0 $

500 $

1 000 $

1 500 $

2 000 $

2 500 $

3 000 $

3 500 $

4 000 $

4 500 $

5 000 $

0 $ 2 000 $ 4 000 $ 6 000 $ 8 000 $ 10 000 $PE des avantages du projet (V)

Vale

ur d

e l'o

ptio

n (C

)

Valeur de l'option en fonction de Valeur de l'option en fonction de VV

K = Prix d'exercice

C

Valeurintrinsèquede l'option

= V – K

V = Valeur courantedu bien sous-jacent

à l'option

13


Solution avec la mSolution avec la mééthode du treillis binomialthode du treillis binomial

V = 5 299 K$

u = 1.23

d = 0.81

Vu = 5 299 K$ x 1.23= 6 541 K$

Vd = 5 299 K$ x 0.81= 4 293 K$

Ct=1 = 267 K$Ct=0 à Rf =4%

= 256 K$

q = 0.544

1–q = 0.456

Cu = Max(Vu– K, 0) = Max (6 541K$ – 6 050 K$, 0)= 491 K$

Cd = Max(Vd – K, 0) = Max (5 299 K$ – 6 050 K$, 0)= 0$

Valeurs très proches de celles trouvées avec la formule de Black-Scholes..

81023111

23112110

..u

d

.eeu .T

===

=== σ

5440.dudeq

trf

=−−

=

u = facteur haussierd = facteur baissier

q = probabilité neutreenvers le risque

( )( )

( )

K$ 122K$ 44K$ 256 report) (sans

K$ 2561.0408

K$ 2671.0408

$00.542K$ 4911

=−=−=

==+

=−+

==

PEPESPORe

qCqCCPES trduf


MMééthode du treillis binomial avec la TI thode du treillis binomial avec la TI NspireNspire ou Voyage 200ou Voyage 200

Programme maison:binlat(type,ex,v,k,t,rf,s,n)

type: "c":call (achat) ;"p" :put(vente)ex: "a": américaine; "e": européennev: Valeur de l’actif à t=0k: prix d’exercicet: terme de l’option (années)rf: taux sans risques: écart-type du rendementn: nombre d’étapes dans

le treillis (dt=t/n)

Exemple précédent:binlat(" c" ," e" , 5299,6050,1,4,21.1,1)

14


Treillis binomial vs BlackTreillis binomial vs Black--ScholesScholes

Si nous divisions l'année de report en suffisamment de petits intervalles de temps, nous obtiendrions exactement la même réponse

200 $

210 $

220 $

230 $

240 $

250 $

260 $

270 $

280 $

290 $

300 $

1 10 100 1 000Nombre d'intervalles

Vale

ur d

e l'o

ptio

n d'

acha

t

Valeur donnée par treillis binomial

Valeur donnée par Black-Sholes


Autre exemple d'option de report: Exemple 14.5Autre exemple d'option de report: Exemple 14.5

Une entreprise se prépare à fabriquer et à vendre une nouvelle marque de téléphones numériques. Voici les données disponibles sur ce projet:

Le coût de l'investissement est de 50 M$ aujourd'hui et l'estimation la plus probable des rentrées de fonds se chiffre à 12 M$ par année pour les 5 prochaines années.En raison de la grande incertitude relativement à la demande, la volatilité des rentrées de fonds (σ) est estimée à 50%.On suppose que la conjoncture sera favorable à ce projet pour les 2 prochaines années.Si la société reporte le projet, le coût de l'investissement augmentera de 10% par année.Le TRAM ajusté au risque de la société est de 12% et le taux sans risque est de 6%.

La société devrait-elle investir dans ce projet maintenant? Sinon quelle est la valeur associée au report de la décision d'investissement?

Méthode classique: La société doit-elle investir maintenant?PE(12%) = –50 M$ + 12 M$(P/A, 12%, 5) = – 6.74 M$ Projet non rentable

15



Analyse de la PE stratégique

0 1 2 3 4 5 6 7

A = 12 M$

Si la décision est reportéede 2 ans:

I2 = 60.5 M$

V2 = 43.3 M$V0 = 34.5 M$

V2 = 12 M$ (P/A, 12%, 5)= 43.3 M$

V0 = 43.3 M$ (P/F, 12%, 2)= 34.49 M$

I2 = 50 M$ (1.1)2= 60.5 M$

L'option de report est une option d'achat européenne qui ne peut être exercée avant 2 ans.On peut donc utiliser Black-Scholes:T = 2V = 34.5 M$K = I2 = 60.5 M$Rf = 6%σ = 50%

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) M$ 5117684M$ 8488613163806653392904834

97880 2ln

27170 2ln

21

1

2

2

2

1

...PE PESPOR.......

dNKedVNCPES

.TdT

TrKVd

.T

TrKVd

Tr

f

f

f

=−−=−==−=−=

−==

−=σ−=σ

σ−+=

−=σ

σ++=

− PES > 0Garder l'option

d'investir dans 2 ans

TI:blksch(34.5,60.5,2,6,50)={4.76 23.92}

TI:blksch(34.5,60.5,2,6,50)={4.76 23.92}


Option de concession de licence de brevet: Exemple 14.6Option de concession de licence de brevet: Exemple 14.6

Une société de technologie envisage l'achat d'une licence exclusive d'utilisation d'un brevet sur un nouveau type de téléphone. Si le brevet est acheté maintenant, la société aura 3 ans pour décider si elle met le téléphone en production. Si la sociéténe met pas le téléphone en production d'ici 3 ans, les droits d'utilisations du brevet pourront être offerts à d'autres sociétés.Si la société a une licence exclusive, les estimations de la demande de marchéindiquent un flux monétaire net de 50 M$ par année sur 7 ans. Par ailleurs, l'investissement dans une usine de production se chiffre à 200 M$. Supposons que TRAM = 12%, rf = 6% et que la volatilité (σ) associée à l'incertitude de la demande du marché est de 35%. Déterminez la valeur de la licence.

Analyse:La PE classique si on entreprend le projet maintenant:

PE = 50 M$(P/A, 12%, 7) – 200 M$ = 228.2 M$ – 200 M$ = 28.2 M$

Valeur maximale du brevet = 28.2 M$, si la société doit investir maintenant pour bénéficier d'une licence exclusive.

16



V3 = (50 M$(P/A, 12%, 7)) = 228.2 M$V0 = (228.2 M$)(P/F, 12%,3 ) = 162.4 M$

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A = 50 M$

I3 = K = 200 M$

V0 = 162.4 M$

V3 = 228.2 M$

C = ?

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) M$ 0377607973634016760134162

36340 2ln

60130 2ln

21

1

2

2

2

1

.......dNKedVNCPES

.TdT

TrKVd

.T

TrKVd

Tr

f

f

f

=−=−=

−==

=σ−=σ

σ−+=

=σ

σ++=

−

T = 3V = 162.4 M$K = 200 M$Rf = 6%σ = 35%

Analyse de la valeur de l’option:La licence comporte une option dereport de la décision de 3 ans.C'est une option européenne: on peut utiliser Black-Scholes

TI:blksch(39.56,60,3,6,40)={36.95 41.61}

TI:blksch(39.56,60,3,6,40)={36.95 41.61}

Valeur maximale du brevet, compte tenu de la possibilité de pouvoir attendre trois ans avant de prendre la décision d'investir = 37 M$.


Option d'augmentation d'Option d'augmentation d'ééchelle de production suite chelle de production suite àà un projet un projet pilote: Exemple 14.7 (modifipilote: Exemple 14.7 (modifiéé))

Une société prévoit commercialiser son produit en deux étapes: d'abord un projet pilote pour des clients locaux et, si les résultats du projet pilote sont satisfaisants, le passage à une plus grande échelle pour le marché national.

Le projet pilote exigera un investissement de 10 M$, suivi de rentrées de fonds de 2 M$, 3 M$ et 5 M$ sur 3 ans.Le passage à grande échelle demandera un investissement de 60 M$ et rapportera des bénéfices de 16 M$, 18 M$, 20 M$ et 20 M$ sur 4 ans. Cependant, le niveau d'incertitude de ces derniers bénéfices est assez élevée: leur volatilité (σ) est de 40%.

Supposons que le TRAM de la société est de 12% et que le taux d'intérêt sans risque est de 6%. Est-ce que la société devrait investir dans le projet pilote?

17



0 1 2 3 4 5 6 7

2 $ 3 $ 5 $16 $

18 $20 $ 20 $

I0 = 10 $I3 = 60 $

Analyse de la PE classique

Projet pilote

PE(12%)pilote = – 10 $ + 2$(P/F, 12%, 1) + 3$(P/F, 12%, 2) + 5$(P/F, 12%, 3)= – 2.26 M$ (an 0)

PE(12%)grand = – 60 $ + 16$(P/F, 12%, 1) + 18$(P/F, 12%, 2) + 20$(P/F, 12%, 3) + 20$(P/F, 12%, 4)= – 4.42 M$ (an 3)

PE(12%)total = – 2.26 M$ – 4.42 M$ (P/F, 12%, 3) = – 2.26 M$ – 3.15 M$ = – 5.41 M$

PE classique < 0 Refuser le projet



0 1 2 3 4 5 6 7

16 $18 $

20 $ 20 $

I3 = 60 $

V3 =55.58 M$V0 =39.56 M$

Valeur des flux monétaires de la production à grande échelle(excluant l'investissement):

V3 = 16 M$ (P/F, 12%, 1) + 18 M$ (P/F, 12%, 2) + 20 M$ (P/F, 12%, 3) + 20 M$ (P/F, 12%, 4) = 55.56 M$

V0 = 55.58 M$ (P/F, 12%, 3) = 39.56 M$

Projet pilotePE = -2.26 M$

Projet à grande échelle

Le projet pilote comprend une option d'achat sur le projet à grande échelle

Analyse de la valeur de l'option:

18



L'option d'entreprendre le projet suite au projet pilote est une option d'achat européenne: on peut utiliser Black-Scholes:

T = 3V = 39.56 M$K = I3 = 60 M$Rf = 6%σ = 40%

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) M$ 5473128192458015050200639

68770 2ln

00510 2ln

21

1

2

2

2

1

.......PORdNKedVNCPOR

.TdT

TrKVd

.T

TrKVd

Tr

f

f

f

=−=−=−==

−=σ−=σ

σ−+=

=σ

σ++=

−

TI:blksch(39.56,60,3,6,40)={7.54 18.10}

TI:blksch(39.56,60,3,6,40)={7.54 18.10}

Le coût du projet pilote (2.26) est inférieur à la valeur maximale de l'option d'investir à grande échelle (7.54):

PES=PE(projet pilote)+POR= -2.26 + 7.54=5.28Entreprendre le projet pilote


Option d'augmentation d'Option d'augmentation d'ééchelle de production: Exemple 14.8chelle de production: Exemple 14.8

Une société a entrepris un projet qui lui offre la possibilité d'investir dans des ressources de fabrication et de distribution supplémentaires. La valeur actuelle du projet est de Vo = 10 M$ et la volatilité (σ) de la valeur actuelle du projet est de 30%.En tout temps au cours des trois prochaines années, la société peut investir un montant additionnel K = 3 M$ et obtenir une augmentation prévue de 30% des flux monétaires nets, donc une hausse de 30% de la valeur du projet.Le taux d'intérêt sans risque est de 6%.

L'option d'expansion est une option d'achat américaine, car elle peut être exercée en tout temps. On peut utiliser Black-Scholes.

La valeur actuelle (Vo) de l’expansion est de 30% x 10 M$ = 3 M$Le prix d’exercice de l’option d’expansion est de 3 M$

19



T = 3V = 3 M$K = 3 M$Rf = 6%σ = 30%

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) M$ 84.037.122.22458.051.25020.03

1212.0 2ln

6409.0 2ln

21

1

2

2

2

1

=−=−=−=

−=−=−+

=

=++

=

− dNKedVNC

TdT

TrKVd

TTrKV

d

Tr

f

f

f

σσ

σσ

σ

TI:blksch(3,3,3,6,30)={0.84, 0.35)

TI:blksch(3,3,3,6,30)={0.84, 0.35)

PES = PE(sans expansion) + POR = 10 + 0.84 = 10.84 M$


Exemple 14.8: Solution par treillis binomialExemple 14.8: Solution par treillis binomialNOTE: Le manuel calcule la valeur du projet et de l’option. Nous allons plutôt calculer la valeur de l’option seulement.

Nous allons simplifier le problème en supposant que l'option d'augmentation d'échelle de production peut s'exercer à la fin de chaque année, plutôt qu'àn'importe quel moment. (i.e. ∆t = 1)

Étape 1: Treillis d'évolution de la valeur de l‘augmentation de l’échelle de production (Valeur actuelle des flux monétaires )

3.00

4.05

2.22

5.47

3.00

1.651.22

2.22

4.05

7.38

t =0 t =1 t =2 t =3

u

d

u

d

u

d

u

d

u

d

u

d

1

2

3740

35111

3511300

..u

d

.eeu .T

===

=== ∆σ

20


C3 = 2.64

Exemple 14.8 (suite)Exemple 14.8 (suite)Étape 2: Treillis d'évaluation des optionsExemple du nœud 3

( ) 530610320

74035174006181 .

.

.....

dudeq

trf

==−

−=

−−

=

( ) M$ 38.40 ,338.7Max,0)Max( =−== V-KCu

( )M$ 64.22.64) Max(2.47,2.64) 3),-Max((5.47) K),-Max((

optionl'conserver deValeur option,l'exercer Valeur Max

33 =====

CVC

Cu = 4.381

2

3

q = 0.53

1–q = 0.47 Cd = 1.05

( )( )

( ) ( ) M$ 64.20618.1

05.147.038.453.01=

+=

−+= tr

dufe

CqqCC

V3=5.47

4.05

7.381

23

Valeur du projet sans expansion

u = 1.35

d = 0.74

( ) ( ) M$ 05.10 ,305.40,Max =−=−= MaxKVCd

1

2

3



Valeur de l'option d'expansion et PES

( )

( ) ( )( )

M$ 88.01 M$ 88.0M$10expansion) (sans

M$ 88.01.0618

0.9347.026.00.5354.1,0MAX

1,MAX

106.

1010

=+=+=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−== ∆

PORPEPESe

eqCqCKVPORC Tr

du

7.38

3.00

4.05

2.22

5.47

3.00

1.651.22

2.22

4.05

1

2

32.64

4.38

1.05

0.00

.52

0.00

0.26

1.54

0.88

0.00

4

5

6

7

8

9

10VC

21


Exemple 14.8 (suite)Exemple 14.8 (suite)Solution des autres nœuds

( ) 00 ,322.2Max =−=C

5 ( ) 00,322.1Max =−=C

6 ( ) ( ) ( ) 52.00.52 ,0Max0618.1

47.005.10.5338.4 ,33Max ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=C

7 ( ) ( ) ( ) 00.00 2.35,Max0618.1

47.000.530 ,365.1Max =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=C

8 ( ) ( ) ( ) 54.11.54 1.05,Max0618.1

47.052.00.5364.2 ,305.4Max ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=C

9 ( ) ( ) ( ) 26.026.0 ,78.0Max0618.1

47.000.5352.0 ,322.2Max =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=C

4



Solution avec la TI (Nspire ou Voyage 200):Treillis à 5 intervalles (∆t =1)

M$ 8810M$ 880M$ 10expansion) (sans880

..PORPEPES.POR

=+=+==

Note: Si on augmente le nombre d’intervalles, on s’approche de la solution donnée par Black-Scholes de 0.84 M$. Par exemple pour n=36 (∆t = 1 mois):binlat(¯c→.¯a→,3,3,3,6,30,36)=0.84

22


Option de sousOption de sous--traitancetraitance

Bombardier Aéronautique évalue un projet pour le lancement d'un nouvel appareil de 125 places (C Series). L'investissement initial est de 1 000 M$. Par ailleurs, la valeur présente des flux monétaires espérés du programme est aussi de 1 000 G$. La valeur actuelle nette (PE) espérée est donc actuellement de 0 $, ce qui rend le projet inacceptable, d'autant plus, qu'à cause des nombreuses incertitudes entourant le marché du transport aérien, les simulations indiquent que la volatilité (σ) du rendement du projet est de 25%. Le taux d’intérêt sans risque est de 3%.Le manufacturier japonais Mitsubishi offre à Bombardier de fabriquer les ailes de l'appareil en sous-traitance. Cette stratégie réduirait l'investissement initial de 300 M$, mais la valeur présente des flux monétaires futurs du projet serait aussi réduite de 30%. La valeur actuelle nette espérée du projet serait donc toujours de 0$, ce qui est insuffisant pour inciter Bombardier à entreprendre le projet.

Mitsubishi propose alors à Bombardier la stratégie suivante: Bombardier procède à l'investissement de 1 000 M$À tout moment, au cours des 5 premières années du projet, Bombardier pourra décider de vendre à Mitsubishi l'outillage de fabrication des ailes pour la somme de 300 M$. Mitsubishi fabriquerait alors les ailes en sous-traitance. Si Bombardier procède ainsi, la PE des flux monétaires restant au projet, à partir du moment de la vente, serait alors diminuée de 30%.

Quel est la PE du projet, compte tenu de cette option stratégique?


Option de sousOption de sous--traitance (suite)traitance (suite)

Il s'agit d'une option de vente américaine, on doit donc utiliser un treillis binomial

Étape 1: Treillis de l'évolution de la valeur de la partie « ailes » du projet (30%)Pour simplifier, on utilisera ∆t = 1

778802840111

:baissiermouvement 28401

:haussiermouvement 1250

..u

d

.eeu .t

===

=== ∆σ

Vo = 300

385

494

635

815 1047

213

182142

11086

300

385

234

495

300

182

635

385

234

142

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

Vt

Vt+1 = Vtu

Vt+1 = Vtd

u

d

23


Option de sousOption de sous--traitance (suite)traitance (suite)Étape 2: Treillis de la valeur l'option de sous-traitance

C =50.1

24.8

7.7

0

0 0

78.4

118.0158.3

189.6214.1

43.2

15.7

73.1

0

32.3

118.0

0

0

66.4

158.3

( )

501904981011

4981050520

7788003051778802840177880

:risquedu égardl' à neutre éprobabilit1030

..q

..

..q

...e

dudeq

.tr

=−=−

=−

=

−−

=−−

=∆

PES = PE(sans sous-traitance)+PORPES = 0 + 50.1 = 50.1 M$

PES > 0L’option de sous-traitance ajoute

50.1 M$ de valeur au projet.

[ ] 001047,-300MAX ==C

( ) ( ) ( )( )[ ][ ] 7.155.71 ,85MAX

5019.3.324981.0,385300MAX 103.

=−=+−= −eC


Calcul avec la TI (Calcul avec la TI (NspireNspire ou Voyage 200)ou Voyage 200)

M$ 1550M$ 15500traitance)-sous (sansM$ 1550

..PORPEPES.POR

=+=+==

24


Option d'abandonOption d'abandonSupposons maintenant que Mitsubishi offre de racheter, à l'option de Bombardier, le projet pour la somme de 700 M$ et ce à n'importe quel moment au cours de ses 5 premières années.Quelle est la PE stratégique du projet en considérant cette option?

M$ 8844M$ 88440abandon) (sans

8844

..PORPEPES

.POR

=+=+=

=


Option de choisir entre continuer, sousOption de choisir entre continuer, sous--traiter ou abandonnertraiter ou abandonner

Quelle est la PE stratégique du projet si Bombardier dispose pendant cinq ans des deux options, soit de sous-traiter ou de vendre le projet?

( )( ) ( )[ ]ijijtr

jijiij VVeCqqCC −−+= ∆−+++ 700 ,3.0-300 , 1MAX 1,1,1Autres colonnes:

Conserver l'option VendreSous-traiter

( ) jjiij duVV −= 0

i

j

( )[ ]0,700 ,3.0-300MAX ijijij VVC −=

Dernière colonnePOR

On ne peut solutionner directement avec le programme d'options simples. On doit utiliser le tableur et construire un modèle spécifique à la situation.

25


StratStratéégiegie

Considérant les options stratégiques de Bombardier, la PE stratégique du projet, nette de l'investissement initial de 1 000 M$ est donc de 61.38 M$

0 1 2 3 4 5

0 Garder options

Garder options

Garder options

Garder options

Garder options

Options expirent

1 Garder options

Garder options

Garder options

Garder options

Options expirent

2 Garder options

Garder options

Garder options

Options expirent

3 Garder options

Garder options

Sous-traiter

4 Vendre Vendre

5 Vendre

( )( ) M$3861M$ 3861M$ 000 1M$ 000 1

abandon) (sans3861

..PESPORIVPES

PORPEPES.POR

oo

=+−=

+−=+=

=


PORPOR et et PESPES en ren réésumsuméé

Option de report:La décision de reporter un projet est, par définition, ex-ante à l'investissement initial. Le fait d’entreprendre le projet élimine par le fait même l’option de reporter, donc:Si la PE(sans report) > 0

PES = CPOR = PES – PE(sans report)

Si la PE(sans report) < 0POR = CPES = PE(sans report) + POR

Projets avec phase préliminaire (R&D, études de marché, etc.):POR = C(grande échelle)PES = PE(phase préliminaire) + POR

Dans tous les autres cas (expansion, abandon, sous-traitance, etc.):POR = CPES = PE(sans option) + POR

26


Le mot de la finLe mot de la fin

"Il a fallu 20 ans pour que la PE classique remplace le délai de récupération comme critère de rentabilité des projets. Il en faudra probablement autant pour que les options réelles remplacent la PE classique."

-Tom CopelandAuteur de nombreux ouvrages de finance des sociétés

Livre de Tom Copeland et Vladimir Antikarov, chaudement recommandé à tous ceux qui voudraient explorer le sujet des options réelles plus à fond:"Real Options, a practitioner's guide", updated 2nd edition, Cengage Learning, 2003, 370 pages.

1

Options rOptions rééelles et PE elles et PE stratstratéégique: TPgique: TPSolutionnaireSolutionnaire

Louis Parent, Louis Parent, inging., MBA., MBA

2PE stratégique et options réelles: TP


Une société prévoit effectuer un investissement de 2 M$ pour améliorer un de ses produits qu'elle destine à un marché émergent. Ce marché est très volatile, mais la société possède un brevet sur le produit qui la protège contre l'arrivée de la concurrence pendant un an. La valeur actualisée des flux monétaires futurs prévus pour N années à un TRAM de 15%, est estimée à 1.9 M$. Cependant, puisqu'il y a de l'incertitude sur la demande du produit amélioré, il se pourrait que le marché soit favorable à la société dans un an.Supposez un taux d'intérêt sans risque de 8% et un écart-type de 40% par année pour la PE des flux monétaires futurs.Si la société attend un an, l'investissement nécessaire serait le même, soit2 M$ et la société pourra exploiter le projet pendant le même nombre d'années N (i.e. jusqu'à l'année N+1)Quelle est la valeur de l'option de report de l'investissement dans un an?

2



PE classique:

1

0

2 3 N

………..

-2M$

+1.9M$

PE = -2M$+1.9M$ = -0.1M$Projet non rentable

PE stratégique:Si la décision est reportée d'un an.

Option d'achat européenne. On peut utiliser Black-Scholes. 10 2 3 N+1

………..

I1=2 M$

V1=1.9 M$V = 1.65 M$

V = 1.9 M$ (P/F, 15%, 1)=1.65 M$

T = 1V = 1.65 M$K = I1 = 2 M$Rf = 8%σ = 40%

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) M$ 290M$ 190M$10

M$ 1905807702458085146910651

47760

07760 2ln

0

21

12

2

1

...PORreportsansPEPES.......C

dNKedVNC

.Tdd

.T

TrKVd

CPORreportsansPE

Tr

f

f

=+=+==−=−=

−=

−=σ−=

−=σ

σ++=

=⇒<

−

PES > 0 Garder l'option d'investir dans 1 an

TI:blksch(1.65,2,1,8,40)={0.19 0.39}

TI:blksch(1.65,2,1,8,40)={0.19 0.39}



Une société minière a l'occasion d'acheter une concession sur une parcelle de terrain pour extraire de l'or. Soit les données financières suivantes:

Réserve minière d'or sur la concession: 1.5 millions d'oncesCoût de l'investissement préalable à l'extraction, valable pour 3 ans: 40 M$Coût présent équivalent de l'extraction de l'or: 320 $/oncePrix présent équivalent comptant de l'or: 340 $/onceLe contrat prévoit que la société a 3 ans pour commencer l'exploitation d'une mine sur la concession. Passé ce délai, elle perdra tout droit sur la concession.Volatilité historique du prix de l'or: 20%TRAM: 12% et Rf = 6%

Déterminez le montant maximal que la société devrait payer pour la concession.

3



PE stratégique:Si la décision est reportée de trois ans:

Option d'achat européenne. On peut utiliser Black-Scholes.

V= 30M$ (P/F, 12%,3)V= 19.73 M$T = 3K = 40 M$Rf = 6%σ = 20%

PE classique:

PE = -40M$+1.5M on (340$/on-320$/on)PE = -40M$ + 30M$= - 10M$

Projet non rentable actuellement Valeur de la concession = 0$

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) M$ 9.75

M$ 250M$10M$250501751045104133088807319

48410

13760 2ln

0report

21

12

2

1

−=+−=+=

=−=−=

−==

−=σ−=

−=σ

σ++=

=⇒<

−

.PORtsans reporPEPES.......POR

dNKedVNCPOR

.Tdd

.T

TrKVd

PORCsansPE

Tr

f

f

Prix maximal de la concession: 250 K$TI:blksch(39.56,60,3,6,40)={0.25 13.93}

TI:blksch(39.56,60,3,6,40)={0.25 13.93}



Une société pharmaceutique doit évaluer le montant maximal qu'elle peut affecter à la R&D d'un nouveau type de médicament amaigrissant. On pense que trois ans de R&D seront nécessaires pour l'élaboration et les essais de commercialisation du médicament. Après ces trois années, un investissement dans la fabrication et la production sera nécessaire à l'an 4. On estime aujourd'hui que la vente du médicament générera des rentrées nettes de fonds pendant six ans. Le diagramme des flux monétaires suivant résume les estimations de la société (en M$):

En supposant un TRAM de 12%, σ = 50% et un taux d'intérêt sans risque de 6%, déterminez le montant maximal que la société devrait payer pour la R&D de ce médicament.

5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4

64 4

2

80

1520

2520

1510

4


0 1 2 3 4

2


PE classique

5 6 7 8 9 10

64 4

80

1520

2520

15 10

R&D: PE(0-3)(15%) = npv(12,-6,{-4,-4,2})=-14.18

Production, à t=4: PE(4-10)(15%) = npv(12,-80,{15,20,25,20,15,10})=-6.58

PE(0-10)(15%) = npv(12,-6,{-4,-4,-2,-80,15,20,25,20,15,10})=-18.37

Même si le coût de la R&D était de 0$, le projet ne serait pas rentable.Ne pas entreprendre le projet.


Valeur de l'option d'investir dans 4 ans:Option d'achat européenne. On peut utiliser Black-Scholes.


( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) M$701335130427212109362579606646

79920

20080 2ln

21

12

2

1

.......PORdNKedVNCPOR

.Tdd

.T

TrKVd

Tr

f

f

=−=−=−==

−=σ−=

=σ

σ++=

−

5 6 7 8 9 10

K=80

1520

2520

15 100 1 2 3 4

V = 46.66 V= 46.66 M$T = 4K = 80 M$Rf = 6%σ = 50%

Le coût de la phase de R&D peur être vue comme celui d'une option d'investir àgrande échelle. Le montant maximum que la société devrait dépenser sur la R&D est de donc de 13.7 M$, ce qui est plus que le montant prévu de 14.18 M$Au budget R&D actuel le projet ne devrait pas être entreprisPES = PE(phase R&D)+POR=-14.18+13.7=-0.48< 0

TI:blksch(46.66,80,4,6,50)={13.70 29.97}

TI:blksch(46.66,80,4,6,50)={13.70 29.97}

5



Une société envisage d'acheter du matériel pour fabriquer un nouveau produit. Ce matériel vaut 3 M$, et les rentrées nettes prévues se chiffrent à 0.35 M$ pour une période indéfinie. Si la demande du produit est faible, alors, au cours des cinq prochaines années, la société aura la possibilité de se départir du matériel pour 2.2 M$.Supposez que le TRAM = 12%, σ = 50% et rf = 6%. Quelle est la valeur de cette occasion d'investissement pour la société?

PE classique, sans possibilité d’abandon:

0

1 2 3 ∞……..3 M$

0.35 M$( )

M$ 0830M$ 9172M$ 3120M$ 350M$ 3

12 M$ 50M$ 3

..PE.

.PE

%,,A/P.PE

−=−−=

+−=

∞+−=

projet non-rentable



PE stratégique:Option de vente américaine (exerçable en tout temps au cours des cinq prochaines années) On doit utiliser un treillis binomial.1. Treillis de la valeur des flux monétaires du projet (sans l'investissement):Pour simplifier on choisit ∆t = 1 an

V = 2.92

61035111

651150

..u

d

.eeu .t

===

=== ∆σ

u

d

u

d

u

d

u

d

u

du

d

u

du

du

d

u

du

du

d

u

du

d

u

d

4.81

1.77

7.93

2.92

1.07

13.07

4.81

1.77

0.65

21.55

7.93

2.92

1.07

0.39

35.53

13.07

4.81

1.77

0.65

0.240 1 2 3 4 5

6



PE stratégique:2. Treillis de la valeur de l'option de vente (put):

( )( )

M$ 42700.510.083abandon sans

437004214550

6070649160700621

.PESPORPEPES

...

..

..du

deqtrf

=+−=+=

==−−

=−−

=∆

Exemple:

q

1-q

0

0

0

0.43

1.55

1.96

q

1-qq

1-qq

1-qq

1-q

0

0

0.23

1.13

1.81

0.69

1.55

0

0.120.42

1.13

0.06

0.77

0.250.51

MAX(0,(2.2-0.65))

MAX(0,(2.2-35.53))

MAX(0,(2.2-13.07))

MAX(0,(2.2-4.81))

MAX(0,(2.2-1.77))

MAX(0,(2.2-0.24))

Abandon

Entreprendre le projet

( ) ( )( ) ( )( )( )

[ ] 690690430MAX

1314370123043701.77-2.10MAX 106

..,.e

...., .

==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

Garder option ouverte



Avec la TI Nspire ou la Voyage 200: Calcul de la valeur de l'option seulementPOR=0.51

( )$...abandonsansPEPORPES

M 42700830510

=−=+=

Entreprendre le projet

7



Une société qui a entrepris un projet a la possibilité de vendre une partie de son matériel et de ses installations et de donner en sous-traitance une partie de la charge de travail du projet. La valeur actuelle des flux monétaires du projet est de 10 M$.En tout temps au cours des trois prochaines années, la société peut vendre pour 4 M$ une partie de ses ressources de production, mais doit alors s'attendre à une diminution de 30% des flux monétaires nets du projet, et donc une réduction de 30% de leur valeur actuelle.Déterminez la valeur du projet, compte tenu de cette option de réduire l'échelle de production.Supposez que rf = 6% et que σ = 30%.



Option de vente américaine On doit utiliser un treillis binomial.Pour simplifier on choisit ∆t = 1

Treillis de la valeur du flux monétaire vendu (30% du projet)

741035111

3501130

..u

d

.eeu .t

===

=== ∆σ

3.00

4.05

1.78

3.00

1.65

5.477.38

4.05

2.22

1.22

u

d

0 1 2 3

u

d

u

d

u

d

u

d

u

d

8



Treillis de la valeur de l'option de vente

( )

( )M$ 11.01M$ 011M$ 10

M$ 011

52707410350174100621

=+=+=

=

=−−

=−−

=∆

.PORsans ventePEPES

.POR

.....

dudeq

trf

Cput= 1.01

0.45

1.78

1.00

0.000.00

0.0

1.78

2.78

q

1-q

2.35

q

1-q

q

1-q

q

1-q

q

1-q

1-q

q

MAX(4−7.38,0)

MAX(4−4.05, 0)

( )( ) ( )( )( )

[ ] 001.541 781MAX

3525270100152702224MAX 106

.,.e

....,. .

==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−

Exemple:

Garder option ouverte

Diminuer la taille

MAX(4−2.22, 0)

MAX(4−1.22, 0)

MAX(K−V,0)



Solution avec la Ti Nspire ou Voyage 200: calcul de la valeur de l’option seulementPOR=1.01

( )

$.

PORventesansPEPES

M 0111M$ 1.01M$ 10

=+=

+=

9



Supposez qu'une grande entreprise de fabrication décide de se mettre à l'abri de la volatilité de son marché en utilisant des options stratégiques. Plus précisément, à n'importe quel moment au cours des deux prochaines années, elle pourrait:

Accroître ses activités de fabrication, Donner en sous-traitance une partie de ses activités de fabrication.

Supposez que la société dispose actuellement d'une structure d'exploitation dont la valeur, fondée sur un modèle de flux monétaires actualisés se chiffre à100 M$. Supposez aussi que la société estime que la volatilité (σ) du rendement des flux monétaires future est de 15%. Le taux d'intérêt sans risque est de 5%. Supposez que la société a la possibilité de donner en sous-traitance 10% de ses activités actuelles en tout temps au cours des deux prochaines années, ce qui diminuerait d'autant la valeur actuelle des flux monétaires mais qui entraînerait des économies dont la valeur actuelle est de 25 M$, indépendamment du volume effectivement sous-traité. L'option d'expansion augmenterait la valeur actualisée du flux monétaire de la société de 30%, mais demanderait un investissement de 20 M$.Quelle est la valeur totale de la société, compte tenu de ses options stratégiques?



Option de choisir entre une option d'achat américaine (augmentation de la taille) àou une option de vente américaine (réduction de la taille) On doit utiliser un treillis binomial.Pour simplifier, on choisit ∆t = 1

Treillis de la valeur du projet

8610162111

16211150

..u

d

.eeu .t

===

=== ∆σ

100

116.18

134.99

100

86.07

74.08

u

d

u

d

u

d

10


Exercice 14.11Exercice 14.11Treillis de la valeur des options (POR)

( )36701

63308610162186100511

.q

.....

dudeq

trf

=−

=−−

=−−

=∆

POR = 16.31

17.58

20.50

15.00

16.39

17.59

q

1-q

q

1-q

q

1-q

MAX[25-134.99(1-.9), 134.99(0.3)-20, 0]

MAX[25-116.18 (.1), 116.18(0.3)-20,(20.50 (.633)+15.00(.367))e-.05]

=17.58

Garder les options ouvertesExpansionSous-traitance

PES = PE(sans options)+PORPES = 100+16.31=116.31 M$

MAX[25-100(1-.9), 100(0.3)-20, 0]

MAX[25-74.08(1-.9), 74.08(0.3)-20, 0]

MAX[25-86.07 (.1), 86.07(0.3)-20,(15.00 (.633)+17.59(.367))e-.05]

=16.39

MAX[25-100 (.1), 100(0.3)-20,(17.58 (.633)+16.39(.367))e-.05]

=16.31



Étant donné qu'il y y a une infinité de variations possibles, dans le cas d'une option de choisir de ce type, on doit effectuer le calcul sur Nspire avec le tableur :

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GIA 400 Analyse de rentabilité de projet - cours, examens · 1 GIA-400 Analyse de rentabilité de projets Louis Parent, ing., MBA GIA 400 – Cours 1 2 LOUIS PARENT, ING. MBA Ingénieur