I

Géotechnique - Exercices supplémentaires

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Table des matières

CHAPITRE 1 • RÉSISTANCE AU CISAILLEMENT

EXERCICE 1SOLUTION 4

CHAPITRE 2 • FONDATIONS PROFONDES

EXERCICE 6SOLUTION 9

Chapitre 1

Résistance au cisaillement

EXERCICE

Exercice 1.1. Extrait de l’agrégation de Génie civil Solution p. 4

Le Texsol est un matériau composite obtenu en mélangeant du sable avec des fibressynthétiques continues. La masse linéique ou « titre » du textile est exprimée en« tex » (masse en gramme par kilomètre de fibre). Le mélange estcaractérisé par sateneur pondérale en fil exprimée en pourcentage.

Des essais triaxiaux consolidé-drainé (CD) ont été réalisés sur sable seul et surmélange comportant0, 15% de fil synthétique de33 tex. Les éprouvettes de Texsolont été réalisées en projetant le fil verticalement (le plan de dépôt est horizontal).La pression interstitielleu est nulle durant les essais. Les résultats triaxiaux sontprésentés en figure 1.1.

(1) Déterminer la longueur de fil de mélange pour1 m3 de Texsol ayant une massevolumique de1800 kg.m-3.

(2) Déterminer l’angle de frottementϕ′ et la cohésionc′ du mélange et du sable seul.

(3) Comparer les caractéristiques mécaniques à la rupture (résistance et déformabi-lité) du Texsol avec celles du sable seul.

2 Géotechnique

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 5 10

-40

-20

0

20

40

60

0 5 10

150

3 [kPa]

100

50

50

1-

3[k

Pa]

1 [%]

Texsol

Sable seul

1 [%]

V[c

m3]

FIGURE 1.1 Résultats d’essais triaxiaux CD - Évolution du déviateur (gauche) et de la variation devolume (à droite) en fonction de la déformation axiale

(4) Donner une explication au rôle des fils synthétiques.

Des essais de cisaillement à la boîte ont été réalisés en faisant varier l’angle du plande dépôt avec le plan de cisaillementα. Les résultats de ces essais sont présentés enfigure 1.2.

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70 80 9030

35

40

45

50

55

60

0 30 60 90 120 150 180

Cohésio

n c’

[kP

a]

Angle

de f

rott

em

ent

’[°

]

c’( ) = 0,03 2 + 1,27 + 16,5

z

y

[°] [°]

z

y

FIGURE 1.2 Évolution de la cohésion c′ (à gauche) et de l’angle de frottement ϕ′ (à droite) enfonction de l’angle entre le plan de dépôt et le plan de cisaillement α

(5) Commenter ces courbes, évaluer les valeurs maximales.

1 • Résistance au cisaillement 3

On cherche à caractériser la résistance en compression simple Rc d’une éprouvettede mélange dont la géométrie est indiquée en figure 1.3.

Plan de dépôt

1

3 = 0

1000

1200

FIGURE 1.3 Éprouvette cylindrique de Texsol - Plan de rupture et plan de dépôt

(6) En écrivant l’état de contrainte sur un plan d’inclinaison β quelconque parrapport à l’horizontale, montrer queRc s’exprime par :

Rc = min

[

c′(β. cosϕ′

cos(β) sin(β − ϕ′)

]

4 Géotechnique

SOLUTION DE L’EXERCICE

Solution 1.1.

(1) Dans1 m3 de mélange, il y a0, 0015 × 1800 = 2, 7 kg. Le titre étant de33 tex,soit33 g/km, la longueur de fil de mélange est égale à81, 8 km.

(2) La figure 1.4 présente les cercles de Mohr des essais du mélange et du sable àla rupture. Les valeurs deσ1 sont estimées à partir du déviateurσ1 − σ3 et dela contrainte radialeσ3. À noter que pour le sable seul, la valeur « au pic » estutilisée.

[kPa]

C

σ [kPa]

Texsol

100

100 Sable

FIGURE 1.4 Cercles de Mohr et droites intrinsèque du Texsol et du sable seul

La tangente aux cercles, droite intrinsèque du mélange, estdéfinie par les carac-téristiques :c′t = 83 kPa etϕ′

t = 49, 5°.

Le sable seul est considéré sans cohésion. Aussi la tangenteau cercle, et passantpar zéro, est définie par la caractéristiques :c′s = 0 kPa etϕ′

s = 45°.

(3) Du point de vue de la résistance mécanique, on observe quel’adjonction de filscontinus confère au mélange une cohésion assez importante,La présence desfils augmente également (dans une moindre mesure) l’angle defrottement. Cesdeux effets font que pour une contrainte de confinement de50 kPa, la résistancemaximale est multipliée par trois.

Du point de vue du comportement en déformation, les courbes d’essai dans lerepère (ε1 - q) montrent que, pour le Texsol, la rupture est obtenue pour unedéformation beaucoup plus importante (8 à10 %) qu’avec le sable seul (4 %). Parailleurs, les courbes (ε1 - εv) révèlent que la présence des fils donne au Texsol uncomportement d’abord plus contractant puis un angle de dilatance (pente) plusélevé que le sable seul.

1 • Résistance au cisaillement 5

(4) Le caractère continu des fils et la grande longueur de fil mise en œuvre fontque les fils constituent un réseau dense qui fait participer,pour résister à unedéformation locale du milieu, des grains éloignés. L’interaction mécanique entreles fils et le squelette granulaire s’effectue sous la forme de frottements auxcontacts grains-fils. La résistance en traction des fils (à l’origine de la cohésiondu mélange) a nécessité, pour être mobilisée, une certaine déformation du milieuafin d’assurer la mise en tension des portions de fils entre 2 ancrages par frotte-ment grains-fil.

L’accroissement de la résistance au désenchevêtrement desgrains, du fait de latransmission des efforts entre grains éloignésvia les fils explique l’accroissementde l’angle de frottement, et la modification du comportementen déformationvolumique, par rapport à un sable seul.

(5) Plus l’angle de dépôt est incliné, plus les fibres vont pouvoir être sollicitées entraction. Cette constatation est valable jusqu’à un certain angle. La valeur del’angle de frottement augmente jusqu’à47° autour d’un angle de dépôt de45°.Plus l’angle de dépôt est incliné, plus la cohésion sera forte et atteindra unevaleur maximale de280 kPa pour un angle de dépôt de75°.

(6) En compression simple, l’état de contrainte à la ruptureen chaque point del’éprouvette est :

σ =

(

Rc 00 0

)

(~1,~3)

Les contraintesσ′(β) et τ(β) s’expriment à partir du vecteur contrainte~T :

~T = σ.~n =

(

−Rc. cos β0

)

(~1,~3)

σ′(β) = ~T .~n = Rc. cos2 β et τ(β) = ~T .~t = Rc. sin β cos β

À partir de l’équation de la droite intrinsèque :τ = c′ + σ′ tanϕ′

En remplaçant les expressions des contraintesσ′(β) et τ(β) dans l’équationprécédente :

Rc. sin β cos β = c′(β) +Rc. cos2 β. tanϕ′

Ainsi, en isolantRc, la résistance minimale en compression de l’éprouvettes’exprime par :

Rc = min

[

c′(β)

sin β cosβ − cos2 β. tanϕ′

]

= min

[

c′(β). cosϕ′

cos(β) sin(β − ϕ′)

]

Chapitre 2

Fondations profondes

EXERCICE

Exercice 2.1. Solution p. 9

On envisage de fonder les piles d’un viaduc sur dix pieux forés sous boue de1, 2 m dediamètre, associés à une semelle de6 m d’épaisseur. Le massif de fondation est rec-tangulaire, d’environ17 m de long pour6, 6 m de large, constitué par une enceinte depalplanches remplie de béton sur une épaisseur totale de4 mètres et par un bouchonégalement en béton sur2 m de plus. Les pieux sont ancrés de3 m dans les marnes etcaillasses saines.

caillasses saines.

Figure 4 : vue en plan de l’ouvrage

profondeur

(m)

E

(MPa)

p

0 sommet de la semelle 3,6

-4

-6

-9 base de la couche de sable marnes et caillasses saines 1,60

base de la première couche

de marnes et caillasses

marnes et caillasses

décomprimées

base de la deuxième couche

de marnes et caillasses

-33 limite d’investigation

FIGURE 2.1 Vue en plan de l’ouvrage

2 • Fondations profondes 7

On considère que la descente de charge provenant du poids du tablier de l’ouvrageet de ces équipements, et du poids propre du massif de fondation, correspond à uneforce verticale totale équivalente à une masse de3500 t, soit : Fv = 35 MN. Lechoc d’un bateau contre une pile est supposé correspondre à une force équivalenteà 1500 t, appliquée à8 m au-dessus du sommet du massif de fondation, appliquéehorizontalement dans la directionOx . Le torseur des efforts extérieurs à prendre encompte correspond donc à une force horizontaleFh et à un moment de renversementM par rapport au planz = 0 (autour de la direction horizontaleOy) donnés par :Fh = 15 MN etMFh/0 = 120 MN.m.

Tableau 2.1 Résultats de l’essai de chargement

z Position Sol pLM EM

m - - MPa MPa

0 sommet de la semelle alluvion 3,6 5

-4 base de la semelle

-6 base du bouchon

-9 base de la couche de sable marnes et caillasses saines 1,6 20

-16base de la première couche

de marnes et caillasses

marnes et caillasses

décomprimées1,25 10

-23base de la deuxième couche

de marnes et caillassesmarnes et caillasses saines 1,25 20

12sable de Beauchamp 4,5

Afin de dimensionner les pieux de la culée, nous allons déterminer les efforts s’exer-çant sur les pieux.

(1) SiG désigne le barycentre des tracés des têtes de pieux etxx′ l’axe perpendicu-laire à l’axe du pont. Calculer la position de G par rapport à l’axe xx’ passant parO, dans l’axe du pont et la position (le bras de levierdg) des files de pieux parrapport àG.

(2) Calculer les moments par rapport au barycentre pour les différents chargement.On rappelle que le transport des moments de l’axe passant parO à l’axe passantpar le barycentre G se fait par :

~M~Fv/G= ~M~Fv/O

+ ~GO ∧ ~Fv

(3) Calculer les efforts verticaux sur les files de pieux avant et arrière de la culée parla méthode analytique :

FV i =FV,total

npieux±

~M~Fv/G× dgi

npieux∑

i=1

d2gi

8 Géotechnique

Cette relation est valable dans le cas où les pieux sont de sections identiques, lasemelle de liaison est infiniment rigide et les pieux sont despoteaux élastiquesarticulés sous la semelle. Conclure sur la répartition des charges et la position dela file la plus chargée lorsque le bateau frappe la pile.

(4) Calculer la capacité portante d’un pieu de cette file. Déterminer le frottement laté-ral unitaire limiteqs et la contrainte de rupture relative au terme de pointequ. Endéduire la charge limite de frottement latéralQsu, la charge limite de pointeQpu

et la charge limite totaleQu. On vérifie à l’ELU accidentelQref 6 Qu/1, 20.

(5) Vérifier le comportement à la traction si nécessaire (Qref 6 Qtc/1, 40 avecQtc = 0, 7.Qsu).

On s’intéresse à présent à la poussée latérale sur les pieux.Au niveau du dimen-sionnement, c’est l’estimation des déplacements de la pilesous le choc d’une bargequi apparaît comme le problème essentiel. Il importe de s’assurer que la raideurde la fondation au niveau des tabliers distants d’à peine15 cm, est suffisante pouréviter que le nouveau viaduc percute l’ancien. Dans cette approche pessimiste, onconsidère que la couche supérieure de marne saine est décomprimée. On supposeque l’effort se répartit également entre les pieux (ce qui n’est pas vrai) et que la culéene subit qu’une translation horizontale. Le coefficient de réaction du sol par unité delongueur du pieu est établi à partir de l’expression proposée par Ménard.

(6) Rappeler quelles sont les bases de cette formule. Quelleest la signification ducoefficientα ? Quelle valeur convient-il de lui attribuer pour un terrainmarneux ?Calculer la valeur que prend ce coefficient de réaction dans le cas présent.

(7) On considère un pieu soumis au niveauz à un déplacement latéralδ(z) et mobi-lisant donc à ce niveau une réaction latéraleKf (z).δ(z). En écrivant l’équilibrehorizontal d’une longueur élémentairedz de pieu, établir l’équation d’équilibredu pieu. Indiquer la solution générale qu’admet cette équation et préciser lanotion de longueur de transfert. Calculer sa valeur avecEb = 20 GPa.

(8) Considérant la longueur du pieu rapportée à sa longueur de transfert, caractérisersa rigidité relative. On fait par ailleurs l’hypothèse que la couche de marnes etcaillasses saines encastre suffisamment le pieu, bloquant les déplacements. Entolérant une légère approximation comme une variation linéaire de l’effort tran-chant avec la déformée, proposer une forme simplifiée de l’équation d’équilibredu pieu.

(9) Calculer le déplacement horizontal de la semelle et estimer les moments deflexion subis par les pieux à leur encastrement.

2 • Fondations profondes 9

SOLUTION DE L’EXERCICE

Solution 2.1.

(1) SiG désigne le barycentre des tracés des têtes de pieux etxx′ l’axe perpendicu-laire à celui du pont. La position deG par rapport à l’axexx′ passant parO, dansl’axe du pont et la position (le bras de levierdg) des files de pieux par rapport àG sont :n.xG/O =

∑

xi/OxG/O = 1/10.(2× 2, 25 + 4, 50× 1 + 6, 75× 2 + 9× 1 + 11, 25× 2) = 5, 4 m

caillasses saines.

Figure 4 : vue en plan de l’ouvrage

profondeur

(m)

E

(MPa)

p

0 sommet de la semelle 3,6

-4

-6

-9 base de la couche de sable marnes et caillasses saines 1,60

base de la première couche

de marnes et caillasses

marnes et caillasses

décomprimées

base de la deuxième couche

de marnes et caillasses

-33 limite d’investigation

FIGURE 2.2 Vue en plan de l’ouvrage

En remarquant que lesxi sont multiples de2, 25 m, le tableau?? résume lesdifférentes positions.

Tableau 2.2 Positions des pieux

File - 1 2 3 4 5 6

xi/O m 0 2,25 4,5 6,75 9 11,25

dg=xi/G = xi/O - xG/O m -5,4 -3,15 -0,9 1,35 3,6 5,85

Pieux avants Pieux arrières

(2) Le calcul des moments par rapport au barycentre pour les quatre chargementsest donné dans le tableau 2.3. La descente de charge est logiquement centréesur l’axe de la pile localisé entre 2 pieux et distant de1, 35 m du centre de gravité.

10 Géotechnique

Tableau 2.3 Valeurs des efforts et moments

MN MN MN.m MN.m

Descente de charge 35 - 35 x (5,40+1,35) = 236,5 35 x 1,35 = 47,25

Choc d'un bateau - 15 120 120

Somme 35 15 356,5 167,25

VF�

HF�

O

FM �

�

G

FM �

�

(3) Les efforts verticaux sur les files de pieux avant et arrière de la culée sont calculéspar la méthode analytique. La relation donnée est valable dans le cas où les pieuxsont de sections identiques, la semelle de liaison est infiniment rigide et les pieuxsont des poteaux élastiques articulés sous la semelle.npieux∑

i=1

d2gi = 2×(−5, 4)2+2×(−3, 15)2+(−0, 9)2+2×1, 352+3, 62+2×5, 852

npieux∑

i=1

d2gi = 164 m2

Le tableau 2.4 résume les valeurs d’efforts.

Tableau 2.4 Efforts verticaux par file

File - 1 2 3 4 5 6

MN 0 2,25 4,5 6,75 9 11,25

Pieux avants Pieux arrières

iVF

�

(4) Les pieux seront donc fichés dans les marnes et caillassessaines sur3 m. Cal-culons le terme de pointe à partir des règles pressiométriques. L’effort de pointedans la marne saine est :Qpu = A.kp.pLM = (π ×D4/4)× 1, 45 × 1, 25 = 2, 05 MN

Le frottement latéral est calculé en prenant en compte :

• la couche de sable (courbeQ2, pLM = 4, 5 MPa soit fsol = 0, 1 MPa,αpieu−sol = 1, 4, qs = 0, 14 MPa)

• la couche de marne saine (courbeQ4, pLM = 1, 6 MPa soitfsol = 0, 092 MPa,αpieu−sol = 1, 5, qs = 0, 138 MPa)

• la couche de marne décomprimée (courbeQ4, pLM = 1, 25 MPa soitfsol = 0, 088 MPa,αpieu−sol = 1, 5, qs = 0, 132 MPa)

• la couche de marne saine (courbeQ4, pLM = 1, 25 MPa soitfsol = 0, 088 MPa,αpieu−sol = 1, 5, qs = 0, 138 MPa)

2 • Fondations profondes 11

Qsu = P.∑

(qsi.hi) = 10, 20 MN

Nous avons pour chacun des deux pieux de la file aval :Qref = 9,472 = 4, 73 MN.

La vérification de l’état limite amène :Qref <Qpu+Qsu

1, 44, 73 < (2, 05 + 10, 20)/1, 4 = 8, 75, le système de fondation est acceptable.

(5) Qtc = 0, 7.Qsu = 0, 7 × 10, 20 = 7, 14 MN

On doit vérifier :Qref <Qtc

1, 402 < 7, 14, le système de fondation est acceptable.

(6) La formulation du coefficient de réaction proposée par Ménard est dérivée de lathéorie de l’élasticité, des éléments de correction empiriques ayant par ailleurs étéintroduits. Ces corrections permettent, d’une part, de différencier deux parties ausein du massif de sol, une partie étant principalement sollicitée en compressionvolumique tandis que la deuxième est principalement sollicitée en cisaillement,et, d’autre part, de tenir compte du fait que le comportementdu sol est non li-néaire. Le coefficientα introduit un caractère non linéaire du comportement dusol. Pour un coefficientα différent de l’unité, le coefficient de réaction du sol surla structure ne varie plus inversement avec la dimension de la structure, résultatqui serait obtenu pour un comportement élastique linéaire du sol, mais diminuemoins vite quand la dimension de la structure augmente.Dans le cas des marnes décomprimées oùEM = 10 MPa etpLM = 1, 25 MPa,α = 1/2.Dans le cas présentB = 1, 20 m, on trouve pour une sollicitation de courte duréeKf = 7, 38 MPa.

(7) La variation d’effort tranchant entre le niveauz et le niveauz + dz est égale à lasomme des réactions mobilisées latéralement par le sol :T (z + dz)− T (z) = −Kf (z).δ(z).dz, la réactionr du sol étant compté négati-vement car venant s’opposer au déplacement du pieu.

CommeT = EId3δ

dz3, il vient : EI

d4δ

dz4+ = Kf (z).y(z)

OùE et I désignent respectivement le module d’élasticité et le moment quadra-tique du pieu. Cette équation admet alors comme solution générale :

δ(z) = e−

zl0 .

(

A. cosz

l0+B. sin

z

l0

)

+ ezl0 .

(

C. cosz

l0+D. sin

z

l0

)

Avec la longueur de transfertl0 = 4

√

4.E.I

Kf= 5, 76 m

12 Géotechnique

(8) Pour les pieux de la rangée arrière, la longueur du pieu est de 20 m, soit su-périeure à trois fois la longueur de transfert. Le comportement du pieu dansles marnes peut donc être considéré comme celui d’un pieu souple ou long. Lecomportement à la base de la couche de marne serait indépendant des conditionsimposées en tête.

Si l’encastrement du pieu dans les marnes saines est complet, on aδ(z) = δ′(z) = 0à l’encastrement.

Si z est compté positivement depuis la tête du pieu, le termee−zl0 devient proche

de zéro à la base de la couche de marnes (e−zl0 = 0, 02 pourz = 20 m).

Si l’on néglige le terme gouverné pare−zl0 , la déformée du pieu s’écrit, au voisi-

nage du bas de la couche de marne :

δ(z) = ezl0 .

(

C. cosz

l0+D. sin

z

l0

)

La conditionδ(z) = δ′(z) = 0 à l’encastrement avec la couche de marnes conduitàC = D = 0. L’équation d’équilibre du pieu, dans la couche de marnes décom-primées, s’écrit donc :

δ(z) = e−

zl0 .

(

A. cosz

l0+B. sin

z

l0

)

(9) La condition aux limites en tête du pieu estδ′(z) = 0 : encastrement dans la pile.

On a donc :δ′(z) =1

l0e−

zl0 .

(

(−A+B). cosz

l0− (A+B). sin

z

l0

)

Cela conduit àA−B = 0

L’effort tranchant s’exprimeT = EI.d3δ

dz3d’où après avoir dérivé trois foisδ(z),

on trouve :

δ′′′(z) =2

l30e−

zl0 .

(

(A+B). cosz

l0+ (−A+B). sin

z

l0

)

d’où T (z = 0) = EI. 2l30

.(A+B)

OrA = B et l0 = 4

√

4.E.IpKf

donc

A =T0

Kf .l0

Ce qui permet de calculδ(z = 0) =T0

Kf .l0= 0, 035 m

AvecT0 =FH

npieux=

15

10= 1, 5 MN

2 • Fondations profondes 13

Le moment fléchissant en tête de pieu s’exprime pour sa part à l’aide de la dérivéeseconde d’où on a tiré

M0 = M(z = 0) = −EI.2.A

l20=

T0.l02

= 4, 3 MN.m

La contrainte maximale due à ce moment de flexion est, dans la fibre la plus

sollicitée (v = 0, 6 m) : σ =M.v

I= 70, 7 MPa. Ce qui est trop élevé par rapport

à la contrainte admissible du béton.