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Grandeurs

« le mètre est la dix millionième partie du quart du méridien terrestre » La loi du 18 germinal an III (7 avril 1795)

I. Grandeurs composées

On appelle grandeur toute propriété physique qui peut être quantifiée par la mesure ou par le calcul, et dont les différentes valeurs possibles s’expriment à l’aide d’un nombre.

Pour mesurer la plupart des grandeurs, on fixe une valeur comme unité de référence à laquelle on comparera les grandeurs de même nature. Pour une grandeur donnée, on peut fixer plusieurs unités.

Exemples

Grandeur Unités

Longueur

mètre (m) et multiples / sous-multiples (décimètre, centimètre, kilomètre, etc.)

yard, pied, pouce, miles (1,609 km), mille nautique (1,853 km), etc.

unité astronomique (u.a. = 1,51011m), année-lumière (a.l. =

9,461012 km), parsec…

Temps seconde, minute, heure

Angle degré, radian, grade

Masse Gramme (g), quintal, tonne

Température degré Celsius, degré Fahrenheit, Kelvin

Énergie joule

Puissance électrique watt

Certaines grandeurs sont liées entre elles par des relations mathématiques. En particulier, celles qui s’expriment à partir d’autres grandeurs sont appelées grandeurs composées. Leurs unités de mesure s’expriment à partir de celles des grandeurs de base.

A. Grandeurs quotients

Définition Une grandeur quotient est obtenue en divisant deux autres grandeurs.

1. Vitesse moyenne

La vitesse moyenne v d’un mobile sur un trajet est obtenue en divisant la distance d parcourue par le temps t de parcours.

Si d s’exprime en mètre (m) t en seconde (s)

v s’exprime en mètre par seconde noté m/s ou m.s– 1

Si d s’exprime en kilomètre (km) t en heure (h)

v s’exprime en kilomètre par heure noté km/h ou km.h– 1

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En résumé :

Vitesse moyenne

v = dt

Unités (exemples)

d : distance m km

t : temps s h

v : vitesse moyenne m.s– 1 km.h– 1

Remarque

D’une façon générale, quand on calcule avec des grandeurs, les unités de grandeurs peuvent être intégrées aux calculs. L’unité obtenue par le calcul, qui doit être cohérente avec celle de la grandeur calculée, permet ainsi de vérifier la justesse de la formule utilisée. Exemple Une voiture parcourt sur autoroute 325 km en 2 h 36 min. Quelle est sa vitesse moyenne ? Soit d la distance parcourue

d = 325 km t le temps de parcours

t = 2 h 36 min = 2 h + 3660

h = 2 h + 0,6 h

= 2,6 h v la vitesse moyenne de la voiture

v = dt

= 325 km

2,6 h

v = 125 km.h– 1

Conversion en m.s– 1 :

v = 125 km

1 h =

125 000 m3 600 s

= 1253,6

m.s– 1

v 34,7 m.s– 1

2. Masse volumique

La masse volumique ρ d’un corps est obtenue en divisant sa masse m par son volume v. C’est la masse par unité de volume.

Si m s’exprime en gramme (g) v en centimètre cube (cm3)

ρ s’exprime en gramme par centimètre cube noté g/cm3 ou g.cm– 3

Si m s’exprime en kilogramme (kg) v en mètre cube (m3)

ρ s’exprime en kilogramme par mètre cube noté kg/m3 ou kg.m– 3

En résumé :

Masse volumique

ρ = mv

Unités (exemples)

m : masse g kg

v : volume cm3 m3

ρ : masse volumique g.cm– 3 kg.m– 3

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B. Grandeurs produits

Définition Une grandeur produit est obtenue en multipliant d’autres grandeurs.

1. Energie électrique

L’énergie E consommée par un appareil électrique est obtenue en multipliant la puissance P de l’appareil par le temps t de fonctionnement. Si P s’exprime en watt (W) t en heure (h) E s’exprime en watt × heure que l’on noterait W.h

On définit en fait une nouvelle unité : le wattheure, noté Wh

En résumé :

Energie

E = P × t

Unités (exemples)

P : puissance W

t : temps h

E : énergie Wh

Exemple : On oublie d’éteindre une cafetière électrique de puissance 900 W pendant 2 jours. Quelle est l’énergie électrique consommée ? Soit P la puissance de la cafetière

P = 900 W t le temps de fonctionnement

t = 2 jours = 2 × 24 h = 48 h E l’énergie électrique consommée

E = P × t = 900 W × 24 h E = 43 200 Wh

E = 43,2 kWh

II. Un cas particulier : aires et volumes

Une aire a est obtenue en multipliant une longueur par une longueur : c’est donc une grandeur produit.

Si les longueurs s’expriment en mètre (m) a s’exprime en mètre × mètre que l’on noterait m.m On préfère utiliser le terme mètre carré et la notation m2.

Un volume v est obtenu en multipliant entre elles trois longueurs, ou en multipliant une aire par une longueur : c’est donc une grandeur produit.

Si les longueurs s’expriment en mètre (m), les aires en mètre carré (m2) v s’exprime en mètre × mètre × mètre que l’on noterait m.m.m ou en mètre × mètre carré que l’on noterait m.m2

On préfère utiliser le terme mètre cube et la notation m3.

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III. Agrandissement, réduction

Définition (rappel)

Si l’on multiplie les longueurs d’une figure du plan ou de l’espace par un nombre strictement positif k, on en obtient :

- un agrandissement si k > 1 - une réduction figure si 0 < k < 1

k est appelé rapport (ou échelle) de l’agrandissement ou de la réduction.

Exemples

Soit un rectangle de longueur L et de largeur l. Son aire est : A = L × l Si l’on multiplie les dimensions du rectangle par un nombre positif k, on obtient un rectangle de longueur k × L, de largeur k × l et d’aire A’ = k × L × k × l A’ = k2 × L × l A’ = k2 × A

Soit un disque de rayon r. Son aire est A = π r2. Si on multiplie le rayon du disque par un nombre positif k, on obtient un disque d’aire A’ = π (k × r)2 A’ = π k2 r2 A’ = k2 × A

Propriété (admise)

Si les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre positif k, son aire est multipliée par k2.

Exemples

Soit un parallélépipède rectangle de dimensions L, l et h, de volume V = L × l × h Si l’on multiplie par un nombre k ses dimensions, on obtient un parallélépipède rectangle de volume V’= k × L × k × l × k × h V’= k3 × L × l × h V’= k3 × V

Soit une pyramide de hauteur h et d’aire de base B ; son volume est V = 13

× B × h

Si l’on multiplie par un nombre k ses dimensions, on obtient une pyramide dont : - la hauteur est égale à k × h - l’aire de base est égale à k2 × B

Son volume est donc égal à V’ = 13

× k2 × B × k × h

V’ = k3 × 13

× B × h

V’ = k3 × V

Propriété (admise) :

Si les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre positif k, son volume est multiplié par k3.