IfremerDépartement Essais et Recherches Technologiques Service Hydrodynamique et Océano-météoMarc Prevosto

Mai 1988 - DITI/SOM 88.198

Groupage de vagues et excitation basse fréquence

Groupage de vagues et excitation basse fréquence

Marc Prevosto

Groupage de vagues et excitation basse fréquence 1

Groupage de vagueset excitation basse fréquence

IntroductionLa réponse à la houle de structures souples (structure grande profondeur, riser),c'est-à-dire comportant des modes de vibrations à basse fréquence (inférieure à lafréquence de houle), ou de systèmes oscillants basse fréquence (plutôt du type modede corps rigide), - (ancrage, amarrage, colonne articulée...) - pose des problèmesquant à une bonne prédiction de ses caractéristiques.

Ces problèmes sont de plusieurs types :

• choix d'un modèle de houle adapté à l'analyse des réponses basses fréquences ;• choix d'un modèle d'interaction houle-structure ;• élaboration de procédures de simulation (numérique ou bassin) ou de prédiction.

Si l'on s'intéresse au modèle d'interaction du type force de dérive, dans lequel laforce appliquée serait proportionnelle au carré de l'enveloppe de l'élévation de lahoule, le phénomène empiriquement connu de "groupage de vagues" revêt uneimportance considérable étant donné son caractère apparemment "périodique".

Si l'on retranscrit ici quelques remarques faites dans [6] :

"En mer, on peut remarquer que les vagues arrivent souvent par paquets de fortesvagues suivies de plus faibles et non pas de manière hachée comme le voudrait ladescription habituelle de la houle irrégulière aléatoire. L'excitation b.f. va alors fluc-tuer à la périodicité des trains de vagues, c'est-à-dire comme la période de l'envel-oppe des hauteurs de vagues". "... La réponse va dépendre fortement de lapériodicité des fluctuations de l'excitation, en particulier en cas de groupage devagues, ainsi que de la période propre du système. Leur influence devient par-ticulièrement importante lorsque ces périodes coïncident : il se produit unphénomène de résonance,..."

On est amené à se poser un certain nombre de questions sur le phénomène degroupage de vagues tel que défini subjectivement par un observateur :

Groupage de vagues et excitation basse fréquence

2 Groupage de vagues et excitation basse fréquence

• Est-il ou non inscrit dans la description habituelle de la houle irrégulière aléa-toire (superposition de houles d'Airy), et ceci quels que soient le site, l'état demer ?

• Qu'entend-t-on par périodicité des fluctuations ? Est-elle reliée à une notion derésonance ?

Le but de cette étude a été d'apporter des éléments de réponses à ces différentesquestions par le biais, entre autre, de la littérature existante sur le sujet, en y inclu-ant les problèmes posés par la simulation et l'étude de la réponse à des sollicitationstype force de dérive.

On se reportera avec intérêt à une étude bibliographique déjà menée par EDF pourle compte du Service Central Technique des Ports Maritimes et Voies Navigables[2].

Validation du modèle superposition de houles d'Airy

Groupage de vagues et excitation basse fréquence 3

Validation du modèle superposition de houles d'AiryLorsque l'on s'intéresse au contenu basse fréquence des sollicitations, il faut biendifférencier deux phénomènes :

• un contenu basse fréquence de la houle elle-même (houle non linéaire) qui, sielle est issue d'un terme quadratique, sera reliée à l'enveloppe de l'élévation dela houle et donc aux caractéristique

• un contenu basse fréquence dû au modèle d'interaction non linéaire.

ces deux phénomènes pouvant avoir des effets simultanés.

Houle non linéaire

Le premier de ces phénomènes a été analysé dans [8] où est proposé un modèle dehoule basse fréquence :

(1)

(2)

avec , et les coefficients de Fourier de l'élévation de lahoule et une fonction de transfert donnée en figure 1.

Dans [10], une comparaison entre ce modèle et une mesure du contenu bassefréquence de l'élévation de houle par radar a été faite dans la partie danoise de laMer du Nord, par une profondeur d'eau de 40 m. Les durées d'acquisition étaient de70 min et les Hs entre 6 et 7 m.

Une bonne concordance a été obtenue (figures 2a et 2b) entre la mesure et lemodèle.

On remarque que dans le cas d'un spectre étroit, une approximation de peutêtre faite, en supposant .

On obtient donc une relation simple entre la composante basse fréquence du carréde l'élévation et la composante basse fréquence de l'élévation, ce qui a été vérifiéexpérimentalement par Sand [10] (figure 3).

Une partie des caractéristiques de cette composante non linéaire de la houle pourradonc être déduite de caractéristiques du contenu basse fréquence du carré de l'élé-vation qui seront étudiées dans la suite de l'étude.

Carré de l'élévation, carré de l'enveloppe

Le carré de l'élévation correspondant à la convolution de la transformée de Fourierdu signal et le carré de l'enveloppe à la convolution de cette même transforméeone-sided, il y a équivalence entre le contenu basse fréquence de la première et dela seconde jusqu'à une fréquence : , étant la fréquence en dessous delaquelle la transformée de Fourier peut être considérée comme nulle :

(3)

Les caractéristiques statistiques étant identiques si l'on est capable d'identifiereffectivement une partie basse fréquence, c'est-à-dire si :

ξ t( ) ξnm t( )n m,∑=

Gnm f ∆f,( ) anam bnbm ∆ωnmt( )cos ambn anbm–( ) ∆ωnmt( )sin+ +( )n m,∑=

∆ωnm ωn ωm–= an bnGnm f ∆f,( )

ξ t( )Gnm f ∆f,( ) Gnm fp ∆f,( )=

f 2fbf= fbf

Fη f( ) 0 = f 0 fbf,[ ]∈,

Groupage de vagues et excitation basse fréquence

4 Groupage de vagues et excitation basse fréquence

(4)

avec densité spectrale de l’élévation.

Dans ce cas là :

(5)

le signal analytique associé :

(6)

et l’enveloppe :

(7)

(8)

où indique la partie basse fréquence

Validation expérimentale sur les caractéristiques des groupes

Un certain nombre d'études ont été menées pour valider le modèle processus gauss-ien de la houle en termes des paramètres statistiques de hauteur de vagues, degroupe de vagues, de l'enveloppe, ...

• Si l'on suppose que l'élévation de la houle est un processus gaussien, on sait que,dans le cas de spectre étroit, les hauteurs de vagues (ou l'enveloppe) suivent uneloi de Rayleigh. Certaines études ont été menées pour comparer la loi empir-ique avec cette loi théorique [4], [7]. Elles ont abouti à une bonne coïncidence.

• Dans [1], les probabilités conditionnelles de hauteur de vagues successives sontétudiées par comparaison entre un calcul théorique basé sur un modèle gaussienet un spectre JONSWAP d'une part et des enregistrements Mer du Nord d'autrepart. Une bonne concordance est obtenue entre ces deux résultats pour ce quiest de la corrélation des hauteurs de deux vagues successives, alors que pourdeux vagues séparées d'une vague, l'expérimentation donne une quasi-indépendance (figure 4). Ces résultats ont été confirmés par les études de [9].

• L'étude de la fonction de corrélation empirique de l'élévation a été analysée dans[9] et a montré que l'observation d'une remontée dans cette fonction (correspon-dant à une fréquence prépondérante de groupes) n'est pas significative étantdonné l'erreur d'estimation de ces valeurs (figure 5).

• L'hypothèse de phase aléatoire, sous-jacente au modèle gaussien, a été testée etconfirmée dans [9]. Partant d'une base de données de 120 séquences, il aobservé une distribution identique des facteurs de groupage (corrélation deshauteurs de deux vagues successives) avec les séquences initiales ou avec lesmêmes séquences auxquelles a été imposée une phase aléatoire. Ceci est con-traire aux idées exposées dans [3] et [11] où la modélisation choisie permet, parl'intermédiaire d'une phase non aléatoire, de générer des facteurs de groupagesdifférents pour un même spectre d'élévation.

En résumé, on peut dire que les études de comparaison entre des paramètres statis-tiques obtenus à partir de mesures d'élévation de houle et ceux obtenus à partir d'un

ωi ωj– /Sηη ωi( ) 0≠ Sηη ωj( ) 0≠,{ }

∩ωi ωj+ /Sηη ωi( ) 0≠ Sηη ωj( ) 0≠,{ }

∅=

Sηη

η t( ) Fη f( )→ η2 t( ) Fη f( ) Fη f( )⊗→,

ηa t( ) η t( ) iH η t( )( )+= Fηaf( )→

2Fη f( ) f 0>,

Fη f( ) f = 0,

0 f 0<,

=

env2 t( ) ηa t( ) 2 ηa t( )ηa t( )= =

env2 t( ) Fηaf( ) Fηa

f–( )⊗→

2 Fη f( ) Fη f( )⊗( )b.f.→

( )b.f. ωi ωj– /Sηη ωi( ) 0≠ Sηη ωj( ) 0≠,{ }

Validation du modèle superposition de houles d'Airy

Groupage de vagues et excitation basse fréquence 5

modèle de houle gaussienne par superposition de houles d'Airy n'ont pas permisd'infirmer ce modèle et terme de groupage de vagues.

Cependant la confirmation d'un modèle est rendue difficile par le fait que lesséquences disponibles sont de courte durée par rapport aux périodes desphénomènes étudiés, alors que ces durées ne sont pas toujours faibles par rapportaux durées de stationnarité de la houle (exprimée en terme de variance) [5].

Validation expérimentale sur le spectre basse fréquence

Période de groupe - Fréquence de résonance

Si l'on considère un modèle spectral à bande étroite rectangulaire et une hypothèsede phase aléatoire, on génère bien un phénomène de groupage de vagues dont lescaractéristiques varient avec la largeur de bande (figures 6a et 6b).

On voit apparaître ainsi une période prépondérante du groupe (sur le signal lui-même, ou sur son enveloppe), que l'on retrouve lorsque l'on calcule la loi de distri-bution empirique de la variable durée entre deux maxima de l'enveloppe (figure 7).

Ayant pris une hypothèse de phases aléatoires, on sait que le spectre du carré del'enveloppe est monotone décroissant et que donc il n'existe pas de fréquence spec-trale prépondérante correspondant à cette période de groupe. Ceci est très impor-tant car il implique que la réflexion faite dans l'introduction sur un quelconquephénomène de résonance n'aurait pas lieu d'être, contrairement aux modèles choisisdans [3] et [11]. Cependant, une telle remarque n'est valable que si l'on raisonne enterme d'énergie moyenne et il serait intéressant d'en étudier le bien-fondé en termede loi des maxima.

Dans ce qui suit, une telle décroissance monotone est expérimentalement con-firmée.

Spectre du carré de l'élévation

Traitements du MARIN. Une analyse de spectre du carré de l'élévation a été faitepar J. PINKSTER du Maritime Research Institute Netherlands sur des enregistre-ments de la tempête Camille.

La durée de ces enregistrements était d'une heure et les Hs allaient de 3 à 13 m.

Il a comparé ces spectres à ceux calculés à partir d'une convolution spectrale. Il aainsi obtenu une bonne concordance entre ces deux calculs (figures 8.1 à 8.14).

Si sur certaines de ces figures on voit apparaître un pic d'énergie, il faut bien savoirque l'estimation du spectre du carré de l'enveloppe a été faite sur une vingtaine defenêtres et que donc l'écart type sur chaque valeur est de l'ordre de fois lavaleur exacte elle-même (du moins dans le cas gaussien, ce qui n'est pas le cas ici,mais l'ordre de grandeur est vérifié expérimentalement).

2.4.2.2.Traitements IFREMER. Les mêmes types de traitements ont été effectuéssur plus d'une centaine de séquences d'élévation en Mer du Nord (Champ deFrigg).

Les séquences étaient ici de 20 min, les Hs allant de 1 m à 10 m.

Tous les résultats sont rassemblés dans un document en annexe. Si l'on observequelques-uns de ces résultats (figures 9.1. à 9.9), on remarque comme précédem-ment une assez bonne coïncidence au su de la variance de l'estimateur (12 fenêtres

1 20⁄

Groupage de vagues et excitation basse fréquence

6 Groupage de vagues et excitation basse fréquence

de moyennage). On a porté de plus sur ces figures un estimateur du spectre du carrédu signal avec phases aléatoires, c'est-à-dire :

(9)

avec variable aléatoire uniformément répartie entre 0 et et exprimant latransformation de Fourier.

On observera en figure 10 la variabilité de l'estimateur spectral lorsque son calculest fait sur dix réalisations de phases aléatoires.

De plus, les écarts relatifs entre le spectre convolué et les estimateurs spectraux surle carré de l'élévation et sur la même réalisation avec phases aléatoires ont ététracés figures 11a à 11d, ceci pour différents premiers points du spectre (le point 1correspond à ). On ne voit pas apparaître de comportement particulier del'un par rapport à l'autre.

Une tentative d'amélioration de l'estimation a été faite par moyennage sur une suitede séquences aux caractéristiques spectrales très proches (figure 12). On peut voir(figure 13) que la comparaison ainsi obtenue entre le spectre du carré de l'élévationet la convolution du spectre est bonne.

Caractéristiques spectrales : Elévation - Carré de l'élévation

Si l'on prend donc comme hypothèse de départ celle de superposition de houlesd'Airy avec phases aléatoires, il serait intéressant de trouver des relations simplesentre les caractéristiques du spectre de houle et celles du spectre d'enveloppe aucarré ou partie basse fréquence de l'élévation du carré.

En traçant en échelle logarithmique le spectre basse fréquence sur les traitementsdu MARIN et le l'IFREMER, on observe jusqu'à la fréquence de la houle un com-portement linéaire. Ceci amènerait donc à prendre comme modèle du spectre bassefréquence :

(10)

On peut démontrer que cette fonction est égale au résultat d'une opération de con-volution :

(11)

Les caractéristiques d'un tel modèle de houle seraient :

(12)

(13)

(14)

ηp.a. t( ) F1–

Fη f( ) eiφ f( ){ }=

φ f( ) 2π F

f 0Hz=

Sη2η2 f( ) k2

2β------e

fβ---–

=

S f( ) S f–( )⊗ S f( ),

kβ---e

f α–β

-----------– f α≥,

0 f α<,=

m0 S f( ) fd0

∞

∫ k= =

m1 S f( )f fd0

∞

∫ k α β+( )= =

µ2 S f( ) fm1

m0------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2fd

0

∞

∫ kβ2= =

Validation du modèle superposition de houles d'Airy

Groupage de vagues et excitation basse fréquence 7

On a donc une relation directe entre le moment centré d'ordre deux normaliséet la pente du logarithme du spectre basse fréquence .

Ceci nous permet d'envisager un paramètre largeur de bande différent de ceux com-munément utilisés. Ceux-ci ont comme inconvénients d'être très sensibles à deserreurs de biais sur l'estimée spectrale (utilisation de moments spectraux d'ordreélevés) et de ne pas être invariant par translation du spectre. On a donc choisi deprendre un paramètre de largeur de bande absolu (en Hz) calculé sur le spectre cen-tré au carré.

(15)

Dans le cas d'un modèle de fonction exponentielle :

(16)

de paramètres ,

(17)

d'où :

(18)

Ce paramètre de largeur de bande a été calculé sur la famille d'enregistrements déjàtraités par l'IFREMER.

L'évolution de ce paramètre en fonction de la pente calculée aux moindres carréssur les 8 premiers points des estimées spectrales est visualisée figure 16. On ret-rouve ici une relation proche de celle obtenue avec un spectre exponentiel aveccependant un biais.

(19)

En fait, ce biais est dû à une troncature du spectre d'élévation qui a été indispensa-ble pour les treize premières séquences sur lesquelles existait un problème demesure (voir figure 17) par rapport aux autres enregistrements sains (figure 18).

Le même résultat sur les enregistrements sains non tronqués est donné figure 19.Sur les figures 16 et 19 est tracée en pointillé la droite (pente)-1 = bw.

L'autre caractéristique du spectre basse fréquence qui est sa valeur à 0Hz est don-née par l'intégrale du carré du spectre de l'élévation.

Le modèle ainsi obtenu pour le spectre basse fréquence est donc :

µ2 m0⁄ 1 β⁄

bw

4 S2 f( ) fm1

m0------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2fd

0

∞

∫m0

2----------------------------------------------=

S2 f( ) k2

2β------2

β---e

2 f α–β

-----------–=

α β 2⁄

S2 f( ) fm1

m0------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2fd

0

∞

∫ S2 f( ) f α β+( )–( )2 fd0

∞

∫ S2 f( ) f α β2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞– β2---–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2fd

0

∞

∫= =

S2 f( ) f α β2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞–⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

fd0

∞

∫ β S2 f( ) f α β2---+⎝ ⎠

⎛ ⎞–⎝ ⎠⎛ ⎞ fd

0

∞

∫– β2

4----- S2 f( ) fd

0

∞

∫+=

k2

2β------ β

2---⎝ ⎠⎛ ⎞

20– β2

4-----+ k2β

4--------= =

bwexp β=

bw (pente) 1– biais+=

Groupage de vagues et excitation basse fréquence

8 Groupage de vagues et excitation basse fréquence

Pour comparaison, en figure 20 a été représenté le paramètre de GODA.

On voit qu'ici une relation nette n'existe plus entre les deux paramètres.

A titre d'information, les figures 21, 22 et 23 représentent les relations : largeur debande - fréquence centrale ( ), largeur de bande - Hs, fréquence centrale -Hs.

Méthodes de simulation

Différents auteurs ont eu le souci de développer des moyens de simulation d'his-toriques d'élévation avec une enveloppe aux caractéristiques connues et un spectrede houle donné [3], [11]. Ceci est bien sûr contraire aux hypothèses prises précé-demment (superposition de houle d'Airy avec phases aléatoires) qui lient de façonunique un spectre d'enveloppe à un spectre de houle.

Les études ont abouti à des spectres basse fréquence contenant une résonance (fig-ures 24 et 25), mettant ainsi en valeur des fréquences modales critiques de la struc-ture.

Dans [3] des modèles de spectre pour le SIWEH (Smoothed Instantaneous WaveEnergy History (Elévation au carré filtré par une fenêtre) ont été proposés et uneméthodologie de création d'historiques à partir de ces spectres a été élaborée.

Cependant aucune validation de tels modèles de simulation (probabilité d'occur-rence, lien avec caractéristiques de la houle) n'est donnée ni en terme d'énergiemoyenne, ni en terme de loi des maxima, ce qui rend aventureuse l'analyse desréponses de structures soumises à de tels efforts.

Sη2η2b.f.

f( ) 2 Sηη f( ) Sηη f( )⊗( )=

4 S2 f( ) fd0

∞

∫ ef

bw-------–

=

Qp

2 S2 f( )f fd0

∞

∫m0

2--------------------------=

m0 m1⁄

Conclusions

Groupage de vagues et excitation basse fréquence 9

ConclusionsLe but de cette étude a été de faire le bilan sur la connaissance du phénomène de"groupage de vagues" en ce qu'il est déterminant pour le dimensionnement destructures ou systèmes comportant des résonances à basse fréquence.

Avant d'élaborer des modèles de houles plus complexes que ceux habituellementutilisés (modèle gaussien, phases aléatoires), notre souci a été de savoir si desinformations expérimentales permettraient d'infirmer ces modèles. Dans le cas con-traire, il nous paraissait intéressant de travailler, en premier lieu, vers une meilleureprédiction du comportement basse fréquence (énergétique, maxima) en relationavec des données de houles réalistes et ceci s'appuyant sur les modèles de houlesclassiques.

Deux types de "validation" de ces modèles ont été réalisés :

• dans la littérature, principalement sur les caractéristiques statistiques des hau-teurs successives de vagues ;

• par le MARIN et IFREMER sur les caractéristiques du spectre basse fréquencedes termes quadratiques.

Dans cette deuxième optique, un modèle simple du spectre basse fréquence a étéélaboré. Ce modèle du type exponentiel a pu être paramétriquement relié à descaractéristiques du spectre de houle originel, sous forme d'un paramètre d'énergieet d'un paramètre de largeur de bande.

Un tel modèle ne fait pas apparaître de fréquence spectrale critique orientant deschoix de design, contrairement à l'impression première que donne la "périodicité"des groupes de vagues. Cependant, la définition d'une telle fréquence critique,absente en terme d'énergie moyenne, peut exister en terme de maxima et doit êtreétudiée.

Etant donné les périodes des phénomènes mis en jeu, une durée de stationnarité dela houle au vu du contenu basse fréquence devra être étudiée si l'on veut donner unsens à une prédiction du comportement dynamique. Cette étude pourrait s'appuyersur les paramètres énergie et largeur de bande définis précédemment (du moinspour ce qui est de l'énergie moyenne de la réponse), la pertinence de tels paramè-tres pour ce qui est des caractéristiques de lois des maxima devant être établie.

Groupage de vagues et excitation basse fréquence

10 Groupage de vagues et excitation basse fréquence

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