Sommaire

Remerciement

Introduction

I. Problme1 1. Calcul des dplacements et des rotations. 2. Les ractions aux appuis. 3. Vrification de lquilibre globale de la structure 4. Calcul des efforts internes dans tous les lments de la structure. 5. Vrification de lquilibre de chaque lment de la structure.

2

3

Remercierment

Au terme de ce modeste travail, nous tenons exprimer

notre

Finalement, nous tenons gratifier tous ceux qui ont

collabor de prs ou de loin la ralisation de ce travail.

Introduction

4

L'ingnierie des structures1 est un domaine de l'ingnierie

et plus particulirement du gnie civil, traitant de la

conception et de l'analyse des structures.

Une structure est soumise diffrentes actions,

permanentes ou variables dans le temps, statiques ou

dynamiques, de nature mcanique ou thermique, et sa

conception vise satisfaire certains critres vis--vis de ces

actions :

Scurit : sa rsistance, son quilibre et sa stabilit

doivent tre assurs avec une probabilit choisie ;

Performance : son fonctionnement et le confort

associs doivent tre garantis pour une dure

suffisante ;

Durabilit : la dgradation de la structure dans le

temps doit tre limite et matrise pour satisfaire les

deux premiers critres.

Les structures rencontres le plus frquemment sont les

btiments.

I. Problme1 6. Calcul des dplacements et des rotations.

Calcule des matrices lmentaires :

5

La matrice lmentaire est de la forme :

[K]=AE/L

La matrice lmentaire des lments : 1-2 ;2-3 ;5-4

[K12]=[K23]=[K54]=

La matrice lmentaire des lments : 1-5 ;2-4

[K15]=[K24]=

La matrice lmentaire des lments : 2-5 ;3-4

[K25]=[K34]=

6

La matrice lmentaire dlment : 1-4

[K14]=

La matrice de rigidit globale :

[K]=

La matrice de rigidit rduite :

7

[K]=

Calcul des dplacements :

8

2. Calcul des ractions aux appuis :

F1y =

9

3. Vrification de lquilibre globale de la structure

F1x+F4x+F3x=0

F1y+F4y+F3y=0

M1+M2+M3=0

4. Calcul des efforts internes

Element 1-2

S12 =

S12 =

10

S23 =

S23=

S23=

S23=

II. Problme2

Les donns :

E=1.6*103 Kpsi ;I=100 In4

11

Matrice de rigidit lmentaire dune poutre

[Kp] =EI

Matrice de rigidit lmentaire dellement 1-2

[KP12]=

Matrice de rigidit lmentaire dellement 2-3 :

[K23]=

12

Matrice de rigidit lmentaire du rosseur :

[Kr]=

Matrice de rigidit globale :

[K]=

Matrice de rigidit rduite

[k]=

Calcul des dplacements :

V2=8.77 in

=0

13

2. Calcul des ractions aux appuis

3. Vrification de lquilibre globale de la structure

R1+R3+Rr-40=0

M/1 =

4. Calcul des efforts internes

Les forces internes dans llment 1 -2

14

Donc

Les forces internes dans llment 1 -2

donc

5. Vrification de lquilibre interne dans chaque

lment

Llement1-2

fy1+fy2-20=0

M/1=fy2*20*12+m1-20*10*12=0

Llment 2-3

Fy2+fy3-20=0

M/3=fy2*20*12+m1-20*10*12=0

15

III. Problme 3

On a:

u1=0, v1=0, 1=0 ; u3=0,v3=0,3=0

Fx2=0, Fy2=0, M2=0

Matrice de rigidit lmentaire de llment 1est :

C=0,707 , S=0,707 , l1=14,14 ft =169 ,73 in

E /l1=176,75 kip/in

16

Alors k1

K1=

833,3 0 0 833,3 0 0

0 12,33 1110 0 12,33 1110

0 1110 133328 0 1110 66664,

833,3 0 0 833,3 0 0

0 12,33 1110 0 12,33 1110

0 1110 66664 0 1110 133328

La matrice de rigidit de llment 2 est :

C=1, S=0, l2=180 in

E/l2=166,66 kip /in

17

K2=

833,3 0 0 833,3 0 0

0 12,33 1110 0 12,33 1110

0 1110 133328 0 1110 66664

833,3 0 0 833,3 0 0

0 12,33 1110 0 12,33 1110

0 1110 66664 0 1110 133328

Fy2^ =-wl/2=-15 kip

Fy33=-15 kip

M2^=2000*152/12=450 k-in

M3^=-450k-in

Par assemblage de deux matrices lmentaire K1 et K2

On donne la matrice de rigidit de la structure dans le repre

globale K

On a

F KU

Avec

F : vecteur des forces extrieures

K : la matrice de rigidit de la structure dans le repre global

U : le vecteur dplacement

18

1 448,9 433 882 448,9 433 882 0 0 0

1 433 448,9 882 433 448,9 882 0 0 0

1 882 882 141400 882 882 70700 0 0 0

0 448,9 433 882 1282,2 433 882 833,3 0 0

2 2^ 433 448

2 2^

3

3 3^

3 3^

Fx

Fy

M

Fy Fy

M M

Fx

Fy Fy

M M

1 0

1 0

1 0

2

,9 882 433 461,23 228 0 12,33 1110 2

882 882 70700 882 228 274728 0 1110 66664 2

0 0 0 833,3 0 0 833,3 0 0 3 0

0 0 0 0 12,33 1110 0 12,33 1110 3 0

0 0 0 0 1110 66664 0 1110 133328 3 0

U

V

U

V

U

V

Avec Fy2 =0 et M2=0

Ce systme donne les valeurs des dplacements inconnues

suivantes :

2 0,0016

2 0,047

2 0,017

rad

V in

U in

Et les efforts extrieurs suivant :

1 433 2 448 2 882 2 12,10

1 882 2 882 2 70700 2 70,812

1 448,9 2 433 2 882 2 14,3

3 12.33 2 1110 2 15 17,57

3 1110 2 66664 2 3^ 588,86

3 14,29

Fy U V kip

M U V k in

Fx U V kip

Fy U kip

M V M k in

Fx k

Lquilibre global de la structure

19

1 2 0

1 2 0

3 300 1 1 3 120 1 ^ 2 / 2

4430 4416 0

Fx Fx Fx

Fy Fy Fy

Mo Fy M M Fx wl

Alors lquilibre global de la structure est vrifi

4. les efforts internes dans les lments de la structure sont

Fi=Ke*T*U

Avec Ke est la matrice lmentaire dans le repre local

avec C1=EA/l et C2=EI /l 3

Et T la matrice de transformation

20

Les efforts dans llment 1

C1=884 et C2=1,25

1 884 0 0 884 0 0 0,707 0,707 0 0 0 0

1 0 15 1272,6 0 15 1272,6 0,707

1 0 1272,6 143956 0 1272,6 71978,

2.2 884 0 0 884 0 0

2.2 0 15 1272,6 0 15 1272,6

2,2 0 1272,6 71978 0 1110 143956

fx

fy

m

fx

fy

m

0

0,707 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0,707 0,707 0 0,017

0 0 0 0,707 0,707 0 0,047

0 0 0 0 0 1 0,0016

La rsolution de ce systme nous a donn les rsultats suivant :

Fx1=18 ,74 kip

Fy1=-1,61 kip

M1=72,03 k-in

Fx2,2=18,74 kip

Fy2,2=1,61 kip

M2,2=-201,59 k-in

Les efforts dans llment 2

1 833,3 0 0 833,3 0 0 0,707 0,707 0 0 0 0

1 0 12,33 1110 0 12,33 1110

1 0 1110 132192 0 1110 66096

2.2 833,3 0 0 833,3 0 0

2.2 0 12,33 1110 0 12,33 1110

2,2 0 1110 66096 0 1110 132192

fx

fy

m

fx

fy

m

0

0,707 0,707 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0,707 0,707 0 0,017

0 0 0 0,707 0,707 0 0,047

0 0 0 0 0 1 0,0016

La rsolution de ce systme nous a donn les rsultats suivant :

Fx2,3=17,65 kip

Fy2,3=13,57 kip

M2,3=380 k-in

Fx3=-17,65 kip

21

Fy3=16,42 kip

M3=-664,59 K- in

conclusion

Ce Mini Projet est une occasion qui nous a permis de mettre en

application des concepts et des principes de base acquis aux tudes,

lamlioration de mes connaissances professionnelles et de