2gc3Cours HG v2014

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014

http://slidepdf.com/reader/full/2gc3cours-hg-v2014 1/90

Cours Hydraulique générale – ENIT 2

Chapitre 1 : Introduction

1. I NTRODUCTION

La mécanique des fluides est la science des lois de l’écoulement des fluides. Elle est la base

du dimensionnement des conduites de fluides et des mécanismes de transfert des fluides.

C’est une branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des

liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle comprend

deux grandes sous branches:

- la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos. C'est

historiquement le début de la mécanique des fluides, avec la poussée d'Archimède et l'étude

de la pression.

- la dynamique des fluides qui étudie les fluides en mouvement. Comme autres branches de

la mécanique des fluides.

On distingue également d’autres branches liées à la mécanique des fluides :

l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'aérodynamique, …Une nouvelle approche a vu le jour

depuis quelques décennies: la mécanique des fluides numérique (CFD ou Computational

Fluid Dynamics en anglais), qui simule l'écoulement des fluides en résolvant les équations

qui les régissent à l'aide d'ordinateurs très puissants : les supercalculateurs.

La mécanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines comme

l'ingénierie navale, l'aéronautique, mais aussi la météorologie, la climatologie ou encore

l'océanographie.

http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2886
























7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2. GENERALITES

1. Introduction

L’hydraulique est une branche de la mécanique des fluides (MDF) qui traite du

comportement des liquides (l’eau) au repos (hydrostatique) et en mouvement sans faire

intervenir les forces qui entre en jeu (hyrocinématique) et en tenant compte de ces forces

(hydrodynamique). La Figure 1, illustre la relation entre ces différentes branches de la

mécanique des milieux continus.

Dans l’établissement des principes de l’hydraulique, comme pour ceux de la MDF, certaines

propriétés des fluides jouent un rôle important, d’autres seulement un rôle mineur ou aucun

rôle du tout. En hydrostatique, c’est le poids spécifique qui est la propriété la plus

importante, tandis qu’en hydrodynamique, la densité et la viscosité sont les propriétés

dominantes. Quand il se présente une certaine compressibilité, on doit tenir compte des

principes de la thermodynamique. La pression de vapeur prend de l’importance quand

interviennent des pressions manométriques négatives et la tension superficielle influe sur les

conditions statiques et dynamiques dans les conduites étroites.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 1 : Branches de la MMC et de l’hydrodynamique.

2. Dimensions et unités

Les unités de base couramment utilisées sont réduites aux systèmes de grandeurs

fondamentales (M,L,T) en plus de la température :

Les unités de base couramment utilisées sont réduites à l’un des deux systèmes de grandeurs

fondamentales (M,L,T) soit (F,L,T) en plus de la température :

avec :

pour la force (f) : F (N)

pour la masse (m) : M (kg)

pour la longueur (l) : L (m)

pour le temps (t) : T (s)

pour la température () : (°K)

Mécanique des milieux continus MMC

Mécanique des fluides Mécanique des solides

Hydraulique Aérodynamique

Hydrostatique Hydrocinématique Hydrodynamique

Hydrodynamique des fluides

parfaits

Hydrodynamique des fluides

réels

Hydrodynamique de la couche

limite

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Tableau 1 : Grandeurs, et unités, systèmes (MLT).

Quantité Symbole M L T

Longueur (m) l L

Aire (m2) A L

2

Volume (m3) L

3

Vitesse (m/s) v L T-1

Accélération ou g (m/s2) a ou g L T

-2

Vitesse angulaire (rad/s) T-1

Force F M L T-2

Masse (Kg) m M

Poids volumique (N/m3) M L

-2 T

-2

Masse volumique (Kg/m3) M L

-3

Pression (Pa) P M L-1

T-2

Viscosité dynamique (Pa s) M L-1

T-1

Viscosité cinématique (m2/ s) L2 T

-1

Débit volumique (m3/s) Q L

3 T

-1

3. Définition d’une contrainte

Lorsque des solides sont soumis à des contraintes, ils vont initialement se déformer

(défor mation infinitésimale) mais pas de façon continue comme dans un écoulement.

D’autres matériaux comme par exemple de la boue, du goudron, du mastic ou du

dentifrice… ne sont pas facilement classifiables puisqu’ils se comportent comme des solide s

lorsque la contrainte appliquée est petite mais si cette contrainte dépasse une valeur critique,

ils s’écoulent comme un fluide. L’étude de telles substances est une science à part appelée

rhéologie et fait partie de la mécanique des fluides dite des fluides complexes.

Tous les fluides au repos peuvent être classés suivant leur réponse à cette contrainte

tangentielle. Soit une surface élémentaire A où s’exerce la force F agissant sur cette

surface et qui peut être décomposée en une force normale n F et une force tangentielle t F

(voir Figure suivante).

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 2 : Définition d’une contrainte appliquée sur une surface de volume fluide.

La force par unité de surface est appelée contrainte. La contrainte tangentielle est aussi

appelée contrainte de cisaillement. Les composantes de cette contrainte sont définies

comme :

la contrainte normale :

0lim n

A

F

A

(1)

la contrainte de cisaillement :

0lim t

A

F

A

(2)

Un fluide est défini comme une substance qui se déforme continuellement sous l’action

d’une quelconque contrainte de cisaillement (force par unité de surface) qui peut être créée

dès lors qu’une force tangentielle agit sur une surface quelle que soit l’amplitude de cette

contrainte. Si on considère deux plaques planes séparées d’une petite distance donnée (voir

Figure 3), l’une étant stationnaire et l’autre se déplaçant grâce à une contrainte appliquée sur

cette dernière, la contrainte tangentielle dans le fluide situé entre le s plaques dépend de sa

vitesse de déformation et s’annule lorsque la vitesse est nulle.

Figure 3 : Vue qualitative de la déformation d’un fluide après application d’une contrainte à la paroi supérieure.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



4. DEFINITIONS DES FLUIDES

Une question que l’on se pose souvent : quelle est la différence entre un solide et un fluide ?

Nous avons en général une idée vague de cette différence. Un solide est « dur » et pas facile

à déformer, tandis qu’un fluide est une matière molle et qui peut être facilement déformée

(on peut très simplement bouger dans l’air). Mais ces explications des diffé -rences entre un

solide et un fluide ne sont pas satisfaisantes d’un point de vue scientifique. Si l’on regarde

ces matières d’un point de vue moléculaire (voir Figure 4), on s’aperçoit que le solide (acier,

béton…) a des molécules rapprochées de façon très dense avec des forces de cohésion

intermoléculaires très grandes et qui permettent au solide de main-tenir sa forme initiale. En

revanche, pour des liquides (eau, huile…), les molécules sont plus espacées, les forces

intermoléculaires sont plus faibles que dans le cas des solides et les molécules ont la liberté

de mouvement. Par conséquent, les liquides peuvent être facilement déformés (sans avoir la

possibilité d’être très fortement comprimés comme pour les gaz) mais peuvent, par exemple,

être versés dans des récipients ou s’écouler dans un tube. Les gaz (air, oxygène…) ont un

espace entre les molécules encore plus grand et ont des forces intermoléculaires de cohésion

extrêmement petites et par conséquent ils sont très facilement déformables et compressibles

(ils peuvent remplir complètement le volume d’un récipient quelconque dans lequel ils sont

placés).

A B C

Figure 4 : – Structures moléculaires. A : solide, B : liquide, C : gaz.

Les principales différences entre un solide et un liquide peuvent être résumées dans le

Tabelau 2.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Tableau 2 : Différences entre un solide et un liquide.

Solide Fluide

Structure compacte Structure moins compacte

Forces attractives entre molécules plusgrandes : Molécules plus serrées

Pas de résistance : déformation

1. Fluide incompressible

Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupé par une masse donné ne varie

pas en fonction de la pression extérieure. Les liquides peuvent être considérés comme

des fluides incompressibles (eau, huile, etc.)

2. Fluide compressible

Un fluide est dit compressible lorsque le volume occupé par une masse donnée varie en

fonction de la pression extérieure. Les gaz sont des fluides compressibles. Par exemple,

l’air, l’hydrogène, le méthane à l’état gazeux, sont considérés comme des fluides

compressibles.

3. CARACTERISTIQUES PHYSIQUES

3.1.

Masse volumique, densité, volume spécifique et poids

volumique

La masse volumique est définie comme la masse par unité de volume :

0limV

m dm

V dV

(3)

où :

ρ : Masse volumique en [kg/m3],

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



dm : masse en [kg],

dV : volume en [m3]

La masse volumique d’un gaz change avec la pression mais celle d’un liquide peut être

considérée comme constante en général. Par exemple, la masse volumique de l’eau à 4 °C et

1 atm (101 325 Pa, pression dans les conditions standard) est d’environ 1 000 kg m – 3 alors

celle de l’air dans les conditions standard est d’environ 1,2 kg m – 3

.

La densité « d » est sans dimension et est définie comme la masse volumique du fluide

étudié rapportée à la masse volumique de l’eau : eaud L’inverse de la masse

volumique par unité de masse est appelé volume spécifique (ou volume massique) et estdéfini par : 1 sv [kg m-3].

Les valeurs de la masse volumique de l’eau et de l’air en fonction de la température et dans

les conditions standards de pression sont données dans le Tableau suivant.

Tableau 3 : Masse volumique de l’eau et de l’air à la pression atmosphérique.

Température (°C) 0 10 15 20 40 60 80 100

3( )kg m

Eau 999,8 999,7 999,1 998,2 992,2 983,2 971,8 958,4

Air 1,293 1,247 1,226 1,205 1,128 1,060 1,000 0,9464

Le poids volumique est défini comme le produit de la masse volumique par l’accélération de

la pesanteur :

3m g g N m

V

(4)

:

Poids volumique en (N/m3).

m : masse en (kg),

g : accélération de la pesanteur en (m/s2), V : volume en (m

3).

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Application

Exercice : masse volumique du liquide dans un

réservoir de forme conique.

Trouver la hauteur de la surface libre si 0,02 m3 d’eau

sont remplies dans un réservoir de forme conique

(voir la figure ci-contre) de hauteur h = 0,5 m et de

rayon à la base de r = 0,25 m. Combien de quantité

d’eau supplémentaire est nécessaire pour remplir

entièrement le réservoir ? Si ce réservoir contient

30,5 kg d’huile, quelle est la masse volumique de

cette huile ?

Solution

2 230.25 0.5

0.03273 3

cône

r hV m

Donc le volume d’eau que l’on peut rajouter pour remplir entiérement le réservoir est

(0.0327-.02) = 0.0127 m3. A partir de la figure, on a : 0 0r r h h 0 00.25 0.5r h , donc

0 0 2r h . Par conséquent ,

2

0

032

0.01273

vide haut cône

h

hV m

D’où 0 0.364h m . La surface libre serait à (0.5-0.364)=0.136 m de la base du cône. La

masse volumique correspondant à 30.5 kg d’huile est :

330.5932.7 kg m

0.0327

huilehuile

cône

m

V

3.2.

Viscos ité

a. L’expérience et la loi phénoménologique de Newton

En 1687, Newton réalise une expérience simple démontrant l’influence de la viscosité des

fluides sur sa mise en écoulement. L’expérience consiste à cisailler un matériau à l’état

pâteux, fondu ou bien encore liquide entre deux plaques dont l’une est fixe et l’autre est

animée d’un mouvement de translation à vitesse U sous l’action d’une force F .

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 5 : Représentation 2D de l’expérience de Newton.

La force F induit une contrainte de cisaillement qui est égale à : F A où A est la

surface de la plaque. La loi de Newton peut alors s’écrire comme :

(5)

Où du dy : est le taux de cisaillement (ou vitesse de cisaillement) et µ est la viscosité

dynamique qui dépend en général de la pression et de la température. Cette relation est

appelée la loi de viscosité de Newton (la contrainte visqueuse est proportionnelle au taux de

cisaillement).

L’unité SI de la viscosité est [Pa.s] et g cm – 1

s – 1

en unités CGS (Centimètre-Gramme-Seconde) ; 1 g cm

– 1 s

– 1 équivaut à 1P (Poise) ou 1/10e de Poiseuille [Pl] (1 Pl = 10 P).

Cette dernière appellation provient de la loi de Poiseuille et qui est utilisée pour déterminer

la viscosité d’un fluide.

L’unité SI de la viscosité cinématique m2 s – 1 et dans le système d’unités CGS,

1 cm2 s – 1 équivaut à 1 St (Stokes, 1 St = 10-4 m2 s-1)

Le Tableau 4 donne quelques valeurs de viscosité pour différents matériaux.

Tableau 4 : Valeurs de viscosité cinématique et dynamique pour quelques fluides à pressionatmosphérique.

Fluide µ (Pl) (m

2/s)

Air (0°C) 1.7 10-5

1.33 10-5

Eau (20 °C) 1.8 10- 1.79 10

-6

Mercure (20 °C) 1.6 10-3 1.2 10-7

Huiles 10- à 1 10-5 à 10-3

Polymères fondus-verre fondu 102 à 104 10-1 à 10

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Remarque :

Lorsque le fluide est parfait (fluide idéal, non visqueux) alors µ = 0. Par exemple, si on

considère l’écoulement sur une plaque plane (voir Figure 1.5), la région loin de la paroi peut

être considérée comme non-visqueuse car les effets visqueux ne se font plus ressentir loin de

cette paroi.

Figure 6 : Région visqueuse versus région non-visqueuse.

b.

Variat ion de la viscos ité en fonction de la température

Dans le cas des gaz, une augmentation de la température entraîne un mouvement plus intense

des molécules et accroît le mélange moléculaire et donc la viscosité augmente. Dans le cas

d’un liquide, lorsque la température augmente les molécules se séparent entre elles,

décroissant l’attraction entre elles et donc la viscosité diminue. La relation entre la

température et la viscosité est par conséquent inversée pour un gaz et un liquide. La Figure1.6 montre la variation de la viscosité avec la température pour l’air et l’eau.

Figure 7 : Variation de la viscosité en fonction de la température.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Application

Exercice : Contrainte dans une huile

On suppose que de l’huile ayant une viscosité µ = 0.29 Pa.s s’écoule entre les deux plaques

dont l’une est soumise à la force F . Calculer la contrainte visqueuse dans l’huile si la

vitesse de la plaque supérieure est de U = 3 m/s et que la distance entre plaque est de h

= 2 cm.

Solution

L’accélération est nulle et en supposant qu’il n’y a pas de variation de pression dans la

direction de l’écoulement, on peut montrer (par un équilibre de force sur un élément de

fluide) que la contrainte de cisaillement st constante à travers tout le fluide.

du dy AN : =0.29*3/0.02 = 43 kg m-1 s-2 = 43 N m-2 = 43 Pa.

Bien que l’huile est supposée être très visqueuse, la contrainte visqueuse est modeste,

environ 2 356 fois moins que la pression atmosphérique. Les contraintes visqueuses dans les

liquides moins visqueux et les gaz seront donc encore plus petites.

c. Fluide non-newtonien

Le fluide est non-newtonien lorsque la viscosité varie avec le taux de déformation (ou taux

de cisaillement). La Figure suivante montre en échelle linéaire des relations typiques, entre

contrainte de cisaillement t et taux de cisaillement observées pour différents types de

fluides non newtoniens. Le modèle en loi de puissance (ou modèle d’Ostwald) représente

assez correctement les fluides non-newtoniens . Elle est donnée par :

app du

dy (6)

Où :

1m

app du K

dy

(7)

μapp représente la viscosité apparente ou effective du fluide non-newtonien considéré et K

est une constante donnée qui dépend du fluide étudié et m l’index du fluide.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 8 : Variation qualitative de la contrainte en fonction du taux de cisaillement.

4. RELATIONS THERMODYNAMIQUES

4.1. Gaz parfait

Tant que la pression n’est pas trop importante, les calculs d’écoulement compressible

peuvent être effectués en supposant que le fluide étudié est un gaz parfait. Par définition, un

gaz parfait est un gaz dans lequel les forces intermoléculaires sont négligeables. L’équation

d’un gaz parfait peut être déduite de la théorie cinétique et s’écrit :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



PV mrT (8)

où P est la pression (N m – 2

), V est le volume du système (m3), m est la masse du système

(kg), r est la constante du gaz parfait étudié (J kg

– 1

K

– 1

) et T la température (K). Cetteéquation peut aussi s’écrire sous la forme suivante :

P rT (9)

Où : m V est la masse volumique.

Une autre forme connue sous le nom d’équation des gaz parfaits est :

PV nRT (10)

où n est le nombre de moles et R est la constante universelle des gaz parfaits R = k B.NA

= 8,314 J mol – 1 K – 1 où k B = 1.38 10-23 J K -1 est la constante de Bolzmann et NA=6.02 1023

mol-1

est la constante de Avogadro. On peut aussi écrire que r = R/M, où M est la masse

molaire du gaz considéré. Par exemple, pour l’air dans les conditions standards, r = 287 J

kg – 1

K – 1

.

4.2.

Compressibilité

Le module d’élasticité définit la variation de pression en fonction de la variation du volume

et est défini par :

0lim

/V

P E

V V

(11)

où V est le volume et P la pression. Le signe (-) vient du fait que lorsque la pression

augmente, le volume diminue. La conservation de la masse indique que :

0 0 V

dm d V V

(12)

Donc :

0lim

/V

P dP E

d

(13)

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Pour les liquides, E est généralement très grand (le volume ne varie pas beaucoup avec la

pression) et pour les gaz, on définit plutôt la compressibilité dont l’expression est la

suivante :

1 1 1 dV

E P V dP

(14)

Remarque :

Dans le cas isotherme, l’équation (14) devient :

1T

T P

(15)

Pour l’eau dans les conditions normales de température et de pression E =2.06 109 Pa et pour

l’air E =1.4 105 dans le cas d’une transformation adiabatique.

Application

Exercice : Compressibilité

Un récipient rigide en acier est rempli d’un liquide à 15 atm. Le volume du liquide est de

1,232 litre. A une pression de 30 atm, le volume du liquide est de 1,231 litre. Trouver le

module d’élasticité du liquide pour la gamme de pressions données dans le cas isotherme ?Quel est alors le coefficient de compressibilité ?

Solution

30 15 1013251.872 GPa

/ 1.231 1.232 /1.232

P E

V V

Et1 1

0.534 GPa

1.872 E

4.3.

Tension superficie lle

Lorsque l’on observe une goutte de pluie on constate qu’elle est très proche de la forme

sphérique. Cette forme correspond à la surface d’échange minimale entre le fluide et le gaz

environnant. L’interface entre le fluide et le gaz est caractérisée par un paramètre qui dépend

de la nature physico-chimique du fluide et du gaz ainsi que de la température et de la

pression dans le gaz. Ce paramètre est appelé tension superficielle.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 9 : Mise en évidence de la tension superficielle lors de l’expérience de l’étirage d’un film de savon.

Pour déplacer le côté AB d’une distance dx, il faut fournir un travail :

W F x (16)

Dans ce cas l’aire de la surface du film va être augmentée de la quantité (en tenant compte

des 2 faces du film) :

2 A l x (17)

On appelle la tension superficielle définie comme le rapport entre le travail produit par

unité de surface :

W

A

(18)

On voit que pour l’étirage du film de savon on a alors

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2

W F

A l

(19)

a la dimension d’une force par unité de longueur (N m– 1). Les tensions de surface de

quelques liquides sont données dans le Tableau suivant. Lorsque l’augmentation de surface

a lieu à température constante et sans production d’entropie (ce qui revient à dire que la

transformation est réversible) alors le travail W correspond à l’énergie libre de surface.

Le phénomène de tension de surface provient de deux forces intermoléculaires :

• forces de cohésion : ce sont les forces d’attraction entre les molécules du liquide ;

• forces d’adhésion : ce sont les forces entre les molécules de différents liquides ou

entre un liquide et un solide.

Tableau 5 : Valeurs de viscosité cinématique et dynamique pour quelques fluides à pression

atmosphérique.

Liquide Surface du liquide [ N m-1]

Eau Air 0.0728

Mercure Air 0.476

Mercure Eau 0.373

Alcool méthylique Air 0.023

5. CONCLUSION

Les fluides peuvent être classés en fluides parfaits (sans frottement), fluides réels (avec

frottement), fluides incompressibles (liquides) et fluides compressibles (gaz). Les fluides

sont caractérisés par les propriétés suivantes: la masse volumique, le poids volumique, la

densité et la viscosité. Ces propriétés seront utilisées ultérieurement.

Le comportement mécanique et les propriétés physiques des fluides compressibles et

ceux des fluides incompressibles sont différents. En effet, les lois de la mécanique des

fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables uniquement pour une classe de

fluides donnée. Conformément à la classification qui a été faite, les lois relatives à chaque

type de fluides seront exposées dans la suite du cours d’une façon indépendante.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014


Cours Hydraulique Générale


Série 1 –Propriété des fluides

Exercice N°1

Déterminer le poids volumique de l’essence sachant que sa densité d=0,7.

On donne :

- l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2

- la masse volumique de l’eau =1000 kg/m3

Exercice N°2

Calculer le poids spécifique, le volume massique et la masse volumique du

méthane à 38°C à 8.3 bar ? On donne r =518.5 J kg -1 K -1

Exercice N°3

Si 6 m3 d’huile de pétrole pèsent 47 kN, calculer son poids volumique, sa masse

volumique et sa densité ?

Exercice N°4

Déterminer la viscosité dynamique de l’huile d’olive sachant que sa densité est 0,918 et sa

viscosité cinématique est 1,089 Stockes.

Exercice N°5

Du fuel porté une température T=20°C a une viscosité dynamique μ = 95.10−3 Pa.s. Calculer

sa viscosité cinématique υ en stockes sachant que sa densité est d=0,95.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Chapitre 2 : Statique des

fluides

1. I NTRODUCTION

Lors d’une plongée sous-marine, on constate que la pression de l’eau augmente avec la

profondeur. La pression d’eau exercée sur un sous-marin au fond de l’océan est

considérable. De même, la pression de l’eau au fond d’un barrage est nettement plus grande

qu’au voisinage de la surface. Les effets de la pression doivent être pris en considération lors

du dimensionnement des structures tels que les barrages, les sous-marins, les réservoirs…

etc. Les ingénieurs doivent calculer les forces exercées par les fluides avant de concevoir de

telles structures.

Ce chapitre est consacré à l’étude des fluides au repos. Les lois et théorèmes fondamentaux

en statique des fluides y sont énoncés. La notion de pression, le théorème de Pascal, le

principe d’Archimède et la relation fondamentale de l’hydrostatique y sont expliqués.

Le calcul des presses hydrauliques, la détermination de la distribution de la pression dans un

réservoir…etc., sont basés sur les lois et théorèmes fondamentaux de la statique des fluides.

2. NOTION DE PRESSION EN UN POINT D’UN FLUIDE

La pression est une grandeur scalaire. C’est l’intensité de la composante normale de la force

qu’exerce le fluide sur l’unité de surface. Elle est définie en un point A d’un fluide par

l’expression suivante :

Figure 10 : Schéma illustrant la pression

A

dS

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



N

A

dF P

dS (20)

Où :

dS : Surface élémentaire de la facette de centre A (en mètre carré),

n : Vecteur unitaire en A de la normale extérieure à la surface,

N dF : Composante normale de la force élémentaire de pression qui s’exerce sur la

surface (en Newton),

A P : pression en A (en Pascal),

Sur la surface de centre A, d’aire dS, orientée par sa normale extérieure n , la force de

pression élémentaire N dF s’exprime par :

N AdF P dS n (21)

Remarque :

Force tangentielle contrainte de cisaillement

Force normale Pression

L’unité internationale de pression est le Pascal : 1 Pa = 1 N/m². Cette unité est très petite.

On utilise le plus souvent ses multiples. En construction mécanique, résistance des

matériaux , etc.,l’unité utilisée est le méga pascal :

1 MPa= 1 N/mm2=10

6 Pa

En mécanique des fluides on utilise encore très souvent le bar. Le bar est égal à peu près à la pression atmosphérique moyenne :

1 bar = 105 Pa.

3. RELATION FONDAMENTALE DE L’HYDROSTATIQUE

Considérons un élément de volume d’un fluide incompressible (liquide homogène de poids

volumique ). Cet élément de volume a la forme d’un cylindre d’axe (G, u ) qui fait un

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



angle α avec l’axe vertical (O, Z) d’un repère R( , , ,O X Y Z ). Soit l la longueur du cylindre

et soit dS sa section droite.

Figure 11 : Elément du fluide en équilibre

Soit G1 d’altitude Z1 et G2 d’altitude Z2, les centres des sections droites extrêmes. Etudions

l’équilibre du cylindre élémentaire, celui-ci est soumis aux :

actions à distance : son poids : 0dP l dS Z

actions de contact : forces de pression s’exerçant sur :

la surface latérale :i

dF

les deux surfaces planes extrêmes :

1 1 1( )dF P dS u P dSu

2 2dF P dS u

Avec1

P et 2 P les pressions du fluide respectivement en G1 et G2.

Le cylindre élémentaire étant en équilibre dans le fluide, écrivons que la résultante des

forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle :

Z

Z2

Z1

G

α

G1

G2

l

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



0 1 2 0idP dF dF dF (22)

En projection sur l’axe de symétrie (G, u ) du cylindre,

1 2cos 0dS l P dS P dS (23)

Or

2 1cos Z Z

l

Exprimons la différence de pression 1 2 P P après avoir divisé par dS :

1 2 2 1 2 1 P P Z Z g Z Z Relation fondamentale de l’hydrostatique

Autre forme plus générale

En divisant les deux membres de la relation précédente par ϖ :

1 21 2

P P Z Z

où encore 1 2

1 2

P P Z Z

g g (24)

Comme G1 et G2 ont été choisis de façon arbitraire à l’intérieur d’un fluide de poids

volumique , on peut écrire en un point quelconque d’altitude Z, ou règne la pression p :

P P

Z Z Cte g où encore1 2

1 2

P P

Z Z g g (25)

Conclusion : La pression augmente donc linéairement en fonction de la profondeur

1.

Pression absolue et relative Nous vivons dans un monde qui est baigné au sein d’un fluide : l’air . On désigne par

pression atmosphérique la valeur de la pression de l’air ambiant. On note la pression

atmosphériqueatm

P .

Cette valeur (que l’on mesure à l’aide d’un baromètre) fluctue e n fonction des conditions

météorologiques et de la zone géographique. Toutefois, la valeur de la pressionatmosphérique oscille autour d’une valeur moyenne qu’on appelle pression atmosphérique

normale qui vaut 101325 Pa.

Lorsque la pression d’un fluide est supérieure à la pression atmosphérique on dit que ce

fluide est sous pression. Lorsque la pression du fluide est inférieure à la pression

atmosphérique, on dit que le fluide est sous vide. Une pression nulle (P=0 Pa) correspond à

un vide parfait qui correspond en fait à une absence totale de particules (atomes ou

molécules).

Comme nous le verrons plus loin, on fait souvent apparaître dans les calculs la différenceentre la pression P du fluide et la pression atmosphérique atm

P . On définit ainsi une grandeur

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



qu’on appelle pression relative, que l’on note P’, par :

atm P

atm P p P

(26)

Pour bien différencier P et P’, on appellera P la pression absolue. P et P’ sont toutes deux

des pressions et ont par conséquent la même unité. On trouve parfois la mention abs ou a à

coté de l’unité de pression pour signaler qu’il s’agit d’une pression absolue.

Exemple :

Appliquons la RFH entre A et B équation 6 :

A B A B

P P Z Z

En point A : A P = atm P

La pression en point B 2 1 B atm P P Z Z

Al a surface libre du fluide, la pression est généralement représentée par la pression

atmosphérique atm P , dans ce cas la pression au point B est une pression absolue.

Si on néglige l’influence de la pression atmosphérique 0atm P , on aura

2 1 B P Z Z on parle alors d’une pression relative.

2.

Dispositifs de mesure de la pressionLe dispositif utilisé dépend de l’importance des pressions à mesurer. Il existe 2 types de

dispositifs de mesure des pressions.

- Les manomètres mécaniques : utilisés pour la mesure de pressions relativement plus

élevées

Z

fluide

A

B

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



-

Les tubes manométriques (tubes piézométriques) : utilisés pour la mesure de pression

relativement faibles.

Exemples de manomètres mécaniques :

Figure 12 : -Exemples de manomètres mécaniques

Exemple des tubes manométriques:

Figure 13 : -Exemples de tubes manométriques

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



H.KANFOUDI – ENIT – LMHE (2013/2014) 1

Série 2 -RFH

Exercice N°1

La figure ci-dessous représente un cric hydraulique formé de deux pistons (1) et (2) desection circulaire.

Sous l’effet d’une action sur le levier, le piston (1) agit, au point (A), par une force 1 / P h F sur

l’huile. L’huile agit, au point (B) sur le piston (2) par une force 2/h P F

On donne :

- les diamètres de chacun des pistons : D1 = 10 mm; D2 = 100 mm.

-

l’intensité de la force de pression en A :1 / P h F = 150 N.

Travail demandé :

1) Déterminer la pression PA de l’huile au point A ?

2) Quelle est la pression PB ?

3) En déduire l’intensité de la force de pression2/h P F .

Exercice N°2

La figure ci-dessous représente un réservoir ouvert, équipé de deux tubes

piézométriques et rempli avec deux liquides non miscibles :

- de l'huile de masse volumique ρh=850 kg/m3 sur une hauteur h1=6 m,

-

de l'eau de masse volumique ρ=1000 kg/m3 sur une hauteur h2=5 m.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



On désigne par:

-

A un point de la surface libre de l'huile,

- B un point sur l'interface entre les deux liquides,

-

C un point appartenant au fond du réservoir

-

D et E les points représentants les niveaux dans les tubes piézométriques,

- (O, Z ) est un axe vertical tel que ZC=O.

Appliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique (RFH) entre les points:

1) B et A. En déduire la pression PB (en bar) au point B.

2) A et E. En déduire le niveau de l'huile ZE dans le tube piézométrique

3) C et B. En déduire la pression PC (en bar) au point C.

4) C et D. En déduire le niveau de l'eau ZD dans le tube piézométrique.

Exercice N°3

Soit un tube en U fermé à une extrémité qui contient deux liquides non miscibles.

h1

h2

A

B

C

E

D

Tubes piézométriques

huile

eau

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Entre les surfaces :

o

(1) et (2) il s’agit de l’essence de masse volumique ρessence=700 kg/m

3

.o (2) et (3), il s’agit du mercure de masse volumique ρmercure=13600 kg/m3.

La pression au-dessus de la surface libre (1) est P1=Patm=1 bar. L’accélération de

la pesanteur est g=9,8 m/s2.

La branche fermée emprisonne un gaz à une pression P3 qu’on cherche à calculer.

1) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de l’Hydrostatique) pour

l’essence, calculer la pression P2 (en mbar) au niveau de la surface de séparation

(2) sachant que h= (Z1-Z2)= 728 mm.

2) De même, pour le mercure, calculer la pression P3 (en mbar) au niveau de la

surface (3) sachant que h’= (Z3-Z2)= 15 mm.

Exercice N°4

Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimètres. On

verse dans l’une des branches un mélange d’eau - alcool éthylique qui forme une

colonne de liquide de hauteur h1=30 cm. Dans l’autre branche, on verse de l’eau

Z

Z1

Z2

h’

h essence

(1)

mercure

(2)

(3)

eau

Z

Alcool

mercure

h1 h2

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



pure de masse volumique 1000 kg/m3, jusqu’à ce que les deux surfaces du

mercure reviennent dans un même plan horizontal. On mesure alors la hauteur de

la colonne d’eau h2=24 cm.

1) Appliquer la relation fondamentale de l’hydrostatique pour les trois fluides.

2) En déduire la masse volumique du mélange eau – alcool éthylique.

Exercice N°5

On considère un tube en U contenant trois liquides:

- de l’eau ayant une masse volumique ρ1 = 1000 kg/m3,

- du mercure ayant une masse volumique ρ2 = 13600 kg/m3,

- de l’essence ayant une masse volumique ρ3 = 700 kg/m3.

On donne :

Z0 – Z1 = 0,2 m ; Z3 – Z2 = 0,1 m ; Z1 + Z2 = 1,0 m

On demande de calculer Z0, Z1, Z2 et Z3.

eauessence

mercure

Z

Z0

Z3

Z2

Z1

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014




Problèmes non résolus

Calculer la pression manométrique enbars en

A due à la dénivellation du mercure, de

densité 13,57 dans le manomètre en U.

Les récipients A et B contiennent de l’eau aux

pressions respectives 2,80 et 1,40 bar.

Déterminer la dénivellation h du mercure du

manomètre différentiel.

Trouver la différence de pression entre A et B.

Pour une pression manométrique en A de -

0.110 bar, trouver la densité du liquide B

contenu dans le manomètre de la figure

suivante.

Le réservoir à surface libre de la figure ci-

dessous possède deux piézomètres A et B et

contient deux liquides non miscibles. Trouver

la hauteur de la surface liquide dans le

piézomètre A et B ainsi que la pression au

fond du réservoir. (Densité A : 0.72, densité B

: 2.36)

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Pour un manomètre affichant en A -17650 Pa,

déterminer la hauteur des liquides dans les

colonnes ouvertes du piézomètre E, F et G

ainsi que la hauteur de mercure dans le

manomètre en U.

Un manomètre différentiel est fixé entre deux

sections A et B d’un tuyau horizontal oùs’écoule de l’eau. La dénivellation du mercure

dans le manomètre est de 0,60m. Quelle

condition faut-il respecter pour appliquer

l’équation de l’hydrostatique ? Calculer la

différence de pression en Pa entre les sections

A et B.

La chute de pression à travers le dispositif X

où s’écoule de l’eau, doit être mesurée à l’aide

d’un manomètre différentiel utilisant de

l’huile de densité 0.75 comme fluide

manométrique. Trouver la différence de

hauteur de pression entre A et B.

La hauteur de pression au niveauA-A est de

0.09m d’eau. Les poids spécifiques du gaz et

de l’air sontrespectivement de 5,5 et de

12,4N/m3. Calculer la hauteur h du manomètre

à eau mesurant la pression du gaz au point B.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014


ENIT-LMHE | Cours Hydraulique Générale 17

4. FORCE HYDROSTATIQUE

Cette force est définie comme étant la force de pression exercée par un liquide au repos sur

une surface de contacte, cette force est toujours normale à la surface. On définit aussi le

centre de poussée comme étant le point d’application de la résultante de la force de poussée

sur la surface de contact.

a. Cas d’une plaque plane verticale immergée dans un

liquide :Soit une plaque plane AB immergée dans un liquide de poids volumique :

Figure 14 : - Plaque plane verticale de forme quelconque

G est le centre de gravité de la plaque et CP le centre de poussée.

Force de poussée hydrostatique :

Soit un élément de surface de la plaque « dh », la pression qui s’exerce sur cet élément

est : p h

La surface de l’élément est dS b dh

La force de poussée exercée sur l’élément sera : dF P ds h dS

Donc la force de poussée totale sur la plaque sera :

h dS : est le moment statique de la surface par rapport à la surface libre.

Avec :

Gh dS h S

Donc : G F h S

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Gh : est la profondeur du centre de gravité de la plaque.

S : la surface de la plaque.

: le poids volumique du liquide.

Centre de poussée :

Le centre de poussée CP est déterminé en utilisant le principe des moments : Qui stipule que

la somme des moments des forces exercées par rapport à un axe est égale au moment de la

résultante de ces forces par rapport au même axe. On définit :

2

0h dS I (27)

0 I : c’est le moment d’inertie de la surface de la plaque par rapport à la surface libre.

0C Fh I et

G F h S

0G C h S h I

0

C

G

I h

h S

Suivant le théorème des axes parallèles :

20 G G I I Sh

(28)

Avec G I : : est le moment d’inertie par rapport à un axe passant par le centre de gravité. Si

on remplace, on trouve :

2

G G GC G

G G

I Sh I h h

Sh Sh

(29)

On remarque que la position du centre de poussée est indépendante du poids volumique du

liquide.

Le tableau suivant fournit le centre de gravité, la surface et l’inertie pour quelques formes de

surface plane :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Forme Centre de gravité Gh le moment d’inertie G I

2G

L

h

3

12G

bL

I

2G

Dh

4

4G

R I

2

3G

Lh

3

36G

bL I

(cas s=b/2 : triangle symétrique)

4

3G

Rh

40,10976G I R

b. Cas d’une plaque incliné :Soit une plaque de forme quelconque immergée et inclinée d’un angle θ.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 15 : - Plaque plane inclinée

On procède de la même manière que le cas verticale, sauf que l’axe des moments passe par

le point « O ».

Force de poussée :

La pression sur l’élément « dY » est P h

dF PbdY hbdY

Avec

sinh Y

sin

G

dS bdY

dF YdS

YdS Y S

sin S, h sin

h

G G G

G

F Y Y

F S

C’est la même expression que plaque plane.

Centre de poussée :

La force de poussée exercée sur un élément dY :

sindF hbdY Y dS

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Le moment de la force par rapport à l’axe « O ».

2 sindM dFY Y dS

2 2

0sin sin sin M Y dS Y dS I

Or

sindF hbdY Y dS sinG F Y S

On a alors :

0sin sinC G C FY Y SY I

0 G

C G

G G

I I Y Y

Y S Y S

Or ,sin sin

c GC G

h hY Y

On trouve donc :

2sinG

c GG

I h h

h S

C’est la même expression que plaque plane.

c.

Cas d’une surface courbéeSoit une surface courbée totalement immergée :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 16 : Plaque courbée

le calcul de la force résultante F sur une paroi courbée consiste à décomposer la force

élémentaire dF suivant les axes x et y :

x ydF dF X dF Y (30)

L’évaluation des projections de dF suivant x et y, peut se faire de la manière suivante :

cos cos xdF PdS h dS (31)

sin cos y

dF PdS h dS (32)

L’intégration xdF et

ydF sur toute la surface de l’élément courbe permet d’évaluer le force

résultante F. Compte tenu de la surface courbe, l’angle α est variable, ce qui complique le

calcul de l’intégrale.

cos x x F dF h dS

sin y y F dF h dS (33)

Pour la première composante ( x F ) :

On remarque que : cos dS est la projection de la surface sur un plan vertical Sx, donc :

Sx : surface projetée

(selon x)

Sy : surface projetée (selon y)

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



cos x G G x F h dS h S (34)

Où Gh est le centre de gravité selon la profondeur de la projection de la surface sur un plan

vertical.

Pour la deuxième composante ( y F ):

On remarque que sin dS est la projection horizontale de la surface courbée Sy, d’où :

sinh dS est le volume de liquide copris entre la surface courbée projetée et le plan de la

surface libre, de ce fait ; y F est le poids du volume de liquide compris entre la paroi et la

surface libre.

5.

POUSSE D’ARCHIMEDE

Analysons ce qui se passe du point de vue de l’équilibre mécanique sur un flotteur, c’est à

dire réfléchissons aux forces auxquelles il est soumis.

Figure 17 : Équilibre mécanique d’un flotteur

Tout d’abord le flotteur est soumis à son propre poids, dirigé vers le bas et d’intensité m g ,

où m est la masse du flotteur et g l’accélération de la pesanteur. Mais le poids n’est pas la

seule force, sinon le flotteur coulerait. Il est donc soumis à une force dirigée en sens inverse

du poids (donc vers le haut) et égale en intensité pour assurer l’équilibre des forces. Cette

force est appelée Poussée d’Archimède. Le principe d’Archimède permet de relier

l’intensité de cette poussée au volume de flotteur immergé et à la masse volumique du

liquide. L’énoncé traditionnel du principe d’Archimède est le suivant : Tout corps plongédans un liquide subit une poussée verticale dirigée vers le haut dont l’intensité est égale au

poids de liquide déplacé. Il est toutefois possible d’en donner une présentation plus simple.

Ainsi, si l’on appelle immV . le volume de la partie du flotteur qui est immergée dans le

liquide, alors l’intensité A P de la poussée d’Archimède s’exprimera de la façon suivante :

A liquide imm P gV

(35)

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Pour que le flotteur soit en équilibre, c’est à dire pour qu’il flotte, il faut que la poussée

d’Archimède soit égale en intensité au poids du flotteur. Or le poids du flotteur vaut

flotteur m g On aura donc :

flotteur liquide imm

m g g V

(36)

En remplaçant flotteur m par

flotteur flotteur V , on obtient :

flotteur flotteur liquide immV g V g (37)

Le volume immergé immV est toujours plus petit que le volume total du flotteur flotteur V . Par

conséquent, pour que la précédente relation soit satisfaite et que le flotteur flotte, il faut que

la masse volumique du liquide soit plus faible que celle du liquide.

flotteur liquide (38)

On pourra encore écrire cette condition avec les densités :

flotteur liquided d (39)

La glace, dont la densité est d’environ 0,9 flottera donc sur l’eau (densité de 1). Les icebergs

en sont un exemple. Par contre, le granit de densité 1,6 environ, coulera dans l’eau. Le granit

flottera toutefois sur le mercure (densité de 13,6).

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Série 3-Poussés hydrostatique & Poussée d’Archimède

Exercice N°1

Un barrage en ciment de 10 m de large contient de l’eau sur une hauteur de 6m. Déterminerl’action de l’eau sur le barrage.

Exercice N°2

Calculer la force résultante P due à l’action de l’eau sur la surface rectangulaire de 3m ×6m

en AB et CD.

Exercice N°3

Calculer la force résultante P due à l’action de l’eau sur la surface triangulaire de 3m ×6m

dont le sommet est en C avec un angle de 45°.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Exercice N°4

Le réservoir de la figure suivante contient de l’eau et de l’huile. Trouver la force résultante

agissant sur le côté ABC qui a 1,20m de large.

Exercice N°5

Déterminer la force exercé exercée d’eau de mer ( 1,025mer d ) , les centres des poussées et

sa direction sur la plaque courbée AB comme indiquée dans la figure suivante ; on considère

un 1 m de largeur.

Eau

De mer

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Solution

Force Horizontale : x G x F h S sur la plaque AB :

1,023*1000*9.81 15 4 2 4*1 683757 x F N

Centre de poussé : H

GC G

G

I h h

Sh

Avec3

12G

bL I ; 1b m largeur du barrage et 4 L m : longueur de la plaque EA.

15 4 / 2 17Gh m

34 1217 17, 0784

4*1 *17 H C h m

Force Verticale : y BCDE ABE F sur la plaque AB :

215*4*1 4 * *1 4 1025*9,81 729673 y F N

Centre de poussé

Pour connaitre le centre de cette force : le centre gravité du bloque BCDE en verticale

(longueur de l’arc EB (R/2) = 4/2=2 m.

Le centre de gravité du bloque ABE = 4 Gh de BE 4 4 3 2,302carc R h m .

Le centre de poussée verticale :V

B rect c B rect B arc c arc

C

B rect B arc

F h F hh

F F

* 15* *2 *(R* R/ 4 ) *2,302

* 15* *(R* R/ 4 )V C

Rh

R

4 R m , on simplifie par on obtient :

15* 4 * 2 (4 * 4 / 4 ) * 2, 3022,0523

15* 4 (4* 4 / 4 )V C h m

On résume :

683757 x F N ; 17,0784 H C

h m

729673 y F N ; 2,0523V C h m

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



La force résultante : 122 2

683757 729673 999973,16 N F

La direction de cette force selon le verticale :

tan 683757 729673 0,937 43,14 °

Exercice N°6

Une pierre pèse 9kg à l’air et 5kg quand elle est immergée dans l’eau. Calculer le volume de

la pierre et sa densité.

Exercice N°7

La glace à -10°C a une masse volumique ρglace= 995 kg/m3. Un iceberg sphérique de 1000

tonnes flotte à la surface de l'eau. L'eau de mer a une masse volumique ρeau= 1025 kg/m3

1) Déterminer la fraction F du volume immergée ?

2) Quelle sera F si la glace avait une forme cubique ?

Exercice N°8

Un cube en acier de coté a=50 cm flotte sur du mercure.

PA

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



On donne les masses volumiques :

de l’acier ρ1= 7800 kg/m3

du mercure ρ2= 13600 kg/m3

1) Appliquer le théorème d’Archimède,

2) Déterminer la hauteur h immergée.

Exercice N°9

On considère une plate-forme composée d’une plaque plane etde trois poutres

cylindriques en bois qui flottentà la surface de la mer.

On donne:

- les dimensions d’une poutre: diamètre d=0,5 m et longueur L=4 m,

- la masse volumique du bois : ρ bois= 700 kg/m3 ,

- la masse volumique de l’eau de mer: ρ= 1027 kg/m3 ,

- la masse de la plaque Mc= 350 kg,

- l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



1) Calculer le poids total P0de la plate-forme.

2) Ecrire l’équation d’équilibre de la plate-forme.

3) En déduire la fraction F(%) du volume immergé des poutres.

4) Déterminer la masse Mc maximale qu’on peut placer sur la plate-forme sans

l’immerger.

.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Problèmes non résolus

Dans la figure ci-dessous, les surfaces des

cylindres A et B sont respectivement de

40 et 4000cm2 .

La masse en A est de 10 kg et la masse en

B de 4000kg. Les récipients et les conduits

sont remplis d’eau. Quelle force F

assurera l’équilibre ?

L’eau monte jusqu’au niveau E dans le

conduit fixé au réservoir ABCD. On

néglige le poids du réservoir et du conduit.

Déterminer et positionner la force

résultante agissant par la surface AB qui a

2,50m de large, déterminer la force totales’exerçant sur le fond du réservoir et

comparer le poids total de l’eau avec la

force totale s’exerçant sur le fond du

réservoir. Expliquer la différence.

La porte AB de la figure ci-dessous à

1,20mde large et peut pivoter autour de A.

Le manomètre G affiche -0,147 bar et leréservoir de droite est rempli d’huile de

densité 0,75. Quelle force horizontale doit

être appliquée en B pour assurer

l’équilibre de la porte AB ?

On fait l’étude de l’auget qui est constitué

par la partie circulaire. Cet auget fait 10m

de long. Déterminer l’intensité, la position

et la direction de la force de l’eau sur

l’auget.

Nota : la position du centre de gravité de

¼ de disque par rapport à un de ses axes

de symétrie est :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Chapitre 3 : EQUATIONS

FONDAMENTALES

1. I NTRODUCTION

Dans ce chapitre, nous allons étudier les fluides en mouvement. Contrairement aux solides,

les éléments d’un fluide en mouvement peuvent se déplacer à des vitesses différentes.

L’écoulement des fluides est un phénomène complexe.

On s’intéresse aux équations fondamentales qui régissent la dynamique des fluidesincompressibles parfaits, en particulier :

- l’équation de continuité (conservation de la masse),

- le théorème de Bernoulli (conservation de l’énergie) et,

- le théorème d’Euler (conservation de la quantité de mouvement) à partir duquel on

établit les équations donnant la force dynamique exercée par les fluides en

mouvement (exemple les jets d’eau).

2. EQUATION DE CONTINUITE

Considérons une veine d’un fluide incompressible de masse volumique ρ animée d’un

écoulement permanent (figure suivante).

Écoulement permanent : « L’écoulement d’un fluide est dit permanent si le champ des

vecteurs vitesse des particules fluides est constant dans le temps. Notons cependant que cela

ne veut pas dire que le champ des vecteurs vitesses est uniforme dans l’espace.

L’écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible est le seul que nous aurons àconsidérer dans ce cours. »

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 18 : Veine d’un fluide incompressible.

S1et S2 respectivement la section d’entrée et la section de sortie du fluide à l’instant t,

S’1 et S’2 respectivement les sections d’entrée et de sortie du fluide à l’instant t’=(t+dt),

1V et2V les vecteurs vitesse d’écoulement respectivement à travers les sections S 1et S2de la

veine.

dx1 et dx2 respectivement les déplacements des sections S1 et S2 pendant l’intervalle de temps

dt,

dm1 : masse élémentaire entrante comprise entre les sections S1et S’1,

dm2 : masse élémentaire sortante comprise entre les sections S2 et S’2,

M : masse comprise entre S1et S2,

dV1 : volume élémentaire entrant compris entre les sections S1et S’1,

dV2 : volume élémentaire sortant compris entre les sections S2 et S’2,

A l’instant t : le fluide compris entre S1et S2a une masse égale à (dm1+ M)

A l’instant t+dt : le fluide compris entre S’1 et S’2a une masse égale à (M+ dm2)

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Par conservation de la masse:

1 2dm M M dm en simplifiant par M on aura : 1 2dm dm

Donc 1 1 2 2dV dV ou encore

1 1 1 2 2 2S dx S dx

En divisant par dt on abouti à :

1 21 1 2 2 1 1 1 2 2 2

dx dxS S S V S V

dt dt

Puisque le fluide est incompressible : 1 2

On peut simplifier et aboutir à l’équation de continuité suivante :

1 1 2 2S V S V (40)

a.

Débit massique

Le débit massique d’une veine fluide est la limite du rapport dm

dt quand dt tend vers 0.

m

dmq

dt (41)

où :

- qm est la masse de fluide par unité de temps qui traverse une section droite quelconque de

la conduite.

- dm : masse élémentaire en (kg) qui traverse la section pendant un intervalle de temps dt .

- dt : intervalle de temps en (s)

en tenant compte des équations précédentes on obtient :

1 21 2m

dx dxdmq S S

dt dt dt (42)

avec :

11

dxV

dt

Vitesse moyenne d’écoulement de la veine fluide à travers S1,

22

dxV

dt

Vitesse moyenne d’écoulement de la veine fluide à travers S2,

D’après Eq (28) :

1 1 2 2mq S V S V

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Soit dans une section droite quelconque S de la veine fluide à travers laquelle le fluide

s’écoule à la vitesse moyenne V :

mq S V (43)

où :

qm : Débit massique en (kg/s)

ρ: Masse volumique en (kg/m3)

S : Section de la veine fluide en (m2)

V : Vitesse moyenne du fluide à travers (S) en (m/s)

b.

Débit volumique

Le débit volumique d’une veine fluide est la limite du rapport d

dt

quand dt tend vers 0.

v

d q

dt

(44)

Où :

- qv: Volume de fluide par unité de temps qui traverse une section droite quelconque de la

conduite.

- d : Volume élémentaire, en (m3), ayant traversé une surface S pendant un intervalle de

temps dt,

- dt : Intervalle de temps en secondes (s),

D’après la relation (30) et en notant quedm

d

on peut écrire également que mv

qq

soit

vq S V

3. THEOREME DE BERNOULLI

1.

Cas d’ un écoulement sans échange de travail

Reprenons le schéma de la veine fluide de la section précédente avec les mêmes notations et

les hypothèses suivantes:

- Le fluide est parfait et incompressible.

-

L’écoulement est permanent.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



-

L’écoulement est dans une conduite parfaitement lisse.

On considère un axe Z vertical dirigé vers le haut.

On note Z1, Z2 et Z respectivement les altitudes des centres de gravité des masses dm1,

dm2et M.

On désigne par F1 et F2respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant

au niveau des sections S1et S2.

Figure 19 : Veine d’un fluide incompressible –Sans apport d’énergie.

A l’instant t le fluide de masse (dm1 + M) est compris entre S1 et S2. Son énergie mécanique

est :

2

1

22

1 1 1 1

1

2 2

S

mec pot cinS

dmV E E E dm g Z M g Z dm V (45)

A l’instant t’=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre S’1 et S’2. Son énergie

mécanique est :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2

1

22

2 2 2 2

1' ' '

2 2

S

mec pot cinS

dmV E E E M g Z dm g Z dm V (46)

On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide entre t et t’ : « La variation de

l’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures. »

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

'

'

mec mec Forces de pression

mec mec

E E W F dx F dx

E E P S dx P S dx P d P d

en simplifiant on obtient :

2 2 1 22 2 2 2 1 1 1 1 1 2

1 2

1 1

2 2

P P dm g Z dm V dm g Z dm V dm dm

Par conservation de la masse : 1 2dm dm dm et puisque le fluide est incompressible :

1 2 , On aboutit à l’équation de Bernoulli :

2 2

2 1 2 12 1 0

2

V V P P g Z Z

(47)

L’unité de chaque terme de la relation (33) est le joule par kilogramme (J/kg).

2 2

2 1 2 12 1 0

2

V V P P g Z Z

(48)

en terme de pression :

2 2

1 1 1 2 2 22 2

P V g Z P V g Z

(49)

Bi lan des pressions

Pression statique : le terme*

noté P P g Z

Pression dynamique 2

2V

Relation entre pression et énergie énergie Puissance

pressionvolume débit

Les pressions exprimées dans le théorème de Bernoulli sont des pressions absolues ! ! !

On peut exprimer cette équation en terme de hauteur (mètre) :

2 2

2 2 1 12 1

2 2

V P V P Z Z

g g g g (50)

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Bi lan des hauteurs

On nomme :

Hauteur manométrique : le terme

P

g

Hauteur piézométrique : le terme P

Z g

Hauteur capable : le terme

2

2

V

g

Altitude : le terme Z

La somme des trois termes est la charge totale que on la note H

Le bilan en hauteurs permet la construction d’un diagramme suivant :

Figure 20 : diagramme piézométrique.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2.

Appl ication – Instrument de mesure

a.

La sonde de PitotC’est un instrument de mesure très employé. Il permet d’accéder à la vitesse du fluide

(aéronautique) ou encore, si l’on connaît la section de passage du fluide, au débit de fluide

(procédés industriels).

Notion de pression d’arrêt :

Figure 21 : Pression autour d’un obstacle

En présence d’un obstacle, les L.C. (ligne de courant) contournent l’obstacle, mais il y en a

au moins une qui s’arrête en un point de cet obstacle (point M sur le dessin). En ce point M

appelé point d’arrêt 0m/s M V

La charge totale, exprimée en pression est :*

, = PTotale M M M M P P g Z

tandis qu’en un point N, en amont de M et sur la même L.C. :

2 * 2

,

1 1+ = P

2 2Totale N N N N N N P P g Z V V

On obtient (dans le cas où M N Z Z ) puisque le long d’une L.C. la charge totale est constante

:

21

2 M N N P P V

Il y a donc une possibilité de mesurer une vitesse de fluide. C’est ce qui est mis en pratique

dans la sonde de Pitot.

Dispositif de Pitot :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 22 : Dispositif de Pitot

On dispose 2 tubes de prises de pression dans la canalisation de l’écoulement. Une prise de pression donne accès à la pression statique (point N) et une prise de pression qui permet

l’obtention de la pression d’arrêt (point M).

21

2 M N N

P P V d’une part

M N P P g h RFH

d’où l’expression de la vitesse du fluide dans la canalisation :

2 N V g h

(51)

Exemple de réalisation :

On utilise donc une sonde qui a souvent la forme représentée ci-dessous :

Figure 23 : Exemple d’application du dispositif de Pitot.

En supposant les pressions en M’ et M’’ très voisines de celle en N, on a :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2 21 1

2 2 M N N M P P V P V

M M mano P P g h

C’est à dire : 2

mano g h

V

b.

Tube de VenturiC’est un organe déprimogène là encore très utilisé dans les procédés. Son principe repose sur

l’effet Venturi, autrement dit sur le fait que la pression est plus basse là où la section est plus

faible.

Cet effet ne doit plus nous étonner maintenant que nous avons vu le théorème de Bernoulli,

puisque ce qui est « gagné » d’un côté est « repris » de l’autre, à savoir une vitesse de fluide

plus élevée là où la section est plus faible.

Le schéma type d’un débitmètre de Venturi est le suivant :

Figure 24 : Tube de Venturi.

théorème de Bernoulli :

2 21

2 A B B A P P V V

hydrostatique (RFH) : A B P P g h

définition du débit : v A A B BQ S V S V

ce qui permet d’écrire : 2

2 2

1 1 1

2 v

B A

g h QS S

c’est à dire : 2 2

2 2 2 A B

v

A B

S S Q g h

S S

(52)

D’un point de vue pratique, les sections ne sont fonctions que du dispositif, si bien que la relation se retient sous la forme :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2v VenturiQ k g h (53)

le débit est proportionnel à la racine carrée de la hauteur de dénivelé

c. Écoulement d'un liquide contenu dans un réservoir -Théorème de Torricelli

Considérons un réservoir muni d'un petit orifice à sa base, de section s et une ligne de

courant partant de la surface au point (A) et arrivant à l'orifice au point (B). En appliquant le

théorème de Bernoulli entre les points (A) et (B),

Figure 25 : Vidange d’un réservoir.

2 2

2 2

A A B B A B

P V P V Z Z

g g g g

Or 1 A B P P atm ( pression atmosphérique) et 0 / AV m s d’où 2 AV g h

La vitesse d'écoulement est la même que la vitesse de chute libre entre la surface libre et

l'orifice, quelle que soit la masse volumique du liquide.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Série 4-Bernoulli

Exercice N°1

On veut accélérer la circulation d’un fluide parfait dans une conduite de telle sorte que sa

vitesse soit multipliée par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent caractérisé parl’angle α (schéma ci-dessus).

1) Calculer le rapport des rayons (R 1/R 2).

2) Calculer ( R 1 - R 2 ) en fonction de L et α. En déduire la longueur L. (R 1 = 50 mm, α =

15°).

Exercice N°2

On considère un réservoir remplie d’eau à une hauteur H= 3 m , muni d’un petit orifice à sa

base de diamètre d= 10 mm.

1) En précisant les hypotèses prises en comptes, appliquer le théorème de Bernouilli pour

calculer la vitesse V2 d’écoulement d’eau.

2) En déduire le débit volumique Qv en (l/s) en sortie de l’orifice.

On suppose que g=9,81 m/s.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Exercice N°3

Un fluide parfait incompressible s’écoule d’un orifice circulaire situé sur le coté d’un

réservoir avec un débit volumique qv=0,4 l/s. Le diamètre de l’orifice est d=10 mm.

1) Déterminer la vitesse d’écoulement au niveau de l’orifice.

2) Enoncer le théorème de Bernoulli.

3) A quelle distance de la surface libre se trouve l’orifice ?

Exercice N°4

On considère un réservoir cylindrique de diamètre intérieur D = 2 m rempli d’eau jusqu’à

une hauteur H = 3 m. Le fond du réservoir est muni d’un orifice de diamètre d = 10 mm

permettant de faire évacuer l’eau.

Si on laisse passer un temps très petit dt, le niveau d’eau H du réservoir descend d’une

quantité dH. On note1

dH V

dt la vitesse de descente du niveau d’eau, et V2 la vitesse

d’écoulement dans l’orifice. On donne l’accélération de la pesanteur g = 9,81 m/s2.

1) Ecrire l’équation de continuité. En déduire l’expression de V1 en fonction de V2, D et d.

2) Ecrire l’équation de Bernoulli. On suppose que le fluide est parfait et incompressible.

3) A partir des réponses aux questions 1) et 2) établir l’expression de la vitesse d’écoulement

V2 en fonction de g, H, D et d.

4) Calculer la vitesse V2. On suppose que le diamètre d est négligeable devant D.

C'est-à-dire 1d

D <<1

5) En déduire le débit volumique qv.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Exercice N°5

Le réservoir cylindrique représenté ci-dessus, ouvert à l’air libre, a une section SA de

diamètre DA = 2 m. Il est muni, à sa base, d’un orifice de vidage de section S B et de diamètreDB = 14 mm. Le réservoir est plein jusqu’à une hauteur H=(ZA – ZB)= 2,5 m de fioul, liquide

considéré comme fluide parfait, de masse volumique ρ=817 kg/m3.

On donne

- la pression atmosphérique Patm= 1 bar.

- l’accélération de la pesanteur g=9,8 m/s2.

On note α=(SB/SA)

Partie 1 : L’orifice est fermé par un bouchon.

1) En appliquant la RFH, déterminer la pression PB au point B.

2) En déduire la valeur de la force de pression FB qui s’exerce sur le bouchon.

Partie 2 : L’orifice est ouvert.

On procède à la vidange du réservoir.

Le fioul s’écoule du réservoir. Sa vitesse moyenne d’écoulement au point A est notée VA, et

sa vitesse d’écoulement au niveau de l’orifice est notée VB.

1) Ecrire l’équation de continuité. En déduire VA en fonction de VB et α.

2) En appliquant le théorème de Bernoulli entre A et B, établir l’expression littérale de lavitesse VB en fonction de g, H et α.

3) Calculer la valeur de α. L’hypothèse de considérer un niveau H du fluide varie lentement

est elle vraie ? Justifier votre réponse.

4) Calculer VB en considérant l’hypothèse que α <<1.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



5) Déterminer le débit volumique QV du fluide qui s’écoule à travers l’orifice. (en litre par

seconde)

6) Quelle serait la durée T du vidage si ce débit restait constant ?

Exercice N°6

De l’huile est accélérée à travers une buse en forme de cône convergent.

La buse est équipée d’un manomètre en U qui contient du mercure.

Partie 1 : Etude de la buse

Un débit volumique qv= 0,4 L/s, l’huile traverse la section S1 de diamètre d1= 10 mm à une

vitesse d’écoulement V1, à une pression P1 et sort vers l’atmosphère par la section S2 de

diamètre d2 à une vitesse d’écoulement V2=4.V1 et une pression P2=Patm=1 bar.

On suppose que :

- le fluide est parfait,

- la buse est maintenue horizontale (Z1=Z2).

On donne la masse volumique de l’huile : ρhuile = 800 kg/m3.

1) Calculer la vitesse d’écoulement V1.

2) Ecrire l’équation de continuité. En déduire le diamètre d2.

3) En appliquant le Théorème de Bernoulli entre le point (1) et le point (2) déterminer la

pression P1 en bar.

Partie 2 : Etude du manomètre (tube en U).

Le manomètre, tube en U, contient du mercure de masse volumique ρ mercure=13600 kg/m3. Il

permet de mesurer la pression P1 à partir d’une lecture de la dénivellation : h = (Z4-Z3).

On donne :- (Z1-Z3)= L= 1274 mm.- l’accélération de la pesanteur : g = 9,81 m/s2.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



- la pression P4 = Patm= 1 bar,

1) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de l’hydrostatique) entre les points (1) et(3), déterminer la pression P3.

2) De même, en appliquant la RFH entre les points (3) et (4), déterminer la dénivellation h

du mercure.

Exercice N°7

Une conduite de section principale SA et de diamètre d subit un étranglement en B où sa

section est SB. On désigne par α=(SA/SB) le rapport des sections.

Un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ, s’écoule à l’intérieur de cette

conduite.

Deux tubes plongent dans la conduite ayant des extrémités respectivement A et B. Parlecture directe de la dénivellation h, les deux tubes permettent de mesurer le débit volumique

qv qui traverse la conduite.

1) Ecrire l’équation de continuité. En déduire l’expression de la vitesse VB en fonction de VA

et α .

2) Ecrire la relation de Bernoulli entre les points A et B. En déduire l’expression de la

différence de pression (PA-PB) en fonction de ρ , VA et α .

3) Ecrire la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points A et A’.

4) Ecrire la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points B et B’.

5) En déduire l’expression de la vitesse d’écoulement VA en fonction de g, h, et α .

6) Donner l’expression du débit volumique qv en fonction de d, g, h, et α .

Faire une application numérique pour :

- un diamètre de la section principale d=50 mm,

- un rapport de section α = 2,

- une accélération de pesanteur : g= 9,81 m/s2,

- une dénivellation h=10 mm.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



3.

Cas d’un écoulement avec échange de travailReprenons le schéma de la veine fluide du paragraphe 4 avec les mêmes notations et les

mêmes hypothèses. On suppose en plus qu’une machine hydraulique est placée entre les

sections S1 et S2. Cette machine est caractérisée par une puissance nette P net échangée avec le

fluide, une puissance sur l’arbre Pa et un certain rendement η. Cette machine peut être soit

une turbine soit une pompe.

Dans le cas d’une pompe : le rendement est donné par l’expression suivante :

net

a

P

P

Dans le cas d’une turbine : le rendement est donné par l’expression suivante :

a

net

P

P

Entre les instant t et t’=(t+dt), le fluide a échangé un travail net net net W P dt avec la machine

hydraulique net W est supposé positif s’il s’agit d’une pompe et négatif s’il s’agit d’uneturbine.

On désigne par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant

au niveau des sections S1 et S2.

A l’instant t le fluide de masse (dm1 + M) est compris entre S1 et S2. Son énergie mécanique

est :

2

1

22

1 1 1 1

1

2 2

S

mec pot cinS

dmV E E E dm g Z M g Z dm V

Figure 26 : Veine d’un fluide incompressible –Avec apport d’énergie.

A l’instant t’=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre S’1 et S’2. Son énergie

mécanique est :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2

1

22

2 2 2 2

1' ' '

2 2

S

mec pot cinS

dmV E E E M g Z dm g Z dm V

On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide entre t et t’ :« La variation de

l’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures.», en

considérant cette fois ci le travail de la machine hydraulique

1 1 2 2'mec mec net E E F dx F dx P dt

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2'mec mec net net E E P S dx P S dx P dt P d P d P dt en simplifiant on aura :

2 2 1 22 2 2 2 1 1 1 1 1 2

1 2

1 1

2 2 net

P P dm g Z dm V dm g Z dm V dm dm P dt

. Par conservation de la

masse : 1 2dm dm dm et puisque le fluide est incompressible : 1 2 on aboutit à

l’équation de Bernoulli :

2 2

2 1 2 12 1

2

net

m

P V V P P g Z Z

q

(54)

4. THEOREME D’ ’EULER :

Une application directe du théorème d’Euler (Attention, il s’agit ici du théorème d’Euler, etnon pas de l’équation d’Euler ) est l’évaluation des forces exercées par les jets d’eau. Celles-

ci sont exploitées dans divers domaines : production de l’énergie électrique à partir de

l’énergie hydraulique grâce aux turbines, coupe des matériaux, etc. Le théor ème d’Eulerrésulte de l’application du théorème de quantité de mouvement à l’écoulement d’un fluide :

ext m

dmV F q V

dt

quantité de mouvement. (55)

Ce théorème permet de déterminer les efforts exercés par le fluide en mouvement sur les

objets qui les environnent.

On considère un tube de courant et une surface fermée (surface de contrôle). On se propose

d'exprimer les actions mécaniques pouvant apparaître entre des fluides et des solides.

La résultante ( ext F ) des actions mécaniques extérieures exercées (les forces des volumes

et l’ensemble des forces du surfaces) sur un fluide isolé (fluide contenu dans l’enveloppe

limitée par S1 et S2) est égale à la variation de la quantité de mouvement du fluide qui entre

en S1 à une vitesse V1 et sort par S2 à une vitesse V2.

S1

S2

V1

V2

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2 1ext m F q V V

Exemple 1 : action d’un jet sur une plaque fixe

Un jet d’eau de vitesse V heurte normalement une plaque plane immobile. L’eau sera

supposée incompressible et son écoulement uniforme et stationnaire. On négligera les poids

du jet et de la plaque et on supposera que le jet se divise en deux demi-jets égaux.

On désigne par F, la force nécessaire pour maintenir la plaque en équilibre et Fs la force de

pression sur la plaque.

Théorème d’Euler : 2 1 s mmg F q V V

avec

m vq q VS

Projection selon Ox :

1

2 0

V V

V

Système en équilibre s F F

2

m sq V F F

F V S

Exemple 2 : action d’un jet sur un obstacle

Considérons un obstacle symétrique par rapport à l’axe Z . Le jet d’un écoulement de débit

massique mq , de vitesse1V et de direction parallèle à l’axe Z , percute l’obstacle qui le dévie

d’un angle β . Le fluide quitte l’obstacle à une vitesse2V de direction faisant un angle β par

rapport à l’axe Z .

V

Jet du liquide

Plaque

immobile

F

xO

Fs

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 27 : Exemple d’un jet d’eau.

La quantité de mouvement du fluide à l’entrée de l’obstacle est : 1mq V porté par l’axe Z .

La quantité de mouvement du fluide à la sortie de l’obstacle est : 2 cosmq V porté par l’axe

Z .

La force opposée au jet étant égale à la variation de la quantité de mouvement :

2 1cosm m R q V q V

La force F exercée sur l’obstacle en direction de Z est égale et opposée à celle ci :

1 2 cosm F q V V

5. CONCLUSION

Les lois et les équations établies dans ce chapitre en particulier l’équation de Bernoulli ont

un intérêt pratique considérable du moment où elles permettent de comprendre le principe defonctionnement de beaucoup d’instruments de mesure de débits tels que le tube de Pitot, le

tube de Venturi et le diaphragme…etc. Réservées aux fluides incompressibles, ces lois et

équations peuvent être employées dans certains cas particulier pour les fluides compressibles

à faible variation de pression.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Série 5-Force exercé par jet & énergie

Exercice N°1

Une pompe P alimente un château d’eau à partir d’un puits à travers une conduite de

diamètre d= 150 mm.

On donne :

- les altitudes :Z2=26 m, Z1= - 5 m,

- les pressions P1=P2=1,013 bar ;

- la vitesse d’écoulement V = 0.4 m/s,

- l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2

. On négligera toutes les pertes de charge.Travail demandé :

1) Calculer le débit volumique Qv de la pompe en l/s.

2) Ecrire l’équation de Bernoulli entre les surfaces 1 et 2.

3) Calculer la puissance utile Pu de la pompe.

4) En déduire la puissance Pa absorbée par la pompe sachant que son rendement

est de 80%.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Exercice N°2

On désire remplir un bassin en pompant de l’eau à partir de la nappe phréatique. Pour cela,

on utilise une pompe immergée qui aspire l’eau à partir du point A, situé à une altitude ZA=-

26 m. La pression au point A est PA=2 bar.L’eau refoulée par la pompe est ensuite acheminée dans une conduite de section circulaire et

de diamètre intérieur d=31 mm.

L’eau est évacuée avec un débit volumique qv= 2772 litre/heure par le point B situé à une

altitude ZB=30 m. On admet que la pression au point B est PB=1 bar.

La pompe est actionnée par un moteur électrique. Le rendement de l’ensemble moto- pompe

est η=80%.

On suppose que :

- le fluide est parfait,

- la vitesse d’aspiration est égale à la vitesse de refoulement (VA=VB=V).

On donne :

- la masse volumique de l’eau ρ=1000 kg/m3,

- l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2.

Travail demandé :

1) Calculer le débit massique qm de la pompe.

2) Quelle est la vitesse d’écoulement V de l’eau ?

3) En appliquant le théorème de Bernoulli, déterminer la puissance nette P n fournie par la pompe.

4) Calculer la puissance électrique consommée Pe.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Exercice N°3

La figure ci-dessus représente un barrage qui est équipé d’une turbine dont les aubes sont

entraînées par un jet d’eau sous pression.

La conduite de sortie de diamètre d= 2,5 m est située à une altitude Z 2=5m. Le débitvolumique qv=25 m3/s. On suppose que le niveau d’eau dans le barrage (Z1=30 m) varie

lentement (V1=0), et les pertes de charges sont évaluées à J12 =-32,75 J/kg.On donne :

- la masse volumique de l’eau: ρ =1000 kg/m3

- l’accélération de la pesanteur :g=9,81 m/s2

Travail demandé :

1) Calculer la vitesse V2 d’écoulement d’eau à la sortie de la canalisation en m/s.

2) En appliquant le théorème de Bernoulli, déterminer la puissance Pa disponible

sur l’arbre de la turbine en MW si son rendement η est de 60%

Exercice N°4

La figure ci-dessous représente un jet d’eau horizontal qui frappe un obstacle à un débit

massique qm=2 kg/s. L’obstacle provoque une déflexion du jet d’un angle β=120°.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



On désigne par V1 la vitesse d’écoulement de l’eau en entrée de l’obstacle. Elle est portée

par l’axe X et V2 désigne la vitesse d’écoulement de l’eau en sortie de l’obstacle. Elle est portée par une direction inclinée de l’angle β =120° par rapport à l’axe X.

On admettra que V1 =V2=3 m/s.

1) En appliquant le théorème d’Euler, donner l’expression vectorielle de la force F exercée

par le liquide sur l’obstacle en fonction de qm, V1 et V2 ensuite calculer ses composantes Fx etFy.

2) Quel est son angle d’inclinaison α ?

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Chapitre 4 : Perte de

charge

1. I NTRODUCTION

Dans le chapitre précédent nous avons supposé que le fluide était parfait pour appliquer

l’équation de conservation de l’énergie. L’écoulement d’un fluide réel est plus complexe que

celui d’un fluide idéal. En effet, il existe des forces de frottement, dues à la viscosité du

fluide, qui s’exercent entre les particules de fluide et les parois, ainsi qu’entre les particules

elles-mêmes. Pour résoudre un problème d’écoulement d’un fluide réel, on fait appel à desrésultats expérimentaux, en particulier ceux de l’ingénieur et physicien britannique Osborne

Reynolds.

Une méthode simplifiée de calcul des pertes de charge basée sur ces résultats expérimentaux

est proposée. Elle est indispensable pour le dimensionnement des diverses installations

hydrauliques (de pompage, de turbines, de machines hydrauliques et thermiques dans

lesquelles est véhiculé un fluide réel…etc.)

2. DYNAMIQUE DES FLUIDES VISQUEUX ET

INCOMPRESSIBLES

Dans le chapitre précédent, les forces de viscosité des fluides avaient été négligées. A partirde ce chapitre, nous allons les prendre en compte dans les calculs. Le théorème de Bernoulli

devra être complété, et différents régimes d’écoulement vont être mis en évidence.

Commençons par rappeler le théorème de Bernoulli tel qu’il s’écrit pour un fluide parfait :

Le long d’une L.C (Ligne du courant) :

21.

2

pv g z Cte

(56)

ce qui peut se résumer par un diagramme piézométrique :

Quelque soit le point choisi le long d’une L.C., la somme des trois termes d’énergie est

constante (pas de force de frottement, donc pas de perte énergétique…). Par ailleurs, les

vitesses en différents points d’une même section sont identiques.

Qu’en est-il pour un fluide réel ?

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 28 : Veine d’un fluide incompressible

Soit une section « S » d’un écoulement, on la décompose en petits éléments de surfacei

dS

voyant passer le fluide avec une vitesseiv :

Nous avions fait remarquer au chapitre précédent que nous pouvions toujours utiliser la

valeur moyenne de la vitesse pour une section donnée. Autrement dit, il est toujours possible

de travailler avec une valeur unique (la vitesse moyenne) plutôt que de travailler avec toutes

les valeurs sur la section.

Par définition, la valeur moyenne de la vitesse sur la sect ion « S » est :

0

1.

S

moy i iv v dS S

(57)

la norme du résultat trouvé peut alors être utilisée pour calculer le débit moyen, par la

formule usuelle :

. .moy moy moyQ S v S v (58)

Mais, nous pouvons remarquer que le théorème de Bernoulli ne fait pas intervenir

directement la vitesse, mais son carré…..Or, la moyenne du carré de la vitesse, qui s’écrit :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2 2

0

1.

S

i imoyv v dS

S (59)

n’a priori aucune raison d’être le carré de la moyenne :

22

moymoyv v (60)

En résumé, pour un fluide parfait, on pouvait écrire le théorème de Bernoulli à l’aide du

débit volumique :2

1.

2

mQ p g z Cte

S

Fluide Parfait

alors que ce n’est plus possible pour un fluide réel. On doit alors introduire un « coefficient

d’énergie cinétique » :

2

2

moy

moy

v

v

(61)

et le théorème de Bernoulli peut alors s’écrire :

21

. . .2

moy

pv g z Cte

Fluide réel

ou encore2

1. . .

2

mQ p g z Cte

S

(62)

Dans la pratique Le coefficient d’énergie cinétique

a été déterminé dans différentes conditions :

en régime laminaire, 2

en régime turbulent, dans un tuyau rectiligne de section constante et après un parcours

supérieur à 10 fois le diamètre, est généralement compris entre 1,02 et 1,15 suivant la

rugosité de la paroi

pour les fluides parfaits, 1 (évident)

En pratique (et c’est ce que nous ferons dans la suite de ce cours) dans le cas de fluidesréels en écoulement turbulent (soit la grande majorité des écoulements industriels) onprendra α =1 sans que cela amène une erreur appréciable.

3. PERTE DE CHARGE D’UN FLUIDE REEL

1.

Mise en évidenceDans cette expérience, un réservoir, qui garde son niveau constant grâce à un système detrop plein se déverse dans une canalisation sur laquelle sont disposées un certain nombre de

prises de pression statique. On constate :

que le niveau affiché dans les prises de pression est différent

que ce niveau diminue avec l’éloignement du réservoir

que cette diminution est proportionnelle à cet éloignement

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 29 : Perte de charge dans un circuit

Or, le théorème de Bernoulli tel que nous l’avons écrit précédemment nous donne, entre A et

B par exemple :

2 21 1. .

2 2 A B

A A B B

p pv g z v g z

(63)

avec, puisque la section du tube est constante A Bv v et le tube horizontal A B z z ce qui

conduit à A B p p et donc, à une même hauteur dans les prises de pression ! ! ! Il y acontradiction………

2.

Origine de la contradiction Origine de la contradictionDans le chapitre précédent, le théorème de Bernoulli a été interprété comme la somme de 3

Termes :

d’énergie

de pression

de hauteur

Commençons par le bilan énergétique par kg de fluide entre deux points (A) et (B) :

La conservation de l’énergie nous dit que Totale Totale E A E B ; De plus, nous savons que les forces de frottement (internes et sur la paroi) ont pour effet de

transformer une partie de l’énergie de départ en une autre forme d’énergie : l’énergiethermique

Energie totale en (1) s’écrit : Totale pression cinétique potentielle E A E A E A E A

Soit : 2

1 .2

A ATotale A

p v E A g z

Tandis que l’énergie totale en (B) s’obtient par :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Soit : 2

2 .2

B BTotale B frot

p v E B g z E

Où frot E est L’ENERGIE OBTENUE PAR FROTTEMENT, comptée positivement.

Ce qui donne :2 2

1 2. .2 2

A A B B A B frot

p v p v g z g z E

(64)

Ou encore, dans sa forme pratique ( 1):2 2

. .2 2

A A B B A B frot

p v p v g z g z E

(65)

Bilan de hauteur entre deux points (A) et (B) : la forme du théorème deBernoul li est alors :

2 2

. . . .2 2

A A B B A B

p v p v g z g z H

g g g g

(66)

Le terme H est appelée PERTE DE CHARGE.

Le diagramme piézométrique devient pour un fluide réel :

Figure 30 : Ligne de charge & piézométrique avec perte de charge.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



3.

Ecoulement à travers les machinesLorsqu’une machine hydraulique est présente entre les sections (1) et (2) considérées, il y a

là encore un nouveau terme à considérer.

Les deux types de machines qu’on peut rencontrer sont les POMPES et les TURBINES.

Les pompes sont des générateurs d’énergie mécanique, alors que les turbines sont desrécepteurs d’énergie mécanique.

L’énergie mécanique machine H amenée (au sens algébrique) par la machine est :

comptée POSITIVEMENT pour les POMPES

comptée NEGATIVEMENT pour les TURBINES

Le bilan en terme de hauteur est alors, dans sa forme simplifiée :2 2

. . . .2 2

A A B B A machine B

p v p v g z H g z H

g g g g

(67)

La sui te de ce chapitr e est consacréaux écoulements dans les conduitescyli ndr iques, qui sont les plus uti l isés industr iel lement.

Nous venons d’introduire dans le théorème de Bernoulli un terme de perte de charge.

Evidemment, il faut pouvoir calculer, ou plutôt estimer la valeur de ce terme de perte de

charge.

On considère habituellement DEUX types de perte de charge :

ECOULEMENT SANS BRUSQUE VARIATION DE VITESSE :dans une conduite rectiligne de section constante, ou dans un profil de conduite épousant la

forme de la veine de fluide, la vitesse varie très légèrement, et la chute de pression est due

aux seuls frottements visqueux, on parle alors de PERTE DE CHARGE LINEAIRE, ou

REGULIERE. Ce type de perte de charge dépend en particulier de la longueur de la

conduite.

ECOULEMENT AVEC BRUSQUE VARIATION DE VITESSE :

la vitesse peut varier brutalement sur une courte distance (en norme, ou en direction), lachute de pression qui en résulte est surtout due dans ce cas à la variation soudaine de la

quantité de mouvement du fluide. On parle dans ce cas de PERTE DE CHARGE

SINGULIERE. En première approximation, la perte de charge d’une installation SANSRAMIFICATION est la somme des différentes pertes de charge, linéaires et singulières.

4. LES DIFFERENTS REGIMES D’ECOULEMENT

1.

L’expérience de REYNOLDS A force d’expérimentations, l’ingénieur anglais Osborne Reynolds (1842 – 1912) a permis

de découvrir les caractéristiques propres à un fluide réel. L’expérience schématisée ci-

dessous met en évidence les deux catégories d’écoulement d’un fluide réel : un petit tube

permet d’injecter du colorant dans la conduite transparente où s’écoule de l’eau.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



à faible vitesse d’écoulement (vanne légèrement ouverte) le colorant se distribue de

façon ordonnée, suivant des lignes de direction parallèles à l’axe de la conduite.

Régime Laminaire

Une augmentation du débit (vanne très ouverte) donne des lignes de courant

chaotiques, le colorant se diffuse de façon désordonné, selon des lignes de courant

enchevêtrées.

Régime Turbulent

2.

Le nombre de ReynoldsComment savoir si un régime est ou sera laminaire ? turbulent ?

Reynolds a étudié l’influence des divers paramètres pour répondre à cette question.

Il eut l’idée d’introduire un nombre sans dimension, noté depuis « Re » et nommé « nombre

de Reynolds » :

. .Re hv D

(68)

avec :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



- masse volumique du fluide [kg m-3

] ;

- v : vitesse du fluide dans la conduite [m s-1] ;

-

Dh : diamètre hydraulique (Dh=4S/Pm) dans la conduite Dh =D [m] ;

-

viscosité dynamique du fluide [Pa s].

On vérifie aisément que le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension

Signi fi cation physique :

Le fluide est globalement soumis à 2 forces :

celle que subirait le fluide s’il était parfait : .inertie

dv F m a

dt

celle qui résulte des frottements : . . frottement

dv F S

dx

le rapport de ces deux forces : Reinertie

frottement

F

F

ainsi, si Re est très grand, il y a prédominance des forces d’inertie, par contre, aux faibles

valeurs, c’est la force de frottement qui domine.

Importance pratique :

le régime est LAMINAIRE pour Re 2000

le régime est TURBULENT pour Re 4000

le régime est TRANSITOIRE ou TURBULENT entre 2000 et 4000

Ces valeurs peuvent varier légèrement d’un ouvrage à un autre, mais en pratique, les

valeurs ne laissent pas d’ambiguïté. Elles seront franchement supérieures ou inférieure à

ces limites.

REMARQUE IM PORTANTE :

Pour un fluide parfait, la viscosité est nulle et on serait tenté de penser qu’alors le nombre de

Reynolds a une valeur infinie et que par conséquent le fluide parfait est toujours en régime

turbulent……..

IL N’EN EST RIEN : il n’est pas possible d’extrapoler le modèle de fluide parfait au modèle

de fluide à faible viscosité, puisque nous avons vu que pour un fluide réel la vitesse est nulleau contact de la paroi, tandis que pour un fluide parfait, cette vitesse (la même en tout point

d’une section) ne l’est pas. D’ailleurs, la distinction des deux types de régime n’a pas cours pour un fluide parfait……..

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



5. Calcul de perte de charge

En hydraulique, la perte de charge correspond à la dissipation, par frottements, de l’énergie

mécanique d’un fluide en mouvement sous forme de chaleur 1. On fait la distinction entre :

Les pertes de charges linéaires.

Les pertes de charges singulières.

Cette énergie doit être compensée afin de permettre au liquide de se déplacer. On l'exprime

couramment sous la forme d'une pression (on l'appelle aussi P), bien qu'elle soit en fait

représentative d'une dissipation d'énergie et qu'elle apparaisse dans l'équation de Bernoulli

comme une hauteur de colonne d'eau.

1.

Perte de charge linéaireLa perte de charge linéique est la dissipation d'énergie du fluide lors de son écoulement. Elle

est due à la résistance à l'écoulement issue de la viscosité du fluide d'une part, et auxfrottements entre le fluide et la paroi d'autre part.

Sur le plan pratique elle concerne les pertes existant sur les parties rectilignes des réseauxconstitués de canalisations.

a. Régime laminaire :

Maintenant que nous connaissons le profil de vitesse, nous

pouvons calculer le débit. Pour cela, imaginons une surface

élémentaire comprise entre les rayons y et y+dy. Sur cette

surface élémentaire dS la vitesse est v(y), et le débit à travers

dS est :

. ( ) 2 .y. . ( )dQ dS v y dy v y

et le débit total à travers la canalisation s’obtient par

intégration pour y allant de 0 à R :

*

2 2

0

2 .y . ( ) . .2

R R

v

pQ dy v y R y y dy

L

Le calcul donne :

4*

128v

D

Q p L

(69)

C’est la loi de HAGEN-POISEUILLE :

4

128v

DQ p g z

L

ATTENTION :

cette formule n’est pas celle d’un débit « variable ». En effet si la canalisation a une section

constante, le débit ne varie pas, mais, plus la longueur L de canalisation est importante, plus

la pression statique nécessaire est importante ;

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_des_fluides

http://fr.wikipedia.org/wiki/Perte_de_charge#cite_note-1


http://fr.wikipedia.org/wiki/Pression

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Bernoulli

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Bernoulli

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pression


http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_des_fluides

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Vitesse moyenneElle s’obtient facilement si on se rappelle que la vitesse moyenne est celle qui est utilisée

dans la formule du débit :

.vv moyQ Section

comme nous connaissons maintenant l’expression du débit, l’obtention de la vitessemoyenne est aisée :4 *

2. .8

moy

R p R v

L

Qui donne

*21

. .8

moy

pv R

L

(70)

Perte de charge

En écoulement permanent,

0 F

avec ici :

Force motrice : ce sont les forces de pression et le poids, c’est-à-dire

*

1 1 2 2S p gz p gz S p

Force de frottement : . frot c F p S

Ecoulement permanant, l’application du théorème de Bernoulli, en tenant compte des pertes

de charge nous amène à :*

c p p

(la vitesse est la même en (1) et en (2))

A l’aide du résultat précédent, on obtient l’expression de la perte de charge en régimelaminaire, pour une longueur « L » d’une canalisation de diamètre « D » :

En combinant ces trois équations :

*

4

2

128

. .4

. .R

v

v

e

L p Q

D

DQ v

v D

Donnent :

264 1. .

2c

e

L p v

R D

Finalement, on retiendra le résultat important suivant :

21 64. . avec

2c

e

L p v

D R

En régime laminaire.

En réprimant cette perte de charge en mce (en divisant par le poids volumique) exprimer en

Diamètre hydraulique:

2

2l h

Lv H

gD ( ) Darcy Weisback

(71)

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Avec

( ) Formule de Poiseuille

: coefficient de perte de charge de Darcy-Wesiback [-]

L : longueur de la conduite [m]

v : vitesse moyenne du fluide [m.s-1]

Dh : diamètre hydraulique [m]

b.

Régime turbulent

A tous les paramètres déjà retenus dans le cas du régime laminaire s’en ajoute un nouveau :

la rugosité de la paroi.

Le profil des vitesses et la perte de charge dépendent fortement de la rugosité des parois en

régime turbulent. Pour une conduite de diamètre « D », on définit une rugosité relative par le

quotient D où est une épaisseur moyenne caractérisant la hauteur, la forme, le nombre,

et la répartition des aspérités. Cette grandeur est appelée rugosité absolue.Pour un débit fixé, le choix du diamètre de conduite est dicté le plus souvent par la perte de

charge maximale admissible.

Tableau 6 : Exemples de rugosité absolue

MATIERE ETAT Rugosité absolue (en mm)

Tube étiré (verre, cuivre, laiton) < 0,001

Tube industriel en laiton 0,025

Tuyau en acier laminé

Neuf 0,05

Rouillé 0,15 < < 0,25Bitumé 0,015

Tuyau en acier soudé

Neuf 0,03 < < 0,1

Rouillé 0,4

Bitumé 0,25

Tuyau en fonte moulé

Neuf 0,25

Rouillé 1< < 1,5

Bitumé 0,1

Tuyau en cimentBrut 1 < < 3

Lissé 0,3 < < 0,8

64

Re

http://fr.wikipedia.org/wiki/Diam%C3%A8tre_hydraulique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Diam%C3%A8tre_hydraulique

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2

2l

h

Lv H

gD ( ) Darcy Weisback (72)

l’expérience montre que l’équation de Darcy-Weisbach est toujours valable, mais le

coefficient de perte de charge est fonction non seulement de Re mais aussi de la rugosité

de la paroi .

Expériences de NIKURADSE (1932) En 1932, Nikuradsé publia ses travaux au cours desquels il étudia l’influence de la rugosité

sur le profil des vitesses, dans des écoulements en conduite cylindrique. Il réalisait

artificiellement les différentes rugosités en revêtant la paroi intérieure de ses conduites, de

grains de sable calibrés par tamisage.

Ses résultats sont résumés par la courbe suivante :

dans le domaine Re 2000 : le coefficient de perte de charge vaut

64

Re quel que soit l’état de la surface

dans le domaine 54000 Re 10 :

le coefficient de perte de charge est donné par la relation de Blasius :0,25

0,316

Re

formule

dans laquelle la rugosité n’intervient pas, on parle d’écoulement turbulent lisse

dans le domaine 5Re 10 : le coefficient de perte de charge est donné par l’équation de Karman-Prandtl :

1 2,512logRe

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



le coefficient de perte de charge est indépendant du nombre de Reynolds. Son

expression est donnée par l’autre formule de Karman-Prandtl :

12log

3,71 D

Dans ce domaine, on dit que l’écoulement est turbulent rugueux

Formule de COLEBROOK ; diagramme de MOODYPour les conduites industrielles, les valeurs de coefficient de perte de charge s’alignent sur

une courbe régulière qui s’écarte légèrement de la courbe de Nikuradsé. Une équation empirique a été proposée par COLEBROOK en 1939 pour représenter la

totalité de la courbe, depuis Re 4000 jusqu’à 8Re 10

1 2,512log

3,71 Re D

Quand tend vers zéro, on retrouve l’équation du régime turbulent lisse, alors que lorsque

tend vers l’infini, on obtient le régime turbulent rugueux.

Il est souvent commode d’utiliser une représentation graphique de en fonction de Re ,

paramétrée par les valeurs du rapport /D . C’est le diagramme de MOODY :

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Figure 31 : Diagramme de Moody.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



2.

Perte de charge singulièreLa perte de charge singulière, localisée dans une section de la conduite, est provoquée par un

changement de direction et d’intensité de la vitesse (voir premier chapitre). L’écoulement

uniforme est perturbé et devient localement un écoulement non uniforme. La turbulence

joue un rôle considérable, alors que les forces de viscosité sont négligeables. La perte de

charge n’a donc lieu qu’en régime turbulent.

Une telle non-uniformité de la vitesse peut être provoquée par :- un branchement de section de la conduite,

- un changement de direction (coude),

- un branchement ou raccordement,

- un dispositif de mesure et contrôle de débit...

Comme pour les pertes de charge linéaire, les pertes de charges singulières se traduisent

par la relation :2

2 s

V H K

g

(73)

K est fonction des caractéristiques géométriques et du nombre de Reynolds.La valeur de K est donnée pour les différents cas les plus classiques dans les tableaux

suivants :

Forme de l’obstacle Coefficient de perte de charge singulière

K2

1

2

1 S

K S

1 K

en pratique : 1,06 <K<1,1

2

1

2

0, 2 2 S

K S

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



0,5 K

2

11

c

K C

avec

3

2

1

0,59 0,41 S

K S

6. ECOULEMENT A TRAVERS LES ORIFICES

Les coefficients hydrauliques sont :

- Le coefficient de vitesse Cv.

-

Le coefficient de contraction Cc.

- Le coefficient de débit Cd.

1.

Le coefficient de vitesseC’est le rapport entre la vitesse réel de l’écoulement et la vitesse théorique

2

2

R R Rv

Th

gH H V C

V gH H (74)

HR est la charge réelle de l’écoulement en tenant compte de la perte de charge. CV varie entre

0,95 et 0,99. Pour les orifices à paroi mince on prend CV=0,98.

2.

Le coefficient de contraction

Il décrit la contraction de la veine liquide à la sortie de l’écoulement, il est égale au rapportentre la section contractée SC et la section réelle de l’orifice.

cc

S C

S (75)

La valeur de CC varie entre 0,61 et 0,69 suivant la forme de l’orifice, la charge du liquide au-

dessus de l’orifice. En général en prend une valeur autour de 0,64.

3.

Coefficient de débit :Le coefficient de débit est définie comme étant le rapport entre le débit réel sortant de

l’orifice et la débit théorique.

R c Rd v c

Th Th

V S QC C C Q V S

(76)

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



Ainsi on peut exprimer le débit volumique réel:

2 R d Q C S gh

Le coefficient de débit varie entre 0,61 et

0,65. La valeur 0,62 est souvent prise.

La paroi est dite mince lorsque la veine de

fluide ne touche que l’arête intérieure de

l’orifice. L’écoulement peut avoir lieu

verticalement ou horizontalement, mais dans

tous les cas, la veine de fluide subit une

contraction.

On note S c la section minimale de la veine à

la sortie du réservoir.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014


– ENIT – LMHE (2013/2014) 1

Série 6-Perte de charge

Exercice N°1

Une conduite transportant de l’huile (densité 0,877) passe d’un diamètre de 15 cm en A à un

diamètre de 45 cm en B, situé 3,66 m plus haut que A.

On a : PA = 91 kPa, PB = 60,3 kPa, qv = 146 l/s ;

Quelle est la perte de charge entre A et B ? Quel est le sens de circulation du fluide ?

Exercice N°2

Une pompe de débit volumique qv=2 l/s et de rendement η =70 % remonte de l’eau à partir

d’un lac jusqu’au réservoir situé sur une colline.

L’eau est acheminée dans une conduite de diamètre d=130 mm formée de trois tronçons

rectilignes et lisses :

- AB de longueur L1= 10 m,

- CD de longueur L2= 12 m,

- EF de longueur L3= 8 m,

Et de deux coudes à 45° : BC et DE : ayant chacun un coefficient de perte de charge K=0,33.On suppose que :

- les niveaux d’eau varient lentement, - les niveaux Z1=0 m , Z2= 10 m,

- les pressions P1=P2=Patm ;

- la viscosité dynamique de l’eau : μ =10-3

Pa.s,

- la masse volumique de l’eau : ρ =1000 kg/m3,

- l’accélération de la pesanteur : g=9,81 m/s2.

Travail demandé :

1) Calculer la vitesse V d’écoulement d’eau dans la conduite en m/s.

2) Calculer le nombre de Reynolds Re.

3) Préciser la nature de l’écoulement.

4) Déterminer le coefficient de perte de charges linéaire λ , en précisant la formule utilisée.5) Calculer les pertes de charges linéaires.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



6) Calculer les pertes de charges singulières.

7) Déterminer la puissance nette Pn de la pompe en Watt.

8) En déduire la puissance Pa absorbée par la pompe.

Exercice N°3

Du fuel lourd de viscosité dynamique μ = 0,11 Pa.s et de densité d=0,932 circule dans untuyau de longueur L=1650 m et de diamètre D=25 cm à un débit volumique qv=19,7 l/s.

On donne la masse volumique de l’eau 1000 kg /m3

Travail demandé :

1) Déterminer la viscosité cinématique ν du fuel.

2) Calculer la vitesse d’écoulement V.

3) Calculer le nombre de Reynolds Re.

4) En déduire la nature de l’écoulement.

5) Déterminer le coefficient de pertes de charge linéaire.

6) Calculer la perte de charge Hl dans le tuyau.

Exercice N°4

On décharge du pétrole à l’aide d’un tuyau allant d’un point 2 de cote 66,6 m à un point 1

situé à 965,5 m du point 2 et de cote 82,65 m, à une pression de 2,5 kPa. Sachant que la

rugosité du tuyau est de 0,5 mm, quel est le diamètre nécessaire pour décharger ce pétrole

avec un débit de 0,1 m3/s ?

On donne : =2,92 10-3

Pa ; ρ=719 kg / m3

Exercice N°5

La figure suivante représente une installation utilisée dans un parc d’attraction.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014



L’installation est composée:

- d’une conduite d’aspiration AB horizontale de diamètre d = 15 cm et de longueur L1 = AB

= 10 m.

- d’une pompe centrifuge ayant un rendement η = 0,8 qui aspire l’eau à un débit volumique

qv= 10,6 l/s depuis une piscine et la refoule en D, vers un toboggan.

- d’une conduite de refoulement CD verticale de diamètre d = 15 cm et de longueur L2 =CD=

8 m.

- d’un toboggan formant un canal descendant permettant d’acheminer par gravité l’eau vers

la piscine.

L’eau reste en circuit fermé : piscine, tube AB, pompe, tube CD, toboggan, piscine.…etc.

On donne :

- la masse volumique de l’eau : ρ = 1000 kg/m3,

- la viscosité dynamique de l’eau : μ = 10 - 3 Pa.s,

- l’accélération de la pesanteur : g = 9,81 m/s2.

- La pression PO = PD = Patm= 1 bar,

- ZO = 1,5 m (O est un point de la surface libre de l’eau dans la piscine).

- ZA = ZB = 0 m.

- ZC= 0,3 m.

- ZD= 8,3 m

On suppose que toutes les pertes de charge singulières sont négligeables.

1) Calculer la vitesse d’écoulement V dans la conduite.

2) En appliquant le Théorème de Bernoulli entre un point O de la surface libre de la piscine

et le point A, calculer la pression PA.

On suppose que le niveau de l’eau dans la piscine reste constant (VO =0).

3) Déterminer le nombre de Reynolds Re dans la conduite.

4) En déduire la nature de l’écoulement.

5) Calculer le coefficient de perte de charge linéaire λ.

6) Déterminer la perte de charge linéaire JL entre A et D.

7) En appliquant le théorème de Bernoulli entre A et D, déterminer la puissance nette Pn

développée par la pompe.

8) En déduire la puissance Pa absorbée par la pompe.

7/23/2019 2gc3Cours HG v2014


Documents

2gc3Cours HG v2014