I.  rappel sur les fonctions.

•   Soit f une fonction définie sur un intervalle I . Et soit T un réel non nul. Dire que f est une fonction de période T signifie que :       

 

période

f(x+T)= f(x)

En outre pour démontrer qu’une fonction est de période T il suffit de montrer que l’égalité précédente est vraie.

Parité Le but de l’étude de la parité est de trouver une relation entre: f(x) et f(-x)

Fonction paire :

Une fonction est paire si elle admet

l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Comme exemple de fonction paire on retient la fonction f(x)=x2 dont la représentation est la suivante :

une fonction est donc paire si :

f(x)=f(-x)

Fonction impaire :

Une fonction est impaire si elle admet

l’origine comme centre de symétrie

Comme exemple de fonction impaire on retient la fonction f(x)=x

dont la représentation nous est donné ci-après :

Une fonction est donc impaire si :

f(x)=-f(-x)

II.  Définition des fonction

sinus et cosinus Définition générale

C est le cercle trigonométrique c’est à dire le cercle de rayon 1 et de centre o. Soit A et M deux points distincts tq :

radianenxoMoA ),( ,,

Notons P le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses et Q le projeté sur l’axe des ordonnées.

De même si on trace la droite (t) qui est une tangente au cercle au point A et soit T le point de rencontre entre(OM)et (t).

Par définition on a :

Cos(x)= oP sin(x)= oQ ATtan( x)=

Remarque : si on applique Thalès dans le triangle oAT on démontre que tan(x)=sin(x)/cos(x)

périodicité

D’après les définitions qu’on vient de poser on peut dire que la fonction sin(x) et la fonction cos(x) est de période 2

Il en résulte alors de ces définitions que pour tout réel x on a :

cos(x+2k)=cosx sin(x+2K)=sinx

correspondance radian-degré :

On vient de voir la correspondance radian degré de certains angles remarquables. Avec l’habitude on arrive très vite à convertir un angle donné en degré en sa valeur en radian. D’une manière générale il faut retenir que radians vaut . 180°.

Pour convertir une valeur on peut faire un tableau de proportionnalité et utiliser la règle du produit en croix.Exemple : si on veut convertir 30° on utilise le produit en croix de la façon suivante :

180Valeur de x en degré

30

Valeur de x en radian

?

  ?=(30*)/180?= /6

III.  Valeur remarquables et

formules trigonométriques Valeur remarquables

En commençant à l’origine on numérote chaque fraction 1,2,3.. Sur chaque numérateur on place une racine carré

      on sait que les valeurs sont toutes des fractions.: on sait que tous les dénominateur seront égales à 2.

Si on veut trouver la tangente pour ces valeurs remarquables on a tan(x)=(numérateur de sin(x) )/(numérateur de cos(x)).

Pythagore dans le cercle trigonométrique

Si on applique Pythagore dans le cercle trigonométrique on obtient :

Cos2x+sin2x=1

Formule d’addition

Il faut se dire que cosinus est raciste car il ne veut pas se mélanger avec son confrère et en plus il bouleverse le signe; alors que sinus présente les caractères opposés.

Cos(a-b)= cosa.cosb + sina.sinb

Sin(a+b)= sina.cosb + sinb.cosa

Avec ces formules je vous laisse le soins de démontrer les formules de duplication (exercice pour la prochaine séance)

Formule de duplication

Cos(2a)=cos2a-sin2a=1-2sin2a=2cos2a-1

Sin(2a)=2sinacosa.

Cos(a)=1-2sin2(a/2)

Sin(a)=2sin(a/2)cos(a/2).

IV.

Équation trigonométrique  Résolution lorsque l’un des membres est une valeur remarquable

Résolution sin(x)=a

On transforme alors l’équation en sin(x)=sin() . Sur le cercle trigonométrique, on voit que deux angles ont le même sinus si et seulement si ils sont égaux ou supplémentaires :

on en déduit alors sin(x)=sin() équivaut à:

x=+2K x=(-)+2K

résolution de cos(x)=a

On transforme alors l’équation en cos(x)=cos() . Sur le cercle trigonométrique, on voit que deux angles ont le même cosinus si et seulement si ils sont égaux ou opposé :

on en déduit alors cos(x)=cos() équivaut à:

x=+2Kx=-+2K

résolution pour des valeurs quelconques

En général on va utiliser les formules dites de remplacement.

Ces formules sont là pour nous aider à résoudre des équations du types cosx=a ou sinx=a; ou a ne serait pas exactement une distance qui correspond à un angle remarquable. En effet pour l’instant on sait résoudre ce type d’équation que si a correspond à des valeurs remarquables. On va pouvoir cependant se ramener au cas étudier précédemment en utilisant les formules dites de remplacement.

Si on considère un angle t on peut dire que Les formules de remplacements sont de trois types :

Remplacement par l’opposé.

Remplacement par rapport à /2.

Remplacement par rapport à .

Pour retenir ces formules on peut s’aider du cercle trigonométrique (c’est d’ailleurs le cas pour les autres formules et c’est aussi ce qu’on doit faire pour commencer tout exercice de trigonométrie) :

On supposeCos(t)=0.8

On supposeSin(t)=0.6

On contruit le cercle de la façon suivante

En vous aidant du cercle je vous laisse le soin de retrouver les Formules qui suivent:

Formule de l’opposé :

Cos(t)= cos(-t)

Sin(t)= -sin(-t)

Remplacement par rapport à /2

Cos(/2-t)= sin(t)

Cos(/2+t)= - sin(t)

sin(/2-t)= cos(t)

sin(/2+t)= cos(t)

soit o un point du plan. Jusqu’à présent on avait l’habitude de travailler avec les coordonnées cartésiennes

où un point du plan était caractérisé par son abscisse x et par son ordonné y. on va voir dans cet partie qu’un point peut tout aussi bien être localisé par ces coordonnées polaire.

Coordonnés polaires

Soit M un point du plan distinct de O. un couple de coordonnées polaires de M, est un couple (r,), où r est la distance OM et est une mesure de l’angle orienté . 

Si M a pour coordonné (r, ), alors on a l’égalité vectorielle :

+r sin cosroM i j

x= r cosy= r sin