I

Leçon 1- Nombres entiers. Diviseurs- Multiples

VOCABULAIRE

Abscisse

Addition

Nombre relatif

Grandeur

Soustraction

Produit

Multiplication

Division

Quotient

Parenthèse

Diviseurs

Multiples

Nombres premiers

10 est divisible par 5

Caractères de divisibilité

Diviseurs communs

Le plus grand commun diviseur PGCD

Le plus petit commun multiple PPCM

Décomposition en facteurs premiers

Tous les diviseurs d’un nombre naturel

Dépense

Outil

Enlever

Ajouter

Abcisa

Suma

Número entero (positivo o negativo)

Magnitud

Resta

Producto

Multiplicación

División

cociente

El paréntesis

Divisores

Múltiplos

Números primos

10 es divisible entre 5

Criterios de divisibilidad

Divisores comunes

Máximo común divisor

Mínimo común múltiplo

Descomposición en factores primos

Todos los divisores de un número

Gasto

Herramienta

Quitar (en el sentido de restar)

Sumar, añadir

La division euclidienne (recherche)

a) Transforme en minutes.

2h 15 min =

5h 12 min =

7h 35min =

15h 15 min =

27h 58 min =

b) Transforme en heures et minutes (mentalement ou avec la calculatrice)

78 min =….

1235 min = ….

134 min = ….

3645 min = ….

243 min = …….

783 min = …..

357 min = ….

851 min = ….

675 min = ….

971 min = ….

c) Écris les différents calculs qui te permettent de transformer 971 minutes en heures et minutes.

Écris une égalité semblable à celle proposée mais sans utiliser les unités.

971 min = 16 h 11 min

971 = ……………

d) Dans chaque cas, complète la première égalité, puis transforme-la sans utiliser les unités.

133 min = ……….h ………min

133 =

180 min = ……….h ………min

180 =

215 min = ……….h ………min

215 =

250 min = ……….h ………min

250 =

719 min = ……….h ………min

719 =

e) Complète le tableau en utilisant des nombres naturels.

dividende

diviseur

quotient

reste

égalité

72

5

14

2

72=5.14+2

109

25

137

9

202

20

120

17

En désignant le dividende par a, le diviseur par b, le quotient par q et le reste par r, trouve une égalité reliant ces quatre nombres

D= d·c+r

d

r

c

d

D

+

=

Lorsque a est un multiple de b et de reste dans la division euclidienne de a par b est nul, on dit que a est divisible par b.

Exemple: 18= 6 x 3 18 est un multiple de 6

18 est divisible par 6

6 est un diviseur de 18

Un nombre entier est divisible par 2 s’il termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Un nombre entier est divisible par 5 s’il termine par 0 ou 5.

Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Un nombre entier est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11.

Outils pour le calcul de nombres relatifs

1. Notation simplifiées de l’addition et de la soustraction

Pour passer aux notations simplifiées dans une suite d’additions et soustractions :

On garde le signe intérieur pour les parenthèses précédées de signe +

Exemple : +(-5) = -5 ; +(+5) =+5

On change le signe intérieur pour les parenthèses précédées de signe –

Exemple : -(-5) = +5 ; -(+5) =-5

2. Règle de calcule pour l’addition et la soustraction.

Pour faire la somme de deux nombres relatifs on les écrit d’abord en forme simplifiée et après :

Si les nombres, dans leur forme simplifiée, ont le même signe on fait la somme des parties numériques et on ajoute ce signe au résultat.

(+3)+(+7) = +3+7 = +10

(-4)+(-6) = -4-6 = -10

Si les nombres, dans leur forme simplifiée, n’ont pas le même signe on fait la différence des parties numériques et on ajoute le signe du plus grand d’entre eux au résultat.

(+6)+(-4) =+6-4 = +2

(+6)+(-8) =+6-8 = -2

Pour faire la soustraction de deux nombres relatifs on les écrit d’abord en forme simplifiée et après :

Si les nombres, dans leur forme simplifiée, ont le même signe on fait la somme des parties numériques et on ajoute ce signe au résultat.

(+3)-(-7) = +3+7 = +10

(-4)-(+6) = -4-6 = -10

Si les nombres, dans leur forme simplifiée, n’ont pas le même signe on fait la différence des parties numériques et on ajoute ce signe au résultat.

(+6)-(+4) =+6-4 = +2

(+6)-(+8) =+6-8 = -2

3. Règle des signes pour les produits et les quotients

Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif.

(+4)·(+5) = 4·5 = +20

Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif.

(-4)·(-5) = +20

Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est un nombre négatif.

(-4)·(+5) = -20

(+4)·(-5) = +20

Le quotient de deux nombres positifs est un nombre positif.

8

5

40

+

=

+

+

Le quotient de deux nombres négatifs est un nombre positif.

8

5

40

+

=

-

-

Le quotient d’un nombre positif et d’un nombre négatif est un nombre négatif.

8

5

40

-

=

+

-

où bien

8

5

40

-

=

-

+

4. Règles de calcul avec parenthèses

a. On effectue d’abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

(9 + (5-6+1))· (4-9) = (9+0)· (-5) = (+9) · (-5) = -45

b. Dans une expression sans parenthèses on effectue les multiplications et les divisions avant que les sommes et les soustractions.

5 + 5·3 – 2 – 5·6 + 7·8 = 5+15-2-30+56 = -10-2-30+56 = -12-30+56 = -42+56 = 14

c. Dans une expression sans parenthèses où on n’a que des addictions et des soustractions, on effectue les calculs de la gauche à la droite.

5-15-2-30+56 = -10-2-30+56 = -12-30+56 = -42+56 = 14

d. Lorsqu’on a un quotient où le numérateur (ou le dénominateur) ont la forme d’une expression, on procède comme si ce numérateur était écrit entre parenthèses.

3

7

5

)

8

5

(

·

3

)

2

15

(

9

+

-

-

+

-

-

=

3

2

)

3

·(

3

13

9

+

-

-

+

-

=

1

9

4

+

-

-

=

1

13

+

-

= -13

e. Pour remplacer une multiplication « compliquée » pour une multiplication « simple » selon les valeurs concernées.

7·(6+2) = 7· 6 + 7·2 = 42+14 = 56

7·(6-2) = 7· 6 – 7·2 = 42-14 = 28

K · (a+b) = (k · a) + (k · b )

et K · (a-b) = (k · a) - (k · b )

5. Puissance des nombres entiers relatifs

Les nombres relatifs sont l’ensemble des nombres positifs et négatifs. Nous avons déjà étudié la puissance des nombres entiers positifs.

Rappelons :

La répétition d’un même facteur devrait normalement s’exprimer comme une puissance : l’écriture 5 x 5 concentrée en « 52 » devrait se lire « 5 exposant 2 » ou « 5 puissance 2 » alors qu’on dira plus volontiers « le carré de 5 » ou encore « 5 au carré » pour 52 .

Mais il faut faire attention

(-3)2 

®

moins trois au carré

-32

®

moins, trois puissance deux

Puissance avec une base positifs

25

)

(

5

)

(exp

2

=

base

osant

EMBED Equation.3 Par convention

)

0

(

1

0

¹

=

a

avec

a

Une puissance est un produit de facteurs égaux à la base (5) répétés 2 fois (l´exposant) :

5

5

5

2

·

=

On lit : a2 « a carré » ou « a au carré »

a3 « a cube » ou « a au cube »

an « a exposant n » ou « a puissance n »

PROPRIÉTÉS DES PUISSANCES

a. Puissance d’un Produit: est égale au produit de la puissance des facteurs.

b. (a . b)n = an . bn

(a . b)5=a5 . b5

(3 . 8)4=34 . 84

c. Puissance d’une Division: est égale à la division des puissances.

d. (a : b)n = an : bn

(a : b)5=a5 : b5

(3 : 8)4=34 : 84

e. Puissance d’autre puissance: est une puissance avec la même base et qui a par exposant le produit des exposants.

(

)

(

)

m

n

m

n

a

a

a

a

a

·

·

=

=

=

;

15

3

5

3

5

f. L’addition et la soustraction n´ont pas de propriétés. Exemple :

g. (4+3)2

¹

42 + 32 puisque (4+3)2 = 72 = 49 et 42+32 = 16+9 = 25

h. (4-3)2

¹

42 - 32 puisque (4-3)2 = 12 = 1 et 42-32 = 16-9 = 7

i. e) Le produit de deux puissances de la même base est une puissance qui a la même base et dont l’exposant est égal à la somme des exposants.

m

n

m

n

a

a

a

a

a

a

+

+

=

×

=

×

;

2

3

2

3

j. f) La division de puissances avec la même basse est une puissance avec la même basse et l’exposant est égal à l’exposant du numérateur moins l´exposant du dénominateur.

m

n

m

n

a

a

a

a

a

a

-

-

=

=

;

2

8

2

8

Puissance avec une base négatif

(

)

(

)

(

)

25

5

·

5

)

(

5

)

(exp

2

=

-

-

=

-

base

osant

EMBED Equation.3 Par convention

)

0

(

1

0

¹

=

a

avec

a

Une puissance est un produit de facteurs égaux à la base (-5) répétés 2 fois (l´exposant) :

25

5

5

5

2

=

·

=

(

)

(

)

(

)

125

5

5

5

)

(

5

)

(exp

3

-

=

-

-

-

=

-

base

osant

Une puissance est un produit de facteurs égaux à la base (-5) répétés 3 fois (l´exposant) :

125

5

5

5

5

3

-

=

·

·

=

En résumé :

Si l’exposant est pair le résultat est positif

(

)

positif

a

pair

n

-

)

(

Si l’exposant est impair le résultat est négatif

(

)

négatif

a

impair

n

®

-

)

(

La racine carrée 

La racine carrée est l´opération contraire du carré d´un nombre.

25

5

5

25

2

=

Û

=

ou bien

a

b

b

a

=

Û

=

2

Exercices

1º) Dans une division euclidienne, le diviseur est 9, le quotient est 12 et le reste est 3. Quel est le dividende ?

2º) Le quotient entier de la division de a par 7 est 32 et le reste est 5. Que vaut a ?

3º) Le quotient entier de la division de 445 par b est 32 et le reste est 7. Que vaut b ?

4º) Quels sont les plus petits nombres qu’il faut enlever et ajouter au nombre 371 pour que le reste de sa division par 8 soit égal à 0 ?

5º) Dans une division euclidienne, le diviseur est 6 et le quotient est 8. Quels sont les dividendes possibles ?

6º) Luis dit à ses 5 frères : « Si je vous donne à chacun 6 billes, il me restera 7 billes ». Et si Luis donne 7 billes à chacun de ses frères, combien des billes lui reste-t-il ?

7º) Un stage de volley-ball est organisé à l’école durant les vacances de Pâques. Si tu sais que 21 filles et 27 garçons y participent, détermine le nombre d’équipes féminines, le nombre d’équipes masculines et le nombre d’équipes mixtes que les moniteurs peuvent former (une équipe de volley est composée de 6 joueurs)

8º) Combien de sachets contenant chacun 12 œufs en chocolat peut-on préparer avec un sac de 4 kg, si on sait que 1 kg contient 100 oeufs. Combien restera-t-il d’oeufs après la confection des petits sachets ?

9º) Exprime en langage mathématique …

a) un nombre naturel multiplié par 7.

b) Un nombre naturel pair

c) Deux nombres naturels multiples de 3 consécutifs

d) Trois nombres naturels multiples de 4 consécutifs.

e) Le carré d’un nombre naturel impair.

f) Le cube d’un nombre naturel pair.

g) Le double d’un nombre naturel.

h) Trois nombres naturels impairs consécutifs

i) Un multiple de 5

j) Un multiple de 5 augmenté de 2

6º) La somme de deux nombres consécutifs vaut 39. Quels sont ces nombres ?

7º) La somme de trois nombres consécutifs vaut 36. Quels sont ces nombres ?

8º) La somme de deux nombres pairs consécutifs vaut 38. Quels sont ces nombres ?

9º) La somme de deux multiples de 3 consécutifs vaut 27. Quels sont ces nombres ?

10º) La somme des deux nombres vaut 216 et leur PGCD (Le Plus Grand Commun Diviseur) 18. Détermine ces deux nombres.

11º) Le produit de deux nombres vaut 21 600 et leur PPCM (Le plus Petit Commun Multiple) est 360. Quels sont ces deux nombres?

12º) Exprime les grandeurs ci-dessous en utilisant des unités plus adéquats.

La taille d’un enfant

1,5 . 10

3

-

km

Le poids d’une lettre

2. 10

2

-

kg

La capacité d’une citerne de mazout

2,5 . 10

5

cl.

L’altitude approximative du Mont Blanc 4,8 . 10

6

mm

Euclides

Les renseignements concernant la vie d’Euclide sont rares et on ne connaît même pas avec certitude les dates de naissance et de mort de ce mathématicien exceptionnel. Il serait né vers 350 avant Jésus-Christ. Il fonda l’école d’Alexandrie où il enseigne les mathématiques durant de nombreuses années.

Euclides a écrit un nombre important d’ouvrages, mais l’histoire ne retiendra que ses Éléments composés de 13 livres. Cet ouvrage serait le plus imprimé dans le monde … après la Biblie.

Euclide terminait l’exposé d’un théorème par la formule « ce qu’il

fallait démontrer » phrase traduit en latin par « quod erat demostandum ». Notons que l’abréviation cqfd ne figure pas dans le Littre (dictionnaire de XIXe siècle), mais fait partie des expressions mathématiques actuelles. Ce cqfd est d’ailleurs parfois utilisé par des non mathématiciens pour signifier qu’une proposition a été prouvée.

+, -, *,  : DES SYMBOLES TRÈS ANCIENS

Jusqu’aux années 1500, le signe + est employé pour indiquer un bénéfice ou l’excès de poids d’une marchandise, le signe – pour un débit (une dépense, par exemple) ou une insuffisance de poids.

On trouve pour la première fois ces signes comme symbole de l’addition et de la soustraction dans un « Traité d’arithmétique à l’usage des commerçantes» écrit en allemand ( et non, comme d’habitude, en latin) par Johannes Widman, vers 1489.

Alors que jusqu’au XVIe siècle chez nous, on utilise les lettres p pour « plus » et m pour « moins » .

L’usage du signe x pour la multiplication fut généralisé par le mathématicien anglais Wiliam Oughtred, professeur à l’université de Cambridge, travailleur infatigable, ce qui ne l’empêcha pas de vivre jusqu’à quatre-vingt six ans !

:

Employé d’abord pour soustraire, ce signe devint celui de division grâce à l’anglais Jonh Wallis, prêtre érudit (il parlait couramment le latin, le grec, l’hébreu et ….. l’anglais), professeur à l’université de Oxford.

Leçon 2.-Systèmes de numération décimale et sexagésimale.

Valeur approchée

Ranger

Valor aproximado

Ordenar

Nombre décimal. – Nombre entier suivi d’une fraction décimale. On écrit d’abord le nombre entier ; on met une virgule à la droite ; on écrit successivement les dixièmes, les centièmes, les millièmes, etc. Ainsi 16 et 47 millièmes s’écrit 16,047. Pour rendre un nombre décimal dix fois, (100 fois, 1000 fois) plus grand, on déplace la virgule d’un (de deux, de trois) rang vers la droite. Ainsi 23,42 × 10 = 234,2. Pour rendre un nombre décimal dix fois (100 fois, 1000 fois) plus petit, on déplace la virgule d’un (de deux, de trois) rang vers la gauche. Ainsi 23,42 ÷ 10 = 2,342

Fraction décimale. – Une ou plusieurs parties de l’unité divisée en 10, 100, 1000, ... parties égales. Lorsque les parties sont contenues 10 fois dans l’unité, on parle de dixièmes. Lorsque les parties sont contenues 100 fois dans l’unité, on parle de centièmes. Lorsque les parties sont contenues 1000 fois dans l’unité, on parle de millièmes. Ainsi, 0,3 se lit trois dixièmes, 0,24 se lit 24 centièmes et 0,237 se lit 237 millièmes. Chaque fois qu’on ajoute un chiffre autre que zéro à droite, il représente des unités dix fois plus petites que celles de la précédente. Ces unités sont dans l’ordre :

 

dixièmes

centièmes

millièmes

dix-millièmes

cent-millièmes

millionièmes

0,

4

6

2

9

7

5

On peut lire 4 dixièmes, 46 centièmes, 462 millièmes, etc. On ne change pas la valeur d’une fraction décimale quand on ajoute un ou des zéros à sa droite. On peut construire des carrés magiques avec des fractions décimales. En voici un dont la densité est 0,27 :

0,13

0,02

0,12

0,08

0,09

0,1

0,06

0,16

0,05

Pour transformer une fraction ordinaire en une fraction décimale, on n’a qu’à faire la division, comme 3 ÷ 8 pour 3/8. La fraction 3/8 est égale à 0,375. Pour convertir une fraction décimale en fraction ordinaire, on prend le nombre sans la virgule comme numérateur et on le divise par le nombre 1 suivi d’autant de zéros que de chiffres du numérateur. Par exemple, 0,624 est égal à 624/1000.

milliers

centaines

dizaines

unités

dixièmes

centièmes

millièmes

6

3

2

7,

8

5

4

EXERCICES :

1º). Compléter les phrases suivantes :

1unité égal …………… dixièmes

1 centaine égal ………. dizaines

1 centième égal 10 …………

1 ……………….. égal 100 millièmes

1 douzaine égal ……. …………

1 …………………égal 10 000 dixièmes

1 dizaine égal 100 ……………………….

1 millième est égal …………….unités

2º). Encadrer le nombre 3,625 :

a) à l´unité près : b) au dixième près :

3º). Supprimer les zéros inutiles dans les nombres suivants :

a) 0,721 ; 305 ; 0,200 ; 3, 201  b) 28,30 ; 50, 28 ; 0,25 ; 05,305 ; 0103,50.

4º). Écrire en chiffres :

a) dix-sept unités et neuf millièmes.

b) cinquante-quatre unités et douze centièmes

c) mille six cent trente unités et deux dixièmes.

d) trois cents unités et cinq millièmes

Attention¡ L´orthographe de mille est invariable. L´orthographe de vingt et cent sont invariables quand ils sont suivis d´un autre chiffre. Exemples : trois mille, quatre-vingt-deux, trois cent un, quatre-vingts, trois cents.

5º) Valeurs approchées d’un nombre décimal

Donner une valeur approchée au dixième du nombre 78,94706

Donner une valeur approchée au centième du nombre 78,94706

Donner une valeur approchée au millième du nombre 78,94706

6º) Écrire en fraction (écriture fractionnaire) :

21357

213,57;5,3;82,9;0,82;920,3

100

=====

7º)Ranger ces nombres par ordre croissant :

379619

13;19;13;20;19

10100101010100

++++++

8º)Ranger ces nombres par ordre décroissant:

12 x 1000 ; 17 x 100 ; 1500 : 10 ; 52 000 : 100 ; 650 x 10

9º). Écrire en décomposant. Exemple: 213, 57 =

57

213

10100

++

= (2 x 100) + (1 x 10) + (3 x 1) + (5 x 0,1) + (7 x 0,01).

Écrire de même : 27, 28 ; 18, 6 ; 9,07 ; 23,405 ; 17,25.

10º). Donner une écriture décimale des nombres :

353395715

9;16;8;36;7

1010100100101001000101000

+=++=+=+++=++=

11º)Donner une écriture décimale des nombres : (3 x 10) + (5 x 1) + (4 x 0,1) + (2 x 0,01) ; (9 x 100) + (4 x 1) + (3 x 0,1) + (9 x 0,01) ; (6 x 10) + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) ; (2 x 10) + (3 x 1) + (5 x 0,01).

12º)Comparer et encadrer

a) Parmi les nombres 5,2 5,02 5,20, certains sont-ils égaux ?

b) Compléter :

5,25;5,025;5,205

101001010010100

=++=++=++

.

13º) Abscisse d´un point. C´est le nombre correspondant à un point sur une droite graduée régulièrement.

Quels nombres correspondent aux point A, B, C, D, E dans chaque cas ?

A

B

C

D

E

1

2

B

D

E

3,6

3,7

SYSTÈME DE NUMÉRATION SEXAGESIMAL

Unité de temps

Unité d´angles

Une heure: la vingt-quatrième partie d´un tour de la Terre autour de soi-même.

1 heure = 60 minutes ; 1 minute = 60 secondes

Un degré: la quatre-vingt-dixième partie d`un angle droit.

1 degré = 60 minutes ; 1 minute = 60 secondes

http://www.recreomath.qc.ca/am_decimale_fraction.htm

http://wims.unice.fr/wims/fr_E6~number~ecrituredecimale.fr.html

http://www.netmaths.net/lexique/#d%C3%A9cimale est un dictionnaire math

http://www.apprendre-en-ligne.net/crypto/menu/index.html

Leçon 3- Fractions

VOCABULAIRE

Extender

Reconocer

Comenzar

Terminar

Fracciones equivalentes

Reducir a común denominador

Denominador común

étendre

reconnaître

Commencer

Terminer, Finir, Achever

Quotients équivalents

Réduire au même dénominateur

Dénominateur commun

Fraction

Une ou plusieurs parties d’un tout divisées en un nombre de parties de même grandeur ou de même mesure. On représente une fraction au moyen de deux nombres placés l’un au-dessous de l’autre et séparés par un trait. Le nombre supérieur s’appelle le numérateur et l’inférieur le dénominateur. Par exemple, dans 4/7, 4 est le numérateur et 7 est le dénominateur. Le numérateur correspond au nombre de parties retenues par rapport au nombre de parties qui constituent le tout. La fraction 4/7 désigne quatre parties sur sept parties. Toute fraction ainsi représentée est dite fraction ordinaire.

Termes de la fraction

Le numérateur et le dénominateur sont les deux termes de la fraction.

Lecture de la fraction

Pour lire une fraction on exprime le numérateur puis le dénominateur qui se termine en ième. Par exemple, 4/7 se lit quatre septièmes. Il y a exception pour les dénominateurs 2, 3 et 4 qui sont exprimés respectivement par demi, tiers ou quart.

Fraction unitaire

Toute fraction de la forme 1/n où n est entier naturel non nul. Les 10 plus grandes fractions unitaires sont : 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10. Les différences successives de deux fractions unitaires sont : 1/2, 1/6, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90. Ce sont des fractions unitaires dont le dénominateur est un nombre hétéromèque.

Nombre hétéromèque. – Nombre rectangulaire dont un côté du rectangle mesure une unité de plus que l'autre. Le terme général de rang n est n(n + 1). Les six plus petits  hétéromèques peuvent être représentés ainsi :

Fraction propre

Fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur. Toute fraction propre est inférieure à 1. Exemple. 2/3.

Fraction impropre

Fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur. Toute fraction impropre est supérieure à 1. Exemple. 5/2. Une fraction impropre est aussi dite expression fractionnaire.

Fraction réductible

Fraction dont le numérateur et le dénominateur ont au moins un diviseur entier commun. La fraction 12/36 a comme facteurs communs 2, 3, 4, 6 ou 12. Elle est égale à 6/18, 4/12, 3/9, 2/6, 1/3.

Fraction irréductible

Fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur entier commun. On dit que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. Exemples. 2/3, 12/17, 3/20.

Fraction équivalente

Ensemble de fractions qui sont égales à une fraction irréductible. Par exemple, 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, ... sont des fractions équivalentes.

Fraction complexe

Fraction dont le numérateur et le dénominateur sont eux-mêmes des fractions, comme

 . Cette fraction est équivalente à 3/4 ÷ 2/7 = 3/4 × 7/2 = 21/8.

Fraction périodique

Fraction décimale dans laquelle il y a répétition d’un entier ou d’un groupe d’entiers. Par exemple, 1/3 donne la fraction périodique 0,3333 ..., 7/11 donne la fraction périodique 0,63 63 63 ... et 2/7 donne la fraction périodique 0,285714 285714 ... Chaque groupe de chiffres qui se reproduit est appelé période. Pour convertir une fraction périodique en fraction ordinaire, on prend le nombre correspondant à une période comme numérateur et on le divise par un nombre formé d’autant de 9 que de chiffres du numérateur. Par exemple, 0,285714 285714 ... est égal à 285 714/999 999.

Nombre fractionnaire

Nombre entier suivi d’une fraction. Un nombre fractionnaire est équivalent à une expression fractionnaire. Par exemple, 15/2 est une expression fractionnaire et 7 1/2 qui lui est équivalent est un nombre fractionnaire.

Pour cent

Fraction dont le dénominateur est 100. Ainsi, 15 pour cent signifie qu’il y a 15 unités sur 100 unités. On écrit en abrégé 15 %. Par exemple, Ginette a réalisé trois travaux scolaires sur quatre, son taux de succès est de 75 %. Aussi, 75 % est équivalent à 75/100 ou 0,75.

Conversión d’une fraction

Une fraction ordinaire peut être convertie en une fraction décimale, en une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 ou en pourcentage. Voici un tableau qui donne la conversion de quelques fractions ordinaires dont le numérateur est 1 :

Fraction ordinaire

Fraction décimale

Dénominateur : 10, 100, 1000, etc.

Pourcentage

1/10

0,1

10/100

10 %

1/9

0,1111 ...

-

11 1/9 %

1/8

0,125

125/1000

12 1/2 %

1/7

0, 142857 14...

-

14 2/7 %

1/6

0,166666 ...

-

16 2/3 %

1/5

0,2

2/10

20 %

1/4

0,25

25/100

25 %

1/3

0,333 ...

-

33 1/3 %

1/2

0,5

5/10

50 %

Opérations sur les fractions ordinaires

1. Pour additionner des fractions ordinaires, on les réduit au même dénominateur (normalement le plus petit) s’il y a lieu ; on transforme le numérateur par rapport au nouveau dénominateur puis on additionne les numérateurs. Soit à additionner 3/5, 2/3 et 7/20, le plus petit dénominateur commun est 5 × 3 × 4 = 60. La fraction 3/5 devient 36/60 ; 2/3 devient 40/60 et 7/20 devient 21/60. Le numérateur est 36 + 40 + 21 = 97. La somme est 97/60. Le dénominateur commun est aussi le plus petit commun multiple.

2. Pour soustraire deux fractions ordinaires, on les réduit au même dénominateur (normalement le plus petit) s’il y a lieu ; on transforme le numérateur par rapport au nouveau dénominateur puis on soustrait les numérateurs. Soit à calculer 4/5 - 8/11, le plus petit dénominateur commun est 5 × 11 = 55. La fraction 4/5 devient 44/55, 8/11 devient 40/55. Le numérateur est 44 - 40 = 4. La différence est 4/55.

3. Pour multiplier deux fractions ordinaires, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Au besoin, on simplifie la fraction trouvée. Soit à multiplier 2/3, 4/7 et 11/12. On fait : 2 × 4 × 11 = 88, 3 × 7 × 12 = 252. La fraction est 88/252 qu’on peut réduire à 22/63. Avant d’effectuer la multiplication, on peut simplifier certains termes du numérateur avec ceux du dénominateur.

4. Pour diviser deux fractions ordinaires, on multiplie la première fraction par la seconde renversée. Au besoin, on simplifie la fraction trouvée. Soit à diviser 2/3 par 8/9, on fait 2/3 × 9/8 = 18/24. On peut réduire cette fraction à 3/4.

Sens de la fraccion

Une fraction peut aussi avoir les sens suivants :1. Une fraction est un rapport. Un rapport sert à comparer des quantités d'éléments ou des grandeurs de même unité. Exemple. Sur 25 heures de cours, j'ai huit heures de mathématiques. Le rapport est 8/25.

2. Une fraction est un taux. Un taux sert à comparer des quantités d'éléments ou des grandeurs d'unité différente. Exemple. J'ai mangé trois pommes en quatre jours. Le taux est de 3/4 pomme par jour.

3. Une fraction exprime une probabilité. Exemple. J'ai trois chances sur quatre de gagner un prix. Ma chance est de 3/4.

On peut écrire le nombre 9 sous formes de fractions ordinaires en utilisant des chiffres différents. Dans les trois premiers exemples, on utilise les chiffres de 1 à 9 et dans les trois autres les chiffres de 0 à 9.

57429

6381

58239

6471

75 2498361

95 74210 638

95 82310 647

97 52410 836

On peut construire des carrés magiques avec des fractions. En voici un dont la densité est 17/10 ou 1,7 :

13

15

1

3

2

3

11

30

17

30

23

30

7

15

29

30

4

15

Quotients équivalents

On ne change pas un nombre en écriture fractionnaire si on multiplie (ou si on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

k

b

k

a

b

a

.

.

=

et

k

b

k

a

b

a

¸

¸

=

où a, b, k sont des nombres relatifs et b

¹

0 et k

¹

0

Faire les exercices de la page 60, 61 et 62.

Adition de nombres relatifs

Pour effectuer la somme de nombres relatifs en écriture fractionnaire, on doit les écrire avec le même dénominateur, puis effectuer la somme des numérateurs en conservant le dénominateur commun.

Faire les exercices de la page 63

Produit de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire.

Pour effectuer le produit de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

d

x

b

c

x

a

d

c

x

b

a

=

pour a,b,c et d des nombres relatifs, avec b

¹

0, et d

¹

0

Faire les exercices de la page 64

Inverse d’un nombre relatif différent de 0

Deux nombres non nuls sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1.

L’inverse d’un nombre « a » non nul se note

a

1

ou a-1.

Si a

¹

0 et b

¹

0, alors l’inverse de la fraction

b

a

est la fraction

a

b

.

Quotients de deux nombres relatifs

Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse :

b

a

EMBED Equation.3

d

c

¸

=

¹

d

c

b

a

=

b

a

x

c

d

=

c

b

d

a

.

.

pour a, b, c, d nombres relatifs avec b

¹

0, c

¹

0, d

¹

0.

Faire les exercices de la page 65

EXERCICES :

1º) Simplifier, quand c’est possible, les fractions suivantes. Éventuellement calculer pour vérifier.

a)

4

66

4

6

+

+

b)

10

30

20

+

c)

5

.

3

.

3

5

.

3

.

3

.

3

.

3

d)

11

-

143

11

121

+

e)

10

30

21

+

f)

5

3

3

3

g)

13

.

7

7

.

6

h)

10

30

.

20

i)

3

.

2

3

.

2

3

2

j)

6

9

3

4

+

+

k)

10

30

.

21

l)

11

.

5

6

.

11

2

m)

6

.

9

3

.

4

n)

30

10

30

20

+

+

o)

3

5

7

.

2

.

5

5

3

2º) Voici les quantités de beurre contenues dans deux gâteaux :

· dans le gâteau de Paula pesant 800 g, il y a 240 g de beurre ;

· dans le gâteau de Marta pesant 600, il y a 150 g de beurre.

Quel est le gâteau qui est le plus « riche » en beurre ?

3º) Le triathlon

Lors d’un triathlon (épreuve sportive de natation, cyclisme et course à pied) d’un distance total de 50 km :

25

1

du parcours est effectué à la nage et 26% à pied.

a) Quelle est la distance parcourue à vélo ?

b) B) Quelle fraction de la distance totale cela représente-t-il ?

4º) CAC ou Crack ?

Un homme d’affaire a perdu au mois de mars un cinquième de son capital.

Dans le mois suivant, il a regagné un quart du capital qui lui restait fin mars.

A-t-il gagné ou perdu de l’argent ? Justifier votre réponse.

5º) Quelle est la somme du quotient de 3 par 5 et du quotient de l’opposé de 7 par 2

6º) Le Quotient de 14 par 5 est-il égal à l’opposé du quotient de 28 par -10

7º) Le quotient de la somme de 3 et de -5 par 4 est-il un nombre entier ?

8º) Calculer le quotient du produit 4 et 3 et le produit 5 et 7

9º) Calculer le produit du quotient de 4 et 5 et du quotient 3 et 7.

http://www.recreomath.qc.ca/index.htm

Leçon 4 .-La proportionnalité et les pourcentages.

VOCABULAIRE

Proportion

Proportionnalité

Un rapport

Un tableau des valeurs

Une valeur

L’inverse

Longueur

Largeur

Grandeur

Voix

Recueillir

Crème

Contient 18%

Remise/réduction

Lorsque

Retrancher

Taux de pourcentage

Remise

Accorder

Payer comptant

Parcourir

Parcours

Une côte

Un Sommet

Un Sommet

Vacanciers

Proporción

Proporcionalidad

Razón

Una tabla de valores

Un valor

La inversa

Longitud

Anchura

magnitud

Votos (en una elección)

recoger/obtener

nata/crema

Contiene el 18%

Descuento

Cuando

Restar, suprimir, cercenar

Tanto por ciento

Descuento, rebaja

Conceder , otorgar, reconocer, admitir

Pagar al contado, pagar en efectivo

Recorrer

Recorrido

Una ladera ( de un monte)

Cumbre ( de un monte)

Vértice (de un triángulo, ángulo…)

veraneantes

Rapport de deux nombres

Le rapport de deux nombre a et b est leur quotient : a / b.

PROPORTION

Quatre nombres a,b,c,d pris dans cet ordre sont en proportion si le rapport de a à b égale celui de c à d, soit :

a,b,c,d sont en proportion

Û

d

c

b

a

=

À cause de la façon dont ils sont placés, on dit de a et d qu’ils sont les termes extrêmes et de b et c les termes moyens de la proportion ou simplement, «  les extrêmes » et « les moyens »

Par exemple 5, 15, 4 et 12 sont en proportion parce que

12

4

15

5

=

On disait autrefois « 5 est à 15 comme 4 est à 12 »

Autrement dit 5 est le tiers de 15 et 4 est le tiers de 12

Comme un rapport est un cas particulier de quotient on sait que :

12

4

15

5

=

Û

15

.

12

15

.

4

12

.

15

12

.

5

=

Û

5.12 = 4.15

d

c

b

a

=

Û

b

d

b

c

d

b

d

a

.

.

.

.

=

Û

a.d = c.b

Si quatre nombres sont en proportion, le produit des moyens égale le produit des extrêmes.

En systématisant cette propriété, on peut obtenir les proportions associées à l’égalité de deux produits, par exemple 5.12 = 4.15

5.12 = 4.15

Û

EMBED Equation.3

12

4

15

5

=

, le rapport de base est

3

1

5.12 = 4.15

Û

EMBED Equation.3

12

15

4

5

=

rapport de base est

4

5

5.12 = 4.15

Û

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

5

4

15

12

=

rapport de base est

5

4

5.12 = 4.15

Û

EMBED Equation.3

5

15

4

12

=

rapport de base

1

3

PROPORTIONNALITÉ DIRECTE

Dans une proportion directe, le rapport de deux nombres a et b est égal à celui des nombres correspondants c et d : c / d. On peut dire encore qu´une proportion est l´égalité de deux rapports : a / b = c / d.

Dans les suivants tableaux, trouver les rapports des valeurs correspondants, et dire s´ils sont en proportion directe :

2

5

3

4,5

2

6

1

2

3

7,5

2

2,4

2

3

EMBED Equation.DSMT4

2

2

Nous savons que 5, 15, 4 et 12 sont les mesures de largeur et longueur de deux rectangles. Trouver le rapport de la largeur à la longueur dans les deux rectangles et dire s´ils sont en proportion.

Constant d´une proportion

Dans un tableau de proportionnalité, le rapport de deux nombres correspondants est la constante ou le coefficient de la proportion.

Dans le tableau de proportionnalité, il y a une constante de proportionnalité. Trouver la dans le tableau suivant :

15

12

21

30

300

3

5

4

7

10

100

1

Grandeurs directement proportionnelles.- Deux grandeurs sont en proportion directe si les rapports des valeurs correspondantes sont égaux.

Exemple. Une voiture roule toujours à la même vitesse. Elle parcourt 195 km en 3 h.

Quelle distance parcourt-elle en 2 h ?, en 7 h ?, ....

Calculer le coefficient de proportionnalité et remplir le tableau :

Temps (en heure)

3

2

7

5

9

4

Distance ( en km)

195

Méthodes pour trouver un nombre inconnu dans une proportion :

1. Retour à l´unité.- C´est trouver la valeur correspondant à l´unité de la grandeur qui est dans le dénominateur du rapport entre deux grandeurs.

Trouver la constante d´une proportion revient à appliquer la méthode du retour à l´unité.

Appliquer cette méthode au tableau de proportionnalité directe ci-dessous :

5

8

3

9

2

4

7

18

2. Égalité de deux rapports.- Dans une proportionnalité directe une rapport de deux nombres est égal au rapport des nombres correspondants. (C´est la « règle de trois »).

Appliquer ce méthode aux tableaux de proportionnalité ci-dessous pour trouver la valeur des lettres:

1,5

1,8

2,1

z

t

1,4

x

y

3,5

7,7

PROPORTIONNALITÉ INVERSE

Deux grandeurs sont inversement proportionnelles lorsqu´on multiplie la première par une quantité, la deuxième grandeur résulte divisée par la même quantité.

Appliquer cette définition à la vitesse moyenne à laquelle roule un véhicule et le temps qu´il met pour aller de Saragosse à Madrid (distance approximative : 300 km, à peu près) :

Vitesse (km/h)

10

60

80

120

Temps (heures)

3

2

15

6

Rappel: dans une proportion directe la constante de la proportionnalité est le quotient de deux quantités correspondantes.

Dans le tableau de proportionnalité inverse ci-dessus, est-ce que la constante est aussi le quotient de deux quantités correspondantes ? ........Quelle est cette constante? .................................... Calculer la constante de proportionnalité revient à utiliser la méthode du retour à l´unité. Appliquer cette méthode au tableau de proportionnalité inverse suivant :

2

4

2

12

12

15

10

6

2

20

Dans une proportion directe, le rapport de deux quantités est égal au rapport des quantités correspondantes.

Dans une proportion inverse, le rapport de deux quantités est égal à quoi ?

Résoudre par cette méthode l´inconnue dans le suivant tableau de proportionnalité inverse :

16

2

y

4

t

x

8

3

z

24

EXERCICES :

1. Un robinet a rempli un dépôt en 20 minutes, en versant 3 litres par minute. Si un autre ajoute 5 litres / minute, combien de temps, mettra-t-il pour remplir le dépôt ?

2. Si trois ouvriers ont travaillé pendant 18 jours pour finir un travail, combien de jours mettront-ils si il y a 12 ouvriers ?

3. Une voiture met 4 heures dans un trajet en roulant à 80 Km/h. Si elle roule à 100 Km/h, combien de temps mettra-t-elle ?

4. Un robinet peut remplir un dépôt en ajoutant 60 l/h pendant une heure et demie, mais si ce robinet verse 80 l/h, combien de temps mettra-t-il à remplir le même dépôt ?

5. Si 4 tickets pour un match de rugby coûtent 10 euros, combien d´euros coûteront 7 tickets ?

6. M. Dupont a fait le plein sur l´autoroute ; il a payé 26,6 euros pour 28 litres d´essence.

1. Combien aurait-il payé pour 45 litres ?

2. Combien de litres aurait-il pour 35 €?

7. Il a fallu 25 minutes pour remplir une cuve de 125 litres. En combien de temps peut-on remplir une cuve de 300 litres ?

8. 4 m de tissu ont coûté 96 €. Combien coûteront 7 m du même tissu ?

9. Un pot de peinture de 0,5 litres permet de couvrir 7 m2. Combien faut-il de litres de peinture pour couvrir 24 m2 ?

10. Le temps de réaction d´un individu est d´environ 1 s. Un automobiliste roule en ville à 54 Km/h lorsqu´un chien surgit à l´avant de sa voiture. Avant de pouvoir freiner, quelle distance sa voiture aura-t-elle parcourue?

11. Un automobiliste prend un ticket au péage d´une autoroute à 14 h 35 min. Il sort de cette autoroute 500 km plus loin, il est 17 h 55 min. Pourquoi est-il interpellé par la gendarmerie ?

12. Trouve trois nombres a,b,c proportionnels à 22; 12,7 ; et 53,1 dont la somme est 131,7.

13. Trois enfants achètent un sachet de 60 bonbons. Pour cela, Fabien a donné 0,80 euros, Simon 2,60 euros et Julien 0,60 euros. Ils décident de se partager les bonbons, proportionnellement à la somme donnée par chacun. Completer le tableau ci-dessous :

Somme en euros

Nombre de bonbons

Fabian

Simon

Julian

14. Pour préparer la gelée de groseilles, il est conseillé de suivre les proportions suivantes:

2 kg de groseilles donnent 1,5 kg de jus

«

quantité de sucre à ajouter : 1,8 kg

a) Quelle fraction représente le jus par rapport aux fruits?

b) Par quelle fraction dois-tu multiplier la quantité de jus pour connaître la quantité de sucre à ajouter ?

c) Complète le tableau suivant :

Masse de groseilles en kg

3

10

1

Masse de jus en kg

10,5

Masse de sucre en kg

10,8

15. Un automobiliste a fait le plein sur l´autoroute; il a payé 26,6 € pour 28 litres d´essence.

a) Combien aurait-il payé pour 45 litres ?

b) Combien de litres aurait-il pour 35€ ?

POURCENTAGE

Un pourcentage est une forme particulière de rapport c'est-à-dire de comparaison, entre deux grandeurs ou quantités de même qualité, de même espèce ; si on dit que 247 employés d’une entreprise sur un total de 738 prennent leurs vacances en septembre, le rapport du nombre des vacanciers à celui des employés habituellement en activité est de 247 à 738 ; ou bien celui des présents est de 247 à 491 (491 = 738 - 247) ; ou encore 491 personnes sur les 738 habituellement sont effectivement présentes.

Mais si quelqu’un veut exprimer l’un ou l’autre de ces faits, il ne prendra généralement pas les « vrais » nombres parce qu’il est difficile de retenir ces chiffres, mais s’exprimera en « pour cent » : cent sert donc de second terme de comparaison. Les pourcentages sont les rapports les plus utilisés dans la vie courante.

C’est sûr à cent pour cent, expression qui renforce l’assurance que la chose annoncée se produira.

Les problèmes de pourcentages

Interpréter un pourcentage

Lors d’une élection un candidat reçoit 69% des voix.

Cela signifie que « sur 100 électeurs 69 personnes ont voté pour lui »

Calculer un pourcentage

Dans une classe de 2º ESO (4e en France) de 30 élèves, 12 d’entre eux portent des lunettes. Pour calculer le pourcentage d’élèves qui portent des lunettes, on établit un tableau de proportionnalité :

Nombre total d’élèves

30

100

Nombre d’élèves portant des lunettes

12

Y= ?

On a

100

30

12

y

=

, c'est-à-dire y =

30

12

*

100

EMBED Equation.3 =

30

1200

=40

Dans cette classe il y a donc 40% des élèves qui portent des lunettes

Utiliser un pourcentage

Dans cette même classe, 60% des élèves sont des garçons. Pour calculer le nombre de garçons on établit un tableau de proportionnalité :

Nombre total d’élèves

100

30

Nombre de garçons

60

X = ?

On a

30

100

60

x

=

, c'est-à-dire x=

100

60

*

30

=

100

1800

= 18

Dans cette classe il y a donc 18 garçons

Calcul du pourcentage

Prendre

100

25

d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par la fraction

100

25

.

Prendre t% d’un nombre N : N x

100

t

(page 102 du livre de maths)

On dit que le lait contient 18% (18 pour cent) de crème, si 100 g de lait donnent 18 gr de crème.

Le café perd 20% de son poids lorsqu’on le torréfie, pour 100Kg de café on perd 20 Kg.

Exemple : Un objet marqué 182 euros m’est vendu avec remise. Je le paie 154,70 €. Quel pourcentage de remise m’a-t-on fait ?

Ajouter t% à un nombre N :

Résultat = N + N x

100

t

= N

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

100

1

t

= N

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

100

100

t

Exemple : Un voyageur de commerce reçoit un traitement mensuel fixe de 1.500 €. Il touche, en plus, une commission de 5% sur les ventes réalisées. Si le montant de ses ventes annuelles est 12.000€, quelle somme touche-t-il par mois ?

Retrancher t% à un nombre N :

Soustraire t% à un nombre N :

Résultat = N - N x

100

t

= N

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

100

1

t

= N

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

100

100

t

Exemple : J’ai acheté une bicyclette 400 € . Comme je paie comptant, le marchand m’accorde 5% de remise. Combien dois-je payer ?

Comment calculer une quantité quand on connaît le pourcentage ?

N + N x

100

t

= N

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

100

1

t

= N

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

100

100

t

= Total

N

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

100

1

t

= Total

N =

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

100

1

t

Total

Exemple : On réalise sur la vente d’un objet un bénéfice de 18%. Cet objet est vendu 311,52 €. Combien a-t-il été acheté ?

N

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

100

100

t

= 311,52

N

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

100

18

100

= 311,52

N =

18

,

0

52

,

311

Vitesse Moyenne

La vitesse moyenne d’un véhicule (voiture, avion, bicyclette, ballon,….) se calcule en effectuant le quotient de la distance parcourue par le temps employé dans ce parcours

t

d

v

=

Exemple :

Si un véhicule parcourt 90 km en 1 heure, cela signifie que sa vitesse moyenne est 90 km par heure (noté 90

h

km

)

EXERCICES :

1.- Un cycliste a parcouru 75 Km en 3 heures. Quelle est sa vitesse moyenne ?

2.- Sur une portion de son parcours, ce même cycliste a monté une côte de 1,5 Km à une vitesse moyenne de 6 Km/h. Calculer le temps nécessaire pour atteindre le sommet.

3.- Sur une autre partie du trajet, il a roulé pendant une demi-heure à une vitesse moyenne de 30 Km/h. Calculer la distance parcourue dans ce trajet.

4. Le prix d’un tableau est de 200€. Trois mois plus tard, il coûte 30 € de moins.

Quelle est, en pourcentage, la baisse du prix de ce tableau ?

5. Calculer:

a) 15% de 50

b) 45% de 600

c) 50% de 4500

c) 25% de 10000

6. Un pantalon coûte 70€.

Avec les soldes, le prix est de 61,25 €. Quelle est en pourcentage la remise effectuée par le commerçant ?

7. Un commerçant fait une remise exceptionnelle de 15% sur un micro-ordinateur dont le prix de départ est de 1300 €.

a) Calculer le montant de la remise effectuée ?

b) Quel est le prix de ce micro-ordinateur avec la remise ?

8. En 2007 le prix du loyer de Marc était de 490 €. En 2008, le prix de son loyer est de 502,25€. Calculer, en pourcentage, l’augmentation du prix du loyer de Marc.

9. Indique dans chaque cas, le pourcentage de remise effectuée :

a) une veste à 100 € est soldée 85 €

b) un bonnet à 10 € est soldé 8 €.

c) des gants á 25 € sont soldés de 22 €.

10. Le prix hors taxe d’un appareil photo numérique est de 636 €.Sachant que la TVA (Taxe Valeur Ajoutée =IVA= Impuesto de Valor Añadido) est de 19,6%, calculer le prix TTC de cet appareil photo arrondi au centième d’euro.

11. Un concessionnaire possède dans son parc automobile 45 voitures blanches. Après quelques calculs, il s’aperçoit que cela représente 30% de l’ensemble des véhicules.

De combien de voitures dispose-t-il ?

Leçon 5. Expressions Algébrique

(Calcul avec des lettres)

VOCABULAIRE

Algébrique

Carré

Cercle

Losange

Monôme

Polynôme

Algebraico

Cuadrado

Círculo

Rombo

Monomio

Polinomio

Les expressions algébriques sont des expressions littérales, c´est-à-dire, des expressions avec des lettres qui représentent des nombres, par exemple : 2x+4y-2 . Une lettre peut représenter n´importe quel nombre. On fait ainsi en un seul calcul l´équivalent d´une infinité de calculs numériques.

Sans le savoir vous avez déjà utilisé le calcul littéral quand vous avez utilisé une formule pour calculer, par exemple, l´aire d´une figure plane :

Triangle

Rectangle

Carré

Cercle

Losange

Trapèze

2

bh

A

×

=

Aba

=×

2

Alll

=×=

2

Ar

p

=×

2

Dd

A

×

=

(

)

2

Bbh

A

+×

=

on peut appliquer chaque formule à une infinité de figures ayant la même forme en changeant la valeur des lettres.

Ainsi vous avez aussi utilisé le calcul littéral pour généraliser des résultats ou des propriétés, par exemple :

Pour l´addition :

a + b = b + a, propriété commutative de l’addition

a + (b+ c) = (a + b) + c, propriété associative de l’addition

Pour la multiplication:

a.b = b.a propriété commutative du produit

a.(b.c) = (a.b) . c propriété associative du produit

Pour la multiplication par rapport à l´addition ou la soustraction :

a(b+c) = a.b+a.c propriété distributive de la multiplication par rapport à la somme

a(b-c) = a.b-a.c, propriété distributive de la multiplication par rapport à la soustraction

On appelle expressions algébriques à l’ensemble des opérations (l´addition, la soustraction, la multiplication, la puissance et la radication) entre des lettres et des nombres, par exemple:

EMBED Equation.DSMT4

3

235;42;79;82

aza

aabxyaxxy

bxxx

-+--+--

Quand les lettres ne sont pas soumises aux opérations de la division et la radication, une expression algébrique s´appelle polynôme.

POLYNÔME. Du grec polys, ‘ plusieurs’, et de onoma,’nom’, ou nomos, ‘ part’, ‘ portion’. Etymologiquement, un polynôme est une expression algébrique composée de plusieurs sortes de termes aux noms différents. Par exemple, si a, b y c, représentent des nombres, les produits ab, a2b, ab2, abc se diront comme autant de ´mots´, nommant des objets différents.

Une expression telle que :

22

35672

aababcabac

+-+-+

 ; est un polynôme, où il y a six monômes, qui sont six termes aux noms différents, respectivement affectés des coefficients 3, 5, -6, 7, -2 et 1.

Un polynôme est une somme algébrique de monôme

MONÔME, du grec monos, ‘seul ‘, ‘unique’, et nomos, ‘part’, ‘portion’, ou onoma, ‘nom’. Monôme veut dire un seul terme, mais ce seul terme peut être :

· ‘simple’, c´est-à-dire constitué par un nombre tout seul, une lettre toute seule : 15,

15

, a, par exemple, sont des monômes ;

· ‘composé’ : el ne peut alors être constitué que par multiplications de nombres entre eux, des lettres entre elles, des nombres et de lettres, par exemple :

3135

25

4510

æö

´-=-

ç÷

èø

est un monôme numérique

34

36

2

77

aaabccccabc

´´´´´´´´´=

est un monôme littéral.

Dans un monôme les seules opérations entre nombres et lettres sont multiplications (ou puissances d´exposant positif), il n’y a pas d’additions, de soustractions ou de divisions entre les lettres. Remarque : entre les nombres on peut avoir une division, car la division vaut la multiplication par le nombre inverse du diviseur.

Degré d´un monôme est la somme des exposants des lettres du monôme, par exemple, -4a2b5c3 est de degré 2 + 5 + 3 = 10 ; 5abc est de degré 1 + 1 + 1 = 3 ;

-5 est un monôme de degré 0.

Coefficient d´un monôme est sa partie numérique. Par exemple, « 

25

2

abxy

-

 » est constitué d´une sorte de ‘mot’ « 

25

abxy

 », qui est le nom du monôme , alors le coefficient en est -2 . Mais, si ce sont les variables x e y qui nous intéressent, le ‘mot’ choisi, est « 

25

xy

 » , alors le coefficient est -2ab.

Deux monômes sont semblables s´ils ont la même partie littérale, c´est-à-dire avec les mêmes lettres et chacune avec le même exposant, par exemple,

32

2

xy

-

et

2

3

5

y

x

, mais pas

2

3

4

y

x

.

VALEUR NUMÉRIQUE D’UN MONÔME C’est la valeur du monôme quand les lettres prennent des valeurs concrètes

ADDITION DE MONÔMES. Si deux monômes sont de même nature, c´est-à-dire de même nom, on peut mettre en évidence le ‘mot’, c´est-à-dire, la partie littérale, par exemple:

52525252

23(23)5

xyxyxyxy

+=+=

Alors, on additionne les coefficients et on écrit la même partie littérale.

PRODUIT de monômes.- Il n’est pas indispensable qu´ils soient semblables. Par exemple :

25343

(2)(3)(5)(7)

xyxyxy

-×--

, il faut chercher :

· le signe du résultat : ici, c´est le signe moins : (-2).3.(-5).(-7)

· la valeur absolue du coefficient : 210

· la partie ‘littérale’ : on ordonne les lettres dans l´ordre alphabétique, et on les affecte de l´exposant correspondant à leur puissance, c´est-à-dire au nombre de fois où elles apparaissent dans le produit : on trouve x onze fois, puis y sept fois, ce qui fait obtenir

117

xy

. Dans la pratique, on multiplie les puissances de la même base :

25425411331337

;

xxxxxyyyyy

++++

××==××==

· Le monôme obtenu est donc

117

210

xy

-

Leçon 6.- Équations et inéquations

VOCABULAIRE

Retrancher

Isoler

Ramener

Ramener

Calculer de tête

Restar

Aislar

Reducir, simplificar

Restar

Calcular mentalmente

Def.- Une équation est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est remplacé par une lettre.

Exemples :

x+5=14, équation du premier degré à une inconnue x.

x+2=y-4, équation du premier degré à deux inconnues x et y.

z2+3 = 2z+1, équation du second degré à une inconnue z.

L’inconnu dans une équation peut être représenté par n’importe quelle lettre

x-3 =7 est la même équation que y-3 = 7

Les termes qui sont de part et d’autre du signe « = «  sont les membres de l’équation.

Résoudre une équation à une inconnue, c’est chercher la ou les valeurs de la lettre qui rendent l’égalité vraie.

Ces valeurs, si elles existent, sont les solutions de l’équation.

Propriétés des équations

1.- Si on ajoute (ou si on retranche) le même nombre á chaque membre d’une équation, on obtient une équation équivalente.

2.- Si on multiplie (ou si on divise) par le même nombre non nul chaque membre d’une équation, on obtient une équation équivalente.

Équations type

L’équation x+a = B a pour solution x = b-a

exemple

x+a = b

x+a-a = b-a

x = b-a

x+6 = 11

x+6-6 = 11-6

x = 5

L’équation ax = b a pour solution x =

a

b

exemple

ax = b

a

b

a

ax

=

x =

a

b

3x = 18

3

18

3

3

=

x

x = 6

L’équation

a

x

= b a pour solution x = b.a

example

a

x

= b

a.

a

x

= a . b

x = a . b

7

x

= 5

7.

7

x

= 7. 5

x = 7.5

Résolution d’équations du premier degré

On va résoudre l’équation 5(x-6) =3(x+3)

5(x-6) =3(x+3)

On développe les deux membres de l’équation.

5x-30 = 3x+9

On ajoute 30 aux deux membres de l’équation pour isoler 5x.

5x =3x+9+30

On retranche 3x aux deux membres pour isoler les unités

5x-3x = 39

On réduit le membre de gauche

2x = 39

On divise par 2 les deux membres

X =

2

39

= 19,5

L’équation a pour solution 19,5

Résolution d’équations du premier degré avec fractions

On va résoudre l’équation x-

5

4

=

5

3

x

-

2

1

x-

5

4

=

5

3

x

-

2

1

On multiplie les deux membres de l’équation par le plus petit commun multiple des dénominateurs. Dans notre cas PPCM(5,2) = 10

10

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

5

4

x

= 10

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

2

1

5

3

x

On développe les deux membres de l’équation et les dénominateurs disparaissent.

10x-8 = 6x-5

On ajoute 8 aux deux membres de l’équation pour isoler 10x

10x = 6x-5+8

On retranche 6x aux deux membres pour isoler les unités

10x-6x = 3

On réduit le membre de gauche

4x = 3

On divise par 4 les deux membres de l’équation

X =

4

3

L’équation a pour solution 0,75

Équations qui se ramènent á des équations du premier degré

Si nous avons une équation avec un des membres est un produit de facteurs et l’autre membre est égal à 0.

Exemple : (x-4).(x+3) =0

Pour la résoudre nous utilisons la propriété suivante .

Un produit est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs de ce produit est nul

A X B

= 0 si seulement si A = 0 ou bien B = 0

(x-4).(x+3) =0

Si (x-4) = 0

X = 4

Si x+3 = 0

X = -3

Les solutions de l’équation sont 4 et -3

Il est souvent utile de factoriser pour résoudre des équations

Mettre un problème en équations

On procède en plusieurs étapes.

1er étape Lire l’énoncé attentivement. ¡¡¡¡¡¡

2e étapeAprès avoir compris ce qu’on cherche, faire le choix d’une lettre pour désigner l’inconnue.

3e étapeMettre en équation le problème posé

4e étapeRésoudre l’équation

5e étapeDiscussion : vérifier que le ou les nombres trouvés répondent au problème posé

6e étapeConclusion

Vocabulaire

Écrire une expression mathématique traduisant

a) le double de x

b) le triple de x

c) le quart de x

d) la moitié de y

e) le tiers de y

f) le produit de a . b

g) le quotient de x par y

h) la somme de a et b

i) la différence de a et b.

j) le carré de la somme de x et y

k) la somme des carrés de x et y

l) le double de x augmenté de 1

m) le tiers de y diminué de 70

n) la somme de deux cinquièmes de n et 30

o) le carré de la différence de x et de 7

p) la différence du carré de 8 et de x

Problèmes et équations

(Actimath4e)

1º) La somme de trois nombres entiers consécutifs est 66. Quels sont ces trois nombres ?

2º) Partage la somme de 340 € entre Pierre et Marie de telle façon que Marie reçoive 80 € de plus que Pierre.

3º) Partager une somme de 210 € entre deux frères de manière que l’aîné reçoive le double du cadet.

4º) Quel est le nombre dont le quadruple diminué de 18 égale le triple augmenté de 7.

5º) La longueur d’un terrain de jeu rectangulaire mesure 10 m de plus que sa largeur. Si le périmètre est de 820 m, calcule les dimensions du terrain.

6ª) Si je gagne 15€, j’aurais le triple de ce que j’aurais si j’en perdais 15€. Combien ai-je ?

7º) Une somme d’argent a été partagée entre trois personnes. La première en a reçu les 2/9, la deuxième le ¼ et la troisième a reçu 20 € de plus que la deuxième.

Calcule la somme partagée et la part de chaque personne.

8º) Un des angles aigus d’un triangle rectangle mesure 17º de plus que l’autre angle aigu.

Calcule l’amplitude des angles du triangle.

9º) Un père a 38 ans et son fils 8 ans. Dans combien d’années, l’âge du père sera-t-il le triple de celui de son fils ?

10º) Sachant que l’amplitude d’un angle d’un triangle mesure 12º de plus qu’un autre et 30º de moins que le troisième, calcule l’amplitude des trois angles du triangle.

11º) Trouver l’angle dont la somme du complément et du supplément est le quadruple de cet angle.

12º) Trois émissions de télévision ont été enregistrées sur une cassette d’une durée de 240 minutes ; la cassette est remplie. Si la 1re émission dure 23 minutes de moins que la 2e , qui elle-même dure 38 minutes de moins que la 3e, calculer la durée de chaque émission.

Problèmes et équations

Livre 2ºESO Anaya (ancienne)

14º)  Le résultat de multiplier un nombre X par 4 est le même que celui d'y ajouter 9. Quel est ce nombre ?

 

15º) Trouver un nombre X dont  la somme du double de X augmenté de 1 est égale au triple de X diminué de trois 

 

16º) Le résultat de la somme de deux X et Y est 44 et la différence entre X et y est   8. Calculer ces deux nombres.

 

17º) La somme d'un nombre et du suivant est égale à 145. Quels sont ces deux nombres ?

Le premier est          x

Le suivant              x+1

 

18º)  La somme de trois nombres consécutifs fait 144. Quels sont ces trois nombres ?

 

 

19º) L'âge de Juanjo double celle de Raul.  Laura a trois ans de plus que Juanjo.

La somme des trois âges est 38. Quel est l'âge de chacun d'eux ?

 

20º) Juan a 28 ans de moins que son père et  24 de plus que son fils. Sachant que la somme des trois est de 100 ans, quel est l'âge de chacun d'eux?

 

21º) L'âge de Melisa triple l'âge de sa fille Marta. Sachant que dans 12 ans,  l'âge de Melisa  sera le double de celui de Marta, calculer l'âge de chacune d'elles.

 

 

Aujourd'hui

Après 12 ans

Marta

x

X+12

Melisa

3x

3x+12

 

 

Aujourd'hui

Après 12 ans

Marta

x

X+12

Melisa

3x

2(x+12)

 

Exercices du livre « Anaya »

11º) Calculer, d’abord, de tête et après avec l’aide d’une équation.

a) Si on ajoute 12 à un nombre, on obtient 25. De qui nombre s’agisse-t-il ?

b) Si on lui soustrait 10 , on obtient 20 ?

c) Un nombre x et le suivant x+1 font 13. Qui sont ces nombres ?

d) Dans ma classe nous sommes 29 au total et il y a trois garçons en plus que des filles. Combien de filles et de garçons sont dans ma classe ?

12º) Cherche le nombre tel que le double plus trois unités est égal au triple de ce nombre moins cinq unités.

13º) Si on divise un nombre par trois on obtient le même résultat que si on soustrait 16. Quel est le nombre ?

14º) cinq fois un nombre est égal à ce nombre plus 12. Quel est ce nombre ?

15º) Le triple d’un nombre plus 15. Ce résultat divisé par 4 est égal à 9. Quel est le nombre ?

16º) La somme de deux nombres est égal 167, et sa difference est 19. Quels sont ces nombres ?

17º) Calculer un nombre entier de manière que la somme de ce nombre et son suivante est égal 157

Le nombre

®

x

Le suivante

®

x+1

18º) La somme des trois nombres consécutifs est 135. Quels sont ces nombres ?

19º) La cinquième partie d’un nombre est égal à sa quatrième partie moins trois unités. Quel est ce nombre ?

20º) Thérèse a sept ans en plus que son frère Antonio et elle a deux ans en moins que sa soeur Blanca. Calculer l’age de ces trois frères et sœurs en sachant que les trois ages ensemble font 34 ans.

Antonio x-7

Thérèse x

Blanca x+2

21º) Un brioche coûte 10 centimes en plus qu’un croissant et trois croissant et quatre brioches font un montant de 6€. Quel est le pris de chaque pièce ?

22º) Narciso a acheté deux pantalons et trois tee-shirt pendant les soldes par 161€. Si le prix du pantalon est le double que ce du tee-shirt, quel est le prix de chaque pièce ?

30º) L’âge de Adela est six fois celle de son petit fils Fernando et après 8 ans l’âge d’Adela sera 4fois celle de Fernando. Quelle est l’âge de chacun ?

31º) Roberto a trois fois l’âge de sa fille Nuria. On sait qu’après de 12 ans l’âge du père sera seulement le double que celle de sa fille. Calculer leurs âges.

32º) un cycliste monte un col de montagne à une vitesse de 15km/h et après descendre sur le même chemin à une vitesse de 35km/h. Si le temps employé pour faire le tour a été 30 min, combien de temps a-t-il employé dans la montée

TEMPS DE MONTÉE

®

x heures

TEMPS DE DESCENTE

®

0,5-x heures

DISTANCE PARCOURRIE EN MONTANT

®

15x

DISTANCE PARCOURRIE EN DESCENDANT

®

35(0,5-x)

33º) Deux cyclistes partent de deux lieux A et B éloignés de 30 km à la même heure ; l’un vers l’autre mais chacun à sa vitesse : ce qui part de A roule à 24km/h et ce qui part de B circule à 16km7h. Combien de temps auront-ils mettre à se rencontrer ?.

TEMPS JUSQU’À LE RENCONTRE

®

x h

DISTANCE PARCOURRIE PAR LE 1º

®

24x

DISTANCE PARCOURRIE PAR LE 2º

®

16 h

34º) Deux trains sont placés sur deux gares éloignés de 132 km. Les deux sont partis à la même heure par des voies parallèles, vers la gare contraire à 70 km7h et à 95km/h. Combien de temps mettront les deus trains jusqu’à le moment où ils se croisent ?

35º) Un cycliste commence son petit tour cycliste à une certain heure à une vitesse de 22km/h. Après une heure et demi, son ami motocycliste part du même point pour le rattraper à une vitesse de 55km/h. combien de temps mettra-t-il pour l’atteindre ?

36º) Un camion part de Saragosse en direction Barcelone à une vitesse de 60km/h. Dix minutes plus tard une voiture part dans la même direction et surpasse le camion après 10 minutes. Quelle est la vitesse de la voiture ?

37º) On a acheté un vêtement soldé du 12% , le prix final est de 60€. Combien coûtait il sans aucune réduction de prix ?

38º) Laura a acheté une jupe et une chemise du même prix. La jupe a été soldée du 20% et la chemise de 15% . Après la réduction de prix Laura a payé 66€. Combien coûtait chaque vêtement ?

39º) Un investisseur a gagne 156€ d’intérêt sur un capital placé au 4% pendant 3 ans. Combien d’argent a-t-il investi ?

40º) Dans la fabrication d’un fromage on a mélangé une certain quantité du lait de vache à 0,5€/l avec une autre quantité du lait de brebis à 0,8€/l. On a obtenu 300l de lait a 0,7 €/l . Combien de litres de lait de chaque genre on a employé ?

Leçon 7 Systèmes d’équations linaires

Retenons

Résoudre un système de deux équations á deux inconnues tel que le système

þ

ý

ü

î

í

ì

=

+

=

+

750

50

20

21

y

x

y

x

, c’est trouver les couples solutions à la fois de chacune des équations de ce système.

Ce couple représente le point où se coupent les droites x+y=21 et 20x+50y=750.

Avec Cabri

Résoudre par le méthode graphique le système

0

3

2

0

3

2

=

+

=

-

y

x

y

x

Solution :

D’abord on déduit, par exemple, y en fonction de x dans les deux équations :

ï

î

ï

í

ì

-

=

=

3

2

3

2

x

y

x

y

1.- Ouvrir Cabri

2.- Montrer les axes.

3.- Utiliser l’outil expression et écrit

3

2

x

4.- Avec l’outil Appliquer une expression faire clic sur l’expression et après sur l’axe d’abscisses (axe [O,x) ) . Cabri désigne la droite qui a pour équation y=

3

2

x

5.- Choisir l’outil Coordonnées et équations et signaler la droite. Ensuite la droite est désignée

1

1

2*x/3

y = 2/3 x

Nous allons maintenant réaliser le même processus avec l’équation y=

3

2

x

-

et nous obtiendrons la figure suivante :

1

1

2*x/3

y = 2/3 x

-2*x/3

y = - 2/3 x

Les droites se coupent sur le point (0,0) ; Donc le couple (0,0) est la solution du système car lorsque l’on remplace x par 0 et y par 0,  le résultat des calculs donne bien 0.

2.0+3o = 0

2.0-3y=0

Avec le même processus résoudre les systèmes suivants :

2º)

î

í

ì

+

=

+

=

10

2

7

x

y

x

y

3º)

î

í

ì

=

-

-

=

+

5

3

5

2

y

x

y

x

4º)

EMBED Equation.3

î

í

ì

=

+

=

22

3

2

5

y

x

x

5º)

î

í

ì

=

+

=

-

8

3

4

10

5

y

x

y

x

6º)

î

í

ì

=

+

=

+

11

2

5

7

3

y

x

y

x

7º)

î

í

ì

=

-

=

-

1

4

3

4

2

5

y

x

y

x

EXERCICES :

1º) Pour son anniversaire, Rémi organise une fête avec ses amis. Au début il y a trois filles de plus que de garçons.

Après le départ de 4 garçons, il y a deux fois plus de filles que de garçons. Combien y avait-il de filles et de garçons ?

2º) Nous te proposons de trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 219.

3º) Je veux acheter plusieurs livres d’une même collection ; ils coûtent tous le même prix. Avec l’argent dont je dispose :

· Si j’achète 4 livres, il me reste 35 euros ; mais si j’en achète 6, il me manque 65 euros.

Quel est le prix d’un de ces livres ? De quelle somme je dispose?

4º) La recette d’un mach de football est de 168.000€ pour 6900 spectateurs payants. Ils avaient le choix entre deux tarifs : 20 et 40 euros.

Si x est le nombre de spectateurs qui ont pris une place à 20 € et si y le nombre de spectateurs qui ont pris une place à 40 €.

Combien y avait –t-il de spectateurs dans chaque catégorie de prix ?

5º) Une entreprise comprend 21 ouvriers, 3 contremaîtres et le patron. Le total des salaires mensuels est de 21 720 €. Tous les ouvriers ont le même salaire ; un contremaître gagne 420 € de plus qu’un ouvrier et le patron 915 € de plus qu’un contremaître.

Calcule le salaire mensuel d’un ouvrier, d’un contremaître et d’un patron.

Exercices du livre « Anaya »

6º) Un fabricant de savons emballe 550 kg de lessive dans 200 paquets les uns de 2 kg chacun et les autres de 5 kg.

Combien de paquets de chaque sorte utilise-t-il ?

7º) Un travailleur gagne 60 € dans l’équipe de jour et 80 € dans l’équipe de nuit. Combien de jours et combien de nuits a-t-il travaillé pendant un mois, si au total il a fait 24 roulements et il a touché 1600 euros ?

8º) Un commerçant a 50 paires de chaussures de sport en vente, à 40 € la paire. Après en avoir vendu quelques unes, il les solde à 30 € la paire, en continuant à les vendre jusqu’à ce que il n’y en ait plus.

La recette totale a été de 1620 €.

Combien de paires non soldées a-t-il vendues et combien de paires soldées ?

9º) Un test se compose de 50 questions et on évalue en ajoutant 2 points pour chaque réponse correcte et on enleve 1,5 points pour chaque erreur. Combien de réponses correctes et combien d’erreurs aura une personne dont la note est de 58 points. ?

10º) Un atelier de prêt-à-porter gagne 0,75 € pour chaque paire de chaussettes qu’il fabrique, mais perd 2,5 € pour chaque paire défectueuse. Combien de paires défectueuses et combien de paires valables a-t-il produites en une journée, si au total il a fabriqué 700 paires et qu’il a fait un bénéfice de 385 euros ?

11º) Dans un club de sport, il y a 2 hommes pour 3 femmes, mais s’il y avait 40 hommes en plus et 30 femmes en moins, alors ils seraient á égalité. Combien d’hommes et combien de femmes sont membres du club ?

12º) Un orfèvre reçoit la mission de confectionner un trophée, en or et en argent, pour le championnat sportif. Une fois réalisé, il pèse 1300 gr., et il a coûté 2840 €.

Quelle quantité d’or et d’argent a-t-il utilisée, si l’or vaut 8 €/gr. et l’argent 1,7€/gr. ?

2008-2009

13º) Calcule deux nombres en sachant que :

- le premièr

Leçon 11 Fonctions

VOCABULAIRE

Les axes

los ejes

La grille

la rejilla

1. Ouvrir Cabri.

®

Montrer axes

®

Grille sur le repère

®

Dessiner sur cette grille les points suivants : O(0,0); A(1,1);

B(1,3); B(1,5)

C(1,-2)

D(1,-4)E(1,0) ; F (5,1) ; G(-2,6) ; H(-4,-9) ; I(7,-3)

2. Ecrire les coordonnées des points :

1

1

A

B

C

D

F

GH

I

H

K

M

. Puis utiliser les coordonnés et les équations pour vérifier que nous les avons bien écrit.

RAPPEL

Quand nous voulons changer le nombre des chiffres décimaux dans un nombre quelconque :

Options

®

Préférences

®

Précision d’affichage et unités

®

Nombre de chiffres après :

Longueur

Angle

Autres

3. Dessiner la droite qui contient les points O et A. Afficher l’équation et la pente de cette droite.

Répéter le processus avec les droites définies par les couples de points : OB ; OC ; OD ; OE ; OF ; OG ; OH ; OI ; OK.

Quelle relation y a-t-il entre la valeur de la pente et la équation de la droite correspondante? On pourrait prédire la valeur de la pente d’une droite quiconque en passant par O ?.

Fonction de proportionnalité y = mx

Ecrire l’expression 2x.

Appliquer une expression : Cliquer sur l’expression 2x puis sur l’axe X [O,X).

On peut observer que la droite passe par le point (0,0) et qui monte deux marches pour chaque unité en plus sur l’axe X (axe d’abscisses)

4. On peut réagir de la même façon pour dessiner les droites :

y=3x; y=x; y=1/2x;y=-3x y=-2x y=-x y=-1/2x

1

1

y = 1/2 x

y = x

y = 2 x

y = - 1/2 x

y = - x

y = - 3 x

y = 3 x

y = - 2 x

5. Dessiner la droite qui a comme équation y = 2x

 Montrer les axes

®

Grille

®

Expression (écrire 2*x)

®

Appliquer une expressionQuand nous cliquons sur l’expression, nous pouvons lire :Appliquer cette expression. Et ensuite on clique sur l’axe d’abscisses et on peut lire ces axes.

Et finalement le graphique de la fonction y = 2x apparaît.

6. Maintenant on va designer les points qui ont pour coordonnées : A(1,3) ;b(-2,4) ; C(-7,3) ; D(5,6)

b) Dessiner la droite parallèle à y=2x et qui contient le point A. Écrire l’équation de cette droite

c) Dessiner la droite parallèle à y=2x et qui contient le point B. Chercher son équation.

d) Dessiner la droite parallèle à y=2x et qui contient le point C. Chercher son équation

e) Dessiner la droite parallèle à y=2x et qui contient le point D. Chercher son équation

Observer ces équations. Quelles sont leurs similitudes et leurs différences?

Ecrire l’équation de la droite qui est parallèle a y =3x et qui contient le point M(0,2) ?

7. Suivre les indications suivantes :

a)Dessiner la droite qui a pour équation y=-3x

b) Dessiner la droite perpendiculaire à elle et qui passe par le point R(1,5) et chercher son équation.

c) Dessiner la droite perpendiculaire à elle et qui passe par le point Q(0,6) et chercher son équation.

d) Dessiner la droite perpendiculaire à elle et qui passe par le point S(-1,4) et chercher son équation.

e) ) Dessiner la droite perpendiculaire à elle et qui passe par le point T(-3,-7)

 et chercher son équation.

Qu’est-ce qu’on peut observer dans ces équations en rapport a Y = -3x

Quelle est l’équation de la droite perpendiculaire à y = -3x et qui passe par V(0,5)

8.- Dessiner les droites suivantes :

b) y=

x

2

1

( Pour écrire cette expression on peut simplement mettre x/2.)

c) y= -3x

d) y=

x

3

4

e) y= -

x

5

2

f) y= -

x

4

3

g) y=-2x+1

h) y= -

x

2

1

+2

i) y=

x

3

4

-2

j) y= -

x

5

2

+3

k) y= 4

l) y=-4

m) x=5

r) x=-5

Parabole.

Si on veut dessiner une parabole y= x2 +3x-4 :

Expression x2 +3x-4 

Appliquer une expression : Cliquer sur l’expression x2 +3x-4 , puis sur l’axe [O,X)

1

1

x^2+3*x-4

y = x

2

+ 3 x - 4

9. Dessiner les fonctions suivantes

a) y= x2-4

b) y = x2+1

c) y= -x2

d) –x2+1

e) y = (x-2)2

f) y = (x-2)2 -4

g) y = x2-4x

h) x2 -4x+3

Activitée 30 Clicmath 4º

Activité 31 Clicmath 4º

Activitée 32 Clicmath 4º

10. On considère la fonction définie par le tableau suivant :

X

0

1

2

3

4

5

6

Y

0

1

3

6

10

15

21

Représente le graphique de cette fonction

En utilisant CABRI : Montrer axes

®

Point sur objet (dessiner les points (0,0) , (1,1) ; (2,3) ; (3,6) , (4,10) ….

®

On désigne une conique sur ces points

®

Appliquer une expression

y après vérifier que la fonction a pour équation y=

2

2

x

x

+

En utilisant CABRI : Montrer axes

®

Expression

®

Appliquer une expression

11. Représenter la fonction définie par le tableau de points :

x

0

1

2

3

4

5

6

y

1

2

3

4

5

6

7

Quelle est l’équation de la fonction ?

3º) Calculer quelques points pour désigner le graphique des fonctions suivantes avec Excel.

a) y= x2- 4

b) y = x2+1

c) y= -x2

d) –x2+1

e) y = (x-2)2

f) y = (x-2)2 -4

g) y = x2-4x

h) x2 -4x+3

Leçon 8 Théoréme de Pytagore

Pour commencer avec la proportionnalité géométrique on va consulter et résoudre les activités proposées dan cette site :

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_poligonos/Semejan1.htm

Semblables

Esto hay que retocarlo

a. En géométrie, le mot "semblable" n'est pas au programme des colléges, mais la notion de "figures semblables" s'y trouve, sans étre nommée, en particulier avec le théoréme de *Thalés supposé étre "relatif au triangle", et la notion d'agrandissement et réduction. On le trouve donc dans ce dictionnaire, pour des raisons évidentes de commodité.

b. "Semblables" est un mot d'usage courant en calcul algébrique

1. Deux figures sont semblables quand 'elles se ressemblent' : avant même qu'il soit précisé comment, *Claude bondit sur l'occasion pour dire que donc, tous les rectangles sont semblables puisque tous sont des rectangles; et que, oui, ABCD e t EFGH sont évidemment embiablie.

a. I1 se trouve que la 'ressemblance' mathématique est beaucoup plus exigeante que la ressemblance tout court.

La propriété d'étre semblables, pour deux figures, en effet, c'est que l'une paraisse étre la reproduction de l'autre, en plus grand ou en plus petit, et sans déformation. Ceci exige que les rapports des longueurs des segments qui se correspondent soient les mémes : or, si AD et EH sont dans un rapport de 1 á 2 — EH étant le double de AD —, AB et EF sont dans un rapport de 1 á 3 — puisque EF est le triple de AB. EFGH n'est donc pas un 'agrandissement' de ABCD.

Aqui el dibujo de los rectangulos

Le théoréme de Pythagore : C'est la relation métrique fondamentale.

Dans un triangle rectangle, le carrée de l’hypoténuse est égal à la somme des carrées des deux autres côtés.

BC2 = AB2 + AC2oua2 = b2 + c2.

C

A

b

B

a

c

. Les moyennes proportionnelles: On sait comment utiliser les triangles *semblables (VI, 1, b) pour écrire que leurs cótés sont dans le méme rapport. Ici, on en a trois, que 1'on va prendre deux par deux.

oú la perpendiculaire est la hau-• Les triangles ABC et HAC : Les rapports égaux sont donc:

deux triangles AHC et BHA quiAB _ BC _ AC

á ABC et qui en sont la réduc-HA AC HC

!articuliérement sensible si on lesD'oú, en sélectionnant les deux derniers: ndeur gráce á un calque et qu'on

BBC_ ACBC • HC = AC • AC soit AC = BC • HC.

es obtenus de maniére analogueAC HC

son,, les 'marques' de A, HT et H2• Les triangles ABC et HBA : On aurait de méme :

C1 de C, etc.

AB BC AC

= =

tructure' du triangle rectangle,HB BA HA

'en plus petit' par perpendicu-ci

r, qui est 1'origine des relationsD'oú, en ne gardant que les deux premiers rapports:

tiner au paragraphe suivant.AB _ BCAB • BA = BC • HB soit AB2 = BC • HB.

Leçon 12 Estadistique

Para ver graficas estadisticas en francés

http://www.ined.fr/fr/tout_savoir_population/graphiques_mois/

Web interesantes

Teiene una novela policiaca para desencriptar

http://www.apprendre-en-ligne.net/crypto/menu/index.html

IES « CORONA DE ARAGÓN » 2º ESO Mathématiques 39

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_1251747706.unknown

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_1283170690.unknown

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_1295814275.unknown

_1295814004.unknown

_1295814051.unknown

_1295814082.unknown

_1295813971.unknown

_1295813818.unknown

_1295813888.unknown

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_1295813868.unknown

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