II. Placement à courte période III. Taux moyen de

Mathématiques financières

Chapitre 2 : Intérêts simples

II. Placement à courte période

III. Taux moyen de plusieurs placements

.

Mathématiques financièresChapitre 2 : Intérêts simples

simple est la somme que rapporte 1 DH pendant une période. Ils se calculent uniquement à partir du capital initialement placé. Il se base sur trois principales caractéristiques:

Un placement de 5 000 DH à 6%; signifie le client disposera de son Soit 5 000+300 = 5300

Moment de versement des intérêt : Il existe deux modes de versement des intérêts. Versement post-comptés : Les intérêts sont versés en fin de période (cas général)Versement précomptés : Les intérêts sont versés en début de période. Exemple: un client obtient un crédit, mais il reçoit la somme emprunté moins les intérêts (C I). En fin de période, il ne remboursera que le capital emprunté.

Nominal:


I= C i n

n: est donnée, en principe, en année, mais peut être exprimé en trimestre, en mois ou en jours selon des conventions précises.

le capital à la fin de la 1ère année est )Le capital à la fin de la deuxième année est :

3ème4ème (suite arithmétique de raison r)

Donc


Nous constatons que

: n fois les intérêt que rapporte le placement initial

On remarque :est suite arithmétique de raison durée placement en année

On peut donner une expression de en fonction de

Les intérêts sur années sont :


Avec : est la durée, est le taux et est le capital initial.

Le montant du capital initial plus les intérêts la valeur acquise (Vn):


Application:Quel montant dois-je placer, au taux de 5 %, pour avoir un capital de 1000 Dh dans 2 ans ?Dans ce cas, l'inconnu (X) est le montant à placer aujourd'hui pour avoir au bout de la deuxième un capital de 1000 Dh.

Selon la formule de l'intérêt simple nous avons :

1000= X x (1+(2*5%)) d'où X=1000/(1+2*5%)=909 Dh.


nombre de jours qui doit être précisé. Si nous prenons le calcul

:

n Pour la base (année) le nombre de jours correspond à :

monétaire est égale jours. (Il faut comptabiliser le nombre des jours enfonction des mois, il faut faire attention aux nombre de jours dans chaque mois).

Années commerciale jours (mais chaque mois comporte exactement 30 jours),.

Année civile jours, base exacte (bissextile ou pas).

Mathématiques financièresChapitre 2 : Intérêts simplesII. Placement à courtes périodes

-à-m en

j en

Période Formule de calcul des intérêts formule de calcul de la Valeur acquise

Année

Mois (12 m /an) : Appliqué quand la durée est en mois

Jours (360 j/an) : Appliqué quand la durée est en jours


En principe: Si le taux est un taux annuel alors la durée doit être exprimé en annéesSi le taux est un taux semestriel alors la durée doit être exprimé en semestresSi le taux est un taux trimestriel alors la durée doit être exprimé en trimestresSi le taux est un taux mensuel alors la durée doit être exprimé en mois


Application 1 : pendant 6 mois au taux annuel de .Après la période de placement le capital sera de

Exemple 2: Un client dans une banque décide de placer sur un compte quirapporte 5% par ans, quel est le montant des intérêts touchés après sept mois:


Application 2 :Monsieur Rachid a placé 2 000 Dh pendant 70 jours au taux annuel de 3%. Calculez le

montant du capital de M Rachid au terme de ce placement.On a

Donc

Aussi, le montant des intérêts est de


Application 3:Combien rapporte un placement de 5 000 Dh à 4% en 15 jours ?

Réponse:

On a donc

Mathématiques financièresChapitre 2 : Intérêts simplesII. Placement à courtes périodesApplication 4: On place au taux annuel de du 1er mars au 2 septembre. La somme sur le

compte, au terme du placement est :Simulation : Du 1er au 31 mars = 30 jours (On ne compte pas le premier jour et on

compte le dernier)Le mois de Avril = 30 jours ; le mois de Mai =31 jours, Juin =30 jours, Juillet = 31 jours,

Août =31 jours, le 1er et le 2eme septembre =2 jour,Donc :

Donc:

Mathématiques financièresChapitre 2 : Intérêts simplesII. Placement à courtes périodesApplication 5:

Un client dans une banque décide de placer sur un compte qui rapporte 6% parans, quel est le montant des intérêts touchés du 15 mai au 20 juillet du placement ?

Réponse; calcul du j :

Donc Alors :

Mathématiques financièresChapitre 2 : Intérêts simplesIII. Taux moyen de plusieurs placements

Définition :Soient , , placés selon deux taux respectifs , , pendant les durées

, .

global procuré par les deux placements est le suivant :

Le taux moyen de ces deux placements est un taux unique noté « », qui appliqué àmême intérêt global.

+

+


Exemple :On place :

dh à pendant joursdh à pendant jours

L'intérêt total produit par ces placements est :

On cherche maintenant le taux moyen t auquel il aurait fallu placer ces capitaux pendantles mêmes durées pour obtenir le même intérêt. On a donc à résoudre :


Généralisation :Soient les placementssuivants:

L'intérêt total produit par ces placements est :

On calcul le taux moyen :

19

IV: Chapitre 2 : Intérêts simples

Définition de effet de commerce:

Pour définir ce un effet de commerce, nous exposons la situation classique danslaquelle intervient un tel document : fournisseur vend à un client desmarchandises pour un montant M et que le règlement doit intervenir n jours après ladate , le fournisseur, désigné par le créancier, doit donc attendre la dateconvenue, dite échéance, pour encaisser son argent, désigné par créance.

Si le fournisseur a besoin , avant la date , il peut demander à sabanque une avance garantie par la créance possède. Pour cela il doit justifier, parun document écrit, de cette créance. Cette preuve écrite est appelée effet decommerce. Il peut prendre 2 formes :


20



Le client, désigné par le débiteur, rédige un papier dans lequel il promet de payer àson fournisseur le montant M, à la date . On parle dans ce cas de billet àordre ;Le débiteur peut uniquement apposer sa signature sur un papier rédigé par lecréancier reconnaissant de la dette. On parle dans ce cas de lettre dechange ou traite.

On doit donc noter, sur un effet de commerce, les mentions suivantes :

Le nom du créancier ;Le nom du débiteur ;Le montant de la dette appelé « valeur nominale de » ;La date convenue pour le paiement appelée « échéance ».


21

IV:



Le créancier peut donc disposer de avant , en vendant decommerce à sa banque ; on dit négocie son effet de commerce ou le remetà .

de commerce est donc un document par lequel un débiteur reconnaît vis-à-viscréancier, une dette exigible à une date donnée.


22


Définition de commercial:

Le service rendu par la banque, à son client, en lui accordant une avance sur la base dede commerce a un prix. Ce prix est appelé escompte commercial.

commercial est produit par la valeur nominale de , à untaux d'intérêt simple, appelé taux , pendant la durée qui sépare la date deremise à l'escompte et la date .De cette définition simple, découle la règle pour calculer produit par un effetde commerce.

Avec - E: Escompte commercial produit par de commerce;- : valeur nominale de de commerce ;- n : durée ;- e : taux d'escompte.


23


Remarque:

est une opération commerciale et non une opération decrédit, ainsi on applique la même formule de calcul de simple mais on parle

et de taux au lieu et de taux .


24

Escompte commerciale (Position du problème )

Soient deux entreprises ABC (client) et RST (producteur marchandise), ABC estintéressée par le produit de RST, mais il a un problème de financement (en début denovembre). Il propose de signer une reconnaissance de dette à RST.Il va transmettre une lettre de change (une traite, effet de commerce) avec les propriétéssuivantes :1. La valeur de la traite :2. La date : (RST) doit attendre cette date pour récupéré

Seulement en 25/11 (RST) avait besoin de elle décide de se débarrasser dede commerce (vendre cet effet auprès de sa banque).

Lorsque sa banque va acheter cette lettre de change : on va dire que la banque vaescompté cet effet de commerce.

Pour cela on va définir un taux :

Janvier

ABC RST Banque


IV.


25

Description de de :Diagramme des flux: (Point de vue de ABC)

ABC

Marchandise

Chapitre 2 : Intérêts simplesMathématiques financières

26

Description de de :Diagramme des flux: (Point de vue de RST)

Calcul de :1. Calcul de la durée : entre le 25/11 et le 29/01

2. Calcul du taux :

RST

Marchandise

Effet


IV


27

Description de de :Diagramme des flux: (Point de vue de la banque)

Banque

Effet

Chapitre 2 : Intérêts simplesMathématiques financières

28

Exercice :Combien le banquier remettra-t- -11-2016 un effet de dh payable au 20-02-2017, en sachant que le taux égal à .

Solution :Présentation des données :

Diagramme des flux: (Point de vue di banquier)

Banque

Effet

1. Calcul de la durée

Chapitre 2 : Intérêts simples Mathématiques financières

IV : Chapitre 2 : Intérêts simples

Valeur actuelle commerciale

La valeur nominale correspond à la valeur de à sa date mais à la datevaut moins. En effet, est retenu immédiatement par la

banque qui remet au client la différence entre la valeur nominale de etcette différence est appelée valeur actuelle commerciale (notée VA) de

de commerce.


IV :


Valeur actuelle commercialeExemple:

Calculer la valeur actuelle effet de commerce de valeur nominale 15 000 DH,le 15 juin est remis à le 13 avril de la même année au tauxde 9%.

Il y a 63 jours entre le 13 avril, date de remise de à et le 15 juin, datede son échéance.

La valeur actuelle de de commerce est donnée par la formule:



Valeur nette commerciale

commerciale comprend frais financiers en plus de. Ces frais sont composés essentiellement de commissions, qui peuvent être

de différents types (commission de courrier, jours de banque, .etc.), et de la Taxe surla Valeur Ajoutée (TVA).

La somme de et des commissions donne ce appelle les Agios, horstaxe auquel on applique un taux de TVA pour avoir les Agios TTC.


32


Pratique de

Valeur nette commerciale

se compose donc de :

1. Escompte.

2. Diverses commissions (commission de courrier, jours de banque, .etc.).

3. Taxe sur la valeur ajoutée (TVA).


33


Pratique deValeur nette commerciale

Les AGIOS TTC peuvent être calculés directement à partir des AGIOS HT, sachant que :

AGIOS TTC = (AGIOS HT) x (1 + Taux de TVA)

AGIOS HT = Escompte + Commissions

AGIOS TTC = (Escompte + Commissions) (1 + taux TVA)

Les AGIOS sont retenus immédiatement par la banque qui remet au client la différence

entre la valeur nominale de et les AGIOS TTC, cette différence est appelée

Valeur Nette commerciale de de commerce.

Valeur Nette = AGIOS TTC


34

ExempleSoit un effet de commerce de dh échéant le 30 juillet 2017 et escompté le 6 avril dela même année, aux conditions suivantes :

Taux :Commission de manipulation : 2 dh par effet ;TVA : ;Tenir compte jour de banque.

Calculer la valeur actuelle de .Solution1. Calcul de la durée

4. Calcul de la valeur nette :Agio TTC


IV.


35


Différents taux relatifs à :

Taux réel :

En considérant de ce qui est retenu par la banque (AGIOS TTC) commeintérêt de la valeur nominale de de commerce, pendant la durée réelle

n, on obtient le taux réel donné par la formule :

annoncé.


36


Différents taux relatifs à

Taux réel :Exemple

Considérons un effet de commerce Valeur Nominale de 40 000,00 DH,le 30 novembre et remis à le 5 octobre de la même année aux

conditions suivantes :Taux : 12%.Commission : 10 DH.Tenir compte jour de banque.Taux de TVA : 10 %.

Calculer le taux réel .


37


Différents taux relatifs àTaux réel :Exemple

La durée de est le nombre de jours qui sépare le 5 octobre du 30 novembre,soit 56 jours. Pour le calcul de on considère les 56 jours plus un jour debanque soit 57 jours.

AGIOS HT = Escompte + Commissions=760+10=770 DHTVA= 770 0,10=77 DH

AGIOS TTC= 770+77=847 DHValeur Nette= 40 000 847= 39 153 DH


38



Taux de revient :

Si se place du coté client, ce dernier a décaissé les AGIOS TTC pour bénéficiercapital effectif qui est la valeur nette de . Les AGIOS TTC retenus par la

banque correspondent donc à un intérêt sur le capital effectivement prêté qui est lavaleur nette et pour une durée qui est la durée réelle de . Le tauxcorrespondant est un taux de revient de , le coût réel de cetteopération payé par le client.

annoncé.


39



Taux de revient (Exemple)

Reprenons les données de précédent et calculons le taux de revient .




40



Taux de revient (Exemple)

Reprenons les données de précédent et calculons le taux de revient .



.


41



Taux de placement

Si on se place du coté de la banque, celle ci a effectué un placement montant

effectif correspondant à la valeur Nette de . produit par ce placement

correspond uniquement à commercial E, les commissions sont destinées à

couvrir des charges et la TVA est reversée à . Le taux correspondant est un taux

de placement , le rendement réel réalisé par la banque au cours de cette

opération.


42



Taux de placement (Exemple)

Reprenons les données de précédent et calculons le taux de placement.




43


Différents taux relatifs à :Taux de placement (Exemple)

AGIOS HT = Escompte + Commissions=760+10=770 DH

TVA= 770 0,10=77 DH

AGIOS TTC= 770+77=847 DH

Valeur Nette= 40 000 847= 39 153 DH

On constate que le taux de placement est supérieur au taux annoncé 12 %, ce quisignifie que la banque a réalisé un rendement supérieur au taux annoncé.


Exercices: Intérêts simplesExercice 1

Un capital de dh est placé à intérêt simple au taux annuel de pendentjours. Calculer le montant de .

Réponse: dh

Un capital de dh est placé à pendant jours. Le montant estde dh. Calculer la durée en jours, puis déduire la durée en années et en mois.

Réponse: jours. -à-dire 2 ans 11 mois et 6 jours.

Un capital de dh est placé à intérêt simple pendant une durée de 7mois,produit un intérêt égal à 2750 dh

Réponse: .


44


Un effet de 1 000 dh au 30 juin est escompté le 20 avril à 15%Calculer l'escompte commercial et la valeur actuelle commerciale de cet effet;

SolutionCalculer l'escompte commercial et la valeur actuelle commerciale de cet effet;

Du 20 avril au 30 juin, il y a 71 jourscommercial se calcule sur la valeur nominale de .

Si nous désignons par la valeur actuelle commerciale, nous avons :

Cet effet subit donc un escompte commercial de 29,58 dh et a donc une valeur actuelle commerciale égale à 970,42 dh


45


Un effet de 1530 dh escompté à 13% le 13 octobre 2000 a une valeur actuelle de1463,70 dh. Déterminer la date d'échéance de cet effet.

SolutionDésignons par la durée en jours.Comme rien précisé, nous utilisons la procédure de commercial.

Nous avons donc :

soit le 10 février 2001


46

I : Principe de

II: Taux équivalents

Chapitre 3 : Intérêts Composés


47

I : Principe de

Définition:

Un placement à intérêts composés de chaque période de placement, les intérêts simples produits sont ajoutés au capital pour porter eux même des intérêts.

Ce principe est qualifié de capitalisation des intérêts. Elle nécessite deux conditions :Durée de placement supérieure à un anLes intérêts acquis à la fin de chaque période ne sont pas exigibles par le

bénéficiaire (ne sont pas retirés).

Chapitre 3 : Intérêts ComposésMathématiques financières

48

I : Principe de

Exemple 1 : Calcul des intérêts produits par un capital de 1 000 Dh placé pendant 3 ans au taux de 5%.

Le total intérêt produit en placement à intérêt simple est = 3x50 = 150.

Le placement à intérêts composés rapporte plus que le placement à intérêts simples.


49

I : Principe de La Valeur acquise :Soit : C0 : le capital initial, i n : nombre de périodes de placement, Vn ou Cn : Valeur acquise par le capital C0 pendant n périodes

La valeur acquise Vn par le capital C0 à la fin de n périodes au taux i est donnée par


Une suite géométrique dont le premier terme est , et la raison est


50

I : Principe de

Exemple 2:

Considérons les données suivantes:

Quelle est la valeur acquise au bout de 7ans dans une optique composé?

Au bout année :

Au bout de 2 ans :

Au bout de 3 ans :

Au bout de 7 ans :


51

I : Principe de ComposéIntérêt acquis: DéfinitionLe montant des intérêts acquis après périodes est la différence entre la valeuracquise et le capital placé :

Exemple 3On place dh pendant 3 ans au taux composé de . Calculer lesintérêts acquis sur la période.

Au bout des 3 ans :

La valeur acquise sur la période sont donc :

Les intérêts acquis sur la période sont donc


52

I : Principe de

Exercice 1:

Une somme de 1000 Dh est placée pendant 5 ans au taux annuel de 10%.

1/ Quelle somme obtient-

2/ Si au bout de cette période de placement on souhaite obtenir 20000 Dh, quelle somme doit-

3 Dh, après combien de temps disposera-t-on Dh?

4/ Si au bout de 5 ans la valeur acquise du placement est de 17821 Dh à quel taux le placement a été effectué ?


53

I : Principe de

Exercice 1: Solution

2. Calcul de valeur actuelle (capital initial) correspondante à Vn= 20 000

= = = = 20000 (1 + 0,1 = 12 418,426 Dh

3. Durée de placement

Log

n= n= n=9ans


54

I : Principe de

Exercice 1: Solution4. Taux de placement sur 5 ans pour avoir = 17821 Dh

= =

12,25%

Généralisation


55

I : Principe de Exercice 2:

Calculer la valeur acquise pour un capital de 5 430 dh placé à 9% pendant 3 ans et 4 moissachant que :

1. La capitalisation2. La capitalisation est continue

1. Si la capitalisation il nous faut travailler en intérêts composés sur lestrois premières années et en intérêts simples sur les quatre derniers mois.

La valeur acquise par ce capital au bout de trois ans est égale à

Les intérêts sur les 4 derniers mois sont égaux à :

Donc au bout de 3 ans et 4 mois :


56


Calculer la valeur acquise par un capital de 5 430 dh placés à 9% pendant 3 ans et 4 moissachant que :

1. La capitalisation2. La capitalisation est continue

2. Si la capitalisation est continue, la valeur acquise par ce capital au bout de 3 ans est 4mois est égale à :

Remarque :


57


On dépose un montant de 1000 dh sur un compte dont le tauxannuel à 4 %. Quel sera le solde du compte à intérêt

composé, après 3 ans? Après 6 mois ?

Après 3 ans :

Après 6 mois :

Remarque:


58

II: Taux équivalentsDéfinition:

la période peut être plus Aussi, les intérêts

peuvent être capitalisés chaque semestre, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour. Lorsque

correspondant à cette période devra être calculé.

Un taux , correspond à une , est équivalent à un taux annuel si, pour un même capital placé, la valeur acquise au terme des k.n périodes est égale à celle obtenue au taux à la fin de n années de placement.

Autrement dit: Deux taux, définit sur des périodes différentes, sont équivalents lorsque appliqués à un même capital pendant la même durée, produisent la même valeur acquise.


59

II: Taux équivalents

Les taux les plus utilisés :

Remarque :

Les taux proportionnels aux durées des périodes de placement ne sont pas équivalents pourle calcul des intérêts composés.


60

II: Taux équivalentsExercice 1:

Un capital de 1 000 dh placé :

Au taux annuel de 12 %, sa valeur acquise au bout année ( an) de placementest égale à :

Au taux mensuel de 0,95 % , sa valeur acquise au bout année ( an) deplacement est égale à :

Le taux annuel de 12 % est équivalent au taux mensuel de 0,95 %.


Taux annuel

Taux annuel


61

II: Taux équivalentsExercice 2: Calculer les taux suivant :1. Taux mensuel proportionnel au taux annuel :2. Taux mensuel équivalent au taux annuel :3. Taux semestriel équivalent au taux mensuel :4. Taux mensuel équivalent au taux semestriel :Solution

1. Taux mensuel proportionnel au taux annuel :

Comme dans une année, il y a mois, pour passer du taux annuel au taux mensuelproportionnel, il suffit de diviser ce taux annuel par

Le taux mensuel proportionnel au taux annuel est donc égal à


62

II: Taux équivalentsExercice 2: Calculer les taux suivant :1. Taux mensuel proportionnel au taux annuel :2. Taux mensuel équivalent au taux annuel :3. Taux semestriel équivalent au taux mensuel :4. Taux mensuel équivalent au taux semestriel :

Solution2. Taux mensuel équivalent au taux annuel :

Le taux mensuel équivalent au taux annuel est donc égal à


63


Solution3. Taux semestriel équivalent au taux mensuel :

Pour arriver à un semestre, il faut effectuer 6 capitalisation mensuelle

Le taux semestriel équivalent au taux mensuel est donc égal à


64


Solution4. Taux mensuel équivalent au taux semestriel :

Le taux mensuel équivalent au taux semestriel est donc égal à


65

DéfinitionDeux capitaux sont équivalents, à intérêt composé, si à une date déterminée appeléedate et escomptés au même taux donnent la même valeur actuelle.

Exemple 1Soient deux capitaux dh payable dans ans et dh payabledans ans. Si le taux est de ,

Quelle est leur valeur actuelle à choisi comme date .

A la date : on a


66

Exemple 2

A la date : on a

Remarque


67

ExerciceUn débiteur qui doit s'acquitter des dettes suivantes :

24000 Dh payable dans un 1 an.16000 Dh payable dans 2 ans.

Il obtient de son créancier une facilité de remboursement par un paiement unique dans2 ans.Quelles est la valeur unique de ce paiement si le taux d'intérêts composés est de 13% ?

Année 1 Année 2

24000 16000Valeur Nominale

Temps


68

Exercice 1Vos parents ont ouvert un compte épargne à votre nom. Ils vous ont promis de recevoir la somme de 5 000 dh dans 5 ans. Sachant que le taux de placement est de 7 %. Quelle est la valeur ? Solution: Nous cherchons à déterminer le capital initial (Valeur actuelle) Capital initial = 5 000(1+0.07)-5 ; Capital initial = 3 564,93

Exercice 2dh à intérêt composés au taux annuel de 5,2%. Au terme du

placement, on dispose de 6000 dh. 1. Déterminer la durée du placement, n. 2. Calculer 2). 3. Calculer 2) années de placement. 4. Déterminer la valeur acquise par ce capital au bout de (n 2) années de placement

Exercices: Intérêts ComposésMathématiques financières

69

Exercice 2dh à intérêt composés au taux annuel de 5,2%. Au terme du placement, on dispose de

6000 dh. 1. Déterminer la durée du placement, n. 2. Calculer 2). 3. Calculer 2) années de placement. 4. Déterminer la valeur acquise par ce capital au bout de (n 2) années de placement

Solution: 1. A partir de la formule de calcul des intérêts composés

Donc

2 - -3). Cette dernière devient le capital sur lequel se fera le calcul des intérêts composés pour (n-2) I= (0,052) = 5153,93 *(0,052) =268

Exercices: Intérêts Composés Mathématiques financières

70

Exercice 2dh à intérêt composés au taux annuel de 5,2%. Au terme du placement, on dispose de

6000 dh. 1. Déterminer la durée du placement, n. 2. Calculer 2). 3. Calculer 2) années de placement. 4. Déterminer la valeur acquise par ce capital au bout de (n 2) années de placement

Solution: 3 -2) est égal à LA Valeur acquise de (n-2) moins C0.I= =1421 dh.

4. La Valeur acquise au bout de (n- -2)Donc V6= 1421 + 4000 = 5421 dh

=5421 dh.

Exercices: Intérêts Composés Mathématiques financières

71

Exercice 3

Calculer le capital dont la valeur acquise au bout de 4 ans est égale à dhsachant que :

La capitalisation est semestrielle et que le taux d'intérêt semestriel est égal à %.

On applique le cours

Ce capital est donc égal à

Exercices: Intérêts ComposésMathématiques financières

72

Exercice 4Un capital est placé pendant années, au taux annuel de %.

Calculer le taux semestriel proportionnel aux taux annuel de 4%Dans une années, nous avons deux semestres, donc pour calculer le tauxsemestriel équivalent au taux annuel de 4%, il suffit de diviser ce taux par 2:

doncCalculer le taux équivalent Semestriel

Exercices : Intérêts ComposésMathématiques financières

73

1: Annuités constantes de fin de période

2: Annuités constantes de début de période

3: Annuités variables

4:

Chapitre 4 : Annuités


74

Définition

Une annuité est une annuellement.

Rembourser un empruntConstituer un capital

Chapitre 4 : Annuités Mathématiques financières

75

1: Les annuités de Fin de période

Principe de

Demain (futur)

On dépose continuellement

Capital Initial: variable tout au long de la période

Valeur Acquise+ Intérêt

Annuités

Caractéristiques des annuités :1. Périodicité2. Nombre de versement3. Montant de chaque versement 4. Date de chaque versement


76

1: Les annuités constantes de Fin de période

Définition 1.1Une annuité est une suite de flux monétaires (perçus ou réglés) durant une périodede temps à intervalles prédéfinis.

des annuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, àune date donnée, suite de flux. Elle prend en considération la date dupremier flux, la périodicité des flux, le nombre des flux et le montant de chaqueflux.

Exemple 1.1

Dès le premier emploi, vous mettez de côté 1000 dh de chaque salaire pour vousacheter une voiture.

Dès votre naissance, vos parents mettent de coté, 200 Dh par mois, pour financer vosétudes supérieurs à partir de 18 ans.

..


77


Les annuités constantes sont des annuités dont la somme versée est constante.

Les annuités variables sont des annuités dont le montant varie période à.

Le versement des annuités peut se faire en début de période ou en fin de période.

Cette fréquence détermine la valeur acquise ou la valeur actuelle suiteconstantes.


78

Rappel : Principe de la suite géométrique

(2)

(1)

(2) (1)

avec

Généralisation pour termes avec

1: Les annuités constantes de Fin de période1.1 la valeur Acquise : Pour mieux comprendre le principe de calcul de la valeur acquise, il est utile de rappeler les principes des suites géométriq ues.


Exemple numérique

Application de la formule avec


79


1.1 la valeur Acquise

Calculons la valeur acquise pour une annuité constante a, versée en fin de période.

FormalisationSoit:a: le montant constant de ; n : le nombre périodes) ; i : le taux

; Vn : la valeur acquise par la suite au terme de la dernière ;


80


1.1 la valeur Acquise

Calculons la valeur acquise pour une annuité constante a, versée en fin de période.

Formalisation:Alors:Vn = a + a (1+i) + a (1+i)2 + ..+ a (1+i)n-2 + a(1+i)n-1

Vn = a [1 + (1+i) + (1+i)2 + ..+ (1+i)n-2 + (1+i)n-1 ]Il suite géométrique de premier terme 1, de raison géométriqueq = (1+i) et comprenant n termes. La formule de la suite géométrique est

La valeur acquise devient donc:


avec


81

Exemple 1.2

Calculer au taux de la valeur acquise de annuités constantes de dh chacuneimmédiatement après le dernier versement.

avec

1: Les annuités constantes de Fin de période1.1 la valeur Acquise

100 100 100 100

1 2 3 40Le remboursement de la première Annuité

première période


82

Définition 1.2

La valeur acquise suite constantes de fin de périodereprésente la somme des valeurs acquises par chacune de ces annuités,immédiatement après le versement de la dernière annuité.

La valeur acquise est donnée par :

Ce qui donne:

Avec :: la valeur acquise par la suite des annuités

: constante de fin de période: le nombre de périodes

: le taux par période de capitalisation,

1: Les annuités constantes de Fin de période1.1. la valeur Acquise


83

Exemple 1.3Pendant ans un individu effectue un placement de dh, la capitalisation estannuelle au taux de . Calculer la valeur acquise immédiatement après le dernierversement, puis un ans après le dernier versement, puis après 3 ans.Réponse:

suite avec 5 termes

1000 1000 1000 1000

1 2 3 4

1000

51. Immédiatement :

-à-dire que le dernier Versement ( ) ne rapporte



84

Exemple 1.2Pendant ans un individu effectue un placement de dh, la capitalisation est annuelle au taux de .Calculer la valeur acquise immédiatement après le dernier versement, puis un ans après le dernier versement,puis après 3 ans.

1000 1000 1000 1000

1 2 3 4

1000

52. Après une année Le calcul se fait sur la base de la Vn calculée« immédiatement » avec une seule capitalisation



Somme des annuités


85

Exemple 1.2Pendant ans un individu effectue un placement de dh, la capitalisation estannuelle au taux de . Calculer la valeur acquise immédiatement après le dernierversement, puis un ans après le dernier versement, puis après 3 ans.

1000 1000 1000 1000

1 2 3 4

1000

53. Après 3 ansLe calcul se fait sur la base de la Vn calculée« immédiatement » et avec capitalisation de 3 années



86

Définition 1.3

La valeur acquise de annuités de périodes après le dernier versement.

Avec :

la valeur acquise par la suite des annuitésconstante de fin de période

le nombre de périodesle nombre de périodes après de la dernier versementle taux par période de capitalisation.

1Immédiatement Après le dernier versement



87

Exercice 1.1Pour améliorer sa pension de retraite, en versant chaque année 5 000 Dh pendant 15 ansMr Hatim se constitue un capital au taux de 6,5%.1. De quelle somme disposera t-il au moment du dernier versement ?2. De quelle somme disposera t-il après 2 ans du dernier versement

Solution1. On applique la formule du cours :

2. On applique la formule du cours :



88

Exercice 1.2Calculer à 7% la valeur acquise deux ans après le dernier versement par 12 annuitésréparties ainsi: 4 annuités de 500 dh chacune, 4 annuités de 600 dh et 4 annuités de 800dh.Solution : il ici de plusieurs annuités constantes.Le calcul se fera par des formules pour chaque annuités constantes.2 ans après, -à-dire 14 ans.

On applique cette formule avec

p: nombre restantes.


1 4 8 12

500 500 500 500 600 600 600 600 800 800 800

14

800

+


89

Définition 1.4On appelle valeur actuelle suite constantes de fin de période, la somme des annuitésactualisées ( ) exprimée à la date origine (une période avant le premier versement).

Formalisation

1: Les annuités constantes de Fin de période1. 2. la valeur Actuelle

Premier versement

ActualisationCette formule nous ramène à une période avant le premier remboursement


90

Exemple 1.1

Quelle est la valeur actuelle au taux de suite constantesde dh versées à la fin de chaque année pendant 8 ans


Actualisation


91

Exemple 1.2Un emprunt contracté en et remboursé à de trimestrialités constantes de

dh chacune, la première est versée dans un trimestre au taux trimestriel .Calculez le montant de ?Réponse :


Actualisation


92

Exercice :Un emprunt est contracté au taux de est remboursé à de annuités annuellesconstantes de dh chacune. Calculer le montant de dans les cas suivants :

La première annuité est versée dans un an ?La première annuité est versée dans ans ?



93


La première annuité est versée dans un an ?Dans ce cas : le premier versement se fait la première année, donc le remboursement se faitau bout de 5 ans.


Actualisation

Premier versement


94


La première annuité est versée dans ans ?Dans ce cas : le premier versement (se fit avec un différé) se fait à partir de la 3ème

année. Il faut suivre les étapes suivantes (1) puis (2).

1: Les annuités constantes de Fin de période2. la valeur Actuelle

Actualisation

Premier versement

Actualisation

Je cherche le montant de


Il faut calculer lavaleur actuelle desversements effectués à

(3-1) = 2

(2)


95




4: Exercices

Chapitre 4 : AnnuitésMathématiques financières

96

Illustration:

Annuités constantesde fin de période

Annuités constantesde début de période

Définition 2.1Les annuités sont supposées constantes, de terme égal à « a ».Le versement se fait en début de période.

2: Les annuités constantes de début de période

a a a a


en fin de la première période

a a a a


en début de la première période

a


97

Formalisation

2: Les annuités constantes de début de période2. 1. la valeur Acquise

a a a a

1 2 3 n0Le remboursement de la première Annuité

en début de la première période

a

1 selon la formule des annuités constantes en fin de la première période

Capitalisation

Valeur acquise de

en appliquant la formule de avec n=1, on aura :

La Valeur acquise est donc donnée par :


98

Premier remboursement

Actualisation

2: Les annuités constantes de début de période2.1. la valeur Actuelle

Capitalisation

La valeur actuelle est donnée par :


99

Exercice

Un emprunt est contracté au taux de est remboursé à de annuités annuellesconstantes de dh chacune. Calculer le montant de dans les cas suivants :

La première annuité est versée immédiatement (annuité de début de période) ?La première annuité est versée dans mois?



100

ExerciceUn emprunt est contracté au taux de est remboursé à de annuités annuellesconstantes de dh chacune. Calculer le montant de dans les cas suivants :

La première annuité est versée immédiatement (annuité de début de période) ?


Actualisation

Premier versement

Capitalisation



101

ExerciceUn emprunt est contracté au taux de est remboursé à de annuités annuellesconstantes de dh chacune. Calculer le montant de dans les cas suivants :

La première annuité est versée dans mois?



Actualisation

Premier versement

Capitalisation


102




4



103

Définition 1

On appelle suite variables une succession de versements (montants)différents de chaque période (année), pour créer ou rembourser un capital.

Les annuités variables peuvent varier de différentes manières. Dans ce cours nousaurons à étudier :

1. Les annuités en progression arithmétique et

2. Les annuités en progression géométrique.

3: Les annuités Variables


104

Définition 2Considérons une suite de annuités en progression arithmétique de raison et depremier terme placé à intérêt composé au taux .

3: Les annuités Variables3. 1. Annuités en progression arithmétique

1. La valeur Acquise

2. La valeur Actuelle est donnée par :

3


105

Application 1Une personne verse, au taux annuel de 6 annuités formant une progressionarithmétique de raison 1 000 dh. La 1ère annuité est égale à 5 000 dh. Déterminerla valeur acquise de ces versements.

3: Les annuités Variables3. 1. Annuités en progression arithmétiques


3


106

Application 2Une personne verse, au taux annuel de 6 annuités formant une progressionarithmétique de raison 1 000 dh. La 1ère annuité est égale à 5 000 dh. Déterminerla valeur à de la dette.

3: Les annuités Variables3. 1. Annuités en progression arithmétiques

2. La valeur Actuelle

3


107

Définition 3Considérons une suite de annuités en progression géométrique de raison et depremier terme placé à intérêt composé au taux .

3: Les annuités Variables3. 2. Annuités en progression géométrique


2. La valeur Actuelle

3

Avec Si

Avec Si


108

Application 3Calculer la valeur acquise suite de 10 annuités de valeur 8 000 dh enprogression géométrique de raison 1,05 dans chacun des cas suivants :

a) Taux 6%. b) Taux 5%


a) La valeur Acquise avec (6%)

3

On a 1+0,06= 1,06Donc :

On applique donc cette formule


109

Application 3Calculer la valeur acquise suite de 10 annuités de valeur 8 000 dh en progressiongéométrique de raison 1,05 dans chacun des cas suivants :a) Taux 6%. b) Taux 5%


b) La valeur Acquise avec (5%)

3

On a 1+0,05= 1,05Donc :



110

Application 4Calculer la valeur Actuelle suite de 10 annuités de valeur 8 000 dh enprogression géométrique de raison 1,05 dans chacun des cas suivants :



a) La valeur Actuelle avec (6%)

3

On a 1+0,06= 1,06Donc :



111

Application 4Calculer la valeur Actuelle suite de 10 annuités de valeur 8 000 dh enprogression géométrique de raison 1,05 dans chacun des cas suivants :



b) La valeur Actuelle avec (5%)

3

On a 1+0,05= 1,05Donc :



112




4



113

Exercices:Chapitre 4 : Annuités Mathématiques financières

114


115


116

Exercices:


117


118


119

Exercices:


120

121

Chapitre 5 :

Emprunts

121

122

1: Définitions et principes de base

2: Emprunts remboursables in fine

3: Emprunts remboursables par amortissements constants

4: Emprunts remboursables par Annuités constantes

5

Chapitre

123

Emprunt

indivis

Remboursement

Obligataire

Est effectué auprès d'une seulepersonne (physique ou morale): un établissement bancaire

Regroupe plusieurs prêteurs (les obligataires)

1: Définitions et principes de baseChapitre 5: Emprunts

Principe de


124


Principe général du fonctionnement emprunt indivisSoit un capital prêté à la date . Ce capital est remboursé chaque année par des annuités , , pendant

années.

0 1 2Années Schéma de capitalisation

3Emprunt

Remboursement

Emprunt = Remboursements se décline à la date

Chapitre 5: Emprunts Mathématiques financières

125


ExempleSoit un emprunt prêté à la date . Ce capital est remboursé par un remboursement de la première année, -clôturer le remboursement ?Avec

En appliquant : Emprunt = Remboursements se décline à la date


126


Notion du coût de

=

Exemple

Dans précédent :

=

=


127


Notion du tableau

Périodes Capital restant dû

Intérêt de la période

Amortissement Annuités de fin de période

Date du remboursem

ent

Est le capital restant à

rembourser juste avant le

remboursement à la date considérée

Sont ceux payés

remboursements

Est la part de capital

remboursé dans

remboursement


128


Notion du tableau

Il est caractérisé par plusieurs éléments :

(Capital nominal à la date )

(Taux fixe)




=CRD (a-1)-capital remboursé

-1)Capital restant

=Capital remboursé +

Intérêts


129


Exemple

Périodes (année)

Capital restant dû



=CRD (a-1)-capital remboursé

-1)Capital restant

=Capital remboursé +

Intérêts1 10 000 4000

2 700 2300 3000

3 4700 470 4700 5170

Soit un emprunt prêté à la date . Ce capital est remboursé par un remboursement de la première année, -clôturer le remboursement ? Avec


130


Notion du tableau (cas particulier)

plus faible que les intérêts?

première année serait de 500 dh.




1

2


131


Modalités de remboursement de

Amortissements Constants (Annuités dégressives)

Annuités Constantes

Amortissement in fine ou empruntremboursable en une seule fois.

Modalités de Remboursement


132





5

Chapitre 5: Emprunts


133

2: Amortissement In fine

Définition

Le remboursement du capital nominal (principal) (en bloc): à la fin du contrat (la dernière années).

de la dette.

La situation se présente comme suit :

0 1 2

Remboursement en bloc=


134


Tableau




12


135


Exemple




1234

Un emprunt de 100 000 dh est remboursable à la fin de la 4 éme année, avec un taux de 10% par an.

=

=


136


Exemple

Périodes Capital restant dû Intérêt de la période Amortissement Annuités de fin de période

123456789

10

Un emprunt de 250 000 dh est remboursable à la fin de la 10 éme année, avec un taux de 10,5% par an.


137





5



138

3: Amortissement remboursables par amortissements constants

Définition

Consiste à rembourser la même fraction de capital à chaque période (tous les ans).Ici les remboursements se font par amortissements constants ou encore par série égale.


0 1 2

Remboursement par amortis


139


Tableau




1

2

=


140


Exemple

Date Capital restant dû Intérêt de la période


1

2

3 25 000

4

Un emprunt de 100 000 dh est remboursable à la fin de la 4 éme année, avec un taux de 10% par an.

=


141


ExempleUn emprunt de 100 000 dh est remboursable à la fin de la 5 éme année, avec un taux de 5% par an.

Date Capital restant dû

Intérêt de la période Amortissement Annuités de fin de

période1 100000 5000 20000 250002 80000 4000 20000 240003 60000 3000 20000 230004 40000 2000 20000 220005 20000 1000 20000 21000

=


142





5



143


Définition

Consiste à rembourser chaque période la même annuité.Ici les remboursements se font par annuités constantes (très utilisé)


0 1 2

Remboursement en anuités


144

3: Amortissement remboursables par Annuités constantes

Tableau


1

2

=


145

3: Amortissement remboursables par Annuités constantes

ExempleUn emprunt de 100 000 dh est remboursable à la fin de la 5 éme année, avec un taux de 10% par an.

Date Capital restant dû Intérêt de la période Amortissement Annuités de fin de

période1 100000 10000 16379,74808 26379,748082 83620,25192 8362,02519 18017,72289 26379,748083 65602,52903 6560,2529 19819,49518 26379,748084 45783,03386 4578,30339 21801,44469 26379,748085 23981,58916 2398,15892 23981,58916 26379,74808

=

=


146





5:



147

Exercice 1

Une entrepreneur désire réaliser un investissement de 800 000 dh. Pour financer le projet, il fait appel à un seul emprunt bancaire (emprunt indivis).La banque lui propose trois modalités au taux annuel de 8%, pour une durée de 4 ans :

Première modalité: Remboursement in fine.Deuxième modalité: Remboursement par amortissements constants.Troisième modalité: Remboursement par annuités constantes.

1) Remplir les 3 tableaux en expliquant comment obtenir la première ligne de chaque tableau.

2)


5:


148

Exercice 1

Remplir les 3 tableaux en expliquant comment obtenir la première ligne de chaque tableau.

Première modalité: Remboursement in fine.


1 800000 64000 0 640002 800000 64000 0 640003 800000 64000 0 640004 800000 64000 800000 864000

=


5:


149

Exercice 1


Deuxième modalité: Remboursement par amortissements constants.

Date Capital restant dû

Intérêt de la période Amortissement Annuités de fin de

période1 800000 64000 200000 2640002 600000 48000 200000 2480003 400000 32000 200000 2320004 200000 16000 200000 216000

=


5:


150

Exercice 1


Troisième modalité: Remboursement par annuités constantes.

Date Capital restant dû Intérêt de la période Amortissement Annuités de fin de

période1 800 000 64000 177536,6436 241536,64362 622463,3564 49797,0685 191739,575 241536,64363 430723,7814 34457,9025 207078,7411 241536,64364 223645,0403 17891,6032 223645,0403 241536,6436

=


5:


151

Exercice 1

2

Première modalité: Remboursement in fine.

Deuxième modalité: Remboursement par amortissements constants.

Troisième modalité: Remboursement par annuités constantes.

=

=

= Le plus faible coût


5:


PériodeDette Début

PériodeIntérêt Amortissement Annuité

Dette en fin Période

1

8

900 000

112 500

90 000

11 250

112 500

112 500

202 500

123 750

787 500

0152

Exercice 2: Une dette de 900 000 DH est contractée au taux de 10% pour être remboursé en 8 ans par des amortissements constant.

Résultat : Première année (ligne) : I1= 900 000*10% = 90 000dh. ; Amortissements constants= (900 000/8)= 112 500 DH; Première annuité = 90 000 + 112 500 = 202 500 DH; Dette en début de période= 900 000- 112 500= 787 500 dh

Dernière année (ligne) :Intérêt= (112500)*10%= 11 250 DH; Amortissement constant= 112500 DH; Annuité= (112500+11250)= 123 750 DH; Dette en fin de période = 112 500 112 500 = 0

Chapitre 5: Emprunts 5:


153

Exercice 3: Le 15/04/N, une entreprise importatrice emprunte la somme de 100 000 DH en vue de faire face aux surcoûts

Cet emprunt est remboursable par quatre amortissements annuels constants, payables à la fin de chacune des

Calculer le coût total de cet emprunt.Solution1. Le tableau

Chapitre 5: Emprunts 5:

Echéance Restant dû au début de la période

Intérêt

Amortissement

Annuité

Restant du à la fin de la période

Le 14/04/N+1 100 000 12 000

25 000 37 000 75 000

Le 14/04/N+2 75 000 9 000

25 000 34 000 50 000

Le 14/04/N+3 50 000 6 000

25 000 31 000 25 000

Le 14/04/N+4 25 000 3 000

25 000 28 000 0

Total - 30 000

100 000 - -

2. Le coût total de cet emprunt est égal à 30 000 DH ;


Documents

II. Placement à courte période III. Taux moyen de