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Une introduction à la Une introduction à la théoriethéorie

SOMMAIRESOMMAIRE

• Origine • Propagation d’une onde dans un milieu• Définition d’un matériau main gauche• MMGs : Indice négatif• Conséquence: Loi Snell-Descartes

inversée• Énergie et principe de causalité• Modèles• Propriétés des MMGs• Perspectives futures• Références• Questions

Origine: V. G. Veselago (1964)

Propagation d’une onde dans un milieu

• Les constantes de la permittivité et de la perméabilité d’un milieu déterminent la dynamique de la propagation d’une onde dans un milieu.

• Ceci est due à relation de dispersion:

• Ceci traduit la relation entre la fréquence de l’onde monochromatique et son vecteur d’onde k.

k

0

Définition d’un matériau main gauche

V. G. Veselago: • milieu ayant une permittivité et

une perméabilité négative telles que:

Conséquences:• La propagation d’une onde;• Propriétés des matériaux main

gauche;• Loi Snell-Descartes pour le matériau

main gauche.

Matériau main gauche (1)

• La dynamique de la propagation des ondes dans un milieu est régit par les équations de Maxwell. Pour une onde monochromatique nous avons:

• Dans le cas d’un milieu où la permittivité et la perméabilité du milieu est positif le trièdre est direct et suit ce que l’on appelle la « loi de la main droite ». Le vecteur de Poynting qui décrit le sens de propagation du flux d’énergie est définit par:

• Le vecteur de Poynting est dans la même direction que le vecteur d’onde.

, ,E H k

Matériau main gauche (2)

• Dans le cas d’un milieu où la permittivité et la perméabilité du milieu est négatif le trièdre n’est plus direct. Le vecteur d’onde changé de sens. Le vecteur d’onde est dans le sens opposé au vecteur de Poynting.

• Nous pouvons constater que le triède correspond plus à la position des doigts de la main gauche et suivra dont ce que l’on appelle la « loi de la main gauche ». (i.e. pouce=k, index=E et majeur=H)

• D’où, la dénomination de matériau main gauche (MMG) définit par V. G. Veselago

, ,E H k

MMGs: indice négatif

Par définition l’indice de réfraction d’un milieu est donné par l’expression:

• Pour les fréquences à l’intérieur de la bande où la permittivité et la perméabilité est négative, nous aurons :

• Soit finalement,

• D’où l’indice de réfraction négatif du milieu

Conséquence : Loi de Snell-Decartes inversée

• La loi de Snell-Descates est donnée par l’équation :

• Nous pouvons aussi l’écrire sous la forme:

• Pour une permittivité et une perméabilité dans le milieu 2 négatif , cette équation devient:

• D’où un angle qui est opposée à l’angle de réfraction dans un milieu à permittivité et perméabilité positif.

1 1 1 1sin sinn n

2 21 2

2 1 1 2

sin

sin

n

n

1 1 2 2sin sinn n

Conséquence : Loi de Snell-Decartes inversée

• Nous aurons comme construction des rayons:

(1) (2)

Énergie et Principe de causalité (1)

• Pour une onde plane monochromatique, l’énergie électromagnétique de l’onde est donnée par:

• Ceci est vrai si il n’y a pas de dispersion en fréquence ni d’absorption dans le milieu.

• Si et implique que . Ceci contredit le principe fondamentale de l’électromagnétique (i.e. principe de causalité) qui impose que :

2 2W E H

0 0 0W

0W

Énergie et Principe de causalité (2)

• Considérons le cas lorsqu’il y a dispersion en fréquence de l’onde EM dans le milieu. Le théorème de Poynting permet d’écrire l’expression de l’énergie EM sous la forme :

• Ceci impose que :

• Ces inégalités ne signifient pas que et soient simultanément négatives mais elles traduisent le fait que et dépendent nécessairement de la fréquence.

2 2 0W E H

0

0

Modèle de Drude (1)

• La permittivité est donnée par l’expression:

• La perméabilité est donnée par l’expression:

• Ce modèle consiste à appliquer la théorie cinétique des gaz au mouvement d’électrons dans un métal.

Modèle de Drude (2)

Modèle de Lorentz (1)

• La permittivité est donnée par l’expression:

• La perméabilité est donnée par l’expression:

• Ce modèle est basé sur la résonance.

Modèle de Lorentz (2)

Modèle cylindre-anneau (1)

• Nous négligeons ici les pertes dans le matériau et les expressions deviennent:

• L’équation de dispersion est donnée par:

Modèle de cylindre-anneau (2)

• Le tableau ci-dessous indique les régions où et changent de signe.

• La région où correspond aussi à et . La valeur de du vecteur d’onde est positif ce qui implique que le vecteur d’onde est réel. Donc il y a une propagation de l’onde dans cette bande.

2k

Propriétés des MMGs

• La vitesse de phase est négative

• La vitesse de groupe est aussi négative

• On parle aussi dans ce cas d’ondes rétropropagées ou en anglais de «backward waves».

Conclusion

• MMG = Métamatériau = milieu indice négatif

• Propriétés physiques :• Indice de réfraction négative;• Permittivité et perméabilité du milieu

sont négatives et dépendent obligatoirement de la fréquence (i.e. dispersion en fréquence);

• Conséquences:• Loi de Snell-Descartes inversée;• le vecteur d’onde et de Poynting sont

anti-parallèles;• Vitesse de phase et vitesse de groupe

négatives: ondes rétropropagées;

Perspectives Futures

• Théorie : compréhension de la physique des ondes dans les métamatériaux (milieu à vitesse de phase et à vitesse de groupe négative)

• Simulation : Algorithme FDTD application à la dynamique des ondes dans un métamatériau. L’objectif est de simuler, de prédire et d’optimiser les structures sub-longueur d’onde pour le domaine de l’optique et de développer des applications dans diverses domaines (i.e. lentilles, réseaux, modulateurs, etc..).

• Vérifications expérimentales et fabrication

Références

• [1] V.G. Vesalago, Sov. Phys. Usp. 10 (4) (1968) 509.

• [2] D.R. Smith, N. Kroll, Phys. Rev. Lett. 85 (14) (2000) 2933.

• [3] J.B. Pendry, Phys. Rev. Lett. 85 (18) (2000) 3966.

• [4] D. Maystre and S. Enoch, J. Opt. Soc. Am. A, Vol. 21(1) (2004) 122

• [5] D. Maystre et al. / C. R. Physique 6 (2005) 693–701)

• Note: un métamatériau possédant une permittivité et une perméabilité relatives égales à −1 ne peut exister même à une seule fréquence.