Cycle prparatoire 2me anne

Intgration Notes de cours

Romain Dujol

2013 2014

Table desmatires

0 Calcul dintgrales (Rvision) 30.1 Primitives et formes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.1.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.1.2 Formes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.3 Techniques fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.2 Formes particulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.1 Primitives de x 7 (sinp x ) (cosq x ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.2 Primitives de x 7 P(x )e ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.3 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.2.4 Intgrales abliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Intgrales gnralises 81.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Structure algbrique de lensemble des fonctions intgrables . . . . . . . . . . . 10

1.2 Fonctions valeurs relles positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Compatibilit avec lordre naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Thormes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Fonctions de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Fonctions valeurs quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1 Integrabilit absolue. Semi-intgrabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Conditions de semi-intgrabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Mthodes de calcul dune intgrale gnralise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Fonctions doublement intgrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Romain Dujol 1

2 Intgrales dpendant dun paramtre 272.1 Intgrales propres dpendant dun paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Drivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.3 Intgrabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Intgrales gnralises dpendant dun paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.2 Drivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Intgralesmultiples 343.1 Intgrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1 Intgrales doubles sur un compact lmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.2 Intgrale double sur un pav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Intgrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Intgrales curvilignes 394.0 Formes diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.0.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.0.2 Forme diffrentielle exacte. Forme diffrentielle ferme . . . . . . . . . . . . . . . 394.0.3 Thorme de POINCAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.0.4 Exemples dtude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 Intgrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.1 Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.2 Cas dune courbe ferme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Romain Dujol 2

Chapitre 0

Calcul dintgrales (Rvision)

0.1 Primitives et formes usuelles

0.1.1 Primitives des fonctions usuelles

On rappelle les primitives des fonctions usuelles (C est une constante).

Fonction Primitive Fonction Primitive

x 7 xm ,m R\{1} x 7 xm+1

m +1+C x 7 1

xx 7 ln |x |+C

x 7 e ax ,a C x 7 eax

a+C x 7 lnx x 7 x lnx x +C

x 7 cosx x 7 sinx +C x 7 sinx x 7 cosx +C

x 7 tanx x 7 ln |cosx |+C x 7 cotanx = 1tanx

x 7 ln |sinx |+C

x 7 cosecx = 1sinx

x 7 lntan x

2

+C x 7 secx = 1sinx

x 7 lntan

x2+

4

+Cx 7 chx x 7 shx +C x 7 shx x 7 chx +C

x 7 thx x 7 ln(chx )+C x 7 cothx x 7 ln |shx |+C

x 7 1shx

x 7 lnth x

2

+C x 7 1chx

x 7 2arctan(e x )+C

x 7 1ch2 x

= 1 th2 x x 7 thx +C x 7 1sh2 x

x 7 cothx +C

x 7 1x 2+a 2

,a R x 7 1aarctan

x

a+C x 7 1

x 2a 2 ,a R x 7 1

2aln

x ax +a+C

x 7 1pa 2x 2

,a R x 7 arcsin xa+C x 7 a x = e x lna ,a R

+x 7 a

x

lna+C

x 7 cos(ax +b ),a R x 7 sin(ax +b )a

+C x 7 sin(ax +b ),a R x 7 cos(ax +b )a

+C

Romain Dujol 3

0.1.2 Formes usuelles

Forme Primitive Forme Primitive

x 7 u (x ) u (x )m ,m R\{1} x 7 u (x )m+1

m +1+C x 7 u

(x )

u (x )x 7 ln |u (x )|+C

x 7 u(x )pu (x )

x 7 2pu (x )+C x 7 u (x ) e u (x ) x 7 e u (x )+C

x 7 u (x ) cosu (x ) x 7 sinu (x )+C x 7 u (x ) sinu (x ) x 7 cosu (x )+C

x 7 u(x )

1+u (x )2x 7 arctanu (x )+C x 7 u

(x )p1u (x )2

x 7 arcsinu (x )+C

0.1.3 Techniques fondamentales

Thorme (Intgration par parties). Soit u et v deux fonctions de classeC 1 sur [a ,b ]. Alors ba

u (x )v (x )dx =u (x )v (x )

ba

ba

u (x )v (x )dx

Exercice. Calculer

/20

x cosx dx .

Thorme (Changement de variables). Soit : [, ]R une application injective et de classeC 1 sur [, ] et f une application valeurs relles dfinie et continue sur([, ]). Alors

( )()

f (x )dx =

f(t )

(t )dt

Exercice. Calculer

10

e x

1+ e 2xdx .

0.2 Formes particulires

0.2.1 Primitives de x 7 (sinp x ) (cosq x )Rgle 0.1. Soit p et q deux entiers naturels. Pour calculer la primitive de f : x 7 (sinp x ) (cosq x ),on distingue trois cas :

si p est impair, alors on effectue le changement de variable t = cosx ; si q est impair, alors on effectue le changement de variable t = sinx ; si p et q sont pairs tous les deux, on effectue une linarisation.

Exercice. Dterminer une primitive de x 7 (sin3x ) (cos4x ), x 7 (cos5x ) et x 7 (cos4x ).

Romain Dujol 4

0.2.2 Primitives de x 7 P(x )e ax

Proposition 0.1. Soit P un polynme coefficients complexes et a un nombre complexe non nul.Alors une primitive de f : P(x )e ax est de la formeQ(x )e ax oQ est un polynme coefficients

complexes de mme de degr que P qui est solution de lquation diffrentielleQ +aQ = P.

Dmonstration. SoitQ un polynme coefficients complexes et g : x 7Q(x )e ax . Alors

x R, g (x ) =Q (x )e ax +aQ(x )e ax = (Q (x )+aQ(x ))e ax

Donc g est une primitive de f si et seulementQ +aQ = P : comme a est non nul, le degr deQ +aQ est

celui deQ . On en dduit que les degrs deQ et P sont gaux.

Rgle 0.2. Soit P un polynme coefficients complexes et a un nombre complexe non nul. Pourcalculer la primitive F de f : x 7 P(x )e ax :

1. on pose F : x 7Q(x )e ax avec degQ = degP ;2. on drive F et on obtient lquationQ +aQ = P ;

3. on rsout lquation polynmiale par identification des coefficients.

Exercice. Calculer une primitive de x 7 (x 32x +1)ex .

Remarque. Si le degr de P est trs faible (pas plus de deux), il est possible de calculer la primi-tive de x 7 P(x )e ax par intgrations par parties successives 1.

Primitives de x 7 P (x )sin(a x ) et x 7 P (x )cos(a x ) Il suffit dutiliser la formule dEULER decalculer les primitives de x 7 P(x )e i ax et x 7 P(x )ei ax .

Exercice. Calculer une primitive de x 7 x 4 cosx .

Primitives de x 7 P (x )sh(a x ) et x 7 P (x )ch(a x ) Il suffit dutiliser la dfinition de sh et chde calculer les primitives de x 7 P(x )e ax et x 7 P(x )eax .

Exercice. Calculer une primitive de x 7 (x 32x +1) (chx ).

1. Le nombre dintgrations par parties ncessaires est gal au degr de P .

Romain Dujol 5

0.2.3 Primitives de fractions rationnelles

Rgle 0.3. Soit R une fraction rationnelle coefficients rels. Pour calculer la primitive de R :

1. On effectue une dcomposition en lments simples dans R :

R = E +i

i

(X a i )p i+j

jX +j(X 2+b jX + c j )qj

o : E est la partie entire de R ;

i

(X a i )p isont les lments simples de premire espce ;

jX +j

(X 2+b jX + c j )qjavec b2j 4c j < 0 sont les lments simples de seconde espce.

2. On dtermine une primitive du polynme E de manire usuelle.

3. On dtermine une primitive dun lment simple de premire espce R1 : x 71

(x a )navec n N : si n > 1, alors toute primitive de R1 est de la forme x 7

1(n 1)(x a )n1 +C (C R) ;

si n = 1, alors toute primitive de R1 est de la forme x 7 ln |x a |+C (C R).

4. Ondtermine uneprimitive dun lment simple de seconde espceR2 : x 7x +

(x 2+bx + c )navec n N en effectuant la dcomposition suivante :

R2 =X +

(X 2+bX + c )n=

2

2X +b

(X 2+bX + c )n+

2b

1

(X 2+bX + c )n

puis :

sin > 1, alors toute primitive de x 7 2x +b(x 2+bx + c )n

est de la forme x 7 1(n 1)(x 2+bx + c )n1+

C (C R) ; si n = 1, alors toute primitive de x 7 2x +b

(x 2+bx + c )nest de la forme x 7 ln |x 2+bx + c |

pour calculer une primitive de x 7 1(x 2+bx + c )n

=

x +

b

2

2+ 2, on pose le chan-

gement de variable t = x +b

2pour se ramener au calcul de la primitive dune fonction

usuelle.

Exercice. Calculer une primitive de x 7 1x (x 2+2x +5)

.

Romain Dujol 6

Primitives de fractions trigonomtriques

Rgle 0.4 (Rgle de BIOCHE). Soit f une fraction rationnelle compose de fonctions trigonom-triques de la forme sin(px ), cos(px ) et/ou tan(px ).

Si x 7 f (x )dx est invariant par la transformation : x 7 x , alors on pose le changement de variable t = cosx ; x 7x , alors on pose le changement de variable t = sinx ; x 7+x , alors on pose le changement de variable t = tanx .

Sinon, on pose le changement de variable t = tanx

2. Auquel cas, on a :

sinx =2t

1+ t 2, cosx =

1 t 21+ t 2

, tanx =2t

1 t 2On se ramne alors la recherche dune primitive dune fraction rationnelle en t .

Remarque. Le changement de variable t = tanx

2fonctionne dans tous les cas (mme ceux cou-

verts par la rgle de BIOCHE).

Primitives de fractions rationnelles en exponentielle

Rgle 0.5. Soit R une fraction rationnelle. Pour calculer une primitive de f : x 7 R(e ax ), on posele changement de variable t = e ax et on se ramne alors la recherche dune primitive dunefraction rationnelle en t .

Exercice. Calculer une primitive de x 7 1(e x +2)2

.

Remarque. On peut donc appliquer cette rgle avec des fractions hyperboliques (sh, ch, th).

Exercice. Calculer une primitive de x 7 14+5chx +3shx

.

0.2.4 Intgrales abliennes

Rgle 0.6. Soit (a ,b ,c ) {a R+ou b2 4ac > 0}. Pour calculer une primitive de

f : x 7pax 2+bx + c ou de f : x 7 1p

ax 2+bx + c:

si on peut crire ax 2+bx + c =2[(x +)2+2], alors on pose le changement de variablex +=sh t ;

si on peut crire ax 2+bx + c =2[(x +)22], alors on pose le changement de variablex +=ch t ;

si on peut crire ax 2+bx + c =2[2 (x +)2], alors on pose le changement de variablex +=sin t .

Exercice. Calculer une primitive de x 7 1[x (2x )]3/2 .

Romain Dujol 7

Chapitre 1

Intgrales gnralises

1.1 Gnralits

1.1.1 Dfinition

Dfinition 1.1 (Fonction localement intgrable). Soit I un intervalle de R.Une application f est dite localement intgrable sur I si et seulement si elle est intgrable

au sens de RIEMANN sur tout segment inclus dans I .

Exemple. f : x 7 x est localement intgrable sur R. f : x 7 1

xest localement intgrable sur R

+, mais pas sur R.

Proposition 1.1. Soit I un intervalle de R.

1. Toute application continue sur I est localement intgrable sur I .

2. Toute application monotone sur I est localement intgrable sur I .

Dfinition 1.2 (Fonction intgrable). Soit (a ,b ) RR tel que a < b et f une applicationdfinie et continue sur lintervalle [a ,b [.

On dit que f est intgrable sur [a ,b [ si et seulement si lapplicationF : [a ,b [ R

X 7 Xa

f (t )dt

admet une limite finie en b.

Auquel cas, on dfinit lintgrale de f sur [a ,b [, note

ba

f (x )dx par

ba

f (x )dx = limxb

F (X ) = limxb

xa

f (t )dt

Romain Dujol 8

Remarque.

1. On rappelle que F est la primitive de f qui sannule en a .

2. On peut videmment dfinir demanire analogue une fonction intgrale sur un intervalle]a ,b ] ouvert gauche. Tous les rsultats de ce chapitre ont leur quivalent dans ce cadre.

3. Une telle intgrale est appele une intgrale gnralise.

4. Par opposition, on appellera intgrale propre toute intgrale dune fonction continue sur

un segment sur ce mme segment, comme par exemple 10x dx .

Exemple.

1. Si f est lapplication f : [0,+[ Rx 7 x

, alors F (X ) =

X0

t dt =X 2

2.

Donc limX+

F (X ) =+ et f nest pas intgrable sur [0,+[.

2. Si f est lapplication f : [1,+[ Rx 7 1

x

, alors F (X ) =

X1

dt

t= lnX .

Donc limX+

F (X ) =+ et f nest pas intgrable sur [0,+[.

Proposition 1.2. Soit (a ,b ) R2 tel que a < b et f une application dfinie et continue sur [a ,b [.

Si f admet une limite finie en b, alors f est intgrable sur [a ,b [ et

ba

f (x )dx =

ba

f (x )dx

o f : [a ,b ] R

x 7

f (x ) si x [a ,b [lim

xbf (x ) si x =b

est le prolongement par continuit de f en b.

Remarque. Comme f est dfinie et continue sur [a ,b ],

ba

f (x )dx est donc une intgrale propre.

Auquel cas,

ba

f (x )dx est une intgrale dite faussement gnralise.

Dmonstration. Comme f est dfinie et continue sur [a ,b ], elle est borne : on note M = supx[a ,b ]

f (x ).

Alors

X [a ,b [, Xa

f (x )dx ba

f (x )dx

= Xa

f (x )dx ba

f (x )dx

= bX

f (x )dx

M (b X )

Comme limXb

M (b X ) = 0, on en dduit par encadrement que limXb

Xa

f (x )dx ba

f (x )dx

= 0.Romain Dujol 9

Exemple. Lapplication f : [0,1[ Rx 7 lnx

x 1

est intgrable sur [0,1[ car limx1

f (x ) = ln(1) = 1.

ATTENTION. CE RSULTAT NEST PAS VALABLE SI b EST INFINI !

Exemple. f : [1,+[ Rx 7 1

x

Proposition 1.3 (Changement de point de base). Soit (a ,b ) RR tel que a < b et f une ap-plication dfinie et continue sur lintervalle [a ,b [.

Pour tout rel c [a ,b [, f est intgrable sur [c ,b [ si et seulement si f est intgrable sur [a ,b [.

Dmonstration. Pour tout rel c [a ,b [ et tout rel X de [c ,b [, Xa

f (t ),dt =

ca

f (t ),dt +

Xc

f (t ),dt .

Comme f est dfinie est continue sur [a ,c ],

ca

f (t ),dt est une intgrale propre.

Si f est intgrable sur [a ,b [, alors X 7 Xa

f (t ),dt admet une limite finie en b. On en dduit que

x [c ,b [, Xc

f (t ),dt =

Xa

f (t ),dt ca

f (t ),dt

Donc X 7 Xc

f (t ),dt admet galement une limite finie en b et f est intgrable sur [c ,b [.

Si f est intgrable sur [c ,b [, alors X 7 Xc

f (t ),dt admet galement une limite finie en b, donc

X 7 Xa

f (t ),dt galement et f est intgrable sur [a ,b [.

1.1.2 Structure algbrique de lensemble des fonctions intgrables

Thorme 1.1. Soit (a ,b )RR tel que a

Corollaire.La somme de deux fonctions intgrables sur [a ,b [ est intgrable sur [a ,b [La somme dune fonction intgrable sur [a ,b [ et dune fonction non-intgrable sur [a ,b [ nest

pas intgrable sur [a ,b [.

Remarque. Il nexiste pas de rsultat gnral pour la somme de deux fonctions non-intgrables.En effet :

x 7 1 et x 7 1 ne sont pas intgrables sur [0,+[ et x 7 1+ (1) = 0 est intgrable sur[0,+[ ;

x 7 1 nest pas intgrable sur [0,+[ et x 7 1+1= 2 nest pas intgrable sur [0,+[.

ATTENTION. On ne peut donc pas crire la relation

ba

[ f (x )+ g (x )]dx =

ba

f (x )dx +

ba

g (x )dx

tant que lintgrabilit de f et g sur [a ,b [ na pas t tablie !

Thorme 1.2 (Intgrabilit dune fonction valeurs complexes).Une fonction valeurs complexes f dfinie et continue sur [a ,b [ est intgrable sur [a ,b [

si et seulemente f et m f sont intgrables sur [a ,b [.

Romain Dujol 11

1.2 Fonctions valeurs relles positives

1.2.1 Compatibilit avec lordre naturel

Proposition 1.4 (Positivit de lintgrale gnralise). Soit (a ,b ) RR tel que a < b et f une

fonction valeurs relles positives intgrable sur [a ,b [. Alors

ba

f (x )dx 0.

Dmonstration. Comme f est valeurs relles positives, on a pour tout X [a ,b [, Xa

f (x )dx 0.On conclut en passant la limite lorsque X tend vers b.

Corollaire (Croissance de lintgrale gnralise). Soit (a ,b )RR tel que a

1.2.2 Lemme fondamental

Thorme 1.3 (Lemme fondamental des fonctions intgrables valeurs positives).Soit (a ,b ) RR tel que a < b et f une fonction valeurs relles positives dfinie et

continue sur [a ,b [. Alors f est intgrable sur [a ,b [ si et seulement si la primitive de f quisannule en a est majore :

f est intgrable sur [a ,b [ M R+, X [a ,b [, Xa

f (x ),dx M

Dmonstration. On note F : [a ,b [ R

X 7 Xa

f (x )dx

la primitive de F qui sannule en a .

() Comme F admet une limite en b, elle est majore sur [a ,b [.() Comme F = f 0, il vient que F est croissante. Comme elle est majore, on en conclut que Fadmet une limite finie en b, puis que f est intgrable sur [a ,b [.

Proposition 1.6. Soit (a ,b ) RR tel que a < b et f une fonction valeurs relles positivesdfinie et continue sur [a ,b [.

1. Si f est intgrable sur [a ,b [, alors X [a ,b [, Xa

f (x )dx ba

f (x )dx .

2. Si f nest pas intgrable, alors limXb

Xa

f (x )dx =+.

1.2.3 Thormes de comparaison

Thorme 1.4 (Thorme demajoration des fonctions intgrables valeurs positives).Soit (a ,b ) RR tel que a < b. Soit f et g deux fonctions valeurs relles positives dfinieset continues sur [a ,b [ telles que f g .

Si g est intgrable sur [a ,b [, alors f est intgrable sur [a ,b [.

Corollaire. Soit (a ,b ) RR tel que a < b. Soit f et g deux fonctions valeurs relles positivesdfinies et continues sur [a ,b [ telles que f =Ob (g ).

Si g est intgrable sur [a ,b [, alors f est intgrable sur [a ,b [.

Remarque. Le rsultat est donc valable si f = ob (g ).

Romain Dujol 13

Thorme 1.5 (Thorme deminoration des fonctions intgrables valeurs positives).Soit (a ,b ) RR tel que a < b. Soit f et g deux fonctions valeurs relles positives dfinieset continues sur [a ,b [ telles que f g .

Si f nest pas intgrable sur [a ,b [, alors g nest pas intgrable sur [a ,b [.

Corollaire. Soit (a ,b ) RR tel que a < b. Soit f et g deux fonctions valeurs relles positivesdfinies et continues sur [a ,b [ telles que f =Ob (g ).

Si f nest pas intgrable sur [a ,b [, alors g nest pas intgrable sur [a ,b [.

Remarque. Le rsultat est donc valable si f = ob (g ).

Thorme 1.6 (Thorme dquivalence des fonctions intgrables valeurs positives).Soit (a ,b ) RR tel que a < b. Soit f et g deux fonctions dfinies et continues sur [a ,b [telles que f

bg .

Si g est de signe constant au voisinage de b, alors f est intgrable sur [a ,b [ si et seule-ment si g est intgrable sur [a ,b [.

Remarque. Le thorme nest plus valable si lhypothse g est de signe constant au voisinagede b nest plus vrifie.

Dmonstration. On suppose ici que g est positive au voisinage de b. (Le raisonnement dans le cas oelle serait ngative au voisinage de b est identique.)

Comme limxb

f (x )

g (x )= 1, il existe un rel c [a ,b [ tel que

x [c ,b [, 12 f (x )

g (x ) 32

i.e. x [c ,b [, 12g (x ) f (x ) 3

2g (x )

Donc f est galement positive sur [c ,b [. Si g est intgrable sur [a ,b [, alors elle est intgrable sur [c ,b [ et il en est demme pour 3

2g . Daprs

le thorme de majoration pour les fonctions intgrables valeurs relles positives, f est int-grable sur [c ,b [. On conclut alors que f est intgrable sur [a ,b [.

Si f est intgrable sur [a ,b [, alors daprs le thorme demajoration pour les fonctions intgrables valeurs relles positives, 1

2g est intgrable sur [c ,b [ et il en est donc demme pour g . On conclut

alors que g est intgrable sur [a ,b [.

Romain Dujol 14

1.2.4 Fonctions de rfrence

Fonctions de RIEMANN au voisinage de+

Thorme 1.7 (Fonction de RIEMANN au voisinage de+). Soit un nombre rel.La fonction x 7 1

xest intgrable sur [1,+[ si et seulement si > 1.

Dmonstration. On note f : R+

Rx 7 1

x

puis F : [1,+[ R

X 7 X1

f (x )dx =

X1

dx

x

.

On distingue deux cas : si = 1, alors F (X ) = lnX ln1 pour tout X [1,+[ : donc lim

X+F (X ) = + et f nest pas

intgrable sur [1,+[ ;

si 6= 1, alors F (X ) =x 1

1

X1=

X 111 pour tout X [1,+[ et :

si > 1, alors 1< 0 et limX+

X 1 = 0 : donc f est intgrable sur [1,+[ et +1

dx

x=

1

1 ;

si < 1, alors 1> 0 et limX+

X 1 =+ : donc f nest pas intgrable sur [1,+[.

Proposition 1.7 (Rgle x f (x ) en+). Soit a un rel strictement positif et f une fonction valeurs relles positives dfinie et continue sur [a ,+[. Alors :

> 1, limx+

x f (x ) = 0 = f est intgrable sur [a ,+[

1, limx+

x f (x ) =+ = f nest pas intgrable sur [a ,+[

Dmonstration. Si il existe > 1 tel que lim

x+x f (x ) = 0, alors il existe un rel A tel que :

x A, x f (x ) 1 i.e. x A, f (x ) 1x

Donc f est intgrable sur [A,+[ daprs le thorme de majoration des fonctions intgrables valeurs positives, puis sur [a ,+[.

Si il existe 1 tel que limx+

x f (x ) =+, alors il existe un rel A tel que :

x A, x f (x ) 1 i.e. x A, f (x ) 1x

Donc f nest pas intgrable sur [A,+[ daprs le thorme de minoration des fonctions int-grables valeurs positives, puis sur [a ,+[.

Romain Dujol 15

Fonctions de RIEMANN au voisinage de 0

Thorme 1.8 (Fonction de RIEMANN au voisinage de 0). Soit un nombre rel.

La fonction x 7 1x

est intgrable sur ]0,1] si et seulement si < 1.

Dmonstration. Soit un rel positif. Alors : t 7 1test une application injective et de classe C 1 sur

[1/,1] et 1

dx

x=

11/

1

(1/t )dtt 2

=

11/

dtt 2

=

1/1

dt

t 2

Comme lim0+

1/ =+, il vient que x 7 1x

est intgrable sur ]0,1] si et seulement si X 7 X1

dt

t 2admet

une limite finie lorsque X tend vers +, i.e. t 7 1t 2

est intgrable sur [1,+[.

En utilisant les rsultats prcdents, il vient que x 7 1x

est intgrable sur ]0,1] si et seulement si

2> 1, i.e. < 1.

Proposition 1.8 (Rgle x f (x ) en 0). Soit a un rel strictement positif et f une fonction va-leurs relles positives dfinie et continue sur ]0,a ]. Alors :

< 1, limx0+

x f (x ) = 0 = f est intgrable sur ]0,a ]

1, limx0+

x f (x ) =+ = f nest pas intgrable sur ]0,a ]

Dmonstration. Il suffit dappliquer le changement de variables t =1

xpuis dutiliser la rgle x f (x )

en +.

Corollaire. Soit a et c deux rels tel que a 6= c .Soit un nombre rel. Alors x 7 1

(x a ) est intgrable sur ]a ,c ] si et seulement si < 1.

Dmonstration. Il suffit deffectuer le changement de variable t = x a et se ramener ltude de lint-grabilit de la fonction t 7 1

t sur ]0,c a ].

Romain Dujol 16

Fonctions exponentielles

Thorme 1.9 (Fonctions exponentielles). Soit un nombre rel.La fonction x 7 ex est intgrale sur [0,+[ si et seulement < 0.

Dmonstration. On note f : R Rx 7 e x

puis F : [0,+[ R

X 7 X0

f (x )dx =

X0

e x dx

.

On distingue deux cas : si = 0, alors F (X ) = X pour tout X [0,+[ : donc lim

X+F (X ) = + et f nest pas intgrable sur

[0,+[ ; si 6= 0, alors F (X ) =

e x

X0=

e X 1

pour tout X [0,+[ et : si > 0, alors lim

X+e X =+ : donc f nest pas intgrable sur [0,+[ ;

si < 0, alors limX+

e X = 0 : donc f est intgrable sur [0,+[ et +0

e x dx =1

.

Corollaire. Soit P un polynme coefficients rels et un rel strictement ngatif.Alors x 7 P(x )ex est intgrable sur [0,+[.

Dmonstration. Comme P est de signe constant au voisinage de +, f : x 7 P(x )e x lest galement.De plus lim

x+x 2 f (x ) = lim

x+x 2P(x )e x = 0 : donc daprs la rgle x f (x ) en +, f est intgrable au

voisinage de + et donc sur [0,+[.

Fonction logarithme nprien

Thorme 1.10 (Fonction logarithme). Lapplication x 7 lnx est intgrale sur ]0,1].

Dmonstration. Soit ]0,1]. Alors 1

lnx dx = [x lnx ]1 1

x 1xdx = ln+

1

dx = ln+(1 )

Comme lim0+

ln = 0, on en dduit que x 7 lnx est intgrable sur ]0,1] et 10

( lnx )dx = 1.

Romain Dujol 17

Fonctions de BERTRAND

Thorme 1.11. Soit et deux nombres rels.

La fonction x 7 1x(lnx )

est intgrable sur [2,+[ si et seulement si

(> 1) ou (= 1 et > 1)

Dmonstration. On note f : x 7 1x(lnx )

et on distingue trois cas selon la valeur de .

Si > 1, alors =1+

2> 1 et lim

x+x f (x ) = lim

x+1

x12 (lnx )

= 0 et f est intgrable sur [2,+[.

Si < 1, alors =1+

2< 1 et lim

x+x f (x ) = lim

x+x

12

(lnx )= + et f nest pas intgrable sur

[2,+[. Si = 1, alors : t 7 e t est injective et de classeC 1 sur [2,+[ et X

2

dx

x (lnx )=

(lnX )(ln2)

dx

x (lnx )=

lnXln2

1

e t [lne t ]e t dt =

lnXln2

dt

t

Comme limX+

lnX = +, il vient que x 7 1x (lnx )

est intgrable sur [2,+[ si et seulement si

X 7 Xln2

dt

t admet une limite finie lorsqueX tend vers+, i.e. t 7 1

t est intgrable sur [ln2,+[.

En utilisant les rsultats prcdents, il vient que x 7 1x (lnx )

est intgrable sur [2,+[ si et seule-ment si > 1.

1.3 Fonctions valeurs quelconques

Par valeurs quelconques, on entend rels ou complexes . Lune des stratgies possiblessera de revenir (lorsque cela est possible) dans le cadre des fonctions valeurs relles positives.

1.3.1 Integrabilit absolue. Semi-intgrabilit

Dfinition 1.3 (Intgrabilit absolue). Soit (a ,b ) RR tel que a < b et f une applicationdfinie et continue sur lintervalle [a ,b [.

Lapplication f est dite absolument intgrable sur [a ,b [ si et seulement si lapplication | f |est intgrable sur [a ,b [.

Romain Dujol 18

Thorme 1.12 (Intgrabilit absolue et intgrabilit). Soit (a ,b )RR tel que a

Dfinition 1.4. Soit (a ,b )RR tel que a

Dmonstration. Montrons que f = g vrifie la condition de convergence de CAUCHY.On noteM = supx[a ,b [ |G (x )|.Soit > 0 : comme lim

xb(x ) = 0, il existe un rel c [a ,b [ tel que |(x )|<

Mpour tout x [c ,b [.

Soit u et v deux rels de [c ,b [. Alors en utilisant la deuxime formule de la moyenne : vu

(x )g (x )dx

=(u )

vu

g (x )dx

M |(u )|

1.4 Mthodes de calcul dune intgrale gnralise

1.4.1 Intgration par parties

Proposition 1.9 (Intgration par parties). Soit (a ,b ) RR tel que a < b et u et v deux appli-cations de classeC 1 sur [a ,b [.

Si deux conditions parmi les trois suivantes sont vrifies : la fonction u v est intgrable sur [a ,b [ ; la fonction u v est intgrable sur [a ,b [ ; la fonction u v admet une limite finie en b ;

alors la troisime est galement vrifie et :

ba

u (x )v (x )dx =limxb

u (x )v (x )u (a )v (a ) ba

u (x )v (x )dx

Dmonstration. Soit X [a ,b [. On effectue une intgration par parties sur le segment [a ,X ] : Xa

u (x )v (x )dx = [u (x )v (x )]Xa Xa

u (x )v (x )dx = [u (X )v (X )u (a )v (a )] Xa

u (x )v (x )dx

Comme au moins deux termes sur trois admettent une limite finie, le troisime terme admet galement

une limite finie et on peut conclure en passant la limite lorsque X tend vers b.

ATTENTION. Selon le choix des termes de lintgration par parties, celle-ci peut mener deuxtermes divergents, ce qui est incorrect.

Il est donc prfrable dcrire lintgration par parties sur le segment [a ,X ] puis de passer la limite lorsque X tend vers b.

Exemple. La fonction f : ]0,1] Rx 7 ex lnx

est intgrable sur ]0,1]daprs la rgle x f (x )

en 0 : en effet limx0+

px f (x ) = 0.

Soit ]0,1]. Alors 1ex lnx dx = [ex lnx ]1

1

ex

xdx = e ln

1

ex

xdx . Or :

lim0+

e = 1 et lim0+

ln = : donc x 7 ex lnx nadmet pas de limite finie en 0+ ;

on aex

x

x0+1

x: comme x 7 1

xnest pas intgrable sur ]0,1], il vient par thorme

dquivalence que x 7 ex

xnest pas intgrable sur ]0,1].

Romain Dujol 22

1.4.2 Changement de variables

Thorme (Changement de variables). Soit : [, [R une application injective et de classeC 1 sur [, [ telle que admette une limite b R{+} en .

Soit f une application valeurs relles dfinie et continue sur([, [).

Alors f est intgrable sur([, [) si et seulement si t 7 f (t )(t ) est intgrable sur [, [.Auquel cas, on a la relation suivante : b

()

f (x )dx =

f(t )

(t )dt

1.5 Fonctions doublement intgrables

Dfinition 1.5 (Fonction intgrable sur un intervalle ouvert).Soit (a ,b )RR tel que a

Intgrales gnralises : Exercices

Exercice 1.1. Pour les fonctions suivantes, tudier leur intgrabilit sur leur espace de dpart.

1. f 1 : ]0,1] R

x 7 1+p1x

x2. f 2 : [0,+[ R

x 7 cos(x2)

x 2+13. f 3 : [1,+[ R

x 7 lnx1+x 2

4. f 4 : ]0,1] Rx 7 e ln2 x

5. f 5 : ]0,1] R

x 7 ln3xpx

6. f 6 : [0,+[ Rx 7

x +

px 2+1

Exercice 1.2. Pour les fonctions suivantes, tudier leur intgrabilit sur leur domaine de dfini-tion :

1. f 1 : ]0,1[ Rx 7 1

lnx2. f 2 : ]0,+[ R

x 7 ex lnx3. f 3 : ]0,+[ R

x 7 lnxx 21

4. f 4 : ]0,+[ Rx 7 1

x+x

avec

5. f 5 : ]0,+[ Rx 7 x

1 e1/

px

6. f 6 : ], [ Rx 7 1p

(x )( x )

avec

Exercice 1.3. Pour les fonctions suivantes, tudier leur intgrabilit sur leur domaine de dfini-tion et, le cas chant, calculer leur intgrale sur ce domaine

1. f 1 : [0,+[ Rx 7 x 2ex

2. f 2 : ]0,+[ Rx 7 1

1+

x 1

x

2Indication : On pourra utiliser le changement de variable t =

1

x.

3. f 3 : ]0,1[ R

x 7 13px 2x 3

Exercice 1.4.

1. Soit un nombre rel strictement positif. tudier lintgrabilit de x 7 sinxx

sur ]0,+[.

2. laide de la question prcdente, tudier lintgrabilit sur ]0,+[des fonctions x 7 sin(x 2),x 7 cos(x 2) et x 7 sin(x ) o est un nombre rel quelconque.

Exercice 1.5.

1. Soit un nombre rel.

(a) Montrer que x 7 x1 cosx est absolument intgrable sur [1,+[(b) En dduire que x 7 x sinx est intgrable sur [1,+[

2. laide de la question prcdente, tudier lintgrabilit de x 7px sin(x 2) sur [1,+[.

Exercice 1.6.

1. Montrer que x 7 ln(sinx ) est intgrable sur

0,

2

. On note I =

/20

ln(sinx )dx .

2. Montrer que x 7 ln(cosx ) est intgrable sur

0,

2

et que I =

/20

ln(cosx )dx .

3. Montrer que x 7 lnsin2x

2

est intgrable sur

0,

2

et que I =

1

2

/20

ln

sin2x

2

dx .

4. Montrer que x 7 ln(sin2x ) est intgrable sur

0,

2

et que I =

/20

ln(sin2x )dx .

5. Dduire des questions prcdentes la valeur de I .

Romain Dujol 25

Exercice 1.7.

1. On dfinit : x 7 +0

t x1et dt .

(a) Dterminer le domaine de dfinitionD de .(b) Pour tout x D, exprimer (x +1) en fonction de (x ).

En dduire (n ) pour tout entier naturel non nul n.

2. On note g = ln.(a) Montrer que pour x D, g (x +1) = g (x )+ ln(x ).(b) En dduire que pour tout n 2,

g (x +n ) g (x ) = g (n )+ ln(x )+n1k=1

[ln(x +k ) lnk ]

3. (a) Pour tout x D, montrer que (x ) = 2 +0

u 2x1eu2du

(b) En admettant que

+0

ex2dx =

p

2, calculer

1

2

(c) En utilisant la question 2.b, calculer

n +

1

2

pour tout entier naturel n.

Romain Dujol 26

Chapitre 2

Intgrales dpendant dun paramtre

2.1 Intgrales propres dpendant dun paramtre

2.1.1 Continuit

Thorme 2.1 (Thorme dinterversion intgrale-limite).Soit I un intervalle de R et f une application de I [a ,b ] dans R.

Si f est continue, alors F : x 7 ba

f (x , t )dt est continue sur I .

Dmonstration. Soit x0 I et h R tel que x0+h I . Alors

F (x0+h) F (x0) = ba

f (x0+h, t )dt ba

f (x0, t )dt =

ba

f (x0+h, t ) f (x0, t )

dt

Donc |F (x0+h) F (x0)| ba

f (x0+h, t ) f (x0, t ) dt .Lapplication f est continue en (x0, t ), donc lim

h0f (x0+h, t ) = f (x0, t ), cest--dire :

> 0, > 0, h R,

|h |

2.1.2 Drivabilit

Thorme 2.2 (Thorme dinterversion intgrale-drivation).Soit I un intervalle ferm born de R et f une application de I [a ,b ] dans R. Si : f est continue sur I [a ,b ] ; f admet une drive partielle premire

f

xcontinue sur I [a ,b ] ;

alors F : x 7 ba

f (x , t )dt est de classeC 1 sur I et x I , F (x ) = ba

f

x(x , t )dt .

Dmonstration. Soit x0 I . Il existe un voisinage ],[ de 0 tel que f (x0 + h, t ) soit dfini pour touth ],[ et pour tout t [a ,b ].

On dfinit x0,t : ],[ Rh 7 f (x0+h, t )h

f

x(x0, t )

.

La fonctionx0,t est de classeC 1 sur ],[ comme diffrence de fonctions de classeC 1 sur ],[ et :

h ],[, x0,t (h) = f

x(x0+h, t )

f

x(x0, t )

Comme f

xest continue sur I[a ,b ] qui est un compact deR2, il vient daprs le thorme deHEINE

que f

xest uniformment continue sur I [a ,b ] :

> 0,> 0,(x1,x2) I 2,(t1, t2) [a ,b ]2,

(x1x2, t1 t2) 0, > 0, x0 I , h ],[, t [a ,b ]2,

(h,0) 0, > 0, x0 I , h ],[, t [a ,b ]2,

|h | 0, > 0, x0 I , h ],[, t [a ,b ]2,x0,t (h)

< b a

Donc > 0, > 0, x0 I , t [a ,b ]2, suph ],[

x0,t<

b a .

Romain Dujol 28

Soit un rel strictement positif : daprs ce qui prcde, il existe un rel strictement positif tel que

x0,t est

b a -lipschitzienne. Donc h ],[, |x0,t (h)x0 ,t (0)| h

b a avec :

x0,t (h)x0 ,t (0) = f (x0+h, t )h f

x(x0, t ) f (x0, t )

On en dduit que pour tout h ],[ :F (x0+h) F (x0)h ba

f

x(x0, t )dt

= ba

f (x0+h, t )dt ba

f (x0, t )dt h ba

f

x(x0, t )dt

=

ba

f (x0+h, t ) f (x0, t )h

f

x(x0, t )

dt

=

ba

x0,t (h)x0 ,t (0)

dt

ba

x0,t (h)x0 ,t (0) dt ba

h

b a dt = h

Finalement > 0,> 0,F (x0+h) F (x0)h

ba

f

x(x0, t )dt

< : donc limh0 F (x0+h) F (x0)h = ba

f

x(x0, t )dt .

F est drivable en tout point x0 de I et F (x0) =

ba

f

x(x0, t )dt .

Comme f

xest continue sur I [a ,b ], il vient daprs le thorme dinterversion intgrale-limite que

F est continue : donc F est de classeC 1 sur I .

2.1.3 Intgrabilit

Thorme 2.3 (Thorme dinterversion intgrale-intgrale).Soit [c ,d ] un intervalle ferm born de R et f une application de I [a ,b ] dans R.

Si f est continue, alors F : x 7 ba

f (x , t )dt est continue sur I et

dc

F (x )dx =

dc

b

a

f (x , t )dt

dx =

ba

d

c

f (x , t )dx

dt

Romain Dujol 29

Dmonstration. Soit : [c ,d ] R

X 7 ba

X

c

f (x , t )dx

dt

et : [c ,d ] R

X 7 Xc

b

a

f (x , t )dt

dx

.

On dfinit galement 1 : [c ,d ] [a ,b ] R

(X , t ) 7 Xc

f (x , t )dx

et 1 : [c ,d ] R

x 7 ba

f (x , t )dt

.

Alors X [c ,d ],t [a ,b ], (X ) = ba

1(X , t )dt et(X ) =

Xc

1(x )dx .

Comme f est continue, il vient que 1 est continue daprs le thorme dinterversion intgrale-

limite. De plus1 admet une drive partielle premire1

X: (X , t ) 7 f (X , t ) qui est continue.

Daprs le thorme dinterversion intgrale-drivation, il vient que est de classeC 1 et :

X [c ,d ], (X ) = ba

f (X , t )dt =1(X )

Comme f est continue, il vient que 1 est continue daprs le thorme dinterversion intgrale-limite. Alors est de classeC 1 et =1.

On en dduit donc que =1 =. De plus :

(c ) =

ba

cc

f (x , t )dx

dt =

ba

0dt = 0 et (c ) =

cc

b

a

f (x , t )dt

dx = 0

Donc pour tout X [c ,d ],(X ) = Xc(x )dx =

Xc(x )dx =(X ), notamment en X = d .

Proposition 2.1 (Fonction variables spares). Sous les hypothses du thormedinterversionintgrale-limite, si il existe deux fonctions g et h respectivement dfinies sur [c ,d ] et [a ,b ] tellesque

(x , t ) [c ,d ] [a ,b ], f (x , t ) = g (x )h(t )alors d

c

F (x )dt =

dc

g (x )dx

! ba

h(t )dt

!

Intgrales dont les bornes dpendent dun paramtre

Proposition 2.2. Soit I un intervalle de R et f une application valeurs relles continue sur I .Soit I1 un intervalle deR et u et v deux applications de classeC 1 sur I1 telles que u (I1) I et

v (I1) I . Alors : I1 R

x 7 v (x )u (x )

f (t )dt

est de classeC 1 sur I et

x I1, (x ) = f (v (x )) v (x ) f (u (x )) u (x )Dmonstration. Soit F une primitive de f . Alors pour tout x I1, (x ) = F (v (x )) F (u (x )). CommeF = f , on en dduit lexpression annonce.

Romain Dujol 30

2.2 Intgrales gnralises dpendant dun paramtre

Dfinition 2.1 (Convergence normale).Soit I est un intervalle de R, ]a ,b [ un intervalle ouvert de R et f une application de I]a ,b [dans R.

On dit que lintgrale gnralise

ba

f (x , t )dt converge normalement sur I]a ,b [ si il

existe une fonction g intgrable sur ]a ,b [ telle que x I , t ]a ,b [, | f (x , t )| g (t ).

2.2.1 Continuit

Thorme 2.4 (Interversion intgrale-limite pour les intgrales gnralises).Soit I est un intervalle deR, ]a ,b [ un intervalle ouvert deR et f une application valeurs

relles continue sur I]a ,b [.

Si pour tout segment [, ] inclus dans I ,

ba

f (x , t )dt converge normalement sur

[, ]]a ,b [, alors F : I R

x 7 ba

f (x , t )dt

est continue sur I .

2.2.2 Drivabilit

Thorme 2.5 (Interversion intgrale-drivation pour les intgrales gnralises).Soit I est un intervalle deR, ]a ,b [ un intervalle ouvert deR et f une application valeurs

relles continue sur I]a ,b [. Si : lapplication t 7 f (x , t ) est intgrable sur ]a ,b [ pour tout x I ; f admet une drive partielle premire

f

xdfinie et continue sur I]a ,b [ ;

pour tout segment [, ] inclus dans I , lintgrale gnralise

ba

f

x(x , t )dt converge

normalement sur [, ]]a ,b [ ;

alors F : I R

x 7 ba

f (x , t )dt

estC 1 sur I et F (x ) = ba

f

x(x , t )dt pour tout x I .

Romain Dujol 31

Intgrales dpendant dun paramtre : Exercices

Exercice 2.1.

1. A-t-on limx0

10

x

(x + t )2dt =

10

limx0

x

(x + t )2dt ? Sinon, expliquer pourquoi.

2. A-t-on limx0

10

x

x + tdt =

10

limx0

x

x + tdt ? Sinon, expliquer pourquoi.

Exercice 2.2. Calculez (lorsque cest possible) la fonction drive des fonctions suivantes :

1. F1 : x 7 xx

dt

x 2+ t +1

2. F2 : x 7 ln x 2

0

sin(xt )

tdt

Exercice 2.3. Calculez (lorsque cest possible) les fonctions drives partielles des fonctions sui-vantes :

1. F1 : (x ,y ) 7 x0

p1+ t 3y 2dt

2. F2 : (x ,y ) 7 x 2y 2x 2+y 2

(t 2+ y 2)dt

Exercice 2.4.

1. Montrer que t 7 et 2 est intgrable sur [0,+[. On note I = +0

et2dt .

2. Soit lapplication G : [0,+[ R

x 7 10

e(t 2+1)x 2

t 2+1dt

.

Calculer G et montrer queG est solution dune quation diffrentielle que lon explicitera.

3. En dduire la valeur de I .

Romain Dujol 32

Exercice 2.5.

1. Montrer que pour tout x [1,+[, lapplication t 7 et x sin tt

est intgrable sur [0,+[.

2. (a) Montrer que G : [1,+[ R

x 7 +0

et xsin t

tdt

est drivable sur [1,+[.

(b) Pour x [1,+[, calculer +0

et x sin t dt .

[ Indication : On pourra effectuer deux intgrations par parties successives.]

(c) En dduire quil existe un rel C tel queG : x 7C arctanx .Dterminer la valeur de C en tudiant la limite deG en +.

Romain Dujol 33

Chapitre 3

Intgrales multiples

3.1 Intgrales doubles

3.1.1 Intgrales doubles sur un compact lmentaire

Dfinition 3.1 (Compact lmentaire deR2). Une partie K deR2 est dit compact lmentairedu premier type si et seulement si il existe deux rels a et b tels que a b et deux fonctionscontinues y1 et y2 de classeC 1 par morceaux sur [a ,b ] tels que

K = {(x ,y )R2, a x b et y1(x ) y y2(x )}Une partie K de R2 est dit compact lmentaire du deuxime type si et seulement si il existedeux rels c et d tels que c d et deux fonctions continues x1 et x2 de classe C 1 par morceauxsur [c ,d ] tels que

K = {(x ,y )R2, x1(y ) x x2(y ) et c y d }

Proposition 3.1. Tout compact lmentaire est une partie compacte de R2.

Dfinition 3.2 (Intgrale double sur un compact lmentaire).Soit K1 = {(x ,y ) R2, a x b et y1(x ) y y2(x )} un compact lmentaire du premier type.Si f est une application dfinie et continue sur K1, on dfinit :

K

f (x ,y )dxdy =

ba

y2(x )

y1(x )

f (x ,y )dy

dx

Soit K2 = {(x ,y ) R2, x1(y ) x x2(y ) et c y d } un compact lmentaire du deuximetype. Si f est une application dfinie et continue sur K2, on dfinit :

K

f (x ,y )dxdy =

dc

x2(y )

x1(y )

f (x ,y )dx

dy

Romain Dujol 34

Exemple. Calculer les intgrales doubles suivantes :

1.

D1

xy dxdy avecD1 = {(x ,y )R2, 0 x 2 et 0 2y x } ;

2.

D2

xy dxdy avecD2 = {(x ,y )R2, x 0, y 0 et x + y 1}.

Proposition 3.2 (Intgration parmorceaux). Soit D1 et D2 deux compacts lmentaires de R2

tels que D1 D2 = et f une application continue sur D1 D2. AlorsD1D2

f (x ,y )dxdy =

D1

f (x ,y )dxdy +

D2

f (x ,y )dxdy

3.1.2 Intgrale double sur un pav

Dfinition 3.3 (Pav deR2). Une partie P de R2 est un pav si et seulement si il existe quatrerels a , b , c et d tels que a b et c d et tels que P = [a ,b ] [c ,d ].

Thorme 3.1 (Thorme de FUBINI sur un pav deR2). Soit f une application continuesur un pav P = [a ,b ] [c ,d ]. Alors

P

f (x ,y )dxdy =

ba

d

c

f (x ,y )dy

dx =

dc

b

a

f (x ,y )dx

dy

Proposition 3.3 (Fonction variables spares). Soit f une application continue sur un pavP = [a ,b ] [c ,d ] telle quil existe deux fonctions g et h respectivement dfinies sur [a ,b ] et [c ,d ]telles que

(x ,y ) [a ,b ] [c ,d ], f (x ,y ) = g (x )h(y )alors

P

f (x ,y )dxdy =

ba

g (x )dx

! dc

h(y )dy

!

Romain Dujol 35

3.1.3 Changement de variables

Thorme 3.2 (Changement de variables). Soit K et K deux compacts lmentaires de R2

et unC 1-diffomorphisme de K dans K . Alors :K

f (x ,y )dxdy =

K ( f )(u ,v ) |det J(u ,v )| dudv

Exemple. Calculer

D

dxdy avecD = {(x ,y )RR+, x 2+ y 2 R2}.

3.2 Intgrales triples

Dfinition 3.4 (Compact lmentaire deR3). Une partie K deR3 est dit compact lmentairesi et seulement si il existe une partie compacte D de R2 et deux fonctions continues z 1 et z 2 declasseC 1 par morceaux sur D telles que

K = {(x ,y ,z )R3, (x ,y )D et z 1(x ,y ) z z 2(x ,y )}

Dfinition 3.5 (Intgrale triple sur un compact lmentaire).Soit K = {(x ,y ,z )R3, (x ,y )D et z 1(x ,y ) z z 2(x ,y )} un compact lmentaire deR3. Alorson dfinit

f (x ,y ,z )dxdy dz =

D

z 2(x ,y )

z 1(x ,y )

f (x ,y ,z )dz

dxdy

Remarque. Si K = {(x ,y ,z ) R3, a z b et (x ,y ) D(z )} o D(z ) est une partie compacte deR2 pour tout z [a ,b ], alors

K

f (x ,y ,z )dxdy dz =

ba

D(z )

f (x ,y )dxdy

dz

Exemple. Calculer

K

z dxdy dz avec K = {(x ,y ,z )R3+, z 1 y 2 et x + y 1}.

Romain Dujol 36

Dfinition 3.6 (Pav deR3). Une partie P de R3 est un pav si et seulement si il existe six relsa , b , c , d , e et f tels que a b, c d , e f et tels que P = [a ,b ] [c ,d ] [e , f ].

Thorme 3.3 (Thorme de FUBINI sur un pav deR3). Soit f une application continuesur un pav P = [a ,b ] [c ,d ] [e , f ].

Alors lordre dintgration ninflue pas sur le calcul de

P

f (x ,y ,z )dxdy dz .

Proposition 3.4 (Fonction variables spares). Soit f une application continue sur un pavP = [a ,b ][c ,d ][e , f ] telle quil existe trois fonctions g , h et i respectivement dfinies sur [a ,b ],[c ,d ] et [e , f ] telles que

(x ,y ,z ) [a ,b ] [c ,d ] [e , f ], f (x ,y ,z ) = g (x )h(y )i (z )

alors P

f (x ,y ,z )dxdy dz =

ba

g (x )dx

! dc

h(y )dy

! fe

i (z )dz

!

Thorme 3.4 (Changement de variables). Soit K et K deux compacts lmentaires de R3

et unC 1-diffomorphisme de K dans K . Alors :K

f (x ,y ,z )dxdy dz =

K ( f )(u ,v,w ) |det J(u ,v,w )| dudvdw

Exemple. Calculer

D

dxdy dz avecD = {(x ,y ,z ) (R+)3, x 2+ y 2+ z 2 R2}.

Romain Dujol 37

Intgrales multiples : Exercices

Exercice 3.1. Soit a un rel strictement positif et K le compact limit par les cts du triangledont les sommets sont les points (0,0), (2a ,a ) et (3a ,3a ).

Calculer

K

xy dxdy .

Exercice 3.2. Soit a et b deux rels strictement positifs tels que a 0) ;

2. f : (x ,y ) 7 x 2+ y 2 et D =(x ,y )R2, x

2

a 2+y 2

b2 1

(a > 0, b > 0) ;

3. f : (x ,y ) 7 x2+ y 2

x 2+ y 2+1et D = {(x ,y )R2, x 2+ y 2 1}.

4. f : (x ,y ) 7 xy et D est le domaine limit par les deux courbes dquation y = x 2 et x = y 2.

Exercice 3.6. Soit = {(x ,y ,z ) (R+)3, x + y + z 1}. Calculer

dxdy dz

(1+x + y + z )3.

Romain Dujol 38

Chapitre 4

Intgrales curvilignes

4.0 Formes diffrentielles

4.0.1 Dfinition

Dfinition 4.1 (Forme diffrentielle sur un ouvert).Soit n un entier naturel non nul etU un ouvert de Rn .

Une forme diffrentielle sur U est une application deU dansL (Rn ,R) et de classeC 1 surU.

Proposition 4.1. Soit n un entier naturel non nul etU un ouvert de Rn .Soit une forme diffrentielle surU. Alors il existe un unique n-uplet (A i )1in de fonctions

deU dans R de classeC 1 surU telle que

(x ,y )U , (x ,y ) =ni=1

A i (x ,y ) dx i

Remarque. Si n = 2, : (x ,y ) 7 P(x ,y )dx +Q(x ,y )dy Si n = 3, : (x ,y ) 7 P(x ,y ,z )dx +Q(x ,y ,z )dy +R(x ,y ,z )dz

4.0.2 Forme diffrentielle exacte. Forme diffrentielle ferme

Dfinition 4.2 (Forme diffrentielle exacte).Soit n un entier naturel non nul etU un ouvert de Rn .Une forme diffrentielle sur U est dite exacte sur U si et seulement si il existe une appli-

cation F deU dans R de classeC 1 surU telle que= dF =ni=1

F

x idx i .

Auquel cas, F est une primitive de.

Romain Dujol 39

Dfinition 4.3 (Forme diffrentielle ferme).Soit n un entier naturel non nul etU un ouvert de Rn .

Une forme diffrentielle=ni=1

A i dx i surU est dite ferme sur U si et seulement si

(i , j ) J1,nK2 , A ix j

=A jx i

Remarque.

Si n = 2,= P dx +Q dy est ferme si et seulement siP

y=Q

x Si n = 3,= P dx +Q dy +R dz est ferme si et seulement si

P

y=Q

x,

Q

z=R

yet

R

x=P

z

Proposition 4.2.Soit n un entier naturel non nul etU un ouvert de Rn .Toute forme diffrentielle exacte surU est ferme surU.

Dmonstration. Soit une forme diffrentielle exacte sur U et F lapplication de classe C 1 telle que= dF . Alors pour tout entier i entre 1 et n , A i =

F

x i.

Donc toutes les fonctions drives partielles de F sont de classe C 1 surU : on en dduit que F estdonc de classeC 2 surU et daprs le thorme de SCHWARTZ :

A ix j

=

x j

F

x i

=

2F

x j x i=

2F

x i x j=

x i

F

x j

=A jx i

On conclut donc que est ferme surU .

4.0.3 Thorme de POINCAR

Dfinition 4.4 (Partie convexe. Partie toile).Soit x et y deux points de Rn . On note [x ,y ] = {(1)x +y , [0,1]}.

Une partie C de Rn est dite convexe si et seulement si :

(x ,y )C , [x ,y ]CUne partie C de Rn est dite toile par rapport a C si et seulement si :

x C , [a ,x ]CUne partie C de Rn est dite toile si et seulement si il existe a C telle que C soit toile parrapport a .

Proposition 4.3. Toute partie convexe de Rn est toile (par rapport chacun de ses points).

Romain Dujol 40

Thorme 4.1 (Thorme de POINCAR).Soit n un entier naturel non nul etU un ouvert toil de Rn .Alors toute forme diffrentielle ferme surU est exacte surU.

Dfinition 4.5 (Champ de vecteurs. Forme diffrentielle associe).Un champ de vecteurs surRn est une application dune dun ouvertU de Rn dans Rn .On dfinit la forme diffrentielle associ un champ de vecteurs V comme la forme diff-

rentielle=ni=1

Vi dx i o les applications Vi sont les applications composantes de V .

4.0.4 Exemples dtude

Plan gnral dtude dune forme diffrentielle dfinie sur un ouvertU

tape no 1 Si est ferme, on passe ltape suivante. Si nest pas ferme, alors elle nest pas exacte : si lnonc le demande, on cherche un facteur intgrant de la forme indique eton passe ltape suivante ;

sinon, ltude est termine.

tape no 2 SiU est toil, alors est exacte (thorme de POINCAR) calcul des primitives de

SiU nest pas toil, alors il est possible que soit exacte tentative de calcul des primitives de (il y a russite ssi est exacte)

Romain Dujol 41

4.0.4.1 tude de : (x ,y ) 7 2y 2(x + y )dx +2xy (x +3y )dy

tapeno 1 OnnoteP : (x ,y ) 7 2y 2(x+y ) etQ : (x ,y ) 7 2xy (x+3y )de sorte que= Pdx +Qdy .P etQ sont des fonctions polynmiales sur R2 donc elles sont de classeC 1 et :

(x ,y )R2, Py

(x ,y ) = 4y (x + y )+2y 2 1= 4xy +6y 2

Q

x(x ,y ) = 2y (x +3y )+2xy 1= 4xy +6y 2

Donc est ferme sur R2.

tape no 2 R2 est une partie convexe donc toile. Daprs le thorme de POINCAR, est

exacte et il existe une fonction F de classeC 1 sur R2 telle que= Pdx +Qdy = dF = Fx

dx +F

ydy et par identification, on a :

(x ,y )R2, Fx

= P(x ,y ) = 2y 2(x + y ) = 2xy 2+2y 3

Donc il existe une application g de classe C 1 sur R telle que F : (x ,y ) 7 x 2y 2 + 2y 3x + g (y ).Alors

(x ,y )R2, 2x 2y +6xy 2 = 2xy (x +3y ) =Q(x ,y ) = Fy

(x ,y ) = 2x 2y +6xy 2+ g (y )

On en dduit donc que g est nulle, puis que g est constante.Finalement, toute primitive de est F : (x ,y ) 7 x 2y 2+2y 3x +C , C R.

4.0.4.2 tude de : (x ,y ,z ) 7 2xz dx 2y z dy (x 2 y 2)dz

tape no 1 On note P : (x ,y ,z ) 7 2xz ,Q : (x ,y ,z ) 7 2y z et R : (x ,y ,z ) 7 (x 2 y 2) de sorteque= Pdx +Qdy +Rdz . P ,Q et R sont des fonctions polynmiales sur R2 donc elles sont declasseC 1 et :

(x ,y ,z )R3, Pz

(x ,y ,z ) = 2x etR

x(x ,y ,z ) =2x

DoncP

z(1,0,0) = 2 6=2= R

x(1,0,0) et nest pas ferme.

Romain Dujol 42

On cherche alors un facteur intgrant de la forme (x ,y ,z ) 7 f (z ). Donc on considre laforme diffrentielle1 : (x ,y ,z ) 7 f (z )(x ,y ,z ) = 2xz f (z )dx2y z f (z )dy (x 2y 2) f (z )dz =P1dx +Q1dy +R1dz . Sous rserve que le facteur intgrant soit de classe C 1, il vient que P1,Q1et R1 sont de classeC 1 et :

P1y

(x ,y ,z ) = 0Q1x

(x ,y ,z ) = 0

Q1z

(x ,y ,z ) =2y [ f (z )+ z f (z )] R1y

(x ,y ,z ) = 2y f (z )

R1x

(x ,y ,z ) =2x f (z ) P1z

(x ,y ,z ) = 2x [ f (z )+ z f (z )]

Donc1 est ferme si et seulement si

(x ,y ,z ),

0= 0

2y [ f (z )+ z f (z )] = 2y f (z )2x [ f (z )+ z f (z )] =2x f (z )

(x ,y ,z ), z f (z )+2 f (z ) = 0

Toute solution de lquation z f (z ) + 2 f (z ) = 0 scrit z 7 eG (z ) o G est une primitive deg : z 7 2

z. On en dduit quil existe c R tel que G : z 7 2ln |z |+ c = lnz2+ c , puis

on conclut quil existe K R tel que f : z 7 K e ln(z2) = Kz 2

.

tape no 2 Le domaine de dfinition de1 estU =RRR.U nest pas toil ; en effet :a = (a 1,a 2,a 3)U , x = (a 1,a 2,a 3)U , (a 1,a 2,0) [a ,x ] et (a 1,a 2,0) /U

Supposons que1 soit exacte surU : alors il existe F1 tel que1 = dF1 et :

(x ,y ,z )U , F1x

(x ,y ,z ) = 2xz f (z ) =2x

z

Donc il existe une application g de classe C 1 sur RR telle que F1 : (x ,y ,z ) 7x 2

z+ h(y ,z ),

puis :

(x ,y ,z )U , 2yz

=2y z f (z ) =Q1(x ,y ,z ) =F1y

(x ,y ,z ) = g

y(y ,z )

Donc il existe une application g 1 de classe C 1 sur R telle que g : (y ,z ) 7 y 2

z+ g 1(z ). Il vient

alors que F1 : (x ,y ,z ) 7x 2 y 2

z+ g 1(z ) et

(x ,y ,z )U , x2 y 2z 2

=(x 2 y 2) f (z ) =R1(x ,y ,z ) =F1z

(x ,y ,z ) =x2 y 2z 2

+ g 1(z )

On en dduit donc que g 1 est nulle, puis que g 1 est constante.

Finalement, toute primitive de1 est F1 : (x ,y ,z ) 7x 2 y 2

z+C , C R.

Romain Dujol 43

4.1 Intgrale curviligne

4.1.1 Cas gnral

Dfinition 4.6 (Courbe deR2).Une courbe de R2 est une partie de R2 telle quil existe un segment [a ,b ] de R et une

application de classeC 1 de [a ,b ] dans R2 tels que = ([a ,b ]).Une telle application est un paramtrage de .

Dfinition 4.7 (Intgrale curviligne. Circulation dun champ de vecteurs).Soit une courbe deR2 et un paramtrage de dfini sur le segment [a ,b ]. On note x et y

les applications composantes de . Soit= Pdx +Qdy une forme diffrentielle sur R2.On dfinit lintgrale curviligne de sur , not

, par

=

ba

Px (t ),y (t )

x (t )+Qx (t ),y (t ) y (t )dtSi V le champ de vecteurs dont est la forme diffrentielle associe, alors

est galement

notV (M ) dM et appel circulation de V le long de .

Thorme. Lintgrale curviligne

ne dpend pas du paramtrage utilis, mais dpend de

lorientation.

Exemple.

1. Soit = {(x ,y )R2, 0 x 1 et y = 2x 2}. Calculer

x 2y dx +(x 2 y 2)dy

.

2. Soit C le cercle de centre (0,0) et de rayon un et le champ de vecteurs

V : R2\{(0,0)} R2

(x ,y ) 7 yx 2+ y 2

,x

x 2+ y 2

Calculer la circulation de V le long de =C (RR+).

Romain Dujol 44

Thorme 4.2 (Cas dune diffrentielle exacte). Soit une courbe de R2 et un param-trage de dfini sur [a ,b ].

Si est exacte et telle que= d f , alors

= f(b )

f (a ).

4.1.2 Cas dune courbe ferme

Dfinition 4.8 (Courbe ferme). Une courbe est dite ferme si et seulement si pour un para-mtrage dfini sur [a ,b ], on a (a ) = (b ).

Corollaire. Soit une courbe ferme deR2 et un paramtrage de dfini sur [a ,b ].

Si est exacte et telle que= d f , alors

= 0.

Dfinition 4.9 (Point double). Soit une courbe de R2. On dit que X R2 est un point doublede si et seulement si il existe un paramtrage dfini sur [a ,b ] et deux rels distincts t et t de[a ,b ] tels que X = (t ) = (t ).

Dfinition 4.10 (Sens direct). Soit une courbe ferme de R2 sans point double. Alors le sensdirect de le sens pour lequel laire intrieure est laisse la gauche de la courbe. Dans lecas contraire, il sagit du sens indirect de .

Auquel on note

lintgrale curviligne de selon dans le sens direct et

lintgrale

dans le sens indirect.

Proposition 4.4.

=

Romain Dujol 45

Exemple. Soit le cercle de centre (0,0) et de rayon un et le champ de vecteurs

V : R2\{(0,0)} R2

(x ,y ) 7 yx 2+ y 2

,x

x 2+ y 2

Calculer la circulation de V le long de dans le sens direct.

Thorme 4.3 (Thorme de GREEN-RIEMANN). Soit une courbe ferme de R2 et D le do-maine de R2 dlimit par .

Soit P etQ deux fonctions de classeC 1 sur D. Alors

[P(x ,y )dx +Q(x ,y )dy ] =

D

Q

x(x ,y ) P

y(x ,y )

dxdy

Corollaire (Aire dun domaine). Soit une courbe ferme de R2 et D le domaine de R2 dlimitpar . Alors laire du domaineAD vrifie :

AD =

x dy =

y dx = 12

x dy y dx

Dmonstration. On applique le thorme de GREEN-RIEMANN avec :

1. P : (x ,y ) 7 0 etQ : (x ,y ) 7 x2. P : (x ,y ) 7 y etQ : (x ,y ) 7 03. P : (x ,y ) 7 y etQ : (x ,y ) 7 x

Romain Dujol 46

Intgrales curvilignes : Exercices

Formes diffrentielles

Exercice 4.1. tudier les formes diffrentielles suivantes.

1. 1 : (x ,y ) 7 x dy y dx2. 2 : (x ,y ) 7 (x 2+3y )dx y 3dy

3. 3 : (x ,y ) 7x dx + y dy

x 2+ y 2

4. 4 : (x ,y ,z ) 7 x 2dx +xy dy + z 2dz5. 5 : (x ,y ,z ) 7 x 3dx + y 3dy + z 3dz6. 6 : (x ,y ) 7 e x (x + y )dx +(e x +3e y )dy7. 7 : (x ,y ) 7 x (y 1)dx y (x +1)dy

8. 8 : (x ,y ) 7y dx x dyx 2+ y 2

(on restreindra ltude x > 0)

9. 9 : (x ,y ) 7(1x 2+ y 2)y(1+x 2+ y 2)2

dx(1+x 2 y 2)x(1+x 2+ y 2)2

dy

Intgrales curvilignes

Exercice 4.2. Calculer

y 2dx +x 2dy

lorsque :

1. = {(x ,y )R2, x 2+ y 2ay = 0}

2. =

(x ,y )R2, x

2

a 2+y 2

b21= 0

3. =

(x ,y )R2, x

2

a 2+y 2

b2 2x

a 2y

b= 0

a et b tant deux rels strictement positifs.

Exercice 4.3. Soit la boucle ferme constitue par les deux arcs de parabole y = x 2 et x = y 2.

1. Calculer

(2xy x 2)dx +(x + y 2)dy

.

2. Vrifier le rsultat prcdent en utilisant le thorme de GREEN-RIEMANN.

Romain Dujol 47

Exercice 4.4. Soit D =

(x ,y ) (R+)2,

x 2

a 2+y 2

b21 0

.

Calculer de deux manires diffrentes

D

(2x 3 y )dx dy .

Exercice 4.5.

1. Soit = [AB ] [BC ] o A = (1,1), B = (2,1) et C = (2,2). Calculer

(xy 2+ y )dx +x 2dy

.

2. Soit R > 0 et D = {(x ,y ) (R+)2, x 2+ y 2 R2}. Calculer

D

(x 2 y 2)dxdy .

3. Soit =x , (x 1) ln(x +1), x [0,1]. Calculer

px dy px ln(x +1)dx

.

Exercice 4.6. Soit D = {(x ,y ) [0,1]2, x 2+ y 2 1}.En utilisant le thorme de GREEN-RIEMANN, calculer

D

xy

(1+x 2+ y 2)2dxdy .

Romain Dujol 48